MANUAL DE USUARIO FINAL Ax+B

MANUAL DE USUARIO FINAL

PROGRAMA DE FUNCIONES DE DISTRIBUCION Ax+B VERSIN 1.0.0.0

Autor del manual: Ing. Fidelmar Merlos Villegas Revisin del Manual: Ing. Jorge Alfonso Almanza Campos

Febrero 2015

MANUAL DE USUARIO FINAL AX+B VERSION 1.0.0.0

Fidelmar Merlos Villegas ISBN: En tramite

P g i n a 2 | 23


DESCARGO DE RESPONSABLIDAD

La informacin contenida en este documento ha sido resultado de un amplio proceso de investigacin y recopilacin de datos. Esta informacin y sus resultados obtenidos han sido sometidos a una revisin exhaustiva por parte del autor.

Las menciones realizadas a marcas o productos comerciales no constituyen un reconocimiento o recomendacin para su uso.

Aunque se ha realizado un esfuerzo considerable para garantizar que los resultados sean correctos, el/los programas descritos en este manual son susceptibles a depuracin. Por consiguiente ni el autor ni sus colaboradores se hacen responsables ni asumen ninguna relacin con los resultados obtenidos con el programa, del uso de los mismos, ni de daos o litigios que resulten de la utilizacin de este manual o del programa referido.

P g i n a 3 | 23


PROLOGO

El Programa de Funciones de Distribucin Ax+B se ha creado con el objetivo de ser de ayuda en la modelacin matemtica de eventos extremos y con ello ser de colaborar en la investigacin de los mismos.

Cabe aclarar que el fin comercial del mismo implcito en la forma de distribucin del producto tiene como fin ltimo que el autor tenga la posibilidad de continuar desarrollando software que facilite las arduas tareas de la ingeniera y mejore con ello la aplicacin de la misma.

En esta primera revisin de la versin del software se incluyen diversas funciones de distribucin, entre las cuales se incluyen la Doble Gumbel y Doble LogNornal. Teniendo para cada funcin de distribucin diferente formas de estimar los parmetros de las mismas.

P g i n a 4 | 23


Contenido DESCARGO DE RESPONSABLIDAD ................................................................. 3

PROLOGO ........................................................................................... 4

1.- INTRODUCCIN ................................................................................... 6

2.- MARCO TERICO DEL SOFTWARE .............................................................. 7

2.1.- PERIODO DE RETORNO ...................................................................... 7

2.2.- FUNCIONES DE DISTRIBUCIN ............................................................. 7

2.3.- TEORA DE FUNCIONES DE DISTRIBUCIN DE DOS POBLACIONES ..................... 9

2.4.- ESTIMACIN DE PARMETROS ............................................................. 9

2.4.1.- METODO DE MOMENTOS .............................................................. 11

2.4.2.- METODO DE MAXIMA VEROSIMILITUD ............................................... 12

2.4.3.- METODO DE MOMENTOS L ............................................................ 12

2.4.4.- MAXIMA ENTROPIA .................................................................... 13

2.5.- PRUEBAS DE BONDAD DE AJUSTE ........................................................ 14

2.5.1.-ERROR CUDRATICO ................................................................... 14

2.5.2.- KOLMOGOROV-SMIRNOF .............................................................. 15

2.5.3.- CHI CUADRADO ........................................................................ 15

2.5.4.- ANDERSON DARLING .................................................................. 15

2.5.5.- NASH-SUTOLFFE ....................................................................... 15

3.- UTILIZACIN DEL PROGRAMA .................................................................. 16

3.1.- REQUISITOS MINIMOS ...................................................................... 16

3.2.- INTERFAZ .................................................................................... 16

3.2.- BARRA DE MEN ............................................................................ 17

3.3.- BARRA DE HERRAMIENTAS ................................................................. 17

3.4.- CONFIGURACIN DEL PROGRAMA ........................................................ 18

3.5.-ENTRADA DE DATOS ........................................................................ 19

3.6.- OPTIMIZACIN DE FUNCIONES DE DISTRIBUCIN DE DOS POBLACIONES ............ 20

3.7.- GRFICO DE FUNCIONES DE DISTRIBUCIN ............................................. 21

3.8.- EXTRAPOLAR DATOS ....................................................................... 22

4.- BIBLIOGRAFIA .................................................................................... 23

P g i n a 5 | 23


1.- INTRODUCCIN

Este manual y el software referido representan un esfuerzo por facilitar la tarea del hidrlogo y de cualquier otro profesional de las ciencias de la tierra que requiere de la aplicacin de los procedimientos aqu descritos.

La intencin de la autor de este software es facilitar la investigacin y desarrollo de las ciencias, es especfico el desarrollo de metodologas para la modelacin de eventos extremos de carcter hidrolgico.

Cabe mencionar que el programa se puede ver como parte medular del conjunto de software para hidrologa encabezado por el programa SIHIMax.

Si requiere informacin adicional a este manual puede consultar la pgina: http://hydrobits.com/AxmasB/.

P g i n a 6 | 23


2.- MARCO TERICO DEL SOFTWARE

Para el desarrollo de este software se ha efectuado una revisin exhaustiva de las metodologas existentes para estimar los parmetros de cada una de las funciones de distribucin propuestas. Parte de los resultados de esta revisin se presentan en este apartado.

2.1.- PERIODO DE RETORNO

El periodo de retorno se define como el nmero de aos promedio en el cual el evento puede ser igualado o excedido cuando menos una vez. Existen diversos autores que han propuesto ecuaciones para estimar el periodo de retorno, el programa de funciones de distribucin Ax+B emplea la ley Weibull:

= + 1

Donde:

Tr = Periodo de retorno n = Numero de datos de la serie m = Numero de orden de la serie 2.2.- FUNCIONES DE DISTRIBUCIN

El programa Ax+B es capaz de realizar el ajuste funciones de distribucin de probabilidad a series de datos, esto mediante la aplicacin de diversos procesos para estimar los parmetros de cada una como se menciona en el apartado 2.3. Las funciones de distribucin aplicadas son:

Nombre de la funcin Ecuacin

Normal

Log-Normal de 2 parmetros

Log-Normal de 3 parmetros

() = 12 22 =

() = 12 220 = ln()

() = 12 220 = ln( )

P g i n a 7 | 23


Gumbel

Exponencial

Exponencial de dos parmetros

Gamma de dos parmetros

Gamma de tres parmetros

Doble Gumbel

Log-Normal Doble

Frechet

Doble Frechet

TABLA 1.- FUNCIONES DE DISTRIBUCIN APLICADAS EN EL PROGRAMA AX+B

() = ()

() = 1 ()/ () =

() = 1 () ( )1()/

() = 1(1) + (1 )2(2)

() = 1 () ()1()/

() = 12 12210 + (1 ) 12 22220

() = (ln ()) () = 1(()1) + (1 )2(()2)

P g i n a 8 | 23


2.3.- TEORA DE FUNCIONES DE DISTRIBUCIN DE DOS POBLACIONES

Es frecuente que las series temporales en hidrologa sean de dos poblaciones, esto debido a la existencia de fenmenos ciclnicos que alteran estadsticamente la serie temporal. Por lo que se forman dos muestras ordenadas de datos, como se muestra a continuacin: X1 X2 X3 X4 X5 .. .. .. .. Xn

De manera que estadsticamente tenemos:

() = 1() + (1 )2() Donde: p = Cociente del nmero de datos de la poblacin No Ciclnica y la muestra total. F1(x) = Probabilidad de la funcin No Ciclnica F2(x) = Probabilidad de la funcin Ciclnica Cabe mencionar que en la funcionalidad del programa el valor de p introducido esta en porcentaje y se ajusta de manera automtica al nmero de datos reales.

2.4.- ESTIMACIN DE PARMETROS

El programa Ax+B es capaz de realizar el ajuste funciones de distribucin de probabilidad a series de datos, esto mediante la aplicacin de diversos procesos para estimar los parmetros de cada una como se menciona a continuacin:

Distribucin Normal o Ajuste por Mtodo de Momentos/Mxima Verosimilitud o Ajuste por el Mtodo de Momentos L

Distribucin Log-Normal de dos parmetros o Ajuste por el Mtodo de Momentos o Ajuste por el Mtodo de Mxima Verosimilitud o Ajuste por el Mtodo de Stigth

Distribucin Log-Normal de tres parmetros

Poblacin Ciclnica

Poblacin No Ciclnica

P g i n a 9 | 23


o Ajuste por el Mtodo de Momentos o Ajuste por el Mtodo de Mxima Verosimilitud

Distribucin Exponencial de un parmetro o Ajuste por el Mtodo de Momentos

Distribucin Exponencial de dos parmetro o Ajuste por el Mtodo de Momentos o Ajuste por el Mtodo de Mxima Verosimilitud

Distribucin Gamma de dos parmetros o Ajuste por el Mtodo de Momentos o Ajuste por el Mtodo de Mxima Verosimilitud o Ajuste por el Mtodo de Momentos L

Distribucin Gamma de tres parmetros o Ajuste por el Mtodo de Momentos o Ajuste por el mtodo de Mxima Verosimilitud

Distribucin Gumbel o Ajuste por el Mtodo de Momentos o Ajuste por el Mtodo de Mxima Verosimilitud o Ajuste por el Mtodo de Momentos L o Ajuste por el Mtodo de Mxima Entropa o Ajuste por el Mtodo de Mnimos Cuadrados

Distribucin Frechet(Log-Gumbel) o Ajuste por el Mtodo de Momentos

Distribucin Gumbel de dos poblaciones (Doble Gumbel) o Ajuste por el Mtodo de Momentos o Ajuste por el Mtodo de Mxima Verosimilitud o Ajuste por el Mtodo de Momentos L o Ajuste por el Mtodo de Mxima Entropa o Ajuste por el Mtodo de Mnimos Cuadrados

Distribucin Log-Normal de dos poblaciones o Ajuste por el Mtodo de Momentos o Ajuste por el Mtodo de Mxima Verosimilitud o Ajuste por el Mtodo de Stigth

Distribucin Frechet_Doble o Ajuste por el Mtodo de Momentos

P g i n a 10 | 23


2.4.1.- METODO DE MOMENTOS

Este es un procedimiento muy sencillo para encontrar los estimadores de los parmetros poblacionales. Consiste bsicamente en plantear un sistema de ecuaciones, cuyo tamao depende del nmero de parmetros a estimar. Esto se hace al igualar los momentos poblacionales con los mustrales.

Los momentos mustrales son parmetros estadsticos comunes:

Media: = 1 =1

Varianza Sesgada: 2 = 1 ( )2=1

Varianza no Sesgada: 2 = 11 ( )2=1

Coeficiente de asimetra sesgado: = 1 ()3=1(2 )3/2

Coeficiente de asimetra no sesgado: = 2(1)(2) Coeficiente de Curtosis sesgado: = 1 ()4=1(2 )2

Coeficiente de Curtosis no sesgado = 3(1)(2)(3)

Desviacin Estndar: = 2

Coeficiente de variacin: =

P g i n a 11 | 23


2.4.2.- METODO DE MAXIMA VEROSIMILITUD

Sea f(x,1,2, . ) una funcin de densidad de probabilidad de x con parmetros =1 . Si existe una muestra aleatoria 1, 2 . de esta funcin de densidad, entonces, su funcin de densidad conjunta es f(1, 2 . :1,2 ) . Debido a que la muestra es aleatoria, la funcin de densidad conjunta se puede escribir como en la ecuacin:

(1, 2 . :1,2 ) = (1:1,2 )=1

La probabilidad de obtener la muestra aleatoria 1, 2 . a partir de la poblacin de x es proporcional al producto de sus densidades de probabilidad individual. Esta funcin conjunta es llamada la funcin de verosimilitud L

= (1:1,2 )=1

Donde los parametros , = 1,2 Debido a que con ln(L) se alcanza tambin su mximo para valores especficos = 1 como lo hace L, entonces, la funcin de verosimilitud se puede expresar como:

ln () = (1:1,2 )=1

2.4.3.- METODO DE MOMENTOS L

Los momentos lineales surgen de combinaciones lineales de los momentos ponderados probabilsticamente y constituyen un sistema alternativo al mtodo tradicional de los momentos convencionales para describir las funciones de distribucin. Los momentos ponderados probabilsticamente, de la variable aleatoria X con una funcin de distribucin F(X), quedan definidos por las siguientes expresiones:

1 = 0 2 = 21 20

3 = 62 61 + 0 4 = 203 302 + 121 0

0 = 1=1

1 = 1 ( )( 1) 1=1

P g i n a 12 | 23


2 = 1 ( )( 1)( 1)( 2) 1=1

3 = 1 ( )( 1)( 2)( 1)( 2)( 3) 3=1

Donde: = Momentos de Probabilidad Ponderada de Orden n = Numero de datos de la muestra = Elemento i-enesimo de la serie

2.4.4.- MAXIMA ENTROPIA

Tomando en consideracin que la entropa puede ser vista como una medida de la incertidumbre para una funcin de densidad (Shannon ,1948), se tiene que

= () ln() En 1957 Jaynes propuso que el mejor ajuste es una distribucin de probabilidad

que minimice la informacin previa necesaria, que ser aquella que maximice la entropa de Shannon. Entonces, la funcin de densidad de mxima entropa f(y) definida en el intervalo [a; b] es aquella que cumpla:

= () ln()

() = 1

() =

Donde:

Son los M primeros momentos con respecto al origen () Funcin de ajuste

P g i n a 13 | 23


2.5.- PRUEBAS DE BONDAD DE AJUSTE

Para encontrar la funcin de distribucin que cuenta con el mejor ajuste se han incluido en el software las siguientes pruebas de bondad:

Error Cuadrtico Kolmogorov- smirnov Chi Cuadrado Anderson Darling Nash-Sutclffe

Cabe mencionar que el programa efecta las pruebas de Kolmogorov-Smirnov y Chi-Cuadrado en base a la probabilidad acumulada terica y real del dato observado.

2.5.1.-ERROR CUDRATICO

Esta tcnica permite seleccionar el mejor ajuste de los distintos modelos, fue propuesto por Kite en 1988. Este estadstico se obtiene con la ecuacin:

= ( )2=1

12

Donde:

Son los eventos

ordenados de mayor a menor con un periodo de retorno asignado:

= 1

y una probabilidad de excedencia = 1 1

: Longitud del registro analizado

: Numero de orden

: Eventos estimados con alguna funcin de probabilidad para cada periodo de retorno

: Numero de parmetros de la distribucin ajustada

La distribucin de mejor ajuste ser aquella que proporcione el mnimo valor del estadstico E.E.A. Si una o ms distribuciones tienen valores similares del E. E.A, entonces se deber optar por aquella distribucin que tenga el menor nmero de parmetros.

P g i n a 14 | 23


2.5.2.- KOLMOGOROV-SMIRNOF

La prueba Kolmogorov Smirnov considera la desviacin de la funcin de distribucin de probabilidades de la muestra P(x) de la funcin de probabilidades terica mediante la ecuacin:

))()(max( xPoxPDn =

2.5.3.- CHI CUADRADO

Esta prueba mide las diferencias entre las frecuencias observadas (fo) y las frecuencias calculadas (fc) por medio de una distribucin terica, para ello emplea el estadstico

=

=

k

i c

co

fff

1

22 )(

Si el estadstico =0 significa que las distribuciones terica y emprica ajustan exactamente.

2.5.4.- ANDERSON DARLING

La prueba de Anderson-Darling es una prueba no paramtrica sobre si los datos de una muestra provienen de una distribucin especfica. La frmula para el estadstico A determina si los datos vienen de una distribucin con funcin acumulativa. De manera tal que

2 = = 2 1

[ln (() + ln (1 (+1))

=1

2.5.5.- NASH-SUTOLFFE

A pesar de que en Mxico el criterio de Nash-Sutcliffe es poco conocido es uno de los ms usados en Hidrologa fuera del pas. Se define como:

= 1 (ln() ln())21 (ln() ln())21

P g i n a 15 | 23


3.- UTILIZACIN DEL PROGRAMA

3.1.- REQUISITOS MINIMOS

Para la utilizacin del programa la computadora del usuario final debe cumplir con ciertos requisitos mnimos de software y hardware:

Sistema Operativo Windows 7 o superior Memoria Ram de 1GB Espacio libre en disco duro 2 Mb Velocidad mnima del procesador 3.2 GHz Resolucin mnima de pantalla 1366x768 Net Framework 4.0

3.2.- INTERFAZ

La interfaz del programa cuenta con:

Interfaz del Programa

1) Barra de Men 2) Tabla de Resultados 3) Barra de Herramientas 4) Grafico 5) Tabla Resumen de la ejecucin del Mtodo 6) Tabla de Parmetros de la distribucin seleccionada 7) Estadsticos de la Serie

3

4

2

1

5

6

7

P g i n a 16 | 23


3.2.- BARRA DE MEN

La barra de Men del programa cuenta con las siguientes opciones:

Barra de Men

Men Archivo: Desde este men se tiene la posibilidad de abrir un nuevo archivo de entrada de datos y finalizar la ejecucin del programa.

Opciones: En este apartado se pueden configurar las opciones del programa y se puede optimizar de forma automtica el parmetro p de las funciones de dos poblaciones en base al error cuadrtico.

Crditos: Desde este apartado puede visualizar los crditos de autora del programa y la forma de ponerse en contacto con el/los autores.

Ayuda: Desde este Men puede acceder a la ayuda en lnea, manuales y foros; de forma adicional es posible visualizar el contrato de licencia de este software.

3.3.- BARRA DE HERRAMIENTAS

El programa cuenta con una barra de herramientas la cual nos permite manipular las opciones graficas del programa, ordenar los resultados en base a alguna de la pruebas de bondad de ajuste.

Barra de Herramientas del Programa Ax+B

Opciones de la barra de herramientas:

Recalcular: Permite recalcular el ajuste en base a los cambios hechos en la configuracin del programa (decimales, parmetro p, funciones de distribucin objetivo).

Ordenar: Permite ordenar los ajustes a partir de las pruebas de bondad de ajuste efectuadas.

Extrapolar Datos: Obtiene el resultado del ajuste para cada uno de los periodos de retorno incluidos en la configuracin.

: Muestra grficamente el ajuste de la funcin seleccionada en la tabla resumen, al cambiar de fila seleccionada, si esta opcin esta deshabilitada se mostrara el en el grafico el ajuste de todas las funciones aplicadas.

: Al seleccionar esta opcin el programa mostrara al usuario en el eje x del grafico la Probabilidad Acumulada, si esta opcin esta deshabilitada se mostrara el periodo de retorno.

: El grafico se mostrara en escala logartmica si el usuario selecciona esta opcin. De no ser as la escala ser aritmtica.

P (%): Parmetro p de las funciones de distribucin de dos poblaciones en porcentaje.

P g i n a 17 | 23


3.4.- CONFIGURACIN DEL PROGRAMA

Para configurar el programa debe dirigirse a Opciones/Configuracin en la barra de men. Se desplegara la siguiente ventana desde la cual podr configurar el programa:

Ventana de Configuracin

En la primera pestaa se puede agregar o remover los periodos de retorno a extrapolar y modificar la cantidad de decimales a mostrar.

Para remover un periodo de retorno de la lista basta con seleccionar la fila de dicho periodo y presionar la tecla Supr. Si se desea agregar un periodo adicional se tiene que dar click en el botn el cual desplegara un espacio de texto en el cual el usuario tecleara el periodo de retorno y finalizara con la tecla ENTER.

En la segunda pestaa se muestran las distribuciones que el usuario puede aplicar, en esta misma es posible desactivar las que el usuario desee.

P g i n a 18 | 23


Configuracin del Programa, Segunda Pestaa

3.5.-ENTRADA DE DATOS

Para que el programa lea una nueva serie de datos el usuario deber ir a Archivo/Abrir Archivo o utilizar la combinacin de teclas Ctrl+O, donde se desplegara la siguiente ventana:

Ventana para leer archivo de entrada

P g i n a 19 | 23


El archivo de entrada tendr el formato .txt que se refiere a un archivo de texto y deber contener la siguiente estructura:

Archivo de entrada de datos .txt

Una vez que el archivo sea ledo por el programa se ejecutara el ajuste de las funciones de distribucin, este proceso podr tomar algn tiempo dependiendo de la cantidad de datos que contenga la serie y la cantidad de funciones ajustadas.

3.6.- OPTIMIZACIN DE FUNCIONES DE DISTRIBUCIN DE DOS POBLACIONES

Una vez que el usuario el programa ha realizado el primer ajuste a la serie el usuario tiene la posibilidad de optimizar el parmetro p en las funciones de dos poblaciones. Para realizar el ajuste el programa cuenta con Opciones/Optimizar Funciones de Dos Poblaciones. El programa desplegara el siguiente formulario:

Ventana de Optimizacin de Funciones de dos Poblaciones

En este el usuario colocara los rangos (en %) de iteracin de la variable, cabe mencionar que el nmero mnimo de datos de una serie que toma en consideracin el programa es 3.

P g i n a 20 | 23


3.7.- GRFICO DE FUNCIONES DE DISTRIBUCIN

Posterior al ajuste el programa muestra al usuario un grfico con las funciones de distribucin y la serie original como el siguiente:

Grfico de Funciones de Probabilidad General

El usuario tiene la posibilidad de copiar este grafico al portapapeles desde el botn .

De forma adicional el usuario puede modificar la grfica des de la barra de tareas, haciendo que esta se muestre en escala logartmica, que grafique probabilidad acumulada o periodo de retorno y tiene la posibilidad de elegir entre mostrar el ajuste seleccionado o todos.

P g i n a 21 | 23


Grfico de Funciones de Probabilidad Individual

3.8.- EXTRAPOLAR DATOS

Una vez que el usuario ha elegido un ajuste, el proceso para extrapolar datos es simple. Basta con seleccionar el rengln de la distribucin elegida y dar clic en el botn Extrapolar de la barra de herramientas, acto seguido aparecer en la pantalla la siguiente ventana:

Ventana de Extrapolacin de Datos

P g i n a 22 | 23


4.- BIBLIOGRAFIA

Abramowitz, M. y Stegun, I.(1972), "Handbook of mathematical functions", Dover Publications, N. Y.

Campos Aranda (2007), Introduccin a los mtodos numricos: Software en Basic y aplicaciones en Hidrologa Superficial

Campos Aranda (2007), Estimacin y Aprovechamiento del Escurrimiento, San Lus de Potos, Mxico: Editorial Campos.

Escalante Sandoval (2005), Tcnicas Estadsticas en Hidrologa, UNAM, D.F. Mxico.

P g i n a 23 | 23

DESCARGO DE RESPONSABLIDADPROLOGO1.- INTRODUCCIN2.- MARCO TERICO DEL SOFTWARE2.1.- PERIODO DE RETORNO2.2.- FUNCIONES DE DISTRIBUCIN2.3.- TEORA DE FUNCIONES DE DISTRIBUCIN DE DOS POBLACIONES2.4.- ESTIMACIN DE PARMETROS2.4.1.- METODO DE MOMENTOS2.4.2.- METODO DE MAXIMA VEROSIMILITUD2.4.3.- METODO DE MOMENTOS L2.4.4.- MAXIMA ENTROPIA

2.5.- PRUEBAS DE BONDAD DE AJUSTE2.5.1.-ERROR CUDRATICO2.5.2.- KOLMOGOROV-SMIRNOF2.5.3.- CHI CUADRADO2.5.4.- ANDERSON DARLING2.5.5.- NASH-SUTOLFFE

3.- UTILIZACIN DEL PROGRAMA3.1.- REQUISITOS MINIMOS3.2.- INTERFAZ3.2.- BARRA DE MEN3.3.- BARRA DE HERRAMIENTAS3.4.- CONFIGURACIN DEL PROGRAMA3.5.-ENTRADA DE DATOS3.6.- OPTIMIZACIN DE FUNCIONES DE DISTRIBUCIN DE DOS POBLACIONES3.7.- GRFICO DE FUNCIONES DE DISTRIBUCIN3.8.- EXTRAPOLAR DATOS

4.- BIBLIOGRAFIA

Date post:	17-Sep-2015
Category:	Documents
Upload:	fidelmat
View:	262 times
Download:	7 times

MANUAL DE USUARIO FINAL Ax+B

Documents