Manual F2 Version 2011 Segundo Ciclo Quetzaltenango-1 (2)

1 Editado y Revisado por: Ing. Salvador Alejandro Tuna Aguilar Coordinador de Laboratorios de Física Campus Central

UNIVERSIDAD RAFAEL LANDIVAR FACULTAD DE INGENIERIA CAMPUS QUETZALTENANGO FÍSICA 2

MANUAL DE LABORATORIO FÍSICA 2

FISLAB SEGUNDO CICLO 2011


INDICE

Capítulo 1: Medición , tipo de errores y propagación de incertidumbres………….3 Ejercicios de repaso a capítulo 1………………………………………………………………………………24 Capítulo 2: Construyendo gráficas con los datos experimentales……………………..27 Ejercicios de repaso a capítulo 2……………………………………………………………………………...34 Capítulo 3: Análisis de regresión lineal…………………………………………………………………….35 Ejercicios de repaso a capítulo 3………………………………………………………………………………45 Capítulo 4: Terminología de la medición…………………………………………………………………..48 Ejercicios de repaso a capítulo 4………………………………………………………………………………55 Capítulo 5: Planeación del experimento……………………………………………………………………56 ANEXOS Normas para la elaboración y entrega de reportes del laboratorio de Física…66 Laboratorio ejemplo…………………………………………………………………………………………………….66 Hoja de evaluación de reportes de laboratorio de Física……………………………………82 Práctica de laboratorio 1 de Física 2………………………………………………………………………..84 Práctica de laboratorio 2 de Física 2……………………………………………………………………….87 Práctica de laboratorio 3 de Física 2……………………………………………………………………….92 Práctica de laboratorio 4 de Física 2………………………………………………………………………..95 Práctica de laboratorio 5 de Física 2………………………………………………………………………..98 Práctica de laboratorio 6 de Física 2………………………………………………………………………. 102 Práctica de laboratorio 7 de Física 2……………………………………………………………………… 103 Pie de Rey…………………………………………………………………………………………………………………….. 104


Medición, tipos de errores y propagación de incertidumbres

1. TIPOS DE ERRORES EXPERIMENTALES Al realizar mediciones en el laboratorio el experimentador puede, sin intención, tomar lecturas equivocadas con sus instrumentos por varias razones: equipo mal calibrado, baterías desgastadas para algunos instrumentos que lo requieran y que den como resultado un mal funcionamiento de los mismos, equivocaciones del experimentador al momento de leer los instrumentos, etc. A esta clase de errores se les denomina errores sistemáticos y debido a que sus causas son identificables pueden, en principio, ser eliminados. Los errores sistemáticos se clasifican en cuatro clases, de acuerdo a su naturaleza:

1.1 ERRORES INSTRUMENTALES: Son aquellos errores que surgen debido a equipos mal calibrados. Por ejemplo, un termómetro que indica que el punto de ebullición del agua es 105 oC y el punto de congelación es 5 oC. 1.2 ERRORES OBSERVACIONALES:

Son aquellos errores que surgen debido a que el experimentador lee incorrectamente las lecturas en el instrumento de medición. Un ejemplo típico de tales errores es el error de paralaje en la lectura de una regla o de un voltímetro.

1.3 ERRORES AMBIENTALES:

Son aquellos errores que se producen por condiciones inadecuadas en el ambiente de laboratorio. Por ejemplo, un instrumento que requiera la utilización del suministro de energía eléctrica puede estar conectado a una toma con alguna clase de defecto que produzca, por ejemplo, un mal contacto.

1


1.4 ERRORES TEÓRICOS: Estos ocurren al momento de realizar el análisis de los datos cuando el modelo que se emplea ha hecho alguna simplificación que no corresponde con las condiciones del experimento. Por ejemplo, se puede plantear un modelo donde se asume que la fricción es despreciable pero las condiciones en que se realizó un determinado experimento fueron tales que tal suposición no es válida y por tanto el valor predicho por el modelo para alguna cantidad física estará en desacuerdo con aquel que resulta del análisis de los datos experimentales.

Aún cuando los errores sistemáticos hayan sido eliminados, observaremos en general que si el mismo experimentador repite una medición varias veces, con los mismos instrumentos y bajo las mismas condiciones experimentales, los distintos valores obtenidos por él no son iguales. Decimos que las mediciones están sujetas a otra clase de “errores”1 los cuales no pueden ser eliminados ya que estos son inherentes al proceso de medición (no son “equivocaciones”). Esta clase de errores se conoce como errores aleatorios y corresponden a fluctuaciones que surgen de manera natural al tomar los datos. Los errores aleatorios causan que aproximadamente la mitad de los datos recogidos en el laboratorio sean altos y la restante mitad sean bajos con respecto a un valor medio. Los errores aleatorios pueden clasificarse en dos clases, de acuerdo a su naturaleza:

1.5 ERRORES OBSERVACIONALES: Por ejemplo, al medir el tiempo que le toma a una esfera

recorrer una cierta distancia en su camino hacia la parte inferior de un plano inclinado obtendremos lecturas diferentes en cada medición que realicemos debido por ejemplo, a que no hemos colocado la esfera en el mismo punto de lanzamiento anterior, a nuestro juicio personal de cuándo comienza la esfera a moverse y cuándo termina de moverse, etc.

1 En el laboratorio de Física la palabra “error” no es necesariamente sinónimo de “equivocación”; en su lugar diremos que “los errores”, sean sistemáticos (debido a “equivocaciones”) o aleatorios (debido a “fluctuaciones”), causan que una cantidad medida sea “incierta”, es decir, que no se pueda conocer exactamente su valor; solo podremos hablar de un rango dentro del cual es probable que se encuentre el “verdadero valor”.


1.6 ERRORES AMBIENTALES:

Un ejemplo de tales errores aleatorios es las fluctuaciones impredecibles que puedan existir en la corriente eléctrica, vibraciones mecánicas indeseadas, etc.

A diferencia de los errores sistemáticos, los errores aleatorios deben ser cuantificados por medio de análisis estadístico, tal como discutiremos más adelante.

2. REPORTANDO UNA MEDICIÓN REALIZADA EN EL LABORATORIO Supongamos que hemos eliminado todas aquellas posibles fuentes de errores sistemáticos y que al realizar la medición de la distancia de separación entre dos marcas obtenemos algo como lo que se muestra en la siguiente figura:

Figura 1. Medición de la distancia de separación entre dos marcas mediante una regla cuya escala menor está dada en milímetros.

El experimentador siempre debe tratar de identificar y eliminar las fuentes de error sistemático. Como las fuentes de error aleatorio no pueden eliminarse, se debe estimar o calcular el valor de tales errores aleatorios para reportarlo y que las mediciones tengan sentido.

0 cm 1 cm 2 cm


Un estudio cuidadoso de la figura anterior nos indica que podemos estar seguros que el resultado de la medición debe ser algún número comprendido entre 1.5 y 1.6 cm, pero, ¿cuál es la medida correcta? La pregunta planteada en el párrafo anterior no puede ser respondida dando únicamente un valor numérico: Debemos indicar un rango de valores donde posiblemente se encuentre el verdadero valor de la distancia entre las dos marcas de la Figura 1. Esto no es un defecto del proceso de medición, sino una necesidad que surge del hecho que nuestro instrumento tiene una escala mínima de medición; si utilizáramos un instrumento con una escala mínima más pequeña (digamos, hasta centésimas de centímetro) nos encontraríamos irremediablemente ante la misma situación, y, aunque en teoría podríamos ir reduciendo la escala mínima de medición de nuestro instrumento, siempre podríamos pensar en una escala “más pequeña” que la anterior y por tanto siempre estaríamos limitados a hablar de un intervalo donde esperamos se encuentre la verdadera medida de la distancia entre las dos marcas. De acuerdo a lo planteado en el párrafo anterior una posible respuesta a la pregunta: “¿cuál es la medida de la distancia de separación entre las dos marcas de la Figura 1?” es que la verdadera medida se encuentra, de acuerdo al instrumento de medición, entre 1.5 y 1.6. En Física, sin embargo, resulta más conveniente expresar el resultado de una medición en el siguiente formato:

Valor medio ± incertidumbre

La incertidumbre se refiere a un valor numérico que debemos restar a un valor medio y luego sumar al mismo valor medio para obtener el rango dentro del cual probablemente se encuentra el “verdadero valor”. EL VALOR MEDIO NO REPRESENTA EL “VERDADERO VALOR” DE LA CANTIDAD MEDIDA. El valor medio de la medición se obtiene de la siguiente manera: De acuerdo a la Figura 1, estamos seguros que la distancia reportada debe tener, como sus dos primeros dígitos al 1 y al 5

El representar el resultado de una medición en la forma valor medio ± incertidumbre resulta ser muy conveniente, especialmente para poder realizar operaciones entre cantidades medidas en el laboratorio.


(es decir, 1.5) pero, podemos estimar una cifra más: En vista que la marca de la derecha se encuentra, a simple vista, mas cerca de 1.6 cm que de 1.5 cm, podemos estimar que la siguiente cifra es 9. 2 Por tanto, podemos reportar como “valor medio” a 1.59 cm. Decimos que 1.59 tiene tres cifras significativas: dos cifras de las cuales estamos seguros (1 y 5) y una cifra más, la cual ha sido estimada (9). 3 La incertidumbre en una medición puede ser cuantificada de dos maneras:

� Si únicamente contamos con una medición, entonces la incertidumbre será estimada. � Si contamos con varias mediciones, la incertidumbre puede ser cuantificada por medio de

análisis estadísticos, tal como discutiremos más adelante en este capítulo. Supongamos que en el ejemplo que nos ocupa (ver Figura 1) únicamente contamos con una medición: La incertidumbre en la medición la estimaremos de tal forma que ésta afecte al dígito que ha sido estimado4: Dado que la escala mínima de nuestro instrumento de medición es 0.1 cm, estimaremos la incertidumbre como la mitad de la escala mínima: 0.1 cm/2 = 0.05 cm. Finalmente reportamos la medida de la distancia de separación entre las dos marcas de la Figura 1 como (1.59 ± 0.05) cm. Esto significa que, de acuerdo al instrumento de medición empleado, la verdadera distancia debe encontrarse en el intervalo (1.59 – 0.05) cm = 1.54 cm y (1.59 + 0.05) cm = 1.64 cm. 5 En algunas ocasiones no es posible recurrir a la regla: “la incertidumbre en la medición es la mitad de la escala más pequeña” cuando solo hay una medición. Supongamos por ejemplo que deseamos medir la distancia de separación entre dos manchas como las que se muestran a continuación:

2 Esta cifra, como indicamos, es estimada; quizás otro experimentador no esté de acuerdo y afirme que la cifra no es 9 sino, por ejemplo 8. 3 Reportar un valor medio tal como 1.594 cm no tiene sentido ya que nuestro instrumento de medición no nos permite estimar el dígito 4. 4 Si la incertidumbre se calcula mediante análisis estadístico, ésta también debe también afectar al dígito estimado. 5 Estimar la incertidumbre como 0.005 cm es erróneo ya que esto significaría que la distancia de separación entre las dos marcas de la fotografía 1 está en el intervalo 1.59 – 0.005 cm = 1.585 cm y 1.59 + 0.005 cm = 1.595 cm, pero el instrumento de medición no permite conocer hasta centésimas de centímetro (y por tanto, hacer estimación de milésimas centímetro). Igual de erróneo resulta estimar una incertidumbre menor a 0.005 cm.


¿Cuál es la distancia que debemos reportar? Es una pregunta cuya respuesta depende de qué puntos decidamos utilizar como referencia para medirla. No existe simetría alguna en cada mancha que nos permita hablar de un centro geométrico. El error difícilmente puede ser considerado como la mitad de la escala más pequeña del instrumento de medición, así que el juicio del experimentador debe entrar en juego para poder responder a esta pregunta. Supongamos por tanto que decidimos medirla de la siguiente manera utilizando una regla graduada en milímetros6:

Si hacemos una aproximación visual de la posición “del centro” de cada mancha podemos estimar que la distancia entre cada una de ellas es 1.02.1 ± cm, lo que significa que la “verdadera distancia” se encuentra en el rango comprendido entre 1.1 cm a 1.3 cm. 3. INTRODUCCIÓN AL TRATAMIENTO ESTADÍSTICO DE LOS ERRORES ALEATORIOS. Cuando contamos con más de una medición aplicamos un tratamiento estadístico para reportar el resultado de una medición. Para ello supongamos que contamos con un conjunto de n valores medidos ,1x ,2x ,3Kx ,nx de la cantidad física x. Definimos el valor medio x de la medición como el valor promedio, o media aritmética, de los n valores medidos en el laboratorio:

n

xxx

n

xx n

n

ii +++

==∑

= ...211 (1.1)

Finalmente, a partir de consideraciones teóricas de tipo estadístico, se puede mostrar que la mejor estimación para la incertidumbre x∆ de la medición es la desviación estándar de la media, definida por la siguiente relación:

6 Por claridad, la regla se ha dibujado a una escala mayor que la natural.

0 cm 1 cm 2 cm

Figura 2. Medición de la distancia de separación entre dos manchas mediante una regla cuya escala menor está dada en milímetros.


( ) ( ) ( ) ( )

)1()1(

222

211

2

−−++−+−=

−

−=∆∑

=

nn

xxxxxx

nn

xxx n

n

ii

K (1.2)

El resultado de la medición se reporta como xx ∆± y su interpretación es que el valor para la variable física medida se encuentra en el rango comprendido entre xx ∆− y .xx ∆+ 7 Una discusión detallada de la derivación de las ecuaciones (1.1) y (1.2) se deja para posteriores cursos de Estadística. Para ilustrar el uso de las ecuaciones (1.1) y (1.2), supongamos que hemos medido diez veces el intervalo de tiempo para que una esfera recorra una cierta distancia. Los datos se muestran en la Tabla 1.

Número de corrida Valor obtenido experimentalmente

1 2.51 s 2 2.49 s 3 2.53 s 4 2.48 s 5 2.50 s 6 2.47 s 7 2.54 s 8 2.50 s 9 2.46 s 10 2.52 s

Al aplicar la ecuación (1.1) obtenemos que el valor promedio de la medición es:

ss 50.210

52.246.250.254.247.250.248.253.249.251.2 =+++++++++=x

Al aplicar la ecuación (1.2) obtenemos que la incertidumbre en la medición es:

( ) ( ) ( ) ( ) ss 01.0)10)(9(

50.252.250.253.250.249.250.251.2 2222

=−++−+−+−=∆ Kx

7 Estrictamente hablando, hay una probabilidad del 68% de que el “verdadero resultado de la medición” se encuentre en el

intervalo comprendido entre xx ∆− y xx ∆+ .

Tabla 1. Resultados de la medición en el laboratorio de una cierta cantidad física.


El resultado final de la medición se reporta como ( )01.050.2 ± s, lo que significa que el verdadero valor para el tiempo que le toma a la esfera recorrer una cierta distancia se encuentra entre 49.2 s y 51.2 s, con una probabilidad del 68%.

4. PROPAGACIÓN DE INCERTIDUMBRES En muchas ocasiones es necesario operar aritméticamente las distintas cantidades medidas en el laboratorio para obtener un resultado. Por ejemplo, para calcular la rapidez v de un objeto que se desplaza a lo largo de una línea recta, con rapidez constante, debemos aplicar la siguiente relación:

t

xv =

y puesto que tanto la distancia x como el tiempo t son cantidades que están sujetas a un error experimental, debemos calcular la rapidez a partir del cociente

tt

xxv

∆±∆±= .

¿Cómo operamos la relación anterior para obtener la rapidez promedio de la esfera? Proporcionaremos a continuación los resultados que, de acuerdo a los análisis estadísticos, proporcionan las mejores estimaciones de las incertidumbres cuando debemos operar aritméticamente cantidades que han sido medidas, y por tanto, tienen incertidumbre cada una de ellas:

Hemos visto que si solamente se hace una medición, entonces la incertidumbre se ESTIMA a partir del instrumento de medición empleado; si se hacen varias mediciones, entonces la incertidumbre se CALCULA a partir de la ecuación (1.2). Sin embargo, como discutiremos en la sección 6, hay situaciones en donde debemos combinar las incertidumbres estimada y calculada para obtener la incertidumbre total de una serie de mediciones.


4.1 SUMA Y DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES MEDIDAS EXPERIMENTALMENTE.

Supongamos que x e y son dos cantidades que han sido medidas en el laboratorio, por lo que xxx ∆±= e .yyy ∆±= Si se requiere encontrar el resultado de la suma (o resta) de estas dos cantidades, entonces este resultado es:

Incertidumbre en la suma

( ) ( ) ( )22 yxyxyx ∆+∆±+=+ (1.3)

( ) ( ) ( )22 yxyxyx ∆+∆±−=− (1.4)

4.2 MULTIPLICACIÓN DE DOS CANTIDADES MEDIDAS EXPERIMENTALMENTE.

Supongamos que x e y son dos cantidades que han sido medidas en el laboratorio, por lo que xxx ∆±= e .yyy ∆±= Si se requiere encontrar el producto de estas dos cantidades, entonces este resultado es:

( )( )22

∆+

∆±=y

y

x

xyxyxxy (1.5)

4.3 DIVISIÓN DE DOS CANTIDADES MEDIDAS EXPERIMENTALMENTE. Supongamos que x e y son dos cantidades que han sido medidas en el laboratorio, por lo que xxx ∆±= e .yyy ∆±= Si se requiere encontrar el cociente de estas dos cantidades, entonces este resultado es:

22

∆+

∆±=y

y

x

x

y

x

y

x

y

x (1.6)

Valor medio de la suma

Las fórmulas (1.3), (1.4), (1.5) ,(1.6) y (1.7) tienen, en el lado derecho, la forma VALOR MEDIO ± INCERTIDUMBRE. Las podemos utilizar sin importar si x∆ y y∆ han sido estimadas o calculadas.


4.4 CALCULO DE INCERTEZA PARA UNA RAIZ CUADRADA. Supongamos que x y y son dos cantidades que han sido medidas en o calculadas en el laboratorio, por lo que xxx ∆±= e .yyy ∆±= Si se requiere encontrar la raíz cuadrada del cociente de estas dos cantidades, entonces este resultado es:

22

22

∆+

∆±=y

y

x

x

y

x

y

x

y

x (0.7)

Para cuando sea una multiplicación u otra operación se aplicará de la misma manera,

utilizando siempre todas las reglas anteriormente vista.

5. EJEMPLOS DE APLICACIÓN DE LAS FÓRMULAS DE PROPAGACIÓN A continuación mostramos algunos ejemplos de aplicación de las fórmulas (1.3) a (1.6), a las cuales también se les conoce con el nombre de fórmulas de propagación:

5.1 VELOCIDAD PROMEDIO:

f oprom

x xv

t

−=

Escribimos ahora cada cantidad con su respectiva incertidumbre:

( ) ( )f o

prom

x x x xv

t t

± ∆ − ± ∆=

± ∆

Y... ¿cómo se usan esas fórmulas?

¡Los ejemplos que siguen aclararán las dudas!


Aplicando la fórmula (1.4) al numerador:

( ) ( ) ( )2 2f ox x x x

vt t

− ± ∆ + ∆=

± ∆

Aplicando la fórmula (1.6):

( )2

2 22f o f o

f o

xx x x x tv

t t x x t

∆− − ∆ = ± + −

Simplificando:

2 2

2f o

promf o

x x x tv

t x x t

− ∆ ∆ = ± + −

5.2 ACELERACIÓN PROMEDIO (OBJETO PARTIENDO DEL REPOSO):

2

2prom

xa

t=

Escribiendo cada cantidad con su respectiva incertidumbre:

( )( )2

2prom

x xa

t t

± ∆=

± ∆

Recuerda: Primero sumas y restas, dejando de último multiplicaciones y divisiones.


Aplicando la fórmula (1.5) al denominador:

( )( )( ) ( )( )

2 2

2prom

x xa

t tt t t t

t t

± ∆=

∆ ∆ ± +

Simplificando:

( )( ) ( )2

2

2prom

x xa

t t t

± ∆=

± ∆

Aplicando fórmula (1.6):

( ) ( )( )

( )

22

2 2 2

22 2 2

2prom

t tx x xa

xt t t

∆∆ = ± +

Simplificando:

( ) ( )2 2

2 2

2 22prom

x x x ta

x tt t

∆ ∆ = ± +

El resultado de arriba es un muy útil ya que muchos de los experimentos que se realizan en el laboratorio de Física General involucran aceleración constante.


5.3 CÁLCULO DE LA ACELERACIÓN DE LA GRAVEDAD A PARTIR DE UN PÉNDULO

SIMPLE:

22

4l

gT

π=

En la relación anterior, g representa la aceleración de la gravedad, l la longitud del péndulo, y T el período de oscilación. Escribiendo cada cantidad con su respectiva incertidumbre:

( )2

24l l

gT T

π ± ∆=± ∆

Aplicando fórmula (1.5) al denominador:

( ) ( )2

2 22 2

4l l

gT T

T TT T

π ± ∆=∆ ∆ ± +

Simplificando:

( ) ( )2

24

2

l lg

T T Tπ ± ∆=

± ∆

Como en la fórmula anterior no hay variables sumándose, comenzamos con el término T2 el cual equivale a una multiplicación. Dejamos de último la división.


Aplicando fórmula (1.6):

( ) ( )( )( )

2

22

2 2 2

24

T Tl l lg

lT T Tπ

∆ ∆ = ± +

Simplificando:

( ) ( )2 2

2 2

2 24 4 2

l l l Tg

l TT Tπ π ∆ ∆ = ± +

5.4 CÁLCULO DEL ÁREA DE UN CÍRCULO:

2A rπ= Escribimos el área del círculo en la forma A rrπ= y expresamos el radio considerando su incertidumbre:

( )( )A r r r rπ= ± ∆ ± ∆

Ahora aplicaremos la fórmula (1.5) considerando en este caso que x y r= = y que

.x y r∆ = ∆ = ∆ Por tanto, la fórmula (1.5) implica que

2 2r r

A rr rrr r

π ∆ ∆ = ± +

Simplificando la expresión anterior obtenemos finalmente:


( ) ( )22A r r rπ π= ± ∆

5.5 CÁLCULO DEL VOLUMEN DE UN CILINDRO CIRCULAR RECTO:

2V r hπ=

Escribiendo cada cantidad con su respectiva incertidumbre:

( )( )( )V r r r r h hπ= ± ∆ ± ∆ ± ∆

Del ejemplo anterior podemos expresar el volumen del cilindro en la forma:

( ) ( )( )( )22V r r r h hπ π= ± ∆ ± ∆

Aplicando la fórmula (1.5) al resultado anterior obtenemos:

( ) ( ) ( ) 22

2 2

2

2 r r hV r h r h

hr

ππ π

π

∆ ∆ = ± +

Finalmente, simplificando obtenemos que el volumen del cilindro es:

( ) ( )2 2

2 22

r hV r h r h

r hπ π ∆ ∆ = ± +

En todos los ejemplos empezamos escribiendo las fórmulas. Luego sustituimos cada variable de la fórmula por un término de la forma VALOR MEDIO ± INCERTIDUMBRE. Luego propagamos: Primero sumas y restas; finalmente multiplicaciones y divisiones.


6. INCERTIDUMBRE COMBINADA

Hasta este momento hemos hablado de dos formas para estimar la incertidumbre de una cantidad medida en el laboratorio: a) Estimándola cuando solo se cuenta con una medición y, b) Calculándola con la ecuación (1.2) cuando se cuenta con una serie de mediciones.

Supongamos ahora que con un cronómetro hemos medido varias veces el tiempo que le toma

a un péndulo realizar una oscilación completa. A continuación mostramos la serie de mediciones de tiempo (expresadas en segundos):

1.20, 1.18, 1.19, 1.22, 1.20, 1.21, 1.18, 1.19, 1.19, 1.17, 1.19, 1.18, 1.20, y 1.21.

Asignemos como 0.2 s la estimación de la incertidumbre para cada uno de los datos de

arriba. Suponemos que esta estimación toma en cuenta nuestro tiempo de reacción, el instante en que consideramos que el péndulo ha llegado a su posición angular máxima, etc. De esta forma, si solamente hubiéramos efectuado la primera medición, reportaríamos la medición como (1.2 ± 0.2) s. Por otro lado, la aplicación de las ecuaciones (1.1) y (1.2) a la serie de mediciones de tiempo mencionadas anteriormente da como resultado (1.19 ± 0.00) s, lo cual nos daría la falsa impresión de tener un resultado exacto. En realidad cuando se calcula la incertidumbre de una serie de mediciones, esta debe tener en cuenta las distintas contribuciones y combinarlas de acuerdo a la ecuación:

( ) ( )2 2

estimado estadisticox x x∆ = ∆ + ∆ , (0.1)

donde los subíndices “estimado” y “estadístico” se refieren a las incertidumbres obtenidas mediante estimación (como si solo hubiera una medición) y estadística (tomando en cuenta el total de las mediciones, y por tanto, aplicando la ecuación (1.2)). Finalmente, aplicando la ecuación (1.7) al conjunto de datos ejemplo, con 0.2estimadax∆ = s y

0.00estadisticax∆ = s, podemos afirmar que el tiempo para una oscilación es (1.2 ± 0.2) s.

Observa que, aunque las mediciones efectuadas de tiempo tienen dos decimales, el resultado final se ha quedado con solo un decimal, debido a que la incertidumbre de la medición, tiene solo un decimal.


De acuerdo a lo discutido anteriormente, existen tres posibilidades básicas al momento de estimar la incertidumbre en una cantidad física: a) QUE SEA NECESARIO SOLO HACER UNA MEDICIÓN PARA ESTIMAR LA INCERTIDUMBRE. Esto ocurre cuando el experimentador juzga que el error estadístico es despreciable y no valdría la pena invertir tiempo en una serie de mediciones. Por ejemplo, al medir con una regla graduada en milímetros la distancia de separación entre dos marcas bien definidas, es razonable pensar que, si el experimentador es lo suficientemente habilidoso, mediciones repetidas darán valores prácticamente similares, de tal forma que al aplicar la ecuación (1.2) obtendrá un valor cercano o igual a cero. En este caso podríamos, por ejemplo, aplicar la regla de “la mitad de la escala mas pequeña es la mejor estimación para la incertidumbre en la medición”. b) QUE SEA NECESARIO TOMAR UNA SERIE DE MEDICIONES PARA CALCULAR LA INCERTIDUMBRE. Este sería el caso opuesto al anterior, en el cual el experimentador juzga que las fluctuaciones en las mediciones son lo suficientemente grandes como para que reglas como “la mitad de la escala más pequeña” (o cualquier otro criterio para estimar la incertidumbre) den como resultado que el error estadístico sea la principal contribución, mientras que el error estimado es despreciable.


c) QUE SEA NECESARIO ESTIMAR EL ERROR A PARTIR DEL INSTRUMENTO DE MEDICIÓN Y ADEMÁS TOMAR UNA SERIE DE DATOS PARA CALCULAR LA INCERTIDUMBRE.

En este caso, ninguna de las incertidumbres, estimada y estadística, son despreciables, de

tal forma que la incertidumbre total está dada por la ecuación (1.7). 7. OPTIMIZANDO EL NÚMERO DE MEDICIONES. Como hemos mencionado anteriormente, el trabajo en el laboratorio de Física debe realizarse de manera tal que se optimice el tiempo y los recursos con que se cuentan. Ahora consideraremos lo relacionado con el número de mediciones que se debe realizar en un experimento de tal forma que obtengamos resultados significativos, lo cual nos evitará: a) realizar un número pequeño de mediciones que no contribuirán a los fines del experimento, o b) realizar más mediciones que las que son necesarias lo cual implica, en cualquiera de los dos casos, pérdida de tiempo y recursos. Distinguiremos aquí dos situaciones básicas, las cuales nos darán estrategias diferentes para estimar el número óptimo de mediciones a realizar:

Es tarea del experimentador reflexionar qué caso es el que debe aplicar en su experimento al momento de determinar la incertidumbre en una medición.


a) AMBAS INCERTIDUMBRES, ESTADÍSTICA Y ESTIMADA, SON APRECIABLES, DE TAL

FORMA QUE ( ) ( )2 2

estimado estadisticox x x∆ = ∆ + ∆ .

En este caso, el número óptimo de mediciones, optimoN , viene dado por la ecuación:

2

1 ,xoptimo

estimada

SN

x

≈ + ∆

(0.2)

donde:

2

1

( )

1

n

ii

x

x xS

n=

−=

−

∑. (0.3)

A xS se le conoce como el nombre de desviación estándar, y es una medida de qué tan

dispersos se encuentran los valores medidos ix alrededor del valor promedio .x 8 Podemos resumir la estrategia para determinar el número óptimo de mediciones que se necesita cuando tanto estimadax∆ como estadisticax∆ contribuyen a la incertidumbre total del experimento:

1. Estimar la incertidumbre estimadax∆ . 2. Realizar alrededor de n = 10 mediciones preliminares y utilizar la ecuación (1.9) para

obtener una primera estimación de xS . 3. Utilizar la ecuación (1.8) para obtener una primera estimación para el valor optimoN .

Supongamos por ejemplo que en el inciso anterior hicimos un total de n = 10 mediciones, y

8 Estrictamente hablando, la incertidumbre x∆ se define en términos de la desviación estándar xS , como xSx

n∆ = .


que la primera estimación para optimoN es 15. Esto significa que hacen falta 5 mediciones

para alcanzar el valor óptimo, así que procedemos a realizar 5 mediciones más.

b) SOLAMENTE estadisticax∆ CONTRIBUYE A LA INCERTIDUMBRE DEL EXPERIMENTO. Definamos α (alfa) como el cociente:

x

xα ∆= .

El cociente α es una medida de “la dispersión” de los n valores medidos alrededor de la media aritmética x del conjunto. Por conveniencia rescribiremos la expresión anterior de la siguiente forma:

,xS

x nα = (0.4)

El valor optimoN reduce el valor de estadisticax∆ hasta un punto que

es comparable a estimadax∆ . Hacer un número mayor de

mediciones a optimoN reduce aún más estadisticax∆ pero entonces

estimadax∆ sería la única contribución importante a la incertidumbre

total y carecería de sentido realizar tantas mediciones.


donde xS representa la desviación estándar, definida en la ecuación (1.9) :

2

1

( )

1

n

ii

x

x xS

n=

−=

−

∑.

La idea es considerar valores pequeños de α , por ejemplo, 0.01 (hasta un valor máximo recomendable de 0.05) lo cual indica que los valores medidos están “muy poco dispersos” alrededor de la media x . Para determinar el número óptimo de mediciones que se requieren para obtener un valor particular α se siguen los siguientes pasos:

1. Realizamos n = 10 mediciones preliminares.

2. Calculamos la desviación estándar

2

1

( )

1

n

ii

x

x xS

n=

−=

−

∑.

3. Calculamos el valor promedio x de las n mediciones. 4. Escogemos el valor α que deseamos en nuestro experimento. 5. El número óptimo de mediciones optimoN necesarias se obtiene a partir de la ecuación (1.10):

2

xoptimo

SN

xα =

(0.5)

Si el número de mediciones realizado en el paso 1 es menor a optimoN , procedemos a realizar

las mediciones que se necesiten hasta completar el número de mediciones optimoN .

8. REGLAS PARA EL MANEJO DE CIFRAS SIGNIFICATIVAS. Es una creencia común entre los estudiantes de Física el considerar que el resultado correcto al operar cantidades es el que proporciona la calculadora, es decir, CON TODOS LOS DECIMALES. Consideremos el siguiente ejemplo del cálculo del área de un rectángulo, cuyas dimensiones medidas con regla graduada en mm resultaron ser 2.17 cm y 8.96 cm:

Área del rectángulo = 19.4432 cm2 RESULTADO EN LA CALCULADORA

¿Es razonable pensar que, con instrumentos que nos permiten estimar hasta centésimas de centímetro, obtengamos un resultado “exacto” hasta diez milésimos de centímetro cuadrado? Obviamente la respuesta es NO.


Para operar cantidades que resultan de un proceso de medición se siguen las siguientes reglas las cuales permiten obtener resultados razonables de dichas operaciones:

8.1 REGLA PARA LA SUMA Y RESTA: Cuando se suman (o restan) dos o más cantidades se procede a sumar (o restar)

considerando TODOS LOS DECIMALES; finalmente, la respuesta se expresa con el mismo número de cifras decimales que tenga el sumando (o sustraendo) con el menor número de ellos.

Ejemplo:

12.233

1.57

0.234

3.2

17.237

+

RESULTADO A REPORTAR: 17.2, porque la cantidad con el menor número de decimales es 3.2 (una sola cifra decimal). 8.2 REGLA PARA LA MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN:

Cuando se multiplican (o dividen) dos o más cantidades se procede a multiplicar (o

dividir) considerando TODOS LOS DECIMALES; finalmente, la respuesta se expresa con el mismo número de cifras significativas que tenga el factor con el menor número de ellos.

Ejemplo: ( )( )( )3.15 2.2567 3.1 22.0366755=

RESULTADO A REPORTAR: 12.2 10× , porque 3.1 es el factor con el menor número de cifras significativas: 2.

RESULTADO DE LA CALCULADORA.

RESULTADO EN LA CALCULADORA


Realizar mediciones y analizarlas es una tarea muy importante, aunque no siempre es fácil. Los datos experimentales juegan un papel crucial en la Física, tal como Henry Poincaré lo expresó cuando dijo: La ciencia se construye a partir de datos experimentales, así como una casa se construye a partir de ladrillos. Pero así como un montón de ladrillos no forman una casa, un montón de datos experimentales no forman una ciencia.


EJERCICIOS DE REPASO A CAPITULO 1

1. Para cada uno de los siguientes experimentos cita al menos un ejemplo de cada una de las cuatro clases de errores sistemáticos que podrían afectar al experimento:

a. Una esfera que rueda sobre un plano inclinado, y para la cual se mide la distancia y tiempo empleado para recorrerla.

b. Un péndulo simple utilizado para medir la aceleración de la gravedad.

2. Dos estudiantes, Andrea y Vanesa, miden la distancia entre dos puntos. Una de ellas utiliza una regla que tiene divisiones en milímetros, y la otra una regla que tiene divisiones solo en centímetros. Andrea dice que la longitud que midió fue 2.1 cm, mientras que Vanesa dice que ella midió 2.20 cm. ¿Qué regla utilizó cada una de las estudiantes? Explique su razonamiento.

3. Al usar una regla para medir la longitud de un hilo, estamos seguros que dicha longitud no es

menor a 142.30 cm, ni mayor a 142.60 cm. Expresa la medición en la forma valor medio ± incertidumbre.

4. Al usar la regla del problema anterior para medir las dimensiones de un rectángulo, se

encuentran que su largo está comprendido entre 12.50 cm y 12.52 cm, mientras que su ancho lo está entre 10.25 cm y 10.35 cm. Encuentra el área de dicho rectángulo y exprésela en la forma valor medio ± incertidumbre.

5. Indica el número de cifras significativas para cada una de las siguientes cantidades:

a. 37.60 b. 0.0000210 c. 13000 d. 1.3400 e. 1.25 × 10-3 f. 0.0250 × 105 g. 5.00

6. Realiza cada una de las siguientes operaciones, expresando el resultado final con el número correcto de cifras significativas:

a. 37.60 × 1.23 b. 8.975/6.7 c. 3.765 + 1.2 + 37.21 d. 1.25 ×10-3 × 5.6 ×10-6 e. 2.1 ×10-1 + 7.65 ×10-3 +0.2 f. 8.8 ×10-5/9.5

7. El tiempo que le toma a un péndulo simple realizar una oscilación completa se denomina período, y se denota como T. El período de oscilación depende de la longitud L del péndulo,


así como del valor de la aceleración de la gravedad, g. Estas cantidades están relacionadas por la ecuación T = 2π(L/g)1/2. En un experimento de laboratorio para medir el valor de la aceleración de la gravedad, se midió el período de oscilación de un péndulo cuya longitud es de 0.381 ± 0.002m; el período de oscilación resultó ser 1.24 ± 0.02 s. ¿Cuál es el valor que se obtiene para la aceleración de la gravedad? Expresa la medición en la forma valor medio ± incertidumbre.

8. En un experimento para medir la densidad de un cilindro circular recto, se encuentra que su

masa es de 0.029 ± 0.005 kg, su radio de 8.2 ± 0.1 mm, y su altura de 15.4 ± 0.1 mm. ¿Cuál es el valor de la densidad para dicho cilindro? Expresa tu respuesta en unidades SI.

9. En un experimento de laboratorio, se ha medido el tiempo que le toma a un carrito recorrer

una distancia de 20.00 ± 0.05 cm. Los valores medidos (expresados en s) son los siguientes: 4.25, 4.20, 4.27, 4.18, 4.19, 4.23, 4.25, 4.17, 4.26, y 4.29.

a. Calcula el tiempo que le tomó al carrito recorrer la distancia de 20.00 cm. No olvides expresar tu resultado en la forma valor medio ± incertidumbre.

b. Calcula la rapidez promedio del carrito. No olvides expresar tu resultado en la forma valor medio ± incertidumbre.

10. Se midió el radio de un círculo, y el resultado fue 2.25 ± 0.05 cm. ¿Cuál es el área de dicho

círculo? 11. En cierto experimento de Física se encontró que cierta cantidad tiene una incertidumbre

estadística de 0.01, y una incertidumbre estimada de 0.03 (¡no se preocupe por las unidades¡). ¿Cuál es la incertidumbre combinada de dicha cantidad?

12. Utiliza las reglas para propagación de incertidumbres para expresar cada una de las

siguientes cantidades en la forma valor medio ± incertidumbre: a. Volumen de una esfera. b. Volumen de un cubo. c. Área de un triángulo rectángulo.


Construyendo gráficas con los datos experimentales

1. INTRODUCCIÓN Uno de los medios más importantes para analizar datos obtenidos experimentalmente es la construcción de gráficos; a partir de su estudio es posible comprender muchas de las características físicas de un sistema que en ocasiones no son obvias a partir de un conjunto de datos tabulados. Por lo general, una de las primeras tareas que se le asignan al alumno en el laboratorio de Física es la construcción de un gráfico que muestre la posición de un objeto en movimiento, como función del tiempo. Por ejemplo, si se analiza el movimiento de un objeto a lo largo de una trayectoria recta horizontal (a la que llamaremos “eje x”) es común pedirle al alumno que construya el gráfico x-t, o bien el gráfico x vrs t, para el objeto. En este punto es conveniente recordar que en el sistema de coordenadas XY que se aprende en Matemática se toma como eje vertical a Y, y como eje horizontal a X, y se dice entonces que tenemos un gráfico y-x o y vrs x. Por tanto, cuando piden construir un gráfico x-t, o x vrs t, se debe construir un sistema de coordenadas en el que el eje vertical corresponda a la posición x, y el eje horizontal al tiempo t.

t

x

Figura 1. (a) Un gráfico x-t. o x vrs t, se construye colocando en el eje vertical a la posición x, y en el eje horizontal al tiempo t. (b) Un gráfico A-B, o A vrs B, se construye colocando en el eje vertical a la variable A, y en el eje horizontal a la variable B.

(a)

B

A

(b)

2


2. LINEALIZACIÓN DE UN GRÁFICO Algunos de los experimentos que realizarás en el laboratorio de Física requieren, una vez que has construido el gráfico correspondiente a tu experimento, que lo “linealices”, es decir, si tu gráfica no tiene la forma de una línea recta, “que la conviertas en una línea recta”.

Ilustraremos la idea “linealizando” la parábola y = 2x2: Abajo mostramos en la Tabla 1 algunas parejas (x,y) que permiten construir la parábola y =

2x2 mostrada en la Figura 2.

Para “linealizar la parábola” definiremos la variable u = x2 y construiremos nuevamente una tabla, solo que en esta ocasión las columnas serán u e y, en lugar de x e y. El proceso de

x y -4 32 -3 18 -2 8 -1 2 0 0 1 2 2 8 3 18 4 32

Tabla 1. Algunos puntos que pertenecen a la parábola y = 2x2.

0

5

10

15

20

25

30

35

-6 -4 -2 0 2 4 6

x

y

Figura 2. Parábola y = 2x2 obtenida a partir de la Tabla 1.

Cuando te pidan construir el gráfico A-B, o A vrs B, SIEMPRE debes colocar en el eje vertical a la variable A, y en el eje horizontal a la variable B.


linealización finaliza construyendo el gráfico y-u (o y vrs u), el cual ya no será una parábola, sino una recta, debido al cambio de variable u = x2. La Tabla 2 y la Figura 3 muestran los resultados. 3. UN EJEMPLO APLICADO DE LINEALIZACIÓN: MOVIMIENTO CON ACELERACIÓN CONSTANTE.

Consideremos el caso de un objeto moviéndose en línea recta que parte del reposo ( )0oxv =

y que se mueve con aceleración constante. Si el punto de partida se escoge como el origen de

coordenadas ( )0ox = entonces la ecuación 21

2of o x xx x v t a t= + + se reduce a:

21

2f xx a t= (2.1)

En un gráfico x-t la ecuación (2.1) representaría una parábola (ver Figura 4). La

linealización la llevamos a cabo definiendo la variable 2u t= por lo que dicha ecuación se convierte en:

1

2f xx a u= (2.2)

u y 16 32 9 18 4 8 1 2 0 0 1 2 4 8 9 18 16 32

Tabla 2. La columna “y” ha sido COPIADA de la Tabla 1, mientras que la primera columna se ha obtenido DE ELEVAR AL CUADRADO cada uno de los valores x mostrados en la Tabla 1.

0

5

10

15

20

25

30

35

0 5 10 15 20

u

y

Figura 3. La parábola y = 2x2 ha sido “linealizada” gracias a que el eje horizontal se cambió de x a u=x2. El eje vertical NO SE HA CAMBIADO –es el mismo que en la Figura 2-.


La ecuación (2.2) representa una línea recta cuya ordenada al origen es cero y cuya pendiente es numéricamente igual a 2.xa

Supongamos por ejemplo que 2xa = m/s2; un gráfico x-t, construido a partir de la ecuación (2.1) queda representado como se indica a continuación:

Al realizar el cambio de variable 2u t= se obtiene la siguiente representación linealizada:

0.00

20.00

40.00

60.00

80.00

100.00

120.00

0.00 20.00 40.00 60.00 80.00 100.00

t2 (s2)

x (m)

Figura 5. Representación x-t2 para el movimiento de un objeto con aceleración constante de 2 m/s2. El gráfico se ha construido con los mismos datos utilizados para el gráfico 1, con la diferencia que en el eje horizontal se ha representado t2 en lugar de t.

Recuerda de tus cursos de Matemática que la ecuación general de una recta es Y = mX+b. De la comparación de Y = mX+b con la ecuación (2.2) vemos que Y = xf, X = u, m=ax/2 y b=0.

0,00

20,00

40,00

60,00

80,00

100,00

120,00

0,00 2,00 4,00 6,00 8,00 10,00

t (s)

x (m)

Figura 4. Representación x-t para el movimiento de un objeto con aceleración constante de 2 m/s2. La gráfica corresponde a la ecuación 2 21

(2) .2

x t t= =


Obtenemos una línea recta con ordenada al origen igual a cero (porque la ecuación (2.1) es válida para un objeto que parte del reposo y cuya posición inicial se considera 0) y pendiente

numéricamente igual a 1; como pendiente = 12

xa = , entonces 2xa = m/s2, tal como habíamos

supuesto al inicio9.

El proceso de linealización y el encontrar los parámetros de la recta han permitido, en este ejemplo, obtener fácilmente el valor de la aceleración del cuerpo. 4. UTILIZANDO LA LINEALIZACIÓN PARA HALLAR EL VALOR DEL EXPONENTE n CUANDO UN CONJUNTO DE DATOS (x,y) ESTÁ RELACIONADO POR UNA ECUACIÓN DE LA FORMA y = kxn. Supongamos que existen dos cantidades físicas x e y, las cuales sospechamos están relacionadas por una ecuación de la forma y = kxn, en donde k y n son dos constantes. El problema que deseamos resolver es el de encontrar el valor del exponente n.

Si aplicamos logaritmo a ambos lados de la ecuación y = kxn obtenemos:

log|y| = log|k|+nlog|x| (2.3)

9 Aquí es fácil obtener la pendiente ya que todos los puntos caen sobre una recta. Mas adelante discutiremos el caso en que los puntos no caen exactamente sobre una línea recta, sino que “en los alrededores de una línea recta”.

Para construir la figura 4 usamos las parejas (0,0), (1,1), (2,4), (3,9), etc.

Y para construir la figura 5 usamos las parejas (0,0), (1,1), (4,4), (9,9), etc. Nota que el segundo elemento de cada pareja sigue siendo el segundo elemento de la pareja usada para construir la figura 4, pero el primer elemento es ahora el cuadrado del primer elemento de la pareja usada para construir la figura 4.


Finalmente, luego de definir las variables u = log |x| y v = log|y|, la ecuación (2.3) se convierte en

v = log|k|+nu

lo cual tiene la forma de una línea recta y = mx + b, con pendiente m = n y ordenada al origen b = log|k|. Esto indica claramente que al construir el gráfico v – u debemos obtener como resultado una recta cuya pendiente será numéricamente igual al exponente n de la relación original y = kxn.

A manera de ejemplo, consideremos el siguiente conjunto hipotético de datos (x,y) mostrado en la Tabla 3 el cual sospechamos está relacionado por una ecuación de la forma y = kxn y para el cual es de interés conocer el valor del exponente n:

x y 10 2500 20 10000 30 22500 40 40000 50 62500 60 90000 70 122500 80 160000 90 202500 100 250000

La Tabla 4 muestra los resultados obtenidos usando las variables u = log |x| y v = log|y|, y la Figura 6 muestra el resultado de graficar esos resultados. La figura 6 muestra claramente que los datos caen a lo largo de una línea recta.

Tabla 3. Conjunto de datos que se sospecha son regidos por una ecuación de la forma ny kx= .


0.00

1.00

2.00

3.00

4.00

5.00

6.00

0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50

u

v

En este caso idealizado, todos los datos caen exactamente sobre una línea recta de pendiente 2 (¿puedes mostrar que efectivamente es así?), por lo que el exponente en y = kxn es n = 2. Al igual que con la linealización, la forma de encontrar n cuando los datos caen “en los alrededores de una recta” será discutido en el siguiente capítulo.

log( )u x= log( )v y=

1.00 3.40 1.30 4.00 1.48 4.35 1.60 4.60 1.70 4.80 1.78 4.95 1.85 5.09 1.90 5.20 1.95 5.31 2.00 5.40

Figura 6. Gráfico construido a partir de los datos de la Tabla 4. Nótese que los datos parecen seguir una tendencia lineal, confirmando la sospecha que se rigen por una ecuación de la forma

.ny cx=

Tabla 4. Conjunto de datos obtenidos a partir de la Tabla 3 al realizar los cambios de variables log( )u x= y

log( ).v y=

Trata siempre de linealizar tus gráficos; las líneas rectas son fáciles de analizar.

Y además hallarás fácilmente los valores numéricos para rapidez, aceleración, etc. de tus experimentos.



En los ejercicios de este capítulo supondremos modelos ideales (sin incertidumbres en las variables), con el fin de que te concentres en adquirir destrezas básicas. En los ejercicios de repaso del siguiente capítulo consideramos los casos en que existe incertidumbre en las variables.

1. Para cada una de las siguientes funciones construye tablas y figuras similares a las Tablas 1 y 2, y Figuras 1 y 2 de este capítulo, que muestren el proceso de linealización:

a. y = x3, 0 ≤ x ≤ 5 b. y = 2x5, 0 ≤ x ≤ 5 c. y = sin(x), 0 ≤ x ≤ π/2

2. Una esfera se desplaza sobre una línea recta (considerada como eje x) con aceleración constante. La tabla de la derecha muestra los datos de posición y tiempo para dicha esfera. Construye figuras similares a las Figuras 3 y 4 de este capítulo; luego aplica el proceso de linealización para encontrar el valor de la aceleración de la esfera.

3. Un estudiante deja caer una pelota desde diferentes alturas y mide el tiempo empleado por la pelota en recorrer cada una de dichas distancias. Sus resultados se muestran en la tabla de la derecha. Aplica el proceso de linealización (no olvides incluir figuras similares a las Figuras 3 y 4 de este capítulo) para encontrar el valor de la aceleración de la gravedad.

4. Se sabe que las variables x e y están relacionadas por medio de una

ecuación de la forma y = kxn. Aplica el proceso de linealización para encontrar el valor del exponente n utilizando los datos que se muestran en la tabla de la derecha. No olvides construir un gráfico similar al mostrado en la Figura 5.

t(s) x(m) 0 0.00 1 0.75 2 3.00 3 6.75 4 12.00 5 18.75 6 27.00

altura (m) t(s) 0 0.000 1 0.451 2 0.639 3 0.782 4 0.903 5 1.010 6 1.106

x y 1.00 1.00 2.00 1.41 3.00 1.73 4.00 2.00 5.00 2.24 6.00 2.45


5. Se desea ajustar un conjunto de observaciones a la función y = a + bx2. Utiliza el proceso de linealización para encontrar los coeficientes a y b, si el conjunto es el indicado en la tabla de la derecha. No olvides incluir tablas y figuras.

x y 0.5 1.5 1.0 6.3 1.5 12.4 2.0 12.6 2.5 18.0 3.0 32.8 3.5 40.2 4.0 47.4


Análisis de regresión lineal

1. INTRODUCCIÓN Muchos de los experimentos realizados en el laboratorio de Física General involucran la medición de dos cantidades físicas entre las cuales se desea investigar si existe alguna relación matemática. Por ejemplo, al estudiar el movimiento de una esfera a lo largo de una superficie inclinada se mide el tiempo t que le toma recorrer diferentes distancias x y con dicha información se trata de encontrar alguna ecuación que relacione a las variables x y t a través de la cual se pueda inferir algo acerca del tipo de movimiento efectuado por la esfera. En otras ocasiones se necesita tener una ecuación que permita hacer predicciones o estimaciones de rapidez, masa, aceleración, etc. El encontrar la relación matemática entre las diferentes variables medidas en el laboratorio involucra la aplicación de una serie de herramientas estadísticas las cuales, por lo general, no están al alcance del estudiante al momento de tomar su primer curso de Física General. El objetivo del presente capítulo es proporcionar las ideas fundamentales que permitan comprender al estudiante una herramienta a través del cual se investiga la posibilidad de la existencia de una relación lineal entre dos variables: el análisis de regresión lineal.

En el caso más sencillo, el análisis de regresión lineal no considera la incertidumbre de los datos recogidos en el laboratorio; sin embargo, más adelante, se exponen las ideas principales para aplicar el análisis de regresión lineal en la situación más realista en la cual ambas cantidades físicas están sujetas a una incertidumbre en su medición.

3

En el análisis de regresión lineal investigamos la posibilidad de que un conjunto de pares de datos (x,y) estén relacionados mediante la ecuación de una recta.


2. DESCRIPCIÓN ELEMENTAL DEL ANÁLISIS DE REGRESIÓN LINEAL El análisis de regresión tiene como finalidad encontrar una ecuación que relacione a un conjunto de datos (en nuestro caso obtenidos experimentalmente). Con esa ecuación nosotros pretendemos hacer predicciones. No se considera que la ecuación prediga valores exactos; sin embargo se espera que si el modelo es bueno, los valores que prediga estén razonablemente cercanos a los valores reales. Si la ecuación de predicción es de la forma bmXY += decimos que se trata de un análisis de regresión lineal. Para encontrar la recta de mejor ajuste a un conjunto de datos ( )yx, utilizamos el método de mínimos cuadrados, en el cual se aplica el siguiente criterio: La recta de mejor ajuste a un conjunto de datos ( )yx, será aquella que minimice la suma

( )2

∑ − yY en donde Y representa el valor predicho por el modelo bmXY += , e y representa el

valor medido de dicha variable en el laboratorio. Es decir, la recta de mejor ajuste corresponde a aquella recta que minimiza la suma de las diferencias cuadradas entre los valores predichos por el modelo y aquellos medidos en el laboratorio. Ve la siguiente figura.

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

X

Y

yY −

Y

Figura 1. En esta figura podemos observar, para un valor X arbitrario, tanto el valor predicho por la recta de

mejor ajuste ( )Y (representado por el triángulo) como el valor medido experimentalmente ( )y (representado

por un círculo) y la diferencia entre estas dos cantidades .yY − Por claridad no se han dibujado más puntos.

También se muestra la recta de mejor ajuste al conjunto de puntos.

y


Los parámetros m y b (pendiente y ordenada al origen) de la recta de mejor ajuste

bmXY += se obtienen a partir de las relaciones que se muestran a continuación, las cuales se obtienen como resultado de exigir que la suma ( )2

∑ − yY sea mínima10:

( )( )

( )2

∑∑

−

−−=

xx

yyxxm (3.1)

( )∑∑ −= xmyn

b1

(3.2)

donde x y y representan los valores promedio de los valores medidos en el laboratorio, y n representa el número total de pares ( )yx, con que se cuenta. En la práctica no es necesario realizar manualmente los cálculos para los parámetros de pendiente y ordenada ya que la mayoría de calculadoras tiene definidas funciones estadísticas que requieren solamente el ingreso de los pares ( )yx, . También hojas electrónicas como Excel poseen funciones predefinidas que pueden realizar dichos cálculos con solo ingresar en columnas los pares ( )yx, . Para decidir si el modelo lineal es el que mejor describe el comportamiento de los datos se calcula el coeficiente de correlación lineal r el cual se obtiene a partir de la siguiente ecuación:

( )( )[ ] ( )( ) ( )

11

1/22

−−

−−

−−−=

∑∑∑

n

yy

n

xx

nyyxxr (3.3)

Se puede mostrar que el coeficiente de correlación lineal r varía entre –1 y 1,

correspondiendo el valor de 1 al caso en que todos los pares ( )yx, pertenezcan exactamente a una línea recta de pendiente positiva, y el valor –1 cuando pertenezcan exactamente a una línea recta de pendiente negativa. Entre más cercano a 1 (o -1) se encuentre el valor del coeficiente de correlación, mayor es la probabilidad de que los pares ( )yx, sigan un comportamiento lineal.

10 Dejaremos para posteriores cursos de Estadística la deducción completa de tales relaciones.

En algunas calculadoras el análisis de regresión lineal se hace en el modo LR.


3. UN EJEMPLO DE ANÁLISIS DE REGRESIÓN LINEAL Supongamos que hemos medido el tiempo t empleado por una esfera en recorrer una cierta distancia ,x tal como se muestra en la siguiente tabla (por el momento no se consideraran las incertidumbres en la medición):

Ahora, a partir de los datos de la Tabla 1, construimos el gráfico x – t mostrado en la siguiente figura:

0

10

20

30

40

50

60

0 10 20 30

t (s)

x (cm)

Al observar la Figura 2 notamos que resulta tentador el pensar que existe una relación lineal entre los pares de datos ( )xt, , sin embargo, para confirmar nuestra sospecha, debemos realizar el análisis de regresión lineal a los datos de la Tabla 1.

N x (cm) t (s) 1 10.0 4.50 2 15.0 7.00 3 20.0 11.0 4 25.0 13.0 5 30.0 16.0 6 35.0 17.2 7 40.0 19.8 8 45.0 21.3 9 50.0 24.8 10 55.0 27.1

Figura 2. Gráfico x-t para el conjunto de datos mostrados en la Tabla 1. Observa que los datos sugieren una posible dependencia lineal entre los datos medidos en el laboratorio.

Tabla 1. Distancia recorrida por una esfera y tiempo empleado para recorrerla. N representa el número de corrida. En este ejemplo no se consideran las incertidumbres en cada medición.


Al aplicar las ecuaciones (3.1), (3.2) y (3.3) al conjunto de datos mostrados en la Tabla 1, obtenemos los siguientes resultados:

04.2=m 484.0−=b 991.0=r

De acuerdo a los resultados anteriores, los datos de la Tabla 1 se ajustan a un modelo lineal dado que el coeficiente de correlación lineal es .991.0=r

Concluimos que el objeto parte de la posición inicial 0.484− cm y que se mueve con

velocidad constante de 2.04cm/s.11 Nota sin embargo lo insuficiente de la descripción ya que no se sabe cuáles son las incertidumbres en la posición inicial y la rapidez. 4. ANÁLISIS DE REGRESIÓN LINEAL CUANDO AMBAS VARIABLES TIENEN INCERTIDUMBRE En el laboratorio de Física siempre obtendremos mediciones que están sujetas a incertidumbre. En esos casos, las relaciones (3.1), (3.2) y (3.3) no son válidas. El análisis de regresión lineal cuando ambas variables están sujetas a incertidumbre es aún tema de discusión en estos días, por lo que, aun cuando no hay un método definido, es posible aplicar un enfoque en el cual cada dato tendrá un cierto peso en la decisión de aceptar o rechazar un modelo lineal para describir la relación entre dos variables medidas en el laboratorio.

11 De la ecuación ox x vt= + y de su comparación con la ecuación de una recta, y mx b= + , concluimos que la ordenada al origen,

b , representa la posición inicial, y la pendiente, m , representa la velocidad (constante).

Investiga cómo se realiza el análisis de regresión lineal en tu calculadora. Si realizas el cálculo de m, b y r a mano, puedes llevarte algún tiempo, y es muy probable que te equivoques.


Al igual que se hicimos antes, solo esbozaremos las ideas generales para comprender el

método que se utilizará para el caso cuando ambas variables poseen una cierta incertidumbre.

La idea básica es, como se mencionó anteriormente, asignar un factor de peso a cada dato, de tal manera que aquellos cuya incertidumbre sea grande comparada con otros influyan menos en la decisión de aceptar o rechazar un modelo lineal. Por tanto, si las mediciones ( )ii yx , tienen incertidumbres ix∆ y iy∆ respectivamente, definimos los factores de peso para cada medición como:

222

1

ii

iyxa

w∆+∆

= (3.4)

donde a representa la pendiente de la recta calculada por medio de la ecuación (3.1), usada cuando no se consideraban incertidumbres en las mediciones. Con la definición para los factores de peso, dada por la ecuación (3.4), las expresiones para calcular ,m ,b y r deben modificarse; por ejemplo, los valores medios x y y se obtienen a partir de las siguientes definiciones:

,∑∑=

i

ii

w

xwx .

∑∑=

i

ii

w

ywy

El problema que se presenta es que para determinar a en la ecuación (3.4) se debe

realizar el análisis de regresión, el cual a su vez requiere que se conozcan los factores de peso iw que a su vez dependen de a . Esto se resuelve procediendo de forma iterativa, considerando, en un primer paso, que 0=a y posteriormente repitiendo los cálculos hasta encontrar aquel valor de a para el cual no se presenta cambio en .iw

El análisis de regresión lineal cuando ambas variables tienen incertidumbre no se puede hacer con las calculadoras convencionales, y tampoco con las funciones estadísticas predefinidas en Excel. Sin embargo la hoja electrónica Análisis de datos.xls que usamos en el laboratorio de Física si es capaz de realizar dicho análisis.


Afortunadamente el proceso descrito anteriormente se puede implementar fácilmente en una hoja electrónica, lo cual se ha hecho en la hoja Análisis de datos.xls. En esta hoja electrónica, se muestran las incertidumbres obtenidas en los parámetros de pendiente y ordenada al origen; esto resulta muy conveniente para el laboratorio de Física ya que estos parámetros de ajuste tienen, por lo general, una interpretación física. A manera de ejemplo consideremos la Tabla 2 en la que se muestra un conjunto de datos correspondientes a la rapidez v de una esfera, el instante t en que se midió, y las respectivas incertidumbres en cada variable. En la Figura 3 se muestra los datos dibujados con sus respectivas barras de incertidumbre y la recta de mejor ajuste de acuerdo a la hoja electrónica Análisis de datos.xls. También se indican los valores para los parámetros de ajuste obtenidos con dicha hoja electrónica.

N t (s) v (m/s) t∆ (s) v∆ (cm/s) 1 1.0 1.8 0.1 0.2 2 2.0 2.5 0.1 0.4 3 3.0 2.7 0.1 0.2 4 4.0 3.0 0.1 0.1 5 5.0 3.0 0.1 0.2 6 6.0 3.5 0.1 0.4 7 7.0 3.2 0.1 0.2 8 8.0 4.0 0.2 0.4 9.0 4.0 0.1 0.2

10 1.0 x 101 4.3 0.2 0.3 En el laboratorio tu profesor te explicará cómo ingresar estos datos a la hoja análisis de datos.xls. Basta por el momento mostrar el gráfico resultante (generado con dicha hoja electrónica) así como los valores para la pendiente m , la ordenada al origen b y sus respectivas incertidumbres m∆ y b∆ .

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

0 2 4 6 8 10 12

t (s)

v (m/s)

Figura 3. Datos y recta de mejor ajuste obtenidos con la información de la Tabla 2 y la hoja electrónica Análisis de datos.xls. Los parámetros del ajuste, de acuerdo a dicha hoja, son: ,14.023.0 ±=m 77.088.1 ±=b y

Tabla 2. Conjunto ejemplo de datos de rapidez y tiempo para una esfera que se mueve a lo largo de una línea recta con aceleración constante. En este caso sabemos que vf = vo + at.


Dado que el gráfico v-t es lineal ( 0.94r = ), podemos afirmar que se trata de un movimiento con aceleración constante, es decir, ov v at= + , y como los parámetros de ajuste son

,14.023.0 ±=m y 77.088.1 ±=b podemos afirmar que el objeto se mueve con una aceleración de ( )14.023.0 ± (m/s2) y que partió con una velocidad inicial de ( )77.088.1 ± (m/s). ¡Los resultados incluyen ahora un margen de incertidumbre! ¡Esto es lo que necesitamos en el laboratorio de Física¡ 5. ANÁLISIS DE REGRESIÓN LINEAL CUANDO LOS DATOS ESTÁN RELACIONADOS POR UNA ECUACIÓN DE LA FORMA y = kxn En el laboratorio de Física por lo general se estudian solo dos tipos de movimiento unidimensional: movimiento con velocidad constante, y movimiento con aceleración constante (le llamaremos eje X a la recta a lo largo de la cual ocurre el movimiento). También es común elegir el punto en el que 0t = como el origen ( 0ox = ) y que, en el caso de movimiento con aceleración constante, el objeto parta del reposo ( 0ov = ), por lo que, con las anteriores simplificaciones, resulta que el movimiento con velocidad constante queda representado por la ecuación x vt= ,

mientras que el movimiento con aceleración constante lo está por la ecuación 2

2xa

x t= .

En algunas ocasiones se te pedirá “que descubras” qué tipo de movimiento realiza un objeto a lo largo de una línea recta, por lo que tendrás que determinar si el exponente de la variable t , en el gráfico x-t, es 1 (para el movimiento con velocidad constante en el que x vt= ) o 2 (para el

movimiento con aceleración constante en el que 2

2xa

x t= ). En la sección 4 del capítulo anterior

ilustramos cómo el proceso de linealización puede ayudarnos para encontrar el valor del exponente n de un conjunto de datos (x,y) el cual se sospecha está relacionado por una ecuación de la forma y = kxn. Como discutimos en esa sección, el proceso de linealización se lleva a cabo construyendo el gráfico v u− en el que logv y= y logu x= , con lo que la ecuación toma la forma

log log logy k n x= +

Sin embargo, el ejemplo que consideramos en ese capítulo era ideal, en el sentido de que todos los datos estaban exactamente sobre una recta, por lo que calcular la pendiente (cuyo valor corresponde al exponente n en y = kxn) era sencillo. Cuando los datos no caen exactamente sobre una línea recta, lo que debemos hacer es un análisis de regresión lineal en el que el eje horizontal corresponde a logu x= mientras que el eje

vertical corresponde a logv y= . Las incertidumbres deben considerarse como ln10

xu

x

∆∆ = y


ln10

yv

y

∆∆ = , lo cual puede ser deducido fácilmente al recordar que log( ) 1

ln10

d x

dx x= . Como se

indicó anteriormente, la pendiente de la recta de ajuste corresponde con el valor del exponente n.

En realidad, cuando el análisis de regresión lineal sobre un conjunto de datos (x,y) da como resultado un coeficiente r cercano a 1 (o -1) no necesariamente significa que los datos están relacionados linealmente. Para estar completamente seguros que hay una relación lineal entre dos variables x e y debemos linealizar el gráfico

logv y= vrs logu x= y determinar el valor de su pendiente (y por tanto del exponente n en y= kxn) ¡Es posible que algunas veces nos llevemos una sorpresa¿


EJERCICIOS DE REPASO A CAPITULO 3 Para realizar el ejercicio 1 debes utilizar las funciones predefinidas en Excel que permiten (a) crear un gráfico XY y (b) realizar el análisis de regresión lineal. Las figuras de abajo ilustran a grandes rasgos el proceso:

1. Selecciona todos tu

datos de la tabla, con

el cursor del ratón.

2. Selecciona la pestaña insertar

3. Selecciona el tipo de gráfico, dispersión

4. Selecciona en el graficó el ícono de dispersión


Finalmente, selecciona las opciones indicadas en la figura de abajo. La gráfica resultante incluye la |recta de mejor ajuste, su ecuación, y el valor de r2. Abajo se muestra el resultado final.


1. Repite las instrucciones indicadas anteriormente para encontrar la recta de mejor ajuste a los datos indicados en la tabla de la derecha. No olvides incluir la gráfica resultante.

2. Refiriéndonos a los datos del ejercicio anterior, considera ahora que cada uno de

los datos en la columna x tiene una incertidumbre de 0.05, mientras que cada uno de los datos en la columna y tiene una incertidumbre de 0.015. Utiliza la hoja electrónica análisis de datos.xls para encontrar la recta de mejor ajuste. No olvides incluir la gráfica resultante.

3. La tabla de la derecha muestra la distancia

recorrida y el tiempo empleado en recorrerla para un objeto en caída libre. Encuentre el valor de la aceleración de la gravedad a partir de los datos mostrados. Construye los gráficos que considere necesarios y explica tus razonamientos.

x Y 0.316 0.148 0.447 0.196 0.548 0.244 0.632 0.290 0.707 0.315 0.775 0.352 0.837 0.385 0.894 0.403

Distancia (m) Tiempo (s) 0.100 ± 0.005 0.148 ± 0.015 0.200 ± 0.005 0.196 ± 0.015 0.300 ± 0.005 0.244 ± 0.015 0.400 ± 0.005 0.290 ± 0.015 0.500 ± 0.005 0.315 ± 0.015 0.600 ± 0.005 0.352 ± 0.015 0.700 ± 0.005 0.385 ± 0.015 0.800 ± 0.005 0.403 ± 0.015


Terminología de la medición

1. INTRODUCCIÓN Con frecuencia se utilizan en el laboratorio de Física términos como precisión, exactitud, sensibilidad y resolución. Generalmente estos términos son motivo de confusión entre estudiantes; la confusión es mayor cuando se consulta el diccionario. Por ejemplo, en algunos diccionarios se define precisión como “calidad de ser preciso; exactitud”; este tipo de definiciones no son útiles en Física. En este capítulo presentamos definiciones para términos como precisión, exactitud, sensibilidad y resolución, los cuales son consistentes con aquellas dadas por la ASTM (American Society for Testing and Materials)12. 2. PRECISIÓN Y EXACTITUD La precisión de una serie de mediciones se refiere al acuerdo entre mediciones repetitivas. En este punto debemos hacer la siguiente observación: Algunas instituciones, tales como la ASTM (acrónimo en inglés de AMERICAN SOCIETY FOR TESTING AND MATERIALS) han acordado cuantificar “la precisión de una medición” como la desviación estándar de la media de un conjunto de mediciones, definida en el capítulo 1 como

( )1)n(n

xx∆x

n

1i

2i

−

−=∑

= .

Por otro lado, el ISO TECHNICAL ADVISORY GROUP 4 y el WORKING GROUP 1, patrocinados, entre otras instituciones, por la IFCC (International Federation of Clinical Chemistry), y la IUPAC (International Union of Pure and Applied Physics), en el documento ISO, INTERNATIONAL VOCABULARY OF BASIC AND GENERAL TERMS IN METROLOGY, Second Edition (International Organization for Standardization, Generva, Switzerland, 1993) recomiendan que el termino “precisión” (y exactitud, que definiremos mas adelante) no deben cuantificarse debido a que se tratan solamente de conceptos cualitativos.

12 Este capítulo está basado en el artículo escrito por Volker Thomsen. El nivel de tratamiento en este capítulo es solo introductorio; se recomienda al lector leer el artículo por Volker Thomsen para profundizar más en el tema.

4


En este libro optaremos por una posición intermedia, considerada por algunos como lo mas recomendable: Cuando indiquemos “la precisión” de una serie de mediciones, lo haremos expresando claramente qué estamos entendiendo por precisión. Por ejemplo, supongamos que hemos efectuado una serie de mediciones y realizamos un reporte de “la precisión de las mediciones”. En este caso podemos escribir: “La precisión del experimento, definida como la desviación estándar, es 0.01 m”. Y evitaremos escribir: “La precisión del experimento es 0.01 m”. La exactitud de una medición (o del valor promedio de una serie de mediciones) se refiere a la comparación entre dicha medición (o valor promedio de una serie de mediciones) y un valor que se considera como “correcto” o “valor aceptado”. Como en el caso de la precisión, optaremos por una posición en la cual el término exactitud será “cuantificado” utilizando el denominado “error relativo” e , definido de acuerdo a la siguiente relación:

e = |valor aceptado – valor medido| (4.1) valor aceptado En ocasiones se expresa la relación (4.1) en forma de porcentaje; en ese caso se habla del “error relativo porcentual”. Al igual que con la precisión, indicaremos claramente qué estamos entendiendo por exactitud, cada vez que la citemos en un reporte. Tradicionalmente se emplea el tablero de dardos que se ilustra en la figura de abajo como una ayuda para comprender la diferencia entre los términos precisión y exactitud

Con solamente una medición no podemos hablar de precisión, si ésta la definimos como la desviación estándar.


Buena precisión pero poca exactitud Poca precisión y poca exactitud Buena precisión y buena exactitud Poca precisión y alta exactitud Figura 1. Tableros de dardos que ilustran la diferencia entre precisión y exactitud. El centro del tablero se considera como “el verdadero valor”. Nótese el tablero etiquetado como “Poca precisión y alta exactitud”. La alta exactitud proviene del hecho que “el promedio” de los cuatro intentos está en el centro del tablero; la baja precisión proviene del hecho que los cuatro intentos están muy dispersos entre sí. Como indicamos en la Figura 1, es de notar especialmente la situación del tablero etiquetado como “Poca precisión y alta exactitud”. Por lo general el estudiante consideraría que ese resultado “es bueno” porque el valor promedio corresponde con aquel considerado como “correcto”. Sin embargo no se puede considerar como “bueno” este resultado porque, aun cuando el valor promedio (¡por suerte!) corresponde con el valor “correcto”, existe muy poca precisión en cada una de las mediciones individuales ya que se encuentran muy lejos del “centro” del tablero, el cual estamos considerando que representa el valor “correcto”. En otras palabras: Si un resultado no es muy preciso, no podemos considerarlo exacto.


El mejor resultado es aquel mostrado por el tablero “buena precisión y buena exactitud”. Es importante tener claro que la precisión de una serie de mediciones está asociada con los errores aleatorios que ocurren en el proceso de medición; por otra parte, la exactitud está asociada con los errores sistemáticos que puedan ocurrir en el proceso de medición; la siguiente figura trata de aclarar este punto:

Figura 2. Conjuntos de mediciones con (a) únicamente errores aleatorios y (b) errores aleatorios y sistemáticos. Cada marca representa una medición efectuada. A manera de ilustración consideremos el siguiente conjunto ejemplo de datos tomados por cuatro estudiantes en su intento por determinar el valor de la aceleración de la gravedad :g

Juan desviación Ana desviación Andrea desviación Medición 1 7.83 1.60 8.70 0.04 9.72 0.04 Medición 2 11.61 2.18 8.75 0.01 9.86 0.10 Medición 3 8.85 0.58 8.77 0.03 9.70 0.06 Promedio 9.43 8.74 9.76

“Valor verdadero”

Cantidad física ha medir.

Cantidad física ha medir.

(a)

(b)

Cuando las mediciones están afectadas por errores sistemáticos, obtenemos valores que son más altos o más bajos que “el valor verdadero” de la cantidad física medida tal como se ilustra en la figura de arriba.


Tabla 1. Conjunto ejemplo de datos tomados por cuatro estudiantes para determinar el valor de la aceleración de la gravedad. Todas las mediciones están en unidades SI. El “valor correcto” para la aceleración de la gravedad se considera como 9.80g = m/s2, por lo que, tomando como criterio el valor promedio para los datos de la Tabla 1 podemos afirmar que el valor 9.76 de Andrea es el más exacto, seguido por el de Juan y finalmente el de Ana. Con el fin de aclarar más la diferencia entre precisión y exactitud, consideraremos en este ejemplo como criterio de “precisión” el tamaño de las desviaciones individuales de cada medición con respecto al valor promedio. En base a ese criterio, podemos afirmar que las mediciones de Ana son las más “precisas”, seguidas por las de Andrea y finalmente las de Juan. El valor promedio obtenido por Juan, 9.43 pareciera bastante “exacto” ya que difiere solamente por 0.37 del valor “correcto” 9.80; sin embargo, observamos que sus mediciones no son muy precisas ya que cada una de sus mediciones individuales es incluso más grande que 0.37. El valor 9.43 mas parece “un golpe de suerte”. El valor promedio obtenido por Andrea, 9.76 es mas significativo y ciertamente podemos decir “bastante preciso” ya que las desviaciones individuales de cada medición con respecto al valor promedio son pequeñas. En el caso de Ana, las desviaciones individuales de cada medición hecha por ella con respecto al valor promedio son pequeñas (sus mediciones son precisas), pero obtuvo un valor promedio menor a 9.80: 8.74 m/s2. Quizás su experimento estuvo afectado por algún error sistemático, tal como fricción con el aire, que pudo contribuir a que obtuviera un valor más pequeño que el considerado correcto. En ese caso tendría que revisar su arreglo experimental (¡y su modelo teórico!) para verificar la sospecha de fricción con el aire.

El análisis de la tabla 1 nos da una gran lección: Aunque en principio los errores sistemáticos pueden ser eliminados, no siempre es así en la práctica, y su contribución al error de una medición puede ser mayor que la de los errores aleatorios. ¡Lamentablemente no podemos cuantificar los errores sistemáticos!


3. RESOLUCIÓN Y SENSIBILIDAD Los términos resolución y sensibilidad se aplican a los instrumentos de medición empleados en el laboratorio. La resolución de un instrumento se refiere al más pequeño incremento que puede ser medido con dicho instrumento. Por ejemplo, con una regla graduada hasta milímetros se puede hablar de una resolución de alrededor de 0.5 mm ya que a simple vista es fácil (si las marcas lo permiten y el experimentador es hábil) distinguir entre una medición de 2.50 cm y otra de 2.55 cm. La sensibilidad de un instrumento se refiere al valor más pequeño que puede ser medido con él. Por ejemplo, con una regla graduada en milímetros no es posible medir longitudes tan pequeñas como nanómetros: Una regla graduada en milímetros “no tiene sensibilidad hasta los nanómetros”. Una regla graduada en milímetros “es sensible hasta los milímetros”. Para entender la diferencia entre resolución y sensibilidad utilizaremos como ejemplo de instrumento de medición el indicador analógico de rapidez de un automóvil (rapidómetro13), como el que se ilustra en la figura de abajo: ¿Podemos distinguir si el carro se mueve a 36 o 37 km/h? Esto depende de la resolución del rapidómetro. Si estando en reposo comenzamos a manejar acelerando muy poco, ¿a qué rapidez comenzará el rapidómetro a funcionar? Esto depende de su sensibilidad.

13 A este instrumento se le denomina en el lenguaje común como “velocímetro”. Este término no es correcto ya que el instrumento solo mide magnitud (rapidez). Recordemos que la velocidad es un vector, por lo que tiene una magnitud y una dirección (esta última propiedad NO es medida con dicho instrumento).


¿Podemos distinguir si el carro se mueve a 36 o 37 km/h? Esto depende de la resolución del rapidómetro. Si estando en reposo comenzamos a manejar



Supón que “el valor verdadero” de la rapidez del sonido en el aire a 20 ºC es 343.5 m/s. Tres estudiantes realizaron las mediciones de la rapidez del sonido (en m/s), a 20 ºC, indicadas en la tabla de abajo. Utiliza esa información para responder los ejercicios 1 y 2.

1. Calcula la media y desviación estándar de la media para cada una de las estudiantes. 2. Comenta, para cada estudiante, sobre la exactitud y precisión de su medida, e indica quién

(si lo hay) parece haber cometido un error sistemático. Considera que la precisión del experimento está definida como la desviación estándar de la media.

Andrea 357.4 339.6 346.2 349.2 María 322.6 324.7 323.5 326.9 Rosario 340.6 347.6 342.6 345.8


Planeación del experimento

1. INTRODUCCIÓN En la investigación científica ocurre con frecuencia que se tiene un conjunto de datos relacionados con un fenómeno para el cual no existe un modelo, de tal suerte que es tarea del investigador utilizar los datos para encontrarlo. En otras ocasiones puede existir un modelo, por lo que el conjunto de datos se utiliza como un medio para examinar su validez, la validez de sus predicciones y en ocasiones mejorarlo. En el laboratorio de Física General, por otro lado, es común plantear al estudiante un experimento para el cual ya existe un modelo; por ejemplo, en un experimento típico se puede pedir encontrar la aceleración con la cual cae un objeto cerca del suelo, para lo cual el estudiante puede utilizar el modelo de caída libre, dependiendo de las condiciones en que se realice el experimento. En cualquier caso es importante, antes de realizar un experimento, planear la forma en que éste se llevará a cabo de tal forma que se aproveche al máximo el tiempo y recursos empleados. Puesto que este libro esta dirigido a estudiantes de Física General y, tal como se planteó anteriormente, en la mayoría de casos se plantean al alumno experimentos con un modelo ya existente, en este capítulo

5

En algunas ocasiones se plantean al estudiante experimentos donde él “debe descubrir” el modelo. Por ejemplo, al estudiar el movimiento de una esfera sobre una superficie inclinada el estudiante debe “descubrir” qué tipo de movimiento realizó ella.


abordaremos únicamente el problema de planear un experimento para el cual ya existe un modelo establecido claramente. 2. PASOS EN LA PLANEACIÓN DE UN EXPERIMENTO CUANDO EXISTE UN MODELO Al planear un experimento para el cual existe un modelo establecido se deben seguir los siguientes pasos, los cuales constituyen solamente una guía, y no “una receta”: (a) Identificar cuáles son el sistema y el modelo a aplicar. (b) Elegir qué variables se medirán en el experimento. (c) Determinar qué cambios de variables son necesarios para poder linealizar las ecuaciones del modelo y así poder realizar el análisis del experimento. (d) Determinar la exactitud que se desea lograr en el experimento. (e) Escoger un rango de valores para las variables que se medirán, acorde a la exactitud deseada, a

los instrumentos de medición a emplear, limites de funcionamiento de equipo laboratorio, tiempo, etc.

(f) Elaborar un plan del orden en que se realizarán las mediciones.

Supongamos que deseamos determinar el valor de la aceleración de la gravedad g

cerca de de la superficie de la Tierra utilizando un péndulo simple. ¿Cómo planeamos un experimento para medir g ?


El sistema aquí es el hilo y la masa que cuelga. El modelo que aplicaremos corresponde a aquel en el cual el hilo no se aparta más de 15º con respecto a la vertical y en el cual se desprecia cualquier fuerza de fricción; de acuerdo a este modelo, para pequeños desplazamientos angulares, el período T de oscilación del

péndulo depende de su longitud ,l de acuerdo a la ecuación 2 .l

Tg

π=

¡Si no tenemos claro cuál es el sistema y cuál es el modelo, no tendremos claro de qué se trata el experimento!

En este experimento mediremos la longitud l del péndulo y el tiempo t que emplea el péndulo para realizar n oscilaciones; a partir del conocimiento de t y n obtendremos el período

tT

n= correspondiente a una longitud dada l . Finalmente aplicaremos la relación 2

lT

gπ= para

obtener el valor de la aceleración de la gravedad.

u=T2

Primer paso: Identificar cuáles son el sistema y el modelo a aplicar.

Segundo paso: Elegir qué variables se medirán en el experimento.

Tercer paso: Determinar qué cambios de variables son necesarios para poder linealizar las ecuaciones del modelo y así poder realizar el análisis del experimento.


Para decidir qué cambios de variables definiremos observemos que de acuerdo a nuestro modelo:

2 .l

Tg

π=

La ecuación anterior equivale a:

2 24gT lπ= por lo que una posible linealización es:

2,x T= como variable independiente, y 24y lπ= como variable dependiente.

Con la anterior linealización, un gráfico y versus x (es decir, uno en el cual el eje vertical corresponde a 24 lπ y el eje horizontal a 2T ) luce como una línea recta cuya pendiente es numéricamente igual a la aceleración de la gravedad, .g Escogeremos tal linealización para nuestro ejemplo.

Aunque resulta natural considerar a l como la variable independiente y a T como la variable dependiente, no es conveniente para el experimento. Al linealizar una ecuación, escogeremos aquellos cambios de variable que nos resulten más convenientes, sin preocuparnos de lo que pudiera considerarse “natural”.

Cuarto paso: Determinar la exactitud que se desea lograr en el experimento.


Supongamos que deseamos medir el valor de la aceleración de la gravedad g con una exactitud del 2%; de acuerdo a la definición que emplearemos en este libro para exactitud, esto significa:

0.02g

g

∆ =

Este punto es crucial en la planeación de nuestro experimento ya que una exactitud del 2% es nuestra meta, pero, como hemos discutido en capítulos anteriores, nuestro experimento puede estar sujeto a contribuciones inesperadas que puede alejarnos de ella. De todas formas es importante hacer una estimación sobre qué valores, en este caso de longitud l y período T , pueden contribuir a que nos acerquemos a nuestra meta, suponiendo que tendremos el cuidado de eliminar fuentes de error sistemático. Es razonable pensar que si la longitud l y el período al cuadrado 2T son medidas con una exactitud mayor al 2% entonces nuestra meta del 2% en g corre el riesgo de no ser alcanzada ya que la aceleración de la gravedad se obtendrá a partir del análisis del gráfico l versus 2.T Impondremos como condición razonable una exactitud máxima del 1% tanto en la medición de la longitud l como en la de 2T en un primer intento por obtener una exactitud del 2% en la medición de .g Imponer una exactitud máxima del 1% en la longitud l significa la condición

0.01l

l

∆ <

y, si por ejemplo 0.1l∆ = cm, entonces la condición para la longitud es:

10.00.01

ll

∆> = cm

De la misma manera, imponer una exactitud máxima del 1% en 2T significa la condición

( )2

20.01

T

T

∆< .

Por otro lado, del cálculo diferencial sabemos que ( )2 2d T TdT= , de tal forma que podemos

usar la aproximación ( )2 2T T T∆ = ∆ y obtener la siguiente relación:

( )2

22 ,

T T

T T

∆ ∆=


así que si ( )2

20.01

T

T

∆< , entonces:

2 0.01T

T

∆ < , y por tanto:

0.005T

T

∆ < .

Como tT n= entonces podemos afirmar:

0.005

tT tn

tT tn

∆∆ ∆= = < .

Si, por ejemplo 0.2t∆ = , entonces obtenemos que el tiempo t debe cumplir la siguiente condición:

0.005

tt

∆> , es decir,

40.0t > s.

Por tanto, las mediciones que probablemente contribuyan a una determinación de g con una exactitud del 2% son aquellas para las cuales el péndulo oscila por lo menos durante 40.0 s (¡no que su período sea de 40.0 s!) y cuya longitud sea por lo menos de 10.0 cm. Por supuesto, en este punto debemos examinar que el péndulo que utilicemos en nuestro experimento no se vea afectado apreciablemente debido a la fricción después de un tiempo de 40.0 s o más. ¡De lo contrario nuestro modelo no sirve y tendríamos un error sistemático!


En este punto conviene recordar nuevamente que pueden existir otras fuentes de error que no han sido consideradas, o quizás fallas en nuestro diseño experimental, por lo que puede haber otras contribuciones que afecten la precisión global del experimento. Sin embargo, es una buena estrategia determinar qué mediciones pueden contribuir significativamente a obtener la precisión deseada en un experimento en particular, con el fin de no perder tiempo y recursos en mediciones que no contribuirán con los objetivos del experimento.

Este paso es consecuencia lógica del anterior, y tal como ya hemos discutido, necesitamos que el péndulo oscile por lo menos durante 40.0 s, y que su longitud sea por lo menos de 10.0 cm en orden de tener alguna probabilidad de medir g con una exactitud del 2%. En este punto debemos examinar el tiempo del cual disponemos y de la máxima longitud que podamos dar al péndulo, de acuerdo a las dimensiones de nuestra mesa de trabajo, etc. para poder decidir el rango que podemos dar a l y a t , y por tanto, el número de datos del cual dispondremos.

Para el presente experimento, este paso consiste en elaborar una tabla en donde serán anotados los valores medidos para l y t así como otros valores que pudieran en un momento dado ser de utilidad. Esta tabla será “el plan” ya que nos permitirá tener presente qué variables debemos medir en cada corrida y de esta forma no olvidar tomar alguna información útil. Por supuesto, “el plan” puede tener algunos elementos extras de acuerdo al criterio del experimentador y dependiendo del experimento que se realice.

Quinto paso: Escoger un rango de valores para las variables que se medirán, acorde a la exactitud deseada, a los instrumentos de medición a emplear, limites de funcionamiento de equipo laboratorio, tiempo, etc.

Sexto paso: Elaborar un plan del orden en que se realizarán las mediciones.


3. RECHAZO DE MEDICIONES EFECTUADAS. En la práctica se encuentra el experimentador con la posibilidad de que algunas de sus mediciones resulten ser “muy grandes” o “muy pequeñas” comparadas con el resto del conjunto. Supongamos que hemos realizado la medición de alguna cantidad y obtenemos el siguiente conjunto de datos:

34 35 45 40 46 38 47 36 38 34 33 36 43 43 37 38 32 38 40 33 38 40 48 39 32 36 40 40 36 34

Supongamos que al hacer la siguiente medición obtenemos el valor 55. ¿Qué decisión debemos tomar: Aceptar la medición o sospechar que posiblemente sea una equivocación? Existe una guía que permite determinar qué decisión tomar, y como tal, no debemos considerarla como una “regla infalible”. Esta guía dice así:

Calcule la incertidumbre

2

1

( )

( 1)

n

ii

x xx

n n=

−∆ =

−

∑, para las n mediciones efectuadas. Ahora

determine los límites numéricos del intervalo ( )2 , 2x x x x− ∆ + ∆ . Si la medición 1ix + cae fuera

de ese intervalo, entonces probablemente la medición 1ix + es resultado de una “equivocación”.

Ahora solo resta medir varios valores para

l y 2T ; finalmente realizar el análisis de regresión lineal al gráfico correspondiente para obtener de la pendiente de la línea

recta el valor de g .


Al aplicar esta regla al conjunto de datos que estamos ejemplificando, obtenemos que el intervalo ( )2 , 2x x x x− ∆ + ∆ es ( )30,47 , por lo que en este caso, la decisión es “rechazar” el

valor 55. Por supuesto, aquí es muy importante el juicio del experimentador, y no debemos aplicar la regla ciegamente sin detenernos a pensar si realmente debemos rechazar la medición. En este punto un poco de historia nos demostrará lo que queremos decir: En 1974, un equipo del SLAC-LBL (acrónimo en ingles de STANFORD LINEAR ACCELERATOR-LAWRENCE BERKELEY LABORATORY, en Estados Unidos) estaba realizando una investigación de rutina con partículas elementales. El equipo obtuvo un resultado que estaba fuera del intervalo ( )2 , 2x x x x− ∆ + ∆ por lo que la aplicación directa de la regla hubiera

dado como resultado rechazar tal medición. Por el contrario, el equipo tomó la decisión de no rechazar y de investigar más la razón de tal resultado, dando como resultado el descubrimiento de una nueva partícula, conocida como la partícula ψ (partícula “psi”). Este descubrimiento le valió al equipo el premio Nobel de Física en 1976.

Esta historia nos demuestra que el trabajo de laboratorio requiere mucho del juicio del experimentador, y no debe ser considerado como un trabajo donde se deben seguir “los pasos que la receta diga”. ¡Un premio Nobel puede estar esperándonos tras una investigación experimental!


ANEXOS

OBSERVACIÓN: Algunas de las prácticas de laboratorio que aparecen en este manual fueron originalmente escritas por los ingenieros Luis Pineda, Calixto Monteagudo y Salvador Tuna. A lo largo de estos años, las prácticas han sufrido modificaciones por parte del equipo de profesores de Física, con el fin de actualizarlas y permitir incluir en ellas el uso de sensores, hojas electrónicas diseñadas especialmente, etc. Para este manual también se ha contado con la colaboración de los Homólogos del campus de Quetzaltenango, los Ingenieros Jorge Ernesto calderón Arango y Eduardo Tello. Revisión 2011. Ing. Salvador Alejandro Tuna Aguilar, Coordinación física Campus central


NORMAS PARA LA ELABORACIÓN Y ENTREGA DE REPORTES DEL LABORATORIO DE FÍSICA

A. INTRODUCCIÓN

La Física es una ciencia fundamental de naturaleza experimental. Nadie puede afirmar que conoce de Física, si no conoce del proceso de medición y del análisis de los resultados obtenidos mediante el mismo. El objetivo central de tu laboratorio de Física es el de facilitarte los medios para que aprendas a: medir cantidades físicas en distintos experimentos, a analizar los datos obtenidos para verificar o descubrir principios y relaciones entre ellos, y a reportar debidamente todas las fases de tu trabajo experimental. Las normas e instrucciones que se presentan a continuación tienen el propósito de orientarte en la correcta elaboración de un informe científico. Un informe de esta naturaleza se caracteriza por presentar la información de manera seria, objetiva, precisa y concisa. Ten esto en mente mientras redactas las distintas secciones del mismo, y no pierdas de vista los objetivos centrales de cada práctica de laboratorio que realices. Esmerarte en la redacción de tus reportes es importante porque es son parte de tu entrenamiento en un aspecto muy importante de tu formación profesional: ¡La forma en cómo comunicas tus ideas a otros colegas!

Las partes y secciones que debes incluir en tus reportes de laboratorio de Física, son las siguientes:

Carátula 1. Resumen (Ponderación: 10 %)

2. Fundamentos Teóricos (Ponderación: 5 %) 3. Diseño Experimental (Ponderación: 5 %) 4. Datos Obtenidos (Ponderación: 10 %)

5. Cálculos Efectuados (Ponderación: 20 %) 6. Resultados (Ponderación: 25 %) 7. Discusión de Resultados (Ponderación: 10 %) 8. Conclusiones (Ponderación: 15 %)

9. Referencias Cuadro Vacío para la Evaluación del Reporte (de acuerdo a la ponderación anterior)

La elaboración y entrega de cada reporte de laboratorio es individual. Los reportes se entregan al

ayudante de cátedra o al catedrático, antes de iniciar la siguiente práctica de laboratorio. No se acepta la entrega de reportes atrasados. Para que tu reporte sea calificado, debes aparecer en la lista de asistencia que pasará el catedrático o el ayudante, durante cada práctica, haber aprobado

el examen corto y haber entregado el pre laboratorio, según formato indicado por el catedrático. Se


prestará especial atención a tu participación seria, eficiente, ordenada y respetuosa durante cada sesión de laboratorio. En lo que sigue de este normativo, encontrarás una descripción de las principales características de

cada una de partes y secciones que componen un reporte.

B. CARÁTULA Y FORMATO El reporte debe ser entregado en hojas papel bond y de preferencia deben ser hechos con ayuda de una computadora (procesadores de palabras, hojas electrónicas y otros)14.

La carátula debe incluir la siguiente información: En la esquina superior izquierda, el nombre de la universidad, la Facultad, el departamento o área, el nombre del curso y la sección, los nombres del

catedrático y del ayudante de cátedra. En el centro, el número y título de la práctica a la que

corresponde el reporte. En la esquina inferior derecha, el nombre completo del estudiante, número de carnet y la fecha de entrega. C. RESUMEN

En esta sección se hace una descripción breve y concisa de todo el trabajo que realizaste en el laboratorio. Se empieza por describir el o los objetivos principales de la práctica, luego se hace una muy breve descripción del procedimiento, sin llegar a incluir los detalles del mismo y finalmente se indica a qué resultado y a qué conclusión se llegó. Todo esto en no más de, aproximadamente, media página.15 El lector de tu reporte debe darse una idea global de lo que hiciste y lograste en la práctica de laboratorio, con sólo leer esta sección. D. FUNDAMENTOS TEÓRICOS Aquí debes describir brevemente los conceptos, principios, leyes o teorías que sirven de apoyo a la

realización del experimento, al análisis de los datos y/o a la extracción de conclusiones.

E. DISEÑO EXPERIMENTAL

En esta sección debes incluir una descripción detallada del equipo utilizado, de su montaje (incluyendo dibujos o diagramas, si es necesario) y del procedimiento experimental que seguiste para obtener los datos que luego analizarás. Es importante indicar si hubo necesidad de hacer alguna modificación en el procedimiento recomendado en el instructivo de la práctica.

F. DATOS OBTENIDOS

Aquí se presentan los datos originales, constituidos por las mediciones realizadas durante el desarrollo de la práctica. Ninguna medición está completa sin una estimación del margen de error a que está sujeta. A lo largo de las distintas prácticas, aprenderás que el error es intrínseco e inseparable a toda medición y conocerás distintos procedimientos para estimarlo. Recalcamos: NO PRESENTES TUS DATOS SIN INDICAR SU MARGEN DE ERROR.

14 En casos especiales, que se harán del conocimiento del catedrático, se autorizará que los reportes sean hechos con máquina de escribir. En estos casos, las gráficas deben ser hechas en papel milimetrado. 15 Esta “media página”, es pensando en un tamaño de letra no mayor de 12 pts.


Cuida de organizar tus datos en tablas o cuadros que faciliten su lectura. Cada tabla o cuadro debe estar debidamente identificada con un número y un título, y explicada brevemente con una nota al pie de la misma (caption). Cuida siempre de anotar debidamente en tus datos, las unidades de

medición empleadas. G. CÁLCULOS EFECTUADOS

Debes indicar en qué consistió cada uno de los cálculos que efectuaste con los datos originales para

obtener los resultados parciales y/o finales. En el caso de que hayan resultados sean parte de una tabla, incluye solamente un cálculo a manera de muestra o ejemplo (no necesitas incluir todos los cálculos efectuados, si todos se efectuaron de la misma manera).

También debes explicar cómo se elaboraron las gráficas (de ser el caso), si se hizo algún análisis estadístico de los datos y los parámetros de los mismos, siempre indicando las unidades de medición

empleadas tanto en los cálculos, como en los resultados obtenidos.

Una parte muy importante de esta sección es la que dedicarás al cálculo del margen de error o incertidumbre en tus resultados, tomando en cuenta el equipo utilizado, el procedimiento empleado y

la contribución del error estadístico propio de todo experimento. En cada práctica, el catedrático te

guiará para que realices eficientemente esta importante tarea. H. RESULTADOS En esta sección debes mostrar, en forma lógica y ordenada, todas los valores, tablas, gráficas, ecuaciones y/o parámetros (según sea el caso) que sean necesarias para reportar los resultados de tu

experimento y mostrar que has alcanzado los objetivos planteados en la práctica. Recuerda indicar el margen de error en tus resultados.

Nuevamente, cuida de que las tablas y gráficas estén identificadas según corresponda, con un número y un título, junto a una breve descripción al pie de cada una, acerca de la información que se presenta. No olvides colocar en el encabezado de tus tablas las unidades empleadas, y en tus gráficas, el nombre de la variable de cada eje, así como las unidades en las cuales está reportada.

I. DISCUSIÓN DE RESULTADOS

Esta sección es una de las más importantes de tu reporte ya que en ella analizarás, evaluarás y defenderás tus resultados experimentales, comparándolos con resultados de otros experimentos, o con valores teóricos y llevando a cabo una cadena de razonamientos lógicos que te lleven hacia una o más conclusiones. Lograras hilvanar lógicamente tus argumentos, si mantienes en mente los objetivos centrales de la práctica que reportas. Por ejemplo, si la práctica pretende comprobar un determinado principio físico, debes hacer un análisis de lo que obtuviste e indicar si llegaste a lo que esperabas o no y por qué, siempre dentro de los límites de error que produce todo experimento. Puesto que debes apoyar tus argumentos tomando como base las leyes y principios de la Física, debes consultar distintas fuentes de información (libros, revistas, sitios de Internet, profesores, etc), citando debidamente las referencias.

J. Conclusiones En esta sección debes indicar en forma clara qué has concluido luego de analizar y discutir los

resultados de tu experimento.


Una conclusión es una aseveración redactada de forma precisa, breve y sin ambigüedades, que se deduce lógicamente de los argumentos que presentaste en la sección de discusión de resultados, y por tanto, que se desprende de tu trabajo y de tu propia deducción.

En cuanto a la redacción de una conclusión, tomemos un ejemplo. Supongamos, que en una

práctica de laboratorio relacionada con el movimiento con aceleración constante (podría tratarse de la segunda práctica de Física I, por ejemplo), después de graficar y analizar sus datos experimentales,

un estudiante concluye así16:

“Bajo las condiciones en que se realizó el experimento, concluimos que la esfera se desplazó a

lo largo de la superficie inclinada con una aceleración que varía con el cuadrado del tiempo.”

La anterior conclusión está correctamente redactada; es precisa, breve y sin ambigüedades. Otra posible redacción hubiera sido:

“Bajo las condiciones en que se realizó el experimento, concluimos que la esfera se desplazó a

lo largo de la superficie inclinada en forma acelerada.”

Pero, esta última forma de redactar es ambigua, ya que sería posible que el lector se preguntara: “¿Acelerada constantemente? ¿Acelerada proporcionalmente al tiempo? ¿Acelerada proporcionalmente a la distancia recorrida sobre la superficie inclinada?”

Al redactar tus conclusiones, también debes dejar claro que las mismas son válidas solamente bajo las condiciones bajo las cuales realizaste tu experimento. ¿Cuántas conclusiones debes incluir? Dependerá de tu capacidad para analizar tus resultados y para mantenerte lógicamente hilvanado a los objetivos centrales de la práctica.

K. REFERENCIAS Debes incluir los datos que identifican completamente a todos y cada uno de los documentos que utilizaste como apoyo en tu discusión de resultados, en la sección de fundamentos teóricos y en

cualquier otra sección del reporte. Por ejemplo, si utilizaste uno de los libros de consulta recomendados en tu programa, puedes anotarlo en esta sección como:

1. Serway & Beichner. FÍSICA PARA CIENCIAS E INGENIERÍA, TOMO 1. Quinta edición en español. McGraw-Hill/Interamericana Editores, S. A. De C.V. México 2002.

De esta forma, cada vez que necesites citar esta fuente, basta con que al final de la cita textual o del

dato, coloques el número de referencia entre corchetes cuadrados, así: “[1]”. Si consultaste sitios de

Internet, no olvides incluirlos en tus referencias.

16 Este sólo es un ejemplo de la posible redacción de una conclusión por un estudiante hipotético, de ninguna forma estamos sugiriendo que es la conclusión correcta para la práctica referida (de hecho, es una conclusión físicamente equivocada).


RESUMEN

Esta práctica de laboratorio tiene como objetivo estudiar qué tipo de movimiento realiza un objeto cuando es dejado caer libremente cerca de la superficie de la Tierra y es posible despreciar cualquier fuerza de fricción. El experimento consistió en dejar caer una esfera de metal desde diferentes alturas y medir el tiempo que le tomó recorrer cada altura. El proceso se repitió varias veces de tal forma que fue posible realizar un tratamiento estadístico de los datos. Para determinar qué tipo de movimiento experimentó la esfera se construyeron los gráficos posición vrs tiempo y posición vrs tiempo cuadrado; del análisis de dichos gráficos se concluyó que la esfera experimentó, dentro de los límites experimentales, un movimiento con aceleración constante cuyo valor es 10.3 ± 0.7 m/s2.

NOTA IMPORTANTE: Es una norma que, el buen estado y funcionamiento de todos los componentes del equipo de laboratorio en las distintas prácticas, ES RESPONSABILIDAD DIRECTA DE TODOS Y CADA UNO DE LOS ESTUDIANTES QUE INTEGRAN CADA GRUPO O MESA DE TRABAJO. En caso de que se averiara o extraviara algún componente del equipo confiado a un grupo, el valor del mismo se distribuirá dentro de los estudiantes que integran tal grupo o mesa de trabajo.

El catedrático a cargo del curso velará porque esta norma se cumpla.


FUNDAMENTOS TEÓRICOS

Puesto que el objetivo de este laboratorio es determinar qué tipo de movimiento describe un cuerpo cuando es dejado caer libremente cerca de la superficie de la Tierra, expondremos en esta sección las características que distinguen a dos tipos fundamentales de movimiento: El movimiento con velocidad constante, y el movimiento con aceleración constante. Sin embargo, previo a hacer tal descripción, definiremos las variables cinemáticas necesarias para estudiar el movimiento de cualquier partícula: Posición: La posición de una partícula que se desplaza unidimensionalmente se define como el valor de su coordenada x respecto a un eje de coordenadas dado, tal como se ilustra en la Figura 1 de abajo:

Velocidad: La velocidad promedio v de una partícula se define como el cociente:

f o

f o

x xxv

t t t

−∆= =∆ −

donde los subíndices o y f se refieren a los valores instantáneos inicial y final, respectivamente, para la posición x y el tiempo .t La velocidad instantánea v se define como el límite cuando 0 :t∆ →

0limt

x dxv

t dt∆ →

∆= =∆

Aceleración: La aceleración promedio a de una partícula se define como el cociente:

,f o

f o

v vva

t t t

−∆= =∆ −

donde los subíndices o y f tienen el mismo significado que en el caso de la velocidad. La aceleración instantánea a se define como el límite cuando 0 :t∆ →

0limt

v dva

t dt∆ →

∆= =∆

Movimiento con velocidad constante: Cuando una partícula se mueve con velocidad constante, la posición x de la partícula depende del tiempo t de forma lineal:

.f ox x vt= +

x

0 1 2 3 -1 Figura 1. Ejemplo de un sistema de coordenadas respecto del cual se proporciona la posición de la partícula (la cajita gris). Para la situación mostrada en la figura, podemos decir que su posición es x= 1.


Por tanto, cuando una partícula se desplaza con velocidad constante, su gráfico x t− luce como una línea recta cuya pendiente es numéricamente igual a la velocidad v y su ordenada al origen es numéricamente igual a la posición inicial ,ox tal como se ilustra en la siguiente figura:

Movimiento con aceleración constante: Cuando una partícula se mueve con aceleración constante, la posición x de la partícula depende del tiempo t de forma cuadrática:

21.

2f o ox x v t at= + +

Por tanto, cuando una partícula se desplaza con aceleración constante, su gráfico x t− luce como una parábola, tal como se ilustra en la siguiente figura:

ox

Pendiente = v

t

x

Figura 2. Gráfico x-t para una partícula que se desplaza con velocidad constante. En la figura se indican los significados físicos de cada uno de los parámetros de la línea recta.

ox

t

x

Figura 3. Gráfico x-t para una partícula que se desplaza con aceleración constante. La pendiente

de la recta tangente en ( )0, ox representa la velocidad inicial ov de la partícula.


Diseño experimental

El presente experimento se realizó utilizando el siguiente equipo:

1. Dos fotointerruptores y una unidad de adquisición de datos DataMeter 1000. 2. Una esfera de metal. 3. Una regla. 4. Un soporte universal. 5. Un gancho de metal. 6. Dos pinzas para fotointerruptores.

Con el equipo listado anteriormente se procedió a armar el siguiente montaje (la esfera de metal se dejó caer a partir del reposo desde el fotointerruptor superior): A continuación se listan los pasos principales llevados a cabo para realizar el experimento:

1. La distancia entre fotointerruptores se fue variando a intervalos de 10.0 0.1± cm comenzando con una separación inicial de 10.0 cm hasta llegar a una separación de 80.0 cm.

2. Para cada una de las diferentes separaciones se tomaron 10 lecturas del tiempo empleado por la

esfera en recorrer cada distancia, partiendo la esfera del reposo.

Fotointerruptores

Gancho de metal

Soporte universal

Figura 4. Montaje experimental empleado en el presente laboratorio. Por simplicidad no se muestra la unidad de adquisición de datos DataMeter 1000 conectada a cada uno de los fotointerruptores.


Datos obtenidos

En la tabla de abajo listamos los datos obtenidos en el laboratorio, con su respectivo error, donde corresponda. El error para el tiempo promedio se ha calculado tal como se indica en la sección titulada “Cálculos efectuados”. Distancia recorrida (x10-2 m)

T1

(s) T2 (s)

T3 (s)

T4 (s)

T5

(s) T6

(s) T7 (s)

T8

(s) T9 (s)

T10 (s)

Tpromedio (s)

10.0±0.1 0.146 0.144 0.145 0.141 0.142 0.153 0.155 0.150 0.152 0.151 0.148±0.004 20.0±0.1 0.196 0.190 0.193 0.187 0.186 0.202 0.202 0.205 0.204 0.196 0.196±0.006 30.0±0.1 0.236 0.236 0.244 0.241 0.240 0.248 0.246 0.253 0.249 0.247 0.244±0.005 40.0±0.1 0.276 0.284 0.276 0.283 0.287 0.303 0.296 0.291 0.294 0.311 0.290±0.009 50.0±0.1 0.303 0.309 0.303 0.303 0.309 0.327 0.325 0.325 0.319 0.326 0.315±0.009 60.0±0.1 0.348 0.340 0.338 0.340 0.335 0.365 0.360 0.365 0.363 0.365 0.352±0.012 70.0±0.1 0.368 0.384 0.385 0.368 0.371 0.394 0.399 0.393 0.397 0.392 0.385±0.010 80.0±0.1 0.393 0.395 0.387 0.400 0.399 0.418 0.409 0.415 0.407 0.405 0.403±0.008

Tabla 1. Datos originales para las diferentes distancias recorridas por la esfera y tiempo empleado. El error en la distancia recorrida ha sido estimado como la escala más pequeña de la regla, mientras que el error en el tiempo corresponde únicamente al error estadístico.


Cálculos efectuados

Para calcular los valores en la columna titulada Tpromedio de la tabla 1 se utilizaron las siguientes ecuaciones:

10

1

10

ii

Tt ==∑

y ( )2

1

( 1)

n

ii

t tt

n n=

−∆ =

−

∑.

A manera de ejemplo, mostramos la aplicación de la primera ecuación a los tiempos correspondientes cuando la distancia recorrida por la esfera fue 10.0 0.1± cm:

0.146 0.144 0.145 0.141 0.142 0.153 0.155 0.150 0.152 0.151 0.1460.148

10t

+ + + + + + + + + += =

Como se indica mas adelante en este informe fue necesario (para fines de linealización) calcular el producto 2t para el cual se aplicó la siguiente fórmula de propagación:

( )( )22

∆+

∆±=y

y

x

xyxyxxy

Considerando que en este caso x y t= = obtenemos:

( )22 2t t t t= ± ∆

Por ejemplo, con el valor 0.148 0.004t = ± correspondiente a una distancia recorrida de 10.0 0.1± cm obtenemos, al aplicar la ecuación de arriba, que ( )2 22.19 0.08 10t −= ± × s2.

El análisis de regresión lineal citado más adelante fue realizado utilizando la hoja electrónica Análisis de datos.xls la cual proporciona también los errores para la ordenada al origen y la pendiente de la recta de mejor ajuste. Para el análisis de regresión lineal en el gráfico ( )log x vrs ( )log t se utilizaron las siguientes

expresiones como estimaciones en los errores:

1

ln10

x

x

∆

para ( )log ,x y

1

ln10

t

t

∆

para ( )log .t

Los valores introducidos en las dos ecuaciones anteriores son los mostrados en la Tabla 1.


Resultados

Con los datos para Tpromedio y distancia recorrida de la Tabla 1 se construyó la Figura 5 la cual muestra la recta de mejor ajuste. Los parámetros de la recta de mejor ajuste, obtenidos a partir de la hoja electrónica Análisis de datos.xls son:

Pendiente: 2.46 ± 0.36 Ordenada al origen: -0.277 ± 0.077

El coeficiente de correlación para la recta de mejor ajuste es 0.9897.

Con el fin de examinar la hipótesis de que la posición x y el tiempo t están relacionados, en este experimento, por una expresión de la forma nx kt= se construyó el gráfico log( )x vrs log( )t el cual se muestra a continuación:

Figura 5. Datos y recta de mejor ajuste para la

posicion de la esfera como funcion del tiempo.

0.00.10.20.30.40.50.60.70.80.9

0.000 0.050 0.100 0.150 0.200 0.250 0.300 0.350 0.400 0.450t(s)

x(m

)

−1.2

−1.0

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0.0

−1.000 −0.800 −0.600 −0.400 −0.200 0.000

x(m

)

log(t)Figura 6. Grafico log(x) vrs log(t)para el conjunto de datos mostradosen la Tabla 1.


Los parámetros de la recta de mejor ajuste, obtenidos a partir de la hoja electrónica Análisis de datos.xls son:

Pendiente: 1.99 ± 0.11 Ordenada al origen: 0.689 ± 0.059

El coeficiente de correlación para la recta de mejor ajuste de la Figura 6 es 0.9986. Finalmente, en la figura de la siguiente página mostramos el gráfico x vrs 2t a partir del cual concluiremos acerca del movimiento de la esfera. Los parámetros de la recta de mejor ajuste, obtenidos a partir de la hoja electrónica Análisis de datos.xls son:


El coeficiente de correlación para la recta de mejor ajuste de la Figura 7 es 0.9978.

Figura 7. Linealizacion del grafico x vrs t

mostrado en la figura 5.

0.00.1

0.20.3

0.40.5

0.60.7

0.80.9

0.000 0.020 0.040 0.060 0.080 0.100 0.120 0.140 0.160 0.180t^2 (s2)

x(m

)


Discusión de resultados

Como indicamos en el resumen, el objetivo de la presente práctica es estudiar qué tipo de movimiento realiza un objeto cuando es dejado caer libremente cerca de la superficie de la Tierra. Con el fin de determinar el tipo de movimiento construimos el gráfico x vrs t para poderlo comparar con aquellos mostrados en las figuras 2 y 3, los cuales corresponden a un movimiento con velocidad constante y con aceleración constante, respectivamente. El gráfico resultante para el conjunto de datos mostrados en la Tabla 1 se muestra en la Figura 5. A pesar de que el coeficiente de correlación es cercano a 1 (r = 0.9897) no podemos considerarlo como una prueba final de que el movimiento se realizó con velocidad constante; de hecho, no esperamos que tal movimiento ocurra en este caso porque la esfera se soltó a partir del reposo y comenzó a moverse, indicando claramente que se trata de un movimiento con aceleración. La pregunta a responder es si se trata de un movimiento con aceleración constante o con aceleración variable. Tal como se indicó en la sección de fundamentos teóricos, cuando una partícula se mueve con

aceleración constante, la posición depende del tiempo de acuerdo con la ecuación 21.

2f o ox x v t at= + + Si

colocamos el origen de coordenadas justo en el punto donde soltamos la esfera (considerando el eje X positivo hacia abajo) entonces, con las condiciones del experimento tenemos:

0ox = y

0.ov =

Con las condiciones anteriores, si el movimiento efectivamente se realiza con aceleración constante,

entonces 21.

2fx at= Investigamos si la posición efectivamente depende del cuadrado del tiempo

(indicando claramente un movimiento con aceleración constante) tomando el logaritmo en ambos lados de la ecuación citada en este párrafo, con lo cual obtenemos:

( )log( ) log 2log .2f

ax t

= +

Definiendo las variables ( )log fY x= y ( )logX t= vemos que podemos expresar

( )log( ) log 2 log2f

ax t

= +

en la forma Y mX b= + por lo que un gráfico Y vrs X (es decir, ( )log fx

vrs ( )log t ) debe lucir como una línea recta con pendiente 2. Este método resulta ser muy conveniente para

averiguar el valor del exponente n cuando se sospecha que dos variables están relacionadas por una expresión de la forma ny kx= donde k es una constante de proporcionalidad.


Con los datos de la Tabla 1 construimos el gráfico ( )log fx vrs ( )log t mostrado en la figura 6 y

obtuvimos una pendiente 1.99 ± 0.11 (con un coeficiente de correlación r = 0.9986) el cual es consistente con una pendiente 2, por lo que podemos estar seguros que el movimiento se realizó, bajo las condiciones estudiadas, con aceleración constante. Finalmente, para obtener el valor numérico de la aceleración, linealizamos el gráfico x vrs t. El

proceso de linealización lo realizamos considerando que en este caso, la ecuación 21

2fx at= puede ser

transformada en una línea recta definiendo las variables fY x= y 2X t= ; con este cambio de variables:

21

2fx at=

⇔ 2

aY X=

por lo que al construir el gráfico Y vrs X (es decir, fx vrs 2t ) debemos obtener una recta con ordenada

al origen igual a cero y una pendiente numéricamente igual a .2a

El gráfico linealizado lo mostramos en la figura 7. De acuerdo a nuestros resultados:


Por lo que el valor de la aceleración es:

( )2 5.25 0.35a = ±

⇔ 10.3 0.7a = ± m/s2

De acuerdo a las referencias bibliográficas, cuando un objeto es dejado caer cerca de la superficie de la Tierra, su movimiento es, aproximadamente, con aceleración constante, con un valor promedio de 9.80 m/s2. Nuestro resultado para la aceleración 10.3 0.7a = ± m/s2 contiene al valor 9.80 m/s2, aunque su valor central difiere en

10.3 9.80100% 5.1%

9.80

− × =

La diferencia entre el valor promedio aceptado 9.80 m/s2 y el valor central de nuestro intervalo, a pesar de haber realizado el experimento con fotointerruptores que proporcionan mediciones del tiempo con una sensibilidad de milésimas de segundo, puede deberse a factores tales como que, para iniciar el conteo del tiempo en los fotointerruptores, la esfera fue soltada ligeramente arriba del primer fotointerruptor, de tal forma que cuando el tiempo comenzó a correr en los fotointerruptores, la rapidez inicial no era cero, por lo que cada intervalo de tiempo era menor al que llevaba la esfera en movimiento. De hecho, del análisis de regresión lineal del gráfico fx vrs 2t obtuvimos que la ordenada al origen es -0.0140 ± 0.0105, la cual no es

consistente con cero, tal como esperaríamos si la rapidez inicial fuera cero.


Otro factor que puede haber influido, aunque no lo investigamos a profundidad, es la corta distancia recorrida al principio por la esfera; por ejemplo, para los primeros 10.0 cm, hay una contribución del (0.1/10.0)*100% = 1% al error global (solo en la medición de la posición), por lo que quizás sea más conveniente realizar el experimento con distancias mayores. Aunque nuestra investigación indica que el movimiento se realizó con aceleración constante, no podemos generalizar el resultado ya que, como es sabido, cuando dos hojas de papel del mismo tamaño, una extendida y la otra “hecha bolita” son dejadas caer, no caen simultáneamente debido al efecto de la fricción con el aire. Sin embargo, nuestro resultado indica que para la esfera de metal la fricción con el aire es despreciable. Finalmente, de acuerdo a nuestra investigación bibliográfica, cuando la fricción con el aire es despreciable, y el objeto es dejado caer cerca de la superficie de la Tierra, efectivamente se mueve con aceleración casi constante; sin embargo, cuando el objeto es dejado caer desde alturas considerables, la ley de Gravitación universal de Newton establece que el movimiento se realizará con aceleración variable.


Conclusiones

De acuerdo a nuestros resultados y a la investigación bibliográfica concluimos que, cuando la fuerza de fricción es despreciable y un objeto es dejado caer cerca de la superficie de la Tierra, éste se moverá con aceleración constante.

Referencias

1. Serway & Beichner. FÍSICA PARA CIENCIAS E INGENIERÍA, TOMO 1. Quinta edición en español. McGraw-Hill/Interamericana Editores, S. A. De C.V. México 2002.

2. Louis Lyons. A PRACTICAL GUIDE TO DATA ANALYSIS FOR PHYSICAL SCIENCE

STUDENTS. Cambridge University Press 1991.


(ESTA HOJA LA DEBES ADJUNTAR AL FINAL DE TU REPORTE SIEMPRE)

HOJA DE EVALUACIÓN DE REPORTES DE LABORATORIO DE FÍSICA Estudiante:__________________________________ Carnet:_____________ Fecha Entrega:_________ Curso: _______________________ Sección: ______ Catedrático:_______________________________ Práctica número:___________Nombre de la práctica :_________________________________________ Auxiliar:____________________________________ Calificado por: �� Catedrático �� Auxiliar 1. Resumen (Media página aprox.) 2. Fundamentos Teóricos (Una página aprox.) €€€€ El título de la sección está indicado. €€€€ Está claramente especificado el (los) objetivo(s) c entral(es)

del experimento. €€€€ Está CLARA Y BREVEMENTE especificado cómo se utiliz ó

la información recopilada en el laboratorio. €€€€ Está(n) claramente especificada(s) los resultados, la(s)

conclusión(es) final(es) del experimento y su límit e de validez.

€€€€ Los distintos párrafos del sumario tienen relación unos con otros.

€€€€ El título de la sección está indicado. €€€€ Se incluyen las definiciones o conceptos físicos ce ntrales

relacionados directamente con la práctica. €€€€ Se citan correctamente las fuentes consultadas.

€€€€ La exposición de los conceptos e ideas es breve y coherentemente redactada.

€€€€ Los conceptos que aparecen en esta sección son lueg o citados en la sección de Discusión de Resultados.

TOTAL: /10 PUNTOS TOTAL: /5 PUNTOS

3. Diseño Experimental (Una página aprox.) 4. Datos Obtenidos €€€€ El título de la sección está indicado. €€€€ Se muestra un diagrama del montaje experimental en el cual

se indican claramente las distintas partes que lo c omponen. €€€€ El diagrama está debidamente identificado.

€€€€ El diagrama tiene un adecuado pie de figura. €€€€ Están claramente indicados los pasos del procedimie nto

seguido en el experimento.

€€€€ El titulo de la sección está indicado. €€€€ Los datos medidos en el laboratorio se presentan en una tabla (o varias si es necesario). €€€€ Se reporta error o incertidumbre en los datos medid os. €€€€ Los datos presentan el número correcto de cifras si gnificativas.

€€€€ La(s) tabla(s) está(n) debidamente identificadas.

€€€€ La(s) tabla(s) tiene(n) una adecuada descripción (pie de tabla) de la información que en ella(s) se muestra(n).

€€€€ Las columnas tienen identificadas las variables y las unidades correctamente.

TOTAL: /5 PUNTOS TOTAL: /10 PUNTOS

5. Cálculos Efectuados 6. Resultados €€€€ El título de la sección está indicado.

€€€€ Se ha indicado claramente las fórmulas o expresiones algebraicas, utilizadas en los cálculos.

€€€€ Se manejó correctamente el número de cifras significativas en los cálculos.

€€€€ Se han expresado correctamente las unidades.

€€€€ Se da UNA MUESTRA de cómo se calcularon todas las cantidades físicas involucradas y los resultados parciales y finales. (Aclaración: En caso de cantidades calculadas que luego aparecen en tablas, no se requiere mostrar todos y cada uno de los cálculos, sino solamente un cálculo, a manera de muestra o ejemplo.)

€€€€ Los cálculos se hicieron de manera ordenada y clara. €€€€ Los cálculos son correctos. €€€€ Se muestra como se calcularon las incertidumbres en las

mediciones.

€€€€ Se indica que se ha efectuado el ajuste a una línea recta utilizando la hoja electrónica Análisis de Datos.xls (si aplica).

€€€€ El título de la sección está indicado.

€€€€ Los gráficos han sido generados a partir de los datos medidos en el laboratorio.

€€€€ Se han escogido correctamente las variables a representar en cada eje.

€€€€ Los ejes están claramente identificados y con las unidades correctas.

€€€€ Los puntos experimentales están correctamente localizados en la(s) gráfica(s).

€€€€ Se muestran incertidumbres o errores asociadas a ca da dato experimental (si es una gráfica) y en cada resultad o.

€€€€ Se ha escogido para cada gráfica la escala apropiada.

€€€€ La(s) gráfica(s) tiene(n) un número que la(s) identifica(n).

€€€€ La(s) gráfica(s) tiene(n) una adecuada descripción (pie de figura) de la información que en ella(s) se muestra(n).

€€€€ La gráfica muestra la curva de mejor ajuste a los datos experimentales (si aplica), junto a su ecuación, o parámetros con sus incertidumbres y coeficiente de correlación.

€€€€ Los resultados son físicamente correctos. TOTAL: /20 PUNTOS TOTAL: /25 PUNTOS


7. Discusión de resultados (Una página mínimo) 8. Conclusiones €€€€ El título de la sección está indicado. €€€€ Los resultados del experimento son analizados e

interpretados correctamente. €€€€ Si aplica, se les compara con resultados reportados en otras

fuentes, debidamente citadas. €€€€ Si los resultados no corresponden con los esperados se

discuten las posibles fuentes de error sistemático .

€€€€ Se invoca la sección de Fundamentos Teóricos y se citan las fuentes bibliográficas aludidas.

€€€€ La sección está redactada de forma coherente, salvo quizás algunos pocos errores de redacción.

€€€€ Se presentan razonamientos que permitan llegar a un a (o varias) conclusión (conclusiones) en la siguiente s ección .

€€€€ El título de la sección está indicado. €€€€ La(s) conclusión(es) está(n) basada(s) en la discus ión de

resultados. €€€€ Se indica el límite de validez de la(s) conclusión(es). €€€€ La(s) conclusión(es) está(n) redactada(s) correctamente y sin que de(n)

lugar a ambigüedades. €€€€ La(s) conclusión(es) es(son) correcta(s).

TOTAL: /10 PUNTOS TOTAL: /15 PUNTOS EVALUACION CUALITATIVA GENERAL DEL REPORTE:

€ Se han presentado todas las secciones pedidas en el instructivo sobre cómo reportar. € El proceso de lectura de todo el reporte es ininterrumpido, estando todas las secciones lógicamente conectadas. € El reporte tiene una buena presentación, orden y limpieza.


Universidad Rafael Landivar Campus Quetzaltenango Facultad de Ingeniería Fisilab 2011

CINEMATICA DE LA ROTACIÓN Practica 1 de Laboratorio

1. DESCRIPCIÓN: En esta práctica de laboratorio se estudiarán las características del movimiento realizado por un disco giratorio sobre un eje, el cual con la ayuda de una masa colgante inicia su movimiento. Para realizar la investigación del movimiento, será necesario establecer un punto de referencia en el disco giratorio y contar el número de revoluciones que da en determinado tiempo y a distintas alturas hasta que la masa choque con el suelo. Con los datos recopilados se construirá dos gráficos, uno de de posición angular θ vrs tiempo t, y otro de altura Y vrs tiempo t, y a partir de su estudio, regresión lineal y modelo matemático se determinará no solo el tipo de movimiento sino también la aceleración angular α, aceleración lineal a, así como la predicción del radio R del disco mas pequeño. Todo el estudio anterior debe ser basado en la relación que tiene el movimiento rotacional con el lineal. Rotacional θ=ωot + 1/2αt2 y ω= ωo+αt, lineal Y=Vot + 1/2a t2 y V=Vo + at, lo cual puede observarse con la aceleración a (aceleración tangencial) a=αxR, que tiene una dependencia con la aceleración angular.

Consideremos un movimiento circular uniformemente variado cuya aceleración angular tiene el

valor α. Puede establecerse la relación entre α, la velocidad angular ω y el espacio angular recorrido ϕ a partir de la definición de α:

dt

dωα = ϕωωϕ

ϕωα

d

d

dt

d

d

d ==

Si en el instante que tomamos como ϕ = 0 la velocidad angular es ω0, la integración de la ecuación anterior conduce a la relación cinemática entre α, ω, y ϕ (ecuación [1]).

∫∫ ∫ ==ϕω

ω

ϕ

ϕαϕαωω000

ddd

αϕωω

ω=

0

2

2 αϕωω 22

02 =− [1]


De acuerdo con la ecuación [1] si se mide la velocidad angular ω correspondiente a diferentes ángulos ϕ recorridos en un movimiento angular uniformemente decelerado debe obtenerse la siguiente relación:

αϕωω 220

2 −= [2]

donde la aceleración angular es -α. 2. OBJETIVOS:

• Estudiar la cinemática de la rotación de forma experimental de un disco que gira debido a una masa colgante.

• Determinar los tipos de aceleración (angular y tangencial) que experimenta el disco durante su movimiento, haciendo uso de un modelo matemático.

• Predecir el radio del disco donde se halla enrollado el cordel, mediante un análisis gráfico y posterior comparación con el valor real (valor medido).

• Hacer uso de la propagación de incertezas para lograr valores cercanos al real.

3. MATERIALES Y EQUIPO:

3.2 Materiales • 3” Masking Tape • 1m de Hilo sintético

3.2 Equipo(por grupo) • Juego de discos giratorios con su eje • Un cronometro • Un soporte universal • Una regla de madera de un metro • 1 masa de 10g • Una nuez doble • Pie de rey(se coloca al final de la práctica)

4. DESARROLLO:

4.1 Armar el equipo tal como se muestra en la figura 1 y fotografía 1., colocando el disco a

una altura de 82cm de altura del eje a la mesa, colocando el cáñamo en el segundo disco y colgando al extremo del mismo, la masa de 10g.

4.2 Colocar una marca de referencia en el disco, como se observa en la fotografía 2, donde el ángulo y la altura son cero, posterior a ello medir las 6 revoluciones con sus respectivas posiciones en Y anotar estos datos en sus respectivas tablas (tabla 1 y tabla 2 respectivamente). Para cada una de las alturas es necesario tomar la distancia desde la mesa hasta la base de la masa como se observa en la fotografía 3.


4.3 Libere el sistema a partir del reposo, y mida el tiempo que tarda en completar una revolución, realice esta medición cinco veces anotando sus datos en las casillas correspondientes de la tabla 1 y 2.

4.4 Repetir el paso anterior para 2 revoluciones, 3 revoluciones, etc. hasta completar seis vueltas.

4.5 Usar la tabla 1 para anotar las mediciones con sus respectivas incertezas del número de

revoluciones en radianes y sus respectivos tiempos, calculando el tiempo promedio.

4.6 Utilizar la hoja electrónica de análisis de datos .xls para construir el gráfico θ-t. De la observación de la forma del gráfico θ-t, ¿Qué conclusión se puede obtener del disco giratorio?

4.7 Linealizar el gráfico θ-t2 utilizando la hoja electrónica análisis de datos .xls. ¿Cuál es el modelo

matemático que se puede obtener y qué significado físico tiene la pendiente en este gráfico?

4.8 Llenar la tabla 2. con los datos requeridos, aplicar los pasos 4.6 y 4.7 para el análisis, solo que esta vez es Y-t y Y-t2, realice sus observaciones y concluya.

4.9 De las pendientes obtenidas en ambos gráficos, halle la relación para predecir el radio de la polea donde se colocó la masa con sus respectivas incertezas

4.10 Mida directamente el radio donde colocó el cáñamo haciendo uso de un pie de rey y compárelo con el obtenido en el inciso anterior y calcule el porcentaje de error.

Figura 1.

Disco Giratorio

Soporte universal Masa Colgante

Cáñamo Altura Y

Mesa de laboratorio


Fotografía 1. Fotografía 2. Fotografía 3. Tabla 1. Posición angular y tiempo promedio No. De vueltas

θ, en radianes

t1(s) t2(s) t3(s) t4(s) t5(s) t (tiempo promedio)(s)

2t (tiempo promedio al cuadrado)(s2)

1 + + + 2 + + + 3 + + + 4 + + + 5 + + + 6 + + + Para cada posición “θ” dada, se miden 5 tiempos, se calcula el tiempo promedio con su respectivo error

cuadrático medio haciendo uso de la expresión 1.2 así como también el 2

t (tiempo promedio al cuadrado). NOTA: LA INCERTEZA APROXIMADA DE θ θ θ θ ES 3.00º


Tabla 2. Posición Y & tiempo promedio No. De vueltas

Y altura en m

t (tiempo promedio)(s)

2t (tiempo promedio al cuadrado)(s2)

1 + + + 2 + + + 3 + + + 4 + + + 5 + + + 6 + + +

Para cada altura Y se toman los valores los tiempos de la tabla 1



DINÁMICA DE LA ROTACIÓN MOMENTO DE INERCIA DE UN CONJUNTO DE DISCOS

PRACTICA 2 DE LABORATORIO

1. DESCRIPCIÓN: En esta práctica de laboratorio se estudiarán las características del movimiento realizado de un conjunto de discos, el cual con la ayuda de una masa colgante inicia su movimiento. Para realizar la investigación del movimiento, será necesario establecer un punto de referencia en el disco giratorio midiendo su altura respectiva y medir el tiempo que tarda en caer la masa colgante a distintas alturas, con estos datos es posible determinar a (aceleración tangencial) y V (velocidad tangencial), de igual manera se tomará en consideración el radio de cada uno de los discos para poder calcular la masa de los 3 discos restantes. Todo el estudio anterior será necesario para poder determinar el momento de inercia total del sistema, haciendo uso del momento de torsión que la masa le produce al sistema, asumiendo que la inercia y fricción en el eje son despreciables y así alcanzar una predicción del mismo y compararla con el obtenido mediante datos experimentales.


2. OBJETIVOS:

• Estudiar la dinámica del movimiento rotacional. • Determinar el momento de inercia total del juego de discos. • Comparar el momento de inercia total obtenido de manera experimental con el teórico,

mediante el calculo de la masa y volumen de cada disco. • Hacer uso de la propagación de incertezas y así hallar valores muy aproximados al real.

3. MATERIALES Y EQUIPO: 3.1 Materiales

• Masking Tape 2.5” • 1 m de Hilo sintético

3.2 Equipo (por grupo)

• Juego de discos giratorios con su eje • Un cronometro • Un soporte universal • Una regla de madera de un metro • Masa de 10g • Masa de 20g • Una nuez doble • Un calibrador Vernier • Balanza


4. DESARROLLO: 1. Mida el radio de cada disco y anótelo en el espacio correspondiente de las tablas, empezando

con el radio más pequeño. 2. Armar el equipo tal como se muestra en la figura 1, y como lo indique el catedrático, enrollando

el cáñamo en el disco con radio más pequeño, colocando el extremo del mismo, la masa de 20g.

3. Enrolle el cáñamo en el disco hasta que la masa alcance una altura de 0.40m. 4. Libere el sistema a partir del reposo, y mida el tiempo que tarda en caer siete veces, anote sus

datos en la casilla correspondiente de la tabla 1. 5. Repetir el paso 1 y 2 pero ahora para el disco siguiente y colgando una masa de 10g, siempre

liberarlo a la misma altura, de la misma manera haga con los dos discos subsiguientes, anotando sus datos en la tabla 1. NO OLVIDE CALCULAR SUS INCERTEZAS PARA CADA CASO.

6. Calcule el tiempo promedio para cada disco y anote sus resultados en las casillas correspondientes de la tabla1.

7. Calcule la aceleración lineal , la velocidad tangencial y realice un análisis dinámico, haciendo uso de sumatoria de torque para calcular el momento de inercia de cada radio. NO OLVIDE REALIZAR SU DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE y anote sus resultados en la tabla 2.

8. Compare el momento de inercia de cada caso y obtenga un promedio con los cuatro datos y calcule su incerteza.

9. Comparar el valor promedio del momento de inercia obtenido en la tabla 2 con el valor obtenido en la tabla 3, cada uno con sus respectivas incertezas.

Disco Giratorio

Soporte universal Masa Colgante

Cáñamo

Altura Y

Mesa de laboratorio


Tabla 1. Desplazamiento vertical y tiempo promedio Disco con radio

Altura ∆∆∆∆y(m)

t1(s) t2(s) t3(s) t4(s) t5(s) t6(s) t7(s) t (tiempo promedio)(s)

+ + + + + + + + + + + +

Para obtener la velocidad y la aceleración tangencial, será necesario utilizar cinemática, así como realizar sumatoria de torques respecto al disco para hallar el momento de inercia del sistema. Tabla 2. Calculo de I, a y V con datos experimentales.

Disco con radio

Altura ∆∆∆∆y(m)

V(velocidad tangencial)m/s

a(aceleración tangencial)m/s2

Itotal(momento de inercia total del sistema) Kg-m2

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

I prom + Preguntas de apoyo.

1. ¿El momento de inercia es el mismo en todos los casos? De ser así. ¿por qué? 2. Es posible calcular el momento de inercia de cada disco por separado, si, no, ¿por qué? 3. Realice un modelo para calcular el momento de inercia del sistema haciendo uso de

conservación de la energía.


Universidad Rafael Landivar Campus Quetzaltenango Facultad de ingeniería. Fisilab 2011

MODULO DE ELASTICIDAD O MODULO DE YOUNG

PRACTICA 3

1. DESCRIPCIÓN: En esta práctica de laboratorio estudiarás el comportamiento elástico de un trozo de hilo de Nylon. Para realizar el estudio colgarás el hilo de un soporte universal y en su extremo libre agregarás masas de diferentes valores. Para cada masa que agregues determinarás el esfuerzo y la deformación unitaria del hilo. Con los datos que recopiles construirás el gráfico de esfuerzo vrs deformación unitaria para el hilo de nylon, lo que te permitirá calcular su módulo de Young, así como arribar a tus conclusiones. 2. MATERIALES Y EQUIPO:

2.1. Materiales 2.1.1. Hilo Nylon(hilo de pescar de 0.2mm de diámetro) 2.1.2. Cinta adhesiva.

2.2. Equipo (Por grupo)

2.2.1. Un Soporte universal completo 2.2.2. Un juego de masas. 2.2.3. Una nuez doble 2.2.4. Una barra de aluminio 2.2.5. Una prensa. 2.2.6. Una regla graduada en mm. 2.2.7. Una escuadra.

3. DESARROLLO 3.1. Arma el equipo como se muestra en la figura.


3.2. Mide lo siguiente:

3.2.1. La longitud Lo del hilo sin que se le agregue carga alguna, y estando el hilo colgando del soporte universal. No olvides indicar la incertidumbre en la medición.

3.2.2. La longitud L que tiene el hilo después de colgarle una masa. No olvides indicar la incertidumbre en la medición.

3.2.3. Lee el valor de la fuerza que muestra el sensor. El valor que está impreso en la masa puede no coincidir con el valor real. No olvides indicar la incertidumbre en la medición. Recuerda que es posible que en algún momento se rompa el hilo, por lo que debes tener cuidado de que las masas no se golpeen al caer ni te caigan en un pie.

3.2.4. Repite los pasos 3.2.2. y 3.2.3 diez veces. Utiliza la Tabla 1 para anotar tus datos originales.

3.3. Calcula el área de la sección del hilo. El diámetro del hilo viene dado por el fabricante.

Pregunta a tu profesor sobre su valor. No olvides que supondremos que cualquier variación en el radio del hilo es despreciable. No olvides indicar la incertidumbre en la medición.

Masa (kg) Peso (N) ∆L = L – Lo (m) e = ∆L/Lo σ = F/A (N/m2) ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ±

Tabla 1. Datos originales y calculados para la práctica de laboratorio.

3.4. Con los datos de la Tabla 1 construye el gráfico esfuerzo σ - deformación unitaria e. Puedes usar la hoja análisis de datos.xls para construir tu gráfico, pero en este momento no debes realizar análisis de regresión lineal. ¿Se parece tu gráfico al mostrado abajo?

σ e


Figura 1. Comportamiento típico del gráfico σ - e para un material.

3.4.1. Calcula el módulo de Young para el hilo de nylon. Es probable que tengas que dejar fuerza algunos de tus datos originales (¡los que no caigan dentro de la región lineal¡). Utiliza la hoja electrónica análisis de datos.xls para calcular el módulo de Young.

3.4.2. ¿Por qué la gráfica tiene un punto final bien establecido? 3.4.3. ¿Esperarías que tus resultados fueran sustancialmente diferentes si cambiaras el diámetro

o la longitud del hilo de nylon? Explica tu respuesta.



Práctica de Laboratorio 4 DEMOSTRACIÓN DEL MOVIMIENTO ARMONICO EN UN PÉNDULO SIMPLE

INTRODUCCIÓN: Un péndulo consiste de un objeto de masa m sujeta al extremo de un hilo de longitud L el cual puede oscilar en torno a un punto fijo, tal como se muestra en la figura 1. Figura 1. Péndulo que puede girar en torno a un punto fijo. La posición del péndulo en cualquier instante se especifica dando el ángulo θ que forma el hilo con respecto a la línea vertical. Si el péndulo es desplazado un cierto ángulo inicial oθ y luego se suelta, éste se desplazará hasta el

extremo opuesto hasta llegar a formar un ángulo oθ con la vertical; luego regresará al punto inicial de

partida. Al tiempo T que le toma realizar este recorrido se le denomina período de oscilación.17 En ésta práctica de laboratorio investigará de qué factores ( ,m ,L o θ ) depende el período de oscilación T del péndulo. Para realizar la investigación, planteará una hipótesis y variará uno a uno los factores, dejando los otros dos constantes. Después de tomar sus datos en el laboratorio construirá los gráficos T vrs ,m T vrs L y T vrs .θ A partir del análisis de los gráficos que construya concluirá sobre los factores que afectan el período de oscilación del péndulo. Finalmente comparará sus resultados experimentales con sus hipótesis y con los resultados reportados en la literatura. EQUIPO DE LABORATORIO: � Hilo de longitud de entre 1.50 y 2.00 m � Juego de masas con gancho 4 100g � Cronómetro � Soporte universal � Nuez doble � Varilla de aluminio � Regla de un metro � Transportador � Balanza 17 Aquí supondremos que cualquier efecto de fricción es despreciable.


PROCEDIMIENTO: 1. ESTUDIO DE LA DEPENDENCIA DEL PERÍODO DE OSCILACIÓN T CON LA MASA .m � Plantee una hipótesis: ¿piensa que el período de oscilación, T, varía con la masa del péndulo? � Monte un sistema semejante al de la Figura 1 y deje fijas como condiciones iniciales 0 15.0 0.1θ = ±o o y 1.000 0.001L = ± (m). � Mida el tiempo que le toma al péndulo realizar 10 oscilaciones y anote su resultado en la Tabla 1. � Repita el procedimiento agregando cada vez una nueva masa al péndulo.

Tabla 1. Datos tomados en el laboratorio para el estudio de la dependencia del período de oscilación de un péndulo con la masa. Se

han fijado como condiciones 0 15.0 0.1θ = ±o o y 1.000 0.001L = ± (m).

2. ESTUDIO DE LA DEPENDENCIA DEL PERÍODO DE OSCILACIÓN T CON LA LONGITUD .L � Plantee una hipótesis: ¿piensa que el período del péndulo, varía con la longitud del péndulo? � Monte un sistema semejante al de la Figura 1 y deja fijas como condiciones iniciales 0 15.0 0.1θ = ±o o y 100.0 0.1m = ± (g). � Mida el tiempo que le toma al péndulo realizar 10 oscilaciones cuando su longitud es 0.250 0.001± (m) y anote su resultado en la Tabla 2. � Repita el procedimiento variando la longitud en intervalos de 0.250 0.001± (m).

Tabla 2. Datos tomados en el laboratorio para el estudio de la dependencia del período de oscilación de un péndulo con la longitud.

Se han fijado como condiciones 0 15.0 0.1θ = ±o o y 100.0 0.1m = ± (g).

Corrida Masa m (g)

Tiempo para 10 oscilaciones t (s)

Período T = t/10 (s)

1 ± ± ± 2 ± ± ± 3 ± ± ± 4 ± ± ± 5 ± ± ±

Corrida Longitud L (m)



1 ± ± ± 2 ± ± ± 3 ± ± ± 4 ± ± ± 5 ± ± ± 6 ± ± ± 7 ± ± ± 8 ± ± ±


3. ESTUDIO DE LA DEPENDENCIA DEL PERÍODO T DE OSCILACIÓN CON LA POSICIÓN ANGULAR INICIAL .oθ � Plantee una hipótesis: ¿piensa que el período del péndulo varía con la posición angular inicial? � Monte un sistema semejante al de la Figura 1 y deje fijas como condiciones iniciales 2.000 0.001L = ± (m) y 100.0 0.1m = ± (g). � Mida el tiempo que le toma al péndulo realizar 10 oscilaciones cuando su posición angular inicial es 15.0 0.1±o o y anote su resultado en la Tabla 3. � Repita el procedimiento disminuyendo la posición angular inicial a intervalos de 3.0 0.1 .±o o

Tabla 3. Datos tomados en el laboratorio para el estudio de la dependencia del período de oscilación de un péndulo con la longitud. Se han fijado como condiciones 2.000 0.001L = ± (m) y 100.0 0.1m = ± (g).

ANÁLISIS DE DATOS: Siga estas sugerencias al analizar la información que obtuvo de sus mediciones en el laboratorio:

� Realice los gráficos en una hoja electronic de excel. Escoja adecuadamente la escala a utilizar en ambos ejes y cuide de incluir el cero. No olvide graficar cada punto con sus barras de incerteza o error experimental.

� Una vez construidos los gráficos T vrs ,m T vrs L y T vrs .θ ¿Qué puede concluir a partir de la forma de los mismos?

� Para investigar un modelo matemático que describa sus gráficos, puedes utilizar la hoja electrónica “Analisis de datos.xls”, que se le enseñará a usar en clase. Esta hoja también le auxilia para construir de una manera más precisa los gráficos T vrs ,m T vrs L y T vrs .θ

� La hoja de “Análisis de datos.xls” también le da los parámetros de la recta de mejor ajuste a un gráfico. Investigue el significado de cada uno de estos parámetros para cada uno de los gráficos construidos y también el significado del coeficiente de correlación lineal para cada gráfico. A partir del coeficiente de correlación lineal, ¿cuál o cuáles de los gráficos se ajustan a una recta, y cuáles no?

� Compare sus resultados obtenidos con la teoría, cuál es la relación que describe el período de oscilación de un péndulo simple.

Corrida Posición Angular Inicial θθθθi (o)



1 ± ± ± 2 ± ± ± 3 ± ± ± 4 ± ± ± 5 ± ± ±


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ESTATICA DE LOS FLUIDOS. Practica 6

1. OBJETIVOS: Al terminar el reporte de esta práctica, el alumno estará en capacidad de:

1.1 Manipular los principios que norman la estática de los Fluidos. 1.2 Responder satisfactoriamente a las preguntas planteadas en este instructivo. 1.3 Utilizar criterios bien definidos para evaluar las incertezas en las lecturas de los datos

obtenidos. 1.4 Calcular experimentalmente, la densidad de cuerpos sólidos que tengan densidad mayor o menor

que la del agua. 1.5 Utilizar adecuadamente el principio de Arquímedes en la determinación del empuje. 1.6 Manipular adecuadamente el equipo a utilizarse en esta práctica.

2. MATERIALES Y EQUIPO: 2.1 Materiales 2.1.1 Agua potable 2.1.2 Hilo de algodón o de plástico

3. Equipo (Por grupo)

3.1 Un soporte metálico completo 3.2 Una balanza analítica. 3.3 Una probeta de 100 ml. 3.4 Un Beaker de 1000 ml. 3.5 Tres muestras de diferentes materiales metálicos. 3.6 2 barras de aluminio 3.7 2 nueces dobles 3.8 1 clip 3.9 Mesa de trabajo.

4. DESARROLLO:

4.1. Arme el equipo como le indica su catedrático y como aparece en la fotografía 1 asegurando bien las nueces dobles a las barras de aluminio.

4.2. Sujete el sistema anterior a la mesa de trabajo haciendo uso de un sargento (no apriete demasiado el sargento para no dañar la mesa), y coloque la balanza a una altura no mayor de 44cm respecto a la mesa tal y como aparece en la fotografía 2.

4.3. Doble el clip y amárrele 25cm de cáñamo tal y como aparece en la fotografía 3 y 4. 4.4. Coloque el clip con el cáñamo en la balanza tal y como lo indica el catedrático y ajuste la

balanza para que esté en equilibrio marcando 0 gramos antes de realizar cualquier medid tal y como se muestra en la fotografía 5.


4.5. Cuelgue de la balanza, uno de los cuerpos metálicos, como se ilustra en la fotografía 6. Equilibre la balanza en estas condiciones y anote su lectura en casilla correspondiente de la tabla.

4.6. Coloque la probeta con 50ml de agua(o lo que indique el catedrático) en la parte de debajo de donde pende el cuerpo, sumerja cuidadosamente en su totalidad el cuerpo que pende del hilo , como se muestra en la fotografía 7 . Equilibre la balanza en estas condiciones y anote su lectura en la tabla, asi también anote cuantos mililitros desplazó el cuerpo.

4.7. Repita este procedimiento para las otras muestras metálicas. 5. Realice los cálculos necesarios para determinar:

5.1. El empuje que actúa sobre cada metal con sus respectivas incertezas 5.2. Haciendo uso del principio de Arquímedes, determine la densidad en kg/m3de los metales que

sumergió realizando un diagrama de cuerpo libre para cada caso no olvide realizar cálculo de incertezas.

5.3. Compare el valor obtenido en cada metal, contra la tabla 14.1 de su libro de texto, no olvide realizar cálculo de incertezas.

6. Figuras y fotografias

Fotografía 1. Colocación de varillas al soporte. Fotografía 2. Montaje de la balanza

Fotografía 3. Cáñamo y clip. Fotografía 4.Colocación del cáñamo y clip a la Balanza


Fotografía 6. Cuerpo metálico suspendido en la balanza

Fotografía 5. Puesta a cero de la balanza con el cáñamo y clip.

Fotografía 7. Cuerpo metálico sumergido en la probeta.


Figura No 1 Figura No 2


Universidad Rafael Landivar Campus Quetzaltenango Facultad de ingeniería Física 2

OSCILACIONES. Practica 6


Universidad Rafael Landivar Campus Quetzaltenango Facultad de ingeniería Física 2

EQUILIBRIO DE CUERPOS RÍGIDOS. Practica Opcional


Pie de Rey Pierre Vernier (1580-1637) introdujo un instrumento de medición que se utiliza para medir el diámetro interno, diámetro externo o la profundidad de un objeto. En español, a tal instrumento se le conoce con el nombre de Pie de Rey. En la figura de abajo se muestra una fotografía de un Pie de Rey, junto con una indicación de las partes del instrumento que se utilizan para medir diámetro interno, diámetro externo y profundidad. Figura 1. Fotografía de una clase de calibrador de pie de Rey, común en el laboratorio de Física. Se indican las distintas partes del calibrador que son utilizadas para realizar mediciones.

En la figura de la derecha se muestra la forma en cómo debe ser colocado un objeto en el Pie de Rey para poder realizar mediciones. En el Pie de Rey existen dos escalas: La escala principal fija, y la escala auxiliar móvil. Ambas escalas se ilustran en la fotografía de la derecha.

105

En el Pie de Rey, un cierto número n de divisiones en la escala móvil es equivalente a 1n − divisiones en la principal. En la fotografía de la derecha se muestra que diez divisiones en la escala móvil, equivalen a nueve divisiones en la escala fija (observe la parte inferior de la fotografía, en la cual la escala fija está en centímetros). La escala móvil inferior es más corta, por un décimo, que la escala principal fija. Suponga que ha utilizado el Pie de Rey para realizar alguna medición (de diámetro o de profundidad), y como resultado, obtiene algo como lo ilustrado en la figura de abajo (por fines de claridad, mostramos un dibujo con una escala mayor a la real y con solo una porción de la escala fija). ¿Cuál es el resultado de la medición? Primero debe localizar dónde se encuentra el cero de la escala móvil (B en la figura). En este ejemplo, el cero de la escala móvil se encuentra entre el tercero y cuarto milímetro de la escala fija; esto significa que la medición debe ser mayor que 0.3, pero menor que 0.4 cm. Para determinar la siguiente cifra decimal se debe buscar dos líneas, una en la escala fija y otra en la escala móvil, que coincidan; el número de la línea en la escala móvil que coincide con una línea de la escala fija corresponde a la siguiente cifra decimal de la medición. En este caso, es la línea 6 en la escala móvil. ¡La lectura de la medición es 0.36 cm! El Pie de Rey permite hacer mediciones hasta el 0.01 cm más cercano, por lo que la medición final, en el caso de que solo se haga una, puede ser reportado como 0.360 ± 0.005 cm, es decir, estamos seguros con un 68% de probabilidad de que la verdadera longitud se encuentra entre 0.355 y 0.365 cm. ¡Tenemos una medición con una cifra significativa más que en el caso que hubiéramos utilizado una regla común! Otro aspecto que es importante considerar al momento de realizar mediciones con el Pie de Rey es que los ceros de ambas escalas (fija y móvil) deben coincidir cuando el medidor se encuentra totalmente “cerrado”, como se muestra en la siguiente fotografía.

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En el caso que esto no suceda, debe hacerse una corrección en la medición. Considere el caso que se ilustra abajo, en el cual, al estar completamente cerrado el Pie de Rey, los ceros de ambas escalas no coinciden. La corrección se hace determinando primero si el cero de la escala móvil se encuentra a la izquierda (o a la derecha) del cero de la escala fija. En la fotografía de arriba, el cero de la escala móvil se encuentra a la derecha de la escala fija, por lo que se dice que debe hacerse “una corrección negativa”. A continuación se determina el número de línea, en la escala móvil, que coincida con una línea de la escala fija (en este ejemplo, la línea número 5). Cualquier medición que se haga con el Pie de Rey será 0.05 cm más grande, por lo que a cualquier medición que se haga, se le debe sustraer 0.05 cm. En el caso de que el cero de la escala móvil se encuentre a la izquierda del cero de la escala fija, se dice que debe hacerse “una corrección positiva”. Nuevamente se busca el número de línea, en la escala móvil, que coincida con una línea de la escala fija, y a la medición realizada se le deberá sumar la correspondiente cantidad. En algunas ocasiones sucede que el número de líneas en la escala móvil de un Pie de Rey puede ser diferente al caso que hemos considerado anteriormente. Supongamos, por ejemplo, que

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un calibrador tiene una división de escalas en la parte móvil y fija como la que se ilustra en la izquierda de la siguiente figura: En la figura anterior, a la derecha, se ilustra una medición realizada con tal Pie de Rey. ¿Cuál es el resultado de la medición? Primero, observe que cinco divisiones en la escala móvil corresponden a cuatro divisiones en la escala fija. Cada división en la escala principal fija tiene una magnitud S = 0.5. La magnitud de cada división en la escala móvil se obtiene a partir de la relación /V S n= , donde S representa la magnitud de la menor división en la escala fija, y n representa el número total de divisiones en la escala móvil, en este caso, 5. Por tanto, mientras la menor división en la escala principal fija tiene una magnitud de 0.5, la menor división en la escala móvil tiene una magnitud de 0.5/5 = 0.1. Para dar el resultado l de la medición, se aplica la siguiente relación:

l xS yV= +

donde x representa el número total de divisiones en la escala fija hasta antes del cero en la escala móvil (en este ejemplo, x = 5) e y representa el número de línea en la escala móvil que coincide con una línea de la escala fija (en este ejemplo, y = 3). Con los valores para el ejemplo que estamos ilustrando, obtenemos que el valor de la longitud es:

5(0.5) 3(0.1) 2.8l = + = .

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Manual F2 Version 2011 Segundo Ciclo Quetzaltenango-1 (2)

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