MAQUI AS ELCTRICASA. E. Fitzgerald Charles Kingsley, Jr. Stephen D. Umans

MQUINAS ELCTRICASSexta edicinA. E. FitzgeraldLate Vice Presidentfor Academic Affairs and Dean ofthe Faculty Northeastern University

Charles Kingsley, Jr.Late Associate Professor of Electrical Engineering, Massachusetts Institute ofTechnology Emeritus

Stephen D. UmansPrincipal Research Engineer Department of Electrical Engineering and Computer Science Laboratory for Electromagnetic and Electronic Systems Massachusetts Institute ofTechnology

TraduccinJorge Yescas Milans Rodolfo Navarro SalasTraductores Profesionales

'1 t

Revisin tcnicaLuis Mauro Ortega GonzlezDepartamento de Ingeniera Elctrica Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de, Monterrey Campus Estado de Mxico

Hornero Nez RamrezDepartamento de Ingeniera Elctrica Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey Campus Monterrey

Enrique Lpez GuerreroJefe de Laboratorios de Mquinas Elctricas Facultad de Ingeniera Mcanica y Elctrica Universidad Autnoma de Nuevo Len

Silverio M. Crdova RomeroCoordinador PROMEP Facultad de Ingeniera Mcanica y Elctrica Universidad Autnoma de Nuevo Lon

MXICO BUENOS AIRES CARACAS GUATEMALA LISBOA MADRID NUEVA YORK. SAN JUAN SANTAF DE BOGOT. SANTIAGO AUCKLAND LONDRES MILN MONTREAL NUEVA DELHI SAN FRANCISCO SINGAPUR STo LOUIS SIDNEY TORONTO

ACERCA

DE

LOS

AurOBES

Arthur E. Fitzgerald fue nombrado Vicepresidente para Asuntos Acadmicos en la Universidad Noreste, cargo al que fue designado despus de servir primero como profesor y presidente del Departamento de Ingeniera Elctrica, convirtindose posteriormente en Decano de la Facultad. Previo a su estancia en la Universidad Noreste, el profesor Fitzgerald pas ms de 20 aos en el Instituto Massachusetts de Tecnologa del que recibi los titulos S.M. y Sc.D., y donde subi al rango de profesor de Ingeniera Elctrica. Adems de Maquinaria elctrica, el profesor Fitzgerald es uno de los autores de Ingeniera elctrica bsica, tambin publicado por McGraw-Hill. A lo largo de su carrera, el profesor Fitzgerald estuvo a la vanguardia en el campo de planificacin de sistemas de poder de gran alcance, trabajando como ingeniero consultor en la industria antes y despus de su carrera acadmica. El profesor Fitzgerald era miembro de varias sociedades profesionales, entre ellas Sigma Xi, Tau Beta Pi y Eta Kappa Nu, y del IEEE. Charles Kingsley, Jr, fue profesor en el Departamento de Ingeniera Elctrica e Informtica en el Instituto de Tecnologa de Massachusetts del que recibi los grados S.B. y S.M. Durante su carrera trabaj en General Electric, Boeing y la Universidad de Dartmouth. Adems de Maquinaria elctrica, el profesor Kingsley es coautor del libro de texto Circuitos magnticos y transformadores. Despus de su jubilacin continu participando en las actividades de investigacin en el M.l.T. Era miembro activo dellEEE, as como de su sociedad predecesora, el Instituto Estadounidense de Ingenieros Elctricos. Stephen D. Umans es Ingeniero Director de Investigacin en el Laboratorio de Sistemas Electromecnicos y el Departamento de Ingeniera Elctrica e Informtica en el Instituto de Tecnologa de Massachusetts del que recibi los grados S.B., S.M. y Sc.D., todo en ingeniera elctrica. Sus intereses profesionales incluyen electromecnica, maquinaria elctrica y sistemas de potencia elctricos. En el MIT ha impartido una amplia gama de cursos incluyendo electromecnica, electromagntica, sistemas de poder elctricos, teora del circuito y electrnica analgica. Es miembro del IEEE y de la Sociedad de Ingeniera de Potencia.

vii

. C'---"'O............"NL-l:

EII.......JIN...-.........I O __D

1lB E V E

Prefacio

xiii

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Circuitos magnticos y materiales magnticos Transformadores 57 114

Principios de la conversin de energa electromecnica Introduccin a las mquinas de rotacin Mquinas sncronas 247 306 175

Mquinas de induccin polifsica Mquinas de corriente directa 357

Mquinas de reluctancia variable y motores de pasos Motores monofsicos y bifsicos 451 491

407

Introduccin a la electrnica de potencia Control de la velocidad y del par Apndice A Circuitos trifsicos 554 622

Apndice B Voltajes, campos magnticos e inductancias de los devanados de corriente alterna distribuidos 637 Apndice C La transformacin dqO 650

Apndice D Aspectos tcnicos del desempeo y operacin de la mquina elctrica prctica 661 Apndice E Tabla de constantes y de factores de conversin para las unidades SI (Sistema Internacional de Unidades) 673 ndice 675

viii

CONTENIDO

Prefacio

xiii

3 Principios de la conversin de energa electromecnica 114CaptlJlo 3.1 3.2 3.3 11 3.4 Fuerzas y pares en los sistemas de campos magnticos 115 Energa balanceada 119 Energa en sistemas de campo magntico de excitacin nica 121 Determinacin de fuerzas magnticas y pares a partir de la energa 125 Determinacin de fuerzas magnticas y pares a partir de la coenerga 131 Sistemas de campo magntico de excitacin mltiple 138 Fuerzas y pares en sistemas con imanes permanentes 144 Ecuaciones dinmicas Tcnicas analticas 160 161 153 157

CaptlJlo 1 Circuitos magnticos y materiales magnticos 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 Introduccin a los circuitos magnticos Dispersin de flujo, inductancia y energa Propiedades de los materiales magnticos 19 Excitacin de corriente alterna Imanes permanentes 30 23 2

3.5 3.6 3.7 3.8 3.9

Aplicacin de materiales para imanes permanentes 35 Resumen Problemas 42 43

3.10 Resumen 3.11 Problemas

2 Transformadores 57Cap tulo 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 2.11 Introduccin a los transformadores Condiciones de vaco 59 57

4 Introduccin a las mquinas de rotacin 175Captulo 4.1 4.2 4.3 4.4 Conceptos elementales 175 Introduccin a las mquinas de corriente alterna y de corriente directa 178 Fuerza magnetomotriz distribuido 189 de devanado 198 en

Efecto de la corriente secundaria; transformador ideal 64 Reactancias del transformador equivalentes 68

y circuitos

Aspectos de ingeniera en el anlisis de transformadores 73 Autotransformadores; multidevanado 82 Transformadores Transformadores corriente 91 transformadores de 86

Campos magnticos en las mquinas rotantes Ondas de rotacin de fuerza magnetomotriz mquinas de corriente alterna 202 Voltaje generado Mquinas lineales Saturacin magntica 237 238 210 216 229 232 234 Pares en mquinas de polos no salientes

4.5 4.6 4.7 4.8 4.9

en circuitos trifsicos de voltaje y de 96

El sistema por unidad Resumen Problemas 105 106

4.10 Flujos de dispersin 4.11 Resumen 4.12 Problemas

ix

x

Contenido

Captulo 5

CaptlJlo

7directa364

Mquinas sncronas5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6

247

Mquinas de corriente7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 7.8 7.9 Introduccin 357 Accin del conmutador

357

Introduccin a las mquinas sncronas polifsicas 247 Inductancias en las mquinas sncronas; circuitos equivalentes 250 Caractersticas abierto 258 de cortocircuito y de circuito

Efecto de la fuerza magneto motriz del inducido (o de armadura) 367 Fundamentos analticos: aspectos del circuito elctrico 370 Fundamentos analticos: a pectos de circuito magntico 374 Anlisis del desempeo del estado estable Mquinas de corriente directa con imn permanente 385 Conmutacin e interpolos Devanados de compensacin 396 397 391 393 395 379

Caractersticas del ngulo de potencia del estado estacionario 267 Caractersticas de operacin del estado estacionario 276 'Efectos de los polos salientes; introduccin a la teora del eje directo y a la teora del eje de cuadratura 283 Caracterstica del ngulo de potencia en mquinas de polos salientes 290 Motores de corriente alterna con imn permanente 294 Resumen 296 298

5.7 5.8 5.9

7.10 Motores universales en serie 7.11 Resumen 7.12 Problemas CaptlJlo

5.10 Problemas

8

Mquinas de reluctancia variable y motores de pasos 4078.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 Fundamentos para el anlisis de mquinas de reluctancia variable 407 Configuraciones prcticas de las mquinas de reluctancia variable 415 Formas de onda de corriente para la produccin de par 421 Anlisis no lineal Motores de pasos Resumen Problemas 445 446 430 437

C'aptlJlo

6

Mquinas de induccin polifsica 3066.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9 Introduccin a las mquinas de induccin polifsica 306 Corrientes y flujos en mquinas de induccin polifsica 310 Circuito equivalente de un motor de induccin 313 Anlisis del circuito equivalente 317 Par y potencia mediante el uso del teorema de Thevenin 322 Determinacin de parmetros a partir de pruebas de vaco y de rotor bloqueado 330 Efectos de la resistencia del rotor; roto res devanado y de doble jaula de ardilla 340 Resumen Problemas 347 348

CaptlJlo 9

Motores monofsicos9.1 9.2

y bifsicos

451

Motores de induccin monofsicos: cualitativa 451

evaluacin

Desempeo en el arranque y operacin normal de motores de induccin monofsicos y sncronos 454

Contenido

xi

9.3 9.4 9.5 9.6

Teora del campo giratorio de motores de induccin monofsicos 461 Motores de induccin bifsicos Resumen Problemas 487 488 469

Apndice

B

Yoltajes, campos magnticos e inductancias de los devanados de corriente alterna distribuidosB.l B.2 Voltajes generados 637

637

Ondas de fmm de la armadura o inducido Inductancias de entrehierro de los devanados distribuidos 646

643

Captulo

10

B.3

Introduccin a la electrnica de potencia 49110.1 Interruptores de potencia 491

Apndice

edqO 650

10.2 Rectificacin: conversin de corriente alterna a corriente directa 504 10.3 Inversin: conversin de corriente directa a corriente alterna 533 10.4 Resumen 10.5 Bibliografa 10.6 Problemas 546 547 548

La transformacinC.l C.2 C.3

Transformacin de variables para eje directo y eje en cuadratura 650 Frmulas fundamentales variables dqO 652 de mquina sncrona en

Frmulas fundamentales de mquinas de induccin en variables dqO 656

CaptlJlo

11y del par573 590 607

Control de la velocidad11.2 Control de motores sncronos

554554

Apndice

D

11.1 Control de los motores de corriente directa 11.3 Control de motores de induccin 11.5 Resumen 11.6 Bibliografa 11.7 Problemas 610 612 613

Aspectos tcnicos del desempeo y operacin de la mquina elctrica prctica 661D.l D.2 D.3 D.4 D.5 Prdidas 661 664

11.4 Control de motores de reluctancia variable

ndice de desempeo y calentamiento

Medios de enfriamiento para las mquinas elctricas 667 Excitacin 669

Apndice

A 622622 624 628

Eficiencia energtica en mquinas elctricas 671

Circuitos trifsicosA.l A.2 A.3 A.4 A.5

Generacin de voltajes trifsicos

Apndice

E

Voltajes trifsicos, corrientes y potencia Circuitos conectados en estrella y en delta Anlisis de circuitos trifsicos balanceados; diagramas unifiliares 633 Otros sistemas polifsicos 635

Tabla de constantes y de factores de conversin para las unidades SI (Sistema Internacional de Unidades) 673 ndice 675

__________________________________ ~~REFACIO

El objetivo principal de Mquinas elctricas contina siendo construir cimientos fuertes en los principios bsicos de la electromecnica y la maquinaria elctrica. En todas las ediciones de Maquinaria elctrica se ha enfatizado la visin fsica y las tcnicas analticas. El dominio del material analizado proveer las bases para entender muchas aplicaciones de la maquinaria elctrica en el mundo real as como los fundamentos para cursos ms avanzados de diseo y control de maquinaria elctrica. . Aunque mucho del material de las ediciones anteriores se ha conservado en esta edicin, ha habido algunos cambios significantes. stos incluyen: Se ha agregado un captulo que presenta los conceptos bsicos de electrnica de potencia aplicable a propulsin de motores. Temas relacionados con control de mquinas, los cuales fueron distribuidos en varios captulos en la edicin anterior, han sido consolidados en un solo captulo sobre velocidad y control de momento o fuerza de torsin. Adems, este tema se ha extendido significativamente y ahora incluye campos de control orientado en mquinas sncronas y de induccin. Ejemplos de MATLAB@,I problemas prcticos y problemas al final del captulo han sido incluidos en la nueva edicin. El anlisis de motores de induccin de una sola fase se ha extendido para abarcar el caso general en que el motor es dirigido tanto desde el bobinado principal como del auxiliar (equipado con una serie de capacitores).

La electrnica de potencia es un componente importante de muchas aplicaciones de la maquinaria elctrica contempornea. este tema se incluy en el captulo 10 de esta edicin de Maquinaria elctrica en reconocimiento al hecho de que muchos cursos de maquinaria elctrica incluyen el estudio de electrnica de potencia y sistemas de propulsin. Sin embargo, debe enfatizarse que este captulo es introductorio. Un captulo no basta para abarcar este tema complejo y es necesario ms que un solo captulo en un texto de electrnica de potencia para presentar el tema de maquinaria elctrica adecuadamente. El acercamiento elegido aqu es para discutir las propiedades bsicas de los componentes comunes de potencia electrnica como los diodos, SeR (controlador rectificador de silicn), MOSFET (transistor efecto en campo semiconductor metal-xido), e IGBT (transistor de compuerta aislada) y para presentar los modelos simples para estos componentes. El captulo ilustra cmo pueden usarse estos componentes para lograr dos funciones primarias de los circuitos de potencia electrnica en la propulsin: rectificacin (la conversin de ea, corriente alterna, a cd, corriente continua, e inversin, la conversin de cd a ea). La rectificacin de fase controlada puede usarse para impulsar mquinas de cd as como para proveer una entrada controlable de cd para inversores en dispositivos de ca. De manera similar se discuten las tcnicas para produ-: cir formas de onda de paso y de pulso-anchura modulada de amplitudes y frecuencia variable. Estas tcnicas estn en el corazn de sistemas de propulsin de velocidad variable que forman parte de propulsores de ea de velocidad variable.MATLAB es una marca registrada de The Math Works, Inc.

1

xiii

xiv

Prefacio

Los sistemas de propulsin basados en electrnica de potencia permiten una gran flexibilidad en el control de mquinas elctricas. Esto es especialmente verdad en el caso de mquinas de ea que se encontraban casi exclusivamente en aplicaciones donde eran alimentadas desde sistemas de potencia de frecuencia y voltaje fijos. As, la introduccin a potencias electrnicas en el captulo 10 es seguido por un captulo en el control de mquinas elctricas. El captulo 11 agrupa material que fue distribuido en varios captulos en la edicin anterior. Ahora se divide en tres secciones principales: control de motores de cd, control de motores sincrnicos y control de motores de induccin. Una breve cuarta seccin discute el control de motores de reluctancia variable. Cada uno de los captulos principales empieza con una discusin de control de velocidad seguido por una que se centra en el control de fuerza de torsin. Muchos sistemas de propulsin de motores se basan en la tcnica de control de campo orientado (tambin conocido como control de vector). Una edicin significativa a esta nueva edicin es la discusin de control de campo-orientado el cual aparece ahora en el captulo 11. Esto es algo del material avanzado que no se encuentra tpicamente en textos introductorios de maquinaria elctrica. Como resultado, el captulo se ha estructurado de manera que pueda omitirse o ser incluido a juicio del instructor. Primero aparece en la seccin de control de momento de torsin de motores sncronos, en donde las ecuaciones bsicas son derivadas y se discute la analoga con el control de mquinas de cd. Aparece de nuevo en su forma ms comnmente usada en la seccin sobre el control de momento de torsin de motores de induccin. El instructor debe notar que una presentacin completa del control orientado en campo requiere el uso de la transformacin de dqO. ste apareca en el captulo 6 de la edicin previa, referente a las mquinas sncronas, se encuentra ahora en el apndice C de esta edicin. Adems, la discusin en este apndice se ha extendido para incluir una derivacin de la transformacin de dqO para mquinas de induccin en las que el estator y el rotor deben transformarse. Aunque las matemticas sofisticadas se requieren muy poco en la lectura de este libro, pueden volverse algo complicado y tedioso. Esto ocurre sobre todo en el anlisis de mquinas de ea en que hay una cantidad significante de lgebra que involucra nmeros complejos. Uno de los desarrollos positivos en la ltima dcada es la disponibilidad extendida de programas como MATLAB, que facilita grandemente la solucin de tales problemas. MATLAB se usa ampliamente en muchas universidades y est disponible en una versin estudiantil.' En reconocimiento de este desarrollo la presente edicin incorpora MATLAB en ejemplos y problemas prcticos as como en los que aparecen al final del captulo. Debe subrayarse, sin embargo, que el uso de MATLAB no es de forma alguna un requisito para la adopcin o uso de Maquinaria elctrica. Ms bien, es para darle realce al curso. El libro ahora incluye ejemplos interesantes que tambin habran sido matemticamente tediosos. De manera similar, hay problemas al final del captulo que son relativamente sencillos cuando se resuelven con MATLAB pero que realmente sera totalmente imprctico hacerlos a mano. Note que cada ejemplo y problema prcticos que requieren el uso de MATLAB han sido marcados con el smbolo en el margen del libro. Los problemas de fin de captulo que requieren utilizar MATLAB son sealados de manera similar. Debe enfatizarse que adems de MATLAB otros paquetes de anlisis numricos, incluso varios paquetes de hoja extendida, estn disponibles y pueden usarse para realizar clculos y trazar grficas en una manera similar a los hechos con MATLAB. Si este programa no est disponible o no es el paquete de preferencia a su institucin, se alienta a los instructores yy distribuida

2 La versin mathworks.com).

estudiantil

MATLAB

es publicada

por The Math Works,

Inc., (http://www.

Prefacio

xv

estudiantes a seleccionar cualquier otro que les sea confortable. Si simplifica los clculos complejos y le permite al estudiante enfocarse en los conceptos en vez de las matemticas ser simplemente excelente. Adems, debe notarse que aunque no se especifique, la mayora de problemas del fin de captulo pueden trabajarse con MATLAB o un programa equivalente. As, los estudiantes que usan tales herramientas cmodas sern alentados para evitar la necesidad de desgastarse haciendo clculos complicados a mano. Este acercamiento es una extensin lgica al uso de calculadoras para facilitar el clculo. Al resolver los problemas de tarea, los estudiantes deben mostrar en el papel cmo formularon su solucin, dado que es la clave para entender el material. Sin embargo, una vez que un problema se formula apropiadamente, el trabajo adicional de nmeros es pequeo. El proceso de aprendizaje contina entonces con una revisin de los resultados, tanto en lo que se refiere a entender lo que significan con respecto al tema que fue estudiado as como viendo si tienen sentido fsico. Un beneficio adicional se deriva de la introduccin de MATLAB en esta edicin de Mquinas elctricas. Como los lectores de ediciones anteriores saben, el tratamiento de motores monofsicos de induccin nunca estuvo completo porque jams se hizo un tratamiento analtico del caso general de un motor monofsico que funciona con sus bobinados principales y auxiliares excitados (con un capacitor en serie con el bobinado auxiliar). De hecho, tal tratamiento de motores monofsicos de induccin no se encuentra en ningn otro libro de texto introductorio de maquinaria elctrica que el autor conozca. El problema es bastante simple: dicho tratamiento general es matemticamente complejo; requiere la solucin de varias ecuaciones algebraicas simultneas, complejas. Sin embargo, es justamente el tipo de problema que los programas de computacin aventajan. As, esta nueva edicin de Maquinaria elctrica incluye este tratamiento general de mquinas monofsicas de induccin que se completa con un ejemplo cuantitativo de ensayo y problemas de fin de captulo. Es muy probable que el material incluido en esta edicin de Mquinas elctricas sea excesivo para un curso introductorio. Sin embargo, ha sido organizado para que los maestros puedan elegir el material apropiado para los temas que ellos desean estudiar. Como en la quinta edicin, los primeros dos captulos presentan conceptos bsicos de circuitos magnticos, materiales magnticos y transformadores. El tercer captulo analiza el concepto bsico de conversin de energa electromecnica. El cuarto captulo proporciona una apreciacin global de varios tipos de mquinas. Algunos profesores eligen omitir todo o la mayor parte del material del captulo 3 cuando imparten un curso introductorio. Esto puede hacerse sin perjudicar la comprensin de la mayor parte del material en el resto del libro. Los siguientes cinco captulos exploran ms a profundidad los varios tipos de mquinas; las mquinas sncronas en el captulo 5, mquinas de induccin en el captulo 6, mquinas de cd en el captulo 7, mquinas de reluctancia variable en el captulo 8, y las mquinas de una y dos fases en el captulo 9. Puesto que los captulos son bastante independientes (con la excepcin del material en el captulo 9 que se basa en los motores polifsicos de induccin discutidos en el captulo 6), el orden puede cambiarse o un instructor puede elegir enfocarse en uno o dos tipos de mquinas y no estudiar todo el material de estos cinco captulos. La discusin introductoria de la electrnica de potencia del captulo 10 es bastante autosuficiente. Los instructores que deseen introducir este material deben hacerlo a discrecin; no hay necesidad de presentarlo en un curso en el orden que se encuentra en el libro. Adems, no se requiere para una comprensin del material de maquinaria presentado en el libro y los instructores que elijan estudiar este material en un curso separado no encontrarn impedimento alguno para hacerlo.

xvi

Prefacio

Finalmente, los profesores pueden desear seleccionar slo algunos temas del material de control del captulo 11 en lugar de incluirlos todos. El material de control de velocidad es esencialmente una extensin del material encontrado en los captulos anteriores sobre los tipos de mquinas individuales. El material sobre el control de campo orientado requiere una comprensin algo ms sofisticada y se basa en la transformacin dqO encontrada en el apndice C. Ciertamente sera razonable omitir este material en un curso introductorio y posponerlo para uno ms avanzado donde se le dedique el suficiente tiempo. McGraw-Hill ha preparado un sitio web, www.mhhe.com/umans. para apoyar esta nueva edicin de Mquinas elctricas. Incluir una versin ligera de las soluciones del manual (slo para profesores) as como diapositivas Power Point de figuras del libro. Esto ofrece una nueva caracterstica de Mquinas elctricas; nosotros estamos, en gran parte, empezando con un borrador vago y explorando diferentes opciones por complementar y reforzar el texto. Por ejemplo, en reconocimiento a que los maestros siempre estn buscando nuevos ejemplos y problemas, nosotros prepararemos un mecanismo para que puedan enviar ejemplos y problemas para su publicacin en el sitio web (con crdito dado a sus autores) que entonces pueden compartirse con otros profesores. Tambin estamos considerando crear una seccin del sitio web consagrada a MATLAB y otros paquetes de anlisis numricos. Para los usuarios de este programa, el sitio podra contener ideas y sugerencias para aplicarlo a Mquinas elctricas as como algunos ejemplos de Sirnulink'" para instructores que deseen presentar simulaciones en sus cursos. Por otro lado, los instructores que usan otros paquetes pueden enviar sus sugerencias y experiencias para compartirlas con otros usuarios. En este contexto, los sitios web aparecen de nuevo como un recurso ideal para reforzar la interaccin entre instructores. Por supuesto, el sitio web ser un documento viviente que evolucionar en respuesta a las contribuciones de los usuarios. Yo los invito visitarlo frecuentemente y enviar sugerencias, problemas, ejemplos y comentarios. Yo espero que se convierta en un valioso recurso para los usuarios de Mquinas elctricas alrededor del mundo. El profesor Kingsley le pidi primero a este autor que participara en la cuarta edicin de Mquinas elctricas, en la cual el profesor estuvo activamente involucrado. Particip como asesor en la quinta edicin. Por desgracia, el profesor Kingsley falleci desde la publicacin de la quinta edicin y no vivi para ver el trabajo en esta nueva edicin. l era un caballero, maestro estimado y amigo, y se le extraa. Deseo agradecer a varios de mis colegas por su visin y discusiones tiles durante la produccin de esta edicin. Mi amigo, el profesor Jeffrey Lang, quien tambin proporcion su inestimable visin y consejo en la discusin de las mquinas de reluctancia variable que apareci primero en la quinta edicin, fue sumamente til en la formulacin de las presentaciones de. la electrnica de potencia y el control de campo-orientado que aparece en esta edicin. Tambin al profesor Gerald Wilson que fue mi consejero en la tesis de grado; ha sido un amigo y colega a lo largo de mi carrera y una fuente constante de valiosos consejo y visin. En una nota ms personal, me gustara expresarles mi amor a mi esposa Denise y a nuestros nios Dalya y Ari, y agradecerles por prescindir muchas horas de m y no escatimar el tiempo que esta edicin requiri. Les promet a los nios que leera los libros de Harry Potter cuando el trabajo en esta edicin de Mquinas elctricas se completara y ser mejor hacerlo! Adems, me gustara reconocer a mi amigo de toda la vida, David Gardner, que mir con inters el trabajo de esta edicin pero no vivi para verlo terminado. Este hombre notable

a

3

Simulink es una marca registrada de The Math Works, lnc.

Prefacio

xvii

falleci debido a las complicaciones de la distrofia muscular poco tiempo antes de que el proyecto final fuera completado. Finalmente, deseo agradecer a los revisores que participaron en este proyecto, a sus valiosos comentarios y sugerencias que fueron incluidos en la versin definitiva de esta edicin. Me refiero a los profesores: Ravel F. Arnmerman, Escuela de Minas de Colorado Juan Carlos Balda, Universidad de Arkansas en Fayetteville Miroslav Begovic, Instituto Tecnolgico de Georgia Prasad Enjeti, Universidad de Texas A&M Vemold K. Feiste, Universidad del Sur de Illinois Thomas G. Habetler, Instituto Tecnolgico de Georgia Steven Hietpas, Universidad Estatal de Dakota del Sur Heath Hofmann, Universidad del Estado de Pennsylvania Daniel Hutchins, Academia Naval de Estados Unidos Roger King, Universidad de Toledo Alexander E. Koutras, Universidad Politcnica Estatal de California en Pomona Bruno Osomo, Universidad Estatal de California en Northridge Henk Polinder, Universidad Tecnolgica de De/ft Gill Richards, Universidad Tecnolgica de Arkansas Duane F. Rost, Universidad Estatal de Youngstown Melvin Sandler, La Unin Cooper Ali O. Shaban, Universidad Politcnica Estatal de California en San Luis Obispo Alan Wallace, Universidad Estatal Oregon Le agradezco especialmente al profesor Ibrahim Abdel-Moneim Abdel-Halim Universidad de Zagazig, quien con esfuerzo considerable encontr numerosos errores numricos y tipogrficos en el anteproyecto. Stephen D. Umans Cambridge, MA

/

____________

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A

PiIllL

olL---_l

Circuitos magnticos y materiales m.agnticosl objetivo de este libro es estudiar los dispositivos empleados en la conversin que hay entre la energa elctrica y la mecnica. Se ha puesto nfasis en la maquinaria de rotacin electromagntica, por medio de la cual se lleva a cabo la mayora de esta conversin de energa. Sin embargo, las tcnicas desarrolladas son generalmente tiles en una amplia variedad de dispositivos adicionales, que incluyen mquinas lineales, actuadores y sensores. No obstante que el transformador no es un dispositivo de conversin de energa electromecnica, es un componente importante de los procesos generales de conversin de energa que se estudian en el captulo 2. Las tcnicas desarrolladas para el anlisis de los transformadores constituyen el fundamento de la discusin relacionada con la maquinaria elctrica. La mayora de los transformadores y maquinaria elctrica utilizan material ferro-magntico para formar y dirigir campos magnticos que actan como medio de tran ferencia y conversin de energa. Los materiales de imn permanente tambin son muy utilizados. Sin estos materiales la implementacin prctica de la mayora de dispositivos ms comunes de conversin de energa electromecnica no sera posible. La habilidad para analizar y describir los sistemas de este tipo de materiales es esencial para disear y entender los dispositivos de conversin. En este captulo se proponen algunas herramientas bsicas para el anlisis de sistemas de campo magntico y se incluye una breve introduccin a las propiedades de los materiales magnticos prcticos. En el captulo 2, estos resultados se aplicarn al anlisis de transformadores. En captulos posteriores estos resultados tambin se emplearn en el anlisis de mquinas rotativas. En este libro se supone que el lector posee conocimientos bsicos sobre la teora del campo elctrico y magntico, tales como las nociones de fsica que se imparten a los estudiantes de ingeniera. Algunos lectores quizs hayan tomado cursos sobre la teora del campo electromagntico con base en las ecuaciones de Maxwell; no obstante, un entendimiento profundo de las ecuaciones de Maxwell no constituye un requisito previo para el estudio de la obra. Asimismo, las tcnicas de anlisis de circuitos magnticos que representan aproximaciones algebraicas a las soluciones exactas en la teora de campos, son de gran utilidad en el estudio de los dispositivos de conversin de energa electromecnica y conforman los fundamentos de la mayor parte de los anlisis presentados en esta publicacin.1

E

2

CAPTULO 1

Circuitos

magnticos

y materiales magnticos

1.1 INTRODUCCiN A LOS CIRCUITOS MAGNTICOS) La solucin completa y detallada de los problemas de los campos magnticos en la mayora de las situaciones que se' presentan en la prctica de la ingeniera, implica la solucin de las ecuaciones de Maxwell, adems de numerosas relaciones constitutivas que describen las propiedades del material. Aunque en la prctica las soluciones exactas con frecuencia son inalcanzables, existen numerosas suposiciones simplificadoras que permiten la obtencin de soluciones tiles en ingeniera. 1 Comenzaremos con la suposicin de que las frecuencias y magnitudes de los sistemas planteados en este libro se presentan de tal forma que permiten ignorar el trmino corriente de desplazamiento en las ecuaciones de Maxwell. Este trmino es de gran importancia para los campos magnticos que se generan en el espacio mediante campos elctricos variantes en el tiempo que estn asociados con la radiacin electromagntica. Ignorar este trmino da como resultado un imn cuasiesttico que aparece en las principales ecuaciones de Maxwell, las cuales relacionan a los campos magnticos con las corrientes que los producen.

i

Hdl= iB.da=

1

J-da

(1.1)

(1.2)

La ecuacin 1.1 establece que la integral lineal de la componente tangencial de la intensidad deL campo magntico H alrededor de un contorno cerrado e, es igual al total de corriente que pasa a travs de cualquier superficie S y que une dicho contorno. A partir de la ecuacin 1.1 se puede notar que la fuente de H es la densidad de corriente J. La ecuacin 1.2 establece que se conserva la densidad deljlujo magntico B, esto es, que ningn flujo neto entra o sale de una superficie cerrada (esto es igual a decir que no existenluentes de carga monopolo de campos magnticos). De esta ecuacin se advierte que las cantidades de campo magntico se pueden determinar slo a partir de los valores instantneos de las fuentes de corriente, y esas variaciones temporales de los campos magnticos seguidos directamente de las variaciones temporales de las fuentes. Una segunda suposicin simplificadora involucra el concepto de circuito magntico. La solucin general para la intensidad del campo magntico H y la densidad del flujo magntico B en una estructura de geometra compleja es extremadamente difcil. Sin embargo, un problema de campo tridimensional puede reducirse a un equivalente de circuito unidimensional, proporcionando soluciones de aceptable precisin en ingeniera. Un circuito magntico es una estructura compuesta en su mayora de materiales magnticos de alta permeabilidad. El material de alta permeabilidad produce flujo magntico que se

J A pesar de que las soluciones analticas precisas son inaIcanzables, las soluciones numricas basadas por computadora (el mtodo del elemento finito y del elemento de frontera conforman los fundamentos de algunos programas comerciales) son bastante comunes y han llegado a convertirse en herramientas indispensables para el anlisis y el diseo. Sin embargo, dichas tcnicas se utilizan de manera ptima para refinar los anlisis basados en tcnicas analticas como las que se presentan en este libro. Su utilizacin contribuye poco a un entendimiento fundamental de los principios y funcionamiento bsico de la maquinaria elctrica, por consiguiente, no se discutirn en este libro.

/1.1Introduccin a los circuitos magnticos

3

i

Longitud media del ncleo le

+ rea de la seccin transversal Ae

Figura 1.1Circuito magntico simple. Devanado, con N vueltas

Permeabilidad magntica del ncleo,u

limita a los patrones definidos por la estructura del ncleo, de la misma forma que las corrientes se limitan a la estructura de un circuito elctrico. El uso del concepto circuito magntico se ilustra en esta seccin y se aplica a numerosas situaciones en este libro.' ---.~ En la figura 1.1 se muestra un ejemplo simple de circuito magntico; se asume que el ncleo est compuesto de material magntico cuya permeabilidad es mucho mayor que la del aire circundante (11- ).El ncleo est formado por una seccin transversal uniforme y se excita por medio de un devanado de N vueltas que posee una corriente de i amperes. Este devanado produce un campo magntico en el ncleo, lo cual se observa en la figura. Debido a la alta permeabilidad del ncleo magntico, una solucin precisa mostrara que el flujo magntico se concentra casi por completo en el ncleo; as, las lneas de campo siguen la trayectoria definida por el ncleo, y la densidad de flujo es esencialmente uniforme sobre la seccin transversal debido a que esta rea es tambin uniforme. El campo magntico puede ser visualizado como lneas de flujo que forman lazos cerrados entrelazados con el devanado. De la forma en que se emple el circuito magntico de la figura 1.1, la fuente del campo magntico en el ncleo es el producto am ere-vuelta N i. En la terminologa de circuitos magnticos,_N ies lafuerza magnetomotri: (fmm) Eque acta sobre el circuito magntico. Aunque la figura 1.1 muestra slo una bobina, los transformadores y la mayora de las mquinas rotativas poseen al menos dos devanados, y N i deber reemplazarse por la suma algebraica del nmero de' arnperes-vueltas de todos los devanados. El flujo magntico que atraviesa una superficie S, es la integral de la superficie del componente normat de B; de esta forma,

C

(1.3)En unidades SI, la unidad de es el eber (Wb). La ecuacin 1.2 establece que el flujo magntico neto que entra o sale de una superficie cerrada (igual a la integral de superficie B sobre dicha superficie cerrada) es cero. Esto es equivalente a sealar que todo el flujo entrante a una superficie que abarque un volumen, abandonar dicho volumen sobre alguna otra porcin de la superficie debido a que las lneas del flujo magntico forman lazos cerrados.

2 Para una explicacin ms amplia de los circuitos magnticos, vase A.E. Fitzgerald, D.E. Higgenbotham y A. Grabel, Basic Electrical Engineering, 5a. ed., McGraw-Hill, 1981, captulo 13; tambin vase E.E. Staff, M.I.T., Magnetic Circuits and Transformers, M.I.T. Press, 1965, captulos 1 al 3.

4

CAPTULO 1

Circuitos magnticos

y materiales magnticos

Estos hechos pueden emplearse para justificar la suposicin de que la densidad del flujo magntico en la figura 1.1 es uniforme tanto en la seccin transversal del circuito magntico como en el ncleo. En este caso la ecuacin 1.3 se reduce a una ecuacin escalar simple, qJe = B,Ae donde qJe = flujo en el ncleo Be = densidad de flujo en el ncleo Ae = rea de la seccin transversal del ncleo De la ecuacin 1.1, la relacin entre la frnrn que acta sobre un circuito magntico y la intensidad del campo magntico en ese circuito es:3 / (1.4)

F ::: Ni

=

f

Hdl

(1.5)

Las dimensiones del ncleo se encuentran estructuradas de tal forma que la longitud de la trayectoria magntica de cualquier lnea de flujo es aproximada a la longitud principal del ncleo LC' Como consecuencia, la integral lineal de la ecuacin 1.5 se convierte en el producto escalar HeLe de la magnitud de H, y la longitud de la trayectoria del flujo Le' De esta manera, la relacin entre la frnrn y la intensidad del campo magntico puede representarse en la terminologa de circuitos magnticos de la siguiente forma: ~/ (1.6)

donde He es el valor romedio de H ~ el ncleo. La direccin de He en el ncleo puede hallarse por medio de la regLa de Lamano derecha, la cual se establece de dos maneras equivalentes. 1) Imagine un conductor de corriente sostenido en la mano derecha con el pulgar indicando la direccin del flujo de corriente; los dems dedos, por lo tanto, sealan la direccin del campo magntico creado por la corriente. 2) De igual manera, si la bobina que aparece en la figura 1.1 se encuentra sujeta a la mano derecha (hablando en sentido figurado) con los dedos sealando en direccin de la corriente, el pulgar apuntar hacia los campos magnticos. La relacin entre la intensidad del campo magntico H y la densidad del flujo magntico B es una propiedad del material en donde se crea el campo. Es comn suponer una relacin lineal; de esta forma:

~

B

= JLH

J

(1.7)

donde JL se conoce como la permeabilidad magntica. En unidades SI, H se mide en unidades _de am eres or metro, B se encuentra bers or m cua - tambin conocid;; ,Eomo tesLas lT) y JL en webers por ampere-vueLta-metro, ~e.,quivalente en henrySJ!.Q.l.!YI..f1ro. En unidades SI, la permeabilidad del espacio libre es = 4n x 10-7 he or metro. La permeabilidad de los materiales magnticos lineales puede expresarse en trminos de JL" con valor relativo a la permeabilidad del espacio libre, o = JLrlLo. Los valores comunes de se encuentran entre 2 000 Y 80 000 para los materiales utilizados en transformadores y mqui-

-

---

3

como

En trminos generales, el descenso de la frnm a travs de cualquier segmento de un circuito magntico se calcula Hdl sobre dicha porcin del circuito magntico.

!

1.1

Introduccin

a los circuitos magnticos

5

i

+ -4--

Longitud media del ncleo le Entrehierro, permeabilidad 110' reaAg

Figura 1.2Circuito magntico con entrehierro.

Devanado. con N vueltas

'--

...Y

Permeabilidad del ncleo magntico 11. rea A,

nas rotativas. Las caractersticas de los materiales ferromagnticos se describen en la seccin 1.3 y 1.4. Por ahora se asume que J,Lr es una constante conocida, aunque en realidad es variable de acuerdo con la densidad del flujo magntico. \Los ,transformadores S! dev enncleos c~doslal como se muestra en la figura 1.1. Sin embargo, s dis ositivos de conversin de ener que incorporan un elemento en movimiento deben poseer entrehierros en sus circuitos magnticos. En la figura 1.2 se muestra un circuito magntico con entrehierro. Cuando la longitud del ~ntrehierro 8.es mucho menor que las dimensiones de las caras adyacentes del ncleo, el flujo magntico tP seguir la trayectoria definida por el ncleo y el entrehierro, por lo tanto, es posible utilizar las tcnicas de anlisis para circuitos magnticos. Si la longitud del entrehierro llega a ser excesivamente grande, el flujo se dispersar en los costados del entrehierro y las tcnicas de anlisis de circuitos magnticos ya no sern estrictamente aplicables. De esta manera, si la longitud del entrehierro g es suficientemente pequea, la configuracin de la figura 1.2 puede analizarse como un circuito magntico con dos componentes en serie: u ncleo magntico de permeabilida lb seccin transversal de rea Ae, longitud media leYun entrehierro de permeabilidad }Lo, seccin transversal de reaAg, y longitud g, Es posible asumir que en el ncleo la densidad de flujo es uniforme, por lo tanto,

(1.8) y en el entrehierro,

(1.9) donde tP = flujo en el circuito magntico. L'iaplicacin de la ecuacin 1.5 para este circuito magntico establece: (1.10) Y al utilizar la relacin lineal en que B-H aparece en la ecuacin 1.7 resulta lo siguiente:

F= -leJ,L

Be

+ -gJ,Lo

s,

(1.11 )

6

CAPiTULO 1

Circuitos magnticos

y materiales magnticos

En este caso, la relacin F = N i es la frnrn aplicada al circuito magntico. En la ecuacin 1.10 se observa que se requiere de una parte de la frnrn, F = Hclc para producir un campo magntico en el ncleo, mientras que el resto de la ecuacin, Fg = Hgg produce un campo magntico en el entrehierro. )En la prctica, los materiales magnticos (como se plante en las secciones 1.3 y 1.4), B y H no se relacionan simplemente por medio de una constante de permeabilidad conocida J-L, de la manera que se describi en la ecuacin 1.7. De hecho, con frecuencia B no es lineal, pero s una funcin polivalente de Hc. As, aunque la ecuacin 1.10 an es vlida, no gua directamente a una expresin simple que relacione la fmm y las densidades de flujo, como lo que se plantea en la ecuacin 1.11. En su lugar, las especificaciones de relacin no lineal Bi-H debern usarse, ya sea de forma grfica o analtica. Sin embargo, en numerosos casos, el concepto de constante de permeabilidad del material proporciona resultados con una precisin tcnica ' aceptable, por ello, este concepto se utiliza con regularidad.~ A partir de las ecuaciones 1.8 y 1.9, es posible reescribir la ecuacin 1.11 en lo que se refiere al termino del flui o total P de la siguiente forma:

(1.12) Los trminos que multiplican al flujo en esta ecuacin se conocen como reluctancia R~ del ncleo y del entrehierro, respectivamente, -

..Rg=-g J-LoAg

(1.13)

(1.14)

por lo tanto, (1.15) Por ltimo, la ecuacin 1.15 puede invertirse para calcular el flujo,

(1.16)

o(1.17)

En general, para cualquier circuito magntico con reluctancia total siguiente manera:

Rtot,

el flujo se calcula de la

4>=Rtot

F

(1.18)

1.1

Introduccin

a los circuitos magnticos

7

+V

Figura 1.3Comparacin entre un circuito magntico y uno elctrico. a) Circuito elctrico. b) Circuito magntico.

El trmino que multiplica a la frnm se conoce como la ermanencia P es lo inverso de la reluctancia; por ejemplo, la permanencia total de un circuito magntico es: 1

Ptot=

'f")

''-tot

(1.19)

Observe que las ecuaciones 1.15 y 1.16 son anlogas a la relacin que hay entre la corriente y el voltaje de un circuito elctaco. Esta analoga se ilustra en la figura 1.3. El inciso a) de la figura 1.3 presenta un circuito elctrico donde un voltaje V maneja una corriente 1 a travs de las resistencias R y R2 El inciso b) de la misma figura muestra una representacin esquemtica y equivalente del circuito magntico que aparece en la figura 1.2. En este caso se observa que la frnm:F (anloga al voltaje dentro del circuito elctrico) maneja un flujo ti> (anlogo a la corriente del circuito elctrico) a travs de la combinacin de la reluctancia del ncleo Re Y del entrehierro Rg. Esta comparacin en la solucin de circuitos elctricos y magnticos se realiza con frecuencia para encontrar soluciones simples para los flujos en circuitos magnticos de complejidad considerable. La fraccin de frnm que se requiere para manejar el flujo a travs de cada porcin del circuito magntico, comnmente denominada cada de fmm a travs de dicha porcin del circuito magntico, vara en proporcin a su reluctancia (anlogo directamente a la cada de voltaje a travs de un elemento resistivo de un circuito elctrico). De la ecuacin 1.13 se hace notar que la alta permeabilidad de material puede resultar en una baja reluctancia del ~, la cual es posib!Y'reducir ms que la reluctancia del entrehierro; por ejemplo, para (J,iAe /le) (JLoAg /8), Re RlP por lo tanto . En este caso se puede ignorar la reluctancia del Uceo y el flujo y por lo tanto B puede ser calculada de la ecuacin 1.16 en trminos de :Fy de las propiedades particulares del entrehierro: ~

/'

4J~ -

:F:F

u;

=

JLoAg g

./LoAg =N-g

'/

(1.20)

Como se analizar en la seccin 1.3, los materiales magnticos prcticos poseen permeabilidades que no son constantes, sino que varan de acuerdo con el nivel de flujo. A partir de las ecuaciones

8

CAPTULO

1

Circuitos

magnticos

y materiales magnticos

Lneas de flujo

Campos marginales

lli~r++-t++++++H

1-+-1-+---+-

Entrehierro

Figura 1.4Campos marginales entrehierro. de

1.13 a 1.16 se observa que mientras la permeabilidad permanezca suficientemente alta, su variacin no afectar de manera significativa el desempeo del circuito magntico. En sistemas reales, las lneas del campo magntico bordean externamente al entrehierro, tal como se ilustra en la figura 1.4. En caso de que el efecto marginal no sea excesivo, el concepto de circuito magntico seguir siendo aplicable. El efecto de dichos campos marginales es el incremento del rea efectiva de la seccin transversal Ag del entrehierro. Por lo tanto, se han elaborado numerosos mtodos empricos que toman en consideracin este efecto. En los campos marginales que se encuentran en entrehierros pequeos se pueden hacer correcciones agregando un espacio intermedio en cada una de las dos dimensiones que forman el rea de la seccin transversal. En este libro no se toma en cuenta el efecto de los campos marginales. Por lo tanto, s se ignora el concepto Ag = Ac. En trminos generales, los circuitos magnticos estn compuestos de mltiples elementos ubicados en serie y paralelo. Para completar la analoga entre los circuitos magnticos y los circuitos elctricos, es posible generalizar la ecuacin 1.5 de la siguiente manera:

(1.21 ) donde F es la frnm (mpere-vueltas cerrado del circuito magntico: totales) que acta para producir el flujo a travs del lazo

(1.22) y Fk = Hklk es la cada de fmm a travs del elemento k-simo del lazo. Es posible establecer una comparacin directa con la ley de voltaje de Kirchoff para circuitos elctricos que consiste en fuentes de voltaje y resistencias: (1.23) donde Ves la fuente de voltaje que maneja a la corriente alrededor del lazo y Rkik es la cada de voltaje a travs del elemento k-simo resistivo de ese lazo.

1.1

Introduccin

a los circuitos magnticos

9

De manera similar, la analoga con la ley de corriente de Kirchoff es la siguiente: (1.24)n

la cual establece que la suma de las corrientes en un nodo en un circuito elctrico equivale a cero y es: (1.25)n

esta ecuacin expresa que la suma del flujo en un nodo de un circuito magntico es cero. Hasta ahora se han descrito los principios bsicos para la reduccin del problema del campo de imn cuasi esttico con geometra simple en un modelo de circuito magntico. El objetivo de esta seccin es introducir algunos de los conceptos y la terminologa que usan los ingenieros al resolver problemas de diseo prctico. Es importante destacar que este tipo de razonamiento depende tanto del juicio como de la intuicin del ingeniero. Por ejemplo, se ha asumido que la permeabilidad de las partes de hierro del circuito magntico es una cantidad constante conocida, aunque esto no es una verdad en general (vase la seccin 1.3), y que el campo magntico se encuentra confinado nicamente al ncleo y sus entrehierros. Aun cuando estos conceptos constituyen una suposicin aceptable en numerosas circunstancias, tambin es cierto que las corrientes en los devanados producen campos magnticos fuera del ncleo. Ms adelante se plantear que cuando dos o ms devanados se colocan en un circuito magntico, como ocurre en el caso de transformadores t mquinas rotativas, a dichos campos fuera del ncleo se les denomina campos de dispersin, los cuales no deben ignorarse ya que afectan de manera importante el desempeo del dispositivo.

~~----------------~-------g

El circuito magntico que aparece en la figura 1.2 posee las siguientes dimensiones: Ae = Ag = 9 crrr', = 0.050 cm, le = 30 cm y N = 500 vueltas. Suponga que el valor !-Lr= 70 000 para el material del ncleo. a) Calcule las reluctancias Re Y Rg. Para la condicin de que el circuito magntico se encuentre operando con B{ = 1.0 T, encuentre: b) el flujo I/J y e) la corriente i.

Solucina)

Las reluctancias pueden calcularse por medio de las ecuaciones Re

1.13 y 1.14:X

=

_I_e _ = !-Lr!-LoAe 70000 (4Jl'g

X

0.3 10-7)(9 10-4)

=X

3.79

103

A vueltas Wb

10-4)X

Rg

= --

!-LoAg

= .

5X

X 10-4X

(4Jl'

10-7)(9

= 4.42

105

A . vueltas Wb

b)

A partir de la ecuacin 1.4,

4> == BeAe = 1.0(9e) A partir de las ecuaciones 1.6 y 1.15, i

X

10-4) = 9

X

10-4 Wb

= !... = 4> (Re + Rg) =N N

9 x 10-4(4.46 500

X

105)

= 0.80

A

10

CAPfTULO 1

Circuitos magnticos

y materiales magnticos

~~----~-------------------------Calcule el flujo q> y la corriente del ejemplo 1.1 si a) el nmero de vueltas se duplica a N = 1 000 vueltas mientras que las dimensiones del circuito permanecen iguales y b) si el nmero de vueltas es igual a N = 500 Y el entrehierro se reduce a 0.040 cm.

Solucina)

b)

q>= 9 x q> = 9 X

IO-4Wb e i = 0.40 A 10-4 Wb e i = 0.64 A

~~-------------------------------------La estructura magntica de una mquina sincrnica se muestra esquemticamente en la figura 1.5. Suponga que el hierro del rotor y del estator presentan permeabilidad infinita (..t -+ 00), encuentre el flujo del entrehierro q> y la densidad de flujo Bg. Para este ejemplo considere 1 = 10 A, N = 1 000 vueltas, g = 1 cm y Ag = 2 000 crrr' .

SolucinNote que existen dos entrehierros en serie con longitud total de 2g, y que por simetra, la densidad de flujo en cada uno es igual. Dado que en esta ocasin la permeabilidad del hierro se considera infinita, es posible ignorar su reluctancia y utilizar la ecuacin 1.20 (con g reemplazada por la longitud total del entrehierro 2g) para calcular el flujo

cjJ= NIJLoAg

. Ya que el devanado (y por consecuencia el contorno C) acopla el flujo del ncleo N veces, la ecuacin 1.26 se reduce a la siguiente expresin: dtp dA e=N- =dt dt donde (1.27)

t.. es la dispersin

de flujo del devanado y se define de la siguiente manera:

A = Ne;

(1.28)

la dispersin de flujo se mide en webers (o el equivalente en webers-vueltas). El smbolo cp se utiliza para indicar el valor instantneo del flujo variante en el tiempo. En trminos generales, la dispersin de flujo de la bobina es igual a la integral de la superficie del componente normal de la densidad de flujo magntico comprendido en cualquier superficie que abarque dicha bobina. Note que la direccin del voltaje inducido e se define4 El trmino fuerza electromotri: (fem) con frecuencia se utiliza en lugar de voltaje inducido para representar componente del voltaje que se debe a un acoplo inducido variante en el tiempo.

el

12

CAPTULO 1

Circuitos magnticos

y materiales magnticos

mediante la ecuacin 1.26, por lo tanto, si las terminales de devanado sufrieran un corto circuito, una corriente pasara' en direccin opuesta al cambio de la dispersin de flujo. Para un circuito magntico compuesto por material magntico con una permeabilidad magntica constante o que contenga un entrehierro dominante, la relacin entre I/J e i ser lineal y podremos definir la inductancia L como:

L=~

A1

(1.29)

Sustituyendo las ecuaciones 1.5, 1.18 Y 1.28 en la ecuacin 1.29, tenemos la siguiente expresin: (1.30) En esta expresin se observa que la inductancia del devanado en un circuito magntico es proporcional al cuadrado de las vueltas e inversamente proporcional a la reluctancia del circuito magntico que se asocia con el devanado. Por ejemplo, de la ecuacin 1.20, si se asume que la reluctancia del ncleo se puede ignorar en comparacin con el entrehierro, la inductancia del devanado que se muestra en la figura l.2 es igual a: L

=

-,----7"

N2

(g / f.LoAg)

(1.31)

La inductancia se mide en henrys (H) o vueltas-weber por ampere. La ecuacin 1.31 muestra la forma dimensional para expresiones relacionadas con la inductancia; as, la inductancia es proporcional al cuadrado del nmero de vueltas, a la permeabilidad magntica y al rea de la seccin transversal, y es inversamente proporcional a la longitud de dicha rea. Es importante hacer notar que, en sentido estricto, el concepto de inductancia requiere una relacin lineal entre el flujo y la frnm. De esta manera, no es posible aplicarlo rigurosamente en circunstancias donde las caractersticas no lineales de los materiales magnticos dominen el funcionamiento del sistema magntico, como se observ en las secciones 1.3 y lA. Sin embargo, en diversas situaciones de inters prctico, el entrehierro domina a la reluctancia del sistema (que es, por supuesto, lineal) y los efectos no lineales del material magntico pueden no tomarse en consideracin. En otros casos pudiera ser aceptable suponer un valor promedio de la permeabilidad magntica para el material del ncleo y deducir un promedio de inductancia correspondiente que puede emplearse para realizar clculos con una precisin tcnica razonable. El ejemplo 1.3 ilustra la situacin que se plante en el primer caso y el ejemplo lA muestra los casos donde es posible suponer un promedio de la permeabilidad magntica y de la inductancia.

~~--------------------------~---------El circuito magntico de la figura 1.6 consiste en un devanado con N nmero de vueltas sobre el ncleo magntico de permeabilidad infinita con dos entrehierros paralelos con longitudes gl y g2 Ycon reas Al YA2, respectivamente. Determine a) la inductancia del devanado y b) la densidad de flujo BI en el entrehierro 1 cuando el devanado lleva una corriente i. Ignore los efectos marginales en el entrehierro.

1.2 Dispersin de flujo, inductancia y energa

13

+0--+--1... +Ni

i

Figura 1.6 a) Circuitomagntico y b) circuito equivalente para el ejemplo 1.3.

N nmero de vueltasa)

b)

Solucina)

El circuito equivalente que se ilustra en la figura 1.6b muestra que la reluctancia total es igual a la combinacin paralela de ambas reluctancias del entrehierro. Por lo tanto,

donde

A partir de la ecuacin 1.29,

b)

Del circuito equivalente,

se puede observar que: cualquier tiempo dado, correspondiente al valor considerado del flujo, se a calcula directamente a partir de la curva de histresis. Por ejemplo, a un tiempo t' el flujo ser qI y la corriente ser i~; a un tiempo r'Tos valores correspondientes sern qI' e irp". Observe que cuando la curva de histresis tiene valores mltiples, es necesario elegir cuidadosamente los valores del flujo ascendente (en la figura qI) de la porcin de flujo ascendente de la curva de histresis; de manera similar, la porcin descendente del flujo de la curva de histresis deber seleccionarse para los valores del flujo descendente (en la figura qI'). Advierta que debido a que la curva de histresis presenta un aplanamiento debido a los efectos de la saturacin, la configuracin de la onda de la corriente de excitacin forma un pico6 De forma ms generalizada, al considerar un sistema con devanado mltiple, la frnm de excitacin es el total de amperes vueltas que actan para producir un flujo dentro de un circuito magntico.

--

1.

Excitacin de corriente

alterna

25

afinado. El valor rms de la corriente tdO), Ved disminuir (incluso puede volverse negativa) y decrecer la potencia que va hacia la carga, lo cual corresponde tanto a una disminucin en Ied como a un decremento en el almacenamiento de energa en el inductor. Note que si a, n/2, Ved ser negativa, una condicin que seguir persistiendo hasta que Ied llegue a cero, en cuyo instante el puente de SCR pasar al estado de NO CONDUCCIN. En esta condicin, la potencia real P tambin ser negativa; asimismo, se est alimentando potencia de la carga a la fuente y se dice que el sistema se est regenerando.

~-------------------------------------------------------------------------------

Un pequeo imn superconductor tiene una inductancia L = 1.2 H. Aunque en esencia la resistencia del imn es cero, la resistencia de los conductores externos es de 12.5 mn. Se alimenta corriente al imn desde una fuente monofsica de 60 Hz y 15 V pico, a travs de un puente de SCR de fase controlada, como en la figura 10.31.a)

b)

Al principio el imn est operando en estado estable con una corriente de cd de 35 A. Calcule el voltaje de cd aplicado al imn, la potencia alimentada a ste y el ngulo de retardo ad en mseg. Trace la grfica del voltaje en el imn vL(t). Con el fin de descargar el imn con rapidez, el ngulo de retardo se incrementa repentinamente hasta ad = 0.9,,= 162. Trace la grfica del voltaje correspondiente en el imn. Calcule el tiempo requerido para descargar el imn y la potencia mxima regenerada hacia la fuente .

SolucinEl ejemplo se resuelve con mayor facilidad utilizando MATLAB, con el cual se producen de manera sencilla las grficas requeridas.a)

En esta condicin de estado estable, Ved = = 35 X 0.0125 = 0.438 V. La potencia alimentada al imn es igual a P = VJcd = 0.438 x 35 = 15.3 W, la cual se dirige hacia las prdidas de alimentacin en la resistencia de los conductores. Es posible hallar el ngulo de retardo a partir de la ecuacin 10.14.

ledR

Cid

=

cos -1

("R1cd) -2Vo

= cos

-1

("

x 0.0125 x 35) 2x15

= 1.52 rad = 87.40

b)

En la figura 10.34a se da una grfica de vL(t) para esta condicin. Para un ngulo de retardo de 0.9", el voltaje de cd de carga ser

Ved

=

(

2VO) ---;-

COSCid

=

(2-,,-

x 15) cos (0.9,,)

=

-9.1 V

En la figura 1O.34b se proporciona una grfica de vL(t) para esta condicin. Se puede calcular la corriente en el imn im a partir de la ecuacin diferencial

10.2

Rectificacin:

conversin

de corriente

alterna a corriente directa

525

sujeta a la condicin inicial de que im(O) = 35 A. Entonces,

Con base en esta ecuacin se encuentra que la corriente en el imn llegar a cero en el instante t = 4.5 segundos, en cuyo momento el puente se corta. La potencia regenerada hacia la fuente estar dada por - Vedim(t). Esto tiene un valor mximo de 9.1 x 35 = 318 W en el instante t = O.

15,-------~,--------.----,,--_,--------_._r~----_,

10

~

2: e.o '"

5

'"

u"O

'" oe

.~~ 5

10

_15~

~_J

~

__

~L_

__ _L

~~

~

o

10

15

20

25

Tiempo [mseg]a)

5.--------,--------_,---------,---------.--------,

o

-10

Figura 10.34Formas de onda para el ejemplo 10.7. a) Voltaje en el imn para ad = 87.4, Ved = 0.438 V. b) Voltaje en el imn para ad -9.1 V.

-15 L--------"-...LJ,----------,L,---'....L..---:l::---------!-:"--"'-------:25 0

=

162, Ved =

Tiempo [mseg] b)

526

CAPiTULO 10

Introduccin a la electrnica de potencia

Enseguida. se da el texto MATLAB para el ejemplo 10.7.clc clear % parmetros R L=

del

sistema

12.5e-3; 1.2;

VO = 15; omega = 120*pi; % inciso a) de cd

% corriente Idc

=

35;

% voltaje de cd Vdc_a = R*Idc; % Potencia P = Vdc_a*Idc; %Calclese alpha_da %Ahora=

el ngulo

de retardo de carga

acos(pi*R*Idc/(2*VO)); el voltaje

calclese

for n = 1:1300 theta(n) = 2*pi*(n-1)/1000; t(n) vs(n) vL (n) vL(n ) =

==

theta(n)/omega; VO*sin(theta(n));< alpha_da

if theta(n)-vs (n) ;

elseif elseif vL (n) vL (n) elseif=

(theta(n) theta(n) theta(n) theta(n) v base, 3-fase

(2.56)

Al final, la impedancia de base trifsica se elige para ser la impedancia de base monofsica. Por lo tanto

102

CAPTULO 2

Transformadores

Zbase, 3-fase

=

Zbase, por fase Vbase,l-n hase, por fase Vbase, 3-fase .J3hase 3-fase

(Vbase, 3_fase)2

(2.57)

VA base, 3-fase

Las ecuaciones para convertir valores de base a base, designadas con los nmeros 2.50 a 2.53, aplican de igual modo a la conversin de base trifsica. Advierta que los factores de {3 y 3 que se relacionan con las cantidades 11 y Y de volts, amperes y ohms en un sistema trifsico balanceado se toman automticamente bajo consideracin en el sistema por unidad mediante los valores base. Entonces, los problemas trifsicos pueden resolverse por medio del sistema por unidad al considerarlos como problemas monofsicos y los detalles del transformador (Y frente a 11 en los lados primario y secundario del transformador) y las conexiones para la impedancia (Y frente a 11) desaparecen, excepto al convertir volts, amperes y ohms al sistema por unidad.

~~-----------------------------------Repita el ejemplo 2.9 en trminos del sistema por unidad y calcule de forma especfica las corrientes de fase en corto circuito que fluirn en el alimentador y en las terminales de 240 V del extremo que recibe del banco del transformador. Realice los clculos en trminos del sistema por unidad en las tres fases, 150 kVA, y con la base del ndice de voltaje del extremo que recibe del transformador .

SolucinSe iniciar por convertir todos los valores de impedancia s al sistema por unidad. La impedancia de 500 kVA, 24 kV:2 400 V del extremo que enva es de 0.17 +jO.92 ntfase que se refiere aliado de 2 400 V. A partir de la ecuacin 2.57, la impedancia base correspondiente a los 2 400 V, 150 kVA de base es

Zbase

=

15~~~03

= 38.4Zot

Q

Del ejemplo 2.9, la impedancia en serie total es igual a convertirlo al sistema por unidad es igual a 0.64

= 0.64 + j2.33 ntfase

y de este modo al

Ztot

=

38 .4

+ j2.33

= 0.0167 + jO.0607

por unidad

que es de magnitud

Iz., I =

0.0629 por unidad

El voltaje que se aplic al lado de alto voltaje del extremo que enva del transformador es V, = 24.0 kV = 1.0 por unidad sobre la base de un voltaje nominal y por lo tanto, la corriente del corto circuito ser igual a

2.9

El sistema por unidad

103

Ise = --

Vs

I z., I

1.0 . = --= 15.9 por unidad 0.0629

Para calcular las corrientes de fase en amperes, simplemente es necesario multiplicar la corriente del corto circuito que se encuentra en el sistema por unidad por la corriente base apropiada. De esta forma, en el alimentador de 2 400 V la corriente base es 150 X 103 6 =3.IA ../32400

Ibase.2400V= y como consecuencia,

la corriente del alimentador ser Ialimentador 15.9 x 36.1 = 574 A =

La corriente base en el lado secundario de 240 V del extremo que enva del transformador 150 X 103 36 = l A ../3 240

es

Ibase. 40 = 2 V

y por lo tanto, la corriente del corto circuito es 1240 Vsecundario 15.9 x 361 = 5.74 leA = Como se esperaba, estos valores son equivalentes dentro de cierta precisin numrica respecto de los que se calcularon en el ejemplo 2.9.

~L-

_

Calcule la magnitud de la corriente de corto circuito en el alimentador que se cita en el ejemplo 2.9 si se reemplaza el alimentador de 2 400 V por un alimentador con una impedancia de 0.07 + jO.68 Q/fase. Realice este clculo considerando los 500 kVA, as como el voltaje nominal base del extremo que enva del transformador y exprese el resultado tanto en el sistema por unidad como en amperes por fase.

SolucinLa corriente del corto circuito = 5.20 por unidad = 636 A

~~---------------------------------------------------Una carga trifsica se alimenta de un transformador de 2.4 kV:460 V, 250 kVA cuya impedancia en serie equivalente es 0.026 + j 0.12 por unidad sobre su propia base. Se observa que el voltaje de carga es 438 V de lnea a lnea, y absorbe 95 kW al factor de potencia unitario. Calcule el voltaje en el lado del alto voltaje del transformador. Realice los clculos sobre la base de 460 V, 100 kVA base .

SolucinLa impedancia de base del lado de 460 V para este transformador es

4602 Zbase.transformador250 X 103 = 0.846 =

n

104

CAPTULO 2

Transformadores

mientras que con base en los 100 kVA base es 4602 100 x 103

Zbase.

100 kVA

=

= 2.12

Q

De esta forma, a partir de la ecuacin 2.51 la impedancia del transformador los 100 kVA es

por unidad con base en

Ztransformador

=

(0.026

. + jO.12)

(0.864) -2.12

. = 0.0106 + j.0489

. por unidad

El voltaje de carga por unidad es

Vcarga

438 = 460 = 0.952 LO por unidad

donde el voltaje de carga se eligi como referencia para los clculos de ngulo de fase. La potencia de carga por unidad es

Pcarga

=

95 100

= 0.95

por unidad

y, por lo tanto, la corriente de carga por unidad que se encuentra en fase con el voltaje de carga, debido a que la carga opera con un factor de potencia unitario, es carga Pcarga 0.95 = -- = 0.952 =0.998 -V carga

. LO por unidad

As, en este momento es posible calcular el lado de alto voltaje del transformador

VH

=

Vcarga +0.952 0.963

icargaZtransformador

==

+ 0.998(0.0106 + jO.0489) + jO.0488 = 0.964 L29.0 por unidad = 2 313V (lnea a lnea).

De esta forma, el lado de alto voltaje es igual a 0.964 x 2 400 V

~~--------------------------------Repita el ejemplo 2.15 si se reemplaza el transformador trifsico de 250 kV por un transformador de 150 kV tambin con una capacidad de 2.4 kV:460 V y cuya impedancia de serie equivalente es de 0.038 + jO.135 por unidad sobre su propia base. Elabore los clculos con base en los 460 V, 100 kVA.

SolucinEl lado de alto voltaje

= 0.982

por unidad

= 2 357 V (lnea

a lnea)

2.10

Resumen

105

2.10 RESUMENA pesar de que el transformador no es un dispositivo electromecnico, es un componente comn e indispensable en los sistemas de corriente alterna donde se emplea para convertir voltajes, corrientes e impedancias a niveles apropiados para su ptima utilizacin. Para fines de este anlisis de los sistemas electromecnicos, los transformadores sirven como valiosos ejemplos de las tcnicas de anlisis que debern llevarse a la prctica. Estos dispositivos ofrecen oportunidades para investigar las propiedades de los circuitos magnticos, incluso los conceptos de frnm, la corriente de magnetizacin y la magnetizacin, as como los conceptos de flujos de dispersin y mutuos, as como las inductancias asociadas con los mismos. Tanto en el caso de los transformadores como en el de las mquinas de rotacin, se crea un campo magntico por medio de la accin combinada de las corrientes en los devanados. En un transformador con ncleo de hierro, la mayor parte de este flujo se limita al ncleo y vincula todos los devanados. Este flujo mutuo resultante induce voltajes en los devanados, los cuales son proporcionales al nmero de vueltas y tambin son responsables de la propiedad de variacin de voltaje que presentan los transformadores. En las mquinas de rotacin, la situacin es parecida, aunque en este caso existe un entrehierro que separa los componentes de rotacin de los componentes estticos de la mquina. De forma anloga a la manera en que el flujo del ncleo del transformador vincula los diferentes devanados en el ncleo del transformador, el flujo mutuo presente en las mquinas de rotacin atraviesa el entrehierro y une los devanados en el rotor y el estator. Como sucede en un transformador, el flujo mutuo induce voltajes en estos devanados que son proporcionales al nmero de vueltas y al ndice de tiempo del cambio del flujo. Una diferencia importante entre los transformadores y las mquina de rotacin es que en el caso de las mquinas de rotacin existe un movimiento relativo entre los devanado en el rotor y en el estator. Este movimiento relativo produce un componente adicional del ndice de tiempo del cambio de las diferentes dispersiones de flujo de los devanados. Como se considerar en el captulo 3, el componente de voltaje resultante, denominado velocidad de voltaje, es caracterstico del proceso de conversin de energa electromecnica. Sin embargo, en un transformador esttico, la variacin de tiempo de los acoplamientos inductivos es causada simplemente por la variacin de tiempo en las corrientes de los devanados; sin involucrar ningn movimiento mecnico y sin llevarse a cabo ninguna conversin de energa electromecnica. El flujo del ncleo que resulta en un transformador induce una fuerza contraelectromotriz en el lado primario que junto con la resistencia primaria y la cada de voltaje de la reactancia de dispersin debern balancear el voltaje que se aplique. Ya que la resistencia y la cada de voltaje de la reactancia de dispersin generalmente son menores, la fuerza contraelectromotriz deber igualar de manera aproximada el voltaje que se aplique y el flujo del ncleo deber ajustarse a s mismo de acuerdo con este hecho. Fenmenos muy parecidos se llevan a cabo en los devanados de inducido de un motor de corriente alterna; la onda de flujo re ultante del entrehierro deber ajustarse a s misma con el fin de generar una fuerza contraelectromotriz que sea aproximadamente igual al voltaje que se aplica. Tanto en el caso de los transformadores como en el de las mquinas de rotacin, la frnm neta de todas las corrientes deber ajustarse a s misma con el fin de crear el flujo resultante que se requiere por este balance de voltaje. En cualquier dispositivo electromecnico de corriente alterna en donde la cada de voltaje de la resistencia y de la reactancia de dispersin sean menores, el flujo resultante ser determinado por el voltaje aplicado y por la frecuencia, y las corrientes debern ajustar e a s mismas para producir la frnm que se requiere para crear dicho flujo.

106

CAPTULO 2

Transformadores

En un transformador, la corriente secundaria se determina por medio del voltaje inducido en el lado secundario, por la impedancia de dispersin secundaria y por la carga elctrica. En un motor de induccin, la corriente secundaria (rotar) se determina por el voltaje inducido en el lado secundario, por la impedancia de dispersin secundaria y por la carga mecnica de su eje o flecha. En el devanado primario del transformador y en el devanado de inducido o armadura (estator) de los motores sincronos y de induccin, en esencia se llevan a cabo los mismos fenmenos. En los tres casos, el devanado primario o devanado de armadura, la corriente deber ajustarse a s misma de modo que la fmm combinada de todas las corrientes sea capaz de crear el flujo que se requiere por el voltaje que se aplica. Adems de los tiles flujos mutuos, tanto en transformadores como en mquinas de rotacin existen acoplamientos de flujo que vinculan a los devanados individuales sin unir a otros. Aunque la descripcin detallada de los acoplamientos de flujo en las mquinas de rotacin es ms complicada que en el caso de los transformadores, sus efectos son esencialmente los mismos. En ambos casos, los acoplamientos de flujo inducen voltajes en los devanados de corriente alterna que se consideran como cadas de voltaje de reactancia de dispersin. En ambos casos, tambin el patrn a travs del aire domina a las reluctancias de los patrones de acoplo inducido, y como consecuencia, los flujos de dispersin son casi linealmente proporcionales a las corrientes que las producen. Por lo tanto, con frecuencia se asume que las reactancias de dispersin son una constante independiente del grado de saturacin del circuito magntico principal. Es posible citar muchos ms ejemplos de las similitudes bsicas que hay entre transformadores y mquinas de rotacin. Con excepcin de la friccin y de la prdida por rozamiento con el aire, las prdidas en los transformadores y en las mquinas de rotacin son en esencia las mismas. Asimismo, las pruebas para determinar las prdidas as como los parmetros de circuitos equivalentes son similares: una prueba de circuito abierto o vaco, proporciona informacin concerniente a los requisitos de excitacin y de prdidas en el ncleo (junto con prdidas por friccin y por rozamiento con el aire), mientras que una prueba de corto circuito aunada a mediciones de resistencia de corriente directa proporciona informacin sobre las reactancias de dispersin y las resistencias del devanado. Se citar otro ejemplo de la representacin sobre los efectos de la saturacin magntica. Tanto en los transformadores como en las mquinas de rotacin, generalmente se asume que las reactancias de dispersin no sufren los efectos de la saturacin y que la saturacin que se presenta en el circuito magntico principal se determina por el flujo mutuo resultante o flujo del entrehierro.

2.11

PROBLEMAS2.1 Un transformador consta de una bobina primaria de 1 200 vueltas y una bobina secundaria de circuito abierto de 75 vueltas que se depositan alrededor de un ncleo cerrado con rea de seccin transversal de 42 cm2. Se puede considerar al material del ncleo como saturado cuando la densidad de flujo alcanza 1.45 T. Qu voltaje primario rms de 60 Hz se necesita sin alcanzar este nivel de saturacin? Cul ser el correspondiente voltaje secundario? Cmo se alteran estos valores si la frecuencia que se aplica es menor a 50 Hz? 2.2 Un circuito magntico con un rea de seccin transversal de 15 cm2 se operar a 60 Hz a partir de un suministro de 120 V rms. Calcule el nmero de vueltas que se requieren para alcanzar un pico de densidad de flujo magntico de 1.8 T en el ncleo.

2.11

Problemas

107

2.3 Se utilizar un transformador para convertir la impedancia de un resistor de 8 n a una impedancia de 75 n. Calcule la relacin de vueltas que se requiere al asumir que el transformador es ideal. 2.4 Un resistor de 100 n se conecta al lado secundario de un transformador ideal con un ndice de vueltas de 1:4 (primario a secundario). Se conecta una fuente de voltaje de 10 V rms, y 1 kHz al lado primario. Calcule la corriente primaria y el voltaje a travs del resistor de 100 n. 2.5 Una fuente que puede representarse por medio de una fuente de voltaje de 8 V rms en serie con una resistencia interna de 2 kQ se conecta a una resistencia de carga de 50 n a travs de un transformador ideal. Calcule el valor de la relacin de vueltas necesario para que se suministre una potencia mxima a la carga y calcule la correspondiente potencia de carga. Mediante MATLAB, grafique la potencia en miliwatts que se suministra a la carga como una funcin de la capacidad del transformador, al cubrir ndices desde 1.0 a 10.0. 2.6 Repita el problema 2.5 y reemplace la resistencia de la fuente por una reactancia de 2 n. 2.7 Un transformador monofsico de 60 Hz presenta un voltaje de placa con un promedio de 7.97 kV:266 V, que se basa en la relacin de vueltas del devanado. El fabricante calcula que la inductancia de dispersin del lado primario (7.97 kV) es 165 mH Yla inductancia magnetizante del lado primario es de 135 H. Para un voltaje aplicado de 7 970 V a 60 Hz, determine el voltaje secundario de circuito abierto resultante. 2.8 El fabricante calcula que el transformador que cita el problema 2.7 presenta una inductancia de dispersin secundaria de 0.225 rnH.a) b)

Calcule la inductancia magnetizante al referirla al lado secundario. Se suministra un voltaje de 266 V, 60 Hz al lado secundario. Calcule: (i) el voltaje primario de circuito abierto resultante y (ii) la corriente secundaria que resultara si el lado primario se encontrara en corto circuito.

2.9 Un transformador de 120 V:2 400 V, 60 Hz, 50 kVA presenta una reactancia magnetizante (calculada a partir de las terminales de 120 V) de 34.6 n. El devanado de 120 V presenta una reactancia de dispersin de 27.4 mn y el devanado de 2 400 V una reactancia de dispersin de 11.2 n.a) b)

Con el lado secundario con circuito abierto y 120 V aplicados al devanado primario (120 V), calcule la corriente primaria y el voltaje secundario. Con el lado secundario con corto circuito, calcule el voltaje primario que dar como resultado una corriente nominal en el devanado primario. Calcule la corriente correspondiente en el devanado secundario.

2.10 Un transformador de 460 V:2 400 V presenta una reactancia de dispersin de 37.2 n que se refiere al lado de alto voltaje. Se observa que una carga q~ se encuentra conectada al lado de bajo voltaje absorbe 25 kW, a factor de potencia unitario, y e\.voltaje se calcula en 450 V. Calcule el voltaje correspondiente y el factor de potencia q~se obtendr en las terminales de alto voltaje. 2.11 Las resistencias y las reactancias de dispersin de un transformador de distribucin de 30 kVA, 60 Hz, 2400 V:240 V se calculan de la siguiente forma ) R = 0.68XII

Q

R2 = 0.0068

Q

= 7.8 Q

XI2 = 0.0780 Q

108

CAPTULO

2

Transformadores

donde el subndice 1 designa el devanado de 2 400 V Yel subndice 2 designa al devanado de 240 V. Cada cantidad se refiere a su respectivo lado del transformador.a) b)

e)

Esquematice el circuito equivalente referido: (i) al lado de alto voltaje y (ii) al lado de bajo voltaje. Distinga las impedancias mediante nmeros. Considere que el transformador suministrar un ndice en kVA a una carga en el lado de bajo voltaje con 230 V a travs de la carga. (i) Determine el voltaje terminal en el lado de alto voltaje para un factor de potencia de carga de 0.85 en atraso. (ii) Determine el voltaje terminal en el lado de alto voltaje para un factor de potencia de carga de 0.85 en adelante. Considere que una carga nominal en kVA se conecta a las terminales de bajo voltaje que operan a 240 V. Utilice MATLAB para graficar el voltaje terminal en el lado de alto voltaje como una funcin del ngulo de factor de potencia, mientras que el factor de potencia de la carga vara de 0.6 en atraso de un factor de potencia unitario y 0.6 pf en adelante.

2.12 Repita el problema 2.11 para un transformador de distribucin de 75 kVA, 60 Hz, 4 600V:240 V, cuyas resistencias y reactancias de di persin son las siguientes R,XII

= =

0.846 Q 26.8 Q

R2 = 0.00261 QX/2

= 0.0745

Q

donde el subndice l indica el devanado de 4 600 V Y el sub ndice 2 indica el devanado de 240 V. Se refiere cada cantidad a su respectivo lado del transformador. 2.13 Se suministra una carga monofsica a travs de un alimentador de 35 kV cuya impedancia equivalente es 95 + j360 n y 35 kV; 2400 V Y un transformador cuya impedancia equivalente es de 0.23 + j1.27 n referidas al lado de bajo voltaje. La carga es de 160 kW a un factor de potencia 0.89 en atraso y 2 340 V.a) b)

e)

Calcule el voltaje en las terminales de alto voltaje del transformador. Calcule el voltaje en el extremo que enva del alimentador. Calcule la potencia y la entrada de potencia reactiva en el extremo que enva del alimentador.

2.14 Repita el ejemplo 2.6 y considere que el funcionamiento del transformador

es a plena carga y con factor de potencia unitario. 2.15 La placa de un transformador monofsico de 50 MVA, 60 Hz indica que ste presenta un voltaje nominal de 8.0 kV:78 kV. Se realiza una prueba de circuito abierto en el lado de bajo voltaje, en donde las correspondientes lecturas de los instrumentos de medicin son 8.0 kV, 62.1 A Y 206 kW. De manera similar, una prueba de corto circuito en el lado de bajo voltaje proporciona lecturas de 674 V, 6.25 kA y 187 kW.a) b)

e)

Calcule la impedancia en serie equivalente, la resistencia y la reactancia del transformador referidas a las terminales de bajo voltaje. Calcule la impedancia en serie equivalente del transformador referidas a las terminales de alto voltaje. Al realizar aproximaciones apropiadas, esquematice un circuito equivalente en T para el transformador.

2.11

Problemas

109

d) e)

Determine la eficiencia y la regulacin de voltaje si el transformador opera con un voltaje nominal y una carga (a factor de potencia unitario). Repita el inciso d) y asuma que la carga ser un factor de potencia de 0.9 en adelante.

2.16 Un transformador de 550 kVA, 60 Hz con un devanado primario de 13.8 kV absorbe 4.93 A Y 3 420 W sin carga, a voltaje y frecuencia nominales. Otro transformador presenta un ncleo con todas sus dimensiones lineales a una razn de ..fi veces el tamao del primer transformador. El material del ncleo y el espesor de la lmina son los mismos en ambos transformadores. Si los devanados primarios de ambos transformadores presentan el mismo nmero de vueltas, qu corriente de vaco y qu potencia absorber el segundo transformador con 27.6 kV a 60 Hz en su lado primario? 2.17 Los siguientes datos se obtuvieron a partir de un transformador de distribucin de 20 kVA, 60 Hz, 2400:240 V probado a 60 Hz: Voltaje,V Con el devanado de alto voltaje con circuito abierto Con las terminales de bajo voltaje con corto circuito a) b) 240 61.3

Corriente, Potencia,A 1.038 8.33 W 122

257

Calcule la eficiencia a corriente de plena carga y el voltaje terminal a un factor de potencia de 0.8. Asuma que el factor de potencia de carga vara mientras que la corriente de carga y el voltaje terminal secundario permanecen constantes. Utilice un diagrama de fases para determinar el factor de potencia de carga que aplica una regulacin mayor. Cul es esta regulacin?

2.18 Un transformador de distribucin monofsico de 75 kVA, 240 V:7 970 V, 60 Hz presenta los siguientes parmetros referidos al lado de alto voltaje: R = 5.93 n R2 = 3.39 n Re = 244kn X =43.2n X2 = 40.6 n Xm = 114kn

Asuma que el transformador suministra sus kVA nominales en sus terminales de bajo voltaje. Elabore un programa MATLAB con el fin de determinar la eficiencia y regulacin del transformador para cualquier factor de potencia de carga que se especifique (de retardo o adelanto). Es posible aplicar, de manera razonable, algunas aproximaciones tcnicas para simplificar el anlisis. Utilice un programa en MATLAB para determinar la eficacia y la regulacin para un factor de potencia de carga de 0.87 en adelante. 2.19 El transformador que se cita en el problema 2.11 se conectar como un autotransformador. Determine:a) b)

los voltajes en los devanados de alto y bajo voltaje para esta conexin y determine los kVA nominales de la conexin del autotransformador.

2.20 Se utilizar un transformador de 120:480 V, 10 kVA como un autotransformador para abastecer a 480 V un circuito a partir de una fuente de 600 V. Cuando se le prueba como transformador de dos devanados a plena carga, y con factor de potencia unitario, su eficiencia es de 0.979.

110

CAPTULO

2

Transformadores

a) b)

e)

Realice un diagrama de conexiones como si fuera un autotransformador. Determine su capacidad en kVA como autotransformador. Determine su eficiencia como un autotransformador a plena carga, con un factor de potencia 0.85 en atraso.

2.21 Considere el transformador que se cita en el problema 2.15 con las siguientes caractersticas: 8 kV:78 kV, 50 MVA conectado como un autotransformador.a) b)

Determine la relacin de voltaje de los devanados de alto y bajo voltaje para esta conexin y la capacidad en kVA de la conexin del autotransformador. Calcule la eficiencia del transformador en esta conexin cuando abastece una carga nominal con un factor de potencia unitario.

2.22 Elabore un programa en MATLAB cuyas entradas (voltaje y kVA) y carga nominal, la eficiencia a factor de potencia unitario de un transformador monofsico cuya salida es su carga nominal, y la eficiencia a factor de potencia unitario cuando se conecta como un autotransformador. 2.23 Las terminales de alto voltaje de un banco trifsico de tres transformadores monofsicos se abastecen a partir de un cable trifsico, en sistema tambin trifsico de 13.8 kV (lnea a lnea). Las terminales de bajo voltaje se conectarn a un cable trifsico y a una carga de subestacin trifsica que va de 4 500 kVA hasta 2 300 V de lnea a lnea. Especifique el voltaje que se requiere, la corriente y la capacidad en kVA de cada transformador (en ambos devanados, de alto y bajo voltaje) para las siguientes conexiones:

Devanados de alto voltajea)

Devanados de bajo voltaje D.Y Y

y

b) e) el)

D.y

D.

D.

2.24 Tres transformadores monofsicos de 100 MVA con una capacidad de 13.8 kV:66.4 kV, se conectarn en un banco trifsico. Cada transformador presenta una impedancia en serie de 0.0045 +jO.19 Q referidos al devanado de 13.8 kV.a)

b)

Si los transformadores se conectan en Y-Y, calcule (i) el voltaje y de potencia de la conexin trifsica, (ii) la impedancia equivalente referida a sus terminales de bajo voltaje, y (iii) calcule la impedancia equivalente referida a las terminales de alto voltaje. Repita el inciso a) si el transformador se conecta en Y en su lado de bajo voltaje y en tringulo en su lado de alto voltaje.

2.25 Repita el ejemplo 2.8 para una carga que extrae una corriente nominal de los transformadores con factor de potencia unitario. 2.26 Un transformador trifsico en Y-Il. presenta 225 kV:24 kV, 400 MVA nominales y una reactancia en serie de 11.7 Q referidos a las terminales de alto voltaje. El transformador abastece una carga de 325 MVA, con un factor de potencia de 0.93 en atraso a un voltaje

2.11

Problemas

111

de 24 kV (lnea a lnea) en su lado de bajo voltaje. Este transformador se abastece de un alimentador cuya impedancia es de 0.11 + j2.2 n conectado a sus terminales de alto voltaje. Bajo estas condiciones, calcule:a) el voltaje de lnea a lnea en las terminales de alto voltaje del transformador b) el voltaje de lnea a lnea en el extremo final del alimentador.

y

2.27 Asuma que la carga total en el sistema del problema 2.26 permanece constante a 325 MVA. Elabore un programa MATLAB con el fin de graficar el voltaje de lnea a lnea que deber aplicarse al extremo que enva del alimentador para mantener el voltaje de carga a 24 kV de lnea a lnea para factores de potencia de carga dentro de los lmites de 0.75 en atraso, unitario y 0.75 en adelante. Grafique el voltaje del extremo que enva como una funcin del ngulo de factor de potencia. 2.28 Un banco de tres transformadores idnticos de 100 kVA, 2 400 V: 120 V, 60 Hz, conectados en /).-Y se abastecen de potencia a partir de un alimentador cuya impedancia es 0.065 + jO.87 n por fase. El voltaje en el extremo final del alimentador permanece constante a 2 400 V de lnea a lnea. Los resultados de una prueba de corto circuito monofsica en uno de los transformadores con sus terminales de bajo voltaje en corto circuito son los siguientes VH = 53.4 Va)

f = 60 Hz

IH

= 41.7

A

P

=

832 W

Determine el voltaje de lnea a lnea en el lado de bajo voltaje del transformador cuando el banco entrega una corriente a una carga de factor de potencia unitario trifsico balanceado. b) Calcule las corrientes en los devanados de alto y bajo voltaje del transformador y en los cables del alimentador si ocurre un corto circuito trifsico en las terminales de lneas secundarias.

2.29 Un transformador de potencial 7 970 V: 120 V, 60 Hz presenta los siguientes parmetros que se observan en el devanado de alto voltaje (primario): XI = 1 721 Q X2

=

1 897 Q

x;

= 782 kQ

RI = 1378 Q a)

R~ = 1 602 Q

Asuma que el devanado secundario se encuentra en corto circuito y que el primario est conectado a una fuente de 7.97 kV, calcule la magnitud y el ngulo de fase (con respecto a la fuente de alto voltaje) del voltaje en las terminales secundarias. b) Calcule la magnitud y el ngulo de fase del voltaje secundario de una carga resistiva de 1 kn que se conecta a las terminales secundarias. e) Repita el inciso b) si la carga total cambia a una reactancia de 1 kn.

2.30 Para el transformador de potencial que se presenta en el problema 2.29, determine la carga total reactiva mxima (reacta