Martes 6 de marzo de 2012

Advanced Quantum TheoryPaul Roman.Addison-Wesley, 1965. ISBN 0201064952

Quantum Mechanics, Concepts and ApplicationsN. Zettili; Wiley 2001

Quantum mechanics. Second editionV.G. Thankappan. New Age, 1993. 9788122425000

Quantum PhysicsF. Scheck. Springer, 2007

Essential Quantum MechanicsGary E. Bowman, 2008, Oxford University Press 0199228922

Introduction to Quantum MechanicsD. Griffiths. Prentice Hall 1995. ISBN 0131244051

Principles of quantum mechanics. Second editionR. Shankar 0306447908

I. Introducción1.1 La ecuación de Schrödinger1.2 Problemas unidimensionales

1.2.1 La partícula libre1.2.2 Pozos1.2.3 Barreras y tuneleo1.2.4 El oscilador armónico

II. El formalismo de la Mecánica Cuántica

III. Descripción cuántica del átomo.

IV. Interacción semiclásica átomo-radiación.

Consideremos una base ortonormal y completade un espacio de Hilbert.

La denotaremos como donde es un

parámetro continuo.Como es ortonormal y completa:

ˆd I

10 2 d

Consideremos una base ortonormal y completa de un espacio de Hilbert.

La denotaremos como donde es un parámetro continuo.

Como es ortonormal y completa:

ˆ y d I

ˆ

donde

I d

d d

donde d

*

ˆ

donde

I d

d d

* donde d

d

d d

d

d d

*

d

d d

d

d d

*

donde

donde

d

d

d d

d

*

donde

donde

d

d

d d

*

d

d

d

En la representación de coordenadasx̂ x

0

0 si indefinido si

x

xf x x f x

x x f x

x xf x

x x

f x x x

ˆEn la representación de coordenadas

ˆLos vectores propios de son x x x

x x x

Son ortonormales:

Es un conjunto completo:

ˆ

x x x x

dx x x I

ˆEn la representación de coordenadas

ˆLos vectores propios de son x x x

x x x

Son ortonormales:

Es un conjunto completo:

x x x x dx x x

x x x x dx x x

ˆ

donde

I dx x x dx x x

dx x x dx x x dx x x x

x

x x

En la representación de coordenadas,donde los vectores base (los vectorespropios de las coordenadas) son

el estado está especificado por

x x x

dx x x x x

La componente es la

función de onda de Schrödinger.

x x

En la representación de coordenadas,donde los vectores base (los vectorespropios de las coordenadas) son

el estado está especificado por

x x x

dx x x x x

En la representación de coordenadas

se confunde con el ket simbólico del estado.

x

En la representación de coordenadas,donde los vectores base (los vectorespropios de las coordenadas) son

el estado está especificado por

x x x

dx x x x x

En la representación de coordenadas

se confunde con el ket simbólico del estado.

x

Es confuso que el mismo símbolo

denota al vector del espacio deHilbert y también una componentedel mismo.

x

es un número, es

el valor de en . es el símbolo de todos

los posibles valores funcionales.

x x

x

El mismo símbolo denota al vector del espacio

de Hilbert y también una componente del mismo.

x

En la representación de coordenadasˆ

ˆ

x x xdp p idx

En la representación de coordenadas

ˆ ˆ ; dx x x p p idx

ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ,

ˆ ˆ,

x p f x xpf x pxf x

d di x f x i xf xdx dxd d dxi x f x i x f x i f xdx dx dx

i f x

x p i

En la representación de coordenadas

ˆ ˆ ; dx x x p p i dx

* *

**

ˆ

ˆ

x

dx x x x dx x x x

dx x x x dx x x x

En la representación de coordenadas

ˆ ˆ ; dx x x p p i dx

*

* *

*

ˆ dp dx x i xdx

di x x i dx x xdx

d xdx i x

dx

ˆ

exp

d pp p i p pdx

ip C xp

En la representación de coordenadas

ˆ ˆ ; dx x x p p i dx

2 23

1/2

ya que

exp exp 2

Por lo tanto,

1 exp

xp 2

2

e

i ip p C xp xp dx C p p

i p

i

x

d

p

exp ip C xp

1/2

Las funciones propias delmomento son, en la

representación de coordenadas,

12

i px

p

p e

Las funciones propias del momento son ortonormalesen el sentido de la delta de Dirac; es decir,

1 exp exp2i ip p xp xp dx p p

exp 2i d

1/21

2

i pxp e

Constituyen también un conjunto completo,ya que satisfacen la condición de cerradura(de completez)

12

i ixp x pe e dp x x

1/21

2

i pxp e

exp 2i d

*

d

d

d

d

1/ 2 1/ 2

1 12 2

i ipx px

x x x

p e p e

x p

p dx p x x

1/ 2 1/ 2

1 12 2

i ipx pxp x e x x dx e

x p

p dx p x x

1/2

12

i pxp x e

1/2

12

i pxp dxe x

1/2

1/2

1/2

1/2

1/2

1/2

12

12

12

12

1 22

12

i px

i i ipx px px

i i ipx px px

i ipx p x x

i px

p dxe x

e p e dxe x

dpe p dp e dxe x

dpe p dx x dpe

dpe p dx x x x

dpe

i pxp x

1/2

12

i pxp x e

1/2

12

i pxx dpe p

x p

p dx p x x

1/ 2

La función de onda en larepresentación de momentos es

12

i pxp dxe x

¿Cómo se ven afectados losoperadores cuando hacemosun cambio de representación?

1 2 3

Consideremos una base ortonormal y completade un espacio de Hilbert separable.Esto quiere decir que la base es numerable,y la denotaremos como

, , ,..., ,....

Como es ortonormal y completa:n n

n m

1

ˆ

nm

n nn

I

n n

n n

1 1 1 2

2 1 2 2 2

1 2

n m

m

n n n m

U

n n

1

donde

; con

ˆ

n n n nn

n n n mn m mn m nm

jl j l

a a

U U

A A

*

*

d

d

d

,

Usando la relación de completez (clausura)ˆ

tenemos

I

A

A

A

,

A A

Los elementos de matriz de en una representación se obtienende los de la otra representaciónmediante una doble transformaciónde Fourier.

A

Si en la representación eloperador es diagonal, en larepresentación tendrá laforma de una suma de operadoresde proyección cada uno

con un peso

A

A

,

A A

, ,

,

A A a

a

a a

A a

*

x p

x dp p x p

1/ 2

12

i pxp x e

1/ 2

12

i pxx dpe p

,

1/2

pero1 exp

2

y

x x

p x p p x x x x x p

ip x px

x x x dx x x x x x x x x

,

A A

/ /

/ /

/ /

/

12

12

12

2

i p x i p x

i p x i p x

i p x i p x

i x p p

p x p dx dx e e x x x

dx e e x

ddx e i edp

i d dx edpdi p pdp

,x x

p x p p x x x x x p

dp i pdp

ddp p p i p pdp

di p pdp

dp x p i p pdp

*1/2 1/2

*

*

*

1 1ˆ2 2

12

12

2

i ipx p x

i ipx p x

i ipx p x

i p p x

x dx dpe p x dp e p

dp p dp p dxe xe

ddp p dp p dxe i edp

i ddp p dp p dxedp

* *

1/2

ˆ ˆ

12

i px

x dx x x x dx x x x

x dpe p

*ˆ2

i p p xi dx dp p dp p dxedp

*

*

ˆ

22

x

i ddp p dp p p pdp

di dp p dp p p pdp

exp 2i d

*ˆ dx i dp p dp p p pdp

ˆAsí que finalmente dx i dp

f x x a dx f a

*ˆ dx i dp p pdp

*1/2 1/2

*

*

*

1 1ˆ2 2

2

2

12

i ipx p x

i ip x p x

i ip x px

i p p x

dx i dx dpe p dp e pdx

i ddp p dp p dxe edx

i idp p dp p dxe p e

dp p dp p p dxe

* *

1/2

ˆ ˆ

12

i px

dp dx x p x i dx x xdx

x dpe p

*1ˆ2

i p p xx dp p dp p p dxe

*

*

ˆ

1 22

p

dp p dp p p p p

dp p dp p p p p

exp 2i d

*p̂ dp p dp p p p p

f x x a dx f a

*p̂ dp p p p

ˆAsí que p p

,

La formula

para la tranformación de un operador de la base

a la base muestra que si el conjunto

es discreto, la representación del operador

en dicha base será una mat

A A

A

riz discreta, aunqueen general infinita, aún cuando en la

representación la representación fuera

continua.

1) Sea el operador de coordenadas .

ˆSabemos que ,

es decir, tiene una representación continua.

2) Supongamos ahora que el sistema con elcual estamos tratando tiene un espectro

A r

r r r r r r

deenergía discreto .

Sea la función de onda de Schrödinger

correspondiente al -esimo estado propio dela energía .

n

n

E

r

nn

* 3 *

3

Ya que los estados propios de las coordenadas están representados por las funciones

, entonces tenemos

yn n

n n

r

r r

n r r r r d r r

r n r r r d r r

* 3 3

* 3

Así que

por lo tanton n

n n

n r n r r r r r d r d r

n r n r r r d r

,

* 3 *

3

ˆ

n n

n n

A A

r r r r r r

n r r r r d r r

r n r r r d r r

* 3

De manera similar

n nn p n r r d ri

,

* 3 *

3

n n

n n

A A

n r r r r d r r

r n r r r d r r

* 3

Ya que todo operador está construidoˆ ˆpor y , tenemos de manera general

en la representación de la energía

n n n n

r p

n n r r d r

,

* 3 *

3

n n

n n

A A

n r r r r d r r

r n r r r d r r

* 3

Ya que todo operador está construidoˆ ˆpor y , tenemos de manera general

en la representación de la energía

.n n n n

r p

n n r r d r

,

* 3 *

3

n n

n n

A A

n r r r r d r r

r n r r r d r r

Esta fórmula establece la equivalencia de la mecánica matricialde Heisenberg con la mecánica ondulatoria de Schrödinger.

22 2

2 22 2

2

2

ˆ 1ˆ ˆ2 2

ˆ

ˆ ˆ

12 2

pH m xmH E

dx x p i dxd m x x E xm dx

x dx

2 22 2

2

1/ 4 2

12 2

1 exp22 !

1 0,1,2,...2

n nn

n

d m x Em dx

m m m xx H xn

E n n

, 1 , 1

, 1 , 1

ˆ 12y

ˆ 12

n m n m

n m n m

n x m m mm

mn p m i m m

1/ 4 21 exp

22 !n nn

m m m xx H xn

, 1 , 1ˆ 12donde

ˆ

n m n m

n m

n x m m mm

n x m x x x dx

1/ 4 21 exp

22 !n nn

m m m xx H xn

, 1 , 1ˆ 12donde

ˆ

n m n m

n m

mn p m i m m

dn p m i x x dxdx

1/ 4 21 exp

22 !n nn

m m m xx H xn

0 1 0 0 0

1 0 2 0 0

0 2 0 3 020 0 3 0 4

x

, 1 , 1ˆ 12 n m n mn x m m mm

0 1 0 0 0

1 0 2 0 0

0 2 0 3 020 0 3 0 4

pi

, 1 , 1ˆ 12 n m n mmn p m i m m

, 1 , 1 , 1 , 1

, 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1

, 2 , , , 2

,

ˆ ˆ

1 12 2

1 1 1 1 12

1 1 1 1 1 1 12

1 2 12

m

n m n m m l m lm

n m m l n m m l n m m l n m m lm

n l n l n l n l

n l

n x m m p l

mi m m l lm

i m l m l m l m l

i l l l l l l l l

i l l

, 2 , 21n l n ll l

ˆˆxp

, 1 , 1 , 1 , 1

, 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1

, 2 , , , 2

,

ˆ ˆ

1 12 2

1 1 1 1 12

1 2 1 1 1 12

1 2 12

m

n m n m m l m lm

n m m l n m m l n m m l n m m lm

n l n l n l n l

n l n

n p m m x l

mi m m l lm

i m l m l m l m l

i l l l l l l l l

i l l

, 2 , 21l n ll l

ˆ ˆpx

, , 2 , 2

, , 2 , 2

1ˆ ˆ 2 1 121ˆ ˆ 2 1 12

n l n l n lm

n l n l n lm

n x m m p l i l l l l

n p m m x l i l l l l

,ˆ ˆ, n ln x p l i

1 0 2 0 00 1 0 0 0 0 1 0 0 0

0 1 0 2 3 01 0 2 0 0 1 0 2 0 0

2 0 1 0 3 40 2 0 3 0 0 2 0 3 0

0 2 3 0 1 00 0 3 0 4 0 0 3 0 4

0

0 1 0 0 0 0 1 0 0 0

1 0 2 0 0 1 0

0 2 0 3 0

0 0 3 0 4

1 0 2 0 0

2 0 0 0 1 0 2 3 0

0 2 0 3 0 2 0 1 0 3 4

0 0 3 0 4 0 2 3 0 1 0

1 0 2 0 0 11 0 2 0 00 1 0 2 3 0 1

0 1 0 2 3 012 0 1 0 3 4 22 0 1 0 3 4

0 2 3 0 1 00 2 3 0 1 0

0

11

1

22 ii

Si al instante de efectuar una mediciónel vector de estado del sistema es unode los vectores propios del observablemedido entonces el resultado de lamedición será necesariamente unode los correspondientes valores propios.

En el caso general la medición de unobservable físico no da con certeza unvalor definido. Cualquiera de los posibles valorespropios puede ser obtenido, pero condiferentes probabilidades.

El valor esperado del resultado de lamedición de está dado por la expresión

,,

En el caso general la medición de un observable físico no dacon certeza un valor definido. Cualquiera de los posibles valorespropios puede ser obtenido, pero con diferentes probabilidades.

,,

1) El valor esperado no es un operador.

2) El valor esperado es un número real, ya queˆel operador es un operador hermitiano.

3) El valor esperado no tiene porque coincidircon alguno de los valores pr

opios.

Si el sistema está en el estado propio ,entonces

, , ,, , ,

y

i i i i i i ii i

i i i i i i

i

i

,,

,,

*

,*

,

2* *

, ,* * 2

, ,

,,

,,

,

,

i k i ki i k ki ki k

i k i ki i k k i k

i k

i k k i k i k k ik i ii k i k i

i k i k i k ik ii k i k i

c cc c

c cc c

c c c c c

c c c c c

2

2

i ii

ii

c

c

222

Por lo tanto,

,i i i iw c