Espacio-tiempos con déficit de angulo

José Manuel Torres Chávez

Instituto de Ciencias NuclearesUniversidad Nacional Autonoma de México

7 Junio 2012

1 / 1

Espacio-tiempo SAFDAα

Espacio modelo (R3 − 0)xR con métrica g0mn

ds2 = −dt2 + dr2 + (1− α)r2dΩ2 (1)

Esferas con area A = 4πr2(1− α).En el ecuador (θ = π/2)se reduce a

ds2 = −dt2 + dr2 + (1− α)r2dϕ2 (2)

que es la mima geometría de la cuerda cósmica (defectocónico) con z=const.

2 / 1

Lensing

Figura: Trayectorias de geodésicas nulas en el espacio SAFDAα

3 / 1

Estructura asintótica

Descomposición conforme similar a Minkowski

ds2 = −dT 2 + dR2 + (1− α) sin(R)2dΩ2 (3)

con factor conforme ω2 = 4/[(1 + v2)(1 + u2)].Los rangos de las coordenadas del espaciotiempo conformeson

− π < T ± R < π, 0 < R < π. (4)

Y se pueden agregar los puntos T = ±(π − R) quecorresponden a J ±. No es posible agregar ı0 que correspondea R = π porque este punto es singular en este espacioconforme.El poder identificar los infinitos nulos permite la inclusión dehorizontes de eventos en espacios de este tipo.

4 / 1

Diagrama de Penrose

Figura: Diagrama de Penrose del espaciotiempo conforme a SAFDAα

5 / 1

Definición AFDAα

Una región del espaciotiempo (M,gµν), con topología(R3−B)xR, es asintóticamente plana salvo un déficit de ángulo(AFDAα) si existen coordenadas en las que tome la forma

gµν = g0µν + gµν , (5)

y gµν toma la forma

gµνdxµdxν = attdt2 + arr dr2 + 2artdrdt+ r2[aθθdθ2 + aϕϕ sin2(θ)dϕ2 + 2aθϕ sin(θ)dθdϕ]

+ 2r [atθdtdθ + arθdrdθ]

+ 2r [atϕ sin(θ)dtdϕ+ arϕ sin(θ)drdϕ], (6)

donde aµν ∼ O(1/r).

6 / 1

Curvatura

Rθθ =

α

r2(1− α), R =

2αr2(1− α)

, (7)

Gtt = Gr

r = − α

r2(1− α). (8)

Este es un caso particular del monopolo formado por un tripleteescalar de la forma

φa = ηxa

r, α = 8πGη2 (9)

7 / 1

Monopolo global

Campo escalar autogravitante con simetría interna O(3)espontáneamente rota.

S =

∫d4x√−g[

R16π

− 12

(∇µφa)(∇µφa)− V (φ)

], (10)

V (φ) =λ

4(φ2 − η2)2, φ2 = φaφ

a. (11)

Ecuaciones de campo

φa =∂V (φ)

∂φa, (12)

Tµνsf = ∇µφa∇νφa − gµν

[12

(∇φa)(∇φa)− V (φ)

]. (13)

8 / 1

Ansatz para el campo escalar

φa = ηf (r)xa

r, α = 8πη2 (14)

La ecuación para el campo escalar queda entonces

1A

f ′′ +[

2Ar

+1

2B

(BA

)′]f ′ − 2

r2 f − λη2(f 2 − 1)f = 0, (15)

y el tensor de energía momento

T tt = −η2

[f 2

r2 +λ

4η2(f 2 − 1)2 +

f ′2

2A

],

T rr = −η2

[f 2

r2 +λ

4η2(f 2 − 1)2 − f ′2

2A

], (16)

T θθ = −η2

[λ

4η2(f 2 − 1)2 +

f ′2

2A

].

9 / 1

La aproximación f ≈ 1 (Barriola, Vilenkin) da la solución con laque comenzamos salvo una constante de integracion M

ds2 = −(

1− 2GMr

)dt2+

(1− 2GM

r

)−1

dr2+(1−α)r2dΩ2

(17)

Esta expresión es similar a la métrica de Schwarzschild pero laconstante M no puede tener la misma interpretación ya que noestá definida la masa ADM en este tipo de espacios.

10 / 1

Una aproximación menos burda consiste en tomar f = 0 en elnúcleo del monopolo (r < δ), y f = 1 en el exterior. Esto no essolución de la ecuación de onda.De este modo el espacio tiempo en el interior corresponde adeSitter, mientras que en el exterior corresponde a la métricaanterior. Las condiciones de empalme determinan la extensióndel núcleo y M.

δ =2√λη

√1− α, M = −16π

3η√λ

(1− α)−3/2. (18)

En este caso M es negativa y esta característica es unresultado genérico.Para encontrar soluciones al sistema completo usualmente seutiliza un ansatz para la métrica similar a (??), sustituyendo laconstante M por una función m(r) e introduciendo otra funciónen la métrica para tener tantas incógnitas como coeficientesmétricos se buscaban.

11 / 1

La definición usual de la masa ADM en estos espacio-tiemposno está justificada porque no son asintóticamente planos, peroes posible definir una cantidad equivalente bajo la mismamotivaciónDefinición. Un conjunto de datos iniciales AFDAα es unaespecificación de los campos (hµν , φa) y sus momentosconjugados en una hipersuperficie Σ que cumple

hµν = h0µν + hµν , hµν ∼ O(1/r),

hµν,α ∼ O(1/r2),

πµν ∼ O(1/r2),

φa ∼ ηxa/r + O(1/r2),

Pa ∼ O(1/r)

12 / 1

Masa ADMα

Análogamente a como se define la masa ADM enespacio-tiempos asintóticamente planos, buscamos quepartiendo de datos iniciales AFDAα la evolución sea tal que ellapso se acerque asintóticamente a 1(+O(1/r)) y el vector deshift se anule al mismo ritmo. Bajo estos requerimientossolamente un término de superficie del Hamiltoniano no seanula asintóticamente al variarse. Para cancelarlo se añadeotro término cuya variación cancela la del preexistente

16π(1−α)MADMα =

∫∂Σ

dSµ(h0µσh0νρ−h0µνh0σρ)D0ν(hσρ).

(19)

Cabe notar que esta definición es idéntica a la de la masa ADMsustituyendo la métrica del espacio de Minkowski por la delespacio modelo SAFDAα.

13 / 1

Esta masa ADMα está bien definida (Nucamendi, Sudarsky).Coincide con el valor de M para el caso con λ→∞.No hay problema con que su valor sea negativo, ya que no esla masa ADM estándard, que está definida únicamente paraespacios asintóticamente planos.La métrica de fondo que se usa para su definición no es única.Si se considerara otra métrica con propiedades asintóticassimilares se induciría un cambio de esta definición por unaconstante.La pregunta interesante es si esta masa ADMα tiene una cotainferior, y si las soluciones estáticas extremizan el valor de estamasa.

14 / 1

Agujeros negros con carga monopolar

Se pueden encontrar soluciones estáticas de la forma

ds2 = −(

1− 2Gm(r)

r

)e−2δdt2+

(1− 2Gm(r)

r

)−1

dr2+(1−α)r2dΩ2

(20)

donde δ(r) y m(r) están determinadas por las ecuaciones deEinstein. Expresados de esta forma es posible identificar lamasa ADMα de estos espaciotiempos por el valor asintótico dem(r).El vector ∂t es un vector de Killing que representa traslacionestemporales en la región asintótica y su norma está dada porgtt . Esto fija el valor asintótico de δ.La condición para que exista un horizonte de Killing esentonces que este coeficiente métrico se anule, lo cual ocurresi existe rH tal que

2Gm(rH) = rH . (21)

15 / 1

Estas soluciones están caracterizadas por dos escalasrc ∼ (η

√λ)( − 1) y rH , y se ve que dependiendo de la relación

entre estas hay dos comportamientos distintos, en los quedomina el monopolo o el agujero negro respectivamente. Lamasa ADMα vista como función de rH cambia de signo, lo cualno genera conflictos ya que no es una cantidad definidapositiva.Se puede ver que la gravedad superficial κes positiva definida.

16 / 1

Problemas abiertos:Validez de teoremas (unicidad, no pelo) al relajar lacondición de planitud asintótica.Termodinámica de agujeros negros monopolares.

17 / 1