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Matemáticas y Artepor 

Francisco Rivero Mendoza

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Matemáticas - Arte

• La búsqueda de un ideal de belleza.• Conocimiento del espacio tiempo.

• úsqueda de patrones que se repiten.• M!trica.

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Matemáticas y "oes#a.

La $uac%araca de Apure

Le di&o al pá&aro vaco

"r!stame tu candelita

"ara encender mi tabaco

 Alberto Arvelo 'orrealba

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Relaciones l#ricas

• (n su estructura) la poes#a tiene al$o dematemáticas en la periodicidad) tanto delas sensaciones *on!ticas + rima, como deacentos + ritmo,.

• La $ua c%a ra ca dea pu  re • Le di&o al pá &a ro va co • "r!s ta me tu can de li ta • "a raen cen der  mi ta ba co

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(l Lilavati + as/%ara s. 011,

• 23n quinto de un en&ambre de abe&as se posa sobre una*lor de /adamba+Loto,4 un tercio sobre una *lor desilind%a + cambur,. 'res veces la di*erencia entre los dosnúmeros vol5 a las *lores de un /utu&a) y qued5 una sola

abe&a que se alz5 por el aire) i$ualmente atra#da por elper*ume de un &azm#n y un pandamus. 6ime tú a%ora)mu&er *ascinante) cual era el número de abe&as7

• 3n matemático no es di$no de estenombre si no es un poco poeta

• 8arl 9eierstrass

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Matemáticas y Literatura

• La matemática ense:atambi!n a escribir) si sequiere que la concisi5n) laclaridad) y la precisi5n

sean cualidades de estilo.• (l len$ua&e matemáticoobli$a a una $imnasiaintelectual sumamenteintensa.

•  Al$unos escritores %anusado elementosmatemáticos en suscreaciones literarias.

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;eamos al$unos e&emplos

. 6on e:or) un caudaloso r#o divid#a dos t!rminos de unmismo se:or#o ? di$o pues que sobre este r#o estabauna puente) y al cabo della una %orca y una como casade audiencia) en la cual de ordinario %ab#a cuatro

 &ueces que &uz$aban la ley que puso el due:o del r#o)de la puente y del se:or#o?7

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(l @uramento del puente

• >i al$uno pasare poresta puente) de unaparte a otra) %a de

 &urar primero ad5ndey a qu! va4 y si &urareverdad) d!&enlepasar4 y si di&erementira) muera porello a%orcado en la%orca que all# semuestra....

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6on

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3n libro dentro de un libro

• 2Cr!anme vuesas mercedes- di&o>anc%o- que el >anc%o y el 6on

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LeDis Carrol= Alicia en el pa#s delas maravillas

• 3n relato *antástico delmatemático C%arles6o$son +EG-EHE,

• Iada %ac#a suponer que

aquel severo persona&e$ris de J*ordconsa$rado al estrictoorden de las matemáticasy a la precsi5n de la

l5$ica *uera a produciruna de las más c!lebresobras en el terreno de loirracional y lo absurdo.

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3na merienda de locos 

• (ntonces d# lo quepiensas- prosi$ui5 laliebre.

• (so es lo que %a$o- di&o

 Alicia precipitadamente- Alo menos...yo pienso loque di$o. (s la mismacosa.

• Io es lo mismo- advirti5

el sombrerero- >e$ún tú)ser#a lo mismo decir 2;eolo que como7 que 2Comolo que veo7

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@or$e Luis or$es= La iblioteca deabel

• 2...A cada uno de los muros de cada%eá$ono corresponden cinco anaqueles4cada anaquel encierra treinta y dos librosde *ormato uni*orme4 cada libro es decuatrocientas diez pá$inas4 cada pá$inade cuarenta ren$lones4 cada ren$l5n de

unas oc%enta letras?7

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La biblioteca total. 'ocando elin*inito

• 2La biblioteca es total y en sus anaqueles sere$istran todas las posibles combinaciones delos veintitantos s#mbolos orto$rá*icos) o sea)todo lo que es dable epresar7.

• 2...'odo= la %istoria minuciosa del porvenir) lasautobio$ra*#as de los acán$eles) el catálo$o *ielde la biblioteca) miles y miles de catálo$os

*alsos) la demostraci5n de la *alacia de esoscatálo$os) el evan$elio $n5stico de als#des) elcomentario de ese evan$elio) el comentario delcomentario) la relaci5n ver#dica de tu muerte...7

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6ale roDn= (l c5di$o da ;inci

•  Ana$ramas• C5di$os secretos.• Cripto$ra*#a.

• "roporci5n dorada.• Iúmero de oro.• Keometr#a sa$rada.

• >ucesi5n deFibonacci.

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3n receso musical...

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"itá$oras y la música

• "ara construir la escala musicallos pita$5ricos construyeron uninstrumento *ormado por una solacuerda que se tensaba y que sepod#a %acer más lar$a) o más

corta) moviendo una tabla m5vil+ Monocordio,• Cuando la cuerda med#a del

total el sonido se repet#a pero mása$udo.

• Cuando el lar$o de la cuerda esG del tama:o ori$inal se obtieneotra nota musical + la quinta,

• Cuando la cuerda es N del lar$ode la anterior se obtiene la cuarta.

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La escala diat5nica

•  (n la escala diat5nica) las *recuencias de cada nota son radios denúmeros enteros.

Frecuencia Raz5n notaanterior 

'5nica * 6o

>e$unda HE * HE Re

'ercera EOP * HE Mi

Cuarta P * GQOGP Fa

ol

>eta GO * HE La

>!ptima GPGE * HE >i

Jctava G * GQO GP 6o

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(l "iano ien 'emperado

• (l "iano ien 'emperado)Jbra de @uan >ebastianac% compusta de GPpiezas musicales) en doce

tonalidades usando elmodo mayor y menor.• ac% a*in5 su piano en la

escala temperadadividiendo los tonos en

series dentro de unespacio de*inido.• La escala temperada es la

que se usa %oy en d#a.

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La música y las probabilidades

•  Al$unos músicoscompusieron obras apartir de re$las yconceptos matemáticos)

como por e&emplo) lasprobabilidades.

• Mozart) a la edad de Ga:os) cre5 un &ue$o para

componer valses de Ocompases) lanzando losdados.

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• La obra musical setitula 2 @ue$os dedados musical paraescribir valses con laayuda de dos dadossin ser músico) ni sabernada de composici5n7+8GHP,.

• Los números en lamatriz corresponden a

los O compases quecompuso Mozart.

• Bay GP variacionesdel mismo vals.

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S6e que está %ec%a la músicaT

• Respuesta= 6e*uncionestri$onom!tricas.

• Los sonidosproducidos por lavibraci5n decuerdas ymembranas sepropa$an en elaire medianteondas sonoras.

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Componentes de una onda

• 1ntensidad U Amplitud• 'onoU *recuencia.• 'imbre U *orma particular de la onda.

http://var/www/apps/conversion/tmp/scratch_6/C:%5CArchivos%20de%20programa%5CWindows%20Media%20Player%5Cwmplayer.exehttp://var/www/apps/conversion/tmp/scratch_6/C:%5CArchivos%20de%20programa%5CWindows%20Media%20Player%5Cwmplayer.exe

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(l Análisis de Fourier 

• (l matemáticoFranc!s @eanaptiste @osep%

Fourier +OE-E,)descubri5 que toda*unci5n peri5dica+ onda sonora, es una

combinaci5n desenos y cosenos.

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(l Jsciloscopio sonoro

• musica

http://www.falstad.com/fourier/http://www.falstad.com/fourier/

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S V que %ay del ritmo y lamelod#aT

• (n GG) los traba&os 'oussaint) inicianuna investi$aci5n te5rica de ritmos con%erramientas matemáticas) introduciendo

nuevas t!cnicas $eom!tricas) $rá*icas yde combinatoria.

• (sto permite la ense:anza) el análisis) la

visualizaci5n y el reconocimientoautomatizado de ritmos. Kod*ried '. 'oussaint :

2 A mat%ematical analysiso* A*rican) rasilian and

Cuban clave rit%ms7

Kod*ried '. 'oussaint :

2 A mat%ematical analysiso* A*rican) rasilian and

Cuban clave rit%ms7

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(l ritmo clave son y su análisismatemático.

• "ara los ritmos se usa un sistema sencillode notaci5n en base a unidades detiempo.

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• Jtra *orma de representar los ritmosconsiste en emplear un vector deintervalos.

• Cada d#$ito representa el intervalo detiempo entre sonidos sucesivos.

• Clave son se representa por= + P G P,• (&ercicio S c5mo se representa el ritmo de

KaitaT

L ' il # > d

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La 'rilo$#a >a$rada=Matemáticas) Arte y Iaturaleza

• La belleza de lasproporciones

• (l rectán$ulo dorado

• (l Iúmero de Jro• La sucesi5n de

Fibonacci

• La espiral• Las simetr#as• Las teselaciones

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Las proporciones

• 3n radio es una comparaci5n de doscantidades) tama:os) cualidades o ideasdi*erentes a y b y se epresa por la *5rmula a=b.

• 3na proporci5n es una relaci5n de equivalenciaentre dos radios. >i las cantidades queintervienen son a) b ) c y d) entonces laproporci5n se escribe

• a= b==c= d.• (&emplo G es a P) como Q es a .

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La proporci5n dorada

SC5mo dividir un se$mento en *orma bella y armoniosaT a W b = b == b = a

La suma de las dos partes es a la parte mayor como laparte mayor es a la menor.

(sta proporci5n la llamamos proporci5n dorada

a b

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Construcci5n del se$mento áureo

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La belleza de las *ormas en lanaturaleza

• 2Las *ormas supremas de lo bello son lacon*ormidad con las leyes) la simetr#a y ladeterminaci5n + el orden,) y son precisamente

estas *ormas las que se encuentran en lasmatemáticas) y puesto que estas *ormasparecen ser la causa de muc%os ob&etos) lasmatemáticas se re*ieren en cierta medida a

una causa que es la belleza7•  Arist5teles.

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La belleza de las proporciones

• 2Lo bello es lo quenos deleita) %aciendode medianeros) o#dosy vista7 X "lat5n.

• La altura total divididaentre la altura %asta

el ombli$o debe seri$uala la proporci5ndorada ϕ U .OE?

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(l rectán$ulo dorado

+0 W , = U =

0 U + W Y Q , G

  ϕ  Z .QO

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Iúmero de oro en el arte delrenacimiento italiano

• (l rectán$ulo doradosirve de divisi5n arm5nicaentre los espacios.

• "ara que un espacio

dividido en partes i$ualesresulte a$radable yest!tico) deberá %aberentre la parte máspeque:a y la mayor) la

misma relaci5n que entre!sta y la menor.• (uclides

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Ley de la secci5n dorada

(l numero de oro $eneralizado=

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(l numero de oro $eneralizado=S

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3na *amilia de números de oroIúmeros de oro $eneralizados

• >i para cada número natural n) consideramos laecuaci5n

n G X - n U

La soluci5n de la misma es el n-número de oro

ϕn  U [ W + W Pn , L\ Gn

• (n particular se tiene que

ϕ. U ϕ

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Los números de oro $eneralizados=

ϕ

+ W Y Q, G .OEHH

ϕG + W Y, P .GEOP

ϕ + W Y , O .EPOPG

ϕP + W Y OQ, E .GEGGG

ϕQ + W Y , .PHEQO

ϕO + W Y PQ, G .HOQ

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La sucesi5n de Fibonacci

• 3na sucesi5n denúmeros naturales

• ) ) G) ) Q) E) ) G) P)??

• 3na sucesi5n deproporciones racionales

• ) G) G) Q) EQ)E) ?

•

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La (spiral

• La espiral aparece enla naturalezaor$anizando el

crecimiento de las*ormas.• Cada An$ulo central)

de una espiral

lo$ar#tmica) ori$inaarcos similares

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Las espirales del $irasol

• Bay QQ espirales + enel sentido de lasa$u&as del relo&,.

• Bay EH espirales ensentido contario a lasa$u&as del relo&.

• La relaci5n QQ)EH se

conoce como lap%yllotais de laplanta.

La (spiral $eneradora del

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La (spiral $eneradora delmovimiento en el arte del

cuatrocientos *lorentino.

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>imetr#as

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>imetr#a bilateral

• (l %ombre y losanimales superioresposeen simetr#a dere*lei5n o bilateral

• Los espe&os cambiannuestro lado derec%opor el izquierdo yviceversa.

• S"or qu! los espe&osno cambian los piespor la cabezaT

L i t # t t i b d l

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La simetr#a rotatoria abunda en lanaturaleza

L i t # l t d l

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La simetr#a en el arte de ladecoraci5n

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Los $rupos miden las simetr#as

• Los artesanos y decoradores de templosal*ombras y vasi&as de todas las !pocas yculturas) &amás ima$inaron que estaban

empleando en sus creaciones una de las%erramientas más moderna) abstracta yso*isticada de toda la matemática= la

'eor#a de Krupos

L d i t # l

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Los $rupos de simetr#a en elplano

• 'oda decoraci5n sim!trica del planoconsiste de una celda básica o patr5n quese repite in*initamente.

• (n este proceso solo intervienen P tiposde movimientos=. 'raslaciones

G. Re*leiones. RotacionesP. 6eslizamientos

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Krupo p= >in rotaciones

• Krupo p) contienes5lo traslaciones endos direcciones

di*erentes.

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Krupo p$=Io %ay rotaciones

• Contienedeslizamientos endirecciones paralelas.

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Krupo cm= sin rotaciones

• Krupo cm) contieneuna re*lei5n sobreun e&e vertical.

• Contiene undeslizamiento sobreun e&e paralelo.

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Krupo pm= sin rotaciones

• Contiene unare*lei5n.

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Krupo pG= rotacion de orden G

• Io contienere*leiones nideslizamientos

Krupo pGm$= Rotaci5n de orden

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Krupo pGm$= Rotaci5n de ordenG.

• Contiene un re*lei5nsobre un e&e paraleloa la traslaci5n.

• Contienedeslizamientos sobrel#neas perpendiculresa los e&es de

re*lei5n.

Krupo pGmm = rotaci5n de

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Krupo pGmm = rotaci5n deorden G

• Contiene re*leionessobre e&esperpendiculares

Krupo pG$$= Rotaci5n de orden

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Krupo pG$$= Rotaci5n de ordenG.

• Contienedeslizamientos cone&es que se cruzan

perpendicularmente

Krupo cGmm= Rotaci5n de

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Krupo cGmm= Rotaci5n deorden G

• Contiene dosre*leiones sobre e&esperpendiculares.

• Contiene una rotaci5nde orden dos

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Krupo p= Rotaci5n de orden

• Io contienere*leiones

Krupo pm= Rotaci5n de orden

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Krupo pm= Rotaci5n de orden.

• Contiene re*leiones• La celda básica se

obtiene al unir P

centros de rotaci5ncercanos.• Los e&es de re*lei5n

están sobre la

dia$onal mayor de lacelda básica.

Krupo pm= Rotaci5n de orden

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Krupo pm= Rotaci5n de orden.

• Contiene re*leionessobre tres direccionesdistintas que seintersectan en los centros

de rotaci5n.• >i se unen P centros

6e rotaci5n cercanos seobtiene la celda básica

que es un paralelo$ramo.(n la dia$onal menor delmismo %ay un are*lei5n.

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Krupo pP= Rotaci5n de orden P

• Io contienere*leiones nideslizamientos.

Krupo pPmm= Rotaci5n de

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Krupo pPmm= Rotaci5n deorden P

• Contiene re*leonessobre e&esperpendiculares que

se cortan en el centrode la celda básica.

Krupo pP$m= Rotaci5n de orden

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Krupo pP$m= Rotaci5n de ordenP

• Contiene centros derotaci5n de orden P yde orden G.

• Contiene re*leionescon e&es que pasanpor los centros derotaci5n de orden G.

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Krupo pOmm= Rotaci5n de

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Krupo pOmm= Rotaci5n deorden O

• "osee re*leiones• "osee centros de

rotaci5n de orden G.

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3n m!todo más interacativo

• "ro$rama en @ava8ali) Creado por Iina

 Armenta en HHQ.

• 8ali

http://javakali/Kali/program.htmlhttp://javakali/Kali/program.html

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'eselaciones

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(l proceso de construcci5n

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'eselaciones re$ulares

• >e puede teselar elplano + en *ormaperi5dica, conpol#$onos re$ulares

del mismo tipo.• Los únicos permitidos

son el trián$ulo) elcuadrado y el%eá$ono+ teselacionesre$ulares,

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'eselaiones irre$ulares

• >e puede teselar el plano usando dos tiposde pol#$onos re$ulres.

• >5lo eisten oc%o posibilidades. >on las

llamadas + teselaciones irre$ulares,

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(l Mundo maravilloso de M. (sc%er 

• 'ambi!n es posibleteselar el plano en*orma art#stica con*i$uras querepresentan seresvivos.

Las teselaciones penta$onales

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Las teselaciones penta$onales

• >e %an descubierto Ptipos de teselacionespenta$onales conpentá$onos irre$ulares

• La >ra. Mar&orie Ricedescubri5 cuatro de ellas.

• (lla no es un matemáticopro*esional) sino) tan

s5lo) un ama de casa que%ace unas colc%as muybonitas.

3na teselaci5n misteriosa=

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3na teselaci5n misteriosa="entá$onos de 6urero

F l d 6

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Fractal de 6urero

'eselaciones no peri5dicas=

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'eselaciones no peri5dicas=6ia$ramas de "enrose

3niversos de "enrose= 3n modelo

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3niversos de "enrose= 3n modelomatemático para los cuasicrsitales.• Cada 3niverso de

penrose en no peri5dico.• (l número posible de

arre$los es in*inito no

enumerable.• La 'eor#a de $rupos es

insu*iciente para entendereste orden= "ara

comprender su estructurase utiliza el Al$ebra deLie.

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•Muc%as $racias

Al * i

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 Al$unas re*erencias

• %ttps=Debdelpro*esor.ula.vecienciaslico• Mosaicos y teselaciones.• %ttp=Debs.advance.com.ar

simetriadelespaciocapituloP.%tm.• 1ntri$uin$ 'essellations• Mat% Forum= 'essellation 'utorials by 

>uzanne  Ale&andre.• %ttp=Debpa$es.ull.esusersimarrerosctmPmodulocarmelo.pd* 

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