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MATEMÁTICA A ABC k log ABC log k logA logB logC log...

Date post: 24-Nov-2018
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97
SEMIEXTENSIVO MATEMÁTICA A 13.01) mnp ABC k log ABC log k logA logB logC log k m n p log k 10 k ALTERNATIVA D 13.02) Para [H + ] = 0,001, temos 3 pH log0,001 pH log10 pH ( 3) pH 3 SOLUÇÃO ÁCIDA Para [H + ] = 0,01, temos 2 pH log0,01 pH log10 pH ( 2) pH 2 SOLUÇÃO ÁCIDA Para [H + ] = 0,1, temos 1 pH log0,1 pH log10 pH ( 1) pH 1 SOLUÇÃO ÁCIDA ALTERNATIVA D
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SEMIEXTENSIVO – MATEMÁTICA A

13.01)

m n p

ABC k

log ABC log k

logA logB logC log k

m n p log k

10 k

ALTERNATIVA D

13.02)

Para [H+] = 0,001, temos

3

pH log0,001

pH log10

pH ( 3)

pH 3

SOLUÇÃO ÁCIDA

Para [H+] = 0,01, temos

2

pH log0,01

pH log10

pH ( 2)

pH 2

SOLUÇÃO ÁCIDA

Para [H+] = 0,1, temos

1

pH log0,1

pH log10

pH ( 1)

pH 1

SOLUÇÃO ÁCIDA

ALTERNATIVA D

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13.03)

2

2

log60 log 2 .3.5

log60 log2 log3 log5

10log60 2log2 log3 log

2

log60 2log2 log3 log10 log2

log60 log2 log3 log10

log60 0,30 0,48 1

log60 1,78

ALTERNATIVA C

13.04)

2

5A log 5 2

A 2 2

A 0

ALTERNATIVA A

13.05)

3

2log 8 log2

3log 8 log2

2

3log 8 0,30

2

log 8 0,45

ALTERNATIVA A

13.06)

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3

2

3

2 2

3

2 2 2

2 2 2

a by log

c

y log a b log c

y log a log b log c

y 3log a log b log c

ALTERNATIVA C

13.07)

logE = 3logm + 2logn -10logp

logE = logm3 + logn2 - logp10

logE = logm3n2

p10

æ

èç

ö

ø÷

E =m3n2

p10

ALTERNATIVA B

13.08)

2 4 8 16

2 2 22

2 2 2

2 2 22

2 2 2 2

2

2

25log x log x log x log x

4

log x log x log x 25log x

log 4 log 8 log 16 4

log x log x log x 25log x

2 3 4 4

12log x 6log x 4log x 3log x 25

25log x 25

log x 1

x 2

ALTERNATIVA A

13.09)

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3 2 5 7

3 3 33

3 3 3

3

y log 2 log 5 log 7 log 9

log 5 log 7 log 9y log 2

log 2 log 5 log 7

y log 9

y 2

ALTERNATIVA A

13.10)

Igualando as coordenadas (abscissa e ordenada) do ponto A, temos:

2

10 10

2

10 10

2

10

2

2

2

log x 1 1 log x 35

1 log x 35 log x 1

x 351 log

x 1

x 3510

x 1

10x 10 x 35

x 10x 25 0

x 5

ALTERNATIVA B

13.11)

200 200

A B

200 200

A B

200

A B C

A B 2C 3C

Alog 5 Blog 2 C

log 5 log 2 C

log 5 .2 C

5 .2 200

5 .2 5 .2

A 2C

e

B 3C

Logo, temos que A + B + C = 2C + 3C + C = 6C

ALTERNATIVA E

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13.12)

3 2

3

2

logx 3 log3 log2 2log5

logx log10 log3 log2 log5

10 .3logx log

2.5

logx log60

x 60

ALTERNATIVA E

13.13)

10

0

010

0

5 3

10

5 3

10 10

10

IR log

I

32 000IR log

I

R log 2 .10

R log 2 log 10

R 5log 2 3

R 5.0,30 3

R 4,50

ALTERNATIVA D

13.14)

Encontrar o valor de t, tal que, n(0)

n(t)2

. Assim:

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t

t

t

t3

1

t3

1

3

3

n(t) n(0) 0,8

n(0)n(0) 0,8

2

10,8

2

22

10

2log2 log

10

2log2 t log

10

log2 t log2 log10

log2 t 3log2 1

0,30 t 3.0,30 1

0,30 t 0,10

t 3 anos

ALTERNATIVA E

13.15)

2 8

22

8

22

2 2

2

2

log x log x 8

log xlog x 8

log x

log xlog x 8

3

3log x log x 24

4log x 24

log x 6

x 26

x 64

ALTERNATIVA A

13.16)

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0,1t

0,1t

0,1t

0,1t

0,1t 1

d(t) 50 1 e

25 50 1 e

11 e

2

1e

2

ln e ln2

0,1t ln2

0,1t 0,7

t 7 segundos

ALTERNATIVA C

13.17)

Na equação exponencial, fazendo a troca de variáveis x5 k , temos:

k2 – 7k + 10 = 0

k = 5 ou k = 2

Logo:

x

x

5

5 5 x 1

ou

5 2 x log 2

Somando os valores de x, temos:

5

5 5

5

5

SOMA 1 log 2

SOMA log 5 log 2

SOMA log 5.2

SOMA log 10

ALTERNATIVA B

13.18)

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2 2 4

22 2

2

22 2

22

2 2

2

2 2

2log 6 2 ... log x log x

3

log x6log log x

1 log 41

3

log xlog 9 log x

2

log xlog 9

2

2log 9 log x

log 9 log x

81 x

Com o valor de x, calculamos então:

3 3

4

3 3

3

log x log 81

log x log 3

log x 4

ALTERNATIVA D

13.19)

a)

45S

11

3

45S

2

3

135S

2

b)

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n 1

n 1

n 1

2 1 n 1 1 1

3 n 1 1 1

3 n 1 1 1

3 n 1 1 1

1a a q

30

1 145

3 30

3 5 3 2 3 5

5 3 2 3 5

log 5 3 log 2 3 5

log5 log3 log2 log3 log5

10 10log 3 n log3 log2 log3 log

2 2

log10 log2 3 n log3 log2 log

mín

3 log10 log2

1 0,30 3 n 0,48 0,30 0,48 1 0,30

3 n 0,48 2,18

1,44 2,18 0,48n

n 7,51 n 8

13.20)

h

0

0,00012h

0,00012h

0,00012h

p(h) P e

530 760 e

530e

760

530ln ln e

760

ln530 ln760 0,00012h

6,27 6,63 0,00012h

0,36 0,00012h

h 3 000 metros

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14.01)

2

f(1) log1 f(1) 0

f(4) log4

f(16) log16 f(16) log4 f(16) 2log4

(...)

P.A de razão log 4.

ALTERNATIVA B

14.02)

Sendo f e g funções inversas, para calcular o valor de g(1), basta calcular o

valor de x tal que f(x) = 1, assim:

a

1

f(x) log x 1

x a

x a

Logo, g(1) = a.

ALTERNATIVA C

14.03)

Se está sendo pedida a imagem, logo 256 é o domínio, ou seja, x = 256.

Assim:

2

8

2

f(256) log 256

f(256) log 2

f(256) 8

ALTERNATIVA C

14.04)

Se o ponto P pertence ao gráfico da função, então, f(64) = 6. Assim:

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k

6

f(64) 6

log 64 6

64 k

k 2

ou

k 2 (não convém)

ALTERNATIVA B

14.05)

Condição de Existência:

250 5x x 0

S: (- 10, 5)

ALTERNATIVA B

14.06)

* Perceber que as bases dos dois retângulos são iguais a 1;

* Perceber que a altura de um dos retângulos é a diferença (log3 – log2) e que

a altura do outro retângulo é a diferença (log4 – log3);

Calculando a área, temos:

2

S 1 log3 log2 1 log4 log3

S log4 log2

S log2 log2

S 2log2 log2

S log2

ALTERNATIVA A

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14.07)

log(2x + 1) > log(x – 2)

2x + 1 > x – 2

x > - 3

ALTERNATIVA E

14.08)

b

2

b

7

2 2

f(x) log (x 1)

b 2f(5) 2 log (5 1) 2 4 b

b 2 (não convém)

f(129) log (129 1) log 2 7

ALTERNATIVA A

14.09)

b

1 1 1

b

f(x) log x

f(0,5) 1 log 0,5 1 0,5 b 2 b b 2

A região sombreada é um retângulo de base igual a 2 e altura igual a blog 2 ,

assim:

b

2

S 2 log 2

S 2 log 2

S 2

ALTERNATIVA A

14.10)

2

4

mín

log (3x 6) 4

3x 6 2

3x 22

x 7,33... x 8

ALTERNATIVA C

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14.11)

5 2

4 2

5

22

2

2

2

2

2 2 2

2 2

2

2

4

A(t) B(t)

log 2 t log 2t 4

log 2 tlog 2t 4

log 4

5log 2 t2log 2 t 2

2

5log 2 t 2 log 2 log t 2

2

5log 2 t 2 2log (2 t)

2

1log (2 t) 2

2

log (2 t) 4

2 t 2

t 14 anos

ALTERNATIVA E

14.12)

3

3

4

5 5

4

5 5

f (5)43

f (5)1

43

4f (5)

43

f(x) log x

f(5) log 5

5 5 5

5 5 5

5 5

4f(5) 4

3

f(5) 3 centenas

f(5) 300

ALTERNATIVA C

14.13)

Nos vértices do trapézio, podemos concluir as relações:

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k

2

k

log p 1 p k

log q 2 q k

Considerando que a área do trapézio é igual a 30, temos:

2

2

Área 30

1 2 q p30

2

k k 20

k k 20 0

k 5 q 25 ; p 5

ou

k 4 q 16 ; p 4

Pelo gráfico temos que p e q são positivos, ou seja, q = 25 e p = 5. Assim:

k + p – q = 5 + 5 – 25

k + p – q = - 15

ALTERNATIVA B

14.14)

2 2 2

1319 1319 1319

2 2 2

1319

2

1319

1319

maior que 1

n f(10) f(11) f(12)

n log 10 log 11 log 12

n log 10 11 12

n log 10 11 12

n 2 log 1320

n 2

ALTERNATIVA E

14.15)

Cálculo do g(-2)

2

a

a

g( 2) log 2 2 3 2 2

g( 2) log 16

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Cálculo do f(g(-2))

a

g( 2)

log 16

f(g( 2)) a

f(g( 2)) a

f(g( 2)) 16

ALTERNATIVA C

14.16)

Resolução da inequação

2 2

2

1

log (2x 5) log (3x 1) 1

2x 5log 1

3x 1

2x 52

3x 1

2x 52 0

3x 1

2x 5 6x 20

3x 1

7 4x0

3x 1

Determinação das Condições de Existência

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2x 5 0

3x 1 0

5x

2

1x

3

Logo, 1

x3

Fazendo a intersecção da Resolução da Inequação com as Condições de

Existência encontramos a Solução, assim:

1 7S : ;

3 4

ALTERNATIVA D

14.17)

Pelo gráfico, temos que:

x

1f( 1)

f(x) 22

f(1) 2

Sendo f e g funções inversas e g(k) = 3, então, f(3) = k, assim:

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3

f(3) k

2 k

8 k

ALTERNATIVA E

14.18)

Os pontos A e B pertencem também ao gráfico da função f, assim, tem-se:

1

10

f(a) 1

log (a 2) 1

1a 2

10

19 19a A ;1

10 10

E tem-se também:

1

10

b

2 b

f(98) b

log (98 2) b

1100

10

10 10

2 b

b 2 B 98; 2

Os pontos A, B e C são colineares, então:

19 1998 k

010 10

1 2 0 1

19k 2k 98 0

5

k 31,40

ALTERNATIVA D

14.19)

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a)

k

1

Q(0) 1

10log 1

0 1

10k 10

k 1

b)

1

0

Q(t) 0

10log 0

t 1

1010

t 1

10 t 1

t 9 horas

14.20)

a)

Para a população A, temos:

3

6 6

8 2

6 6

8 8

6A(1) log 1 1 A(1) log 2 A(1) A(1) 2 mil habitantes

3

A(7)=log 1 7 A(7) log 8 A(7) 6 mil habitantes

Para a população B, temos:

2 2

2 2

B(1) log (4.1 4) B(1) log 8 B(1) 3 mil habitantes

B(7) log 4.7 4 B(7) log 32 B(7) 5 mil habitantes

b)

1ª Opção: A(t) > B(t)

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6

8 2

6

2

2

2

2

2 2

2 2

2

2

log 1 t log 4t 4

log 1 tlog 4 t 1

log 8

6log 1 tlog 4 log t 1

3

2log 1 t 2 log 1 t

log 1 t 2

1 t 2

t 3

A população de A é maior que a população de B a partir de t = 3 anos.

2ª Opção: B(t) > A(t)

6

8 2

6

2

2

2

2

2 2

2 2

2

2

log 1 t log 4t 4

log 1 tlog 4 t 1

log 8

6log 1 tlog 4 log t 1

3

2log 1 t 2 log 1 t

log 1 t 2

1 t 2

t 3

A população B será maior que a população A antes de t = 3 e não “a partir” de

certo instante t, ou seja, essa opção não possui solução.

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SEMIEXTENSIVO – MATEMÁTICA B

13.01)

Para obter a menor probabilidade de engarrafar, basta calcular a MAIOR

probabilidade de NÃO engarrafar. Multiplicando as probabilidades

complementares de cada trecho, temos:

a)p 0,2 0,5 0,10

b)p 0,2 0,7 0,14

c)trajeto impossível

d)p 0,3 0,6 0,18

e)p 0,3 0,4 0,12

ALTERNATIVA D

13.02)

10 5p p

14 7

ALTERNATIVA D

13.03)

12p p 0,15

79

ALTERNATIVA D

13.04)

8p

15

ALTERNATIVA E

13.05)

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1 1 1p

2 2 2

1 1p

2 4

3p

4

ALTERNATIVA C

13.06)

5 4p

8 7

5p

14

ALTERNATIVA C

13.07)

200p

500

2p

5

ALTERNATIVA E

13.08)

0,15 1323p

1323

p 0,15 p 15%

ALTERNATIVA B

13.09)

3p

10

p 30%

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ALTERNATIVA B

13.10)

150p

200

p 0,75

ALTERNATIVA E

13.11)

2

1 1 1p 15

15 15 15

1p

15

ALTERNATIVA A

13.12)

B A C p 0,3 0,2 0,06

ou

B B C p 0,5 0,0 0,00

ou

B C C p 0,0 0,4 0,00

ou

B D C p 0,1 0,2 0,02

ou

B E C p 0,1 0,1 0,01

SOMA = 0,09

ALTERNATIVA D

13.13)

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25 25p

100 100

1p

16

ALTERNATIVA B

13.14)

Há 7 artrópodes que não são insetos, assim:

7 6p

12 11

7p

22

ALTERNATIVA C

13.15)

Formas distintas de retirada das 10 bolas (Espaço Amostral):

8

10

10!90

8!P

Formas distintas da bola branca ser retirada antes de esgotar as outras cores

(Evento):

8

9

7

8

2

9!BPVVVVVVVV 9

8!

8!VBPVVVVVVV 8

7!

(...)

VVVVVVVBPV 2! 2

SOMA 9 8 7 6 5 4 3 2 44

P

P

P

Cálculo da probabilidade das bolas brancas se esgotarem por primeiro:

44p

90

22p

45

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ALTERNATIVA A

13.16)

Probabilidade de ser aprovado caso o público aprove:

50 75 80 50 75 80 50 25 80 50 75 20p

100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100

17p

20

Probabilidade de ser aprovado caso o público não aprove:

50 60 75 50 60 75 50 40 75 50 60 25p

100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100

33p

80

Diferença entre as probabilidades:

17 33

20 80

3544%

80

ALTERNATIVA E

13.17)

75 18Proficiente : 13,5%

100 100Proficiente :18%

25 18Não Proficiente : 4,5%

100 100

7 82Proficiente : 5,74%

100 100Não Proficiente : 82%

93 82Não Proficiente : 76,26%

100 100

Como o estrangeiro selecionado foi classificado como Proficiente (Espaço

Amostral = 13,5% + 5,74%), então, a probabilidadade dele ser efetivamente

Proficiente (Evento = 13,5%) é:

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13,5p

13,5 5,74

13,5p

19,24

p 70%

ALTERNATIVA B

13.18)

Total de maneiras distintas dos 5 se sentarem:

55! 120P

Total de maneiras distintas dos 5 se sentarem com o Carlos na cadeira 3:

44! 24P

Total de maneiras distintas dos 5 se sentarem com o Daniel na cadeira 4:

44! 24P

Total de maneiras distintas dos 5 se sentarem com o Carlos na cadeira 3 e o

Daniel na cadeira 4:

33! 6P

Probabilidade de Carlos se sentar na cadeira 3 ou Daniel se sentar na cadeira

4:

24 24 6 7p p

120 20

Probabilidade de nem Carlos se sentar na cadeira 3 e nem Daniel se sentar na

cadeira 4:

7p 1

20

13p 65%

20

13.19)

a)

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(Atendente Homem) E (Resolvido na 1ª Ligação) = 40 60

24%100 100

(Atendente Mulher) E (Resolvido na 1ª Ligação) = 60 55

33%100 100

SOMA = 57%

b)

24p

57

p 42,1%

13.20)

a)

Considere a hipótese limite de se tirar 3 lápis de cada cor, ou seja, seria no

total a retirada de 9 lápis. O próximo lápis a ser retirado, independente da cor,

completará 4 lápis de uma mesma cor.

Assim, o número mínimo de lápis que devemos retirar para que estejamos

certos de haver 4 lápis de uma mesma cor é 10.

b)

9 8 7p

21 20 19

6p

95

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14.01)

10p 1

34

24p

34

12p

17

ALTERNATIVA E

14.02)

Soma Máxima representa uma das 6 faces do dado, ou seja:

1p

6

ALTERNATIVA A

14.03)

As possibilidades de soma são as seguintes:

0 1 2

0 0 1 2

1 1 2 3

2 2 3 4

Para ter mais chance de acertar, minha aposta deve ser na soma igual a 2.

ALTERNATIVA C

14.04)

a) VERDADEIRO

b) VERDADEIRO

c) FALSO - p(A B) p(A) p(B) p(A B)

d) VERDADEIRO

e) VERDADEIRO

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14.05)

R ser escalado = 1 – 0,2 = 0,8

S ser escalado = 0,7

p = 0,8 . 0,7 = 0,56

ALTERNATIVA D

14.06)

2

5

1p

1p

5.4

2.1

1p

10

C

ALTERNATIVA A

14.07)

1 1p 3

3 3

1p

3

ALTERNATIVA B

14.08)

p A B p(A) p(B) p(A B)

0,8 0,3 p(B) p(A).p(B)

0,5 p(B) 0,3.p(B)

0,5 0,7.p(B)

5p(B)

7

ALTERNATIVA B

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14.09)

Apenas uma carta ser endereçada ao destinatário errado é IMPOSSÍVEL. Se

uma das cartas for colocada no envelope errado, pelo menos, outra carta será

colocada em outro envelope errado. Assim:

p = 0

ALTERNATIVA D

14.10)

a) VERDADEIRO - 2

8

8.728

2.1C

b) FALSO - 2 4

1 18 16

c) VERDADEIRO - 2

p 0,258

d) VERDADEIRO - 4

p 1 0,7516

e) VERDADEIRO - 3 1

8 8

8.7.6 8448

3.2.1 1C C

ALTERNATIVA B

14.11)

Total de sequências possíveis:

5 . 4 . 3 = 60

Sequências de formam P.A:

1,2,3 / 2,3,4 / 3,4,5 / 1,3,5 (considerando as ordens crescente e decrescente) =

8

Probabilidade da sequência formar P.A:

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8p

60

2p

15

ALTERNATIVA D

14.12)

Opções que não marcam pontos:

0125 / 0512 / 2105 / 2015 / 5012 / 5102

Probabilidade:

4

6 6 6 1p

4! 24 4P

ALTERNATIVA D

14.13)

I – VERDADEIRO

1 1 1 1p 12,5%

2 2 2 8

II – FALSO

p = 2F1M ou 3F

2

3

1 1 1 1 1 1p

2 2 2 2 2 2

3 1p

8 8

p 50%

P

III – VERDADEIRO

2

1 1p

2 2

p 50%

P

IV – FALSO

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1p

2

p 50%

ALTERNATIVA A

14.14)

Para que o mesmo “0” emitido por A chegue em C, tem-se as seguintes

opções:

Acerto nas duas transmissões:

99,9 99,9p p 99,8001%

100 100

Erro nas duas transmissões:

0,1 0,1p p 0,0001%

100 100

Soma das probabilidades = 99,8002%

ALTERNATIVA A

14.15)

Etapa I : 1 ou 2

Etapa II : 2 ou 3

Etapa III : 2 ou 3 ou 3 ou 4 ou 4 ou 4 ou 5 ou 6

3p

8

ALTERNATIVA D

14.16)

( V )

1

8

3

10

811p

10.9.8 15

3.2.1

CC

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( F ) 1 1 1

p 2 25%2 2 2

( F ) Dois eventos são ditos independentes quando a probabilidade de

ocorrência conjunta de A e B é igual ao produto das probabilidades de

ocorrência de cada um deles.

( V )

3

8

3

10

p 1

8.7.6

3.2.1p 110.9.8

3.2.1

42p 1

90

8p 50%

15

CC

( F )

8 1p

15 2

4p 50%

15

14.17)

( F ) São eventos independentes podendo haver ou não a intersecção entre

eles.

( V )

192 000 000 = 0,03 . PM

PM = 6 400 000 000 habitantes

( V )

Intersecção é nula

( F )

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77 100 3 77"Tem Celular"

100 100 100 100

"Tem Celular" 74,69%

( V )

10 32p

100 100

p 3,2%

14.18)

1) – VERDADEIRO – Soma das probabilidades de se encontrar “0” peças

defeituosas ou “1” peça defeituosa.

0 5 1 4p 0,04 x0,96 5x0,04 x0,96

2) – VERDADEIRO – Complemento da probabilidade de se encontrar “0” peças

defeituosas.

0 5p 1 0,04 x0,96

3) – FALSO

ALTERNATIVA B

14.19)

a)

1) Total de valores possíveis para cheque:

Começar com 3, último algarismo par e diferente de 0 : 1 . 8 . 7 . 6 . 4 = 1 344

Começar com 4, último algarismo par e diferente de 0: 1 . 8 . 7 . 6 . 3 = 1 008

Soma = 2 352

2) Cálculo da probabilidade:

1p

2 352

b)

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1) Total de valores possíveis para o cheque:

Se termina em 04, o valor começará com 3, então: 1 . 7 . 6 . 1 . 1 = 42

2) Cálculo da probabilidade:

Para acertar na segunda tentativa, é necessário errar a primeira, então:

41 1p

42 41

1p

42

14.20)

a) Para terminar com mais duas rodadas, o Fernando precisaria vencer as

duas, assim:

1 1p 25%

2 2

b)

Possibilidades de término com vitória do Fernando: FF / FRF / RFF / FRRF /

RFRF / RRFF

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1p(F)

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

11p(F)

16

Possibilidades de término com vitória do Ricardo: RRR / RRFR / RFRR / FRRR

p(F) p(R) 1

5p(R)

16

Fernando receberia 11

200 R$137,5016

Ricardo receberia R$62,50

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SEMIEXTENSIVO – MATEMÁTICA C

13.01)

A menor distância corresponde à distância do ponto P à reta, assim:

2 2

3.1 4.2 31D

3 4

D 4u.c

ALTERNATIVA E

13.02)

Para calcular a distância entre duas retas paralelas, descobre-se um ponto

qualquer de uma delas e calcula-se a distância entre o ponto até a outra reta.

Assim, se r: 3x + 4y – 10 = 0 e, por exemplo, P(2, 1) um ponto da reta r, a

distância entre as retas será a distância de P até a reta s: 3x + 4y + 90 = 0.

Então:

2 2

3.2 4.1 90D

3 4

D 20

ALTERNATIVA B

13.03)

2 2

5.10 12.10 90D

5 12

260D

13

D 20m

ALTERNATIVA D

13.04)

2 2

3.1 4.5 7D

3 4

D 6

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ALTERNATIVA D

13.05)

2 2

2.0 0 5D

2 ( 1)

5D

5

D 5

ALTERNATIVA C

13.06)

Considere P(-1, 2) pertencente à reta 3x + 4y – 5 = 0. A distância entre as retas

é igual à distância entre P e a reta 3x + 4y – 10 = 0. Assim:

2 2

3.( 1) 4.2 10D

3 4

5D

5

D 1

ALTERNATIVA C

13.07)

O raio da circunferência tangente ao eixo x é igual à ordenada do centro dessa

circunferência, ou seja, R = 4.

ALTERNATIVA D

13.08)

O valor de r será a distância entre P e C. Assim:

2 2

r 1 4 2 6

r 5

ALTERNATIVA A

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13.09)

Cálculo das coordenadas da intersecção:

x y 3 0

2x y 0

3x 3 0 x 1

2.1 y 0 y 2

Logo, I(1, 2).

Cálculo da distância da intersecção até a reta t:

2 2

5.1 12.2 10D

5 12

D 3

ALTERNATIVA B

13.10)

Bissetriz dos quadrantes pares: x + y = 0

2 2

0 ( 4)D

1 1

D 2 2

ALTERNATIVA B

13.11)

Cálculo da equação do lado BC:

3 1 x 3BC : 0

2 5 y 2

BC :15 y 2x 3y 5x 2 0

BC : 3x 2y 13 0

A altura é a distância do vértice A ao lado BC, então:

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2 2

3.0 2.0 13h

3 2

h 13

ALTERNATIVA D

13.12)

O ponto P(0, 0) pertence à reta 2x + 3y = 0. A distância entre as retas é igual à

distância de P à reta 2x + 3y – 5 = 0. Assim:

2 2

2.0 3.0 5D

2 3

5 13D

13

ALTERNATIVA C

13.13)

Centro: C(1, -3)

2 2

3.( 3) 1D

( 1) 3

D 10

ALTERNATIVA B

13.14)

O centro da circunferência é o ponto médio entre A e B, assim:

0 6 8 0C ;

2 2

C 3; 4

O raio da circunferência é a metade da distância entre A e B, assim:

2 2

0 6 8 0R

2

R 5

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Equação da circunferência:

2 2 2

2 2 2

2 2

2 2

(x ) (y ) R

(x 3) (y 4) 5

x 6x 9 y 8y 16 25

x y 6x 8y 0

ALTERNATIVA C

13.15)

O raio da circunferência é a distância entre C e P. Assim:

2 2

R 2 1 1 3

R 13

Equação da circunferência:

2 2 2

22 2

2 2

2 2

(x ) (y ) R

(x 2) (y 1) 13

x 4x 4 y 2y 1 13

x y 4x 2y 8

ALTERNATIVA D

13.16)

Coeficiente angular de r: mr = 2

Coeficiente angular de s: ms = mr = 2 (retas paralelas)

Centro da circunferência: C (2, 0)

0 0s : y y m(x x )

s : y 0 2(x 2)

s : y 2x 4

s : 2x y 4 0

ALTERNATIVA A

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13.17)

O centro da circunferência é o ponto médio entre A e B. assim:

3 1 7 1C ;

2 2

C 1;4

O raio é a metade da distância entre A e B. Assim:

2 2

3 1 7 1R

2

R 13

Equação da circunferência

2 2 2

22 2

2 2

(x ) (y ) R

(x 1) (y 4) 13

(x 1) (y 4) 13

ALTERNATIVA B

13.18)

2 2

3m 4.1 4D 6

3 4

3m 8 30

223m 8 30 m

3

ou

383m 8 30 m

3

16SOMA

3

ALTERNATIVA A

13.19)

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A altura de um trapézio é a distância entre as bases. Como as bases são

paralelas e B pertence à base AB, a altura é igual à distância entre B e a base

CD. Assim, fazemos:

1) Equação da base CD

1 2 x 1CD : 0

2 2 y 2

CD : 2 2y 2x y 2x 4 0

CD : 4x 3y 2 0

2) Cálculo da altura

2 2

4.( 3) 3.2 2h

4 ( 3)

h 4

ALTERNATIVA C

13.20)

Cálculo da equação da circunferência:

2 2 2

2 2 2

2 2

(x ) (y ) R

(x 1) (y 3) 5

(x 1) (y 3) 25

(V)

2 2(4 1) (7 3) 25

25 25

(V)

2 2

2

2

(x 1) (0 3) 25

(x 1) 9 25

(x 1) 16

x 1 4 x 5 (5,0)

ou

x 1 4 x 3 ( 3,0)

(F)

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2 2(3 1) (8 3) ...25

4 25...25

29 25

Q é exterior à circunferência

(V)

Ordenada máxima/mínima é quando x = 1 (abscissa do centro). Assim:

2 2

2

(1 1) (y 3) 25

(y 3) 25

y 3 5 y 8 (1,8) Ordenada Máxima

ou

y 3 5 y 2 (1, 2) Ordenada Mínima

(F)

2 2 2

2 2 2

2 2

(x ) (y ) R

(x 1) (y 3) 5

(x 1) (y 3) 25

VVFVF

ALTERNATIVA B

13.21)

Os três pontos são vértices de um triângulo retângulo e, como pertencem a

uma circunferência, concluímos que o triângulo retângulo é inscrito na

circunferência.

Quando um triângulo retângulo é inscrito na circunferência, o diâmetro da

circunferência coincide com a hipotenusa do triângulo, ou seja, os pontos (0,2)

e (2,0) são extremos do diâmetro.

O centro da circunferência é o ponto médio dos pontos (0,2) e (2,0), assim:

0 2 2 0C ;

2 2

C 1;1

O raio da circunferência é metade da distância entre os pontos (0,2) e (2,0),

assim:

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2 2

2 0 0 2R

2

R 2

Equação da circunferência:

2 2 2

22 2

2 2

(x ) (y ) R

(x 1) (y 1) 2

(x 1) (y 1) 2

ALTERNATIVA B

13.22)

a)

2 2

2

(x 3) 2 5

(x 3) 1

x 3 1 x 4 P(4,2)

ou

x 3 1 x 2 (não convém)

b)

r

3 4 x 3r : 0

0 2 y 0

r : 6 4y 3y 2x 0

r : 2x y 6 0

m 2

13.23)

a)

A reta que passa por (4, 2) e pelo centro (3, 0) da circunferência é a mediatriz

de AB, ou seja, perpendicular a AB. Chamando essa mediatriz de r, temos:

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r

4 3 x 4r : 0

2 0 y 2

r : 3y 2x 4y 6 0

r : 2x y 6 0 m 2

Assim, se chamarmos de s a reta que passa por A e B, temos s

1m

2 , pois r

e s são perpendiculares entre si.

0 0s : y y m(x x )

1s : y 2 (x 4)

2

s : 2y 4 x 4

s : x 2y 8 0

b)

Para encontrar as coordenadas de A e B, é necessário resolver o sistema entre

a circunferência e a reta s. Então:

2 2

2 2

2 2

2 2

2

(x 3) y 25

x 2y 8 0 x 8 2y

8 2y 3 y 25

5 2y y 25

25 20y 4y y 25

5y 20y 0

y 0 x 8 A(8,0)

ou

y 4 x 0 B(0,4)

c)

2 2

AB

AB

d 8 0 0 4

d 4 5

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14.01)

A região a ser pintada é um círculo limitado pela circunferência cuja equação é

x2 + y2 – 8x – 8y + 28 = 0.

Centro :

C (4, 4)

Raio:

2 2 24 4 28 R

R 2

Área do Círculo:

2

2

2

S R

S .2

S 4

S 12,56m

12 placas = 12 x 12,56 = 150, 72 m2

Área vermelha = 75, 36 m2

1 lata de tinta = 3 m2

Total de latas de tinta vermelha = 25, 12 latas, ou seja, 26 latas.

ALTERNATIVA C

14.02)

x2 + y2 – 12x + 8y + 43 = 0

Centro:

C(6, -4)

Raio:

2 2 26 ( 4) 43 R

R 3

ALTERNATIVA A

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14.03)

A rampa (3x + 4y – 12 = 0) intercepta as paredes (eixos x e y) nos pontos (0,3)

e (4,0). Assim, o triângulo retângulo que circunscreve a circunferência do tubo

possui catetos medindo 3 e 4. Logo a hipotenusa mede 5.

O raio da circunferência inscrita é o apótema (r) do triângulo e sabemos que a

área desse triângulo pode ser calculada por S = p . r em que p é o

semiperímetro do triângulo. Assim:

S p.r

3 4 5S r

2

S 6r

Mas sabemos também que a área de um triângulo retângulo é a metade do

produto dos catetos, ou seja:

3.4S

2

S 6

Igualando os valores das áreas temos:

6r = 6

r = 1

ALTERNATIVA C

14.04)

Reescrevendo a equação, temos:

x2 + y2 - 4x – 8y + 11 = 0

C(2, 4)

ALTERNATIVA D

14.05)

x2 + y2 – 2x – 2y – 14 = 0

Centro: C(1, 1)

Raio:

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2 2 21 1 ( 14) R

R 4

ALTERNATIVA C

14.06)

x2 + y2 + 6x + 4y + 12 = 0

C(-3, -2)

ALTERNATIVA D

14.07)

2x2 + 2y2 – 12x + 8y – 24 = 0

x2 + y2 – 6x + 4y – 12 = 0

Centro: C(3, -2)

Raio:

2 2 23 ( 2) ( 12) R

R 5

ALTERNATIVA C

14.08)

Se a circunferência tangencia os dois eixos, as coordenadas dos pontos de

tangência são simétricos à bissetriz ímpar, ou seja, (0,2) e (2,0).

Consequentemente o centro terá coordenadas (2, 2).

ALTERNATIVA C

14.09)

(F)

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2 2( 2) 2 2.( 2) 4.2 4...0

4 4 4 8 4...0

8 0

INTERIOR

(V)

2 21 6 2.1 4.6 4...0

1 36 2 24 4...0

11 0

EXTERIOR

(V)

2 2( 1) ( 1) 2.( 1) 4.( 1) 4...0

1 1 2 4 4...0

0 0

PERTENCENTE

(F)

2 2( 5) 0 2.( 5) 4.0 4...0

25 10 4...0

11 0

EXTERIOR

(F)

2 20 1 2.0 4.1 1...0

1 4 1...0

4 0

INTERIOR

14.10)

Cálculo do centro do círculo:

x2 + y2 + 2x – 4y = 0

C(-1, 2)

Cálculo do ponto de intersecção:

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x 2y 4 0

2x y 5 0

2x 4y 8 0

2x y 5 0

3y 3 0 y 1

2x 1 5 0 x 2

A intersecção é (2,1)

Equação da reta:

2 1 x 20

1 2 y 1

4 y x 2y 2x 1 0

x 3y 5 0

ALTERNATIVA E

14.11)

O centro da circunferência é o ponto médio entre A e B, assim:

1 7 1 9C ;

2 2

C 4;5

O raio é a metade da distância entre A e B, assim:

2 2(1 7) (1 9)R

2

R 5

Equação da circunferência:

2 2 2

2 2 2

2 2

(x ) (y ) R

(x 4) (y 5) 5

(x 4) (y 5) 25

ALTERNATIVA A

14.12)

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p = Maior Valor possível de x

p = α+R

q = Maior Valor possível de y

q = β+R

x2 + y2 – 14x – 6y – 6 = 0

α = 7 ; β = 3

2 2 27 3 ( 6) R

R 8

Logo:

p = 7 + 8 = 15

q = 3 + 8 = 11

3p + 4q = 3 . 15 + 4 . 11 = 89

ALTERNATIVA D

14.13)

I – VERDADEIRO

II – FALSO – Apenas o eixo x nos pontos (0, 0) e (2, 0)

III – VERDADEIRO

2 2r (7 1) ( 10 2)

r 10

ALTERNATIVA D

14.14)

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2 2 2

2 2

2 2

1

2 2 2

2 2

2 2

2

(6x 25) 36y 25

36x 300x 625 36y 625

25 25x y x 0 C ,0

3 6

64x (8y 25) 25

64x 64y 400y 625 625

25 25x y y 0 C 0,

4 8

Equação segmentária:

x y1

25 25

6 8

6x 8y 25

ALTERNATIVA E

14.15)

A distância mínima é a distância do centro até a reta diminuída do raio (para

uma reta externa). Assim:

Cálculo do centro até a reta:

C(2, -3) / R = 5

2 2

3.2 4.( 3) 29D

3 4

D 7

Distância mínima = 7 – 5 = 2.

ALTERNATIVA B

14.16)

Se x2 + y2 – 4x + 4y + k = 0 for circunferência, o centro será C(2, -2). Assim:

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2 2

máx

22 ( 2) k R

R 8 k

8 k 0

k 8 K 7

ALTERNATIVA C

14.17)

O raio é a distância entre o centro C(0,0) e a reta x – y – 1 = 0. Assim:

2 2

0 0 1r

1 1

1r

2

2r

2

ALTERNATIVA D

14.18)

C(0, 3)

I – FALSO

2 2 20 3 7 R

R 2

II – VERDADEIRO

III – VERDADEIRO

Cálculo da distância do centro (0, 3) à reta x – y + 1 = 0:

2 2

0 3 1D

1 1

D 2

A reta é tangente pois a distância entre ela e o centro é igual ao raio.

ALTERNATIVA A

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14.19)

a)

O coeficiente angular do diâmetro é igual ao da reta, ou seja, 2

m3

.

O diâmetro passa pelo centro da circunferência C(3, 0).

0 0y y m(x x )

2y 0 (x 3)

3

3y 2x 6

2x 3y 6 0

b)

Cálculo das coordenadas dos pontos de intersecção com o eixo y (x = 0):

2 2

2

0 y 6.0 16 0

y 16

y 4 (0,4)

ou

y 4 (0, 4)

Cálculo das coordenadas dos pontos de intersecção com o eixo x (y = 0):

2 2

2

x 0 6x 16 0

x 6x 16 0

x 2 ( 2,0)

ou

x 8 (8,0)

Calculo da área:

2 0 8 0 21S

2 0 4 0 4 0

1S 8 32 8 32

2

S 40

14.20)

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a)

x2 + y2 – 2x + 4y + 1 = 0

C(1, -2)

2 2 21 ( 2) 1 R

R 2

b)

Cálculo das equações das duas retas:

0 0

0 1 x 0r : 0

1 0 y 1

r : 0 y x 1 0

r : x y 1 0

s : y y m(x x )

3s : y 0 (x 3)

4

s : 4y 3x 9

s : 3x 4y 9 0

Cálculo da intersecção entre r e s:

x y 1 0

3x 4y 9 0

4x 4y 4 0

3x 4y 9 0

137x 13 0 x

7

13 6y 1 0 y

7 7

13 6I ,

7 7

c)

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2 2

2 2

2 2

2

x y 2x 4y 1 0

x y 1 0 y x 1

x (x 1) 2x 4(x 1) 1 0

x x 2x 1 2x 4x 4 1 0

2x 2 0

x 1 y 0 (1,0)

ou

x 1 y 2 ( 1, 2)

d)

2 2

3.1 4.( 2) 9D

3 4

14D

5

SEMIEXTENSIVO – MATEMÁTICA D

13.01)

A planificação do bebedouro 3 está representada na alternativa E.

ALTERNATIVA E

13.02)

Cálculo do volume de água:

3

3

54 3h

v 2h

54 27

v 8

v 16cm

Cálculo do volume de óleo:

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água óleo

óleo

3

óleo

v v 54

16 v 54

v 38cm

ALTERNATIVA D

13.03)

Se chamarmos de H a altura da torre, a pirâmide formada pela plataforma terá

uma altura igual a (H – 60). Assim:

18 H

10 H 60

18H 1 080 10H

8H 1 080

H 135m

ALTERNATIVA D

13.04)

Chamando a altura da pirâmide de H, temos:

2144 H

64 4

12 H

8 4

H 6m

13.05)

3

V H

Hv

2

V8

v

Vv

8

ALTERNATIVA D

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13.06)

Se a altura da pirâmide é 12 cm e a secção é feita a 4 cm da base, então a

altura da nova pirâmide formada pela secção será igual a 8 cm. Assim:

2

b

b

b

b

S 12

s 8

S 9

s 4

ALTERNATIVA C

13.07)

Se a altura do tronco é de 3 cm, então a altura da nova pirâmide formada será

6 cm. Assim, calculamos o volume da nova pirâmide:

3

3

108 9

v 6

108 27

v 8

v 32cm

Logo, calculamos o volume do tronco:

tronco

tronco

3

tronco

V 108 v

V 108 32

V 76cm

ALTERNATIVA E

13.08)

(F)

2

b b

2

b b

S .10 S 100

s .5 s 25

(F)

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3 3

12V 100 25 100 .25

3

V 4 125 50

V 700 cm 2 000cm

(V)

2 2 2AB 5 12

AB 13cm

(V)

2

S .10 .5 .13

S 195 cm

13.09)

01 - FALSO

2

2

B 3

b 2

B 9

b 4

02 – VERDADEIRO

3

3 11V 9 4 9 .4

3

V 11 19

V 19 11cm

04 – VERDADEIRO

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Cálculo da geratriz do tronco:

2

2 2g 3 11 1

g 10cm

Cálculo da área lateral:

2

S .3 .2 .10

S 50 cm

08 – FALSO

A secção transversal de um tronco de cone é um trapézio isósceles cujas

bases são os diâmetros das bases e a altura é igual a altura do tronco. Logo:

st

2

st

6 4 .3 11S

2

S 15 11cm

16 – VERDADEIRO

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t b b

2 2

2

S S S s

St 50 .3 .2

St 63 cm

SOMA = 22

13.10)

01 – VERDADEIRO

02 – VERDADEIRO

04 – FALSO – 12 arestas

08 – VERDADEIRO

Destacando o trapézio no sólido, temos:

2

2 26 3 2 H

H 3 2cm

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16 – FALSO

Para calcular o apótema do tronco, usamos uma face lateral. Assim:

2 2 2

t

t

6 3 a

a 3 3cm

Cálculo da área lateral:

2

S 2.2 2.8 .3 3

S 60 3cm

32 – VERDADEIRO

2 2 2 2

3

3 2V 2 8 2 .8

3

V 84 2cm

64 – FALSO

2

b

2

b

b

b

S 8

s 2

S16

s

SOMA = 43

13.11)

Sendo V o volume total do copo, o volume da mistura (sem espuma) igual a v e

a altura ocupada pela mistura (sem espuma) de 16 cm, é possível calcular o

volume da mistura (v) em relação a V:

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3V 20

v 16

V 125

v 64

v 0,512V

Ou seja, o volume da mistura (sem espuma) é 51,2% do volume do copo.

Logo, o volume da espuma é de 48,8% do copo.

ALTERNATIVA C

13.12)

Chamando de v o volume do líquido que ocupará todo o cubo, temos:

3

3

8 000 h

hv

2

8 0008

v

v 1 000cm

Igualando o volume do cubo ao valor encontrado para v, temos:

3

3

y v

y 1 000

y 10cm

ALTERNATIVA C

13.13)

Considerando que o preço de R$0,80 é para volume V de pirulito e chamando

de v o volume do minipirulito, temos:

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3

V h

hv

2

V8

v

Vv

8

Para manter a proporção, o minipirulito será vendido por R$0,10.

ALTERNATIVA C

13.14)

01 – VERDADEIRO

Cálculo do volume total do reservatório:

2

3

1V 8 6

3

V 128 m

Cálculo do volume de água a uma altura igual a x:

3

3

3

3

128 6

v x

128 216

v x

128 xv

216

16 xv

27

02 – FALSO

6 8

3 r

r 4m

04 – VERDADEIRO

2 2 2

2 2 2

g R H

g 8 6

g 10m

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08 – FALSO

3

cone

cone cubo3 3

cubo cubo

V 128 mV V

V 6 V 216 m

SOMA = 05

13.15)

Cálculo do volume da caixa d´água:

2 2

2 2

3 3

3 9 9V . .1 . .1

3 4 4

81 9V

16 4

133V m V 26,10125 m V 26 101,25 litros

16

Como o condomínio gasta 17 mil litros de água por dia, a caixa d´água

completamente cheia abastece o condomínio por 01 dia completo.

13.16)

Cálculo do volume do chuveiro:

cilindro tronco

2 2 2 2 2

3

V V V

10V 12 30 6 12 6 12

3

V 12 960 + 2 520

V 15 480 cm V 15,48 litros

Para encher o chuveiro 6 vezes, o volume necessário é de 92,88 litros.

Se em um dia goteja 46, 44 litros, são necessários 02 dias de gotejamento.

13.17)

Cálculo do volume do halteres:

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cilindro tronco

2 2 2 2 2

3

3

V V 2 V

6V 2 10 2 2 4 2 4

3

V 40 4 28

V 152 cm

V 477,28 cm

Cálculo da massa do halteres:

3

md

V

m7,9 10

477,28

m 3,77 kg

ALTERNATIVA E

13.18)

I - VERDADEIRO

3

água

água

água água

64000 80

27000 H

4 80

3 H

H 60dm H 6m

II – VERDADEIRO

óleo água

óleo

óleo

H H 8

H 6 8

H 2m

III – VERDADEIRO

b

2

b

2

b

164000 S 80

3

S 2 400dm

S 24m

ALTERNATIVA D

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13.19)

a)

2

A

2B

A

B

12R H

V 31V

R H3

V4

V

b)

3

A

B

3

3

3 2

3 3 2

3

3

V H

V h

H4

h

H4

h

H 4h

4 4

16h H

4

2h H

2

13.20)

Cálculo do volume do cone:

2

3

1V 2 6

3

V 8 cm

Se o volume do tronco é de 7π cm3, então, o cone formado pela secção terá

volume v = π cm3. Logo:

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38 6

x

62

x

x 3cm

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14.01)

O orifício será um retângulo de dimensões 3cm x 2cm e a altura da caixa é de

5cm.

I – Pode ser colocado

II – Pode ser colocado

III – Não pode ser colocado – O diâmetro da esfera é de 3 cm, assim, na

dimensão 2 cm ela não passa.

IV – Pode ser colocado

V – Pode ser colocado

ALTERNATIVA C

14.02)

3 3

3

4 4R 1 000 000 1

3 3

R 1 000 000

R 100

ALTERNATIVA E

14.03)

a 3R 2

ar

2

R3

r

ALTERNATIVA D

14.04)

Cálculo da aresta do cubo:

3a 1 000

a 10cm

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Cálculo do raio da esfera:

ar

2

10r

2

r 5cm

ALTERNATIVA D

14.05)

Cálculo do raio da esfera:

3

3

4R 288

3

R 216

R 6cm

Cálculo da aresta do cubo:

a 3R

2

a 36

2

a 4 3cm

Cálculo da área total do cubo:

2

2

2

S 6a

S 6 4 3

S 288cm

ALTERNATIVA A

14.06)

Cálculo da aresta do cubo:

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3

2

V2

S

a2

6a

a 12

Cálculo do raio da esfera:

ar

2

12r

2

r 6

Cálculo de 1

3do volume da esfera:

3

e

e

1 1 4V 6

3 3 3

1V 96

3

ALTERNATIVA E

14.07)

Cálculo do raio da esfera:

3

3

4R 36

3

R 27

R 3cm

Cilindro que possui esfera inscrita tem raio igual ao raio da esfera e altura igual

ao diâmetro da esfera. Assim:

2

cil

3

cil

V 3 .6

V 54 cm

ALTERNATIVA C

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14.08)

Cilindro que possui esfera inscrita tem raio igual ao raio da esfera e altura igual

ao diâmetro da esfera. Assim:

3

1

2 32 1

3

1

32 1

4R

V 34V V

R 2R R3

4R

V 3 22V V

R3

ALTERNATIVA D

14.09)

A maior esfera é a que possui como diâmetro a menor dimensão, ou seja,

diâmetro 8 cm. Então:

A dimensão 8 cm admite 1 esfera;

A dimensão 17 cm admite 2 esferas;

A dimensão 26 cm admite 3 esferas;

Multiplicando, temos:

Número de esferas = 1 . 2 . 3

Número de esferas = 6

ALTERNATIVA D

14.10)

Cálculo da aresta do cubo:

3a 8

a 2m

A base do cilindro circunscrito a um cubo, é uma circunferência circunscrita a

um quadrado cujo lado é a aresta do cubo, assim, calculamos o raio do cilindro:

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a 2r

2

2 2r

2

r 2m

A altura do cilindro circunscrito a um cubo é igual a altura do cubo que é igual à

aresta. Assim, calculamos o volume do cilindro:

2

cil

3

cil

V 2 2

V 4 m

ALTERNATIVA D

14.11)

I – FALSO

Cálculo do raio da esfera:

3

3

4R 12

3

R 9

Cilindro que possui esfera inscrita tem raio igual ao raio da esfera e altura igual

ao diâmetro da esfera. Assim:

2

cil

3

cil

cil

cil

V R .2R

V 2 R

V 2 .9

V 18

II – FALSO

Cálculo da aresta do cubo:

a 3R

2

a 34 3

2

a 8cm

Cálculo do volume do cubo:

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3

cubo

3

cubo

3

cubo

V a

V 8

V 512cm

III – VERDADEIRO

Volume de um cilindro:

2V R H

Dobrando o raio da base, ficamos:

2

2

V´ 2R H

V´ 4 R H

V´ 4V

ALTERNATIVA D

14.12)

A partir do volume do cone, temos:

2

2

1 ab

3 2

a b 12

Substituindo a relação b 3 3

b aa 2 2 , temos:

2

2

a b 12

3a a 12

2

a 2

Logo, b = 3.

No cone, temos:

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2 2 2

2

2 2

2

2 2

g R H

ag b

2

2g 3

2

g 10

ALTERNATIVA D

14.13)

Cálculo do volume do recipiente cúbico:

3

cubo

3

cubo

3

cubo

cubo

V a

V 4

V 64 dm

V 64 litros

Sendo assim, o sólido para poder ser colocado no recipiente cúbico sem que a

água transborde, pode ter no máximo 8 litros.

33

esfera esfera

2

cilindro cilindro

paralelepípedo paralelepípedo

2

pirâmide pirâmide

4V 2 V 8,37 litros

3

V 2 2 V 8,85 litros

V 3 3 7 V 7,94 litros

1V 12 5 V 8,94 litros

3

O único sólido que não fará transbordar a água é o PARALELEPÍPEDO

RETÂNGULO.

ALTERNATIVA C

14.14)

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Cálculo da medida “x” :

2 2 25 x 3

x 4cm

Logo, a altura do cone é igual a 9 cm.

Cálculo do volume da esfera:

3

esfera

3

esfera

4V 5

3

500V cm

3

Cálculo do volume do cone:

2

cone

3

cone

1V 3 9

3

V 27 cm

Cálculo da porcentagem:

p 50027

100 3

p 16,2%

ALTERNATIVA E

14.15)

água cil cone

2 2

água

água

1V V V

2

1 1V 3 10 1 3

2 3

V 44

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ALTERNATIVA E

14.16)

(F) O triângulo não é equilátero

(F)

Cálculo do raio da esfera:

34288 R

3

R 6m

O cone terá o mesmo raio e a altura será igual ao diâmetro, ou seja, igual a 12

m. Assim, calculamos o volume do cone:

2

cone

3

cone

1V 6 12

3

V 144 m

(V)

Cálculo da geratriz do cone:

2 2 2

2 2 2

g R H

g 6 12

g 6 5m

Cálculo da área lateral do cone:

2

S Rg

S 6 6 5

S 36 5 cm

(V) Todo cilindro que possui esfera inscrita é um cilindro equilátero pois sua

altura será igual ao seu diâmetro.

(V)

A altura do cone é igual ao diâmetro da esfera, ou seja, o raio da esfera é igual

a 5 m.

O equador de uma esfera é a circunferência cujo raio é igual ao raio da esfera,

ou seja, o comprimento do equador dessa esfera é:

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C 2 R

C 2 5

C 10 m

14.17)

Um cilindro inscrito em um paralelepípedo implica em:

Base do paralelepípedo é um quadrado com a base do cilindro

(circunferência) inscrita;

A aresta da base do paralelepípedo é igual ao diâmetro da base do

cilindro 2R ;

As alturas dos dois sólidos são iguais.

Calculando a relação entre os volumes, temos:

2

1

2

2

2

1

2

2

2 1

V R H

V H

V R

V 2R

V 4V

ALTERNATIVA A

14.18)

3

cubo

3

esfera Maior esfera Maior cubo

3

esfera menor esfera menor cubo

V a

4 aV V V

3 2 6

4 aV V V

3 10 750

01 – FALSO

02 – FALSO

04 – VERDADEIRO

5 esferas em cada dimensão: 5 . 5 . 5 = 125 esferas

08 – VERDADEIRO

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esfera menor cubo cubo esfera Maior125V 125 V V V750 6

16 – FALSO

O volume ocupado pelas 125 esferas pequenas é igual ao ocupado pela esfera

grande, ou seja, o volume não ocupado nos dois casos também será o mesmo.

32 – FALSO

3

esfera Maior esfera Maior cubocubo

esfera Maior

3esfera menor

cuboesfera menor esfera menor cubo

4 aV V V V3 2 6 V 6 125

V4 a VV V V 7503 10 750

SOMA = 12

14.19)

As relações entre um cone equilátero inscrito em uma esfera e a esfera são as

mesmas que se tem com um triângulo equilátero inscrito numa circunferência

(secção meridiana). Assim:

Cone equilátero:

g 2r g 2 2 3 g 4 3cm

g 3 4 3 3h h h 6cm

2 2

Relação entre esfera e cone equilátero inscrito:

2R h

3

2R 6

3

R 4cm

Cálculo do volume da esfera:

3

esfera

3

esfera

4V 4

3

256V cm

3

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14.20)

a)

Cálculo de h:

a 3h

2

6 3h

2

h 3 3cm

Cálculo de d: (Teorema de Pitágoras)

2 2 2

22

2

h d 3

3 3 d 9

d 18

d 3 2cm

b)

O raio de uma esfera inscrita a um tetraedro segue a relação H

r4

, na qual H

é a altura do tetraedro.

Cálculo do valor de H:

a 6H

3

6 6H

3

H 2 6cm

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Cálculo do raio da esfera:

Hr

4

2 6r

4

6r cm

2

SEMIEXTENSIVO – MATEMÁTICA E

13.01)

O volume é o produto das dimensões, ou seja, o produto das raízes. Assim:

6V a.b.c

1

V 6u.v

ALTERNATIVA B

13.02)

A área total é calculada pela relação S 2 ab ac bc que, dentro do

parênteses, possui uma das relações de Girardi. Assim:

S 2 ab ac bc

11S 2

1

S 22 u.a

ALTERNATIVA D

13.03)

A soma das raízes é uma das relações de Girardi. Assim:

1 2 3 4

1 2 3 4

2

1

2

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ALTERNATIVA D

13.04)

Reescrevendo a equação, temos:

4 3 2x 0x 0x 0x 1 0

0Soma

1

Soma 0

ALTERNATIVA C

13.05)

Com a Relação de Girardi, temos:

2 3 4

2 3 4

42 x x x

4

x x x 1

ALTERNATIVA D

13.06)

Com a Relação de Girardi, temos:

2 3

2 3

162 x x

1

x x 8

ALTERNATIVA B

13.07)

Raízes: {x – r, x, x + r}

Com as Relações de Girardi, temos:

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2

6Soma

1

x r x x r 6

x 2

10Produto

1

( 2 r).( 2).( 2 r) 10

4 r 5

r 3 Raízes : { 5, 2,1}

ou

r 3 Raízes : {1, 2, 5}

k1.( 2) 1.( 5) ( 2).( 5)

1

2 5 10 k

k 3

ALTERNATIVA C

13.08)

2 3

2 3

2 3

2 3

212 x x

9

21x x 2

9

3x x

9

1x x

3

ALTERNATIVA A

13.09)

Perceber que é possível escrever assim:

22 2p q p q 2pq

Pelas Relações de Girardi, podemos concluir que:

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9p q ( 1) p q 2

3

7 7p.q.( 1) pq

3 3

Substituindo na equação do início, temos:

22 2

22 2

2 2

p q p q 2pq

7p q 2 2

3

2p q

3

ALTERNATIVA B

13.10)

2

1 2

3

q x 3x – 2x – 5 Raízes: x e x

r x 4x 12 Raiz: x 3

Calculando o produto das raízes:

1 2 3 1 2

1 2 3

1 2 3

x .x .x x .x .( 3)

5x .x .x .( 3)

3

x .x .x 5

ALTERNATIVA D

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13.11)

Se 1 – 2i é raiz, então o conjugado 1 + 2i também é raiz.

Pelas relações de Girardi, temos:

3

3

3

11 2i 1 2i x

1

2 x 1

x 3

Cálculo do produto das raízes:

2

Produto (1 2i)(1 2i)( 3)

Produto (1 4i )( 3)

Produto 15

ALTERNATIVA E

13.12)

Reescrevendo a equação, temos: x3 + 0x2 – 10x + m = 0.

Se 1 2x x 4 , então:

1 2 3

3

3

0x x x

1

4 x 0

x 4

Substituindo a raiz encontrada na equação, ficamos com:

3( 4) 10.( 4) m 0

m 24

ALTERNATIVA D

13.13)

Raízes em P.A: {x – r, x, x + r}

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2

9Soma

1

x r x x r 9

x 3

21Produto

1

(3 r).3.(3 r) 21

9 r 7

r 4 Raízes : { 1,3,7}

ou

r 4 Raízes : {7,3, 1}

Cálculo do valor de k:

k( 1).3 ( 1).7 3.7

1

k 11

Cálculo do logaritmo:

2 22 10

2 2 2 2log 3k 1 log (3.11 1) log 32 log 2 10

ALTERNATIVA B

13.14)

Reescrevendo a equação, temos:

x4 + 0x3 + mx2 + nx + p = 0

4

4

01 2 3 x

1

x 6

Pelas relações de Girardi obtemos m e p. Assim:

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m1.2 1.3 1.( 6) 2.3 2.( 6) 3.( 6)

1

2 3 6 6 12 18 m

m 25

p1.2.3.( 6)

1

p 36

Logo, m + p = - 25 + (- 36) = - 61

ALTERNATIVA D

13.15)

Considerando as raízes sendo a, b, c que são as dimensões do paralelepípedo

retângulo e as relações de Girardi, calculamos:

Cálculo da Área Total:

2

S 2(ab ac bc)

31S 2

1

S 62cm

Cálculo do Volume:

3

V a.b.c

30V

1

V 30cm

ALTERNATIVA A

13.16)

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10 10

10 10

10 10

10 10

10

1 1 1 c b alog log

ab ac bc abc

1 1 1 SOMAlog log

ab ac bc PRODUTO

301 1 1 2log log

3ab ac bc

2

1 1 1log log 10

ab ac bc

1 1 1log 1

ab ac bc

13.17)

Pela relação de Girardi, tenho que:

1 2

1 2

63x x

1

x x 63

Pensando em dois números inteiros e primos cuja soma é 63, encontramos

apenas:

1

2

x 2

x 61

Pela outra relação de Girardi concluímos:

1 2

kx .x

1

2.61 k

k 122

ALTERNATIVA D

13.18)

2 2 2

2 2 2

2 2 2

a bc ab c abc abc a b c

20 10a bc ab c abc

1 1

a bc ab c abc 200

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ALTERNATIVA D

13.19)

Reescrevendo o polinômio, temos: P(x) = x3 – 3x2 + 0x + m

Raízes em P.A: {x – r, x , x + r}

3x r x x r

1

3x 3

x 1

Sabemos agora que P(1) = 0, então:

3 21 3.1 m 0

m 2

b)

Sabendo que uma das raízes é 1, temos que:

m(1 r).1.(1 r)

1

1 r2 2

r2 3

r 3 Raízes : 1 3 ,1, 1 3

ou

r 3 Raízes : 1 3 ,1, 1 3

13.20)

xRaízes : ,x,xq

q

Relações de Girardi:

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2

x x 28x xq x xq

q q 1

1x 1 q 28

q

x 7x xq

q 1

1 1 7x 1 q 7 1 q

q q x

Substituindo na primeira relação temos:

2 7x 28

x

x 4

Calculando o valor de k:

3

3

x kx xq

q 1

x k

4 k

64 k

k 64

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14.01)

As raízes são os pontos que o gráfico do polinômio intercepta o eixo x, assim,

as raízes são: -1, 1, 3

ALTERNATIVA D

14.02)

1 2 3P(x) k(x x )(x x )(x x )

P(x) k(x 1)(x 1)(x 3)

ALTERNATIVA A

14.03)

Se 2i é raiz, então o conjugado – 2i também é raiz, assim, a equação terá pelo

menos as raízes 3, 2i e -2i. O grau mínimo será 3.

ALTERNATIVA C

14.04)

A equação terá pelo menos as raízes:

1 2

3 4

5 6

7 8

x x 4 i

x x 4 i

x x 3i

x x 3i

8º Grau

ALTERNATIVA E

14.05)

O polinômio terá pelo menos as raízes:

1

2

3

x 1 3i

x 1 3i

x 5

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Grau Mínimo = 3

ALTERNATIVA B

14.06)

Prováveis Raízes Racionais:

1 1 1PRR : 1, , ,

3 5 15

Nas alternativas, a única dessas que é citada é 1

3que substituímos para tirar a

prova:

3 21 1 1

15. 7. 7. 1 03 3 3

15 7 71 0

27 9 3

15 21 63 27 0

0 0

Comprovado!

ALTERNATIVA E

14.07)

Como é do quarto grau e duas raízes são imaginárias não conjugada uma da

outra, então, as outras duas raízes são as conjugadas das raízes dadas.

Assim:

1 + i e 2 – i

ALTERNATIVA E

14.08)

MÍNIMO = 4 RAÍZES

MÁXIMO = 7 RAÍZES

4 n 7

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ALTERNATIVA B

14.09)

Como o termo independente é “0”, uma das outras raízes será “0”. Assim:

2x 3 0

x 3

Duas irracionais e uma racional.

ALTERNATIVA E

14.10)

a) VERDADEIRO – Raízes imaginárias são sempre em quantidade par.

b) FALSO – não procede

c) FALSO – não procede

d) FALSO – não procede

ALTERNATIVA A

14.11)

Raízes:

1

2

3

4

5

x 2 i

x 2 i

x 1 2i

x 1 2i

x

ALTERNATIVA C

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14.12)

x2 – 2x + 2 = 0

x = 1 + i ou x = 1 – i

ALTERNATIVA B

14.13)

2

3 2 2

3 2

p(x) 1(x 1)(x 2)(x 3)

p(x) (x 3x 2)(x 3)

p(x) x 3x 3x 9x 2x 6

p(x) x 6x 11x 6

Usando Briott-Rufini, temos:

Quociente: x2 – 3x + 2

ALTERNATIVA B

14.14)

Se 2 + 3i é raiz, temos que 2 – 3i também é raiz.

Usando Relação de Girardi, temos:

3

3

2 3i 2 3i x 6

x 2

01 – FALSO

02 – FALSO

04 – VERDADEIRO

08 – VERDADEIRO

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2

(2 3i).(2 3i).2 b

(4 9i ).2 b

b 26

SOMA = 12

14.15)

As raízes de p(x) são: -1, -2i, 2i.

2 2

2

3 2

p(x) 1.(x 1)(x 2i)(x 2i)

p(x) (x 1)(x 4i )

p(x) (x 1)(x 4)

p(x) x x 4x 4

SOMA DOS COEFICIENTES = 1 + 1 + 4 + 4 = 10

ALTERNATIVA B

14.16)

Temos: blog x 3

1P.A 3,b,x

3

P.A 1,b,x

Pela P.A, temos que:

1 xb

2

Pelo logaritmo, temos que: 3

blog x 3 x b

Logo:

3

2 3

3 2

1 xx

2

1 3x 3x xx

8

x 3x 5x 1 0

Usando Briott-Rufini, temos:

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x2 + 4x – 1 = 0

x 2 5

Pelas condições de existência do logaritmo, temos que x 2 5 x 0,22 .

ALTERNATIVA A

14.17)

Área 2(ab ac bc)

Volume abc

72

Área 2

2Volume

2

Área7

Volume

ALTERNATIVA B

14.18)

Tendo que 1 2x .x 1 e utilizando as Relações de Girardi, podemos fazer:

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1 2 3

3

3

1 2 3

1 2

1 2

1 2 1 3 2 3

3 1 2

4(x .x ).x

2

1.x 2

x 2

1x x x

2

1x x ( 2)

2

5x x

2

kx x x x x x

2

k1 x (x x )

2

5 k1 2

2 2

k 8

ALTERNATIVA A

14.19)

2x2 + 3x + 1 = 0

1x 1 ou x

2

Maior raiz real = 1

2

14.20)

Pela Relação de Girardi, temos:

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3

3

1 1 x 3

x 5

Usando a forma fatorada, encontramos:

2

3 2 2

3 2

1(x 1)(x 1)(x 5) 0

(x 2x 1)(x 5) 0

x 5x 2x 10x x 5 0

x 3x 9x 5 0 p 9 e q 5


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