Matematica I

Curso:

Cincias Contbeis

Disciplina:

Autor:

Modalidade:Educao a Distncia

Matemtica I(4 crditos - 80 horas)

Elvzio Scampini Junior

Cincias Contbeis

194- 00259

2Misso Salesiana de Mato GrossoUniversidade Catlica Dom BoscoInstituio Salesiana de Educao Superior

Chanceler: Pe. Lauro Takaki ShinoharaReitor: Pe. Jos MarinoniPr-Reitora de Ensino e Desenvolvimento: Conceio A. Galvez ButeraDiretor da UCDB Virtual: Prof. Jeferson PistoriCoordenadora Pedaggica: Prof. Blanca Martin Salvago

Direitos desta edio reservados Editora UCDBDiretoria de Educao a Distncia: (67) 3312-3335www.virtual.ucdb.brUCDB -Universidade Catlica Dom BoscoAv. Tamandar, 6000 Jardim SeminrioFone: (67) 3312-3800 Fax: (67) 3312-3302CEP 79117-900 Campo Grande - MSwww.ucdb.br

0212

Scampini Junior, Elvzio Curso Cincias Contbeis: disciplina matemtica I / Elvzio Scampini Junior. Campo Grande: UCDB/EAD, 2010. 111 p.

1. Lgica; 2. Funo; 3. Interpretao para tomada de decises; 4. Aplicaes de modelos econmicos

Cincias Contbeis

3Cincias Contbeis

APRESENTAO DO MATERIAL DIDTICO IMPRESSO

Este material foi elaborado pelo professor conteudista sob a orientao da equipe multidisciplinar da UCDB Virtual, com o objetivo de lhe fornecer um subsdio didtico que norteie os contedos trabalhados nesta disciplina e que compe o Projeto Pedaggico do seu curso. Ele freqentemente testado e atualizado, promovendo uma constante melhora na qualidade deste material.

Elementos que integram o material

Plano de Ensino:Ementa: trata-se de um resumo do contedo da disciplina.

Objetivo Geral: o principal objetivo que o aluno deve atingir ao termo da disciplina.

Objetivos Especficos: so os objetivos que devem ser atingidos ao fim de cada Unidade de contedo.

Contedo Programtico: trata-se do contedo da disciplina apresentado de forma estruturada.

Bibliografia Bsica: so as trs principais obras indicadas pelo professor conteudista para aprofundamento do contedo. A obra que est marcada com um asterisco (*) o livro texto que o professor sugere como livro chave da disciplina.

Bibliografia Complementar: so obras indicadas que podem servir como aprofundamento de alguns pontos especficos do contedo.

Avaliao:Critrios de avaliao: so as informaes referentes aos critrios adotados

para a avaliao (formativa e somativa) e composio da mdia da disciplina.

Quadro de Controle de Atividades: trata-se de um quadro para voc organizar a realizao e envio das atividades virtuais. O prazo estipulado pelo professor uma sugesto baseada na mdia dos alunos, voc pode adequ-lo ao seu ritmo de estudo, nunca ultrapassando o prazo mximo indicado pelo professor da disciplina. No esquea que voc no est sozinho, conte sempre com a ajuda do seu professor e da equipe de tutoria.

Contedo Desenvolvido: o contedo da disciplina, com a explanao do professor sobre os diferentes temas objeto de estudo.

Indicaes de Leituras de Aprofundamento: so sugestes do professor conteudista para que voc possa aprofundar no contedo estudado. Voc ir perceber que a maioria das leituras sugeridas so links da Internet. Por isso, importante que voc mescle as leituras deste material com a navegao no Ambiente Virtual de Aprendizagem.

Atividades Virtuais: so atividades propostas que marcaro um ritmo no seu estudo, assim como, estimularo sua interao com o professor e colegas. As datas de envio das atividades encontram-se no calendrio do Ambiente Virtual de Aprendizagem.

4 Cincias ContbeisComo tirar o mximo de proveito

Este material didtico mais um subsdio para seus estudos. No se limite ao contedo aqui apresentado. Este material deve ser complementado com outros contedos e com a interao com os outros participantes. Portanto, no se esquea de:

Interagir com freqncia com os colegas e com o professor, usando as ferramentas de comunicao e informao que o Ambiente Virtual de Aprendizagem AVA pe sua disposio;Usar, alm do material em mos, os outros recursos disponveis no AVA: aulas audiovisuais, vdeo-aulas, exerccios, frum de discusso, frum permanente de cada unidade, etc.;Recorrer equipe de tutoria sempre que precisar orientao sobre dvidas quanto a calendrio, atividades, ferramentas da AVA, e outros;Ter uma rotina que lhe permita estabelecer o ritmo de estudo adequado a suas necessidades como estudante, organize o seu tempo, no espere ao final do mdulo ou do semestre para comear a estudar e fazer as atividades, se necessrio, solicite ajuda aos tutores;Ter conscincia de que voc deve ser sujeito ativo no processo de sua aprendizagem: contando com a ajuda e colaborao de todos, mas com a certeza de que o principal envolvido deve ser sempre voc.

Mascote Edmouse

Ao longo de todo o material, voc ter como companheiro o Edmouse, personagem criado pela equipe de produo e design e utilizado pelo professor conteudista para expressar as indicaes relacionadas aos aspectos didtico-pedaggicos que envolvem cada contedo ou atividade. Veja abaixo o significado das suas aparies.

Posio normal: usado para s a u d a e s , o u a l g u m a comunicao direta, assuntos em que o professor queira destacar.

Posio pare: utilizada em situaes em que voc precisa parar para refletir sobre algo especfico.

Posio atividade: utilizada em situaes de indicao de alguma atividade (todos os tipos de atividades), fique atento para esta posio, geralmente as atividades so avaliativas.

Posio reflexo: utilizada em situaes em que voc precisa de um momento de reflexo sobre a lgo espec f i co , geralmente um destaque fundamental no contedo. Neste caso, leia o que est escrito no balo especfico para cada situao.

P o s i o a t e n o : utilizada em situaes de destaque para assunto o u c o m u n i c a d o s importantes.

VDEOVDEOPosio vdeo: utilizada quando h um vdeo sobre determinado assunto, ou vdeo novo inserido no site.

A seguir apresentamos o Plano de Ensino desta disciplina. importante que voc conhea os objetivos que devem ser atingidos, a bibliografia proposta, os critrios de avaliao, assim como o contedo que ser desenvolvido ao longo dos estudos. Acompanhe!

PLANO DE ENSINO

Ementa Lgica Aplicada. Noes de Funo. Funo Polinomial do Primeiro Grau.

Objetivo GeralDesenvolver no aluno as bases introdutrias ao clculo, facilitando-lhe a

viso geral e global das funes que promover o aprendizado subseqente do Clculo, que o estudo das derivadas de funes de uma ou mais variveis.

Apresentar os conceitos de lgica, funo e de Polinomial do 1 grau, demonstrando aplicabilidade dentro da prpria matemtica (intradisciplinaridade) e de reas afins (interdisciplinaridade).

Objetivos Especficos

UNIDADE 1- Ensinar Matemtica atravs de desafios; -Motivar o interesse e a curiosidade; Ampliar o raciocnio lgico; -Desenvolver a criatividade; Melhorar a interpretao de texto; -Propor idias criativas; -Aumentar a ateno e a concentrao; -Desenvolver antecipao e estratgia; -Trabalhar a ansiedade; -Estimular a discusso e o uso de estratgias matemticas; -Reduzir a descrena na autocapacidade de realizao.-

UNIDADE 2- Definir o conceito de Funo enfatizando a sua aplicabilidade no cotidiano prtico do aluno;-Destacar as caractersticas gerais de Funo tais como imagem, domnio, estimativa de valores, entre outras;-Tornar o aluno capaz de interpretar e analisar dados apresentados em grficos, relacionando os conhecimentos para a formao do conhecimento matemtico;-Introduzir as noes bsicas de Modelagem Matemtica atravs da resoluo de problemas e situaes matemticas subtradas do cotidiano do aluno.

UNIDADE 3-Capacitar o aluno para reconhecer a descrio da Funo do 1. Grau apresentada em problemas matemticos prticos;-Tornar o aluno apto a modelar problemas matemticos considerando a reduo das operaes matemticas; -Promover habilidades no aluno para que construa, analise e interprete a Funo do 1. Grau apresentada em grficos;-Introduzir os conceitos que esto relacionados disciplina de Introduo Economia.

5Cincias Contbeis

Contedo Programtico - Sumrio

UNIDADE 1: LGICA APLICADA.........................................11

UNIDADE 2: NOES DE FUNO.........................................432.1 Definio...............................................................................................................452.2 Domnio e Imagem .............................................................................................452.3 Representao de Funes: Tabelas, Grficos e Frmulas............................462.4 Funo Inversa .....................................................................................................482.5 Interpretao de Grficos ........................................................................................... 522.6 Interpretao de Tabelas-Clculo de contas de gua e luz........................................68

UNIDADE 3: FUNO POLINOMIAL DO PRIMEIRO GRAU........723.1 Forma Geral..................................................................................................................733.2 Inclinao da Reta e Representao Grfica..............................................................783.3 Determinao de Frmulas a partir de grficos ....................................................823.4 Aplicaes .....................................................................................................................86

Bibliografia Bsica

MEDEIROS, Irmos. Matemtica para os Cursos de Economia. Administrao e Cincias Contbeis. 5.ed. So Paulo: Atlas, 1999.

MORETTIN, Pedro A. et al. Clculo: funes de uma e vrias variveis. So Paulo: Saraiva, 2003.

VERAS, Lilia Ladeira. Matemtica Aplicada Economia. 2.ed. So Paulo: Atlas, 1998.* *Livro texto (livro adotado na disciplina)

Bibliografia Complementar

1.1 Problemas e Desafios Lgicos....................................................................................111.2 Metodologia..................................................................................................................131.3 Problemas da Verdade e da Mentira............................................................................33

ANTON, Howard. Clculo: um novo horizonte. vol. 1. 6.ed. Porto Alegre: Bookman, 2000.

DANTE, Luiz Roberto. Matemtica: contexto e aplicaes. So Paulo: tica, 2002.

FERREIRA, Rosangela Sviercoski. Matemtica Aplicada s Cincias Agrrias: Anlise de dados e modelos. Viosa: UFV, 1999.

GOLDESTEIN, Larry et al.. Matemtica aplicada: economia, administrao e contabilidade. Porto Alegre/RS: Bookman, 2000.

GONZALEZ, Norton. Questes de Raciocnio Lgico, Quantitativo e Analtico. Rio de Janeiro: Moderna, 2009.

HARIKI, Seiji; ABDOUNUR, Oscar Joo. Matemtica Aplicada: administrao, economia e contabilidade. So Paulo: Saraiva, 1999.

HOFFMANN, Laurence D. et. al. Clculo: um curso moderno e suas aplicaes. 6.ed. Rio de Janeiro: LTC, 1999.

6 Cincias Contbeis

7HUGHES-HALLET, Deborah; GLEASON, Andrew M. Clculo. vol. 1. Rio de Janeiro: LTC, 1997.

HUGHES-HALLET, Deborah et al. Clculo e aplicaes. So Paulo: Edgar Blucher, 1999.

LOCIKS, Jlio. Raciocnio Lgico e Matemtico. Braslia: Vestcon Editora, 2002.*

LARSON, Roland; HOSTETLER, Robert; EDWARDS, Bruce. Clculo com aplicaes. Rio de Janeiro: LTC, 1998.

MORGADO, Augusto C.; CESAR, Benjamin. Raciocnio Lgico-Quantitativo - Srie Provas e Concursos. 4. ed. So Paulo: Campus, 2009.

S, Ilydio Pereira. Raciocnio Lgico: Concursos Pblicos/Formao de Professores. Rio de Janeiro: Moderna, 2008.

SMULLYAN, Raymond. O enigma de Sherazade, e outros incrveis problemas das mil e uma noites lgica moderna. Rio de Janeiro: Jorge Zahar Editor, 1998.

TAHAN, Malba. O Homem que calculava. 18. ed. Rio de Janeiro: Ed. Record, 2001.

Avaliao

A EAD-UCDB acredita que avaliar sinnimo de melhorar, isto , a finalidade da avaliao propiciar oportunidades de ao-reflexo que faam com que voc possa aprofundar, refletir criticamente, relacionar idias, etc., acompanhando seu processo de aprendizagem.

Para tanto, a EAD-UCDB adota um sistema de avaliao continuada: alm das provas no final de cada mdulo (avaliao somativa), ser considerado tambm o desempenho do aluno ao longo de cada disciplina (avaliao formativa), mediante a realizao das atividades programadas para cada disciplina. Todo o processo ser avaliado, pois a aprendizagem processual.

Se o aluno limita-se realizao da prova, no ser possvel interferir no processo de aprendizagem em tempo de poder corrigir desvios, ms interpretaes, etc. Portanto, participe de todas as atividades propostas, voc s tem a ganhar!

Avaliao das atividades: para que possa se atingir o objetivo da avaliao formativa, necessrio que as atividades sejam realizadas criteriosamente, atendendo ao que se pede e tentando sempre exemplificar e argumentar, tentando relacionar a teoria estudada com a prtica.

As atividades devem ser enviadas dentro do prazo estabelecido no calendrio de cada disciplina, sendo que, as atividades enviadas fora do prazo sero aceitas nas seguintes condies:

As atividades enviadas 7 dias aps o vencimento do prazo sero corrigidas com a pontuao normal, isto , sem penalizao pelo atraso. Aps os 7 dias, o professor aplicar um desconto de 50% sobre o valor da atividade.

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8 Cincias Contbeis

CRITRIOS DE AVALIAO NO FRUM

Nvel 0

Nvel 1

Nvel 2

Nvel 3

Colocaes no pertinentes ao contedo do debate.

Levantamento de questes, proposta de discusses, expresso de acordo ou desacordo... Este tipo de participao representa pouco aprofundamento, e, portanto, representaria uma participao perifrica.

Contribuies crticas, que supe leitura e reflexo sobre as questes levantadas. Neste caso, j estamos diante de participaes significativas que supem maior aprofundamento e nvel de reflexo.

Contribuies de sntese dos contedos discutidos em que o participante demonstre uma assimilao dos contedos debatidos e associao de idias. Este seria o nvel de maior aprofundamento, pois supe que o aluno alcanou os objetivos traados: atravs da discusso com o professor e os colegas, chegar sntese pessoal sobre o tema.

No caso do frum, no calendrio aparecem duas datas: a data de incio e a data do trmino. A discusso deve acontecer entre as duas datas.

Critrios para composio da Mdia Semestral:

Para fazer a Mdia Semestral, leva-se em conta o desempenho atingido na avaliao formativa e na avaliao somativa, isto as notas alcanadas nas diferentes atividades virtuais e nas provas.

Antes do lanamento desta nota final, o professor divulgar a mdia provisria de cada aluno, dando a oportunidade de que os alunos que no tenham atingido mdia igual ou superior a 7,0 possam fazer a Prova Substitutiva (PS).

Aps a PS, o professor j far o lanamento definitivo da Mdia Semestral, seguindo o procedimento a seguir:

Quando a ferramenta para a realizao de uma atividade o Frum de Discusso, quer dizer que se pretende que todos os envolvidos (alunos e professor) debatam algum assunto do interesse da disciplina. Portanto, neste caso, no basta cada um submeter a opinio dele ou o resultado da sua pesquisa (como seria feito usando, por exemplo, a ferramenta Tarefas). Trata-se de promover uma discusso e o objetivo no ser atingido sem interagir com os outros participantes: dando sua opinio sobre as mensagens dos colegas, rebatendo idias, propondo outros pontos de vista, argumentando. Neste sentido, participaes do tipo concordo, eu tambm acho, etc. expressam uma opinio, mas no argumentam, no apresentam criticamente um pensamento e, portanto, no acrescentam muito ao debate.

Na avaliao deste tipo de atividades, o critrio de avaliao no ser a simples participao, mas tambm qual o nvel dessa participao:

9Cincias Contbeis

FAA O ACOMPANHAMENTO DE SUAS ATIVIDADES

O quadro abaixo visa ajud-lo a se organizar na realizao das atividades. Faa seu cronograma e tenha um controle de suas atividades:

A prova presencial tem peso 7,0 e as atividades virtuais tm peso 3,0. Portanto, para calcular a Mdia, usa-se o seguinte procedimento:

1. Multiplica-se o somatrio das atividades por 0,30;2. Multiplica-se a mdia das notas das provas por 0,70.

Para termos a Mdia Semestral, somam-se os dois resultados anteriores, ou seja:

MS = MP x 0, 7 + SA x 0,3 MS: Mdia SemestralMP: Mdia das ProvasSA: Somatrio das Atividades

Assim, se um aluno tirar 10 na(s) prova(s) e tiver 10 nas atividades:

MS = 10 x 0,7 + 10 x 0,3 = 7,0 + 3,0 = 10

Se a Mdia Semestral for igual ou superior a 4,0 e inferior a 7,0, o aluno ainda poder fazer o Exame. A mdia entre a nota do Exame e a Mdia Semestral dever ser igual ou superior a 5,0 para considerar o aluno aprovado na disciplina.

Avaliao Prazo* Data de Envio**

Atividade 1.1Ferramenta: Questionrio

AtividadeFerramenta:

1.2Questionrio


1.3Questionrio


1.4Questionrio


1.5Questionrio


1.6Questionrio

10 Cincias Contbeis

* Coloque na segunda coluna o prazo em que deve ser enviada a atividade (consulte o calendrio disponvel no ambiente virtual de aprendizagem).** Coloque na terceira coluna o dia em que voc enviou a atividade.


3.5Questionrio


3.2Questionrio


3.3Questionrio


3.4Questionrio


2.1Questionrio


2.2Questionrio


2.3Questionrio


2.5Questionrio


3.1Questionrio


2.4Questionrio

Avaliao Prazo* Data de Envio**

11Cincias Contbeis

1.1 Problemas e Desafios Lgicos

Segundo Polya (1944):

Uma grande descoberta resolve um grande problema, mas h sempre uma pitada de descoberta na resoluo de qualquer problema. O problema pode ser modesto, mas se ele desafiar a curiosidade e puser em jogo as faculdades inventivas, quem o resolver por seus prprios meios, experimentar a tenso e gozar o triunfo da descoberta. Experincias tais, numa idade suscetvel, podero gerar o gosto pelo trabalho mental e deixar, por toda a vida, a marca na mente e no carter.

1.1.1 A quem interessa a lgica?

Em primeiro lugar, lgica no psicologia. Ela no descreve o que as pessoas pensam, ou como uma pessoa chega a uma determinada concluso, o que ela faz sugerir uma linha de pensamento de modo a colaborar a raciocinar corretamente, deste modo ela sugere caminhos que uma pessoa deve seguir para alcanar concluses corretas.

A lgica se relaciona com todo pensamento; ela fundamental para todas as disciplinas e qualquer formao, e isso no inclui apenas a matemtica, mas pode auxiliar em qualquer disciplina relacionada contabilidade e administrao.

O estudo da lgica interessa a todos. No dia a dia, vivemos constantemente argumentando, ora tentando convencer os outros de nossas concluses, ora sendo levados a concordar com nossos interlocutores.

UNIDADE 1

LGICA APLICADA

OBJETIVO DA UNIDADE:

Ensinar Matemtica atravs de desafios; Motivar o interesse e a curiosidade; Ampliar o raciocnio lgico; Desenvolver a criatividade; Melhorar a interpretao de texto; Propor idias criativas; Aumentar a a t e n o e a c o n c e n t r a o ; D e s e n v o l v e r a n t e c i p a o e estratgia; Trabalhar a ansiedade; Estimular a discusso e o uso de estratgias matemticas; Reduzir a descrena na autocapacidade de realizao.

S

No meio da aldeia, h duas cabanas rigorosamente idnticas. Dentro de uma delas o espera Masfis. A outra, no entanto, apenas recobre um poo habitado por jacars ferozes, capazes de devorar qualquer um que ultrapasse a entrada.

Cada cabana tem apenas uma porta, permanentemente fechada e vigiada por um ndio, que conhece perfeitamente o contedo da cabana que vigia.

Totelesris deve escolher uma das cabanas e entrar: se encontrar a sua amada, poder casar-se com ela; se entrar na dos jacars, ser devorado instantaneamente. Antes de realizar sua escolha, ele ter permisso de fazer uma nica pergunta ao ndio que guarda a porta de uma das cabanas.

Mas Totelesris deve ainda levar em conta outro pormenor: um dos guardas mente sempre, enquanto o outro s fala a verdade.

12 Cincias Contbeis

1.1.2 Raciocnio Lgico

O raciocnio lgico uma ferramenta indispensvel para a realizao de muitas tarefas especficas em quase todas as atividades humanas, pois fundamental para a estruturao do pensamento na resoluo de problemas.

Se nos mantivermos atentos, por exemplo, unicamente s mensagens publicitrias que enchem as ruas e invadem nossas casas, j teremos muitas oportunidades para exerccios de raciocnio lgico.

Quer ver? A histria abaixo confirma essa necessidade.

Problema Motivacional:

Segundo a tradio da tribo logicaets, ao atingirem a idade adequada para o casamento, os homens devem submeter-se a uma prova de competncia lgica. Somente os que superam este obstculo tm permisso para casar-se. A prova sempre decisiva: venc-la a certeza da glria; perd-la significa o fim das esperanas.

Totelesris, um jovem ndio desta tribo, caiu de amores pela bela Masfis. Desejando casar-se com ela, viu chegar a sua vez de enfrentar a prova pr-nupcial. A ele foi proposto o seguinte desafio:

Baseado na resposta de um desses guardas, Totelesris dever decidir-se por uma das cabanas. Como ele deve proceder para no ser devorado pelos jacars? Que pergunta ele deve fazer a um dos ndios para ter certeza de que cair nos braos de Masfis? Parece que no h mesmo sada, no mesmo? No entanto, voc pode estar certo de que possvel encontrar a cabana de Masfis fazendo uma s pergunta a um dos guardas, mesmo sem saber se este guarda diz a verdade ou mente. Vamos raciocinar juntos e ajudar Totelesris a se livrar dos dentes dos jacars.

13Cincias ContbeisComecemos chamando de M o ndio mentiroso e de V o que s diz a

verdade. Se perguntssemos a qualquer um deles: Em que cabana se encontra Masfis? M mentiria e V indicaria a cabana certa. Mas como descobrir quem est falando a verdade? Por esse caminho no chegaremos a nenhuma concluso.

E se fizssemos a seguinte pergunta a cada um deles: Se eu perguntasse ao seu colega qual a cabana de Masfis, o que ele responderia? Vamos ver a resposta de cada um:

1. Se a pergunta fosse feita ao mentiroso: Como V indicaria corretamente a cabana de Masfis, M mentiria dizendo que V indicou a cabana dos jacars.

2. Se a pergunta fosse feita ao guarda que s diz a verdade: Como M mentiria, indicando a cabana dos jacars, V responderia a verdade, indicando a mesma cabana apontada pelo mentiroso, a dos jacars.

Ora, vejam s! Fazendo essa pergunta a qualquer um dos guardas, obteremos sempre uma nica indicao: a cabana dos jacars.

lgico, ento, que Totelesris dever entrar na outra cabana para encontrar sua Masfis. Este desafio, ento, j foi vencido. Veja que usando o raciocnio lgico poupamos Totelesris de ser devorado pelos jacars.

Mas, e se o desafio fosse descobrir qual dos ndios sempre mente e qual sempre diz a verdade, que pergunta deveria ser feita?

Utilizando a mesma linha de raciocnio, Totelesris poderia fazer a seguinte pergunta a qualquer um dos ndios: Se eu perguntasse para o seu colega se ele fala a verdade, ele responderia que sim ou que no? Vamos ver a resposta de cada um:

1. Se a pergunta fosse feita ao mentiroso: Como V responderia que sim, M mentiria dizendo que V responderia que no.

2. Se a pergunta fosse feita ao guarda que s diz a verdade: Como M mentiria, respondendo que sim, V responderia a verdade, respondendo que sim.

Deste modo, Totelesris saberia que se a resposta fosse no, ento o ndio na qual a pergunta foi feita o mentiroso, entretanto, se a resposta fosse sim, esse ndio seria o nico que fala a verdade.

1.2 Metodologia

Para desenvolver o raciocnio fundamental permitir que voc (aluno) escolha livremente o mtodo (caminho) que deseja utilizar, afinal a explicao prvia para um problema de raciocnio lgico retira a possibilidade de algum pensar por si mesmo, aumentando as chances de voc apresentar grandes dificuldades para resolver os prximos problemas. Deste modo, este material ser composto por poucos problemas contendo uma resoluo detalhada por escrito, entretanto, ser apresentada uma srie de exerccios propostos cuja soluo ser disponibilizada atravs de vdeoaulas, sendo sugerido que voc tente resolver antes de acessar ao vdeo contendo a resoluo.

Como sugesto de etapas para uma melhor metodologia para resolver um problema, se sugere primeiramente a realizao de uma leitura detalhada dos enunciados dos exerccios, para em seguida, iniciar o processo de busca da soluo. Quando esta no atingida, necessria uma leitura mais atenta, para que voc possa identificar algum detalhe que no foi percebido anteriormente e assim, chegar soluo mais adequada.

Usando essa metodologia na resoluo de exerccios de raciocnio, voc pode estruturar e dar ordem ao seu pensamento, conseguindo atingir um nvel de abstrao mais elevado.

Pensando nesta metodologia, sugiro mais uma vez que voc tente resolver os problemas abaixo antes de consultar a explicao do problema.

14 Cincias Contbeis

Confuso com os professores

Ramirez aprontou uma baita confuso: trocou as caixas de giz e as papeletas de aulas dos professores Jlio, Mrcio e Roberto. Cada um deles ficou com a caixa de giz de um segundo e com a papeleta de aulas de um terceiro. O que ficou com a caixa de giz do professor Mrcio est com a papeleta de aulas do professor Jlio. Portanto:

a) Quem est com a papeleta de aulas do Roberto o Mrcio.b) Quem est com a caixa de giz do Mrcio o Jlio.c) Quem est com a papeleta de aulas do Mrcio o Roberto.d) Quem est com a caixa de giz do Jlio o Roberto.e) O que ficou com a caixa de giz do Jlio est com a papeleta de aulas do Mrcio

Soluo:Para ter uma viso melhor dos dados deste problema, sugere-se a montagem

de uma tabela. Veja:

Fonte: http://migre.me/69GE3

NOMEJLIO

MRCIOROBERTO

CAIXA DE GIZ PAPELETAS DE AULA

NOME

NOME

JLIO

JLIO

MRCIO

MRCIO

ROBERTO

ROBERTO

CAIXA DE GIZ

CAIXA DE GIZ

PAPELETAS DE AULA

PAPELETAS DE AULA

Lembre-se que Ramirez aprontou uma baita confuso trocando as caixas de giz e as papeletas de aulas dos professores, ficando cada um deles com a caixa de giz de um segundo e com a papeleta de aulas de um terceiro, logo nenhum deles possui um objeto prprio. O enunciado ainda informa que o que ficou com a caixa de giz do professor Mrcio est com a papeleta de aulas do professor Jlio; qual o nico professor que poderia ter ficado com este material? Resposta, Roberto. Vamos ento inserir este dado na tabela:

MRCIO

MRCIO

JLIO

JLIO

Pensando no material que est com o professor Jlio, podemos deduzir que no a caixa de giz do Mrcio, afinal este material est com o Roberto, deste modo, como Jlio deve ter em mos algo do Mrcio, este s pode ser suas papeletas de aula, assim sendo, para ter algo do Roberto, s poderia ser sua caixa de giz. Vamos ento inserir este dado na tabela:

ROBERTO MRCIO

Exemplo 1

VDEOVDEO

15Cincias ContbeisPor eliminao, Mrcio s poderia ter ficado com a caixa de giz do Jlio e a papeletas de aula do Roberto, que so os nicos materiais que esto sobrando. Deste modo, podemos terminar nossa tabela:

NOMEJLIO

MRCIOROBERTO

CAIXA DE GIZ PAPELETAS DE AULA

MRCIO JLIO

ROBERTOROBERTOMRCIO

JLIO

Analisando as alternativas conclui-se que a correta a A: Quem est com a papeleta de aulas do Roberto o Mrcio.

Observao: O recurso que foi utilizado neste problema: a montagem de uma tabela, pode ser usado em muitos outros, basta perceber a necessidade de se ter uma viso melhor dos dados do enunciado.

Que nmero Joo pensou?

Joo e um grupo de amigos gostam de se reunir para fazer jogos de adivinhao. Numa dessas reunies, Joo pensa em um nmero de quatro algarismos distintos e informa ao grupo que esse nmero obedece as seguintes condies:

- no tem algarismos em comum com 3.658;- tem trs algarismos em comum com 6.194;- tem dois algarismos em comum com 3.940. Nos dois nmeros, esses algarismos ocupam as mesmas posies;tem um s algarismo em comum com 7.831, mas a posio do algarismo comum nos dois nmeros diferente.

Com essas informaes, o grupo j sabe qual o Fonte: http://migre.me/69GoI

nmero escolhido por Joo. Agora descubra voc, qual o nmero escolhido por Joo?

Soluo:Para resolver este desafio, escreveremos todos os algarismos: 0 1 2 3 4

5 6 7 8 9 e, em seguida, analisaremos cada uma das condies:

1 condio: No tem algarismos em comum com 3.658.Elimina-se: 3, 6, 5 e 8. Sobram ento: 0 1 2 4 7 9

2 condio: Tem trs algarismos em comum com 6.194.1, 9 e 4 so algarismos do nmero pensado porque 6 j tinha sido eliminado,

mas ainda falta um algarismo. 3 condio: Tem dois algarismos em comum com 3.940. Nos dois nmeros, esses algarismos ocupam as mesmas posies.

9 e 4 so algarismos comuns e ento elimina-se tambm o zero e j garante que o 9 ocupa a casa das centenas e o 4 das dezenas e portanto o 1 pode ser milhar ou unidade. Para o ltimo algarismo, restam as opes: 2 ou 7.4 condio: Tem um s algarismo em comum com 7.831, mas a posio do algarismo comum nos dois nmeros diferente.

1 o nico algarismo comum e como ele ocupa uma posio diferente, ento o 1 o algarismo do milhar. Descartando o 7, sobra apenas o 2 para ocupar a posio das unidades.

Concluso: O nmero pensado por Joo 1942.

Exemplo 2

VDEOVDEO

16 Cincias Contbeis Teste de Admisso

Uma empresa estava contratando um novo funcionrio e uma das provas da seleo era responder a seguinte questo por escrito:

"Voc est dirigindo seu carro numa perigosa noite de tempestade. Passa por um ponto de nibus e v trs pessoas esperando por ele:

uma velha senhora que parece estar beira da morte; um mdico que salvou sua vida no passado; a pessoa que habita seus sonhos.

Voc s pode levar uma pessoa no carro. Quem voc escolhe? Justifique sua resposta.

Comentrio: Este teste bem interessante. um tipo de teste de personalidade em que cada resposta possvel tem um significado. Voc poderia pegar a velha senhora que estava para morrer. Ficaria com a conscincia tranquila. Ou voc pegaria o mdico, porque ele salvou sua vida no passado, e esta seria a chance perfeita para retribuir este favor. No entanto, voc ainda poderia saldar esta dvida em uma outra ocasio, mas talvez no pudesse encontrar mais o amor da sua vida se deixasse passar essa chance.

Soluo: "Entregar a chave do carro para o mdico, deixar ele levar a velha senhora para o hospital e ficar esperando pelo nibus com a pessoa dos meus sonhos".

Concluso: s vezes, ganharamos muito mais se estivssemos dispostos a abrir mo de nossas teimosas limitaes!

Fonte: http://migre.me/69GxR

Escolha de Sapatos

H dez pares de sapatos vermelhos, dez pares de sapatos azuis, dez pares de sapatos brancos e dez pares de sapatos verdes numa gaveta.

Problema 1: Se voc introduzir a mo na gaveta no escuro, qual o menor nmero de sapatos que voc tem que tirar para ter a certeza de que tirou dois sapatos da mesma cor?

Problema 2: E para ter a certeza de que tirou um par (esquerda e direita) da mesma cor?

Fonte: http://migre.me/69GjO

Soluo: Para ter a certeza de que voc tirou dois sapatos da mesma cor so necessrias cinco retiradas. Note que se voc tirar at quatro sapatos, nada garante que voc j tirou dois sapatos da mesma cor, pois os quatro sapatos poderiam ter cores diferentes, entretanto, se ele retirar mais um sapato, certamente ele ser de alguma cor que j apareceu anteriormente, logo a resposta cinco. A quinta cor ter que combinar com uma das quatro j retiradas.

Para ter a certeza de que voc tirou um par de sapatos da mesma cor so necessrias quarenta e uma retiradas. Imagine que pode acontecer de voc retirar sapatos de um mesmo lado de cada uma das cores, isso totalizaria at 40 possibilidades e voc ainda no teria retirado um par (esquerda e direita) da mesma cor, mas se voc retirar mais um, com certeza esse far par com alguma cor anterior.

Esse problema bem mais simples, mas ainda assim muitos diriam que necessrio retirar 61 sapatos, o que na verdade um grande absurdo, pois seriam 61 sapatos, caso o problema pedisse para retirar pelo menos um sapato de cada cor e 71 caso o objetivo fosse o de retirar pelo menos um par de sapatos de cada cor. Neste tipo de problema, pense sempre na pior possibilidade, pois este raciocnio que vai garantir o nmero mnimo de possibilidades necessrias para se alcanar um determinado objetivo.

Exemplo 4

Exemplo 3

VDEOVDEO

VDEOVDEO

17Cincias Contbeis

Quais so os nmeros das cartas?

H trs cartas viradas sobre uma mesa. Sabe-se que em cada uma delas est escrito um nmero inteiro positivo. So dadas a Carlos, Samuel e Toms as seguintes informaes:

- todos os nmeros escritos nas cartas so diferentes;- a soma dos nmeros 13;- os nmeros esto em ordem crescente, da esquerda para a direita.

Fonte: http://migre.me/69GsH

Primeiro Carlos olha o nmero na carta da esquerda e diz: "No tenho informaes suficientes para determinar os outros dois nmeros." Em seguida, Toms olha o nmero na carta da direita e diz: "No tenho informaes suficientes para determinar os outros dois nmeros." Por fim Samuel olha o nmero na carta do meio e diz: "No tenho informaes suficientes para determinar os outros dois nmeros." Sabendo que cada um deles sabe que os outros dois so inteligentes e escuta os comentrios dos outros, qual o nmero da carta do meio?

Soluo: Escrevendo todas as combinaes possveis que contemplam as condies do problema, ou seja, nmeros inteiros diferentes que somam 13 e esto em ordem crescente da esquerda para a direita, temos:

(1, 2, 10) (2, 3, 8) (3, 4, 6) (1, 3, 9) (2, 4, 7)

(1, 4, 8) (2, 5, 6) (1, 5, 7)

O 1 menino quando ergueu a carta da esquerda, por no ter dados suficientes para responder, ou pegou 1 ou 2, portanto o termo (3,4,6) j eliminado, isso porque este o nico caso em que a carta da esquerda no se repete e se Carlos tivesse visto o 3, ele teria respondido: J sei os nmeros das trs cartas, deste modo, ele no expressaria dvidas.

O 2 menino, quando ergueu a carta da direita, por no ter dados suficientes para responder, ou pegou 8 ou 7, portanto elimina-se (1, 2, 10), (1, 3, 9), (2, 5, 6), pois os nmeros 10, 9 e 6 aparecem uma nica vez, restando as opes (1, 4, 8), (2, 3, 8), (1, 5, 7), (2, 4, 7), isso porque nestes quatro ltimos casos a carta da direita gera dvida: o 8 e o 7 aparecem duas vezes, no sendo possvel que Toms determine os trs nmeros.

O 3 menino ao levantar a carta do meio, respondeu que no tinha dados suficientes para descobrir, logo ele no tirou o 3 nem o 5, pois neste caso ele saberia quais eram os outros nmeros e diria: J sei os nmeros das trs cartas. Como no foi esta a sua reao, ele com certeza viu o nmero 4, restando essas duas ltimas opes: (1, 4, 8) e (2, 4, 7).

Como sobraram apenas as opes (1, 4, 8) e (2, 4, 7), a carta do meio quatro.

Vale ressaltar que se o problema perguntasse o nmero das trs cartas, no teria sido possvel apresentar uma nica resposta.

Exemplo 5

VDEOVDEO

18 Cincias Contbeis Floresta com um milho de rvores

Uma floresta tem um milho de rvores. Nenhuma das rvores tem mais de 300 mil folhas em sua copa. Pode-se concluir que:

a) Certamente existem rvores com copas de mesmo total de folhas nessa floresta.b) Somente por acaso haver rvores com copas de igual total de folhas na floresta.c) Certamente existem rvores com menos de 300 mil folhas em sua copa.d) O nmero mdio de folhas nas copas de 150 mil.e) Nada do que foi dito pode ser concludo dos dados apresentados.

Vamos tentar imaginar uma floresta sem ter rvores de igual nmero de folhas, ou seja, rvores com copas de diferentes totais de folhas.

Teremos 300.001 tipos diferentes de copas de rvore: uma copa nula (sem nenhuma folha), outra s com 1 folha, outra com 2 folhas, ... , outra com 299.999 folhas e, finalmente, uma com 300.000 folhas (limite apresentado pelo enunciado). Fonte: http://migre.me/69Ghd

Para at 300.001 rvores poderemos encontrar copas distintas. Se considerarmos uma rvore alm dessas, ela s poder ter uma das seguintes copas: com 0 folha, ou com 1 folha, ou com 2 folhas, ou ... com 300.000 folhas. A repetio inevitvel! Teremos assim, pelo menos, 1.000.000-300.001= 699.999 rvores com copas que repetem o nmero de folhas de outras rvores, obrigatoriamente.

Uma resposta muito comum a (c), que seria errada. O engano que leva tantas respostas para uma alternativa errada o de considerar que "nenhuma das rvores tem mais de 300 mil folhas em sua copa" leva concluso de que "certamente existem rvores com menos de 300 mil folhas em sua copa" . Na verdade, se todas as copas tivessem 300 mil folhas, elas estariam dentro da condio proposta pelo enunciado (mesmo que essa ocorrncia fosse muito improvvel.).

Esse problema envolve o chamado Princpio da Casa dos Pombos (se tivermos mais pombos do que casas para abrig-los, algumas casas tero necessariamente de ser compartilhadas por mais de um pombo).

Um caso prtico: no vestibular com 140 mil candidatos e 160 testes, obrigatoriamente haver milhares de empates (h apenas 161 pontos distintos). Muitos empates tambm ocorrem necessariamente em provas escritas. A segunda fase chega a ter 15 mil candidatos por carreira e 41 pontos possveis por prova (10 questes e 1/4 de acerto possvel em cada uma). A existncia de empates no uma casualidade (como no outro tipo de empate - aquele dos jogos entre times) - ela logicamente inevitvel.

O objetivo dos exerccios a seguir que voc treine o seu raciocnio sem ser avaliado, apenas como treinamento para habilitar voc a fazer corretamente as atividades, que sim sero avaliadas.

A metodologia sugerida para os exerccios propostos : - em primeiro lugar tente resolver o exerccio proposto sozinho;- caso voc no tenha conseguido chegar resposta correta na primeira

tentativa, volte ao enunciado do exerccio e tente uma nova estratgia;- se aps a segunda tentativa, voc ainda no tiver chegado na resposta

correta, esta aparecer automaticamente para voc;- tenha acertado ou no, assista ao vdeo do professor correspondente ao

exerccio. No vdeo, o professor apresenta uma maneira de chegar ao resultado que poder ser diferente da utilizada por voc. Pois, na realidade, no existe apenas um procedimento ou caminho adequado. So mltiplas as possibilidades para se chegar soluo. Nesse sentido, interessante que, mesmo tendo atingido o resultado, voc sempre assista aos vdeos para contrastar sua lgica com a lgica do professor (lembre que as duas podem estar corretas!!!).

Exemplo 6

VDEOVDEO

19Cincias Contbeis

Exerccio 1

1. Uma lanchonete possui, dentre homens e mulheres, oito funcionrios. Das afirmaes abaixo, referentes aos funcionrios dessa lanchonete, a nica necessariamente verdadeira :

a) Pelo menos um deles nasceu no ms de novembro ou dezembro.b) Pelo menos trs deles so do sexo masculino.c) Pelo menos dois deles nasceram no mesmo dia da semana.d) Pelo menos um deles tem mais de 60 kg.e) Pelo menos quatro deles nasceram num dia mpar.

2. O Sr. e a Sra. Souza tm sete filhas, e cada filha tem um irmo. Quantas pessoas h na famlia Souza?

a) 8b) 9c) 10d) 14 e) 16

3. Observe a sequncia de tringulos equilteros.

Os nmeros associados a cada um desses tringulos so chamados de nmeros triangulares. Desse modo, podemos dizer que o stimo termo dessa sequncia :

a) 15b) 21c) 28d) 32e) 36

4. Todos os primognitos da famlia Bragana tm olhos verdes. Eduardo tem olhos castanhos. Ento, pode-se afirmar que:

a) Eduardo pertence famlia Bragana.b) Eduardo no pertence famlia Bragana.c) Eduardo pertence famlia Bragana e primognito.d) Se Eduardo primognito, ento pertence famlia Bragana.e) Se Eduardo pertence famlia Bragana, ento no primognito.

5. Ao se escreverem os nmeros de 1 a 50, o algarismo 3 utilizado:

a) 5 vezesb) 10 vezesc) 12 vezesd) 15 vezese) 16 vezes

Verifique seu aprendizado realizando os exerccios no Ambiente Virtual de Aprendizagem.

1 3 6 10

VDEOVDEO

20 Cincias ContbeisExerccio 2

1. Aldo, Lucas e Osmar saram para passear de bicicleta. Em um certo momento, eles trocaram as bicicletas e os bons entre si. Isto , cada um passeia agora com a bicicleta de um segundo e o bon de um terceiro. O que est com o bon de Osmar est com a bicicleta de Lucas. Ento:

a) Osmar est com o bon de Aldo.b) Lucas est com a bicicleta de Aldo.c) Aldo est com a bicicleta de Osmar.d) Osmar est com a bicicleta de Aldo.e) Lucas est com o bon de Osmar.

2. H dez pares de sapatos vermelhos, dez pares de sapatos azuis, dez pares de sapatos brancos e dez pares de sapatos verdes numa gaveta. Se voc introduzir a mo na gaveta no escuro, qual o menor nmero de sapatos que voc tem que tirar para ter a certeza de que tirou pelo menos um par de sapato de cada cor?

a) 71b) 62c) 44d) 42e) 8

Considere as informaes do texto abaixo para responder s questes 3 e 4:Os sobrenomes de Ana, Beatriz e Carla so Arantes, Braga e Castro, mas no necessariamente nesta ordem. A de sobrenome Braga, que no Ana, mais velha que Carla e a de sobrenome Castro a mais velha das trs.

3. Os sobrenomes de Ana, Beatriz e Carla so, respectivamente:

a) Arantes, Braga e Castro.b) Arantes, Castro e Braga.c) Castro, Arantes e Braga.d) Castro, Braga e Arantes.e) Braga, Arantes e Castro.

4. Nomeando-as em ordem crescente de idade, teremos:

a) Ana, Beatriz e Carla. b) Carla, Ana e Beatriz.c) Beatriz, Carla e Ana. d) Ana, Carla, Beatriz.e) Carla, Beatriz e Ana.

5. Qual a menor soma que se pode ter numa adio em que as duas parcelas so nmeros de trs algarismos, e os seis algarismos dessas parcelas so todos diferentes?

a) 579b) 447c) 348d) 325e) 339


VDEOVDEO

21Cincias Contbeis

Exerccio 3

1. Os produtos: arroz, farinha, fub, sal e acar esto distribudos em uma prateleira de um supermercado. Sabendo-se que:I. Dois produtos separam a farinha do fub.II. O arroz est esquerda da farinha.III. O sal e o acar esto juntos.IV. O acar est to prximo do arroz como do fub.Pode-se afirmar que a sequncia dos produtos da esquerda para a direita :

a) Acar, farinha, fub, sal e arroz.b) Acar, farinha, sal, arroz e fub.c) Farinha, arroz, sal, fub e acar.d) Arroz, farinha, fub, sal e acar.e) Arroz, farinha, acar, sal e fub.

2. Sabe-se que a bandeira da Alemanha tem as cores preta, vermelha e amarela; a da Litunia, amarela, verde e vermelha; e a da Frana, azul, branca e vermelha. Representando as cores da bandeira com as letras do alfabeto, no necessariamente na sequncia colocada, tem-se que a bandeira da Alemanha BEF; a da Litunia, ABE; e a da Frana, BCD. Ento, as letras que representam a bandeira do Brasil :

a) ABCD.b) ABDE.c) ACDE.d) ACDF.e) BCDE.

3. Sobre uma mesa esto trs caixas: uma azul, uma vermelha e uma branca; e trs objetos: um colar, um anel e uma pulseira. Cada um dos objetos est em uma caixa diferente. Sabe-se que a caixa azul est direita da caixa vermelha, o colar est esquerda da pulseira e a caixa vermelha est direita do anel. Ento, pode-se afirmar que:

a) O anel est na caixa branca.b) O colar est na caixa azul.c) A pulseira est na caixa vermelha.d) O anel est na caixa azul.e) O colar est na caixa branca.

4. Lcia tem trs tipos de calados: uma bota, um sapato e uma sandlia. Um dos calados branco, o outro preto e outro vermelho. Sabe-se que:I. Ou a bota preta ou o sapato preto.II. Ou a bota branca ou a sandlia vermelha.III. Ou a sandlia branca ou o sapato branco.Ento, as cores da bota, do sapato e da sandlia so, respectivamente:

a) Branca, preta e vermelha.b) Branca, vermelha e preta.c) Vermelha, preta e branca.d) Preta, vermelha e branca.e) Preta, branca e vermelha.

continua

VDEOVDEO

22 Cincias Contbeis5. Numa escola, foi organizada uma gincana entre os alunos. O nmero de equipes participantes fixo. Se tiverem 4 alunos em cada equipe, 10 alunos deixariam de participar, mas se tiverem 7 alunos em cada equipe, 2 equipes seriam desfeitas. O nmero de alunos que iro participar dessa gincana :

a) 48b) 60c) 56d) 42e) 64


Exerccio 4

1. Complete a sequncia 551011131725.... com mais quatro algarismos.

a) ....3237b) ....3753c) ....4173d) ....3543e) ....4159

2. Um labirinto tem sua estrutura constituda de 26 espaos quadrados identificados pelas letras de A a Z e de uma entrada e de uma sada como no quadro apresentado a seguir. A nica regra que algum precisa seguir para se deslocar no labirinto, comeando pela entrada, a de nunca passar pela mesma letra. Consideremos os seguintes enunciados:

I. O caminho mais longo da entrada at a sada envolve passar pela letra B.II. O caminho mais curto da entrada at a sada envolve passar pela letra I.III. No se chega sada passando pela letra S.IV. No h dois caminhos diferentes, desde a entrada at a sada, que usam o mesmo nmero de letras.V. H, pelo menos, dois enunciados anteriores verdadeiros.VI. H, pelo menos, trs enunciados anteriores verdadeiros.

Podemos afirmar que:a) Apenas os enunciados I e IV so falsos. b) Apenas o enunciado IV falso.c) Todos os enunciados so verdadeiros.d) Apenas o enunciado I falso.e) Apenas os enunciados V e VI so falsos.

continua

VDEOVDEO

23Cincias Contbeis

3. Mateus e Lucas apostam uma corrida. Mateus corre a metade do tempo e anda a outra metade. Lucas corre a metade da distncia e anda a outra metade. Se ambos correm e andam com as mesmas velocidades, ento correto afirmar que:

a) Mateus chegar primeiro ao final do percurso.b) Lucas chegar primeiro ao final do percurso.c) Mateus e Lucas chegaro juntos ao final do percurso.d) Mateus e Lucas chegam metade do percurso.e) Na metade do percurso, Lucas estar na frente de Mateus.

4. Em um armazm existem trs caixas fechadas, cada uma delas com uma etiqueta de identificao do seu contedo. Uma delas contm somente mas, a outra somente peras, e a terceira, mas e peras. Nenhuma das caixas est com a etiqueta de identificao do contedo correta. A quantidade mnima de fruta que deve ser retirada de uma das caixas para colocar as etiquetas de identificao corretamente :

a) Uma fruta da caixa com a etiqueta mas.b) Uma fruta da caixa com a etiqueta peras.c) Uma fruta da caixa com a etiqueta mas e peras.d) Duas frutas da caixa com a etiqueta mas e peras.e) Trs frutas da caixa com a etiqueta mas e peras.

5. Um ladro encontrou uma gaveta cheia de diamantes. Sua primeira ideia foi lev-los todos, mas foi incomodado por sua conscincia e decidiu-se contentar-se apenas com a metade, entretanto, para ter mais diamantes que o dono da loja ele resolveu levar mais 1 diamante. Estranhamente, poucos minutos depois, um segundo ladro entrou na loja e pegou a metade dos diamantes restantes e mais um. Depois um terceiro ladro entrou na loja e pegou metade dos diamantes que restavam e mais um. Depois entrou um quarto ladro, pegando metade do resto e mais um. Depois um quinto que no pegou nada porque todos os diamantes tinham sido levados. Quantos diamantes havia inicialmente na gaveta, antes do primeiro ladro entrar na loja?

a) 24b) 30c) 32d) 36e) 40


VDEOVDEO

24 Cincias Contbeis

Pode-se ento afirmar que os valores de x e y so respectivamente:

a) 11, 21b) 10, 24c) 11, 24d) 10, 21e) 11, 22

2. Meu relgio atrasa 96 minutos a cada dia. Se ele mostra a hora correta s 2 horas da madrugada, ento a hora certa quando o relgio mostra 4 horas da tarde do mesmo dia :

a) 4h56min da tarde.b) 5h da tarde.c) 5h20min da tarde.d) 5h55minda tarde.e) 5h14min da tarde.

3. Para uma espcie de inseto, o tempo de vida contado em dias, devido ao seu curto perodo de existncia. Nasce uma colnia por dia e essas colnias so numeradas na sequncia de cada nascimento. Sabendo-se que, quando a colnia nmero 2.134 nasceu, a de nmero x tinha o dobro da idade da colnia de nmero 2.125 e que a colnia de nmero x morreu quando a de nmero 2.137 nasceu, conclui-se que o perodo de existncia das colnias de:

a) 17 diasb) 18 diasc) 19 diasd) 20 diase) 21 dias

1 2 3 4 5 6 4. Voc j sabe que 2 = 2, 2 = 4, 2 = 8, 2 = 16, 2 = 32, 2 = 64 e assim por 99diante. Qual o ltimo dgito do nmero 2 ?

a) 2b) 8c) 6d) 7e) 4

VDEOVDEO

continua

Exerccio 5

1. Em cada um dos pares abaixo, os nmeros direita so obtidos dos nmeros esquerda por uma frmula matemtica simples, que a mesma em cada linha. (8, 23), (3, 13), (11, 29), (2, x) (6, 10), (5, 8), (17, 32), (12, y)

hora de trabalhar!

25Cincias Contbeis

5. Na Amaznia, vivem as tribos dos Ona, dos Jacar e dos Boto. Sabe-se que.- Um homem Ona s pode se casar com uma mulher Jacar.- Um homem Jacar s pode se casar com uma mulher Boto. - Um homem Boto s pode se casar com uma mulher Ona. Alm disso, sabe-se que:- Os filhos de um homem Ona passam a pertencer tribo dos Boto.- Os filhos de um homem Boto passam a pertencer tribo dos Ona. - Os filhos de um homem Jacar passam a pertencer tribo do Pai.Sabe-se, tambm, que cada ndio pertence a uma nica tribo.Assim sendo, correto afirmar que, se Peri Boto, a filha do irmo da sua me:

a) Boto, com certeza. b) Jacar, com certeza.c) Ona com certeza.d) Pode ser Boto ou Jacar, dependendo das circunstncias. e) Pode ser Ona ou Boto, dependendo das circunstncias.


1. Trs escritores -Cludio, Jorge e Flvio- viajam em uma mesma cabine de trem. Eles escrevem livros de reas diferentes: fico cientfica, histria e filosofia, no necessariamente nessa ordem. Cada um deles est lendo um livro escrito por um dos outros dois. No h dois deles lendo livro do mesmo autor. Cludio est lendo um livro sobre a histria das civilizaes nrdicas e est sentado em frente ao escritor de fico cientfica. Flvio est sentado ao lado do autor de livros sobre filosofia e l um livro de fico cientfica.

O que se pode garantir dessas afirmaes que:

a) Jorge est lendo um livro sobre filosofia.b) Flvio escreve sobre filosofia.c) Jorge escreve sobre filosofia.d) Cludio escreve sobre fico cientfica.e) Jorge escreveu um livro sobre histria das civilizaes nrdicas.

Atividade 1.1

continua

26 Cincias Contbeis

2. H dez pares de sapatos vermelhos, dez pares de sapatos azuis, dez pares de sapatos brancos e dez pares de sapatos verdes numa gaveta. Se voc introduzir a mo na gaveta no escuro, qual o menor nmero de sapatos que voc tem que tirar para ter a certeza de que tirou pelo menos um sapato de cada cor?

a) 4b) 11c) 31d) 41e) 61

3. Nathalie pede a suas trs irms que sentem-se no sof da sala para tirar uma foto. Do ponto de vista da fotgrafa, tem-se que: a de vestido vermelho senta-se esquerda da de blusa branca, mas no necessariamente a seu lado; Bruna senta-se direita de Mriam; Sofhia senta-se esquerda da que veste um conjuntinho azul e esta, esquerda da que est de blusa branca. Na foto, que ficou linda, podemos ver:

a

4. Em um campeonato de futebol, nove clubes -A, B, C, D, E, F, G, H e I- encontram-se inscritos. O campeonato consiste na formao de trs chaves de trs clubes para a primeira rodada, seguindo para a semifinal trs clubes, formando uma chave, e, para a final, dois clubes, de onde sai o campeo (obs.: cada time joga com todos os demais da sua respectiva chave). Sabe-se que F foi campeo e que jogou com D duas vezes, que E jogou com B e com H uma vez, que C jogou com I e os dois foram desclassificados j na primeira rodada e que D jogou com A. A formao das trs chaves :

a) DAG, FCI e EBHb) DBH, FAG e ECIc) EBH, ACI e DGFd) GCI, EBH e DAFe) FDG, ABH e CEI

) Mriam vestindo uma blusa branca.b) Sofhia de conjuntinho azul.c) Bruna de vestido vermelho.d) Mriam sentada entre Sofhia e Bruna.e) Sofhia sentada direita das outras duas.

continua

27Cincias Contbeis

5. No pas dos quadrados, para significar 58, escreve-se:

Para significar 635, escreve-se:

Responda: O que significa quando escreve como se v abaixo?

a) 5.432b) 50.432c) 500.432d) 54.032e) 54.302

Submeta a atividade por meio da ferramenta Questionrio.

5

8

3 5

6

3 2

4 5

hora de trabalhar!

28 Cincias Contbeis

1. Uma pessoa com 85 kg, considerando-se obesa, consulta um nutricionista e aconselhada a fazer uma dieta para perder 0,5 kg por semana. O grfico seguinte apresenta a situao real do emagrecimento durante as quatro primeiras semanas da dieta.

I. Na 2 semana no perdeu peso.II. Ao final da 3 semana tinha perdido exatamente 1 kg.III. Na 3 e na 4 semanas a dieta no deu o resultado previsto.Ento, pode-se afirmar que:

a) Somente o enunciado I est correto.b) Somente o enunciado II est correto.c) Somente os enunciados I e III esto corretos.d) Todos os enunciados esto corretos.e) Nenhum enunciado est correto.

2. Um nibus sai do terminal A com 20 passageiros. Na primeira parada, sobem 5 passageiros; na prxima, sobem 6 passageiros e descem dois; na seguinte, descem 3 e sobem 2; na prxima, sobem 2 e descem 5; na ltima, antes do terminal B, descem 3 passageiros. O nmero de paradas que o nibus fez entre os dois terminais e o nmero de passageiros que estavam no nibus entre a terceira e quarta paradas, so, respectivamente:

a) 6 e 34b) 6 e 22c) 5 e 28d) 5 e 22e) 4 e 29

3. Complete a sequncia:

a) 82/90b) 100/72c) 81/100d) 99/72e) 100/81

4. Cinco amigas: Paula, Virgnia, Slvia, Cristina e Gabriele, moram na mesma cidade e so muito apegadas umas s outras. Nenhuma delas sai sem a companhia de uma das outras quatro. No ltimo sbado, houve falha de comunicao entre elas e no puderam sair todas juntas como de costume. Nesse sbado, os trs seguintes fatos aconteceram:

Atividade 1.2

peso

semanas

8685

84

83

82

81

800 1 2 3 4

-------------------

----

----

----

----

----

----

----

----

----

----

----

----

-

----

----

----

----

----

--

----

----

----

----

---

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

??,

4964,

3625,

916,

41

continua

hora de trabalhar!

29Cincias Contbeis

hora de trabalhar!

I. Paula tentou falar com Slvia, mas no conseguiu de forma alguma.II. Paula e outra das cinco amigas foram ao cinema e assistiram a um filme romntico.III. Virgnia foi viajar somente com Gabriele para outra cidade.Com base unicamente nessas informaes, podemos concluir que, nesse Sbado,

a) Slvia viajou junto com Gabriele.b) Paula assistiu a um filme romntico com Slvia.c) Paula, Slvia e Cristina foram ao cinema juntas.d) Slvia no saiu neste fim de semana.e) Cristina, Virgnia e Gabriele foram juntas viajar.

5. Trinta balas so distribudas entre 11 crianas. Podemos ento afirmar que:

a) Pelo menos 1 criana ganhou 4 balas.b) Pelo menos 2 crianas ganharam exatamente 5 balas. c) 8 crianas ganharam 3 balas cada uma e as outras 3 ganharam 2 balas cada uma. d) Pelo menos duas crianas ganharam o mesmo nmero de balas. e) Nenhuma criana ficou sem balas.


1. Cinco pessoas -Flvio, Mricles, Armnio, Clodoaldo e Igor- utilizam um mesmo programa de computador, o qual facilita a comunicao online pela Internet, permitindo que mais de duas pessoas estejam conectadas em uma mesma conversao ao mesmo tempo e possibilitando que uma pessoa se conecte a outra eventualmente ou permanea sempre conectado a ela. Essas pessoas tm hbitos rgidos, que so os seguintes:

I. Mricles nunca se conecta a mais de duas pessoas ao mesmo tempo.II. Flvio permanece sempre conectado a Igor e a Clodoaldo.III. Quando Armnio se conecta, ele o faz somente a uma pessoa por vez.Nesse sistema de comunicao, para quaisquer duas pessoas, X e Y, se houver uma terceira pessoa conectada a ambos, ento X e Y esto conectados.

Considerando-se que as afirmaes feitas anteriormente so as nicas a representarem restries ao uso do referido programa, qual das seguintes alternativas apresenta uma situao possvel de acontecer?

a) Clodoaldo, Mricles e Flvio esto conectados entre si.b) Igor e Mricles esto conectados um ao outro.c) Igor e Armnio esto conectados um ao outro.d) Igor no est conectado a ningum.e) Mricles est conectado a Armnio.

2. O maior nmero de quatro algarismos distintos excede de quantas unidades o menor nmero de trs algarismos distintos?

a) 9753 d) 9774b) 9899 e) 9800c) 9776

Atividade 1.3

continua

30 Cincias Contbeis

hora de trabalhar!

3. Qual o prximo nmero na sequncia 77, 49, 36, 18, ...?

a) 10b) 12c) 8d) 14e) 7


4. As figuras abaixo mostram redes quadriculadas formadas por palitos

Rede quadriculada em ordem 2

Rede quadriculada em ordem 3

O nmero de palitos necessrios para formarmos uma rede quadriculada de ordem 10, :

a) 100b) 180c) 200d) 220e) 400

1. Armando, Bernardo, Carlos e Daniel saem de chapu, casaco e luvas em um dia frio. Na pressa, nenhum deles chegou a vestir qualquer uma de suas peas de vesturio, pegando uma de cada um dos colegas. Sabendo-se que:

- Nenhum deles possui mais de uma pea de vesturio de cada um dos tipos acima.- Quem est com o chapu de Carlos tambm est com as luvas de Armando e o casaco de Bernardo.- Bernardo no est com o chapu de Daniel.- Armando no est com o casaco de Carlos. - Carlos no est com as luvas de Daniel.

Pode-se afirmar que quem est com as luvas de Carlos :

a) Armandob) Bernardo c) Carlos d) Daniel e) No possvel responder pergunta com os dados fornecidos.

Atividade 1.4

continua

31Cincias Contbeis2. O prximo nmero da sequncia 3, 10, 4, 18, 5, 28, 6, ... :

a) 37b) 38c) 39d) 40e) 41

3. Quantos quadrados temos na figura abaixo?

a) 49b) 50c) 85d) 139e) 140

4. Para pagar a despesa da festa de formatura numa escola, cada formando deve contribuir com certa quantia. Se cada um der R$ 230,00, ficar faltando R$ 2.990,00, entretanto, se cada um der R$ 360,00, haver uma sobra de R$ 1.820,00. O total de despesa para a organizao da festa :

a) R$ 10.000,00b) R$ 11.500,00c) R$ 12.000,00d) R$ 14.600,00e) R$ 16.200,00


1. Considere os seguintes enunciados:I. Cinco pessoas numa sala tm idades diferentes.II. As idades so indicadas por nmeros inteiros.III. Antnio um ano mais velho que Maria.IV. Maria dois anos mais velha que Joo.V. Joo um ano mais moo que Suzana.VI. Suzana dois anos mais nova que Antnio.VII. Lcia dois anos mais nova que Joo.

Qual das opes abaixo indica a ordem cronolgica da pessoa mais velha para a pessoa mais nova?

a) Antnio, Maria, Joo, Suzana e Lciab) Antnio, Maria, Suzana, Lcia e Jooc) Antnio, Maria, Joo, Lcia e Suzanad) Antnio, Maria, Suzana, Joo e Lciae) Antnio, Joo, Maria, Lcia e Suzana

Atividade 1.5

continua

hora de trabalhar!

32 Cincias Contbeis

2. Uma faixa formada por trs linhas de quadradinhos. A primeira e a terceira linhas so formadas apenas por quadradinhos brancos e a segunda linha alterna quadradinhos brancos com quadradinhos pretos, comeando e terminando com um quadradinho branco, conforme mostra a figura abaixo:

Ento, o nmero de quadradinhos brancos necessrios para formar uma faixa contendo 45 quadradinhos pretos :

a) 225b) 228c) 250d) 270e) 273

3. Considere a seguinte sequncia de pares de nmeros (0,2), (5,3) e (12,4). Dentre as alternativas abaixo, o prximo par que obedece regra de formao at ento seguida :

a) (15,5)b) (18,5)c) (20,5)d) (21,5)e) (24,5)

4. Paulo professor de Matemtica e adora propor aos seus alunos desafios matemticos. Um dia, ele props o seguinte desafio: Joozinho tem um saco de balas. Ele deu a metade das balas e mais uma bala para Pedro. Em seguida, deu para Ari a metade do que restou e mais uma bala. Restou-lhe ainda uma bala. Quantas balas havia no saco? Um dos alunos, rapidamente, deu a seguinte resposta: A metade do nmero de alunos desta turma menos um. O nmero de alunos naquela turma era:

a) 30.b) 28.c) 23.d) 22.e) 20.


Para voc praticar mais, pode acessar alguns sites especficos que contm problemas e desafios de lgica. Por exemplo, indicamos os sites: http://rachacuca.com.br (acesse o link Enigma e Lgica no menu superior) e http://sitededicas.uol.com.br/enigma.htm para resolver os desafios lgicos ilustrados.

33Cincias Contbeis

1.3 Problemas da Verdade e da Mentira

Em provas e em situaes diversas ns nos defrontamos com verdades e mentiras. importante saber discernir um resultado lgico (verdade ou falsidade) quando estamos expostos a essas situaes.

Uma metodologia que pode ser aplicada para resolver problemas deste contexto a realizao de hipteses, neste caso, voc levanta uma hiptese de que uma determinada afirmao verdadeira (ou falsa) ou de que um determinado personagem inocente (ou culpado) e analisa os demais dados do problema procurando manter esta hiptese vlida. Vo ocorrer duas possibilidades:

1 Possibilidade: Voc se depara com uma contradio, isto , um resultado que anula a sua hiptese ou o encontro de mais de uma resposta. Neste caso, se anula a hiptese original e se cria uma nova hiptese para o problema.

2 Possibilidade: A hiptese original se encaixa perfeitamente aos demais dados de modo a ser possvel concluir o problema. Neste caso, voc encontrou a resposta para o problema.

Veja os exemplos abaixo, o primeiro deles um famoso problema do livro O homem que calculava de Malba Tahan.

Problema Motivacional:Um Sheike testando os conhecimentos do Homem que calculava informou-

lhe que comprara, de um mercador, 5 lindas escravas, duas com olhos negros e trs com olhos azuis. Informou que as escravas de olhos negros sempre dizem a verdade, e que as escravas de olhos azuis nunca dizem a verdade. As escravas foram introduzidas no salo, com um vu que impedia completamente a percepo da cor de seus olhos.

- Somente poders interrogar trs das cinco escravas, com uma nica pergunta a cada uma destas, disse o Sheike. Com o auxlio das trs respostas obtidas, o problema dever ser solucionado, com rigorosa justificativa lgica. As perguntas devem ser de tal natureza que s as prprias escravas possam respond-las, com perfeito conhecimento.

Aps certa meditao, o Homem que calculava perguntou primeira escrava:- De que cor so teus olhos?A interpelada respondeu num dialeto, que ningum compreendeu.Em seguida perguntou segunda:- Dize-me em minha lngua, o que tua colega respondeu?- Os meus olhos so azuis.A sua ltima pergunta se destinou terceira escrava:- Dize-me em minha lngua, de que cor so os olhos dessas duas jovens que

acabo de interrogar?- A primeira tem os olhos negros, e a segunda olhos azuis respondeu a

escrava.Ento, o Homem que calculava, solenemente, disse:- A primeira tem olhos negros, a segunda olhos azuis e a terceira olhos

negros, por eliminao, as duas ltimas possuem olhos azuis.Levantados os vus, para espanto de todos, a resposta estava rigorosamente

correta!!Interpelado pelo Sheike como ele havia conseguido tal proeza, respondeu:- Com certeza a primeira escrava me responderia que seus olhos so negros,

pois se realmente fossem negros, diria a verdade proclamando que so negros, mas se fossem azuis, mentiria dizendo que so negros, logo no me preocupei com sua resposta e por este motivo no me importei dela ter respondido em seu dialeto.

34 Cincias ContbeisComo a segunda escrava respondeu que a primeira dissera olhos azuis, isto a

caracterizou como mentirosa, pois se fosse uma escrava que s fala a verdade responderia que a primeira dissera olhos negros, consequentemente, os olhos da segunda escrava so azuis, afinal s as escravas de olhos azuis mentem. Assim, descobri a cor dos olhos da segunda escrava.

A partir da resposta da terceira escrava, que dissera que a primeira tinha os olhos negros e a segunda olhos azuis, pude concluir que esta falava a verdade, afinal, sua resposta referente segunda escrava confirma o que eu j deduzira anteriormente, que a segunda possui olhos azuis. Assim sendo, a terceira disse a verdade, logo seus olhos eram negros e, por sua afirmao, pude concluir que os olhos da primeira tambm eram negros, isso porque, dizendo a verdade, eu devo acreditar em sua afirmao.

Por fim, como so 5 escravas, 2 com olhos negros, que eu j descobri quais so, e 3 com olhos azuis, deduzi que as duas ltimas s poderiam ter olhos azuis.

Concluso: A primeira tem olhos negros, a segunda, azuis, a terceira, olhos negros e as duas ltimas, olhos azuis.

Todos os exemplos a seguir contm uma explicao do procedimento que deve seguir o raciocnio para se chegar soluo de problemas relacionados verdade e mentira. Mas, caso voc no consiga entender suficientemente, lembre-se de que todos os exemplos tm um vdeo explicativo, em que o professor os explica passo a passo, utilizando diversas hipteses.

As rivais

Trs rivais, Ana, Bia e Cludia, trocam acusaes:1. A Bia mente diz Ana.2. A Cludia mente Bia diz.3. Ana e Bia mentem diz Cludia.Com base nestas trs afirmaes, pode-se concluir que:

a) Apenas Ana mente.b) Apenas Bia mente.c) Apenas Cludia mente.d) Ana e Cludia mentem.e) Ana e Bia mentem.

Soluo: A resposta correta a alternativa D.Iniciaremos formulando uma hiptese: a de que Ana diz a verdade. Se gerar

uma contradio, ento por eliminao, Ana s poder mentir, sendo esta a segunda hiptese.

Hiptese 1: Ana diz a verdade.Se Ana diz a verdade, ento Bia mente. Se Bia mente, ento Cludia diz a

verdade (note que pelo fato de Bia mentir, o oposto de sua afirmao que passa a ser verdadeira). Mas Cludia disse que Ana e Bia mentem, o que gera uma CONTRADIO, pois por suposio Ana diz a verdade. Hiptese invlida, devemos formular uma nova hiptese.

Hiptese 2: Ana est mentindo.Se Ana mente, ento Bia diz a verdade (oposto de sua afirmao). Se Bia diz a

verdade, ento Cludia mente. Da no verdade que Ana e Bia mentem, ou seja, Ana ou Bia diz a verdade, e como Bia diz a verdade, logo no temos contradio nenhuma, mantendo a hiptese vlida.

Concluso, Bia diz a verdade e Ana e Cludia mentem.

Exemplo 7

VDEOVDEO

35Cincias Contbeis

Quem quebrou o vaso da Vov?

Ao ver o estrago na sala, mame pergunta zangada: Quem quebrou o vaso da vov?

As repostas das crianas foram as seguintes:- No fui eu disse Andr.- Foi o Carlinhos disse Bruna.- No fui eu no, mas foi a Duda falou Carlinhos.- A Bruna est mentindo! falou Duda.

Considere a situao descrita acima para resolver as questes de nmeros I, II e III.

Questo I. Sabendo que somente uma das crianas mentiu, pode-se concluir que:

a) Andr mentiu e foi ele quem quebrou o vaso.b) Bruna mentiu e Duda quebrou o vaso.c) Carlinhos mentiu e foi ele quem quebrou o vaso.d) Duda mentiu e Carlinhos quebrou o vaso.e) Bruna mentiu e foi ela quem quebrou o vaso.

Questo II. Sabendo que somente uma das crianas disse a verdade, pode-se concluir que:

a) Andr falou a verdade e Carlinhos quebrou o vaso.b) Bruna falou a verdade e Andr quebrou o vaso.c) Duda falou a verdade e Andr quebrou o vaso.d) Carlinhos falou a verdade e Duda quebrou o vaso.e) Duda falou a verdade e foi ela quem quebrou o vaso.

Questo III. Sabendo que somente duas crianas mentiram, pode-se concluir que:

a) Carlinhos mentiu e Andr quebrou o vaso.b) Andr mentiu e foi ele quem quebrou o vaso.c) Bruna diz a verdade e foi ela quem quebrou o vaso.d) Quem quebrou o vaso foi Andr ou Duda.e) Duda mentiu e Carlinhos quebrou o vaso.

Soluo: Questo I. A resposta correta a alternativa B.

Iniciaremos formulando uma hiptese, mas antes lembre-se de que apenas uma das crianas mentiu, podendo ser Andr, Bruna, Carlinhos ou Duda. Como primeira hiptese, vamos supor que o Andr mentiu, se gerar uma contradio, ento vamos supor que a Bruna mentiu, e assim sucessivamente.

Hiptese 1: Andr mentiu.Se Andr mentiu (vale o oposto de sua afirmao), ento foi ele, logo no

pode haver outra criana que tenha quebrado o vaso, pois, neste caso, foi o Andr. Sendo assim, Bruna tambm estaria mentindo, afinal ela apontou o Carlinhos (mas sendo o Andr, ele seria inocente), o que no pode ser, pois pelo enunciado s um poderia mentir. (CONTRADIO!)

Exemplo 8

VDEOVDEO

36 Cincias ContbeisHiptese 2: Bruna mentiu.Se Bruna mentiu (vale o oposto de sua afirmao), ento no foi o Carlinhos e

todos os demais disseram a verdade (pois s a Bruna mentiu). Assim, Andr no quebrou o vaso, mas Duda sim (afirmao de Carlinhos), e realmente Bruna estaria mentindo (afirmao de Duda). Neste caso, no teramos nenhuma contradio, logo Bruna mentiu e Duda quebrou o vaso.

Questo II. A resposta correta a alternativa C.Iniciaremos formulando uma hiptese, mas antes lembre-se de que apenas

uma das crianas disse a verdade, podendo ser Andr, Bruna, Carlinhos ou Duda. Como primeira hiptese, vamos supor que o Andr disse a verdade, se gerar uma contradio, ento porque Andr no disse a verdade, ou seja, ele mentiu e a partir da, formulamos a segunda hiptese, a de que Andr mentiu e devemos encontrar apenas uma criana para dizer a verdade.

Hiptese 1: Andr disse a verdade.Se Andr falou a verdade, ento no foi ele e os demais devem mentir. Se

Bruna mentiu (vale o oposto de sua afirmao), ento no foi o Carlinhos. Se Carlinhos mentiu (vale o oposto de sua afirmao), ento foi ele ou no foi a Duda. Se Duda mentiu (vale o oposto de sua afirmao), ento a Bruna estaria falando a verdade, mas por hiptese Bruna uma das que mentiram. (CONTRADIO!)

Hiptese 2: Andr mentiu e no sabemos quem disse a verdade.Como o Andr mentiu (vale o oposto de sua afirmao), podemos concluir

que foi ele quem quebrou o vaso da Vov. Neste caso, Bruna tambm estaria mentindo, pois no poderia ser Carlinhos (devemos inocent-lo, afinal j descobrimos quem quebrou o vaso: Andr). Entretanto, Carlinhos tambm mentiu, caso contrrio teria sido a Duda. Logo, Duda falou a verdade e isso no gera contradio, pois ela afirma que Bruna est mentindo. Note que nesta hiptese, apenas Duda disse a verdade. Concluso, Duda falou a verdade e Andr quebrou o vaso.

Questo III. A resposta correta a alternativa E.Iniciaremos formulando uma hiptese, mas antes lembre-se de que duas

crianas mentiram. Como primeira hiptese, vamos supor que Andr mentiu, a partir desta hiptese, vamos ler todas as afirmaes tentando manter esta hiptese vlida, ou seja, apenas mais uma criana poder mentir, se gerar uma contradio, ento porque Andr no mentiu, isto , ele disse a verdade, e a partir da, formulamos a segunda hiptese, a de que Andr disse a verdade e devemos encontrar duas crianas para mentir.

Hiptese 1: Andr mentiu.Se Andr mentiu (vale o oposto de sua afirmao), ento foi ele quem

quebrou o vaso, no podendo haver outra criana que tenha quebrado o vaso, pois, neste caso, foi o Andr. Assim sendo, Bruna tambm estaria mentindo, pois no poderia ser Carlinhos (devemos inocent-lo). Entretanto, Carlinhos tambm estaria mentindo, caso contrrio teria sido a Duda (devemos inocent-la para ser o Andr). Logo, Duda falou a verdade, pois ela afirma que Bruna est mentindo. Mas isso gera uma contradio, pois por hiptese, duas crianas mentiram e no trs como neste caso. (CONTRADIO!).

Hiptese 2: Andr disse a verdade.Se Andr disse a verdade, ento com certeza no foi ele. Supondo que Bruna

tambm disse a verdade, ento Carlinhos quebrou o vaso. Neste caso, Carlinhos estaria mentindo, confirmando que foi ele ou no foi a Duda. Por ltimo, Duda tambm estaria mentindo (vale o oposto de sua afirmao), pois nessa hiptese Bruna falou a verdade. Como no chegamos a nenhuma contradio, conclui-se que Andr e Bruna falaram a verdade e Carlinhos e Duda mentiram, e quem quebrou o vaso foi o Carlinhos.

37Cincias ContbeisObservao 1: Cada questo deste problema poderia ser resolvida a partir da hiptese de que um deles quebrou o vaso, neste caso deveramos comear supondo que Andr quebrou o vaso e que os outros trs so inocentes. A seguir, devemos ler suas informaes e concluir se elas so verdadeiras ou falsas, logo depois, devemos confrontar com o enunciado de cada questo (verificar, por exemplo, se na questo I s um deles estaria mentindo), se satisfizer, ento realmente foi o Andr, caso contrrio, crie uma nova hiptese, a de que foi Bruna, e repita o mesmo procedimento.

Observao 2: Independente da hiptese original (de que algum mentiu ou falou a verdade ou partindo pelo caminho de que algum o culpado), possvel chegar concluso do problema, basta estar concentrado no fato de que quem diz a verdade, porque sua afirmao totalmente vlida; e quem mente, significa que o oposto de sua afirmao que vlida.

Desafio: Irmos Gmeos I

O problema a seguir um desafio com um grau maior de complexidade. Se voc conseguiu resolver os casos apresentados at agora, voc pode tentar resolver o presente caso. Se no conseguir, no fique preocupado, pois se trata apenas de um desafio.

Joo e Jos so dois irmos gmeos idnticos que possuem uma peculiaridade, um dos dois sempre fala a verdade, independente do que for perguntado, enquanto que o outro sempre mente. Mrcio para descobrir quem o Joo e quem o Jos, desenvolveu uma tcnica, ele descobriu que existe uma pergunta que independente de para quem seja feita, possvel determinar quem quem, basta que a resposta dada seja sim ou no. Desse modo, sempre que ele encontra um deles, ele faz essa pergunta, pela resposta sim ou no ele j sabe com quem est falando.

Qual a pergunta capaz de determinar quem Joo e quem Jos?

Soluo: Este um problema bem diferente, mas muito interessante. No podemos esquecer que um dos irmos sempre fala a verdade, mas no sabemos qual , enquanto que o outro sempre mente, e tambm no sabemos qual .

A primeira pergunta que normalmente vem em mente : Voc o Joo? Se isso for perguntado para o Joo, que digamos diz a verdade, ele responderia SIM, mas se Joo fosse mentiroso, ele diria NO (mentindo a sua resposta correta). A mesma pergunta feita para Jos, que digamos diz a verdade, ele responderia NO, mas se Jos fosse mentiroso, ele diria SIM (mentindo a sua resposta). Observe que se ouvirmos um SIM, no sabemos se este SIM vem de Joo ou se este SIM vem do Jos, afinal, os dois podem responder a esta pergunta SIM ou NO.

Se a pergunta for: Voc o Jos? Teramos o mesmo problema.A pergunta que deve ser feita a princpio parece no resolver, mas conforme

ser explicado gera uma resposta nica. A pergunta capaz de descobrir quem Joo e quem Jos : Joo fala a verdade?

Se isso for perguntado para o Joo, que digamos diz a verdade, ele responderia SIM. Entretanto, se Joo fosse mentiroso, ele pensaria: a minha resposta NO, mas como eu minto, vou responder o contrrio: SIM. Note que se esta pergunta for feita para Joo, independente de ele falar a verdade ou mentir, a resposta sempre ser SIM.

Se a mesma pergunta for feita para Jos (Joo fala a verdade?), que por hiptese fale a verdade, ele responderia NO, afinal, nesta hiptese, quem fala a verdade Jos, logo Joo mente. Entretanto, se Jos fosse mentiroso porque Joo fala a verdade logo ele pensaria: Joo fala a verdade, ento a resposta correta SIM, mas como eu minto, vou responder NO. Note que se esta pergunta for feita para Jos, independente de ele falar a verdade ou mentir, a resposta sempre ser NO.

VDEOVDEO

38 Cincias Contbeis

Concluso, a pergunta que deve ser feita : Joo fala a verdade? Se a resposta for SIM, o interrogado o Joo, mas se a resposta for NO, o interrogado o Jos.

Observao: Existem mais trs perguntas corretas para este problema: Joo mente? Jos fala a verdade? Jos mente? O nico detalhe adaptar a resposta nica que seria dada por qualquer um deles.

O objetivo dos exerccios a seguir que voc treine o seu raciocnio sem ser avaliado, apenas como treinamento para habilitar voc a fazer corretamente as atividades, que sim sero avaliadas.

A metodologia sugerida para os exerccios propostos : - em primeiro lugar tente resolver o exerccio proposto sozinho;- caso voc no tenha conseguido chegar resposta correta na primeira

tentativa, volte ao enunciado do exerccio e tente uma nova estratgia;- se aps a segunda tentativa, voc ainda no tiver chegado na resposta

correta, esta aparecer automaticamente para voc;- tenha acertado ou no, assista ao vdeo do professor correspondente ao

exerccio. No vdeo, o professor apresenta uma maneira de chegar ao resultado que poder ser diferente da utilizada por voc. Pois, na realidade, no existe apenas um procedimento ou caminho adequado. So mltiplas as possibilidades para se chegar soluo. Nesse sentido, interessante que, mesmo tendo atingido o resultado, voc sempre assista aos vdeos para contrastar sua lgica com a lgica do professor (lembre que as duas podem estar corretas!!!).

Exerccio 6

1. Trs irms Ana, Maria e Cludia foram a uma festa com vestidos de cores diferentes. Uma vestiu azul, e outra, branco e a terceira, preto. Chegando festa o anfitrio perguntou quem era cada uma delas. A de azul respondeu: Ana a que est de branco. A de branco falou: Eu sou Maria. E a de preto disse: Cludia quem est de branco. Como o anfitrio sabia que Ana sempre diz a verdade, que Maria s vezes diz a verdade e que Cludia nunca diz a verdade, ele foi capaz de identificar corretamente quem era cada pessoa. As cores dos vestidos de Ana, Maria e Cludia eram, respectivamente:

a) Preta, branca e azul.b) Preta, azul e branca.c) Azul, preta e branca.d) Azul, branca e preta.e) Branca, azul e preta.

2. Um crime cometido por uma pessoa e a polcia prende quatro suspeitos: Andr, Eduardo, Rafael e Joo. No interrogatrio, eles fazem as seguintes declaraes:

- Andr: Eduardo o culpado.- Eduardo: Joo o culpado.- Rafael: Eu no sou o culpado.- Joo: Eduardo mente quando diz que eu sou o culpado.

continua

VDEOVDEO

Sabendo que apenas um dos quatro disse a verdade, quem o culpado?

a) Andrb) Eduardoc) Rafaeld) Jooe) No se pode saber com as informaes dadas

3. No momento da recreao em uma empresa, o chefe colocou o seguinte problema:Pedro, Joo, Jos, Tio e Csar estavam na cozinha quando um deles quebrou uma das xcaras. A cozinheira chegou no momento em que eles juntavam os cacos e perguntou quem havia quebrado a xcara. Ela obteve as seguintes respostas:

- Foi Jos, disse Pedro.- Fui eu, disse Joo.- Fui eu, disse Jos.- Foi o Joo ou o Jos, disse Tio.- Foi o Tio, disse Csar.

Sabe-se que todos os cinco sabiam exatamente quem era o culpado, mas que somente um deles disse a verdade. Qual das seguintes alternativas apresenta o nome de quem quebrou a xcara?

a) Csar.b) Joo.c) Jos.d) Pedro.e) Tio.

4. Resolvi presentear a cada um dos meus colegas com uma pasta para papis. Ento entreguei a de cor branca ao Jonofon, a cinza ao Mrcio Lima, e a preta ao Roberto Vasconcelos e disse: Nenhum de vocs recebeu a sua prpria pasta. Para auxili-los dou-lhes ainda trs informaes, mas s uma delas correta:

- A do Jonofon no a preta.- A do Mrcio no a branca.- A do Roberto a cinza.

Depois de alguns segundos de silncio, quase que simultaneamente, todos disseram as cores corretas de suas prprias pastas. Riram-se e trocaram suas pastas:

a) Cinza, branca e preta.b) Preta, branca e cinza.c) Branca, preta e cinza.d) Cinza, preta e branca.e) Preta, cinza e branca.

39Cincias Contbeis

VDEOVDEO

continua

40 Cincias Contbeis

Lembra do desafio lanado dos irmos gmeos? O prximo problema uma verso diferente. Tente resolv-la, lembrando que se trata apenas de um desafio!

Desafio: Irmos Gmeos II

Joo e Jos so dois irmos gmeos idnticos que possuem uma peculiaridade, um dos dois sempre fala a verdade, independente do que for perguntado, enquanto que o outro sempre mente. Mrcio, para descobrir se Joo quem fala a verdade ou se Joo o que mente, desenvolveu uma tcnica, ele descobriu que existe uma pergunta que independente de para quem seja feita, possvel determinar esta resposta, basta que a resposta dada seja sim ou no. Desse modo, sempre que ele encontra um deles, ele faz essa pergunta, pela resposta sim ou no ele j sabe se Joo fala a verdade ou mente.

Qual a pergunta capaz de descobrir se Joo fala a verdade ou mente? Observe que no queremos saber qual deles o Joo e qual o Jos.

Soluo: Voc o Joo? Se a resposta for sim, porque o Joo quem fala a verdade e se for no porque Joo o mentiroso.

VDEOVDEO

5. ngela, Helosa, Letcia e Denise apostaram uma corrida, ngela disse: Helosa chegou em segundo e Denise em terceiro. Letcia disse: Helosa ganhou e eu cheguei em segundo. Helosa disse: Denise foi a ltima e ngela a segunda. Sabendo que em cada afirmao h uma verdade e uma mentira, quem chegou em ltimo lugar?

a) ngela b) Letcia c) Helosad) Denise e) No possvel determinar.


41Cincias Contbeis

2. Em uma empresa de equipamentos eletrnicos, trabalham quatro funcionrios: Paulo, Cludio, Teresa e Vilmar; subalternos a um gerente. O gerente sabe que exatamente um deles ligou um aparelho em tomada de voltagem errada, danificando o mesmo. Colocados frente a frente em uma sala, o gerente perguntou a todos quem tinha feito a ligao.

- Paulo respondeu que havia sido o Cludio ou o Vilmar.- Cludio declarou que tinha sido a Teresa.- Teresa disse que no fez a ligao.- Vilmar declarou que Teresa mentiu.

Sabendo que apenas um dos quatro funcionrios falou a verdade, podemos concluir que quem falou a verdade e quem fez a ligao em voltagem errada foram, respectivamente:

a) Teresa e Cludiob) Teresa e Pauloc) Teresa e Vilmard) Cludio e Teresae) Paulo e Cludio

continua

1. Um crime cometido por uma pessoa e a polcia prende cinco suspeitos: Karina, Carolina, rico, Natalia e Kssio. No interrogatrio, eles fazem as seguintes declaraes:

- Karina: rico o culpado.- Carolina: Natalia no a culpada.- rico: Karina est mentindo.- Natalia: No fui eu.- Kssio: Carolina a culpada.

Sabendo que no mximo um suspeito disse a verdade, quem o culpado?

a) Karinab) Carolinac) ricod) Nataliae) Kssio

Atividade 1.6 hora de trabalhar!

42 Cincias Contbeis

3. Quatro amigas Ana, Beti, Carla e Dani obtiveram os quatro primeiros lugares em um concurso de dana, julgado por uma comisso de trs juzes. Ao comunicarem a classificao final, cada juiz anunciou duas colocaes, sendo uma delas verdadeira e a outra falsa:

- Juiz 1: Ana foi a primeira; Beti foi a segunda.- Juiz 2: Ana foi a segunda; Dani foi a terceira.- Juiz 3: Carla foi a segunda; Dani foi a Quarta.

Sabendo que no houve empates, a primeira, a segunda, a terceira e a quarta colocadas foram, respectivamente:

a) Ana, Carla, Beti e Danib) Ana, Carla, Dani e Betic) Beti, Ana, Dani e Carlad) Beti, Ana, Carla e Danie) Beti, Carla, Dani e Ana

4. Trs casas - A, B e C - foram pintadas, cada uma, com uma das seguintes cores: verde, amarela ou branca, no necessariamente nesta ordem. Somente uma das seguintes afirmaes verdadeira:- A verde.- B no verde.- C no amarela

Pode-se afirmar que:

a) A amarela, B branca e C verde.b) A amarela, B verde e C branca.c) A branca, B verde e C amarela.d) A branca, B amarela e C verde.e) A verde, B amarela e C branca.


Consumo (C)6,5 6,7 7 7,2 7,5 7,8 8

0,65 0,67 0,7 0,72 0,75 0,78 0,8

Distncia em km (d)

Quantidade de litros de Gasolina Consumidos entre sua residncia e seu trabalho

No mundo em que vivemos, os fenmenos no ocorrem de forma isolada: a produo de uva depende, entre outras coisas da quantidade de chuva; a quantidade de refrigerantes vendidos em uma lanchonete depende, entre outros fatores, do calor; o lucro de uma loja depende tambm da quantidade de mercadorias vendidas; a procura por carros populares depende dos seus preos de venda, e assim por diante.

Nessa unidade, ser feito um estudo de relaes entre grandezas que so as funes.

Para melhor explicar o que uma funo, na linguagem matemtica, vejamos o seguinte exemplo:

Antnio estudante e trabalha em uma das lojas do Shopping Center. Para ir de sua residncia at o seu trabalho, ele possui trs possibilidades de conduo: carro, txi ou nibus.

Ao ir de carro, ele percebe que a quantidade de litros de gasolina consumidos no trajeto depende da distncia a ser percorrida. Ele sabe que seu carro consome em mdia um litro de gasolina a cada dez quilmetros percorridos, ou seja, 0,1 litro por quilmetro. Com base nessa informao, e por no saber a distncia exata entre a sua casa e seu trabalho, ele resolve montar a seguinte tabela relacionando as possveis distncias a serem percorridas com a quantidade de combustvel a ser consumido:

UNIDADE 2

NOES DE FUNO

OBJETIVO DA UNIDADE:S

Definir o conceito de Funo enfatizando a sua aplicabilidade no cotidiano prtico, destacar as suas caractersticas gerais tais como imagem, domnio, esti-mativa de valores, entre outras. Tornar o aluno capaz de inter-pretar e analisar dados apresen-tados em g r f i c o s , r e l a c i o n a n d o o s conhecimento para a formao do conhecimento matemtico.Introduzir as noes bsicas de Modelagem Matemtica atravs da resoluo de problemas e sitaes matemticas do cotidi-ano do aluno.

43Cincias Contbeis

Exemplo 1

VDEOVDEO

Observe, que cada distncia percorrida gera um nico consumo de combustvel, isso denota que o Consumo C funo da distncia percorrida d, isto , C = f(d). Para o caso especfico do carro de Antnio, uma frmula que representa essa situao seria C = 0,1d. Este mesmo problema poderia ser ilustrado atravs de um grfico.

Suponha agora que Antnio resolve ir de txi. Ao ligar para uma companhia, ele informado que uma corrida de txi custa R$ 3,80, a bandeirada, e mais R$ 0,70, por quilmetro rodado. Observe que a cada distncia percorrida por um txi tem-se um nico valor a ser pago pela corrida, ou seja, o preo P de uma corrida funo da distncia percorrida d, em quilmetros (P = f(d)). Para ilustrar a situao, apresentado abaixo um grfico relacionando o preo P de uma corrida em funo da distncia percorrida d.

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Matematica I

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