Provincia de Buenos AiresDirección General de Cultura y EducaciónInstituto Superior Fundación SuzukiSan Miguel, Buenos Aires, Argentina

Matemática y Estadística

“Los números se hacen agua”

Tesina para optar por el titulo de profesor de matemática

Paredes Paula

San Miguel, Buenos Aires

Diciembre 2008

1

Índice

Agradecimiento. 6

Resumen 7

Abstract 7

Introducción 8

Fundamentación 9

Marco Histórico 10

1. Cronología 10

2. Estadística moderna 14

3. Etapas del desarrollo de la estadística 14

4. Personajes que contribuyeron en su desarrollo 15

Marco teórico 20

1. Definición 20

2. La estadística se divide en dos ramas 20

2

3. Etapas para el estudio estadístico 21

3.1 Planteo del problema 213.2 Fijacion de los objetivos 213.3 Formulación de la hipótesis 213.4 Definición de las unidades de observación y de medida 213.5 Determinación de la población y de la muestra 213.6 Recolección 213.7 Critica, clasificación y ordenación 213.8 Fabulación 213.9 Presentación 213.10 Análisis 213.11 Publicación 21

4. Tipos de estudios estadísticos 22

4.1 Estudios enumerativos 224.2 Estudios analíticos 22

5. Fuentes de datos 22

6. Variables 22

6.1 Variables categóricas 226.1.a) Escala de medición nominal 236.1.b) Escala de medición ordinal 23

6.2 Variable cualitativa 236.3 Variable cuantitativa 23

6.3.a) Discretas 236.3.b) Continuas 236.3.c) Escala de medición por intervalos 236.3.d) Escala de medición por cociente 23

6.4 Variable unidimensional 236.5 Variable bidimensional 246.6 Variable pluridimensional 24

7. Distribución de frecuencia 24

7.1 Frecuencia absoluta 247.2 Frecuencia absoluta acumulada 247.3 Frecuencia relativa 247.4 Frecuencia relativa acumulada 257.5 Porcentaje acumulado 25

3

8. Descripción de los datos 25

8.1. Medidas de posición no centralizada 268.1.1. Cuantiles 268.1.2. Deciles 268.1.3. Perciles 27

8.2 Medida de posición centralizadas 288.2.1 Media 288.2.2 Media aritmética 288.2.3 Media aritmética para datos agrupados 288.2.4 Media geométrica 298.2.5 Media ponderada 308.2.6 Mediana 318.2.7 Moda 31

8.3 Medidas de dispersión 318.3.1 Varianza 328.3.2 Desviación 328.3.3 Desvió medio 328.3.4 Desvió típico o estándar 338.3.5 Coeficiente de variación 338.3.6 Rango 33

8.4 Medidas de forma 33

8.4.1 Medida de Concentración 348.4.2 Asimetría 348.4.3 Curtosis 34

9. Margen de error en encuestas 34

9.1. Error de cobertura 349.2. error de no respuesta 349.3. Error de muestra 349.4. Error de medición 34

10. Representación grafica 35

10.1. Grafico de torta circular 3510.2. Grafico de barra 3510.3. Histograma 3610.4. Pictograma 3610.5. Polígonos de frecuencia 3710.6. Distribución de frecuencias acumuladas u ojivas 3710.7. grafico caja 3910.8. grafico de coeficiente de relación 3910.9.

11. Aplicación 40

4

11.1 El Agua 44 11 2 Estudio estadístico del agua 44 11.3 Conocimiento de campo 46

11.4 Conclusión 5411.5 Folleto 54

Conclusiones 55

Supuestos y limitaciones 56

Ejercicios de Aplicación 57

1. Anexo 59

Glosario 63

Bibliografía 65

5

Agradecimientos

Quiero agradecer principalmente a mi marido y mi hijo quienes fueron comprensivos e incondicionales en esta etapa, a mis padres que siempre me acompañaron. Por otro lado a mi grupo de estudio porque ante la adversidad pudimos salir y progresar en este sueño. También a todos los profesores que estuvieron durante estos cuatros años, principalmente a Claudio Oglietti quien es y será un ejemplo a seguir. Finalmente a mis alumnos quienes me dieron la fuerza y me motivaron en el tema de esta tesina, en buscar un camino diferente basado en los números, para reflejar la condición social en que viven.Una vez me regalaron una frase que fue mi pilar en mi vida “Esto también pasará...”, los buenos y los malos momentos... siempre pasan...

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Resumen

En el trabajo realizado acerca de la aplicación de la estadística, se intentó reflejar la matemática como herramienta utilizable en una problemática social, mediante datos cuantitativos se puedo determinar factores que dañan a individuos emergentes de uno o varios problemas cercanos a ellos. Este trabajo comenzó recordando algunos filósofos y matemáticos, que marcaron con hechos y descubrimientos avances en la ciencia y en la humanidad. Para ello, fue importante saber como comenzó y se utilizó la estadística durante la historia de la matemática en las distintas épocas hasta la actualidad. Finalmente se tomó como ejemplo un problema ambiental relacionado con escasez de agua potable, cuya zona esta situada en el Partido de Malvinas Argentinas de la Provincia de Buenos Aires. A partir de este estudio se pudo determinar, el grado de importancia que le daban los habitantes de esa población, al agua que consumían. Al localizarse el problema fue posible utilizar técnicas matemáticas y concluir con un informe estadístico. El resultado de este, fue utilizado en la planificación y el diseño de un folleto informativo que fue repartido en la población.

Abstract

In the work carried out about the application of the statistic, it was tried to reflect the mathematical one like problematic usable tool in a social one, by means of quantitative data it is possible to be determined factors that damage emergent individuals of one or several problems near them. This work began remembering some philosophers and mathematicians, who marked with facts and discoveries advances in science and the humanity. For it, it was important to know as it began and the statistic were used during the history of the mathematical one at the different times until the present time. Finally an environmental problem related to potable water shortage was taken like example, whose zone this located in the Party of the Malvinas Argentinas of the Province of Buenos Aires. From this study it was possible to be determined, the degree of importance that the inhabitants of that population gave him, to the water that consumed. When being located the problem was possible to use technical mathematics and to conclude with a statistical report. The result of this, was used in the planning and the design of an informative pamphlet that was distributed in the population

Descriptores: Matemática, Estadística, Agua. .

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Introducción

Pertenezco a un barrio cuyo medio ambiente se fue deteriorando debido a las continuas inundaciones y a la severa contaminación que provocan sectores industriales, comerciales y barrios privados. Las características socio-ambientales constituyen un agravante que impacta negativamente en la calidad de vida de sus habitantes. Esto provocó enfermedades, algunas irreparables y terminales que continúan debido a que son trasmitidas por el agua que se consume. Esta situación me motivó a tomarla como ejemplo de un problema social, y estudiarla a través de la estadística.Como cierre de la preparación terciaria recibida durante estos cuatro años, pensé aplicar la estadística como herramienta de estudio, evaluación e información de esta condición social. El agua es tan necesaria para la supervivencia de la humanidad, que muchas veces es la causante de enfermedades, producto de negligencias individuales o sociales. En la presente tesina estudiaré, evaluaré y llegaré una conclusión de esta situación.

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Fundamentación

La estadística, como disciplina, puede enseñarse como una herramienta útil y práctica, donde conjuntamente en el ámbito de la escuela y la interrelación con otras materias puedan culminar con proyectos que permitan una visión actual de fenómenos de interés social, facilitando una planificación, acción e información de diversos problemas relacionados con la institución o mejor aun con la comunidad. Por otro lado la escuela podrá tomar un papel fundamental como educador social, según la problemática que abarque, promoviendo una educación no solo institucional sino social. Como consecuencia, de los análisis y evaluación recopilada, se podrá lograr que cada individuo sea capaz de comprender lo que sucede a su alrededor, dejando que se juzgue y decida a través de la información que se brinde.

Un ejemplo claro de esto, es la problemática que estudiaremos a continuación “el agua” cuyos entes contaminantes, la lleva a transformarse en un posible fenómeno peligroso para la salud de esa población. A través de la estadística, se podrá determinar que importancia tiene en relación con ella. Saber las posibles enfermedades transmitidas y las prevenciones que se deben tener en cuenta, pueden llegar a ser significativo para un cambio, pero esto solo es posible con una educación e información.

Hoy, la estadística es importante no solo porque presenta información, sino que además permite inferir y predecir lo que va a ocurrir, y por lo tanto, es una herramienta fundamental a la hora de tomar decisiones de importancia.

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Marco histórico

1.Cronología

Desde los comienzos de la civilización han existido formas sencillas de estadística, pues ya se utilizaban representaciones gráficas y otros símbolos en pieles, rocas, palos de madera y paredes de cuevas para contar el número de personas, animales o cosas.

Los babilonios usaban pequeñas tablillas de arcilla para recopilar datos sobre la producción agrícola y sobre los géneros vendidos o cambiados mediante trueque.

En Israel se hicieron dos censos de la población de las diversas tribus judías, relacionado con el reparto del botín de guerra tras la victoria de los israelitas sobre los madianitas y a ciertas precisiones de orden cuantitativo relacionadas con los sacrificios y las ofrendas. El rey David, por otra parte ordenó a Joab, general del ejercito hacer un censo en Israel con la finalidad de conocer él numero de la población. Moisés realizó un censo, después de la salida de Egipto relatado en la Biblia textualmente”: Censo de las tribus: El día primero del segundo año después de la salida de Egipto, habló Yavpe a Moisés en el desierto de Sinaí en el tabernáculo de la reunión, diciendo: "Haz un censo general de toda la asamblea de los hijos de Israel, por familias y por linajes, describiendo

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Edad de Piedra

3000 a.C

1221 a.C

414 a.C

por cabezas los nombres de todos los varones aptos para el servicio de armas en Israel.."". 1

Sargón II, rey de asiría quien fundó una biblioteca en Nívine que luego fue ampliada y organizada bajo el reinado de Assurbanipal; los "textos" que allí se guardaban eran tablillas de ladrillo de arcilla, que redactaban hechos históricos, religiosos, importantes datos estadísticos sobre producción, cuentas; así como también datos de medicina, astronomía, etc.

En China Confucio2, en uno de sus clásicos "Shu-King”, nos narra cómo el Rey Yao en el año 2238 mandó hacer una estadística agrícola, industrial y comercial que se realizaron 69 censos para calcular los impuestos, determinar los derechos de voto y ponderar la potencia guerrera..

Mientras que en el antiguo Egipto los faraones recopilaban datos de población y riquezas del país. De acuerdo al historiador Heródoto3, dicho registro se realizaba con el objetivo de la preparar la construcción de las pirámides. Por otro lado, se realizaban censos de tierras con el propósito de verificar sus repartos.

Los griegos efectuaron censos periódicamente con fines tributarios, sociales (división de tierras) y militares (cálculo de recursos y hombres disponibles).

Para el nacimiento de Cristo sucedía uno de estos empadronamientos de la población bajo la autoridad del imperio romano.

Roma, con su perfecta organización política, jurídica y administrativa; favoreció para el desarrollo y el empleo de los recursos de la estadística. Cada cinco años realizaban un censo de la población y sus funcionarios públicos tenían la obligación de anotar nacimientos, defunciones y matrimonios, sin olvidar los recuentos periódicos del ganado y de las riquezas contenidas en las tierras conquistadas. Durante los mil años siguientes a la caída del imperio Romano se realizaron muy pocas operaciones Estadísticas, con la notable excepción de las relaciones de tierras pertenecientes a la Iglesia, compiladas por Pipino el Breve4

y por Carlomagno5 .

1 Los libros bíblicos de Números y Crónicas

11

722-705 a.C

414 a.C

500 a.C

385 a.C

Siglo VIII

0

En Francia, bajo el gobierno de Carlomagno, se realizaron algunos censos parciales de siervos.

En Inglaterra, Guillermo el Conquistador6 recopiló el Domesday Book o libro del Gran Catastro para el año 1086, un documento de la propiedad, extensión y valor de las tierras de Inglaterra. Esa obra fue el primer compendio estadístico de InglaterraAunque Carlomagno y Guillermo el Conquistador trataron de revivir la técnica romana, los métodos estadísticos permanecieron casi olvidados durante la Edad Media. También en el Imperio de los Incas notamos la estadística, donde mediante los quipus se registraron datos de la población por cantidad, edad, sexo, nacimientos y defunciones, conociendo todos los detalles de las diversas ramas de la administración. En el Imperio Incaico existía la costumbre de registrar todos los hechos demográficos y socio-económicos lo cual permitió desarrollar técnicas de recopilación y archivos de datos.

Para el año 1532 empezaron a registrarse en Inglaterra las defunciones debido al temor que Enrique VII7 tenía por la peste. Más o menos por la misma época, en Francia la ley exigió a los clérigos registrar los bautismos, fallecimientos y matrimonios. Durante un brote de peste que apareció a fines de la década de 1500, el gobierno inglés comenzó a publicar estadísticas semanales de los decesos. Esa costumbre continuó muchos años, y en 1632 estos Bills of Mortality (Cuentas de Mortalidad) contenían los nacimientos y fallecimientos por sexo. En 1662, el capitán John Graunt usó documentos que abarcaban treinta años y efectuó predicciones sobre el número de personas que morirían de varias enfermedades y sobre las proporciones de nacimientos de varones y mujeres que cabría esperar. El trabajo de Graunt, condensado en su obra Natural and Political Observations...Made upon the Bills of Mortality (Observaciones Políticas y Naturales ... Hechas a partir de las Cuentas de Mortalidad), fue un esfuerzo innovador en el análisis estadístico. Para este hecho relevante, se necesito el registro de datos para controlar y accionar mediante el problema.

Por el año 1540 el alemán Sebastián Muster8 realizó una compilación estadística de los recursos nacionales, comprensiva de datos sobre organización política, instrucciones sociales, comercio y poderío militar. Durante el siglo XVII aportó indicaciones más concretas de métodos de observación y análisis cuantitativo y amplió los campos de la inferencia y la teoría Estadística.

2 Confucio (c. 551-479 a.C.), filósofo chino3 Heródoto (c. 484-425 a.C.), historiador griego, reconocido como el padre de la historiografía.4 Pipino el Breve (c. 714-768), primer rey de la dinastía de Carolingia.5 Carlomagno (742-814), emperador de los romanos.6 Guillermo el Conquistador (1027-1087), duque de Normandía y rey de Inglaterra

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Siglo IX

Siglo XI

Siglo XVI

Siglo XVII

En este periodo los datos estadísticos para fines ajenos a la política estuvieron a cargo de Gaspar Neumann, un profesor alemán que vivía en Breslau. Este investigador se propuso destruir la antigua creencia popular de que en los años terminados en siete moría más gente que en los restantes, y para lograrlo hurgó pacientemente en los archivos parroquiales de la ciudad. Después de revisar miles de defunción pudo demostrar que en tales años no fallecían más personas que en los demás. Los procedimientos de Neumann fueron conocidos por el astrónomo inglés Halley, descubridor del cometa que lleva su nombre, quien los aplicó al estudio de la vida humana. Sus cálculos sirvieron de base para las tablas de mortalidad que hoy utilizan todas las compañías de seguros.

Jacques Quételect es quien aplica las Estadísticas a las ciencias sociales, interpretó la teoría de la probabilidad para su uso en las ciencias sociales y resolver la aplicación del principio de promedios y de la variabilidad a los fenómenos sociales. Fue el primero en realizar la aplicación práctica de todo el método Estadístico, entonces conocido, a las diversas ramas de la ciencia.

Hombres como Leonardo de Vinci, Nicolás Copérnico, Galileo, Neper, William Harvey, Sir Francis Bacon y René Descartes, hicieron grandes operaciones al método científico, de tal forma que cuando se crearon los Estados Nacionales y surgió como fuerza el comercio internacional existía ya un método capaz de aplicarse a los datos económicos. En los tiempos modernos tales métodos fueron usados por algunos reyes que necesitaban conocer las riquezas monetarias y el potencial humano de sus respectivos países.

]Luego del siglo XVII se demostró un especial interés por la Estadística Demográfica como resultado de la especulación sobre si la población aumentaba, decrecía o permanecía estática.

La palabra estadística comenzó a usarse, en Alemania, con relación a estudios donde los grandes números, que representaban datos, eran de importancia para el estado. Durante dos décadas se desarrollaron dos conceptos matemáticos fundamentales para la teoría Estadística; la teoría de los errores de observación, aportada por Laplace y Gauss; y la teoría de los mínimos cuadrados desarrollada también por Legendre. A finales del siglo, Sir Francis Gastón ideó el método conocido por Correlación, que tenía por objeto medir la influencia relativa de los factores sobre las variables.

De aquí partió el desarrollo del coeficiente de correlación creado por Karl Pearson y otros cultivadores de la ciencia biométrica como J. Pease Norton, R. H. Hooker y G. Udny Yule, que efectuaron amplios estudios sobre la medida de las relaciones. Así la estadística moderna se desarrolló de los estudios de Karl Pearson.

En Argentina se realizan los primeros censos poblacionales cuyos resultados eran de suma importancia para la clase política del momento ya que dichos

7 Enrique VII (1457-1509), rey de Inglaterra.8 Sebastián Muster (1488-1552) Alemán Catedrático Hebreo

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Durante los Siglos

XV, XVI, y XVII,

Siglo XIX

Siglo XX

Siglo XVII

conocimientos y diagnósticos eran útiles para los diseños de políticas gubernamentales. En 1968 se crea el INDEC.

En nuestros días, la estadística se ha convertido en un método efectivo para describir con exactitud los valores de los datos económicos, políticos, sociales, psicológicos, biológicos y físicos, y sirve como herramienta para relacionar y analizar dichos datos.

2.Estadística Moderna:Su crecimiento y desarrollo puede analizarse desde dos fenómenos separados: La necesidad del gobierno de obtener datos sobre los ciudadanos y el desarrollo en las matemáticas, de la teoría de probabilidades.

3.Etapas del desarrollo de la Estadística

La historia de la estadística está resumida en tres grandes etapas o fases.

Primera Fase: Los Censos:

Desde el momento en que se constituye una autoridad política, la idea de inventar de una forma más o menos regular de la población y las riquezas existentes en el territorio están ligada a la conciencia de soberanía y a los primeros esfuerzos administrativos.

Segunda Fase: De la Descripción de los Conjuntos a la Aritmética Política:

Las ideas mercantilistas entrañan una intensificación de este tipo de investigación. Colbert multiplica las encuestas sobre artículos manufacturados, el comercio y la población; los intendentes del Reino envían a París sus memorias. Vauban, más conocido por sus fortificaciones o su Dime Royale, que es la primera propuesta de un impuesto sobre los ingresos, se señala como el verdadero precursor de los sondeos.

Tercera Fase: Estadística y Cálculo de Probabilidades:

El cálculo de probabilidades se incorpora rápidamente como un instrumento de análisis extremadamente poderoso para el estudio de los fenómenos.

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Siglo XX

4. Personajes que contribuyeron en su desarrollo Fueron muchos matemáticos, filósofos y físicos que contribuyeron en el desarrollo de la estadística. Se puede decir que, desde que el hombre comienza hacerse preguntas que expliquen los acontecimientos mitológicos, físicos o naturales, permitió partir a nuevos horizontes con nuevos desafíos. Todo esto admitió desarrollar nuevas teorías y descubrimientos que llevaron a dividir la física y la matemática, entre otras especialidades, en nuevas ramas de estudios como por ejemplo de la matemática, nace la estadística cuyo fin fue demostrar una situación actual a través de una problema social y la recolección de datos. A partir del siglo XX, específicamente alrededor de los años 30, se produce un nuevo giro en el desarrollo de lo estadístico. Desde hace unos 100 años la estadística viene formando un papel muy importante en el desarrollo de la Física. En la industria farmacéutica, el método estadístico ha permitido resolver el problema del control de calidad de las fabricaciones. En general en diversas ciencias y técnicas: meteorológicas, balísticas, económicas, agrarias, etc.; utilizaron la estadística como un instrumento de investigación. Su campo y aplicación es tan amplio que en la actualidad lo estadístico está relacionado con el progreso de los pueblos.

Heródoto: ( 484 – 425 a.C) Fue un historiador griego y en una de sus obras conocidas como “Historias” trata sobre las costumbres, leyendas, historia y tradiciones de los pueblos del mundo antiguo, incluidos los lidios, escitas, medas, persas, asirios y egipcios. Y fue en una de ellas que redacta los censos que se realizaron en el antiguo Egipto.

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Aristóteles: ( 384 – 322 a.C) Fue un filosofo y científico griego. Comienza sus estudios en la Academia de Platón y la influencia de este hombre se extenderá hasta el siglo XVII, en el desarrollo de nuevas teorías.

Willian Petty Devenat y John Graunt: (1620 - 1674) Fueron profesores destacados de la época en Inglaterra en la escuela demográfica o de Aritmética Política, quienes se proponían determinar de forma cuantitativa las leyes empíricas que regían el comportamiento de los fenómenos políticos y sociales.

John Graunt (1620 – 1674) Demógrafo Ingles. Publicó un libro sobre los nacimientos y defunciones ocurridos en Londres; el libro contenía conclusiones acerca de ciertos aspectos relacionados con estos acontecimientos. Esta obra es considerada como el punto de partida de la estadística moderna.

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Jacques Bernovilli (1654 - 1705) y Laplace (1749 - 1827): Pueden considerarse como iniciadores de la estadística matemática.

Susamilch : (1707 - 1767) Alemán del siglo XVII construye las primeras tablas de mortalidad, punto de partida del negocio de los seguros.

Godofredo Achenwal: (1719-1772) Cientista político y estadístico alemán,. En 1760 acuñó la palabra estadística, del italiano statista (estadista), del latín status, estado o situación. Pensaba, y con razón, que esta nueva ciencia serían el aliado más eficaz del gobernante.

Adolphe Quetelet: (1796 - 1894) Matemático, metrorologo, estadístico y sociólogo Belga. Puede ser considerado como iniciador de la sociometría al aplicar los métodos estadísticos al estudio de las cualidades físicas, morales e intelectuales de los seres humanos.

Poisson, los hermanos Bernoulli, Gauss, de Moivre: Todos fueron grandes matemáticos que influenciaron en el cálculo de las probabilidades y en la toma de decisiones, pudiéndose hacer mención del trabajo de los franceses Berel, Levy, Frechet y del ruso Tchevichey, y entre los ingleses destacó el clérigo Tomás Bayes.

Francis Galton: (1822-1911) Inglaterra. Se interesó por la herencia y la biometría. Recopiló estadísticas sobre la estatura, dimensiones, fuerza y otras características de un gran número de personas. Dedicó especial atención a un método de identificación por medio de las huellas dactilares. También desarrolló técnicas fundamentales para las mediciones estadísticas, especialmente respecto al cálculo de la correlación entre pares de atributos. Junto con Karl Pearson y Ralph

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Weldon publica el primer número de la revista Biométrica. Para confirmar la teoría de la evolución de su Darwin (primo de Galton), deciden recolectar mediciones de todo tipo de aspectos del ser humano.

Alexander Aitken: (1895 – 1967)Mateatico nacido en Nueva Zelanda. Realizó estudios en matemáticas, estadística y economía, en 1936 se volvió un asiduo estudioso de la estadística, ese año fue escogido como miembro de la Real Sociedad, y diez años más tarde se le designó para ocupar el puesto de Whittaker.

Gregorio Mendel: (1822 - 1882), descubridor de las leyes estadísticas sobre la herencia.

Wilhelm Lexis: (1837-1914 ) Economista y estadístico alemán. Contribuyó a la estadística social, estudiando datos presentados como series de tiempo, por primera vez. 1880

Karl Pearson (1857 – 1936), Matemático inglés, trabajó en la University College de Londres. Es considerado el padre de la Estadística Moderna. Junto con Galton han llevado a su desarrollo la biometría.

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William Gosset: (1876-1937) Químico inglés. Trabajó como químico en la cervecería Guiness, en particular en Control Estadístico de Calidad. Publicaba sus trabajos de estadística bajo el seudónimo de Student.- Desarrolló el test T, basado en la distribución de probabilidad T de Student, introducida por él.

Ronald Fisher: (1890-1962): Matemático británico, cuyas teorías estadísticas hicieron mucho más precisos los experimentos científicos. Sus proyectos estadísticos, primero utilizados en biología, rápidamente cobraron importancia y fueron aplicados a la experimentación agrícola, médica e industrial.

Jerzy Neyman: (1894-1981). Matemático y Estadístico nacido en Polonia. Desarrolló el muestreo de poblaciones finitas, y la estimación por intervalos de confianza. 1934. Estableció que la selección aleatoria es la base de una teoría científica que permite predecir la validez de las estimaciones muestrales. También dejó establecida toda una filosofía sobre la eficiencia de la estrategia muestral.

Edwards Deming: (1900-1993) Estadístico Norteamericano. Asesor económico estadounidense, señaló que el consumidor es la parte más importante de la línea productiva, y enseñó a los japoneses los distintos métodos de control de calidad aplicando la estadística.

Abraham Wald: (1902-1950), nacido en Transilvania, entonces Hungría, actualmente Rumania. Desarrolló la Teoría de Muestreo Secuencial y la Teoría Estadística de Decisiones. Aunque hay conceptos decisionistas en Bernoulli, en Laplace y en Gauss. También en otros campos, como Máxima Verosimilitud Asintótica, Estadística No-Paramétrica, Análisis Discriminante, Control de calidad, Modelos Lineales con Error en las Variables, entre otros.

• Etimología de Estadística

“En la antigüedad la palabra estadística designaba el conjunto de averiguaciones realizadas por el estado o los gobernantes para, principalmente, la elaboración de censos de población, impuestos, etc. y mucha de la terminología de la estadística actual provienen de dichos orígenes.

STATERA (BALANZA (GRIEGO)STATUS (SITUACION (LATIN)

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STAAT (ESTADO (ALEMAN)

Como vemos en el cuadro anterior, el origen etimológico de la palabra estadística no esta bien determinado ya que existen distintas opiniones y referencias; para algunos proviene del griego “STATERA” que significa balanza; otros sostienen que se deriva del latín “STATUS” que significa situación; mientras que algunos autores afirman que viene del alemán “STAAT” que significa estado.Parece ser que la palabra estadística fue utilizada por primera vez recién a mediados del siglo XVII y se refería a la recolección de datos y documentos útiles para la mejor administración del estado; la raíz “STATUS” justifica así el origen de la palabra estadística”9.

Marco Teórico

1. Definición de estadística: Es la ciencia cuyo objetivo es reunir información de individuos, grupos y series de hechos reales para luego analizarlos y presentarlos organizadamente con el fin de entender y obtener conclusiones.

Otros autores la definen de diferentes formas, pero coinciden con el objetivo.

“Estadística, rama de las matemáticas que se ocupa de reunir, organizar y analizar datos numéricos y que ayuda a resolver problemas como el diseño de experimentos y la toma de decisiones”12.

“Es la disciplina que permite predecir fenómenos con cierto grado de exactitud. Para eso, es necesario recopilar datos, analizándolos y extraer conclusiones.”13

“La estadística es una rama de la matemática que se refiere a la recolección, estudio e interpretación de los datos obtenidos en un estudio. Es aplicable a una amplia variedad de disciplina, desde la física hasta las ciencias sociales, ciencias de la salud como la Psicología y la Medicina, y usada en la toma de decisiones en áreas de negocios e instituciones gubernamentales”14

9 Para mas información leer material adicional

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2. La estadística se divide en dos ramas:

2.1 Estadística descriptiva: Permite estudiar la recopilación, presentación y descripción de los datos obtenidos de toda la población.

2.2 Estadística inferencial: Permite obtener, a partir de los resultados provenientes de la estadística descriptiva y con cierto grado de confianza, conclusiones generales. O sea que se refiere a los estudios que se hacen sobre una parte de la población, con el fin de obtener conclusiones sobre las características de interés de dicha población.

3. Etapas para el estudio estadístico:

El método estadístico, parte de la observación de un fenómeno. Para el planeamiento de una investigación, por norma general, se siguen las siguientes etapas:

3.1 Planteo del problema: Al abordar una investigación se debe tener bien definido el tema a estudiar y la justificación de su estudio.

3.2 Fijación de los objetivos: Debemos fijar cuales son las metas y objetivos, es decir qué se desea conocer y lo que se pretende realizar en el estudio.

3.3 Formulación de la hipótesis: Debe poderse probar para su aceptación o rechazo.

3.4 Definición de la unidad de observación y de la unidad de medida: La Unidad de Observación, entendida como cada uno de los elementos constituyentes de la población estudiada, debe definirse previamente, resaltando todas sus características; pues, al fin de cuentas, es a ellas a las que se les hará la medición.

3.5 Determinación de la población y de la muestra: Debemos determinar al conjunto de individuos o de objetos que poseen una o varias características comunes. Por otro lado se determinara si es necesario al subconjunto de la población, que debe ser representativa de la población y sus elementos deben ser escogidos al azar para asegurar la objetividad de la investigación.

12 Microsoft Encarta 200913 Longseller. Matemática para ´polimodal. Probabilidad y estadística14 www.\Estadística - Wikipedia, la enciclopedia libre.mht

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3.6 La recolección: Una de las etapas más importantes de la investigación es la recolección de la información, de una o varias muestras piloto en las cuales se pondrán a prueba los cuestionarios. Es determinar si la encuesta se debe aplicar por teléfono, por correo, o si se necesitan agentes directos que recojan la información (censistas).

3.7 Crítica, clasificación y ordenación: Después de haber reunido toda la información pertinente, se necesita la depuración de los datos recogidos luego se clasifican y por ultimo se ordenan.

3.8 Tabulación: Una tabla es un resumen de información

3.9 Presentación: Los cuadros, tablas y gráficos facilitan el análisis, pero se debe tener cuidado con las variables que se van a presentar y la forma de hacerlo

3.10 Análisis: Es el análisis donde se cristaliza la investigación.

3.11 Publicación: Toda conclusión es digna de ser comunicada

4. Tipos de estudio estadísticos

4.1 Estudios enumerativos: En este tipo de estudio se toma decisiones respecto a la población y /o sus características. Un ejemplo claro de ello, en una escuela, se realiza un conteo de quienes no tienen auto, y se toma la decisión de implementar un transporte para los alumnos.

4.2 Estudios analíticos: En este tipo de estudio se realiza algún cambio sobre un proceso para mejorar el desempeño en el futuro. Un ejemplo de ello es cuando se realiza un estudio de preferencia de un detergente, se estudió que el envase no era el correcto, se analizó y se lo cambió por otro.

5. Fuente de datos

Las fuentes de los datos de un estudio estadístico pueden ser a través de censos, encuestas*, entrevistas*, publicaciones y se utilizan distintos métodos para recolectar datos, estos pueden ser por medio de cuestionarios, teléfono, entrevistas personal, correos, e-mail, entre otros.

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6. Variables∗:

Para hacer un estudio estadístico debo determinar las variables.

6.1 Variable categórica: Son los diferentes elementos de clasificación que suelen emplearse.

6.1 a) Escala de medición nominal: La escala de medida nominal, puede considerarse la escala de nivel más bajo. Se trata de agrupar objetos en clases sin importar el orden. Un ejemplo es preguntas dónde deben responder “si” o “no”, a “veces” , “no responde”.

6.1.b) Escala de medición ordinal: La escala de medida ordinal, se caracteriza por implementar orden. Un ejemplo es las preguntas donde se debe responder “Excelente”, “Muy bueno”, “bueno”, “malo”

6.2 Variable cualitativa: Expresa una cualidad y no tiene sentido operar numéricamente Relacionado con características no numéricas del objeto de estudio por ejemplo nacionalidad, colores, sexo

6.3 Variable cuantitativa: Se expresan en cantidades numéricas con las cuales tiene sentido realizar operaciones matemáticas. Relacionado con características numéricas del objeto de estudio, por ejemplo, edad, estatura, cantidades, notas de exámenes, precio, valor, ect.

Las variables cuantitativas se clasifican en:

Consultar glosario

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Escala nominal Categóricas Escala ordinal Variables Cualitativas

Escala de intervalos Discretas Cuantitativas Numéricas o Escala de cociente Continuas

6.3.a) Discretas: Solo pueden tener valores enteros.

6.3.b) Continuas: Solo pueden tomar valores reales por ejemplo, la velocidad de un vehículo, los kilogramos de una masa, la medida de un tornillo, ect.

6.3.c) Escala de medición por intervalo: Está caracterizada por una unidad de medida común y constante.

6.3.d) Escala de medición por cociente: Esta caracterizada por poseer un punto cero propio como origen; es decir que el valor cero de esta escala significa ausencia de la magnitud que se esta midiendo. En general este tipo se aplica en mediciones de longitud.

También se pueden clasificar:

6.4 Variable unidimensional: Información de una característica por ejemplo la edad de los alumnos de una clase. 6.5 Variable bidimensional: Información de dos características de la población o muestra por ejemplo edad y altura de los alumnos de una clase.

6.6 Variable pluridimensional: Información sobre tres o más características de la población por ejemplo edad, altura y peso de los alumnos de una clase.

24

Por otro lado cuando se estudia el comportamiento de una variable hay que distinguir: población∗, muestra∗ e individuo∗.

7. Distribución de frecuencia*:

Al ordenar datos muy numerosos, es usual agruparlos en clases o categorías. Al determinar cuántos pertenecen a cada clase, establecemos la frecuencia. Se Construye así una tabla de datos llamada tabla de frecuencia.

La tabla de frecuencia es la representación estructurada, en forma de tabla, de toda la información que se ha obtenido sobre la variable que sé esta estudiando.

Tipos de frecuencias:

7.1. Frecuencia absoluta: ( af ) Indica las veces que aparece cada dato.

7.2 Frecuencia absoluta acumulada: ( aF ) Indica él numero de variables con valor inferior o igual al dato que corresponde (partiendo del supuesto que nuestros datos están ordenado y de orden creciente)

7.3 Frecuencia relativa: ( rf ) Corresponde a la razón entre la frecuencia absoluta y el total de datos, la cual se puede expresar mediante el uso de porcentajes.

7.4 Frecuencia relativa acumulada: ( raF ) Es el cociente entre la frecuencia absoluta acumulada y el número total de datos, N.

7.5 Porcentaje acumulado: ( aP ), Se obtiene con la frecuencia relativa acumulada por 100 que al igual que Fi deberá de resultar al final el 100% de N.

Ejemplos de tabla de frecuencia

ix af aF rf raF aP

*Consultar glosario

25

1x1n 1n 11 nf = /n 1f 1001 ⋅f

2x 2n 1n + 2n 22 ff = /n 1f + 2f 2f .100

3x 3n 1n + 2n + 3n 33 ff = /n 1f + 2f + 3f 3f .100

n ∑ = 1 100%

ix = Cada valor que puede tener la variable

1n , 2n , 3n ...= cantidad de veces que se repite cada valor.

1f , 2f , 3f ... = Es el porcentaje que se repite cada valor sobre el total.

8 Descripción de los datos: Medidas descriptivas

Las medidas descriptivas son valores numéricos calculados a partir de la muestra y que nos resumen la información contenida en ella.

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Medidas de posición

Nos indican información sobre los datos que estamos analizando y nos brinda diversas características sobre ellos. Estos son de dos tipos: Medidas de posición central o medidas de posición no centrales.

8.1 Medidas de posición no centrales: Las medidas de posición no centrales permiten conocer otros puntos característicos de la distribución que no son los valores centrales. Entre otros indicadores, se suelen utilizar una serie de valores que dividen la muestra en tramos iguales:

8,1,1 Cuartiles: son 3 valores que distribuyen la serie de datos, ordenada de forma creciente o decreciente, en cuatro tramos iguales, en los que cada uno de ellos representa el 25% de los resultados.

25% 25% 25% 25%

8.1.2 Deciles: son 9 valores que distribuyen la serie de datos, ordenada de forma creciente o decreciente, en diez tramos iguales, en los que cada uno de ellos representa el 10% de los resultados.

27

Q1 Q2 Q3

10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10%

8.1.3 Percentiles: son 99 valores que distribuyen la serie de datos, ordenada de forma creciente o decreciente, en cien tramos iguales, en los que cada uno de ellos representa el 1% de los resultados.

Ejemplo: Vamos a calcular los cuartiles de la serie de datos referidos a la estatura de un grupo de alumnos (lección 2ª). Los deciles y centiles se calculan de igual manera, aunque haría falta distribuciones con mayor número de datos.

Variable Frecuencias absolutas Frecuencias relativas(Valor) Simple Acumulada Simple Acumulada

X x x X x1,20 1 1 3,3% 3,3%1,21 4 5 13,3% 16,6%1,22 4 9 13,3% 30,0%1,23 2 11 6,6% 36,6%1,24 1 12 3,3% 40,0%1,25 2 14 6,6% 46,6%1,26 3 17 10,0% 56,6%1,27 3 20 10,0% 66,6%1,28 4 24 13,3% 80,0%1,29 3 27 10,0% 90,0%1,30 3 30 10,0% 100,0%

1º Cuartil: es el valor 1,22 cm, ya que por debajo suya se sitúa el 25% de la frecuencia (tal como se puede ver en la columna de la frecuencia relativa acumulada).

2º Cuartil: es el valor 1,26 cm, ya que entre este valor y el 1º cuartil se sitúa otro 25% de la frecuencia.

3º cuartil: es el valor 1,28 cm, ya que entre este valor y el 2º cuartil se sitúa otro 25% de la frecuencia. Además, por encima suya queda el restante 25% de la frecuencia.

28

Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 Q6 Q7 Q8 Q9

8.2 Medidas de posición centralizada: Informan sobre los valores medios de la serie de datos.

8.2.1 Media: Es el valor medio ponderado de la serie de datos. se puede calcular de distintos tipos según estén agrupados o no:

8.2.2 Media Aritmética para datos no agrupados: Es el valor obtenido al sumar todos los datos y dividir el resultado entre el numero total de datos:

Ejemplo

Es el s ímbolo de la media aritmética .

8.2.3Media aritmética para datos agrupados: (_x ) Se calcula multiplicando

cada valor por el número de veces que se repite ese dato. La suma de todos estos productos se divide por el total de datos de la muestra.

La media aritmética no siempre es representativa por que esta influenciada por valores extremos. Es representativa cuando su valor es cercano a la mediana o a la moda.

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Propiedades de la media aritmética:

• Todo conjunto de datos de nivel de intervalo y de nivel de razón tiene un valor medio.

• Al evaluar la media se incluyen todos los valores.

• Un conjunto de valores sólo tiene una media.

• La cantidad de datos a evaluar rara vez afecta la media.

• La media es la única medida de ubicación donde la suma de las desviaciones de cada valor con respecto a la media, siempre es cero. Ejemplo: Si la media aritmética entre 3, 5 y 7 es 5, entonces ocurre que (3-5) + (5-5) + (7-5) = 0.

8.2.4 Media geométrica: (MG) La media geométrica se usa para encontrar el promedio* de porcentajes, razones, índices o tasas de crecimiento. La MG de un conjunto de n números positivos se define como la raíz n-ésima del producto de los n valores. Su fórmula es:

Ejemplo : Las tasas de interés de tres bonos son 5%, 7% y 4%.

= 5.192.

Importante: Si los datos, están agrupados entonces la media geométrica la calculamos de la siguiente forma: Se eleva cada valor al numero de veces que se ha repetido, se multiplica todos estos resultados y finalmente se le calcula la raíz “n”, siendo “n” el total de datos de la muestra.

n nnn

nn xxxMG ⋅⋅= 22

11

30

Propiedades de la media geométrica

• La media geométrica esta basada en todas las observaciones*, por lo que está afectada por todos los valores de la variable*. Sin embargo, da menos pesos a los valores extremadamente grandes que el que les da la media aritmética.

• La media geométrica es igual a cero si algunos de los valores es cero, y se puede volver imaginaria si ocurren valores negativos. Con la excepción de estos dos casos, su valor siempre es definitivo y está rígidamente definido.

• La media geométrica es la que se debe utilizar cuando lo que se va a promediar son tasas de cambios o proporciones, y se intenta dar igual peso a tasas de cambios iguales.

8.2.5 Media ponderada: La media ponderada de un conjunto de números X1, X2, ..., Xn, con las ponderaciones correspondientes w1, w2, ...,wn, se calcula con la fórmula:

Ejemplo: Durante un periodo de una hora en una tarde calurosa de un sábado, el cantinero Julio sirvió cincuenta bebidas. Calcule la media ponderada de los precios de las bebidas. (Precio ($), cantidad vendida): (.50,5), (.75,15), (.90,15), (1.10,15). La media ponderada es:

$(.50 x 5 + .75 x 15 + .90 x 15 + 1.10 x 15) / (5 + 15 + 15 + 15) = $43.75/50 = $0.875

8.2.6 Mediana: ( em ) Se denomina así al valor que divide al conjunto ordenado de datos (de forma creciente o decreciente) en dos partes iguales. Si la cantidad de los datos es par la mediana es la media entre los dos valores centrales, en cambio si la cantidad de datos es impar la mediana será el numero impar.

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Ejemplo: 1 3 6 7 9 La Mediana es: 6 1 3 4 5 7 9 La Mediana es: 4,5 (promedio entre 4 y 5)

Propiedades de la mediana:

La mediana es única para cada conjunto de datos.

No se ve afectada por valores muy grandes o muy pequeños, y por lo tanto es una medida valiosa de tendencia central cuando ocurren.

Puede obtenerse para datos de nivel de razón, de intervalo y ordinal.

Puede calcularse para una distribución de frecuencias con una clase de extremo abierto, si la mediana no se encuentra en una de estas clases.

Según el tipo de dato que se utilice será más apropiado utilizar la media aritmética o la media geométrica.

8.2.7 Moda: ( om ) Se llama así al valor que aparece con mayor frecuencia. En un conjunto de datos puede haber mas de una o ninguna moda.

Ejemplo: Las calificaciones de un examen de diez estudiantes son: 81, 93, 84, 75, 68, 87, 81, 75, 81, 87. Como la calificación 81 es la que más ocurre, la calificación modal es 81.

Propiedades de la moda:

Si hay 2 modas se la llama bimodal.

Si hay tres modas se la denomina trimodal, ect

8.3 Medidas de dispersión

Estudia la distribución de la serie, analizando si estos se encuentran mas o menos concentrados o más o menos dispersos. Es decir que nos indica en que medida se alejan los datos de los valores centrales.

Existen diversas medidas de dispersión, entre los mas utilizadas podemos encontrar:

8. 3.1Varianza: Mide la distancia existente entre los valores de la serie y la media. Se calcula como la sumatoria de las diferencias al cuadrado entre cada valor y la media,

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multiplicadas por el numero de veces que se ha repetido cada valor. La sumatoria obtenida se divide por el tamaño de la muestra*.

nnxx

s imi .)( 22 −= ∑

Algunas propiedades de la varianza son:

Propiedad que permite que la definición de desviación típica sea consistente.

Siendo a y b constantes cualesquiera. De esta ultima propiedad es fácil ver que la varianza de una constante es cero. i.e.

Ejemplo: Datos: 5,7,11,8,6 (los ordeno de forma creciente 5,6,7,8,11)Calculo la media mx = (5+6+7+8+11)/5= 37/5 = 7,4

=2s [(5-7,4) ² +(6-7,4) ² +(7-7,4) ² +(8-7,4) ² +(11-7,4) ² ] = [(-2,4) ² +( -1,4) ² +( -0,4) ² +1,4 ² +3,6 ² ] = 5 5

=2s [5,76+1,96+0,16+1,96+12,96]= 22,8/5 = 4,56 5

8.3.2 Desviación: Representa la mayor o menor alejamiento de un dato respecto a la media aritmética y se calcula:

xxd −=

8.3.3 Desvió medio: Es la diferencia entre los valore y la media multiplicado por la cantidad de veces que se repita cada valor dividido él numero de datos.

nxx

DM mi∑ −=

n

nxxDM

ii .__

∑ −=

Para datos no agrupados Para datos agrupados

33

8.3.4 Desvió típico o estándar: Representa el grado de dispersión de los datos respecto a la media se calcula como la raíz cuadrada de la varianza.

nxxi )( −

= ∑σ n

nxx imi .)( 2−= ∑σ

Para datos no agrupados Para datos agrupados

8.3.5 Coeficiente de variación: Se calcula como el cociente de la desviación típico y la media de la muestra.

C.V = __x

σ

8.3.6 Rango: El rango esta dado para la diferencia de la mayor y menor valor de una variable.

R = xmax - xmin

8.4 Medidas de forma

Las medidas de forma permiten conocer que forma tiene la curva que representa la serie de datos de la muestra. En concreto, podemos estudiar las siguientes características de la curva:

8.4.1 Concentración: mide si los valores de la variable están más o menos uniformemente repartidos a lo largo de la muestra.

8.4.2 Asimetría: mide si la curva tiene una forma simétrica, es decir, si respecto al centro de la misma (centro de simetría) los segmentos de curva que quedan a derecha e izquierda son similares.

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8.4.3 Curtosis: mide si los valores de la distribución están más o menos concentrados alrededor de los valores medios de la muestra.

9. Margen de error en encuestas

9.1Errores de cobertura: Resulta de la exclusión de ciertos grupos o sujetos de un listado de población. Por ejemplos los votos por Internet no se puede decir que es representativo en todos los niveles de las clases sociales ya que pocos tienen alcance a las nuevas tecnologías.

9.2Errores de no respuestas: Resulta del resultado de la encuesta donde el porcentaje* de los que no emiten respuesta se puede hacer amplio, y este margen es también parte de la población real.

9.3Errores de la muestra: Allí se refleja la diferencia de oportunidad.

9.4Errores de medición: puede surgir a la inexactitud de las respuestas que pueden ser debidas a la mala formulación de las preguntas.

35

X = Md = Mo X >Md > Mo X < Md < Mo

10.Representación grafica: Una gráfica o diagrama es un dibujo complementario a una tabla o cuadro, que permite observar las tendencias de un fenómeno en estudio y facilita el análisis estadístico de las variables allí relacionadas.

10.1Grafico de torta o circular: Los gráficos de torta se utilizan para mostrar la distribución de las respuestas obtenidas del total de consultas obtenidas. Para ello se divide el circulo en los sectores circulares que represente la parte del giro que corresponda al porcentaje de cada registro.

10.2 Grafico de barra: Se utilizan para representar los caracteres cualitativos y cuantitativos discretos. En el eje horizontal o eje de abcisa se representan los datos o modalidades, el eje vertical o de ordenadas se representan las frecuencias de cada dato o modalidad. Las frecuencias pueden ser absolutas, acumuladas, relativas o relativas acumuladas.

36

10.3 Histograma: Para la construcción de un histograma de frecuencias de fácil interpretación y que no falsee la información, debe disponerse de una distribución de frecuencias por intervalos con amplitud igual para cada clase o intervalo. En el eje de las abscisas se representan los intervalos de la variable, y en el eje de las ordenadas las frecuencias de cada clase. El histograma se construye dibujando barras contiguas que tienen como base la amplitud de cada intervalo y como alturas las frecuencias respectivas.

10.4 Pictograma: Representación grafica parecida al diagrama de barras en la que se emplean figuras o dibujos representativos a la variable y proporcionales a la frecuencia absoluta de cada dato o modalidad.

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10.5 Polígono de Frecuencias Para la construcción de un polígono de frecuencias, se marcan los puntos medios de cada uno los intervalos en la parte superior de cada barra del histograma de frecuencias, los cuales se unen con segmentos de recta.

20

16

12

8

4

45 55 65 75 85 95 40 50 60 70 80 90 100

10-6 Distribuciones de frecuencias Acumuladas u Ojivas: Este tipo de distribuciones sirve para saber inmediatamente cuántas frecuencias hay por encima o por debajo de un límite real dado. Para esto es suficiente construir las columnas de

38

frecuencias acumuladas "mayores que" y "menores que". Los gráficos pueden ser Simétricas o Asimétricas. Las Ojivas Simétricas se reconocen cuando coinciden la Media, la Mediana y la Moda; o cuando las frecuencias equidistantes de su máximo central sean iguales. Las ojivas simétricas son conocidas también con el nombre de Campana de Gauss, Curva Normal, Curva de Campana, Curva de Error o Curva de De Moivre. A pesar de la prioridad del nombre de Curva de De Moivre, y de haber sido él quien la descubrió, no es muy utilizado. Gráficamente las Frecuencias Acumuladas "menores que" se construyen de derecha a izquierda; y las Frecuencias Acumuladas "mayores que" se construyen de izquierda a derecha.

45 55 65 75 85 9545 55 65 75 85 95

5

10

15

25

30

35

40

45

50

20

100 %

75 %

50 %

25 %

Ni < Ni >

10.7 Diagrama de cajas: Consiste en un grafico que muestra simultáneamente diferentes elementos de la distribución de una o más muestras, por ejemplo, mediana, rango, cuartiles, deciles,ect. La principal utilidad de este tipo de gráficos es la comparación de distribuciones de diferentes grupos.

39

10.8 Grafico de coeficiente de correlación: En el se analizan el grado de intensidad de la relación de variables. Por ejemplo cuando se quiere ver si existe alguna relación con el peso y altura de un cierto grupo o muestra. Es lineal cuando existe relación, es exponencial cuando no hay intensidad la relación de las variables y por ultimo habrá puntos dispersos cuando no existen relación entre las variables.

40

Aplicación

A continuación se presentara un ejemplo de cómo trabajar un problema social a través de la estadística, en un institución educativa.

Mapa de la Zona:

41

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

24

25

26

27

28

29

30

23

22

28

33

34

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37

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32

31

35

35

43

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45

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47

48

41

40

42

42 51

52

53

54

55

8

9

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13

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21

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35

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41

40

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42 51

52

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55

56

57

50

49

Barrio Parque Alvear

Fundamentación:El presente proyecto fue pensado por los problemas que causan la contaminación del arroyo Darragueira, por ende las enfermedades que sufren los habitantes de la zona y las consecuencias que pueden traer a futuro la inacción de los constantes derroches tóxicos que se producen en dicho arroyo. A través de la producción y acción del proyecto se intentara lograr en la comunidad una información masiva de la situación actual del Arroyo Darragueira y por otro lado alertar posibles enfermedades relacionadas con la contaminación actual de la zona. La escuela podrá tomar un papel fundamental como educador social promoviendo una educación ambiental no solo institucionalmente sino socialmente. En lo individual se pretende lograr que cada uno sea capaz de comprender lo que sucede a su alrededor, dejando que se juzgue y se decida a través de la información que se le brinde. Para este trabajo se invitara personas con experiencias sobre el tema como por ejemplo trabajador de la salud, sociólogos y representante de ONG relacionado con el cuidado del medio ambiente, para que en conjunto se logre armar folletos de concientización que serán repartidos por los alumnos. El proyecto intenta enseñar a los alumnos a cuidar y respetar el entorno en el que viven y desde ellos concientizar a la población sobre el tema.

Objetivos:Objetivos del aprendizaje:

• Valoren la importancia de informarse sobre la contaminación ambiental y vivir sanamente.

• Analicen y articulen información investigada sobre el tema.• Utilicen lenguaje oral y escrito para expresar ideas y describir situaciones

problemáticas, registrando información a partir de los trabajos grupales.• Evalúen posibles soluciones y estrategias ante los problemas detectados.

Objetivos del servicio:

• Que los alumnos detecten necesidades y problemas referidos a la contaminación.• Que los alumnos realicen una concientización por la contaminación actual del

arroyo darragueyra.

Responsables del proyecto:

42

Los responsables del proyecto son el la escuela, el docente y alumnos.

DestinatarioEl presente proyecto estará destinado a los Vecinos del Arroyo Darragueira y a la sociedad en si.

Conexiones con otras áreas:Ciencias sociales, Ciencias naturales, Lengua y literatura, Matemáticas, computación y construcción ciudadana.

Recursos Se realizaran 200 encuestas producidas por los alumnos para los vecinos aledaños al arroyo.Se elaborara 150 folletos para distribuir sobre el cuidado y conservación del medio ambiente.

Evaluación:Se evaluara el compromiso, responsabilidad y el cumplimiento de la acciones de cada uno de los alumnos en el desarrollo del proyecto.

Modelo de encuesta

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Nombre y Apellido del encuestador:........................................ N|° de encuesta:.............. N° de Manzana:................

Responder con una cruz la opción deseada:

1. ¿De donde proviene el agua que consume en su hogar? Pozo Red comunitaria Comprada

Si responde de pozo continué con la siguiente pregunta Si respondió comprada o corriente continué con la preg n°4

2. ¿ Usted le realiza al agua algún tratamiento antes de beberla? La hierve

Le agrega lavandina o cloro

No realiza ningún Tratamiento

3. ¿Usted sabe las enfermedades que trasmite el agua contaminada? Enfermedades intestinales diarreas, vómitos ect

Enfermedades en la piel sarnas, manchas. ect

No sabe

4, ¿ Le parece importante recibir información sobre el tema? Si No

i responde si continué con la siguiente pregunta

5.¿ De que manera le gustaría que le transmitan esa información ? Personalizada folletos, trípticos

Por Radio Por televisión

Presentación del Tema

44

11.1 El agua

Desde la época antigua, se hacen referencias específicas al agua. Aristóteles define el agua como uno de los cuatro elementos básicos de la creación, junto con la tierra, el aire y el fuego. Otros de la época antigua también consideraban el agua como el único elemento verdadero a partir del cual se forman todos los demás cuerpos. Poco a poco, los filósofos y los alquimistas (ancestros de los químicos), comenzaron a describir los componentes de la tierra y del aire. Se sabía que el aire contenía muchos gases Algunos años más tarde, el francés Antoine Laurent de Lavoiser (1743–1794) y el inglés Henry Cavendish (1731-1810), mostraron que el agua estaba compuesta de dos cuerpos simples: hidrógeno y oxígeno. Hubo que esperar hasta 1.800, con la invención de la pila por el italiano Alessandro Volta (1745–1827), para llegar a descomponer el agua haciendo circular corriente eléctrica por su interior. Entonces, los químicos descubrieron que para fabricar un volumen de agua son necesarios un volumen de oxígeno y dos de hidrógeno, desde entonces se escribe a la molécula de agua con la fórmula H2O (H2, por dos moléculas de hidrógeno; O, por una molécula de oxígeno).

11.2 Estudio estadístico del agua

Aunque el 70 por ciento de la superficie del mundo está cubierta por agua, solamente el 2.5 por ciento del agua disponible es dulce, mientras que el restante 97.5 por ciento es agua salada. Casi el 70 por ciento del agua dulce está congelado en los glaciares, y la mayor parte del resto se presenta como humedad en el suelo, o yace en profundas capas acuíferas subterráneas inaccesibles. Menos del 1 por ciento de los recursos de agua dulce del mundo están disponibles para el consumo humano.

Barra de torta para demostrar los porcentajes de recursos del agua que dispone la humanidad.

45

Porcentaje de agua en el mundo

12%

30%

68,25 %

AgTierra Ag

La escasez de agua dulce es uno de los problemas ambientales fundamentales del nuestro siglo. Su escasez puede provenir de las contaminaciones generadas por la población, por empresas, industrias, comercios, derrames tóxicos, pesticidas y otros tantos acciones generadas por el ser humano.

Los sectores mas afectados por la pobreza, denominados marginales son los mas castigados por enfermedades trasmitidas por la contaminación, en especial las que provienen del agua. Algunos ejemplos de estas enfermedades pueden ser respiratorias, digestivas, dérmicas, hasta pueden desencadenar en patologías cancerigenas y terminables.

11.3 Conociendo el campo de estudio

46

Ubicación: A continuación se analizara una problemática relacionada con el agua que se consume del barrio “Parque Alvear”ubicado en el Partido Malvinas Argentinas, el cual atraviesa dos localidades Los Polvorines y Villa de Mayo

Planteo del problema: El principal problema que afecta a los vecinos del barrio Parque Alvear, es un arroyo que cruza por el frente de sus casas, en él circula un cause de agua que atraviesa 32 cuadras desde la Avenida Presidente Perón hasta la Avenida San Martín, donde luego termina su desemboca en el Arroyo las Tuna en tigre para afluir finalmente en el Río Lujan. Este arroyo sufre contaminaciones de centros comerciales, barrios privados, residuos domiciliarios, empresas, entre otrosEl agua consumida por los vecinos en la actualidad proviene de las napas de la zona, las cuales son contaminadas por el agua del mismo arroyo.

Fijación de los objetivos: La meta es entrevistar la mayor cantidad de personas con el objetivo de conocer si saben o realizan cuidados preventivos para consumir agua potable.

Formulación de la hipótesis: Probar a través de las encuestas si los vecinos están concientizados sobre los cuidados del agua.

Definición de la unidad de observación y de la unidad de medida: La Unidad de Observación, son las 32 cuadras, con 20 familias cada una, de las cuales en su recorrido algunas están muy cercanas al arroyo (1 a 2 metros) y otras un poco mas lejanas ( 4 a 6 metros).

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Determinación de la población y de la muestra: El conjunto de individuos para encuestar fue tomado al azar por cada cuadra, para que sea más representativa y se realizaran 200 encuestas del total de la población.

La recolección: Se realizo entrevistas personalizadas, con un aviso previo informando sobre este trabajo.

Clasificación y ordenación: Se organizo las respuestas para exponerla en la tabla de información.

Presentación: Se presento a través de grafico de torta y barras.

Análisis: Luego se analizo la entrega de folletos informativos.

Tabla de frecuencia

Aquí están representado los valores obtenidos por la encuesta.

Pregunta 1 ¿De donde proviene el agua que consume en su hogar?

ix af aF rf raF aP

Pozo145 145 145/200 0,725 72,5 %

Red comunitaria

38 183 38/200 1,105 19 %

Comprada 17 200 17/200 1,19 8.5 %

200 ∑ = 1 100%

Grafico de torta

48

¿De donde proviene el agua que consume en su hogar?

8,50% 19,00%

72,50%Pozo Red comunitaria Comprada

Grafico de barra:

PozoRed comunitaria

Comprada

C1

72,50%

19,00%8,50%0,00%

20,00%

40,00%

60,00%

80,00%

¿De donde proviene el agua que consume en su hogar?

Pozo Red comunitaria Comprada

Pregunta 2 ¿ Usted realiza algún tratamiento al agua antes de beberla?

49

ix af aF rf raF aP

Hierve 4 4 4/200 0,02 2 %

Agrega cloro

18 22 18/200 0.29 9%

No realiza ningún

tratamiento

178 200 178/200 1,18 89%

200 ∑ = 1 100%

Grafico de torta

Hierve

Agrega Cloro

No realiza ninguntratamiento

Grafico de barra

HierveAgregaCloro

Norealizaninguntratami

ento

0%20%40%60%80%

100%

Hierve

Agrega Cloro

No realiza ninguntratamiento

Pregunta 3 ¿ Usted sabe las enfermedades que trasmite el agua contaminada?

50

ix af aF rf raF aP

Enfermedades intestinales

39 39 39/200 0,195 19,5

EnfermedadesEn la piel

5 44 5/200 0,22 2,5%

No sabe 156 200 156/200 1 78%

200 ∑ = 1 100%

Grafico torta

¿Usted sabe las enfermedades que transmite el agua contaminada?

2,5%

78,0%

19,5%

Enfermadades intestinales Enfermadades en la piel No sabe

Grafico de barra

51

¿Usted sabe las enfermedades que transmite el agua contaminada?

0,00%

10,00%

20,00%

30,00%

40,00%

50,00%

60,00%

70,00%

80,00%

90,00%

Enfermadadesintestinales

Enfermadades en la piel No sabe

Enfermadades intestinales

Enfermadades en la pielNo sabe

Tabla de frecuencia 4

¿ Le parece importante recibir información sobre el tema?

ix af aF rf raF aP

Si 179 179 179/200 0,895 89,5 %

No 21 200 21/200 1 10,5 %

Grafico de torta

52

¿Le parece importante recibir infomacion sobre el tema?

SI

NO

Grafico de barra

SINO

C10,00%

50,00%

100,00%

¿Le parece importante recibir infomacion sobre el tema?

SI

NO

Pregunta 5 ¿ De que manera le gustaría informarse?

ix af aF rf raF aP

Informacionpersonalizada

14 148 148/179 1f 82,7 %

Por radio 11 159 11/179 1f + 2f 6,2 %

Por Television

20 179 20/179 1f + 2f + 3f 11,1 %

53

179 ∑ = 1 100%

Grafico 1

¿De que manera le gustaria que le transmitan la informacion?

83%

6%11%

Informacion personalizada Por radio Por television

Grafico de barra

Informacionpersonalizada

Por radio Por television

82,70%

11,10%6,20%0,00%

10,00%20,00%30,00%40,00%50,00%60,00%70,00%80,00%90,00%

¿De que manera le gustaria que le transmitan la informacion?

Informacion personalizada Por radio Por television

11.4 Conclusión:

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Debido a que la población opto por una información personalizada se diseño el siguiente

folleto informativo para entregarse en el barrio.

11.5 Folleto informativo y explicativo:

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Consejos útiles para el consumo de agua potable

Utilizar siempre agua "segura" para la higiene personal, la limpieza, cocción de los alimentos y especialmente para el consumo personal. Para eso se aconseja:

• Hervir el agua ya que es la manera segura de matar bacterias y parásitos dañinos. La mayoría de los organismos mueren cuando el agua hierve por 1 minuto.

• En el caso de que hervir el agua no sea posible, puede potabilizarse empleando dos gotas de lavandina por cada litro y dejándola reposar media hora antes de su uso.

• Es importante limpiar y desinfectar tanques o depósitos de agua. Luego de limpiarlo dejar correr el agua por las canillas durante diez minutos, antes de consumirla por primera vez.

Consecuencias de beber agua contaminada: La ingestión dr agua contaminada puede producir parásitos intestinales, diarreas, cólera,

Conclusión

Muchas veces nos vemos rodeados de injusticias sociales, políticas y económicas, donde los mas perjudicados, por lo general son aquellas personas que están excluidas de la educación y educación. Mi experiencia me permite asegurar que los pilares de un cambio social se debe especialmente a esa relación. La educación es pública y gratuita, y la información es un derecho que tenemos todos como individuos inmersos de una sociedad.

En la educación y la enseñanza de la matemática, la estadística no debe verse como una parte más de la curricular escolar, debe intentar ser aplicada como un instrumento informativo de problemas o intereses comunes de la sociedad.

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Límites y Suposiciones

Al desarrollar el trabajo suponemos que nos vamos a encontrar con mucha información recopilada.

En el avance del trabajo vamos a limitarnos en el desarrollo de temas ambientales ya que se haría amplia o extensa su explicación.

Al realizar las encuestas suponemos que vamos a contemplar una muestra pequeña debido al extenso numero de población.

Ejercicio de aplicación 1

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Los siguientes datos corresponden a las estaturas, en metros, de los alumnos de 7° año de un colegio.

Mujeres1,56 – 1,49 – 1,63 – 1,71 – 1,56 – 1,55 – 1,61 – 1,74 – 1,68 – 1,52 – 1,57 – 1,48 – 1,54 –1,60 – 1,55 – 1,54 – 1,49 – 1,50 – 1,56 – 1,53 – 1,72 – 1,66 – 1,53 – 1,62 – 1,59 – 1,63 –1,71 – 1,69 – 1,73 – 1,67 – 1,59 – 1,63 – 1,65 – 1,76 – 1,61 – 1,57 – 1,58 – 1,71 – 1,51 –1,66 – 1,64 – 1,63

Hombres1,65 – 1,69 – 1,74 – 1,81 – 1,72 – 1,68 – 1,61 – 1,73 – 1,79 – 1,81 – 1,74 – 1,85 – 1,84 –1,76 – 1,66 – 1,69 – 1,73 – 1,72 – 1,76 – 1,79 – 1,86 – 1,69 – 1,63 – 1,79 – 1,77 – 1,76 –1,74 – 1,81 – 1,83 – 1,69 – 1,74 – 1,77 – 1,71 – 1,75 – 1,68 – 1,88 – 1,76 – 1,74 – 1,68 –1,83 – 1,81 – 1,73 – 1,76 – 1,78 – 1,76 – 1,79 – 1,83 – 1,66

a. Determina el valor máximo y mínimo en cada caso.

b. Construya la tabal de valores

Construye un gráfico de barras y un polígono de frecuencias con laestatura de todos los alumnos de IV Medio.

c. ¿Qué conclusiones puedes obtener?

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Ejercicio de aplicación 2

Los números que aparecen a continuación corresponden a la cantidad de preguntas omitidas en un ensayo de PSU de un cuarto medio:

6 - 0 - 7 - 15 - 2 - 5 - 36 - 18 - 9 - 3 - 2 - 0 - 1 - 4 -4 - 6 - 7 - 5 - 8 - 10 - 9 - 0 - 3 - 0 - 2 - 0 - 8 - 9 -

22 - 16 - 0 - 4 - 7 - 0 - 12 - 11 - 0 - 6 - 8 - 0 - 0 - 9

a. Calcula la media, la mediana, moda, rangoy desviación estándar.

b. ¿Qué valores distorsionan la media y noson representativos del curso?

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Anexo

Origen de la palabra estadística

La estadística surgió en épocas muy remotas. La historia demuestra que Tacito, historiador latino, cuenta que Augusto ordenó una amplia encuesta sobre las riquezas del imperio, enumeró los soldados, los navíos, los recursos de todas clases y las rentas públicas.

La Estadística, como todas las ciencias, no surgió de improviso, sino mediante un proceso largo de desarrollo y evolución, desde hechos de smple recolección de datos hasta la diversidad y rigurosa interpretación de los datos que se dan hoy en día. Así pues, el origen de la Estadística se remonta a los comienzos de la historia y esto se sabe tanto a través de crónicas, datos escritos, como de restos arqueológicos, y esto es explicable por cuanto en ese tiempo se estaba formado recién la sociedad y es algo inherente la necesidad de saber cosas elementales como: cuántos habitantes tiene a tribu, con cuantos bienes cuenta, etc.

Su origen empieza posiblemente en la isla de Cerdeña, donde existen monumentos prehistóricos pertenecientes a los Nuragas, las primeros habitantes de la isla; estos monumentos constan de bloques de basalto superpuestos sin mortero y en cuyas paredes de encontraban grabados toscos signos que han sido interpretados con mucha verosimilidad como muescas que servían para llevar la cuenta del ganado y la caza. Poco a poco conforme fue evolucionando la sociedad, estos hechos fueron más frecuentes y menos inciertos.

En los antiguos monumentos egipcios se encontraron interesantes documentos en que demuestran la sabia organización y administración de este pueblo; ellos llevaban cuenta de los movimientos poblacionales y continuamente hacían censos. Tal era su dedicación por llevar simpre una relación de todo que hasta tenían a la diosa Safnkit, diosa de los libros y las cuentas. Todo esto era hecho bajo la dirección del Faraón y fue a partir del año 3050 a.C.

Fue Sargón II, rey de asiria, quien fundó una biblioteca en Nívine que luego fue ampliada y organizada bajo el reinado de Assurbanipal; los "textos" que allí se guardaban eran tablillas de ladrillo de arcilla cocida de 25 por 16 cm., teniendo sólo en una de sus caras inscripciones cueniformes. Lo saltante de todo esto es que en esta biblioteca no se guardaban poemas u obras literarias; sino simplemente era una recopilación de hechos históricos, religiosos, importantes datos estadísticos sobre producción, cuentas; así como también datos de medicina, astronomía, etc.

En la Biblia observamos en uno de los libros del Pentateuco, bajo el nombre de Números, el

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censo que realizó Moisés después de la salida de Egipto. Textualmente dice: "Censo de las tribus: El día primero del segundo año después de la salida de Egipto, habló Yavpe a Moisés en el desierto de Sinaí en el tabernáculo de la reunión, diciendo: "Haz un censo general de toda la asamblea de los hijos de Israel, por familias y por linajes, describiendo por cabezas los nombres de todos los varones aptos para el servicio de armas en Israel.."". Igual tipos de datos en varios libros que conforman la Biblia.

En China Confucio, en uno de sus clásicos "Shu-King" escrito hacia el año 550 a.C., nos narra cómo el Rey Yao en el año 2238 mandó hacer una estadística agrícola, industrial y comercial.

Grecia también tuvo importantes observaciones eestádisticas en lo que refiere a distribución de terreno, servicio militar, etc. También cabe citar entre los griegos principalmente a Sócrates, Herodoto y Aristótele, quienes a través de sus escritos incentivaron la estadísticapor su importancia para el Estado.

En Roma, con su perfecta organización político, jurídica y administrativa; favoreció para le desarrollo de la Estadística. Una muestra es el Census que se realizaba cada 5 años y que tenía por objeto no sólo saber el número de habitantes, sino también su cantidad de bienes. Bajo el mandato de Servio Tulio, éstos pasaron a ser base constitucional del gobierno. También en un inicio se llevaba un registro de nacimientos y de fallecimientos; pero fue bajo Antoninos que la declaración de nacimientos adquirió una verdadera institución legal que era necesaria hacerla ante el "prefecto del Erario" en el templo de Saturno y no después de 30 días de nacimiento. Con la caída del Imperio Romano las estadísticas se pierden en eEuropa, florreciendo más bajo la civilización árabe.

Con Carlo Magno, en Francia regresaron las estadísticas a Europa, teniendo un carácter netamente financiero y administrativo. En Inglaterra Guillermo el Conquistador mandó a realizar una especie de catastro, que constituye un documento estadístico administrativo.

La Iglesia, viendo la importancia de la estadística es que después del Concilio de Trento estableció la obligación de la inscripción de nacimientos, matrimonio y defunciones.

A mediados del siglo XVII, gracias a Vito Seckendorff, y sobre todo de German Conring al que se le atribuye como fundador de la Estadística era la descripción de los hechos notables de un estado. Conring perfeccionó y mejoró notablemente la tendencia nueva, sistematizando los conocimientos y los datos. El mejor de sus seguidores fue Godofredo Achenwall, quien consolidó definitivamente los postulados de esta nueva ciencia y también de haberle dado el nombre de "Estadística"; palabra que etimológicamente deriva de la palabra "status", que significa estado o situación; este nombre ya antes había sido usado en Italia, pero su definición todavía no estaba bien dada.

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La Estadística pasó así a ser la descripción cuentitativa de las cosas notables de un estado. Von Scholer serparó la teoría de la estadística de la aplicación práctica de la misma. Todos ellos formaron parte de la tendencia de la Estadística Universitaria Alemana, conocida como la Estadística Descriptiva.

John Graunt encabeza una tendencia opuesta, nacida en Inglaterra, la de los aritméticos políticos; conocida también como Estadística Investigadora. Ellos buscaban fijar en números los fenómenos sociales y políticos cuyas leyes empíricas buscaban. Para su tiempo esto fue atrevido, casi imposible; pero el mérito de ellos es de ser los primeros en buscar las leyes cuantitativas que rigen la sociedad. De esta escuela surgen dos tendencias más:

1. Tendencia Enciclopédico Matemática: Tuvo su máximo desarrollo en Francia. Usó no sólo la matemática y el cálculo de probabilidades y lo más importante de ella es que tuvo aplicación práctica en todas las ciencias y no sólo como los aritméticos políticos que la aplicaban a los fenómenos políticos y sociales, sino también a campos jurídicos, electorales, metereológicos, etc.

Adolfo Quetelet y A. Cournot son los representantes más insignes de esta tendencia. Quetelet, considerado por muchos el fundador de la estadística moderna, hizo innumerables aportes; el más importante fue el de la metodología estadística, sirviéndose del método sentado por él mismo, haciéndola así totalmente científica. Cournot por su parte hizo un valioso aporte a la teoría de las probabilidades.

2. Tendencia Demográfica: Se desarrolló en Alemania y su máximo representante fue Juan Pedro Süssmilc; él hace el primer tratado que verifica el movimiento de la población. Usa los postulados de Graunt aplicándolos a los fenómenos que se refieren a la población y así nació la Demografía y fue Guillard quien le dio el nombre.

Gustavo Romelin separó a la Estadística Descriptiva en parte tecnico-metodológica y parte aplicada. Teniendo en cuenta esto sucede que hasta este punto existen:

A) Estadística Metodológica: Que es un método general de estudio adecuado para ciertos fenómenos. Su defensor fue Cournot.

B) Estadística Social: Ciencia que estudia desde el punto de vista cuantitativo las leyes de la sociedad y en parte las de la población. Su representante es Süssmilch.

C) Estadística Cuantitativa: estudia cuantitativamente los hechos salientes del estado. Sus representantes son Conring y Achenwall.

Es por esta razón que la estadística se presenta como un poderoso auxiliar de las distintas ciencias y técnicas; al provocar en éstas la investigación de las leyes de comportamiento de

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ciertas variables que intervienen en un fenómeno cuyo valor, gracias a la Estadística han sido puestos de manifiesto.

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Glosario

Entrevista y Encuesta: Son métodos de recolección de datos, la entrevista es una serie de preguntas realizadas personalmente y la encuesta es llevada a cabo generalmente a través de algún formulario que la persona debe llenar.

Frecuencia: Número de veces en que se repite un dato.

Individuo: Cada uno de los las personas u objetos de estudio.

Observación de Campo: Es la observación que realiza el investigador en el lugar donde ocurren los sucesos o eventos, para extraer los datos.

Muestra: Subgrupo representativo de la población a ser estudiada y sobre la cual se harán las generalizaciones.

Población: Grupo suficientemente grande de personas, cosas o valores de medición.

Porcentaje: Es la proporción de una cantidad de datos específicos, con respecto al total de esos datos.

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Promedio: Es una medida que caracteriza un grupo de datos bajo algún criterio. Como: la media aritmética y la media ponderada.

Variable: En sentido general se utiliza para dar una idea de dispersión alrededor de un valor central, de una línea de tendencia. Es el promedio de los cuadrados de las desviaciones de cada valor observado respecto a su media aritmética.

Bibliografía

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MENDENHALL, W. y otros: "Estadística Matemática con aplicaciones". Grupo Editorial Iberoamericana, 1986.

Ziger Dora,”Matemática, Estadística y probabilidad 9°”, ed. Puerto de palos, Bs.As, Argentina.2001, pag196-200

Stisin, Laura”Matemática, Estadística y probabilidad 8°”, ed. Puerto de palos, Asas, Argentina.2001, pag179-186

Hambrosi, Hugo”La verdad de la estadística”, ed Lumiere, Argentina. 2004

http://www.indec gov.ar

C:\Users\fala\AppData\Local\Temp\Agua%5CEstadistica%5CHistoria\COMPRENSION Y APLICACION DE LA ESTADISTICA.htm

Johnson, Robert, Estadística elemental, Buenos Aires, Grupo Editorial Iberoamericana.

MORENO GARZÓN, Adonay. Serie aprender a investigar: Recolección de la información. Cali: ICFES, 1995.

Rioboó, Jose, “Resumen histórico de la evolución de la estadística”, Univ. de Buenos Aires. 2001

http://www.tuveras.com/estadistica/estadistica02.htm

http://www.metroflog.com/arroyodarragueyra/20080911/alumnos_de_la_ungs_junto_a_la_ong_vad?pos=&nf=#Msg

66

http://www.indec.gov.ar/indec/indec_historia.asp

Meyer, Paul. “Probabilidad y Aplicaciones Estadísticas”, ed. Longseller. 2006

http://mx.geocities.com/potable2002/agua_potable_para_beber.htm

http://www2.eeppm.com/bibliotecaepm/biblioteca_virtual/images/Imagen42.jpg

Lopez,Gabriel.”Estadística I”,ed, Santillana. 2004

67