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8/17/2019 Matematica12 13 Funcoes2 Print

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Funções reais de variável realBibliografia

Matemática2014/2015

Capítulo IV - Funções Reais de Variável Real (Parte II)

Sandra Monteiro Sandra Oliveira

Departamento de Economia e GestãoÁrea Científica de Métodos Quantitativos

Escola Superior de Ciências Empresariais

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Funções elementaresFunção AfimFunção Quadrática

Conteúdos programáticos

Funções elementaresFunção afim

Função quadrática

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Funções Elementares

Função Potênciaf (x ) = x p , p racional

Função Exponencial de base e

f (x ) = e x

Função Logarítmica de base e

f (x ) = log (x ), x ∈ R+

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Função Potência

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Função Potência

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Função Potência

Propriedades

D f = D

f = R

a representação gráfica é umarecta

tem um zero em x = 0é negativa em R− e positiva emR+

é bijectiva

é monótona crescente em Rnão tem extremos

Nota

]−∞, 0[ = R− ]0,+∞[ = R+

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Função Potência

Propriedades

D f = R

D f = R+0

a representação gráfica é umaparábola

tem um zero em x = 0

f (0) = 0 é o mínimo absoluto

é positiva em R\{

0}não é injectiva nem sobrejectiva

é decrescente em R− ecrescente em R+

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F õ l

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Função Potência

Propriedades

D f = D

f = R

tem um zero em x = 0é negativa em R− e positiva emR+

é bijectiva

é monótona crescente em Rnão tem extremos

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F õ l t

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Função Potência

Propriedades

D f = D

f = R\{0}

não tem zerosé negativa em R− e positiva emR+

é injectiva

não é sobrejectiva

é decrescente em R− e em R+

não tem extremos

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Funções elementares

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Função Potência

Propriedades

D f = R\{0}

D

f =R+

não tem zeros

é positiva em D f = R\{0}não é sobrejectiva nem injectiva

é crescente em R− edecrescente em R+

não tem extremos

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Função Módulo f (x ) = |x |

Propriedades

D f = R

D

f =R+

0tem um zero em x = 0

f (0) = 0 é o mínimo absoluto

é positiva em R\{0}não é sobrejectiva nem injectiva

é decrescente em R− ecrescente em R+

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Função Exponencial

Função Exponencial de Base e

f (x ) = e x

e - Número de Neper e = 2, 7182... Número Irracional

f (0) = e 0 = 1

f (1) = e 1 = e

f (2) = e 2

f (−1) = e −1 = 1e

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F i d iá l lFunções elementares

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Função Exponencial

Propriedades

D f = R

D f = R+

não tem zeros

é positiva em D f = R

não é sobrejectiva mas éinjectiva

é monótona crescente emR

não tem extremos

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F õ i d iá l lFunções elementares

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ç s a sFunção AfimFunção Quadrática

Função Logarítmica

Função Logarítmica de Base e

f (x ) = log(x ) = loge (x ) = Ln (x )

f (1) = log(1) = 0

f (e ) = log(e ) = 1

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Funções reais de variável realFunções elementares

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çFunção AfimFunção Quadrática


Propriedades

D f = R+

D f = R

tem um zero em x = 1

é positiva em ]1, +∞[ enegativa em ]0,1[

é sobrejectiva e injectiva

é monótona crescente emR+

não tem extremos

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Função AfimFunção Quadrática


Propriedades

log(x × y ) = log(x ) + log(y )log(

x

y ) = log(x ) − log(y )

log(x k ) = k log(x )

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Função Exponencial/Logarítmica

As funções Exponencial e Logarítmica são a inversa uma daoutra

loge (x ) = y ⇔ e y = x

loge (1) = 0 ⇔ e 0

= 1

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Funções reais de variável real

Função AfimUma função real de variável real definida por

f (x ) = ax + b ,

com a , b ∈ R diz-se uma função afim.

a representação gráfica é uma recta

à constante b chama-se ordenada na origem e corresponde ao

valor de y quando x = 0(0,b ) é o ponto onde o gráfico intersecta o eixo das ordenadas

a constante a representa o declive (inclinação) da rectarelativamente ao eixo das abcissas

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Funções reais de variável realFunções elementaresF ã Afi

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Função Afim

Exercício 1Indique, para cada função representada graficamente, os valores daordenada na origem e do declive.

Exercício 2Indique, para cada função representada graficamente, o domínio,contradomínio, zeros e extremos. Estude a monotonia e o sinal dasfunções.

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Funções reais de variável real Funções elementaresF ã Afi

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çBibliografia


Função Afim

Características

D = R

tem um zero em x = −

b a

é crescente em R

é positiva em ] − b a , +∞[ e

negativa em ] −∞,− b a

[

é bijectiva

não tem extremos

é contínua em R

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Funções reais de variável real Funções elementaresFunção Afim

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çBibliografia


Função Afim

Características

D = R

tem um zero em x = −

b a

é decrescente em R

é positiva em ] −∞,− b a

[ enegativa em ] − b

a , +∞[

é bijectiva

não tem extremos

é contínua em R

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BibliografiaFunção AfimFunção Quadrática

Função Afim

Características

D = R

não tem um zeros se b = 0

é constanteé positiva em R se b > 0 enegativa em R se b


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Funções reais de variável real

Função Quadrática

Uma função real de variável real definida por

f (x ) = ax 2 + bx + c ,

com a , b , c ∈ R e a = 0 diz-se uma função quadrática.

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Representação gráficaA representação gráfica de uma função quadrática é uma parábola.

Se a > 0 a concavidade é voltada para cima

Se a


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Bibliografiaçã



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Funções elementaresFunção Afim

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Bibliografiaç



Vértice da parábolaO vértice da parábola é o ponto de coordenadas

− b

2a ,− ∆

4a

onde ∆ = b 2 − 4ac

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BibliografiaFunção Quadrática


Exercício

Para as funções seguintes indique o domínio, o sentido daconcavidade e as coordenadas do vértice da parábola.

1 f (x ) = x 2 + 6x + 9

2 f (x ) = −2x 2 − 4x + 13 f (x ) = x 2 − x 4 f (x ) = −x 2 + 4

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Domínio e ContradomínioO domínio é D f = R

O contradomínio é

D

f

= −∞,−∆

4a se a 0

não é sobrejectiva nem injectiva

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Extremos e continuidade

− ∆4a é o máximo absoluto se a 0

é contínua emR

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Funções elementaresFunção AfimF ã Q d á i

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Exercício

Para as funções do exercício anterior indique o contradomínio e osextremos.

1 f (x ) = x 2 + 6x + 9

2 f (x ) = −2x 2 − 4x + 13 f (x ) = x 2 − x 4 f (x ) = −x 2 + 4

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Funções elementaresFunção AfimF ã Q d áti

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gFunção Quadrática


Zeros (Fórmula resolvente)

f (x ) = 0 ⇔

ax 2 + bx + c = 0 ⇔

x = −b ±√ b 2 − 4ac

2a ou

x = −b ±√ ∆

2a

com ∆ = b 2 − 4ac .

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gFunção Quadrática


Zeros

Se ∆ > 0 a função f tem dois zeros reais distintos

x = −b −√ ∆

2a ∨ x =

−b + √ ∆2a

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Zeros

Se ∆ = 0 a função f tem um zero real duplo

x =

−

b

2a

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Zeros

Se ∆


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Exercício

Verifique se as seguintes funções têm zeros reais e nesse caso

calcule-os.1 f (x ) = x 2 − 3x + 22 f (x ) = x 2 − 4x + 43 f (x ) =

−x 2 + 3x

−7

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u ção Quad át ca


Sinal

Se ∆ > 0 e a > 0

positiva em ] −∞, x 1[ ∪ ]x 2, +∞[negativa em ]x 1, x 2[

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ç


Sinal

Se ∆ > 0 e a


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Sinal∆ = 0

Se a > 0 é positiva em R\{x 1}Se a


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Sinal∆ 0 é positiva em R

Se a


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Exercício

Estude o sinal das funções seguintes.

1

f (x ) = x 2

+ 6x + 92 f (x ) = −x 2 + 3x − 73 f (x ) = x 2 + 4

4 f (x ) = −x 2 + 45 f (x ) = x 2 − x

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Monotonia

Se a > 0

decrescente em ] −∞,− b 2a [

crescente em ] − b

2a , +∞, [

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Monotonia

Se a


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Exercício

Estude a monotonia das funções seguintes.

1

f (x ) = x

2

+ 6x + 92 f (x ) = −x 2 + 3x − 73 f (x ) = x 2 + 4

4 f (x ) = −x 2 + 45 f (x ) = x 2 − x

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Exercício

Represente graficamente as funções seguintes.

1

f (x ) = x

2

+ 6x + 92 f (x ) = −x 2 + 3x − 73 f (x ) = x 2 + 4

4 f (x ) = −x 2 + 45 f (x ) = x 2 − x

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Bibliografia

Apostol, T.M. (1988) Cáculo, vol.1, Editora Reverte,Lda.Penalva, H., Monteiro, S., Oliveira, S., Jesus, V. (2003) Matemática em Setembro.

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