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Carlos Enrique D'AttellisMelina Daniela PodestGuillermo Ricardo Cocha

Matemtica Elemental Aplicada 1 Edicin 2012104 Pginas. 17,5X23

ISBN 978 - 987 - 26618-0-9

c 2012, UNAJ Realizacin EditorialUniversidad Nacional Arturo JauretcheAv. San Martn N2002. Florencio Varela (1888)Tel [email protected] http://www.unaj.edu.ar Diseo Grfico: Luciana Etcheverri

ISBN : 978 - 987 - 26618 -0-9Impreso en la ArgentinaHecho el depsito que establece la Ley N 11723

No se permite la reproduccin total o parcial de este libro, ni su almacenamiento en un sistema informatico, ni su transmisin en cualquier forma o por cualquier medio, electrnico mecnico, fotocopia u otros mtodos, sin el permiso previo del Editor.


Universidad Nacional Arturo Jauretche

Matemtica elemental aplicada

Carlos E. D'Attellis

Melina D. Podest

Guillermo R. Cocha


Qu es una buena definicin?

Para el filsofo, es aquella que satisface a las reglas de la lgica.

En la enseanza, una buena definicin es la comprendida por los alumnos.

Henry Poincar


n Proemio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

n Captulo 1: Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Ejercicios para el captulo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

n Captulo 2: Funcin lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Ejercicios para el captulo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

n Captulo 3: Funcin cuadrtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57


n Captulo 4: Trigonometra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71


n Captulo 5: Probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85


n Adjunto: Un CD complementario

ndicendice


9Este pequeo curso est destinado a los alumnos que ingresan en la Universidad Na-cional Arturo Jauretche. A todos ellos, independiente de la carrera que elijan seguir. Esto convierte la tarea en algo fuera de lo comn, ya que no se trata de un curso de repaso de los conocimientos adquiridos en el secundario, que de mucho no sirven, sino que, todo lo contrario, producen en la mayora de los alumnos un marcado rechazo hacia la ciencia matemtica. En qu consiste esa instruccin que ofrece el nivel medio? En un cmulo de habilidades calculsticas que no tienen ninguna relacin con el mundo real, lo que hace que sean olvidadas apenas pasados los exmenes. An son intiles en aquellos ingresantes en las universidades en carreras de ingeniera y ciencias, ya que, como cualquiera sabe, los conocimientos matemticos requeridos deben ser dados por las mismas facultades en cursos introductorios.

El problema no es nuevo. Escriba el matemtico Julio Rey Pastor en 1927: El peso de la enseanza media lleg a ser intolerable para las tiernas inteligencias. Los alumnos que no perecan asfixiados bajo montaas de nombres o aplastados bajo la pesada loza de las Matemticas, apenas salan de las aulas se apresuraban a arrojar por la borda tan pesado bagaje, para poder caminar libremente a la contemplacin del mundo. Y no solamente en nuestro pas; hablando de Francia, el mismo destacado autor deca: Slo hay un punto en que todos coinciden: los resultados de la enseanza son deplorables. Universitarios emi-nentes, como Darboux, revelaron que pocos meses despus del examen, la mayor parte de los bachilleres no saban resolver una regla de tres simple y la Sorbona tuvo que instituir un curso de Aritmtica para los Bachilleres en Ciencias.

Es interesante consignar el problema en palabras del mismo autor: El problema estriba en saber si el estudio de la matemtica, no ya profesional, sino educativo, favorece o per-judica el equilibrado desarrollo mental necesario para triunfar en la lucha por la vida. Y la contestacin exige un distingo: hay Matemticas y Matemticas. Su enseanza ser til o ser perjudicial, segn qu Matemtica se ensee y cmo se la ensee.

Este curso breve tiene en cuenta lo anterior. En l se trata de vincular la matemtica ms elemental con el mundo real, de vincular elementos matemticos bsicos con la tec-nologa actual.

Para ello se han elegido los temas que pueden verse en el ndice. Comienza con la nocin de funcin, evitando definiciones formales, que apartan al au-

ditorio del tema tal como se lo quiere plantear. Lo que sigue usa esa idea en dos tipos de funciones bsicas, las lineales y las cuadrticas, pero aplicadas a modelos matemticos elementales que llevan a un concepto importante que no se ensea en los cursos usuales de matemtica: el de dinmica, es decir, el de variables que expresan algo del mundo real y que evolucionan en el tiempo. La nocin bsica de equilibrio aparece en forma natural, y

proemioproemio

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101010

las conclusiones obtenidas a partir de esos modelos permiten vincularlos con la realidad y el lenguaje que se usa diariamente. As, esa matemtica elemental muestra la utilizacin de esa ciencia en la vida. Luego se agregan dos tpicos ms: la trigonometra y las proba-bilidades. La primera es vinculada con la msica, y se introducen las funciones trigonom-tricas bsicas con las unidades correspondientes, de manera de entender las frases comu-nes en el ambiente tecnolgico actual, como banda ancha, la radio que transmite en 92.7 MHz, y otras por el estilo. La segunda es analizada a partir de conceptos muy bsicos e inmediatamente aplicados a ejemplos de inters, como el de los juegos, y otros.

La computadora desempea un papel importante en este curso, ya que permite graficar, simular y animar, lo que ayuda a comprender lo enseado.

Es la intencin del curso mostrar vinculaciones de la matemtica bsica con sus apli-caciones, con la tecnologa, con la realidad, y quitarle a esa ciencia esa visin que se tiene de ella, la de una calculstica intil, que nadie aplica, y que impide que los alumnos vean que detrs de los grandes logros de la tecnologa est la matemtica.

Buenos Aires, octubre de 2010.


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11C A P T U L O

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Funciones

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La palabra funcin es usual en el lenguaje comn. Por ejemplo, la ropa que uso es fun-cin del clima. Lo que queremos decir es que, si hace calor, usar una remera; en cambio, si hace fro, usar un pulver, y, si llueve, un impermeable. Esto implica que hay dos variables en juego: una es la variable independiente, el clima, y la otra, que es la forma de vestirse, dependiente de la primera. Una es funcin de la otra, la dependiente es funcin de la inde-pendiente.

Se pueden citar muchos ejemplos como el anterior. Si se piensa en el Documento Na-cional de Identidad, se puede deducir rpidamente que, al ser un documento que permite la identificacin de todas y cada una de las personas del pas, debe ser nico. La unicidad de este instrumento da lugar a una funcin que, en este caso, relaciona a un individuo dado con un nmero identificatorio. Siguiendo con el mismo razonamiento, es decir, el de asignar a una variable dada otra que depender de ella, podemos especular respecto de miles de ejemplos posibles, como ser que a una persona le corresponde una edad dada (y slo una), a cada nmero le corresponde su cuadrado, a cada producto su precio, a cada libro su Nmero Estndar Internacional de Libro (identificador nico abreviado del nombre en ingls ISBN), a cada edificio su altura, a cada casa su direccin, etc.

Habiendo descrito las distintas aplicaciones de las funciones matemticas se puede percibir claramente su amplia utilizacin en la vida cotidiana. An de manera inconciente se emplean cantidades numricas en correspondencia con otras, tiles para solucionar problemas que ocurren a diario en las distintas disciplinas, entre ellas: ingeniera, biologa, qumica, fsica, arquitectura, economa, astronoma, estadstica y muchas reas ms en las que sea necesario correlacionar variables.

Si queremos hacer abstraccin de los ejemplos enunciados, debemos distinguir entre las dos variables nombradas con antelacin, y, adems, enunciar que una depende de la otra, que una es funcin de la otra.

Cmo expresar esto en forma abstracta? Podemos llamar x a la variable independien-te, y a la variable dependiente, e indicar que y es funcin de x con la letra f (de funcin).

Usaremos la siguiente convencin para unir esas tres letras; diremos que y es funcin de x, escribiendo

( ),xfy =que se lee: y es igual a f de x.Una funcin ser, entonces, una relacin o correspondencia entre dos conjuntos de

elementos cualesquiera. Habr un primer conjunto y un segundo conjunto. En este orden,


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a cada elemento del primer conjunto le corresponde un nico elemento del segundo con-junto. Ahora bien, existen, formalmente, dos condiciones que deben cumplirse para que sea posible definir una funcin. Una condicin se conoce como condicin de existencia (todos los elementos del primer conjunto deben estar relacionados con elementos del segundo conjunto) y otra es la conocida como condicin de unicidad que es la que se mencion anteriormente (cada elemento del primer conjunto debe estar relacionado con un nico elemento del segundo conjunto).

El primer grupo o conjunto de elementos tiene mltiples denominaciones tales como: dominio, conjunto de entrada, conjunto inicial. Sus elementos reciben el nombre de argu-mento de la funcin. Lo mismo ocurre con el segundo grupo o conjunto de elementos que adopta las denominaciones: codominio, conjunto de llegada, conjunto final.

En particular, cada elemento del segundo conjunto al que le sea asignado un elemento del primer conjunto mediante una funcin, ser llamado imagen. Puede suceder que algunos de los elementos del segundo conjunto no sean asignados a alguno de los elementos del primer conjunto por medio de una funcin. Diremos, en base a lo anterior, que esos elementos no se relacionan con ningn elemento del primer conjunto, es decir, no son imagen de ningn ele-mento. Una manera simple de ejemplificar esta cuestin es utilizando crculos u valos para representar a los conjuntos y encerrar all dentro los elementos correspondientes a cada uno de ellos. En el primer ejemplo, en el grfico que sigue, tendremos un primer conjunto cuyos elementos son los nmeros 1 y 2, y un segundo conjunto, que posee los elementos 3, 4 y 5.

Podemos ver con claridad que al nmero 1 del primer conjunto, le corresponde el n-mero 3 del segundo conjunto. A su vez, al nmero 2 del primer conjunto, le corresponde el nmero 5 del segundo conjunto. Esto mismo, puede expresarse como f(1) = 3 (o sea, que la imagen de 1 es 3) y f(2) = 5 (la imagen de 2 es 5).

Un segundo ejemplo, podr ser


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en donde tanto al nmero 1 del primer conjunto como al nmero 2 del mismo, les co-rresponde el nmero 3 del segundo conjunto. Este tambin es un ejemplo de funcin debi-do a que, pese a que a ambos elementos del primer conjunto les corresponda el mismo elemento del segundo conjunto, a cada uno de ellos le corresponde slo un valor. As, f(1) = 3 y f(2) = 3.

Los dos ejemplos citados antes son funciones. Veamos en qu casos puede ocurrir que las relaciones entre elementos de dos conjuntos no sean funciones. En el tercer ejemplo, nos detendremos a analizar el diagrama

en el que a un dado elemento del primer conjunto le corresponden tres elementos del segundo conjunto. Simultneamente, f(1) = 2, f(1) = 3 y f(1) = 4, es decir, que el nmero 1 tiene los nmeros 2, 3 y 4 como posibles imgenes. No se cumple la condicin de unicidad para definir una funcin, por tanto, decimos que estamos en presencia de una relacin. Es evidente que los elementos de ambos conjuntos se relacionan pero no uno a uno.

El cuarto y ltimo ejemplo es

en donde podemos observar que al nmero 1 del primer conjunto se le asigna el nme-ro 4 del segundo conjunto, pero el nmero 2 del primer conjunto no posee imagen. La pri-mera condicin necesaria para definir una funcin no se cumple, entonces, este ejemplo no es una funcin.

En resumen, nos hallamos frente a una funcin cuando de cada elemento del primer conjunto sale una nica flecha. Al contrario, no estamos en presencia de una funcin cuan-do 1) de algn elemento del primer conjunto no sale ninguna flecha y 2) de algn elemen-to del primer conjunto salen dos o ms flechas.


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Daremos ahora un ejemplo matemtico de funcin para continuar con la idea de abs-traccin de los ejemplos citados antes:

( ) .1+== xxfyEn trminos usuales se lee: y es f de x (lo que abrevia la expresin y es funcin de x),

y esa funcin est definida por la operacin x + 1. Tanto la variable independiente como la dependiente son, en este caso, nmeros, y la variable dependiente y se calcula para cada valor de la independiente x mediante la expresin x + 1.

As, ocurre que si

.,1,,413,3,312,2

,211,1

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21

21 etcyx

yxyxyx

=+===+===+==

=+==

Cmo representar grficamente estas funciones?.En el primer caso, se puede utilizar un diagrama como el que se muestra a continuacin:

La funcin es la correspondencia establecida por las flechas.

(Ver: Mquina de funciones del CD adjunto).

En otros casos, como para la funcin y = x + 1, se usa la representacin cartesiana.


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*Ren Descartes (Cartesius) (1596 1650): Fue educado en un colegio je-suita con mtodos que critic en una de sus obras principales, Discurso del Mtodo, escrita en 1637. Fue licenciado en Derecho de la Universidad de Poitiers, y su nombre latino es Cartesius, de donde deriva nuestro adjetivo castellano car-tesiano.La obra citada, Discurso del Mtodo, es fundamental en la historia de la filosofa. All postula pienso, luego existo, o dudo, y de lo nico que no puedo dudar es de mi duda, y con eso est separando a dios, porque de lo nico que no duda es de su subjetividad. Lo indubitable, aquello de lo cual van a ser deducidas las otras verdades, ya no es la verdad revelada divina, sino que es la subjetividad humana. Esto es lo que decididamente debemos llamar un gesto revolucionario dentro del pensamiento [1].Epocas difciles para el pensamiento: en 1600 la Inquisicin pone a Giordano Bru-no en la hoguera, en 1616 se produce el primer proceso a Galileo, y en 1633, es condenado en Roma. Un Apndice de la obra citada trata sobre ptica, y la razn es que Descartes esta-ba interesado en ella por sus investigaciones sobre la formacin del arco iris en la atmsfera, y eso lo lleva al anlisis del fenmeno de la refraccin de la luz. Su contribucin matemtica trascendente es lo que hoy llamamos Geometra Ana-ltica, que combin, magistralmente, ambas ramas de la Matemtica.

[1] Feinmann, Jos Pablo: La filosofa y el barro de la historia, Planeta, 2008.

La representacin cartesiana que nos interesa se da en un plano formado por dos ejes, uno correspondiente a la variable independiente x (eje horizontal o eje de abscisas) y otro a la variable dependiente y (eje vertical o eje de ordenadas), perpendicular al anterior.

En el ejemplo en el que expusimos una funcin f(x) que sea x + 1, la representacin grfica es la siguiente:


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Es claro que los puntos marcados estn sobre una recta. Como la funcin se define para cualquier x, no slo para los marcados con puntos, el grfico de la funcin y = f(x) = x + 1 es

Es claro que la funcin y = x + 1 es llamada funcin lineal, como surge en forma natural del dibujo.


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La expresin general para las funciones lineales es

.bxmy +=En el caso anterior, m = 1, b = 1.

Ejercicios Graficar y discutir el significado de m y b en los siguientes casos:y = 2x + 1,y = -2x - 1,y = -x + 1.

De lo anterior los dos nombres para los parmetros m y b son: pendiente y ordenada al origen. Habiendo mencionado que una funcin lineal puede expresarse como y = mx + b, podemos puntualizar qu significan cada uno de los parmetros involucrados.

La letra m se utiliza para nombrar a la pendiente de la recta enunciada, como ya apun-tamos antes, como y = mx + b. Este coeficiente que acompaa a x (variable independiente) es la inclinacin o pendiente de la recta respecto de la horizontal. As, la pendiente de la recta se refiere al ngulo que sta forma con el eje horizontal. Una recta con gran pendien-te estar ms inclinada respecto de la referencia horizontal que otra recta con menor pen-diente.

La otra constante presente en la ecuacin de la recta enunciada es b, que se conoce como ordenada al origen, y es el punto en el cual la recta representada corta o cruza al eje y (eje de la variable dependiente). Es importante observar que, si x = 0, entonces, y = b, por eso a b se le da el nombre de ordenada al origen.

Es factible deducir, entonces, que cuando se modifica el valor de m, se est variando la inclinacin de la recta y cuando se modifica b, se traslada la recta hacia arriba o hacia abajo.

Si en un mismo plano se grafican dos rectas, puede ocurrir que: sean iguales (por lo que estaran superpuestas), se corten en un solo punto o que no se crucen nunca. Dos rectas iguales poseen la misma pendiente y la misma ordenada al origen. Dijimos que la pendien-te de una recta mide su inclinacin, por tanto, dos rectas que tengan la misma inclinacin tendrn tambin la misma pendiente y reciben el nombre de rectas paralelas con m1 = m2. Las rectas paralelas jams se intersecan, no tienen ningn punto en comn. Por ltimo, dos rectas pueden cruzarse y compartir un solo punto entre s, y, en particular, aquellas que lo hagan determinando un ngulo recto se llaman rectas perpendiculares. Las pendientes de dos rectas perpendiculares cumplen la relacin m1 = -1/m2.

Es vlido expresar las funciones tambin asignando y haciendo corresponder valores en una tabla.

Podemos dar otros ejemplos cambiando la funcin f(x) = x + 1 usada en lo precedente. Pensemos en cmo relacionar los nmeros de la derecha con los de la izquierda en la si-guiente tabla:


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1649342

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f

f

f

f

Diremos que los nmeros de la derecha son los cuadrados de los nmeros de la izquier-da. La regla utilizada es, entonces, elevar al cuadrado. Para referirnos a esta regla, podemos usar un nombre que acabamos de conocer y es la letra f (de funcin), y que consiste en aplicar la regla elevar al cuadrado a cada nmero del lado izquierdo. As, f(3) significa que debemos aplicar la letra f al nmero 3. De esta manera, finalmente obtendremos 32 = 9, por lo que f(3) = 9. De igual modo procederemos con el resto de los nmeros de la lista, resultando f(1) = 1, f(2) = 4, f(4) = 16 y, en general, para cualquier nmero a tendremos f(a) = a2.

Si definimos y = f(x) = x2, incluyendo a los nmeros negativos, resulta la tabla:

,4,2,4,2,1,1,1,1,0,0

==========

yxyxyxyxyx

etc.

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Como en el caso anterior, x es un nmero cualquiera y la representacin grfica de la funcin y = x2 es

Esa curva es llamada parbola. La expresin general de una parbola es:

.2 cxbxay ++=En el caso anterior, a = 1, b = 0, c = 0. A semejanza de lo que ocurre con los parmetros presentes en la ecuacin de la funcin

lineal, los parmetros a, b y c pertenecientes a la ecuacin de la funcin cuadrtica tambin pueden variar para dar lugar a diferentes grficas.


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Si seguimos considerando, a efectos de simplificar los clculos, b = 0 y c = 0 y se vara el parmetro a, se puede observar que la parbola ser ms o menos ancha, segn a vaya tomando valores cada vez ms chicos o cada vez ms grandes, respectivamente.


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Si establecemos a = 1 y c = 0, variando los valores de b se obtendr:


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Por ltimo, podremos fijar a = 1 y b = 0 variando c, y observaremos que la parbola se desplaza verticalmente segn cules sean los valores elegidos como se observa a conti-nuacin:

Existen varias posibilidades ms de modificar los parmetros de una funcin cuadrtica. En los ejercicios que siguen se podrn poner en prctica.

EJERCICIOS

Graficar y discutir el significado de a, b y c en los siguientes casos:

y = -x2,y = -x2 -x - 1,y = 2x2 + 3x + 1.


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POBLACIN DE PECES

Un tipo de funcin que utilizaremos ms adelante tiene como variable independiente el tiempo. Pensemos, por poner un ejemplo, en una poblacin de peces en una laguna de la que queremos seguir su evolucin en el tiempo. Podemos pensar que el intervalo de tiempo en que contamos a sus habitantes es mensual. Esto significa que tenemos posibilidad de contar o censar la cantidad de peces cada mes. As, la variable independiente es el tiempo contado en meses: 1, 2, 3, 4,... y la variable dependiente es la cantidad de peces que se cuenta cada mes; en nuestros trminos para definir funciones, podemos escribir

( )nfp =que se lee p es igual a f de n, y se entiende que n es el tiempo medido en meses y p es

la cantidad de peces encontrados en el mes n-simo.

BATALLA NAVAL

Las funciones estn presentes en una infinidad de ejemplos. Para dar un enfoque di-dctico de este tema, puede mencionarse el tradicional juego conocido como Batalla Naval. ste consiste en el enfrentamiento de dos contrincantes, cada uno de los cuales posee un tablero de juego subdividido en casillas en las que se asentarn los barcos o flotas que intervienen (ubicados de manera oculta por cada uno de los jugadores). Los barcos podrn ser daados o hundidos, momento en el cual se sumarn puntos dependiendo de quin haya sido el atacante que dio en el blanco.

Es necesario especificar la posicin de los barcos. Esta ubicacin puede expresarse, de hecho as se hace en el juego tradicional, con una letra y un nmero correspondientes.

765

4

3

2

1A B C D E F G

Llamaremos a este par de (LETRA; NMERO), par ordenado. As, es posible puntualizar la localizacin de los barcos, ya sea ocupen un casillero, dos casilleros, tres casilleros y as


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sucesivamente. Si se quiere hacer mencin de un barco en un solo casillero bastar con escribir, por ejemplo, (A; 4). Si, por el contrario, el barco ocupa dos casilleros o ms ser inevitable hacer alusin a dos pares de valores, como pueden ser: (C; 2) y (D; 2).

Para poder hacer una generalizacin del caso planteado se puede pensar que tanto columnas como filas del tablero estn compuestas por nmeros, es decir, que se suplantan las letras por nmeros. Lo anterior se establece para poder pensar en la idea del sistema de ejes cartesianos mencionada precedentemente. Los ejes en el plano son x e y, la prime-ra es la variable independiente y la segunda, la dependiente, como ya vimos en los primeros prrafos del captulo. Si trasladamos este mismo concepto a las coordenadas de los barcos y consideramos que x e y pueden tomar valores distintos en el tablero de juego, ser sufi-ciente con enunciar los pares (x; y) con nmeros que representen cada ubicacin.

Ahora bien, puede haber un dado valor de x al cual le correspondan varios valores de y; de hecho, si observamos la grfica, vemos que a x = 5 (E en letras) se le asignaron 2 valo-res de y. Esto define una relacin (no una funcin) entre un dado valor de x y varios valores de y. Sobre la base de esto vale volver a aclarar que una funcin f(x) describir solamente al caso en que a cada elemento del conjunto de valores de partida x le corresponde uno y slo un valor del conjunto de llegada y. Los trminos y y f(x) son utilizados para designar lo mismo.


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E J E R C I C I O S P A R A E L C A P T U L O 1

1) Decidir si las siguientes oraciones son verdaderas o falsas:a. Todas las relaciones son funciones.b. La relacin entre un nmero y su raz cuadrada es funcin.c. Una relacin cuya grfica corta 2 veces al eje y (eje de ordenadas o eje vertical)

es una funcin.d. Todas las funciones son relaciones.e. La relacin entre un nmero y su cuadrado es una funcin.f. En una funcin, puede ocurrir que a algn valor de x no le corresponda ningn valor

de y.

2) Cules de las siguientes grficas son funciones y cules son relaciones?


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3) Matas dice dos rectas en el plano son perpendiculares si el producto de sus pendien-tes es menos uno (-1). En cambio Andrs afirma dos rectas son perpendiculares si la pendiente de una es opuesta e inversa respecto de la otra. Se desea saber si:

a. Los dos tienen razn. b. Slo Matas tiene razn. c. Slo Andrs tiene razn.d. Ninguno de los dos tiene razn.Marcar con una cruz la afirmacin que corresponda.

4) Fernando dice dos rectas en el plano son paralelas si la divisin de sus pendientes es uno (1). En cambio Luciano afirma dos rectas son paralelas si la pendiente de una es exactamente igual a la otra. Se desea saber si: a. Los dos tienen razn. b. Slo Fernando tiene razn. c. Slo Luciano tiene razn.d. Ninguno de los dos tiene razn.Marcar con una cruz la afirmacin que corresponda.

5) Las siguientes tablas corresponden a una funcin. Completar las tablas de manera que haya proporcionalidad directa. Escribir, luego, las frmulas que relacionen los elementos de la primera fila con los de la segunda para cada tabla.


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a.

b.

6) El precio de un ramo de rosas depende del nmero de rosas que lo compongan. En este caso:a. La variable dependiente es el precio.b. La variable dependiente es el nmero de rosas.c. Las dos son variables independientes.d. La variable independiente es el precio.e. Ninguno de los anteriores.

7) Indicar cul de las siguientes funciones es lineal. Si hubiese alguna funcin cuadrtica, indicarlo a continuacin.

a) y = 3x 1 es lineal no es lineal e) y = 3x+5 es lineal no es linealb) y = x2 + 1 es lineal no es lineal f) y = x3 es lineal no es lineal

c) y = 4x es lineal no es lineal g) y + 2 = .x es lineal no es lineal

d) y = x es lineal no es lineal h) y x = 9 es lineal no es lineal

8) Realizar el grfico correspondiente a las siguientes rectas, en un mismo sistema de ejes coordenados.

a. x + y = -3 b. 2x y + 3 = 0 c. x + 2y = 1 d. x = -3 y e. -2x + y - 3 = 0


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9) El nivel de agua en un estanque es de 12 m y baja 0,5 m cada semana. Cul de las

siguientes funciones representa la situacin descrita relacionando el nivel de agua y

con el nmero de semanas x? a. y = -12 + 0,5xb. y = -0,5x + 12c. y = 12 + 0,5xd. y = 12 0,35x

10)Para cada uno de los siguientes ejemplos, escribir la funcin y determinar qu significa la pendiente en cada caso:

a. El precio de x kgs de papas, si pagu $4 por kg.b. La cantidad de metros que hay en x km.c. El precio de un artculo que costaba $x si se ha rebajado un 20 %.

11) La siguiente tabla muestra lo que cuesta imprimir un folleto comercial en una imprenta:

N de ejemplares 50 100 200 500Costo en $ 25 50 100 250

a. Cunto costara imprimir un solo ejemplar? Y 1000 ejemplares?.b. Encontrar la funcin que relaciona el N de ejemplares con el costo.c. Representar grficamente a esta funcin como si fuese continua (en realidad es un

conjunto discreto de puntos).

12) El costo de un viaje en micro es proporcional a la distancia recorrida. Por un trayecto de 20 km pagamos 5 pesos y por un trayecto de 60 km pagamos 15 pesos.a. Escribir la funcin que relaciona el costo del pasaje con los km recorridos.b. Esta funcin pasa por cero? Por qu?.

13) En nuestro recibo de consumo de energa elctrica aparece la siguiente informacin:

Consumo 1200 kWhPrecio del kWh 0,3 pesos

a. Cunto cuesta la energa consumida?.b. Graficar la relacin consumo-costo. Utilizar como escala 200 kWh/cuadradito y 20

pesos/cuadradito.c. Si la empresa tambin cobra un costo fijo de 20 pesos, cmo se modifica la fun-

cin?. Y, si adems se cobra un 21% de IVA?.


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14) Tenemos 50 pelculas en nuestro disco duro, y este nmero est creciendo de a 2 pe-lculas por semana. Modelizar el tamao de la coleccin como una funcin de tiempo.

15) Si un auto viaja desde Tucumn a Buenos Aires, con una velocidad constante de 100 km/h y tarda 16 horas en llegar a destino, determine la distancia existente entre Tucumn y Buenos Aires. Construir la grfica representativa de la variacin del espacio en funcin del tiempo (e/t).

16) Traducir a funciones matemticas los siguientes enunciados:a. En mi casa cada persona come dos panes al da, adems, mi madre siempre com-

pra tres panes extra para que la bolsa del pan nunca quede vaca.b. En la casa de Jos, el promedio de panes comprados por persona es 3; y su madre

compra slo un pan extra.

Existe alguna situacin en la cual deba comprarse la misma cantidad de pan en ambas casas?.

17) Encontrar la frmula de la recta que sea perpendicular a la funcin y = 3x 1 y que pase por el punto (6, 0).

18) La informacin que se presenta en la siguiente tabla pretende mostrar la relacin entre el nmero de cigarrillos consumidos y el nmero de muertes por cncer al ao por cada cien mil habitantes. Se pueden representar los datos con una funcin lineal? Por qu?.


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19) Obtuve un 8% de aumento de sueldo, lo que me signific $2400 ms al mes. Cul era mi sueldo anterior y cul es mi sueldo actual?.

20) La siguiente grfica muestra la distancia que recorre el sonido en diferentes medios en funcin del tiempo.

a. Indicar cul de los siguientes valores corresponde a la pendiente de cada recta.

m = 1/3. El sonido recorre 1/3 km en 1 segundo en este medio. m = 3/2 = 1,5. El sonido recorre 1,5 km en 1 segundo en este medio. m = 40/7 5,71. El sonido recorre, aproximadamente, 5,71 km en 1 segundo en

este medio.

b. Escribir las ecuaciones lineales que representan cada caso.

21) La siguiente grfica muestra 3 rectas que representan el espacio o distancia e recorrida por 3 montaeros que van a velocidad constante. Decidir qu velocidad de las citadas a continuacin lleva cada uno con sus respectivas ecuaciones. Ayuda: la velocidad se calcula como espacio/tiempo.


31

v = 100/3 Ecuacin: e = (100/3)(t-5)

v = 650/5 Ecuacin: e =130t

v = 100/3 Ecuacin: e = 500 + (100/3)t

22) Una milla equivale, aproximadamente, a 1,6 km.

a. Hacer una tabla para convertir de millas a km.b. Dibujar la grfica y escribir su ecuacin.

23) Representar grficamente las funciones cuadrticas siguientes:

a. y = -x + 4x - 3b. y = x + 2x + 1c. y = x +x + 1

24) Una funcin cuadrtica tiene una expresin de la forma y = x + ax + a y pasa por el punto (1, 9). Calcular el valor de a.

25) Cul de los siguientes grficos corresponde a la funcin f(x) = ax2 + bx + c, con a > 0 y c 0?

26) De las graficas siguientes cul(es) de ellas pertenece(n) a una funcin cuadrtica?.


32

a. Slo I.b. Slo III.c. Slo II y III.d. Todas ellas.e. Ninguna de ellas.

27) Se sabe que la funcin cuadrtica de ecuacin y = ax + bx + c pasa por los puntos (1,1), (0, 0) y (-1,1). Calcular a, b y c.


33

Funcin lineal

22C A P T U L OYa hemos visto en el captulo anterior la expresin general de las funciones lineales. Consideremos ahora la expresin

( ) ( ) ,15,11 =+ nAnAen la que la variable independiente n es el tiempo (Ver: Poblacin de peces en el Cap-

tulo 1).Si llamamos x al valor presente A(n) e y al valor futuro A(n + 1), tenemos

,15,1 = xyque es una funcin lineal con m = 1, 5 y b = -1.Si analizamos los valores de y correspondientes a cada valor de x, entonces

x = A(0) = 3 y= A(1) = 1,5 . 3 - 1 = 3,5x = A(1) = 3,5 y= A(2) = 1,5 . 3,5 - 1 = 4,25,x = A(2) = 4,25 y= A(3) = 1,5 . 4,25 - 1 = 5,375,

y as siguiendo. El smbolo que se ha utilizado antes se lee entonces.El diagrama de flujo del clculo anterior es:

1. x = 3, (x = 3)2. y = 1,5x 1, (y = 3,5)3. cambiar el x en 1) por el y obtenido en 2), (x = 3,5)4. ir a 2) y calcular el nuevo y. (y = 4,25)

Ahora tenemos un procedimiento general para los clculos efectuados antes. Veamos el procedimiento grficamente, usaremos para ello dos funciones lineales:


34

,

15,1

xy

xy

=

=

donde la segunda aparece porque en el punto 3) del diagrama de flujo se cambia x por y, es decir, se usa y = x.

La interseccin de las dos rectas se da en x = 2, que es el punto de equilibrio de A(n + 1) = 1,5A(n) 1 porque, si a ese punto de equilibrio lo llamamos p, tendremos:

( )( )

.2

,15,0

,15,11

,15,1

,15,1

=

=

=

=

=

p

p

p

pp

pp


35

Que p sea un punto de equilibrio significa que si en un instante la variable A toma el valor p, pasa el tiempo y permanece en p (est en equilibrio, no se mueve).

Dijimos que un punto ser un punto de equilibrio si la variable evaluada en ese mismo punto persiste en ese valor a pesar del transcurso del tiempo. Como es sabido, la variable en cuestin podr modificarse y evaluarse en otros valores. Si estos ltimos son cantidades cercanas, ser posible la obtencin de un equilibrio estable o inestable. Ambos conceptos pueden ejemplificarse con situaciones ya conocidas en la cotidianidad.

Pensemos en un pndulo. Este objeto est en equilibrio estable cuando, al ser apartado de su posicin original (en reposo, suspendido verticalmente), regresa inmediatamente a su estado inicial.

El equilibrio inestable puede ejemplificarse con un bastn parado sobre su punta. Pue-de lograrse que quede quieto en esa posicin por unos breves instantes pero si se despla-za aunque sea mnimamente, terminar desmoronndose en una dada direccin relaciona-da con la perturbacin ejercida sobre l.

Como los puntos sobre la recta y = 1,5x 1 (que son los A(1), A(2), A(3)...) se alejan del punto de equilibrio, se dice que p es inestable. Esto sucede siempre que la recta dada por y = mx + b tiene |m| > 1.

Aclaremos que |m| se lee mdulo de m o valor absoluto de m. El valor absoluto de cualquier variable, en este caso m, es un nmero positivo (mayor o igual a cero) que vale m cuando m > 0 y vale m cuando m < 0. Esto quiere decir que nos olvidamos del signo que acompa-a a la variable diciendo que el resultado de aplicar el mdulo a una variable es siempre positivo. Para clarificar el concepto daremos los siguientes ejemplos,

| -1 | = 1,

| 5 | = 5,

| -16 | = 16,-

| -2 | = -2

etc.Sabiendo ahora cul es el mdulo o valor obsoluto de una variable, diremos que, para

la recta representada por y = mx + b, si |m| < 1 el punto de equilibrio es estable y si m = 1 no hay punto de equilibrio, ya que

,,

xybxy

=+=

son paralelas. El paralelismo existente entre dos rectas implica que si las alargsemos tanto como se nos ocurra, stas jams se cruzaran entre s.

Finalmente, existe la posibilidad de que m = -1 oscilando alrededor del punto de equilibrio.


36

Ejemplo 1:

Sea

6,38,0 += xy

Ejemplo 2:

4+= xy


37

Receta para la recta y = 1,5x - 1:1. x,2. voy a la recta y = 1,5x 1 y determino (y, x),3. voy a la recta y = x, 4. con este nuevo x voy a la recta y = 1,5x 1.

En general,1. x,2. determino el punto sobre la recta r,3. horizontal hasta y = x,4. ir a 1) con ese x.

(Ver: Graficadores de funciones del CD adjunto).

OFERTA Y DEMANDA

La ecuacin de la recta tambin puede aplicarse a los ya conocidos trminos econmi-cos: oferta y demanda.

Corresponden a un producto que se produce en una unidad de tiempo. Por ejemplo, una cosecha anual o semestral.

El productor decide sobre el ao prximo basndose en los precios del corriente ao. Qu superficie sembrar?. Si este ao el precio es alto, sembrar ms el ao que viene. Al


38

ao prximo, con una buena cosecha, el precio bajar. Con un precio bajo, la decisin es sembrar menos. Con menor cosecha el precio subir. El proceso es recursivo y el precio oscila. Cmo oscila? Hacia un equilibrio? O no?. Para analizar el problema, la propuesta es construir un modelo matemtico.

Que variables intervienen?Tres en cada perodo n, Oferta O(n), Demanda D(n), Precio P(n). Formularemos tres

hiptesis:1. La oferta cada ao depende en forma directa del precio del ao anterior.2. La demanda cada ao depende en forma inversa del precio presente.3. Cada ao el precio del producto se ajusta para que la demanda iguale a la oferta.Aclaremos el ltimo punto: se oferta el producto con la intencin de vender todo, a un

precio alto. El consumidor quiere comprar a un precio bajo una gran cantidad. Si no hay tanta oferta, el que vende mantiene su precio por la menor cantidad que quiere comprar el consumidor. El consumidor sube un poco el precio que est dispuesto a pagar, pero compra menos. El productor, que quiere vender todo, baja su precio. Esto contina hasta que el consumidor alcanza un precio al cual compra exactamente lo que el productor quiere vender. Este es el precio de la tercera hiptesis.

Pongamos juntas a las tres hiptesis en trminos matemticos, suponiendo que el coefi-ciente que vincula la oferta con el precio es 0,8:

(hiptesis 1) ( ) ( ),8,01 nPnO =+o sea, si ( ) ( ) 8,416 =+= nOnPy si P(n)= 12 O(n +1)= 9,6.

El coeficiente 0,8 debera surgir de estadsticas previas que permitan conocer la reaccin del productor ante las variaciones en el precio del producto.


39

Pongamos valores en la hiptesis 2:

D(n) = 1,2 . P(n) + 20,

o sea, si P(n) = 6 D(n) = 12,8

y si P(n) = 12 D(n) = 5,6


40

Por la hiptesis 3, el precio en el ao siguiente se ajustar de tal manera que la oferta iguale a la demanda, o sea,

( ) ( ),11 +=+ nDnOde manera que, usando lo anterior,

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ,3

50321

,208,02,1

11

,2012,18,0

,8,01

,11

+=+

=+

++=

=+

+=+

nPnP

nPnP

nPnP

nPnO

nDnO

20

20

50


41

es decir, si

( ) ( ) .123

363

5073217 ==+=+= nPnP 50 36 12.

Analicmoslo en general, es decir, en lugar de usar 0,8 como antes, pongamos s > 0:

( ) ( ).1 nPsnO =+El parmetro s puede llamarse de sensibilidad de los productores respecto del precio,

( ) ( ) ,0,11 >++=+ dbnPdnD(antes usamos d = 1,2 y b = 20), y d es la llamada sensibilidad de los consumidores al

precio.De la tercera hiptesis obtenemos

( ) ( )( ) ( ),1

,11

nPsbnPd

nOnD

=++

+=+

y as, efectuando los despejes pertinentes,

( ) ( ) .1dbnP

dsnP +=+

Afirmar que el precio est en equilibrio, es decir que P(n + 1) = P(n) = p para cualquier n (es decir, pasa el tiempo y no se mueve), entonces


42

.

,

,

,1

,

sdbp

db

sddp

db

dsdp

db

dsp

dbp

dsp

+=

+=

=

+

=

+

+=

Si

,50,3,2 === bds 50el punto de equilibrio es p = 10.Analicemos la solucin general del sistema

( ) ( ) .1 gnArnA +=+El punto de equilibrio es

( )

.1

,1

,

rgp

rpg

gprp

=

=

+=

Escribamos las desviaciones respecto al equilibrio, es decir,


43

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) .1

,1

,

rgnEnA

rgnAnE

pnAnE

+=

=

=

As, como A(n+1) = rA(n) + g resulta

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ,

111

,1

11

1

,11

1

,11

1

rgnEr

rgnE

rrggrnEr

rgnE

grgrnEr

rgnE

gr

gnErr

gnE

+=++

++=++

++=++

+

+=++

de manera que

( ) ( ).1 nErnE =+Ahora es fcil deducir que si el valor inicial es E(0)

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ),0

,012,01

2

ErkE

ErErEErE

k =

===

#

que es la solucin general de la ecuacin E(n + 1) = rE(n).Como dijimos que


44

( ) ( ) ,1 r

gkEkA +=y, adems,

( ) ( ),0ErkE k =reemplazando E(k) se obtiene

( ) ( )( ) ( ) ,

110

,1

0

rg

rgArkA

rgErkA

k

k

+

=

+=

que es la solucin general de A(n+1) = rA(n) + g. Entonces, resumiendo, diremos que si

( ) ( ) ,1 gnArnA +=+entonces,

( ) ( ) ;11

0r

gr

gArkA k +

=

para el caso analizado antes ocurrir que si

( ) ( ) ,1dbnP

dsnP +=+

resulta


45

( ) ( )

( ) ( ) .0

,11

0

sdb

sdbP

dskP

ds

db

ds

db

PdskP

k

k

++

+

=

++

+

=

Continuaremos con el anlisis de la estabilidad. En el primer caso, el punto de equilibrio tendr la expresin

,1 r

gp =

por lo que finalmente obtendremos

( ) ( )

( ) ( )[ ].01

01

pArpkA

rgAr

rgkA

k

k

=

=

Sern posibles dos situaciones que se detallarn en lo que sigue:

Si |r| < 1, p A(k) k , por lo que p es estable.

Si |r| > 1, p-A(k) k , por lo que p es inestable.

Aclaremos en palabras la escritura utilizada. Cuando se emplea k , se hace refe-rencia a que la variable k se puede hacer tan grande como se quiera y se lee la variable k tiende a infinito. El smbolo , se denomina en matemtica infinito y se utiliza para desig-nar infinidad, inmensidad, sinfn.

En el presente caso, vemos que se tienen variables a cada lado de la flecha, k

lo cual quiere decir que A(k) tiende a p (punto de equilibrio ya mencionado) cuando k se


46

hace muy grande, nuevamente diremos, tanto como uno quiera. En conclusin, la flecha indica tendencia, A(k) tender (o se aproximar) a la cantidad p si k es muy grande.

El segundo caso, es anlogo al primero ya citado. El punto de equilibrio es

,sd

bp +=

y entonces,

( ) ( )[ ].0 pPdspkP

k

=

Para este caso, el anterior r es el cociente s/d, de manera que:

Si |s/d| < 1, p es estable. Si |s/d| > 1, p es inestable.

Si estamos interesados en un anlisis cualitativo (estabilidad o no), slo interesa la re-lacin mencionada. Si la realidad es complicada, las ecuaciones lineales son una aproxima-cin.

Esto es de gran utilidad en el control de la situacin. Por ejemplo, el precio de la soja subi mucho debido a la gran demanda internacional. En consecuencia, subi la produccin (con un retardo); esto significa que la sensibilidad del productor respecto del precio s es alta. Pero los consumidores necesitan una cantidad ms o menos fija, de manera que el consumo cae poco frente al aumento del precio, es decir, la sensibilidad del consumidor respecto al precio es baja (d). As, s > d, que significa inestabilidad.

Qu hacer frente a estas circunstancias?. El gobierno puede actuar como consumidor para subir el valor de d, fijando un precio sostn. Tambin puede bajar s, pagando para que el productor no siembre, o poniendo retenciones.

El petrleo ofrece un ejemplo histrico. El precio subi mucho en los aos 70, entonces, se increment la explotacin y la produccin. Es decir, la sensibilidad s (del productor res-pecto del precio) fue grande. Aunque suba el precio, el consumo baja poco, por lo necesario del combustible, o sea, el d es bajo. Esto da lugar a s > d y a ciclos de inestabilidad que sucedieron, efectivamente.

Si s = d, resulta

( ) ( ) ( )[ ]pPpkP k = 01y el precio oscila con amplitud constante. Pero la realidad es que difcilmente ocurre que

s = d, slo llegan a ser parecidos. En ese caso es difcil predecir estabilidad o no.


47

CARRERA ARMAMENTISTA

Pensemos en dos naciones A, B, con gastos en armas A(n) y B(n) en el ao n.El incremento del gasto en A, A(n+1) - A(n), se debe a 1) un trmino que tenga en cuen-

ta que el gasto de A no puede crecer demasiado (cuestin de presupuesto), 2) lo gastado por B, y 3) a un trmino constante, es decir,

( ) ( ) ( ) ( ) ;1 anBsnArnAnA ++=+

r mide la economa de A y s mide la desconfianza entre A y B.Anlogamente,

( ) ( ) ( ) ( ) ;1 bnASnBRnBnB ++=+Para simplificar, supongamos r = R, s = S.Sumando A(n+1) A(n) y B(n+1) B(n),

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] ,11 cnBnAsrnBnAnBnA +++=++++con c = a + b.El gasto total es

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) .111

;

cnTsrnT

cnTsrnTnT

nBnAnT

++=+

++=+

+=

El punto de equilibrio de sta dinmica armamentista es


48

.

1

)1(

)1(

srcp

srpc

srp

cp

psrcp

cpsrp

=

=

+=

+=

++=

La solucin de la ecuacin

( ) ( ) ( ) ,11 cnTsrnT ++=+es

( ) ( ) ( ) .01sr

csr

cTsrkT k +

+=

S -1 < 1 r + s < 1, o sea, -2 < - r + s < 0, el punto de equilibrio es estable. La expresin (1 r + s) est elevada a la variable k, si planteamos que debe mantenerse entre -1 y 1, veremos que, mientras k aumenta, la expresin (1 r + s)k se hace ms pequea.

Existe una serie de observaciones importantes al respecto:

- r + s < 0 significa s < r y da estabilidad.

Si s > r, hay inestabilidad porque ( ) .1 ++ ksr 8+ Si ( )

srcT 0 < 0, ( ) kT 8 (o cero si llega antes). La carrera armamen-

tista se acaba.


49

Si ( )sr

cT 0 > 0, ( ) kT 8+ . La carrera armamentista crece.Ejemplo: Primera Guerra Mundial. Francia y Rusia Alemania y Austria-Hungra.

( ) ( ) ( ) ,11 cnTsrnT ++=+Segn datos histricos, los gastos anuales fueron:

1909 199 millones de libras1910 205 millones de libras1911 215 millones de libras

( ) ( ) ( ) .2152,2051,1990 === TTT( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( )

.3

38035)1(

2051215,1991205

112,011

==+++=

++=

++=++=

cysr

csrcsr

cTsrTcTsrT

De lo anterior se desprende que s r = 2/3, entonces ocurre que s > r. Si T(0) < 190, van al desarme. Como T(0) = 199 GUERRA.


51

1. El mercado de la margarina viene determinado por las siguientes funciones de oferta y demanda:

O(n+1) = 2P(n) 4

D(n) = 60 2P(n)

a. Hallar el punto de equilibrio de dicho mercado y representarlo grficamente.

2. Un determinado bien x se intercambia segn las siguientes funciones de oferta y demanda:

O(n+1) = 50 + 10P(n)

D(n) = 900 - 15P(n)

a. Calcular el precio de equilibrio.

3. En el mercado del bien x existen consumidores representados con una funcin de de-manda: D(n) = 15 -1,5P(n) y productores representados con una funcin de oferta O(n+1) = 15P(n). Se pide:a. Hallar la solucin de equilibrio.

4. El mercado de churros en Argentina es perfectamente competitivo. La demanda y la oferta de ese bien vienen dadas por las funciones siguientes:

D(n) = 1500 10P(n)

O(n+1) = 20P(n)

a. Determinar grfica y analticamente el precio de equilibrio en el mercado.

5. Un determinado bien x se intercambia segn las siguientes funciones de oferta y demanda:

O(n+1) = 25 + 10P(n)

D(n) = 450 15P(n)



52

a. Calcular el precio de equilibrio. b. Una variacin en los costos de produccin modifica la oferta. La nueva curva de

oferta viene dada por: O(n+1) = 20 + 10P(n)

Calcular el precio del nuevo equilibrio.

6. Indicar cul (o cules) de las siguientes afirmaciones es (o son) falsas. Considere curvas de oferta y de demanda aproximadas (lineales):a. Si el precio se reduce, la cantidad ofrecida aumenta, por eso la oferta tiene pen-

diente positiva.b. Si se igualan las ecuaciones de la oferta y la demanda en dos instantes de tiempo

distintos, se puede hallar el precio de equilibrio (precio en el que compradores y productores se han puesto de acuerdo).

c. Si el precio aumenta, la cantidad ofrecida aumenta, por eso la oferta posee pen-diente positiva.

d. Si el precio de un bien se reduce, la cantidad demandada decrece, por eso la de-manda tiene pendiente negativa.

7. En un mercado competitivo se produce un bien A, con las siguientes funciones de ofer-ta y demanda:

D(n) = 150 + R PB P(n)

O(n+1) = 30 + P(n)

Donde R es la renta de los consumidores y PB es el precio de un bien relacionado con A que siempre es fijo. Determinar:

a. Precio de equilibrio si R = 75 y PB = 30.b. Si disminuye la renta permaneciendo constante PB = 30. Vara la pendiente de la

demanda del bien A?.

8. El mercado de manzanas viene representado por las siguientes funciones:

O(n+1) = -20 + 3P(n)

D(n) = 220 5P(n)

a. Determine grfica y algebraicamente el punto de equilibrio.b. Como consecuencia de un aumento en el precio de las peras la nueva curva de

demanda pasa a ser:D(n) = 300 5P(n)

Hallar el nuevo punto de equilibrio.c. Una mejora tecnolgica en la recogida de manzanas provoca que la curva de oferta

sea:


53

O(n+1) = -10 + 3P(n)

d. Hallar el nuevo punto de equilibrio con las nuevas funciones de oferta y demanda (la c) y la d)).

e. Qu podramos haber concluido sobre el precio de equilibrio si hubieran ocurrido b) y c), pero no supiramos las ecuaciones?.

9. El mercado de los pantalones vaqueros viene determinado por las siguientes funciones de oferta y demanda:

O(n+1) = P(n) 2

D(n) = 30 P(n)

a. Representar grficamente y calcular el punto de equilibrio de ese mercado.

10. En el mercado de las zapatillas de deporte existe una una funcin de demanda: D(n) = 10 P(n) y una funcin de oferta O(n+1) = 10 P(n). Se pide:a. Graficar la solucin de equilibrio.

11. Las funciones de demanda y oferta de un bien son:

D(n) = (-R/2)P(n)

O(n+1) = 4P(n) W + 20

Siendo R el nivel de renta y W el nivel de salario.a. Calcular el precio de equilibrio para R = 200 y para W = 20.b. Calcular el nuevo precio de equilibrio si R = 288.

12. En una ciudad, la poblacin de palomas urbanas pierde una cuarta parte de los indivi-duos cada ao. Para compensar la cada, el ayuntamiento suelta 200 nuevos ejempla-res al final de cada ao. Si x(n) es el nmero de palomas a principios del ao n, se cumple la recurrencia:

a. Si x(0) = 1000, determinar el nmero de palomas en los prximos 30 aos, esbo-zando la grfica. Cul ser el nmero de palomas a largo plazo?.

13. Dado el sistema dinmico lineal A(n + 1) = rA(n) + g, donde r = 0,8 y g = 3, se pide:a. Hallar A(3) sabiendo que A(0) = 10.b. Hallar el punto de equilibrio.


54

c. Analizar la estabilidad del sistema.d. Hallar la solucin general del sistema.e. Calcular A(31) sabiendo que A(0) = 11.f. Cul es el estado inicial del sistema si A(20) = 5000?.

14. Si la sensibilidad de los productores respecto al precio s = 2, la sensibilidad de los consumidores respecto al precio es d = 3 y b = 12, usando el sistema lineal que mode-la el precio de un producto segn

se pide:

a. Hallar el punto de equilibrio.b. Hallar la solucin general del sistema.c. Calcular P(16) sabiendo que P(0) = 2.d. Analizar la estabilidad del sistema.e. Cmo deberan ser s y d para que el sistema sea oscilante?.f. Cmo debera ser s con respecto a d para que el sistema sea inestable? Dar algn

ejemplo.

15. Suponiendo que el precio de un artculo en cada ao n puede modelarse con el sistema dinmico P(n + 1) = rP(n) + g, sabiendo que en el ao 2010 el precio P es P = 100, que en ao 2009 el precio P es P = 72 y que en el ao 2008 el precio P es P = 65:

a. Hallar r y g para determinar la ecuacin del sistema.b. Qu puede decirse sobre la evolucin del precio a lo largo de los aos? Justificar.

16. Dado el sistema dinmico lineal A(n + 1) = A(n) + 2

a. Hallar el punto de equilibrio.b. Graficar el sistema y mostrar la evolucin del mismo suponiendo que A(0) = 2 gra-

ficando algunas iteraciones.c. Analizar la estabilidad del mismo.

17. Dado el sistema dinmico lineal A(n + 1) = rA(n) + g

a. Hallar el punto de equilibrio.b. Para qu valores de r el sistema es estable?.c. Cundo el sistema no tiene punto de equilibrio?.d. Cundo el sistema es oscilante?.e. Realizar una grfica para cada uno de los tres casos anteriores.f. Falta analizar algn caso posible en la estabilidad del sistema?.


55

18. Supongamos que la poblacin de peces en un estanque disminuye un quinto cada ao. Para contrarrestar la situacin, cada ao se agregan 500 peces. Si A(n) representa el nmero de peces al comienzo del ao n:

a. Escribir el sistema dinmico A(n + 1) en funcin de A(n).b. Hallar el punto de equilibrio y analizar su estabilidad.c. Si A(0) = 5000, cuntos peces habr al cabo de 10 aos?.

19. Una poblacin de bacterias a la cual se le aplic un tratamiento comienza a reducirse un 11% cada hora.

a. Hallar el sistema dinmico para A(n + 1) en funcin de A(n).b. Hallar el nmero de bacterias al cabo de 20 horas, suponiendo que inicialmente

A(0) = 10000.c. A qu nmero de bacterias se acerca el sistema cuando n se hace muy grande?.

20. Contestar Verdadero o Falso segn corresponda:

a. Si el precio de cierto artculo aumenta entonces la demanda de dicho artculo dis-minuye.

b. El sistema A(n + 1) = rA(n) + g es estable si r > 2.c. El punto de equilibrio del sistema A(n + 1) = rA(n) + g es p = g/(1-r).d. Si el precio de un artculo decrece, entonces la oferta del mismo tambin lo hace.e. La solucin general del sistema A(n + 1) = rA(n) + g es A(n) = 2rA(0).f. El sistema A(n + 1) = rA(n) + g es oscilante si r = -1.g. Si el precio de un artculo crece, la demanda del mismo crece tambin.

21. Dado el sistema A(n + 1) = rA(n) + g hallar los valores de r y de g para que el mismo oscile alrededor del punto de equilibrio p = 2.

22. El Aguar Guaz constituye una especie de zorro actualmente en peligro de extincin en Argentina. Se pierden dos cuartas partes de ejemplares por ao. Para preservar la especie se decide criar y llevar a su hbitat 200 ejemplares al final de cada ao. Si A(n) es el nmero de zorros a principios del ao n:

a. Formular el sistema dinmico para A(n+1) en funcin de A(n).b. Hallar el punto de equilibrio del sistema planteado. Es estable o inestable? Justifi-

que su respuesta.c. Si A(0) = 1000, determinar el nmero de zorros en el cuarto ao (n = 4). Cul es

el nmero de zorros a largo plazo? Justifique su respuesta.

23. Un grupo de bilogos argentino afirma que la enorme cantidad de radiaciones de dis-tinto tipo es responsable de la extincin de pjaros en el entorno cercano a las fuentes de radiacin. En una ciudad, se pierden por esta causa dos tercios de ejemplares por ao. Para preservar la especie, se decide criar y llevar a su hbitat 2000 ejemplares al final de cada ao. Si A(n) es el nmero de pjaros a principios del ao n:


56


que su respuesta.c. Si A (0) = 10.000, determinar el nmero de aves en el quinto ao (n = 5). Cul es

el nmero de pjaros a largo plazo? Justifique su respuesta.

24. Los loros barranqueros son aves actualmente en peligro de extincin en Argentina. Se pierde una sexta parte de ejemplares por ao, pese a los esfuerzos de los bilogos de incluir una vez al ao 300 loros criados en cautiverio para preservar la especie. Si A(n) es el nmero de loros barranqueros a principios del ao n:

d. Formular el sistema dinmico para A(n+1) en funcin de A(n).e. Hallar el punto de equilibrio del sistema planteado. Es estable o inestable? Justifi-

que su respuesta.r. Si A(0) = 1000, determinar el nmero de loros barranqueros en el dcimo ao (n =

10). Cul es el nmero de loros barranqueros a largo plazo? Justifique su respues-ta.

25. Suponga que deposit 5.500 $ en un banco en el tiempo n = 0. El banco le da el 6,6% de inters anual. Si A(n) representa la cantidad de dinero que usted tiene en el ao n:

a. Formular el sistema dinmico para A(n+1) en funcin de A(n). b. Hallar A(1), A(2), A(3) y A(4).c. Calcular la cantidad de dinero que usted tendr en el banco en el ao n = 60.

26. Investigadores argentinos afirman que las radiaciones de microondas de las antenas son las responsables de la aparicin de cierta patologa en las personas que viven en el entorno cercano de las antenas de telefona. En una ciudad se registra un tercio de personas afectadas por ao. Para retrasar los sntomas, el gobierno provee de medica-mentos a 3000 ciudadanos cada ao. Si A(n) es el nmero de personas sanas en el ao n:


que su respuesta.c. Si A (0) = 12.000, determinar el nmero de personas sanas en el dcimo ao (n =

10). Cuntas habr a largo plazo? Justifique su respuesta.

27. Una planta de tratamiento de aguas residuales trata de remover los contaminantes presentes en el agua. El proceso utilizado remueve el 12% de los contaminantes por hora. Si A(n) representa la cantidad de contaminantes que hay en el agua en la hora n y A (0) es la cantidad inicial de contaminantes:

a. Formular el sistema dinmico para A(n+1) en funcin de A(n).b. Calcular la cantidad de contaminantes que habr en el agua para las horas 1, 2, 3

y 4 en trminos de A (0).c. Cul ser el porcentaje de contaminantes despus de transcurrido un da (n = 24),

si A (0) = 100?


Daremos en este pargrafo un modelo matemtico de poblaciones asociado a una funcin cuadrtica, siguiendo la lnea comenzada antes de modelizacin de procesos dinmicos.

La expresin dada por

y = ax2 + bx + c

es una ecuacin que representa una familia de parbolas, como vimos en el Captulo 1. Como ejemplo de funcin cuadrtica citaremos un modelo de crecimiento de poblaciones.

El tamao de la poblacin en el primer perodo es A(1). Si en el tiempo inicial era A(0), el cambio en una unidad de tiempo es A(1) - A(0). Supongamos que se duplica la poblacin y no muere ninguno, entonces

( ) ( ) ( ),0201 AAA =y

( ) ( ) ( ) ( ).030021 AAAA =+=Si en cada perodo sucede lo mismo,

( ) ( ) ( ),1212 AAA =entonces,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ).033131122 AAAAA ==+=y, en trminos generales

( ) ( ) ( ) ( ) ( ).3121 nAnAnAnAnA =+=+Finalmente, la solucin es

57

Funcin cuadrtica

33C A P T U L O


58

( ) ( ).03 AkA k =Podemos elegir valores de A(0) y calcular qu valores de A(k) se obtienen. As:

( )( )( )( )#

,270003

,90002

,30001

,10000

=

=

=

=

A

A

A

A

Este es un modelo muy poco realista, el crecimiento no es real porque es desmesurado. Supongamos ahora que el nmero de nacimientos en el perodo n es proporcional al

tamao de la poblacin, lo cual se expresa como bA(n), siendo b la tasa de nacimientos. El nmero de muertes tambin es proporcional a A(n) lo cual puede enunciarse mediante dA(n), siendo d la tasa de mortalidad. Entonces,

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ).11

nAnAdbnA

nAdnAbnAnA

+=+

=+

Llamando r a (b-d),

( ) ( ) ( ).11 nArnA +=+La solucin es, como antes,

( ) ( ) ( ).01 ArkA k +=La tasa de crecimiento es r. Si se dan valores a r, por ejemplo, r = 0,2 y A(0) = 100,

entonces resultar


59

( )( )( )( ) .8281797451100

,91004150

,383320

,61910

=

=

=

=

A

A

A

A 10

20

50

El modelo parece razonable, pero el crecimiento es poco realista, ya que en poco tiempo crece mucho. Esto fundament la teora de Thomas Malthus, economista del siglo XIX, que postul que el mundo poseera un crecimiento acelerado en su poblacin, lo cual dara lugar a hambrunas, enfermedades y conflictos sociales. Como mecanismo de control, propuso que limitar la natalidad ayudara a no llegar a una crisis de alimentacin que se tornara escasa. Confiaba en que las guerras y enfermedades colaboraran en el retraso de la esca-sez de vveres.

Continuando con el ltimo modelo, podemos pensar en qu tan capaz de imitar al caso real es. Pregunta inicial: El modelo es malo?. Respuesta: S y no.

Por qu?. En pequeos tiempos funciona, pero en tiempos grandes no lo hace.Cmo corregirlo?. Podemos pensar que r no es constante, sino que cambia con el ta-

mao de la poblacin, es decir, r = f(A(n)). La hiptesis bsica es que el hbitat soporta cierta cantidad de habitantes L. Si A(n) > L no habr suficiente espacio y comida, por lo que r = f(A(n)) < 0. En cambio, si A(n) < L, r = f(A(n)) > 0.

La funcin ms simple que satisface esto es

( )( ) ( ) ( ) .1

==LnAr

LnALrnAf

Discutir las siguientes observaciones:

Si A(n) es pequeo, ( ) 11 LnA

y ( )( ) .rnAfr = Si A(n) < L,

( ) .01 >LnA

Si A(n) = L, ( ) .01 =LnA


60

Si A(n) > L, ( ) .01

61

Analicemos el punto de equilibrio:

2025,02,1 ppp =La solucin de la ecuacin de segundo grado es, en este caso

( ).8,0

0025,02,0

0025,02,0

0025,02,1

2

2

==

=+

=+

==

pp

pp

pp

ppp

Supongamos que se realiza una captura constante, es decir, si suponemos peces, se pescan:

( ) ( ) ( ) .8,08,11 2 bnAnAnA =+


62

Supongamos que b = 0,24, o sea, 2400 capturas por ao. Deberemos calcular las races de la ecuacin cuadrtica para hallar los puntos fijos. Los puntos fijos son solucin de

.24,08,08,00

24,08,08,1

2

2

=

=

pp

ppp 24

24

En este tipo de ecuacin (es decir, 0 = ax2 + bx + c) no es posible despejar fcilmente la variable independiente x, por lo tanto, necesitaremos un procedimiento general para encontrar las soluciones. Con artilugios matemticos no muy sofisticados se podr hallar la llamada frmula resolvente. sta es una expresin que involucra operaciones bsicas entre los coeficientes de la ecuacin cuadrtica y da lugar a dos races o soluciones que sern

.2

422,1 a

acbbx = ac

Volviendo al ejemplo en que elegimos b = 0,24, los puntos fijos p1 y p2 resultarn

,05,05,02

42,1

2

2,1 == paacbbp ac 05,

para lo cual no hay solucin porque no existe la posibilidad de hallar el resultado de la raz presente en la ecuacin, es decir, no hay un nmero que elevado al cuadrado genere un nmero negativo, en este caso, -0,05. Hay mucha captura y no hay equilibrio.

Volvamos atrs:

,8,08,1 2 bppp =dividiendo por 0,8 ocurre que

.2

511

025,12

bp

bpp

==+

Si 1-5b < 0, o sea, b > 0,2 no hay equilibrio. Si 1-5b > 0, o sea, b < 0,2 hay 2 puntos de equilibrio.


63

Si 1-5b = 0, o sea, b = 0,2 hay un solo punto de equilibrio, p = , es la captura mxima sostenible y es muy riesgosa porque, si observamos en el grfico que sigue, p se sita en el vrtice de la parbola y ante cualquier variacin (por ms pequea que sea) ya no habr funcin.

Cambiemos de captura constante a captura proporcional. Proporcional a qu? A la poblacin.

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ).8,08,11

,8,08,11

2

2

nAnAbnA

nAbnAnAnA

=+

=+

Los puntos de equilibrio sern los que cumplan con


64

( )( )( )

( )[ ]

.25,118,0

18,0

8,0,0

8,08,00

8,08,00

8,018,10

8,08,1

2

2

2

bpbbpp

pbp

ppb

ppp

ppbp

====

=

=

=

=

25

Queremos un punto de equilibrio mayor que cero, entonces

).0(8,0

8,01

08,0

1

>>

>

>=

b

b

pb

Slo resta verificar con clculos que p es estable.Cul es la captura?

( ).kAbC = En equilibrio es

.25,1

)25,11(

2bbC

bbC

pbC

=

=

=

25

25


65

Con qu valor de b da mximo?: b = 0,4 (40 % de la poblacin).

Si b = 0,4, C = 0,2.El punto de equilibrio es

;21p

0,41,25-1 p

b1,25-1 p

=

=

=

(igual que antes), pero este punto es estable. Esto es as porque pese a haber variaciones, la funcin se mantiene en torno a p.

Las parbolas, al igual que las funciones lineales vistas en el captulo anterior, tienen parmetros de los cules depende su posicin y forma.

Tal cual se ha indicado al inicio de este captulo, la ecuacin general de la parbola es y = ax2 + bx + c. Tomando distintos valores para a, b y c se pueden estudiar las caracters-ticas de una funcin cuadrtica. Siempre es conveniente variar slo un parmetro (el que


66

se quiera estudiar) y mantener fijos a los dems para as poder apreciar cul es la influen-cia de este mismo sin la influencia de los dems.

Ya hemos mencionado que los puntos en donde la grfica corta al eje x se denominan races de la funcin y, al estar sobre el eje horizontal, deben tener su coordenada y = 0. Se hallan, entonces, igualando la funcin a cero.

El vrtice se ubica siempre sobre el eje de simetra de la parbola. Una vez definidos los aspectos anteriores de una funcin cuadrtica, se pueden obtener

infinitos grficos asignando diferentes valores a los parmetros a, b y c.

(Ver: Graficador de funciones cuadrticas del CD adjunto).

Hasta aqu, discutimos en forma genrica la ecuacin de una funcin cuadrtica que, como se ha mencionado a lo largo de este texto, representa a un conjunto de parbolas.

La parbola es una curva que tiene una gran importancia en Fsica y se ajusta a la des-cripcin o a la representacin matemtica de muchos fenmenos. Pero en la vida cotidiana, aunque no reparemos en ello, las parbolas se hacen presentes por doquier.

Si se lanza un objeto, el movimiento que describe gracias a la gravedad que acta sobre l es de tipo parablico. Ejemplos sobran, las trayectorias parablicas se pueden distinguir en el desplazamiento de una pelota (de basket, ftbol, tenis, hockey, entre otros), en las emanaciones de agua de las fuentes de una ciudad, etc.

(Ver: Simulaciones en el CD adjunto).


67

1. La poblacin mundial en 1975 era de unos 4 mil millones de habitantes. Varios estudios consideran que la poblacin del planeta cumplira aproximadamente la ecuacin logs-tica:

donde p(n) es el nmero de individuos (en miles de millones).

a. Estimar la poblacin desde 1975 hasta 1980.b. Esbozar la grfica bajo condiciones de equilibrio.c. Cul sera la capacidad mxima de la poblacin? Cuando se alcanzara el 90% de

dicha capacidad mxima?.

2. En 1970, el Departamento de Recursos Naturales liber en un lago 1000 ejemplares de una especie de pez. En 1977, se calcul que la poblacin de esta especie en el lago era de 3000. Usando una ley malthusiana para el crecimiento de la poblacin, calcule la poblacin de estos peces en el lago en 1980.

a. Supongamos ahora que se dispone de la informacin adicional de que la poblacin de peces en 1984 se estim en 5000. Use un modelo logstico para calcular la poblacin de peces en 1991. Cul es la poblacin lmite?.

3. En 1970, se estim que la poblacin de caimanes en los terrenos del Centro Espacial Kennedy era exactamente de 300. En 1980, la poblacin haba crecido hasta alcanzar un valor aproximado de 1500 ejemplares. Usando una ley malthusiana para el creci-miento de la poblacin, calcule la tasa de crecimiento r de la poblacin de caimanes en los terrenos citados.

a. Se dispone de la informacin adicional de que en 1975 la poblacin de caimanes era de 1200 ejemplares. Utilice un modelo logstico para calcular la poblacin de caimanes en el ao 2000. Cul es la prediccin de poblacin lmite?.



68

4. En 1790, la poblacin de Estados Unidos era de 3.93 millones, y en 1800, de 5.31 millones. Usando un modelo malthusiano, estime la poblacin de Estados Unidos en funcin del tiempo.

Conocida la poblacin en 1790 (3.93 millones), en 1840 (17.07 millones) y en 1890 (62.95 millones), use el modelo logstico para calcular la poblacin correspondiente al tiempo n.

5. En una regin relativamente aislada del frica subsahariana, se estudi la evolucin de la poblacin de gorilas. En 1940 se estim en 500 el nmero de gorilas presentes en dicha zona, mientras que en 1950 dicho nmero haba ascendido hasta 700 ejempla-res.

a. Estimar la poblacin de gorilas en 1960 y en 1970 suponiendo que el crecimiento de dicha poblacin fuera explicable mediante el Modelo de Malthus.

b. Conociendo, adems, que en 1960 el nmero de gorilas presentes en la zona era aproximadamente 900, calcular el valor de la poblacin en 1970 utilizando el mo-delo logstico. Calcular la poblacin lmite.

6. El sistema dinmico A(n+1) = 1,5.A(n) - 2A2(n) donde A(n) representa el nmero de plantas de la selva misionera argentina, representa el crecimiento poblacional de las plantas selvticas en cuestin.

a. Hallar los puntos de equilibrio, si existen.b. Si se permite una tala constante k, cmo se expresara el sistema dinmico ante-

rior?.c. Calcular cmo debe ser la constante k para:

1. Que exista un solo punto de equilibrio.2. Que existan dos puntos de equilibrio3. Que no exista punto de equilibrio.

7. El sistema dinmico A(n+1) = 1,2.A(n) A2(n) donde A(n) indica el nmero de arbustos del parque chaqueo argentino, representa el crecimiento poblacional de los arbustos del parque en cuestin. Hallar los puntos de equilibrio si existen.

8. El sistema dinmico A(n+1) = 3.A(n) - A2(n) donde A(n) representa el nmero de rboles de un bosque patagnico argentino, representa el crecimiento poblacional de los rbo-les del bosque en cuestin.

a. Hallar los puntos de equilibrio si existen.b. Si se permite una tala constante k, como expresa el sistema dinmico anterior.c. En el sistema dinmico hallado en el ejercicio 8b) calcular como debe ser la cons-

tante k para:1. Que exista un solo punto de equilibrio.2. Que existan dos puntos de equilibrio3. Que no exista punto de equilibrio.


69

9. El sistema dinmico A(n+1) = 1,8.A(n) 0,8A2(n) donde A(n) indica el nmero de rbo-les de un bosque patagnico argentino, representa el crecimiento poblacional de los rboles del bosque en cuestin. Hallar los puntos de equilibrio si existen.

10. Dado el sistema dinmico no lineal A(n + 1) = 1,9A(n) - 0,5A2(n), donde A(n) es el ta-mao de cierta poblacin:

a. Hallar, si existen, los puntos de equilibrio.b. Suponiendo que cada ao se agrega una cantidad constante b de individuos a la

poblacin, cmo se modifica el modelo original?.c. Hallar el valor de b para que el sistema tenga un solo punto de equilibrio.d. Si b = 50 y A(0) = 30, hallar A(2).


Haremos la introduccin a una de las funciones bsicas de la trigonometra a partir de la msica.

La nota la se define como una vibracin de 440 ciclos/segundo. Entonces, f = 440 ciclos/s = 1/T, y, as, T = 1/440 segundos. T es el perodo de la funcin seno y se define como el tiempo requerido para completar un ciclo en una funcin trigonomtrica.

Comencemos por identificar una onda cuya vibracin sea de 1 ciclo/seg. Esa onda es, bsicamente, la siguiente:

71

Trigonometra

44C A P T U L O


72

La figura muestra una vibracin de 1 ciclo/seg. La unidad representativa es usualmen-te el Hertz [Hz]. Ejemplo: la radio transmite en 92,7 MHz.

A la funcin en cuestin la llamaremos seno de t, y escribiremos:

sen(t) y(t) = .Si repetimos la funcin que muestra la figura, obtenemos:


73

que es una funcin peridica de perodo 1 segundo. Si ponemos 2 ciclos/seg, resulta:


74

T = , as, la frecuencia es 2 ciclos/seg. La letra T, como ya hemos mencionado, se utiliza para hacer referencia al perodo, as, f, la frecuencia ser la inversa del perodo (f = 1/T).

Observemos que la funcin sen(t) tambin puede aparecer girando un disco de radio 1, sabiendo que la longitud de la circunferencia es 2p. (Ver CD adjunto).

Se define al nmero p como la relacin entre el permetro y el dimetro de una circun-ferencia, entonces, sabemos que el cociente entre el permetro y el nmero es igual al dimetro. El dimetro es el doble del radio. El nmero p es un nmero con mltiples deci-males y su valor aproximado es p = 3,1415926535 (...).

El ngulo de una circunferencia completa equivale a 2 radianes. Un radin es una unidad de medida para ngulos y equivale al ngulo definido por el arco de una circunfe-rencia, siendo la longitud de ese arco igual al radio. El ngulo de una circunferencia com-pleta tiene, entonces, sobre su permetro, 2 arcos de longitud igual al radio. Justamente, se denomina a la longitud de cada arco radin porque es igual a un radio del crculo.

En resumen, hay 2 radianes en un crculo completo. Es decir, que si cortsemos peda-zos de cuerda cuya longitud sea igual a la distancia existente desde el centro del crculo hasta el borde, una vuelta se completara con 2 trozos de cuerda, alrededor de 6,28 seg-mentos de cuerda.

Un ngulo de 360 equivale a 2 radianes; un ngulo de 180 equivale a radianes. Los ngulos se pueden medir en grados o radianes. Los radianes tienen la ventaja, respec-to a los ngulos expresados en grados, de ayudar a hacer ms simple la utilizacin de fr-mulas trigonomtricas. Los grados, en cambio, son ms fciles de usar en la vida cotidiana.

(Ver: Simulacin del concepto de radianes del CD adjunto).

Ahora el perodo es 2 y la frecuencia es de 1 ciclo cada 2 (radianes). Cmo se vincula esta frecuencia con la anterior?. Si escribimos sen(2pft), cuando f =

1 ciclo/s tenemos el caso anterior:


75

.0)(,21

;1)23(,

43

;0)2(,1

==

==

==

sent

sent

sent

Se verifica que la funcin se obtiene haciendo girar el crculo y siguiendo el valor del cateto b del tringulo. Tambin podemos seguir el valor del cateto a, y obtenemos:

funcin que definimos como cos(t) y llamaremos coseno.

(Ver: Simulaciones de funciones trigonomtricas del CD adjunto).

Si llamamos w = 2f, cos(t) = sen(t+/2).


76

....7,0)43(,

4

;1)(,2

;1)2

(,0

==

==

==

sent

sent

sent

Pitgoras plante la ya conocida relacin entre lados de un tringulo rectngulo que establece que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos, dada por la expresin que sigue:

.1)(cos)(1 2222 =+=+ ttsenba


77

*Pitgoras de Samos (582 a.C 507 a.C): Como sabemos, cuando en msica nos referimos a una octava, lo hacemos sobre dos notas que suenan en frecuencias que son mltiplos de 2; por ejemplo, si la nota LA, como dijimos, est definida por 440 Hz, la octava arriba es la que corresponde a 880 Hz, y la de abajo es la nota que corres-ponde a 220 Hz. Todas ellas son LA, pero en distintas octavas. Las escalas musicales se definen como divisiones de la octava., y as aparecen las otras notas. En la escala tem-perada que usamos en toda la msica occidental, hay 12 notas dentro de una octava. Quin hizo el descubrimiento de la octava? Fue el primero que estableci la correspondencia entre notas musicales y nmeros: Pi-tgoras, en el siglo VI antes de nuestra era. Es decir, en la base misma de la teora de la msica y su influencia en la vida humana, encontramos la figura de Pitgoras.Escribi Arthur Koestler: El siglo sexto antes de nuestra era evoca la imagen de una orquesta expectante, afinando, cada msico absorto en su propio instrumento, sordo a los dems. Entonces se hace un silencio dramtico, el director entra en el escenario, golpea tres veces con su batuta, y la armona emerge del caos. El maestro es Pitgoras de Samos, cuya influencia sobre las ideas, y, por lo tanto, sobre el destino de la humani-dad, fue probablemente mayor que la de cualquier otro hombre antes o despus de l.Pitgoras identific msica, nmero y cosmos. Distingui tres tipos de msica: la msica instrumental, producida por los instrumentos, la msica humana, continua y no oda, producida por el cuerpo, y la msica del universo, producida por el cosmos mismo. La msica instrumental y la humana tenan para l la misma naturaleza, de manera que pulsando las cuerdas de una lira se producan vibraciones resonantes en el instrumento humano. As, Porfirio relata que Pitgoras calmaba los desarreglos del cuerpo y del alma con sonidos y ritmos.La contribucin ms importante de Pitgoras a la teora de la msica fue la de establecer una relacin aritmtica entre dos notas, relacin llamada intervalo.Cmo se origin esa idea?Una vieja fbula cuenta que, pasando Pitgoras por un taller de metales, percibi los sonidos que produca el martillo golpeando distintas piezas sobre un yunque. Algunos sonidos armonizaban, y as reconoci la concordancia de la que hoy llamamos octava. As introdujo el concepto de intervalo, 2 para la octava, y estableci la correspondencia entre el mundo de los sonidos musicales y el mundo de los nmeros.Pitgoras prob su descubrimiento usando una cuerda en un instrumento que l invent. Era una simple cuerda que se poda ajustar en distintos puntos. Si se la sujeta en el punto medio, la relacin es 2, una perfecta octava; si se la sujeta para que la relacin sea 3/2, aparece lo que llamamos una quinta, y as siguiendo. Algunas relaciones daban notas concordantes, otras, disonantes para todos los odos. El hecho importante detrs de la nocin de intervalo es que las emociones que transmite la msica se obtienen con una cantidad finita de frecuencias.En la Vida de Filsofos de Digenes Laercio se lee una descripcin muy resumida de sus logros: Pitgoras adelant mucho en geometra y aritmtica. No se olvid de la medicina. Apolodoro refiere que hall que, en un tringulo rectngulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a las suma del cuadrado de los lados que lo componen. Invent una escala musical con una cuerda sola.


78

Adems, podemos definir una nueva funcin:

ab

ttsenttg ==)cos()()(tg

,

que es la pendiente de la recta m = tg(a). (Ver: Captulo 2).

La trigonometra tiene aplicaciones muy variadas. En particular, a muchas personas les parece que el arte y la Matemtica son dos extremos opuestos, cuando en realidad pueden ser relacionados perfectamente.

Como ejemplo clsico, se puede mencionar que la Matemtica y la Msica suelen ser imaginadas como disciplinas muy diferentes. Sin embargo, es posible establecer un vncu-lo entre ambas tendencias. Ya hacia la poca de Pitgoras, las enseanzas contenan la aritmtica y la msica en conjunto. Nace la idea de relacin entre pares de sonidos, que se caracteriza mediante el cociente entre sus frecuencias. Los instrumentos musicales son capaces de producir lo que se llama una onda de presin, un empujn de aire que es capaz de mover la pequea membrana del odo que denominamos tmpano. La frecuencia de vibracin define lo que se conoce como nota, de graves a agudas, que se mide con el nmero de vibraciones por segundo o Hertz (Hz).

Cuando dos o ms notas suenan simultneamente se dice que se ha producido un acorde. Su sonido puede ser agradable o no serlo.

Una de las muchas formas que hay de producir un sonido es hacer vibrar una cuerda. En pocas de los pitagricos, el monocordio era un instrumento que constaba de una sola cuerda tensada, con un puente mvil que permita variar su longitud, y que sirvi para des-cubrir los sonidos armnicos y diferenciarlos de los que no lo son. La nota que da la cuerda depende de su longitud y, asociando a cada longitud distinta un nmero, se pueden esta-blecer relaciones entre sonidos agradables al odo humano y las diferentes longitudes de


79

la cuerda. Generalizando se obtiene que las diferentes notas se consiguen tomando frag-mentos de la cuerda original de largo L. Si se piensa en trmino de frecuencias y se orga-nizan los conceptos en una tabla, es fcil deducir:

Nota Frecuencia Longitud de la cuerdaOriginal f LOctava 2f 1/2LQuinta 3/2f 2/3LCuarta 4/3f 3/4L

Sin duda, el conocimiento matemtico aplicado a la msica present un crecimiento marcado. En aos no muy lejanos, una de las aplicaciones ms importantes de la trigono-metra fue el estudio de los fenmenos de onda oscilatorios, as como el comportamiento peridico, relacionado estrechamente con las propiedades de las funciones trigonomtricas.

Las ondas de radio son seales (funciones) senoidales de frecuencias comprendidas en un intervalo del espectro electromagntico (bajas frecuencias).

Cuando s

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