Matematika Teknik IIDivergence Theorem and

Stokes’ Theorem

Rudy Dikairono

Outline

• Divergence Theorem– Triple Integrals– Divergence Theorem of Gauss– Transformation between Triple and surface

integrals• Stokes’ Theorem

– Curl– Transformation between surface and line

integrals

Divergence TheoremTriple Integral

• Triple integral adalah sebuah integral dari f(x, y, z) yang diambil secara 3 dimensi pada daerah T dalam ruangan.

• Triple integral dapat ditulis sebagai

Divergence Theorem of Gauss

• Triple integral dapat ditranformasi menjadi surface integral dan begitu pula sebaliknya.

• Tranformasi ini dilakukan dengan divergence theorem yang melibatkan divergence dari sebuah vector functionF = [F1, F2, F3] = F1i + F2j + F3k,dan ditulis sebagai:

Pembuktian• Persamaan 2* adalah benar jika hanya jika:

• Kita amati (5) sebagai special region dari T.

• Untuk membuktikan (5) kita gunakan (6). Dan kita dapatkan

• Hasil yang sama didapat dari (5) bagian kanan.

• Hasil integral terhadap R yang pertama menghasilkan nilai (+) karena cos γ > 0 pada bidang S1, dan integral kedua bernilai (-) karena cos γ < 0 pada S2[(5”) sec. 10.6].

• Dan ini membuktikan (5)

Contoh 1• Hitung

Dimana S adalah permukaan tertutup yang terdiri dari cylinderlingkaran pada z = 0 dan

Solution

Karena permuaan berbentuk lingkaran maka kita gunakan koordinat polar r, θ dengan nilai x = r cos θ, y = r sin θdan dx dy dz = r dr dθ dz, dan kita dapatkan.

Contoh 2Hitung

(a) dengan (2), (b) secara langsung

Penyelesaian:

(b) kita representasikan S dengan (3) Sec. 10.5 (dengan a = 2), dan kita gunakan n dA = N du dv [lihat (3*), Sec. 10.6]

sekarang kita punyasehingga F = [7x, 0, -z] menjadi

pada S kita harus mengintegralkan u dari 0 sampai 2π.

dan integral S terhadap v dari – π/2 sampai π/2 kita dapatkan

Di sini terbukti bahwa perhitungan integral permukaan sama dengan perhitungan divergence theorem.

Stokes’ Theorem

• Curl• Transformation between surface and line

integrals

Curl (Rotation of the vector field)

Stokes’ Theorem

Teorema Stokes mentransformasi integral permukaan menjadi integral garis dansebaliknya. Transformasi ini melibatkancurl (1)

Theorem 1

• S is a piecewise smooth oriented surface in space

• C is the boundary of S.• F(x,y,z) is the continuous

vector function in domain S.• n is unit normal vector of S.• r' = dr/ds is unit tangent

vector.• s is the arc length of C

Theorem 1

• F = [F1,F2,F3]• N = [N1, N2, N3]• n dA = N du dv• r' ds = [dx, dy, dz]• R is the region with boundary curve C in uv-plane.

Verification of Stokes’ Theorem

Solution

Solution with surface integral

Solution with surface integral

Hasil yang didapat dengan metode integral garis tertutup sama dengan hasil yang didapat dengan integral permukaan.

Stokes’ theorem for each component

Example 1 (Line integral)

Hitung

Solution:Permukaan S mempunyai keliling lingkaran C, yang dapatdirepresentasikan sebagai lingkaran x2 + y2 =< 4 padabidang z = -3. Nilai n pada teorema stokes mempunyaiarah k (z-positif).

Solution:Permukaan S mempunyai keliling lingkaran C, yang dapat direpresentasikan sebagai lingkaran x2 + y2 =< 4 pada bidang z = -3. Nilai n pada teorema stokes mempunyai arah k (z-positif).

Tugas

Thanks