Materialy so zapornym indexom lomu
(Left-handed Materials)
Peter Markos
11. marec 2008
AbstractLeft-handed materialy (materialy so zapornym indexom lomu) su
umelo vyrobene struktury, ktore maju, v nejakom intervale frekvenciı,zapornu elektricku permitivitu aj magneticku permeabilitu. Ukazemzakladne fyzikalne (elektromagneticke) vlastnosti takychto materialov,ich strukturu a moznosti ich praktickeho vyuzitia.
– Typeset by FoilTEX –
Peter Markos: Modetne problemy fyzikalneho inzinierstva Katedra fyziky FEI STU
Metamaterialy
Pokus o konstrukciu novych, v prırode neexistujucich struktur, ktore by mali pozadovane
fyzikalne vlastnosti.
Inspiracia: chemia: ak zlucime dva prvky, dostaneme latku s diametralne odlisnymi
vlastnost’ami. Naprıklad
2H2 + O2 → 2H20 (1)
Kyslık a vodık vytvoria vodu.
Preco by sa teda nedalo naprıklad z dvoch nemagnetickych materialov vytvorit’ magneticky?
Idea: pokusit’ sa vyrabat’ nove materialy nie chemickymi reakciami, ale priamym
“skladanım”.
– Typeset by FoilTEX – 1
Peter Markos: Modetne problemy fyzikalneho inzinierstva Katedra fyziky FEI STU
Obsah
• Elektricka permitivita, magneticka permeabilita
• Uvod: teoreticke predstavy o LHM (Veselago)
• Motivacia
- zaporny index lomu
- dokonala sosovka
- magneticka odozva na optickych frekvenciach
• (meta)materialy: struktury so zapornou permitivitou a permeabilitou
• Od GHz k THz
– Typeset by FoilTEX – 2
Peter Markos: Modetne problemy fyzikalneho inzinierstva Katedra fyziky FEI STU
Uvod
Kazdy material ma svoju charakteristicku odozvu na vonkajsie podnety.
My sa budeme zaoberat’ odozvou na dopadajucu elektromagneticku vlnu.
Pretoze elektromagneticka vlna ma elektricku aj magneticku zlozku, potrebujeme poznat’
elektricku permitivitu ǫ a magneticku permeabilitu µ.
Z tychto velicın urcıme index lomu n =√
ǫµ a
impedanciu z =p
µ/ǫ.
Prıroda nam poskytuje materialy s rozlicnymi hodnotami n. Moderna fyzika umoznuje
konstrukciu materialov s de facto l’ubovol’nymi hodnotami ǫ a µ.
Najprv sa pozrieme, ake moznosti nam dava prıroda:
– Typeset by FoilTEX – 3
Peter Markos: Modetne problemy fyzikalneho inzinierstva Katedra fyziky FEI STU
Permitivita: dielektrika
. . . linearna odozva na vonkajsie elektricke pole
~D = ǫ ~E
Vo vseobecnosti je komplexna, ǫ = ǫr + iǫi ǫr > 0
Imaginarna cast’, ǫi, je zodpovedna za absorbcne straty.
V dielektrikach ale platıǫi
ǫr
≪ 1,
takze imagiarnu cast’ mozeme takmer vzdy zanedbat’. ǫi ≈ 0.
Typicke hodnoty realnej casti permitivity: ǫr ∼ 1 − 10.
– Typeset by FoilTEX – 4
Peter Markos: Modetne problemy fyzikalneho inzinierstva Katedra fyziky FEI STU
Permitivita: Kov
Vd’aka prıtomnosti vol’nych elektronov v kove je elektricka odozva kovu ovel’a zlozitejsia.
102
103
104
ν [THz]
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
10-4
10-2
100
102
104
106
-2
-1
0
1
εi
εr
ν=νp
10−10εi
10−5εr
Drude formula:
ǫ(ν) = 1 −ν2
p
ν2 + iνγPermitivita je vzdy komplexna.
Realna cast’, ǫr je zaporna - EM vlny sa
v kove nesıria (takmer dokonaly odraz
od povrchu kovu)
νp . . . plazmova frekvencia,
νp ≈ 2000 THz, (λp ≈ 150 nm)
γ ≈ 5 − 10 THz
1 GHz= 10−3 THz
10 GHz = 5 × 10−6νp
– Typeset by FoilTEX – 5
Peter Markos: Modetne problemy fyzikalneho inzinierstva Katedra fyziky FEI STU
Permeabilita
. . . odozva materialu na vonkajsie magneticke pole.
~B = µ ~H
µ ≈ 1; samozrejme tiez komplexna.
µ > 1, µ < 1, ale µ > 0.
Materialy, so zapornou permeabilitou sa v prırode bezne nevyskytuju.
Pozn. Supravodice: magneticka permeabilita µ ≡ 0.
– Typeset by FoilTEX – 6
Peter Markos: Modetne problemy fyzikalneho inzinierstva Katedra fyziky FEI STU
Sırenie elektromagnetickej vlny v materiali
Zanedbajme na okamih absorbciu - ǫ aj µ nech su realne.
Vlnova rovnica:"
k2 − ω2
c2ǫµ
#
E = 0 k2=
ω2
c2ǫµ
Elektromagneticka vlna ma tvar
E(~k, ~r) = ei~k~r−iωt
(2)
Sırenie vlny je mozne len vtedy, ak je vlnovy vektor k realny. preto musı byt’ sucin ǫµ > 0.
Preto sa EM vlna nesıri v kove (ǫ < 0).
Ale: ukazuje sa, ze v princıpe BY sa elektromagneticka vlna mohla sırit’ aj v materiali,
ktory ma ǫ < 0 aj µ < 0
Veselago: Uspekhi fiziceskich nauk 1968.
– Typeset by FoilTEX – 7
Peter Markos: Modetne problemy fyzikalneho inzinierstva Katedra fyziky FEI STU
Veselago
ǫ > 0
ǫ > 0
ǫ < 0
ǫ < 0
µ > 0 µ > 0
µ < 0 µ < 0
V rovine ǫ, µ su dva kvadranty, v ktorych je sırenie EM vlny mozne.
– Typeset by FoilTEX – 8
Peter Markos: Modetne problemy fyzikalneho inzinierstva Katedra fyziky FEI STU
Historia LHM
• 1968 Veselago: elektromagneticke vlastnosti materialov ktore maju sucasne ǫ < 0 a
µ < 0.
• 1998, 1999 J. B. Pendry: navrh prvych struktur s efektıvnymi zapornymi ǫ a µ
• 2000 D. R. Smith: Prve experimenty s left-handed strukturami
• 2000 J. B. Pendry: teoreticka predpoved’ dokonalej sosovky
• 2001 D. R. Smith: Experimentalne merany zaporny lom EM vlny
• 2001 Notomi: zaporny lom EM vlny na rozhranı fotonovych krystalov
• 2001-2002 Hlboke nazorove diskusie o fyzikalnej podstate zaporneho lomu EM vlny
• 2002 PM: prve numericke simulacie transmisie cez LH strukturu, numericky dokaz
n < 0,
• 2002-2006 Stovky teoretickych a experimentalnych prac
• 2005 Posuv od GHz frekvenciı k THz a k 103 THz, prve materialy s magnetickou
odozvou v 1000 THz oblasti
• 2006 - 2007 Materialy so zapornym indexom lomu pre viditel’ne svetlo?
– Typeset by FoilTEX – 9
Peter Markos: Modetne problemy fyzikalneho inzinierstva Katedra fyziky FEI STU
Preco l’avoruke ?
k × E =ω
cµH k × H = −ω
cǫE (3)
x
z
y
ǫ > 0 µ > 0 ǫ < 0 µ < 0
~S ~k
~E
~H
~S~k
~E
~H
Left-handedness: vectors ~E, ~H and ~k follow left hand rule.
Poynting vector: ~S = ~E × ~H - smer toku energie
~k ∝ ǫ ~E × ~H ~k a ~S su antiparalelne: ~k.~S < 0.
Opacny smer grupovej a fazovej rychlosti: vphase < 0, vgroup > 0.
– Typeset by FoilTEX – 10
Peter Markos: Modetne problemy fyzikalneho inzinierstva Katedra fyziky FEI STU
Index lomu
We require:
ni > 0 and zr > 0
n = nr + ini =√
ǫµ
ǫ = |ǫ|eiφǫ,
µ = |µ|eiφµ,
n = |n|eiφn
φn = 12(φǫ + φµ)
ǫµn
Real
Imag
If ǫr < 0 and µr < 0, then also nr < 0. Therefore: LHM possess negative refractive
index nr < 0.
– Typeset by FoilTEX – 11
Peter Markos: Modetne problemy fyzikalneho inzinierstva Katedra fyziky FEI STU
Jednoduche dosledky zaporneho indexu lomu
ǫ1 > 0 µ1 > 0 ǫ2 < 0 µ2 < 0
~S
~k+1
~k−1
~k+2
~E+1
~E−
1
~E+2
~H+1
~H−
1
~H+2
bc
bc
bc
×
x
zθ1
θ2
Zaporny lom EM vlny na rozhranı
sin θ1
sin θ2
=n2
n1
< 0
– Typeset by FoilTEX – 12
Peter Markos: Modetne problemy fyzikalneho inzinierstva Katedra fyziky FEI STU
Planarna vrstva ako “sosovka” (Veselago)
a a+b b
n = 1.3 n = −1
Vrstva s indexom lomu n = −1 sustredı vsetky luce do jedneho bodu.
Poloha ohnısk je dana sırkou LH vrstvy.
– Typeset by FoilTEX – 13
Peter Markos: Modetne problemy fyzikalneho inzinierstva Katedra fyziky FEI STU
� Left-handed Left-handed Right-handed Right-handed
SourceSource SourceSource
n=-1 n=1.52
n=1
n=1
n=1
n=1
Left-handed media as flat Left-handed media as flat lenseslenses
– Typeset by FoilTEX – 14
Peter Markos: Modetne problemy fyzikalneho inzinierstva Katedra fyziky FEI STU
Rozlisovacia schopnost’ sosovky
∆ λ
Na to, aby som rozlısil male detaily,
potrebujem elektromagneticku vlnu
malej vlnovej dlzky.
Ale λ = 2π/k
kde k2 =ω2
c2.
Vlna frekvencie ω mi preto nerozlısi
detaily mensie ako je
∆ ∼ λ ∼ ω/c
– Typeset by FoilTEX – 15
Peter Markos: Modetne problemy fyzikalneho inzinierstva Katedra fyziky FEI STU
Povod rozlisovacej limity
Na odlısenie detailov potrebujem malicku vlnovu dlzku v smere x. Rozlozım preto
ω2/c2 = k2x + k2
z (4)
kx moze byt’ l’ubovol’ne vel’ke, ale za cenu toho, ze k2z je zaporne:
k2z = ω
2/c
2 − k2x (5)
a preto kz = iκ. Taka vlna sa nemoze priestorom vol’ne sırit’, lebo exponencialne zanika.
E(x, z) = eikxx+ikzz
= eikxx
e−κz
Evanescentna vlna
Takato vlna je nam nanic, neda sa vyuzit’ na rekonstrukciu obrazu.
– Typeset by FoilTEX – 16
Peter Markos: Modetne problemy fyzikalneho inzinierstva Katedra fyziky FEI STU
Principialna odlisnost’ v left-handed materialoch:
LHM vrstva zosilnuje vstupujuce evanescentne vlny.
z0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
E(z)
a bl=a+b
Preto vrstva z left-handed materialu sustredı do druheho ohniska nielen vsetky komponenty
s realnym vlnovym vektorom, ale aj vsetky evanescentne vlny. Ich zlozenım vznikne
kompletny obraz zdroja.
– Typeset by FoilTEX – 17
Peter Markos: Modetne problemy fyzikalneho inzinierstva Katedra fyziky FEI STU
V LHM je to inak
∆ λkz
kx
k
ǫ = µ = 1 ǫ = µ = −1 ǫ = µ = 1
a ℓ = a + b b
Ak teda polozım medzi zdroj a obraz planarnu vrstvu z LHM, podarı sa mi zrekonstruovat’
kompletny obraz, bez akejkol’vek zobrazovacej chyby.
Toto je samozrejme teoreticky prepdoklad, realny zivot je iny (mame absorbcne straty,
disperzium neidealne povrchy . . . Ale podstatne je, ze by bolo mozne vytvorit’ sosovku,
ktora by mala zobrazovaciu chybu napr. polovicnu v porovnanı s klasickou.
– Typeset by FoilTEX – 18
Peter Markos: Modetne problemy fyzikalneho inzinierstva Katedra fyziky FEI STU
Experiment
Dve anteny vzdialene od seba na vzdialenost’ mensiu ako je vlnova dlzka su na druhej
strane vrstvy rozlısitel’ne.
– Typeset by FoilTEX – 19
Peter Markos: Modetne problemy fyzikalneho inzinierstva Katedra fyziky FEI STU
Konstrukcia LHM materialov
Vychadza z teoretickych predstav Sira Johna Pendryho.
– Typeset by FoilTEX – 20
Peter Markos: Modetne problemy fyzikalneho inzinierstva Katedra fyziky FEI STU
Materialy so zapornou permitivitou I.
0.01 0.005 0.005 0.010k
x/k
p
0
0.005
0.01
ω/ω
p
TETM
Jednorozmerny system: tenke kovove vrstvy funguju ako “nekonecne vysoke” bariery.
Vzdialenost’ medzi platnami ℓ definuje novu plazmovu frekvenciu:
λ′p
2= ℓ ω′
p =2πc
λ′p
=πc
ℓAk ℓ = 3 cm, tak ν ′
p =ω′
p
2π= 5 GHz.
To je podstatne menej, ako νp ≈ 2000 THz v prıpade kovu.
– Typeset by FoilTEX – 21
Peter Markos: Modetne problemy fyzikalneho inzinierstva Katedra fyziky FEI STU
Materialy so zapornou permitivitou II.
Mriezka tenkych kovovych tyciek: [r = 15µm, a = 5 mm, r/a = 0.003]
2r
x
zy
a
0 5 10 15ω
0
0,1
0,2
Abs
orpt
ion
4 6 8 10 12ω
-15
-10
-5
0
5
Effe
ctiv
e pe
rmitt
ivity
Medium s efektıvnou permitivitou (Pendry, Soukoulis, Sarychev, Shalaev, Efros)
ǫ(ν) = 1 −ν2
p
ν2, νp =
c/ap
2π ln a/r
Pozor: elektricke pole E musı byt’ rovnobezne s tyckami, inak ǫ ≡ 1.
– Typeset by FoilTEX – 22
Peter Markos: Modetne problemy fyzikalneho inzinierstva Katedra fyziky FEI STU
Material so zapornou permeablitou
Preruseny kovovy prstenec v priecnom magnetickom poli.
d
l
w
t
C
L
Vonkajsie magneticke pole indukuje prud , ktory ale nemoze cirkulovat’. Analog s LC
obvodom.
C = ǫ0ǫC
wt
dL = µ0
l2
tωLC =
1√LC
=1
√ǫ0µ0ǫC
r
d
wℓ2
– Typeset by FoilTEX – 23
Peter Markos: Modetne problemy fyzikalneho inzinierstva Katedra fyziky FEI STU
Mriezka prerusenych prstencov
axa
z
ay
Pravidelna mriezka prerusenych prstencov vytvorı medium s efektıvou permeabilitou.
– Typeset by FoilTEX – 24
Peter Markos: Modetne problemy fyzikalneho inzinierstva Katedra fyziky FEI STU
Zaporna permeablita
µ(ω) = 1 +Fω2
ω2LC − ω2
.
ωLC =1
ℓ
c√
ǫC
r
d
w.
Vd’aka rezonancii mame interval
frekvenciı, kde µ < 0:
ωLC < ω <ωLC√1 − F
d
l
w
t
0.2 0.3 0.4 0.5 0.6ν/νLC
-40
-20
0
20
40
Real
Imag µ
µ
– Typeset by FoilTEX – 25
Peter Markos: Modetne problemy fyzikalneho inzinierstva Katedra fyziky FEI STU
Odhad rezonancnej frekvencie
ωLC =1
ℓ
c√
ǫC
r
d
w.
- hrubka kovovej vrstvy t = 16µm
- vonkajsı kovovy “prstenec” s polomerom
ℓ = 3 mm
- w = 0.5 mm, d ≈ 0.1 mm
d
l
w
t
ωLC ≈ 5 × 1010 νLC =ωLC
2π≈ 8 GHz λLC = 3.75 cm λLC/ℓ ≈ 10
Dolezite je, ze vel’kost’ prstenca je podstatne mensia, ako rezonancna frekvencia.
– Typeset by FoilTEX – 26
Peter Markos: Modetne problemy fyzikalneho inzinierstva Katedra fyziky FEI STU
– Typeset by FoilTEX – 27
Peter Markos: Modetne problemy fyzikalneho inzinierstva Katedra fyziky FEI STU
First Left-Handed Test Structure
UCSD, PRL 84, 4184 (2000)
– Typeset by FoilTEX – 28
Peter Markos: Modetne problemy fyzikalneho inzinierstva Katedra fyziky FEI STU
First experimental verification of a NIM
Wires aloneε<0
Frequency (GHz) UCSD, PRL 84, 4184 (2000)
-50 dB
0 dB
Wires alone
Split rings aloneµ<0
ε<0
µ<0ε<0 SRRs only
Wires onlySRRs&wires
– Typeset by FoilTEX – 29
Peter Markos: Modetne problemy fyzikalneho inzinierstva Katedra fyziky FEI STU
Numericke simulacie: trasmisia EM vlny
6 7 8 9 10 11 12Frequency [GHz]
10−28
10−24
10−20
10−16
10−12
10−8
10−4
100
Tra
nsm
issi
on
SRR onlywiresSRR + wires = LHM
LEN mriezka tenkych drotov: ǫ < 0 µ > 0 -
trasmisia je nemozna
LEN mriezka SRR: ǫ > 0, ale v rezonancnom
intervale frekvenciı µ < 0 - v tomto intervale
je transmisia nemozna, mimo neho T = 1.
Kombinacia oboch mriezok: tranmsmisia je
mozna len v rezonancnom intervale, v ktorom
je ǫ < 0 AJ µ < 0.
– Typeset by FoilTEX – 30
Peter Markos: Modetne problemy fyzikalneho inzinierstva Katedra fyziky FEI STU
Dvojrozmerne LH stuktury
Umoznuju tramsmisiu v horizontalnej rovine. [D. R. Smith et al.]
– Typeset by FoilTEX – 31
Peter Markos: Modetne problemy fyzikalneho inzinierstva Katedra fyziky FEI STU
– Typeset by FoilTEX – 32
Peter Markos: Modetne problemy fyzikalneho inzinierstva Katedra fyziky FEI STU
– Typeset by FoilTEX – 33
Peter Markos: Modetne problemy fyzikalneho inzinierstva Katedra fyziky FEI STU
– Typeset by FoilTEX – 34
Peter Markos: Modetne problemy fyzikalneho inzinierstva Katedra fyziky FEI STU
Jednoduchsie struktury.
– Typeset by FoilTEX – 35
Peter Markos: Modetne problemy fyzikalneho inzinierstva Katedra fyziky FEI STU
Jednoduchsie struktury.
– Typeset by FoilTEX – 36
Peter Markos: Modetne problemy fyzikalneho inzinierstva Katedra fyziky FEI STU
Jednoduchsie struktury.
– Typeset by FoilTEX – 37
Peter Markos: Modetne problemy fyzikalneho inzinierstva Katedra fyziky FEI STU
Jednoduchsie struktury.
– Typeset by FoilTEX – 38
Peter Markos: Modetne problemy fyzikalneho inzinierstva Katedra fyziky FEI STU
Od GHz k THz a 1000 THz: Problemy
Vzorky, ktore sme ukazali, su vel’ke. Typicka perioda je 3 mm. Zaporny index lomu sa
dosiahne vo frekvencnom pasme ν ≈ 2 − 10 GHz teda 1010 Hz.
Otazka: da sa ıst’ do vyssıch frekvenciı?
Viditel’ne svetlo: 400 − 700 THz, teda 1014 Hz
• Daju sa vzorky zmensit’ 100.000 - krat ?
• Kov ma pri vyssıch frekvenciach uplne inu elektricku odozvu a podstatne vyssie straty
– Typeset by FoilTEX – 39
Peter Markos: Modetne problemy fyzikalneho inzinierstva Katedra fyziky FEI STU
Od GHz k THz a 1000 THz: Problemy
drasticka zmena EM vlastnostı kovu:
Permitivita:
10 GHz ǫ = −100 000 + 10 000 000 i
100 THz ǫ = −20 + 3 i
Skin depth:
10 GHz: δ ∼ 700 nm = −.7 µm, ale hrubka
nanesenej kovovej vrstvy je 17 µm (EM pole
temer nevnika do kovu)
100 THz δ ∼ 22 nm, co je porovnatel’ne s
rozmermi kovovych sucastı (nielen s hrubkou).
Preto sa daju ocakavat’ vel’ke straty.
10-8
10-6
10-4
10-2
100
102
ω/ωp
0.1
1
10
100 δ=κ−1
/ωp
ω=ωpω=γ
c
Skin depth δ: v oblasti viditel’neho
svetla
δ ≈ c/(2πνp) = 22 nm
V olasti GHz (1010 Hz) δ ∼ 700 nm a
δ ∝ ω−1
– Typeset by FoilTEX – 40
Peter Markos: Modetne problemy fyzikalneho inzinierstva Katedra fyziky FEI STU
The progress of scaling metamaterials
Advances in scaling metamaterials with artificial magnetic response for high-frequency structures has been rapid. The 1, 6 and 100 THz models were fabricated in 2004, and the 200 THz in 2005.
– Typeset by FoilTEX – 41
Peter Markos: Modetne problemy fyzikalneho inzinierstva Katedra fyziky FEI STU
Solid symbol n<0 Open symbol µ<0
Science Jan 5, 2007
– Typeset by FoilTEX – 42
Peter Markos: Modetne problemy fyzikalneho inzinierstva Katedra fyziky FEI STU
Magnetic response at 100 THz almost optical frequencies
Univ. of Karlsruhe, & Ames Labλ~10 a Science, Nov 19, 2004
– Typeset by FoilTEX – 43
Peter Markos: Modetne problemy fyzikalneho inzinierstva Katedra fyziky FEI STU
– Typeset by FoilTEX – 44
Peter Markos: Modetne problemy fyzikalneho inzinierstva Katedra fyziky FEI STU
Different designs used in fabricating LHMs with negative µ and n
– Typeset by FoilTEX – 45
Peter Markos: Modetne problemy fyzikalneho inzinierstva Katedra fyziky FEI STU
Zaver
• Priestorova periodicita struktury: mozeme definovat’ ǫ a µ ?
• Anizotropia - nepodarilo sa vyrobit’ izotropne 3D systemy - v sucasnyc zqvisı LH sırenie
EM vlny od smeroch a polarizacie.
• GHz frekvencie su OK, THz s problemami, predovsetkym preto, ze
• vlastnosti LH struktur sa neskaluju s frekvenciou.
• Straty sposobene absorbciou.
– Typeset by FoilTEX – 46