+ All Categories
Home > Documents > Mathematical Model for Multi-Component Forces and Torque Determination in Friction Stir Welding

Mathematical Model for Multi-Component Forces and Torque Determination in Friction Stir Welding

Date post: 19-Dec-2016
Category:
Upload: hussain
View: 213 times
Download: 0 times
Share this document with a friend
6
!"# # $# %&’’ ( $# ) ( *## !"# # $# %&’’ ( $# +,’-’’./#)#$ 0/$, 1/$ 2 # )3 3 )3 40#3 #3 53 ! "#$#% & ! ’ ( ) ’ *’()+ %,,%-%. & ’() -/. ’() ! ! -0. 1 ’() ’ -2. ! ! 3 -4. ! ! 5 -#. ! ( -6. 7 -8. ! ’() 9 -,. ! ( -%$. Advanced Materials Research Vols. 230-232 (2011) pp 1255-1259 Online available since 2011/May/12 at www.scientific.net © (2011) Trans Tech Publications, Switzerland doi:10.4028/www.scientific.net/AMR.230-232.1255 All rights reserved. No part of contents of this paper may be reproduced or transmitted in any form or by any means without the written permission of TTP, www.ttp.net. (ID: 128.252.67.66, Washington University in St. Louis, St. Louis, United States of America-28/09/13,08:20:43)
Transcript
Page 1: Mathematical Model for Multi-Component Forces and Torque Determination in Friction Stir Welding

��������������� ����������������������������������������������������������������

�������������� ����������������������������

�������������������� ����� �!�"��#����#����$#���%&''(��� ����������� �����$#�

������������������ ����� ��)(������*�#�����#�!�"��#����#����$#���%&''(��� ����������� �����$#�

�+�,�'-���''./#��)�����#���$�����0��/$���������,��1��������/$��������

��������2������#�����)� 3�����������3��)��3����4���0�����#3�����#3���5��3

��������� ������ ����� ���� �� ��� ��� ��� ������� ��������� ����� ��������� ��� ���� ����� ��

��� ��������������� ���������� ���� � ����������������� ������������ � ������������ ������ �

�� ����������� ������� ���� ���� ������ �� �������� �� ����� ���������� �� ���������� ���������� ���

����������� �������������� ������� ���������� ������� �������� ������� ����� ���� ������������

���������� ������� � ���������������������������� ����������� ��!������ ����� � ���� ���������

����� � ������������������������ ���� ��"�#$#%� ������ ������������ ��� ������������ ����&���

������ ���� ��� ����� �� �� ��� ������� ���� ��� ���� �������� � �� ����� �� ������ ���� �������

������ ����� ����� � ������� ��� ��!����������������� ���������������������� ����������������

��� ������������������������ ��� � ����������� � ������������� � ������ � ������ ��������

���������������� ����� � ������������������ ����� ���������� ����� ������� �������������������

�� ���� ������� ��� �� ������ ��� � �������� �� � � ���� ���� ������������������� ��������� ���

�������� �������� ������� ���'�� ����( ���)�������������

������� �

'�� ���� ��� �������� *'()+� ������� ���� � �� ���� ��� ������� ���� ������ ������ ���� ���

�� ���� ���� ��� %,,%-%.�� &��� ����� ��� ���� ��� ��� ����� � �� �������� �� �� � � � ������ �� ������

������ ����������� � ���� � ��������� ���������������� ��� ������������������������� ��� ���

������ � '()� ����� ������� �� ����� ���� � ���� ������� � �� ����� �� ������ ��� �� ��������� �

�������� ���������� � �������������� ������������ ������������� �� ����������� ����-/.��'()�

�������������!���� ������ ������������ ��� �� ��������������!������ �������� �� ���������

��������� ������������������������ �� ���������� ��� ����������������������������� ���-0.���

1� ������������������� ������� ���� ��������������� �� ���������� ������������

���� ��� �� '()� ����� ��������� ���� ��������� ������� '�������� � � ���� -2.� ��������� ��� �

������ ���� ����� ��� ��� ��!��� ��!������ �� �� � �� �� ������� ��� � ���� ���� �� ��� �� ������ ������

��������� �� ��������� ������� ��� ���������� ���� ��������������������������������������

�� ��� �� 3��� � � ���� -4.� � �������� �������� ������ ������ �� �� ������� ��� �������� ��� � ���� �

����� ��� ����� ������� ��!��� ������� ��� ���� ������� �� ����� ��� �� � ������ ����� ���� ���

������� ��� ��!��������������� �� �� ������������� ��������� ��� �5������� �����-#.����� ��� ���

���������� �������������� � ��������������� ���������� ���� ����������� ������� ����� � ����

��������� �� ������ ���� ��� ��������� ���� ����� ����� ��� �� ������� � � �� ����������� ��� �� � �

���� ���������� ��� ������������������� ������ �� ��� ������������ ������� ��� �������������� ��

���� ��� ���� ��� ������� ������ � ������ ��� ������� ��������� ��� ��� ��������� ��� ���� �� ���

���� ������ ������� �������� ��� � ��� ��!������� ������ ��� �����(���� �-6.�����7���������� �����

-8.� ���������� ��� � ������ ���� ������ ���� ������� ��� ��� �� � � ���� ���� � � ��� �� ������

�������� �� ������ � ������ ��� ��� ���� ������� ������ �� � ��������� ����� �� �������� ��� ���

���������������� ��!�������� ���'()��������9���� ���� �����-,.������������� ������������� �� �

� ������������� ���������������������� ��������� ���������������������� ������ ��������� ��!���

����� ��� � ���� �� (����������� � � ���� -%$.� ����� ��� �� ��������������� ������ �� �� ���� ����

Advanced Materials Research Vols. 230-232 (2011) pp 1255-1259Online available since 2011/May/12 at www.scientific.net© (2011) Trans Tech Publications, Switzerlanddoi:10.4028/www.scientific.net/AMR.230-232.1255

All rights reserved. No part of contents of this paper may be reproduced or transmitted in any form or by any means without the written permission of TTP,www.ttp.net. (ID: 128.252.67.66, Washington University in St. Louis, St. Louis, United States of America-28/09/13,08:20:43)

Page 2: Mathematical Model for Multi-Component Forces and Torque Determination in Friction Stir Welding

��������� ���� ���� �� ����� � ������ ���� ������� � ���������� ���� ���� ��� ����������������

������������ ��

(�������� �� � ���� ������ ������� � ��� ������ ���� ��� ��� ���������� � ��������� ��� '()�

�������������� ����&����� ���������� ������� ���� ���� ������ �� ������������������� ����� � ����

���� ���� ����� �� � �� ���������� �� ��� ����� �� ������ ��������� � � ��� ������ ���� ��� ��� ��� �

������ ����� ��� ��� ����� � ���� � �� ���� ���� ������ �� ���������� �� ����� � ����������������

����� ������� � ���� ��!��� ��� ��� ����� �� ������ ������ ������������ � �� ������ ������ �� �

�������� ��� �� ���� �� ����� �� ��� ���� ��� ������ ���� �� �������� ����� ��� ��� �� � ���� ���� ������

�� ���� ����� �� ���������������� ��������

&���� ������� ������� ���� ����������������� ��� ������ ������������� ��������������

������� ���'()����� ��� �� ���� �� ������ ��������� �������� ���������� ��������� ������� ���

�� ��� ��������������� ����� ���������������������� ������������������������������������

��� � �� ����� ��������� �����

���������

&���"�#$#%�&#���� �������������%$$�:�/$$������������������������� ����9���������

���� *9((+� ���� �� �� ���� ����� ��� #� �� � /;� ������ � 4��� ����� � ���� %8� ��� ����� ��� ��� �

���������&������������������������ ��������%<0��� ��������� �� ���/;����������� ������ ��������

������ ��� �������������=������ ���������������� � ����� � ���� ��������������������������� ���

�������������� �������������� �������� ����� ����� ��&�������������������������������� ���

�� � ���� ���� �� ������� ��� ��� �!�� ���� >!�� 0� ���� >!�� 2�� ?���� ��� ��� ������� ��� ����� �� ������

������� ��� ��� � ��� ��� � ������ ���� �� ��� ������ ������ ��� ��� ��� �� ������� ���� ���� �� ����� �

�� ����������������������� ������� ������ ����� ���� ���� ����� � �� ���������

�'����%<�)�������������������� ����� ��������������������������������� ��������'()�

���������� �� �

������� ��

&��� ������ �� ����� ��� ��� ���� ���� �� � ��� � ������ ���� �� � � ��� ���� ����� ������ �� � �

���� ���� �� ����� �� � ���� ���� ���� ��� ������� �� �� � � ������ �� ������� �� �� �� �� � �� ���

3���������������� ����������������� ������ ����������� ���������� ��� �� ����� � ��� � ����������

���������� �� �������������

&� ��� ���@� ��!������������ ������ ������ �������������������� ������� ��������������

��� �� � � ������ ����� ���� ��� ���� �������� ����$�2��&�������������� ���� ��� ���� �� ������� ���

���� ���� ���� ���� �������� � �� ������ ������ ��� ��������� �� �� ������ ��� � ��� ������ �������

�� �� ��������������������� ������ ��������� ���������� �� ����� �����������������������������

3����� -%%.�� 1�� ���� �������� ��� '()� �� ��������� �� ��� ���� ��� ������� �� ���� ���� P(T) �

������ �������� ������ ������������ ��� ������������ ������"�#$#%�&#�-%/.��

1256 Frontiers of Manufacturing Science and Measuring Technology

Page 3: Mathematical Model for Multi-Component Forces and Torque Determination in Friction Stir Welding

�4060%4

0%4%$$

%$$,�/0

%�%%204�$

$8�##2%�2$0�$,,

%%�%/2

+* /0428

CT

CT

CT

T

TTTETETP

°<≤

°<≤

°<≤

+−

−+−+−= −− ������ � �����������*%+�

&��� �������� ������ ���� �� $�#� ��� "�#$#%�&#� ��� ���� ������ ��� � Tm� ����� �� ����� ��� �����

���������� ������ ����������������� ��������� ������ ����-, �%$.��

�������� ���������

��� ���� ��� � ������ ���� ���� ����� ����� ��� ��� � �� � � ��� ��� �� � ������ ���� ���� ���� �� �����

�������� � ��� ��������� ������ &��� �� ������ ��� � ������ ���� �� �� �� � �� �� ������� ���� ���

�� �� � �� � ������ ���� � ������ ���� �������� � ������� �� ���� ���� ���� �� �� � �������� � ���

��� �����A�������'������@�/��

�����-%0.��

�/

/

/

/

/

/

qz

T

y

T

x

Tk

t

Tc p

�+

∂+

∂+

∂=

∂∂

ρ �� � � � � � � �����������*/+�

������ρcp� ����� ����� � �x y �����z ���� �������������� �������� � �� ������ ������ �����&���

��!�����!������ ���� � �� ����� � ������ �������� ���� �� ��� � �������������������������-%2 �%4.��

�0

//+* 0

$$PRdrTPdMM

RM R

νππµ =∗== ∫∫ ���������� ��� � � � � �����������*0+�������������������������������

���������������������������������������������������������������������

������M����� �������� ��!�� �µ����������� ������� ��������R����� � ��������������&������ ����

������������ ����� ����� ��������� �-%#.��

�0

//+* 0

$

/

$PRdrrTPdMq

RM R

ωµππωµω =∗== ∫∫� � � � � � �� �����������*2+�

������ q̇ �� �� � ������� "������ �� � ��� � ���� � ������� ��� ������� ������� �� ���� ��� � �� � �

����������� ��������� ������� ���������� � ���������� � ������������ ��������� ���������� ���

���� ������� ��� ����� ��������� ���� '()�� ��� ������ �� ����� ���� '()� ��� ��������� ���

���������������� � ������������������������'���%��

�+* %%%% kzjyixxr −++−= � � � � � � � � � �����������*4+�

�+* //// kzjyxxr −−+−= � � � � � � � � � �����������*#+�

�+* 0000 kzjyixxr −−−= �� � � � � � � � � �����������*6+�

�+* 2222 kzjyixxr −+−= ������ � � � � � ��� ��� �����������*8+�

r1 �r2 �r3�����r4�������� �������� ��������������������� ����������������� ���� �� ��� ������� ����

��� ������������ ���� �� � � ���7�� ����� ������� ����� ��� �����&��� ������ ����� � ���� ���'()�

���������� ��� ������ ������������ ��� ������������ ���������� ���� � � ���!�����������

�2

%

∑=

∗ =n

zyxzyx FnF � � � � � � � � � � � *,+�

�+*

+*+*���

2200//%%

200%20/%20/%

kzFFzFFzFFzFF

jyFyFyFyFiFFFFFFFFkFiF

zzzz

xxxxxxxx

++−+−+++

−+−−+−++−+++=+∗∗∗∗

∗∗∗∗∗∗ θθ������*%$+�

������������������������������������������������������������������������������������������������������������

������ F* � �� ������� ����� ��� ��� ��� ���� ��� �� � � ������ ����� ���� ������ ��� ������ ����

�������� � ������� �� ���� ���� ���� F� ������� � ��� ��� ���� ������ &��� ��!��� ���� ��� ��� ���

Advanced Materials Research Vols. 230-232 1257

Page 4: Mathematical Model for Multi-Component Forces and Torque Determination in Friction Stir Welding

������������ ����� � ���� ���� ������� �����������>!��0��������������� �������� �� ���� �

������� ������������������������ �����������������'����%��

�2

%

∑=

∗ ×=n

zyxzyxzyx FnrnM � � � � � � � � � ���������*%%+�

)������

�20/% MMMM === � � � � � � � � � ���������*%/+�

&��� ����� � ���� ��� �� ��� �!���������� ���� ��� � ���� ����� ���� ��� ��� ��� �� � ������ ����

�������������� �������������>!��%% ������������

�2

% zyxzyxzyx FnRnM ×=∗ ����������� n�B�% �/�� �2������� � � � � � ���������*%0+�

�+*+*+* kFnyFnxjFnzFnxiFnzFnyFr xnynxnznynznnn −++−−+=× � � � ���������*%2+�

��������� ��������� ������ �������� � ����� ����������� � ������� �����������!�� ������������

����� C��� >������ ���� �� ����� " � � �� �!��������� � ��� ����� � � � ���� ��� ��� ���������

���������������� ��������

*�+� *�+�

'����/<�*�+�"��������������������������� ����� ������������� ��!��������>!��%$ �%%��*�+�D�� ����

��������� ������ �������������������������� ����� � ���� ���������>!��%2 �'����%�

����������� ����� �

7����� ��������� ���� �� ����� ��� ��� ����� ��� ��� ��� ��������� �� ������� ��� ���� ����� ����

����� ������'() � �����������>!��%2���������������������������������

?����� �� �� ���� � ������ ���� �� � � ��������� ���� ������������ ���� ���� ���� ������ ���

�� � ���� ���� ������� �� �� � �������� � ��� ��������� ����� �� ��� � � ������ ������� ��� ��

������ ���������� �� ����������������� �������������&�� �'����/������ ��� ��!������������ �

������ ����������� ������������������&������� ������ � ���� ������������������������� ���

��� ���� ����� ���� ����� � ��������� ��� �� ���� ���� ��� ��� ��������� ���� ���� �� � �� ������

"�#$#%�&# � ������ ������������������������ ������������������ ��������������������������

���������� ������ ���'����/������ �� ��� ������ ������������ ��� ������������ ���� ������� ��� �

'����/������ �������� ��������� ������ �������������������� �� ������� ������� ������ � �����

&��� ��� �� ���� ���� ������� ��� ��������� ����� ������� �������� ������ �������� �� ���

������� ��� ���� ������� � � �� ��� �������� � �� ��� ��� � ������ ���� �� �� ���� ������ � ���� � ������

������������� ������ ����������� �$�#Tm����������� �������� ������� � ����������� ��� ������

���� ���� �� �� �������� ��������������� ���������������� ����� ����� �������

0

20

40

60

80

100

0

5

10

15

20

25

30

35

0 100 200 300 400

&�

�!��

�5�

3��

����

'�

��

��5

;7

Plunge Force Σ Fz Σ Fx Σ Torque

-10

-5

0

5

10

0 100 200 300 400

D��

��

��'

��

� ��

5

;7

Rx1 Ry1 Rx2 Ry2 Rx3 Ry3 Rx4 Ry4 Σ Rx,Ry

1258 Frontiers of Manufacturing Science and Measuring Technology

Page 5: Mathematical Model for Multi-Component Forces and Torque Determination in Friction Stir Welding

����� �

E� ������ ������ ��������� �������� ����� ��������������� ����������� ������������ �����������

7�� �������� ���������� ���� �� ��� ���������� ��� ����� ��� ���������� ��� � �� � ���� ���� '()�

������ ����" ���� ������������ �������� ����� ������ �������������������'()������ �� ���

��������� ��� ������� ������������� ��������&�������� �����������������������������������

����� � ����������������� ������� ���� ��������� ���������� ��!������� ������ ��������

�� ������ ������� '()�� �� ���� ���� ������ �� �������� ����� ��� ��������� �� ���� ��� �����

����������� ������ ��� ��� �� ��� � ������� � ��� �� �� ����� '���� ���� ��!��� ���� ��� �� '()� ��

�� ���������������������������� � ��� ����� �������� ����� � ����������� ������� ���� ���

���������� �������� �� ���������������� ��������������� ��� �������&��� ������� ��� ��!�������

����� ����� ���� �������� ��� ����� �� ������ ��������� ��������� ��� ���� ���� ����� ��������

�� ����� ����� � ���� ������ ���������� ���� ���� ������ ����� ������� ���'()�������� �� ��

�� ������� ������� ������������ ��������� � ����� �����

�������������

&��� ����� � ����� �� ����� ��� ��� ?������ �� (���� �������� ������� D?�C��� � *8%2$82+ � ?(��

�� � � �� ��� 3� ������ �� ( ����� C����� �� D������ '���� *�3(�CD'+� ���� ?(��'���������

���� �������������� ����������������

���������

-%. )����&���� �>�=��5����� �F�7��5������ ���C������ �3��&������� � �����7�F��=��� �

C�A��3� �� �,%/4,68�8 �=��%,,%�

-/. G�����9���� �H��9��I��� �G��7��7���� �9��9��9� ��� ���� ������F�����������������&����J�

������ ��� �28�*/$$8+ �3����*668�686+�

-0. >�=��5����� ���)�"����3������� ���� ������7����� �(����� �"� �������K �����/$$$��

-2. L��'������� �L��C���������K�&�������� ��� ���������������� ������&���� ����" �1������

0/" �����/$$% �3����%%8,�%/$$�

-4. 3�� �F� �F��D���� �&�)��5���� �6 ��

�� ���� ������7������������&��������)�������D����� �

3�������� ��� �C" �����/$$4��

-#. D��5����� �C��C��D�� �&��F��E����� �&��=����� �" ���� ������� �1���44 �/$$6 �3����880�8,4�

-6. 9��(���� �F��9� �������F��)�� ���������������(����� ��������� ������(���������

>���������� �1���%/ �/$$2 �3����%20�%46�

-8. 3��"��7�������� �9��D��(������������D��H� ��� �(���������&������������)�����������

F������ �1���%/ �5��2 �/$$6 �3����/82�/,6�

-,. 7��9���� �� �(��=���������"��(����� ��� ���� ������F�����������������&����J�

������ ��� �1���/8 �/$$8 �3����%%/$�%%0$�

-%$.1��(������������ �(��H����� �D��I������ ��� ���� ������F�����������������&����J�

������ ��� �1���24 �/$$4 �3����%466�%486�

-%%.1���� ���E��3���� �7�� � ������������'�� ���<�3������3������������"����� ��� �/$%$ �

3����%24�

-%/.����� ����9�������<��� ������� ����������>����� �����"�������1������( �� ��� �?�(�

=���� ��� ����=�������3����22�6%��3����22�6%�

-%0.�'��3����������������=��3��=�)� �'������� ������9�� ��������&�������M�0��

�>� �F����

)���������(�� �(���������%,,$�

-%2.�K��&��������������L��C���� �" ���� ���������� ��� ������� �1����2/ �%,,2 �3����%4,4�%#$,�

-%4.�A��7������ �'�� ����)������ �7�� ���������3��� �1����%/ �5���# �%,6% �3����44,�462�

-%#.�9��(��I�����������'�"��� �>�����������=���� ��� �D���� �7���������?������ � �?I �

%,,%�

Advanced Materials Research Vols. 230-232 1259

Page 6: Mathematical Model for Multi-Component Forces and Torque Determination in Friction Stir Welding

Frontiers of Manufacturing Science and Measuring Technology 10.4028/www.scientific.net/AMR.230-232 Mathematical Model for Multi-Component Forces and Torque Determination in Friction Stir Welding 10.4028/www.scientific.net/AMR.230-232.1255


Recommended