ARITMATIKATHP-FTP-UB

AIH

Types of numbers- natural numbersThe first number we ever meet is whole numbers, also called natural numbers, and these are written down using numerals.

Numerals is 0, 1, 2, ..,9, where the position of a numeral dictates the value that it represent.

For example,

246 stands for 2 hundreds, 4 tens and 6 units. That is 200 + 40 + 6

the natural numbers can be represented by equally spaced points on a straight line where the first natural number is zero 0.

Bilangan yang terletak disebelah kiri merupakan bilangan yang lebih kecil dari bilangan yang ditunjuk. Contoh 3 < 8, 5 < 6

TYPES OF NUMBERS-INTEGER NUMBERSIf the straight line displaying the natural numbers is extended to the left we can plot equally spaced points to the left of zero.

Titik-titik pada garis bilangan di bawah ini menunjukkan bilangan negative, yaitu natural numbers yang diberi tanda minus. Bilangan negative, positif, dan nol dinamakan bilangan bulat-integer numbers.

Seperti pada natural numbers, bilangan yang disebelah kiri merupakan bilangan yang lebih kecildari bilangan yang ditunjuk, contoh -5 < 3, -3 < -2

Brackets-tanda kurungDigunakan untuk memisahkan bilangan negative dengan symbol operasi aritmatika.

Contoh 2 (-3), 7 x (-2)

Addition and subtraction1. 4 6

2. 6 2

3. 6 + 2

Multiplication and DivisionMengalikan atau membagi dua bilangan positif atau negativemenghasilkan bilangan positif, sedangkan mengalikan atau membagibilangan positif dengan bilangan negative menghasiilkan bilangannegative

1. 2 x 3

2. -4 x 5

3. -5 x -5

4. -8 : 2

5. -4 : 2

Brackets and precedence rulesPenggunaan tanda kurung danprecedence rules untukmenghilangkan keambiguandalam perhitungan. Contoh

14 6 x 2 = 14 12 atau 8 x 2

Basic Laws of ArithmeticEmpat operasi dasar aritmatika adalah:

Addition and subtraction operasi yang

Multiplication and division saling berlawanan

1. Komutatif

4 + 8 = 8 + 4 = 12 dan 5 x 8 = 8 x 5 = 40

Berarti penjumlahan dan perkalian bersifat komutatif

4 3 3 4

4 : 2 2 : 4

Berarti pengurangan dan pembagian tidak bersifat komutatif

Basic Laws of Arithmetic2. Asosiatif

2 + (3 +4) = (2 +3) +4 = 9

3 x (4 x 5) = (3 x 4) x 5 = 60

Berarti penjumlahan dan perkalian bersifat asosiatif

Apakah pengurangan dan pembagian merupakan operasi aritmatika yang bersifat asosiatif? Tunjukkan

3. Distributive

Perkalian bersifat distributive kiri maupun kanan terhadap penjumlahan maupun pengurangan

2 x (3 + 5) = 2 x 8 = 16 dan (2 x 3) + (2 x 5) = 16, jadi 2 x (3+5) = (2 x 3) + (2 x 5)

(2+3) x 5 = 5 x 5 = 25 dan (2 x 5) + (3 x 5) = 25, (2+3) x 5 = (2 x 5) + (3 x 5)

Sedangkan pembagian bersifat distributive kanan tetapi tidak bersifat distributive kiri terhadappenjumlahan dan pengurangan. Beri contoh!

Faktorisasi3 dan 6 adalah factor dari 18, namun bukan satu-satunya factor, karena

18 = 1 x 18 = 2 x 9 = 3 x 6

Sehingga factor dari 18 adalah 1, 2, 3, 6, 9, 18

Tentukan factor dari

1. 12

2. 36

3. 19

Bilangan primaBilangan prima adalah bilangan yang mempunyai factor 1 dan bilangan itusendiri.

Beri contoh!

FAKTORISASI PRIMA

Setiap bilangan natural, dapat dituliskan sebagai perkalian dari bilangan-bilangan prima.

Sebagai contoh 24 mempunyai factor 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 atau dapat dituliskan

24 = 2 x 2 x 2 x 3

Tentukan faktorisasi prima dari 126!

Highest common factor and lowest common multiple- FPB dan KPK144 = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3

66 = 2 x 3 x 11

KPK = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 11 = 1584

FPB = 2 x 3 = 6

Berapa KPK dan FPB dari 84 dan 512?

TRY

Decimal NumbersBila suatu bilangan bulat dibagi dengan bilangan bulat yang bukanmerupakan faktornya, mka hasilnya tidak mungkin bilangan bulat, contoh 25 : 8 = 3.125

3.125 merepresentasikan 3 + 1

10+

2

100+

5

1000

Bilangan yang dapat ditulis dalam bentuk seperti di atas disebutbilangan decimal.

Rational, irrational and real numbersBilangan rational adalah bilangan yang dapat dijadikan dalam bentuk

pecahan, contoh 8 = 16

2

Bilangan irrational adalah bilangan yang tidak dapat dijadikan bentukpecahan atau dalam bentuk decimal yang tidak terbatas dan tidakberulang, seperti 2

The complete collection of rational and irrational numbers is called the collection of real numbers.

Permutasi Dan Kombinasi

Faktorial

Hasil kali semua bilangan bulat dari 1 hingga n

Permutasi

Penyusunan obyek ke dalam urutan tertentu.

Kombinasi

Penyusunan obyek tanpa memperhatikan urutan

Koefisien Binomial

Contoh PermutasiTentukan jumlah Urutan yang mungkin jika Murid-Guru-Karyawan harus berbaris!

Solusi:

MGK,

MKG,

GKM,

GMK,

KMG,

KGM.

Terdapat 6 Urutan

Posisi 1: ada 3 pilihan (M, G atau K)

Posisi 2: ada 2 pilihan (satu

kategori sudah dipakai di posisi 1)

Posisi 3: ada 1 pilihan (dua

kategori sudah dipakai di posisi 1

dan 2)

Jml Urutan

= 3 x 2 x 1

= 3!

= 6

Permutasi n obyek tanpa Pengembalian

A. Seluruhnya

Contoh:

Terdapat 4 macam buku statistis, 3 macam buku pemrograman dan 2 buku hardware. Ada

berapa cara menyusun buku-buku tsb?

Solusi:

a. 4 Buku statistik 4P4 = 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24 cara

b. 3 buku pemrograman 3P3 = 3! = 6 cara

c. 2 buku hardware 2P2 = 2! = 2 cara

d. Ketiga kelompok buku 3P3 = 3! = 6 cara

e. Seluruh buku = 24 x 6 x 2 x 6 = 1.728 cara

Solusi: n = 6

r = 4

Jumlah permutasi yang mungkin sebanyak

Permutasi n obyek tanpa Pengembalian

B. Sebagian

)!(

!Pr

rn

nn

Contoh: Dari 6 orang pendiri suatu Partai, akan dipilih Ketua, Wakil

Ketua, Sekretaris dan Bendahara. Ada berapa macam kemungkinan

susunan struktur Pengurus Partai tersebut?

36012

123456

)!46(

!646

x

xxxxxP

Solusi: n = 6

P = (n 1)!

= 5! = 5 x 4 x3 x 2 x 1

= 120 cara

Permutasi n obyek tanpa Pengembalian

C. Melingkar

P = (n 1)!

Contoh:

Enam orang duduk mengelilingi meja bundar. Ada berapa

kemungkinan urutan keenam orang tersebut?

Permutasi n Obyek Dengan Pengembalian

Contoh:

Tentukan permutasi dari ABC sebanyak 2 unsur dengan

pengembalian unsur yang terpilih

r

rn nP

Solusi:

n = 3

r = 2

3P2 = nr

= 32

= 9

AA, AB, AC

BB, BA, BC

CC, CA, CB

Permutasi dari n obyek dengan perulangan

!!...!!

!,...,,,

321

321

k

knnnn

nnnnnnP

Contoh:

Tentukan permutasi dari huruf-huruf STATISTIK

Solusi

n = 9S n1 = 2 n1! = 2T n2 = 3 n2! = 6I n3 = 2 n3! = 2

151202x6x2

362880

!2!.3!.2

!92,3,29

P

Masalah Kombinasi

No Obyek Eksp. Cara Eksp. Kemungkinan yang dapat hadir

1 O = {A,B,C,D}

Diundang 2 orang wakilnya untuk rapat keluarga

AB = c1AC = c2AD = c3 BC = c4BD = c5CD = c6

2 O = {A,B,C,D}

Diundang 3 orang wakilnya untuk rapat keluarga

ABC = c1ABD = c2ACD = c3BCD = c4

Masalah Kombinasi

42P

42C

42C

42P

Perhatikan bahwa

= x 2!

12 = 6 x 2!

6 2!Total = = 12 = 6 2= 6

2!

2!

2!

2!

2!

2!

AB dan BA

AC dan CA

AD dan DA

BC dan CB

BD dan DB

CD dan DC

c1 = AB

c2 = AC

c3 = AD

c4 = BC

c5 = BD

c6 = CD

Banyaknya

Permutasi

Jika elemen-elemen kombinasi itu

dipermutasikan

Macam

Kombinasi

Masalah Kombinasi

Macam

Kombinasi

Jika elemen-elemen kombinasi itudipermutasikan

Banyaknya

Permutasi

c1 = ABC

c2 = ABD

c3 = ACD

c4 = BCD

ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, dan CBA

ABD, ADB, BAD, BDA, DAB, dan DBA

ACD, ADC, CAD, CDA, DAC, dan DCA

ABD, ADB, BAD, BDA, DAB, dan DBA

3!

3!

3!

3!

= 4 = 4 6 = 24 4 3!

Perhatikan bahwa

24 = 4 3!

= 3!

Dari :

(1) = 2!

(2) = 3!

42P

42C

43P

43C

42P4

2C2!

=

43P4

3C3!

=

Maka Secara Umum :

nrC = =

nrP

r!

n!

(n r)! r!

Hal.: 26PELUANG

Masalah Kombinasi

Kombinasi k Unsur dari n Unsur dengan beberapa

unsur sama

Misal 4 bola akan yang diambil dari dalam kotak berisi 4 bola

merah, 3 bolaputih dan 2 bola hijau.Empat bola yang diambil harus

terdiri dari 2 bola merah, 1 bola putih dan 1 bola hijau.

Cara pengambilan ini merupakan masalah kombinasi k unsur dari n

unsur dengan beberapa unsur yang sama.

Sehingga total cara pemilihan 4 bola dari 9 bola adalah

4 C 2 . 3 C 1 . 2 C 1 cara.

Number Systems- Denary (or decimal) system This is our basic system in which quantities large or small can be represented by use of the

symbols 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 together with appropriate place values according to their position

In this case, the place values are powers of 10, which gives the name denary (or decimal) to the system. The denary system is said to have a base of 10. You are, of course, perfectly familiar with this system of numbers, but it,s included here as it leads on to ather systems which have the same type of structure but which use different place values.

Number Systems-binary system This is widely used in all forms of switching applications. The only symbols used are 0

and 1 and the place values are powers of 2, i.e the system has a base of 2.

Number Systems- Octal System (base 8)

This system uses the symbols

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

With the place values that are powers of 8

In the same way then 263.4528 expressed in denary form is

Number System-Duodecimal System (base 12)

With a base of 12, the units columnneeds to accommodate symbols up to 11 before any carryover to the second column occours. Unfortunately, symbols go up to only 9, so we

have to invent two extra symbols two represent the values 10 and 11. several suggestion

for these have been voiced in the past, but we will adopt the symbols X and for 10 and

11 respectively. The duodecimal system, therefore, uses the symbols

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, X,

and has place values that are powers of 12.

Number Systems-Hexadecimal System (base 16)

This system has computer applications. The symbols here need to go up to an equivalent denay value of 15, so, sfter 9, letters of the alphabet are used as follows:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

the place values in this system are powers of 16

To express a denary number in binary form

To express a denary number in octal form

To Change a Denary Decimal to Octal Form

TRY