Candidate session number

M16/5/MATHL/HP1/ENG/TZ1/XX

MathematicsHigher levelPaper 1

© International Baccalaureate Organization 201614 pages

Instructions to candidates

yy Write your session number in the boxes above.yy Do not open this examination paper until instructed to do so.yy You are not permitted access to any calculator for this paper.yy Section A: answer all questions in the boxes provided.yy Section B: answer all questions in the answer booklet provided. Fill in your session number

on the front of the answer booklet, and attach it to this examination paper and your cover sheet using the tag provided.

yy Unless otherwise stated in the question, all numerical answers should be given exactly or correct to three significant figures.yy A clean copy of the mathematics HL and further mathematics HL formula booklet is

required for this paper.yy The maximum mark for this examination paper is [120 marks].

2 hours

Tuesday 10 May 2016 (afternoon)

2216 – 7203

16EP01

– 2 –

Full marks are not necessarily awarded for a correct answer with no working. Answers must be supported by working and/or explanations. Where an answer is incorrect, some marks may be given for a correct method, provided this is shown by written working. You are therefore advised to show all working.

Section A

Answer all questions in the boxes provided. Working may be continued below the lines, if necessary.

1. [Maximum mark: 6]

Thefifthtermofanarithmeticsequenceisequalto6andthesumofthefirst12 terms is 45. Findthefirsttermandthecommondifference.

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16EP02

M16/5/MATHL/HP1/ENG/TZ1/XX

– 3 –

Turn over

2. [Maximum mark: 4]

Ataskiingcompetitionthemeantimeofthefirstthree skiers is 34.1 seconds. The time for thefourthskieristhenrecordedandthemeantimeofthefirstfourskiersis35.0 seconds.

Find the time achieved by the fourth skier.

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16EP03

M16/5/MATHL/HP1/ENG/TZ1/XX

– 4 –

3. [Maximum mark: 6]

The following diagram shows the curve y = a sin (b(x + c)) + d , where a , b , c and d are all positive constants. The curve has a maximum point at (1 , 3.5) and a minimum point at (2 , 0.5) .

1 2 3 4 5

–1

0

1

2

3

4

5

x

y

(1, 3.5)

(2, 0.5)

–1

(a) Write down the value of a and the value of d . [2]

(b) Find the value of b . [2]

(c) Find the smallest possible value of c , given c > 0 . [2]

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16EP04

M16/5/MATHL/HP1/ENG/TZ1/XX

– 5 –

Turn over

4. [Maximum mark: 5]

(a) On the Venn diagram shade the region A' ∩ B' . [1]

A B

Two events A and B are such that P (A ∩ B' ) = 0.2 and P (A ∪ B) = 0.9 .

(b) Find P (A' | B' ) . [4]

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16EP05

M16/5/MATHL/HP1/ENG/TZ1/XX

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5. [Maximum mark: 8]

(a) Expand and simplify 1 3 2-_ i . [1]

(b) By writing 15û as 60˚- 45˚findthevalueofcos (15˚) . [3]

The following diagram shows the triangle ABC where AB = 2 , AC = 2 and BACt = 15˚.

2

15˚

B

CA 2

(c) Find BC in the form a +  b where a , b ∈ . [4]

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16EP06

M16/5/MATHL/HP1/ENG/TZ1/XX

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Turn over

6. [Maximum mark: 4]

Find integer values of m and n for which

m - n log3 2 = 10 log9 6

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16EP07

M16/5/MATHL/HP1/ENG/TZ1/XX

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7. [Maximum mark: 8]

(a) Sketch on the same axes the curve y =  x 47- and the line y = x + 2 , clearly

indicating any axes intercepts and any asymptotes. [3]

(b) Find the exact solutions to the equation x + 2 =  x 47-  . [5]

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16EP08

M16/5/MATHL/HP1/ENG/TZ1/XX

– 9 –

Turn over

8. [Maximum mark: 5]

O , A , B and C are distinct points such that OA→

= a , OB→

= b and OC→

= c .

It is given that c is perpendicular to AB→

and b is perpendicular to AC→

.

Prove that a is perpendicular to BC→

.

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9. [Maximum mark: 7]

A curve is given by the equation y = sin (π cos x) .

Find the coordinates of all the points on the curve for which ddyx= 0 , 0 ≤ x ≤ π .

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10. [Maximum mark: 7]

Find the x-coordinates of all the points on the curve y = 2x4 + 6x3 + 72

x2 - 5x + 32

at which

the tangent to the curve is parallel to the tangent at (–1 , 6) .

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Section B

Answer all questions in the answer booklet provided. Please start each question on a new page.

11. [Maximum mark: 21]

Two planes have equations

П1 : 4x + y + z = 8 and П2 : 4x + 3y - z = 0

(a) Find the cosine of the angle between the two planes in the form qp

where p , q ∈ . [4]

Let L be the line of intersection of the two planes.

(b) (i) Show that L has direction 1

22

-J

L

KKKKKKKK

N

P

OOOOOOOO.

(ii) Show that the point A (1 , 0 , 4) lies on both planes.

(iii) Write down a vector equation of L . [6]

B is the point on П1 with coordinates (a , b , 1) .

(c) Given the vector AB→

is perpendicular to Lfindthevalueofa and the value of b . [5]

(d) Show that AB = 3 2 . [1]

The point P lies on L and 45ABP = ct .

(e) Find the coordinates of the two possible positions of P . [5]

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12. [Maximum mark: 21]

(a) UsedeMoivre’stheoremtofindthevalueof cos π isin π3

+

. [2]

(b) Use mathematical induction to prove that

(cos θ - i sin θ )n = cos nθ - i sin nθ for n ∈ + . [6]

Let z = cos θ + i sin θ .

(c) Find an expression in terms of θ for (z)n + (z*)n , n ∈ + where z* is the complex conjugate of z . [2]

(d) (i) Show that z z* = 1 .

(ii) Write down the binomial expansion of (z + z*)3 in terms of z and z* .

(iii) Hence show that cos 3θ = 4 cos3 θ - 3 cos θ . [5]

(e) Hence solve 4 cos3 θ - 2 cos2 θ - 3 cos θ + 1 = 0 for 0 ≤ θ

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13. [Maximum mark: 18]

The following diagram shows the graph of y = lnxx 2^ h , x > 0 .

a x

y

(a) Given that the curve passes through the point (a , 0) , state the value of a . [1]

The region R is enclosed by the curve, the x-axis and the line x = e .

(b) Use the substitution u = ln xtofindtheareaoftheregionR . [5]

Let e

21

(ln ) dn

nxI x

x= ∫ , n ∈  .

(c) (i) Find the value of I0 .

(ii) Prove that eI nI1

1n n=- + - , n ∈ + .

(iii) HencefindthevalueofI1 . [7]

(d) Find the volume of the solid formed when the region R is rotated through 2π about the x-axis. [5]

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