99
| Date post: | 08-Jan-2017 |
| Category: |
Education |
| Upload: | mehmet-cemal-acar |
| View: | 653 times |
| Download: | 0 times |
SAYISAL ANALİZ
Matlabrsquoa Giriş Derleme Ders
Notları
Oumlğr Goumlr Arzu ERENER
emailae76hotmailcomtr
2
1 KaynakccedilaSayısal Analiz
1
Octave httpwwwgnuorgsoftwareoctavedownloadhtml
2
Matlab httpwwwmathworkscomproductsmatlab
3
Excel 4
Steven T Karris Numerical Analysis Using MATLAB and Excel Third Edition 2007 Orchard Publications
5
MATLAB The Language of Technical Computing Getting Started with MATLAB Version 5
6
Mehmet Uzunoğlu-
Oumlmer Ccedilağlar Onar Her Youmlnuuml
ile Matlab 2003 Baskı
7
MATLAB PROGRAMLAMAYA GİRİŞ httpwwwtugrulaktascomdersnotlariMatlapmatlab[2]pdf
8
Ali Yazıcı
ders notları Matlab 70 hızlı
oumlğrenme Klavuzu Sayısal Youmlntemler Derleyen AGuumln Denetleyen AKaramancıoğlu OGU-EE003 Ağustos 2002 MATLABrsquoE GiRİŞ
9
CORS-TR Ders 2 MATLAB ile Matris İşlemleri EğitimSeminerleri Serisi MATLABrsquoe Giriş
10 httpwwwmathworkscommatlabcentral
3
1 KapsamSayısal Analiz
o
1 Matlabın Genel Yapısıo
2 Matlab Kullanımında Temel Kurallar
o
31 İfadelero
32Değişlenler
o
33 Sayılaro
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)
o
35 Fonksyonlaro
36 Oumlzel Sabitler
o
4 Vektoumlrlero
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleri
o
51 Matrislerde Elemanlaro
52 Genel Matrisler
o
6 Matrisler ve İşlemler
4
Matlab yuumlksek performanslı bir teknik programlama dilidir
Matlab accedilılımı ingilizce ldquoMATrix LABoratoryrdquo den gelmektedir
Başlangıccedilta MATLAB oumlzellikle muumlhendislik alanında iyi grafik oumlzelliklere sahip
daha ccedilok sayısal hesaplamalarda kullanılmak amacı ile geliştirilmiş bir paket
programlama dili olarak ortaya ccedilıkmıştır
Matlab matrix esaslı matematik ortamında kullanılmak uumlzere geliştirilmiş
etkileşimli bir paket programlama dilidir
İlk suumlruumlmleri Fortran diliyle hazırlanmış olmakla beraber son uumlruumlmleri (2000
yılı itibari ile 51) C dilinde yazılmıştır
1 MATLABSayısal Analiz
5
MATLAB muumlhendislik alanında
bullMatematik ve hesaplama işleri algoritma
geliştirme
bullVerilerin analizi incelenmesi ve
goumlruumlntuumllenmesi
bullveri ccediloumlzuumlmleri ve
bullgrafik işlemlerinde
bullModelleme benzetim ve prototipleme
kullanılabilecek genel amaccedillı bir program olmakla
beraber oumlzel amaccedillı moduumller paketlerede sahiptir
Fortran ve C dili gibi yuumlksek seviyeli programlama
dili ile yapılabilen hesaplamaların pek ccediloğunu
MATLAB ile yapmak muumlmkuumlnduumlr
1 MATLABSayısal Analiz
2
1 KaynakccedilaSayısal Analiz
1
Octave httpwwwgnuorgsoftwareoctavedownloadhtml
2
Matlab httpwwwmathworkscomproductsmatlab
3
Excel 4
Steven T Karris Numerical Analysis Using MATLAB and Excel Third Edition 2007 Orchard Publications
5
MATLAB The Language of Technical Computing Getting Started with MATLAB Version 5
6
Mehmet Uzunoğlu-
Oumlmer Ccedilağlar Onar Her Youmlnuuml
ile Matlab 2003 Baskı
7
MATLAB PROGRAMLAMAYA GİRİŞ httpwwwtugrulaktascomdersnotlariMatlapmatlab[2]pdf
8
Ali Yazıcı
ders notları Matlab 70 hızlı
oumlğrenme Klavuzu Sayısal Youmlntemler Derleyen AGuumln Denetleyen AKaramancıoğlu OGU-EE003 Ağustos 2002 MATLABrsquoE GiRİŞ
9
CORS-TR Ders 2 MATLAB ile Matris İşlemleri EğitimSeminerleri Serisi MATLABrsquoe Giriş
10 httpwwwmathworkscommatlabcentral
3
1 KapsamSayısal Analiz
o
1 Matlabın Genel Yapısıo
2 Matlab Kullanımında Temel Kurallar
o
31 İfadelero
32Değişlenler
o
33 Sayılaro
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)
o
35 Fonksyonlaro
36 Oumlzel Sabitler
o
4 Vektoumlrlero
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleri
o
51 Matrislerde Elemanlaro
52 Genel Matrisler
o
6 Matrisler ve İşlemler
4
Matlab yuumlksek performanslı bir teknik programlama dilidir
Matlab accedilılımı ingilizce ldquoMATrix LABoratoryrdquo den gelmektedir
Başlangıccedilta MATLAB oumlzellikle muumlhendislik alanında iyi grafik oumlzelliklere sahip
daha ccedilok sayısal hesaplamalarda kullanılmak amacı ile geliştirilmiş bir paket
programlama dili olarak ortaya ccedilıkmıştır
Matlab matrix esaslı matematik ortamında kullanılmak uumlzere geliştirilmiş
etkileşimli bir paket programlama dilidir
İlk suumlruumlmleri Fortran diliyle hazırlanmış olmakla beraber son uumlruumlmleri (2000
yılı itibari ile 51) C dilinde yazılmıştır
1 MATLABSayısal Analiz
5
MATLAB muumlhendislik alanında
bullMatematik ve hesaplama işleri algoritma
geliştirme
bullVerilerin analizi incelenmesi ve
goumlruumlntuumllenmesi
bullveri ccediloumlzuumlmleri ve
bullgrafik işlemlerinde
bullModelleme benzetim ve prototipleme
kullanılabilecek genel amaccedillı bir program olmakla
beraber oumlzel amaccedillı moduumller paketlerede sahiptir
Fortran ve C dili gibi yuumlksek seviyeli programlama
dili ile yapılabilen hesaplamaların pek ccediloğunu
MATLAB ile yapmak muumlmkuumlnduumlr
1 MATLABSayısal Analiz
3
1 KapsamSayısal Analiz
o
1 Matlabın Genel Yapısıo
2 Matlab Kullanımında Temel Kurallar
o
31 İfadelero
32Değişlenler
o
33 Sayılaro
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)
o
35 Fonksyonlaro
36 Oumlzel Sabitler
o
4 Vektoumlrlero
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleri
o
51 Matrislerde Elemanlaro
52 Genel Matrisler
o
6 Matrisler ve İşlemler
4
Matlab yuumlksek performanslı bir teknik programlama dilidir
Matlab accedilılımı ingilizce ldquoMATrix LABoratoryrdquo den gelmektedir
Başlangıccedilta MATLAB oumlzellikle muumlhendislik alanında iyi grafik oumlzelliklere sahip
daha ccedilok sayısal hesaplamalarda kullanılmak amacı ile geliştirilmiş bir paket
programlama dili olarak ortaya ccedilıkmıştır
Matlab matrix esaslı matematik ortamında kullanılmak uumlzere geliştirilmiş
etkileşimli bir paket programlama dilidir
İlk suumlruumlmleri Fortran diliyle hazırlanmış olmakla beraber son uumlruumlmleri (2000
yılı itibari ile 51) C dilinde yazılmıştır
1 MATLABSayısal Analiz
5
MATLAB muumlhendislik alanında
bullMatematik ve hesaplama işleri algoritma
geliştirme
bullVerilerin analizi incelenmesi ve
goumlruumlntuumllenmesi
bullveri ccediloumlzuumlmleri ve
bullgrafik işlemlerinde
bullModelleme benzetim ve prototipleme
kullanılabilecek genel amaccedillı bir program olmakla
beraber oumlzel amaccedillı moduumller paketlerede sahiptir
Fortran ve C dili gibi yuumlksek seviyeli programlama
dili ile yapılabilen hesaplamaların pek ccediloğunu
MATLAB ile yapmak muumlmkuumlnduumlr
1 MATLABSayısal Analiz
4
Matlab yuumlksek performanslı bir teknik programlama dilidir
Matlab accedilılımı ingilizce ldquoMATrix LABoratoryrdquo den gelmektedir
Başlangıccedilta MATLAB oumlzellikle muumlhendislik alanında iyi grafik oumlzelliklere sahip
daha ccedilok sayısal hesaplamalarda kullanılmak amacı ile geliştirilmiş bir paket
programlama dili olarak ortaya ccedilıkmıştır
Matlab matrix esaslı matematik ortamında kullanılmak uumlzere geliştirilmiş
etkileşimli bir paket programlama dilidir
İlk suumlruumlmleri Fortran diliyle hazırlanmış olmakla beraber son uumlruumlmleri (2000
yılı itibari ile 51) C dilinde yazılmıştır
1 MATLABSayısal Analiz
5
MATLAB muumlhendislik alanında
bullMatematik ve hesaplama işleri algoritma
geliştirme
bullVerilerin analizi incelenmesi ve
goumlruumlntuumllenmesi
bullveri ccediloumlzuumlmleri ve
bullgrafik işlemlerinde
bullModelleme benzetim ve prototipleme
kullanılabilecek genel amaccedillı bir program olmakla
beraber oumlzel amaccedillı moduumller paketlerede sahiptir
Fortran ve C dili gibi yuumlksek seviyeli programlama
dili ile yapılabilen hesaplamaların pek ccediloğunu
MATLAB ile yapmak muumlmkuumlnduumlr
1 MATLABSayısal Analiz
5
MATLAB muumlhendislik alanında
bullMatematik ve hesaplama işleri algoritma
geliştirme
bullVerilerin analizi incelenmesi ve
goumlruumlntuumllenmesi
bullveri ccediloumlzuumlmleri ve
bullgrafik işlemlerinde
bullModelleme benzetim ve prototipleme
kullanılabilecek genel amaccedillı bir program olmakla
beraber oumlzel amaccedillı moduumller paketlerede sahiptir
Fortran ve C dili gibi yuumlksek seviyeli programlama
dili ile yapılabilen hesaplamaların pek ccediloğunu
MATLAB ile yapmak muumlmkuumlnduumlr
1 MATLABSayısal Analiz
6
1970rsquolerin sonunda Cleve Moler tarafından yazılan Matlab programının tipik
kullanım alanları
Matematiksel hesaplama işlemleri
Algoritma geliştirme ve kod yazma
Lineer cebiristatistikFourier
analizifiltrelemeoptimizasyonsayısal integrasyon vb konularda
matematik fonksiyonlar
2D ve 3D grafiklerinin ccedilizimi
Modelleme ve simuumllasyon (benzetim)
Grafiksel arayuumlz oluşturma
Veri analizi ve kontroluuml
Gerccedilek duumlnya şartlarında uygulama geliştirme
şeklinde oumlzetlenebilir
1 MATLABSayısal Analiz
7
oMatlabın resmi sitesi httpwwwmathworkscom
ooumlrnek uygulama ve teknik literatuumlr iccedilin
wwwmathworkscomapplicationstech_compnicalliteraturehtml Ayrıca httpwwwmathworkscommatlabcentral
kod paylaşımı
oMatlabrsquoin Tuumlrkiye temsilcisi Bursa merkezli Figes firmasıdıroWeb adresi httpwwwfigescomtr
oHaber grubu matlabturkyahoogroupscom
1 MATLABSayısal Analiz
8
1 MATLABSayısal Analiz
Matlab matrix tabanlı
bir dildir
Matlabda ilk başlangıccedilta herşeyi matris olarak duumlşuumlnmek yararlı
olacaktır
9
1 MATLABSayısal Analiz
oAraccedil
kutularıoumlzel sorunların ccediloumlzuumlmuuml
iccedilin
MATLABa uyarlanan MATLAB işlevlerinin bir
tuumlr
kitaplıklarıdır
oAraccedil
kutuları accedilık ve eklenebilir olup kendi
algoritmalarını
ve ekini goumlrebilirsiniz
oSimulink
oBlok diyagram arayuumlzuuml
ile doğrusal olmayan
simulasyonu ve ldquocanlırdquo
simulasyon
yetenekleriyle oumlz sayıları MATLABrsquoın
grafiklerini ve dil fonksiyonlarını
birleştiren
bir
sistemdir
10
oMatlaba başlamanın en iyi yolu matrislerin nasıl ele alınması
gerektiğini
oumlğrenmektir
oMATLAB da bir matrix dikdoumlrtgen sayılar dizisidir
o1x1 matris scaler sayı
omx1 matris suumltun matrisi
o1xn matris satır matrisi
omxn matris m satırlık n suumltunluk matristir
1 MATLABSayısal Analiz
11
1 Program Nasıl Başlatılır
Başlat --gtTuumlm Programlar--gtMatlab
veya
Command Window Matlab
2 Program Nasıl Sonlandırılır
MATLAB Programlama dilini sonlandırmak
iccedilin
gtgt quit
yada
gtgt exit
komutları
kullanılır
1 Matlabın Genel Yapısı
MATLAB
12
MASA UumlSTUuml KOMUT PENCERESİ
Ccedilalışma DiziniCcedilalışma Alanı
Komut Geccedilmişi
Komut Satırı
MATLAB programını
ilk ccedilalıştırdığınızda karşınıza ccedilıkacak ekran aşağıdaki gibidir
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
13
Matlabı ccedilalıstırdığımızda karsımıza ana pencere gelirBu pencerede
File Edit DebugParallel Desktop Window veHelp
ana baslıkları vardır
Bu baslıklar altından diğer Windows programlarında alısılagelmis benzer islemler
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
14
Burada Desktop Desktop Layout ile Matlabın masauumlstuuml yerlesimini
duumlzenleyebilirsiniz
Oumlrneğin Default ile varsayılan goumlruumlnuumlmuumlnuuml
Command Window Only ile sadece klasik komut penceresini
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
15
Command Window Bu pencere komut penceresidir
Bu pencereden Matlab ile ilgili komutları klavyeden girer komutun
islemesini sağlamak iccedilin de Enter tusuna basılır
Komutları girdiğimiz satır gtgt ile baslar ki bu satıra komut satırı denir
EgYarıccedilapı
36 olan bir daire alanı
hesaplayalım
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
16
Bu pencere o ana kadar komut satırından girilen komutları goumlsterir
İstersek bunların birini fareyle seccediler ya da bir kaccedilını veya tuumlmuumlnuuml fare ve
asağı-yukarı youmln tusları yardımıyla seccediler ve delete tusuna basarak silebiliriz
Command History
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
17
oKomut satırından ya da ccedilalıstırılan bir dosya ya da fonksiyon ile hafızada
olusturulan değiskenlerin adlarının tiplerinin ve oumlzelliklerinin goumlruumlntuumllendiği
penceredir
oCcedilalışma Alanı
MATLABrsquoda işletilen fonksyonların veya komutların oluşturduğu
değişkenlerin depolandığı
bir merkezdir
oBoumlylelikle tuumlm değişkenlere belli bir kaynaktan ulaşılabilmektedir bu da
programlama sırasında değişkenlerin yerini belirtmeden bu değişkenleri kullanma
imkanı
sağlamaktadır
Workspace
Uumlstuumlne sağ tuş yapıp
oumlzellikler eklenebilir
egsize
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
18
Workspace
Oumlrneğin
c değiskeni 1x1 boyutunda bir matris yani sayı
b değiskeninin ise 3x2 boyutunda bir matris yani uumlccedil satır ve 2 suumltundan
olusan bir matris
nasılsın adlı değisken de 6 karakterden olusan bir karakter zinciri (string)
olduğu goumlruumlluumlr
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
Oumlrnek Command Windowrsquoa alttaki değerleri yazıp inceleyin
a = 4 b = 5 c = abnasılsın=lsquoiyidirrsquo
19
Matlab Dizi Editoumlruuml
oA değişkenine ccedilift tıklandığında Matlab Dizi Editoumlruuml
accedilılır
oBurda değişkenlerin iccedilerikleri goumlruumlntuumllenir ve değiştirilebilir
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
20
who
ccedilalışma alanında hangi değişkenler olduğu
whos
bu değişkenlerin yapıları
goumlruumllmektedir
what
komutu kullanıcı
diskinin halihazır dizininde mevcut M- dosyaları
listesini verir
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
21
clc
Komut penceresindeki satırları
silmeye yarar
clear
Hafızadaki değişkenler silinir
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
22
Matlab Ccedilalışma Dizini penceresindeki ldquo
aşağı
okrdquo
basılarak ccedilalışma dizini seccedililebilir
Current Folderrsquoda ccedilalışmak istenilern directory youmlnlendirilerek hızlı
ulaşım sağlanır
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
23
Current Folder
Matlab dosyalarının kaydedildiği yuumlklendiği dosyaların bulunduğu
klasoumlruuml
(dizin) varsayılan klasoumlr olarak belirlemeye yarar
Aksi belirtilmedikccedile bu klasoumlr CMatlab6p5work gibi bir klasoumlrduumlr
Yada save FMATLAB_UYGkatsayilar a
katsayilarmat olarak kaydedilen a matrisininmatlab kapatılıp accedilıldıktan sonra herhangi bir zamanda geri ccedilağrılmasıiccedilin
load FMATLAB_UYGkatsayilar
komut dizisi kullanılır
Command Windowa save yazılırsa değişkenler ldquomatlabmatrdquo
veri
dosyasına kaydedilmiş olur
Matlabı
kapatıp accedilalım ve matlabmatrsquoı
ccedilağıralım
(File open matlabmat)
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
Oumlrnekgtgt a=[123 579] a = 1 2 3 5 7 9
24
MATLAB Yardım
1 Komut satırına ldquohelprdquo yazılır Bu yardım sunulabilecek konuların listesini sunar
2 help fonksyon-adı
fonksyon iccedilin yardım metnini goumlruumlntuumller
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
25
Matlab MasaUumlstuuml
Yeni M- Dosyası
Dosya Accedil Help Desk
Kayıtlı
Matlab Fonksyonu kayıt dosyası(mat) modeli figuumlruuml
ve GUI arayuumlzluuml
fonksyonları
accedilar
Veri dosyalarını
accedilar
Ccedilalışma ortamını
kaydeder
Farklı
ccedilalışma dizinini Matlaba tanıtır
Matlab arayuumlzuumlnuuml
ayarlar
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
26
Başlat Duumlğmesi
Matlab araccedil
kutuları Matlab
uygulamalarına eklenti olarak
hazırlanan ve hazır fonksyonları iccedileren paketlerdir
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
27
Başlat Duumlğmesi
Start Duumlğmesi tuumlm matlab uygulamalarına accedilılan kısayolları
iccedilermektedir
Matlab Uygulamaları
iccedilin kısa yol
Araccedil
kutularıSimulinkUy
gulaması
Demolar
Veri Sihirbazı
GUI Hazırlayıcı
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
28
Matlaba Veri Alma
Programa dışarıdan resim film veri ses dosyalarını
matris formatına ccedilevirerek bir değişken olarak atamada kullanılır
File Import Data
Oumlrnek Exel dosyası
alma
Exelde bir matrix oluşturup matlabdan import ile alınız
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
29
Matlabda Temel Kavramlar
Tuumlm programlama dillerinde olduğu gibi (Fortran C Pascal Basic vs)
Matlabın da oumlzel anlam tasıyan bazı kelimeleri vardır ki bu kelimeler değisken
olarak kullanılamazlar
Bu tuumlr kelimelere anahtar kelime (keywords) denir
Bu kelimelerin bir listesini almak iccedilin komut satırına
iskeyword komutunu yazarak elde edebiliriz
Bu kelimeler
breaklsquo case catch continue else elseif endlsquo for function global
if otherwiselsquo persistent return switch try while
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
30
Programın dili ve yardım bilgileri tamamen ingilizcedir
Kuumlccediluumlk-buumlyuumlk harf ayrımı vardır
Oumlrneğin dscrite DSCRITE ve Dscrite atamaları farklı şekilde
algılanır
Eğer istenirse ldquocasesen offrdquokomutu ile bu durum sona
erdirilebilir
raquo işareti komut promptrsquoudur
Komutlar Enter ile yuumlruumltuumlluumlr
2 Matlab Kullanımında Temel Kurallar
Matlab
31
Genel komutların isimleri ve accedilıklamaları
2 Matlab Kullanımında Temel KurallarMATLAB
32
2 Matlab Kullanımında Temel KurallarMATLAB
MATLAB kontroluumlnuuml
kullanabilmeniz iccedilin oumlzel karakterlere sahiptir Bu karakterlerin bir oumlzeti
33
2 Matlab Kullanımında Temel KurallarMatlab
34
2 Matlab Kullanımında Temel KurallarMatlab
35
İFADELER Matematiksel ve metinsel goumlsterimler ile işlemler ifadelerlesağlanır
Sayılar (Numbers)Değişkenler (Variables)İşleccediller (Operators)Fonksiyonlar (Functions)
Matlabrsquode ifadeler genellikle değişken = ifade veya sadece ifade formundadır
Sayısal Analiz
x = 4 sqrt(5) İfade
değişkensayı işleccedil fonksiyon
Bir ifade = işareti ile bir değişkene atanmamış
ise Matlab otomatik olarak sonucu ans (answer)
adı
verilen oumlzel bir değişkende saklar
3 MATRİSLER
36
o
Birden
fazla ifade
tek satırda aralarına
ya da koyarak yazılabilir
o
Yazımda
boşluk
sayısı
etkisizdir
o
Sadece
ilgili
değişken
adını
yazarak
o değişkeni ccedilağırabilirsiniz
MATRİSLER31 İFADELER
37
o MATLABrsquoda herhangi bir tip tanımlaması
veya boyut ifadesine gerek yoktur
o
MATLAB yeni bir değişken ismi ile karşılaştığında otomatik olarak ans isminde
bir değişken oluşturur ve uygun bir bellek miktarı
ayırır
oEğer değişken zaten varsa MATLAB gerekli bir bellek ayırdığında iccedileriği değişir
Oumlrneğin
o ogrenci_sayı=51
32 DeğişlenlerMatlab
Değisken
değeri değisebilen bellek alanına isaret eden değerlere
38
MATLAB değişken girişleri iccedilin ccedileşitli kurallara sahiptir
Her değişken bir harfle başlamak zorundadır
Program buumlyuumlk kuumlccediluumlk harf duyarlıdır X ve x farklı değişkenleri ifade eder
Program 31 basamağa kadar duyarlıdır Bu basamaktan sonrasını yok sayar
Dolayısıyla 31 basamaktan uzun değişken isimleri karışıklık yaratabilir
32 DeğişlenlerMatlab
39
Değiskenlere Değer Atama
Her hangi bir programlama dilinde olduğu gibi Matlabrsquoda da bir değiskene
değer verme islemine rdquodeğer atamakrdquo denir
Bir değiskene atanan değer değistirilmediği suumlrece aynı kalır
Değer atamanın genel kullanımı asağıdaki biccediliminde olur
ltDeğisken adıgt=ltAtanacak değergt
32 DeğişlenlerMatlab
40
Oumlrnek 2
A=6i-7 A değişkenine skaler bir değer atar
B=A 7
B değişkenine A değişkeninin 17 si atanmıştır
C=[3 4 5 6]
4 elemanlı
bir satır vektoumlruuml
atanmıştır
NOT
Dizi girişinde herhangi bir satıra ait elemanlar aralarına boşluk veya virguumll ldquordquo konularak ayrılır
Dizinin diğer bir satırına başlamak iccedilin biten satır sonuna konulur
32 DeğişlenlerMatlab
41
oMATLABrsquoda sayılar yaygın olarak kullanılan onluk tabanda ifade edilirler
o
Bunun yanısıra onluk tabanda uumlstel olarak veya i veya j olarak kompleks sayı biccedilimlerinde de ifade edilebilirler
oOumlrnek olarak
33 Sayılar
Matlab da i
ve j
başka tuumlrluuml
tanımlanmamışsa kompleks i sayısını
goumlsterir 3e5 sayısıda 3105
anlamındadır
MATRİSLER
42
o
Ondalık sayılar Tuumlrkccedilemizdeki
35 yerine
35 şeklinde
goumlsterilir
(00001 veya 963
065 yerine 65)
o
Bilimsel
notasyon
goumlsterimi olan e
(veya E) harfi
10rsquonun kuvvetini
temsil eder
o 2e4=2104=2000 veya
165e-20=16510-20
demektir
o
Kompleks
sayılarda
imajiner
(sanal) kısımlar
i
veya
j
ekini
alır
i veya
j
ile
gosterimlerinde
bir
fark
yoktur
o (1+3i veya 1+3i veya 1+i3) 1+sqrt(3)j
-5i
o
Matlabrsquode
tuumlm
sayılar yaklaşık 210308 ve
210-308 arasında
değişir
33 Sayılar
MATRİSLER
43
Sayı
Formatları
33 SayılarMatlabMATRİSLER
44
oMatlabda bir ccedilok eylem doumlrt islem ve matematiksel bazı
islemler
yaptırabiliriz
oBunun iccedilin ya ilgili komutları
komut penceresinden teker teker girerek veya
ilgili komutları
bir dosyaya yazıp o dosyayı
ccedilağırarak ccedilalıstırabiliriz
oİşlemleri yaptırırken sayıları
reel sayı
ya da karmasık sayı
olarak alabiliriz
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
45
Matematiksel ifadeleri oluşturmak iccedilin operatoumlrler ve oumlnceden tanımlanmış sembolleri kullanabilirsiniz
oOperatoumlrler oumlzetle şunlardır
oMatrislerle yapılan işlemlerde boumllme işlemi iccedilin iki farklı
sembol kullanılmaktadıroBunun yanında eğer sayılar skaler ise iki boumllme işleminin sonucu da aynı
değeri
goumlsterecektiroOumlrneğin 32 ile 23 ifadelerinin sonuccedilları
aynı
olup 15rsquodir
raquo 4+83ndash2ans =26
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
46
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
x=a + b
Bu ifadede a ve b nin toplandığı
ve x değişkeni iccedilinde saklandığıbelirtilmektedir
47
Aritmetiksel İşlemlerde Oumlncelik Durumu
oTek bir aritmetiksel durum iccedilinde birden fazla durum bir arada bulunabildiğine goumlre
hangi işlemin oumlncelik hakkına sahip olunduğunun
bilinmelidir
oMATLABrsquoda kullanılan işlemlerde işlemlerin oumlncelik
listesi
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
bazı
temel matematiksel fonksiyonların accedilıklamaları
48
o
MATLABrsquo
da işlemler soldan sağa işlerlero
İşlemler arası
oumlncelik sırası
aşağıdaki gibidir
1 ^
(Yuumlksek)2
darr
3 + -
(Duumlşuumlk)
raquo 3^(2ndash5)-632 raquo 3^2ndash5ndash632ans = ans =
mdash39630 0
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
49
35 FonksyonlarMATRİSLER
o MATLABrsquoın ccedilok guumlccedilluuml
ve ccedilok kapsamlı
bir fonksiyon yapısı
vardır
oMATLABrsquoda bazı
fonksiyonlar daha oumlnceden yerleştirilmiş
bazıları
ise sonradan
dışarıdan yerleştirilmiş
M-dosyalarından oluşan MATLAB kuumltuumlphanelerinde
tanımlanmışlardır
oBunun yanında oumlzel uygulamalar iccedilin kullanıcıların kendi fonksiyonlarını
yazarak
kendi kuumltuumlphanelerini oluşturması
muumlmkuumlnduumlr
MATLABrsquoda mevcut analitik fonksiyonları
genel olarak aşağıdaki kategorilere ayırabiliriz oTemel matematiksel fonksiyonlaroOumlzel fonksiyonlaroTemel matrisler ve matris işlemlerioMatrisleri ccedilarpanlarına ayırmaoVeri analizlerioPolinomlaroDiferansiyel denklem ccediloumlzuumlmlerioLineer olmayan denklemler ve optimizasyonoSayısal integral hesaplamalarıoSinyal işleme
50
Matematiksel Fonksiyonlar
bazı
temel matematiksel fonksiyonların accedilıklamaları
35 FonksyonlarMATRİSLER
Oumlrnekgtgtexp(1)ans=27183gtgtfix(35)ans=3gtgtceil(35)ans=4gtgtround(35)ans=4
51
Matlabda oumlnceden tanımlanmıs bazı
sabitlerdirBunlar aşağıdaki tabloda goumlsterilmistir
36 Oumlzel SabitlerMatlab
52
Oumlrnekler
1)
a=1
2)
a=rsquoİstanbulrsquo
3)
a=5b=7c=a+b
4) a=5b=-3c=a+2ba=a+b
5)
num=23-5^2 x=num2 y=x+10
7 Sabitler Değiskenler ve Metin KatarlarıMatlab
53
Oumlrnek
Komut satırına
a)
sin(30)
b)
sin(30pi180) yazınız sonuccedilları
inceleyiniz
35 FonksyonlarMATRİSLER
Cevapa) -09880 sonucu goumlruumlluumlr ki bu 30deg
nin sinuumlsuumlnde n farklıdır Ccediluumlnkuuml
bu 30deg
derece değil 30 radyanın sinuumlsuumlduumlrb) 05000 sonucu goumlruumlluumlr ki bu da 30deg
nin sinuumlsuumld uumlr O halde bir
sayının trigonometrik değerini buldurmak iccedilin oumlnce pi ile ccedilarpıp 180 e boumllerek accedilıyı
radyan ccedilevirip sonra trigonometrik değerini
hesaplatabiliriz
54
oVektoumlrler tek boyutlu sayı
dizileridir
oElemanlarının sıralanma youmlnlerine goumlre suumltun veya satır vektoumlruuml
adlarını alırlar
ovektoumlrler [ ] koumlşeli parantezleri ile tanımlanır
ofarklı
yolla tanımlanabilirler
4 VektoumlrlerMatlab
A = [4 12 -8 6]A = [4 12 -8 6]
B = [1 2 4 6]
Satır Vektoumlruuml
Suumltun Vektoumlruumlgtgt b=[1 2 4 6 ]
55
4 VektoumlrlerMatlab
ovektoumlr boyutları
buumlyuumlduumlkccedile manuel olarak tanıtım işlemi oldukccedila zorlaşmaktadır
oOumlzellikle belli bir artıma sahip vektoumlrlerin oluşturulmasında () operatoumlruuml kullanılmaktadır
C = [-105150]
Son değerBaşlangıccedil değeri Artış
miktarı
Drsquo
= [30-10-30]
Suumltun Vektoumlruuml
56
Vektoumlr indisleri
4 VektoumlrlerMatlab
Bir vektoumlruumln elemanlarına atanılan değer değişkenler editoumlruuml
veya eleman adresi vasıtasıyla değiştirilebilir
OumlrnekA = [4 12 -8 6]1 A vektoumlruumlnuumln 3 elemanını
27 ile değiştiriniz
2 Benzer şekilde A vektoumlruumlnuumln 2 elemanını
siliniz 3 A(9) = 12
Ccediloumlzuumlm1 A(3) = 272 Vektoumlruumln elemanına [ ] değeri atandığında eleman silinirA(2) = [ ]3 gtgt A(9) = 12
A= [ 4 27 6]
A =[ 2 27 7 0 0 0 0 0 12]
57
raquo x=[17 8 61 83 56]
Şeklindeki bir matrisin uumlccediluumlncuuml
elemanına erişmek istenirse
raquo c=x(3)
c =
61
Eğer bir blok şeklinde veriye erişilmek istenirse
raquo x(24)
ans =
8 61 83
Her matristeki herhangi bir elman grubuna erişilmek istenirse
raquo x([3 1 4])
ans =
61 17 83
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
58
Bir diziye duumlzenli artıs (veya azalıs) kuralıyla değerler atanmak isteniyorsa
bunu
ilk_değerartısson değer veya ilk_değerartısson değer
biccediliminde yapabiliriz
Ancak artıs 1 ise belirtilmeyebilirOumlrnekortalama adlı
bir diziye 0 dan 5 e kadar 05 er artısla elde edilen sayı
dizisini atayanortalama=[0055]
Siz 1 satır 7 den den 17 ye kadar olan tam sayılar 2 satırı
99 dan 89 a kadar azalan tam sayılardan olusan 2 boyutlu m dizisine atayan islemleri yazınız
Dizilerin Değerlerinin Değistirilmesi ve Duumlzenlenmesi
4 VektoumlrlerMatlab
59
4 VektoumlrlerMatlab
60
Sayılardan olusan satır ve suumltun yapısına matris (dizi) denir
Oumlrneğin
d1=[5] 1x1 lik
d2=[ 2 -7] 1x2 lik
d3= [1 0 -3 ]
[ 5 3 1 ]
2x3 luumlk bir dizidir
Oumlrnekx=[1 7 18 5]Ya daraquo x=[ 1
7185 ]
Biccedilimlerinde girilebilir
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
61
Dizilerin Değerlerinin Değistirilmesi ve DuumlzenlenmesiBir dizinin herhangi bir elemanını belirlemek iccedilin dizi adından hemen sonra
parantez iccedilinde elemanın bulunduğu satır ve suumltun sayısı yazılmalıdır
Oumlrnek 1 d2=[2 -7]d2 dizisinin -7 elemanını
goumlruumlntuumllemek iccedilin
d2(12)
2 d3=[1 0 -35 3 1]d3 dizisinin 2 satır 1 suumltununda bulunan 5 in değerinin -75 olması
iccedilin
d3(21)=-75
Not1) Bir dizinin bir ccedilok elemanını
yeniden değer atamak gerekirse komut satırından atama yapmak uzun zaman alabilirBu durumda dizi değiskeninin uumlzerine ccedilift tıklayarak accedilılan dizi editoumlruuml
(array edit) yardımıyla değisiklikleri daha kolay yapabiliriz
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
62
8 Matrisler(Dizi)Matlab
Bir matrisi girerken o1 Elemanlar baştan ve sondan koumlşeli parantezlerle kapatılıro2 Elemanların arasına boşluk veya virguumll konuluro3 Matris satırlarını
ayırmak iccedilin de noktalı
virguumll kullanılır
okurallarına dikkate alınmalıdır
Oumlrneğin
A = [1 2 3 4 5 6]A =
1 2 34 5 6
şeklinde veriler matrisler biccediliminde tanımlanır MATLAB daha sonra kullanılmak uumlzere verileri A matrisinde saklar
63
Matris elemanları
rasgele rakamlardan oluşabileceği gibi MATLABrsquoın deyimlerinden de oluşabilir
51 Matrislerde ElemanlarMatlab
Oumlrneğin
a=[-13 sqrt(3) (1+2+3)475]
a= -13000 17321 48000
Kuumlccediluumlk matrisleri eleman olarak kullanıp daha buumlyuumlk matrisler oluşturmak muumlmkuumlnduumlr
OumlrneğinM=[1 3 5
7 8 9] matrisine
aşağıda goumlsterildiği şekilde bir satır eklemesi yapabilir
M=[M[10 13 15]]
Bu durumda M matrisiM=[1 3 5
7 8 910 13 15]
durumunu alır
64
İki nokta uumlst uumlste () kullanarak buumlyuumlk matrislerin belli bir kısmını
kullanabiliriz
ya da diğer ifade ile bu matrisi kuumlccediluumlltebiliriz
Oumlrneğin
M=M(12) bildirimi M matrisinin ilk iki satırını
alarak M matrisi
olarak saklar
Oumlrnek
M=[8 -4 7 66 -7 8 9 4 5 134] ise
M=M(12) =
8 1 Matrislerde ElemanlarMatlab
65
MATLABrsquoda kullanıcı
verileri kendi oluşturacağı
matrisler ile tanımlayabileceği gibi MATLABrsquoın kendi oumlzel matrislerinden de istifade edilebilir
52 Genel MatrislerMatlab
66
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
a) Sıfır Matrisi Olusturan Fonksiyon
Her elemanı sıfır olan mxn boyutunda bir matrise sıfır matrisi denir
Boumlyle bir dizi olusturmak iccedilin zeros fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=zeros(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
3x5 boyutunda s adlı
sıfır matrisi iccedilin
s=zeros(35)
52 Genel MatrislerMatlab
67
b) 1 lerden Olusan Matris
Her elemanı 1 olan mxn boyutunda bir matrisi olusturmak iccedilin ones
fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matria_adı=ones(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
2x3 boyutunda b adlı
tuumlm elemanları
1 olan matrisi olusturalım
b=ones(23)
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
52 Genel MatrislerMatlab
68
c) Birim Matrisi Olusturan Fonksiyon
Esas koumlsegeni 1 lerden diğer elemanları 0 lardan olusan kare matrise (satır
ve suumltun sayısı esit olan ) birim matrisi
kare olmayan matrise de diyagonal matris denir
Boumlyle matrisleri olusturmak iccedilin eye fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=eye(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
a)
3x3 luumlk birim matris
b) 4x3 lluumlk diyagonal matris olusturalım
Ccediloumlzuumlma) i=eye(33) b) d=eye(43)
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar52 Genel MatrislerMatlab
69
d) Rastgele Sayılardan Olusan Matris ve Fonksiyonu
Elemanları 0 ile 1 arasındaki rastgele sayılardan olusan bir matris iccedilin
rand fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=rand(mn) biccedilimindedir(msatırnsuumltun)
Not 1) Uumlretilen matrisin tuumlm elemanlarını k gibi bir sayı ile ccedilarparak
sayıları 0 ile k arasına ccedilekebiliriz
Not 2) Ondalıklı sayılardan olusmus bir matrisin elemanlarını
yuvarlayıp tam sayı yapmak iccedilin round fonksiyonunu kullanırız
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar52 Genel MatrislerMatlab
70
Oumlrnek
a) 0 ile 1 arasında rastgele sayılardan olusan 10 elemanlı
a adında bir satır
matrisi olusturalım
b) Elemanları
10 ile 50 arasında sayılardan olusan 5x3 tipinde b matrisini
olusturalım
c) Elemanları
50 ile 300 arasındaki tamsayılardan olusan 3x4 tipinde c matrisini
olusturalım
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
d) Rastgele Sayılardan Olusan Matris ve Fonksiyonu
52 Genel MatrislerMatlab
71
Ccediloumlzuumlm
a)
a=rand(110)
b)
b=10+rand(53)40
c) c=round(50+rand(34)250)
52 Genel MatrislerMatlab
72
e) Rastgele Sayılardan Olusan Normal Dağılımlı
Matris veFonksiyonu
Elemanları rasstgele sayılardan olusan bir normal dağılımlı bir matris iccedilin
randn fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=randn(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek Rastgele sayılardan olusan normal dağılımlı 2x3 luumlk bir n matrisini
olusturalım
Ccediloumlzuumlm n=randn(23)
52 Genel MatrislerMatlab
73
f) Lineer Aralıklı
(Aritmetik) Dizi ve Fonksiyonu
Baslangıccedil ve biis değerleri ve kaccedil elemandan olusacağı belirlenen diziyi
olusturmak iccedilin linspace fonksiyonu kullanılır
Kullanımı
dizi_adı=linspace(ilk_değerson_değereleman_sayısı)
biccedilimindedir
52 Genel MatrislerMatlab
74
Oumlrnek 10 ile 30 arasına 9 tane daha sayı
koyarak aadında bir aritmetik dizi olusturalım
f) Lineer Aralıklı
(Aritmetik) Dizi ve Fonksiyonu
52 Genel MatrislerMatlab
Cevapa=linspace(103011)
75
Elimizdeki grubun her elemanı iccedilin bir matematik işlemi yapıp bunu yeni bir
diziye atarken herhangi bir sorun yoktur
Fakat iki farklı grupla işlemler yaparken dikkat etmemiz gereken genel
kurallar vardır
Oumlrneğin toplama ve ccedilıkarma yaparken iki dizinin de buumlyuumlkluumlğuumlnuumln eşit
olması gerekmektedir
Ayrıca iki farklı dizinin elemanları arasında birebir işlem yapmak iccedilin
matematik operatoumlruumlnuumln başına nokta() koymak gerekir
Bu durumda her bir elemanı diğer dizinin o sıradaki elmanı ile işleme
sokacaktır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
76
Birden fazla satır ve suumltuna sahip vektoumlrlere matris denir Noktalı
virguumll ()
işareti ile kolonları
ve virguumlle işareti ya da boşluk
bırakarak da bir sıradaki elemanları
ayırabilirizOumlrnekraquo x=[ 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14]x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14Yukarıdaki 3x4 boyutunda bir matristir MATLAB programına aşağıdaki
gibi de sunulabilirraquo x=[ 3 4 5 6
7 8 9 1011 12 13 14]
x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
77
Matristeki herhangi bir elemana direk ulaşmak iccedilin aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(23)=9
Eğer isteğimiz eriştiğimiz bir elemanı
değiştirmek veya yeni bir satır eklemek ise aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(41)=1x =
3 4 5 67 8 9 1011 12 13 141 0 0 0
Bu durumda doumlrduumlncuuml
satır ilk elemanını
biz 1 değerini atadık ve diğer elemanları
kendiliğinden ldquo0rdquo
olarak atadı
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
78
İki nokta uumlst uumlste () kullanılarak belirli aralıkta değişen matrisler yaratılabilir
raquo x=[127 3-10 -12]x =
1 3 5 73 2 1 0
-1 0 1 2Bir matrisin herhangi bir boumlluumlmuumlnuuml
seccedilmek iccedilin ise aşağıdaki goumlsterim
kullanılırraquo z=x(23 12)z =
3 2-1 0
Bu durumda z matris x matrisinin 2 ve 3 norsquo
lu satırlarından 1 ve 2 norsquo
lu suumltunlarını
almış
oluyor
Herhangi bir satır veya suumltunu tamamen silmek istersek o satır ve suumltunu seccedilip ldquo[]rdquo
ifadesine eşitleriz
raquo z(2)=[ ]z =
3 -1
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
79
Matlab size ve length komutları
yardımı
ile size matrisinizin boyutlarını
soumlyler
raquo a=[ 2 3 4 5 67 8 9 10 11]
raquo s=size(a)s =
2 5
raquo b=[ 17 11 0 30 40 50]
raquo k=length(b)k =
6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
80
a) Toplama-Ccedilıkarma Bir Sayı
ile Ccedilarpma İşlemi
İki matrisi toplamak (veya ccedilıkarmak) demek matrislerin aynı
mertebedeki elemanları teker teker toplayıp (veya ccedilıkarıp ) aynı
mertebeye yazmak demektir
Bu durumda iki matrisin de aynı mertebeden olması gereği accedilıktır
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile toplamak (veya ccedilıkarmak) demek
matrisin elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla toplamak (veya
ccedilıkarmak )demektir
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile ccedilarpmak demek ise matrisin
elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla ccedilarpmak demektir
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
81
82
Oumlrnek
raquo a=[1 2 3 4 5 6]raquo b=[7 8 9 10 11 12]
a ve b toplamıraquo sum=a+bsum =
8 10 1214 16 18
arsquo
yı
brsquo
den ccedilıkarmak
raquo diff=a-bdiff =
-6 -6 -6-6 -6 -6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
83
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] ve b=[3 -3 -41 1 5] matrisleri
veriliyor
a)
c=a+b toplam matrisini
b)
d=a-b matrisini
c)
amatrisinin her elemanınının 5 eksiğine karsılık gelen e
matrisini
d) f=2a-3b matrisini bulduran islemleri yazalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
a) c=a+b b) d=a-b c) e=a-5 d) f=a+a-b-b-b veya
f=2a-3b
84
İki matrisin ccedilarpım islemi iki biccedilimde anlasılır
1)
Aynı
mertebeden iki matrisin elemanlarını
teker teker ccedilarpıp aynı
mertebeye
yazmak demektir Bunu
islemi ile gerccedileklestiririz
2) Matematiksel anlamda iki matrisi ccedilarpmak istediğimizde birinci matris mxn
tuumlruumlnde ve ikinci matris mutlaka nxp tuumlruumlnde olmalıdır yani birinci matrisin
suumltun sayısı
ikinci matrisin satır sayısına eşit olmalıdır
Bu durumda birinci matrisin i suumltun elemanları
ile ikinci matrisin j satırındaki
elemanlar karılıklı
olarak ccedilarpılır ve sonuccedillar toplanır ve bu toplam ccedilarpım
matrisinin (ij) inci mertebeye yazılır
Matrisler arası
ccedilarpma isleminin semboluuml
de dır
b) İki Matrisin Ccedilarpımı Bir Matrisin Kuvvetleri veCcedilarpma İslemi
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
85
3) Bir a matrisinin her bir elemanının n Kuvvetlerinden olusan matrisi
bulmak iccedilin a^n islemi kullanılır
4) Satır ve suumltun sayıları
esit bir kare matrisi ardısık olarak n defa
kendisiyle ccedilarparak a matrisinin n kuvvetini bulabilirizOumlrneğin a matrisinin
karesi iccedilin aa veya a^2 kuumlbuumlnuuml
buldurmak iccedilin aaa veya a^3
doumlrduumlncuuml
kuvvetini buldurmak iccedilin aaaa veya a^4
Not) Bir a matrisinin eleman -elemana ccedilarpma islemine benzer mantıkla bir matrisin tuumlm elemanlarının kareleri kuumlbleri sinuumlsleri kosinuumlsleri logaritmalarından olusan matris bulunmak istenirse bunu sırayla aa (veya a^2) aaa (veya a^3) sin(a) cos(a) etabanında logaritması
iccedilin log(a) 10 tabanında logaritmaları
iccedilin log10(a) Biccediliminde gerccedileklestirebiliriz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
86
a) a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c1 matrisi varsa bulalım
b) a matrisi ile b matrisinin ccedilarpım matrisi olan c2 varsa bulalım
c) a matrisinin elemanları
ile c matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c3 matrisi varsa bulalım
d) a matrisi ile c matrisinin ccedilarpım matrisi olan c4 varsa bulalım
e) a matrisinin elemanlarının karelerinden olusan matris ile b matrisinin
kosinuumlslerinden olusan matrisler toplamını
bulalım
f) x=[1 00 3] matrisinin i) Karesini ii) Kuumlbuumlnuuml
iii) 10
kuvvetini bulalım
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] b=[3 -3 -41 1 5] ve c=[1 0-1 23 3] matrisleri veriliyor
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
87
Ccediloumlzuumlma) iki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirBu durumda c1 matrisi tanımlıdır ve bunu c1=ab islemi ile gerccedileklestirebilirizb) iki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdırHalbuki a matrisi 2x3 b matrisi de 2x3 olduğundan bu iki matris ccedilarpılamazc) İki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirHalbuki bu matrisler aynı mertebeden olmadığından bu iki matris eleman-elemana ccedilarpma islemi
gerccedileklemezd) İki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdıra matrisi 2x3 luumlk c matrisi de 3x2 lik olduğundan bu iki matris ccedilarpılabilir ve c4 ccedilarpım matrisi 2x2 lik bir matris olurc4 ccedilarpım matrisini c4=ac islemi ile buluruze) a^2+cos(b)f) i) x^2 ii) x^3 iii) x^10
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
88
c) Bir Matrisin Devriğini (Transpozesi) Bulma İslemi
Bir matrisin satırlarını suumltun suumltunlarını satır olarak yazılmasıyla
bulunan matrise bu matrisin devriği (transpozesi) denir
Bir matrisin devriğini islemi ile bulabiliriz
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] nın devriğini buldurup d matrisine atayalım
Ccediloumlzuumlm d=a
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
89
Oumlrnek
b=[7 8 9 10 11 12] matrisinin transpozesini bulabilirmisiniz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
c=bc =
7 108 119 12
90
SORU
a=[1 2 3 4 5 6]
c= [710811912]
ise a ve crsquonin ccedilarpım matrisi
kaccediltır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
Ccedilarpma işlemi k=ack=
50 68122 167
91
SORU
a=[1 2 3 4 5 6] b=[7 8 9 10 11 12]
ise a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan x matrisini bulalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
x=abx =
7 16 2740 55 72
92
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
Aynı mertebeden iki matrisin elemanlarını teker teker boumllerek aynı
mertebeye yazılmasına iki matrisin sol boumllmesi denir ve bu islemi ile
yapılır
a b ve c aynı mertebeden kare matrisler olmak uumlzere
c=ab ise a matrisine c nin b matrisine boumlluumlmuuml denir
c boumlluumlm matrisi islemi ile yapılır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
93
HATIRLATMA
2x2 lik i2 adlı birim matrisi i2=eye(22)
3x luumlk i3 adlı birim matrisi i2=eye(33) islemi ile olusturabiiriz
Aynı mertebeden a ve b kare matrisleri iccedilin a ile b nin ccedilarpımı birim matris ise
b matrisi a matrisinin (aynı biccedilimde a matrisi de b matrisinin) ters matrisidir
Oumlrnek
3x3 luumlk bir a kare matrisinin tersini bulmak iccedilin
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
eye(33)a veya inv(a) islemini kullanırız
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
94
Bir Matrisin Determinantı
Determinant kare matrisleri bir sayıya eşleyen fonksiyondur
Determinant fonksiyonunun kare matrisi eşlediği o sayıya matrisin
determinantı denir
A matrisinin determinantı detA veya |A| biccediliminde goumlsterilir
|A| matrislerde mutlak değer anlamına gelmez |A| sıfır veya
negatif de olabilir
det(x)
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
95
KURAL
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
96
Oumlrnek
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Determinant
raquo
deter=det(x)deter =
21
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
97
Oumlrnek Inverse işlemi
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Detx=det(x)=21 ise
raquo y=inv(x)y =
821 121 -521 221
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
98
SORU
a=[2 -10 01 2 43 0 1] matrisi ile b=[1 5 41 -1 20 1 -1] matrisleri veriliyor
a)
a matrisinin elemanlarını
sırasıyla b matrisinin elemanlarına boumllerek elde
edilen matrisi b1 matrisine atayalım
b) a matrisinin ta ters matrisini bulalım
c) a ile ta matrisinin ccedilarpımının 3x3 luumlk birim matris olduğunu goumlsterelim
d) a matrisinin b matrisine boumlluumlmuumlnuuml
b2 matrisine atayalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
99
Ccediloumlzuumlm
a)
b1=ab
b) ta1=eye(33)a veya ta2=inv(a)
c) ata ==eye(33)
d) b2=ab
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
7
oMatlabın resmi sitesi httpwwwmathworkscom
ooumlrnek uygulama ve teknik literatuumlr iccedilin
wwwmathworkscomapplicationstech_compnicalliteraturehtml Ayrıca httpwwwmathworkscommatlabcentral
kod paylaşımı
oMatlabrsquoin Tuumlrkiye temsilcisi Bursa merkezli Figes firmasıdıroWeb adresi httpwwwfigescomtr
oHaber grubu matlabturkyahoogroupscom
1 MATLABSayısal Analiz
8
1 MATLABSayısal Analiz
Matlab matrix tabanlı
bir dildir
Matlabda ilk başlangıccedilta herşeyi matris olarak duumlşuumlnmek yararlı
olacaktır
9
1 MATLABSayısal Analiz
oAraccedil
kutularıoumlzel sorunların ccediloumlzuumlmuuml
iccedilin
MATLABa uyarlanan MATLAB işlevlerinin bir
tuumlr
kitaplıklarıdır
oAraccedil
kutuları accedilık ve eklenebilir olup kendi
algoritmalarını
ve ekini goumlrebilirsiniz
oSimulink
oBlok diyagram arayuumlzuuml
ile doğrusal olmayan
simulasyonu ve ldquocanlırdquo
simulasyon
yetenekleriyle oumlz sayıları MATLABrsquoın
grafiklerini ve dil fonksiyonlarını
birleştiren
bir
sistemdir
10
oMatlaba başlamanın en iyi yolu matrislerin nasıl ele alınması
gerektiğini
oumlğrenmektir
oMATLAB da bir matrix dikdoumlrtgen sayılar dizisidir
o1x1 matris scaler sayı
omx1 matris suumltun matrisi
o1xn matris satır matrisi
omxn matris m satırlık n suumltunluk matristir
1 MATLABSayısal Analiz
11
1 Program Nasıl Başlatılır
Başlat --gtTuumlm Programlar--gtMatlab
veya
Command Window Matlab
2 Program Nasıl Sonlandırılır
MATLAB Programlama dilini sonlandırmak
iccedilin
gtgt quit
yada
gtgt exit
komutları
kullanılır
1 Matlabın Genel Yapısı
MATLAB
12
MASA UumlSTUuml KOMUT PENCERESİ
Ccedilalışma DiziniCcedilalışma Alanı
Komut Geccedilmişi
Komut Satırı
MATLAB programını
ilk ccedilalıştırdığınızda karşınıza ccedilıkacak ekran aşağıdaki gibidir
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
13
Matlabı ccedilalıstırdığımızda karsımıza ana pencere gelirBu pencerede
File Edit DebugParallel Desktop Window veHelp
ana baslıkları vardır
Bu baslıklar altından diğer Windows programlarında alısılagelmis benzer islemler
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
14
Burada Desktop Desktop Layout ile Matlabın masauumlstuuml yerlesimini
duumlzenleyebilirsiniz
Oumlrneğin Default ile varsayılan goumlruumlnuumlmuumlnuuml
Command Window Only ile sadece klasik komut penceresini
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
15
Command Window Bu pencere komut penceresidir
Bu pencereden Matlab ile ilgili komutları klavyeden girer komutun
islemesini sağlamak iccedilin de Enter tusuna basılır
Komutları girdiğimiz satır gtgt ile baslar ki bu satıra komut satırı denir
EgYarıccedilapı
36 olan bir daire alanı
hesaplayalım
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
16
Bu pencere o ana kadar komut satırından girilen komutları goumlsterir
İstersek bunların birini fareyle seccediler ya da bir kaccedilını veya tuumlmuumlnuuml fare ve
asağı-yukarı youmln tusları yardımıyla seccediler ve delete tusuna basarak silebiliriz
Command History
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
17
oKomut satırından ya da ccedilalıstırılan bir dosya ya da fonksiyon ile hafızada
olusturulan değiskenlerin adlarının tiplerinin ve oumlzelliklerinin goumlruumlntuumllendiği
penceredir
oCcedilalışma Alanı
MATLABrsquoda işletilen fonksyonların veya komutların oluşturduğu
değişkenlerin depolandığı
bir merkezdir
oBoumlylelikle tuumlm değişkenlere belli bir kaynaktan ulaşılabilmektedir bu da
programlama sırasında değişkenlerin yerini belirtmeden bu değişkenleri kullanma
imkanı
sağlamaktadır
Workspace
Uumlstuumlne sağ tuş yapıp
oumlzellikler eklenebilir
egsize
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
18
Workspace
Oumlrneğin
c değiskeni 1x1 boyutunda bir matris yani sayı
b değiskeninin ise 3x2 boyutunda bir matris yani uumlccedil satır ve 2 suumltundan
olusan bir matris
nasılsın adlı değisken de 6 karakterden olusan bir karakter zinciri (string)
olduğu goumlruumlluumlr
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
Oumlrnek Command Windowrsquoa alttaki değerleri yazıp inceleyin
a = 4 b = 5 c = abnasılsın=lsquoiyidirrsquo
19
Matlab Dizi Editoumlruuml
oA değişkenine ccedilift tıklandığında Matlab Dizi Editoumlruuml
accedilılır
oBurda değişkenlerin iccedilerikleri goumlruumlntuumllenir ve değiştirilebilir
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
20
who
ccedilalışma alanında hangi değişkenler olduğu
whos
bu değişkenlerin yapıları
goumlruumllmektedir
what
komutu kullanıcı
diskinin halihazır dizininde mevcut M- dosyaları
listesini verir
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
21
clc
Komut penceresindeki satırları
silmeye yarar
clear
Hafızadaki değişkenler silinir
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
22
Matlab Ccedilalışma Dizini penceresindeki ldquo
aşağı
okrdquo
basılarak ccedilalışma dizini seccedililebilir
Current Folderrsquoda ccedilalışmak istenilern directory youmlnlendirilerek hızlı
ulaşım sağlanır
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
23
Current Folder
Matlab dosyalarının kaydedildiği yuumlklendiği dosyaların bulunduğu
klasoumlruuml
(dizin) varsayılan klasoumlr olarak belirlemeye yarar
Aksi belirtilmedikccedile bu klasoumlr CMatlab6p5work gibi bir klasoumlrduumlr
Yada save FMATLAB_UYGkatsayilar a
katsayilarmat olarak kaydedilen a matrisininmatlab kapatılıp accedilıldıktan sonra herhangi bir zamanda geri ccedilağrılmasıiccedilin
load FMATLAB_UYGkatsayilar
komut dizisi kullanılır
Command Windowa save yazılırsa değişkenler ldquomatlabmatrdquo
veri
dosyasına kaydedilmiş olur
Matlabı
kapatıp accedilalım ve matlabmatrsquoı
ccedilağıralım
(File open matlabmat)
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
Oumlrnekgtgt a=[123 579] a = 1 2 3 5 7 9
24
MATLAB Yardım
1 Komut satırına ldquohelprdquo yazılır Bu yardım sunulabilecek konuların listesini sunar
2 help fonksyon-adı
fonksyon iccedilin yardım metnini goumlruumlntuumller
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
25
Matlab MasaUumlstuuml
Yeni M- Dosyası
Dosya Accedil Help Desk
Kayıtlı
Matlab Fonksyonu kayıt dosyası(mat) modeli figuumlruuml
ve GUI arayuumlzluuml
fonksyonları
accedilar
Veri dosyalarını
accedilar
Ccedilalışma ortamını
kaydeder
Farklı
ccedilalışma dizinini Matlaba tanıtır
Matlab arayuumlzuumlnuuml
ayarlar
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
26
Başlat Duumlğmesi
Matlab araccedil
kutuları Matlab
uygulamalarına eklenti olarak
hazırlanan ve hazır fonksyonları iccedileren paketlerdir
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
27
Başlat Duumlğmesi
Start Duumlğmesi tuumlm matlab uygulamalarına accedilılan kısayolları
iccedilermektedir
Matlab Uygulamaları
iccedilin kısa yol
Araccedil
kutularıSimulinkUy
gulaması
Demolar
Veri Sihirbazı
GUI Hazırlayıcı
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
28
Matlaba Veri Alma
Programa dışarıdan resim film veri ses dosyalarını
matris formatına ccedilevirerek bir değişken olarak atamada kullanılır
File Import Data
Oumlrnek Exel dosyası
alma
Exelde bir matrix oluşturup matlabdan import ile alınız
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
29
Matlabda Temel Kavramlar
Tuumlm programlama dillerinde olduğu gibi (Fortran C Pascal Basic vs)
Matlabın da oumlzel anlam tasıyan bazı kelimeleri vardır ki bu kelimeler değisken
olarak kullanılamazlar
Bu tuumlr kelimelere anahtar kelime (keywords) denir
Bu kelimelerin bir listesini almak iccedilin komut satırına
iskeyword komutunu yazarak elde edebiliriz
Bu kelimeler
breaklsquo case catch continue else elseif endlsquo for function global
if otherwiselsquo persistent return switch try while
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
30
Programın dili ve yardım bilgileri tamamen ingilizcedir
Kuumlccediluumlk-buumlyuumlk harf ayrımı vardır
Oumlrneğin dscrite DSCRITE ve Dscrite atamaları farklı şekilde
algılanır
Eğer istenirse ldquocasesen offrdquokomutu ile bu durum sona
erdirilebilir
raquo işareti komut promptrsquoudur
Komutlar Enter ile yuumlruumltuumlluumlr
2 Matlab Kullanımında Temel Kurallar
Matlab
31
Genel komutların isimleri ve accedilıklamaları
2 Matlab Kullanımında Temel KurallarMATLAB
32
2 Matlab Kullanımında Temel KurallarMATLAB
MATLAB kontroluumlnuuml
kullanabilmeniz iccedilin oumlzel karakterlere sahiptir Bu karakterlerin bir oumlzeti
33
2 Matlab Kullanımında Temel KurallarMatlab
34
2 Matlab Kullanımında Temel KurallarMatlab
35
İFADELER Matematiksel ve metinsel goumlsterimler ile işlemler ifadelerlesağlanır
Sayılar (Numbers)Değişkenler (Variables)İşleccediller (Operators)Fonksiyonlar (Functions)
Matlabrsquode ifadeler genellikle değişken = ifade veya sadece ifade formundadır
Sayısal Analiz
x = 4 sqrt(5) İfade
değişkensayı işleccedil fonksiyon
Bir ifade = işareti ile bir değişkene atanmamış
ise Matlab otomatik olarak sonucu ans (answer)
adı
verilen oumlzel bir değişkende saklar
3 MATRİSLER
36
o
Birden
fazla ifade
tek satırda aralarına
ya da koyarak yazılabilir
o
Yazımda
boşluk
sayısı
etkisizdir
o
Sadece
ilgili
değişken
adını
yazarak
o değişkeni ccedilağırabilirsiniz
MATRİSLER31 İFADELER
37
o MATLABrsquoda herhangi bir tip tanımlaması
veya boyut ifadesine gerek yoktur
o
MATLAB yeni bir değişken ismi ile karşılaştığında otomatik olarak ans isminde
bir değişken oluşturur ve uygun bir bellek miktarı
ayırır
oEğer değişken zaten varsa MATLAB gerekli bir bellek ayırdığında iccedileriği değişir
Oumlrneğin
o ogrenci_sayı=51
32 DeğişlenlerMatlab
Değisken
değeri değisebilen bellek alanına isaret eden değerlere
38
MATLAB değişken girişleri iccedilin ccedileşitli kurallara sahiptir
Her değişken bir harfle başlamak zorundadır
Program buumlyuumlk kuumlccediluumlk harf duyarlıdır X ve x farklı değişkenleri ifade eder
Program 31 basamağa kadar duyarlıdır Bu basamaktan sonrasını yok sayar
Dolayısıyla 31 basamaktan uzun değişken isimleri karışıklık yaratabilir
32 DeğişlenlerMatlab
39
Değiskenlere Değer Atama
Her hangi bir programlama dilinde olduğu gibi Matlabrsquoda da bir değiskene
değer verme islemine rdquodeğer atamakrdquo denir
Bir değiskene atanan değer değistirilmediği suumlrece aynı kalır
Değer atamanın genel kullanımı asağıdaki biccediliminde olur
ltDeğisken adıgt=ltAtanacak değergt
32 DeğişlenlerMatlab
40
Oumlrnek 2
A=6i-7 A değişkenine skaler bir değer atar
B=A 7
B değişkenine A değişkeninin 17 si atanmıştır
C=[3 4 5 6]
4 elemanlı
bir satır vektoumlruuml
atanmıştır
NOT
Dizi girişinde herhangi bir satıra ait elemanlar aralarına boşluk veya virguumll ldquordquo konularak ayrılır
Dizinin diğer bir satırına başlamak iccedilin biten satır sonuna konulur
32 DeğişlenlerMatlab
41
oMATLABrsquoda sayılar yaygın olarak kullanılan onluk tabanda ifade edilirler
o
Bunun yanısıra onluk tabanda uumlstel olarak veya i veya j olarak kompleks sayı biccedilimlerinde de ifade edilebilirler
oOumlrnek olarak
33 Sayılar
Matlab da i
ve j
başka tuumlrluuml
tanımlanmamışsa kompleks i sayısını
goumlsterir 3e5 sayısıda 3105
anlamındadır
MATRİSLER
42
o
Ondalık sayılar Tuumlrkccedilemizdeki
35 yerine
35 şeklinde
goumlsterilir
(00001 veya 963
065 yerine 65)
o
Bilimsel
notasyon
goumlsterimi olan e
(veya E) harfi
10rsquonun kuvvetini
temsil eder
o 2e4=2104=2000 veya
165e-20=16510-20
demektir
o
Kompleks
sayılarda
imajiner
(sanal) kısımlar
i
veya
j
ekini
alır
i veya
j
ile
gosterimlerinde
bir
fark
yoktur
o (1+3i veya 1+3i veya 1+i3) 1+sqrt(3)j
-5i
o
Matlabrsquode
tuumlm
sayılar yaklaşık 210308 ve
210-308 arasında
değişir
33 Sayılar
MATRİSLER
43
Sayı
Formatları
33 SayılarMatlabMATRİSLER
44
oMatlabda bir ccedilok eylem doumlrt islem ve matematiksel bazı
islemler
yaptırabiliriz
oBunun iccedilin ya ilgili komutları
komut penceresinden teker teker girerek veya
ilgili komutları
bir dosyaya yazıp o dosyayı
ccedilağırarak ccedilalıstırabiliriz
oİşlemleri yaptırırken sayıları
reel sayı
ya da karmasık sayı
olarak alabiliriz
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
45
Matematiksel ifadeleri oluşturmak iccedilin operatoumlrler ve oumlnceden tanımlanmış sembolleri kullanabilirsiniz
oOperatoumlrler oumlzetle şunlardır
oMatrislerle yapılan işlemlerde boumllme işlemi iccedilin iki farklı
sembol kullanılmaktadıroBunun yanında eğer sayılar skaler ise iki boumllme işleminin sonucu da aynı
değeri
goumlsterecektiroOumlrneğin 32 ile 23 ifadelerinin sonuccedilları
aynı
olup 15rsquodir
raquo 4+83ndash2ans =26
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
46
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
x=a + b
Bu ifadede a ve b nin toplandığı
ve x değişkeni iccedilinde saklandığıbelirtilmektedir
47
Aritmetiksel İşlemlerde Oumlncelik Durumu
oTek bir aritmetiksel durum iccedilinde birden fazla durum bir arada bulunabildiğine goumlre
hangi işlemin oumlncelik hakkına sahip olunduğunun
bilinmelidir
oMATLABrsquoda kullanılan işlemlerde işlemlerin oumlncelik
listesi
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
bazı
temel matematiksel fonksiyonların accedilıklamaları
48
o
MATLABrsquo
da işlemler soldan sağa işlerlero
İşlemler arası
oumlncelik sırası
aşağıdaki gibidir
1 ^
(Yuumlksek)2
darr
3 + -
(Duumlşuumlk)
raquo 3^(2ndash5)-632 raquo 3^2ndash5ndash632ans = ans =
mdash39630 0
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
49
35 FonksyonlarMATRİSLER
o MATLABrsquoın ccedilok guumlccedilluuml
ve ccedilok kapsamlı
bir fonksiyon yapısı
vardır
oMATLABrsquoda bazı
fonksiyonlar daha oumlnceden yerleştirilmiş
bazıları
ise sonradan
dışarıdan yerleştirilmiş
M-dosyalarından oluşan MATLAB kuumltuumlphanelerinde
tanımlanmışlardır
oBunun yanında oumlzel uygulamalar iccedilin kullanıcıların kendi fonksiyonlarını
yazarak
kendi kuumltuumlphanelerini oluşturması
muumlmkuumlnduumlr
MATLABrsquoda mevcut analitik fonksiyonları
genel olarak aşağıdaki kategorilere ayırabiliriz oTemel matematiksel fonksiyonlaroOumlzel fonksiyonlaroTemel matrisler ve matris işlemlerioMatrisleri ccedilarpanlarına ayırmaoVeri analizlerioPolinomlaroDiferansiyel denklem ccediloumlzuumlmlerioLineer olmayan denklemler ve optimizasyonoSayısal integral hesaplamalarıoSinyal işleme
50
Matematiksel Fonksiyonlar
bazı
temel matematiksel fonksiyonların accedilıklamaları
35 FonksyonlarMATRİSLER
Oumlrnekgtgtexp(1)ans=27183gtgtfix(35)ans=3gtgtceil(35)ans=4gtgtround(35)ans=4
51
Matlabda oumlnceden tanımlanmıs bazı
sabitlerdirBunlar aşağıdaki tabloda goumlsterilmistir
36 Oumlzel SabitlerMatlab
52
Oumlrnekler
1)
a=1
2)
a=rsquoİstanbulrsquo
3)
a=5b=7c=a+b
4) a=5b=-3c=a+2ba=a+b
5)
num=23-5^2 x=num2 y=x+10
7 Sabitler Değiskenler ve Metin KatarlarıMatlab
53
Oumlrnek
Komut satırına
a)
sin(30)
b)
sin(30pi180) yazınız sonuccedilları
inceleyiniz
35 FonksyonlarMATRİSLER
Cevapa) -09880 sonucu goumlruumlluumlr ki bu 30deg
nin sinuumlsuumlnde n farklıdır Ccediluumlnkuuml
bu 30deg
derece değil 30 radyanın sinuumlsuumlduumlrb) 05000 sonucu goumlruumlluumlr ki bu da 30deg
nin sinuumlsuumld uumlr O halde bir
sayının trigonometrik değerini buldurmak iccedilin oumlnce pi ile ccedilarpıp 180 e boumllerek accedilıyı
radyan ccedilevirip sonra trigonometrik değerini
hesaplatabiliriz
54
oVektoumlrler tek boyutlu sayı
dizileridir
oElemanlarının sıralanma youmlnlerine goumlre suumltun veya satır vektoumlruuml
adlarını alırlar
ovektoumlrler [ ] koumlşeli parantezleri ile tanımlanır
ofarklı
yolla tanımlanabilirler
4 VektoumlrlerMatlab
A = [4 12 -8 6]A = [4 12 -8 6]
B = [1 2 4 6]
Satır Vektoumlruuml
Suumltun Vektoumlruumlgtgt b=[1 2 4 6 ]
55
4 VektoumlrlerMatlab
ovektoumlr boyutları
buumlyuumlduumlkccedile manuel olarak tanıtım işlemi oldukccedila zorlaşmaktadır
oOumlzellikle belli bir artıma sahip vektoumlrlerin oluşturulmasında () operatoumlruuml kullanılmaktadır
C = [-105150]
Son değerBaşlangıccedil değeri Artış
miktarı
Drsquo
= [30-10-30]
Suumltun Vektoumlruuml
56
Vektoumlr indisleri
4 VektoumlrlerMatlab
Bir vektoumlruumln elemanlarına atanılan değer değişkenler editoumlruuml
veya eleman adresi vasıtasıyla değiştirilebilir
OumlrnekA = [4 12 -8 6]1 A vektoumlruumlnuumln 3 elemanını
27 ile değiştiriniz
2 Benzer şekilde A vektoumlruumlnuumln 2 elemanını
siliniz 3 A(9) = 12
Ccediloumlzuumlm1 A(3) = 272 Vektoumlruumln elemanına [ ] değeri atandığında eleman silinirA(2) = [ ]3 gtgt A(9) = 12
A= [ 4 27 6]
A =[ 2 27 7 0 0 0 0 0 12]
57
raquo x=[17 8 61 83 56]
Şeklindeki bir matrisin uumlccediluumlncuuml
elemanına erişmek istenirse
raquo c=x(3)
c =
61
Eğer bir blok şeklinde veriye erişilmek istenirse
raquo x(24)
ans =
8 61 83
Her matristeki herhangi bir elman grubuna erişilmek istenirse
raquo x([3 1 4])
ans =
61 17 83
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
58
Bir diziye duumlzenli artıs (veya azalıs) kuralıyla değerler atanmak isteniyorsa
bunu
ilk_değerartısson değer veya ilk_değerartısson değer
biccediliminde yapabiliriz
Ancak artıs 1 ise belirtilmeyebilirOumlrnekortalama adlı
bir diziye 0 dan 5 e kadar 05 er artısla elde edilen sayı
dizisini atayanortalama=[0055]
Siz 1 satır 7 den den 17 ye kadar olan tam sayılar 2 satırı
99 dan 89 a kadar azalan tam sayılardan olusan 2 boyutlu m dizisine atayan islemleri yazınız
Dizilerin Değerlerinin Değistirilmesi ve Duumlzenlenmesi
4 VektoumlrlerMatlab
59
4 VektoumlrlerMatlab
60
Sayılardan olusan satır ve suumltun yapısına matris (dizi) denir
Oumlrneğin
d1=[5] 1x1 lik
d2=[ 2 -7] 1x2 lik
d3= [1 0 -3 ]
[ 5 3 1 ]
2x3 luumlk bir dizidir
Oumlrnekx=[1 7 18 5]Ya daraquo x=[ 1
7185 ]
Biccedilimlerinde girilebilir
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
61
Dizilerin Değerlerinin Değistirilmesi ve DuumlzenlenmesiBir dizinin herhangi bir elemanını belirlemek iccedilin dizi adından hemen sonra
parantez iccedilinde elemanın bulunduğu satır ve suumltun sayısı yazılmalıdır
Oumlrnek 1 d2=[2 -7]d2 dizisinin -7 elemanını
goumlruumlntuumllemek iccedilin
d2(12)
2 d3=[1 0 -35 3 1]d3 dizisinin 2 satır 1 suumltununda bulunan 5 in değerinin -75 olması
iccedilin
d3(21)=-75
Not1) Bir dizinin bir ccedilok elemanını
yeniden değer atamak gerekirse komut satırından atama yapmak uzun zaman alabilirBu durumda dizi değiskeninin uumlzerine ccedilift tıklayarak accedilılan dizi editoumlruuml
(array edit) yardımıyla değisiklikleri daha kolay yapabiliriz
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
62
8 Matrisler(Dizi)Matlab
Bir matrisi girerken o1 Elemanlar baştan ve sondan koumlşeli parantezlerle kapatılıro2 Elemanların arasına boşluk veya virguumll konuluro3 Matris satırlarını
ayırmak iccedilin de noktalı
virguumll kullanılır
okurallarına dikkate alınmalıdır
Oumlrneğin
A = [1 2 3 4 5 6]A =
1 2 34 5 6
şeklinde veriler matrisler biccediliminde tanımlanır MATLAB daha sonra kullanılmak uumlzere verileri A matrisinde saklar
63
Matris elemanları
rasgele rakamlardan oluşabileceği gibi MATLABrsquoın deyimlerinden de oluşabilir
51 Matrislerde ElemanlarMatlab
Oumlrneğin
a=[-13 sqrt(3) (1+2+3)475]
a= -13000 17321 48000
Kuumlccediluumlk matrisleri eleman olarak kullanıp daha buumlyuumlk matrisler oluşturmak muumlmkuumlnduumlr
OumlrneğinM=[1 3 5
7 8 9] matrisine
aşağıda goumlsterildiği şekilde bir satır eklemesi yapabilir
M=[M[10 13 15]]
Bu durumda M matrisiM=[1 3 5
7 8 910 13 15]
durumunu alır
64
İki nokta uumlst uumlste () kullanarak buumlyuumlk matrislerin belli bir kısmını
kullanabiliriz
ya da diğer ifade ile bu matrisi kuumlccediluumlltebiliriz
Oumlrneğin
M=M(12) bildirimi M matrisinin ilk iki satırını
alarak M matrisi
olarak saklar
Oumlrnek
M=[8 -4 7 66 -7 8 9 4 5 134] ise
M=M(12) =
8 1 Matrislerde ElemanlarMatlab
65
MATLABrsquoda kullanıcı
verileri kendi oluşturacağı
matrisler ile tanımlayabileceği gibi MATLABrsquoın kendi oumlzel matrislerinden de istifade edilebilir
52 Genel MatrislerMatlab
66
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
a) Sıfır Matrisi Olusturan Fonksiyon
Her elemanı sıfır olan mxn boyutunda bir matrise sıfır matrisi denir
Boumlyle bir dizi olusturmak iccedilin zeros fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=zeros(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
3x5 boyutunda s adlı
sıfır matrisi iccedilin
s=zeros(35)
52 Genel MatrislerMatlab
67
b) 1 lerden Olusan Matris
Her elemanı 1 olan mxn boyutunda bir matrisi olusturmak iccedilin ones
fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matria_adı=ones(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
2x3 boyutunda b adlı
tuumlm elemanları
1 olan matrisi olusturalım
b=ones(23)
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
52 Genel MatrislerMatlab
68
c) Birim Matrisi Olusturan Fonksiyon
Esas koumlsegeni 1 lerden diğer elemanları 0 lardan olusan kare matrise (satır
ve suumltun sayısı esit olan ) birim matrisi
kare olmayan matrise de diyagonal matris denir
Boumlyle matrisleri olusturmak iccedilin eye fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=eye(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
a)
3x3 luumlk birim matris
b) 4x3 lluumlk diyagonal matris olusturalım
Ccediloumlzuumlma) i=eye(33) b) d=eye(43)
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar52 Genel MatrislerMatlab
69
d) Rastgele Sayılardan Olusan Matris ve Fonksiyonu
Elemanları 0 ile 1 arasındaki rastgele sayılardan olusan bir matris iccedilin
rand fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=rand(mn) biccedilimindedir(msatırnsuumltun)
Not 1) Uumlretilen matrisin tuumlm elemanlarını k gibi bir sayı ile ccedilarparak
sayıları 0 ile k arasına ccedilekebiliriz
Not 2) Ondalıklı sayılardan olusmus bir matrisin elemanlarını
yuvarlayıp tam sayı yapmak iccedilin round fonksiyonunu kullanırız
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar52 Genel MatrislerMatlab
70
Oumlrnek
a) 0 ile 1 arasında rastgele sayılardan olusan 10 elemanlı
a adında bir satır
matrisi olusturalım
b) Elemanları
10 ile 50 arasında sayılardan olusan 5x3 tipinde b matrisini
olusturalım
c) Elemanları
50 ile 300 arasındaki tamsayılardan olusan 3x4 tipinde c matrisini
olusturalım
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
d) Rastgele Sayılardan Olusan Matris ve Fonksiyonu
52 Genel MatrislerMatlab
71
Ccediloumlzuumlm
a)
a=rand(110)
b)
b=10+rand(53)40
c) c=round(50+rand(34)250)
52 Genel MatrislerMatlab
72
e) Rastgele Sayılardan Olusan Normal Dağılımlı
Matris veFonksiyonu
Elemanları rasstgele sayılardan olusan bir normal dağılımlı bir matris iccedilin
randn fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=randn(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek Rastgele sayılardan olusan normal dağılımlı 2x3 luumlk bir n matrisini
olusturalım
Ccediloumlzuumlm n=randn(23)
52 Genel MatrislerMatlab
73
f) Lineer Aralıklı
(Aritmetik) Dizi ve Fonksiyonu
Baslangıccedil ve biis değerleri ve kaccedil elemandan olusacağı belirlenen diziyi
olusturmak iccedilin linspace fonksiyonu kullanılır
Kullanımı
dizi_adı=linspace(ilk_değerson_değereleman_sayısı)
biccedilimindedir
52 Genel MatrislerMatlab
74
Oumlrnek 10 ile 30 arasına 9 tane daha sayı
koyarak aadında bir aritmetik dizi olusturalım
f) Lineer Aralıklı
(Aritmetik) Dizi ve Fonksiyonu
52 Genel MatrislerMatlab
Cevapa=linspace(103011)
75
Elimizdeki grubun her elemanı iccedilin bir matematik işlemi yapıp bunu yeni bir
diziye atarken herhangi bir sorun yoktur
Fakat iki farklı grupla işlemler yaparken dikkat etmemiz gereken genel
kurallar vardır
Oumlrneğin toplama ve ccedilıkarma yaparken iki dizinin de buumlyuumlkluumlğuumlnuumln eşit
olması gerekmektedir
Ayrıca iki farklı dizinin elemanları arasında birebir işlem yapmak iccedilin
matematik operatoumlruumlnuumln başına nokta() koymak gerekir
Bu durumda her bir elemanı diğer dizinin o sıradaki elmanı ile işleme
sokacaktır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
76
Birden fazla satır ve suumltuna sahip vektoumlrlere matris denir Noktalı
virguumll ()
işareti ile kolonları
ve virguumlle işareti ya da boşluk
bırakarak da bir sıradaki elemanları
ayırabilirizOumlrnekraquo x=[ 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14]x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14Yukarıdaki 3x4 boyutunda bir matristir MATLAB programına aşağıdaki
gibi de sunulabilirraquo x=[ 3 4 5 6
7 8 9 1011 12 13 14]
x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
77
Matristeki herhangi bir elemana direk ulaşmak iccedilin aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(23)=9
Eğer isteğimiz eriştiğimiz bir elemanı
değiştirmek veya yeni bir satır eklemek ise aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(41)=1x =
3 4 5 67 8 9 1011 12 13 141 0 0 0
Bu durumda doumlrduumlncuuml
satır ilk elemanını
biz 1 değerini atadık ve diğer elemanları
kendiliğinden ldquo0rdquo
olarak atadı
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
78
İki nokta uumlst uumlste () kullanılarak belirli aralıkta değişen matrisler yaratılabilir
raquo x=[127 3-10 -12]x =
1 3 5 73 2 1 0
-1 0 1 2Bir matrisin herhangi bir boumlluumlmuumlnuuml
seccedilmek iccedilin ise aşağıdaki goumlsterim
kullanılırraquo z=x(23 12)z =
3 2-1 0
Bu durumda z matris x matrisinin 2 ve 3 norsquo
lu satırlarından 1 ve 2 norsquo
lu suumltunlarını
almış
oluyor
Herhangi bir satır veya suumltunu tamamen silmek istersek o satır ve suumltunu seccedilip ldquo[]rdquo
ifadesine eşitleriz
raquo z(2)=[ ]z =
3 -1
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
79
Matlab size ve length komutları
yardımı
ile size matrisinizin boyutlarını
soumlyler
raquo a=[ 2 3 4 5 67 8 9 10 11]
raquo s=size(a)s =
2 5
raquo b=[ 17 11 0 30 40 50]
raquo k=length(b)k =
6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
80
a) Toplama-Ccedilıkarma Bir Sayı
ile Ccedilarpma İşlemi
İki matrisi toplamak (veya ccedilıkarmak) demek matrislerin aynı
mertebedeki elemanları teker teker toplayıp (veya ccedilıkarıp ) aynı
mertebeye yazmak demektir
Bu durumda iki matrisin de aynı mertebeden olması gereği accedilıktır
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile toplamak (veya ccedilıkarmak) demek
matrisin elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla toplamak (veya
ccedilıkarmak )demektir
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile ccedilarpmak demek ise matrisin
elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla ccedilarpmak demektir
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
81
82
Oumlrnek
raquo a=[1 2 3 4 5 6]raquo b=[7 8 9 10 11 12]
a ve b toplamıraquo sum=a+bsum =
8 10 1214 16 18
arsquo
yı
brsquo
den ccedilıkarmak
raquo diff=a-bdiff =
-6 -6 -6-6 -6 -6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
83
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] ve b=[3 -3 -41 1 5] matrisleri
veriliyor
a)
c=a+b toplam matrisini
b)
d=a-b matrisini
c)
amatrisinin her elemanınının 5 eksiğine karsılık gelen e
matrisini
d) f=2a-3b matrisini bulduran islemleri yazalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
a) c=a+b b) d=a-b c) e=a-5 d) f=a+a-b-b-b veya
f=2a-3b
84
İki matrisin ccedilarpım islemi iki biccedilimde anlasılır
1)
Aynı
mertebeden iki matrisin elemanlarını
teker teker ccedilarpıp aynı
mertebeye
yazmak demektir Bunu
islemi ile gerccedileklestiririz
2) Matematiksel anlamda iki matrisi ccedilarpmak istediğimizde birinci matris mxn
tuumlruumlnde ve ikinci matris mutlaka nxp tuumlruumlnde olmalıdır yani birinci matrisin
suumltun sayısı
ikinci matrisin satır sayısına eşit olmalıdır
Bu durumda birinci matrisin i suumltun elemanları
ile ikinci matrisin j satırındaki
elemanlar karılıklı
olarak ccedilarpılır ve sonuccedillar toplanır ve bu toplam ccedilarpım
matrisinin (ij) inci mertebeye yazılır
Matrisler arası
ccedilarpma isleminin semboluuml
de dır
b) İki Matrisin Ccedilarpımı Bir Matrisin Kuvvetleri veCcedilarpma İslemi
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
85
3) Bir a matrisinin her bir elemanının n Kuvvetlerinden olusan matrisi
bulmak iccedilin a^n islemi kullanılır
4) Satır ve suumltun sayıları
esit bir kare matrisi ardısık olarak n defa
kendisiyle ccedilarparak a matrisinin n kuvvetini bulabilirizOumlrneğin a matrisinin
karesi iccedilin aa veya a^2 kuumlbuumlnuuml
buldurmak iccedilin aaa veya a^3
doumlrduumlncuuml
kuvvetini buldurmak iccedilin aaaa veya a^4
Not) Bir a matrisinin eleman -elemana ccedilarpma islemine benzer mantıkla bir matrisin tuumlm elemanlarının kareleri kuumlbleri sinuumlsleri kosinuumlsleri logaritmalarından olusan matris bulunmak istenirse bunu sırayla aa (veya a^2) aaa (veya a^3) sin(a) cos(a) etabanında logaritması
iccedilin log(a) 10 tabanında logaritmaları
iccedilin log10(a) Biccediliminde gerccedileklestirebiliriz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
86
a) a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c1 matrisi varsa bulalım
b) a matrisi ile b matrisinin ccedilarpım matrisi olan c2 varsa bulalım
c) a matrisinin elemanları
ile c matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c3 matrisi varsa bulalım
d) a matrisi ile c matrisinin ccedilarpım matrisi olan c4 varsa bulalım
e) a matrisinin elemanlarının karelerinden olusan matris ile b matrisinin
kosinuumlslerinden olusan matrisler toplamını
bulalım
f) x=[1 00 3] matrisinin i) Karesini ii) Kuumlbuumlnuuml
iii) 10
kuvvetini bulalım
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] b=[3 -3 -41 1 5] ve c=[1 0-1 23 3] matrisleri veriliyor
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
87
Ccediloumlzuumlma) iki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirBu durumda c1 matrisi tanımlıdır ve bunu c1=ab islemi ile gerccedileklestirebilirizb) iki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdırHalbuki a matrisi 2x3 b matrisi de 2x3 olduğundan bu iki matris ccedilarpılamazc) İki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirHalbuki bu matrisler aynı mertebeden olmadığından bu iki matris eleman-elemana ccedilarpma islemi
gerccedileklemezd) İki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdıra matrisi 2x3 luumlk c matrisi de 3x2 lik olduğundan bu iki matris ccedilarpılabilir ve c4 ccedilarpım matrisi 2x2 lik bir matris olurc4 ccedilarpım matrisini c4=ac islemi ile buluruze) a^2+cos(b)f) i) x^2 ii) x^3 iii) x^10
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
88
c) Bir Matrisin Devriğini (Transpozesi) Bulma İslemi
Bir matrisin satırlarını suumltun suumltunlarını satır olarak yazılmasıyla
bulunan matrise bu matrisin devriği (transpozesi) denir
Bir matrisin devriğini islemi ile bulabiliriz
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] nın devriğini buldurup d matrisine atayalım
Ccediloumlzuumlm d=a
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
89
Oumlrnek
b=[7 8 9 10 11 12] matrisinin transpozesini bulabilirmisiniz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
c=bc =
7 108 119 12
90
SORU
a=[1 2 3 4 5 6]
c= [710811912]
ise a ve crsquonin ccedilarpım matrisi
kaccediltır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
Ccedilarpma işlemi k=ack=
50 68122 167
91
SORU
a=[1 2 3 4 5 6] b=[7 8 9 10 11 12]
ise a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan x matrisini bulalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
x=abx =
7 16 2740 55 72
92
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
Aynı mertebeden iki matrisin elemanlarını teker teker boumllerek aynı
mertebeye yazılmasına iki matrisin sol boumllmesi denir ve bu islemi ile
yapılır
a b ve c aynı mertebeden kare matrisler olmak uumlzere
c=ab ise a matrisine c nin b matrisine boumlluumlmuuml denir
c boumlluumlm matrisi islemi ile yapılır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
93
HATIRLATMA
2x2 lik i2 adlı birim matrisi i2=eye(22)
3x luumlk i3 adlı birim matrisi i2=eye(33) islemi ile olusturabiiriz
Aynı mertebeden a ve b kare matrisleri iccedilin a ile b nin ccedilarpımı birim matris ise
b matrisi a matrisinin (aynı biccedilimde a matrisi de b matrisinin) ters matrisidir
Oumlrnek
3x3 luumlk bir a kare matrisinin tersini bulmak iccedilin
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
eye(33)a veya inv(a) islemini kullanırız
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
94
Bir Matrisin Determinantı
Determinant kare matrisleri bir sayıya eşleyen fonksiyondur
Determinant fonksiyonunun kare matrisi eşlediği o sayıya matrisin
determinantı denir
A matrisinin determinantı detA veya |A| biccediliminde goumlsterilir
|A| matrislerde mutlak değer anlamına gelmez |A| sıfır veya
negatif de olabilir
det(x)
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
95
KURAL
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
96
Oumlrnek
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Determinant
raquo
deter=det(x)deter =
21
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
97
Oumlrnek Inverse işlemi
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Detx=det(x)=21 ise
raquo y=inv(x)y =
821 121 -521 221
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
98
SORU
a=[2 -10 01 2 43 0 1] matrisi ile b=[1 5 41 -1 20 1 -1] matrisleri veriliyor
a)
a matrisinin elemanlarını
sırasıyla b matrisinin elemanlarına boumllerek elde
edilen matrisi b1 matrisine atayalım
b) a matrisinin ta ters matrisini bulalım
c) a ile ta matrisinin ccedilarpımının 3x3 luumlk birim matris olduğunu goumlsterelim
d) a matrisinin b matrisine boumlluumlmuumlnuuml
b2 matrisine atayalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
99
Ccediloumlzuumlm
a)
b1=ab
b) ta1=eye(33)a veya ta2=inv(a)
c) ata ==eye(33)
d) b2=ab
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
8
1 MATLABSayısal Analiz
Matlab matrix tabanlı
bir dildir
Matlabda ilk başlangıccedilta herşeyi matris olarak duumlşuumlnmek yararlı
olacaktır
9
1 MATLABSayısal Analiz
oAraccedil
kutularıoumlzel sorunların ccediloumlzuumlmuuml
iccedilin
MATLABa uyarlanan MATLAB işlevlerinin bir
tuumlr
kitaplıklarıdır
oAraccedil
kutuları accedilık ve eklenebilir olup kendi
algoritmalarını
ve ekini goumlrebilirsiniz
oSimulink
oBlok diyagram arayuumlzuuml
ile doğrusal olmayan
simulasyonu ve ldquocanlırdquo
simulasyon
yetenekleriyle oumlz sayıları MATLABrsquoın
grafiklerini ve dil fonksiyonlarını
birleştiren
bir
sistemdir
10
oMatlaba başlamanın en iyi yolu matrislerin nasıl ele alınması
gerektiğini
oumlğrenmektir
oMATLAB da bir matrix dikdoumlrtgen sayılar dizisidir
o1x1 matris scaler sayı
omx1 matris suumltun matrisi
o1xn matris satır matrisi
omxn matris m satırlık n suumltunluk matristir
1 MATLABSayısal Analiz
11
1 Program Nasıl Başlatılır
Başlat --gtTuumlm Programlar--gtMatlab
veya
Command Window Matlab
2 Program Nasıl Sonlandırılır
MATLAB Programlama dilini sonlandırmak
iccedilin
gtgt quit
yada
gtgt exit
komutları
kullanılır
1 Matlabın Genel Yapısı
MATLAB
12
MASA UumlSTUuml KOMUT PENCERESİ
Ccedilalışma DiziniCcedilalışma Alanı
Komut Geccedilmişi
Komut Satırı
MATLAB programını
ilk ccedilalıştırdığınızda karşınıza ccedilıkacak ekran aşağıdaki gibidir
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
13
Matlabı ccedilalıstırdığımızda karsımıza ana pencere gelirBu pencerede
File Edit DebugParallel Desktop Window veHelp
ana baslıkları vardır
Bu baslıklar altından diğer Windows programlarında alısılagelmis benzer islemler
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
14
Burada Desktop Desktop Layout ile Matlabın masauumlstuuml yerlesimini
duumlzenleyebilirsiniz
Oumlrneğin Default ile varsayılan goumlruumlnuumlmuumlnuuml
Command Window Only ile sadece klasik komut penceresini
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
15
Command Window Bu pencere komut penceresidir
Bu pencereden Matlab ile ilgili komutları klavyeden girer komutun
islemesini sağlamak iccedilin de Enter tusuna basılır
Komutları girdiğimiz satır gtgt ile baslar ki bu satıra komut satırı denir
EgYarıccedilapı
36 olan bir daire alanı
hesaplayalım
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
16
Bu pencere o ana kadar komut satırından girilen komutları goumlsterir
İstersek bunların birini fareyle seccediler ya da bir kaccedilını veya tuumlmuumlnuuml fare ve
asağı-yukarı youmln tusları yardımıyla seccediler ve delete tusuna basarak silebiliriz
Command History
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
17
oKomut satırından ya da ccedilalıstırılan bir dosya ya da fonksiyon ile hafızada
olusturulan değiskenlerin adlarının tiplerinin ve oumlzelliklerinin goumlruumlntuumllendiği
penceredir
oCcedilalışma Alanı
MATLABrsquoda işletilen fonksyonların veya komutların oluşturduğu
değişkenlerin depolandığı
bir merkezdir
oBoumlylelikle tuumlm değişkenlere belli bir kaynaktan ulaşılabilmektedir bu da
programlama sırasında değişkenlerin yerini belirtmeden bu değişkenleri kullanma
imkanı
sağlamaktadır
Workspace
Uumlstuumlne sağ tuş yapıp
oumlzellikler eklenebilir
egsize
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
18
Workspace
Oumlrneğin
c değiskeni 1x1 boyutunda bir matris yani sayı
b değiskeninin ise 3x2 boyutunda bir matris yani uumlccedil satır ve 2 suumltundan
olusan bir matris
nasılsın adlı değisken de 6 karakterden olusan bir karakter zinciri (string)
olduğu goumlruumlluumlr
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
Oumlrnek Command Windowrsquoa alttaki değerleri yazıp inceleyin
a = 4 b = 5 c = abnasılsın=lsquoiyidirrsquo
19
Matlab Dizi Editoumlruuml
oA değişkenine ccedilift tıklandığında Matlab Dizi Editoumlruuml
accedilılır
oBurda değişkenlerin iccedilerikleri goumlruumlntuumllenir ve değiştirilebilir
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
20
who
ccedilalışma alanında hangi değişkenler olduğu
whos
bu değişkenlerin yapıları
goumlruumllmektedir
what
komutu kullanıcı
diskinin halihazır dizininde mevcut M- dosyaları
listesini verir
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
21
clc
Komut penceresindeki satırları
silmeye yarar
clear
Hafızadaki değişkenler silinir
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
22
Matlab Ccedilalışma Dizini penceresindeki ldquo
aşağı
okrdquo
basılarak ccedilalışma dizini seccedililebilir
Current Folderrsquoda ccedilalışmak istenilern directory youmlnlendirilerek hızlı
ulaşım sağlanır
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
23
Current Folder
Matlab dosyalarının kaydedildiği yuumlklendiği dosyaların bulunduğu
klasoumlruuml
(dizin) varsayılan klasoumlr olarak belirlemeye yarar
Aksi belirtilmedikccedile bu klasoumlr CMatlab6p5work gibi bir klasoumlrduumlr
Yada save FMATLAB_UYGkatsayilar a
katsayilarmat olarak kaydedilen a matrisininmatlab kapatılıp accedilıldıktan sonra herhangi bir zamanda geri ccedilağrılmasıiccedilin
load FMATLAB_UYGkatsayilar
komut dizisi kullanılır
Command Windowa save yazılırsa değişkenler ldquomatlabmatrdquo
veri
dosyasına kaydedilmiş olur
Matlabı
kapatıp accedilalım ve matlabmatrsquoı
ccedilağıralım
(File open matlabmat)
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
Oumlrnekgtgt a=[123 579] a = 1 2 3 5 7 9
24
MATLAB Yardım
1 Komut satırına ldquohelprdquo yazılır Bu yardım sunulabilecek konuların listesini sunar
2 help fonksyon-adı
fonksyon iccedilin yardım metnini goumlruumlntuumller
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
25
Matlab MasaUumlstuuml
Yeni M- Dosyası
Dosya Accedil Help Desk
Kayıtlı
Matlab Fonksyonu kayıt dosyası(mat) modeli figuumlruuml
ve GUI arayuumlzluuml
fonksyonları
accedilar
Veri dosyalarını
accedilar
Ccedilalışma ortamını
kaydeder
Farklı
ccedilalışma dizinini Matlaba tanıtır
Matlab arayuumlzuumlnuuml
ayarlar
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
26
Başlat Duumlğmesi
Matlab araccedil
kutuları Matlab
uygulamalarına eklenti olarak
hazırlanan ve hazır fonksyonları iccedileren paketlerdir
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
27
Başlat Duumlğmesi
Start Duumlğmesi tuumlm matlab uygulamalarına accedilılan kısayolları
iccedilermektedir
Matlab Uygulamaları
iccedilin kısa yol
Araccedil
kutularıSimulinkUy
gulaması
Demolar
Veri Sihirbazı
GUI Hazırlayıcı
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
28
Matlaba Veri Alma
Programa dışarıdan resim film veri ses dosyalarını
matris formatına ccedilevirerek bir değişken olarak atamada kullanılır
File Import Data
Oumlrnek Exel dosyası
alma
Exelde bir matrix oluşturup matlabdan import ile alınız
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
29
Matlabda Temel Kavramlar
Tuumlm programlama dillerinde olduğu gibi (Fortran C Pascal Basic vs)
Matlabın da oumlzel anlam tasıyan bazı kelimeleri vardır ki bu kelimeler değisken
olarak kullanılamazlar
Bu tuumlr kelimelere anahtar kelime (keywords) denir
Bu kelimelerin bir listesini almak iccedilin komut satırına
iskeyword komutunu yazarak elde edebiliriz
Bu kelimeler
breaklsquo case catch continue else elseif endlsquo for function global
if otherwiselsquo persistent return switch try while
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
30
Programın dili ve yardım bilgileri tamamen ingilizcedir
Kuumlccediluumlk-buumlyuumlk harf ayrımı vardır
Oumlrneğin dscrite DSCRITE ve Dscrite atamaları farklı şekilde
algılanır
Eğer istenirse ldquocasesen offrdquokomutu ile bu durum sona
erdirilebilir
raquo işareti komut promptrsquoudur
Komutlar Enter ile yuumlruumltuumlluumlr
2 Matlab Kullanımında Temel Kurallar
Matlab
31
Genel komutların isimleri ve accedilıklamaları
2 Matlab Kullanımında Temel KurallarMATLAB
32
2 Matlab Kullanımında Temel KurallarMATLAB
MATLAB kontroluumlnuuml
kullanabilmeniz iccedilin oumlzel karakterlere sahiptir Bu karakterlerin bir oumlzeti
33
2 Matlab Kullanımında Temel KurallarMatlab
34
2 Matlab Kullanımında Temel KurallarMatlab
35
İFADELER Matematiksel ve metinsel goumlsterimler ile işlemler ifadelerlesağlanır
Sayılar (Numbers)Değişkenler (Variables)İşleccediller (Operators)Fonksiyonlar (Functions)
Matlabrsquode ifadeler genellikle değişken = ifade veya sadece ifade formundadır
Sayısal Analiz
x = 4 sqrt(5) İfade
değişkensayı işleccedil fonksiyon
Bir ifade = işareti ile bir değişkene atanmamış
ise Matlab otomatik olarak sonucu ans (answer)
adı
verilen oumlzel bir değişkende saklar
3 MATRİSLER
36
o
Birden
fazla ifade
tek satırda aralarına
ya da koyarak yazılabilir
o
Yazımda
boşluk
sayısı
etkisizdir
o
Sadece
ilgili
değişken
adını
yazarak
o değişkeni ccedilağırabilirsiniz
MATRİSLER31 İFADELER
37
o MATLABrsquoda herhangi bir tip tanımlaması
veya boyut ifadesine gerek yoktur
o
MATLAB yeni bir değişken ismi ile karşılaştığında otomatik olarak ans isminde
bir değişken oluşturur ve uygun bir bellek miktarı
ayırır
oEğer değişken zaten varsa MATLAB gerekli bir bellek ayırdığında iccedileriği değişir
Oumlrneğin
o ogrenci_sayı=51
32 DeğişlenlerMatlab
Değisken
değeri değisebilen bellek alanına isaret eden değerlere
38
MATLAB değişken girişleri iccedilin ccedileşitli kurallara sahiptir
Her değişken bir harfle başlamak zorundadır
Program buumlyuumlk kuumlccediluumlk harf duyarlıdır X ve x farklı değişkenleri ifade eder
Program 31 basamağa kadar duyarlıdır Bu basamaktan sonrasını yok sayar
Dolayısıyla 31 basamaktan uzun değişken isimleri karışıklık yaratabilir
32 DeğişlenlerMatlab
39
Değiskenlere Değer Atama
Her hangi bir programlama dilinde olduğu gibi Matlabrsquoda da bir değiskene
değer verme islemine rdquodeğer atamakrdquo denir
Bir değiskene atanan değer değistirilmediği suumlrece aynı kalır
Değer atamanın genel kullanımı asağıdaki biccediliminde olur
ltDeğisken adıgt=ltAtanacak değergt
32 DeğişlenlerMatlab
40
Oumlrnek 2
A=6i-7 A değişkenine skaler bir değer atar
B=A 7
B değişkenine A değişkeninin 17 si atanmıştır
C=[3 4 5 6]
4 elemanlı
bir satır vektoumlruuml
atanmıştır
NOT
Dizi girişinde herhangi bir satıra ait elemanlar aralarına boşluk veya virguumll ldquordquo konularak ayrılır
Dizinin diğer bir satırına başlamak iccedilin biten satır sonuna konulur
32 DeğişlenlerMatlab
41
oMATLABrsquoda sayılar yaygın olarak kullanılan onluk tabanda ifade edilirler
o
Bunun yanısıra onluk tabanda uumlstel olarak veya i veya j olarak kompleks sayı biccedilimlerinde de ifade edilebilirler
oOumlrnek olarak
33 Sayılar
Matlab da i
ve j
başka tuumlrluuml
tanımlanmamışsa kompleks i sayısını
goumlsterir 3e5 sayısıda 3105
anlamındadır
MATRİSLER
42
o
Ondalık sayılar Tuumlrkccedilemizdeki
35 yerine
35 şeklinde
goumlsterilir
(00001 veya 963
065 yerine 65)
o
Bilimsel
notasyon
goumlsterimi olan e
(veya E) harfi
10rsquonun kuvvetini
temsil eder
o 2e4=2104=2000 veya
165e-20=16510-20
demektir
o
Kompleks
sayılarda
imajiner
(sanal) kısımlar
i
veya
j
ekini
alır
i veya
j
ile
gosterimlerinde
bir
fark
yoktur
o (1+3i veya 1+3i veya 1+i3) 1+sqrt(3)j
-5i
o
Matlabrsquode
tuumlm
sayılar yaklaşık 210308 ve
210-308 arasında
değişir
33 Sayılar
MATRİSLER
43
Sayı
Formatları
33 SayılarMatlabMATRİSLER
44
oMatlabda bir ccedilok eylem doumlrt islem ve matematiksel bazı
islemler
yaptırabiliriz
oBunun iccedilin ya ilgili komutları
komut penceresinden teker teker girerek veya
ilgili komutları
bir dosyaya yazıp o dosyayı
ccedilağırarak ccedilalıstırabiliriz
oİşlemleri yaptırırken sayıları
reel sayı
ya da karmasık sayı
olarak alabiliriz
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
45
Matematiksel ifadeleri oluşturmak iccedilin operatoumlrler ve oumlnceden tanımlanmış sembolleri kullanabilirsiniz
oOperatoumlrler oumlzetle şunlardır
oMatrislerle yapılan işlemlerde boumllme işlemi iccedilin iki farklı
sembol kullanılmaktadıroBunun yanında eğer sayılar skaler ise iki boumllme işleminin sonucu da aynı
değeri
goumlsterecektiroOumlrneğin 32 ile 23 ifadelerinin sonuccedilları
aynı
olup 15rsquodir
raquo 4+83ndash2ans =26
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
46
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
x=a + b
Bu ifadede a ve b nin toplandığı
ve x değişkeni iccedilinde saklandığıbelirtilmektedir
47
Aritmetiksel İşlemlerde Oumlncelik Durumu
oTek bir aritmetiksel durum iccedilinde birden fazla durum bir arada bulunabildiğine goumlre
hangi işlemin oumlncelik hakkına sahip olunduğunun
bilinmelidir
oMATLABrsquoda kullanılan işlemlerde işlemlerin oumlncelik
listesi
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
bazı
temel matematiksel fonksiyonların accedilıklamaları
48
o
MATLABrsquo
da işlemler soldan sağa işlerlero
İşlemler arası
oumlncelik sırası
aşağıdaki gibidir
1 ^
(Yuumlksek)2
darr
3 + -
(Duumlşuumlk)
raquo 3^(2ndash5)-632 raquo 3^2ndash5ndash632ans = ans =
mdash39630 0
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
49
35 FonksyonlarMATRİSLER
o MATLABrsquoın ccedilok guumlccedilluuml
ve ccedilok kapsamlı
bir fonksiyon yapısı
vardır
oMATLABrsquoda bazı
fonksiyonlar daha oumlnceden yerleştirilmiş
bazıları
ise sonradan
dışarıdan yerleştirilmiş
M-dosyalarından oluşan MATLAB kuumltuumlphanelerinde
tanımlanmışlardır
oBunun yanında oumlzel uygulamalar iccedilin kullanıcıların kendi fonksiyonlarını
yazarak
kendi kuumltuumlphanelerini oluşturması
muumlmkuumlnduumlr
MATLABrsquoda mevcut analitik fonksiyonları
genel olarak aşağıdaki kategorilere ayırabiliriz oTemel matematiksel fonksiyonlaroOumlzel fonksiyonlaroTemel matrisler ve matris işlemlerioMatrisleri ccedilarpanlarına ayırmaoVeri analizlerioPolinomlaroDiferansiyel denklem ccediloumlzuumlmlerioLineer olmayan denklemler ve optimizasyonoSayısal integral hesaplamalarıoSinyal işleme
50
Matematiksel Fonksiyonlar
bazı
temel matematiksel fonksiyonların accedilıklamaları
35 FonksyonlarMATRİSLER
Oumlrnekgtgtexp(1)ans=27183gtgtfix(35)ans=3gtgtceil(35)ans=4gtgtround(35)ans=4
51
Matlabda oumlnceden tanımlanmıs bazı
sabitlerdirBunlar aşağıdaki tabloda goumlsterilmistir
36 Oumlzel SabitlerMatlab
52
Oumlrnekler
1)
a=1
2)
a=rsquoİstanbulrsquo
3)
a=5b=7c=a+b
4) a=5b=-3c=a+2ba=a+b
5)
num=23-5^2 x=num2 y=x+10
7 Sabitler Değiskenler ve Metin KatarlarıMatlab
53
Oumlrnek
Komut satırına
a)
sin(30)
b)
sin(30pi180) yazınız sonuccedilları
inceleyiniz
35 FonksyonlarMATRİSLER
Cevapa) -09880 sonucu goumlruumlluumlr ki bu 30deg
nin sinuumlsuumlnde n farklıdır Ccediluumlnkuuml
bu 30deg
derece değil 30 radyanın sinuumlsuumlduumlrb) 05000 sonucu goumlruumlluumlr ki bu da 30deg
nin sinuumlsuumld uumlr O halde bir
sayının trigonometrik değerini buldurmak iccedilin oumlnce pi ile ccedilarpıp 180 e boumllerek accedilıyı
radyan ccedilevirip sonra trigonometrik değerini
hesaplatabiliriz
54
oVektoumlrler tek boyutlu sayı
dizileridir
oElemanlarının sıralanma youmlnlerine goumlre suumltun veya satır vektoumlruuml
adlarını alırlar
ovektoumlrler [ ] koumlşeli parantezleri ile tanımlanır
ofarklı
yolla tanımlanabilirler
4 VektoumlrlerMatlab
A = [4 12 -8 6]A = [4 12 -8 6]
B = [1 2 4 6]
Satır Vektoumlruuml
Suumltun Vektoumlruumlgtgt b=[1 2 4 6 ]
55
4 VektoumlrlerMatlab
ovektoumlr boyutları
buumlyuumlduumlkccedile manuel olarak tanıtım işlemi oldukccedila zorlaşmaktadır
oOumlzellikle belli bir artıma sahip vektoumlrlerin oluşturulmasında () operatoumlruuml kullanılmaktadır
C = [-105150]
Son değerBaşlangıccedil değeri Artış
miktarı
Drsquo
= [30-10-30]
Suumltun Vektoumlruuml
56
Vektoumlr indisleri
4 VektoumlrlerMatlab
Bir vektoumlruumln elemanlarına atanılan değer değişkenler editoumlruuml
veya eleman adresi vasıtasıyla değiştirilebilir
OumlrnekA = [4 12 -8 6]1 A vektoumlruumlnuumln 3 elemanını
27 ile değiştiriniz
2 Benzer şekilde A vektoumlruumlnuumln 2 elemanını
siliniz 3 A(9) = 12
Ccediloumlzuumlm1 A(3) = 272 Vektoumlruumln elemanına [ ] değeri atandığında eleman silinirA(2) = [ ]3 gtgt A(9) = 12
A= [ 4 27 6]
A =[ 2 27 7 0 0 0 0 0 12]
57
raquo x=[17 8 61 83 56]
Şeklindeki bir matrisin uumlccediluumlncuuml
elemanına erişmek istenirse
raquo c=x(3)
c =
61
Eğer bir blok şeklinde veriye erişilmek istenirse
raquo x(24)
ans =
8 61 83
Her matristeki herhangi bir elman grubuna erişilmek istenirse
raquo x([3 1 4])
ans =
61 17 83
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
58
Bir diziye duumlzenli artıs (veya azalıs) kuralıyla değerler atanmak isteniyorsa
bunu
ilk_değerartısson değer veya ilk_değerartısson değer
biccediliminde yapabiliriz
Ancak artıs 1 ise belirtilmeyebilirOumlrnekortalama adlı
bir diziye 0 dan 5 e kadar 05 er artısla elde edilen sayı
dizisini atayanortalama=[0055]
Siz 1 satır 7 den den 17 ye kadar olan tam sayılar 2 satırı
99 dan 89 a kadar azalan tam sayılardan olusan 2 boyutlu m dizisine atayan islemleri yazınız
Dizilerin Değerlerinin Değistirilmesi ve Duumlzenlenmesi
4 VektoumlrlerMatlab
59
4 VektoumlrlerMatlab
60
Sayılardan olusan satır ve suumltun yapısına matris (dizi) denir
Oumlrneğin
d1=[5] 1x1 lik
d2=[ 2 -7] 1x2 lik
d3= [1 0 -3 ]
[ 5 3 1 ]
2x3 luumlk bir dizidir
Oumlrnekx=[1 7 18 5]Ya daraquo x=[ 1
7185 ]
Biccedilimlerinde girilebilir
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
61
Dizilerin Değerlerinin Değistirilmesi ve DuumlzenlenmesiBir dizinin herhangi bir elemanını belirlemek iccedilin dizi adından hemen sonra
parantez iccedilinde elemanın bulunduğu satır ve suumltun sayısı yazılmalıdır
Oumlrnek 1 d2=[2 -7]d2 dizisinin -7 elemanını
goumlruumlntuumllemek iccedilin
d2(12)
2 d3=[1 0 -35 3 1]d3 dizisinin 2 satır 1 suumltununda bulunan 5 in değerinin -75 olması
iccedilin
d3(21)=-75
Not1) Bir dizinin bir ccedilok elemanını
yeniden değer atamak gerekirse komut satırından atama yapmak uzun zaman alabilirBu durumda dizi değiskeninin uumlzerine ccedilift tıklayarak accedilılan dizi editoumlruuml
(array edit) yardımıyla değisiklikleri daha kolay yapabiliriz
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
62
8 Matrisler(Dizi)Matlab
Bir matrisi girerken o1 Elemanlar baştan ve sondan koumlşeli parantezlerle kapatılıro2 Elemanların arasına boşluk veya virguumll konuluro3 Matris satırlarını
ayırmak iccedilin de noktalı
virguumll kullanılır
okurallarına dikkate alınmalıdır
Oumlrneğin
A = [1 2 3 4 5 6]A =
1 2 34 5 6
şeklinde veriler matrisler biccediliminde tanımlanır MATLAB daha sonra kullanılmak uumlzere verileri A matrisinde saklar
63
Matris elemanları
rasgele rakamlardan oluşabileceği gibi MATLABrsquoın deyimlerinden de oluşabilir
51 Matrislerde ElemanlarMatlab
Oumlrneğin
a=[-13 sqrt(3) (1+2+3)475]
a= -13000 17321 48000
Kuumlccediluumlk matrisleri eleman olarak kullanıp daha buumlyuumlk matrisler oluşturmak muumlmkuumlnduumlr
OumlrneğinM=[1 3 5
7 8 9] matrisine
aşağıda goumlsterildiği şekilde bir satır eklemesi yapabilir
M=[M[10 13 15]]
Bu durumda M matrisiM=[1 3 5
7 8 910 13 15]
durumunu alır
64
İki nokta uumlst uumlste () kullanarak buumlyuumlk matrislerin belli bir kısmını
kullanabiliriz
ya da diğer ifade ile bu matrisi kuumlccediluumlltebiliriz
Oumlrneğin
M=M(12) bildirimi M matrisinin ilk iki satırını
alarak M matrisi
olarak saklar
Oumlrnek
M=[8 -4 7 66 -7 8 9 4 5 134] ise
M=M(12) =
8 1 Matrislerde ElemanlarMatlab
65
MATLABrsquoda kullanıcı
verileri kendi oluşturacağı
matrisler ile tanımlayabileceği gibi MATLABrsquoın kendi oumlzel matrislerinden de istifade edilebilir
52 Genel MatrislerMatlab
66
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
a) Sıfır Matrisi Olusturan Fonksiyon
Her elemanı sıfır olan mxn boyutunda bir matrise sıfır matrisi denir
Boumlyle bir dizi olusturmak iccedilin zeros fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=zeros(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
3x5 boyutunda s adlı
sıfır matrisi iccedilin
s=zeros(35)
52 Genel MatrislerMatlab
67
b) 1 lerden Olusan Matris
Her elemanı 1 olan mxn boyutunda bir matrisi olusturmak iccedilin ones
fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matria_adı=ones(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
2x3 boyutunda b adlı
tuumlm elemanları
1 olan matrisi olusturalım
b=ones(23)
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
52 Genel MatrislerMatlab
68
c) Birim Matrisi Olusturan Fonksiyon
Esas koumlsegeni 1 lerden diğer elemanları 0 lardan olusan kare matrise (satır
ve suumltun sayısı esit olan ) birim matrisi
kare olmayan matrise de diyagonal matris denir
Boumlyle matrisleri olusturmak iccedilin eye fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=eye(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
a)
3x3 luumlk birim matris
b) 4x3 lluumlk diyagonal matris olusturalım
Ccediloumlzuumlma) i=eye(33) b) d=eye(43)
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar52 Genel MatrislerMatlab
69
d) Rastgele Sayılardan Olusan Matris ve Fonksiyonu
Elemanları 0 ile 1 arasındaki rastgele sayılardan olusan bir matris iccedilin
rand fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=rand(mn) biccedilimindedir(msatırnsuumltun)
Not 1) Uumlretilen matrisin tuumlm elemanlarını k gibi bir sayı ile ccedilarparak
sayıları 0 ile k arasına ccedilekebiliriz
Not 2) Ondalıklı sayılardan olusmus bir matrisin elemanlarını
yuvarlayıp tam sayı yapmak iccedilin round fonksiyonunu kullanırız
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar52 Genel MatrislerMatlab
70
Oumlrnek
a) 0 ile 1 arasında rastgele sayılardan olusan 10 elemanlı
a adında bir satır
matrisi olusturalım
b) Elemanları
10 ile 50 arasında sayılardan olusan 5x3 tipinde b matrisini
olusturalım
c) Elemanları
50 ile 300 arasındaki tamsayılardan olusan 3x4 tipinde c matrisini
olusturalım
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
d) Rastgele Sayılardan Olusan Matris ve Fonksiyonu
52 Genel MatrislerMatlab
71
Ccediloumlzuumlm
a)
a=rand(110)
b)
b=10+rand(53)40
c) c=round(50+rand(34)250)
52 Genel MatrislerMatlab
72
e) Rastgele Sayılardan Olusan Normal Dağılımlı
Matris veFonksiyonu
Elemanları rasstgele sayılardan olusan bir normal dağılımlı bir matris iccedilin
randn fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=randn(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek Rastgele sayılardan olusan normal dağılımlı 2x3 luumlk bir n matrisini
olusturalım
Ccediloumlzuumlm n=randn(23)
52 Genel MatrislerMatlab
73
f) Lineer Aralıklı
(Aritmetik) Dizi ve Fonksiyonu
Baslangıccedil ve biis değerleri ve kaccedil elemandan olusacağı belirlenen diziyi
olusturmak iccedilin linspace fonksiyonu kullanılır
Kullanımı
dizi_adı=linspace(ilk_değerson_değereleman_sayısı)
biccedilimindedir
52 Genel MatrislerMatlab
74
Oumlrnek 10 ile 30 arasına 9 tane daha sayı
koyarak aadında bir aritmetik dizi olusturalım
f) Lineer Aralıklı
(Aritmetik) Dizi ve Fonksiyonu
52 Genel MatrislerMatlab
Cevapa=linspace(103011)
75
Elimizdeki grubun her elemanı iccedilin bir matematik işlemi yapıp bunu yeni bir
diziye atarken herhangi bir sorun yoktur
Fakat iki farklı grupla işlemler yaparken dikkat etmemiz gereken genel
kurallar vardır
Oumlrneğin toplama ve ccedilıkarma yaparken iki dizinin de buumlyuumlkluumlğuumlnuumln eşit
olması gerekmektedir
Ayrıca iki farklı dizinin elemanları arasında birebir işlem yapmak iccedilin
matematik operatoumlruumlnuumln başına nokta() koymak gerekir
Bu durumda her bir elemanı diğer dizinin o sıradaki elmanı ile işleme
sokacaktır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
76
Birden fazla satır ve suumltuna sahip vektoumlrlere matris denir Noktalı
virguumll ()
işareti ile kolonları
ve virguumlle işareti ya da boşluk
bırakarak da bir sıradaki elemanları
ayırabilirizOumlrnekraquo x=[ 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14]x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14Yukarıdaki 3x4 boyutunda bir matristir MATLAB programına aşağıdaki
gibi de sunulabilirraquo x=[ 3 4 5 6
7 8 9 1011 12 13 14]
x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
77
Matristeki herhangi bir elemana direk ulaşmak iccedilin aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(23)=9
Eğer isteğimiz eriştiğimiz bir elemanı
değiştirmek veya yeni bir satır eklemek ise aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(41)=1x =
3 4 5 67 8 9 1011 12 13 141 0 0 0
Bu durumda doumlrduumlncuuml
satır ilk elemanını
biz 1 değerini atadık ve diğer elemanları
kendiliğinden ldquo0rdquo
olarak atadı
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
78
İki nokta uumlst uumlste () kullanılarak belirli aralıkta değişen matrisler yaratılabilir
raquo x=[127 3-10 -12]x =
1 3 5 73 2 1 0
-1 0 1 2Bir matrisin herhangi bir boumlluumlmuumlnuuml
seccedilmek iccedilin ise aşağıdaki goumlsterim
kullanılırraquo z=x(23 12)z =
3 2-1 0
Bu durumda z matris x matrisinin 2 ve 3 norsquo
lu satırlarından 1 ve 2 norsquo
lu suumltunlarını
almış
oluyor
Herhangi bir satır veya suumltunu tamamen silmek istersek o satır ve suumltunu seccedilip ldquo[]rdquo
ifadesine eşitleriz
raquo z(2)=[ ]z =
3 -1
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
79
Matlab size ve length komutları
yardımı
ile size matrisinizin boyutlarını
soumlyler
raquo a=[ 2 3 4 5 67 8 9 10 11]
raquo s=size(a)s =
2 5
raquo b=[ 17 11 0 30 40 50]
raquo k=length(b)k =
6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
80
a) Toplama-Ccedilıkarma Bir Sayı
ile Ccedilarpma İşlemi
İki matrisi toplamak (veya ccedilıkarmak) demek matrislerin aynı
mertebedeki elemanları teker teker toplayıp (veya ccedilıkarıp ) aynı
mertebeye yazmak demektir
Bu durumda iki matrisin de aynı mertebeden olması gereği accedilıktır
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile toplamak (veya ccedilıkarmak) demek
matrisin elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla toplamak (veya
ccedilıkarmak )demektir
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile ccedilarpmak demek ise matrisin
elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla ccedilarpmak demektir
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
81
82
Oumlrnek
raquo a=[1 2 3 4 5 6]raquo b=[7 8 9 10 11 12]
a ve b toplamıraquo sum=a+bsum =
8 10 1214 16 18
arsquo
yı
brsquo
den ccedilıkarmak
raquo diff=a-bdiff =
-6 -6 -6-6 -6 -6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
83
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] ve b=[3 -3 -41 1 5] matrisleri
veriliyor
a)
c=a+b toplam matrisini
b)
d=a-b matrisini
c)
amatrisinin her elemanınının 5 eksiğine karsılık gelen e
matrisini
d) f=2a-3b matrisini bulduran islemleri yazalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
a) c=a+b b) d=a-b c) e=a-5 d) f=a+a-b-b-b veya
f=2a-3b
84
İki matrisin ccedilarpım islemi iki biccedilimde anlasılır
1)
Aynı
mertebeden iki matrisin elemanlarını
teker teker ccedilarpıp aynı
mertebeye
yazmak demektir Bunu
islemi ile gerccedileklestiririz
2) Matematiksel anlamda iki matrisi ccedilarpmak istediğimizde birinci matris mxn
tuumlruumlnde ve ikinci matris mutlaka nxp tuumlruumlnde olmalıdır yani birinci matrisin
suumltun sayısı
ikinci matrisin satır sayısına eşit olmalıdır
Bu durumda birinci matrisin i suumltun elemanları
ile ikinci matrisin j satırındaki
elemanlar karılıklı
olarak ccedilarpılır ve sonuccedillar toplanır ve bu toplam ccedilarpım
matrisinin (ij) inci mertebeye yazılır
Matrisler arası
ccedilarpma isleminin semboluuml
de dır
b) İki Matrisin Ccedilarpımı Bir Matrisin Kuvvetleri veCcedilarpma İslemi
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
85
3) Bir a matrisinin her bir elemanının n Kuvvetlerinden olusan matrisi
bulmak iccedilin a^n islemi kullanılır
4) Satır ve suumltun sayıları
esit bir kare matrisi ardısık olarak n defa
kendisiyle ccedilarparak a matrisinin n kuvvetini bulabilirizOumlrneğin a matrisinin
karesi iccedilin aa veya a^2 kuumlbuumlnuuml
buldurmak iccedilin aaa veya a^3
doumlrduumlncuuml
kuvvetini buldurmak iccedilin aaaa veya a^4
Not) Bir a matrisinin eleman -elemana ccedilarpma islemine benzer mantıkla bir matrisin tuumlm elemanlarının kareleri kuumlbleri sinuumlsleri kosinuumlsleri logaritmalarından olusan matris bulunmak istenirse bunu sırayla aa (veya a^2) aaa (veya a^3) sin(a) cos(a) etabanında logaritması
iccedilin log(a) 10 tabanında logaritmaları
iccedilin log10(a) Biccediliminde gerccedileklestirebiliriz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
86
a) a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c1 matrisi varsa bulalım
b) a matrisi ile b matrisinin ccedilarpım matrisi olan c2 varsa bulalım
c) a matrisinin elemanları
ile c matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c3 matrisi varsa bulalım
d) a matrisi ile c matrisinin ccedilarpım matrisi olan c4 varsa bulalım
e) a matrisinin elemanlarının karelerinden olusan matris ile b matrisinin
kosinuumlslerinden olusan matrisler toplamını
bulalım
f) x=[1 00 3] matrisinin i) Karesini ii) Kuumlbuumlnuuml
iii) 10
kuvvetini bulalım
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] b=[3 -3 -41 1 5] ve c=[1 0-1 23 3] matrisleri veriliyor
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
87
Ccediloumlzuumlma) iki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirBu durumda c1 matrisi tanımlıdır ve bunu c1=ab islemi ile gerccedileklestirebilirizb) iki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdırHalbuki a matrisi 2x3 b matrisi de 2x3 olduğundan bu iki matris ccedilarpılamazc) İki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirHalbuki bu matrisler aynı mertebeden olmadığından bu iki matris eleman-elemana ccedilarpma islemi
gerccedileklemezd) İki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdıra matrisi 2x3 luumlk c matrisi de 3x2 lik olduğundan bu iki matris ccedilarpılabilir ve c4 ccedilarpım matrisi 2x2 lik bir matris olurc4 ccedilarpım matrisini c4=ac islemi ile buluruze) a^2+cos(b)f) i) x^2 ii) x^3 iii) x^10
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
88
c) Bir Matrisin Devriğini (Transpozesi) Bulma İslemi
Bir matrisin satırlarını suumltun suumltunlarını satır olarak yazılmasıyla
bulunan matrise bu matrisin devriği (transpozesi) denir
Bir matrisin devriğini islemi ile bulabiliriz
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] nın devriğini buldurup d matrisine atayalım
Ccediloumlzuumlm d=a
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
89
Oumlrnek
b=[7 8 9 10 11 12] matrisinin transpozesini bulabilirmisiniz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
c=bc =
7 108 119 12
90
SORU
a=[1 2 3 4 5 6]
c= [710811912]
ise a ve crsquonin ccedilarpım matrisi
kaccediltır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
Ccedilarpma işlemi k=ack=
50 68122 167
91
SORU
a=[1 2 3 4 5 6] b=[7 8 9 10 11 12]
ise a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan x matrisini bulalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
x=abx =
7 16 2740 55 72
92
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
Aynı mertebeden iki matrisin elemanlarını teker teker boumllerek aynı
mertebeye yazılmasına iki matrisin sol boumllmesi denir ve bu islemi ile
yapılır
a b ve c aynı mertebeden kare matrisler olmak uumlzere
c=ab ise a matrisine c nin b matrisine boumlluumlmuuml denir
c boumlluumlm matrisi islemi ile yapılır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
93
HATIRLATMA
2x2 lik i2 adlı birim matrisi i2=eye(22)
3x luumlk i3 adlı birim matrisi i2=eye(33) islemi ile olusturabiiriz
Aynı mertebeden a ve b kare matrisleri iccedilin a ile b nin ccedilarpımı birim matris ise
b matrisi a matrisinin (aynı biccedilimde a matrisi de b matrisinin) ters matrisidir
Oumlrnek
3x3 luumlk bir a kare matrisinin tersini bulmak iccedilin
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
eye(33)a veya inv(a) islemini kullanırız
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
94
Bir Matrisin Determinantı
Determinant kare matrisleri bir sayıya eşleyen fonksiyondur
Determinant fonksiyonunun kare matrisi eşlediği o sayıya matrisin
determinantı denir
A matrisinin determinantı detA veya |A| biccediliminde goumlsterilir
|A| matrislerde mutlak değer anlamına gelmez |A| sıfır veya
negatif de olabilir
det(x)
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
95
KURAL
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
96
Oumlrnek
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Determinant
raquo
deter=det(x)deter =
21
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
97
Oumlrnek Inverse işlemi
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Detx=det(x)=21 ise
raquo y=inv(x)y =
821 121 -521 221
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
98
SORU
a=[2 -10 01 2 43 0 1] matrisi ile b=[1 5 41 -1 20 1 -1] matrisleri veriliyor
a)
a matrisinin elemanlarını
sırasıyla b matrisinin elemanlarına boumllerek elde
edilen matrisi b1 matrisine atayalım
b) a matrisinin ta ters matrisini bulalım
c) a ile ta matrisinin ccedilarpımının 3x3 luumlk birim matris olduğunu goumlsterelim
d) a matrisinin b matrisine boumlluumlmuumlnuuml
b2 matrisine atayalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
99
Ccediloumlzuumlm
a)
b1=ab
b) ta1=eye(33)a veya ta2=inv(a)
c) ata ==eye(33)
d) b2=ab
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
9
1 MATLABSayısal Analiz
oAraccedil
kutularıoumlzel sorunların ccediloumlzuumlmuuml
iccedilin
MATLABa uyarlanan MATLAB işlevlerinin bir
tuumlr
kitaplıklarıdır
oAraccedil
kutuları accedilık ve eklenebilir olup kendi
algoritmalarını
ve ekini goumlrebilirsiniz
oSimulink
oBlok diyagram arayuumlzuuml
ile doğrusal olmayan
simulasyonu ve ldquocanlırdquo
simulasyon
yetenekleriyle oumlz sayıları MATLABrsquoın
grafiklerini ve dil fonksiyonlarını
birleştiren
bir
sistemdir
10
oMatlaba başlamanın en iyi yolu matrislerin nasıl ele alınması
gerektiğini
oumlğrenmektir
oMATLAB da bir matrix dikdoumlrtgen sayılar dizisidir
o1x1 matris scaler sayı
omx1 matris suumltun matrisi
o1xn matris satır matrisi
omxn matris m satırlık n suumltunluk matristir
1 MATLABSayısal Analiz
11
1 Program Nasıl Başlatılır
Başlat --gtTuumlm Programlar--gtMatlab
veya
Command Window Matlab
2 Program Nasıl Sonlandırılır
MATLAB Programlama dilini sonlandırmak
iccedilin
gtgt quit
yada
gtgt exit
komutları
kullanılır
1 Matlabın Genel Yapısı
MATLAB
12
MASA UumlSTUuml KOMUT PENCERESİ
Ccedilalışma DiziniCcedilalışma Alanı
Komut Geccedilmişi
Komut Satırı
MATLAB programını
ilk ccedilalıştırdığınızda karşınıza ccedilıkacak ekran aşağıdaki gibidir
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
13
Matlabı ccedilalıstırdığımızda karsımıza ana pencere gelirBu pencerede
File Edit DebugParallel Desktop Window veHelp
ana baslıkları vardır
Bu baslıklar altından diğer Windows programlarında alısılagelmis benzer islemler
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
14
Burada Desktop Desktop Layout ile Matlabın masauumlstuuml yerlesimini
duumlzenleyebilirsiniz
Oumlrneğin Default ile varsayılan goumlruumlnuumlmuumlnuuml
Command Window Only ile sadece klasik komut penceresini
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
15
Command Window Bu pencere komut penceresidir
Bu pencereden Matlab ile ilgili komutları klavyeden girer komutun
islemesini sağlamak iccedilin de Enter tusuna basılır
Komutları girdiğimiz satır gtgt ile baslar ki bu satıra komut satırı denir
EgYarıccedilapı
36 olan bir daire alanı
hesaplayalım
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
16
Bu pencere o ana kadar komut satırından girilen komutları goumlsterir
İstersek bunların birini fareyle seccediler ya da bir kaccedilını veya tuumlmuumlnuuml fare ve
asağı-yukarı youmln tusları yardımıyla seccediler ve delete tusuna basarak silebiliriz
Command History
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
17
oKomut satırından ya da ccedilalıstırılan bir dosya ya da fonksiyon ile hafızada
olusturulan değiskenlerin adlarının tiplerinin ve oumlzelliklerinin goumlruumlntuumllendiği
penceredir
oCcedilalışma Alanı
MATLABrsquoda işletilen fonksyonların veya komutların oluşturduğu
değişkenlerin depolandığı
bir merkezdir
oBoumlylelikle tuumlm değişkenlere belli bir kaynaktan ulaşılabilmektedir bu da
programlama sırasında değişkenlerin yerini belirtmeden bu değişkenleri kullanma
imkanı
sağlamaktadır
Workspace
Uumlstuumlne sağ tuş yapıp
oumlzellikler eklenebilir
egsize
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
18
Workspace
Oumlrneğin
c değiskeni 1x1 boyutunda bir matris yani sayı
b değiskeninin ise 3x2 boyutunda bir matris yani uumlccedil satır ve 2 suumltundan
olusan bir matris
nasılsın adlı değisken de 6 karakterden olusan bir karakter zinciri (string)
olduğu goumlruumlluumlr
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
Oumlrnek Command Windowrsquoa alttaki değerleri yazıp inceleyin
a = 4 b = 5 c = abnasılsın=lsquoiyidirrsquo
19
Matlab Dizi Editoumlruuml
oA değişkenine ccedilift tıklandığında Matlab Dizi Editoumlruuml
accedilılır
oBurda değişkenlerin iccedilerikleri goumlruumlntuumllenir ve değiştirilebilir
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
20
who
ccedilalışma alanında hangi değişkenler olduğu
whos
bu değişkenlerin yapıları
goumlruumllmektedir
what
komutu kullanıcı
diskinin halihazır dizininde mevcut M- dosyaları
listesini verir
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
21
clc
Komut penceresindeki satırları
silmeye yarar
clear
Hafızadaki değişkenler silinir
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
22
Matlab Ccedilalışma Dizini penceresindeki ldquo
aşağı
okrdquo
basılarak ccedilalışma dizini seccedililebilir
Current Folderrsquoda ccedilalışmak istenilern directory youmlnlendirilerek hızlı
ulaşım sağlanır
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
23
Current Folder
Matlab dosyalarının kaydedildiği yuumlklendiği dosyaların bulunduğu
klasoumlruuml
(dizin) varsayılan klasoumlr olarak belirlemeye yarar
Aksi belirtilmedikccedile bu klasoumlr CMatlab6p5work gibi bir klasoumlrduumlr
Yada save FMATLAB_UYGkatsayilar a
katsayilarmat olarak kaydedilen a matrisininmatlab kapatılıp accedilıldıktan sonra herhangi bir zamanda geri ccedilağrılmasıiccedilin
load FMATLAB_UYGkatsayilar
komut dizisi kullanılır
Command Windowa save yazılırsa değişkenler ldquomatlabmatrdquo
veri
dosyasına kaydedilmiş olur
Matlabı
kapatıp accedilalım ve matlabmatrsquoı
ccedilağıralım
(File open matlabmat)
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
Oumlrnekgtgt a=[123 579] a = 1 2 3 5 7 9
24
MATLAB Yardım
1 Komut satırına ldquohelprdquo yazılır Bu yardım sunulabilecek konuların listesini sunar
2 help fonksyon-adı
fonksyon iccedilin yardım metnini goumlruumlntuumller
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
25
Matlab MasaUumlstuuml
Yeni M- Dosyası
Dosya Accedil Help Desk
Kayıtlı
Matlab Fonksyonu kayıt dosyası(mat) modeli figuumlruuml
ve GUI arayuumlzluuml
fonksyonları
accedilar
Veri dosyalarını
accedilar
Ccedilalışma ortamını
kaydeder
Farklı
ccedilalışma dizinini Matlaba tanıtır
Matlab arayuumlzuumlnuuml
ayarlar
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
26
Başlat Duumlğmesi
Matlab araccedil
kutuları Matlab
uygulamalarına eklenti olarak
hazırlanan ve hazır fonksyonları iccedileren paketlerdir
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
27
Başlat Duumlğmesi
Start Duumlğmesi tuumlm matlab uygulamalarına accedilılan kısayolları
iccedilermektedir
Matlab Uygulamaları
iccedilin kısa yol
Araccedil
kutularıSimulinkUy
gulaması
Demolar
Veri Sihirbazı
GUI Hazırlayıcı
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
28
Matlaba Veri Alma
Programa dışarıdan resim film veri ses dosyalarını
matris formatına ccedilevirerek bir değişken olarak atamada kullanılır
File Import Data
Oumlrnek Exel dosyası
alma
Exelde bir matrix oluşturup matlabdan import ile alınız
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
29
Matlabda Temel Kavramlar
Tuumlm programlama dillerinde olduğu gibi (Fortran C Pascal Basic vs)
Matlabın da oumlzel anlam tasıyan bazı kelimeleri vardır ki bu kelimeler değisken
olarak kullanılamazlar
Bu tuumlr kelimelere anahtar kelime (keywords) denir
Bu kelimelerin bir listesini almak iccedilin komut satırına
iskeyword komutunu yazarak elde edebiliriz
Bu kelimeler
breaklsquo case catch continue else elseif endlsquo for function global
if otherwiselsquo persistent return switch try while
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
30
Programın dili ve yardım bilgileri tamamen ingilizcedir
Kuumlccediluumlk-buumlyuumlk harf ayrımı vardır
Oumlrneğin dscrite DSCRITE ve Dscrite atamaları farklı şekilde
algılanır
Eğer istenirse ldquocasesen offrdquokomutu ile bu durum sona
erdirilebilir
raquo işareti komut promptrsquoudur
Komutlar Enter ile yuumlruumltuumlluumlr
2 Matlab Kullanımında Temel Kurallar
Matlab
31
Genel komutların isimleri ve accedilıklamaları
2 Matlab Kullanımında Temel KurallarMATLAB
32
2 Matlab Kullanımında Temel KurallarMATLAB
MATLAB kontroluumlnuuml
kullanabilmeniz iccedilin oumlzel karakterlere sahiptir Bu karakterlerin bir oumlzeti
33
2 Matlab Kullanımında Temel KurallarMatlab
34
2 Matlab Kullanımında Temel KurallarMatlab
35
İFADELER Matematiksel ve metinsel goumlsterimler ile işlemler ifadelerlesağlanır
Sayılar (Numbers)Değişkenler (Variables)İşleccediller (Operators)Fonksiyonlar (Functions)
Matlabrsquode ifadeler genellikle değişken = ifade veya sadece ifade formundadır
Sayısal Analiz
x = 4 sqrt(5) İfade
değişkensayı işleccedil fonksiyon
Bir ifade = işareti ile bir değişkene atanmamış
ise Matlab otomatik olarak sonucu ans (answer)
adı
verilen oumlzel bir değişkende saklar
3 MATRİSLER
36
o
Birden
fazla ifade
tek satırda aralarına
ya da koyarak yazılabilir
o
Yazımda
boşluk
sayısı
etkisizdir
o
Sadece
ilgili
değişken
adını
yazarak
o değişkeni ccedilağırabilirsiniz
MATRİSLER31 İFADELER
37
o MATLABrsquoda herhangi bir tip tanımlaması
veya boyut ifadesine gerek yoktur
o
MATLAB yeni bir değişken ismi ile karşılaştığında otomatik olarak ans isminde
bir değişken oluşturur ve uygun bir bellek miktarı
ayırır
oEğer değişken zaten varsa MATLAB gerekli bir bellek ayırdığında iccedileriği değişir
Oumlrneğin
o ogrenci_sayı=51
32 DeğişlenlerMatlab
Değisken
değeri değisebilen bellek alanına isaret eden değerlere
38
MATLAB değişken girişleri iccedilin ccedileşitli kurallara sahiptir
Her değişken bir harfle başlamak zorundadır
Program buumlyuumlk kuumlccediluumlk harf duyarlıdır X ve x farklı değişkenleri ifade eder
Program 31 basamağa kadar duyarlıdır Bu basamaktan sonrasını yok sayar
Dolayısıyla 31 basamaktan uzun değişken isimleri karışıklık yaratabilir
32 DeğişlenlerMatlab
39
Değiskenlere Değer Atama
Her hangi bir programlama dilinde olduğu gibi Matlabrsquoda da bir değiskene
değer verme islemine rdquodeğer atamakrdquo denir
Bir değiskene atanan değer değistirilmediği suumlrece aynı kalır
Değer atamanın genel kullanımı asağıdaki biccediliminde olur
ltDeğisken adıgt=ltAtanacak değergt
32 DeğişlenlerMatlab
40
Oumlrnek 2
A=6i-7 A değişkenine skaler bir değer atar
B=A 7
B değişkenine A değişkeninin 17 si atanmıştır
C=[3 4 5 6]
4 elemanlı
bir satır vektoumlruuml
atanmıştır
NOT
Dizi girişinde herhangi bir satıra ait elemanlar aralarına boşluk veya virguumll ldquordquo konularak ayrılır
Dizinin diğer bir satırına başlamak iccedilin biten satır sonuna konulur
32 DeğişlenlerMatlab
41
oMATLABrsquoda sayılar yaygın olarak kullanılan onluk tabanda ifade edilirler
o
Bunun yanısıra onluk tabanda uumlstel olarak veya i veya j olarak kompleks sayı biccedilimlerinde de ifade edilebilirler
oOumlrnek olarak
33 Sayılar
Matlab da i
ve j
başka tuumlrluuml
tanımlanmamışsa kompleks i sayısını
goumlsterir 3e5 sayısıda 3105
anlamındadır
MATRİSLER
42
o
Ondalık sayılar Tuumlrkccedilemizdeki
35 yerine
35 şeklinde
goumlsterilir
(00001 veya 963
065 yerine 65)
o
Bilimsel
notasyon
goumlsterimi olan e
(veya E) harfi
10rsquonun kuvvetini
temsil eder
o 2e4=2104=2000 veya
165e-20=16510-20
demektir
o
Kompleks
sayılarda
imajiner
(sanal) kısımlar
i
veya
j
ekini
alır
i veya
j
ile
gosterimlerinde
bir
fark
yoktur
o (1+3i veya 1+3i veya 1+i3) 1+sqrt(3)j
-5i
o
Matlabrsquode
tuumlm
sayılar yaklaşık 210308 ve
210-308 arasında
değişir
33 Sayılar
MATRİSLER
43
Sayı
Formatları
33 SayılarMatlabMATRİSLER
44
oMatlabda bir ccedilok eylem doumlrt islem ve matematiksel bazı
islemler
yaptırabiliriz
oBunun iccedilin ya ilgili komutları
komut penceresinden teker teker girerek veya
ilgili komutları
bir dosyaya yazıp o dosyayı
ccedilağırarak ccedilalıstırabiliriz
oİşlemleri yaptırırken sayıları
reel sayı
ya da karmasık sayı
olarak alabiliriz
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
45
Matematiksel ifadeleri oluşturmak iccedilin operatoumlrler ve oumlnceden tanımlanmış sembolleri kullanabilirsiniz
oOperatoumlrler oumlzetle şunlardır
oMatrislerle yapılan işlemlerde boumllme işlemi iccedilin iki farklı
sembol kullanılmaktadıroBunun yanında eğer sayılar skaler ise iki boumllme işleminin sonucu da aynı
değeri
goumlsterecektiroOumlrneğin 32 ile 23 ifadelerinin sonuccedilları
aynı
olup 15rsquodir
raquo 4+83ndash2ans =26
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
46
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
x=a + b
Bu ifadede a ve b nin toplandığı
ve x değişkeni iccedilinde saklandığıbelirtilmektedir
47
Aritmetiksel İşlemlerde Oumlncelik Durumu
oTek bir aritmetiksel durum iccedilinde birden fazla durum bir arada bulunabildiğine goumlre
hangi işlemin oumlncelik hakkına sahip olunduğunun
bilinmelidir
oMATLABrsquoda kullanılan işlemlerde işlemlerin oumlncelik
listesi
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
bazı
temel matematiksel fonksiyonların accedilıklamaları
48
o
MATLABrsquo
da işlemler soldan sağa işlerlero
İşlemler arası
oumlncelik sırası
aşağıdaki gibidir
1 ^
(Yuumlksek)2
darr
3 + -
(Duumlşuumlk)
raquo 3^(2ndash5)-632 raquo 3^2ndash5ndash632ans = ans =
mdash39630 0
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
49
35 FonksyonlarMATRİSLER
o MATLABrsquoın ccedilok guumlccedilluuml
ve ccedilok kapsamlı
bir fonksiyon yapısı
vardır
oMATLABrsquoda bazı
fonksiyonlar daha oumlnceden yerleştirilmiş
bazıları
ise sonradan
dışarıdan yerleştirilmiş
M-dosyalarından oluşan MATLAB kuumltuumlphanelerinde
tanımlanmışlardır
oBunun yanında oumlzel uygulamalar iccedilin kullanıcıların kendi fonksiyonlarını
yazarak
kendi kuumltuumlphanelerini oluşturması
muumlmkuumlnduumlr
MATLABrsquoda mevcut analitik fonksiyonları
genel olarak aşağıdaki kategorilere ayırabiliriz oTemel matematiksel fonksiyonlaroOumlzel fonksiyonlaroTemel matrisler ve matris işlemlerioMatrisleri ccedilarpanlarına ayırmaoVeri analizlerioPolinomlaroDiferansiyel denklem ccediloumlzuumlmlerioLineer olmayan denklemler ve optimizasyonoSayısal integral hesaplamalarıoSinyal işleme
50
Matematiksel Fonksiyonlar
bazı
temel matematiksel fonksiyonların accedilıklamaları
35 FonksyonlarMATRİSLER
Oumlrnekgtgtexp(1)ans=27183gtgtfix(35)ans=3gtgtceil(35)ans=4gtgtround(35)ans=4
51
Matlabda oumlnceden tanımlanmıs bazı
sabitlerdirBunlar aşağıdaki tabloda goumlsterilmistir
36 Oumlzel SabitlerMatlab
52
Oumlrnekler
1)
a=1
2)
a=rsquoİstanbulrsquo
3)
a=5b=7c=a+b
4) a=5b=-3c=a+2ba=a+b
5)
num=23-5^2 x=num2 y=x+10
7 Sabitler Değiskenler ve Metin KatarlarıMatlab
53
Oumlrnek
Komut satırına
a)
sin(30)
b)
sin(30pi180) yazınız sonuccedilları
inceleyiniz
35 FonksyonlarMATRİSLER
Cevapa) -09880 sonucu goumlruumlluumlr ki bu 30deg
nin sinuumlsuumlnde n farklıdır Ccediluumlnkuuml
bu 30deg
derece değil 30 radyanın sinuumlsuumlduumlrb) 05000 sonucu goumlruumlluumlr ki bu da 30deg
nin sinuumlsuumld uumlr O halde bir
sayının trigonometrik değerini buldurmak iccedilin oumlnce pi ile ccedilarpıp 180 e boumllerek accedilıyı
radyan ccedilevirip sonra trigonometrik değerini
hesaplatabiliriz
54
oVektoumlrler tek boyutlu sayı
dizileridir
oElemanlarının sıralanma youmlnlerine goumlre suumltun veya satır vektoumlruuml
adlarını alırlar
ovektoumlrler [ ] koumlşeli parantezleri ile tanımlanır
ofarklı
yolla tanımlanabilirler
4 VektoumlrlerMatlab
A = [4 12 -8 6]A = [4 12 -8 6]
B = [1 2 4 6]
Satır Vektoumlruuml
Suumltun Vektoumlruumlgtgt b=[1 2 4 6 ]
55
4 VektoumlrlerMatlab
ovektoumlr boyutları
buumlyuumlduumlkccedile manuel olarak tanıtım işlemi oldukccedila zorlaşmaktadır
oOumlzellikle belli bir artıma sahip vektoumlrlerin oluşturulmasında () operatoumlruuml kullanılmaktadır
C = [-105150]
Son değerBaşlangıccedil değeri Artış
miktarı
Drsquo
= [30-10-30]
Suumltun Vektoumlruuml
56
Vektoumlr indisleri
4 VektoumlrlerMatlab
Bir vektoumlruumln elemanlarına atanılan değer değişkenler editoumlruuml
veya eleman adresi vasıtasıyla değiştirilebilir
OumlrnekA = [4 12 -8 6]1 A vektoumlruumlnuumln 3 elemanını
27 ile değiştiriniz
2 Benzer şekilde A vektoumlruumlnuumln 2 elemanını
siliniz 3 A(9) = 12
Ccediloumlzuumlm1 A(3) = 272 Vektoumlruumln elemanına [ ] değeri atandığında eleman silinirA(2) = [ ]3 gtgt A(9) = 12
A= [ 4 27 6]
A =[ 2 27 7 0 0 0 0 0 12]
57
raquo x=[17 8 61 83 56]
Şeklindeki bir matrisin uumlccediluumlncuuml
elemanına erişmek istenirse
raquo c=x(3)
c =
61
Eğer bir blok şeklinde veriye erişilmek istenirse
raquo x(24)
ans =
8 61 83
Her matristeki herhangi bir elman grubuna erişilmek istenirse
raquo x([3 1 4])
ans =
61 17 83
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
58
Bir diziye duumlzenli artıs (veya azalıs) kuralıyla değerler atanmak isteniyorsa
bunu
ilk_değerartısson değer veya ilk_değerartısson değer
biccediliminde yapabiliriz
Ancak artıs 1 ise belirtilmeyebilirOumlrnekortalama adlı
bir diziye 0 dan 5 e kadar 05 er artısla elde edilen sayı
dizisini atayanortalama=[0055]
Siz 1 satır 7 den den 17 ye kadar olan tam sayılar 2 satırı
99 dan 89 a kadar azalan tam sayılardan olusan 2 boyutlu m dizisine atayan islemleri yazınız
Dizilerin Değerlerinin Değistirilmesi ve Duumlzenlenmesi
4 VektoumlrlerMatlab
59
4 VektoumlrlerMatlab
60
Sayılardan olusan satır ve suumltun yapısına matris (dizi) denir
Oumlrneğin
d1=[5] 1x1 lik
d2=[ 2 -7] 1x2 lik
d3= [1 0 -3 ]
[ 5 3 1 ]
2x3 luumlk bir dizidir
Oumlrnekx=[1 7 18 5]Ya daraquo x=[ 1
7185 ]
Biccedilimlerinde girilebilir
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
61
Dizilerin Değerlerinin Değistirilmesi ve DuumlzenlenmesiBir dizinin herhangi bir elemanını belirlemek iccedilin dizi adından hemen sonra
parantez iccedilinde elemanın bulunduğu satır ve suumltun sayısı yazılmalıdır
Oumlrnek 1 d2=[2 -7]d2 dizisinin -7 elemanını
goumlruumlntuumllemek iccedilin
d2(12)
2 d3=[1 0 -35 3 1]d3 dizisinin 2 satır 1 suumltununda bulunan 5 in değerinin -75 olması
iccedilin
d3(21)=-75
Not1) Bir dizinin bir ccedilok elemanını
yeniden değer atamak gerekirse komut satırından atama yapmak uzun zaman alabilirBu durumda dizi değiskeninin uumlzerine ccedilift tıklayarak accedilılan dizi editoumlruuml
(array edit) yardımıyla değisiklikleri daha kolay yapabiliriz
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
62
8 Matrisler(Dizi)Matlab
Bir matrisi girerken o1 Elemanlar baştan ve sondan koumlşeli parantezlerle kapatılıro2 Elemanların arasına boşluk veya virguumll konuluro3 Matris satırlarını
ayırmak iccedilin de noktalı
virguumll kullanılır
okurallarına dikkate alınmalıdır
Oumlrneğin
A = [1 2 3 4 5 6]A =
1 2 34 5 6
şeklinde veriler matrisler biccediliminde tanımlanır MATLAB daha sonra kullanılmak uumlzere verileri A matrisinde saklar
63
Matris elemanları
rasgele rakamlardan oluşabileceği gibi MATLABrsquoın deyimlerinden de oluşabilir
51 Matrislerde ElemanlarMatlab
Oumlrneğin
a=[-13 sqrt(3) (1+2+3)475]
a= -13000 17321 48000
Kuumlccediluumlk matrisleri eleman olarak kullanıp daha buumlyuumlk matrisler oluşturmak muumlmkuumlnduumlr
OumlrneğinM=[1 3 5
7 8 9] matrisine
aşağıda goumlsterildiği şekilde bir satır eklemesi yapabilir
M=[M[10 13 15]]
Bu durumda M matrisiM=[1 3 5
7 8 910 13 15]
durumunu alır
64
İki nokta uumlst uumlste () kullanarak buumlyuumlk matrislerin belli bir kısmını
kullanabiliriz
ya da diğer ifade ile bu matrisi kuumlccediluumlltebiliriz
Oumlrneğin
M=M(12) bildirimi M matrisinin ilk iki satırını
alarak M matrisi
olarak saklar
Oumlrnek
M=[8 -4 7 66 -7 8 9 4 5 134] ise
M=M(12) =
8 1 Matrislerde ElemanlarMatlab
65
MATLABrsquoda kullanıcı
verileri kendi oluşturacağı
matrisler ile tanımlayabileceği gibi MATLABrsquoın kendi oumlzel matrislerinden de istifade edilebilir
52 Genel MatrislerMatlab
66
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
a) Sıfır Matrisi Olusturan Fonksiyon
Her elemanı sıfır olan mxn boyutunda bir matrise sıfır matrisi denir
Boumlyle bir dizi olusturmak iccedilin zeros fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=zeros(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
3x5 boyutunda s adlı
sıfır matrisi iccedilin
s=zeros(35)
52 Genel MatrislerMatlab
67
b) 1 lerden Olusan Matris
Her elemanı 1 olan mxn boyutunda bir matrisi olusturmak iccedilin ones
fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matria_adı=ones(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
2x3 boyutunda b adlı
tuumlm elemanları
1 olan matrisi olusturalım
b=ones(23)
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
52 Genel MatrislerMatlab
68
c) Birim Matrisi Olusturan Fonksiyon
Esas koumlsegeni 1 lerden diğer elemanları 0 lardan olusan kare matrise (satır
ve suumltun sayısı esit olan ) birim matrisi
kare olmayan matrise de diyagonal matris denir
Boumlyle matrisleri olusturmak iccedilin eye fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=eye(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
a)
3x3 luumlk birim matris
b) 4x3 lluumlk diyagonal matris olusturalım
Ccediloumlzuumlma) i=eye(33) b) d=eye(43)
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar52 Genel MatrislerMatlab
69
d) Rastgele Sayılardan Olusan Matris ve Fonksiyonu
Elemanları 0 ile 1 arasındaki rastgele sayılardan olusan bir matris iccedilin
rand fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=rand(mn) biccedilimindedir(msatırnsuumltun)
Not 1) Uumlretilen matrisin tuumlm elemanlarını k gibi bir sayı ile ccedilarparak
sayıları 0 ile k arasına ccedilekebiliriz
Not 2) Ondalıklı sayılardan olusmus bir matrisin elemanlarını
yuvarlayıp tam sayı yapmak iccedilin round fonksiyonunu kullanırız
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar52 Genel MatrislerMatlab
70
Oumlrnek
a) 0 ile 1 arasında rastgele sayılardan olusan 10 elemanlı
a adında bir satır
matrisi olusturalım
b) Elemanları
10 ile 50 arasında sayılardan olusan 5x3 tipinde b matrisini
olusturalım
c) Elemanları
50 ile 300 arasındaki tamsayılardan olusan 3x4 tipinde c matrisini
olusturalım
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
d) Rastgele Sayılardan Olusan Matris ve Fonksiyonu
52 Genel MatrislerMatlab
71
Ccediloumlzuumlm
a)
a=rand(110)
b)
b=10+rand(53)40
c) c=round(50+rand(34)250)
52 Genel MatrislerMatlab
72
e) Rastgele Sayılardan Olusan Normal Dağılımlı
Matris veFonksiyonu
Elemanları rasstgele sayılardan olusan bir normal dağılımlı bir matris iccedilin
randn fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=randn(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek Rastgele sayılardan olusan normal dağılımlı 2x3 luumlk bir n matrisini
olusturalım
Ccediloumlzuumlm n=randn(23)
52 Genel MatrislerMatlab
73
f) Lineer Aralıklı
(Aritmetik) Dizi ve Fonksiyonu
Baslangıccedil ve biis değerleri ve kaccedil elemandan olusacağı belirlenen diziyi
olusturmak iccedilin linspace fonksiyonu kullanılır
Kullanımı
dizi_adı=linspace(ilk_değerson_değereleman_sayısı)
biccedilimindedir
52 Genel MatrislerMatlab
74
Oumlrnek 10 ile 30 arasına 9 tane daha sayı
koyarak aadında bir aritmetik dizi olusturalım
f) Lineer Aralıklı
(Aritmetik) Dizi ve Fonksiyonu
52 Genel MatrislerMatlab
Cevapa=linspace(103011)
75
Elimizdeki grubun her elemanı iccedilin bir matematik işlemi yapıp bunu yeni bir
diziye atarken herhangi bir sorun yoktur
Fakat iki farklı grupla işlemler yaparken dikkat etmemiz gereken genel
kurallar vardır
Oumlrneğin toplama ve ccedilıkarma yaparken iki dizinin de buumlyuumlkluumlğuumlnuumln eşit
olması gerekmektedir
Ayrıca iki farklı dizinin elemanları arasında birebir işlem yapmak iccedilin
matematik operatoumlruumlnuumln başına nokta() koymak gerekir
Bu durumda her bir elemanı diğer dizinin o sıradaki elmanı ile işleme
sokacaktır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
76
Birden fazla satır ve suumltuna sahip vektoumlrlere matris denir Noktalı
virguumll ()
işareti ile kolonları
ve virguumlle işareti ya da boşluk
bırakarak da bir sıradaki elemanları
ayırabilirizOumlrnekraquo x=[ 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14]x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14Yukarıdaki 3x4 boyutunda bir matristir MATLAB programına aşağıdaki
gibi de sunulabilirraquo x=[ 3 4 5 6
7 8 9 1011 12 13 14]
x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
77
Matristeki herhangi bir elemana direk ulaşmak iccedilin aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(23)=9
Eğer isteğimiz eriştiğimiz bir elemanı
değiştirmek veya yeni bir satır eklemek ise aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(41)=1x =
3 4 5 67 8 9 1011 12 13 141 0 0 0
Bu durumda doumlrduumlncuuml
satır ilk elemanını
biz 1 değerini atadık ve diğer elemanları
kendiliğinden ldquo0rdquo
olarak atadı
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
78
İki nokta uumlst uumlste () kullanılarak belirli aralıkta değişen matrisler yaratılabilir
raquo x=[127 3-10 -12]x =
1 3 5 73 2 1 0
-1 0 1 2Bir matrisin herhangi bir boumlluumlmuumlnuuml
seccedilmek iccedilin ise aşağıdaki goumlsterim
kullanılırraquo z=x(23 12)z =
3 2-1 0
Bu durumda z matris x matrisinin 2 ve 3 norsquo
lu satırlarından 1 ve 2 norsquo
lu suumltunlarını
almış
oluyor
Herhangi bir satır veya suumltunu tamamen silmek istersek o satır ve suumltunu seccedilip ldquo[]rdquo
ifadesine eşitleriz
raquo z(2)=[ ]z =
3 -1
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
79
Matlab size ve length komutları
yardımı
ile size matrisinizin boyutlarını
soumlyler
raquo a=[ 2 3 4 5 67 8 9 10 11]
raquo s=size(a)s =
2 5
raquo b=[ 17 11 0 30 40 50]
raquo k=length(b)k =
6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
80
a) Toplama-Ccedilıkarma Bir Sayı
ile Ccedilarpma İşlemi
İki matrisi toplamak (veya ccedilıkarmak) demek matrislerin aynı
mertebedeki elemanları teker teker toplayıp (veya ccedilıkarıp ) aynı
mertebeye yazmak demektir
Bu durumda iki matrisin de aynı mertebeden olması gereği accedilıktır
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile toplamak (veya ccedilıkarmak) demek
matrisin elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla toplamak (veya
ccedilıkarmak )demektir
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile ccedilarpmak demek ise matrisin
elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla ccedilarpmak demektir
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
81
82
Oumlrnek
raquo a=[1 2 3 4 5 6]raquo b=[7 8 9 10 11 12]
a ve b toplamıraquo sum=a+bsum =
8 10 1214 16 18
arsquo
yı
brsquo
den ccedilıkarmak
raquo diff=a-bdiff =
-6 -6 -6-6 -6 -6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
83
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] ve b=[3 -3 -41 1 5] matrisleri
veriliyor
a)
c=a+b toplam matrisini
b)
d=a-b matrisini
c)
amatrisinin her elemanınının 5 eksiğine karsılık gelen e
matrisini
d) f=2a-3b matrisini bulduran islemleri yazalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
a) c=a+b b) d=a-b c) e=a-5 d) f=a+a-b-b-b veya
f=2a-3b
84
İki matrisin ccedilarpım islemi iki biccedilimde anlasılır
1)
Aynı
mertebeden iki matrisin elemanlarını
teker teker ccedilarpıp aynı
mertebeye
yazmak demektir Bunu
islemi ile gerccedileklestiririz
2) Matematiksel anlamda iki matrisi ccedilarpmak istediğimizde birinci matris mxn
tuumlruumlnde ve ikinci matris mutlaka nxp tuumlruumlnde olmalıdır yani birinci matrisin
suumltun sayısı
ikinci matrisin satır sayısına eşit olmalıdır
Bu durumda birinci matrisin i suumltun elemanları
ile ikinci matrisin j satırındaki
elemanlar karılıklı
olarak ccedilarpılır ve sonuccedillar toplanır ve bu toplam ccedilarpım
matrisinin (ij) inci mertebeye yazılır
Matrisler arası
ccedilarpma isleminin semboluuml
de dır
b) İki Matrisin Ccedilarpımı Bir Matrisin Kuvvetleri veCcedilarpma İslemi
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
85
3) Bir a matrisinin her bir elemanının n Kuvvetlerinden olusan matrisi
bulmak iccedilin a^n islemi kullanılır
4) Satır ve suumltun sayıları
esit bir kare matrisi ardısık olarak n defa
kendisiyle ccedilarparak a matrisinin n kuvvetini bulabilirizOumlrneğin a matrisinin
karesi iccedilin aa veya a^2 kuumlbuumlnuuml
buldurmak iccedilin aaa veya a^3
doumlrduumlncuuml
kuvvetini buldurmak iccedilin aaaa veya a^4
Not) Bir a matrisinin eleman -elemana ccedilarpma islemine benzer mantıkla bir matrisin tuumlm elemanlarının kareleri kuumlbleri sinuumlsleri kosinuumlsleri logaritmalarından olusan matris bulunmak istenirse bunu sırayla aa (veya a^2) aaa (veya a^3) sin(a) cos(a) etabanında logaritması
iccedilin log(a) 10 tabanında logaritmaları
iccedilin log10(a) Biccediliminde gerccedileklestirebiliriz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
86
a) a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c1 matrisi varsa bulalım
b) a matrisi ile b matrisinin ccedilarpım matrisi olan c2 varsa bulalım
c) a matrisinin elemanları
ile c matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c3 matrisi varsa bulalım
d) a matrisi ile c matrisinin ccedilarpım matrisi olan c4 varsa bulalım
e) a matrisinin elemanlarının karelerinden olusan matris ile b matrisinin
kosinuumlslerinden olusan matrisler toplamını
bulalım
f) x=[1 00 3] matrisinin i) Karesini ii) Kuumlbuumlnuuml
iii) 10
kuvvetini bulalım
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] b=[3 -3 -41 1 5] ve c=[1 0-1 23 3] matrisleri veriliyor
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
87
Ccediloumlzuumlma) iki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirBu durumda c1 matrisi tanımlıdır ve bunu c1=ab islemi ile gerccedileklestirebilirizb) iki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdırHalbuki a matrisi 2x3 b matrisi de 2x3 olduğundan bu iki matris ccedilarpılamazc) İki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirHalbuki bu matrisler aynı mertebeden olmadığından bu iki matris eleman-elemana ccedilarpma islemi
gerccedileklemezd) İki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdıra matrisi 2x3 luumlk c matrisi de 3x2 lik olduğundan bu iki matris ccedilarpılabilir ve c4 ccedilarpım matrisi 2x2 lik bir matris olurc4 ccedilarpım matrisini c4=ac islemi ile buluruze) a^2+cos(b)f) i) x^2 ii) x^3 iii) x^10
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
88
c) Bir Matrisin Devriğini (Transpozesi) Bulma İslemi
Bir matrisin satırlarını suumltun suumltunlarını satır olarak yazılmasıyla
bulunan matrise bu matrisin devriği (transpozesi) denir
Bir matrisin devriğini islemi ile bulabiliriz
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] nın devriğini buldurup d matrisine atayalım
Ccediloumlzuumlm d=a
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
89
Oumlrnek
b=[7 8 9 10 11 12] matrisinin transpozesini bulabilirmisiniz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
c=bc =
7 108 119 12
90
SORU
a=[1 2 3 4 5 6]
c= [710811912]
ise a ve crsquonin ccedilarpım matrisi
kaccediltır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
Ccedilarpma işlemi k=ack=
50 68122 167
91
SORU
a=[1 2 3 4 5 6] b=[7 8 9 10 11 12]
ise a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan x matrisini bulalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
x=abx =
7 16 2740 55 72
92
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
Aynı mertebeden iki matrisin elemanlarını teker teker boumllerek aynı
mertebeye yazılmasına iki matrisin sol boumllmesi denir ve bu islemi ile
yapılır
a b ve c aynı mertebeden kare matrisler olmak uumlzere
c=ab ise a matrisine c nin b matrisine boumlluumlmuuml denir
c boumlluumlm matrisi islemi ile yapılır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
93
HATIRLATMA
2x2 lik i2 adlı birim matrisi i2=eye(22)
3x luumlk i3 adlı birim matrisi i2=eye(33) islemi ile olusturabiiriz
Aynı mertebeden a ve b kare matrisleri iccedilin a ile b nin ccedilarpımı birim matris ise
b matrisi a matrisinin (aynı biccedilimde a matrisi de b matrisinin) ters matrisidir
Oumlrnek
3x3 luumlk bir a kare matrisinin tersini bulmak iccedilin
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
eye(33)a veya inv(a) islemini kullanırız
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
94
Bir Matrisin Determinantı
Determinant kare matrisleri bir sayıya eşleyen fonksiyondur
Determinant fonksiyonunun kare matrisi eşlediği o sayıya matrisin
determinantı denir
A matrisinin determinantı detA veya |A| biccediliminde goumlsterilir
|A| matrislerde mutlak değer anlamına gelmez |A| sıfır veya
negatif de olabilir
det(x)
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
95
KURAL
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
96
Oumlrnek
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Determinant
raquo
deter=det(x)deter =
21
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
97
Oumlrnek Inverse işlemi
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Detx=det(x)=21 ise
raquo y=inv(x)y =
821 121 -521 221
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
98
SORU
a=[2 -10 01 2 43 0 1] matrisi ile b=[1 5 41 -1 20 1 -1] matrisleri veriliyor
a)
a matrisinin elemanlarını
sırasıyla b matrisinin elemanlarına boumllerek elde
edilen matrisi b1 matrisine atayalım
b) a matrisinin ta ters matrisini bulalım
c) a ile ta matrisinin ccedilarpımının 3x3 luumlk birim matris olduğunu goumlsterelim
d) a matrisinin b matrisine boumlluumlmuumlnuuml
b2 matrisine atayalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
99
Ccediloumlzuumlm
a)
b1=ab
b) ta1=eye(33)a veya ta2=inv(a)
c) ata ==eye(33)
d) b2=ab
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
10
oMatlaba başlamanın en iyi yolu matrislerin nasıl ele alınması
gerektiğini
oumlğrenmektir
oMATLAB da bir matrix dikdoumlrtgen sayılar dizisidir
o1x1 matris scaler sayı
omx1 matris suumltun matrisi
o1xn matris satır matrisi
omxn matris m satırlık n suumltunluk matristir
1 MATLABSayısal Analiz
11
1 Program Nasıl Başlatılır
Başlat --gtTuumlm Programlar--gtMatlab
veya
Command Window Matlab
2 Program Nasıl Sonlandırılır
MATLAB Programlama dilini sonlandırmak
iccedilin
gtgt quit
yada
gtgt exit
komutları
kullanılır
1 Matlabın Genel Yapısı
MATLAB
12
MASA UumlSTUuml KOMUT PENCERESİ
Ccedilalışma DiziniCcedilalışma Alanı
Komut Geccedilmişi
Komut Satırı
MATLAB programını
ilk ccedilalıştırdığınızda karşınıza ccedilıkacak ekran aşağıdaki gibidir
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
13
Matlabı ccedilalıstırdığımızda karsımıza ana pencere gelirBu pencerede
File Edit DebugParallel Desktop Window veHelp
ana baslıkları vardır
Bu baslıklar altından diğer Windows programlarında alısılagelmis benzer islemler
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
14
Burada Desktop Desktop Layout ile Matlabın masauumlstuuml yerlesimini
duumlzenleyebilirsiniz
Oumlrneğin Default ile varsayılan goumlruumlnuumlmuumlnuuml
Command Window Only ile sadece klasik komut penceresini
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
15
Command Window Bu pencere komut penceresidir
Bu pencereden Matlab ile ilgili komutları klavyeden girer komutun
islemesini sağlamak iccedilin de Enter tusuna basılır
Komutları girdiğimiz satır gtgt ile baslar ki bu satıra komut satırı denir
EgYarıccedilapı
36 olan bir daire alanı
hesaplayalım
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
16
Bu pencere o ana kadar komut satırından girilen komutları goumlsterir
İstersek bunların birini fareyle seccediler ya da bir kaccedilını veya tuumlmuumlnuuml fare ve
asağı-yukarı youmln tusları yardımıyla seccediler ve delete tusuna basarak silebiliriz
Command History
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
17
oKomut satırından ya da ccedilalıstırılan bir dosya ya da fonksiyon ile hafızada
olusturulan değiskenlerin adlarının tiplerinin ve oumlzelliklerinin goumlruumlntuumllendiği
penceredir
oCcedilalışma Alanı
MATLABrsquoda işletilen fonksyonların veya komutların oluşturduğu
değişkenlerin depolandığı
bir merkezdir
oBoumlylelikle tuumlm değişkenlere belli bir kaynaktan ulaşılabilmektedir bu da
programlama sırasında değişkenlerin yerini belirtmeden bu değişkenleri kullanma
imkanı
sağlamaktadır
Workspace
Uumlstuumlne sağ tuş yapıp
oumlzellikler eklenebilir
egsize
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
18
Workspace
Oumlrneğin
c değiskeni 1x1 boyutunda bir matris yani sayı
b değiskeninin ise 3x2 boyutunda bir matris yani uumlccedil satır ve 2 suumltundan
olusan bir matris
nasılsın adlı değisken de 6 karakterden olusan bir karakter zinciri (string)
olduğu goumlruumlluumlr
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
Oumlrnek Command Windowrsquoa alttaki değerleri yazıp inceleyin
a = 4 b = 5 c = abnasılsın=lsquoiyidirrsquo
19
Matlab Dizi Editoumlruuml
oA değişkenine ccedilift tıklandığında Matlab Dizi Editoumlruuml
accedilılır
oBurda değişkenlerin iccedilerikleri goumlruumlntuumllenir ve değiştirilebilir
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
20
who
ccedilalışma alanında hangi değişkenler olduğu
whos
bu değişkenlerin yapıları
goumlruumllmektedir
what
komutu kullanıcı
diskinin halihazır dizininde mevcut M- dosyaları
listesini verir
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
21
clc
Komut penceresindeki satırları
silmeye yarar
clear
Hafızadaki değişkenler silinir
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
22
Matlab Ccedilalışma Dizini penceresindeki ldquo
aşağı
okrdquo
basılarak ccedilalışma dizini seccedililebilir
Current Folderrsquoda ccedilalışmak istenilern directory youmlnlendirilerek hızlı
ulaşım sağlanır
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
23
Current Folder
Matlab dosyalarının kaydedildiği yuumlklendiği dosyaların bulunduğu
klasoumlruuml
(dizin) varsayılan klasoumlr olarak belirlemeye yarar
Aksi belirtilmedikccedile bu klasoumlr CMatlab6p5work gibi bir klasoumlrduumlr
Yada save FMATLAB_UYGkatsayilar a
katsayilarmat olarak kaydedilen a matrisininmatlab kapatılıp accedilıldıktan sonra herhangi bir zamanda geri ccedilağrılmasıiccedilin
load FMATLAB_UYGkatsayilar
komut dizisi kullanılır
Command Windowa save yazılırsa değişkenler ldquomatlabmatrdquo
veri
dosyasına kaydedilmiş olur
Matlabı
kapatıp accedilalım ve matlabmatrsquoı
ccedilağıralım
(File open matlabmat)
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
Oumlrnekgtgt a=[123 579] a = 1 2 3 5 7 9
24
MATLAB Yardım
1 Komut satırına ldquohelprdquo yazılır Bu yardım sunulabilecek konuların listesini sunar
2 help fonksyon-adı
fonksyon iccedilin yardım metnini goumlruumlntuumller
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
25
Matlab MasaUumlstuuml
Yeni M- Dosyası
Dosya Accedil Help Desk
Kayıtlı
Matlab Fonksyonu kayıt dosyası(mat) modeli figuumlruuml
ve GUI arayuumlzluuml
fonksyonları
accedilar
Veri dosyalarını
accedilar
Ccedilalışma ortamını
kaydeder
Farklı
ccedilalışma dizinini Matlaba tanıtır
Matlab arayuumlzuumlnuuml
ayarlar
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
26
Başlat Duumlğmesi
Matlab araccedil
kutuları Matlab
uygulamalarına eklenti olarak
hazırlanan ve hazır fonksyonları iccedileren paketlerdir
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
27
Başlat Duumlğmesi
Start Duumlğmesi tuumlm matlab uygulamalarına accedilılan kısayolları
iccedilermektedir
Matlab Uygulamaları
iccedilin kısa yol
Araccedil
kutularıSimulinkUy
gulaması
Demolar
Veri Sihirbazı
GUI Hazırlayıcı
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
28
Matlaba Veri Alma
Programa dışarıdan resim film veri ses dosyalarını
matris formatına ccedilevirerek bir değişken olarak atamada kullanılır
File Import Data
Oumlrnek Exel dosyası
alma
Exelde bir matrix oluşturup matlabdan import ile alınız
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
29
Matlabda Temel Kavramlar
Tuumlm programlama dillerinde olduğu gibi (Fortran C Pascal Basic vs)
Matlabın da oumlzel anlam tasıyan bazı kelimeleri vardır ki bu kelimeler değisken
olarak kullanılamazlar
Bu tuumlr kelimelere anahtar kelime (keywords) denir
Bu kelimelerin bir listesini almak iccedilin komut satırına
iskeyword komutunu yazarak elde edebiliriz
Bu kelimeler
breaklsquo case catch continue else elseif endlsquo for function global
if otherwiselsquo persistent return switch try while
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
30
Programın dili ve yardım bilgileri tamamen ingilizcedir
Kuumlccediluumlk-buumlyuumlk harf ayrımı vardır
Oumlrneğin dscrite DSCRITE ve Dscrite atamaları farklı şekilde
algılanır
Eğer istenirse ldquocasesen offrdquokomutu ile bu durum sona
erdirilebilir
raquo işareti komut promptrsquoudur
Komutlar Enter ile yuumlruumltuumlluumlr
2 Matlab Kullanımında Temel Kurallar
Matlab
31
Genel komutların isimleri ve accedilıklamaları
2 Matlab Kullanımında Temel KurallarMATLAB
32
2 Matlab Kullanımında Temel KurallarMATLAB
MATLAB kontroluumlnuuml
kullanabilmeniz iccedilin oumlzel karakterlere sahiptir Bu karakterlerin bir oumlzeti
33
2 Matlab Kullanımında Temel KurallarMatlab
34
2 Matlab Kullanımında Temel KurallarMatlab
35
İFADELER Matematiksel ve metinsel goumlsterimler ile işlemler ifadelerlesağlanır
Sayılar (Numbers)Değişkenler (Variables)İşleccediller (Operators)Fonksiyonlar (Functions)
Matlabrsquode ifadeler genellikle değişken = ifade veya sadece ifade formundadır
Sayısal Analiz
x = 4 sqrt(5) İfade
değişkensayı işleccedil fonksiyon
Bir ifade = işareti ile bir değişkene atanmamış
ise Matlab otomatik olarak sonucu ans (answer)
adı
verilen oumlzel bir değişkende saklar
3 MATRİSLER
36
o
Birden
fazla ifade
tek satırda aralarına
ya da koyarak yazılabilir
o
Yazımda
boşluk
sayısı
etkisizdir
o
Sadece
ilgili
değişken
adını
yazarak
o değişkeni ccedilağırabilirsiniz
MATRİSLER31 İFADELER
37
o MATLABrsquoda herhangi bir tip tanımlaması
veya boyut ifadesine gerek yoktur
o
MATLAB yeni bir değişken ismi ile karşılaştığında otomatik olarak ans isminde
bir değişken oluşturur ve uygun bir bellek miktarı
ayırır
oEğer değişken zaten varsa MATLAB gerekli bir bellek ayırdığında iccedileriği değişir
Oumlrneğin
o ogrenci_sayı=51
32 DeğişlenlerMatlab
Değisken
değeri değisebilen bellek alanına isaret eden değerlere
38
MATLAB değişken girişleri iccedilin ccedileşitli kurallara sahiptir
Her değişken bir harfle başlamak zorundadır
Program buumlyuumlk kuumlccediluumlk harf duyarlıdır X ve x farklı değişkenleri ifade eder
Program 31 basamağa kadar duyarlıdır Bu basamaktan sonrasını yok sayar
Dolayısıyla 31 basamaktan uzun değişken isimleri karışıklık yaratabilir
32 DeğişlenlerMatlab
39
Değiskenlere Değer Atama
Her hangi bir programlama dilinde olduğu gibi Matlabrsquoda da bir değiskene
değer verme islemine rdquodeğer atamakrdquo denir
Bir değiskene atanan değer değistirilmediği suumlrece aynı kalır
Değer atamanın genel kullanımı asağıdaki biccediliminde olur
ltDeğisken adıgt=ltAtanacak değergt
32 DeğişlenlerMatlab
40
Oumlrnek 2
A=6i-7 A değişkenine skaler bir değer atar
B=A 7
B değişkenine A değişkeninin 17 si atanmıştır
C=[3 4 5 6]
4 elemanlı
bir satır vektoumlruuml
atanmıştır
NOT
Dizi girişinde herhangi bir satıra ait elemanlar aralarına boşluk veya virguumll ldquordquo konularak ayrılır
Dizinin diğer bir satırına başlamak iccedilin biten satır sonuna konulur
32 DeğişlenlerMatlab
41
oMATLABrsquoda sayılar yaygın olarak kullanılan onluk tabanda ifade edilirler
o
Bunun yanısıra onluk tabanda uumlstel olarak veya i veya j olarak kompleks sayı biccedilimlerinde de ifade edilebilirler
oOumlrnek olarak
33 Sayılar
Matlab da i
ve j
başka tuumlrluuml
tanımlanmamışsa kompleks i sayısını
goumlsterir 3e5 sayısıda 3105
anlamındadır
MATRİSLER
42
o
Ondalık sayılar Tuumlrkccedilemizdeki
35 yerine
35 şeklinde
goumlsterilir
(00001 veya 963
065 yerine 65)
o
Bilimsel
notasyon
goumlsterimi olan e
(veya E) harfi
10rsquonun kuvvetini
temsil eder
o 2e4=2104=2000 veya
165e-20=16510-20
demektir
o
Kompleks
sayılarda
imajiner
(sanal) kısımlar
i
veya
j
ekini
alır
i veya
j
ile
gosterimlerinde
bir
fark
yoktur
o (1+3i veya 1+3i veya 1+i3) 1+sqrt(3)j
-5i
o
Matlabrsquode
tuumlm
sayılar yaklaşık 210308 ve
210-308 arasında
değişir
33 Sayılar
MATRİSLER
43
Sayı
Formatları
33 SayılarMatlabMATRİSLER
44
oMatlabda bir ccedilok eylem doumlrt islem ve matematiksel bazı
islemler
yaptırabiliriz
oBunun iccedilin ya ilgili komutları
komut penceresinden teker teker girerek veya
ilgili komutları
bir dosyaya yazıp o dosyayı
ccedilağırarak ccedilalıstırabiliriz
oİşlemleri yaptırırken sayıları
reel sayı
ya da karmasık sayı
olarak alabiliriz
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
45
Matematiksel ifadeleri oluşturmak iccedilin operatoumlrler ve oumlnceden tanımlanmış sembolleri kullanabilirsiniz
oOperatoumlrler oumlzetle şunlardır
oMatrislerle yapılan işlemlerde boumllme işlemi iccedilin iki farklı
sembol kullanılmaktadıroBunun yanında eğer sayılar skaler ise iki boumllme işleminin sonucu da aynı
değeri
goumlsterecektiroOumlrneğin 32 ile 23 ifadelerinin sonuccedilları
aynı
olup 15rsquodir
raquo 4+83ndash2ans =26
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
46
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
x=a + b
Bu ifadede a ve b nin toplandığı
ve x değişkeni iccedilinde saklandığıbelirtilmektedir
47
Aritmetiksel İşlemlerde Oumlncelik Durumu
oTek bir aritmetiksel durum iccedilinde birden fazla durum bir arada bulunabildiğine goumlre
hangi işlemin oumlncelik hakkına sahip olunduğunun
bilinmelidir
oMATLABrsquoda kullanılan işlemlerde işlemlerin oumlncelik
listesi
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
bazı
temel matematiksel fonksiyonların accedilıklamaları
48
o
MATLABrsquo
da işlemler soldan sağa işlerlero
İşlemler arası
oumlncelik sırası
aşağıdaki gibidir
1 ^
(Yuumlksek)2
darr
3 + -
(Duumlşuumlk)
raquo 3^(2ndash5)-632 raquo 3^2ndash5ndash632ans = ans =
mdash39630 0
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
49
35 FonksyonlarMATRİSLER
o MATLABrsquoın ccedilok guumlccedilluuml
ve ccedilok kapsamlı
bir fonksiyon yapısı
vardır
oMATLABrsquoda bazı
fonksiyonlar daha oumlnceden yerleştirilmiş
bazıları
ise sonradan
dışarıdan yerleştirilmiş
M-dosyalarından oluşan MATLAB kuumltuumlphanelerinde
tanımlanmışlardır
oBunun yanında oumlzel uygulamalar iccedilin kullanıcıların kendi fonksiyonlarını
yazarak
kendi kuumltuumlphanelerini oluşturması
muumlmkuumlnduumlr
MATLABrsquoda mevcut analitik fonksiyonları
genel olarak aşağıdaki kategorilere ayırabiliriz oTemel matematiksel fonksiyonlaroOumlzel fonksiyonlaroTemel matrisler ve matris işlemlerioMatrisleri ccedilarpanlarına ayırmaoVeri analizlerioPolinomlaroDiferansiyel denklem ccediloumlzuumlmlerioLineer olmayan denklemler ve optimizasyonoSayısal integral hesaplamalarıoSinyal işleme
50
Matematiksel Fonksiyonlar
bazı
temel matematiksel fonksiyonların accedilıklamaları
35 FonksyonlarMATRİSLER
Oumlrnekgtgtexp(1)ans=27183gtgtfix(35)ans=3gtgtceil(35)ans=4gtgtround(35)ans=4
51
Matlabda oumlnceden tanımlanmıs bazı
sabitlerdirBunlar aşağıdaki tabloda goumlsterilmistir
36 Oumlzel SabitlerMatlab
52
Oumlrnekler
1)
a=1
2)
a=rsquoİstanbulrsquo
3)
a=5b=7c=a+b
4) a=5b=-3c=a+2ba=a+b
5)
num=23-5^2 x=num2 y=x+10
7 Sabitler Değiskenler ve Metin KatarlarıMatlab
53
Oumlrnek
Komut satırına
a)
sin(30)
b)
sin(30pi180) yazınız sonuccedilları
inceleyiniz
35 FonksyonlarMATRİSLER
Cevapa) -09880 sonucu goumlruumlluumlr ki bu 30deg
nin sinuumlsuumlnde n farklıdır Ccediluumlnkuuml
bu 30deg
derece değil 30 radyanın sinuumlsuumlduumlrb) 05000 sonucu goumlruumlluumlr ki bu da 30deg
nin sinuumlsuumld uumlr O halde bir
sayının trigonometrik değerini buldurmak iccedilin oumlnce pi ile ccedilarpıp 180 e boumllerek accedilıyı
radyan ccedilevirip sonra trigonometrik değerini
hesaplatabiliriz
54
oVektoumlrler tek boyutlu sayı
dizileridir
oElemanlarının sıralanma youmlnlerine goumlre suumltun veya satır vektoumlruuml
adlarını alırlar
ovektoumlrler [ ] koumlşeli parantezleri ile tanımlanır
ofarklı
yolla tanımlanabilirler
4 VektoumlrlerMatlab
A = [4 12 -8 6]A = [4 12 -8 6]
B = [1 2 4 6]
Satır Vektoumlruuml
Suumltun Vektoumlruumlgtgt b=[1 2 4 6 ]
55
4 VektoumlrlerMatlab
ovektoumlr boyutları
buumlyuumlduumlkccedile manuel olarak tanıtım işlemi oldukccedila zorlaşmaktadır
oOumlzellikle belli bir artıma sahip vektoumlrlerin oluşturulmasında () operatoumlruuml kullanılmaktadır
C = [-105150]
Son değerBaşlangıccedil değeri Artış
miktarı
Drsquo
= [30-10-30]
Suumltun Vektoumlruuml
56
Vektoumlr indisleri
4 VektoumlrlerMatlab
Bir vektoumlruumln elemanlarına atanılan değer değişkenler editoumlruuml
veya eleman adresi vasıtasıyla değiştirilebilir
OumlrnekA = [4 12 -8 6]1 A vektoumlruumlnuumln 3 elemanını
27 ile değiştiriniz
2 Benzer şekilde A vektoumlruumlnuumln 2 elemanını
siliniz 3 A(9) = 12
Ccediloumlzuumlm1 A(3) = 272 Vektoumlruumln elemanına [ ] değeri atandığında eleman silinirA(2) = [ ]3 gtgt A(9) = 12
A= [ 4 27 6]
A =[ 2 27 7 0 0 0 0 0 12]
57
raquo x=[17 8 61 83 56]
Şeklindeki bir matrisin uumlccediluumlncuuml
elemanına erişmek istenirse
raquo c=x(3)
c =
61
Eğer bir blok şeklinde veriye erişilmek istenirse
raquo x(24)
ans =
8 61 83
Her matristeki herhangi bir elman grubuna erişilmek istenirse
raquo x([3 1 4])
ans =
61 17 83
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
58
Bir diziye duumlzenli artıs (veya azalıs) kuralıyla değerler atanmak isteniyorsa
bunu
ilk_değerartısson değer veya ilk_değerartısson değer
biccediliminde yapabiliriz
Ancak artıs 1 ise belirtilmeyebilirOumlrnekortalama adlı
bir diziye 0 dan 5 e kadar 05 er artısla elde edilen sayı
dizisini atayanortalama=[0055]
Siz 1 satır 7 den den 17 ye kadar olan tam sayılar 2 satırı
99 dan 89 a kadar azalan tam sayılardan olusan 2 boyutlu m dizisine atayan islemleri yazınız
Dizilerin Değerlerinin Değistirilmesi ve Duumlzenlenmesi
4 VektoumlrlerMatlab
59
4 VektoumlrlerMatlab
60
Sayılardan olusan satır ve suumltun yapısına matris (dizi) denir
Oumlrneğin
d1=[5] 1x1 lik
d2=[ 2 -7] 1x2 lik
d3= [1 0 -3 ]
[ 5 3 1 ]
2x3 luumlk bir dizidir
Oumlrnekx=[1 7 18 5]Ya daraquo x=[ 1
7185 ]
Biccedilimlerinde girilebilir
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
61
Dizilerin Değerlerinin Değistirilmesi ve DuumlzenlenmesiBir dizinin herhangi bir elemanını belirlemek iccedilin dizi adından hemen sonra
parantez iccedilinde elemanın bulunduğu satır ve suumltun sayısı yazılmalıdır
Oumlrnek 1 d2=[2 -7]d2 dizisinin -7 elemanını
goumlruumlntuumllemek iccedilin
d2(12)
2 d3=[1 0 -35 3 1]d3 dizisinin 2 satır 1 suumltununda bulunan 5 in değerinin -75 olması
iccedilin
d3(21)=-75
Not1) Bir dizinin bir ccedilok elemanını
yeniden değer atamak gerekirse komut satırından atama yapmak uzun zaman alabilirBu durumda dizi değiskeninin uumlzerine ccedilift tıklayarak accedilılan dizi editoumlruuml
(array edit) yardımıyla değisiklikleri daha kolay yapabiliriz
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
62
8 Matrisler(Dizi)Matlab
Bir matrisi girerken o1 Elemanlar baştan ve sondan koumlşeli parantezlerle kapatılıro2 Elemanların arasına boşluk veya virguumll konuluro3 Matris satırlarını
ayırmak iccedilin de noktalı
virguumll kullanılır
okurallarına dikkate alınmalıdır
Oumlrneğin
A = [1 2 3 4 5 6]A =
1 2 34 5 6
şeklinde veriler matrisler biccediliminde tanımlanır MATLAB daha sonra kullanılmak uumlzere verileri A matrisinde saklar
63
Matris elemanları
rasgele rakamlardan oluşabileceği gibi MATLABrsquoın deyimlerinden de oluşabilir
51 Matrislerde ElemanlarMatlab
Oumlrneğin
a=[-13 sqrt(3) (1+2+3)475]
a= -13000 17321 48000
Kuumlccediluumlk matrisleri eleman olarak kullanıp daha buumlyuumlk matrisler oluşturmak muumlmkuumlnduumlr
OumlrneğinM=[1 3 5
7 8 9] matrisine
aşağıda goumlsterildiği şekilde bir satır eklemesi yapabilir
M=[M[10 13 15]]
Bu durumda M matrisiM=[1 3 5
7 8 910 13 15]
durumunu alır
64
İki nokta uumlst uumlste () kullanarak buumlyuumlk matrislerin belli bir kısmını
kullanabiliriz
ya da diğer ifade ile bu matrisi kuumlccediluumlltebiliriz
Oumlrneğin
M=M(12) bildirimi M matrisinin ilk iki satırını
alarak M matrisi
olarak saklar
Oumlrnek
M=[8 -4 7 66 -7 8 9 4 5 134] ise
M=M(12) =
8 1 Matrislerde ElemanlarMatlab
65
MATLABrsquoda kullanıcı
verileri kendi oluşturacağı
matrisler ile tanımlayabileceği gibi MATLABrsquoın kendi oumlzel matrislerinden de istifade edilebilir
52 Genel MatrislerMatlab
66
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
a) Sıfır Matrisi Olusturan Fonksiyon
Her elemanı sıfır olan mxn boyutunda bir matrise sıfır matrisi denir
Boumlyle bir dizi olusturmak iccedilin zeros fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=zeros(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
3x5 boyutunda s adlı
sıfır matrisi iccedilin
s=zeros(35)
52 Genel MatrislerMatlab
67
b) 1 lerden Olusan Matris
Her elemanı 1 olan mxn boyutunda bir matrisi olusturmak iccedilin ones
fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matria_adı=ones(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
2x3 boyutunda b adlı
tuumlm elemanları
1 olan matrisi olusturalım
b=ones(23)
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
52 Genel MatrislerMatlab
68
c) Birim Matrisi Olusturan Fonksiyon
Esas koumlsegeni 1 lerden diğer elemanları 0 lardan olusan kare matrise (satır
ve suumltun sayısı esit olan ) birim matrisi
kare olmayan matrise de diyagonal matris denir
Boumlyle matrisleri olusturmak iccedilin eye fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=eye(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
a)
3x3 luumlk birim matris
b) 4x3 lluumlk diyagonal matris olusturalım
Ccediloumlzuumlma) i=eye(33) b) d=eye(43)
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar52 Genel MatrislerMatlab
69
d) Rastgele Sayılardan Olusan Matris ve Fonksiyonu
Elemanları 0 ile 1 arasındaki rastgele sayılardan olusan bir matris iccedilin
rand fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=rand(mn) biccedilimindedir(msatırnsuumltun)
Not 1) Uumlretilen matrisin tuumlm elemanlarını k gibi bir sayı ile ccedilarparak
sayıları 0 ile k arasına ccedilekebiliriz
Not 2) Ondalıklı sayılardan olusmus bir matrisin elemanlarını
yuvarlayıp tam sayı yapmak iccedilin round fonksiyonunu kullanırız
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar52 Genel MatrislerMatlab
70
Oumlrnek
a) 0 ile 1 arasında rastgele sayılardan olusan 10 elemanlı
a adında bir satır
matrisi olusturalım
b) Elemanları
10 ile 50 arasında sayılardan olusan 5x3 tipinde b matrisini
olusturalım
c) Elemanları
50 ile 300 arasındaki tamsayılardan olusan 3x4 tipinde c matrisini
olusturalım
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
d) Rastgele Sayılardan Olusan Matris ve Fonksiyonu
52 Genel MatrislerMatlab
71
Ccediloumlzuumlm
a)
a=rand(110)
b)
b=10+rand(53)40
c) c=round(50+rand(34)250)
52 Genel MatrislerMatlab
72
e) Rastgele Sayılardan Olusan Normal Dağılımlı
Matris veFonksiyonu
Elemanları rasstgele sayılardan olusan bir normal dağılımlı bir matris iccedilin
randn fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=randn(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek Rastgele sayılardan olusan normal dağılımlı 2x3 luumlk bir n matrisini
olusturalım
Ccediloumlzuumlm n=randn(23)
52 Genel MatrislerMatlab
73
f) Lineer Aralıklı
(Aritmetik) Dizi ve Fonksiyonu
Baslangıccedil ve biis değerleri ve kaccedil elemandan olusacağı belirlenen diziyi
olusturmak iccedilin linspace fonksiyonu kullanılır
Kullanımı
dizi_adı=linspace(ilk_değerson_değereleman_sayısı)
biccedilimindedir
52 Genel MatrislerMatlab
74
Oumlrnek 10 ile 30 arasına 9 tane daha sayı
koyarak aadında bir aritmetik dizi olusturalım
f) Lineer Aralıklı
(Aritmetik) Dizi ve Fonksiyonu
52 Genel MatrislerMatlab
Cevapa=linspace(103011)
75
Elimizdeki grubun her elemanı iccedilin bir matematik işlemi yapıp bunu yeni bir
diziye atarken herhangi bir sorun yoktur
Fakat iki farklı grupla işlemler yaparken dikkat etmemiz gereken genel
kurallar vardır
Oumlrneğin toplama ve ccedilıkarma yaparken iki dizinin de buumlyuumlkluumlğuumlnuumln eşit
olması gerekmektedir
Ayrıca iki farklı dizinin elemanları arasında birebir işlem yapmak iccedilin
matematik operatoumlruumlnuumln başına nokta() koymak gerekir
Bu durumda her bir elemanı diğer dizinin o sıradaki elmanı ile işleme
sokacaktır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
76
Birden fazla satır ve suumltuna sahip vektoumlrlere matris denir Noktalı
virguumll ()
işareti ile kolonları
ve virguumlle işareti ya da boşluk
bırakarak da bir sıradaki elemanları
ayırabilirizOumlrnekraquo x=[ 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14]x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14Yukarıdaki 3x4 boyutunda bir matristir MATLAB programına aşağıdaki
gibi de sunulabilirraquo x=[ 3 4 5 6
7 8 9 1011 12 13 14]
x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
77
Matristeki herhangi bir elemana direk ulaşmak iccedilin aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(23)=9
Eğer isteğimiz eriştiğimiz bir elemanı
değiştirmek veya yeni bir satır eklemek ise aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(41)=1x =
3 4 5 67 8 9 1011 12 13 141 0 0 0
Bu durumda doumlrduumlncuuml
satır ilk elemanını
biz 1 değerini atadık ve diğer elemanları
kendiliğinden ldquo0rdquo
olarak atadı
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
78
İki nokta uumlst uumlste () kullanılarak belirli aralıkta değişen matrisler yaratılabilir
raquo x=[127 3-10 -12]x =
1 3 5 73 2 1 0
-1 0 1 2Bir matrisin herhangi bir boumlluumlmuumlnuuml
seccedilmek iccedilin ise aşağıdaki goumlsterim
kullanılırraquo z=x(23 12)z =
3 2-1 0
Bu durumda z matris x matrisinin 2 ve 3 norsquo
lu satırlarından 1 ve 2 norsquo
lu suumltunlarını
almış
oluyor
Herhangi bir satır veya suumltunu tamamen silmek istersek o satır ve suumltunu seccedilip ldquo[]rdquo
ifadesine eşitleriz
raquo z(2)=[ ]z =
3 -1
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
79
Matlab size ve length komutları
yardımı
ile size matrisinizin boyutlarını
soumlyler
raquo a=[ 2 3 4 5 67 8 9 10 11]
raquo s=size(a)s =
2 5
raquo b=[ 17 11 0 30 40 50]
raquo k=length(b)k =
6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
80
a) Toplama-Ccedilıkarma Bir Sayı
ile Ccedilarpma İşlemi
İki matrisi toplamak (veya ccedilıkarmak) demek matrislerin aynı
mertebedeki elemanları teker teker toplayıp (veya ccedilıkarıp ) aynı
mertebeye yazmak demektir
Bu durumda iki matrisin de aynı mertebeden olması gereği accedilıktır
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile toplamak (veya ccedilıkarmak) demek
matrisin elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla toplamak (veya
ccedilıkarmak )demektir
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile ccedilarpmak demek ise matrisin
elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla ccedilarpmak demektir
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
81
82
Oumlrnek
raquo a=[1 2 3 4 5 6]raquo b=[7 8 9 10 11 12]
a ve b toplamıraquo sum=a+bsum =
8 10 1214 16 18
arsquo
yı
brsquo
den ccedilıkarmak
raquo diff=a-bdiff =
-6 -6 -6-6 -6 -6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
83
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] ve b=[3 -3 -41 1 5] matrisleri
veriliyor
a)
c=a+b toplam matrisini
b)
d=a-b matrisini
c)
amatrisinin her elemanınının 5 eksiğine karsılık gelen e
matrisini
d) f=2a-3b matrisini bulduran islemleri yazalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
a) c=a+b b) d=a-b c) e=a-5 d) f=a+a-b-b-b veya
f=2a-3b
84
İki matrisin ccedilarpım islemi iki biccedilimde anlasılır
1)
Aynı
mertebeden iki matrisin elemanlarını
teker teker ccedilarpıp aynı
mertebeye
yazmak demektir Bunu
islemi ile gerccedileklestiririz
2) Matematiksel anlamda iki matrisi ccedilarpmak istediğimizde birinci matris mxn
tuumlruumlnde ve ikinci matris mutlaka nxp tuumlruumlnde olmalıdır yani birinci matrisin
suumltun sayısı
ikinci matrisin satır sayısına eşit olmalıdır
Bu durumda birinci matrisin i suumltun elemanları
ile ikinci matrisin j satırındaki
elemanlar karılıklı
olarak ccedilarpılır ve sonuccedillar toplanır ve bu toplam ccedilarpım
matrisinin (ij) inci mertebeye yazılır
Matrisler arası
ccedilarpma isleminin semboluuml
de dır
b) İki Matrisin Ccedilarpımı Bir Matrisin Kuvvetleri veCcedilarpma İslemi
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
85
3) Bir a matrisinin her bir elemanının n Kuvvetlerinden olusan matrisi
bulmak iccedilin a^n islemi kullanılır
4) Satır ve suumltun sayıları
esit bir kare matrisi ardısık olarak n defa
kendisiyle ccedilarparak a matrisinin n kuvvetini bulabilirizOumlrneğin a matrisinin
karesi iccedilin aa veya a^2 kuumlbuumlnuuml
buldurmak iccedilin aaa veya a^3
doumlrduumlncuuml
kuvvetini buldurmak iccedilin aaaa veya a^4
Not) Bir a matrisinin eleman -elemana ccedilarpma islemine benzer mantıkla bir matrisin tuumlm elemanlarının kareleri kuumlbleri sinuumlsleri kosinuumlsleri logaritmalarından olusan matris bulunmak istenirse bunu sırayla aa (veya a^2) aaa (veya a^3) sin(a) cos(a) etabanında logaritması
iccedilin log(a) 10 tabanında logaritmaları
iccedilin log10(a) Biccediliminde gerccedileklestirebiliriz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
86
a) a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c1 matrisi varsa bulalım
b) a matrisi ile b matrisinin ccedilarpım matrisi olan c2 varsa bulalım
c) a matrisinin elemanları
ile c matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c3 matrisi varsa bulalım
d) a matrisi ile c matrisinin ccedilarpım matrisi olan c4 varsa bulalım
e) a matrisinin elemanlarının karelerinden olusan matris ile b matrisinin
kosinuumlslerinden olusan matrisler toplamını
bulalım
f) x=[1 00 3] matrisinin i) Karesini ii) Kuumlbuumlnuuml
iii) 10
kuvvetini bulalım
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] b=[3 -3 -41 1 5] ve c=[1 0-1 23 3] matrisleri veriliyor
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
87
Ccediloumlzuumlma) iki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirBu durumda c1 matrisi tanımlıdır ve bunu c1=ab islemi ile gerccedileklestirebilirizb) iki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdırHalbuki a matrisi 2x3 b matrisi de 2x3 olduğundan bu iki matris ccedilarpılamazc) İki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirHalbuki bu matrisler aynı mertebeden olmadığından bu iki matris eleman-elemana ccedilarpma islemi
gerccedileklemezd) İki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdıra matrisi 2x3 luumlk c matrisi de 3x2 lik olduğundan bu iki matris ccedilarpılabilir ve c4 ccedilarpım matrisi 2x2 lik bir matris olurc4 ccedilarpım matrisini c4=ac islemi ile buluruze) a^2+cos(b)f) i) x^2 ii) x^3 iii) x^10
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
88
c) Bir Matrisin Devriğini (Transpozesi) Bulma İslemi
Bir matrisin satırlarını suumltun suumltunlarını satır olarak yazılmasıyla
bulunan matrise bu matrisin devriği (transpozesi) denir
Bir matrisin devriğini islemi ile bulabiliriz
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] nın devriğini buldurup d matrisine atayalım
Ccediloumlzuumlm d=a
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
89
Oumlrnek
b=[7 8 9 10 11 12] matrisinin transpozesini bulabilirmisiniz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
c=bc =
7 108 119 12
90
SORU
a=[1 2 3 4 5 6]
c= [710811912]
ise a ve crsquonin ccedilarpım matrisi
kaccediltır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
Ccedilarpma işlemi k=ack=
50 68122 167
91
SORU
a=[1 2 3 4 5 6] b=[7 8 9 10 11 12]
ise a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan x matrisini bulalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
x=abx =
7 16 2740 55 72
92
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
Aynı mertebeden iki matrisin elemanlarını teker teker boumllerek aynı
mertebeye yazılmasına iki matrisin sol boumllmesi denir ve bu islemi ile
yapılır
a b ve c aynı mertebeden kare matrisler olmak uumlzere
c=ab ise a matrisine c nin b matrisine boumlluumlmuuml denir
c boumlluumlm matrisi islemi ile yapılır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
93
HATIRLATMA
2x2 lik i2 adlı birim matrisi i2=eye(22)
3x luumlk i3 adlı birim matrisi i2=eye(33) islemi ile olusturabiiriz
Aynı mertebeden a ve b kare matrisleri iccedilin a ile b nin ccedilarpımı birim matris ise
b matrisi a matrisinin (aynı biccedilimde a matrisi de b matrisinin) ters matrisidir
Oumlrnek
3x3 luumlk bir a kare matrisinin tersini bulmak iccedilin
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
eye(33)a veya inv(a) islemini kullanırız
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
94
Bir Matrisin Determinantı
Determinant kare matrisleri bir sayıya eşleyen fonksiyondur
Determinant fonksiyonunun kare matrisi eşlediği o sayıya matrisin
determinantı denir
A matrisinin determinantı detA veya |A| biccediliminde goumlsterilir
|A| matrislerde mutlak değer anlamına gelmez |A| sıfır veya
negatif de olabilir
det(x)
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
95
KURAL
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
96
Oumlrnek
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Determinant
raquo
deter=det(x)deter =
21
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
97
Oumlrnek Inverse işlemi
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Detx=det(x)=21 ise
raquo y=inv(x)y =
821 121 -521 221
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
98
SORU
a=[2 -10 01 2 43 0 1] matrisi ile b=[1 5 41 -1 20 1 -1] matrisleri veriliyor
a)
a matrisinin elemanlarını
sırasıyla b matrisinin elemanlarına boumllerek elde
edilen matrisi b1 matrisine atayalım
b) a matrisinin ta ters matrisini bulalım
c) a ile ta matrisinin ccedilarpımının 3x3 luumlk birim matris olduğunu goumlsterelim
d) a matrisinin b matrisine boumlluumlmuumlnuuml
b2 matrisine atayalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
99
Ccediloumlzuumlm
a)
b1=ab
b) ta1=eye(33)a veya ta2=inv(a)
c) ata ==eye(33)
d) b2=ab
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
11
1 Program Nasıl Başlatılır
Başlat --gtTuumlm Programlar--gtMatlab
veya
Command Window Matlab
2 Program Nasıl Sonlandırılır
MATLAB Programlama dilini sonlandırmak
iccedilin
gtgt quit
yada
gtgt exit
komutları
kullanılır
1 Matlabın Genel Yapısı
MATLAB
12
MASA UumlSTUuml KOMUT PENCERESİ
Ccedilalışma DiziniCcedilalışma Alanı
Komut Geccedilmişi
Komut Satırı
MATLAB programını
ilk ccedilalıştırdığınızda karşınıza ccedilıkacak ekran aşağıdaki gibidir
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
13
Matlabı ccedilalıstırdığımızda karsımıza ana pencere gelirBu pencerede
File Edit DebugParallel Desktop Window veHelp
ana baslıkları vardır
Bu baslıklar altından diğer Windows programlarında alısılagelmis benzer islemler
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
14
Burada Desktop Desktop Layout ile Matlabın masauumlstuuml yerlesimini
duumlzenleyebilirsiniz
Oumlrneğin Default ile varsayılan goumlruumlnuumlmuumlnuuml
Command Window Only ile sadece klasik komut penceresini
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
15
Command Window Bu pencere komut penceresidir
Bu pencereden Matlab ile ilgili komutları klavyeden girer komutun
islemesini sağlamak iccedilin de Enter tusuna basılır
Komutları girdiğimiz satır gtgt ile baslar ki bu satıra komut satırı denir
EgYarıccedilapı
36 olan bir daire alanı
hesaplayalım
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
16
Bu pencere o ana kadar komut satırından girilen komutları goumlsterir
İstersek bunların birini fareyle seccediler ya da bir kaccedilını veya tuumlmuumlnuuml fare ve
asağı-yukarı youmln tusları yardımıyla seccediler ve delete tusuna basarak silebiliriz
Command History
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
17
oKomut satırından ya da ccedilalıstırılan bir dosya ya da fonksiyon ile hafızada
olusturulan değiskenlerin adlarının tiplerinin ve oumlzelliklerinin goumlruumlntuumllendiği
penceredir
oCcedilalışma Alanı
MATLABrsquoda işletilen fonksyonların veya komutların oluşturduğu
değişkenlerin depolandığı
bir merkezdir
oBoumlylelikle tuumlm değişkenlere belli bir kaynaktan ulaşılabilmektedir bu da
programlama sırasında değişkenlerin yerini belirtmeden bu değişkenleri kullanma
imkanı
sağlamaktadır
Workspace
Uumlstuumlne sağ tuş yapıp
oumlzellikler eklenebilir
egsize
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
18
Workspace
Oumlrneğin
c değiskeni 1x1 boyutunda bir matris yani sayı
b değiskeninin ise 3x2 boyutunda bir matris yani uumlccedil satır ve 2 suumltundan
olusan bir matris
nasılsın adlı değisken de 6 karakterden olusan bir karakter zinciri (string)
olduğu goumlruumlluumlr
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
Oumlrnek Command Windowrsquoa alttaki değerleri yazıp inceleyin
a = 4 b = 5 c = abnasılsın=lsquoiyidirrsquo
19
Matlab Dizi Editoumlruuml
oA değişkenine ccedilift tıklandığında Matlab Dizi Editoumlruuml
accedilılır
oBurda değişkenlerin iccedilerikleri goumlruumlntuumllenir ve değiştirilebilir
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
20
who
ccedilalışma alanında hangi değişkenler olduğu
whos
bu değişkenlerin yapıları
goumlruumllmektedir
what
komutu kullanıcı
diskinin halihazır dizininde mevcut M- dosyaları
listesini verir
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
21
clc
Komut penceresindeki satırları
silmeye yarar
clear
Hafızadaki değişkenler silinir
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
22
Matlab Ccedilalışma Dizini penceresindeki ldquo
aşağı
okrdquo
basılarak ccedilalışma dizini seccedililebilir
Current Folderrsquoda ccedilalışmak istenilern directory youmlnlendirilerek hızlı
ulaşım sağlanır
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
23
Current Folder
Matlab dosyalarının kaydedildiği yuumlklendiği dosyaların bulunduğu
klasoumlruuml
(dizin) varsayılan klasoumlr olarak belirlemeye yarar
Aksi belirtilmedikccedile bu klasoumlr CMatlab6p5work gibi bir klasoumlrduumlr
Yada save FMATLAB_UYGkatsayilar a
katsayilarmat olarak kaydedilen a matrisininmatlab kapatılıp accedilıldıktan sonra herhangi bir zamanda geri ccedilağrılmasıiccedilin
load FMATLAB_UYGkatsayilar
komut dizisi kullanılır
Command Windowa save yazılırsa değişkenler ldquomatlabmatrdquo
veri
dosyasına kaydedilmiş olur
Matlabı
kapatıp accedilalım ve matlabmatrsquoı
ccedilağıralım
(File open matlabmat)
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
Oumlrnekgtgt a=[123 579] a = 1 2 3 5 7 9
24
MATLAB Yardım
1 Komut satırına ldquohelprdquo yazılır Bu yardım sunulabilecek konuların listesini sunar
2 help fonksyon-adı
fonksyon iccedilin yardım metnini goumlruumlntuumller
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
25
Matlab MasaUumlstuuml
Yeni M- Dosyası
Dosya Accedil Help Desk
Kayıtlı
Matlab Fonksyonu kayıt dosyası(mat) modeli figuumlruuml
ve GUI arayuumlzluuml
fonksyonları
accedilar
Veri dosyalarını
accedilar
Ccedilalışma ortamını
kaydeder
Farklı
ccedilalışma dizinini Matlaba tanıtır
Matlab arayuumlzuumlnuuml
ayarlar
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
26
Başlat Duumlğmesi
Matlab araccedil
kutuları Matlab
uygulamalarına eklenti olarak
hazırlanan ve hazır fonksyonları iccedileren paketlerdir
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
27
Başlat Duumlğmesi
Start Duumlğmesi tuumlm matlab uygulamalarına accedilılan kısayolları
iccedilermektedir
Matlab Uygulamaları
iccedilin kısa yol
Araccedil
kutularıSimulinkUy
gulaması
Demolar
Veri Sihirbazı
GUI Hazırlayıcı
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
28
Matlaba Veri Alma
Programa dışarıdan resim film veri ses dosyalarını
matris formatına ccedilevirerek bir değişken olarak atamada kullanılır
File Import Data
Oumlrnek Exel dosyası
alma
Exelde bir matrix oluşturup matlabdan import ile alınız
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
29
Matlabda Temel Kavramlar
Tuumlm programlama dillerinde olduğu gibi (Fortran C Pascal Basic vs)
Matlabın da oumlzel anlam tasıyan bazı kelimeleri vardır ki bu kelimeler değisken
olarak kullanılamazlar
Bu tuumlr kelimelere anahtar kelime (keywords) denir
Bu kelimelerin bir listesini almak iccedilin komut satırına
iskeyword komutunu yazarak elde edebiliriz
Bu kelimeler
breaklsquo case catch continue else elseif endlsquo for function global
if otherwiselsquo persistent return switch try while
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
30
Programın dili ve yardım bilgileri tamamen ingilizcedir
Kuumlccediluumlk-buumlyuumlk harf ayrımı vardır
Oumlrneğin dscrite DSCRITE ve Dscrite atamaları farklı şekilde
algılanır
Eğer istenirse ldquocasesen offrdquokomutu ile bu durum sona
erdirilebilir
raquo işareti komut promptrsquoudur
Komutlar Enter ile yuumlruumltuumlluumlr
2 Matlab Kullanımında Temel Kurallar
Matlab
31
Genel komutların isimleri ve accedilıklamaları
2 Matlab Kullanımında Temel KurallarMATLAB
32
2 Matlab Kullanımında Temel KurallarMATLAB
MATLAB kontroluumlnuuml
kullanabilmeniz iccedilin oumlzel karakterlere sahiptir Bu karakterlerin bir oumlzeti
33
2 Matlab Kullanımında Temel KurallarMatlab
34
2 Matlab Kullanımında Temel KurallarMatlab
35
İFADELER Matematiksel ve metinsel goumlsterimler ile işlemler ifadelerlesağlanır
Sayılar (Numbers)Değişkenler (Variables)İşleccediller (Operators)Fonksiyonlar (Functions)
Matlabrsquode ifadeler genellikle değişken = ifade veya sadece ifade formundadır
Sayısal Analiz
x = 4 sqrt(5) İfade
değişkensayı işleccedil fonksiyon
Bir ifade = işareti ile bir değişkene atanmamış
ise Matlab otomatik olarak sonucu ans (answer)
adı
verilen oumlzel bir değişkende saklar
3 MATRİSLER
36
o
Birden
fazla ifade
tek satırda aralarına
ya da koyarak yazılabilir
o
Yazımda
boşluk
sayısı
etkisizdir
o
Sadece
ilgili
değişken
adını
yazarak
o değişkeni ccedilağırabilirsiniz
MATRİSLER31 İFADELER
37
o MATLABrsquoda herhangi bir tip tanımlaması
veya boyut ifadesine gerek yoktur
o
MATLAB yeni bir değişken ismi ile karşılaştığında otomatik olarak ans isminde
bir değişken oluşturur ve uygun bir bellek miktarı
ayırır
oEğer değişken zaten varsa MATLAB gerekli bir bellek ayırdığında iccedileriği değişir
Oumlrneğin
o ogrenci_sayı=51
32 DeğişlenlerMatlab
Değisken
değeri değisebilen bellek alanına isaret eden değerlere
38
MATLAB değişken girişleri iccedilin ccedileşitli kurallara sahiptir
Her değişken bir harfle başlamak zorundadır
Program buumlyuumlk kuumlccediluumlk harf duyarlıdır X ve x farklı değişkenleri ifade eder
Program 31 basamağa kadar duyarlıdır Bu basamaktan sonrasını yok sayar
Dolayısıyla 31 basamaktan uzun değişken isimleri karışıklık yaratabilir
32 DeğişlenlerMatlab
39
Değiskenlere Değer Atama
Her hangi bir programlama dilinde olduğu gibi Matlabrsquoda da bir değiskene
değer verme islemine rdquodeğer atamakrdquo denir
Bir değiskene atanan değer değistirilmediği suumlrece aynı kalır
Değer atamanın genel kullanımı asağıdaki biccediliminde olur
ltDeğisken adıgt=ltAtanacak değergt
32 DeğişlenlerMatlab
40
Oumlrnek 2
A=6i-7 A değişkenine skaler bir değer atar
B=A 7
B değişkenine A değişkeninin 17 si atanmıştır
C=[3 4 5 6]
4 elemanlı
bir satır vektoumlruuml
atanmıştır
NOT
Dizi girişinde herhangi bir satıra ait elemanlar aralarına boşluk veya virguumll ldquordquo konularak ayrılır
Dizinin diğer bir satırına başlamak iccedilin biten satır sonuna konulur
32 DeğişlenlerMatlab
41
oMATLABrsquoda sayılar yaygın olarak kullanılan onluk tabanda ifade edilirler
o
Bunun yanısıra onluk tabanda uumlstel olarak veya i veya j olarak kompleks sayı biccedilimlerinde de ifade edilebilirler
oOumlrnek olarak
33 Sayılar
Matlab da i
ve j
başka tuumlrluuml
tanımlanmamışsa kompleks i sayısını
goumlsterir 3e5 sayısıda 3105
anlamındadır
MATRİSLER
42
o
Ondalık sayılar Tuumlrkccedilemizdeki
35 yerine
35 şeklinde
goumlsterilir
(00001 veya 963
065 yerine 65)
o
Bilimsel
notasyon
goumlsterimi olan e
(veya E) harfi
10rsquonun kuvvetini
temsil eder
o 2e4=2104=2000 veya
165e-20=16510-20
demektir
o
Kompleks
sayılarda
imajiner
(sanal) kısımlar
i
veya
j
ekini
alır
i veya
j
ile
gosterimlerinde
bir
fark
yoktur
o (1+3i veya 1+3i veya 1+i3) 1+sqrt(3)j
-5i
o
Matlabrsquode
tuumlm
sayılar yaklaşık 210308 ve
210-308 arasında
değişir
33 Sayılar
MATRİSLER
43
Sayı
Formatları
33 SayılarMatlabMATRİSLER
44
oMatlabda bir ccedilok eylem doumlrt islem ve matematiksel bazı
islemler
yaptırabiliriz
oBunun iccedilin ya ilgili komutları
komut penceresinden teker teker girerek veya
ilgili komutları
bir dosyaya yazıp o dosyayı
ccedilağırarak ccedilalıstırabiliriz
oİşlemleri yaptırırken sayıları
reel sayı
ya da karmasık sayı
olarak alabiliriz
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
45
Matematiksel ifadeleri oluşturmak iccedilin operatoumlrler ve oumlnceden tanımlanmış sembolleri kullanabilirsiniz
oOperatoumlrler oumlzetle şunlardır
oMatrislerle yapılan işlemlerde boumllme işlemi iccedilin iki farklı
sembol kullanılmaktadıroBunun yanında eğer sayılar skaler ise iki boumllme işleminin sonucu da aynı
değeri
goumlsterecektiroOumlrneğin 32 ile 23 ifadelerinin sonuccedilları
aynı
olup 15rsquodir
raquo 4+83ndash2ans =26
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
46
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
x=a + b
Bu ifadede a ve b nin toplandığı
ve x değişkeni iccedilinde saklandığıbelirtilmektedir
47
Aritmetiksel İşlemlerde Oumlncelik Durumu
oTek bir aritmetiksel durum iccedilinde birden fazla durum bir arada bulunabildiğine goumlre
hangi işlemin oumlncelik hakkına sahip olunduğunun
bilinmelidir
oMATLABrsquoda kullanılan işlemlerde işlemlerin oumlncelik
listesi
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
bazı
temel matematiksel fonksiyonların accedilıklamaları
48
o
MATLABrsquo
da işlemler soldan sağa işlerlero
İşlemler arası
oumlncelik sırası
aşağıdaki gibidir
1 ^
(Yuumlksek)2
darr
3 + -
(Duumlşuumlk)
raquo 3^(2ndash5)-632 raquo 3^2ndash5ndash632ans = ans =
mdash39630 0
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
49
35 FonksyonlarMATRİSLER
o MATLABrsquoın ccedilok guumlccedilluuml
ve ccedilok kapsamlı
bir fonksiyon yapısı
vardır
oMATLABrsquoda bazı
fonksiyonlar daha oumlnceden yerleştirilmiş
bazıları
ise sonradan
dışarıdan yerleştirilmiş
M-dosyalarından oluşan MATLAB kuumltuumlphanelerinde
tanımlanmışlardır
oBunun yanında oumlzel uygulamalar iccedilin kullanıcıların kendi fonksiyonlarını
yazarak
kendi kuumltuumlphanelerini oluşturması
muumlmkuumlnduumlr
MATLABrsquoda mevcut analitik fonksiyonları
genel olarak aşağıdaki kategorilere ayırabiliriz oTemel matematiksel fonksiyonlaroOumlzel fonksiyonlaroTemel matrisler ve matris işlemlerioMatrisleri ccedilarpanlarına ayırmaoVeri analizlerioPolinomlaroDiferansiyel denklem ccediloumlzuumlmlerioLineer olmayan denklemler ve optimizasyonoSayısal integral hesaplamalarıoSinyal işleme
50
Matematiksel Fonksiyonlar
bazı
temel matematiksel fonksiyonların accedilıklamaları
35 FonksyonlarMATRİSLER
Oumlrnekgtgtexp(1)ans=27183gtgtfix(35)ans=3gtgtceil(35)ans=4gtgtround(35)ans=4
51
Matlabda oumlnceden tanımlanmıs bazı
sabitlerdirBunlar aşağıdaki tabloda goumlsterilmistir
36 Oumlzel SabitlerMatlab
52
Oumlrnekler
1)
a=1
2)
a=rsquoİstanbulrsquo
3)
a=5b=7c=a+b
4) a=5b=-3c=a+2ba=a+b
5)
num=23-5^2 x=num2 y=x+10
7 Sabitler Değiskenler ve Metin KatarlarıMatlab
53
Oumlrnek
Komut satırına
a)
sin(30)
b)
sin(30pi180) yazınız sonuccedilları
inceleyiniz
35 FonksyonlarMATRİSLER
Cevapa) -09880 sonucu goumlruumlluumlr ki bu 30deg
nin sinuumlsuumlnde n farklıdır Ccediluumlnkuuml
bu 30deg
derece değil 30 radyanın sinuumlsuumlduumlrb) 05000 sonucu goumlruumlluumlr ki bu da 30deg
nin sinuumlsuumld uumlr O halde bir
sayının trigonometrik değerini buldurmak iccedilin oumlnce pi ile ccedilarpıp 180 e boumllerek accedilıyı
radyan ccedilevirip sonra trigonometrik değerini
hesaplatabiliriz
54
oVektoumlrler tek boyutlu sayı
dizileridir
oElemanlarının sıralanma youmlnlerine goumlre suumltun veya satır vektoumlruuml
adlarını alırlar
ovektoumlrler [ ] koumlşeli parantezleri ile tanımlanır
ofarklı
yolla tanımlanabilirler
4 VektoumlrlerMatlab
A = [4 12 -8 6]A = [4 12 -8 6]
B = [1 2 4 6]
Satır Vektoumlruuml
Suumltun Vektoumlruumlgtgt b=[1 2 4 6 ]
55
4 VektoumlrlerMatlab
ovektoumlr boyutları
buumlyuumlduumlkccedile manuel olarak tanıtım işlemi oldukccedila zorlaşmaktadır
oOumlzellikle belli bir artıma sahip vektoumlrlerin oluşturulmasında () operatoumlruuml kullanılmaktadır
C = [-105150]
Son değerBaşlangıccedil değeri Artış
miktarı
Drsquo
= [30-10-30]
Suumltun Vektoumlruuml
56
Vektoumlr indisleri
4 VektoumlrlerMatlab
Bir vektoumlruumln elemanlarına atanılan değer değişkenler editoumlruuml
veya eleman adresi vasıtasıyla değiştirilebilir
OumlrnekA = [4 12 -8 6]1 A vektoumlruumlnuumln 3 elemanını
27 ile değiştiriniz
2 Benzer şekilde A vektoumlruumlnuumln 2 elemanını
siliniz 3 A(9) = 12
Ccediloumlzuumlm1 A(3) = 272 Vektoumlruumln elemanına [ ] değeri atandığında eleman silinirA(2) = [ ]3 gtgt A(9) = 12
A= [ 4 27 6]
A =[ 2 27 7 0 0 0 0 0 12]
57
raquo x=[17 8 61 83 56]
Şeklindeki bir matrisin uumlccediluumlncuuml
elemanına erişmek istenirse
raquo c=x(3)
c =
61
Eğer bir blok şeklinde veriye erişilmek istenirse
raquo x(24)
ans =
8 61 83
Her matristeki herhangi bir elman grubuna erişilmek istenirse
raquo x([3 1 4])
ans =
61 17 83
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
58
Bir diziye duumlzenli artıs (veya azalıs) kuralıyla değerler atanmak isteniyorsa
bunu
ilk_değerartısson değer veya ilk_değerartısson değer
biccediliminde yapabiliriz
Ancak artıs 1 ise belirtilmeyebilirOumlrnekortalama adlı
bir diziye 0 dan 5 e kadar 05 er artısla elde edilen sayı
dizisini atayanortalama=[0055]
Siz 1 satır 7 den den 17 ye kadar olan tam sayılar 2 satırı
99 dan 89 a kadar azalan tam sayılardan olusan 2 boyutlu m dizisine atayan islemleri yazınız
Dizilerin Değerlerinin Değistirilmesi ve Duumlzenlenmesi
4 VektoumlrlerMatlab
59
4 VektoumlrlerMatlab
60
Sayılardan olusan satır ve suumltun yapısına matris (dizi) denir
Oumlrneğin
d1=[5] 1x1 lik
d2=[ 2 -7] 1x2 lik
d3= [1 0 -3 ]
[ 5 3 1 ]
2x3 luumlk bir dizidir
Oumlrnekx=[1 7 18 5]Ya daraquo x=[ 1
7185 ]
Biccedilimlerinde girilebilir
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
61
Dizilerin Değerlerinin Değistirilmesi ve DuumlzenlenmesiBir dizinin herhangi bir elemanını belirlemek iccedilin dizi adından hemen sonra
parantez iccedilinde elemanın bulunduğu satır ve suumltun sayısı yazılmalıdır
Oumlrnek 1 d2=[2 -7]d2 dizisinin -7 elemanını
goumlruumlntuumllemek iccedilin
d2(12)
2 d3=[1 0 -35 3 1]d3 dizisinin 2 satır 1 suumltununda bulunan 5 in değerinin -75 olması
iccedilin
d3(21)=-75
Not1) Bir dizinin bir ccedilok elemanını
yeniden değer atamak gerekirse komut satırından atama yapmak uzun zaman alabilirBu durumda dizi değiskeninin uumlzerine ccedilift tıklayarak accedilılan dizi editoumlruuml
(array edit) yardımıyla değisiklikleri daha kolay yapabiliriz
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
62
8 Matrisler(Dizi)Matlab
Bir matrisi girerken o1 Elemanlar baştan ve sondan koumlşeli parantezlerle kapatılıro2 Elemanların arasına boşluk veya virguumll konuluro3 Matris satırlarını
ayırmak iccedilin de noktalı
virguumll kullanılır
okurallarına dikkate alınmalıdır
Oumlrneğin
A = [1 2 3 4 5 6]A =
1 2 34 5 6
şeklinde veriler matrisler biccediliminde tanımlanır MATLAB daha sonra kullanılmak uumlzere verileri A matrisinde saklar
63
Matris elemanları
rasgele rakamlardan oluşabileceği gibi MATLABrsquoın deyimlerinden de oluşabilir
51 Matrislerde ElemanlarMatlab
Oumlrneğin
a=[-13 sqrt(3) (1+2+3)475]
a= -13000 17321 48000
Kuumlccediluumlk matrisleri eleman olarak kullanıp daha buumlyuumlk matrisler oluşturmak muumlmkuumlnduumlr
OumlrneğinM=[1 3 5
7 8 9] matrisine
aşağıda goumlsterildiği şekilde bir satır eklemesi yapabilir
M=[M[10 13 15]]
Bu durumda M matrisiM=[1 3 5
7 8 910 13 15]
durumunu alır
64
İki nokta uumlst uumlste () kullanarak buumlyuumlk matrislerin belli bir kısmını
kullanabiliriz
ya da diğer ifade ile bu matrisi kuumlccediluumlltebiliriz
Oumlrneğin
M=M(12) bildirimi M matrisinin ilk iki satırını
alarak M matrisi
olarak saklar
Oumlrnek
M=[8 -4 7 66 -7 8 9 4 5 134] ise
M=M(12) =
8 1 Matrislerde ElemanlarMatlab
65
MATLABrsquoda kullanıcı
verileri kendi oluşturacağı
matrisler ile tanımlayabileceği gibi MATLABrsquoın kendi oumlzel matrislerinden de istifade edilebilir
52 Genel MatrislerMatlab
66
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
a) Sıfır Matrisi Olusturan Fonksiyon
Her elemanı sıfır olan mxn boyutunda bir matrise sıfır matrisi denir
Boumlyle bir dizi olusturmak iccedilin zeros fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=zeros(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
3x5 boyutunda s adlı
sıfır matrisi iccedilin
s=zeros(35)
52 Genel MatrislerMatlab
67
b) 1 lerden Olusan Matris
Her elemanı 1 olan mxn boyutunda bir matrisi olusturmak iccedilin ones
fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matria_adı=ones(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
2x3 boyutunda b adlı
tuumlm elemanları
1 olan matrisi olusturalım
b=ones(23)
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
52 Genel MatrislerMatlab
68
c) Birim Matrisi Olusturan Fonksiyon
Esas koumlsegeni 1 lerden diğer elemanları 0 lardan olusan kare matrise (satır
ve suumltun sayısı esit olan ) birim matrisi
kare olmayan matrise de diyagonal matris denir
Boumlyle matrisleri olusturmak iccedilin eye fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=eye(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
a)
3x3 luumlk birim matris
b) 4x3 lluumlk diyagonal matris olusturalım
Ccediloumlzuumlma) i=eye(33) b) d=eye(43)
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar52 Genel MatrislerMatlab
69
d) Rastgele Sayılardan Olusan Matris ve Fonksiyonu
Elemanları 0 ile 1 arasındaki rastgele sayılardan olusan bir matris iccedilin
rand fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=rand(mn) biccedilimindedir(msatırnsuumltun)
Not 1) Uumlretilen matrisin tuumlm elemanlarını k gibi bir sayı ile ccedilarparak
sayıları 0 ile k arasına ccedilekebiliriz
Not 2) Ondalıklı sayılardan olusmus bir matrisin elemanlarını
yuvarlayıp tam sayı yapmak iccedilin round fonksiyonunu kullanırız
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar52 Genel MatrislerMatlab
70
Oumlrnek
a) 0 ile 1 arasında rastgele sayılardan olusan 10 elemanlı
a adında bir satır
matrisi olusturalım
b) Elemanları
10 ile 50 arasında sayılardan olusan 5x3 tipinde b matrisini
olusturalım
c) Elemanları
50 ile 300 arasındaki tamsayılardan olusan 3x4 tipinde c matrisini
olusturalım
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
d) Rastgele Sayılardan Olusan Matris ve Fonksiyonu
52 Genel MatrislerMatlab
71
Ccediloumlzuumlm
a)
a=rand(110)
b)
b=10+rand(53)40
c) c=round(50+rand(34)250)
52 Genel MatrislerMatlab
72
e) Rastgele Sayılardan Olusan Normal Dağılımlı
Matris veFonksiyonu
Elemanları rasstgele sayılardan olusan bir normal dağılımlı bir matris iccedilin
randn fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=randn(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek Rastgele sayılardan olusan normal dağılımlı 2x3 luumlk bir n matrisini
olusturalım
Ccediloumlzuumlm n=randn(23)
52 Genel MatrislerMatlab
73
f) Lineer Aralıklı
(Aritmetik) Dizi ve Fonksiyonu
Baslangıccedil ve biis değerleri ve kaccedil elemandan olusacağı belirlenen diziyi
olusturmak iccedilin linspace fonksiyonu kullanılır
Kullanımı
dizi_adı=linspace(ilk_değerson_değereleman_sayısı)
biccedilimindedir
52 Genel MatrislerMatlab
74
Oumlrnek 10 ile 30 arasına 9 tane daha sayı
koyarak aadında bir aritmetik dizi olusturalım
f) Lineer Aralıklı
(Aritmetik) Dizi ve Fonksiyonu
52 Genel MatrislerMatlab
Cevapa=linspace(103011)
75
Elimizdeki grubun her elemanı iccedilin bir matematik işlemi yapıp bunu yeni bir
diziye atarken herhangi bir sorun yoktur
Fakat iki farklı grupla işlemler yaparken dikkat etmemiz gereken genel
kurallar vardır
Oumlrneğin toplama ve ccedilıkarma yaparken iki dizinin de buumlyuumlkluumlğuumlnuumln eşit
olması gerekmektedir
Ayrıca iki farklı dizinin elemanları arasında birebir işlem yapmak iccedilin
matematik operatoumlruumlnuumln başına nokta() koymak gerekir
Bu durumda her bir elemanı diğer dizinin o sıradaki elmanı ile işleme
sokacaktır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
76
Birden fazla satır ve suumltuna sahip vektoumlrlere matris denir Noktalı
virguumll ()
işareti ile kolonları
ve virguumlle işareti ya da boşluk
bırakarak da bir sıradaki elemanları
ayırabilirizOumlrnekraquo x=[ 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14]x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14Yukarıdaki 3x4 boyutunda bir matristir MATLAB programına aşağıdaki
gibi de sunulabilirraquo x=[ 3 4 5 6
7 8 9 1011 12 13 14]
x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
77
Matristeki herhangi bir elemana direk ulaşmak iccedilin aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(23)=9
Eğer isteğimiz eriştiğimiz bir elemanı
değiştirmek veya yeni bir satır eklemek ise aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(41)=1x =
3 4 5 67 8 9 1011 12 13 141 0 0 0
Bu durumda doumlrduumlncuuml
satır ilk elemanını
biz 1 değerini atadık ve diğer elemanları
kendiliğinden ldquo0rdquo
olarak atadı
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
78
İki nokta uumlst uumlste () kullanılarak belirli aralıkta değişen matrisler yaratılabilir
raquo x=[127 3-10 -12]x =
1 3 5 73 2 1 0
-1 0 1 2Bir matrisin herhangi bir boumlluumlmuumlnuuml
seccedilmek iccedilin ise aşağıdaki goumlsterim
kullanılırraquo z=x(23 12)z =
3 2-1 0
Bu durumda z matris x matrisinin 2 ve 3 norsquo
lu satırlarından 1 ve 2 norsquo
lu suumltunlarını
almış
oluyor
Herhangi bir satır veya suumltunu tamamen silmek istersek o satır ve suumltunu seccedilip ldquo[]rdquo
ifadesine eşitleriz
raquo z(2)=[ ]z =
3 -1
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
79
Matlab size ve length komutları
yardımı
ile size matrisinizin boyutlarını
soumlyler
raquo a=[ 2 3 4 5 67 8 9 10 11]
raquo s=size(a)s =
2 5
raquo b=[ 17 11 0 30 40 50]
raquo k=length(b)k =
6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
80
a) Toplama-Ccedilıkarma Bir Sayı
ile Ccedilarpma İşlemi
İki matrisi toplamak (veya ccedilıkarmak) demek matrislerin aynı
mertebedeki elemanları teker teker toplayıp (veya ccedilıkarıp ) aynı
mertebeye yazmak demektir
Bu durumda iki matrisin de aynı mertebeden olması gereği accedilıktır
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile toplamak (veya ccedilıkarmak) demek
matrisin elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla toplamak (veya
ccedilıkarmak )demektir
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile ccedilarpmak demek ise matrisin
elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla ccedilarpmak demektir
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
81
82
Oumlrnek
raquo a=[1 2 3 4 5 6]raquo b=[7 8 9 10 11 12]
a ve b toplamıraquo sum=a+bsum =
8 10 1214 16 18
arsquo
yı
brsquo
den ccedilıkarmak
raquo diff=a-bdiff =
-6 -6 -6-6 -6 -6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
83
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] ve b=[3 -3 -41 1 5] matrisleri
veriliyor
a)
c=a+b toplam matrisini
b)
d=a-b matrisini
c)
amatrisinin her elemanınının 5 eksiğine karsılık gelen e
matrisini
d) f=2a-3b matrisini bulduran islemleri yazalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
a) c=a+b b) d=a-b c) e=a-5 d) f=a+a-b-b-b veya
f=2a-3b
84
İki matrisin ccedilarpım islemi iki biccedilimde anlasılır
1)
Aynı
mertebeden iki matrisin elemanlarını
teker teker ccedilarpıp aynı
mertebeye
yazmak demektir Bunu
islemi ile gerccedileklestiririz
2) Matematiksel anlamda iki matrisi ccedilarpmak istediğimizde birinci matris mxn
tuumlruumlnde ve ikinci matris mutlaka nxp tuumlruumlnde olmalıdır yani birinci matrisin
suumltun sayısı
ikinci matrisin satır sayısına eşit olmalıdır
Bu durumda birinci matrisin i suumltun elemanları
ile ikinci matrisin j satırındaki
elemanlar karılıklı
olarak ccedilarpılır ve sonuccedillar toplanır ve bu toplam ccedilarpım
matrisinin (ij) inci mertebeye yazılır
Matrisler arası
ccedilarpma isleminin semboluuml
de dır
b) İki Matrisin Ccedilarpımı Bir Matrisin Kuvvetleri veCcedilarpma İslemi
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
85
3) Bir a matrisinin her bir elemanının n Kuvvetlerinden olusan matrisi
bulmak iccedilin a^n islemi kullanılır
4) Satır ve suumltun sayıları
esit bir kare matrisi ardısık olarak n defa
kendisiyle ccedilarparak a matrisinin n kuvvetini bulabilirizOumlrneğin a matrisinin
karesi iccedilin aa veya a^2 kuumlbuumlnuuml
buldurmak iccedilin aaa veya a^3
doumlrduumlncuuml
kuvvetini buldurmak iccedilin aaaa veya a^4
Not) Bir a matrisinin eleman -elemana ccedilarpma islemine benzer mantıkla bir matrisin tuumlm elemanlarının kareleri kuumlbleri sinuumlsleri kosinuumlsleri logaritmalarından olusan matris bulunmak istenirse bunu sırayla aa (veya a^2) aaa (veya a^3) sin(a) cos(a) etabanında logaritması
iccedilin log(a) 10 tabanında logaritmaları
iccedilin log10(a) Biccediliminde gerccedileklestirebiliriz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
86
a) a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c1 matrisi varsa bulalım
b) a matrisi ile b matrisinin ccedilarpım matrisi olan c2 varsa bulalım
c) a matrisinin elemanları
ile c matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c3 matrisi varsa bulalım
d) a matrisi ile c matrisinin ccedilarpım matrisi olan c4 varsa bulalım
e) a matrisinin elemanlarının karelerinden olusan matris ile b matrisinin
kosinuumlslerinden olusan matrisler toplamını
bulalım
f) x=[1 00 3] matrisinin i) Karesini ii) Kuumlbuumlnuuml
iii) 10
kuvvetini bulalım
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] b=[3 -3 -41 1 5] ve c=[1 0-1 23 3] matrisleri veriliyor
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
87
Ccediloumlzuumlma) iki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirBu durumda c1 matrisi tanımlıdır ve bunu c1=ab islemi ile gerccedileklestirebilirizb) iki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdırHalbuki a matrisi 2x3 b matrisi de 2x3 olduğundan bu iki matris ccedilarpılamazc) İki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirHalbuki bu matrisler aynı mertebeden olmadığından bu iki matris eleman-elemana ccedilarpma islemi
gerccedileklemezd) İki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdıra matrisi 2x3 luumlk c matrisi de 3x2 lik olduğundan bu iki matris ccedilarpılabilir ve c4 ccedilarpım matrisi 2x2 lik bir matris olurc4 ccedilarpım matrisini c4=ac islemi ile buluruze) a^2+cos(b)f) i) x^2 ii) x^3 iii) x^10
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
88
c) Bir Matrisin Devriğini (Transpozesi) Bulma İslemi
Bir matrisin satırlarını suumltun suumltunlarını satır olarak yazılmasıyla
bulunan matrise bu matrisin devriği (transpozesi) denir
Bir matrisin devriğini islemi ile bulabiliriz
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] nın devriğini buldurup d matrisine atayalım
Ccediloumlzuumlm d=a
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
89
Oumlrnek
b=[7 8 9 10 11 12] matrisinin transpozesini bulabilirmisiniz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
c=bc =
7 108 119 12
90
SORU
a=[1 2 3 4 5 6]
c= [710811912]
ise a ve crsquonin ccedilarpım matrisi
kaccediltır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
Ccedilarpma işlemi k=ack=
50 68122 167
91
SORU
a=[1 2 3 4 5 6] b=[7 8 9 10 11 12]
ise a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan x matrisini bulalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
x=abx =
7 16 2740 55 72
92
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
Aynı mertebeden iki matrisin elemanlarını teker teker boumllerek aynı
mertebeye yazılmasına iki matrisin sol boumllmesi denir ve bu islemi ile
yapılır
a b ve c aynı mertebeden kare matrisler olmak uumlzere
c=ab ise a matrisine c nin b matrisine boumlluumlmuuml denir
c boumlluumlm matrisi islemi ile yapılır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
93
HATIRLATMA
2x2 lik i2 adlı birim matrisi i2=eye(22)
3x luumlk i3 adlı birim matrisi i2=eye(33) islemi ile olusturabiiriz
Aynı mertebeden a ve b kare matrisleri iccedilin a ile b nin ccedilarpımı birim matris ise
b matrisi a matrisinin (aynı biccedilimde a matrisi de b matrisinin) ters matrisidir
Oumlrnek
3x3 luumlk bir a kare matrisinin tersini bulmak iccedilin
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
eye(33)a veya inv(a) islemini kullanırız
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
94
Bir Matrisin Determinantı
Determinant kare matrisleri bir sayıya eşleyen fonksiyondur
Determinant fonksiyonunun kare matrisi eşlediği o sayıya matrisin
determinantı denir
A matrisinin determinantı detA veya |A| biccediliminde goumlsterilir
|A| matrislerde mutlak değer anlamına gelmez |A| sıfır veya
negatif de olabilir
det(x)
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
95
KURAL
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
96
Oumlrnek
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Determinant
raquo
deter=det(x)deter =
21
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
97
Oumlrnek Inverse işlemi
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Detx=det(x)=21 ise
raquo y=inv(x)y =
821 121 -521 221
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
98
SORU
a=[2 -10 01 2 43 0 1] matrisi ile b=[1 5 41 -1 20 1 -1] matrisleri veriliyor
a)
a matrisinin elemanlarını
sırasıyla b matrisinin elemanlarına boumllerek elde
edilen matrisi b1 matrisine atayalım
b) a matrisinin ta ters matrisini bulalım
c) a ile ta matrisinin ccedilarpımının 3x3 luumlk birim matris olduğunu goumlsterelim
d) a matrisinin b matrisine boumlluumlmuumlnuuml
b2 matrisine atayalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
99
Ccediloumlzuumlm
a)
b1=ab
b) ta1=eye(33)a veya ta2=inv(a)
c) ata ==eye(33)
d) b2=ab
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
12
MASA UumlSTUuml KOMUT PENCERESİ
Ccedilalışma DiziniCcedilalışma Alanı
Komut Geccedilmişi
Komut Satırı
MATLAB programını
ilk ccedilalıştırdığınızda karşınıza ccedilıkacak ekran aşağıdaki gibidir
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
13
Matlabı ccedilalıstırdığımızda karsımıza ana pencere gelirBu pencerede
File Edit DebugParallel Desktop Window veHelp
ana baslıkları vardır
Bu baslıklar altından diğer Windows programlarında alısılagelmis benzer islemler
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
14
Burada Desktop Desktop Layout ile Matlabın masauumlstuuml yerlesimini
duumlzenleyebilirsiniz
Oumlrneğin Default ile varsayılan goumlruumlnuumlmuumlnuuml
Command Window Only ile sadece klasik komut penceresini
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
15
Command Window Bu pencere komut penceresidir
Bu pencereden Matlab ile ilgili komutları klavyeden girer komutun
islemesini sağlamak iccedilin de Enter tusuna basılır
Komutları girdiğimiz satır gtgt ile baslar ki bu satıra komut satırı denir
EgYarıccedilapı
36 olan bir daire alanı
hesaplayalım
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
16
Bu pencere o ana kadar komut satırından girilen komutları goumlsterir
İstersek bunların birini fareyle seccediler ya da bir kaccedilını veya tuumlmuumlnuuml fare ve
asağı-yukarı youmln tusları yardımıyla seccediler ve delete tusuna basarak silebiliriz
Command History
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
17
oKomut satırından ya da ccedilalıstırılan bir dosya ya da fonksiyon ile hafızada
olusturulan değiskenlerin adlarının tiplerinin ve oumlzelliklerinin goumlruumlntuumllendiği
penceredir
oCcedilalışma Alanı
MATLABrsquoda işletilen fonksyonların veya komutların oluşturduğu
değişkenlerin depolandığı
bir merkezdir
oBoumlylelikle tuumlm değişkenlere belli bir kaynaktan ulaşılabilmektedir bu da
programlama sırasında değişkenlerin yerini belirtmeden bu değişkenleri kullanma
imkanı
sağlamaktadır
Workspace
Uumlstuumlne sağ tuş yapıp
oumlzellikler eklenebilir
egsize
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
18
Workspace
Oumlrneğin
c değiskeni 1x1 boyutunda bir matris yani sayı
b değiskeninin ise 3x2 boyutunda bir matris yani uumlccedil satır ve 2 suumltundan
olusan bir matris
nasılsın adlı değisken de 6 karakterden olusan bir karakter zinciri (string)
olduğu goumlruumlluumlr
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
Oumlrnek Command Windowrsquoa alttaki değerleri yazıp inceleyin
a = 4 b = 5 c = abnasılsın=lsquoiyidirrsquo
19
Matlab Dizi Editoumlruuml
oA değişkenine ccedilift tıklandığında Matlab Dizi Editoumlruuml
accedilılır
oBurda değişkenlerin iccedilerikleri goumlruumlntuumllenir ve değiştirilebilir
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
20
who
ccedilalışma alanında hangi değişkenler olduğu
whos
bu değişkenlerin yapıları
goumlruumllmektedir
what
komutu kullanıcı
diskinin halihazır dizininde mevcut M- dosyaları
listesini verir
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
21
clc
Komut penceresindeki satırları
silmeye yarar
clear
Hafızadaki değişkenler silinir
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
22
Matlab Ccedilalışma Dizini penceresindeki ldquo
aşağı
okrdquo
basılarak ccedilalışma dizini seccedililebilir
Current Folderrsquoda ccedilalışmak istenilern directory youmlnlendirilerek hızlı
ulaşım sağlanır
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
23
Current Folder
Matlab dosyalarının kaydedildiği yuumlklendiği dosyaların bulunduğu
klasoumlruuml
(dizin) varsayılan klasoumlr olarak belirlemeye yarar
Aksi belirtilmedikccedile bu klasoumlr CMatlab6p5work gibi bir klasoumlrduumlr
Yada save FMATLAB_UYGkatsayilar a
katsayilarmat olarak kaydedilen a matrisininmatlab kapatılıp accedilıldıktan sonra herhangi bir zamanda geri ccedilağrılmasıiccedilin
load FMATLAB_UYGkatsayilar
komut dizisi kullanılır
Command Windowa save yazılırsa değişkenler ldquomatlabmatrdquo
veri
dosyasına kaydedilmiş olur
Matlabı
kapatıp accedilalım ve matlabmatrsquoı
ccedilağıralım
(File open matlabmat)
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
Oumlrnekgtgt a=[123 579] a = 1 2 3 5 7 9
24
MATLAB Yardım
1 Komut satırına ldquohelprdquo yazılır Bu yardım sunulabilecek konuların listesini sunar
2 help fonksyon-adı
fonksyon iccedilin yardım metnini goumlruumlntuumller
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
25
Matlab MasaUumlstuuml
Yeni M- Dosyası
Dosya Accedil Help Desk
Kayıtlı
Matlab Fonksyonu kayıt dosyası(mat) modeli figuumlruuml
ve GUI arayuumlzluuml
fonksyonları
accedilar
Veri dosyalarını
accedilar
Ccedilalışma ortamını
kaydeder
Farklı
ccedilalışma dizinini Matlaba tanıtır
Matlab arayuumlzuumlnuuml
ayarlar
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
26
Başlat Duumlğmesi
Matlab araccedil
kutuları Matlab
uygulamalarına eklenti olarak
hazırlanan ve hazır fonksyonları iccedileren paketlerdir
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
27
Başlat Duumlğmesi
Start Duumlğmesi tuumlm matlab uygulamalarına accedilılan kısayolları
iccedilermektedir
Matlab Uygulamaları
iccedilin kısa yol
Araccedil
kutularıSimulinkUy
gulaması
Demolar
Veri Sihirbazı
GUI Hazırlayıcı
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
28
Matlaba Veri Alma
Programa dışarıdan resim film veri ses dosyalarını
matris formatına ccedilevirerek bir değişken olarak atamada kullanılır
File Import Data
Oumlrnek Exel dosyası
alma
Exelde bir matrix oluşturup matlabdan import ile alınız
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
29
Matlabda Temel Kavramlar
Tuumlm programlama dillerinde olduğu gibi (Fortran C Pascal Basic vs)
Matlabın da oumlzel anlam tasıyan bazı kelimeleri vardır ki bu kelimeler değisken
olarak kullanılamazlar
Bu tuumlr kelimelere anahtar kelime (keywords) denir
Bu kelimelerin bir listesini almak iccedilin komut satırına
iskeyword komutunu yazarak elde edebiliriz
Bu kelimeler
breaklsquo case catch continue else elseif endlsquo for function global
if otherwiselsquo persistent return switch try while
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
30
Programın dili ve yardım bilgileri tamamen ingilizcedir
Kuumlccediluumlk-buumlyuumlk harf ayrımı vardır
Oumlrneğin dscrite DSCRITE ve Dscrite atamaları farklı şekilde
algılanır
Eğer istenirse ldquocasesen offrdquokomutu ile bu durum sona
erdirilebilir
raquo işareti komut promptrsquoudur
Komutlar Enter ile yuumlruumltuumlluumlr
2 Matlab Kullanımında Temel Kurallar
Matlab
31
Genel komutların isimleri ve accedilıklamaları
2 Matlab Kullanımında Temel KurallarMATLAB
32
2 Matlab Kullanımında Temel KurallarMATLAB
MATLAB kontroluumlnuuml
kullanabilmeniz iccedilin oumlzel karakterlere sahiptir Bu karakterlerin bir oumlzeti
33
2 Matlab Kullanımında Temel KurallarMatlab
34
2 Matlab Kullanımında Temel KurallarMatlab
35
İFADELER Matematiksel ve metinsel goumlsterimler ile işlemler ifadelerlesağlanır
Sayılar (Numbers)Değişkenler (Variables)İşleccediller (Operators)Fonksiyonlar (Functions)
Matlabrsquode ifadeler genellikle değişken = ifade veya sadece ifade formundadır
Sayısal Analiz
x = 4 sqrt(5) İfade
değişkensayı işleccedil fonksiyon
Bir ifade = işareti ile bir değişkene atanmamış
ise Matlab otomatik olarak sonucu ans (answer)
adı
verilen oumlzel bir değişkende saklar
3 MATRİSLER
36
o
Birden
fazla ifade
tek satırda aralarına
ya da koyarak yazılabilir
o
Yazımda
boşluk
sayısı
etkisizdir
o
Sadece
ilgili
değişken
adını
yazarak
o değişkeni ccedilağırabilirsiniz
MATRİSLER31 İFADELER
37
o MATLABrsquoda herhangi bir tip tanımlaması
veya boyut ifadesine gerek yoktur
o
MATLAB yeni bir değişken ismi ile karşılaştığında otomatik olarak ans isminde
bir değişken oluşturur ve uygun bir bellek miktarı
ayırır
oEğer değişken zaten varsa MATLAB gerekli bir bellek ayırdığında iccedileriği değişir
Oumlrneğin
o ogrenci_sayı=51
32 DeğişlenlerMatlab
Değisken
değeri değisebilen bellek alanına isaret eden değerlere
38
MATLAB değişken girişleri iccedilin ccedileşitli kurallara sahiptir
Her değişken bir harfle başlamak zorundadır
Program buumlyuumlk kuumlccediluumlk harf duyarlıdır X ve x farklı değişkenleri ifade eder
Program 31 basamağa kadar duyarlıdır Bu basamaktan sonrasını yok sayar
Dolayısıyla 31 basamaktan uzun değişken isimleri karışıklık yaratabilir
32 DeğişlenlerMatlab
39
Değiskenlere Değer Atama
Her hangi bir programlama dilinde olduğu gibi Matlabrsquoda da bir değiskene
değer verme islemine rdquodeğer atamakrdquo denir
Bir değiskene atanan değer değistirilmediği suumlrece aynı kalır
Değer atamanın genel kullanımı asağıdaki biccediliminde olur
ltDeğisken adıgt=ltAtanacak değergt
32 DeğişlenlerMatlab
40
Oumlrnek 2
A=6i-7 A değişkenine skaler bir değer atar
B=A 7
B değişkenine A değişkeninin 17 si atanmıştır
C=[3 4 5 6]
4 elemanlı
bir satır vektoumlruuml
atanmıştır
NOT
Dizi girişinde herhangi bir satıra ait elemanlar aralarına boşluk veya virguumll ldquordquo konularak ayrılır
Dizinin diğer bir satırına başlamak iccedilin biten satır sonuna konulur
32 DeğişlenlerMatlab
41
oMATLABrsquoda sayılar yaygın olarak kullanılan onluk tabanda ifade edilirler
o
Bunun yanısıra onluk tabanda uumlstel olarak veya i veya j olarak kompleks sayı biccedilimlerinde de ifade edilebilirler
oOumlrnek olarak
33 Sayılar
Matlab da i
ve j
başka tuumlrluuml
tanımlanmamışsa kompleks i sayısını
goumlsterir 3e5 sayısıda 3105
anlamındadır
MATRİSLER
42
o
Ondalık sayılar Tuumlrkccedilemizdeki
35 yerine
35 şeklinde
goumlsterilir
(00001 veya 963
065 yerine 65)
o
Bilimsel
notasyon
goumlsterimi olan e
(veya E) harfi
10rsquonun kuvvetini
temsil eder
o 2e4=2104=2000 veya
165e-20=16510-20
demektir
o
Kompleks
sayılarda
imajiner
(sanal) kısımlar
i
veya
j
ekini
alır
i veya
j
ile
gosterimlerinde
bir
fark
yoktur
o (1+3i veya 1+3i veya 1+i3) 1+sqrt(3)j
-5i
o
Matlabrsquode
tuumlm
sayılar yaklaşık 210308 ve
210-308 arasında
değişir
33 Sayılar
MATRİSLER
43
Sayı
Formatları
33 SayılarMatlabMATRİSLER
44
oMatlabda bir ccedilok eylem doumlrt islem ve matematiksel bazı
islemler
yaptırabiliriz
oBunun iccedilin ya ilgili komutları
komut penceresinden teker teker girerek veya
ilgili komutları
bir dosyaya yazıp o dosyayı
ccedilağırarak ccedilalıstırabiliriz
oİşlemleri yaptırırken sayıları
reel sayı
ya da karmasık sayı
olarak alabiliriz
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
45
Matematiksel ifadeleri oluşturmak iccedilin operatoumlrler ve oumlnceden tanımlanmış sembolleri kullanabilirsiniz
oOperatoumlrler oumlzetle şunlardır
oMatrislerle yapılan işlemlerde boumllme işlemi iccedilin iki farklı
sembol kullanılmaktadıroBunun yanında eğer sayılar skaler ise iki boumllme işleminin sonucu da aynı
değeri
goumlsterecektiroOumlrneğin 32 ile 23 ifadelerinin sonuccedilları
aynı
olup 15rsquodir
raquo 4+83ndash2ans =26
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
46
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
x=a + b
Bu ifadede a ve b nin toplandığı
ve x değişkeni iccedilinde saklandığıbelirtilmektedir
47
Aritmetiksel İşlemlerde Oumlncelik Durumu
oTek bir aritmetiksel durum iccedilinde birden fazla durum bir arada bulunabildiğine goumlre
hangi işlemin oumlncelik hakkına sahip olunduğunun
bilinmelidir
oMATLABrsquoda kullanılan işlemlerde işlemlerin oumlncelik
listesi
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
bazı
temel matematiksel fonksiyonların accedilıklamaları
48
o
MATLABrsquo
da işlemler soldan sağa işlerlero
İşlemler arası
oumlncelik sırası
aşağıdaki gibidir
1 ^
(Yuumlksek)2
darr
3 + -
(Duumlşuumlk)
raquo 3^(2ndash5)-632 raquo 3^2ndash5ndash632ans = ans =
mdash39630 0
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
49
35 FonksyonlarMATRİSLER
o MATLABrsquoın ccedilok guumlccedilluuml
ve ccedilok kapsamlı
bir fonksiyon yapısı
vardır
oMATLABrsquoda bazı
fonksiyonlar daha oumlnceden yerleştirilmiş
bazıları
ise sonradan
dışarıdan yerleştirilmiş
M-dosyalarından oluşan MATLAB kuumltuumlphanelerinde
tanımlanmışlardır
oBunun yanında oumlzel uygulamalar iccedilin kullanıcıların kendi fonksiyonlarını
yazarak
kendi kuumltuumlphanelerini oluşturması
muumlmkuumlnduumlr
MATLABrsquoda mevcut analitik fonksiyonları
genel olarak aşağıdaki kategorilere ayırabiliriz oTemel matematiksel fonksiyonlaroOumlzel fonksiyonlaroTemel matrisler ve matris işlemlerioMatrisleri ccedilarpanlarına ayırmaoVeri analizlerioPolinomlaroDiferansiyel denklem ccediloumlzuumlmlerioLineer olmayan denklemler ve optimizasyonoSayısal integral hesaplamalarıoSinyal işleme
50
Matematiksel Fonksiyonlar
bazı
temel matematiksel fonksiyonların accedilıklamaları
35 FonksyonlarMATRİSLER
Oumlrnekgtgtexp(1)ans=27183gtgtfix(35)ans=3gtgtceil(35)ans=4gtgtround(35)ans=4
51
Matlabda oumlnceden tanımlanmıs bazı
sabitlerdirBunlar aşağıdaki tabloda goumlsterilmistir
36 Oumlzel SabitlerMatlab
52
Oumlrnekler
1)
a=1
2)
a=rsquoİstanbulrsquo
3)
a=5b=7c=a+b
4) a=5b=-3c=a+2ba=a+b
5)
num=23-5^2 x=num2 y=x+10
7 Sabitler Değiskenler ve Metin KatarlarıMatlab
53
Oumlrnek
Komut satırına
a)
sin(30)
b)
sin(30pi180) yazınız sonuccedilları
inceleyiniz
35 FonksyonlarMATRİSLER
Cevapa) -09880 sonucu goumlruumlluumlr ki bu 30deg
nin sinuumlsuumlnde n farklıdır Ccediluumlnkuuml
bu 30deg
derece değil 30 radyanın sinuumlsuumlduumlrb) 05000 sonucu goumlruumlluumlr ki bu da 30deg
nin sinuumlsuumld uumlr O halde bir
sayının trigonometrik değerini buldurmak iccedilin oumlnce pi ile ccedilarpıp 180 e boumllerek accedilıyı
radyan ccedilevirip sonra trigonometrik değerini
hesaplatabiliriz
54
oVektoumlrler tek boyutlu sayı
dizileridir
oElemanlarının sıralanma youmlnlerine goumlre suumltun veya satır vektoumlruuml
adlarını alırlar
ovektoumlrler [ ] koumlşeli parantezleri ile tanımlanır
ofarklı
yolla tanımlanabilirler
4 VektoumlrlerMatlab
A = [4 12 -8 6]A = [4 12 -8 6]
B = [1 2 4 6]
Satır Vektoumlruuml
Suumltun Vektoumlruumlgtgt b=[1 2 4 6 ]
55
4 VektoumlrlerMatlab
ovektoumlr boyutları
buumlyuumlduumlkccedile manuel olarak tanıtım işlemi oldukccedila zorlaşmaktadır
oOumlzellikle belli bir artıma sahip vektoumlrlerin oluşturulmasında () operatoumlruuml kullanılmaktadır
C = [-105150]
Son değerBaşlangıccedil değeri Artış
miktarı
Drsquo
= [30-10-30]
Suumltun Vektoumlruuml
56
Vektoumlr indisleri
4 VektoumlrlerMatlab
Bir vektoumlruumln elemanlarına atanılan değer değişkenler editoumlruuml
veya eleman adresi vasıtasıyla değiştirilebilir
OumlrnekA = [4 12 -8 6]1 A vektoumlruumlnuumln 3 elemanını
27 ile değiştiriniz
2 Benzer şekilde A vektoumlruumlnuumln 2 elemanını
siliniz 3 A(9) = 12
Ccediloumlzuumlm1 A(3) = 272 Vektoumlruumln elemanına [ ] değeri atandığında eleman silinirA(2) = [ ]3 gtgt A(9) = 12
A= [ 4 27 6]
A =[ 2 27 7 0 0 0 0 0 12]
57
raquo x=[17 8 61 83 56]
Şeklindeki bir matrisin uumlccediluumlncuuml
elemanına erişmek istenirse
raquo c=x(3)
c =
61
Eğer bir blok şeklinde veriye erişilmek istenirse
raquo x(24)
ans =
8 61 83
Her matristeki herhangi bir elman grubuna erişilmek istenirse
raquo x([3 1 4])
ans =
61 17 83
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
58
Bir diziye duumlzenli artıs (veya azalıs) kuralıyla değerler atanmak isteniyorsa
bunu
ilk_değerartısson değer veya ilk_değerartısson değer
biccediliminde yapabiliriz
Ancak artıs 1 ise belirtilmeyebilirOumlrnekortalama adlı
bir diziye 0 dan 5 e kadar 05 er artısla elde edilen sayı
dizisini atayanortalama=[0055]
Siz 1 satır 7 den den 17 ye kadar olan tam sayılar 2 satırı
99 dan 89 a kadar azalan tam sayılardan olusan 2 boyutlu m dizisine atayan islemleri yazınız
Dizilerin Değerlerinin Değistirilmesi ve Duumlzenlenmesi
4 VektoumlrlerMatlab
59
4 VektoumlrlerMatlab
60
Sayılardan olusan satır ve suumltun yapısına matris (dizi) denir
Oumlrneğin
d1=[5] 1x1 lik
d2=[ 2 -7] 1x2 lik
d3= [1 0 -3 ]
[ 5 3 1 ]
2x3 luumlk bir dizidir
Oumlrnekx=[1 7 18 5]Ya daraquo x=[ 1
7185 ]
Biccedilimlerinde girilebilir
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
61
Dizilerin Değerlerinin Değistirilmesi ve DuumlzenlenmesiBir dizinin herhangi bir elemanını belirlemek iccedilin dizi adından hemen sonra
parantez iccedilinde elemanın bulunduğu satır ve suumltun sayısı yazılmalıdır
Oumlrnek 1 d2=[2 -7]d2 dizisinin -7 elemanını
goumlruumlntuumllemek iccedilin
d2(12)
2 d3=[1 0 -35 3 1]d3 dizisinin 2 satır 1 suumltununda bulunan 5 in değerinin -75 olması
iccedilin
d3(21)=-75
Not1) Bir dizinin bir ccedilok elemanını
yeniden değer atamak gerekirse komut satırından atama yapmak uzun zaman alabilirBu durumda dizi değiskeninin uumlzerine ccedilift tıklayarak accedilılan dizi editoumlruuml
(array edit) yardımıyla değisiklikleri daha kolay yapabiliriz
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
62
8 Matrisler(Dizi)Matlab
Bir matrisi girerken o1 Elemanlar baştan ve sondan koumlşeli parantezlerle kapatılıro2 Elemanların arasına boşluk veya virguumll konuluro3 Matris satırlarını
ayırmak iccedilin de noktalı
virguumll kullanılır
okurallarına dikkate alınmalıdır
Oumlrneğin
A = [1 2 3 4 5 6]A =
1 2 34 5 6
şeklinde veriler matrisler biccediliminde tanımlanır MATLAB daha sonra kullanılmak uumlzere verileri A matrisinde saklar
63
Matris elemanları
rasgele rakamlardan oluşabileceği gibi MATLABrsquoın deyimlerinden de oluşabilir
51 Matrislerde ElemanlarMatlab
Oumlrneğin
a=[-13 sqrt(3) (1+2+3)475]
a= -13000 17321 48000
Kuumlccediluumlk matrisleri eleman olarak kullanıp daha buumlyuumlk matrisler oluşturmak muumlmkuumlnduumlr
OumlrneğinM=[1 3 5
7 8 9] matrisine
aşağıda goumlsterildiği şekilde bir satır eklemesi yapabilir
M=[M[10 13 15]]
Bu durumda M matrisiM=[1 3 5
7 8 910 13 15]
durumunu alır
64
İki nokta uumlst uumlste () kullanarak buumlyuumlk matrislerin belli bir kısmını
kullanabiliriz
ya da diğer ifade ile bu matrisi kuumlccediluumlltebiliriz
Oumlrneğin
M=M(12) bildirimi M matrisinin ilk iki satırını
alarak M matrisi
olarak saklar
Oumlrnek
M=[8 -4 7 66 -7 8 9 4 5 134] ise
M=M(12) =
8 1 Matrislerde ElemanlarMatlab
65
MATLABrsquoda kullanıcı
verileri kendi oluşturacağı
matrisler ile tanımlayabileceği gibi MATLABrsquoın kendi oumlzel matrislerinden de istifade edilebilir
52 Genel MatrislerMatlab
66
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
a) Sıfır Matrisi Olusturan Fonksiyon
Her elemanı sıfır olan mxn boyutunda bir matrise sıfır matrisi denir
Boumlyle bir dizi olusturmak iccedilin zeros fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=zeros(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
3x5 boyutunda s adlı
sıfır matrisi iccedilin
s=zeros(35)
52 Genel MatrislerMatlab
67
b) 1 lerden Olusan Matris
Her elemanı 1 olan mxn boyutunda bir matrisi olusturmak iccedilin ones
fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matria_adı=ones(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
2x3 boyutunda b adlı
tuumlm elemanları
1 olan matrisi olusturalım
b=ones(23)
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
52 Genel MatrislerMatlab
68
c) Birim Matrisi Olusturan Fonksiyon
Esas koumlsegeni 1 lerden diğer elemanları 0 lardan olusan kare matrise (satır
ve suumltun sayısı esit olan ) birim matrisi
kare olmayan matrise de diyagonal matris denir
Boumlyle matrisleri olusturmak iccedilin eye fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=eye(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
a)
3x3 luumlk birim matris
b) 4x3 lluumlk diyagonal matris olusturalım
Ccediloumlzuumlma) i=eye(33) b) d=eye(43)
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar52 Genel MatrislerMatlab
69
d) Rastgele Sayılardan Olusan Matris ve Fonksiyonu
Elemanları 0 ile 1 arasındaki rastgele sayılardan olusan bir matris iccedilin
rand fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=rand(mn) biccedilimindedir(msatırnsuumltun)
Not 1) Uumlretilen matrisin tuumlm elemanlarını k gibi bir sayı ile ccedilarparak
sayıları 0 ile k arasına ccedilekebiliriz
Not 2) Ondalıklı sayılardan olusmus bir matrisin elemanlarını
yuvarlayıp tam sayı yapmak iccedilin round fonksiyonunu kullanırız
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar52 Genel MatrislerMatlab
70
Oumlrnek
a) 0 ile 1 arasında rastgele sayılardan olusan 10 elemanlı
a adında bir satır
matrisi olusturalım
b) Elemanları
10 ile 50 arasında sayılardan olusan 5x3 tipinde b matrisini
olusturalım
c) Elemanları
50 ile 300 arasındaki tamsayılardan olusan 3x4 tipinde c matrisini
olusturalım
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
d) Rastgele Sayılardan Olusan Matris ve Fonksiyonu
52 Genel MatrislerMatlab
71
Ccediloumlzuumlm
a)
a=rand(110)
b)
b=10+rand(53)40
c) c=round(50+rand(34)250)
52 Genel MatrislerMatlab
72
e) Rastgele Sayılardan Olusan Normal Dağılımlı
Matris veFonksiyonu
Elemanları rasstgele sayılardan olusan bir normal dağılımlı bir matris iccedilin
randn fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=randn(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek Rastgele sayılardan olusan normal dağılımlı 2x3 luumlk bir n matrisini
olusturalım
Ccediloumlzuumlm n=randn(23)
52 Genel MatrislerMatlab
73
f) Lineer Aralıklı
(Aritmetik) Dizi ve Fonksiyonu
Baslangıccedil ve biis değerleri ve kaccedil elemandan olusacağı belirlenen diziyi
olusturmak iccedilin linspace fonksiyonu kullanılır
Kullanımı
dizi_adı=linspace(ilk_değerson_değereleman_sayısı)
biccedilimindedir
52 Genel MatrislerMatlab
74
Oumlrnek 10 ile 30 arasına 9 tane daha sayı
koyarak aadında bir aritmetik dizi olusturalım
f) Lineer Aralıklı
(Aritmetik) Dizi ve Fonksiyonu
52 Genel MatrislerMatlab
Cevapa=linspace(103011)
75
Elimizdeki grubun her elemanı iccedilin bir matematik işlemi yapıp bunu yeni bir
diziye atarken herhangi bir sorun yoktur
Fakat iki farklı grupla işlemler yaparken dikkat etmemiz gereken genel
kurallar vardır
Oumlrneğin toplama ve ccedilıkarma yaparken iki dizinin de buumlyuumlkluumlğuumlnuumln eşit
olması gerekmektedir
Ayrıca iki farklı dizinin elemanları arasında birebir işlem yapmak iccedilin
matematik operatoumlruumlnuumln başına nokta() koymak gerekir
Bu durumda her bir elemanı diğer dizinin o sıradaki elmanı ile işleme
sokacaktır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
76
Birden fazla satır ve suumltuna sahip vektoumlrlere matris denir Noktalı
virguumll ()
işareti ile kolonları
ve virguumlle işareti ya da boşluk
bırakarak da bir sıradaki elemanları
ayırabilirizOumlrnekraquo x=[ 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14]x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14Yukarıdaki 3x4 boyutunda bir matristir MATLAB programına aşağıdaki
gibi de sunulabilirraquo x=[ 3 4 5 6
7 8 9 1011 12 13 14]
x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
77
Matristeki herhangi bir elemana direk ulaşmak iccedilin aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(23)=9
Eğer isteğimiz eriştiğimiz bir elemanı
değiştirmek veya yeni bir satır eklemek ise aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(41)=1x =
3 4 5 67 8 9 1011 12 13 141 0 0 0
Bu durumda doumlrduumlncuuml
satır ilk elemanını
biz 1 değerini atadık ve diğer elemanları
kendiliğinden ldquo0rdquo
olarak atadı
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
78
İki nokta uumlst uumlste () kullanılarak belirli aralıkta değişen matrisler yaratılabilir
raquo x=[127 3-10 -12]x =
1 3 5 73 2 1 0
-1 0 1 2Bir matrisin herhangi bir boumlluumlmuumlnuuml
seccedilmek iccedilin ise aşağıdaki goumlsterim
kullanılırraquo z=x(23 12)z =
3 2-1 0
Bu durumda z matris x matrisinin 2 ve 3 norsquo
lu satırlarından 1 ve 2 norsquo
lu suumltunlarını
almış
oluyor
Herhangi bir satır veya suumltunu tamamen silmek istersek o satır ve suumltunu seccedilip ldquo[]rdquo
ifadesine eşitleriz
raquo z(2)=[ ]z =
3 -1
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
79
Matlab size ve length komutları
yardımı
ile size matrisinizin boyutlarını
soumlyler
raquo a=[ 2 3 4 5 67 8 9 10 11]
raquo s=size(a)s =
2 5
raquo b=[ 17 11 0 30 40 50]
raquo k=length(b)k =
6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
80
a) Toplama-Ccedilıkarma Bir Sayı
ile Ccedilarpma İşlemi
İki matrisi toplamak (veya ccedilıkarmak) demek matrislerin aynı
mertebedeki elemanları teker teker toplayıp (veya ccedilıkarıp ) aynı
mertebeye yazmak demektir
Bu durumda iki matrisin de aynı mertebeden olması gereği accedilıktır
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile toplamak (veya ccedilıkarmak) demek
matrisin elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla toplamak (veya
ccedilıkarmak )demektir
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile ccedilarpmak demek ise matrisin
elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla ccedilarpmak demektir
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
81
82
Oumlrnek
raquo a=[1 2 3 4 5 6]raquo b=[7 8 9 10 11 12]
a ve b toplamıraquo sum=a+bsum =
8 10 1214 16 18
arsquo
yı
brsquo
den ccedilıkarmak
raquo diff=a-bdiff =
-6 -6 -6-6 -6 -6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
83
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] ve b=[3 -3 -41 1 5] matrisleri
veriliyor
a)
c=a+b toplam matrisini
b)
d=a-b matrisini
c)
amatrisinin her elemanınının 5 eksiğine karsılık gelen e
matrisini
d) f=2a-3b matrisini bulduran islemleri yazalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
a) c=a+b b) d=a-b c) e=a-5 d) f=a+a-b-b-b veya
f=2a-3b
84
İki matrisin ccedilarpım islemi iki biccedilimde anlasılır
1)
Aynı
mertebeden iki matrisin elemanlarını
teker teker ccedilarpıp aynı
mertebeye
yazmak demektir Bunu
islemi ile gerccedileklestiririz
2) Matematiksel anlamda iki matrisi ccedilarpmak istediğimizde birinci matris mxn
tuumlruumlnde ve ikinci matris mutlaka nxp tuumlruumlnde olmalıdır yani birinci matrisin
suumltun sayısı
ikinci matrisin satır sayısına eşit olmalıdır
Bu durumda birinci matrisin i suumltun elemanları
ile ikinci matrisin j satırındaki
elemanlar karılıklı
olarak ccedilarpılır ve sonuccedillar toplanır ve bu toplam ccedilarpım
matrisinin (ij) inci mertebeye yazılır
Matrisler arası
ccedilarpma isleminin semboluuml
de dır
b) İki Matrisin Ccedilarpımı Bir Matrisin Kuvvetleri veCcedilarpma İslemi
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
85
3) Bir a matrisinin her bir elemanının n Kuvvetlerinden olusan matrisi
bulmak iccedilin a^n islemi kullanılır
4) Satır ve suumltun sayıları
esit bir kare matrisi ardısık olarak n defa
kendisiyle ccedilarparak a matrisinin n kuvvetini bulabilirizOumlrneğin a matrisinin
karesi iccedilin aa veya a^2 kuumlbuumlnuuml
buldurmak iccedilin aaa veya a^3
doumlrduumlncuuml
kuvvetini buldurmak iccedilin aaaa veya a^4
Not) Bir a matrisinin eleman -elemana ccedilarpma islemine benzer mantıkla bir matrisin tuumlm elemanlarının kareleri kuumlbleri sinuumlsleri kosinuumlsleri logaritmalarından olusan matris bulunmak istenirse bunu sırayla aa (veya a^2) aaa (veya a^3) sin(a) cos(a) etabanında logaritması
iccedilin log(a) 10 tabanında logaritmaları
iccedilin log10(a) Biccediliminde gerccedileklestirebiliriz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
86
a) a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c1 matrisi varsa bulalım
b) a matrisi ile b matrisinin ccedilarpım matrisi olan c2 varsa bulalım
c) a matrisinin elemanları
ile c matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c3 matrisi varsa bulalım
d) a matrisi ile c matrisinin ccedilarpım matrisi olan c4 varsa bulalım
e) a matrisinin elemanlarının karelerinden olusan matris ile b matrisinin
kosinuumlslerinden olusan matrisler toplamını
bulalım
f) x=[1 00 3] matrisinin i) Karesini ii) Kuumlbuumlnuuml
iii) 10
kuvvetini bulalım
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] b=[3 -3 -41 1 5] ve c=[1 0-1 23 3] matrisleri veriliyor
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
87
Ccediloumlzuumlma) iki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirBu durumda c1 matrisi tanımlıdır ve bunu c1=ab islemi ile gerccedileklestirebilirizb) iki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdırHalbuki a matrisi 2x3 b matrisi de 2x3 olduğundan bu iki matris ccedilarpılamazc) İki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirHalbuki bu matrisler aynı mertebeden olmadığından bu iki matris eleman-elemana ccedilarpma islemi
gerccedileklemezd) İki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdıra matrisi 2x3 luumlk c matrisi de 3x2 lik olduğundan bu iki matris ccedilarpılabilir ve c4 ccedilarpım matrisi 2x2 lik bir matris olurc4 ccedilarpım matrisini c4=ac islemi ile buluruze) a^2+cos(b)f) i) x^2 ii) x^3 iii) x^10
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
88
c) Bir Matrisin Devriğini (Transpozesi) Bulma İslemi
Bir matrisin satırlarını suumltun suumltunlarını satır olarak yazılmasıyla
bulunan matrise bu matrisin devriği (transpozesi) denir
Bir matrisin devriğini islemi ile bulabiliriz
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] nın devriğini buldurup d matrisine atayalım
Ccediloumlzuumlm d=a
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
89
Oumlrnek
b=[7 8 9 10 11 12] matrisinin transpozesini bulabilirmisiniz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
c=bc =
7 108 119 12
90
SORU
a=[1 2 3 4 5 6]
c= [710811912]
ise a ve crsquonin ccedilarpım matrisi
kaccediltır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
Ccedilarpma işlemi k=ack=
50 68122 167
91
SORU
a=[1 2 3 4 5 6] b=[7 8 9 10 11 12]
ise a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan x matrisini bulalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
x=abx =
7 16 2740 55 72
92
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
Aynı mertebeden iki matrisin elemanlarını teker teker boumllerek aynı
mertebeye yazılmasına iki matrisin sol boumllmesi denir ve bu islemi ile
yapılır
a b ve c aynı mertebeden kare matrisler olmak uumlzere
c=ab ise a matrisine c nin b matrisine boumlluumlmuuml denir
c boumlluumlm matrisi islemi ile yapılır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
93
HATIRLATMA
2x2 lik i2 adlı birim matrisi i2=eye(22)
3x luumlk i3 adlı birim matrisi i2=eye(33) islemi ile olusturabiiriz
Aynı mertebeden a ve b kare matrisleri iccedilin a ile b nin ccedilarpımı birim matris ise
b matrisi a matrisinin (aynı biccedilimde a matrisi de b matrisinin) ters matrisidir
Oumlrnek
3x3 luumlk bir a kare matrisinin tersini bulmak iccedilin
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
eye(33)a veya inv(a) islemini kullanırız
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
94
Bir Matrisin Determinantı
Determinant kare matrisleri bir sayıya eşleyen fonksiyondur
Determinant fonksiyonunun kare matrisi eşlediği o sayıya matrisin
determinantı denir
A matrisinin determinantı detA veya |A| biccediliminde goumlsterilir
|A| matrislerde mutlak değer anlamına gelmez |A| sıfır veya
negatif de olabilir
det(x)
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
95
KURAL
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
96
Oumlrnek
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Determinant
raquo
deter=det(x)deter =
21
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
97
Oumlrnek Inverse işlemi
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Detx=det(x)=21 ise
raquo y=inv(x)y =
821 121 -521 221
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
98
SORU
a=[2 -10 01 2 43 0 1] matrisi ile b=[1 5 41 -1 20 1 -1] matrisleri veriliyor
a)
a matrisinin elemanlarını
sırasıyla b matrisinin elemanlarına boumllerek elde
edilen matrisi b1 matrisine atayalım
b) a matrisinin ta ters matrisini bulalım
c) a ile ta matrisinin ccedilarpımının 3x3 luumlk birim matris olduğunu goumlsterelim
d) a matrisinin b matrisine boumlluumlmuumlnuuml
b2 matrisine atayalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
99
Ccediloumlzuumlm
a)
b1=ab
b) ta1=eye(33)a veya ta2=inv(a)
c) ata ==eye(33)
d) b2=ab
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
13
Matlabı ccedilalıstırdığımızda karsımıza ana pencere gelirBu pencerede
File Edit DebugParallel Desktop Window veHelp
ana baslıkları vardır
Bu baslıklar altından diğer Windows programlarında alısılagelmis benzer islemler
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
14
Burada Desktop Desktop Layout ile Matlabın masauumlstuuml yerlesimini
duumlzenleyebilirsiniz
Oumlrneğin Default ile varsayılan goumlruumlnuumlmuumlnuuml
Command Window Only ile sadece klasik komut penceresini
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
15
Command Window Bu pencere komut penceresidir
Bu pencereden Matlab ile ilgili komutları klavyeden girer komutun
islemesini sağlamak iccedilin de Enter tusuna basılır
Komutları girdiğimiz satır gtgt ile baslar ki bu satıra komut satırı denir
EgYarıccedilapı
36 olan bir daire alanı
hesaplayalım
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
16
Bu pencere o ana kadar komut satırından girilen komutları goumlsterir
İstersek bunların birini fareyle seccediler ya da bir kaccedilını veya tuumlmuumlnuuml fare ve
asağı-yukarı youmln tusları yardımıyla seccediler ve delete tusuna basarak silebiliriz
Command History
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
17
oKomut satırından ya da ccedilalıstırılan bir dosya ya da fonksiyon ile hafızada
olusturulan değiskenlerin adlarının tiplerinin ve oumlzelliklerinin goumlruumlntuumllendiği
penceredir
oCcedilalışma Alanı
MATLABrsquoda işletilen fonksyonların veya komutların oluşturduğu
değişkenlerin depolandığı
bir merkezdir
oBoumlylelikle tuumlm değişkenlere belli bir kaynaktan ulaşılabilmektedir bu da
programlama sırasında değişkenlerin yerini belirtmeden bu değişkenleri kullanma
imkanı
sağlamaktadır
Workspace
Uumlstuumlne sağ tuş yapıp
oumlzellikler eklenebilir
egsize
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
18
Workspace
Oumlrneğin
c değiskeni 1x1 boyutunda bir matris yani sayı
b değiskeninin ise 3x2 boyutunda bir matris yani uumlccedil satır ve 2 suumltundan
olusan bir matris
nasılsın adlı değisken de 6 karakterden olusan bir karakter zinciri (string)
olduğu goumlruumlluumlr
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
Oumlrnek Command Windowrsquoa alttaki değerleri yazıp inceleyin
a = 4 b = 5 c = abnasılsın=lsquoiyidirrsquo
19
Matlab Dizi Editoumlruuml
oA değişkenine ccedilift tıklandığında Matlab Dizi Editoumlruuml
accedilılır
oBurda değişkenlerin iccedilerikleri goumlruumlntuumllenir ve değiştirilebilir
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
20
who
ccedilalışma alanında hangi değişkenler olduğu
whos
bu değişkenlerin yapıları
goumlruumllmektedir
what
komutu kullanıcı
diskinin halihazır dizininde mevcut M- dosyaları
listesini verir
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
21
clc
Komut penceresindeki satırları
silmeye yarar
clear
Hafızadaki değişkenler silinir
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
22
Matlab Ccedilalışma Dizini penceresindeki ldquo
aşağı
okrdquo
basılarak ccedilalışma dizini seccedililebilir
Current Folderrsquoda ccedilalışmak istenilern directory youmlnlendirilerek hızlı
ulaşım sağlanır
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
23
Current Folder
Matlab dosyalarının kaydedildiği yuumlklendiği dosyaların bulunduğu
klasoumlruuml
(dizin) varsayılan klasoumlr olarak belirlemeye yarar
Aksi belirtilmedikccedile bu klasoumlr CMatlab6p5work gibi bir klasoumlrduumlr
Yada save FMATLAB_UYGkatsayilar a
katsayilarmat olarak kaydedilen a matrisininmatlab kapatılıp accedilıldıktan sonra herhangi bir zamanda geri ccedilağrılmasıiccedilin
load FMATLAB_UYGkatsayilar
komut dizisi kullanılır
Command Windowa save yazılırsa değişkenler ldquomatlabmatrdquo
veri
dosyasına kaydedilmiş olur
Matlabı
kapatıp accedilalım ve matlabmatrsquoı
ccedilağıralım
(File open matlabmat)
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
Oumlrnekgtgt a=[123 579] a = 1 2 3 5 7 9
24
MATLAB Yardım
1 Komut satırına ldquohelprdquo yazılır Bu yardım sunulabilecek konuların listesini sunar
2 help fonksyon-adı
fonksyon iccedilin yardım metnini goumlruumlntuumller
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
25
Matlab MasaUumlstuuml
Yeni M- Dosyası
Dosya Accedil Help Desk
Kayıtlı
Matlab Fonksyonu kayıt dosyası(mat) modeli figuumlruuml
ve GUI arayuumlzluuml
fonksyonları
accedilar
Veri dosyalarını
accedilar
Ccedilalışma ortamını
kaydeder
Farklı
ccedilalışma dizinini Matlaba tanıtır
Matlab arayuumlzuumlnuuml
ayarlar
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
26
Başlat Duumlğmesi
Matlab araccedil
kutuları Matlab
uygulamalarına eklenti olarak
hazırlanan ve hazır fonksyonları iccedileren paketlerdir
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
27
Başlat Duumlğmesi
Start Duumlğmesi tuumlm matlab uygulamalarına accedilılan kısayolları
iccedilermektedir
Matlab Uygulamaları
iccedilin kısa yol
Araccedil
kutularıSimulinkUy
gulaması
Demolar
Veri Sihirbazı
GUI Hazırlayıcı
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
28
Matlaba Veri Alma
Programa dışarıdan resim film veri ses dosyalarını
matris formatına ccedilevirerek bir değişken olarak atamada kullanılır
File Import Data
Oumlrnek Exel dosyası
alma
Exelde bir matrix oluşturup matlabdan import ile alınız
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
29
Matlabda Temel Kavramlar
Tuumlm programlama dillerinde olduğu gibi (Fortran C Pascal Basic vs)
Matlabın da oumlzel anlam tasıyan bazı kelimeleri vardır ki bu kelimeler değisken
olarak kullanılamazlar
Bu tuumlr kelimelere anahtar kelime (keywords) denir
Bu kelimelerin bir listesini almak iccedilin komut satırına
iskeyword komutunu yazarak elde edebiliriz
Bu kelimeler
breaklsquo case catch continue else elseif endlsquo for function global
if otherwiselsquo persistent return switch try while
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
30
Programın dili ve yardım bilgileri tamamen ingilizcedir
Kuumlccediluumlk-buumlyuumlk harf ayrımı vardır
Oumlrneğin dscrite DSCRITE ve Dscrite atamaları farklı şekilde
algılanır
Eğer istenirse ldquocasesen offrdquokomutu ile bu durum sona
erdirilebilir
raquo işareti komut promptrsquoudur
Komutlar Enter ile yuumlruumltuumlluumlr
2 Matlab Kullanımında Temel Kurallar
Matlab
31
Genel komutların isimleri ve accedilıklamaları
2 Matlab Kullanımında Temel KurallarMATLAB
32
2 Matlab Kullanımında Temel KurallarMATLAB
MATLAB kontroluumlnuuml
kullanabilmeniz iccedilin oumlzel karakterlere sahiptir Bu karakterlerin bir oumlzeti
33
2 Matlab Kullanımında Temel KurallarMatlab
34
2 Matlab Kullanımında Temel KurallarMatlab
35
İFADELER Matematiksel ve metinsel goumlsterimler ile işlemler ifadelerlesağlanır
Sayılar (Numbers)Değişkenler (Variables)İşleccediller (Operators)Fonksiyonlar (Functions)
Matlabrsquode ifadeler genellikle değişken = ifade veya sadece ifade formundadır
Sayısal Analiz
x = 4 sqrt(5) İfade
değişkensayı işleccedil fonksiyon
Bir ifade = işareti ile bir değişkene atanmamış
ise Matlab otomatik olarak sonucu ans (answer)
adı
verilen oumlzel bir değişkende saklar
3 MATRİSLER
36
o
Birden
fazla ifade
tek satırda aralarına
ya da koyarak yazılabilir
o
Yazımda
boşluk
sayısı
etkisizdir
o
Sadece
ilgili
değişken
adını
yazarak
o değişkeni ccedilağırabilirsiniz
MATRİSLER31 İFADELER
37
o MATLABrsquoda herhangi bir tip tanımlaması
veya boyut ifadesine gerek yoktur
o
MATLAB yeni bir değişken ismi ile karşılaştığında otomatik olarak ans isminde
bir değişken oluşturur ve uygun bir bellek miktarı
ayırır
oEğer değişken zaten varsa MATLAB gerekli bir bellek ayırdığında iccedileriği değişir
Oumlrneğin
o ogrenci_sayı=51
32 DeğişlenlerMatlab
Değisken
değeri değisebilen bellek alanına isaret eden değerlere
38
MATLAB değişken girişleri iccedilin ccedileşitli kurallara sahiptir
Her değişken bir harfle başlamak zorundadır
Program buumlyuumlk kuumlccediluumlk harf duyarlıdır X ve x farklı değişkenleri ifade eder
Program 31 basamağa kadar duyarlıdır Bu basamaktan sonrasını yok sayar
Dolayısıyla 31 basamaktan uzun değişken isimleri karışıklık yaratabilir
32 DeğişlenlerMatlab
39
Değiskenlere Değer Atama
Her hangi bir programlama dilinde olduğu gibi Matlabrsquoda da bir değiskene
değer verme islemine rdquodeğer atamakrdquo denir
Bir değiskene atanan değer değistirilmediği suumlrece aynı kalır
Değer atamanın genel kullanımı asağıdaki biccediliminde olur
ltDeğisken adıgt=ltAtanacak değergt
32 DeğişlenlerMatlab
40
Oumlrnek 2
A=6i-7 A değişkenine skaler bir değer atar
B=A 7
B değişkenine A değişkeninin 17 si atanmıştır
C=[3 4 5 6]
4 elemanlı
bir satır vektoumlruuml
atanmıştır
NOT
Dizi girişinde herhangi bir satıra ait elemanlar aralarına boşluk veya virguumll ldquordquo konularak ayrılır
Dizinin diğer bir satırına başlamak iccedilin biten satır sonuna konulur
32 DeğişlenlerMatlab
41
oMATLABrsquoda sayılar yaygın olarak kullanılan onluk tabanda ifade edilirler
o
Bunun yanısıra onluk tabanda uumlstel olarak veya i veya j olarak kompleks sayı biccedilimlerinde de ifade edilebilirler
oOumlrnek olarak
33 Sayılar
Matlab da i
ve j
başka tuumlrluuml
tanımlanmamışsa kompleks i sayısını
goumlsterir 3e5 sayısıda 3105
anlamındadır
MATRİSLER
42
o
Ondalık sayılar Tuumlrkccedilemizdeki
35 yerine
35 şeklinde
goumlsterilir
(00001 veya 963
065 yerine 65)
o
Bilimsel
notasyon
goumlsterimi olan e
(veya E) harfi
10rsquonun kuvvetini
temsil eder
o 2e4=2104=2000 veya
165e-20=16510-20
demektir
o
Kompleks
sayılarda
imajiner
(sanal) kısımlar
i
veya
j
ekini
alır
i veya
j
ile
gosterimlerinde
bir
fark
yoktur
o (1+3i veya 1+3i veya 1+i3) 1+sqrt(3)j
-5i
o
Matlabrsquode
tuumlm
sayılar yaklaşık 210308 ve
210-308 arasında
değişir
33 Sayılar
MATRİSLER
43
Sayı
Formatları
33 SayılarMatlabMATRİSLER
44
oMatlabda bir ccedilok eylem doumlrt islem ve matematiksel bazı
islemler
yaptırabiliriz
oBunun iccedilin ya ilgili komutları
komut penceresinden teker teker girerek veya
ilgili komutları
bir dosyaya yazıp o dosyayı
ccedilağırarak ccedilalıstırabiliriz
oİşlemleri yaptırırken sayıları
reel sayı
ya da karmasık sayı
olarak alabiliriz
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
45
Matematiksel ifadeleri oluşturmak iccedilin operatoumlrler ve oumlnceden tanımlanmış sembolleri kullanabilirsiniz
oOperatoumlrler oumlzetle şunlardır
oMatrislerle yapılan işlemlerde boumllme işlemi iccedilin iki farklı
sembol kullanılmaktadıroBunun yanında eğer sayılar skaler ise iki boumllme işleminin sonucu da aynı
değeri
goumlsterecektiroOumlrneğin 32 ile 23 ifadelerinin sonuccedilları
aynı
olup 15rsquodir
raquo 4+83ndash2ans =26
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
46
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
x=a + b
Bu ifadede a ve b nin toplandığı
ve x değişkeni iccedilinde saklandığıbelirtilmektedir
47
Aritmetiksel İşlemlerde Oumlncelik Durumu
oTek bir aritmetiksel durum iccedilinde birden fazla durum bir arada bulunabildiğine goumlre
hangi işlemin oumlncelik hakkına sahip olunduğunun
bilinmelidir
oMATLABrsquoda kullanılan işlemlerde işlemlerin oumlncelik
listesi
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
bazı
temel matematiksel fonksiyonların accedilıklamaları
48
o
MATLABrsquo
da işlemler soldan sağa işlerlero
İşlemler arası
oumlncelik sırası
aşağıdaki gibidir
1 ^
(Yuumlksek)2
darr
3 + -
(Duumlşuumlk)
raquo 3^(2ndash5)-632 raquo 3^2ndash5ndash632ans = ans =
mdash39630 0
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
49
35 FonksyonlarMATRİSLER
o MATLABrsquoın ccedilok guumlccedilluuml
ve ccedilok kapsamlı
bir fonksiyon yapısı
vardır
oMATLABrsquoda bazı
fonksiyonlar daha oumlnceden yerleştirilmiş
bazıları
ise sonradan
dışarıdan yerleştirilmiş
M-dosyalarından oluşan MATLAB kuumltuumlphanelerinde
tanımlanmışlardır
oBunun yanında oumlzel uygulamalar iccedilin kullanıcıların kendi fonksiyonlarını
yazarak
kendi kuumltuumlphanelerini oluşturması
muumlmkuumlnduumlr
MATLABrsquoda mevcut analitik fonksiyonları
genel olarak aşağıdaki kategorilere ayırabiliriz oTemel matematiksel fonksiyonlaroOumlzel fonksiyonlaroTemel matrisler ve matris işlemlerioMatrisleri ccedilarpanlarına ayırmaoVeri analizlerioPolinomlaroDiferansiyel denklem ccediloumlzuumlmlerioLineer olmayan denklemler ve optimizasyonoSayısal integral hesaplamalarıoSinyal işleme
50
Matematiksel Fonksiyonlar
bazı
temel matematiksel fonksiyonların accedilıklamaları
35 FonksyonlarMATRİSLER
Oumlrnekgtgtexp(1)ans=27183gtgtfix(35)ans=3gtgtceil(35)ans=4gtgtround(35)ans=4
51
Matlabda oumlnceden tanımlanmıs bazı
sabitlerdirBunlar aşağıdaki tabloda goumlsterilmistir
36 Oumlzel SabitlerMatlab
52
Oumlrnekler
1)
a=1
2)
a=rsquoİstanbulrsquo
3)
a=5b=7c=a+b
4) a=5b=-3c=a+2ba=a+b
5)
num=23-5^2 x=num2 y=x+10
7 Sabitler Değiskenler ve Metin KatarlarıMatlab
53
Oumlrnek
Komut satırına
a)
sin(30)
b)
sin(30pi180) yazınız sonuccedilları
inceleyiniz
35 FonksyonlarMATRİSLER
Cevapa) -09880 sonucu goumlruumlluumlr ki bu 30deg
nin sinuumlsuumlnde n farklıdır Ccediluumlnkuuml
bu 30deg
derece değil 30 radyanın sinuumlsuumlduumlrb) 05000 sonucu goumlruumlluumlr ki bu da 30deg
nin sinuumlsuumld uumlr O halde bir
sayının trigonometrik değerini buldurmak iccedilin oumlnce pi ile ccedilarpıp 180 e boumllerek accedilıyı
radyan ccedilevirip sonra trigonometrik değerini
hesaplatabiliriz
54
oVektoumlrler tek boyutlu sayı
dizileridir
oElemanlarının sıralanma youmlnlerine goumlre suumltun veya satır vektoumlruuml
adlarını alırlar
ovektoumlrler [ ] koumlşeli parantezleri ile tanımlanır
ofarklı
yolla tanımlanabilirler
4 VektoumlrlerMatlab
A = [4 12 -8 6]A = [4 12 -8 6]
B = [1 2 4 6]
Satır Vektoumlruuml
Suumltun Vektoumlruumlgtgt b=[1 2 4 6 ]
55
4 VektoumlrlerMatlab
ovektoumlr boyutları
buumlyuumlduumlkccedile manuel olarak tanıtım işlemi oldukccedila zorlaşmaktadır
oOumlzellikle belli bir artıma sahip vektoumlrlerin oluşturulmasında () operatoumlruuml kullanılmaktadır
C = [-105150]
Son değerBaşlangıccedil değeri Artış
miktarı
Drsquo
= [30-10-30]
Suumltun Vektoumlruuml
56
Vektoumlr indisleri
4 VektoumlrlerMatlab
Bir vektoumlruumln elemanlarına atanılan değer değişkenler editoumlruuml
veya eleman adresi vasıtasıyla değiştirilebilir
OumlrnekA = [4 12 -8 6]1 A vektoumlruumlnuumln 3 elemanını
27 ile değiştiriniz
2 Benzer şekilde A vektoumlruumlnuumln 2 elemanını
siliniz 3 A(9) = 12
Ccediloumlzuumlm1 A(3) = 272 Vektoumlruumln elemanına [ ] değeri atandığında eleman silinirA(2) = [ ]3 gtgt A(9) = 12
A= [ 4 27 6]
A =[ 2 27 7 0 0 0 0 0 12]
57
raquo x=[17 8 61 83 56]
Şeklindeki bir matrisin uumlccediluumlncuuml
elemanına erişmek istenirse
raquo c=x(3)
c =
61
Eğer bir blok şeklinde veriye erişilmek istenirse
raquo x(24)
ans =
8 61 83
Her matristeki herhangi bir elman grubuna erişilmek istenirse
raquo x([3 1 4])
ans =
61 17 83
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
58
Bir diziye duumlzenli artıs (veya azalıs) kuralıyla değerler atanmak isteniyorsa
bunu
ilk_değerartısson değer veya ilk_değerartısson değer
biccediliminde yapabiliriz
Ancak artıs 1 ise belirtilmeyebilirOumlrnekortalama adlı
bir diziye 0 dan 5 e kadar 05 er artısla elde edilen sayı
dizisini atayanortalama=[0055]
Siz 1 satır 7 den den 17 ye kadar olan tam sayılar 2 satırı
99 dan 89 a kadar azalan tam sayılardan olusan 2 boyutlu m dizisine atayan islemleri yazınız
Dizilerin Değerlerinin Değistirilmesi ve Duumlzenlenmesi
4 VektoumlrlerMatlab
59
4 VektoumlrlerMatlab
60
Sayılardan olusan satır ve suumltun yapısına matris (dizi) denir
Oumlrneğin
d1=[5] 1x1 lik
d2=[ 2 -7] 1x2 lik
d3= [1 0 -3 ]
[ 5 3 1 ]
2x3 luumlk bir dizidir
Oumlrnekx=[1 7 18 5]Ya daraquo x=[ 1
7185 ]
Biccedilimlerinde girilebilir
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
61
Dizilerin Değerlerinin Değistirilmesi ve DuumlzenlenmesiBir dizinin herhangi bir elemanını belirlemek iccedilin dizi adından hemen sonra
parantez iccedilinde elemanın bulunduğu satır ve suumltun sayısı yazılmalıdır
Oumlrnek 1 d2=[2 -7]d2 dizisinin -7 elemanını
goumlruumlntuumllemek iccedilin
d2(12)
2 d3=[1 0 -35 3 1]d3 dizisinin 2 satır 1 suumltununda bulunan 5 in değerinin -75 olması
iccedilin
d3(21)=-75
Not1) Bir dizinin bir ccedilok elemanını
yeniden değer atamak gerekirse komut satırından atama yapmak uzun zaman alabilirBu durumda dizi değiskeninin uumlzerine ccedilift tıklayarak accedilılan dizi editoumlruuml
(array edit) yardımıyla değisiklikleri daha kolay yapabiliriz
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
62
8 Matrisler(Dizi)Matlab
Bir matrisi girerken o1 Elemanlar baştan ve sondan koumlşeli parantezlerle kapatılıro2 Elemanların arasına boşluk veya virguumll konuluro3 Matris satırlarını
ayırmak iccedilin de noktalı
virguumll kullanılır
okurallarına dikkate alınmalıdır
Oumlrneğin
A = [1 2 3 4 5 6]A =
1 2 34 5 6
şeklinde veriler matrisler biccediliminde tanımlanır MATLAB daha sonra kullanılmak uumlzere verileri A matrisinde saklar
63
Matris elemanları
rasgele rakamlardan oluşabileceği gibi MATLABrsquoın deyimlerinden de oluşabilir
51 Matrislerde ElemanlarMatlab
Oumlrneğin
a=[-13 sqrt(3) (1+2+3)475]
a= -13000 17321 48000
Kuumlccediluumlk matrisleri eleman olarak kullanıp daha buumlyuumlk matrisler oluşturmak muumlmkuumlnduumlr
OumlrneğinM=[1 3 5
7 8 9] matrisine
aşağıda goumlsterildiği şekilde bir satır eklemesi yapabilir
M=[M[10 13 15]]
Bu durumda M matrisiM=[1 3 5
7 8 910 13 15]
durumunu alır
64
İki nokta uumlst uumlste () kullanarak buumlyuumlk matrislerin belli bir kısmını
kullanabiliriz
ya da diğer ifade ile bu matrisi kuumlccediluumlltebiliriz
Oumlrneğin
M=M(12) bildirimi M matrisinin ilk iki satırını
alarak M matrisi
olarak saklar
Oumlrnek
M=[8 -4 7 66 -7 8 9 4 5 134] ise
M=M(12) =
8 1 Matrislerde ElemanlarMatlab
65
MATLABrsquoda kullanıcı
verileri kendi oluşturacağı
matrisler ile tanımlayabileceği gibi MATLABrsquoın kendi oumlzel matrislerinden de istifade edilebilir
52 Genel MatrislerMatlab
66
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
a) Sıfır Matrisi Olusturan Fonksiyon
Her elemanı sıfır olan mxn boyutunda bir matrise sıfır matrisi denir
Boumlyle bir dizi olusturmak iccedilin zeros fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=zeros(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
3x5 boyutunda s adlı
sıfır matrisi iccedilin
s=zeros(35)
52 Genel MatrislerMatlab
67
b) 1 lerden Olusan Matris
Her elemanı 1 olan mxn boyutunda bir matrisi olusturmak iccedilin ones
fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matria_adı=ones(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
2x3 boyutunda b adlı
tuumlm elemanları
1 olan matrisi olusturalım
b=ones(23)
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
52 Genel MatrislerMatlab
68
c) Birim Matrisi Olusturan Fonksiyon
Esas koumlsegeni 1 lerden diğer elemanları 0 lardan olusan kare matrise (satır
ve suumltun sayısı esit olan ) birim matrisi
kare olmayan matrise de diyagonal matris denir
Boumlyle matrisleri olusturmak iccedilin eye fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=eye(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
a)
3x3 luumlk birim matris
b) 4x3 lluumlk diyagonal matris olusturalım
Ccediloumlzuumlma) i=eye(33) b) d=eye(43)
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar52 Genel MatrislerMatlab
69
d) Rastgele Sayılardan Olusan Matris ve Fonksiyonu
Elemanları 0 ile 1 arasındaki rastgele sayılardan olusan bir matris iccedilin
rand fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=rand(mn) biccedilimindedir(msatırnsuumltun)
Not 1) Uumlretilen matrisin tuumlm elemanlarını k gibi bir sayı ile ccedilarparak
sayıları 0 ile k arasına ccedilekebiliriz
Not 2) Ondalıklı sayılardan olusmus bir matrisin elemanlarını
yuvarlayıp tam sayı yapmak iccedilin round fonksiyonunu kullanırız
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar52 Genel MatrislerMatlab
70
Oumlrnek
a) 0 ile 1 arasında rastgele sayılardan olusan 10 elemanlı
a adında bir satır
matrisi olusturalım
b) Elemanları
10 ile 50 arasında sayılardan olusan 5x3 tipinde b matrisini
olusturalım
c) Elemanları
50 ile 300 arasındaki tamsayılardan olusan 3x4 tipinde c matrisini
olusturalım
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
d) Rastgele Sayılardan Olusan Matris ve Fonksiyonu
52 Genel MatrislerMatlab
71
Ccediloumlzuumlm
a)
a=rand(110)
b)
b=10+rand(53)40
c) c=round(50+rand(34)250)
52 Genel MatrislerMatlab
72
e) Rastgele Sayılardan Olusan Normal Dağılımlı
Matris veFonksiyonu
Elemanları rasstgele sayılardan olusan bir normal dağılımlı bir matris iccedilin
randn fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=randn(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek Rastgele sayılardan olusan normal dağılımlı 2x3 luumlk bir n matrisini
olusturalım
Ccediloumlzuumlm n=randn(23)
52 Genel MatrislerMatlab
73
f) Lineer Aralıklı
(Aritmetik) Dizi ve Fonksiyonu
Baslangıccedil ve biis değerleri ve kaccedil elemandan olusacağı belirlenen diziyi
olusturmak iccedilin linspace fonksiyonu kullanılır
Kullanımı
dizi_adı=linspace(ilk_değerson_değereleman_sayısı)
biccedilimindedir
52 Genel MatrislerMatlab
74
Oumlrnek 10 ile 30 arasına 9 tane daha sayı
koyarak aadında bir aritmetik dizi olusturalım
f) Lineer Aralıklı
(Aritmetik) Dizi ve Fonksiyonu
52 Genel MatrislerMatlab
Cevapa=linspace(103011)
75
Elimizdeki grubun her elemanı iccedilin bir matematik işlemi yapıp bunu yeni bir
diziye atarken herhangi bir sorun yoktur
Fakat iki farklı grupla işlemler yaparken dikkat etmemiz gereken genel
kurallar vardır
Oumlrneğin toplama ve ccedilıkarma yaparken iki dizinin de buumlyuumlkluumlğuumlnuumln eşit
olması gerekmektedir
Ayrıca iki farklı dizinin elemanları arasında birebir işlem yapmak iccedilin
matematik operatoumlruumlnuumln başına nokta() koymak gerekir
Bu durumda her bir elemanı diğer dizinin o sıradaki elmanı ile işleme
sokacaktır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
76
Birden fazla satır ve suumltuna sahip vektoumlrlere matris denir Noktalı
virguumll ()
işareti ile kolonları
ve virguumlle işareti ya da boşluk
bırakarak da bir sıradaki elemanları
ayırabilirizOumlrnekraquo x=[ 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14]x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14Yukarıdaki 3x4 boyutunda bir matristir MATLAB programına aşağıdaki
gibi de sunulabilirraquo x=[ 3 4 5 6
7 8 9 1011 12 13 14]
x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
77
Matristeki herhangi bir elemana direk ulaşmak iccedilin aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(23)=9
Eğer isteğimiz eriştiğimiz bir elemanı
değiştirmek veya yeni bir satır eklemek ise aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(41)=1x =
3 4 5 67 8 9 1011 12 13 141 0 0 0
Bu durumda doumlrduumlncuuml
satır ilk elemanını
biz 1 değerini atadık ve diğer elemanları
kendiliğinden ldquo0rdquo
olarak atadı
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
78
İki nokta uumlst uumlste () kullanılarak belirli aralıkta değişen matrisler yaratılabilir
raquo x=[127 3-10 -12]x =
1 3 5 73 2 1 0
-1 0 1 2Bir matrisin herhangi bir boumlluumlmuumlnuuml
seccedilmek iccedilin ise aşağıdaki goumlsterim
kullanılırraquo z=x(23 12)z =
3 2-1 0
Bu durumda z matris x matrisinin 2 ve 3 norsquo
lu satırlarından 1 ve 2 norsquo
lu suumltunlarını
almış
oluyor
Herhangi bir satır veya suumltunu tamamen silmek istersek o satır ve suumltunu seccedilip ldquo[]rdquo
ifadesine eşitleriz
raquo z(2)=[ ]z =
3 -1
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
79
Matlab size ve length komutları
yardımı
ile size matrisinizin boyutlarını
soumlyler
raquo a=[ 2 3 4 5 67 8 9 10 11]
raquo s=size(a)s =
2 5
raquo b=[ 17 11 0 30 40 50]
raquo k=length(b)k =
6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
80
a) Toplama-Ccedilıkarma Bir Sayı
ile Ccedilarpma İşlemi
İki matrisi toplamak (veya ccedilıkarmak) demek matrislerin aynı
mertebedeki elemanları teker teker toplayıp (veya ccedilıkarıp ) aynı
mertebeye yazmak demektir
Bu durumda iki matrisin de aynı mertebeden olması gereği accedilıktır
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile toplamak (veya ccedilıkarmak) demek
matrisin elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla toplamak (veya
ccedilıkarmak )demektir
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile ccedilarpmak demek ise matrisin
elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla ccedilarpmak demektir
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
81
82
Oumlrnek
raquo a=[1 2 3 4 5 6]raquo b=[7 8 9 10 11 12]
a ve b toplamıraquo sum=a+bsum =
8 10 1214 16 18
arsquo
yı
brsquo
den ccedilıkarmak
raquo diff=a-bdiff =
-6 -6 -6-6 -6 -6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
83
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] ve b=[3 -3 -41 1 5] matrisleri
veriliyor
a)
c=a+b toplam matrisini
b)
d=a-b matrisini
c)
amatrisinin her elemanınının 5 eksiğine karsılık gelen e
matrisini
d) f=2a-3b matrisini bulduran islemleri yazalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
a) c=a+b b) d=a-b c) e=a-5 d) f=a+a-b-b-b veya
f=2a-3b
84
İki matrisin ccedilarpım islemi iki biccedilimde anlasılır
1)
Aynı
mertebeden iki matrisin elemanlarını
teker teker ccedilarpıp aynı
mertebeye
yazmak demektir Bunu
islemi ile gerccedileklestiririz
2) Matematiksel anlamda iki matrisi ccedilarpmak istediğimizde birinci matris mxn
tuumlruumlnde ve ikinci matris mutlaka nxp tuumlruumlnde olmalıdır yani birinci matrisin
suumltun sayısı
ikinci matrisin satır sayısına eşit olmalıdır
Bu durumda birinci matrisin i suumltun elemanları
ile ikinci matrisin j satırındaki
elemanlar karılıklı
olarak ccedilarpılır ve sonuccedillar toplanır ve bu toplam ccedilarpım
matrisinin (ij) inci mertebeye yazılır
Matrisler arası
ccedilarpma isleminin semboluuml
de dır
b) İki Matrisin Ccedilarpımı Bir Matrisin Kuvvetleri veCcedilarpma İslemi
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
85
3) Bir a matrisinin her bir elemanının n Kuvvetlerinden olusan matrisi
bulmak iccedilin a^n islemi kullanılır
4) Satır ve suumltun sayıları
esit bir kare matrisi ardısık olarak n defa
kendisiyle ccedilarparak a matrisinin n kuvvetini bulabilirizOumlrneğin a matrisinin
karesi iccedilin aa veya a^2 kuumlbuumlnuuml
buldurmak iccedilin aaa veya a^3
doumlrduumlncuuml
kuvvetini buldurmak iccedilin aaaa veya a^4
Not) Bir a matrisinin eleman -elemana ccedilarpma islemine benzer mantıkla bir matrisin tuumlm elemanlarının kareleri kuumlbleri sinuumlsleri kosinuumlsleri logaritmalarından olusan matris bulunmak istenirse bunu sırayla aa (veya a^2) aaa (veya a^3) sin(a) cos(a) etabanında logaritması
iccedilin log(a) 10 tabanında logaritmaları
iccedilin log10(a) Biccediliminde gerccedileklestirebiliriz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
86
a) a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c1 matrisi varsa bulalım
b) a matrisi ile b matrisinin ccedilarpım matrisi olan c2 varsa bulalım
c) a matrisinin elemanları
ile c matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c3 matrisi varsa bulalım
d) a matrisi ile c matrisinin ccedilarpım matrisi olan c4 varsa bulalım
e) a matrisinin elemanlarının karelerinden olusan matris ile b matrisinin
kosinuumlslerinden olusan matrisler toplamını
bulalım
f) x=[1 00 3] matrisinin i) Karesini ii) Kuumlbuumlnuuml
iii) 10
kuvvetini bulalım
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] b=[3 -3 -41 1 5] ve c=[1 0-1 23 3] matrisleri veriliyor
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
87
Ccediloumlzuumlma) iki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirBu durumda c1 matrisi tanımlıdır ve bunu c1=ab islemi ile gerccedileklestirebilirizb) iki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdırHalbuki a matrisi 2x3 b matrisi de 2x3 olduğundan bu iki matris ccedilarpılamazc) İki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirHalbuki bu matrisler aynı mertebeden olmadığından bu iki matris eleman-elemana ccedilarpma islemi
gerccedileklemezd) İki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdıra matrisi 2x3 luumlk c matrisi de 3x2 lik olduğundan bu iki matris ccedilarpılabilir ve c4 ccedilarpım matrisi 2x2 lik bir matris olurc4 ccedilarpım matrisini c4=ac islemi ile buluruze) a^2+cos(b)f) i) x^2 ii) x^3 iii) x^10
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
88
c) Bir Matrisin Devriğini (Transpozesi) Bulma İslemi
Bir matrisin satırlarını suumltun suumltunlarını satır olarak yazılmasıyla
bulunan matrise bu matrisin devriği (transpozesi) denir
Bir matrisin devriğini islemi ile bulabiliriz
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] nın devriğini buldurup d matrisine atayalım
Ccediloumlzuumlm d=a
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
89
Oumlrnek
b=[7 8 9 10 11 12] matrisinin transpozesini bulabilirmisiniz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
c=bc =
7 108 119 12
90
SORU
a=[1 2 3 4 5 6]
c= [710811912]
ise a ve crsquonin ccedilarpım matrisi
kaccediltır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
Ccedilarpma işlemi k=ack=
50 68122 167
91
SORU
a=[1 2 3 4 5 6] b=[7 8 9 10 11 12]
ise a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan x matrisini bulalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
x=abx =
7 16 2740 55 72
92
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
Aynı mertebeden iki matrisin elemanlarını teker teker boumllerek aynı
mertebeye yazılmasına iki matrisin sol boumllmesi denir ve bu islemi ile
yapılır
a b ve c aynı mertebeden kare matrisler olmak uumlzere
c=ab ise a matrisine c nin b matrisine boumlluumlmuuml denir
c boumlluumlm matrisi islemi ile yapılır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
93
HATIRLATMA
2x2 lik i2 adlı birim matrisi i2=eye(22)
3x luumlk i3 adlı birim matrisi i2=eye(33) islemi ile olusturabiiriz
Aynı mertebeden a ve b kare matrisleri iccedilin a ile b nin ccedilarpımı birim matris ise
b matrisi a matrisinin (aynı biccedilimde a matrisi de b matrisinin) ters matrisidir
Oumlrnek
3x3 luumlk bir a kare matrisinin tersini bulmak iccedilin
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
eye(33)a veya inv(a) islemini kullanırız
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
94
Bir Matrisin Determinantı
Determinant kare matrisleri bir sayıya eşleyen fonksiyondur
Determinant fonksiyonunun kare matrisi eşlediği o sayıya matrisin
determinantı denir
A matrisinin determinantı detA veya |A| biccediliminde goumlsterilir
|A| matrislerde mutlak değer anlamına gelmez |A| sıfır veya
negatif de olabilir
det(x)
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
95
KURAL
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
96
Oumlrnek
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Determinant
raquo
deter=det(x)deter =
21
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
97
Oumlrnek Inverse işlemi
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Detx=det(x)=21 ise
raquo y=inv(x)y =
821 121 -521 221
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
98
SORU
a=[2 -10 01 2 43 0 1] matrisi ile b=[1 5 41 -1 20 1 -1] matrisleri veriliyor
a)
a matrisinin elemanlarını
sırasıyla b matrisinin elemanlarına boumllerek elde
edilen matrisi b1 matrisine atayalım
b) a matrisinin ta ters matrisini bulalım
c) a ile ta matrisinin ccedilarpımının 3x3 luumlk birim matris olduğunu goumlsterelim
d) a matrisinin b matrisine boumlluumlmuumlnuuml
b2 matrisine atayalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
99
Ccediloumlzuumlm
a)
b1=ab
b) ta1=eye(33)a veya ta2=inv(a)
c) ata ==eye(33)
d) b2=ab
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
14
Burada Desktop Desktop Layout ile Matlabın masauumlstuuml yerlesimini
duumlzenleyebilirsiniz
Oumlrneğin Default ile varsayılan goumlruumlnuumlmuumlnuuml
Command Window Only ile sadece klasik komut penceresini
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
15
Command Window Bu pencere komut penceresidir
Bu pencereden Matlab ile ilgili komutları klavyeden girer komutun
islemesini sağlamak iccedilin de Enter tusuna basılır
Komutları girdiğimiz satır gtgt ile baslar ki bu satıra komut satırı denir
EgYarıccedilapı
36 olan bir daire alanı
hesaplayalım
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
16
Bu pencere o ana kadar komut satırından girilen komutları goumlsterir
İstersek bunların birini fareyle seccediler ya da bir kaccedilını veya tuumlmuumlnuuml fare ve
asağı-yukarı youmln tusları yardımıyla seccediler ve delete tusuna basarak silebiliriz
Command History
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
17
oKomut satırından ya da ccedilalıstırılan bir dosya ya da fonksiyon ile hafızada
olusturulan değiskenlerin adlarının tiplerinin ve oumlzelliklerinin goumlruumlntuumllendiği
penceredir
oCcedilalışma Alanı
MATLABrsquoda işletilen fonksyonların veya komutların oluşturduğu
değişkenlerin depolandığı
bir merkezdir
oBoumlylelikle tuumlm değişkenlere belli bir kaynaktan ulaşılabilmektedir bu da
programlama sırasında değişkenlerin yerini belirtmeden bu değişkenleri kullanma
imkanı
sağlamaktadır
Workspace
Uumlstuumlne sağ tuş yapıp
oumlzellikler eklenebilir
egsize
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
18
Workspace
Oumlrneğin
c değiskeni 1x1 boyutunda bir matris yani sayı
b değiskeninin ise 3x2 boyutunda bir matris yani uumlccedil satır ve 2 suumltundan
olusan bir matris
nasılsın adlı değisken de 6 karakterden olusan bir karakter zinciri (string)
olduğu goumlruumlluumlr
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
Oumlrnek Command Windowrsquoa alttaki değerleri yazıp inceleyin
a = 4 b = 5 c = abnasılsın=lsquoiyidirrsquo
19
Matlab Dizi Editoumlruuml
oA değişkenine ccedilift tıklandığında Matlab Dizi Editoumlruuml
accedilılır
oBurda değişkenlerin iccedilerikleri goumlruumlntuumllenir ve değiştirilebilir
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
20
who
ccedilalışma alanında hangi değişkenler olduğu
whos
bu değişkenlerin yapıları
goumlruumllmektedir
what
komutu kullanıcı
diskinin halihazır dizininde mevcut M- dosyaları
listesini verir
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
21
clc
Komut penceresindeki satırları
silmeye yarar
clear
Hafızadaki değişkenler silinir
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
22
Matlab Ccedilalışma Dizini penceresindeki ldquo
aşağı
okrdquo
basılarak ccedilalışma dizini seccedililebilir
Current Folderrsquoda ccedilalışmak istenilern directory youmlnlendirilerek hızlı
ulaşım sağlanır
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
23
Current Folder
Matlab dosyalarının kaydedildiği yuumlklendiği dosyaların bulunduğu
klasoumlruuml
(dizin) varsayılan klasoumlr olarak belirlemeye yarar
Aksi belirtilmedikccedile bu klasoumlr CMatlab6p5work gibi bir klasoumlrduumlr
Yada save FMATLAB_UYGkatsayilar a
katsayilarmat olarak kaydedilen a matrisininmatlab kapatılıp accedilıldıktan sonra herhangi bir zamanda geri ccedilağrılmasıiccedilin
load FMATLAB_UYGkatsayilar
komut dizisi kullanılır
Command Windowa save yazılırsa değişkenler ldquomatlabmatrdquo
veri
dosyasına kaydedilmiş olur
Matlabı
kapatıp accedilalım ve matlabmatrsquoı
ccedilağıralım
(File open matlabmat)
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
Oumlrnekgtgt a=[123 579] a = 1 2 3 5 7 9
24
MATLAB Yardım
1 Komut satırına ldquohelprdquo yazılır Bu yardım sunulabilecek konuların listesini sunar
2 help fonksyon-adı
fonksyon iccedilin yardım metnini goumlruumlntuumller
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
25
Matlab MasaUumlstuuml
Yeni M- Dosyası
Dosya Accedil Help Desk
Kayıtlı
Matlab Fonksyonu kayıt dosyası(mat) modeli figuumlruuml
ve GUI arayuumlzluuml
fonksyonları
accedilar
Veri dosyalarını
accedilar
Ccedilalışma ortamını
kaydeder
Farklı
ccedilalışma dizinini Matlaba tanıtır
Matlab arayuumlzuumlnuuml
ayarlar
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
26
Başlat Duumlğmesi
Matlab araccedil
kutuları Matlab
uygulamalarına eklenti olarak
hazırlanan ve hazır fonksyonları iccedileren paketlerdir
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
27
Başlat Duumlğmesi
Start Duumlğmesi tuumlm matlab uygulamalarına accedilılan kısayolları
iccedilermektedir
Matlab Uygulamaları
iccedilin kısa yol
Araccedil
kutularıSimulinkUy
gulaması
Demolar
Veri Sihirbazı
GUI Hazırlayıcı
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
28
Matlaba Veri Alma
Programa dışarıdan resim film veri ses dosyalarını
matris formatına ccedilevirerek bir değişken olarak atamada kullanılır
File Import Data
Oumlrnek Exel dosyası
alma
Exelde bir matrix oluşturup matlabdan import ile alınız
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
29
Matlabda Temel Kavramlar
Tuumlm programlama dillerinde olduğu gibi (Fortran C Pascal Basic vs)
Matlabın da oumlzel anlam tasıyan bazı kelimeleri vardır ki bu kelimeler değisken
olarak kullanılamazlar
Bu tuumlr kelimelere anahtar kelime (keywords) denir
Bu kelimelerin bir listesini almak iccedilin komut satırına
iskeyword komutunu yazarak elde edebiliriz
Bu kelimeler
breaklsquo case catch continue else elseif endlsquo for function global
if otherwiselsquo persistent return switch try while
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
30
Programın dili ve yardım bilgileri tamamen ingilizcedir
Kuumlccediluumlk-buumlyuumlk harf ayrımı vardır
Oumlrneğin dscrite DSCRITE ve Dscrite atamaları farklı şekilde
algılanır
Eğer istenirse ldquocasesen offrdquokomutu ile bu durum sona
erdirilebilir
raquo işareti komut promptrsquoudur
Komutlar Enter ile yuumlruumltuumlluumlr
2 Matlab Kullanımında Temel Kurallar
Matlab
31
Genel komutların isimleri ve accedilıklamaları
2 Matlab Kullanımında Temel KurallarMATLAB
32
2 Matlab Kullanımında Temel KurallarMATLAB
MATLAB kontroluumlnuuml
kullanabilmeniz iccedilin oumlzel karakterlere sahiptir Bu karakterlerin bir oumlzeti
33
2 Matlab Kullanımında Temel KurallarMatlab
34
2 Matlab Kullanımında Temel KurallarMatlab
35
İFADELER Matematiksel ve metinsel goumlsterimler ile işlemler ifadelerlesağlanır
Sayılar (Numbers)Değişkenler (Variables)İşleccediller (Operators)Fonksiyonlar (Functions)
Matlabrsquode ifadeler genellikle değişken = ifade veya sadece ifade formundadır
Sayısal Analiz
x = 4 sqrt(5) İfade
değişkensayı işleccedil fonksiyon
Bir ifade = işareti ile bir değişkene atanmamış
ise Matlab otomatik olarak sonucu ans (answer)
adı
verilen oumlzel bir değişkende saklar
3 MATRİSLER
36
o
Birden
fazla ifade
tek satırda aralarına
ya da koyarak yazılabilir
o
Yazımda
boşluk
sayısı
etkisizdir
o
Sadece
ilgili
değişken
adını
yazarak
o değişkeni ccedilağırabilirsiniz
MATRİSLER31 İFADELER
37
o MATLABrsquoda herhangi bir tip tanımlaması
veya boyut ifadesine gerek yoktur
o
MATLAB yeni bir değişken ismi ile karşılaştığında otomatik olarak ans isminde
bir değişken oluşturur ve uygun bir bellek miktarı
ayırır
oEğer değişken zaten varsa MATLAB gerekli bir bellek ayırdığında iccedileriği değişir
Oumlrneğin
o ogrenci_sayı=51
32 DeğişlenlerMatlab
Değisken
değeri değisebilen bellek alanına isaret eden değerlere
38
MATLAB değişken girişleri iccedilin ccedileşitli kurallara sahiptir
Her değişken bir harfle başlamak zorundadır
Program buumlyuumlk kuumlccediluumlk harf duyarlıdır X ve x farklı değişkenleri ifade eder
Program 31 basamağa kadar duyarlıdır Bu basamaktan sonrasını yok sayar
Dolayısıyla 31 basamaktan uzun değişken isimleri karışıklık yaratabilir
32 DeğişlenlerMatlab
39
Değiskenlere Değer Atama
Her hangi bir programlama dilinde olduğu gibi Matlabrsquoda da bir değiskene
değer verme islemine rdquodeğer atamakrdquo denir
Bir değiskene atanan değer değistirilmediği suumlrece aynı kalır
Değer atamanın genel kullanımı asağıdaki biccediliminde olur
ltDeğisken adıgt=ltAtanacak değergt
32 DeğişlenlerMatlab
40
Oumlrnek 2
A=6i-7 A değişkenine skaler bir değer atar
B=A 7
B değişkenine A değişkeninin 17 si atanmıştır
C=[3 4 5 6]
4 elemanlı
bir satır vektoumlruuml
atanmıştır
NOT
Dizi girişinde herhangi bir satıra ait elemanlar aralarına boşluk veya virguumll ldquordquo konularak ayrılır
Dizinin diğer bir satırına başlamak iccedilin biten satır sonuna konulur
32 DeğişlenlerMatlab
41
oMATLABrsquoda sayılar yaygın olarak kullanılan onluk tabanda ifade edilirler
o
Bunun yanısıra onluk tabanda uumlstel olarak veya i veya j olarak kompleks sayı biccedilimlerinde de ifade edilebilirler
oOumlrnek olarak
33 Sayılar
Matlab da i
ve j
başka tuumlrluuml
tanımlanmamışsa kompleks i sayısını
goumlsterir 3e5 sayısıda 3105
anlamındadır
MATRİSLER
42
o
Ondalık sayılar Tuumlrkccedilemizdeki
35 yerine
35 şeklinde
goumlsterilir
(00001 veya 963
065 yerine 65)
o
Bilimsel
notasyon
goumlsterimi olan e
(veya E) harfi
10rsquonun kuvvetini
temsil eder
o 2e4=2104=2000 veya
165e-20=16510-20
demektir
o
Kompleks
sayılarda
imajiner
(sanal) kısımlar
i
veya
j
ekini
alır
i veya
j
ile
gosterimlerinde
bir
fark
yoktur
o (1+3i veya 1+3i veya 1+i3) 1+sqrt(3)j
-5i
o
Matlabrsquode
tuumlm
sayılar yaklaşık 210308 ve
210-308 arasında
değişir
33 Sayılar
MATRİSLER
43
Sayı
Formatları
33 SayılarMatlabMATRİSLER
44
oMatlabda bir ccedilok eylem doumlrt islem ve matematiksel bazı
islemler
yaptırabiliriz
oBunun iccedilin ya ilgili komutları
komut penceresinden teker teker girerek veya
ilgili komutları
bir dosyaya yazıp o dosyayı
ccedilağırarak ccedilalıstırabiliriz
oİşlemleri yaptırırken sayıları
reel sayı
ya da karmasık sayı
olarak alabiliriz
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
45
Matematiksel ifadeleri oluşturmak iccedilin operatoumlrler ve oumlnceden tanımlanmış sembolleri kullanabilirsiniz
oOperatoumlrler oumlzetle şunlardır
oMatrislerle yapılan işlemlerde boumllme işlemi iccedilin iki farklı
sembol kullanılmaktadıroBunun yanında eğer sayılar skaler ise iki boumllme işleminin sonucu da aynı
değeri
goumlsterecektiroOumlrneğin 32 ile 23 ifadelerinin sonuccedilları
aynı
olup 15rsquodir
raquo 4+83ndash2ans =26
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
46
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
x=a + b
Bu ifadede a ve b nin toplandığı
ve x değişkeni iccedilinde saklandığıbelirtilmektedir
47
Aritmetiksel İşlemlerde Oumlncelik Durumu
oTek bir aritmetiksel durum iccedilinde birden fazla durum bir arada bulunabildiğine goumlre
hangi işlemin oumlncelik hakkına sahip olunduğunun
bilinmelidir
oMATLABrsquoda kullanılan işlemlerde işlemlerin oumlncelik
listesi
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
bazı
temel matematiksel fonksiyonların accedilıklamaları
48
o
MATLABrsquo
da işlemler soldan sağa işlerlero
İşlemler arası
oumlncelik sırası
aşağıdaki gibidir
1 ^
(Yuumlksek)2
darr
3 + -
(Duumlşuumlk)
raquo 3^(2ndash5)-632 raquo 3^2ndash5ndash632ans = ans =
mdash39630 0
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
49
35 FonksyonlarMATRİSLER
o MATLABrsquoın ccedilok guumlccedilluuml
ve ccedilok kapsamlı
bir fonksiyon yapısı
vardır
oMATLABrsquoda bazı
fonksiyonlar daha oumlnceden yerleştirilmiş
bazıları
ise sonradan
dışarıdan yerleştirilmiş
M-dosyalarından oluşan MATLAB kuumltuumlphanelerinde
tanımlanmışlardır
oBunun yanında oumlzel uygulamalar iccedilin kullanıcıların kendi fonksiyonlarını
yazarak
kendi kuumltuumlphanelerini oluşturması
muumlmkuumlnduumlr
MATLABrsquoda mevcut analitik fonksiyonları
genel olarak aşağıdaki kategorilere ayırabiliriz oTemel matematiksel fonksiyonlaroOumlzel fonksiyonlaroTemel matrisler ve matris işlemlerioMatrisleri ccedilarpanlarına ayırmaoVeri analizlerioPolinomlaroDiferansiyel denklem ccediloumlzuumlmlerioLineer olmayan denklemler ve optimizasyonoSayısal integral hesaplamalarıoSinyal işleme
50
Matematiksel Fonksiyonlar
bazı
temel matematiksel fonksiyonların accedilıklamaları
35 FonksyonlarMATRİSLER
Oumlrnekgtgtexp(1)ans=27183gtgtfix(35)ans=3gtgtceil(35)ans=4gtgtround(35)ans=4
51
Matlabda oumlnceden tanımlanmıs bazı
sabitlerdirBunlar aşağıdaki tabloda goumlsterilmistir
36 Oumlzel SabitlerMatlab
52
Oumlrnekler
1)
a=1
2)
a=rsquoİstanbulrsquo
3)
a=5b=7c=a+b
4) a=5b=-3c=a+2ba=a+b
5)
num=23-5^2 x=num2 y=x+10
7 Sabitler Değiskenler ve Metin KatarlarıMatlab
53
Oumlrnek
Komut satırına
a)
sin(30)
b)
sin(30pi180) yazınız sonuccedilları
inceleyiniz
35 FonksyonlarMATRİSLER
Cevapa) -09880 sonucu goumlruumlluumlr ki bu 30deg
nin sinuumlsuumlnde n farklıdır Ccediluumlnkuuml
bu 30deg
derece değil 30 radyanın sinuumlsuumlduumlrb) 05000 sonucu goumlruumlluumlr ki bu da 30deg
nin sinuumlsuumld uumlr O halde bir
sayının trigonometrik değerini buldurmak iccedilin oumlnce pi ile ccedilarpıp 180 e boumllerek accedilıyı
radyan ccedilevirip sonra trigonometrik değerini
hesaplatabiliriz
54
oVektoumlrler tek boyutlu sayı
dizileridir
oElemanlarının sıralanma youmlnlerine goumlre suumltun veya satır vektoumlruuml
adlarını alırlar
ovektoumlrler [ ] koumlşeli parantezleri ile tanımlanır
ofarklı
yolla tanımlanabilirler
4 VektoumlrlerMatlab
A = [4 12 -8 6]A = [4 12 -8 6]
B = [1 2 4 6]
Satır Vektoumlruuml
Suumltun Vektoumlruumlgtgt b=[1 2 4 6 ]
55
4 VektoumlrlerMatlab
ovektoumlr boyutları
buumlyuumlduumlkccedile manuel olarak tanıtım işlemi oldukccedila zorlaşmaktadır
oOumlzellikle belli bir artıma sahip vektoumlrlerin oluşturulmasında () operatoumlruuml kullanılmaktadır
C = [-105150]
Son değerBaşlangıccedil değeri Artış
miktarı
Drsquo
= [30-10-30]
Suumltun Vektoumlruuml
56
Vektoumlr indisleri
4 VektoumlrlerMatlab
Bir vektoumlruumln elemanlarına atanılan değer değişkenler editoumlruuml
veya eleman adresi vasıtasıyla değiştirilebilir
OumlrnekA = [4 12 -8 6]1 A vektoumlruumlnuumln 3 elemanını
27 ile değiştiriniz
2 Benzer şekilde A vektoumlruumlnuumln 2 elemanını
siliniz 3 A(9) = 12
Ccediloumlzuumlm1 A(3) = 272 Vektoumlruumln elemanına [ ] değeri atandığında eleman silinirA(2) = [ ]3 gtgt A(9) = 12
A= [ 4 27 6]
A =[ 2 27 7 0 0 0 0 0 12]
57
raquo x=[17 8 61 83 56]
Şeklindeki bir matrisin uumlccediluumlncuuml
elemanına erişmek istenirse
raquo c=x(3)
c =
61
Eğer bir blok şeklinde veriye erişilmek istenirse
raquo x(24)
ans =
8 61 83
Her matristeki herhangi bir elman grubuna erişilmek istenirse
raquo x([3 1 4])
ans =
61 17 83
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
58
Bir diziye duumlzenli artıs (veya azalıs) kuralıyla değerler atanmak isteniyorsa
bunu
ilk_değerartısson değer veya ilk_değerartısson değer
biccediliminde yapabiliriz
Ancak artıs 1 ise belirtilmeyebilirOumlrnekortalama adlı
bir diziye 0 dan 5 e kadar 05 er artısla elde edilen sayı
dizisini atayanortalama=[0055]
Siz 1 satır 7 den den 17 ye kadar olan tam sayılar 2 satırı
99 dan 89 a kadar azalan tam sayılardan olusan 2 boyutlu m dizisine atayan islemleri yazınız
Dizilerin Değerlerinin Değistirilmesi ve Duumlzenlenmesi
4 VektoumlrlerMatlab
59
4 VektoumlrlerMatlab
60
Sayılardan olusan satır ve suumltun yapısına matris (dizi) denir
Oumlrneğin
d1=[5] 1x1 lik
d2=[ 2 -7] 1x2 lik
d3= [1 0 -3 ]
[ 5 3 1 ]
2x3 luumlk bir dizidir
Oumlrnekx=[1 7 18 5]Ya daraquo x=[ 1
7185 ]
Biccedilimlerinde girilebilir
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
61
Dizilerin Değerlerinin Değistirilmesi ve DuumlzenlenmesiBir dizinin herhangi bir elemanını belirlemek iccedilin dizi adından hemen sonra
parantez iccedilinde elemanın bulunduğu satır ve suumltun sayısı yazılmalıdır
Oumlrnek 1 d2=[2 -7]d2 dizisinin -7 elemanını
goumlruumlntuumllemek iccedilin
d2(12)
2 d3=[1 0 -35 3 1]d3 dizisinin 2 satır 1 suumltununda bulunan 5 in değerinin -75 olması
iccedilin
d3(21)=-75
Not1) Bir dizinin bir ccedilok elemanını
yeniden değer atamak gerekirse komut satırından atama yapmak uzun zaman alabilirBu durumda dizi değiskeninin uumlzerine ccedilift tıklayarak accedilılan dizi editoumlruuml
(array edit) yardımıyla değisiklikleri daha kolay yapabiliriz
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
62
8 Matrisler(Dizi)Matlab
Bir matrisi girerken o1 Elemanlar baştan ve sondan koumlşeli parantezlerle kapatılıro2 Elemanların arasına boşluk veya virguumll konuluro3 Matris satırlarını
ayırmak iccedilin de noktalı
virguumll kullanılır
okurallarına dikkate alınmalıdır
Oumlrneğin
A = [1 2 3 4 5 6]A =
1 2 34 5 6
şeklinde veriler matrisler biccediliminde tanımlanır MATLAB daha sonra kullanılmak uumlzere verileri A matrisinde saklar
63
Matris elemanları
rasgele rakamlardan oluşabileceği gibi MATLABrsquoın deyimlerinden de oluşabilir
51 Matrislerde ElemanlarMatlab
Oumlrneğin
a=[-13 sqrt(3) (1+2+3)475]
a= -13000 17321 48000
Kuumlccediluumlk matrisleri eleman olarak kullanıp daha buumlyuumlk matrisler oluşturmak muumlmkuumlnduumlr
OumlrneğinM=[1 3 5
7 8 9] matrisine
aşağıda goumlsterildiği şekilde bir satır eklemesi yapabilir
M=[M[10 13 15]]
Bu durumda M matrisiM=[1 3 5
7 8 910 13 15]
durumunu alır
64
İki nokta uumlst uumlste () kullanarak buumlyuumlk matrislerin belli bir kısmını
kullanabiliriz
ya da diğer ifade ile bu matrisi kuumlccediluumlltebiliriz
Oumlrneğin
M=M(12) bildirimi M matrisinin ilk iki satırını
alarak M matrisi
olarak saklar
Oumlrnek
M=[8 -4 7 66 -7 8 9 4 5 134] ise
M=M(12) =
8 1 Matrislerde ElemanlarMatlab
65
MATLABrsquoda kullanıcı
verileri kendi oluşturacağı
matrisler ile tanımlayabileceği gibi MATLABrsquoın kendi oumlzel matrislerinden de istifade edilebilir
52 Genel MatrislerMatlab
66
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
a) Sıfır Matrisi Olusturan Fonksiyon
Her elemanı sıfır olan mxn boyutunda bir matrise sıfır matrisi denir
Boumlyle bir dizi olusturmak iccedilin zeros fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=zeros(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
3x5 boyutunda s adlı
sıfır matrisi iccedilin
s=zeros(35)
52 Genel MatrislerMatlab
67
b) 1 lerden Olusan Matris
Her elemanı 1 olan mxn boyutunda bir matrisi olusturmak iccedilin ones
fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matria_adı=ones(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
2x3 boyutunda b adlı
tuumlm elemanları
1 olan matrisi olusturalım
b=ones(23)
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
52 Genel MatrislerMatlab
68
c) Birim Matrisi Olusturan Fonksiyon
Esas koumlsegeni 1 lerden diğer elemanları 0 lardan olusan kare matrise (satır
ve suumltun sayısı esit olan ) birim matrisi
kare olmayan matrise de diyagonal matris denir
Boumlyle matrisleri olusturmak iccedilin eye fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=eye(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
a)
3x3 luumlk birim matris
b) 4x3 lluumlk diyagonal matris olusturalım
Ccediloumlzuumlma) i=eye(33) b) d=eye(43)
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar52 Genel MatrislerMatlab
69
d) Rastgele Sayılardan Olusan Matris ve Fonksiyonu
Elemanları 0 ile 1 arasındaki rastgele sayılardan olusan bir matris iccedilin
rand fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=rand(mn) biccedilimindedir(msatırnsuumltun)
Not 1) Uumlretilen matrisin tuumlm elemanlarını k gibi bir sayı ile ccedilarparak
sayıları 0 ile k arasına ccedilekebiliriz
Not 2) Ondalıklı sayılardan olusmus bir matrisin elemanlarını
yuvarlayıp tam sayı yapmak iccedilin round fonksiyonunu kullanırız
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar52 Genel MatrislerMatlab
70
Oumlrnek
a) 0 ile 1 arasında rastgele sayılardan olusan 10 elemanlı
a adında bir satır
matrisi olusturalım
b) Elemanları
10 ile 50 arasında sayılardan olusan 5x3 tipinde b matrisini
olusturalım
c) Elemanları
50 ile 300 arasındaki tamsayılardan olusan 3x4 tipinde c matrisini
olusturalım
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
d) Rastgele Sayılardan Olusan Matris ve Fonksiyonu
52 Genel MatrislerMatlab
71
Ccediloumlzuumlm
a)
a=rand(110)
b)
b=10+rand(53)40
c) c=round(50+rand(34)250)
52 Genel MatrislerMatlab
72
e) Rastgele Sayılardan Olusan Normal Dağılımlı
Matris veFonksiyonu
Elemanları rasstgele sayılardan olusan bir normal dağılımlı bir matris iccedilin
randn fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=randn(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek Rastgele sayılardan olusan normal dağılımlı 2x3 luumlk bir n matrisini
olusturalım
Ccediloumlzuumlm n=randn(23)
52 Genel MatrislerMatlab
73
f) Lineer Aralıklı
(Aritmetik) Dizi ve Fonksiyonu
Baslangıccedil ve biis değerleri ve kaccedil elemandan olusacağı belirlenen diziyi
olusturmak iccedilin linspace fonksiyonu kullanılır
Kullanımı
dizi_adı=linspace(ilk_değerson_değereleman_sayısı)
biccedilimindedir
52 Genel MatrislerMatlab
74
Oumlrnek 10 ile 30 arasına 9 tane daha sayı
koyarak aadında bir aritmetik dizi olusturalım
f) Lineer Aralıklı
(Aritmetik) Dizi ve Fonksiyonu
52 Genel MatrislerMatlab
Cevapa=linspace(103011)
75
Elimizdeki grubun her elemanı iccedilin bir matematik işlemi yapıp bunu yeni bir
diziye atarken herhangi bir sorun yoktur
Fakat iki farklı grupla işlemler yaparken dikkat etmemiz gereken genel
kurallar vardır
Oumlrneğin toplama ve ccedilıkarma yaparken iki dizinin de buumlyuumlkluumlğuumlnuumln eşit
olması gerekmektedir
Ayrıca iki farklı dizinin elemanları arasında birebir işlem yapmak iccedilin
matematik operatoumlruumlnuumln başına nokta() koymak gerekir
Bu durumda her bir elemanı diğer dizinin o sıradaki elmanı ile işleme
sokacaktır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
76
Birden fazla satır ve suumltuna sahip vektoumlrlere matris denir Noktalı
virguumll ()
işareti ile kolonları
ve virguumlle işareti ya da boşluk
bırakarak da bir sıradaki elemanları
ayırabilirizOumlrnekraquo x=[ 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14]x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14Yukarıdaki 3x4 boyutunda bir matristir MATLAB programına aşağıdaki
gibi de sunulabilirraquo x=[ 3 4 5 6
7 8 9 1011 12 13 14]
x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
77
Matristeki herhangi bir elemana direk ulaşmak iccedilin aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(23)=9
Eğer isteğimiz eriştiğimiz bir elemanı
değiştirmek veya yeni bir satır eklemek ise aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(41)=1x =
3 4 5 67 8 9 1011 12 13 141 0 0 0
Bu durumda doumlrduumlncuuml
satır ilk elemanını
biz 1 değerini atadık ve diğer elemanları
kendiliğinden ldquo0rdquo
olarak atadı
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
78
İki nokta uumlst uumlste () kullanılarak belirli aralıkta değişen matrisler yaratılabilir
raquo x=[127 3-10 -12]x =
1 3 5 73 2 1 0
-1 0 1 2Bir matrisin herhangi bir boumlluumlmuumlnuuml
seccedilmek iccedilin ise aşağıdaki goumlsterim
kullanılırraquo z=x(23 12)z =
3 2-1 0
Bu durumda z matris x matrisinin 2 ve 3 norsquo
lu satırlarından 1 ve 2 norsquo
lu suumltunlarını
almış
oluyor
Herhangi bir satır veya suumltunu tamamen silmek istersek o satır ve suumltunu seccedilip ldquo[]rdquo
ifadesine eşitleriz
raquo z(2)=[ ]z =
3 -1
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
79
Matlab size ve length komutları
yardımı
ile size matrisinizin boyutlarını
soumlyler
raquo a=[ 2 3 4 5 67 8 9 10 11]
raquo s=size(a)s =
2 5
raquo b=[ 17 11 0 30 40 50]
raquo k=length(b)k =
6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
80
a) Toplama-Ccedilıkarma Bir Sayı
ile Ccedilarpma İşlemi
İki matrisi toplamak (veya ccedilıkarmak) demek matrislerin aynı
mertebedeki elemanları teker teker toplayıp (veya ccedilıkarıp ) aynı
mertebeye yazmak demektir
Bu durumda iki matrisin de aynı mertebeden olması gereği accedilıktır
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile toplamak (veya ccedilıkarmak) demek
matrisin elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla toplamak (veya
ccedilıkarmak )demektir
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile ccedilarpmak demek ise matrisin
elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla ccedilarpmak demektir
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
81
82
Oumlrnek
raquo a=[1 2 3 4 5 6]raquo b=[7 8 9 10 11 12]
a ve b toplamıraquo sum=a+bsum =
8 10 1214 16 18
arsquo
yı
brsquo
den ccedilıkarmak
raquo diff=a-bdiff =
-6 -6 -6-6 -6 -6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
83
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] ve b=[3 -3 -41 1 5] matrisleri
veriliyor
a)
c=a+b toplam matrisini
b)
d=a-b matrisini
c)
amatrisinin her elemanınının 5 eksiğine karsılık gelen e
matrisini
d) f=2a-3b matrisini bulduran islemleri yazalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
a) c=a+b b) d=a-b c) e=a-5 d) f=a+a-b-b-b veya
f=2a-3b
84
İki matrisin ccedilarpım islemi iki biccedilimde anlasılır
1)
Aynı
mertebeden iki matrisin elemanlarını
teker teker ccedilarpıp aynı
mertebeye
yazmak demektir Bunu
islemi ile gerccedileklestiririz
2) Matematiksel anlamda iki matrisi ccedilarpmak istediğimizde birinci matris mxn
tuumlruumlnde ve ikinci matris mutlaka nxp tuumlruumlnde olmalıdır yani birinci matrisin
suumltun sayısı
ikinci matrisin satır sayısına eşit olmalıdır
Bu durumda birinci matrisin i suumltun elemanları
ile ikinci matrisin j satırındaki
elemanlar karılıklı
olarak ccedilarpılır ve sonuccedillar toplanır ve bu toplam ccedilarpım
matrisinin (ij) inci mertebeye yazılır
Matrisler arası
ccedilarpma isleminin semboluuml
de dır
b) İki Matrisin Ccedilarpımı Bir Matrisin Kuvvetleri veCcedilarpma İslemi
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
85
3) Bir a matrisinin her bir elemanının n Kuvvetlerinden olusan matrisi
bulmak iccedilin a^n islemi kullanılır
4) Satır ve suumltun sayıları
esit bir kare matrisi ardısık olarak n defa
kendisiyle ccedilarparak a matrisinin n kuvvetini bulabilirizOumlrneğin a matrisinin
karesi iccedilin aa veya a^2 kuumlbuumlnuuml
buldurmak iccedilin aaa veya a^3
doumlrduumlncuuml
kuvvetini buldurmak iccedilin aaaa veya a^4
Not) Bir a matrisinin eleman -elemana ccedilarpma islemine benzer mantıkla bir matrisin tuumlm elemanlarının kareleri kuumlbleri sinuumlsleri kosinuumlsleri logaritmalarından olusan matris bulunmak istenirse bunu sırayla aa (veya a^2) aaa (veya a^3) sin(a) cos(a) etabanında logaritması
iccedilin log(a) 10 tabanında logaritmaları
iccedilin log10(a) Biccediliminde gerccedileklestirebiliriz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
86
a) a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c1 matrisi varsa bulalım
b) a matrisi ile b matrisinin ccedilarpım matrisi olan c2 varsa bulalım
c) a matrisinin elemanları
ile c matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c3 matrisi varsa bulalım
d) a matrisi ile c matrisinin ccedilarpım matrisi olan c4 varsa bulalım
e) a matrisinin elemanlarının karelerinden olusan matris ile b matrisinin
kosinuumlslerinden olusan matrisler toplamını
bulalım
f) x=[1 00 3] matrisinin i) Karesini ii) Kuumlbuumlnuuml
iii) 10
kuvvetini bulalım
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] b=[3 -3 -41 1 5] ve c=[1 0-1 23 3] matrisleri veriliyor
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
87
Ccediloumlzuumlma) iki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirBu durumda c1 matrisi tanımlıdır ve bunu c1=ab islemi ile gerccedileklestirebilirizb) iki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdırHalbuki a matrisi 2x3 b matrisi de 2x3 olduğundan bu iki matris ccedilarpılamazc) İki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirHalbuki bu matrisler aynı mertebeden olmadığından bu iki matris eleman-elemana ccedilarpma islemi
gerccedileklemezd) İki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdıra matrisi 2x3 luumlk c matrisi de 3x2 lik olduğundan bu iki matris ccedilarpılabilir ve c4 ccedilarpım matrisi 2x2 lik bir matris olurc4 ccedilarpım matrisini c4=ac islemi ile buluruze) a^2+cos(b)f) i) x^2 ii) x^3 iii) x^10
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
88
c) Bir Matrisin Devriğini (Transpozesi) Bulma İslemi
Bir matrisin satırlarını suumltun suumltunlarını satır olarak yazılmasıyla
bulunan matrise bu matrisin devriği (transpozesi) denir
Bir matrisin devriğini islemi ile bulabiliriz
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] nın devriğini buldurup d matrisine atayalım
Ccediloumlzuumlm d=a
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
89
Oumlrnek
b=[7 8 9 10 11 12] matrisinin transpozesini bulabilirmisiniz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
c=bc =
7 108 119 12
90
SORU
a=[1 2 3 4 5 6]
c= [710811912]
ise a ve crsquonin ccedilarpım matrisi
kaccediltır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
Ccedilarpma işlemi k=ack=
50 68122 167
91
SORU
a=[1 2 3 4 5 6] b=[7 8 9 10 11 12]
ise a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan x matrisini bulalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
x=abx =
7 16 2740 55 72
92
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
Aynı mertebeden iki matrisin elemanlarını teker teker boumllerek aynı
mertebeye yazılmasına iki matrisin sol boumllmesi denir ve bu islemi ile
yapılır
a b ve c aynı mertebeden kare matrisler olmak uumlzere
c=ab ise a matrisine c nin b matrisine boumlluumlmuuml denir
c boumlluumlm matrisi islemi ile yapılır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
93
HATIRLATMA
2x2 lik i2 adlı birim matrisi i2=eye(22)
3x luumlk i3 adlı birim matrisi i2=eye(33) islemi ile olusturabiiriz
Aynı mertebeden a ve b kare matrisleri iccedilin a ile b nin ccedilarpımı birim matris ise
b matrisi a matrisinin (aynı biccedilimde a matrisi de b matrisinin) ters matrisidir
Oumlrnek
3x3 luumlk bir a kare matrisinin tersini bulmak iccedilin
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
eye(33)a veya inv(a) islemini kullanırız
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
94
Bir Matrisin Determinantı
Determinant kare matrisleri bir sayıya eşleyen fonksiyondur
Determinant fonksiyonunun kare matrisi eşlediği o sayıya matrisin
determinantı denir
A matrisinin determinantı detA veya |A| biccediliminde goumlsterilir
|A| matrislerde mutlak değer anlamına gelmez |A| sıfır veya
negatif de olabilir
det(x)
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
95
KURAL
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
96
Oumlrnek
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Determinant
raquo
deter=det(x)deter =
21
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
97
Oumlrnek Inverse işlemi
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Detx=det(x)=21 ise
raquo y=inv(x)y =
821 121 -521 221
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
98
SORU
a=[2 -10 01 2 43 0 1] matrisi ile b=[1 5 41 -1 20 1 -1] matrisleri veriliyor
a)
a matrisinin elemanlarını
sırasıyla b matrisinin elemanlarına boumllerek elde
edilen matrisi b1 matrisine atayalım
b) a matrisinin ta ters matrisini bulalım
c) a ile ta matrisinin ccedilarpımının 3x3 luumlk birim matris olduğunu goumlsterelim
d) a matrisinin b matrisine boumlluumlmuumlnuuml
b2 matrisine atayalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
99
Ccediloumlzuumlm
a)
b1=ab
b) ta1=eye(33)a veya ta2=inv(a)
c) ata ==eye(33)
d) b2=ab
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
15
Command Window Bu pencere komut penceresidir
Bu pencereden Matlab ile ilgili komutları klavyeden girer komutun
islemesini sağlamak iccedilin de Enter tusuna basılır
Komutları girdiğimiz satır gtgt ile baslar ki bu satıra komut satırı denir
EgYarıccedilapı
36 olan bir daire alanı
hesaplayalım
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
16
Bu pencere o ana kadar komut satırından girilen komutları goumlsterir
İstersek bunların birini fareyle seccediler ya da bir kaccedilını veya tuumlmuumlnuuml fare ve
asağı-yukarı youmln tusları yardımıyla seccediler ve delete tusuna basarak silebiliriz
Command History
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
17
oKomut satırından ya da ccedilalıstırılan bir dosya ya da fonksiyon ile hafızada
olusturulan değiskenlerin adlarının tiplerinin ve oumlzelliklerinin goumlruumlntuumllendiği
penceredir
oCcedilalışma Alanı
MATLABrsquoda işletilen fonksyonların veya komutların oluşturduğu
değişkenlerin depolandığı
bir merkezdir
oBoumlylelikle tuumlm değişkenlere belli bir kaynaktan ulaşılabilmektedir bu da
programlama sırasında değişkenlerin yerini belirtmeden bu değişkenleri kullanma
imkanı
sağlamaktadır
Workspace
Uumlstuumlne sağ tuş yapıp
oumlzellikler eklenebilir
egsize
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
18
Workspace
Oumlrneğin
c değiskeni 1x1 boyutunda bir matris yani sayı
b değiskeninin ise 3x2 boyutunda bir matris yani uumlccedil satır ve 2 suumltundan
olusan bir matris
nasılsın adlı değisken de 6 karakterden olusan bir karakter zinciri (string)
olduğu goumlruumlluumlr
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
Oumlrnek Command Windowrsquoa alttaki değerleri yazıp inceleyin
a = 4 b = 5 c = abnasılsın=lsquoiyidirrsquo
19
Matlab Dizi Editoumlruuml
oA değişkenine ccedilift tıklandığında Matlab Dizi Editoumlruuml
accedilılır
oBurda değişkenlerin iccedilerikleri goumlruumlntuumllenir ve değiştirilebilir
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
20
who
ccedilalışma alanında hangi değişkenler olduğu
whos
bu değişkenlerin yapıları
goumlruumllmektedir
what
komutu kullanıcı
diskinin halihazır dizininde mevcut M- dosyaları
listesini verir
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
21
clc
Komut penceresindeki satırları
silmeye yarar
clear
Hafızadaki değişkenler silinir
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
22
Matlab Ccedilalışma Dizini penceresindeki ldquo
aşağı
okrdquo
basılarak ccedilalışma dizini seccedililebilir
Current Folderrsquoda ccedilalışmak istenilern directory youmlnlendirilerek hızlı
ulaşım sağlanır
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
23
Current Folder
Matlab dosyalarının kaydedildiği yuumlklendiği dosyaların bulunduğu
klasoumlruuml
(dizin) varsayılan klasoumlr olarak belirlemeye yarar
Aksi belirtilmedikccedile bu klasoumlr CMatlab6p5work gibi bir klasoumlrduumlr
Yada save FMATLAB_UYGkatsayilar a
katsayilarmat olarak kaydedilen a matrisininmatlab kapatılıp accedilıldıktan sonra herhangi bir zamanda geri ccedilağrılmasıiccedilin
load FMATLAB_UYGkatsayilar
komut dizisi kullanılır
Command Windowa save yazılırsa değişkenler ldquomatlabmatrdquo
veri
dosyasına kaydedilmiş olur
Matlabı
kapatıp accedilalım ve matlabmatrsquoı
ccedilağıralım
(File open matlabmat)
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
Oumlrnekgtgt a=[123 579] a = 1 2 3 5 7 9
24
MATLAB Yardım
1 Komut satırına ldquohelprdquo yazılır Bu yardım sunulabilecek konuların listesini sunar
2 help fonksyon-adı
fonksyon iccedilin yardım metnini goumlruumlntuumller
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
25
Matlab MasaUumlstuuml
Yeni M- Dosyası
Dosya Accedil Help Desk
Kayıtlı
Matlab Fonksyonu kayıt dosyası(mat) modeli figuumlruuml
ve GUI arayuumlzluuml
fonksyonları
accedilar
Veri dosyalarını
accedilar
Ccedilalışma ortamını
kaydeder
Farklı
ccedilalışma dizinini Matlaba tanıtır
Matlab arayuumlzuumlnuuml
ayarlar
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
26
Başlat Duumlğmesi
Matlab araccedil
kutuları Matlab
uygulamalarına eklenti olarak
hazırlanan ve hazır fonksyonları iccedileren paketlerdir
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
27
Başlat Duumlğmesi
Start Duumlğmesi tuumlm matlab uygulamalarına accedilılan kısayolları
iccedilermektedir
Matlab Uygulamaları
iccedilin kısa yol
Araccedil
kutularıSimulinkUy
gulaması
Demolar
Veri Sihirbazı
GUI Hazırlayıcı
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
28
Matlaba Veri Alma
Programa dışarıdan resim film veri ses dosyalarını
matris formatına ccedilevirerek bir değişken olarak atamada kullanılır
File Import Data
Oumlrnek Exel dosyası
alma
Exelde bir matrix oluşturup matlabdan import ile alınız
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
29
Matlabda Temel Kavramlar
Tuumlm programlama dillerinde olduğu gibi (Fortran C Pascal Basic vs)
Matlabın da oumlzel anlam tasıyan bazı kelimeleri vardır ki bu kelimeler değisken
olarak kullanılamazlar
Bu tuumlr kelimelere anahtar kelime (keywords) denir
Bu kelimelerin bir listesini almak iccedilin komut satırına
iskeyword komutunu yazarak elde edebiliriz
Bu kelimeler
breaklsquo case catch continue else elseif endlsquo for function global
if otherwiselsquo persistent return switch try while
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
30
Programın dili ve yardım bilgileri tamamen ingilizcedir
Kuumlccediluumlk-buumlyuumlk harf ayrımı vardır
Oumlrneğin dscrite DSCRITE ve Dscrite atamaları farklı şekilde
algılanır
Eğer istenirse ldquocasesen offrdquokomutu ile bu durum sona
erdirilebilir
raquo işareti komut promptrsquoudur
Komutlar Enter ile yuumlruumltuumlluumlr
2 Matlab Kullanımında Temel Kurallar
Matlab
31
Genel komutların isimleri ve accedilıklamaları
2 Matlab Kullanımında Temel KurallarMATLAB
32
2 Matlab Kullanımında Temel KurallarMATLAB
MATLAB kontroluumlnuuml
kullanabilmeniz iccedilin oumlzel karakterlere sahiptir Bu karakterlerin bir oumlzeti
33
2 Matlab Kullanımında Temel KurallarMatlab
34
2 Matlab Kullanımında Temel KurallarMatlab
35
İFADELER Matematiksel ve metinsel goumlsterimler ile işlemler ifadelerlesağlanır
Sayılar (Numbers)Değişkenler (Variables)İşleccediller (Operators)Fonksiyonlar (Functions)
Matlabrsquode ifadeler genellikle değişken = ifade veya sadece ifade formundadır
Sayısal Analiz
x = 4 sqrt(5) İfade
değişkensayı işleccedil fonksiyon
Bir ifade = işareti ile bir değişkene atanmamış
ise Matlab otomatik olarak sonucu ans (answer)
adı
verilen oumlzel bir değişkende saklar
3 MATRİSLER
36
o
Birden
fazla ifade
tek satırda aralarına
ya da koyarak yazılabilir
o
Yazımda
boşluk
sayısı
etkisizdir
o
Sadece
ilgili
değişken
adını
yazarak
o değişkeni ccedilağırabilirsiniz
MATRİSLER31 İFADELER
37
o MATLABrsquoda herhangi bir tip tanımlaması
veya boyut ifadesine gerek yoktur
o
MATLAB yeni bir değişken ismi ile karşılaştığında otomatik olarak ans isminde
bir değişken oluşturur ve uygun bir bellek miktarı
ayırır
oEğer değişken zaten varsa MATLAB gerekli bir bellek ayırdığında iccedileriği değişir
Oumlrneğin
o ogrenci_sayı=51
32 DeğişlenlerMatlab
Değisken
değeri değisebilen bellek alanına isaret eden değerlere
38
MATLAB değişken girişleri iccedilin ccedileşitli kurallara sahiptir
Her değişken bir harfle başlamak zorundadır
Program buumlyuumlk kuumlccediluumlk harf duyarlıdır X ve x farklı değişkenleri ifade eder
Program 31 basamağa kadar duyarlıdır Bu basamaktan sonrasını yok sayar
Dolayısıyla 31 basamaktan uzun değişken isimleri karışıklık yaratabilir
32 DeğişlenlerMatlab
39
Değiskenlere Değer Atama
Her hangi bir programlama dilinde olduğu gibi Matlabrsquoda da bir değiskene
değer verme islemine rdquodeğer atamakrdquo denir
Bir değiskene atanan değer değistirilmediği suumlrece aynı kalır
Değer atamanın genel kullanımı asağıdaki biccediliminde olur
ltDeğisken adıgt=ltAtanacak değergt
32 DeğişlenlerMatlab
40
Oumlrnek 2
A=6i-7 A değişkenine skaler bir değer atar
B=A 7
B değişkenine A değişkeninin 17 si atanmıştır
C=[3 4 5 6]
4 elemanlı
bir satır vektoumlruuml
atanmıştır
NOT
Dizi girişinde herhangi bir satıra ait elemanlar aralarına boşluk veya virguumll ldquordquo konularak ayrılır
Dizinin diğer bir satırına başlamak iccedilin biten satır sonuna konulur
32 DeğişlenlerMatlab
41
oMATLABrsquoda sayılar yaygın olarak kullanılan onluk tabanda ifade edilirler
o
Bunun yanısıra onluk tabanda uumlstel olarak veya i veya j olarak kompleks sayı biccedilimlerinde de ifade edilebilirler
oOumlrnek olarak
33 Sayılar
Matlab da i
ve j
başka tuumlrluuml
tanımlanmamışsa kompleks i sayısını
goumlsterir 3e5 sayısıda 3105
anlamındadır
MATRİSLER
42
o
Ondalık sayılar Tuumlrkccedilemizdeki
35 yerine
35 şeklinde
goumlsterilir
(00001 veya 963
065 yerine 65)
o
Bilimsel
notasyon
goumlsterimi olan e
(veya E) harfi
10rsquonun kuvvetini
temsil eder
o 2e4=2104=2000 veya
165e-20=16510-20
demektir
o
Kompleks
sayılarda
imajiner
(sanal) kısımlar
i
veya
j
ekini
alır
i veya
j
ile
gosterimlerinde
bir
fark
yoktur
o (1+3i veya 1+3i veya 1+i3) 1+sqrt(3)j
-5i
o
Matlabrsquode
tuumlm
sayılar yaklaşık 210308 ve
210-308 arasında
değişir
33 Sayılar
MATRİSLER
43
Sayı
Formatları
33 SayılarMatlabMATRİSLER
44
oMatlabda bir ccedilok eylem doumlrt islem ve matematiksel bazı
islemler
yaptırabiliriz
oBunun iccedilin ya ilgili komutları
komut penceresinden teker teker girerek veya
ilgili komutları
bir dosyaya yazıp o dosyayı
ccedilağırarak ccedilalıstırabiliriz
oİşlemleri yaptırırken sayıları
reel sayı
ya da karmasık sayı
olarak alabiliriz
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
45
Matematiksel ifadeleri oluşturmak iccedilin operatoumlrler ve oumlnceden tanımlanmış sembolleri kullanabilirsiniz
oOperatoumlrler oumlzetle şunlardır
oMatrislerle yapılan işlemlerde boumllme işlemi iccedilin iki farklı
sembol kullanılmaktadıroBunun yanında eğer sayılar skaler ise iki boumllme işleminin sonucu da aynı
değeri
goumlsterecektiroOumlrneğin 32 ile 23 ifadelerinin sonuccedilları
aynı
olup 15rsquodir
raquo 4+83ndash2ans =26
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
46
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
x=a + b
Bu ifadede a ve b nin toplandığı
ve x değişkeni iccedilinde saklandığıbelirtilmektedir
47
Aritmetiksel İşlemlerde Oumlncelik Durumu
oTek bir aritmetiksel durum iccedilinde birden fazla durum bir arada bulunabildiğine goumlre
hangi işlemin oumlncelik hakkına sahip olunduğunun
bilinmelidir
oMATLABrsquoda kullanılan işlemlerde işlemlerin oumlncelik
listesi
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
bazı
temel matematiksel fonksiyonların accedilıklamaları
48
o
MATLABrsquo
da işlemler soldan sağa işlerlero
İşlemler arası
oumlncelik sırası
aşağıdaki gibidir
1 ^
(Yuumlksek)2
darr
3 + -
(Duumlşuumlk)
raquo 3^(2ndash5)-632 raquo 3^2ndash5ndash632ans = ans =
mdash39630 0
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
49
35 FonksyonlarMATRİSLER
o MATLABrsquoın ccedilok guumlccedilluuml
ve ccedilok kapsamlı
bir fonksiyon yapısı
vardır
oMATLABrsquoda bazı
fonksiyonlar daha oumlnceden yerleştirilmiş
bazıları
ise sonradan
dışarıdan yerleştirilmiş
M-dosyalarından oluşan MATLAB kuumltuumlphanelerinde
tanımlanmışlardır
oBunun yanında oumlzel uygulamalar iccedilin kullanıcıların kendi fonksiyonlarını
yazarak
kendi kuumltuumlphanelerini oluşturması
muumlmkuumlnduumlr
MATLABrsquoda mevcut analitik fonksiyonları
genel olarak aşağıdaki kategorilere ayırabiliriz oTemel matematiksel fonksiyonlaroOumlzel fonksiyonlaroTemel matrisler ve matris işlemlerioMatrisleri ccedilarpanlarına ayırmaoVeri analizlerioPolinomlaroDiferansiyel denklem ccediloumlzuumlmlerioLineer olmayan denklemler ve optimizasyonoSayısal integral hesaplamalarıoSinyal işleme
50
Matematiksel Fonksiyonlar
bazı
temel matematiksel fonksiyonların accedilıklamaları
35 FonksyonlarMATRİSLER
Oumlrnekgtgtexp(1)ans=27183gtgtfix(35)ans=3gtgtceil(35)ans=4gtgtround(35)ans=4
51
Matlabda oumlnceden tanımlanmıs bazı
sabitlerdirBunlar aşağıdaki tabloda goumlsterilmistir
36 Oumlzel SabitlerMatlab
52
Oumlrnekler
1)
a=1
2)
a=rsquoİstanbulrsquo
3)
a=5b=7c=a+b
4) a=5b=-3c=a+2ba=a+b
5)
num=23-5^2 x=num2 y=x+10
7 Sabitler Değiskenler ve Metin KatarlarıMatlab
53
Oumlrnek
Komut satırına
a)
sin(30)
b)
sin(30pi180) yazınız sonuccedilları
inceleyiniz
35 FonksyonlarMATRİSLER
Cevapa) -09880 sonucu goumlruumlluumlr ki bu 30deg
nin sinuumlsuumlnde n farklıdır Ccediluumlnkuuml
bu 30deg
derece değil 30 radyanın sinuumlsuumlduumlrb) 05000 sonucu goumlruumlluumlr ki bu da 30deg
nin sinuumlsuumld uumlr O halde bir
sayının trigonometrik değerini buldurmak iccedilin oumlnce pi ile ccedilarpıp 180 e boumllerek accedilıyı
radyan ccedilevirip sonra trigonometrik değerini
hesaplatabiliriz
54
oVektoumlrler tek boyutlu sayı
dizileridir
oElemanlarının sıralanma youmlnlerine goumlre suumltun veya satır vektoumlruuml
adlarını alırlar
ovektoumlrler [ ] koumlşeli parantezleri ile tanımlanır
ofarklı
yolla tanımlanabilirler
4 VektoumlrlerMatlab
A = [4 12 -8 6]A = [4 12 -8 6]
B = [1 2 4 6]
Satır Vektoumlruuml
Suumltun Vektoumlruumlgtgt b=[1 2 4 6 ]
55
4 VektoumlrlerMatlab
ovektoumlr boyutları
buumlyuumlduumlkccedile manuel olarak tanıtım işlemi oldukccedila zorlaşmaktadır
oOumlzellikle belli bir artıma sahip vektoumlrlerin oluşturulmasında () operatoumlruuml kullanılmaktadır
C = [-105150]
Son değerBaşlangıccedil değeri Artış
miktarı
Drsquo
= [30-10-30]
Suumltun Vektoumlruuml
56
Vektoumlr indisleri
4 VektoumlrlerMatlab
Bir vektoumlruumln elemanlarına atanılan değer değişkenler editoumlruuml
veya eleman adresi vasıtasıyla değiştirilebilir
OumlrnekA = [4 12 -8 6]1 A vektoumlruumlnuumln 3 elemanını
27 ile değiştiriniz
2 Benzer şekilde A vektoumlruumlnuumln 2 elemanını
siliniz 3 A(9) = 12
Ccediloumlzuumlm1 A(3) = 272 Vektoumlruumln elemanına [ ] değeri atandığında eleman silinirA(2) = [ ]3 gtgt A(9) = 12
A= [ 4 27 6]
A =[ 2 27 7 0 0 0 0 0 12]
57
raquo x=[17 8 61 83 56]
Şeklindeki bir matrisin uumlccediluumlncuuml
elemanına erişmek istenirse
raquo c=x(3)
c =
61
Eğer bir blok şeklinde veriye erişilmek istenirse
raquo x(24)
ans =
8 61 83
Her matristeki herhangi bir elman grubuna erişilmek istenirse
raquo x([3 1 4])
ans =
61 17 83
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
58
Bir diziye duumlzenli artıs (veya azalıs) kuralıyla değerler atanmak isteniyorsa
bunu
ilk_değerartısson değer veya ilk_değerartısson değer
biccediliminde yapabiliriz
Ancak artıs 1 ise belirtilmeyebilirOumlrnekortalama adlı
bir diziye 0 dan 5 e kadar 05 er artısla elde edilen sayı
dizisini atayanortalama=[0055]
Siz 1 satır 7 den den 17 ye kadar olan tam sayılar 2 satırı
99 dan 89 a kadar azalan tam sayılardan olusan 2 boyutlu m dizisine atayan islemleri yazınız
Dizilerin Değerlerinin Değistirilmesi ve Duumlzenlenmesi
4 VektoumlrlerMatlab
59
4 VektoumlrlerMatlab
60
Sayılardan olusan satır ve suumltun yapısına matris (dizi) denir
Oumlrneğin
d1=[5] 1x1 lik
d2=[ 2 -7] 1x2 lik
d3= [1 0 -3 ]
[ 5 3 1 ]
2x3 luumlk bir dizidir
Oumlrnekx=[1 7 18 5]Ya daraquo x=[ 1
7185 ]
Biccedilimlerinde girilebilir
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
61
Dizilerin Değerlerinin Değistirilmesi ve DuumlzenlenmesiBir dizinin herhangi bir elemanını belirlemek iccedilin dizi adından hemen sonra
parantez iccedilinde elemanın bulunduğu satır ve suumltun sayısı yazılmalıdır
Oumlrnek 1 d2=[2 -7]d2 dizisinin -7 elemanını
goumlruumlntuumllemek iccedilin
d2(12)
2 d3=[1 0 -35 3 1]d3 dizisinin 2 satır 1 suumltununda bulunan 5 in değerinin -75 olması
iccedilin
d3(21)=-75
Not1) Bir dizinin bir ccedilok elemanını
yeniden değer atamak gerekirse komut satırından atama yapmak uzun zaman alabilirBu durumda dizi değiskeninin uumlzerine ccedilift tıklayarak accedilılan dizi editoumlruuml
(array edit) yardımıyla değisiklikleri daha kolay yapabiliriz
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
62
8 Matrisler(Dizi)Matlab
Bir matrisi girerken o1 Elemanlar baştan ve sondan koumlşeli parantezlerle kapatılıro2 Elemanların arasına boşluk veya virguumll konuluro3 Matris satırlarını
ayırmak iccedilin de noktalı
virguumll kullanılır
okurallarına dikkate alınmalıdır
Oumlrneğin
A = [1 2 3 4 5 6]A =
1 2 34 5 6
şeklinde veriler matrisler biccediliminde tanımlanır MATLAB daha sonra kullanılmak uumlzere verileri A matrisinde saklar
63
Matris elemanları
rasgele rakamlardan oluşabileceği gibi MATLABrsquoın deyimlerinden de oluşabilir
51 Matrislerde ElemanlarMatlab
Oumlrneğin
a=[-13 sqrt(3) (1+2+3)475]
a= -13000 17321 48000
Kuumlccediluumlk matrisleri eleman olarak kullanıp daha buumlyuumlk matrisler oluşturmak muumlmkuumlnduumlr
OumlrneğinM=[1 3 5
7 8 9] matrisine
aşağıda goumlsterildiği şekilde bir satır eklemesi yapabilir
M=[M[10 13 15]]
Bu durumda M matrisiM=[1 3 5
7 8 910 13 15]
durumunu alır
64
İki nokta uumlst uumlste () kullanarak buumlyuumlk matrislerin belli bir kısmını
kullanabiliriz
ya da diğer ifade ile bu matrisi kuumlccediluumlltebiliriz
Oumlrneğin
M=M(12) bildirimi M matrisinin ilk iki satırını
alarak M matrisi
olarak saklar
Oumlrnek
M=[8 -4 7 66 -7 8 9 4 5 134] ise
M=M(12) =
8 1 Matrislerde ElemanlarMatlab
65
MATLABrsquoda kullanıcı
verileri kendi oluşturacağı
matrisler ile tanımlayabileceği gibi MATLABrsquoın kendi oumlzel matrislerinden de istifade edilebilir
52 Genel MatrislerMatlab
66
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
a) Sıfır Matrisi Olusturan Fonksiyon
Her elemanı sıfır olan mxn boyutunda bir matrise sıfır matrisi denir
Boumlyle bir dizi olusturmak iccedilin zeros fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=zeros(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
3x5 boyutunda s adlı
sıfır matrisi iccedilin
s=zeros(35)
52 Genel MatrislerMatlab
67
b) 1 lerden Olusan Matris
Her elemanı 1 olan mxn boyutunda bir matrisi olusturmak iccedilin ones
fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matria_adı=ones(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
2x3 boyutunda b adlı
tuumlm elemanları
1 olan matrisi olusturalım
b=ones(23)
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
52 Genel MatrislerMatlab
68
c) Birim Matrisi Olusturan Fonksiyon
Esas koumlsegeni 1 lerden diğer elemanları 0 lardan olusan kare matrise (satır
ve suumltun sayısı esit olan ) birim matrisi
kare olmayan matrise de diyagonal matris denir
Boumlyle matrisleri olusturmak iccedilin eye fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=eye(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
a)
3x3 luumlk birim matris
b) 4x3 lluumlk diyagonal matris olusturalım
Ccediloumlzuumlma) i=eye(33) b) d=eye(43)
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar52 Genel MatrislerMatlab
69
d) Rastgele Sayılardan Olusan Matris ve Fonksiyonu
Elemanları 0 ile 1 arasındaki rastgele sayılardan olusan bir matris iccedilin
rand fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=rand(mn) biccedilimindedir(msatırnsuumltun)
Not 1) Uumlretilen matrisin tuumlm elemanlarını k gibi bir sayı ile ccedilarparak
sayıları 0 ile k arasına ccedilekebiliriz
Not 2) Ondalıklı sayılardan olusmus bir matrisin elemanlarını
yuvarlayıp tam sayı yapmak iccedilin round fonksiyonunu kullanırız
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar52 Genel MatrislerMatlab
70
Oumlrnek
a) 0 ile 1 arasında rastgele sayılardan olusan 10 elemanlı
a adında bir satır
matrisi olusturalım
b) Elemanları
10 ile 50 arasında sayılardan olusan 5x3 tipinde b matrisini
olusturalım
c) Elemanları
50 ile 300 arasındaki tamsayılardan olusan 3x4 tipinde c matrisini
olusturalım
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
d) Rastgele Sayılardan Olusan Matris ve Fonksiyonu
52 Genel MatrislerMatlab
71
Ccediloumlzuumlm
a)
a=rand(110)
b)
b=10+rand(53)40
c) c=round(50+rand(34)250)
52 Genel MatrislerMatlab
72
e) Rastgele Sayılardan Olusan Normal Dağılımlı
Matris veFonksiyonu
Elemanları rasstgele sayılardan olusan bir normal dağılımlı bir matris iccedilin
randn fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=randn(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek Rastgele sayılardan olusan normal dağılımlı 2x3 luumlk bir n matrisini
olusturalım
Ccediloumlzuumlm n=randn(23)
52 Genel MatrislerMatlab
73
f) Lineer Aralıklı
(Aritmetik) Dizi ve Fonksiyonu
Baslangıccedil ve biis değerleri ve kaccedil elemandan olusacağı belirlenen diziyi
olusturmak iccedilin linspace fonksiyonu kullanılır
Kullanımı
dizi_adı=linspace(ilk_değerson_değereleman_sayısı)
biccedilimindedir
52 Genel MatrislerMatlab
74
Oumlrnek 10 ile 30 arasına 9 tane daha sayı
koyarak aadında bir aritmetik dizi olusturalım
f) Lineer Aralıklı
(Aritmetik) Dizi ve Fonksiyonu
52 Genel MatrislerMatlab
Cevapa=linspace(103011)
75
Elimizdeki grubun her elemanı iccedilin bir matematik işlemi yapıp bunu yeni bir
diziye atarken herhangi bir sorun yoktur
Fakat iki farklı grupla işlemler yaparken dikkat etmemiz gereken genel
kurallar vardır
Oumlrneğin toplama ve ccedilıkarma yaparken iki dizinin de buumlyuumlkluumlğuumlnuumln eşit
olması gerekmektedir
Ayrıca iki farklı dizinin elemanları arasında birebir işlem yapmak iccedilin
matematik operatoumlruumlnuumln başına nokta() koymak gerekir
Bu durumda her bir elemanı diğer dizinin o sıradaki elmanı ile işleme
sokacaktır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
76
Birden fazla satır ve suumltuna sahip vektoumlrlere matris denir Noktalı
virguumll ()
işareti ile kolonları
ve virguumlle işareti ya da boşluk
bırakarak da bir sıradaki elemanları
ayırabilirizOumlrnekraquo x=[ 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14]x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14Yukarıdaki 3x4 boyutunda bir matristir MATLAB programına aşağıdaki
gibi de sunulabilirraquo x=[ 3 4 5 6
7 8 9 1011 12 13 14]
x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
77
Matristeki herhangi bir elemana direk ulaşmak iccedilin aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(23)=9
Eğer isteğimiz eriştiğimiz bir elemanı
değiştirmek veya yeni bir satır eklemek ise aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(41)=1x =
3 4 5 67 8 9 1011 12 13 141 0 0 0
Bu durumda doumlrduumlncuuml
satır ilk elemanını
biz 1 değerini atadık ve diğer elemanları
kendiliğinden ldquo0rdquo
olarak atadı
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
78
İki nokta uumlst uumlste () kullanılarak belirli aralıkta değişen matrisler yaratılabilir
raquo x=[127 3-10 -12]x =
1 3 5 73 2 1 0
-1 0 1 2Bir matrisin herhangi bir boumlluumlmuumlnuuml
seccedilmek iccedilin ise aşağıdaki goumlsterim
kullanılırraquo z=x(23 12)z =
3 2-1 0
Bu durumda z matris x matrisinin 2 ve 3 norsquo
lu satırlarından 1 ve 2 norsquo
lu suumltunlarını
almış
oluyor
Herhangi bir satır veya suumltunu tamamen silmek istersek o satır ve suumltunu seccedilip ldquo[]rdquo
ifadesine eşitleriz
raquo z(2)=[ ]z =
3 -1
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
79
Matlab size ve length komutları
yardımı
ile size matrisinizin boyutlarını
soumlyler
raquo a=[ 2 3 4 5 67 8 9 10 11]
raquo s=size(a)s =
2 5
raquo b=[ 17 11 0 30 40 50]
raquo k=length(b)k =
6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
80
a) Toplama-Ccedilıkarma Bir Sayı
ile Ccedilarpma İşlemi
İki matrisi toplamak (veya ccedilıkarmak) demek matrislerin aynı
mertebedeki elemanları teker teker toplayıp (veya ccedilıkarıp ) aynı
mertebeye yazmak demektir
Bu durumda iki matrisin de aynı mertebeden olması gereği accedilıktır
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile toplamak (veya ccedilıkarmak) demek
matrisin elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla toplamak (veya
ccedilıkarmak )demektir
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile ccedilarpmak demek ise matrisin
elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla ccedilarpmak demektir
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
81
82
Oumlrnek
raquo a=[1 2 3 4 5 6]raquo b=[7 8 9 10 11 12]
a ve b toplamıraquo sum=a+bsum =
8 10 1214 16 18
arsquo
yı
brsquo
den ccedilıkarmak
raquo diff=a-bdiff =
-6 -6 -6-6 -6 -6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
83
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] ve b=[3 -3 -41 1 5] matrisleri
veriliyor
a)
c=a+b toplam matrisini
b)
d=a-b matrisini
c)
amatrisinin her elemanınının 5 eksiğine karsılık gelen e
matrisini
d) f=2a-3b matrisini bulduran islemleri yazalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
a) c=a+b b) d=a-b c) e=a-5 d) f=a+a-b-b-b veya
f=2a-3b
84
İki matrisin ccedilarpım islemi iki biccedilimde anlasılır
1)
Aynı
mertebeden iki matrisin elemanlarını
teker teker ccedilarpıp aynı
mertebeye
yazmak demektir Bunu
islemi ile gerccedileklestiririz
2) Matematiksel anlamda iki matrisi ccedilarpmak istediğimizde birinci matris mxn
tuumlruumlnde ve ikinci matris mutlaka nxp tuumlruumlnde olmalıdır yani birinci matrisin
suumltun sayısı
ikinci matrisin satır sayısına eşit olmalıdır
Bu durumda birinci matrisin i suumltun elemanları
ile ikinci matrisin j satırındaki
elemanlar karılıklı
olarak ccedilarpılır ve sonuccedillar toplanır ve bu toplam ccedilarpım
matrisinin (ij) inci mertebeye yazılır
Matrisler arası
ccedilarpma isleminin semboluuml
de dır
b) İki Matrisin Ccedilarpımı Bir Matrisin Kuvvetleri veCcedilarpma İslemi
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
85
3) Bir a matrisinin her bir elemanının n Kuvvetlerinden olusan matrisi
bulmak iccedilin a^n islemi kullanılır
4) Satır ve suumltun sayıları
esit bir kare matrisi ardısık olarak n defa
kendisiyle ccedilarparak a matrisinin n kuvvetini bulabilirizOumlrneğin a matrisinin
karesi iccedilin aa veya a^2 kuumlbuumlnuuml
buldurmak iccedilin aaa veya a^3
doumlrduumlncuuml
kuvvetini buldurmak iccedilin aaaa veya a^4
Not) Bir a matrisinin eleman -elemana ccedilarpma islemine benzer mantıkla bir matrisin tuumlm elemanlarının kareleri kuumlbleri sinuumlsleri kosinuumlsleri logaritmalarından olusan matris bulunmak istenirse bunu sırayla aa (veya a^2) aaa (veya a^3) sin(a) cos(a) etabanında logaritması
iccedilin log(a) 10 tabanında logaritmaları
iccedilin log10(a) Biccediliminde gerccedileklestirebiliriz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
86
a) a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c1 matrisi varsa bulalım
b) a matrisi ile b matrisinin ccedilarpım matrisi olan c2 varsa bulalım
c) a matrisinin elemanları
ile c matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c3 matrisi varsa bulalım
d) a matrisi ile c matrisinin ccedilarpım matrisi olan c4 varsa bulalım
e) a matrisinin elemanlarının karelerinden olusan matris ile b matrisinin
kosinuumlslerinden olusan matrisler toplamını
bulalım
f) x=[1 00 3] matrisinin i) Karesini ii) Kuumlbuumlnuuml
iii) 10
kuvvetini bulalım
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] b=[3 -3 -41 1 5] ve c=[1 0-1 23 3] matrisleri veriliyor
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
87
Ccediloumlzuumlma) iki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirBu durumda c1 matrisi tanımlıdır ve bunu c1=ab islemi ile gerccedileklestirebilirizb) iki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdırHalbuki a matrisi 2x3 b matrisi de 2x3 olduğundan bu iki matris ccedilarpılamazc) İki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirHalbuki bu matrisler aynı mertebeden olmadığından bu iki matris eleman-elemana ccedilarpma islemi
gerccedileklemezd) İki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdıra matrisi 2x3 luumlk c matrisi de 3x2 lik olduğundan bu iki matris ccedilarpılabilir ve c4 ccedilarpım matrisi 2x2 lik bir matris olurc4 ccedilarpım matrisini c4=ac islemi ile buluruze) a^2+cos(b)f) i) x^2 ii) x^3 iii) x^10
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
88
c) Bir Matrisin Devriğini (Transpozesi) Bulma İslemi
Bir matrisin satırlarını suumltun suumltunlarını satır olarak yazılmasıyla
bulunan matrise bu matrisin devriği (transpozesi) denir
Bir matrisin devriğini islemi ile bulabiliriz
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] nın devriğini buldurup d matrisine atayalım
Ccediloumlzuumlm d=a
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
89
Oumlrnek
b=[7 8 9 10 11 12] matrisinin transpozesini bulabilirmisiniz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
c=bc =
7 108 119 12
90
SORU
a=[1 2 3 4 5 6]
c= [710811912]
ise a ve crsquonin ccedilarpım matrisi
kaccediltır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
Ccedilarpma işlemi k=ack=
50 68122 167
91
SORU
a=[1 2 3 4 5 6] b=[7 8 9 10 11 12]
ise a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan x matrisini bulalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
x=abx =
7 16 2740 55 72
92
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
Aynı mertebeden iki matrisin elemanlarını teker teker boumllerek aynı
mertebeye yazılmasına iki matrisin sol boumllmesi denir ve bu islemi ile
yapılır
a b ve c aynı mertebeden kare matrisler olmak uumlzere
c=ab ise a matrisine c nin b matrisine boumlluumlmuuml denir
c boumlluumlm matrisi islemi ile yapılır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
93
HATIRLATMA
2x2 lik i2 adlı birim matrisi i2=eye(22)
3x luumlk i3 adlı birim matrisi i2=eye(33) islemi ile olusturabiiriz
Aynı mertebeden a ve b kare matrisleri iccedilin a ile b nin ccedilarpımı birim matris ise
b matrisi a matrisinin (aynı biccedilimde a matrisi de b matrisinin) ters matrisidir
Oumlrnek
3x3 luumlk bir a kare matrisinin tersini bulmak iccedilin
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
eye(33)a veya inv(a) islemini kullanırız
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
94
Bir Matrisin Determinantı
Determinant kare matrisleri bir sayıya eşleyen fonksiyondur
Determinant fonksiyonunun kare matrisi eşlediği o sayıya matrisin
determinantı denir
A matrisinin determinantı detA veya |A| biccediliminde goumlsterilir
|A| matrislerde mutlak değer anlamına gelmez |A| sıfır veya
negatif de olabilir
det(x)
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
95
KURAL
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
96
Oumlrnek
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Determinant
raquo
deter=det(x)deter =
21
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
97
Oumlrnek Inverse işlemi
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Detx=det(x)=21 ise
raquo y=inv(x)y =
821 121 -521 221
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
98
SORU
a=[2 -10 01 2 43 0 1] matrisi ile b=[1 5 41 -1 20 1 -1] matrisleri veriliyor
a)
a matrisinin elemanlarını
sırasıyla b matrisinin elemanlarına boumllerek elde
edilen matrisi b1 matrisine atayalım
b) a matrisinin ta ters matrisini bulalım
c) a ile ta matrisinin ccedilarpımının 3x3 luumlk birim matris olduğunu goumlsterelim
d) a matrisinin b matrisine boumlluumlmuumlnuuml
b2 matrisine atayalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
99
Ccediloumlzuumlm
a)
b1=ab
b) ta1=eye(33)a veya ta2=inv(a)
c) ata ==eye(33)
d) b2=ab
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
16
Bu pencere o ana kadar komut satırından girilen komutları goumlsterir
İstersek bunların birini fareyle seccediler ya da bir kaccedilını veya tuumlmuumlnuuml fare ve
asağı-yukarı youmln tusları yardımıyla seccediler ve delete tusuna basarak silebiliriz
Command History
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
17
oKomut satırından ya da ccedilalıstırılan bir dosya ya da fonksiyon ile hafızada
olusturulan değiskenlerin adlarının tiplerinin ve oumlzelliklerinin goumlruumlntuumllendiği
penceredir
oCcedilalışma Alanı
MATLABrsquoda işletilen fonksyonların veya komutların oluşturduğu
değişkenlerin depolandığı
bir merkezdir
oBoumlylelikle tuumlm değişkenlere belli bir kaynaktan ulaşılabilmektedir bu da
programlama sırasında değişkenlerin yerini belirtmeden bu değişkenleri kullanma
imkanı
sağlamaktadır
Workspace
Uumlstuumlne sağ tuş yapıp
oumlzellikler eklenebilir
egsize
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
18
Workspace
Oumlrneğin
c değiskeni 1x1 boyutunda bir matris yani sayı
b değiskeninin ise 3x2 boyutunda bir matris yani uumlccedil satır ve 2 suumltundan
olusan bir matris
nasılsın adlı değisken de 6 karakterden olusan bir karakter zinciri (string)
olduğu goumlruumlluumlr
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
Oumlrnek Command Windowrsquoa alttaki değerleri yazıp inceleyin
a = 4 b = 5 c = abnasılsın=lsquoiyidirrsquo
19
Matlab Dizi Editoumlruuml
oA değişkenine ccedilift tıklandığında Matlab Dizi Editoumlruuml
accedilılır
oBurda değişkenlerin iccedilerikleri goumlruumlntuumllenir ve değiştirilebilir
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
20
who
ccedilalışma alanında hangi değişkenler olduğu
whos
bu değişkenlerin yapıları
goumlruumllmektedir
what
komutu kullanıcı
diskinin halihazır dizininde mevcut M- dosyaları
listesini verir
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
21
clc
Komut penceresindeki satırları
silmeye yarar
clear
Hafızadaki değişkenler silinir
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
22
Matlab Ccedilalışma Dizini penceresindeki ldquo
aşağı
okrdquo
basılarak ccedilalışma dizini seccedililebilir
Current Folderrsquoda ccedilalışmak istenilern directory youmlnlendirilerek hızlı
ulaşım sağlanır
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
23
Current Folder
Matlab dosyalarının kaydedildiği yuumlklendiği dosyaların bulunduğu
klasoumlruuml
(dizin) varsayılan klasoumlr olarak belirlemeye yarar
Aksi belirtilmedikccedile bu klasoumlr CMatlab6p5work gibi bir klasoumlrduumlr
Yada save FMATLAB_UYGkatsayilar a
katsayilarmat olarak kaydedilen a matrisininmatlab kapatılıp accedilıldıktan sonra herhangi bir zamanda geri ccedilağrılmasıiccedilin
load FMATLAB_UYGkatsayilar
komut dizisi kullanılır
Command Windowa save yazılırsa değişkenler ldquomatlabmatrdquo
veri
dosyasına kaydedilmiş olur
Matlabı
kapatıp accedilalım ve matlabmatrsquoı
ccedilağıralım
(File open matlabmat)
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
Oumlrnekgtgt a=[123 579] a = 1 2 3 5 7 9
24
MATLAB Yardım
1 Komut satırına ldquohelprdquo yazılır Bu yardım sunulabilecek konuların listesini sunar
2 help fonksyon-adı
fonksyon iccedilin yardım metnini goumlruumlntuumller
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
25
Matlab MasaUumlstuuml
Yeni M- Dosyası
Dosya Accedil Help Desk
Kayıtlı
Matlab Fonksyonu kayıt dosyası(mat) modeli figuumlruuml
ve GUI arayuumlzluuml
fonksyonları
accedilar
Veri dosyalarını
accedilar
Ccedilalışma ortamını
kaydeder
Farklı
ccedilalışma dizinini Matlaba tanıtır
Matlab arayuumlzuumlnuuml
ayarlar
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
26
Başlat Duumlğmesi
Matlab araccedil
kutuları Matlab
uygulamalarına eklenti olarak
hazırlanan ve hazır fonksyonları iccedileren paketlerdir
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
27
Başlat Duumlğmesi
Start Duumlğmesi tuumlm matlab uygulamalarına accedilılan kısayolları
iccedilermektedir
Matlab Uygulamaları
iccedilin kısa yol
Araccedil
kutularıSimulinkUy
gulaması
Demolar
Veri Sihirbazı
GUI Hazırlayıcı
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
28
Matlaba Veri Alma
Programa dışarıdan resim film veri ses dosyalarını
matris formatına ccedilevirerek bir değişken olarak atamada kullanılır
File Import Data
Oumlrnek Exel dosyası
alma
Exelde bir matrix oluşturup matlabdan import ile alınız
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
29
Matlabda Temel Kavramlar
Tuumlm programlama dillerinde olduğu gibi (Fortran C Pascal Basic vs)
Matlabın da oumlzel anlam tasıyan bazı kelimeleri vardır ki bu kelimeler değisken
olarak kullanılamazlar
Bu tuumlr kelimelere anahtar kelime (keywords) denir
Bu kelimelerin bir listesini almak iccedilin komut satırına
iskeyword komutunu yazarak elde edebiliriz
Bu kelimeler
breaklsquo case catch continue else elseif endlsquo for function global
if otherwiselsquo persistent return switch try while
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
30
Programın dili ve yardım bilgileri tamamen ingilizcedir
Kuumlccediluumlk-buumlyuumlk harf ayrımı vardır
Oumlrneğin dscrite DSCRITE ve Dscrite atamaları farklı şekilde
algılanır
Eğer istenirse ldquocasesen offrdquokomutu ile bu durum sona
erdirilebilir
raquo işareti komut promptrsquoudur
Komutlar Enter ile yuumlruumltuumlluumlr
2 Matlab Kullanımında Temel Kurallar
Matlab
31
Genel komutların isimleri ve accedilıklamaları
2 Matlab Kullanımında Temel KurallarMATLAB
32
2 Matlab Kullanımında Temel KurallarMATLAB
MATLAB kontroluumlnuuml
kullanabilmeniz iccedilin oumlzel karakterlere sahiptir Bu karakterlerin bir oumlzeti
33
2 Matlab Kullanımında Temel KurallarMatlab
34
2 Matlab Kullanımında Temel KurallarMatlab
35
İFADELER Matematiksel ve metinsel goumlsterimler ile işlemler ifadelerlesağlanır
Sayılar (Numbers)Değişkenler (Variables)İşleccediller (Operators)Fonksiyonlar (Functions)
Matlabrsquode ifadeler genellikle değişken = ifade veya sadece ifade formundadır
Sayısal Analiz
x = 4 sqrt(5) İfade
değişkensayı işleccedil fonksiyon
Bir ifade = işareti ile bir değişkene atanmamış
ise Matlab otomatik olarak sonucu ans (answer)
adı
verilen oumlzel bir değişkende saklar
3 MATRİSLER
36
o
Birden
fazla ifade
tek satırda aralarına
ya da koyarak yazılabilir
o
Yazımda
boşluk
sayısı
etkisizdir
o
Sadece
ilgili
değişken
adını
yazarak
o değişkeni ccedilağırabilirsiniz
MATRİSLER31 İFADELER
37
o MATLABrsquoda herhangi bir tip tanımlaması
veya boyut ifadesine gerek yoktur
o
MATLAB yeni bir değişken ismi ile karşılaştığında otomatik olarak ans isminde
bir değişken oluşturur ve uygun bir bellek miktarı
ayırır
oEğer değişken zaten varsa MATLAB gerekli bir bellek ayırdığında iccedileriği değişir
Oumlrneğin
o ogrenci_sayı=51
32 DeğişlenlerMatlab
Değisken
değeri değisebilen bellek alanına isaret eden değerlere
38
MATLAB değişken girişleri iccedilin ccedileşitli kurallara sahiptir
Her değişken bir harfle başlamak zorundadır
Program buumlyuumlk kuumlccediluumlk harf duyarlıdır X ve x farklı değişkenleri ifade eder
Program 31 basamağa kadar duyarlıdır Bu basamaktan sonrasını yok sayar
Dolayısıyla 31 basamaktan uzun değişken isimleri karışıklık yaratabilir
32 DeğişlenlerMatlab
39
Değiskenlere Değer Atama
Her hangi bir programlama dilinde olduğu gibi Matlabrsquoda da bir değiskene
değer verme islemine rdquodeğer atamakrdquo denir
Bir değiskene atanan değer değistirilmediği suumlrece aynı kalır
Değer atamanın genel kullanımı asağıdaki biccediliminde olur
ltDeğisken adıgt=ltAtanacak değergt
32 DeğişlenlerMatlab
40
Oumlrnek 2
A=6i-7 A değişkenine skaler bir değer atar
B=A 7
B değişkenine A değişkeninin 17 si atanmıştır
C=[3 4 5 6]
4 elemanlı
bir satır vektoumlruuml
atanmıştır
NOT
Dizi girişinde herhangi bir satıra ait elemanlar aralarına boşluk veya virguumll ldquordquo konularak ayrılır
Dizinin diğer bir satırına başlamak iccedilin biten satır sonuna konulur
32 DeğişlenlerMatlab
41
oMATLABrsquoda sayılar yaygın olarak kullanılan onluk tabanda ifade edilirler
o
Bunun yanısıra onluk tabanda uumlstel olarak veya i veya j olarak kompleks sayı biccedilimlerinde de ifade edilebilirler
oOumlrnek olarak
33 Sayılar
Matlab da i
ve j
başka tuumlrluuml
tanımlanmamışsa kompleks i sayısını
goumlsterir 3e5 sayısıda 3105
anlamındadır
MATRİSLER
42
o
Ondalık sayılar Tuumlrkccedilemizdeki
35 yerine
35 şeklinde
goumlsterilir
(00001 veya 963
065 yerine 65)
o
Bilimsel
notasyon
goumlsterimi olan e
(veya E) harfi
10rsquonun kuvvetini
temsil eder
o 2e4=2104=2000 veya
165e-20=16510-20
demektir
o
Kompleks
sayılarda
imajiner
(sanal) kısımlar
i
veya
j
ekini
alır
i veya
j
ile
gosterimlerinde
bir
fark
yoktur
o (1+3i veya 1+3i veya 1+i3) 1+sqrt(3)j
-5i
o
Matlabrsquode
tuumlm
sayılar yaklaşık 210308 ve
210-308 arasında
değişir
33 Sayılar
MATRİSLER
43
Sayı
Formatları
33 SayılarMatlabMATRİSLER
44
oMatlabda bir ccedilok eylem doumlrt islem ve matematiksel bazı
islemler
yaptırabiliriz
oBunun iccedilin ya ilgili komutları
komut penceresinden teker teker girerek veya
ilgili komutları
bir dosyaya yazıp o dosyayı
ccedilağırarak ccedilalıstırabiliriz
oİşlemleri yaptırırken sayıları
reel sayı
ya da karmasık sayı
olarak alabiliriz
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
45
Matematiksel ifadeleri oluşturmak iccedilin operatoumlrler ve oumlnceden tanımlanmış sembolleri kullanabilirsiniz
oOperatoumlrler oumlzetle şunlardır
oMatrislerle yapılan işlemlerde boumllme işlemi iccedilin iki farklı
sembol kullanılmaktadıroBunun yanında eğer sayılar skaler ise iki boumllme işleminin sonucu da aynı
değeri
goumlsterecektiroOumlrneğin 32 ile 23 ifadelerinin sonuccedilları
aynı
olup 15rsquodir
raquo 4+83ndash2ans =26
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
46
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
x=a + b
Bu ifadede a ve b nin toplandığı
ve x değişkeni iccedilinde saklandığıbelirtilmektedir
47
Aritmetiksel İşlemlerde Oumlncelik Durumu
oTek bir aritmetiksel durum iccedilinde birden fazla durum bir arada bulunabildiğine goumlre
hangi işlemin oumlncelik hakkına sahip olunduğunun
bilinmelidir
oMATLABrsquoda kullanılan işlemlerde işlemlerin oumlncelik
listesi
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
bazı
temel matematiksel fonksiyonların accedilıklamaları
48
o
MATLABrsquo
da işlemler soldan sağa işlerlero
İşlemler arası
oumlncelik sırası
aşağıdaki gibidir
1 ^
(Yuumlksek)2
darr
3 + -
(Duumlşuumlk)
raquo 3^(2ndash5)-632 raquo 3^2ndash5ndash632ans = ans =
mdash39630 0
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
49
35 FonksyonlarMATRİSLER
o MATLABrsquoın ccedilok guumlccedilluuml
ve ccedilok kapsamlı
bir fonksiyon yapısı
vardır
oMATLABrsquoda bazı
fonksiyonlar daha oumlnceden yerleştirilmiş
bazıları
ise sonradan
dışarıdan yerleştirilmiş
M-dosyalarından oluşan MATLAB kuumltuumlphanelerinde
tanımlanmışlardır
oBunun yanında oumlzel uygulamalar iccedilin kullanıcıların kendi fonksiyonlarını
yazarak
kendi kuumltuumlphanelerini oluşturması
muumlmkuumlnduumlr
MATLABrsquoda mevcut analitik fonksiyonları
genel olarak aşağıdaki kategorilere ayırabiliriz oTemel matematiksel fonksiyonlaroOumlzel fonksiyonlaroTemel matrisler ve matris işlemlerioMatrisleri ccedilarpanlarına ayırmaoVeri analizlerioPolinomlaroDiferansiyel denklem ccediloumlzuumlmlerioLineer olmayan denklemler ve optimizasyonoSayısal integral hesaplamalarıoSinyal işleme
50
Matematiksel Fonksiyonlar
bazı
temel matematiksel fonksiyonların accedilıklamaları
35 FonksyonlarMATRİSLER
Oumlrnekgtgtexp(1)ans=27183gtgtfix(35)ans=3gtgtceil(35)ans=4gtgtround(35)ans=4
51
Matlabda oumlnceden tanımlanmıs bazı
sabitlerdirBunlar aşağıdaki tabloda goumlsterilmistir
36 Oumlzel SabitlerMatlab
52
Oumlrnekler
1)
a=1
2)
a=rsquoİstanbulrsquo
3)
a=5b=7c=a+b
4) a=5b=-3c=a+2ba=a+b
5)
num=23-5^2 x=num2 y=x+10
7 Sabitler Değiskenler ve Metin KatarlarıMatlab
53
Oumlrnek
Komut satırına
a)
sin(30)
b)
sin(30pi180) yazınız sonuccedilları
inceleyiniz
35 FonksyonlarMATRİSLER
Cevapa) -09880 sonucu goumlruumlluumlr ki bu 30deg
nin sinuumlsuumlnde n farklıdır Ccediluumlnkuuml
bu 30deg
derece değil 30 radyanın sinuumlsuumlduumlrb) 05000 sonucu goumlruumlluumlr ki bu da 30deg
nin sinuumlsuumld uumlr O halde bir
sayının trigonometrik değerini buldurmak iccedilin oumlnce pi ile ccedilarpıp 180 e boumllerek accedilıyı
radyan ccedilevirip sonra trigonometrik değerini
hesaplatabiliriz
54
oVektoumlrler tek boyutlu sayı
dizileridir
oElemanlarının sıralanma youmlnlerine goumlre suumltun veya satır vektoumlruuml
adlarını alırlar
ovektoumlrler [ ] koumlşeli parantezleri ile tanımlanır
ofarklı
yolla tanımlanabilirler
4 VektoumlrlerMatlab
A = [4 12 -8 6]A = [4 12 -8 6]
B = [1 2 4 6]
Satır Vektoumlruuml
Suumltun Vektoumlruumlgtgt b=[1 2 4 6 ]
55
4 VektoumlrlerMatlab
ovektoumlr boyutları
buumlyuumlduumlkccedile manuel olarak tanıtım işlemi oldukccedila zorlaşmaktadır
oOumlzellikle belli bir artıma sahip vektoumlrlerin oluşturulmasında () operatoumlruuml kullanılmaktadır
C = [-105150]
Son değerBaşlangıccedil değeri Artış
miktarı
Drsquo
= [30-10-30]
Suumltun Vektoumlruuml
56
Vektoumlr indisleri
4 VektoumlrlerMatlab
Bir vektoumlruumln elemanlarına atanılan değer değişkenler editoumlruuml
veya eleman adresi vasıtasıyla değiştirilebilir
OumlrnekA = [4 12 -8 6]1 A vektoumlruumlnuumln 3 elemanını
27 ile değiştiriniz
2 Benzer şekilde A vektoumlruumlnuumln 2 elemanını
siliniz 3 A(9) = 12
Ccediloumlzuumlm1 A(3) = 272 Vektoumlruumln elemanına [ ] değeri atandığında eleman silinirA(2) = [ ]3 gtgt A(9) = 12
A= [ 4 27 6]
A =[ 2 27 7 0 0 0 0 0 12]
57
raquo x=[17 8 61 83 56]
Şeklindeki bir matrisin uumlccediluumlncuuml
elemanına erişmek istenirse
raquo c=x(3)
c =
61
Eğer bir blok şeklinde veriye erişilmek istenirse
raquo x(24)
ans =
8 61 83
Her matristeki herhangi bir elman grubuna erişilmek istenirse
raquo x([3 1 4])
ans =
61 17 83
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
58
Bir diziye duumlzenli artıs (veya azalıs) kuralıyla değerler atanmak isteniyorsa
bunu
ilk_değerartısson değer veya ilk_değerartısson değer
biccediliminde yapabiliriz
Ancak artıs 1 ise belirtilmeyebilirOumlrnekortalama adlı
bir diziye 0 dan 5 e kadar 05 er artısla elde edilen sayı
dizisini atayanortalama=[0055]
Siz 1 satır 7 den den 17 ye kadar olan tam sayılar 2 satırı
99 dan 89 a kadar azalan tam sayılardan olusan 2 boyutlu m dizisine atayan islemleri yazınız
Dizilerin Değerlerinin Değistirilmesi ve Duumlzenlenmesi
4 VektoumlrlerMatlab
59
4 VektoumlrlerMatlab
60
Sayılardan olusan satır ve suumltun yapısına matris (dizi) denir
Oumlrneğin
d1=[5] 1x1 lik
d2=[ 2 -7] 1x2 lik
d3= [1 0 -3 ]
[ 5 3 1 ]
2x3 luumlk bir dizidir
Oumlrnekx=[1 7 18 5]Ya daraquo x=[ 1
7185 ]
Biccedilimlerinde girilebilir
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
61
Dizilerin Değerlerinin Değistirilmesi ve DuumlzenlenmesiBir dizinin herhangi bir elemanını belirlemek iccedilin dizi adından hemen sonra
parantez iccedilinde elemanın bulunduğu satır ve suumltun sayısı yazılmalıdır
Oumlrnek 1 d2=[2 -7]d2 dizisinin -7 elemanını
goumlruumlntuumllemek iccedilin
d2(12)
2 d3=[1 0 -35 3 1]d3 dizisinin 2 satır 1 suumltununda bulunan 5 in değerinin -75 olması
iccedilin
d3(21)=-75
Not1) Bir dizinin bir ccedilok elemanını
yeniden değer atamak gerekirse komut satırından atama yapmak uzun zaman alabilirBu durumda dizi değiskeninin uumlzerine ccedilift tıklayarak accedilılan dizi editoumlruuml
(array edit) yardımıyla değisiklikleri daha kolay yapabiliriz
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
62
8 Matrisler(Dizi)Matlab
Bir matrisi girerken o1 Elemanlar baştan ve sondan koumlşeli parantezlerle kapatılıro2 Elemanların arasına boşluk veya virguumll konuluro3 Matris satırlarını
ayırmak iccedilin de noktalı
virguumll kullanılır
okurallarına dikkate alınmalıdır
Oumlrneğin
A = [1 2 3 4 5 6]A =
1 2 34 5 6
şeklinde veriler matrisler biccediliminde tanımlanır MATLAB daha sonra kullanılmak uumlzere verileri A matrisinde saklar
63
Matris elemanları
rasgele rakamlardan oluşabileceği gibi MATLABrsquoın deyimlerinden de oluşabilir
51 Matrislerde ElemanlarMatlab
Oumlrneğin
a=[-13 sqrt(3) (1+2+3)475]
a= -13000 17321 48000
Kuumlccediluumlk matrisleri eleman olarak kullanıp daha buumlyuumlk matrisler oluşturmak muumlmkuumlnduumlr
OumlrneğinM=[1 3 5
7 8 9] matrisine
aşağıda goumlsterildiği şekilde bir satır eklemesi yapabilir
M=[M[10 13 15]]
Bu durumda M matrisiM=[1 3 5
7 8 910 13 15]
durumunu alır
64
İki nokta uumlst uumlste () kullanarak buumlyuumlk matrislerin belli bir kısmını
kullanabiliriz
ya da diğer ifade ile bu matrisi kuumlccediluumlltebiliriz
Oumlrneğin
M=M(12) bildirimi M matrisinin ilk iki satırını
alarak M matrisi
olarak saklar
Oumlrnek
M=[8 -4 7 66 -7 8 9 4 5 134] ise
M=M(12) =
8 1 Matrislerde ElemanlarMatlab
65
MATLABrsquoda kullanıcı
verileri kendi oluşturacağı
matrisler ile tanımlayabileceği gibi MATLABrsquoın kendi oumlzel matrislerinden de istifade edilebilir
52 Genel MatrislerMatlab
66
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
a) Sıfır Matrisi Olusturan Fonksiyon
Her elemanı sıfır olan mxn boyutunda bir matrise sıfır matrisi denir
Boumlyle bir dizi olusturmak iccedilin zeros fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=zeros(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
3x5 boyutunda s adlı
sıfır matrisi iccedilin
s=zeros(35)
52 Genel MatrislerMatlab
67
b) 1 lerden Olusan Matris
Her elemanı 1 olan mxn boyutunda bir matrisi olusturmak iccedilin ones
fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matria_adı=ones(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
2x3 boyutunda b adlı
tuumlm elemanları
1 olan matrisi olusturalım
b=ones(23)
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
52 Genel MatrislerMatlab
68
c) Birim Matrisi Olusturan Fonksiyon
Esas koumlsegeni 1 lerden diğer elemanları 0 lardan olusan kare matrise (satır
ve suumltun sayısı esit olan ) birim matrisi
kare olmayan matrise de diyagonal matris denir
Boumlyle matrisleri olusturmak iccedilin eye fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=eye(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
a)
3x3 luumlk birim matris
b) 4x3 lluumlk diyagonal matris olusturalım
Ccediloumlzuumlma) i=eye(33) b) d=eye(43)
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar52 Genel MatrislerMatlab
69
d) Rastgele Sayılardan Olusan Matris ve Fonksiyonu
Elemanları 0 ile 1 arasındaki rastgele sayılardan olusan bir matris iccedilin
rand fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=rand(mn) biccedilimindedir(msatırnsuumltun)
Not 1) Uumlretilen matrisin tuumlm elemanlarını k gibi bir sayı ile ccedilarparak
sayıları 0 ile k arasına ccedilekebiliriz
Not 2) Ondalıklı sayılardan olusmus bir matrisin elemanlarını
yuvarlayıp tam sayı yapmak iccedilin round fonksiyonunu kullanırız
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar52 Genel MatrislerMatlab
70
Oumlrnek
a) 0 ile 1 arasında rastgele sayılardan olusan 10 elemanlı
a adında bir satır
matrisi olusturalım
b) Elemanları
10 ile 50 arasında sayılardan olusan 5x3 tipinde b matrisini
olusturalım
c) Elemanları
50 ile 300 arasındaki tamsayılardan olusan 3x4 tipinde c matrisini
olusturalım
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
d) Rastgele Sayılardan Olusan Matris ve Fonksiyonu
52 Genel MatrislerMatlab
71
Ccediloumlzuumlm
a)
a=rand(110)
b)
b=10+rand(53)40
c) c=round(50+rand(34)250)
52 Genel MatrislerMatlab
72
e) Rastgele Sayılardan Olusan Normal Dağılımlı
Matris veFonksiyonu
Elemanları rasstgele sayılardan olusan bir normal dağılımlı bir matris iccedilin
randn fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=randn(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek Rastgele sayılardan olusan normal dağılımlı 2x3 luumlk bir n matrisini
olusturalım
Ccediloumlzuumlm n=randn(23)
52 Genel MatrislerMatlab
73
f) Lineer Aralıklı
(Aritmetik) Dizi ve Fonksiyonu
Baslangıccedil ve biis değerleri ve kaccedil elemandan olusacağı belirlenen diziyi
olusturmak iccedilin linspace fonksiyonu kullanılır
Kullanımı
dizi_adı=linspace(ilk_değerson_değereleman_sayısı)
biccedilimindedir
52 Genel MatrislerMatlab
74
Oumlrnek 10 ile 30 arasına 9 tane daha sayı
koyarak aadında bir aritmetik dizi olusturalım
f) Lineer Aralıklı
(Aritmetik) Dizi ve Fonksiyonu
52 Genel MatrislerMatlab
Cevapa=linspace(103011)
75
Elimizdeki grubun her elemanı iccedilin bir matematik işlemi yapıp bunu yeni bir
diziye atarken herhangi bir sorun yoktur
Fakat iki farklı grupla işlemler yaparken dikkat etmemiz gereken genel
kurallar vardır
Oumlrneğin toplama ve ccedilıkarma yaparken iki dizinin de buumlyuumlkluumlğuumlnuumln eşit
olması gerekmektedir
Ayrıca iki farklı dizinin elemanları arasında birebir işlem yapmak iccedilin
matematik operatoumlruumlnuumln başına nokta() koymak gerekir
Bu durumda her bir elemanı diğer dizinin o sıradaki elmanı ile işleme
sokacaktır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
76
Birden fazla satır ve suumltuna sahip vektoumlrlere matris denir Noktalı
virguumll ()
işareti ile kolonları
ve virguumlle işareti ya da boşluk
bırakarak da bir sıradaki elemanları
ayırabilirizOumlrnekraquo x=[ 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14]x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14Yukarıdaki 3x4 boyutunda bir matristir MATLAB programına aşağıdaki
gibi de sunulabilirraquo x=[ 3 4 5 6
7 8 9 1011 12 13 14]
x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
77
Matristeki herhangi bir elemana direk ulaşmak iccedilin aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(23)=9
Eğer isteğimiz eriştiğimiz bir elemanı
değiştirmek veya yeni bir satır eklemek ise aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(41)=1x =
3 4 5 67 8 9 1011 12 13 141 0 0 0
Bu durumda doumlrduumlncuuml
satır ilk elemanını
biz 1 değerini atadık ve diğer elemanları
kendiliğinden ldquo0rdquo
olarak atadı
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
78
İki nokta uumlst uumlste () kullanılarak belirli aralıkta değişen matrisler yaratılabilir
raquo x=[127 3-10 -12]x =
1 3 5 73 2 1 0
-1 0 1 2Bir matrisin herhangi bir boumlluumlmuumlnuuml
seccedilmek iccedilin ise aşağıdaki goumlsterim
kullanılırraquo z=x(23 12)z =
3 2-1 0
Bu durumda z matris x matrisinin 2 ve 3 norsquo
lu satırlarından 1 ve 2 norsquo
lu suumltunlarını
almış
oluyor
Herhangi bir satır veya suumltunu tamamen silmek istersek o satır ve suumltunu seccedilip ldquo[]rdquo
ifadesine eşitleriz
raquo z(2)=[ ]z =
3 -1
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
79
Matlab size ve length komutları
yardımı
ile size matrisinizin boyutlarını
soumlyler
raquo a=[ 2 3 4 5 67 8 9 10 11]
raquo s=size(a)s =
2 5
raquo b=[ 17 11 0 30 40 50]
raquo k=length(b)k =
6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
80
a) Toplama-Ccedilıkarma Bir Sayı
ile Ccedilarpma İşlemi
İki matrisi toplamak (veya ccedilıkarmak) demek matrislerin aynı
mertebedeki elemanları teker teker toplayıp (veya ccedilıkarıp ) aynı
mertebeye yazmak demektir
Bu durumda iki matrisin de aynı mertebeden olması gereği accedilıktır
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile toplamak (veya ccedilıkarmak) demek
matrisin elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla toplamak (veya
ccedilıkarmak )demektir
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile ccedilarpmak demek ise matrisin
elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla ccedilarpmak demektir
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
81
82
Oumlrnek
raquo a=[1 2 3 4 5 6]raquo b=[7 8 9 10 11 12]
a ve b toplamıraquo sum=a+bsum =
8 10 1214 16 18
arsquo
yı
brsquo
den ccedilıkarmak
raquo diff=a-bdiff =
-6 -6 -6-6 -6 -6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
83
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] ve b=[3 -3 -41 1 5] matrisleri
veriliyor
a)
c=a+b toplam matrisini
b)
d=a-b matrisini
c)
amatrisinin her elemanınının 5 eksiğine karsılık gelen e
matrisini
d) f=2a-3b matrisini bulduran islemleri yazalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
a) c=a+b b) d=a-b c) e=a-5 d) f=a+a-b-b-b veya
f=2a-3b
84
İki matrisin ccedilarpım islemi iki biccedilimde anlasılır
1)
Aynı
mertebeden iki matrisin elemanlarını
teker teker ccedilarpıp aynı
mertebeye
yazmak demektir Bunu
islemi ile gerccedileklestiririz
2) Matematiksel anlamda iki matrisi ccedilarpmak istediğimizde birinci matris mxn
tuumlruumlnde ve ikinci matris mutlaka nxp tuumlruumlnde olmalıdır yani birinci matrisin
suumltun sayısı
ikinci matrisin satır sayısına eşit olmalıdır
Bu durumda birinci matrisin i suumltun elemanları
ile ikinci matrisin j satırındaki
elemanlar karılıklı
olarak ccedilarpılır ve sonuccedillar toplanır ve bu toplam ccedilarpım
matrisinin (ij) inci mertebeye yazılır
Matrisler arası
ccedilarpma isleminin semboluuml
de dır
b) İki Matrisin Ccedilarpımı Bir Matrisin Kuvvetleri veCcedilarpma İslemi
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
85
3) Bir a matrisinin her bir elemanının n Kuvvetlerinden olusan matrisi
bulmak iccedilin a^n islemi kullanılır
4) Satır ve suumltun sayıları
esit bir kare matrisi ardısık olarak n defa
kendisiyle ccedilarparak a matrisinin n kuvvetini bulabilirizOumlrneğin a matrisinin
karesi iccedilin aa veya a^2 kuumlbuumlnuuml
buldurmak iccedilin aaa veya a^3
doumlrduumlncuuml
kuvvetini buldurmak iccedilin aaaa veya a^4
Not) Bir a matrisinin eleman -elemana ccedilarpma islemine benzer mantıkla bir matrisin tuumlm elemanlarının kareleri kuumlbleri sinuumlsleri kosinuumlsleri logaritmalarından olusan matris bulunmak istenirse bunu sırayla aa (veya a^2) aaa (veya a^3) sin(a) cos(a) etabanında logaritması
iccedilin log(a) 10 tabanında logaritmaları
iccedilin log10(a) Biccediliminde gerccedileklestirebiliriz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
86
a) a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c1 matrisi varsa bulalım
b) a matrisi ile b matrisinin ccedilarpım matrisi olan c2 varsa bulalım
c) a matrisinin elemanları
ile c matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c3 matrisi varsa bulalım
d) a matrisi ile c matrisinin ccedilarpım matrisi olan c4 varsa bulalım
e) a matrisinin elemanlarının karelerinden olusan matris ile b matrisinin
kosinuumlslerinden olusan matrisler toplamını
bulalım
f) x=[1 00 3] matrisinin i) Karesini ii) Kuumlbuumlnuuml
iii) 10
kuvvetini bulalım
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] b=[3 -3 -41 1 5] ve c=[1 0-1 23 3] matrisleri veriliyor
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
87
Ccediloumlzuumlma) iki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirBu durumda c1 matrisi tanımlıdır ve bunu c1=ab islemi ile gerccedileklestirebilirizb) iki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdırHalbuki a matrisi 2x3 b matrisi de 2x3 olduğundan bu iki matris ccedilarpılamazc) İki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirHalbuki bu matrisler aynı mertebeden olmadığından bu iki matris eleman-elemana ccedilarpma islemi
gerccedileklemezd) İki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdıra matrisi 2x3 luumlk c matrisi de 3x2 lik olduğundan bu iki matris ccedilarpılabilir ve c4 ccedilarpım matrisi 2x2 lik bir matris olurc4 ccedilarpım matrisini c4=ac islemi ile buluruze) a^2+cos(b)f) i) x^2 ii) x^3 iii) x^10
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
88
c) Bir Matrisin Devriğini (Transpozesi) Bulma İslemi
Bir matrisin satırlarını suumltun suumltunlarını satır olarak yazılmasıyla
bulunan matrise bu matrisin devriği (transpozesi) denir
Bir matrisin devriğini islemi ile bulabiliriz
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] nın devriğini buldurup d matrisine atayalım
Ccediloumlzuumlm d=a
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
89
Oumlrnek
b=[7 8 9 10 11 12] matrisinin transpozesini bulabilirmisiniz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
c=bc =
7 108 119 12
90
SORU
a=[1 2 3 4 5 6]
c= [710811912]
ise a ve crsquonin ccedilarpım matrisi
kaccediltır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
Ccedilarpma işlemi k=ack=
50 68122 167
91
SORU
a=[1 2 3 4 5 6] b=[7 8 9 10 11 12]
ise a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan x matrisini bulalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
x=abx =
7 16 2740 55 72
92
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
Aynı mertebeden iki matrisin elemanlarını teker teker boumllerek aynı
mertebeye yazılmasına iki matrisin sol boumllmesi denir ve bu islemi ile
yapılır
a b ve c aynı mertebeden kare matrisler olmak uumlzere
c=ab ise a matrisine c nin b matrisine boumlluumlmuuml denir
c boumlluumlm matrisi islemi ile yapılır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
93
HATIRLATMA
2x2 lik i2 adlı birim matrisi i2=eye(22)
3x luumlk i3 adlı birim matrisi i2=eye(33) islemi ile olusturabiiriz
Aynı mertebeden a ve b kare matrisleri iccedilin a ile b nin ccedilarpımı birim matris ise
b matrisi a matrisinin (aynı biccedilimde a matrisi de b matrisinin) ters matrisidir
Oumlrnek
3x3 luumlk bir a kare matrisinin tersini bulmak iccedilin
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
eye(33)a veya inv(a) islemini kullanırız
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
94
Bir Matrisin Determinantı
Determinant kare matrisleri bir sayıya eşleyen fonksiyondur
Determinant fonksiyonunun kare matrisi eşlediği o sayıya matrisin
determinantı denir
A matrisinin determinantı detA veya |A| biccediliminde goumlsterilir
|A| matrislerde mutlak değer anlamına gelmez |A| sıfır veya
negatif de olabilir
det(x)
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
95
KURAL
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
96
Oumlrnek
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Determinant
raquo
deter=det(x)deter =
21
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
97
Oumlrnek Inverse işlemi
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Detx=det(x)=21 ise
raquo y=inv(x)y =
821 121 -521 221
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
98
SORU
a=[2 -10 01 2 43 0 1] matrisi ile b=[1 5 41 -1 20 1 -1] matrisleri veriliyor
a)
a matrisinin elemanlarını
sırasıyla b matrisinin elemanlarına boumllerek elde
edilen matrisi b1 matrisine atayalım
b) a matrisinin ta ters matrisini bulalım
c) a ile ta matrisinin ccedilarpımının 3x3 luumlk birim matris olduğunu goumlsterelim
d) a matrisinin b matrisine boumlluumlmuumlnuuml
b2 matrisine atayalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
99
Ccediloumlzuumlm
a)
b1=ab
b) ta1=eye(33)a veya ta2=inv(a)
c) ata ==eye(33)
d) b2=ab
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
17
oKomut satırından ya da ccedilalıstırılan bir dosya ya da fonksiyon ile hafızada
olusturulan değiskenlerin adlarının tiplerinin ve oumlzelliklerinin goumlruumlntuumllendiği
penceredir
oCcedilalışma Alanı
MATLABrsquoda işletilen fonksyonların veya komutların oluşturduğu
değişkenlerin depolandığı
bir merkezdir
oBoumlylelikle tuumlm değişkenlere belli bir kaynaktan ulaşılabilmektedir bu da
programlama sırasında değişkenlerin yerini belirtmeden bu değişkenleri kullanma
imkanı
sağlamaktadır
Workspace
Uumlstuumlne sağ tuş yapıp
oumlzellikler eklenebilir
egsize
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
18
Workspace
Oumlrneğin
c değiskeni 1x1 boyutunda bir matris yani sayı
b değiskeninin ise 3x2 boyutunda bir matris yani uumlccedil satır ve 2 suumltundan
olusan bir matris
nasılsın adlı değisken de 6 karakterden olusan bir karakter zinciri (string)
olduğu goumlruumlluumlr
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
Oumlrnek Command Windowrsquoa alttaki değerleri yazıp inceleyin
a = 4 b = 5 c = abnasılsın=lsquoiyidirrsquo
19
Matlab Dizi Editoumlruuml
oA değişkenine ccedilift tıklandığında Matlab Dizi Editoumlruuml
accedilılır
oBurda değişkenlerin iccedilerikleri goumlruumlntuumllenir ve değiştirilebilir
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
20
who
ccedilalışma alanında hangi değişkenler olduğu
whos
bu değişkenlerin yapıları
goumlruumllmektedir
what
komutu kullanıcı
diskinin halihazır dizininde mevcut M- dosyaları
listesini verir
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
21
clc
Komut penceresindeki satırları
silmeye yarar
clear
Hafızadaki değişkenler silinir
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
22
Matlab Ccedilalışma Dizini penceresindeki ldquo
aşağı
okrdquo
basılarak ccedilalışma dizini seccedililebilir
Current Folderrsquoda ccedilalışmak istenilern directory youmlnlendirilerek hızlı
ulaşım sağlanır
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
23
Current Folder
Matlab dosyalarının kaydedildiği yuumlklendiği dosyaların bulunduğu
klasoumlruuml
(dizin) varsayılan klasoumlr olarak belirlemeye yarar
Aksi belirtilmedikccedile bu klasoumlr CMatlab6p5work gibi bir klasoumlrduumlr
Yada save FMATLAB_UYGkatsayilar a
katsayilarmat olarak kaydedilen a matrisininmatlab kapatılıp accedilıldıktan sonra herhangi bir zamanda geri ccedilağrılmasıiccedilin
load FMATLAB_UYGkatsayilar
komut dizisi kullanılır
Command Windowa save yazılırsa değişkenler ldquomatlabmatrdquo
veri
dosyasına kaydedilmiş olur
Matlabı
kapatıp accedilalım ve matlabmatrsquoı
ccedilağıralım
(File open matlabmat)
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
Oumlrnekgtgt a=[123 579] a = 1 2 3 5 7 9
24
MATLAB Yardım
1 Komut satırına ldquohelprdquo yazılır Bu yardım sunulabilecek konuların listesini sunar
2 help fonksyon-adı
fonksyon iccedilin yardım metnini goumlruumlntuumller
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
25
Matlab MasaUumlstuuml
Yeni M- Dosyası
Dosya Accedil Help Desk
Kayıtlı
Matlab Fonksyonu kayıt dosyası(mat) modeli figuumlruuml
ve GUI arayuumlzluuml
fonksyonları
accedilar
Veri dosyalarını
accedilar
Ccedilalışma ortamını
kaydeder
Farklı
ccedilalışma dizinini Matlaba tanıtır
Matlab arayuumlzuumlnuuml
ayarlar
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
26
Başlat Duumlğmesi
Matlab araccedil
kutuları Matlab
uygulamalarına eklenti olarak
hazırlanan ve hazır fonksyonları iccedileren paketlerdir
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
27
Başlat Duumlğmesi
Start Duumlğmesi tuumlm matlab uygulamalarına accedilılan kısayolları
iccedilermektedir
Matlab Uygulamaları
iccedilin kısa yol
Araccedil
kutularıSimulinkUy
gulaması
Demolar
Veri Sihirbazı
GUI Hazırlayıcı
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
28
Matlaba Veri Alma
Programa dışarıdan resim film veri ses dosyalarını
matris formatına ccedilevirerek bir değişken olarak atamada kullanılır
File Import Data
Oumlrnek Exel dosyası
alma
Exelde bir matrix oluşturup matlabdan import ile alınız
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
29
Matlabda Temel Kavramlar
Tuumlm programlama dillerinde olduğu gibi (Fortran C Pascal Basic vs)
Matlabın da oumlzel anlam tasıyan bazı kelimeleri vardır ki bu kelimeler değisken
olarak kullanılamazlar
Bu tuumlr kelimelere anahtar kelime (keywords) denir
Bu kelimelerin bir listesini almak iccedilin komut satırına
iskeyword komutunu yazarak elde edebiliriz
Bu kelimeler
breaklsquo case catch continue else elseif endlsquo for function global
if otherwiselsquo persistent return switch try while
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
30
Programın dili ve yardım bilgileri tamamen ingilizcedir
Kuumlccediluumlk-buumlyuumlk harf ayrımı vardır
Oumlrneğin dscrite DSCRITE ve Dscrite atamaları farklı şekilde
algılanır
Eğer istenirse ldquocasesen offrdquokomutu ile bu durum sona
erdirilebilir
raquo işareti komut promptrsquoudur
Komutlar Enter ile yuumlruumltuumlluumlr
2 Matlab Kullanımında Temel Kurallar
Matlab
31
Genel komutların isimleri ve accedilıklamaları
2 Matlab Kullanımında Temel KurallarMATLAB
32
2 Matlab Kullanımında Temel KurallarMATLAB
MATLAB kontroluumlnuuml
kullanabilmeniz iccedilin oumlzel karakterlere sahiptir Bu karakterlerin bir oumlzeti
33
2 Matlab Kullanımında Temel KurallarMatlab
34
2 Matlab Kullanımında Temel KurallarMatlab
35
İFADELER Matematiksel ve metinsel goumlsterimler ile işlemler ifadelerlesağlanır
Sayılar (Numbers)Değişkenler (Variables)İşleccediller (Operators)Fonksiyonlar (Functions)
Matlabrsquode ifadeler genellikle değişken = ifade veya sadece ifade formundadır
Sayısal Analiz
x = 4 sqrt(5) İfade
değişkensayı işleccedil fonksiyon
Bir ifade = işareti ile bir değişkene atanmamış
ise Matlab otomatik olarak sonucu ans (answer)
adı
verilen oumlzel bir değişkende saklar
3 MATRİSLER
36
o
Birden
fazla ifade
tek satırda aralarına
ya da koyarak yazılabilir
o
Yazımda
boşluk
sayısı
etkisizdir
o
Sadece
ilgili
değişken
adını
yazarak
o değişkeni ccedilağırabilirsiniz
MATRİSLER31 İFADELER
37
o MATLABrsquoda herhangi bir tip tanımlaması
veya boyut ifadesine gerek yoktur
o
MATLAB yeni bir değişken ismi ile karşılaştığında otomatik olarak ans isminde
bir değişken oluşturur ve uygun bir bellek miktarı
ayırır
oEğer değişken zaten varsa MATLAB gerekli bir bellek ayırdığında iccedileriği değişir
Oumlrneğin
o ogrenci_sayı=51
32 DeğişlenlerMatlab
Değisken
değeri değisebilen bellek alanına isaret eden değerlere
38
MATLAB değişken girişleri iccedilin ccedileşitli kurallara sahiptir
Her değişken bir harfle başlamak zorundadır
Program buumlyuumlk kuumlccediluumlk harf duyarlıdır X ve x farklı değişkenleri ifade eder
Program 31 basamağa kadar duyarlıdır Bu basamaktan sonrasını yok sayar
Dolayısıyla 31 basamaktan uzun değişken isimleri karışıklık yaratabilir
32 DeğişlenlerMatlab
39
Değiskenlere Değer Atama
Her hangi bir programlama dilinde olduğu gibi Matlabrsquoda da bir değiskene
değer verme islemine rdquodeğer atamakrdquo denir
Bir değiskene atanan değer değistirilmediği suumlrece aynı kalır
Değer atamanın genel kullanımı asağıdaki biccediliminde olur
ltDeğisken adıgt=ltAtanacak değergt
32 DeğişlenlerMatlab
40
Oumlrnek 2
A=6i-7 A değişkenine skaler bir değer atar
B=A 7
B değişkenine A değişkeninin 17 si atanmıştır
C=[3 4 5 6]
4 elemanlı
bir satır vektoumlruuml
atanmıştır
NOT
Dizi girişinde herhangi bir satıra ait elemanlar aralarına boşluk veya virguumll ldquordquo konularak ayrılır
Dizinin diğer bir satırına başlamak iccedilin biten satır sonuna konulur
32 DeğişlenlerMatlab
41
oMATLABrsquoda sayılar yaygın olarak kullanılan onluk tabanda ifade edilirler
o
Bunun yanısıra onluk tabanda uumlstel olarak veya i veya j olarak kompleks sayı biccedilimlerinde de ifade edilebilirler
oOumlrnek olarak
33 Sayılar
Matlab da i
ve j
başka tuumlrluuml
tanımlanmamışsa kompleks i sayısını
goumlsterir 3e5 sayısıda 3105
anlamındadır
MATRİSLER
42
o
Ondalık sayılar Tuumlrkccedilemizdeki
35 yerine
35 şeklinde
goumlsterilir
(00001 veya 963
065 yerine 65)
o
Bilimsel
notasyon
goumlsterimi olan e
(veya E) harfi
10rsquonun kuvvetini
temsil eder
o 2e4=2104=2000 veya
165e-20=16510-20
demektir
o
Kompleks
sayılarda
imajiner
(sanal) kısımlar
i
veya
j
ekini
alır
i veya
j
ile
gosterimlerinde
bir
fark
yoktur
o (1+3i veya 1+3i veya 1+i3) 1+sqrt(3)j
-5i
o
Matlabrsquode
tuumlm
sayılar yaklaşık 210308 ve
210-308 arasında
değişir
33 Sayılar
MATRİSLER
43
Sayı
Formatları
33 SayılarMatlabMATRİSLER
44
oMatlabda bir ccedilok eylem doumlrt islem ve matematiksel bazı
islemler
yaptırabiliriz
oBunun iccedilin ya ilgili komutları
komut penceresinden teker teker girerek veya
ilgili komutları
bir dosyaya yazıp o dosyayı
ccedilağırarak ccedilalıstırabiliriz
oİşlemleri yaptırırken sayıları
reel sayı
ya da karmasık sayı
olarak alabiliriz
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
45
Matematiksel ifadeleri oluşturmak iccedilin operatoumlrler ve oumlnceden tanımlanmış sembolleri kullanabilirsiniz
oOperatoumlrler oumlzetle şunlardır
oMatrislerle yapılan işlemlerde boumllme işlemi iccedilin iki farklı
sembol kullanılmaktadıroBunun yanında eğer sayılar skaler ise iki boumllme işleminin sonucu da aynı
değeri
goumlsterecektiroOumlrneğin 32 ile 23 ifadelerinin sonuccedilları
aynı
olup 15rsquodir
raquo 4+83ndash2ans =26
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
46
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
x=a + b
Bu ifadede a ve b nin toplandığı
ve x değişkeni iccedilinde saklandığıbelirtilmektedir
47
Aritmetiksel İşlemlerde Oumlncelik Durumu
oTek bir aritmetiksel durum iccedilinde birden fazla durum bir arada bulunabildiğine goumlre
hangi işlemin oumlncelik hakkına sahip olunduğunun
bilinmelidir
oMATLABrsquoda kullanılan işlemlerde işlemlerin oumlncelik
listesi
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
bazı
temel matematiksel fonksiyonların accedilıklamaları
48
o
MATLABrsquo
da işlemler soldan sağa işlerlero
İşlemler arası
oumlncelik sırası
aşağıdaki gibidir
1 ^
(Yuumlksek)2
darr
3 + -
(Duumlşuumlk)
raquo 3^(2ndash5)-632 raquo 3^2ndash5ndash632ans = ans =
mdash39630 0
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
49
35 FonksyonlarMATRİSLER
o MATLABrsquoın ccedilok guumlccedilluuml
ve ccedilok kapsamlı
bir fonksiyon yapısı
vardır
oMATLABrsquoda bazı
fonksiyonlar daha oumlnceden yerleştirilmiş
bazıları
ise sonradan
dışarıdan yerleştirilmiş
M-dosyalarından oluşan MATLAB kuumltuumlphanelerinde
tanımlanmışlardır
oBunun yanında oumlzel uygulamalar iccedilin kullanıcıların kendi fonksiyonlarını
yazarak
kendi kuumltuumlphanelerini oluşturması
muumlmkuumlnduumlr
MATLABrsquoda mevcut analitik fonksiyonları
genel olarak aşağıdaki kategorilere ayırabiliriz oTemel matematiksel fonksiyonlaroOumlzel fonksiyonlaroTemel matrisler ve matris işlemlerioMatrisleri ccedilarpanlarına ayırmaoVeri analizlerioPolinomlaroDiferansiyel denklem ccediloumlzuumlmlerioLineer olmayan denklemler ve optimizasyonoSayısal integral hesaplamalarıoSinyal işleme
50
Matematiksel Fonksiyonlar
bazı
temel matematiksel fonksiyonların accedilıklamaları
35 FonksyonlarMATRİSLER
Oumlrnekgtgtexp(1)ans=27183gtgtfix(35)ans=3gtgtceil(35)ans=4gtgtround(35)ans=4
51
Matlabda oumlnceden tanımlanmıs bazı
sabitlerdirBunlar aşağıdaki tabloda goumlsterilmistir
36 Oumlzel SabitlerMatlab
52
Oumlrnekler
1)
a=1
2)
a=rsquoİstanbulrsquo
3)
a=5b=7c=a+b
4) a=5b=-3c=a+2ba=a+b
5)
num=23-5^2 x=num2 y=x+10
7 Sabitler Değiskenler ve Metin KatarlarıMatlab
53
Oumlrnek
Komut satırına
a)
sin(30)
b)
sin(30pi180) yazınız sonuccedilları
inceleyiniz
35 FonksyonlarMATRİSLER
Cevapa) -09880 sonucu goumlruumlluumlr ki bu 30deg
nin sinuumlsuumlnde n farklıdır Ccediluumlnkuuml
bu 30deg
derece değil 30 radyanın sinuumlsuumlduumlrb) 05000 sonucu goumlruumlluumlr ki bu da 30deg
nin sinuumlsuumld uumlr O halde bir
sayının trigonometrik değerini buldurmak iccedilin oumlnce pi ile ccedilarpıp 180 e boumllerek accedilıyı
radyan ccedilevirip sonra trigonometrik değerini
hesaplatabiliriz
54
oVektoumlrler tek boyutlu sayı
dizileridir
oElemanlarının sıralanma youmlnlerine goumlre suumltun veya satır vektoumlruuml
adlarını alırlar
ovektoumlrler [ ] koumlşeli parantezleri ile tanımlanır
ofarklı
yolla tanımlanabilirler
4 VektoumlrlerMatlab
A = [4 12 -8 6]A = [4 12 -8 6]
B = [1 2 4 6]
Satır Vektoumlruuml
Suumltun Vektoumlruumlgtgt b=[1 2 4 6 ]
55
4 VektoumlrlerMatlab
ovektoumlr boyutları
buumlyuumlduumlkccedile manuel olarak tanıtım işlemi oldukccedila zorlaşmaktadır
oOumlzellikle belli bir artıma sahip vektoumlrlerin oluşturulmasında () operatoumlruuml kullanılmaktadır
C = [-105150]
Son değerBaşlangıccedil değeri Artış
miktarı
Drsquo
= [30-10-30]
Suumltun Vektoumlruuml
56
Vektoumlr indisleri
4 VektoumlrlerMatlab
Bir vektoumlruumln elemanlarına atanılan değer değişkenler editoumlruuml
veya eleman adresi vasıtasıyla değiştirilebilir
OumlrnekA = [4 12 -8 6]1 A vektoumlruumlnuumln 3 elemanını
27 ile değiştiriniz
2 Benzer şekilde A vektoumlruumlnuumln 2 elemanını
siliniz 3 A(9) = 12
Ccediloumlzuumlm1 A(3) = 272 Vektoumlruumln elemanına [ ] değeri atandığında eleman silinirA(2) = [ ]3 gtgt A(9) = 12
A= [ 4 27 6]
A =[ 2 27 7 0 0 0 0 0 12]
57
raquo x=[17 8 61 83 56]
Şeklindeki bir matrisin uumlccediluumlncuuml
elemanına erişmek istenirse
raquo c=x(3)
c =
61
Eğer bir blok şeklinde veriye erişilmek istenirse
raquo x(24)
ans =
8 61 83
Her matristeki herhangi bir elman grubuna erişilmek istenirse
raquo x([3 1 4])
ans =
61 17 83
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
58
Bir diziye duumlzenli artıs (veya azalıs) kuralıyla değerler atanmak isteniyorsa
bunu
ilk_değerartısson değer veya ilk_değerartısson değer
biccediliminde yapabiliriz
Ancak artıs 1 ise belirtilmeyebilirOumlrnekortalama adlı
bir diziye 0 dan 5 e kadar 05 er artısla elde edilen sayı
dizisini atayanortalama=[0055]
Siz 1 satır 7 den den 17 ye kadar olan tam sayılar 2 satırı
99 dan 89 a kadar azalan tam sayılardan olusan 2 boyutlu m dizisine atayan islemleri yazınız
Dizilerin Değerlerinin Değistirilmesi ve Duumlzenlenmesi
4 VektoumlrlerMatlab
59
4 VektoumlrlerMatlab
60
Sayılardan olusan satır ve suumltun yapısına matris (dizi) denir
Oumlrneğin
d1=[5] 1x1 lik
d2=[ 2 -7] 1x2 lik
d3= [1 0 -3 ]
[ 5 3 1 ]
2x3 luumlk bir dizidir
Oumlrnekx=[1 7 18 5]Ya daraquo x=[ 1
7185 ]
Biccedilimlerinde girilebilir
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
61
Dizilerin Değerlerinin Değistirilmesi ve DuumlzenlenmesiBir dizinin herhangi bir elemanını belirlemek iccedilin dizi adından hemen sonra
parantez iccedilinde elemanın bulunduğu satır ve suumltun sayısı yazılmalıdır
Oumlrnek 1 d2=[2 -7]d2 dizisinin -7 elemanını
goumlruumlntuumllemek iccedilin
d2(12)
2 d3=[1 0 -35 3 1]d3 dizisinin 2 satır 1 suumltununda bulunan 5 in değerinin -75 olması
iccedilin
d3(21)=-75
Not1) Bir dizinin bir ccedilok elemanını
yeniden değer atamak gerekirse komut satırından atama yapmak uzun zaman alabilirBu durumda dizi değiskeninin uumlzerine ccedilift tıklayarak accedilılan dizi editoumlruuml
(array edit) yardımıyla değisiklikleri daha kolay yapabiliriz
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
62
8 Matrisler(Dizi)Matlab
Bir matrisi girerken o1 Elemanlar baştan ve sondan koumlşeli parantezlerle kapatılıro2 Elemanların arasına boşluk veya virguumll konuluro3 Matris satırlarını
ayırmak iccedilin de noktalı
virguumll kullanılır
okurallarına dikkate alınmalıdır
Oumlrneğin
A = [1 2 3 4 5 6]A =
1 2 34 5 6
şeklinde veriler matrisler biccediliminde tanımlanır MATLAB daha sonra kullanılmak uumlzere verileri A matrisinde saklar
63
Matris elemanları
rasgele rakamlardan oluşabileceği gibi MATLABrsquoın deyimlerinden de oluşabilir
51 Matrislerde ElemanlarMatlab
Oumlrneğin
a=[-13 sqrt(3) (1+2+3)475]
a= -13000 17321 48000
Kuumlccediluumlk matrisleri eleman olarak kullanıp daha buumlyuumlk matrisler oluşturmak muumlmkuumlnduumlr
OumlrneğinM=[1 3 5
7 8 9] matrisine
aşağıda goumlsterildiği şekilde bir satır eklemesi yapabilir
M=[M[10 13 15]]
Bu durumda M matrisiM=[1 3 5
7 8 910 13 15]
durumunu alır
64
İki nokta uumlst uumlste () kullanarak buumlyuumlk matrislerin belli bir kısmını
kullanabiliriz
ya da diğer ifade ile bu matrisi kuumlccediluumlltebiliriz
Oumlrneğin
M=M(12) bildirimi M matrisinin ilk iki satırını
alarak M matrisi
olarak saklar
Oumlrnek
M=[8 -4 7 66 -7 8 9 4 5 134] ise
M=M(12) =
8 1 Matrislerde ElemanlarMatlab
65
MATLABrsquoda kullanıcı
verileri kendi oluşturacağı
matrisler ile tanımlayabileceği gibi MATLABrsquoın kendi oumlzel matrislerinden de istifade edilebilir
52 Genel MatrislerMatlab
66
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
a) Sıfır Matrisi Olusturan Fonksiyon
Her elemanı sıfır olan mxn boyutunda bir matrise sıfır matrisi denir
Boumlyle bir dizi olusturmak iccedilin zeros fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=zeros(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
3x5 boyutunda s adlı
sıfır matrisi iccedilin
s=zeros(35)
52 Genel MatrislerMatlab
67
b) 1 lerden Olusan Matris
Her elemanı 1 olan mxn boyutunda bir matrisi olusturmak iccedilin ones
fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matria_adı=ones(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
2x3 boyutunda b adlı
tuumlm elemanları
1 olan matrisi olusturalım
b=ones(23)
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
52 Genel MatrislerMatlab
68
c) Birim Matrisi Olusturan Fonksiyon
Esas koumlsegeni 1 lerden diğer elemanları 0 lardan olusan kare matrise (satır
ve suumltun sayısı esit olan ) birim matrisi
kare olmayan matrise de diyagonal matris denir
Boumlyle matrisleri olusturmak iccedilin eye fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=eye(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
a)
3x3 luumlk birim matris
b) 4x3 lluumlk diyagonal matris olusturalım
Ccediloumlzuumlma) i=eye(33) b) d=eye(43)
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar52 Genel MatrislerMatlab
69
d) Rastgele Sayılardan Olusan Matris ve Fonksiyonu
Elemanları 0 ile 1 arasındaki rastgele sayılardan olusan bir matris iccedilin
rand fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=rand(mn) biccedilimindedir(msatırnsuumltun)
Not 1) Uumlretilen matrisin tuumlm elemanlarını k gibi bir sayı ile ccedilarparak
sayıları 0 ile k arasına ccedilekebiliriz
Not 2) Ondalıklı sayılardan olusmus bir matrisin elemanlarını
yuvarlayıp tam sayı yapmak iccedilin round fonksiyonunu kullanırız
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar52 Genel MatrislerMatlab
70
Oumlrnek
a) 0 ile 1 arasında rastgele sayılardan olusan 10 elemanlı
a adında bir satır
matrisi olusturalım
b) Elemanları
10 ile 50 arasında sayılardan olusan 5x3 tipinde b matrisini
olusturalım
c) Elemanları
50 ile 300 arasındaki tamsayılardan olusan 3x4 tipinde c matrisini
olusturalım
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
d) Rastgele Sayılardan Olusan Matris ve Fonksiyonu
52 Genel MatrislerMatlab
71
Ccediloumlzuumlm
a)
a=rand(110)
b)
b=10+rand(53)40
c) c=round(50+rand(34)250)
52 Genel MatrislerMatlab
72
e) Rastgele Sayılardan Olusan Normal Dağılımlı
Matris veFonksiyonu
Elemanları rasstgele sayılardan olusan bir normal dağılımlı bir matris iccedilin
randn fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=randn(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek Rastgele sayılardan olusan normal dağılımlı 2x3 luumlk bir n matrisini
olusturalım
Ccediloumlzuumlm n=randn(23)
52 Genel MatrislerMatlab
73
f) Lineer Aralıklı
(Aritmetik) Dizi ve Fonksiyonu
Baslangıccedil ve biis değerleri ve kaccedil elemandan olusacağı belirlenen diziyi
olusturmak iccedilin linspace fonksiyonu kullanılır
Kullanımı
dizi_adı=linspace(ilk_değerson_değereleman_sayısı)
biccedilimindedir
52 Genel MatrislerMatlab
74
Oumlrnek 10 ile 30 arasına 9 tane daha sayı
koyarak aadında bir aritmetik dizi olusturalım
f) Lineer Aralıklı
(Aritmetik) Dizi ve Fonksiyonu
52 Genel MatrislerMatlab
Cevapa=linspace(103011)
75
Elimizdeki grubun her elemanı iccedilin bir matematik işlemi yapıp bunu yeni bir
diziye atarken herhangi bir sorun yoktur
Fakat iki farklı grupla işlemler yaparken dikkat etmemiz gereken genel
kurallar vardır
Oumlrneğin toplama ve ccedilıkarma yaparken iki dizinin de buumlyuumlkluumlğuumlnuumln eşit
olması gerekmektedir
Ayrıca iki farklı dizinin elemanları arasında birebir işlem yapmak iccedilin
matematik operatoumlruumlnuumln başına nokta() koymak gerekir
Bu durumda her bir elemanı diğer dizinin o sıradaki elmanı ile işleme
sokacaktır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
76
Birden fazla satır ve suumltuna sahip vektoumlrlere matris denir Noktalı
virguumll ()
işareti ile kolonları
ve virguumlle işareti ya da boşluk
bırakarak da bir sıradaki elemanları
ayırabilirizOumlrnekraquo x=[ 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14]x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14Yukarıdaki 3x4 boyutunda bir matristir MATLAB programına aşağıdaki
gibi de sunulabilirraquo x=[ 3 4 5 6
7 8 9 1011 12 13 14]
x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
77
Matristeki herhangi bir elemana direk ulaşmak iccedilin aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(23)=9
Eğer isteğimiz eriştiğimiz bir elemanı
değiştirmek veya yeni bir satır eklemek ise aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(41)=1x =
3 4 5 67 8 9 1011 12 13 141 0 0 0
Bu durumda doumlrduumlncuuml
satır ilk elemanını
biz 1 değerini atadık ve diğer elemanları
kendiliğinden ldquo0rdquo
olarak atadı
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
78
İki nokta uumlst uumlste () kullanılarak belirli aralıkta değişen matrisler yaratılabilir
raquo x=[127 3-10 -12]x =
1 3 5 73 2 1 0
-1 0 1 2Bir matrisin herhangi bir boumlluumlmuumlnuuml
seccedilmek iccedilin ise aşağıdaki goumlsterim
kullanılırraquo z=x(23 12)z =
3 2-1 0
Bu durumda z matris x matrisinin 2 ve 3 norsquo
lu satırlarından 1 ve 2 norsquo
lu suumltunlarını
almış
oluyor
Herhangi bir satır veya suumltunu tamamen silmek istersek o satır ve suumltunu seccedilip ldquo[]rdquo
ifadesine eşitleriz
raquo z(2)=[ ]z =
3 -1
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
79
Matlab size ve length komutları
yardımı
ile size matrisinizin boyutlarını
soumlyler
raquo a=[ 2 3 4 5 67 8 9 10 11]
raquo s=size(a)s =
2 5
raquo b=[ 17 11 0 30 40 50]
raquo k=length(b)k =
6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
80
a) Toplama-Ccedilıkarma Bir Sayı
ile Ccedilarpma İşlemi
İki matrisi toplamak (veya ccedilıkarmak) demek matrislerin aynı
mertebedeki elemanları teker teker toplayıp (veya ccedilıkarıp ) aynı
mertebeye yazmak demektir
Bu durumda iki matrisin de aynı mertebeden olması gereği accedilıktır
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile toplamak (veya ccedilıkarmak) demek
matrisin elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla toplamak (veya
ccedilıkarmak )demektir
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile ccedilarpmak demek ise matrisin
elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla ccedilarpmak demektir
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
81
82
Oumlrnek
raquo a=[1 2 3 4 5 6]raquo b=[7 8 9 10 11 12]
a ve b toplamıraquo sum=a+bsum =
8 10 1214 16 18
arsquo
yı
brsquo
den ccedilıkarmak
raquo diff=a-bdiff =
-6 -6 -6-6 -6 -6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
83
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] ve b=[3 -3 -41 1 5] matrisleri
veriliyor
a)
c=a+b toplam matrisini
b)
d=a-b matrisini
c)
amatrisinin her elemanınının 5 eksiğine karsılık gelen e
matrisini
d) f=2a-3b matrisini bulduran islemleri yazalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
a) c=a+b b) d=a-b c) e=a-5 d) f=a+a-b-b-b veya
f=2a-3b
84
İki matrisin ccedilarpım islemi iki biccedilimde anlasılır
1)
Aynı
mertebeden iki matrisin elemanlarını
teker teker ccedilarpıp aynı
mertebeye
yazmak demektir Bunu
islemi ile gerccedileklestiririz
2) Matematiksel anlamda iki matrisi ccedilarpmak istediğimizde birinci matris mxn
tuumlruumlnde ve ikinci matris mutlaka nxp tuumlruumlnde olmalıdır yani birinci matrisin
suumltun sayısı
ikinci matrisin satır sayısına eşit olmalıdır
Bu durumda birinci matrisin i suumltun elemanları
ile ikinci matrisin j satırındaki
elemanlar karılıklı
olarak ccedilarpılır ve sonuccedillar toplanır ve bu toplam ccedilarpım
matrisinin (ij) inci mertebeye yazılır
Matrisler arası
ccedilarpma isleminin semboluuml
de dır
b) İki Matrisin Ccedilarpımı Bir Matrisin Kuvvetleri veCcedilarpma İslemi
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
85
3) Bir a matrisinin her bir elemanının n Kuvvetlerinden olusan matrisi
bulmak iccedilin a^n islemi kullanılır
4) Satır ve suumltun sayıları
esit bir kare matrisi ardısık olarak n defa
kendisiyle ccedilarparak a matrisinin n kuvvetini bulabilirizOumlrneğin a matrisinin
karesi iccedilin aa veya a^2 kuumlbuumlnuuml
buldurmak iccedilin aaa veya a^3
doumlrduumlncuuml
kuvvetini buldurmak iccedilin aaaa veya a^4
Not) Bir a matrisinin eleman -elemana ccedilarpma islemine benzer mantıkla bir matrisin tuumlm elemanlarının kareleri kuumlbleri sinuumlsleri kosinuumlsleri logaritmalarından olusan matris bulunmak istenirse bunu sırayla aa (veya a^2) aaa (veya a^3) sin(a) cos(a) etabanında logaritması
iccedilin log(a) 10 tabanında logaritmaları
iccedilin log10(a) Biccediliminde gerccedileklestirebiliriz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
86
a) a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c1 matrisi varsa bulalım
b) a matrisi ile b matrisinin ccedilarpım matrisi olan c2 varsa bulalım
c) a matrisinin elemanları
ile c matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c3 matrisi varsa bulalım
d) a matrisi ile c matrisinin ccedilarpım matrisi olan c4 varsa bulalım
e) a matrisinin elemanlarının karelerinden olusan matris ile b matrisinin
kosinuumlslerinden olusan matrisler toplamını
bulalım
f) x=[1 00 3] matrisinin i) Karesini ii) Kuumlbuumlnuuml
iii) 10
kuvvetini bulalım
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] b=[3 -3 -41 1 5] ve c=[1 0-1 23 3] matrisleri veriliyor
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
87
Ccediloumlzuumlma) iki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirBu durumda c1 matrisi tanımlıdır ve bunu c1=ab islemi ile gerccedileklestirebilirizb) iki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdırHalbuki a matrisi 2x3 b matrisi de 2x3 olduğundan bu iki matris ccedilarpılamazc) İki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirHalbuki bu matrisler aynı mertebeden olmadığından bu iki matris eleman-elemana ccedilarpma islemi
gerccedileklemezd) İki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdıra matrisi 2x3 luumlk c matrisi de 3x2 lik olduğundan bu iki matris ccedilarpılabilir ve c4 ccedilarpım matrisi 2x2 lik bir matris olurc4 ccedilarpım matrisini c4=ac islemi ile buluruze) a^2+cos(b)f) i) x^2 ii) x^3 iii) x^10
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
88
c) Bir Matrisin Devriğini (Transpozesi) Bulma İslemi
Bir matrisin satırlarını suumltun suumltunlarını satır olarak yazılmasıyla
bulunan matrise bu matrisin devriği (transpozesi) denir
Bir matrisin devriğini islemi ile bulabiliriz
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] nın devriğini buldurup d matrisine atayalım
Ccediloumlzuumlm d=a
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
89
Oumlrnek
b=[7 8 9 10 11 12] matrisinin transpozesini bulabilirmisiniz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
c=bc =
7 108 119 12
90
SORU
a=[1 2 3 4 5 6]
c= [710811912]
ise a ve crsquonin ccedilarpım matrisi
kaccediltır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
Ccedilarpma işlemi k=ack=
50 68122 167
91
SORU
a=[1 2 3 4 5 6] b=[7 8 9 10 11 12]
ise a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan x matrisini bulalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
x=abx =
7 16 2740 55 72
92
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
Aynı mertebeden iki matrisin elemanlarını teker teker boumllerek aynı
mertebeye yazılmasına iki matrisin sol boumllmesi denir ve bu islemi ile
yapılır
a b ve c aynı mertebeden kare matrisler olmak uumlzere
c=ab ise a matrisine c nin b matrisine boumlluumlmuuml denir
c boumlluumlm matrisi islemi ile yapılır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
93
HATIRLATMA
2x2 lik i2 adlı birim matrisi i2=eye(22)
3x luumlk i3 adlı birim matrisi i2=eye(33) islemi ile olusturabiiriz
Aynı mertebeden a ve b kare matrisleri iccedilin a ile b nin ccedilarpımı birim matris ise
b matrisi a matrisinin (aynı biccedilimde a matrisi de b matrisinin) ters matrisidir
Oumlrnek
3x3 luumlk bir a kare matrisinin tersini bulmak iccedilin
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
eye(33)a veya inv(a) islemini kullanırız
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
94
Bir Matrisin Determinantı
Determinant kare matrisleri bir sayıya eşleyen fonksiyondur
Determinant fonksiyonunun kare matrisi eşlediği o sayıya matrisin
determinantı denir
A matrisinin determinantı detA veya |A| biccediliminde goumlsterilir
|A| matrislerde mutlak değer anlamına gelmez |A| sıfır veya
negatif de olabilir
det(x)
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
95
KURAL
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
96
Oumlrnek
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Determinant
raquo
deter=det(x)deter =
21
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
97
Oumlrnek Inverse işlemi
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Detx=det(x)=21 ise
raquo y=inv(x)y =
821 121 -521 221
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
98
SORU
a=[2 -10 01 2 43 0 1] matrisi ile b=[1 5 41 -1 20 1 -1] matrisleri veriliyor
a)
a matrisinin elemanlarını
sırasıyla b matrisinin elemanlarına boumllerek elde
edilen matrisi b1 matrisine atayalım
b) a matrisinin ta ters matrisini bulalım
c) a ile ta matrisinin ccedilarpımının 3x3 luumlk birim matris olduğunu goumlsterelim
d) a matrisinin b matrisine boumlluumlmuumlnuuml
b2 matrisine atayalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
99
Ccediloumlzuumlm
a)
b1=ab
b) ta1=eye(33)a veya ta2=inv(a)
c) ata ==eye(33)
d) b2=ab
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
18
Workspace
Oumlrneğin
c değiskeni 1x1 boyutunda bir matris yani sayı
b değiskeninin ise 3x2 boyutunda bir matris yani uumlccedil satır ve 2 suumltundan
olusan bir matris
nasılsın adlı değisken de 6 karakterden olusan bir karakter zinciri (string)
olduğu goumlruumlluumlr
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
Oumlrnek Command Windowrsquoa alttaki değerleri yazıp inceleyin
a = 4 b = 5 c = abnasılsın=lsquoiyidirrsquo
19
Matlab Dizi Editoumlruuml
oA değişkenine ccedilift tıklandığında Matlab Dizi Editoumlruuml
accedilılır
oBurda değişkenlerin iccedilerikleri goumlruumlntuumllenir ve değiştirilebilir
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
20
who
ccedilalışma alanında hangi değişkenler olduğu
whos
bu değişkenlerin yapıları
goumlruumllmektedir
what
komutu kullanıcı
diskinin halihazır dizininde mevcut M- dosyaları
listesini verir
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
21
clc
Komut penceresindeki satırları
silmeye yarar
clear
Hafızadaki değişkenler silinir
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
22
Matlab Ccedilalışma Dizini penceresindeki ldquo
aşağı
okrdquo
basılarak ccedilalışma dizini seccedililebilir
Current Folderrsquoda ccedilalışmak istenilern directory youmlnlendirilerek hızlı
ulaşım sağlanır
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
23
Current Folder
Matlab dosyalarının kaydedildiği yuumlklendiği dosyaların bulunduğu
klasoumlruuml
(dizin) varsayılan klasoumlr olarak belirlemeye yarar
Aksi belirtilmedikccedile bu klasoumlr CMatlab6p5work gibi bir klasoumlrduumlr
Yada save FMATLAB_UYGkatsayilar a
katsayilarmat olarak kaydedilen a matrisininmatlab kapatılıp accedilıldıktan sonra herhangi bir zamanda geri ccedilağrılmasıiccedilin
load FMATLAB_UYGkatsayilar
komut dizisi kullanılır
Command Windowa save yazılırsa değişkenler ldquomatlabmatrdquo
veri
dosyasına kaydedilmiş olur
Matlabı
kapatıp accedilalım ve matlabmatrsquoı
ccedilağıralım
(File open matlabmat)
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
Oumlrnekgtgt a=[123 579] a = 1 2 3 5 7 9
24
MATLAB Yardım
1 Komut satırına ldquohelprdquo yazılır Bu yardım sunulabilecek konuların listesini sunar
2 help fonksyon-adı
fonksyon iccedilin yardım metnini goumlruumlntuumller
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
25
Matlab MasaUumlstuuml
Yeni M- Dosyası
Dosya Accedil Help Desk
Kayıtlı
Matlab Fonksyonu kayıt dosyası(mat) modeli figuumlruuml
ve GUI arayuumlzluuml
fonksyonları
accedilar
Veri dosyalarını
accedilar
Ccedilalışma ortamını
kaydeder
Farklı
ccedilalışma dizinini Matlaba tanıtır
Matlab arayuumlzuumlnuuml
ayarlar
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
26
Başlat Duumlğmesi
Matlab araccedil
kutuları Matlab
uygulamalarına eklenti olarak
hazırlanan ve hazır fonksyonları iccedileren paketlerdir
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
27
Başlat Duumlğmesi
Start Duumlğmesi tuumlm matlab uygulamalarına accedilılan kısayolları
iccedilermektedir
Matlab Uygulamaları
iccedilin kısa yol
Araccedil
kutularıSimulinkUy
gulaması
Demolar
Veri Sihirbazı
GUI Hazırlayıcı
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
28
Matlaba Veri Alma
Programa dışarıdan resim film veri ses dosyalarını
matris formatına ccedilevirerek bir değişken olarak atamada kullanılır
File Import Data
Oumlrnek Exel dosyası
alma
Exelde bir matrix oluşturup matlabdan import ile alınız
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
29
Matlabda Temel Kavramlar
Tuumlm programlama dillerinde olduğu gibi (Fortran C Pascal Basic vs)
Matlabın da oumlzel anlam tasıyan bazı kelimeleri vardır ki bu kelimeler değisken
olarak kullanılamazlar
Bu tuumlr kelimelere anahtar kelime (keywords) denir
Bu kelimelerin bir listesini almak iccedilin komut satırına
iskeyword komutunu yazarak elde edebiliriz
Bu kelimeler
breaklsquo case catch continue else elseif endlsquo for function global
if otherwiselsquo persistent return switch try while
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
30
Programın dili ve yardım bilgileri tamamen ingilizcedir
Kuumlccediluumlk-buumlyuumlk harf ayrımı vardır
Oumlrneğin dscrite DSCRITE ve Dscrite atamaları farklı şekilde
algılanır
Eğer istenirse ldquocasesen offrdquokomutu ile bu durum sona
erdirilebilir
raquo işareti komut promptrsquoudur
Komutlar Enter ile yuumlruumltuumlluumlr
2 Matlab Kullanımında Temel Kurallar
Matlab
31
Genel komutların isimleri ve accedilıklamaları
2 Matlab Kullanımında Temel KurallarMATLAB
32
2 Matlab Kullanımında Temel KurallarMATLAB
MATLAB kontroluumlnuuml
kullanabilmeniz iccedilin oumlzel karakterlere sahiptir Bu karakterlerin bir oumlzeti
33
2 Matlab Kullanımında Temel KurallarMatlab
34
2 Matlab Kullanımında Temel KurallarMatlab
35
İFADELER Matematiksel ve metinsel goumlsterimler ile işlemler ifadelerlesağlanır
Sayılar (Numbers)Değişkenler (Variables)İşleccediller (Operators)Fonksiyonlar (Functions)
Matlabrsquode ifadeler genellikle değişken = ifade veya sadece ifade formundadır
Sayısal Analiz
x = 4 sqrt(5) İfade
değişkensayı işleccedil fonksiyon
Bir ifade = işareti ile bir değişkene atanmamış
ise Matlab otomatik olarak sonucu ans (answer)
adı
verilen oumlzel bir değişkende saklar
3 MATRİSLER
36
o
Birden
fazla ifade
tek satırda aralarına
ya da koyarak yazılabilir
o
Yazımda
boşluk
sayısı
etkisizdir
o
Sadece
ilgili
değişken
adını
yazarak
o değişkeni ccedilağırabilirsiniz
MATRİSLER31 İFADELER
37
o MATLABrsquoda herhangi bir tip tanımlaması
veya boyut ifadesine gerek yoktur
o
MATLAB yeni bir değişken ismi ile karşılaştığında otomatik olarak ans isminde
bir değişken oluşturur ve uygun bir bellek miktarı
ayırır
oEğer değişken zaten varsa MATLAB gerekli bir bellek ayırdığında iccedileriği değişir
Oumlrneğin
o ogrenci_sayı=51
32 DeğişlenlerMatlab
Değisken
değeri değisebilen bellek alanına isaret eden değerlere
38
MATLAB değişken girişleri iccedilin ccedileşitli kurallara sahiptir
Her değişken bir harfle başlamak zorundadır
Program buumlyuumlk kuumlccediluumlk harf duyarlıdır X ve x farklı değişkenleri ifade eder
Program 31 basamağa kadar duyarlıdır Bu basamaktan sonrasını yok sayar
Dolayısıyla 31 basamaktan uzun değişken isimleri karışıklık yaratabilir
32 DeğişlenlerMatlab
39
Değiskenlere Değer Atama
Her hangi bir programlama dilinde olduğu gibi Matlabrsquoda da bir değiskene
değer verme islemine rdquodeğer atamakrdquo denir
Bir değiskene atanan değer değistirilmediği suumlrece aynı kalır
Değer atamanın genel kullanımı asağıdaki biccediliminde olur
ltDeğisken adıgt=ltAtanacak değergt
32 DeğişlenlerMatlab
40
Oumlrnek 2
A=6i-7 A değişkenine skaler bir değer atar
B=A 7
B değişkenine A değişkeninin 17 si atanmıştır
C=[3 4 5 6]
4 elemanlı
bir satır vektoumlruuml
atanmıştır
NOT
Dizi girişinde herhangi bir satıra ait elemanlar aralarına boşluk veya virguumll ldquordquo konularak ayrılır
Dizinin diğer bir satırına başlamak iccedilin biten satır sonuna konulur
32 DeğişlenlerMatlab
41
oMATLABrsquoda sayılar yaygın olarak kullanılan onluk tabanda ifade edilirler
o
Bunun yanısıra onluk tabanda uumlstel olarak veya i veya j olarak kompleks sayı biccedilimlerinde de ifade edilebilirler
oOumlrnek olarak
33 Sayılar
Matlab da i
ve j
başka tuumlrluuml
tanımlanmamışsa kompleks i sayısını
goumlsterir 3e5 sayısıda 3105
anlamındadır
MATRİSLER
42
o
Ondalık sayılar Tuumlrkccedilemizdeki
35 yerine
35 şeklinde
goumlsterilir
(00001 veya 963
065 yerine 65)
o
Bilimsel
notasyon
goumlsterimi olan e
(veya E) harfi
10rsquonun kuvvetini
temsil eder
o 2e4=2104=2000 veya
165e-20=16510-20
demektir
o
Kompleks
sayılarda
imajiner
(sanal) kısımlar
i
veya
j
ekini
alır
i veya
j
ile
gosterimlerinde
bir
fark
yoktur
o (1+3i veya 1+3i veya 1+i3) 1+sqrt(3)j
-5i
o
Matlabrsquode
tuumlm
sayılar yaklaşık 210308 ve
210-308 arasında
değişir
33 Sayılar
MATRİSLER
43
Sayı
Formatları
33 SayılarMatlabMATRİSLER
44
oMatlabda bir ccedilok eylem doumlrt islem ve matematiksel bazı
islemler
yaptırabiliriz
oBunun iccedilin ya ilgili komutları
komut penceresinden teker teker girerek veya
ilgili komutları
bir dosyaya yazıp o dosyayı
ccedilağırarak ccedilalıstırabiliriz
oİşlemleri yaptırırken sayıları
reel sayı
ya da karmasık sayı
olarak alabiliriz
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
45
Matematiksel ifadeleri oluşturmak iccedilin operatoumlrler ve oumlnceden tanımlanmış sembolleri kullanabilirsiniz
oOperatoumlrler oumlzetle şunlardır
oMatrislerle yapılan işlemlerde boumllme işlemi iccedilin iki farklı
sembol kullanılmaktadıroBunun yanında eğer sayılar skaler ise iki boumllme işleminin sonucu da aynı
değeri
goumlsterecektiroOumlrneğin 32 ile 23 ifadelerinin sonuccedilları
aynı
olup 15rsquodir
raquo 4+83ndash2ans =26
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
46
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
x=a + b
Bu ifadede a ve b nin toplandığı
ve x değişkeni iccedilinde saklandığıbelirtilmektedir
47
Aritmetiksel İşlemlerde Oumlncelik Durumu
oTek bir aritmetiksel durum iccedilinde birden fazla durum bir arada bulunabildiğine goumlre
hangi işlemin oumlncelik hakkına sahip olunduğunun
bilinmelidir
oMATLABrsquoda kullanılan işlemlerde işlemlerin oumlncelik
listesi
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
bazı
temel matematiksel fonksiyonların accedilıklamaları
48
o
MATLABrsquo
da işlemler soldan sağa işlerlero
İşlemler arası
oumlncelik sırası
aşağıdaki gibidir
1 ^
(Yuumlksek)2
darr
3 + -
(Duumlşuumlk)
raquo 3^(2ndash5)-632 raquo 3^2ndash5ndash632ans = ans =
mdash39630 0
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
49
35 FonksyonlarMATRİSLER
o MATLABrsquoın ccedilok guumlccedilluuml
ve ccedilok kapsamlı
bir fonksiyon yapısı
vardır
oMATLABrsquoda bazı
fonksiyonlar daha oumlnceden yerleştirilmiş
bazıları
ise sonradan
dışarıdan yerleştirilmiş
M-dosyalarından oluşan MATLAB kuumltuumlphanelerinde
tanımlanmışlardır
oBunun yanında oumlzel uygulamalar iccedilin kullanıcıların kendi fonksiyonlarını
yazarak
kendi kuumltuumlphanelerini oluşturması
muumlmkuumlnduumlr
MATLABrsquoda mevcut analitik fonksiyonları
genel olarak aşağıdaki kategorilere ayırabiliriz oTemel matematiksel fonksiyonlaroOumlzel fonksiyonlaroTemel matrisler ve matris işlemlerioMatrisleri ccedilarpanlarına ayırmaoVeri analizlerioPolinomlaroDiferansiyel denklem ccediloumlzuumlmlerioLineer olmayan denklemler ve optimizasyonoSayısal integral hesaplamalarıoSinyal işleme
50
Matematiksel Fonksiyonlar
bazı
temel matematiksel fonksiyonların accedilıklamaları
35 FonksyonlarMATRİSLER
Oumlrnekgtgtexp(1)ans=27183gtgtfix(35)ans=3gtgtceil(35)ans=4gtgtround(35)ans=4
51
Matlabda oumlnceden tanımlanmıs bazı
sabitlerdirBunlar aşağıdaki tabloda goumlsterilmistir
36 Oumlzel SabitlerMatlab
52
Oumlrnekler
1)
a=1
2)
a=rsquoİstanbulrsquo
3)
a=5b=7c=a+b
4) a=5b=-3c=a+2ba=a+b
5)
num=23-5^2 x=num2 y=x+10
7 Sabitler Değiskenler ve Metin KatarlarıMatlab
53
Oumlrnek
Komut satırına
a)
sin(30)
b)
sin(30pi180) yazınız sonuccedilları
inceleyiniz
35 FonksyonlarMATRİSLER
Cevapa) -09880 sonucu goumlruumlluumlr ki bu 30deg
nin sinuumlsuumlnde n farklıdır Ccediluumlnkuuml
bu 30deg
derece değil 30 radyanın sinuumlsuumlduumlrb) 05000 sonucu goumlruumlluumlr ki bu da 30deg
nin sinuumlsuumld uumlr O halde bir
sayının trigonometrik değerini buldurmak iccedilin oumlnce pi ile ccedilarpıp 180 e boumllerek accedilıyı
radyan ccedilevirip sonra trigonometrik değerini
hesaplatabiliriz
54
oVektoumlrler tek boyutlu sayı
dizileridir
oElemanlarının sıralanma youmlnlerine goumlre suumltun veya satır vektoumlruuml
adlarını alırlar
ovektoumlrler [ ] koumlşeli parantezleri ile tanımlanır
ofarklı
yolla tanımlanabilirler
4 VektoumlrlerMatlab
A = [4 12 -8 6]A = [4 12 -8 6]
B = [1 2 4 6]
Satır Vektoumlruuml
Suumltun Vektoumlruumlgtgt b=[1 2 4 6 ]
55
4 VektoumlrlerMatlab
ovektoumlr boyutları
buumlyuumlduumlkccedile manuel olarak tanıtım işlemi oldukccedila zorlaşmaktadır
oOumlzellikle belli bir artıma sahip vektoumlrlerin oluşturulmasında () operatoumlruuml kullanılmaktadır
C = [-105150]
Son değerBaşlangıccedil değeri Artış
miktarı
Drsquo
= [30-10-30]
Suumltun Vektoumlruuml
56
Vektoumlr indisleri
4 VektoumlrlerMatlab
Bir vektoumlruumln elemanlarına atanılan değer değişkenler editoumlruuml
veya eleman adresi vasıtasıyla değiştirilebilir
OumlrnekA = [4 12 -8 6]1 A vektoumlruumlnuumln 3 elemanını
27 ile değiştiriniz
2 Benzer şekilde A vektoumlruumlnuumln 2 elemanını
siliniz 3 A(9) = 12
Ccediloumlzuumlm1 A(3) = 272 Vektoumlruumln elemanına [ ] değeri atandığında eleman silinirA(2) = [ ]3 gtgt A(9) = 12
A= [ 4 27 6]
A =[ 2 27 7 0 0 0 0 0 12]
57
raquo x=[17 8 61 83 56]
Şeklindeki bir matrisin uumlccediluumlncuuml
elemanına erişmek istenirse
raquo c=x(3)
c =
61
Eğer bir blok şeklinde veriye erişilmek istenirse
raquo x(24)
ans =
8 61 83
Her matristeki herhangi bir elman grubuna erişilmek istenirse
raquo x([3 1 4])
ans =
61 17 83
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
58
Bir diziye duumlzenli artıs (veya azalıs) kuralıyla değerler atanmak isteniyorsa
bunu
ilk_değerartısson değer veya ilk_değerartısson değer
biccediliminde yapabiliriz
Ancak artıs 1 ise belirtilmeyebilirOumlrnekortalama adlı
bir diziye 0 dan 5 e kadar 05 er artısla elde edilen sayı
dizisini atayanortalama=[0055]
Siz 1 satır 7 den den 17 ye kadar olan tam sayılar 2 satırı
99 dan 89 a kadar azalan tam sayılardan olusan 2 boyutlu m dizisine atayan islemleri yazınız
Dizilerin Değerlerinin Değistirilmesi ve Duumlzenlenmesi
4 VektoumlrlerMatlab
59
4 VektoumlrlerMatlab
60
Sayılardan olusan satır ve suumltun yapısına matris (dizi) denir
Oumlrneğin
d1=[5] 1x1 lik
d2=[ 2 -7] 1x2 lik
d3= [1 0 -3 ]
[ 5 3 1 ]
2x3 luumlk bir dizidir
Oumlrnekx=[1 7 18 5]Ya daraquo x=[ 1
7185 ]
Biccedilimlerinde girilebilir
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
61
Dizilerin Değerlerinin Değistirilmesi ve DuumlzenlenmesiBir dizinin herhangi bir elemanını belirlemek iccedilin dizi adından hemen sonra
parantez iccedilinde elemanın bulunduğu satır ve suumltun sayısı yazılmalıdır
Oumlrnek 1 d2=[2 -7]d2 dizisinin -7 elemanını
goumlruumlntuumllemek iccedilin
d2(12)
2 d3=[1 0 -35 3 1]d3 dizisinin 2 satır 1 suumltununda bulunan 5 in değerinin -75 olması
iccedilin
d3(21)=-75
Not1) Bir dizinin bir ccedilok elemanını
yeniden değer atamak gerekirse komut satırından atama yapmak uzun zaman alabilirBu durumda dizi değiskeninin uumlzerine ccedilift tıklayarak accedilılan dizi editoumlruuml
(array edit) yardımıyla değisiklikleri daha kolay yapabiliriz
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
62
8 Matrisler(Dizi)Matlab
Bir matrisi girerken o1 Elemanlar baştan ve sondan koumlşeli parantezlerle kapatılıro2 Elemanların arasına boşluk veya virguumll konuluro3 Matris satırlarını
ayırmak iccedilin de noktalı
virguumll kullanılır
okurallarına dikkate alınmalıdır
Oumlrneğin
A = [1 2 3 4 5 6]A =
1 2 34 5 6
şeklinde veriler matrisler biccediliminde tanımlanır MATLAB daha sonra kullanılmak uumlzere verileri A matrisinde saklar
63
Matris elemanları
rasgele rakamlardan oluşabileceği gibi MATLABrsquoın deyimlerinden de oluşabilir
51 Matrislerde ElemanlarMatlab
Oumlrneğin
a=[-13 sqrt(3) (1+2+3)475]
a= -13000 17321 48000
Kuumlccediluumlk matrisleri eleman olarak kullanıp daha buumlyuumlk matrisler oluşturmak muumlmkuumlnduumlr
OumlrneğinM=[1 3 5
7 8 9] matrisine
aşağıda goumlsterildiği şekilde bir satır eklemesi yapabilir
M=[M[10 13 15]]
Bu durumda M matrisiM=[1 3 5
7 8 910 13 15]
durumunu alır
64
İki nokta uumlst uumlste () kullanarak buumlyuumlk matrislerin belli bir kısmını
kullanabiliriz
ya da diğer ifade ile bu matrisi kuumlccediluumlltebiliriz
Oumlrneğin
M=M(12) bildirimi M matrisinin ilk iki satırını
alarak M matrisi
olarak saklar
Oumlrnek
M=[8 -4 7 66 -7 8 9 4 5 134] ise
M=M(12) =
8 1 Matrislerde ElemanlarMatlab
65
MATLABrsquoda kullanıcı
verileri kendi oluşturacağı
matrisler ile tanımlayabileceği gibi MATLABrsquoın kendi oumlzel matrislerinden de istifade edilebilir
52 Genel MatrislerMatlab
66
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
a) Sıfır Matrisi Olusturan Fonksiyon
Her elemanı sıfır olan mxn boyutunda bir matrise sıfır matrisi denir
Boumlyle bir dizi olusturmak iccedilin zeros fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=zeros(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
3x5 boyutunda s adlı
sıfır matrisi iccedilin
s=zeros(35)
52 Genel MatrislerMatlab
67
b) 1 lerden Olusan Matris
Her elemanı 1 olan mxn boyutunda bir matrisi olusturmak iccedilin ones
fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matria_adı=ones(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
2x3 boyutunda b adlı
tuumlm elemanları
1 olan matrisi olusturalım
b=ones(23)
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
52 Genel MatrislerMatlab
68
c) Birim Matrisi Olusturan Fonksiyon
Esas koumlsegeni 1 lerden diğer elemanları 0 lardan olusan kare matrise (satır
ve suumltun sayısı esit olan ) birim matrisi
kare olmayan matrise de diyagonal matris denir
Boumlyle matrisleri olusturmak iccedilin eye fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=eye(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
a)
3x3 luumlk birim matris
b) 4x3 lluumlk diyagonal matris olusturalım
Ccediloumlzuumlma) i=eye(33) b) d=eye(43)
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar52 Genel MatrislerMatlab
69
d) Rastgele Sayılardan Olusan Matris ve Fonksiyonu
Elemanları 0 ile 1 arasındaki rastgele sayılardan olusan bir matris iccedilin
rand fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=rand(mn) biccedilimindedir(msatırnsuumltun)
Not 1) Uumlretilen matrisin tuumlm elemanlarını k gibi bir sayı ile ccedilarparak
sayıları 0 ile k arasına ccedilekebiliriz
Not 2) Ondalıklı sayılardan olusmus bir matrisin elemanlarını
yuvarlayıp tam sayı yapmak iccedilin round fonksiyonunu kullanırız
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar52 Genel MatrislerMatlab
70
Oumlrnek
a) 0 ile 1 arasında rastgele sayılardan olusan 10 elemanlı
a adında bir satır
matrisi olusturalım
b) Elemanları
10 ile 50 arasında sayılardan olusan 5x3 tipinde b matrisini
olusturalım
c) Elemanları
50 ile 300 arasındaki tamsayılardan olusan 3x4 tipinde c matrisini
olusturalım
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
d) Rastgele Sayılardan Olusan Matris ve Fonksiyonu
52 Genel MatrislerMatlab
71
Ccediloumlzuumlm
a)
a=rand(110)
b)
b=10+rand(53)40
c) c=round(50+rand(34)250)
52 Genel MatrislerMatlab
72
e) Rastgele Sayılardan Olusan Normal Dağılımlı
Matris veFonksiyonu
Elemanları rasstgele sayılardan olusan bir normal dağılımlı bir matris iccedilin
randn fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=randn(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek Rastgele sayılardan olusan normal dağılımlı 2x3 luumlk bir n matrisini
olusturalım
Ccediloumlzuumlm n=randn(23)
52 Genel MatrislerMatlab
73
f) Lineer Aralıklı
(Aritmetik) Dizi ve Fonksiyonu
Baslangıccedil ve biis değerleri ve kaccedil elemandan olusacağı belirlenen diziyi
olusturmak iccedilin linspace fonksiyonu kullanılır
Kullanımı
dizi_adı=linspace(ilk_değerson_değereleman_sayısı)
biccedilimindedir
52 Genel MatrislerMatlab
74
Oumlrnek 10 ile 30 arasına 9 tane daha sayı
koyarak aadında bir aritmetik dizi olusturalım
f) Lineer Aralıklı
(Aritmetik) Dizi ve Fonksiyonu
52 Genel MatrislerMatlab
Cevapa=linspace(103011)
75
Elimizdeki grubun her elemanı iccedilin bir matematik işlemi yapıp bunu yeni bir
diziye atarken herhangi bir sorun yoktur
Fakat iki farklı grupla işlemler yaparken dikkat etmemiz gereken genel
kurallar vardır
Oumlrneğin toplama ve ccedilıkarma yaparken iki dizinin de buumlyuumlkluumlğuumlnuumln eşit
olması gerekmektedir
Ayrıca iki farklı dizinin elemanları arasında birebir işlem yapmak iccedilin
matematik operatoumlruumlnuumln başına nokta() koymak gerekir
Bu durumda her bir elemanı diğer dizinin o sıradaki elmanı ile işleme
sokacaktır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
76
Birden fazla satır ve suumltuna sahip vektoumlrlere matris denir Noktalı
virguumll ()
işareti ile kolonları
ve virguumlle işareti ya da boşluk
bırakarak da bir sıradaki elemanları
ayırabilirizOumlrnekraquo x=[ 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14]x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14Yukarıdaki 3x4 boyutunda bir matristir MATLAB programına aşağıdaki
gibi de sunulabilirraquo x=[ 3 4 5 6
7 8 9 1011 12 13 14]
x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
77
Matristeki herhangi bir elemana direk ulaşmak iccedilin aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(23)=9
Eğer isteğimiz eriştiğimiz bir elemanı
değiştirmek veya yeni bir satır eklemek ise aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(41)=1x =
3 4 5 67 8 9 1011 12 13 141 0 0 0
Bu durumda doumlrduumlncuuml
satır ilk elemanını
biz 1 değerini atadık ve diğer elemanları
kendiliğinden ldquo0rdquo
olarak atadı
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
78
İki nokta uumlst uumlste () kullanılarak belirli aralıkta değişen matrisler yaratılabilir
raquo x=[127 3-10 -12]x =
1 3 5 73 2 1 0
-1 0 1 2Bir matrisin herhangi bir boumlluumlmuumlnuuml
seccedilmek iccedilin ise aşağıdaki goumlsterim
kullanılırraquo z=x(23 12)z =
3 2-1 0
Bu durumda z matris x matrisinin 2 ve 3 norsquo
lu satırlarından 1 ve 2 norsquo
lu suumltunlarını
almış
oluyor
Herhangi bir satır veya suumltunu tamamen silmek istersek o satır ve suumltunu seccedilip ldquo[]rdquo
ifadesine eşitleriz
raquo z(2)=[ ]z =
3 -1
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
79
Matlab size ve length komutları
yardımı
ile size matrisinizin boyutlarını
soumlyler
raquo a=[ 2 3 4 5 67 8 9 10 11]
raquo s=size(a)s =
2 5
raquo b=[ 17 11 0 30 40 50]
raquo k=length(b)k =
6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
80
a) Toplama-Ccedilıkarma Bir Sayı
ile Ccedilarpma İşlemi
İki matrisi toplamak (veya ccedilıkarmak) demek matrislerin aynı
mertebedeki elemanları teker teker toplayıp (veya ccedilıkarıp ) aynı
mertebeye yazmak demektir
Bu durumda iki matrisin de aynı mertebeden olması gereği accedilıktır
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile toplamak (veya ccedilıkarmak) demek
matrisin elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla toplamak (veya
ccedilıkarmak )demektir
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile ccedilarpmak demek ise matrisin
elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla ccedilarpmak demektir
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
81
82
Oumlrnek
raquo a=[1 2 3 4 5 6]raquo b=[7 8 9 10 11 12]
a ve b toplamıraquo sum=a+bsum =
8 10 1214 16 18
arsquo
yı
brsquo
den ccedilıkarmak
raquo diff=a-bdiff =
-6 -6 -6-6 -6 -6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
83
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] ve b=[3 -3 -41 1 5] matrisleri
veriliyor
a)
c=a+b toplam matrisini
b)
d=a-b matrisini
c)
amatrisinin her elemanınının 5 eksiğine karsılık gelen e
matrisini
d) f=2a-3b matrisini bulduran islemleri yazalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
a) c=a+b b) d=a-b c) e=a-5 d) f=a+a-b-b-b veya
f=2a-3b
84
İki matrisin ccedilarpım islemi iki biccedilimde anlasılır
1)
Aynı
mertebeden iki matrisin elemanlarını
teker teker ccedilarpıp aynı
mertebeye
yazmak demektir Bunu
islemi ile gerccedileklestiririz
2) Matematiksel anlamda iki matrisi ccedilarpmak istediğimizde birinci matris mxn
tuumlruumlnde ve ikinci matris mutlaka nxp tuumlruumlnde olmalıdır yani birinci matrisin
suumltun sayısı
ikinci matrisin satır sayısına eşit olmalıdır
Bu durumda birinci matrisin i suumltun elemanları
ile ikinci matrisin j satırındaki
elemanlar karılıklı
olarak ccedilarpılır ve sonuccedillar toplanır ve bu toplam ccedilarpım
matrisinin (ij) inci mertebeye yazılır
Matrisler arası
ccedilarpma isleminin semboluuml
de dır
b) İki Matrisin Ccedilarpımı Bir Matrisin Kuvvetleri veCcedilarpma İslemi
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
85
3) Bir a matrisinin her bir elemanının n Kuvvetlerinden olusan matrisi
bulmak iccedilin a^n islemi kullanılır
4) Satır ve suumltun sayıları
esit bir kare matrisi ardısık olarak n defa
kendisiyle ccedilarparak a matrisinin n kuvvetini bulabilirizOumlrneğin a matrisinin
karesi iccedilin aa veya a^2 kuumlbuumlnuuml
buldurmak iccedilin aaa veya a^3
doumlrduumlncuuml
kuvvetini buldurmak iccedilin aaaa veya a^4
Not) Bir a matrisinin eleman -elemana ccedilarpma islemine benzer mantıkla bir matrisin tuumlm elemanlarının kareleri kuumlbleri sinuumlsleri kosinuumlsleri logaritmalarından olusan matris bulunmak istenirse bunu sırayla aa (veya a^2) aaa (veya a^3) sin(a) cos(a) etabanında logaritması
iccedilin log(a) 10 tabanında logaritmaları
iccedilin log10(a) Biccediliminde gerccedileklestirebiliriz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
86
a) a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c1 matrisi varsa bulalım
b) a matrisi ile b matrisinin ccedilarpım matrisi olan c2 varsa bulalım
c) a matrisinin elemanları
ile c matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c3 matrisi varsa bulalım
d) a matrisi ile c matrisinin ccedilarpım matrisi olan c4 varsa bulalım
e) a matrisinin elemanlarının karelerinden olusan matris ile b matrisinin
kosinuumlslerinden olusan matrisler toplamını
bulalım
f) x=[1 00 3] matrisinin i) Karesini ii) Kuumlbuumlnuuml
iii) 10
kuvvetini bulalım
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] b=[3 -3 -41 1 5] ve c=[1 0-1 23 3] matrisleri veriliyor
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
87
Ccediloumlzuumlma) iki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirBu durumda c1 matrisi tanımlıdır ve bunu c1=ab islemi ile gerccedileklestirebilirizb) iki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdırHalbuki a matrisi 2x3 b matrisi de 2x3 olduğundan bu iki matris ccedilarpılamazc) İki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirHalbuki bu matrisler aynı mertebeden olmadığından bu iki matris eleman-elemana ccedilarpma islemi
gerccedileklemezd) İki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdıra matrisi 2x3 luumlk c matrisi de 3x2 lik olduğundan bu iki matris ccedilarpılabilir ve c4 ccedilarpım matrisi 2x2 lik bir matris olurc4 ccedilarpım matrisini c4=ac islemi ile buluruze) a^2+cos(b)f) i) x^2 ii) x^3 iii) x^10
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
88
c) Bir Matrisin Devriğini (Transpozesi) Bulma İslemi
Bir matrisin satırlarını suumltun suumltunlarını satır olarak yazılmasıyla
bulunan matrise bu matrisin devriği (transpozesi) denir
Bir matrisin devriğini islemi ile bulabiliriz
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] nın devriğini buldurup d matrisine atayalım
Ccediloumlzuumlm d=a
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
89
Oumlrnek
b=[7 8 9 10 11 12] matrisinin transpozesini bulabilirmisiniz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
c=bc =
7 108 119 12
90
SORU
a=[1 2 3 4 5 6]
c= [710811912]
ise a ve crsquonin ccedilarpım matrisi
kaccediltır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
Ccedilarpma işlemi k=ack=
50 68122 167
91
SORU
a=[1 2 3 4 5 6] b=[7 8 9 10 11 12]
ise a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan x matrisini bulalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
x=abx =
7 16 2740 55 72
92
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
Aynı mertebeden iki matrisin elemanlarını teker teker boumllerek aynı
mertebeye yazılmasına iki matrisin sol boumllmesi denir ve bu islemi ile
yapılır
a b ve c aynı mertebeden kare matrisler olmak uumlzere
c=ab ise a matrisine c nin b matrisine boumlluumlmuuml denir
c boumlluumlm matrisi islemi ile yapılır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
93
HATIRLATMA
2x2 lik i2 adlı birim matrisi i2=eye(22)
3x luumlk i3 adlı birim matrisi i2=eye(33) islemi ile olusturabiiriz
Aynı mertebeden a ve b kare matrisleri iccedilin a ile b nin ccedilarpımı birim matris ise
b matrisi a matrisinin (aynı biccedilimde a matrisi de b matrisinin) ters matrisidir
Oumlrnek
3x3 luumlk bir a kare matrisinin tersini bulmak iccedilin
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
eye(33)a veya inv(a) islemini kullanırız
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
94
Bir Matrisin Determinantı
Determinant kare matrisleri bir sayıya eşleyen fonksiyondur
Determinant fonksiyonunun kare matrisi eşlediği o sayıya matrisin
determinantı denir
A matrisinin determinantı detA veya |A| biccediliminde goumlsterilir
|A| matrislerde mutlak değer anlamına gelmez |A| sıfır veya
negatif de olabilir
det(x)
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
95
KURAL
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
96
Oumlrnek
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Determinant
raquo
deter=det(x)deter =
21
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
97
Oumlrnek Inverse işlemi
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Detx=det(x)=21 ise
raquo y=inv(x)y =
821 121 -521 221
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
98
SORU
a=[2 -10 01 2 43 0 1] matrisi ile b=[1 5 41 -1 20 1 -1] matrisleri veriliyor
a)
a matrisinin elemanlarını
sırasıyla b matrisinin elemanlarına boumllerek elde
edilen matrisi b1 matrisine atayalım
b) a matrisinin ta ters matrisini bulalım
c) a ile ta matrisinin ccedilarpımının 3x3 luumlk birim matris olduğunu goumlsterelim
d) a matrisinin b matrisine boumlluumlmuumlnuuml
b2 matrisine atayalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
99
Ccediloumlzuumlm
a)
b1=ab
b) ta1=eye(33)a veya ta2=inv(a)
c) ata ==eye(33)
d) b2=ab
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
19
Matlab Dizi Editoumlruuml
oA değişkenine ccedilift tıklandığında Matlab Dizi Editoumlruuml
accedilılır
oBurda değişkenlerin iccedilerikleri goumlruumlntuumllenir ve değiştirilebilir
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
20
who
ccedilalışma alanında hangi değişkenler olduğu
whos
bu değişkenlerin yapıları
goumlruumllmektedir
what
komutu kullanıcı
diskinin halihazır dizininde mevcut M- dosyaları
listesini verir
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
21
clc
Komut penceresindeki satırları
silmeye yarar
clear
Hafızadaki değişkenler silinir
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
22
Matlab Ccedilalışma Dizini penceresindeki ldquo
aşağı
okrdquo
basılarak ccedilalışma dizini seccedililebilir
Current Folderrsquoda ccedilalışmak istenilern directory youmlnlendirilerek hızlı
ulaşım sağlanır
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
23
Current Folder
Matlab dosyalarının kaydedildiği yuumlklendiği dosyaların bulunduğu
klasoumlruuml
(dizin) varsayılan klasoumlr olarak belirlemeye yarar
Aksi belirtilmedikccedile bu klasoumlr CMatlab6p5work gibi bir klasoumlrduumlr
Yada save FMATLAB_UYGkatsayilar a
katsayilarmat olarak kaydedilen a matrisininmatlab kapatılıp accedilıldıktan sonra herhangi bir zamanda geri ccedilağrılmasıiccedilin
load FMATLAB_UYGkatsayilar
komut dizisi kullanılır
Command Windowa save yazılırsa değişkenler ldquomatlabmatrdquo
veri
dosyasına kaydedilmiş olur
Matlabı
kapatıp accedilalım ve matlabmatrsquoı
ccedilağıralım
(File open matlabmat)
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
Oumlrnekgtgt a=[123 579] a = 1 2 3 5 7 9
24
MATLAB Yardım
1 Komut satırına ldquohelprdquo yazılır Bu yardım sunulabilecek konuların listesini sunar
2 help fonksyon-adı
fonksyon iccedilin yardım metnini goumlruumlntuumller
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
25
Matlab MasaUumlstuuml
Yeni M- Dosyası
Dosya Accedil Help Desk
Kayıtlı
Matlab Fonksyonu kayıt dosyası(mat) modeli figuumlruuml
ve GUI arayuumlzluuml
fonksyonları
accedilar
Veri dosyalarını
accedilar
Ccedilalışma ortamını
kaydeder
Farklı
ccedilalışma dizinini Matlaba tanıtır
Matlab arayuumlzuumlnuuml
ayarlar
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
26
Başlat Duumlğmesi
Matlab araccedil
kutuları Matlab
uygulamalarına eklenti olarak
hazırlanan ve hazır fonksyonları iccedileren paketlerdir
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
27
Başlat Duumlğmesi
Start Duumlğmesi tuumlm matlab uygulamalarına accedilılan kısayolları
iccedilermektedir
Matlab Uygulamaları
iccedilin kısa yol
Araccedil
kutularıSimulinkUy
gulaması
Demolar
Veri Sihirbazı
GUI Hazırlayıcı
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
28
Matlaba Veri Alma
Programa dışarıdan resim film veri ses dosyalarını
matris formatına ccedilevirerek bir değişken olarak atamada kullanılır
File Import Data
Oumlrnek Exel dosyası
alma
Exelde bir matrix oluşturup matlabdan import ile alınız
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
29
Matlabda Temel Kavramlar
Tuumlm programlama dillerinde olduğu gibi (Fortran C Pascal Basic vs)
Matlabın da oumlzel anlam tasıyan bazı kelimeleri vardır ki bu kelimeler değisken
olarak kullanılamazlar
Bu tuumlr kelimelere anahtar kelime (keywords) denir
Bu kelimelerin bir listesini almak iccedilin komut satırına
iskeyword komutunu yazarak elde edebiliriz
Bu kelimeler
breaklsquo case catch continue else elseif endlsquo for function global
if otherwiselsquo persistent return switch try while
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
30
Programın dili ve yardım bilgileri tamamen ingilizcedir
Kuumlccediluumlk-buumlyuumlk harf ayrımı vardır
Oumlrneğin dscrite DSCRITE ve Dscrite atamaları farklı şekilde
algılanır
Eğer istenirse ldquocasesen offrdquokomutu ile bu durum sona
erdirilebilir
raquo işareti komut promptrsquoudur
Komutlar Enter ile yuumlruumltuumlluumlr
2 Matlab Kullanımında Temel Kurallar
Matlab
31
Genel komutların isimleri ve accedilıklamaları
2 Matlab Kullanımında Temel KurallarMATLAB
32
2 Matlab Kullanımında Temel KurallarMATLAB
MATLAB kontroluumlnuuml
kullanabilmeniz iccedilin oumlzel karakterlere sahiptir Bu karakterlerin bir oumlzeti
33
2 Matlab Kullanımında Temel KurallarMatlab
34
2 Matlab Kullanımında Temel KurallarMatlab
35
İFADELER Matematiksel ve metinsel goumlsterimler ile işlemler ifadelerlesağlanır
Sayılar (Numbers)Değişkenler (Variables)İşleccediller (Operators)Fonksiyonlar (Functions)
Matlabrsquode ifadeler genellikle değişken = ifade veya sadece ifade formundadır
Sayısal Analiz
x = 4 sqrt(5) İfade
değişkensayı işleccedil fonksiyon
Bir ifade = işareti ile bir değişkene atanmamış
ise Matlab otomatik olarak sonucu ans (answer)
adı
verilen oumlzel bir değişkende saklar
3 MATRİSLER
36
o
Birden
fazla ifade
tek satırda aralarına
ya da koyarak yazılabilir
o
Yazımda
boşluk
sayısı
etkisizdir
o
Sadece
ilgili
değişken
adını
yazarak
o değişkeni ccedilağırabilirsiniz
MATRİSLER31 İFADELER
37
o MATLABrsquoda herhangi bir tip tanımlaması
veya boyut ifadesine gerek yoktur
o
MATLAB yeni bir değişken ismi ile karşılaştığında otomatik olarak ans isminde
bir değişken oluşturur ve uygun bir bellek miktarı
ayırır
oEğer değişken zaten varsa MATLAB gerekli bir bellek ayırdığında iccedileriği değişir
Oumlrneğin
o ogrenci_sayı=51
32 DeğişlenlerMatlab
Değisken
değeri değisebilen bellek alanına isaret eden değerlere
38
MATLAB değişken girişleri iccedilin ccedileşitli kurallara sahiptir
Her değişken bir harfle başlamak zorundadır
Program buumlyuumlk kuumlccediluumlk harf duyarlıdır X ve x farklı değişkenleri ifade eder
Program 31 basamağa kadar duyarlıdır Bu basamaktan sonrasını yok sayar
Dolayısıyla 31 basamaktan uzun değişken isimleri karışıklık yaratabilir
32 DeğişlenlerMatlab
39
Değiskenlere Değer Atama
Her hangi bir programlama dilinde olduğu gibi Matlabrsquoda da bir değiskene
değer verme islemine rdquodeğer atamakrdquo denir
Bir değiskene atanan değer değistirilmediği suumlrece aynı kalır
Değer atamanın genel kullanımı asağıdaki biccediliminde olur
ltDeğisken adıgt=ltAtanacak değergt
32 DeğişlenlerMatlab
40
Oumlrnek 2
A=6i-7 A değişkenine skaler bir değer atar
B=A 7
B değişkenine A değişkeninin 17 si atanmıştır
C=[3 4 5 6]
4 elemanlı
bir satır vektoumlruuml
atanmıştır
NOT
Dizi girişinde herhangi bir satıra ait elemanlar aralarına boşluk veya virguumll ldquordquo konularak ayrılır
Dizinin diğer bir satırına başlamak iccedilin biten satır sonuna konulur
32 DeğişlenlerMatlab
41
oMATLABrsquoda sayılar yaygın olarak kullanılan onluk tabanda ifade edilirler
o
Bunun yanısıra onluk tabanda uumlstel olarak veya i veya j olarak kompleks sayı biccedilimlerinde de ifade edilebilirler
oOumlrnek olarak
33 Sayılar
Matlab da i
ve j
başka tuumlrluuml
tanımlanmamışsa kompleks i sayısını
goumlsterir 3e5 sayısıda 3105
anlamındadır
MATRİSLER
42
o
Ondalık sayılar Tuumlrkccedilemizdeki
35 yerine
35 şeklinde
goumlsterilir
(00001 veya 963
065 yerine 65)
o
Bilimsel
notasyon
goumlsterimi olan e
(veya E) harfi
10rsquonun kuvvetini
temsil eder
o 2e4=2104=2000 veya
165e-20=16510-20
demektir
o
Kompleks
sayılarda
imajiner
(sanal) kısımlar
i
veya
j
ekini
alır
i veya
j
ile
gosterimlerinde
bir
fark
yoktur
o (1+3i veya 1+3i veya 1+i3) 1+sqrt(3)j
-5i
o
Matlabrsquode
tuumlm
sayılar yaklaşık 210308 ve
210-308 arasında
değişir
33 Sayılar
MATRİSLER
43
Sayı
Formatları
33 SayılarMatlabMATRİSLER
44
oMatlabda bir ccedilok eylem doumlrt islem ve matematiksel bazı
islemler
yaptırabiliriz
oBunun iccedilin ya ilgili komutları
komut penceresinden teker teker girerek veya
ilgili komutları
bir dosyaya yazıp o dosyayı
ccedilağırarak ccedilalıstırabiliriz
oİşlemleri yaptırırken sayıları
reel sayı
ya da karmasık sayı
olarak alabiliriz
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
45
Matematiksel ifadeleri oluşturmak iccedilin operatoumlrler ve oumlnceden tanımlanmış sembolleri kullanabilirsiniz
oOperatoumlrler oumlzetle şunlardır
oMatrislerle yapılan işlemlerde boumllme işlemi iccedilin iki farklı
sembol kullanılmaktadıroBunun yanında eğer sayılar skaler ise iki boumllme işleminin sonucu da aynı
değeri
goumlsterecektiroOumlrneğin 32 ile 23 ifadelerinin sonuccedilları
aynı
olup 15rsquodir
raquo 4+83ndash2ans =26
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
46
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
x=a + b
Bu ifadede a ve b nin toplandığı
ve x değişkeni iccedilinde saklandığıbelirtilmektedir
47
Aritmetiksel İşlemlerde Oumlncelik Durumu
oTek bir aritmetiksel durum iccedilinde birden fazla durum bir arada bulunabildiğine goumlre
hangi işlemin oumlncelik hakkına sahip olunduğunun
bilinmelidir
oMATLABrsquoda kullanılan işlemlerde işlemlerin oumlncelik
listesi
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
bazı
temel matematiksel fonksiyonların accedilıklamaları
48
o
MATLABrsquo
da işlemler soldan sağa işlerlero
İşlemler arası
oumlncelik sırası
aşağıdaki gibidir
1 ^
(Yuumlksek)2
darr
3 + -
(Duumlşuumlk)
raquo 3^(2ndash5)-632 raquo 3^2ndash5ndash632ans = ans =
mdash39630 0
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
49
35 FonksyonlarMATRİSLER
o MATLABrsquoın ccedilok guumlccedilluuml
ve ccedilok kapsamlı
bir fonksiyon yapısı
vardır
oMATLABrsquoda bazı
fonksiyonlar daha oumlnceden yerleştirilmiş
bazıları
ise sonradan
dışarıdan yerleştirilmiş
M-dosyalarından oluşan MATLAB kuumltuumlphanelerinde
tanımlanmışlardır
oBunun yanında oumlzel uygulamalar iccedilin kullanıcıların kendi fonksiyonlarını
yazarak
kendi kuumltuumlphanelerini oluşturması
muumlmkuumlnduumlr
MATLABrsquoda mevcut analitik fonksiyonları
genel olarak aşağıdaki kategorilere ayırabiliriz oTemel matematiksel fonksiyonlaroOumlzel fonksiyonlaroTemel matrisler ve matris işlemlerioMatrisleri ccedilarpanlarına ayırmaoVeri analizlerioPolinomlaroDiferansiyel denklem ccediloumlzuumlmlerioLineer olmayan denklemler ve optimizasyonoSayısal integral hesaplamalarıoSinyal işleme
50
Matematiksel Fonksiyonlar
bazı
temel matematiksel fonksiyonların accedilıklamaları
35 FonksyonlarMATRİSLER
Oumlrnekgtgtexp(1)ans=27183gtgtfix(35)ans=3gtgtceil(35)ans=4gtgtround(35)ans=4
51
Matlabda oumlnceden tanımlanmıs bazı
sabitlerdirBunlar aşağıdaki tabloda goumlsterilmistir
36 Oumlzel SabitlerMatlab
52
Oumlrnekler
1)
a=1
2)
a=rsquoİstanbulrsquo
3)
a=5b=7c=a+b
4) a=5b=-3c=a+2ba=a+b
5)
num=23-5^2 x=num2 y=x+10
7 Sabitler Değiskenler ve Metin KatarlarıMatlab
53
Oumlrnek
Komut satırına
a)
sin(30)
b)
sin(30pi180) yazınız sonuccedilları
inceleyiniz
35 FonksyonlarMATRİSLER
Cevapa) -09880 sonucu goumlruumlluumlr ki bu 30deg
nin sinuumlsuumlnde n farklıdır Ccediluumlnkuuml
bu 30deg
derece değil 30 radyanın sinuumlsuumlduumlrb) 05000 sonucu goumlruumlluumlr ki bu da 30deg
nin sinuumlsuumld uumlr O halde bir
sayının trigonometrik değerini buldurmak iccedilin oumlnce pi ile ccedilarpıp 180 e boumllerek accedilıyı
radyan ccedilevirip sonra trigonometrik değerini
hesaplatabiliriz
54
oVektoumlrler tek boyutlu sayı
dizileridir
oElemanlarının sıralanma youmlnlerine goumlre suumltun veya satır vektoumlruuml
adlarını alırlar
ovektoumlrler [ ] koumlşeli parantezleri ile tanımlanır
ofarklı
yolla tanımlanabilirler
4 VektoumlrlerMatlab
A = [4 12 -8 6]A = [4 12 -8 6]
B = [1 2 4 6]
Satır Vektoumlruuml
Suumltun Vektoumlruumlgtgt b=[1 2 4 6 ]
55
4 VektoumlrlerMatlab
ovektoumlr boyutları
buumlyuumlduumlkccedile manuel olarak tanıtım işlemi oldukccedila zorlaşmaktadır
oOumlzellikle belli bir artıma sahip vektoumlrlerin oluşturulmasında () operatoumlruuml kullanılmaktadır
C = [-105150]
Son değerBaşlangıccedil değeri Artış
miktarı
Drsquo
= [30-10-30]
Suumltun Vektoumlruuml
56
Vektoumlr indisleri
4 VektoumlrlerMatlab
Bir vektoumlruumln elemanlarına atanılan değer değişkenler editoumlruuml
veya eleman adresi vasıtasıyla değiştirilebilir
OumlrnekA = [4 12 -8 6]1 A vektoumlruumlnuumln 3 elemanını
27 ile değiştiriniz
2 Benzer şekilde A vektoumlruumlnuumln 2 elemanını
siliniz 3 A(9) = 12
Ccediloumlzuumlm1 A(3) = 272 Vektoumlruumln elemanına [ ] değeri atandığında eleman silinirA(2) = [ ]3 gtgt A(9) = 12
A= [ 4 27 6]
A =[ 2 27 7 0 0 0 0 0 12]
57
raquo x=[17 8 61 83 56]
Şeklindeki bir matrisin uumlccediluumlncuuml
elemanına erişmek istenirse
raquo c=x(3)
c =
61
Eğer bir blok şeklinde veriye erişilmek istenirse
raquo x(24)
ans =
8 61 83
Her matristeki herhangi bir elman grubuna erişilmek istenirse
raquo x([3 1 4])
ans =
61 17 83
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
58
Bir diziye duumlzenli artıs (veya azalıs) kuralıyla değerler atanmak isteniyorsa
bunu
ilk_değerartısson değer veya ilk_değerartısson değer
biccediliminde yapabiliriz
Ancak artıs 1 ise belirtilmeyebilirOumlrnekortalama adlı
bir diziye 0 dan 5 e kadar 05 er artısla elde edilen sayı
dizisini atayanortalama=[0055]
Siz 1 satır 7 den den 17 ye kadar olan tam sayılar 2 satırı
99 dan 89 a kadar azalan tam sayılardan olusan 2 boyutlu m dizisine atayan islemleri yazınız
Dizilerin Değerlerinin Değistirilmesi ve Duumlzenlenmesi
4 VektoumlrlerMatlab
59
4 VektoumlrlerMatlab
60
Sayılardan olusan satır ve suumltun yapısına matris (dizi) denir
Oumlrneğin
d1=[5] 1x1 lik
d2=[ 2 -7] 1x2 lik
d3= [1 0 -3 ]
[ 5 3 1 ]
2x3 luumlk bir dizidir
Oumlrnekx=[1 7 18 5]Ya daraquo x=[ 1
7185 ]
Biccedilimlerinde girilebilir
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
61
Dizilerin Değerlerinin Değistirilmesi ve DuumlzenlenmesiBir dizinin herhangi bir elemanını belirlemek iccedilin dizi adından hemen sonra
parantez iccedilinde elemanın bulunduğu satır ve suumltun sayısı yazılmalıdır
Oumlrnek 1 d2=[2 -7]d2 dizisinin -7 elemanını
goumlruumlntuumllemek iccedilin
d2(12)
2 d3=[1 0 -35 3 1]d3 dizisinin 2 satır 1 suumltununda bulunan 5 in değerinin -75 olması
iccedilin
d3(21)=-75
Not1) Bir dizinin bir ccedilok elemanını
yeniden değer atamak gerekirse komut satırından atama yapmak uzun zaman alabilirBu durumda dizi değiskeninin uumlzerine ccedilift tıklayarak accedilılan dizi editoumlruuml
(array edit) yardımıyla değisiklikleri daha kolay yapabiliriz
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
62
8 Matrisler(Dizi)Matlab
Bir matrisi girerken o1 Elemanlar baştan ve sondan koumlşeli parantezlerle kapatılıro2 Elemanların arasına boşluk veya virguumll konuluro3 Matris satırlarını
ayırmak iccedilin de noktalı
virguumll kullanılır
okurallarına dikkate alınmalıdır
Oumlrneğin
A = [1 2 3 4 5 6]A =
1 2 34 5 6
şeklinde veriler matrisler biccediliminde tanımlanır MATLAB daha sonra kullanılmak uumlzere verileri A matrisinde saklar
63
Matris elemanları
rasgele rakamlardan oluşabileceği gibi MATLABrsquoın deyimlerinden de oluşabilir
51 Matrislerde ElemanlarMatlab
Oumlrneğin
a=[-13 sqrt(3) (1+2+3)475]
a= -13000 17321 48000
Kuumlccediluumlk matrisleri eleman olarak kullanıp daha buumlyuumlk matrisler oluşturmak muumlmkuumlnduumlr
OumlrneğinM=[1 3 5
7 8 9] matrisine
aşağıda goumlsterildiği şekilde bir satır eklemesi yapabilir
M=[M[10 13 15]]
Bu durumda M matrisiM=[1 3 5
7 8 910 13 15]
durumunu alır
64
İki nokta uumlst uumlste () kullanarak buumlyuumlk matrislerin belli bir kısmını
kullanabiliriz
ya da diğer ifade ile bu matrisi kuumlccediluumlltebiliriz
Oumlrneğin
M=M(12) bildirimi M matrisinin ilk iki satırını
alarak M matrisi
olarak saklar
Oumlrnek
M=[8 -4 7 66 -7 8 9 4 5 134] ise
M=M(12) =
8 1 Matrislerde ElemanlarMatlab
65
MATLABrsquoda kullanıcı
verileri kendi oluşturacağı
matrisler ile tanımlayabileceği gibi MATLABrsquoın kendi oumlzel matrislerinden de istifade edilebilir
52 Genel MatrislerMatlab
66
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
a) Sıfır Matrisi Olusturan Fonksiyon
Her elemanı sıfır olan mxn boyutunda bir matrise sıfır matrisi denir
Boumlyle bir dizi olusturmak iccedilin zeros fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=zeros(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
3x5 boyutunda s adlı
sıfır matrisi iccedilin
s=zeros(35)
52 Genel MatrislerMatlab
67
b) 1 lerden Olusan Matris
Her elemanı 1 olan mxn boyutunda bir matrisi olusturmak iccedilin ones
fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matria_adı=ones(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
2x3 boyutunda b adlı
tuumlm elemanları
1 olan matrisi olusturalım
b=ones(23)
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
52 Genel MatrislerMatlab
68
c) Birim Matrisi Olusturan Fonksiyon
Esas koumlsegeni 1 lerden diğer elemanları 0 lardan olusan kare matrise (satır
ve suumltun sayısı esit olan ) birim matrisi
kare olmayan matrise de diyagonal matris denir
Boumlyle matrisleri olusturmak iccedilin eye fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=eye(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
a)
3x3 luumlk birim matris
b) 4x3 lluumlk diyagonal matris olusturalım
Ccediloumlzuumlma) i=eye(33) b) d=eye(43)
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar52 Genel MatrislerMatlab
69
d) Rastgele Sayılardan Olusan Matris ve Fonksiyonu
Elemanları 0 ile 1 arasındaki rastgele sayılardan olusan bir matris iccedilin
rand fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=rand(mn) biccedilimindedir(msatırnsuumltun)
Not 1) Uumlretilen matrisin tuumlm elemanlarını k gibi bir sayı ile ccedilarparak
sayıları 0 ile k arasına ccedilekebiliriz
Not 2) Ondalıklı sayılardan olusmus bir matrisin elemanlarını
yuvarlayıp tam sayı yapmak iccedilin round fonksiyonunu kullanırız
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar52 Genel MatrislerMatlab
70
Oumlrnek
a) 0 ile 1 arasında rastgele sayılardan olusan 10 elemanlı
a adında bir satır
matrisi olusturalım
b) Elemanları
10 ile 50 arasında sayılardan olusan 5x3 tipinde b matrisini
olusturalım
c) Elemanları
50 ile 300 arasındaki tamsayılardan olusan 3x4 tipinde c matrisini
olusturalım
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
d) Rastgele Sayılardan Olusan Matris ve Fonksiyonu
52 Genel MatrislerMatlab
71
Ccediloumlzuumlm
a)
a=rand(110)
b)
b=10+rand(53)40
c) c=round(50+rand(34)250)
52 Genel MatrislerMatlab
72
e) Rastgele Sayılardan Olusan Normal Dağılımlı
Matris veFonksiyonu
Elemanları rasstgele sayılardan olusan bir normal dağılımlı bir matris iccedilin
randn fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=randn(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek Rastgele sayılardan olusan normal dağılımlı 2x3 luumlk bir n matrisini
olusturalım
Ccediloumlzuumlm n=randn(23)
52 Genel MatrislerMatlab
73
f) Lineer Aralıklı
(Aritmetik) Dizi ve Fonksiyonu
Baslangıccedil ve biis değerleri ve kaccedil elemandan olusacağı belirlenen diziyi
olusturmak iccedilin linspace fonksiyonu kullanılır
Kullanımı
dizi_adı=linspace(ilk_değerson_değereleman_sayısı)
biccedilimindedir
52 Genel MatrislerMatlab
74
Oumlrnek 10 ile 30 arasına 9 tane daha sayı
koyarak aadında bir aritmetik dizi olusturalım
f) Lineer Aralıklı
(Aritmetik) Dizi ve Fonksiyonu
52 Genel MatrislerMatlab
Cevapa=linspace(103011)
75
Elimizdeki grubun her elemanı iccedilin bir matematik işlemi yapıp bunu yeni bir
diziye atarken herhangi bir sorun yoktur
Fakat iki farklı grupla işlemler yaparken dikkat etmemiz gereken genel
kurallar vardır
Oumlrneğin toplama ve ccedilıkarma yaparken iki dizinin de buumlyuumlkluumlğuumlnuumln eşit
olması gerekmektedir
Ayrıca iki farklı dizinin elemanları arasında birebir işlem yapmak iccedilin
matematik operatoumlruumlnuumln başına nokta() koymak gerekir
Bu durumda her bir elemanı diğer dizinin o sıradaki elmanı ile işleme
sokacaktır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
76
Birden fazla satır ve suumltuna sahip vektoumlrlere matris denir Noktalı
virguumll ()
işareti ile kolonları
ve virguumlle işareti ya da boşluk
bırakarak da bir sıradaki elemanları
ayırabilirizOumlrnekraquo x=[ 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14]x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14Yukarıdaki 3x4 boyutunda bir matristir MATLAB programına aşağıdaki
gibi de sunulabilirraquo x=[ 3 4 5 6
7 8 9 1011 12 13 14]
x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
77
Matristeki herhangi bir elemana direk ulaşmak iccedilin aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(23)=9
Eğer isteğimiz eriştiğimiz bir elemanı
değiştirmek veya yeni bir satır eklemek ise aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(41)=1x =
3 4 5 67 8 9 1011 12 13 141 0 0 0
Bu durumda doumlrduumlncuuml
satır ilk elemanını
biz 1 değerini atadık ve diğer elemanları
kendiliğinden ldquo0rdquo
olarak atadı
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
78
İki nokta uumlst uumlste () kullanılarak belirli aralıkta değişen matrisler yaratılabilir
raquo x=[127 3-10 -12]x =
1 3 5 73 2 1 0
-1 0 1 2Bir matrisin herhangi bir boumlluumlmuumlnuuml
seccedilmek iccedilin ise aşağıdaki goumlsterim
kullanılırraquo z=x(23 12)z =
3 2-1 0
Bu durumda z matris x matrisinin 2 ve 3 norsquo
lu satırlarından 1 ve 2 norsquo
lu suumltunlarını
almış
oluyor
Herhangi bir satır veya suumltunu tamamen silmek istersek o satır ve suumltunu seccedilip ldquo[]rdquo
ifadesine eşitleriz
raquo z(2)=[ ]z =
3 -1
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
79
Matlab size ve length komutları
yardımı
ile size matrisinizin boyutlarını
soumlyler
raquo a=[ 2 3 4 5 67 8 9 10 11]
raquo s=size(a)s =
2 5
raquo b=[ 17 11 0 30 40 50]
raquo k=length(b)k =
6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
80
a) Toplama-Ccedilıkarma Bir Sayı
ile Ccedilarpma İşlemi
İki matrisi toplamak (veya ccedilıkarmak) demek matrislerin aynı
mertebedeki elemanları teker teker toplayıp (veya ccedilıkarıp ) aynı
mertebeye yazmak demektir
Bu durumda iki matrisin de aynı mertebeden olması gereği accedilıktır
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile toplamak (veya ccedilıkarmak) demek
matrisin elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla toplamak (veya
ccedilıkarmak )demektir
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile ccedilarpmak demek ise matrisin
elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla ccedilarpmak demektir
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
81
82
Oumlrnek
raquo a=[1 2 3 4 5 6]raquo b=[7 8 9 10 11 12]
a ve b toplamıraquo sum=a+bsum =
8 10 1214 16 18
arsquo
yı
brsquo
den ccedilıkarmak
raquo diff=a-bdiff =
-6 -6 -6-6 -6 -6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
83
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] ve b=[3 -3 -41 1 5] matrisleri
veriliyor
a)
c=a+b toplam matrisini
b)
d=a-b matrisini
c)
amatrisinin her elemanınının 5 eksiğine karsılık gelen e
matrisini
d) f=2a-3b matrisini bulduran islemleri yazalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
a) c=a+b b) d=a-b c) e=a-5 d) f=a+a-b-b-b veya
f=2a-3b
84
İki matrisin ccedilarpım islemi iki biccedilimde anlasılır
1)
Aynı
mertebeden iki matrisin elemanlarını
teker teker ccedilarpıp aynı
mertebeye
yazmak demektir Bunu
islemi ile gerccedileklestiririz
2) Matematiksel anlamda iki matrisi ccedilarpmak istediğimizde birinci matris mxn
tuumlruumlnde ve ikinci matris mutlaka nxp tuumlruumlnde olmalıdır yani birinci matrisin
suumltun sayısı
ikinci matrisin satır sayısına eşit olmalıdır
Bu durumda birinci matrisin i suumltun elemanları
ile ikinci matrisin j satırındaki
elemanlar karılıklı
olarak ccedilarpılır ve sonuccedillar toplanır ve bu toplam ccedilarpım
matrisinin (ij) inci mertebeye yazılır
Matrisler arası
ccedilarpma isleminin semboluuml
de dır
b) İki Matrisin Ccedilarpımı Bir Matrisin Kuvvetleri veCcedilarpma İslemi
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
85
3) Bir a matrisinin her bir elemanının n Kuvvetlerinden olusan matrisi
bulmak iccedilin a^n islemi kullanılır
4) Satır ve suumltun sayıları
esit bir kare matrisi ardısık olarak n defa
kendisiyle ccedilarparak a matrisinin n kuvvetini bulabilirizOumlrneğin a matrisinin
karesi iccedilin aa veya a^2 kuumlbuumlnuuml
buldurmak iccedilin aaa veya a^3
doumlrduumlncuuml
kuvvetini buldurmak iccedilin aaaa veya a^4
Not) Bir a matrisinin eleman -elemana ccedilarpma islemine benzer mantıkla bir matrisin tuumlm elemanlarının kareleri kuumlbleri sinuumlsleri kosinuumlsleri logaritmalarından olusan matris bulunmak istenirse bunu sırayla aa (veya a^2) aaa (veya a^3) sin(a) cos(a) etabanında logaritması
iccedilin log(a) 10 tabanında logaritmaları
iccedilin log10(a) Biccediliminde gerccedileklestirebiliriz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
86
a) a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c1 matrisi varsa bulalım
b) a matrisi ile b matrisinin ccedilarpım matrisi olan c2 varsa bulalım
c) a matrisinin elemanları
ile c matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c3 matrisi varsa bulalım
d) a matrisi ile c matrisinin ccedilarpım matrisi olan c4 varsa bulalım
e) a matrisinin elemanlarının karelerinden olusan matris ile b matrisinin
kosinuumlslerinden olusan matrisler toplamını
bulalım
f) x=[1 00 3] matrisinin i) Karesini ii) Kuumlbuumlnuuml
iii) 10
kuvvetini bulalım
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] b=[3 -3 -41 1 5] ve c=[1 0-1 23 3] matrisleri veriliyor
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
87
Ccediloumlzuumlma) iki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirBu durumda c1 matrisi tanımlıdır ve bunu c1=ab islemi ile gerccedileklestirebilirizb) iki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdırHalbuki a matrisi 2x3 b matrisi de 2x3 olduğundan bu iki matris ccedilarpılamazc) İki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirHalbuki bu matrisler aynı mertebeden olmadığından bu iki matris eleman-elemana ccedilarpma islemi
gerccedileklemezd) İki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdıra matrisi 2x3 luumlk c matrisi de 3x2 lik olduğundan bu iki matris ccedilarpılabilir ve c4 ccedilarpım matrisi 2x2 lik bir matris olurc4 ccedilarpım matrisini c4=ac islemi ile buluruze) a^2+cos(b)f) i) x^2 ii) x^3 iii) x^10
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
88
c) Bir Matrisin Devriğini (Transpozesi) Bulma İslemi
Bir matrisin satırlarını suumltun suumltunlarını satır olarak yazılmasıyla
bulunan matrise bu matrisin devriği (transpozesi) denir
Bir matrisin devriğini islemi ile bulabiliriz
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] nın devriğini buldurup d matrisine atayalım
Ccediloumlzuumlm d=a
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
89
Oumlrnek
b=[7 8 9 10 11 12] matrisinin transpozesini bulabilirmisiniz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
c=bc =
7 108 119 12
90
SORU
a=[1 2 3 4 5 6]
c= [710811912]
ise a ve crsquonin ccedilarpım matrisi
kaccediltır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
Ccedilarpma işlemi k=ack=
50 68122 167
91
SORU
a=[1 2 3 4 5 6] b=[7 8 9 10 11 12]
ise a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan x matrisini bulalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
x=abx =
7 16 2740 55 72
92
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
Aynı mertebeden iki matrisin elemanlarını teker teker boumllerek aynı
mertebeye yazılmasına iki matrisin sol boumllmesi denir ve bu islemi ile
yapılır
a b ve c aynı mertebeden kare matrisler olmak uumlzere
c=ab ise a matrisine c nin b matrisine boumlluumlmuuml denir
c boumlluumlm matrisi islemi ile yapılır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
93
HATIRLATMA
2x2 lik i2 adlı birim matrisi i2=eye(22)
3x luumlk i3 adlı birim matrisi i2=eye(33) islemi ile olusturabiiriz
Aynı mertebeden a ve b kare matrisleri iccedilin a ile b nin ccedilarpımı birim matris ise
b matrisi a matrisinin (aynı biccedilimde a matrisi de b matrisinin) ters matrisidir
Oumlrnek
3x3 luumlk bir a kare matrisinin tersini bulmak iccedilin
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
eye(33)a veya inv(a) islemini kullanırız
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
94
Bir Matrisin Determinantı
Determinant kare matrisleri bir sayıya eşleyen fonksiyondur
Determinant fonksiyonunun kare matrisi eşlediği o sayıya matrisin
determinantı denir
A matrisinin determinantı detA veya |A| biccediliminde goumlsterilir
|A| matrislerde mutlak değer anlamına gelmez |A| sıfır veya
negatif de olabilir
det(x)
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
95
KURAL
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
96
Oumlrnek
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Determinant
raquo
deter=det(x)deter =
21
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
97
Oumlrnek Inverse işlemi
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Detx=det(x)=21 ise
raquo y=inv(x)y =
821 121 -521 221
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
98
SORU
a=[2 -10 01 2 43 0 1] matrisi ile b=[1 5 41 -1 20 1 -1] matrisleri veriliyor
a)
a matrisinin elemanlarını
sırasıyla b matrisinin elemanlarına boumllerek elde
edilen matrisi b1 matrisine atayalım
b) a matrisinin ta ters matrisini bulalım
c) a ile ta matrisinin ccedilarpımının 3x3 luumlk birim matris olduğunu goumlsterelim
d) a matrisinin b matrisine boumlluumlmuumlnuuml
b2 matrisine atayalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
99
Ccediloumlzuumlm
a)
b1=ab
b) ta1=eye(33)a veya ta2=inv(a)
c) ata ==eye(33)
d) b2=ab
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
20
who
ccedilalışma alanında hangi değişkenler olduğu
whos
bu değişkenlerin yapıları
goumlruumllmektedir
what
komutu kullanıcı
diskinin halihazır dizininde mevcut M- dosyaları
listesini verir
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
21
clc
Komut penceresindeki satırları
silmeye yarar
clear
Hafızadaki değişkenler silinir
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
22
Matlab Ccedilalışma Dizini penceresindeki ldquo
aşağı
okrdquo
basılarak ccedilalışma dizini seccedililebilir
Current Folderrsquoda ccedilalışmak istenilern directory youmlnlendirilerek hızlı
ulaşım sağlanır
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
23
Current Folder
Matlab dosyalarının kaydedildiği yuumlklendiği dosyaların bulunduğu
klasoumlruuml
(dizin) varsayılan klasoumlr olarak belirlemeye yarar
Aksi belirtilmedikccedile bu klasoumlr CMatlab6p5work gibi bir klasoumlrduumlr
Yada save FMATLAB_UYGkatsayilar a
katsayilarmat olarak kaydedilen a matrisininmatlab kapatılıp accedilıldıktan sonra herhangi bir zamanda geri ccedilağrılmasıiccedilin
load FMATLAB_UYGkatsayilar
komut dizisi kullanılır
Command Windowa save yazılırsa değişkenler ldquomatlabmatrdquo
veri
dosyasına kaydedilmiş olur
Matlabı
kapatıp accedilalım ve matlabmatrsquoı
ccedilağıralım
(File open matlabmat)
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
Oumlrnekgtgt a=[123 579] a = 1 2 3 5 7 9
24
MATLAB Yardım
1 Komut satırına ldquohelprdquo yazılır Bu yardım sunulabilecek konuların listesini sunar
2 help fonksyon-adı
fonksyon iccedilin yardım metnini goumlruumlntuumller
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
25
Matlab MasaUumlstuuml
Yeni M- Dosyası
Dosya Accedil Help Desk
Kayıtlı
Matlab Fonksyonu kayıt dosyası(mat) modeli figuumlruuml
ve GUI arayuumlzluuml
fonksyonları
accedilar
Veri dosyalarını
accedilar
Ccedilalışma ortamını
kaydeder
Farklı
ccedilalışma dizinini Matlaba tanıtır
Matlab arayuumlzuumlnuuml
ayarlar
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
26
Başlat Duumlğmesi
Matlab araccedil
kutuları Matlab
uygulamalarına eklenti olarak
hazırlanan ve hazır fonksyonları iccedileren paketlerdir
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
27
Başlat Duumlğmesi
Start Duumlğmesi tuumlm matlab uygulamalarına accedilılan kısayolları
iccedilermektedir
Matlab Uygulamaları
iccedilin kısa yol
Araccedil
kutularıSimulinkUy
gulaması
Demolar
Veri Sihirbazı
GUI Hazırlayıcı
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
28
Matlaba Veri Alma
Programa dışarıdan resim film veri ses dosyalarını
matris formatına ccedilevirerek bir değişken olarak atamada kullanılır
File Import Data
Oumlrnek Exel dosyası
alma
Exelde bir matrix oluşturup matlabdan import ile alınız
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
29
Matlabda Temel Kavramlar
Tuumlm programlama dillerinde olduğu gibi (Fortran C Pascal Basic vs)
Matlabın da oumlzel anlam tasıyan bazı kelimeleri vardır ki bu kelimeler değisken
olarak kullanılamazlar
Bu tuumlr kelimelere anahtar kelime (keywords) denir
Bu kelimelerin bir listesini almak iccedilin komut satırına
iskeyword komutunu yazarak elde edebiliriz
Bu kelimeler
breaklsquo case catch continue else elseif endlsquo for function global
if otherwiselsquo persistent return switch try while
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
30
Programın dili ve yardım bilgileri tamamen ingilizcedir
Kuumlccediluumlk-buumlyuumlk harf ayrımı vardır
Oumlrneğin dscrite DSCRITE ve Dscrite atamaları farklı şekilde
algılanır
Eğer istenirse ldquocasesen offrdquokomutu ile bu durum sona
erdirilebilir
raquo işareti komut promptrsquoudur
Komutlar Enter ile yuumlruumltuumlluumlr
2 Matlab Kullanımında Temel Kurallar
Matlab
31
Genel komutların isimleri ve accedilıklamaları
2 Matlab Kullanımında Temel KurallarMATLAB
32
2 Matlab Kullanımında Temel KurallarMATLAB
MATLAB kontroluumlnuuml
kullanabilmeniz iccedilin oumlzel karakterlere sahiptir Bu karakterlerin bir oumlzeti
33
2 Matlab Kullanımında Temel KurallarMatlab
34
2 Matlab Kullanımında Temel KurallarMatlab
35
İFADELER Matematiksel ve metinsel goumlsterimler ile işlemler ifadelerlesağlanır
Sayılar (Numbers)Değişkenler (Variables)İşleccediller (Operators)Fonksiyonlar (Functions)
Matlabrsquode ifadeler genellikle değişken = ifade veya sadece ifade formundadır
Sayısal Analiz
x = 4 sqrt(5) İfade
değişkensayı işleccedil fonksiyon
Bir ifade = işareti ile bir değişkene atanmamış
ise Matlab otomatik olarak sonucu ans (answer)
adı
verilen oumlzel bir değişkende saklar
3 MATRİSLER
36
o
Birden
fazla ifade
tek satırda aralarına
ya da koyarak yazılabilir
o
Yazımda
boşluk
sayısı
etkisizdir
o
Sadece
ilgili
değişken
adını
yazarak
o değişkeni ccedilağırabilirsiniz
MATRİSLER31 İFADELER
37
o MATLABrsquoda herhangi bir tip tanımlaması
veya boyut ifadesine gerek yoktur
o
MATLAB yeni bir değişken ismi ile karşılaştığında otomatik olarak ans isminde
bir değişken oluşturur ve uygun bir bellek miktarı
ayırır
oEğer değişken zaten varsa MATLAB gerekli bir bellek ayırdığında iccedileriği değişir
Oumlrneğin
o ogrenci_sayı=51
32 DeğişlenlerMatlab
Değisken
değeri değisebilen bellek alanına isaret eden değerlere
38
MATLAB değişken girişleri iccedilin ccedileşitli kurallara sahiptir
Her değişken bir harfle başlamak zorundadır
Program buumlyuumlk kuumlccediluumlk harf duyarlıdır X ve x farklı değişkenleri ifade eder
Program 31 basamağa kadar duyarlıdır Bu basamaktan sonrasını yok sayar
Dolayısıyla 31 basamaktan uzun değişken isimleri karışıklık yaratabilir
32 DeğişlenlerMatlab
39
Değiskenlere Değer Atama
Her hangi bir programlama dilinde olduğu gibi Matlabrsquoda da bir değiskene
değer verme islemine rdquodeğer atamakrdquo denir
Bir değiskene atanan değer değistirilmediği suumlrece aynı kalır
Değer atamanın genel kullanımı asağıdaki biccediliminde olur
ltDeğisken adıgt=ltAtanacak değergt
32 DeğişlenlerMatlab
40
Oumlrnek 2
A=6i-7 A değişkenine skaler bir değer atar
B=A 7
B değişkenine A değişkeninin 17 si atanmıştır
C=[3 4 5 6]
4 elemanlı
bir satır vektoumlruuml
atanmıştır
NOT
Dizi girişinde herhangi bir satıra ait elemanlar aralarına boşluk veya virguumll ldquordquo konularak ayrılır
Dizinin diğer bir satırına başlamak iccedilin biten satır sonuna konulur
32 DeğişlenlerMatlab
41
oMATLABrsquoda sayılar yaygın olarak kullanılan onluk tabanda ifade edilirler
o
Bunun yanısıra onluk tabanda uumlstel olarak veya i veya j olarak kompleks sayı biccedilimlerinde de ifade edilebilirler
oOumlrnek olarak
33 Sayılar
Matlab da i
ve j
başka tuumlrluuml
tanımlanmamışsa kompleks i sayısını
goumlsterir 3e5 sayısıda 3105
anlamındadır
MATRİSLER
42
o
Ondalık sayılar Tuumlrkccedilemizdeki
35 yerine
35 şeklinde
goumlsterilir
(00001 veya 963
065 yerine 65)
o
Bilimsel
notasyon
goumlsterimi olan e
(veya E) harfi
10rsquonun kuvvetini
temsil eder
o 2e4=2104=2000 veya
165e-20=16510-20
demektir
o
Kompleks
sayılarda
imajiner
(sanal) kısımlar
i
veya
j
ekini
alır
i veya
j
ile
gosterimlerinde
bir
fark
yoktur
o (1+3i veya 1+3i veya 1+i3) 1+sqrt(3)j
-5i
o
Matlabrsquode
tuumlm
sayılar yaklaşık 210308 ve
210-308 arasında
değişir
33 Sayılar
MATRİSLER
43
Sayı
Formatları
33 SayılarMatlabMATRİSLER
44
oMatlabda bir ccedilok eylem doumlrt islem ve matematiksel bazı
islemler
yaptırabiliriz
oBunun iccedilin ya ilgili komutları
komut penceresinden teker teker girerek veya
ilgili komutları
bir dosyaya yazıp o dosyayı
ccedilağırarak ccedilalıstırabiliriz
oİşlemleri yaptırırken sayıları
reel sayı
ya da karmasık sayı
olarak alabiliriz
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
45
Matematiksel ifadeleri oluşturmak iccedilin operatoumlrler ve oumlnceden tanımlanmış sembolleri kullanabilirsiniz
oOperatoumlrler oumlzetle şunlardır
oMatrislerle yapılan işlemlerde boumllme işlemi iccedilin iki farklı
sembol kullanılmaktadıroBunun yanında eğer sayılar skaler ise iki boumllme işleminin sonucu da aynı
değeri
goumlsterecektiroOumlrneğin 32 ile 23 ifadelerinin sonuccedilları
aynı
olup 15rsquodir
raquo 4+83ndash2ans =26
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
46
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
x=a + b
Bu ifadede a ve b nin toplandığı
ve x değişkeni iccedilinde saklandığıbelirtilmektedir
47
Aritmetiksel İşlemlerde Oumlncelik Durumu
oTek bir aritmetiksel durum iccedilinde birden fazla durum bir arada bulunabildiğine goumlre
hangi işlemin oumlncelik hakkına sahip olunduğunun
bilinmelidir
oMATLABrsquoda kullanılan işlemlerde işlemlerin oumlncelik
listesi
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
bazı
temel matematiksel fonksiyonların accedilıklamaları
48
o
MATLABrsquo
da işlemler soldan sağa işlerlero
İşlemler arası
oumlncelik sırası
aşağıdaki gibidir
1 ^
(Yuumlksek)2
darr
3 + -
(Duumlşuumlk)
raquo 3^(2ndash5)-632 raquo 3^2ndash5ndash632ans = ans =
mdash39630 0
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
49
35 FonksyonlarMATRİSLER
o MATLABrsquoın ccedilok guumlccedilluuml
ve ccedilok kapsamlı
bir fonksiyon yapısı
vardır
oMATLABrsquoda bazı
fonksiyonlar daha oumlnceden yerleştirilmiş
bazıları
ise sonradan
dışarıdan yerleştirilmiş
M-dosyalarından oluşan MATLAB kuumltuumlphanelerinde
tanımlanmışlardır
oBunun yanında oumlzel uygulamalar iccedilin kullanıcıların kendi fonksiyonlarını
yazarak
kendi kuumltuumlphanelerini oluşturması
muumlmkuumlnduumlr
MATLABrsquoda mevcut analitik fonksiyonları
genel olarak aşağıdaki kategorilere ayırabiliriz oTemel matematiksel fonksiyonlaroOumlzel fonksiyonlaroTemel matrisler ve matris işlemlerioMatrisleri ccedilarpanlarına ayırmaoVeri analizlerioPolinomlaroDiferansiyel denklem ccediloumlzuumlmlerioLineer olmayan denklemler ve optimizasyonoSayısal integral hesaplamalarıoSinyal işleme
50
Matematiksel Fonksiyonlar
bazı
temel matematiksel fonksiyonların accedilıklamaları
35 FonksyonlarMATRİSLER
Oumlrnekgtgtexp(1)ans=27183gtgtfix(35)ans=3gtgtceil(35)ans=4gtgtround(35)ans=4
51
Matlabda oumlnceden tanımlanmıs bazı
sabitlerdirBunlar aşağıdaki tabloda goumlsterilmistir
36 Oumlzel SabitlerMatlab
52
Oumlrnekler
1)
a=1
2)
a=rsquoİstanbulrsquo
3)
a=5b=7c=a+b
4) a=5b=-3c=a+2ba=a+b
5)
num=23-5^2 x=num2 y=x+10
7 Sabitler Değiskenler ve Metin KatarlarıMatlab
53
Oumlrnek
Komut satırına
a)
sin(30)
b)
sin(30pi180) yazınız sonuccedilları
inceleyiniz
35 FonksyonlarMATRİSLER
Cevapa) -09880 sonucu goumlruumlluumlr ki bu 30deg
nin sinuumlsuumlnde n farklıdır Ccediluumlnkuuml
bu 30deg
derece değil 30 radyanın sinuumlsuumlduumlrb) 05000 sonucu goumlruumlluumlr ki bu da 30deg
nin sinuumlsuumld uumlr O halde bir
sayının trigonometrik değerini buldurmak iccedilin oumlnce pi ile ccedilarpıp 180 e boumllerek accedilıyı
radyan ccedilevirip sonra trigonometrik değerini
hesaplatabiliriz
54
oVektoumlrler tek boyutlu sayı
dizileridir
oElemanlarının sıralanma youmlnlerine goumlre suumltun veya satır vektoumlruuml
adlarını alırlar
ovektoumlrler [ ] koumlşeli parantezleri ile tanımlanır
ofarklı
yolla tanımlanabilirler
4 VektoumlrlerMatlab
A = [4 12 -8 6]A = [4 12 -8 6]
B = [1 2 4 6]
Satır Vektoumlruuml
Suumltun Vektoumlruumlgtgt b=[1 2 4 6 ]
55
4 VektoumlrlerMatlab
ovektoumlr boyutları
buumlyuumlduumlkccedile manuel olarak tanıtım işlemi oldukccedila zorlaşmaktadır
oOumlzellikle belli bir artıma sahip vektoumlrlerin oluşturulmasında () operatoumlruuml kullanılmaktadır
C = [-105150]
Son değerBaşlangıccedil değeri Artış
miktarı
Drsquo
= [30-10-30]
Suumltun Vektoumlruuml
56
Vektoumlr indisleri
4 VektoumlrlerMatlab
Bir vektoumlruumln elemanlarına atanılan değer değişkenler editoumlruuml
veya eleman adresi vasıtasıyla değiştirilebilir
OumlrnekA = [4 12 -8 6]1 A vektoumlruumlnuumln 3 elemanını
27 ile değiştiriniz
2 Benzer şekilde A vektoumlruumlnuumln 2 elemanını
siliniz 3 A(9) = 12
Ccediloumlzuumlm1 A(3) = 272 Vektoumlruumln elemanına [ ] değeri atandığında eleman silinirA(2) = [ ]3 gtgt A(9) = 12
A= [ 4 27 6]
A =[ 2 27 7 0 0 0 0 0 12]
57
raquo x=[17 8 61 83 56]
Şeklindeki bir matrisin uumlccediluumlncuuml
elemanına erişmek istenirse
raquo c=x(3)
c =
61
Eğer bir blok şeklinde veriye erişilmek istenirse
raquo x(24)
ans =
8 61 83
Her matristeki herhangi bir elman grubuna erişilmek istenirse
raquo x([3 1 4])
ans =
61 17 83
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
58
Bir diziye duumlzenli artıs (veya azalıs) kuralıyla değerler atanmak isteniyorsa
bunu
ilk_değerartısson değer veya ilk_değerartısson değer
biccediliminde yapabiliriz
Ancak artıs 1 ise belirtilmeyebilirOumlrnekortalama adlı
bir diziye 0 dan 5 e kadar 05 er artısla elde edilen sayı
dizisini atayanortalama=[0055]
Siz 1 satır 7 den den 17 ye kadar olan tam sayılar 2 satırı
99 dan 89 a kadar azalan tam sayılardan olusan 2 boyutlu m dizisine atayan islemleri yazınız
Dizilerin Değerlerinin Değistirilmesi ve Duumlzenlenmesi
4 VektoumlrlerMatlab
59
4 VektoumlrlerMatlab
60
Sayılardan olusan satır ve suumltun yapısına matris (dizi) denir
Oumlrneğin
d1=[5] 1x1 lik
d2=[ 2 -7] 1x2 lik
d3= [1 0 -3 ]
[ 5 3 1 ]
2x3 luumlk bir dizidir
Oumlrnekx=[1 7 18 5]Ya daraquo x=[ 1
7185 ]
Biccedilimlerinde girilebilir
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
61
Dizilerin Değerlerinin Değistirilmesi ve DuumlzenlenmesiBir dizinin herhangi bir elemanını belirlemek iccedilin dizi adından hemen sonra
parantez iccedilinde elemanın bulunduğu satır ve suumltun sayısı yazılmalıdır
Oumlrnek 1 d2=[2 -7]d2 dizisinin -7 elemanını
goumlruumlntuumllemek iccedilin
d2(12)
2 d3=[1 0 -35 3 1]d3 dizisinin 2 satır 1 suumltununda bulunan 5 in değerinin -75 olması
iccedilin
d3(21)=-75
Not1) Bir dizinin bir ccedilok elemanını
yeniden değer atamak gerekirse komut satırından atama yapmak uzun zaman alabilirBu durumda dizi değiskeninin uumlzerine ccedilift tıklayarak accedilılan dizi editoumlruuml
(array edit) yardımıyla değisiklikleri daha kolay yapabiliriz
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
62
8 Matrisler(Dizi)Matlab
Bir matrisi girerken o1 Elemanlar baştan ve sondan koumlşeli parantezlerle kapatılıro2 Elemanların arasına boşluk veya virguumll konuluro3 Matris satırlarını
ayırmak iccedilin de noktalı
virguumll kullanılır
okurallarına dikkate alınmalıdır
Oumlrneğin
A = [1 2 3 4 5 6]A =
1 2 34 5 6
şeklinde veriler matrisler biccediliminde tanımlanır MATLAB daha sonra kullanılmak uumlzere verileri A matrisinde saklar
63
Matris elemanları
rasgele rakamlardan oluşabileceği gibi MATLABrsquoın deyimlerinden de oluşabilir
51 Matrislerde ElemanlarMatlab
Oumlrneğin
a=[-13 sqrt(3) (1+2+3)475]
a= -13000 17321 48000
Kuumlccediluumlk matrisleri eleman olarak kullanıp daha buumlyuumlk matrisler oluşturmak muumlmkuumlnduumlr
OumlrneğinM=[1 3 5
7 8 9] matrisine
aşağıda goumlsterildiği şekilde bir satır eklemesi yapabilir
M=[M[10 13 15]]
Bu durumda M matrisiM=[1 3 5
7 8 910 13 15]
durumunu alır
64
İki nokta uumlst uumlste () kullanarak buumlyuumlk matrislerin belli bir kısmını
kullanabiliriz
ya da diğer ifade ile bu matrisi kuumlccediluumlltebiliriz
Oumlrneğin
M=M(12) bildirimi M matrisinin ilk iki satırını
alarak M matrisi
olarak saklar
Oumlrnek
M=[8 -4 7 66 -7 8 9 4 5 134] ise
M=M(12) =
8 1 Matrislerde ElemanlarMatlab
65
MATLABrsquoda kullanıcı
verileri kendi oluşturacağı
matrisler ile tanımlayabileceği gibi MATLABrsquoın kendi oumlzel matrislerinden de istifade edilebilir
52 Genel MatrislerMatlab
66
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
a) Sıfır Matrisi Olusturan Fonksiyon
Her elemanı sıfır olan mxn boyutunda bir matrise sıfır matrisi denir
Boumlyle bir dizi olusturmak iccedilin zeros fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=zeros(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
3x5 boyutunda s adlı
sıfır matrisi iccedilin
s=zeros(35)
52 Genel MatrislerMatlab
67
b) 1 lerden Olusan Matris
Her elemanı 1 olan mxn boyutunda bir matrisi olusturmak iccedilin ones
fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matria_adı=ones(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
2x3 boyutunda b adlı
tuumlm elemanları
1 olan matrisi olusturalım
b=ones(23)
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
52 Genel MatrislerMatlab
68
c) Birim Matrisi Olusturan Fonksiyon
Esas koumlsegeni 1 lerden diğer elemanları 0 lardan olusan kare matrise (satır
ve suumltun sayısı esit olan ) birim matrisi
kare olmayan matrise de diyagonal matris denir
Boumlyle matrisleri olusturmak iccedilin eye fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=eye(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
a)
3x3 luumlk birim matris
b) 4x3 lluumlk diyagonal matris olusturalım
Ccediloumlzuumlma) i=eye(33) b) d=eye(43)
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar52 Genel MatrislerMatlab
69
d) Rastgele Sayılardan Olusan Matris ve Fonksiyonu
Elemanları 0 ile 1 arasındaki rastgele sayılardan olusan bir matris iccedilin
rand fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=rand(mn) biccedilimindedir(msatırnsuumltun)
Not 1) Uumlretilen matrisin tuumlm elemanlarını k gibi bir sayı ile ccedilarparak
sayıları 0 ile k arasına ccedilekebiliriz
Not 2) Ondalıklı sayılardan olusmus bir matrisin elemanlarını
yuvarlayıp tam sayı yapmak iccedilin round fonksiyonunu kullanırız
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar52 Genel MatrislerMatlab
70
Oumlrnek
a) 0 ile 1 arasında rastgele sayılardan olusan 10 elemanlı
a adında bir satır
matrisi olusturalım
b) Elemanları
10 ile 50 arasında sayılardan olusan 5x3 tipinde b matrisini
olusturalım
c) Elemanları
50 ile 300 arasındaki tamsayılardan olusan 3x4 tipinde c matrisini
olusturalım
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
d) Rastgele Sayılardan Olusan Matris ve Fonksiyonu
52 Genel MatrislerMatlab
71
Ccediloumlzuumlm
a)
a=rand(110)
b)
b=10+rand(53)40
c) c=round(50+rand(34)250)
52 Genel MatrislerMatlab
72
e) Rastgele Sayılardan Olusan Normal Dağılımlı
Matris veFonksiyonu
Elemanları rasstgele sayılardan olusan bir normal dağılımlı bir matris iccedilin
randn fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=randn(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek Rastgele sayılardan olusan normal dağılımlı 2x3 luumlk bir n matrisini
olusturalım
Ccediloumlzuumlm n=randn(23)
52 Genel MatrislerMatlab
73
f) Lineer Aralıklı
(Aritmetik) Dizi ve Fonksiyonu
Baslangıccedil ve biis değerleri ve kaccedil elemandan olusacağı belirlenen diziyi
olusturmak iccedilin linspace fonksiyonu kullanılır
Kullanımı
dizi_adı=linspace(ilk_değerson_değereleman_sayısı)
biccedilimindedir
52 Genel MatrislerMatlab
74
Oumlrnek 10 ile 30 arasına 9 tane daha sayı
koyarak aadında bir aritmetik dizi olusturalım
f) Lineer Aralıklı
(Aritmetik) Dizi ve Fonksiyonu
52 Genel MatrislerMatlab
Cevapa=linspace(103011)
75
Elimizdeki grubun her elemanı iccedilin bir matematik işlemi yapıp bunu yeni bir
diziye atarken herhangi bir sorun yoktur
Fakat iki farklı grupla işlemler yaparken dikkat etmemiz gereken genel
kurallar vardır
Oumlrneğin toplama ve ccedilıkarma yaparken iki dizinin de buumlyuumlkluumlğuumlnuumln eşit
olması gerekmektedir
Ayrıca iki farklı dizinin elemanları arasında birebir işlem yapmak iccedilin
matematik operatoumlruumlnuumln başına nokta() koymak gerekir
Bu durumda her bir elemanı diğer dizinin o sıradaki elmanı ile işleme
sokacaktır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
76
Birden fazla satır ve suumltuna sahip vektoumlrlere matris denir Noktalı
virguumll ()
işareti ile kolonları
ve virguumlle işareti ya da boşluk
bırakarak da bir sıradaki elemanları
ayırabilirizOumlrnekraquo x=[ 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14]x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14Yukarıdaki 3x4 boyutunda bir matristir MATLAB programına aşağıdaki
gibi de sunulabilirraquo x=[ 3 4 5 6
7 8 9 1011 12 13 14]
x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
77
Matristeki herhangi bir elemana direk ulaşmak iccedilin aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(23)=9
Eğer isteğimiz eriştiğimiz bir elemanı
değiştirmek veya yeni bir satır eklemek ise aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(41)=1x =
3 4 5 67 8 9 1011 12 13 141 0 0 0
Bu durumda doumlrduumlncuuml
satır ilk elemanını
biz 1 değerini atadık ve diğer elemanları
kendiliğinden ldquo0rdquo
olarak atadı
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
78
İki nokta uumlst uumlste () kullanılarak belirli aralıkta değişen matrisler yaratılabilir
raquo x=[127 3-10 -12]x =
1 3 5 73 2 1 0
-1 0 1 2Bir matrisin herhangi bir boumlluumlmuumlnuuml
seccedilmek iccedilin ise aşağıdaki goumlsterim
kullanılırraquo z=x(23 12)z =
3 2-1 0
Bu durumda z matris x matrisinin 2 ve 3 norsquo
lu satırlarından 1 ve 2 norsquo
lu suumltunlarını
almış
oluyor
Herhangi bir satır veya suumltunu tamamen silmek istersek o satır ve suumltunu seccedilip ldquo[]rdquo
ifadesine eşitleriz
raquo z(2)=[ ]z =
3 -1
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
79
Matlab size ve length komutları
yardımı
ile size matrisinizin boyutlarını
soumlyler
raquo a=[ 2 3 4 5 67 8 9 10 11]
raquo s=size(a)s =
2 5
raquo b=[ 17 11 0 30 40 50]
raquo k=length(b)k =
6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
80
a) Toplama-Ccedilıkarma Bir Sayı
ile Ccedilarpma İşlemi
İki matrisi toplamak (veya ccedilıkarmak) demek matrislerin aynı
mertebedeki elemanları teker teker toplayıp (veya ccedilıkarıp ) aynı
mertebeye yazmak demektir
Bu durumda iki matrisin de aynı mertebeden olması gereği accedilıktır
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile toplamak (veya ccedilıkarmak) demek
matrisin elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla toplamak (veya
ccedilıkarmak )demektir
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile ccedilarpmak demek ise matrisin
elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla ccedilarpmak demektir
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
81
82
Oumlrnek
raquo a=[1 2 3 4 5 6]raquo b=[7 8 9 10 11 12]
a ve b toplamıraquo sum=a+bsum =
8 10 1214 16 18
arsquo
yı
brsquo
den ccedilıkarmak
raquo diff=a-bdiff =
-6 -6 -6-6 -6 -6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
83
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] ve b=[3 -3 -41 1 5] matrisleri
veriliyor
a)
c=a+b toplam matrisini
b)
d=a-b matrisini
c)
amatrisinin her elemanınının 5 eksiğine karsılık gelen e
matrisini
d) f=2a-3b matrisini bulduran islemleri yazalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
a) c=a+b b) d=a-b c) e=a-5 d) f=a+a-b-b-b veya
f=2a-3b
84
İki matrisin ccedilarpım islemi iki biccedilimde anlasılır
1)
Aynı
mertebeden iki matrisin elemanlarını
teker teker ccedilarpıp aynı
mertebeye
yazmak demektir Bunu
islemi ile gerccedileklestiririz
2) Matematiksel anlamda iki matrisi ccedilarpmak istediğimizde birinci matris mxn
tuumlruumlnde ve ikinci matris mutlaka nxp tuumlruumlnde olmalıdır yani birinci matrisin
suumltun sayısı
ikinci matrisin satır sayısına eşit olmalıdır
Bu durumda birinci matrisin i suumltun elemanları
ile ikinci matrisin j satırındaki
elemanlar karılıklı
olarak ccedilarpılır ve sonuccedillar toplanır ve bu toplam ccedilarpım
matrisinin (ij) inci mertebeye yazılır
Matrisler arası
ccedilarpma isleminin semboluuml
de dır
b) İki Matrisin Ccedilarpımı Bir Matrisin Kuvvetleri veCcedilarpma İslemi
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
85
3) Bir a matrisinin her bir elemanının n Kuvvetlerinden olusan matrisi
bulmak iccedilin a^n islemi kullanılır
4) Satır ve suumltun sayıları
esit bir kare matrisi ardısık olarak n defa
kendisiyle ccedilarparak a matrisinin n kuvvetini bulabilirizOumlrneğin a matrisinin
karesi iccedilin aa veya a^2 kuumlbuumlnuuml
buldurmak iccedilin aaa veya a^3
doumlrduumlncuuml
kuvvetini buldurmak iccedilin aaaa veya a^4
Not) Bir a matrisinin eleman -elemana ccedilarpma islemine benzer mantıkla bir matrisin tuumlm elemanlarının kareleri kuumlbleri sinuumlsleri kosinuumlsleri logaritmalarından olusan matris bulunmak istenirse bunu sırayla aa (veya a^2) aaa (veya a^3) sin(a) cos(a) etabanında logaritması
iccedilin log(a) 10 tabanında logaritmaları
iccedilin log10(a) Biccediliminde gerccedileklestirebiliriz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
86
a) a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c1 matrisi varsa bulalım
b) a matrisi ile b matrisinin ccedilarpım matrisi olan c2 varsa bulalım
c) a matrisinin elemanları
ile c matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c3 matrisi varsa bulalım
d) a matrisi ile c matrisinin ccedilarpım matrisi olan c4 varsa bulalım
e) a matrisinin elemanlarının karelerinden olusan matris ile b matrisinin
kosinuumlslerinden olusan matrisler toplamını
bulalım
f) x=[1 00 3] matrisinin i) Karesini ii) Kuumlbuumlnuuml
iii) 10
kuvvetini bulalım
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] b=[3 -3 -41 1 5] ve c=[1 0-1 23 3] matrisleri veriliyor
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
87
Ccediloumlzuumlma) iki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirBu durumda c1 matrisi tanımlıdır ve bunu c1=ab islemi ile gerccedileklestirebilirizb) iki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdırHalbuki a matrisi 2x3 b matrisi de 2x3 olduğundan bu iki matris ccedilarpılamazc) İki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirHalbuki bu matrisler aynı mertebeden olmadığından bu iki matris eleman-elemana ccedilarpma islemi
gerccedileklemezd) İki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdıra matrisi 2x3 luumlk c matrisi de 3x2 lik olduğundan bu iki matris ccedilarpılabilir ve c4 ccedilarpım matrisi 2x2 lik bir matris olurc4 ccedilarpım matrisini c4=ac islemi ile buluruze) a^2+cos(b)f) i) x^2 ii) x^3 iii) x^10
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
88
c) Bir Matrisin Devriğini (Transpozesi) Bulma İslemi
Bir matrisin satırlarını suumltun suumltunlarını satır olarak yazılmasıyla
bulunan matrise bu matrisin devriği (transpozesi) denir
Bir matrisin devriğini islemi ile bulabiliriz
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] nın devriğini buldurup d matrisine atayalım
Ccediloumlzuumlm d=a
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
89
Oumlrnek
b=[7 8 9 10 11 12] matrisinin transpozesini bulabilirmisiniz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
c=bc =
7 108 119 12
90
SORU
a=[1 2 3 4 5 6]
c= [710811912]
ise a ve crsquonin ccedilarpım matrisi
kaccediltır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
Ccedilarpma işlemi k=ack=
50 68122 167
91
SORU
a=[1 2 3 4 5 6] b=[7 8 9 10 11 12]
ise a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan x matrisini bulalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
x=abx =
7 16 2740 55 72
92
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
Aynı mertebeden iki matrisin elemanlarını teker teker boumllerek aynı
mertebeye yazılmasına iki matrisin sol boumllmesi denir ve bu islemi ile
yapılır
a b ve c aynı mertebeden kare matrisler olmak uumlzere
c=ab ise a matrisine c nin b matrisine boumlluumlmuuml denir
c boumlluumlm matrisi islemi ile yapılır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
93
HATIRLATMA
2x2 lik i2 adlı birim matrisi i2=eye(22)
3x luumlk i3 adlı birim matrisi i2=eye(33) islemi ile olusturabiiriz
Aynı mertebeden a ve b kare matrisleri iccedilin a ile b nin ccedilarpımı birim matris ise
b matrisi a matrisinin (aynı biccedilimde a matrisi de b matrisinin) ters matrisidir
Oumlrnek
3x3 luumlk bir a kare matrisinin tersini bulmak iccedilin
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
eye(33)a veya inv(a) islemini kullanırız
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
94
Bir Matrisin Determinantı
Determinant kare matrisleri bir sayıya eşleyen fonksiyondur
Determinant fonksiyonunun kare matrisi eşlediği o sayıya matrisin
determinantı denir
A matrisinin determinantı detA veya |A| biccediliminde goumlsterilir
|A| matrislerde mutlak değer anlamına gelmez |A| sıfır veya
negatif de olabilir
det(x)
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
95
KURAL
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
96
Oumlrnek
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Determinant
raquo
deter=det(x)deter =
21
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
97
Oumlrnek Inverse işlemi
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Detx=det(x)=21 ise
raquo y=inv(x)y =
821 121 -521 221
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
98
SORU
a=[2 -10 01 2 43 0 1] matrisi ile b=[1 5 41 -1 20 1 -1] matrisleri veriliyor
a)
a matrisinin elemanlarını
sırasıyla b matrisinin elemanlarına boumllerek elde
edilen matrisi b1 matrisine atayalım
b) a matrisinin ta ters matrisini bulalım
c) a ile ta matrisinin ccedilarpımının 3x3 luumlk birim matris olduğunu goumlsterelim
d) a matrisinin b matrisine boumlluumlmuumlnuuml
b2 matrisine atayalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
99
Ccediloumlzuumlm
a)
b1=ab
b) ta1=eye(33)a veya ta2=inv(a)
c) ata ==eye(33)
d) b2=ab
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
21
clc
Komut penceresindeki satırları
silmeye yarar
clear
Hafızadaki değişkenler silinir
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
22
Matlab Ccedilalışma Dizini penceresindeki ldquo
aşağı
okrdquo
basılarak ccedilalışma dizini seccedililebilir
Current Folderrsquoda ccedilalışmak istenilern directory youmlnlendirilerek hızlı
ulaşım sağlanır
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
23
Current Folder
Matlab dosyalarının kaydedildiği yuumlklendiği dosyaların bulunduğu
klasoumlruuml
(dizin) varsayılan klasoumlr olarak belirlemeye yarar
Aksi belirtilmedikccedile bu klasoumlr CMatlab6p5work gibi bir klasoumlrduumlr
Yada save FMATLAB_UYGkatsayilar a
katsayilarmat olarak kaydedilen a matrisininmatlab kapatılıp accedilıldıktan sonra herhangi bir zamanda geri ccedilağrılmasıiccedilin
load FMATLAB_UYGkatsayilar
komut dizisi kullanılır
Command Windowa save yazılırsa değişkenler ldquomatlabmatrdquo
veri
dosyasına kaydedilmiş olur
Matlabı
kapatıp accedilalım ve matlabmatrsquoı
ccedilağıralım
(File open matlabmat)
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
Oumlrnekgtgt a=[123 579] a = 1 2 3 5 7 9
24
MATLAB Yardım
1 Komut satırına ldquohelprdquo yazılır Bu yardım sunulabilecek konuların listesini sunar
2 help fonksyon-adı
fonksyon iccedilin yardım metnini goumlruumlntuumller
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
25
Matlab MasaUumlstuuml
Yeni M- Dosyası
Dosya Accedil Help Desk
Kayıtlı
Matlab Fonksyonu kayıt dosyası(mat) modeli figuumlruuml
ve GUI arayuumlzluuml
fonksyonları
accedilar
Veri dosyalarını
accedilar
Ccedilalışma ortamını
kaydeder
Farklı
ccedilalışma dizinini Matlaba tanıtır
Matlab arayuumlzuumlnuuml
ayarlar
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
26
Başlat Duumlğmesi
Matlab araccedil
kutuları Matlab
uygulamalarına eklenti olarak
hazırlanan ve hazır fonksyonları iccedileren paketlerdir
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
27
Başlat Duumlğmesi
Start Duumlğmesi tuumlm matlab uygulamalarına accedilılan kısayolları
iccedilermektedir
Matlab Uygulamaları
iccedilin kısa yol
Araccedil
kutularıSimulinkUy
gulaması
Demolar
Veri Sihirbazı
GUI Hazırlayıcı
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
28
Matlaba Veri Alma
Programa dışarıdan resim film veri ses dosyalarını
matris formatına ccedilevirerek bir değişken olarak atamada kullanılır
File Import Data
Oumlrnek Exel dosyası
alma
Exelde bir matrix oluşturup matlabdan import ile alınız
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
29
Matlabda Temel Kavramlar
Tuumlm programlama dillerinde olduğu gibi (Fortran C Pascal Basic vs)
Matlabın da oumlzel anlam tasıyan bazı kelimeleri vardır ki bu kelimeler değisken
olarak kullanılamazlar
Bu tuumlr kelimelere anahtar kelime (keywords) denir
Bu kelimelerin bir listesini almak iccedilin komut satırına
iskeyword komutunu yazarak elde edebiliriz
Bu kelimeler
breaklsquo case catch continue else elseif endlsquo for function global
if otherwiselsquo persistent return switch try while
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
30
Programın dili ve yardım bilgileri tamamen ingilizcedir
Kuumlccediluumlk-buumlyuumlk harf ayrımı vardır
Oumlrneğin dscrite DSCRITE ve Dscrite atamaları farklı şekilde
algılanır
Eğer istenirse ldquocasesen offrdquokomutu ile bu durum sona
erdirilebilir
raquo işareti komut promptrsquoudur
Komutlar Enter ile yuumlruumltuumlluumlr
2 Matlab Kullanımında Temel Kurallar
Matlab
31
Genel komutların isimleri ve accedilıklamaları
2 Matlab Kullanımında Temel KurallarMATLAB
32
2 Matlab Kullanımında Temel KurallarMATLAB
MATLAB kontroluumlnuuml
kullanabilmeniz iccedilin oumlzel karakterlere sahiptir Bu karakterlerin bir oumlzeti
33
2 Matlab Kullanımında Temel KurallarMatlab
34
2 Matlab Kullanımında Temel KurallarMatlab
35
İFADELER Matematiksel ve metinsel goumlsterimler ile işlemler ifadelerlesağlanır
Sayılar (Numbers)Değişkenler (Variables)İşleccediller (Operators)Fonksiyonlar (Functions)
Matlabrsquode ifadeler genellikle değişken = ifade veya sadece ifade formundadır
Sayısal Analiz
x = 4 sqrt(5) İfade
değişkensayı işleccedil fonksiyon
Bir ifade = işareti ile bir değişkene atanmamış
ise Matlab otomatik olarak sonucu ans (answer)
adı
verilen oumlzel bir değişkende saklar
3 MATRİSLER
36
o
Birden
fazla ifade
tek satırda aralarına
ya da koyarak yazılabilir
o
Yazımda
boşluk
sayısı
etkisizdir
o
Sadece
ilgili
değişken
adını
yazarak
o değişkeni ccedilağırabilirsiniz
MATRİSLER31 İFADELER
37
o MATLABrsquoda herhangi bir tip tanımlaması
veya boyut ifadesine gerek yoktur
o
MATLAB yeni bir değişken ismi ile karşılaştığında otomatik olarak ans isminde
bir değişken oluşturur ve uygun bir bellek miktarı
ayırır
oEğer değişken zaten varsa MATLAB gerekli bir bellek ayırdığında iccedileriği değişir
Oumlrneğin
o ogrenci_sayı=51
32 DeğişlenlerMatlab
Değisken
değeri değisebilen bellek alanına isaret eden değerlere
38
MATLAB değişken girişleri iccedilin ccedileşitli kurallara sahiptir
Her değişken bir harfle başlamak zorundadır
Program buumlyuumlk kuumlccediluumlk harf duyarlıdır X ve x farklı değişkenleri ifade eder
Program 31 basamağa kadar duyarlıdır Bu basamaktan sonrasını yok sayar
Dolayısıyla 31 basamaktan uzun değişken isimleri karışıklık yaratabilir
32 DeğişlenlerMatlab
39
Değiskenlere Değer Atama
Her hangi bir programlama dilinde olduğu gibi Matlabrsquoda da bir değiskene
değer verme islemine rdquodeğer atamakrdquo denir
Bir değiskene atanan değer değistirilmediği suumlrece aynı kalır
Değer atamanın genel kullanımı asağıdaki biccediliminde olur
ltDeğisken adıgt=ltAtanacak değergt
32 DeğişlenlerMatlab
40
Oumlrnek 2
A=6i-7 A değişkenine skaler bir değer atar
B=A 7
B değişkenine A değişkeninin 17 si atanmıştır
C=[3 4 5 6]
4 elemanlı
bir satır vektoumlruuml
atanmıştır
NOT
Dizi girişinde herhangi bir satıra ait elemanlar aralarına boşluk veya virguumll ldquordquo konularak ayrılır
Dizinin diğer bir satırına başlamak iccedilin biten satır sonuna konulur
32 DeğişlenlerMatlab
41
oMATLABrsquoda sayılar yaygın olarak kullanılan onluk tabanda ifade edilirler
o
Bunun yanısıra onluk tabanda uumlstel olarak veya i veya j olarak kompleks sayı biccedilimlerinde de ifade edilebilirler
oOumlrnek olarak
33 Sayılar
Matlab da i
ve j
başka tuumlrluuml
tanımlanmamışsa kompleks i sayısını
goumlsterir 3e5 sayısıda 3105
anlamındadır
MATRİSLER
42
o
Ondalık sayılar Tuumlrkccedilemizdeki
35 yerine
35 şeklinde
goumlsterilir
(00001 veya 963
065 yerine 65)
o
Bilimsel
notasyon
goumlsterimi olan e
(veya E) harfi
10rsquonun kuvvetini
temsil eder
o 2e4=2104=2000 veya
165e-20=16510-20
demektir
o
Kompleks
sayılarda
imajiner
(sanal) kısımlar
i
veya
j
ekini
alır
i veya
j
ile
gosterimlerinde
bir
fark
yoktur
o (1+3i veya 1+3i veya 1+i3) 1+sqrt(3)j
-5i
o
Matlabrsquode
tuumlm
sayılar yaklaşık 210308 ve
210-308 arasında
değişir
33 Sayılar
MATRİSLER
43
Sayı
Formatları
33 SayılarMatlabMATRİSLER
44
oMatlabda bir ccedilok eylem doumlrt islem ve matematiksel bazı
islemler
yaptırabiliriz
oBunun iccedilin ya ilgili komutları
komut penceresinden teker teker girerek veya
ilgili komutları
bir dosyaya yazıp o dosyayı
ccedilağırarak ccedilalıstırabiliriz
oİşlemleri yaptırırken sayıları
reel sayı
ya da karmasık sayı
olarak alabiliriz
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
45
Matematiksel ifadeleri oluşturmak iccedilin operatoumlrler ve oumlnceden tanımlanmış sembolleri kullanabilirsiniz
oOperatoumlrler oumlzetle şunlardır
oMatrislerle yapılan işlemlerde boumllme işlemi iccedilin iki farklı
sembol kullanılmaktadıroBunun yanında eğer sayılar skaler ise iki boumllme işleminin sonucu da aynı
değeri
goumlsterecektiroOumlrneğin 32 ile 23 ifadelerinin sonuccedilları
aynı
olup 15rsquodir
raquo 4+83ndash2ans =26
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
46
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
x=a + b
Bu ifadede a ve b nin toplandığı
ve x değişkeni iccedilinde saklandığıbelirtilmektedir
47
Aritmetiksel İşlemlerde Oumlncelik Durumu
oTek bir aritmetiksel durum iccedilinde birden fazla durum bir arada bulunabildiğine goumlre
hangi işlemin oumlncelik hakkına sahip olunduğunun
bilinmelidir
oMATLABrsquoda kullanılan işlemlerde işlemlerin oumlncelik
listesi
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
bazı
temel matematiksel fonksiyonların accedilıklamaları
48
o
MATLABrsquo
da işlemler soldan sağa işlerlero
İşlemler arası
oumlncelik sırası
aşağıdaki gibidir
1 ^
(Yuumlksek)2
darr
3 + -
(Duumlşuumlk)
raquo 3^(2ndash5)-632 raquo 3^2ndash5ndash632ans = ans =
mdash39630 0
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
49
35 FonksyonlarMATRİSLER
o MATLABrsquoın ccedilok guumlccedilluuml
ve ccedilok kapsamlı
bir fonksiyon yapısı
vardır
oMATLABrsquoda bazı
fonksiyonlar daha oumlnceden yerleştirilmiş
bazıları
ise sonradan
dışarıdan yerleştirilmiş
M-dosyalarından oluşan MATLAB kuumltuumlphanelerinde
tanımlanmışlardır
oBunun yanında oumlzel uygulamalar iccedilin kullanıcıların kendi fonksiyonlarını
yazarak
kendi kuumltuumlphanelerini oluşturması
muumlmkuumlnduumlr
MATLABrsquoda mevcut analitik fonksiyonları
genel olarak aşağıdaki kategorilere ayırabiliriz oTemel matematiksel fonksiyonlaroOumlzel fonksiyonlaroTemel matrisler ve matris işlemlerioMatrisleri ccedilarpanlarına ayırmaoVeri analizlerioPolinomlaroDiferansiyel denklem ccediloumlzuumlmlerioLineer olmayan denklemler ve optimizasyonoSayısal integral hesaplamalarıoSinyal işleme
50
Matematiksel Fonksiyonlar
bazı
temel matematiksel fonksiyonların accedilıklamaları
35 FonksyonlarMATRİSLER
Oumlrnekgtgtexp(1)ans=27183gtgtfix(35)ans=3gtgtceil(35)ans=4gtgtround(35)ans=4
51
Matlabda oumlnceden tanımlanmıs bazı
sabitlerdirBunlar aşağıdaki tabloda goumlsterilmistir
36 Oumlzel SabitlerMatlab
52
Oumlrnekler
1)
a=1
2)
a=rsquoİstanbulrsquo
3)
a=5b=7c=a+b
4) a=5b=-3c=a+2ba=a+b
5)
num=23-5^2 x=num2 y=x+10
7 Sabitler Değiskenler ve Metin KatarlarıMatlab
53
Oumlrnek
Komut satırına
a)
sin(30)
b)
sin(30pi180) yazınız sonuccedilları
inceleyiniz
35 FonksyonlarMATRİSLER
Cevapa) -09880 sonucu goumlruumlluumlr ki bu 30deg
nin sinuumlsuumlnde n farklıdır Ccediluumlnkuuml
bu 30deg
derece değil 30 radyanın sinuumlsuumlduumlrb) 05000 sonucu goumlruumlluumlr ki bu da 30deg
nin sinuumlsuumld uumlr O halde bir
sayının trigonometrik değerini buldurmak iccedilin oumlnce pi ile ccedilarpıp 180 e boumllerek accedilıyı
radyan ccedilevirip sonra trigonometrik değerini
hesaplatabiliriz
54
oVektoumlrler tek boyutlu sayı
dizileridir
oElemanlarının sıralanma youmlnlerine goumlre suumltun veya satır vektoumlruuml
adlarını alırlar
ovektoumlrler [ ] koumlşeli parantezleri ile tanımlanır
ofarklı
yolla tanımlanabilirler
4 VektoumlrlerMatlab
A = [4 12 -8 6]A = [4 12 -8 6]
B = [1 2 4 6]
Satır Vektoumlruuml
Suumltun Vektoumlruumlgtgt b=[1 2 4 6 ]
55
4 VektoumlrlerMatlab
ovektoumlr boyutları
buumlyuumlduumlkccedile manuel olarak tanıtım işlemi oldukccedila zorlaşmaktadır
oOumlzellikle belli bir artıma sahip vektoumlrlerin oluşturulmasında () operatoumlruuml kullanılmaktadır
C = [-105150]
Son değerBaşlangıccedil değeri Artış
miktarı
Drsquo
= [30-10-30]
Suumltun Vektoumlruuml
56
Vektoumlr indisleri
4 VektoumlrlerMatlab
Bir vektoumlruumln elemanlarına atanılan değer değişkenler editoumlruuml
veya eleman adresi vasıtasıyla değiştirilebilir
OumlrnekA = [4 12 -8 6]1 A vektoumlruumlnuumln 3 elemanını
27 ile değiştiriniz
2 Benzer şekilde A vektoumlruumlnuumln 2 elemanını
siliniz 3 A(9) = 12
Ccediloumlzuumlm1 A(3) = 272 Vektoumlruumln elemanına [ ] değeri atandığında eleman silinirA(2) = [ ]3 gtgt A(9) = 12
A= [ 4 27 6]
A =[ 2 27 7 0 0 0 0 0 12]
57
raquo x=[17 8 61 83 56]
Şeklindeki bir matrisin uumlccediluumlncuuml
elemanına erişmek istenirse
raquo c=x(3)
c =
61
Eğer bir blok şeklinde veriye erişilmek istenirse
raquo x(24)
ans =
8 61 83
Her matristeki herhangi bir elman grubuna erişilmek istenirse
raquo x([3 1 4])
ans =
61 17 83
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
58
Bir diziye duumlzenli artıs (veya azalıs) kuralıyla değerler atanmak isteniyorsa
bunu
ilk_değerartısson değer veya ilk_değerartısson değer
biccediliminde yapabiliriz
Ancak artıs 1 ise belirtilmeyebilirOumlrnekortalama adlı
bir diziye 0 dan 5 e kadar 05 er artısla elde edilen sayı
dizisini atayanortalama=[0055]
Siz 1 satır 7 den den 17 ye kadar olan tam sayılar 2 satırı
99 dan 89 a kadar azalan tam sayılardan olusan 2 boyutlu m dizisine atayan islemleri yazınız
Dizilerin Değerlerinin Değistirilmesi ve Duumlzenlenmesi
4 VektoumlrlerMatlab
59
4 VektoumlrlerMatlab
60
Sayılardan olusan satır ve suumltun yapısına matris (dizi) denir
Oumlrneğin
d1=[5] 1x1 lik
d2=[ 2 -7] 1x2 lik
d3= [1 0 -3 ]
[ 5 3 1 ]
2x3 luumlk bir dizidir
Oumlrnekx=[1 7 18 5]Ya daraquo x=[ 1
7185 ]
Biccedilimlerinde girilebilir
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
61
Dizilerin Değerlerinin Değistirilmesi ve DuumlzenlenmesiBir dizinin herhangi bir elemanını belirlemek iccedilin dizi adından hemen sonra
parantez iccedilinde elemanın bulunduğu satır ve suumltun sayısı yazılmalıdır
Oumlrnek 1 d2=[2 -7]d2 dizisinin -7 elemanını
goumlruumlntuumllemek iccedilin
d2(12)
2 d3=[1 0 -35 3 1]d3 dizisinin 2 satır 1 suumltununda bulunan 5 in değerinin -75 olması
iccedilin
d3(21)=-75
Not1) Bir dizinin bir ccedilok elemanını
yeniden değer atamak gerekirse komut satırından atama yapmak uzun zaman alabilirBu durumda dizi değiskeninin uumlzerine ccedilift tıklayarak accedilılan dizi editoumlruuml
(array edit) yardımıyla değisiklikleri daha kolay yapabiliriz
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
62
8 Matrisler(Dizi)Matlab
Bir matrisi girerken o1 Elemanlar baştan ve sondan koumlşeli parantezlerle kapatılıro2 Elemanların arasına boşluk veya virguumll konuluro3 Matris satırlarını
ayırmak iccedilin de noktalı
virguumll kullanılır
okurallarına dikkate alınmalıdır
Oumlrneğin
A = [1 2 3 4 5 6]A =
1 2 34 5 6
şeklinde veriler matrisler biccediliminde tanımlanır MATLAB daha sonra kullanılmak uumlzere verileri A matrisinde saklar
63
Matris elemanları
rasgele rakamlardan oluşabileceği gibi MATLABrsquoın deyimlerinden de oluşabilir
51 Matrislerde ElemanlarMatlab
Oumlrneğin
a=[-13 sqrt(3) (1+2+3)475]
a= -13000 17321 48000
Kuumlccediluumlk matrisleri eleman olarak kullanıp daha buumlyuumlk matrisler oluşturmak muumlmkuumlnduumlr
OumlrneğinM=[1 3 5
7 8 9] matrisine
aşağıda goumlsterildiği şekilde bir satır eklemesi yapabilir
M=[M[10 13 15]]
Bu durumda M matrisiM=[1 3 5
7 8 910 13 15]
durumunu alır
64
İki nokta uumlst uumlste () kullanarak buumlyuumlk matrislerin belli bir kısmını
kullanabiliriz
ya da diğer ifade ile bu matrisi kuumlccediluumlltebiliriz
Oumlrneğin
M=M(12) bildirimi M matrisinin ilk iki satırını
alarak M matrisi
olarak saklar
Oumlrnek
M=[8 -4 7 66 -7 8 9 4 5 134] ise
M=M(12) =
8 1 Matrislerde ElemanlarMatlab
65
MATLABrsquoda kullanıcı
verileri kendi oluşturacağı
matrisler ile tanımlayabileceği gibi MATLABrsquoın kendi oumlzel matrislerinden de istifade edilebilir
52 Genel MatrislerMatlab
66
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
a) Sıfır Matrisi Olusturan Fonksiyon
Her elemanı sıfır olan mxn boyutunda bir matrise sıfır matrisi denir
Boumlyle bir dizi olusturmak iccedilin zeros fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=zeros(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
3x5 boyutunda s adlı
sıfır matrisi iccedilin
s=zeros(35)
52 Genel MatrislerMatlab
67
b) 1 lerden Olusan Matris
Her elemanı 1 olan mxn boyutunda bir matrisi olusturmak iccedilin ones
fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matria_adı=ones(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
2x3 boyutunda b adlı
tuumlm elemanları
1 olan matrisi olusturalım
b=ones(23)
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
52 Genel MatrislerMatlab
68
c) Birim Matrisi Olusturan Fonksiyon
Esas koumlsegeni 1 lerden diğer elemanları 0 lardan olusan kare matrise (satır
ve suumltun sayısı esit olan ) birim matrisi
kare olmayan matrise de diyagonal matris denir
Boumlyle matrisleri olusturmak iccedilin eye fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=eye(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
a)
3x3 luumlk birim matris
b) 4x3 lluumlk diyagonal matris olusturalım
Ccediloumlzuumlma) i=eye(33) b) d=eye(43)
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar52 Genel MatrislerMatlab
69
d) Rastgele Sayılardan Olusan Matris ve Fonksiyonu
Elemanları 0 ile 1 arasındaki rastgele sayılardan olusan bir matris iccedilin
rand fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=rand(mn) biccedilimindedir(msatırnsuumltun)
Not 1) Uumlretilen matrisin tuumlm elemanlarını k gibi bir sayı ile ccedilarparak
sayıları 0 ile k arasına ccedilekebiliriz
Not 2) Ondalıklı sayılardan olusmus bir matrisin elemanlarını
yuvarlayıp tam sayı yapmak iccedilin round fonksiyonunu kullanırız
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar52 Genel MatrislerMatlab
70
Oumlrnek
a) 0 ile 1 arasında rastgele sayılardan olusan 10 elemanlı
a adında bir satır
matrisi olusturalım
b) Elemanları
10 ile 50 arasında sayılardan olusan 5x3 tipinde b matrisini
olusturalım
c) Elemanları
50 ile 300 arasındaki tamsayılardan olusan 3x4 tipinde c matrisini
olusturalım
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
d) Rastgele Sayılardan Olusan Matris ve Fonksiyonu
52 Genel MatrislerMatlab
71
Ccediloumlzuumlm
a)
a=rand(110)
b)
b=10+rand(53)40
c) c=round(50+rand(34)250)
52 Genel MatrislerMatlab
72
e) Rastgele Sayılardan Olusan Normal Dağılımlı
Matris veFonksiyonu
Elemanları rasstgele sayılardan olusan bir normal dağılımlı bir matris iccedilin
randn fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=randn(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek Rastgele sayılardan olusan normal dağılımlı 2x3 luumlk bir n matrisini
olusturalım
Ccediloumlzuumlm n=randn(23)
52 Genel MatrislerMatlab
73
f) Lineer Aralıklı
(Aritmetik) Dizi ve Fonksiyonu
Baslangıccedil ve biis değerleri ve kaccedil elemandan olusacağı belirlenen diziyi
olusturmak iccedilin linspace fonksiyonu kullanılır
Kullanımı
dizi_adı=linspace(ilk_değerson_değereleman_sayısı)
biccedilimindedir
52 Genel MatrislerMatlab
74
Oumlrnek 10 ile 30 arasına 9 tane daha sayı
koyarak aadında bir aritmetik dizi olusturalım
f) Lineer Aralıklı
(Aritmetik) Dizi ve Fonksiyonu
52 Genel MatrislerMatlab
Cevapa=linspace(103011)
75
Elimizdeki grubun her elemanı iccedilin bir matematik işlemi yapıp bunu yeni bir
diziye atarken herhangi bir sorun yoktur
Fakat iki farklı grupla işlemler yaparken dikkat etmemiz gereken genel
kurallar vardır
Oumlrneğin toplama ve ccedilıkarma yaparken iki dizinin de buumlyuumlkluumlğuumlnuumln eşit
olması gerekmektedir
Ayrıca iki farklı dizinin elemanları arasında birebir işlem yapmak iccedilin
matematik operatoumlruumlnuumln başına nokta() koymak gerekir
Bu durumda her bir elemanı diğer dizinin o sıradaki elmanı ile işleme
sokacaktır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
76
Birden fazla satır ve suumltuna sahip vektoumlrlere matris denir Noktalı
virguumll ()
işareti ile kolonları
ve virguumlle işareti ya da boşluk
bırakarak da bir sıradaki elemanları
ayırabilirizOumlrnekraquo x=[ 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14]x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14Yukarıdaki 3x4 boyutunda bir matristir MATLAB programına aşağıdaki
gibi de sunulabilirraquo x=[ 3 4 5 6
7 8 9 1011 12 13 14]
x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
77
Matristeki herhangi bir elemana direk ulaşmak iccedilin aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(23)=9
Eğer isteğimiz eriştiğimiz bir elemanı
değiştirmek veya yeni bir satır eklemek ise aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(41)=1x =
3 4 5 67 8 9 1011 12 13 141 0 0 0
Bu durumda doumlrduumlncuuml
satır ilk elemanını
biz 1 değerini atadık ve diğer elemanları
kendiliğinden ldquo0rdquo
olarak atadı
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
78
İki nokta uumlst uumlste () kullanılarak belirli aralıkta değişen matrisler yaratılabilir
raquo x=[127 3-10 -12]x =
1 3 5 73 2 1 0
-1 0 1 2Bir matrisin herhangi bir boumlluumlmuumlnuuml
seccedilmek iccedilin ise aşağıdaki goumlsterim
kullanılırraquo z=x(23 12)z =
3 2-1 0
Bu durumda z matris x matrisinin 2 ve 3 norsquo
lu satırlarından 1 ve 2 norsquo
lu suumltunlarını
almış
oluyor
Herhangi bir satır veya suumltunu tamamen silmek istersek o satır ve suumltunu seccedilip ldquo[]rdquo
ifadesine eşitleriz
raquo z(2)=[ ]z =
3 -1
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
79
Matlab size ve length komutları
yardımı
ile size matrisinizin boyutlarını
soumlyler
raquo a=[ 2 3 4 5 67 8 9 10 11]
raquo s=size(a)s =
2 5
raquo b=[ 17 11 0 30 40 50]
raquo k=length(b)k =
6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
80
a) Toplama-Ccedilıkarma Bir Sayı
ile Ccedilarpma İşlemi
İki matrisi toplamak (veya ccedilıkarmak) demek matrislerin aynı
mertebedeki elemanları teker teker toplayıp (veya ccedilıkarıp ) aynı
mertebeye yazmak demektir
Bu durumda iki matrisin de aynı mertebeden olması gereği accedilıktır
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile toplamak (veya ccedilıkarmak) demek
matrisin elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla toplamak (veya
ccedilıkarmak )demektir
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile ccedilarpmak demek ise matrisin
elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla ccedilarpmak demektir
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
81
82
Oumlrnek
raquo a=[1 2 3 4 5 6]raquo b=[7 8 9 10 11 12]
a ve b toplamıraquo sum=a+bsum =
8 10 1214 16 18
arsquo
yı
brsquo
den ccedilıkarmak
raquo diff=a-bdiff =
-6 -6 -6-6 -6 -6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
83
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] ve b=[3 -3 -41 1 5] matrisleri
veriliyor
a)
c=a+b toplam matrisini
b)
d=a-b matrisini
c)
amatrisinin her elemanınının 5 eksiğine karsılık gelen e
matrisini
d) f=2a-3b matrisini bulduran islemleri yazalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
a) c=a+b b) d=a-b c) e=a-5 d) f=a+a-b-b-b veya
f=2a-3b
84
İki matrisin ccedilarpım islemi iki biccedilimde anlasılır
1)
Aynı
mertebeden iki matrisin elemanlarını
teker teker ccedilarpıp aynı
mertebeye
yazmak demektir Bunu
islemi ile gerccedileklestiririz
2) Matematiksel anlamda iki matrisi ccedilarpmak istediğimizde birinci matris mxn
tuumlruumlnde ve ikinci matris mutlaka nxp tuumlruumlnde olmalıdır yani birinci matrisin
suumltun sayısı
ikinci matrisin satır sayısına eşit olmalıdır
Bu durumda birinci matrisin i suumltun elemanları
ile ikinci matrisin j satırındaki
elemanlar karılıklı
olarak ccedilarpılır ve sonuccedillar toplanır ve bu toplam ccedilarpım
matrisinin (ij) inci mertebeye yazılır
Matrisler arası
ccedilarpma isleminin semboluuml
de dır
b) İki Matrisin Ccedilarpımı Bir Matrisin Kuvvetleri veCcedilarpma İslemi
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
85
3) Bir a matrisinin her bir elemanının n Kuvvetlerinden olusan matrisi
bulmak iccedilin a^n islemi kullanılır
4) Satır ve suumltun sayıları
esit bir kare matrisi ardısık olarak n defa
kendisiyle ccedilarparak a matrisinin n kuvvetini bulabilirizOumlrneğin a matrisinin
karesi iccedilin aa veya a^2 kuumlbuumlnuuml
buldurmak iccedilin aaa veya a^3
doumlrduumlncuuml
kuvvetini buldurmak iccedilin aaaa veya a^4
Not) Bir a matrisinin eleman -elemana ccedilarpma islemine benzer mantıkla bir matrisin tuumlm elemanlarının kareleri kuumlbleri sinuumlsleri kosinuumlsleri logaritmalarından olusan matris bulunmak istenirse bunu sırayla aa (veya a^2) aaa (veya a^3) sin(a) cos(a) etabanında logaritması
iccedilin log(a) 10 tabanında logaritmaları
iccedilin log10(a) Biccediliminde gerccedileklestirebiliriz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
86
a) a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c1 matrisi varsa bulalım
b) a matrisi ile b matrisinin ccedilarpım matrisi olan c2 varsa bulalım
c) a matrisinin elemanları
ile c matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c3 matrisi varsa bulalım
d) a matrisi ile c matrisinin ccedilarpım matrisi olan c4 varsa bulalım
e) a matrisinin elemanlarının karelerinden olusan matris ile b matrisinin
kosinuumlslerinden olusan matrisler toplamını
bulalım
f) x=[1 00 3] matrisinin i) Karesini ii) Kuumlbuumlnuuml
iii) 10
kuvvetini bulalım
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] b=[3 -3 -41 1 5] ve c=[1 0-1 23 3] matrisleri veriliyor
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
87
Ccediloumlzuumlma) iki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirBu durumda c1 matrisi tanımlıdır ve bunu c1=ab islemi ile gerccedileklestirebilirizb) iki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdırHalbuki a matrisi 2x3 b matrisi de 2x3 olduğundan bu iki matris ccedilarpılamazc) İki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirHalbuki bu matrisler aynı mertebeden olmadığından bu iki matris eleman-elemana ccedilarpma islemi
gerccedileklemezd) İki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdıra matrisi 2x3 luumlk c matrisi de 3x2 lik olduğundan bu iki matris ccedilarpılabilir ve c4 ccedilarpım matrisi 2x2 lik bir matris olurc4 ccedilarpım matrisini c4=ac islemi ile buluruze) a^2+cos(b)f) i) x^2 ii) x^3 iii) x^10
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
88
c) Bir Matrisin Devriğini (Transpozesi) Bulma İslemi
Bir matrisin satırlarını suumltun suumltunlarını satır olarak yazılmasıyla
bulunan matrise bu matrisin devriği (transpozesi) denir
Bir matrisin devriğini islemi ile bulabiliriz
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] nın devriğini buldurup d matrisine atayalım
Ccediloumlzuumlm d=a
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
89
Oumlrnek
b=[7 8 9 10 11 12] matrisinin transpozesini bulabilirmisiniz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
c=bc =
7 108 119 12
90
SORU
a=[1 2 3 4 5 6]
c= [710811912]
ise a ve crsquonin ccedilarpım matrisi
kaccediltır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
Ccedilarpma işlemi k=ack=
50 68122 167
91
SORU
a=[1 2 3 4 5 6] b=[7 8 9 10 11 12]
ise a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan x matrisini bulalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
x=abx =
7 16 2740 55 72
92
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
Aynı mertebeden iki matrisin elemanlarını teker teker boumllerek aynı
mertebeye yazılmasına iki matrisin sol boumllmesi denir ve bu islemi ile
yapılır
a b ve c aynı mertebeden kare matrisler olmak uumlzere
c=ab ise a matrisine c nin b matrisine boumlluumlmuuml denir
c boumlluumlm matrisi islemi ile yapılır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
93
HATIRLATMA
2x2 lik i2 adlı birim matrisi i2=eye(22)
3x luumlk i3 adlı birim matrisi i2=eye(33) islemi ile olusturabiiriz
Aynı mertebeden a ve b kare matrisleri iccedilin a ile b nin ccedilarpımı birim matris ise
b matrisi a matrisinin (aynı biccedilimde a matrisi de b matrisinin) ters matrisidir
Oumlrnek
3x3 luumlk bir a kare matrisinin tersini bulmak iccedilin
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
eye(33)a veya inv(a) islemini kullanırız
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
94
Bir Matrisin Determinantı
Determinant kare matrisleri bir sayıya eşleyen fonksiyondur
Determinant fonksiyonunun kare matrisi eşlediği o sayıya matrisin
determinantı denir
A matrisinin determinantı detA veya |A| biccediliminde goumlsterilir
|A| matrislerde mutlak değer anlamına gelmez |A| sıfır veya
negatif de olabilir
det(x)
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
95
KURAL
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
96
Oumlrnek
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Determinant
raquo
deter=det(x)deter =
21
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
97
Oumlrnek Inverse işlemi
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Detx=det(x)=21 ise
raquo y=inv(x)y =
821 121 -521 221
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
98
SORU
a=[2 -10 01 2 43 0 1] matrisi ile b=[1 5 41 -1 20 1 -1] matrisleri veriliyor
a)
a matrisinin elemanlarını
sırasıyla b matrisinin elemanlarına boumllerek elde
edilen matrisi b1 matrisine atayalım
b) a matrisinin ta ters matrisini bulalım
c) a ile ta matrisinin ccedilarpımının 3x3 luumlk birim matris olduğunu goumlsterelim
d) a matrisinin b matrisine boumlluumlmuumlnuuml
b2 matrisine atayalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
99
Ccediloumlzuumlm
a)
b1=ab
b) ta1=eye(33)a veya ta2=inv(a)
c) ata ==eye(33)
d) b2=ab
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
22
Matlab Ccedilalışma Dizini penceresindeki ldquo
aşağı
okrdquo
basılarak ccedilalışma dizini seccedililebilir
Current Folderrsquoda ccedilalışmak istenilern directory youmlnlendirilerek hızlı
ulaşım sağlanır
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
23
Current Folder
Matlab dosyalarının kaydedildiği yuumlklendiği dosyaların bulunduğu
klasoumlruuml
(dizin) varsayılan klasoumlr olarak belirlemeye yarar
Aksi belirtilmedikccedile bu klasoumlr CMatlab6p5work gibi bir klasoumlrduumlr
Yada save FMATLAB_UYGkatsayilar a
katsayilarmat olarak kaydedilen a matrisininmatlab kapatılıp accedilıldıktan sonra herhangi bir zamanda geri ccedilağrılmasıiccedilin
load FMATLAB_UYGkatsayilar
komut dizisi kullanılır
Command Windowa save yazılırsa değişkenler ldquomatlabmatrdquo
veri
dosyasına kaydedilmiş olur
Matlabı
kapatıp accedilalım ve matlabmatrsquoı
ccedilağıralım
(File open matlabmat)
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
Oumlrnekgtgt a=[123 579] a = 1 2 3 5 7 9
24
MATLAB Yardım
1 Komut satırına ldquohelprdquo yazılır Bu yardım sunulabilecek konuların listesini sunar
2 help fonksyon-adı
fonksyon iccedilin yardım metnini goumlruumlntuumller
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
25
Matlab MasaUumlstuuml
Yeni M- Dosyası
Dosya Accedil Help Desk
Kayıtlı
Matlab Fonksyonu kayıt dosyası(mat) modeli figuumlruuml
ve GUI arayuumlzluuml
fonksyonları
accedilar
Veri dosyalarını
accedilar
Ccedilalışma ortamını
kaydeder
Farklı
ccedilalışma dizinini Matlaba tanıtır
Matlab arayuumlzuumlnuuml
ayarlar
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
26
Başlat Duumlğmesi
Matlab araccedil
kutuları Matlab
uygulamalarına eklenti olarak
hazırlanan ve hazır fonksyonları iccedileren paketlerdir
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
27
Başlat Duumlğmesi
Start Duumlğmesi tuumlm matlab uygulamalarına accedilılan kısayolları
iccedilermektedir
Matlab Uygulamaları
iccedilin kısa yol
Araccedil
kutularıSimulinkUy
gulaması
Demolar
Veri Sihirbazı
GUI Hazırlayıcı
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
28
Matlaba Veri Alma
Programa dışarıdan resim film veri ses dosyalarını
matris formatına ccedilevirerek bir değişken olarak atamada kullanılır
File Import Data
Oumlrnek Exel dosyası
alma
Exelde bir matrix oluşturup matlabdan import ile alınız
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
29
Matlabda Temel Kavramlar
Tuumlm programlama dillerinde olduğu gibi (Fortran C Pascal Basic vs)
Matlabın da oumlzel anlam tasıyan bazı kelimeleri vardır ki bu kelimeler değisken
olarak kullanılamazlar
Bu tuumlr kelimelere anahtar kelime (keywords) denir
Bu kelimelerin bir listesini almak iccedilin komut satırına
iskeyword komutunu yazarak elde edebiliriz
Bu kelimeler
breaklsquo case catch continue else elseif endlsquo for function global
if otherwiselsquo persistent return switch try while
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
30
Programın dili ve yardım bilgileri tamamen ingilizcedir
Kuumlccediluumlk-buumlyuumlk harf ayrımı vardır
Oumlrneğin dscrite DSCRITE ve Dscrite atamaları farklı şekilde
algılanır
Eğer istenirse ldquocasesen offrdquokomutu ile bu durum sona
erdirilebilir
raquo işareti komut promptrsquoudur
Komutlar Enter ile yuumlruumltuumlluumlr
2 Matlab Kullanımında Temel Kurallar
Matlab
31
Genel komutların isimleri ve accedilıklamaları
2 Matlab Kullanımında Temel KurallarMATLAB
32
2 Matlab Kullanımında Temel KurallarMATLAB
MATLAB kontroluumlnuuml
kullanabilmeniz iccedilin oumlzel karakterlere sahiptir Bu karakterlerin bir oumlzeti
33
2 Matlab Kullanımında Temel KurallarMatlab
34
2 Matlab Kullanımında Temel KurallarMatlab
35
İFADELER Matematiksel ve metinsel goumlsterimler ile işlemler ifadelerlesağlanır
Sayılar (Numbers)Değişkenler (Variables)İşleccediller (Operators)Fonksiyonlar (Functions)
Matlabrsquode ifadeler genellikle değişken = ifade veya sadece ifade formundadır
Sayısal Analiz
x = 4 sqrt(5) İfade
değişkensayı işleccedil fonksiyon
Bir ifade = işareti ile bir değişkene atanmamış
ise Matlab otomatik olarak sonucu ans (answer)
adı
verilen oumlzel bir değişkende saklar
3 MATRİSLER
36
o
Birden
fazla ifade
tek satırda aralarına
ya da koyarak yazılabilir
o
Yazımda
boşluk
sayısı
etkisizdir
o
Sadece
ilgili
değişken
adını
yazarak
o değişkeni ccedilağırabilirsiniz
MATRİSLER31 İFADELER
37
o MATLABrsquoda herhangi bir tip tanımlaması
veya boyut ifadesine gerek yoktur
o
MATLAB yeni bir değişken ismi ile karşılaştığında otomatik olarak ans isminde
bir değişken oluşturur ve uygun bir bellek miktarı
ayırır
oEğer değişken zaten varsa MATLAB gerekli bir bellek ayırdığında iccedileriği değişir
Oumlrneğin
o ogrenci_sayı=51
32 DeğişlenlerMatlab
Değisken
değeri değisebilen bellek alanına isaret eden değerlere
38
MATLAB değişken girişleri iccedilin ccedileşitli kurallara sahiptir
Her değişken bir harfle başlamak zorundadır
Program buumlyuumlk kuumlccediluumlk harf duyarlıdır X ve x farklı değişkenleri ifade eder
Program 31 basamağa kadar duyarlıdır Bu basamaktan sonrasını yok sayar
Dolayısıyla 31 basamaktan uzun değişken isimleri karışıklık yaratabilir
32 DeğişlenlerMatlab
39
Değiskenlere Değer Atama
Her hangi bir programlama dilinde olduğu gibi Matlabrsquoda da bir değiskene
değer verme islemine rdquodeğer atamakrdquo denir
Bir değiskene atanan değer değistirilmediği suumlrece aynı kalır
Değer atamanın genel kullanımı asağıdaki biccediliminde olur
ltDeğisken adıgt=ltAtanacak değergt
32 DeğişlenlerMatlab
40
Oumlrnek 2
A=6i-7 A değişkenine skaler bir değer atar
B=A 7
B değişkenine A değişkeninin 17 si atanmıştır
C=[3 4 5 6]
4 elemanlı
bir satır vektoumlruuml
atanmıştır
NOT
Dizi girişinde herhangi bir satıra ait elemanlar aralarına boşluk veya virguumll ldquordquo konularak ayrılır
Dizinin diğer bir satırına başlamak iccedilin biten satır sonuna konulur
32 DeğişlenlerMatlab
41
oMATLABrsquoda sayılar yaygın olarak kullanılan onluk tabanda ifade edilirler
o
Bunun yanısıra onluk tabanda uumlstel olarak veya i veya j olarak kompleks sayı biccedilimlerinde de ifade edilebilirler
oOumlrnek olarak
33 Sayılar
Matlab da i
ve j
başka tuumlrluuml
tanımlanmamışsa kompleks i sayısını
goumlsterir 3e5 sayısıda 3105
anlamındadır
MATRİSLER
42
o
Ondalık sayılar Tuumlrkccedilemizdeki
35 yerine
35 şeklinde
goumlsterilir
(00001 veya 963
065 yerine 65)
o
Bilimsel
notasyon
goumlsterimi olan e
(veya E) harfi
10rsquonun kuvvetini
temsil eder
o 2e4=2104=2000 veya
165e-20=16510-20
demektir
o
Kompleks
sayılarda
imajiner
(sanal) kısımlar
i
veya
j
ekini
alır
i veya
j
ile
gosterimlerinde
bir
fark
yoktur
o (1+3i veya 1+3i veya 1+i3) 1+sqrt(3)j
-5i
o
Matlabrsquode
tuumlm
sayılar yaklaşık 210308 ve
210-308 arasında
değişir
33 Sayılar
MATRİSLER
43
Sayı
Formatları
33 SayılarMatlabMATRİSLER
44
oMatlabda bir ccedilok eylem doumlrt islem ve matematiksel bazı
islemler
yaptırabiliriz
oBunun iccedilin ya ilgili komutları
komut penceresinden teker teker girerek veya
ilgili komutları
bir dosyaya yazıp o dosyayı
ccedilağırarak ccedilalıstırabiliriz
oİşlemleri yaptırırken sayıları
reel sayı
ya da karmasık sayı
olarak alabiliriz
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
45
Matematiksel ifadeleri oluşturmak iccedilin operatoumlrler ve oumlnceden tanımlanmış sembolleri kullanabilirsiniz
oOperatoumlrler oumlzetle şunlardır
oMatrislerle yapılan işlemlerde boumllme işlemi iccedilin iki farklı
sembol kullanılmaktadıroBunun yanında eğer sayılar skaler ise iki boumllme işleminin sonucu da aynı
değeri
goumlsterecektiroOumlrneğin 32 ile 23 ifadelerinin sonuccedilları
aynı
olup 15rsquodir
raquo 4+83ndash2ans =26
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
46
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
x=a + b
Bu ifadede a ve b nin toplandığı
ve x değişkeni iccedilinde saklandığıbelirtilmektedir
47
Aritmetiksel İşlemlerde Oumlncelik Durumu
oTek bir aritmetiksel durum iccedilinde birden fazla durum bir arada bulunabildiğine goumlre
hangi işlemin oumlncelik hakkına sahip olunduğunun
bilinmelidir
oMATLABrsquoda kullanılan işlemlerde işlemlerin oumlncelik
listesi
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
bazı
temel matematiksel fonksiyonların accedilıklamaları
48
o
MATLABrsquo
da işlemler soldan sağa işlerlero
İşlemler arası
oumlncelik sırası
aşağıdaki gibidir
1 ^
(Yuumlksek)2
darr
3 + -
(Duumlşuumlk)
raquo 3^(2ndash5)-632 raquo 3^2ndash5ndash632ans = ans =
mdash39630 0
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
49
35 FonksyonlarMATRİSLER
o MATLABrsquoın ccedilok guumlccedilluuml
ve ccedilok kapsamlı
bir fonksiyon yapısı
vardır
oMATLABrsquoda bazı
fonksiyonlar daha oumlnceden yerleştirilmiş
bazıları
ise sonradan
dışarıdan yerleştirilmiş
M-dosyalarından oluşan MATLAB kuumltuumlphanelerinde
tanımlanmışlardır
oBunun yanında oumlzel uygulamalar iccedilin kullanıcıların kendi fonksiyonlarını
yazarak
kendi kuumltuumlphanelerini oluşturması
muumlmkuumlnduumlr
MATLABrsquoda mevcut analitik fonksiyonları
genel olarak aşağıdaki kategorilere ayırabiliriz oTemel matematiksel fonksiyonlaroOumlzel fonksiyonlaroTemel matrisler ve matris işlemlerioMatrisleri ccedilarpanlarına ayırmaoVeri analizlerioPolinomlaroDiferansiyel denklem ccediloumlzuumlmlerioLineer olmayan denklemler ve optimizasyonoSayısal integral hesaplamalarıoSinyal işleme
50
Matematiksel Fonksiyonlar
bazı
temel matematiksel fonksiyonların accedilıklamaları
35 FonksyonlarMATRİSLER
Oumlrnekgtgtexp(1)ans=27183gtgtfix(35)ans=3gtgtceil(35)ans=4gtgtround(35)ans=4
51
Matlabda oumlnceden tanımlanmıs bazı
sabitlerdirBunlar aşağıdaki tabloda goumlsterilmistir
36 Oumlzel SabitlerMatlab
52
Oumlrnekler
1)
a=1
2)
a=rsquoİstanbulrsquo
3)
a=5b=7c=a+b
4) a=5b=-3c=a+2ba=a+b
5)
num=23-5^2 x=num2 y=x+10
7 Sabitler Değiskenler ve Metin KatarlarıMatlab
53
Oumlrnek
Komut satırına
a)
sin(30)
b)
sin(30pi180) yazınız sonuccedilları
inceleyiniz
35 FonksyonlarMATRİSLER
Cevapa) -09880 sonucu goumlruumlluumlr ki bu 30deg
nin sinuumlsuumlnde n farklıdır Ccediluumlnkuuml
bu 30deg
derece değil 30 radyanın sinuumlsuumlduumlrb) 05000 sonucu goumlruumlluumlr ki bu da 30deg
nin sinuumlsuumld uumlr O halde bir
sayının trigonometrik değerini buldurmak iccedilin oumlnce pi ile ccedilarpıp 180 e boumllerek accedilıyı
radyan ccedilevirip sonra trigonometrik değerini
hesaplatabiliriz
54
oVektoumlrler tek boyutlu sayı
dizileridir
oElemanlarının sıralanma youmlnlerine goumlre suumltun veya satır vektoumlruuml
adlarını alırlar
ovektoumlrler [ ] koumlşeli parantezleri ile tanımlanır
ofarklı
yolla tanımlanabilirler
4 VektoumlrlerMatlab
A = [4 12 -8 6]A = [4 12 -8 6]
B = [1 2 4 6]
Satır Vektoumlruuml
Suumltun Vektoumlruumlgtgt b=[1 2 4 6 ]
55
4 VektoumlrlerMatlab
ovektoumlr boyutları
buumlyuumlduumlkccedile manuel olarak tanıtım işlemi oldukccedila zorlaşmaktadır
oOumlzellikle belli bir artıma sahip vektoumlrlerin oluşturulmasında () operatoumlruuml kullanılmaktadır
C = [-105150]
Son değerBaşlangıccedil değeri Artış
miktarı
Drsquo
= [30-10-30]
Suumltun Vektoumlruuml
56
Vektoumlr indisleri
4 VektoumlrlerMatlab
Bir vektoumlruumln elemanlarına atanılan değer değişkenler editoumlruuml
veya eleman adresi vasıtasıyla değiştirilebilir
OumlrnekA = [4 12 -8 6]1 A vektoumlruumlnuumln 3 elemanını
27 ile değiştiriniz
2 Benzer şekilde A vektoumlruumlnuumln 2 elemanını
siliniz 3 A(9) = 12
Ccediloumlzuumlm1 A(3) = 272 Vektoumlruumln elemanına [ ] değeri atandığında eleman silinirA(2) = [ ]3 gtgt A(9) = 12
A= [ 4 27 6]
A =[ 2 27 7 0 0 0 0 0 12]
57
raquo x=[17 8 61 83 56]
Şeklindeki bir matrisin uumlccediluumlncuuml
elemanına erişmek istenirse
raquo c=x(3)
c =
61
Eğer bir blok şeklinde veriye erişilmek istenirse
raquo x(24)
ans =
8 61 83
Her matristeki herhangi bir elman grubuna erişilmek istenirse
raquo x([3 1 4])
ans =
61 17 83
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
58
Bir diziye duumlzenli artıs (veya azalıs) kuralıyla değerler atanmak isteniyorsa
bunu
ilk_değerartısson değer veya ilk_değerartısson değer
biccediliminde yapabiliriz
Ancak artıs 1 ise belirtilmeyebilirOumlrnekortalama adlı
bir diziye 0 dan 5 e kadar 05 er artısla elde edilen sayı
dizisini atayanortalama=[0055]
Siz 1 satır 7 den den 17 ye kadar olan tam sayılar 2 satırı
99 dan 89 a kadar azalan tam sayılardan olusan 2 boyutlu m dizisine atayan islemleri yazınız
Dizilerin Değerlerinin Değistirilmesi ve Duumlzenlenmesi
4 VektoumlrlerMatlab
59
4 VektoumlrlerMatlab
60
Sayılardan olusan satır ve suumltun yapısına matris (dizi) denir
Oumlrneğin
d1=[5] 1x1 lik
d2=[ 2 -7] 1x2 lik
d3= [1 0 -3 ]
[ 5 3 1 ]
2x3 luumlk bir dizidir
Oumlrnekx=[1 7 18 5]Ya daraquo x=[ 1
7185 ]
Biccedilimlerinde girilebilir
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
61
Dizilerin Değerlerinin Değistirilmesi ve DuumlzenlenmesiBir dizinin herhangi bir elemanını belirlemek iccedilin dizi adından hemen sonra
parantez iccedilinde elemanın bulunduğu satır ve suumltun sayısı yazılmalıdır
Oumlrnek 1 d2=[2 -7]d2 dizisinin -7 elemanını
goumlruumlntuumllemek iccedilin
d2(12)
2 d3=[1 0 -35 3 1]d3 dizisinin 2 satır 1 suumltununda bulunan 5 in değerinin -75 olması
iccedilin
d3(21)=-75
Not1) Bir dizinin bir ccedilok elemanını
yeniden değer atamak gerekirse komut satırından atama yapmak uzun zaman alabilirBu durumda dizi değiskeninin uumlzerine ccedilift tıklayarak accedilılan dizi editoumlruuml
(array edit) yardımıyla değisiklikleri daha kolay yapabiliriz
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
62
8 Matrisler(Dizi)Matlab
Bir matrisi girerken o1 Elemanlar baştan ve sondan koumlşeli parantezlerle kapatılıro2 Elemanların arasına boşluk veya virguumll konuluro3 Matris satırlarını
ayırmak iccedilin de noktalı
virguumll kullanılır
okurallarına dikkate alınmalıdır
Oumlrneğin
A = [1 2 3 4 5 6]A =
1 2 34 5 6
şeklinde veriler matrisler biccediliminde tanımlanır MATLAB daha sonra kullanılmak uumlzere verileri A matrisinde saklar
63
Matris elemanları
rasgele rakamlardan oluşabileceği gibi MATLABrsquoın deyimlerinden de oluşabilir
51 Matrislerde ElemanlarMatlab
Oumlrneğin
a=[-13 sqrt(3) (1+2+3)475]
a= -13000 17321 48000
Kuumlccediluumlk matrisleri eleman olarak kullanıp daha buumlyuumlk matrisler oluşturmak muumlmkuumlnduumlr
OumlrneğinM=[1 3 5
7 8 9] matrisine
aşağıda goumlsterildiği şekilde bir satır eklemesi yapabilir
M=[M[10 13 15]]
Bu durumda M matrisiM=[1 3 5
7 8 910 13 15]
durumunu alır
64
İki nokta uumlst uumlste () kullanarak buumlyuumlk matrislerin belli bir kısmını
kullanabiliriz
ya da diğer ifade ile bu matrisi kuumlccediluumlltebiliriz
Oumlrneğin
M=M(12) bildirimi M matrisinin ilk iki satırını
alarak M matrisi
olarak saklar
Oumlrnek
M=[8 -4 7 66 -7 8 9 4 5 134] ise
M=M(12) =
8 1 Matrislerde ElemanlarMatlab
65
MATLABrsquoda kullanıcı
verileri kendi oluşturacağı
matrisler ile tanımlayabileceği gibi MATLABrsquoın kendi oumlzel matrislerinden de istifade edilebilir
52 Genel MatrislerMatlab
66
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
a) Sıfır Matrisi Olusturan Fonksiyon
Her elemanı sıfır olan mxn boyutunda bir matrise sıfır matrisi denir
Boumlyle bir dizi olusturmak iccedilin zeros fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=zeros(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
3x5 boyutunda s adlı
sıfır matrisi iccedilin
s=zeros(35)
52 Genel MatrislerMatlab
67
b) 1 lerden Olusan Matris
Her elemanı 1 olan mxn boyutunda bir matrisi olusturmak iccedilin ones
fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matria_adı=ones(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
2x3 boyutunda b adlı
tuumlm elemanları
1 olan matrisi olusturalım
b=ones(23)
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
52 Genel MatrislerMatlab
68
c) Birim Matrisi Olusturan Fonksiyon
Esas koumlsegeni 1 lerden diğer elemanları 0 lardan olusan kare matrise (satır
ve suumltun sayısı esit olan ) birim matrisi
kare olmayan matrise de diyagonal matris denir
Boumlyle matrisleri olusturmak iccedilin eye fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=eye(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
a)
3x3 luumlk birim matris
b) 4x3 lluumlk diyagonal matris olusturalım
Ccediloumlzuumlma) i=eye(33) b) d=eye(43)
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar52 Genel MatrislerMatlab
69
d) Rastgele Sayılardan Olusan Matris ve Fonksiyonu
Elemanları 0 ile 1 arasındaki rastgele sayılardan olusan bir matris iccedilin
rand fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=rand(mn) biccedilimindedir(msatırnsuumltun)
Not 1) Uumlretilen matrisin tuumlm elemanlarını k gibi bir sayı ile ccedilarparak
sayıları 0 ile k arasına ccedilekebiliriz
Not 2) Ondalıklı sayılardan olusmus bir matrisin elemanlarını
yuvarlayıp tam sayı yapmak iccedilin round fonksiyonunu kullanırız
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar52 Genel MatrislerMatlab
70
Oumlrnek
a) 0 ile 1 arasında rastgele sayılardan olusan 10 elemanlı
a adında bir satır
matrisi olusturalım
b) Elemanları
10 ile 50 arasında sayılardan olusan 5x3 tipinde b matrisini
olusturalım
c) Elemanları
50 ile 300 arasındaki tamsayılardan olusan 3x4 tipinde c matrisini
olusturalım
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
d) Rastgele Sayılardan Olusan Matris ve Fonksiyonu
52 Genel MatrislerMatlab
71
Ccediloumlzuumlm
a)
a=rand(110)
b)
b=10+rand(53)40
c) c=round(50+rand(34)250)
52 Genel MatrislerMatlab
72
e) Rastgele Sayılardan Olusan Normal Dağılımlı
Matris veFonksiyonu
Elemanları rasstgele sayılardan olusan bir normal dağılımlı bir matris iccedilin
randn fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=randn(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek Rastgele sayılardan olusan normal dağılımlı 2x3 luumlk bir n matrisini
olusturalım
Ccediloumlzuumlm n=randn(23)
52 Genel MatrislerMatlab
73
f) Lineer Aralıklı
(Aritmetik) Dizi ve Fonksiyonu
Baslangıccedil ve biis değerleri ve kaccedil elemandan olusacağı belirlenen diziyi
olusturmak iccedilin linspace fonksiyonu kullanılır
Kullanımı
dizi_adı=linspace(ilk_değerson_değereleman_sayısı)
biccedilimindedir
52 Genel MatrislerMatlab
74
Oumlrnek 10 ile 30 arasına 9 tane daha sayı
koyarak aadında bir aritmetik dizi olusturalım
f) Lineer Aralıklı
(Aritmetik) Dizi ve Fonksiyonu
52 Genel MatrislerMatlab
Cevapa=linspace(103011)
75
Elimizdeki grubun her elemanı iccedilin bir matematik işlemi yapıp bunu yeni bir
diziye atarken herhangi bir sorun yoktur
Fakat iki farklı grupla işlemler yaparken dikkat etmemiz gereken genel
kurallar vardır
Oumlrneğin toplama ve ccedilıkarma yaparken iki dizinin de buumlyuumlkluumlğuumlnuumln eşit
olması gerekmektedir
Ayrıca iki farklı dizinin elemanları arasında birebir işlem yapmak iccedilin
matematik operatoumlruumlnuumln başına nokta() koymak gerekir
Bu durumda her bir elemanı diğer dizinin o sıradaki elmanı ile işleme
sokacaktır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
76
Birden fazla satır ve suumltuna sahip vektoumlrlere matris denir Noktalı
virguumll ()
işareti ile kolonları
ve virguumlle işareti ya da boşluk
bırakarak da bir sıradaki elemanları
ayırabilirizOumlrnekraquo x=[ 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14]x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14Yukarıdaki 3x4 boyutunda bir matristir MATLAB programına aşağıdaki
gibi de sunulabilirraquo x=[ 3 4 5 6
7 8 9 1011 12 13 14]
x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
77
Matristeki herhangi bir elemana direk ulaşmak iccedilin aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(23)=9
Eğer isteğimiz eriştiğimiz bir elemanı
değiştirmek veya yeni bir satır eklemek ise aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(41)=1x =
3 4 5 67 8 9 1011 12 13 141 0 0 0
Bu durumda doumlrduumlncuuml
satır ilk elemanını
biz 1 değerini atadık ve diğer elemanları
kendiliğinden ldquo0rdquo
olarak atadı
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
78
İki nokta uumlst uumlste () kullanılarak belirli aralıkta değişen matrisler yaratılabilir
raquo x=[127 3-10 -12]x =
1 3 5 73 2 1 0
-1 0 1 2Bir matrisin herhangi bir boumlluumlmuumlnuuml
seccedilmek iccedilin ise aşağıdaki goumlsterim
kullanılırraquo z=x(23 12)z =
3 2-1 0
Bu durumda z matris x matrisinin 2 ve 3 norsquo
lu satırlarından 1 ve 2 norsquo
lu suumltunlarını
almış
oluyor
Herhangi bir satır veya suumltunu tamamen silmek istersek o satır ve suumltunu seccedilip ldquo[]rdquo
ifadesine eşitleriz
raquo z(2)=[ ]z =
3 -1
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
79
Matlab size ve length komutları
yardımı
ile size matrisinizin boyutlarını
soumlyler
raquo a=[ 2 3 4 5 67 8 9 10 11]
raquo s=size(a)s =
2 5
raquo b=[ 17 11 0 30 40 50]
raquo k=length(b)k =
6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
80
a) Toplama-Ccedilıkarma Bir Sayı
ile Ccedilarpma İşlemi
İki matrisi toplamak (veya ccedilıkarmak) demek matrislerin aynı
mertebedeki elemanları teker teker toplayıp (veya ccedilıkarıp ) aynı
mertebeye yazmak demektir
Bu durumda iki matrisin de aynı mertebeden olması gereği accedilıktır
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile toplamak (veya ccedilıkarmak) demek
matrisin elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla toplamak (veya
ccedilıkarmak )demektir
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile ccedilarpmak demek ise matrisin
elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla ccedilarpmak demektir
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
81
82
Oumlrnek
raquo a=[1 2 3 4 5 6]raquo b=[7 8 9 10 11 12]
a ve b toplamıraquo sum=a+bsum =
8 10 1214 16 18
arsquo
yı
brsquo
den ccedilıkarmak
raquo diff=a-bdiff =
-6 -6 -6-6 -6 -6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
83
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] ve b=[3 -3 -41 1 5] matrisleri
veriliyor
a)
c=a+b toplam matrisini
b)
d=a-b matrisini
c)
amatrisinin her elemanınının 5 eksiğine karsılık gelen e
matrisini
d) f=2a-3b matrisini bulduran islemleri yazalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
a) c=a+b b) d=a-b c) e=a-5 d) f=a+a-b-b-b veya
f=2a-3b
84
İki matrisin ccedilarpım islemi iki biccedilimde anlasılır
1)
Aynı
mertebeden iki matrisin elemanlarını
teker teker ccedilarpıp aynı
mertebeye
yazmak demektir Bunu
islemi ile gerccedileklestiririz
2) Matematiksel anlamda iki matrisi ccedilarpmak istediğimizde birinci matris mxn
tuumlruumlnde ve ikinci matris mutlaka nxp tuumlruumlnde olmalıdır yani birinci matrisin
suumltun sayısı
ikinci matrisin satır sayısına eşit olmalıdır
Bu durumda birinci matrisin i suumltun elemanları
ile ikinci matrisin j satırındaki
elemanlar karılıklı
olarak ccedilarpılır ve sonuccedillar toplanır ve bu toplam ccedilarpım
matrisinin (ij) inci mertebeye yazılır
Matrisler arası
ccedilarpma isleminin semboluuml
de dır
b) İki Matrisin Ccedilarpımı Bir Matrisin Kuvvetleri veCcedilarpma İslemi
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
85
3) Bir a matrisinin her bir elemanının n Kuvvetlerinden olusan matrisi
bulmak iccedilin a^n islemi kullanılır
4) Satır ve suumltun sayıları
esit bir kare matrisi ardısık olarak n defa
kendisiyle ccedilarparak a matrisinin n kuvvetini bulabilirizOumlrneğin a matrisinin
karesi iccedilin aa veya a^2 kuumlbuumlnuuml
buldurmak iccedilin aaa veya a^3
doumlrduumlncuuml
kuvvetini buldurmak iccedilin aaaa veya a^4
Not) Bir a matrisinin eleman -elemana ccedilarpma islemine benzer mantıkla bir matrisin tuumlm elemanlarının kareleri kuumlbleri sinuumlsleri kosinuumlsleri logaritmalarından olusan matris bulunmak istenirse bunu sırayla aa (veya a^2) aaa (veya a^3) sin(a) cos(a) etabanında logaritması
iccedilin log(a) 10 tabanında logaritmaları
iccedilin log10(a) Biccediliminde gerccedileklestirebiliriz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
86
a) a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c1 matrisi varsa bulalım
b) a matrisi ile b matrisinin ccedilarpım matrisi olan c2 varsa bulalım
c) a matrisinin elemanları
ile c matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c3 matrisi varsa bulalım
d) a matrisi ile c matrisinin ccedilarpım matrisi olan c4 varsa bulalım
e) a matrisinin elemanlarının karelerinden olusan matris ile b matrisinin
kosinuumlslerinden olusan matrisler toplamını
bulalım
f) x=[1 00 3] matrisinin i) Karesini ii) Kuumlbuumlnuuml
iii) 10
kuvvetini bulalım
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] b=[3 -3 -41 1 5] ve c=[1 0-1 23 3] matrisleri veriliyor
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
87
Ccediloumlzuumlma) iki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirBu durumda c1 matrisi tanımlıdır ve bunu c1=ab islemi ile gerccedileklestirebilirizb) iki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdırHalbuki a matrisi 2x3 b matrisi de 2x3 olduğundan bu iki matris ccedilarpılamazc) İki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirHalbuki bu matrisler aynı mertebeden olmadığından bu iki matris eleman-elemana ccedilarpma islemi
gerccedileklemezd) İki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdıra matrisi 2x3 luumlk c matrisi de 3x2 lik olduğundan bu iki matris ccedilarpılabilir ve c4 ccedilarpım matrisi 2x2 lik bir matris olurc4 ccedilarpım matrisini c4=ac islemi ile buluruze) a^2+cos(b)f) i) x^2 ii) x^3 iii) x^10
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
88
c) Bir Matrisin Devriğini (Transpozesi) Bulma İslemi
Bir matrisin satırlarını suumltun suumltunlarını satır olarak yazılmasıyla
bulunan matrise bu matrisin devriği (transpozesi) denir
Bir matrisin devriğini islemi ile bulabiliriz
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] nın devriğini buldurup d matrisine atayalım
Ccediloumlzuumlm d=a
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
89
Oumlrnek
b=[7 8 9 10 11 12] matrisinin transpozesini bulabilirmisiniz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
c=bc =
7 108 119 12
90
SORU
a=[1 2 3 4 5 6]
c= [710811912]
ise a ve crsquonin ccedilarpım matrisi
kaccediltır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
Ccedilarpma işlemi k=ack=
50 68122 167
91
SORU
a=[1 2 3 4 5 6] b=[7 8 9 10 11 12]
ise a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan x matrisini bulalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
x=abx =
7 16 2740 55 72
92
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
Aynı mertebeden iki matrisin elemanlarını teker teker boumllerek aynı
mertebeye yazılmasına iki matrisin sol boumllmesi denir ve bu islemi ile
yapılır
a b ve c aynı mertebeden kare matrisler olmak uumlzere
c=ab ise a matrisine c nin b matrisine boumlluumlmuuml denir
c boumlluumlm matrisi islemi ile yapılır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
93
HATIRLATMA
2x2 lik i2 adlı birim matrisi i2=eye(22)
3x luumlk i3 adlı birim matrisi i2=eye(33) islemi ile olusturabiiriz
Aynı mertebeden a ve b kare matrisleri iccedilin a ile b nin ccedilarpımı birim matris ise
b matrisi a matrisinin (aynı biccedilimde a matrisi de b matrisinin) ters matrisidir
Oumlrnek
3x3 luumlk bir a kare matrisinin tersini bulmak iccedilin
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
eye(33)a veya inv(a) islemini kullanırız
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
94
Bir Matrisin Determinantı
Determinant kare matrisleri bir sayıya eşleyen fonksiyondur
Determinant fonksiyonunun kare matrisi eşlediği o sayıya matrisin
determinantı denir
A matrisinin determinantı detA veya |A| biccediliminde goumlsterilir
|A| matrislerde mutlak değer anlamına gelmez |A| sıfır veya
negatif de olabilir
det(x)
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
95
KURAL
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
96
Oumlrnek
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Determinant
raquo
deter=det(x)deter =
21
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
97
Oumlrnek Inverse işlemi
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Detx=det(x)=21 ise
raquo y=inv(x)y =
821 121 -521 221
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
98
SORU
a=[2 -10 01 2 43 0 1] matrisi ile b=[1 5 41 -1 20 1 -1] matrisleri veriliyor
a)
a matrisinin elemanlarını
sırasıyla b matrisinin elemanlarına boumllerek elde
edilen matrisi b1 matrisine atayalım
b) a matrisinin ta ters matrisini bulalım
c) a ile ta matrisinin ccedilarpımının 3x3 luumlk birim matris olduğunu goumlsterelim
d) a matrisinin b matrisine boumlluumlmuumlnuuml
b2 matrisine atayalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
99
Ccediloumlzuumlm
a)
b1=ab
b) ta1=eye(33)a veya ta2=inv(a)
c) ata ==eye(33)
d) b2=ab
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
23
Current Folder
Matlab dosyalarının kaydedildiği yuumlklendiği dosyaların bulunduğu
klasoumlruuml
(dizin) varsayılan klasoumlr olarak belirlemeye yarar
Aksi belirtilmedikccedile bu klasoumlr CMatlab6p5work gibi bir klasoumlrduumlr
Yada save FMATLAB_UYGkatsayilar a
katsayilarmat olarak kaydedilen a matrisininmatlab kapatılıp accedilıldıktan sonra herhangi bir zamanda geri ccedilağrılmasıiccedilin
load FMATLAB_UYGkatsayilar
komut dizisi kullanılır
Command Windowa save yazılırsa değişkenler ldquomatlabmatrdquo
veri
dosyasına kaydedilmiş olur
Matlabı
kapatıp accedilalım ve matlabmatrsquoı
ccedilağıralım
(File open matlabmat)
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
Oumlrnekgtgt a=[123 579] a = 1 2 3 5 7 9
24
MATLAB Yardım
1 Komut satırına ldquohelprdquo yazılır Bu yardım sunulabilecek konuların listesini sunar
2 help fonksyon-adı
fonksyon iccedilin yardım metnini goumlruumlntuumller
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
25
Matlab MasaUumlstuuml
Yeni M- Dosyası
Dosya Accedil Help Desk
Kayıtlı
Matlab Fonksyonu kayıt dosyası(mat) modeli figuumlruuml
ve GUI arayuumlzluuml
fonksyonları
accedilar
Veri dosyalarını
accedilar
Ccedilalışma ortamını
kaydeder
Farklı
ccedilalışma dizinini Matlaba tanıtır
Matlab arayuumlzuumlnuuml
ayarlar
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
26
Başlat Duumlğmesi
Matlab araccedil
kutuları Matlab
uygulamalarına eklenti olarak
hazırlanan ve hazır fonksyonları iccedileren paketlerdir
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
27
Başlat Duumlğmesi
Start Duumlğmesi tuumlm matlab uygulamalarına accedilılan kısayolları
iccedilermektedir
Matlab Uygulamaları
iccedilin kısa yol
Araccedil
kutularıSimulinkUy
gulaması
Demolar
Veri Sihirbazı
GUI Hazırlayıcı
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
28
Matlaba Veri Alma
Programa dışarıdan resim film veri ses dosyalarını
matris formatına ccedilevirerek bir değişken olarak atamada kullanılır
File Import Data
Oumlrnek Exel dosyası
alma
Exelde bir matrix oluşturup matlabdan import ile alınız
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
29
Matlabda Temel Kavramlar
Tuumlm programlama dillerinde olduğu gibi (Fortran C Pascal Basic vs)
Matlabın da oumlzel anlam tasıyan bazı kelimeleri vardır ki bu kelimeler değisken
olarak kullanılamazlar
Bu tuumlr kelimelere anahtar kelime (keywords) denir
Bu kelimelerin bir listesini almak iccedilin komut satırına
iskeyword komutunu yazarak elde edebiliriz
Bu kelimeler
breaklsquo case catch continue else elseif endlsquo for function global
if otherwiselsquo persistent return switch try while
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
30
Programın dili ve yardım bilgileri tamamen ingilizcedir
Kuumlccediluumlk-buumlyuumlk harf ayrımı vardır
Oumlrneğin dscrite DSCRITE ve Dscrite atamaları farklı şekilde
algılanır
Eğer istenirse ldquocasesen offrdquokomutu ile bu durum sona
erdirilebilir
raquo işareti komut promptrsquoudur
Komutlar Enter ile yuumlruumltuumlluumlr
2 Matlab Kullanımında Temel Kurallar
Matlab
31
Genel komutların isimleri ve accedilıklamaları
2 Matlab Kullanımında Temel KurallarMATLAB
32
2 Matlab Kullanımında Temel KurallarMATLAB
MATLAB kontroluumlnuuml
kullanabilmeniz iccedilin oumlzel karakterlere sahiptir Bu karakterlerin bir oumlzeti
33
2 Matlab Kullanımında Temel KurallarMatlab
34
2 Matlab Kullanımında Temel KurallarMatlab
35
İFADELER Matematiksel ve metinsel goumlsterimler ile işlemler ifadelerlesağlanır
Sayılar (Numbers)Değişkenler (Variables)İşleccediller (Operators)Fonksiyonlar (Functions)
Matlabrsquode ifadeler genellikle değişken = ifade veya sadece ifade formundadır
Sayısal Analiz
x = 4 sqrt(5) İfade
değişkensayı işleccedil fonksiyon
Bir ifade = işareti ile bir değişkene atanmamış
ise Matlab otomatik olarak sonucu ans (answer)
adı
verilen oumlzel bir değişkende saklar
3 MATRİSLER
36
o
Birden
fazla ifade
tek satırda aralarına
ya da koyarak yazılabilir
o
Yazımda
boşluk
sayısı
etkisizdir
o
Sadece
ilgili
değişken
adını
yazarak
o değişkeni ccedilağırabilirsiniz
MATRİSLER31 İFADELER
37
o MATLABrsquoda herhangi bir tip tanımlaması
veya boyut ifadesine gerek yoktur
o
MATLAB yeni bir değişken ismi ile karşılaştığında otomatik olarak ans isminde
bir değişken oluşturur ve uygun bir bellek miktarı
ayırır
oEğer değişken zaten varsa MATLAB gerekli bir bellek ayırdığında iccedileriği değişir
Oumlrneğin
o ogrenci_sayı=51
32 DeğişlenlerMatlab
Değisken
değeri değisebilen bellek alanına isaret eden değerlere
38
MATLAB değişken girişleri iccedilin ccedileşitli kurallara sahiptir
Her değişken bir harfle başlamak zorundadır
Program buumlyuumlk kuumlccediluumlk harf duyarlıdır X ve x farklı değişkenleri ifade eder
Program 31 basamağa kadar duyarlıdır Bu basamaktan sonrasını yok sayar
Dolayısıyla 31 basamaktan uzun değişken isimleri karışıklık yaratabilir
32 DeğişlenlerMatlab
39
Değiskenlere Değer Atama
Her hangi bir programlama dilinde olduğu gibi Matlabrsquoda da bir değiskene
değer verme islemine rdquodeğer atamakrdquo denir
Bir değiskene atanan değer değistirilmediği suumlrece aynı kalır
Değer atamanın genel kullanımı asağıdaki biccediliminde olur
ltDeğisken adıgt=ltAtanacak değergt
32 DeğişlenlerMatlab
40
Oumlrnek 2
A=6i-7 A değişkenine skaler bir değer atar
B=A 7
B değişkenine A değişkeninin 17 si atanmıştır
C=[3 4 5 6]
4 elemanlı
bir satır vektoumlruuml
atanmıştır
NOT
Dizi girişinde herhangi bir satıra ait elemanlar aralarına boşluk veya virguumll ldquordquo konularak ayrılır
Dizinin diğer bir satırına başlamak iccedilin biten satır sonuna konulur
32 DeğişlenlerMatlab
41
oMATLABrsquoda sayılar yaygın olarak kullanılan onluk tabanda ifade edilirler
o
Bunun yanısıra onluk tabanda uumlstel olarak veya i veya j olarak kompleks sayı biccedilimlerinde de ifade edilebilirler
oOumlrnek olarak
33 Sayılar
Matlab da i
ve j
başka tuumlrluuml
tanımlanmamışsa kompleks i sayısını
goumlsterir 3e5 sayısıda 3105
anlamındadır
MATRİSLER
42
o
Ondalık sayılar Tuumlrkccedilemizdeki
35 yerine
35 şeklinde
goumlsterilir
(00001 veya 963
065 yerine 65)
o
Bilimsel
notasyon
goumlsterimi olan e
(veya E) harfi
10rsquonun kuvvetini
temsil eder
o 2e4=2104=2000 veya
165e-20=16510-20
demektir
o
Kompleks
sayılarda
imajiner
(sanal) kısımlar
i
veya
j
ekini
alır
i veya
j
ile
gosterimlerinde
bir
fark
yoktur
o (1+3i veya 1+3i veya 1+i3) 1+sqrt(3)j
-5i
o
Matlabrsquode
tuumlm
sayılar yaklaşık 210308 ve
210-308 arasında
değişir
33 Sayılar
MATRİSLER
43
Sayı
Formatları
33 SayılarMatlabMATRİSLER
44
oMatlabda bir ccedilok eylem doumlrt islem ve matematiksel bazı
islemler
yaptırabiliriz
oBunun iccedilin ya ilgili komutları
komut penceresinden teker teker girerek veya
ilgili komutları
bir dosyaya yazıp o dosyayı
ccedilağırarak ccedilalıstırabiliriz
oİşlemleri yaptırırken sayıları
reel sayı
ya da karmasık sayı
olarak alabiliriz
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
45
Matematiksel ifadeleri oluşturmak iccedilin operatoumlrler ve oumlnceden tanımlanmış sembolleri kullanabilirsiniz
oOperatoumlrler oumlzetle şunlardır
oMatrislerle yapılan işlemlerde boumllme işlemi iccedilin iki farklı
sembol kullanılmaktadıroBunun yanında eğer sayılar skaler ise iki boumllme işleminin sonucu da aynı
değeri
goumlsterecektiroOumlrneğin 32 ile 23 ifadelerinin sonuccedilları
aynı
olup 15rsquodir
raquo 4+83ndash2ans =26
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
46
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
x=a + b
Bu ifadede a ve b nin toplandığı
ve x değişkeni iccedilinde saklandığıbelirtilmektedir
47
Aritmetiksel İşlemlerde Oumlncelik Durumu
oTek bir aritmetiksel durum iccedilinde birden fazla durum bir arada bulunabildiğine goumlre
hangi işlemin oumlncelik hakkına sahip olunduğunun
bilinmelidir
oMATLABrsquoda kullanılan işlemlerde işlemlerin oumlncelik
listesi
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
bazı
temel matematiksel fonksiyonların accedilıklamaları
48
o
MATLABrsquo
da işlemler soldan sağa işlerlero
İşlemler arası
oumlncelik sırası
aşağıdaki gibidir
1 ^
(Yuumlksek)2
darr
3 + -
(Duumlşuumlk)
raquo 3^(2ndash5)-632 raquo 3^2ndash5ndash632ans = ans =
mdash39630 0
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
49
35 FonksyonlarMATRİSLER
o MATLABrsquoın ccedilok guumlccedilluuml
ve ccedilok kapsamlı
bir fonksiyon yapısı
vardır
oMATLABrsquoda bazı
fonksiyonlar daha oumlnceden yerleştirilmiş
bazıları
ise sonradan
dışarıdan yerleştirilmiş
M-dosyalarından oluşan MATLAB kuumltuumlphanelerinde
tanımlanmışlardır
oBunun yanında oumlzel uygulamalar iccedilin kullanıcıların kendi fonksiyonlarını
yazarak
kendi kuumltuumlphanelerini oluşturması
muumlmkuumlnduumlr
MATLABrsquoda mevcut analitik fonksiyonları
genel olarak aşağıdaki kategorilere ayırabiliriz oTemel matematiksel fonksiyonlaroOumlzel fonksiyonlaroTemel matrisler ve matris işlemlerioMatrisleri ccedilarpanlarına ayırmaoVeri analizlerioPolinomlaroDiferansiyel denklem ccediloumlzuumlmlerioLineer olmayan denklemler ve optimizasyonoSayısal integral hesaplamalarıoSinyal işleme
50
Matematiksel Fonksiyonlar
bazı
temel matematiksel fonksiyonların accedilıklamaları
35 FonksyonlarMATRİSLER
Oumlrnekgtgtexp(1)ans=27183gtgtfix(35)ans=3gtgtceil(35)ans=4gtgtround(35)ans=4
51
Matlabda oumlnceden tanımlanmıs bazı
sabitlerdirBunlar aşağıdaki tabloda goumlsterilmistir
36 Oumlzel SabitlerMatlab
52
Oumlrnekler
1)
a=1
2)
a=rsquoİstanbulrsquo
3)
a=5b=7c=a+b
4) a=5b=-3c=a+2ba=a+b
5)
num=23-5^2 x=num2 y=x+10
7 Sabitler Değiskenler ve Metin KatarlarıMatlab
53
Oumlrnek
Komut satırına
a)
sin(30)
b)
sin(30pi180) yazınız sonuccedilları
inceleyiniz
35 FonksyonlarMATRİSLER
Cevapa) -09880 sonucu goumlruumlluumlr ki bu 30deg
nin sinuumlsuumlnde n farklıdır Ccediluumlnkuuml
bu 30deg
derece değil 30 radyanın sinuumlsuumlduumlrb) 05000 sonucu goumlruumlluumlr ki bu da 30deg
nin sinuumlsuumld uumlr O halde bir
sayının trigonometrik değerini buldurmak iccedilin oumlnce pi ile ccedilarpıp 180 e boumllerek accedilıyı
radyan ccedilevirip sonra trigonometrik değerini
hesaplatabiliriz
54
oVektoumlrler tek boyutlu sayı
dizileridir
oElemanlarının sıralanma youmlnlerine goumlre suumltun veya satır vektoumlruuml
adlarını alırlar
ovektoumlrler [ ] koumlşeli parantezleri ile tanımlanır
ofarklı
yolla tanımlanabilirler
4 VektoumlrlerMatlab
A = [4 12 -8 6]A = [4 12 -8 6]
B = [1 2 4 6]
Satır Vektoumlruuml
Suumltun Vektoumlruumlgtgt b=[1 2 4 6 ]
55
4 VektoumlrlerMatlab
ovektoumlr boyutları
buumlyuumlduumlkccedile manuel olarak tanıtım işlemi oldukccedila zorlaşmaktadır
oOumlzellikle belli bir artıma sahip vektoumlrlerin oluşturulmasında () operatoumlruuml kullanılmaktadır
C = [-105150]
Son değerBaşlangıccedil değeri Artış
miktarı
Drsquo
= [30-10-30]
Suumltun Vektoumlruuml
56
Vektoumlr indisleri
4 VektoumlrlerMatlab
Bir vektoumlruumln elemanlarına atanılan değer değişkenler editoumlruuml
veya eleman adresi vasıtasıyla değiştirilebilir
OumlrnekA = [4 12 -8 6]1 A vektoumlruumlnuumln 3 elemanını
27 ile değiştiriniz
2 Benzer şekilde A vektoumlruumlnuumln 2 elemanını
siliniz 3 A(9) = 12
Ccediloumlzuumlm1 A(3) = 272 Vektoumlruumln elemanına [ ] değeri atandığında eleman silinirA(2) = [ ]3 gtgt A(9) = 12
A= [ 4 27 6]
A =[ 2 27 7 0 0 0 0 0 12]
57
raquo x=[17 8 61 83 56]
Şeklindeki bir matrisin uumlccediluumlncuuml
elemanına erişmek istenirse
raquo c=x(3)
c =
61
Eğer bir blok şeklinde veriye erişilmek istenirse
raquo x(24)
ans =
8 61 83
Her matristeki herhangi bir elman grubuna erişilmek istenirse
raquo x([3 1 4])
ans =
61 17 83
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
58
Bir diziye duumlzenli artıs (veya azalıs) kuralıyla değerler atanmak isteniyorsa
bunu
ilk_değerartısson değer veya ilk_değerartısson değer
biccediliminde yapabiliriz
Ancak artıs 1 ise belirtilmeyebilirOumlrnekortalama adlı
bir diziye 0 dan 5 e kadar 05 er artısla elde edilen sayı
dizisini atayanortalama=[0055]
Siz 1 satır 7 den den 17 ye kadar olan tam sayılar 2 satırı
99 dan 89 a kadar azalan tam sayılardan olusan 2 boyutlu m dizisine atayan islemleri yazınız
Dizilerin Değerlerinin Değistirilmesi ve Duumlzenlenmesi
4 VektoumlrlerMatlab
59
4 VektoumlrlerMatlab
60
Sayılardan olusan satır ve suumltun yapısına matris (dizi) denir
Oumlrneğin
d1=[5] 1x1 lik
d2=[ 2 -7] 1x2 lik
d3= [1 0 -3 ]
[ 5 3 1 ]
2x3 luumlk bir dizidir
Oumlrnekx=[1 7 18 5]Ya daraquo x=[ 1
7185 ]
Biccedilimlerinde girilebilir
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
61
Dizilerin Değerlerinin Değistirilmesi ve DuumlzenlenmesiBir dizinin herhangi bir elemanını belirlemek iccedilin dizi adından hemen sonra
parantez iccedilinde elemanın bulunduğu satır ve suumltun sayısı yazılmalıdır
Oumlrnek 1 d2=[2 -7]d2 dizisinin -7 elemanını
goumlruumlntuumllemek iccedilin
d2(12)
2 d3=[1 0 -35 3 1]d3 dizisinin 2 satır 1 suumltununda bulunan 5 in değerinin -75 olması
iccedilin
d3(21)=-75
Not1) Bir dizinin bir ccedilok elemanını
yeniden değer atamak gerekirse komut satırından atama yapmak uzun zaman alabilirBu durumda dizi değiskeninin uumlzerine ccedilift tıklayarak accedilılan dizi editoumlruuml
(array edit) yardımıyla değisiklikleri daha kolay yapabiliriz
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
62
8 Matrisler(Dizi)Matlab
Bir matrisi girerken o1 Elemanlar baştan ve sondan koumlşeli parantezlerle kapatılıro2 Elemanların arasına boşluk veya virguumll konuluro3 Matris satırlarını
ayırmak iccedilin de noktalı
virguumll kullanılır
okurallarına dikkate alınmalıdır
Oumlrneğin
A = [1 2 3 4 5 6]A =
1 2 34 5 6
şeklinde veriler matrisler biccediliminde tanımlanır MATLAB daha sonra kullanılmak uumlzere verileri A matrisinde saklar
63
Matris elemanları
rasgele rakamlardan oluşabileceği gibi MATLABrsquoın deyimlerinden de oluşabilir
51 Matrislerde ElemanlarMatlab
Oumlrneğin
a=[-13 sqrt(3) (1+2+3)475]
a= -13000 17321 48000
Kuumlccediluumlk matrisleri eleman olarak kullanıp daha buumlyuumlk matrisler oluşturmak muumlmkuumlnduumlr
OumlrneğinM=[1 3 5
7 8 9] matrisine
aşağıda goumlsterildiği şekilde bir satır eklemesi yapabilir
M=[M[10 13 15]]
Bu durumda M matrisiM=[1 3 5
7 8 910 13 15]
durumunu alır
64
İki nokta uumlst uumlste () kullanarak buumlyuumlk matrislerin belli bir kısmını
kullanabiliriz
ya da diğer ifade ile bu matrisi kuumlccediluumlltebiliriz
Oumlrneğin
M=M(12) bildirimi M matrisinin ilk iki satırını
alarak M matrisi
olarak saklar
Oumlrnek
M=[8 -4 7 66 -7 8 9 4 5 134] ise
M=M(12) =
8 1 Matrislerde ElemanlarMatlab
65
MATLABrsquoda kullanıcı
verileri kendi oluşturacağı
matrisler ile tanımlayabileceği gibi MATLABrsquoın kendi oumlzel matrislerinden de istifade edilebilir
52 Genel MatrislerMatlab
66
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
a) Sıfır Matrisi Olusturan Fonksiyon
Her elemanı sıfır olan mxn boyutunda bir matrise sıfır matrisi denir
Boumlyle bir dizi olusturmak iccedilin zeros fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=zeros(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
3x5 boyutunda s adlı
sıfır matrisi iccedilin
s=zeros(35)
52 Genel MatrislerMatlab
67
b) 1 lerden Olusan Matris
Her elemanı 1 olan mxn boyutunda bir matrisi olusturmak iccedilin ones
fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matria_adı=ones(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
2x3 boyutunda b adlı
tuumlm elemanları
1 olan matrisi olusturalım
b=ones(23)
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
52 Genel MatrislerMatlab
68
c) Birim Matrisi Olusturan Fonksiyon
Esas koumlsegeni 1 lerden diğer elemanları 0 lardan olusan kare matrise (satır
ve suumltun sayısı esit olan ) birim matrisi
kare olmayan matrise de diyagonal matris denir
Boumlyle matrisleri olusturmak iccedilin eye fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=eye(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
a)
3x3 luumlk birim matris
b) 4x3 lluumlk diyagonal matris olusturalım
Ccediloumlzuumlma) i=eye(33) b) d=eye(43)
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar52 Genel MatrislerMatlab
69
d) Rastgele Sayılardan Olusan Matris ve Fonksiyonu
Elemanları 0 ile 1 arasındaki rastgele sayılardan olusan bir matris iccedilin
rand fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=rand(mn) biccedilimindedir(msatırnsuumltun)
Not 1) Uumlretilen matrisin tuumlm elemanlarını k gibi bir sayı ile ccedilarparak
sayıları 0 ile k arasına ccedilekebiliriz
Not 2) Ondalıklı sayılardan olusmus bir matrisin elemanlarını
yuvarlayıp tam sayı yapmak iccedilin round fonksiyonunu kullanırız
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar52 Genel MatrislerMatlab
70
Oumlrnek
a) 0 ile 1 arasında rastgele sayılardan olusan 10 elemanlı
a adında bir satır
matrisi olusturalım
b) Elemanları
10 ile 50 arasında sayılardan olusan 5x3 tipinde b matrisini
olusturalım
c) Elemanları
50 ile 300 arasındaki tamsayılardan olusan 3x4 tipinde c matrisini
olusturalım
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
d) Rastgele Sayılardan Olusan Matris ve Fonksiyonu
52 Genel MatrislerMatlab
71
Ccediloumlzuumlm
a)
a=rand(110)
b)
b=10+rand(53)40
c) c=round(50+rand(34)250)
52 Genel MatrislerMatlab
72
e) Rastgele Sayılardan Olusan Normal Dağılımlı
Matris veFonksiyonu
Elemanları rasstgele sayılardan olusan bir normal dağılımlı bir matris iccedilin
randn fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=randn(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek Rastgele sayılardan olusan normal dağılımlı 2x3 luumlk bir n matrisini
olusturalım
Ccediloumlzuumlm n=randn(23)
52 Genel MatrislerMatlab
73
f) Lineer Aralıklı
(Aritmetik) Dizi ve Fonksiyonu
Baslangıccedil ve biis değerleri ve kaccedil elemandan olusacağı belirlenen diziyi
olusturmak iccedilin linspace fonksiyonu kullanılır
Kullanımı
dizi_adı=linspace(ilk_değerson_değereleman_sayısı)
biccedilimindedir
52 Genel MatrislerMatlab
74
Oumlrnek 10 ile 30 arasına 9 tane daha sayı
koyarak aadında bir aritmetik dizi olusturalım
f) Lineer Aralıklı
(Aritmetik) Dizi ve Fonksiyonu
52 Genel MatrislerMatlab
Cevapa=linspace(103011)
75
Elimizdeki grubun her elemanı iccedilin bir matematik işlemi yapıp bunu yeni bir
diziye atarken herhangi bir sorun yoktur
Fakat iki farklı grupla işlemler yaparken dikkat etmemiz gereken genel
kurallar vardır
Oumlrneğin toplama ve ccedilıkarma yaparken iki dizinin de buumlyuumlkluumlğuumlnuumln eşit
olması gerekmektedir
Ayrıca iki farklı dizinin elemanları arasında birebir işlem yapmak iccedilin
matematik operatoumlruumlnuumln başına nokta() koymak gerekir
Bu durumda her bir elemanı diğer dizinin o sıradaki elmanı ile işleme
sokacaktır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
76
Birden fazla satır ve suumltuna sahip vektoumlrlere matris denir Noktalı
virguumll ()
işareti ile kolonları
ve virguumlle işareti ya da boşluk
bırakarak da bir sıradaki elemanları
ayırabilirizOumlrnekraquo x=[ 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14]x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14Yukarıdaki 3x4 boyutunda bir matristir MATLAB programına aşağıdaki
gibi de sunulabilirraquo x=[ 3 4 5 6
7 8 9 1011 12 13 14]
x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
77
Matristeki herhangi bir elemana direk ulaşmak iccedilin aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(23)=9
Eğer isteğimiz eriştiğimiz bir elemanı
değiştirmek veya yeni bir satır eklemek ise aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(41)=1x =
3 4 5 67 8 9 1011 12 13 141 0 0 0
Bu durumda doumlrduumlncuuml
satır ilk elemanını
biz 1 değerini atadık ve diğer elemanları
kendiliğinden ldquo0rdquo
olarak atadı
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
78
İki nokta uumlst uumlste () kullanılarak belirli aralıkta değişen matrisler yaratılabilir
raquo x=[127 3-10 -12]x =
1 3 5 73 2 1 0
-1 0 1 2Bir matrisin herhangi bir boumlluumlmuumlnuuml
seccedilmek iccedilin ise aşağıdaki goumlsterim
kullanılırraquo z=x(23 12)z =
3 2-1 0
Bu durumda z matris x matrisinin 2 ve 3 norsquo
lu satırlarından 1 ve 2 norsquo
lu suumltunlarını
almış
oluyor
Herhangi bir satır veya suumltunu tamamen silmek istersek o satır ve suumltunu seccedilip ldquo[]rdquo
ifadesine eşitleriz
raquo z(2)=[ ]z =
3 -1
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
79
Matlab size ve length komutları
yardımı
ile size matrisinizin boyutlarını
soumlyler
raquo a=[ 2 3 4 5 67 8 9 10 11]
raquo s=size(a)s =
2 5
raquo b=[ 17 11 0 30 40 50]
raquo k=length(b)k =
6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
80
a) Toplama-Ccedilıkarma Bir Sayı
ile Ccedilarpma İşlemi
İki matrisi toplamak (veya ccedilıkarmak) demek matrislerin aynı
mertebedeki elemanları teker teker toplayıp (veya ccedilıkarıp ) aynı
mertebeye yazmak demektir
Bu durumda iki matrisin de aynı mertebeden olması gereği accedilıktır
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile toplamak (veya ccedilıkarmak) demek
matrisin elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla toplamak (veya
ccedilıkarmak )demektir
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile ccedilarpmak demek ise matrisin
elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla ccedilarpmak demektir
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
81
82
Oumlrnek
raquo a=[1 2 3 4 5 6]raquo b=[7 8 9 10 11 12]
a ve b toplamıraquo sum=a+bsum =
8 10 1214 16 18
arsquo
yı
brsquo
den ccedilıkarmak
raquo diff=a-bdiff =
-6 -6 -6-6 -6 -6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
83
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] ve b=[3 -3 -41 1 5] matrisleri
veriliyor
a)
c=a+b toplam matrisini
b)
d=a-b matrisini
c)
amatrisinin her elemanınının 5 eksiğine karsılık gelen e
matrisini
d) f=2a-3b matrisini bulduran islemleri yazalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
a) c=a+b b) d=a-b c) e=a-5 d) f=a+a-b-b-b veya
f=2a-3b
84
İki matrisin ccedilarpım islemi iki biccedilimde anlasılır
1)
Aynı
mertebeden iki matrisin elemanlarını
teker teker ccedilarpıp aynı
mertebeye
yazmak demektir Bunu
islemi ile gerccedileklestiririz
2) Matematiksel anlamda iki matrisi ccedilarpmak istediğimizde birinci matris mxn
tuumlruumlnde ve ikinci matris mutlaka nxp tuumlruumlnde olmalıdır yani birinci matrisin
suumltun sayısı
ikinci matrisin satır sayısına eşit olmalıdır
Bu durumda birinci matrisin i suumltun elemanları
ile ikinci matrisin j satırındaki
elemanlar karılıklı
olarak ccedilarpılır ve sonuccedillar toplanır ve bu toplam ccedilarpım
matrisinin (ij) inci mertebeye yazılır
Matrisler arası
ccedilarpma isleminin semboluuml
de dır
b) İki Matrisin Ccedilarpımı Bir Matrisin Kuvvetleri veCcedilarpma İslemi
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
85
3) Bir a matrisinin her bir elemanının n Kuvvetlerinden olusan matrisi
bulmak iccedilin a^n islemi kullanılır
4) Satır ve suumltun sayıları
esit bir kare matrisi ardısık olarak n defa
kendisiyle ccedilarparak a matrisinin n kuvvetini bulabilirizOumlrneğin a matrisinin
karesi iccedilin aa veya a^2 kuumlbuumlnuuml
buldurmak iccedilin aaa veya a^3
doumlrduumlncuuml
kuvvetini buldurmak iccedilin aaaa veya a^4
Not) Bir a matrisinin eleman -elemana ccedilarpma islemine benzer mantıkla bir matrisin tuumlm elemanlarının kareleri kuumlbleri sinuumlsleri kosinuumlsleri logaritmalarından olusan matris bulunmak istenirse bunu sırayla aa (veya a^2) aaa (veya a^3) sin(a) cos(a) etabanında logaritması
iccedilin log(a) 10 tabanında logaritmaları
iccedilin log10(a) Biccediliminde gerccedileklestirebiliriz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
86
a) a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c1 matrisi varsa bulalım
b) a matrisi ile b matrisinin ccedilarpım matrisi olan c2 varsa bulalım
c) a matrisinin elemanları
ile c matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c3 matrisi varsa bulalım
d) a matrisi ile c matrisinin ccedilarpım matrisi olan c4 varsa bulalım
e) a matrisinin elemanlarının karelerinden olusan matris ile b matrisinin
kosinuumlslerinden olusan matrisler toplamını
bulalım
f) x=[1 00 3] matrisinin i) Karesini ii) Kuumlbuumlnuuml
iii) 10
kuvvetini bulalım
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] b=[3 -3 -41 1 5] ve c=[1 0-1 23 3] matrisleri veriliyor
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
87
Ccediloumlzuumlma) iki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirBu durumda c1 matrisi tanımlıdır ve bunu c1=ab islemi ile gerccedileklestirebilirizb) iki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdırHalbuki a matrisi 2x3 b matrisi de 2x3 olduğundan bu iki matris ccedilarpılamazc) İki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirHalbuki bu matrisler aynı mertebeden olmadığından bu iki matris eleman-elemana ccedilarpma islemi
gerccedileklemezd) İki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdıra matrisi 2x3 luumlk c matrisi de 3x2 lik olduğundan bu iki matris ccedilarpılabilir ve c4 ccedilarpım matrisi 2x2 lik bir matris olurc4 ccedilarpım matrisini c4=ac islemi ile buluruze) a^2+cos(b)f) i) x^2 ii) x^3 iii) x^10
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
88
c) Bir Matrisin Devriğini (Transpozesi) Bulma İslemi
Bir matrisin satırlarını suumltun suumltunlarını satır olarak yazılmasıyla
bulunan matrise bu matrisin devriği (transpozesi) denir
Bir matrisin devriğini islemi ile bulabiliriz
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] nın devriğini buldurup d matrisine atayalım
Ccediloumlzuumlm d=a
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
89
Oumlrnek
b=[7 8 9 10 11 12] matrisinin transpozesini bulabilirmisiniz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
c=bc =
7 108 119 12
90
SORU
a=[1 2 3 4 5 6]
c= [710811912]
ise a ve crsquonin ccedilarpım matrisi
kaccediltır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
Ccedilarpma işlemi k=ack=
50 68122 167
91
SORU
a=[1 2 3 4 5 6] b=[7 8 9 10 11 12]
ise a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan x matrisini bulalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
x=abx =
7 16 2740 55 72
92
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
Aynı mertebeden iki matrisin elemanlarını teker teker boumllerek aynı
mertebeye yazılmasına iki matrisin sol boumllmesi denir ve bu islemi ile
yapılır
a b ve c aynı mertebeden kare matrisler olmak uumlzere
c=ab ise a matrisine c nin b matrisine boumlluumlmuuml denir
c boumlluumlm matrisi islemi ile yapılır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
93
HATIRLATMA
2x2 lik i2 adlı birim matrisi i2=eye(22)
3x luumlk i3 adlı birim matrisi i2=eye(33) islemi ile olusturabiiriz
Aynı mertebeden a ve b kare matrisleri iccedilin a ile b nin ccedilarpımı birim matris ise
b matrisi a matrisinin (aynı biccedilimde a matrisi de b matrisinin) ters matrisidir
Oumlrnek
3x3 luumlk bir a kare matrisinin tersini bulmak iccedilin
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
eye(33)a veya inv(a) islemini kullanırız
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
94
Bir Matrisin Determinantı
Determinant kare matrisleri bir sayıya eşleyen fonksiyondur
Determinant fonksiyonunun kare matrisi eşlediği o sayıya matrisin
determinantı denir
A matrisinin determinantı detA veya |A| biccediliminde goumlsterilir
|A| matrislerde mutlak değer anlamına gelmez |A| sıfır veya
negatif de olabilir
det(x)
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
95
KURAL
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
96
Oumlrnek
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Determinant
raquo
deter=det(x)deter =
21
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
97
Oumlrnek Inverse işlemi
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Detx=det(x)=21 ise
raquo y=inv(x)y =
821 121 -521 221
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
98
SORU
a=[2 -10 01 2 43 0 1] matrisi ile b=[1 5 41 -1 20 1 -1] matrisleri veriliyor
a)
a matrisinin elemanlarını
sırasıyla b matrisinin elemanlarına boumllerek elde
edilen matrisi b1 matrisine atayalım
b) a matrisinin ta ters matrisini bulalım
c) a ile ta matrisinin ccedilarpımının 3x3 luumlk birim matris olduğunu goumlsterelim
d) a matrisinin b matrisine boumlluumlmuumlnuuml
b2 matrisine atayalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
99
Ccediloumlzuumlm
a)
b1=ab
b) ta1=eye(33)a veya ta2=inv(a)
c) ata ==eye(33)
d) b2=ab
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
24
MATLAB Yardım
1 Komut satırına ldquohelprdquo yazılır Bu yardım sunulabilecek konuların listesini sunar
2 help fonksyon-adı
fonksyon iccedilin yardım metnini goumlruumlntuumller
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
25
Matlab MasaUumlstuuml
Yeni M- Dosyası
Dosya Accedil Help Desk
Kayıtlı
Matlab Fonksyonu kayıt dosyası(mat) modeli figuumlruuml
ve GUI arayuumlzluuml
fonksyonları
accedilar
Veri dosyalarını
accedilar
Ccedilalışma ortamını
kaydeder
Farklı
ccedilalışma dizinini Matlaba tanıtır
Matlab arayuumlzuumlnuuml
ayarlar
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
26
Başlat Duumlğmesi
Matlab araccedil
kutuları Matlab
uygulamalarına eklenti olarak
hazırlanan ve hazır fonksyonları iccedileren paketlerdir
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
27
Başlat Duumlğmesi
Start Duumlğmesi tuumlm matlab uygulamalarına accedilılan kısayolları
iccedilermektedir
Matlab Uygulamaları
iccedilin kısa yol
Araccedil
kutularıSimulinkUy
gulaması
Demolar
Veri Sihirbazı
GUI Hazırlayıcı
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
28
Matlaba Veri Alma
Programa dışarıdan resim film veri ses dosyalarını
matris formatına ccedilevirerek bir değişken olarak atamada kullanılır
File Import Data
Oumlrnek Exel dosyası
alma
Exelde bir matrix oluşturup matlabdan import ile alınız
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
29
Matlabda Temel Kavramlar
Tuumlm programlama dillerinde olduğu gibi (Fortran C Pascal Basic vs)
Matlabın da oumlzel anlam tasıyan bazı kelimeleri vardır ki bu kelimeler değisken
olarak kullanılamazlar
Bu tuumlr kelimelere anahtar kelime (keywords) denir
Bu kelimelerin bir listesini almak iccedilin komut satırına
iskeyword komutunu yazarak elde edebiliriz
Bu kelimeler
breaklsquo case catch continue else elseif endlsquo for function global
if otherwiselsquo persistent return switch try while
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
30
Programın dili ve yardım bilgileri tamamen ingilizcedir
Kuumlccediluumlk-buumlyuumlk harf ayrımı vardır
Oumlrneğin dscrite DSCRITE ve Dscrite atamaları farklı şekilde
algılanır
Eğer istenirse ldquocasesen offrdquokomutu ile bu durum sona
erdirilebilir
raquo işareti komut promptrsquoudur
Komutlar Enter ile yuumlruumltuumlluumlr
2 Matlab Kullanımında Temel Kurallar
Matlab
31
Genel komutların isimleri ve accedilıklamaları
2 Matlab Kullanımında Temel KurallarMATLAB
32
2 Matlab Kullanımında Temel KurallarMATLAB
MATLAB kontroluumlnuuml
kullanabilmeniz iccedilin oumlzel karakterlere sahiptir Bu karakterlerin bir oumlzeti
33
2 Matlab Kullanımında Temel KurallarMatlab
34
2 Matlab Kullanımında Temel KurallarMatlab
35
İFADELER Matematiksel ve metinsel goumlsterimler ile işlemler ifadelerlesağlanır
Sayılar (Numbers)Değişkenler (Variables)İşleccediller (Operators)Fonksiyonlar (Functions)
Matlabrsquode ifadeler genellikle değişken = ifade veya sadece ifade formundadır
Sayısal Analiz
x = 4 sqrt(5) İfade
değişkensayı işleccedil fonksiyon
Bir ifade = işareti ile bir değişkene atanmamış
ise Matlab otomatik olarak sonucu ans (answer)
adı
verilen oumlzel bir değişkende saklar
3 MATRİSLER
36
o
Birden
fazla ifade
tek satırda aralarına
ya da koyarak yazılabilir
o
Yazımda
boşluk
sayısı
etkisizdir
o
Sadece
ilgili
değişken
adını
yazarak
o değişkeni ccedilağırabilirsiniz
MATRİSLER31 İFADELER
37
o MATLABrsquoda herhangi bir tip tanımlaması
veya boyut ifadesine gerek yoktur
o
MATLAB yeni bir değişken ismi ile karşılaştığında otomatik olarak ans isminde
bir değişken oluşturur ve uygun bir bellek miktarı
ayırır
oEğer değişken zaten varsa MATLAB gerekli bir bellek ayırdığında iccedileriği değişir
Oumlrneğin
o ogrenci_sayı=51
32 DeğişlenlerMatlab
Değisken
değeri değisebilen bellek alanına isaret eden değerlere
38
MATLAB değişken girişleri iccedilin ccedileşitli kurallara sahiptir
Her değişken bir harfle başlamak zorundadır
Program buumlyuumlk kuumlccediluumlk harf duyarlıdır X ve x farklı değişkenleri ifade eder
Program 31 basamağa kadar duyarlıdır Bu basamaktan sonrasını yok sayar
Dolayısıyla 31 basamaktan uzun değişken isimleri karışıklık yaratabilir
32 DeğişlenlerMatlab
39
Değiskenlere Değer Atama
Her hangi bir programlama dilinde olduğu gibi Matlabrsquoda da bir değiskene
değer verme islemine rdquodeğer atamakrdquo denir
Bir değiskene atanan değer değistirilmediği suumlrece aynı kalır
Değer atamanın genel kullanımı asağıdaki biccediliminde olur
ltDeğisken adıgt=ltAtanacak değergt
32 DeğişlenlerMatlab
40
Oumlrnek 2
A=6i-7 A değişkenine skaler bir değer atar
B=A 7
B değişkenine A değişkeninin 17 si atanmıştır
C=[3 4 5 6]
4 elemanlı
bir satır vektoumlruuml
atanmıştır
NOT
Dizi girişinde herhangi bir satıra ait elemanlar aralarına boşluk veya virguumll ldquordquo konularak ayrılır
Dizinin diğer bir satırına başlamak iccedilin biten satır sonuna konulur
32 DeğişlenlerMatlab
41
oMATLABrsquoda sayılar yaygın olarak kullanılan onluk tabanda ifade edilirler
o
Bunun yanısıra onluk tabanda uumlstel olarak veya i veya j olarak kompleks sayı biccedilimlerinde de ifade edilebilirler
oOumlrnek olarak
33 Sayılar
Matlab da i
ve j
başka tuumlrluuml
tanımlanmamışsa kompleks i sayısını
goumlsterir 3e5 sayısıda 3105
anlamındadır
MATRİSLER
42
o
Ondalık sayılar Tuumlrkccedilemizdeki
35 yerine
35 şeklinde
goumlsterilir
(00001 veya 963
065 yerine 65)
o
Bilimsel
notasyon
goumlsterimi olan e
(veya E) harfi
10rsquonun kuvvetini
temsil eder
o 2e4=2104=2000 veya
165e-20=16510-20
demektir
o
Kompleks
sayılarda
imajiner
(sanal) kısımlar
i
veya
j
ekini
alır
i veya
j
ile
gosterimlerinde
bir
fark
yoktur
o (1+3i veya 1+3i veya 1+i3) 1+sqrt(3)j
-5i
o
Matlabrsquode
tuumlm
sayılar yaklaşık 210308 ve
210-308 arasında
değişir
33 Sayılar
MATRİSLER
43
Sayı
Formatları
33 SayılarMatlabMATRİSLER
44
oMatlabda bir ccedilok eylem doumlrt islem ve matematiksel bazı
islemler
yaptırabiliriz
oBunun iccedilin ya ilgili komutları
komut penceresinden teker teker girerek veya
ilgili komutları
bir dosyaya yazıp o dosyayı
ccedilağırarak ccedilalıstırabiliriz
oİşlemleri yaptırırken sayıları
reel sayı
ya da karmasık sayı
olarak alabiliriz
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
45
Matematiksel ifadeleri oluşturmak iccedilin operatoumlrler ve oumlnceden tanımlanmış sembolleri kullanabilirsiniz
oOperatoumlrler oumlzetle şunlardır
oMatrislerle yapılan işlemlerde boumllme işlemi iccedilin iki farklı
sembol kullanılmaktadıroBunun yanında eğer sayılar skaler ise iki boumllme işleminin sonucu da aynı
değeri
goumlsterecektiroOumlrneğin 32 ile 23 ifadelerinin sonuccedilları
aynı
olup 15rsquodir
raquo 4+83ndash2ans =26
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
46
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
x=a + b
Bu ifadede a ve b nin toplandığı
ve x değişkeni iccedilinde saklandığıbelirtilmektedir
47
Aritmetiksel İşlemlerde Oumlncelik Durumu
oTek bir aritmetiksel durum iccedilinde birden fazla durum bir arada bulunabildiğine goumlre
hangi işlemin oumlncelik hakkına sahip olunduğunun
bilinmelidir
oMATLABrsquoda kullanılan işlemlerde işlemlerin oumlncelik
listesi
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
bazı
temel matematiksel fonksiyonların accedilıklamaları
48
o
MATLABrsquo
da işlemler soldan sağa işlerlero
İşlemler arası
oumlncelik sırası
aşağıdaki gibidir
1 ^
(Yuumlksek)2
darr
3 + -
(Duumlşuumlk)
raquo 3^(2ndash5)-632 raquo 3^2ndash5ndash632ans = ans =
mdash39630 0
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
49
35 FonksyonlarMATRİSLER
o MATLABrsquoın ccedilok guumlccedilluuml
ve ccedilok kapsamlı
bir fonksiyon yapısı
vardır
oMATLABrsquoda bazı
fonksiyonlar daha oumlnceden yerleştirilmiş
bazıları
ise sonradan
dışarıdan yerleştirilmiş
M-dosyalarından oluşan MATLAB kuumltuumlphanelerinde
tanımlanmışlardır
oBunun yanında oumlzel uygulamalar iccedilin kullanıcıların kendi fonksiyonlarını
yazarak
kendi kuumltuumlphanelerini oluşturması
muumlmkuumlnduumlr
MATLABrsquoda mevcut analitik fonksiyonları
genel olarak aşağıdaki kategorilere ayırabiliriz oTemel matematiksel fonksiyonlaroOumlzel fonksiyonlaroTemel matrisler ve matris işlemlerioMatrisleri ccedilarpanlarına ayırmaoVeri analizlerioPolinomlaroDiferansiyel denklem ccediloumlzuumlmlerioLineer olmayan denklemler ve optimizasyonoSayısal integral hesaplamalarıoSinyal işleme
50
Matematiksel Fonksiyonlar
bazı
temel matematiksel fonksiyonların accedilıklamaları
35 FonksyonlarMATRİSLER
Oumlrnekgtgtexp(1)ans=27183gtgtfix(35)ans=3gtgtceil(35)ans=4gtgtround(35)ans=4
51
Matlabda oumlnceden tanımlanmıs bazı
sabitlerdirBunlar aşağıdaki tabloda goumlsterilmistir
36 Oumlzel SabitlerMatlab
52
Oumlrnekler
1)
a=1
2)
a=rsquoİstanbulrsquo
3)
a=5b=7c=a+b
4) a=5b=-3c=a+2ba=a+b
5)
num=23-5^2 x=num2 y=x+10
7 Sabitler Değiskenler ve Metin KatarlarıMatlab
53
Oumlrnek
Komut satırına
a)
sin(30)
b)
sin(30pi180) yazınız sonuccedilları
inceleyiniz
35 FonksyonlarMATRİSLER
Cevapa) -09880 sonucu goumlruumlluumlr ki bu 30deg
nin sinuumlsuumlnde n farklıdır Ccediluumlnkuuml
bu 30deg
derece değil 30 radyanın sinuumlsuumlduumlrb) 05000 sonucu goumlruumlluumlr ki bu da 30deg
nin sinuumlsuumld uumlr O halde bir
sayının trigonometrik değerini buldurmak iccedilin oumlnce pi ile ccedilarpıp 180 e boumllerek accedilıyı
radyan ccedilevirip sonra trigonometrik değerini
hesaplatabiliriz
54
oVektoumlrler tek boyutlu sayı
dizileridir
oElemanlarının sıralanma youmlnlerine goumlre suumltun veya satır vektoumlruuml
adlarını alırlar
ovektoumlrler [ ] koumlşeli parantezleri ile tanımlanır
ofarklı
yolla tanımlanabilirler
4 VektoumlrlerMatlab
A = [4 12 -8 6]A = [4 12 -8 6]
B = [1 2 4 6]
Satır Vektoumlruuml
Suumltun Vektoumlruumlgtgt b=[1 2 4 6 ]
55
4 VektoumlrlerMatlab
ovektoumlr boyutları
buumlyuumlduumlkccedile manuel olarak tanıtım işlemi oldukccedila zorlaşmaktadır
oOumlzellikle belli bir artıma sahip vektoumlrlerin oluşturulmasında () operatoumlruuml kullanılmaktadır
C = [-105150]
Son değerBaşlangıccedil değeri Artış
miktarı
Drsquo
= [30-10-30]
Suumltun Vektoumlruuml
56
Vektoumlr indisleri
4 VektoumlrlerMatlab
Bir vektoumlruumln elemanlarına atanılan değer değişkenler editoumlruuml
veya eleman adresi vasıtasıyla değiştirilebilir
OumlrnekA = [4 12 -8 6]1 A vektoumlruumlnuumln 3 elemanını
27 ile değiştiriniz
2 Benzer şekilde A vektoumlruumlnuumln 2 elemanını
siliniz 3 A(9) = 12
Ccediloumlzuumlm1 A(3) = 272 Vektoumlruumln elemanına [ ] değeri atandığında eleman silinirA(2) = [ ]3 gtgt A(9) = 12
A= [ 4 27 6]
A =[ 2 27 7 0 0 0 0 0 12]
57
raquo x=[17 8 61 83 56]
Şeklindeki bir matrisin uumlccediluumlncuuml
elemanına erişmek istenirse
raquo c=x(3)
c =
61
Eğer bir blok şeklinde veriye erişilmek istenirse
raquo x(24)
ans =
8 61 83
Her matristeki herhangi bir elman grubuna erişilmek istenirse
raquo x([3 1 4])
ans =
61 17 83
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
58
Bir diziye duumlzenli artıs (veya azalıs) kuralıyla değerler atanmak isteniyorsa
bunu
ilk_değerartısson değer veya ilk_değerartısson değer
biccediliminde yapabiliriz
Ancak artıs 1 ise belirtilmeyebilirOumlrnekortalama adlı
bir diziye 0 dan 5 e kadar 05 er artısla elde edilen sayı
dizisini atayanortalama=[0055]
Siz 1 satır 7 den den 17 ye kadar olan tam sayılar 2 satırı
99 dan 89 a kadar azalan tam sayılardan olusan 2 boyutlu m dizisine atayan islemleri yazınız
Dizilerin Değerlerinin Değistirilmesi ve Duumlzenlenmesi
4 VektoumlrlerMatlab
59
4 VektoumlrlerMatlab
60
Sayılardan olusan satır ve suumltun yapısına matris (dizi) denir
Oumlrneğin
d1=[5] 1x1 lik
d2=[ 2 -7] 1x2 lik
d3= [1 0 -3 ]
[ 5 3 1 ]
2x3 luumlk bir dizidir
Oumlrnekx=[1 7 18 5]Ya daraquo x=[ 1
7185 ]
Biccedilimlerinde girilebilir
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
61
Dizilerin Değerlerinin Değistirilmesi ve DuumlzenlenmesiBir dizinin herhangi bir elemanını belirlemek iccedilin dizi adından hemen sonra
parantez iccedilinde elemanın bulunduğu satır ve suumltun sayısı yazılmalıdır
Oumlrnek 1 d2=[2 -7]d2 dizisinin -7 elemanını
goumlruumlntuumllemek iccedilin
d2(12)
2 d3=[1 0 -35 3 1]d3 dizisinin 2 satır 1 suumltununda bulunan 5 in değerinin -75 olması
iccedilin
d3(21)=-75
Not1) Bir dizinin bir ccedilok elemanını
yeniden değer atamak gerekirse komut satırından atama yapmak uzun zaman alabilirBu durumda dizi değiskeninin uumlzerine ccedilift tıklayarak accedilılan dizi editoumlruuml
(array edit) yardımıyla değisiklikleri daha kolay yapabiliriz
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
62
8 Matrisler(Dizi)Matlab
Bir matrisi girerken o1 Elemanlar baştan ve sondan koumlşeli parantezlerle kapatılıro2 Elemanların arasına boşluk veya virguumll konuluro3 Matris satırlarını
ayırmak iccedilin de noktalı
virguumll kullanılır
okurallarına dikkate alınmalıdır
Oumlrneğin
A = [1 2 3 4 5 6]A =
1 2 34 5 6
şeklinde veriler matrisler biccediliminde tanımlanır MATLAB daha sonra kullanılmak uumlzere verileri A matrisinde saklar
63
Matris elemanları
rasgele rakamlardan oluşabileceği gibi MATLABrsquoın deyimlerinden de oluşabilir
51 Matrislerde ElemanlarMatlab
Oumlrneğin
a=[-13 sqrt(3) (1+2+3)475]
a= -13000 17321 48000
Kuumlccediluumlk matrisleri eleman olarak kullanıp daha buumlyuumlk matrisler oluşturmak muumlmkuumlnduumlr
OumlrneğinM=[1 3 5
7 8 9] matrisine
aşağıda goumlsterildiği şekilde bir satır eklemesi yapabilir
M=[M[10 13 15]]
Bu durumda M matrisiM=[1 3 5
7 8 910 13 15]
durumunu alır
64
İki nokta uumlst uumlste () kullanarak buumlyuumlk matrislerin belli bir kısmını
kullanabiliriz
ya da diğer ifade ile bu matrisi kuumlccediluumlltebiliriz
Oumlrneğin
M=M(12) bildirimi M matrisinin ilk iki satırını
alarak M matrisi
olarak saklar
Oumlrnek
M=[8 -4 7 66 -7 8 9 4 5 134] ise
M=M(12) =
8 1 Matrislerde ElemanlarMatlab
65
MATLABrsquoda kullanıcı
verileri kendi oluşturacağı
matrisler ile tanımlayabileceği gibi MATLABrsquoın kendi oumlzel matrislerinden de istifade edilebilir
52 Genel MatrislerMatlab
66
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
a) Sıfır Matrisi Olusturan Fonksiyon
Her elemanı sıfır olan mxn boyutunda bir matrise sıfır matrisi denir
Boumlyle bir dizi olusturmak iccedilin zeros fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=zeros(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
3x5 boyutunda s adlı
sıfır matrisi iccedilin
s=zeros(35)
52 Genel MatrislerMatlab
67
b) 1 lerden Olusan Matris
Her elemanı 1 olan mxn boyutunda bir matrisi olusturmak iccedilin ones
fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matria_adı=ones(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
2x3 boyutunda b adlı
tuumlm elemanları
1 olan matrisi olusturalım
b=ones(23)
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
52 Genel MatrislerMatlab
68
c) Birim Matrisi Olusturan Fonksiyon
Esas koumlsegeni 1 lerden diğer elemanları 0 lardan olusan kare matrise (satır
ve suumltun sayısı esit olan ) birim matrisi
kare olmayan matrise de diyagonal matris denir
Boumlyle matrisleri olusturmak iccedilin eye fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=eye(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
a)
3x3 luumlk birim matris
b) 4x3 lluumlk diyagonal matris olusturalım
Ccediloumlzuumlma) i=eye(33) b) d=eye(43)
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar52 Genel MatrislerMatlab
69
d) Rastgele Sayılardan Olusan Matris ve Fonksiyonu
Elemanları 0 ile 1 arasındaki rastgele sayılardan olusan bir matris iccedilin
rand fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=rand(mn) biccedilimindedir(msatırnsuumltun)
Not 1) Uumlretilen matrisin tuumlm elemanlarını k gibi bir sayı ile ccedilarparak
sayıları 0 ile k arasına ccedilekebiliriz
Not 2) Ondalıklı sayılardan olusmus bir matrisin elemanlarını
yuvarlayıp tam sayı yapmak iccedilin round fonksiyonunu kullanırız
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar52 Genel MatrislerMatlab
70
Oumlrnek
a) 0 ile 1 arasında rastgele sayılardan olusan 10 elemanlı
a adında bir satır
matrisi olusturalım
b) Elemanları
10 ile 50 arasında sayılardan olusan 5x3 tipinde b matrisini
olusturalım
c) Elemanları
50 ile 300 arasındaki tamsayılardan olusan 3x4 tipinde c matrisini
olusturalım
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
d) Rastgele Sayılardan Olusan Matris ve Fonksiyonu
52 Genel MatrislerMatlab
71
Ccediloumlzuumlm
a)
a=rand(110)
b)
b=10+rand(53)40
c) c=round(50+rand(34)250)
52 Genel MatrislerMatlab
72
e) Rastgele Sayılardan Olusan Normal Dağılımlı
Matris veFonksiyonu
Elemanları rasstgele sayılardan olusan bir normal dağılımlı bir matris iccedilin
randn fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=randn(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek Rastgele sayılardan olusan normal dağılımlı 2x3 luumlk bir n matrisini
olusturalım
Ccediloumlzuumlm n=randn(23)
52 Genel MatrislerMatlab
73
f) Lineer Aralıklı
(Aritmetik) Dizi ve Fonksiyonu
Baslangıccedil ve biis değerleri ve kaccedil elemandan olusacağı belirlenen diziyi
olusturmak iccedilin linspace fonksiyonu kullanılır
Kullanımı
dizi_adı=linspace(ilk_değerson_değereleman_sayısı)
biccedilimindedir
52 Genel MatrislerMatlab
74
Oumlrnek 10 ile 30 arasına 9 tane daha sayı
koyarak aadında bir aritmetik dizi olusturalım
f) Lineer Aralıklı
(Aritmetik) Dizi ve Fonksiyonu
52 Genel MatrislerMatlab
Cevapa=linspace(103011)
75
Elimizdeki grubun her elemanı iccedilin bir matematik işlemi yapıp bunu yeni bir
diziye atarken herhangi bir sorun yoktur
Fakat iki farklı grupla işlemler yaparken dikkat etmemiz gereken genel
kurallar vardır
Oumlrneğin toplama ve ccedilıkarma yaparken iki dizinin de buumlyuumlkluumlğuumlnuumln eşit
olması gerekmektedir
Ayrıca iki farklı dizinin elemanları arasında birebir işlem yapmak iccedilin
matematik operatoumlruumlnuumln başına nokta() koymak gerekir
Bu durumda her bir elemanı diğer dizinin o sıradaki elmanı ile işleme
sokacaktır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
76
Birden fazla satır ve suumltuna sahip vektoumlrlere matris denir Noktalı
virguumll ()
işareti ile kolonları
ve virguumlle işareti ya da boşluk
bırakarak da bir sıradaki elemanları
ayırabilirizOumlrnekraquo x=[ 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14]x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14Yukarıdaki 3x4 boyutunda bir matristir MATLAB programına aşağıdaki
gibi de sunulabilirraquo x=[ 3 4 5 6
7 8 9 1011 12 13 14]
x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
77
Matristeki herhangi bir elemana direk ulaşmak iccedilin aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(23)=9
Eğer isteğimiz eriştiğimiz bir elemanı
değiştirmek veya yeni bir satır eklemek ise aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(41)=1x =
3 4 5 67 8 9 1011 12 13 141 0 0 0
Bu durumda doumlrduumlncuuml
satır ilk elemanını
biz 1 değerini atadık ve diğer elemanları
kendiliğinden ldquo0rdquo
olarak atadı
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
78
İki nokta uumlst uumlste () kullanılarak belirli aralıkta değişen matrisler yaratılabilir
raquo x=[127 3-10 -12]x =
1 3 5 73 2 1 0
-1 0 1 2Bir matrisin herhangi bir boumlluumlmuumlnuuml
seccedilmek iccedilin ise aşağıdaki goumlsterim
kullanılırraquo z=x(23 12)z =
3 2-1 0
Bu durumda z matris x matrisinin 2 ve 3 norsquo
lu satırlarından 1 ve 2 norsquo
lu suumltunlarını
almış
oluyor
Herhangi bir satır veya suumltunu tamamen silmek istersek o satır ve suumltunu seccedilip ldquo[]rdquo
ifadesine eşitleriz
raquo z(2)=[ ]z =
3 -1
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
79
Matlab size ve length komutları
yardımı
ile size matrisinizin boyutlarını
soumlyler
raquo a=[ 2 3 4 5 67 8 9 10 11]
raquo s=size(a)s =
2 5
raquo b=[ 17 11 0 30 40 50]
raquo k=length(b)k =
6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
80
a) Toplama-Ccedilıkarma Bir Sayı
ile Ccedilarpma İşlemi
İki matrisi toplamak (veya ccedilıkarmak) demek matrislerin aynı
mertebedeki elemanları teker teker toplayıp (veya ccedilıkarıp ) aynı
mertebeye yazmak demektir
Bu durumda iki matrisin de aynı mertebeden olması gereği accedilıktır
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile toplamak (veya ccedilıkarmak) demek
matrisin elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla toplamak (veya
ccedilıkarmak )demektir
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile ccedilarpmak demek ise matrisin
elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla ccedilarpmak demektir
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
81
82
Oumlrnek
raquo a=[1 2 3 4 5 6]raquo b=[7 8 9 10 11 12]
a ve b toplamıraquo sum=a+bsum =
8 10 1214 16 18
arsquo
yı
brsquo
den ccedilıkarmak
raquo diff=a-bdiff =
-6 -6 -6-6 -6 -6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
83
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] ve b=[3 -3 -41 1 5] matrisleri
veriliyor
a)
c=a+b toplam matrisini
b)
d=a-b matrisini
c)
amatrisinin her elemanınının 5 eksiğine karsılık gelen e
matrisini
d) f=2a-3b matrisini bulduran islemleri yazalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
a) c=a+b b) d=a-b c) e=a-5 d) f=a+a-b-b-b veya
f=2a-3b
84
İki matrisin ccedilarpım islemi iki biccedilimde anlasılır
1)
Aynı
mertebeden iki matrisin elemanlarını
teker teker ccedilarpıp aynı
mertebeye
yazmak demektir Bunu
islemi ile gerccedileklestiririz
2) Matematiksel anlamda iki matrisi ccedilarpmak istediğimizde birinci matris mxn
tuumlruumlnde ve ikinci matris mutlaka nxp tuumlruumlnde olmalıdır yani birinci matrisin
suumltun sayısı
ikinci matrisin satır sayısına eşit olmalıdır
Bu durumda birinci matrisin i suumltun elemanları
ile ikinci matrisin j satırındaki
elemanlar karılıklı
olarak ccedilarpılır ve sonuccedillar toplanır ve bu toplam ccedilarpım
matrisinin (ij) inci mertebeye yazılır
Matrisler arası
ccedilarpma isleminin semboluuml
de dır
b) İki Matrisin Ccedilarpımı Bir Matrisin Kuvvetleri veCcedilarpma İslemi
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
85
3) Bir a matrisinin her bir elemanının n Kuvvetlerinden olusan matrisi
bulmak iccedilin a^n islemi kullanılır
4) Satır ve suumltun sayıları
esit bir kare matrisi ardısık olarak n defa
kendisiyle ccedilarparak a matrisinin n kuvvetini bulabilirizOumlrneğin a matrisinin
karesi iccedilin aa veya a^2 kuumlbuumlnuuml
buldurmak iccedilin aaa veya a^3
doumlrduumlncuuml
kuvvetini buldurmak iccedilin aaaa veya a^4
Not) Bir a matrisinin eleman -elemana ccedilarpma islemine benzer mantıkla bir matrisin tuumlm elemanlarının kareleri kuumlbleri sinuumlsleri kosinuumlsleri logaritmalarından olusan matris bulunmak istenirse bunu sırayla aa (veya a^2) aaa (veya a^3) sin(a) cos(a) etabanında logaritması
iccedilin log(a) 10 tabanında logaritmaları
iccedilin log10(a) Biccediliminde gerccedileklestirebiliriz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
86
a) a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c1 matrisi varsa bulalım
b) a matrisi ile b matrisinin ccedilarpım matrisi olan c2 varsa bulalım
c) a matrisinin elemanları
ile c matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c3 matrisi varsa bulalım
d) a matrisi ile c matrisinin ccedilarpım matrisi olan c4 varsa bulalım
e) a matrisinin elemanlarının karelerinden olusan matris ile b matrisinin
kosinuumlslerinden olusan matrisler toplamını
bulalım
f) x=[1 00 3] matrisinin i) Karesini ii) Kuumlbuumlnuuml
iii) 10
kuvvetini bulalım
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] b=[3 -3 -41 1 5] ve c=[1 0-1 23 3] matrisleri veriliyor
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
87
Ccediloumlzuumlma) iki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirBu durumda c1 matrisi tanımlıdır ve bunu c1=ab islemi ile gerccedileklestirebilirizb) iki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdırHalbuki a matrisi 2x3 b matrisi de 2x3 olduğundan bu iki matris ccedilarpılamazc) İki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirHalbuki bu matrisler aynı mertebeden olmadığından bu iki matris eleman-elemana ccedilarpma islemi
gerccedileklemezd) İki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdıra matrisi 2x3 luumlk c matrisi de 3x2 lik olduğundan bu iki matris ccedilarpılabilir ve c4 ccedilarpım matrisi 2x2 lik bir matris olurc4 ccedilarpım matrisini c4=ac islemi ile buluruze) a^2+cos(b)f) i) x^2 ii) x^3 iii) x^10
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
88
c) Bir Matrisin Devriğini (Transpozesi) Bulma İslemi
Bir matrisin satırlarını suumltun suumltunlarını satır olarak yazılmasıyla
bulunan matrise bu matrisin devriği (transpozesi) denir
Bir matrisin devriğini islemi ile bulabiliriz
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] nın devriğini buldurup d matrisine atayalım
Ccediloumlzuumlm d=a
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
89
Oumlrnek
b=[7 8 9 10 11 12] matrisinin transpozesini bulabilirmisiniz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
c=bc =
7 108 119 12
90
SORU
a=[1 2 3 4 5 6]
c= [710811912]
ise a ve crsquonin ccedilarpım matrisi
kaccediltır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
Ccedilarpma işlemi k=ack=
50 68122 167
91
SORU
a=[1 2 3 4 5 6] b=[7 8 9 10 11 12]
ise a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan x matrisini bulalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
x=abx =
7 16 2740 55 72
92
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
Aynı mertebeden iki matrisin elemanlarını teker teker boumllerek aynı
mertebeye yazılmasına iki matrisin sol boumllmesi denir ve bu islemi ile
yapılır
a b ve c aynı mertebeden kare matrisler olmak uumlzere
c=ab ise a matrisine c nin b matrisine boumlluumlmuuml denir
c boumlluumlm matrisi islemi ile yapılır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
93
HATIRLATMA
2x2 lik i2 adlı birim matrisi i2=eye(22)
3x luumlk i3 adlı birim matrisi i2=eye(33) islemi ile olusturabiiriz
Aynı mertebeden a ve b kare matrisleri iccedilin a ile b nin ccedilarpımı birim matris ise
b matrisi a matrisinin (aynı biccedilimde a matrisi de b matrisinin) ters matrisidir
Oumlrnek
3x3 luumlk bir a kare matrisinin tersini bulmak iccedilin
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
eye(33)a veya inv(a) islemini kullanırız
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
94
Bir Matrisin Determinantı
Determinant kare matrisleri bir sayıya eşleyen fonksiyondur
Determinant fonksiyonunun kare matrisi eşlediği o sayıya matrisin
determinantı denir
A matrisinin determinantı detA veya |A| biccediliminde goumlsterilir
|A| matrislerde mutlak değer anlamına gelmez |A| sıfır veya
negatif de olabilir
det(x)
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
95
KURAL
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
96
Oumlrnek
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Determinant
raquo
deter=det(x)deter =
21
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
97
Oumlrnek Inverse işlemi
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Detx=det(x)=21 ise
raquo y=inv(x)y =
821 121 -521 221
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
98
SORU
a=[2 -10 01 2 43 0 1] matrisi ile b=[1 5 41 -1 20 1 -1] matrisleri veriliyor
a)
a matrisinin elemanlarını
sırasıyla b matrisinin elemanlarına boumllerek elde
edilen matrisi b1 matrisine atayalım
b) a matrisinin ta ters matrisini bulalım
c) a ile ta matrisinin ccedilarpımının 3x3 luumlk birim matris olduğunu goumlsterelim
d) a matrisinin b matrisine boumlluumlmuumlnuuml
b2 matrisine atayalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
99
Ccediloumlzuumlm
a)
b1=ab
b) ta1=eye(33)a veya ta2=inv(a)
c) ata ==eye(33)
d) b2=ab
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
25
Matlab MasaUumlstuuml
Yeni M- Dosyası
Dosya Accedil Help Desk
Kayıtlı
Matlab Fonksyonu kayıt dosyası(mat) modeli figuumlruuml
ve GUI arayuumlzluuml
fonksyonları
accedilar
Veri dosyalarını
accedilar
Ccedilalışma ortamını
kaydeder
Farklı
ccedilalışma dizinini Matlaba tanıtır
Matlab arayuumlzuumlnuuml
ayarlar
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
26
Başlat Duumlğmesi
Matlab araccedil
kutuları Matlab
uygulamalarına eklenti olarak
hazırlanan ve hazır fonksyonları iccedileren paketlerdir
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
27
Başlat Duumlğmesi
Start Duumlğmesi tuumlm matlab uygulamalarına accedilılan kısayolları
iccedilermektedir
Matlab Uygulamaları
iccedilin kısa yol
Araccedil
kutularıSimulinkUy
gulaması
Demolar
Veri Sihirbazı
GUI Hazırlayıcı
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
28
Matlaba Veri Alma
Programa dışarıdan resim film veri ses dosyalarını
matris formatına ccedilevirerek bir değişken olarak atamada kullanılır
File Import Data
Oumlrnek Exel dosyası
alma
Exelde bir matrix oluşturup matlabdan import ile alınız
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
29
Matlabda Temel Kavramlar
Tuumlm programlama dillerinde olduğu gibi (Fortran C Pascal Basic vs)
Matlabın da oumlzel anlam tasıyan bazı kelimeleri vardır ki bu kelimeler değisken
olarak kullanılamazlar
Bu tuumlr kelimelere anahtar kelime (keywords) denir
Bu kelimelerin bir listesini almak iccedilin komut satırına
iskeyword komutunu yazarak elde edebiliriz
Bu kelimeler
breaklsquo case catch continue else elseif endlsquo for function global
if otherwiselsquo persistent return switch try while
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
30
Programın dili ve yardım bilgileri tamamen ingilizcedir
Kuumlccediluumlk-buumlyuumlk harf ayrımı vardır
Oumlrneğin dscrite DSCRITE ve Dscrite atamaları farklı şekilde
algılanır
Eğer istenirse ldquocasesen offrdquokomutu ile bu durum sona
erdirilebilir
raquo işareti komut promptrsquoudur
Komutlar Enter ile yuumlruumltuumlluumlr
2 Matlab Kullanımında Temel Kurallar
Matlab
31
Genel komutların isimleri ve accedilıklamaları
2 Matlab Kullanımında Temel KurallarMATLAB
32
2 Matlab Kullanımında Temel KurallarMATLAB
MATLAB kontroluumlnuuml
kullanabilmeniz iccedilin oumlzel karakterlere sahiptir Bu karakterlerin bir oumlzeti
33
2 Matlab Kullanımında Temel KurallarMatlab
34
2 Matlab Kullanımında Temel KurallarMatlab
35
İFADELER Matematiksel ve metinsel goumlsterimler ile işlemler ifadelerlesağlanır
Sayılar (Numbers)Değişkenler (Variables)İşleccediller (Operators)Fonksiyonlar (Functions)
Matlabrsquode ifadeler genellikle değişken = ifade veya sadece ifade formundadır
Sayısal Analiz
x = 4 sqrt(5) İfade
değişkensayı işleccedil fonksiyon
Bir ifade = işareti ile bir değişkene atanmamış
ise Matlab otomatik olarak sonucu ans (answer)
adı
verilen oumlzel bir değişkende saklar
3 MATRİSLER
36
o
Birden
fazla ifade
tek satırda aralarına
ya da koyarak yazılabilir
o
Yazımda
boşluk
sayısı
etkisizdir
o
Sadece
ilgili
değişken
adını
yazarak
o değişkeni ccedilağırabilirsiniz
MATRİSLER31 İFADELER
37
o MATLABrsquoda herhangi bir tip tanımlaması
veya boyut ifadesine gerek yoktur
o
MATLAB yeni bir değişken ismi ile karşılaştığında otomatik olarak ans isminde
bir değişken oluşturur ve uygun bir bellek miktarı
ayırır
oEğer değişken zaten varsa MATLAB gerekli bir bellek ayırdığında iccedileriği değişir
Oumlrneğin
o ogrenci_sayı=51
32 DeğişlenlerMatlab
Değisken
değeri değisebilen bellek alanına isaret eden değerlere
38
MATLAB değişken girişleri iccedilin ccedileşitli kurallara sahiptir
Her değişken bir harfle başlamak zorundadır
Program buumlyuumlk kuumlccediluumlk harf duyarlıdır X ve x farklı değişkenleri ifade eder
Program 31 basamağa kadar duyarlıdır Bu basamaktan sonrasını yok sayar
Dolayısıyla 31 basamaktan uzun değişken isimleri karışıklık yaratabilir
32 DeğişlenlerMatlab
39
Değiskenlere Değer Atama
Her hangi bir programlama dilinde olduğu gibi Matlabrsquoda da bir değiskene
değer verme islemine rdquodeğer atamakrdquo denir
Bir değiskene atanan değer değistirilmediği suumlrece aynı kalır
Değer atamanın genel kullanımı asağıdaki biccediliminde olur
ltDeğisken adıgt=ltAtanacak değergt
32 DeğişlenlerMatlab
40
Oumlrnek 2
A=6i-7 A değişkenine skaler bir değer atar
B=A 7
B değişkenine A değişkeninin 17 si atanmıştır
C=[3 4 5 6]
4 elemanlı
bir satır vektoumlruuml
atanmıştır
NOT
Dizi girişinde herhangi bir satıra ait elemanlar aralarına boşluk veya virguumll ldquordquo konularak ayrılır
Dizinin diğer bir satırına başlamak iccedilin biten satır sonuna konulur
32 DeğişlenlerMatlab
41
oMATLABrsquoda sayılar yaygın olarak kullanılan onluk tabanda ifade edilirler
o
Bunun yanısıra onluk tabanda uumlstel olarak veya i veya j olarak kompleks sayı biccedilimlerinde de ifade edilebilirler
oOumlrnek olarak
33 Sayılar
Matlab da i
ve j
başka tuumlrluuml
tanımlanmamışsa kompleks i sayısını
goumlsterir 3e5 sayısıda 3105
anlamındadır
MATRİSLER
42
o
Ondalık sayılar Tuumlrkccedilemizdeki
35 yerine
35 şeklinde
goumlsterilir
(00001 veya 963
065 yerine 65)
o
Bilimsel
notasyon
goumlsterimi olan e
(veya E) harfi
10rsquonun kuvvetini
temsil eder
o 2e4=2104=2000 veya
165e-20=16510-20
demektir
o
Kompleks
sayılarda
imajiner
(sanal) kısımlar
i
veya
j
ekini
alır
i veya
j
ile
gosterimlerinde
bir
fark
yoktur
o (1+3i veya 1+3i veya 1+i3) 1+sqrt(3)j
-5i
o
Matlabrsquode
tuumlm
sayılar yaklaşık 210308 ve
210-308 arasında
değişir
33 Sayılar
MATRİSLER
43
Sayı
Formatları
33 SayılarMatlabMATRİSLER
44
oMatlabda bir ccedilok eylem doumlrt islem ve matematiksel bazı
islemler
yaptırabiliriz
oBunun iccedilin ya ilgili komutları
komut penceresinden teker teker girerek veya
ilgili komutları
bir dosyaya yazıp o dosyayı
ccedilağırarak ccedilalıstırabiliriz
oİşlemleri yaptırırken sayıları
reel sayı
ya da karmasık sayı
olarak alabiliriz
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
45
Matematiksel ifadeleri oluşturmak iccedilin operatoumlrler ve oumlnceden tanımlanmış sembolleri kullanabilirsiniz
oOperatoumlrler oumlzetle şunlardır
oMatrislerle yapılan işlemlerde boumllme işlemi iccedilin iki farklı
sembol kullanılmaktadıroBunun yanında eğer sayılar skaler ise iki boumllme işleminin sonucu da aynı
değeri
goumlsterecektiroOumlrneğin 32 ile 23 ifadelerinin sonuccedilları
aynı
olup 15rsquodir
raquo 4+83ndash2ans =26
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
46
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
x=a + b
Bu ifadede a ve b nin toplandığı
ve x değişkeni iccedilinde saklandığıbelirtilmektedir
47
Aritmetiksel İşlemlerde Oumlncelik Durumu
oTek bir aritmetiksel durum iccedilinde birden fazla durum bir arada bulunabildiğine goumlre
hangi işlemin oumlncelik hakkına sahip olunduğunun
bilinmelidir
oMATLABrsquoda kullanılan işlemlerde işlemlerin oumlncelik
listesi
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
bazı
temel matematiksel fonksiyonların accedilıklamaları
48
o
MATLABrsquo
da işlemler soldan sağa işlerlero
İşlemler arası
oumlncelik sırası
aşağıdaki gibidir
1 ^
(Yuumlksek)2
darr
3 + -
(Duumlşuumlk)
raquo 3^(2ndash5)-632 raquo 3^2ndash5ndash632ans = ans =
mdash39630 0
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
49
35 FonksyonlarMATRİSLER
o MATLABrsquoın ccedilok guumlccedilluuml
ve ccedilok kapsamlı
bir fonksiyon yapısı
vardır
oMATLABrsquoda bazı
fonksiyonlar daha oumlnceden yerleştirilmiş
bazıları
ise sonradan
dışarıdan yerleştirilmiş
M-dosyalarından oluşan MATLAB kuumltuumlphanelerinde
tanımlanmışlardır
oBunun yanında oumlzel uygulamalar iccedilin kullanıcıların kendi fonksiyonlarını
yazarak
kendi kuumltuumlphanelerini oluşturması
muumlmkuumlnduumlr
MATLABrsquoda mevcut analitik fonksiyonları
genel olarak aşağıdaki kategorilere ayırabiliriz oTemel matematiksel fonksiyonlaroOumlzel fonksiyonlaroTemel matrisler ve matris işlemlerioMatrisleri ccedilarpanlarına ayırmaoVeri analizlerioPolinomlaroDiferansiyel denklem ccediloumlzuumlmlerioLineer olmayan denklemler ve optimizasyonoSayısal integral hesaplamalarıoSinyal işleme
50
Matematiksel Fonksiyonlar
bazı
temel matematiksel fonksiyonların accedilıklamaları
35 FonksyonlarMATRİSLER
Oumlrnekgtgtexp(1)ans=27183gtgtfix(35)ans=3gtgtceil(35)ans=4gtgtround(35)ans=4
51
Matlabda oumlnceden tanımlanmıs bazı
sabitlerdirBunlar aşağıdaki tabloda goumlsterilmistir
36 Oumlzel SabitlerMatlab
52
Oumlrnekler
1)
a=1
2)
a=rsquoİstanbulrsquo
3)
a=5b=7c=a+b
4) a=5b=-3c=a+2ba=a+b
5)
num=23-5^2 x=num2 y=x+10
7 Sabitler Değiskenler ve Metin KatarlarıMatlab
53
Oumlrnek
Komut satırına
a)
sin(30)
b)
sin(30pi180) yazınız sonuccedilları
inceleyiniz
35 FonksyonlarMATRİSLER
Cevapa) -09880 sonucu goumlruumlluumlr ki bu 30deg
nin sinuumlsuumlnde n farklıdır Ccediluumlnkuuml
bu 30deg
derece değil 30 radyanın sinuumlsuumlduumlrb) 05000 sonucu goumlruumlluumlr ki bu da 30deg
nin sinuumlsuumld uumlr O halde bir
sayının trigonometrik değerini buldurmak iccedilin oumlnce pi ile ccedilarpıp 180 e boumllerek accedilıyı
radyan ccedilevirip sonra trigonometrik değerini
hesaplatabiliriz
54
oVektoumlrler tek boyutlu sayı
dizileridir
oElemanlarının sıralanma youmlnlerine goumlre suumltun veya satır vektoumlruuml
adlarını alırlar
ovektoumlrler [ ] koumlşeli parantezleri ile tanımlanır
ofarklı
yolla tanımlanabilirler
4 VektoumlrlerMatlab
A = [4 12 -8 6]A = [4 12 -8 6]
B = [1 2 4 6]
Satır Vektoumlruuml
Suumltun Vektoumlruumlgtgt b=[1 2 4 6 ]
55
4 VektoumlrlerMatlab
ovektoumlr boyutları
buumlyuumlduumlkccedile manuel olarak tanıtım işlemi oldukccedila zorlaşmaktadır
oOumlzellikle belli bir artıma sahip vektoumlrlerin oluşturulmasında () operatoumlruuml kullanılmaktadır
C = [-105150]
Son değerBaşlangıccedil değeri Artış
miktarı
Drsquo
= [30-10-30]
Suumltun Vektoumlruuml
56
Vektoumlr indisleri
4 VektoumlrlerMatlab
Bir vektoumlruumln elemanlarına atanılan değer değişkenler editoumlruuml
veya eleman adresi vasıtasıyla değiştirilebilir
OumlrnekA = [4 12 -8 6]1 A vektoumlruumlnuumln 3 elemanını
27 ile değiştiriniz
2 Benzer şekilde A vektoumlruumlnuumln 2 elemanını
siliniz 3 A(9) = 12
Ccediloumlzuumlm1 A(3) = 272 Vektoumlruumln elemanına [ ] değeri atandığında eleman silinirA(2) = [ ]3 gtgt A(9) = 12
A= [ 4 27 6]
A =[ 2 27 7 0 0 0 0 0 12]
57
raquo x=[17 8 61 83 56]
Şeklindeki bir matrisin uumlccediluumlncuuml
elemanına erişmek istenirse
raquo c=x(3)
c =
61
Eğer bir blok şeklinde veriye erişilmek istenirse
raquo x(24)
ans =
8 61 83
Her matristeki herhangi bir elman grubuna erişilmek istenirse
raquo x([3 1 4])
ans =
61 17 83
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
58
Bir diziye duumlzenli artıs (veya azalıs) kuralıyla değerler atanmak isteniyorsa
bunu
ilk_değerartısson değer veya ilk_değerartısson değer
biccediliminde yapabiliriz
Ancak artıs 1 ise belirtilmeyebilirOumlrnekortalama adlı
bir diziye 0 dan 5 e kadar 05 er artısla elde edilen sayı
dizisini atayanortalama=[0055]
Siz 1 satır 7 den den 17 ye kadar olan tam sayılar 2 satırı
99 dan 89 a kadar azalan tam sayılardan olusan 2 boyutlu m dizisine atayan islemleri yazınız
Dizilerin Değerlerinin Değistirilmesi ve Duumlzenlenmesi
4 VektoumlrlerMatlab
59
4 VektoumlrlerMatlab
60
Sayılardan olusan satır ve suumltun yapısına matris (dizi) denir
Oumlrneğin
d1=[5] 1x1 lik
d2=[ 2 -7] 1x2 lik
d3= [1 0 -3 ]
[ 5 3 1 ]
2x3 luumlk bir dizidir
Oumlrnekx=[1 7 18 5]Ya daraquo x=[ 1
7185 ]
Biccedilimlerinde girilebilir
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
61
Dizilerin Değerlerinin Değistirilmesi ve DuumlzenlenmesiBir dizinin herhangi bir elemanını belirlemek iccedilin dizi adından hemen sonra
parantez iccedilinde elemanın bulunduğu satır ve suumltun sayısı yazılmalıdır
Oumlrnek 1 d2=[2 -7]d2 dizisinin -7 elemanını
goumlruumlntuumllemek iccedilin
d2(12)
2 d3=[1 0 -35 3 1]d3 dizisinin 2 satır 1 suumltununda bulunan 5 in değerinin -75 olması
iccedilin
d3(21)=-75
Not1) Bir dizinin bir ccedilok elemanını
yeniden değer atamak gerekirse komut satırından atama yapmak uzun zaman alabilirBu durumda dizi değiskeninin uumlzerine ccedilift tıklayarak accedilılan dizi editoumlruuml
(array edit) yardımıyla değisiklikleri daha kolay yapabiliriz
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
62
8 Matrisler(Dizi)Matlab
Bir matrisi girerken o1 Elemanlar baştan ve sondan koumlşeli parantezlerle kapatılıro2 Elemanların arasına boşluk veya virguumll konuluro3 Matris satırlarını
ayırmak iccedilin de noktalı
virguumll kullanılır
okurallarına dikkate alınmalıdır
Oumlrneğin
A = [1 2 3 4 5 6]A =
1 2 34 5 6
şeklinde veriler matrisler biccediliminde tanımlanır MATLAB daha sonra kullanılmak uumlzere verileri A matrisinde saklar
63
Matris elemanları
rasgele rakamlardan oluşabileceği gibi MATLABrsquoın deyimlerinden de oluşabilir
51 Matrislerde ElemanlarMatlab
Oumlrneğin
a=[-13 sqrt(3) (1+2+3)475]
a= -13000 17321 48000
Kuumlccediluumlk matrisleri eleman olarak kullanıp daha buumlyuumlk matrisler oluşturmak muumlmkuumlnduumlr
OumlrneğinM=[1 3 5
7 8 9] matrisine
aşağıda goumlsterildiği şekilde bir satır eklemesi yapabilir
M=[M[10 13 15]]
Bu durumda M matrisiM=[1 3 5
7 8 910 13 15]
durumunu alır
64
İki nokta uumlst uumlste () kullanarak buumlyuumlk matrislerin belli bir kısmını
kullanabiliriz
ya da diğer ifade ile bu matrisi kuumlccediluumlltebiliriz
Oumlrneğin
M=M(12) bildirimi M matrisinin ilk iki satırını
alarak M matrisi
olarak saklar
Oumlrnek
M=[8 -4 7 66 -7 8 9 4 5 134] ise
M=M(12) =
8 1 Matrislerde ElemanlarMatlab
65
MATLABrsquoda kullanıcı
verileri kendi oluşturacağı
matrisler ile tanımlayabileceği gibi MATLABrsquoın kendi oumlzel matrislerinden de istifade edilebilir
52 Genel MatrislerMatlab
66
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
a) Sıfır Matrisi Olusturan Fonksiyon
Her elemanı sıfır olan mxn boyutunda bir matrise sıfır matrisi denir
Boumlyle bir dizi olusturmak iccedilin zeros fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=zeros(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
3x5 boyutunda s adlı
sıfır matrisi iccedilin
s=zeros(35)
52 Genel MatrislerMatlab
67
b) 1 lerden Olusan Matris
Her elemanı 1 olan mxn boyutunda bir matrisi olusturmak iccedilin ones
fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matria_adı=ones(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
2x3 boyutunda b adlı
tuumlm elemanları
1 olan matrisi olusturalım
b=ones(23)
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
52 Genel MatrislerMatlab
68
c) Birim Matrisi Olusturan Fonksiyon
Esas koumlsegeni 1 lerden diğer elemanları 0 lardan olusan kare matrise (satır
ve suumltun sayısı esit olan ) birim matrisi
kare olmayan matrise de diyagonal matris denir
Boumlyle matrisleri olusturmak iccedilin eye fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=eye(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
a)
3x3 luumlk birim matris
b) 4x3 lluumlk diyagonal matris olusturalım
Ccediloumlzuumlma) i=eye(33) b) d=eye(43)
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar52 Genel MatrislerMatlab
69
d) Rastgele Sayılardan Olusan Matris ve Fonksiyonu
Elemanları 0 ile 1 arasındaki rastgele sayılardan olusan bir matris iccedilin
rand fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=rand(mn) biccedilimindedir(msatırnsuumltun)
Not 1) Uumlretilen matrisin tuumlm elemanlarını k gibi bir sayı ile ccedilarparak
sayıları 0 ile k arasına ccedilekebiliriz
Not 2) Ondalıklı sayılardan olusmus bir matrisin elemanlarını
yuvarlayıp tam sayı yapmak iccedilin round fonksiyonunu kullanırız
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar52 Genel MatrislerMatlab
70
Oumlrnek
a) 0 ile 1 arasında rastgele sayılardan olusan 10 elemanlı
a adında bir satır
matrisi olusturalım
b) Elemanları
10 ile 50 arasında sayılardan olusan 5x3 tipinde b matrisini
olusturalım
c) Elemanları
50 ile 300 arasındaki tamsayılardan olusan 3x4 tipinde c matrisini
olusturalım
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
d) Rastgele Sayılardan Olusan Matris ve Fonksiyonu
52 Genel MatrislerMatlab
71
Ccediloumlzuumlm
a)
a=rand(110)
b)
b=10+rand(53)40
c) c=round(50+rand(34)250)
52 Genel MatrislerMatlab
72
e) Rastgele Sayılardan Olusan Normal Dağılımlı
Matris veFonksiyonu
Elemanları rasstgele sayılardan olusan bir normal dağılımlı bir matris iccedilin
randn fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=randn(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek Rastgele sayılardan olusan normal dağılımlı 2x3 luumlk bir n matrisini
olusturalım
Ccediloumlzuumlm n=randn(23)
52 Genel MatrislerMatlab
73
f) Lineer Aralıklı
(Aritmetik) Dizi ve Fonksiyonu
Baslangıccedil ve biis değerleri ve kaccedil elemandan olusacağı belirlenen diziyi
olusturmak iccedilin linspace fonksiyonu kullanılır
Kullanımı
dizi_adı=linspace(ilk_değerson_değereleman_sayısı)
biccedilimindedir
52 Genel MatrislerMatlab
74
Oumlrnek 10 ile 30 arasına 9 tane daha sayı
koyarak aadında bir aritmetik dizi olusturalım
f) Lineer Aralıklı
(Aritmetik) Dizi ve Fonksiyonu
52 Genel MatrislerMatlab
Cevapa=linspace(103011)
75
Elimizdeki grubun her elemanı iccedilin bir matematik işlemi yapıp bunu yeni bir
diziye atarken herhangi bir sorun yoktur
Fakat iki farklı grupla işlemler yaparken dikkat etmemiz gereken genel
kurallar vardır
Oumlrneğin toplama ve ccedilıkarma yaparken iki dizinin de buumlyuumlkluumlğuumlnuumln eşit
olması gerekmektedir
Ayrıca iki farklı dizinin elemanları arasında birebir işlem yapmak iccedilin
matematik operatoumlruumlnuumln başına nokta() koymak gerekir
Bu durumda her bir elemanı diğer dizinin o sıradaki elmanı ile işleme
sokacaktır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
76
Birden fazla satır ve suumltuna sahip vektoumlrlere matris denir Noktalı
virguumll ()
işareti ile kolonları
ve virguumlle işareti ya da boşluk
bırakarak da bir sıradaki elemanları
ayırabilirizOumlrnekraquo x=[ 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14]x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14Yukarıdaki 3x4 boyutunda bir matristir MATLAB programına aşağıdaki
gibi de sunulabilirraquo x=[ 3 4 5 6
7 8 9 1011 12 13 14]
x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
77
Matristeki herhangi bir elemana direk ulaşmak iccedilin aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(23)=9
Eğer isteğimiz eriştiğimiz bir elemanı
değiştirmek veya yeni bir satır eklemek ise aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(41)=1x =
3 4 5 67 8 9 1011 12 13 141 0 0 0
Bu durumda doumlrduumlncuuml
satır ilk elemanını
biz 1 değerini atadık ve diğer elemanları
kendiliğinden ldquo0rdquo
olarak atadı
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
78
İki nokta uumlst uumlste () kullanılarak belirli aralıkta değişen matrisler yaratılabilir
raquo x=[127 3-10 -12]x =
1 3 5 73 2 1 0
-1 0 1 2Bir matrisin herhangi bir boumlluumlmuumlnuuml
seccedilmek iccedilin ise aşağıdaki goumlsterim
kullanılırraquo z=x(23 12)z =
3 2-1 0
Bu durumda z matris x matrisinin 2 ve 3 norsquo
lu satırlarından 1 ve 2 norsquo
lu suumltunlarını
almış
oluyor
Herhangi bir satır veya suumltunu tamamen silmek istersek o satır ve suumltunu seccedilip ldquo[]rdquo
ifadesine eşitleriz
raquo z(2)=[ ]z =
3 -1
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
79
Matlab size ve length komutları
yardımı
ile size matrisinizin boyutlarını
soumlyler
raquo a=[ 2 3 4 5 67 8 9 10 11]
raquo s=size(a)s =
2 5
raquo b=[ 17 11 0 30 40 50]
raquo k=length(b)k =
6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
80
a) Toplama-Ccedilıkarma Bir Sayı
ile Ccedilarpma İşlemi
İki matrisi toplamak (veya ccedilıkarmak) demek matrislerin aynı
mertebedeki elemanları teker teker toplayıp (veya ccedilıkarıp ) aynı
mertebeye yazmak demektir
Bu durumda iki matrisin de aynı mertebeden olması gereği accedilıktır
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile toplamak (veya ccedilıkarmak) demek
matrisin elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla toplamak (veya
ccedilıkarmak )demektir
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile ccedilarpmak demek ise matrisin
elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla ccedilarpmak demektir
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
81
82
Oumlrnek
raquo a=[1 2 3 4 5 6]raquo b=[7 8 9 10 11 12]
a ve b toplamıraquo sum=a+bsum =
8 10 1214 16 18
arsquo
yı
brsquo
den ccedilıkarmak
raquo diff=a-bdiff =
-6 -6 -6-6 -6 -6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
83
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] ve b=[3 -3 -41 1 5] matrisleri
veriliyor
a)
c=a+b toplam matrisini
b)
d=a-b matrisini
c)
amatrisinin her elemanınının 5 eksiğine karsılık gelen e
matrisini
d) f=2a-3b matrisini bulduran islemleri yazalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
a) c=a+b b) d=a-b c) e=a-5 d) f=a+a-b-b-b veya
f=2a-3b
84
İki matrisin ccedilarpım islemi iki biccedilimde anlasılır
1)
Aynı
mertebeden iki matrisin elemanlarını
teker teker ccedilarpıp aynı
mertebeye
yazmak demektir Bunu
islemi ile gerccedileklestiririz
2) Matematiksel anlamda iki matrisi ccedilarpmak istediğimizde birinci matris mxn
tuumlruumlnde ve ikinci matris mutlaka nxp tuumlruumlnde olmalıdır yani birinci matrisin
suumltun sayısı
ikinci matrisin satır sayısına eşit olmalıdır
Bu durumda birinci matrisin i suumltun elemanları
ile ikinci matrisin j satırındaki
elemanlar karılıklı
olarak ccedilarpılır ve sonuccedillar toplanır ve bu toplam ccedilarpım
matrisinin (ij) inci mertebeye yazılır
Matrisler arası
ccedilarpma isleminin semboluuml
de dır
b) İki Matrisin Ccedilarpımı Bir Matrisin Kuvvetleri veCcedilarpma İslemi
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
85
3) Bir a matrisinin her bir elemanının n Kuvvetlerinden olusan matrisi
bulmak iccedilin a^n islemi kullanılır
4) Satır ve suumltun sayıları
esit bir kare matrisi ardısık olarak n defa
kendisiyle ccedilarparak a matrisinin n kuvvetini bulabilirizOumlrneğin a matrisinin
karesi iccedilin aa veya a^2 kuumlbuumlnuuml
buldurmak iccedilin aaa veya a^3
doumlrduumlncuuml
kuvvetini buldurmak iccedilin aaaa veya a^4
Not) Bir a matrisinin eleman -elemana ccedilarpma islemine benzer mantıkla bir matrisin tuumlm elemanlarının kareleri kuumlbleri sinuumlsleri kosinuumlsleri logaritmalarından olusan matris bulunmak istenirse bunu sırayla aa (veya a^2) aaa (veya a^3) sin(a) cos(a) etabanında logaritması
iccedilin log(a) 10 tabanında logaritmaları
iccedilin log10(a) Biccediliminde gerccedileklestirebiliriz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
86
a) a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c1 matrisi varsa bulalım
b) a matrisi ile b matrisinin ccedilarpım matrisi olan c2 varsa bulalım
c) a matrisinin elemanları
ile c matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c3 matrisi varsa bulalım
d) a matrisi ile c matrisinin ccedilarpım matrisi olan c4 varsa bulalım
e) a matrisinin elemanlarının karelerinden olusan matris ile b matrisinin
kosinuumlslerinden olusan matrisler toplamını
bulalım
f) x=[1 00 3] matrisinin i) Karesini ii) Kuumlbuumlnuuml
iii) 10
kuvvetini bulalım
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] b=[3 -3 -41 1 5] ve c=[1 0-1 23 3] matrisleri veriliyor
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
87
Ccediloumlzuumlma) iki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirBu durumda c1 matrisi tanımlıdır ve bunu c1=ab islemi ile gerccedileklestirebilirizb) iki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdırHalbuki a matrisi 2x3 b matrisi de 2x3 olduğundan bu iki matris ccedilarpılamazc) İki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirHalbuki bu matrisler aynı mertebeden olmadığından bu iki matris eleman-elemana ccedilarpma islemi
gerccedileklemezd) İki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdıra matrisi 2x3 luumlk c matrisi de 3x2 lik olduğundan bu iki matris ccedilarpılabilir ve c4 ccedilarpım matrisi 2x2 lik bir matris olurc4 ccedilarpım matrisini c4=ac islemi ile buluruze) a^2+cos(b)f) i) x^2 ii) x^3 iii) x^10
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
88
c) Bir Matrisin Devriğini (Transpozesi) Bulma İslemi
Bir matrisin satırlarını suumltun suumltunlarını satır olarak yazılmasıyla
bulunan matrise bu matrisin devriği (transpozesi) denir
Bir matrisin devriğini islemi ile bulabiliriz
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] nın devriğini buldurup d matrisine atayalım
Ccediloumlzuumlm d=a
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
89
Oumlrnek
b=[7 8 9 10 11 12] matrisinin transpozesini bulabilirmisiniz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
c=bc =
7 108 119 12
90
SORU
a=[1 2 3 4 5 6]
c= [710811912]
ise a ve crsquonin ccedilarpım matrisi
kaccediltır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
Ccedilarpma işlemi k=ack=
50 68122 167
91
SORU
a=[1 2 3 4 5 6] b=[7 8 9 10 11 12]
ise a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan x matrisini bulalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
x=abx =
7 16 2740 55 72
92
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
Aynı mertebeden iki matrisin elemanlarını teker teker boumllerek aynı
mertebeye yazılmasına iki matrisin sol boumllmesi denir ve bu islemi ile
yapılır
a b ve c aynı mertebeden kare matrisler olmak uumlzere
c=ab ise a matrisine c nin b matrisine boumlluumlmuuml denir
c boumlluumlm matrisi islemi ile yapılır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
93
HATIRLATMA
2x2 lik i2 adlı birim matrisi i2=eye(22)
3x luumlk i3 adlı birim matrisi i2=eye(33) islemi ile olusturabiiriz
Aynı mertebeden a ve b kare matrisleri iccedilin a ile b nin ccedilarpımı birim matris ise
b matrisi a matrisinin (aynı biccedilimde a matrisi de b matrisinin) ters matrisidir
Oumlrnek
3x3 luumlk bir a kare matrisinin tersini bulmak iccedilin
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
eye(33)a veya inv(a) islemini kullanırız
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
94
Bir Matrisin Determinantı
Determinant kare matrisleri bir sayıya eşleyen fonksiyondur
Determinant fonksiyonunun kare matrisi eşlediği o sayıya matrisin
determinantı denir
A matrisinin determinantı detA veya |A| biccediliminde goumlsterilir
|A| matrislerde mutlak değer anlamına gelmez |A| sıfır veya
negatif de olabilir
det(x)
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
95
KURAL
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
96
Oumlrnek
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Determinant
raquo
deter=det(x)deter =
21
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
97
Oumlrnek Inverse işlemi
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Detx=det(x)=21 ise
raquo y=inv(x)y =
821 121 -521 221
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
98
SORU
a=[2 -10 01 2 43 0 1] matrisi ile b=[1 5 41 -1 20 1 -1] matrisleri veriliyor
a)
a matrisinin elemanlarını
sırasıyla b matrisinin elemanlarına boumllerek elde
edilen matrisi b1 matrisine atayalım
b) a matrisinin ta ters matrisini bulalım
c) a ile ta matrisinin ccedilarpımının 3x3 luumlk birim matris olduğunu goumlsterelim
d) a matrisinin b matrisine boumlluumlmuumlnuuml
b2 matrisine atayalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
99
Ccediloumlzuumlm
a)
b1=ab
b) ta1=eye(33)a veya ta2=inv(a)
c) ata ==eye(33)
d) b2=ab
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
26
Başlat Duumlğmesi
Matlab araccedil
kutuları Matlab
uygulamalarına eklenti olarak
hazırlanan ve hazır fonksyonları iccedileren paketlerdir
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
27
Başlat Duumlğmesi
Start Duumlğmesi tuumlm matlab uygulamalarına accedilılan kısayolları
iccedilermektedir
Matlab Uygulamaları
iccedilin kısa yol
Araccedil
kutularıSimulinkUy
gulaması
Demolar
Veri Sihirbazı
GUI Hazırlayıcı
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
28
Matlaba Veri Alma
Programa dışarıdan resim film veri ses dosyalarını
matris formatına ccedilevirerek bir değişken olarak atamada kullanılır
File Import Data
Oumlrnek Exel dosyası
alma
Exelde bir matrix oluşturup matlabdan import ile alınız
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
29
Matlabda Temel Kavramlar
Tuumlm programlama dillerinde olduğu gibi (Fortran C Pascal Basic vs)
Matlabın da oumlzel anlam tasıyan bazı kelimeleri vardır ki bu kelimeler değisken
olarak kullanılamazlar
Bu tuumlr kelimelere anahtar kelime (keywords) denir
Bu kelimelerin bir listesini almak iccedilin komut satırına
iskeyword komutunu yazarak elde edebiliriz
Bu kelimeler
breaklsquo case catch continue else elseif endlsquo for function global
if otherwiselsquo persistent return switch try while
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
30
Programın dili ve yardım bilgileri tamamen ingilizcedir
Kuumlccediluumlk-buumlyuumlk harf ayrımı vardır
Oumlrneğin dscrite DSCRITE ve Dscrite atamaları farklı şekilde
algılanır
Eğer istenirse ldquocasesen offrdquokomutu ile bu durum sona
erdirilebilir
raquo işareti komut promptrsquoudur
Komutlar Enter ile yuumlruumltuumlluumlr
2 Matlab Kullanımında Temel Kurallar
Matlab
31
Genel komutların isimleri ve accedilıklamaları
2 Matlab Kullanımında Temel KurallarMATLAB
32
2 Matlab Kullanımında Temel KurallarMATLAB
MATLAB kontroluumlnuuml
kullanabilmeniz iccedilin oumlzel karakterlere sahiptir Bu karakterlerin bir oumlzeti
33
2 Matlab Kullanımında Temel KurallarMatlab
34
2 Matlab Kullanımında Temel KurallarMatlab
35
İFADELER Matematiksel ve metinsel goumlsterimler ile işlemler ifadelerlesağlanır
Sayılar (Numbers)Değişkenler (Variables)İşleccediller (Operators)Fonksiyonlar (Functions)
Matlabrsquode ifadeler genellikle değişken = ifade veya sadece ifade formundadır
Sayısal Analiz
x = 4 sqrt(5) İfade
değişkensayı işleccedil fonksiyon
Bir ifade = işareti ile bir değişkene atanmamış
ise Matlab otomatik olarak sonucu ans (answer)
adı
verilen oumlzel bir değişkende saklar
3 MATRİSLER
36
o
Birden
fazla ifade
tek satırda aralarına
ya da koyarak yazılabilir
o
Yazımda
boşluk
sayısı
etkisizdir
o
Sadece
ilgili
değişken
adını
yazarak
o değişkeni ccedilağırabilirsiniz
MATRİSLER31 İFADELER
37
o MATLABrsquoda herhangi bir tip tanımlaması
veya boyut ifadesine gerek yoktur
o
MATLAB yeni bir değişken ismi ile karşılaştığında otomatik olarak ans isminde
bir değişken oluşturur ve uygun bir bellek miktarı
ayırır
oEğer değişken zaten varsa MATLAB gerekli bir bellek ayırdığında iccedileriği değişir
Oumlrneğin
o ogrenci_sayı=51
32 DeğişlenlerMatlab
Değisken
değeri değisebilen bellek alanına isaret eden değerlere
38
MATLAB değişken girişleri iccedilin ccedileşitli kurallara sahiptir
Her değişken bir harfle başlamak zorundadır
Program buumlyuumlk kuumlccediluumlk harf duyarlıdır X ve x farklı değişkenleri ifade eder
Program 31 basamağa kadar duyarlıdır Bu basamaktan sonrasını yok sayar
Dolayısıyla 31 basamaktan uzun değişken isimleri karışıklık yaratabilir
32 DeğişlenlerMatlab
39
Değiskenlere Değer Atama
Her hangi bir programlama dilinde olduğu gibi Matlabrsquoda da bir değiskene
değer verme islemine rdquodeğer atamakrdquo denir
Bir değiskene atanan değer değistirilmediği suumlrece aynı kalır
Değer atamanın genel kullanımı asağıdaki biccediliminde olur
ltDeğisken adıgt=ltAtanacak değergt
32 DeğişlenlerMatlab
40
Oumlrnek 2
A=6i-7 A değişkenine skaler bir değer atar
B=A 7
B değişkenine A değişkeninin 17 si atanmıştır
C=[3 4 5 6]
4 elemanlı
bir satır vektoumlruuml
atanmıştır
NOT
Dizi girişinde herhangi bir satıra ait elemanlar aralarına boşluk veya virguumll ldquordquo konularak ayrılır
Dizinin diğer bir satırına başlamak iccedilin biten satır sonuna konulur
32 DeğişlenlerMatlab
41
oMATLABrsquoda sayılar yaygın olarak kullanılan onluk tabanda ifade edilirler
o
Bunun yanısıra onluk tabanda uumlstel olarak veya i veya j olarak kompleks sayı biccedilimlerinde de ifade edilebilirler
oOumlrnek olarak
33 Sayılar
Matlab da i
ve j
başka tuumlrluuml
tanımlanmamışsa kompleks i sayısını
goumlsterir 3e5 sayısıda 3105
anlamındadır
MATRİSLER
42
o
Ondalık sayılar Tuumlrkccedilemizdeki
35 yerine
35 şeklinde
goumlsterilir
(00001 veya 963
065 yerine 65)
o
Bilimsel
notasyon
goumlsterimi olan e
(veya E) harfi
10rsquonun kuvvetini
temsil eder
o 2e4=2104=2000 veya
165e-20=16510-20
demektir
o
Kompleks
sayılarda
imajiner
(sanal) kısımlar
i
veya
j
ekini
alır
i veya
j
ile
gosterimlerinde
bir
fark
yoktur
o (1+3i veya 1+3i veya 1+i3) 1+sqrt(3)j
-5i
o
Matlabrsquode
tuumlm
sayılar yaklaşık 210308 ve
210-308 arasında
değişir
33 Sayılar
MATRİSLER
43
Sayı
Formatları
33 SayılarMatlabMATRİSLER
44
oMatlabda bir ccedilok eylem doumlrt islem ve matematiksel bazı
islemler
yaptırabiliriz
oBunun iccedilin ya ilgili komutları
komut penceresinden teker teker girerek veya
ilgili komutları
bir dosyaya yazıp o dosyayı
ccedilağırarak ccedilalıstırabiliriz
oİşlemleri yaptırırken sayıları
reel sayı
ya da karmasık sayı
olarak alabiliriz
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
45
Matematiksel ifadeleri oluşturmak iccedilin operatoumlrler ve oumlnceden tanımlanmış sembolleri kullanabilirsiniz
oOperatoumlrler oumlzetle şunlardır
oMatrislerle yapılan işlemlerde boumllme işlemi iccedilin iki farklı
sembol kullanılmaktadıroBunun yanında eğer sayılar skaler ise iki boumllme işleminin sonucu da aynı
değeri
goumlsterecektiroOumlrneğin 32 ile 23 ifadelerinin sonuccedilları
aynı
olup 15rsquodir
raquo 4+83ndash2ans =26
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
46
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
x=a + b
Bu ifadede a ve b nin toplandığı
ve x değişkeni iccedilinde saklandığıbelirtilmektedir
47
Aritmetiksel İşlemlerde Oumlncelik Durumu
oTek bir aritmetiksel durum iccedilinde birden fazla durum bir arada bulunabildiğine goumlre
hangi işlemin oumlncelik hakkına sahip olunduğunun
bilinmelidir
oMATLABrsquoda kullanılan işlemlerde işlemlerin oumlncelik
listesi
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
bazı
temel matematiksel fonksiyonların accedilıklamaları
48
o
MATLABrsquo
da işlemler soldan sağa işlerlero
İşlemler arası
oumlncelik sırası
aşağıdaki gibidir
1 ^
(Yuumlksek)2
darr
3 + -
(Duumlşuumlk)
raquo 3^(2ndash5)-632 raquo 3^2ndash5ndash632ans = ans =
mdash39630 0
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
49
35 FonksyonlarMATRİSLER
o MATLABrsquoın ccedilok guumlccedilluuml
ve ccedilok kapsamlı
bir fonksiyon yapısı
vardır
oMATLABrsquoda bazı
fonksiyonlar daha oumlnceden yerleştirilmiş
bazıları
ise sonradan
dışarıdan yerleştirilmiş
M-dosyalarından oluşan MATLAB kuumltuumlphanelerinde
tanımlanmışlardır
oBunun yanında oumlzel uygulamalar iccedilin kullanıcıların kendi fonksiyonlarını
yazarak
kendi kuumltuumlphanelerini oluşturması
muumlmkuumlnduumlr
MATLABrsquoda mevcut analitik fonksiyonları
genel olarak aşağıdaki kategorilere ayırabiliriz oTemel matematiksel fonksiyonlaroOumlzel fonksiyonlaroTemel matrisler ve matris işlemlerioMatrisleri ccedilarpanlarına ayırmaoVeri analizlerioPolinomlaroDiferansiyel denklem ccediloumlzuumlmlerioLineer olmayan denklemler ve optimizasyonoSayısal integral hesaplamalarıoSinyal işleme
50
Matematiksel Fonksiyonlar
bazı
temel matematiksel fonksiyonların accedilıklamaları
35 FonksyonlarMATRİSLER
Oumlrnekgtgtexp(1)ans=27183gtgtfix(35)ans=3gtgtceil(35)ans=4gtgtround(35)ans=4
51
Matlabda oumlnceden tanımlanmıs bazı
sabitlerdirBunlar aşağıdaki tabloda goumlsterilmistir
36 Oumlzel SabitlerMatlab
52
Oumlrnekler
1)
a=1
2)
a=rsquoİstanbulrsquo
3)
a=5b=7c=a+b
4) a=5b=-3c=a+2ba=a+b
5)
num=23-5^2 x=num2 y=x+10
7 Sabitler Değiskenler ve Metin KatarlarıMatlab
53
Oumlrnek
Komut satırına
a)
sin(30)
b)
sin(30pi180) yazınız sonuccedilları
inceleyiniz
35 FonksyonlarMATRİSLER
Cevapa) -09880 sonucu goumlruumlluumlr ki bu 30deg
nin sinuumlsuumlnde n farklıdır Ccediluumlnkuuml
bu 30deg
derece değil 30 radyanın sinuumlsuumlduumlrb) 05000 sonucu goumlruumlluumlr ki bu da 30deg
nin sinuumlsuumld uumlr O halde bir
sayının trigonometrik değerini buldurmak iccedilin oumlnce pi ile ccedilarpıp 180 e boumllerek accedilıyı
radyan ccedilevirip sonra trigonometrik değerini
hesaplatabiliriz
54
oVektoumlrler tek boyutlu sayı
dizileridir
oElemanlarının sıralanma youmlnlerine goumlre suumltun veya satır vektoumlruuml
adlarını alırlar
ovektoumlrler [ ] koumlşeli parantezleri ile tanımlanır
ofarklı
yolla tanımlanabilirler
4 VektoumlrlerMatlab
A = [4 12 -8 6]A = [4 12 -8 6]
B = [1 2 4 6]
Satır Vektoumlruuml
Suumltun Vektoumlruumlgtgt b=[1 2 4 6 ]
55
4 VektoumlrlerMatlab
ovektoumlr boyutları
buumlyuumlduumlkccedile manuel olarak tanıtım işlemi oldukccedila zorlaşmaktadır
oOumlzellikle belli bir artıma sahip vektoumlrlerin oluşturulmasında () operatoumlruuml kullanılmaktadır
C = [-105150]
Son değerBaşlangıccedil değeri Artış
miktarı
Drsquo
= [30-10-30]
Suumltun Vektoumlruuml
56
Vektoumlr indisleri
4 VektoumlrlerMatlab
Bir vektoumlruumln elemanlarına atanılan değer değişkenler editoumlruuml
veya eleman adresi vasıtasıyla değiştirilebilir
OumlrnekA = [4 12 -8 6]1 A vektoumlruumlnuumln 3 elemanını
27 ile değiştiriniz
2 Benzer şekilde A vektoumlruumlnuumln 2 elemanını
siliniz 3 A(9) = 12
Ccediloumlzuumlm1 A(3) = 272 Vektoumlruumln elemanına [ ] değeri atandığında eleman silinirA(2) = [ ]3 gtgt A(9) = 12
A= [ 4 27 6]
A =[ 2 27 7 0 0 0 0 0 12]
57
raquo x=[17 8 61 83 56]
Şeklindeki bir matrisin uumlccediluumlncuuml
elemanına erişmek istenirse
raquo c=x(3)
c =
61
Eğer bir blok şeklinde veriye erişilmek istenirse
raquo x(24)
ans =
8 61 83
Her matristeki herhangi bir elman grubuna erişilmek istenirse
raquo x([3 1 4])
ans =
61 17 83
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
58
Bir diziye duumlzenli artıs (veya azalıs) kuralıyla değerler atanmak isteniyorsa
bunu
ilk_değerartısson değer veya ilk_değerartısson değer
biccediliminde yapabiliriz
Ancak artıs 1 ise belirtilmeyebilirOumlrnekortalama adlı
bir diziye 0 dan 5 e kadar 05 er artısla elde edilen sayı
dizisini atayanortalama=[0055]
Siz 1 satır 7 den den 17 ye kadar olan tam sayılar 2 satırı
99 dan 89 a kadar azalan tam sayılardan olusan 2 boyutlu m dizisine atayan islemleri yazınız
Dizilerin Değerlerinin Değistirilmesi ve Duumlzenlenmesi
4 VektoumlrlerMatlab
59
4 VektoumlrlerMatlab
60
Sayılardan olusan satır ve suumltun yapısına matris (dizi) denir
Oumlrneğin
d1=[5] 1x1 lik
d2=[ 2 -7] 1x2 lik
d3= [1 0 -3 ]
[ 5 3 1 ]
2x3 luumlk bir dizidir
Oumlrnekx=[1 7 18 5]Ya daraquo x=[ 1
7185 ]
Biccedilimlerinde girilebilir
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
61
Dizilerin Değerlerinin Değistirilmesi ve DuumlzenlenmesiBir dizinin herhangi bir elemanını belirlemek iccedilin dizi adından hemen sonra
parantez iccedilinde elemanın bulunduğu satır ve suumltun sayısı yazılmalıdır
Oumlrnek 1 d2=[2 -7]d2 dizisinin -7 elemanını
goumlruumlntuumllemek iccedilin
d2(12)
2 d3=[1 0 -35 3 1]d3 dizisinin 2 satır 1 suumltununda bulunan 5 in değerinin -75 olması
iccedilin
d3(21)=-75
Not1) Bir dizinin bir ccedilok elemanını
yeniden değer atamak gerekirse komut satırından atama yapmak uzun zaman alabilirBu durumda dizi değiskeninin uumlzerine ccedilift tıklayarak accedilılan dizi editoumlruuml
(array edit) yardımıyla değisiklikleri daha kolay yapabiliriz
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
62
8 Matrisler(Dizi)Matlab
Bir matrisi girerken o1 Elemanlar baştan ve sondan koumlşeli parantezlerle kapatılıro2 Elemanların arasına boşluk veya virguumll konuluro3 Matris satırlarını
ayırmak iccedilin de noktalı
virguumll kullanılır
okurallarına dikkate alınmalıdır
Oumlrneğin
A = [1 2 3 4 5 6]A =
1 2 34 5 6
şeklinde veriler matrisler biccediliminde tanımlanır MATLAB daha sonra kullanılmak uumlzere verileri A matrisinde saklar
63
Matris elemanları
rasgele rakamlardan oluşabileceği gibi MATLABrsquoın deyimlerinden de oluşabilir
51 Matrislerde ElemanlarMatlab
Oumlrneğin
a=[-13 sqrt(3) (1+2+3)475]
a= -13000 17321 48000
Kuumlccediluumlk matrisleri eleman olarak kullanıp daha buumlyuumlk matrisler oluşturmak muumlmkuumlnduumlr
OumlrneğinM=[1 3 5
7 8 9] matrisine
aşağıda goumlsterildiği şekilde bir satır eklemesi yapabilir
M=[M[10 13 15]]
Bu durumda M matrisiM=[1 3 5
7 8 910 13 15]
durumunu alır
64
İki nokta uumlst uumlste () kullanarak buumlyuumlk matrislerin belli bir kısmını
kullanabiliriz
ya da diğer ifade ile bu matrisi kuumlccediluumlltebiliriz
Oumlrneğin
M=M(12) bildirimi M matrisinin ilk iki satırını
alarak M matrisi
olarak saklar
Oumlrnek
M=[8 -4 7 66 -7 8 9 4 5 134] ise
M=M(12) =
8 1 Matrislerde ElemanlarMatlab
65
MATLABrsquoda kullanıcı
verileri kendi oluşturacağı
matrisler ile tanımlayabileceği gibi MATLABrsquoın kendi oumlzel matrislerinden de istifade edilebilir
52 Genel MatrislerMatlab
66
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
a) Sıfır Matrisi Olusturan Fonksiyon
Her elemanı sıfır olan mxn boyutunda bir matrise sıfır matrisi denir
Boumlyle bir dizi olusturmak iccedilin zeros fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=zeros(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
3x5 boyutunda s adlı
sıfır matrisi iccedilin
s=zeros(35)
52 Genel MatrislerMatlab
67
b) 1 lerden Olusan Matris
Her elemanı 1 olan mxn boyutunda bir matrisi olusturmak iccedilin ones
fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matria_adı=ones(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
2x3 boyutunda b adlı
tuumlm elemanları
1 olan matrisi olusturalım
b=ones(23)
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
52 Genel MatrislerMatlab
68
c) Birim Matrisi Olusturan Fonksiyon
Esas koumlsegeni 1 lerden diğer elemanları 0 lardan olusan kare matrise (satır
ve suumltun sayısı esit olan ) birim matrisi
kare olmayan matrise de diyagonal matris denir
Boumlyle matrisleri olusturmak iccedilin eye fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=eye(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
a)
3x3 luumlk birim matris
b) 4x3 lluumlk diyagonal matris olusturalım
Ccediloumlzuumlma) i=eye(33) b) d=eye(43)
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar52 Genel MatrislerMatlab
69
d) Rastgele Sayılardan Olusan Matris ve Fonksiyonu
Elemanları 0 ile 1 arasındaki rastgele sayılardan olusan bir matris iccedilin
rand fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=rand(mn) biccedilimindedir(msatırnsuumltun)
Not 1) Uumlretilen matrisin tuumlm elemanlarını k gibi bir sayı ile ccedilarparak
sayıları 0 ile k arasına ccedilekebiliriz
Not 2) Ondalıklı sayılardan olusmus bir matrisin elemanlarını
yuvarlayıp tam sayı yapmak iccedilin round fonksiyonunu kullanırız
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar52 Genel MatrislerMatlab
70
Oumlrnek
a) 0 ile 1 arasında rastgele sayılardan olusan 10 elemanlı
a adında bir satır
matrisi olusturalım
b) Elemanları
10 ile 50 arasında sayılardan olusan 5x3 tipinde b matrisini
olusturalım
c) Elemanları
50 ile 300 arasındaki tamsayılardan olusan 3x4 tipinde c matrisini
olusturalım
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
d) Rastgele Sayılardan Olusan Matris ve Fonksiyonu
52 Genel MatrislerMatlab
71
Ccediloumlzuumlm
a)
a=rand(110)
b)
b=10+rand(53)40
c) c=round(50+rand(34)250)
52 Genel MatrislerMatlab
72
e) Rastgele Sayılardan Olusan Normal Dağılımlı
Matris veFonksiyonu
Elemanları rasstgele sayılardan olusan bir normal dağılımlı bir matris iccedilin
randn fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=randn(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek Rastgele sayılardan olusan normal dağılımlı 2x3 luumlk bir n matrisini
olusturalım
Ccediloumlzuumlm n=randn(23)
52 Genel MatrislerMatlab
73
f) Lineer Aralıklı
(Aritmetik) Dizi ve Fonksiyonu
Baslangıccedil ve biis değerleri ve kaccedil elemandan olusacağı belirlenen diziyi
olusturmak iccedilin linspace fonksiyonu kullanılır
Kullanımı
dizi_adı=linspace(ilk_değerson_değereleman_sayısı)
biccedilimindedir
52 Genel MatrislerMatlab
74
Oumlrnek 10 ile 30 arasına 9 tane daha sayı
koyarak aadında bir aritmetik dizi olusturalım
f) Lineer Aralıklı
(Aritmetik) Dizi ve Fonksiyonu
52 Genel MatrislerMatlab
Cevapa=linspace(103011)
75
Elimizdeki grubun her elemanı iccedilin bir matematik işlemi yapıp bunu yeni bir
diziye atarken herhangi bir sorun yoktur
Fakat iki farklı grupla işlemler yaparken dikkat etmemiz gereken genel
kurallar vardır
Oumlrneğin toplama ve ccedilıkarma yaparken iki dizinin de buumlyuumlkluumlğuumlnuumln eşit
olması gerekmektedir
Ayrıca iki farklı dizinin elemanları arasında birebir işlem yapmak iccedilin
matematik operatoumlruumlnuumln başına nokta() koymak gerekir
Bu durumda her bir elemanı diğer dizinin o sıradaki elmanı ile işleme
sokacaktır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
76
Birden fazla satır ve suumltuna sahip vektoumlrlere matris denir Noktalı
virguumll ()
işareti ile kolonları
ve virguumlle işareti ya da boşluk
bırakarak da bir sıradaki elemanları
ayırabilirizOumlrnekraquo x=[ 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14]x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14Yukarıdaki 3x4 boyutunda bir matristir MATLAB programına aşağıdaki
gibi de sunulabilirraquo x=[ 3 4 5 6
7 8 9 1011 12 13 14]
x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
77
Matristeki herhangi bir elemana direk ulaşmak iccedilin aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(23)=9
Eğer isteğimiz eriştiğimiz bir elemanı
değiştirmek veya yeni bir satır eklemek ise aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(41)=1x =
3 4 5 67 8 9 1011 12 13 141 0 0 0
Bu durumda doumlrduumlncuuml
satır ilk elemanını
biz 1 değerini atadık ve diğer elemanları
kendiliğinden ldquo0rdquo
olarak atadı
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
78
İki nokta uumlst uumlste () kullanılarak belirli aralıkta değişen matrisler yaratılabilir
raquo x=[127 3-10 -12]x =
1 3 5 73 2 1 0
-1 0 1 2Bir matrisin herhangi bir boumlluumlmuumlnuuml
seccedilmek iccedilin ise aşağıdaki goumlsterim
kullanılırraquo z=x(23 12)z =
3 2-1 0
Bu durumda z matris x matrisinin 2 ve 3 norsquo
lu satırlarından 1 ve 2 norsquo
lu suumltunlarını
almış
oluyor
Herhangi bir satır veya suumltunu tamamen silmek istersek o satır ve suumltunu seccedilip ldquo[]rdquo
ifadesine eşitleriz
raquo z(2)=[ ]z =
3 -1
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
79
Matlab size ve length komutları
yardımı
ile size matrisinizin boyutlarını
soumlyler
raquo a=[ 2 3 4 5 67 8 9 10 11]
raquo s=size(a)s =
2 5
raquo b=[ 17 11 0 30 40 50]
raquo k=length(b)k =
6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
80
a) Toplama-Ccedilıkarma Bir Sayı
ile Ccedilarpma İşlemi
İki matrisi toplamak (veya ccedilıkarmak) demek matrislerin aynı
mertebedeki elemanları teker teker toplayıp (veya ccedilıkarıp ) aynı
mertebeye yazmak demektir
Bu durumda iki matrisin de aynı mertebeden olması gereği accedilıktır
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile toplamak (veya ccedilıkarmak) demek
matrisin elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla toplamak (veya
ccedilıkarmak )demektir
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile ccedilarpmak demek ise matrisin
elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla ccedilarpmak demektir
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
81
82
Oumlrnek
raquo a=[1 2 3 4 5 6]raquo b=[7 8 9 10 11 12]
a ve b toplamıraquo sum=a+bsum =
8 10 1214 16 18
arsquo
yı
brsquo
den ccedilıkarmak
raquo diff=a-bdiff =
-6 -6 -6-6 -6 -6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
83
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] ve b=[3 -3 -41 1 5] matrisleri
veriliyor
a)
c=a+b toplam matrisini
b)
d=a-b matrisini
c)
amatrisinin her elemanınının 5 eksiğine karsılık gelen e
matrisini
d) f=2a-3b matrisini bulduran islemleri yazalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
a) c=a+b b) d=a-b c) e=a-5 d) f=a+a-b-b-b veya
f=2a-3b
84
İki matrisin ccedilarpım islemi iki biccedilimde anlasılır
1)
Aynı
mertebeden iki matrisin elemanlarını
teker teker ccedilarpıp aynı
mertebeye
yazmak demektir Bunu
islemi ile gerccedileklestiririz
2) Matematiksel anlamda iki matrisi ccedilarpmak istediğimizde birinci matris mxn
tuumlruumlnde ve ikinci matris mutlaka nxp tuumlruumlnde olmalıdır yani birinci matrisin
suumltun sayısı
ikinci matrisin satır sayısına eşit olmalıdır
Bu durumda birinci matrisin i suumltun elemanları
ile ikinci matrisin j satırındaki
elemanlar karılıklı
olarak ccedilarpılır ve sonuccedillar toplanır ve bu toplam ccedilarpım
matrisinin (ij) inci mertebeye yazılır
Matrisler arası
ccedilarpma isleminin semboluuml
de dır
b) İki Matrisin Ccedilarpımı Bir Matrisin Kuvvetleri veCcedilarpma İslemi
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
85
3) Bir a matrisinin her bir elemanının n Kuvvetlerinden olusan matrisi
bulmak iccedilin a^n islemi kullanılır
4) Satır ve suumltun sayıları
esit bir kare matrisi ardısık olarak n defa
kendisiyle ccedilarparak a matrisinin n kuvvetini bulabilirizOumlrneğin a matrisinin
karesi iccedilin aa veya a^2 kuumlbuumlnuuml
buldurmak iccedilin aaa veya a^3
doumlrduumlncuuml
kuvvetini buldurmak iccedilin aaaa veya a^4
Not) Bir a matrisinin eleman -elemana ccedilarpma islemine benzer mantıkla bir matrisin tuumlm elemanlarının kareleri kuumlbleri sinuumlsleri kosinuumlsleri logaritmalarından olusan matris bulunmak istenirse bunu sırayla aa (veya a^2) aaa (veya a^3) sin(a) cos(a) etabanında logaritması
iccedilin log(a) 10 tabanında logaritmaları
iccedilin log10(a) Biccediliminde gerccedileklestirebiliriz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
86
a) a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c1 matrisi varsa bulalım
b) a matrisi ile b matrisinin ccedilarpım matrisi olan c2 varsa bulalım
c) a matrisinin elemanları
ile c matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c3 matrisi varsa bulalım
d) a matrisi ile c matrisinin ccedilarpım matrisi olan c4 varsa bulalım
e) a matrisinin elemanlarının karelerinden olusan matris ile b matrisinin
kosinuumlslerinden olusan matrisler toplamını
bulalım
f) x=[1 00 3] matrisinin i) Karesini ii) Kuumlbuumlnuuml
iii) 10
kuvvetini bulalım
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] b=[3 -3 -41 1 5] ve c=[1 0-1 23 3] matrisleri veriliyor
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
87
Ccediloumlzuumlma) iki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirBu durumda c1 matrisi tanımlıdır ve bunu c1=ab islemi ile gerccedileklestirebilirizb) iki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdırHalbuki a matrisi 2x3 b matrisi de 2x3 olduğundan bu iki matris ccedilarpılamazc) İki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirHalbuki bu matrisler aynı mertebeden olmadığından bu iki matris eleman-elemana ccedilarpma islemi
gerccedileklemezd) İki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdıra matrisi 2x3 luumlk c matrisi de 3x2 lik olduğundan bu iki matris ccedilarpılabilir ve c4 ccedilarpım matrisi 2x2 lik bir matris olurc4 ccedilarpım matrisini c4=ac islemi ile buluruze) a^2+cos(b)f) i) x^2 ii) x^3 iii) x^10
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
88
c) Bir Matrisin Devriğini (Transpozesi) Bulma İslemi
Bir matrisin satırlarını suumltun suumltunlarını satır olarak yazılmasıyla
bulunan matrise bu matrisin devriği (transpozesi) denir
Bir matrisin devriğini islemi ile bulabiliriz
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] nın devriğini buldurup d matrisine atayalım
Ccediloumlzuumlm d=a
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
89
Oumlrnek
b=[7 8 9 10 11 12] matrisinin transpozesini bulabilirmisiniz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
c=bc =
7 108 119 12
90
SORU
a=[1 2 3 4 5 6]
c= [710811912]
ise a ve crsquonin ccedilarpım matrisi
kaccediltır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
Ccedilarpma işlemi k=ack=
50 68122 167
91
SORU
a=[1 2 3 4 5 6] b=[7 8 9 10 11 12]
ise a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan x matrisini bulalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
x=abx =
7 16 2740 55 72
92
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
Aynı mertebeden iki matrisin elemanlarını teker teker boumllerek aynı
mertebeye yazılmasına iki matrisin sol boumllmesi denir ve bu islemi ile
yapılır
a b ve c aynı mertebeden kare matrisler olmak uumlzere
c=ab ise a matrisine c nin b matrisine boumlluumlmuuml denir
c boumlluumlm matrisi islemi ile yapılır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
93
HATIRLATMA
2x2 lik i2 adlı birim matrisi i2=eye(22)
3x luumlk i3 adlı birim matrisi i2=eye(33) islemi ile olusturabiiriz
Aynı mertebeden a ve b kare matrisleri iccedilin a ile b nin ccedilarpımı birim matris ise
b matrisi a matrisinin (aynı biccedilimde a matrisi de b matrisinin) ters matrisidir
Oumlrnek
3x3 luumlk bir a kare matrisinin tersini bulmak iccedilin
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
eye(33)a veya inv(a) islemini kullanırız
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
94
Bir Matrisin Determinantı
Determinant kare matrisleri bir sayıya eşleyen fonksiyondur
Determinant fonksiyonunun kare matrisi eşlediği o sayıya matrisin
determinantı denir
A matrisinin determinantı detA veya |A| biccediliminde goumlsterilir
|A| matrislerde mutlak değer anlamına gelmez |A| sıfır veya
negatif de olabilir
det(x)
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
95
KURAL
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
96
Oumlrnek
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Determinant
raquo
deter=det(x)deter =
21
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
97
Oumlrnek Inverse işlemi
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Detx=det(x)=21 ise
raquo y=inv(x)y =
821 121 -521 221
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
98
SORU
a=[2 -10 01 2 43 0 1] matrisi ile b=[1 5 41 -1 20 1 -1] matrisleri veriliyor
a)
a matrisinin elemanlarını
sırasıyla b matrisinin elemanlarına boumllerek elde
edilen matrisi b1 matrisine atayalım
b) a matrisinin ta ters matrisini bulalım
c) a ile ta matrisinin ccedilarpımının 3x3 luumlk birim matris olduğunu goumlsterelim
d) a matrisinin b matrisine boumlluumlmuumlnuuml
b2 matrisine atayalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
99
Ccediloumlzuumlm
a)
b1=ab
b) ta1=eye(33)a veya ta2=inv(a)
c) ata ==eye(33)
d) b2=ab
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
27
Başlat Duumlğmesi
Start Duumlğmesi tuumlm matlab uygulamalarına accedilılan kısayolları
iccedilermektedir
Matlab Uygulamaları
iccedilin kısa yol
Araccedil
kutularıSimulinkUy
gulaması
Demolar
Veri Sihirbazı
GUI Hazırlayıcı
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
28
Matlaba Veri Alma
Programa dışarıdan resim film veri ses dosyalarını
matris formatına ccedilevirerek bir değişken olarak atamada kullanılır
File Import Data
Oumlrnek Exel dosyası
alma
Exelde bir matrix oluşturup matlabdan import ile alınız
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
29
Matlabda Temel Kavramlar
Tuumlm programlama dillerinde olduğu gibi (Fortran C Pascal Basic vs)
Matlabın da oumlzel anlam tasıyan bazı kelimeleri vardır ki bu kelimeler değisken
olarak kullanılamazlar
Bu tuumlr kelimelere anahtar kelime (keywords) denir
Bu kelimelerin bir listesini almak iccedilin komut satırına
iskeyword komutunu yazarak elde edebiliriz
Bu kelimeler
breaklsquo case catch continue else elseif endlsquo for function global
if otherwiselsquo persistent return switch try while
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
30
Programın dili ve yardım bilgileri tamamen ingilizcedir
Kuumlccediluumlk-buumlyuumlk harf ayrımı vardır
Oumlrneğin dscrite DSCRITE ve Dscrite atamaları farklı şekilde
algılanır
Eğer istenirse ldquocasesen offrdquokomutu ile bu durum sona
erdirilebilir
raquo işareti komut promptrsquoudur
Komutlar Enter ile yuumlruumltuumlluumlr
2 Matlab Kullanımında Temel Kurallar
Matlab
31
Genel komutların isimleri ve accedilıklamaları
2 Matlab Kullanımında Temel KurallarMATLAB
32
2 Matlab Kullanımında Temel KurallarMATLAB
MATLAB kontroluumlnuuml
kullanabilmeniz iccedilin oumlzel karakterlere sahiptir Bu karakterlerin bir oumlzeti
33
2 Matlab Kullanımında Temel KurallarMatlab
34
2 Matlab Kullanımında Temel KurallarMatlab
35
İFADELER Matematiksel ve metinsel goumlsterimler ile işlemler ifadelerlesağlanır
Sayılar (Numbers)Değişkenler (Variables)İşleccediller (Operators)Fonksiyonlar (Functions)
Matlabrsquode ifadeler genellikle değişken = ifade veya sadece ifade formundadır
Sayısal Analiz
x = 4 sqrt(5) İfade
değişkensayı işleccedil fonksiyon
Bir ifade = işareti ile bir değişkene atanmamış
ise Matlab otomatik olarak sonucu ans (answer)
adı
verilen oumlzel bir değişkende saklar
3 MATRİSLER
36
o
Birden
fazla ifade
tek satırda aralarına
ya da koyarak yazılabilir
o
Yazımda
boşluk
sayısı
etkisizdir
o
Sadece
ilgili
değişken
adını
yazarak
o değişkeni ccedilağırabilirsiniz
MATRİSLER31 İFADELER
37
o MATLABrsquoda herhangi bir tip tanımlaması
veya boyut ifadesine gerek yoktur
o
MATLAB yeni bir değişken ismi ile karşılaştığında otomatik olarak ans isminde
bir değişken oluşturur ve uygun bir bellek miktarı
ayırır
oEğer değişken zaten varsa MATLAB gerekli bir bellek ayırdığında iccedileriği değişir
Oumlrneğin
o ogrenci_sayı=51
32 DeğişlenlerMatlab
Değisken
değeri değisebilen bellek alanına isaret eden değerlere
38
MATLAB değişken girişleri iccedilin ccedileşitli kurallara sahiptir
Her değişken bir harfle başlamak zorundadır
Program buumlyuumlk kuumlccediluumlk harf duyarlıdır X ve x farklı değişkenleri ifade eder
Program 31 basamağa kadar duyarlıdır Bu basamaktan sonrasını yok sayar
Dolayısıyla 31 basamaktan uzun değişken isimleri karışıklık yaratabilir
32 DeğişlenlerMatlab
39
Değiskenlere Değer Atama
Her hangi bir programlama dilinde olduğu gibi Matlabrsquoda da bir değiskene
değer verme islemine rdquodeğer atamakrdquo denir
Bir değiskene atanan değer değistirilmediği suumlrece aynı kalır
Değer atamanın genel kullanımı asağıdaki biccediliminde olur
ltDeğisken adıgt=ltAtanacak değergt
32 DeğişlenlerMatlab
40
Oumlrnek 2
A=6i-7 A değişkenine skaler bir değer atar
B=A 7
B değişkenine A değişkeninin 17 si atanmıştır
C=[3 4 5 6]
4 elemanlı
bir satır vektoumlruuml
atanmıştır
NOT
Dizi girişinde herhangi bir satıra ait elemanlar aralarına boşluk veya virguumll ldquordquo konularak ayrılır
Dizinin diğer bir satırına başlamak iccedilin biten satır sonuna konulur
32 DeğişlenlerMatlab
41
oMATLABrsquoda sayılar yaygın olarak kullanılan onluk tabanda ifade edilirler
o
Bunun yanısıra onluk tabanda uumlstel olarak veya i veya j olarak kompleks sayı biccedilimlerinde de ifade edilebilirler
oOumlrnek olarak
33 Sayılar
Matlab da i
ve j
başka tuumlrluuml
tanımlanmamışsa kompleks i sayısını
goumlsterir 3e5 sayısıda 3105
anlamındadır
MATRİSLER
42
o
Ondalık sayılar Tuumlrkccedilemizdeki
35 yerine
35 şeklinde
goumlsterilir
(00001 veya 963
065 yerine 65)
o
Bilimsel
notasyon
goumlsterimi olan e
(veya E) harfi
10rsquonun kuvvetini
temsil eder
o 2e4=2104=2000 veya
165e-20=16510-20
demektir
o
Kompleks
sayılarda
imajiner
(sanal) kısımlar
i
veya
j
ekini
alır
i veya
j
ile
gosterimlerinde
bir
fark
yoktur
o (1+3i veya 1+3i veya 1+i3) 1+sqrt(3)j
-5i
o
Matlabrsquode
tuumlm
sayılar yaklaşık 210308 ve
210-308 arasında
değişir
33 Sayılar
MATRİSLER
43
Sayı
Formatları
33 SayılarMatlabMATRİSLER
44
oMatlabda bir ccedilok eylem doumlrt islem ve matematiksel bazı
islemler
yaptırabiliriz
oBunun iccedilin ya ilgili komutları
komut penceresinden teker teker girerek veya
ilgili komutları
bir dosyaya yazıp o dosyayı
ccedilağırarak ccedilalıstırabiliriz
oİşlemleri yaptırırken sayıları
reel sayı
ya da karmasık sayı
olarak alabiliriz
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
45
Matematiksel ifadeleri oluşturmak iccedilin operatoumlrler ve oumlnceden tanımlanmış sembolleri kullanabilirsiniz
oOperatoumlrler oumlzetle şunlardır
oMatrislerle yapılan işlemlerde boumllme işlemi iccedilin iki farklı
sembol kullanılmaktadıroBunun yanında eğer sayılar skaler ise iki boumllme işleminin sonucu da aynı
değeri
goumlsterecektiroOumlrneğin 32 ile 23 ifadelerinin sonuccedilları
aynı
olup 15rsquodir
raquo 4+83ndash2ans =26
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
46
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
x=a + b
Bu ifadede a ve b nin toplandığı
ve x değişkeni iccedilinde saklandığıbelirtilmektedir
47
Aritmetiksel İşlemlerde Oumlncelik Durumu
oTek bir aritmetiksel durum iccedilinde birden fazla durum bir arada bulunabildiğine goumlre
hangi işlemin oumlncelik hakkına sahip olunduğunun
bilinmelidir
oMATLABrsquoda kullanılan işlemlerde işlemlerin oumlncelik
listesi
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
bazı
temel matematiksel fonksiyonların accedilıklamaları
48
o
MATLABrsquo
da işlemler soldan sağa işlerlero
İşlemler arası
oumlncelik sırası
aşağıdaki gibidir
1 ^
(Yuumlksek)2
darr
3 + -
(Duumlşuumlk)
raquo 3^(2ndash5)-632 raquo 3^2ndash5ndash632ans = ans =
mdash39630 0
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
49
35 FonksyonlarMATRİSLER
o MATLABrsquoın ccedilok guumlccedilluuml
ve ccedilok kapsamlı
bir fonksiyon yapısı
vardır
oMATLABrsquoda bazı
fonksiyonlar daha oumlnceden yerleştirilmiş
bazıları
ise sonradan
dışarıdan yerleştirilmiş
M-dosyalarından oluşan MATLAB kuumltuumlphanelerinde
tanımlanmışlardır
oBunun yanında oumlzel uygulamalar iccedilin kullanıcıların kendi fonksiyonlarını
yazarak
kendi kuumltuumlphanelerini oluşturması
muumlmkuumlnduumlr
MATLABrsquoda mevcut analitik fonksiyonları
genel olarak aşağıdaki kategorilere ayırabiliriz oTemel matematiksel fonksiyonlaroOumlzel fonksiyonlaroTemel matrisler ve matris işlemlerioMatrisleri ccedilarpanlarına ayırmaoVeri analizlerioPolinomlaroDiferansiyel denklem ccediloumlzuumlmlerioLineer olmayan denklemler ve optimizasyonoSayısal integral hesaplamalarıoSinyal işleme
50
Matematiksel Fonksiyonlar
bazı
temel matematiksel fonksiyonların accedilıklamaları
35 FonksyonlarMATRİSLER
Oumlrnekgtgtexp(1)ans=27183gtgtfix(35)ans=3gtgtceil(35)ans=4gtgtround(35)ans=4
51
Matlabda oumlnceden tanımlanmıs bazı
sabitlerdirBunlar aşağıdaki tabloda goumlsterilmistir
36 Oumlzel SabitlerMatlab
52
Oumlrnekler
1)
a=1
2)
a=rsquoİstanbulrsquo
3)
a=5b=7c=a+b
4) a=5b=-3c=a+2ba=a+b
5)
num=23-5^2 x=num2 y=x+10
7 Sabitler Değiskenler ve Metin KatarlarıMatlab
53
Oumlrnek
Komut satırına
a)
sin(30)
b)
sin(30pi180) yazınız sonuccedilları
inceleyiniz
35 FonksyonlarMATRİSLER
Cevapa) -09880 sonucu goumlruumlluumlr ki bu 30deg
nin sinuumlsuumlnde n farklıdır Ccediluumlnkuuml
bu 30deg
derece değil 30 radyanın sinuumlsuumlduumlrb) 05000 sonucu goumlruumlluumlr ki bu da 30deg
nin sinuumlsuumld uumlr O halde bir
sayının trigonometrik değerini buldurmak iccedilin oumlnce pi ile ccedilarpıp 180 e boumllerek accedilıyı
radyan ccedilevirip sonra trigonometrik değerini
hesaplatabiliriz
54
oVektoumlrler tek boyutlu sayı
dizileridir
oElemanlarının sıralanma youmlnlerine goumlre suumltun veya satır vektoumlruuml
adlarını alırlar
ovektoumlrler [ ] koumlşeli parantezleri ile tanımlanır
ofarklı
yolla tanımlanabilirler
4 VektoumlrlerMatlab
A = [4 12 -8 6]A = [4 12 -8 6]
B = [1 2 4 6]
Satır Vektoumlruuml
Suumltun Vektoumlruumlgtgt b=[1 2 4 6 ]
55
4 VektoumlrlerMatlab
ovektoumlr boyutları
buumlyuumlduumlkccedile manuel olarak tanıtım işlemi oldukccedila zorlaşmaktadır
oOumlzellikle belli bir artıma sahip vektoumlrlerin oluşturulmasında () operatoumlruuml kullanılmaktadır
C = [-105150]
Son değerBaşlangıccedil değeri Artış
miktarı
Drsquo
= [30-10-30]
Suumltun Vektoumlruuml
56
Vektoumlr indisleri
4 VektoumlrlerMatlab
Bir vektoumlruumln elemanlarına atanılan değer değişkenler editoumlruuml
veya eleman adresi vasıtasıyla değiştirilebilir
OumlrnekA = [4 12 -8 6]1 A vektoumlruumlnuumln 3 elemanını
27 ile değiştiriniz
2 Benzer şekilde A vektoumlruumlnuumln 2 elemanını
siliniz 3 A(9) = 12
Ccediloumlzuumlm1 A(3) = 272 Vektoumlruumln elemanına [ ] değeri atandığında eleman silinirA(2) = [ ]3 gtgt A(9) = 12
A= [ 4 27 6]
A =[ 2 27 7 0 0 0 0 0 12]
57
raquo x=[17 8 61 83 56]
Şeklindeki bir matrisin uumlccediluumlncuuml
elemanına erişmek istenirse
raquo c=x(3)
c =
61
Eğer bir blok şeklinde veriye erişilmek istenirse
raquo x(24)
ans =
8 61 83
Her matristeki herhangi bir elman grubuna erişilmek istenirse
raquo x([3 1 4])
ans =
61 17 83
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
58
Bir diziye duumlzenli artıs (veya azalıs) kuralıyla değerler atanmak isteniyorsa
bunu
ilk_değerartısson değer veya ilk_değerartısson değer
biccediliminde yapabiliriz
Ancak artıs 1 ise belirtilmeyebilirOumlrnekortalama adlı
bir diziye 0 dan 5 e kadar 05 er artısla elde edilen sayı
dizisini atayanortalama=[0055]
Siz 1 satır 7 den den 17 ye kadar olan tam sayılar 2 satırı
99 dan 89 a kadar azalan tam sayılardan olusan 2 boyutlu m dizisine atayan islemleri yazınız
Dizilerin Değerlerinin Değistirilmesi ve Duumlzenlenmesi
4 VektoumlrlerMatlab
59
4 VektoumlrlerMatlab
60
Sayılardan olusan satır ve suumltun yapısına matris (dizi) denir
Oumlrneğin
d1=[5] 1x1 lik
d2=[ 2 -7] 1x2 lik
d3= [1 0 -3 ]
[ 5 3 1 ]
2x3 luumlk bir dizidir
Oumlrnekx=[1 7 18 5]Ya daraquo x=[ 1
7185 ]
Biccedilimlerinde girilebilir
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
61
Dizilerin Değerlerinin Değistirilmesi ve DuumlzenlenmesiBir dizinin herhangi bir elemanını belirlemek iccedilin dizi adından hemen sonra
parantez iccedilinde elemanın bulunduğu satır ve suumltun sayısı yazılmalıdır
Oumlrnek 1 d2=[2 -7]d2 dizisinin -7 elemanını
goumlruumlntuumllemek iccedilin
d2(12)
2 d3=[1 0 -35 3 1]d3 dizisinin 2 satır 1 suumltununda bulunan 5 in değerinin -75 olması
iccedilin
d3(21)=-75
Not1) Bir dizinin bir ccedilok elemanını
yeniden değer atamak gerekirse komut satırından atama yapmak uzun zaman alabilirBu durumda dizi değiskeninin uumlzerine ccedilift tıklayarak accedilılan dizi editoumlruuml
(array edit) yardımıyla değisiklikleri daha kolay yapabiliriz
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
62
8 Matrisler(Dizi)Matlab
Bir matrisi girerken o1 Elemanlar baştan ve sondan koumlşeli parantezlerle kapatılıro2 Elemanların arasına boşluk veya virguumll konuluro3 Matris satırlarını
ayırmak iccedilin de noktalı
virguumll kullanılır
okurallarına dikkate alınmalıdır
Oumlrneğin
A = [1 2 3 4 5 6]A =
1 2 34 5 6
şeklinde veriler matrisler biccediliminde tanımlanır MATLAB daha sonra kullanılmak uumlzere verileri A matrisinde saklar
63
Matris elemanları
rasgele rakamlardan oluşabileceği gibi MATLABrsquoın deyimlerinden de oluşabilir
51 Matrislerde ElemanlarMatlab
Oumlrneğin
a=[-13 sqrt(3) (1+2+3)475]
a= -13000 17321 48000
Kuumlccediluumlk matrisleri eleman olarak kullanıp daha buumlyuumlk matrisler oluşturmak muumlmkuumlnduumlr
OumlrneğinM=[1 3 5
7 8 9] matrisine
aşağıda goumlsterildiği şekilde bir satır eklemesi yapabilir
M=[M[10 13 15]]
Bu durumda M matrisiM=[1 3 5
7 8 910 13 15]
durumunu alır
64
İki nokta uumlst uumlste () kullanarak buumlyuumlk matrislerin belli bir kısmını
kullanabiliriz
ya da diğer ifade ile bu matrisi kuumlccediluumlltebiliriz
Oumlrneğin
M=M(12) bildirimi M matrisinin ilk iki satırını
alarak M matrisi
olarak saklar
Oumlrnek
M=[8 -4 7 66 -7 8 9 4 5 134] ise
M=M(12) =
8 1 Matrislerde ElemanlarMatlab
65
MATLABrsquoda kullanıcı
verileri kendi oluşturacağı
matrisler ile tanımlayabileceği gibi MATLABrsquoın kendi oumlzel matrislerinden de istifade edilebilir
52 Genel MatrislerMatlab
66
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
a) Sıfır Matrisi Olusturan Fonksiyon
Her elemanı sıfır olan mxn boyutunda bir matrise sıfır matrisi denir
Boumlyle bir dizi olusturmak iccedilin zeros fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=zeros(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
3x5 boyutunda s adlı
sıfır matrisi iccedilin
s=zeros(35)
52 Genel MatrislerMatlab
67
b) 1 lerden Olusan Matris
Her elemanı 1 olan mxn boyutunda bir matrisi olusturmak iccedilin ones
fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matria_adı=ones(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
2x3 boyutunda b adlı
tuumlm elemanları
1 olan matrisi olusturalım
b=ones(23)
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
52 Genel MatrislerMatlab
68
c) Birim Matrisi Olusturan Fonksiyon
Esas koumlsegeni 1 lerden diğer elemanları 0 lardan olusan kare matrise (satır
ve suumltun sayısı esit olan ) birim matrisi
kare olmayan matrise de diyagonal matris denir
Boumlyle matrisleri olusturmak iccedilin eye fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=eye(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
a)
3x3 luumlk birim matris
b) 4x3 lluumlk diyagonal matris olusturalım
Ccediloumlzuumlma) i=eye(33) b) d=eye(43)
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar52 Genel MatrislerMatlab
69
d) Rastgele Sayılardan Olusan Matris ve Fonksiyonu
Elemanları 0 ile 1 arasındaki rastgele sayılardan olusan bir matris iccedilin
rand fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=rand(mn) biccedilimindedir(msatırnsuumltun)
Not 1) Uumlretilen matrisin tuumlm elemanlarını k gibi bir sayı ile ccedilarparak
sayıları 0 ile k arasına ccedilekebiliriz
Not 2) Ondalıklı sayılardan olusmus bir matrisin elemanlarını
yuvarlayıp tam sayı yapmak iccedilin round fonksiyonunu kullanırız
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar52 Genel MatrislerMatlab
70
Oumlrnek
a) 0 ile 1 arasında rastgele sayılardan olusan 10 elemanlı
a adında bir satır
matrisi olusturalım
b) Elemanları
10 ile 50 arasında sayılardan olusan 5x3 tipinde b matrisini
olusturalım
c) Elemanları
50 ile 300 arasındaki tamsayılardan olusan 3x4 tipinde c matrisini
olusturalım
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
d) Rastgele Sayılardan Olusan Matris ve Fonksiyonu
52 Genel MatrislerMatlab
71
Ccediloumlzuumlm
a)
a=rand(110)
b)
b=10+rand(53)40
c) c=round(50+rand(34)250)
52 Genel MatrislerMatlab
72
e) Rastgele Sayılardan Olusan Normal Dağılımlı
Matris veFonksiyonu
Elemanları rasstgele sayılardan olusan bir normal dağılımlı bir matris iccedilin
randn fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=randn(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek Rastgele sayılardan olusan normal dağılımlı 2x3 luumlk bir n matrisini
olusturalım
Ccediloumlzuumlm n=randn(23)
52 Genel MatrislerMatlab
73
f) Lineer Aralıklı
(Aritmetik) Dizi ve Fonksiyonu
Baslangıccedil ve biis değerleri ve kaccedil elemandan olusacağı belirlenen diziyi
olusturmak iccedilin linspace fonksiyonu kullanılır
Kullanımı
dizi_adı=linspace(ilk_değerson_değereleman_sayısı)
biccedilimindedir
52 Genel MatrislerMatlab
74
Oumlrnek 10 ile 30 arasına 9 tane daha sayı
koyarak aadında bir aritmetik dizi olusturalım
f) Lineer Aralıklı
(Aritmetik) Dizi ve Fonksiyonu
52 Genel MatrislerMatlab
Cevapa=linspace(103011)
75
Elimizdeki grubun her elemanı iccedilin bir matematik işlemi yapıp bunu yeni bir
diziye atarken herhangi bir sorun yoktur
Fakat iki farklı grupla işlemler yaparken dikkat etmemiz gereken genel
kurallar vardır
Oumlrneğin toplama ve ccedilıkarma yaparken iki dizinin de buumlyuumlkluumlğuumlnuumln eşit
olması gerekmektedir
Ayrıca iki farklı dizinin elemanları arasında birebir işlem yapmak iccedilin
matematik operatoumlruumlnuumln başına nokta() koymak gerekir
Bu durumda her bir elemanı diğer dizinin o sıradaki elmanı ile işleme
sokacaktır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
76
Birden fazla satır ve suumltuna sahip vektoumlrlere matris denir Noktalı
virguumll ()
işareti ile kolonları
ve virguumlle işareti ya da boşluk
bırakarak da bir sıradaki elemanları
ayırabilirizOumlrnekraquo x=[ 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14]x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14Yukarıdaki 3x4 boyutunda bir matristir MATLAB programına aşağıdaki
gibi de sunulabilirraquo x=[ 3 4 5 6
7 8 9 1011 12 13 14]
x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
77
Matristeki herhangi bir elemana direk ulaşmak iccedilin aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(23)=9
Eğer isteğimiz eriştiğimiz bir elemanı
değiştirmek veya yeni bir satır eklemek ise aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(41)=1x =
3 4 5 67 8 9 1011 12 13 141 0 0 0
Bu durumda doumlrduumlncuuml
satır ilk elemanını
biz 1 değerini atadık ve diğer elemanları
kendiliğinden ldquo0rdquo
olarak atadı
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
78
İki nokta uumlst uumlste () kullanılarak belirli aralıkta değişen matrisler yaratılabilir
raquo x=[127 3-10 -12]x =
1 3 5 73 2 1 0
-1 0 1 2Bir matrisin herhangi bir boumlluumlmuumlnuuml
seccedilmek iccedilin ise aşağıdaki goumlsterim
kullanılırraquo z=x(23 12)z =
3 2-1 0
Bu durumda z matris x matrisinin 2 ve 3 norsquo
lu satırlarından 1 ve 2 norsquo
lu suumltunlarını
almış
oluyor
Herhangi bir satır veya suumltunu tamamen silmek istersek o satır ve suumltunu seccedilip ldquo[]rdquo
ifadesine eşitleriz
raquo z(2)=[ ]z =
3 -1
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
79
Matlab size ve length komutları
yardımı
ile size matrisinizin boyutlarını
soumlyler
raquo a=[ 2 3 4 5 67 8 9 10 11]
raquo s=size(a)s =
2 5
raquo b=[ 17 11 0 30 40 50]
raquo k=length(b)k =
6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
80
a) Toplama-Ccedilıkarma Bir Sayı
ile Ccedilarpma İşlemi
İki matrisi toplamak (veya ccedilıkarmak) demek matrislerin aynı
mertebedeki elemanları teker teker toplayıp (veya ccedilıkarıp ) aynı
mertebeye yazmak demektir
Bu durumda iki matrisin de aynı mertebeden olması gereği accedilıktır
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile toplamak (veya ccedilıkarmak) demek
matrisin elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla toplamak (veya
ccedilıkarmak )demektir
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile ccedilarpmak demek ise matrisin
elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla ccedilarpmak demektir
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
81
82
Oumlrnek
raquo a=[1 2 3 4 5 6]raquo b=[7 8 9 10 11 12]
a ve b toplamıraquo sum=a+bsum =
8 10 1214 16 18
arsquo
yı
brsquo
den ccedilıkarmak
raquo diff=a-bdiff =
-6 -6 -6-6 -6 -6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
83
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] ve b=[3 -3 -41 1 5] matrisleri
veriliyor
a)
c=a+b toplam matrisini
b)
d=a-b matrisini
c)
amatrisinin her elemanınının 5 eksiğine karsılık gelen e
matrisini
d) f=2a-3b matrisini bulduran islemleri yazalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
a) c=a+b b) d=a-b c) e=a-5 d) f=a+a-b-b-b veya
f=2a-3b
84
İki matrisin ccedilarpım islemi iki biccedilimde anlasılır
1)
Aynı
mertebeden iki matrisin elemanlarını
teker teker ccedilarpıp aynı
mertebeye
yazmak demektir Bunu
islemi ile gerccedileklestiririz
2) Matematiksel anlamda iki matrisi ccedilarpmak istediğimizde birinci matris mxn
tuumlruumlnde ve ikinci matris mutlaka nxp tuumlruumlnde olmalıdır yani birinci matrisin
suumltun sayısı
ikinci matrisin satır sayısına eşit olmalıdır
Bu durumda birinci matrisin i suumltun elemanları
ile ikinci matrisin j satırındaki
elemanlar karılıklı
olarak ccedilarpılır ve sonuccedillar toplanır ve bu toplam ccedilarpım
matrisinin (ij) inci mertebeye yazılır
Matrisler arası
ccedilarpma isleminin semboluuml
de dır
b) İki Matrisin Ccedilarpımı Bir Matrisin Kuvvetleri veCcedilarpma İslemi
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
85
3) Bir a matrisinin her bir elemanının n Kuvvetlerinden olusan matrisi
bulmak iccedilin a^n islemi kullanılır
4) Satır ve suumltun sayıları
esit bir kare matrisi ardısık olarak n defa
kendisiyle ccedilarparak a matrisinin n kuvvetini bulabilirizOumlrneğin a matrisinin
karesi iccedilin aa veya a^2 kuumlbuumlnuuml
buldurmak iccedilin aaa veya a^3
doumlrduumlncuuml
kuvvetini buldurmak iccedilin aaaa veya a^4
Not) Bir a matrisinin eleman -elemana ccedilarpma islemine benzer mantıkla bir matrisin tuumlm elemanlarının kareleri kuumlbleri sinuumlsleri kosinuumlsleri logaritmalarından olusan matris bulunmak istenirse bunu sırayla aa (veya a^2) aaa (veya a^3) sin(a) cos(a) etabanında logaritması
iccedilin log(a) 10 tabanında logaritmaları
iccedilin log10(a) Biccediliminde gerccedileklestirebiliriz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
86
a) a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c1 matrisi varsa bulalım
b) a matrisi ile b matrisinin ccedilarpım matrisi olan c2 varsa bulalım
c) a matrisinin elemanları
ile c matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c3 matrisi varsa bulalım
d) a matrisi ile c matrisinin ccedilarpım matrisi olan c4 varsa bulalım
e) a matrisinin elemanlarının karelerinden olusan matris ile b matrisinin
kosinuumlslerinden olusan matrisler toplamını
bulalım
f) x=[1 00 3] matrisinin i) Karesini ii) Kuumlbuumlnuuml
iii) 10
kuvvetini bulalım
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] b=[3 -3 -41 1 5] ve c=[1 0-1 23 3] matrisleri veriliyor
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
87
Ccediloumlzuumlma) iki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirBu durumda c1 matrisi tanımlıdır ve bunu c1=ab islemi ile gerccedileklestirebilirizb) iki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdırHalbuki a matrisi 2x3 b matrisi de 2x3 olduğundan bu iki matris ccedilarpılamazc) İki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirHalbuki bu matrisler aynı mertebeden olmadığından bu iki matris eleman-elemana ccedilarpma islemi
gerccedileklemezd) İki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdıra matrisi 2x3 luumlk c matrisi de 3x2 lik olduğundan bu iki matris ccedilarpılabilir ve c4 ccedilarpım matrisi 2x2 lik bir matris olurc4 ccedilarpım matrisini c4=ac islemi ile buluruze) a^2+cos(b)f) i) x^2 ii) x^3 iii) x^10
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
88
c) Bir Matrisin Devriğini (Transpozesi) Bulma İslemi
Bir matrisin satırlarını suumltun suumltunlarını satır olarak yazılmasıyla
bulunan matrise bu matrisin devriği (transpozesi) denir
Bir matrisin devriğini islemi ile bulabiliriz
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] nın devriğini buldurup d matrisine atayalım
Ccediloumlzuumlm d=a
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
89
Oumlrnek
b=[7 8 9 10 11 12] matrisinin transpozesini bulabilirmisiniz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
c=bc =
7 108 119 12
90
SORU
a=[1 2 3 4 5 6]
c= [710811912]
ise a ve crsquonin ccedilarpım matrisi
kaccediltır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
Ccedilarpma işlemi k=ack=
50 68122 167
91
SORU
a=[1 2 3 4 5 6] b=[7 8 9 10 11 12]
ise a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan x matrisini bulalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
x=abx =
7 16 2740 55 72
92
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
Aynı mertebeden iki matrisin elemanlarını teker teker boumllerek aynı
mertebeye yazılmasına iki matrisin sol boumllmesi denir ve bu islemi ile
yapılır
a b ve c aynı mertebeden kare matrisler olmak uumlzere
c=ab ise a matrisine c nin b matrisine boumlluumlmuuml denir
c boumlluumlm matrisi islemi ile yapılır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
93
HATIRLATMA
2x2 lik i2 adlı birim matrisi i2=eye(22)
3x luumlk i3 adlı birim matrisi i2=eye(33) islemi ile olusturabiiriz
Aynı mertebeden a ve b kare matrisleri iccedilin a ile b nin ccedilarpımı birim matris ise
b matrisi a matrisinin (aynı biccedilimde a matrisi de b matrisinin) ters matrisidir
Oumlrnek
3x3 luumlk bir a kare matrisinin tersini bulmak iccedilin
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
eye(33)a veya inv(a) islemini kullanırız
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
94
Bir Matrisin Determinantı
Determinant kare matrisleri bir sayıya eşleyen fonksiyondur
Determinant fonksiyonunun kare matrisi eşlediği o sayıya matrisin
determinantı denir
A matrisinin determinantı detA veya |A| biccediliminde goumlsterilir
|A| matrislerde mutlak değer anlamına gelmez |A| sıfır veya
negatif de olabilir
det(x)
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
95
KURAL
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
96
Oumlrnek
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Determinant
raquo
deter=det(x)deter =
21
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
97
Oumlrnek Inverse işlemi
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Detx=det(x)=21 ise
raquo y=inv(x)y =
821 121 -521 221
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
98
SORU
a=[2 -10 01 2 43 0 1] matrisi ile b=[1 5 41 -1 20 1 -1] matrisleri veriliyor
a)
a matrisinin elemanlarını
sırasıyla b matrisinin elemanlarına boumllerek elde
edilen matrisi b1 matrisine atayalım
b) a matrisinin ta ters matrisini bulalım
c) a ile ta matrisinin ccedilarpımının 3x3 luumlk birim matris olduğunu goumlsterelim
d) a matrisinin b matrisine boumlluumlmuumlnuuml
b2 matrisine atayalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
99
Ccediloumlzuumlm
a)
b1=ab
b) ta1=eye(33)a veya ta2=inv(a)
c) ata ==eye(33)
d) b2=ab
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
28
Matlaba Veri Alma
Programa dışarıdan resim film veri ses dosyalarını
matris formatına ccedilevirerek bir değişken olarak atamada kullanılır
File Import Data
Oumlrnek Exel dosyası
alma
Exelde bir matrix oluşturup matlabdan import ile alınız
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
29
Matlabda Temel Kavramlar
Tuumlm programlama dillerinde olduğu gibi (Fortran C Pascal Basic vs)
Matlabın da oumlzel anlam tasıyan bazı kelimeleri vardır ki bu kelimeler değisken
olarak kullanılamazlar
Bu tuumlr kelimelere anahtar kelime (keywords) denir
Bu kelimelerin bir listesini almak iccedilin komut satırına
iskeyword komutunu yazarak elde edebiliriz
Bu kelimeler
breaklsquo case catch continue else elseif endlsquo for function global
if otherwiselsquo persistent return switch try while
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
30
Programın dili ve yardım bilgileri tamamen ingilizcedir
Kuumlccediluumlk-buumlyuumlk harf ayrımı vardır
Oumlrneğin dscrite DSCRITE ve Dscrite atamaları farklı şekilde
algılanır
Eğer istenirse ldquocasesen offrdquokomutu ile bu durum sona
erdirilebilir
raquo işareti komut promptrsquoudur
Komutlar Enter ile yuumlruumltuumlluumlr
2 Matlab Kullanımında Temel Kurallar
Matlab
31
Genel komutların isimleri ve accedilıklamaları
2 Matlab Kullanımında Temel KurallarMATLAB
32
2 Matlab Kullanımında Temel KurallarMATLAB
MATLAB kontroluumlnuuml
kullanabilmeniz iccedilin oumlzel karakterlere sahiptir Bu karakterlerin bir oumlzeti
33
2 Matlab Kullanımında Temel KurallarMatlab
34
2 Matlab Kullanımında Temel KurallarMatlab
35
İFADELER Matematiksel ve metinsel goumlsterimler ile işlemler ifadelerlesağlanır
Sayılar (Numbers)Değişkenler (Variables)İşleccediller (Operators)Fonksiyonlar (Functions)
Matlabrsquode ifadeler genellikle değişken = ifade veya sadece ifade formundadır
Sayısal Analiz
x = 4 sqrt(5) İfade
değişkensayı işleccedil fonksiyon
Bir ifade = işareti ile bir değişkene atanmamış
ise Matlab otomatik olarak sonucu ans (answer)
adı
verilen oumlzel bir değişkende saklar
3 MATRİSLER
36
o
Birden
fazla ifade
tek satırda aralarına
ya da koyarak yazılabilir
o
Yazımda
boşluk
sayısı
etkisizdir
o
Sadece
ilgili
değişken
adını
yazarak
o değişkeni ccedilağırabilirsiniz
MATRİSLER31 İFADELER
37
o MATLABrsquoda herhangi bir tip tanımlaması
veya boyut ifadesine gerek yoktur
o
MATLAB yeni bir değişken ismi ile karşılaştığında otomatik olarak ans isminde
bir değişken oluşturur ve uygun bir bellek miktarı
ayırır
oEğer değişken zaten varsa MATLAB gerekli bir bellek ayırdığında iccedileriği değişir
Oumlrneğin
o ogrenci_sayı=51
32 DeğişlenlerMatlab
Değisken
değeri değisebilen bellek alanına isaret eden değerlere
38
MATLAB değişken girişleri iccedilin ccedileşitli kurallara sahiptir
Her değişken bir harfle başlamak zorundadır
Program buumlyuumlk kuumlccediluumlk harf duyarlıdır X ve x farklı değişkenleri ifade eder
Program 31 basamağa kadar duyarlıdır Bu basamaktan sonrasını yok sayar
Dolayısıyla 31 basamaktan uzun değişken isimleri karışıklık yaratabilir
32 DeğişlenlerMatlab
39
Değiskenlere Değer Atama
Her hangi bir programlama dilinde olduğu gibi Matlabrsquoda da bir değiskene
değer verme islemine rdquodeğer atamakrdquo denir
Bir değiskene atanan değer değistirilmediği suumlrece aynı kalır
Değer atamanın genel kullanımı asağıdaki biccediliminde olur
ltDeğisken adıgt=ltAtanacak değergt
32 DeğişlenlerMatlab
40
Oumlrnek 2
A=6i-7 A değişkenine skaler bir değer atar
B=A 7
B değişkenine A değişkeninin 17 si atanmıştır
C=[3 4 5 6]
4 elemanlı
bir satır vektoumlruuml
atanmıştır
NOT
Dizi girişinde herhangi bir satıra ait elemanlar aralarına boşluk veya virguumll ldquordquo konularak ayrılır
Dizinin diğer bir satırına başlamak iccedilin biten satır sonuna konulur
32 DeğişlenlerMatlab
41
oMATLABrsquoda sayılar yaygın olarak kullanılan onluk tabanda ifade edilirler
o
Bunun yanısıra onluk tabanda uumlstel olarak veya i veya j olarak kompleks sayı biccedilimlerinde de ifade edilebilirler
oOumlrnek olarak
33 Sayılar
Matlab da i
ve j
başka tuumlrluuml
tanımlanmamışsa kompleks i sayısını
goumlsterir 3e5 sayısıda 3105
anlamındadır
MATRİSLER
42
o
Ondalık sayılar Tuumlrkccedilemizdeki
35 yerine
35 şeklinde
goumlsterilir
(00001 veya 963
065 yerine 65)
o
Bilimsel
notasyon
goumlsterimi olan e
(veya E) harfi
10rsquonun kuvvetini
temsil eder
o 2e4=2104=2000 veya
165e-20=16510-20
demektir
o
Kompleks
sayılarda
imajiner
(sanal) kısımlar
i
veya
j
ekini
alır
i veya
j
ile
gosterimlerinde
bir
fark
yoktur
o (1+3i veya 1+3i veya 1+i3) 1+sqrt(3)j
-5i
o
Matlabrsquode
tuumlm
sayılar yaklaşık 210308 ve
210-308 arasında
değişir
33 Sayılar
MATRİSLER
43
Sayı
Formatları
33 SayılarMatlabMATRİSLER
44
oMatlabda bir ccedilok eylem doumlrt islem ve matematiksel bazı
islemler
yaptırabiliriz
oBunun iccedilin ya ilgili komutları
komut penceresinden teker teker girerek veya
ilgili komutları
bir dosyaya yazıp o dosyayı
ccedilağırarak ccedilalıstırabiliriz
oİşlemleri yaptırırken sayıları
reel sayı
ya da karmasık sayı
olarak alabiliriz
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
45
Matematiksel ifadeleri oluşturmak iccedilin operatoumlrler ve oumlnceden tanımlanmış sembolleri kullanabilirsiniz
oOperatoumlrler oumlzetle şunlardır
oMatrislerle yapılan işlemlerde boumllme işlemi iccedilin iki farklı
sembol kullanılmaktadıroBunun yanında eğer sayılar skaler ise iki boumllme işleminin sonucu da aynı
değeri
goumlsterecektiroOumlrneğin 32 ile 23 ifadelerinin sonuccedilları
aynı
olup 15rsquodir
raquo 4+83ndash2ans =26
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
46
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
x=a + b
Bu ifadede a ve b nin toplandığı
ve x değişkeni iccedilinde saklandığıbelirtilmektedir
47
Aritmetiksel İşlemlerde Oumlncelik Durumu
oTek bir aritmetiksel durum iccedilinde birden fazla durum bir arada bulunabildiğine goumlre
hangi işlemin oumlncelik hakkına sahip olunduğunun
bilinmelidir
oMATLABrsquoda kullanılan işlemlerde işlemlerin oumlncelik
listesi
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
bazı
temel matematiksel fonksiyonların accedilıklamaları
48
o
MATLABrsquo
da işlemler soldan sağa işlerlero
İşlemler arası
oumlncelik sırası
aşağıdaki gibidir
1 ^
(Yuumlksek)2
darr
3 + -
(Duumlşuumlk)
raquo 3^(2ndash5)-632 raquo 3^2ndash5ndash632ans = ans =
mdash39630 0
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
49
35 FonksyonlarMATRİSLER
o MATLABrsquoın ccedilok guumlccedilluuml
ve ccedilok kapsamlı
bir fonksiyon yapısı
vardır
oMATLABrsquoda bazı
fonksiyonlar daha oumlnceden yerleştirilmiş
bazıları
ise sonradan
dışarıdan yerleştirilmiş
M-dosyalarından oluşan MATLAB kuumltuumlphanelerinde
tanımlanmışlardır
oBunun yanında oumlzel uygulamalar iccedilin kullanıcıların kendi fonksiyonlarını
yazarak
kendi kuumltuumlphanelerini oluşturması
muumlmkuumlnduumlr
MATLABrsquoda mevcut analitik fonksiyonları
genel olarak aşağıdaki kategorilere ayırabiliriz oTemel matematiksel fonksiyonlaroOumlzel fonksiyonlaroTemel matrisler ve matris işlemlerioMatrisleri ccedilarpanlarına ayırmaoVeri analizlerioPolinomlaroDiferansiyel denklem ccediloumlzuumlmlerioLineer olmayan denklemler ve optimizasyonoSayısal integral hesaplamalarıoSinyal işleme
50
Matematiksel Fonksiyonlar
bazı
temel matematiksel fonksiyonların accedilıklamaları
35 FonksyonlarMATRİSLER
Oumlrnekgtgtexp(1)ans=27183gtgtfix(35)ans=3gtgtceil(35)ans=4gtgtround(35)ans=4
51
Matlabda oumlnceden tanımlanmıs bazı
sabitlerdirBunlar aşağıdaki tabloda goumlsterilmistir
36 Oumlzel SabitlerMatlab
52
Oumlrnekler
1)
a=1
2)
a=rsquoİstanbulrsquo
3)
a=5b=7c=a+b
4) a=5b=-3c=a+2ba=a+b
5)
num=23-5^2 x=num2 y=x+10
7 Sabitler Değiskenler ve Metin KatarlarıMatlab
53
Oumlrnek
Komut satırına
a)
sin(30)
b)
sin(30pi180) yazınız sonuccedilları
inceleyiniz
35 FonksyonlarMATRİSLER
Cevapa) -09880 sonucu goumlruumlluumlr ki bu 30deg
nin sinuumlsuumlnde n farklıdır Ccediluumlnkuuml
bu 30deg
derece değil 30 radyanın sinuumlsuumlduumlrb) 05000 sonucu goumlruumlluumlr ki bu da 30deg
nin sinuumlsuumld uumlr O halde bir
sayının trigonometrik değerini buldurmak iccedilin oumlnce pi ile ccedilarpıp 180 e boumllerek accedilıyı
radyan ccedilevirip sonra trigonometrik değerini
hesaplatabiliriz
54
oVektoumlrler tek boyutlu sayı
dizileridir
oElemanlarının sıralanma youmlnlerine goumlre suumltun veya satır vektoumlruuml
adlarını alırlar
ovektoumlrler [ ] koumlşeli parantezleri ile tanımlanır
ofarklı
yolla tanımlanabilirler
4 VektoumlrlerMatlab
A = [4 12 -8 6]A = [4 12 -8 6]
B = [1 2 4 6]
Satır Vektoumlruuml
Suumltun Vektoumlruumlgtgt b=[1 2 4 6 ]
55
4 VektoumlrlerMatlab
ovektoumlr boyutları
buumlyuumlduumlkccedile manuel olarak tanıtım işlemi oldukccedila zorlaşmaktadır
oOumlzellikle belli bir artıma sahip vektoumlrlerin oluşturulmasında () operatoumlruuml kullanılmaktadır
C = [-105150]
Son değerBaşlangıccedil değeri Artış
miktarı
Drsquo
= [30-10-30]
Suumltun Vektoumlruuml
56
Vektoumlr indisleri
4 VektoumlrlerMatlab
Bir vektoumlruumln elemanlarına atanılan değer değişkenler editoumlruuml
veya eleman adresi vasıtasıyla değiştirilebilir
OumlrnekA = [4 12 -8 6]1 A vektoumlruumlnuumln 3 elemanını
27 ile değiştiriniz
2 Benzer şekilde A vektoumlruumlnuumln 2 elemanını
siliniz 3 A(9) = 12
Ccediloumlzuumlm1 A(3) = 272 Vektoumlruumln elemanına [ ] değeri atandığında eleman silinirA(2) = [ ]3 gtgt A(9) = 12
A= [ 4 27 6]
A =[ 2 27 7 0 0 0 0 0 12]
57
raquo x=[17 8 61 83 56]
Şeklindeki bir matrisin uumlccediluumlncuuml
elemanına erişmek istenirse
raquo c=x(3)
c =
61
Eğer bir blok şeklinde veriye erişilmek istenirse
raquo x(24)
ans =
8 61 83
Her matristeki herhangi bir elman grubuna erişilmek istenirse
raquo x([3 1 4])
ans =
61 17 83
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
58
Bir diziye duumlzenli artıs (veya azalıs) kuralıyla değerler atanmak isteniyorsa
bunu
ilk_değerartısson değer veya ilk_değerartısson değer
biccediliminde yapabiliriz
Ancak artıs 1 ise belirtilmeyebilirOumlrnekortalama adlı
bir diziye 0 dan 5 e kadar 05 er artısla elde edilen sayı
dizisini atayanortalama=[0055]
Siz 1 satır 7 den den 17 ye kadar olan tam sayılar 2 satırı
99 dan 89 a kadar azalan tam sayılardan olusan 2 boyutlu m dizisine atayan islemleri yazınız
Dizilerin Değerlerinin Değistirilmesi ve Duumlzenlenmesi
4 VektoumlrlerMatlab
59
4 VektoumlrlerMatlab
60
Sayılardan olusan satır ve suumltun yapısına matris (dizi) denir
Oumlrneğin
d1=[5] 1x1 lik
d2=[ 2 -7] 1x2 lik
d3= [1 0 -3 ]
[ 5 3 1 ]
2x3 luumlk bir dizidir
Oumlrnekx=[1 7 18 5]Ya daraquo x=[ 1
7185 ]
Biccedilimlerinde girilebilir
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
61
Dizilerin Değerlerinin Değistirilmesi ve DuumlzenlenmesiBir dizinin herhangi bir elemanını belirlemek iccedilin dizi adından hemen sonra
parantez iccedilinde elemanın bulunduğu satır ve suumltun sayısı yazılmalıdır
Oumlrnek 1 d2=[2 -7]d2 dizisinin -7 elemanını
goumlruumlntuumllemek iccedilin
d2(12)
2 d3=[1 0 -35 3 1]d3 dizisinin 2 satır 1 suumltununda bulunan 5 in değerinin -75 olması
iccedilin
d3(21)=-75
Not1) Bir dizinin bir ccedilok elemanını
yeniden değer atamak gerekirse komut satırından atama yapmak uzun zaman alabilirBu durumda dizi değiskeninin uumlzerine ccedilift tıklayarak accedilılan dizi editoumlruuml
(array edit) yardımıyla değisiklikleri daha kolay yapabiliriz
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
62
8 Matrisler(Dizi)Matlab
Bir matrisi girerken o1 Elemanlar baştan ve sondan koumlşeli parantezlerle kapatılıro2 Elemanların arasına boşluk veya virguumll konuluro3 Matris satırlarını
ayırmak iccedilin de noktalı
virguumll kullanılır
okurallarına dikkate alınmalıdır
Oumlrneğin
A = [1 2 3 4 5 6]A =
1 2 34 5 6
şeklinde veriler matrisler biccediliminde tanımlanır MATLAB daha sonra kullanılmak uumlzere verileri A matrisinde saklar
63
Matris elemanları
rasgele rakamlardan oluşabileceği gibi MATLABrsquoın deyimlerinden de oluşabilir
51 Matrislerde ElemanlarMatlab
Oumlrneğin
a=[-13 sqrt(3) (1+2+3)475]
a= -13000 17321 48000
Kuumlccediluumlk matrisleri eleman olarak kullanıp daha buumlyuumlk matrisler oluşturmak muumlmkuumlnduumlr
OumlrneğinM=[1 3 5
7 8 9] matrisine
aşağıda goumlsterildiği şekilde bir satır eklemesi yapabilir
M=[M[10 13 15]]
Bu durumda M matrisiM=[1 3 5
7 8 910 13 15]
durumunu alır
64
İki nokta uumlst uumlste () kullanarak buumlyuumlk matrislerin belli bir kısmını
kullanabiliriz
ya da diğer ifade ile bu matrisi kuumlccediluumlltebiliriz
Oumlrneğin
M=M(12) bildirimi M matrisinin ilk iki satırını
alarak M matrisi
olarak saklar
Oumlrnek
M=[8 -4 7 66 -7 8 9 4 5 134] ise
M=M(12) =
8 1 Matrislerde ElemanlarMatlab
65
MATLABrsquoda kullanıcı
verileri kendi oluşturacağı
matrisler ile tanımlayabileceği gibi MATLABrsquoın kendi oumlzel matrislerinden de istifade edilebilir
52 Genel MatrislerMatlab
66
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
a) Sıfır Matrisi Olusturan Fonksiyon
Her elemanı sıfır olan mxn boyutunda bir matrise sıfır matrisi denir
Boumlyle bir dizi olusturmak iccedilin zeros fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=zeros(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
3x5 boyutunda s adlı
sıfır matrisi iccedilin
s=zeros(35)
52 Genel MatrislerMatlab
67
b) 1 lerden Olusan Matris
Her elemanı 1 olan mxn boyutunda bir matrisi olusturmak iccedilin ones
fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matria_adı=ones(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
2x3 boyutunda b adlı
tuumlm elemanları
1 olan matrisi olusturalım
b=ones(23)
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
52 Genel MatrislerMatlab
68
c) Birim Matrisi Olusturan Fonksiyon
Esas koumlsegeni 1 lerden diğer elemanları 0 lardan olusan kare matrise (satır
ve suumltun sayısı esit olan ) birim matrisi
kare olmayan matrise de diyagonal matris denir
Boumlyle matrisleri olusturmak iccedilin eye fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=eye(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
a)
3x3 luumlk birim matris
b) 4x3 lluumlk diyagonal matris olusturalım
Ccediloumlzuumlma) i=eye(33) b) d=eye(43)
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar52 Genel MatrislerMatlab
69
d) Rastgele Sayılardan Olusan Matris ve Fonksiyonu
Elemanları 0 ile 1 arasındaki rastgele sayılardan olusan bir matris iccedilin
rand fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=rand(mn) biccedilimindedir(msatırnsuumltun)
Not 1) Uumlretilen matrisin tuumlm elemanlarını k gibi bir sayı ile ccedilarparak
sayıları 0 ile k arasına ccedilekebiliriz
Not 2) Ondalıklı sayılardan olusmus bir matrisin elemanlarını
yuvarlayıp tam sayı yapmak iccedilin round fonksiyonunu kullanırız
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar52 Genel MatrislerMatlab
70
Oumlrnek
a) 0 ile 1 arasında rastgele sayılardan olusan 10 elemanlı
a adında bir satır
matrisi olusturalım
b) Elemanları
10 ile 50 arasında sayılardan olusan 5x3 tipinde b matrisini
olusturalım
c) Elemanları
50 ile 300 arasındaki tamsayılardan olusan 3x4 tipinde c matrisini
olusturalım
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
d) Rastgele Sayılardan Olusan Matris ve Fonksiyonu
52 Genel MatrislerMatlab
71
Ccediloumlzuumlm
a)
a=rand(110)
b)
b=10+rand(53)40
c) c=round(50+rand(34)250)
52 Genel MatrislerMatlab
72
e) Rastgele Sayılardan Olusan Normal Dağılımlı
Matris veFonksiyonu
Elemanları rasstgele sayılardan olusan bir normal dağılımlı bir matris iccedilin
randn fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=randn(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek Rastgele sayılardan olusan normal dağılımlı 2x3 luumlk bir n matrisini
olusturalım
Ccediloumlzuumlm n=randn(23)
52 Genel MatrislerMatlab
73
f) Lineer Aralıklı
(Aritmetik) Dizi ve Fonksiyonu
Baslangıccedil ve biis değerleri ve kaccedil elemandan olusacağı belirlenen diziyi
olusturmak iccedilin linspace fonksiyonu kullanılır
Kullanımı
dizi_adı=linspace(ilk_değerson_değereleman_sayısı)
biccedilimindedir
52 Genel MatrislerMatlab
74
Oumlrnek 10 ile 30 arasına 9 tane daha sayı
koyarak aadında bir aritmetik dizi olusturalım
f) Lineer Aralıklı
(Aritmetik) Dizi ve Fonksiyonu
52 Genel MatrislerMatlab
Cevapa=linspace(103011)
75
Elimizdeki grubun her elemanı iccedilin bir matematik işlemi yapıp bunu yeni bir
diziye atarken herhangi bir sorun yoktur
Fakat iki farklı grupla işlemler yaparken dikkat etmemiz gereken genel
kurallar vardır
Oumlrneğin toplama ve ccedilıkarma yaparken iki dizinin de buumlyuumlkluumlğuumlnuumln eşit
olması gerekmektedir
Ayrıca iki farklı dizinin elemanları arasında birebir işlem yapmak iccedilin
matematik operatoumlruumlnuumln başına nokta() koymak gerekir
Bu durumda her bir elemanı diğer dizinin o sıradaki elmanı ile işleme
sokacaktır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
76
Birden fazla satır ve suumltuna sahip vektoumlrlere matris denir Noktalı
virguumll ()
işareti ile kolonları
ve virguumlle işareti ya da boşluk
bırakarak da bir sıradaki elemanları
ayırabilirizOumlrnekraquo x=[ 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14]x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14Yukarıdaki 3x4 boyutunda bir matristir MATLAB programına aşağıdaki
gibi de sunulabilirraquo x=[ 3 4 5 6
7 8 9 1011 12 13 14]
x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
77
Matristeki herhangi bir elemana direk ulaşmak iccedilin aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(23)=9
Eğer isteğimiz eriştiğimiz bir elemanı
değiştirmek veya yeni bir satır eklemek ise aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(41)=1x =
3 4 5 67 8 9 1011 12 13 141 0 0 0
Bu durumda doumlrduumlncuuml
satır ilk elemanını
biz 1 değerini atadık ve diğer elemanları
kendiliğinden ldquo0rdquo
olarak atadı
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
78
İki nokta uumlst uumlste () kullanılarak belirli aralıkta değişen matrisler yaratılabilir
raquo x=[127 3-10 -12]x =
1 3 5 73 2 1 0
-1 0 1 2Bir matrisin herhangi bir boumlluumlmuumlnuuml
seccedilmek iccedilin ise aşağıdaki goumlsterim
kullanılırraquo z=x(23 12)z =
3 2-1 0
Bu durumda z matris x matrisinin 2 ve 3 norsquo
lu satırlarından 1 ve 2 norsquo
lu suumltunlarını
almış
oluyor
Herhangi bir satır veya suumltunu tamamen silmek istersek o satır ve suumltunu seccedilip ldquo[]rdquo
ifadesine eşitleriz
raquo z(2)=[ ]z =
3 -1
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
79
Matlab size ve length komutları
yardımı
ile size matrisinizin boyutlarını
soumlyler
raquo a=[ 2 3 4 5 67 8 9 10 11]
raquo s=size(a)s =
2 5
raquo b=[ 17 11 0 30 40 50]
raquo k=length(b)k =
6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
80
a) Toplama-Ccedilıkarma Bir Sayı
ile Ccedilarpma İşlemi
İki matrisi toplamak (veya ccedilıkarmak) demek matrislerin aynı
mertebedeki elemanları teker teker toplayıp (veya ccedilıkarıp ) aynı
mertebeye yazmak demektir
Bu durumda iki matrisin de aynı mertebeden olması gereği accedilıktır
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile toplamak (veya ccedilıkarmak) demek
matrisin elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla toplamak (veya
ccedilıkarmak )demektir
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile ccedilarpmak demek ise matrisin
elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla ccedilarpmak demektir
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
81
82
Oumlrnek
raquo a=[1 2 3 4 5 6]raquo b=[7 8 9 10 11 12]
a ve b toplamıraquo sum=a+bsum =
8 10 1214 16 18
arsquo
yı
brsquo
den ccedilıkarmak
raquo diff=a-bdiff =
-6 -6 -6-6 -6 -6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
83
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] ve b=[3 -3 -41 1 5] matrisleri
veriliyor
a)
c=a+b toplam matrisini
b)
d=a-b matrisini
c)
amatrisinin her elemanınının 5 eksiğine karsılık gelen e
matrisini
d) f=2a-3b matrisini bulduran islemleri yazalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
a) c=a+b b) d=a-b c) e=a-5 d) f=a+a-b-b-b veya
f=2a-3b
84
İki matrisin ccedilarpım islemi iki biccedilimde anlasılır
1)
Aynı
mertebeden iki matrisin elemanlarını
teker teker ccedilarpıp aynı
mertebeye
yazmak demektir Bunu
islemi ile gerccedileklestiririz
2) Matematiksel anlamda iki matrisi ccedilarpmak istediğimizde birinci matris mxn
tuumlruumlnde ve ikinci matris mutlaka nxp tuumlruumlnde olmalıdır yani birinci matrisin
suumltun sayısı
ikinci matrisin satır sayısına eşit olmalıdır
Bu durumda birinci matrisin i suumltun elemanları
ile ikinci matrisin j satırındaki
elemanlar karılıklı
olarak ccedilarpılır ve sonuccedillar toplanır ve bu toplam ccedilarpım
matrisinin (ij) inci mertebeye yazılır
Matrisler arası
ccedilarpma isleminin semboluuml
de dır
b) İki Matrisin Ccedilarpımı Bir Matrisin Kuvvetleri veCcedilarpma İslemi
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
85
3) Bir a matrisinin her bir elemanının n Kuvvetlerinden olusan matrisi
bulmak iccedilin a^n islemi kullanılır
4) Satır ve suumltun sayıları
esit bir kare matrisi ardısık olarak n defa
kendisiyle ccedilarparak a matrisinin n kuvvetini bulabilirizOumlrneğin a matrisinin
karesi iccedilin aa veya a^2 kuumlbuumlnuuml
buldurmak iccedilin aaa veya a^3
doumlrduumlncuuml
kuvvetini buldurmak iccedilin aaaa veya a^4
Not) Bir a matrisinin eleman -elemana ccedilarpma islemine benzer mantıkla bir matrisin tuumlm elemanlarının kareleri kuumlbleri sinuumlsleri kosinuumlsleri logaritmalarından olusan matris bulunmak istenirse bunu sırayla aa (veya a^2) aaa (veya a^3) sin(a) cos(a) etabanında logaritması
iccedilin log(a) 10 tabanında logaritmaları
iccedilin log10(a) Biccediliminde gerccedileklestirebiliriz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
86
a) a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c1 matrisi varsa bulalım
b) a matrisi ile b matrisinin ccedilarpım matrisi olan c2 varsa bulalım
c) a matrisinin elemanları
ile c matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c3 matrisi varsa bulalım
d) a matrisi ile c matrisinin ccedilarpım matrisi olan c4 varsa bulalım
e) a matrisinin elemanlarının karelerinden olusan matris ile b matrisinin
kosinuumlslerinden olusan matrisler toplamını
bulalım
f) x=[1 00 3] matrisinin i) Karesini ii) Kuumlbuumlnuuml
iii) 10
kuvvetini bulalım
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] b=[3 -3 -41 1 5] ve c=[1 0-1 23 3] matrisleri veriliyor
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
87
Ccediloumlzuumlma) iki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirBu durumda c1 matrisi tanımlıdır ve bunu c1=ab islemi ile gerccedileklestirebilirizb) iki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdırHalbuki a matrisi 2x3 b matrisi de 2x3 olduğundan bu iki matris ccedilarpılamazc) İki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirHalbuki bu matrisler aynı mertebeden olmadığından bu iki matris eleman-elemana ccedilarpma islemi
gerccedileklemezd) İki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdıra matrisi 2x3 luumlk c matrisi de 3x2 lik olduğundan bu iki matris ccedilarpılabilir ve c4 ccedilarpım matrisi 2x2 lik bir matris olurc4 ccedilarpım matrisini c4=ac islemi ile buluruze) a^2+cos(b)f) i) x^2 ii) x^3 iii) x^10
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
88
c) Bir Matrisin Devriğini (Transpozesi) Bulma İslemi
Bir matrisin satırlarını suumltun suumltunlarını satır olarak yazılmasıyla
bulunan matrise bu matrisin devriği (transpozesi) denir
Bir matrisin devriğini islemi ile bulabiliriz
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] nın devriğini buldurup d matrisine atayalım
Ccediloumlzuumlm d=a
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
89
Oumlrnek
b=[7 8 9 10 11 12] matrisinin transpozesini bulabilirmisiniz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
c=bc =
7 108 119 12
90
SORU
a=[1 2 3 4 5 6]
c= [710811912]
ise a ve crsquonin ccedilarpım matrisi
kaccediltır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
Ccedilarpma işlemi k=ack=
50 68122 167
91
SORU
a=[1 2 3 4 5 6] b=[7 8 9 10 11 12]
ise a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan x matrisini bulalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
x=abx =
7 16 2740 55 72
92
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
Aynı mertebeden iki matrisin elemanlarını teker teker boumllerek aynı
mertebeye yazılmasına iki matrisin sol boumllmesi denir ve bu islemi ile
yapılır
a b ve c aynı mertebeden kare matrisler olmak uumlzere
c=ab ise a matrisine c nin b matrisine boumlluumlmuuml denir
c boumlluumlm matrisi islemi ile yapılır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
93
HATIRLATMA
2x2 lik i2 adlı birim matrisi i2=eye(22)
3x luumlk i3 adlı birim matrisi i2=eye(33) islemi ile olusturabiiriz
Aynı mertebeden a ve b kare matrisleri iccedilin a ile b nin ccedilarpımı birim matris ise
b matrisi a matrisinin (aynı biccedilimde a matrisi de b matrisinin) ters matrisidir
Oumlrnek
3x3 luumlk bir a kare matrisinin tersini bulmak iccedilin
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
eye(33)a veya inv(a) islemini kullanırız
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
94
Bir Matrisin Determinantı
Determinant kare matrisleri bir sayıya eşleyen fonksiyondur
Determinant fonksiyonunun kare matrisi eşlediği o sayıya matrisin
determinantı denir
A matrisinin determinantı detA veya |A| biccediliminde goumlsterilir
|A| matrislerde mutlak değer anlamına gelmez |A| sıfır veya
negatif de olabilir
det(x)
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
95
KURAL
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
96
Oumlrnek
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Determinant
raquo
deter=det(x)deter =
21
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
97
Oumlrnek Inverse işlemi
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Detx=det(x)=21 ise
raquo y=inv(x)y =
821 121 -521 221
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
98
SORU
a=[2 -10 01 2 43 0 1] matrisi ile b=[1 5 41 -1 20 1 -1] matrisleri veriliyor
a)
a matrisinin elemanlarını
sırasıyla b matrisinin elemanlarına boumllerek elde
edilen matrisi b1 matrisine atayalım
b) a matrisinin ta ters matrisini bulalım
c) a ile ta matrisinin ccedilarpımının 3x3 luumlk birim matris olduğunu goumlsterelim
d) a matrisinin b matrisine boumlluumlmuumlnuuml
b2 matrisine atayalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
99
Ccediloumlzuumlm
a)
b1=ab
b) ta1=eye(33)a veya ta2=inv(a)
c) ata ==eye(33)
d) b2=ab
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
29
Matlabda Temel Kavramlar
Tuumlm programlama dillerinde olduğu gibi (Fortran C Pascal Basic vs)
Matlabın da oumlzel anlam tasıyan bazı kelimeleri vardır ki bu kelimeler değisken
olarak kullanılamazlar
Bu tuumlr kelimelere anahtar kelime (keywords) denir
Bu kelimelerin bir listesini almak iccedilin komut satırına
iskeyword komutunu yazarak elde edebiliriz
Bu kelimeler
breaklsquo case catch continue else elseif endlsquo for function global
if otherwiselsquo persistent return switch try while
1 Matlabın Genel YapısıMATLAB
30
Programın dili ve yardım bilgileri tamamen ingilizcedir
Kuumlccediluumlk-buumlyuumlk harf ayrımı vardır
Oumlrneğin dscrite DSCRITE ve Dscrite atamaları farklı şekilde
algılanır
Eğer istenirse ldquocasesen offrdquokomutu ile bu durum sona
erdirilebilir
raquo işareti komut promptrsquoudur
Komutlar Enter ile yuumlruumltuumlluumlr
2 Matlab Kullanımında Temel Kurallar
Matlab
31
Genel komutların isimleri ve accedilıklamaları
2 Matlab Kullanımında Temel KurallarMATLAB
32
2 Matlab Kullanımında Temel KurallarMATLAB
MATLAB kontroluumlnuuml
kullanabilmeniz iccedilin oumlzel karakterlere sahiptir Bu karakterlerin bir oumlzeti
33
2 Matlab Kullanımında Temel KurallarMatlab
34
2 Matlab Kullanımında Temel KurallarMatlab
35
İFADELER Matematiksel ve metinsel goumlsterimler ile işlemler ifadelerlesağlanır
Sayılar (Numbers)Değişkenler (Variables)İşleccediller (Operators)Fonksiyonlar (Functions)
Matlabrsquode ifadeler genellikle değişken = ifade veya sadece ifade formundadır
Sayısal Analiz
x = 4 sqrt(5) İfade
değişkensayı işleccedil fonksiyon
Bir ifade = işareti ile bir değişkene atanmamış
ise Matlab otomatik olarak sonucu ans (answer)
adı
verilen oumlzel bir değişkende saklar
3 MATRİSLER
36
o
Birden
fazla ifade
tek satırda aralarına
ya da koyarak yazılabilir
o
Yazımda
boşluk
sayısı
etkisizdir
o
Sadece
ilgili
değişken
adını
yazarak
o değişkeni ccedilağırabilirsiniz
MATRİSLER31 İFADELER
37
o MATLABrsquoda herhangi bir tip tanımlaması
veya boyut ifadesine gerek yoktur
o
MATLAB yeni bir değişken ismi ile karşılaştığında otomatik olarak ans isminde
bir değişken oluşturur ve uygun bir bellek miktarı
ayırır
oEğer değişken zaten varsa MATLAB gerekli bir bellek ayırdığında iccedileriği değişir
Oumlrneğin
o ogrenci_sayı=51
32 DeğişlenlerMatlab
Değisken
değeri değisebilen bellek alanına isaret eden değerlere
38
MATLAB değişken girişleri iccedilin ccedileşitli kurallara sahiptir
Her değişken bir harfle başlamak zorundadır
Program buumlyuumlk kuumlccediluumlk harf duyarlıdır X ve x farklı değişkenleri ifade eder
Program 31 basamağa kadar duyarlıdır Bu basamaktan sonrasını yok sayar
Dolayısıyla 31 basamaktan uzun değişken isimleri karışıklık yaratabilir
32 DeğişlenlerMatlab
39
Değiskenlere Değer Atama
Her hangi bir programlama dilinde olduğu gibi Matlabrsquoda da bir değiskene
değer verme islemine rdquodeğer atamakrdquo denir
Bir değiskene atanan değer değistirilmediği suumlrece aynı kalır
Değer atamanın genel kullanımı asağıdaki biccediliminde olur
ltDeğisken adıgt=ltAtanacak değergt
32 DeğişlenlerMatlab
40
Oumlrnek 2
A=6i-7 A değişkenine skaler bir değer atar
B=A 7
B değişkenine A değişkeninin 17 si atanmıştır
C=[3 4 5 6]
4 elemanlı
bir satır vektoumlruuml
atanmıştır
NOT
Dizi girişinde herhangi bir satıra ait elemanlar aralarına boşluk veya virguumll ldquordquo konularak ayrılır
Dizinin diğer bir satırına başlamak iccedilin biten satır sonuna konulur
32 DeğişlenlerMatlab
41
oMATLABrsquoda sayılar yaygın olarak kullanılan onluk tabanda ifade edilirler
o
Bunun yanısıra onluk tabanda uumlstel olarak veya i veya j olarak kompleks sayı biccedilimlerinde de ifade edilebilirler
oOumlrnek olarak
33 Sayılar
Matlab da i
ve j
başka tuumlrluuml
tanımlanmamışsa kompleks i sayısını
goumlsterir 3e5 sayısıda 3105
anlamındadır
MATRİSLER
42
o
Ondalık sayılar Tuumlrkccedilemizdeki
35 yerine
35 şeklinde
goumlsterilir
(00001 veya 963
065 yerine 65)
o
Bilimsel
notasyon
goumlsterimi olan e
(veya E) harfi
10rsquonun kuvvetini
temsil eder
o 2e4=2104=2000 veya
165e-20=16510-20
demektir
o
Kompleks
sayılarda
imajiner
(sanal) kısımlar
i
veya
j
ekini
alır
i veya
j
ile
gosterimlerinde
bir
fark
yoktur
o (1+3i veya 1+3i veya 1+i3) 1+sqrt(3)j
-5i
o
Matlabrsquode
tuumlm
sayılar yaklaşık 210308 ve
210-308 arasında
değişir
33 Sayılar
MATRİSLER
43
Sayı
Formatları
33 SayılarMatlabMATRİSLER
44
oMatlabda bir ccedilok eylem doumlrt islem ve matematiksel bazı
islemler
yaptırabiliriz
oBunun iccedilin ya ilgili komutları
komut penceresinden teker teker girerek veya
ilgili komutları
bir dosyaya yazıp o dosyayı
ccedilağırarak ccedilalıstırabiliriz
oİşlemleri yaptırırken sayıları
reel sayı
ya da karmasık sayı
olarak alabiliriz
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
45
Matematiksel ifadeleri oluşturmak iccedilin operatoumlrler ve oumlnceden tanımlanmış sembolleri kullanabilirsiniz
oOperatoumlrler oumlzetle şunlardır
oMatrislerle yapılan işlemlerde boumllme işlemi iccedilin iki farklı
sembol kullanılmaktadıroBunun yanında eğer sayılar skaler ise iki boumllme işleminin sonucu da aynı
değeri
goumlsterecektiroOumlrneğin 32 ile 23 ifadelerinin sonuccedilları
aynı
olup 15rsquodir
raquo 4+83ndash2ans =26
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
46
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
x=a + b
Bu ifadede a ve b nin toplandığı
ve x değişkeni iccedilinde saklandığıbelirtilmektedir
47
Aritmetiksel İşlemlerde Oumlncelik Durumu
oTek bir aritmetiksel durum iccedilinde birden fazla durum bir arada bulunabildiğine goumlre
hangi işlemin oumlncelik hakkına sahip olunduğunun
bilinmelidir
oMATLABrsquoda kullanılan işlemlerde işlemlerin oumlncelik
listesi
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
bazı
temel matematiksel fonksiyonların accedilıklamaları
48
o
MATLABrsquo
da işlemler soldan sağa işlerlero
İşlemler arası
oumlncelik sırası
aşağıdaki gibidir
1 ^
(Yuumlksek)2
darr
3 + -
(Duumlşuumlk)
raquo 3^(2ndash5)-632 raquo 3^2ndash5ndash632ans = ans =
mdash39630 0
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
49
35 FonksyonlarMATRİSLER
o MATLABrsquoın ccedilok guumlccedilluuml
ve ccedilok kapsamlı
bir fonksiyon yapısı
vardır
oMATLABrsquoda bazı
fonksiyonlar daha oumlnceden yerleştirilmiş
bazıları
ise sonradan
dışarıdan yerleştirilmiş
M-dosyalarından oluşan MATLAB kuumltuumlphanelerinde
tanımlanmışlardır
oBunun yanında oumlzel uygulamalar iccedilin kullanıcıların kendi fonksiyonlarını
yazarak
kendi kuumltuumlphanelerini oluşturması
muumlmkuumlnduumlr
MATLABrsquoda mevcut analitik fonksiyonları
genel olarak aşağıdaki kategorilere ayırabiliriz oTemel matematiksel fonksiyonlaroOumlzel fonksiyonlaroTemel matrisler ve matris işlemlerioMatrisleri ccedilarpanlarına ayırmaoVeri analizlerioPolinomlaroDiferansiyel denklem ccediloumlzuumlmlerioLineer olmayan denklemler ve optimizasyonoSayısal integral hesaplamalarıoSinyal işleme
50
Matematiksel Fonksiyonlar
bazı
temel matematiksel fonksiyonların accedilıklamaları
35 FonksyonlarMATRİSLER
Oumlrnekgtgtexp(1)ans=27183gtgtfix(35)ans=3gtgtceil(35)ans=4gtgtround(35)ans=4
51
Matlabda oumlnceden tanımlanmıs bazı
sabitlerdirBunlar aşağıdaki tabloda goumlsterilmistir
36 Oumlzel SabitlerMatlab
52
Oumlrnekler
1)
a=1
2)
a=rsquoİstanbulrsquo
3)
a=5b=7c=a+b
4) a=5b=-3c=a+2ba=a+b
5)
num=23-5^2 x=num2 y=x+10
7 Sabitler Değiskenler ve Metin KatarlarıMatlab
53
Oumlrnek
Komut satırına
a)
sin(30)
b)
sin(30pi180) yazınız sonuccedilları
inceleyiniz
35 FonksyonlarMATRİSLER
Cevapa) -09880 sonucu goumlruumlluumlr ki bu 30deg
nin sinuumlsuumlnde n farklıdır Ccediluumlnkuuml
bu 30deg
derece değil 30 radyanın sinuumlsuumlduumlrb) 05000 sonucu goumlruumlluumlr ki bu da 30deg
nin sinuumlsuumld uumlr O halde bir
sayının trigonometrik değerini buldurmak iccedilin oumlnce pi ile ccedilarpıp 180 e boumllerek accedilıyı
radyan ccedilevirip sonra trigonometrik değerini
hesaplatabiliriz
54
oVektoumlrler tek boyutlu sayı
dizileridir
oElemanlarının sıralanma youmlnlerine goumlre suumltun veya satır vektoumlruuml
adlarını alırlar
ovektoumlrler [ ] koumlşeli parantezleri ile tanımlanır
ofarklı
yolla tanımlanabilirler
4 VektoumlrlerMatlab
A = [4 12 -8 6]A = [4 12 -8 6]
B = [1 2 4 6]
Satır Vektoumlruuml
Suumltun Vektoumlruumlgtgt b=[1 2 4 6 ]
55
4 VektoumlrlerMatlab
ovektoumlr boyutları
buumlyuumlduumlkccedile manuel olarak tanıtım işlemi oldukccedila zorlaşmaktadır
oOumlzellikle belli bir artıma sahip vektoumlrlerin oluşturulmasında () operatoumlruuml kullanılmaktadır
C = [-105150]
Son değerBaşlangıccedil değeri Artış
miktarı
Drsquo
= [30-10-30]
Suumltun Vektoumlruuml
56
Vektoumlr indisleri
4 VektoumlrlerMatlab
Bir vektoumlruumln elemanlarına atanılan değer değişkenler editoumlruuml
veya eleman adresi vasıtasıyla değiştirilebilir
OumlrnekA = [4 12 -8 6]1 A vektoumlruumlnuumln 3 elemanını
27 ile değiştiriniz
2 Benzer şekilde A vektoumlruumlnuumln 2 elemanını
siliniz 3 A(9) = 12
Ccediloumlzuumlm1 A(3) = 272 Vektoumlruumln elemanına [ ] değeri atandığında eleman silinirA(2) = [ ]3 gtgt A(9) = 12
A= [ 4 27 6]
A =[ 2 27 7 0 0 0 0 0 12]
57
raquo x=[17 8 61 83 56]
Şeklindeki bir matrisin uumlccediluumlncuuml
elemanına erişmek istenirse
raquo c=x(3)
c =
61
Eğer bir blok şeklinde veriye erişilmek istenirse
raquo x(24)
ans =
8 61 83
Her matristeki herhangi bir elman grubuna erişilmek istenirse
raquo x([3 1 4])
ans =
61 17 83
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
58
Bir diziye duumlzenli artıs (veya azalıs) kuralıyla değerler atanmak isteniyorsa
bunu
ilk_değerartısson değer veya ilk_değerartısson değer
biccediliminde yapabiliriz
Ancak artıs 1 ise belirtilmeyebilirOumlrnekortalama adlı
bir diziye 0 dan 5 e kadar 05 er artısla elde edilen sayı
dizisini atayanortalama=[0055]
Siz 1 satır 7 den den 17 ye kadar olan tam sayılar 2 satırı
99 dan 89 a kadar azalan tam sayılardan olusan 2 boyutlu m dizisine atayan islemleri yazınız
Dizilerin Değerlerinin Değistirilmesi ve Duumlzenlenmesi
4 VektoumlrlerMatlab
59
4 VektoumlrlerMatlab
60
Sayılardan olusan satır ve suumltun yapısına matris (dizi) denir
Oumlrneğin
d1=[5] 1x1 lik
d2=[ 2 -7] 1x2 lik
d3= [1 0 -3 ]
[ 5 3 1 ]
2x3 luumlk bir dizidir
Oumlrnekx=[1 7 18 5]Ya daraquo x=[ 1
7185 ]
Biccedilimlerinde girilebilir
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
61
Dizilerin Değerlerinin Değistirilmesi ve DuumlzenlenmesiBir dizinin herhangi bir elemanını belirlemek iccedilin dizi adından hemen sonra
parantez iccedilinde elemanın bulunduğu satır ve suumltun sayısı yazılmalıdır
Oumlrnek 1 d2=[2 -7]d2 dizisinin -7 elemanını
goumlruumlntuumllemek iccedilin
d2(12)
2 d3=[1 0 -35 3 1]d3 dizisinin 2 satır 1 suumltununda bulunan 5 in değerinin -75 olması
iccedilin
d3(21)=-75
Not1) Bir dizinin bir ccedilok elemanını
yeniden değer atamak gerekirse komut satırından atama yapmak uzun zaman alabilirBu durumda dizi değiskeninin uumlzerine ccedilift tıklayarak accedilılan dizi editoumlruuml
(array edit) yardımıyla değisiklikleri daha kolay yapabiliriz
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
62
8 Matrisler(Dizi)Matlab
Bir matrisi girerken o1 Elemanlar baştan ve sondan koumlşeli parantezlerle kapatılıro2 Elemanların arasına boşluk veya virguumll konuluro3 Matris satırlarını
ayırmak iccedilin de noktalı
virguumll kullanılır
okurallarına dikkate alınmalıdır
Oumlrneğin
A = [1 2 3 4 5 6]A =
1 2 34 5 6
şeklinde veriler matrisler biccediliminde tanımlanır MATLAB daha sonra kullanılmak uumlzere verileri A matrisinde saklar
63
Matris elemanları
rasgele rakamlardan oluşabileceği gibi MATLABrsquoın deyimlerinden de oluşabilir
51 Matrislerde ElemanlarMatlab
Oumlrneğin
a=[-13 sqrt(3) (1+2+3)475]
a= -13000 17321 48000
Kuumlccediluumlk matrisleri eleman olarak kullanıp daha buumlyuumlk matrisler oluşturmak muumlmkuumlnduumlr
OumlrneğinM=[1 3 5
7 8 9] matrisine
aşağıda goumlsterildiği şekilde bir satır eklemesi yapabilir
M=[M[10 13 15]]
Bu durumda M matrisiM=[1 3 5
7 8 910 13 15]
durumunu alır
64
İki nokta uumlst uumlste () kullanarak buumlyuumlk matrislerin belli bir kısmını
kullanabiliriz
ya da diğer ifade ile bu matrisi kuumlccediluumlltebiliriz
Oumlrneğin
M=M(12) bildirimi M matrisinin ilk iki satırını
alarak M matrisi
olarak saklar
Oumlrnek
M=[8 -4 7 66 -7 8 9 4 5 134] ise
M=M(12) =
8 1 Matrislerde ElemanlarMatlab
65
MATLABrsquoda kullanıcı
verileri kendi oluşturacağı
matrisler ile tanımlayabileceği gibi MATLABrsquoın kendi oumlzel matrislerinden de istifade edilebilir
52 Genel MatrislerMatlab
66
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
a) Sıfır Matrisi Olusturan Fonksiyon
Her elemanı sıfır olan mxn boyutunda bir matrise sıfır matrisi denir
Boumlyle bir dizi olusturmak iccedilin zeros fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=zeros(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
3x5 boyutunda s adlı
sıfır matrisi iccedilin
s=zeros(35)
52 Genel MatrislerMatlab
67
b) 1 lerden Olusan Matris
Her elemanı 1 olan mxn boyutunda bir matrisi olusturmak iccedilin ones
fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matria_adı=ones(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
2x3 boyutunda b adlı
tuumlm elemanları
1 olan matrisi olusturalım
b=ones(23)
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
52 Genel MatrislerMatlab
68
c) Birim Matrisi Olusturan Fonksiyon
Esas koumlsegeni 1 lerden diğer elemanları 0 lardan olusan kare matrise (satır
ve suumltun sayısı esit olan ) birim matrisi
kare olmayan matrise de diyagonal matris denir
Boumlyle matrisleri olusturmak iccedilin eye fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=eye(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
a)
3x3 luumlk birim matris
b) 4x3 lluumlk diyagonal matris olusturalım
Ccediloumlzuumlma) i=eye(33) b) d=eye(43)
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar52 Genel MatrislerMatlab
69
d) Rastgele Sayılardan Olusan Matris ve Fonksiyonu
Elemanları 0 ile 1 arasındaki rastgele sayılardan olusan bir matris iccedilin
rand fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=rand(mn) biccedilimindedir(msatırnsuumltun)
Not 1) Uumlretilen matrisin tuumlm elemanlarını k gibi bir sayı ile ccedilarparak
sayıları 0 ile k arasına ccedilekebiliriz
Not 2) Ondalıklı sayılardan olusmus bir matrisin elemanlarını
yuvarlayıp tam sayı yapmak iccedilin round fonksiyonunu kullanırız
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar52 Genel MatrislerMatlab
70
Oumlrnek
a) 0 ile 1 arasında rastgele sayılardan olusan 10 elemanlı
a adında bir satır
matrisi olusturalım
b) Elemanları
10 ile 50 arasında sayılardan olusan 5x3 tipinde b matrisini
olusturalım
c) Elemanları
50 ile 300 arasındaki tamsayılardan olusan 3x4 tipinde c matrisini
olusturalım
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
d) Rastgele Sayılardan Olusan Matris ve Fonksiyonu
52 Genel MatrislerMatlab
71
Ccediloumlzuumlm
a)
a=rand(110)
b)
b=10+rand(53)40
c) c=round(50+rand(34)250)
52 Genel MatrislerMatlab
72
e) Rastgele Sayılardan Olusan Normal Dağılımlı
Matris veFonksiyonu
Elemanları rasstgele sayılardan olusan bir normal dağılımlı bir matris iccedilin
randn fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=randn(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek Rastgele sayılardan olusan normal dağılımlı 2x3 luumlk bir n matrisini
olusturalım
Ccediloumlzuumlm n=randn(23)
52 Genel MatrislerMatlab
73
f) Lineer Aralıklı
(Aritmetik) Dizi ve Fonksiyonu
Baslangıccedil ve biis değerleri ve kaccedil elemandan olusacağı belirlenen diziyi
olusturmak iccedilin linspace fonksiyonu kullanılır
Kullanımı
dizi_adı=linspace(ilk_değerson_değereleman_sayısı)
biccedilimindedir
52 Genel MatrislerMatlab
74
Oumlrnek 10 ile 30 arasına 9 tane daha sayı
koyarak aadında bir aritmetik dizi olusturalım
f) Lineer Aralıklı
(Aritmetik) Dizi ve Fonksiyonu
52 Genel MatrislerMatlab
Cevapa=linspace(103011)
75
Elimizdeki grubun her elemanı iccedilin bir matematik işlemi yapıp bunu yeni bir
diziye atarken herhangi bir sorun yoktur
Fakat iki farklı grupla işlemler yaparken dikkat etmemiz gereken genel
kurallar vardır
Oumlrneğin toplama ve ccedilıkarma yaparken iki dizinin de buumlyuumlkluumlğuumlnuumln eşit
olması gerekmektedir
Ayrıca iki farklı dizinin elemanları arasında birebir işlem yapmak iccedilin
matematik operatoumlruumlnuumln başına nokta() koymak gerekir
Bu durumda her bir elemanı diğer dizinin o sıradaki elmanı ile işleme
sokacaktır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
76
Birden fazla satır ve suumltuna sahip vektoumlrlere matris denir Noktalı
virguumll ()
işareti ile kolonları
ve virguumlle işareti ya da boşluk
bırakarak da bir sıradaki elemanları
ayırabilirizOumlrnekraquo x=[ 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14]x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14Yukarıdaki 3x4 boyutunda bir matristir MATLAB programına aşağıdaki
gibi de sunulabilirraquo x=[ 3 4 5 6
7 8 9 1011 12 13 14]
x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
77
Matristeki herhangi bir elemana direk ulaşmak iccedilin aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(23)=9
Eğer isteğimiz eriştiğimiz bir elemanı
değiştirmek veya yeni bir satır eklemek ise aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(41)=1x =
3 4 5 67 8 9 1011 12 13 141 0 0 0
Bu durumda doumlrduumlncuuml
satır ilk elemanını
biz 1 değerini atadık ve diğer elemanları
kendiliğinden ldquo0rdquo
olarak atadı
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
78
İki nokta uumlst uumlste () kullanılarak belirli aralıkta değişen matrisler yaratılabilir
raquo x=[127 3-10 -12]x =
1 3 5 73 2 1 0
-1 0 1 2Bir matrisin herhangi bir boumlluumlmuumlnuuml
seccedilmek iccedilin ise aşağıdaki goumlsterim
kullanılırraquo z=x(23 12)z =
3 2-1 0
Bu durumda z matris x matrisinin 2 ve 3 norsquo
lu satırlarından 1 ve 2 norsquo
lu suumltunlarını
almış
oluyor
Herhangi bir satır veya suumltunu tamamen silmek istersek o satır ve suumltunu seccedilip ldquo[]rdquo
ifadesine eşitleriz
raquo z(2)=[ ]z =
3 -1
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
79
Matlab size ve length komutları
yardımı
ile size matrisinizin boyutlarını
soumlyler
raquo a=[ 2 3 4 5 67 8 9 10 11]
raquo s=size(a)s =
2 5
raquo b=[ 17 11 0 30 40 50]
raquo k=length(b)k =
6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
80
a) Toplama-Ccedilıkarma Bir Sayı
ile Ccedilarpma İşlemi
İki matrisi toplamak (veya ccedilıkarmak) demek matrislerin aynı
mertebedeki elemanları teker teker toplayıp (veya ccedilıkarıp ) aynı
mertebeye yazmak demektir
Bu durumda iki matrisin de aynı mertebeden olması gereği accedilıktır
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile toplamak (veya ccedilıkarmak) demek
matrisin elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla toplamak (veya
ccedilıkarmak )demektir
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile ccedilarpmak demek ise matrisin
elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla ccedilarpmak demektir
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
81
82
Oumlrnek
raquo a=[1 2 3 4 5 6]raquo b=[7 8 9 10 11 12]
a ve b toplamıraquo sum=a+bsum =
8 10 1214 16 18
arsquo
yı
brsquo
den ccedilıkarmak
raquo diff=a-bdiff =
-6 -6 -6-6 -6 -6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
83
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] ve b=[3 -3 -41 1 5] matrisleri
veriliyor
a)
c=a+b toplam matrisini
b)
d=a-b matrisini
c)
amatrisinin her elemanınının 5 eksiğine karsılık gelen e
matrisini
d) f=2a-3b matrisini bulduran islemleri yazalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
a) c=a+b b) d=a-b c) e=a-5 d) f=a+a-b-b-b veya
f=2a-3b
84
İki matrisin ccedilarpım islemi iki biccedilimde anlasılır
1)
Aynı
mertebeden iki matrisin elemanlarını
teker teker ccedilarpıp aynı
mertebeye
yazmak demektir Bunu
islemi ile gerccedileklestiririz
2) Matematiksel anlamda iki matrisi ccedilarpmak istediğimizde birinci matris mxn
tuumlruumlnde ve ikinci matris mutlaka nxp tuumlruumlnde olmalıdır yani birinci matrisin
suumltun sayısı
ikinci matrisin satır sayısına eşit olmalıdır
Bu durumda birinci matrisin i suumltun elemanları
ile ikinci matrisin j satırındaki
elemanlar karılıklı
olarak ccedilarpılır ve sonuccedillar toplanır ve bu toplam ccedilarpım
matrisinin (ij) inci mertebeye yazılır
Matrisler arası
ccedilarpma isleminin semboluuml
de dır
b) İki Matrisin Ccedilarpımı Bir Matrisin Kuvvetleri veCcedilarpma İslemi
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
85
3) Bir a matrisinin her bir elemanının n Kuvvetlerinden olusan matrisi
bulmak iccedilin a^n islemi kullanılır
4) Satır ve suumltun sayıları
esit bir kare matrisi ardısık olarak n defa
kendisiyle ccedilarparak a matrisinin n kuvvetini bulabilirizOumlrneğin a matrisinin
karesi iccedilin aa veya a^2 kuumlbuumlnuuml
buldurmak iccedilin aaa veya a^3
doumlrduumlncuuml
kuvvetini buldurmak iccedilin aaaa veya a^4
Not) Bir a matrisinin eleman -elemana ccedilarpma islemine benzer mantıkla bir matrisin tuumlm elemanlarının kareleri kuumlbleri sinuumlsleri kosinuumlsleri logaritmalarından olusan matris bulunmak istenirse bunu sırayla aa (veya a^2) aaa (veya a^3) sin(a) cos(a) etabanında logaritması
iccedilin log(a) 10 tabanında logaritmaları
iccedilin log10(a) Biccediliminde gerccedileklestirebiliriz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
86
a) a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c1 matrisi varsa bulalım
b) a matrisi ile b matrisinin ccedilarpım matrisi olan c2 varsa bulalım
c) a matrisinin elemanları
ile c matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c3 matrisi varsa bulalım
d) a matrisi ile c matrisinin ccedilarpım matrisi olan c4 varsa bulalım
e) a matrisinin elemanlarının karelerinden olusan matris ile b matrisinin
kosinuumlslerinden olusan matrisler toplamını
bulalım
f) x=[1 00 3] matrisinin i) Karesini ii) Kuumlbuumlnuuml
iii) 10
kuvvetini bulalım
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] b=[3 -3 -41 1 5] ve c=[1 0-1 23 3] matrisleri veriliyor
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
87
Ccediloumlzuumlma) iki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirBu durumda c1 matrisi tanımlıdır ve bunu c1=ab islemi ile gerccedileklestirebilirizb) iki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdırHalbuki a matrisi 2x3 b matrisi de 2x3 olduğundan bu iki matris ccedilarpılamazc) İki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirHalbuki bu matrisler aynı mertebeden olmadığından bu iki matris eleman-elemana ccedilarpma islemi
gerccedileklemezd) İki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdıra matrisi 2x3 luumlk c matrisi de 3x2 lik olduğundan bu iki matris ccedilarpılabilir ve c4 ccedilarpım matrisi 2x2 lik bir matris olurc4 ccedilarpım matrisini c4=ac islemi ile buluruze) a^2+cos(b)f) i) x^2 ii) x^3 iii) x^10
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
88
c) Bir Matrisin Devriğini (Transpozesi) Bulma İslemi
Bir matrisin satırlarını suumltun suumltunlarını satır olarak yazılmasıyla
bulunan matrise bu matrisin devriği (transpozesi) denir
Bir matrisin devriğini islemi ile bulabiliriz
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] nın devriğini buldurup d matrisine atayalım
Ccediloumlzuumlm d=a
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
89
Oumlrnek
b=[7 8 9 10 11 12] matrisinin transpozesini bulabilirmisiniz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
c=bc =
7 108 119 12
90
SORU
a=[1 2 3 4 5 6]
c= [710811912]
ise a ve crsquonin ccedilarpım matrisi
kaccediltır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
Ccedilarpma işlemi k=ack=
50 68122 167
91
SORU
a=[1 2 3 4 5 6] b=[7 8 9 10 11 12]
ise a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan x matrisini bulalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
x=abx =
7 16 2740 55 72
92
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
Aynı mertebeden iki matrisin elemanlarını teker teker boumllerek aynı
mertebeye yazılmasına iki matrisin sol boumllmesi denir ve bu islemi ile
yapılır
a b ve c aynı mertebeden kare matrisler olmak uumlzere
c=ab ise a matrisine c nin b matrisine boumlluumlmuuml denir
c boumlluumlm matrisi islemi ile yapılır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
93
HATIRLATMA
2x2 lik i2 adlı birim matrisi i2=eye(22)
3x luumlk i3 adlı birim matrisi i2=eye(33) islemi ile olusturabiiriz
Aynı mertebeden a ve b kare matrisleri iccedilin a ile b nin ccedilarpımı birim matris ise
b matrisi a matrisinin (aynı biccedilimde a matrisi de b matrisinin) ters matrisidir
Oumlrnek
3x3 luumlk bir a kare matrisinin tersini bulmak iccedilin
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
eye(33)a veya inv(a) islemini kullanırız
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
94
Bir Matrisin Determinantı
Determinant kare matrisleri bir sayıya eşleyen fonksiyondur
Determinant fonksiyonunun kare matrisi eşlediği o sayıya matrisin
determinantı denir
A matrisinin determinantı detA veya |A| biccediliminde goumlsterilir
|A| matrislerde mutlak değer anlamına gelmez |A| sıfır veya
negatif de olabilir
det(x)
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
95
KURAL
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
96
Oumlrnek
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Determinant
raquo
deter=det(x)deter =
21
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
97
Oumlrnek Inverse işlemi
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Detx=det(x)=21 ise
raquo y=inv(x)y =
821 121 -521 221
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
98
SORU
a=[2 -10 01 2 43 0 1] matrisi ile b=[1 5 41 -1 20 1 -1] matrisleri veriliyor
a)
a matrisinin elemanlarını
sırasıyla b matrisinin elemanlarına boumllerek elde
edilen matrisi b1 matrisine atayalım
b) a matrisinin ta ters matrisini bulalım
c) a ile ta matrisinin ccedilarpımının 3x3 luumlk birim matris olduğunu goumlsterelim
d) a matrisinin b matrisine boumlluumlmuumlnuuml
b2 matrisine atayalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
99
Ccediloumlzuumlm
a)
b1=ab
b) ta1=eye(33)a veya ta2=inv(a)
c) ata ==eye(33)
d) b2=ab
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
30
Programın dili ve yardım bilgileri tamamen ingilizcedir
Kuumlccediluumlk-buumlyuumlk harf ayrımı vardır
Oumlrneğin dscrite DSCRITE ve Dscrite atamaları farklı şekilde
algılanır
Eğer istenirse ldquocasesen offrdquokomutu ile bu durum sona
erdirilebilir
raquo işareti komut promptrsquoudur
Komutlar Enter ile yuumlruumltuumlluumlr
2 Matlab Kullanımında Temel Kurallar
Matlab
31
Genel komutların isimleri ve accedilıklamaları
2 Matlab Kullanımında Temel KurallarMATLAB
32
2 Matlab Kullanımında Temel KurallarMATLAB
MATLAB kontroluumlnuuml
kullanabilmeniz iccedilin oumlzel karakterlere sahiptir Bu karakterlerin bir oumlzeti
33
2 Matlab Kullanımında Temel KurallarMatlab
34
2 Matlab Kullanımında Temel KurallarMatlab
35
İFADELER Matematiksel ve metinsel goumlsterimler ile işlemler ifadelerlesağlanır
Sayılar (Numbers)Değişkenler (Variables)İşleccediller (Operators)Fonksiyonlar (Functions)
Matlabrsquode ifadeler genellikle değişken = ifade veya sadece ifade formundadır
Sayısal Analiz
x = 4 sqrt(5) İfade
değişkensayı işleccedil fonksiyon
Bir ifade = işareti ile bir değişkene atanmamış
ise Matlab otomatik olarak sonucu ans (answer)
adı
verilen oumlzel bir değişkende saklar
3 MATRİSLER
36
o
Birden
fazla ifade
tek satırda aralarına
ya da koyarak yazılabilir
o
Yazımda
boşluk
sayısı
etkisizdir
o
Sadece
ilgili
değişken
adını
yazarak
o değişkeni ccedilağırabilirsiniz
MATRİSLER31 İFADELER
37
o MATLABrsquoda herhangi bir tip tanımlaması
veya boyut ifadesine gerek yoktur
o
MATLAB yeni bir değişken ismi ile karşılaştığında otomatik olarak ans isminde
bir değişken oluşturur ve uygun bir bellek miktarı
ayırır
oEğer değişken zaten varsa MATLAB gerekli bir bellek ayırdığında iccedileriği değişir
Oumlrneğin
o ogrenci_sayı=51
32 DeğişlenlerMatlab
Değisken
değeri değisebilen bellek alanına isaret eden değerlere
38
MATLAB değişken girişleri iccedilin ccedileşitli kurallara sahiptir
Her değişken bir harfle başlamak zorundadır
Program buumlyuumlk kuumlccediluumlk harf duyarlıdır X ve x farklı değişkenleri ifade eder
Program 31 basamağa kadar duyarlıdır Bu basamaktan sonrasını yok sayar
Dolayısıyla 31 basamaktan uzun değişken isimleri karışıklık yaratabilir
32 DeğişlenlerMatlab
39
Değiskenlere Değer Atama
Her hangi bir programlama dilinde olduğu gibi Matlabrsquoda da bir değiskene
değer verme islemine rdquodeğer atamakrdquo denir
Bir değiskene atanan değer değistirilmediği suumlrece aynı kalır
Değer atamanın genel kullanımı asağıdaki biccediliminde olur
ltDeğisken adıgt=ltAtanacak değergt
32 DeğişlenlerMatlab
40
Oumlrnek 2
A=6i-7 A değişkenine skaler bir değer atar
B=A 7
B değişkenine A değişkeninin 17 si atanmıştır
C=[3 4 5 6]
4 elemanlı
bir satır vektoumlruuml
atanmıştır
NOT
Dizi girişinde herhangi bir satıra ait elemanlar aralarına boşluk veya virguumll ldquordquo konularak ayrılır
Dizinin diğer bir satırına başlamak iccedilin biten satır sonuna konulur
32 DeğişlenlerMatlab
41
oMATLABrsquoda sayılar yaygın olarak kullanılan onluk tabanda ifade edilirler
o
Bunun yanısıra onluk tabanda uumlstel olarak veya i veya j olarak kompleks sayı biccedilimlerinde de ifade edilebilirler
oOumlrnek olarak
33 Sayılar
Matlab da i
ve j
başka tuumlrluuml
tanımlanmamışsa kompleks i sayısını
goumlsterir 3e5 sayısıda 3105
anlamındadır
MATRİSLER
42
o
Ondalık sayılar Tuumlrkccedilemizdeki
35 yerine
35 şeklinde
goumlsterilir
(00001 veya 963
065 yerine 65)
o
Bilimsel
notasyon
goumlsterimi olan e
(veya E) harfi
10rsquonun kuvvetini
temsil eder
o 2e4=2104=2000 veya
165e-20=16510-20
demektir
o
Kompleks
sayılarda
imajiner
(sanal) kısımlar
i
veya
j
ekini
alır
i veya
j
ile
gosterimlerinde
bir
fark
yoktur
o (1+3i veya 1+3i veya 1+i3) 1+sqrt(3)j
-5i
o
Matlabrsquode
tuumlm
sayılar yaklaşık 210308 ve
210-308 arasında
değişir
33 Sayılar
MATRİSLER
43
Sayı
Formatları
33 SayılarMatlabMATRİSLER
44
oMatlabda bir ccedilok eylem doumlrt islem ve matematiksel bazı
islemler
yaptırabiliriz
oBunun iccedilin ya ilgili komutları
komut penceresinden teker teker girerek veya
ilgili komutları
bir dosyaya yazıp o dosyayı
ccedilağırarak ccedilalıstırabiliriz
oİşlemleri yaptırırken sayıları
reel sayı
ya da karmasık sayı
olarak alabiliriz
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
45
Matematiksel ifadeleri oluşturmak iccedilin operatoumlrler ve oumlnceden tanımlanmış sembolleri kullanabilirsiniz
oOperatoumlrler oumlzetle şunlardır
oMatrislerle yapılan işlemlerde boumllme işlemi iccedilin iki farklı
sembol kullanılmaktadıroBunun yanında eğer sayılar skaler ise iki boumllme işleminin sonucu da aynı
değeri
goumlsterecektiroOumlrneğin 32 ile 23 ifadelerinin sonuccedilları
aynı
olup 15rsquodir
raquo 4+83ndash2ans =26
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
46
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
x=a + b
Bu ifadede a ve b nin toplandığı
ve x değişkeni iccedilinde saklandığıbelirtilmektedir
47
Aritmetiksel İşlemlerde Oumlncelik Durumu
oTek bir aritmetiksel durum iccedilinde birden fazla durum bir arada bulunabildiğine goumlre
hangi işlemin oumlncelik hakkına sahip olunduğunun
bilinmelidir
oMATLABrsquoda kullanılan işlemlerde işlemlerin oumlncelik
listesi
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
bazı
temel matematiksel fonksiyonların accedilıklamaları
48
o
MATLABrsquo
da işlemler soldan sağa işlerlero
İşlemler arası
oumlncelik sırası
aşağıdaki gibidir
1 ^
(Yuumlksek)2
darr
3 + -
(Duumlşuumlk)
raquo 3^(2ndash5)-632 raquo 3^2ndash5ndash632ans = ans =
mdash39630 0
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
49
35 FonksyonlarMATRİSLER
o MATLABrsquoın ccedilok guumlccedilluuml
ve ccedilok kapsamlı
bir fonksiyon yapısı
vardır
oMATLABrsquoda bazı
fonksiyonlar daha oumlnceden yerleştirilmiş
bazıları
ise sonradan
dışarıdan yerleştirilmiş
M-dosyalarından oluşan MATLAB kuumltuumlphanelerinde
tanımlanmışlardır
oBunun yanında oumlzel uygulamalar iccedilin kullanıcıların kendi fonksiyonlarını
yazarak
kendi kuumltuumlphanelerini oluşturması
muumlmkuumlnduumlr
MATLABrsquoda mevcut analitik fonksiyonları
genel olarak aşağıdaki kategorilere ayırabiliriz oTemel matematiksel fonksiyonlaroOumlzel fonksiyonlaroTemel matrisler ve matris işlemlerioMatrisleri ccedilarpanlarına ayırmaoVeri analizlerioPolinomlaroDiferansiyel denklem ccediloumlzuumlmlerioLineer olmayan denklemler ve optimizasyonoSayısal integral hesaplamalarıoSinyal işleme
50
Matematiksel Fonksiyonlar
bazı
temel matematiksel fonksiyonların accedilıklamaları
35 FonksyonlarMATRİSLER
Oumlrnekgtgtexp(1)ans=27183gtgtfix(35)ans=3gtgtceil(35)ans=4gtgtround(35)ans=4
51
Matlabda oumlnceden tanımlanmıs bazı
sabitlerdirBunlar aşağıdaki tabloda goumlsterilmistir
36 Oumlzel SabitlerMatlab
52
Oumlrnekler
1)
a=1
2)
a=rsquoİstanbulrsquo
3)
a=5b=7c=a+b
4) a=5b=-3c=a+2ba=a+b
5)
num=23-5^2 x=num2 y=x+10
7 Sabitler Değiskenler ve Metin KatarlarıMatlab
53
Oumlrnek
Komut satırına
a)
sin(30)
b)
sin(30pi180) yazınız sonuccedilları
inceleyiniz
35 FonksyonlarMATRİSLER
Cevapa) -09880 sonucu goumlruumlluumlr ki bu 30deg
nin sinuumlsuumlnde n farklıdır Ccediluumlnkuuml
bu 30deg
derece değil 30 radyanın sinuumlsuumlduumlrb) 05000 sonucu goumlruumlluumlr ki bu da 30deg
nin sinuumlsuumld uumlr O halde bir
sayının trigonometrik değerini buldurmak iccedilin oumlnce pi ile ccedilarpıp 180 e boumllerek accedilıyı
radyan ccedilevirip sonra trigonometrik değerini
hesaplatabiliriz
54
oVektoumlrler tek boyutlu sayı
dizileridir
oElemanlarının sıralanma youmlnlerine goumlre suumltun veya satır vektoumlruuml
adlarını alırlar
ovektoumlrler [ ] koumlşeli parantezleri ile tanımlanır
ofarklı
yolla tanımlanabilirler
4 VektoumlrlerMatlab
A = [4 12 -8 6]A = [4 12 -8 6]
B = [1 2 4 6]
Satır Vektoumlruuml
Suumltun Vektoumlruumlgtgt b=[1 2 4 6 ]
55
4 VektoumlrlerMatlab
ovektoumlr boyutları
buumlyuumlduumlkccedile manuel olarak tanıtım işlemi oldukccedila zorlaşmaktadır
oOumlzellikle belli bir artıma sahip vektoumlrlerin oluşturulmasında () operatoumlruuml kullanılmaktadır
C = [-105150]
Son değerBaşlangıccedil değeri Artış
miktarı
Drsquo
= [30-10-30]
Suumltun Vektoumlruuml
56
Vektoumlr indisleri
4 VektoumlrlerMatlab
Bir vektoumlruumln elemanlarına atanılan değer değişkenler editoumlruuml
veya eleman adresi vasıtasıyla değiştirilebilir
OumlrnekA = [4 12 -8 6]1 A vektoumlruumlnuumln 3 elemanını
27 ile değiştiriniz
2 Benzer şekilde A vektoumlruumlnuumln 2 elemanını
siliniz 3 A(9) = 12
Ccediloumlzuumlm1 A(3) = 272 Vektoumlruumln elemanına [ ] değeri atandığında eleman silinirA(2) = [ ]3 gtgt A(9) = 12
A= [ 4 27 6]
A =[ 2 27 7 0 0 0 0 0 12]
57
raquo x=[17 8 61 83 56]
Şeklindeki bir matrisin uumlccediluumlncuuml
elemanına erişmek istenirse
raquo c=x(3)
c =
61
Eğer bir blok şeklinde veriye erişilmek istenirse
raquo x(24)
ans =
8 61 83
Her matristeki herhangi bir elman grubuna erişilmek istenirse
raquo x([3 1 4])
ans =
61 17 83
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
58
Bir diziye duumlzenli artıs (veya azalıs) kuralıyla değerler atanmak isteniyorsa
bunu
ilk_değerartısson değer veya ilk_değerartısson değer
biccediliminde yapabiliriz
Ancak artıs 1 ise belirtilmeyebilirOumlrnekortalama adlı
bir diziye 0 dan 5 e kadar 05 er artısla elde edilen sayı
dizisini atayanortalama=[0055]
Siz 1 satır 7 den den 17 ye kadar olan tam sayılar 2 satırı
99 dan 89 a kadar azalan tam sayılardan olusan 2 boyutlu m dizisine atayan islemleri yazınız
Dizilerin Değerlerinin Değistirilmesi ve Duumlzenlenmesi
4 VektoumlrlerMatlab
59
4 VektoumlrlerMatlab
60
Sayılardan olusan satır ve suumltun yapısına matris (dizi) denir
Oumlrneğin
d1=[5] 1x1 lik
d2=[ 2 -7] 1x2 lik
d3= [1 0 -3 ]
[ 5 3 1 ]
2x3 luumlk bir dizidir
Oumlrnekx=[1 7 18 5]Ya daraquo x=[ 1
7185 ]
Biccedilimlerinde girilebilir
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
61
Dizilerin Değerlerinin Değistirilmesi ve DuumlzenlenmesiBir dizinin herhangi bir elemanını belirlemek iccedilin dizi adından hemen sonra
parantez iccedilinde elemanın bulunduğu satır ve suumltun sayısı yazılmalıdır
Oumlrnek 1 d2=[2 -7]d2 dizisinin -7 elemanını
goumlruumlntuumllemek iccedilin
d2(12)
2 d3=[1 0 -35 3 1]d3 dizisinin 2 satır 1 suumltununda bulunan 5 in değerinin -75 olması
iccedilin
d3(21)=-75
Not1) Bir dizinin bir ccedilok elemanını
yeniden değer atamak gerekirse komut satırından atama yapmak uzun zaman alabilirBu durumda dizi değiskeninin uumlzerine ccedilift tıklayarak accedilılan dizi editoumlruuml
(array edit) yardımıyla değisiklikleri daha kolay yapabiliriz
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
62
8 Matrisler(Dizi)Matlab
Bir matrisi girerken o1 Elemanlar baştan ve sondan koumlşeli parantezlerle kapatılıro2 Elemanların arasına boşluk veya virguumll konuluro3 Matris satırlarını
ayırmak iccedilin de noktalı
virguumll kullanılır
okurallarına dikkate alınmalıdır
Oumlrneğin
A = [1 2 3 4 5 6]A =
1 2 34 5 6
şeklinde veriler matrisler biccediliminde tanımlanır MATLAB daha sonra kullanılmak uumlzere verileri A matrisinde saklar
63
Matris elemanları
rasgele rakamlardan oluşabileceği gibi MATLABrsquoın deyimlerinden de oluşabilir
51 Matrislerde ElemanlarMatlab
Oumlrneğin
a=[-13 sqrt(3) (1+2+3)475]
a= -13000 17321 48000
Kuumlccediluumlk matrisleri eleman olarak kullanıp daha buumlyuumlk matrisler oluşturmak muumlmkuumlnduumlr
OumlrneğinM=[1 3 5
7 8 9] matrisine
aşağıda goumlsterildiği şekilde bir satır eklemesi yapabilir
M=[M[10 13 15]]
Bu durumda M matrisiM=[1 3 5
7 8 910 13 15]
durumunu alır
64
İki nokta uumlst uumlste () kullanarak buumlyuumlk matrislerin belli bir kısmını
kullanabiliriz
ya da diğer ifade ile bu matrisi kuumlccediluumlltebiliriz
Oumlrneğin
M=M(12) bildirimi M matrisinin ilk iki satırını
alarak M matrisi
olarak saklar
Oumlrnek
M=[8 -4 7 66 -7 8 9 4 5 134] ise
M=M(12) =
8 1 Matrislerde ElemanlarMatlab
65
MATLABrsquoda kullanıcı
verileri kendi oluşturacağı
matrisler ile tanımlayabileceği gibi MATLABrsquoın kendi oumlzel matrislerinden de istifade edilebilir
52 Genel MatrislerMatlab
66
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
a) Sıfır Matrisi Olusturan Fonksiyon
Her elemanı sıfır olan mxn boyutunda bir matrise sıfır matrisi denir
Boumlyle bir dizi olusturmak iccedilin zeros fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=zeros(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
3x5 boyutunda s adlı
sıfır matrisi iccedilin
s=zeros(35)
52 Genel MatrislerMatlab
67
b) 1 lerden Olusan Matris
Her elemanı 1 olan mxn boyutunda bir matrisi olusturmak iccedilin ones
fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matria_adı=ones(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
2x3 boyutunda b adlı
tuumlm elemanları
1 olan matrisi olusturalım
b=ones(23)
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
52 Genel MatrislerMatlab
68
c) Birim Matrisi Olusturan Fonksiyon
Esas koumlsegeni 1 lerden diğer elemanları 0 lardan olusan kare matrise (satır
ve suumltun sayısı esit olan ) birim matrisi
kare olmayan matrise de diyagonal matris denir
Boumlyle matrisleri olusturmak iccedilin eye fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=eye(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
a)
3x3 luumlk birim matris
b) 4x3 lluumlk diyagonal matris olusturalım
Ccediloumlzuumlma) i=eye(33) b) d=eye(43)
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar52 Genel MatrislerMatlab
69
d) Rastgele Sayılardan Olusan Matris ve Fonksiyonu
Elemanları 0 ile 1 arasındaki rastgele sayılardan olusan bir matris iccedilin
rand fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=rand(mn) biccedilimindedir(msatırnsuumltun)
Not 1) Uumlretilen matrisin tuumlm elemanlarını k gibi bir sayı ile ccedilarparak
sayıları 0 ile k arasına ccedilekebiliriz
Not 2) Ondalıklı sayılardan olusmus bir matrisin elemanlarını
yuvarlayıp tam sayı yapmak iccedilin round fonksiyonunu kullanırız
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar52 Genel MatrislerMatlab
70
Oumlrnek
a) 0 ile 1 arasında rastgele sayılardan olusan 10 elemanlı
a adında bir satır
matrisi olusturalım
b) Elemanları
10 ile 50 arasında sayılardan olusan 5x3 tipinde b matrisini
olusturalım
c) Elemanları
50 ile 300 arasındaki tamsayılardan olusan 3x4 tipinde c matrisini
olusturalım
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
d) Rastgele Sayılardan Olusan Matris ve Fonksiyonu
52 Genel MatrislerMatlab
71
Ccediloumlzuumlm
a)
a=rand(110)
b)
b=10+rand(53)40
c) c=round(50+rand(34)250)
52 Genel MatrislerMatlab
72
e) Rastgele Sayılardan Olusan Normal Dağılımlı
Matris veFonksiyonu
Elemanları rasstgele sayılardan olusan bir normal dağılımlı bir matris iccedilin
randn fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=randn(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek Rastgele sayılardan olusan normal dağılımlı 2x3 luumlk bir n matrisini
olusturalım
Ccediloumlzuumlm n=randn(23)
52 Genel MatrislerMatlab
73
f) Lineer Aralıklı
(Aritmetik) Dizi ve Fonksiyonu
Baslangıccedil ve biis değerleri ve kaccedil elemandan olusacağı belirlenen diziyi
olusturmak iccedilin linspace fonksiyonu kullanılır
Kullanımı
dizi_adı=linspace(ilk_değerson_değereleman_sayısı)
biccedilimindedir
52 Genel MatrislerMatlab
74
Oumlrnek 10 ile 30 arasına 9 tane daha sayı
koyarak aadında bir aritmetik dizi olusturalım
f) Lineer Aralıklı
(Aritmetik) Dizi ve Fonksiyonu
52 Genel MatrislerMatlab
Cevapa=linspace(103011)
75
Elimizdeki grubun her elemanı iccedilin bir matematik işlemi yapıp bunu yeni bir
diziye atarken herhangi bir sorun yoktur
Fakat iki farklı grupla işlemler yaparken dikkat etmemiz gereken genel
kurallar vardır
Oumlrneğin toplama ve ccedilıkarma yaparken iki dizinin de buumlyuumlkluumlğuumlnuumln eşit
olması gerekmektedir
Ayrıca iki farklı dizinin elemanları arasında birebir işlem yapmak iccedilin
matematik operatoumlruumlnuumln başına nokta() koymak gerekir
Bu durumda her bir elemanı diğer dizinin o sıradaki elmanı ile işleme
sokacaktır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
76
Birden fazla satır ve suumltuna sahip vektoumlrlere matris denir Noktalı
virguumll ()
işareti ile kolonları
ve virguumlle işareti ya da boşluk
bırakarak da bir sıradaki elemanları
ayırabilirizOumlrnekraquo x=[ 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14]x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14Yukarıdaki 3x4 boyutunda bir matristir MATLAB programına aşağıdaki
gibi de sunulabilirraquo x=[ 3 4 5 6
7 8 9 1011 12 13 14]
x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
77
Matristeki herhangi bir elemana direk ulaşmak iccedilin aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(23)=9
Eğer isteğimiz eriştiğimiz bir elemanı
değiştirmek veya yeni bir satır eklemek ise aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(41)=1x =
3 4 5 67 8 9 1011 12 13 141 0 0 0
Bu durumda doumlrduumlncuuml
satır ilk elemanını
biz 1 değerini atadık ve diğer elemanları
kendiliğinden ldquo0rdquo
olarak atadı
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
78
İki nokta uumlst uumlste () kullanılarak belirli aralıkta değişen matrisler yaratılabilir
raquo x=[127 3-10 -12]x =
1 3 5 73 2 1 0
-1 0 1 2Bir matrisin herhangi bir boumlluumlmuumlnuuml
seccedilmek iccedilin ise aşağıdaki goumlsterim
kullanılırraquo z=x(23 12)z =
3 2-1 0
Bu durumda z matris x matrisinin 2 ve 3 norsquo
lu satırlarından 1 ve 2 norsquo
lu suumltunlarını
almış
oluyor
Herhangi bir satır veya suumltunu tamamen silmek istersek o satır ve suumltunu seccedilip ldquo[]rdquo
ifadesine eşitleriz
raquo z(2)=[ ]z =
3 -1
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
79
Matlab size ve length komutları
yardımı
ile size matrisinizin boyutlarını
soumlyler
raquo a=[ 2 3 4 5 67 8 9 10 11]
raquo s=size(a)s =
2 5
raquo b=[ 17 11 0 30 40 50]
raquo k=length(b)k =
6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
80
a) Toplama-Ccedilıkarma Bir Sayı
ile Ccedilarpma İşlemi
İki matrisi toplamak (veya ccedilıkarmak) demek matrislerin aynı
mertebedeki elemanları teker teker toplayıp (veya ccedilıkarıp ) aynı
mertebeye yazmak demektir
Bu durumda iki matrisin de aynı mertebeden olması gereği accedilıktır
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile toplamak (veya ccedilıkarmak) demek
matrisin elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla toplamak (veya
ccedilıkarmak )demektir
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile ccedilarpmak demek ise matrisin
elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla ccedilarpmak demektir
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
81
82
Oumlrnek
raquo a=[1 2 3 4 5 6]raquo b=[7 8 9 10 11 12]
a ve b toplamıraquo sum=a+bsum =
8 10 1214 16 18
arsquo
yı
brsquo
den ccedilıkarmak
raquo diff=a-bdiff =
-6 -6 -6-6 -6 -6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
83
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] ve b=[3 -3 -41 1 5] matrisleri
veriliyor
a)
c=a+b toplam matrisini
b)
d=a-b matrisini
c)
amatrisinin her elemanınının 5 eksiğine karsılık gelen e
matrisini
d) f=2a-3b matrisini bulduran islemleri yazalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
a) c=a+b b) d=a-b c) e=a-5 d) f=a+a-b-b-b veya
f=2a-3b
84
İki matrisin ccedilarpım islemi iki biccedilimde anlasılır
1)
Aynı
mertebeden iki matrisin elemanlarını
teker teker ccedilarpıp aynı
mertebeye
yazmak demektir Bunu
islemi ile gerccedileklestiririz
2) Matematiksel anlamda iki matrisi ccedilarpmak istediğimizde birinci matris mxn
tuumlruumlnde ve ikinci matris mutlaka nxp tuumlruumlnde olmalıdır yani birinci matrisin
suumltun sayısı
ikinci matrisin satır sayısına eşit olmalıdır
Bu durumda birinci matrisin i suumltun elemanları
ile ikinci matrisin j satırındaki
elemanlar karılıklı
olarak ccedilarpılır ve sonuccedillar toplanır ve bu toplam ccedilarpım
matrisinin (ij) inci mertebeye yazılır
Matrisler arası
ccedilarpma isleminin semboluuml
de dır
b) İki Matrisin Ccedilarpımı Bir Matrisin Kuvvetleri veCcedilarpma İslemi
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
85
3) Bir a matrisinin her bir elemanının n Kuvvetlerinden olusan matrisi
bulmak iccedilin a^n islemi kullanılır
4) Satır ve suumltun sayıları
esit bir kare matrisi ardısık olarak n defa
kendisiyle ccedilarparak a matrisinin n kuvvetini bulabilirizOumlrneğin a matrisinin
karesi iccedilin aa veya a^2 kuumlbuumlnuuml
buldurmak iccedilin aaa veya a^3
doumlrduumlncuuml
kuvvetini buldurmak iccedilin aaaa veya a^4
Not) Bir a matrisinin eleman -elemana ccedilarpma islemine benzer mantıkla bir matrisin tuumlm elemanlarının kareleri kuumlbleri sinuumlsleri kosinuumlsleri logaritmalarından olusan matris bulunmak istenirse bunu sırayla aa (veya a^2) aaa (veya a^3) sin(a) cos(a) etabanında logaritması
iccedilin log(a) 10 tabanında logaritmaları
iccedilin log10(a) Biccediliminde gerccedileklestirebiliriz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
86
a) a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c1 matrisi varsa bulalım
b) a matrisi ile b matrisinin ccedilarpım matrisi olan c2 varsa bulalım
c) a matrisinin elemanları
ile c matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c3 matrisi varsa bulalım
d) a matrisi ile c matrisinin ccedilarpım matrisi olan c4 varsa bulalım
e) a matrisinin elemanlarının karelerinden olusan matris ile b matrisinin
kosinuumlslerinden olusan matrisler toplamını
bulalım
f) x=[1 00 3] matrisinin i) Karesini ii) Kuumlbuumlnuuml
iii) 10
kuvvetini bulalım
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] b=[3 -3 -41 1 5] ve c=[1 0-1 23 3] matrisleri veriliyor
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
87
Ccediloumlzuumlma) iki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirBu durumda c1 matrisi tanımlıdır ve bunu c1=ab islemi ile gerccedileklestirebilirizb) iki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdırHalbuki a matrisi 2x3 b matrisi de 2x3 olduğundan bu iki matris ccedilarpılamazc) İki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirHalbuki bu matrisler aynı mertebeden olmadığından bu iki matris eleman-elemana ccedilarpma islemi
gerccedileklemezd) İki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdıra matrisi 2x3 luumlk c matrisi de 3x2 lik olduğundan bu iki matris ccedilarpılabilir ve c4 ccedilarpım matrisi 2x2 lik bir matris olurc4 ccedilarpım matrisini c4=ac islemi ile buluruze) a^2+cos(b)f) i) x^2 ii) x^3 iii) x^10
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
88
c) Bir Matrisin Devriğini (Transpozesi) Bulma İslemi
Bir matrisin satırlarını suumltun suumltunlarını satır olarak yazılmasıyla
bulunan matrise bu matrisin devriği (transpozesi) denir
Bir matrisin devriğini islemi ile bulabiliriz
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] nın devriğini buldurup d matrisine atayalım
Ccediloumlzuumlm d=a
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
89
Oumlrnek
b=[7 8 9 10 11 12] matrisinin transpozesini bulabilirmisiniz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
c=bc =
7 108 119 12
90
SORU
a=[1 2 3 4 5 6]
c= [710811912]
ise a ve crsquonin ccedilarpım matrisi
kaccediltır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
Ccedilarpma işlemi k=ack=
50 68122 167
91
SORU
a=[1 2 3 4 5 6] b=[7 8 9 10 11 12]
ise a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan x matrisini bulalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
x=abx =
7 16 2740 55 72
92
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
Aynı mertebeden iki matrisin elemanlarını teker teker boumllerek aynı
mertebeye yazılmasına iki matrisin sol boumllmesi denir ve bu islemi ile
yapılır
a b ve c aynı mertebeden kare matrisler olmak uumlzere
c=ab ise a matrisine c nin b matrisine boumlluumlmuuml denir
c boumlluumlm matrisi islemi ile yapılır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
93
HATIRLATMA
2x2 lik i2 adlı birim matrisi i2=eye(22)
3x luumlk i3 adlı birim matrisi i2=eye(33) islemi ile olusturabiiriz
Aynı mertebeden a ve b kare matrisleri iccedilin a ile b nin ccedilarpımı birim matris ise
b matrisi a matrisinin (aynı biccedilimde a matrisi de b matrisinin) ters matrisidir
Oumlrnek
3x3 luumlk bir a kare matrisinin tersini bulmak iccedilin
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
eye(33)a veya inv(a) islemini kullanırız
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
94
Bir Matrisin Determinantı
Determinant kare matrisleri bir sayıya eşleyen fonksiyondur
Determinant fonksiyonunun kare matrisi eşlediği o sayıya matrisin
determinantı denir
A matrisinin determinantı detA veya |A| biccediliminde goumlsterilir
|A| matrislerde mutlak değer anlamına gelmez |A| sıfır veya
negatif de olabilir
det(x)
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
95
KURAL
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
96
Oumlrnek
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Determinant
raquo
deter=det(x)deter =
21
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
97
Oumlrnek Inverse işlemi
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Detx=det(x)=21 ise
raquo y=inv(x)y =
821 121 -521 221
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
98
SORU
a=[2 -10 01 2 43 0 1] matrisi ile b=[1 5 41 -1 20 1 -1] matrisleri veriliyor
a)
a matrisinin elemanlarını
sırasıyla b matrisinin elemanlarına boumllerek elde
edilen matrisi b1 matrisine atayalım
b) a matrisinin ta ters matrisini bulalım
c) a ile ta matrisinin ccedilarpımının 3x3 luumlk birim matris olduğunu goumlsterelim
d) a matrisinin b matrisine boumlluumlmuumlnuuml
b2 matrisine atayalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
99
Ccediloumlzuumlm
a)
b1=ab
b) ta1=eye(33)a veya ta2=inv(a)
c) ata ==eye(33)
d) b2=ab
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
31
Genel komutların isimleri ve accedilıklamaları
2 Matlab Kullanımında Temel KurallarMATLAB
32
2 Matlab Kullanımında Temel KurallarMATLAB
MATLAB kontroluumlnuuml
kullanabilmeniz iccedilin oumlzel karakterlere sahiptir Bu karakterlerin bir oumlzeti
33
2 Matlab Kullanımında Temel KurallarMatlab
34
2 Matlab Kullanımında Temel KurallarMatlab
35
İFADELER Matematiksel ve metinsel goumlsterimler ile işlemler ifadelerlesağlanır
Sayılar (Numbers)Değişkenler (Variables)İşleccediller (Operators)Fonksiyonlar (Functions)
Matlabrsquode ifadeler genellikle değişken = ifade veya sadece ifade formundadır
Sayısal Analiz
x = 4 sqrt(5) İfade
değişkensayı işleccedil fonksiyon
Bir ifade = işareti ile bir değişkene atanmamış
ise Matlab otomatik olarak sonucu ans (answer)
adı
verilen oumlzel bir değişkende saklar
3 MATRİSLER
36
o
Birden
fazla ifade
tek satırda aralarına
ya da koyarak yazılabilir
o
Yazımda
boşluk
sayısı
etkisizdir
o
Sadece
ilgili
değişken
adını
yazarak
o değişkeni ccedilağırabilirsiniz
MATRİSLER31 İFADELER
37
o MATLABrsquoda herhangi bir tip tanımlaması
veya boyut ifadesine gerek yoktur
o
MATLAB yeni bir değişken ismi ile karşılaştığında otomatik olarak ans isminde
bir değişken oluşturur ve uygun bir bellek miktarı
ayırır
oEğer değişken zaten varsa MATLAB gerekli bir bellek ayırdığında iccedileriği değişir
Oumlrneğin
o ogrenci_sayı=51
32 DeğişlenlerMatlab
Değisken
değeri değisebilen bellek alanına isaret eden değerlere
38
MATLAB değişken girişleri iccedilin ccedileşitli kurallara sahiptir
Her değişken bir harfle başlamak zorundadır
Program buumlyuumlk kuumlccediluumlk harf duyarlıdır X ve x farklı değişkenleri ifade eder
Program 31 basamağa kadar duyarlıdır Bu basamaktan sonrasını yok sayar
Dolayısıyla 31 basamaktan uzun değişken isimleri karışıklık yaratabilir
32 DeğişlenlerMatlab
39
Değiskenlere Değer Atama
Her hangi bir programlama dilinde olduğu gibi Matlabrsquoda da bir değiskene
değer verme islemine rdquodeğer atamakrdquo denir
Bir değiskene atanan değer değistirilmediği suumlrece aynı kalır
Değer atamanın genel kullanımı asağıdaki biccediliminde olur
ltDeğisken adıgt=ltAtanacak değergt
32 DeğişlenlerMatlab
40
Oumlrnek 2
A=6i-7 A değişkenine skaler bir değer atar
B=A 7
B değişkenine A değişkeninin 17 si atanmıştır
C=[3 4 5 6]
4 elemanlı
bir satır vektoumlruuml
atanmıştır
NOT
Dizi girişinde herhangi bir satıra ait elemanlar aralarına boşluk veya virguumll ldquordquo konularak ayrılır
Dizinin diğer bir satırına başlamak iccedilin biten satır sonuna konulur
32 DeğişlenlerMatlab
41
oMATLABrsquoda sayılar yaygın olarak kullanılan onluk tabanda ifade edilirler
o
Bunun yanısıra onluk tabanda uumlstel olarak veya i veya j olarak kompleks sayı biccedilimlerinde de ifade edilebilirler
oOumlrnek olarak
33 Sayılar
Matlab da i
ve j
başka tuumlrluuml
tanımlanmamışsa kompleks i sayısını
goumlsterir 3e5 sayısıda 3105
anlamındadır
MATRİSLER
42
o
Ondalık sayılar Tuumlrkccedilemizdeki
35 yerine
35 şeklinde
goumlsterilir
(00001 veya 963
065 yerine 65)
o
Bilimsel
notasyon
goumlsterimi olan e
(veya E) harfi
10rsquonun kuvvetini
temsil eder
o 2e4=2104=2000 veya
165e-20=16510-20
demektir
o
Kompleks
sayılarda
imajiner
(sanal) kısımlar
i
veya
j
ekini
alır
i veya
j
ile
gosterimlerinde
bir
fark
yoktur
o (1+3i veya 1+3i veya 1+i3) 1+sqrt(3)j
-5i
o
Matlabrsquode
tuumlm
sayılar yaklaşık 210308 ve
210-308 arasında
değişir
33 Sayılar
MATRİSLER
43
Sayı
Formatları
33 SayılarMatlabMATRİSLER
44
oMatlabda bir ccedilok eylem doumlrt islem ve matematiksel bazı
islemler
yaptırabiliriz
oBunun iccedilin ya ilgili komutları
komut penceresinden teker teker girerek veya
ilgili komutları
bir dosyaya yazıp o dosyayı
ccedilağırarak ccedilalıstırabiliriz
oİşlemleri yaptırırken sayıları
reel sayı
ya da karmasık sayı
olarak alabiliriz
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
45
Matematiksel ifadeleri oluşturmak iccedilin operatoumlrler ve oumlnceden tanımlanmış sembolleri kullanabilirsiniz
oOperatoumlrler oumlzetle şunlardır
oMatrislerle yapılan işlemlerde boumllme işlemi iccedilin iki farklı
sembol kullanılmaktadıroBunun yanında eğer sayılar skaler ise iki boumllme işleminin sonucu da aynı
değeri
goumlsterecektiroOumlrneğin 32 ile 23 ifadelerinin sonuccedilları
aynı
olup 15rsquodir
raquo 4+83ndash2ans =26
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
46
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
x=a + b
Bu ifadede a ve b nin toplandığı
ve x değişkeni iccedilinde saklandığıbelirtilmektedir
47
Aritmetiksel İşlemlerde Oumlncelik Durumu
oTek bir aritmetiksel durum iccedilinde birden fazla durum bir arada bulunabildiğine goumlre
hangi işlemin oumlncelik hakkına sahip olunduğunun
bilinmelidir
oMATLABrsquoda kullanılan işlemlerde işlemlerin oumlncelik
listesi
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
bazı
temel matematiksel fonksiyonların accedilıklamaları
48
o
MATLABrsquo
da işlemler soldan sağa işlerlero
İşlemler arası
oumlncelik sırası
aşağıdaki gibidir
1 ^
(Yuumlksek)2
darr
3 + -
(Duumlşuumlk)
raquo 3^(2ndash5)-632 raquo 3^2ndash5ndash632ans = ans =
mdash39630 0
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
49
35 FonksyonlarMATRİSLER
o MATLABrsquoın ccedilok guumlccedilluuml
ve ccedilok kapsamlı
bir fonksiyon yapısı
vardır
oMATLABrsquoda bazı
fonksiyonlar daha oumlnceden yerleştirilmiş
bazıları
ise sonradan
dışarıdan yerleştirilmiş
M-dosyalarından oluşan MATLAB kuumltuumlphanelerinde
tanımlanmışlardır
oBunun yanında oumlzel uygulamalar iccedilin kullanıcıların kendi fonksiyonlarını
yazarak
kendi kuumltuumlphanelerini oluşturması
muumlmkuumlnduumlr
MATLABrsquoda mevcut analitik fonksiyonları
genel olarak aşağıdaki kategorilere ayırabiliriz oTemel matematiksel fonksiyonlaroOumlzel fonksiyonlaroTemel matrisler ve matris işlemlerioMatrisleri ccedilarpanlarına ayırmaoVeri analizlerioPolinomlaroDiferansiyel denklem ccediloumlzuumlmlerioLineer olmayan denklemler ve optimizasyonoSayısal integral hesaplamalarıoSinyal işleme
50
Matematiksel Fonksiyonlar
bazı
temel matematiksel fonksiyonların accedilıklamaları
35 FonksyonlarMATRİSLER
Oumlrnekgtgtexp(1)ans=27183gtgtfix(35)ans=3gtgtceil(35)ans=4gtgtround(35)ans=4
51
Matlabda oumlnceden tanımlanmıs bazı
sabitlerdirBunlar aşağıdaki tabloda goumlsterilmistir
36 Oumlzel SabitlerMatlab
52
Oumlrnekler
1)
a=1
2)
a=rsquoİstanbulrsquo
3)
a=5b=7c=a+b
4) a=5b=-3c=a+2ba=a+b
5)
num=23-5^2 x=num2 y=x+10
7 Sabitler Değiskenler ve Metin KatarlarıMatlab
53
Oumlrnek
Komut satırına
a)
sin(30)
b)
sin(30pi180) yazınız sonuccedilları
inceleyiniz
35 FonksyonlarMATRİSLER
Cevapa) -09880 sonucu goumlruumlluumlr ki bu 30deg
nin sinuumlsuumlnde n farklıdır Ccediluumlnkuuml
bu 30deg
derece değil 30 radyanın sinuumlsuumlduumlrb) 05000 sonucu goumlruumlluumlr ki bu da 30deg
nin sinuumlsuumld uumlr O halde bir
sayının trigonometrik değerini buldurmak iccedilin oumlnce pi ile ccedilarpıp 180 e boumllerek accedilıyı
radyan ccedilevirip sonra trigonometrik değerini
hesaplatabiliriz
54
oVektoumlrler tek boyutlu sayı
dizileridir
oElemanlarının sıralanma youmlnlerine goumlre suumltun veya satır vektoumlruuml
adlarını alırlar
ovektoumlrler [ ] koumlşeli parantezleri ile tanımlanır
ofarklı
yolla tanımlanabilirler
4 VektoumlrlerMatlab
A = [4 12 -8 6]A = [4 12 -8 6]
B = [1 2 4 6]
Satır Vektoumlruuml
Suumltun Vektoumlruumlgtgt b=[1 2 4 6 ]
55
4 VektoumlrlerMatlab
ovektoumlr boyutları
buumlyuumlduumlkccedile manuel olarak tanıtım işlemi oldukccedila zorlaşmaktadır
oOumlzellikle belli bir artıma sahip vektoumlrlerin oluşturulmasında () operatoumlruuml kullanılmaktadır
C = [-105150]
Son değerBaşlangıccedil değeri Artış
miktarı
Drsquo
= [30-10-30]
Suumltun Vektoumlruuml
56
Vektoumlr indisleri
4 VektoumlrlerMatlab
Bir vektoumlruumln elemanlarına atanılan değer değişkenler editoumlruuml
veya eleman adresi vasıtasıyla değiştirilebilir
OumlrnekA = [4 12 -8 6]1 A vektoumlruumlnuumln 3 elemanını
27 ile değiştiriniz
2 Benzer şekilde A vektoumlruumlnuumln 2 elemanını
siliniz 3 A(9) = 12
Ccediloumlzuumlm1 A(3) = 272 Vektoumlruumln elemanına [ ] değeri atandığında eleman silinirA(2) = [ ]3 gtgt A(9) = 12
A= [ 4 27 6]
A =[ 2 27 7 0 0 0 0 0 12]
57
raquo x=[17 8 61 83 56]
Şeklindeki bir matrisin uumlccediluumlncuuml
elemanına erişmek istenirse
raquo c=x(3)
c =
61
Eğer bir blok şeklinde veriye erişilmek istenirse
raquo x(24)
ans =
8 61 83
Her matristeki herhangi bir elman grubuna erişilmek istenirse
raquo x([3 1 4])
ans =
61 17 83
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
58
Bir diziye duumlzenli artıs (veya azalıs) kuralıyla değerler atanmak isteniyorsa
bunu
ilk_değerartısson değer veya ilk_değerartısson değer
biccediliminde yapabiliriz
Ancak artıs 1 ise belirtilmeyebilirOumlrnekortalama adlı
bir diziye 0 dan 5 e kadar 05 er artısla elde edilen sayı
dizisini atayanortalama=[0055]
Siz 1 satır 7 den den 17 ye kadar olan tam sayılar 2 satırı
99 dan 89 a kadar azalan tam sayılardan olusan 2 boyutlu m dizisine atayan islemleri yazınız
Dizilerin Değerlerinin Değistirilmesi ve Duumlzenlenmesi
4 VektoumlrlerMatlab
59
4 VektoumlrlerMatlab
60
Sayılardan olusan satır ve suumltun yapısına matris (dizi) denir
Oumlrneğin
d1=[5] 1x1 lik
d2=[ 2 -7] 1x2 lik
d3= [1 0 -3 ]
[ 5 3 1 ]
2x3 luumlk bir dizidir
Oumlrnekx=[1 7 18 5]Ya daraquo x=[ 1
7185 ]
Biccedilimlerinde girilebilir
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
61
Dizilerin Değerlerinin Değistirilmesi ve DuumlzenlenmesiBir dizinin herhangi bir elemanını belirlemek iccedilin dizi adından hemen sonra
parantez iccedilinde elemanın bulunduğu satır ve suumltun sayısı yazılmalıdır
Oumlrnek 1 d2=[2 -7]d2 dizisinin -7 elemanını
goumlruumlntuumllemek iccedilin
d2(12)
2 d3=[1 0 -35 3 1]d3 dizisinin 2 satır 1 suumltununda bulunan 5 in değerinin -75 olması
iccedilin
d3(21)=-75
Not1) Bir dizinin bir ccedilok elemanını
yeniden değer atamak gerekirse komut satırından atama yapmak uzun zaman alabilirBu durumda dizi değiskeninin uumlzerine ccedilift tıklayarak accedilılan dizi editoumlruuml
(array edit) yardımıyla değisiklikleri daha kolay yapabiliriz
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
62
8 Matrisler(Dizi)Matlab
Bir matrisi girerken o1 Elemanlar baştan ve sondan koumlşeli parantezlerle kapatılıro2 Elemanların arasına boşluk veya virguumll konuluro3 Matris satırlarını
ayırmak iccedilin de noktalı
virguumll kullanılır
okurallarına dikkate alınmalıdır
Oumlrneğin
A = [1 2 3 4 5 6]A =
1 2 34 5 6
şeklinde veriler matrisler biccediliminde tanımlanır MATLAB daha sonra kullanılmak uumlzere verileri A matrisinde saklar
63
Matris elemanları
rasgele rakamlardan oluşabileceği gibi MATLABrsquoın deyimlerinden de oluşabilir
51 Matrislerde ElemanlarMatlab
Oumlrneğin
a=[-13 sqrt(3) (1+2+3)475]
a= -13000 17321 48000
Kuumlccediluumlk matrisleri eleman olarak kullanıp daha buumlyuumlk matrisler oluşturmak muumlmkuumlnduumlr
OumlrneğinM=[1 3 5
7 8 9] matrisine
aşağıda goumlsterildiği şekilde bir satır eklemesi yapabilir
M=[M[10 13 15]]
Bu durumda M matrisiM=[1 3 5
7 8 910 13 15]
durumunu alır
64
İki nokta uumlst uumlste () kullanarak buumlyuumlk matrislerin belli bir kısmını
kullanabiliriz
ya da diğer ifade ile bu matrisi kuumlccediluumlltebiliriz
Oumlrneğin
M=M(12) bildirimi M matrisinin ilk iki satırını
alarak M matrisi
olarak saklar
Oumlrnek
M=[8 -4 7 66 -7 8 9 4 5 134] ise
M=M(12) =
8 1 Matrislerde ElemanlarMatlab
65
MATLABrsquoda kullanıcı
verileri kendi oluşturacağı
matrisler ile tanımlayabileceği gibi MATLABrsquoın kendi oumlzel matrislerinden de istifade edilebilir
52 Genel MatrislerMatlab
66
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
a) Sıfır Matrisi Olusturan Fonksiyon
Her elemanı sıfır olan mxn boyutunda bir matrise sıfır matrisi denir
Boumlyle bir dizi olusturmak iccedilin zeros fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=zeros(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
3x5 boyutunda s adlı
sıfır matrisi iccedilin
s=zeros(35)
52 Genel MatrislerMatlab
67
b) 1 lerden Olusan Matris
Her elemanı 1 olan mxn boyutunda bir matrisi olusturmak iccedilin ones
fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matria_adı=ones(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
2x3 boyutunda b adlı
tuumlm elemanları
1 olan matrisi olusturalım
b=ones(23)
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
52 Genel MatrislerMatlab
68
c) Birim Matrisi Olusturan Fonksiyon
Esas koumlsegeni 1 lerden diğer elemanları 0 lardan olusan kare matrise (satır
ve suumltun sayısı esit olan ) birim matrisi
kare olmayan matrise de diyagonal matris denir
Boumlyle matrisleri olusturmak iccedilin eye fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=eye(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
a)
3x3 luumlk birim matris
b) 4x3 lluumlk diyagonal matris olusturalım
Ccediloumlzuumlma) i=eye(33) b) d=eye(43)
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar52 Genel MatrislerMatlab
69
d) Rastgele Sayılardan Olusan Matris ve Fonksiyonu
Elemanları 0 ile 1 arasındaki rastgele sayılardan olusan bir matris iccedilin
rand fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=rand(mn) biccedilimindedir(msatırnsuumltun)
Not 1) Uumlretilen matrisin tuumlm elemanlarını k gibi bir sayı ile ccedilarparak
sayıları 0 ile k arasına ccedilekebiliriz
Not 2) Ondalıklı sayılardan olusmus bir matrisin elemanlarını
yuvarlayıp tam sayı yapmak iccedilin round fonksiyonunu kullanırız
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar52 Genel MatrislerMatlab
70
Oumlrnek
a) 0 ile 1 arasında rastgele sayılardan olusan 10 elemanlı
a adında bir satır
matrisi olusturalım
b) Elemanları
10 ile 50 arasında sayılardan olusan 5x3 tipinde b matrisini
olusturalım
c) Elemanları
50 ile 300 arasındaki tamsayılardan olusan 3x4 tipinde c matrisini
olusturalım
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
d) Rastgele Sayılardan Olusan Matris ve Fonksiyonu
52 Genel MatrislerMatlab
71
Ccediloumlzuumlm
a)
a=rand(110)
b)
b=10+rand(53)40
c) c=round(50+rand(34)250)
52 Genel MatrislerMatlab
72
e) Rastgele Sayılardan Olusan Normal Dağılımlı
Matris veFonksiyonu
Elemanları rasstgele sayılardan olusan bir normal dağılımlı bir matris iccedilin
randn fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=randn(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek Rastgele sayılardan olusan normal dağılımlı 2x3 luumlk bir n matrisini
olusturalım
Ccediloumlzuumlm n=randn(23)
52 Genel MatrislerMatlab
73
f) Lineer Aralıklı
(Aritmetik) Dizi ve Fonksiyonu
Baslangıccedil ve biis değerleri ve kaccedil elemandan olusacağı belirlenen diziyi
olusturmak iccedilin linspace fonksiyonu kullanılır
Kullanımı
dizi_adı=linspace(ilk_değerson_değereleman_sayısı)
biccedilimindedir
52 Genel MatrislerMatlab
74
Oumlrnek 10 ile 30 arasına 9 tane daha sayı
koyarak aadında bir aritmetik dizi olusturalım
f) Lineer Aralıklı
(Aritmetik) Dizi ve Fonksiyonu
52 Genel MatrislerMatlab
Cevapa=linspace(103011)
75
Elimizdeki grubun her elemanı iccedilin bir matematik işlemi yapıp bunu yeni bir
diziye atarken herhangi bir sorun yoktur
Fakat iki farklı grupla işlemler yaparken dikkat etmemiz gereken genel
kurallar vardır
Oumlrneğin toplama ve ccedilıkarma yaparken iki dizinin de buumlyuumlkluumlğuumlnuumln eşit
olması gerekmektedir
Ayrıca iki farklı dizinin elemanları arasında birebir işlem yapmak iccedilin
matematik operatoumlruumlnuumln başına nokta() koymak gerekir
Bu durumda her bir elemanı diğer dizinin o sıradaki elmanı ile işleme
sokacaktır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
76
Birden fazla satır ve suumltuna sahip vektoumlrlere matris denir Noktalı
virguumll ()
işareti ile kolonları
ve virguumlle işareti ya da boşluk
bırakarak da bir sıradaki elemanları
ayırabilirizOumlrnekraquo x=[ 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14]x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14Yukarıdaki 3x4 boyutunda bir matristir MATLAB programına aşağıdaki
gibi de sunulabilirraquo x=[ 3 4 5 6
7 8 9 1011 12 13 14]
x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
77
Matristeki herhangi bir elemana direk ulaşmak iccedilin aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(23)=9
Eğer isteğimiz eriştiğimiz bir elemanı
değiştirmek veya yeni bir satır eklemek ise aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(41)=1x =
3 4 5 67 8 9 1011 12 13 141 0 0 0
Bu durumda doumlrduumlncuuml
satır ilk elemanını
biz 1 değerini atadık ve diğer elemanları
kendiliğinden ldquo0rdquo
olarak atadı
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
78
İki nokta uumlst uumlste () kullanılarak belirli aralıkta değişen matrisler yaratılabilir
raquo x=[127 3-10 -12]x =
1 3 5 73 2 1 0
-1 0 1 2Bir matrisin herhangi bir boumlluumlmuumlnuuml
seccedilmek iccedilin ise aşağıdaki goumlsterim
kullanılırraquo z=x(23 12)z =
3 2-1 0
Bu durumda z matris x matrisinin 2 ve 3 norsquo
lu satırlarından 1 ve 2 norsquo
lu suumltunlarını
almış
oluyor
Herhangi bir satır veya suumltunu tamamen silmek istersek o satır ve suumltunu seccedilip ldquo[]rdquo
ifadesine eşitleriz
raquo z(2)=[ ]z =
3 -1
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
79
Matlab size ve length komutları
yardımı
ile size matrisinizin boyutlarını
soumlyler
raquo a=[ 2 3 4 5 67 8 9 10 11]
raquo s=size(a)s =
2 5
raquo b=[ 17 11 0 30 40 50]
raquo k=length(b)k =
6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
80
a) Toplama-Ccedilıkarma Bir Sayı
ile Ccedilarpma İşlemi
İki matrisi toplamak (veya ccedilıkarmak) demek matrislerin aynı
mertebedeki elemanları teker teker toplayıp (veya ccedilıkarıp ) aynı
mertebeye yazmak demektir
Bu durumda iki matrisin de aynı mertebeden olması gereği accedilıktır
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile toplamak (veya ccedilıkarmak) demek
matrisin elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla toplamak (veya
ccedilıkarmak )demektir
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile ccedilarpmak demek ise matrisin
elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla ccedilarpmak demektir
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
81
82
Oumlrnek
raquo a=[1 2 3 4 5 6]raquo b=[7 8 9 10 11 12]
a ve b toplamıraquo sum=a+bsum =
8 10 1214 16 18
arsquo
yı
brsquo
den ccedilıkarmak
raquo diff=a-bdiff =
-6 -6 -6-6 -6 -6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
83
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] ve b=[3 -3 -41 1 5] matrisleri
veriliyor
a)
c=a+b toplam matrisini
b)
d=a-b matrisini
c)
amatrisinin her elemanınının 5 eksiğine karsılık gelen e
matrisini
d) f=2a-3b matrisini bulduran islemleri yazalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
a) c=a+b b) d=a-b c) e=a-5 d) f=a+a-b-b-b veya
f=2a-3b
84
İki matrisin ccedilarpım islemi iki biccedilimde anlasılır
1)
Aynı
mertebeden iki matrisin elemanlarını
teker teker ccedilarpıp aynı
mertebeye
yazmak demektir Bunu
islemi ile gerccedileklestiririz
2) Matematiksel anlamda iki matrisi ccedilarpmak istediğimizde birinci matris mxn
tuumlruumlnde ve ikinci matris mutlaka nxp tuumlruumlnde olmalıdır yani birinci matrisin
suumltun sayısı
ikinci matrisin satır sayısına eşit olmalıdır
Bu durumda birinci matrisin i suumltun elemanları
ile ikinci matrisin j satırındaki
elemanlar karılıklı
olarak ccedilarpılır ve sonuccedillar toplanır ve bu toplam ccedilarpım
matrisinin (ij) inci mertebeye yazılır
Matrisler arası
ccedilarpma isleminin semboluuml
de dır
b) İki Matrisin Ccedilarpımı Bir Matrisin Kuvvetleri veCcedilarpma İslemi
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
85
3) Bir a matrisinin her bir elemanının n Kuvvetlerinden olusan matrisi
bulmak iccedilin a^n islemi kullanılır
4) Satır ve suumltun sayıları
esit bir kare matrisi ardısık olarak n defa
kendisiyle ccedilarparak a matrisinin n kuvvetini bulabilirizOumlrneğin a matrisinin
karesi iccedilin aa veya a^2 kuumlbuumlnuuml
buldurmak iccedilin aaa veya a^3
doumlrduumlncuuml
kuvvetini buldurmak iccedilin aaaa veya a^4
Not) Bir a matrisinin eleman -elemana ccedilarpma islemine benzer mantıkla bir matrisin tuumlm elemanlarının kareleri kuumlbleri sinuumlsleri kosinuumlsleri logaritmalarından olusan matris bulunmak istenirse bunu sırayla aa (veya a^2) aaa (veya a^3) sin(a) cos(a) etabanında logaritması
iccedilin log(a) 10 tabanında logaritmaları
iccedilin log10(a) Biccediliminde gerccedileklestirebiliriz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
86
a) a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c1 matrisi varsa bulalım
b) a matrisi ile b matrisinin ccedilarpım matrisi olan c2 varsa bulalım
c) a matrisinin elemanları
ile c matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c3 matrisi varsa bulalım
d) a matrisi ile c matrisinin ccedilarpım matrisi olan c4 varsa bulalım
e) a matrisinin elemanlarının karelerinden olusan matris ile b matrisinin
kosinuumlslerinden olusan matrisler toplamını
bulalım
f) x=[1 00 3] matrisinin i) Karesini ii) Kuumlbuumlnuuml
iii) 10
kuvvetini bulalım
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] b=[3 -3 -41 1 5] ve c=[1 0-1 23 3] matrisleri veriliyor
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
87
Ccediloumlzuumlma) iki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirBu durumda c1 matrisi tanımlıdır ve bunu c1=ab islemi ile gerccedileklestirebilirizb) iki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdırHalbuki a matrisi 2x3 b matrisi de 2x3 olduğundan bu iki matris ccedilarpılamazc) İki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirHalbuki bu matrisler aynı mertebeden olmadığından bu iki matris eleman-elemana ccedilarpma islemi
gerccedileklemezd) İki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdıra matrisi 2x3 luumlk c matrisi de 3x2 lik olduğundan bu iki matris ccedilarpılabilir ve c4 ccedilarpım matrisi 2x2 lik bir matris olurc4 ccedilarpım matrisini c4=ac islemi ile buluruze) a^2+cos(b)f) i) x^2 ii) x^3 iii) x^10
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
88
c) Bir Matrisin Devriğini (Transpozesi) Bulma İslemi
Bir matrisin satırlarını suumltun suumltunlarını satır olarak yazılmasıyla
bulunan matrise bu matrisin devriği (transpozesi) denir
Bir matrisin devriğini islemi ile bulabiliriz
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] nın devriğini buldurup d matrisine atayalım
Ccediloumlzuumlm d=a
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
89
Oumlrnek
b=[7 8 9 10 11 12] matrisinin transpozesini bulabilirmisiniz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
c=bc =
7 108 119 12
90
SORU
a=[1 2 3 4 5 6]
c= [710811912]
ise a ve crsquonin ccedilarpım matrisi
kaccediltır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
Ccedilarpma işlemi k=ack=
50 68122 167
91
SORU
a=[1 2 3 4 5 6] b=[7 8 9 10 11 12]
ise a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan x matrisini bulalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
x=abx =
7 16 2740 55 72
92
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
Aynı mertebeden iki matrisin elemanlarını teker teker boumllerek aynı
mertebeye yazılmasına iki matrisin sol boumllmesi denir ve bu islemi ile
yapılır
a b ve c aynı mertebeden kare matrisler olmak uumlzere
c=ab ise a matrisine c nin b matrisine boumlluumlmuuml denir
c boumlluumlm matrisi islemi ile yapılır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
93
HATIRLATMA
2x2 lik i2 adlı birim matrisi i2=eye(22)
3x luumlk i3 adlı birim matrisi i2=eye(33) islemi ile olusturabiiriz
Aynı mertebeden a ve b kare matrisleri iccedilin a ile b nin ccedilarpımı birim matris ise
b matrisi a matrisinin (aynı biccedilimde a matrisi de b matrisinin) ters matrisidir
Oumlrnek
3x3 luumlk bir a kare matrisinin tersini bulmak iccedilin
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
eye(33)a veya inv(a) islemini kullanırız
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
94
Bir Matrisin Determinantı
Determinant kare matrisleri bir sayıya eşleyen fonksiyondur
Determinant fonksiyonunun kare matrisi eşlediği o sayıya matrisin
determinantı denir
A matrisinin determinantı detA veya |A| biccediliminde goumlsterilir
|A| matrislerde mutlak değer anlamına gelmez |A| sıfır veya
negatif de olabilir
det(x)
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
95
KURAL
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
96
Oumlrnek
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Determinant
raquo
deter=det(x)deter =
21
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
97
Oumlrnek Inverse işlemi
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Detx=det(x)=21 ise
raquo y=inv(x)y =
821 121 -521 221
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
98
SORU
a=[2 -10 01 2 43 0 1] matrisi ile b=[1 5 41 -1 20 1 -1] matrisleri veriliyor
a)
a matrisinin elemanlarını
sırasıyla b matrisinin elemanlarına boumllerek elde
edilen matrisi b1 matrisine atayalım
b) a matrisinin ta ters matrisini bulalım
c) a ile ta matrisinin ccedilarpımının 3x3 luumlk birim matris olduğunu goumlsterelim
d) a matrisinin b matrisine boumlluumlmuumlnuuml
b2 matrisine atayalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
99
Ccediloumlzuumlm
a)
b1=ab
b) ta1=eye(33)a veya ta2=inv(a)
c) ata ==eye(33)
d) b2=ab
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
32
2 Matlab Kullanımında Temel KurallarMATLAB
MATLAB kontroluumlnuuml
kullanabilmeniz iccedilin oumlzel karakterlere sahiptir Bu karakterlerin bir oumlzeti
33
2 Matlab Kullanımında Temel KurallarMatlab
34
2 Matlab Kullanımında Temel KurallarMatlab
35
İFADELER Matematiksel ve metinsel goumlsterimler ile işlemler ifadelerlesağlanır
Sayılar (Numbers)Değişkenler (Variables)İşleccediller (Operators)Fonksiyonlar (Functions)
Matlabrsquode ifadeler genellikle değişken = ifade veya sadece ifade formundadır
Sayısal Analiz
x = 4 sqrt(5) İfade
değişkensayı işleccedil fonksiyon
Bir ifade = işareti ile bir değişkene atanmamış
ise Matlab otomatik olarak sonucu ans (answer)
adı
verilen oumlzel bir değişkende saklar
3 MATRİSLER
36
o
Birden
fazla ifade
tek satırda aralarına
ya da koyarak yazılabilir
o
Yazımda
boşluk
sayısı
etkisizdir
o
Sadece
ilgili
değişken
adını
yazarak
o değişkeni ccedilağırabilirsiniz
MATRİSLER31 İFADELER
37
o MATLABrsquoda herhangi bir tip tanımlaması
veya boyut ifadesine gerek yoktur
o
MATLAB yeni bir değişken ismi ile karşılaştığında otomatik olarak ans isminde
bir değişken oluşturur ve uygun bir bellek miktarı
ayırır
oEğer değişken zaten varsa MATLAB gerekli bir bellek ayırdığında iccedileriği değişir
Oumlrneğin
o ogrenci_sayı=51
32 DeğişlenlerMatlab
Değisken
değeri değisebilen bellek alanına isaret eden değerlere
38
MATLAB değişken girişleri iccedilin ccedileşitli kurallara sahiptir
Her değişken bir harfle başlamak zorundadır
Program buumlyuumlk kuumlccediluumlk harf duyarlıdır X ve x farklı değişkenleri ifade eder
Program 31 basamağa kadar duyarlıdır Bu basamaktan sonrasını yok sayar
Dolayısıyla 31 basamaktan uzun değişken isimleri karışıklık yaratabilir
32 DeğişlenlerMatlab
39
Değiskenlere Değer Atama
Her hangi bir programlama dilinde olduğu gibi Matlabrsquoda da bir değiskene
değer verme islemine rdquodeğer atamakrdquo denir
Bir değiskene atanan değer değistirilmediği suumlrece aynı kalır
Değer atamanın genel kullanımı asağıdaki biccediliminde olur
ltDeğisken adıgt=ltAtanacak değergt
32 DeğişlenlerMatlab
40
Oumlrnek 2
A=6i-7 A değişkenine skaler bir değer atar
B=A 7
B değişkenine A değişkeninin 17 si atanmıştır
C=[3 4 5 6]
4 elemanlı
bir satır vektoumlruuml
atanmıştır
NOT
Dizi girişinde herhangi bir satıra ait elemanlar aralarına boşluk veya virguumll ldquordquo konularak ayrılır
Dizinin diğer bir satırına başlamak iccedilin biten satır sonuna konulur
32 DeğişlenlerMatlab
41
oMATLABrsquoda sayılar yaygın olarak kullanılan onluk tabanda ifade edilirler
o
Bunun yanısıra onluk tabanda uumlstel olarak veya i veya j olarak kompleks sayı biccedilimlerinde de ifade edilebilirler
oOumlrnek olarak
33 Sayılar
Matlab da i
ve j
başka tuumlrluuml
tanımlanmamışsa kompleks i sayısını
goumlsterir 3e5 sayısıda 3105
anlamındadır
MATRİSLER
42
o
Ondalık sayılar Tuumlrkccedilemizdeki
35 yerine
35 şeklinde
goumlsterilir
(00001 veya 963
065 yerine 65)
o
Bilimsel
notasyon
goumlsterimi olan e
(veya E) harfi
10rsquonun kuvvetini
temsil eder
o 2e4=2104=2000 veya
165e-20=16510-20
demektir
o
Kompleks
sayılarda
imajiner
(sanal) kısımlar
i
veya
j
ekini
alır
i veya
j
ile
gosterimlerinde
bir
fark
yoktur
o (1+3i veya 1+3i veya 1+i3) 1+sqrt(3)j
-5i
o
Matlabrsquode
tuumlm
sayılar yaklaşık 210308 ve
210-308 arasında
değişir
33 Sayılar
MATRİSLER
43
Sayı
Formatları
33 SayılarMatlabMATRİSLER
44
oMatlabda bir ccedilok eylem doumlrt islem ve matematiksel bazı
islemler
yaptırabiliriz
oBunun iccedilin ya ilgili komutları
komut penceresinden teker teker girerek veya
ilgili komutları
bir dosyaya yazıp o dosyayı
ccedilağırarak ccedilalıstırabiliriz
oİşlemleri yaptırırken sayıları
reel sayı
ya da karmasık sayı
olarak alabiliriz
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
45
Matematiksel ifadeleri oluşturmak iccedilin operatoumlrler ve oumlnceden tanımlanmış sembolleri kullanabilirsiniz
oOperatoumlrler oumlzetle şunlardır
oMatrislerle yapılan işlemlerde boumllme işlemi iccedilin iki farklı
sembol kullanılmaktadıroBunun yanında eğer sayılar skaler ise iki boumllme işleminin sonucu da aynı
değeri
goumlsterecektiroOumlrneğin 32 ile 23 ifadelerinin sonuccedilları
aynı
olup 15rsquodir
raquo 4+83ndash2ans =26
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
46
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
x=a + b
Bu ifadede a ve b nin toplandığı
ve x değişkeni iccedilinde saklandığıbelirtilmektedir
47
Aritmetiksel İşlemlerde Oumlncelik Durumu
oTek bir aritmetiksel durum iccedilinde birden fazla durum bir arada bulunabildiğine goumlre
hangi işlemin oumlncelik hakkına sahip olunduğunun
bilinmelidir
oMATLABrsquoda kullanılan işlemlerde işlemlerin oumlncelik
listesi
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
bazı
temel matematiksel fonksiyonların accedilıklamaları
48
o
MATLABrsquo
da işlemler soldan sağa işlerlero
İşlemler arası
oumlncelik sırası
aşağıdaki gibidir
1 ^
(Yuumlksek)2
darr
3 + -
(Duumlşuumlk)
raquo 3^(2ndash5)-632 raquo 3^2ndash5ndash632ans = ans =
mdash39630 0
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
49
35 FonksyonlarMATRİSLER
o MATLABrsquoın ccedilok guumlccedilluuml
ve ccedilok kapsamlı
bir fonksiyon yapısı
vardır
oMATLABrsquoda bazı
fonksiyonlar daha oumlnceden yerleştirilmiş
bazıları
ise sonradan
dışarıdan yerleştirilmiş
M-dosyalarından oluşan MATLAB kuumltuumlphanelerinde
tanımlanmışlardır
oBunun yanında oumlzel uygulamalar iccedilin kullanıcıların kendi fonksiyonlarını
yazarak
kendi kuumltuumlphanelerini oluşturması
muumlmkuumlnduumlr
MATLABrsquoda mevcut analitik fonksiyonları
genel olarak aşağıdaki kategorilere ayırabiliriz oTemel matematiksel fonksiyonlaroOumlzel fonksiyonlaroTemel matrisler ve matris işlemlerioMatrisleri ccedilarpanlarına ayırmaoVeri analizlerioPolinomlaroDiferansiyel denklem ccediloumlzuumlmlerioLineer olmayan denklemler ve optimizasyonoSayısal integral hesaplamalarıoSinyal işleme
50
Matematiksel Fonksiyonlar
bazı
temel matematiksel fonksiyonların accedilıklamaları
35 FonksyonlarMATRİSLER
Oumlrnekgtgtexp(1)ans=27183gtgtfix(35)ans=3gtgtceil(35)ans=4gtgtround(35)ans=4
51
Matlabda oumlnceden tanımlanmıs bazı
sabitlerdirBunlar aşağıdaki tabloda goumlsterilmistir
36 Oumlzel SabitlerMatlab
52
Oumlrnekler
1)
a=1
2)
a=rsquoİstanbulrsquo
3)
a=5b=7c=a+b
4) a=5b=-3c=a+2ba=a+b
5)
num=23-5^2 x=num2 y=x+10
7 Sabitler Değiskenler ve Metin KatarlarıMatlab
53
Oumlrnek
Komut satırına
a)
sin(30)
b)
sin(30pi180) yazınız sonuccedilları
inceleyiniz
35 FonksyonlarMATRİSLER
Cevapa) -09880 sonucu goumlruumlluumlr ki bu 30deg
nin sinuumlsuumlnde n farklıdır Ccediluumlnkuuml
bu 30deg
derece değil 30 radyanın sinuumlsuumlduumlrb) 05000 sonucu goumlruumlluumlr ki bu da 30deg
nin sinuumlsuumld uumlr O halde bir
sayının trigonometrik değerini buldurmak iccedilin oumlnce pi ile ccedilarpıp 180 e boumllerek accedilıyı
radyan ccedilevirip sonra trigonometrik değerini
hesaplatabiliriz
54
oVektoumlrler tek boyutlu sayı
dizileridir
oElemanlarının sıralanma youmlnlerine goumlre suumltun veya satır vektoumlruuml
adlarını alırlar
ovektoumlrler [ ] koumlşeli parantezleri ile tanımlanır
ofarklı
yolla tanımlanabilirler
4 VektoumlrlerMatlab
A = [4 12 -8 6]A = [4 12 -8 6]
B = [1 2 4 6]
Satır Vektoumlruuml
Suumltun Vektoumlruumlgtgt b=[1 2 4 6 ]
55
4 VektoumlrlerMatlab
ovektoumlr boyutları
buumlyuumlduumlkccedile manuel olarak tanıtım işlemi oldukccedila zorlaşmaktadır
oOumlzellikle belli bir artıma sahip vektoumlrlerin oluşturulmasında () operatoumlruuml kullanılmaktadır
C = [-105150]
Son değerBaşlangıccedil değeri Artış
miktarı
Drsquo
= [30-10-30]
Suumltun Vektoumlruuml
56
Vektoumlr indisleri
4 VektoumlrlerMatlab
Bir vektoumlruumln elemanlarına atanılan değer değişkenler editoumlruuml
veya eleman adresi vasıtasıyla değiştirilebilir
OumlrnekA = [4 12 -8 6]1 A vektoumlruumlnuumln 3 elemanını
27 ile değiştiriniz
2 Benzer şekilde A vektoumlruumlnuumln 2 elemanını
siliniz 3 A(9) = 12
Ccediloumlzuumlm1 A(3) = 272 Vektoumlruumln elemanına [ ] değeri atandığında eleman silinirA(2) = [ ]3 gtgt A(9) = 12
A= [ 4 27 6]
A =[ 2 27 7 0 0 0 0 0 12]
57
raquo x=[17 8 61 83 56]
Şeklindeki bir matrisin uumlccediluumlncuuml
elemanına erişmek istenirse
raquo c=x(3)
c =
61
Eğer bir blok şeklinde veriye erişilmek istenirse
raquo x(24)
ans =
8 61 83
Her matristeki herhangi bir elman grubuna erişilmek istenirse
raquo x([3 1 4])
ans =
61 17 83
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
58
Bir diziye duumlzenli artıs (veya azalıs) kuralıyla değerler atanmak isteniyorsa
bunu
ilk_değerartısson değer veya ilk_değerartısson değer
biccediliminde yapabiliriz
Ancak artıs 1 ise belirtilmeyebilirOumlrnekortalama adlı
bir diziye 0 dan 5 e kadar 05 er artısla elde edilen sayı
dizisini atayanortalama=[0055]
Siz 1 satır 7 den den 17 ye kadar olan tam sayılar 2 satırı
99 dan 89 a kadar azalan tam sayılardan olusan 2 boyutlu m dizisine atayan islemleri yazınız
Dizilerin Değerlerinin Değistirilmesi ve Duumlzenlenmesi
4 VektoumlrlerMatlab
59
4 VektoumlrlerMatlab
60
Sayılardan olusan satır ve suumltun yapısına matris (dizi) denir
Oumlrneğin
d1=[5] 1x1 lik
d2=[ 2 -7] 1x2 lik
d3= [1 0 -3 ]
[ 5 3 1 ]
2x3 luumlk bir dizidir
Oumlrnekx=[1 7 18 5]Ya daraquo x=[ 1
7185 ]
Biccedilimlerinde girilebilir
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
61
Dizilerin Değerlerinin Değistirilmesi ve DuumlzenlenmesiBir dizinin herhangi bir elemanını belirlemek iccedilin dizi adından hemen sonra
parantez iccedilinde elemanın bulunduğu satır ve suumltun sayısı yazılmalıdır
Oumlrnek 1 d2=[2 -7]d2 dizisinin -7 elemanını
goumlruumlntuumllemek iccedilin
d2(12)
2 d3=[1 0 -35 3 1]d3 dizisinin 2 satır 1 suumltununda bulunan 5 in değerinin -75 olması
iccedilin
d3(21)=-75
Not1) Bir dizinin bir ccedilok elemanını
yeniden değer atamak gerekirse komut satırından atama yapmak uzun zaman alabilirBu durumda dizi değiskeninin uumlzerine ccedilift tıklayarak accedilılan dizi editoumlruuml
(array edit) yardımıyla değisiklikleri daha kolay yapabiliriz
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
62
8 Matrisler(Dizi)Matlab
Bir matrisi girerken o1 Elemanlar baştan ve sondan koumlşeli parantezlerle kapatılıro2 Elemanların arasına boşluk veya virguumll konuluro3 Matris satırlarını
ayırmak iccedilin de noktalı
virguumll kullanılır
okurallarına dikkate alınmalıdır
Oumlrneğin
A = [1 2 3 4 5 6]A =
1 2 34 5 6
şeklinde veriler matrisler biccediliminde tanımlanır MATLAB daha sonra kullanılmak uumlzere verileri A matrisinde saklar
63
Matris elemanları
rasgele rakamlardan oluşabileceği gibi MATLABrsquoın deyimlerinden de oluşabilir
51 Matrislerde ElemanlarMatlab
Oumlrneğin
a=[-13 sqrt(3) (1+2+3)475]
a= -13000 17321 48000
Kuumlccediluumlk matrisleri eleman olarak kullanıp daha buumlyuumlk matrisler oluşturmak muumlmkuumlnduumlr
OumlrneğinM=[1 3 5
7 8 9] matrisine
aşağıda goumlsterildiği şekilde bir satır eklemesi yapabilir
M=[M[10 13 15]]
Bu durumda M matrisiM=[1 3 5
7 8 910 13 15]
durumunu alır
64
İki nokta uumlst uumlste () kullanarak buumlyuumlk matrislerin belli bir kısmını
kullanabiliriz
ya da diğer ifade ile bu matrisi kuumlccediluumlltebiliriz
Oumlrneğin
M=M(12) bildirimi M matrisinin ilk iki satırını
alarak M matrisi
olarak saklar
Oumlrnek
M=[8 -4 7 66 -7 8 9 4 5 134] ise
M=M(12) =
8 1 Matrislerde ElemanlarMatlab
65
MATLABrsquoda kullanıcı
verileri kendi oluşturacağı
matrisler ile tanımlayabileceği gibi MATLABrsquoın kendi oumlzel matrislerinden de istifade edilebilir
52 Genel MatrislerMatlab
66
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
a) Sıfır Matrisi Olusturan Fonksiyon
Her elemanı sıfır olan mxn boyutunda bir matrise sıfır matrisi denir
Boumlyle bir dizi olusturmak iccedilin zeros fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=zeros(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
3x5 boyutunda s adlı
sıfır matrisi iccedilin
s=zeros(35)
52 Genel MatrislerMatlab
67
b) 1 lerden Olusan Matris
Her elemanı 1 olan mxn boyutunda bir matrisi olusturmak iccedilin ones
fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matria_adı=ones(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
2x3 boyutunda b adlı
tuumlm elemanları
1 olan matrisi olusturalım
b=ones(23)
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
52 Genel MatrislerMatlab
68
c) Birim Matrisi Olusturan Fonksiyon
Esas koumlsegeni 1 lerden diğer elemanları 0 lardan olusan kare matrise (satır
ve suumltun sayısı esit olan ) birim matrisi
kare olmayan matrise de diyagonal matris denir
Boumlyle matrisleri olusturmak iccedilin eye fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=eye(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
a)
3x3 luumlk birim matris
b) 4x3 lluumlk diyagonal matris olusturalım
Ccediloumlzuumlma) i=eye(33) b) d=eye(43)
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar52 Genel MatrislerMatlab
69
d) Rastgele Sayılardan Olusan Matris ve Fonksiyonu
Elemanları 0 ile 1 arasındaki rastgele sayılardan olusan bir matris iccedilin
rand fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=rand(mn) biccedilimindedir(msatırnsuumltun)
Not 1) Uumlretilen matrisin tuumlm elemanlarını k gibi bir sayı ile ccedilarparak
sayıları 0 ile k arasına ccedilekebiliriz
Not 2) Ondalıklı sayılardan olusmus bir matrisin elemanlarını
yuvarlayıp tam sayı yapmak iccedilin round fonksiyonunu kullanırız
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar52 Genel MatrislerMatlab
70
Oumlrnek
a) 0 ile 1 arasında rastgele sayılardan olusan 10 elemanlı
a adında bir satır
matrisi olusturalım
b) Elemanları
10 ile 50 arasında sayılardan olusan 5x3 tipinde b matrisini
olusturalım
c) Elemanları
50 ile 300 arasındaki tamsayılardan olusan 3x4 tipinde c matrisini
olusturalım
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
d) Rastgele Sayılardan Olusan Matris ve Fonksiyonu
52 Genel MatrislerMatlab
71
Ccediloumlzuumlm
a)
a=rand(110)
b)
b=10+rand(53)40
c) c=round(50+rand(34)250)
52 Genel MatrislerMatlab
72
e) Rastgele Sayılardan Olusan Normal Dağılımlı
Matris veFonksiyonu
Elemanları rasstgele sayılardan olusan bir normal dağılımlı bir matris iccedilin
randn fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=randn(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek Rastgele sayılardan olusan normal dağılımlı 2x3 luumlk bir n matrisini
olusturalım
Ccediloumlzuumlm n=randn(23)
52 Genel MatrislerMatlab
73
f) Lineer Aralıklı
(Aritmetik) Dizi ve Fonksiyonu
Baslangıccedil ve biis değerleri ve kaccedil elemandan olusacağı belirlenen diziyi
olusturmak iccedilin linspace fonksiyonu kullanılır
Kullanımı
dizi_adı=linspace(ilk_değerson_değereleman_sayısı)
biccedilimindedir
52 Genel MatrislerMatlab
74
Oumlrnek 10 ile 30 arasına 9 tane daha sayı
koyarak aadında bir aritmetik dizi olusturalım
f) Lineer Aralıklı
(Aritmetik) Dizi ve Fonksiyonu
52 Genel MatrislerMatlab
Cevapa=linspace(103011)
75
Elimizdeki grubun her elemanı iccedilin bir matematik işlemi yapıp bunu yeni bir
diziye atarken herhangi bir sorun yoktur
Fakat iki farklı grupla işlemler yaparken dikkat etmemiz gereken genel
kurallar vardır
Oumlrneğin toplama ve ccedilıkarma yaparken iki dizinin de buumlyuumlkluumlğuumlnuumln eşit
olması gerekmektedir
Ayrıca iki farklı dizinin elemanları arasında birebir işlem yapmak iccedilin
matematik operatoumlruumlnuumln başına nokta() koymak gerekir
Bu durumda her bir elemanı diğer dizinin o sıradaki elmanı ile işleme
sokacaktır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
76
Birden fazla satır ve suumltuna sahip vektoumlrlere matris denir Noktalı
virguumll ()
işareti ile kolonları
ve virguumlle işareti ya da boşluk
bırakarak da bir sıradaki elemanları
ayırabilirizOumlrnekraquo x=[ 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14]x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14Yukarıdaki 3x4 boyutunda bir matristir MATLAB programına aşağıdaki
gibi de sunulabilirraquo x=[ 3 4 5 6
7 8 9 1011 12 13 14]
x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
77
Matristeki herhangi bir elemana direk ulaşmak iccedilin aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(23)=9
Eğer isteğimiz eriştiğimiz bir elemanı
değiştirmek veya yeni bir satır eklemek ise aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(41)=1x =
3 4 5 67 8 9 1011 12 13 141 0 0 0
Bu durumda doumlrduumlncuuml
satır ilk elemanını
biz 1 değerini atadık ve diğer elemanları
kendiliğinden ldquo0rdquo
olarak atadı
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
78
İki nokta uumlst uumlste () kullanılarak belirli aralıkta değişen matrisler yaratılabilir
raquo x=[127 3-10 -12]x =
1 3 5 73 2 1 0
-1 0 1 2Bir matrisin herhangi bir boumlluumlmuumlnuuml
seccedilmek iccedilin ise aşağıdaki goumlsterim
kullanılırraquo z=x(23 12)z =
3 2-1 0
Bu durumda z matris x matrisinin 2 ve 3 norsquo
lu satırlarından 1 ve 2 norsquo
lu suumltunlarını
almış
oluyor
Herhangi bir satır veya suumltunu tamamen silmek istersek o satır ve suumltunu seccedilip ldquo[]rdquo
ifadesine eşitleriz
raquo z(2)=[ ]z =
3 -1
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
79
Matlab size ve length komutları
yardımı
ile size matrisinizin boyutlarını
soumlyler
raquo a=[ 2 3 4 5 67 8 9 10 11]
raquo s=size(a)s =
2 5
raquo b=[ 17 11 0 30 40 50]
raquo k=length(b)k =
6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
80
a) Toplama-Ccedilıkarma Bir Sayı
ile Ccedilarpma İşlemi
İki matrisi toplamak (veya ccedilıkarmak) demek matrislerin aynı
mertebedeki elemanları teker teker toplayıp (veya ccedilıkarıp ) aynı
mertebeye yazmak demektir
Bu durumda iki matrisin de aynı mertebeden olması gereği accedilıktır
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile toplamak (veya ccedilıkarmak) demek
matrisin elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla toplamak (veya
ccedilıkarmak )demektir
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile ccedilarpmak demek ise matrisin
elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla ccedilarpmak demektir
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
81
82
Oumlrnek
raquo a=[1 2 3 4 5 6]raquo b=[7 8 9 10 11 12]
a ve b toplamıraquo sum=a+bsum =
8 10 1214 16 18
arsquo
yı
brsquo
den ccedilıkarmak
raquo diff=a-bdiff =
-6 -6 -6-6 -6 -6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
83
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] ve b=[3 -3 -41 1 5] matrisleri
veriliyor
a)
c=a+b toplam matrisini
b)
d=a-b matrisini
c)
amatrisinin her elemanınının 5 eksiğine karsılık gelen e
matrisini
d) f=2a-3b matrisini bulduran islemleri yazalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
a) c=a+b b) d=a-b c) e=a-5 d) f=a+a-b-b-b veya
f=2a-3b
84
İki matrisin ccedilarpım islemi iki biccedilimde anlasılır
1)
Aynı
mertebeden iki matrisin elemanlarını
teker teker ccedilarpıp aynı
mertebeye
yazmak demektir Bunu
islemi ile gerccedileklestiririz
2) Matematiksel anlamda iki matrisi ccedilarpmak istediğimizde birinci matris mxn
tuumlruumlnde ve ikinci matris mutlaka nxp tuumlruumlnde olmalıdır yani birinci matrisin
suumltun sayısı
ikinci matrisin satır sayısına eşit olmalıdır
Bu durumda birinci matrisin i suumltun elemanları
ile ikinci matrisin j satırındaki
elemanlar karılıklı
olarak ccedilarpılır ve sonuccedillar toplanır ve bu toplam ccedilarpım
matrisinin (ij) inci mertebeye yazılır
Matrisler arası
ccedilarpma isleminin semboluuml
de dır
b) İki Matrisin Ccedilarpımı Bir Matrisin Kuvvetleri veCcedilarpma İslemi
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
85
3) Bir a matrisinin her bir elemanının n Kuvvetlerinden olusan matrisi
bulmak iccedilin a^n islemi kullanılır
4) Satır ve suumltun sayıları
esit bir kare matrisi ardısık olarak n defa
kendisiyle ccedilarparak a matrisinin n kuvvetini bulabilirizOumlrneğin a matrisinin
karesi iccedilin aa veya a^2 kuumlbuumlnuuml
buldurmak iccedilin aaa veya a^3
doumlrduumlncuuml
kuvvetini buldurmak iccedilin aaaa veya a^4
Not) Bir a matrisinin eleman -elemana ccedilarpma islemine benzer mantıkla bir matrisin tuumlm elemanlarının kareleri kuumlbleri sinuumlsleri kosinuumlsleri logaritmalarından olusan matris bulunmak istenirse bunu sırayla aa (veya a^2) aaa (veya a^3) sin(a) cos(a) etabanında logaritması
iccedilin log(a) 10 tabanında logaritmaları
iccedilin log10(a) Biccediliminde gerccedileklestirebiliriz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
86
a) a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c1 matrisi varsa bulalım
b) a matrisi ile b matrisinin ccedilarpım matrisi olan c2 varsa bulalım
c) a matrisinin elemanları
ile c matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c3 matrisi varsa bulalım
d) a matrisi ile c matrisinin ccedilarpım matrisi olan c4 varsa bulalım
e) a matrisinin elemanlarının karelerinden olusan matris ile b matrisinin
kosinuumlslerinden olusan matrisler toplamını
bulalım
f) x=[1 00 3] matrisinin i) Karesini ii) Kuumlbuumlnuuml
iii) 10
kuvvetini bulalım
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] b=[3 -3 -41 1 5] ve c=[1 0-1 23 3] matrisleri veriliyor
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
87
Ccediloumlzuumlma) iki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirBu durumda c1 matrisi tanımlıdır ve bunu c1=ab islemi ile gerccedileklestirebilirizb) iki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdırHalbuki a matrisi 2x3 b matrisi de 2x3 olduğundan bu iki matris ccedilarpılamazc) İki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirHalbuki bu matrisler aynı mertebeden olmadığından bu iki matris eleman-elemana ccedilarpma islemi
gerccedileklemezd) İki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdıra matrisi 2x3 luumlk c matrisi de 3x2 lik olduğundan bu iki matris ccedilarpılabilir ve c4 ccedilarpım matrisi 2x2 lik bir matris olurc4 ccedilarpım matrisini c4=ac islemi ile buluruze) a^2+cos(b)f) i) x^2 ii) x^3 iii) x^10
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
88
c) Bir Matrisin Devriğini (Transpozesi) Bulma İslemi
Bir matrisin satırlarını suumltun suumltunlarını satır olarak yazılmasıyla
bulunan matrise bu matrisin devriği (transpozesi) denir
Bir matrisin devriğini islemi ile bulabiliriz
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] nın devriğini buldurup d matrisine atayalım
Ccediloumlzuumlm d=a
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
89
Oumlrnek
b=[7 8 9 10 11 12] matrisinin transpozesini bulabilirmisiniz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
c=bc =
7 108 119 12
90
SORU
a=[1 2 3 4 5 6]
c= [710811912]
ise a ve crsquonin ccedilarpım matrisi
kaccediltır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
Ccedilarpma işlemi k=ack=
50 68122 167
91
SORU
a=[1 2 3 4 5 6] b=[7 8 9 10 11 12]
ise a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan x matrisini bulalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
x=abx =
7 16 2740 55 72
92
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
Aynı mertebeden iki matrisin elemanlarını teker teker boumllerek aynı
mertebeye yazılmasına iki matrisin sol boumllmesi denir ve bu islemi ile
yapılır
a b ve c aynı mertebeden kare matrisler olmak uumlzere
c=ab ise a matrisine c nin b matrisine boumlluumlmuuml denir
c boumlluumlm matrisi islemi ile yapılır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
93
HATIRLATMA
2x2 lik i2 adlı birim matrisi i2=eye(22)
3x luumlk i3 adlı birim matrisi i2=eye(33) islemi ile olusturabiiriz
Aynı mertebeden a ve b kare matrisleri iccedilin a ile b nin ccedilarpımı birim matris ise
b matrisi a matrisinin (aynı biccedilimde a matrisi de b matrisinin) ters matrisidir
Oumlrnek
3x3 luumlk bir a kare matrisinin tersini bulmak iccedilin
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
eye(33)a veya inv(a) islemini kullanırız
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
94
Bir Matrisin Determinantı
Determinant kare matrisleri bir sayıya eşleyen fonksiyondur
Determinant fonksiyonunun kare matrisi eşlediği o sayıya matrisin
determinantı denir
A matrisinin determinantı detA veya |A| biccediliminde goumlsterilir
|A| matrislerde mutlak değer anlamına gelmez |A| sıfır veya
negatif de olabilir
det(x)
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
95
KURAL
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
96
Oumlrnek
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Determinant
raquo
deter=det(x)deter =
21
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
97
Oumlrnek Inverse işlemi
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Detx=det(x)=21 ise
raquo y=inv(x)y =
821 121 -521 221
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
98
SORU
a=[2 -10 01 2 43 0 1] matrisi ile b=[1 5 41 -1 20 1 -1] matrisleri veriliyor
a)
a matrisinin elemanlarını
sırasıyla b matrisinin elemanlarına boumllerek elde
edilen matrisi b1 matrisine atayalım
b) a matrisinin ta ters matrisini bulalım
c) a ile ta matrisinin ccedilarpımının 3x3 luumlk birim matris olduğunu goumlsterelim
d) a matrisinin b matrisine boumlluumlmuumlnuuml
b2 matrisine atayalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
99
Ccediloumlzuumlm
a)
b1=ab
b) ta1=eye(33)a veya ta2=inv(a)
c) ata ==eye(33)
d) b2=ab
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
33
2 Matlab Kullanımında Temel KurallarMatlab
34
2 Matlab Kullanımında Temel KurallarMatlab
35
İFADELER Matematiksel ve metinsel goumlsterimler ile işlemler ifadelerlesağlanır
Sayılar (Numbers)Değişkenler (Variables)İşleccediller (Operators)Fonksiyonlar (Functions)
Matlabrsquode ifadeler genellikle değişken = ifade veya sadece ifade formundadır
Sayısal Analiz
x = 4 sqrt(5) İfade
değişkensayı işleccedil fonksiyon
Bir ifade = işareti ile bir değişkene atanmamış
ise Matlab otomatik olarak sonucu ans (answer)
adı
verilen oumlzel bir değişkende saklar
3 MATRİSLER
36
o
Birden
fazla ifade
tek satırda aralarına
ya da koyarak yazılabilir
o
Yazımda
boşluk
sayısı
etkisizdir
o
Sadece
ilgili
değişken
adını
yazarak
o değişkeni ccedilağırabilirsiniz
MATRİSLER31 İFADELER
37
o MATLABrsquoda herhangi bir tip tanımlaması
veya boyut ifadesine gerek yoktur
o
MATLAB yeni bir değişken ismi ile karşılaştığında otomatik olarak ans isminde
bir değişken oluşturur ve uygun bir bellek miktarı
ayırır
oEğer değişken zaten varsa MATLAB gerekli bir bellek ayırdığında iccedileriği değişir
Oumlrneğin
o ogrenci_sayı=51
32 DeğişlenlerMatlab
Değisken
değeri değisebilen bellek alanına isaret eden değerlere
38
MATLAB değişken girişleri iccedilin ccedileşitli kurallara sahiptir
Her değişken bir harfle başlamak zorundadır
Program buumlyuumlk kuumlccediluumlk harf duyarlıdır X ve x farklı değişkenleri ifade eder
Program 31 basamağa kadar duyarlıdır Bu basamaktan sonrasını yok sayar
Dolayısıyla 31 basamaktan uzun değişken isimleri karışıklık yaratabilir
32 DeğişlenlerMatlab
39
Değiskenlere Değer Atama
Her hangi bir programlama dilinde olduğu gibi Matlabrsquoda da bir değiskene
değer verme islemine rdquodeğer atamakrdquo denir
Bir değiskene atanan değer değistirilmediği suumlrece aynı kalır
Değer atamanın genel kullanımı asağıdaki biccediliminde olur
ltDeğisken adıgt=ltAtanacak değergt
32 DeğişlenlerMatlab
40
Oumlrnek 2
A=6i-7 A değişkenine skaler bir değer atar
B=A 7
B değişkenine A değişkeninin 17 si atanmıştır
C=[3 4 5 6]
4 elemanlı
bir satır vektoumlruuml
atanmıştır
NOT
Dizi girişinde herhangi bir satıra ait elemanlar aralarına boşluk veya virguumll ldquordquo konularak ayrılır
Dizinin diğer bir satırına başlamak iccedilin biten satır sonuna konulur
32 DeğişlenlerMatlab
41
oMATLABrsquoda sayılar yaygın olarak kullanılan onluk tabanda ifade edilirler
o
Bunun yanısıra onluk tabanda uumlstel olarak veya i veya j olarak kompleks sayı biccedilimlerinde de ifade edilebilirler
oOumlrnek olarak
33 Sayılar
Matlab da i
ve j
başka tuumlrluuml
tanımlanmamışsa kompleks i sayısını
goumlsterir 3e5 sayısıda 3105
anlamındadır
MATRİSLER
42
o
Ondalık sayılar Tuumlrkccedilemizdeki
35 yerine
35 şeklinde
goumlsterilir
(00001 veya 963
065 yerine 65)
o
Bilimsel
notasyon
goumlsterimi olan e
(veya E) harfi
10rsquonun kuvvetini
temsil eder
o 2e4=2104=2000 veya
165e-20=16510-20
demektir
o
Kompleks
sayılarda
imajiner
(sanal) kısımlar
i
veya
j
ekini
alır
i veya
j
ile
gosterimlerinde
bir
fark
yoktur
o (1+3i veya 1+3i veya 1+i3) 1+sqrt(3)j
-5i
o
Matlabrsquode
tuumlm
sayılar yaklaşık 210308 ve
210-308 arasında
değişir
33 Sayılar
MATRİSLER
43
Sayı
Formatları
33 SayılarMatlabMATRİSLER
44
oMatlabda bir ccedilok eylem doumlrt islem ve matematiksel bazı
islemler
yaptırabiliriz
oBunun iccedilin ya ilgili komutları
komut penceresinden teker teker girerek veya
ilgili komutları
bir dosyaya yazıp o dosyayı
ccedilağırarak ccedilalıstırabiliriz
oİşlemleri yaptırırken sayıları
reel sayı
ya da karmasık sayı
olarak alabiliriz
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
45
Matematiksel ifadeleri oluşturmak iccedilin operatoumlrler ve oumlnceden tanımlanmış sembolleri kullanabilirsiniz
oOperatoumlrler oumlzetle şunlardır
oMatrislerle yapılan işlemlerde boumllme işlemi iccedilin iki farklı
sembol kullanılmaktadıroBunun yanında eğer sayılar skaler ise iki boumllme işleminin sonucu da aynı
değeri
goumlsterecektiroOumlrneğin 32 ile 23 ifadelerinin sonuccedilları
aynı
olup 15rsquodir
raquo 4+83ndash2ans =26
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
46
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
x=a + b
Bu ifadede a ve b nin toplandığı
ve x değişkeni iccedilinde saklandığıbelirtilmektedir
47
Aritmetiksel İşlemlerde Oumlncelik Durumu
oTek bir aritmetiksel durum iccedilinde birden fazla durum bir arada bulunabildiğine goumlre
hangi işlemin oumlncelik hakkına sahip olunduğunun
bilinmelidir
oMATLABrsquoda kullanılan işlemlerde işlemlerin oumlncelik
listesi
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
bazı
temel matematiksel fonksiyonların accedilıklamaları
48
o
MATLABrsquo
da işlemler soldan sağa işlerlero
İşlemler arası
oumlncelik sırası
aşağıdaki gibidir
1 ^
(Yuumlksek)2
darr
3 + -
(Duumlşuumlk)
raquo 3^(2ndash5)-632 raquo 3^2ndash5ndash632ans = ans =
mdash39630 0
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
49
35 FonksyonlarMATRİSLER
o MATLABrsquoın ccedilok guumlccedilluuml
ve ccedilok kapsamlı
bir fonksiyon yapısı
vardır
oMATLABrsquoda bazı
fonksiyonlar daha oumlnceden yerleştirilmiş
bazıları
ise sonradan
dışarıdan yerleştirilmiş
M-dosyalarından oluşan MATLAB kuumltuumlphanelerinde
tanımlanmışlardır
oBunun yanında oumlzel uygulamalar iccedilin kullanıcıların kendi fonksiyonlarını
yazarak
kendi kuumltuumlphanelerini oluşturması
muumlmkuumlnduumlr
MATLABrsquoda mevcut analitik fonksiyonları
genel olarak aşağıdaki kategorilere ayırabiliriz oTemel matematiksel fonksiyonlaroOumlzel fonksiyonlaroTemel matrisler ve matris işlemlerioMatrisleri ccedilarpanlarına ayırmaoVeri analizlerioPolinomlaroDiferansiyel denklem ccediloumlzuumlmlerioLineer olmayan denklemler ve optimizasyonoSayısal integral hesaplamalarıoSinyal işleme
50
Matematiksel Fonksiyonlar
bazı
temel matematiksel fonksiyonların accedilıklamaları
35 FonksyonlarMATRİSLER
Oumlrnekgtgtexp(1)ans=27183gtgtfix(35)ans=3gtgtceil(35)ans=4gtgtround(35)ans=4
51
Matlabda oumlnceden tanımlanmıs bazı
sabitlerdirBunlar aşağıdaki tabloda goumlsterilmistir
36 Oumlzel SabitlerMatlab
52
Oumlrnekler
1)
a=1
2)
a=rsquoİstanbulrsquo
3)
a=5b=7c=a+b
4) a=5b=-3c=a+2ba=a+b
5)
num=23-5^2 x=num2 y=x+10
7 Sabitler Değiskenler ve Metin KatarlarıMatlab
53
Oumlrnek
Komut satırına
a)
sin(30)
b)
sin(30pi180) yazınız sonuccedilları
inceleyiniz
35 FonksyonlarMATRİSLER
Cevapa) -09880 sonucu goumlruumlluumlr ki bu 30deg
nin sinuumlsuumlnde n farklıdır Ccediluumlnkuuml
bu 30deg
derece değil 30 radyanın sinuumlsuumlduumlrb) 05000 sonucu goumlruumlluumlr ki bu da 30deg
nin sinuumlsuumld uumlr O halde bir
sayının trigonometrik değerini buldurmak iccedilin oumlnce pi ile ccedilarpıp 180 e boumllerek accedilıyı
radyan ccedilevirip sonra trigonometrik değerini
hesaplatabiliriz
54
oVektoumlrler tek boyutlu sayı
dizileridir
oElemanlarının sıralanma youmlnlerine goumlre suumltun veya satır vektoumlruuml
adlarını alırlar
ovektoumlrler [ ] koumlşeli parantezleri ile tanımlanır
ofarklı
yolla tanımlanabilirler
4 VektoumlrlerMatlab
A = [4 12 -8 6]A = [4 12 -8 6]
B = [1 2 4 6]
Satır Vektoumlruuml
Suumltun Vektoumlruumlgtgt b=[1 2 4 6 ]
55
4 VektoumlrlerMatlab
ovektoumlr boyutları
buumlyuumlduumlkccedile manuel olarak tanıtım işlemi oldukccedila zorlaşmaktadır
oOumlzellikle belli bir artıma sahip vektoumlrlerin oluşturulmasında () operatoumlruuml kullanılmaktadır
C = [-105150]
Son değerBaşlangıccedil değeri Artış
miktarı
Drsquo
= [30-10-30]
Suumltun Vektoumlruuml
56
Vektoumlr indisleri
4 VektoumlrlerMatlab
Bir vektoumlruumln elemanlarına atanılan değer değişkenler editoumlruuml
veya eleman adresi vasıtasıyla değiştirilebilir
OumlrnekA = [4 12 -8 6]1 A vektoumlruumlnuumln 3 elemanını
27 ile değiştiriniz
2 Benzer şekilde A vektoumlruumlnuumln 2 elemanını
siliniz 3 A(9) = 12
Ccediloumlzuumlm1 A(3) = 272 Vektoumlruumln elemanına [ ] değeri atandığında eleman silinirA(2) = [ ]3 gtgt A(9) = 12
A= [ 4 27 6]
A =[ 2 27 7 0 0 0 0 0 12]
57
raquo x=[17 8 61 83 56]
Şeklindeki bir matrisin uumlccediluumlncuuml
elemanına erişmek istenirse
raquo c=x(3)
c =
61
Eğer bir blok şeklinde veriye erişilmek istenirse
raquo x(24)
ans =
8 61 83
Her matristeki herhangi bir elman grubuna erişilmek istenirse
raquo x([3 1 4])
ans =
61 17 83
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
58
Bir diziye duumlzenli artıs (veya azalıs) kuralıyla değerler atanmak isteniyorsa
bunu
ilk_değerartısson değer veya ilk_değerartısson değer
biccediliminde yapabiliriz
Ancak artıs 1 ise belirtilmeyebilirOumlrnekortalama adlı
bir diziye 0 dan 5 e kadar 05 er artısla elde edilen sayı
dizisini atayanortalama=[0055]
Siz 1 satır 7 den den 17 ye kadar olan tam sayılar 2 satırı
99 dan 89 a kadar azalan tam sayılardan olusan 2 boyutlu m dizisine atayan islemleri yazınız
Dizilerin Değerlerinin Değistirilmesi ve Duumlzenlenmesi
4 VektoumlrlerMatlab
59
4 VektoumlrlerMatlab
60
Sayılardan olusan satır ve suumltun yapısına matris (dizi) denir
Oumlrneğin
d1=[5] 1x1 lik
d2=[ 2 -7] 1x2 lik
d3= [1 0 -3 ]
[ 5 3 1 ]
2x3 luumlk bir dizidir
Oumlrnekx=[1 7 18 5]Ya daraquo x=[ 1
7185 ]
Biccedilimlerinde girilebilir
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
61
Dizilerin Değerlerinin Değistirilmesi ve DuumlzenlenmesiBir dizinin herhangi bir elemanını belirlemek iccedilin dizi adından hemen sonra
parantez iccedilinde elemanın bulunduğu satır ve suumltun sayısı yazılmalıdır
Oumlrnek 1 d2=[2 -7]d2 dizisinin -7 elemanını
goumlruumlntuumllemek iccedilin
d2(12)
2 d3=[1 0 -35 3 1]d3 dizisinin 2 satır 1 suumltununda bulunan 5 in değerinin -75 olması
iccedilin
d3(21)=-75
Not1) Bir dizinin bir ccedilok elemanını
yeniden değer atamak gerekirse komut satırından atama yapmak uzun zaman alabilirBu durumda dizi değiskeninin uumlzerine ccedilift tıklayarak accedilılan dizi editoumlruuml
(array edit) yardımıyla değisiklikleri daha kolay yapabiliriz
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
62
8 Matrisler(Dizi)Matlab
Bir matrisi girerken o1 Elemanlar baştan ve sondan koumlşeli parantezlerle kapatılıro2 Elemanların arasına boşluk veya virguumll konuluro3 Matris satırlarını
ayırmak iccedilin de noktalı
virguumll kullanılır
okurallarına dikkate alınmalıdır
Oumlrneğin
A = [1 2 3 4 5 6]A =
1 2 34 5 6
şeklinde veriler matrisler biccediliminde tanımlanır MATLAB daha sonra kullanılmak uumlzere verileri A matrisinde saklar
63
Matris elemanları
rasgele rakamlardan oluşabileceği gibi MATLABrsquoın deyimlerinden de oluşabilir
51 Matrislerde ElemanlarMatlab
Oumlrneğin
a=[-13 sqrt(3) (1+2+3)475]
a= -13000 17321 48000
Kuumlccediluumlk matrisleri eleman olarak kullanıp daha buumlyuumlk matrisler oluşturmak muumlmkuumlnduumlr
OumlrneğinM=[1 3 5
7 8 9] matrisine
aşağıda goumlsterildiği şekilde bir satır eklemesi yapabilir
M=[M[10 13 15]]
Bu durumda M matrisiM=[1 3 5
7 8 910 13 15]
durumunu alır
64
İki nokta uumlst uumlste () kullanarak buumlyuumlk matrislerin belli bir kısmını
kullanabiliriz
ya da diğer ifade ile bu matrisi kuumlccediluumlltebiliriz
Oumlrneğin
M=M(12) bildirimi M matrisinin ilk iki satırını
alarak M matrisi
olarak saklar
Oumlrnek
M=[8 -4 7 66 -7 8 9 4 5 134] ise
M=M(12) =
8 1 Matrislerde ElemanlarMatlab
65
MATLABrsquoda kullanıcı
verileri kendi oluşturacağı
matrisler ile tanımlayabileceği gibi MATLABrsquoın kendi oumlzel matrislerinden de istifade edilebilir
52 Genel MatrislerMatlab
66
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
a) Sıfır Matrisi Olusturan Fonksiyon
Her elemanı sıfır olan mxn boyutunda bir matrise sıfır matrisi denir
Boumlyle bir dizi olusturmak iccedilin zeros fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=zeros(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
3x5 boyutunda s adlı
sıfır matrisi iccedilin
s=zeros(35)
52 Genel MatrislerMatlab
67
b) 1 lerden Olusan Matris
Her elemanı 1 olan mxn boyutunda bir matrisi olusturmak iccedilin ones
fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matria_adı=ones(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
2x3 boyutunda b adlı
tuumlm elemanları
1 olan matrisi olusturalım
b=ones(23)
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
52 Genel MatrislerMatlab
68
c) Birim Matrisi Olusturan Fonksiyon
Esas koumlsegeni 1 lerden diğer elemanları 0 lardan olusan kare matrise (satır
ve suumltun sayısı esit olan ) birim matrisi
kare olmayan matrise de diyagonal matris denir
Boumlyle matrisleri olusturmak iccedilin eye fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=eye(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
a)
3x3 luumlk birim matris
b) 4x3 lluumlk diyagonal matris olusturalım
Ccediloumlzuumlma) i=eye(33) b) d=eye(43)
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar52 Genel MatrislerMatlab
69
d) Rastgele Sayılardan Olusan Matris ve Fonksiyonu
Elemanları 0 ile 1 arasındaki rastgele sayılardan olusan bir matris iccedilin
rand fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=rand(mn) biccedilimindedir(msatırnsuumltun)
Not 1) Uumlretilen matrisin tuumlm elemanlarını k gibi bir sayı ile ccedilarparak
sayıları 0 ile k arasına ccedilekebiliriz
Not 2) Ondalıklı sayılardan olusmus bir matrisin elemanlarını
yuvarlayıp tam sayı yapmak iccedilin round fonksiyonunu kullanırız
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar52 Genel MatrislerMatlab
70
Oumlrnek
a) 0 ile 1 arasında rastgele sayılardan olusan 10 elemanlı
a adında bir satır
matrisi olusturalım
b) Elemanları
10 ile 50 arasında sayılardan olusan 5x3 tipinde b matrisini
olusturalım
c) Elemanları
50 ile 300 arasındaki tamsayılardan olusan 3x4 tipinde c matrisini
olusturalım
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
d) Rastgele Sayılardan Olusan Matris ve Fonksiyonu
52 Genel MatrislerMatlab
71
Ccediloumlzuumlm
a)
a=rand(110)
b)
b=10+rand(53)40
c) c=round(50+rand(34)250)
52 Genel MatrislerMatlab
72
e) Rastgele Sayılardan Olusan Normal Dağılımlı
Matris veFonksiyonu
Elemanları rasstgele sayılardan olusan bir normal dağılımlı bir matris iccedilin
randn fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=randn(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek Rastgele sayılardan olusan normal dağılımlı 2x3 luumlk bir n matrisini
olusturalım
Ccediloumlzuumlm n=randn(23)
52 Genel MatrislerMatlab
73
f) Lineer Aralıklı
(Aritmetik) Dizi ve Fonksiyonu
Baslangıccedil ve biis değerleri ve kaccedil elemandan olusacağı belirlenen diziyi
olusturmak iccedilin linspace fonksiyonu kullanılır
Kullanımı
dizi_adı=linspace(ilk_değerson_değereleman_sayısı)
biccedilimindedir
52 Genel MatrislerMatlab
74
Oumlrnek 10 ile 30 arasına 9 tane daha sayı
koyarak aadında bir aritmetik dizi olusturalım
f) Lineer Aralıklı
(Aritmetik) Dizi ve Fonksiyonu
52 Genel MatrislerMatlab
Cevapa=linspace(103011)
75
Elimizdeki grubun her elemanı iccedilin bir matematik işlemi yapıp bunu yeni bir
diziye atarken herhangi bir sorun yoktur
Fakat iki farklı grupla işlemler yaparken dikkat etmemiz gereken genel
kurallar vardır
Oumlrneğin toplama ve ccedilıkarma yaparken iki dizinin de buumlyuumlkluumlğuumlnuumln eşit
olması gerekmektedir
Ayrıca iki farklı dizinin elemanları arasında birebir işlem yapmak iccedilin
matematik operatoumlruumlnuumln başına nokta() koymak gerekir
Bu durumda her bir elemanı diğer dizinin o sıradaki elmanı ile işleme
sokacaktır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
76
Birden fazla satır ve suumltuna sahip vektoumlrlere matris denir Noktalı
virguumll ()
işareti ile kolonları
ve virguumlle işareti ya da boşluk
bırakarak da bir sıradaki elemanları
ayırabilirizOumlrnekraquo x=[ 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14]x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14Yukarıdaki 3x4 boyutunda bir matristir MATLAB programına aşağıdaki
gibi de sunulabilirraquo x=[ 3 4 5 6
7 8 9 1011 12 13 14]
x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
77
Matristeki herhangi bir elemana direk ulaşmak iccedilin aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(23)=9
Eğer isteğimiz eriştiğimiz bir elemanı
değiştirmek veya yeni bir satır eklemek ise aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(41)=1x =
3 4 5 67 8 9 1011 12 13 141 0 0 0
Bu durumda doumlrduumlncuuml
satır ilk elemanını
biz 1 değerini atadık ve diğer elemanları
kendiliğinden ldquo0rdquo
olarak atadı
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
78
İki nokta uumlst uumlste () kullanılarak belirli aralıkta değişen matrisler yaratılabilir
raquo x=[127 3-10 -12]x =
1 3 5 73 2 1 0
-1 0 1 2Bir matrisin herhangi bir boumlluumlmuumlnuuml
seccedilmek iccedilin ise aşağıdaki goumlsterim
kullanılırraquo z=x(23 12)z =
3 2-1 0
Bu durumda z matris x matrisinin 2 ve 3 norsquo
lu satırlarından 1 ve 2 norsquo
lu suumltunlarını
almış
oluyor
Herhangi bir satır veya suumltunu tamamen silmek istersek o satır ve suumltunu seccedilip ldquo[]rdquo
ifadesine eşitleriz
raquo z(2)=[ ]z =
3 -1
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
79
Matlab size ve length komutları
yardımı
ile size matrisinizin boyutlarını
soumlyler
raquo a=[ 2 3 4 5 67 8 9 10 11]
raquo s=size(a)s =
2 5
raquo b=[ 17 11 0 30 40 50]
raquo k=length(b)k =
6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
80
a) Toplama-Ccedilıkarma Bir Sayı
ile Ccedilarpma İşlemi
İki matrisi toplamak (veya ccedilıkarmak) demek matrislerin aynı
mertebedeki elemanları teker teker toplayıp (veya ccedilıkarıp ) aynı
mertebeye yazmak demektir
Bu durumda iki matrisin de aynı mertebeden olması gereği accedilıktır
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile toplamak (veya ccedilıkarmak) demek
matrisin elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla toplamak (veya
ccedilıkarmak )demektir
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile ccedilarpmak demek ise matrisin
elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla ccedilarpmak demektir
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
81
82
Oumlrnek
raquo a=[1 2 3 4 5 6]raquo b=[7 8 9 10 11 12]
a ve b toplamıraquo sum=a+bsum =
8 10 1214 16 18
arsquo
yı
brsquo
den ccedilıkarmak
raquo diff=a-bdiff =
-6 -6 -6-6 -6 -6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
83
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] ve b=[3 -3 -41 1 5] matrisleri
veriliyor
a)
c=a+b toplam matrisini
b)
d=a-b matrisini
c)
amatrisinin her elemanınının 5 eksiğine karsılık gelen e
matrisini
d) f=2a-3b matrisini bulduran islemleri yazalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
a) c=a+b b) d=a-b c) e=a-5 d) f=a+a-b-b-b veya
f=2a-3b
84
İki matrisin ccedilarpım islemi iki biccedilimde anlasılır
1)
Aynı
mertebeden iki matrisin elemanlarını
teker teker ccedilarpıp aynı
mertebeye
yazmak demektir Bunu
islemi ile gerccedileklestiririz
2) Matematiksel anlamda iki matrisi ccedilarpmak istediğimizde birinci matris mxn
tuumlruumlnde ve ikinci matris mutlaka nxp tuumlruumlnde olmalıdır yani birinci matrisin
suumltun sayısı
ikinci matrisin satır sayısına eşit olmalıdır
Bu durumda birinci matrisin i suumltun elemanları
ile ikinci matrisin j satırındaki
elemanlar karılıklı
olarak ccedilarpılır ve sonuccedillar toplanır ve bu toplam ccedilarpım
matrisinin (ij) inci mertebeye yazılır
Matrisler arası
ccedilarpma isleminin semboluuml
de dır
b) İki Matrisin Ccedilarpımı Bir Matrisin Kuvvetleri veCcedilarpma İslemi
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
85
3) Bir a matrisinin her bir elemanının n Kuvvetlerinden olusan matrisi
bulmak iccedilin a^n islemi kullanılır
4) Satır ve suumltun sayıları
esit bir kare matrisi ardısık olarak n defa
kendisiyle ccedilarparak a matrisinin n kuvvetini bulabilirizOumlrneğin a matrisinin
karesi iccedilin aa veya a^2 kuumlbuumlnuuml
buldurmak iccedilin aaa veya a^3
doumlrduumlncuuml
kuvvetini buldurmak iccedilin aaaa veya a^4
Not) Bir a matrisinin eleman -elemana ccedilarpma islemine benzer mantıkla bir matrisin tuumlm elemanlarının kareleri kuumlbleri sinuumlsleri kosinuumlsleri logaritmalarından olusan matris bulunmak istenirse bunu sırayla aa (veya a^2) aaa (veya a^3) sin(a) cos(a) etabanında logaritması
iccedilin log(a) 10 tabanında logaritmaları
iccedilin log10(a) Biccediliminde gerccedileklestirebiliriz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
86
a) a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c1 matrisi varsa bulalım
b) a matrisi ile b matrisinin ccedilarpım matrisi olan c2 varsa bulalım
c) a matrisinin elemanları
ile c matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c3 matrisi varsa bulalım
d) a matrisi ile c matrisinin ccedilarpım matrisi olan c4 varsa bulalım
e) a matrisinin elemanlarının karelerinden olusan matris ile b matrisinin
kosinuumlslerinden olusan matrisler toplamını
bulalım
f) x=[1 00 3] matrisinin i) Karesini ii) Kuumlbuumlnuuml
iii) 10
kuvvetini bulalım
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] b=[3 -3 -41 1 5] ve c=[1 0-1 23 3] matrisleri veriliyor
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
87
Ccediloumlzuumlma) iki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirBu durumda c1 matrisi tanımlıdır ve bunu c1=ab islemi ile gerccedileklestirebilirizb) iki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdırHalbuki a matrisi 2x3 b matrisi de 2x3 olduğundan bu iki matris ccedilarpılamazc) İki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirHalbuki bu matrisler aynı mertebeden olmadığından bu iki matris eleman-elemana ccedilarpma islemi
gerccedileklemezd) İki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdıra matrisi 2x3 luumlk c matrisi de 3x2 lik olduğundan bu iki matris ccedilarpılabilir ve c4 ccedilarpım matrisi 2x2 lik bir matris olurc4 ccedilarpım matrisini c4=ac islemi ile buluruze) a^2+cos(b)f) i) x^2 ii) x^3 iii) x^10
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
88
c) Bir Matrisin Devriğini (Transpozesi) Bulma İslemi
Bir matrisin satırlarını suumltun suumltunlarını satır olarak yazılmasıyla
bulunan matrise bu matrisin devriği (transpozesi) denir
Bir matrisin devriğini islemi ile bulabiliriz
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] nın devriğini buldurup d matrisine atayalım
Ccediloumlzuumlm d=a
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
89
Oumlrnek
b=[7 8 9 10 11 12] matrisinin transpozesini bulabilirmisiniz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
c=bc =
7 108 119 12
90
SORU
a=[1 2 3 4 5 6]
c= [710811912]
ise a ve crsquonin ccedilarpım matrisi
kaccediltır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
Ccedilarpma işlemi k=ack=
50 68122 167
91
SORU
a=[1 2 3 4 5 6] b=[7 8 9 10 11 12]
ise a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan x matrisini bulalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
x=abx =
7 16 2740 55 72
92
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
Aynı mertebeden iki matrisin elemanlarını teker teker boumllerek aynı
mertebeye yazılmasına iki matrisin sol boumllmesi denir ve bu islemi ile
yapılır
a b ve c aynı mertebeden kare matrisler olmak uumlzere
c=ab ise a matrisine c nin b matrisine boumlluumlmuuml denir
c boumlluumlm matrisi islemi ile yapılır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
93
HATIRLATMA
2x2 lik i2 adlı birim matrisi i2=eye(22)
3x luumlk i3 adlı birim matrisi i2=eye(33) islemi ile olusturabiiriz
Aynı mertebeden a ve b kare matrisleri iccedilin a ile b nin ccedilarpımı birim matris ise
b matrisi a matrisinin (aynı biccedilimde a matrisi de b matrisinin) ters matrisidir
Oumlrnek
3x3 luumlk bir a kare matrisinin tersini bulmak iccedilin
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
eye(33)a veya inv(a) islemini kullanırız
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
94
Bir Matrisin Determinantı
Determinant kare matrisleri bir sayıya eşleyen fonksiyondur
Determinant fonksiyonunun kare matrisi eşlediği o sayıya matrisin
determinantı denir
A matrisinin determinantı detA veya |A| biccediliminde goumlsterilir
|A| matrislerde mutlak değer anlamına gelmez |A| sıfır veya
negatif de olabilir
det(x)
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
95
KURAL
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
96
Oumlrnek
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Determinant
raquo
deter=det(x)deter =
21
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
97
Oumlrnek Inverse işlemi
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Detx=det(x)=21 ise
raquo y=inv(x)y =
821 121 -521 221
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
98
SORU
a=[2 -10 01 2 43 0 1] matrisi ile b=[1 5 41 -1 20 1 -1] matrisleri veriliyor
a)
a matrisinin elemanlarını
sırasıyla b matrisinin elemanlarına boumllerek elde
edilen matrisi b1 matrisine atayalım
b) a matrisinin ta ters matrisini bulalım
c) a ile ta matrisinin ccedilarpımının 3x3 luumlk birim matris olduğunu goumlsterelim
d) a matrisinin b matrisine boumlluumlmuumlnuuml
b2 matrisine atayalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
99
Ccediloumlzuumlm
a)
b1=ab
b) ta1=eye(33)a veya ta2=inv(a)
c) ata ==eye(33)
d) b2=ab
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
34
2 Matlab Kullanımında Temel KurallarMatlab
35
İFADELER Matematiksel ve metinsel goumlsterimler ile işlemler ifadelerlesağlanır
Sayılar (Numbers)Değişkenler (Variables)İşleccediller (Operators)Fonksiyonlar (Functions)
Matlabrsquode ifadeler genellikle değişken = ifade veya sadece ifade formundadır
Sayısal Analiz
x = 4 sqrt(5) İfade
değişkensayı işleccedil fonksiyon
Bir ifade = işareti ile bir değişkene atanmamış
ise Matlab otomatik olarak sonucu ans (answer)
adı
verilen oumlzel bir değişkende saklar
3 MATRİSLER
36
o
Birden
fazla ifade
tek satırda aralarına
ya da koyarak yazılabilir
o
Yazımda
boşluk
sayısı
etkisizdir
o
Sadece
ilgili
değişken
adını
yazarak
o değişkeni ccedilağırabilirsiniz
MATRİSLER31 İFADELER
37
o MATLABrsquoda herhangi bir tip tanımlaması
veya boyut ifadesine gerek yoktur
o
MATLAB yeni bir değişken ismi ile karşılaştığında otomatik olarak ans isminde
bir değişken oluşturur ve uygun bir bellek miktarı
ayırır
oEğer değişken zaten varsa MATLAB gerekli bir bellek ayırdığında iccedileriği değişir
Oumlrneğin
o ogrenci_sayı=51
32 DeğişlenlerMatlab
Değisken
değeri değisebilen bellek alanına isaret eden değerlere
38
MATLAB değişken girişleri iccedilin ccedileşitli kurallara sahiptir
Her değişken bir harfle başlamak zorundadır
Program buumlyuumlk kuumlccediluumlk harf duyarlıdır X ve x farklı değişkenleri ifade eder
Program 31 basamağa kadar duyarlıdır Bu basamaktan sonrasını yok sayar
Dolayısıyla 31 basamaktan uzun değişken isimleri karışıklık yaratabilir
32 DeğişlenlerMatlab
39
Değiskenlere Değer Atama
Her hangi bir programlama dilinde olduğu gibi Matlabrsquoda da bir değiskene
değer verme islemine rdquodeğer atamakrdquo denir
Bir değiskene atanan değer değistirilmediği suumlrece aynı kalır
Değer atamanın genel kullanımı asağıdaki biccediliminde olur
ltDeğisken adıgt=ltAtanacak değergt
32 DeğişlenlerMatlab
40
Oumlrnek 2
A=6i-7 A değişkenine skaler bir değer atar
B=A 7
B değişkenine A değişkeninin 17 si atanmıştır
C=[3 4 5 6]
4 elemanlı
bir satır vektoumlruuml
atanmıştır
NOT
Dizi girişinde herhangi bir satıra ait elemanlar aralarına boşluk veya virguumll ldquordquo konularak ayrılır
Dizinin diğer bir satırına başlamak iccedilin biten satır sonuna konulur
32 DeğişlenlerMatlab
41
oMATLABrsquoda sayılar yaygın olarak kullanılan onluk tabanda ifade edilirler
o
Bunun yanısıra onluk tabanda uumlstel olarak veya i veya j olarak kompleks sayı biccedilimlerinde de ifade edilebilirler
oOumlrnek olarak
33 Sayılar
Matlab da i
ve j
başka tuumlrluuml
tanımlanmamışsa kompleks i sayısını
goumlsterir 3e5 sayısıda 3105
anlamındadır
MATRİSLER
42
o
Ondalık sayılar Tuumlrkccedilemizdeki
35 yerine
35 şeklinde
goumlsterilir
(00001 veya 963
065 yerine 65)
o
Bilimsel
notasyon
goumlsterimi olan e
(veya E) harfi
10rsquonun kuvvetini
temsil eder
o 2e4=2104=2000 veya
165e-20=16510-20
demektir
o
Kompleks
sayılarda
imajiner
(sanal) kısımlar
i
veya
j
ekini
alır
i veya
j
ile
gosterimlerinde
bir
fark
yoktur
o (1+3i veya 1+3i veya 1+i3) 1+sqrt(3)j
-5i
o
Matlabrsquode
tuumlm
sayılar yaklaşık 210308 ve
210-308 arasında
değişir
33 Sayılar
MATRİSLER
43
Sayı
Formatları
33 SayılarMatlabMATRİSLER
44
oMatlabda bir ccedilok eylem doumlrt islem ve matematiksel bazı
islemler
yaptırabiliriz
oBunun iccedilin ya ilgili komutları
komut penceresinden teker teker girerek veya
ilgili komutları
bir dosyaya yazıp o dosyayı
ccedilağırarak ccedilalıstırabiliriz
oİşlemleri yaptırırken sayıları
reel sayı
ya da karmasık sayı
olarak alabiliriz
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
45
Matematiksel ifadeleri oluşturmak iccedilin operatoumlrler ve oumlnceden tanımlanmış sembolleri kullanabilirsiniz
oOperatoumlrler oumlzetle şunlardır
oMatrislerle yapılan işlemlerde boumllme işlemi iccedilin iki farklı
sembol kullanılmaktadıroBunun yanında eğer sayılar skaler ise iki boumllme işleminin sonucu da aynı
değeri
goumlsterecektiroOumlrneğin 32 ile 23 ifadelerinin sonuccedilları
aynı
olup 15rsquodir
raquo 4+83ndash2ans =26
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
46
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
x=a + b
Bu ifadede a ve b nin toplandığı
ve x değişkeni iccedilinde saklandığıbelirtilmektedir
47
Aritmetiksel İşlemlerde Oumlncelik Durumu
oTek bir aritmetiksel durum iccedilinde birden fazla durum bir arada bulunabildiğine goumlre
hangi işlemin oumlncelik hakkına sahip olunduğunun
bilinmelidir
oMATLABrsquoda kullanılan işlemlerde işlemlerin oumlncelik
listesi
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
bazı
temel matematiksel fonksiyonların accedilıklamaları
48
o
MATLABrsquo
da işlemler soldan sağa işlerlero
İşlemler arası
oumlncelik sırası
aşağıdaki gibidir
1 ^
(Yuumlksek)2
darr
3 + -
(Duumlşuumlk)
raquo 3^(2ndash5)-632 raquo 3^2ndash5ndash632ans = ans =
mdash39630 0
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
49
35 FonksyonlarMATRİSLER
o MATLABrsquoın ccedilok guumlccedilluuml
ve ccedilok kapsamlı
bir fonksiyon yapısı
vardır
oMATLABrsquoda bazı
fonksiyonlar daha oumlnceden yerleştirilmiş
bazıları
ise sonradan
dışarıdan yerleştirilmiş
M-dosyalarından oluşan MATLAB kuumltuumlphanelerinde
tanımlanmışlardır
oBunun yanında oumlzel uygulamalar iccedilin kullanıcıların kendi fonksiyonlarını
yazarak
kendi kuumltuumlphanelerini oluşturması
muumlmkuumlnduumlr
MATLABrsquoda mevcut analitik fonksiyonları
genel olarak aşağıdaki kategorilere ayırabiliriz oTemel matematiksel fonksiyonlaroOumlzel fonksiyonlaroTemel matrisler ve matris işlemlerioMatrisleri ccedilarpanlarına ayırmaoVeri analizlerioPolinomlaroDiferansiyel denklem ccediloumlzuumlmlerioLineer olmayan denklemler ve optimizasyonoSayısal integral hesaplamalarıoSinyal işleme
50
Matematiksel Fonksiyonlar
bazı
temel matematiksel fonksiyonların accedilıklamaları
35 FonksyonlarMATRİSLER
Oumlrnekgtgtexp(1)ans=27183gtgtfix(35)ans=3gtgtceil(35)ans=4gtgtround(35)ans=4
51
Matlabda oumlnceden tanımlanmıs bazı
sabitlerdirBunlar aşağıdaki tabloda goumlsterilmistir
36 Oumlzel SabitlerMatlab
52
Oumlrnekler
1)
a=1
2)
a=rsquoİstanbulrsquo
3)
a=5b=7c=a+b
4) a=5b=-3c=a+2ba=a+b
5)
num=23-5^2 x=num2 y=x+10
7 Sabitler Değiskenler ve Metin KatarlarıMatlab
53
Oumlrnek
Komut satırına
a)
sin(30)
b)
sin(30pi180) yazınız sonuccedilları
inceleyiniz
35 FonksyonlarMATRİSLER
Cevapa) -09880 sonucu goumlruumlluumlr ki bu 30deg
nin sinuumlsuumlnde n farklıdır Ccediluumlnkuuml
bu 30deg
derece değil 30 radyanın sinuumlsuumlduumlrb) 05000 sonucu goumlruumlluumlr ki bu da 30deg
nin sinuumlsuumld uumlr O halde bir
sayının trigonometrik değerini buldurmak iccedilin oumlnce pi ile ccedilarpıp 180 e boumllerek accedilıyı
radyan ccedilevirip sonra trigonometrik değerini
hesaplatabiliriz
54
oVektoumlrler tek boyutlu sayı
dizileridir
oElemanlarının sıralanma youmlnlerine goumlre suumltun veya satır vektoumlruuml
adlarını alırlar
ovektoumlrler [ ] koumlşeli parantezleri ile tanımlanır
ofarklı
yolla tanımlanabilirler
4 VektoumlrlerMatlab
A = [4 12 -8 6]A = [4 12 -8 6]
B = [1 2 4 6]
Satır Vektoumlruuml
Suumltun Vektoumlruumlgtgt b=[1 2 4 6 ]
55
4 VektoumlrlerMatlab
ovektoumlr boyutları
buumlyuumlduumlkccedile manuel olarak tanıtım işlemi oldukccedila zorlaşmaktadır
oOumlzellikle belli bir artıma sahip vektoumlrlerin oluşturulmasında () operatoumlruuml kullanılmaktadır
C = [-105150]
Son değerBaşlangıccedil değeri Artış
miktarı
Drsquo
= [30-10-30]
Suumltun Vektoumlruuml
56
Vektoumlr indisleri
4 VektoumlrlerMatlab
Bir vektoumlruumln elemanlarına atanılan değer değişkenler editoumlruuml
veya eleman adresi vasıtasıyla değiştirilebilir
OumlrnekA = [4 12 -8 6]1 A vektoumlruumlnuumln 3 elemanını
27 ile değiştiriniz
2 Benzer şekilde A vektoumlruumlnuumln 2 elemanını
siliniz 3 A(9) = 12
Ccediloumlzuumlm1 A(3) = 272 Vektoumlruumln elemanına [ ] değeri atandığında eleman silinirA(2) = [ ]3 gtgt A(9) = 12
A= [ 4 27 6]
A =[ 2 27 7 0 0 0 0 0 12]
57
raquo x=[17 8 61 83 56]
Şeklindeki bir matrisin uumlccediluumlncuuml
elemanına erişmek istenirse
raquo c=x(3)
c =
61
Eğer bir blok şeklinde veriye erişilmek istenirse
raquo x(24)
ans =
8 61 83
Her matristeki herhangi bir elman grubuna erişilmek istenirse
raquo x([3 1 4])
ans =
61 17 83
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
58
Bir diziye duumlzenli artıs (veya azalıs) kuralıyla değerler atanmak isteniyorsa
bunu
ilk_değerartısson değer veya ilk_değerartısson değer
biccediliminde yapabiliriz
Ancak artıs 1 ise belirtilmeyebilirOumlrnekortalama adlı
bir diziye 0 dan 5 e kadar 05 er artısla elde edilen sayı
dizisini atayanortalama=[0055]
Siz 1 satır 7 den den 17 ye kadar olan tam sayılar 2 satırı
99 dan 89 a kadar azalan tam sayılardan olusan 2 boyutlu m dizisine atayan islemleri yazınız
Dizilerin Değerlerinin Değistirilmesi ve Duumlzenlenmesi
4 VektoumlrlerMatlab
59
4 VektoumlrlerMatlab
60
Sayılardan olusan satır ve suumltun yapısına matris (dizi) denir
Oumlrneğin
d1=[5] 1x1 lik
d2=[ 2 -7] 1x2 lik
d3= [1 0 -3 ]
[ 5 3 1 ]
2x3 luumlk bir dizidir
Oumlrnekx=[1 7 18 5]Ya daraquo x=[ 1
7185 ]
Biccedilimlerinde girilebilir
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
61
Dizilerin Değerlerinin Değistirilmesi ve DuumlzenlenmesiBir dizinin herhangi bir elemanını belirlemek iccedilin dizi adından hemen sonra
parantez iccedilinde elemanın bulunduğu satır ve suumltun sayısı yazılmalıdır
Oumlrnek 1 d2=[2 -7]d2 dizisinin -7 elemanını
goumlruumlntuumllemek iccedilin
d2(12)
2 d3=[1 0 -35 3 1]d3 dizisinin 2 satır 1 suumltununda bulunan 5 in değerinin -75 olması
iccedilin
d3(21)=-75
Not1) Bir dizinin bir ccedilok elemanını
yeniden değer atamak gerekirse komut satırından atama yapmak uzun zaman alabilirBu durumda dizi değiskeninin uumlzerine ccedilift tıklayarak accedilılan dizi editoumlruuml
(array edit) yardımıyla değisiklikleri daha kolay yapabiliriz
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
62
8 Matrisler(Dizi)Matlab
Bir matrisi girerken o1 Elemanlar baştan ve sondan koumlşeli parantezlerle kapatılıro2 Elemanların arasına boşluk veya virguumll konuluro3 Matris satırlarını
ayırmak iccedilin de noktalı
virguumll kullanılır
okurallarına dikkate alınmalıdır
Oumlrneğin
A = [1 2 3 4 5 6]A =
1 2 34 5 6
şeklinde veriler matrisler biccediliminde tanımlanır MATLAB daha sonra kullanılmak uumlzere verileri A matrisinde saklar
63
Matris elemanları
rasgele rakamlardan oluşabileceği gibi MATLABrsquoın deyimlerinden de oluşabilir
51 Matrislerde ElemanlarMatlab
Oumlrneğin
a=[-13 sqrt(3) (1+2+3)475]
a= -13000 17321 48000
Kuumlccediluumlk matrisleri eleman olarak kullanıp daha buumlyuumlk matrisler oluşturmak muumlmkuumlnduumlr
OumlrneğinM=[1 3 5
7 8 9] matrisine
aşağıda goumlsterildiği şekilde bir satır eklemesi yapabilir
M=[M[10 13 15]]
Bu durumda M matrisiM=[1 3 5
7 8 910 13 15]
durumunu alır
64
İki nokta uumlst uumlste () kullanarak buumlyuumlk matrislerin belli bir kısmını
kullanabiliriz
ya da diğer ifade ile bu matrisi kuumlccediluumlltebiliriz
Oumlrneğin
M=M(12) bildirimi M matrisinin ilk iki satırını
alarak M matrisi
olarak saklar
Oumlrnek
M=[8 -4 7 66 -7 8 9 4 5 134] ise
M=M(12) =
8 1 Matrislerde ElemanlarMatlab
65
MATLABrsquoda kullanıcı
verileri kendi oluşturacağı
matrisler ile tanımlayabileceği gibi MATLABrsquoın kendi oumlzel matrislerinden de istifade edilebilir
52 Genel MatrislerMatlab
66
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
a) Sıfır Matrisi Olusturan Fonksiyon
Her elemanı sıfır olan mxn boyutunda bir matrise sıfır matrisi denir
Boumlyle bir dizi olusturmak iccedilin zeros fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=zeros(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
3x5 boyutunda s adlı
sıfır matrisi iccedilin
s=zeros(35)
52 Genel MatrislerMatlab
67
b) 1 lerden Olusan Matris
Her elemanı 1 olan mxn boyutunda bir matrisi olusturmak iccedilin ones
fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matria_adı=ones(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
2x3 boyutunda b adlı
tuumlm elemanları
1 olan matrisi olusturalım
b=ones(23)
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
52 Genel MatrislerMatlab
68
c) Birim Matrisi Olusturan Fonksiyon
Esas koumlsegeni 1 lerden diğer elemanları 0 lardan olusan kare matrise (satır
ve suumltun sayısı esit olan ) birim matrisi
kare olmayan matrise de diyagonal matris denir
Boumlyle matrisleri olusturmak iccedilin eye fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=eye(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
a)
3x3 luumlk birim matris
b) 4x3 lluumlk diyagonal matris olusturalım
Ccediloumlzuumlma) i=eye(33) b) d=eye(43)
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar52 Genel MatrislerMatlab
69
d) Rastgele Sayılardan Olusan Matris ve Fonksiyonu
Elemanları 0 ile 1 arasındaki rastgele sayılardan olusan bir matris iccedilin
rand fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=rand(mn) biccedilimindedir(msatırnsuumltun)
Not 1) Uumlretilen matrisin tuumlm elemanlarını k gibi bir sayı ile ccedilarparak
sayıları 0 ile k arasına ccedilekebiliriz
Not 2) Ondalıklı sayılardan olusmus bir matrisin elemanlarını
yuvarlayıp tam sayı yapmak iccedilin round fonksiyonunu kullanırız
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar52 Genel MatrislerMatlab
70
Oumlrnek
a) 0 ile 1 arasında rastgele sayılardan olusan 10 elemanlı
a adında bir satır
matrisi olusturalım
b) Elemanları
10 ile 50 arasında sayılardan olusan 5x3 tipinde b matrisini
olusturalım
c) Elemanları
50 ile 300 arasındaki tamsayılardan olusan 3x4 tipinde c matrisini
olusturalım
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
d) Rastgele Sayılardan Olusan Matris ve Fonksiyonu
52 Genel MatrislerMatlab
71
Ccediloumlzuumlm
a)
a=rand(110)
b)
b=10+rand(53)40
c) c=round(50+rand(34)250)
52 Genel MatrislerMatlab
72
e) Rastgele Sayılardan Olusan Normal Dağılımlı
Matris veFonksiyonu
Elemanları rasstgele sayılardan olusan bir normal dağılımlı bir matris iccedilin
randn fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=randn(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek Rastgele sayılardan olusan normal dağılımlı 2x3 luumlk bir n matrisini
olusturalım
Ccediloumlzuumlm n=randn(23)
52 Genel MatrislerMatlab
73
f) Lineer Aralıklı
(Aritmetik) Dizi ve Fonksiyonu
Baslangıccedil ve biis değerleri ve kaccedil elemandan olusacağı belirlenen diziyi
olusturmak iccedilin linspace fonksiyonu kullanılır
Kullanımı
dizi_adı=linspace(ilk_değerson_değereleman_sayısı)
biccedilimindedir
52 Genel MatrislerMatlab
74
Oumlrnek 10 ile 30 arasına 9 tane daha sayı
koyarak aadında bir aritmetik dizi olusturalım
f) Lineer Aralıklı
(Aritmetik) Dizi ve Fonksiyonu
52 Genel MatrislerMatlab
Cevapa=linspace(103011)
75
Elimizdeki grubun her elemanı iccedilin bir matematik işlemi yapıp bunu yeni bir
diziye atarken herhangi bir sorun yoktur
Fakat iki farklı grupla işlemler yaparken dikkat etmemiz gereken genel
kurallar vardır
Oumlrneğin toplama ve ccedilıkarma yaparken iki dizinin de buumlyuumlkluumlğuumlnuumln eşit
olması gerekmektedir
Ayrıca iki farklı dizinin elemanları arasında birebir işlem yapmak iccedilin
matematik operatoumlruumlnuumln başına nokta() koymak gerekir
Bu durumda her bir elemanı diğer dizinin o sıradaki elmanı ile işleme
sokacaktır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
76
Birden fazla satır ve suumltuna sahip vektoumlrlere matris denir Noktalı
virguumll ()
işareti ile kolonları
ve virguumlle işareti ya da boşluk
bırakarak da bir sıradaki elemanları
ayırabilirizOumlrnekraquo x=[ 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14]x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14Yukarıdaki 3x4 boyutunda bir matristir MATLAB programına aşağıdaki
gibi de sunulabilirraquo x=[ 3 4 5 6
7 8 9 1011 12 13 14]
x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
77
Matristeki herhangi bir elemana direk ulaşmak iccedilin aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(23)=9
Eğer isteğimiz eriştiğimiz bir elemanı
değiştirmek veya yeni bir satır eklemek ise aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(41)=1x =
3 4 5 67 8 9 1011 12 13 141 0 0 0
Bu durumda doumlrduumlncuuml
satır ilk elemanını
biz 1 değerini atadık ve diğer elemanları
kendiliğinden ldquo0rdquo
olarak atadı
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
78
İki nokta uumlst uumlste () kullanılarak belirli aralıkta değişen matrisler yaratılabilir
raquo x=[127 3-10 -12]x =
1 3 5 73 2 1 0
-1 0 1 2Bir matrisin herhangi bir boumlluumlmuumlnuuml
seccedilmek iccedilin ise aşağıdaki goumlsterim
kullanılırraquo z=x(23 12)z =
3 2-1 0
Bu durumda z matris x matrisinin 2 ve 3 norsquo
lu satırlarından 1 ve 2 norsquo
lu suumltunlarını
almış
oluyor
Herhangi bir satır veya suumltunu tamamen silmek istersek o satır ve suumltunu seccedilip ldquo[]rdquo
ifadesine eşitleriz
raquo z(2)=[ ]z =
3 -1
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
79
Matlab size ve length komutları
yardımı
ile size matrisinizin boyutlarını
soumlyler
raquo a=[ 2 3 4 5 67 8 9 10 11]
raquo s=size(a)s =
2 5
raquo b=[ 17 11 0 30 40 50]
raquo k=length(b)k =
6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
80
a) Toplama-Ccedilıkarma Bir Sayı
ile Ccedilarpma İşlemi
İki matrisi toplamak (veya ccedilıkarmak) demek matrislerin aynı
mertebedeki elemanları teker teker toplayıp (veya ccedilıkarıp ) aynı
mertebeye yazmak demektir
Bu durumda iki matrisin de aynı mertebeden olması gereği accedilıktır
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile toplamak (veya ccedilıkarmak) demek
matrisin elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla toplamak (veya
ccedilıkarmak )demektir
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile ccedilarpmak demek ise matrisin
elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla ccedilarpmak demektir
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
81
82
Oumlrnek
raquo a=[1 2 3 4 5 6]raquo b=[7 8 9 10 11 12]
a ve b toplamıraquo sum=a+bsum =
8 10 1214 16 18
arsquo
yı
brsquo
den ccedilıkarmak
raquo diff=a-bdiff =
-6 -6 -6-6 -6 -6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
83
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] ve b=[3 -3 -41 1 5] matrisleri
veriliyor
a)
c=a+b toplam matrisini
b)
d=a-b matrisini
c)
amatrisinin her elemanınının 5 eksiğine karsılık gelen e
matrisini
d) f=2a-3b matrisini bulduran islemleri yazalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
a) c=a+b b) d=a-b c) e=a-5 d) f=a+a-b-b-b veya
f=2a-3b
84
İki matrisin ccedilarpım islemi iki biccedilimde anlasılır
1)
Aynı
mertebeden iki matrisin elemanlarını
teker teker ccedilarpıp aynı
mertebeye
yazmak demektir Bunu
islemi ile gerccedileklestiririz
2) Matematiksel anlamda iki matrisi ccedilarpmak istediğimizde birinci matris mxn
tuumlruumlnde ve ikinci matris mutlaka nxp tuumlruumlnde olmalıdır yani birinci matrisin
suumltun sayısı
ikinci matrisin satır sayısına eşit olmalıdır
Bu durumda birinci matrisin i suumltun elemanları
ile ikinci matrisin j satırındaki
elemanlar karılıklı
olarak ccedilarpılır ve sonuccedillar toplanır ve bu toplam ccedilarpım
matrisinin (ij) inci mertebeye yazılır
Matrisler arası
ccedilarpma isleminin semboluuml
de dır
b) İki Matrisin Ccedilarpımı Bir Matrisin Kuvvetleri veCcedilarpma İslemi
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
85
3) Bir a matrisinin her bir elemanının n Kuvvetlerinden olusan matrisi
bulmak iccedilin a^n islemi kullanılır
4) Satır ve suumltun sayıları
esit bir kare matrisi ardısık olarak n defa
kendisiyle ccedilarparak a matrisinin n kuvvetini bulabilirizOumlrneğin a matrisinin
karesi iccedilin aa veya a^2 kuumlbuumlnuuml
buldurmak iccedilin aaa veya a^3
doumlrduumlncuuml
kuvvetini buldurmak iccedilin aaaa veya a^4
Not) Bir a matrisinin eleman -elemana ccedilarpma islemine benzer mantıkla bir matrisin tuumlm elemanlarının kareleri kuumlbleri sinuumlsleri kosinuumlsleri logaritmalarından olusan matris bulunmak istenirse bunu sırayla aa (veya a^2) aaa (veya a^3) sin(a) cos(a) etabanında logaritması
iccedilin log(a) 10 tabanında logaritmaları
iccedilin log10(a) Biccediliminde gerccedileklestirebiliriz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
86
a) a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c1 matrisi varsa bulalım
b) a matrisi ile b matrisinin ccedilarpım matrisi olan c2 varsa bulalım
c) a matrisinin elemanları
ile c matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c3 matrisi varsa bulalım
d) a matrisi ile c matrisinin ccedilarpım matrisi olan c4 varsa bulalım
e) a matrisinin elemanlarının karelerinden olusan matris ile b matrisinin
kosinuumlslerinden olusan matrisler toplamını
bulalım
f) x=[1 00 3] matrisinin i) Karesini ii) Kuumlbuumlnuuml
iii) 10
kuvvetini bulalım
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] b=[3 -3 -41 1 5] ve c=[1 0-1 23 3] matrisleri veriliyor
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
87
Ccediloumlzuumlma) iki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirBu durumda c1 matrisi tanımlıdır ve bunu c1=ab islemi ile gerccedileklestirebilirizb) iki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdırHalbuki a matrisi 2x3 b matrisi de 2x3 olduğundan bu iki matris ccedilarpılamazc) İki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirHalbuki bu matrisler aynı mertebeden olmadığından bu iki matris eleman-elemana ccedilarpma islemi
gerccedileklemezd) İki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdıra matrisi 2x3 luumlk c matrisi de 3x2 lik olduğundan bu iki matris ccedilarpılabilir ve c4 ccedilarpım matrisi 2x2 lik bir matris olurc4 ccedilarpım matrisini c4=ac islemi ile buluruze) a^2+cos(b)f) i) x^2 ii) x^3 iii) x^10
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
88
c) Bir Matrisin Devriğini (Transpozesi) Bulma İslemi
Bir matrisin satırlarını suumltun suumltunlarını satır olarak yazılmasıyla
bulunan matrise bu matrisin devriği (transpozesi) denir
Bir matrisin devriğini islemi ile bulabiliriz
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] nın devriğini buldurup d matrisine atayalım
Ccediloumlzuumlm d=a
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
89
Oumlrnek
b=[7 8 9 10 11 12] matrisinin transpozesini bulabilirmisiniz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
c=bc =
7 108 119 12
90
SORU
a=[1 2 3 4 5 6]
c= [710811912]
ise a ve crsquonin ccedilarpım matrisi
kaccediltır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
Ccedilarpma işlemi k=ack=
50 68122 167
91
SORU
a=[1 2 3 4 5 6] b=[7 8 9 10 11 12]
ise a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan x matrisini bulalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
x=abx =
7 16 2740 55 72
92
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
Aynı mertebeden iki matrisin elemanlarını teker teker boumllerek aynı
mertebeye yazılmasına iki matrisin sol boumllmesi denir ve bu islemi ile
yapılır
a b ve c aynı mertebeden kare matrisler olmak uumlzere
c=ab ise a matrisine c nin b matrisine boumlluumlmuuml denir
c boumlluumlm matrisi islemi ile yapılır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
93
HATIRLATMA
2x2 lik i2 adlı birim matrisi i2=eye(22)
3x luumlk i3 adlı birim matrisi i2=eye(33) islemi ile olusturabiiriz
Aynı mertebeden a ve b kare matrisleri iccedilin a ile b nin ccedilarpımı birim matris ise
b matrisi a matrisinin (aynı biccedilimde a matrisi de b matrisinin) ters matrisidir
Oumlrnek
3x3 luumlk bir a kare matrisinin tersini bulmak iccedilin
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
eye(33)a veya inv(a) islemini kullanırız
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
94
Bir Matrisin Determinantı
Determinant kare matrisleri bir sayıya eşleyen fonksiyondur
Determinant fonksiyonunun kare matrisi eşlediği o sayıya matrisin
determinantı denir
A matrisinin determinantı detA veya |A| biccediliminde goumlsterilir
|A| matrislerde mutlak değer anlamına gelmez |A| sıfır veya
negatif de olabilir
det(x)
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
95
KURAL
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
96
Oumlrnek
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Determinant
raquo
deter=det(x)deter =
21
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
97
Oumlrnek Inverse işlemi
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Detx=det(x)=21 ise
raquo y=inv(x)y =
821 121 -521 221
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
98
SORU
a=[2 -10 01 2 43 0 1] matrisi ile b=[1 5 41 -1 20 1 -1] matrisleri veriliyor
a)
a matrisinin elemanlarını
sırasıyla b matrisinin elemanlarına boumllerek elde
edilen matrisi b1 matrisine atayalım
b) a matrisinin ta ters matrisini bulalım
c) a ile ta matrisinin ccedilarpımının 3x3 luumlk birim matris olduğunu goumlsterelim
d) a matrisinin b matrisine boumlluumlmuumlnuuml
b2 matrisine atayalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
99
Ccediloumlzuumlm
a)
b1=ab
b) ta1=eye(33)a veya ta2=inv(a)
c) ata ==eye(33)
d) b2=ab
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
35
İFADELER Matematiksel ve metinsel goumlsterimler ile işlemler ifadelerlesağlanır
Sayılar (Numbers)Değişkenler (Variables)İşleccediller (Operators)Fonksiyonlar (Functions)
Matlabrsquode ifadeler genellikle değişken = ifade veya sadece ifade formundadır
Sayısal Analiz
x = 4 sqrt(5) İfade
değişkensayı işleccedil fonksiyon
Bir ifade = işareti ile bir değişkene atanmamış
ise Matlab otomatik olarak sonucu ans (answer)
adı
verilen oumlzel bir değişkende saklar
3 MATRİSLER
36
o
Birden
fazla ifade
tek satırda aralarına
ya da koyarak yazılabilir
o
Yazımda
boşluk
sayısı
etkisizdir
o
Sadece
ilgili
değişken
adını
yazarak
o değişkeni ccedilağırabilirsiniz
MATRİSLER31 İFADELER
37
o MATLABrsquoda herhangi bir tip tanımlaması
veya boyut ifadesine gerek yoktur
o
MATLAB yeni bir değişken ismi ile karşılaştığında otomatik olarak ans isminde
bir değişken oluşturur ve uygun bir bellek miktarı
ayırır
oEğer değişken zaten varsa MATLAB gerekli bir bellek ayırdığında iccedileriği değişir
Oumlrneğin
o ogrenci_sayı=51
32 DeğişlenlerMatlab
Değisken
değeri değisebilen bellek alanına isaret eden değerlere
38
MATLAB değişken girişleri iccedilin ccedileşitli kurallara sahiptir
Her değişken bir harfle başlamak zorundadır
Program buumlyuumlk kuumlccediluumlk harf duyarlıdır X ve x farklı değişkenleri ifade eder
Program 31 basamağa kadar duyarlıdır Bu basamaktan sonrasını yok sayar
Dolayısıyla 31 basamaktan uzun değişken isimleri karışıklık yaratabilir
32 DeğişlenlerMatlab
39
Değiskenlere Değer Atama
Her hangi bir programlama dilinde olduğu gibi Matlabrsquoda da bir değiskene
değer verme islemine rdquodeğer atamakrdquo denir
Bir değiskene atanan değer değistirilmediği suumlrece aynı kalır
Değer atamanın genel kullanımı asağıdaki biccediliminde olur
ltDeğisken adıgt=ltAtanacak değergt
32 DeğişlenlerMatlab
40
Oumlrnek 2
A=6i-7 A değişkenine skaler bir değer atar
B=A 7
B değişkenine A değişkeninin 17 si atanmıştır
C=[3 4 5 6]
4 elemanlı
bir satır vektoumlruuml
atanmıştır
NOT
Dizi girişinde herhangi bir satıra ait elemanlar aralarına boşluk veya virguumll ldquordquo konularak ayrılır
Dizinin diğer bir satırına başlamak iccedilin biten satır sonuna konulur
32 DeğişlenlerMatlab
41
oMATLABrsquoda sayılar yaygın olarak kullanılan onluk tabanda ifade edilirler
o
Bunun yanısıra onluk tabanda uumlstel olarak veya i veya j olarak kompleks sayı biccedilimlerinde de ifade edilebilirler
oOumlrnek olarak
33 Sayılar
Matlab da i
ve j
başka tuumlrluuml
tanımlanmamışsa kompleks i sayısını
goumlsterir 3e5 sayısıda 3105
anlamındadır
MATRİSLER
42
o
Ondalık sayılar Tuumlrkccedilemizdeki
35 yerine
35 şeklinde
goumlsterilir
(00001 veya 963
065 yerine 65)
o
Bilimsel
notasyon
goumlsterimi olan e
(veya E) harfi
10rsquonun kuvvetini
temsil eder
o 2e4=2104=2000 veya
165e-20=16510-20
demektir
o
Kompleks
sayılarda
imajiner
(sanal) kısımlar
i
veya
j
ekini
alır
i veya
j
ile
gosterimlerinde
bir
fark
yoktur
o (1+3i veya 1+3i veya 1+i3) 1+sqrt(3)j
-5i
o
Matlabrsquode
tuumlm
sayılar yaklaşık 210308 ve
210-308 arasında
değişir
33 Sayılar
MATRİSLER
43
Sayı
Formatları
33 SayılarMatlabMATRİSLER
44
oMatlabda bir ccedilok eylem doumlrt islem ve matematiksel bazı
islemler
yaptırabiliriz
oBunun iccedilin ya ilgili komutları
komut penceresinden teker teker girerek veya
ilgili komutları
bir dosyaya yazıp o dosyayı
ccedilağırarak ccedilalıstırabiliriz
oİşlemleri yaptırırken sayıları
reel sayı
ya da karmasık sayı
olarak alabiliriz
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
45
Matematiksel ifadeleri oluşturmak iccedilin operatoumlrler ve oumlnceden tanımlanmış sembolleri kullanabilirsiniz
oOperatoumlrler oumlzetle şunlardır
oMatrislerle yapılan işlemlerde boumllme işlemi iccedilin iki farklı
sembol kullanılmaktadıroBunun yanında eğer sayılar skaler ise iki boumllme işleminin sonucu da aynı
değeri
goumlsterecektiroOumlrneğin 32 ile 23 ifadelerinin sonuccedilları
aynı
olup 15rsquodir
raquo 4+83ndash2ans =26
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
46
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
x=a + b
Bu ifadede a ve b nin toplandığı
ve x değişkeni iccedilinde saklandığıbelirtilmektedir
47
Aritmetiksel İşlemlerde Oumlncelik Durumu
oTek bir aritmetiksel durum iccedilinde birden fazla durum bir arada bulunabildiğine goumlre
hangi işlemin oumlncelik hakkına sahip olunduğunun
bilinmelidir
oMATLABrsquoda kullanılan işlemlerde işlemlerin oumlncelik
listesi
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
bazı
temel matematiksel fonksiyonların accedilıklamaları
48
o
MATLABrsquo
da işlemler soldan sağa işlerlero
İşlemler arası
oumlncelik sırası
aşağıdaki gibidir
1 ^
(Yuumlksek)2
darr
3 + -
(Duumlşuumlk)
raquo 3^(2ndash5)-632 raquo 3^2ndash5ndash632ans = ans =
mdash39630 0
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
49
35 FonksyonlarMATRİSLER
o MATLABrsquoın ccedilok guumlccedilluuml
ve ccedilok kapsamlı
bir fonksiyon yapısı
vardır
oMATLABrsquoda bazı
fonksiyonlar daha oumlnceden yerleştirilmiş
bazıları
ise sonradan
dışarıdan yerleştirilmiş
M-dosyalarından oluşan MATLAB kuumltuumlphanelerinde
tanımlanmışlardır
oBunun yanında oumlzel uygulamalar iccedilin kullanıcıların kendi fonksiyonlarını
yazarak
kendi kuumltuumlphanelerini oluşturması
muumlmkuumlnduumlr
MATLABrsquoda mevcut analitik fonksiyonları
genel olarak aşağıdaki kategorilere ayırabiliriz oTemel matematiksel fonksiyonlaroOumlzel fonksiyonlaroTemel matrisler ve matris işlemlerioMatrisleri ccedilarpanlarına ayırmaoVeri analizlerioPolinomlaroDiferansiyel denklem ccediloumlzuumlmlerioLineer olmayan denklemler ve optimizasyonoSayısal integral hesaplamalarıoSinyal işleme
50
Matematiksel Fonksiyonlar
bazı
temel matematiksel fonksiyonların accedilıklamaları
35 FonksyonlarMATRİSLER
Oumlrnekgtgtexp(1)ans=27183gtgtfix(35)ans=3gtgtceil(35)ans=4gtgtround(35)ans=4
51
Matlabda oumlnceden tanımlanmıs bazı
sabitlerdirBunlar aşağıdaki tabloda goumlsterilmistir
36 Oumlzel SabitlerMatlab
52
Oumlrnekler
1)
a=1
2)
a=rsquoİstanbulrsquo
3)
a=5b=7c=a+b
4) a=5b=-3c=a+2ba=a+b
5)
num=23-5^2 x=num2 y=x+10
7 Sabitler Değiskenler ve Metin KatarlarıMatlab
53
Oumlrnek
Komut satırına
a)
sin(30)
b)
sin(30pi180) yazınız sonuccedilları
inceleyiniz
35 FonksyonlarMATRİSLER
Cevapa) -09880 sonucu goumlruumlluumlr ki bu 30deg
nin sinuumlsuumlnde n farklıdır Ccediluumlnkuuml
bu 30deg
derece değil 30 radyanın sinuumlsuumlduumlrb) 05000 sonucu goumlruumlluumlr ki bu da 30deg
nin sinuumlsuumld uumlr O halde bir
sayının trigonometrik değerini buldurmak iccedilin oumlnce pi ile ccedilarpıp 180 e boumllerek accedilıyı
radyan ccedilevirip sonra trigonometrik değerini
hesaplatabiliriz
54
oVektoumlrler tek boyutlu sayı
dizileridir
oElemanlarının sıralanma youmlnlerine goumlre suumltun veya satır vektoumlruuml
adlarını alırlar
ovektoumlrler [ ] koumlşeli parantezleri ile tanımlanır
ofarklı
yolla tanımlanabilirler
4 VektoumlrlerMatlab
A = [4 12 -8 6]A = [4 12 -8 6]
B = [1 2 4 6]
Satır Vektoumlruuml
Suumltun Vektoumlruumlgtgt b=[1 2 4 6 ]
55
4 VektoumlrlerMatlab
ovektoumlr boyutları
buumlyuumlduumlkccedile manuel olarak tanıtım işlemi oldukccedila zorlaşmaktadır
oOumlzellikle belli bir artıma sahip vektoumlrlerin oluşturulmasında () operatoumlruuml kullanılmaktadır
C = [-105150]
Son değerBaşlangıccedil değeri Artış
miktarı
Drsquo
= [30-10-30]
Suumltun Vektoumlruuml
56
Vektoumlr indisleri
4 VektoumlrlerMatlab
Bir vektoumlruumln elemanlarına atanılan değer değişkenler editoumlruuml
veya eleman adresi vasıtasıyla değiştirilebilir
OumlrnekA = [4 12 -8 6]1 A vektoumlruumlnuumln 3 elemanını
27 ile değiştiriniz
2 Benzer şekilde A vektoumlruumlnuumln 2 elemanını
siliniz 3 A(9) = 12
Ccediloumlzuumlm1 A(3) = 272 Vektoumlruumln elemanına [ ] değeri atandığında eleman silinirA(2) = [ ]3 gtgt A(9) = 12
A= [ 4 27 6]
A =[ 2 27 7 0 0 0 0 0 12]
57
raquo x=[17 8 61 83 56]
Şeklindeki bir matrisin uumlccediluumlncuuml
elemanına erişmek istenirse
raquo c=x(3)
c =
61
Eğer bir blok şeklinde veriye erişilmek istenirse
raquo x(24)
ans =
8 61 83
Her matristeki herhangi bir elman grubuna erişilmek istenirse
raquo x([3 1 4])
ans =
61 17 83
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
58
Bir diziye duumlzenli artıs (veya azalıs) kuralıyla değerler atanmak isteniyorsa
bunu
ilk_değerartısson değer veya ilk_değerartısson değer
biccediliminde yapabiliriz
Ancak artıs 1 ise belirtilmeyebilirOumlrnekortalama adlı
bir diziye 0 dan 5 e kadar 05 er artısla elde edilen sayı
dizisini atayanortalama=[0055]
Siz 1 satır 7 den den 17 ye kadar olan tam sayılar 2 satırı
99 dan 89 a kadar azalan tam sayılardan olusan 2 boyutlu m dizisine atayan islemleri yazınız
Dizilerin Değerlerinin Değistirilmesi ve Duumlzenlenmesi
4 VektoumlrlerMatlab
59
4 VektoumlrlerMatlab
60
Sayılardan olusan satır ve suumltun yapısına matris (dizi) denir
Oumlrneğin
d1=[5] 1x1 lik
d2=[ 2 -7] 1x2 lik
d3= [1 0 -3 ]
[ 5 3 1 ]
2x3 luumlk bir dizidir
Oumlrnekx=[1 7 18 5]Ya daraquo x=[ 1
7185 ]
Biccedilimlerinde girilebilir
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
61
Dizilerin Değerlerinin Değistirilmesi ve DuumlzenlenmesiBir dizinin herhangi bir elemanını belirlemek iccedilin dizi adından hemen sonra
parantez iccedilinde elemanın bulunduğu satır ve suumltun sayısı yazılmalıdır
Oumlrnek 1 d2=[2 -7]d2 dizisinin -7 elemanını
goumlruumlntuumllemek iccedilin
d2(12)
2 d3=[1 0 -35 3 1]d3 dizisinin 2 satır 1 suumltununda bulunan 5 in değerinin -75 olması
iccedilin
d3(21)=-75
Not1) Bir dizinin bir ccedilok elemanını
yeniden değer atamak gerekirse komut satırından atama yapmak uzun zaman alabilirBu durumda dizi değiskeninin uumlzerine ccedilift tıklayarak accedilılan dizi editoumlruuml
(array edit) yardımıyla değisiklikleri daha kolay yapabiliriz
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
62
8 Matrisler(Dizi)Matlab
Bir matrisi girerken o1 Elemanlar baştan ve sondan koumlşeli parantezlerle kapatılıro2 Elemanların arasına boşluk veya virguumll konuluro3 Matris satırlarını
ayırmak iccedilin de noktalı
virguumll kullanılır
okurallarına dikkate alınmalıdır
Oumlrneğin
A = [1 2 3 4 5 6]A =
1 2 34 5 6
şeklinde veriler matrisler biccediliminde tanımlanır MATLAB daha sonra kullanılmak uumlzere verileri A matrisinde saklar
63
Matris elemanları
rasgele rakamlardan oluşabileceği gibi MATLABrsquoın deyimlerinden de oluşabilir
51 Matrislerde ElemanlarMatlab
Oumlrneğin
a=[-13 sqrt(3) (1+2+3)475]
a= -13000 17321 48000
Kuumlccediluumlk matrisleri eleman olarak kullanıp daha buumlyuumlk matrisler oluşturmak muumlmkuumlnduumlr
OumlrneğinM=[1 3 5
7 8 9] matrisine
aşağıda goumlsterildiği şekilde bir satır eklemesi yapabilir
M=[M[10 13 15]]
Bu durumda M matrisiM=[1 3 5
7 8 910 13 15]
durumunu alır
64
İki nokta uumlst uumlste () kullanarak buumlyuumlk matrislerin belli bir kısmını
kullanabiliriz
ya da diğer ifade ile bu matrisi kuumlccediluumlltebiliriz
Oumlrneğin
M=M(12) bildirimi M matrisinin ilk iki satırını
alarak M matrisi
olarak saklar
Oumlrnek
M=[8 -4 7 66 -7 8 9 4 5 134] ise
M=M(12) =
8 1 Matrislerde ElemanlarMatlab
65
MATLABrsquoda kullanıcı
verileri kendi oluşturacağı
matrisler ile tanımlayabileceği gibi MATLABrsquoın kendi oumlzel matrislerinden de istifade edilebilir
52 Genel MatrislerMatlab
66
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
a) Sıfır Matrisi Olusturan Fonksiyon
Her elemanı sıfır olan mxn boyutunda bir matrise sıfır matrisi denir
Boumlyle bir dizi olusturmak iccedilin zeros fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=zeros(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
3x5 boyutunda s adlı
sıfır matrisi iccedilin
s=zeros(35)
52 Genel MatrislerMatlab
67
b) 1 lerden Olusan Matris
Her elemanı 1 olan mxn boyutunda bir matrisi olusturmak iccedilin ones
fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matria_adı=ones(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
2x3 boyutunda b adlı
tuumlm elemanları
1 olan matrisi olusturalım
b=ones(23)
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
52 Genel MatrislerMatlab
68
c) Birim Matrisi Olusturan Fonksiyon
Esas koumlsegeni 1 lerden diğer elemanları 0 lardan olusan kare matrise (satır
ve suumltun sayısı esit olan ) birim matrisi
kare olmayan matrise de diyagonal matris denir
Boumlyle matrisleri olusturmak iccedilin eye fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=eye(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
a)
3x3 luumlk birim matris
b) 4x3 lluumlk diyagonal matris olusturalım
Ccediloumlzuumlma) i=eye(33) b) d=eye(43)
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar52 Genel MatrislerMatlab
69
d) Rastgele Sayılardan Olusan Matris ve Fonksiyonu
Elemanları 0 ile 1 arasındaki rastgele sayılardan olusan bir matris iccedilin
rand fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=rand(mn) biccedilimindedir(msatırnsuumltun)
Not 1) Uumlretilen matrisin tuumlm elemanlarını k gibi bir sayı ile ccedilarparak
sayıları 0 ile k arasına ccedilekebiliriz
Not 2) Ondalıklı sayılardan olusmus bir matrisin elemanlarını
yuvarlayıp tam sayı yapmak iccedilin round fonksiyonunu kullanırız
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar52 Genel MatrislerMatlab
70
Oumlrnek
a) 0 ile 1 arasında rastgele sayılardan olusan 10 elemanlı
a adında bir satır
matrisi olusturalım
b) Elemanları
10 ile 50 arasında sayılardan olusan 5x3 tipinde b matrisini
olusturalım
c) Elemanları
50 ile 300 arasındaki tamsayılardan olusan 3x4 tipinde c matrisini
olusturalım
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
d) Rastgele Sayılardan Olusan Matris ve Fonksiyonu
52 Genel MatrislerMatlab
71
Ccediloumlzuumlm
a)
a=rand(110)
b)
b=10+rand(53)40
c) c=round(50+rand(34)250)
52 Genel MatrislerMatlab
72
e) Rastgele Sayılardan Olusan Normal Dağılımlı
Matris veFonksiyonu
Elemanları rasstgele sayılardan olusan bir normal dağılımlı bir matris iccedilin
randn fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=randn(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek Rastgele sayılardan olusan normal dağılımlı 2x3 luumlk bir n matrisini
olusturalım
Ccediloumlzuumlm n=randn(23)
52 Genel MatrislerMatlab
73
f) Lineer Aralıklı
(Aritmetik) Dizi ve Fonksiyonu
Baslangıccedil ve biis değerleri ve kaccedil elemandan olusacağı belirlenen diziyi
olusturmak iccedilin linspace fonksiyonu kullanılır
Kullanımı
dizi_adı=linspace(ilk_değerson_değereleman_sayısı)
biccedilimindedir
52 Genel MatrislerMatlab
74
Oumlrnek 10 ile 30 arasına 9 tane daha sayı
koyarak aadında bir aritmetik dizi olusturalım
f) Lineer Aralıklı
(Aritmetik) Dizi ve Fonksiyonu
52 Genel MatrislerMatlab
Cevapa=linspace(103011)
75
Elimizdeki grubun her elemanı iccedilin bir matematik işlemi yapıp bunu yeni bir
diziye atarken herhangi bir sorun yoktur
Fakat iki farklı grupla işlemler yaparken dikkat etmemiz gereken genel
kurallar vardır
Oumlrneğin toplama ve ccedilıkarma yaparken iki dizinin de buumlyuumlkluumlğuumlnuumln eşit
olması gerekmektedir
Ayrıca iki farklı dizinin elemanları arasında birebir işlem yapmak iccedilin
matematik operatoumlruumlnuumln başına nokta() koymak gerekir
Bu durumda her bir elemanı diğer dizinin o sıradaki elmanı ile işleme
sokacaktır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
76
Birden fazla satır ve suumltuna sahip vektoumlrlere matris denir Noktalı
virguumll ()
işareti ile kolonları
ve virguumlle işareti ya da boşluk
bırakarak da bir sıradaki elemanları
ayırabilirizOumlrnekraquo x=[ 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14]x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14Yukarıdaki 3x4 boyutunda bir matristir MATLAB programına aşağıdaki
gibi de sunulabilirraquo x=[ 3 4 5 6
7 8 9 1011 12 13 14]
x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
77
Matristeki herhangi bir elemana direk ulaşmak iccedilin aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(23)=9
Eğer isteğimiz eriştiğimiz bir elemanı
değiştirmek veya yeni bir satır eklemek ise aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(41)=1x =
3 4 5 67 8 9 1011 12 13 141 0 0 0
Bu durumda doumlrduumlncuuml
satır ilk elemanını
biz 1 değerini atadık ve diğer elemanları
kendiliğinden ldquo0rdquo
olarak atadı
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
78
İki nokta uumlst uumlste () kullanılarak belirli aralıkta değişen matrisler yaratılabilir
raquo x=[127 3-10 -12]x =
1 3 5 73 2 1 0
-1 0 1 2Bir matrisin herhangi bir boumlluumlmuumlnuuml
seccedilmek iccedilin ise aşağıdaki goumlsterim
kullanılırraquo z=x(23 12)z =
3 2-1 0
Bu durumda z matris x matrisinin 2 ve 3 norsquo
lu satırlarından 1 ve 2 norsquo
lu suumltunlarını
almış
oluyor
Herhangi bir satır veya suumltunu tamamen silmek istersek o satır ve suumltunu seccedilip ldquo[]rdquo
ifadesine eşitleriz
raquo z(2)=[ ]z =
3 -1
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
79
Matlab size ve length komutları
yardımı
ile size matrisinizin boyutlarını
soumlyler
raquo a=[ 2 3 4 5 67 8 9 10 11]
raquo s=size(a)s =
2 5
raquo b=[ 17 11 0 30 40 50]
raquo k=length(b)k =
6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
80
a) Toplama-Ccedilıkarma Bir Sayı
ile Ccedilarpma İşlemi
İki matrisi toplamak (veya ccedilıkarmak) demek matrislerin aynı
mertebedeki elemanları teker teker toplayıp (veya ccedilıkarıp ) aynı
mertebeye yazmak demektir
Bu durumda iki matrisin de aynı mertebeden olması gereği accedilıktır
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile toplamak (veya ccedilıkarmak) demek
matrisin elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla toplamak (veya
ccedilıkarmak )demektir
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile ccedilarpmak demek ise matrisin
elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla ccedilarpmak demektir
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
81
82
Oumlrnek
raquo a=[1 2 3 4 5 6]raquo b=[7 8 9 10 11 12]
a ve b toplamıraquo sum=a+bsum =
8 10 1214 16 18
arsquo
yı
brsquo
den ccedilıkarmak
raquo diff=a-bdiff =
-6 -6 -6-6 -6 -6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
83
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] ve b=[3 -3 -41 1 5] matrisleri
veriliyor
a)
c=a+b toplam matrisini
b)
d=a-b matrisini
c)
amatrisinin her elemanınının 5 eksiğine karsılık gelen e
matrisini
d) f=2a-3b matrisini bulduran islemleri yazalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
a) c=a+b b) d=a-b c) e=a-5 d) f=a+a-b-b-b veya
f=2a-3b
84
İki matrisin ccedilarpım islemi iki biccedilimde anlasılır
1)
Aynı
mertebeden iki matrisin elemanlarını
teker teker ccedilarpıp aynı
mertebeye
yazmak demektir Bunu
islemi ile gerccedileklestiririz
2) Matematiksel anlamda iki matrisi ccedilarpmak istediğimizde birinci matris mxn
tuumlruumlnde ve ikinci matris mutlaka nxp tuumlruumlnde olmalıdır yani birinci matrisin
suumltun sayısı
ikinci matrisin satır sayısına eşit olmalıdır
Bu durumda birinci matrisin i suumltun elemanları
ile ikinci matrisin j satırındaki
elemanlar karılıklı
olarak ccedilarpılır ve sonuccedillar toplanır ve bu toplam ccedilarpım
matrisinin (ij) inci mertebeye yazılır
Matrisler arası
ccedilarpma isleminin semboluuml
de dır
b) İki Matrisin Ccedilarpımı Bir Matrisin Kuvvetleri veCcedilarpma İslemi
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
85
3) Bir a matrisinin her bir elemanının n Kuvvetlerinden olusan matrisi
bulmak iccedilin a^n islemi kullanılır
4) Satır ve suumltun sayıları
esit bir kare matrisi ardısık olarak n defa
kendisiyle ccedilarparak a matrisinin n kuvvetini bulabilirizOumlrneğin a matrisinin
karesi iccedilin aa veya a^2 kuumlbuumlnuuml
buldurmak iccedilin aaa veya a^3
doumlrduumlncuuml
kuvvetini buldurmak iccedilin aaaa veya a^4
Not) Bir a matrisinin eleman -elemana ccedilarpma islemine benzer mantıkla bir matrisin tuumlm elemanlarının kareleri kuumlbleri sinuumlsleri kosinuumlsleri logaritmalarından olusan matris bulunmak istenirse bunu sırayla aa (veya a^2) aaa (veya a^3) sin(a) cos(a) etabanında logaritması
iccedilin log(a) 10 tabanında logaritmaları
iccedilin log10(a) Biccediliminde gerccedileklestirebiliriz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
86
a) a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c1 matrisi varsa bulalım
b) a matrisi ile b matrisinin ccedilarpım matrisi olan c2 varsa bulalım
c) a matrisinin elemanları
ile c matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c3 matrisi varsa bulalım
d) a matrisi ile c matrisinin ccedilarpım matrisi olan c4 varsa bulalım
e) a matrisinin elemanlarının karelerinden olusan matris ile b matrisinin
kosinuumlslerinden olusan matrisler toplamını
bulalım
f) x=[1 00 3] matrisinin i) Karesini ii) Kuumlbuumlnuuml
iii) 10
kuvvetini bulalım
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] b=[3 -3 -41 1 5] ve c=[1 0-1 23 3] matrisleri veriliyor
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
87
Ccediloumlzuumlma) iki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirBu durumda c1 matrisi tanımlıdır ve bunu c1=ab islemi ile gerccedileklestirebilirizb) iki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdırHalbuki a matrisi 2x3 b matrisi de 2x3 olduğundan bu iki matris ccedilarpılamazc) İki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirHalbuki bu matrisler aynı mertebeden olmadığından bu iki matris eleman-elemana ccedilarpma islemi
gerccedileklemezd) İki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdıra matrisi 2x3 luumlk c matrisi de 3x2 lik olduğundan bu iki matris ccedilarpılabilir ve c4 ccedilarpım matrisi 2x2 lik bir matris olurc4 ccedilarpım matrisini c4=ac islemi ile buluruze) a^2+cos(b)f) i) x^2 ii) x^3 iii) x^10
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
88
c) Bir Matrisin Devriğini (Transpozesi) Bulma İslemi
Bir matrisin satırlarını suumltun suumltunlarını satır olarak yazılmasıyla
bulunan matrise bu matrisin devriği (transpozesi) denir
Bir matrisin devriğini islemi ile bulabiliriz
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] nın devriğini buldurup d matrisine atayalım
Ccediloumlzuumlm d=a
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
89
Oumlrnek
b=[7 8 9 10 11 12] matrisinin transpozesini bulabilirmisiniz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
c=bc =
7 108 119 12
90
SORU
a=[1 2 3 4 5 6]
c= [710811912]
ise a ve crsquonin ccedilarpım matrisi
kaccediltır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
Ccedilarpma işlemi k=ack=
50 68122 167
91
SORU
a=[1 2 3 4 5 6] b=[7 8 9 10 11 12]
ise a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan x matrisini bulalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
x=abx =
7 16 2740 55 72
92
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
Aynı mertebeden iki matrisin elemanlarını teker teker boumllerek aynı
mertebeye yazılmasına iki matrisin sol boumllmesi denir ve bu islemi ile
yapılır
a b ve c aynı mertebeden kare matrisler olmak uumlzere
c=ab ise a matrisine c nin b matrisine boumlluumlmuuml denir
c boumlluumlm matrisi islemi ile yapılır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
93
HATIRLATMA
2x2 lik i2 adlı birim matrisi i2=eye(22)
3x luumlk i3 adlı birim matrisi i2=eye(33) islemi ile olusturabiiriz
Aynı mertebeden a ve b kare matrisleri iccedilin a ile b nin ccedilarpımı birim matris ise
b matrisi a matrisinin (aynı biccedilimde a matrisi de b matrisinin) ters matrisidir
Oumlrnek
3x3 luumlk bir a kare matrisinin tersini bulmak iccedilin
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
eye(33)a veya inv(a) islemini kullanırız
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
94
Bir Matrisin Determinantı
Determinant kare matrisleri bir sayıya eşleyen fonksiyondur
Determinant fonksiyonunun kare matrisi eşlediği o sayıya matrisin
determinantı denir
A matrisinin determinantı detA veya |A| biccediliminde goumlsterilir
|A| matrislerde mutlak değer anlamına gelmez |A| sıfır veya
negatif de olabilir
det(x)
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
95
KURAL
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
96
Oumlrnek
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Determinant
raquo
deter=det(x)deter =
21
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
97
Oumlrnek Inverse işlemi
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Detx=det(x)=21 ise
raquo y=inv(x)y =
821 121 -521 221
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
98
SORU
a=[2 -10 01 2 43 0 1] matrisi ile b=[1 5 41 -1 20 1 -1] matrisleri veriliyor
a)
a matrisinin elemanlarını
sırasıyla b matrisinin elemanlarına boumllerek elde
edilen matrisi b1 matrisine atayalım
b) a matrisinin ta ters matrisini bulalım
c) a ile ta matrisinin ccedilarpımının 3x3 luumlk birim matris olduğunu goumlsterelim
d) a matrisinin b matrisine boumlluumlmuumlnuuml
b2 matrisine atayalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
99
Ccediloumlzuumlm
a)
b1=ab
b) ta1=eye(33)a veya ta2=inv(a)
c) ata ==eye(33)
d) b2=ab
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
36
o
Birden
fazla ifade
tek satırda aralarına
ya da koyarak yazılabilir
o
Yazımda
boşluk
sayısı
etkisizdir
o
Sadece
ilgili
değişken
adını
yazarak
o değişkeni ccedilağırabilirsiniz
MATRİSLER31 İFADELER
37
o MATLABrsquoda herhangi bir tip tanımlaması
veya boyut ifadesine gerek yoktur
o
MATLAB yeni bir değişken ismi ile karşılaştığında otomatik olarak ans isminde
bir değişken oluşturur ve uygun bir bellek miktarı
ayırır
oEğer değişken zaten varsa MATLAB gerekli bir bellek ayırdığında iccedileriği değişir
Oumlrneğin
o ogrenci_sayı=51
32 DeğişlenlerMatlab
Değisken
değeri değisebilen bellek alanına isaret eden değerlere
38
MATLAB değişken girişleri iccedilin ccedileşitli kurallara sahiptir
Her değişken bir harfle başlamak zorundadır
Program buumlyuumlk kuumlccediluumlk harf duyarlıdır X ve x farklı değişkenleri ifade eder
Program 31 basamağa kadar duyarlıdır Bu basamaktan sonrasını yok sayar
Dolayısıyla 31 basamaktan uzun değişken isimleri karışıklık yaratabilir
32 DeğişlenlerMatlab
39
Değiskenlere Değer Atama
Her hangi bir programlama dilinde olduğu gibi Matlabrsquoda da bir değiskene
değer verme islemine rdquodeğer atamakrdquo denir
Bir değiskene atanan değer değistirilmediği suumlrece aynı kalır
Değer atamanın genel kullanımı asağıdaki biccediliminde olur
ltDeğisken adıgt=ltAtanacak değergt
32 DeğişlenlerMatlab
40
Oumlrnek 2
A=6i-7 A değişkenine skaler bir değer atar
B=A 7
B değişkenine A değişkeninin 17 si atanmıştır
C=[3 4 5 6]
4 elemanlı
bir satır vektoumlruuml
atanmıştır
NOT
Dizi girişinde herhangi bir satıra ait elemanlar aralarına boşluk veya virguumll ldquordquo konularak ayrılır
Dizinin diğer bir satırına başlamak iccedilin biten satır sonuna konulur
32 DeğişlenlerMatlab
41
oMATLABrsquoda sayılar yaygın olarak kullanılan onluk tabanda ifade edilirler
o
Bunun yanısıra onluk tabanda uumlstel olarak veya i veya j olarak kompleks sayı biccedilimlerinde de ifade edilebilirler
oOumlrnek olarak
33 Sayılar
Matlab da i
ve j
başka tuumlrluuml
tanımlanmamışsa kompleks i sayısını
goumlsterir 3e5 sayısıda 3105
anlamındadır
MATRİSLER
42
o
Ondalık sayılar Tuumlrkccedilemizdeki
35 yerine
35 şeklinde
goumlsterilir
(00001 veya 963
065 yerine 65)
o
Bilimsel
notasyon
goumlsterimi olan e
(veya E) harfi
10rsquonun kuvvetini
temsil eder
o 2e4=2104=2000 veya
165e-20=16510-20
demektir
o
Kompleks
sayılarda
imajiner
(sanal) kısımlar
i
veya
j
ekini
alır
i veya
j
ile
gosterimlerinde
bir
fark
yoktur
o (1+3i veya 1+3i veya 1+i3) 1+sqrt(3)j
-5i
o
Matlabrsquode
tuumlm
sayılar yaklaşık 210308 ve
210-308 arasında
değişir
33 Sayılar
MATRİSLER
43
Sayı
Formatları
33 SayılarMatlabMATRİSLER
44
oMatlabda bir ccedilok eylem doumlrt islem ve matematiksel bazı
islemler
yaptırabiliriz
oBunun iccedilin ya ilgili komutları
komut penceresinden teker teker girerek veya
ilgili komutları
bir dosyaya yazıp o dosyayı
ccedilağırarak ccedilalıstırabiliriz
oİşlemleri yaptırırken sayıları
reel sayı
ya da karmasık sayı
olarak alabiliriz
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
45
Matematiksel ifadeleri oluşturmak iccedilin operatoumlrler ve oumlnceden tanımlanmış sembolleri kullanabilirsiniz
oOperatoumlrler oumlzetle şunlardır
oMatrislerle yapılan işlemlerde boumllme işlemi iccedilin iki farklı
sembol kullanılmaktadıroBunun yanında eğer sayılar skaler ise iki boumllme işleminin sonucu da aynı
değeri
goumlsterecektiroOumlrneğin 32 ile 23 ifadelerinin sonuccedilları
aynı
olup 15rsquodir
raquo 4+83ndash2ans =26
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
46
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
x=a + b
Bu ifadede a ve b nin toplandığı
ve x değişkeni iccedilinde saklandığıbelirtilmektedir
47
Aritmetiksel İşlemlerde Oumlncelik Durumu
oTek bir aritmetiksel durum iccedilinde birden fazla durum bir arada bulunabildiğine goumlre
hangi işlemin oumlncelik hakkına sahip olunduğunun
bilinmelidir
oMATLABrsquoda kullanılan işlemlerde işlemlerin oumlncelik
listesi
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
bazı
temel matematiksel fonksiyonların accedilıklamaları
48
o
MATLABrsquo
da işlemler soldan sağa işlerlero
İşlemler arası
oumlncelik sırası
aşağıdaki gibidir
1 ^
(Yuumlksek)2
darr
3 + -
(Duumlşuumlk)
raquo 3^(2ndash5)-632 raquo 3^2ndash5ndash632ans = ans =
mdash39630 0
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
49
35 FonksyonlarMATRİSLER
o MATLABrsquoın ccedilok guumlccedilluuml
ve ccedilok kapsamlı
bir fonksiyon yapısı
vardır
oMATLABrsquoda bazı
fonksiyonlar daha oumlnceden yerleştirilmiş
bazıları
ise sonradan
dışarıdan yerleştirilmiş
M-dosyalarından oluşan MATLAB kuumltuumlphanelerinde
tanımlanmışlardır
oBunun yanında oumlzel uygulamalar iccedilin kullanıcıların kendi fonksiyonlarını
yazarak
kendi kuumltuumlphanelerini oluşturması
muumlmkuumlnduumlr
MATLABrsquoda mevcut analitik fonksiyonları
genel olarak aşağıdaki kategorilere ayırabiliriz oTemel matematiksel fonksiyonlaroOumlzel fonksiyonlaroTemel matrisler ve matris işlemlerioMatrisleri ccedilarpanlarına ayırmaoVeri analizlerioPolinomlaroDiferansiyel denklem ccediloumlzuumlmlerioLineer olmayan denklemler ve optimizasyonoSayısal integral hesaplamalarıoSinyal işleme
50
Matematiksel Fonksiyonlar
bazı
temel matematiksel fonksiyonların accedilıklamaları
35 FonksyonlarMATRİSLER
Oumlrnekgtgtexp(1)ans=27183gtgtfix(35)ans=3gtgtceil(35)ans=4gtgtround(35)ans=4
51
Matlabda oumlnceden tanımlanmıs bazı
sabitlerdirBunlar aşağıdaki tabloda goumlsterilmistir
36 Oumlzel SabitlerMatlab
52
Oumlrnekler
1)
a=1
2)
a=rsquoİstanbulrsquo
3)
a=5b=7c=a+b
4) a=5b=-3c=a+2ba=a+b
5)
num=23-5^2 x=num2 y=x+10
7 Sabitler Değiskenler ve Metin KatarlarıMatlab
53
Oumlrnek
Komut satırına
a)
sin(30)
b)
sin(30pi180) yazınız sonuccedilları
inceleyiniz
35 FonksyonlarMATRİSLER
Cevapa) -09880 sonucu goumlruumlluumlr ki bu 30deg
nin sinuumlsuumlnde n farklıdır Ccediluumlnkuuml
bu 30deg
derece değil 30 radyanın sinuumlsuumlduumlrb) 05000 sonucu goumlruumlluumlr ki bu da 30deg
nin sinuumlsuumld uumlr O halde bir
sayının trigonometrik değerini buldurmak iccedilin oumlnce pi ile ccedilarpıp 180 e boumllerek accedilıyı
radyan ccedilevirip sonra trigonometrik değerini
hesaplatabiliriz
54
oVektoumlrler tek boyutlu sayı
dizileridir
oElemanlarının sıralanma youmlnlerine goumlre suumltun veya satır vektoumlruuml
adlarını alırlar
ovektoumlrler [ ] koumlşeli parantezleri ile tanımlanır
ofarklı
yolla tanımlanabilirler
4 VektoumlrlerMatlab
A = [4 12 -8 6]A = [4 12 -8 6]
B = [1 2 4 6]
Satır Vektoumlruuml
Suumltun Vektoumlruumlgtgt b=[1 2 4 6 ]
55
4 VektoumlrlerMatlab
ovektoumlr boyutları
buumlyuumlduumlkccedile manuel olarak tanıtım işlemi oldukccedila zorlaşmaktadır
oOumlzellikle belli bir artıma sahip vektoumlrlerin oluşturulmasında () operatoumlruuml kullanılmaktadır
C = [-105150]
Son değerBaşlangıccedil değeri Artış
miktarı
Drsquo
= [30-10-30]
Suumltun Vektoumlruuml
56
Vektoumlr indisleri
4 VektoumlrlerMatlab
Bir vektoumlruumln elemanlarına atanılan değer değişkenler editoumlruuml
veya eleman adresi vasıtasıyla değiştirilebilir
OumlrnekA = [4 12 -8 6]1 A vektoumlruumlnuumln 3 elemanını
27 ile değiştiriniz
2 Benzer şekilde A vektoumlruumlnuumln 2 elemanını
siliniz 3 A(9) = 12
Ccediloumlzuumlm1 A(3) = 272 Vektoumlruumln elemanına [ ] değeri atandığında eleman silinirA(2) = [ ]3 gtgt A(9) = 12
A= [ 4 27 6]
A =[ 2 27 7 0 0 0 0 0 12]
57
raquo x=[17 8 61 83 56]
Şeklindeki bir matrisin uumlccediluumlncuuml
elemanına erişmek istenirse
raquo c=x(3)
c =
61
Eğer bir blok şeklinde veriye erişilmek istenirse
raquo x(24)
ans =
8 61 83
Her matristeki herhangi bir elman grubuna erişilmek istenirse
raquo x([3 1 4])
ans =
61 17 83
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
58
Bir diziye duumlzenli artıs (veya azalıs) kuralıyla değerler atanmak isteniyorsa
bunu
ilk_değerartısson değer veya ilk_değerartısson değer
biccediliminde yapabiliriz
Ancak artıs 1 ise belirtilmeyebilirOumlrnekortalama adlı
bir diziye 0 dan 5 e kadar 05 er artısla elde edilen sayı
dizisini atayanortalama=[0055]
Siz 1 satır 7 den den 17 ye kadar olan tam sayılar 2 satırı
99 dan 89 a kadar azalan tam sayılardan olusan 2 boyutlu m dizisine atayan islemleri yazınız
Dizilerin Değerlerinin Değistirilmesi ve Duumlzenlenmesi
4 VektoumlrlerMatlab
59
4 VektoumlrlerMatlab
60
Sayılardan olusan satır ve suumltun yapısına matris (dizi) denir
Oumlrneğin
d1=[5] 1x1 lik
d2=[ 2 -7] 1x2 lik
d3= [1 0 -3 ]
[ 5 3 1 ]
2x3 luumlk bir dizidir
Oumlrnekx=[1 7 18 5]Ya daraquo x=[ 1
7185 ]
Biccedilimlerinde girilebilir
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
61
Dizilerin Değerlerinin Değistirilmesi ve DuumlzenlenmesiBir dizinin herhangi bir elemanını belirlemek iccedilin dizi adından hemen sonra
parantez iccedilinde elemanın bulunduğu satır ve suumltun sayısı yazılmalıdır
Oumlrnek 1 d2=[2 -7]d2 dizisinin -7 elemanını
goumlruumlntuumllemek iccedilin
d2(12)
2 d3=[1 0 -35 3 1]d3 dizisinin 2 satır 1 suumltununda bulunan 5 in değerinin -75 olması
iccedilin
d3(21)=-75
Not1) Bir dizinin bir ccedilok elemanını
yeniden değer atamak gerekirse komut satırından atama yapmak uzun zaman alabilirBu durumda dizi değiskeninin uumlzerine ccedilift tıklayarak accedilılan dizi editoumlruuml
(array edit) yardımıyla değisiklikleri daha kolay yapabiliriz
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
62
8 Matrisler(Dizi)Matlab
Bir matrisi girerken o1 Elemanlar baştan ve sondan koumlşeli parantezlerle kapatılıro2 Elemanların arasına boşluk veya virguumll konuluro3 Matris satırlarını
ayırmak iccedilin de noktalı
virguumll kullanılır
okurallarına dikkate alınmalıdır
Oumlrneğin
A = [1 2 3 4 5 6]A =
1 2 34 5 6
şeklinde veriler matrisler biccediliminde tanımlanır MATLAB daha sonra kullanılmak uumlzere verileri A matrisinde saklar
63
Matris elemanları
rasgele rakamlardan oluşabileceği gibi MATLABrsquoın deyimlerinden de oluşabilir
51 Matrislerde ElemanlarMatlab
Oumlrneğin
a=[-13 sqrt(3) (1+2+3)475]
a= -13000 17321 48000
Kuumlccediluumlk matrisleri eleman olarak kullanıp daha buumlyuumlk matrisler oluşturmak muumlmkuumlnduumlr
OumlrneğinM=[1 3 5
7 8 9] matrisine
aşağıda goumlsterildiği şekilde bir satır eklemesi yapabilir
M=[M[10 13 15]]
Bu durumda M matrisiM=[1 3 5
7 8 910 13 15]
durumunu alır
64
İki nokta uumlst uumlste () kullanarak buumlyuumlk matrislerin belli bir kısmını
kullanabiliriz
ya da diğer ifade ile bu matrisi kuumlccediluumlltebiliriz
Oumlrneğin
M=M(12) bildirimi M matrisinin ilk iki satırını
alarak M matrisi
olarak saklar
Oumlrnek
M=[8 -4 7 66 -7 8 9 4 5 134] ise
M=M(12) =
8 1 Matrislerde ElemanlarMatlab
65
MATLABrsquoda kullanıcı
verileri kendi oluşturacağı
matrisler ile tanımlayabileceği gibi MATLABrsquoın kendi oumlzel matrislerinden de istifade edilebilir
52 Genel MatrislerMatlab
66
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
a) Sıfır Matrisi Olusturan Fonksiyon
Her elemanı sıfır olan mxn boyutunda bir matrise sıfır matrisi denir
Boumlyle bir dizi olusturmak iccedilin zeros fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=zeros(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
3x5 boyutunda s adlı
sıfır matrisi iccedilin
s=zeros(35)
52 Genel MatrislerMatlab
67
b) 1 lerden Olusan Matris
Her elemanı 1 olan mxn boyutunda bir matrisi olusturmak iccedilin ones
fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matria_adı=ones(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
2x3 boyutunda b adlı
tuumlm elemanları
1 olan matrisi olusturalım
b=ones(23)
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
52 Genel MatrislerMatlab
68
c) Birim Matrisi Olusturan Fonksiyon
Esas koumlsegeni 1 lerden diğer elemanları 0 lardan olusan kare matrise (satır
ve suumltun sayısı esit olan ) birim matrisi
kare olmayan matrise de diyagonal matris denir
Boumlyle matrisleri olusturmak iccedilin eye fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=eye(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
a)
3x3 luumlk birim matris
b) 4x3 lluumlk diyagonal matris olusturalım
Ccediloumlzuumlma) i=eye(33) b) d=eye(43)
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar52 Genel MatrislerMatlab
69
d) Rastgele Sayılardan Olusan Matris ve Fonksiyonu
Elemanları 0 ile 1 arasındaki rastgele sayılardan olusan bir matris iccedilin
rand fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=rand(mn) biccedilimindedir(msatırnsuumltun)
Not 1) Uumlretilen matrisin tuumlm elemanlarını k gibi bir sayı ile ccedilarparak
sayıları 0 ile k arasına ccedilekebiliriz
Not 2) Ondalıklı sayılardan olusmus bir matrisin elemanlarını
yuvarlayıp tam sayı yapmak iccedilin round fonksiyonunu kullanırız
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar52 Genel MatrislerMatlab
70
Oumlrnek
a) 0 ile 1 arasında rastgele sayılardan olusan 10 elemanlı
a adında bir satır
matrisi olusturalım
b) Elemanları
10 ile 50 arasında sayılardan olusan 5x3 tipinde b matrisini
olusturalım
c) Elemanları
50 ile 300 arasındaki tamsayılardan olusan 3x4 tipinde c matrisini
olusturalım
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
d) Rastgele Sayılardan Olusan Matris ve Fonksiyonu
52 Genel MatrislerMatlab
71
Ccediloumlzuumlm
a)
a=rand(110)
b)
b=10+rand(53)40
c) c=round(50+rand(34)250)
52 Genel MatrislerMatlab
72
e) Rastgele Sayılardan Olusan Normal Dağılımlı
Matris veFonksiyonu
Elemanları rasstgele sayılardan olusan bir normal dağılımlı bir matris iccedilin
randn fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=randn(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek Rastgele sayılardan olusan normal dağılımlı 2x3 luumlk bir n matrisini
olusturalım
Ccediloumlzuumlm n=randn(23)
52 Genel MatrislerMatlab
73
f) Lineer Aralıklı
(Aritmetik) Dizi ve Fonksiyonu
Baslangıccedil ve biis değerleri ve kaccedil elemandan olusacağı belirlenen diziyi
olusturmak iccedilin linspace fonksiyonu kullanılır
Kullanımı
dizi_adı=linspace(ilk_değerson_değereleman_sayısı)
biccedilimindedir
52 Genel MatrislerMatlab
74
Oumlrnek 10 ile 30 arasına 9 tane daha sayı
koyarak aadında bir aritmetik dizi olusturalım
f) Lineer Aralıklı
(Aritmetik) Dizi ve Fonksiyonu
52 Genel MatrislerMatlab
Cevapa=linspace(103011)
75
Elimizdeki grubun her elemanı iccedilin bir matematik işlemi yapıp bunu yeni bir
diziye atarken herhangi bir sorun yoktur
Fakat iki farklı grupla işlemler yaparken dikkat etmemiz gereken genel
kurallar vardır
Oumlrneğin toplama ve ccedilıkarma yaparken iki dizinin de buumlyuumlkluumlğuumlnuumln eşit
olması gerekmektedir
Ayrıca iki farklı dizinin elemanları arasında birebir işlem yapmak iccedilin
matematik operatoumlruumlnuumln başına nokta() koymak gerekir
Bu durumda her bir elemanı diğer dizinin o sıradaki elmanı ile işleme
sokacaktır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
76
Birden fazla satır ve suumltuna sahip vektoumlrlere matris denir Noktalı
virguumll ()
işareti ile kolonları
ve virguumlle işareti ya da boşluk
bırakarak da bir sıradaki elemanları
ayırabilirizOumlrnekraquo x=[ 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14]x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14Yukarıdaki 3x4 boyutunda bir matristir MATLAB programına aşağıdaki
gibi de sunulabilirraquo x=[ 3 4 5 6
7 8 9 1011 12 13 14]
x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
77
Matristeki herhangi bir elemana direk ulaşmak iccedilin aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(23)=9
Eğer isteğimiz eriştiğimiz bir elemanı
değiştirmek veya yeni bir satır eklemek ise aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(41)=1x =
3 4 5 67 8 9 1011 12 13 141 0 0 0
Bu durumda doumlrduumlncuuml
satır ilk elemanını
biz 1 değerini atadık ve diğer elemanları
kendiliğinden ldquo0rdquo
olarak atadı
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
78
İki nokta uumlst uumlste () kullanılarak belirli aralıkta değişen matrisler yaratılabilir
raquo x=[127 3-10 -12]x =
1 3 5 73 2 1 0
-1 0 1 2Bir matrisin herhangi bir boumlluumlmuumlnuuml
seccedilmek iccedilin ise aşağıdaki goumlsterim
kullanılırraquo z=x(23 12)z =
3 2-1 0
Bu durumda z matris x matrisinin 2 ve 3 norsquo
lu satırlarından 1 ve 2 norsquo
lu suumltunlarını
almış
oluyor
Herhangi bir satır veya suumltunu tamamen silmek istersek o satır ve suumltunu seccedilip ldquo[]rdquo
ifadesine eşitleriz
raquo z(2)=[ ]z =
3 -1
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
79
Matlab size ve length komutları
yardımı
ile size matrisinizin boyutlarını
soumlyler
raquo a=[ 2 3 4 5 67 8 9 10 11]
raquo s=size(a)s =
2 5
raquo b=[ 17 11 0 30 40 50]
raquo k=length(b)k =
6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
80
a) Toplama-Ccedilıkarma Bir Sayı
ile Ccedilarpma İşlemi
İki matrisi toplamak (veya ccedilıkarmak) demek matrislerin aynı
mertebedeki elemanları teker teker toplayıp (veya ccedilıkarıp ) aynı
mertebeye yazmak demektir
Bu durumda iki matrisin de aynı mertebeden olması gereği accedilıktır
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile toplamak (veya ccedilıkarmak) demek
matrisin elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla toplamak (veya
ccedilıkarmak )demektir
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile ccedilarpmak demek ise matrisin
elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla ccedilarpmak demektir
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
81
82
Oumlrnek
raquo a=[1 2 3 4 5 6]raquo b=[7 8 9 10 11 12]
a ve b toplamıraquo sum=a+bsum =
8 10 1214 16 18
arsquo
yı
brsquo
den ccedilıkarmak
raquo diff=a-bdiff =
-6 -6 -6-6 -6 -6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
83
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] ve b=[3 -3 -41 1 5] matrisleri
veriliyor
a)
c=a+b toplam matrisini
b)
d=a-b matrisini
c)
amatrisinin her elemanınının 5 eksiğine karsılık gelen e
matrisini
d) f=2a-3b matrisini bulduran islemleri yazalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
a) c=a+b b) d=a-b c) e=a-5 d) f=a+a-b-b-b veya
f=2a-3b
84
İki matrisin ccedilarpım islemi iki biccedilimde anlasılır
1)
Aynı
mertebeden iki matrisin elemanlarını
teker teker ccedilarpıp aynı
mertebeye
yazmak demektir Bunu
islemi ile gerccedileklestiririz
2) Matematiksel anlamda iki matrisi ccedilarpmak istediğimizde birinci matris mxn
tuumlruumlnde ve ikinci matris mutlaka nxp tuumlruumlnde olmalıdır yani birinci matrisin
suumltun sayısı
ikinci matrisin satır sayısına eşit olmalıdır
Bu durumda birinci matrisin i suumltun elemanları
ile ikinci matrisin j satırındaki
elemanlar karılıklı
olarak ccedilarpılır ve sonuccedillar toplanır ve bu toplam ccedilarpım
matrisinin (ij) inci mertebeye yazılır
Matrisler arası
ccedilarpma isleminin semboluuml
de dır
b) İki Matrisin Ccedilarpımı Bir Matrisin Kuvvetleri veCcedilarpma İslemi
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
85
3) Bir a matrisinin her bir elemanının n Kuvvetlerinden olusan matrisi
bulmak iccedilin a^n islemi kullanılır
4) Satır ve suumltun sayıları
esit bir kare matrisi ardısık olarak n defa
kendisiyle ccedilarparak a matrisinin n kuvvetini bulabilirizOumlrneğin a matrisinin
karesi iccedilin aa veya a^2 kuumlbuumlnuuml
buldurmak iccedilin aaa veya a^3
doumlrduumlncuuml
kuvvetini buldurmak iccedilin aaaa veya a^4
Not) Bir a matrisinin eleman -elemana ccedilarpma islemine benzer mantıkla bir matrisin tuumlm elemanlarının kareleri kuumlbleri sinuumlsleri kosinuumlsleri logaritmalarından olusan matris bulunmak istenirse bunu sırayla aa (veya a^2) aaa (veya a^3) sin(a) cos(a) etabanında logaritması
iccedilin log(a) 10 tabanında logaritmaları
iccedilin log10(a) Biccediliminde gerccedileklestirebiliriz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
86
a) a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c1 matrisi varsa bulalım
b) a matrisi ile b matrisinin ccedilarpım matrisi olan c2 varsa bulalım
c) a matrisinin elemanları
ile c matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c3 matrisi varsa bulalım
d) a matrisi ile c matrisinin ccedilarpım matrisi olan c4 varsa bulalım
e) a matrisinin elemanlarının karelerinden olusan matris ile b matrisinin
kosinuumlslerinden olusan matrisler toplamını
bulalım
f) x=[1 00 3] matrisinin i) Karesini ii) Kuumlbuumlnuuml
iii) 10
kuvvetini bulalım
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] b=[3 -3 -41 1 5] ve c=[1 0-1 23 3] matrisleri veriliyor
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
87
Ccediloumlzuumlma) iki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirBu durumda c1 matrisi tanımlıdır ve bunu c1=ab islemi ile gerccedileklestirebilirizb) iki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdırHalbuki a matrisi 2x3 b matrisi de 2x3 olduğundan bu iki matris ccedilarpılamazc) İki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirHalbuki bu matrisler aynı mertebeden olmadığından bu iki matris eleman-elemana ccedilarpma islemi
gerccedileklemezd) İki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdıra matrisi 2x3 luumlk c matrisi de 3x2 lik olduğundan bu iki matris ccedilarpılabilir ve c4 ccedilarpım matrisi 2x2 lik bir matris olurc4 ccedilarpım matrisini c4=ac islemi ile buluruze) a^2+cos(b)f) i) x^2 ii) x^3 iii) x^10
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
88
c) Bir Matrisin Devriğini (Transpozesi) Bulma İslemi
Bir matrisin satırlarını suumltun suumltunlarını satır olarak yazılmasıyla
bulunan matrise bu matrisin devriği (transpozesi) denir
Bir matrisin devriğini islemi ile bulabiliriz
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] nın devriğini buldurup d matrisine atayalım
Ccediloumlzuumlm d=a
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
89
Oumlrnek
b=[7 8 9 10 11 12] matrisinin transpozesini bulabilirmisiniz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
c=bc =
7 108 119 12
90
SORU
a=[1 2 3 4 5 6]
c= [710811912]
ise a ve crsquonin ccedilarpım matrisi
kaccediltır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
Ccedilarpma işlemi k=ack=
50 68122 167
91
SORU
a=[1 2 3 4 5 6] b=[7 8 9 10 11 12]
ise a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan x matrisini bulalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
x=abx =
7 16 2740 55 72
92
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
Aynı mertebeden iki matrisin elemanlarını teker teker boumllerek aynı
mertebeye yazılmasına iki matrisin sol boumllmesi denir ve bu islemi ile
yapılır
a b ve c aynı mertebeden kare matrisler olmak uumlzere
c=ab ise a matrisine c nin b matrisine boumlluumlmuuml denir
c boumlluumlm matrisi islemi ile yapılır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
93
HATIRLATMA
2x2 lik i2 adlı birim matrisi i2=eye(22)
3x luumlk i3 adlı birim matrisi i2=eye(33) islemi ile olusturabiiriz
Aynı mertebeden a ve b kare matrisleri iccedilin a ile b nin ccedilarpımı birim matris ise
b matrisi a matrisinin (aynı biccedilimde a matrisi de b matrisinin) ters matrisidir
Oumlrnek
3x3 luumlk bir a kare matrisinin tersini bulmak iccedilin
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
eye(33)a veya inv(a) islemini kullanırız
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
94
Bir Matrisin Determinantı
Determinant kare matrisleri bir sayıya eşleyen fonksiyondur
Determinant fonksiyonunun kare matrisi eşlediği o sayıya matrisin
determinantı denir
A matrisinin determinantı detA veya |A| biccediliminde goumlsterilir
|A| matrislerde mutlak değer anlamına gelmez |A| sıfır veya
negatif de olabilir
det(x)
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
95
KURAL
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
96
Oumlrnek
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Determinant
raquo
deter=det(x)deter =
21
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
97
Oumlrnek Inverse işlemi
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Detx=det(x)=21 ise
raquo y=inv(x)y =
821 121 -521 221
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
98
SORU
a=[2 -10 01 2 43 0 1] matrisi ile b=[1 5 41 -1 20 1 -1] matrisleri veriliyor
a)
a matrisinin elemanlarını
sırasıyla b matrisinin elemanlarına boumllerek elde
edilen matrisi b1 matrisine atayalım
b) a matrisinin ta ters matrisini bulalım
c) a ile ta matrisinin ccedilarpımının 3x3 luumlk birim matris olduğunu goumlsterelim
d) a matrisinin b matrisine boumlluumlmuumlnuuml
b2 matrisine atayalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
99
Ccediloumlzuumlm
a)
b1=ab
b) ta1=eye(33)a veya ta2=inv(a)
c) ata ==eye(33)
d) b2=ab
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
37
o MATLABrsquoda herhangi bir tip tanımlaması
veya boyut ifadesine gerek yoktur
o
MATLAB yeni bir değişken ismi ile karşılaştığında otomatik olarak ans isminde
bir değişken oluşturur ve uygun bir bellek miktarı
ayırır
oEğer değişken zaten varsa MATLAB gerekli bir bellek ayırdığında iccedileriği değişir
Oumlrneğin
o ogrenci_sayı=51
32 DeğişlenlerMatlab
Değisken
değeri değisebilen bellek alanına isaret eden değerlere
38
MATLAB değişken girişleri iccedilin ccedileşitli kurallara sahiptir
Her değişken bir harfle başlamak zorundadır
Program buumlyuumlk kuumlccediluumlk harf duyarlıdır X ve x farklı değişkenleri ifade eder
Program 31 basamağa kadar duyarlıdır Bu basamaktan sonrasını yok sayar
Dolayısıyla 31 basamaktan uzun değişken isimleri karışıklık yaratabilir
32 DeğişlenlerMatlab
39
Değiskenlere Değer Atama
Her hangi bir programlama dilinde olduğu gibi Matlabrsquoda da bir değiskene
değer verme islemine rdquodeğer atamakrdquo denir
Bir değiskene atanan değer değistirilmediği suumlrece aynı kalır
Değer atamanın genel kullanımı asağıdaki biccediliminde olur
ltDeğisken adıgt=ltAtanacak değergt
32 DeğişlenlerMatlab
40
Oumlrnek 2
A=6i-7 A değişkenine skaler bir değer atar
B=A 7
B değişkenine A değişkeninin 17 si atanmıştır
C=[3 4 5 6]
4 elemanlı
bir satır vektoumlruuml
atanmıştır
NOT
Dizi girişinde herhangi bir satıra ait elemanlar aralarına boşluk veya virguumll ldquordquo konularak ayrılır
Dizinin diğer bir satırına başlamak iccedilin biten satır sonuna konulur
32 DeğişlenlerMatlab
41
oMATLABrsquoda sayılar yaygın olarak kullanılan onluk tabanda ifade edilirler
o
Bunun yanısıra onluk tabanda uumlstel olarak veya i veya j olarak kompleks sayı biccedilimlerinde de ifade edilebilirler
oOumlrnek olarak
33 Sayılar
Matlab da i
ve j
başka tuumlrluuml
tanımlanmamışsa kompleks i sayısını
goumlsterir 3e5 sayısıda 3105
anlamındadır
MATRİSLER
42
o
Ondalık sayılar Tuumlrkccedilemizdeki
35 yerine
35 şeklinde
goumlsterilir
(00001 veya 963
065 yerine 65)
o
Bilimsel
notasyon
goumlsterimi olan e
(veya E) harfi
10rsquonun kuvvetini
temsil eder
o 2e4=2104=2000 veya
165e-20=16510-20
demektir
o
Kompleks
sayılarda
imajiner
(sanal) kısımlar
i
veya
j
ekini
alır
i veya
j
ile
gosterimlerinde
bir
fark
yoktur
o (1+3i veya 1+3i veya 1+i3) 1+sqrt(3)j
-5i
o
Matlabrsquode
tuumlm
sayılar yaklaşık 210308 ve
210-308 arasında
değişir
33 Sayılar
MATRİSLER
43
Sayı
Formatları
33 SayılarMatlabMATRİSLER
44
oMatlabda bir ccedilok eylem doumlrt islem ve matematiksel bazı
islemler
yaptırabiliriz
oBunun iccedilin ya ilgili komutları
komut penceresinden teker teker girerek veya
ilgili komutları
bir dosyaya yazıp o dosyayı
ccedilağırarak ccedilalıstırabiliriz
oİşlemleri yaptırırken sayıları
reel sayı
ya da karmasık sayı
olarak alabiliriz
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
45
Matematiksel ifadeleri oluşturmak iccedilin operatoumlrler ve oumlnceden tanımlanmış sembolleri kullanabilirsiniz
oOperatoumlrler oumlzetle şunlardır
oMatrislerle yapılan işlemlerde boumllme işlemi iccedilin iki farklı
sembol kullanılmaktadıroBunun yanında eğer sayılar skaler ise iki boumllme işleminin sonucu da aynı
değeri
goumlsterecektiroOumlrneğin 32 ile 23 ifadelerinin sonuccedilları
aynı
olup 15rsquodir
raquo 4+83ndash2ans =26
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
46
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
x=a + b
Bu ifadede a ve b nin toplandığı
ve x değişkeni iccedilinde saklandığıbelirtilmektedir
47
Aritmetiksel İşlemlerde Oumlncelik Durumu
oTek bir aritmetiksel durum iccedilinde birden fazla durum bir arada bulunabildiğine goumlre
hangi işlemin oumlncelik hakkına sahip olunduğunun
bilinmelidir
oMATLABrsquoda kullanılan işlemlerde işlemlerin oumlncelik
listesi
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
bazı
temel matematiksel fonksiyonların accedilıklamaları
48
o
MATLABrsquo
da işlemler soldan sağa işlerlero
İşlemler arası
oumlncelik sırası
aşağıdaki gibidir
1 ^
(Yuumlksek)2
darr
3 + -
(Duumlşuumlk)
raquo 3^(2ndash5)-632 raquo 3^2ndash5ndash632ans = ans =
mdash39630 0
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
49
35 FonksyonlarMATRİSLER
o MATLABrsquoın ccedilok guumlccedilluuml
ve ccedilok kapsamlı
bir fonksiyon yapısı
vardır
oMATLABrsquoda bazı
fonksiyonlar daha oumlnceden yerleştirilmiş
bazıları
ise sonradan
dışarıdan yerleştirilmiş
M-dosyalarından oluşan MATLAB kuumltuumlphanelerinde
tanımlanmışlardır
oBunun yanında oumlzel uygulamalar iccedilin kullanıcıların kendi fonksiyonlarını
yazarak
kendi kuumltuumlphanelerini oluşturması
muumlmkuumlnduumlr
MATLABrsquoda mevcut analitik fonksiyonları
genel olarak aşağıdaki kategorilere ayırabiliriz oTemel matematiksel fonksiyonlaroOumlzel fonksiyonlaroTemel matrisler ve matris işlemlerioMatrisleri ccedilarpanlarına ayırmaoVeri analizlerioPolinomlaroDiferansiyel denklem ccediloumlzuumlmlerioLineer olmayan denklemler ve optimizasyonoSayısal integral hesaplamalarıoSinyal işleme
50
Matematiksel Fonksiyonlar
bazı
temel matematiksel fonksiyonların accedilıklamaları
35 FonksyonlarMATRİSLER
Oumlrnekgtgtexp(1)ans=27183gtgtfix(35)ans=3gtgtceil(35)ans=4gtgtround(35)ans=4
51
Matlabda oumlnceden tanımlanmıs bazı
sabitlerdirBunlar aşağıdaki tabloda goumlsterilmistir
36 Oumlzel SabitlerMatlab
52
Oumlrnekler
1)
a=1
2)
a=rsquoİstanbulrsquo
3)
a=5b=7c=a+b
4) a=5b=-3c=a+2ba=a+b
5)
num=23-5^2 x=num2 y=x+10
7 Sabitler Değiskenler ve Metin KatarlarıMatlab
53
Oumlrnek
Komut satırına
a)
sin(30)
b)
sin(30pi180) yazınız sonuccedilları
inceleyiniz
35 FonksyonlarMATRİSLER
Cevapa) -09880 sonucu goumlruumlluumlr ki bu 30deg
nin sinuumlsuumlnde n farklıdır Ccediluumlnkuuml
bu 30deg
derece değil 30 radyanın sinuumlsuumlduumlrb) 05000 sonucu goumlruumlluumlr ki bu da 30deg
nin sinuumlsuumld uumlr O halde bir
sayının trigonometrik değerini buldurmak iccedilin oumlnce pi ile ccedilarpıp 180 e boumllerek accedilıyı
radyan ccedilevirip sonra trigonometrik değerini
hesaplatabiliriz
54
oVektoumlrler tek boyutlu sayı
dizileridir
oElemanlarının sıralanma youmlnlerine goumlre suumltun veya satır vektoumlruuml
adlarını alırlar
ovektoumlrler [ ] koumlşeli parantezleri ile tanımlanır
ofarklı
yolla tanımlanabilirler
4 VektoumlrlerMatlab
A = [4 12 -8 6]A = [4 12 -8 6]
B = [1 2 4 6]
Satır Vektoumlruuml
Suumltun Vektoumlruumlgtgt b=[1 2 4 6 ]
55
4 VektoumlrlerMatlab
ovektoumlr boyutları
buumlyuumlduumlkccedile manuel olarak tanıtım işlemi oldukccedila zorlaşmaktadır
oOumlzellikle belli bir artıma sahip vektoumlrlerin oluşturulmasında () operatoumlruuml kullanılmaktadır
C = [-105150]
Son değerBaşlangıccedil değeri Artış
miktarı
Drsquo
= [30-10-30]
Suumltun Vektoumlruuml
56
Vektoumlr indisleri
4 VektoumlrlerMatlab
Bir vektoumlruumln elemanlarına atanılan değer değişkenler editoumlruuml
veya eleman adresi vasıtasıyla değiştirilebilir
OumlrnekA = [4 12 -8 6]1 A vektoumlruumlnuumln 3 elemanını
27 ile değiştiriniz
2 Benzer şekilde A vektoumlruumlnuumln 2 elemanını
siliniz 3 A(9) = 12
Ccediloumlzuumlm1 A(3) = 272 Vektoumlruumln elemanına [ ] değeri atandığında eleman silinirA(2) = [ ]3 gtgt A(9) = 12
A= [ 4 27 6]
A =[ 2 27 7 0 0 0 0 0 12]
57
raquo x=[17 8 61 83 56]
Şeklindeki bir matrisin uumlccediluumlncuuml
elemanına erişmek istenirse
raquo c=x(3)
c =
61
Eğer bir blok şeklinde veriye erişilmek istenirse
raquo x(24)
ans =
8 61 83
Her matristeki herhangi bir elman grubuna erişilmek istenirse
raquo x([3 1 4])
ans =
61 17 83
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
58
Bir diziye duumlzenli artıs (veya azalıs) kuralıyla değerler atanmak isteniyorsa
bunu
ilk_değerartısson değer veya ilk_değerartısson değer
biccediliminde yapabiliriz
Ancak artıs 1 ise belirtilmeyebilirOumlrnekortalama adlı
bir diziye 0 dan 5 e kadar 05 er artısla elde edilen sayı
dizisini atayanortalama=[0055]
Siz 1 satır 7 den den 17 ye kadar olan tam sayılar 2 satırı
99 dan 89 a kadar azalan tam sayılardan olusan 2 boyutlu m dizisine atayan islemleri yazınız
Dizilerin Değerlerinin Değistirilmesi ve Duumlzenlenmesi
4 VektoumlrlerMatlab
59
4 VektoumlrlerMatlab
60
Sayılardan olusan satır ve suumltun yapısına matris (dizi) denir
Oumlrneğin
d1=[5] 1x1 lik
d2=[ 2 -7] 1x2 lik
d3= [1 0 -3 ]
[ 5 3 1 ]
2x3 luumlk bir dizidir
Oumlrnekx=[1 7 18 5]Ya daraquo x=[ 1
7185 ]
Biccedilimlerinde girilebilir
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
61
Dizilerin Değerlerinin Değistirilmesi ve DuumlzenlenmesiBir dizinin herhangi bir elemanını belirlemek iccedilin dizi adından hemen sonra
parantez iccedilinde elemanın bulunduğu satır ve suumltun sayısı yazılmalıdır
Oumlrnek 1 d2=[2 -7]d2 dizisinin -7 elemanını
goumlruumlntuumllemek iccedilin
d2(12)
2 d3=[1 0 -35 3 1]d3 dizisinin 2 satır 1 suumltununda bulunan 5 in değerinin -75 olması
iccedilin
d3(21)=-75
Not1) Bir dizinin bir ccedilok elemanını
yeniden değer atamak gerekirse komut satırından atama yapmak uzun zaman alabilirBu durumda dizi değiskeninin uumlzerine ccedilift tıklayarak accedilılan dizi editoumlruuml
(array edit) yardımıyla değisiklikleri daha kolay yapabiliriz
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
62
8 Matrisler(Dizi)Matlab
Bir matrisi girerken o1 Elemanlar baştan ve sondan koumlşeli parantezlerle kapatılıro2 Elemanların arasına boşluk veya virguumll konuluro3 Matris satırlarını
ayırmak iccedilin de noktalı
virguumll kullanılır
okurallarına dikkate alınmalıdır
Oumlrneğin
A = [1 2 3 4 5 6]A =
1 2 34 5 6
şeklinde veriler matrisler biccediliminde tanımlanır MATLAB daha sonra kullanılmak uumlzere verileri A matrisinde saklar
63
Matris elemanları
rasgele rakamlardan oluşabileceği gibi MATLABrsquoın deyimlerinden de oluşabilir
51 Matrislerde ElemanlarMatlab
Oumlrneğin
a=[-13 sqrt(3) (1+2+3)475]
a= -13000 17321 48000
Kuumlccediluumlk matrisleri eleman olarak kullanıp daha buumlyuumlk matrisler oluşturmak muumlmkuumlnduumlr
OumlrneğinM=[1 3 5
7 8 9] matrisine
aşağıda goumlsterildiği şekilde bir satır eklemesi yapabilir
M=[M[10 13 15]]
Bu durumda M matrisiM=[1 3 5
7 8 910 13 15]
durumunu alır
64
İki nokta uumlst uumlste () kullanarak buumlyuumlk matrislerin belli bir kısmını
kullanabiliriz
ya da diğer ifade ile bu matrisi kuumlccediluumlltebiliriz
Oumlrneğin
M=M(12) bildirimi M matrisinin ilk iki satırını
alarak M matrisi
olarak saklar
Oumlrnek
M=[8 -4 7 66 -7 8 9 4 5 134] ise
M=M(12) =
8 1 Matrislerde ElemanlarMatlab
65
MATLABrsquoda kullanıcı
verileri kendi oluşturacağı
matrisler ile tanımlayabileceği gibi MATLABrsquoın kendi oumlzel matrislerinden de istifade edilebilir
52 Genel MatrislerMatlab
66
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
a) Sıfır Matrisi Olusturan Fonksiyon
Her elemanı sıfır olan mxn boyutunda bir matrise sıfır matrisi denir
Boumlyle bir dizi olusturmak iccedilin zeros fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=zeros(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
3x5 boyutunda s adlı
sıfır matrisi iccedilin
s=zeros(35)
52 Genel MatrislerMatlab
67
b) 1 lerden Olusan Matris
Her elemanı 1 olan mxn boyutunda bir matrisi olusturmak iccedilin ones
fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matria_adı=ones(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
2x3 boyutunda b adlı
tuumlm elemanları
1 olan matrisi olusturalım
b=ones(23)
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
52 Genel MatrislerMatlab
68
c) Birim Matrisi Olusturan Fonksiyon
Esas koumlsegeni 1 lerden diğer elemanları 0 lardan olusan kare matrise (satır
ve suumltun sayısı esit olan ) birim matrisi
kare olmayan matrise de diyagonal matris denir
Boumlyle matrisleri olusturmak iccedilin eye fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=eye(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
a)
3x3 luumlk birim matris
b) 4x3 lluumlk diyagonal matris olusturalım
Ccediloumlzuumlma) i=eye(33) b) d=eye(43)
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar52 Genel MatrislerMatlab
69
d) Rastgele Sayılardan Olusan Matris ve Fonksiyonu
Elemanları 0 ile 1 arasındaki rastgele sayılardan olusan bir matris iccedilin
rand fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=rand(mn) biccedilimindedir(msatırnsuumltun)
Not 1) Uumlretilen matrisin tuumlm elemanlarını k gibi bir sayı ile ccedilarparak
sayıları 0 ile k arasına ccedilekebiliriz
Not 2) Ondalıklı sayılardan olusmus bir matrisin elemanlarını
yuvarlayıp tam sayı yapmak iccedilin round fonksiyonunu kullanırız
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar52 Genel MatrislerMatlab
70
Oumlrnek
a) 0 ile 1 arasında rastgele sayılardan olusan 10 elemanlı
a adında bir satır
matrisi olusturalım
b) Elemanları
10 ile 50 arasında sayılardan olusan 5x3 tipinde b matrisini
olusturalım
c) Elemanları
50 ile 300 arasındaki tamsayılardan olusan 3x4 tipinde c matrisini
olusturalım
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
d) Rastgele Sayılardan Olusan Matris ve Fonksiyonu
52 Genel MatrislerMatlab
71
Ccediloumlzuumlm
a)
a=rand(110)
b)
b=10+rand(53)40
c) c=round(50+rand(34)250)
52 Genel MatrislerMatlab
72
e) Rastgele Sayılardan Olusan Normal Dağılımlı
Matris veFonksiyonu
Elemanları rasstgele sayılardan olusan bir normal dağılımlı bir matris iccedilin
randn fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=randn(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek Rastgele sayılardan olusan normal dağılımlı 2x3 luumlk bir n matrisini
olusturalım
Ccediloumlzuumlm n=randn(23)
52 Genel MatrislerMatlab
73
f) Lineer Aralıklı
(Aritmetik) Dizi ve Fonksiyonu
Baslangıccedil ve biis değerleri ve kaccedil elemandan olusacağı belirlenen diziyi
olusturmak iccedilin linspace fonksiyonu kullanılır
Kullanımı
dizi_adı=linspace(ilk_değerson_değereleman_sayısı)
biccedilimindedir
52 Genel MatrislerMatlab
74
Oumlrnek 10 ile 30 arasına 9 tane daha sayı
koyarak aadında bir aritmetik dizi olusturalım
f) Lineer Aralıklı
(Aritmetik) Dizi ve Fonksiyonu
52 Genel MatrislerMatlab
Cevapa=linspace(103011)
75
Elimizdeki grubun her elemanı iccedilin bir matematik işlemi yapıp bunu yeni bir
diziye atarken herhangi bir sorun yoktur
Fakat iki farklı grupla işlemler yaparken dikkat etmemiz gereken genel
kurallar vardır
Oumlrneğin toplama ve ccedilıkarma yaparken iki dizinin de buumlyuumlkluumlğuumlnuumln eşit
olması gerekmektedir
Ayrıca iki farklı dizinin elemanları arasında birebir işlem yapmak iccedilin
matematik operatoumlruumlnuumln başına nokta() koymak gerekir
Bu durumda her bir elemanı diğer dizinin o sıradaki elmanı ile işleme
sokacaktır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
76
Birden fazla satır ve suumltuna sahip vektoumlrlere matris denir Noktalı
virguumll ()
işareti ile kolonları
ve virguumlle işareti ya da boşluk
bırakarak da bir sıradaki elemanları
ayırabilirizOumlrnekraquo x=[ 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14]x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14Yukarıdaki 3x4 boyutunda bir matristir MATLAB programına aşağıdaki
gibi de sunulabilirraquo x=[ 3 4 5 6
7 8 9 1011 12 13 14]
x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
77
Matristeki herhangi bir elemana direk ulaşmak iccedilin aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(23)=9
Eğer isteğimiz eriştiğimiz bir elemanı
değiştirmek veya yeni bir satır eklemek ise aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(41)=1x =
3 4 5 67 8 9 1011 12 13 141 0 0 0
Bu durumda doumlrduumlncuuml
satır ilk elemanını
biz 1 değerini atadık ve diğer elemanları
kendiliğinden ldquo0rdquo
olarak atadı
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
78
İki nokta uumlst uumlste () kullanılarak belirli aralıkta değişen matrisler yaratılabilir
raquo x=[127 3-10 -12]x =
1 3 5 73 2 1 0
-1 0 1 2Bir matrisin herhangi bir boumlluumlmuumlnuuml
seccedilmek iccedilin ise aşağıdaki goumlsterim
kullanılırraquo z=x(23 12)z =
3 2-1 0
Bu durumda z matris x matrisinin 2 ve 3 norsquo
lu satırlarından 1 ve 2 norsquo
lu suumltunlarını
almış
oluyor
Herhangi bir satır veya suumltunu tamamen silmek istersek o satır ve suumltunu seccedilip ldquo[]rdquo
ifadesine eşitleriz
raquo z(2)=[ ]z =
3 -1
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
79
Matlab size ve length komutları
yardımı
ile size matrisinizin boyutlarını
soumlyler
raquo a=[ 2 3 4 5 67 8 9 10 11]
raquo s=size(a)s =
2 5
raquo b=[ 17 11 0 30 40 50]
raquo k=length(b)k =
6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
80
a) Toplama-Ccedilıkarma Bir Sayı
ile Ccedilarpma İşlemi
İki matrisi toplamak (veya ccedilıkarmak) demek matrislerin aynı
mertebedeki elemanları teker teker toplayıp (veya ccedilıkarıp ) aynı
mertebeye yazmak demektir
Bu durumda iki matrisin de aynı mertebeden olması gereği accedilıktır
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile toplamak (veya ccedilıkarmak) demek
matrisin elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla toplamak (veya
ccedilıkarmak )demektir
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile ccedilarpmak demek ise matrisin
elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla ccedilarpmak demektir
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
81
82
Oumlrnek
raquo a=[1 2 3 4 5 6]raquo b=[7 8 9 10 11 12]
a ve b toplamıraquo sum=a+bsum =
8 10 1214 16 18
arsquo
yı
brsquo
den ccedilıkarmak
raquo diff=a-bdiff =
-6 -6 -6-6 -6 -6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
83
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] ve b=[3 -3 -41 1 5] matrisleri
veriliyor
a)
c=a+b toplam matrisini
b)
d=a-b matrisini
c)
amatrisinin her elemanınının 5 eksiğine karsılık gelen e
matrisini
d) f=2a-3b matrisini bulduran islemleri yazalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
a) c=a+b b) d=a-b c) e=a-5 d) f=a+a-b-b-b veya
f=2a-3b
84
İki matrisin ccedilarpım islemi iki biccedilimde anlasılır
1)
Aynı
mertebeden iki matrisin elemanlarını
teker teker ccedilarpıp aynı
mertebeye
yazmak demektir Bunu
islemi ile gerccedileklestiririz
2) Matematiksel anlamda iki matrisi ccedilarpmak istediğimizde birinci matris mxn
tuumlruumlnde ve ikinci matris mutlaka nxp tuumlruumlnde olmalıdır yani birinci matrisin
suumltun sayısı
ikinci matrisin satır sayısına eşit olmalıdır
Bu durumda birinci matrisin i suumltun elemanları
ile ikinci matrisin j satırındaki
elemanlar karılıklı
olarak ccedilarpılır ve sonuccedillar toplanır ve bu toplam ccedilarpım
matrisinin (ij) inci mertebeye yazılır
Matrisler arası
ccedilarpma isleminin semboluuml
de dır
b) İki Matrisin Ccedilarpımı Bir Matrisin Kuvvetleri veCcedilarpma İslemi
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
85
3) Bir a matrisinin her bir elemanının n Kuvvetlerinden olusan matrisi
bulmak iccedilin a^n islemi kullanılır
4) Satır ve suumltun sayıları
esit bir kare matrisi ardısık olarak n defa
kendisiyle ccedilarparak a matrisinin n kuvvetini bulabilirizOumlrneğin a matrisinin
karesi iccedilin aa veya a^2 kuumlbuumlnuuml
buldurmak iccedilin aaa veya a^3
doumlrduumlncuuml
kuvvetini buldurmak iccedilin aaaa veya a^4
Not) Bir a matrisinin eleman -elemana ccedilarpma islemine benzer mantıkla bir matrisin tuumlm elemanlarının kareleri kuumlbleri sinuumlsleri kosinuumlsleri logaritmalarından olusan matris bulunmak istenirse bunu sırayla aa (veya a^2) aaa (veya a^3) sin(a) cos(a) etabanında logaritması
iccedilin log(a) 10 tabanında logaritmaları
iccedilin log10(a) Biccediliminde gerccedileklestirebiliriz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
86
a) a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c1 matrisi varsa bulalım
b) a matrisi ile b matrisinin ccedilarpım matrisi olan c2 varsa bulalım
c) a matrisinin elemanları
ile c matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c3 matrisi varsa bulalım
d) a matrisi ile c matrisinin ccedilarpım matrisi olan c4 varsa bulalım
e) a matrisinin elemanlarının karelerinden olusan matris ile b matrisinin
kosinuumlslerinden olusan matrisler toplamını
bulalım
f) x=[1 00 3] matrisinin i) Karesini ii) Kuumlbuumlnuuml
iii) 10
kuvvetini bulalım
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] b=[3 -3 -41 1 5] ve c=[1 0-1 23 3] matrisleri veriliyor
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
87
Ccediloumlzuumlma) iki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirBu durumda c1 matrisi tanımlıdır ve bunu c1=ab islemi ile gerccedileklestirebilirizb) iki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdırHalbuki a matrisi 2x3 b matrisi de 2x3 olduğundan bu iki matris ccedilarpılamazc) İki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirHalbuki bu matrisler aynı mertebeden olmadığından bu iki matris eleman-elemana ccedilarpma islemi
gerccedileklemezd) İki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdıra matrisi 2x3 luumlk c matrisi de 3x2 lik olduğundan bu iki matris ccedilarpılabilir ve c4 ccedilarpım matrisi 2x2 lik bir matris olurc4 ccedilarpım matrisini c4=ac islemi ile buluruze) a^2+cos(b)f) i) x^2 ii) x^3 iii) x^10
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
88
c) Bir Matrisin Devriğini (Transpozesi) Bulma İslemi
Bir matrisin satırlarını suumltun suumltunlarını satır olarak yazılmasıyla
bulunan matrise bu matrisin devriği (transpozesi) denir
Bir matrisin devriğini islemi ile bulabiliriz
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] nın devriğini buldurup d matrisine atayalım
Ccediloumlzuumlm d=a
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
89
Oumlrnek
b=[7 8 9 10 11 12] matrisinin transpozesini bulabilirmisiniz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
c=bc =
7 108 119 12
90
SORU
a=[1 2 3 4 5 6]
c= [710811912]
ise a ve crsquonin ccedilarpım matrisi
kaccediltır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
Ccedilarpma işlemi k=ack=
50 68122 167
91
SORU
a=[1 2 3 4 5 6] b=[7 8 9 10 11 12]
ise a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan x matrisini bulalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
x=abx =
7 16 2740 55 72
92
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
Aynı mertebeden iki matrisin elemanlarını teker teker boumllerek aynı
mertebeye yazılmasına iki matrisin sol boumllmesi denir ve bu islemi ile
yapılır
a b ve c aynı mertebeden kare matrisler olmak uumlzere
c=ab ise a matrisine c nin b matrisine boumlluumlmuuml denir
c boumlluumlm matrisi islemi ile yapılır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
93
HATIRLATMA
2x2 lik i2 adlı birim matrisi i2=eye(22)
3x luumlk i3 adlı birim matrisi i2=eye(33) islemi ile olusturabiiriz
Aynı mertebeden a ve b kare matrisleri iccedilin a ile b nin ccedilarpımı birim matris ise
b matrisi a matrisinin (aynı biccedilimde a matrisi de b matrisinin) ters matrisidir
Oumlrnek
3x3 luumlk bir a kare matrisinin tersini bulmak iccedilin
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
eye(33)a veya inv(a) islemini kullanırız
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
94
Bir Matrisin Determinantı
Determinant kare matrisleri bir sayıya eşleyen fonksiyondur
Determinant fonksiyonunun kare matrisi eşlediği o sayıya matrisin
determinantı denir
A matrisinin determinantı detA veya |A| biccediliminde goumlsterilir
|A| matrislerde mutlak değer anlamına gelmez |A| sıfır veya
negatif de olabilir
det(x)
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
95
KURAL
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
96
Oumlrnek
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Determinant
raquo
deter=det(x)deter =
21
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
97
Oumlrnek Inverse işlemi
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Detx=det(x)=21 ise
raquo y=inv(x)y =
821 121 -521 221
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
98
SORU
a=[2 -10 01 2 43 0 1] matrisi ile b=[1 5 41 -1 20 1 -1] matrisleri veriliyor
a)
a matrisinin elemanlarını
sırasıyla b matrisinin elemanlarına boumllerek elde
edilen matrisi b1 matrisine atayalım
b) a matrisinin ta ters matrisini bulalım
c) a ile ta matrisinin ccedilarpımının 3x3 luumlk birim matris olduğunu goumlsterelim
d) a matrisinin b matrisine boumlluumlmuumlnuuml
b2 matrisine atayalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
99
Ccediloumlzuumlm
a)
b1=ab
b) ta1=eye(33)a veya ta2=inv(a)
c) ata ==eye(33)
d) b2=ab
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
38
MATLAB değişken girişleri iccedilin ccedileşitli kurallara sahiptir
Her değişken bir harfle başlamak zorundadır
Program buumlyuumlk kuumlccediluumlk harf duyarlıdır X ve x farklı değişkenleri ifade eder
Program 31 basamağa kadar duyarlıdır Bu basamaktan sonrasını yok sayar
Dolayısıyla 31 basamaktan uzun değişken isimleri karışıklık yaratabilir
32 DeğişlenlerMatlab
39
Değiskenlere Değer Atama
Her hangi bir programlama dilinde olduğu gibi Matlabrsquoda da bir değiskene
değer verme islemine rdquodeğer atamakrdquo denir
Bir değiskene atanan değer değistirilmediği suumlrece aynı kalır
Değer atamanın genel kullanımı asağıdaki biccediliminde olur
ltDeğisken adıgt=ltAtanacak değergt
32 DeğişlenlerMatlab
40
Oumlrnek 2
A=6i-7 A değişkenine skaler bir değer atar
B=A 7
B değişkenine A değişkeninin 17 si atanmıştır
C=[3 4 5 6]
4 elemanlı
bir satır vektoumlruuml
atanmıştır
NOT
Dizi girişinde herhangi bir satıra ait elemanlar aralarına boşluk veya virguumll ldquordquo konularak ayrılır
Dizinin diğer bir satırına başlamak iccedilin biten satır sonuna konulur
32 DeğişlenlerMatlab
41
oMATLABrsquoda sayılar yaygın olarak kullanılan onluk tabanda ifade edilirler
o
Bunun yanısıra onluk tabanda uumlstel olarak veya i veya j olarak kompleks sayı biccedilimlerinde de ifade edilebilirler
oOumlrnek olarak
33 Sayılar
Matlab da i
ve j
başka tuumlrluuml
tanımlanmamışsa kompleks i sayısını
goumlsterir 3e5 sayısıda 3105
anlamındadır
MATRİSLER
42
o
Ondalık sayılar Tuumlrkccedilemizdeki
35 yerine
35 şeklinde
goumlsterilir
(00001 veya 963
065 yerine 65)
o
Bilimsel
notasyon
goumlsterimi olan e
(veya E) harfi
10rsquonun kuvvetini
temsil eder
o 2e4=2104=2000 veya
165e-20=16510-20
demektir
o
Kompleks
sayılarda
imajiner
(sanal) kısımlar
i
veya
j
ekini
alır
i veya
j
ile
gosterimlerinde
bir
fark
yoktur
o (1+3i veya 1+3i veya 1+i3) 1+sqrt(3)j
-5i
o
Matlabrsquode
tuumlm
sayılar yaklaşık 210308 ve
210-308 arasında
değişir
33 Sayılar
MATRİSLER
43
Sayı
Formatları
33 SayılarMatlabMATRİSLER
44
oMatlabda bir ccedilok eylem doumlrt islem ve matematiksel bazı
islemler
yaptırabiliriz
oBunun iccedilin ya ilgili komutları
komut penceresinden teker teker girerek veya
ilgili komutları
bir dosyaya yazıp o dosyayı
ccedilağırarak ccedilalıstırabiliriz
oİşlemleri yaptırırken sayıları
reel sayı
ya da karmasık sayı
olarak alabiliriz
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
45
Matematiksel ifadeleri oluşturmak iccedilin operatoumlrler ve oumlnceden tanımlanmış sembolleri kullanabilirsiniz
oOperatoumlrler oumlzetle şunlardır
oMatrislerle yapılan işlemlerde boumllme işlemi iccedilin iki farklı
sembol kullanılmaktadıroBunun yanında eğer sayılar skaler ise iki boumllme işleminin sonucu da aynı
değeri
goumlsterecektiroOumlrneğin 32 ile 23 ifadelerinin sonuccedilları
aynı
olup 15rsquodir
raquo 4+83ndash2ans =26
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
46
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
x=a + b
Bu ifadede a ve b nin toplandığı
ve x değişkeni iccedilinde saklandığıbelirtilmektedir
47
Aritmetiksel İşlemlerde Oumlncelik Durumu
oTek bir aritmetiksel durum iccedilinde birden fazla durum bir arada bulunabildiğine goumlre
hangi işlemin oumlncelik hakkına sahip olunduğunun
bilinmelidir
oMATLABrsquoda kullanılan işlemlerde işlemlerin oumlncelik
listesi
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
bazı
temel matematiksel fonksiyonların accedilıklamaları
48
o
MATLABrsquo
da işlemler soldan sağa işlerlero
İşlemler arası
oumlncelik sırası
aşağıdaki gibidir
1 ^
(Yuumlksek)2
darr
3 + -
(Duumlşuumlk)
raquo 3^(2ndash5)-632 raquo 3^2ndash5ndash632ans = ans =
mdash39630 0
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
49
35 FonksyonlarMATRİSLER
o MATLABrsquoın ccedilok guumlccedilluuml
ve ccedilok kapsamlı
bir fonksiyon yapısı
vardır
oMATLABrsquoda bazı
fonksiyonlar daha oumlnceden yerleştirilmiş
bazıları
ise sonradan
dışarıdan yerleştirilmiş
M-dosyalarından oluşan MATLAB kuumltuumlphanelerinde
tanımlanmışlardır
oBunun yanında oumlzel uygulamalar iccedilin kullanıcıların kendi fonksiyonlarını
yazarak
kendi kuumltuumlphanelerini oluşturması
muumlmkuumlnduumlr
MATLABrsquoda mevcut analitik fonksiyonları
genel olarak aşağıdaki kategorilere ayırabiliriz oTemel matematiksel fonksiyonlaroOumlzel fonksiyonlaroTemel matrisler ve matris işlemlerioMatrisleri ccedilarpanlarına ayırmaoVeri analizlerioPolinomlaroDiferansiyel denklem ccediloumlzuumlmlerioLineer olmayan denklemler ve optimizasyonoSayısal integral hesaplamalarıoSinyal işleme
50
Matematiksel Fonksiyonlar
bazı
temel matematiksel fonksiyonların accedilıklamaları
35 FonksyonlarMATRİSLER
Oumlrnekgtgtexp(1)ans=27183gtgtfix(35)ans=3gtgtceil(35)ans=4gtgtround(35)ans=4
51
Matlabda oumlnceden tanımlanmıs bazı
sabitlerdirBunlar aşağıdaki tabloda goumlsterilmistir
36 Oumlzel SabitlerMatlab
52
Oumlrnekler
1)
a=1
2)
a=rsquoİstanbulrsquo
3)
a=5b=7c=a+b
4) a=5b=-3c=a+2ba=a+b
5)
num=23-5^2 x=num2 y=x+10
7 Sabitler Değiskenler ve Metin KatarlarıMatlab
53
Oumlrnek
Komut satırına
a)
sin(30)
b)
sin(30pi180) yazınız sonuccedilları
inceleyiniz
35 FonksyonlarMATRİSLER
Cevapa) -09880 sonucu goumlruumlluumlr ki bu 30deg
nin sinuumlsuumlnde n farklıdır Ccediluumlnkuuml
bu 30deg
derece değil 30 radyanın sinuumlsuumlduumlrb) 05000 sonucu goumlruumlluumlr ki bu da 30deg
nin sinuumlsuumld uumlr O halde bir
sayının trigonometrik değerini buldurmak iccedilin oumlnce pi ile ccedilarpıp 180 e boumllerek accedilıyı
radyan ccedilevirip sonra trigonometrik değerini
hesaplatabiliriz
54
oVektoumlrler tek boyutlu sayı
dizileridir
oElemanlarının sıralanma youmlnlerine goumlre suumltun veya satır vektoumlruuml
adlarını alırlar
ovektoumlrler [ ] koumlşeli parantezleri ile tanımlanır
ofarklı
yolla tanımlanabilirler
4 VektoumlrlerMatlab
A = [4 12 -8 6]A = [4 12 -8 6]
B = [1 2 4 6]
Satır Vektoumlruuml
Suumltun Vektoumlruumlgtgt b=[1 2 4 6 ]
55
4 VektoumlrlerMatlab
ovektoumlr boyutları
buumlyuumlduumlkccedile manuel olarak tanıtım işlemi oldukccedila zorlaşmaktadır
oOumlzellikle belli bir artıma sahip vektoumlrlerin oluşturulmasında () operatoumlruuml kullanılmaktadır
C = [-105150]
Son değerBaşlangıccedil değeri Artış
miktarı
Drsquo
= [30-10-30]
Suumltun Vektoumlruuml
56
Vektoumlr indisleri
4 VektoumlrlerMatlab
Bir vektoumlruumln elemanlarına atanılan değer değişkenler editoumlruuml
veya eleman adresi vasıtasıyla değiştirilebilir
OumlrnekA = [4 12 -8 6]1 A vektoumlruumlnuumln 3 elemanını
27 ile değiştiriniz
2 Benzer şekilde A vektoumlruumlnuumln 2 elemanını
siliniz 3 A(9) = 12
Ccediloumlzuumlm1 A(3) = 272 Vektoumlruumln elemanına [ ] değeri atandığında eleman silinirA(2) = [ ]3 gtgt A(9) = 12
A= [ 4 27 6]
A =[ 2 27 7 0 0 0 0 0 12]
57
raquo x=[17 8 61 83 56]
Şeklindeki bir matrisin uumlccediluumlncuuml
elemanına erişmek istenirse
raquo c=x(3)
c =
61
Eğer bir blok şeklinde veriye erişilmek istenirse
raquo x(24)
ans =
8 61 83
Her matristeki herhangi bir elman grubuna erişilmek istenirse
raquo x([3 1 4])
ans =
61 17 83
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
58
Bir diziye duumlzenli artıs (veya azalıs) kuralıyla değerler atanmak isteniyorsa
bunu
ilk_değerartısson değer veya ilk_değerartısson değer
biccediliminde yapabiliriz
Ancak artıs 1 ise belirtilmeyebilirOumlrnekortalama adlı
bir diziye 0 dan 5 e kadar 05 er artısla elde edilen sayı
dizisini atayanortalama=[0055]
Siz 1 satır 7 den den 17 ye kadar olan tam sayılar 2 satırı
99 dan 89 a kadar azalan tam sayılardan olusan 2 boyutlu m dizisine atayan islemleri yazınız
Dizilerin Değerlerinin Değistirilmesi ve Duumlzenlenmesi
4 VektoumlrlerMatlab
59
4 VektoumlrlerMatlab
60
Sayılardan olusan satır ve suumltun yapısına matris (dizi) denir
Oumlrneğin
d1=[5] 1x1 lik
d2=[ 2 -7] 1x2 lik
d3= [1 0 -3 ]
[ 5 3 1 ]
2x3 luumlk bir dizidir
Oumlrnekx=[1 7 18 5]Ya daraquo x=[ 1
7185 ]
Biccedilimlerinde girilebilir
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
61
Dizilerin Değerlerinin Değistirilmesi ve DuumlzenlenmesiBir dizinin herhangi bir elemanını belirlemek iccedilin dizi adından hemen sonra
parantez iccedilinde elemanın bulunduğu satır ve suumltun sayısı yazılmalıdır
Oumlrnek 1 d2=[2 -7]d2 dizisinin -7 elemanını
goumlruumlntuumllemek iccedilin
d2(12)
2 d3=[1 0 -35 3 1]d3 dizisinin 2 satır 1 suumltununda bulunan 5 in değerinin -75 olması
iccedilin
d3(21)=-75
Not1) Bir dizinin bir ccedilok elemanını
yeniden değer atamak gerekirse komut satırından atama yapmak uzun zaman alabilirBu durumda dizi değiskeninin uumlzerine ccedilift tıklayarak accedilılan dizi editoumlruuml
(array edit) yardımıyla değisiklikleri daha kolay yapabiliriz
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
62
8 Matrisler(Dizi)Matlab
Bir matrisi girerken o1 Elemanlar baştan ve sondan koumlşeli parantezlerle kapatılıro2 Elemanların arasına boşluk veya virguumll konuluro3 Matris satırlarını
ayırmak iccedilin de noktalı
virguumll kullanılır
okurallarına dikkate alınmalıdır
Oumlrneğin
A = [1 2 3 4 5 6]A =
1 2 34 5 6
şeklinde veriler matrisler biccediliminde tanımlanır MATLAB daha sonra kullanılmak uumlzere verileri A matrisinde saklar
63
Matris elemanları
rasgele rakamlardan oluşabileceği gibi MATLABrsquoın deyimlerinden de oluşabilir
51 Matrislerde ElemanlarMatlab
Oumlrneğin
a=[-13 sqrt(3) (1+2+3)475]
a= -13000 17321 48000
Kuumlccediluumlk matrisleri eleman olarak kullanıp daha buumlyuumlk matrisler oluşturmak muumlmkuumlnduumlr
OumlrneğinM=[1 3 5
7 8 9] matrisine
aşağıda goumlsterildiği şekilde bir satır eklemesi yapabilir
M=[M[10 13 15]]
Bu durumda M matrisiM=[1 3 5
7 8 910 13 15]
durumunu alır
64
İki nokta uumlst uumlste () kullanarak buumlyuumlk matrislerin belli bir kısmını
kullanabiliriz
ya da diğer ifade ile bu matrisi kuumlccediluumlltebiliriz
Oumlrneğin
M=M(12) bildirimi M matrisinin ilk iki satırını
alarak M matrisi
olarak saklar
Oumlrnek
M=[8 -4 7 66 -7 8 9 4 5 134] ise
M=M(12) =
8 1 Matrislerde ElemanlarMatlab
65
MATLABrsquoda kullanıcı
verileri kendi oluşturacağı
matrisler ile tanımlayabileceği gibi MATLABrsquoın kendi oumlzel matrislerinden de istifade edilebilir
52 Genel MatrislerMatlab
66
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
a) Sıfır Matrisi Olusturan Fonksiyon
Her elemanı sıfır olan mxn boyutunda bir matrise sıfır matrisi denir
Boumlyle bir dizi olusturmak iccedilin zeros fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=zeros(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
3x5 boyutunda s adlı
sıfır matrisi iccedilin
s=zeros(35)
52 Genel MatrislerMatlab
67
b) 1 lerden Olusan Matris
Her elemanı 1 olan mxn boyutunda bir matrisi olusturmak iccedilin ones
fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matria_adı=ones(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
2x3 boyutunda b adlı
tuumlm elemanları
1 olan matrisi olusturalım
b=ones(23)
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
52 Genel MatrislerMatlab
68
c) Birim Matrisi Olusturan Fonksiyon
Esas koumlsegeni 1 lerden diğer elemanları 0 lardan olusan kare matrise (satır
ve suumltun sayısı esit olan ) birim matrisi
kare olmayan matrise de diyagonal matris denir
Boumlyle matrisleri olusturmak iccedilin eye fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=eye(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
a)
3x3 luumlk birim matris
b) 4x3 lluumlk diyagonal matris olusturalım
Ccediloumlzuumlma) i=eye(33) b) d=eye(43)
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar52 Genel MatrislerMatlab
69
d) Rastgele Sayılardan Olusan Matris ve Fonksiyonu
Elemanları 0 ile 1 arasındaki rastgele sayılardan olusan bir matris iccedilin
rand fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=rand(mn) biccedilimindedir(msatırnsuumltun)
Not 1) Uumlretilen matrisin tuumlm elemanlarını k gibi bir sayı ile ccedilarparak
sayıları 0 ile k arasına ccedilekebiliriz
Not 2) Ondalıklı sayılardan olusmus bir matrisin elemanlarını
yuvarlayıp tam sayı yapmak iccedilin round fonksiyonunu kullanırız
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar52 Genel MatrislerMatlab
70
Oumlrnek
a) 0 ile 1 arasında rastgele sayılardan olusan 10 elemanlı
a adında bir satır
matrisi olusturalım
b) Elemanları
10 ile 50 arasında sayılardan olusan 5x3 tipinde b matrisini
olusturalım
c) Elemanları
50 ile 300 arasındaki tamsayılardan olusan 3x4 tipinde c matrisini
olusturalım
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
d) Rastgele Sayılardan Olusan Matris ve Fonksiyonu
52 Genel MatrislerMatlab
71
Ccediloumlzuumlm
a)
a=rand(110)
b)
b=10+rand(53)40
c) c=round(50+rand(34)250)
52 Genel MatrislerMatlab
72
e) Rastgele Sayılardan Olusan Normal Dağılımlı
Matris veFonksiyonu
Elemanları rasstgele sayılardan olusan bir normal dağılımlı bir matris iccedilin
randn fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=randn(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek Rastgele sayılardan olusan normal dağılımlı 2x3 luumlk bir n matrisini
olusturalım
Ccediloumlzuumlm n=randn(23)
52 Genel MatrislerMatlab
73
f) Lineer Aralıklı
(Aritmetik) Dizi ve Fonksiyonu
Baslangıccedil ve biis değerleri ve kaccedil elemandan olusacağı belirlenen diziyi
olusturmak iccedilin linspace fonksiyonu kullanılır
Kullanımı
dizi_adı=linspace(ilk_değerson_değereleman_sayısı)
biccedilimindedir
52 Genel MatrislerMatlab
74
Oumlrnek 10 ile 30 arasına 9 tane daha sayı
koyarak aadında bir aritmetik dizi olusturalım
f) Lineer Aralıklı
(Aritmetik) Dizi ve Fonksiyonu
52 Genel MatrislerMatlab
Cevapa=linspace(103011)
75
Elimizdeki grubun her elemanı iccedilin bir matematik işlemi yapıp bunu yeni bir
diziye atarken herhangi bir sorun yoktur
Fakat iki farklı grupla işlemler yaparken dikkat etmemiz gereken genel
kurallar vardır
Oumlrneğin toplama ve ccedilıkarma yaparken iki dizinin de buumlyuumlkluumlğuumlnuumln eşit
olması gerekmektedir
Ayrıca iki farklı dizinin elemanları arasında birebir işlem yapmak iccedilin
matematik operatoumlruumlnuumln başına nokta() koymak gerekir
Bu durumda her bir elemanı diğer dizinin o sıradaki elmanı ile işleme
sokacaktır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
76
Birden fazla satır ve suumltuna sahip vektoumlrlere matris denir Noktalı
virguumll ()
işareti ile kolonları
ve virguumlle işareti ya da boşluk
bırakarak da bir sıradaki elemanları
ayırabilirizOumlrnekraquo x=[ 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14]x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14Yukarıdaki 3x4 boyutunda bir matristir MATLAB programına aşağıdaki
gibi de sunulabilirraquo x=[ 3 4 5 6
7 8 9 1011 12 13 14]
x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
77
Matristeki herhangi bir elemana direk ulaşmak iccedilin aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(23)=9
Eğer isteğimiz eriştiğimiz bir elemanı
değiştirmek veya yeni bir satır eklemek ise aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(41)=1x =
3 4 5 67 8 9 1011 12 13 141 0 0 0
Bu durumda doumlrduumlncuuml
satır ilk elemanını
biz 1 değerini atadık ve diğer elemanları
kendiliğinden ldquo0rdquo
olarak atadı
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
78
İki nokta uumlst uumlste () kullanılarak belirli aralıkta değişen matrisler yaratılabilir
raquo x=[127 3-10 -12]x =
1 3 5 73 2 1 0
-1 0 1 2Bir matrisin herhangi bir boumlluumlmuumlnuuml
seccedilmek iccedilin ise aşağıdaki goumlsterim
kullanılırraquo z=x(23 12)z =
3 2-1 0
Bu durumda z matris x matrisinin 2 ve 3 norsquo
lu satırlarından 1 ve 2 norsquo
lu suumltunlarını
almış
oluyor
Herhangi bir satır veya suumltunu tamamen silmek istersek o satır ve suumltunu seccedilip ldquo[]rdquo
ifadesine eşitleriz
raquo z(2)=[ ]z =
3 -1
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
79
Matlab size ve length komutları
yardımı
ile size matrisinizin boyutlarını
soumlyler
raquo a=[ 2 3 4 5 67 8 9 10 11]
raquo s=size(a)s =
2 5
raquo b=[ 17 11 0 30 40 50]
raquo k=length(b)k =
6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
80
a) Toplama-Ccedilıkarma Bir Sayı
ile Ccedilarpma İşlemi
İki matrisi toplamak (veya ccedilıkarmak) demek matrislerin aynı
mertebedeki elemanları teker teker toplayıp (veya ccedilıkarıp ) aynı
mertebeye yazmak demektir
Bu durumda iki matrisin de aynı mertebeden olması gereği accedilıktır
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile toplamak (veya ccedilıkarmak) demek
matrisin elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla toplamak (veya
ccedilıkarmak )demektir
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile ccedilarpmak demek ise matrisin
elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla ccedilarpmak demektir
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
81
82
Oumlrnek
raquo a=[1 2 3 4 5 6]raquo b=[7 8 9 10 11 12]
a ve b toplamıraquo sum=a+bsum =
8 10 1214 16 18
arsquo
yı
brsquo
den ccedilıkarmak
raquo diff=a-bdiff =
-6 -6 -6-6 -6 -6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
83
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] ve b=[3 -3 -41 1 5] matrisleri
veriliyor
a)
c=a+b toplam matrisini
b)
d=a-b matrisini
c)
amatrisinin her elemanınının 5 eksiğine karsılık gelen e
matrisini
d) f=2a-3b matrisini bulduran islemleri yazalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
a) c=a+b b) d=a-b c) e=a-5 d) f=a+a-b-b-b veya
f=2a-3b
84
İki matrisin ccedilarpım islemi iki biccedilimde anlasılır
1)
Aynı
mertebeden iki matrisin elemanlarını
teker teker ccedilarpıp aynı
mertebeye
yazmak demektir Bunu
islemi ile gerccedileklestiririz
2) Matematiksel anlamda iki matrisi ccedilarpmak istediğimizde birinci matris mxn
tuumlruumlnde ve ikinci matris mutlaka nxp tuumlruumlnde olmalıdır yani birinci matrisin
suumltun sayısı
ikinci matrisin satır sayısına eşit olmalıdır
Bu durumda birinci matrisin i suumltun elemanları
ile ikinci matrisin j satırındaki
elemanlar karılıklı
olarak ccedilarpılır ve sonuccedillar toplanır ve bu toplam ccedilarpım
matrisinin (ij) inci mertebeye yazılır
Matrisler arası
ccedilarpma isleminin semboluuml
de dır
b) İki Matrisin Ccedilarpımı Bir Matrisin Kuvvetleri veCcedilarpma İslemi
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
85
3) Bir a matrisinin her bir elemanının n Kuvvetlerinden olusan matrisi
bulmak iccedilin a^n islemi kullanılır
4) Satır ve suumltun sayıları
esit bir kare matrisi ardısık olarak n defa
kendisiyle ccedilarparak a matrisinin n kuvvetini bulabilirizOumlrneğin a matrisinin
karesi iccedilin aa veya a^2 kuumlbuumlnuuml
buldurmak iccedilin aaa veya a^3
doumlrduumlncuuml
kuvvetini buldurmak iccedilin aaaa veya a^4
Not) Bir a matrisinin eleman -elemana ccedilarpma islemine benzer mantıkla bir matrisin tuumlm elemanlarının kareleri kuumlbleri sinuumlsleri kosinuumlsleri logaritmalarından olusan matris bulunmak istenirse bunu sırayla aa (veya a^2) aaa (veya a^3) sin(a) cos(a) etabanında logaritması
iccedilin log(a) 10 tabanında logaritmaları
iccedilin log10(a) Biccediliminde gerccedileklestirebiliriz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
86
a) a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c1 matrisi varsa bulalım
b) a matrisi ile b matrisinin ccedilarpım matrisi olan c2 varsa bulalım
c) a matrisinin elemanları
ile c matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c3 matrisi varsa bulalım
d) a matrisi ile c matrisinin ccedilarpım matrisi olan c4 varsa bulalım
e) a matrisinin elemanlarının karelerinden olusan matris ile b matrisinin
kosinuumlslerinden olusan matrisler toplamını
bulalım
f) x=[1 00 3] matrisinin i) Karesini ii) Kuumlbuumlnuuml
iii) 10
kuvvetini bulalım
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] b=[3 -3 -41 1 5] ve c=[1 0-1 23 3] matrisleri veriliyor
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
87
Ccediloumlzuumlma) iki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirBu durumda c1 matrisi tanımlıdır ve bunu c1=ab islemi ile gerccedileklestirebilirizb) iki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdırHalbuki a matrisi 2x3 b matrisi de 2x3 olduğundan bu iki matris ccedilarpılamazc) İki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirHalbuki bu matrisler aynı mertebeden olmadığından bu iki matris eleman-elemana ccedilarpma islemi
gerccedileklemezd) İki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdıra matrisi 2x3 luumlk c matrisi de 3x2 lik olduğundan bu iki matris ccedilarpılabilir ve c4 ccedilarpım matrisi 2x2 lik bir matris olurc4 ccedilarpım matrisini c4=ac islemi ile buluruze) a^2+cos(b)f) i) x^2 ii) x^3 iii) x^10
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
88
c) Bir Matrisin Devriğini (Transpozesi) Bulma İslemi
Bir matrisin satırlarını suumltun suumltunlarını satır olarak yazılmasıyla
bulunan matrise bu matrisin devriği (transpozesi) denir
Bir matrisin devriğini islemi ile bulabiliriz
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] nın devriğini buldurup d matrisine atayalım
Ccediloumlzuumlm d=a
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
89
Oumlrnek
b=[7 8 9 10 11 12] matrisinin transpozesini bulabilirmisiniz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
c=bc =
7 108 119 12
90
SORU
a=[1 2 3 4 5 6]
c= [710811912]
ise a ve crsquonin ccedilarpım matrisi
kaccediltır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
Ccedilarpma işlemi k=ack=
50 68122 167
91
SORU
a=[1 2 3 4 5 6] b=[7 8 9 10 11 12]
ise a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan x matrisini bulalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
x=abx =
7 16 2740 55 72
92
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
Aynı mertebeden iki matrisin elemanlarını teker teker boumllerek aynı
mertebeye yazılmasına iki matrisin sol boumllmesi denir ve bu islemi ile
yapılır
a b ve c aynı mertebeden kare matrisler olmak uumlzere
c=ab ise a matrisine c nin b matrisine boumlluumlmuuml denir
c boumlluumlm matrisi islemi ile yapılır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
93
HATIRLATMA
2x2 lik i2 adlı birim matrisi i2=eye(22)
3x luumlk i3 adlı birim matrisi i2=eye(33) islemi ile olusturabiiriz
Aynı mertebeden a ve b kare matrisleri iccedilin a ile b nin ccedilarpımı birim matris ise
b matrisi a matrisinin (aynı biccedilimde a matrisi de b matrisinin) ters matrisidir
Oumlrnek
3x3 luumlk bir a kare matrisinin tersini bulmak iccedilin
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
eye(33)a veya inv(a) islemini kullanırız
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
94
Bir Matrisin Determinantı
Determinant kare matrisleri bir sayıya eşleyen fonksiyondur
Determinant fonksiyonunun kare matrisi eşlediği o sayıya matrisin
determinantı denir
A matrisinin determinantı detA veya |A| biccediliminde goumlsterilir
|A| matrislerde mutlak değer anlamına gelmez |A| sıfır veya
negatif de olabilir
det(x)
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
95
KURAL
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
96
Oumlrnek
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Determinant
raquo
deter=det(x)deter =
21
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
97
Oumlrnek Inverse işlemi
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Detx=det(x)=21 ise
raquo y=inv(x)y =
821 121 -521 221
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
98
SORU
a=[2 -10 01 2 43 0 1] matrisi ile b=[1 5 41 -1 20 1 -1] matrisleri veriliyor
a)
a matrisinin elemanlarını
sırasıyla b matrisinin elemanlarına boumllerek elde
edilen matrisi b1 matrisine atayalım
b) a matrisinin ta ters matrisini bulalım
c) a ile ta matrisinin ccedilarpımının 3x3 luumlk birim matris olduğunu goumlsterelim
d) a matrisinin b matrisine boumlluumlmuumlnuuml
b2 matrisine atayalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
99
Ccediloumlzuumlm
a)
b1=ab
b) ta1=eye(33)a veya ta2=inv(a)
c) ata ==eye(33)
d) b2=ab
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
39
Değiskenlere Değer Atama
Her hangi bir programlama dilinde olduğu gibi Matlabrsquoda da bir değiskene
değer verme islemine rdquodeğer atamakrdquo denir
Bir değiskene atanan değer değistirilmediği suumlrece aynı kalır
Değer atamanın genel kullanımı asağıdaki biccediliminde olur
ltDeğisken adıgt=ltAtanacak değergt
32 DeğişlenlerMatlab
40
Oumlrnek 2
A=6i-7 A değişkenine skaler bir değer atar
B=A 7
B değişkenine A değişkeninin 17 si atanmıştır
C=[3 4 5 6]
4 elemanlı
bir satır vektoumlruuml
atanmıştır
NOT
Dizi girişinde herhangi bir satıra ait elemanlar aralarına boşluk veya virguumll ldquordquo konularak ayrılır
Dizinin diğer bir satırına başlamak iccedilin biten satır sonuna konulur
32 DeğişlenlerMatlab
41
oMATLABrsquoda sayılar yaygın olarak kullanılan onluk tabanda ifade edilirler
o
Bunun yanısıra onluk tabanda uumlstel olarak veya i veya j olarak kompleks sayı biccedilimlerinde de ifade edilebilirler
oOumlrnek olarak
33 Sayılar
Matlab da i
ve j
başka tuumlrluuml
tanımlanmamışsa kompleks i sayısını
goumlsterir 3e5 sayısıda 3105
anlamındadır
MATRİSLER
42
o
Ondalık sayılar Tuumlrkccedilemizdeki
35 yerine
35 şeklinde
goumlsterilir
(00001 veya 963
065 yerine 65)
o
Bilimsel
notasyon
goumlsterimi olan e
(veya E) harfi
10rsquonun kuvvetini
temsil eder
o 2e4=2104=2000 veya
165e-20=16510-20
demektir
o
Kompleks
sayılarda
imajiner
(sanal) kısımlar
i
veya
j
ekini
alır
i veya
j
ile
gosterimlerinde
bir
fark
yoktur
o (1+3i veya 1+3i veya 1+i3) 1+sqrt(3)j
-5i
o
Matlabrsquode
tuumlm
sayılar yaklaşık 210308 ve
210-308 arasında
değişir
33 Sayılar
MATRİSLER
43
Sayı
Formatları
33 SayılarMatlabMATRİSLER
44
oMatlabda bir ccedilok eylem doumlrt islem ve matematiksel bazı
islemler
yaptırabiliriz
oBunun iccedilin ya ilgili komutları
komut penceresinden teker teker girerek veya
ilgili komutları
bir dosyaya yazıp o dosyayı
ccedilağırarak ccedilalıstırabiliriz
oİşlemleri yaptırırken sayıları
reel sayı
ya da karmasık sayı
olarak alabiliriz
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
45
Matematiksel ifadeleri oluşturmak iccedilin operatoumlrler ve oumlnceden tanımlanmış sembolleri kullanabilirsiniz
oOperatoumlrler oumlzetle şunlardır
oMatrislerle yapılan işlemlerde boumllme işlemi iccedilin iki farklı
sembol kullanılmaktadıroBunun yanında eğer sayılar skaler ise iki boumllme işleminin sonucu da aynı
değeri
goumlsterecektiroOumlrneğin 32 ile 23 ifadelerinin sonuccedilları
aynı
olup 15rsquodir
raquo 4+83ndash2ans =26
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
46
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
x=a + b
Bu ifadede a ve b nin toplandığı
ve x değişkeni iccedilinde saklandığıbelirtilmektedir
47
Aritmetiksel İşlemlerde Oumlncelik Durumu
oTek bir aritmetiksel durum iccedilinde birden fazla durum bir arada bulunabildiğine goumlre
hangi işlemin oumlncelik hakkına sahip olunduğunun
bilinmelidir
oMATLABrsquoda kullanılan işlemlerde işlemlerin oumlncelik
listesi
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
bazı
temel matematiksel fonksiyonların accedilıklamaları
48
o
MATLABrsquo
da işlemler soldan sağa işlerlero
İşlemler arası
oumlncelik sırası
aşağıdaki gibidir
1 ^
(Yuumlksek)2
darr
3 + -
(Duumlşuumlk)
raquo 3^(2ndash5)-632 raquo 3^2ndash5ndash632ans = ans =
mdash39630 0
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
49
35 FonksyonlarMATRİSLER
o MATLABrsquoın ccedilok guumlccedilluuml
ve ccedilok kapsamlı
bir fonksiyon yapısı
vardır
oMATLABrsquoda bazı
fonksiyonlar daha oumlnceden yerleştirilmiş
bazıları
ise sonradan
dışarıdan yerleştirilmiş
M-dosyalarından oluşan MATLAB kuumltuumlphanelerinde
tanımlanmışlardır
oBunun yanında oumlzel uygulamalar iccedilin kullanıcıların kendi fonksiyonlarını
yazarak
kendi kuumltuumlphanelerini oluşturması
muumlmkuumlnduumlr
MATLABrsquoda mevcut analitik fonksiyonları
genel olarak aşağıdaki kategorilere ayırabiliriz oTemel matematiksel fonksiyonlaroOumlzel fonksiyonlaroTemel matrisler ve matris işlemlerioMatrisleri ccedilarpanlarına ayırmaoVeri analizlerioPolinomlaroDiferansiyel denklem ccediloumlzuumlmlerioLineer olmayan denklemler ve optimizasyonoSayısal integral hesaplamalarıoSinyal işleme
50
Matematiksel Fonksiyonlar
bazı
temel matematiksel fonksiyonların accedilıklamaları
35 FonksyonlarMATRİSLER
Oumlrnekgtgtexp(1)ans=27183gtgtfix(35)ans=3gtgtceil(35)ans=4gtgtround(35)ans=4
51
Matlabda oumlnceden tanımlanmıs bazı
sabitlerdirBunlar aşağıdaki tabloda goumlsterilmistir
36 Oumlzel SabitlerMatlab
52
Oumlrnekler
1)
a=1
2)
a=rsquoİstanbulrsquo
3)
a=5b=7c=a+b
4) a=5b=-3c=a+2ba=a+b
5)
num=23-5^2 x=num2 y=x+10
7 Sabitler Değiskenler ve Metin KatarlarıMatlab
53
Oumlrnek
Komut satırına
a)
sin(30)
b)
sin(30pi180) yazınız sonuccedilları
inceleyiniz
35 FonksyonlarMATRİSLER
Cevapa) -09880 sonucu goumlruumlluumlr ki bu 30deg
nin sinuumlsuumlnde n farklıdır Ccediluumlnkuuml
bu 30deg
derece değil 30 radyanın sinuumlsuumlduumlrb) 05000 sonucu goumlruumlluumlr ki bu da 30deg
nin sinuumlsuumld uumlr O halde bir
sayının trigonometrik değerini buldurmak iccedilin oumlnce pi ile ccedilarpıp 180 e boumllerek accedilıyı
radyan ccedilevirip sonra trigonometrik değerini
hesaplatabiliriz
54
oVektoumlrler tek boyutlu sayı
dizileridir
oElemanlarının sıralanma youmlnlerine goumlre suumltun veya satır vektoumlruuml
adlarını alırlar
ovektoumlrler [ ] koumlşeli parantezleri ile tanımlanır
ofarklı
yolla tanımlanabilirler
4 VektoumlrlerMatlab
A = [4 12 -8 6]A = [4 12 -8 6]
B = [1 2 4 6]
Satır Vektoumlruuml
Suumltun Vektoumlruumlgtgt b=[1 2 4 6 ]
55
4 VektoumlrlerMatlab
ovektoumlr boyutları
buumlyuumlduumlkccedile manuel olarak tanıtım işlemi oldukccedila zorlaşmaktadır
oOumlzellikle belli bir artıma sahip vektoumlrlerin oluşturulmasında () operatoumlruuml kullanılmaktadır
C = [-105150]
Son değerBaşlangıccedil değeri Artış
miktarı
Drsquo
= [30-10-30]
Suumltun Vektoumlruuml
56
Vektoumlr indisleri
4 VektoumlrlerMatlab
Bir vektoumlruumln elemanlarına atanılan değer değişkenler editoumlruuml
veya eleman adresi vasıtasıyla değiştirilebilir
OumlrnekA = [4 12 -8 6]1 A vektoumlruumlnuumln 3 elemanını
27 ile değiştiriniz
2 Benzer şekilde A vektoumlruumlnuumln 2 elemanını
siliniz 3 A(9) = 12
Ccediloumlzuumlm1 A(3) = 272 Vektoumlruumln elemanına [ ] değeri atandığında eleman silinirA(2) = [ ]3 gtgt A(9) = 12
A= [ 4 27 6]
A =[ 2 27 7 0 0 0 0 0 12]
57
raquo x=[17 8 61 83 56]
Şeklindeki bir matrisin uumlccediluumlncuuml
elemanına erişmek istenirse
raquo c=x(3)
c =
61
Eğer bir blok şeklinde veriye erişilmek istenirse
raquo x(24)
ans =
8 61 83
Her matristeki herhangi bir elman grubuna erişilmek istenirse
raquo x([3 1 4])
ans =
61 17 83
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
58
Bir diziye duumlzenli artıs (veya azalıs) kuralıyla değerler atanmak isteniyorsa
bunu
ilk_değerartısson değer veya ilk_değerartısson değer
biccediliminde yapabiliriz
Ancak artıs 1 ise belirtilmeyebilirOumlrnekortalama adlı
bir diziye 0 dan 5 e kadar 05 er artısla elde edilen sayı
dizisini atayanortalama=[0055]
Siz 1 satır 7 den den 17 ye kadar olan tam sayılar 2 satırı
99 dan 89 a kadar azalan tam sayılardan olusan 2 boyutlu m dizisine atayan islemleri yazınız
Dizilerin Değerlerinin Değistirilmesi ve Duumlzenlenmesi
4 VektoumlrlerMatlab
59
4 VektoumlrlerMatlab
60
Sayılardan olusan satır ve suumltun yapısına matris (dizi) denir
Oumlrneğin
d1=[5] 1x1 lik
d2=[ 2 -7] 1x2 lik
d3= [1 0 -3 ]
[ 5 3 1 ]
2x3 luumlk bir dizidir
Oumlrnekx=[1 7 18 5]Ya daraquo x=[ 1
7185 ]
Biccedilimlerinde girilebilir
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
61
Dizilerin Değerlerinin Değistirilmesi ve DuumlzenlenmesiBir dizinin herhangi bir elemanını belirlemek iccedilin dizi adından hemen sonra
parantez iccedilinde elemanın bulunduğu satır ve suumltun sayısı yazılmalıdır
Oumlrnek 1 d2=[2 -7]d2 dizisinin -7 elemanını
goumlruumlntuumllemek iccedilin
d2(12)
2 d3=[1 0 -35 3 1]d3 dizisinin 2 satır 1 suumltununda bulunan 5 in değerinin -75 olması
iccedilin
d3(21)=-75
Not1) Bir dizinin bir ccedilok elemanını
yeniden değer atamak gerekirse komut satırından atama yapmak uzun zaman alabilirBu durumda dizi değiskeninin uumlzerine ccedilift tıklayarak accedilılan dizi editoumlruuml
(array edit) yardımıyla değisiklikleri daha kolay yapabiliriz
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
62
8 Matrisler(Dizi)Matlab
Bir matrisi girerken o1 Elemanlar baştan ve sondan koumlşeli parantezlerle kapatılıro2 Elemanların arasına boşluk veya virguumll konuluro3 Matris satırlarını
ayırmak iccedilin de noktalı
virguumll kullanılır
okurallarına dikkate alınmalıdır
Oumlrneğin
A = [1 2 3 4 5 6]A =
1 2 34 5 6
şeklinde veriler matrisler biccediliminde tanımlanır MATLAB daha sonra kullanılmak uumlzere verileri A matrisinde saklar
63
Matris elemanları
rasgele rakamlardan oluşabileceği gibi MATLABrsquoın deyimlerinden de oluşabilir
51 Matrislerde ElemanlarMatlab
Oumlrneğin
a=[-13 sqrt(3) (1+2+3)475]
a= -13000 17321 48000
Kuumlccediluumlk matrisleri eleman olarak kullanıp daha buumlyuumlk matrisler oluşturmak muumlmkuumlnduumlr
OumlrneğinM=[1 3 5
7 8 9] matrisine
aşağıda goumlsterildiği şekilde bir satır eklemesi yapabilir
M=[M[10 13 15]]
Bu durumda M matrisiM=[1 3 5
7 8 910 13 15]
durumunu alır
64
İki nokta uumlst uumlste () kullanarak buumlyuumlk matrislerin belli bir kısmını
kullanabiliriz
ya da diğer ifade ile bu matrisi kuumlccediluumlltebiliriz
Oumlrneğin
M=M(12) bildirimi M matrisinin ilk iki satırını
alarak M matrisi
olarak saklar
Oumlrnek
M=[8 -4 7 66 -7 8 9 4 5 134] ise
M=M(12) =
8 1 Matrislerde ElemanlarMatlab
65
MATLABrsquoda kullanıcı
verileri kendi oluşturacağı
matrisler ile tanımlayabileceği gibi MATLABrsquoın kendi oumlzel matrislerinden de istifade edilebilir
52 Genel MatrislerMatlab
66
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
a) Sıfır Matrisi Olusturan Fonksiyon
Her elemanı sıfır olan mxn boyutunda bir matrise sıfır matrisi denir
Boumlyle bir dizi olusturmak iccedilin zeros fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=zeros(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
3x5 boyutunda s adlı
sıfır matrisi iccedilin
s=zeros(35)
52 Genel MatrislerMatlab
67
b) 1 lerden Olusan Matris
Her elemanı 1 olan mxn boyutunda bir matrisi olusturmak iccedilin ones
fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matria_adı=ones(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
2x3 boyutunda b adlı
tuumlm elemanları
1 olan matrisi olusturalım
b=ones(23)
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
52 Genel MatrislerMatlab
68
c) Birim Matrisi Olusturan Fonksiyon
Esas koumlsegeni 1 lerden diğer elemanları 0 lardan olusan kare matrise (satır
ve suumltun sayısı esit olan ) birim matrisi
kare olmayan matrise de diyagonal matris denir
Boumlyle matrisleri olusturmak iccedilin eye fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=eye(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
a)
3x3 luumlk birim matris
b) 4x3 lluumlk diyagonal matris olusturalım
Ccediloumlzuumlma) i=eye(33) b) d=eye(43)
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar52 Genel MatrislerMatlab
69
d) Rastgele Sayılardan Olusan Matris ve Fonksiyonu
Elemanları 0 ile 1 arasındaki rastgele sayılardan olusan bir matris iccedilin
rand fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=rand(mn) biccedilimindedir(msatırnsuumltun)
Not 1) Uumlretilen matrisin tuumlm elemanlarını k gibi bir sayı ile ccedilarparak
sayıları 0 ile k arasına ccedilekebiliriz
Not 2) Ondalıklı sayılardan olusmus bir matrisin elemanlarını
yuvarlayıp tam sayı yapmak iccedilin round fonksiyonunu kullanırız
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar52 Genel MatrislerMatlab
70
Oumlrnek
a) 0 ile 1 arasında rastgele sayılardan olusan 10 elemanlı
a adında bir satır
matrisi olusturalım
b) Elemanları
10 ile 50 arasında sayılardan olusan 5x3 tipinde b matrisini
olusturalım
c) Elemanları
50 ile 300 arasındaki tamsayılardan olusan 3x4 tipinde c matrisini
olusturalım
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
d) Rastgele Sayılardan Olusan Matris ve Fonksiyonu
52 Genel MatrislerMatlab
71
Ccediloumlzuumlm
a)
a=rand(110)
b)
b=10+rand(53)40
c) c=round(50+rand(34)250)
52 Genel MatrislerMatlab
72
e) Rastgele Sayılardan Olusan Normal Dağılımlı
Matris veFonksiyonu
Elemanları rasstgele sayılardan olusan bir normal dağılımlı bir matris iccedilin
randn fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=randn(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek Rastgele sayılardan olusan normal dağılımlı 2x3 luumlk bir n matrisini
olusturalım
Ccediloumlzuumlm n=randn(23)
52 Genel MatrislerMatlab
73
f) Lineer Aralıklı
(Aritmetik) Dizi ve Fonksiyonu
Baslangıccedil ve biis değerleri ve kaccedil elemandan olusacağı belirlenen diziyi
olusturmak iccedilin linspace fonksiyonu kullanılır
Kullanımı
dizi_adı=linspace(ilk_değerson_değereleman_sayısı)
biccedilimindedir
52 Genel MatrislerMatlab
74
Oumlrnek 10 ile 30 arasına 9 tane daha sayı
koyarak aadında bir aritmetik dizi olusturalım
f) Lineer Aralıklı
(Aritmetik) Dizi ve Fonksiyonu
52 Genel MatrislerMatlab
Cevapa=linspace(103011)
75
Elimizdeki grubun her elemanı iccedilin bir matematik işlemi yapıp bunu yeni bir
diziye atarken herhangi bir sorun yoktur
Fakat iki farklı grupla işlemler yaparken dikkat etmemiz gereken genel
kurallar vardır
Oumlrneğin toplama ve ccedilıkarma yaparken iki dizinin de buumlyuumlkluumlğuumlnuumln eşit
olması gerekmektedir
Ayrıca iki farklı dizinin elemanları arasında birebir işlem yapmak iccedilin
matematik operatoumlruumlnuumln başına nokta() koymak gerekir
Bu durumda her bir elemanı diğer dizinin o sıradaki elmanı ile işleme
sokacaktır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
76
Birden fazla satır ve suumltuna sahip vektoumlrlere matris denir Noktalı
virguumll ()
işareti ile kolonları
ve virguumlle işareti ya da boşluk
bırakarak da bir sıradaki elemanları
ayırabilirizOumlrnekraquo x=[ 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14]x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14Yukarıdaki 3x4 boyutunda bir matristir MATLAB programına aşağıdaki
gibi de sunulabilirraquo x=[ 3 4 5 6
7 8 9 1011 12 13 14]
x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
77
Matristeki herhangi bir elemana direk ulaşmak iccedilin aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(23)=9
Eğer isteğimiz eriştiğimiz bir elemanı
değiştirmek veya yeni bir satır eklemek ise aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(41)=1x =
3 4 5 67 8 9 1011 12 13 141 0 0 0
Bu durumda doumlrduumlncuuml
satır ilk elemanını
biz 1 değerini atadık ve diğer elemanları
kendiliğinden ldquo0rdquo
olarak atadı
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
78
İki nokta uumlst uumlste () kullanılarak belirli aralıkta değişen matrisler yaratılabilir
raquo x=[127 3-10 -12]x =
1 3 5 73 2 1 0
-1 0 1 2Bir matrisin herhangi bir boumlluumlmuumlnuuml
seccedilmek iccedilin ise aşağıdaki goumlsterim
kullanılırraquo z=x(23 12)z =
3 2-1 0
Bu durumda z matris x matrisinin 2 ve 3 norsquo
lu satırlarından 1 ve 2 norsquo
lu suumltunlarını
almış
oluyor
Herhangi bir satır veya suumltunu tamamen silmek istersek o satır ve suumltunu seccedilip ldquo[]rdquo
ifadesine eşitleriz
raquo z(2)=[ ]z =
3 -1
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
79
Matlab size ve length komutları
yardımı
ile size matrisinizin boyutlarını
soumlyler
raquo a=[ 2 3 4 5 67 8 9 10 11]
raquo s=size(a)s =
2 5
raquo b=[ 17 11 0 30 40 50]
raquo k=length(b)k =
6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
80
a) Toplama-Ccedilıkarma Bir Sayı
ile Ccedilarpma İşlemi
İki matrisi toplamak (veya ccedilıkarmak) demek matrislerin aynı
mertebedeki elemanları teker teker toplayıp (veya ccedilıkarıp ) aynı
mertebeye yazmak demektir
Bu durumda iki matrisin de aynı mertebeden olması gereği accedilıktır
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile toplamak (veya ccedilıkarmak) demek
matrisin elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla toplamak (veya
ccedilıkarmak )demektir
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile ccedilarpmak demek ise matrisin
elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla ccedilarpmak demektir
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
81
82
Oumlrnek
raquo a=[1 2 3 4 5 6]raquo b=[7 8 9 10 11 12]
a ve b toplamıraquo sum=a+bsum =
8 10 1214 16 18
arsquo
yı
brsquo
den ccedilıkarmak
raquo diff=a-bdiff =
-6 -6 -6-6 -6 -6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
83
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] ve b=[3 -3 -41 1 5] matrisleri
veriliyor
a)
c=a+b toplam matrisini
b)
d=a-b matrisini
c)
amatrisinin her elemanınının 5 eksiğine karsılık gelen e
matrisini
d) f=2a-3b matrisini bulduran islemleri yazalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
a) c=a+b b) d=a-b c) e=a-5 d) f=a+a-b-b-b veya
f=2a-3b
84
İki matrisin ccedilarpım islemi iki biccedilimde anlasılır
1)
Aynı
mertebeden iki matrisin elemanlarını
teker teker ccedilarpıp aynı
mertebeye
yazmak demektir Bunu
islemi ile gerccedileklestiririz
2) Matematiksel anlamda iki matrisi ccedilarpmak istediğimizde birinci matris mxn
tuumlruumlnde ve ikinci matris mutlaka nxp tuumlruumlnde olmalıdır yani birinci matrisin
suumltun sayısı
ikinci matrisin satır sayısına eşit olmalıdır
Bu durumda birinci matrisin i suumltun elemanları
ile ikinci matrisin j satırındaki
elemanlar karılıklı
olarak ccedilarpılır ve sonuccedillar toplanır ve bu toplam ccedilarpım
matrisinin (ij) inci mertebeye yazılır
Matrisler arası
ccedilarpma isleminin semboluuml
de dır
b) İki Matrisin Ccedilarpımı Bir Matrisin Kuvvetleri veCcedilarpma İslemi
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
85
3) Bir a matrisinin her bir elemanının n Kuvvetlerinden olusan matrisi
bulmak iccedilin a^n islemi kullanılır
4) Satır ve suumltun sayıları
esit bir kare matrisi ardısık olarak n defa
kendisiyle ccedilarparak a matrisinin n kuvvetini bulabilirizOumlrneğin a matrisinin
karesi iccedilin aa veya a^2 kuumlbuumlnuuml
buldurmak iccedilin aaa veya a^3
doumlrduumlncuuml
kuvvetini buldurmak iccedilin aaaa veya a^4
Not) Bir a matrisinin eleman -elemana ccedilarpma islemine benzer mantıkla bir matrisin tuumlm elemanlarının kareleri kuumlbleri sinuumlsleri kosinuumlsleri logaritmalarından olusan matris bulunmak istenirse bunu sırayla aa (veya a^2) aaa (veya a^3) sin(a) cos(a) etabanında logaritması
iccedilin log(a) 10 tabanında logaritmaları
iccedilin log10(a) Biccediliminde gerccedileklestirebiliriz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
86
a) a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c1 matrisi varsa bulalım
b) a matrisi ile b matrisinin ccedilarpım matrisi olan c2 varsa bulalım
c) a matrisinin elemanları
ile c matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c3 matrisi varsa bulalım
d) a matrisi ile c matrisinin ccedilarpım matrisi olan c4 varsa bulalım
e) a matrisinin elemanlarının karelerinden olusan matris ile b matrisinin
kosinuumlslerinden olusan matrisler toplamını
bulalım
f) x=[1 00 3] matrisinin i) Karesini ii) Kuumlbuumlnuuml
iii) 10
kuvvetini bulalım
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] b=[3 -3 -41 1 5] ve c=[1 0-1 23 3] matrisleri veriliyor
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
87
Ccediloumlzuumlma) iki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirBu durumda c1 matrisi tanımlıdır ve bunu c1=ab islemi ile gerccedileklestirebilirizb) iki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdırHalbuki a matrisi 2x3 b matrisi de 2x3 olduğundan bu iki matris ccedilarpılamazc) İki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirHalbuki bu matrisler aynı mertebeden olmadığından bu iki matris eleman-elemana ccedilarpma islemi
gerccedileklemezd) İki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdıra matrisi 2x3 luumlk c matrisi de 3x2 lik olduğundan bu iki matris ccedilarpılabilir ve c4 ccedilarpım matrisi 2x2 lik bir matris olurc4 ccedilarpım matrisini c4=ac islemi ile buluruze) a^2+cos(b)f) i) x^2 ii) x^3 iii) x^10
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
88
c) Bir Matrisin Devriğini (Transpozesi) Bulma İslemi
Bir matrisin satırlarını suumltun suumltunlarını satır olarak yazılmasıyla
bulunan matrise bu matrisin devriği (transpozesi) denir
Bir matrisin devriğini islemi ile bulabiliriz
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] nın devriğini buldurup d matrisine atayalım
Ccediloumlzuumlm d=a
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
89
Oumlrnek
b=[7 8 9 10 11 12] matrisinin transpozesini bulabilirmisiniz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
c=bc =
7 108 119 12
90
SORU
a=[1 2 3 4 5 6]
c= [710811912]
ise a ve crsquonin ccedilarpım matrisi
kaccediltır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
Ccedilarpma işlemi k=ack=
50 68122 167
91
SORU
a=[1 2 3 4 5 6] b=[7 8 9 10 11 12]
ise a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan x matrisini bulalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
x=abx =
7 16 2740 55 72
92
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
Aynı mertebeden iki matrisin elemanlarını teker teker boumllerek aynı
mertebeye yazılmasına iki matrisin sol boumllmesi denir ve bu islemi ile
yapılır
a b ve c aynı mertebeden kare matrisler olmak uumlzere
c=ab ise a matrisine c nin b matrisine boumlluumlmuuml denir
c boumlluumlm matrisi islemi ile yapılır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
93
HATIRLATMA
2x2 lik i2 adlı birim matrisi i2=eye(22)
3x luumlk i3 adlı birim matrisi i2=eye(33) islemi ile olusturabiiriz
Aynı mertebeden a ve b kare matrisleri iccedilin a ile b nin ccedilarpımı birim matris ise
b matrisi a matrisinin (aynı biccedilimde a matrisi de b matrisinin) ters matrisidir
Oumlrnek
3x3 luumlk bir a kare matrisinin tersini bulmak iccedilin
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
eye(33)a veya inv(a) islemini kullanırız
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
94
Bir Matrisin Determinantı
Determinant kare matrisleri bir sayıya eşleyen fonksiyondur
Determinant fonksiyonunun kare matrisi eşlediği o sayıya matrisin
determinantı denir
A matrisinin determinantı detA veya |A| biccediliminde goumlsterilir
|A| matrislerde mutlak değer anlamına gelmez |A| sıfır veya
negatif de olabilir
det(x)
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
95
KURAL
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
96
Oumlrnek
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Determinant
raquo
deter=det(x)deter =
21
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
97
Oumlrnek Inverse işlemi
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Detx=det(x)=21 ise
raquo y=inv(x)y =
821 121 -521 221
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
98
SORU
a=[2 -10 01 2 43 0 1] matrisi ile b=[1 5 41 -1 20 1 -1] matrisleri veriliyor
a)
a matrisinin elemanlarını
sırasıyla b matrisinin elemanlarına boumllerek elde
edilen matrisi b1 matrisine atayalım
b) a matrisinin ta ters matrisini bulalım
c) a ile ta matrisinin ccedilarpımının 3x3 luumlk birim matris olduğunu goumlsterelim
d) a matrisinin b matrisine boumlluumlmuumlnuuml
b2 matrisine atayalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
99
Ccediloumlzuumlm
a)
b1=ab
b) ta1=eye(33)a veya ta2=inv(a)
c) ata ==eye(33)
d) b2=ab
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
40
Oumlrnek 2
A=6i-7 A değişkenine skaler bir değer atar
B=A 7
B değişkenine A değişkeninin 17 si atanmıştır
C=[3 4 5 6]
4 elemanlı
bir satır vektoumlruuml
atanmıştır
NOT
Dizi girişinde herhangi bir satıra ait elemanlar aralarına boşluk veya virguumll ldquordquo konularak ayrılır
Dizinin diğer bir satırına başlamak iccedilin biten satır sonuna konulur
32 DeğişlenlerMatlab
41
oMATLABrsquoda sayılar yaygın olarak kullanılan onluk tabanda ifade edilirler
o
Bunun yanısıra onluk tabanda uumlstel olarak veya i veya j olarak kompleks sayı biccedilimlerinde de ifade edilebilirler
oOumlrnek olarak
33 Sayılar
Matlab da i
ve j
başka tuumlrluuml
tanımlanmamışsa kompleks i sayısını
goumlsterir 3e5 sayısıda 3105
anlamındadır
MATRİSLER
42
o
Ondalık sayılar Tuumlrkccedilemizdeki
35 yerine
35 şeklinde
goumlsterilir
(00001 veya 963
065 yerine 65)
o
Bilimsel
notasyon
goumlsterimi olan e
(veya E) harfi
10rsquonun kuvvetini
temsil eder
o 2e4=2104=2000 veya
165e-20=16510-20
demektir
o
Kompleks
sayılarda
imajiner
(sanal) kısımlar
i
veya
j
ekini
alır
i veya
j
ile
gosterimlerinde
bir
fark
yoktur
o (1+3i veya 1+3i veya 1+i3) 1+sqrt(3)j
-5i
o
Matlabrsquode
tuumlm
sayılar yaklaşık 210308 ve
210-308 arasında
değişir
33 Sayılar
MATRİSLER
43
Sayı
Formatları
33 SayılarMatlabMATRİSLER
44
oMatlabda bir ccedilok eylem doumlrt islem ve matematiksel bazı
islemler
yaptırabiliriz
oBunun iccedilin ya ilgili komutları
komut penceresinden teker teker girerek veya
ilgili komutları
bir dosyaya yazıp o dosyayı
ccedilağırarak ccedilalıstırabiliriz
oİşlemleri yaptırırken sayıları
reel sayı
ya da karmasık sayı
olarak alabiliriz
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
45
Matematiksel ifadeleri oluşturmak iccedilin operatoumlrler ve oumlnceden tanımlanmış sembolleri kullanabilirsiniz
oOperatoumlrler oumlzetle şunlardır
oMatrislerle yapılan işlemlerde boumllme işlemi iccedilin iki farklı
sembol kullanılmaktadıroBunun yanında eğer sayılar skaler ise iki boumllme işleminin sonucu da aynı
değeri
goumlsterecektiroOumlrneğin 32 ile 23 ifadelerinin sonuccedilları
aynı
olup 15rsquodir
raquo 4+83ndash2ans =26
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
46
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
x=a + b
Bu ifadede a ve b nin toplandığı
ve x değişkeni iccedilinde saklandığıbelirtilmektedir
47
Aritmetiksel İşlemlerde Oumlncelik Durumu
oTek bir aritmetiksel durum iccedilinde birden fazla durum bir arada bulunabildiğine goumlre
hangi işlemin oumlncelik hakkına sahip olunduğunun
bilinmelidir
oMATLABrsquoda kullanılan işlemlerde işlemlerin oumlncelik
listesi
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
bazı
temel matematiksel fonksiyonların accedilıklamaları
48
o
MATLABrsquo
da işlemler soldan sağa işlerlero
İşlemler arası
oumlncelik sırası
aşağıdaki gibidir
1 ^
(Yuumlksek)2
darr
3 + -
(Duumlşuumlk)
raquo 3^(2ndash5)-632 raquo 3^2ndash5ndash632ans = ans =
mdash39630 0
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
49
35 FonksyonlarMATRİSLER
o MATLABrsquoın ccedilok guumlccedilluuml
ve ccedilok kapsamlı
bir fonksiyon yapısı
vardır
oMATLABrsquoda bazı
fonksiyonlar daha oumlnceden yerleştirilmiş
bazıları
ise sonradan
dışarıdan yerleştirilmiş
M-dosyalarından oluşan MATLAB kuumltuumlphanelerinde
tanımlanmışlardır
oBunun yanında oumlzel uygulamalar iccedilin kullanıcıların kendi fonksiyonlarını
yazarak
kendi kuumltuumlphanelerini oluşturması
muumlmkuumlnduumlr
MATLABrsquoda mevcut analitik fonksiyonları
genel olarak aşağıdaki kategorilere ayırabiliriz oTemel matematiksel fonksiyonlaroOumlzel fonksiyonlaroTemel matrisler ve matris işlemlerioMatrisleri ccedilarpanlarına ayırmaoVeri analizlerioPolinomlaroDiferansiyel denklem ccediloumlzuumlmlerioLineer olmayan denklemler ve optimizasyonoSayısal integral hesaplamalarıoSinyal işleme
50
Matematiksel Fonksiyonlar
bazı
temel matematiksel fonksiyonların accedilıklamaları
35 FonksyonlarMATRİSLER
Oumlrnekgtgtexp(1)ans=27183gtgtfix(35)ans=3gtgtceil(35)ans=4gtgtround(35)ans=4
51
Matlabda oumlnceden tanımlanmıs bazı
sabitlerdirBunlar aşağıdaki tabloda goumlsterilmistir
36 Oumlzel SabitlerMatlab
52
Oumlrnekler
1)
a=1
2)
a=rsquoİstanbulrsquo
3)
a=5b=7c=a+b
4) a=5b=-3c=a+2ba=a+b
5)
num=23-5^2 x=num2 y=x+10
7 Sabitler Değiskenler ve Metin KatarlarıMatlab
53
Oumlrnek
Komut satırına
a)
sin(30)
b)
sin(30pi180) yazınız sonuccedilları
inceleyiniz
35 FonksyonlarMATRİSLER
Cevapa) -09880 sonucu goumlruumlluumlr ki bu 30deg
nin sinuumlsuumlnde n farklıdır Ccediluumlnkuuml
bu 30deg
derece değil 30 radyanın sinuumlsuumlduumlrb) 05000 sonucu goumlruumlluumlr ki bu da 30deg
nin sinuumlsuumld uumlr O halde bir
sayının trigonometrik değerini buldurmak iccedilin oumlnce pi ile ccedilarpıp 180 e boumllerek accedilıyı
radyan ccedilevirip sonra trigonometrik değerini
hesaplatabiliriz
54
oVektoumlrler tek boyutlu sayı
dizileridir
oElemanlarının sıralanma youmlnlerine goumlre suumltun veya satır vektoumlruuml
adlarını alırlar
ovektoumlrler [ ] koumlşeli parantezleri ile tanımlanır
ofarklı
yolla tanımlanabilirler
4 VektoumlrlerMatlab
A = [4 12 -8 6]A = [4 12 -8 6]
B = [1 2 4 6]
Satır Vektoumlruuml
Suumltun Vektoumlruumlgtgt b=[1 2 4 6 ]
55
4 VektoumlrlerMatlab
ovektoumlr boyutları
buumlyuumlduumlkccedile manuel olarak tanıtım işlemi oldukccedila zorlaşmaktadır
oOumlzellikle belli bir artıma sahip vektoumlrlerin oluşturulmasında () operatoumlruuml kullanılmaktadır
C = [-105150]
Son değerBaşlangıccedil değeri Artış
miktarı
Drsquo
= [30-10-30]
Suumltun Vektoumlruuml
56
Vektoumlr indisleri
4 VektoumlrlerMatlab
Bir vektoumlruumln elemanlarına atanılan değer değişkenler editoumlruuml
veya eleman adresi vasıtasıyla değiştirilebilir
OumlrnekA = [4 12 -8 6]1 A vektoumlruumlnuumln 3 elemanını
27 ile değiştiriniz
2 Benzer şekilde A vektoumlruumlnuumln 2 elemanını
siliniz 3 A(9) = 12
Ccediloumlzuumlm1 A(3) = 272 Vektoumlruumln elemanına [ ] değeri atandığında eleman silinirA(2) = [ ]3 gtgt A(9) = 12
A= [ 4 27 6]
A =[ 2 27 7 0 0 0 0 0 12]
57
raquo x=[17 8 61 83 56]
Şeklindeki bir matrisin uumlccediluumlncuuml
elemanına erişmek istenirse
raquo c=x(3)
c =
61
Eğer bir blok şeklinde veriye erişilmek istenirse
raquo x(24)
ans =
8 61 83
Her matristeki herhangi bir elman grubuna erişilmek istenirse
raquo x([3 1 4])
ans =
61 17 83
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
58
Bir diziye duumlzenli artıs (veya azalıs) kuralıyla değerler atanmak isteniyorsa
bunu
ilk_değerartısson değer veya ilk_değerartısson değer
biccediliminde yapabiliriz
Ancak artıs 1 ise belirtilmeyebilirOumlrnekortalama adlı
bir diziye 0 dan 5 e kadar 05 er artısla elde edilen sayı
dizisini atayanortalama=[0055]
Siz 1 satır 7 den den 17 ye kadar olan tam sayılar 2 satırı
99 dan 89 a kadar azalan tam sayılardan olusan 2 boyutlu m dizisine atayan islemleri yazınız
Dizilerin Değerlerinin Değistirilmesi ve Duumlzenlenmesi
4 VektoumlrlerMatlab
59
4 VektoumlrlerMatlab
60
Sayılardan olusan satır ve suumltun yapısına matris (dizi) denir
Oumlrneğin
d1=[5] 1x1 lik
d2=[ 2 -7] 1x2 lik
d3= [1 0 -3 ]
[ 5 3 1 ]
2x3 luumlk bir dizidir
Oumlrnekx=[1 7 18 5]Ya daraquo x=[ 1
7185 ]
Biccedilimlerinde girilebilir
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
61
Dizilerin Değerlerinin Değistirilmesi ve DuumlzenlenmesiBir dizinin herhangi bir elemanını belirlemek iccedilin dizi adından hemen sonra
parantez iccedilinde elemanın bulunduğu satır ve suumltun sayısı yazılmalıdır
Oumlrnek 1 d2=[2 -7]d2 dizisinin -7 elemanını
goumlruumlntuumllemek iccedilin
d2(12)
2 d3=[1 0 -35 3 1]d3 dizisinin 2 satır 1 suumltununda bulunan 5 in değerinin -75 olması
iccedilin
d3(21)=-75
Not1) Bir dizinin bir ccedilok elemanını
yeniden değer atamak gerekirse komut satırından atama yapmak uzun zaman alabilirBu durumda dizi değiskeninin uumlzerine ccedilift tıklayarak accedilılan dizi editoumlruuml
(array edit) yardımıyla değisiklikleri daha kolay yapabiliriz
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
62
8 Matrisler(Dizi)Matlab
Bir matrisi girerken o1 Elemanlar baştan ve sondan koumlşeli parantezlerle kapatılıro2 Elemanların arasına boşluk veya virguumll konuluro3 Matris satırlarını
ayırmak iccedilin de noktalı
virguumll kullanılır
okurallarına dikkate alınmalıdır
Oumlrneğin
A = [1 2 3 4 5 6]A =
1 2 34 5 6
şeklinde veriler matrisler biccediliminde tanımlanır MATLAB daha sonra kullanılmak uumlzere verileri A matrisinde saklar
63
Matris elemanları
rasgele rakamlardan oluşabileceği gibi MATLABrsquoın deyimlerinden de oluşabilir
51 Matrislerde ElemanlarMatlab
Oumlrneğin
a=[-13 sqrt(3) (1+2+3)475]
a= -13000 17321 48000
Kuumlccediluumlk matrisleri eleman olarak kullanıp daha buumlyuumlk matrisler oluşturmak muumlmkuumlnduumlr
OumlrneğinM=[1 3 5
7 8 9] matrisine
aşağıda goumlsterildiği şekilde bir satır eklemesi yapabilir
M=[M[10 13 15]]
Bu durumda M matrisiM=[1 3 5
7 8 910 13 15]
durumunu alır
64
İki nokta uumlst uumlste () kullanarak buumlyuumlk matrislerin belli bir kısmını
kullanabiliriz
ya da diğer ifade ile bu matrisi kuumlccediluumlltebiliriz
Oumlrneğin
M=M(12) bildirimi M matrisinin ilk iki satırını
alarak M matrisi
olarak saklar
Oumlrnek
M=[8 -4 7 66 -7 8 9 4 5 134] ise
M=M(12) =
8 1 Matrislerde ElemanlarMatlab
65
MATLABrsquoda kullanıcı
verileri kendi oluşturacağı
matrisler ile tanımlayabileceği gibi MATLABrsquoın kendi oumlzel matrislerinden de istifade edilebilir
52 Genel MatrislerMatlab
66
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
a) Sıfır Matrisi Olusturan Fonksiyon
Her elemanı sıfır olan mxn boyutunda bir matrise sıfır matrisi denir
Boumlyle bir dizi olusturmak iccedilin zeros fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=zeros(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
3x5 boyutunda s adlı
sıfır matrisi iccedilin
s=zeros(35)
52 Genel MatrislerMatlab
67
b) 1 lerden Olusan Matris
Her elemanı 1 olan mxn boyutunda bir matrisi olusturmak iccedilin ones
fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matria_adı=ones(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
2x3 boyutunda b adlı
tuumlm elemanları
1 olan matrisi olusturalım
b=ones(23)
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
52 Genel MatrislerMatlab
68
c) Birim Matrisi Olusturan Fonksiyon
Esas koumlsegeni 1 lerden diğer elemanları 0 lardan olusan kare matrise (satır
ve suumltun sayısı esit olan ) birim matrisi
kare olmayan matrise de diyagonal matris denir
Boumlyle matrisleri olusturmak iccedilin eye fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=eye(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
a)
3x3 luumlk birim matris
b) 4x3 lluumlk diyagonal matris olusturalım
Ccediloumlzuumlma) i=eye(33) b) d=eye(43)
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar52 Genel MatrislerMatlab
69
d) Rastgele Sayılardan Olusan Matris ve Fonksiyonu
Elemanları 0 ile 1 arasındaki rastgele sayılardan olusan bir matris iccedilin
rand fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=rand(mn) biccedilimindedir(msatırnsuumltun)
Not 1) Uumlretilen matrisin tuumlm elemanlarını k gibi bir sayı ile ccedilarparak
sayıları 0 ile k arasına ccedilekebiliriz
Not 2) Ondalıklı sayılardan olusmus bir matrisin elemanlarını
yuvarlayıp tam sayı yapmak iccedilin round fonksiyonunu kullanırız
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar52 Genel MatrislerMatlab
70
Oumlrnek
a) 0 ile 1 arasında rastgele sayılardan olusan 10 elemanlı
a adında bir satır
matrisi olusturalım
b) Elemanları
10 ile 50 arasında sayılardan olusan 5x3 tipinde b matrisini
olusturalım
c) Elemanları
50 ile 300 arasındaki tamsayılardan olusan 3x4 tipinde c matrisini
olusturalım
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
d) Rastgele Sayılardan Olusan Matris ve Fonksiyonu
52 Genel MatrislerMatlab
71
Ccediloumlzuumlm
a)
a=rand(110)
b)
b=10+rand(53)40
c) c=round(50+rand(34)250)
52 Genel MatrislerMatlab
72
e) Rastgele Sayılardan Olusan Normal Dağılımlı
Matris veFonksiyonu
Elemanları rasstgele sayılardan olusan bir normal dağılımlı bir matris iccedilin
randn fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=randn(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek Rastgele sayılardan olusan normal dağılımlı 2x3 luumlk bir n matrisini
olusturalım
Ccediloumlzuumlm n=randn(23)
52 Genel MatrislerMatlab
73
f) Lineer Aralıklı
(Aritmetik) Dizi ve Fonksiyonu
Baslangıccedil ve biis değerleri ve kaccedil elemandan olusacağı belirlenen diziyi
olusturmak iccedilin linspace fonksiyonu kullanılır
Kullanımı
dizi_adı=linspace(ilk_değerson_değereleman_sayısı)
biccedilimindedir
52 Genel MatrislerMatlab
74
Oumlrnek 10 ile 30 arasına 9 tane daha sayı
koyarak aadında bir aritmetik dizi olusturalım
f) Lineer Aralıklı
(Aritmetik) Dizi ve Fonksiyonu
52 Genel MatrislerMatlab
Cevapa=linspace(103011)
75
Elimizdeki grubun her elemanı iccedilin bir matematik işlemi yapıp bunu yeni bir
diziye atarken herhangi bir sorun yoktur
Fakat iki farklı grupla işlemler yaparken dikkat etmemiz gereken genel
kurallar vardır
Oumlrneğin toplama ve ccedilıkarma yaparken iki dizinin de buumlyuumlkluumlğuumlnuumln eşit
olması gerekmektedir
Ayrıca iki farklı dizinin elemanları arasında birebir işlem yapmak iccedilin
matematik operatoumlruumlnuumln başına nokta() koymak gerekir
Bu durumda her bir elemanı diğer dizinin o sıradaki elmanı ile işleme
sokacaktır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
76
Birden fazla satır ve suumltuna sahip vektoumlrlere matris denir Noktalı
virguumll ()
işareti ile kolonları
ve virguumlle işareti ya da boşluk
bırakarak da bir sıradaki elemanları
ayırabilirizOumlrnekraquo x=[ 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14]x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14Yukarıdaki 3x4 boyutunda bir matristir MATLAB programına aşağıdaki
gibi de sunulabilirraquo x=[ 3 4 5 6
7 8 9 1011 12 13 14]
x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
77
Matristeki herhangi bir elemana direk ulaşmak iccedilin aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(23)=9
Eğer isteğimiz eriştiğimiz bir elemanı
değiştirmek veya yeni bir satır eklemek ise aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(41)=1x =
3 4 5 67 8 9 1011 12 13 141 0 0 0
Bu durumda doumlrduumlncuuml
satır ilk elemanını
biz 1 değerini atadık ve diğer elemanları
kendiliğinden ldquo0rdquo
olarak atadı
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
78
İki nokta uumlst uumlste () kullanılarak belirli aralıkta değişen matrisler yaratılabilir
raquo x=[127 3-10 -12]x =
1 3 5 73 2 1 0
-1 0 1 2Bir matrisin herhangi bir boumlluumlmuumlnuuml
seccedilmek iccedilin ise aşağıdaki goumlsterim
kullanılırraquo z=x(23 12)z =
3 2-1 0
Bu durumda z matris x matrisinin 2 ve 3 norsquo
lu satırlarından 1 ve 2 norsquo
lu suumltunlarını
almış
oluyor
Herhangi bir satır veya suumltunu tamamen silmek istersek o satır ve suumltunu seccedilip ldquo[]rdquo
ifadesine eşitleriz
raquo z(2)=[ ]z =
3 -1
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
79
Matlab size ve length komutları
yardımı
ile size matrisinizin boyutlarını
soumlyler
raquo a=[ 2 3 4 5 67 8 9 10 11]
raquo s=size(a)s =
2 5
raquo b=[ 17 11 0 30 40 50]
raquo k=length(b)k =
6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
80
a) Toplama-Ccedilıkarma Bir Sayı
ile Ccedilarpma İşlemi
İki matrisi toplamak (veya ccedilıkarmak) demek matrislerin aynı
mertebedeki elemanları teker teker toplayıp (veya ccedilıkarıp ) aynı
mertebeye yazmak demektir
Bu durumda iki matrisin de aynı mertebeden olması gereği accedilıktır
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile toplamak (veya ccedilıkarmak) demek
matrisin elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla toplamak (veya
ccedilıkarmak )demektir
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile ccedilarpmak demek ise matrisin
elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla ccedilarpmak demektir
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
81
82
Oumlrnek
raquo a=[1 2 3 4 5 6]raquo b=[7 8 9 10 11 12]
a ve b toplamıraquo sum=a+bsum =
8 10 1214 16 18
arsquo
yı
brsquo
den ccedilıkarmak
raquo diff=a-bdiff =
-6 -6 -6-6 -6 -6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
83
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] ve b=[3 -3 -41 1 5] matrisleri
veriliyor
a)
c=a+b toplam matrisini
b)
d=a-b matrisini
c)
amatrisinin her elemanınının 5 eksiğine karsılık gelen e
matrisini
d) f=2a-3b matrisini bulduran islemleri yazalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
a) c=a+b b) d=a-b c) e=a-5 d) f=a+a-b-b-b veya
f=2a-3b
84
İki matrisin ccedilarpım islemi iki biccedilimde anlasılır
1)
Aynı
mertebeden iki matrisin elemanlarını
teker teker ccedilarpıp aynı
mertebeye
yazmak demektir Bunu
islemi ile gerccedileklestiririz
2) Matematiksel anlamda iki matrisi ccedilarpmak istediğimizde birinci matris mxn
tuumlruumlnde ve ikinci matris mutlaka nxp tuumlruumlnde olmalıdır yani birinci matrisin
suumltun sayısı
ikinci matrisin satır sayısına eşit olmalıdır
Bu durumda birinci matrisin i suumltun elemanları
ile ikinci matrisin j satırındaki
elemanlar karılıklı
olarak ccedilarpılır ve sonuccedillar toplanır ve bu toplam ccedilarpım
matrisinin (ij) inci mertebeye yazılır
Matrisler arası
ccedilarpma isleminin semboluuml
de dır
b) İki Matrisin Ccedilarpımı Bir Matrisin Kuvvetleri veCcedilarpma İslemi
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
85
3) Bir a matrisinin her bir elemanının n Kuvvetlerinden olusan matrisi
bulmak iccedilin a^n islemi kullanılır
4) Satır ve suumltun sayıları
esit bir kare matrisi ardısık olarak n defa
kendisiyle ccedilarparak a matrisinin n kuvvetini bulabilirizOumlrneğin a matrisinin
karesi iccedilin aa veya a^2 kuumlbuumlnuuml
buldurmak iccedilin aaa veya a^3
doumlrduumlncuuml
kuvvetini buldurmak iccedilin aaaa veya a^4
Not) Bir a matrisinin eleman -elemana ccedilarpma islemine benzer mantıkla bir matrisin tuumlm elemanlarının kareleri kuumlbleri sinuumlsleri kosinuumlsleri logaritmalarından olusan matris bulunmak istenirse bunu sırayla aa (veya a^2) aaa (veya a^3) sin(a) cos(a) etabanında logaritması
iccedilin log(a) 10 tabanında logaritmaları
iccedilin log10(a) Biccediliminde gerccedileklestirebiliriz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
86
a) a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c1 matrisi varsa bulalım
b) a matrisi ile b matrisinin ccedilarpım matrisi olan c2 varsa bulalım
c) a matrisinin elemanları
ile c matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c3 matrisi varsa bulalım
d) a matrisi ile c matrisinin ccedilarpım matrisi olan c4 varsa bulalım
e) a matrisinin elemanlarının karelerinden olusan matris ile b matrisinin
kosinuumlslerinden olusan matrisler toplamını
bulalım
f) x=[1 00 3] matrisinin i) Karesini ii) Kuumlbuumlnuuml
iii) 10
kuvvetini bulalım
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] b=[3 -3 -41 1 5] ve c=[1 0-1 23 3] matrisleri veriliyor
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
87
Ccediloumlzuumlma) iki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirBu durumda c1 matrisi tanımlıdır ve bunu c1=ab islemi ile gerccedileklestirebilirizb) iki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdırHalbuki a matrisi 2x3 b matrisi de 2x3 olduğundan bu iki matris ccedilarpılamazc) İki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirHalbuki bu matrisler aynı mertebeden olmadığından bu iki matris eleman-elemana ccedilarpma islemi
gerccedileklemezd) İki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdıra matrisi 2x3 luumlk c matrisi de 3x2 lik olduğundan bu iki matris ccedilarpılabilir ve c4 ccedilarpım matrisi 2x2 lik bir matris olurc4 ccedilarpım matrisini c4=ac islemi ile buluruze) a^2+cos(b)f) i) x^2 ii) x^3 iii) x^10
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
88
c) Bir Matrisin Devriğini (Transpozesi) Bulma İslemi
Bir matrisin satırlarını suumltun suumltunlarını satır olarak yazılmasıyla
bulunan matrise bu matrisin devriği (transpozesi) denir
Bir matrisin devriğini islemi ile bulabiliriz
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] nın devriğini buldurup d matrisine atayalım
Ccediloumlzuumlm d=a
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
89
Oumlrnek
b=[7 8 9 10 11 12] matrisinin transpozesini bulabilirmisiniz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
c=bc =
7 108 119 12
90
SORU
a=[1 2 3 4 5 6]
c= [710811912]
ise a ve crsquonin ccedilarpım matrisi
kaccediltır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
Ccedilarpma işlemi k=ack=
50 68122 167
91
SORU
a=[1 2 3 4 5 6] b=[7 8 9 10 11 12]
ise a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan x matrisini bulalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
x=abx =
7 16 2740 55 72
92
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
Aynı mertebeden iki matrisin elemanlarını teker teker boumllerek aynı
mertebeye yazılmasına iki matrisin sol boumllmesi denir ve bu islemi ile
yapılır
a b ve c aynı mertebeden kare matrisler olmak uumlzere
c=ab ise a matrisine c nin b matrisine boumlluumlmuuml denir
c boumlluumlm matrisi islemi ile yapılır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
93
HATIRLATMA
2x2 lik i2 adlı birim matrisi i2=eye(22)
3x luumlk i3 adlı birim matrisi i2=eye(33) islemi ile olusturabiiriz
Aynı mertebeden a ve b kare matrisleri iccedilin a ile b nin ccedilarpımı birim matris ise
b matrisi a matrisinin (aynı biccedilimde a matrisi de b matrisinin) ters matrisidir
Oumlrnek
3x3 luumlk bir a kare matrisinin tersini bulmak iccedilin
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
eye(33)a veya inv(a) islemini kullanırız
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
94
Bir Matrisin Determinantı
Determinant kare matrisleri bir sayıya eşleyen fonksiyondur
Determinant fonksiyonunun kare matrisi eşlediği o sayıya matrisin
determinantı denir
A matrisinin determinantı detA veya |A| biccediliminde goumlsterilir
|A| matrislerde mutlak değer anlamına gelmez |A| sıfır veya
negatif de olabilir
det(x)
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
95
KURAL
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
96
Oumlrnek
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Determinant
raquo
deter=det(x)deter =
21
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
97
Oumlrnek Inverse işlemi
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Detx=det(x)=21 ise
raquo y=inv(x)y =
821 121 -521 221
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
98
SORU
a=[2 -10 01 2 43 0 1] matrisi ile b=[1 5 41 -1 20 1 -1] matrisleri veriliyor
a)
a matrisinin elemanlarını
sırasıyla b matrisinin elemanlarına boumllerek elde
edilen matrisi b1 matrisine atayalım
b) a matrisinin ta ters matrisini bulalım
c) a ile ta matrisinin ccedilarpımının 3x3 luumlk birim matris olduğunu goumlsterelim
d) a matrisinin b matrisine boumlluumlmuumlnuuml
b2 matrisine atayalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
99
Ccediloumlzuumlm
a)
b1=ab
b) ta1=eye(33)a veya ta2=inv(a)
c) ata ==eye(33)
d) b2=ab
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
41
oMATLABrsquoda sayılar yaygın olarak kullanılan onluk tabanda ifade edilirler
o
Bunun yanısıra onluk tabanda uumlstel olarak veya i veya j olarak kompleks sayı biccedilimlerinde de ifade edilebilirler
oOumlrnek olarak
33 Sayılar
Matlab da i
ve j
başka tuumlrluuml
tanımlanmamışsa kompleks i sayısını
goumlsterir 3e5 sayısıda 3105
anlamındadır
MATRİSLER
42
o
Ondalık sayılar Tuumlrkccedilemizdeki
35 yerine
35 şeklinde
goumlsterilir
(00001 veya 963
065 yerine 65)
o
Bilimsel
notasyon
goumlsterimi olan e
(veya E) harfi
10rsquonun kuvvetini
temsil eder
o 2e4=2104=2000 veya
165e-20=16510-20
demektir
o
Kompleks
sayılarda
imajiner
(sanal) kısımlar
i
veya
j
ekini
alır
i veya
j
ile
gosterimlerinde
bir
fark
yoktur
o (1+3i veya 1+3i veya 1+i3) 1+sqrt(3)j
-5i
o
Matlabrsquode
tuumlm
sayılar yaklaşık 210308 ve
210-308 arasında
değişir
33 Sayılar
MATRİSLER
43
Sayı
Formatları
33 SayılarMatlabMATRİSLER
44
oMatlabda bir ccedilok eylem doumlrt islem ve matematiksel bazı
islemler
yaptırabiliriz
oBunun iccedilin ya ilgili komutları
komut penceresinden teker teker girerek veya
ilgili komutları
bir dosyaya yazıp o dosyayı
ccedilağırarak ccedilalıstırabiliriz
oİşlemleri yaptırırken sayıları
reel sayı
ya da karmasık sayı
olarak alabiliriz
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
45
Matematiksel ifadeleri oluşturmak iccedilin operatoumlrler ve oumlnceden tanımlanmış sembolleri kullanabilirsiniz
oOperatoumlrler oumlzetle şunlardır
oMatrislerle yapılan işlemlerde boumllme işlemi iccedilin iki farklı
sembol kullanılmaktadıroBunun yanında eğer sayılar skaler ise iki boumllme işleminin sonucu da aynı
değeri
goumlsterecektiroOumlrneğin 32 ile 23 ifadelerinin sonuccedilları
aynı
olup 15rsquodir
raquo 4+83ndash2ans =26
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
46
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
x=a + b
Bu ifadede a ve b nin toplandığı
ve x değişkeni iccedilinde saklandığıbelirtilmektedir
47
Aritmetiksel İşlemlerde Oumlncelik Durumu
oTek bir aritmetiksel durum iccedilinde birden fazla durum bir arada bulunabildiğine goumlre
hangi işlemin oumlncelik hakkına sahip olunduğunun
bilinmelidir
oMATLABrsquoda kullanılan işlemlerde işlemlerin oumlncelik
listesi
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
bazı
temel matematiksel fonksiyonların accedilıklamaları
48
o
MATLABrsquo
da işlemler soldan sağa işlerlero
İşlemler arası
oumlncelik sırası
aşağıdaki gibidir
1 ^
(Yuumlksek)2
darr
3 + -
(Duumlşuumlk)
raquo 3^(2ndash5)-632 raquo 3^2ndash5ndash632ans = ans =
mdash39630 0
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
49
35 FonksyonlarMATRİSLER
o MATLABrsquoın ccedilok guumlccedilluuml
ve ccedilok kapsamlı
bir fonksiyon yapısı
vardır
oMATLABrsquoda bazı
fonksiyonlar daha oumlnceden yerleştirilmiş
bazıları
ise sonradan
dışarıdan yerleştirilmiş
M-dosyalarından oluşan MATLAB kuumltuumlphanelerinde
tanımlanmışlardır
oBunun yanında oumlzel uygulamalar iccedilin kullanıcıların kendi fonksiyonlarını
yazarak
kendi kuumltuumlphanelerini oluşturması
muumlmkuumlnduumlr
MATLABrsquoda mevcut analitik fonksiyonları
genel olarak aşağıdaki kategorilere ayırabiliriz oTemel matematiksel fonksiyonlaroOumlzel fonksiyonlaroTemel matrisler ve matris işlemlerioMatrisleri ccedilarpanlarına ayırmaoVeri analizlerioPolinomlaroDiferansiyel denklem ccediloumlzuumlmlerioLineer olmayan denklemler ve optimizasyonoSayısal integral hesaplamalarıoSinyal işleme
50
Matematiksel Fonksiyonlar
bazı
temel matematiksel fonksiyonların accedilıklamaları
35 FonksyonlarMATRİSLER
Oumlrnekgtgtexp(1)ans=27183gtgtfix(35)ans=3gtgtceil(35)ans=4gtgtround(35)ans=4
51
Matlabda oumlnceden tanımlanmıs bazı
sabitlerdirBunlar aşağıdaki tabloda goumlsterilmistir
36 Oumlzel SabitlerMatlab
52
Oumlrnekler
1)
a=1
2)
a=rsquoİstanbulrsquo
3)
a=5b=7c=a+b
4) a=5b=-3c=a+2ba=a+b
5)
num=23-5^2 x=num2 y=x+10
7 Sabitler Değiskenler ve Metin KatarlarıMatlab
53
Oumlrnek
Komut satırına
a)
sin(30)
b)
sin(30pi180) yazınız sonuccedilları
inceleyiniz
35 FonksyonlarMATRİSLER
Cevapa) -09880 sonucu goumlruumlluumlr ki bu 30deg
nin sinuumlsuumlnde n farklıdır Ccediluumlnkuuml
bu 30deg
derece değil 30 radyanın sinuumlsuumlduumlrb) 05000 sonucu goumlruumlluumlr ki bu da 30deg
nin sinuumlsuumld uumlr O halde bir
sayının trigonometrik değerini buldurmak iccedilin oumlnce pi ile ccedilarpıp 180 e boumllerek accedilıyı
radyan ccedilevirip sonra trigonometrik değerini
hesaplatabiliriz
54
oVektoumlrler tek boyutlu sayı
dizileridir
oElemanlarının sıralanma youmlnlerine goumlre suumltun veya satır vektoumlruuml
adlarını alırlar
ovektoumlrler [ ] koumlşeli parantezleri ile tanımlanır
ofarklı
yolla tanımlanabilirler
4 VektoumlrlerMatlab
A = [4 12 -8 6]A = [4 12 -8 6]
B = [1 2 4 6]
Satır Vektoumlruuml
Suumltun Vektoumlruumlgtgt b=[1 2 4 6 ]
55
4 VektoumlrlerMatlab
ovektoumlr boyutları
buumlyuumlduumlkccedile manuel olarak tanıtım işlemi oldukccedila zorlaşmaktadır
oOumlzellikle belli bir artıma sahip vektoumlrlerin oluşturulmasında () operatoumlruuml kullanılmaktadır
C = [-105150]
Son değerBaşlangıccedil değeri Artış
miktarı
Drsquo
= [30-10-30]
Suumltun Vektoumlruuml
56
Vektoumlr indisleri
4 VektoumlrlerMatlab
Bir vektoumlruumln elemanlarına atanılan değer değişkenler editoumlruuml
veya eleman adresi vasıtasıyla değiştirilebilir
OumlrnekA = [4 12 -8 6]1 A vektoumlruumlnuumln 3 elemanını
27 ile değiştiriniz
2 Benzer şekilde A vektoumlruumlnuumln 2 elemanını
siliniz 3 A(9) = 12
Ccediloumlzuumlm1 A(3) = 272 Vektoumlruumln elemanına [ ] değeri atandığında eleman silinirA(2) = [ ]3 gtgt A(9) = 12
A= [ 4 27 6]
A =[ 2 27 7 0 0 0 0 0 12]
57
raquo x=[17 8 61 83 56]
Şeklindeki bir matrisin uumlccediluumlncuuml
elemanına erişmek istenirse
raquo c=x(3)
c =
61
Eğer bir blok şeklinde veriye erişilmek istenirse
raquo x(24)
ans =
8 61 83
Her matristeki herhangi bir elman grubuna erişilmek istenirse
raquo x([3 1 4])
ans =
61 17 83
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
58
Bir diziye duumlzenli artıs (veya azalıs) kuralıyla değerler atanmak isteniyorsa
bunu
ilk_değerartısson değer veya ilk_değerartısson değer
biccediliminde yapabiliriz
Ancak artıs 1 ise belirtilmeyebilirOumlrnekortalama adlı
bir diziye 0 dan 5 e kadar 05 er artısla elde edilen sayı
dizisini atayanortalama=[0055]
Siz 1 satır 7 den den 17 ye kadar olan tam sayılar 2 satırı
99 dan 89 a kadar azalan tam sayılardan olusan 2 boyutlu m dizisine atayan islemleri yazınız
Dizilerin Değerlerinin Değistirilmesi ve Duumlzenlenmesi
4 VektoumlrlerMatlab
59
4 VektoumlrlerMatlab
60
Sayılardan olusan satır ve suumltun yapısına matris (dizi) denir
Oumlrneğin
d1=[5] 1x1 lik
d2=[ 2 -7] 1x2 lik
d3= [1 0 -3 ]
[ 5 3 1 ]
2x3 luumlk bir dizidir
Oumlrnekx=[1 7 18 5]Ya daraquo x=[ 1
7185 ]
Biccedilimlerinde girilebilir
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
61
Dizilerin Değerlerinin Değistirilmesi ve DuumlzenlenmesiBir dizinin herhangi bir elemanını belirlemek iccedilin dizi adından hemen sonra
parantez iccedilinde elemanın bulunduğu satır ve suumltun sayısı yazılmalıdır
Oumlrnek 1 d2=[2 -7]d2 dizisinin -7 elemanını
goumlruumlntuumllemek iccedilin
d2(12)
2 d3=[1 0 -35 3 1]d3 dizisinin 2 satır 1 suumltununda bulunan 5 in değerinin -75 olması
iccedilin
d3(21)=-75
Not1) Bir dizinin bir ccedilok elemanını
yeniden değer atamak gerekirse komut satırından atama yapmak uzun zaman alabilirBu durumda dizi değiskeninin uumlzerine ccedilift tıklayarak accedilılan dizi editoumlruuml
(array edit) yardımıyla değisiklikleri daha kolay yapabiliriz
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
62
8 Matrisler(Dizi)Matlab
Bir matrisi girerken o1 Elemanlar baştan ve sondan koumlşeli parantezlerle kapatılıro2 Elemanların arasına boşluk veya virguumll konuluro3 Matris satırlarını
ayırmak iccedilin de noktalı
virguumll kullanılır
okurallarına dikkate alınmalıdır
Oumlrneğin
A = [1 2 3 4 5 6]A =
1 2 34 5 6
şeklinde veriler matrisler biccediliminde tanımlanır MATLAB daha sonra kullanılmak uumlzere verileri A matrisinde saklar
63
Matris elemanları
rasgele rakamlardan oluşabileceği gibi MATLABrsquoın deyimlerinden de oluşabilir
51 Matrislerde ElemanlarMatlab
Oumlrneğin
a=[-13 sqrt(3) (1+2+3)475]
a= -13000 17321 48000
Kuumlccediluumlk matrisleri eleman olarak kullanıp daha buumlyuumlk matrisler oluşturmak muumlmkuumlnduumlr
OumlrneğinM=[1 3 5
7 8 9] matrisine
aşağıda goumlsterildiği şekilde bir satır eklemesi yapabilir
M=[M[10 13 15]]
Bu durumda M matrisiM=[1 3 5
7 8 910 13 15]
durumunu alır
64
İki nokta uumlst uumlste () kullanarak buumlyuumlk matrislerin belli bir kısmını
kullanabiliriz
ya da diğer ifade ile bu matrisi kuumlccediluumlltebiliriz
Oumlrneğin
M=M(12) bildirimi M matrisinin ilk iki satırını
alarak M matrisi
olarak saklar
Oumlrnek
M=[8 -4 7 66 -7 8 9 4 5 134] ise
M=M(12) =
8 1 Matrislerde ElemanlarMatlab
65
MATLABrsquoda kullanıcı
verileri kendi oluşturacağı
matrisler ile tanımlayabileceği gibi MATLABrsquoın kendi oumlzel matrislerinden de istifade edilebilir
52 Genel MatrislerMatlab
66
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
a) Sıfır Matrisi Olusturan Fonksiyon
Her elemanı sıfır olan mxn boyutunda bir matrise sıfır matrisi denir
Boumlyle bir dizi olusturmak iccedilin zeros fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=zeros(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
3x5 boyutunda s adlı
sıfır matrisi iccedilin
s=zeros(35)
52 Genel MatrislerMatlab
67
b) 1 lerden Olusan Matris
Her elemanı 1 olan mxn boyutunda bir matrisi olusturmak iccedilin ones
fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matria_adı=ones(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
2x3 boyutunda b adlı
tuumlm elemanları
1 olan matrisi olusturalım
b=ones(23)
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
52 Genel MatrislerMatlab
68
c) Birim Matrisi Olusturan Fonksiyon
Esas koumlsegeni 1 lerden diğer elemanları 0 lardan olusan kare matrise (satır
ve suumltun sayısı esit olan ) birim matrisi
kare olmayan matrise de diyagonal matris denir
Boumlyle matrisleri olusturmak iccedilin eye fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=eye(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
a)
3x3 luumlk birim matris
b) 4x3 lluumlk diyagonal matris olusturalım
Ccediloumlzuumlma) i=eye(33) b) d=eye(43)
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar52 Genel MatrislerMatlab
69
d) Rastgele Sayılardan Olusan Matris ve Fonksiyonu
Elemanları 0 ile 1 arasındaki rastgele sayılardan olusan bir matris iccedilin
rand fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=rand(mn) biccedilimindedir(msatırnsuumltun)
Not 1) Uumlretilen matrisin tuumlm elemanlarını k gibi bir sayı ile ccedilarparak
sayıları 0 ile k arasına ccedilekebiliriz
Not 2) Ondalıklı sayılardan olusmus bir matrisin elemanlarını
yuvarlayıp tam sayı yapmak iccedilin round fonksiyonunu kullanırız
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar52 Genel MatrislerMatlab
70
Oumlrnek
a) 0 ile 1 arasında rastgele sayılardan olusan 10 elemanlı
a adında bir satır
matrisi olusturalım
b) Elemanları
10 ile 50 arasında sayılardan olusan 5x3 tipinde b matrisini
olusturalım
c) Elemanları
50 ile 300 arasındaki tamsayılardan olusan 3x4 tipinde c matrisini
olusturalım
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
d) Rastgele Sayılardan Olusan Matris ve Fonksiyonu
52 Genel MatrislerMatlab
71
Ccediloumlzuumlm
a)
a=rand(110)
b)
b=10+rand(53)40
c) c=round(50+rand(34)250)
52 Genel MatrislerMatlab
72
e) Rastgele Sayılardan Olusan Normal Dağılımlı
Matris veFonksiyonu
Elemanları rasstgele sayılardan olusan bir normal dağılımlı bir matris iccedilin
randn fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=randn(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek Rastgele sayılardan olusan normal dağılımlı 2x3 luumlk bir n matrisini
olusturalım
Ccediloumlzuumlm n=randn(23)
52 Genel MatrislerMatlab
73
f) Lineer Aralıklı
(Aritmetik) Dizi ve Fonksiyonu
Baslangıccedil ve biis değerleri ve kaccedil elemandan olusacağı belirlenen diziyi
olusturmak iccedilin linspace fonksiyonu kullanılır
Kullanımı
dizi_adı=linspace(ilk_değerson_değereleman_sayısı)
biccedilimindedir
52 Genel MatrislerMatlab
74
Oumlrnek 10 ile 30 arasına 9 tane daha sayı
koyarak aadında bir aritmetik dizi olusturalım
f) Lineer Aralıklı
(Aritmetik) Dizi ve Fonksiyonu
52 Genel MatrislerMatlab
Cevapa=linspace(103011)
75
Elimizdeki grubun her elemanı iccedilin bir matematik işlemi yapıp bunu yeni bir
diziye atarken herhangi bir sorun yoktur
Fakat iki farklı grupla işlemler yaparken dikkat etmemiz gereken genel
kurallar vardır
Oumlrneğin toplama ve ccedilıkarma yaparken iki dizinin de buumlyuumlkluumlğuumlnuumln eşit
olması gerekmektedir
Ayrıca iki farklı dizinin elemanları arasında birebir işlem yapmak iccedilin
matematik operatoumlruumlnuumln başına nokta() koymak gerekir
Bu durumda her bir elemanı diğer dizinin o sıradaki elmanı ile işleme
sokacaktır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
76
Birden fazla satır ve suumltuna sahip vektoumlrlere matris denir Noktalı
virguumll ()
işareti ile kolonları
ve virguumlle işareti ya da boşluk
bırakarak da bir sıradaki elemanları
ayırabilirizOumlrnekraquo x=[ 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14]x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14Yukarıdaki 3x4 boyutunda bir matristir MATLAB programına aşağıdaki
gibi de sunulabilirraquo x=[ 3 4 5 6
7 8 9 1011 12 13 14]
x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
77
Matristeki herhangi bir elemana direk ulaşmak iccedilin aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(23)=9
Eğer isteğimiz eriştiğimiz bir elemanı
değiştirmek veya yeni bir satır eklemek ise aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(41)=1x =
3 4 5 67 8 9 1011 12 13 141 0 0 0
Bu durumda doumlrduumlncuuml
satır ilk elemanını
biz 1 değerini atadık ve diğer elemanları
kendiliğinden ldquo0rdquo
olarak atadı
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
78
İki nokta uumlst uumlste () kullanılarak belirli aralıkta değişen matrisler yaratılabilir
raquo x=[127 3-10 -12]x =
1 3 5 73 2 1 0
-1 0 1 2Bir matrisin herhangi bir boumlluumlmuumlnuuml
seccedilmek iccedilin ise aşağıdaki goumlsterim
kullanılırraquo z=x(23 12)z =
3 2-1 0
Bu durumda z matris x matrisinin 2 ve 3 norsquo
lu satırlarından 1 ve 2 norsquo
lu suumltunlarını
almış
oluyor
Herhangi bir satır veya suumltunu tamamen silmek istersek o satır ve suumltunu seccedilip ldquo[]rdquo
ifadesine eşitleriz
raquo z(2)=[ ]z =
3 -1
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
79
Matlab size ve length komutları
yardımı
ile size matrisinizin boyutlarını
soumlyler
raquo a=[ 2 3 4 5 67 8 9 10 11]
raquo s=size(a)s =
2 5
raquo b=[ 17 11 0 30 40 50]
raquo k=length(b)k =
6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
80
a) Toplama-Ccedilıkarma Bir Sayı
ile Ccedilarpma İşlemi
İki matrisi toplamak (veya ccedilıkarmak) demek matrislerin aynı
mertebedeki elemanları teker teker toplayıp (veya ccedilıkarıp ) aynı
mertebeye yazmak demektir
Bu durumda iki matrisin de aynı mertebeden olması gereği accedilıktır
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile toplamak (veya ccedilıkarmak) demek
matrisin elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla toplamak (veya
ccedilıkarmak )demektir
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile ccedilarpmak demek ise matrisin
elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla ccedilarpmak demektir
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
81
82
Oumlrnek
raquo a=[1 2 3 4 5 6]raquo b=[7 8 9 10 11 12]
a ve b toplamıraquo sum=a+bsum =
8 10 1214 16 18
arsquo
yı
brsquo
den ccedilıkarmak
raquo diff=a-bdiff =
-6 -6 -6-6 -6 -6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
83
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] ve b=[3 -3 -41 1 5] matrisleri
veriliyor
a)
c=a+b toplam matrisini
b)
d=a-b matrisini
c)
amatrisinin her elemanınının 5 eksiğine karsılık gelen e
matrisini
d) f=2a-3b matrisini bulduran islemleri yazalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
a) c=a+b b) d=a-b c) e=a-5 d) f=a+a-b-b-b veya
f=2a-3b
84
İki matrisin ccedilarpım islemi iki biccedilimde anlasılır
1)
Aynı
mertebeden iki matrisin elemanlarını
teker teker ccedilarpıp aynı
mertebeye
yazmak demektir Bunu
islemi ile gerccedileklestiririz
2) Matematiksel anlamda iki matrisi ccedilarpmak istediğimizde birinci matris mxn
tuumlruumlnde ve ikinci matris mutlaka nxp tuumlruumlnde olmalıdır yani birinci matrisin
suumltun sayısı
ikinci matrisin satır sayısına eşit olmalıdır
Bu durumda birinci matrisin i suumltun elemanları
ile ikinci matrisin j satırındaki
elemanlar karılıklı
olarak ccedilarpılır ve sonuccedillar toplanır ve bu toplam ccedilarpım
matrisinin (ij) inci mertebeye yazılır
Matrisler arası
ccedilarpma isleminin semboluuml
de dır
b) İki Matrisin Ccedilarpımı Bir Matrisin Kuvvetleri veCcedilarpma İslemi
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
85
3) Bir a matrisinin her bir elemanının n Kuvvetlerinden olusan matrisi
bulmak iccedilin a^n islemi kullanılır
4) Satır ve suumltun sayıları
esit bir kare matrisi ardısık olarak n defa
kendisiyle ccedilarparak a matrisinin n kuvvetini bulabilirizOumlrneğin a matrisinin
karesi iccedilin aa veya a^2 kuumlbuumlnuuml
buldurmak iccedilin aaa veya a^3
doumlrduumlncuuml
kuvvetini buldurmak iccedilin aaaa veya a^4
Not) Bir a matrisinin eleman -elemana ccedilarpma islemine benzer mantıkla bir matrisin tuumlm elemanlarının kareleri kuumlbleri sinuumlsleri kosinuumlsleri logaritmalarından olusan matris bulunmak istenirse bunu sırayla aa (veya a^2) aaa (veya a^3) sin(a) cos(a) etabanında logaritması
iccedilin log(a) 10 tabanında logaritmaları
iccedilin log10(a) Biccediliminde gerccedileklestirebiliriz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
86
a) a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c1 matrisi varsa bulalım
b) a matrisi ile b matrisinin ccedilarpım matrisi olan c2 varsa bulalım
c) a matrisinin elemanları
ile c matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c3 matrisi varsa bulalım
d) a matrisi ile c matrisinin ccedilarpım matrisi olan c4 varsa bulalım
e) a matrisinin elemanlarının karelerinden olusan matris ile b matrisinin
kosinuumlslerinden olusan matrisler toplamını
bulalım
f) x=[1 00 3] matrisinin i) Karesini ii) Kuumlbuumlnuuml
iii) 10
kuvvetini bulalım
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] b=[3 -3 -41 1 5] ve c=[1 0-1 23 3] matrisleri veriliyor
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
87
Ccediloumlzuumlma) iki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirBu durumda c1 matrisi tanımlıdır ve bunu c1=ab islemi ile gerccedileklestirebilirizb) iki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdırHalbuki a matrisi 2x3 b matrisi de 2x3 olduğundan bu iki matris ccedilarpılamazc) İki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirHalbuki bu matrisler aynı mertebeden olmadığından bu iki matris eleman-elemana ccedilarpma islemi
gerccedileklemezd) İki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdıra matrisi 2x3 luumlk c matrisi de 3x2 lik olduğundan bu iki matris ccedilarpılabilir ve c4 ccedilarpım matrisi 2x2 lik bir matris olurc4 ccedilarpım matrisini c4=ac islemi ile buluruze) a^2+cos(b)f) i) x^2 ii) x^3 iii) x^10
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
88
c) Bir Matrisin Devriğini (Transpozesi) Bulma İslemi
Bir matrisin satırlarını suumltun suumltunlarını satır olarak yazılmasıyla
bulunan matrise bu matrisin devriği (transpozesi) denir
Bir matrisin devriğini islemi ile bulabiliriz
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] nın devriğini buldurup d matrisine atayalım
Ccediloumlzuumlm d=a
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
89
Oumlrnek
b=[7 8 9 10 11 12] matrisinin transpozesini bulabilirmisiniz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
c=bc =
7 108 119 12
90
SORU
a=[1 2 3 4 5 6]
c= [710811912]
ise a ve crsquonin ccedilarpım matrisi
kaccediltır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
Ccedilarpma işlemi k=ack=
50 68122 167
91
SORU
a=[1 2 3 4 5 6] b=[7 8 9 10 11 12]
ise a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan x matrisini bulalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
x=abx =
7 16 2740 55 72
92
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
Aynı mertebeden iki matrisin elemanlarını teker teker boumllerek aynı
mertebeye yazılmasına iki matrisin sol boumllmesi denir ve bu islemi ile
yapılır
a b ve c aynı mertebeden kare matrisler olmak uumlzere
c=ab ise a matrisine c nin b matrisine boumlluumlmuuml denir
c boumlluumlm matrisi islemi ile yapılır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
93
HATIRLATMA
2x2 lik i2 adlı birim matrisi i2=eye(22)
3x luumlk i3 adlı birim matrisi i2=eye(33) islemi ile olusturabiiriz
Aynı mertebeden a ve b kare matrisleri iccedilin a ile b nin ccedilarpımı birim matris ise
b matrisi a matrisinin (aynı biccedilimde a matrisi de b matrisinin) ters matrisidir
Oumlrnek
3x3 luumlk bir a kare matrisinin tersini bulmak iccedilin
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
eye(33)a veya inv(a) islemini kullanırız
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
94
Bir Matrisin Determinantı
Determinant kare matrisleri bir sayıya eşleyen fonksiyondur
Determinant fonksiyonunun kare matrisi eşlediği o sayıya matrisin
determinantı denir
A matrisinin determinantı detA veya |A| biccediliminde goumlsterilir
|A| matrislerde mutlak değer anlamına gelmez |A| sıfır veya
negatif de olabilir
det(x)
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
95
KURAL
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
96
Oumlrnek
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Determinant
raquo
deter=det(x)deter =
21
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
97
Oumlrnek Inverse işlemi
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Detx=det(x)=21 ise
raquo y=inv(x)y =
821 121 -521 221
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
98
SORU
a=[2 -10 01 2 43 0 1] matrisi ile b=[1 5 41 -1 20 1 -1] matrisleri veriliyor
a)
a matrisinin elemanlarını
sırasıyla b matrisinin elemanlarına boumllerek elde
edilen matrisi b1 matrisine atayalım
b) a matrisinin ta ters matrisini bulalım
c) a ile ta matrisinin ccedilarpımının 3x3 luumlk birim matris olduğunu goumlsterelim
d) a matrisinin b matrisine boumlluumlmuumlnuuml
b2 matrisine atayalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
99
Ccediloumlzuumlm
a)
b1=ab
b) ta1=eye(33)a veya ta2=inv(a)
c) ata ==eye(33)
d) b2=ab
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
42
o
Ondalık sayılar Tuumlrkccedilemizdeki
35 yerine
35 şeklinde
goumlsterilir
(00001 veya 963
065 yerine 65)
o
Bilimsel
notasyon
goumlsterimi olan e
(veya E) harfi
10rsquonun kuvvetini
temsil eder
o 2e4=2104=2000 veya
165e-20=16510-20
demektir
o
Kompleks
sayılarda
imajiner
(sanal) kısımlar
i
veya
j
ekini
alır
i veya
j
ile
gosterimlerinde
bir
fark
yoktur
o (1+3i veya 1+3i veya 1+i3) 1+sqrt(3)j
-5i
o
Matlabrsquode
tuumlm
sayılar yaklaşık 210308 ve
210-308 arasında
değişir
33 Sayılar
MATRİSLER
43
Sayı
Formatları
33 SayılarMatlabMATRİSLER
44
oMatlabda bir ccedilok eylem doumlrt islem ve matematiksel bazı
islemler
yaptırabiliriz
oBunun iccedilin ya ilgili komutları
komut penceresinden teker teker girerek veya
ilgili komutları
bir dosyaya yazıp o dosyayı
ccedilağırarak ccedilalıstırabiliriz
oİşlemleri yaptırırken sayıları
reel sayı
ya da karmasık sayı
olarak alabiliriz
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
45
Matematiksel ifadeleri oluşturmak iccedilin operatoumlrler ve oumlnceden tanımlanmış sembolleri kullanabilirsiniz
oOperatoumlrler oumlzetle şunlardır
oMatrislerle yapılan işlemlerde boumllme işlemi iccedilin iki farklı
sembol kullanılmaktadıroBunun yanında eğer sayılar skaler ise iki boumllme işleminin sonucu da aynı
değeri
goumlsterecektiroOumlrneğin 32 ile 23 ifadelerinin sonuccedilları
aynı
olup 15rsquodir
raquo 4+83ndash2ans =26
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
46
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
x=a + b
Bu ifadede a ve b nin toplandığı
ve x değişkeni iccedilinde saklandığıbelirtilmektedir
47
Aritmetiksel İşlemlerde Oumlncelik Durumu
oTek bir aritmetiksel durum iccedilinde birden fazla durum bir arada bulunabildiğine goumlre
hangi işlemin oumlncelik hakkına sahip olunduğunun
bilinmelidir
oMATLABrsquoda kullanılan işlemlerde işlemlerin oumlncelik
listesi
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
bazı
temel matematiksel fonksiyonların accedilıklamaları
48
o
MATLABrsquo
da işlemler soldan sağa işlerlero
İşlemler arası
oumlncelik sırası
aşağıdaki gibidir
1 ^
(Yuumlksek)2
darr
3 + -
(Duumlşuumlk)
raquo 3^(2ndash5)-632 raquo 3^2ndash5ndash632ans = ans =
mdash39630 0
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
49
35 FonksyonlarMATRİSLER
o MATLABrsquoın ccedilok guumlccedilluuml
ve ccedilok kapsamlı
bir fonksiyon yapısı
vardır
oMATLABrsquoda bazı
fonksiyonlar daha oumlnceden yerleştirilmiş
bazıları
ise sonradan
dışarıdan yerleştirilmiş
M-dosyalarından oluşan MATLAB kuumltuumlphanelerinde
tanımlanmışlardır
oBunun yanında oumlzel uygulamalar iccedilin kullanıcıların kendi fonksiyonlarını
yazarak
kendi kuumltuumlphanelerini oluşturması
muumlmkuumlnduumlr
MATLABrsquoda mevcut analitik fonksiyonları
genel olarak aşağıdaki kategorilere ayırabiliriz oTemel matematiksel fonksiyonlaroOumlzel fonksiyonlaroTemel matrisler ve matris işlemlerioMatrisleri ccedilarpanlarına ayırmaoVeri analizlerioPolinomlaroDiferansiyel denklem ccediloumlzuumlmlerioLineer olmayan denklemler ve optimizasyonoSayısal integral hesaplamalarıoSinyal işleme
50
Matematiksel Fonksiyonlar
bazı
temel matematiksel fonksiyonların accedilıklamaları
35 FonksyonlarMATRİSLER
Oumlrnekgtgtexp(1)ans=27183gtgtfix(35)ans=3gtgtceil(35)ans=4gtgtround(35)ans=4
51
Matlabda oumlnceden tanımlanmıs bazı
sabitlerdirBunlar aşağıdaki tabloda goumlsterilmistir
36 Oumlzel SabitlerMatlab
52
Oumlrnekler
1)
a=1
2)
a=rsquoİstanbulrsquo
3)
a=5b=7c=a+b
4) a=5b=-3c=a+2ba=a+b
5)
num=23-5^2 x=num2 y=x+10
7 Sabitler Değiskenler ve Metin KatarlarıMatlab
53
Oumlrnek
Komut satırına
a)
sin(30)
b)
sin(30pi180) yazınız sonuccedilları
inceleyiniz
35 FonksyonlarMATRİSLER
Cevapa) -09880 sonucu goumlruumlluumlr ki bu 30deg
nin sinuumlsuumlnde n farklıdır Ccediluumlnkuuml
bu 30deg
derece değil 30 radyanın sinuumlsuumlduumlrb) 05000 sonucu goumlruumlluumlr ki bu da 30deg
nin sinuumlsuumld uumlr O halde bir
sayının trigonometrik değerini buldurmak iccedilin oumlnce pi ile ccedilarpıp 180 e boumllerek accedilıyı
radyan ccedilevirip sonra trigonometrik değerini
hesaplatabiliriz
54
oVektoumlrler tek boyutlu sayı
dizileridir
oElemanlarının sıralanma youmlnlerine goumlre suumltun veya satır vektoumlruuml
adlarını alırlar
ovektoumlrler [ ] koumlşeli parantezleri ile tanımlanır
ofarklı
yolla tanımlanabilirler
4 VektoumlrlerMatlab
A = [4 12 -8 6]A = [4 12 -8 6]
B = [1 2 4 6]
Satır Vektoumlruuml
Suumltun Vektoumlruumlgtgt b=[1 2 4 6 ]
55
4 VektoumlrlerMatlab
ovektoumlr boyutları
buumlyuumlduumlkccedile manuel olarak tanıtım işlemi oldukccedila zorlaşmaktadır
oOumlzellikle belli bir artıma sahip vektoumlrlerin oluşturulmasında () operatoumlruuml kullanılmaktadır
C = [-105150]
Son değerBaşlangıccedil değeri Artış
miktarı
Drsquo
= [30-10-30]
Suumltun Vektoumlruuml
56
Vektoumlr indisleri
4 VektoumlrlerMatlab
Bir vektoumlruumln elemanlarına atanılan değer değişkenler editoumlruuml
veya eleman adresi vasıtasıyla değiştirilebilir
OumlrnekA = [4 12 -8 6]1 A vektoumlruumlnuumln 3 elemanını
27 ile değiştiriniz
2 Benzer şekilde A vektoumlruumlnuumln 2 elemanını
siliniz 3 A(9) = 12
Ccediloumlzuumlm1 A(3) = 272 Vektoumlruumln elemanına [ ] değeri atandığında eleman silinirA(2) = [ ]3 gtgt A(9) = 12
A= [ 4 27 6]
A =[ 2 27 7 0 0 0 0 0 12]
57
raquo x=[17 8 61 83 56]
Şeklindeki bir matrisin uumlccediluumlncuuml
elemanına erişmek istenirse
raquo c=x(3)
c =
61
Eğer bir blok şeklinde veriye erişilmek istenirse
raquo x(24)
ans =
8 61 83
Her matristeki herhangi bir elman grubuna erişilmek istenirse
raquo x([3 1 4])
ans =
61 17 83
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
58
Bir diziye duumlzenli artıs (veya azalıs) kuralıyla değerler atanmak isteniyorsa
bunu
ilk_değerartısson değer veya ilk_değerartısson değer
biccediliminde yapabiliriz
Ancak artıs 1 ise belirtilmeyebilirOumlrnekortalama adlı
bir diziye 0 dan 5 e kadar 05 er artısla elde edilen sayı
dizisini atayanortalama=[0055]
Siz 1 satır 7 den den 17 ye kadar olan tam sayılar 2 satırı
99 dan 89 a kadar azalan tam sayılardan olusan 2 boyutlu m dizisine atayan islemleri yazınız
Dizilerin Değerlerinin Değistirilmesi ve Duumlzenlenmesi
4 VektoumlrlerMatlab
59
4 VektoumlrlerMatlab
60
Sayılardan olusan satır ve suumltun yapısına matris (dizi) denir
Oumlrneğin
d1=[5] 1x1 lik
d2=[ 2 -7] 1x2 lik
d3= [1 0 -3 ]
[ 5 3 1 ]
2x3 luumlk bir dizidir
Oumlrnekx=[1 7 18 5]Ya daraquo x=[ 1
7185 ]
Biccedilimlerinde girilebilir
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
61
Dizilerin Değerlerinin Değistirilmesi ve DuumlzenlenmesiBir dizinin herhangi bir elemanını belirlemek iccedilin dizi adından hemen sonra
parantez iccedilinde elemanın bulunduğu satır ve suumltun sayısı yazılmalıdır
Oumlrnek 1 d2=[2 -7]d2 dizisinin -7 elemanını
goumlruumlntuumllemek iccedilin
d2(12)
2 d3=[1 0 -35 3 1]d3 dizisinin 2 satır 1 suumltununda bulunan 5 in değerinin -75 olması
iccedilin
d3(21)=-75
Not1) Bir dizinin bir ccedilok elemanını
yeniden değer atamak gerekirse komut satırından atama yapmak uzun zaman alabilirBu durumda dizi değiskeninin uumlzerine ccedilift tıklayarak accedilılan dizi editoumlruuml
(array edit) yardımıyla değisiklikleri daha kolay yapabiliriz
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
62
8 Matrisler(Dizi)Matlab
Bir matrisi girerken o1 Elemanlar baştan ve sondan koumlşeli parantezlerle kapatılıro2 Elemanların arasına boşluk veya virguumll konuluro3 Matris satırlarını
ayırmak iccedilin de noktalı
virguumll kullanılır
okurallarına dikkate alınmalıdır
Oumlrneğin
A = [1 2 3 4 5 6]A =
1 2 34 5 6
şeklinde veriler matrisler biccediliminde tanımlanır MATLAB daha sonra kullanılmak uumlzere verileri A matrisinde saklar
63
Matris elemanları
rasgele rakamlardan oluşabileceği gibi MATLABrsquoın deyimlerinden de oluşabilir
51 Matrislerde ElemanlarMatlab
Oumlrneğin
a=[-13 sqrt(3) (1+2+3)475]
a= -13000 17321 48000
Kuumlccediluumlk matrisleri eleman olarak kullanıp daha buumlyuumlk matrisler oluşturmak muumlmkuumlnduumlr
OumlrneğinM=[1 3 5
7 8 9] matrisine
aşağıda goumlsterildiği şekilde bir satır eklemesi yapabilir
M=[M[10 13 15]]
Bu durumda M matrisiM=[1 3 5
7 8 910 13 15]
durumunu alır
64
İki nokta uumlst uumlste () kullanarak buumlyuumlk matrislerin belli bir kısmını
kullanabiliriz
ya da diğer ifade ile bu matrisi kuumlccediluumlltebiliriz
Oumlrneğin
M=M(12) bildirimi M matrisinin ilk iki satırını
alarak M matrisi
olarak saklar
Oumlrnek
M=[8 -4 7 66 -7 8 9 4 5 134] ise
M=M(12) =
8 1 Matrislerde ElemanlarMatlab
65
MATLABrsquoda kullanıcı
verileri kendi oluşturacağı
matrisler ile tanımlayabileceği gibi MATLABrsquoın kendi oumlzel matrislerinden de istifade edilebilir
52 Genel MatrislerMatlab
66
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
a) Sıfır Matrisi Olusturan Fonksiyon
Her elemanı sıfır olan mxn boyutunda bir matrise sıfır matrisi denir
Boumlyle bir dizi olusturmak iccedilin zeros fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=zeros(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
3x5 boyutunda s adlı
sıfır matrisi iccedilin
s=zeros(35)
52 Genel MatrislerMatlab
67
b) 1 lerden Olusan Matris
Her elemanı 1 olan mxn boyutunda bir matrisi olusturmak iccedilin ones
fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matria_adı=ones(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
2x3 boyutunda b adlı
tuumlm elemanları
1 olan matrisi olusturalım
b=ones(23)
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
52 Genel MatrislerMatlab
68
c) Birim Matrisi Olusturan Fonksiyon
Esas koumlsegeni 1 lerden diğer elemanları 0 lardan olusan kare matrise (satır
ve suumltun sayısı esit olan ) birim matrisi
kare olmayan matrise de diyagonal matris denir
Boumlyle matrisleri olusturmak iccedilin eye fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=eye(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
a)
3x3 luumlk birim matris
b) 4x3 lluumlk diyagonal matris olusturalım
Ccediloumlzuumlma) i=eye(33) b) d=eye(43)
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar52 Genel MatrislerMatlab
69
d) Rastgele Sayılardan Olusan Matris ve Fonksiyonu
Elemanları 0 ile 1 arasındaki rastgele sayılardan olusan bir matris iccedilin
rand fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=rand(mn) biccedilimindedir(msatırnsuumltun)
Not 1) Uumlretilen matrisin tuumlm elemanlarını k gibi bir sayı ile ccedilarparak
sayıları 0 ile k arasına ccedilekebiliriz
Not 2) Ondalıklı sayılardan olusmus bir matrisin elemanlarını
yuvarlayıp tam sayı yapmak iccedilin round fonksiyonunu kullanırız
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar52 Genel MatrislerMatlab
70
Oumlrnek
a) 0 ile 1 arasında rastgele sayılardan olusan 10 elemanlı
a adında bir satır
matrisi olusturalım
b) Elemanları
10 ile 50 arasında sayılardan olusan 5x3 tipinde b matrisini
olusturalım
c) Elemanları
50 ile 300 arasındaki tamsayılardan olusan 3x4 tipinde c matrisini
olusturalım
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
d) Rastgele Sayılardan Olusan Matris ve Fonksiyonu
52 Genel MatrislerMatlab
71
Ccediloumlzuumlm
a)
a=rand(110)
b)
b=10+rand(53)40
c) c=round(50+rand(34)250)
52 Genel MatrislerMatlab
72
e) Rastgele Sayılardan Olusan Normal Dağılımlı
Matris veFonksiyonu
Elemanları rasstgele sayılardan olusan bir normal dağılımlı bir matris iccedilin
randn fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=randn(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek Rastgele sayılardan olusan normal dağılımlı 2x3 luumlk bir n matrisini
olusturalım
Ccediloumlzuumlm n=randn(23)
52 Genel MatrislerMatlab
73
f) Lineer Aralıklı
(Aritmetik) Dizi ve Fonksiyonu
Baslangıccedil ve biis değerleri ve kaccedil elemandan olusacağı belirlenen diziyi
olusturmak iccedilin linspace fonksiyonu kullanılır
Kullanımı
dizi_adı=linspace(ilk_değerson_değereleman_sayısı)
biccedilimindedir
52 Genel MatrislerMatlab
74
Oumlrnek 10 ile 30 arasına 9 tane daha sayı
koyarak aadında bir aritmetik dizi olusturalım
f) Lineer Aralıklı
(Aritmetik) Dizi ve Fonksiyonu
52 Genel MatrislerMatlab
Cevapa=linspace(103011)
75
Elimizdeki grubun her elemanı iccedilin bir matematik işlemi yapıp bunu yeni bir
diziye atarken herhangi bir sorun yoktur
Fakat iki farklı grupla işlemler yaparken dikkat etmemiz gereken genel
kurallar vardır
Oumlrneğin toplama ve ccedilıkarma yaparken iki dizinin de buumlyuumlkluumlğuumlnuumln eşit
olması gerekmektedir
Ayrıca iki farklı dizinin elemanları arasında birebir işlem yapmak iccedilin
matematik operatoumlruumlnuumln başına nokta() koymak gerekir
Bu durumda her bir elemanı diğer dizinin o sıradaki elmanı ile işleme
sokacaktır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
76
Birden fazla satır ve suumltuna sahip vektoumlrlere matris denir Noktalı
virguumll ()
işareti ile kolonları
ve virguumlle işareti ya da boşluk
bırakarak da bir sıradaki elemanları
ayırabilirizOumlrnekraquo x=[ 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14]x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14Yukarıdaki 3x4 boyutunda bir matristir MATLAB programına aşağıdaki
gibi de sunulabilirraquo x=[ 3 4 5 6
7 8 9 1011 12 13 14]
x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
77
Matristeki herhangi bir elemana direk ulaşmak iccedilin aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(23)=9
Eğer isteğimiz eriştiğimiz bir elemanı
değiştirmek veya yeni bir satır eklemek ise aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(41)=1x =
3 4 5 67 8 9 1011 12 13 141 0 0 0
Bu durumda doumlrduumlncuuml
satır ilk elemanını
biz 1 değerini atadık ve diğer elemanları
kendiliğinden ldquo0rdquo
olarak atadı
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
78
İki nokta uumlst uumlste () kullanılarak belirli aralıkta değişen matrisler yaratılabilir
raquo x=[127 3-10 -12]x =
1 3 5 73 2 1 0
-1 0 1 2Bir matrisin herhangi bir boumlluumlmuumlnuuml
seccedilmek iccedilin ise aşağıdaki goumlsterim
kullanılırraquo z=x(23 12)z =
3 2-1 0
Bu durumda z matris x matrisinin 2 ve 3 norsquo
lu satırlarından 1 ve 2 norsquo
lu suumltunlarını
almış
oluyor
Herhangi bir satır veya suumltunu tamamen silmek istersek o satır ve suumltunu seccedilip ldquo[]rdquo
ifadesine eşitleriz
raquo z(2)=[ ]z =
3 -1
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
79
Matlab size ve length komutları
yardımı
ile size matrisinizin boyutlarını
soumlyler
raquo a=[ 2 3 4 5 67 8 9 10 11]
raquo s=size(a)s =
2 5
raquo b=[ 17 11 0 30 40 50]
raquo k=length(b)k =
6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
80
a) Toplama-Ccedilıkarma Bir Sayı
ile Ccedilarpma İşlemi
İki matrisi toplamak (veya ccedilıkarmak) demek matrislerin aynı
mertebedeki elemanları teker teker toplayıp (veya ccedilıkarıp ) aynı
mertebeye yazmak demektir
Bu durumda iki matrisin de aynı mertebeden olması gereği accedilıktır
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile toplamak (veya ccedilıkarmak) demek
matrisin elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla toplamak (veya
ccedilıkarmak )demektir
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile ccedilarpmak demek ise matrisin
elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla ccedilarpmak demektir
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
81
82
Oumlrnek
raquo a=[1 2 3 4 5 6]raquo b=[7 8 9 10 11 12]
a ve b toplamıraquo sum=a+bsum =
8 10 1214 16 18
arsquo
yı
brsquo
den ccedilıkarmak
raquo diff=a-bdiff =
-6 -6 -6-6 -6 -6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
83
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] ve b=[3 -3 -41 1 5] matrisleri
veriliyor
a)
c=a+b toplam matrisini
b)
d=a-b matrisini
c)
amatrisinin her elemanınının 5 eksiğine karsılık gelen e
matrisini
d) f=2a-3b matrisini bulduran islemleri yazalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
a) c=a+b b) d=a-b c) e=a-5 d) f=a+a-b-b-b veya
f=2a-3b
84
İki matrisin ccedilarpım islemi iki biccedilimde anlasılır
1)
Aynı
mertebeden iki matrisin elemanlarını
teker teker ccedilarpıp aynı
mertebeye
yazmak demektir Bunu
islemi ile gerccedileklestiririz
2) Matematiksel anlamda iki matrisi ccedilarpmak istediğimizde birinci matris mxn
tuumlruumlnde ve ikinci matris mutlaka nxp tuumlruumlnde olmalıdır yani birinci matrisin
suumltun sayısı
ikinci matrisin satır sayısına eşit olmalıdır
Bu durumda birinci matrisin i suumltun elemanları
ile ikinci matrisin j satırındaki
elemanlar karılıklı
olarak ccedilarpılır ve sonuccedillar toplanır ve bu toplam ccedilarpım
matrisinin (ij) inci mertebeye yazılır
Matrisler arası
ccedilarpma isleminin semboluuml
de dır
b) İki Matrisin Ccedilarpımı Bir Matrisin Kuvvetleri veCcedilarpma İslemi
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
85
3) Bir a matrisinin her bir elemanının n Kuvvetlerinden olusan matrisi
bulmak iccedilin a^n islemi kullanılır
4) Satır ve suumltun sayıları
esit bir kare matrisi ardısık olarak n defa
kendisiyle ccedilarparak a matrisinin n kuvvetini bulabilirizOumlrneğin a matrisinin
karesi iccedilin aa veya a^2 kuumlbuumlnuuml
buldurmak iccedilin aaa veya a^3
doumlrduumlncuuml
kuvvetini buldurmak iccedilin aaaa veya a^4
Not) Bir a matrisinin eleman -elemana ccedilarpma islemine benzer mantıkla bir matrisin tuumlm elemanlarının kareleri kuumlbleri sinuumlsleri kosinuumlsleri logaritmalarından olusan matris bulunmak istenirse bunu sırayla aa (veya a^2) aaa (veya a^3) sin(a) cos(a) etabanında logaritması
iccedilin log(a) 10 tabanında logaritmaları
iccedilin log10(a) Biccediliminde gerccedileklestirebiliriz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
86
a) a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c1 matrisi varsa bulalım
b) a matrisi ile b matrisinin ccedilarpım matrisi olan c2 varsa bulalım
c) a matrisinin elemanları
ile c matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c3 matrisi varsa bulalım
d) a matrisi ile c matrisinin ccedilarpım matrisi olan c4 varsa bulalım
e) a matrisinin elemanlarının karelerinden olusan matris ile b matrisinin
kosinuumlslerinden olusan matrisler toplamını
bulalım
f) x=[1 00 3] matrisinin i) Karesini ii) Kuumlbuumlnuuml
iii) 10
kuvvetini bulalım
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] b=[3 -3 -41 1 5] ve c=[1 0-1 23 3] matrisleri veriliyor
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
87
Ccediloumlzuumlma) iki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirBu durumda c1 matrisi tanımlıdır ve bunu c1=ab islemi ile gerccedileklestirebilirizb) iki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdırHalbuki a matrisi 2x3 b matrisi de 2x3 olduğundan bu iki matris ccedilarpılamazc) İki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirHalbuki bu matrisler aynı mertebeden olmadığından bu iki matris eleman-elemana ccedilarpma islemi
gerccedileklemezd) İki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdıra matrisi 2x3 luumlk c matrisi de 3x2 lik olduğundan bu iki matris ccedilarpılabilir ve c4 ccedilarpım matrisi 2x2 lik bir matris olurc4 ccedilarpım matrisini c4=ac islemi ile buluruze) a^2+cos(b)f) i) x^2 ii) x^3 iii) x^10
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
88
c) Bir Matrisin Devriğini (Transpozesi) Bulma İslemi
Bir matrisin satırlarını suumltun suumltunlarını satır olarak yazılmasıyla
bulunan matrise bu matrisin devriği (transpozesi) denir
Bir matrisin devriğini islemi ile bulabiliriz
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] nın devriğini buldurup d matrisine atayalım
Ccediloumlzuumlm d=a
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
89
Oumlrnek
b=[7 8 9 10 11 12] matrisinin transpozesini bulabilirmisiniz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
c=bc =
7 108 119 12
90
SORU
a=[1 2 3 4 5 6]
c= [710811912]
ise a ve crsquonin ccedilarpım matrisi
kaccediltır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
Ccedilarpma işlemi k=ack=
50 68122 167
91
SORU
a=[1 2 3 4 5 6] b=[7 8 9 10 11 12]
ise a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan x matrisini bulalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
x=abx =
7 16 2740 55 72
92
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
Aynı mertebeden iki matrisin elemanlarını teker teker boumllerek aynı
mertebeye yazılmasına iki matrisin sol boumllmesi denir ve bu islemi ile
yapılır
a b ve c aynı mertebeden kare matrisler olmak uumlzere
c=ab ise a matrisine c nin b matrisine boumlluumlmuuml denir
c boumlluumlm matrisi islemi ile yapılır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
93
HATIRLATMA
2x2 lik i2 adlı birim matrisi i2=eye(22)
3x luumlk i3 adlı birim matrisi i2=eye(33) islemi ile olusturabiiriz
Aynı mertebeden a ve b kare matrisleri iccedilin a ile b nin ccedilarpımı birim matris ise
b matrisi a matrisinin (aynı biccedilimde a matrisi de b matrisinin) ters matrisidir
Oumlrnek
3x3 luumlk bir a kare matrisinin tersini bulmak iccedilin
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
eye(33)a veya inv(a) islemini kullanırız
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
94
Bir Matrisin Determinantı
Determinant kare matrisleri bir sayıya eşleyen fonksiyondur
Determinant fonksiyonunun kare matrisi eşlediği o sayıya matrisin
determinantı denir
A matrisinin determinantı detA veya |A| biccediliminde goumlsterilir
|A| matrislerde mutlak değer anlamına gelmez |A| sıfır veya
negatif de olabilir
det(x)
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
95
KURAL
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
96
Oumlrnek
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Determinant
raquo
deter=det(x)deter =
21
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
97
Oumlrnek Inverse işlemi
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Detx=det(x)=21 ise
raquo y=inv(x)y =
821 121 -521 221
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
98
SORU
a=[2 -10 01 2 43 0 1] matrisi ile b=[1 5 41 -1 20 1 -1] matrisleri veriliyor
a)
a matrisinin elemanlarını
sırasıyla b matrisinin elemanlarına boumllerek elde
edilen matrisi b1 matrisine atayalım
b) a matrisinin ta ters matrisini bulalım
c) a ile ta matrisinin ccedilarpımının 3x3 luumlk birim matris olduğunu goumlsterelim
d) a matrisinin b matrisine boumlluumlmuumlnuuml
b2 matrisine atayalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
99
Ccediloumlzuumlm
a)
b1=ab
b) ta1=eye(33)a veya ta2=inv(a)
c) ata ==eye(33)
d) b2=ab
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
43
Sayı
Formatları
33 SayılarMatlabMATRİSLER
44
oMatlabda bir ccedilok eylem doumlrt islem ve matematiksel bazı
islemler
yaptırabiliriz
oBunun iccedilin ya ilgili komutları
komut penceresinden teker teker girerek veya
ilgili komutları
bir dosyaya yazıp o dosyayı
ccedilağırarak ccedilalıstırabiliriz
oİşlemleri yaptırırken sayıları
reel sayı
ya da karmasık sayı
olarak alabiliriz
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
45
Matematiksel ifadeleri oluşturmak iccedilin operatoumlrler ve oumlnceden tanımlanmış sembolleri kullanabilirsiniz
oOperatoumlrler oumlzetle şunlardır
oMatrislerle yapılan işlemlerde boumllme işlemi iccedilin iki farklı
sembol kullanılmaktadıroBunun yanında eğer sayılar skaler ise iki boumllme işleminin sonucu da aynı
değeri
goumlsterecektiroOumlrneğin 32 ile 23 ifadelerinin sonuccedilları
aynı
olup 15rsquodir
raquo 4+83ndash2ans =26
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
46
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
x=a + b
Bu ifadede a ve b nin toplandığı
ve x değişkeni iccedilinde saklandığıbelirtilmektedir
47
Aritmetiksel İşlemlerde Oumlncelik Durumu
oTek bir aritmetiksel durum iccedilinde birden fazla durum bir arada bulunabildiğine goumlre
hangi işlemin oumlncelik hakkına sahip olunduğunun
bilinmelidir
oMATLABrsquoda kullanılan işlemlerde işlemlerin oumlncelik
listesi
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
bazı
temel matematiksel fonksiyonların accedilıklamaları
48
o
MATLABrsquo
da işlemler soldan sağa işlerlero
İşlemler arası
oumlncelik sırası
aşağıdaki gibidir
1 ^
(Yuumlksek)2
darr
3 + -
(Duumlşuumlk)
raquo 3^(2ndash5)-632 raquo 3^2ndash5ndash632ans = ans =
mdash39630 0
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
49
35 FonksyonlarMATRİSLER
o MATLABrsquoın ccedilok guumlccedilluuml
ve ccedilok kapsamlı
bir fonksiyon yapısı
vardır
oMATLABrsquoda bazı
fonksiyonlar daha oumlnceden yerleştirilmiş
bazıları
ise sonradan
dışarıdan yerleştirilmiş
M-dosyalarından oluşan MATLAB kuumltuumlphanelerinde
tanımlanmışlardır
oBunun yanında oumlzel uygulamalar iccedilin kullanıcıların kendi fonksiyonlarını
yazarak
kendi kuumltuumlphanelerini oluşturması
muumlmkuumlnduumlr
MATLABrsquoda mevcut analitik fonksiyonları
genel olarak aşağıdaki kategorilere ayırabiliriz oTemel matematiksel fonksiyonlaroOumlzel fonksiyonlaroTemel matrisler ve matris işlemlerioMatrisleri ccedilarpanlarına ayırmaoVeri analizlerioPolinomlaroDiferansiyel denklem ccediloumlzuumlmlerioLineer olmayan denklemler ve optimizasyonoSayısal integral hesaplamalarıoSinyal işleme
50
Matematiksel Fonksiyonlar
bazı
temel matematiksel fonksiyonların accedilıklamaları
35 FonksyonlarMATRİSLER
Oumlrnekgtgtexp(1)ans=27183gtgtfix(35)ans=3gtgtceil(35)ans=4gtgtround(35)ans=4
51
Matlabda oumlnceden tanımlanmıs bazı
sabitlerdirBunlar aşağıdaki tabloda goumlsterilmistir
36 Oumlzel SabitlerMatlab
52
Oumlrnekler
1)
a=1
2)
a=rsquoİstanbulrsquo
3)
a=5b=7c=a+b
4) a=5b=-3c=a+2ba=a+b
5)
num=23-5^2 x=num2 y=x+10
7 Sabitler Değiskenler ve Metin KatarlarıMatlab
53
Oumlrnek
Komut satırına
a)
sin(30)
b)
sin(30pi180) yazınız sonuccedilları
inceleyiniz
35 FonksyonlarMATRİSLER
Cevapa) -09880 sonucu goumlruumlluumlr ki bu 30deg
nin sinuumlsuumlnde n farklıdır Ccediluumlnkuuml
bu 30deg
derece değil 30 radyanın sinuumlsuumlduumlrb) 05000 sonucu goumlruumlluumlr ki bu da 30deg
nin sinuumlsuumld uumlr O halde bir
sayının trigonometrik değerini buldurmak iccedilin oumlnce pi ile ccedilarpıp 180 e boumllerek accedilıyı
radyan ccedilevirip sonra trigonometrik değerini
hesaplatabiliriz
54
oVektoumlrler tek boyutlu sayı
dizileridir
oElemanlarının sıralanma youmlnlerine goumlre suumltun veya satır vektoumlruuml
adlarını alırlar
ovektoumlrler [ ] koumlşeli parantezleri ile tanımlanır
ofarklı
yolla tanımlanabilirler
4 VektoumlrlerMatlab
A = [4 12 -8 6]A = [4 12 -8 6]
B = [1 2 4 6]
Satır Vektoumlruuml
Suumltun Vektoumlruumlgtgt b=[1 2 4 6 ]
55
4 VektoumlrlerMatlab
ovektoumlr boyutları
buumlyuumlduumlkccedile manuel olarak tanıtım işlemi oldukccedila zorlaşmaktadır
oOumlzellikle belli bir artıma sahip vektoumlrlerin oluşturulmasında () operatoumlruuml kullanılmaktadır
C = [-105150]
Son değerBaşlangıccedil değeri Artış
miktarı
Drsquo
= [30-10-30]
Suumltun Vektoumlruuml
56
Vektoumlr indisleri
4 VektoumlrlerMatlab
Bir vektoumlruumln elemanlarına atanılan değer değişkenler editoumlruuml
veya eleman adresi vasıtasıyla değiştirilebilir
OumlrnekA = [4 12 -8 6]1 A vektoumlruumlnuumln 3 elemanını
27 ile değiştiriniz
2 Benzer şekilde A vektoumlruumlnuumln 2 elemanını
siliniz 3 A(9) = 12
Ccediloumlzuumlm1 A(3) = 272 Vektoumlruumln elemanına [ ] değeri atandığında eleman silinirA(2) = [ ]3 gtgt A(9) = 12
A= [ 4 27 6]
A =[ 2 27 7 0 0 0 0 0 12]
57
raquo x=[17 8 61 83 56]
Şeklindeki bir matrisin uumlccediluumlncuuml
elemanına erişmek istenirse
raquo c=x(3)
c =
61
Eğer bir blok şeklinde veriye erişilmek istenirse
raquo x(24)
ans =
8 61 83
Her matristeki herhangi bir elman grubuna erişilmek istenirse
raquo x([3 1 4])
ans =
61 17 83
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
58
Bir diziye duumlzenli artıs (veya azalıs) kuralıyla değerler atanmak isteniyorsa
bunu
ilk_değerartısson değer veya ilk_değerartısson değer
biccediliminde yapabiliriz
Ancak artıs 1 ise belirtilmeyebilirOumlrnekortalama adlı
bir diziye 0 dan 5 e kadar 05 er artısla elde edilen sayı
dizisini atayanortalama=[0055]
Siz 1 satır 7 den den 17 ye kadar olan tam sayılar 2 satırı
99 dan 89 a kadar azalan tam sayılardan olusan 2 boyutlu m dizisine atayan islemleri yazınız
Dizilerin Değerlerinin Değistirilmesi ve Duumlzenlenmesi
4 VektoumlrlerMatlab
59
4 VektoumlrlerMatlab
60
Sayılardan olusan satır ve suumltun yapısına matris (dizi) denir
Oumlrneğin
d1=[5] 1x1 lik
d2=[ 2 -7] 1x2 lik
d3= [1 0 -3 ]
[ 5 3 1 ]
2x3 luumlk bir dizidir
Oumlrnekx=[1 7 18 5]Ya daraquo x=[ 1
7185 ]
Biccedilimlerinde girilebilir
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
61
Dizilerin Değerlerinin Değistirilmesi ve DuumlzenlenmesiBir dizinin herhangi bir elemanını belirlemek iccedilin dizi adından hemen sonra
parantez iccedilinde elemanın bulunduğu satır ve suumltun sayısı yazılmalıdır
Oumlrnek 1 d2=[2 -7]d2 dizisinin -7 elemanını
goumlruumlntuumllemek iccedilin
d2(12)
2 d3=[1 0 -35 3 1]d3 dizisinin 2 satır 1 suumltununda bulunan 5 in değerinin -75 olması
iccedilin
d3(21)=-75
Not1) Bir dizinin bir ccedilok elemanını
yeniden değer atamak gerekirse komut satırından atama yapmak uzun zaman alabilirBu durumda dizi değiskeninin uumlzerine ccedilift tıklayarak accedilılan dizi editoumlruuml
(array edit) yardımıyla değisiklikleri daha kolay yapabiliriz
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
62
8 Matrisler(Dizi)Matlab
Bir matrisi girerken o1 Elemanlar baştan ve sondan koumlşeli parantezlerle kapatılıro2 Elemanların arasına boşluk veya virguumll konuluro3 Matris satırlarını
ayırmak iccedilin de noktalı
virguumll kullanılır
okurallarına dikkate alınmalıdır
Oumlrneğin
A = [1 2 3 4 5 6]A =
1 2 34 5 6
şeklinde veriler matrisler biccediliminde tanımlanır MATLAB daha sonra kullanılmak uumlzere verileri A matrisinde saklar
63
Matris elemanları
rasgele rakamlardan oluşabileceği gibi MATLABrsquoın deyimlerinden de oluşabilir
51 Matrislerde ElemanlarMatlab
Oumlrneğin
a=[-13 sqrt(3) (1+2+3)475]
a= -13000 17321 48000
Kuumlccediluumlk matrisleri eleman olarak kullanıp daha buumlyuumlk matrisler oluşturmak muumlmkuumlnduumlr
OumlrneğinM=[1 3 5
7 8 9] matrisine
aşağıda goumlsterildiği şekilde bir satır eklemesi yapabilir
M=[M[10 13 15]]
Bu durumda M matrisiM=[1 3 5
7 8 910 13 15]
durumunu alır
64
İki nokta uumlst uumlste () kullanarak buumlyuumlk matrislerin belli bir kısmını
kullanabiliriz
ya da diğer ifade ile bu matrisi kuumlccediluumlltebiliriz
Oumlrneğin
M=M(12) bildirimi M matrisinin ilk iki satırını
alarak M matrisi
olarak saklar
Oumlrnek
M=[8 -4 7 66 -7 8 9 4 5 134] ise
M=M(12) =
8 1 Matrislerde ElemanlarMatlab
65
MATLABrsquoda kullanıcı
verileri kendi oluşturacağı
matrisler ile tanımlayabileceği gibi MATLABrsquoın kendi oumlzel matrislerinden de istifade edilebilir
52 Genel MatrislerMatlab
66
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
a) Sıfır Matrisi Olusturan Fonksiyon
Her elemanı sıfır olan mxn boyutunda bir matrise sıfır matrisi denir
Boumlyle bir dizi olusturmak iccedilin zeros fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=zeros(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
3x5 boyutunda s adlı
sıfır matrisi iccedilin
s=zeros(35)
52 Genel MatrislerMatlab
67
b) 1 lerden Olusan Matris
Her elemanı 1 olan mxn boyutunda bir matrisi olusturmak iccedilin ones
fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matria_adı=ones(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
2x3 boyutunda b adlı
tuumlm elemanları
1 olan matrisi olusturalım
b=ones(23)
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
52 Genel MatrislerMatlab
68
c) Birim Matrisi Olusturan Fonksiyon
Esas koumlsegeni 1 lerden diğer elemanları 0 lardan olusan kare matrise (satır
ve suumltun sayısı esit olan ) birim matrisi
kare olmayan matrise de diyagonal matris denir
Boumlyle matrisleri olusturmak iccedilin eye fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=eye(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
a)
3x3 luumlk birim matris
b) 4x3 lluumlk diyagonal matris olusturalım
Ccediloumlzuumlma) i=eye(33) b) d=eye(43)
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar52 Genel MatrislerMatlab
69
d) Rastgele Sayılardan Olusan Matris ve Fonksiyonu
Elemanları 0 ile 1 arasındaki rastgele sayılardan olusan bir matris iccedilin
rand fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=rand(mn) biccedilimindedir(msatırnsuumltun)
Not 1) Uumlretilen matrisin tuumlm elemanlarını k gibi bir sayı ile ccedilarparak
sayıları 0 ile k arasına ccedilekebiliriz
Not 2) Ondalıklı sayılardan olusmus bir matrisin elemanlarını
yuvarlayıp tam sayı yapmak iccedilin round fonksiyonunu kullanırız
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar52 Genel MatrislerMatlab
70
Oumlrnek
a) 0 ile 1 arasında rastgele sayılardan olusan 10 elemanlı
a adında bir satır
matrisi olusturalım
b) Elemanları
10 ile 50 arasında sayılardan olusan 5x3 tipinde b matrisini
olusturalım
c) Elemanları
50 ile 300 arasındaki tamsayılardan olusan 3x4 tipinde c matrisini
olusturalım
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
d) Rastgele Sayılardan Olusan Matris ve Fonksiyonu
52 Genel MatrislerMatlab
71
Ccediloumlzuumlm
a)
a=rand(110)
b)
b=10+rand(53)40
c) c=round(50+rand(34)250)
52 Genel MatrislerMatlab
72
e) Rastgele Sayılardan Olusan Normal Dağılımlı
Matris veFonksiyonu
Elemanları rasstgele sayılardan olusan bir normal dağılımlı bir matris iccedilin
randn fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=randn(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek Rastgele sayılardan olusan normal dağılımlı 2x3 luumlk bir n matrisini
olusturalım
Ccediloumlzuumlm n=randn(23)
52 Genel MatrislerMatlab
73
f) Lineer Aralıklı
(Aritmetik) Dizi ve Fonksiyonu
Baslangıccedil ve biis değerleri ve kaccedil elemandan olusacağı belirlenen diziyi
olusturmak iccedilin linspace fonksiyonu kullanılır
Kullanımı
dizi_adı=linspace(ilk_değerson_değereleman_sayısı)
biccedilimindedir
52 Genel MatrislerMatlab
74
Oumlrnek 10 ile 30 arasına 9 tane daha sayı
koyarak aadında bir aritmetik dizi olusturalım
f) Lineer Aralıklı
(Aritmetik) Dizi ve Fonksiyonu
52 Genel MatrislerMatlab
Cevapa=linspace(103011)
75
Elimizdeki grubun her elemanı iccedilin bir matematik işlemi yapıp bunu yeni bir
diziye atarken herhangi bir sorun yoktur
Fakat iki farklı grupla işlemler yaparken dikkat etmemiz gereken genel
kurallar vardır
Oumlrneğin toplama ve ccedilıkarma yaparken iki dizinin de buumlyuumlkluumlğuumlnuumln eşit
olması gerekmektedir
Ayrıca iki farklı dizinin elemanları arasında birebir işlem yapmak iccedilin
matematik operatoumlruumlnuumln başına nokta() koymak gerekir
Bu durumda her bir elemanı diğer dizinin o sıradaki elmanı ile işleme
sokacaktır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
76
Birden fazla satır ve suumltuna sahip vektoumlrlere matris denir Noktalı
virguumll ()
işareti ile kolonları
ve virguumlle işareti ya da boşluk
bırakarak da bir sıradaki elemanları
ayırabilirizOumlrnekraquo x=[ 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14]x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14Yukarıdaki 3x4 boyutunda bir matristir MATLAB programına aşağıdaki
gibi de sunulabilirraquo x=[ 3 4 5 6
7 8 9 1011 12 13 14]
x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
77
Matristeki herhangi bir elemana direk ulaşmak iccedilin aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(23)=9
Eğer isteğimiz eriştiğimiz bir elemanı
değiştirmek veya yeni bir satır eklemek ise aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(41)=1x =
3 4 5 67 8 9 1011 12 13 141 0 0 0
Bu durumda doumlrduumlncuuml
satır ilk elemanını
biz 1 değerini atadık ve diğer elemanları
kendiliğinden ldquo0rdquo
olarak atadı
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
78
İki nokta uumlst uumlste () kullanılarak belirli aralıkta değişen matrisler yaratılabilir
raquo x=[127 3-10 -12]x =
1 3 5 73 2 1 0
-1 0 1 2Bir matrisin herhangi bir boumlluumlmuumlnuuml
seccedilmek iccedilin ise aşağıdaki goumlsterim
kullanılırraquo z=x(23 12)z =
3 2-1 0
Bu durumda z matris x matrisinin 2 ve 3 norsquo
lu satırlarından 1 ve 2 norsquo
lu suumltunlarını
almış
oluyor
Herhangi bir satır veya suumltunu tamamen silmek istersek o satır ve suumltunu seccedilip ldquo[]rdquo
ifadesine eşitleriz
raquo z(2)=[ ]z =
3 -1
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
79
Matlab size ve length komutları
yardımı
ile size matrisinizin boyutlarını
soumlyler
raquo a=[ 2 3 4 5 67 8 9 10 11]
raquo s=size(a)s =
2 5
raquo b=[ 17 11 0 30 40 50]
raquo k=length(b)k =
6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
80
a) Toplama-Ccedilıkarma Bir Sayı
ile Ccedilarpma İşlemi
İki matrisi toplamak (veya ccedilıkarmak) demek matrislerin aynı
mertebedeki elemanları teker teker toplayıp (veya ccedilıkarıp ) aynı
mertebeye yazmak demektir
Bu durumda iki matrisin de aynı mertebeden olması gereği accedilıktır
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile toplamak (veya ccedilıkarmak) demek
matrisin elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla toplamak (veya
ccedilıkarmak )demektir
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile ccedilarpmak demek ise matrisin
elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla ccedilarpmak demektir
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
81
82
Oumlrnek
raquo a=[1 2 3 4 5 6]raquo b=[7 8 9 10 11 12]
a ve b toplamıraquo sum=a+bsum =
8 10 1214 16 18
arsquo
yı
brsquo
den ccedilıkarmak
raquo diff=a-bdiff =
-6 -6 -6-6 -6 -6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
83
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] ve b=[3 -3 -41 1 5] matrisleri
veriliyor
a)
c=a+b toplam matrisini
b)
d=a-b matrisini
c)
amatrisinin her elemanınının 5 eksiğine karsılık gelen e
matrisini
d) f=2a-3b matrisini bulduran islemleri yazalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
a) c=a+b b) d=a-b c) e=a-5 d) f=a+a-b-b-b veya
f=2a-3b
84
İki matrisin ccedilarpım islemi iki biccedilimde anlasılır
1)
Aynı
mertebeden iki matrisin elemanlarını
teker teker ccedilarpıp aynı
mertebeye
yazmak demektir Bunu
islemi ile gerccedileklestiririz
2) Matematiksel anlamda iki matrisi ccedilarpmak istediğimizde birinci matris mxn
tuumlruumlnde ve ikinci matris mutlaka nxp tuumlruumlnde olmalıdır yani birinci matrisin
suumltun sayısı
ikinci matrisin satır sayısına eşit olmalıdır
Bu durumda birinci matrisin i suumltun elemanları
ile ikinci matrisin j satırındaki
elemanlar karılıklı
olarak ccedilarpılır ve sonuccedillar toplanır ve bu toplam ccedilarpım
matrisinin (ij) inci mertebeye yazılır
Matrisler arası
ccedilarpma isleminin semboluuml
de dır
b) İki Matrisin Ccedilarpımı Bir Matrisin Kuvvetleri veCcedilarpma İslemi
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
85
3) Bir a matrisinin her bir elemanının n Kuvvetlerinden olusan matrisi
bulmak iccedilin a^n islemi kullanılır
4) Satır ve suumltun sayıları
esit bir kare matrisi ardısık olarak n defa
kendisiyle ccedilarparak a matrisinin n kuvvetini bulabilirizOumlrneğin a matrisinin
karesi iccedilin aa veya a^2 kuumlbuumlnuuml
buldurmak iccedilin aaa veya a^3
doumlrduumlncuuml
kuvvetini buldurmak iccedilin aaaa veya a^4
Not) Bir a matrisinin eleman -elemana ccedilarpma islemine benzer mantıkla bir matrisin tuumlm elemanlarının kareleri kuumlbleri sinuumlsleri kosinuumlsleri logaritmalarından olusan matris bulunmak istenirse bunu sırayla aa (veya a^2) aaa (veya a^3) sin(a) cos(a) etabanında logaritması
iccedilin log(a) 10 tabanında logaritmaları
iccedilin log10(a) Biccediliminde gerccedileklestirebiliriz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
86
a) a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c1 matrisi varsa bulalım
b) a matrisi ile b matrisinin ccedilarpım matrisi olan c2 varsa bulalım
c) a matrisinin elemanları
ile c matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c3 matrisi varsa bulalım
d) a matrisi ile c matrisinin ccedilarpım matrisi olan c4 varsa bulalım
e) a matrisinin elemanlarının karelerinden olusan matris ile b matrisinin
kosinuumlslerinden olusan matrisler toplamını
bulalım
f) x=[1 00 3] matrisinin i) Karesini ii) Kuumlbuumlnuuml
iii) 10
kuvvetini bulalım
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] b=[3 -3 -41 1 5] ve c=[1 0-1 23 3] matrisleri veriliyor
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
87
Ccediloumlzuumlma) iki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirBu durumda c1 matrisi tanımlıdır ve bunu c1=ab islemi ile gerccedileklestirebilirizb) iki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdırHalbuki a matrisi 2x3 b matrisi de 2x3 olduğundan bu iki matris ccedilarpılamazc) İki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirHalbuki bu matrisler aynı mertebeden olmadığından bu iki matris eleman-elemana ccedilarpma islemi
gerccedileklemezd) İki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdıra matrisi 2x3 luumlk c matrisi de 3x2 lik olduğundan bu iki matris ccedilarpılabilir ve c4 ccedilarpım matrisi 2x2 lik bir matris olurc4 ccedilarpım matrisini c4=ac islemi ile buluruze) a^2+cos(b)f) i) x^2 ii) x^3 iii) x^10
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
88
c) Bir Matrisin Devriğini (Transpozesi) Bulma İslemi
Bir matrisin satırlarını suumltun suumltunlarını satır olarak yazılmasıyla
bulunan matrise bu matrisin devriği (transpozesi) denir
Bir matrisin devriğini islemi ile bulabiliriz
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] nın devriğini buldurup d matrisine atayalım
Ccediloumlzuumlm d=a
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
89
Oumlrnek
b=[7 8 9 10 11 12] matrisinin transpozesini bulabilirmisiniz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
c=bc =
7 108 119 12
90
SORU
a=[1 2 3 4 5 6]
c= [710811912]
ise a ve crsquonin ccedilarpım matrisi
kaccediltır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
Ccedilarpma işlemi k=ack=
50 68122 167
91
SORU
a=[1 2 3 4 5 6] b=[7 8 9 10 11 12]
ise a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan x matrisini bulalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
x=abx =
7 16 2740 55 72
92
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
Aynı mertebeden iki matrisin elemanlarını teker teker boumllerek aynı
mertebeye yazılmasına iki matrisin sol boumllmesi denir ve bu islemi ile
yapılır
a b ve c aynı mertebeden kare matrisler olmak uumlzere
c=ab ise a matrisine c nin b matrisine boumlluumlmuuml denir
c boumlluumlm matrisi islemi ile yapılır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
93
HATIRLATMA
2x2 lik i2 adlı birim matrisi i2=eye(22)
3x luumlk i3 adlı birim matrisi i2=eye(33) islemi ile olusturabiiriz
Aynı mertebeden a ve b kare matrisleri iccedilin a ile b nin ccedilarpımı birim matris ise
b matrisi a matrisinin (aynı biccedilimde a matrisi de b matrisinin) ters matrisidir
Oumlrnek
3x3 luumlk bir a kare matrisinin tersini bulmak iccedilin
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
eye(33)a veya inv(a) islemini kullanırız
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
94
Bir Matrisin Determinantı
Determinant kare matrisleri bir sayıya eşleyen fonksiyondur
Determinant fonksiyonunun kare matrisi eşlediği o sayıya matrisin
determinantı denir
A matrisinin determinantı detA veya |A| biccediliminde goumlsterilir
|A| matrislerde mutlak değer anlamına gelmez |A| sıfır veya
negatif de olabilir
det(x)
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
95
KURAL
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
96
Oumlrnek
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Determinant
raquo
deter=det(x)deter =
21
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
97
Oumlrnek Inverse işlemi
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Detx=det(x)=21 ise
raquo y=inv(x)y =
821 121 -521 221
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
98
SORU
a=[2 -10 01 2 43 0 1] matrisi ile b=[1 5 41 -1 20 1 -1] matrisleri veriliyor
a)
a matrisinin elemanlarını
sırasıyla b matrisinin elemanlarına boumllerek elde
edilen matrisi b1 matrisine atayalım
b) a matrisinin ta ters matrisini bulalım
c) a ile ta matrisinin ccedilarpımının 3x3 luumlk birim matris olduğunu goumlsterelim
d) a matrisinin b matrisine boumlluumlmuumlnuuml
b2 matrisine atayalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
99
Ccediloumlzuumlm
a)
b1=ab
b) ta1=eye(33)a veya ta2=inv(a)
c) ata ==eye(33)
d) b2=ab
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
44
oMatlabda bir ccedilok eylem doumlrt islem ve matematiksel bazı
islemler
yaptırabiliriz
oBunun iccedilin ya ilgili komutları
komut penceresinden teker teker girerek veya
ilgili komutları
bir dosyaya yazıp o dosyayı
ccedilağırarak ccedilalıstırabiliriz
oİşlemleri yaptırırken sayıları
reel sayı
ya da karmasık sayı
olarak alabiliriz
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
45
Matematiksel ifadeleri oluşturmak iccedilin operatoumlrler ve oumlnceden tanımlanmış sembolleri kullanabilirsiniz
oOperatoumlrler oumlzetle şunlardır
oMatrislerle yapılan işlemlerde boumllme işlemi iccedilin iki farklı
sembol kullanılmaktadıroBunun yanında eğer sayılar skaler ise iki boumllme işleminin sonucu da aynı
değeri
goumlsterecektiroOumlrneğin 32 ile 23 ifadelerinin sonuccedilları
aynı
olup 15rsquodir
raquo 4+83ndash2ans =26
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
46
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
x=a + b
Bu ifadede a ve b nin toplandığı
ve x değişkeni iccedilinde saklandığıbelirtilmektedir
47
Aritmetiksel İşlemlerde Oumlncelik Durumu
oTek bir aritmetiksel durum iccedilinde birden fazla durum bir arada bulunabildiğine goumlre
hangi işlemin oumlncelik hakkına sahip olunduğunun
bilinmelidir
oMATLABrsquoda kullanılan işlemlerde işlemlerin oumlncelik
listesi
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
bazı
temel matematiksel fonksiyonların accedilıklamaları
48
o
MATLABrsquo
da işlemler soldan sağa işlerlero
İşlemler arası
oumlncelik sırası
aşağıdaki gibidir
1 ^
(Yuumlksek)2
darr
3 + -
(Duumlşuumlk)
raquo 3^(2ndash5)-632 raquo 3^2ndash5ndash632ans = ans =
mdash39630 0
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
49
35 FonksyonlarMATRİSLER
o MATLABrsquoın ccedilok guumlccedilluuml
ve ccedilok kapsamlı
bir fonksiyon yapısı
vardır
oMATLABrsquoda bazı
fonksiyonlar daha oumlnceden yerleştirilmiş
bazıları
ise sonradan
dışarıdan yerleştirilmiş
M-dosyalarından oluşan MATLAB kuumltuumlphanelerinde
tanımlanmışlardır
oBunun yanında oumlzel uygulamalar iccedilin kullanıcıların kendi fonksiyonlarını
yazarak
kendi kuumltuumlphanelerini oluşturması
muumlmkuumlnduumlr
MATLABrsquoda mevcut analitik fonksiyonları
genel olarak aşağıdaki kategorilere ayırabiliriz oTemel matematiksel fonksiyonlaroOumlzel fonksiyonlaroTemel matrisler ve matris işlemlerioMatrisleri ccedilarpanlarına ayırmaoVeri analizlerioPolinomlaroDiferansiyel denklem ccediloumlzuumlmlerioLineer olmayan denklemler ve optimizasyonoSayısal integral hesaplamalarıoSinyal işleme
50
Matematiksel Fonksiyonlar
bazı
temel matematiksel fonksiyonların accedilıklamaları
35 FonksyonlarMATRİSLER
Oumlrnekgtgtexp(1)ans=27183gtgtfix(35)ans=3gtgtceil(35)ans=4gtgtround(35)ans=4
51
Matlabda oumlnceden tanımlanmıs bazı
sabitlerdirBunlar aşağıdaki tabloda goumlsterilmistir
36 Oumlzel SabitlerMatlab
52
Oumlrnekler
1)
a=1
2)
a=rsquoİstanbulrsquo
3)
a=5b=7c=a+b
4) a=5b=-3c=a+2ba=a+b
5)
num=23-5^2 x=num2 y=x+10
7 Sabitler Değiskenler ve Metin KatarlarıMatlab
53
Oumlrnek
Komut satırına
a)
sin(30)
b)
sin(30pi180) yazınız sonuccedilları
inceleyiniz
35 FonksyonlarMATRİSLER
Cevapa) -09880 sonucu goumlruumlluumlr ki bu 30deg
nin sinuumlsuumlnde n farklıdır Ccediluumlnkuuml
bu 30deg
derece değil 30 radyanın sinuumlsuumlduumlrb) 05000 sonucu goumlruumlluumlr ki bu da 30deg
nin sinuumlsuumld uumlr O halde bir
sayının trigonometrik değerini buldurmak iccedilin oumlnce pi ile ccedilarpıp 180 e boumllerek accedilıyı
radyan ccedilevirip sonra trigonometrik değerini
hesaplatabiliriz
54
oVektoumlrler tek boyutlu sayı
dizileridir
oElemanlarının sıralanma youmlnlerine goumlre suumltun veya satır vektoumlruuml
adlarını alırlar
ovektoumlrler [ ] koumlşeli parantezleri ile tanımlanır
ofarklı
yolla tanımlanabilirler
4 VektoumlrlerMatlab
A = [4 12 -8 6]A = [4 12 -8 6]
B = [1 2 4 6]
Satır Vektoumlruuml
Suumltun Vektoumlruumlgtgt b=[1 2 4 6 ]
55
4 VektoumlrlerMatlab
ovektoumlr boyutları
buumlyuumlduumlkccedile manuel olarak tanıtım işlemi oldukccedila zorlaşmaktadır
oOumlzellikle belli bir artıma sahip vektoumlrlerin oluşturulmasında () operatoumlruuml kullanılmaktadır
C = [-105150]
Son değerBaşlangıccedil değeri Artış
miktarı
Drsquo
= [30-10-30]
Suumltun Vektoumlruuml
56
Vektoumlr indisleri
4 VektoumlrlerMatlab
Bir vektoumlruumln elemanlarına atanılan değer değişkenler editoumlruuml
veya eleman adresi vasıtasıyla değiştirilebilir
OumlrnekA = [4 12 -8 6]1 A vektoumlruumlnuumln 3 elemanını
27 ile değiştiriniz
2 Benzer şekilde A vektoumlruumlnuumln 2 elemanını
siliniz 3 A(9) = 12
Ccediloumlzuumlm1 A(3) = 272 Vektoumlruumln elemanına [ ] değeri atandığında eleman silinirA(2) = [ ]3 gtgt A(9) = 12
A= [ 4 27 6]
A =[ 2 27 7 0 0 0 0 0 12]
57
raquo x=[17 8 61 83 56]
Şeklindeki bir matrisin uumlccediluumlncuuml
elemanına erişmek istenirse
raquo c=x(3)
c =
61
Eğer bir blok şeklinde veriye erişilmek istenirse
raquo x(24)
ans =
8 61 83
Her matristeki herhangi bir elman grubuna erişilmek istenirse
raquo x([3 1 4])
ans =
61 17 83
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
58
Bir diziye duumlzenli artıs (veya azalıs) kuralıyla değerler atanmak isteniyorsa
bunu
ilk_değerartısson değer veya ilk_değerartısson değer
biccediliminde yapabiliriz
Ancak artıs 1 ise belirtilmeyebilirOumlrnekortalama adlı
bir diziye 0 dan 5 e kadar 05 er artısla elde edilen sayı
dizisini atayanortalama=[0055]
Siz 1 satır 7 den den 17 ye kadar olan tam sayılar 2 satırı
99 dan 89 a kadar azalan tam sayılardan olusan 2 boyutlu m dizisine atayan islemleri yazınız
Dizilerin Değerlerinin Değistirilmesi ve Duumlzenlenmesi
4 VektoumlrlerMatlab
59
4 VektoumlrlerMatlab
60
Sayılardan olusan satır ve suumltun yapısına matris (dizi) denir
Oumlrneğin
d1=[5] 1x1 lik
d2=[ 2 -7] 1x2 lik
d3= [1 0 -3 ]
[ 5 3 1 ]
2x3 luumlk bir dizidir
Oumlrnekx=[1 7 18 5]Ya daraquo x=[ 1
7185 ]
Biccedilimlerinde girilebilir
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
61
Dizilerin Değerlerinin Değistirilmesi ve DuumlzenlenmesiBir dizinin herhangi bir elemanını belirlemek iccedilin dizi adından hemen sonra
parantez iccedilinde elemanın bulunduğu satır ve suumltun sayısı yazılmalıdır
Oumlrnek 1 d2=[2 -7]d2 dizisinin -7 elemanını
goumlruumlntuumllemek iccedilin
d2(12)
2 d3=[1 0 -35 3 1]d3 dizisinin 2 satır 1 suumltununda bulunan 5 in değerinin -75 olması
iccedilin
d3(21)=-75
Not1) Bir dizinin bir ccedilok elemanını
yeniden değer atamak gerekirse komut satırından atama yapmak uzun zaman alabilirBu durumda dizi değiskeninin uumlzerine ccedilift tıklayarak accedilılan dizi editoumlruuml
(array edit) yardımıyla değisiklikleri daha kolay yapabiliriz
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
62
8 Matrisler(Dizi)Matlab
Bir matrisi girerken o1 Elemanlar baştan ve sondan koumlşeli parantezlerle kapatılıro2 Elemanların arasına boşluk veya virguumll konuluro3 Matris satırlarını
ayırmak iccedilin de noktalı
virguumll kullanılır
okurallarına dikkate alınmalıdır
Oumlrneğin
A = [1 2 3 4 5 6]A =
1 2 34 5 6
şeklinde veriler matrisler biccediliminde tanımlanır MATLAB daha sonra kullanılmak uumlzere verileri A matrisinde saklar
63
Matris elemanları
rasgele rakamlardan oluşabileceği gibi MATLABrsquoın deyimlerinden de oluşabilir
51 Matrislerde ElemanlarMatlab
Oumlrneğin
a=[-13 sqrt(3) (1+2+3)475]
a= -13000 17321 48000
Kuumlccediluumlk matrisleri eleman olarak kullanıp daha buumlyuumlk matrisler oluşturmak muumlmkuumlnduumlr
OumlrneğinM=[1 3 5
7 8 9] matrisine
aşağıda goumlsterildiği şekilde bir satır eklemesi yapabilir
M=[M[10 13 15]]
Bu durumda M matrisiM=[1 3 5
7 8 910 13 15]
durumunu alır
64
İki nokta uumlst uumlste () kullanarak buumlyuumlk matrislerin belli bir kısmını
kullanabiliriz
ya da diğer ifade ile bu matrisi kuumlccediluumlltebiliriz
Oumlrneğin
M=M(12) bildirimi M matrisinin ilk iki satırını
alarak M matrisi
olarak saklar
Oumlrnek
M=[8 -4 7 66 -7 8 9 4 5 134] ise
M=M(12) =
8 1 Matrislerde ElemanlarMatlab
65
MATLABrsquoda kullanıcı
verileri kendi oluşturacağı
matrisler ile tanımlayabileceği gibi MATLABrsquoın kendi oumlzel matrislerinden de istifade edilebilir
52 Genel MatrislerMatlab
66
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
a) Sıfır Matrisi Olusturan Fonksiyon
Her elemanı sıfır olan mxn boyutunda bir matrise sıfır matrisi denir
Boumlyle bir dizi olusturmak iccedilin zeros fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=zeros(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
3x5 boyutunda s adlı
sıfır matrisi iccedilin
s=zeros(35)
52 Genel MatrislerMatlab
67
b) 1 lerden Olusan Matris
Her elemanı 1 olan mxn boyutunda bir matrisi olusturmak iccedilin ones
fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matria_adı=ones(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
2x3 boyutunda b adlı
tuumlm elemanları
1 olan matrisi olusturalım
b=ones(23)
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
52 Genel MatrislerMatlab
68
c) Birim Matrisi Olusturan Fonksiyon
Esas koumlsegeni 1 lerden diğer elemanları 0 lardan olusan kare matrise (satır
ve suumltun sayısı esit olan ) birim matrisi
kare olmayan matrise de diyagonal matris denir
Boumlyle matrisleri olusturmak iccedilin eye fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=eye(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
a)
3x3 luumlk birim matris
b) 4x3 lluumlk diyagonal matris olusturalım
Ccediloumlzuumlma) i=eye(33) b) d=eye(43)
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar52 Genel MatrislerMatlab
69
d) Rastgele Sayılardan Olusan Matris ve Fonksiyonu
Elemanları 0 ile 1 arasındaki rastgele sayılardan olusan bir matris iccedilin
rand fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=rand(mn) biccedilimindedir(msatırnsuumltun)
Not 1) Uumlretilen matrisin tuumlm elemanlarını k gibi bir sayı ile ccedilarparak
sayıları 0 ile k arasına ccedilekebiliriz
Not 2) Ondalıklı sayılardan olusmus bir matrisin elemanlarını
yuvarlayıp tam sayı yapmak iccedilin round fonksiyonunu kullanırız
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar52 Genel MatrislerMatlab
70
Oumlrnek
a) 0 ile 1 arasında rastgele sayılardan olusan 10 elemanlı
a adında bir satır
matrisi olusturalım
b) Elemanları
10 ile 50 arasında sayılardan olusan 5x3 tipinde b matrisini
olusturalım
c) Elemanları
50 ile 300 arasındaki tamsayılardan olusan 3x4 tipinde c matrisini
olusturalım
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
d) Rastgele Sayılardan Olusan Matris ve Fonksiyonu
52 Genel MatrislerMatlab
71
Ccediloumlzuumlm
a)
a=rand(110)
b)
b=10+rand(53)40
c) c=round(50+rand(34)250)
52 Genel MatrislerMatlab
72
e) Rastgele Sayılardan Olusan Normal Dağılımlı
Matris veFonksiyonu
Elemanları rasstgele sayılardan olusan bir normal dağılımlı bir matris iccedilin
randn fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=randn(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek Rastgele sayılardan olusan normal dağılımlı 2x3 luumlk bir n matrisini
olusturalım
Ccediloumlzuumlm n=randn(23)
52 Genel MatrislerMatlab
73
f) Lineer Aralıklı
(Aritmetik) Dizi ve Fonksiyonu
Baslangıccedil ve biis değerleri ve kaccedil elemandan olusacağı belirlenen diziyi
olusturmak iccedilin linspace fonksiyonu kullanılır
Kullanımı
dizi_adı=linspace(ilk_değerson_değereleman_sayısı)
biccedilimindedir
52 Genel MatrislerMatlab
74
Oumlrnek 10 ile 30 arasına 9 tane daha sayı
koyarak aadında bir aritmetik dizi olusturalım
f) Lineer Aralıklı
(Aritmetik) Dizi ve Fonksiyonu
52 Genel MatrislerMatlab
Cevapa=linspace(103011)
75
Elimizdeki grubun her elemanı iccedilin bir matematik işlemi yapıp bunu yeni bir
diziye atarken herhangi bir sorun yoktur
Fakat iki farklı grupla işlemler yaparken dikkat etmemiz gereken genel
kurallar vardır
Oumlrneğin toplama ve ccedilıkarma yaparken iki dizinin de buumlyuumlkluumlğuumlnuumln eşit
olması gerekmektedir
Ayrıca iki farklı dizinin elemanları arasında birebir işlem yapmak iccedilin
matematik operatoumlruumlnuumln başına nokta() koymak gerekir
Bu durumda her bir elemanı diğer dizinin o sıradaki elmanı ile işleme
sokacaktır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
76
Birden fazla satır ve suumltuna sahip vektoumlrlere matris denir Noktalı
virguumll ()
işareti ile kolonları
ve virguumlle işareti ya da boşluk
bırakarak da bir sıradaki elemanları
ayırabilirizOumlrnekraquo x=[ 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14]x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14Yukarıdaki 3x4 boyutunda bir matristir MATLAB programına aşağıdaki
gibi de sunulabilirraquo x=[ 3 4 5 6
7 8 9 1011 12 13 14]
x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
77
Matristeki herhangi bir elemana direk ulaşmak iccedilin aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(23)=9
Eğer isteğimiz eriştiğimiz bir elemanı
değiştirmek veya yeni bir satır eklemek ise aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(41)=1x =
3 4 5 67 8 9 1011 12 13 141 0 0 0
Bu durumda doumlrduumlncuuml
satır ilk elemanını
biz 1 değerini atadık ve diğer elemanları
kendiliğinden ldquo0rdquo
olarak atadı
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
78
İki nokta uumlst uumlste () kullanılarak belirli aralıkta değişen matrisler yaratılabilir
raquo x=[127 3-10 -12]x =
1 3 5 73 2 1 0
-1 0 1 2Bir matrisin herhangi bir boumlluumlmuumlnuuml
seccedilmek iccedilin ise aşağıdaki goumlsterim
kullanılırraquo z=x(23 12)z =
3 2-1 0
Bu durumda z matris x matrisinin 2 ve 3 norsquo
lu satırlarından 1 ve 2 norsquo
lu suumltunlarını
almış
oluyor
Herhangi bir satır veya suumltunu tamamen silmek istersek o satır ve suumltunu seccedilip ldquo[]rdquo
ifadesine eşitleriz
raquo z(2)=[ ]z =
3 -1
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
79
Matlab size ve length komutları
yardımı
ile size matrisinizin boyutlarını
soumlyler
raquo a=[ 2 3 4 5 67 8 9 10 11]
raquo s=size(a)s =
2 5
raquo b=[ 17 11 0 30 40 50]
raquo k=length(b)k =
6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
80
a) Toplama-Ccedilıkarma Bir Sayı
ile Ccedilarpma İşlemi
İki matrisi toplamak (veya ccedilıkarmak) demek matrislerin aynı
mertebedeki elemanları teker teker toplayıp (veya ccedilıkarıp ) aynı
mertebeye yazmak demektir
Bu durumda iki matrisin de aynı mertebeden olması gereği accedilıktır
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile toplamak (veya ccedilıkarmak) demek
matrisin elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla toplamak (veya
ccedilıkarmak )demektir
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile ccedilarpmak demek ise matrisin
elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla ccedilarpmak demektir
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
81
82
Oumlrnek
raquo a=[1 2 3 4 5 6]raquo b=[7 8 9 10 11 12]
a ve b toplamıraquo sum=a+bsum =
8 10 1214 16 18
arsquo
yı
brsquo
den ccedilıkarmak
raquo diff=a-bdiff =
-6 -6 -6-6 -6 -6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
83
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] ve b=[3 -3 -41 1 5] matrisleri
veriliyor
a)
c=a+b toplam matrisini
b)
d=a-b matrisini
c)
amatrisinin her elemanınının 5 eksiğine karsılık gelen e
matrisini
d) f=2a-3b matrisini bulduran islemleri yazalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
a) c=a+b b) d=a-b c) e=a-5 d) f=a+a-b-b-b veya
f=2a-3b
84
İki matrisin ccedilarpım islemi iki biccedilimde anlasılır
1)
Aynı
mertebeden iki matrisin elemanlarını
teker teker ccedilarpıp aynı
mertebeye
yazmak demektir Bunu
islemi ile gerccedileklestiririz
2) Matematiksel anlamda iki matrisi ccedilarpmak istediğimizde birinci matris mxn
tuumlruumlnde ve ikinci matris mutlaka nxp tuumlruumlnde olmalıdır yani birinci matrisin
suumltun sayısı
ikinci matrisin satır sayısına eşit olmalıdır
Bu durumda birinci matrisin i suumltun elemanları
ile ikinci matrisin j satırındaki
elemanlar karılıklı
olarak ccedilarpılır ve sonuccedillar toplanır ve bu toplam ccedilarpım
matrisinin (ij) inci mertebeye yazılır
Matrisler arası
ccedilarpma isleminin semboluuml
de dır
b) İki Matrisin Ccedilarpımı Bir Matrisin Kuvvetleri veCcedilarpma İslemi
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
85
3) Bir a matrisinin her bir elemanının n Kuvvetlerinden olusan matrisi
bulmak iccedilin a^n islemi kullanılır
4) Satır ve suumltun sayıları
esit bir kare matrisi ardısık olarak n defa
kendisiyle ccedilarparak a matrisinin n kuvvetini bulabilirizOumlrneğin a matrisinin
karesi iccedilin aa veya a^2 kuumlbuumlnuuml
buldurmak iccedilin aaa veya a^3
doumlrduumlncuuml
kuvvetini buldurmak iccedilin aaaa veya a^4
Not) Bir a matrisinin eleman -elemana ccedilarpma islemine benzer mantıkla bir matrisin tuumlm elemanlarının kareleri kuumlbleri sinuumlsleri kosinuumlsleri logaritmalarından olusan matris bulunmak istenirse bunu sırayla aa (veya a^2) aaa (veya a^3) sin(a) cos(a) etabanında logaritması
iccedilin log(a) 10 tabanında logaritmaları
iccedilin log10(a) Biccediliminde gerccedileklestirebiliriz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
86
a) a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c1 matrisi varsa bulalım
b) a matrisi ile b matrisinin ccedilarpım matrisi olan c2 varsa bulalım
c) a matrisinin elemanları
ile c matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c3 matrisi varsa bulalım
d) a matrisi ile c matrisinin ccedilarpım matrisi olan c4 varsa bulalım
e) a matrisinin elemanlarının karelerinden olusan matris ile b matrisinin
kosinuumlslerinden olusan matrisler toplamını
bulalım
f) x=[1 00 3] matrisinin i) Karesini ii) Kuumlbuumlnuuml
iii) 10
kuvvetini bulalım
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] b=[3 -3 -41 1 5] ve c=[1 0-1 23 3] matrisleri veriliyor
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
87
Ccediloumlzuumlma) iki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirBu durumda c1 matrisi tanımlıdır ve bunu c1=ab islemi ile gerccedileklestirebilirizb) iki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdırHalbuki a matrisi 2x3 b matrisi de 2x3 olduğundan bu iki matris ccedilarpılamazc) İki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirHalbuki bu matrisler aynı mertebeden olmadığından bu iki matris eleman-elemana ccedilarpma islemi
gerccedileklemezd) İki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdıra matrisi 2x3 luumlk c matrisi de 3x2 lik olduğundan bu iki matris ccedilarpılabilir ve c4 ccedilarpım matrisi 2x2 lik bir matris olurc4 ccedilarpım matrisini c4=ac islemi ile buluruze) a^2+cos(b)f) i) x^2 ii) x^3 iii) x^10
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
88
c) Bir Matrisin Devriğini (Transpozesi) Bulma İslemi
Bir matrisin satırlarını suumltun suumltunlarını satır olarak yazılmasıyla
bulunan matrise bu matrisin devriği (transpozesi) denir
Bir matrisin devriğini islemi ile bulabiliriz
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] nın devriğini buldurup d matrisine atayalım
Ccediloumlzuumlm d=a
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
89
Oumlrnek
b=[7 8 9 10 11 12] matrisinin transpozesini bulabilirmisiniz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
c=bc =
7 108 119 12
90
SORU
a=[1 2 3 4 5 6]
c= [710811912]
ise a ve crsquonin ccedilarpım matrisi
kaccediltır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
Ccedilarpma işlemi k=ack=
50 68122 167
91
SORU
a=[1 2 3 4 5 6] b=[7 8 9 10 11 12]
ise a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan x matrisini bulalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
x=abx =
7 16 2740 55 72
92
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
Aynı mertebeden iki matrisin elemanlarını teker teker boumllerek aynı
mertebeye yazılmasına iki matrisin sol boumllmesi denir ve bu islemi ile
yapılır
a b ve c aynı mertebeden kare matrisler olmak uumlzere
c=ab ise a matrisine c nin b matrisine boumlluumlmuuml denir
c boumlluumlm matrisi islemi ile yapılır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
93
HATIRLATMA
2x2 lik i2 adlı birim matrisi i2=eye(22)
3x luumlk i3 adlı birim matrisi i2=eye(33) islemi ile olusturabiiriz
Aynı mertebeden a ve b kare matrisleri iccedilin a ile b nin ccedilarpımı birim matris ise
b matrisi a matrisinin (aynı biccedilimde a matrisi de b matrisinin) ters matrisidir
Oumlrnek
3x3 luumlk bir a kare matrisinin tersini bulmak iccedilin
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
eye(33)a veya inv(a) islemini kullanırız
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
94
Bir Matrisin Determinantı
Determinant kare matrisleri bir sayıya eşleyen fonksiyondur
Determinant fonksiyonunun kare matrisi eşlediği o sayıya matrisin
determinantı denir
A matrisinin determinantı detA veya |A| biccediliminde goumlsterilir
|A| matrislerde mutlak değer anlamına gelmez |A| sıfır veya
negatif de olabilir
det(x)
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
95
KURAL
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
96
Oumlrnek
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Determinant
raquo
deter=det(x)deter =
21
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
97
Oumlrnek Inverse işlemi
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Detx=det(x)=21 ise
raquo y=inv(x)y =
821 121 -521 221
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
98
SORU
a=[2 -10 01 2 43 0 1] matrisi ile b=[1 5 41 -1 20 1 -1] matrisleri veriliyor
a)
a matrisinin elemanlarını
sırasıyla b matrisinin elemanlarına boumllerek elde
edilen matrisi b1 matrisine atayalım
b) a matrisinin ta ters matrisini bulalım
c) a ile ta matrisinin ccedilarpımının 3x3 luumlk birim matris olduğunu goumlsterelim
d) a matrisinin b matrisine boumlluumlmuumlnuuml
b2 matrisine atayalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
99
Ccediloumlzuumlm
a)
b1=ab
b) ta1=eye(33)a veya ta2=inv(a)
c) ata ==eye(33)
d) b2=ab
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
45
Matematiksel ifadeleri oluşturmak iccedilin operatoumlrler ve oumlnceden tanımlanmış sembolleri kullanabilirsiniz
oOperatoumlrler oumlzetle şunlardır
oMatrislerle yapılan işlemlerde boumllme işlemi iccedilin iki farklı
sembol kullanılmaktadıroBunun yanında eğer sayılar skaler ise iki boumllme işleminin sonucu da aynı
değeri
goumlsterecektiroOumlrneğin 32 ile 23 ifadelerinin sonuccedilları
aynı
olup 15rsquodir
raquo 4+83ndash2ans =26
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
46
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
x=a + b
Bu ifadede a ve b nin toplandığı
ve x değişkeni iccedilinde saklandığıbelirtilmektedir
47
Aritmetiksel İşlemlerde Oumlncelik Durumu
oTek bir aritmetiksel durum iccedilinde birden fazla durum bir arada bulunabildiğine goumlre
hangi işlemin oumlncelik hakkına sahip olunduğunun
bilinmelidir
oMATLABrsquoda kullanılan işlemlerde işlemlerin oumlncelik
listesi
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
bazı
temel matematiksel fonksiyonların accedilıklamaları
48
o
MATLABrsquo
da işlemler soldan sağa işlerlero
İşlemler arası
oumlncelik sırası
aşağıdaki gibidir
1 ^
(Yuumlksek)2
darr
3 + -
(Duumlşuumlk)
raquo 3^(2ndash5)-632 raquo 3^2ndash5ndash632ans = ans =
mdash39630 0
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
49
35 FonksyonlarMATRİSLER
o MATLABrsquoın ccedilok guumlccedilluuml
ve ccedilok kapsamlı
bir fonksiyon yapısı
vardır
oMATLABrsquoda bazı
fonksiyonlar daha oumlnceden yerleştirilmiş
bazıları
ise sonradan
dışarıdan yerleştirilmiş
M-dosyalarından oluşan MATLAB kuumltuumlphanelerinde
tanımlanmışlardır
oBunun yanında oumlzel uygulamalar iccedilin kullanıcıların kendi fonksiyonlarını
yazarak
kendi kuumltuumlphanelerini oluşturması
muumlmkuumlnduumlr
MATLABrsquoda mevcut analitik fonksiyonları
genel olarak aşağıdaki kategorilere ayırabiliriz oTemel matematiksel fonksiyonlaroOumlzel fonksiyonlaroTemel matrisler ve matris işlemlerioMatrisleri ccedilarpanlarına ayırmaoVeri analizlerioPolinomlaroDiferansiyel denklem ccediloumlzuumlmlerioLineer olmayan denklemler ve optimizasyonoSayısal integral hesaplamalarıoSinyal işleme
50
Matematiksel Fonksiyonlar
bazı
temel matematiksel fonksiyonların accedilıklamaları
35 FonksyonlarMATRİSLER
Oumlrnekgtgtexp(1)ans=27183gtgtfix(35)ans=3gtgtceil(35)ans=4gtgtround(35)ans=4
51
Matlabda oumlnceden tanımlanmıs bazı
sabitlerdirBunlar aşağıdaki tabloda goumlsterilmistir
36 Oumlzel SabitlerMatlab
52
Oumlrnekler
1)
a=1
2)
a=rsquoİstanbulrsquo
3)
a=5b=7c=a+b
4) a=5b=-3c=a+2ba=a+b
5)
num=23-5^2 x=num2 y=x+10
7 Sabitler Değiskenler ve Metin KatarlarıMatlab
53
Oumlrnek
Komut satırına
a)
sin(30)
b)
sin(30pi180) yazınız sonuccedilları
inceleyiniz
35 FonksyonlarMATRİSLER
Cevapa) -09880 sonucu goumlruumlluumlr ki bu 30deg
nin sinuumlsuumlnde n farklıdır Ccediluumlnkuuml
bu 30deg
derece değil 30 radyanın sinuumlsuumlduumlrb) 05000 sonucu goumlruumlluumlr ki bu da 30deg
nin sinuumlsuumld uumlr O halde bir
sayının trigonometrik değerini buldurmak iccedilin oumlnce pi ile ccedilarpıp 180 e boumllerek accedilıyı
radyan ccedilevirip sonra trigonometrik değerini
hesaplatabiliriz
54
oVektoumlrler tek boyutlu sayı
dizileridir
oElemanlarının sıralanma youmlnlerine goumlre suumltun veya satır vektoumlruuml
adlarını alırlar
ovektoumlrler [ ] koumlşeli parantezleri ile tanımlanır
ofarklı
yolla tanımlanabilirler
4 VektoumlrlerMatlab
A = [4 12 -8 6]A = [4 12 -8 6]
B = [1 2 4 6]
Satır Vektoumlruuml
Suumltun Vektoumlruumlgtgt b=[1 2 4 6 ]
55
4 VektoumlrlerMatlab
ovektoumlr boyutları
buumlyuumlduumlkccedile manuel olarak tanıtım işlemi oldukccedila zorlaşmaktadır
oOumlzellikle belli bir artıma sahip vektoumlrlerin oluşturulmasında () operatoumlruuml kullanılmaktadır
C = [-105150]
Son değerBaşlangıccedil değeri Artış
miktarı
Drsquo
= [30-10-30]
Suumltun Vektoumlruuml
56
Vektoumlr indisleri
4 VektoumlrlerMatlab
Bir vektoumlruumln elemanlarına atanılan değer değişkenler editoumlruuml
veya eleman adresi vasıtasıyla değiştirilebilir
OumlrnekA = [4 12 -8 6]1 A vektoumlruumlnuumln 3 elemanını
27 ile değiştiriniz
2 Benzer şekilde A vektoumlruumlnuumln 2 elemanını
siliniz 3 A(9) = 12
Ccediloumlzuumlm1 A(3) = 272 Vektoumlruumln elemanına [ ] değeri atandığında eleman silinirA(2) = [ ]3 gtgt A(9) = 12
A= [ 4 27 6]
A =[ 2 27 7 0 0 0 0 0 12]
57
raquo x=[17 8 61 83 56]
Şeklindeki bir matrisin uumlccediluumlncuuml
elemanına erişmek istenirse
raquo c=x(3)
c =
61
Eğer bir blok şeklinde veriye erişilmek istenirse
raquo x(24)
ans =
8 61 83
Her matristeki herhangi bir elman grubuna erişilmek istenirse
raquo x([3 1 4])
ans =
61 17 83
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
58
Bir diziye duumlzenli artıs (veya azalıs) kuralıyla değerler atanmak isteniyorsa
bunu
ilk_değerartısson değer veya ilk_değerartısson değer
biccediliminde yapabiliriz
Ancak artıs 1 ise belirtilmeyebilirOumlrnekortalama adlı
bir diziye 0 dan 5 e kadar 05 er artısla elde edilen sayı
dizisini atayanortalama=[0055]
Siz 1 satır 7 den den 17 ye kadar olan tam sayılar 2 satırı
99 dan 89 a kadar azalan tam sayılardan olusan 2 boyutlu m dizisine atayan islemleri yazınız
Dizilerin Değerlerinin Değistirilmesi ve Duumlzenlenmesi
4 VektoumlrlerMatlab
59
4 VektoumlrlerMatlab
60
Sayılardan olusan satır ve suumltun yapısına matris (dizi) denir
Oumlrneğin
d1=[5] 1x1 lik
d2=[ 2 -7] 1x2 lik
d3= [1 0 -3 ]
[ 5 3 1 ]
2x3 luumlk bir dizidir
Oumlrnekx=[1 7 18 5]Ya daraquo x=[ 1
7185 ]
Biccedilimlerinde girilebilir
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
61
Dizilerin Değerlerinin Değistirilmesi ve DuumlzenlenmesiBir dizinin herhangi bir elemanını belirlemek iccedilin dizi adından hemen sonra
parantez iccedilinde elemanın bulunduğu satır ve suumltun sayısı yazılmalıdır
Oumlrnek 1 d2=[2 -7]d2 dizisinin -7 elemanını
goumlruumlntuumllemek iccedilin
d2(12)
2 d3=[1 0 -35 3 1]d3 dizisinin 2 satır 1 suumltununda bulunan 5 in değerinin -75 olması
iccedilin
d3(21)=-75
Not1) Bir dizinin bir ccedilok elemanını
yeniden değer atamak gerekirse komut satırından atama yapmak uzun zaman alabilirBu durumda dizi değiskeninin uumlzerine ccedilift tıklayarak accedilılan dizi editoumlruuml
(array edit) yardımıyla değisiklikleri daha kolay yapabiliriz
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
62
8 Matrisler(Dizi)Matlab
Bir matrisi girerken o1 Elemanlar baştan ve sondan koumlşeli parantezlerle kapatılıro2 Elemanların arasına boşluk veya virguumll konuluro3 Matris satırlarını
ayırmak iccedilin de noktalı
virguumll kullanılır
okurallarına dikkate alınmalıdır
Oumlrneğin
A = [1 2 3 4 5 6]A =
1 2 34 5 6
şeklinde veriler matrisler biccediliminde tanımlanır MATLAB daha sonra kullanılmak uumlzere verileri A matrisinde saklar
63
Matris elemanları
rasgele rakamlardan oluşabileceği gibi MATLABrsquoın deyimlerinden de oluşabilir
51 Matrislerde ElemanlarMatlab
Oumlrneğin
a=[-13 sqrt(3) (1+2+3)475]
a= -13000 17321 48000
Kuumlccediluumlk matrisleri eleman olarak kullanıp daha buumlyuumlk matrisler oluşturmak muumlmkuumlnduumlr
OumlrneğinM=[1 3 5
7 8 9] matrisine
aşağıda goumlsterildiği şekilde bir satır eklemesi yapabilir
M=[M[10 13 15]]
Bu durumda M matrisiM=[1 3 5
7 8 910 13 15]
durumunu alır
64
İki nokta uumlst uumlste () kullanarak buumlyuumlk matrislerin belli bir kısmını
kullanabiliriz
ya da diğer ifade ile bu matrisi kuumlccediluumlltebiliriz
Oumlrneğin
M=M(12) bildirimi M matrisinin ilk iki satırını
alarak M matrisi
olarak saklar
Oumlrnek
M=[8 -4 7 66 -7 8 9 4 5 134] ise
M=M(12) =
8 1 Matrislerde ElemanlarMatlab
65
MATLABrsquoda kullanıcı
verileri kendi oluşturacağı
matrisler ile tanımlayabileceği gibi MATLABrsquoın kendi oumlzel matrislerinden de istifade edilebilir
52 Genel MatrislerMatlab
66
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
a) Sıfır Matrisi Olusturan Fonksiyon
Her elemanı sıfır olan mxn boyutunda bir matrise sıfır matrisi denir
Boumlyle bir dizi olusturmak iccedilin zeros fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=zeros(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
3x5 boyutunda s adlı
sıfır matrisi iccedilin
s=zeros(35)
52 Genel MatrislerMatlab
67
b) 1 lerden Olusan Matris
Her elemanı 1 olan mxn boyutunda bir matrisi olusturmak iccedilin ones
fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matria_adı=ones(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
2x3 boyutunda b adlı
tuumlm elemanları
1 olan matrisi olusturalım
b=ones(23)
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
52 Genel MatrislerMatlab
68
c) Birim Matrisi Olusturan Fonksiyon
Esas koumlsegeni 1 lerden diğer elemanları 0 lardan olusan kare matrise (satır
ve suumltun sayısı esit olan ) birim matrisi
kare olmayan matrise de diyagonal matris denir
Boumlyle matrisleri olusturmak iccedilin eye fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=eye(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
a)
3x3 luumlk birim matris
b) 4x3 lluumlk diyagonal matris olusturalım
Ccediloumlzuumlma) i=eye(33) b) d=eye(43)
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar52 Genel MatrislerMatlab
69
d) Rastgele Sayılardan Olusan Matris ve Fonksiyonu
Elemanları 0 ile 1 arasındaki rastgele sayılardan olusan bir matris iccedilin
rand fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=rand(mn) biccedilimindedir(msatırnsuumltun)
Not 1) Uumlretilen matrisin tuumlm elemanlarını k gibi bir sayı ile ccedilarparak
sayıları 0 ile k arasına ccedilekebiliriz
Not 2) Ondalıklı sayılardan olusmus bir matrisin elemanlarını
yuvarlayıp tam sayı yapmak iccedilin round fonksiyonunu kullanırız
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar52 Genel MatrislerMatlab
70
Oumlrnek
a) 0 ile 1 arasında rastgele sayılardan olusan 10 elemanlı
a adında bir satır
matrisi olusturalım
b) Elemanları
10 ile 50 arasında sayılardan olusan 5x3 tipinde b matrisini
olusturalım
c) Elemanları
50 ile 300 arasındaki tamsayılardan olusan 3x4 tipinde c matrisini
olusturalım
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
d) Rastgele Sayılardan Olusan Matris ve Fonksiyonu
52 Genel MatrislerMatlab
71
Ccediloumlzuumlm
a)
a=rand(110)
b)
b=10+rand(53)40
c) c=round(50+rand(34)250)
52 Genel MatrislerMatlab
72
e) Rastgele Sayılardan Olusan Normal Dağılımlı
Matris veFonksiyonu
Elemanları rasstgele sayılardan olusan bir normal dağılımlı bir matris iccedilin
randn fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=randn(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek Rastgele sayılardan olusan normal dağılımlı 2x3 luumlk bir n matrisini
olusturalım
Ccediloumlzuumlm n=randn(23)
52 Genel MatrislerMatlab
73
f) Lineer Aralıklı
(Aritmetik) Dizi ve Fonksiyonu
Baslangıccedil ve biis değerleri ve kaccedil elemandan olusacağı belirlenen diziyi
olusturmak iccedilin linspace fonksiyonu kullanılır
Kullanımı
dizi_adı=linspace(ilk_değerson_değereleman_sayısı)
biccedilimindedir
52 Genel MatrislerMatlab
74
Oumlrnek 10 ile 30 arasına 9 tane daha sayı
koyarak aadında bir aritmetik dizi olusturalım
f) Lineer Aralıklı
(Aritmetik) Dizi ve Fonksiyonu
52 Genel MatrislerMatlab
Cevapa=linspace(103011)
75
Elimizdeki grubun her elemanı iccedilin bir matematik işlemi yapıp bunu yeni bir
diziye atarken herhangi bir sorun yoktur
Fakat iki farklı grupla işlemler yaparken dikkat etmemiz gereken genel
kurallar vardır
Oumlrneğin toplama ve ccedilıkarma yaparken iki dizinin de buumlyuumlkluumlğuumlnuumln eşit
olması gerekmektedir
Ayrıca iki farklı dizinin elemanları arasında birebir işlem yapmak iccedilin
matematik operatoumlruumlnuumln başına nokta() koymak gerekir
Bu durumda her bir elemanı diğer dizinin o sıradaki elmanı ile işleme
sokacaktır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
76
Birden fazla satır ve suumltuna sahip vektoumlrlere matris denir Noktalı
virguumll ()
işareti ile kolonları
ve virguumlle işareti ya da boşluk
bırakarak da bir sıradaki elemanları
ayırabilirizOumlrnekraquo x=[ 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14]x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14Yukarıdaki 3x4 boyutunda bir matristir MATLAB programına aşağıdaki
gibi de sunulabilirraquo x=[ 3 4 5 6
7 8 9 1011 12 13 14]
x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
77
Matristeki herhangi bir elemana direk ulaşmak iccedilin aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(23)=9
Eğer isteğimiz eriştiğimiz bir elemanı
değiştirmek veya yeni bir satır eklemek ise aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(41)=1x =
3 4 5 67 8 9 1011 12 13 141 0 0 0
Bu durumda doumlrduumlncuuml
satır ilk elemanını
biz 1 değerini atadık ve diğer elemanları
kendiliğinden ldquo0rdquo
olarak atadı
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
78
İki nokta uumlst uumlste () kullanılarak belirli aralıkta değişen matrisler yaratılabilir
raquo x=[127 3-10 -12]x =
1 3 5 73 2 1 0
-1 0 1 2Bir matrisin herhangi bir boumlluumlmuumlnuuml
seccedilmek iccedilin ise aşağıdaki goumlsterim
kullanılırraquo z=x(23 12)z =
3 2-1 0
Bu durumda z matris x matrisinin 2 ve 3 norsquo
lu satırlarından 1 ve 2 norsquo
lu suumltunlarını
almış
oluyor
Herhangi bir satır veya suumltunu tamamen silmek istersek o satır ve suumltunu seccedilip ldquo[]rdquo
ifadesine eşitleriz
raquo z(2)=[ ]z =
3 -1
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
79
Matlab size ve length komutları
yardımı
ile size matrisinizin boyutlarını
soumlyler
raquo a=[ 2 3 4 5 67 8 9 10 11]
raquo s=size(a)s =
2 5
raquo b=[ 17 11 0 30 40 50]
raquo k=length(b)k =
6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
80
a) Toplama-Ccedilıkarma Bir Sayı
ile Ccedilarpma İşlemi
İki matrisi toplamak (veya ccedilıkarmak) demek matrislerin aynı
mertebedeki elemanları teker teker toplayıp (veya ccedilıkarıp ) aynı
mertebeye yazmak demektir
Bu durumda iki matrisin de aynı mertebeden olması gereği accedilıktır
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile toplamak (veya ccedilıkarmak) demek
matrisin elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla toplamak (veya
ccedilıkarmak )demektir
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile ccedilarpmak demek ise matrisin
elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla ccedilarpmak demektir
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
81
82
Oumlrnek
raquo a=[1 2 3 4 5 6]raquo b=[7 8 9 10 11 12]
a ve b toplamıraquo sum=a+bsum =
8 10 1214 16 18
arsquo
yı
brsquo
den ccedilıkarmak
raquo diff=a-bdiff =
-6 -6 -6-6 -6 -6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
83
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] ve b=[3 -3 -41 1 5] matrisleri
veriliyor
a)
c=a+b toplam matrisini
b)
d=a-b matrisini
c)
amatrisinin her elemanınının 5 eksiğine karsılık gelen e
matrisini
d) f=2a-3b matrisini bulduran islemleri yazalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
a) c=a+b b) d=a-b c) e=a-5 d) f=a+a-b-b-b veya
f=2a-3b
84
İki matrisin ccedilarpım islemi iki biccedilimde anlasılır
1)
Aynı
mertebeden iki matrisin elemanlarını
teker teker ccedilarpıp aynı
mertebeye
yazmak demektir Bunu
islemi ile gerccedileklestiririz
2) Matematiksel anlamda iki matrisi ccedilarpmak istediğimizde birinci matris mxn
tuumlruumlnde ve ikinci matris mutlaka nxp tuumlruumlnde olmalıdır yani birinci matrisin
suumltun sayısı
ikinci matrisin satır sayısına eşit olmalıdır
Bu durumda birinci matrisin i suumltun elemanları
ile ikinci matrisin j satırındaki
elemanlar karılıklı
olarak ccedilarpılır ve sonuccedillar toplanır ve bu toplam ccedilarpım
matrisinin (ij) inci mertebeye yazılır
Matrisler arası
ccedilarpma isleminin semboluuml
de dır
b) İki Matrisin Ccedilarpımı Bir Matrisin Kuvvetleri veCcedilarpma İslemi
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
85
3) Bir a matrisinin her bir elemanının n Kuvvetlerinden olusan matrisi
bulmak iccedilin a^n islemi kullanılır
4) Satır ve suumltun sayıları
esit bir kare matrisi ardısık olarak n defa
kendisiyle ccedilarparak a matrisinin n kuvvetini bulabilirizOumlrneğin a matrisinin
karesi iccedilin aa veya a^2 kuumlbuumlnuuml
buldurmak iccedilin aaa veya a^3
doumlrduumlncuuml
kuvvetini buldurmak iccedilin aaaa veya a^4
Not) Bir a matrisinin eleman -elemana ccedilarpma islemine benzer mantıkla bir matrisin tuumlm elemanlarının kareleri kuumlbleri sinuumlsleri kosinuumlsleri logaritmalarından olusan matris bulunmak istenirse bunu sırayla aa (veya a^2) aaa (veya a^3) sin(a) cos(a) etabanında logaritması
iccedilin log(a) 10 tabanında logaritmaları
iccedilin log10(a) Biccediliminde gerccedileklestirebiliriz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
86
a) a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c1 matrisi varsa bulalım
b) a matrisi ile b matrisinin ccedilarpım matrisi olan c2 varsa bulalım
c) a matrisinin elemanları
ile c matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c3 matrisi varsa bulalım
d) a matrisi ile c matrisinin ccedilarpım matrisi olan c4 varsa bulalım
e) a matrisinin elemanlarının karelerinden olusan matris ile b matrisinin
kosinuumlslerinden olusan matrisler toplamını
bulalım
f) x=[1 00 3] matrisinin i) Karesini ii) Kuumlbuumlnuuml
iii) 10
kuvvetini bulalım
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] b=[3 -3 -41 1 5] ve c=[1 0-1 23 3] matrisleri veriliyor
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
87
Ccediloumlzuumlma) iki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirBu durumda c1 matrisi tanımlıdır ve bunu c1=ab islemi ile gerccedileklestirebilirizb) iki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdırHalbuki a matrisi 2x3 b matrisi de 2x3 olduğundan bu iki matris ccedilarpılamazc) İki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirHalbuki bu matrisler aynı mertebeden olmadığından bu iki matris eleman-elemana ccedilarpma islemi
gerccedileklemezd) İki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdıra matrisi 2x3 luumlk c matrisi de 3x2 lik olduğundan bu iki matris ccedilarpılabilir ve c4 ccedilarpım matrisi 2x2 lik bir matris olurc4 ccedilarpım matrisini c4=ac islemi ile buluruze) a^2+cos(b)f) i) x^2 ii) x^3 iii) x^10
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
88
c) Bir Matrisin Devriğini (Transpozesi) Bulma İslemi
Bir matrisin satırlarını suumltun suumltunlarını satır olarak yazılmasıyla
bulunan matrise bu matrisin devriği (transpozesi) denir
Bir matrisin devriğini islemi ile bulabiliriz
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] nın devriğini buldurup d matrisine atayalım
Ccediloumlzuumlm d=a
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
89
Oumlrnek
b=[7 8 9 10 11 12] matrisinin transpozesini bulabilirmisiniz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
c=bc =
7 108 119 12
90
SORU
a=[1 2 3 4 5 6]
c= [710811912]
ise a ve crsquonin ccedilarpım matrisi
kaccediltır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
Ccedilarpma işlemi k=ack=
50 68122 167
91
SORU
a=[1 2 3 4 5 6] b=[7 8 9 10 11 12]
ise a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan x matrisini bulalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
x=abx =
7 16 2740 55 72
92
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
Aynı mertebeden iki matrisin elemanlarını teker teker boumllerek aynı
mertebeye yazılmasına iki matrisin sol boumllmesi denir ve bu islemi ile
yapılır
a b ve c aynı mertebeden kare matrisler olmak uumlzere
c=ab ise a matrisine c nin b matrisine boumlluumlmuuml denir
c boumlluumlm matrisi islemi ile yapılır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
93
HATIRLATMA
2x2 lik i2 adlı birim matrisi i2=eye(22)
3x luumlk i3 adlı birim matrisi i2=eye(33) islemi ile olusturabiiriz
Aynı mertebeden a ve b kare matrisleri iccedilin a ile b nin ccedilarpımı birim matris ise
b matrisi a matrisinin (aynı biccedilimde a matrisi de b matrisinin) ters matrisidir
Oumlrnek
3x3 luumlk bir a kare matrisinin tersini bulmak iccedilin
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
eye(33)a veya inv(a) islemini kullanırız
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
94
Bir Matrisin Determinantı
Determinant kare matrisleri bir sayıya eşleyen fonksiyondur
Determinant fonksiyonunun kare matrisi eşlediği o sayıya matrisin
determinantı denir
A matrisinin determinantı detA veya |A| biccediliminde goumlsterilir
|A| matrislerde mutlak değer anlamına gelmez |A| sıfır veya
negatif de olabilir
det(x)
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
95
KURAL
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
96
Oumlrnek
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Determinant
raquo
deter=det(x)deter =
21
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
97
Oumlrnek Inverse işlemi
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Detx=det(x)=21 ise
raquo y=inv(x)y =
821 121 -521 221
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
98
SORU
a=[2 -10 01 2 43 0 1] matrisi ile b=[1 5 41 -1 20 1 -1] matrisleri veriliyor
a)
a matrisinin elemanlarını
sırasıyla b matrisinin elemanlarına boumllerek elde
edilen matrisi b1 matrisine atayalım
b) a matrisinin ta ters matrisini bulalım
c) a ile ta matrisinin ccedilarpımının 3x3 luumlk birim matris olduğunu goumlsterelim
d) a matrisinin b matrisine boumlluumlmuumlnuuml
b2 matrisine atayalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
99
Ccediloumlzuumlm
a)
b1=ab
b) ta1=eye(33)a veya ta2=inv(a)
c) ata ==eye(33)
d) b2=ab
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
46
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
x=a + b
Bu ifadede a ve b nin toplandığı
ve x değişkeni iccedilinde saklandığıbelirtilmektedir
47
Aritmetiksel İşlemlerde Oumlncelik Durumu
oTek bir aritmetiksel durum iccedilinde birden fazla durum bir arada bulunabildiğine goumlre
hangi işlemin oumlncelik hakkına sahip olunduğunun
bilinmelidir
oMATLABrsquoda kullanılan işlemlerde işlemlerin oumlncelik
listesi
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
bazı
temel matematiksel fonksiyonların accedilıklamaları
48
o
MATLABrsquo
da işlemler soldan sağa işlerlero
İşlemler arası
oumlncelik sırası
aşağıdaki gibidir
1 ^
(Yuumlksek)2
darr
3 + -
(Duumlşuumlk)
raquo 3^(2ndash5)-632 raquo 3^2ndash5ndash632ans = ans =
mdash39630 0
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
49
35 FonksyonlarMATRİSLER
o MATLABrsquoın ccedilok guumlccedilluuml
ve ccedilok kapsamlı
bir fonksiyon yapısı
vardır
oMATLABrsquoda bazı
fonksiyonlar daha oumlnceden yerleştirilmiş
bazıları
ise sonradan
dışarıdan yerleştirilmiş
M-dosyalarından oluşan MATLAB kuumltuumlphanelerinde
tanımlanmışlardır
oBunun yanında oumlzel uygulamalar iccedilin kullanıcıların kendi fonksiyonlarını
yazarak
kendi kuumltuumlphanelerini oluşturması
muumlmkuumlnduumlr
MATLABrsquoda mevcut analitik fonksiyonları
genel olarak aşağıdaki kategorilere ayırabiliriz oTemel matematiksel fonksiyonlaroOumlzel fonksiyonlaroTemel matrisler ve matris işlemlerioMatrisleri ccedilarpanlarına ayırmaoVeri analizlerioPolinomlaroDiferansiyel denklem ccediloumlzuumlmlerioLineer olmayan denklemler ve optimizasyonoSayısal integral hesaplamalarıoSinyal işleme
50
Matematiksel Fonksiyonlar
bazı
temel matematiksel fonksiyonların accedilıklamaları
35 FonksyonlarMATRİSLER
Oumlrnekgtgtexp(1)ans=27183gtgtfix(35)ans=3gtgtceil(35)ans=4gtgtround(35)ans=4
51
Matlabda oumlnceden tanımlanmıs bazı
sabitlerdirBunlar aşağıdaki tabloda goumlsterilmistir
36 Oumlzel SabitlerMatlab
52
Oumlrnekler
1)
a=1
2)
a=rsquoİstanbulrsquo
3)
a=5b=7c=a+b
4) a=5b=-3c=a+2ba=a+b
5)
num=23-5^2 x=num2 y=x+10
7 Sabitler Değiskenler ve Metin KatarlarıMatlab
53
Oumlrnek
Komut satırına
a)
sin(30)
b)
sin(30pi180) yazınız sonuccedilları
inceleyiniz
35 FonksyonlarMATRİSLER
Cevapa) -09880 sonucu goumlruumlluumlr ki bu 30deg
nin sinuumlsuumlnde n farklıdır Ccediluumlnkuuml
bu 30deg
derece değil 30 radyanın sinuumlsuumlduumlrb) 05000 sonucu goumlruumlluumlr ki bu da 30deg
nin sinuumlsuumld uumlr O halde bir
sayının trigonometrik değerini buldurmak iccedilin oumlnce pi ile ccedilarpıp 180 e boumllerek accedilıyı
radyan ccedilevirip sonra trigonometrik değerini
hesaplatabiliriz
54
oVektoumlrler tek boyutlu sayı
dizileridir
oElemanlarının sıralanma youmlnlerine goumlre suumltun veya satır vektoumlruuml
adlarını alırlar
ovektoumlrler [ ] koumlşeli parantezleri ile tanımlanır
ofarklı
yolla tanımlanabilirler
4 VektoumlrlerMatlab
A = [4 12 -8 6]A = [4 12 -8 6]
B = [1 2 4 6]
Satır Vektoumlruuml
Suumltun Vektoumlruumlgtgt b=[1 2 4 6 ]
55
4 VektoumlrlerMatlab
ovektoumlr boyutları
buumlyuumlduumlkccedile manuel olarak tanıtım işlemi oldukccedila zorlaşmaktadır
oOumlzellikle belli bir artıma sahip vektoumlrlerin oluşturulmasında () operatoumlruuml kullanılmaktadır
C = [-105150]
Son değerBaşlangıccedil değeri Artış
miktarı
Drsquo
= [30-10-30]
Suumltun Vektoumlruuml
56
Vektoumlr indisleri
4 VektoumlrlerMatlab
Bir vektoumlruumln elemanlarına atanılan değer değişkenler editoumlruuml
veya eleman adresi vasıtasıyla değiştirilebilir
OumlrnekA = [4 12 -8 6]1 A vektoumlruumlnuumln 3 elemanını
27 ile değiştiriniz
2 Benzer şekilde A vektoumlruumlnuumln 2 elemanını
siliniz 3 A(9) = 12
Ccediloumlzuumlm1 A(3) = 272 Vektoumlruumln elemanına [ ] değeri atandığında eleman silinirA(2) = [ ]3 gtgt A(9) = 12
A= [ 4 27 6]
A =[ 2 27 7 0 0 0 0 0 12]
57
raquo x=[17 8 61 83 56]
Şeklindeki bir matrisin uumlccediluumlncuuml
elemanına erişmek istenirse
raquo c=x(3)
c =
61
Eğer bir blok şeklinde veriye erişilmek istenirse
raquo x(24)
ans =
8 61 83
Her matristeki herhangi bir elman grubuna erişilmek istenirse
raquo x([3 1 4])
ans =
61 17 83
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
58
Bir diziye duumlzenli artıs (veya azalıs) kuralıyla değerler atanmak isteniyorsa
bunu
ilk_değerartısson değer veya ilk_değerartısson değer
biccediliminde yapabiliriz
Ancak artıs 1 ise belirtilmeyebilirOumlrnekortalama adlı
bir diziye 0 dan 5 e kadar 05 er artısla elde edilen sayı
dizisini atayanortalama=[0055]
Siz 1 satır 7 den den 17 ye kadar olan tam sayılar 2 satırı
99 dan 89 a kadar azalan tam sayılardan olusan 2 boyutlu m dizisine atayan islemleri yazınız
Dizilerin Değerlerinin Değistirilmesi ve Duumlzenlenmesi
4 VektoumlrlerMatlab
59
4 VektoumlrlerMatlab
60
Sayılardan olusan satır ve suumltun yapısına matris (dizi) denir
Oumlrneğin
d1=[5] 1x1 lik
d2=[ 2 -7] 1x2 lik
d3= [1 0 -3 ]
[ 5 3 1 ]
2x3 luumlk bir dizidir
Oumlrnekx=[1 7 18 5]Ya daraquo x=[ 1
7185 ]
Biccedilimlerinde girilebilir
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
61
Dizilerin Değerlerinin Değistirilmesi ve DuumlzenlenmesiBir dizinin herhangi bir elemanını belirlemek iccedilin dizi adından hemen sonra
parantez iccedilinde elemanın bulunduğu satır ve suumltun sayısı yazılmalıdır
Oumlrnek 1 d2=[2 -7]d2 dizisinin -7 elemanını
goumlruumlntuumllemek iccedilin
d2(12)
2 d3=[1 0 -35 3 1]d3 dizisinin 2 satır 1 suumltununda bulunan 5 in değerinin -75 olması
iccedilin
d3(21)=-75
Not1) Bir dizinin bir ccedilok elemanını
yeniden değer atamak gerekirse komut satırından atama yapmak uzun zaman alabilirBu durumda dizi değiskeninin uumlzerine ccedilift tıklayarak accedilılan dizi editoumlruuml
(array edit) yardımıyla değisiklikleri daha kolay yapabiliriz
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
62
8 Matrisler(Dizi)Matlab
Bir matrisi girerken o1 Elemanlar baştan ve sondan koumlşeli parantezlerle kapatılıro2 Elemanların arasına boşluk veya virguumll konuluro3 Matris satırlarını
ayırmak iccedilin de noktalı
virguumll kullanılır
okurallarına dikkate alınmalıdır
Oumlrneğin
A = [1 2 3 4 5 6]A =
1 2 34 5 6
şeklinde veriler matrisler biccediliminde tanımlanır MATLAB daha sonra kullanılmak uumlzere verileri A matrisinde saklar
63
Matris elemanları
rasgele rakamlardan oluşabileceği gibi MATLABrsquoın deyimlerinden de oluşabilir
51 Matrislerde ElemanlarMatlab
Oumlrneğin
a=[-13 sqrt(3) (1+2+3)475]
a= -13000 17321 48000
Kuumlccediluumlk matrisleri eleman olarak kullanıp daha buumlyuumlk matrisler oluşturmak muumlmkuumlnduumlr
OumlrneğinM=[1 3 5
7 8 9] matrisine
aşağıda goumlsterildiği şekilde bir satır eklemesi yapabilir
M=[M[10 13 15]]
Bu durumda M matrisiM=[1 3 5
7 8 910 13 15]
durumunu alır
64
İki nokta uumlst uumlste () kullanarak buumlyuumlk matrislerin belli bir kısmını
kullanabiliriz
ya da diğer ifade ile bu matrisi kuumlccediluumlltebiliriz
Oumlrneğin
M=M(12) bildirimi M matrisinin ilk iki satırını
alarak M matrisi
olarak saklar
Oumlrnek
M=[8 -4 7 66 -7 8 9 4 5 134] ise
M=M(12) =
8 1 Matrislerde ElemanlarMatlab
65
MATLABrsquoda kullanıcı
verileri kendi oluşturacağı
matrisler ile tanımlayabileceği gibi MATLABrsquoın kendi oumlzel matrislerinden de istifade edilebilir
52 Genel MatrislerMatlab
66
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
a) Sıfır Matrisi Olusturan Fonksiyon
Her elemanı sıfır olan mxn boyutunda bir matrise sıfır matrisi denir
Boumlyle bir dizi olusturmak iccedilin zeros fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=zeros(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
3x5 boyutunda s adlı
sıfır matrisi iccedilin
s=zeros(35)
52 Genel MatrislerMatlab
67
b) 1 lerden Olusan Matris
Her elemanı 1 olan mxn boyutunda bir matrisi olusturmak iccedilin ones
fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matria_adı=ones(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
2x3 boyutunda b adlı
tuumlm elemanları
1 olan matrisi olusturalım
b=ones(23)
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
52 Genel MatrislerMatlab
68
c) Birim Matrisi Olusturan Fonksiyon
Esas koumlsegeni 1 lerden diğer elemanları 0 lardan olusan kare matrise (satır
ve suumltun sayısı esit olan ) birim matrisi
kare olmayan matrise de diyagonal matris denir
Boumlyle matrisleri olusturmak iccedilin eye fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=eye(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
a)
3x3 luumlk birim matris
b) 4x3 lluumlk diyagonal matris olusturalım
Ccediloumlzuumlma) i=eye(33) b) d=eye(43)
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar52 Genel MatrislerMatlab
69
d) Rastgele Sayılardan Olusan Matris ve Fonksiyonu
Elemanları 0 ile 1 arasındaki rastgele sayılardan olusan bir matris iccedilin
rand fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=rand(mn) biccedilimindedir(msatırnsuumltun)
Not 1) Uumlretilen matrisin tuumlm elemanlarını k gibi bir sayı ile ccedilarparak
sayıları 0 ile k arasına ccedilekebiliriz
Not 2) Ondalıklı sayılardan olusmus bir matrisin elemanlarını
yuvarlayıp tam sayı yapmak iccedilin round fonksiyonunu kullanırız
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar52 Genel MatrislerMatlab
70
Oumlrnek
a) 0 ile 1 arasında rastgele sayılardan olusan 10 elemanlı
a adında bir satır
matrisi olusturalım
b) Elemanları
10 ile 50 arasında sayılardan olusan 5x3 tipinde b matrisini
olusturalım
c) Elemanları
50 ile 300 arasındaki tamsayılardan olusan 3x4 tipinde c matrisini
olusturalım
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
d) Rastgele Sayılardan Olusan Matris ve Fonksiyonu
52 Genel MatrislerMatlab
71
Ccediloumlzuumlm
a)
a=rand(110)
b)
b=10+rand(53)40
c) c=round(50+rand(34)250)
52 Genel MatrislerMatlab
72
e) Rastgele Sayılardan Olusan Normal Dağılımlı
Matris veFonksiyonu
Elemanları rasstgele sayılardan olusan bir normal dağılımlı bir matris iccedilin
randn fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=randn(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek Rastgele sayılardan olusan normal dağılımlı 2x3 luumlk bir n matrisini
olusturalım
Ccediloumlzuumlm n=randn(23)
52 Genel MatrislerMatlab
73
f) Lineer Aralıklı
(Aritmetik) Dizi ve Fonksiyonu
Baslangıccedil ve biis değerleri ve kaccedil elemandan olusacağı belirlenen diziyi
olusturmak iccedilin linspace fonksiyonu kullanılır
Kullanımı
dizi_adı=linspace(ilk_değerson_değereleman_sayısı)
biccedilimindedir
52 Genel MatrislerMatlab
74
Oumlrnek 10 ile 30 arasına 9 tane daha sayı
koyarak aadında bir aritmetik dizi olusturalım
f) Lineer Aralıklı
(Aritmetik) Dizi ve Fonksiyonu
52 Genel MatrislerMatlab
Cevapa=linspace(103011)
75
Elimizdeki grubun her elemanı iccedilin bir matematik işlemi yapıp bunu yeni bir
diziye atarken herhangi bir sorun yoktur
Fakat iki farklı grupla işlemler yaparken dikkat etmemiz gereken genel
kurallar vardır
Oumlrneğin toplama ve ccedilıkarma yaparken iki dizinin de buumlyuumlkluumlğuumlnuumln eşit
olması gerekmektedir
Ayrıca iki farklı dizinin elemanları arasında birebir işlem yapmak iccedilin
matematik operatoumlruumlnuumln başına nokta() koymak gerekir
Bu durumda her bir elemanı diğer dizinin o sıradaki elmanı ile işleme
sokacaktır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
76
Birden fazla satır ve suumltuna sahip vektoumlrlere matris denir Noktalı
virguumll ()
işareti ile kolonları
ve virguumlle işareti ya da boşluk
bırakarak da bir sıradaki elemanları
ayırabilirizOumlrnekraquo x=[ 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14]x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14Yukarıdaki 3x4 boyutunda bir matristir MATLAB programına aşağıdaki
gibi de sunulabilirraquo x=[ 3 4 5 6
7 8 9 1011 12 13 14]
x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
77
Matristeki herhangi bir elemana direk ulaşmak iccedilin aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(23)=9
Eğer isteğimiz eriştiğimiz bir elemanı
değiştirmek veya yeni bir satır eklemek ise aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(41)=1x =
3 4 5 67 8 9 1011 12 13 141 0 0 0
Bu durumda doumlrduumlncuuml
satır ilk elemanını
biz 1 değerini atadık ve diğer elemanları
kendiliğinden ldquo0rdquo
olarak atadı
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
78
İki nokta uumlst uumlste () kullanılarak belirli aralıkta değişen matrisler yaratılabilir
raquo x=[127 3-10 -12]x =
1 3 5 73 2 1 0
-1 0 1 2Bir matrisin herhangi bir boumlluumlmuumlnuuml
seccedilmek iccedilin ise aşağıdaki goumlsterim
kullanılırraquo z=x(23 12)z =
3 2-1 0
Bu durumda z matris x matrisinin 2 ve 3 norsquo
lu satırlarından 1 ve 2 norsquo
lu suumltunlarını
almış
oluyor
Herhangi bir satır veya suumltunu tamamen silmek istersek o satır ve suumltunu seccedilip ldquo[]rdquo
ifadesine eşitleriz
raquo z(2)=[ ]z =
3 -1
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
79
Matlab size ve length komutları
yardımı
ile size matrisinizin boyutlarını
soumlyler
raquo a=[ 2 3 4 5 67 8 9 10 11]
raquo s=size(a)s =
2 5
raquo b=[ 17 11 0 30 40 50]
raquo k=length(b)k =
6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
80
a) Toplama-Ccedilıkarma Bir Sayı
ile Ccedilarpma İşlemi
İki matrisi toplamak (veya ccedilıkarmak) demek matrislerin aynı
mertebedeki elemanları teker teker toplayıp (veya ccedilıkarıp ) aynı
mertebeye yazmak demektir
Bu durumda iki matrisin de aynı mertebeden olması gereği accedilıktır
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile toplamak (veya ccedilıkarmak) demek
matrisin elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla toplamak (veya
ccedilıkarmak )demektir
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile ccedilarpmak demek ise matrisin
elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla ccedilarpmak demektir
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
81
82
Oumlrnek
raquo a=[1 2 3 4 5 6]raquo b=[7 8 9 10 11 12]
a ve b toplamıraquo sum=a+bsum =
8 10 1214 16 18
arsquo
yı
brsquo
den ccedilıkarmak
raquo diff=a-bdiff =
-6 -6 -6-6 -6 -6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
83
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] ve b=[3 -3 -41 1 5] matrisleri
veriliyor
a)
c=a+b toplam matrisini
b)
d=a-b matrisini
c)
amatrisinin her elemanınının 5 eksiğine karsılık gelen e
matrisini
d) f=2a-3b matrisini bulduran islemleri yazalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
a) c=a+b b) d=a-b c) e=a-5 d) f=a+a-b-b-b veya
f=2a-3b
84
İki matrisin ccedilarpım islemi iki biccedilimde anlasılır
1)
Aynı
mertebeden iki matrisin elemanlarını
teker teker ccedilarpıp aynı
mertebeye
yazmak demektir Bunu
islemi ile gerccedileklestiririz
2) Matematiksel anlamda iki matrisi ccedilarpmak istediğimizde birinci matris mxn
tuumlruumlnde ve ikinci matris mutlaka nxp tuumlruumlnde olmalıdır yani birinci matrisin
suumltun sayısı
ikinci matrisin satır sayısına eşit olmalıdır
Bu durumda birinci matrisin i suumltun elemanları
ile ikinci matrisin j satırındaki
elemanlar karılıklı
olarak ccedilarpılır ve sonuccedillar toplanır ve bu toplam ccedilarpım
matrisinin (ij) inci mertebeye yazılır
Matrisler arası
ccedilarpma isleminin semboluuml
de dır
b) İki Matrisin Ccedilarpımı Bir Matrisin Kuvvetleri veCcedilarpma İslemi
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
85
3) Bir a matrisinin her bir elemanının n Kuvvetlerinden olusan matrisi
bulmak iccedilin a^n islemi kullanılır
4) Satır ve suumltun sayıları
esit bir kare matrisi ardısık olarak n defa
kendisiyle ccedilarparak a matrisinin n kuvvetini bulabilirizOumlrneğin a matrisinin
karesi iccedilin aa veya a^2 kuumlbuumlnuuml
buldurmak iccedilin aaa veya a^3
doumlrduumlncuuml
kuvvetini buldurmak iccedilin aaaa veya a^4
Not) Bir a matrisinin eleman -elemana ccedilarpma islemine benzer mantıkla bir matrisin tuumlm elemanlarının kareleri kuumlbleri sinuumlsleri kosinuumlsleri logaritmalarından olusan matris bulunmak istenirse bunu sırayla aa (veya a^2) aaa (veya a^3) sin(a) cos(a) etabanında logaritması
iccedilin log(a) 10 tabanında logaritmaları
iccedilin log10(a) Biccediliminde gerccedileklestirebiliriz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
86
a) a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c1 matrisi varsa bulalım
b) a matrisi ile b matrisinin ccedilarpım matrisi olan c2 varsa bulalım
c) a matrisinin elemanları
ile c matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c3 matrisi varsa bulalım
d) a matrisi ile c matrisinin ccedilarpım matrisi olan c4 varsa bulalım
e) a matrisinin elemanlarının karelerinden olusan matris ile b matrisinin
kosinuumlslerinden olusan matrisler toplamını
bulalım
f) x=[1 00 3] matrisinin i) Karesini ii) Kuumlbuumlnuuml
iii) 10
kuvvetini bulalım
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] b=[3 -3 -41 1 5] ve c=[1 0-1 23 3] matrisleri veriliyor
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
87
Ccediloumlzuumlma) iki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirBu durumda c1 matrisi tanımlıdır ve bunu c1=ab islemi ile gerccedileklestirebilirizb) iki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdırHalbuki a matrisi 2x3 b matrisi de 2x3 olduğundan bu iki matris ccedilarpılamazc) İki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirHalbuki bu matrisler aynı mertebeden olmadığından bu iki matris eleman-elemana ccedilarpma islemi
gerccedileklemezd) İki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdıra matrisi 2x3 luumlk c matrisi de 3x2 lik olduğundan bu iki matris ccedilarpılabilir ve c4 ccedilarpım matrisi 2x2 lik bir matris olurc4 ccedilarpım matrisini c4=ac islemi ile buluruze) a^2+cos(b)f) i) x^2 ii) x^3 iii) x^10
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
88
c) Bir Matrisin Devriğini (Transpozesi) Bulma İslemi
Bir matrisin satırlarını suumltun suumltunlarını satır olarak yazılmasıyla
bulunan matrise bu matrisin devriği (transpozesi) denir
Bir matrisin devriğini islemi ile bulabiliriz
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] nın devriğini buldurup d matrisine atayalım
Ccediloumlzuumlm d=a
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
89
Oumlrnek
b=[7 8 9 10 11 12] matrisinin transpozesini bulabilirmisiniz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
c=bc =
7 108 119 12
90
SORU
a=[1 2 3 4 5 6]
c= [710811912]
ise a ve crsquonin ccedilarpım matrisi
kaccediltır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
Ccedilarpma işlemi k=ack=
50 68122 167
91
SORU
a=[1 2 3 4 5 6] b=[7 8 9 10 11 12]
ise a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan x matrisini bulalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
x=abx =
7 16 2740 55 72
92
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
Aynı mertebeden iki matrisin elemanlarını teker teker boumllerek aynı
mertebeye yazılmasına iki matrisin sol boumllmesi denir ve bu islemi ile
yapılır
a b ve c aynı mertebeden kare matrisler olmak uumlzere
c=ab ise a matrisine c nin b matrisine boumlluumlmuuml denir
c boumlluumlm matrisi islemi ile yapılır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
93
HATIRLATMA
2x2 lik i2 adlı birim matrisi i2=eye(22)
3x luumlk i3 adlı birim matrisi i2=eye(33) islemi ile olusturabiiriz
Aynı mertebeden a ve b kare matrisleri iccedilin a ile b nin ccedilarpımı birim matris ise
b matrisi a matrisinin (aynı biccedilimde a matrisi de b matrisinin) ters matrisidir
Oumlrnek
3x3 luumlk bir a kare matrisinin tersini bulmak iccedilin
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
eye(33)a veya inv(a) islemini kullanırız
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
94
Bir Matrisin Determinantı
Determinant kare matrisleri bir sayıya eşleyen fonksiyondur
Determinant fonksiyonunun kare matrisi eşlediği o sayıya matrisin
determinantı denir
A matrisinin determinantı detA veya |A| biccediliminde goumlsterilir
|A| matrislerde mutlak değer anlamına gelmez |A| sıfır veya
negatif de olabilir
det(x)
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
95
KURAL
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
96
Oumlrnek
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Determinant
raquo
deter=det(x)deter =
21
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
97
Oumlrnek Inverse işlemi
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Detx=det(x)=21 ise
raquo y=inv(x)y =
821 121 -521 221
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
98
SORU
a=[2 -10 01 2 43 0 1] matrisi ile b=[1 5 41 -1 20 1 -1] matrisleri veriliyor
a)
a matrisinin elemanlarını
sırasıyla b matrisinin elemanlarına boumllerek elde
edilen matrisi b1 matrisine atayalım
b) a matrisinin ta ters matrisini bulalım
c) a ile ta matrisinin ccedilarpımının 3x3 luumlk birim matris olduğunu goumlsterelim
d) a matrisinin b matrisine boumlluumlmuumlnuuml
b2 matrisine atayalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
99
Ccediloumlzuumlm
a)
b1=ab
b) ta1=eye(33)a veya ta2=inv(a)
c) ata ==eye(33)
d) b2=ab
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
47
Aritmetiksel İşlemlerde Oumlncelik Durumu
oTek bir aritmetiksel durum iccedilinde birden fazla durum bir arada bulunabildiğine goumlre
hangi işlemin oumlncelik hakkına sahip olunduğunun
bilinmelidir
oMATLABrsquoda kullanılan işlemlerde işlemlerin oumlncelik
listesi
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
bazı
temel matematiksel fonksiyonların accedilıklamaları
48
o
MATLABrsquo
da işlemler soldan sağa işlerlero
İşlemler arası
oumlncelik sırası
aşağıdaki gibidir
1 ^
(Yuumlksek)2
darr
3 + -
(Duumlşuumlk)
raquo 3^(2ndash5)-632 raquo 3^2ndash5ndash632ans = ans =
mdash39630 0
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
49
35 FonksyonlarMATRİSLER
o MATLABrsquoın ccedilok guumlccedilluuml
ve ccedilok kapsamlı
bir fonksiyon yapısı
vardır
oMATLABrsquoda bazı
fonksiyonlar daha oumlnceden yerleştirilmiş
bazıları
ise sonradan
dışarıdan yerleştirilmiş
M-dosyalarından oluşan MATLAB kuumltuumlphanelerinde
tanımlanmışlardır
oBunun yanında oumlzel uygulamalar iccedilin kullanıcıların kendi fonksiyonlarını
yazarak
kendi kuumltuumlphanelerini oluşturması
muumlmkuumlnduumlr
MATLABrsquoda mevcut analitik fonksiyonları
genel olarak aşağıdaki kategorilere ayırabiliriz oTemel matematiksel fonksiyonlaroOumlzel fonksiyonlaroTemel matrisler ve matris işlemlerioMatrisleri ccedilarpanlarına ayırmaoVeri analizlerioPolinomlaroDiferansiyel denklem ccediloumlzuumlmlerioLineer olmayan denklemler ve optimizasyonoSayısal integral hesaplamalarıoSinyal işleme
50
Matematiksel Fonksiyonlar
bazı
temel matematiksel fonksiyonların accedilıklamaları
35 FonksyonlarMATRİSLER
Oumlrnekgtgtexp(1)ans=27183gtgtfix(35)ans=3gtgtceil(35)ans=4gtgtround(35)ans=4
51
Matlabda oumlnceden tanımlanmıs bazı
sabitlerdirBunlar aşağıdaki tabloda goumlsterilmistir
36 Oumlzel SabitlerMatlab
52
Oumlrnekler
1)
a=1
2)
a=rsquoİstanbulrsquo
3)
a=5b=7c=a+b
4) a=5b=-3c=a+2ba=a+b
5)
num=23-5^2 x=num2 y=x+10
7 Sabitler Değiskenler ve Metin KatarlarıMatlab
53
Oumlrnek
Komut satırına
a)
sin(30)
b)
sin(30pi180) yazınız sonuccedilları
inceleyiniz
35 FonksyonlarMATRİSLER
Cevapa) -09880 sonucu goumlruumlluumlr ki bu 30deg
nin sinuumlsuumlnde n farklıdır Ccediluumlnkuuml
bu 30deg
derece değil 30 radyanın sinuumlsuumlduumlrb) 05000 sonucu goumlruumlluumlr ki bu da 30deg
nin sinuumlsuumld uumlr O halde bir
sayının trigonometrik değerini buldurmak iccedilin oumlnce pi ile ccedilarpıp 180 e boumllerek accedilıyı
radyan ccedilevirip sonra trigonometrik değerini
hesaplatabiliriz
54
oVektoumlrler tek boyutlu sayı
dizileridir
oElemanlarının sıralanma youmlnlerine goumlre suumltun veya satır vektoumlruuml
adlarını alırlar
ovektoumlrler [ ] koumlşeli parantezleri ile tanımlanır
ofarklı
yolla tanımlanabilirler
4 VektoumlrlerMatlab
A = [4 12 -8 6]A = [4 12 -8 6]
B = [1 2 4 6]
Satır Vektoumlruuml
Suumltun Vektoumlruumlgtgt b=[1 2 4 6 ]
55
4 VektoumlrlerMatlab
ovektoumlr boyutları
buumlyuumlduumlkccedile manuel olarak tanıtım işlemi oldukccedila zorlaşmaktadır
oOumlzellikle belli bir artıma sahip vektoumlrlerin oluşturulmasında () operatoumlruuml kullanılmaktadır
C = [-105150]
Son değerBaşlangıccedil değeri Artış
miktarı
Drsquo
= [30-10-30]
Suumltun Vektoumlruuml
56
Vektoumlr indisleri
4 VektoumlrlerMatlab
Bir vektoumlruumln elemanlarına atanılan değer değişkenler editoumlruuml
veya eleman adresi vasıtasıyla değiştirilebilir
OumlrnekA = [4 12 -8 6]1 A vektoumlruumlnuumln 3 elemanını
27 ile değiştiriniz
2 Benzer şekilde A vektoumlruumlnuumln 2 elemanını
siliniz 3 A(9) = 12
Ccediloumlzuumlm1 A(3) = 272 Vektoumlruumln elemanına [ ] değeri atandığında eleman silinirA(2) = [ ]3 gtgt A(9) = 12
A= [ 4 27 6]
A =[ 2 27 7 0 0 0 0 0 12]
57
raquo x=[17 8 61 83 56]
Şeklindeki bir matrisin uumlccediluumlncuuml
elemanına erişmek istenirse
raquo c=x(3)
c =
61
Eğer bir blok şeklinde veriye erişilmek istenirse
raquo x(24)
ans =
8 61 83
Her matristeki herhangi bir elman grubuna erişilmek istenirse
raquo x([3 1 4])
ans =
61 17 83
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
58
Bir diziye duumlzenli artıs (veya azalıs) kuralıyla değerler atanmak isteniyorsa
bunu
ilk_değerartısson değer veya ilk_değerartısson değer
biccediliminde yapabiliriz
Ancak artıs 1 ise belirtilmeyebilirOumlrnekortalama adlı
bir diziye 0 dan 5 e kadar 05 er artısla elde edilen sayı
dizisini atayanortalama=[0055]
Siz 1 satır 7 den den 17 ye kadar olan tam sayılar 2 satırı
99 dan 89 a kadar azalan tam sayılardan olusan 2 boyutlu m dizisine atayan islemleri yazınız
Dizilerin Değerlerinin Değistirilmesi ve Duumlzenlenmesi
4 VektoumlrlerMatlab
59
4 VektoumlrlerMatlab
60
Sayılardan olusan satır ve suumltun yapısına matris (dizi) denir
Oumlrneğin
d1=[5] 1x1 lik
d2=[ 2 -7] 1x2 lik
d3= [1 0 -3 ]
[ 5 3 1 ]
2x3 luumlk bir dizidir
Oumlrnekx=[1 7 18 5]Ya daraquo x=[ 1
7185 ]
Biccedilimlerinde girilebilir
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
61
Dizilerin Değerlerinin Değistirilmesi ve DuumlzenlenmesiBir dizinin herhangi bir elemanını belirlemek iccedilin dizi adından hemen sonra
parantez iccedilinde elemanın bulunduğu satır ve suumltun sayısı yazılmalıdır
Oumlrnek 1 d2=[2 -7]d2 dizisinin -7 elemanını
goumlruumlntuumllemek iccedilin
d2(12)
2 d3=[1 0 -35 3 1]d3 dizisinin 2 satır 1 suumltununda bulunan 5 in değerinin -75 olması
iccedilin
d3(21)=-75
Not1) Bir dizinin bir ccedilok elemanını
yeniden değer atamak gerekirse komut satırından atama yapmak uzun zaman alabilirBu durumda dizi değiskeninin uumlzerine ccedilift tıklayarak accedilılan dizi editoumlruuml
(array edit) yardımıyla değisiklikleri daha kolay yapabiliriz
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
62
8 Matrisler(Dizi)Matlab
Bir matrisi girerken o1 Elemanlar baştan ve sondan koumlşeli parantezlerle kapatılıro2 Elemanların arasına boşluk veya virguumll konuluro3 Matris satırlarını
ayırmak iccedilin de noktalı
virguumll kullanılır
okurallarına dikkate alınmalıdır
Oumlrneğin
A = [1 2 3 4 5 6]A =
1 2 34 5 6
şeklinde veriler matrisler biccediliminde tanımlanır MATLAB daha sonra kullanılmak uumlzere verileri A matrisinde saklar
63
Matris elemanları
rasgele rakamlardan oluşabileceği gibi MATLABrsquoın deyimlerinden de oluşabilir
51 Matrislerde ElemanlarMatlab
Oumlrneğin
a=[-13 sqrt(3) (1+2+3)475]
a= -13000 17321 48000
Kuumlccediluumlk matrisleri eleman olarak kullanıp daha buumlyuumlk matrisler oluşturmak muumlmkuumlnduumlr
OumlrneğinM=[1 3 5
7 8 9] matrisine
aşağıda goumlsterildiği şekilde bir satır eklemesi yapabilir
M=[M[10 13 15]]
Bu durumda M matrisiM=[1 3 5
7 8 910 13 15]
durumunu alır
64
İki nokta uumlst uumlste () kullanarak buumlyuumlk matrislerin belli bir kısmını
kullanabiliriz
ya da diğer ifade ile bu matrisi kuumlccediluumlltebiliriz
Oumlrneğin
M=M(12) bildirimi M matrisinin ilk iki satırını
alarak M matrisi
olarak saklar
Oumlrnek
M=[8 -4 7 66 -7 8 9 4 5 134] ise
M=M(12) =
8 1 Matrislerde ElemanlarMatlab
65
MATLABrsquoda kullanıcı
verileri kendi oluşturacağı
matrisler ile tanımlayabileceği gibi MATLABrsquoın kendi oumlzel matrislerinden de istifade edilebilir
52 Genel MatrislerMatlab
66
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
a) Sıfır Matrisi Olusturan Fonksiyon
Her elemanı sıfır olan mxn boyutunda bir matrise sıfır matrisi denir
Boumlyle bir dizi olusturmak iccedilin zeros fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=zeros(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
3x5 boyutunda s adlı
sıfır matrisi iccedilin
s=zeros(35)
52 Genel MatrislerMatlab
67
b) 1 lerden Olusan Matris
Her elemanı 1 olan mxn boyutunda bir matrisi olusturmak iccedilin ones
fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matria_adı=ones(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
2x3 boyutunda b adlı
tuumlm elemanları
1 olan matrisi olusturalım
b=ones(23)
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
52 Genel MatrislerMatlab
68
c) Birim Matrisi Olusturan Fonksiyon
Esas koumlsegeni 1 lerden diğer elemanları 0 lardan olusan kare matrise (satır
ve suumltun sayısı esit olan ) birim matrisi
kare olmayan matrise de diyagonal matris denir
Boumlyle matrisleri olusturmak iccedilin eye fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=eye(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
a)
3x3 luumlk birim matris
b) 4x3 lluumlk diyagonal matris olusturalım
Ccediloumlzuumlma) i=eye(33) b) d=eye(43)
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar52 Genel MatrislerMatlab
69
d) Rastgele Sayılardan Olusan Matris ve Fonksiyonu
Elemanları 0 ile 1 arasındaki rastgele sayılardan olusan bir matris iccedilin
rand fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=rand(mn) biccedilimindedir(msatırnsuumltun)
Not 1) Uumlretilen matrisin tuumlm elemanlarını k gibi bir sayı ile ccedilarparak
sayıları 0 ile k arasına ccedilekebiliriz
Not 2) Ondalıklı sayılardan olusmus bir matrisin elemanlarını
yuvarlayıp tam sayı yapmak iccedilin round fonksiyonunu kullanırız
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar52 Genel MatrislerMatlab
70
Oumlrnek
a) 0 ile 1 arasında rastgele sayılardan olusan 10 elemanlı
a adında bir satır
matrisi olusturalım
b) Elemanları
10 ile 50 arasında sayılardan olusan 5x3 tipinde b matrisini
olusturalım
c) Elemanları
50 ile 300 arasındaki tamsayılardan olusan 3x4 tipinde c matrisini
olusturalım
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
d) Rastgele Sayılardan Olusan Matris ve Fonksiyonu
52 Genel MatrislerMatlab
71
Ccediloumlzuumlm
a)
a=rand(110)
b)
b=10+rand(53)40
c) c=round(50+rand(34)250)
52 Genel MatrislerMatlab
72
e) Rastgele Sayılardan Olusan Normal Dağılımlı
Matris veFonksiyonu
Elemanları rasstgele sayılardan olusan bir normal dağılımlı bir matris iccedilin
randn fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=randn(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek Rastgele sayılardan olusan normal dağılımlı 2x3 luumlk bir n matrisini
olusturalım
Ccediloumlzuumlm n=randn(23)
52 Genel MatrislerMatlab
73
f) Lineer Aralıklı
(Aritmetik) Dizi ve Fonksiyonu
Baslangıccedil ve biis değerleri ve kaccedil elemandan olusacağı belirlenen diziyi
olusturmak iccedilin linspace fonksiyonu kullanılır
Kullanımı
dizi_adı=linspace(ilk_değerson_değereleman_sayısı)
biccedilimindedir
52 Genel MatrislerMatlab
74
Oumlrnek 10 ile 30 arasına 9 tane daha sayı
koyarak aadında bir aritmetik dizi olusturalım
f) Lineer Aralıklı
(Aritmetik) Dizi ve Fonksiyonu
52 Genel MatrislerMatlab
Cevapa=linspace(103011)
75
Elimizdeki grubun her elemanı iccedilin bir matematik işlemi yapıp bunu yeni bir
diziye atarken herhangi bir sorun yoktur
Fakat iki farklı grupla işlemler yaparken dikkat etmemiz gereken genel
kurallar vardır
Oumlrneğin toplama ve ccedilıkarma yaparken iki dizinin de buumlyuumlkluumlğuumlnuumln eşit
olması gerekmektedir
Ayrıca iki farklı dizinin elemanları arasında birebir işlem yapmak iccedilin
matematik operatoumlruumlnuumln başına nokta() koymak gerekir
Bu durumda her bir elemanı diğer dizinin o sıradaki elmanı ile işleme
sokacaktır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
76
Birden fazla satır ve suumltuna sahip vektoumlrlere matris denir Noktalı
virguumll ()
işareti ile kolonları
ve virguumlle işareti ya da boşluk
bırakarak da bir sıradaki elemanları
ayırabilirizOumlrnekraquo x=[ 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14]x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14Yukarıdaki 3x4 boyutunda bir matristir MATLAB programına aşağıdaki
gibi de sunulabilirraquo x=[ 3 4 5 6
7 8 9 1011 12 13 14]
x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
77
Matristeki herhangi bir elemana direk ulaşmak iccedilin aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(23)=9
Eğer isteğimiz eriştiğimiz bir elemanı
değiştirmek veya yeni bir satır eklemek ise aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(41)=1x =
3 4 5 67 8 9 1011 12 13 141 0 0 0
Bu durumda doumlrduumlncuuml
satır ilk elemanını
biz 1 değerini atadık ve diğer elemanları
kendiliğinden ldquo0rdquo
olarak atadı
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
78
İki nokta uumlst uumlste () kullanılarak belirli aralıkta değişen matrisler yaratılabilir
raquo x=[127 3-10 -12]x =
1 3 5 73 2 1 0
-1 0 1 2Bir matrisin herhangi bir boumlluumlmuumlnuuml
seccedilmek iccedilin ise aşağıdaki goumlsterim
kullanılırraquo z=x(23 12)z =
3 2-1 0
Bu durumda z matris x matrisinin 2 ve 3 norsquo
lu satırlarından 1 ve 2 norsquo
lu suumltunlarını
almış
oluyor
Herhangi bir satır veya suumltunu tamamen silmek istersek o satır ve suumltunu seccedilip ldquo[]rdquo
ifadesine eşitleriz
raquo z(2)=[ ]z =
3 -1
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
79
Matlab size ve length komutları
yardımı
ile size matrisinizin boyutlarını
soumlyler
raquo a=[ 2 3 4 5 67 8 9 10 11]
raquo s=size(a)s =
2 5
raquo b=[ 17 11 0 30 40 50]
raquo k=length(b)k =
6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
80
a) Toplama-Ccedilıkarma Bir Sayı
ile Ccedilarpma İşlemi
İki matrisi toplamak (veya ccedilıkarmak) demek matrislerin aynı
mertebedeki elemanları teker teker toplayıp (veya ccedilıkarıp ) aynı
mertebeye yazmak demektir
Bu durumda iki matrisin de aynı mertebeden olması gereği accedilıktır
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile toplamak (veya ccedilıkarmak) demek
matrisin elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla toplamak (veya
ccedilıkarmak )demektir
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile ccedilarpmak demek ise matrisin
elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla ccedilarpmak demektir
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
81
82
Oumlrnek
raquo a=[1 2 3 4 5 6]raquo b=[7 8 9 10 11 12]
a ve b toplamıraquo sum=a+bsum =
8 10 1214 16 18
arsquo
yı
brsquo
den ccedilıkarmak
raquo diff=a-bdiff =
-6 -6 -6-6 -6 -6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
83
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] ve b=[3 -3 -41 1 5] matrisleri
veriliyor
a)
c=a+b toplam matrisini
b)
d=a-b matrisini
c)
amatrisinin her elemanınının 5 eksiğine karsılık gelen e
matrisini
d) f=2a-3b matrisini bulduran islemleri yazalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
a) c=a+b b) d=a-b c) e=a-5 d) f=a+a-b-b-b veya
f=2a-3b
84
İki matrisin ccedilarpım islemi iki biccedilimde anlasılır
1)
Aynı
mertebeden iki matrisin elemanlarını
teker teker ccedilarpıp aynı
mertebeye
yazmak demektir Bunu
islemi ile gerccedileklestiririz
2) Matematiksel anlamda iki matrisi ccedilarpmak istediğimizde birinci matris mxn
tuumlruumlnde ve ikinci matris mutlaka nxp tuumlruumlnde olmalıdır yani birinci matrisin
suumltun sayısı
ikinci matrisin satır sayısına eşit olmalıdır
Bu durumda birinci matrisin i suumltun elemanları
ile ikinci matrisin j satırındaki
elemanlar karılıklı
olarak ccedilarpılır ve sonuccedillar toplanır ve bu toplam ccedilarpım
matrisinin (ij) inci mertebeye yazılır
Matrisler arası
ccedilarpma isleminin semboluuml
de dır
b) İki Matrisin Ccedilarpımı Bir Matrisin Kuvvetleri veCcedilarpma İslemi
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
85
3) Bir a matrisinin her bir elemanının n Kuvvetlerinden olusan matrisi
bulmak iccedilin a^n islemi kullanılır
4) Satır ve suumltun sayıları
esit bir kare matrisi ardısık olarak n defa
kendisiyle ccedilarparak a matrisinin n kuvvetini bulabilirizOumlrneğin a matrisinin
karesi iccedilin aa veya a^2 kuumlbuumlnuuml
buldurmak iccedilin aaa veya a^3
doumlrduumlncuuml
kuvvetini buldurmak iccedilin aaaa veya a^4
Not) Bir a matrisinin eleman -elemana ccedilarpma islemine benzer mantıkla bir matrisin tuumlm elemanlarının kareleri kuumlbleri sinuumlsleri kosinuumlsleri logaritmalarından olusan matris bulunmak istenirse bunu sırayla aa (veya a^2) aaa (veya a^3) sin(a) cos(a) etabanında logaritması
iccedilin log(a) 10 tabanında logaritmaları
iccedilin log10(a) Biccediliminde gerccedileklestirebiliriz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
86
a) a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c1 matrisi varsa bulalım
b) a matrisi ile b matrisinin ccedilarpım matrisi olan c2 varsa bulalım
c) a matrisinin elemanları
ile c matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c3 matrisi varsa bulalım
d) a matrisi ile c matrisinin ccedilarpım matrisi olan c4 varsa bulalım
e) a matrisinin elemanlarının karelerinden olusan matris ile b matrisinin
kosinuumlslerinden olusan matrisler toplamını
bulalım
f) x=[1 00 3] matrisinin i) Karesini ii) Kuumlbuumlnuuml
iii) 10
kuvvetini bulalım
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] b=[3 -3 -41 1 5] ve c=[1 0-1 23 3] matrisleri veriliyor
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
87
Ccediloumlzuumlma) iki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirBu durumda c1 matrisi tanımlıdır ve bunu c1=ab islemi ile gerccedileklestirebilirizb) iki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdırHalbuki a matrisi 2x3 b matrisi de 2x3 olduğundan bu iki matris ccedilarpılamazc) İki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirHalbuki bu matrisler aynı mertebeden olmadığından bu iki matris eleman-elemana ccedilarpma islemi
gerccedileklemezd) İki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdıra matrisi 2x3 luumlk c matrisi de 3x2 lik olduğundan bu iki matris ccedilarpılabilir ve c4 ccedilarpım matrisi 2x2 lik bir matris olurc4 ccedilarpım matrisini c4=ac islemi ile buluruze) a^2+cos(b)f) i) x^2 ii) x^3 iii) x^10
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
88
c) Bir Matrisin Devriğini (Transpozesi) Bulma İslemi
Bir matrisin satırlarını suumltun suumltunlarını satır olarak yazılmasıyla
bulunan matrise bu matrisin devriği (transpozesi) denir
Bir matrisin devriğini islemi ile bulabiliriz
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] nın devriğini buldurup d matrisine atayalım
Ccediloumlzuumlm d=a
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
89
Oumlrnek
b=[7 8 9 10 11 12] matrisinin transpozesini bulabilirmisiniz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
c=bc =
7 108 119 12
90
SORU
a=[1 2 3 4 5 6]
c= [710811912]
ise a ve crsquonin ccedilarpım matrisi
kaccediltır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
Ccedilarpma işlemi k=ack=
50 68122 167
91
SORU
a=[1 2 3 4 5 6] b=[7 8 9 10 11 12]
ise a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan x matrisini bulalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
x=abx =
7 16 2740 55 72
92
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
Aynı mertebeden iki matrisin elemanlarını teker teker boumllerek aynı
mertebeye yazılmasına iki matrisin sol boumllmesi denir ve bu islemi ile
yapılır
a b ve c aynı mertebeden kare matrisler olmak uumlzere
c=ab ise a matrisine c nin b matrisine boumlluumlmuuml denir
c boumlluumlm matrisi islemi ile yapılır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
93
HATIRLATMA
2x2 lik i2 adlı birim matrisi i2=eye(22)
3x luumlk i3 adlı birim matrisi i2=eye(33) islemi ile olusturabiiriz
Aynı mertebeden a ve b kare matrisleri iccedilin a ile b nin ccedilarpımı birim matris ise
b matrisi a matrisinin (aynı biccedilimde a matrisi de b matrisinin) ters matrisidir
Oumlrnek
3x3 luumlk bir a kare matrisinin tersini bulmak iccedilin
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
eye(33)a veya inv(a) islemini kullanırız
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
94
Bir Matrisin Determinantı
Determinant kare matrisleri bir sayıya eşleyen fonksiyondur
Determinant fonksiyonunun kare matrisi eşlediği o sayıya matrisin
determinantı denir
A matrisinin determinantı detA veya |A| biccediliminde goumlsterilir
|A| matrislerde mutlak değer anlamına gelmez |A| sıfır veya
negatif de olabilir
det(x)
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
95
KURAL
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
96
Oumlrnek
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Determinant
raquo
deter=det(x)deter =
21
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
97
Oumlrnek Inverse işlemi
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Detx=det(x)=21 ise
raquo y=inv(x)y =
821 121 -521 221
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
98
SORU
a=[2 -10 01 2 43 0 1] matrisi ile b=[1 5 41 -1 20 1 -1] matrisleri veriliyor
a)
a matrisinin elemanlarını
sırasıyla b matrisinin elemanlarına boumllerek elde
edilen matrisi b1 matrisine atayalım
b) a matrisinin ta ters matrisini bulalım
c) a ile ta matrisinin ccedilarpımının 3x3 luumlk birim matris olduğunu goumlsterelim
d) a matrisinin b matrisine boumlluumlmuumlnuuml
b2 matrisine atayalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
99
Ccediloumlzuumlm
a)
b1=ab
b) ta1=eye(33)a veya ta2=inv(a)
c) ata ==eye(33)
d) b2=ab
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
48
o
MATLABrsquo
da işlemler soldan sağa işlerlero
İşlemler arası
oumlncelik sırası
aşağıdaki gibidir
1 ^
(Yuumlksek)2
darr
3 + -
(Duumlşuumlk)
raquo 3^(2ndash5)-632 raquo 3^2ndash5ndash632ans = ans =
mdash39630 0
34 Operatoumlrler(sayısal işlemciler)MATRİSLER
49
35 FonksyonlarMATRİSLER
o MATLABrsquoın ccedilok guumlccedilluuml
ve ccedilok kapsamlı
bir fonksiyon yapısı
vardır
oMATLABrsquoda bazı
fonksiyonlar daha oumlnceden yerleştirilmiş
bazıları
ise sonradan
dışarıdan yerleştirilmiş
M-dosyalarından oluşan MATLAB kuumltuumlphanelerinde
tanımlanmışlardır
oBunun yanında oumlzel uygulamalar iccedilin kullanıcıların kendi fonksiyonlarını
yazarak
kendi kuumltuumlphanelerini oluşturması
muumlmkuumlnduumlr
MATLABrsquoda mevcut analitik fonksiyonları
genel olarak aşağıdaki kategorilere ayırabiliriz oTemel matematiksel fonksiyonlaroOumlzel fonksiyonlaroTemel matrisler ve matris işlemlerioMatrisleri ccedilarpanlarına ayırmaoVeri analizlerioPolinomlaroDiferansiyel denklem ccediloumlzuumlmlerioLineer olmayan denklemler ve optimizasyonoSayısal integral hesaplamalarıoSinyal işleme
50
Matematiksel Fonksiyonlar
bazı
temel matematiksel fonksiyonların accedilıklamaları
35 FonksyonlarMATRİSLER
Oumlrnekgtgtexp(1)ans=27183gtgtfix(35)ans=3gtgtceil(35)ans=4gtgtround(35)ans=4
51
Matlabda oumlnceden tanımlanmıs bazı
sabitlerdirBunlar aşağıdaki tabloda goumlsterilmistir
36 Oumlzel SabitlerMatlab
52
Oumlrnekler
1)
a=1
2)
a=rsquoİstanbulrsquo
3)
a=5b=7c=a+b
4) a=5b=-3c=a+2ba=a+b
5)
num=23-5^2 x=num2 y=x+10
7 Sabitler Değiskenler ve Metin KatarlarıMatlab
53
Oumlrnek
Komut satırına
a)
sin(30)
b)
sin(30pi180) yazınız sonuccedilları
inceleyiniz
35 FonksyonlarMATRİSLER
Cevapa) -09880 sonucu goumlruumlluumlr ki bu 30deg
nin sinuumlsuumlnde n farklıdır Ccediluumlnkuuml
bu 30deg
derece değil 30 radyanın sinuumlsuumlduumlrb) 05000 sonucu goumlruumlluumlr ki bu da 30deg
nin sinuumlsuumld uumlr O halde bir
sayının trigonometrik değerini buldurmak iccedilin oumlnce pi ile ccedilarpıp 180 e boumllerek accedilıyı
radyan ccedilevirip sonra trigonometrik değerini
hesaplatabiliriz
54
oVektoumlrler tek boyutlu sayı
dizileridir
oElemanlarının sıralanma youmlnlerine goumlre suumltun veya satır vektoumlruuml
adlarını alırlar
ovektoumlrler [ ] koumlşeli parantezleri ile tanımlanır
ofarklı
yolla tanımlanabilirler
4 VektoumlrlerMatlab
A = [4 12 -8 6]A = [4 12 -8 6]
B = [1 2 4 6]
Satır Vektoumlruuml
Suumltun Vektoumlruumlgtgt b=[1 2 4 6 ]
55
4 VektoumlrlerMatlab
ovektoumlr boyutları
buumlyuumlduumlkccedile manuel olarak tanıtım işlemi oldukccedila zorlaşmaktadır
oOumlzellikle belli bir artıma sahip vektoumlrlerin oluşturulmasında () operatoumlruuml kullanılmaktadır
C = [-105150]
Son değerBaşlangıccedil değeri Artış
miktarı
Drsquo
= [30-10-30]
Suumltun Vektoumlruuml
56
Vektoumlr indisleri
4 VektoumlrlerMatlab
Bir vektoumlruumln elemanlarına atanılan değer değişkenler editoumlruuml
veya eleman adresi vasıtasıyla değiştirilebilir
OumlrnekA = [4 12 -8 6]1 A vektoumlruumlnuumln 3 elemanını
27 ile değiştiriniz
2 Benzer şekilde A vektoumlruumlnuumln 2 elemanını
siliniz 3 A(9) = 12
Ccediloumlzuumlm1 A(3) = 272 Vektoumlruumln elemanına [ ] değeri atandığında eleman silinirA(2) = [ ]3 gtgt A(9) = 12
A= [ 4 27 6]
A =[ 2 27 7 0 0 0 0 0 12]
57
raquo x=[17 8 61 83 56]
Şeklindeki bir matrisin uumlccediluumlncuuml
elemanına erişmek istenirse
raquo c=x(3)
c =
61
Eğer bir blok şeklinde veriye erişilmek istenirse
raquo x(24)
ans =
8 61 83
Her matristeki herhangi bir elman grubuna erişilmek istenirse
raquo x([3 1 4])
ans =
61 17 83
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
58
Bir diziye duumlzenli artıs (veya azalıs) kuralıyla değerler atanmak isteniyorsa
bunu
ilk_değerartısson değer veya ilk_değerartısson değer
biccediliminde yapabiliriz
Ancak artıs 1 ise belirtilmeyebilirOumlrnekortalama adlı
bir diziye 0 dan 5 e kadar 05 er artısla elde edilen sayı
dizisini atayanortalama=[0055]
Siz 1 satır 7 den den 17 ye kadar olan tam sayılar 2 satırı
99 dan 89 a kadar azalan tam sayılardan olusan 2 boyutlu m dizisine atayan islemleri yazınız
Dizilerin Değerlerinin Değistirilmesi ve Duumlzenlenmesi
4 VektoumlrlerMatlab
59
4 VektoumlrlerMatlab
60
Sayılardan olusan satır ve suumltun yapısına matris (dizi) denir
Oumlrneğin
d1=[5] 1x1 lik
d2=[ 2 -7] 1x2 lik
d3= [1 0 -3 ]
[ 5 3 1 ]
2x3 luumlk bir dizidir
Oumlrnekx=[1 7 18 5]Ya daraquo x=[ 1
7185 ]
Biccedilimlerinde girilebilir
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
61
Dizilerin Değerlerinin Değistirilmesi ve DuumlzenlenmesiBir dizinin herhangi bir elemanını belirlemek iccedilin dizi adından hemen sonra
parantez iccedilinde elemanın bulunduğu satır ve suumltun sayısı yazılmalıdır
Oumlrnek 1 d2=[2 -7]d2 dizisinin -7 elemanını
goumlruumlntuumllemek iccedilin
d2(12)
2 d3=[1 0 -35 3 1]d3 dizisinin 2 satır 1 suumltununda bulunan 5 in değerinin -75 olması
iccedilin
d3(21)=-75
Not1) Bir dizinin bir ccedilok elemanını
yeniden değer atamak gerekirse komut satırından atama yapmak uzun zaman alabilirBu durumda dizi değiskeninin uumlzerine ccedilift tıklayarak accedilılan dizi editoumlruuml
(array edit) yardımıyla değisiklikleri daha kolay yapabiliriz
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
62
8 Matrisler(Dizi)Matlab
Bir matrisi girerken o1 Elemanlar baştan ve sondan koumlşeli parantezlerle kapatılıro2 Elemanların arasına boşluk veya virguumll konuluro3 Matris satırlarını
ayırmak iccedilin de noktalı
virguumll kullanılır
okurallarına dikkate alınmalıdır
Oumlrneğin
A = [1 2 3 4 5 6]A =
1 2 34 5 6
şeklinde veriler matrisler biccediliminde tanımlanır MATLAB daha sonra kullanılmak uumlzere verileri A matrisinde saklar
63
Matris elemanları
rasgele rakamlardan oluşabileceği gibi MATLABrsquoın deyimlerinden de oluşabilir
51 Matrislerde ElemanlarMatlab
Oumlrneğin
a=[-13 sqrt(3) (1+2+3)475]
a= -13000 17321 48000
Kuumlccediluumlk matrisleri eleman olarak kullanıp daha buumlyuumlk matrisler oluşturmak muumlmkuumlnduumlr
OumlrneğinM=[1 3 5
7 8 9] matrisine
aşağıda goumlsterildiği şekilde bir satır eklemesi yapabilir
M=[M[10 13 15]]
Bu durumda M matrisiM=[1 3 5
7 8 910 13 15]
durumunu alır
64
İki nokta uumlst uumlste () kullanarak buumlyuumlk matrislerin belli bir kısmını
kullanabiliriz
ya da diğer ifade ile bu matrisi kuumlccediluumlltebiliriz
Oumlrneğin
M=M(12) bildirimi M matrisinin ilk iki satırını
alarak M matrisi
olarak saklar
Oumlrnek
M=[8 -4 7 66 -7 8 9 4 5 134] ise
M=M(12) =
8 1 Matrislerde ElemanlarMatlab
65
MATLABrsquoda kullanıcı
verileri kendi oluşturacağı
matrisler ile tanımlayabileceği gibi MATLABrsquoın kendi oumlzel matrislerinden de istifade edilebilir
52 Genel MatrislerMatlab
66
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
a) Sıfır Matrisi Olusturan Fonksiyon
Her elemanı sıfır olan mxn boyutunda bir matrise sıfır matrisi denir
Boumlyle bir dizi olusturmak iccedilin zeros fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=zeros(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
3x5 boyutunda s adlı
sıfır matrisi iccedilin
s=zeros(35)
52 Genel MatrislerMatlab
67
b) 1 lerden Olusan Matris
Her elemanı 1 olan mxn boyutunda bir matrisi olusturmak iccedilin ones
fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matria_adı=ones(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
2x3 boyutunda b adlı
tuumlm elemanları
1 olan matrisi olusturalım
b=ones(23)
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
52 Genel MatrislerMatlab
68
c) Birim Matrisi Olusturan Fonksiyon
Esas koumlsegeni 1 lerden diğer elemanları 0 lardan olusan kare matrise (satır
ve suumltun sayısı esit olan ) birim matrisi
kare olmayan matrise de diyagonal matris denir
Boumlyle matrisleri olusturmak iccedilin eye fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=eye(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
a)
3x3 luumlk birim matris
b) 4x3 lluumlk diyagonal matris olusturalım
Ccediloumlzuumlma) i=eye(33) b) d=eye(43)
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar52 Genel MatrislerMatlab
69
d) Rastgele Sayılardan Olusan Matris ve Fonksiyonu
Elemanları 0 ile 1 arasındaki rastgele sayılardan olusan bir matris iccedilin
rand fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=rand(mn) biccedilimindedir(msatırnsuumltun)
Not 1) Uumlretilen matrisin tuumlm elemanlarını k gibi bir sayı ile ccedilarparak
sayıları 0 ile k arasına ccedilekebiliriz
Not 2) Ondalıklı sayılardan olusmus bir matrisin elemanlarını
yuvarlayıp tam sayı yapmak iccedilin round fonksiyonunu kullanırız
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar52 Genel MatrislerMatlab
70
Oumlrnek
a) 0 ile 1 arasında rastgele sayılardan olusan 10 elemanlı
a adında bir satır
matrisi olusturalım
b) Elemanları
10 ile 50 arasında sayılardan olusan 5x3 tipinde b matrisini
olusturalım
c) Elemanları
50 ile 300 arasındaki tamsayılardan olusan 3x4 tipinde c matrisini
olusturalım
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
d) Rastgele Sayılardan Olusan Matris ve Fonksiyonu
52 Genel MatrislerMatlab
71
Ccediloumlzuumlm
a)
a=rand(110)
b)
b=10+rand(53)40
c) c=round(50+rand(34)250)
52 Genel MatrislerMatlab
72
e) Rastgele Sayılardan Olusan Normal Dağılımlı
Matris veFonksiyonu
Elemanları rasstgele sayılardan olusan bir normal dağılımlı bir matris iccedilin
randn fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=randn(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek Rastgele sayılardan olusan normal dağılımlı 2x3 luumlk bir n matrisini
olusturalım
Ccediloumlzuumlm n=randn(23)
52 Genel MatrislerMatlab
73
f) Lineer Aralıklı
(Aritmetik) Dizi ve Fonksiyonu
Baslangıccedil ve biis değerleri ve kaccedil elemandan olusacağı belirlenen diziyi
olusturmak iccedilin linspace fonksiyonu kullanılır
Kullanımı
dizi_adı=linspace(ilk_değerson_değereleman_sayısı)
biccedilimindedir
52 Genel MatrislerMatlab
74
Oumlrnek 10 ile 30 arasına 9 tane daha sayı
koyarak aadında bir aritmetik dizi olusturalım
f) Lineer Aralıklı
(Aritmetik) Dizi ve Fonksiyonu
52 Genel MatrislerMatlab
Cevapa=linspace(103011)
75
Elimizdeki grubun her elemanı iccedilin bir matematik işlemi yapıp bunu yeni bir
diziye atarken herhangi bir sorun yoktur
Fakat iki farklı grupla işlemler yaparken dikkat etmemiz gereken genel
kurallar vardır
Oumlrneğin toplama ve ccedilıkarma yaparken iki dizinin de buumlyuumlkluumlğuumlnuumln eşit
olması gerekmektedir
Ayrıca iki farklı dizinin elemanları arasında birebir işlem yapmak iccedilin
matematik operatoumlruumlnuumln başına nokta() koymak gerekir
Bu durumda her bir elemanı diğer dizinin o sıradaki elmanı ile işleme
sokacaktır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
76
Birden fazla satır ve suumltuna sahip vektoumlrlere matris denir Noktalı
virguumll ()
işareti ile kolonları
ve virguumlle işareti ya da boşluk
bırakarak da bir sıradaki elemanları
ayırabilirizOumlrnekraquo x=[ 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14]x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14Yukarıdaki 3x4 boyutunda bir matristir MATLAB programına aşağıdaki
gibi de sunulabilirraquo x=[ 3 4 5 6
7 8 9 1011 12 13 14]
x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
77
Matristeki herhangi bir elemana direk ulaşmak iccedilin aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(23)=9
Eğer isteğimiz eriştiğimiz bir elemanı
değiştirmek veya yeni bir satır eklemek ise aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(41)=1x =
3 4 5 67 8 9 1011 12 13 141 0 0 0
Bu durumda doumlrduumlncuuml
satır ilk elemanını
biz 1 değerini atadık ve diğer elemanları
kendiliğinden ldquo0rdquo
olarak atadı
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
78
İki nokta uumlst uumlste () kullanılarak belirli aralıkta değişen matrisler yaratılabilir
raquo x=[127 3-10 -12]x =
1 3 5 73 2 1 0
-1 0 1 2Bir matrisin herhangi bir boumlluumlmuumlnuuml
seccedilmek iccedilin ise aşağıdaki goumlsterim
kullanılırraquo z=x(23 12)z =
3 2-1 0
Bu durumda z matris x matrisinin 2 ve 3 norsquo
lu satırlarından 1 ve 2 norsquo
lu suumltunlarını
almış
oluyor
Herhangi bir satır veya suumltunu tamamen silmek istersek o satır ve suumltunu seccedilip ldquo[]rdquo
ifadesine eşitleriz
raquo z(2)=[ ]z =
3 -1
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
79
Matlab size ve length komutları
yardımı
ile size matrisinizin boyutlarını
soumlyler
raquo a=[ 2 3 4 5 67 8 9 10 11]
raquo s=size(a)s =
2 5
raquo b=[ 17 11 0 30 40 50]
raquo k=length(b)k =
6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
80
a) Toplama-Ccedilıkarma Bir Sayı
ile Ccedilarpma İşlemi
İki matrisi toplamak (veya ccedilıkarmak) demek matrislerin aynı
mertebedeki elemanları teker teker toplayıp (veya ccedilıkarıp ) aynı
mertebeye yazmak demektir
Bu durumda iki matrisin de aynı mertebeden olması gereği accedilıktır
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile toplamak (veya ccedilıkarmak) demek
matrisin elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla toplamak (veya
ccedilıkarmak )demektir
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile ccedilarpmak demek ise matrisin
elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla ccedilarpmak demektir
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
81
82
Oumlrnek
raquo a=[1 2 3 4 5 6]raquo b=[7 8 9 10 11 12]
a ve b toplamıraquo sum=a+bsum =
8 10 1214 16 18
arsquo
yı
brsquo
den ccedilıkarmak
raquo diff=a-bdiff =
-6 -6 -6-6 -6 -6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
83
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] ve b=[3 -3 -41 1 5] matrisleri
veriliyor
a)
c=a+b toplam matrisini
b)
d=a-b matrisini
c)
amatrisinin her elemanınının 5 eksiğine karsılık gelen e
matrisini
d) f=2a-3b matrisini bulduran islemleri yazalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
a) c=a+b b) d=a-b c) e=a-5 d) f=a+a-b-b-b veya
f=2a-3b
84
İki matrisin ccedilarpım islemi iki biccedilimde anlasılır
1)
Aynı
mertebeden iki matrisin elemanlarını
teker teker ccedilarpıp aynı
mertebeye
yazmak demektir Bunu
islemi ile gerccedileklestiririz
2) Matematiksel anlamda iki matrisi ccedilarpmak istediğimizde birinci matris mxn
tuumlruumlnde ve ikinci matris mutlaka nxp tuumlruumlnde olmalıdır yani birinci matrisin
suumltun sayısı
ikinci matrisin satır sayısına eşit olmalıdır
Bu durumda birinci matrisin i suumltun elemanları
ile ikinci matrisin j satırındaki
elemanlar karılıklı
olarak ccedilarpılır ve sonuccedillar toplanır ve bu toplam ccedilarpım
matrisinin (ij) inci mertebeye yazılır
Matrisler arası
ccedilarpma isleminin semboluuml
de dır
b) İki Matrisin Ccedilarpımı Bir Matrisin Kuvvetleri veCcedilarpma İslemi
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
85
3) Bir a matrisinin her bir elemanının n Kuvvetlerinden olusan matrisi
bulmak iccedilin a^n islemi kullanılır
4) Satır ve suumltun sayıları
esit bir kare matrisi ardısık olarak n defa
kendisiyle ccedilarparak a matrisinin n kuvvetini bulabilirizOumlrneğin a matrisinin
karesi iccedilin aa veya a^2 kuumlbuumlnuuml
buldurmak iccedilin aaa veya a^3
doumlrduumlncuuml
kuvvetini buldurmak iccedilin aaaa veya a^4
Not) Bir a matrisinin eleman -elemana ccedilarpma islemine benzer mantıkla bir matrisin tuumlm elemanlarının kareleri kuumlbleri sinuumlsleri kosinuumlsleri logaritmalarından olusan matris bulunmak istenirse bunu sırayla aa (veya a^2) aaa (veya a^3) sin(a) cos(a) etabanında logaritması
iccedilin log(a) 10 tabanında logaritmaları
iccedilin log10(a) Biccediliminde gerccedileklestirebiliriz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
86
a) a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c1 matrisi varsa bulalım
b) a matrisi ile b matrisinin ccedilarpım matrisi olan c2 varsa bulalım
c) a matrisinin elemanları
ile c matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c3 matrisi varsa bulalım
d) a matrisi ile c matrisinin ccedilarpım matrisi olan c4 varsa bulalım
e) a matrisinin elemanlarının karelerinden olusan matris ile b matrisinin
kosinuumlslerinden olusan matrisler toplamını
bulalım
f) x=[1 00 3] matrisinin i) Karesini ii) Kuumlbuumlnuuml
iii) 10
kuvvetini bulalım
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] b=[3 -3 -41 1 5] ve c=[1 0-1 23 3] matrisleri veriliyor
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
87
Ccediloumlzuumlma) iki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirBu durumda c1 matrisi tanımlıdır ve bunu c1=ab islemi ile gerccedileklestirebilirizb) iki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdırHalbuki a matrisi 2x3 b matrisi de 2x3 olduğundan bu iki matris ccedilarpılamazc) İki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirHalbuki bu matrisler aynı mertebeden olmadığından bu iki matris eleman-elemana ccedilarpma islemi
gerccedileklemezd) İki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdıra matrisi 2x3 luumlk c matrisi de 3x2 lik olduğundan bu iki matris ccedilarpılabilir ve c4 ccedilarpım matrisi 2x2 lik bir matris olurc4 ccedilarpım matrisini c4=ac islemi ile buluruze) a^2+cos(b)f) i) x^2 ii) x^3 iii) x^10
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
88
c) Bir Matrisin Devriğini (Transpozesi) Bulma İslemi
Bir matrisin satırlarını suumltun suumltunlarını satır olarak yazılmasıyla
bulunan matrise bu matrisin devriği (transpozesi) denir
Bir matrisin devriğini islemi ile bulabiliriz
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] nın devriğini buldurup d matrisine atayalım
Ccediloumlzuumlm d=a
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
89
Oumlrnek
b=[7 8 9 10 11 12] matrisinin transpozesini bulabilirmisiniz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
c=bc =
7 108 119 12
90
SORU
a=[1 2 3 4 5 6]
c= [710811912]
ise a ve crsquonin ccedilarpım matrisi
kaccediltır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
Ccedilarpma işlemi k=ack=
50 68122 167
91
SORU
a=[1 2 3 4 5 6] b=[7 8 9 10 11 12]
ise a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan x matrisini bulalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
x=abx =
7 16 2740 55 72
92
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
Aynı mertebeden iki matrisin elemanlarını teker teker boumllerek aynı
mertebeye yazılmasına iki matrisin sol boumllmesi denir ve bu islemi ile
yapılır
a b ve c aynı mertebeden kare matrisler olmak uumlzere
c=ab ise a matrisine c nin b matrisine boumlluumlmuuml denir
c boumlluumlm matrisi islemi ile yapılır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
93
HATIRLATMA
2x2 lik i2 adlı birim matrisi i2=eye(22)
3x luumlk i3 adlı birim matrisi i2=eye(33) islemi ile olusturabiiriz
Aynı mertebeden a ve b kare matrisleri iccedilin a ile b nin ccedilarpımı birim matris ise
b matrisi a matrisinin (aynı biccedilimde a matrisi de b matrisinin) ters matrisidir
Oumlrnek
3x3 luumlk bir a kare matrisinin tersini bulmak iccedilin
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
eye(33)a veya inv(a) islemini kullanırız
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
94
Bir Matrisin Determinantı
Determinant kare matrisleri bir sayıya eşleyen fonksiyondur
Determinant fonksiyonunun kare matrisi eşlediği o sayıya matrisin
determinantı denir
A matrisinin determinantı detA veya |A| biccediliminde goumlsterilir
|A| matrislerde mutlak değer anlamına gelmez |A| sıfır veya
negatif de olabilir
det(x)
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
95
KURAL
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
96
Oumlrnek
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Determinant
raquo
deter=det(x)deter =
21
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
97
Oumlrnek Inverse işlemi
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Detx=det(x)=21 ise
raquo y=inv(x)y =
821 121 -521 221
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
98
SORU
a=[2 -10 01 2 43 0 1] matrisi ile b=[1 5 41 -1 20 1 -1] matrisleri veriliyor
a)
a matrisinin elemanlarını
sırasıyla b matrisinin elemanlarına boumllerek elde
edilen matrisi b1 matrisine atayalım
b) a matrisinin ta ters matrisini bulalım
c) a ile ta matrisinin ccedilarpımının 3x3 luumlk birim matris olduğunu goumlsterelim
d) a matrisinin b matrisine boumlluumlmuumlnuuml
b2 matrisine atayalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
99
Ccediloumlzuumlm
a)
b1=ab
b) ta1=eye(33)a veya ta2=inv(a)
c) ata ==eye(33)
d) b2=ab
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
49
35 FonksyonlarMATRİSLER
o MATLABrsquoın ccedilok guumlccedilluuml
ve ccedilok kapsamlı
bir fonksiyon yapısı
vardır
oMATLABrsquoda bazı
fonksiyonlar daha oumlnceden yerleştirilmiş
bazıları
ise sonradan
dışarıdan yerleştirilmiş
M-dosyalarından oluşan MATLAB kuumltuumlphanelerinde
tanımlanmışlardır
oBunun yanında oumlzel uygulamalar iccedilin kullanıcıların kendi fonksiyonlarını
yazarak
kendi kuumltuumlphanelerini oluşturması
muumlmkuumlnduumlr
MATLABrsquoda mevcut analitik fonksiyonları
genel olarak aşağıdaki kategorilere ayırabiliriz oTemel matematiksel fonksiyonlaroOumlzel fonksiyonlaroTemel matrisler ve matris işlemlerioMatrisleri ccedilarpanlarına ayırmaoVeri analizlerioPolinomlaroDiferansiyel denklem ccediloumlzuumlmlerioLineer olmayan denklemler ve optimizasyonoSayısal integral hesaplamalarıoSinyal işleme
50
Matematiksel Fonksiyonlar
bazı
temel matematiksel fonksiyonların accedilıklamaları
35 FonksyonlarMATRİSLER
Oumlrnekgtgtexp(1)ans=27183gtgtfix(35)ans=3gtgtceil(35)ans=4gtgtround(35)ans=4
51
Matlabda oumlnceden tanımlanmıs bazı
sabitlerdirBunlar aşağıdaki tabloda goumlsterilmistir
36 Oumlzel SabitlerMatlab
52
Oumlrnekler
1)
a=1
2)
a=rsquoİstanbulrsquo
3)
a=5b=7c=a+b
4) a=5b=-3c=a+2ba=a+b
5)
num=23-5^2 x=num2 y=x+10
7 Sabitler Değiskenler ve Metin KatarlarıMatlab
53
Oumlrnek
Komut satırına
a)
sin(30)
b)
sin(30pi180) yazınız sonuccedilları
inceleyiniz
35 FonksyonlarMATRİSLER
Cevapa) -09880 sonucu goumlruumlluumlr ki bu 30deg
nin sinuumlsuumlnde n farklıdır Ccediluumlnkuuml
bu 30deg
derece değil 30 radyanın sinuumlsuumlduumlrb) 05000 sonucu goumlruumlluumlr ki bu da 30deg
nin sinuumlsuumld uumlr O halde bir
sayının trigonometrik değerini buldurmak iccedilin oumlnce pi ile ccedilarpıp 180 e boumllerek accedilıyı
radyan ccedilevirip sonra trigonometrik değerini
hesaplatabiliriz
54
oVektoumlrler tek boyutlu sayı
dizileridir
oElemanlarının sıralanma youmlnlerine goumlre suumltun veya satır vektoumlruuml
adlarını alırlar
ovektoumlrler [ ] koumlşeli parantezleri ile tanımlanır
ofarklı
yolla tanımlanabilirler
4 VektoumlrlerMatlab
A = [4 12 -8 6]A = [4 12 -8 6]
B = [1 2 4 6]
Satır Vektoumlruuml
Suumltun Vektoumlruumlgtgt b=[1 2 4 6 ]
55
4 VektoumlrlerMatlab
ovektoumlr boyutları
buumlyuumlduumlkccedile manuel olarak tanıtım işlemi oldukccedila zorlaşmaktadır
oOumlzellikle belli bir artıma sahip vektoumlrlerin oluşturulmasında () operatoumlruuml kullanılmaktadır
C = [-105150]
Son değerBaşlangıccedil değeri Artış
miktarı
Drsquo
= [30-10-30]
Suumltun Vektoumlruuml
56
Vektoumlr indisleri
4 VektoumlrlerMatlab
Bir vektoumlruumln elemanlarına atanılan değer değişkenler editoumlruuml
veya eleman adresi vasıtasıyla değiştirilebilir
OumlrnekA = [4 12 -8 6]1 A vektoumlruumlnuumln 3 elemanını
27 ile değiştiriniz
2 Benzer şekilde A vektoumlruumlnuumln 2 elemanını
siliniz 3 A(9) = 12
Ccediloumlzuumlm1 A(3) = 272 Vektoumlruumln elemanına [ ] değeri atandığında eleman silinirA(2) = [ ]3 gtgt A(9) = 12
A= [ 4 27 6]
A =[ 2 27 7 0 0 0 0 0 12]
57
raquo x=[17 8 61 83 56]
Şeklindeki bir matrisin uumlccediluumlncuuml
elemanına erişmek istenirse
raquo c=x(3)
c =
61
Eğer bir blok şeklinde veriye erişilmek istenirse
raquo x(24)
ans =
8 61 83
Her matristeki herhangi bir elman grubuna erişilmek istenirse
raquo x([3 1 4])
ans =
61 17 83
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
58
Bir diziye duumlzenli artıs (veya azalıs) kuralıyla değerler atanmak isteniyorsa
bunu
ilk_değerartısson değer veya ilk_değerartısson değer
biccediliminde yapabiliriz
Ancak artıs 1 ise belirtilmeyebilirOumlrnekortalama adlı
bir diziye 0 dan 5 e kadar 05 er artısla elde edilen sayı
dizisini atayanortalama=[0055]
Siz 1 satır 7 den den 17 ye kadar olan tam sayılar 2 satırı
99 dan 89 a kadar azalan tam sayılardan olusan 2 boyutlu m dizisine atayan islemleri yazınız
Dizilerin Değerlerinin Değistirilmesi ve Duumlzenlenmesi
4 VektoumlrlerMatlab
59
4 VektoumlrlerMatlab
60
Sayılardan olusan satır ve suumltun yapısına matris (dizi) denir
Oumlrneğin
d1=[5] 1x1 lik
d2=[ 2 -7] 1x2 lik
d3= [1 0 -3 ]
[ 5 3 1 ]
2x3 luumlk bir dizidir
Oumlrnekx=[1 7 18 5]Ya daraquo x=[ 1
7185 ]
Biccedilimlerinde girilebilir
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
61
Dizilerin Değerlerinin Değistirilmesi ve DuumlzenlenmesiBir dizinin herhangi bir elemanını belirlemek iccedilin dizi adından hemen sonra
parantez iccedilinde elemanın bulunduğu satır ve suumltun sayısı yazılmalıdır
Oumlrnek 1 d2=[2 -7]d2 dizisinin -7 elemanını
goumlruumlntuumllemek iccedilin
d2(12)
2 d3=[1 0 -35 3 1]d3 dizisinin 2 satır 1 suumltununda bulunan 5 in değerinin -75 olması
iccedilin
d3(21)=-75
Not1) Bir dizinin bir ccedilok elemanını
yeniden değer atamak gerekirse komut satırından atama yapmak uzun zaman alabilirBu durumda dizi değiskeninin uumlzerine ccedilift tıklayarak accedilılan dizi editoumlruuml
(array edit) yardımıyla değisiklikleri daha kolay yapabiliriz
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
62
8 Matrisler(Dizi)Matlab
Bir matrisi girerken o1 Elemanlar baştan ve sondan koumlşeli parantezlerle kapatılıro2 Elemanların arasına boşluk veya virguumll konuluro3 Matris satırlarını
ayırmak iccedilin de noktalı
virguumll kullanılır
okurallarına dikkate alınmalıdır
Oumlrneğin
A = [1 2 3 4 5 6]A =
1 2 34 5 6
şeklinde veriler matrisler biccediliminde tanımlanır MATLAB daha sonra kullanılmak uumlzere verileri A matrisinde saklar
63
Matris elemanları
rasgele rakamlardan oluşabileceği gibi MATLABrsquoın deyimlerinden de oluşabilir
51 Matrislerde ElemanlarMatlab
Oumlrneğin
a=[-13 sqrt(3) (1+2+3)475]
a= -13000 17321 48000
Kuumlccediluumlk matrisleri eleman olarak kullanıp daha buumlyuumlk matrisler oluşturmak muumlmkuumlnduumlr
OumlrneğinM=[1 3 5
7 8 9] matrisine
aşağıda goumlsterildiği şekilde bir satır eklemesi yapabilir
M=[M[10 13 15]]
Bu durumda M matrisiM=[1 3 5
7 8 910 13 15]
durumunu alır
64
İki nokta uumlst uumlste () kullanarak buumlyuumlk matrislerin belli bir kısmını
kullanabiliriz
ya da diğer ifade ile bu matrisi kuumlccediluumlltebiliriz
Oumlrneğin
M=M(12) bildirimi M matrisinin ilk iki satırını
alarak M matrisi
olarak saklar
Oumlrnek
M=[8 -4 7 66 -7 8 9 4 5 134] ise
M=M(12) =
8 1 Matrislerde ElemanlarMatlab
65
MATLABrsquoda kullanıcı
verileri kendi oluşturacağı
matrisler ile tanımlayabileceği gibi MATLABrsquoın kendi oumlzel matrislerinden de istifade edilebilir
52 Genel MatrislerMatlab
66
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
a) Sıfır Matrisi Olusturan Fonksiyon
Her elemanı sıfır olan mxn boyutunda bir matrise sıfır matrisi denir
Boumlyle bir dizi olusturmak iccedilin zeros fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=zeros(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
3x5 boyutunda s adlı
sıfır matrisi iccedilin
s=zeros(35)
52 Genel MatrislerMatlab
67
b) 1 lerden Olusan Matris
Her elemanı 1 olan mxn boyutunda bir matrisi olusturmak iccedilin ones
fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matria_adı=ones(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
2x3 boyutunda b adlı
tuumlm elemanları
1 olan matrisi olusturalım
b=ones(23)
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
52 Genel MatrislerMatlab
68
c) Birim Matrisi Olusturan Fonksiyon
Esas koumlsegeni 1 lerden diğer elemanları 0 lardan olusan kare matrise (satır
ve suumltun sayısı esit olan ) birim matrisi
kare olmayan matrise de diyagonal matris denir
Boumlyle matrisleri olusturmak iccedilin eye fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=eye(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
a)
3x3 luumlk birim matris
b) 4x3 lluumlk diyagonal matris olusturalım
Ccediloumlzuumlma) i=eye(33) b) d=eye(43)
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar52 Genel MatrislerMatlab
69
d) Rastgele Sayılardan Olusan Matris ve Fonksiyonu
Elemanları 0 ile 1 arasındaki rastgele sayılardan olusan bir matris iccedilin
rand fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=rand(mn) biccedilimindedir(msatırnsuumltun)
Not 1) Uumlretilen matrisin tuumlm elemanlarını k gibi bir sayı ile ccedilarparak
sayıları 0 ile k arasına ccedilekebiliriz
Not 2) Ondalıklı sayılardan olusmus bir matrisin elemanlarını
yuvarlayıp tam sayı yapmak iccedilin round fonksiyonunu kullanırız
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar52 Genel MatrislerMatlab
70
Oumlrnek
a) 0 ile 1 arasında rastgele sayılardan olusan 10 elemanlı
a adında bir satır
matrisi olusturalım
b) Elemanları
10 ile 50 arasında sayılardan olusan 5x3 tipinde b matrisini
olusturalım
c) Elemanları
50 ile 300 arasındaki tamsayılardan olusan 3x4 tipinde c matrisini
olusturalım
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
d) Rastgele Sayılardan Olusan Matris ve Fonksiyonu
52 Genel MatrislerMatlab
71
Ccediloumlzuumlm
a)
a=rand(110)
b)
b=10+rand(53)40
c) c=round(50+rand(34)250)
52 Genel MatrislerMatlab
72
e) Rastgele Sayılardan Olusan Normal Dağılımlı
Matris veFonksiyonu
Elemanları rasstgele sayılardan olusan bir normal dağılımlı bir matris iccedilin
randn fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=randn(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek Rastgele sayılardan olusan normal dağılımlı 2x3 luumlk bir n matrisini
olusturalım
Ccediloumlzuumlm n=randn(23)
52 Genel MatrislerMatlab
73
f) Lineer Aralıklı
(Aritmetik) Dizi ve Fonksiyonu
Baslangıccedil ve biis değerleri ve kaccedil elemandan olusacağı belirlenen diziyi
olusturmak iccedilin linspace fonksiyonu kullanılır
Kullanımı
dizi_adı=linspace(ilk_değerson_değereleman_sayısı)
biccedilimindedir
52 Genel MatrislerMatlab
74
Oumlrnek 10 ile 30 arasına 9 tane daha sayı
koyarak aadında bir aritmetik dizi olusturalım
f) Lineer Aralıklı
(Aritmetik) Dizi ve Fonksiyonu
52 Genel MatrislerMatlab
Cevapa=linspace(103011)
75
Elimizdeki grubun her elemanı iccedilin bir matematik işlemi yapıp bunu yeni bir
diziye atarken herhangi bir sorun yoktur
Fakat iki farklı grupla işlemler yaparken dikkat etmemiz gereken genel
kurallar vardır
Oumlrneğin toplama ve ccedilıkarma yaparken iki dizinin de buumlyuumlkluumlğuumlnuumln eşit
olması gerekmektedir
Ayrıca iki farklı dizinin elemanları arasında birebir işlem yapmak iccedilin
matematik operatoumlruumlnuumln başına nokta() koymak gerekir
Bu durumda her bir elemanı diğer dizinin o sıradaki elmanı ile işleme
sokacaktır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
76
Birden fazla satır ve suumltuna sahip vektoumlrlere matris denir Noktalı
virguumll ()
işareti ile kolonları
ve virguumlle işareti ya da boşluk
bırakarak da bir sıradaki elemanları
ayırabilirizOumlrnekraquo x=[ 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14]x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14Yukarıdaki 3x4 boyutunda bir matristir MATLAB programına aşağıdaki
gibi de sunulabilirraquo x=[ 3 4 5 6
7 8 9 1011 12 13 14]
x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
77
Matristeki herhangi bir elemana direk ulaşmak iccedilin aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(23)=9
Eğer isteğimiz eriştiğimiz bir elemanı
değiştirmek veya yeni bir satır eklemek ise aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(41)=1x =
3 4 5 67 8 9 1011 12 13 141 0 0 0
Bu durumda doumlrduumlncuuml
satır ilk elemanını
biz 1 değerini atadık ve diğer elemanları
kendiliğinden ldquo0rdquo
olarak atadı
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
78
İki nokta uumlst uumlste () kullanılarak belirli aralıkta değişen matrisler yaratılabilir
raquo x=[127 3-10 -12]x =
1 3 5 73 2 1 0
-1 0 1 2Bir matrisin herhangi bir boumlluumlmuumlnuuml
seccedilmek iccedilin ise aşağıdaki goumlsterim
kullanılırraquo z=x(23 12)z =
3 2-1 0
Bu durumda z matris x matrisinin 2 ve 3 norsquo
lu satırlarından 1 ve 2 norsquo
lu suumltunlarını
almış
oluyor
Herhangi bir satır veya suumltunu tamamen silmek istersek o satır ve suumltunu seccedilip ldquo[]rdquo
ifadesine eşitleriz
raquo z(2)=[ ]z =
3 -1
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
79
Matlab size ve length komutları
yardımı
ile size matrisinizin boyutlarını
soumlyler
raquo a=[ 2 3 4 5 67 8 9 10 11]
raquo s=size(a)s =
2 5
raquo b=[ 17 11 0 30 40 50]
raquo k=length(b)k =
6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
80
a) Toplama-Ccedilıkarma Bir Sayı
ile Ccedilarpma İşlemi
İki matrisi toplamak (veya ccedilıkarmak) demek matrislerin aynı
mertebedeki elemanları teker teker toplayıp (veya ccedilıkarıp ) aynı
mertebeye yazmak demektir
Bu durumda iki matrisin de aynı mertebeden olması gereği accedilıktır
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile toplamak (veya ccedilıkarmak) demek
matrisin elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla toplamak (veya
ccedilıkarmak )demektir
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile ccedilarpmak demek ise matrisin
elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla ccedilarpmak demektir
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
81
82
Oumlrnek
raquo a=[1 2 3 4 5 6]raquo b=[7 8 9 10 11 12]
a ve b toplamıraquo sum=a+bsum =
8 10 1214 16 18
arsquo
yı
brsquo
den ccedilıkarmak
raquo diff=a-bdiff =
-6 -6 -6-6 -6 -6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
83
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] ve b=[3 -3 -41 1 5] matrisleri
veriliyor
a)
c=a+b toplam matrisini
b)
d=a-b matrisini
c)
amatrisinin her elemanınının 5 eksiğine karsılık gelen e
matrisini
d) f=2a-3b matrisini bulduran islemleri yazalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
a) c=a+b b) d=a-b c) e=a-5 d) f=a+a-b-b-b veya
f=2a-3b
84
İki matrisin ccedilarpım islemi iki biccedilimde anlasılır
1)
Aynı
mertebeden iki matrisin elemanlarını
teker teker ccedilarpıp aynı
mertebeye
yazmak demektir Bunu
islemi ile gerccedileklestiririz
2) Matematiksel anlamda iki matrisi ccedilarpmak istediğimizde birinci matris mxn
tuumlruumlnde ve ikinci matris mutlaka nxp tuumlruumlnde olmalıdır yani birinci matrisin
suumltun sayısı
ikinci matrisin satır sayısına eşit olmalıdır
Bu durumda birinci matrisin i suumltun elemanları
ile ikinci matrisin j satırındaki
elemanlar karılıklı
olarak ccedilarpılır ve sonuccedillar toplanır ve bu toplam ccedilarpım
matrisinin (ij) inci mertebeye yazılır
Matrisler arası
ccedilarpma isleminin semboluuml
de dır
b) İki Matrisin Ccedilarpımı Bir Matrisin Kuvvetleri veCcedilarpma İslemi
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
85
3) Bir a matrisinin her bir elemanının n Kuvvetlerinden olusan matrisi
bulmak iccedilin a^n islemi kullanılır
4) Satır ve suumltun sayıları
esit bir kare matrisi ardısık olarak n defa
kendisiyle ccedilarparak a matrisinin n kuvvetini bulabilirizOumlrneğin a matrisinin
karesi iccedilin aa veya a^2 kuumlbuumlnuuml
buldurmak iccedilin aaa veya a^3
doumlrduumlncuuml
kuvvetini buldurmak iccedilin aaaa veya a^4
Not) Bir a matrisinin eleman -elemana ccedilarpma islemine benzer mantıkla bir matrisin tuumlm elemanlarının kareleri kuumlbleri sinuumlsleri kosinuumlsleri logaritmalarından olusan matris bulunmak istenirse bunu sırayla aa (veya a^2) aaa (veya a^3) sin(a) cos(a) etabanında logaritması
iccedilin log(a) 10 tabanında logaritmaları
iccedilin log10(a) Biccediliminde gerccedileklestirebiliriz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
86
a) a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c1 matrisi varsa bulalım
b) a matrisi ile b matrisinin ccedilarpım matrisi olan c2 varsa bulalım
c) a matrisinin elemanları
ile c matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c3 matrisi varsa bulalım
d) a matrisi ile c matrisinin ccedilarpım matrisi olan c4 varsa bulalım
e) a matrisinin elemanlarının karelerinden olusan matris ile b matrisinin
kosinuumlslerinden olusan matrisler toplamını
bulalım
f) x=[1 00 3] matrisinin i) Karesini ii) Kuumlbuumlnuuml
iii) 10
kuvvetini bulalım
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] b=[3 -3 -41 1 5] ve c=[1 0-1 23 3] matrisleri veriliyor
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
87
Ccediloumlzuumlma) iki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirBu durumda c1 matrisi tanımlıdır ve bunu c1=ab islemi ile gerccedileklestirebilirizb) iki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdırHalbuki a matrisi 2x3 b matrisi de 2x3 olduğundan bu iki matris ccedilarpılamazc) İki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirHalbuki bu matrisler aynı mertebeden olmadığından bu iki matris eleman-elemana ccedilarpma islemi
gerccedileklemezd) İki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdıra matrisi 2x3 luumlk c matrisi de 3x2 lik olduğundan bu iki matris ccedilarpılabilir ve c4 ccedilarpım matrisi 2x2 lik bir matris olurc4 ccedilarpım matrisini c4=ac islemi ile buluruze) a^2+cos(b)f) i) x^2 ii) x^3 iii) x^10
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
88
c) Bir Matrisin Devriğini (Transpozesi) Bulma İslemi
Bir matrisin satırlarını suumltun suumltunlarını satır olarak yazılmasıyla
bulunan matrise bu matrisin devriği (transpozesi) denir
Bir matrisin devriğini islemi ile bulabiliriz
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] nın devriğini buldurup d matrisine atayalım
Ccediloumlzuumlm d=a
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
89
Oumlrnek
b=[7 8 9 10 11 12] matrisinin transpozesini bulabilirmisiniz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
c=bc =
7 108 119 12
90
SORU
a=[1 2 3 4 5 6]
c= [710811912]
ise a ve crsquonin ccedilarpım matrisi
kaccediltır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
Ccedilarpma işlemi k=ack=
50 68122 167
91
SORU
a=[1 2 3 4 5 6] b=[7 8 9 10 11 12]
ise a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan x matrisini bulalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
x=abx =
7 16 2740 55 72
92
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
Aynı mertebeden iki matrisin elemanlarını teker teker boumllerek aynı
mertebeye yazılmasına iki matrisin sol boumllmesi denir ve bu islemi ile
yapılır
a b ve c aynı mertebeden kare matrisler olmak uumlzere
c=ab ise a matrisine c nin b matrisine boumlluumlmuuml denir
c boumlluumlm matrisi islemi ile yapılır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
93
HATIRLATMA
2x2 lik i2 adlı birim matrisi i2=eye(22)
3x luumlk i3 adlı birim matrisi i2=eye(33) islemi ile olusturabiiriz
Aynı mertebeden a ve b kare matrisleri iccedilin a ile b nin ccedilarpımı birim matris ise
b matrisi a matrisinin (aynı biccedilimde a matrisi de b matrisinin) ters matrisidir
Oumlrnek
3x3 luumlk bir a kare matrisinin tersini bulmak iccedilin
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
eye(33)a veya inv(a) islemini kullanırız
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
94
Bir Matrisin Determinantı
Determinant kare matrisleri bir sayıya eşleyen fonksiyondur
Determinant fonksiyonunun kare matrisi eşlediği o sayıya matrisin
determinantı denir
A matrisinin determinantı detA veya |A| biccediliminde goumlsterilir
|A| matrislerde mutlak değer anlamına gelmez |A| sıfır veya
negatif de olabilir
det(x)
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
95
KURAL
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
96
Oumlrnek
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Determinant
raquo
deter=det(x)deter =
21
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
97
Oumlrnek Inverse işlemi
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Detx=det(x)=21 ise
raquo y=inv(x)y =
821 121 -521 221
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
98
SORU
a=[2 -10 01 2 43 0 1] matrisi ile b=[1 5 41 -1 20 1 -1] matrisleri veriliyor
a)
a matrisinin elemanlarını
sırasıyla b matrisinin elemanlarına boumllerek elde
edilen matrisi b1 matrisine atayalım
b) a matrisinin ta ters matrisini bulalım
c) a ile ta matrisinin ccedilarpımının 3x3 luumlk birim matris olduğunu goumlsterelim
d) a matrisinin b matrisine boumlluumlmuumlnuuml
b2 matrisine atayalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
99
Ccediloumlzuumlm
a)
b1=ab
b) ta1=eye(33)a veya ta2=inv(a)
c) ata ==eye(33)
d) b2=ab
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
50
Matematiksel Fonksiyonlar
bazı
temel matematiksel fonksiyonların accedilıklamaları
35 FonksyonlarMATRİSLER
Oumlrnekgtgtexp(1)ans=27183gtgtfix(35)ans=3gtgtceil(35)ans=4gtgtround(35)ans=4
51
Matlabda oumlnceden tanımlanmıs bazı
sabitlerdirBunlar aşağıdaki tabloda goumlsterilmistir
36 Oumlzel SabitlerMatlab
52
Oumlrnekler
1)
a=1
2)
a=rsquoİstanbulrsquo
3)
a=5b=7c=a+b
4) a=5b=-3c=a+2ba=a+b
5)
num=23-5^2 x=num2 y=x+10
7 Sabitler Değiskenler ve Metin KatarlarıMatlab
53
Oumlrnek
Komut satırına
a)
sin(30)
b)
sin(30pi180) yazınız sonuccedilları
inceleyiniz
35 FonksyonlarMATRİSLER
Cevapa) -09880 sonucu goumlruumlluumlr ki bu 30deg
nin sinuumlsuumlnde n farklıdır Ccediluumlnkuuml
bu 30deg
derece değil 30 radyanın sinuumlsuumlduumlrb) 05000 sonucu goumlruumlluumlr ki bu da 30deg
nin sinuumlsuumld uumlr O halde bir
sayının trigonometrik değerini buldurmak iccedilin oumlnce pi ile ccedilarpıp 180 e boumllerek accedilıyı
radyan ccedilevirip sonra trigonometrik değerini
hesaplatabiliriz
54
oVektoumlrler tek boyutlu sayı
dizileridir
oElemanlarının sıralanma youmlnlerine goumlre suumltun veya satır vektoumlruuml
adlarını alırlar
ovektoumlrler [ ] koumlşeli parantezleri ile tanımlanır
ofarklı
yolla tanımlanabilirler
4 VektoumlrlerMatlab
A = [4 12 -8 6]A = [4 12 -8 6]
B = [1 2 4 6]
Satır Vektoumlruuml
Suumltun Vektoumlruumlgtgt b=[1 2 4 6 ]
55
4 VektoumlrlerMatlab
ovektoumlr boyutları
buumlyuumlduumlkccedile manuel olarak tanıtım işlemi oldukccedila zorlaşmaktadır
oOumlzellikle belli bir artıma sahip vektoumlrlerin oluşturulmasında () operatoumlruuml kullanılmaktadır
C = [-105150]
Son değerBaşlangıccedil değeri Artış
miktarı
Drsquo
= [30-10-30]
Suumltun Vektoumlruuml
56
Vektoumlr indisleri
4 VektoumlrlerMatlab
Bir vektoumlruumln elemanlarına atanılan değer değişkenler editoumlruuml
veya eleman adresi vasıtasıyla değiştirilebilir
OumlrnekA = [4 12 -8 6]1 A vektoumlruumlnuumln 3 elemanını
27 ile değiştiriniz
2 Benzer şekilde A vektoumlruumlnuumln 2 elemanını
siliniz 3 A(9) = 12
Ccediloumlzuumlm1 A(3) = 272 Vektoumlruumln elemanına [ ] değeri atandığında eleman silinirA(2) = [ ]3 gtgt A(9) = 12
A= [ 4 27 6]
A =[ 2 27 7 0 0 0 0 0 12]
57
raquo x=[17 8 61 83 56]
Şeklindeki bir matrisin uumlccediluumlncuuml
elemanına erişmek istenirse
raquo c=x(3)
c =
61
Eğer bir blok şeklinde veriye erişilmek istenirse
raquo x(24)
ans =
8 61 83
Her matristeki herhangi bir elman grubuna erişilmek istenirse
raquo x([3 1 4])
ans =
61 17 83
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
58
Bir diziye duumlzenli artıs (veya azalıs) kuralıyla değerler atanmak isteniyorsa
bunu
ilk_değerartısson değer veya ilk_değerartısson değer
biccediliminde yapabiliriz
Ancak artıs 1 ise belirtilmeyebilirOumlrnekortalama adlı
bir diziye 0 dan 5 e kadar 05 er artısla elde edilen sayı
dizisini atayanortalama=[0055]
Siz 1 satır 7 den den 17 ye kadar olan tam sayılar 2 satırı
99 dan 89 a kadar azalan tam sayılardan olusan 2 boyutlu m dizisine atayan islemleri yazınız
Dizilerin Değerlerinin Değistirilmesi ve Duumlzenlenmesi
4 VektoumlrlerMatlab
59
4 VektoumlrlerMatlab
60
Sayılardan olusan satır ve suumltun yapısına matris (dizi) denir
Oumlrneğin
d1=[5] 1x1 lik
d2=[ 2 -7] 1x2 lik
d3= [1 0 -3 ]
[ 5 3 1 ]
2x3 luumlk bir dizidir
Oumlrnekx=[1 7 18 5]Ya daraquo x=[ 1
7185 ]
Biccedilimlerinde girilebilir
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
61
Dizilerin Değerlerinin Değistirilmesi ve DuumlzenlenmesiBir dizinin herhangi bir elemanını belirlemek iccedilin dizi adından hemen sonra
parantez iccedilinde elemanın bulunduğu satır ve suumltun sayısı yazılmalıdır
Oumlrnek 1 d2=[2 -7]d2 dizisinin -7 elemanını
goumlruumlntuumllemek iccedilin
d2(12)
2 d3=[1 0 -35 3 1]d3 dizisinin 2 satır 1 suumltununda bulunan 5 in değerinin -75 olması
iccedilin
d3(21)=-75
Not1) Bir dizinin bir ccedilok elemanını
yeniden değer atamak gerekirse komut satırından atama yapmak uzun zaman alabilirBu durumda dizi değiskeninin uumlzerine ccedilift tıklayarak accedilılan dizi editoumlruuml
(array edit) yardımıyla değisiklikleri daha kolay yapabiliriz
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
62
8 Matrisler(Dizi)Matlab
Bir matrisi girerken o1 Elemanlar baştan ve sondan koumlşeli parantezlerle kapatılıro2 Elemanların arasına boşluk veya virguumll konuluro3 Matris satırlarını
ayırmak iccedilin de noktalı
virguumll kullanılır
okurallarına dikkate alınmalıdır
Oumlrneğin
A = [1 2 3 4 5 6]A =
1 2 34 5 6
şeklinde veriler matrisler biccediliminde tanımlanır MATLAB daha sonra kullanılmak uumlzere verileri A matrisinde saklar
63
Matris elemanları
rasgele rakamlardan oluşabileceği gibi MATLABrsquoın deyimlerinden de oluşabilir
51 Matrislerde ElemanlarMatlab
Oumlrneğin
a=[-13 sqrt(3) (1+2+3)475]
a= -13000 17321 48000
Kuumlccediluumlk matrisleri eleman olarak kullanıp daha buumlyuumlk matrisler oluşturmak muumlmkuumlnduumlr
OumlrneğinM=[1 3 5
7 8 9] matrisine
aşağıda goumlsterildiği şekilde bir satır eklemesi yapabilir
M=[M[10 13 15]]
Bu durumda M matrisiM=[1 3 5
7 8 910 13 15]
durumunu alır
64
İki nokta uumlst uumlste () kullanarak buumlyuumlk matrislerin belli bir kısmını
kullanabiliriz
ya da diğer ifade ile bu matrisi kuumlccediluumlltebiliriz
Oumlrneğin
M=M(12) bildirimi M matrisinin ilk iki satırını
alarak M matrisi
olarak saklar
Oumlrnek
M=[8 -4 7 66 -7 8 9 4 5 134] ise
M=M(12) =
8 1 Matrislerde ElemanlarMatlab
65
MATLABrsquoda kullanıcı
verileri kendi oluşturacağı
matrisler ile tanımlayabileceği gibi MATLABrsquoın kendi oumlzel matrislerinden de istifade edilebilir
52 Genel MatrislerMatlab
66
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
a) Sıfır Matrisi Olusturan Fonksiyon
Her elemanı sıfır olan mxn boyutunda bir matrise sıfır matrisi denir
Boumlyle bir dizi olusturmak iccedilin zeros fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=zeros(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
3x5 boyutunda s adlı
sıfır matrisi iccedilin
s=zeros(35)
52 Genel MatrislerMatlab
67
b) 1 lerden Olusan Matris
Her elemanı 1 olan mxn boyutunda bir matrisi olusturmak iccedilin ones
fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matria_adı=ones(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
2x3 boyutunda b adlı
tuumlm elemanları
1 olan matrisi olusturalım
b=ones(23)
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
52 Genel MatrislerMatlab
68
c) Birim Matrisi Olusturan Fonksiyon
Esas koumlsegeni 1 lerden diğer elemanları 0 lardan olusan kare matrise (satır
ve suumltun sayısı esit olan ) birim matrisi
kare olmayan matrise de diyagonal matris denir
Boumlyle matrisleri olusturmak iccedilin eye fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=eye(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
a)
3x3 luumlk birim matris
b) 4x3 lluumlk diyagonal matris olusturalım
Ccediloumlzuumlma) i=eye(33) b) d=eye(43)
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar52 Genel MatrislerMatlab
69
d) Rastgele Sayılardan Olusan Matris ve Fonksiyonu
Elemanları 0 ile 1 arasındaki rastgele sayılardan olusan bir matris iccedilin
rand fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=rand(mn) biccedilimindedir(msatırnsuumltun)
Not 1) Uumlretilen matrisin tuumlm elemanlarını k gibi bir sayı ile ccedilarparak
sayıları 0 ile k arasına ccedilekebiliriz
Not 2) Ondalıklı sayılardan olusmus bir matrisin elemanlarını
yuvarlayıp tam sayı yapmak iccedilin round fonksiyonunu kullanırız
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar52 Genel MatrislerMatlab
70
Oumlrnek
a) 0 ile 1 arasında rastgele sayılardan olusan 10 elemanlı
a adında bir satır
matrisi olusturalım
b) Elemanları
10 ile 50 arasında sayılardan olusan 5x3 tipinde b matrisini
olusturalım
c) Elemanları
50 ile 300 arasındaki tamsayılardan olusan 3x4 tipinde c matrisini
olusturalım
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
d) Rastgele Sayılardan Olusan Matris ve Fonksiyonu
52 Genel MatrislerMatlab
71
Ccediloumlzuumlm
a)
a=rand(110)
b)
b=10+rand(53)40
c) c=round(50+rand(34)250)
52 Genel MatrislerMatlab
72
e) Rastgele Sayılardan Olusan Normal Dağılımlı
Matris veFonksiyonu
Elemanları rasstgele sayılardan olusan bir normal dağılımlı bir matris iccedilin
randn fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=randn(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek Rastgele sayılardan olusan normal dağılımlı 2x3 luumlk bir n matrisini
olusturalım
Ccediloumlzuumlm n=randn(23)
52 Genel MatrislerMatlab
73
f) Lineer Aralıklı
(Aritmetik) Dizi ve Fonksiyonu
Baslangıccedil ve biis değerleri ve kaccedil elemandan olusacağı belirlenen diziyi
olusturmak iccedilin linspace fonksiyonu kullanılır
Kullanımı
dizi_adı=linspace(ilk_değerson_değereleman_sayısı)
biccedilimindedir
52 Genel MatrislerMatlab
74
Oumlrnek 10 ile 30 arasına 9 tane daha sayı
koyarak aadında bir aritmetik dizi olusturalım
f) Lineer Aralıklı
(Aritmetik) Dizi ve Fonksiyonu
52 Genel MatrislerMatlab
Cevapa=linspace(103011)
75
Elimizdeki grubun her elemanı iccedilin bir matematik işlemi yapıp bunu yeni bir
diziye atarken herhangi bir sorun yoktur
Fakat iki farklı grupla işlemler yaparken dikkat etmemiz gereken genel
kurallar vardır
Oumlrneğin toplama ve ccedilıkarma yaparken iki dizinin de buumlyuumlkluumlğuumlnuumln eşit
olması gerekmektedir
Ayrıca iki farklı dizinin elemanları arasında birebir işlem yapmak iccedilin
matematik operatoumlruumlnuumln başına nokta() koymak gerekir
Bu durumda her bir elemanı diğer dizinin o sıradaki elmanı ile işleme
sokacaktır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
76
Birden fazla satır ve suumltuna sahip vektoumlrlere matris denir Noktalı
virguumll ()
işareti ile kolonları
ve virguumlle işareti ya da boşluk
bırakarak da bir sıradaki elemanları
ayırabilirizOumlrnekraquo x=[ 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14]x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14Yukarıdaki 3x4 boyutunda bir matristir MATLAB programına aşağıdaki
gibi de sunulabilirraquo x=[ 3 4 5 6
7 8 9 1011 12 13 14]
x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
77
Matristeki herhangi bir elemana direk ulaşmak iccedilin aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(23)=9
Eğer isteğimiz eriştiğimiz bir elemanı
değiştirmek veya yeni bir satır eklemek ise aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(41)=1x =
3 4 5 67 8 9 1011 12 13 141 0 0 0
Bu durumda doumlrduumlncuuml
satır ilk elemanını
biz 1 değerini atadık ve diğer elemanları
kendiliğinden ldquo0rdquo
olarak atadı
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
78
İki nokta uumlst uumlste () kullanılarak belirli aralıkta değişen matrisler yaratılabilir
raquo x=[127 3-10 -12]x =
1 3 5 73 2 1 0
-1 0 1 2Bir matrisin herhangi bir boumlluumlmuumlnuuml
seccedilmek iccedilin ise aşağıdaki goumlsterim
kullanılırraquo z=x(23 12)z =
3 2-1 0
Bu durumda z matris x matrisinin 2 ve 3 norsquo
lu satırlarından 1 ve 2 norsquo
lu suumltunlarını
almış
oluyor
Herhangi bir satır veya suumltunu tamamen silmek istersek o satır ve suumltunu seccedilip ldquo[]rdquo
ifadesine eşitleriz
raquo z(2)=[ ]z =
3 -1
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
79
Matlab size ve length komutları
yardımı
ile size matrisinizin boyutlarını
soumlyler
raquo a=[ 2 3 4 5 67 8 9 10 11]
raquo s=size(a)s =
2 5
raquo b=[ 17 11 0 30 40 50]
raquo k=length(b)k =
6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
80
a) Toplama-Ccedilıkarma Bir Sayı
ile Ccedilarpma İşlemi
İki matrisi toplamak (veya ccedilıkarmak) demek matrislerin aynı
mertebedeki elemanları teker teker toplayıp (veya ccedilıkarıp ) aynı
mertebeye yazmak demektir
Bu durumda iki matrisin de aynı mertebeden olması gereği accedilıktır
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile toplamak (veya ccedilıkarmak) demek
matrisin elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla toplamak (veya
ccedilıkarmak )demektir
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile ccedilarpmak demek ise matrisin
elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla ccedilarpmak demektir
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
81
82
Oumlrnek
raquo a=[1 2 3 4 5 6]raquo b=[7 8 9 10 11 12]
a ve b toplamıraquo sum=a+bsum =
8 10 1214 16 18
arsquo
yı
brsquo
den ccedilıkarmak
raquo diff=a-bdiff =
-6 -6 -6-6 -6 -6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
83
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] ve b=[3 -3 -41 1 5] matrisleri
veriliyor
a)
c=a+b toplam matrisini
b)
d=a-b matrisini
c)
amatrisinin her elemanınının 5 eksiğine karsılık gelen e
matrisini
d) f=2a-3b matrisini bulduran islemleri yazalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
a) c=a+b b) d=a-b c) e=a-5 d) f=a+a-b-b-b veya
f=2a-3b
84
İki matrisin ccedilarpım islemi iki biccedilimde anlasılır
1)
Aynı
mertebeden iki matrisin elemanlarını
teker teker ccedilarpıp aynı
mertebeye
yazmak demektir Bunu
islemi ile gerccedileklestiririz
2) Matematiksel anlamda iki matrisi ccedilarpmak istediğimizde birinci matris mxn
tuumlruumlnde ve ikinci matris mutlaka nxp tuumlruumlnde olmalıdır yani birinci matrisin
suumltun sayısı
ikinci matrisin satır sayısına eşit olmalıdır
Bu durumda birinci matrisin i suumltun elemanları
ile ikinci matrisin j satırındaki
elemanlar karılıklı
olarak ccedilarpılır ve sonuccedillar toplanır ve bu toplam ccedilarpım
matrisinin (ij) inci mertebeye yazılır
Matrisler arası
ccedilarpma isleminin semboluuml
de dır
b) İki Matrisin Ccedilarpımı Bir Matrisin Kuvvetleri veCcedilarpma İslemi
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
85
3) Bir a matrisinin her bir elemanının n Kuvvetlerinden olusan matrisi
bulmak iccedilin a^n islemi kullanılır
4) Satır ve suumltun sayıları
esit bir kare matrisi ardısık olarak n defa
kendisiyle ccedilarparak a matrisinin n kuvvetini bulabilirizOumlrneğin a matrisinin
karesi iccedilin aa veya a^2 kuumlbuumlnuuml
buldurmak iccedilin aaa veya a^3
doumlrduumlncuuml
kuvvetini buldurmak iccedilin aaaa veya a^4
Not) Bir a matrisinin eleman -elemana ccedilarpma islemine benzer mantıkla bir matrisin tuumlm elemanlarının kareleri kuumlbleri sinuumlsleri kosinuumlsleri logaritmalarından olusan matris bulunmak istenirse bunu sırayla aa (veya a^2) aaa (veya a^3) sin(a) cos(a) etabanında logaritması
iccedilin log(a) 10 tabanında logaritmaları
iccedilin log10(a) Biccediliminde gerccedileklestirebiliriz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
86
a) a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c1 matrisi varsa bulalım
b) a matrisi ile b matrisinin ccedilarpım matrisi olan c2 varsa bulalım
c) a matrisinin elemanları
ile c matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c3 matrisi varsa bulalım
d) a matrisi ile c matrisinin ccedilarpım matrisi olan c4 varsa bulalım
e) a matrisinin elemanlarının karelerinden olusan matris ile b matrisinin
kosinuumlslerinden olusan matrisler toplamını
bulalım
f) x=[1 00 3] matrisinin i) Karesini ii) Kuumlbuumlnuuml
iii) 10
kuvvetini bulalım
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] b=[3 -3 -41 1 5] ve c=[1 0-1 23 3] matrisleri veriliyor
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
87
Ccediloumlzuumlma) iki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirBu durumda c1 matrisi tanımlıdır ve bunu c1=ab islemi ile gerccedileklestirebilirizb) iki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdırHalbuki a matrisi 2x3 b matrisi de 2x3 olduğundan bu iki matris ccedilarpılamazc) İki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirHalbuki bu matrisler aynı mertebeden olmadığından bu iki matris eleman-elemana ccedilarpma islemi
gerccedileklemezd) İki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdıra matrisi 2x3 luumlk c matrisi de 3x2 lik olduğundan bu iki matris ccedilarpılabilir ve c4 ccedilarpım matrisi 2x2 lik bir matris olurc4 ccedilarpım matrisini c4=ac islemi ile buluruze) a^2+cos(b)f) i) x^2 ii) x^3 iii) x^10
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
88
c) Bir Matrisin Devriğini (Transpozesi) Bulma İslemi
Bir matrisin satırlarını suumltun suumltunlarını satır olarak yazılmasıyla
bulunan matrise bu matrisin devriği (transpozesi) denir
Bir matrisin devriğini islemi ile bulabiliriz
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] nın devriğini buldurup d matrisine atayalım
Ccediloumlzuumlm d=a
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
89
Oumlrnek
b=[7 8 9 10 11 12] matrisinin transpozesini bulabilirmisiniz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
c=bc =
7 108 119 12
90
SORU
a=[1 2 3 4 5 6]
c= [710811912]
ise a ve crsquonin ccedilarpım matrisi
kaccediltır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
Ccedilarpma işlemi k=ack=
50 68122 167
91
SORU
a=[1 2 3 4 5 6] b=[7 8 9 10 11 12]
ise a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan x matrisini bulalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
x=abx =
7 16 2740 55 72
92
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
Aynı mertebeden iki matrisin elemanlarını teker teker boumllerek aynı
mertebeye yazılmasına iki matrisin sol boumllmesi denir ve bu islemi ile
yapılır
a b ve c aynı mertebeden kare matrisler olmak uumlzere
c=ab ise a matrisine c nin b matrisine boumlluumlmuuml denir
c boumlluumlm matrisi islemi ile yapılır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
93
HATIRLATMA
2x2 lik i2 adlı birim matrisi i2=eye(22)
3x luumlk i3 adlı birim matrisi i2=eye(33) islemi ile olusturabiiriz
Aynı mertebeden a ve b kare matrisleri iccedilin a ile b nin ccedilarpımı birim matris ise
b matrisi a matrisinin (aynı biccedilimde a matrisi de b matrisinin) ters matrisidir
Oumlrnek
3x3 luumlk bir a kare matrisinin tersini bulmak iccedilin
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
eye(33)a veya inv(a) islemini kullanırız
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
94
Bir Matrisin Determinantı
Determinant kare matrisleri bir sayıya eşleyen fonksiyondur
Determinant fonksiyonunun kare matrisi eşlediği o sayıya matrisin
determinantı denir
A matrisinin determinantı detA veya |A| biccediliminde goumlsterilir
|A| matrislerde mutlak değer anlamına gelmez |A| sıfır veya
negatif de olabilir
det(x)
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
95
KURAL
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
96
Oumlrnek
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Determinant
raquo
deter=det(x)deter =
21
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
97
Oumlrnek Inverse işlemi
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Detx=det(x)=21 ise
raquo y=inv(x)y =
821 121 -521 221
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
98
SORU
a=[2 -10 01 2 43 0 1] matrisi ile b=[1 5 41 -1 20 1 -1] matrisleri veriliyor
a)
a matrisinin elemanlarını
sırasıyla b matrisinin elemanlarına boumllerek elde
edilen matrisi b1 matrisine atayalım
b) a matrisinin ta ters matrisini bulalım
c) a ile ta matrisinin ccedilarpımının 3x3 luumlk birim matris olduğunu goumlsterelim
d) a matrisinin b matrisine boumlluumlmuumlnuuml
b2 matrisine atayalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
99
Ccediloumlzuumlm
a)
b1=ab
b) ta1=eye(33)a veya ta2=inv(a)
c) ata ==eye(33)
d) b2=ab
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
51
Matlabda oumlnceden tanımlanmıs bazı
sabitlerdirBunlar aşağıdaki tabloda goumlsterilmistir
36 Oumlzel SabitlerMatlab
52
Oumlrnekler
1)
a=1
2)
a=rsquoİstanbulrsquo
3)
a=5b=7c=a+b
4) a=5b=-3c=a+2ba=a+b
5)
num=23-5^2 x=num2 y=x+10
7 Sabitler Değiskenler ve Metin KatarlarıMatlab
53
Oumlrnek
Komut satırına
a)
sin(30)
b)
sin(30pi180) yazınız sonuccedilları
inceleyiniz
35 FonksyonlarMATRİSLER
Cevapa) -09880 sonucu goumlruumlluumlr ki bu 30deg
nin sinuumlsuumlnde n farklıdır Ccediluumlnkuuml
bu 30deg
derece değil 30 radyanın sinuumlsuumlduumlrb) 05000 sonucu goumlruumlluumlr ki bu da 30deg
nin sinuumlsuumld uumlr O halde bir
sayının trigonometrik değerini buldurmak iccedilin oumlnce pi ile ccedilarpıp 180 e boumllerek accedilıyı
radyan ccedilevirip sonra trigonometrik değerini
hesaplatabiliriz
54
oVektoumlrler tek boyutlu sayı
dizileridir
oElemanlarının sıralanma youmlnlerine goumlre suumltun veya satır vektoumlruuml
adlarını alırlar
ovektoumlrler [ ] koumlşeli parantezleri ile tanımlanır
ofarklı
yolla tanımlanabilirler
4 VektoumlrlerMatlab
A = [4 12 -8 6]A = [4 12 -8 6]
B = [1 2 4 6]
Satır Vektoumlruuml
Suumltun Vektoumlruumlgtgt b=[1 2 4 6 ]
55
4 VektoumlrlerMatlab
ovektoumlr boyutları
buumlyuumlduumlkccedile manuel olarak tanıtım işlemi oldukccedila zorlaşmaktadır
oOumlzellikle belli bir artıma sahip vektoumlrlerin oluşturulmasında () operatoumlruuml kullanılmaktadır
C = [-105150]
Son değerBaşlangıccedil değeri Artış
miktarı
Drsquo
= [30-10-30]
Suumltun Vektoumlruuml
56
Vektoumlr indisleri
4 VektoumlrlerMatlab
Bir vektoumlruumln elemanlarına atanılan değer değişkenler editoumlruuml
veya eleman adresi vasıtasıyla değiştirilebilir
OumlrnekA = [4 12 -8 6]1 A vektoumlruumlnuumln 3 elemanını
27 ile değiştiriniz
2 Benzer şekilde A vektoumlruumlnuumln 2 elemanını
siliniz 3 A(9) = 12
Ccediloumlzuumlm1 A(3) = 272 Vektoumlruumln elemanına [ ] değeri atandığında eleman silinirA(2) = [ ]3 gtgt A(9) = 12
A= [ 4 27 6]
A =[ 2 27 7 0 0 0 0 0 12]
57
raquo x=[17 8 61 83 56]
Şeklindeki bir matrisin uumlccediluumlncuuml
elemanına erişmek istenirse
raquo c=x(3)
c =
61
Eğer bir blok şeklinde veriye erişilmek istenirse
raquo x(24)
ans =
8 61 83
Her matristeki herhangi bir elman grubuna erişilmek istenirse
raquo x([3 1 4])
ans =
61 17 83
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
58
Bir diziye duumlzenli artıs (veya azalıs) kuralıyla değerler atanmak isteniyorsa
bunu
ilk_değerartısson değer veya ilk_değerartısson değer
biccediliminde yapabiliriz
Ancak artıs 1 ise belirtilmeyebilirOumlrnekortalama adlı
bir diziye 0 dan 5 e kadar 05 er artısla elde edilen sayı
dizisini atayanortalama=[0055]
Siz 1 satır 7 den den 17 ye kadar olan tam sayılar 2 satırı
99 dan 89 a kadar azalan tam sayılardan olusan 2 boyutlu m dizisine atayan islemleri yazınız
Dizilerin Değerlerinin Değistirilmesi ve Duumlzenlenmesi
4 VektoumlrlerMatlab
59
4 VektoumlrlerMatlab
60
Sayılardan olusan satır ve suumltun yapısına matris (dizi) denir
Oumlrneğin
d1=[5] 1x1 lik
d2=[ 2 -7] 1x2 lik
d3= [1 0 -3 ]
[ 5 3 1 ]
2x3 luumlk bir dizidir
Oumlrnekx=[1 7 18 5]Ya daraquo x=[ 1
7185 ]
Biccedilimlerinde girilebilir
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
61
Dizilerin Değerlerinin Değistirilmesi ve DuumlzenlenmesiBir dizinin herhangi bir elemanını belirlemek iccedilin dizi adından hemen sonra
parantez iccedilinde elemanın bulunduğu satır ve suumltun sayısı yazılmalıdır
Oumlrnek 1 d2=[2 -7]d2 dizisinin -7 elemanını
goumlruumlntuumllemek iccedilin
d2(12)
2 d3=[1 0 -35 3 1]d3 dizisinin 2 satır 1 suumltununda bulunan 5 in değerinin -75 olması
iccedilin
d3(21)=-75
Not1) Bir dizinin bir ccedilok elemanını
yeniden değer atamak gerekirse komut satırından atama yapmak uzun zaman alabilirBu durumda dizi değiskeninin uumlzerine ccedilift tıklayarak accedilılan dizi editoumlruuml
(array edit) yardımıyla değisiklikleri daha kolay yapabiliriz
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
62
8 Matrisler(Dizi)Matlab
Bir matrisi girerken o1 Elemanlar baştan ve sondan koumlşeli parantezlerle kapatılıro2 Elemanların arasına boşluk veya virguumll konuluro3 Matris satırlarını
ayırmak iccedilin de noktalı
virguumll kullanılır
okurallarına dikkate alınmalıdır
Oumlrneğin
A = [1 2 3 4 5 6]A =
1 2 34 5 6
şeklinde veriler matrisler biccediliminde tanımlanır MATLAB daha sonra kullanılmak uumlzere verileri A matrisinde saklar
63
Matris elemanları
rasgele rakamlardan oluşabileceği gibi MATLABrsquoın deyimlerinden de oluşabilir
51 Matrislerde ElemanlarMatlab
Oumlrneğin
a=[-13 sqrt(3) (1+2+3)475]
a= -13000 17321 48000
Kuumlccediluumlk matrisleri eleman olarak kullanıp daha buumlyuumlk matrisler oluşturmak muumlmkuumlnduumlr
OumlrneğinM=[1 3 5
7 8 9] matrisine
aşağıda goumlsterildiği şekilde bir satır eklemesi yapabilir
M=[M[10 13 15]]
Bu durumda M matrisiM=[1 3 5
7 8 910 13 15]
durumunu alır
64
İki nokta uumlst uumlste () kullanarak buumlyuumlk matrislerin belli bir kısmını
kullanabiliriz
ya da diğer ifade ile bu matrisi kuumlccediluumlltebiliriz
Oumlrneğin
M=M(12) bildirimi M matrisinin ilk iki satırını
alarak M matrisi
olarak saklar
Oumlrnek
M=[8 -4 7 66 -7 8 9 4 5 134] ise
M=M(12) =
8 1 Matrislerde ElemanlarMatlab
65
MATLABrsquoda kullanıcı
verileri kendi oluşturacağı
matrisler ile tanımlayabileceği gibi MATLABrsquoın kendi oumlzel matrislerinden de istifade edilebilir
52 Genel MatrislerMatlab
66
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
a) Sıfır Matrisi Olusturan Fonksiyon
Her elemanı sıfır olan mxn boyutunda bir matrise sıfır matrisi denir
Boumlyle bir dizi olusturmak iccedilin zeros fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=zeros(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
3x5 boyutunda s adlı
sıfır matrisi iccedilin
s=zeros(35)
52 Genel MatrislerMatlab
67
b) 1 lerden Olusan Matris
Her elemanı 1 olan mxn boyutunda bir matrisi olusturmak iccedilin ones
fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matria_adı=ones(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
2x3 boyutunda b adlı
tuumlm elemanları
1 olan matrisi olusturalım
b=ones(23)
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
52 Genel MatrislerMatlab
68
c) Birim Matrisi Olusturan Fonksiyon
Esas koumlsegeni 1 lerden diğer elemanları 0 lardan olusan kare matrise (satır
ve suumltun sayısı esit olan ) birim matrisi
kare olmayan matrise de diyagonal matris denir
Boumlyle matrisleri olusturmak iccedilin eye fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=eye(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
a)
3x3 luumlk birim matris
b) 4x3 lluumlk diyagonal matris olusturalım
Ccediloumlzuumlma) i=eye(33) b) d=eye(43)
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar52 Genel MatrislerMatlab
69
d) Rastgele Sayılardan Olusan Matris ve Fonksiyonu
Elemanları 0 ile 1 arasındaki rastgele sayılardan olusan bir matris iccedilin
rand fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=rand(mn) biccedilimindedir(msatırnsuumltun)
Not 1) Uumlretilen matrisin tuumlm elemanlarını k gibi bir sayı ile ccedilarparak
sayıları 0 ile k arasına ccedilekebiliriz
Not 2) Ondalıklı sayılardan olusmus bir matrisin elemanlarını
yuvarlayıp tam sayı yapmak iccedilin round fonksiyonunu kullanırız
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar52 Genel MatrislerMatlab
70
Oumlrnek
a) 0 ile 1 arasında rastgele sayılardan olusan 10 elemanlı
a adında bir satır
matrisi olusturalım
b) Elemanları
10 ile 50 arasında sayılardan olusan 5x3 tipinde b matrisini
olusturalım
c) Elemanları
50 ile 300 arasındaki tamsayılardan olusan 3x4 tipinde c matrisini
olusturalım
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
d) Rastgele Sayılardan Olusan Matris ve Fonksiyonu
52 Genel MatrislerMatlab
71
Ccediloumlzuumlm
a)
a=rand(110)
b)
b=10+rand(53)40
c) c=round(50+rand(34)250)
52 Genel MatrislerMatlab
72
e) Rastgele Sayılardan Olusan Normal Dağılımlı
Matris veFonksiyonu
Elemanları rasstgele sayılardan olusan bir normal dağılımlı bir matris iccedilin
randn fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=randn(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek Rastgele sayılardan olusan normal dağılımlı 2x3 luumlk bir n matrisini
olusturalım
Ccediloumlzuumlm n=randn(23)
52 Genel MatrislerMatlab
73
f) Lineer Aralıklı
(Aritmetik) Dizi ve Fonksiyonu
Baslangıccedil ve biis değerleri ve kaccedil elemandan olusacağı belirlenen diziyi
olusturmak iccedilin linspace fonksiyonu kullanılır
Kullanımı
dizi_adı=linspace(ilk_değerson_değereleman_sayısı)
biccedilimindedir
52 Genel MatrislerMatlab
74
Oumlrnek 10 ile 30 arasına 9 tane daha sayı
koyarak aadında bir aritmetik dizi olusturalım
f) Lineer Aralıklı
(Aritmetik) Dizi ve Fonksiyonu
52 Genel MatrislerMatlab
Cevapa=linspace(103011)
75
Elimizdeki grubun her elemanı iccedilin bir matematik işlemi yapıp bunu yeni bir
diziye atarken herhangi bir sorun yoktur
Fakat iki farklı grupla işlemler yaparken dikkat etmemiz gereken genel
kurallar vardır
Oumlrneğin toplama ve ccedilıkarma yaparken iki dizinin de buumlyuumlkluumlğuumlnuumln eşit
olması gerekmektedir
Ayrıca iki farklı dizinin elemanları arasında birebir işlem yapmak iccedilin
matematik operatoumlruumlnuumln başına nokta() koymak gerekir
Bu durumda her bir elemanı diğer dizinin o sıradaki elmanı ile işleme
sokacaktır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
76
Birden fazla satır ve suumltuna sahip vektoumlrlere matris denir Noktalı
virguumll ()
işareti ile kolonları
ve virguumlle işareti ya da boşluk
bırakarak da bir sıradaki elemanları
ayırabilirizOumlrnekraquo x=[ 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14]x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14Yukarıdaki 3x4 boyutunda bir matristir MATLAB programına aşağıdaki
gibi de sunulabilirraquo x=[ 3 4 5 6
7 8 9 1011 12 13 14]
x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
77
Matristeki herhangi bir elemana direk ulaşmak iccedilin aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(23)=9
Eğer isteğimiz eriştiğimiz bir elemanı
değiştirmek veya yeni bir satır eklemek ise aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(41)=1x =
3 4 5 67 8 9 1011 12 13 141 0 0 0
Bu durumda doumlrduumlncuuml
satır ilk elemanını
biz 1 değerini atadık ve diğer elemanları
kendiliğinden ldquo0rdquo
olarak atadı
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
78
İki nokta uumlst uumlste () kullanılarak belirli aralıkta değişen matrisler yaratılabilir
raquo x=[127 3-10 -12]x =
1 3 5 73 2 1 0
-1 0 1 2Bir matrisin herhangi bir boumlluumlmuumlnuuml
seccedilmek iccedilin ise aşağıdaki goumlsterim
kullanılırraquo z=x(23 12)z =
3 2-1 0
Bu durumda z matris x matrisinin 2 ve 3 norsquo
lu satırlarından 1 ve 2 norsquo
lu suumltunlarını
almış
oluyor
Herhangi bir satır veya suumltunu tamamen silmek istersek o satır ve suumltunu seccedilip ldquo[]rdquo
ifadesine eşitleriz
raquo z(2)=[ ]z =
3 -1
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
79
Matlab size ve length komutları
yardımı
ile size matrisinizin boyutlarını
soumlyler
raquo a=[ 2 3 4 5 67 8 9 10 11]
raquo s=size(a)s =
2 5
raquo b=[ 17 11 0 30 40 50]
raquo k=length(b)k =
6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
80
a) Toplama-Ccedilıkarma Bir Sayı
ile Ccedilarpma İşlemi
İki matrisi toplamak (veya ccedilıkarmak) demek matrislerin aynı
mertebedeki elemanları teker teker toplayıp (veya ccedilıkarıp ) aynı
mertebeye yazmak demektir
Bu durumda iki matrisin de aynı mertebeden olması gereği accedilıktır
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile toplamak (veya ccedilıkarmak) demek
matrisin elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla toplamak (veya
ccedilıkarmak )demektir
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile ccedilarpmak demek ise matrisin
elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla ccedilarpmak demektir
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
81
82
Oumlrnek
raquo a=[1 2 3 4 5 6]raquo b=[7 8 9 10 11 12]
a ve b toplamıraquo sum=a+bsum =
8 10 1214 16 18
arsquo
yı
brsquo
den ccedilıkarmak
raquo diff=a-bdiff =
-6 -6 -6-6 -6 -6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
83
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] ve b=[3 -3 -41 1 5] matrisleri
veriliyor
a)
c=a+b toplam matrisini
b)
d=a-b matrisini
c)
amatrisinin her elemanınının 5 eksiğine karsılık gelen e
matrisini
d) f=2a-3b matrisini bulduran islemleri yazalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
a) c=a+b b) d=a-b c) e=a-5 d) f=a+a-b-b-b veya
f=2a-3b
84
İki matrisin ccedilarpım islemi iki biccedilimde anlasılır
1)
Aynı
mertebeden iki matrisin elemanlarını
teker teker ccedilarpıp aynı
mertebeye
yazmak demektir Bunu
islemi ile gerccedileklestiririz
2) Matematiksel anlamda iki matrisi ccedilarpmak istediğimizde birinci matris mxn
tuumlruumlnde ve ikinci matris mutlaka nxp tuumlruumlnde olmalıdır yani birinci matrisin
suumltun sayısı
ikinci matrisin satır sayısına eşit olmalıdır
Bu durumda birinci matrisin i suumltun elemanları
ile ikinci matrisin j satırındaki
elemanlar karılıklı
olarak ccedilarpılır ve sonuccedillar toplanır ve bu toplam ccedilarpım
matrisinin (ij) inci mertebeye yazılır
Matrisler arası
ccedilarpma isleminin semboluuml
de dır
b) İki Matrisin Ccedilarpımı Bir Matrisin Kuvvetleri veCcedilarpma İslemi
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
85
3) Bir a matrisinin her bir elemanının n Kuvvetlerinden olusan matrisi
bulmak iccedilin a^n islemi kullanılır
4) Satır ve suumltun sayıları
esit bir kare matrisi ardısık olarak n defa
kendisiyle ccedilarparak a matrisinin n kuvvetini bulabilirizOumlrneğin a matrisinin
karesi iccedilin aa veya a^2 kuumlbuumlnuuml
buldurmak iccedilin aaa veya a^3
doumlrduumlncuuml
kuvvetini buldurmak iccedilin aaaa veya a^4
Not) Bir a matrisinin eleman -elemana ccedilarpma islemine benzer mantıkla bir matrisin tuumlm elemanlarının kareleri kuumlbleri sinuumlsleri kosinuumlsleri logaritmalarından olusan matris bulunmak istenirse bunu sırayla aa (veya a^2) aaa (veya a^3) sin(a) cos(a) etabanında logaritması
iccedilin log(a) 10 tabanında logaritmaları
iccedilin log10(a) Biccediliminde gerccedileklestirebiliriz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
86
a) a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c1 matrisi varsa bulalım
b) a matrisi ile b matrisinin ccedilarpım matrisi olan c2 varsa bulalım
c) a matrisinin elemanları
ile c matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c3 matrisi varsa bulalım
d) a matrisi ile c matrisinin ccedilarpım matrisi olan c4 varsa bulalım
e) a matrisinin elemanlarının karelerinden olusan matris ile b matrisinin
kosinuumlslerinden olusan matrisler toplamını
bulalım
f) x=[1 00 3] matrisinin i) Karesini ii) Kuumlbuumlnuuml
iii) 10
kuvvetini bulalım
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] b=[3 -3 -41 1 5] ve c=[1 0-1 23 3] matrisleri veriliyor
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
87
Ccediloumlzuumlma) iki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirBu durumda c1 matrisi tanımlıdır ve bunu c1=ab islemi ile gerccedileklestirebilirizb) iki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdırHalbuki a matrisi 2x3 b matrisi de 2x3 olduğundan bu iki matris ccedilarpılamazc) İki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirHalbuki bu matrisler aynı mertebeden olmadığından bu iki matris eleman-elemana ccedilarpma islemi
gerccedileklemezd) İki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdıra matrisi 2x3 luumlk c matrisi de 3x2 lik olduğundan bu iki matris ccedilarpılabilir ve c4 ccedilarpım matrisi 2x2 lik bir matris olurc4 ccedilarpım matrisini c4=ac islemi ile buluruze) a^2+cos(b)f) i) x^2 ii) x^3 iii) x^10
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
88
c) Bir Matrisin Devriğini (Transpozesi) Bulma İslemi
Bir matrisin satırlarını suumltun suumltunlarını satır olarak yazılmasıyla
bulunan matrise bu matrisin devriği (transpozesi) denir
Bir matrisin devriğini islemi ile bulabiliriz
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] nın devriğini buldurup d matrisine atayalım
Ccediloumlzuumlm d=a
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
89
Oumlrnek
b=[7 8 9 10 11 12] matrisinin transpozesini bulabilirmisiniz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
c=bc =
7 108 119 12
90
SORU
a=[1 2 3 4 5 6]
c= [710811912]
ise a ve crsquonin ccedilarpım matrisi
kaccediltır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
Ccedilarpma işlemi k=ack=
50 68122 167
91
SORU
a=[1 2 3 4 5 6] b=[7 8 9 10 11 12]
ise a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan x matrisini bulalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
x=abx =
7 16 2740 55 72
92
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
Aynı mertebeden iki matrisin elemanlarını teker teker boumllerek aynı
mertebeye yazılmasına iki matrisin sol boumllmesi denir ve bu islemi ile
yapılır
a b ve c aynı mertebeden kare matrisler olmak uumlzere
c=ab ise a matrisine c nin b matrisine boumlluumlmuuml denir
c boumlluumlm matrisi islemi ile yapılır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
93
HATIRLATMA
2x2 lik i2 adlı birim matrisi i2=eye(22)
3x luumlk i3 adlı birim matrisi i2=eye(33) islemi ile olusturabiiriz
Aynı mertebeden a ve b kare matrisleri iccedilin a ile b nin ccedilarpımı birim matris ise
b matrisi a matrisinin (aynı biccedilimde a matrisi de b matrisinin) ters matrisidir
Oumlrnek
3x3 luumlk bir a kare matrisinin tersini bulmak iccedilin
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
eye(33)a veya inv(a) islemini kullanırız
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
94
Bir Matrisin Determinantı
Determinant kare matrisleri bir sayıya eşleyen fonksiyondur
Determinant fonksiyonunun kare matrisi eşlediği o sayıya matrisin
determinantı denir
A matrisinin determinantı detA veya |A| biccediliminde goumlsterilir
|A| matrislerde mutlak değer anlamına gelmez |A| sıfır veya
negatif de olabilir
det(x)
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
95
KURAL
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
96
Oumlrnek
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Determinant
raquo
deter=det(x)deter =
21
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
97
Oumlrnek Inverse işlemi
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Detx=det(x)=21 ise
raquo y=inv(x)y =
821 121 -521 221
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
98
SORU
a=[2 -10 01 2 43 0 1] matrisi ile b=[1 5 41 -1 20 1 -1] matrisleri veriliyor
a)
a matrisinin elemanlarını
sırasıyla b matrisinin elemanlarına boumllerek elde
edilen matrisi b1 matrisine atayalım
b) a matrisinin ta ters matrisini bulalım
c) a ile ta matrisinin ccedilarpımının 3x3 luumlk birim matris olduğunu goumlsterelim
d) a matrisinin b matrisine boumlluumlmuumlnuuml
b2 matrisine atayalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
99
Ccediloumlzuumlm
a)
b1=ab
b) ta1=eye(33)a veya ta2=inv(a)
c) ata ==eye(33)
d) b2=ab
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
52
Oumlrnekler
1)
a=1
2)
a=rsquoİstanbulrsquo
3)
a=5b=7c=a+b
4) a=5b=-3c=a+2ba=a+b
5)
num=23-5^2 x=num2 y=x+10
7 Sabitler Değiskenler ve Metin KatarlarıMatlab
53
Oumlrnek
Komut satırına
a)
sin(30)
b)
sin(30pi180) yazınız sonuccedilları
inceleyiniz
35 FonksyonlarMATRİSLER
Cevapa) -09880 sonucu goumlruumlluumlr ki bu 30deg
nin sinuumlsuumlnde n farklıdır Ccediluumlnkuuml
bu 30deg
derece değil 30 radyanın sinuumlsuumlduumlrb) 05000 sonucu goumlruumlluumlr ki bu da 30deg
nin sinuumlsuumld uumlr O halde bir
sayının trigonometrik değerini buldurmak iccedilin oumlnce pi ile ccedilarpıp 180 e boumllerek accedilıyı
radyan ccedilevirip sonra trigonometrik değerini
hesaplatabiliriz
54
oVektoumlrler tek boyutlu sayı
dizileridir
oElemanlarının sıralanma youmlnlerine goumlre suumltun veya satır vektoumlruuml
adlarını alırlar
ovektoumlrler [ ] koumlşeli parantezleri ile tanımlanır
ofarklı
yolla tanımlanabilirler
4 VektoumlrlerMatlab
A = [4 12 -8 6]A = [4 12 -8 6]
B = [1 2 4 6]
Satır Vektoumlruuml
Suumltun Vektoumlruumlgtgt b=[1 2 4 6 ]
55
4 VektoumlrlerMatlab
ovektoumlr boyutları
buumlyuumlduumlkccedile manuel olarak tanıtım işlemi oldukccedila zorlaşmaktadır
oOumlzellikle belli bir artıma sahip vektoumlrlerin oluşturulmasında () operatoumlruuml kullanılmaktadır
C = [-105150]
Son değerBaşlangıccedil değeri Artış
miktarı
Drsquo
= [30-10-30]
Suumltun Vektoumlruuml
56
Vektoumlr indisleri
4 VektoumlrlerMatlab
Bir vektoumlruumln elemanlarına atanılan değer değişkenler editoumlruuml
veya eleman adresi vasıtasıyla değiştirilebilir
OumlrnekA = [4 12 -8 6]1 A vektoumlruumlnuumln 3 elemanını
27 ile değiştiriniz
2 Benzer şekilde A vektoumlruumlnuumln 2 elemanını
siliniz 3 A(9) = 12
Ccediloumlzuumlm1 A(3) = 272 Vektoumlruumln elemanına [ ] değeri atandığında eleman silinirA(2) = [ ]3 gtgt A(9) = 12
A= [ 4 27 6]
A =[ 2 27 7 0 0 0 0 0 12]
57
raquo x=[17 8 61 83 56]
Şeklindeki bir matrisin uumlccediluumlncuuml
elemanına erişmek istenirse
raquo c=x(3)
c =
61
Eğer bir blok şeklinde veriye erişilmek istenirse
raquo x(24)
ans =
8 61 83
Her matristeki herhangi bir elman grubuna erişilmek istenirse
raquo x([3 1 4])
ans =
61 17 83
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
58
Bir diziye duumlzenli artıs (veya azalıs) kuralıyla değerler atanmak isteniyorsa
bunu
ilk_değerartısson değer veya ilk_değerartısson değer
biccediliminde yapabiliriz
Ancak artıs 1 ise belirtilmeyebilirOumlrnekortalama adlı
bir diziye 0 dan 5 e kadar 05 er artısla elde edilen sayı
dizisini atayanortalama=[0055]
Siz 1 satır 7 den den 17 ye kadar olan tam sayılar 2 satırı
99 dan 89 a kadar azalan tam sayılardan olusan 2 boyutlu m dizisine atayan islemleri yazınız
Dizilerin Değerlerinin Değistirilmesi ve Duumlzenlenmesi
4 VektoumlrlerMatlab
59
4 VektoumlrlerMatlab
60
Sayılardan olusan satır ve suumltun yapısına matris (dizi) denir
Oumlrneğin
d1=[5] 1x1 lik
d2=[ 2 -7] 1x2 lik
d3= [1 0 -3 ]
[ 5 3 1 ]
2x3 luumlk bir dizidir
Oumlrnekx=[1 7 18 5]Ya daraquo x=[ 1
7185 ]
Biccedilimlerinde girilebilir
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
61
Dizilerin Değerlerinin Değistirilmesi ve DuumlzenlenmesiBir dizinin herhangi bir elemanını belirlemek iccedilin dizi adından hemen sonra
parantez iccedilinde elemanın bulunduğu satır ve suumltun sayısı yazılmalıdır
Oumlrnek 1 d2=[2 -7]d2 dizisinin -7 elemanını
goumlruumlntuumllemek iccedilin
d2(12)
2 d3=[1 0 -35 3 1]d3 dizisinin 2 satır 1 suumltununda bulunan 5 in değerinin -75 olması
iccedilin
d3(21)=-75
Not1) Bir dizinin bir ccedilok elemanını
yeniden değer atamak gerekirse komut satırından atama yapmak uzun zaman alabilirBu durumda dizi değiskeninin uumlzerine ccedilift tıklayarak accedilılan dizi editoumlruuml
(array edit) yardımıyla değisiklikleri daha kolay yapabiliriz
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
62
8 Matrisler(Dizi)Matlab
Bir matrisi girerken o1 Elemanlar baştan ve sondan koumlşeli parantezlerle kapatılıro2 Elemanların arasına boşluk veya virguumll konuluro3 Matris satırlarını
ayırmak iccedilin de noktalı
virguumll kullanılır
okurallarına dikkate alınmalıdır
Oumlrneğin
A = [1 2 3 4 5 6]A =
1 2 34 5 6
şeklinde veriler matrisler biccediliminde tanımlanır MATLAB daha sonra kullanılmak uumlzere verileri A matrisinde saklar
63
Matris elemanları
rasgele rakamlardan oluşabileceği gibi MATLABrsquoın deyimlerinden de oluşabilir
51 Matrislerde ElemanlarMatlab
Oumlrneğin
a=[-13 sqrt(3) (1+2+3)475]
a= -13000 17321 48000
Kuumlccediluumlk matrisleri eleman olarak kullanıp daha buumlyuumlk matrisler oluşturmak muumlmkuumlnduumlr
OumlrneğinM=[1 3 5
7 8 9] matrisine
aşağıda goumlsterildiği şekilde bir satır eklemesi yapabilir
M=[M[10 13 15]]
Bu durumda M matrisiM=[1 3 5
7 8 910 13 15]
durumunu alır
64
İki nokta uumlst uumlste () kullanarak buumlyuumlk matrislerin belli bir kısmını
kullanabiliriz
ya da diğer ifade ile bu matrisi kuumlccediluumlltebiliriz
Oumlrneğin
M=M(12) bildirimi M matrisinin ilk iki satırını
alarak M matrisi
olarak saklar
Oumlrnek
M=[8 -4 7 66 -7 8 9 4 5 134] ise
M=M(12) =
8 1 Matrislerde ElemanlarMatlab
65
MATLABrsquoda kullanıcı
verileri kendi oluşturacağı
matrisler ile tanımlayabileceği gibi MATLABrsquoın kendi oumlzel matrislerinden de istifade edilebilir
52 Genel MatrislerMatlab
66
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
a) Sıfır Matrisi Olusturan Fonksiyon
Her elemanı sıfır olan mxn boyutunda bir matrise sıfır matrisi denir
Boumlyle bir dizi olusturmak iccedilin zeros fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=zeros(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
3x5 boyutunda s adlı
sıfır matrisi iccedilin
s=zeros(35)
52 Genel MatrislerMatlab
67
b) 1 lerden Olusan Matris
Her elemanı 1 olan mxn boyutunda bir matrisi olusturmak iccedilin ones
fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matria_adı=ones(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
2x3 boyutunda b adlı
tuumlm elemanları
1 olan matrisi olusturalım
b=ones(23)
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
52 Genel MatrislerMatlab
68
c) Birim Matrisi Olusturan Fonksiyon
Esas koumlsegeni 1 lerden diğer elemanları 0 lardan olusan kare matrise (satır
ve suumltun sayısı esit olan ) birim matrisi
kare olmayan matrise de diyagonal matris denir
Boumlyle matrisleri olusturmak iccedilin eye fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=eye(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
a)
3x3 luumlk birim matris
b) 4x3 lluumlk diyagonal matris olusturalım
Ccediloumlzuumlma) i=eye(33) b) d=eye(43)
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar52 Genel MatrislerMatlab
69
d) Rastgele Sayılardan Olusan Matris ve Fonksiyonu
Elemanları 0 ile 1 arasındaki rastgele sayılardan olusan bir matris iccedilin
rand fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=rand(mn) biccedilimindedir(msatırnsuumltun)
Not 1) Uumlretilen matrisin tuumlm elemanlarını k gibi bir sayı ile ccedilarparak
sayıları 0 ile k arasına ccedilekebiliriz
Not 2) Ondalıklı sayılardan olusmus bir matrisin elemanlarını
yuvarlayıp tam sayı yapmak iccedilin round fonksiyonunu kullanırız
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar52 Genel MatrislerMatlab
70
Oumlrnek
a) 0 ile 1 arasında rastgele sayılardan olusan 10 elemanlı
a adında bir satır
matrisi olusturalım
b) Elemanları
10 ile 50 arasında sayılardan olusan 5x3 tipinde b matrisini
olusturalım
c) Elemanları
50 ile 300 arasındaki tamsayılardan olusan 3x4 tipinde c matrisini
olusturalım
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
d) Rastgele Sayılardan Olusan Matris ve Fonksiyonu
52 Genel MatrislerMatlab
71
Ccediloumlzuumlm
a)
a=rand(110)
b)
b=10+rand(53)40
c) c=round(50+rand(34)250)
52 Genel MatrislerMatlab
72
e) Rastgele Sayılardan Olusan Normal Dağılımlı
Matris veFonksiyonu
Elemanları rasstgele sayılardan olusan bir normal dağılımlı bir matris iccedilin
randn fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=randn(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek Rastgele sayılardan olusan normal dağılımlı 2x3 luumlk bir n matrisini
olusturalım
Ccediloumlzuumlm n=randn(23)
52 Genel MatrislerMatlab
73
f) Lineer Aralıklı
(Aritmetik) Dizi ve Fonksiyonu
Baslangıccedil ve biis değerleri ve kaccedil elemandan olusacağı belirlenen diziyi
olusturmak iccedilin linspace fonksiyonu kullanılır
Kullanımı
dizi_adı=linspace(ilk_değerson_değereleman_sayısı)
biccedilimindedir
52 Genel MatrislerMatlab
74
Oumlrnek 10 ile 30 arasına 9 tane daha sayı
koyarak aadında bir aritmetik dizi olusturalım
f) Lineer Aralıklı
(Aritmetik) Dizi ve Fonksiyonu
52 Genel MatrislerMatlab
Cevapa=linspace(103011)
75
Elimizdeki grubun her elemanı iccedilin bir matematik işlemi yapıp bunu yeni bir
diziye atarken herhangi bir sorun yoktur
Fakat iki farklı grupla işlemler yaparken dikkat etmemiz gereken genel
kurallar vardır
Oumlrneğin toplama ve ccedilıkarma yaparken iki dizinin de buumlyuumlkluumlğuumlnuumln eşit
olması gerekmektedir
Ayrıca iki farklı dizinin elemanları arasında birebir işlem yapmak iccedilin
matematik operatoumlruumlnuumln başına nokta() koymak gerekir
Bu durumda her bir elemanı diğer dizinin o sıradaki elmanı ile işleme
sokacaktır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
76
Birden fazla satır ve suumltuna sahip vektoumlrlere matris denir Noktalı
virguumll ()
işareti ile kolonları
ve virguumlle işareti ya da boşluk
bırakarak da bir sıradaki elemanları
ayırabilirizOumlrnekraquo x=[ 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14]x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14Yukarıdaki 3x4 boyutunda bir matristir MATLAB programına aşağıdaki
gibi de sunulabilirraquo x=[ 3 4 5 6
7 8 9 1011 12 13 14]
x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
77
Matristeki herhangi bir elemana direk ulaşmak iccedilin aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(23)=9
Eğer isteğimiz eriştiğimiz bir elemanı
değiştirmek veya yeni bir satır eklemek ise aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(41)=1x =
3 4 5 67 8 9 1011 12 13 141 0 0 0
Bu durumda doumlrduumlncuuml
satır ilk elemanını
biz 1 değerini atadık ve diğer elemanları
kendiliğinden ldquo0rdquo
olarak atadı
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
78
İki nokta uumlst uumlste () kullanılarak belirli aralıkta değişen matrisler yaratılabilir
raquo x=[127 3-10 -12]x =
1 3 5 73 2 1 0
-1 0 1 2Bir matrisin herhangi bir boumlluumlmuumlnuuml
seccedilmek iccedilin ise aşağıdaki goumlsterim
kullanılırraquo z=x(23 12)z =
3 2-1 0
Bu durumda z matris x matrisinin 2 ve 3 norsquo
lu satırlarından 1 ve 2 norsquo
lu suumltunlarını
almış
oluyor
Herhangi bir satır veya suumltunu tamamen silmek istersek o satır ve suumltunu seccedilip ldquo[]rdquo
ifadesine eşitleriz
raquo z(2)=[ ]z =
3 -1
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
79
Matlab size ve length komutları
yardımı
ile size matrisinizin boyutlarını
soumlyler
raquo a=[ 2 3 4 5 67 8 9 10 11]
raquo s=size(a)s =
2 5
raquo b=[ 17 11 0 30 40 50]
raquo k=length(b)k =
6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
80
a) Toplama-Ccedilıkarma Bir Sayı
ile Ccedilarpma İşlemi
İki matrisi toplamak (veya ccedilıkarmak) demek matrislerin aynı
mertebedeki elemanları teker teker toplayıp (veya ccedilıkarıp ) aynı
mertebeye yazmak demektir
Bu durumda iki matrisin de aynı mertebeden olması gereği accedilıktır
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile toplamak (veya ccedilıkarmak) demek
matrisin elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla toplamak (veya
ccedilıkarmak )demektir
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile ccedilarpmak demek ise matrisin
elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla ccedilarpmak demektir
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
81
82
Oumlrnek
raquo a=[1 2 3 4 5 6]raquo b=[7 8 9 10 11 12]
a ve b toplamıraquo sum=a+bsum =
8 10 1214 16 18
arsquo
yı
brsquo
den ccedilıkarmak
raquo diff=a-bdiff =
-6 -6 -6-6 -6 -6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
83
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] ve b=[3 -3 -41 1 5] matrisleri
veriliyor
a)
c=a+b toplam matrisini
b)
d=a-b matrisini
c)
amatrisinin her elemanınının 5 eksiğine karsılık gelen e
matrisini
d) f=2a-3b matrisini bulduran islemleri yazalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
a) c=a+b b) d=a-b c) e=a-5 d) f=a+a-b-b-b veya
f=2a-3b
84
İki matrisin ccedilarpım islemi iki biccedilimde anlasılır
1)
Aynı
mertebeden iki matrisin elemanlarını
teker teker ccedilarpıp aynı
mertebeye
yazmak demektir Bunu
islemi ile gerccedileklestiririz
2) Matematiksel anlamda iki matrisi ccedilarpmak istediğimizde birinci matris mxn
tuumlruumlnde ve ikinci matris mutlaka nxp tuumlruumlnde olmalıdır yani birinci matrisin
suumltun sayısı
ikinci matrisin satır sayısına eşit olmalıdır
Bu durumda birinci matrisin i suumltun elemanları
ile ikinci matrisin j satırındaki
elemanlar karılıklı
olarak ccedilarpılır ve sonuccedillar toplanır ve bu toplam ccedilarpım
matrisinin (ij) inci mertebeye yazılır
Matrisler arası
ccedilarpma isleminin semboluuml
de dır
b) İki Matrisin Ccedilarpımı Bir Matrisin Kuvvetleri veCcedilarpma İslemi
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
85
3) Bir a matrisinin her bir elemanının n Kuvvetlerinden olusan matrisi
bulmak iccedilin a^n islemi kullanılır
4) Satır ve suumltun sayıları
esit bir kare matrisi ardısık olarak n defa
kendisiyle ccedilarparak a matrisinin n kuvvetini bulabilirizOumlrneğin a matrisinin
karesi iccedilin aa veya a^2 kuumlbuumlnuuml
buldurmak iccedilin aaa veya a^3
doumlrduumlncuuml
kuvvetini buldurmak iccedilin aaaa veya a^4
Not) Bir a matrisinin eleman -elemana ccedilarpma islemine benzer mantıkla bir matrisin tuumlm elemanlarının kareleri kuumlbleri sinuumlsleri kosinuumlsleri logaritmalarından olusan matris bulunmak istenirse bunu sırayla aa (veya a^2) aaa (veya a^3) sin(a) cos(a) etabanında logaritması
iccedilin log(a) 10 tabanında logaritmaları
iccedilin log10(a) Biccediliminde gerccedileklestirebiliriz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
86
a) a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c1 matrisi varsa bulalım
b) a matrisi ile b matrisinin ccedilarpım matrisi olan c2 varsa bulalım
c) a matrisinin elemanları
ile c matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c3 matrisi varsa bulalım
d) a matrisi ile c matrisinin ccedilarpım matrisi olan c4 varsa bulalım
e) a matrisinin elemanlarının karelerinden olusan matris ile b matrisinin
kosinuumlslerinden olusan matrisler toplamını
bulalım
f) x=[1 00 3] matrisinin i) Karesini ii) Kuumlbuumlnuuml
iii) 10
kuvvetini bulalım
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] b=[3 -3 -41 1 5] ve c=[1 0-1 23 3] matrisleri veriliyor
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
87
Ccediloumlzuumlma) iki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirBu durumda c1 matrisi tanımlıdır ve bunu c1=ab islemi ile gerccedileklestirebilirizb) iki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdırHalbuki a matrisi 2x3 b matrisi de 2x3 olduğundan bu iki matris ccedilarpılamazc) İki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirHalbuki bu matrisler aynı mertebeden olmadığından bu iki matris eleman-elemana ccedilarpma islemi
gerccedileklemezd) İki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdıra matrisi 2x3 luumlk c matrisi de 3x2 lik olduğundan bu iki matris ccedilarpılabilir ve c4 ccedilarpım matrisi 2x2 lik bir matris olurc4 ccedilarpım matrisini c4=ac islemi ile buluruze) a^2+cos(b)f) i) x^2 ii) x^3 iii) x^10
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
88
c) Bir Matrisin Devriğini (Transpozesi) Bulma İslemi
Bir matrisin satırlarını suumltun suumltunlarını satır olarak yazılmasıyla
bulunan matrise bu matrisin devriği (transpozesi) denir
Bir matrisin devriğini islemi ile bulabiliriz
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] nın devriğini buldurup d matrisine atayalım
Ccediloumlzuumlm d=a
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
89
Oumlrnek
b=[7 8 9 10 11 12] matrisinin transpozesini bulabilirmisiniz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
c=bc =
7 108 119 12
90
SORU
a=[1 2 3 4 5 6]
c= [710811912]
ise a ve crsquonin ccedilarpım matrisi
kaccediltır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
Ccedilarpma işlemi k=ack=
50 68122 167
91
SORU
a=[1 2 3 4 5 6] b=[7 8 9 10 11 12]
ise a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan x matrisini bulalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
x=abx =
7 16 2740 55 72
92
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
Aynı mertebeden iki matrisin elemanlarını teker teker boumllerek aynı
mertebeye yazılmasına iki matrisin sol boumllmesi denir ve bu islemi ile
yapılır
a b ve c aynı mertebeden kare matrisler olmak uumlzere
c=ab ise a matrisine c nin b matrisine boumlluumlmuuml denir
c boumlluumlm matrisi islemi ile yapılır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
93
HATIRLATMA
2x2 lik i2 adlı birim matrisi i2=eye(22)
3x luumlk i3 adlı birim matrisi i2=eye(33) islemi ile olusturabiiriz
Aynı mertebeden a ve b kare matrisleri iccedilin a ile b nin ccedilarpımı birim matris ise
b matrisi a matrisinin (aynı biccedilimde a matrisi de b matrisinin) ters matrisidir
Oumlrnek
3x3 luumlk bir a kare matrisinin tersini bulmak iccedilin
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
eye(33)a veya inv(a) islemini kullanırız
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
94
Bir Matrisin Determinantı
Determinant kare matrisleri bir sayıya eşleyen fonksiyondur
Determinant fonksiyonunun kare matrisi eşlediği o sayıya matrisin
determinantı denir
A matrisinin determinantı detA veya |A| biccediliminde goumlsterilir
|A| matrislerde mutlak değer anlamına gelmez |A| sıfır veya
negatif de olabilir
det(x)
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
95
KURAL
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
96
Oumlrnek
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Determinant
raquo
deter=det(x)deter =
21
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
97
Oumlrnek Inverse işlemi
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Detx=det(x)=21 ise
raquo y=inv(x)y =
821 121 -521 221
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
98
SORU
a=[2 -10 01 2 43 0 1] matrisi ile b=[1 5 41 -1 20 1 -1] matrisleri veriliyor
a)
a matrisinin elemanlarını
sırasıyla b matrisinin elemanlarına boumllerek elde
edilen matrisi b1 matrisine atayalım
b) a matrisinin ta ters matrisini bulalım
c) a ile ta matrisinin ccedilarpımının 3x3 luumlk birim matris olduğunu goumlsterelim
d) a matrisinin b matrisine boumlluumlmuumlnuuml
b2 matrisine atayalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
99
Ccediloumlzuumlm
a)
b1=ab
b) ta1=eye(33)a veya ta2=inv(a)
c) ata ==eye(33)
d) b2=ab
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
53
Oumlrnek
Komut satırına
a)
sin(30)
b)
sin(30pi180) yazınız sonuccedilları
inceleyiniz
35 FonksyonlarMATRİSLER
Cevapa) -09880 sonucu goumlruumlluumlr ki bu 30deg
nin sinuumlsuumlnde n farklıdır Ccediluumlnkuuml
bu 30deg
derece değil 30 radyanın sinuumlsuumlduumlrb) 05000 sonucu goumlruumlluumlr ki bu da 30deg
nin sinuumlsuumld uumlr O halde bir
sayının trigonometrik değerini buldurmak iccedilin oumlnce pi ile ccedilarpıp 180 e boumllerek accedilıyı
radyan ccedilevirip sonra trigonometrik değerini
hesaplatabiliriz
54
oVektoumlrler tek boyutlu sayı
dizileridir
oElemanlarının sıralanma youmlnlerine goumlre suumltun veya satır vektoumlruuml
adlarını alırlar
ovektoumlrler [ ] koumlşeli parantezleri ile tanımlanır
ofarklı
yolla tanımlanabilirler
4 VektoumlrlerMatlab
A = [4 12 -8 6]A = [4 12 -8 6]
B = [1 2 4 6]
Satır Vektoumlruuml
Suumltun Vektoumlruumlgtgt b=[1 2 4 6 ]
55
4 VektoumlrlerMatlab
ovektoumlr boyutları
buumlyuumlduumlkccedile manuel olarak tanıtım işlemi oldukccedila zorlaşmaktadır
oOumlzellikle belli bir artıma sahip vektoumlrlerin oluşturulmasında () operatoumlruuml kullanılmaktadır
C = [-105150]
Son değerBaşlangıccedil değeri Artış
miktarı
Drsquo
= [30-10-30]
Suumltun Vektoumlruuml
56
Vektoumlr indisleri
4 VektoumlrlerMatlab
Bir vektoumlruumln elemanlarına atanılan değer değişkenler editoumlruuml
veya eleman adresi vasıtasıyla değiştirilebilir
OumlrnekA = [4 12 -8 6]1 A vektoumlruumlnuumln 3 elemanını
27 ile değiştiriniz
2 Benzer şekilde A vektoumlruumlnuumln 2 elemanını
siliniz 3 A(9) = 12
Ccediloumlzuumlm1 A(3) = 272 Vektoumlruumln elemanına [ ] değeri atandığında eleman silinirA(2) = [ ]3 gtgt A(9) = 12
A= [ 4 27 6]
A =[ 2 27 7 0 0 0 0 0 12]
57
raquo x=[17 8 61 83 56]
Şeklindeki bir matrisin uumlccediluumlncuuml
elemanına erişmek istenirse
raquo c=x(3)
c =
61
Eğer bir blok şeklinde veriye erişilmek istenirse
raquo x(24)
ans =
8 61 83
Her matristeki herhangi bir elman grubuna erişilmek istenirse
raquo x([3 1 4])
ans =
61 17 83
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
58
Bir diziye duumlzenli artıs (veya azalıs) kuralıyla değerler atanmak isteniyorsa
bunu
ilk_değerartısson değer veya ilk_değerartısson değer
biccediliminde yapabiliriz
Ancak artıs 1 ise belirtilmeyebilirOumlrnekortalama adlı
bir diziye 0 dan 5 e kadar 05 er artısla elde edilen sayı
dizisini atayanortalama=[0055]
Siz 1 satır 7 den den 17 ye kadar olan tam sayılar 2 satırı
99 dan 89 a kadar azalan tam sayılardan olusan 2 boyutlu m dizisine atayan islemleri yazınız
Dizilerin Değerlerinin Değistirilmesi ve Duumlzenlenmesi
4 VektoumlrlerMatlab
59
4 VektoumlrlerMatlab
60
Sayılardan olusan satır ve suumltun yapısına matris (dizi) denir
Oumlrneğin
d1=[5] 1x1 lik
d2=[ 2 -7] 1x2 lik
d3= [1 0 -3 ]
[ 5 3 1 ]
2x3 luumlk bir dizidir
Oumlrnekx=[1 7 18 5]Ya daraquo x=[ 1
7185 ]
Biccedilimlerinde girilebilir
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
61
Dizilerin Değerlerinin Değistirilmesi ve DuumlzenlenmesiBir dizinin herhangi bir elemanını belirlemek iccedilin dizi adından hemen sonra
parantez iccedilinde elemanın bulunduğu satır ve suumltun sayısı yazılmalıdır
Oumlrnek 1 d2=[2 -7]d2 dizisinin -7 elemanını
goumlruumlntuumllemek iccedilin
d2(12)
2 d3=[1 0 -35 3 1]d3 dizisinin 2 satır 1 suumltununda bulunan 5 in değerinin -75 olması
iccedilin
d3(21)=-75
Not1) Bir dizinin bir ccedilok elemanını
yeniden değer atamak gerekirse komut satırından atama yapmak uzun zaman alabilirBu durumda dizi değiskeninin uumlzerine ccedilift tıklayarak accedilılan dizi editoumlruuml
(array edit) yardımıyla değisiklikleri daha kolay yapabiliriz
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
62
8 Matrisler(Dizi)Matlab
Bir matrisi girerken o1 Elemanlar baştan ve sondan koumlşeli parantezlerle kapatılıro2 Elemanların arasına boşluk veya virguumll konuluro3 Matris satırlarını
ayırmak iccedilin de noktalı
virguumll kullanılır
okurallarına dikkate alınmalıdır
Oumlrneğin
A = [1 2 3 4 5 6]A =
1 2 34 5 6
şeklinde veriler matrisler biccediliminde tanımlanır MATLAB daha sonra kullanılmak uumlzere verileri A matrisinde saklar
63
Matris elemanları
rasgele rakamlardan oluşabileceği gibi MATLABrsquoın deyimlerinden de oluşabilir
51 Matrislerde ElemanlarMatlab
Oumlrneğin
a=[-13 sqrt(3) (1+2+3)475]
a= -13000 17321 48000
Kuumlccediluumlk matrisleri eleman olarak kullanıp daha buumlyuumlk matrisler oluşturmak muumlmkuumlnduumlr
OumlrneğinM=[1 3 5
7 8 9] matrisine
aşağıda goumlsterildiği şekilde bir satır eklemesi yapabilir
M=[M[10 13 15]]
Bu durumda M matrisiM=[1 3 5
7 8 910 13 15]
durumunu alır
64
İki nokta uumlst uumlste () kullanarak buumlyuumlk matrislerin belli bir kısmını
kullanabiliriz
ya da diğer ifade ile bu matrisi kuumlccediluumlltebiliriz
Oumlrneğin
M=M(12) bildirimi M matrisinin ilk iki satırını
alarak M matrisi
olarak saklar
Oumlrnek
M=[8 -4 7 66 -7 8 9 4 5 134] ise
M=M(12) =
8 1 Matrislerde ElemanlarMatlab
65
MATLABrsquoda kullanıcı
verileri kendi oluşturacağı
matrisler ile tanımlayabileceği gibi MATLABrsquoın kendi oumlzel matrislerinden de istifade edilebilir
52 Genel MatrislerMatlab
66
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
a) Sıfır Matrisi Olusturan Fonksiyon
Her elemanı sıfır olan mxn boyutunda bir matrise sıfır matrisi denir
Boumlyle bir dizi olusturmak iccedilin zeros fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=zeros(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
3x5 boyutunda s adlı
sıfır matrisi iccedilin
s=zeros(35)
52 Genel MatrislerMatlab
67
b) 1 lerden Olusan Matris
Her elemanı 1 olan mxn boyutunda bir matrisi olusturmak iccedilin ones
fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matria_adı=ones(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
2x3 boyutunda b adlı
tuumlm elemanları
1 olan matrisi olusturalım
b=ones(23)
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
52 Genel MatrislerMatlab
68
c) Birim Matrisi Olusturan Fonksiyon
Esas koumlsegeni 1 lerden diğer elemanları 0 lardan olusan kare matrise (satır
ve suumltun sayısı esit olan ) birim matrisi
kare olmayan matrise de diyagonal matris denir
Boumlyle matrisleri olusturmak iccedilin eye fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=eye(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
a)
3x3 luumlk birim matris
b) 4x3 lluumlk diyagonal matris olusturalım
Ccediloumlzuumlma) i=eye(33) b) d=eye(43)
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar52 Genel MatrislerMatlab
69
d) Rastgele Sayılardan Olusan Matris ve Fonksiyonu
Elemanları 0 ile 1 arasındaki rastgele sayılardan olusan bir matris iccedilin
rand fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=rand(mn) biccedilimindedir(msatırnsuumltun)
Not 1) Uumlretilen matrisin tuumlm elemanlarını k gibi bir sayı ile ccedilarparak
sayıları 0 ile k arasına ccedilekebiliriz
Not 2) Ondalıklı sayılardan olusmus bir matrisin elemanlarını
yuvarlayıp tam sayı yapmak iccedilin round fonksiyonunu kullanırız
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar52 Genel MatrislerMatlab
70
Oumlrnek
a) 0 ile 1 arasında rastgele sayılardan olusan 10 elemanlı
a adında bir satır
matrisi olusturalım
b) Elemanları
10 ile 50 arasında sayılardan olusan 5x3 tipinde b matrisini
olusturalım
c) Elemanları
50 ile 300 arasındaki tamsayılardan olusan 3x4 tipinde c matrisini
olusturalım
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
d) Rastgele Sayılardan Olusan Matris ve Fonksiyonu
52 Genel MatrislerMatlab
71
Ccediloumlzuumlm
a)
a=rand(110)
b)
b=10+rand(53)40
c) c=round(50+rand(34)250)
52 Genel MatrislerMatlab
72
e) Rastgele Sayılardan Olusan Normal Dağılımlı
Matris veFonksiyonu
Elemanları rasstgele sayılardan olusan bir normal dağılımlı bir matris iccedilin
randn fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=randn(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek Rastgele sayılardan olusan normal dağılımlı 2x3 luumlk bir n matrisini
olusturalım
Ccediloumlzuumlm n=randn(23)
52 Genel MatrislerMatlab
73
f) Lineer Aralıklı
(Aritmetik) Dizi ve Fonksiyonu
Baslangıccedil ve biis değerleri ve kaccedil elemandan olusacağı belirlenen diziyi
olusturmak iccedilin linspace fonksiyonu kullanılır
Kullanımı
dizi_adı=linspace(ilk_değerson_değereleman_sayısı)
biccedilimindedir
52 Genel MatrislerMatlab
74
Oumlrnek 10 ile 30 arasına 9 tane daha sayı
koyarak aadında bir aritmetik dizi olusturalım
f) Lineer Aralıklı
(Aritmetik) Dizi ve Fonksiyonu
52 Genel MatrislerMatlab
Cevapa=linspace(103011)
75
Elimizdeki grubun her elemanı iccedilin bir matematik işlemi yapıp bunu yeni bir
diziye atarken herhangi bir sorun yoktur
Fakat iki farklı grupla işlemler yaparken dikkat etmemiz gereken genel
kurallar vardır
Oumlrneğin toplama ve ccedilıkarma yaparken iki dizinin de buumlyuumlkluumlğuumlnuumln eşit
olması gerekmektedir
Ayrıca iki farklı dizinin elemanları arasında birebir işlem yapmak iccedilin
matematik operatoumlruumlnuumln başına nokta() koymak gerekir
Bu durumda her bir elemanı diğer dizinin o sıradaki elmanı ile işleme
sokacaktır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
76
Birden fazla satır ve suumltuna sahip vektoumlrlere matris denir Noktalı
virguumll ()
işareti ile kolonları
ve virguumlle işareti ya da boşluk
bırakarak da bir sıradaki elemanları
ayırabilirizOumlrnekraquo x=[ 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14]x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14Yukarıdaki 3x4 boyutunda bir matristir MATLAB programına aşağıdaki
gibi de sunulabilirraquo x=[ 3 4 5 6
7 8 9 1011 12 13 14]
x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
77
Matristeki herhangi bir elemana direk ulaşmak iccedilin aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(23)=9
Eğer isteğimiz eriştiğimiz bir elemanı
değiştirmek veya yeni bir satır eklemek ise aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(41)=1x =
3 4 5 67 8 9 1011 12 13 141 0 0 0
Bu durumda doumlrduumlncuuml
satır ilk elemanını
biz 1 değerini atadık ve diğer elemanları
kendiliğinden ldquo0rdquo
olarak atadı
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
78
İki nokta uumlst uumlste () kullanılarak belirli aralıkta değişen matrisler yaratılabilir
raquo x=[127 3-10 -12]x =
1 3 5 73 2 1 0
-1 0 1 2Bir matrisin herhangi bir boumlluumlmuumlnuuml
seccedilmek iccedilin ise aşağıdaki goumlsterim
kullanılırraquo z=x(23 12)z =
3 2-1 0
Bu durumda z matris x matrisinin 2 ve 3 norsquo
lu satırlarından 1 ve 2 norsquo
lu suumltunlarını
almış
oluyor
Herhangi bir satır veya suumltunu tamamen silmek istersek o satır ve suumltunu seccedilip ldquo[]rdquo
ifadesine eşitleriz
raquo z(2)=[ ]z =
3 -1
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
79
Matlab size ve length komutları
yardımı
ile size matrisinizin boyutlarını
soumlyler
raquo a=[ 2 3 4 5 67 8 9 10 11]
raquo s=size(a)s =
2 5
raquo b=[ 17 11 0 30 40 50]
raquo k=length(b)k =
6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
80
a) Toplama-Ccedilıkarma Bir Sayı
ile Ccedilarpma İşlemi
İki matrisi toplamak (veya ccedilıkarmak) demek matrislerin aynı
mertebedeki elemanları teker teker toplayıp (veya ccedilıkarıp ) aynı
mertebeye yazmak demektir
Bu durumda iki matrisin de aynı mertebeden olması gereği accedilıktır
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile toplamak (veya ccedilıkarmak) demek
matrisin elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla toplamak (veya
ccedilıkarmak )demektir
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile ccedilarpmak demek ise matrisin
elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla ccedilarpmak demektir
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
81
82
Oumlrnek
raquo a=[1 2 3 4 5 6]raquo b=[7 8 9 10 11 12]
a ve b toplamıraquo sum=a+bsum =
8 10 1214 16 18
arsquo
yı
brsquo
den ccedilıkarmak
raquo diff=a-bdiff =
-6 -6 -6-6 -6 -6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
83
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] ve b=[3 -3 -41 1 5] matrisleri
veriliyor
a)
c=a+b toplam matrisini
b)
d=a-b matrisini
c)
amatrisinin her elemanınının 5 eksiğine karsılık gelen e
matrisini
d) f=2a-3b matrisini bulduran islemleri yazalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
a) c=a+b b) d=a-b c) e=a-5 d) f=a+a-b-b-b veya
f=2a-3b
84
İki matrisin ccedilarpım islemi iki biccedilimde anlasılır
1)
Aynı
mertebeden iki matrisin elemanlarını
teker teker ccedilarpıp aynı
mertebeye
yazmak demektir Bunu
islemi ile gerccedileklestiririz
2) Matematiksel anlamda iki matrisi ccedilarpmak istediğimizde birinci matris mxn
tuumlruumlnde ve ikinci matris mutlaka nxp tuumlruumlnde olmalıdır yani birinci matrisin
suumltun sayısı
ikinci matrisin satır sayısına eşit olmalıdır
Bu durumda birinci matrisin i suumltun elemanları
ile ikinci matrisin j satırındaki
elemanlar karılıklı
olarak ccedilarpılır ve sonuccedillar toplanır ve bu toplam ccedilarpım
matrisinin (ij) inci mertebeye yazılır
Matrisler arası
ccedilarpma isleminin semboluuml
de dır
b) İki Matrisin Ccedilarpımı Bir Matrisin Kuvvetleri veCcedilarpma İslemi
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
85
3) Bir a matrisinin her bir elemanının n Kuvvetlerinden olusan matrisi
bulmak iccedilin a^n islemi kullanılır
4) Satır ve suumltun sayıları
esit bir kare matrisi ardısık olarak n defa
kendisiyle ccedilarparak a matrisinin n kuvvetini bulabilirizOumlrneğin a matrisinin
karesi iccedilin aa veya a^2 kuumlbuumlnuuml
buldurmak iccedilin aaa veya a^3
doumlrduumlncuuml
kuvvetini buldurmak iccedilin aaaa veya a^4
Not) Bir a matrisinin eleman -elemana ccedilarpma islemine benzer mantıkla bir matrisin tuumlm elemanlarının kareleri kuumlbleri sinuumlsleri kosinuumlsleri logaritmalarından olusan matris bulunmak istenirse bunu sırayla aa (veya a^2) aaa (veya a^3) sin(a) cos(a) etabanında logaritması
iccedilin log(a) 10 tabanında logaritmaları
iccedilin log10(a) Biccediliminde gerccedileklestirebiliriz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
86
a) a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c1 matrisi varsa bulalım
b) a matrisi ile b matrisinin ccedilarpım matrisi olan c2 varsa bulalım
c) a matrisinin elemanları
ile c matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c3 matrisi varsa bulalım
d) a matrisi ile c matrisinin ccedilarpım matrisi olan c4 varsa bulalım
e) a matrisinin elemanlarının karelerinden olusan matris ile b matrisinin
kosinuumlslerinden olusan matrisler toplamını
bulalım
f) x=[1 00 3] matrisinin i) Karesini ii) Kuumlbuumlnuuml
iii) 10
kuvvetini bulalım
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] b=[3 -3 -41 1 5] ve c=[1 0-1 23 3] matrisleri veriliyor
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
87
Ccediloumlzuumlma) iki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirBu durumda c1 matrisi tanımlıdır ve bunu c1=ab islemi ile gerccedileklestirebilirizb) iki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdırHalbuki a matrisi 2x3 b matrisi de 2x3 olduğundan bu iki matris ccedilarpılamazc) İki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirHalbuki bu matrisler aynı mertebeden olmadığından bu iki matris eleman-elemana ccedilarpma islemi
gerccedileklemezd) İki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdıra matrisi 2x3 luumlk c matrisi de 3x2 lik olduğundan bu iki matris ccedilarpılabilir ve c4 ccedilarpım matrisi 2x2 lik bir matris olurc4 ccedilarpım matrisini c4=ac islemi ile buluruze) a^2+cos(b)f) i) x^2 ii) x^3 iii) x^10
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
88
c) Bir Matrisin Devriğini (Transpozesi) Bulma İslemi
Bir matrisin satırlarını suumltun suumltunlarını satır olarak yazılmasıyla
bulunan matrise bu matrisin devriği (transpozesi) denir
Bir matrisin devriğini islemi ile bulabiliriz
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] nın devriğini buldurup d matrisine atayalım
Ccediloumlzuumlm d=a
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
89
Oumlrnek
b=[7 8 9 10 11 12] matrisinin transpozesini bulabilirmisiniz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
c=bc =
7 108 119 12
90
SORU
a=[1 2 3 4 5 6]
c= [710811912]
ise a ve crsquonin ccedilarpım matrisi
kaccediltır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
Ccedilarpma işlemi k=ack=
50 68122 167
91
SORU
a=[1 2 3 4 5 6] b=[7 8 9 10 11 12]
ise a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan x matrisini bulalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
x=abx =
7 16 2740 55 72
92
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
Aynı mertebeden iki matrisin elemanlarını teker teker boumllerek aynı
mertebeye yazılmasına iki matrisin sol boumllmesi denir ve bu islemi ile
yapılır
a b ve c aynı mertebeden kare matrisler olmak uumlzere
c=ab ise a matrisine c nin b matrisine boumlluumlmuuml denir
c boumlluumlm matrisi islemi ile yapılır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
93
HATIRLATMA
2x2 lik i2 adlı birim matrisi i2=eye(22)
3x luumlk i3 adlı birim matrisi i2=eye(33) islemi ile olusturabiiriz
Aynı mertebeden a ve b kare matrisleri iccedilin a ile b nin ccedilarpımı birim matris ise
b matrisi a matrisinin (aynı biccedilimde a matrisi de b matrisinin) ters matrisidir
Oumlrnek
3x3 luumlk bir a kare matrisinin tersini bulmak iccedilin
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
eye(33)a veya inv(a) islemini kullanırız
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
94
Bir Matrisin Determinantı
Determinant kare matrisleri bir sayıya eşleyen fonksiyondur
Determinant fonksiyonunun kare matrisi eşlediği o sayıya matrisin
determinantı denir
A matrisinin determinantı detA veya |A| biccediliminde goumlsterilir
|A| matrislerde mutlak değer anlamına gelmez |A| sıfır veya
negatif de olabilir
det(x)
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
95
KURAL
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
96
Oumlrnek
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Determinant
raquo
deter=det(x)deter =
21
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
97
Oumlrnek Inverse işlemi
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Detx=det(x)=21 ise
raquo y=inv(x)y =
821 121 -521 221
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
98
SORU
a=[2 -10 01 2 43 0 1] matrisi ile b=[1 5 41 -1 20 1 -1] matrisleri veriliyor
a)
a matrisinin elemanlarını
sırasıyla b matrisinin elemanlarına boumllerek elde
edilen matrisi b1 matrisine atayalım
b) a matrisinin ta ters matrisini bulalım
c) a ile ta matrisinin ccedilarpımının 3x3 luumlk birim matris olduğunu goumlsterelim
d) a matrisinin b matrisine boumlluumlmuumlnuuml
b2 matrisine atayalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
99
Ccediloumlzuumlm
a)
b1=ab
b) ta1=eye(33)a veya ta2=inv(a)
c) ata ==eye(33)
d) b2=ab
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
54
oVektoumlrler tek boyutlu sayı
dizileridir
oElemanlarının sıralanma youmlnlerine goumlre suumltun veya satır vektoumlruuml
adlarını alırlar
ovektoumlrler [ ] koumlşeli parantezleri ile tanımlanır
ofarklı
yolla tanımlanabilirler
4 VektoumlrlerMatlab
A = [4 12 -8 6]A = [4 12 -8 6]
B = [1 2 4 6]
Satır Vektoumlruuml
Suumltun Vektoumlruumlgtgt b=[1 2 4 6 ]
55
4 VektoumlrlerMatlab
ovektoumlr boyutları
buumlyuumlduumlkccedile manuel olarak tanıtım işlemi oldukccedila zorlaşmaktadır
oOumlzellikle belli bir artıma sahip vektoumlrlerin oluşturulmasında () operatoumlruuml kullanılmaktadır
C = [-105150]
Son değerBaşlangıccedil değeri Artış
miktarı
Drsquo
= [30-10-30]
Suumltun Vektoumlruuml
56
Vektoumlr indisleri
4 VektoumlrlerMatlab
Bir vektoumlruumln elemanlarına atanılan değer değişkenler editoumlruuml
veya eleman adresi vasıtasıyla değiştirilebilir
OumlrnekA = [4 12 -8 6]1 A vektoumlruumlnuumln 3 elemanını
27 ile değiştiriniz
2 Benzer şekilde A vektoumlruumlnuumln 2 elemanını
siliniz 3 A(9) = 12
Ccediloumlzuumlm1 A(3) = 272 Vektoumlruumln elemanına [ ] değeri atandığında eleman silinirA(2) = [ ]3 gtgt A(9) = 12
A= [ 4 27 6]
A =[ 2 27 7 0 0 0 0 0 12]
57
raquo x=[17 8 61 83 56]
Şeklindeki bir matrisin uumlccediluumlncuuml
elemanına erişmek istenirse
raquo c=x(3)
c =
61
Eğer bir blok şeklinde veriye erişilmek istenirse
raquo x(24)
ans =
8 61 83
Her matristeki herhangi bir elman grubuna erişilmek istenirse
raquo x([3 1 4])
ans =
61 17 83
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
58
Bir diziye duumlzenli artıs (veya azalıs) kuralıyla değerler atanmak isteniyorsa
bunu
ilk_değerartısson değer veya ilk_değerartısson değer
biccediliminde yapabiliriz
Ancak artıs 1 ise belirtilmeyebilirOumlrnekortalama adlı
bir diziye 0 dan 5 e kadar 05 er artısla elde edilen sayı
dizisini atayanortalama=[0055]
Siz 1 satır 7 den den 17 ye kadar olan tam sayılar 2 satırı
99 dan 89 a kadar azalan tam sayılardan olusan 2 boyutlu m dizisine atayan islemleri yazınız
Dizilerin Değerlerinin Değistirilmesi ve Duumlzenlenmesi
4 VektoumlrlerMatlab
59
4 VektoumlrlerMatlab
60
Sayılardan olusan satır ve suumltun yapısına matris (dizi) denir
Oumlrneğin
d1=[5] 1x1 lik
d2=[ 2 -7] 1x2 lik
d3= [1 0 -3 ]
[ 5 3 1 ]
2x3 luumlk bir dizidir
Oumlrnekx=[1 7 18 5]Ya daraquo x=[ 1
7185 ]
Biccedilimlerinde girilebilir
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
61
Dizilerin Değerlerinin Değistirilmesi ve DuumlzenlenmesiBir dizinin herhangi bir elemanını belirlemek iccedilin dizi adından hemen sonra
parantez iccedilinde elemanın bulunduğu satır ve suumltun sayısı yazılmalıdır
Oumlrnek 1 d2=[2 -7]d2 dizisinin -7 elemanını
goumlruumlntuumllemek iccedilin
d2(12)
2 d3=[1 0 -35 3 1]d3 dizisinin 2 satır 1 suumltununda bulunan 5 in değerinin -75 olması
iccedilin
d3(21)=-75
Not1) Bir dizinin bir ccedilok elemanını
yeniden değer atamak gerekirse komut satırından atama yapmak uzun zaman alabilirBu durumda dizi değiskeninin uumlzerine ccedilift tıklayarak accedilılan dizi editoumlruuml
(array edit) yardımıyla değisiklikleri daha kolay yapabiliriz
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
62
8 Matrisler(Dizi)Matlab
Bir matrisi girerken o1 Elemanlar baştan ve sondan koumlşeli parantezlerle kapatılıro2 Elemanların arasına boşluk veya virguumll konuluro3 Matris satırlarını
ayırmak iccedilin de noktalı
virguumll kullanılır
okurallarına dikkate alınmalıdır
Oumlrneğin
A = [1 2 3 4 5 6]A =
1 2 34 5 6
şeklinde veriler matrisler biccediliminde tanımlanır MATLAB daha sonra kullanılmak uumlzere verileri A matrisinde saklar
63
Matris elemanları
rasgele rakamlardan oluşabileceği gibi MATLABrsquoın deyimlerinden de oluşabilir
51 Matrislerde ElemanlarMatlab
Oumlrneğin
a=[-13 sqrt(3) (1+2+3)475]
a= -13000 17321 48000
Kuumlccediluumlk matrisleri eleman olarak kullanıp daha buumlyuumlk matrisler oluşturmak muumlmkuumlnduumlr
OumlrneğinM=[1 3 5
7 8 9] matrisine
aşağıda goumlsterildiği şekilde bir satır eklemesi yapabilir
M=[M[10 13 15]]
Bu durumda M matrisiM=[1 3 5
7 8 910 13 15]
durumunu alır
64
İki nokta uumlst uumlste () kullanarak buumlyuumlk matrislerin belli bir kısmını
kullanabiliriz
ya da diğer ifade ile bu matrisi kuumlccediluumlltebiliriz
Oumlrneğin
M=M(12) bildirimi M matrisinin ilk iki satırını
alarak M matrisi
olarak saklar
Oumlrnek
M=[8 -4 7 66 -7 8 9 4 5 134] ise
M=M(12) =
8 1 Matrislerde ElemanlarMatlab
65
MATLABrsquoda kullanıcı
verileri kendi oluşturacağı
matrisler ile tanımlayabileceği gibi MATLABrsquoın kendi oumlzel matrislerinden de istifade edilebilir
52 Genel MatrislerMatlab
66
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
a) Sıfır Matrisi Olusturan Fonksiyon
Her elemanı sıfır olan mxn boyutunda bir matrise sıfır matrisi denir
Boumlyle bir dizi olusturmak iccedilin zeros fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=zeros(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
3x5 boyutunda s adlı
sıfır matrisi iccedilin
s=zeros(35)
52 Genel MatrislerMatlab
67
b) 1 lerden Olusan Matris
Her elemanı 1 olan mxn boyutunda bir matrisi olusturmak iccedilin ones
fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matria_adı=ones(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
2x3 boyutunda b adlı
tuumlm elemanları
1 olan matrisi olusturalım
b=ones(23)
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
52 Genel MatrislerMatlab
68
c) Birim Matrisi Olusturan Fonksiyon
Esas koumlsegeni 1 lerden diğer elemanları 0 lardan olusan kare matrise (satır
ve suumltun sayısı esit olan ) birim matrisi
kare olmayan matrise de diyagonal matris denir
Boumlyle matrisleri olusturmak iccedilin eye fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=eye(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
a)
3x3 luumlk birim matris
b) 4x3 lluumlk diyagonal matris olusturalım
Ccediloumlzuumlma) i=eye(33) b) d=eye(43)
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar52 Genel MatrislerMatlab
69
d) Rastgele Sayılardan Olusan Matris ve Fonksiyonu
Elemanları 0 ile 1 arasındaki rastgele sayılardan olusan bir matris iccedilin
rand fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=rand(mn) biccedilimindedir(msatırnsuumltun)
Not 1) Uumlretilen matrisin tuumlm elemanlarını k gibi bir sayı ile ccedilarparak
sayıları 0 ile k arasına ccedilekebiliriz
Not 2) Ondalıklı sayılardan olusmus bir matrisin elemanlarını
yuvarlayıp tam sayı yapmak iccedilin round fonksiyonunu kullanırız
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar52 Genel MatrislerMatlab
70
Oumlrnek
a) 0 ile 1 arasında rastgele sayılardan olusan 10 elemanlı
a adında bir satır
matrisi olusturalım
b) Elemanları
10 ile 50 arasında sayılardan olusan 5x3 tipinde b matrisini
olusturalım
c) Elemanları
50 ile 300 arasındaki tamsayılardan olusan 3x4 tipinde c matrisini
olusturalım
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
d) Rastgele Sayılardan Olusan Matris ve Fonksiyonu
52 Genel MatrislerMatlab
71
Ccediloumlzuumlm
a)
a=rand(110)
b)
b=10+rand(53)40
c) c=round(50+rand(34)250)
52 Genel MatrislerMatlab
72
e) Rastgele Sayılardan Olusan Normal Dağılımlı
Matris veFonksiyonu
Elemanları rasstgele sayılardan olusan bir normal dağılımlı bir matris iccedilin
randn fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=randn(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek Rastgele sayılardan olusan normal dağılımlı 2x3 luumlk bir n matrisini
olusturalım
Ccediloumlzuumlm n=randn(23)
52 Genel MatrislerMatlab
73
f) Lineer Aralıklı
(Aritmetik) Dizi ve Fonksiyonu
Baslangıccedil ve biis değerleri ve kaccedil elemandan olusacağı belirlenen diziyi
olusturmak iccedilin linspace fonksiyonu kullanılır
Kullanımı
dizi_adı=linspace(ilk_değerson_değereleman_sayısı)
biccedilimindedir
52 Genel MatrislerMatlab
74
Oumlrnek 10 ile 30 arasına 9 tane daha sayı
koyarak aadında bir aritmetik dizi olusturalım
f) Lineer Aralıklı
(Aritmetik) Dizi ve Fonksiyonu
52 Genel MatrislerMatlab
Cevapa=linspace(103011)
75
Elimizdeki grubun her elemanı iccedilin bir matematik işlemi yapıp bunu yeni bir
diziye atarken herhangi bir sorun yoktur
Fakat iki farklı grupla işlemler yaparken dikkat etmemiz gereken genel
kurallar vardır
Oumlrneğin toplama ve ccedilıkarma yaparken iki dizinin de buumlyuumlkluumlğuumlnuumln eşit
olması gerekmektedir
Ayrıca iki farklı dizinin elemanları arasında birebir işlem yapmak iccedilin
matematik operatoumlruumlnuumln başına nokta() koymak gerekir
Bu durumda her bir elemanı diğer dizinin o sıradaki elmanı ile işleme
sokacaktır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
76
Birden fazla satır ve suumltuna sahip vektoumlrlere matris denir Noktalı
virguumll ()
işareti ile kolonları
ve virguumlle işareti ya da boşluk
bırakarak da bir sıradaki elemanları
ayırabilirizOumlrnekraquo x=[ 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14]x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14Yukarıdaki 3x4 boyutunda bir matristir MATLAB programına aşağıdaki
gibi de sunulabilirraquo x=[ 3 4 5 6
7 8 9 1011 12 13 14]
x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
77
Matristeki herhangi bir elemana direk ulaşmak iccedilin aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(23)=9
Eğer isteğimiz eriştiğimiz bir elemanı
değiştirmek veya yeni bir satır eklemek ise aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(41)=1x =
3 4 5 67 8 9 1011 12 13 141 0 0 0
Bu durumda doumlrduumlncuuml
satır ilk elemanını
biz 1 değerini atadık ve diğer elemanları
kendiliğinden ldquo0rdquo
olarak atadı
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
78
İki nokta uumlst uumlste () kullanılarak belirli aralıkta değişen matrisler yaratılabilir
raquo x=[127 3-10 -12]x =
1 3 5 73 2 1 0
-1 0 1 2Bir matrisin herhangi bir boumlluumlmuumlnuuml
seccedilmek iccedilin ise aşağıdaki goumlsterim
kullanılırraquo z=x(23 12)z =
3 2-1 0
Bu durumda z matris x matrisinin 2 ve 3 norsquo
lu satırlarından 1 ve 2 norsquo
lu suumltunlarını
almış
oluyor
Herhangi bir satır veya suumltunu tamamen silmek istersek o satır ve suumltunu seccedilip ldquo[]rdquo
ifadesine eşitleriz
raquo z(2)=[ ]z =
3 -1
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
79
Matlab size ve length komutları
yardımı
ile size matrisinizin boyutlarını
soumlyler
raquo a=[ 2 3 4 5 67 8 9 10 11]
raquo s=size(a)s =
2 5
raquo b=[ 17 11 0 30 40 50]
raquo k=length(b)k =
6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
80
a) Toplama-Ccedilıkarma Bir Sayı
ile Ccedilarpma İşlemi
İki matrisi toplamak (veya ccedilıkarmak) demek matrislerin aynı
mertebedeki elemanları teker teker toplayıp (veya ccedilıkarıp ) aynı
mertebeye yazmak demektir
Bu durumda iki matrisin de aynı mertebeden olması gereği accedilıktır
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile toplamak (veya ccedilıkarmak) demek
matrisin elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla toplamak (veya
ccedilıkarmak )demektir
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile ccedilarpmak demek ise matrisin
elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla ccedilarpmak demektir
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
81
82
Oumlrnek
raquo a=[1 2 3 4 5 6]raquo b=[7 8 9 10 11 12]
a ve b toplamıraquo sum=a+bsum =
8 10 1214 16 18
arsquo
yı
brsquo
den ccedilıkarmak
raquo diff=a-bdiff =
-6 -6 -6-6 -6 -6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
83
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] ve b=[3 -3 -41 1 5] matrisleri
veriliyor
a)
c=a+b toplam matrisini
b)
d=a-b matrisini
c)
amatrisinin her elemanınının 5 eksiğine karsılık gelen e
matrisini
d) f=2a-3b matrisini bulduran islemleri yazalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
a) c=a+b b) d=a-b c) e=a-5 d) f=a+a-b-b-b veya
f=2a-3b
84
İki matrisin ccedilarpım islemi iki biccedilimde anlasılır
1)
Aynı
mertebeden iki matrisin elemanlarını
teker teker ccedilarpıp aynı
mertebeye
yazmak demektir Bunu
islemi ile gerccedileklestiririz
2) Matematiksel anlamda iki matrisi ccedilarpmak istediğimizde birinci matris mxn
tuumlruumlnde ve ikinci matris mutlaka nxp tuumlruumlnde olmalıdır yani birinci matrisin
suumltun sayısı
ikinci matrisin satır sayısına eşit olmalıdır
Bu durumda birinci matrisin i suumltun elemanları
ile ikinci matrisin j satırındaki
elemanlar karılıklı
olarak ccedilarpılır ve sonuccedillar toplanır ve bu toplam ccedilarpım
matrisinin (ij) inci mertebeye yazılır
Matrisler arası
ccedilarpma isleminin semboluuml
de dır
b) İki Matrisin Ccedilarpımı Bir Matrisin Kuvvetleri veCcedilarpma İslemi
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
85
3) Bir a matrisinin her bir elemanının n Kuvvetlerinden olusan matrisi
bulmak iccedilin a^n islemi kullanılır
4) Satır ve suumltun sayıları
esit bir kare matrisi ardısık olarak n defa
kendisiyle ccedilarparak a matrisinin n kuvvetini bulabilirizOumlrneğin a matrisinin
karesi iccedilin aa veya a^2 kuumlbuumlnuuml
buldurmak iccedilin aaa veya a^3
doumlrduumlncuuml
kuvvetini buldurmak iccedilin aaaa veya a^4
Not) Bir a matrisinin eleman -elemana ccedilarpma islemine benzer mantıkla bir matrisin tuumlm elemanlarının kareleri kuumlbleri sinuumlsleri kosinuumlsleri logaritmalarından olusan matris bulunmak istenirse bunu sırayla aa (veya a^2) aaa (veya a^3) sin(a) cos(a) etabanında logaritması
iccedilin log(a) 10 tabanında logaritmaları
iccedilin log10(a) Biccediliminde gerccedileklestirebiliriz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
86
a) a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c1 matrisi varsa bulalım
b) a matrisi ile b matrisinin ccedilarpım matrisi olan c2 varsa bulalım
c) a matrisinin elemanları
ile c matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c3 matrisi varsa bulalım
d) a matrisi ile c matrisinin ccedilarpım matrisi olan c4 varsa bulalım
e) a matrisinin elemanlarının karelerinden olusan matris ile b matrisinin
kosinuumlslerinden olusan matrisler toplamını
bulalım
f) x=[1 00 3] matrisinin i) Karesini ii) Kuumlbuumlnuuml
iii) 10
kuvvetini bulalım
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] b=[3 -3 -41 1 5] ve c=[1 0-1 23 3] matrisleri veriliyor
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
87
Ccediloumlzuumlma) iki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirBu durumda c1 matrisi tanımlıdır ve bunu c1=ab islemi ile gerccedileklestirebilirizb) iki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdırHalbuki a matrisi 2x3 b matrisi de 2x3 olduğundan bu iki matris ccedilarpılamazc) İki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirHalbuki bu matrisler aynı mertebeden olmadığından bu iki matris eleman-elemana ccedilarpma islemi
gerccedileklemezd) İki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdıra matrisi 2x3 luumlk c matrisi de 3x2 lik olduğundan bu iki matris ccedilarpılabilir ve c4 ccedilarpım matrisi 2x2 lik bir matris olurc4 ccedilarpım matrisini c4=ac islemi ile buluruze) a^2+cos(b)f) i) x^2 ii) x^3 iii) x^10
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
88
c) Bir Matrisin Devriğini (Transpozesi) Bulma İslemi
Bir matrisin satırlarını suumltun suumltunlarını satır olarak yazılmasıyla
bulunan matrise bu matrisin devriği (transpozesi) denir
Bir matrisin devriğini islemi ile bulabiliriz
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] nın devriğini buldurup d matrisine atayalım
Ccediloumlzuumlm d=a
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
89
Oumlrnek
b=[7 8 9 10 11 12] matrisinin transpozesini bulabilirmisiniz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
c=bc =
7 108 119 12
90
SORU
a=[1 2 3 4 5 6]
c= [710811912]
ise a ve crsquonin ccedilarpım matrisi
kaccediltır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
Ccedilarpma işlemi k=ack=
50 68122 167
91
SORU
a=[1 2 3 4 5 6] b=[7 8 9 10 11 12]
ise a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan x matrisini bulalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
x=abx =
7 16 2740 55 72
92
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
Aynı mertebeden iki matrisin elemanlarını teker teker boumllerek aynı
mertebeye yazılmasına iki matrisin sol boumllmesi denir ve bu islemi ile
yapılır
a b ve c aynı mertebeden kare matrisler olmak uumlzere
c=ab ise a matrisine c nin b matrisine boumlluumlmuuml denir
c boumlluumlm matrisi islemi ile yapılır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
93
HATIRLATMA
2x2 lik i2 adlı birim matrisi i2=eye(22)
3x luumlk i3 adlı birim matrisi i2=eye(33) islemi ile olusturabiiriz
Aynı mertebeden a ve b kare matrisleri iccedilin a ile b nin ccedilarpımı birim matris ise
b matrisi a matrisinin (aynı biccedilimde a matrisi de b matrisinin) ters matrisidir
Oumlrnek
3x3 luumlk bir a kare matrisinin tersini bulmak iccedilin
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
eye(33)a veya inv(a) islemini kullanırız
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
94
Bir Matrisin Determinantı
Determinant kare matrisleri bir sayıya eşleyen fonksiyondur
Determinant fonksiyonunun kare matrisi eşlediği o sayıya matrisin
determinantı denir
A matrisinin determinantı detA veya |A| biccediliminde goumlsterilir
|A| matrislerde mutlak değer anlamına gelmez |A| sıfır veya
negatif de olabilir
det(x)
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
95
KURAL
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
96
Oumlrnek
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Determinant
raquo
deter=det(x)deter =
21
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
97
Oumlrnek Inverse işlemi
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Detx=det(x)=21 ise
raquo y=inv(x)y =
821 121 -521 221
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
98
SORU
a=[2 -10 01 2 43 0 1] matrisi ile b=[1 5 41 -1 20 1 -1] matrisleri veriliyor
a)
a matrisinin elemanlarını
sırasıyla b matrisinin elemanlarına boumllerek elde
edilen matrisi b1 matrisine atayalım
b) a matrisinin ta ters matrisini bulalım
c) a ile ta matrisinin ccedilarpımının 3x3 luumlk birim matris olduğunu goumlsterelim
d) a matrisinin b matrisine boumlluumlmuumlnuuml
b2 matrisine atayalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
99
Ccediloumlzuumlm
a)
b1=ab
b) ta1=eye(33)a veya ta2=inv(a)
c) ata ==eye(33)
d) b2=ab
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
55
4 VektoumlrlerMatlab
ovektoumlr boyutları
buumlyuumlduumlkccedile manuel olarak tanıtım işlemi oldukccedila zorlaşmaktadır
oOumlzellikle belli bir artıma sahip vektoumlrlerin oluşturulmasında () operatoumlruuml kullanılmaktadır
C = [-105150]
Son değerBaşlangıccedil değeri Artış
miktarı
Drsquo
= [30-10-30]
Suumltun Vektoumlruuml
56
Vektoumlr indisleri
4 VektoumlrlerMatlab
Bir vektoumlruumln elemanlarına atanılan değer değişkenler editoumlruuml
veya eleman adresi vasıtasıyla değiştirilebilir
OumlrnekA = [4 12 -8 6]1 A vektoumlruumlnuumln 3 elemanını
27 ile değiştiriniz
2 Benzer şekilde A vektoumlruumlnuumln 2 elemanını
siliniz 3 A(9) = 12
Ccediloumlzuumlm1 A(3) = 272 Vektoumlruumln elemanına [ ] değeri atandığında eleman silinirA(2) = [ ]3 gtgt A(9) = 12
A= [ 4 27 6]
A =[ 2 27 7 0 0 0 0 0 12]
57
raquo x=[17 8 61 83 56]
Şeklindeki bir matrisin uumlccediluumlncuuml
elemanına erişmek istenirse
raquo c=x(3)
c =
61
Eğer bir blok şeklinde veriye erişilmek istenirse
raquo x(24)
ans =
8 61 83
Her matristeki herhangi bir elman grubuna erişilmek istenirse
raquo x([3 1 4])
ans =
61 17 83
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
58
Bir diziye duumlzenli artıs (veya azalıs) kuralıyla değerler atanmak isteniyorsa
bunu
ilk_değerartısson değer veya ilk_değerartısson değer
biccediliminde yapabiliriz
Ancak artıs 1 ise belirtilmeyebilirOumlrnekortalama adlı
bir diziye 0 dan 5 e kadar 05 er artısla elde edilen sayı
dizisini atayanortalama=[0055]
Siz 1 satır 7 den den 17 ye kadar olan tam sayılar 2 satırı
99 dan 89 a kadar azalan tam sayılardan olusan 2 boyutlu m dizisine atayan islemleri yazınız
Dizilerin Değerlerinin Değistirilmesi ve Duumlzenlenmesi
4 VektoumlrlerMatlab
59
4 VektoumlrlerMatlab
60
Sayılardan olusan satır ve suumltun yapısına matris (dizi) denir
Oumlrneğin
d1=[5] 1x1 lik
d2=[ 2 -7] 1x2 lik
d3= [1 0 -3 ]
[ 5 3 1 ]
2x3 luumlk bir dizidir
Oumlrnekx=[1 7 18 5]Ya daraquo x=[ 1
7185 ]
Biccedilimlerinde girilebilir
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
61
Dizilerin Değerlerinin Değistirilmesi ve DuumlzenlenmesiBir dizinin herhangi bir elemanını belirlemek iccedilin dizi adından hemen sonra
parantez iccedilinde elemanın bulunduğu satır ve suumltun sayısı yazılmalıdır
Oumlrnek 1 d2=[2 -7]d2 dizisinin -7 elemanını
goumlruumlntuumllemek iccedilin
d2(12)
2 d3=[1 0 -35 3 1]d3 dizisinin 2 satır 1 suumltununda bulunan 5 in değerinin -75 olması
iccedilin
d3(21)=-75
Not1) Bir dizinin bir ccedilok elemanını
yeniden değer atamak gerekirse komut satırından atama yapmak uzun zaman alabilirBu durumda dizi değiskeninin uumlzerine ccedilift tıklayarak accedilılan dizi editoumlruuml
(array edit) yardımıyla değisiklikleri daha kolay yapabiliriz
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
62
8 Matrisler(Dizi)Matlab
Bir matrisi girerken o1 Elemanlar baştan ve sondan koumlşeli parantezlerle kapatılıro2 Elemanların arasına boşluk veya virguumll konuluro3 Matris satırlarını
ayırmak iccedilin de noktalı
virguumll kullanılır
okurallarına dikkate alınmalıdır
Oumlrneğin
A = [1 2 3 4 5 6]A =
1 2 34 5 6
şeklinde veriler matrisler biccediliminde tanımlanır MATLAB daha sonra kullanılmak uumlzere verileri A matrisinde saklar
63
Matris elemanları
rasgele rakamlardan oluşabileceği gibi MATLABrsquoın deyimlerinden de oluşabilir
51 Matrislerde ElemanlarMatlab
Oumlrneğin
a=[-13 sqrt(3) (1+2+3)475]
a= -13000 17321 48000
Kuumlccediluumlk matrisleri eleman olarak kullanıp daha buumlyuumlk matrisler oluşturmak muumlmkuumlnduumlr
OumlrneğinM=[1 3 5
7 8 9] matrisine
aşağıda goumlsterildiği şekilde bir satır eklemesi yapabilir
M=[M[10 13 15]]
Bu durumda M matrisiM=[1 3 5
7 8 910 13 15]
durumunu alır
64
İki nokta uumlst uumlste () kullanarak buumlyuumlk matrislerin belli bir kısmını
kullanabiliriz
ya da diğer ifade ile bu matrisi kuumlccediluumlltebiliriz
Oumlrneğin
M=M(12) bildirimi M matrisinin ilk iki satırını
alarak M matrisi
olarak saklar
Oumlrnek
M=[8 -4 7 66 -7 8 9 4 5 134] ise
M=M(12) =
8 1 Matrislerde ElemanlarMatlab
65
MATLABrsquoda kullanıcı
verileri kendi oluşturacağı
matrisler ile tanımlayabileceği gibi MATLABrsquoın kendi oumlzel matrislerinden de istifade edilebilir
52 Genel MatrislerMatlab
66
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
a) Sıfır Matrisi Olusturan Fonksiyon
Her elemanı sıfır olan mxn boyutunda bir matrise sıfır matrisi denir
Boumlyle bir dizi olusturmak iccedilin zeros fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=zeros(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
3x5 boyutunda s adlı
sıfır matrisi iccedilin
s=zeros(35)
52 Genel MatrislerMatlab
67
b) 1 lerden Olusan Matris
Her elemanı 1 olan mxn boyutunda bir matrisi olusturmak iccedilin ones
fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matria_adı=ones(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
2x3 boyutunda b adlı
tuumlm elemanları
1 olan matrisi olusturalım
b=ones(23)
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
52 Genel MatrislerMatlab
68
c) Birim Matrisi Olusturan Fonksiyon
Esas koumlsegeni 1 lerden diğer elemanları 0 lardan olusan kare matrise (satır
ve suumltun sayısı esit olan ) birim matrisi
kare olmayan matrise de diyagonal matris denir
Boumlyle matrisleri olusturmak iccedilin eye fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=eye(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
a)
3x3 luumlk birim matris
b) 4x3 lluumlk diyagonal matris olusturalım
Ccediloumlzuumlma) i=eye(33) b) d=eye(43)
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar52 Genel MatrislerMatlab
69
d) Rastgele Sayılardan Olusan Matris ve Fonksiyonu
Elemanları 0 ile 1 arasındaki rastgele sayılardan olusan bir matris iccedilin
rand fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=rand(mn) biccedilimindedir(msatırnsuumltun)
Not 1) Uumlretilen matrisin tuumlm elemanlarını k gibi bir sayı ile ccedilarparak
sayıları 0 ile k arasına ccedilekebiliriz
Not 2) Ondalıklı sayılardan olusmus bir matrisin elemanlarını
yuvarlayıp tam sayı yapmak iccedilin round fonksiyonunu kullanırız
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar52 Genel MatrislerMatlab
70
Oumlrnek
a) 0 ile 1 arasında rastgele sayılardan olusan 10 elemanlı
a adında bir satır
matrisi olusturalım
b) Elemanları
10 ile 50 arasında sayılardan olusan 5x3 tipinde b matrisini
olusturalım
c) Elemanları
50 ile 300 arasındaki tamsayılardan olusan 3x4 tipinde c matrisini
olusturalım
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
d) Rastgele Sayılardan Olusan Matris ve Fonksiyonu
52 Genel MatrislerMatlab
71
Ccediloumlzuumlm
a)
a=rand(110)
b)
b=10+rand(53)40
c) c=round(50+rand(34)250)
52 Genel MatrislerMatlab
72
e) Rastgele Sayılardan Olusan Normal Dağılımlı
Matris veFonksiyonu
Elemanları rasstgele sayılardan olusan bir normal dağılımlı bir matris iccedilin
randn fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=randn(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek Rastgele sayılardan olusan normal dağılımlı 2x3 luumlk bir n matrisini
olusturalım
Ccediloumlzuumlm n=randn(23)
52 Genel MatrislerMatlab
73
f) Lineer Aralıklı
(Aritmetik) Dizi ve Fonksiyonu
Baslangıccedil ve biis değerleri ve kaccedil elemandan olusacağı belirlenen diziyi
olusturmak iccedilin linspace fonksiyonu kullanılır
Kullanımı
dizi_adı=linspace(ilk_değerson_değereleman_sayısı)
biccedilimindedir
52 Genel MatrislerMatlab
74
Oumlrnek 10 ile 30 arasına 9 tane daha sayı
koyarak aadında bir aritmetik dizi olusturalım
f) Lineer Aralıklı
(Aritmetik) Dizi ve Fonksiyonu
52 Genel MatrislerMatlab
Cevapa=linspace(103011)
75
Elimizdeki grubun her elemanı iccedilin bir matematik işlemi yapıp bunu yeni bir
diziye atarken herhangi bir sorun yoktur
Fakat iki farklı grupla işlemler yaparken dikkat etmemiz gereken genel
kurallar vardır
Oumlrneğin toplama ve ccedilıkarma yaparken iki dizinin de buumlyuumlkluumlğuumlnuumln eşit
olması gerekmektedir
Ayrıca iki farklı dizinin elemanları arasında birebir işlem yapmak iccedilin
matematik operatoumlruumlnuumln başına nokta() koymak gerekir
Bu durumda her bir elemanı diğer dizinin o sıradaki elmanı ile işleme
sokacaktır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
76
Birden fazla satır ve suumltuna sahip vektoumlrlere matris denir Noktalı
virguumll ()
işareti ile kolonları
ve virguumlle işareti ya da boşluk
bırakarak da bir sıradaki elemanları
ayırabilirizOumlrnekraquo x=[ 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14]x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14Yukarıdaki 3x4 boyutunda bir matristir MATLAB programına aşağıdaki
gibi de sunulabilirraquo x=[ 3 4 5 6
7 8 9 1011 12 13 14]
x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
77
Matristeki herhangi bir elemana direk ulaşmak iccedilin aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(23)=9
Eğer isteğimiz eriştiğimiz bir elemanı
değiştirmek veya yeni bir satır eklemek ise aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(41)=1x =
3 4 5 67 8 9 1011 12 13 141 0 0 0
Bu durumda doumlrduumlncuuml
satır ilk elemanını
biz 1 değerini atadık ve diğer elemanları
kendiliğinden ldquo0rdquo
olarak atadı
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
78
İki nokta uumlst uumlste () kullanılarak belirli aralıkta değişen matrisler yaratılabilir
raquo x=[127 3-10 -12]x =
1 3 5 73 2 1 0
-1 0 1 2Bir matrisin herhangi bir boumlluumlmuumlnuuml
seccedilmek iccedilin ise aşağıdaki goumlsterim
kullanılırraquo z=x(23 12)z =
3 2-1 0
Bu durumda z matris x matrisinin 2 ve 3 norsquo
lu satırlarından 1 ve 2 norsquo
lu suumltunlarını
almış
oluyor
Herhangi bir satır veya suumltunu tamamen silmek istersek o satır ve suumltunu seccedilip ldquo[]rdquo
ifadesine eşitleriz
raquo z(2)=[ ]z =
3 -1
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
79
Matlab size ve length komutları
yardımı
ile size matrisinizin boyutlarını
soumlyler
raquo a=[ 2 3 4 5 67 8 9 10 11]
raquo s=size(a)s =
2 5
raquo b=[ 17 11 0 30 40 50]
raquo k=length(b)k =
6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
80
a) Toplama-Ccedilıkarma Bir Sayı
ile Ccedilarpma İşlemi
İki matrisi toplamak (veya ccedilıkarmak) demek matrislerin aynı
mertebedeki elemanları teker teker toplayıp (veya ccedilıkarıp ) aynı
mertebeye yazmak demektir
Bu durumda iki matrisin de aynı mertebeden olması gereği accedilıktır
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile toplamak (veya ccedilıkarmak) demek
matrisin elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla toplamak (veya
ccedilıkarmak )demektir
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile ccedilarpmak demek ise matrisin
elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla ccedilarpmak demektir
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
81
82
Oumlrnek
raquo a=[1 2 3 4 5 6]raquo b=[7 8 9 10 11 12]
a ve b toplamıraquo sum=a+bsum =
8 10 1214 16 18
arsquo
yı
brsquo
den ccedilıkarmak
raquo diff=a-bdiff =
-6 -6 -6-6 -6 -6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
83
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] ve b=[3 -3 -41 1 5] matrisleri
veriliyor
a)
c=a+b toplam matrisini
b)
d=a-b matrisini
c)
amatrisinin her elemanınının 5 eksiğine karsılık gelen e
matrisini
d) f=2a-3b matrisini bulduran islemleri yazalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
a) c=a+b b) d=a-b c) e=a-5 d) f=a+a-b-b-b veya
f=2a-3b
84
İki matrisin ccedilarpım islemi iki biccedilimde anlasılır
1)
Aynı
mertebeden iki matrisin elemanlarını
teker teker ccedilarpıp aynı
mertebeye
yazmak demektir Bunu
islemi ile gerccedileklestiririz
2) Matematiksel anlamda iki matrisi ccedilarpmak istediğimizde birinci matris mxn
tuumlruumlnde ve ikinci matris mutlaka nxp tuumlruumlnde olmalıdır yani birinci matrisin
suumltun sayısı
ikinci matrisin satır sayısına eşit olmalıdır
Bu durumda birinci matrisin i suumltun elemanları
ile ikinci matrisin j satırındaki
elemanlar karılıklı
olarak ccedilarpılır ve sonuccedillar toplanır ve bu toplam ccedilarpım
matrisinin (ij) inci mertebeye yazılır
Matrisler arası
ccedilarpma isleminin semboluuml
de dır
b) İki Matrisin Ccedilarpımı Bir Matrisin Kuvvetleri veCcedilarpma İslemi
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
85
3) Bir a matrisinin her bir elemanının n Kuvvetlerinden olusan matrisi
bulmak iccedilin a^n islemi kullanılır
4) Satır ve suumltun sayıları
esit bir kare matrisi ardısık olarak n defa
kendisiyle ccedilarparak a matrisinin n kuvvetini bulabilirizOumlrneğin a matrisinin
karesi iccedilin aa veya a^2 kuumlbuumlnuuml
buldurmak iccedilin aaa veya a^3
doumlrduumlncuuml
kuvvetini buldurmak iccedilin aaaa veya a^4
Not) Bir a matrisinin eleman -elemana ccedilarpma islemine benzer mantıkla bir matrisin tuumlm elemanlarının kareleri kuumlbleri sinuumlsleri kosinuumlsleri logaritmalarından olusan matris bulunmak istenirse bunu sırayla aa (veya a^2) aaa (veya a^3) sin(a) cos(a) etabanında logaritması
iccedilin log(a) 10 tabanında logaritmaları
iccedilin log10(a) Biccediliminde gerccedileklestirebiliriz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
86
a) a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c1 matrisi varsa bulalım
b) a matrisi ile b matrisinin ccedilarpım matrisi olan c2 varsa bulalım
c) a matrisinin elemanları
ile c matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c3 matrisi varsa bulalım
d) a matrisi ile c matrisinin ccedilarpım matrisi olan c4 varsa bulalım
e) a matrisinin elemanlarının karelerinden olusan matris ile b matrisinin
kosinuumlslerinden olusan matrisler toplamını
bulalım
f) x=[1 00 3] matrisinin i) Karesini ii) Kuumlbuumlnuuml
iii) 10
kuvvetini bulalım
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] b=[3 -3 -41 1 5] ve c=[1 0-1 23 3] matrisleri veriliyor
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
87
Ccediloumlzuumlma) iki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirBu durumda c1 matrisi tanımlıdır ve bunu c1=ab islemi ile gerccedileklestirebilirizb) iki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdırHalbuki a matrisi 2x3 b matrisi de 2x3 olduğundan bu iki matris ccedilarpılamazc) İki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirHalbuki bu matrisler aynı mertebeden olmadığından bu iki matris eleman-elemana ccedilarpma islemi
gerccedileklemezd) İki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdıra matrisi 2x3 luumlk c matrisi de 3x2 lik olduğundan bu iki matris ccedilarpılabilir ve c4 ccedilarpım matrisi 2x2 lik bir matris olurc4 ccedilarpım matrisini c4=ac islemi ile buluruze) a^2+cos(b)f) i) x^2 ii) x^3 iii) x^10
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
88
c) Bir Matrisin Devriğini (Transpozesi) Bulma İslemi
Bir matrisin satırlarını suumltun suumltunlarını satır olarak yazılmasıyla
bulunan matrise bu matrisin devriği (transpozesi) denir
Bir matrisin devriğini islemi ile bulabiliriz
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] nın devriğini buldurup d matrisine atayalım
Ccediloumlzuumlm d=a
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
89
Oumlrnek
b=[7 8 9 10 11 12] matrisinin transpozesini bulabilirmisiniz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
c=bc =
7 108 119 12
90
SORU
a=[1 2 3 4 5 6]
c= [710811912]
ise a ve crsquonin ccedilarpım matrisi
kaccediltır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
Ccedilarpma işlemi k=ack=
50 68122 167
91
SORU
a=[1 2 3 4 5 6] b=[7 8 9 10 11 12]
ise a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan x matrisini bulalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
x=abx =
7 16 2740 55 72
92
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
Aynı mertebeden iki matrisin elemanlarını teker teker boumllerek aynı
mertebeye yazılmasına iki matrisin sol boumllmesi denir ve bu islemi ile
yapılır
a b ve c aynı mertebeden kare matrisler olmak uumlzere
c=ab ise a matrisine c nin b matrisine boumlluumlmuuml denir
c boumlluumlm matrisi islemi ile yapılır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
93
HATIRLATMA
2x2 lik i2 adlı birim matrisi i2=eye(22)
3x luumlk i3 adlı birim matrisi i2=eye(33) islemi ile olusturabiiriz
Aynı mertebeden a ve b kare matrisleri iccedilin a ile b nin ccedilarpımı birim matris ise
b matrisi a matrisinin (aynı biccedilimde a matrisi de b matrisinin) ters matrisidir
Oumlrnek
3x3 luumlk bir a kare matrisinin tersini bulmak iccedilin
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
eye(33)a veya inv(a) islemini kullanırız
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
94
Bir Matrisin Determinantı
Determinant kare matrisleri bir sayıya eşleyen fonksiyondur
Determinant fonksiyonunun kare matrisi eşlediği o sayıya matrisin
determinantı denir
A matrisinin determinantı detA veya |A| biccediliminde goumlsterilir
|A| matrislerde mutlak değer anlamına gelmez |A| sıfır veya
negatif de olabilir
det(x)
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
95
KURAL
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
96
Oumlrnek
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Determinant
raquo
deter=det(x)deter =
21
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
97
Oumlrnek Inverse işlemi
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Detx=det(x)=21 ise
raquo y=inv(x)y =
821 121 -521 221
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
98
SORU
a=[2 -10 01 2 43 0 1] matrisi ile b=[1 5 41 -1 20 1 -1] matrisleri veriliyor
a)
a matrisinin elemanlarını
sırasıyla b matrisinin elemanlarına boumllerek elde
edilen matrisi b1 matrisine atayalım
b) a matrisinin ta ters matrisini bulalım
c) a ile ta matrisinin ccedilarpımının 3x3 luumlk birim matris olduğunu goumlsterelim
d) a matrisinin b matrisine boumlluumlmuumlnuuml
b2 matrisine atayalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
99
Ccediloumlzuumlm
a)
b1=ab
b) ta1=eye(33)a veya ta2=inv(a)
c) ata ==eye(33)
d) b2=ab
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
56
Vektoumlr indisleri
4 VektoumlrlerMatlab
Bir vektoumlruumln elemanlarına atanılan değer değişkenler editoumlruuml
veya eleman adresi vasıtasıyla değiştirilebilir
OumlrnekA = [4 12 -8 6]1 A vektoumlruumlnuumln 3 elemanını
27 ile değiştiriniz
2 Benzer şekilde A vektoumlruumlnuumln 2 elemanını
siliniz 3 A(9) = 12
Ccediloumlzuumlm1 A(3) = 272 Vektoumlruumln elemanına [ ] değeri atandığında eleman silinirA(2) = [ ]3 gtgt A(9) = 12
A= [ 4 27 6]
A =[ 2 27 7 0 0 0 0 0 12]
57
raquo x=[17 8 61 83 56]
Şeklindeki bir matrisin uumlccediluumlncuuml
elemanına erişmek istenirse
raquo c=x(3)
c =
61
Eğer bir blok şeklinde veriye erişilmek istenirse
raquo x(24)
ans =
8 61 83
Her matristeki herhangi bir elman grubuna erişilmek istenirse
raquo x([3 1 4])
ans =
61 17 83
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
58
Bir diziye duumlzenli artıs (veya azalıs) kuralıyla değerler atanmak isteniyorsa
bunu
ilk_değerartısson değer veya ilk_değerartısson değer
biccediliminde yapabiliriz
Ancak artıs 1 ise belirtilmeyebilirOumlrnekortalama adlı
bir diziye 0 dan 5 e kadar 05 er artısla elde edilen sayı
dizisini atayanortalama=[0055]
Siz 1 satır 7 den den 17 ye kadar olan tam sayılar 2 satırı
99 dan 89 a kadar azalan tam sayılardan olusan 2 boyutlu m dizisine atayan islemleri yazınız
Dizilerin Değerlerinin Değistirilmesi ve Duumlzenlenmesi
4 VektoumlrlerMatlab
59
4 VektoumlrlerMatlab
60
Sayılardan olusan satır ve suumltun yapısına matris (dizi) denir
Oumlrneğin
d1=[5] 1x1 lik
d2=[ 2 -7] 1x2 lik
d3= [1 0 -3 ]
[ 5 3 1 ]
2x3 luumlk bir dizidir
Oumlrnekx=[1 7 18 5]Ya daraquo x=[ 1
7185 ]
Biccedilimlerinde girilebilir
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
61
Dizilerin Değerlerinin Değistirilmesi ve DuumlzenlenmesiBir dizinin herhangi bir elemanını belirlemek iccedilin dizi adından hemen sonra
parantez iccedilinde elemanın bulunduğu satır ve suumltun sayısı yazılmalıdır
Oumlrnek 1 d2=[2 -7]d2 dizisinin -7 elemanını
goumlruumlntuumllemek iccedilin
d2(12)
2 d3=[1 0 -35 3 1]d3 dizisinin 2 satır 1 suumltununda bulunan 5 in değerinin -75 olması
iccedilin
d3(21)=-75
Not1) Bir dizinin bir ccedilok elemanını
yeniden değer atamak gerekirse komut satırından atama yapmak uzun zaman alabilirBu durumda dizi değiskeninin uumlzerine ccedilift tıklayarak accedilılan dizi editoumlruuml
(array edit) yardımıyla değisiklikleri daha kolay yapabiliriz
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
62
8 Matrisler(Dizi)Matlab
Bir matrisi girerken o1 Elemanlar baştan ve sondan koumlşeli parantezlerle kapatılıro2 Elemanların arasına boşluk veya virguumll konuluro3 Matris satırlarını
ayırmak iccedilin de noktalı
virguumll kullanılır
okurallarına dikkate alınmalıdır
Oumlrneğin
A = [1 2 3 4 5 6]A =
1 2 34 5 6
şeklinde veriler matrisler biccediliminde tanımlanır MATLAB daha sonra kullanılmak uumlzere verileri A matrisinde saklar
63
Matris elemanları
rasgele rakamlardan oluşabileceği gibi MATLABrsquoın deyimlerinden de oluşabilir
51 Matrislerde ElemanlarMatlab
Oumlrneğin
a=[-13 sqrt(3) (1+2+3)475]
a= -13000 17321 48000
Kuumlccediluumlk matrisleri eleman olarak kullanıp daha buumlyuumlk matrisler oluşturmak muumlmkuumlnduumlr
OumlrneğinM=[1 3 5
7 8 9] matrisine
aşağıda goumlsterildiği şekilde bir satır eklemesi yapabilir
M=[M[10 13 15]]
Bu durumda M matrisiM=[1 3 5
7 8 910 13 15]
durumunu alır
64
İki nokta uumlst uumlste () kullanarak buumlyuumlk matrislerin belli bir kısmını
kullanabiliriz
ya da diğer ifade ile bu matrisi kuumlccediluumlltebiliriz
Oumlrneğin
M=M(12) bildirimi M matrisinin ilk iki satırını
alarak M matrisi
olarak saklar
Oumlrnek
M=[8 -4 7 66 -7 8 9 4 5 134] ise
M=M(12) =
8 1 Matrislerde ElemanlarMatlab
65
MATLABrsquoda kullanıcı
verileri kendi oluşturacağı
matrisler ile tanımlayabileceği gibi MATLABrsquoın kendi oumlzel matrislerinden de istifade edilebilir
52 Genel MatrislerMatlab
66
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
a) Sıfır Matrisi Olusturan Fonksiyon
Her elemanı sıfır olan mxn boyutunda bir matrise sıfır matrisi denir
Boumlyle bir dizi olusturmak iccedilin zeros fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=zeros(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
3x5 boyutunda s adlı
sıfır matrisi iccedilin
s=zeros(35)
52 Genel MatrislerMatlab
67
b) 1 lerden Olusan Matris
Her elemanı 1 olan mxn boyutunda bir matrisi olusturmak iccedilin ones
fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matria_adı=ones(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
2x3 boyutunda b adlı
tuumlm elemanları
1 olan matrisi olusturalım
b=ones(23)
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
52 Genel MatrislerMatlab
68
c) Birim Matrisi Olusturan Fonksiyon
Esas koumlsegeni 1 lerden diğer elemanları 0 lardan olusan kare matrise (satır
ve suumltun sayısı esit olan ) birim matrisi
kare olmayan matrise de diyagonal matris denir
Boumlyle matrisleri olusturmak iccedilin eye fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=eye(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
a)
3x3 luumlk birim matris
b) 4x3 lluumlk diyagonal matris olusturalım
Ccediloumlzuumlma) i=eye(33) b) d=eye(43)
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar52 Genel MatrislerMatlab
69
d) Rastgele Sayılardan Olusan Matris ve Fonksiyonu
Elemanları 0 ile 1 arasındaki rastgele sayılardan olusan bir matris iccedilin
rand fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=rand(mn) biccedilimindedir(msatırnsuumltun)
Not 1) Uumlretilen matrisin tuumlm elemanlarını k gibi bir sayı ile ccedilarparak
sayıları 0 ile k arasına ccedilekebiliriz
Not 2) Ondalıklı sayılardan olusmus bir matrisin elemanlarını
yuvarlayıp tam sayı yapmak iccedilin round fonksiyonunu kullanırız
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar52 Genel MatrislerMatlab
70
Oumlrnek
a) 0 ile 1 arasında rastgele sayılardan olusan 10 elemanlı
a adında bir satır
matrisi olusturalım
b) Elemanları
10 ile 50 arasında sayılardan olusan 5x3 tipinde b matrisini
olusturalım
c) Elemanları
50 ile 300 arasındaki tamsayılardan olusan 3x4 tipinde c matrisini
olusturalım
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
d) Rastgele Sayılardan Olusan Matris ve Fonksiyonu
52 Genel MatrislerMatlab
71
Ccediloumlzuumlm
a)
a=rand(110)
b)
b=10+rand(53)40
c) c=round(50+rand(34)250)
52 Genel MatrislerMatlab
72
e) Rastgele Sayılardan Olusan Normal Dağılımlı
Matris veFonksiyonu
Elemanları rasstgele sayılardan olusan bir normal dağılımlı bir matris iccedilin
randn fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=randn(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek Rastgele sayılardan olusan normal dağılımlı 2x3 luumlk bir n matrisini
olusturalım
Ccediloumlzuumlm n=randn(23)
52 Genel MatrislerMatlab
73
f) Lineer Aralıklı
(Aritmetik) Dizi ve Fonksiyonu
Baslangıccedil ve biis değerleri ve kaccedil elemandan olusacağı belirlenen diziyi
olusturmak iccedilin linspace fonksiyonu kullanılır
Kullanımı
dizi_adı=linspace(ilk_değerson_değereleman_sayısı)
biccedilimindedir
52 Genel MatrislerMatlab
74
Oumlrnek 10 ile 30 arasına 9 tane daha sayı
koyarak aadında bir aritmetik dizi olusturalım
f) Lineer Aralıklı
(Aritmetik) Dizi ve Fonksiyonu
52 Genel MatrislerMatlab
Cevapa=linspace(103011)
75
Elimizdeki grubun her elemanı iccedilin bir matematik işlemi yapıp bunu yeni bir
diziye atarken herhangi bir sorun yoktur
Fakat iki farklı grupla işlemler yaparken dikkat etmemiz gereken genel
kurallar vardır
Oumlrneğin toplama ve ccedilıkarma yaparken iki dizinin de buumlyuumlkluumlğuumlnuumln eşit
olması gerekmektedir
Ayrıca iki farklı dizinin elemanları arasında birebir işlem yapmak iccedilin
matematik operatoumlruumlnuumln başına nokta() koymak gerekir
Bu durumda her bir elemanı diğer dizinin o sıradaki elmanı ile işleme
sokacaktır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
76
Birden fazla satır ve suumltuna sahip vektoumlrlere matris denir Noktalı
virguumll ()
işareti ile kolonları
ve virguumlle işareti ya da boşluk
bırakarak da bir sıradaki elemanları
ayırabilirizOumlrnekraquo x=[ 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14]x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14Yukarıdaki 3x4 boyutunda bir matristir MATLAB programına aşağıdaki
gibi de sunulabilirraquo x=[ 3 4 5 6
7 8 9 1011 12 13 14]
x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
77
Matristeki herhangi bir elemana direk ulaşmak iccedilin aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(23)=9
Eğer isteğimiz eriştiğimiz bir elemanı
değiştirmek veya yeni bir satır eklemek ise aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(41)=1x =
3 4 5 67 8 9 1011 12 13 141 0 0 0
Bu durumda doumlrduumlncuuml
satır ilk elemanını
biz 1 değerini atadık ve diğer elemanları
kendiliğinden ldquo0rdquo
olarak atadı
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
78
İki nokta uumlst uumlste () kullanılarak belirli aralıkta değişen matrisler yaratılabilir
raquo x=[127 3-10 -12]x =
1 3 5 73 2 1 0
-1 0 1 2Bir matrisin herhangi bir boumlluumlmuumlnuuml
seccedilmek iccedilin ise aşağıdaki goumlsterim
kullanılırraquo z=x(23 12)z =
3 2-1 0
Bu durumda z matris x matrisinin 2 ve 3 norsquo
lu satırlarından 1 ve 2 norsquo
lu suumltunlarını
almış
oluyor
Herhangi bir satır veya suumltunu tamamen silmek istersek o satır ve suumltunu seccedilip ldquo[]rdquo
ifadesine eşitleriz
raquo z(2)=[ ]z =
3 -1
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
79
Matlab size ve length komutları
yardımı
ile size matrisinizin boyutlarını
soumlyler
raquo a=[ 2 3 4 5 67 8 9 10 11]
raquo s=size(a)s =
2 5
raquo b=[ 17 11 0 30 40 50]
raquo k=length(b)k =
6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
80
a) Toplama-Ccedilıkarma Bir Sayı
ile Ccedilarpma İşlemi
İki matrisi toplamak (veya ccedilıkarmak) demek matrislerin aynı
mertebedeki elemanları teker teker toplayıp (veya ccedilıkarıp ) aynı
mertebeye yazmak demektir
Bu durumda iki matrisin de aynı mertebeden olması gereği accedilıktır
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile toplamak (veya ccedilıkarmak) demek
matrisin elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla toplamak (veya
ccedilıkarmak )demektir
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile ccedilarpmak demek ise matrisin
elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla ccedilarpmak demektir
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
81
82
Oumlrnek
raquo a=[1 2 3 4 5 6]raquo b=[7 8 9 10 11 12]
a ve b toplamıraquo sum=a+bsum =
8 10 1214 16 18
arsquo
yı
brsquo
den ccedilıkarmak
raquo diff=a-bdiff =
-6 -6 -6-6 -6 -6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
83
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] ve b=[3 -3 -41 1 5] matrisleri
veriliyor
a)
c=a+b toplam matrisini
b)
d=a-b matrisini
c)
amatrisinin her elemanınının 5 eksiğine karsılık gelen e
matrisini
d) f=2a-3b matrisini bulduran islemleri yazalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
a) c=a+b b) d=a-b c) e=a-5 d) f=a+a-b-b-b veya
f=2a-3b
84
İki matrisin ccedilarpım islemi iki biccedilimde anlasılır
1)
Aynı
mertebeden iki matrisin elemanlarını
teker teker ccedilarpıp aynı
mertebeye
yazmak demektir Bunu
islemi ile gerccedileklestiririz
2) Matematiksel anlamda iki matrisi ccedilarpmak istediğimizde birinci matris mxn
tuumlruumlnde ve ikinci matris mutlaka nxp tuumlruumlnde olmalıdır yani birinci matrisin
suumltun sayısı
ikinci matrisin satır sayısına eşit olmalıdır
Bu durumda birinci matrisin i suumltun elemanları
ile ikinci matrisin j satırındaki
elemanlar karılıklı
olarak ccedilarpılır ve sonuccedillar toplanır ve bu toplam ccedilarpım
matrisinin (ij) inci mertebeye yazılır
Matrisler arası
ccedilarpma isleminin semboluuml
de dır
b) İki Matrisin Ccedilarpımı Bir Matrisin Kuvvetleri veCcedilarpma İslemi
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
85
3) Bir a matrisinin her bir elemanının n Kuvvetlerinden olusan matrisi
bulmak iccedilin a^n islemi kullanılır
4) Satır ve suumltun sayıları
esit bir kare matrisi ardısık olarak n defa
kendisiyle ccedilarparak a matrisinin n kuvvetini bulabilirizOumlrneğin a matrisinin
karesi iccedilin aa veya a^2 kuumlbuumlnuuml
buldurmak iccedilin aaa veya a^3
doumlrduumlncuuml
kuvvetini buldurmak iccedilin aaaa veya a^4
Not) Bir a matrisinin eleman -elemana ccedilarpma islemine benzer mantıkla bir matrisin tuumlm elemanlarının kareleri kuumlbleri sinuumlsleri kosinuumlsleri logaritmalarından olusan matris bulunmak istenirse bunu sırayla aa (veya a^2) aaa (veya a^3) sin(a) cos(a) etabanında logaritması
iccedilin log(a) 10 tabanında logaritmaları
iccedilin log10(a) Biccediliminde gerccedileklestirebiliriz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
86
a) a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c1 matrisi varsa bulalım
b) a matrisi ile b matrisinin ccedilarpım matrisi olan c2 varsa bulalım
c) a matrisinin elemanları
ile c matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c3 matrisi varsa bulalım
d) a matrisi ile c matrisinin ccedilarpım matrisi olan c4 varsa bulalım
e) a matrisinin elemanlarının karelerinden olusan matris ile b matrisinin
kosinuumlslerinden olusan matrisler toplamını
bulalım
f) x=[1 00 3] matrisinin i) Karesini ii) Kuumlbuumlnuuml
iii) 10
kuvvetini bulalım
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] b=[3 -3 -41 1 5] ve c=[1 0-1 23 3] matrisleri veriliyor
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
87
Ccediloumlzuumlma) iki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirBu durumda c1 matrisi tanımlıdır ve bunu c1=ab islemi ile gerccedileklestirebilirizb) iki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdırHalbuki a matrisi 2x3 b matrisi de 2x3 olduğundan bu iki matris ccedilarpılamazc) İki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirHalbuki bu matrisler aynı mertebeden olmadığından bu iki matris eleman-elemana ccedilarpma islemi
gerccedileklemezd) İki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdıra matrisi 2x3 luumlk c matrisi de 3x2 lik olduğundan bu iki matris ccedilarpılabilir ve c4 ccedilarpım matrisi 2x2 lik bir matris olurc4 ccedilarpım matrisini c4=ac islemi ile buluruze) a^2+cos(b)f) i) x^2 ii) x^3 iii) x^10
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
88
c) Bir Matrisin Devriğini (Transpozesi) Bulma İslemi
Bir matrisin satırlarını suumltun suumltunlarını satır olarak yazılmasıyla
bulunan matrise bu matrisin devriği (transpozesi) denir
Bir matrisin devriğini islemi ile bulabiliriz
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] nın devriğini buldurup d matrisine atayalım
Ccediloumlzuumlm d=a
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
89
Oumlrnek
b=[7 8 9 10 11 12] matrisinin transpozesini bulabilirmisiniz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
c=bc =
7 108 119 12
90
SORU
a=[1 2 3 4 5 6]
c= [710811912]
ise a ve crsquonin ccedilarpım matrisi
kaccediltır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
Ccedilarpma işlemi k=ack=
50 68122 167
91
SORU
a=[1 2 3 4 5 6] b=[7 8 9 10 11 12]
ise a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan x matrisini bulalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
x=abx =
7 16 2740 55 72
92
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
Aynı mertebeden iki matrisin elemanlarını teker teker boumllerek aynı
mertebeye yazılmasına iki matrisin sol boumllmesi denir ve bu islemi ile
yapılır
a b ve c aynı mertebeden kare matrisler olmak uumlzere
c=ab ise a matrisine c nin b matrisine boumlluumlmuuml denir
c boumlluumlm matrisi islemi ile yapılır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
93
HATIRLATMA
2x2 lik i2 adlı birim matrisi i2=eye(22)
3x luumlk i3 adlı birim matrisi i2=eye(33) islemi ile olusturabiiriz
Aynı mertebeden a ve b kare matrisleri iccedilin a ile b nin ccedilarpımı birim matris ise
b matrisi a matrisinin (aynı biccedilimde a matrisi de b matrisinin) ters matrisidir
Oumlrnek
3x3 luumlk bir a kare matrisinin tersini bulmak iccedilin
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
eye(33)a veya inv(a) islemini kullanırız
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
94
Bir Matrisin Determinantı
Determinant kare matrisleri bir sayıya eşleyen fonksiyondur
Determinant fonksiyonunun kare matrisi eşlediği o sayıya matrisin
determinantı denir
A matrisinin determinantı detA veya |A| biccediliminde goumlsterilir
|A| matrislerde mutlak değer anlamına gelmez |A| sıfır veya
negatif de olabilir
det(x)
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
95
KURAL
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
96
Oumlrnek
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Determinant
raquo
deter=det(x)deter =
21
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
97
Oumlrnek Inverse işlemi
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Detx=det(x)=21 ise
raquo y=inv(x)y =
821 121 -521 221
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
98
SORU
a=[2 -10 01 2 43 0 1] matrisi ile b=[1 5 41 -1 20 1 -1] matrisleri veriliyor
a)
a matrisinin elemanlarını
sırasıyla b matrisinin elemanlarına boumllerek elde
edilen matrisi b1 matrisine atayalım
b) a matrisinin ta ters matrisini bulalım
c) a ile ta matrisinin ccedilarpımının 3x3 luumlk birim matris olduğunu goumlsterelim
d) a matrisinin b matrisine boumlluumlmuumlnuuml
b2 matrisine atayalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
99
Ccediloumlzuumlm
a)
b1=ab
b) ta1=eye(33)a veya ta2=inv(a)
c) ata ==eye(33)
d) b2=ab
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
57
raquo x=[17 8 61 83 56]
Şeklindeki bir matrisin uumlccediluumlncuuml
elemanına erişmek istenirse
raquo c=x(3)
c =
61
Eğer bir blok şeklinde veriye erişilmek istenirse
raquo x(24)
ans =
8 61 83
Her matristeki herhangi bir elman grubuna erişilmek istenirse
raquo x([3 1 4])
ans =
61 17 83
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
58
Bir diziye duumlzenli artıs (veya azalıs) kuralıyla değerler atanmak isteniyorsa
bunu
ilk_değerartısson değer veya ilk_değerartısson değer
biccediliminde yapabiliriz
Ancak artıs 1 ise belirtilmeyebilirOumlrnekortalama adlı
bir diziye 0 dan 5 e kadar 05 er artısla elde edilen sayı
dizisini atayanortalama=[0055]
Siz 1 satır 7 den den 17 ye kadar olan tam sayılar 2 satırı
99 dan 89 a kadar azalan tam sayılardan olusan 2 boyutlu m dizisine atayan islemleri yazınız
Dizilerin Değerlerinin Değistirilmesi ve Duumlzenlenmesi
4 VektoumlrlerMatlab
59
4 VektoumlrlerMatlab
60
Sayılardan olusan satır ve suumltun yapısına matris (dizi) denir
Oumlrneğin
d1=[5] 1x1 lik
d2=[ 2 -7] 1x2 lik
d3= [1 0 -3 ]
[ 5 3 1 ]
2x3 luumlk bir dizidir
Oumlrnekx=[1 7 18 5]Ya daraquo x=[ 1
7185 ]
Biccedilimlerinde girilebilir
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
61
Dizilerin Değerlerinin Değistirilmesi ve DuumlzenlenmesiBir dizinin herhangi bir elemanını belirlemek iccedilin dizi adından hemen sonra
parantez iccedilinde elemanın bulunduğu satır ve suumltun sayısı yazılmalıdır
Oumlrnek 1 d2=[2 -7]d2 dizisinin -7 elemanını
goumlruumlntuumllemek iccedilin
d2(12)
2 d3=[1 0 -35 3 1]d3 dizisinin 2 satır 1 suumltununda bulunan 5 in değerinin -75 olması
iccedilin
d3(21)=-75
Not1) Bir dizinin bir ccedilok elemanını
yeniden değer atamak gerekirse komut satırından atama yapmak uzun zaman alabilirBu durumda dizi değiskeninin uumlzerine ccedilift tıklayarak accedilılan dizi editoumlruuml
(array edit) yardımıyla değisiklikleri daha kolay yapabiliriz
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
62
8 Matrisler(Dizi)Matlab
Bir matrisi girerken o1 Elemanlar baştan ve sondan koumlşeli parantezlerle kapatılıro2 Elemanların arasına boşluk veya virguumll konuluro3 Matris satırlarını
ayırmak iccedilin de noktalı
virguumll kullanılır
okurallarına dikkate alınmalıdır
Oumlrneğin
A = [1 2 3 4 5 6]A =
1 2 34 5 6
şeklinde veriler matrisler biccediliminde tanımlanır MATLAB daha sonra kullanılmak uumlzere verileri A matrisinde saklar
63
Matris elemanları
rasgele rakamlardan oluşabileceği gibi MATLABrsquoın deyimlerinden de oluşabilir
51 Matrislerde ElemanlarMatlab
Oumlrneğin
a=[-13 sqrt(3) (1+2+3)475]
a= -13000 17321 48000
Kuumlccediluumlk matrisleri eleman olarak kullanıp daha buumlyuumlk matrisler oluşturmak muumlmkuumlnduumlr
OumlrneğinM=[1 3 5
7 8 9] matrisine
aşağıda goumlsterildiği şekilde bir satır eklemesi yapabilir
M=[M[10 13 15]]
Bu durumda M matrisiM=[1 3 5
7 8 910 13 15]
durumunu alır
64
İki nokta uumlst uumlste () kullanarak buumlyuumlk matrislerin belli bir kısmını
kullanabiliriz
ya da diğer ifade ile bu matrisi kuumlccediluumlltebiliriz
Oumlrneğin
M=M(12) bildirimi M matrisinin ilk iki satırını
alarak M matrisi
olarak saklar
Oumlrnek
M=[8 -4 7 66 -7 8 9 4 5 134] ise
M=M(12) =
8 1 Matrislerde ElemanlarMatlab
65
MATLABrsquoda kullanıcı
verileri kendi oluşturacağı
matrisler ile tanımlayabileceği gibi MATLABrsquoın kendi oumlzel matrislerinden de istifade edilebilir
52 Genel MatrislerMatlab
66
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
a) Sıfır Matrisi Olusturan Fonksiyon
Her elemanı sıfır olan mxn boyutunda bir matrise sıfır matrisi denir
Boumlyle bir dizi olusturmak iccedilin zeros fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=zeros(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
3x5 boyutunda s adlı
sıfır matrisi iccedilin
s=zeros(35)
52 Genel MatrislerMatlab
67
b) 1 lerden Olusan Matris
Her elemanı 1 olan mxn boyutunda bir matrisi olusturmak iccedilin ones
fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matria_adı=ones(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
2x3 boyutunda b adlı
tuumlm elemanları
1 olan matrisi olusturalım
b=ones(23)
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
52 Genel MatrislerMatlab
68
c) Birim Matrisi Olusturan Fonksiyon
Esas koumlsegeni 1 lerden diğer elemanları 0 lardan olusan kare matrise (satır
ve suumltun sayısı esit olan ) birim matrisi
kare olmayan matrise de diyagonal matris denir
Boumlyle matrisleri olusturmak iccedilin eye fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=eye(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
a)
3x3 luumlk birim matris
b) 4x3 lluumlk diyagonal matris olusturalım
Ccediloumlzuumlma) i=eye(33) b) d=eye(43)
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar52 Genel MatrislerMatlab
69
d) Rastgele Sayılardan Olusan Matris ve Fonksiyonu
Elemanları 0 ile 1 arasındaki rastgele sayılardan olusan bir matris iccedilin
rand fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=rand(mn) biccedilimindedir(msatırnsuumltun)
Not 1) Uumlretilen matrisin tuumlm elemanlarını k gibi bir sayı ile ccedilarparak
sayıları 0 ile k arasına ccedilekebiliriz
Not 2) Ondalıklı sayılardan olusmus bir matrisin elemanlarını
yuvarlayıp tam sayı yapmak iccedilin round fonksiyonunu kullanırız
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar52 Genel MatrislerMatlab
70
Oumlrnek
a) 0 ile 1 arasında rastgele sayılardan olusan 10 elemanlı
a adında bir satır
matrisi olusturalım
b) Elemanları
10 ile 50 arasında sayılardan olusan 5x3 tipinde b matrisini
olusturalım
c) Elemanları
50 ile 300 arasındaki tamsayılardan olusan 3x4 tipinde c matrisini
olusturalım
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
d) Rastgele Sayılardan Olusan Matris ve Fonksiyonu
52 Genel MatrislerMatlab
71
Ccediloumlzuumlm
a)
a=rand(110)
b)
b=10+rand(53)40
c) c=round(50+rand(34)250)
52 Genel MatrislerMatlab
72
e) Rastgele Sayılardan Olusan Normal Dağılımlı
Matris veFonksiyonu
Elemanları rasstgele sayılardan olusan bir normal dağılımlı bir matris iccedilin
randn fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=randn(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek Rastgele sayılardan olusan normal dağılımlı 2x3 luumlk bir n matrisini
olusturalım
Ccediloumlzuumlm n=randn(23)
52 Genel MatrislerMatlab
73
f) Lineer Aralıklı
(Aritmetik) Dizi ve Fonksiyonu
Baslangıccedil ve biis değerleri ve kaccedil elemandan olusacağı belirlenen diziyi
olusturmak iccedilin linspace fonksiyonu kullanılır
Kullanımı
dizi_adı=linspace(ilk_değerson_değereleman_sayısı)
biccedilimindedir
52 Genel MatrislerMatlab
74
Oumlrnek 10 ile 30 arasına 9 tane daha sayı
koyarak aadında bir aritmetik dizi olusturalım
f) Lineer Aralıklı
(Aritmetik) Dizi ve Fonksiyonu
52 Genel MatrislerMatlab
Cevapa=linspace(103011)
75
Elimizdeki grubun her elemanı iccedilin bir matematik işlemi yapıp bunu yeni bir
diziye atarken herhangi bir sorun yoktur
Fakat iki farklı grupla işlemler yaparken dikkat etmemiz gereken genel
kurallar vardır
Oumlrneğin toplama ve ccedilıkarma yaparken iki dizinin de buumlyuumlkluumlğuumlnuumln eşit
olması gerekmektedir
Ayrıca iki farklı dizinin elemanları arasında birebir işlem yapmak iccedilin
matematik operatoumlruumlnuumln başına nokta() koymak gerekir
Bu durumda her bir elemanı diğer dizinin o sıradaki elmanı ile işleme
sokacaktır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
76
Birden fazla satır ve suumltuna sahip vektoumlrlere matris denir Noktalı
virguumll ()
işareti ile kolonları
ve virguumlle işareti ya da boşluk
bırakarak da bir sıradaki elemanları
ayırabilirizOumlrnekraquo x=[ 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14]x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14Yukarıdaki 3x4 boyutunda bir matristir MATLAB programına aşağıdaki
gibi de sunulabilirraquo x=[ 3 4 5 6
7 8 9 1011 12 13 14]
x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
77
Matristeki herhangi bir elemana direk ulaşmak iccedilin aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(23)=9
Eğer isteğimiz eriştiğimiz bir elemanı
değiştirmek veya yeni bir satır eklemek ise aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(41)=1x =
3 4 5 67 8 9 1011 12 13 141 0 0 0
Bu durumda doumlrduumlncuuml
satır ilk elemanını
biz 1 değerini atadık ve diğer elemanları
kendiliğinden ldquo0rdquo
olarak atadı
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
78
İki nokta uumlst uumlste () kullanılarak belirli aralıkta değişen matrisler yaratılabilir
raquo x=[127 3-10 -12]x =
1 3 5 73 2 1 0
-1 0 1 2Bir matrisin herhangi bir boumlluumlmuumlnuuml
seccedilmek iccedilin ise aşağıdaki goumlsterim
kullanılırraquo z=x(23 12)z =
3 2-1 0
Bu durumda z matris x matrisinin 2 ve 3 norsquo
lu satırlarından 1 ve 2 norsquo
lu suumltunlarını
almış
oluyor
Herhangi bir satır veya suumltunu tamamen silmek istersek o satır ve suumltunu seccedilip ldquo[]rdquo
ifadesine eşitleriz
raquo z(2)=[ ]z =
3 -1
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
79
Matlab size ve length komutları
yardımı
ile size matrisinizin boyutlarını
soumlyler
raquo a=[ 2 3 4 5 67 8 9 10 11]
raquo s=size(a)s =
2 5
raquo b=[ 17 11 0 30 40 50]
raquo k=length(b)k =
6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
80
a) Toplama-Ccedilıkarma Bir Sayı
ile Ccedilarpma İşlemi
İki matrisi toplamak (veya ccedilıkarmak) demek matrislerin aynı
mertebedeki elemanları teker teker toplayıp (veya ccedilıkarıp ) aynı
mertebeye yazmak demektir
Bu durumda iki matrisin de aynı mertebeden olması gereği accedilıktır
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile toplamak (veya ccedilıkarmak) demek
matrisin elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla toplamak (veya
ccedilıkarmak )demektir
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile ccedilarpmak demek ise matrisin
elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla ccedilarpmak demektir
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
81
82
Oumlrnek
raquo a=[1 2 3 4 5 6]raquo b=[7 8 9 10 11 12]
a ve b toplamıraquo sum=a+bsum =
8 10 1214 16 18
arsquo
yı
brsquo
den ccedilıkarmak
raquo diff=a-bdiff =
-6 -6 -6-6 -6 -6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
83
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] ve b=[3 -3 -41 1 5] matrisleri
veriliyor
a)
c=a+b toplam matrisini
b)
d=a-b matrisini
c)
amatrisinin her elemanınının 5 eksiğine karsılık gelen e
matrisini
d) f=2a-3b matrisini bulduran islemleri yazalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
a) c=a+b b) d=a-b c) e=a-5 d) f=a+a-b-b-b veya
f=2a-3b
84
İki matrisin ccedilarpım islemi iki biccedilimde anlasılır
1)
Aynı
mertebeden iki matrisin elemanlarını
teker teker ccedilarpıp aynı
mertebeye
yazmak demektir Bunu
islemi ile gerccedileklestiririz
2) Matematiksel anlamda iki matrisi ccedilarpmak istediğimizde birinci matris mxn
tuumlruumlnde ve ikinci matris mutlaka nxp tuumlruumlnde olmalıdır yani birinci matrisin
suumltun sayısı
ikinci matrisin satır sayısına eşit olmalıdır
Bu durumda birinci matrisin i suumltun elemanları
ile ikinci matrisin j satırındaki
elemanlar karılıklı
olarak ccedilarpılır ve sonuccedillar toplanır ve bu toplam ccedilarpım
matrisinin (ij) inci mertebeye yazılır
Matrisler arası
ccedilarpma isleminin semboluuml
de dır
b) İki Matrisin Ccedilarpımı Bir Matrisin Kuvvetleri veCcedilarpma İslemi
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
85
3) Bir a matrisinin her bir elemanının n Kuvvetlerinden olusan matrisi
bulmak iccedilin a^n islemi kullanılır
4) Satır ve suumltun sayıları
esit bir kare matrisi ardısık olarak n defa
kendisiyle ccedilarparak a matrisinin n kuvvetini bulabilirizOumlrneğin a matrisinin
karesi iccedilin aa veya a^2 kuumlbuumlnuuml
buldurmak iccedilin aaa veya a^3
doumlrduumlncuuml
kuvvetini buldurmak iccedilin aaaa veya a^4
Not) Bir a matrisinin eleman -elemana ccedilarpma islemine benzer mantıkla bir matrisin tuumlm elemanlarının kareleri kuumlbleri sinuumlsleri kosinuumlsleri logaritmalarından olusan matris bulunmak istenirse bunu sırayla aa (veya a^2) aaa (veya a^3) sin(a) cos(a) etabanında logaritması
iccedilin log(a) 10 tabanında logaritmaları
iccedilin log10(a) Biccediliminde gerccedileklestirebiliriz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
86
a) a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c1 matrisi varsa bulalım
b) a matrisi ile b matrisinin ccedilarpım matrisi olan c2 varsa bulalım
c) a matrisinin elemanları
ile c matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c3 matrisi varsa bulalım
d) a matrisi ile c matrisinin ccedilarpım matrisi olan c4 varsa bulalım
e) a matrisinin elemanlarının karelerinden olusan matris ile b matrisinin
kosinuumlslerinden olusan matrisler toplamını
bulalım
f) x=[1 00 3] matrisinin i) Karesini ii) Kuumlbuumlnuuml
iii) 10
kuvvetini bulalım
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] b=[3 -3 -41 1 5] ve c=[1 0-1 23 3] matrisleri veriliyor
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
87
Ccediloumlzuumlma) iki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirBu durumda c1 matrisi tanımlıdır ve bunu c1=ab islemi ile gerccedileklestirebilirizb) iki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdırHalbuki a matrisi 2x3 b matrisi de 2x3 olduğundan bu iki matris ccedilarpılamazc) İki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirHalbuki bu matrisler aynı mertebeden olmadığından bu iki matris eleman-elemana ccedilarpma islemi
gerccedileklemezd) İki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdıra matrisi 2x3 luumlk c matrisi de 3x2 lik olduğundan bu iki matris ccedilarpılabilir ve c4 ccedilarpım matrisi 2x2 lik bir matris olurc4 ccedilarpım matrisini c4=ac islemi ile buluruze) a^2+cos(b)f) i) x^2 ii) x^3 iii) x^10
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
88
c) Bir Matrisin Devriğini (Transpozesi) Bulma İslemi
Bir matrisin satırlarını suumltun suumltunlarını satır olarak yazılmasıyla
bulunan matrise bu matrisin devriği (transpozesi) denir
Bir matrisin devriğini islemi ile bulabiliriz
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] nın devriğini buldurup d matrisine atayalım
Ccediloumlzuumlm d=a
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
89
Oumlrnek
b=[7 8 9 10 11 12] matrisinin transpozesini bulabilirmisiniz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
c=bc =
7 108 119 12
90
SORU
a=[1 2 3 4 5 6]
c= [710811912]
ise a ve crsquonin ccedilarpım matrisi
kaccediltır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
Ccedilarpma işlemi k=ack=
50 68122 167
91
SORU
a=[1 2 3 4 5 6] b=[7 8 9 10 11 12]
ise a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan x matrisini bulalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
x=abx =
7 16 2740 55 72
92
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
Aynı mertebeden iki matrisin elemanlarını teker teker boumllerek aynı
mertebeye yazılmasına iki matrisin sol boumllmesi denir ve bu islemi ile
yapılır
a b ve c aynı mertebeden kare matrisler olmak uumlzere
c=ab ise a matrisine c nin b matrisine boumlluumlmuuml denir
c boumlluumlm matrisi islemi ile yapılır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
93
HATIRLATMA
2x2 lik i2 adlı birim matrisi i2=eye(22)
3x luumlk i3 adlı birim matrisi i2=eye(33) islemi ile olusturabiiriz
Aynı mertebeden a ve b kare matrisleri iccedilin a ile b nin ccedilarpımı birim matris ise
b matrisi a matrisinin (aynı biccedilimde a matrisi de b matrisinin) ters matrisidir
Oumlrnek
3x3 luumlk bir a kare matrisinin tersini bulmak iccedilin
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
eye(33)a veya inv(a) islemini kullanırız
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
94
Bir Matrisin Determinantı
Determinant kare matrisleri bir sayıya eşleyen fonksiyondur
Determinant fonksiyonunun kare matrisi eşlediği o sayıya matrisin
determinantı denir
A matrisinin determinantı detA veya |A| biccediliminde goumlsterilir
|A| matrislerde mutlak değer anlamına gelmez |A| sıfır veya
negatif de olabilir
det(x)
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
95
KURAL
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
96
Oumlrnek
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Determinant
raquo
deter=det(x)deter =
21
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
97
Oumlrnek Inverse işlemi
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Detx=det(x)=21 ise
raquo y=inv(x)y =
821 121 -521 221
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
98
SORU
a=[2 -10 01 2 43 0 1] matrisi ile b=[1 5 41 -1 20 1 -1] matrisleri veriliyor
a)
a matrisinin elemanlarını
sırasıyla b matrisinin elemanlarına boumllerek elde
edilen matrisi b1 matrisine atayalım
b) a matrisinin ta ters matrisini bulalım
c) a ile ta matrisinin ccedilarpımının 3x3 luumlk birim matris olduğunu goumlsterelim
d) a matrisinin b matrisine boumlluumlmuumlnuuml
b2 matrisine atayalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
99
Ccediloumlzuumlm
a)
b1=ab
b) ta1=eye(33)a veya ta2=inv(a)
c) ata ==eye(33)
d) b2=ab
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
58
Bir diziye duumlzenli artıs (veya azalıs) kuralıyla değerler atanmak isteniyorsa
bunu
ilk_değerartısson değer veya ilk_değerartısson değer
biccediliminde yapabiliriz
Ancak artıs 1 ise belirtilmeyebilirOumlrnekortalama adlı
bir diziye 0 dan 5 e kadar 05 er artısla elde edilen sayı
dizisini atayanortalama=[0055]
Siz 1 satır 7 den den 17 ye kadar olan tam sayılar 2 satırı
99 dan 89 a kadar azalan tam sayılardan olusan 2 boyutlu m dizisine atayan islemleri yazınız
Dizilerin Değerlerinin Değistirilmesi ve Duumlzenlenmesi
4 VektoumlrlerMatlab
59
4 VektoumlrlerMatlab
60
Sayılardan olusan satır ve suumltun yapısına matris (dizi) denir
Oumlrneğin
d1=[5] 1x1 lik
d2=[ 2 -7] 1x2 lik
d3= [1 0 -3 ]
[ 5 3 1 ]
2x3 luumlk bir dizidir
Oumlrnekx=[1 7 18 5]Ya daraquo x=[ 1
7185 ]
Biccedilimlerinde girilebilir
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
61
Dizilerin Değerlerinin Değistirilmesi ve DuumlzenlenmesiBir dizinin herhangi bir elemanını belirlemek iccedilin dizi adından hemen sonra
parantez iccedilinde elemanın bulunduğu satır ve suumltun sayısı yazılmalıdır
Oumlrnek 1 d2=[2 -7]d2 dizisinin -7 elemanını
goumlruumlntuumllemek iccedilin
d2(12)
2 d3=[1 0 -35 3 1]d3 dizisinin 2 satır 1 suumltununda bulunan 5 in değerinin -75 olması
iccedilin
d3(21)=-75
Not1) Bir dizinin bir ccedilok elemanını
yeniden değer atamak gerekirse komut satırından atama yapmak uzun zaman alabilirBu durumda dizi değiskeninin uumlzerine ccedilift tıklayarak accedilılan dizi editoumlruuml
(array edit) yardımıyla değisiklikleri daha kolay yapabiliriz
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
62
8 Matrisler(Dizi)Matlab
Bir matrisi girerken o1 Elemanlar baştan ve sondan koumlşeli parantezlerle kapatılıro2 Elemanların arasına boşluk veya virguumll konuluro3 Matris satırlarını
ayırmak iccedilin de noktalı
virguumll kullanılır
okurallarına dikkate alınmalıdır
Oumlrneğin
A = [1 2 3 4 5 6]A =
1 2 34 5 6
şeklinde veriler matrisler biccediliminde tanımlanır MATLAB daha sonra kullanılmak uumlzere verileri A matrisinde saklar
63
Matris elemanları
rasgele rakamlardan oluşabileceği gibi MATLABrsquoın deyimlerinden de oluşabilir
51 Matrislerde ElemanlarMatlab
Oumlrneğin
a=[-13 sqrt(3) (1+2+3)475]
a= -13000 17321 48000
Kuumlccediluumlk matrisleri eleman olarak kullanıp daha buumlyuumlk matrisler oluşturmak muumlmkuumlnduumlr
OumlrneğinM=[1 3 5
7 8 9] matrisine
aşağıda goumlsterildiği şekilde bir satır eklemesi yapabilir
M=[M[10 13 15]]
Bu durumda M matrisiM=[1 3 5
7 8 910 13 15]
durumunu alır
64
İki nokta uumlst uumlste () kullanarak buumlyuumlk matrislerin belli bir kısmını
kullanabiliriz
ya da diğer ifade ile bu matrisi kuumlccediluumlltebiliriz
Oumlrneğin
M=M(12) bildirimi M matrisinin ilk iki satırını
alarak M matrisi
olarak saklar
Oumlrnek
M=[8 -4 7 66 -7 8 9 4 5 134] ise
M=M(12) =
8 1 Matrislerde ElemanlarMatlab
65
MATLABrsquoda kullanıcı
verileri kendi oluşturacağı
matrisler ile tanımlayabileceği gibi MATLABrsquoın kendi oumlzel matrislerinden de istifade edilebilir
52 Genel MatrislerMatlab
66
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
a) Sıfır Matrisi Olusturan Fonksiyon
Her elemanı sıfır olan mxn boyutunda bir matrise sıfır matrisi denir
Boumlyle bir dizi olusturmak iccedilin zeros fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=zeros(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
3x5 boyutunda s adlı
sıfır matrisi iccedilin
s=zeros(35)
52 Genel MatrislerMatlab
67
b) 1 lerden Olusan Matris
Her elemanı 1 olan mxn boyutunda bir matrisi olusturmak iccedilin ones
fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matria_adı=ones(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
2x3 boyutunda b adlı
tuumlm elemanları
1 olan matrisi olusturalım
b=ones(23)
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
52 Genel MatrislerMatlab
68
c) Birim Matrisi Olusturan Fonksiyon
Esas koumlsegeni 1 lerden diğer elemanları 0 lardan olusan kare matrise (satır
ve suumltun sayısı esit olan ) birim matrisi
kare olmayan matrise de diyagonal matris denir
Boumlyle matrisleri olusturmak iccedilin eye fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=eye(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
a)
3x3 luumlk birim matris
b) 4x3 lluumlk diyagonal matris olusturalım
Ccediloumlzuumlma) i=eye(33) b) d=eye(43)
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar52 Genel MatrislerMatlab
69
d) Rastgele Sayılardan Olusan Matris ve Fonksiyonu
Elemanları 0 ile 1 arasındaki rastgele sayılardan olusan bir matris iccedilin
rand fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=rand(mn) biccedilimindedir(msatırnsuumltun)
Not 1) Uumlretilen matrisin tuumlm elemanlarını k gibi bir sayı ile ccedilarparak
sayıları 0 ile k arasına ccedilekebiliriz
Not 2) Ondalıklı sayılardan olusmus bir matrisin elemanlarını
yuvarlayıp tam sayı yapmak iccedilin round fonksiyonunu kullanırız
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar52 Genel MatrislerMatlab
70
Oumlrnek
a) 0 ile 1 arasında rastgele sayılardan olusan 10 elemanlı
a adında bir satır
matrisi olusturalım
b) Elemanları
10 ile 50 arasında sayılardan olusan 5x3 tipinde b matrisini
olusturalım
c) Elemanları
50 ile 300 arasındaki tamsayılardan olusan 3x4 tipinde c matrisini
olusturalım
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
d) Rastgele Sayılardan Olusan Matris ve Fonksiyonu
52 Genel MatrislerMatlab
71
Ccediloumlzuumlm
a)
a=rand(110)
b)
b=10+rand(53)40
c) c=round(50+rand(34)250)
52 Genel MatrislerMatlab
72
e) Rastgele Sayılardan Olusan Normal Dağılımlı
Matris veFonksiyonu
Elemanları rasstgele sayılardan olusan bir normal dağılımlı bir matris iccedilin
randn fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=randn(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek Rastgele sayılardan olusan normal dağılımlı 2x3 luumlk bir n matrisini
olusturalım
Ccediloumlzuumlm n=randn(23)
52 Genel MatrislerMatlab
73
f) Lineer Aralıklı
(Aritmetik) Dizi ve Fonksiyonu
Baslangıccedil ve biis değerleri ve kaccedil elemandan olusacağı belirlenen diziyi
olusturmak iccedilin linspace fonksiyonu kullanılır
Kullanımı
dizi_adı=linspace(ilk_değerson_değereleman_sayısı)
biccedilimindedir
52 Genel MatrislerMatlab
74
Oumlrnek 10 ile 30 arasına 9 tane daha sayı
koyarak aadında bir aritmetik dizi olusturalım
f) Lineer Aralıklı
(Aritmetik) Dizi ve Fonksiyonu
52 Genel MatrislerMatlab
Cevapa=linspace(103011)
75
Elimizdeki grubun her elemanı iccedilin bir matematik işlemi yapıp bunu yeni bir
diziye atarken herhangi bir sorun yoktur
Fakat iki farklı grupla işlemler yaparken dikkat etmemiz gereken genel
kurallar vardır
Oumlrneğin toplama ve ccedilıkarma yaparken iki dizinin de buumlyuumlkluumlğuumlnuumln eşit
olması gerekmektedir
Ayrıca iki farklı dizinin elemanları arasında birebir işlem yapmak iccedilin
matematik operatoumlruumlnuumln başına nokta() koymak gerekir
Bu durumda her bir elemanı diğer dizinin o sıradaki elmanı ile işleme
sokacaktır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
76
Birden fazla satır ve suumltuna sahip vektoumlrlere matris denir Noktalı
virguumll ()
işareti ile kolonları
ve virguumlle işareti ya da boşluk
bırakarak da bir sıradaki elemanları
ayırabilirizOumlrnekraquo x=[ 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14]x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14Yukarıdaki 3x4 boyutunda bir matristir MATLAB programına aşağıdaki
gibi de sunulabilirraquo x=[ 3 4 5 6
7 8 9 1011 12 13 14]
x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
77
Matristeki herhangi bir elemana direk ulaşmak iccedilin aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(23)=9
Eğer isteğimiz eriştiğimiz bir elemanı
değiştirmek veya yeni bir satır eklemek ise aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(41)=1x =
3 4 5 67 8 9 1011 12 13 141 0 0 0
Bu durumda doumlrduumlncuuml
satır ilk elemanını
biz 1 değerini atadık ve diğer elemanları
kendiliğinden ldquo0rdquo
olarak atadı
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
78
İki nokta uumlst uumlste () kullanılarak belirli aralıkta değişen matrisler yaratılabilir
raquo x=[127 3-10 -12]x =
1 3 5 73 2 1 0
-1 0 1 2Bir matrisin herhangi bir boumlluumlmuumlnuuml
seccedilmek iccedilin ise aşağıdaki goumlsterim
kullanılırraquo z=x(23 12)z =
3 2-1 0
Bu durumda z matris x matrisinin 2 ve 3 norsquo
lu satırlarından 1 ve 2 norsquo
lu suumltunlarını
almış
oluyor
Herhangi bir satır veya suumltunu tamamen silmek istersek o satır ve suumltunu seccedilip ldquo[]rdquo
ifadesine eşitleriz
raquo z(2)=[ ]z =
3 -1
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
79
Matlab size ve length komutları
yardımı
ile size matrisinizin boyutlarını
soumlyler
raquo a=[ 2 3 4 5 67 8 9 10 11]
raquo s=size(a)s =
2 5
raquo b=[ 17 11 0 30 40 50]
raquo k=length(b)k =
6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
80
a) Toplama-Ccedilıkarma Bir Sayı
ile Ccedilarpma İşlemi
İki matrisi toplamak (veya ccedilıkarmak) demek matrislerin aynı
mertebedeki elemanları teker teker toplayıp (veya ccedilıkarıp ) aynı
mertebeye yazmak demektir
Bu durumda iki matrisin de aynı mertebeden olması gereği accedilıktır
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile toplamak (veya ccedilıkarmak) demek
matrisin elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla toplamak (veya
ccedilıkarmak )demektir
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile ccedilarpmak demek ise matrisin
elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla ccedilarpmak demektir
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
81
82
Oumlrnek
raquo a=[1 2 3 4 5 6]raquo b=[7 8 9 10 11 12]
a ve b toplamıraquo sum=a+bsum =
8 10 1214 16 18
arsquo
yı
brsquo
den ccedilıkarmak
raquo diff=a-bdiff =
-6 -6 -6-6 -6 -6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
83
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] ve b=[3 -3 -41 1 5] matrisleri
veriliyor
a)
c=a+b toplam matrisini
b)
d=a-b matrisini
c)
amatrisinin her elemanınının 5 eksiğine karsılık gelen e
matrisini
d) f=2a-3b matrisini bulduran islemleri yazalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
a) c=a+b b) d=a-b c) e=a-5 d) f=a+a-b-b-b veya
f=2a-3b
84
İki matrisin ccedilarpım islemi iki biccedilimde anlasılır
1)
Aynı
mertebeden iki matrisin elemanlarını
teker teker ccedilarpıp aynı
mertebeye
yazmak demektir Bunu
islemi ile gerccedileklestiririz
2) Matematiksel anlamda iki matrisi ccedilarpmak istediğimizde birinci matris mxn
tuumlruumlnde ve ikinci matris mutlaka nxp tuumlruumlnde olmalıdır yani birinci matrisin
suumltun sayısı
ikinci matrisin satır sayısına eşit olmalıdır
Bu durumda birinci matrisin i suumltun elemanları
ile ikinci matrisin j satırındaki
elemanlar karılıklı
olarak ccedilarpılır ve sonuccedillar toplanır ve bu toplam ccedilarpım
matrisinin (ij) inci mertebeye yazılır
Matrisler arası
ccedilarpma isleminin semboluuml
de dır
b) İki Matrisin Ccedilarpımı Bir Matrisin Kuvvetleri veCcedilarpma İslemi
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
85
3) Bir a matrisinin her bir elemanının n Kuvvetlerinden olusan matrisi
bulmak iccedilin a^n islemi kullanılır
4) Satır ve suumltun sayıları
esit bir kare matrisi ardısık olarak n defa
kendisiyle ccedilarparak a matrisinin n kuvvetini bulabilirizOumlrneğin a matrisinin
karesi iccedilin aa veya a^2 kuumlbuumlnuuml
buldurmak iccedilin aaa veya a^3
doumlrduumlncuuml
kuvvetini buldurmak iccedilin aaaa veya a^4
Not) Bir a matrisinin eleman -elemana ccedilarpma islemine benzer mantıkla bir matrisin tuumlm elemanlarının kareleri kuumlbleri sinuumlsleri kosinuumlsleri logaritmalarından olusan matris bulunmak istenirse bunu sırayla aa (veya a^2) aaa (veya a^3) sin(a) cos(a) etabanında logaritması
iccedilin log(a) 10 tabanında logaritmaları
iccedilin log10(a) Biccediliminde gerccedileklestirebiliriz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
86
a) a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c1 matrisi varsa bulalım
b) a matrisi ile b matrisinin ccedilarpım matrisi olan c2 varsa bulalım
c) a matrisinin elemanları
ile c matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c3 matrisi varsa bulalım
d) a matrisi ile c matrisinin ccedilarpım matrisi olan c4 varsa bulalım
e) a matrisinin elemanlarının karelerinden olusan matris ile b matrisinin
kosinuumlslerinden olusan matrisler toplamını
bulalım
f) x=[1 00 3] matrisinin i) Karesini ii) Kuumlbuumlnuuml
iii) 10
kuvvetini bulalım
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] b=[3 -3 -41 1 5] ve c=[1 0-1 23 3] matrisleri veriliyor
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
87
Ccediloumlzuumlma) iki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirBu durumda c1 matrisi tanımlıdır ve bunu c1=ab islemi ile gerccedileklestirebilirizb) iki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdırHalbuki a matrisi 2x3 b matrisi de 2x3 olduğundan bu iki matris ccedilarpılamazc) İki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirHalbuki bu matrisler aynı mertebeden olmadığından bu iki matris eleman-elemana ccedilarpma islemi
gerccedileklemezd) İki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdıra matrisi 2x3 luumlk c matrisi de 3x2 lik olduğundan bu iki matris ccedilarpılabilir ve c4 ccedilarpım matrisi 2x2 lik bir matris olurc4 ccedilarpım matrisini c4=ac islemi ile buluruze) a^2+cos(b)f) i) x^2 ii) x^3 iii) x^10
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
88
c) Bir Matrisin Devriğini (Transpozesi) Bulma İslemi
Bir matrisin satırlarını suumltun suumltunlarını satır olarak yazılmasıyla
bulunan matrise bu matrisin devriği (transpozesi) denir
Bir matrisin devriğini islemi ile bulabiliriz
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] nın devriğini buldurup d matrisine atayalım
Ccediloumlzuumlm d=a
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
89
Oumlrnek
b=[7 8 9 10 11 12] matrisinin transpozesini bulabilirmisiniz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
c=bc =
7 108 119 12
90
SORU
a=[1 2 3 4 5 6]
c= [710811912]
ise a ve crsquonin ccedilarpım matrisi
kaccediltır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
Ccedilarpma işlemi k=ack=
50 68122 167
91
SORU
a=[1 2 3 4 5 6] b=[7 8 9 10 11 12]
ise a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan x matrisini bulalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
x=abx =
7 16 2740 55 72
92
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
Aynı mertebeden iki matrisin elemanlarını teker teker boumllerek aynı
mertebeye yazılmasına iki matrisin sol boumllmesi denir ve bu islemi ile
yapılır
a b ve c aynı mertebeden kare matrisler olmak uumlzere
c=ab ise a matrisine c nin b matrisine boumlluumlmuuml denir
c boumlluumlm matrisi islemi ile yapılır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
93
HATIRLATMA
2x2 lik i2 adlı birim matrisi i2=eye(22)
3x luumlk i3 adlı birim matrisi i2=eye(33) islemi ile olusturabiiriz
Aynı mertebeden a ve b kare matrisleri iccedilin a ile b nin ccedilarpımı birim matris ise
b matrisi a matrisinin (aynı biccedilimde a matrisi de b matrisinin) ters matrisidir
Oumlrnek
3x3 luumlk bir a kare matrisinin tersini bulmak iccedilin
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
eye(33)a veya inv(a) islemini kullanırız
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
94
Bir Matrisin Determinantı
Determinant kare matrisleri bir sayıya eşleyen fonksiyondur
Determinant fonksiyonunun kare matrisi eşlediği o sayıya matrisin
determinantı denir
A matrisinin determinantı detA veya |A| biccediliminde goumlsterilir
|A| matrislerde mutlak değer anlamına gelmez |A| sıfır veya
negatif de olabilir
det(x)
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
95
KURAL
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
96
Oumlrnek
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Determinant
raquo
deter=det(x)deter =
21
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
97
Oumlrnek Inverse işlemi
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Detx=det(x)=21 ise
raquo y=inv(x)y =
821 121 -521 221
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
98
SORU
a=[2 -10 01 2 43 0 1] matrisi ile b=[1 5 41 -1 20 1 -1] matrisleri veriliyor
a)
a matrisinin elemanlarını
sırasıyla b matrisinin elemanlarına boumllerek elde
edilen matrisi b1 matrisine atayalım
b) a matrisinin ta ters matrisini bulalım
c) a ile ta matrisinin ccedilarpımının 3x3 luumlk birim matris olduğunu goumlsterelim
d) a matrisinin b matrisine boumlluumlmuumlnuuml
b2 matrisine atayalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
99
Ccediloumlzuumlm
a)
b1=ab
b) ta1=eye(33)a veya ta2=inv(a)
c) ata ==eye(33)
d) b2=ab
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
59
4 VektoumlrlerMatlab
60
Sayılardan olusan satır ve suumltun yapısına matris (dizi) denir
Oumlrneğin
d1=[5] 1x1 lik
d2=[ 2 -7] 1x2 lik
d3= [1 0 -3 ]
[ 5 3 1 ]
2x3 luumlk bir dizidir
Oumlrnekx=[1 7 18 5]Ya daraquo x=[ 1
7185 ]
Biccedilimlerinde girilebilir
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
61
Dizilerin Değerlerinin Değistirilmesi ve DuumlzenlenmesiBir dizinin herhangi bir elemanını belirlemek iccedilin dizi adından hemen sonra
parantez iccedilinde elemanın bulunduğu satır ve suumltun sayısı yazılmalıdır
Oumlrnek 1 d2=[2 -7]d2 dizisinin -7 elemanını
goumlruumlntuumllemek iccedilin
d2(12)
2 d3=[1 0 -35 3 1]d3 dizisinin 2 satır 1 suumltununda bulunan 5 in değerinin -75 olması
iccedilin
d3(21)=-75
Not1) Bir dizinin bir ccedilok elemanını
yeniden değer atamak gerekirse komut satırından atama yapmak uzun zaman alabilirBu durumda dizi değiskeninin uumlzerine ccedilift tıklayarak accedilılan dizi editoumlruuml
(array edit) yardımıyla değisiklikleri daha kolay yapabiliriz
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
62
8 Matrisler(Dizi)Matlab
Bir matrisi girerken o1 Elemanlar baştan ve sondan koumlşeli parantezlerle kapatılıro2 Elemanların arasına boşluk veya virguumll konuluro3 Matris satırlarını
ayırmak iccedilin de noktalı
virguumll kullanılır
okurallarına dikkate alınmalıdır
Oumlrneğin
A = [1 2 3 4 5 6]A =
1 2 34 5 6
şeklinde veriler matrisler biccediliminde tanımlanır MATLAB daha sonra kullanılmak uumlzere verileri A matrisinde saklar
63
Matris elemanları
rasgele rakamlardan oluşabileceği gibi MATLABrsquoın deyimlerinden de oluşabilir
51 Matrislerde ElemanlarMatlab
Oumlrneğin
a=[-13 sqrt(3) (1+2+3)475]
a= -13000 17321 48000
Kuumlccediluumlk matrisleri eleman olarak kullanıp daha buumlyuumlk matrisler oluşturmak muumlmkuumlnduumlr
OumlrneğinM=[1 3 5
7 8 9] matrisine
aşağıda goumlsterildiği şekilde bir satır eklemesi yapabilir
M=[M[10 13 15]]
Bu durumda M matrisiM=[1 3 5
7 8 910 13 15]
durumunu alır
64
İki nokta uumlst uumlste () kullanarak buumlyuumlk matrislerin belli bir kısmını
kullanabiliriz
ya da diğer ifade ile bu matrisi kuumlccediluumlltebiliriz
Oumlrneğin
M=M(12) bildirimi M matrisinin ilk iki satırını
alarak M matrisi
olarak saklar
Oumlrnek
M=[8 -4 7 66 -7 8 9 4 5 134] ise
M=M(12) =
8 1 Matrislerde ElemanlarMatlab
65
MATLABrsquoda kullanıcı
verileri kendi oluşturacağı
matrisler ile tanımlayabileceği gibi MATLABrsquoın kendi oumlzel matrislerinden de istifade edilebilir
52 Genel MatrislerMatlab
66
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
a) Sıfır Matrisi Olusturan Fonksiyon
Her elemanı sıfır olan mxn boyutunda bir matrise sıfır matrisi denir
Boumlyle bir dizi olusturmak iccedilin zeros fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=zeros(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
3x5 boyutunda s adlı
sıfır matrisi iccedilin
s=zeros(35)
52 Genel MatrislerMatlab
67
b) 1 lerden Olusan Matris
Her elemanı 1 olan mxn boyutunda bir matrisi olusturmak iccedilin ones
fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matria_adı=ones(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
2x3 boyutunda b adlı
tuumlm elemanları
1 olan matrisi olusturalım
b=ones(23)
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
52 Genel MatrislerMatlab
68
c) Birim Matrisi Olusturan Fonksiyon
Esas koumlsegeni 1 lerden diğer elemanları 0 lardan olusan kare matrise (satır
ve suumltun sayısı esit olan ) birim matrisi
kare olmayan matrise de diyagonal matris denir
Boumlyle matrisleri olusturmak iccedilin eye fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=eye(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
a)
3x3 luumlk birim matris
b) 4x3 lluumlk diyagonal matris olusturalım
Ccediloumlzuumlma) i=eye(33) b) d=eye(43)
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar52 Genel MatrislerMatlab
69
d) Rastgele Sayılardan Olusan Matris ve Fonksiyonu
Elemanları 0 ile 1 arasındaki rastgele sayılardan olusan bir matris iccedilin
rand fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=rand(mn) biccedilimindedir(msatırnsuumltun)
Not 1) Uumlretilen matrisin tuumlm elemanlarını k gibi bir sayı ile ccedilarparak
sayıları 0 ile k arasına ccedilekebiliriz
Not 2) Ondalıklı sayılardan olusmus bir matrisin elemanlarını
yuvarlayıp tam sayı yapmak iccedilin round fonksiyonunu kullanırız
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar52 Genel MatrislerMatlab
70
Oumlrnek
a) 0 ile 1 arasında rastgele sayılardan olusan 10 elemanlı
a adında bir satır
matrisi olusturalım
b) Elemanları
10 ile 50 arasında sayılardan olusan 5x3 tipinde b matrisini
olusturalım
c) Elemanları
50 ile 300 arasındaki tamsayılardan olusan 3x4 tipinde c matrisini
olusturalım
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
d) Rastgele Sayılardan Olusan Matris ve Fonksiyonu
52 Genel MatrislerMatlab
71
Ccediloumlzuumlm
a)
a=rand(110)
b)
b=10+rand(53)40
c) c=round(50+rand(34)250)
52 Genel MatrislerMatlab
72
e) Rastgele Sayılardan Olusan Normal Dağılımlı
Matris veFonksiyonu
Elemanları rasstgele sayılardan olusan bir normal dağılımlı bir matris iccedilin
randn fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=randn(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek Rastgele sayılardan olusan normal dağılımlı 2x3 luumlk bir n matrisini
olusturalım
Ccediloumlzuumlm n=randn(23)
52 Genel MatrislerMatlab
73
f) Lineer Aralıklı
(Aritmetik) Dizi ve Fonksiyonu
Baslangıccedil ve biis değerleri ve kaccedil elemandan olusacağı belirlenen diziyi
olusturmak iccedilin linspace fonksiyonu kullanılır
Kullanımı
dizi_adı=linspace(ilk_değerson_değereleman_sayısı)
biccedilimindedir
52 Genel MatrislerMatlab
74
Oumlrnek 10 ile 30 arasına 9 tane daha sayı
koyarak aadında bir aritmetik dizi olusturalım
f) Lineer Aralıklı
(Aritmetik) Dizi ve Fonksiyonu
52 Genel MatrislerMatlab
Cevapa=linspace(103011)
75
Elimizdeki grubun her elemanı iccedilin bir matematik işlemi yapıp bunu yeni bir
diziye atarken herhangi bir sorun yoktur
Fakat iki farklı grupla işlemler yaparken dikkat etmemiz gereken genel
kurallar vardır
Oumlrneğin toplama ve ccedilıkarma yaparken iki dizinin de buumlyuumlkluumlğuumlnuumln eşit
olması gerekmektedir
Ayrıca iki farklı dizinin elemanları arasında birebir işlem yapmak iccedilin
matematik operatoumlruumlnuumln başına nokta() koymak gerekir
Bu durumda her bir elemanı diğer dizinin o sıradaki elmanı ile işleme
sokacaktır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
76
Birden fazla satır ve suumltuna sahip vektoumlrlere matris denir Noktalı
virguumll ()
işareti ile kolonları
ve virguumlle işareti ya da boşluk
bırakarak da bir sıradaki elemanları
ayırabilirizOumlrnekraquo x=[ 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14]x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14Yukarıdaki 3x4 boyutunda bir matristir MATLAB programına aşağıdaki
gibi de sunulabilirraquo x=[ 3 4 5 6
7 8 9 1011 12 13 14]
x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
77
Matristeki herhangi bir elemana direk ulaşmak iccedilin aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(23)=9
Eğer isteğimiz eriştiğimiz bir elemanı
değiştirmek veya yeni bir satır eklemek ise aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(41)=1x =
3 4 5 67 8 9 1011 12 13 141 0 0 0
Bu durumda doumlrduumlncuuml
satır ilk elemanını
biz 1 değerini atadık ve diğer elemanları
kendiliğinden ldquo0rdquo
olarak atadı
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
78
İki nokta uumlst uumlste () kullanılarak belirli aralıkta değişen matrisler yaratılabilir
raquo x=[127 3-10 -12]x =
1 3 5 73 2 1 0
-1 0 1 2Bir matrisin herhangi bir boumlluumlmuumlnuuml
seccedilmek iccedilin ise aşağıdaki goumlsterim
kullanılırraquo z=x(23 12)z =
3 2-1 0
Bu durumda z matris x matrisinin 2 ve 3 norsquo
lu satırlarından 1 ve 2 norsquo
lu suumltunlarını
almış
oluyor
Herhangi bir satır veya suumltunu tamamen silmek istersek o satır ve suumltunu seccedilip ldquo[]rdquo
ifadesine eşitleriz
raquo z(2)=[ ]z =
3 -1
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
79
Matlab size ve length komutları
yardımı
ile size matrisinizin boyutlarını
soumlyler
raquo a=[ 2 3 4 5 67 8 9 10 11]
raquo s=size(a)s =
2 5
raquo b=[ 17 11 0 30 40 50]
raquo k=length(b)k =
6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
80
a) Toplama-Ccedilıkarma Bir Sayı
ile Ccedilarpma İşlemi
İki matrisi toplamak (veya ccedilıkarmak) demek matrislerin aynı
mertebedeki elemanları teker teker toplayıp (veya ccedilıkarıp ) aynı
mertebeye yazmak demektir
Bu durumda iki matrisin de aynı mertebeden olması gereği accedilıktır
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile toplamak (veya ccedilıkarmak) demek
matrisin elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla toplamak (veya
ccedilıkarmak )demektir
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile ccedilarpmak demek ise matrisin
elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla ccedilarpmak demektir
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
81
82
Oumlrnek
raquo a=[1 2 3 4 5 6]raquo b=[7 8 9 10 11 12]
a ve b toplamıraquo sum=a+bsum =
8 10 1214 16 18
arsquo
yı
brsquo
den ccedilıkarmak
raquo diff=a-bdiff =
-6 -6 -6-6 -6 -6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
83
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] ve b=[3 -3 -41 1 5] matrisleri
veriliyor
a)
c=a+b toplam matrisini
b)
d=a-b matrisini
c)
amatrisinin her elemanınının 5 eksiğine karsılık gelen e
matrisini
d) f=2a-3b matrisini bulduran islemleri yazalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
a) c=a+b b) d=a-b c) e=a-5 d) f=a+a-b-b-b veya
f=2a-3b
84
İki matrisin ccedilarpım islemi iki biccedilimde anlasılır
1)
Aynı
mertebeden iki matrisin elemanlarını
teker teker ccedilarpıp aynı
mertebeye
yazmak demektir Bunu
islemi ile gerccedileklestiririz
2) Matematiksel anlamda iki matrisi ccedilarpmak istediğimizde birinci matris mxn
tuumlruumlnde ve ikinci matris mutlaka nxp tuumlruumlnde olmalıdır yani birinci matrisin
suumltun sayısı
ikinci matrisin satır sayısına eşit olmalıdır
Bu durumda birinci matrisin i suumltun elemanları
ile ikinci matrisin j satırındaki
elemanlar karılıklı
olarak ccedilarpılır ve sonuccedillar toplanır ve bu toplam ccedilarpım
matrisinin (ij) inci mertebeye yazılır
Matrisler arası
ccedilarpma isleminin semboluuml
de dır
b) İki Matrisin Ccedilarpımı Bir Matrisin Kuvvetleri veCcedilarpma İslemi
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
85
3) Bir a matrisinin her bir elemanının n Kuvvetlerinden olusan matrisi
bulmak iccedilin a^n islemi kullanılır
4) Satır ve suumltun sayıları
esit bir kare matrisi ardısık olarak n defa
kendisiyle ccedilarparak a matrisinin n kuvvetini bulabilirizOumlrneğin a matrisinin
karesi iccedilin aa veya a^2 kuumlbuumlnuuml
buldurmak iccedilin aaa veya a^3
doumlrduumlncuuml
kuvvetini buldurmak iccedilin aaaa veya a^4
Not) Bir a matrisinin eleman -elemana ccedilarpma islemine benzer mantıkla bir matrisin tuumlm elemanlarının kareleri kuumlbleri sinuumlsleri kosinuumlsleri logaritmalarından olusan matris bulunmak istenirse bunu sırayla aa (veya a^2) aaa (veya a^3) sin(a) cos(a) etabanında logaritması
iccedilin log(a) 10 tabanında logaritmaları
iccedilin log10(a) Biccediliminde gerccedileklestirebiliriz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
86
a) a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c1 matrisi varsa bulalım
b) a matrisi ile b matrisinin ccedilarpım matrisi olan c2 varsa bulalım
c) a matrisinin elemanları
ile c matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c3 matrisi varsa bulalım
d) a matrisi ile c matrisinin ccedilarpım matrisi olan c4 varsa bulalım
e) a matrisinin elemanlarının karelerinden olusan matris ile b matrisinin
kosinuumlslerinden olusan matrisler toplamını
bulalım
f) x=[1 00 3] matrisinin i) Karesini ii) Kuumlbuumlnuuml
iii) 10
kuvvetini bulalım
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] b=[3 -3 -41 1 5] ve c=[1 0-1 23 3] matrisleri veriliyor
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
87
Ccediloumlzuumlma) iki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirBu durumda c1 matrisi tanımlıdır ve bunu c1=ab islemi ile gerccedileklestirebilirizb) iki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdırHalbuki a matrisi 2x3 b matrisi de 2x3 olduğundan bu iki matris ccedilarpılamazc) İki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirHalbuki bu matrisler aynı mertebeden olmadığından bu iki matris eleman-elemana ccedilarpma islemi
gerccedileklemezd) İki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdıra matrisi 2x3 luumlk c matrisi de 3x2 lik olduğundan bu iki matris ccedilarpılabilir ve c4 ccedilarpım matrisi 2x2 lik bir matris olurc4 ccedilarpım matrisini c4=ac islemi ile buluruze) a^2+cos(b)f) i) x^2 ii) x^3 iii) x^10
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
88
c) Bir Matrisin Devriğini (Transpozesi) Bulma İslemi
Bir matrisin satırlarını suumltun suumltunlarını satır olarak yazılmasıyla
bulunan matrise bu matrisin devriği (transpozesi) denir
Bir matrisin devriğini islemi ile bulabiliriz
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] nın devriğini buldurup d matrisine atayalım
Ccediloumlzuumlm d=a
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
89
Oumlrnek
b=[7 8 9 10 11 12] matrisinin transpozesini bulabilirmisiniz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
c=bc =
7 108 119 12
90
SORU
a=[1 2 3 4 5 6]
c= [710811912]
ise a ve crsquonin ccedilarpım matrisi
kaccediltır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
Ccedilarpma işlemi k=ack=
50 68122 167
91
SORU
a=[1 2 3 4 5 6] b=[7 8 9 10 11 12]
ise a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan x matrisini bulalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
x=abx =
7 16 2740 55 72
92
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
Aynı mertebeden iki matrisin elemanlarını teker teker boumllerek aynı
mertebeye yazılmasına iki matrisin sol boumllmesi denir ve bu islemi ile
yapılır
a b ve c aynı mertebeden kare matrisler olmak uumlzere
c=ab ise a matrisine c nin b matrisine boumlluumlmuuml denir
c boumlluumlm matrisi islemi ile yapılır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
93
HATIRLATMA
2x2 lik i2 adlı birim matrisi i2=eye(22)
3x luumlk i3 adlı birim matrisi i2=eye(33) islemi ile olusturabiiriz
Aynı mertebeden a ve b kare matrisleri iccedilin a ile b nin ccedilarpımı birim matris ise
b matrisi a matrisinin (aynı biccedilimde a matrisi de b matrisinin) ters matrisidir
Oumlrnek
3x3 luumlk bir a kare matrisinin tersini bulmak iccedilin
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
eye(33)a veya inv(a) islemini kullanırız
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
94
Bir Matrisin Determinantı
Determinant kare matrisleri bir sayıya eşleyen fonksiyondur
Determinant fonksiyonunun kare matrisi eşlediği o sayıya matrisin
determinantı denir
A matrisinin determinantı detA veya |A| biccediliminde goumlsterilir
|A| matrislerde mutlak değer anlamına gelmez |A| sıfır veya
negatif de olabilir
det(x)
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
95
KURAL
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
96
Oumlrnek
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Determinant
raquo
deter=det(x)deter =
21
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
97
Oumlrnek Inverse işlemi
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Detx=det(x)=21 ise
raquo y=inv(x)y =
821 121 -521 221
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
98
SORU
a=[2 -10 01 2 43 0 1] matrisi ile b=[1 5 41 -1 20 1 -1] matrisleri veriliyor
a)
a matrisinin elemanlarını
sırasıyla b matrisinin elemanlarına boumllerek elde
edilen matrisi b1 matrisine atayalım
b) a matrisinin ta ters matrisini bulalım
c) a ile ta matrisinin ccedilarpımının 3x3 luumlk birim matris olduğunu goumlsterelim
d) a matrisinin b matrisine boumlluumlmuumlnuuml
b2 matrisine atayalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
99
Ccediloumlzuumlm
a)
b1=ab
b) ta1=eye(33)a veya ta2=inv(a)
c) ata ==eye(33)
d) b2=ab
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
60
Sayılardan olusan satır ve suumltun yapısına matris (dizi) denir
Oumlrneğin
d1=[5] 1x1 lik
d2=[ 2 -7] 1x2 lik
d3= [1 0 -3 ]
[ 5 3 1 ]
2x3 luumlk bir dizidir
Oumlrnekx=[1 7 18 5]Ya daraquo x=[ 1
7185 ]
Biccedilimlerinde girilebilir
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
61
Dizilerin Değerlerinin Değistirilmesi ve DuumlzenlenmesiBir dizinin herhangi bir elemanını belirlemek iccedilin dizi adından hemen sonra
parantez iccedilinde elemanın bulunduğu satır ve suumltun sayısı yazılmalıdır
Oumlrnek 1 d2=[2 -7]d2 dizisinin -7 elemanını
goumlruumlntuumllemek iccedilin
d2(12)
2 d3=[1 0 -35 3 1]d3 dizisinin 2 satır 1 suumltununda bulunan 5 in değerinin -75 olması
iccedilin
d3(21)=-75
Not1) Bir dizinin bir ccedilok elemanını
yeniden değer atamak gerekirse komut satırından atama yapmak uzun zaman alabilirBu durumda dizi değiskeninin uumlzerine ccedilift tıklayarak accedilılan dizi editoumlruuml
(array edit) yardımıyla değisiklikleri daha kolay yapabiliriz
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
62
8 Matrisler(Dizi)Matlab
Bir matrisi girerken o1 Elemanlar baştan ve sondan koumlşeli parantezlerle kapatılıro2 Elemanların arasına boşluk veya virguumll konuluro3 Matris satırlarını
ayırmak iccedilin de noktalı
virguumll kullanılır
okurallarına dikkate alınmalıdır
Oumlrneğin
A = [1 2 3 4 5 6]A =
1 2 34 5 6
şeklinde veriler matrisler biccediliminde tanımlanır MATLAB daha sonra kullanılmak uumlzere verileri A matrisinde saklar
63
Matris elemanları
rasgele rakamlardan oluşabileceği gibi MATLABrsquoın deyimlerinden de oluşabilir
51 Matrislerde ElemanlarMatlab
Oumlrneğin
a=[-13 sqrt(3) (1+2+3)475]
a= -13000 17321 48000
Kuumlccediluumlk matrisleri eleman olarak kullanıp daha buumlyuumlk matrisler oluşturmak muumlmkuumlnduumlr
OumlrneğinM=[1 3 5
7 8 9] matrisine
aşağıda goumlsterildiği şekilde bir satır eklemesi yapabilir
M=[M[10 13 15]]
Bu durumda M matrisiM=[1 3 5
7 8 910 13 15]
durumunu alır
64
İki nokta uumlst uumlste () kullanarak buumlyuumlk matrislerin belli bir kısmını
kullanabiliriz
ya da diğer ifade ile bu matrisi kuumlccediluumlltebiliriz
Oumlrneğin
M=M(12) bildirimi M matrisinin ilk iki satırını
alarak M matrisi
olarak saklar
Oumlrnek
M=[8 -4 7 66 -7 8 9 4 5 134] ise
M=M(12) =
8 1 Matrislerde ElemanlarMatlab
65
MATLABrsquoda kullanıcı
verileri kendi oluşturacağı
matrisler ile tanımlayabileceği gibi MATLABrsquoın kendi oumlzel matrislerinden de istifade edilebilir
52 Genel MatrislerMatlab
66
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
a) Sıfır Matrisi Olusturan Fonksiyon
Her elemanı sıfır olan mxn boyutunda bir matrise sıfır matrisi denir
Boumlyle bir dizi olusturmak iccedilin zeros fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=zeros(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
3x5 boyutunda s adlı
sıfır matrisi iccedilin
s=zeros(35)
52 Genel MatrislerMatlab
67
b) 1 lerden Olusan Matris
Her elemanı 1 olan mxn boyutunda bir matrisi olusturmak iccedilin ones
fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matria_adı=ones(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
2x3 boyutunda b adlı
tuumlm elemanları
1 olan matrisi olusturalım
b=ones(23)
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
52 Genel MatrislerMatlab
68
c) Birim Matrisi Olusturan Fonksiyon
Esas koumlsegeni 1 lerden diğer elemanları 0 lardan olusan kare matrise (satır
ve suumltun sayısı esit olan ) birim matrisi
kare olmayan matrise de diyagonal matris denir
Boumlyle matrisleri olusturmak iccedilin eye fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=eye(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
a)
3x3 luumlk birim matris
b) 4x3 lluumlk diyagonal matris olusturalım
Ccediloumlzuumlma) i=eye(33) b) d=eye(43)
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar52 Genel MatrislerMatlab
69
d) Rastgele Sayılardan Olusan Matris ve Fonksiyonu
Elemanları 0 ile 1 arasındaki rastgele sayılardan olusan bir matris iccedilin
rand fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=rand(mn) biccedilimindedir(msatırnsuumltun)
Not 1) Uumlretilen matrisin tuumlm elemanlarını k gibi bir sayı ile ccedilarparak
sayıları 0 ile k arasına ccedilekebiliriz
Not 2) Ondalıklı sayılardan olusmus bir matrisin elemanlarını
yuvarlayıp tam sayı yapmak iccedilin round fonksiyonunu kullanırız
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar52 Genel MatrislerMatlab
70
Oumlrnek
a) 0 ile 1 arasında rastgele sayılardan olusan 10 elemanlı
a adında bir satır
matrisi olusturalım
b) Elemanları
10 ile 50 arasında sayılardan olusan 5x3 tipinde b matrisini
olusturalım
c) Elemanları
50 ile 300 arasındaki tamsayılardan olusan 3x4 tipinde c matrisini
olusturalım
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
d) Rastgele Sayılardan Olusan Matris ve Fonksiyonu
52 Genel MatrislerMatlab
71
Ccediloumlzuumlm
a)
a=rand(110)
b)
b=10+rand(53)40
c) c=round(50+rand(34)250)
52 Genel MatrislerMatlab
72
e) Rastgele Sayılardan Olusan Normal Dağılımlı
Matris veFonksiyonu
Elemanları rasstgele sayılardan olusan bir normal dağılımlı bir matris iccedilin
randn fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=randn(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek Rastgele sayılardan olusan normal dağılımlı 2x3 luumlk bir n matrisini
olusturalım
Ccediloumlzuumlm n=randn(23)
52 Genel MatrislerMatlab
73
f) Lineer Aralıklı
(Aritmetik) Dizi ve Fonksiyonu
Baslangıccedil ve biis değerleri ve kaccedil elemandan olusacağı belirlenen diziyi
olusturmak iccedilin linspace fonksiyonu kullanılır
Kullanımı
dizi_adı=linspace(ilk_değerson_değereleman_sayısı)
biccedilimindedir
52 Genel MatrislerMatlab
74
Oumlrnek 10 ile 30 arasına 9 tane daha sayı
koyarak aadında bir aritmetik dizi olusturalım
f) Lineer Aralıklı
(Aritmetik) Dizi ve Fonksiyonu
52 Genel MatrislerMatlab
Cevapa=linspace(103011)
75
Elimizdeki grubun her elemanı iccedilin bir matematik işlemi yapıp bunu yeni bir
diziye atarken herhangi bir sorun yoktur
Fakat iki farklı grupla işlemler yaparken dikkat etmemiz gereken genel
kurallar vardır
Oumlrneğin toplama ve ccedilıkarma yaparken iki dizinin de buumlyuumlkluumlğuumlnuumln eşit
olması gerekmektedir
Ayrıca iki farklı dizinin elemanları arasında birebir işlem yapmak iccedilin
matematik operatoumlruumlnuumln başına nokta() koymak gerekir
Bu durumda her bir elemanı diğer dizinin o sıradaki elmanı ile işleme
sokacaktır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
76
Birden fazla satır ve suumltuna sahip vektoumlrlere matris denir Noktalı
virguumll ()
işareti ile kolonları
ve virguumlle işareti ya da boşluk
bırakarak da bir sıradaki elemanları
ayırabilirizOumlrnekraquo x=[ 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14]x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14Yukarıdaki 3x4 boyutunda bir matristir MATLAB programına aşağıdaki
gibi de sunulabilirraquo x=[ 3 4 5 6
7 8 9 1011 12 13 14]
x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
77
Matristeki herhangi bir elemana direk ulaşmak iccedilin aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(23)=9
Eğer isteğimiz eriştiğimiz bir elemanı
değiştirmek veya yeni bir satır eklemek ise aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(41)=1x =
3 4 5 67 8 9 1011 12 13 141 0 0 0
Bu durumda doumlrduumlncuuml
satır ilk elemanını
biz 1 değerini atadık ve diğer elemanları
kendiliğinden ldquo0rdquo
olarak atadı
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
78
İki nokta uumlst uumlste () kullanılarak belirli aralıkta değişen matrisler yaratılabilir
raquo x=[127 3-10 -12]x =
1 3 5 73 2 1 0
-1 0 1 2Bir matrisin herhangi bir boumlluumlmuumlnuuml
seccedilmek iccedilin ise aşağıdaki goumlsterim
kullanılırraquo z=x(23 12)z =
3 2-1 0
Bu durumda z matris x matrisinin 2 ve 3 norsquo
lu satırlarından 1 ve 2 norsquo
lu suumltunlarını
almış
oluyor
Herhangi bir satır veya suumltunu tamamen silmek istersek o satır ve suumltunu seccedilip ldquo[]rdquo
ifadesine eşitleriz
raquo z(2)=[ ]z =
3 -1
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
79
Matlab size ve length komutları
yardımı
ile size matrisinizin boyutlarını
soumlyler
raquo a=[ 2 3 4 5 67 8 9 10 11]
raquo s=size(a)s =
2 5
raquo b=[ 17 11 0 30 40 50]
raquo k=length(b)k =
6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
80
a) Toplama-Ccedilıkarma Bir Sayı
ile Ccedilarpma İşlemi
İki matrisi toplamak (veya ccedilıkarmak) demek matrislerin aynı
mertebedeki elemanları teker teker toplayıp (veya ccedilıkarıp ) aynı
mertebeye yazmak demektir
Bu durumda iki matrisin de aynı mertebeden olması gereği accedilıktır
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile toplamak (veya ccedilıkarmak) demek
matrisin elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla toplamak (veya
ccedilıkarmak )demektir
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile ccedilarpmak demek ise matrisin
elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla ccedilarpmak demektir
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
81
82
Oumlrnek
raquo a=[1 2 3 4 5 6]raquo b=[7 8 9 10 11 12]
a ve b toplamıraquo sum=a+bsum =
8 10 1214 16 18
arsquo
yı
brsquo
den ccedilıkarmak
raquo diff=a-bdiff =
-6 -6 -6-6 -6 -6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
83
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] ve b=[3 -3 -41 1 5] matrisleri
veriliyor
a)
c=a+b toplam matrisini
b)
d=a-b matrisini
c)
amatrisinin her elemanınının 5 eksiğine karsılık gelen e
matrisini
d) f=2a-3b matrisini bulduran islemleri yazalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
a) c=a+b b) d=a-b c) e=a-5 d) f=a+a-b-b-b veya
f=2a-3b
84
İki matrisin ccedilarpım islemi iki biccedilimde anlasılır
1)
Aynı
mertebeden iki matrisin elemanlarını
teker teker ccedilarpıp aynı
mertebeye
yazmak demektir Bunu
islemi ile gerccedileklestiririz
2) Matematiksel anlamda iki matrisi ccedilarpmak istediğimizde birinci matris mxn
tuumlruumlnde ve ikinci matris mutlaka nxp tuumlruumlnde olmalıdır yani birinci matrisin
suumltun sayısı
ikinci matrisin satır sayısına eşit olmalıdır
Bu durumda birinci matrisin i suumltun elemanları
ile ikinci matrisin j satırındaki
elemanlar karılıklı
olarak ccedilarpılır ve sonuccedillar toplanır ve bu toplam ccedilarpım
matrisinin (ij) inci mertebeye yazılır
Matrisler arası
ccedilarpma isleminin semboluuml
de dır
b) İki Matrisin Ccedilarpımı Bir Matrisin Kuvvetleri veCcedilarpma İslemi
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
85
3) Bir a matrisinin her bir elemanının n Kuvvetlerinden olusan matrisi
bulmak iccedilin a^n islemi kullanılır
4) Satır ve suumltun sayıları
esit bir kare matrisi ardısık olarak n defa
kendisiyle ccedilarparak a matrisinin n kuvvetini bulabilirizOumlrneğin a matrisinin
karesi iccedilin aa veya a^2 kuumlbuumlnuuml
buldurmak iccedilin aaa veya a^3
doumlrduumlncuuml
kuvvetini buldurmak iccedilin aaaa veya a^4
Not) Bir a matrisinin eleman -elemana ccedilarpma islemine benzer mantıkla bir matrisin tuumlm elemanlarının kareleri kuumlbleri sinuumlsleri kosinuumlsleri logaritmalarından olusan matris bulunmak istenirse bunu sırayla aa (veya a^2) aaa (veya a^3) sin(a) cos(a) etabanında logaritması
iccedilin log(a) 10 tabanında logaritmaları
iccedilin log10(a) Biccediliminde gerccedileklestirebiliriz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
86
a) a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c1 matrisi varsa bulalım
b) a matrisi ile b matrisinin ccedilarpım matrisi olan c2 varsa bulalım
c) a matrisinin elemanları
ile c matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c3 matrisi varsa bulalım
d) a matrisi ile c matrisinin ccedilarpım matrisi olan c4 varsa bulalım
e) a matrisinin elemanlarının karelerinden olusan matris ile b matrisinin
kosinuumlslerinden olusan matrisler toplamını
bulalım
f) x=[1 00 3] matrisinin i) Karesini ii) Kuumlbuumlnuuml
iii) 10
kuvvetini bulalım
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] b=[3 -3 -41 1 5] ve c=[1 0-1 23 3] matrisleri veriliyor
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
87
Ccediloumlzuumlma) iki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirBu durumda c1 matrisi tanımlıdır ve bunu c1=ab islemi ile gerccedileklestirebilirizb) iki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdırHalbuki a matrisi 2x3 b matrisi de 2x3 olduğundan bu iki matris ccedilarpılamazc) İki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirHalbuki bu matrisler aynı mertebeden olmadığından bu iki matris eleman-elemana ccedilarpma islemi
gerccedileklemezd) İki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdıra matrisi 2x3 luumlk c matrisi de 3x2 lik olduğundan bu iki matris ccedilarpılabilir ve c4 ccedilarpım matrisi 2x2 lik bir matris olurc4 ccedilarpım matrisini c4=ac islemi ile buluruze) a^2+cos(b)f) i) x^2 ii) x^3 iii) x^10
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
88
c) Bir Matrisin Devriğini (Transpozesi) Bulma İslemi
Bir matrisin satırlarını suumltun suumltunlarını satır olarak yazılmasıyla
bulunan matrise bu matrisin devriği (transpozesi) denir
Bir matrisin devriğini islemi ile bulabiliriz
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] nın devriğini buldurup d matrisine atayalım
Ccediloumlzuumlm d=a
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
89
Oumlrnek
b=[7 8 9 10 11 12] matrisinin transpozesini bulabilirmisiniz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
c=bc =
7 108 119 12
90
SORU
a=[1 2 3 4 5 6]
c= [710811912]
ise a ve crsquonin ccedilarpım matrisi
kaccediltır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
Ccedilarpma işlemi k=ack=
50 68122 167
91
SORU
a=[1 2 3 4 5 6] b=[7 8 9 10 11 12]
ise a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan x matrisini bulalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
x=abx =
7 16 2740 55 72
92
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
Aynı mertebeden iki matrisin elemanlarını teker teker boumllerek aynı
mertebeye yazılmasına iki matrisin sol boumllmesi denir ve bu islemi ile
yapılır
a b ve c aynı mertebeden kare matrisler olmak uumlzere
c=ab ise a matrisine c nin b matrisine boumlluumlmuuml denir
c boumlluumlm matrisi islemi ile yapılır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
93
HATIRLATMA
2x2 lik i2 adlı birim matrisi i2=eye(22)
3x luumlk i3 adlı birim matrisi i2=eye(33) islemi ile olusturabiiriz
Aynı mertebeden a ve b kare matrisleri iccedilin a ile b nin ccedilarpımı birim matris ise
b matrisi a matrisinin (aynı biccedilimde a matrisi de b matrisinin) ters matrisidir
Oumlrnek
3x3 luumlk bir a kare matrisinin tersini bulmak iccedilin
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
eye(33)a veya inv(a) islemini kullanırız
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
94
Bir Matrisin Determinantı
Determinant kare matrisleri bir sayıya eşleyen fonksiyondur
Determinant fonksiyonunun kare matrisi eşlediği o sayıya matrisin
determinantı denir
A matrisinin determinantı detA veya |A| biccediliminde goumlsterilir
|A| matrislerde mutlak değer anlamına gelmez |A| sıfır veya
negatif de olabilir
det(x)
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
95
KURAL
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
96
Oumlrnek
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Determinant
raquo
deter=det(x)deter =
21
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
97
Oumlrnek Inverse işlemi
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Detx=det(x)=21 ise
raquo y=inv(x)y =
821 121 -521 221
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
98
SORU
a=[2 -10 01 2 43 0 1] matrisi ile b=[1 5 41 -1 20 1 -1] matrisleri veriliyor
a)
a matrisinin elemanlarını
sırasıyla b matrisinin elemanlarına boumllerek elde
edilen matrisi b1 matrisine atayalım
b) a matrisinin ta ters matrisini bulalım
c) a ile ta matrisinin ccedilarpımının 3x3 luumlk birim matris olduğunu goumlsterelim
d) a matrisinin b matrisine boumlluumlmuumlnuuml
b2 matrisine atayalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
99
Ccediloumlzuumlm
a)
b1=ab
b) ta1=eye(33)a veya ta2=inv(a)
c) ata ==eye(33)
d) b2=ab
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
61
Dizilerin Değerlerinin Değistirilmesi ve DuumlzenlenmesiBir dizinin herhangi bir elemanını belirlemek iccedilin dizi adından hemen sonra
parantez iccedilinde elemanın bulunduğu satır ve suumltun sayısı yazılmalıdır
Oumlrnek 1 d2=[2 -7]d2 dizisinin -7 elemanını
goumlruumlntuumllemek iccedilin
d2(12)
2 d3=[1 0 -35 3 1]d3 dizisinin 2 satır 1 suumltununda bulunan 5 in değerinin -75 olması
iccedilin
d3(21)=-75
Not1) Bir dizinin bir ccedilok elemanını
yeniden değer atamak gerekirse komut satırından atama yapmak uzun zaman alabilirBu durumda dizi değiskeninin uumlzerine ccedilift tıklayarak accedilılan dizi editoumlruuml
(array edit) yardımıyla değisiklikleri daha kolay yapabiliriz
5 Matlabda Dizi (Matris) İşlemleriMatlab
62
8 Matrisler(Dizi)Matlab
Bir matrisi girerken o1 Elemanlar baştan ve sondan koumlşeli parantezlerle kapatılıro2 Elemanların arasına boşluk veya virguumll konuluro3 Matris satırlarını
ayırmak iccedilin de noktalı
virguumll kullanılır
okurallarına dikkate alınmalıdır
Oumlrneğin
A = [1 2 3 4 5 6]A =
1 2 34 5 6
şeklinde veriler matrisler biccediliminde tanımlanır MATLAB daha sonra kullanılmak uumlzere verileri A matrisinde saklar
63
Matris elemanları
rasgele rakamlardan oluşabileceği gibi MATLABrsquoın deyimlerinden de oluşabilir
51 Matrislerde ElemanlarMatlab
Oumlrneğin
a=[-13 sqrt(3) (1+2+3)475]
a= -13000 17321 48000
Kuumlccediluumlk matrisleri eleman olarak kullanıp daha buumlyuumlk matrisler oluşturmak muumlmkuumlnduumlr
OumlrneğinM=[1 3 5
7 8 9] matrisine
aşağıda goumlsterildiği şekilde bir satır eklemesi yapabilir
M=[M[10 13 15]]
Bu durumda M matrisiM=[1 3 5
7 8 910 13 15]
durumunu alır
64
İki nokta uumlst uumlste () kullanarak buumlyuumlk matrislerin belli bir kısmını
kullanabiliriz
ya da diğer ifade ile bu matrisi kuumlccediluumlltebiliriz
Oumlrneğin
M=M(12) bildirimi M matrisinin ilk iki satırını
alarak M matrisi
olarak saklar
Oumlrnek
M=[8 -4 7 66 -7 8 9 4 5 134] ise
M=M(12) =
8 1 Matrislerde ElemanlarMatlab
65
MATLABrsquoda kullanıcı
verileri kendi oluşturacağı
matrisler ile tanımlayabileceği gibi MATLABrsquoın kendi oumlzel matrislerinden de istifade edilebilir
52 Genel MatrislerMatlab
66
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
a) Sıfır Matrisi Olusturan Fonksiyon
Her elemanı sıfır olan mxn boyutunda bir matrise sıfır matrisi denir
Boumlyle bir dizi olusturmak iccedilin zeros fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=zeros(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
3x5 boyutunda s adlı
sıfır matrisi iccedilin
s=zeros(35)
52 Genel MatrislerMatlab
67
b) 1 lerden Olusan Matris
Her elemanı 1 olan mxn boyutunda bir matrisi olusturmak iccedilin ones
fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matria_adı=ones(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
2x3 boyutunda b adlı
tuumlm elemanları
1 olan matrisi olusturalım
b=ones(23)
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
52 Genel MatrislerMatlab
68
c) Birim Matrisi Olusturan Fonksiyon
Esas koumlsegeni 1 lerden diğer elemanları 0 lardan olusan kare matrise (satır
ve suumltun sayısı esit olan ) birim matrisi
kare olmayan matrise de diyagonal matris denir
Boumlyle matrisleri olusturmak iccedilin eye fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=eye(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
a)
3x3 luumlk birim matris
b) 4x3 lluumlk diyagonal matris olusturalım
Ccediloumlzuumlma) i=eye(33) b) d=eye(43)
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar52 Genel MatrislerMatlab
69
d) Rastgele Sayılardan Olusan Matris ve Fonksiyonu
Elemanları 0 ile 1 arasındaki rastgele sayılardan olusan bir matris iccedilin
rand fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=rand(mn) biccedilimindedir(msatırnsuumltun)
Not 1) Uumlretilen matrisin tuumlm elemanlarını k gibi bir sayı ile ccedilarparak
sayıları 0 ile k arasına ccedilekebiliriz
Not 2) Ondalıklı sayılardan olusmus bir matrisin elemanlarını
yuvarlayıp tam sayı yapmak iccedilin round fonksiyonunu kullanırız
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar52 Genel MatrislerMatlab
70
Oumlrnek
a) 0 ile 1 arasında rastgele sayılardan olusan 10 elemanlı
a adında bir satır
matrisi olusturalım
b) Elemanları
10 ile 50 arasında sayılardan olusan 5x3 tipinde b matrisini
olusturalım
c) Elemanları
50 ile 300 arasındaki tamsayılardan olusan 3x4 tipinde c matrisini
olusturalım
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
d) Rastgele Sayılardan Olusan Matris ve Fonksiyonu
52 Genel MatrislerMatlab
71
Ccediloumlzuumlm
a)
a=rand(110)
b)
b=10+rand(53)40
c) c=round(50+rand(34)250)
52 Genel MatrislerMatlab
72
e) Rastgele Sayılardan Olusan Normal Dağılımlı
Matris veFonksiyonu
Elemanları rasstgele sayılardan olusan bir normal dağılımlı bir matris iccedilin
randn fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=randn(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek Rastgele sayılardan olusan normal dağılımlı 2x3 luumlk bir n matrisini
olusturalım
Ccediloumlzuumlm n=randn(23)
52 Genel MatrislerMatlab
73
f) Lineer Aralıklı
(Aritmetik) Dizi ve Fonksiyonu
Baslangıccedil ve biis değerleri ve kaccedil elemandan olusacağı belirlenen diziyi
olusturmak iccedilin linspace fonksiyonu kullanılır
Kullanımı
dizi_adı=linspace(ilk_değerson_değereleman_sayısı)
biccedilimindedir
52 Genel MatrislerMatlab
74
Oumlrnek 10 ile 30 arasına 9 tane daha sayı
koyarak aadında bir aritmetik dizi olusturalım
f) Lineer Aralıklı
(Aritmetik) Dizi ve Fonksiyonu
52 Genel MatrislerMatlab
Cevapa=linspace(103011)
75
Elimizdeki grubun her elemanı iccedilin bir matematik işlemi yapıp bunu yeni bir
diziye atarken herhangi bir sorun yoktur
Fakat iki farklı grupla işlemler yaparken dikkat etmemiz gereken genel
kurallar vardır
Oumlrneğin toplama ve ccedilıkarma yaparken iki dizinin de buumlyuumlkluumlğuumlnuumln eşit
olması gerekmektedir
Ayrıca iki farklı dizinin elemanları arasında birebir işlem yapmak iccedilin
matematik operatoumlruumlnuumln başına nokta() koymak gerekir
Bu durumda her bir elemanı diğer dizinin o sıradaki elmanı ile işleme
sokacaktır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
76
Birden fazla satır ve suumltuna sahip vektoumlrlere matris denir Noktalı
virguumll ()
işareti ile kolonları
ve virguumlle işareti ya da boşluk
bırakarak da bir sıradaki elemanları
ayırabilirizOumlrnekraquo x=[ 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14]x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14Yukarıdaki 3x4 boyutunda bir matristir MATLAB programına aşağıdaki
gibi de sunulabilirraquo x=[ 3 4 5 6
7 8 9 1011 12 13 14]
x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
77
Matristeki herhangi bir elemana direk ulaşmak iccedilin aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(23)=9
Eğer isteğimiz eriştiğimiz bir elemanı
değiştirmek veya yeni bir satır eklemek ise aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(41)=1x =
3 4 5 67 8 9 1011 12 13 141 0 0 0
Bu durumda doumlrduumlncuuml
satır ilk elemanını
biz 1 değerini atadık ve diğer elemanları
kendiliğinden ldquo0rdquo
olarak atadı
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
78
İki nokta uumlst uumlste () kullanılarak belirli aralıkta değişen matrisler yaratılabilir
raquo x=[127 3-10 -12]x =
1 3 5 73 2 1 0
-1 0 1 2Bir matrisin herhangi bir boumlluumlmuumlnuuml
seccedilmek iccedilin ise aşağıdaki goumlsterim
kullanılırraquo z=x(23 12)z =
3 2-1 0
Bu durumda z matris x matrisinin 2 ve 3 norsquo
lu satırlarından 1 ve 2 norsquo
lu suumltunlarını
almış
oluyor
Herhangi bir satır veya suumltunu tamamen silmek istersek o satır ve suumltunu seccedilip ldquo[]rdquo
ifadesine eşitleriz
raquo z(2)=[ ]z =
3 -1
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
79
Matlab size ve length komutları
yardımı
ile size matrisinizin boyutlarını
soumlyler
raquo a=[ 2 3 4 5 67 8 9 10 11]
raquo s=size(a)s =
2 5
raquo b=[ 17 11 0 30 40 50]
raquo k=length(b)k =
6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
80
a) Toplama-Ccedilıkarma Bir Sayı
ile Ccedilarpma İşlemi
İki matrisi toplamak (veya ccedilıkarmak) demek matrislerin aynı
mertebedeki elemanları teker teker toplayıp (veya ccedilıkarıp ) aynı
mertebeye yazmak demektir
Bu durumda iki matrisin de aynı mertebeden olması gereği accedilıktır
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile toplamak (veya ccedilıkarmak) demek
matrisin elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla toplamak (veya
ccedilıkarmak )demektir
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile ccedilarpmak demek ise matrisin
elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla ccedilarpmak demektir
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
81
82
Oumlrnek
raquo a=[1 2 3 4 5 6]raquo b=[7 8 9 10 11 12]
a ve b toplamıraquo sum=a+bsum =
8 10 1214 16 18
arsquo
yı
brsquo
den ccedilıkarmak
raquo diff=a-bdiff =
-6 -6 -6-6 -6 -6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
83
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] ve b=[3 -3 -41 1 5] matrisleri
veriliyor
a)
c=a+b toplam matrisini
b)
d=a-b matrisini
c)
amatrisinin her elemanınının 5 eksiğine karsılık gelen e
matrisini
d) f=2a-3b matrisini bulduran islemleri yazalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
a) c=a+b b) d=a-b c) e=a-5 d) f=a+a-b-b-b veya
f=2a-3b
84
İki matrisin ccedilarpım islemi iki biccedilimde anlasılır
1)
Aynı
mertebeden iki matrisin elemanlarını
teker teker ccedilarpıp aynı
mertebeye
yazmak demektir Bunu
islemi ile gerccedileklestiririz
2) Matematiksel anlamda iki matrisi ccedilarpmak istediğimizde birinci matris mxn
tuumlruumlnde ve ikinci matris mutlaka nxp tuumlruumlnde olmalıdır yani birinci matrisin
suumltun sayısı
ikinci matrisin satır sayısına eşit olmalıdır
Bu durumda birinci matrisin i suumltun elemanları
ile ikinci matrisin j satırındaki
elemanlar karılıklı
olarak ccedilarpılır ve sonuccedillar toplanır ve bu toplam ccedilarpım
matrisinin (ij) inci mertebeye yazılır
Matrisler arası
ccedilarpma isleminin semboluuml
de dır
b) İki Matrisin Ccedilarpımı Bir Matrisin Kuvvetleri veCcedilarpma İslemi
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
85
3) Bir a matrisinin her bir elemanının n Kuvvetlerinden olusan matrisi
bulmak iccedilin a^n islemi kullanılır
4) Satır ve suumltun sayıları
esit bir kare matrisi ardısık olarak n defa
kendisiyle ccedilarparak a matrisinin n kuvvetini bulabilirizOumlrneğin a matrisinin
karesi iccedilin aa veya a^2 kuumlbuumlnuuml
buldurmak iccedilin aaa veya a^3
doumlrduumlncuuml
kuvvetini buldurmak iccedilin aaaa veya a^4
Not) Bir a matrisinin eleman -elemana ccedilarpma islemine benzer mantıkla bir matrisin tuumlm elemanlarının kareleri kuumlbleri sinuumlsleri kosinuumlsleri logaritmalarından olusan matris bulunmak istenirse bunu sırayla aa (veya a^2) aaa (veya a^3) sin(a) cos(a) etabanında logaritması
iccedilin log(a) 10 tabanında logaritmaları
iccedilin log10(a) Biccediliminde gerccedileklestirebiliriz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
86
a) a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c1 matrisi varsa bulalım
b) a matrisi ile b matrisinin ccedilarpım matrisi olan c2 varsa bulalım
c) a matrisinin elemanları
ile c matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c3 matrisi varsa bulalım
d) a matrisi ile c matrisinin ccedilarpım matrisi olan c4 varsa bulalım
e) a matrisinin elemanlarının karelerinden olusan matris ile b matrisinin
kosinuumlslerinden olusan matrisler toplamını
bulalım
f) x=[1 00 3] matrisinin i) Karesini ii) Kuumlbuumlnuuml
iii) 10
kuvvetini bulalım
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] b=[3 -3 -41 1 5] ve c=[1 0-1 23 3] matrisleri veriliyor
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
87
Ccediloumlzuumlma) iki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirBu durumda c1 matrisi tanımlıdır ve bunu c1=ab islemi ile gerccedileklestirebilirizb) iki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdırHalbuki a matrisi 2x3 b matrisi de 2x3 olduğundan bu iki matris ccedilarpılamazc) İki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirHalbuki bu matrisler aynı mertebeden olmadığından bu iki matris eleman-elemana ccedilarpma islemi
gerccedileklemezd) İki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdıra matrisi 2x3 luumlk c matrisi de 3x2 lik olduğundan bu iki matris ccedilarpılabilir ve c4 ccedilarpım matrisi 2x2 lik bir matris olurc4 ccedilarpım matrisini c4=ac islemi ile buluruze) a^2+cos(b)f) i) x^2 ii) x^3 iii) x^10
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
88
c) Bir Matrisin Devriğini (Transpozesi) Bulma İslemi
Bir matrisin satırlarını suumltun suumltunlarını satır olarak yazılmasıyla
bulunan matrise bu matrisin devriği (transpozesi) denir
Bir matrisin devriğini islemi ile bulabiliriz
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] nın devriğini buldurup d matrisine atayalım
Ccediloumlzuumlm d=a
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
89
Oumlrnek
b=[7 8 9 10 11 12] matrisinin transpozesini bulabilirmisiniz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
c=bc =
7 108 119 12
90
SORU
a=[1 2 3 4 5 6]
c= [710811912]
ise a ve crsquonin ccedilarpım matrisi
kaccediltır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
Ccedilarpma işlemi k=ack=
50 68122 167
91
SORU
a=[1 2 3 4 5 6] b=[7 8 9 10 11 12]
ise a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan x matrisini bulalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
x=abx =
7 16 2740 55 72
92
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
Aynı mertebeden iki matrisin elemanlarını teker teker boumllerek aynı
mertebeye yazılmasına iki matrisin sol boumllmesi denir ve bu islemi ile
yapılır
a b ve c aynı mertebeden kare matrisler olmak uumlzere
c=ab ise a matrisine c nin b matrisine boumlluumlmuuml denir
c boumlluumlm matrisi islemi ile yapılır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
93
HATIRLATMA
2x2 lik i2 adlı birim matrisi i2=eye(22)
3x luumlk i3 adlı birim matrisi i2=eye(33) islemi ile olusturabiiriz
Aynı mertebeden a ve b kare matrisleri iccedilin a ile b nin ccedilarpımı birim matris ise
b matrisi a matrisinin (aynı biccedilimde a matrisi de b matrisinin) ters matrisidir
Oumlrnek
3x3 luumlk bir a kare matrisinin tersini bulmak iccedilin
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
eye(33)a veya inv(a) islemini kullanırız
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
94
Bir Matrisin Determinantı
Determinant kare matrisleri bir sayıya eşleyen fonksiyondur
Determinant fonksiyonunun kare matrisi eşlediği o sayıya matrisin
determinantı denir
A matrisinin determinantı detA veya |A| biccediliminde goumlsterilir
|A| matrislerde mutlak değer anlamına gelmez |A| sıfır veya
negatif de olabilir
det(x)
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
95
KURAL
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
96
Oumlrnek
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Determinant
raquo
deter=det(x)deter =
21
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
97
Oumlrnek Inverse işlemi
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Detx=det(x)=21 ise
raquo y=inv(x)y =
821 121 -521 221
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
98
SORU
a=[2 -10 01 2 43 0 1] matrisi ile b=[1 5 41 -1 20 1 -1] matrisleri veriliyor
a)
a matrisinin elemanlarını
sırasıyla b matrisinin elemanlarına boumllerek elde
edilen matrisi b1 matrisine atayalım
b) a matrisinin ta ters matrisini bulalım
c) a ile ta matrisinin ccedilarpımının 3x3 luumlk birim matris olduğunu goumlsterelim
d) a matrisinin b matrisine boumlluumlmuumlnuuml
b2 matrisine atayalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
99
Ccediloumlzuumlm
a)
b1=ab
b) ta1=eye(33)a veya ta2=inv(a)
c) ata ==eye(33)
d) b2=ab
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
62
8 Matrisler(Dizi)Matlab
Bir matrisi girerken o1 Elemanlar baştan ve sondan koumlşeli parantezlerle kapatılıro2 Elemanların arasına boşluk veya virguumll konuluro3 Matris satırlarını
ayırmak iccedilin de noktalı
virguumll kullanılır
okurallarına dikkate alınmalıdır
Oumlrneğin
A = [1 2 3 4 5 6]A =
1 2 34 5 6
şeklinde veriler matrisler biccediliminde tanımlanır MATLAB daha sonra kullanılmak uumlzere verileri A matrisinde saklar
63
Matris elemanları
rasgele rakamlardan oluşabileceği gibi MATLABrsquoın deyimlerinden de oluşabilir
51 Matrislerde ElemanlarMatlab
Oumlrneğin
a=[-13 sqrt(3) (1+2+3)475]
a= -13000 17321 48000
Kuumlccediluumlk matrisleri eleman olarak kullanıp daha buumlyuumlk matrisler oluşturmak muumlmkuumlnduumlr
OumlrneğinM=[1 3 5
7 8 9] matrisine
aşağıda goumlsterildiği şekilde bir satır eklemesi yapabilir
M=[M[10 13 15]]
Bu durumda M matrisiM=[1 3 5
7 8 910 13 15]
durumunu alır
64
İki nokta uumlst uumlste () kullanarak buumlyuumlk matrislerin belli bir kısmını
kullanabiliriz
ya da diğer ifade ile bu matrisi kuumlccediluumlltebiliriz
Oumlrneğin
M=M(12) bildirimi M matrisinin ilk iki satırını
alarak M matrisi
olarak saklar
Oumlrnek
M=[8 -4 7 66 -7 8 9 4 5 134] ise
M=M(12) =
8 1 Matrislerde ElemanlarMatlab
65
MATLABrsquoda kullanıcı
verileri kendi oluşturacağı
matrisler ile tanımlayabileceği gibi MATLABrsquoın kendi oumlzel matrislerinden de istifade edilebilir
52 Genel MatrislerMatlab
66
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
a) Sıfır Matrisi Olusturan Fonksiyon
Her elemanı sıfır olan mxn boyutunda bir matrise sıfır matrisi denir
Boumlyle bir dizi olusturmak iccedilin zeros fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=zeros(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
3x5 boyutunda s adlı
sıfır matrisi iccedilin
s=zeros(35)
52 Genel MatrislerMatlab
67
b) 1 lerden Olusan Matris
Her elemanı 1 olan mxn boyutunda bir matrisi olusturmak iccedilin ones
fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matria_adı=ones(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
2x3 boyutunda b adlı
tuumlm elemanları
1 olan matrisi olusturalım
b=ones(23)
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
52 Genel MatrislerMatlab
68
c) Birim Matrisi Olusturan Fonksiyon
Esas koumlsegeni 1 lerden diğer elemanları 0 lardan olusan kare matrise (satır
ve suumltun sayısı esit olan ) birim matrisi
kare olmayan matrise de diyagonal matris denir
Boumlyle matrisleri olusturmak iccedilin eye fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=eye(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
a)
3x3 luumlk birim matris
b) 4x3 lluumlk diyagonal matris olusturalım
Ccediloumlzuumlma) i=eye(33) b) d=eye(43)
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar52 Genel MatrislerMatlab
69
d) Rastgele Sayılardan Olusan Matris ve Fonksiyonu
Elemanları 0 ile 1 arasındaki rastgele sayılardan olusan bir matris iccedilin
rand fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=rand(mn) biccedilimindedir(msatırnsuumltun)
Not 1) Uumlretilen matrisin tuumlm elemanlarını k gibi bir sayı ile ccedilarparak
sayıları 0 ile k arasına ccedilekebiliriz
Not 2) Ondalıklı sayılardan olusmus bir matrisin elemanlarını
yuvarlayıp tam sayı yapmak iccedilin round fonksiyonunu kullanırız
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar52 Genel MatrislerMatlab
70
Oumlrnek
a) 0 ile 1 arasında rastgele sayılardan olusan 10 elemanlı
a adında bir satır
matrisi olusturalım
b) Elemanları
10 ile 50 arasında sayılardan olusan 5x3 tipinde b matrisini
olusturalım
c) Elemanları
50 ile 300 arasındaki tamsayılardan olusan 3x4 tipinde c matrisini
olusturalım
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
d) Rastgele Sayılardan Olusan Matris ve Fonksiyonu
52 Genel MatrislerMatlab
71
Ccediloumlzuumlm
a)
a=rand(110)
b)
b=10+rand(53)40
c) c=round(50+rand(34)250)
52 Genel MatrislerMatlab
72
e) Rastgele Sayılardan Olusan Normal Dağılımlı
Matris veFonksiyonu
Elemanları rasstgele sayılardan olusan bir normal dağılımlı bir matris iccedilin
randn fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=randn(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek Rastgele sayılardan olusan normal dağılımlı 2x3 luumlk bir n matrisini
olusturalım
Ccediloumlzuumlm n=randn(23)
52 Genel MatrislerMatlab
73
f) Lineer Aralıklı
(Aritmetik) Dizi ve Fonksiyonu
Baslangıccedil ve biis değerleri ve kaccedil elemandan olusacağı belirlenen diziyi
olusturmak iccedilin linspace fonksiyonu kullanılır
Kullanımı
dizi_adı=linspace(ilk_değerson_değereleman_sayısı)
biccedilimindedir
52 Genel MatrislerMatlab
74
Oumlrnek 10 ile 30 arasına 9 tane daha sayı
koyarak aadında bir aritmetik dizi olusturalım
f) Lineer Aralıklı
(Aritmetik) Dizi ve Fonksiyonu
52 Genel MatrislerMatlab
Cevapa=linspace(103011)
75
Elimizdeki grubun her elemanı iccedilin bir matematik işlemi yapıp bunu yeni bir
diziye atarken herhangi bir sorun yoktur
Fakat iki farklı grupla işlemler yaparken dikkat etmemiz gereken genel
kurallar vardır
Oumlrneğin toplama ve ccedilıkarma yaparken iki dizinin de buumlyuumlkluumlğuumlnuumln eşit
olması gerekmektedir
Ayrıca iki farklı dizinin elemanları arasında birebir işlem yapmak iccedilin
matematik operatoumlruumlnuumln başına nokta() koymak gerekir
Bu durumda her bir elemanı diğer dizinin o sıradaki elmanı ile işleme
sokacaktır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
76
Birden fazla satır ve suumltuna sahip vektoumlrlere matris denir Noktalı
virguumll ()
işareti ile kolonları
ve virguumlle işareti ya da boşluk
bırakarak da bir sıradaki elemanları
ayırabilirizOumlrnekraquo x=[ 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14]x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14Yukarıdaki 3x4 boyutunda bir matristir MATLAB programına aşağıdaki
gibi de sunulabilirraquo x=[ 3 4 5 6
7 8 9 1011 12 13 14]
x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
77
Matristeki herhangi bir elemana direk ulaşmak iccedilin aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(23)=9
Eğer isteğimiz eriştiğimiz bir elemanı
değiştirmek veya yeni bir satır eklemek ise aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(41)=1x =
3 4 5 67 8 9 1011 12 13 141 0 0 0
Bu durumda doumlrduumlncuuml
satır ilk elemanını
biz 1 değerini atadık ve diğer elemanları
kendiliğinden ldquo0rdquo
olarak atadı
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
78
İki nokta uumlst uumlste () kullanılarak belirli aralıkta değişen matrisler yaratılabilir
raquo x=[127 3-10 -12]x =
1 3 5 73 2 1 0
-1 0 1 2Bir matrisin herhangi bir boumlluumlmuumlnuuml
seccedilmek iccedilin ise aşağıdaki goumlsterim
kullanılırraquo z=x(23 12)z =
3 2-1 0
Bu durumda z matris x matrisinin 2 ve 3 norsquo
lu satırlarından 1 ve 2 norsquo
lu suumltunlarını
almış
oluyor
Herhangi bir satır veya suumltunu tamamen silmek istersek o satır ve suumltunu seccedilip ldquo[]rdquo
ifadesine eşitleriz
raquo z(2)=[ ]z =
3 -1
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
79
Matlab size ve length komutları
yardımı
ile size matrisinizin boyutlarını
soumlyler
raquo a=[ 2 3 4 5 67 8 9 10 11]
raquo s=size(a)s =
2 5
raquo b=[ 17 11 0 30 40 50]
raquo k=length(b)k =
6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
80
a) Toplama-Ccedilıkarma Bir Sayı
ile Ccedilarpma İşlemi
İki matrisi toplamak (veya ccedilıkarmak) demek matrislerin aynı
mertebedeki elemanları teker teker toplayıp (veya ccedilıkarıp ) aynı
mertebeye yazmak demektir
Bu durumda iki matrisin de aynı mertebeden olması gereği accedilıktır
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile toplamak (veya ccedilıkarmak) demek
matrisin elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla toplamak (veya
ccedilıkarmak )demektir
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile ccedilarpmak demek ise matrisin
elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla ccedilarpmak demektir
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
81
82
Oumlrnek
raquo a=[1 2 3 4 5 6]raquo b=[7 8 9 10 11 12]
a ve b toplamıraquo sum=a+bsum =
8 10 1214 16 18
arsquo
yı
brsquo
den ccedilıkarmak
raquo diff=a-bdiff =
-6 -6 -6-6 -6 -6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
83
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] ve b=[3 -3 -41 1 5] matrisleri
veriliyor
a)
c=a+b toplam matrisini
b)
d=a-b matrisini
c)
amatrisinin her elemanınının 5 eksiğine karsılık gelen e
matrisini
d) f=2a-3b matrisini bulduran islemleri yazalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
a) c=a+b b) d=a-b c) e=a-5 d) f=a+a-b-b-b veya
f=2a-3b
84
İki matrisin ccedilarpım islemi iki biccedilimde anlasılır
1)
Aynı
mertebeden iki matrisin elemanlarını
teker teker ccedilarpıp aynı
mertebeye
yazmak demektir Bunu
islemi ile gerccedileklestiririz
2) Matematiksel anlamda iki matrisi ccedilarpmak istediğimizde birinci matris mxn
tuumlruumlnde ve ikinci matris mutlaka nxp tuumlruumlnde olmalıdır yani birinci matrisin
suumltun sayısı
ikinci matrisin satır sayısına eşit olmalıdır
Bu durumda birinci matrisin i suumltun elemanları
ile ikinci matrisin j satırındaki
elemanlar karılıklı
olarak ccedilarpılır ve sonuccedillar toplanır ve bu toplam ccedilarpım
matrisinin (ij) inci mertebeye yazılır
Matrisler arası
ccedilarpma isleminin semboluuml
de dır
b) İki Matrisin Ccedilarpımı Bir Matrisin Kuvvetleri veCcedilarpma İslemi
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
85
3) Bir a matrisinin her bir elemanının n Kuvvetlerinden olusan matrisi
bulmak iccedilin a^n islemi kullanılır
4) Satır ve suumltun sayıları
esit bir kare matrisi ardısık olarak n defa
kendisiyle ccedilarparak a matrisinin n kuvvetini bulabilirizOumlrneğin a matrisinin
karesi iccedilin aa veya a^2 kuumlbuumlnuuml
buldurmak iccedilin aaa veya a^3
doumlrduumlncuuml
kuvvetini buldurmak iccedilin aaaa veya a^4
Not) Bir a matrisinin eleman -elemana ccedilarpma islemine benzer mantıkla bir matrisin tuumlm elemanlarının kareleri kuumlbleri sinuumlsleri kosinuumlsleri logaritmalarından olusan matris bulunmak istenirse bunu sırayla aa (veya a^2) aaa (veya a^3) sin(a) cos(a) etabanında logaritması
iccedilin log(a) 10 tabanında logaritmaları
iccedilin log10(a) Biccediliminde gerccedileklestirebiliriz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
86
a) a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c1 matrisi varsa bulalım
b) a matrisi ile b matrisinin ccedilarpım matrisi olan c2 varsa bulalım
c) a matrisinin elemanları
ile c matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c3 matrisi varsa bulalım
d) a matrisi ile c matrisinin ccedilarpım matrisi olan c4 varsa bulalım
e) a matrisinin elemanlarının karelerinden olusan matris ile b matrisinin
kosinuumlslerinden olusan matrisler toplamını
bulalım
f) x=[1 00 3] matrisinin i) Karesini ii) Kuumlbuumlnuuml
iii) 10
kuvvetini bulalım
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] b=[3 -3 -41 1 5] ve c=[1 0-1 23 3] matrisleri veriliyor
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
87
Ccediloumlzuumlma) iki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirBu durumda c1 matrisi tanımlıdır ve bunu c1=ab islemi ile gerccedileklestirebilirizb) iki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdırHalbuki a matrisi 2x3 b matrisi de 2x3 olduğundan bu iki matris ccedilarpılamazc) İki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirHalbuki bu matrisler aynı mertebeden olmadığından bu iki matris eleman-elemana ccedilarpma islemi
gerccedileklemezd) İki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdıra matrisi 2x3 luumlk c matrisi de 3x2 lik olduğundan bu iki matris ccedilarpılabilir ve c4 ccedilarpım matrisi 2x2 lik bir matris olurc4 ccedilarpım matrisini c4=ac islemi ile buluruze) a^2+cos(b)f) i) x^2 ii) x^3 iii) x^10
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
88
c) Bir Matrisin Devriğini (Transpozesi) Bulma İslemi
Bir matrisin satırlarını suumltun suumltunlarını satır olarak yazılmasıyla
bulunan matrise bu matrisin devriği (transpozesi) denir
Bir matrisin devriğini islemi ile bulabiliriz
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] nın devriğini buldurup d matrisine atayalım
Ccediloumlzuumlm d=a
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
89
Oumlrnek
b=[7 8 9 10 11 12] matrisinin transpozesini bulabilirmisiniz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
c=bc =
7 108 119 12
90
SORU
a=[1 2 3 4 5 6]
c= [710811912]
ise a ve crsquonin ccedilarpım matrisi
kaccediltır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
Ccedilarpma işlemi k=ack=
50 68122 167
91
SORU
a=[1 2 3 4 5 6] b=[7 8 9 10 11 12]
ise a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan x matrisini bulalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
x=abx =
7 16 2740 55 72
92
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
Aynı mertebeden iki matrisin elemanlarını teker teker boumllerek aynı
mertebeye yazılmasına iki matrisin sol boumllmesi denir ve bu islemi ile
yapılır
a b ve c aynı mertebeden kare matrisler olmak uumlzere
c=ab ise a matrisine c nin b matrisine boumlluumlmuuml denir
c boumlluumlm matrisi islemi ile yapılır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
93
HATIRLATMA
2x2 lik i2 adlı birim matrisi i2=eye(22)
3x luumlk i3 adlı birim matrisi i2=eye(33) islemi ile olusturabiiriz
Aynı mertebeden a ve b kare matrisleri iccedilin a ile b nin ccedilarpımı birim matris ise
b matrisi a matrisinin (aynı biccedilimde a matrisi de b matrisinin) ters matrisidir
Oumlrnek
3x3 luumlk bir a kare matrisinin tersini bulmak iccedilin
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
eye(33)a veya inv(a) islemini kullanırız
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
94
Bir Matrisin Determinantı
Determinant kare matrisleri bir sayıya eşleyen fonksiyondur
Determinant fonksiyonunun kare matrisi eşlediği o sayıya matrisin
determinantı denir
A matrisinin determinantı detA veya |A| biccediliminde goumlsterilir
|A| matrislerde mutlak değer anlamına gelmez |A| sıfır veya
negatif de olabilir
det(x)
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
95
KURAL
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
96
Oumlrnek
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Determinant
raquo
deter=det(x)deter =
21
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
97
Oumlrnek Inverse işlemi
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Detx=det(x)=21 ise
raquo y=inv(x)y =
821 121 -521 221
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
98
SORU
a=[2 -10 01 2 43 0 1] matrisi ile b=[1 5 41 -1 20 1 -1] matrisleri veriliyor
a)
a matrisinin elemanlarını
sırasıyla b matrisinin elemanlarına boumllerek elde
edilen matrisi b1 matrisine atayalım
b) a matrisinin ta ters matrisini bulalım
c) a ile ta matrisinin ccedilarpımının 3x3 luumlk birim matris olduğunu goumlsterelim
d) a matrisinin b matrisine boumlluumlmuumlnuuml
b2 matrisine atayalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
99
Ccediloumlzuumlm
a)
b1=ab
b) ta1=eye(33)a veya ta2=inv(a)
c) ata ==eye(33)
d) b2=ab
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
63
Matris elemanları
rasgele rakamlardan oluşabileceği gibi MATLABrsquoın deyimlerinden de oluşabilir
51 Matrislerde ElemanlarMatlab
Oumlrneğin
a=[-13 sqrt(3) (1+2+3)475]
a= -13000 17321 48000
Kuumlccediluumlk matrisleri eleman olarak kullanıp daha buumlyuumlk matrisler oluşturmak muumlmkuumlnduumlr
OumlrneğinM=[1 3 5
7 8 9] matrisine
aşağıda goumlsterildiği şekilde bir satır eklemesi yapabilir
M=[M[10 13 15]]
Bu durumda M matrisiM=[1 3 5
7 8 910 13 15]
durumunu alır
64
İki nokta uumlst uumlste () kullanarak buumlyuumlk matrislerin belli bir kısmını
kullanabiliriz
ya da diğer ifade ile bu matrisi kuumlccediluumlltebiliriz
Oumlrneğin
M=M(12) bildirimi M matrisinin ilk iki satırını
alarak M matrisi
olarak saklar
Oumlrnek
M=[8 -4 7 66 -7 8 9 4 5 134] ise
M=M(12) =
8 1 Matrislerde ElemanlarMatlab
65
MATLABrsquoda kullanıcı
verileri kendi oluşturacağı
matrisler ile tanımlayabileceği gibi MATLABrsquoın kendi oumlzel matrislerinden de istifade edilebilir
52 Genel MatrislerMatlab
66
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
a) Sıfır Matrisi Olusturan Fonksiyon
Her elemanı sıfır olan mxn boyutunda bir matrise sıfır matrisi denir
Boumlyle bir dizi olusturmak iccedilin zeros fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=zeros(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
3x5 boyutunda s adlı
sıfır matrisi iccedilin
s=zeros(35)
52 Genel MatrislerMatlab
67
b) 1 lerden Olusan Matris
Her elemanı 1 olan mxn boyutunda bir matrisi olusturmak iccedilin ones
fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matria_adı=ones(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
2x3 boyutunda b adlı
tuumlm elemanları
1 olan matrisi olusturalım
b=ones(23)
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
52 Genel MatrislerMatlab
68
c) Birim Matrisi Olusturan Fonksiyon
Esas koumlsegeni 1 lerden diğer elemanları 0 lardan olusan kare matrise (satır
ve suumltun sayısı esit olan ) birim matrisi
kare olmayan matrise de diyagonal matris denir
Boumlyle matrisleri olusturmak iccedilin eye fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=eye(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
a)
3x3 luumlk birim matris
b) 4x3 lluumlk diyagonal matris olusturalım
Ccediloumlzuumlma) i=eye(33) b) d=eye(43)
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar52 Genel MatrislerMatlab
69
d) Rastgele Sayılardan Olusan Matris ve Fonksiyonu
Elemanları 0 ile 1 arasındaki rastgele sayılardan olusan bir matris iccedilin
rand fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=rand(mn) biccedilimindedir(msatırnsuumltun)
Not 1) Uumlretilen matrisin tuumlm elemanlarını k gibi bir sayı ile ccedilarparak
sayıları 0 ile k arasına ccedilekebiliriz
Not 2) Ondalıklı sayılardan olusmus bir matrisin elemanlarını
yuvarlayıp tam sayı yapmak iccedilin round fonksiyonunu kullanırız
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar52 Genel MatrislerMatlab
70
Oumlrnek
a) 0 ile 1 arasında rastgele sayılardan olusan 10 elemanlı
a adında bir satır
matrisi olusturalım
b) Elemanları
10 ile 50 arasında sayılardan olusan 5x3 tipinde b matrisini
olusturalım
c) Elemanları
50 ile 300 arasındaki tamsayılardan olusan 3x4 tipinde c matrisini
olusturalım
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
d) Rastgele Sayılardan Olusan Matris ve Fonksiyonu
52 Genel MatrislerMatlab
71
Ccediloumlzuumlm
a)
a=rand(110)
b)
b=10+rand(53)40
c) c=round(50+rand(34)250)
52 Genel MatrislerMatlab
72
e) Rastgele Sayılardan Olusan Normal Dağılımlı
Matris veFonksiyonu
Elemanları rasstgele sayılardan olusan bir normal dağılımlı bir matris iccedilin
randn fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=randn(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek Rastgele sayılardan olusan normal dağılımlı 2x3 luumlk bir n matrisini
olusturalım
Ccediloumlzuumlm n=randn(23)
52 Genel MatrislerMatlab
73
f) Lineer Aralıklı
(Aritmetik) Dizi ve Fonksiyonu
Baslangıccedil ve biis değerleri ve kaccedil elemandan olusacağı belirlenen diziyi
olusturmak iccedilin linspace fonksiyonu kullanılır
Kullanımı
dizi_adı=linspace(ilk_değerson_değereleman_sayısı)
biccedilimindedir
52 Genel MatrislerMatlab
74
Oumlrnek 10 ile 30 arasına 9 tane daha sayı
koyarak aadında bir aritmetik dizi olusturalım
f) Lineer Aralıklı
(Aritmetik) Dizi ve Fonksiyonu
52 Genel MatrislerMatlab
Cevapa=linspace(103011)
75
Elimizdeki grubun her elemanı iccedilin bir matematik işlemi yapıp bunu yeni bir
diziye atarken herhangi bir sorun yoktur
Fakat iki farklı grupla işlemler yaparken dikkat etmemiz gereken genel
kurallar vardır
Oumlrneğin toplama ve ccedilıkarma yaparken iki dizinin de buumlyuumlkluumlğuumlnuumln eşit
olması gerekmektedir
Ayrıca iki farklı dizinin elemanları arasında birebir işlem yapmak iccedilin
matematik operatoumlruumlnuumln başına nokta() koymak gerekir
Bu durumda her bir elemanı diğer dizinin o sıradaki elmanı ile işleme
sokacaktır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
76
Birden fazla satır ve suumltuna sahip vektoumlrlere matris denir Noktalı
virguumll ()
işareti ile kolonları
ve virguumlle işareti ya da boşluk
bırakarak da bir sıradaki elemanları
ayırabilirizOumlrnekraquo x=[ 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14]x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14Yukarıdaki 3x4 boyutunda bir matristir MATLAB programına aşağıdaki
gibi de sunulabilirraquo x=[ 3 4 5 6
7 8 9 1011 12 13 14]
x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
77
Matristeki herhangi bir elemana direk ulaşmak iccedilin aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(23)=9
Eğer isteğimiz eriştiğimiz bir elemanı
değiştirmek veya yeni bir satır eklemek ise aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(41)=1x =
3 4 5 67 8 9 1011 12 13 141 0 0 0
Bu durumda doumlrduumlncuuml
satır ilk elemanını
biz 1 değerini atadık ve diğer elemanları
kendiliğinden ldquo0rdquo
olarak atadı
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
78
İki nokta uumlst uumlste () kullanılarak belirli aralıkta değişen matrisler yaratılabilir
raquo x=[127 3-10 -12]x =
1 3 5 73 2 1 0
-1 0 1 2Bir matrisin herhangi bir boumlluumlmuumlnuuml
seccedilmek iccedilin ise aşağıdaki goumlsterim
kullanılırraquo z=x(23 12)z =
3 2-1 0
Bu durumda z matris x matrisinin 2 ve 3 norsquo
lu satırlarından 1 ve 2 norsquo
lu suumltunlarını
almış
oluyor
Herhangi bir satır veya suumltunu tamamen silmek istersek o satır ve suumltunu seccedilip ldquo[]rdquo
ifadesine eşitleriz
raquo z(2)=[ ]z =
3 -1
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
79
Matlab size ve length komutları
yardımı
ile size matrisinizin boyutlarını
soumlyler
raquo a=[ 2 3 4 5 67 8 9 10 11]
raquo s=size(a)s =
2 5
raquo b=[ 17 11 0 30 40 50]
raquo k=length(b)k =
6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
80
a) Toplama-Ccedilıkarma Bir Sayı
ile Ccedilarpma İşlemi
İki matrisi toplamak (veya ccedilıkarmak) demek matrislerin aynı
mertebedeki elemanları teker teker toplayıp (veya ccedilıkarıp ) aynı
mertebeye yazmak demektir
Bu durumda iki matrisin de aynı mertebeden olması gereği accedilıktır
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile toplamak (veya ccedilıkarmak) demek
matrisin elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla toplamak (veya
ccedilıkarmak )demektir
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile ccedilarpmak demek ise matrisin
elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla ccedilarpmak demektir
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
81
82
Oumlrnek
raquo a=[1 2 3 4 5 6]raquo b=[7 8 9 10 11 12]
a ve b toplamıraquo sum=a+bsum =
8 10 1214 16 18
arsquo
yı
brsquo
den ccedilıkarmak
raquo diff=a-bdiff =
-6 -6 -6-6 -6 -6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
83
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] ve b=[3 -3 -41 1 5] matrisleri
veriliyor
a)
c=a+b toplam matrisini
b)
d=a-b matrisini
c)
amatrisinin her elemanınının 5 eksiğine karsılık gelen e
matrisini
d) f=2a-3b matrisini bulduran islemleri yazalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
a) c=a+b b) d=a-b c) e=a-5 d) f=a+a-b-b-b veya
f=2a-3b
84
İki matrisin ccedilarpım islemi iki biccedilimde anlasılır
1)
Aynı
mertebeden iki matrisin elemanlarını
teker teker ccedilarpıp aynı
mertebeye
yazmak demektir Bunu
islemi ile gerccedileklestiririz
2) Matematiksel anlamda iki matrisi ccedilarpmak istediğimizde birinci matris mxn
tuumlruumlnde ve ikinci matris mutlaka nxp tuumlruumlnde olmalıdır yani birinci matrisin
suumltun sayısı
ikinci matrisin satır sayısına eşit olmalıdır
Bu durumda birinci matrisin i suumltun elemanları
ile ikinci matrisin j satırındaki
elemanlar karılıklı
olarak ccedilarpılır ve sonuccedillar toplanır ve bu toplam ccedilarpım
matrisinin (ij) inci mertebeye yazılır
Matrisler arası
ccedilarpma isleminin semboluuml
de dır
b) İki Matrisin Ccedilarpımı Bir Matrisin Kuvvetleri veCcedilarpma İslemi
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
85
3) Bir a matrisinin her bir elemanının n Kuvvetlerinden olusan matrisi
bulmak iccedilin a^n islemi kullanılır
4) Satır ve suumltun sayıları
esit bir kare matrisi ardısık olarak n defa
kendisiyle ccedilarparak a matrisinin n kuvvetini bulabilirizOumlrneğin a matrisinin
karesi iccedilin aa veya a^2 kuumlbuumlnuuml
buldurmak iccedilin aaa veya a^3
doumlrduumlncuuml
kuvvetini buldurmak iccedilin aaaa veya a^4
Not) Bir a matrisinin eleman -elemana ccedilarpma islemine benzer mantıkla bir matrisin tuumlm elemanlarının kareleri kuumlbleri sinuumlsleri kosinuumlsleri logaritmalarından olusan matris bulunmak istenirse bunu sırayla aa (veya a^2) aaa (veya a^3) sin(a) cos(a) etabanında logaritması
iccedilin log(a) 10 tabanında logaritmaları
iccedilin log10(a) Biccediliminde gerccedileklestirebiliriz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
86
a) a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c1 matrisi varsa bulalım
b) a matrisi ile b matrisinin ccedilarpım matrisi olan c2 varsa bulalım
c) a matrisinin elemanları
ile c matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c3 matrisi varsa bulalım
d) a matrisi ile c matrisinin ccedilarpım matrisi olan c4 varsa bulalım
e) a matrisinin elemanlarının karelerinden olusan matris ile b matrisinin
kosinuumlslerinden olusan matrisler toplamını
bulalım
f) x=[1 00 3] matrisinin i) Karesini ii) Kuumlbuumlnuuml
iii) 10
kuvvetini bulalım
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] b=[3 -3 -41 1 5] ve c=[1 0-1 23 3] matrisleri veriliyor
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
87
Ccediloumlzuumlma) iki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirBu durumda c1 matrisi tanımlıdır ve bunu c1=ab islemi ile gerccedileklestirebilirizb) iki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdırHalbuki a matrisi 2x3 b matrisi de 2x3 olduğundan bu iki matris ccedilarpılamazc) İki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirHalbuki bu matrisler aynı mertebeden olmadığından bu iki matris eleman-elemana ccedilarpma islemi
gerccedileklemezd) İki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdıra matrisi 2x3 luumlk c matrisi de 3x2 lik olduğundan bu iki matris ccedilarpılabilir ve c4 ccedilarpım matrisi 2x2 lik bir matris olurc4 ccedilarpım matrisini c4=ac islemi ile buluruze) a^2+cos(b)f) i) x^2 ii) x^3 iii) x^10
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
88
c) Bir Matrisin Devriğini (Transpozesi) Bulma İslemi
Bir matrisin satırlarını suumltun suumltunlarını satır olarak yazılmasıyla
bulunan matrise bu matrisin devriği (transpozesi) denir
Bir matrisin devriğini islemi ile bulabiliriz
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] nın devriğini buldurup d matrisine atayalım
Ccediloumlzuumlm d=a
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
89
Oumlrnek
b=[7 8 9 10 11 12] matrisinin transpozesini bulabilirmisiniz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
c=bc =
7 108 119 12
90
SORU
a=[1 2 3 4 5 6]
c= [710811912]
ise a ve crsquonin ccedilarpım matrisi
kaccediltır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
Ccedilarpma işlemi k=ack=
50 68122 167
91
SORU
a=[1 2 3 4 5 6] b=[7 8 9 10 11 12]
ise a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan x matrisini bulalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
x=abx =
7 16 2740 55 72
92
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
Aynı mertebeden iki matrisin elemanlarını teker teker boumllerek aynı
mertebeye yazılmasına iki matrisin sol boumllmesi denir ve bu islemi ile
yapılır
a b ve c aynı mertebeden kare matrisler olmak uumlzere
c=ab ise a matrisine c nin b matrisine boumlluumlmuuml denir
c boumlluumlm matrisi islemi ile yapılır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
93
HATIRLATMA
2x2 lik i2 adlı birim matrisi i2=eye(22)
3x luumlk i3 adlı birim matrisi i2=eye(33) islemi ile olusturabiiriz
Aynı mertebeden a ve b kare matrisleri iccedilin a ile b nin ccedilarpımı birim matris ise
b matrisi a matrisinin (aynı biccedilimde a matrisi de b matrisinin) ters matrisidir
Oumlrnek
3x3 luumlk bir a kare matrisinin tersini bulmak iccedilin
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
eye(33)a veya inv(a) islemini kullanırız
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
94
Bir Matrisin Determinantı
Determinant kare matrisleri bir sayıya eşleyen fonksiyondur
Determinant fonksiyonunun kare matrisi eşlediği o sayıya matrisin
determinantı denir
A matrisinin determinantı detA veya |A| biccediliminde goumlsterilir
|A| matrislerde mutlak değer anlamına gelmez |A| sıfır veya
negatif de olabilir
det(x)
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
95
KURAL
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
96
Oumlrnek
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Determinant
raquo
deter=det(x)deter =
21
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
97
Oumlrnek Inverse işlemi
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Detx=det(x)=21 ise
raquo y=inv(x)y =
821 121 -521 221
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
98
SORU
a=[2 -10 01 2 43 0 1] matrisi ile b=[1 5 41 -1 20 1 -1] matrisleri veriliyor
a)
a matrisinin elemanlarını
sırasıyla b matrisinin elemanlarına boumllerek elde
edilen matrisi b1 matrisine atayalım
b) a matrisinin ta ters matrisini bulalım
c) a ile ta matrisinin ccedilarpımının 3x3 luumlk birim matris olduğunu goumlsterelim
d) a matrisinin b matrisine boumlluumlmuumlnuuml
b2 matrisine atayalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
99
Ccediloumlzuumlm
a)
b1=ab
b) ta1=eye(33)a veya ta2=inv(a)
c) ata ==eye(33)
d) b2=ab
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
64
İki nokta uumlst uumlste () kullanarak buumlyuumlk matrislerin belli bir kısmını
kullanabiliriz
ya da diğer ifade ile bu matrisi kuumlccediluumlltebiliriz
Oumlrneğin
M=M(12) bildirimi M matrisinin ilk iki satırını
alarak M matrisi
olarak saklar
Oumlrnek
M=[8 -4 7 66 -7 8 9 4 5 134] ise
M=M(12) =
8 1 Matrislerde ElemanlarMatlab
65
MATLABrsquoda kullanıcı
verileri kendi oluşturacağı
matrisler ile tanımlayabileceği gibi MATLABrsquoın kendi oumlzel matrislerinden de istifade edilebilir
52 Genel MatrislerMatlab
66
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
a) Sıfır Matrisi Olusturan Fonksiyon
Her elemanı sıfır olan mxn boyutunda bir matrise sıfır matrisi denir
Boumlyle bir dizi olusturmak iccedilin zeros fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=zeros(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
3x5 boyutunda s adlı
sıfır matrisi iccedilin
s=zeros(35)
52 Genel MatrislerMatlab
67
b) 1 lerden Olusan Matris
Her elemanı 1 olan mxn boyutunda bir matrisi olusturmak iccedilin ones
fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matria_adı=ones(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
2x3 boyutunda b adlı
tuumlm elemanları
1 olan matrisi olusturalım
b=ones(23)
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
52 Genel MatrislerMatlab
68
c) Birim Matrisi Olusturan Fonksiyon
Esas koumlsegeni 1 lerden diğer elemanları 0 lardan olusan kare matrise (satır
ve suumltun sayısı esit olan ) birim matrisi
kare olmayan matrise de diyagonal matris denir
Boumlyle matrisleri olusturmak iccedilin eye fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=eye(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
a)
3x3 luumlk birim matris
b) 4x3 lluumlk diyagonal matris olusturalım
Ccediloumlzuumlma) i=eye(33) b) d=eye(43)
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar52 Genel MatrislerMatlab
69
d) Rastgele Sayılardan Olusan Matris ve Fonksiyonu
Elemanları 0 ile 1 arasındaki rastgele sayılardan olusan bir matris iccedilin
rand fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=rand(mn) biccedilimindedir(msatırnsuumltun)
Not 1) Uumlretilen matrisin tuumlm elemanlarını k gibi bir sayı ile ccedilarparak
sayıları 0 ile k arasına ccedilekebiliriz
Not 2) Ondalıklı sayılardan olusmus bir matrisin elemanlarını
yuvarlayıp tam sayı yapmak iccedilin round fonksiyonunu kullanırız
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar52 Genel MatrislerMatlab
70
Oumlrnek
a) 0 ile 1 arasında rastgele sayılardan olusan 10 elemanlı
a adında bir satır
matrisi olusturalım
b) Elemanları
10 ile 50 arasında sayılardan olusan 5x3 tipinde b matrisini
olusturalım
c) Elemanları
50 ile 300 arasındaki tamsayılardan olusan 3x4 tipinde c matrisini
olusturalım
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
d) Rastgele Sayılardan Olusan Matris ve Fonksiyonu
52 Genel MatrislerMatlab
71
Ccediloumlzuumlm
a)
a=rand(110)
b)
b=10+rand(53)40
c) c=round(50+rand(34)250)
52 Genel MatrislerMatlab
72
e) Rastgele Sayılardan Olusan Normal Dağılımlı
Matris veFonksiyonu
Elemanları rasstgele sayılardan olusan bir normal dağılımlı bir matris iccedilin
randn fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=randn(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek Rastgele sayılardan olusan normal dağılımlı 2x3 luumlk bir n matrisini
olusturalım
Ccediloumlzuumlm n=randn(23)
52 Genel MatrislerMatlab
73
f) Lineer Aralıklı
(Aritmetik) Dizi ve Fonksiyonu
Baslangıccedil ve biis değerleri ve kaccedil elemandan olusacağı belirlenen diziyi
olusturmak iccedilin linspace fonksiyonu kullanılır
Kullanımı
dizi_adı=linspace(ilk_değerson_değereleman_sayısı)
biccedilimindedir
52 Genel MatrislerMatlab
74
Oumlrnek 10 ile 30 arasına 9 tane daha sayı
koyarak aadında bir aritmetik dizi olusturalım
f) Lineer Aralıklı
(Aritmetik) Dizi ve Fonksiyonu
52 Genel MatrislerMatlab
Cevapa=linspace(103011)
75
Elimizdeki grubun her elemanı iccedilin bir matematik işlemi yapıp bunu yeni bir
diziye atarken herhangi bir sorun yoktur
Fakat iki farklı grupla işlemler yaparken dikkat etmemiz gereken genel
kurallar vardır
Oumlrneğin toplama ve ccedilıkarma yaparken iki dizinin de buumlyuumlkluumlğuumlnuumln eşit
olması gerekmektedir
Ayrıca iki farklı dizinin elemanları arasında birebir işlem yapmak iccedilin
matematik operatoumlruumlnuumln başına nokta() koymak gerekir
Bu durumda her bir elemanı diğer dizinin o sıradaki elmanı ile işleme
sokacaktır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
76
Birden fazla satır ve suumltuna sahip vektoumlrlere matris denir Noktalı
virguumll ()
işareti ile kolonları
ve virguumlle işareti ya da boşluk
bırakarak da bir sıradaki elemanları
ayırabilirizOumlrnekraquo x=[ 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14]x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14Yukarıdaki 3x4 boyutunda bir matristir MATLAB programına aşağıdaki
gibi de sunulabilirraquo x=[ 3 4 5 6
7 8 9 1011 12 13 14]
x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
77
Matristeki herhangi bir elemana direk ulaşmak iccedilin aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(23)=9
Eğer isteğimiz eriştiğimiz bir elemanı
değiştirmek veya yeni bir satır eklemek ise aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(41)=1x =
3 4 5 67 8 9 1011 12 13 141 0 0 0
Bu durumda doumlrduumlncuuml
satır ilk elemanını
biz 1 değerini atadık ve diğer elemanları
kendiliğinden ldquo0rdquo
olarak atadı
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
78
İki nokta uumlst uumlste () kullanılarak belirli aralıkta değişen matrisler yaratılabilir
raquo x=[127 3-10 -12]x =
1 3 5 73 2 1 0
-1 0 1 2Bir matrisin herhangi bir boumlluumlmuumlnuuml
seccedilmek iccedilin ise aşağıdaki goumlsterim
kullanılırraquo z=x(23 12)z =
3 2-1 0
Bu durumda z matris x matrisinin 2 ve 3 norsquo
lu satırlarından 1 ve 2 norsquo
lu suumltunlarını
almış
oluyor
Herhangi bir satır veya suumltunu tamamen silmek istersek o satır ve suumltunu seccedilip ldquo[]rdquo
ifadesine eşitleriz
raquo z(2)=[ ]z =
3 -1
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
79
Matlab size ve length komutları
yardımı
ile size matrisinizin boyutlarını
soumlyler
raquo a=[ 2 3 4 5 67 8 9 10 11]
raquo s=size(a)s =
2 5
raquo b=[ 17 11 0 30 40 50]
raquo k=length(b)k =
6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
80
a) Toplama-Ccedilıkarma Bir Sayı
ile Ccedilarpma İşlemi
İki matrisi toplamak (veya ccedilıkarmak) demek matrislerin aynı
mertebedeki elemanları teker teker toplayıp (veya ccedilıkarıp ) aynı
mertebeye yazmak demektir
Bu durumda iki matrisin de aynı mertebeden olması gereği accedilıktır
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile toplamak (veya ccedilıkarmak) demek
matrisin elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla toplamak (veya
ccedilıkarmak )demektir
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile ccedilarpmak demek ise matrisin
elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla ccedilarpmak demektir
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
81
82
Oumlrnek
raquo a=[1 2 3 4 5 6]raquo b=[7 8 9 10 11 12]
a ve b toplamıraquo sum=a+bsum =
8 10 1214 16 18
arsquo
yı
brsquo
den ccedilıkarmak
raquo diff=a-bdiff =
-6 -6 -6-6 -6 -6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
83
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] ve b=[3 -3 -41 1 5] matrisleri
veriliyor
a)
c=a+b toplam matrisini
b)
d=a-b matrisini
c)
amatrisinin her elemanınının 5 eksiğine karsılık gelen e
matrisini
d) f=2a-3b matrisini bulduran islemleri yazalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
a) c=a+b b) d=a-b c) e=a-5 d) f=a+a-b-b-b veya
f=2a-3b
84
İki matrisin ccedilarpım islemi iki biccedilimde anlasılır
1)
Aynı
mertebeden iki matrisin elemanlarını
teker teker ccedilarpıp aynı
mertebeye
yazmak demektir Bunu
islemi ile gerccedileklestiririz
2) Matematiksel anlamda iki matrisi ccedilarpmak istediğimizde birinci matris mxn
tuumlruumlnde ve ikinci matris mutlaka nxp tuumlruumlnde olmalıdır yani birinci matrisin
suumltun sayısı
ikinci matrisin satır sayısına eşit olmalıdır
Bu durumda birinci matrisin i suumltun elemanları
ile ikinci matrisin j satırındaki
elemanlar karılıklı
olarak ccedilarpılır ve sonuccedillar toplanır ve bu toplam ccedilarpım
matrisinin (ij) inci mertebeye yazılır
Matrisler arası
ccedilarpma isleminin semboluuml
de dır
b) İki Matrisin Ccedilarpımı Bir Matrisin Kuvvetleri veCcedilarpma İslemi
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
85
3) Bir a matrisinin her bir elemanının n Kuvvetlerinden olusan matrisi
bulmak iccedilin a^n islemi kullanılır
4) Satır ve suumltun sayıları
esit bir kare matrisi ardısık olarak n defa
kendisiyle ccedilarparak a matrisinin n kuvvetini bulabilirizOumlrneğin a matrisinin
karesi iccedilin aa veya a^2 kuumlbuumlnuuml
buldurmak iccedilin aaa veya a^3
doumlrduumlncuuml
kuvvetini buldurmak iccedilin aaaa veya a^4
Not) Bir a matrisinin eleman -elemana ccedilarpma islemine benzer mantıkla bir matrisin tuumlm elemanlarının kareleri kuumlbleri sinuumlsleri kosinuumlsleri logaritmalarından olusan matris bulunmak istenirse bunu sırayla aa (veya a^2) aaa (veya a^3) sin(a) cos(a) etabanında logaritması
iccedilin log(a) 10 tabanında logaritmaları
iccedilin log10(a) Biccediliminde gerccedileklestirebiliriz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
86
a) a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c1 matrisi varsa bulalım
b) a matrisi ile b matrisinin ccedilarpım matrisi olan c2 varsa bulalım
c) a matrisinin elemanları
ile c matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c3 matrisi varsa bulalım
d) a matrisi ile c matrisinin ccedilarpım matrisi olan c4 varsa bulalım
e) a matrisinin elemanlarının karelerinden olusan matris ile b matrisinin
kosinuumlslerinden olusan matrisler toplamını
bulalım
f) x=[1 00 3] matrisinin i) Karesini ii) Kuumlbuumlnuuml
iii) 10
kuvvetini bulalım
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] b=[3 -3 -41 1 5] ve c=[1 0-1 23 3] matrisleri veriliyor
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
87
Ccediloumlzuumlma) iki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirBu durumda c1 matrisi tanımlıdır ve bunu c1=ab islemi ile gerccedileklestirebilirizb) iki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdırHalbuki a matrisi 2x3 b matrisi de 2x3 olduğundan bu iki matris ccedilarpılamazc) İki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirHalbuki bu matrisler aynı mertebeden olmadığından bu iki matris eleman-elemana ccedilarpma islemi
gerccedileklemezd) İki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdıra matrisi 2x3 luumlk c matrisi de 3x2 lik olduğundan bu iki matris ccedilarpılabilir ve c4 ccedilarpım matrisi 2x2 lik bir matris olurc4 ccedilarpım matrisini c4=ac islemi ile buluruze) a^2+cos(b)f) i) x^2 ii) x^3 iii) x^10
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
88
c) Bir Matrisin Devriğini (Transpozesi) Bulma İslemi
Bir matrisin satırlarını suumltun suumltunlarını satır olarak yazılmasıyla
bulunan matrise bu matrisin devriği (transpozesi) denir
Bir matrisin devriğini islemi ile bulabiliriz
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] nın devriğini buldurup d matrisine atayalım
Ccediloumlzuumlm d=a
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
89
Oumlrnek
b=[7 8 9 10 11 12] matrisinin transpozesini bulabilirmisiniz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
c=bc =
7 108 119 12
90
SORU
a=[1 2 3 4 5 6]
c= [710811912]
ise a ve crsquonin ccedilarpım matrisi
kaccediltır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
Ccedilarpma işlemi k=ack=
50 68122 167
91
SORU
a=[1 2 3 4 5 6] b=[7 8 9 10 11 12]
ise a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan x matrisini bulalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
x=abx =
7 16 2740 55 72
92
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
Aynı mertebeden iki matrisin elemanlarını teker teker boumllerek aynı
mertebeye yazılmasına iki matrisin sol boumllmesi denir ve bu islemi ile
yapılır
a b ve c aynı mertebeden kare matrisler olmak uumlzere
c=ab ise a matrisine c nin b matrisine boumlluumlmuuml denir
c boumlluumlm matrisi islemi ile yapılır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
93
HATIRLATMA
2x2 lik i2 adlı birim matrisi i2=eye(22)
3x luumlk i3 adlı birim matrisi i2=eye(33) islemi ile olusturabiiriz
Aynı mertebeden a ve b kare matrisleri iccedilin a ile b nin ccedilarpımı birim matris ise
b matrisi a matrisinin (aynı biccedilimde a matrisi de b matrisinin) ters matrisidir
Oumlrnek
3x3 luumlk bir a kare matrisinin tersini bulmak iccedilin
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
eye(33)a veya inv(a) islemini kullanırız
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
94
Bir Matrisin Determinantı
Determinant kare matrisleri bir sayıya eşleyen fonksiyondur
Determinant fonksiyonunun kare matrisi eşlediği o sayıya matrisin
determinantı denir
A matrisinin determinantı detA veya |A| biccediliminde goumlsterilir
|A| matrislerde mutlak değer anlamına gelmez |A| sıfır veya
negatif de olabilir
det(x)
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
95
KURAL
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
96
Oumlrnek
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Determinant
raquo
deter=det(x)deter =
21
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
97
Oumlrnek Inverse işlemi
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Detx=det(x)=21 ise
raquo y=inv(x)y =
821 121 -521 221
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
98
SORU
a=[2 -10 01 2 43 0 1] matrisi ile b=[1 5 41 -1 20 1 -1] matrisleri veriliyor
a)
a matrisinin elemanlarını
sırasıyla b matrisinin elemanlarına boumllerek elde
edilen matrisi b1 matrisine atayalım
b) a matrisinin ta ters matrisini bulalım
c) a ile ta matrisinin ccedilarpımının 3x3 luumlk birim matris olduğunu goumlsterelim
d) a matrisinin b matrisine boumlluumlmuumlnuuml
b2 matrisine atayalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
99
Ccediloumlzuumlm
a)
b1=ab
b) ta1=eye(33)a veya ta2=inv(a)
c) ata ==eye(33)
d) b2=ab
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
65
MATLABrsquoda kullanıcı
verileri kendi oluşturacağı
matrisler ile tanımlayabileceği gibi MATLABrsquoın kendi oumlzel matrislerinden de istifade edilebilir
52 Genel MatrislerMatlab
66
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
a) Sıfır Matrisi Olusturan Fonksiyon
Her elemanı sıfır olan mxn boyutunda bir matrise sıfır matrisi denir
Boumlyle bir dizi olusturmak iccedilin zeros fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=zeros(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
3x5 boyutunda s adlı
sıfır matrisi iccedilin
s=zeros(35)
52 Genel MatrislerMatlab
67
b) 1 lerden Olusan Matris
Her elemanı 1 olan mxn boyutunda bir matrisi olusturmak iccedilin ones
fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matria_adı=ones(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
2x3 boyutunda b adlı
tuumlm elemanları
1 olan matrisi olusturalım
b=ones(23)
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
52 Genel MatrislerMatlab
68
c) Birim Matrisi Olusturan Fonksiyon
Esas koumlsegeni 1 lerden diğer elemanları 0 lardan olusan kare matrise (satır
ve suumltun sayısı esit olan ) birim matrisi
kare olmayan matrise de diyagonal matris denir
Boumlyle matrisleri olusturmak iccedilin eye fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=eye(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
a)
3x3 luumlk birim matris
b) 4x3 lluumlk diyagonal matris olusturalım
Ccediloumlzuumlma) i=eye(33) b) d=eye(43)
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar52 Genel MatrislerMatlab
69
d) Rastgele Sayılardan Olusan Matris ve Fonksiyonu
Elemanları 0 ile 1 arasındaki rastgele sayılardan olusan bir matris iccedilin
rand fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=rand(mn) biccedilimindedir(msatırnsuumltun)
Not 1) Uumlretilen matrisin tuumlm elemanlarını k gibi bir sayı ile ccedilarparak
sayıları 0 ile k arasına ccedilekebiliriz
Not 2) Ondalıklı sayılardan olusmus bir matrisin elemanlarını
yuvarlayıp tam sayı yapmak iccedilin round fonksiyonunu kullanırız
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar52 Genel MatrislerMatlab
70
Oumlrnek
a) 0 ile 1 arasında rastgele sayılardan olusan 10 elemanlı
a adında bir satır
matrisi olusturalım
b) Elemanları
10 ile 50 arasında sayılardan olusan 5x3 tipinde b matrisini
olusturalım
c) Elemanları
50 ile 300 arasındaki tamsayılardan olusan 3x4 tipinde c matrisini
olusturalım
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
d) Rastgele Sayılardan Olusan Matris ve Fonksiyonu
52 Genel MatrislerMatlab
71
Ccediloumlzuumlm
a)
a=rand(110)
b)
b=10+rand(53)40
c) c=round(50+rand(34)250)
52 Genel MatrislerMatlab
72
e) Rastgele Sayılardan Olusan Normal Dağılımlı
Matris veFonksiyonu
Elemanları rasstgele sayılardan olusan bir normal dağılımlı bir matris iccedilin
randn fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=randn(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek Rastgele sayılardan olusan normal dağılımlı 2x3 luumlk bir n matrisini
olusturalım
Ccediloumlzuumlm n=randn(23)
52 Genel MatrislerMatlab
73
f) Lineer Aralıklı
(Aritmetik) Dizi ve Fonksiyonu
Baslangıccedil ve biis değerleri ve kaccedil elemandan olusacağı belirlenen diziyi
olusturmak iccedilin linspace fonksiyonu kullanılır
Kullanımı
dizi_adı=linspace(ilk_değerson_değereleman_sayısı)
biccedilimindedir
52 Genel MatrislerMatlab
74
Oumlrnek 10 ile 30 arasına 9 tane daha sayı
koyarak aadında bir aritmetik dizi olusturalım
f) Lineer Aralıklı
(Aritmetik) Dizi ve Fonksiyonu
52 Genel MatrislerMatlab
Cevapa=linspace(103011)
75
Elimizdeki grubun her elemanı iccedilin bir matematik işlemi yapıp bunu yeni bir
diziye atarken herhangi bir sorun yoktur
Fakat iki farklı grupla işlemler yaparken dikkat etmemiz gereken genel
kurallar vardır
Oumlrneğin toplama ve ccedilıkarma yaparken iki dizinin de buumlyuumlkluumlğuumlnuumln eşit
olması gerekmektedir
Ayrıca iki farklı dizinin elemanları arasında birebir işlem yapmak iccedilin
matematik operatoumlruumlnuumln başına nokta() koymak gerekir
Bu durumda her bir elemanı diğer dizinin o sıradaki elmanı ile işleme
sokacaktır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
76
Birden fazla satır ve suumltuna sahip vektoumlrlere matris denir Noktalı
virguumll ()
işareti ile kolonları
ve virguumlle işareti ya da boşluk
bırakarak da bir sıradaki elemanları
ayırabilirizOumlrnekraquo x=[ 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14]x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14Yukarıdaki 3x4 boyutunda bir matristir MATLAB programına aşağıdaki
gibi de sunulabilirraquo x=[ 3 4 5 6
7 8 9 1011 12 13 14]
x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
77
Matristeki herhangi bir elemana direk ulaşmak iccedilin aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(23)=9
Eğer isteğimiz eriştiğimiz bir elemanı
değiştirmek veya yeni bir satır eklemek ise aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(41)=1x =
3 4 5 67 8 9 1011 12 13 141 0 0 0
Bu durumda doumlrduumlncuuml
satır ilk elemanını
biz 1 değerini atadık ve diğer elemanları
kendiliğinden ldquo0rdquo
olarak atadı
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
78
İki nokta uumlst uumlste () kullanılarak belirli aralıkta değişen matrisler yaratılabilir
raquo x=[127 3-10 -12]x =
1 3 5 73 2 1 0
-1 0 1 2Bir matrisin herhangi bir boumlluumlmuumlnuuml
seccedilmek iccedilin ise aşağıdaki goumlsterim
kullanılırraquo z=x(23 12)z =
3 2-1 0
Bu durumda z matris x matrisinin 2 ve 3 norsquo
lu satırlarından 1 ve 2 norsquo
lu suumltunlarını
almış
oluyor
Herhangi bir satır veya suumltunu tamamen silmek istersek o satır ve suumltunu seccedilip ldquo[]rdquo
ifadesine eşitleriz
raquo z(2)=[ ]z =
3 -1
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
79
Matlab size ve length komutları
yardımı
ile size matrisinizin boyutlarını
soumlyler
raquo a=[ 2 3 4 5 67 8 9 10 11]
raquo s=size(a)s =
2 5
raquo b=[ 17 11 0 30 40 50]
raquo k=length(b)k =
6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
80
a) Toplama-Ccedilıkarma Bir Sayı
ile Ccedilarpma İşlemi
İki matrisi toplamak (veya ccedilıkarmak) demek matrislerin aynı
mertebedeki elemanları teker teker toplayıp (veya ccedilıkarıp ) aynı
mertebeye yazmak demektir
Bu durumda iki matrisin de aynı mertebeden olması gereği accedilıktır
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile toplamak (veya ccedilıkarmak) demek
matrisin elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla toplamak (veya
ccedilıkarmak )demektir
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile ccedilarpmak demek ise matrisin
elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla ccedilarpmak demektir
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
81
82
Oumlrnek
raquo a=[1 2 3 4 5 6]raquo b=[7 8 9 10 11 12]
a ve b toplamıraquo sum=a+bsum =
8 10 1214 16 18
arsquo
yı
brsquo
den ccedilıkarmak
raquo diff=a-bdiff =
-6 -6 -6-6 -6 -6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
83
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] ve b=[3 -3 -41 1 5] matrisleri
veriliyor
a)
c=a+b toplam matrisini
b)
d=a-b matrisini
c)
amatrisinin her elemanınının 5 eksiğine karsılık gelen e
matrisini
d) f=2a-3b matrisini bulduran islemleri yazalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
a) c=a+b b) d=a-b c) e=a-5 d) f=a+a-b-b-b veya
f=2a-3b
84
İki matrisin ccedilarpım islemi iki biccedilimde anlasılır
1)
Aynı
mertebeden iki matrisin elemanlarını
teker teker ccedilarpıp aynı
mertebeye
yazmak demektir Bunu
islemi ile gerccedileklestiririz
2) Matematiksel anlamda iki matrisi ccedilarpmak istediğimizde birinci matris mxn
tuumlruumlnde ve ikinci matris mutlaka nxp tuumlruumlnde olmalıdır yani birinci matrisin
suumltun sayısı
ikinci matrisin satır sayısına eşit olmalıdır
Bu durumda birinci matrisin i suumltun elemanları
ile ikinci matrisin j satırındaki
elemanlar karılıklı
olarak ccedilarpılır ve sonuccedillar toplanır ve bu toplam ccedilarpım
matrisinin (ij) inci mertebeye yazılır
Matrisler arası
ccedilarpma isleminin semboluuml
de dır
b) İki Matrisin Ccedilarpımı Bir Matrisin Kuvvetleri veCcedilarpma İslemi
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
85
3) Bir a matrisinin her bir elemanının n Kuvvetlerinden olusan matrisi
bulmak iccedilin a^n islemi kullanılır
4) Satır ve suumltun sayıları
esit bir kare matrisi ardısık olarak n defa
kendisiyle ccedilarparak a matrisinin n kuvvetini bulabilirizOumlrneğin a matrisinin
karesi iccedilin aa veya a^2 kuumlbuumlnuuml
buldurmak iccedilin aaa veya a^3
doumlrduumlncuuml
kuvvetini buldurmak iccedilin aaaa veya a^4
Not) Bir a matrisinin eleman -elemana ccedilarpma islemine benzer mantıkla bir matrisin tuumlm elemanlarının kareleri kuumlbleri sinuumlsleri kosinuumlsleri logaritmalarından olusan matris bulunmak istenirse bunu sırayla aa (veya a^2) aaa (veya a^3) sin(a) cos(a) etabanında logaritması
iccedilin log(a) 10 tabanında logaritmaları
iccedilin log10(a) Biccediliminde gerccedileklestirebiliriz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
86
a) a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c1 matrisi varsa bulalım
b) a matrisi ile b matrisinin ccedilarpım matrisi olan c2 varsa bulalım
c) a matrisinin elemanları
ile c matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c3 matrisi varsa bulalım
d) a matrisi ile c matrisinin ccedilarpım matrisi olan c4 varsa bulalım
e) a matrisinin elemanlarının karelerinden olusan matris ile b matrisinin
kosinuumlslerinden olusan matrisler toplamını
bulalım
f) x=[1 00 3] matrisinin i) Karesini ii) Kuumlbuumlnuuml
iii) 10
kuvvetini bulalım
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] b=[3 -3 -41 1 5] ve c=[1 0-1 23 3] matrisleri veriliyor
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
87
Ccediloumlzuumlma) iki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirBu durumda c1 matrisi tanımlıdır ve bunu c1=ab islemi ile gerccedileklestirebilirizb) iki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdırHalbuki a matrisi 2x3 b matrisi de 2x3 olduğundan bu iki matris ccedilarpılamazc) İki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirHalbuki bu matrisler aynı mertebeden olmadığından bu iki matris eleman-elemana ccedilarpma islemi
gerccedileklemezd) İki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdıra matrisi 2x3 luumlk c matrisi de 3x2 lik olduğundan bu iki matris ccedilarpılabilir ve c4 ccedilarpım matrisi 2x2 lik bir matris olurc4 ccedilarpım matrisini c4=ac islemi ile buluruze) a^2+cos(b)f) i) x^2 ii) x^3 iii) x^10
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
88
c) Bir Matrisin Devriğini (Transpozesi) Bulma İslemi
Bir matrisin satırlarını suumltun suumltunlarını satır olarak yazılmasıyla
bulunan matrise bu matrisin devriği (transpozesi) denir
Bir matrisin devriğini islemi ile bulabiliriz
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] nın devriğini buldurup d matrisine atayalım
Ccediloumlzuumlm d=a
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
89
Oumlrnek
b=[7 8 9 10 11 12] matrisinin transpozesini bulabilirmisiniz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
c=bc =
7 108 119 12
90
SORU
a=[1 2 3 4 5 6]
c= [710811912]
ise a ve crsquonin ccedilarpım matrisi
kaccediltır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
Ccedilarpma işlemi k=ack=
50 68122 167
91
SORU
a=[1 2 3 4 5 6] b=[7 8 9 10 11 12]
ise a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan x matrisini bulalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
x=abx =
7 16 2740 55 72
92
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
Aynı mertebeden iki matrisin elemanlarını teker teker boumllerek aynı
mertebeye yazılmasına iki matrisin sol boumllmesi denir ve bu islemi ile
yapılır
a b ve c aynı mertebeden kare matrisler olmak uumlzere
c=ab ise a matrisine c nin b matrisine boumlluumlmuuml denir
c boumlluumlm matrisi islemi ile yapılır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
93
HATIRLATMA
2x2 lik i2 adlı birim matrisi i2=eye(22)
3x luumlk i3 adlı birim matrisi i2=eye(33) islemi ile olusturabiiriz
Aynı mertebeden a ve b kare matrisleri iccedilin a ile b nin ccedilarpımı birim matris ise
b matrisi a matrisinin (aynı biccedilimde a matrisi de b matrisinin) ters matrisidir
Oumlrnek
3x3 luumlk bir a kare matrisinin tersini bulmak iccedilin
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
eye(33)a veya inv(a) islemini kullanırız
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
94
Bir Matrisin Determinantı
Determinant kare matrisleri bir sayıya eşleyen fonksiyondur
Determinant fonksiyonunun kare matrisi eşlediği o sayıya matrisin
determinantı denir
A matrisinin determinantı detA veya |A| biccediliminde goumlsterilir
|A| matrislerde mutlak değer anlamına gelmez |A| sıfır veya
negatif de olabilir
det(x)
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
95
KURAL
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
96
Oumlrnek
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Determinant
raquo
deter=det(x)deter =
21
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
97
Oumlrnek Inverse işlemi
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Detx=det(x)=21 ise
raquo y=inv(x)y =
821 121 -521 221
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
98
SORU
a=[2 -10 01 2 43 0 1] matrisi ile b=[1 5 41 -1 20 1 -1] matrisleri veriliyor
a)
a matrisinin elemanlarını
sırasıyla b matrisinin elemanlarına boumllerek elde
edilen matrisi b1 matrisine atayalım
b) a matrisinin ta ters matrisini bulalım
c) a ile ta matrisinin ccedilarpımının 3x3 luumlk birim matris olduğunu goumlsterelim
d) a matrisinin b matrisine boumlluumlmuumlnuuml
b2 matrisine atayalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
99
Ccediloumlzuumlm
a)
b1=ab
b) ta1=eye(33)a veya ta2=inv(a)
c) ata ==eye(33)
d) b2=ab
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
66
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
a) Sıfır Matrisi Olusturan Fonksiyon
Her elemanı sıfır olan mxn boyutunda bir matrise sıfır matrisi denir
Boumlyle bir dizi olusturmak iccedilin zeros fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=zeros(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
3x5 boyutunda s adlı
sıfır matrisi iccedilin
s=zeros(35)
52 Genel MatrislerMatlab
67
b) 1 lerden Olusan Matris
Her elemanı 1 olan mxn boyutunda bir matrisi olusturmak iccedilin ones
fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matria_adı=ones(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
2x3 boyutunda b adlı
tuumlm elemanları
1 olan matrisi olusturalım
b=ones(23)
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
52 Genel MatrislerMatlab
68
c) Birim Matrisi Olusturan Fonksiyon
Esas koumlsegeni 1 lerden diğer elemanları 0 lardan olusan kare matrise (satır
ve suumltun sayısı esit olan ) birim matrisi
kare olmayan matrise de diyagonal matris denir
Boumlyle matrisleri olusturmak iccedilin eye fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=eye(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
a)
3x3 luumlk birim matris
b) 4x3 lluumlk diyagonal matris olusturalım
Ccediloumlzuumlma) i=eye(33) b) d=eye(43)
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar52 Genel MatrislerMatlab
69
d) Rastgele Sayılardan Olusan Matris ve Fonksiyonu
Elemanları 0 ile 1 arasındaki rastgele sayılardan olusan bir matris iccedilin
rand fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=rand(mn) biccedilimindedir(msatırnsuumltun)
Not 1) Uumlretilen matrisin tuumlm elemanlarını k gibi bir sayı ile ccedilarparak
sayıları 0 ile k arasına ccedilekebiliriz
Not 2) Ondalıklı sayılardan olusmus bir matrisin elemanlarını
yuvarlayıp tam sayı yapmak iccedilin round fonksiyonunu kullanırız
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar52 Genel MatrislerMatlab
70
Oumlrnek
a) 0 ile 1 arasında rastgele sayılardan olusan 10 elemanlı
a adında bir satır
matrisi olusturalım
b) Elemanları
10 ile 50 arasında sayılardan olusan 5x3 tipinde b matrisini
olusturalım
c) Elemanları
50 ile 300 arasındaki tamsayılardan olusan 3x4 tipinde c matrisini
olusturalım
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
d) Rastgele Sayılardan Olusan Matris ve Fonksiyonu
52 Genel MatrislerMatlab
71
Ccediloumlzuumlm
a)
a=rand(110)
b)
b=10+rand(53)40
c) c=round(50+rand(34)250)
52 Genel MatrislerMatlab
72
e) Rastgele Sayılardan Olusan Normal Dağılımlı
Matris veFonksiyonu
Elemanları rasstgele sayılardan olusan bir normal dağılımlı bir matris iccedilin
randn fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=randn(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek Rastgele sayılardan olusan normal dağılımlı 2x3 luumlk bir n matrisini
olusturalım
Ccediloumlzuumlm n=randn(23)
52 Genel MatrislerMatlab
73
f) Lineer Aralıklı
(Aritmetik) Dizi ve Fonksiyonu
Baslangıccedil ve biis değerleri ve kaccedil elemandan olusacağı belirlenen diziyi
olusturmak iccedilin linspace fonksiyonu kullanılır
Kullanımı
dizi_adı=linspace(ilk_değerson_değereleman_sayısı)
biccedilimindedir
52 Genel MatrislerMatlab
74
Oumlrnek 10 ile 30 arasına 9 tane daha sayı
koyarak aadında bir aritmetik dizi olusturalım
f) Lineer Aralıklı
(Aritmetik) Dizi ve Fonksiyonu
52 Genel MatrislerMatlab
Cevapa=linspace(103011)
75
Elimizdeki grubun her elemanı iccedilin bir matematik işlemi yapıp bunu yeni bir
diziye atarken herhangi bir sorun yoktur
Fakat iki farklı grupla işlemler yaparken dikkat etmemiz gereken genel
kurallar vardır
Oumlrneğin toplama ve ccedilıkarma yaparken iki dizinin de buumlyuumlkluumlğuumlnuumln eşit
olması gerekmektedir
Ayrıca iki farklı dizinin elemanları arasında birebir işlem yapmak iccedilin
matematik operatoumlruumlnuumln başına nokta() koymak gerekir
Bu durumda her bir elemanı diğer dizinin o sıradaki elmanı ile işleme
sokacaktır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
76
Birden fazla satır ve suumltuna sahip vektoumlrlere matris denir Noktalı
virguumll ()
işareti ile kolonları
ve virguumlle işareti ya da boşluk
bırakarak da bir sıradaki elemanları
ayırabilirizOumlrnekraquo x=[ 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14]x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14Yukarıdaki 3x4 boyutunda bir matristir MATLAB programına aşağıdaki
gibi de sunulabilirraquo x=[ 3 4 5 6
7 8 9 1011 12 13 14]
x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
77
Matristeki herhangi bir elemana direk ulaşmak iccedilin aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(23)=9
Eğer isteğimiz eriştiğimiz bir elemanı
değiştirmek veya yeni bir satır eklemek ise aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(41)=1x =
3 4 5 67 8 9 1011 12 13 141 0 0 0
Bu durumda doumlrduumlncuuml
satır ilk elemanını
biz 1 değerini atadık ve diğer elemanları
kendiliğinden ldquo0rdquo
olarak atadı
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
78
İki nokta uumlst uumlste () kullanılarak belirli aralıkta değişen matrisler yaratılabilir
raquo x=[127 3-10 -12]x =
1 3 5 73 2 1 0
-1 0 1 2Bir matrisin herhangi bir boumlluumlmuumlnuuml
seccedilmek iccedilin ise aşağıdaki goumlsterim
kullanılırraquo z=x(23 12)z =
3 2-1 0
Bu durumda z matris x matrisinin 2 ve 3 norsquo
lu satırlarından 1 ve 2 norsquo
lu suumltunlarını
almış
oluyor
Herhangi bir satır veya suumltunu tamamen silmek istersek o satır ve suumltunu seccedilip ldquo[]rdquo
ifadesine eşitleriz
raquo z(2)=[ ]z =
3 -1
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
79
Matlab size ve length komutları
yardımı
ile size matrisinizin boyutlarını
soumlyler
raquo a=[ 2 3 4 5 67 8 9 10 11]
raquo s=size(a)s =
2 5
raquo b=[ 17 11 0 30 40 50]
raquo k=length(b)k =
6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
80
a) Toplama-Ccedilıkarma Bir Sayı
ile Ccedilarpma İşlemi
İki matrisi toplamak (veya ccedilıkarmak) demek matrislerin aynı
mertebedeki elemanları teker teker toplayıp (veya ccedilıkarıp ) aynı
mertebeye yazmak demektir
Bu durumda iki matrisin de aynı mertebeden olması gereği accedilıktır
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile toplamak (veya ccedilıkarmak) demek
matrisin elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla toplamak (veya
ccedilıkarmak )demektir
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile ccedilarpmak demek ise matrisin
elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla ccedilarpmak demektir
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
81
82
Oumlrnek
raquo a=[1 2 3 4 5 6]raquo b=[7 8 9 10 11 12]
a ve b toplamıraquo sum=a+bsum =
8 10 1214 16 18
arsquo
yı
brsquo
den ccedilıkarmak
raquo diff=a-bdiff =
-6 -6 -6-6 -6 -6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
83
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] ve b=[3 -3 -41 1 5] matrisleri
veriliyor
a)
c=a+b toplam matrisini
b)
d=a-b matrisini
c)
amatrisinin her elemanınının 5 eksiğine karsılık gelen e
matrisini
d) f=2a-3b matrisini bulduran islemleri yazalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
a) c=a+b b) d=a-b c) e=a-5 d) f=a+a-b-b-b veya
f=2a-3b
84
İki matrisin ccedilarpım islemi iki biccedilimde anlasılır
1)
Aynı
mertebeden iki matrisin elemanlarını
teker teker ccedilarpıp aynı
mertebeye
yazmak demektir Bunu
islemi ile gerccedileklestiririz
2) Matematiksel anlamda iki matrisi ccedilarpmak istediğimizde birinci matris mxn
tuumlruumlnde ve ikinci matris mutlaka nxp tuumlruumlnde olmalıdır yani birinci matrisin
suumltun sayısı
ikinci matrisin satır sayısına eşit olmalıdır
Bu durumda birinci matrisin i suumltun elemanları
ile ikinci matrisin j satırındaki
elemanlar karılıklı
olarak ccedilarpılır ve sonuccedillar toplanır ve bu toplam ccedilarpım
matrisinin (ij) inci mertebeye yazılır
Matrisler arası
ccedilarpma isleminin semboluuml
de dır
b) İki Matrisin Ccedilarpımı Bir Matrisin Kuvvetleri veCcedilarpma İslemi
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
85
3) Bir a matrisinin her bir elemanının n Kuvvetlerinden olusan matrisi
bulmak iccedilin a^n islemi kullanılır
4) Satır ve suumltun sayıları
esit bir kare matrisi ardısık olarak n defa
kendisiyle ccedilarparak a matrisinin n kuvvetini bulabilirizOumlrneğin a matrisinin
karesi iccedilin aa veya a^2 kuumlbuumlnuuml
buldurmak iccedilin aaa veya a^3
doumlrduumlncuuml
kuvvetini buldurmak iccedilin aaaa veya a^4
Not) Bir a matrisinin eleman -elemana ccedilarpma islemine benzer mantıkla bir matrisin tuumlm elemanlarının kareleri kuumlbleri sinuumlsleri kosinuumlsleri logaritmalarından olusan matris bulunmak istenirse bunu sırayla aa (veya a^2) aaa (veya a^3) sin(a) cos(a) etabanında logaritması
iccedilin log(a) 10 tabanında logaritmaları
iccedilin log10(a) Biccediliminde gerccedileklestirebiliriz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
86
a) a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c1 matrisi varsa bulalım
b) a matrisi ile b matrisinin ccedilarpım matrisi olan c2 varsa bulalım
c) a matrisinin elemanları
ile c matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c3 matrisi varsa bulalım
d) a matrisi ile c matrisinin ccedilarpım matrisi olan c4 varsa bulalım
e) a matrisinin elemanlarının karelerinden olusan matris ile b matrisinin
kosinuumlslerinden olusan matrisler toplamını
bulalım
f) x=[1 00 3] matrisinin i) Karesini ii) Kuumlbuumlnuuml
iii) 10
kuvvetini bulalım
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] b=[3 -3 -41 1 5] ve c=[1 0-1 23 3] matrisleri veriliyor
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
87
Ccediloumlzuumlma) iki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirBu durumda c1 matrisi tanımlıdır ve bunu c1=ab islemi ile gerccedileklestirebilirizb) iki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdırHalbuki a matrisi 2x3 b matrisi de 2x3 olduğundan bu iki matris ccedilarpılamazc) İki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirHalbuki bu matrisler aynı mertebeden olmadığından bu iki matris eleman-elemana ccedilarpma islemi
gerccedileklemezd) İki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdıra matrisi 2x3 luumlk c matrisi de 3x2 lik olduğundan bu iki matris ccedilarpılabilir ve c4 ccedilarpım matrisi 2x2 lik bir matris olurc4 ccedilarpım matrisini c4=ac islemi ile buluruze) a^2+cos(b)f) i) x^2 ii) x^3 iii) x^10
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
88
c) Bir Matrisin Devriğini (Transpozesi) Bulma İslemi
Bir matrisin satırlarını suumltun suumltunlarını satır olarak yazılmasıyla
bulunan matrise bu matrisin devriği (transpozesi) denir
Bir matrisin devriğini islemi ile bulabiliriz
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] nın devriğini buldurup d matrisine atayalım
Ccediloumlzuumlm d=a
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
89
Oumlrnek
b=[7 8 9 10 11 12] matrisinin transpozesini bulabilirmisiniz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
c=bc =
7 108 119 12
90
SORU
a=[1 2 3 4 5 6]
c= [710811912]
ise a ve crsquonin ccedilarpım matrisi
kaccediltır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
Ccedilarpma işlemi k=ack=
50 68122 167
91
SORU
a=[1 2 3 4 5 6] b=[7 8 9 10 11 12]
ise a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan x matrisini bulalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
x=abx =
7 16 2740 55 72
92
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
Aynı mertebeden iki matrisin elemanlarını teker teker boumllerek aynı
mertebeye yazılmasına iki matrisin sol boumllmesi denir ve bu islemi ile
yapılır
a b ve c aynı mertebeden kare matrisler olmak uumlzere
c=ab ise a matrisine c nin b matrisine boumlluumlmuuml denir
c boumlluumlm matrisi islemi ile yapılır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
93
HATIRLATMA
2x2 lik i2 adlı birim matrisi i2=eye(22)
3x luumlk i3 adlı birim matrisi i2=eye(33) islemi ile olusturabiiriz
Aynı mertebeden a ve b kare matrisleri iccedilin a ile b nin ccedilarpımı birim matris ise
b matrisi a matrisinin (aynı biccedilimde a matrisi de b matrisinin) ters matrisidir
Oumlrnek
3x3 luumlk bir a kare matrisinin tersini bulmak iccedilin
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
eye(33)a veya inv(a) islemini kullanırız
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
94
Bir Matrisin Determinantı
Determinant kare matrisleri bir sayıya eşleyen fonksiyondur
Determinant fonksiyonunun kare matrisi eşlediği o sayıya matrisin
determinantı denir
A matrisinin determinantı detA veya |A| biccediliminde goumlsterilir
|A| matrislerde mutlak değer anlamına gelmez |A| sıfır veya
negatif de olabilir
det(x)
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
95
KURAL
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
96
Oumlrnek
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Determinant
raquo
deter=det(x)deter =
21
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
97
Oumlrnek Inverse işlemi
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Detx=det(x)=21 ise
raquo y=inv(x)y =
821 121 -521 221
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
98
SORU
a=[2 -10 01 2 43 0 1] matrisi ile b=[1 5 41 -1 20 1 -1] matrisleri veriliyor
a)
a matrisinin elemanlarını
sırasıyla b matrisinin elemanlarına boumllerek elde
edilen matrisi b1 matrisine atayalım
b) a matrisinin ta ters matrisini bulalım
c) a ile ta matrisinin ccedilarpımının 3x3 luumlk birim matris olduğunu goumlsterelim
d) a matrisinin b matrisine boumlluumlmuumlnuuml
b2 matrisine atayalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
99
Ccediloumlzuumlm
a)
b1=ab
b) ta1=eye(33)a veya ta2=inv(a)
c) ata ==eye(33)
d) b2=ab
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
67
b) 1 lerden Olusan Matris
Her elemanı 1 olan mxn boyutunda bir matrisi olusturmak iccedilin ones
fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matria_adı=ones(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
2x3 boyutunda b adlı
tuumlm elemanları
1 olan matrisi olusturalım
b=ones(23)
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
52 Genel MatrislerMatlab
68
c) Birim Matrisi Olusturan Fonksiyon
Esas koumlsegeni 1 lerden diğer elemanları 0 lardan olusan kare matrise (satır
ve suumltun sayısı esit olan ) birim matrisi
kare olmayan matrise de diyagonal matris denir
Boumlyle matrisleri olusturmak iccedilin eye fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=eye(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
a)
3x3 luumlk birim matris
b) 4x3 lluumlk diyagonal matris olusturalım
Ccediloumlzuumlma) i=eye(33) b) d=eye(43)
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar52 Genel MatrislerMatlab
69
d) Rastgele Sayılardan Olusan Matris ve Fonksiyonu
Elemanları 0 ile 1 arasındaki rastgele sayılardan olusan bir matris iccedilin
rand fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=rand(mn) biccedilimindedir(msatırnsuumltun)
Not 1) Uumlretilen matrisin tuumlm elemanlarını k gibi bir sayı ile ccedilarparak
sayıları 0 ile k arasına ccedilekebiliriz
Not 2) Ondalıklı sayılardan olusmus bir matrisin elemanlarını
yuvarlayıp tam sayı yapmak iccedilin round fonksiyonunu kullanırız
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar52 Genel MatrislerMatlab
70
Oumlrnek
a) 0 ile 1 arasında rastgele sayılardan olusan 10 elemanlı
a adında bir satır
matrisi olusturalım
b) Elemanları
10 ile 50 arasında sayılardan olusan 5x3 tipinde b matrisini
olusturalım
c) Elemanları
50 ile 300 arasındaki tamsayılardan olusan 3x4 tipinde c matrisini
olusturalım
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
d) Rastgele Sayılardan Olusan Matris ve Fonksiyonu
52 Genel MatrislerMatlab
71
Ccediloumlzuumlm
a)
a=rand(110)
b)
b=10+rand(53)40
c) c=round(50+rand(34)250)
52 Genel MatrislerMatlab
72
e) Rastgele Sayılardan Olusan Normal Dağılımlı
Matris veFonksiyonu
Elemanları rasstgele sayılardan olusan bir normal dağılımlı bir matris iccedilin
randn fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=randn(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek Rastgele sayılardan olusan normal dağılımlı 2x3 luumlk bir n matrisini
olusturalım
Ccediloumlzuumlm n=randn(23)
52 Genel MatrislerMatlab
73
f) Lineer Aralıklı
(Aritmetik) Dizi ve Fonksiyonu
Baslangıccedil ve biis değerleri ve kaccedil elemandan olusacağı belirlenen diziyi
olusturmak iccedilin linspace fonksiyonu kullanılır
Kullanımı
dizi_adı=linspace(ilk_değerson_değereleman_sayısı)
biccedilimindedir
52 Genel MatrislerMatlab
74
Oumlrnek 10 ile 30 arasına 9 tane daha sayı
koyarak aadında bir aritmetik dizi olusturalım
f) Lineer Aralıklı
(Aritmetik) Dizi ve Fonksiyonu
52 Genel MatrislerMatlab
Cevapa=linspace(103011)
75
Elimizdeki grubun her elemanı iccedilin bir matematik işlemi yapıp bunu yeni bir
diziye atarken herhangi bir sorun yoktur
Fakat iki farklı grupla işlemler yaparken dikkat etmemiz gereken genel
kurallar vardır
Oumlrneğin toplama ve ccedilıkarma yaparken iki dizinin de buumlyuumlkluumlğuumlnuumln eşit
olması gerekmektedir
Ayrıca iki farklı dizinin elemanları arasında birebir işlem yapmak iccedilin
matematik operatoumlruumlnuumln başına nokta() koymak gerekir
Bu durumda her bir elemanı diğer dizinin o sıradaki elmanı ile işleme
sokacaktır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
76
Birden fazla satır ve suumltuna sahip vektoumlrlere matris denir Noktalı
virguumll ()
işareti ile kolonları
ve virguumlle işareti ya da boşluk
bırakarak da bir sıradaki elemanları
ayırabilirizOumlrnekraquo x=[ 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14]x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14Yukarıdaki 3x4 boyutunda bir matristir MATLAB programına aşağıdaki
gibi de sunulabilirraquo x=[ 3 4 5 6
7 8 9 1011 12 13 14]
x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
77
Matristeki herhangi bir elemana direk ulaşmak iccedilin aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(23)=9
Eğer isteğimiz eriştiğimiz bir elemanı
değiştirmek veya yeni bir satır eklemek ise aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(41)=1x =
3 4 5 67 8 9 1011 12 13 141 0 0 0
Bu durumda doumlrduumlncuuml
satır ilk elemanını
biz 1 değerini atadık ve diğer elemanları
kendiliğinden ldquo0rdquo
olarak atadı
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
78
İki nokta uumlst uumlste () kullanılarak belirli aralıkta değişen matrisler yaratılabilir
raquo x=[127 3-10 -12]x =
1 3 5 73 2 1 0
-1 0 1 2Bir matrisin herhangi bir boumlluumlmuumlnuuml
seccedilmek iccedilin ise aşağıdaki goumlsterim
kullanılırraquo z=x(23 12)z =
3 2-1 0
Bu durumda z matris x matrisinin 2 ve 3 norsquo
lu satırlarından 1 ve 2 norsquo
lu suumltunlarını
almış
oluyor
Herhangi bir satır veya suumltunu tamamen silmek istersek o satır ve suumltunu seccedilip ldquo[]rdquo
ifadesine eşitleriz
raquo z(2)=[ ]z =
3 -1
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
79
Matlab size ve length komutları
yardımı
ile size matrisinizin boyutlarını
soumlyler
raquo a=[ 2 3 4 5 67 8 9 10 11]
raquo s=size(a)s =
2 5
raquo b=[ 17 11 0 30 40 50]
raquo k=length(b)k =
6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
80
a) Toplama-Ccedilıkarma Bir Sayı
ile Ccedilarpma İşlemi
İki matrisi toplamak (veya ccedilıkarmak) demek matrislerin aynı
mertebedeki elemanları teker teker toplayıp (veya ccedilıkarıp ) aynı
mertebeye yazmak demektir
Bu durumda iki matrisin de aynı mertebeden olması gereği accedilıktır
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile toplamak (veya ccedilıkarmak) demek
matrisin elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla toplamak (veya
ccedilıkarmak )demektir
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile ccedilarpmak demek ise matrisin
elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla ccedilarpmak demektir
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
81
82
Oumlrnek
raquo a=[1 2 3 4 5 6]raquo b=[7 8 9 10 11 12]
a ve b toplamıraquo sum=a+bsum =
8 10 1214 16 18
arsquo
yı
brsquo
den ccedilıkarmak
raquo diff=a-bdiff =
-6 -6 -6-6 -6 -6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
83
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] ve b=[3 -3 -41 1 5] matrisleri
veriliyor
a)
c=a+b toplam matrisini
b)
d=a-b matrisini
c)
amatrisinin her elemanınının 5 eksiğine karsılık gelen e
matrisini
d) f=2a-3b matrisini bulduran islemleri yazalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
a) c=a+b b) d=a-b c) e=a-5 d) f=a+a-b-b-b veya
f=2a-3b
84
İki matrisin ccedilarpım islemi iki biccedilimde anlasılır
1)
Aynı
mertebeden iki matrisin elemanlarını
teker teker ccedilarpıp aynı
mertebeye
yazmak demektir Bunu
islemi ile gerccedileklestiririz
2) Matematiksel anlamda iki matrisi ccedilarpmak istediğimizde birinci matris mxn
tuumlruumlnde ve ikinci matris mutlaka nxp tuumlruumlnde olmalıdır yani birinci matrisin
suumltun sayısı
ikinci matrisin satır sayısına eşit olmalıdır
Bu durumda birinci matrisin i suumltun elemanları
ile ikinci matrisin j satırındaki
elemanlar karılıklı
olarak ccedilarpılır ve sonuccedillar toplanır ve bu toplam ccedilarpım
matrisinin (ij) inci mertebeye yazılır
Matrisler arası
ccedilarpma isleminin semboluuml
de dır
b) İki Matrisin Ccedilarpımı Bir Matrisin Kuvvetleri veCcedilarpma İslemi
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
85
3) Bir a matrisinin her bir elemanının n Kuvvetlerinden olusan matrisi
bulmak iccedilin a^n islemi kullanılır
4) Satır ve suumltun sayıları
esit bir kare matrisi ardısık olarak n defa
kendisiyle ccedilarparak a matrisinin n kuvvetini bulabilirizOumlrneğin a matrisinin
karesi iccedilin aa veya a^2 kuumlbuumlnuuml
buldurmak iccedilin aaa veya a^3
doumlrduumlncuuml
kuvvetini buldurmak iccedilin aaaa veya a^4
Not) Bir a matrisinin eleman -elemana ccedilarpma islemine benzer mantıkla bir matrisin tuumlm elemanlarının kareleri kuumlbleri sinuumlsleri kosinuumlsleri logaritmalarından olusan matris bulunmak istenirse bunu sırayla aa (veya a^2) aaa (veya a^3) sin(a) cos(a) etabanında logaritması
iccedilin log(a) 10 tabanında logaritmaları
iccedilin log10(a) Biccediliminde gerccedileklestirebiliriz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
86
a) a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c1 matrisi varsa bulalım
b) a matrisi ile b matrisinin ccedilarpım matrisi olan c2 varsa bulalım
c) a matrisinin elemanları
ile c matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c3 matrisi varsa bulalım
d) a matrisi ile c matrisinin ccedilarpım matrisi olan c4 varsa bulalım
e) a matrisinin elemanlarının karelerinden olusan matris ile b matrisinin
kosinuumlslerinden olusan matrisler toplamını
bulalım
f) x=[1 00 3] matrisinin i) Karesini ii) Kuumlbuumlnuuml
iii) 10
kuvvetini bulalım
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] b=[3 -3 -41 1 5] ve c=[1 0-1 23 3] matrisleri veriliyor
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
87
Ccediloumlzuumlma) iki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirBu durumda c1 matrisi tanımlıdır ve bunu c1=ab islemi ile gerccedileklestirebilirizb) iki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdırHalbuki a matrisi 2x3 b matrisi de 2x3 olduğundan bu iki matris ccedilarpılamazc) İki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirHalbuki bu matrisler aynı mertebeden olmadığından bu iki matris eleman-elemana ccedilarpma islemi
gerccedileklemezd) İki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdıra matrisi 2x3 luumlk c matrisi de 3x2 lik olduğundan bu iki matris ccedilarpılabilir ve c4 ccedilarpım matrisi 2x2 lik bir matris olurc4 ccedilarpım matrisini c4=ac islemi ile buluruze) a^2+cos(b)f) i) x^2 ii) x^3 iii) x^10
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
88
c) Bir Matrisin Devriğini (Transpozesi) Bulma İslemi
Bir matrisin satırlarını suumltun suumltunlarını satır olarak yazılmasıyla
bulunan matrise bu matrisin devriği (transpozesi) denir
Bir matrisin devriğini islemi ile bulabiliriz
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] nın devriğini buldurup d matrisine atayalım
Ccediloumlzuumlm d=a
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
89
Oumlrnek
b=[7 8 9 10 11 12] matrisinin transpozesini bulabilirmisiniz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
c=bc =
7 108 119 12
90
SORU
a=[1 2 3 4 5 6]
c= [710811912]
ise a ve crsquonin ccedilarpım matrisi
kaccediltır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
Ccedilarpma işlemi k=ack=
50 68122 167
91
SORU
a=[1 2 3 4 5 6] b=[7 8 9 10 11 12]
ise a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan x matrisini bulalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
x=abx =
7 16 2740 55 72
92
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
Aynı mertebeden iki matrisin elemanlarını teker teker boumllerek aynı
mertebeye yazılmasına iki matrisin sol boumllmesi denir ve bu islemi ile
yapılır
a b ve c aynı mertebeden kare matrisler olmak uumlzere
c=ab ise a matrisine c nin b matrisine boumlluumlmuuml denir
c boumlluumlm matrisi islemi ile yapılır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
93
HATIRLATMA
2x2 lik i2 adlı birim matrisi i2=eye(22)
3x luumlk i3 adlı birim matrisi i2=eye(33) islemi ile olusturabiiriz
Aynı mertebeden a ve b kare matrisleri iccedilin a ile b nin ccedilarpımı birim matris ise
b matrisi a matrisinin (aynı biccedilimde a matrisi de b matrisinin) ters matrisidir
Oumlrnek
3x3 luumlk bir a kare matrisinin tersini bulmak iccedilin
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
eye(33)a veya inv(a) islemini kullanırız
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
94
Bir Matrisin Determinantı
Determinant kare matrisleri bir sayıya eşleyen fonksiyondur
Determinant fonksiyonunun kare matrisi eşlediği o sayıya matrisin
determinantı denir
A matrisinin determinantı detA veya |A| biccediliminde goumlsterilir
|A| matrislerde mutlak değer anlamına gelmez |A| sıfır veya
negatif de olabilir
det(x)
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
95
KURAL
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
96
Oumlrnek
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Determinant
raquo
deter=det(x)deter =
21
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
97
Oumlrnek Inverse işlemi
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Detx=det(x)=21 ise
raquo y=inv(x)y =
821 121 -521 221
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
98
SORU
a=[2 -10 01 2 43 0 1] matrisi ile b=[1 5 41 -1 20 1 -1] matrisleri veriliyor
a)
a matrisinin elemanlarını
sırasıyla b matrisinin elemanlarına boumllerek elde
edilen matrisi b1 matrisine atayalım
b) a matrisinin ta ters matrisini bulalım
c) a ile ta matrisinin ccedilarpımının 3x3 luumlk birim matris olduğunu goumlsterelim
d) a matrisinin b matrisine boumlluumlmuumlnuuml
b2 matrisine atayalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
99
Ccediloumlzuumlm
a)
b1=ab
b) ta1=eye(33)a veya ta2=inv(a)
c) ata ==eye(33)
d) b2=ab
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
68
c) Birim Matrisi Olusturan Fonksiyon
Esas koumlsegeni 1 lerden diğer elemanları 0 lardan olusan kare matrise (satır
ve suumltun sayısı esit olan ) birim matrisi
kare olmayan matrise de diyagonal matris denir
Boumlyle matrisleri olusturmak iccedilin eye fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=eye(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek
a)
3x3 luumlk birim matris
b) 4x3 lluumlk diyagonal matris olusturalım
Ccediloumlzuumlma) i=eye(33) b) d=eye(43)
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar52 Genel MatrislerMatlab
69
d) Rastgele Sayılardan Olusan Matris ve Fonksiyonu
Elemanları 0 ile 1 arasındaki rastgele sayılardan olusan bir matris iccedilin
rand fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=rand(mn) biccedilimindedir(msatırnsuumltun)
Not 1) Uumlretilen matrisin tuumlm elemanlarını k gibi bir sayı ile ccedilarparak
sayıları 0 ile k arasına ccedilekebiliriz
Not 2) Ondalıklı sayılardan olusmus bir matrisin elemanlarını
yuvarlayıp tam sayı yapmak iccedilin round fonksiyonunu kullanırız
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar52 Genel MatrislerMatlab
70
Oumlrnek
a) 0 ile 1 arasında rastgele sayılardan olusan 10 elemanlı
a adında bir satır
matrisi olusturalım
b) Elemanları
10 ile 50 arasında sayılardan olusan 5x3 tipinde b matrisini
olusturalım
c) Elemanları
50 ile 300 arasındaki tamsayılardan olusan 3x4 tipinde c matrisini
olusturalım
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
d) Rastgele Sayılardan Olusan Matris ve Fonksiyonu
52 Genel MatrislerMatlab
71
Ccediloumlzuumlm
a)
a=rand(110)
b)
b=10+rand(53)40
c) c=round(50+rand(34)250)
52 Genel MatrislerMatlab
72
e) Rastgele Sayılardan Olusan Normal Dağılımlı
Matris veFonksiyonu
Elemanları rasstgele sayılardan olusan bir normal dağılımlı bir matris iccedilin
randn fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=randn(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek Rastgele sayılardan olusan normal dağılımlı 2x3 luumlk bir n matrisini
olusturalım
Ccediloumlzuumlm n=randn(23)
52 Genel MatrislerMatlab
73
f) Lineer Aralıklı
(Aritmetik) Dizi ve Fonksiyonu
Baslangıccedil ve biis değerleri ve kaccedil elemandan olusacağı belirlenen diziyi
olusturmak iccedilin linspace fonksiyonu kullanılır
Kullanımı
dizi_adı=linspace(ilk_değerson_değereleman_sayısı)
biccedilimindedir
52 Genel MatrislerMatlab
74
Oumlrnek 10 ile 30 arasına 9 tane daha sayı
koyarak aadında bir aritmetik dizi olusturalım
f) Lineer Aralıklı
(Aritmetik) Dizi ve Fonksiyonu
52 Genel MatrislerMatlab
Cevapa=linspace(103011)
75
Elimizdeki grubun her elemanı iccedilin bir matematik işlemi yapıp bunu yeni bir
diziye atarken herhangi bir sorun yoktur
Fakat iki farklı grupla işlemler yaparken dikkat etmemiz gereken genel
kurallar vardır
Oumlrneğin toplama ve ccedilıkarma yaparken iki dizinin de buumlyuumlkluumlğuumlnuumln eşit
olması gerekmektedir
Ayrıca iki farklı dizinin elemanları arasında birebir işlem yapmak iccedilin
matematik operatoumlruumlnuumln başına nokta() koymak gerekir
Bu durumda her bir elemanı diğer dizinin o sıradaki elmanı ile işleme
sokacaktır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
76
Birden fazla satır ve suumltuna sahip vektoumlrlere matris denir Noktalı
virguumll ()
işareti ile kolonları
ve virguumlle işareti ya da boşluk
bırakarak da bir sıradaki elemanları
ayırabilirizOumlrnekraquo x=[ 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14]x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14Yukarıdaki 3x4 boyutunda bir matristir MATLAB programına aşağıdaki
gibi de sunulabilirraquo x=[ 3 4 5 6
7 8 9 1011 12 13 14]
x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
77
Matristeki herhangi bir elemana direk ulaşmak iccedilin aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(23)=9
Eğer isteğimiz eriştiğimiz bir elemanı
değiştirmek veya yeni bir satır eklemek ise aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(41)=1x =
3 4 5 67 8 9 1011 12 13 141 0 0 0
Bu durumda doumlrduumlncuuml
satır ilk elemanını
biz 1 değerini atadık ve diğer elemanları
kendiliğinden ldquo0rdquo
olarak atadı
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
78
İki nokta uumlst uumlste () kullanılarak belirli aralıkta değişen matrisler yaratılabilir
raquo x=[127 3-10 -12]x =
1 3 5 73 2 1 0
-1 0 1 2Bir matrisin herhangi bir boumlluumlmuumlnuuml
seccedilmek iccedilin ise aşağıdaki goumlsterim
kullanılırraquo z=x(23 12)z =
3 2-1 0
Bu durumda z matris x matrisinin 2 ve 3 norsquo
lu satırlarından 1 ve 2 norsquo
lu suumltunlarını
almış
oluyor
Herhangi bir satır veya suumltunu tamamen silmek istersek o satır ve suumltunu seccedilip ldquo[]rdquo
ifadesine eşitleriz
raquo z(2)=[ ]z =
3 -1
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
79
Matlab size ve length komutları
yardımı
ile size matrisinizin boyutlarını
soumlyler
raquo a=[ 2 3 4 5 67 8 9 10 11]
raquo s=size(a)s =
2 5
raquo b=[ 17 11 0 30 40 50]
raquo k=length(b)k =
6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
80
a) Toplama-Ccedilıkarma Bir Sayı
ile Ccedilarpma İşlemi
İki matrisi toplamak (veya ccedilıkarmak) demek matrislerin aynı
mertebedeki elemanları teker teker toplayıp (veya ccedilıkarıp ) aynı
mertebeye yazmak demektir
Bu durumda iki matrisin de aynı mertebeden olması gereği accedilıktır
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile toplamak (veya ccedilıkarmak) demek
matrisin elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla toplamak (veya
ccedilıkarmak )demektir
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile ccedilarpmak demek ise matrisin
elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla ccedilarpmak demektir
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
81
82
Oumlrnek
raquo a=[1 2 3 4 5 6]raquo b=[7 8 9 10 11 12]
a ve b toplamıraquo sum=a+bsum =
8 10 1214 16 18
arsquo
yı
brsquo
den ccedilıkarmak
raquo diff=a-bdiff =
-6 -6 -6-6 -6 -6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
83
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] ve b=[3 -3 -41 1 5] matrisleri
veriliyor
a)
c=a+b toplam matrisini
b)
d=a-b matrisini
c)
amatrisinin her elemanınının 5 eksiğine karsılık gelen e
matrisini
d) f=2a-3b matrisini bulduran islemleri yazalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
a) c=a+b b) d=a-b c) e=a-5 d) f=a+a-b-b-b veya
f=2a-3b
84
İki matrisin ccedilarpım islemi iki biccedilimde anlasılır
1)
Aynı
mertebeden iki matrisin elemanlarını
teker teker ccedilarpıp aynı
mertebeye
yazmak demektir Bunu
islemi ile gerccedileklestiririz
2) Matematiksel anlamda iki matrisi ccedilarpmak istediğimizde birinci matris mxn
tuumlruumlnde ve ikinci matris mutlaka nxp tuumlruumlnde olmalıdır yani birinci matrisin
suumltun sayısı
ikinci matrisin satır sayısına eşit olmalıdır
Bu durumda birinci matrisin i suumltun elemanları
ile ikinci matrisin j satırındaki
elemanlar karılıklı
olarak ccedilarpılır ve sonuccedillar toplanır ve bu toplam ccedilarpım
matrisinin (ij) inci mertebeye yazılır
Matrisler arası
ccedilarpma isleminin semboluuml
de dır
b) İki Matrisin Ccedilarpımı Bir Matrisin Kuvvetleri veCcedilarpma İslemi
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
85
3) Bir a matrisinin her bir elemanının n Kuvvetlerinden olusan matrisi
bulmak iccedilin a^n islemi kullanılır
4) Satır ve suumltun sayıları
esit bir kare matrisi ardısık olarak n defa
kendisiyle ccedilarparak a matrisinin n kuvvetini bulabilirizOumlrneğin a matrisinin
karesi iccedilin aa veya a^2 kuumlbuumlnuuml
buldurmak iccedilin aaa veya a^3
doumlrduumlncuuml
kuvvetini buldurmak iccedilin aaaa veya a^4
Not) Bir a matrisinin eleman -elemana ccedilarpma islemine benzer mantıkla bir matrisin tuumlm elemanlarının kareleri kuumlbleri sinuumlsleri kosinuumlsleri logaritmalarından olusan matris bulunmak istenirse bunu sırayla aa (veya a^2) aaa (veya a^3) sin(a) cos(a) etabanında logaritması
iccedilin log(a) 10 tabanında logaritmaları
iccedilin log10(a) Biccediliminde gerccedileklestirebiliriz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
86
a) a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c1 matrisi varsa bulalım
b) a matrisi ile b matrisinin ccedilarpım matrisi olan c2 varsa bulalım
c) a matrisinin elemanları
ile c matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c3 matrisi varsa bulalım
d) a matrisi ile c matrisinin ccedilarpım matrisi olan c4 varsa bulalım
e) a matrisinin elemanlarının karelerinden olusan matris ile b matrisinin
kosinuumlslerinden olusan matrisler toplamını
bulalım
f) x=[1 00 3] matrisinin i) Karesini ii) Kuumlbuumlnuuml
iii) 10
kuvvetini bulalım
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] b=[3 -3 -41 1 5] ve c=[1 0-1 23 3] matrisleri veriliyor
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
87
Ccediloumlzuumlma) iki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirBu durumda c1 matrisi tanımlıdır ve bunu c1=ab islemi ile gerccedileklestirebilirizb) iki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdırHalbuki a matrisi 2x3 b matrisi de 2x3 olduğundan bu iki matris ccedilarpılamazc) İki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirHalbuki bu matrisler aynı mertebeden olmadığından bu iki matris eleman-elemana ccedilarpma islemi
gerccedileklemezd) İki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdıra matrisi 2x3 luumlk c matrisi de 3x2 lik olduğundan bu iki matris ccedilarpılabilir ve c4 ccedilarpım matrisi 2x2 lik bir matris olurc4 ccedilarpım matrisini c4=ac islemi ile buluruze) a^2+cos(b)f) i) x^2 ii) x^3 iii) x^10
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
88
c) Bir Matrisin Devriğini (Transpozesi) Bulma İslemi
Bir matrisin satırlarını suumltun suumltunlarını satır olarak yazılmasıyla
bulunan matrise bu matrisin devriği (transpozesi) denir
Bir matrisin devriğini islemi ile bulabiliriz
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] nın devriğini buldurup d matrisine atayalım
Ccediloumlzuumlm d=a
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
89
Oumlrnek
b=[7 8 9 10 11 12] matrisinin transpozesini bulabilirmisiniz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
c=bc =
7 108 119 12
90
SORU
a=[1 2 3 4 5 6]
c= [710811912]
ise a ve crsquonin ccedilarpım matrisi
kaccediltır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
Ccedilarpma işlemi k=ack=
50 68122 167
91
SORU
a=[1 2 3 4 5 6] b=[7 8 9 10 11 12]
ise a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan x matrisini bulalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
x=abx =
7 16 2740 55 72
92
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
Aynı mertebeden iki matrisin elemanlarını teker teker boumllerek aynı
mertebeye yazılmasına iki matrisin sol boumllmesi denir ve bu islemi ile
yapılır
a b ve c aynı mertebeden kare matrisler olmak uumlzere
c=ab ise a matrisine c nin b matrisine boumlluumlmuuml denir
c boumlluumlm matrisi islemi ile yapılır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
93
HATIRLATMA
2x2 lik i2 adlı birim matrisi i2=eye(22)
3x luumlk i3 adlı birim matrisi i2=eye(33) islemi ile olusturabiiriz
Aynı mertebeden a ve b kare matrisleri iccedilin a ile b nin ccedilarpımı birim matris ise
b matrisi a matrisinin (aynı biccedilimde a matrisi de b matrisinin) ters matrisidir
Oumlrnek
3x3 luumlk bir a kare matrisinin tersini bulmak iccedilin
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
eye(33)a veya inv(a) islemini kullanırız
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
94
Bir Matrisin Determinantı
Determinant kare matrisleri bir sayıya eşleyen fonksiyondur
Determinant fonksiyonunun kare matrisi eşlediği o sayıya matrisin
determinantı denir
A matrisinin determinantı detA veya |A| biccediliminde goumlsterilir
|A| matrislerde mutlak değer anlamına gelmez |A| sıfır veya
negatif de olabilir
det(x)
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
95
KURAL
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
96
Oumlrnek
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Determinant
raquo
deter=det(x)deter =
21
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
97
Oumlrnek Inverse işlemi
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Detx=det(x)=21 ise
raquo y=inv(x)y =
821 121 -521 221
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
98
SORU
a=[2 -10 01 2 43 0 1] matrisi ile b=[1 5 41 -1 20 1 -1] matrisleri veriliyor
a)
a matrisinin elemanlarını
sırasıyla b matrisinin elemanlarına boumllerek elde
edilen matrisi b1 matrisine atayalım
b) a matrisinin ta ters matrisini bulalım
c) a ile ta matrisinin ccedilarpımının 3x3 luumlk birim matris olduğunu goumlsterelim
d) a matrisinin b matrisine boumlluumlmuumlnuuml
b2 matrisine atayalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
99
Ccediloumlzuumlm
a)
b1=ab
b) ta1=eye(33)a veya ta2=inv(a)
c) ata ==eye(33)
d) b2=ab
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
69
d) Rastgele Sayılardan Olusan Matris ve Fonksiyonu
Elemanları 0 ile 1 arasındaki rastgele sayılardan olusan bir matris iccedilin
rand fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=rand(mn) biccedilimindedir(msatırnsuumltun)
Not 1) Uumlretilen matrisin tuumlm elemanlarını k gibi bir sayı ile ccedilarparak
sayıları 0 ile k arasına ccedilekebiliriz
Not 2) Ondalıklı sayılardan olusmus bir matrisin elemanlarını
yuvarlayıp tam sayı yapmak iccedilin round fonksiyonunu kullanırız
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar52 Genel MatrislerMatlab
70
Oumlrnek
a) 0 ile 1 arasında rastgele sayılardan olusan 10 elemanlı
a adında bir satır
matrisi olusturalım
b) Elemanları
10 ile 50 arasında sayılardan olusan 5x3 tipinde b matrisini
olusturalım
c) Elemanları
50 ile 300 arasındaki tamsayılardan olusan 3x4 tipinde c matrisini
olusturalım
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
d) Rastgele Sayılardan Olusan Matris ve Fonksiyonu
52 Genel MatrislerMatlab
71
Ccediloumlzuumlm
a)
a=rand(110)
b)
b=10+rand(53)40
c) c=round(50+rand(34)250)
52 Genel MatrislerMatlab
72
e) Rastgele Sayılardan Olusan Normal Dağılımlı
Matris veFonksiyonu
Elemanları rasstgele sayılardan olusan bir normal dağılımlı bir matris iccedilin
randn fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=randn(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek Rastgele sayılardan olusan normal dağılımlı 2x3 luumlk bir n matrisini
olusturalım
Ccediloumlzuumlm n=randn(23)
52 Genel MatrislerMatlab
73
f) Lineer Aralıklı
(Aritmetik) Dizi ve Fonksiyonu
Baslangıccedil ve biis değerleri ve kaccedil elemandan olusacağı belirlenen diziyi
olusturmak iccedilin linspace fonksiyonu kullanılır
Kullanımı
dizi_adı=linspace(ilk_değerson_değereleman_sayısı)
biccedilimindedir
52 Genel MatrislerMatlab
74
Oumlrnek 10 ile 30 arasına 9 tane daha sayı
koyarak aadında bir aritmetik dizi olusturalım
f) Lineer Aralıklı
(Aritmetik) Dizi ve Fonksiyonu
52 Genel MatrislerMatlab
Cevapa=linspace(103011)
75
Elimizdeki grubun her elemanı iccedilin bir matematik işlemi yapıp bunu yeni bir
diziye atarken herhangi bir sorun yoktur
Fakat iki farklı grupla işlemler yaparken dikkat etmemiz gereken genel
kurallar vardır
Oumlrneğin toplama ve ccedilıkarma yaparken iki dizinin de buumlyuumlkluumlğuumlnuumln eşit
olması gerekmektedir
Ayrıca iki farklı dizinin elemanları arasında birebir işlem yapmak iccedilin
matematik operatoumlruumlnuumln başına nokta() koymak gerekir
Bu durumda her bir elemanı diğer dizinin o sıradaki elmanı ile işleme
sokacaktır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
76
Birden fazla satır ve suumltuna sahip vektoumlrlere matris denir Noktalı
virguumll ()
işareti ile kolonları
ve virguumlle işareti ya da boşluk
bırakarak da bir sıradaki elemanları
ayırabilirizOumlrnekraquo x=[ 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14]x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14Yukarıdaki 3x4 boyutunda bir matristir MATLAB programına aşağıdaki
gibi de sunulabilirraquo x=[ 3 4 5 6
7 8 9 1011 12 13 14]
x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
77
Matristeki herhangi bir elemana direk ulaşmak iccedilin aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(23)=9
Eğer isteğimiz eriştiğimiz bir elemanı
değiştirmek veya yeni bir satır eklemek ise aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(41)=1x =
3 4 5 67 8 9 1011 12 13 141 0 0 0
Bu durumda doumlrduumlncuuml
satır ilk elemanını
biz 1 değerini atadık ve diğer elemanları
kendiliğinden ldquo0rdquo
olarak atadı
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
78
İki nokta uumlst uumlste () kullanılarak belirli aralıkta değişen matrisler yaratılabilir
raquo x=[127 3-10 -12]x =
1 3 5 73 2 1 0
-1 0 1 2Bir matrisin herhangi bir boumlluumlmuumlnuuml
seccedilmek iccedilin ise aşağıdaki goumlsterim
kullanılırraquo z=x(23 12)z =
3 2-1 0
Bu durumda z matris x matrisinin 2 ve 3 norsquo
lu satırlarından 1 ve 2 norsquo
lu suumltunlarını
almış
oluyor
Herhangi bir satır veya suumltunu tamamen silmek istersek o satır ve suumltunu seccedilip ldquo[]rdquo
ifadesine eşitleriz
raquo z(2)=[ ]z =
3 -1
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
79
Matlab size ve length komutları
yardımı
ile size matrisinizin boyutlarını
soumlyler
raquo a=[ 2 3 4 5 67 8 9 10 11]
raquo s=size(a)s =
2 5
raquo b=[ 17 11 0 30 40 50]
raquo k=length(b)k =
6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
80
a) Toplama-Ccedilıkarma Bir Sayı
ile Ccedilarpma İşlemi
İki matrisi toplamak (veya ccedilıkarmak) demek matrislerin aynı
mertebedeki elemanları teker teker toplayıp (veya ccedilıkarıp ) aynı
mertebeye yazmak demektir
Bu durumda iki matrisin de aynı mertebeden olması gereği accedilıktır
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile toplamak (veya ccedilıkarmak) demek
matrisin elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla toplamak (veya
ccedilıkarmak )demektir
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile ccedilarpmak demek ise matrisin
elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla ccedilarpmak demektir
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
81
82
Oumlrnek
raquo a=[1 2 3 4 5 6]raquo b=[7 8 9 10 11 12]
a ve b toplamıraquo sum=a+bsum =
8 10 1214 16 18
arsquo
yı
brsquo
den ccedilıkarmak
raquo diff=a-bdiff =
-6 -6 -6-6 -6 -6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
83
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] ve b=[3 -3 -41 1 5] matrisleri
veriliyor
a)
c=a+b toplam matrisini
b)
d=a-b matrisini
c)
amatrisinin her elemanınının 5 eksiğine karsılık gelen e
matrisini
d) f=2a-3b matrisini bulduran islemleri yazalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
a) c=a+b b) d=a-b c) e=a-5 d) f=a+a-b-b-b veya
f=2a-3b
84
İki matrisin ccedilarpım islemi iki biccedilimde anlasılır
1)
Aynı
mertebeden iki matrisin elemanlarını
teker teker ccedilarpıp aynı
mertebeye
yazmak demektir Bunu
islemi ile gerccedileklestiririz
2) Matematiksel anlamda iki matrisi ccedilarpmak istediğimizde birinci matris mxn
tuumlruumlnde ve ikinci matris mutlaka nxp tuumlruumlnde olmalıdır yani birinci matrisin
suumltun sayısı
ikinci matrisin satır sayısına eşit olmalıdır
Bu durumda birinci matrisin i suumltun elemanları
ile ikinci matrisin j satırındaki
elemanlar karılıklı
olarak ccedilarpılır ve sonuccedillar toplanır ve bu toplam ccedilarpım
matrisinin (ij) inci mertebeye yazılır
Matrisler arası
ccedilarpma isleminin semboluuml
de dır
b) İki Matrisin Ccedilarpımı Bir Matrisin Kuvvetleri veCcedilarpma İslemi
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
85
3) Bir a matrisinin her bir elemanının n Kuvvetlerinden olusan matrisi
bulmak iccedilin a^n islemi kullanılır
4) Satır ve suumltun sayıları
esit bir kare matrisi ardısık olarak n defa
kendisiyle ccedilarparak a matrisinin n kuvvetini bulabilirizOumlrneğin a matrisinin
karesi iccedilin aa veya a^2 kuumlbuumlnuuml
buldurmak iccedilin aaa veya a^3
doumlrduumlncuuml
kuvvetini buldurmak iccedilin aaaa veya a^4
Not) Bir a matrisinin eleman -elemana ccedilarpma islemine benzer mantıkla bir matrisin tuumlm elemanlarının kareleri kuumlbleri sinuumlsleri kosinuumlsleri logaritmalarından olusan matris bulunmak istenirse bunu sırayla aa (veya a^2) aaa (veya a^3) sin(a) cos(a) etabanında logaritması
iccedilin log(a) 10 tabanında logaritmaları
iccedilin log10(a) Biccediliminde gerccedileklestirebiliriz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
86
a) a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c1 matrisi varsa bulalım
b) a matrisi ile b matrisinin ccedilarpım matrisi olan c2 varsa bulalım
c) a matrisinin elemanları
ile c matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c3 matrisi varsa bulalım
d) a matrisi ile c matrisinin ccedilarpım matrisi olan c4 varsa bulalım
e) a matrisinin elemanlarının karelerinden olusan matris ile b matrisinin
kosinuumlslerinden olusan matrisler toplamını
bulalım
f) x=[1 00 3] matrisinin i) Karesini ii) Kuumlbuumlnuuml
iii) 10
kuvvetini bulalım
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] b=[3 -3 -41 1 5] ve c=[1 0-1 23 3] matrisleri veriliyor
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
87
Ccediloumlzuumlma) iki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirBu durumda c1 matrisi tanımlıdır ve bunu c1=ab islemi ile gerccedileklestirebilirizb) iki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdırHalbuki a matrisi 2x3 b matrisi de 2x3 olduğundan bu iki matris ccedilarpılamazc) İki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirHalbuki bu matrisler aynı mertebeden olmadığından bu iki matris eleman-elemana ccedilarpma islemi
gerccedileklemezd) İki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdıra matrisi 2x3 luumlk c matrisi de 3x2 lik olduğundan bu iki matris ccedilarpılabilir ve c4 ccedilarpım matrisi 2x2 lik bir matris olurc4 ccedilarpım matrisini c4=ac islemi ile buluruze) a^2+cos(b)f) i) x^2 ii) x^3 iii) x^10
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
88
c) Bir Matrisin Devriğini (Transpozesi) Bulma İslemi
Bir matrisin satırlarını suumltun suumltunlarını satır olarak yazılmasıyla
bulunan matrise bu matrisin devriği (transpozesi) denir
Bir matrisin devriğini islemi ile bulabiliriz
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] nın devriğini buldurup d matrisine atayalım
Ccediloumlzuumlm d=a
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
89
Oumlrnek
b=[7 8 9 10 11 12] matrisinin transpozesini bulabilirmisiniz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
c=bc =
7 108 119 12
90
SORU
a=[1 2 3 4 5 6]
c= [710811912]
ise a ve crsquonin ccedilarpım matrisi
kaccediltır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
Ccedilarpma işlemi k=ack=
50 68122 167
91
SORU
a=[1 2 3 4 5 6] b=[7 8 9 10 11 12]
ise a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan x matrisini bulalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
x=abx =
7 16 2740 55 72
92
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
Aynı mertebeden iki matrisin elemanlarını teker teker boumllerek aynı
mertebeye yazılmasına iki matrisin sol boumllmesi denir ve bu islemi ile
yapılır
a b ve c aynı mertebeden kare matrisler olmak uumlzere
c=ab ise a matrisine c nin b matrisine boumlluumlmuuml denir
c boumlluumlm matrisi islemi ile yapılır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
93
HATIRLATMA
2x2 lik i2 adlı birim matrisi i2=eye(22)
3x luumlk i3 adlı birim matrisi i2=eye(33) islemi ile olusturabiiriz
Aynı mertebeden a ve b kare matrisleri iccedilin a ile b nin ccedilarpımı birim matris ise
b matrisi a matrisinin (aynı biccedilimde a matrisi de b matrisinin) ters matrisidir
Oumlrnek
3x3 luumlk bir a kare matrisinin tersini bulmak iccedilin
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
eye(33)a veya inv(a) islemini kullanırız
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
94
Bir Matrisin Determinantı
Determinant kare matrisleri bir sayıya eşleyen fonksiyondur
Determinant fonksiyonunun kare matrisi eşlediği o sayıya matrisin
determinantı denir
A matrisinin determinantı detA veya |A| biccediliminde goumlsterilir
|A| matrislerde mutlak değer anlamına gelmez |A| sıfır veya
negatif de olabilir
det(x)
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
95
KURAL
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
96
Oumlrnek
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Determinant
raquo
deter=det(x)deter =
21
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
97
Oumlrnek Inverse işlemi
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Detx=det(x)=21 ise
raquo y=inv(x)y =
821 121 -521 221
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
98
SORU
a=[2 -10 01 2 43 0 1] matrisi ile b=[1 5 41 -1 20 1 -1] matrisleri veriliyor
a)
a matrisinin elemanlarını
sırasıyla b matrisinin elemanlarına boumllerek elde
edilen matrisi b1 matrisine atayalım
b) a matrisinin ta ters matrisini bulalım
c) a ile ta matrisinin ccedilarpımının 3x3 luumlk birim matris olduğunu goumlsterelim
d) a matrisinin b matrisine boumlluumlmuumlnuuml
b2 matrisine atayalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
99
Ccediloumlzuumlm
a)
b1=ab
b) ta1=eye(33)a veya ta2=inv(a)
c) ata ==eye(33)
d) b2=ab
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
70
Oumlrnek
a) 0 ile 1 arasında rastgele sayılardan olusan 10 elemanlı
a adında bir satır
matrisi olusturalım
b) Elemanları
10 ile 50 arasında sayılardan olusan 5x3 tipinde b matrisini
olusturalım
c) Elemanları
50 ile 300 arasındaki tamsayılardan olusan 3x4 tipinde c matrisini
olusturalım
Oumlzel Dizi (Matris) Olusturan Bazı
Fonksiyonlar
d) Rastgele Sayılardan Olusan Matris ve Fonksiyonu
52 Genel MatrislerMatlab
71
Ccediloumlzuumlm
a)
a=rand(110)
b)
b=10+rand(53)40
c) c=round(50+rand(34)250)
52 Genel MatrislerMatlab
72
e) Rastgele Sayılardan Olusan Normal Dağılımlı
Matris veFonksiyonu
Elemanları rasstgele sayılardan olusan bir normal dağılımlı bir matris iccedilin
randn fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=randn(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek Rastgele sayılardan olusan normal dağılımlı 2x3 luumlk bir n matrisini
olusturalım
Ccediloumlzuumlm n=randn(23)
52 Genel MatrislerMatlab
73
f) Lineer Aralıklı
(Aritmetik) Dizi ve Fonksiyonu
Baslangıccedil ve biis değerleri ve kaccedil elemandan olusacağı belirlenen diziyi
olusturmak iccedilin linspace fonksiyonu kullanılır
Kullanımı
dizi_adı=linspace(ilk_değerson_değereleman_sayısı)
biccedilimindedir
52 Genel MatrislerMatlab
74
Oumlrnek 10 ile 30 arasına 9 tane daha sayı
koyarak aadında bir aritmetik dizi olusturalım
f) Lineer Aralıklı
(Aritmetik) Dizi ve Fonksiyonu
52 Genel MatrislerMatlab
Cevapa=linspace(103011)
75
Elimizdeki grubun her elemanı iccedilin bir matematik işlemi yapıp bunu yeni bir
diziye atarken herhangi bir sorun yoktur
Fakat iki farklı grupla işlemler yaparken dikkat etmemiz gereken genel
kurallar vardır
Oumlrneğin toplama ve ccedilıkarma yaparken iki dizinin de buumlyuumlkluumlğuumlnuumln eşit
olması gerekmektedir
Ayrıca iki farklı dizinin elemanları arasında birebir işlem yapmak iccedilin
matematik operatoumlruumlnuumln başına nokta() koymak gerekir
Bu durumda her bir elemanı diğer dizinin o sıradaki elmanı ile işleme
sokacaktır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
76
Birden fazla satır ve suumltuna sahip vektoumlrlere matris denir Noktalı
virguumll ()
işareti ile kolonları
ve virguumlle işareti ya da boşluk
bırakarak da bir sıradaki elemanları
ayırabilirizOumlrnekraquo x=[ 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14]x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14Yukarıdaki 3x4 boyutunda bir matristir MATLAB programına aşağıdaki
gibi de sunulabilirraquo x=[ 3 4 5 6
7 8 9 1011 12 13 14]
x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
77
Matristeki herhangi bir elemana direk ulaşmak iccedilin aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(23)=9
Eğer isteğimiz eriştiğimiz bir elemanı
değiştirmek veya yeni bir satır eklemek ise aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(41)=1x =
3 4 5 67 8 9 1011 12 13 141 0 0 0
Bu durumda doumlrduumlncuuml
satır ilk elemanını
biz 1 değerini atadık ve diğer elemanları
kendiliğinden ldquo0rdquo
olarak atadı
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
78
İki nokta uumlst uumlste () kullanılarak belirli aralıkta değişen matrisler yaratılabilir
raquo x=[127 3-10 -12]x =
1 3 5 73 2 1 0
-1 0 1 2Bir matrisin herhangi bir boumlluumlmuumlnuuml
seccedilmek iccedilin ise aşağıdaki goumlsterim
kullanılırraquo z=x(23 12)z =
3 2-1 0
Bu durumda z matris x matrisinin 2 ve 3 norsquo
lu satırlarından 1 ve 2 norsquo
lu suumltunlarını
almış
oluyor
Herhangi bir satır veya suumltunu tamamen silmek istersek o satır ve suumltunu seccedilip ldquo[]rdquo
ifadesine eşitleriz
raquo z(2)=[ ]z =
3 -1
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
79
Matlab size ve length komutları
yardımı
ile size matrisinizin boyutlarını
soumlyler
raquo a=[ 2 3 4 5 67 8 9 10 11]
raquo s=size(a)s =
2 5
raquo b=[ 17 11 0 30 40 50]
raquo k=length(b)k =
6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
80
a) Toplama-Ccedilıkarma Bir Sayı
ile Ccedilarpma İşlemi
İki matrisi toplamak (veya ccedilıkarmak) demek matrislerin aynı
mertebedeki elemanları teker teker toplayıp (veya ccedilıkarıp ) aynı
mertebeye yazmak demektir
Bu durumda iki matrisin de aynı mertebeden olması gereği accedilıktır
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile toplamak (veya ccedilıkarmak) demek
matrisin elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla toplamak (veya
ccedilıkarmak )demektir
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile ccedilarpmak demek ise matrisin
elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla ccedilarpmak demektir
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
81
82
Oumlrnek
raquo a=[1 2 3 4 5 6]raquo b=[7 8 9 10 11 12]
a ve b toplamıraquo sum=a+bsum =
8 10 1214 16 18
arsquo
yı
brsquo
den ccedilıkarmak
raquo diff=a-bdiff =
-6 -6 -6-6 -6 -6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
83
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] ve b=[3 -3 -41 1 5] matrisleri
veriliyor
a)
c=a+b toplam matrisini
b)
d=a-b matrisini
c)
amatrisinin her elemanınının 5 eksiğine karsılık gelen e
matrisini
d) f=2a-3b matrisini bulduran islemleri yazalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
a) c=a+b b) d=a-b c) e=a-5 d) f=a+a-b-b-b veya
f=2a-3b
84
İki matrisin ccedilarpım islemi iki biccedilimde anlasılır
1)
Aynı
mertebeden iki matrisin elemanlarını
teker teker ccedilarpıp aynı
mertebeye
yazmak demektir Bunu
islemi ile gerccedileklestiririz
2) Matematiksel anlamda iki matrisi ccedilarpmak istediğimizde birinci matris mxn
tuumlruumlnde ve ikinci matris mutlaka nxp tuumlruumlnde olmalıdır yani birinci matrisin
suumltun sayısı
ikinci matrisin satır sayısına eşit olmalıdır
Bu durumda birinci matrisin i suumltun elemanları
ile ikinci matrisin j satırındaki
elemanlar karılıklı
olarak ccedilarpılır ve sonuccedillar toplanır ve bu toplam ccedilarpım
matrisinin (ij) inci mertebeye yazılır
Matrisler arası
ccedilarpma isleminin semboluuml
de dır
b) İki Matrisin Ccedilarpımı Bir Matrisin Kuvvetleri veCcedilarpma İslemi
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
85
3) Bir a matrisinin her bir elemanının n Kuvvetlerinden olusan matrisi
bulmak iccedilin a^n islemi kullanılır
4) Satır ve suumltun sayıları
esit bir kare matrisi ardısık olarak n defa
kendisiyle ccedilarparak a matrisinin n kuvvetini bulabilirizOumlrneğin a matrisinin
karesi iccedilin aa veya a^2 kuumlbuumlnuuml
buldurmak iccedilin aaa veya a^3
doumlrduumlncuuml
kuvvetini buldurmak iccedilin aaaa veya a^4
Not) Bir a matrisinin eleman -elemana ccedilarpma islemine benzer mantıkla bir matrisin tuumlm elemanlarının kareleri kuumlbleri sinuumlsleri kosinuumlsleri logaritmalarından olusan matris bulunmak istenirse bunu sırayla aa (veya a^2) aaa (veya a^3) sin(a) cos(a) etabanında logaritması
iccedilin log(a) 10 tabanında logaritmaları
iccedilin log10(a) Biccediliminde gerccedileklestirebiliriz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
86
a) a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c1 matrisi varsa bulalım
b) a matrisi ile b matrisinin ccedilarpım matrisi olan c2 varsa bulalım
c) a matrisinin elemanları
ile c matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c3 matrisi varsa bulalım
d) a matrisi ile c matrisinin ccedilarpım matrisi olan c4 varsa bulalım
e) a matrisinin elemanlarının karelerinden olusan matris ile b matrisinin
kosinuumlslerinden olusan matrisler toplamını
bulalım
f) x=[1 00 3] matrisinin i) Karesini ii) Kuumlbuumlnuuml
iii) 10
kuvvetini bulalım
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] b=[3 -3 -41 1 5] ve c=[1 0-1 23 3] matrisleri veriliyor
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
87
Ccediloumlzuumlma) iki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirBu durumda c1 matrisi tanımlıdır ve bunu c1=ab islemi ile gerccedileklestirebilirizb) iki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdırHalbuki a matrisi 2x3 b matrisi de 2x3 olduğundan bu iki matris ccedilarpılamazc) İki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirHalbuki bu matrisler aynı mertebeden olmadığından bu iki matris eleman-elemana ccedilarpma islemi
gerccedileklemezd) İki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdıra matrisi 2x3 luumlk c matrisi de 3x2 lik olduğundan bu iki matris ccedilarpılabilir ve c4 ccedilarpım matrisi 2x2 lik bir matris olurc4 ccedilarpım matrisini c4=ac islemi ile buluruze) a^2+cos(b)f) i) x^2 ii) x^3 iii) x^10
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
88
c) Bir Matrisin Devriğini (Transpozesi) Bulma İslemi
Bir matrisin satırlarını suumltun suumltunlarını satır olarak yazılmasıyla
bulunan matrise bu matrisin devriği (transpozesi) denir
Bir matrisin devriğini islemi ile bulabiliriz
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] nın devriğini buldurup d matrisine atayalım
Ccediloumlzuumlm d=a
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
89
Oumlrnek
b=[7 8 9 10 11 12] matrisinin transpozesini bulabilirmisiniz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
c=bc =
7 108 119 12
90
SORU
a=[1 2 3 4 5 6]
c= [710811912]
ise a ve crsquonin ccedilarpım matrisi
kaccediltır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
Ccedilarpma işlemi k=ack=
50 68122 167
91
SORU
a=[1 2 3 4 5 6] b=[7 8 9 10 11 12]
ise a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan x matrisini bulalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
x=abx =
7 16 2740 55 72
92
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
Aynı mertebeden iki matrisin elemanlarını teker teker boumllerek aynı
mertebeye yazılmasına iki matrisin sol boumllmesi denir ve bu islemi ile
yapılır
a b ve c aynı mertebeden kare matrisler olmak uumlzere
c=ab ise a matrisine c nin b matrisine boumlluumlmuuml denir
c boumlluumlm matrisi islemi ile yapılır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
93
HATIRLATMA
2x2 lik i2 adlı birim matrisi i2=eye(22)
3x luumlk i3 adlı birim matrisi i2=eye(33) islemi ile olusturabiiriz
Aynı mertebeden a ve b kare matrisleri iccedilin a ile b nin ccedilarpımı birim matris ise
b matrisi a matrisinin (aynı biccedilimde a matrisi de b matrisinin) ters matrisidir
Oumlrnek
3x3 luumlk bir a kare matrisinin tersini bulmak iccedilin
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
eye(33)a veya inv(a) islemini kullanırız
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
94
Bir Matrisin Determinantı
Determinant kare matrisleri bir sayıya eşleyen fonksiyondur
Determinant fonksiyonunun kare matrisi eşlediği o sayıya matrisin
determinantı denir
A matrisinin determinantı detA veya |A| biccediliminde goumlsterilir
|A| matrislerde mutlak değer anlamına gelmez |A| sıfır veya
negatif de olabilir
det(x)
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
95
KURAL
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
96
Oumlrnek
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Determinant
raquo
deter=det(x)deter =
21
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
97
Oumlrnek Inverse işlemi
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Detx=det(x)=21 ise
raquo y=inv(x)y =
821 121 -521 221
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
98
SORU
a=[2 -10 01 2 43 0 1] matrisi ile b=[1 5 41 -1 20 1 -1] matrisleri veriliyor
a)
a matrisinin elemanlarını
sırasıyla b matrisinin elemanlarına boumllerek elde
edilen matrisi b1 matrisine atayalım
b) a matrisinin ta ters matrisini bulalım
c) a ile ta matrisinin ccedilarpımının 3x3 luumlk birim matris olduğunu goumlsterelim
d) a matrisinin b matrisine boumlluumlmuumlnuuml
b2 matrisine atayalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
99
Ccediloumlzuumlm
a)
b1=ab
b) ta1=eye(33)a veya ta2=inv(a)
c) ata ==eye(33)
d) b2=ab
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
71
Ccediloumlzuumlm
a)
a=rand(110)
b)
b=10+rand(53)40
c) c=round(50+rand(34)250)
52 Genel MatrislerMatlab
72
e) Rastgele Sayılardan Olusan Normal Dağılımlı
Matris veFonksiyonu
Elemanları rasstgele sayılardan olusan bir normal dağılımlı bir matris iccedilin
randn fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=randn(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek Rastgele sayılardan olusan normal dağılımlı 2x3 luumlk bir n matrisini
olusturalım
Ccediloumlzuumlm n=randn(23)
52 Genel MatrislerMatlab
73
f) Lineer Aralıklı
(Aritmetik) Dizi ve Fonksiyonu
Baslangıccedil ve biis değerleri ve kaccedil elemandan olusacağı belirlenen diziyi
olusturmak iccedilin linspace fonksiyonu kullanılır
Kullanımı
dizi_adı=linspace(ilk_değerson_değereleman_sayısı)
biccedilimindedir
52 Genel MatrislerMatlab
74
Oumlrnek 10 ile 30 arasına 9 tane daha sayı
koyarak aadında bir aritmetik dizi olusturalım
f) Lineer Aralıklı
(Aritmetik) Dizi ve Fonksiyonu
52 Genel MatrislerMatlab
Cevapa=linspace(103011)
75
Elimizdeki grubun her elemanı iccedilin bir matematik işlemi yapıp bunu yeni bir
diziye atarken herhangi bir sorun yoktur
Fakat iki farklı grupla işlemler yaparken dikkat etmemiz gereken genel
kurallar vardır
Oumlrneğin toplama ve ccedilıkarma yaparken iki dizinin de buumlyuumlkluumlğuumlnuumln eşit
olması gerekmektedir
Ayrıca iki farklı dizinin elemanları arasında birebir işlem yapmak iccedilin
matematik operatoumlruumlnuumln başına nokta() koymak gerekir
Bu durumda her bir elemanı diğer dizinin o sıradaki elmanı ile işleme
sokacaktır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
76
Birden fazla satır ve suumltuna sahip vektoumlrlere matris denir Noktalı
virguumll ()
işareti ile kolonları
ve virguumlle işareti ya da boşluk
bırakarak da bir sıradaki elemanları
ayırabilirizOumlrnekraquo x=[ 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14]x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14Yukarıdaki 3x4 boyutunda bir matristir MATLAB programına aşağıdaki
gibi de sunulabilirraquo x=[ 3 4 5 6
7 8 9 1011 12 13 14]
x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
77
Matristeki herhangi bir elemana direk ulaşmak iccedilin aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(23)=9
Eğer isteğimiz eriştiğimiz bir elemanı
değiştirmek veya yeni bir satır eklemek ise aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(41)=1x =
3 4 5 67 8 9 1011 12 13 141 0 0 0
Bu durumda doumlrduumlncuuml
satır ilk elemanını
biz 1 değerini atadık ve diğer elemanları
kendiliğinden ldquo0rdquo
olarak atadı
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
78
İki nokta uumlst uumlste () kullanılarak belirli aralıkta değişen matrisler yaratılabilir
raquo x=[127 3-10 -12]x =
1 3 5 73 2 1 0
-1 0 1 2Bir matrisin herhangi bir boumlluumlmuumlnuuml
seccedilmek iccedilin ise aşağıdaki goumlsterim
kullanılırraquo z=x(23 12)z =
3 2-1 0
Bu durumda z matris x matrisinin 2 ve 3 norsquo
lu satırlarından 1 ve 2 norsquo
lu suumltunlarını
almış
oluyor
Herhangi bir satır veya suumltunu tamamen silmek istersek o satır ve suumltunu seccedilip ldquo[]rdquo
ifadesine eşitleriz
raquo z(2)=[ ]z =
3 -1
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
79
Matlab size ve length komutları
yardımı
ile size matrisinizin boyutlarını
soumlyler
raquo a=[ 2 3 4 5 67 8 9 10 11]
raquo s=size(a)s =
2 5
raquo b=[ 17 11 0 30 40 50]
raquo k=length(b)k =
6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
80
a) Toplama-Ccedilıkarma Bir Sayı
ile Ccedilarpma İşlemi
İki matrisi toplamak (veya ccedilıkarmak) demek matrislerin aynı
mertebedeki elemanları teker teker toplayıp (veya ccedilıkarıp ) aynı
mertebeye yazmak demektir
Bu durumda iki matrisin de aynı mertebeden olması gereği accedilıktır
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile toplamak (veya ccedilıkarmak) demek
matrisin elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla toplamak (veya
ccedilıkarmak )demektir
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile ccedilarpmak demek ise matrisin
elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla ccedilarpmak demektir
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
81
82
Oumlrnek
raquo a=[1 2 3 4 5 6]raquo b=[7 8 9 10 11 12]
a ve b toplamıraquo sum=a+bsum =
8 10 1214 16 18
arsquo
yı
brsquo
den ccedilıkarmak
raquo diff=a-bdiff =
-6 -6 -6-6 -6 -6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
83
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] ve b=[3 -3 -41 1 5] matrisleri
veriliyor
a)
c=a+b toplam matrisini
b)
d=a-b matrisini
c)
amatrisinin her elemanınının 5 eksiğine karsılık gelen e
matrisini
d) f=2a-3b matrisini bulduran islemleri yazalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
a) c=a+b b) d=a-b c) e=a-5 d) f=a+a-b-b-b veya
f=2a-3b
84
İki matrisin ccedilarpım islemi iki biccedilimde anlasılır
1)
Aynı
mertebeden iki matrisin elemanlarını
teker teker ccedilarpıp aynı
mertebeye
yazmak demektir Bunu
islemi ile gerccedileklestiririz
2) Matematiksel anlamda iki matrisi ccedilarpmak istediğimizde birinci matris mxn
tuumlruumlnde ve ikinci matris mutlaka nxp tuumlruumlnde olmalıdır yani birinci matrisin
suumltun sayısı
ikinci matrisin satır sayısına eşit olmalıdır
Bu durumda birinci matrisin i suumltun elemanları
ile ikinci matrisin j satırındaki
elemanlar karılıklı
olarak ccedilarpılır ve sonuccedillar toplanır ve bu toplam ccedilarpım
matrisinin (ij) inci mertebeye yazılır
Matrisler arası
ccedilarpma isleminin semboluuml
de dır
b) İki Matrisin Ccedilarpımı Bir Matrisin Kuvvetleri veCcedilarpma İslemi
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
85
3) Bir a matrisinin her bir elemanının n Kuvvetlerinden olusan matrisi
bulmak iccedilin a^n islemi kullanılır
4) Satır ve suumltun sayıları
esit bir kare matrisi ardısık olarak n defa
kendisiyle ccedilarparak a matrisinin n kuvvetini bulabilirizOumlrneğin a matrisinin
karesi iccedilin aa veya a^2 kuumlbuumlnuuml
buldurmak iccedilin aaa veya a^3
doumlrduumlncuuml
kuvvetini buldurmak iccedilin aaaa veya a^4
Not) Bir a matrisinin eleman -elemana ccedilarpma islemine benzer mantıkla bir matrisin tuumlm elemanlarının kareleri kuumlbleri sinuumlsleri kosinuumlsleri logaritmalarından olusan matris bulunmak istenirse bunu sırayla aa (veya a^2) aaa (veya a^3) sin(a) cos(a) etabanında logaritması
iccedilin log(a) 10 tabanında logaritmaları
iccedilin log10(a) Biccediliminde gerccedileklestirebiliriz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
86
a) a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c1 matrisi varsa bulalım
b) a matrisi ile b matrisinin ccedilarpım matrisi olan c2 varsa bulalım
c) a matrisinin elemanları
ile c matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c3 matrisi varsa bulalım
d) a matrisi ile c matrisinin ccedilarpım matrisi olan c4 varsa bulalım
e) a matrisinin elemanlarının karelerinden olusan matris ile b matrisinin
kosinuumlslerinden olusan matrisler toplamını
bulalım
f) x=[1 00 3] matrisinin i) Karesini ii) Kuumlbuumlnuuml
iii) 10
kuvvetini bulalım
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] b=[3 -3 -41 1 5] ve c=[1 0-1 23 3] matrisleri veriliyor
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
87
Ccediloumlzuumlma) iki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirBu durumda c1 matrisi tanımlıdır ve bunu c1=ab islemi ile gerccedileklestirebilirizb) iki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdırHalbuki a matrisi 2x3 b matrisi de 2x3 olduğundan bu iki matris ccedilarpılamazc) İki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirHalbuki bu matrisler aynı mertebeden olmadığından bu iki matris eleman-elemana ccedilarpma islemi
gerccedileklemezd) İki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdıra matrisi 2x3 luumlk c matrisi de 3x2 lik olduğundan bu iki matris ccedilarpılabilir ve c4 ccedilarpım matrisi 2x2 lik bir matris olurc4 ccedilarpım matrisini c4=ac islemi ile buluruze) a^2+cos(b)f) i) x^2 ii) x^3 iii) x^10
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
88
c) Bir Matrisin Devriğini (Transpozesi) Bulma İslemi
Bir matrisin satırlarını suumltun suumltunlarını satır olarak yazılmasıyla
bulunan matrise bu matrisin devriği (transpozesi) denir
Bir matrisin devriğini islemi ile bulabiliriz
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] nın devriğini buldurup d matrisine atayalım
Ccediloumlzuumlm d=a
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
89
Oumlrnek
b=[7 8 9 10 11 12] matrisinin transpozesini bulabilirmisiniz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
c=bc =
7 108 119 12
90
SORU
a=[1 2 3 4 5 6]
c= [710811912]
ise a ve crsquonin ccedilarpım matrisi
kaccediltır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
Ccedilarpma işlemi k=ack=
50 68122 167
91
SORU
a=[1 2 3 4 5 6] b=[7 8 9 10 11 12]
ise a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan x matrisini bulalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
x=abx =
7 16 2740 55 72
92
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
Aynı mertebeden iki matrisin elemanlarını teker teker boumllerek aynı
mertebeye yazılmasına iki matrisin sol boumllmesi denir ve bu islemi ile
yapılır
a b ve c aynı mertebeden kare matrisler olmak uumlzere
c=ab ise a matrisine c nin b matrisine boumlluumlmuuml denir
c boumlluumlm matrisi islemi ile yapılır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
93
HATIRLATMA
2x2 lik i2 adlı birim matrisi i2=eye(22)
3x luumlk i3 adlı birim matrisi i2=eye(33) islemi ile olusturabiiriz
Aynı mertebeden a ve b kare matrisleri iccedilin a ile b nin ccedilarpımı birim matris ise
b matrisi a matrisinin (aynı biccedilimde a matrisi de b matrisinin) ters matrisidir
Oumlrnek
3x3 luumlk bir a kare matrisinin tersini bulmak iccedilin
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
eye(33)a veya inv(a) islemini kullanırız
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
94
Bir Matrisin Determinantı
Determinant kare matrisleri bir sayıya eşleyen fonksiyondur
Determinant fonksiyonunun kare matrisi eşlediği o sayıya matrisin
determinantı denir
A matrisinin determinantı detA veya |A| biccediliminde goumlsterilir
|A| matrislerde mutlak değer anlamına gelmez |A| sıfır veya
negatif de olabilir
det(x)
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
95
KURAL
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
96
Oumlrnek
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Determinant
raquo
deter=det(x)deter =
21
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
97
Oumlrnek Inverse işlemi
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Detx=det(x)=21 ise
raquo y=inv(x)y =
821 121 -521 221
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
98
SORU
a=[2 -10 01 2 43 0 1] matrisi ile b=[1 5 41 -1 20 1 -1] matrisleri veriliyor
a)
a matrisinin elemanlarını
sırasıyla b matrisinin elemanlarına boumllerek elde
edilen matrisi b1 matrisine atayalım
b) a matrisinin ta ters matrisini bulalım
c) a ile ta matrisinin ccedilarpımının 3x3 luumlk birim matris olduğunu goumlsterelim
d) a matrisinin b matrisine boumlluumlmuumlnuuml
b2 matrisine atayalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
99
Ccediloumlzuumlm
a)
b1=ab
b) ta1=eye(33)a veya ta2=inv(a)
c) ata ==eye(33)
d) b2=ab
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
72
e) Rastgele Sayılardan Olusan Normal Dağılımlı
Matris veFonksiyonu
Elemanları rasstgele sayılardan olusan bir normal dağılımlı bir matris iccedilin
randn fonksiyonu kullanılır
Kullanımı matris_adı=randn(mn) biccedilimindedir
Oumlrnek Rastgele sayılardan olusan normal dağılımlı 2x3 luumlk bir n matrisini
olusturalım
Ccediloumlzuumlm n=randn(23)
52 Genel MatrislerMatlab
73
f) Lineer Aralıklı
(Aritmetik) Dizi ve Fonksiyonu
Baslangıccedil ve biis değerleri ve kaccedil elemandan olusacağı belirlenen diziyi
olusturmak iccedilin linspace fonksiyonu kullanılır
Kullanımı
dizi_adı=linspace(ilk_değerson_değereleman_sayısı)
biccedilimindedir
52 Genel MatrislerMatlab
74
Oumlrnek 10 ile 30 arasına 9 tane daha sayı
koyarak aadında bir aritmetik dizi olusturalım
f) Lineer Aralıklı
(Aritmetik) Dizi ve Fonksiyonu
52 Genel MatrislerMatlab
Cevapa=linspace(103011)
75
Elimizdeki grubun her elemanı iccedilin bir matematik işlemi yapıp bunu yeni bir
diziye atarken herhangi bir sorun yoktur
Fakat iki farklı grupla işlemler yaparken dikkat etmemiz gereken genel
kurallar vardır
Oumlrneğin toplama ve ccedilıkarma yaparken iki dizinin de buumlyuumlkluumlğuumlnuumln eşit
olması gerekmektedir
Ayrıca iki farklı dizinin elemanları arasında birebir işlem yapmak iccedilin
matematik operatoumlruumlnuumln başına nokta() koymak gerekir
Bu durumda her bir elemanı diğer dizinin o sıradaki elmanı ile işleme
sokacaktır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
76
Birden fazla satır ve suumltuna sahip vektoumlrlere matris denir Noktalı
virguumll ()
işareti ile kolonları
ve virguumlle işareti ya da boşluk
bırakarak da bir sıradaki elemanları
ayırabilirizOumlrnekraquo x=[ 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14]x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14Yukarıdaki 3x4 boyutunda bir matristir MATLAB programına aşağıdaki
gibi de sunulabilirraquo x=[ 3 4 5 6
7 8 9 1011 12 13 14]
x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
77
Matristeki herhangi bir elemana direk ulaşmak iccedilin aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(23)=9
Eğer isteğimiz eriştiğimiz bir elemanı
değiştirmek veya yeni bir satır eklemek ise aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(41)=1x =
3 4 5 67 8 9 1011 12 13 141 0 0 0
Bu durumda doumlrduumlncuuml
satır ilk elemanını
biz 1 değerini atadık ve diğer elemanları
kendiliğinden ldquo0rdquo
olarak atadı
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
78
İki nokta uumlst uumlste () kullanılarak belirli aralıkta değişen matrisler yaratılabilir
raquo x=[127 3-10 -12]x =
1 3 5 73 2 1 0
-1 0 1 2Bir matrisin herhangi bir boumlluumlmuumlnuuml
seccedilmek iccedilin ise aşağıdaki goumlsterim
kullanılırraquo z=x(23 12)z =
3 2-1 0
Bu durumda z matris x matrisinin 2 ve 3 norsquo
lu satırlarından 1 ve 2 norsquo
lu suumltunlarını
almış
oluyor
Herhangi bir satır veya suumltunu tamamen silmek istersek o satır ve suumltunu seccedilip ldquo[]rdquo
ifadesine eşitleriz
raquo z(2)=[ ]z =
3 -1
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
79
Matlab size ve length komutları
yardımı
ile size matrisinizin boyutlarını
soumlyler
raquo a=[ 2 3 4 5 67 8 9 10 11]
raquo s=size(a)s =
2 5
raquo b=[ 17 11 0 30 40 50]
raquo k=length(b)k =
6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
80
a) Toplama-Ccedilıkarma Bir Sayı
ile Ccedilarpma İşlemi
İki matrisi toplamak (veya ccedilıkarmak) demek matrislerin aynı
mertebedeki elemanları teker teker toplayıp (veya ccedilıkarıp ) aynı
mertebeye yazmak demektir
Bu durumda iki matrisin de aynı mertebeden olması gereği accedilıktır
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile toplamak (veya ccedilıkarmak) demek
matrisin elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla toplamak (veya
ccedilıkarmak )demektir
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile ccedilarpmak demek ise matrisin
elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla ccedilarpmak demektir
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
81
82
Oumlrnek
raquo a=[1 2 3 4 5 6]raquo b=[7 8 9 10 11 12]
a ve b toplamıraquo sum=a+bsum =
8 10 1214 16 18
arsquo
yı
brsquo
den ccedilıkarmak
raquo diff=a-bdiff =
-6 -6 -6-6 -6 -6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
83
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] ve b=[3 -3 -41 1 5] matrisleri
veriliyor
a)
c=a+b toplam matrisini
b)
d=a-b matrisini
c)
amatrisinin her elemanınının 5 eksiğine karsılık gelen e
matrisini
d) f=2a-3b matrisini bulduran islemleri yazalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
a) c=a+b b) d=a-b c) e=a-5 d) f=a+a-b-b-b veya
f=2a-3b
84
İki matrisin ccedilarpım islemi iki biccedilimde anlasılır
1)
Aynı
mertebeden iki matrisin elemanlarını
teker teker ccedilarpıp aynı
mertebeye
yazmak demektir Bunu
islemi ile gerccedileklestiririz
2) Matematiksel anlamda iki matrisi ccedilarpmak istediğimizde birinci matris mxn
tuumlruumlnde ve ikinci matris mutlaka nxp tuumlruumlnde olmalıdır yani birinci matrisin
suumltun sayısı
ikinci matrisin satır sayısına eşit olmalıdır
Bu durumda birinci matrisin i suumltun elemanları
ile ikinci matrisin j satırındaki
elemanlar karılıklı
olarak ccedilarpılır ve sonuccedillar toplanır ve bu toplam ccedilarpım
matrisinin (ij) inci mertebeye yazılır
Matrisler arası
ccedilarpma isleminin semboluuml
de dır
b) İki Matrisin Ccedilarpımı Bir Matrisin Kuvvetleri veCcedilarpma İslemi
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
85
3) Bir a matrisinin her bir elemanının n Kuvvetlerinden olusan matrisi
bulmak iccedilin a^n islemi kullanılır
4) Satır ve suumltun sayıları
esit bir kare matrisi ardısık olarak n defa
kendisiyle ccedilarparak a matrisinin n kuvvetini bulabilirizOumlrneğin a matrisinin
karesi iccedilin aa veya a^2 kuumlbuumlnuuml
buldurmak iccedilin aaa veya a^3
doumlrduumlncuuml
kuvvetini buldurmak iccedilin aaaa veya a^4
Not) Bir a matrisinin eleman -elemana ccedilarpma islemine benzer mantıkla bir matrisin tuumlm elemanlarının kareleri kuumlbleri sinuumlsleri kosinuumlsleri logaritmalarından olusan matris bulunmak istenirse bunu sırayla aa (veya a^2) aaa (veya a^3) sin(a) cos(a) etabanında logaritması
iccedilin log(a) 10 tabanında logaritmaları
iccedilin log10(a) Biccediliminde gerccedileklestirebiliriz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
86
a) a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c1 matrisi varsa bulalım
b) a matrisi ile b matrisinin ccedilarpım matrisi olan c2 varsa bulalım
c) a matrisinin elemanları
ile c matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c3 matrisi varsa bulalım
d) a matrisi ile c matrisinin ccedilarpım matrisi olan c4 varsa bulalım
e) a matrisinin elemanlarının karelerinden olusan matris ile b matrisinin
kosinuumlslerinden olusan matrisler toplamını
bulalım
f) x=[1 00 3] matrisinin i) Karesini ii) Kuumlbuumlnuuml
iii) 10
kuvvetini bulalım
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] b=[3 -3 -41 1 5] ve c=[1 0-1 23 3] matrisleri veriliyor
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
87
Ccediloumlzuumlma) iki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirBu durumda c1 matrisi tanımlıdır ve bunu c1=ab islemi ile gerccedileklestirebilirizb) iki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdırHalbuki a matrisi 2x3 b matrisi de 2x3 olduğundan bu iki matris ccedilarpılamazc) İki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirHalbuki bu matrisler aynı mertebeden olmadığından bu iki matris eleman-elemana ccedilarpma islemi
gerccedileklemezd) İki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdıra matrisi 2x3 luumlk c matrisi de 3x2 lik olduğundan bu iki matris ccedilarpılabilir ve c4 ccedilarpım matrisi 2x2 lik bir matris olurc4 ccedilarpım matrisini c4=ac islemi ile buluruze) a^2+cos(b)f) i) x^2 ii) x^3 iii) x^10
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
88
c) Bir Matrisin Devriğini (Transpozesi) Bulma İslemi
Bir matrisin satırlarını suumltun suumltunlarını satır olarak yazılmasıyla
bulunan matrise bu matrisin devriği (transpozesi) denir
Bir matrisin devriğini islemi ile bulabiliriz
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] nın devriğini buldurup d matrisine atayalım
Ccediloumlzuumlm d=a
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
89
Oumlrnek
b=[7 8 9 10 11 12] matrisinin transpozesini bulabilirmisiniz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
c=bc =
7 108 119 12
90
SORU
a=[1 2 3 4 5 6]
c= [710811912]
ise a ve crsquonin ccedilarpım matrisi
kaccediltır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
Ccedilarpma işlemi k=ack=
50 68122 167
91
SORU
a=[1 2 3 4 5 6] b=[7 8 9 10 11 12]
ise a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan x matrisini bulalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
x=abx =
7 16 2740 55 72
92
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
Aynı mertebeden iki matrisin elemanlarını teker teker boumllerek aynı
mertebeye yazılmasına iki matrisin sol boumllmesi denir ve bu islemi ile
yapılır
a b ve c aynı mertebeden kare matrisler olmak uumlzere
c=ab ise a matrisine c nin b matrisine boumlluumlmuuml denir
c boumlluumlm matrisi islemi ile yapılır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
93
HATIRLATMA
2x2 lik i2 adlı birim matrisi i2=eye(22)
3x luumlk i3 adlı birim matrisi i2=eye(33) islemi ile olusturabiiriz
Aynı mertebeden a ve b kare matrisleri iccedilin a ile b nin ccedilarpımı birim matris ise
b matrisi a matrisinin (aynı biccedilimde a matrisi de b matrisinin) ters matrisidir
Oumlrnek
3x3 luumlk bir a kare matrisinin tersini bulmak iccedilin
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
eye(33)a veya inv(a) islemini kullanırız
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
94
Bir Matrisin Determinantı
Determinant kare matrisleri bir sayıya eşleyen fonksiyondur
Determinant fonksiyonunun kare matrisi eşlediği o sayıya matrisin
determinantı denir
A matrisinin determinantı detA veya |A| biccediliminde goumlsterilir
|A| matrislerde mutlak değer anlamına gelmez |A| sıfır veya
negatif de olabilir
det(x)
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
95
KURAL
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
96
Oumlrnek
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Determinant
raquo
deter=det(x)deter =
21
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
97
Oumlrnek Inverse işlemi
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Detx=det(x)=21 ise
raquo y=inv(x)y =
821 121 -521 221
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
98
SORU
a=[2 -10 01 2 43 0 1] matrisi ile b=[1 5 41 -1 20 1 -1] matrisleri veriliyor
a)
a matrisinin elemanlarını
sırasıyla b matrisinin elemanlarına boumllerek elde
edilen matrisi b1 matrisine atayalım
b) a matrisinin ta ters matrisini bulalım
c) a ile ta matrisinin ccedilarpımının 3x3 luumlk birim matris olduğunu goumlsterelim
d) a matrisinin b matrisine boumlluumlmuumlnuuml
b2 matrisine atayalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
99
Ccediloumlzuumlm
a)
b1=ab
b) ta1=eye(33)a veya ta2=inv(a)
c) ata ==eye(33)
d) b2=ab
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
73
f) Lineer Aralıklı
(Aritmetik) Dizi ve Fonksiyonu
Baslangıccedil ve biis değerleri ve kaccedil elemandan olusacağı belirlenen diziyi
olusturmak iccedilin linspace fonksiyonu kullanılır
Kullanımı
dizi_adı=linspace(ilk_değerson_değereleman_sayısı)
biccedilimindedir
52 Genel MatrislerMatlab
74
Oumlrnek 10 ile 30 arasına 9 tane daha sayı
koyarak aadında bir aritmetik dizi olusturalım
f) Lineer Aralıklı
(Aritmetik) Dizi ve Fonksiyonu
52 Genel MatrislerMatlab
Cevapa=linspace(103011)
75
Elimizdeki grubun her elemanı iccedilin bir matematik işlemi yapıp bunu yeni bir
diziye atarken herhangi bir sorun yoktur
Fakat iki farklı grupla işlemler yaparken dikkat etmemiz gereken genel
kurallar vardır
Oumlrneğin toplama ve ccedilıkarma yaparken iki dizinin de buumlyuumlkluumlğuumlnuumln eşit
olması gerekmektedir
Ayrıca iki farklı dizinin elemanları arasında birebir işlem yapmak iccedilin
matematik operatoumlruumlnuumln başına nokta() koymak gerekir
Bu durumda her bir elemanı diğer dizinin o sıradaki elmanı ile işleme
sokacaktır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
76
Birden fazla satır ve suumltuna sahip vektoumlrlere matris denir Noktalı
virguumll ()
işareti ile kolonları
ve virguumlle işareti ya da boşluk
bırakarak da bir sıradaki elemanları
ayırabilirizOumlrnekraquo x=[ 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14]x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14Yukarıdaki 3x4 boyutunda bir matristir MATLAB programına aşağıdaki
gibi de sunulabilirraquo x=[ 3 4 5 6
7 8 9 1011 12 13 14]
x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
77
Matristeki herhangi bir elemana direk ulaşmak iccedilin aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(23)=9
Eğer isteğimiz eriştiğimiz bir elemanı
değiştirmek veya yeni bir satır eklemek ise aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(41)=1x =
3 4 5 67 8 9 1011 12 13 141 0 0 0
Bu durumda doumlrduumlncuuml
satır ilk elemanını
biz 1 değerini atadık ve diğer elemanları
kendiliğinden ldquo0rdquo
olarak atadı
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
78
İki nokta uumlst uumlste () kullanılarak belirli aralıkta değişen matrisler yaratılabilir
raquo x=[127 3-10 -12]x =
1 3 5 73 2 1 0
-1 0 1 2Bir matrisin herhangi bir boumlluumlmuumlnuuml
seccedilmek iccedilin ise aşağıdaki goumlsterim
kullanılırraquo z=x(23 12)z =
3 2-1 0
Bu durumda z matris x matrisinin 2 ve 3 norsquo
lu satırlarından 1 ve 2 norsquo
lu suumltunlarını
almış
oluyor
Herhangi bir satır veya suumltunu tamamen silmek istersek o satır ve suumltunu seccedilip ldquo[]rdquo
ifadesine eşitleriz
raquo z(2)=[ ]z =
3 -1
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
79
Matlab size ve length komutları
yardımı
ile size matrisinizin boyutlarını
soumlyler
raquo a=[ 2 3 4 5 67 8 9 10 11]
raquo s=size(a)s =
2 5
raquo b=[ 17 11 0 30 40 50]
raquo k=length(b)k =
6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
80
a) Toplama-Ccedilıkarma Bir Sayı
ile Ccedilarpma İşlemi
İki matrisi toplamak (veya ccedilıkarmak) demek matrislerin aynı
mertebedeki elemanları teker teker toplayıp (veya ccedilıkarıp ) aynı
mertebeye yazmak demektir
Bu durumda iki matrisin de aynı mertebeden olması gereği accedilıktır
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile toplamak (veya ccedilıkarmak) demek
matrisin elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla toplamak (veya
ccedilıkarmak )demektir
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile ccedilarpmak demek ise matrisin
elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla ccedilarpmak demektir
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
81
82
Oumlrnek
raquo a=[1 2 3 4 5 6]raquo b=[7 8 9 10 11 12]
a ve b toplamıraquo sum=a+bsum =
8 10 1214 16 18
arsquo
yı
brsquo
den ccedilıkarmak
raquo diff=a-bdiff =
-6 -6 -6-6 -6 -6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
83
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] ve b=[3 -3 -41 1 5] matrisleri
veriliyor
a)
c=a+b toplam matrisini
b)
d=a-b matrisini
c)
amatrisinin her elemanınının 5 eksiğine karsılık gelen e
matrisini
d) f=2a-3b matrisini bulduran islemleri yazalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
a) c=a+b b) d=a-b c) e=a-5 d) f=a+a-b-b-b veya
f=2a-3b
84
İki matrisin ccedilarpım islemi iki biccedilimde anlasılır
1)
Aynı
mertebeden iki matrisin elemanlarını
teker teker ccedilarpıp aynı
mertebeye
yazmak demektir Bunu
islemi ile gerccedileklestiririz
2) Matematiksel anlamda iki matrisi ccedilarpmak istediğimizde birinci matris mxn
tuumlruumlnde ve ikinci matris mutlaka nxp tuumlruumlnde olmalıdır yani birinci matrisin
suumltun sayısı
ikinci matrisin satır sayısına eşit olmalıdır
Bu durumda birinci matrisin i suumltun elemanları
ile ikinci matrisin j satırındaki
elemanlar karılıklı
olarak ccedilarpılır ve sonuccedillar toplanır ve bu toplam ccedilarpım
matrisinin (ij) inci mertebeye yazılır
Matrisler arası
ccedilarpma isleminin semboluuml
de dır
b) İki Matrisin Ccedilarpımı Bir Matrisin Kuvvetleri veCcedilarpma İslemi
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
85
3) Bir a matrisinin her bir elemanının n Kuvvetlerinden olusan matrisi
bulmak iccedilin a^n islemi kullanılır
4) Satır ve suumltun sayıları
esit bir kare matrisi ardısık olarak n defa
kendisiyle ccedilarparak a matrisinin n kuvvetini bulabilirizOumlrneğin a matrisinin
karesi iccedilin aa veya a^2 kuumlbuumlnuuml
buldurmak iccedilin aaa veya a^3
doumlrduumlncuuml
kuvvetini buldurmak iccedilin aaaa veya a^4
Not) Bir a matrisinin eleman -elemana ccedilarpma islemine benzer mantıkla bir matrisin tuumlm elemanlarının kareleri kuumlbleri sinuumlsleri kosinuumlsleri logaritmalarından olusan matris bulunmak istenirse bunu sırayla aa (veya a^2) aaa (veya a^3) sin(a) cos(a) etabanında logaritması
iccedilin log(a) 10 tabanında logaritmaları
iccedilin log10(a) Biccediliminde gerccedileklestirebiliriz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
86
a) a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c1 matrisi varsa bulalım
b) a matrisi ile b matrisinin ccedilarpım matrisi olan c2 varsa bulalım
c) a matrisinin elemanları
ile c matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c3 matrisi varsa bulalım
d) a matrisi ile c matrisinin ccedilarpım matrisi olan c4 varsa bulalım
e) a matrisinin elemanlarının karelerinden olusan matris ile b matrisinin
kosinuumlslerinden olusan matrisler toplamını
bulalım
f) x=[1 00 3] matrisinin i) Karesini ii) Kuumlbuumlnuuml
iii) 10
kuvvetini bulalım
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] b=[3 -3 -41 1 5] ve c=[1 0-1 23 3] matrisleri veriliyor
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
87
Ccediloumlzuumlma) iki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirBu durumda c1 matrisi tanımlıdır ve bunu c1=ab islemi ile gerccedileklestirebilirizb) iki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdırHalbuki a matrisi 2x3 b matrisi de 2x3 olduğundan bu iki matris ccedilarpılamazc) İki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirHalbuki bu matrisler aynı mertebeden olmadığından bu iki matris eleman-elemana ccedilarpma islemi
gerccedileklemezd) İki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdıra matrisi 2x3 luumlk c matrisi de 3x2 lik olduğundan bu iki matris ccedilarpılabilir ve c4 ccedilarpım matrisi 2x2 lik bir matris olurc4 ccedilarpım matrisini c4=ac islemi ile buluruze) a^2+cos(b)f) i) x^2 ii) x^3 iii) x^10
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
88
c) Bir Matrisin Devriğini (Transpozesi) Bulma İslemi
Bir matrisin satırlarını suumltun suumltunlarını satır olarak yazılmasıyla
bulunan matrise bu matrisin devriği (transpozesi) denir
Bir matrisin devriğini islemi ile bulabiliriz
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] nın devriğini buldurup d matrisine atayalım
Ccediloumlzuumlm d=a
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
89
Oumlrnek
b=[7 8 9 10 11 12] matrisinin transpozesini bulabilirmisiniz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
c=bc =
7 108 119 12
90
SORU
a=[1 2 3 4 5 6]
c= [710811912]
ise a ve crsquonin ccedilarpım matrisi
kaccediltır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
Ccedilarpma işlemi k=ack=
50 68122 167
91
SORU
a=[1 2 3 4 5 6] b=[7 8 9 10 11 12]
ise a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan x matrisini bulalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
x=abx =
7 16 2740 55 72
92
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
Aynı mertebeden iki matrisin elemanlarını teker teker boumllerek aynı
mertebeye yazılmasına iki matrisin sol boumllmesi denir ve bu islemi ile
yapılır
a b ve c aynı mertebeden kare matrisler olmak uumlzere
c=ab ise a matrisine c nin b matrisine boumlluumlmuuml denir
c boumlluumlm matrisi islemi ile yapılır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
93
HATIRLATMA
2x2 lik i2 adlı birim matrisi i2=eye(22)
3x luumlk i3 adlı birim matrisi i2=eye(33) islemi ile olusturabiiriz
Aynı mertebeden a ve b kare matrisleri iccedilin a ile b nin ccedilarpımı birim matris ise
b matrisi a matrisinin (aynı biccedilimde a matrisi de b matrisinin) ters matrisidir
Oumlrnek
3x3 luumlk bir a kare matrisinin tersini bulmak iccedilin
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
eye(33)a veya inv(a) islemini kullanırız
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
94
Bir Matrisin Determinantı
Determinant kare matrisleri bir sayıya eşleyen fonksiyondur
Determinant fonksiyonunun kare matrisi eşlediği o sayıya matrisin
determinantı denir
A matrisinin determinantı detA veya |A| biccediliminde goumlsterilir
|A| matrislerde mutlak değer anlamına gelmez |A| sıfır veya
negatif de olabilir
det(x)
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
95
KURAL
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
96
Oumlrnek
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Determinant
raquo
deter=det(x)deter =
21
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
97
Oumlrnek Inverse işlemi
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Detx=det(x)=21 ise
raquo y=inv(x)y =
821 121 -521 221
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
98
SORU
a=[2 -10 01 2 43 0 1] matrisi ile b=[1 5 41 -1 20 1 -1] matrisleri veriliyor
a)
a matrisinin elemanlarını
sırasıyla b matrisinin elemanlarına boumllerek elde
edilen matrisi b1 matrisine atayalım
b) a matrisinin ta ters matrisini bulalım
c) a ile ta matrisinin ccedilarpımının 3x3 luumlk birim matris olduğunu goumlsterelim
d) a matrisinin b matrisine boumlluumlmuumlnuuml
b2 matrisine atayalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
99
Ccediloumlzuumlm
a)
b1=ab
b) ta1=eye(33)a veya ta2=inv(a)
c) ata ==eye(33)
d) b2=ab
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
74
Oumlrnek 10 ile 30 arasına 9 tane daha sayı
koyarak aadında bir aritmetik dizi olusturalım
f) Lineer Aralıklı
(Aritmetik) Dizi ve Fonksiyonu
52 Genel MatrislerMatlab
Cevapa=linspace(103011)
75
Elimizdeki grubun her elemanı iccedilin bir matematik işlemi yapıp bunu yeni bir
diziye atarken herhangi bir sorun yoktur
Fakat iki farklı grupla işlemler yaparken dikkat etmemiz gereken genel
kurallar vardır
Oumlrneğin toplama ve ccedilıkarma yaparken iki dizinin de buumlyuumlkluumlğuumlnuumln eşit
olması gerekmektedir
Ayrıca iki farklı dizinin elemanları arasında birebir işlem yapmak iccedilin
matematik operatoumlruumlnuumln başına nokta() koymak gerekir
Bu durumda her bir elemanı diğer dizinin o sıradaki elmanı ile işleme
sokacaktır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
76
Birden fazla satır ve suumltuna sahip vektoumlrlere matris denir Noktalı
virguumll ()
işareti ile kolonları
ve virguumlle işareti ya da boşluk
bırakarak da bir sıradaki elemanları
ayırabilirizOumlrnekraquo x=[ 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14]x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14Yukarıdaki 3x4 boyutunda bir matristir MATLAB programına aşağıdaki
gibi de sunulabilirraquo x=[ 3 4 5 6
7 8 9 1011 12 13 14]
x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
77
Matristeki herhangi bir elemana direk ulaşmak iccedilin aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(23)=9
Eğer isteğimiz eriştiğimiz bir elemanı
değiştirmek veya yeni bir satır eklemek ise aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(41)=1x =
3 4 5 67 8 9 1011 12 13 141 0 0 0
Bu durumda doumlrduumlncuuml
satır ilk elemanını
biz 1 değerini atadık ve diğer elemanları
kendiliğinden ldquo0rdquo
olarak atadı
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
78
İki nokta uumlst uumlste () kullanılarak belirli aralıkta değişen matrisler yaratılabilir
raquo x=[127 3-10 -12]x =
1 3 5 73 2 1 0
-1 0 1 2Bir matrisin herhangi bir boumlluumlmuumlnuuml
seccedilmek iccedilin ise aşağıdaki goumlsterim
kullanılırraquo z=x(23 12)z =
3 2-1 0
Bu durumda z matris x matrisinin 2 ve 3 norsquo
lu satırlarından 1 ve 2 norsquo
lu suumltunlarını
almış
oluyor
Herhangi bir satır veya suumltunu tamamen silmek istersek o satır ve suumltunu seccedilip ldquo[]rdquo
ifadesine eşitleriz
raquo z(2)=[ ]z =
3 -1
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
79
Matlab size ve length komutları
yardımı
ile size matrisinizin boyutlarını
soumlyler
raquo a=[ 2 3 4 5 67 8 9 10 11]
raquo s=size(a)s =
2 5
raquo b=[ 17 11 0 30 40 50]
raquo k=length(b)k =
6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
80
a) Toplama-Ccedilıkarma Bir Sayı
ile Ccedilarpma İşlemi
İki matrisi toplamak (veya ccedilıkarmak) demek matrislerin aynı
mertebedeki elemanları teker teker toplayıp (veya ccedilıkarıp ) aynı
mertebeye yazmak demektir
Bu durumda iki matrisin de aynı mertebeden olması gereği accedilıktır
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile toplamak (veya ccedilıkarmak) demek
matrisin elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla toplamak (veya
ccedilıkarmak )demektir
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile ccedilarpmak demek ise matrisin
elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla ccedilarpmak demektir
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
81
82
Oumlrnek
raquo a=[1 2 3 4 5 6]raquo b=[7 8 9 10 11 12]
a ve b toplamıraquo sum=a+bsum =
8 10 1214 16 18
arsquo
yı
brsquo
den ccedilıkarmak
raquo diff=a-bdiff =
-6 -6 -6-6 -6 -6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
83
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] ve b=[3 -3 -41 1 5] matrisleri
veriliyor
a)
c=a+b toplam matrisini
b)
d=a-b matrisini
c)
amatrisinin her elemanınının 5 eksiğine karsılık gelen e
matrisini
d) f=2a-3b matrisini bulduran islemleri yazalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
a) c=a+b b) d=a-b c) e=a-5 d) f=a+a-b-b-b veya
f=2a-3b
84
İki matrisin ccedilarpım islemi iki biccedilimde anlasılır
1)
Aynı
mertebeden iki matrisin elemanlarını
teker teker ccedilarpıp aynı
mertebeye
yazmak demektir Bunu
islemi ile gerccedileklestiririz
2) Matematiksel anlamda iki matrisi ccedilarpmak istediğimizde birinci matris mxn
tuumlruumlnde ve ikinci matris mutlaka nxp tuumlruumlnde olmalıdır yani birinci matrisin
suumltun sayısı
ikinci matrisin satır sayısına eşit olmalıdır
Bu durumda birinci matrisin i suumltun elemanları
ile ikinci matrisin j satırındaki
elemanlar karılıklı
olarak ccedilarpılır ve sonuccedillar toplanır ve bu toplam ccedilarpım
matrisinin (ij) inci mertebeye yazılır
Matrisler arası
ccedilarpma isleminin semboluuml
de dır
b) İki Matrisin Ccedilarpımı Bir Matrisin Kuvvetleri veCcedilarpma İslemi
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
85
3) Bir a matrisinin her bir elemanının n Kuvvetlerinden olusan matrisi
bulmak iccedilin a^n islemi kullanılır
4) Satır ve suumltun sayıları
esit bir kare matrisi ardısık olarak n defa
kendisiyle ccedilarparak a matrisinin n kuvvetini bulabilirizOumlrneğin a matrisinin
karesi iccedilin aa veya a^2 kuumlbuumlnuuml
buldurmak iccedilin aaa veya a^3
doumlrduumlncuuml
kuvvetini buldurmak iccedilin aaaa veya a^4
Not) Bir a matrisinin eleman -elemana ccedilarpma islemine benzer mantıkla bir matrisin tuumlm elemanlarının kareleri kuumlbleri sinuumlsleri kosinuumlsleri logaritmalarından olusan matris bulunmak istenirse bunu sırayla aa (veya a^2) aaa (veya a^3) sin(a) cos(a) etabanında logaritması
iccedilin log(a) 10 tabanında logaritmaları
iccedilin log10(a) Biccediliminde gerccedileklestirebiliriz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
86
a) a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c1 matrisi varsa bulalım
b) a matrisi ile b matrisinin ccedilarpım matrisi olan c2 varsa bulalım
c) a matrisinin elemanları
ile c matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c3 matrisi varsa bulalım
d) a matrisi ile c matrisinin ccedilarpım matrisi olan c4 varsa bulalım
e) a matrisinin elemanlarının karelerinden olusan matris ile b matrisinin
kosinuumlslerinden olusan matrisler toplamını
bulalım
f) x=[1 00 3] matrisinin i) Karesini ii) Kuumlbuumlnuuml
iii) 10
kuvvetini bulalım
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] b=[3 -3 -41 1 5] ve c=[1 0-1 23 3] matrisleri veriliyor
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
87
Ccediloumlzuumlma) iki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirBu durumda c1 matrisi tanımlıdır ve bunu c1=ab islemi ile gerccedileklestirebilirizb) iki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdırHalbuki a matrisi 2x3 b matrisi de 2x3 olduğundan bu iki matris ccedilarpılamazc) İki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirHalbuki bu matrisler aynı mertebeden olmadığından bu iki matris eleman-elemana ccedilarpma islemi
gerccedileklemezd) İki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdıra matrisi 2x3 luumlk c matrisi de 3x2 lik olduğundan bu iki matris ccedilarpılabilir ve c4 ccedilarpım matrisi 2x2 lik bir matris olurc4 ccedilarpım matrisini c4=ac islemi ile buluruze) a^2+cos(b)f) i) x^2 ii) x^3 iii) x^10
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
88
c) Bir Matrisin Devriğini (Transpozesi) Bulma İslemi
Bir matrisin satırlarını suumltun suumltunlarını satır olarak yazılmasıyla
bulunan matrise bu matrisin devriği (transpozesi) denir
Bir matrisin devriğini islemi ile bulabiliriz
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] nın devriğini buldurup d matrisine atayalım
Ccediloumlzuumlm d=a
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
89
Oumlrnek
b=[7 8 9 10 11 12] matrisinin transpozesini bulabilirmisiniz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
c=bc =
7 108 119 12
90
SORU
a=[1 2 3 4 5 6]
c= [710811912]
ise a ve crsquonin ccedilarpım matrisi
kaccediltır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
Ccedilarpma işlemi k=ack=
50 68122 167
91
SORU
a=[1 2 3 4 5 6] b=[7 8 9 10 11 12]
ise a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan x matrisini bulalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
x=abx =
7 16 2740 55 72
92
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
Aynı mertebeden iki matrisin elemanlarını teker teker boumllerek aynı
mertebeye yazılmasına iki matrisin sol boumllmesi denir ve bu islemi ile
yapılır
a b ve c aynı mertebeden kare matrisler olmak uumlzere
c=ab ise a matrisine c nin b matrisine boumlluumlmuuml denir
c boumlluumlm matrisi islemi ile yapılır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
93
HATIRLATMA
2x2 lik i2 adlı birim matrisi i2=eye(22)
3x luumlk i3 adlı birim matrisi i2=eye(33) islemi ile olusturabiiriz
Aynı mertebeden a ve b kare matrisleri iccedilin a ile b nin ccedilarpımı birim matris ise
b matrisi a matrisinin (aynı biccedilimde a matrisi de b matrisinin) ters matrisidir
Oumlrnek
3x3 luumlk bir a kare matrisinin tersini bulmak iccedilin
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
eye(33)a veya inv(a) islemini kullanırız
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
94
Bir Matrisin Determinantı
Determinant kare matrisleri bir sayıya eşleyen fonksiyondur
Determinant fonksiyonunun kare matrisi eşlediği o sayıya matrisin
determinantı denir
A matrisinin determinantı detA veya |A| biccediliminde goumlsterilir
|A| matrislerde mutlak değer anlamına gelmez |A| sıfır veya
negatif de olabilir
det(x)
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
95
KURAL
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
96
Oumlrnek
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Determinant
raquo
deter=det(x)deter =
21
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
97
Oumlrnek Inverse işlemi
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Detx=det(x)=21 ise
raquo y=inv(x)y =
821 121 -521 221
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
98
SORU
a=[2 -10 01 2 43 0 1] matrisi ile b=[1 5 41 -1 20 1 -1] matrisleri veriliyor
a)
a matrisinin elemanlarını
sırasıyla b matrisinin elemanlarına boumllerek elde
edilen matrisi b1 matrisine atayalım
b) a matrisinin ta ters matrisini bulalım
c) a ile ta matrisinin ccedilarpımının 3x3 luumlk birim matris olduğunu goumlsterelim
d) a matrisinin b matrisine boumlluumlmuumlnuuml
b2 matrisine atayalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
99
Ccediloumlzuumlm
a)
b1=ab
b) ta1=eye(33)a veya ta2=inv(a)
c) ata ==eye(33)
d) b2=ab
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
75
Elimizdeki grubun her elemanı iccedilin bir matematik işlemi yapıp bunu yeni bir
diziye atarken herhangi bir sorun yoktur
Fakat iki farklı grupla işlemler yaparken dikkat etmemiz gereken genel
kurallar vardır
Oumlrneğin toplama ve ccedilıkarma yaparken iki dizinin de buumlyuumlkluumlğuumlnuumln eşit
olması gerekmektedir
Ayrıca iki farklı dizinin elemanları arasında birebir işlem yapmak iccedilin
matematik operatoumlruumlnuumln başına nokta() koymak gerekir
Bu durumda her bir elemanı diğer dizinin o sıradaki elmanı ile işleme
sokacaktır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
76
Birden fazla satır ve suumltuna sahip vektoumlrlere matris denir Noktalı
virguumll ()
işareti ile kolonları
ve virguumlle işareti ya da boşluk
bırakarak da bir sıradaki elemanları
ayırabilirizOumlrnekraquo x=[ 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14]x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14Yukarıdaki 3x4 boyutunda bir matristir MATLAB programına aşağıdaki
gibi de sunulabilirraquo x=[ 3 4 5 6
7 8 9 1011 12 13 14]
x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
77
Matristeki herhangi bir elemana direk ulaşmak iccedilin aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(23)=9
Eğer isteğimiz eriştiğimiz bir elemanı
değiştirmek veya yeni bir satır eklemek ise aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(41)=1x =
3 4 5 67 8 9 1011 12 13 141 0 0 0
Bu durumda doumlrduumlncuuml
satır ilk elemanını
biz 1 değerini atadık ve diğer elemanları
kendiliğinden ldquo0rdquo
olarak atadı
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
78
İki nokta uumlst uumlste () kullanılarak belirli aralıkta değişen matrisler yaratılabilir
raquo x=[127 3-10 -12]x =
1 3 5 73 2 1 0
-1 0 1 2Bir matrisin herhangi bir boumlluumlmuumlnuuml
seccedilmek iccedilin ise aşağıdaki goumlsterim
kullanılırraquo z=x(23 12)z =
3 2-1 0
Bu durumda z matris x matrisinin 2 ve 3 norsquo
lu satırlarından 1 ve 2 norsquo
lu suumltunlarını
almış
oluyor
Herhangi bir satır veya suumltunu tamamen silmek istersek o satır ve suumltunu seccedilip ldquo[]rdquo
ifadesine eşitleriz
raquo z(2)=[ ]z =
3 -1
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
79
Matlab size ve length komutları
yardımı
ile size matrisinizin boyutlarını
soumlyler
raquo a=[ 2 3 4 5 67 8 9 10 11]
raquo s=size(a)s =
2 5
raquo b=[ 17 11 0 30 40 50]
raquo k=length(b)k =
6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
80
a) Toplama-Ccedilıkarma Bir Sayı
ile Ccedilarpma İşlemi
İki matrisi toplamak (veya ccedilıkarmak) demek matrislerin aynı
mertebedeki elemanları teker teker toplayıp (veya ccedilıkarıp ) aynı
mertebeye yazmak demektir
Bu durumda iki matrisin de aynı mertebeden olması gereği accedilıktır
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile toplamak (veya ccedilıkarmak) demek
matrisin elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla toplamak (veya
ccedilıkarmak )demektir
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile ccedilarpmak demek ise matrisin
elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla ccedilarpmak demektir
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
81
82
Oumlrnek
raquo a=[1 2 3 4 5 6]raquo b=[7 8 9 10 11 12]
a ve b toplamıraquo sum=a+bsum =
8 10 1214 16 18
arsquo
yı
brsquo
den ccedilıkarmak
raquo diff=a-bdiff =
-6 -6 -6-6 -6 -6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
83
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] ve b=[3 -3 -41 1 5] matrisleri
veriliyor
a)
c=a+b toplam matrisini
b)
d=a-b matrisini
c)
amatrisinin her elemanınının 5 eksiğine karsılık gelen e
matrisini
d) f=2a-3b matrisini bulduran islemleri yazalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
a) c=a+b b) d=a-b c) e=a-5 d) f=a+a-b-b-b veya
f=2a-3b
84
İki matrisin ccedilarpım islemi iki biccedilimde anlasılır
1)
Aynı
mertebeden iki matrisin elemanlarını
teker teker ccedilarpıp aynı
mertebeye
yazmak demektir Bunu
islemi ile gerccedileklestiririz
2) Matematiksel anlamda iki matrisi ccedilarpmak istediğimizde birinci matris mxn
tuumlruumlnde ve ikinci matris mutlaka nxp tuumlruumlnde olmalıdır yani birinci matrisin
suumltun sayısı
ikinci matrisin satır sayısına eşit olmalıdır
Bu durumda birinci matrisin i suumltun elemanları
ile ikinci matrisin j satırındaki
elemanlar karılıklı
olarak ccedilarpılır ve sonuccedillar toplanır ve bu toplam ccedilarpım
matrisinin (ij) inci mertebeye yazılır
Matrisler arası
ccedilarpma isleminin semboluuml
de dır
b) İki Matrisin Ccedilarpımı Bir Matrisin Kuvvetleri veCcedilarpma İslemi
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
85
3) Bir a matrisinin her bir elemanının n Kuvvetlerinden olusan matrisi
bulmak iccedilin a^n islemi kullanılır
4) Satır ve suumltun sayıları
esit bir kare matrisi ardısık olarak n defa
kendisiyle ccedilarparak a matrisinin n kuvvetini bulabilirizOumlrneğin a matrisinin
karesi iccedilin aa veya a^2 kuumlbuumlnuuml
buldurmak iccedilin aaa veya a^3
doumlrduumlncuuml
kuvvetini buldurmak iccedilin aaaa veya a^4
Not) Bir a matrisinin eleman -elemana ccedilarpma islemine benzer mantıkla bir matrisin tuumlm elemanlarının kareleri kuumlbleri sinuumlsleri kosinuumlsleri logaritmalarından olusan matris bulunmak istenirse bunu sırayla aa (veya a^2) aaa (veya a^3) sin(a) cos(a) etabanında logaritması
iccedilin log(a) 10 tabanında logaritmaları
iccedilin log10(a) Biccediliminde gerccedileklestirebiliriz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
86
a) a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c1 matrisi varsa bulalım
b) a matrisi ile b matrisinin ccedilarpım matrisi olan c2 varsa bulalım
c) a matrisinin elemanları
ile c matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c3 matrisi varsa bulalım
d) a matrisi ile c matrisinin ccedilarpım matrisi olan c4 varsa bulalım
e) a matrisinin elemanlarının karelerinden olusan matris ile b matrisinin
kosinuumlslerinden olusan matrisler toplamını
bulalım
f) x=[1 00 3] matrisinin i) Karesini ii) Kuumlbuumlnuuml
iii) 10
kuvvetini bulalım
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] b=[3 -3 -41 1 5] ve c=[1 0-1 23 3] matrisleri veriliyor
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
87
Ccediloumlzuumlma) iki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirBu durumda c1 matrisi tanımlıdır ve bunu c1=ab islemi ile gerccedileklestirebilirizb) iki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdırHalbuki a matrisi 2x3 b matrisi de 2x3 olduğundan bu iki matris ccedilarpılamazc) İki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirHalbuki bu matrisler aynı mertebeden olmadığından bu iki matris eleman-elemana ccedilarpma islemi
gerccedileklemezd) İki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdıra matrisi 2x3 luumlk c matrisi de 3x2 lik olduğundan bu iki matris ccedilarpılabilir ve c4 ccedilarpım matrisi 2x2 lik bir matris olurc4 ccedilarpım matrisini c4=ac islemi ile buluruze) a^2+cos(b)f) i) x^2 ii) x^3 iii) x^10
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
88
c) Bir Matrisin Devriğini (Transpozesi) Bulma İslemi
Bir matrisin satırlarını suumltun suumltunlarını satır olarak yazılmasıyla
bulunan matrise bu matrisin devriği (transpozesi) denir
Bir matrisin devriğini islemi ile bulabiliriz
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] nın devriğini buldurup d matrisine atayalım
Ccediloumlzuumlm d=a
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
89
Oumlrnek
b=[7 8 9 10 11 12] matrisinin transpozesini bulabilirmisiniz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
c=bc =
7 108 119 12
90
SORU
a=[1 2 3 4 5 6]
c= [710811912]
ise a ve crsquonin ccedilarpım matrisi
kaccediltır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
Ccedilarpma işlemi k=ack=
50 68122 167
91
SORU
a=[1 2 3 4 5 6] b=[7 8 9 10 11 12]
ise a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan x matrisini bulalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
x=abx =
7 16 2740 55 72
92
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
Aynı mertebeden iki matrisin elemanlarını teker teker boumllerek aynı
mertebeye yazılmasına iki matrisin sol boumllmesi denir ve bu islemi ile
yapılır
a b ve c aynı mertebeden kare matrisler olmak uumlzere
c=ab ise a matrisine c nin b matrisine boumlluumlmuuml denir
c boumlluumlm matrisi islemi ile yapılır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
93
HATIRLATMA
2x2 lik i2 adlı birim matrisi i2=eye(22)
3x luumlk i3 adlı birim matrisi i2=eye(33) islemi ile olusturabiiriz
Aynı mertebeden a ve b kare matrisleri iccedilin a ile b nin ccedilarpımı birim matris ise
b matrisi a matrisinin (aynı biccedilimde a matrisi de b matrisinin) ters matrisidir
Oumlrnek
3x3 luumlk bir a kare matrisinin tersini bulmak iccedilin
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
eye(33)a veya inv(a) islemini kullanırız
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
94
Bir Matrisin Determinantı
Determinant kare matrisleri bir sayıya eşleyen fonksiyondur
Determinant fonksiyonunun kare matrisi eşlediği o sayıya matrisin
determinantı denir
A matrisinin determinantı detA veya |A| biccediliminde goumlsterilir
|A| matrislerde mutlak değer anlamına gelmez |A| sıfır veya
negatif de olabilir
det(x)
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
95
KURAL
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
96
Oumlrnek
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Determinant
raquo
deter=det(x)deter =
21
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
97
Oumlrnek Inverse işlemi
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Detx=det(x)=21 ise
raquo y=inv(x)y =
821 121 -521 221
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
98
SORU
a=[2 -10 01 2 43 0 1] matrisi ile b=[1 5 41 -1 20 1 -1] matrisleri veriliyor
a)
a matrisinin elemanlarını
sırasıyla b matrisinin elemanlarına boumllerek elde
edilen matrisi b1 matrisine atayalım
b) a matrisinin ta ters matrisini bulalım
c) a ile ta matrisinin ccedilarpımının 3x3 luumlk birim matris olduğunu goumlsterelim
d) a matrisinin b matrisine boumlluumlmuumlnuuml
b2 matrisine atayalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
99
Ccediloumlzuumlm
a)
b1=ab
b) ta1=eye(33)a veya ta2=inv(a)
c) ata ==eye(33)
d) b2=ab
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
76
Birden fazla satır ve suumltuna sahip vektoumlrlere matris denir Noktalı
virguumll ()
işareti ile kolonları
ve virguumlle işareti ya da boşluk
bırakarak da bir sıradaki elemanları
ayırabilirizOumlrnekraquo x=[ 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14]x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14Yukarıdaki 3x4 boyutunda bir matristir MATLAB programına aşağıdaki
gibi de sunulabilirraquo x=[ 3 4 5 6
7 8 9 1011 12 13 14]
x =3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
77
Matristeki herhangi bir elemana direk ulaşmak iccedilin aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(23)=9
Eğer isteğimiz eriştiğimiz bir elemanı
değiştirmek veya yeni bir satır eklemek ise aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(41)=1x =
3 4 5 67 8 9 1011 12 13 141 0 0 0
Bu durumda doumlrduumlncuuml
satır ilk elemanını
biz 1 değerini atadık ve diğer elemanları
kendiliğinden ldquo0rdquo
olarak atadı
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
78
İki nokta uumlst uumlste () kullanılarak belirli aralıkta değişen matrisler yaratılabilir
raquo x=[127 3-10 -12]x =
1 3 5 73 2 1 0
-1 0 1 2Bir matrisin herhangi bir boumlluumlmuumlnuuml
seccedilmek iccedilin ise aşağıdaki goumlsterim
kullanılırraquo z=x(23 12)z =
3 2-1 0
Bu durumda z matris x matrisinin 2 ve 3 norsquo
lu satırlarından 1 ve 2 norsquo
lu suumltunlarını
almış
oluyor
Herhangi bir satır veya suumltunu tamamen silmek istersek o satır ve suumltunu seccedilip ldquo[]rdquo
ifadesine eşitleriz
raquo z(2)=[ ]z =
3 -1
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
79
Matlab size ve length komutları
yardımı
ile size matrisinizin boyutlarını
soumlyler
raquo a=[ 2 3 4 5 67 8 9 10 11]
raquo s=size(a)s =
2 5
raquo b=[ 17 11 0 30 40 50]
raquo k=length(b)k =
6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
80
a) Toplama-Ccedilıkarma Bir Sayı
ile Ccedilarpma İşlemi
İki matrisi toplamak (veya ccedilıkarmak) demek matrislerin aynı
mertebedeki elemanları teker teker toplayıp (veya ccedilıkarıp ) aynı
mertebeye yazmak demektir
Bu durumda iki matrisin de aynı mertebeden olması gereği accedilıktır
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile toplamak (veya ccedilıkarmak) demek
matrisin elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla toplamak (veya
ccedilıkarmak )demektir
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile ccedilarpmak demek ise matrisin
elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla ccedilarpmak demektir
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
81
82
Oumlrnek
raquo a=[1 2 3 4 5 6]raquo b=[7 8 9 10 11 12]
a ve b toplamıraquo sum=a+bsum =
8 10 1214 16 18
arsquo
yı
brsquo
den ccedilıkarmak
raquo diff=a-bdiff =
-6 -6 -6-6 -6 -6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
83
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] ve b=[3 -3 -41 1 5] matrisleri
veriliyor
a)
c=a+b toplam matrisini
b)
d=a-b matrisini
c)
amatrisinin her elemanınının 5 eksiğine karsılık gelen e
matrisini
d) f=2a-3b matrisini bulduran islemleri yazalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
a) c=a+b b) d=a-b c) e=a-5 d) f=a+a-b-b-b veya
f=2a-3b
84
İki matrisin ccedilarpım islemi iki biccedilimde anlasılır
1)
Aynı
mertebeden iki matrisin elemanlarını
teker teker ccedilarpıp aynı
mertebeye
yazmak demektir Bunu
islemi ile gerccedileklestiririz
2) Matematiksel anlamda iki matrisi ccedilarpmak istediğimizde birinci matris mxn
tuumlruumlnde ve ikinci matris mutlaka nxp tuumlruumlnde olmalıdır yani birinci matrisin
suumltun sayısı
ikinci matrisin satır sayısına eşit olmalıdır
Bu durumda birinci matrisin i suumltun elemanları
ile ikinci matrisin j satırındaki
elemanlar karılıklı
olarak ccedilarpılır ve sonuccedillar toplanır ve bu toplam ccedilarpım
matrisinin (ij) inci mertebeye yazılır
Matrisler arası
ccedilarpma isleminin semboluuml
de dır
b) İki Matrisin Ccedilarpımı Bir Matrisin Kuvvetleri veCcedilarpma İslemi
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
85
3) Bir a matrisinin her bir elemanının n Kuvvetlerinden olusan matrisi
bulmak iccedilin a^n islemi kullanılır
4) Satır ve suumltun sayıları
esit bir kare matrisi ardısık olarak n defa
kendisiyle ccedilarparak a matrisinin n kuvvetini bulabilirizOumlrneğin a matrisinin
karesi iccedilin aa veya a^2 kuumlbuumlnuuml
buldurmak iccedilin aaa veya a^3
doumlrduumlncuuml
kuvvetini buldurmak iccedilin aaaa veya a^4
Not) Bir a matrisinin eleman -elemana ccedilarpma islemine benzer mantıkla bir matrisin tuumlm elemanlarının kareleri kuumlbleri sinuumlsleri kosinuumlsleri logaritmalarından olusan matris bulunmak istenirse bunu sırayla aa (veya a^2) aaa (veya a^3) sin(a) cos(a) etabanında logaritması
iccedilin log(a) 10 tabanında logaritmaları
iccedilin log10(a) Biccediliminde gerccedileklestirebiliriz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
86
a) a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c1 matrisi varsa bulalım
b) a matrisi ile b matrisinin ccedilarpım matrisi olan c2 varsa bulalım
c) a matrisinin elemanları
ile c matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c3 matrisi varsa bulalım
d) a matrisi ile c matrisinin ccedilarpım matrisi olan c4 varsa bulalım
e) a matrisinin elemanlarının karelerinden olusan matris ile b matrisinin
kosinuumlslerinden olusan matrisler toplamını
bulalım
f) x=[1 00 3] matrisinin i) Karesini ii) Kuumlbuumlnuuml
iii) 10
kuvvetini bulalım
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] b=[3 -3 -41 1 5] ve c=[1 0-1 23 3] matrisleri veriliyor
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
87
Ccediloumlzuumlma) iki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirBu durumda c1 matrisi tanımlıdır ve bunu c1=ab islemi ile gerccedileklestirebilirizb) iki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdırHalbuki a matrisi 2x3 b matrisi de 2x3 olduğundan bu iki matris ccedilarpılamazc) İki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirHalbuki bu matrisler aynı mertebeden olmadığından bu iki matris eleman-elemana ccedilarpma islemi
gerccedileklemezd) İki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdıra matrisi 2x3 luumlk c matrisi de 3x2 lik olduğundan bu iki matris ccedilarpılabilir ve c4 ccedilarpım matrisi 2x2 lik bir matris olurc4 ccedilarpım matrisini c4=ac islemi ile buluruze) a^2+cos(b)f) i) x^2 ii) x^3 iii) x^10
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
88
c) Bir Matrisin Devriğini (Transpozesi) Bulma İslemi
Bir matrisin satırlarını suumltun suumltunlarını satır olarak yazılmasıyla
bulunan matrise bu matrisin devriği (transpozesi) denir
Bir matrisin devriğini islemi ile bulabiliriz
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] nın devriğini buldurup d matrisine atayalım
Ccediloumlzuumlm d=a
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
89
Oumlrnek
b=[7 8 9 10 11 12] matrisinin transpozesini bulabilirmisiniz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
c=bc =
7 108 119 12
90
SORU
a=[1 2 3 4 5 6]
c= [710811912]
ise a ve crsquonin ccedilarpım matrisi
kaccediltır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
Ccedilarpma işlemi k=ack=
50 68122 167
91
SORU
a=[1 2 3 4 5 6] b=[7 8 9 10 11 12]
ise a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan x matrisini bulalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
x=abx =
7 16 2740 55 72
92
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
Aynı mertebeden iki matrisin elemanlarını teker teker boumllerek aynı
mertebeye yazılmasına iki matrisin sol boumllmesi denir ve bu islemi ile
yapılır
a b ve c aynı mertebeden kare matrisler olmak uumlzere
c=ab ise a matrisine c nin b matrisine boumlluumlmuuml denir
c boumlluumlm matrisi islemi ile yapılır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
93
HATIRLATMA
2x2 lik i2 adlı birim matrisi i2=eye(22)
3x luumlk i3 adlı birim matrisi i2=eye(33) islemi ile olusturabiiriz
Aynı mertebeden a ve b kare matrisleri iccedilin a ile b nin ccedilarpımı birim matris ise
b matrisi a matrisinin (aynı biccedilimde a matrisi de b matrisinin) ters matrisidir
Oumlrnek
3x3 luumlk bir a kare matrisinin tersini bulmak iccedilin
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
eye(33)a veya inv(a) islemini kullanırız
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
94
Bir Matrisin Determinantı
Determinant kare matrisleri bir sayıya eşleyen fonksiyondur
Determinant fonksiyonunun kare matrisi eşlediği o sayıya matrisin
determinantı denir
A matrisinin determinantı detA veya |A| biccediliminde goumlsterilir
|A| matrislerde mutlak değer anlamına gelmez |A| sıfır veya
negatif de olabilir
det(x)
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
95
KURAL
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
96
Oumlrnek
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Determinant
raquo
deter=det(x)deter =
21
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
97
Oumlrnek Inverse işlemi
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Detx=det(x)=21 ise
raquo y=inv(x)y =
821 121 -521 221
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
98
SORU
a=[2 -10 01 2 43 0 1] matrisi ile b=[1 5 41 -1 20 1 -1] matrisleri veriliyor
a)
a matrisinin elemanlarını
sırasıyla b matrisinin elemanlarına boumllerek elde
edilen matrisi b1 matrisine atayalım
b) a matrisinin ta ters matrisini bulalım
c) a ile ta matrisinin ccedilarpımının 3x3 luumlk birim matris olduğunu goumlsterelim
d) a matrisinin b matrisine boumlluumlmuumlnuuml
b2 matrisine atayalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
99
Ccediloumlzuumlm
a)
b1=ab
b) ta1=eye(33)a veya ta2=inv(a)
c) ata ==eye(33)
d) b2=ab
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
77
Matristeki herhangi bir elemana direk ulaşmak iccedilin aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(23)=9
Eğer isteğimiz eriştiğimiz bir elemanı
değiştirmek veya yeni bir satır eklemek ise aşağıdaki goumlsterim yeterlidir
raquo x(41)=1x =
3 4 5 67 8 9 1011 12 13 141 0 0 0
Bu durumda doumlrduumlncuuml
satır ilk elemanını
biz 1 değerini atadık ve diğer elemanları
kendiliğinden ldquo0rdquo
olarak atadı
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
78
İki nokta uumlst uumlste () kullanılarak belirli aralıkta değişen matrisler yaratılabilir
raquo x=[127 3-10 -12]x =
1 3 5 73 2 1 0
-1 0 1 2Bir matrisin herhangi bir boumlluumlmuumlnuuml
seccedilmek iccedilin ise aşağıdaki goumlsterim
kullanılırraquo z=x(23 12)z =
3 2-1 0
Bu durumda z matris x matrisinin 2 ve 3 norsquo
lu satırlarından 1 ve 2 norsquo
lu suumltunlarını
almış
oluyor
Herhangi bir satır veya suumltunu tamamen silmek istersek o satır ve suumltunu seccedilip ldquo[]rdquo
ifadesine eşitleriz
raquo z(2)=[ ]z =
3 -1
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
79
Matlab size ve length komutları
yardımı
ile size matrisinizin boyutlarını
soumlyler
raquo a=[ 2 3 4 5 67 8 9 10 11]
raquo s=size(a)s =
2 5
raquo b=[ 17 11 0 30 40 50]
raquo k=length(b)k =
6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
80
a) Toplama-Ccedilıkarma Bir Sayı
ile Ccedilarpma İşlemi
İki matrisi toplamak (veya ccedilıkarmak) demek matrislerin aynı
mertebedeki elemanları teker teker toplayıp (veya ccedilıkarıp ) aynı
mertebeye yazmak demektir
Bu durumda iki matrisin de aynı mertebeden olması gereği accedilıktır
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile toplamak (veya ccedilıkarmak) demek
matrisin elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla toplamak (veya
ccedilıkarmak )demektir
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile ccedilarpmak demek ise matrisin
elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla ccedilarpmak demektir
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
81
82
Oumlrnek
raquo a=[1 2 3 4 5 6]raquo b=[7 8 9 10 11 12]
a ve b toplamıraquo sum=a+bsum =
8 10 1214 16 18
arsquo
yı
brsquo
den ccedilıkarmak
raquo diff=a-bdiff =
-6 -6 -6-6 -6 -6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
83
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] ve b=[3 -3 -41 1 5] matrisleri
veriliyor
a)
c=a+b toplam matrisini
b)
d=a-b matrisini
c)
amatrisinin her elemanınının 5 eksiğine karsılık gelen e
matrisini
d) f=2a-3b matrisini bulduran islemleri yazalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
a) c=a+b b) d=a-b c) e=a-5 d) f=a+a-b-b-b veya
f=2a-3b
84
İki matrisin ccedilarpım islemi iki biccedilimde anlasılır
1)
Aynı
mertebeden iki matrisin elemanlarını
teker teker ccedilarpıp aynı
mertebeye
yazmak demektir Bunu
islemi ile gerccedileklestiririz
2) Matematiksel anlamda iki matrisi ccedilarpmak istediğimizde birinci matris mxn
tuumlruumlnde ve ikinci matris mutlaka nxp tuumlruumlnde olmalıdır yani birinci matrisin
suumltun sayısı
ikinci matrisin satır sayısına eşit olmalıdır
Bu durumda birinci matrisin i suumltun elemanları
ile ikinci matrisin j satırındaki
elemanlar karılıklı
olarak ccedilarpılır ve sonuccedillar toplanır ve bu toplam ccedilarpım
matrisinin (ij) inci mertebeye yazılır
Matrisler arası
ccedilarpma isleminin semboluuml
de dır
b) İki Matrisin Ccedilarpımı Bir Matrisin Kuvvetleri veCcedilarpma İslemi
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
85
3) Bir a matrisinin her bir elemanının n Kuvvetlerinden olusan matrisi
bulmak iccedilin a^n islemi kullanılır
4) Satır ve suumltun sayıları
esit bir kare matrisi ardısık olarak n defa
kendisiyle ccedilarparak a matrisinin n kuvvetini bulabilirizOumlrneğin a matrisinin
karesi iccedilin aa veya a^2 kuumlbuumlnuuml
buldurmak iccedilin aaa veya a^3
doumlrduumlncuuml
kuvvetini buldurmak iccedilin aaaa veya a^4
Not) Bir a matrisinin eleman -elemana ccedilarpma islemine benzer mantıkla bir matrisin tuumlm elemanlarının kareleri kuumlbleri sinuumlsleri kosinuumlsleri logaritmalarından olusan matris bulunmak istenirse bunu sırayla aa (veya a^2) aaa (veya a^3) sin(a) cos(a) etabanında logaritması
iccedilin log(a) 10 tabanında logaritmaları
iccedilin log10(a) Biccediliminde gerccedileklestirebiliriz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
86
a) a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c1 matrisi varsa bulalım
b) a matrisi ile b matrisinin ccedilarpım matrisi olan c2 varsa bulalım
c) a matrisinin elemanları
ile c matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c3 matrisi varsa bulalım
d) a matrisi ile c matrisinin ccedilarpım matrisi olan c4 varsa bulalım
e) a matrisinin elemanlarının karelerinden olusan matris ile b matrisinin
kosinuumlslerinden olusan matrisler toplamını
bulalım
f) x=[1 00 3] matrisinin i) Karesini ii) Kuumlbuumlnuuml
iii) 10
kuvvetini bulalım
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] b=[3 -3 -41 1 5] ve c=[1 0-1 23 3] matrisleri veriliyor
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
87
Ccediloumlzuumlma) iki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirBu durumda c1 matrisi tanımlıdır ve bunu c1=ab islemi ile gerccedileklestirebilirizb) iki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdırHalbuki a matrisi 2x3 b matrisi de 2x3 olduğundan bu iki matris ccedilarpılamazc) İki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirHalbuki bu matrisler aynı mertebeden olmadığından bu iki matris eleman-elemana ccedilarpma islemi
gerccedileklemezd) İki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdıra matrisi 2x3 luumlk c matrisi de 3x2 lik olduğundan bu iki matris ccedilarpılabilir ve c4 ccedilarpım matrisi 2x2 lik bir matris olurc4 ccedilarpım matrisini c4=ac islemi ile buluruze) a^2+cos(b)f) i) x^2 ii) x^3 iii) x^10
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
88
c) Bir Matrisin Devriğini (Transpozesi) Bulma İslemi
Bir matrisin satırlarını suumltun suumltunlarını satır olarak yazılmasıyla
bulunan matrise bu matrisin devriği (transpozesi) denir
Bir matrisin devriğini islemi ile bulabiliriz
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] nın devriğini buldurup d matrisine atayalım
Ccediloumlzuumlm d=a
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
89
Oumlrnek
b=[7 8 9 10 11 12] matrisinin transpozesini bulabilirmisiniz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
c=bc =
7 108 119 12
90
SORU
a=[1 2 3 4 5 6]
c= [710811912]
ise a ve crsquonin ccedilarpım matrisi
kaccediltır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
Ccedilarpma işlemi k=ack=
50 68122 167
91
SORU
a=[1 2 3 4 5 6] b=[7 8 9 10 11 12]
ise a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan x matrisini bulalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
x=abx =
7 16 2740 55 72
92
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
Aynı mertebeden iki matrisin elemanlarını teker teker boumllerek aynı
mertebeye yazılmasına iki matrisin sol boumllmesi denir ve bu islemi ile
yapılır
a b ve c aynı mertebeden kare matrisler olmak uumlzere
c=ab ise a matrisine c nin b matrisine boumlluumlmuuml denir
c boumlluumlm matrisi islemi ile yapılır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
93
HATIRLATMA
2x2 lik i2 adlı birim matrisi i2=eye(22)
3x luumlk i3 adlı birim matrisi i2=eye(33) islemi ile olusturabiiriz
Aynı mertebeden a ve b kare matrisleri iccedilin a ile b nin ccedilarpımı birim matris ise
b matrisi a matrisinin (aynı biccedilimde a matrisi de b matrisinin) ters matrisidir
Oumlrnek
3x3 luumlk bir a kare matrisinin tersini bulmak iccedilin
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
eye(33)a veya inv(a) islemini kullanırız
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
94
Bir Matrisin Determinantı
Determinant kare matrisleri bir sayıya eşleyen fonksiyondur
Determinant fonksiyonunun kare matrisi eşlediği o sayıya matrisin
determinantı denir
A matrisinin determinantı detA veya |A| biccediliminde goumlsterilir
|A| matrislerde mutlak değer anlamına gelmez |A| sıfır veya
negatif de olabilir
det(x)
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
95
KURAL
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
96
Oumlrnek
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Determinant
raquo
deter=det(x)deter =
21
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
97
Oumlrnek Inverse işlemi
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Detx=det(x)=21 ise
raquo y=inv(x)y =
821 121 -521 221
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
98
SORU
a=[2 -10 01 2 43 0 1] matrisi ile b=[1 5 41 -1 20 1 -1] matrisleri veriliyor
a)
a matrisinin elemanlarını
sırasıyla b matrisinin elemanlarına boumllerek elde
edilen matrisi b1 matrisine atayalım
b) a matrisinin ta ters matrisini bulalım
c) a ile ta matrisinin ccedilarpımının 3x3 luumlk birim matris olduğunu goumlsterelim
d) a matrisinin b matrisine boumlluumlmuumlnuuml
b2 matrisine atayalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
99
Ccediloumlzuumlm
a)
b1=ab
b) ta1=eye(33)a veya ta2=inv(a)
c) ata ==eye(33)
d) b2=ab
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
78
İki nokta uumlst uumlste () kullanılarak belirli aralıkta değişen matrisler yaratılabilir
raquo x=[127 3-10 -12]x =
1 3 5 73 2 1 0
-1 0 1 2Bir matrisin herhangi bir boumlluumlmuumlnuuml
seccedilmek iccedilin ise aşağıdaki goumlsterim
kullanılırraquo z=x(23 12)z =
3 2-1 0
Bu durumda z matris x matrisinin 2 ve 3 norsquo
lu satırlarından 1 ve 2 norsquo
lu suumltunlarını
almış
oluyor
Herhangi bir satır veya suumltunu tamamen silmek istersek o satır ve suumltunu seccedilip ldquo[]rdquo
ifadesine eşitleriz
raquo z(2)=[ ]z =
3 -1
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
79
Matlab size ve length komutları
yardımı
ile size matrisinizin boyutlarını
soumlyler
raquo a=[ 2 3 4 5 67 8 9 10 11]
raquo s=size(a)s =
2 5
raquo b=[ 17 11 0 30 40 50]
raquo k=length(b)k =
6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
80
a) Toplama-Ccedilıkarma Bir Sayı
ile Ccedilarpma İşlemi
İki matrisi toplamak (veya ccedilıkarmak) demek matrislerin aynı
mertebedeki elemanları teker teker toplayıp (veya ccedilıkarıp ) aynı
mertebeye yazmak demektir
Bu durumda iki matrisin de aynı mertebeden olması gereği accedilıktır
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile toplamak (veya ccedilıkarmak) demek
matrisin elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla toplamak (veya
ccedilıkarmak )demektir
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile ccedilarpmak demek ise matrisin
elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla ccedilarpmak demektir
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
81
82
Oumlrnek
raquo a=[1 2 3 4 5 6]raquo b=[7 8 9 10 11 12]
a ve b toplamıraquo sum=a+bsum =
8 10 1214 16 18
arsquo
yı
brsquo
den ccedilıkarmak
raquo diff=a-bdiff =
-6 -6 -6-6 -6 -6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
83
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] ve b=[3 -3 -41 1 5] matrisleri
veriliyor
a)
c=a+b toplam matrisini
b)
d=a-b matrisini
c)
amatrisinin her elemanınının 5 eksiğine karsılık gelen e
matrisini
d) f=2a-3b matrisini bulduran islemleri yazalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
a) c=a+b b) d=a-b c) e=a-5 d) f=a+a-b-b-b veya
f=2a-3b
84
İki matrisin ccedilarpım islemi iki biccedilimde anlasılır
1)
Aynı
mertebeden iki matrisin elemanlarını
teker teker ccedilarpıp aynı
mertebeye
yazmak demektir Bunu
islemi ile gerccedileklestiririz
2) Matematiksel anlamda iki matrisi ccedilarpmak istediğimizde birinci matris mxn
tuumlruumlnde ve ikinci matris mutlaka nxp tuumlruumlnde olmalıdır yani birinci matrisin
suumltun sayısı
ikinci matrisin satır sayısına eşit olmalıdır
Bu durumda birinci matrisin i suumltun elemanları
ile ikinci matrisin j satırındaki
elemanlar karılıklı
olarak ccedilarpılır ve sonuccedillar toplanır ve bu toplam ccedilarpım
matrisinin (ij) inci mertebeye yazılır
Matrisler arası
ccedilarpma isleminin semboluuml
de dır
b) İki Matrisin Ccedilarpımı Bir Matrisin Kuvvetleri veCcedilarpma İslemi
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
85
3) Bir a matrisinin her bir elemanının n Kuvvetlerinden olusan matrisi
bulmak iccedilin a^n islemi kullanılır
4) Satır ve suumltun sayıları
esit bir kare matrisi ardısık olarak n defa
kendisiyle ccedilarparak a matrisinin n kuvvetini bulabilirizOumlrneğin a matrisinin
karesi iccedilin aa veya a^2 kuumlbuumlnuuml
buldurmak iccedilin aaa veya a^3
doumlrduumlncuuml
kuvvetini buldurmak iccedilin aaaa veya a^4
Not) Bir a matrisinin eleman -elemana ccedilarpma islemine benzer mantıkla bir matrisin tuumlm elemanlarının kareleri kuumlbleri sinuumlsleri kosinuumlsleri logaritmalarından olusan matris bulunmak istenirse bunu sırayla aa (veya a^2) aaa (veya a^3) sin(a) cos(a) etabanında logaritması
iccedilin log(a) 10 tabanında logaritmaları
iccedilin log10(a) Biccediliminde gerccedileklestirebiliriz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
86
a) a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c1 matrisi varsa bulalım
b) a matrisi ile b matrisinin ccedilarpım matrisi olan c2 varsa bulalım
c) a matrisinin elemanları
ile c matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c3 matrisi varsa bulalım
d) a matrisi ile c matrisinin ccedilarpım matrisi olan c4 varsa bulalım
e) a matrisinin elemanlarının karelerinden olusan matris ile b matrisinin
kosinuumlslerinden olusan matrisler toplamını
bulalım
f) x=[1 00 3] matrisinin i) Karesini ii) Kuumlbuumlnuuml
iii) 10
kuvvetini bulalım
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] b=[3 -3 -41 1 5] ve c=[1 0-1 23 3] matrisleri veriliyor
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
87
Ccediloumlzuumlma) iki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirBu durumda c1 matrisi tanımlıdır ve bunu c1=ab islemi ile gerccedileklestirebilirizb) iki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdırHalbuki a matrisi 2x3 b matrisi de 2x3 olduğundan bu iki matris ccedilarpılamazc) İki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirHalbuki bu matrisler aynı mertebeden olmadığından bu iki matris eleman-elemana ccedilarpma islemi
gerccedileklemezd) İki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdıra matrisi 2x3 luumlk c matrisi de 3x2 lik olduğundan bu iki matris ccedilarpılabilir ve c4 ccedilarpım matrisi 2x2 lik bir matris olurc4 ccedilarpım matrisini c4=ac islemi ile buluruze) a^2+cos(b)f) i) x^2 ii) x^3 iii) x^10
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
88
c) Bir Matrisin Devriğini (Transpozesi) Bulma İslemi
Bir matrisin satırlarını suumltun suumltunlarını satır olarak yazılmasıyla
bulunan matrise bu matrisin devriği (transpozesi) denir
Bir matrisin devriğini islemi ile bulabiliriz
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] nın devriğini buldurup d matrisine atayalım
Ccediloumlzuumlm d=a
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
89
Oumlrnek
b=[7 8 9 10 11 12] matrisinin transpozesini bulabilirmisiniz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
c=bc =
7 108 119 12
90
SORU
a=[1 2 3 4 5 6]
c= [710811912]
ise a ve crsquonin ccedilarpım matrisi
kaccediltır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
Ccedilarpma işlemi k=ack=
50 68122 167
91
SORU
a=[1 2 3 4 5 6] b=[7 8 9 10 11 12]
ise a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan x matrisini bulalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
x=abx =
7 16 2740 55 72
92
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
Aynı mertebeden iki matrisin elemanlarını teker teker boumllerek aynı
mertebeye yazılmasına iki matrisin sol boumllmesi denir ve bu islemi ile
yapılır
a b ve c aynı mertebeden kare matrisler olmak uumlzere
c=ab ise a matrisine c nin b matrisine boumlluumlmuuml denir
c boumlluumlm matrisi islemi ile yapılır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
93
HATIRLATMA
2x2 lik i2 adlı birim matrisi i2=eye(22)
3x luumlk i3 adlı birim matrisi i2=eye(33) islemi ile olusturabiiriz
Aynı mertebeden a ve b kare matrisleri iccedilin a ile b nin ccedilarpımı birim matris ise
b matrisi a matrisinin (aynı biccedilimde a matrisi de b matrisinin) ters matrisidir
Oumlrnek
3x3 luumlk bir a kare matrisinin tersini bulmak iccedilin
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
eye(33)a veya inv(a) islemini kullanırız
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
94
Bir Matrisin Determinantı
Determinant kare matrisleri bir sayıya eşleyen fonksiyondur
Determinant fonksiyonunun kare matrisi eşlediği o sayıya matrisin
determinantı denir
A matrisinin determinantı detA veya |A| biccediliminde goumlsterilir
|A| matrislerde mutlak değer anlamına gelmez |A| sıfır veya
negatif de olabilir
det(x)
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
95
KURAL
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
96
Oumlrnek
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Determinant
raquo
deter=det(x)deter =
21
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
97
Oumlrnek Inverse işlemi
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Detx=det(x)=21 ise
raquo y=inv(x)y =
821 121 -521 221
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
98
SORU
a=[2 -10 01 2 43 0 1] matrisi ile b=[1 5 41 -1 20 1 -1] matrisleri veriliyor
a)
a matrisinin elemanlarını
sırasıyla b matrisinin elemanlarına boumllerek elde
edilen matrisi b1 matrisine atayalım
b) a matrisinin ta ters matrisini bulalım
c) a ile ta matrisinin ccedilarpımının 3x3 luumlk birim matris olduğunu goumlsterelim
d) a matrisinin b matrisine boumlluumlmuumlnuuml
b2 matrisine atayalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
99
Ccediloumlzuumlm
a)
b1=ab
b) ta1=eye(33)a veya ta2=inv(a)
c) ata ==eye(33)
d) b2=ab
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
79
Matlab size ve length komutları
yardımı
ile size matrisinizin boyutlarını
soumlyler
raquo a=[ 2 3 4 5 67 8 9 10 11]
raquo s=size(a)s =
2 5
raquo b=[ 17 11 0 30 40 50]
raquo k=length(b)k =
6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
80
a) Toplama-Ccedilıkarma Bir Sayı
ile Ccedilarpma İşlemi
İki matrisi toplamak (veya ccedilıkarmak) demek matrislerin aynı
mertebedeki elemanları teker teker toplayıp (veya ccedilıkarıp ) aynı
mertebeye yazmak demektir
Bu durumda iki matrisin de aynı mertebeden olması gereği accedilıktır
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile toplamak (veya ccedilıkarmak) demek
matrisin elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla toplamak (veya
ccedilıkarmak )demektir
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile ccedilarpmak demek ise matrisin
elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla ccedilarpmak demektir
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
81
82
Oumlrnek
raquo a=[1 2 3 4 5 6]raquo b=[7 8 9 10 11 12]
a ve b toplamıraquo sum=a+bsum =
8 10 1214 16 18
arsquo
yı
brsquo
den ccedilıkarmak
raquo diff=a-bdiff =
-6 -6 -6-6 -6 -6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
83
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] ve b=[3 -3 -41 1 5] matrisleri
veriliyor
a)
c=a+b toplam matrisini
b)
d=a-b matrisini
c)
amatrisinin her elemanınının 5 eksiğine karsılık gelen e
matrisini
d) f=2a-3b matrisini bulduran islemleri yazalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
a) c=a+b b) d=a-b c) e=a-5 d) f=a+a-b-b-b veya
f=2a-3b
84
İki matrisin ccedilarpım islemi iki biccedilimde anlasılır
1)
Aynı
mertebeden iki matrisin elemanlarını
teker teker ccedilarpıp aynı
mertebeye
yazmak demektir Bunu
islemi ile gerccedileklestiririz
2) Matematiksel anlamda iki matrisi ccedilarpmak istediğimizde birinci matris mxn
tuumlruumlnde ve ikinci matris mutlaka nxp tuumlruumlnde olmalıdır yani birinci matrisin
suumltun sayısı
ikinci matrisin satır sayısına eşit olmalıdır
Bu durumda birinci matrisin i suumltun elemanları
ile ikinci matrisin j satırındaki
elemanlar karılıklı
olarak ccedilarpılır ve sonuccedillar toplanır ve bu toplam ccedilarpım
matrisinin (ij) inci mertebeye yazılır
Matrisler arası
ccedilarpma isleminin semboluuml
de dır
b) İki Matrisin Ccedilarpımı Bir Matrisin Kuvvetleri veCcedilarpma İslemi
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
85
3) Bir a matrisinin her bir elemanının n Kuvvetlerinden olusan matrisi
bulmak iccedilin a^n islemi kullanılır
4) Satır ve suumltun sayıları
esit bir kare matrisi ardısık olarak n defa
kendisiyle ccedilarparak a matrisinin n kuvvetini bulabilirizOumlrneğin a matrisinin
karesi iccedilin aa veya a^2 kuumlbuumlnuuml
buldurmak iccedilin aaa veya a^3
doumlrduumlncuuml
kuvvetini buldurmak iccedilin aaaa veya a^4
Not) Bir a matrisinin eleman -elemana ccedilarpma islemine benzer mantıkla bir matrisin tuumlm elemanlarının kareleri kuumlbleri sinuumlsleri kosinuumlsleri logaritmalarından olusan matris bulunmak istenirse bunu sırayla aa (veya a^2) aaa (veya a^3) sin(a) cos(a) etabanında logaritması
iccedilin log(a) 10 tabanında logaritmaları
iccedilin log10(a) Biccediliminde gerccedileklestirebiliriz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
86
a) a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c1 matrisi varsa bulalım
b) a matrisi ile b matrisinin ccedilarpım matrisi olan c2 varsa bulalım
c) a matrisinin elemanları
ile c matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c3 matrisi varsa bulalım
d) a matrisi ile c matrisinin ccedilarpım matrisi olan c4 varsa bulalım
e) a matrisinin elemanlarının karelerinden olusan matris ile b matrisinin
kosinuumlslerinden olusan matrisler toplamını
bulalım
f) x=[1 00 3] matrisinin i) Karesini ii) Kuumlbuumlnuuml
iii) 10
kuvvetini bulalım
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] b=[3 -3 -41 1 5] ve c=[1 0-1 23 3] matrisleri veriliyor
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
87
Ccediloumlzuumlma) iki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirBu durumda c1 matrisi tanımlıdır ve bunu c1=ab islemi ile gerccedileklestirebilirizb) iki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdırHalbuki a matrisi 2x3 b matrisi de 2x3 olduğundan bu iki matris ccedilarpılamazc) İki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirHalbuki bu matrisler aynı mertebeden olmadığından bu iki matris eleman-elemana ccedilarpma islemi
gerccedileklemezd) İki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdıra matrisi 2x3 luumlk c matrisi de 3x2 lik olduğundan bu iki matris ccedilarpılabilir ve c4 ccedilarpım matrisi 2x2 lik bir matris olurc4 ccedilarpım matrisini c4=ac islemi ile buluruze) a^2+cos(b)f) i) x^2 ii) x^3 iii) x^10
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
88
c) Bir Matrisin Devriğini (Transpozesi) Bulma İslemi
Bir matrisin satırlarını suumltun suumltunlarını satır olarak yazılmasıyla
bulunan matrise bu matrisin devriği (transpozesi) denir
Bir matrisin devriğini islemi ile bulabiliriz
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] nın devriğini buldurup d matrisine atayalım
Ccediloumlzuumlm d=a
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
89
Oumlrnek
b=[7 8 9 10 11 12] matrisinin transpozesini bulabilirmisiniz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
c=bc =
7 108 119 12
90
SORU
a=[1 2 3 4 5 6]
c= [710811912]
ise a ve crsquonin ccedilarpım matrisi
kaccediltır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
Ccedilarpma işlemi k=ack=
50 68122 167
91
SORU
a=[1 2 3 4 5 6] b=[7 8 9 10 11 12]
ise a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan x matrisini bulalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
x=abx =
7 16 2740 55 72
92
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
Aynı mertebeden iki matrisin elemanlarını teker teker boumllerek aynı
mertebeye yazılmasına iki matrisin sol boumllmesi denir ve bu islemi ile
yapılır
a b ve c aynı mertebeden kare matrisler olmak uumlzere
c=ab ise a matrisine c nin b matrisine boumlluumlmuuml denir
c boumlluumlm matrisi islemi ile yapılır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
93
HATIRLATMA
2x2 lik i2 adlı birim matrisi i2=eye(22)
3x luumlk i3 adlı birim matrisi i2=eye(33) islemi ile olusturabiiriz
Aynı mertebeden a ve b kare matrisleri iccedilin a ile b nin ccedilarpımı birim matris ise
b matrisi a matrisinin (aynı biccedilimde a matrisi de b matrisinin) ters matrisidir
Oumlrnek
3x3 luumlk bir a kare matrisinin tersini bulmak iccedilin
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
eye(33)a veya inv(a) islemini kullanırız
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
94
Bir Matrisin Determinantı
Determinant kare matrisleri bir sayıya eşleyen fonksiyondur
Determinant fonksiyonunun kare matrisi eşlediği o sayıya matrisin
determinantı denir
A matrisinin determinantı detA veya |A| biccediliminde goumlsterilir
|A| matrislerde mutlak değer anlamına gelmez |A| sıfır veya
negatif de olabilir
det(x)
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
95
KURAL
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
96
Oumlrnek
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Determinant
raquo
deter=det(x)deter =
21
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
97
Oumlrnek Inverse işlemi
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Detx=det(x)=21 ise
raquo y=inv(x)y =
821 121 -521 221
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
98
SORU
a=[2 -10 01 2 43 0 1] matrisi ile b=[1 5 41 -1 20 1 -1] matrisleri veriliyor
a)
a matrisinin elemanlarını
sırasıyla b matrisinin elemanlarına boumllerek elde
edilen matrisi b1 matrisine atayalım
b) a matrisinin ta ters matrisini bulalım
c) a ile ta matrisinin ccedilarpımının 3x3 luumlk birim matris olduğunu goumlsterelim
d) a matrisinin b matrisine boumlluumlmuumlnuuml
b2 matrisine atayalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
99
Ccediloumlzuumlm
a)
b1=ab
b) ta1=eye(33)a veya ta2=inv(a)
c) ata ==eye(33)
d) b2=ab
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
80
a) Toplama-Ccedilıkarma Bir Sayı
ile Ccedilarpma İşlemi
İki matrisi toplamak (veya ccedilıkarmak) demek matrislerin aynı
mertebedeki elemanları teker teker toplayıp (veya ccedilıkarıp ) aynı
mertebeye yazmak demektir
Bu durumda iki matrisin de aynı mertebeden olması gereği accedilıktır
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile toplamak (veya ccedilıkarmak) demek
matrisin elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla toplamak (veya
ccedilıkarmak )demektir
Bir matrisi sabit bir sayıyla ile ccedilarpmak demek ise matrisin
elemanlarınının tuumlmuumlnuuml teker teker o sayıyla ccedilarpmak demektir
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
81
82
Oumlrnek
raquo a=[1 2 3 4 5 6]raquo b=[7 8 9 10 11 12]
a ve b toplamıraquo sum=a+bsum =
8 10 1214 16 18
arsquo
yı
brsquo
den ccedilıkarmak
raquo diff=a-bdiff =
-6 -6 -6-6 -6 -6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
83
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] ve b=[3 -3 -41 1 5] matrisleri
veriliyor
a)
c=a+b toplam matrisini
b)
d=a-b matrisini
c)
amatrisinin her elemanınının 5 eksiğine karsılık gelen e
matrisini
d) f=2a-3b matrisini bulduran islemleri yazalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
a) c=a+b b) d=a-b c) e=a-5 d) f=a+a-b-b-b veya
f=2a-3b
84
İki matrisin ccedilarpım islemi iki biccedilimde anlasılır
1)
Aynı
mertebeden iki matrisin elemanlarını
teker teker ccedilarpıp aynı
mertebeye
yazmak demektir Bunu
islemi ile gerccedileklestiririz
2) Matematiksel anlamda iki matrisi ccedilarpmak istediğimizde birinci matris mxn
tuumlruumlnde ve ikinci matris mutlaka nxp tuumlruumlnde olmalıdır yani birinci matrisin
suumltun sayısı
ikinci matrisin satır sayısına eşit olmalıdır
Bu durumda birinci matrisin i suumltun elemanları
ile ikinci matrisin j satırındaki
elemanlar karılıklı
olarak ccedilarpılır ve sonuccedillar toplanır ve bu toplam ccedilarpım
matrisinin (ij) inci mertebeye yazılır
Matrisler arası
ccedilarpma isleminin semboluuml
de dır
b) İki Matrisin Ccedilarpımı Bir Matrisin Kuvvetleri veCcedilarpma İslemi
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
85
3) Bir a matrisinin her bir elemanının n Kuvvetlerinden olusan matrisi
bulmak iccedilin a^n islemi kullanılır
4) Satır ve suumltun sayıları
esit bir kare matrisi ardısık olarak n defa
kendisiyle ccedilarparak a matrisinin n kuvvetini bulabilirizOumlrneğin a matrisinin
karesi iccedilin aa veya a^2 kuumlbuumlnuuml
buldurmak iccedilin aaa veya a^3
doumlrduumlncuuml
kuvvetini buldurmak iccedilin aaaa veya a^4
Not) Bir a matrisinin eleman -elemana ccedilarpma islemine benzer mantıkla bir matrisin tuumlm elemanlarının kareleri kuumlbleri sinuumlsleri kosinuumlsleri logaritmalarından olusan matris bulunmak istenirse bunu sırayla aa (veya a^2) aaa (veya a^3) sin(a) cos(a) etabanında logaritması
iccedilin log(a) 10 tabanında logaritmaları
iccedilin log10(a) Biccediliminde gerccedileklestirebiliriz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
86
a) a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c1 matrisi varsa bulalım
b) a matrisi ile b matrisinin ccedilarpım matrisi olan c2 varsa bulalım
c) a matrisinin elemanları
ile c matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c3 matrisi varsa bulalım
d) a matrisi ile c matrisinin ccedilarpım matrisi olan c4 varsa bulalım
e) a matrisinin elemanlarının karelerinden olusan matris ile b matrisinin
kosinuumlslerinden olusan matrisler toplamını
bulalım
f) x=[1 00 3] matrisinin i) Karesini ii) Kuumlbuumlnuuml
iii) 10
kuvvetini bulalım
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] b=[3 -3 -41 1 5] ve c=[1 0-1 23 3] matrisleri veriliyor
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
87
Ccediloumlzuumlma) iki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirBu durumda c1 matrisi tanımlıdır ve bunu c1=ab islemi ile gerccedileklestirebilirizb) iki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdırHalbuki a matrisi 2x3 b matrisi de 2x3 olduğundan bu iki matris ccedilarpılamazc) İki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirHalbuki bu matrisler aynı mertebeden olmadığından bu iki matris eleman-elemana ccedilarpma islemi
gerccedileklemezd) İki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdıra matrisi 2x3 luumlk c matrisi de 3x2 lik olduğundan bu iki matris ccedilarpılabilir ve c4 ccedilarpım matrisi 2x2 lik bir matris olurc4 ccedilarpım matrisini c4=ac islemi ile buluruze) a^2+cos(b)f) i) x^2 ii) x^3 iii) x^10
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
88
c) Bir Matrisin Devriğini (Transpozesi) Bulma İslemi
Bir matrisin satırlarını suumltun suumltunlarını satır olarak yazılmasıyla
bulunan matrise bu matrisin devriği (transpozesi) denir
Bir matrisin devriğini islemi ile bulabiliriz
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] nın devriğini buldurup d matrisine atayalım
Ccediloumlzuumlm d=a
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
89
Oumlrnek
b=[7 8 9 10 11 12] matrisinin transpozesini bulabilirmisiniz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
c=bc =
7 108 119 12
90
SORU
a=[1 2 3 4 5 6]
c= [710811912]
ise a ve crsquonin ccedilarpım matrisi
kaccediltır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
Ccedilarpma işlemi k=ack=
50 68122 167
91
SORU
a=[1 2 3 4 5 6] b=[7 8 9 10 11 12]
ise a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan x matrisini bulalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
x=abx =
7 16 2740 55 72
92
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
Aynı mertebeden iki matrisin elemanlarını teker teker boumllerek aynı
mertebeye yazılmasına iki matrisin sol boumllmesi denir ve bu islemi ile
yapılır
a b ve c aynı mertebeden kare matrisler olmak uumlzere
c=ab ise a matrisine c nin b matrisine boumlluumlmuuml denir
c boumlluumlm matrisi islemi ile yapılır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
93
HATIRLATMA
2x2 lik i2 adlı birim matrisi i2=eye(22)
3x luumlk i3 adlı birim matrisi i2=eye(33) islemi ile olusturabiiriz
Aynı mertebeden a ve b kare matrisleri iccedilin a ile b nin ccedilarpımı birim matris ise
b matrisi a matrisinin (aynı biccedilimde a matrisi de b matrisinin) ters matrisidir
Oumlrnek
3x3 luumlk bir a kare matrisinin tersini bulmak iccedilin
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
eye(33)a veya inv(a) islemini kullanırız
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
94
Bir Matrisin Determinantı
Determinant kare matrisleri bir sayıya eşleyen fonksiyondur
Determinant fonksiyonunun kare matrisi eşlediği o sayıya matrisin
determinantı denir
A matrisinin determinantı detA veya |A| biccediliminde goumlsterilir
|A| matrislerde mutlak değer anlamına gelmez |A| sıfır veya
negatif de olabilir
det(x)
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
95
KURAL
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
96
Oumlrnek
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Determinant
raquo
deter=det(x)deter =
21
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
97
Oumlrnek Inverse işlemi
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Detx=det(x)=21 ise
raquo y=inv(x)y =
821 121 -521 221
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
98
SORU
a=[2 -10 01 2 43 0 1] matrisi ile b=[1 5 41 -1 20 1 -1] matrisleri veriliyor
a)
a matrisinin elemanlarını
sırasıyla b matrisinin elemanlarına boumllerek elde
edilen matrisi b1 matrisine atayalım
b) a matrisinin ta ters matrisini bulalım
c) a ile ta matrisinin ccedilarpımının 3x3 luumlk birim matris olduğunu goumlsterelim
d) a matrisinin b matrisine boumlluumlmuumlnuuml
b2 matrisine atayalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
99
Ccediloumlzuumlm
a)
b1=ab
b) ta1=eye(33)a veya ta2=inv(a)
c) ata ==eye(33)
d) b2=ab
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
81
82
Oumlrnek
raquo a=[1 2 3 4 5 6]raquo b=[7 8 9 10 11 12]
a ve b toplamıraquo sum=a+bsum =
8 10 1214 16 18
arsquo
yı
brsquo
den ccedilıkarmak
raquo diff=a-bdiff =
-6 -6 -6-6 -6 -6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
83
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] ve b=[3 -3 -41 1 5] matrisleri
veriliyor
a)
c=a+b toplam matrisini
b)
d=a-b matrisini
c)
amatrisinin her elemanınının 5 eksiğine karsılık gelen e
matrisini
d) f=2a-3b matrisini bulduran islemleri yazalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
a) c=a+b b) d=a-b c) e=a-5 d) f=a+a-b-b-b veya
f=2a-3b
84
İki matrisin ccedilarpım islemi iki biccedilimde anlasılır
1)
Aynı
mertebeden iki matrisin elemanlarını
teker teker ccedilarpıp aynı
mertebeye
yazmak demektir Bunu
islemi ile gerccedileklestiririz
2) Matematiksel anlamda iki matrisi ccedilarpmak istediğimizde birinci matris mxn
tuumlruumlnde ve ikinci matris mutlaka nxp tuumlruumlnde olmalıdır yani birinci matrisin
suumltun sayısı
ikinci matrisin satır sayısına eşit olmalıdır
Bu durumda birinci matrisin i suumltun elemanları
ile ikinci matrisin j satırındaki
elemanlar karılıklı
olarak ccedilarpılır ve sonuccedillar toplanır ve bu toplam ccedilarpım
matrisinin (ij) inci mertebeye yazılır
Matrisler arası
ccedilarpma isleminin semboluuml
de dır
b) İki Matrisin Ccedilarpımı Bir Matrisin Kuvvetleri veCcedilarpma İslemi
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
85
3) Bir a matrisinin her bir elemanının n Kuvvetlerinden olusan matrisi
bulmak iccedilin a^n islemi kullanılır
4) Satır ve suumltun sayıları
esit bir kare matrisi ardısık olarak n defa
kendisiyle ccedilarparak a matrisinin n kuvvetini bulabilirizOumlrneğin a matrisinin
karesi iccedilin aa veya a^2 kuumlbuumlnuuml
buldurmak iccedilin aaa veya a^3
doumlrduumlncuuml
kuvvetini buldurmak iccedilin aaaa veya a^4
Not) Bir a matrisinin eleman -elemana ccedilarpma islemine benzer mantıkla bir matrisin tuumlm elemanlarının kareleri kuumlbleri sinuumlsleri kosinuumlsleri logaritmalarından olusan matris bulunmak istenirse bunu sırayla aa (veya a^2) aaa (veya a^3) sin(a) cos(a) etabanında logaritması
iccedilin log(a) 10 tabanında logaritmaları
iccedilin log10(a) Biccediliminde gerccedileklestirebiliriz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
86
a) a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c1 matrisi varsa bulalım
b) a matrisi ile b matrisinin ccedilarpım matrisi olan c2 varsa bulalım
c) a matrisinin elemanları
ile c matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c3 matrisi varsa bulalım
d) a matrisi ile c matrisinin ccedilarpım matrisi olan c4 varsa bulalım
e) a matrisinin elemanlarının karelerinden olusan matris ile b matrisinin
kosinuumlslerinden olusan matrisler toplamını
bulalım
f) x=[1 00 3] matrisinin i) Karesini ii) Kuumlbuumlnuuml
iii) 10
kuvvetini bulalım
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] b=[3 -3 -41 1 5] ve c=[1 0-1 23 3] matrisleri veriliyor
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
87
Ccediloumlzuumlma) iki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirBu durumda c1 matrisi tanımlıdır ve bunu c1=ab islemi ile gerccedileklestirebilirizb) iki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdırHalbuki a matrisi 2x3 b matrisi de 2x3 olduğundan bu iki matris ccedilarpılamazc) İki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirHalbuki bu matrisler aynı mertebeden olmadığından bu iki matris eleman-elemana ccedilarpma islemi
gerccedileklemezd) İki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdıra matrisi 2x3 luumlk c matrisi de 3x2 lik olduğundan bu iki matris ccedilarpılabilir ve c4 ccedilarpım matrisi 2x2 lik bir matris olurc4 ccedilarpım matrisini c4=ac islemi ile buluruze) a^2+cos(b)f) i) x^2 ii) x^3 iii) x^10
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
88
c) Bir Matrisin Devriğini (Transpozesi) Bulma İslemi
Bir matrisin satırlarını suumltun suumltunlarını satır olarak yazılmasıyla
bulunan matrise bu matrisin devriği (transpozesi) denir
Bir matrisin devriğini islemi ile bulabiliriz
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] nın devriğini buldurup d matrisine atayalım
Ccediloumlzuumlm d=a
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
89
Oumlrnek
b=[7 8 9 10 11 12] matrisinin transpozesini bulabilirmisiniz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
c=bc =
7 108 119 12
90
SORU
a=[1 2 3 4 5 6]
c= [710811912]
ise a ve crsquonin ccedilarpım matrisi
kaccediltır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
Ccedilarpma işlemi k=ack=
50 68122 167
91
SORU
a=[1 2 3 4 5 6] b=[7 8 9 10 11 12]
ise a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan x matrisini bulalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
x=abx =
7 16 2740 55 72
92
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
Aynı mertebeden iki matrisin elemanlarını teker teker boumllerek aynı
mertebeye yazılmasına iki matrisin sol boumllmesi denir ve bu islemi ile
yapılır
a b ve c aynı mertebeden kare matrisler olmak uumlzere
c=ab ise a matrisine c nin b matrisine boumlluumlmuuml denir
c boumlluumlm matrisi islemi ile yapılır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
93
HATIRLATMA
2x2 lik i2 adlı birim matrisi i2=eye(22)
3x luumlk i3 adlı birim matrisi i2=eye(33) islemi ile olusturabiiriz
Aynı mertebeden a ve b kare matrisleri iccedilin a ile b nin ccedilarpımı birim matris ise
b matrisi a matrisinin (aynı biccedilimde a matrisi de b matrisinin) ters matrisidir
Oumlrnek
3x3 luumlk bir a kare matrisinin tersini bulmak iccedilin
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
eye(33)a veya inv(a) islemini kullanırız
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
94
Bir Matrisin Determinantı
Determinant kare matrisleri bir sayıya eşleyen fonksiyondur
Determinant fonksiyonunun kare matrisi eşlediği o sayıya matrisin
determinantı denir
A matrisinin determinantı detA veya |A| biccediliminde goumlsterilir
|A| matrislerde mutlak değer anlamına gelmez |A| sıfır veya
negatif de olabilir
det(x)
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
95
KURAL
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
96
Oumlrnek
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Determinant
raquo
deter=det(x)deter =
21
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
97
Oumlrnek Inverse işlemi
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Detx=det(x)=21 ise
raquo y=inv(x)y =
821 121 -521 221
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
98
SORU
a=[2 -10 01 2 43 0 1] matrisi ile b=[1 5 41 -1 20 1 -1] matrisleri veriliyor
a)
a matrisinin elemanlarını
sırasıyla b matrisinin elemanlarına boumllerek elde
edilen matrisi b1 matrisine atayalım
b) a matrisinin ta ters matrisini bulalım
c) a ile ta matrisinin ccedilarpımının 3x3 luumlk birim matris olduğunu goumlsterelim
d) a matrisinin b matrisine boumlluumlmuumlnuuml
b2 matrisine atayalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
99
Ccediloumlzuumlm
a)
b1=ab
b) ta1=eye(33)a veya ta2=inv(a)
c) ata ==eye(33)
d) b2=ab
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
82
Oumlrnek
raquo a=[1 2 3 4 5 6]raquo b=[7 8 9 10 11 12]
a ve b toplamıraquo sum=a+bsum =
8 10 1214 16 18
arsquo
yı
brsquo
den ccedilıkarmak
raquo diff=a-bdiff =
-6 -6 -6-6 -6 -6
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
83
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] ve b=[3 -3 -41 1 5] matrisleri
veriliyor
a)
c=a+b toplam matrisini
b)
d=a-b matrisini
c)
amatrisinin her elemanınının 5 eksiğine karsılık gelen e
matrisini
d) f=2a-3b matrisini bulduran islemleri yazalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
a) c=a+b b) d=a-b c) e=a-5 d) f=a+a-b-b-b veya
f=2a-3b
84
İki matrisin ccedilarpım islemi iki biccedilimde anlasılır
1)
Aynı
mertebeden iki matrisin elemanlarını
teker teker ccedilarpıp aynı
mertebeye
yazmak demektir Bunu
islemi ile gerccedileklestiririz
2) Matematiksel anlamda iki matrisi ccedilarpmak istediğimizde birinci matris mxn
tuumlruumlnde ve ikinci matris mutlaka nxp tuumlruumlnde olmalıdır yani birinci matrisin
suumltun sayısı
ikinci matrisin satır sayısına eşit olmalıdır
Bu durumda birinci matrisin i suumltun elemanları
ile ikinci matrisin j satırındaki
elemanlar karılıklı
olarak ccedilarpılır ve sonuccedillar toplanır ve bu toplam ccedilarpım
matrisinin (ij) inci mertebeye yazılır
Matrisler arası
ccedilarpma isleminin semboluuml
de dır
b) İki Matrisin Ccedilarpımı Bir Matrisin Kuvvetleri veCcedilarpma İslemi
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
85
3) Bir a matrisinin her bir elemanının n Kuvvetlerinden olusan matrisi
bulmak iccedilin a^n islemi kullanılır
4) Satır ve suumltun sayıları
esit bir kare matrisi ardısık olarak n defa
kendisiyle ccedilarparak a matrisinin n kuvvetini bulabilirizOumlrneğin a matrisinin
karesi iccedilin aa veya a^2 kuumlbuumlnuuml
buldurmak iccedilin aaa veya a^3
doumlrduumlncuuml
kuvvetini buldurmak iccedilin aaaa veya a^4
Not) Bir a matrisinin eleman -elemana ccedilarpma islemine benzer mantıkla bir matrisin tuumlm elemanlarının kareleri kuumlbleri sinuumlsleri kosinuumlsleri logaritmalarından olusan matris bulunmak istenirse bunu sırayla aa (veya a^2) aaa (veya a^3) sin(a) cos(a) etabanında logaritması
iccedilin log(a) 10 tabanında logaritmaları
iccedilin log10(a) Biccediliminde gerccedileklestirebiliriz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
86
a) a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c1 matrisi varsa bulalım
b) a matrisi ile b matrisinin ccedilarpım matrisi olan c2 varsa bulalım
c) a matrisinin elemanları
ile c matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c3 matrisi varsa bulalım
d) a matrisi ile c matrisinin ccedilarpım matrisi olan c4 varsa bulalım
e) a matrisinin elemanlarının karelerinden olusan matris ile b matrisinin
kosinuumlslerinden olusan matrisler toplamını
bulalım
f) x=[1 00 3] matrisinin i) Karesini ii) Kuumlbuumlnuuml
iii) 10
kuvvetini bulalım
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] b=[3 -3 -41 1 5] ve c=[1 0-1 23 3] matrisleri veriliyor
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
87
Ccediloumlzuumlma) iki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirBu durumda c1 matrisi tanımlıdır ve bunu c1=ab islemi ile gerccedileklestirebilirizb) iki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdırHalbuki a matrisi 2x3 b matrisi de 2x3 olduğundan bu iki matris ccedilarpılamazc) İki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirHalbuki bu matrisler aynı mertebeden olmadığından bu iki matris eleman-elemana ccedilarpma islemi
gerccedileklemezd) İki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdıra matrisi 2x3 luumlk c matrisi de 3x2 lik olduğundan bu iki matris ccedilarpılabilir ve c4 ccedilarpım matrisi 2x2 lik bir matris olurc4 ccedilarpım matrisini c4=ac islemi ile buluruze) a^2+cos(b)f) i) x^2 ii) x^3 iii) x^10
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
88
c) Bir Matrisin Devriğini (Transpozesi) Bulma İslemi
Bir matrisin satırlarını suumltun suumltunlarını satır olarak yazılmasıyla
bulunan matrise bu matrisin devriği (transpozesi) denir
Bir matrisin devriğini islemi ile bulabiliriz
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] nın devriğini buldurup d matrisine atayalım
Ccediloumlzuumlm d=a
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
89
Oumlrnek
b=[7 8 9 10 11 12] matrisinin transpozesini bulabilirmisiniz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
c=bc =
7 108 119 12
90
SORU
a=[1 2 3 4 5 6]
c= [710811912]
ise a ve crsquonin ccedilarpım matrisi
kaccediltır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
Ccedilarpma işlemi k=ack=
50 68122 167
91
SORU
a=[1 2 3 4 5 6] b=[7 8 9 10 11 12]
ise a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan x matrisini bulalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
x=abx =
7 16 2740 55 72
92
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
Aynı mertebeden iki matrisin elemanlarını teker teker boumllerek aynı
mertebeye yazılmasına iki matrisin sol boumllmesi denir ve bu islemi ile
yapılır
a b ve c aynı mertebeden kare matrisler olmak uumlzere
c=ab ise a matrisine c nin b matrisine boumlluumlmuuml denir
c boumlluumlm matrisi islemi ile yapılır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
93
HATIRLATMA
2x2 lik i2 adlı birim matrisi i2=eye(22)
3x luumlk i3 adlı birim matrisi i2=eye(33) islemi ile olusturabiiriz
Aynı mertebeden a ve b kare matrisleri iccedilin a ile b nin ccedilarpımı birim matris ise
b matrisi a matrisinin (aynı biccedilimde a matrisi de b matrisinin) ters matrisidir
Oumlrnek
3x3 luumlk bir a kare matrisinin tersini bulmak iccedilin
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
eye(33)a veya inv(a) islemini kullanırız
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
94
Bir Matrisin Determinantı
Determinant kare matrisleri bir sayıya eşleyen fonksiyondur
Determinant fonksiyonunun kare matrisi eşlediği o sayıya matrisin
determinantı denir
A matrisinin determinantı detA veya |A| biccediliminde goumlsterilir
|A| matrislerde mutlak değer anlamına gelmez |A| sıfır veya
negatif de olabilir
det(x)
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
95
KURAL
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
96
Oumlrnek
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Determinant
raquo
deter=det(x)deter =
21
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
97
Oumlrnek Inverse işlemi
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Detx=det(x)=21 ise
raquo y=inv(x)y =
821 121 -521 221
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
98
SORU
a=[2 -10 01 2 43 0 1] matrisi ile b=[1 5 41 -1 20 1 -1] matrisleri veriliyor
a)
a matrisinin elemanlarını
sırasıyla b matrisinin elemanlarına boumllerek elde
edilen matrisi b1 matrisine atayalım
b) a matrisinin ta ters matrisini bulalım
c) a ile ta matrisinin ccedilarpımının 3x3 luumlk birim matris olduğunu goumlsterelim
d) a matrisinin b matrisine boumlluumlmuumlnuuml
b2 matrisine atayalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
99
Ccediloumlzuumlm
a)
b1=ab
b) ta1=eye(33)a veya ta2=inv(a)
c) ata ==eye(33)
d) b2=ab
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
83
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] ve b=[3 -3 -41 1 5] matrisleri
veriliyor
a)
c=a+b toplam matrisini
b)
d=a-b matrisini
c)
amatrisinin her elemanınının 5 eksiğine karsılık gelen e
matrisini
d) f=2a-3b matrisini bulduran islemleri yazalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
a) c=a+b b) d=a-b c) e=a-5 d) f=a+a-b-b-b veya
f=2a-3b
84
İki matrisin ccedilarpım islemi iki biccedilimde anlasılır
1)
Aynı
mertebeden iki matrisin elemanlarını
teker teker ccedilarpıp aynı
mertebeye
yazmak demektir Bunu
islemi ile gerccedileklestiririz
2) Matematiksel anlamda iki matrisi ccedilarpmak istediğimizde birinci matris mxn
tuumlruumlnde ve ikinci matris mutlaka nxp tuumlruumlnde olmalıdır yani birinci matrisin
suumltun sayısı
ikinci matrisin satır sayısına eşit olmalıdır
Bu durumda birinci matrisin i suumltun elemanları
ile ikinci matrisin j satırındaki
elemanlar karılıklı
olarak ccedilarpılır ve sonuccedillar toplanır ve bu toplam ccedilarpım
matrisinin (ij) inci mertebeye yazılır
Matrisler arası
ccedilarpma isleminin semboluuml
de dır
b) İki Matrisin Ccedilarpımı Bir Matrisin Kuvvetleri veCcedilarpma İslemi
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
85
3) Bir a matrisinin her bir elemanının n Kuvvetlerinden olusan matrisi
bulmak iccedilin a^n islemi kullanılır
4) Satır ve suumltun sayıları
esit bir kare matrisi ardısık olarak n defa
kendisiyle ccedilarparak a matrisinin n kuvvetini bulabilirizOumlrneğin a matrisinin
karesi iccedilin aa veya a^2 kuumlbuumlnuuml
buldurmak iccedilin aaa veya a^3
doumlrduumlncuuml
kuvvetini buldurmak iccedilin aaaa veya a^4
Not) Bir a matrisinin eleman -elemana ccedilarpma islemine benzer mantıkla bir matrisin tuumlm elemanlarının kareleri kuumlbleri sinuumlsleri kosinuumlsleri logaritmalarından olusan matris bulunmak istenirse bunu sırayla aa (veya a^2) aaa (veya a^3) sin(a) cos(a) etabanında logaritması
iccedilin log(a) 10 tabanında logaritmaları
iccedilin log10(a) Biccediliminde gerccedileklestirebiliriz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
86
a) a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c1 matrisi varsa bulalım
b) a matrisi ile b matrisinin ccedilarpım matrisi olan c2 varsa bulalım
c) a matrisinin elemanları
ile c matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c3 matrisi varsa bulalım
d) a matrisi ile c matrisinin ccedilarpım matrisi olan c4 varsa bulalım
e) a matrisinin elemanlarının karelerinden olusan matris ile b matrisinin
kosinuumlslerinden olusan matrisler toplamını
bulalım
f) x=[1 00 3] matrisinin i) Karesini ii) Kuumlbuumlnuuml
iii) 10
kuvvetini bulalım
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] b=[3 -3 -41 1 5] ve c=[1 0-1 23 3] matrisleri veriliyor
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
87
Ccediloumlzuumlma) iki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirBu durumda c1 matrisi tanımlıdır ve bunu c1=ab islemi ile gerccedileklestirebilirizb) iki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdırHalbuki a matrisi 2x3 b matrisi de 2x3 olduğundan bu iki matris ccedilarpılamazc) İki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirHalbuki bu matrisler aynı mertebeden olmadığından bu iki matris eleman-elemana ccedilarpma islemi
gerccedileklemezd) İki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdıra matrisi 2x3 luumlk c matrisi de 3x2 lik olduğundan bu iki matris ccedilarpılabilir ve c4 ccedilarpım matrisi 2x2 lik bir matris olurc4 ccedilarpım matrisini c4=ac islemi ile buluruze) a^2+cos(b)f) i) x^2 ii) x^3 iii) x^10
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
88
c) Bir Matrisin Devriğini (Transpozesi) Bulma İslemi
Bir matrisin satırlarını suumltun suumltunlarını satır olarak yazılmasıyla
bulunan matrise bu matrisin devriği (transpozesi) denir
Bir matrisin devriğini islemi ile bulabiliriz
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] nın devriğini buldurup d matrisine atayalım
Ccediloumlzuumlm d=a
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
89
Oumlrnek
b=[7 8 9 10 11 12] matrisinin transpozesini bulabilirmisiniz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
c=bc =
7 108 119 12
90
SORU
a=[1 2 3 4 5 6]
c= [710811912]
ise a ve crsquonin ccedilarpım matrisi
kaccediltır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
Ccedilarpma işlemi k=ack=
50 68122 167
91
SORU
a=[1 2 3 4 5 6] b=[7 8 9 10 11 12]
ise a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan x matrisini bulalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
x=abx =
7 16 2740 55 72
92
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
Aynı mertebeden iki matrisin elemanlarını teker teker boumllerek aynı
mertebeye yazılmasına iki matrisin sol boumllmesi denir ve bu islemi ile
yapılır
a b ve c aynı mertebeden kare matrisler olmak uumlzere
c=ab ise a matrisine c nin b matrisine boumlluumlmuuml denir
c boumlluumlm matrisi islemi ile yapılır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
93
HATIRLATMA
2x2 lik i2 adlı birim matrisi i2=eye(22)
3x luumlk i3 adlı birim matrisi i2=eye(33) islemi ile olusturabiiriz
Aynı mertebeden a ve b kare matrisleri iccedilin a ile b nin ccedilarpımı birim matris ise
b matrisi a matrisinin (aynı biccedilimde a matrisi de b matrisinin) ters matrisidir
Oumlrnek
3x3 luumlk bir a kare matrisinin tersini bulmak iccedilin
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
eye(33)a veya inv(a) islemini kullanırız
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
94
Bir Matrisin Determinantı
Determinant kare matrisleri bir sayıya eşleyen fonksiyondur
Determinant fonksiyonunun kare matrisi eşlediği o sayıya matrisin
determinantı denir
A matrisinin determinantı detA veya |A| biccediliminde goumlsterilir
|A| matrislerde mutlak değer anlamına gelmez |A| sıfır veya
negatif de olabilir
det(x)
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
95
KURAL
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
96
Oumlrnek
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Determinant
raquo
deter=det(x)deter =
21
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
97
Oumlrnek Inverse işlemi
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Detx=det(x)=21 ise
raquo y=inv(x)y =
821 121 -521 221
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
98
SORU
a=[2 -10 01 2 43 0 1] matrisi ile b=[1 5 41 -1 20 1 -1] matrisleri veriliyor
a)
a matrisinin elemanlarını
sırasıyla b matrisinin elemanlarına boumllerek elde
edilen matrisi b1 matrisine atayalım
b) a matrisinin ta ters matrisini bulalım
c) a ile ta matrisinin ccedilarpımının 3x3 luumlk birim matris olduğunu goumlsterelim
d) a matrisinin b matrisine boumlluumlmuumlnuuml
b2 matrisine atayalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
99
Ccediloumlzuumlm
a)
b1=ab
b) ta1=eye(33)a veya ta2=inv(a)
c) ata ==eye(33)
d) b2=ab
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
84
İki matrisin ccedilarpım islemi iki biccedilimde anlasılır
1)
Aynı
mertebeden iki matrisin elemanlarını
teker teker ccedilarpıp aynı
mertebeye
yazmak demektir Bunu
islemi ile gerccedileklestiririz
2) Matematiksel anlamda iki matrisi ccedilarpmak istediğimizde birinci matris mxn
tuumlruumlnde ve ikinci matris mutlaka nxp tuumlruumlnde olmalıdır yani birinci matrisin
suumltun sayısı
ikinci matrisin satır sayısına eşit olmalıdır
Bu durumda birinci matrisin i suumltun elemanları
ile ikinci matrisin j satırındaki
elemanlar karılıklı
olarak ccedilarpılır ve sonuccedillar toplanır ve bu toplam ccedilarpım
matrisinin (ij) inci mertebeye yazılır
Matrisler arası
ccedilarpma isleminin semboluuml
de dır
b) İki Matrisin Ccedilarpımı Bir Matrisin Kuvvetleri veCcedilarpma İslemi
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
85
3) Bir a matrisinin her bir elemanının n Kuvvetlerinden olusan matrisi
bulmak iccedilin a^n islemi kullanılır
4) Satır ve suumltun sayıları
esit bir kare matrisi ardısık olarak n defa
kendisiyle ccedilarparak a matrisinin n kuvvetini bulabilirizOumlrneğin a matrisinin
karesi iccedilin aa veya a^2 kuumlbuumlnuuml
buldurmak iccedilin aaa veya a^3
doumlrduumlncuuml
kuvvetini buldurmak iccedilin aaaa veya a^4
Not) Bir a matrisinin eleman -elemana ccedilarpma islemine benzer mantıkla bir matrisin tuumlm elemanlarının kareleri kuumlbleri sinuumlsleri kosinuumlsleri logaritmalarından olusan matris bulunmak istenirse bunu sırayla aa (veya a^2) aaa (veya a^3) sin(a) cos(a) etabanında logaritması
iccedilin log(a) 10 tabanında logaritmaları
iccedilin log10(a) Biccediliminde gerccedileklestirebiliriz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
86
a) a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c1 matrisi varsa bulalım
b) a matrisi ile b matrisinin ccedilarpım matrisi olan c2 varsa bulalım
c) a matrisinin elemanları
ile c matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c3 matrisi varsa bulalım
d) a matrisi ile c matrisinin ccedilarpım matrisi olan c4 varsa bulalım
e) a matrisinin elemanlarının karelerinden olusan matris ile b matrisinin
kosinuumlslerinden olusan matrisler toplamını
bulalım
f) x=[1 00 3] matrisinin i) Karesini ii) Kuumlbuumlnuuml
iii) 10
kuvvetini bulalım
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] b=[3 -3 -41 1 5] ve c=[1 0-1 23 3] matrisleri veriliyor
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
87
Ccediloumlzuumlma) iki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirBu durumda c1 matrisi tanımlıdır ve bunu c1=ab islemi ile gerccedileklestirebilirizb) iki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdırHalbuki a matrisi 2x3 b matrisi de 2x3 olduğundan bu iki matris ccedilarpılamazc) İki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirHalbuki bu matrisler aynı mertebeden olmadığından bu iki matris eleman-elemana ccedilarpma islemi
gerccedileklemezd) İki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdıra matrisi 2x3 luumlk c matrisi de 3x2 lik olduğundan bu iki matris ccedilarpılabilir ve c4 ccedilarpım matrisi 2x2 lik bir matris olurc4 ccedilarpım matrisini c4=ac islemi ile buluruze) a^2+cos(b)f) i) x^2 ii) x^3 iii) x^10
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
88
c) Bir Matrisin Devriğini (Transpozesi) Bulma İslemi
Bir matrisin satırlarını suumltun suumltunlarını satır olarak yazılmasıyla
bulunan matrise bu matrisin devriği (transpozesi) denir
Bir matrisin devriğini islemi ile bulabiliriz
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] nın devriğini buldurup d matrisine atayalım
Ccediloumlzuumlm d=a
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
89
Oumlrnek
b=[7 8 9 10 11 12] matrisinin transpozesini bulabilirmisiniz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
c=bc =
7 108 119 12
90
SORU
a=[1 2 3 4 5 6]
c= [710811912]
ise a ve crsquonin ccedilarpım matrisi
kaccediltır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
Ccedilarpma işlemi k=ack=
50 68122 167
91
SORU
a=[1 2 3 4 5 6] b=[7 8 9 10 11 12]
ise a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan x matrisini bulalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
x=abx =
7 16 2740 55 72
92
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
Aynı mertebeden iki matrisin elemanlarını teker teker boumllerek aynı
mertebeye yazılmasına iki matrisin sol boumllmesi denir ve bu islemi ile
yapılır
a b ve c aynı mertebeden kare matrisler olmak uumlzere
c=ab ise a matrisine c nin b matrisine boumlluumlmuuml denir
c boumlluumlm matrisi islemi ile yapılır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
93
HATIRLATMA
2x2 lik i2 adlı birim matrisi i2=eye(22)
3x luumlk i3 adlı birim matrisi i2=eye(33) islemi ile olusturabiiriz
Aynı mertebeden a ve b kare matrisleri iccedilin a ile b nin ccedilarpımı birim matris ise
b matrisi a matrisinin (aynı biccedilimde a matrisi de b matrisinin) ters matrisidir
Oumlrnek
3x3 luumlk bir a kare matrisinin tersini bulmak iccedilin
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
eye(33)a veya inv(a) islemini kullanırız
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
94
Bir Matrisin Determinantı
Determinant kare matrisleri bir sayıya eşleyen fonksiyondur
Determinant fonksiyonunun kare matrisi eşlediği o sayıya matrisin
determinantı denir
A matrisinin determinantı detA veya |A| biccediliminde goumlsterilir
|A| matrislerde mutlak değer anlamına gelmez |A| sıfır veya
negatif de olabilir
det(x)
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
95
KURAL
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
96
Oumlrnek
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Determinant
raquo
deter=det(x)deter =
21
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
97
Oumlrnek Inverse işlemi
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Detx=det(x)=21 ise
raquo y=inv(x)y =
821 121 -521 221
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
98
SORU
a=[2 -10 01 2 43 0 1] matrisi ile b=[1 5 41 -1 20 1 -1] matrisleri veriliyor
a)
a matrisinin elemanlarını
sırasıyla b matrisinin elemanlarına boumllerek elde
edilen matrisi b1 matrisine atayalım
b) a matrisinin ta ters matrisini bulalım
c) a ile ta matrisinin ccedilarpımının 3x3 luumlk birim matris olduğunu goumlsterelim
d) a matrisinin b matrisine boumlluumlmuumlnuuml
b2 matrisine atayalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
99
Ccediloumlzuumlm
a)
b1=ab
b) ta1=eye(33)a veya ta2=inv(a)
c) ata ==eye(33)
d) b2=ab
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
85
3) Bir a matrisinin her bir elemanının n Kuvvetlerinden olusan matrisi
bulmak iccedilin a^n islemi kullanılır
4) Satır ve suumltun sayıları
esit bir kare matrisi ardısık olarak n defa
kendisiyle ccedilarparak a matrisinin n kuvvetini bulabilirizOumlrneğin a matrisinin
karesi iccedilin aa veya a^2 kuumlbuumlnuuml
buldurmak iccedilin aaa veya a^3
doumlrduumlncuuml
kuvvetini buldurmak iccedilin aaaa veya a^4
Not) Bir a matrisinin eleman -elemana ccedilarpma islemine benzer mantıkla bir matrisin tuumlm elemanlarının kareleri kuumlbleri sinuumlsleri kosinuumlsleri logaritmalarından olusan matris bulunmak istenirse bunu sırayla aa (veya a^2) aaa (veya a^3) sin(a) cos(a) etabanında logaritması
iccedilin log(a) 10 tabanında logaritmaları
iccedilin log10(a) Biccediliminde gerccedileklestirebiliriz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
86
a) a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c1 matrisi varsa bulalım
b) a matrisi ile b matrisinin ccedilarpım matrisi olan c2 varsa bulalım
c) a matrisinin elemanları
ile c matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c3 matrisi varsa bulalım
d) a matrisi ile c matrisinin ccedilarpım matrisi olan c4 varsa bulalım
e) a matrisinin elemanlarının karelerinden olusan matris ile b matrisinin
kosinuumlslerinden olusan matrisler toplamını
bulalım
f) x=[1 00 3] matrisinin i) Karesini ii) Kuumlbuumlnuuml
iii) 10
kuvvetini bulalım
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] b=[3 -3 -41 1 5] ve c=[1 0-1 23 3] matrisleri veriliyor
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
87
Ccediloumlzuumlma) iki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirBu durumda c1 matrisi tanımlıdır ve bunu c1=ab islemi ile gerccedileklestirebilirizb) iki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdırHalbuki a matrisi 2x3 b matrisi de 2x3 olduğundan bu iki matris ccedilarpılamazc) İki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirHalbuki bu matrisler aynı mertebeden olmadığından bu iki matris eleman-elemana ccedilarpma islemi
gerccedileklemezd) İki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdıra matrisi 2x3 luumlk c matrisi de 3x2 lik olduğundan bu iki matris ccedilarpılabilir ve c4 ccedilarpım matrisi 2x2 lik bir matris olurc4 ccedilarpım matrisini c4=ac islemi ile buluruze) a^2+cos(b)f) i) x^2 ii) x^3 iii) x^10
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
88
c) Bir Matrisin Devriğini (Transpozesi) Bulma İslemi
Bir matrisin satırlarını suumltun suumltunlarını satır olarak yazılmasıyla
bulunan matrise bu matrisin devriği (transpozesi) denir
Bir matrisin devriğini islemi ile bulabiliriz
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] nın devriğini buldurup d matrisine atayalım
Ccediloumlzuumlm d=a
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
89
Oumlrnek
b=[7 8 9 10 11 12] matrisinin transpozesini bulabilirmisiniz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
c=bc =
7 108 119 12
90
SORU
a=[1 2 3 4 5 6]
c= [710811912]
ise a ve crsquonin ccedilarpım matrisi
kaccediltır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
Ccedilarpma işlemi k=ack=
50 68122 167
91
SORU
a=[1 2 3 4 5 6] b=[7 8 9 10 11 12]
ise a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan x matrisini bulalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
x=abx =
7 16 2740 55 72
92
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
Aynı mertebeden iki matrisin elemanlarını teker teker boumllerek aynı
mertebeye yazılmasına iki matrisin sol boumllmesi denir ve bu islemi ile
yapılır
a b ve c aynı mertebeden kare matrisler olmak uumlzere
c=ab ise a matrisine c nin b matrisine boumlluumlmuuml denir
c boumlluumlm matrisi islemi ile yapılır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
93
HATIRLATMA
2x2 lik i2 adlı birim matrisi i2=eye(22)
3x luumlk i3 adlı birim matrisi i2=eye(33) islemi ile olusturabiiriz
Aynı mertebeden a ve b kare matrisleri iccedilin a ile b nin ccedilarpımı birim matris ise
b matrisi a matrisinin (aynı biccedilimde a matrisi de b matrisinin) ters matrisidir
Oumlrnek
3x3 luumlk bir a kare matrisinin tersini bulmak iccedilin
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
eye(33)a veya inv(a) islemini kullanırız
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
94
Bir Matrisin Determinantı
Determinant kare matrisleri bir sayıya eşleyen fonksiyondur
Determinant fonksiyonunun kare matrisi eşlediği o sayıya matrisin
determinantı denir
A matrisinin determinantı detA veya |A| biccediliminde goumlsterilir
|A| matrislerde mutlak değer anlamına gelmez |A| sıfır veya
negatif de olabilir
det(x)
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
95
KURAL
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
96
Oumlrnek
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Determinant
raquo
deter=det(x)deter =
21
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
97
Oumlrnek Inverse işlemi
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Detx=det(x)=21 ise
raquo y=inv(x)y =
821 121 -521 221
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
98
SORU
a=[2 -10 01 2 43 0 1] matrisi ile b=[1 5 41 -1 20 1 -1] matrisleri veriliyor
a)
a matrisinin elemanlarını
sırasıyla b matrisinin elemanlarına boumllerek elde
edilen matrisi b1 matrisine atayalım
b) a matrisinin ta ters matrisini bulalım
c) a ile ta matrisinin ccedilarpımının 3x3 luumlk birim matris olduğunu goumlsterelim
d) a matrisinin b matrisine boumlluumlmuumlnuuml
b2 matrisine atayalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
99
Ccediloumlzuumlm
a)
b1=ab
b) ta1=eye(33)a veya ta2=inv(a)
c) ata ==eye(33)
d) b2=ab
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
86
a) a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c1 matrisi varsa bulalım
b) a matrisi ile b matrisinin ccedilarpım matrisi olan c2 varsa bulalım
c) a matrisinin elemanları
ile c matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan c3 matrisi varsa bulalım
d) a matrisi ile c matrisinin ccedilarpım matrisi olan c4 varsa bulalım
e) a matrisinin elemanlarının karelerinden olusan matris ile b matrisinin
kosinuumlslerinden olusan matrisler toplamını
bulalım
f) x=[1 00 3] matrisinin i) Karesini ii) Kuumlbuumlnuuml
iii) 10
kuvvetini bulalım
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] b=[3 -3 -41 1 5] ve c=[1 0-1 23 3] matrisleri veriliyor
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
87
Ccediloumlzuumlma) iki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirBu durumda c1 matrisi tanımlıdır ve bunu c1=ab islemi ile gerccedileklestirebilirizb) iki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdırHalbuki a matrisi 2x3 b matrisi de 2x3 olduğundan bu iki matris ccedilarpılamazc) İki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirHalbuki bu matrisler aynı mertebeden olmadığından bu iki matris eleman-elemana ccedilarpma islemi
gerccedileklemezd) İki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdıra matrisi 2x3 luumlk c matrisi de 3x2 lik olduğundan bu iki matris ccedilarpılabilir ve c4 ccedilarpım matrisi 2x2 lik bir matris olurc4 ccedilarpım matrisini c4=ac islemi ile buluruze) a^2+cos(b)f) i) x^2 ii) x^3 iii) x^10
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
88
c) Bir Matrisin Devriğini (Transpozesi) Bulma İslemi
Bir matrisin satırlarını suumltun suumltunlarını satır olarak yazılmasıyla
bulunan matrise bu matrisin devriği (transpozesi) denir
Bir matrisin devriğini islemi ile bulabiliriz
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] nın devriğini buldurup d matrisine atayalım
Ccediloumlzuumlm d=a
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
89
Oumlrnek
b=[7 8 9 10 11 12] matrisinin transpozesini bulabilirmisiniz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
c=bc =
7 108 119 12
90
SORU
a=[1 2 3 4 5 6]
c= [710811912]
ise a ve crsquonin ccedilarpım matrisi
kaccediltır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
Ccedilarpma işlemi k=ack=
50 68122 167
91
SORU
a=[1 2 3 4 5 6] b=[7 8 9 10 11 12]
ise a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan x matrisini bulalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
x=abx =
7 16 2740 55 72
92
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
Aynı mertebeden iki matrisin elemanlarını teker teker boumllerek aynı
mertebeye yazılmasına iki matrisin sol boumllmesi denir ve bu islemi ile
yapılır
a b ve c aynı mertebeden kare matrisler olmak uumlzere
c=ab ise a matrisine c nin b matrisine boumlluumlmuuml denir
c boumlluumlm matrisi islemi ile yapılır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
93
HATIRLATMA
2x2 lik i2 adlı birim matrisi i2=eye(22)
3x luumlk i3 adlı birim matrisi i2=eye(33) islemi ile olusturabiiriz
Aynı mertebeden a ve b kare matrisleri iccedilin a ile b nin ccedilarpımı birim matris ise
b matrisi a matrisinin (aynı biccedilimde a matrisi de b matrisinin) ters matrisidir
Oumlrnek
3x3 luumlk bir a kare matrisinin tersini bulmak iccedilin
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
eye(33)a veya inv(a) islemini kullanırız
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
94
Bir Matrisin Determinantı
Determinant kare matrisleri bir sayıya eşleyen fonksiyondur
Determinant fonksiyonunun kare matrisi eşlediği o sayıya matrisin
determinantı denir
A matrisinin determinantı detA veya |A| biccediliminde goumlsterilir
|A| matrislerde mutlak değer anlamına gelmez |A| sıfır veya
negatif de olabilir
det(x)
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
95
KURAL
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
96
Oumlrnek
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Determinant
raquo
deter=det(x)deter =
21
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
97
Oumlrnek Inverse işlemi
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Detx=det(x)=21 ise
raquo y=inv(x)y =
821 121 -521 221
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
98
SORU
a=[2 -10 01 2 43 0 1] matrisi ile b=[1 5 41 -1 20 1 -1] matrisleri veriliyor
a)
a matrisinin elemanlarını
sırasıyla b matrisinin elemanlarına boumllerek elde
edilen matrisi b1 matrisine atayalım
b) a matrisinin ta ters matrisini bulalım
c) a ile ta matrisinin ccedilarpımının 3x3 luumlk birim matris olduğunu goumlsterelim
d) a matrisinin b matrisine boumlluumlmuumlnuuml
b2 matrisine atayalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
99
Ccediloumlzuumlm
a)
b1=ab
b) ta1=eye(33)a veya ta2=inv(a)
c) ata ==eye(33)
d) b2=ab
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
87
Ccediloumlzuumlma) iki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirBu durumda c1 matrisi tanımlıdır ve bunu c1=ab islemi ile gerccedileklestirebilirizb) iki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdırHalbuki a matrisi 2x3 b matrisi de 2x3 olduğundan bu iki matris ccedilarpılamazc) İki matrisin karsılıklı
elemanlarının ccedilarpımından olusan matrisin tanımlı
olabilmesi iccedilin aynı
mertebeli olması
gerekirHalbuki bu matrisler aynı mertebeden olmadığından bu iki matris eleman-elemana ccedilarpma islemi
gerccedileklemezd) İki matrisin ccedilarpılabilmesi iccedilin birinci matrisin suumltun sayısı
ikinci matrisin
satır sayısına esit olmalıdıra matrisi 2x3 luumlk c matrisi de 3x2 lik olduğundan bu iki matris ccedilarpılabilir ve c4 ccedilarpım matrisi 2x2 lik bir matris olurc4 ccedilarpım matrisini c4=ac islemi ile buluruze) a^2+cos(b)f) i) x^2 ii) x^3 iii) x^10
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
88
c) Bir Matrisin Devriğini (Transpozesi) Bulma İslemi
Bir matrisin satırlarını suumltun suumltunlarını satır olarak yazılmasıyla
bulunan matrise bu matrisin devriği (transpozesi) denir
Bir matrisin devriğini islemi ile bulabiliriz
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] nın devriğini buldurup d matrisine atayalım
Ccediloumlzuumlm d=a
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
89
Oumlrnek
b=[7 8 9 10 11 12] matrisinin transpozesini bulabilirmisiniz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
c=bc =
7 108 119 12
90
SORU
a=[1 2 3 4 5 6]
c= [710811912]
ise a ve crsquonin ccedilarpım matrisi
kaccediltır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
Ccedilarpma işlemi k=ack=
50 68122 167
91
SORU
a=[1 2 3 4 5 6] b=[7 8 9 10 11 12]
ise a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan x matrisini bulalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
x=abx =
7 16 2740 55 72
92
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
Aynı mertebeden iki matrisin elemanlarını teker teker boumllerek aynı
mertebeye yazılmasına iki matrisin sol boumllmesi denir ve bu islemi ile
yapılır
a b ve c aynı mertebeden kare matrisler olmak uumlzere
c=ab ise a matrisine c nin b matrisine boumlluumlmuuml denir
c boumlluumlm matrisi islemi ile yapılır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
93
HATIRLATMA
2x2 lik i2 adlı birim matrisi i2=eye(22)
3x luumlk i3 adlı birim matrisi i2=eye(33) islemi ile olusturabiiriz
Aynı mertebeden a ve b kare matrisleri iccedilin a ile b nin ccedilarpımı birim matris ise
b matrisi a matrisinin (aynı biccedilimde a matrisi de b matrisinin) ters matrisidir
Oumlrnek
3x3 luumlk bir a kare matrisinin tersini bulmak iccedilin
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
eye(33)a veya inv(a) islemini kullanırız
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
94
Bir Matrisin Determinantı
Determinant kare matrisleri bir sayıya eşleyen fonksiyondur
Determinant fonksiyonunun kare matrisi eşlediği o sayıya matrisin
determinantı denir
A matrisinin determinantı detA veya |A| biccediliminde goumlsterilir
|A| matrislerde mutlak değer anlamına gelmez |A| sıfır veya
negatif de olabilir
det(x)
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
95
KURAL
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
96
Oumlrnek
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Determinant
raquo
deter=det(x)deter =
21
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
97
Oumlrnek Inverse işlemi
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Detx=det(x)=21 ise
raquo y=inv(x)y =
821 121 -521 221
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
98
SORU
a=[2 -10 01 2 43 0 1] matrisi ile b=[1 5 41 -1 20 1 -1] matrisleri veriliyor
a)
a matrisinin elemanlarını
sırasıyla b matrisinin elemanlarına boumllerek elde
edilen matrisi b1 matrisine atayalım
b) a matrisinin ta ters matrisini bulalım
c) a ile ta matrisinin ccedilarpımının 3x3 luumlk birim matris olduğunu goumlsterelim
d) a matrisinin b matrisine boumlluumlmuumlnuuml
b2 matrisine atayalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
99
Ccediloumlzuumlm
a)
b1=ab
b) ta1=eye(33)a veya ta2=inv(a)
c) ata ==eye(33)
d) b2=ab
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
88
c) Bir Matrisin Devriğini (Transpozesi) Bulma İslemi
Bir matrisin satırlarını suumltun suumltunlarını satır olarak yazılmasıyla
bulunan matrise bu matrisin devriği (transpozesi) denir
Bir matrisin devriğini islemi ile bulabiliriz
Oumlrnek a=[-1 3 52 1 7] nın devriğini buldurup d matrisine atayalım
Ccediloumlzuumlm d=a
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
89
Oumlrnek
b=[7 8 9 10 11 12] matrisinin transpozesini bulabilirmisiniz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
c=bc =
7 108 119 12
90
SORU
a=[1 2 3 4 5 6]
c= [710811912]
ise a ve crsquonin ccedilarpım matrisi
kaccediltır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
Ccedilarpma işlemi k=ack=
50 68122 167
91
SORU
a=[1 2 3 4 5 6] b=[7 8 9 10 11 12]
ise a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan x matrisini bulalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
x=abx =
7 16 2740 55 72
92
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
Aynı mertebeden iki matrisin elemanlarını teker teker boumllerek aynı
mertebeye yazılmasına iki matrisin sol boumllmesi denir ve bu islemi ile
yapılır
a b ve c aynı mertebeden kare matrisler olmak uumlzere
c=ab ise a matrisine c nin b matrisine boumlluumlmuuml denir
c boumlluumlm matrisi islemi ile yapılır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
93
HATIRLATMA
2x2 lik i2 adlı birim matrisi i2=eye(22)
3x luumlk i3 adlı birim matrisi i2=eye(33) islemi ile olusturabiiriz
Aynı mertebeden a ve b kare matrisleri iccedilin a ile b nin ccedilarpımı birim matris ise
b matrisi a matrisinin (aynı biccedilimde a matrisi de b matrisinin) ters matrisidir
Oumlrnek
3x3 luumlk bir a kare matrisinin tersini bulmak iccedilin
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
eye(33)a veya inv(a) islemini kullanırız
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
94
Bir Matrisin Determinantı
Determinant kare matrisleri bir sayıya eşleyen fonksiyondur
Determinant fonksiyonunun kare matrisi eşlediği o sayıya matrisin
determinantı denir
A matrisinin determinantı detA veya |A| biccediliminde goumlsterilir
|A| matrislerde mutlak değer anlamına gelmez |A| sıfır veya
negatif de olabilir
det(x)
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
95
KURAL
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
96
Oumlrnek
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Determinant
raquo
deter=det(x)deter =
21
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
97
Oumlrnek Inverse işlemi
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Detx=det(x)=21 ise
raquo y=inv(x)y =
821 121 -521 221
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
98
SORU
a=[2 -10 01 2 43 0 1] matrisi ile b=[1 5 41 -1 20 1 -1] matrisleri veriliyor
a)
a matrisinin elemanlarını
sırasıyla b matrisinin elemanlarına boumllerek elde
edilen matrisi b1 matrisine atayalım
b) a matrisinin ta ters matrisini bulalım
c) a ile ta matrisinin ccedilarpımının 3x3 luumlk birim matris olduğunu goumlsterelim
d) a matrisinin b matrisine boumlluumlmuumlnuuml
b2 matrisine atayalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
99
Ccediloumlzuumlm
a)
b1=ab
b) ta1=eye(33)a veya ta2=inv(a)
c) ata ==eye(33)
d) b2=ab
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
89
Oumlrnek
b=[7 8 9 10 11 12] matrisinin transpozesini bulabilirmisiniz
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
Ccediloumlzuumlm
c=bc =
7 108 119 12
90
SORU
a=[1 2 3 4 5 6]
c= [710811912]
ise a ve crsquonin ccedilarpım matrisi
kaccediltır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
Ccedilarpma işlemi k=ack=
50 68122 167
91
SORU
a=[1 2 3 4 5 6] b=[7 8 9 10 11 12]
ise a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan x matrisini bulalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
x=abx =
7 16 2740 55 72
92
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
Aynı mertebeden iki matrisin elemanlarını teker teker boumllerek aynı
mertebeye yazılmasına iki matrisin sol boumllmesi denir ve bu islemi ile
yapılır
a b ve c aynı mertebeden kare matrisler olmak uumlzere
c=ab ise a matrisine c nin b matrisine boumlluumlmuuml denir
c boumlluumlm matrisi islemi ile yapılır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
93
HATIRLATMA
2x2 lik i2 adlı birim matrisi i2=eye(22)
3x luumlk i3 adlı birim matrisi i2=eye(33) islemi ile olusturabiiriz
Aynı mertebeden a ve b kare matrisleri iccedilin a ile b nin ccedilarpımı birim matris ise
b matrisi a matrisinin (aynı biccedilimde a matrisi de b matrisinin) ters matrisidir
Oumlrnek
3x3 luumlk bir a kare matrisinin tersini bulmak iccedilin
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
eye(33)a veya inv(a) islemini kullanırız
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
94
Bir Matrisin Determinantı
Determinant kare matrisleri bir sayıya eşleyen fonksiyondur
Determinant fonksiyonunun kare matrisi eşlediği o sayıya matrisin
determinantı denir
A matrisinin determinantı detA veya |A| biccediliminde goumlsterilir
|A| matrislerde mutlak değer anlamına gelmez |A| sıfır veya
negatif de olabilir
det(x)
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
95
KURAL
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
96
Oumlrnek
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Determinant
raquo
deter=det(x)deter =
21
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
97
Oumlrnek Inverse işlemi
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Detx=det(x)=21 ise
raquo y=inv(x)y =
821 121 -521 221
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
98
SORU
a=[2 -10 01 2 43 0 1] matrisi ile b=[1 5 41 -1 20 1 -1] matrisleri veriliyor
a)
a matrisinin elemanlarını
sırasıyla b matrisinin elemanlarına boumllerek elde
edilen matrisi b1 matrisine atayalım
b) a matrisinin ta ters matrisini bulalım
c) a ile ta matrisinin ccedilarpımının 3x3 luumlk birim matris olduğunu goumlsterelim
d) a matrisinin b matrisine boumlluumlmuumlnuuml
b2 matrisine atayalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
99
Ccediloumlzuumlm
a)
b1=ab
b) ta1=eye(33)a veya ta2=inv(a)
c) ata ==eye(33)
d) b2=ab
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
90
SORU
a=[1 2 3 4 5 6]
c= [710811912]
ise a ve crsquonin ccedilarpım matrisi
kaccediltır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
Ccedilarpma işlemi k=ack=
50 68122 167
91
SORU
a=[1 2 3 4 5 6] b=[7 8 9 10 11 12]
ise a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan x matrisini bulalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
x=abx =
7 16 2740 55 72
92
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
Aynı mertebeden iki matrisin elemanlarını teker teker boumllerek aynı
mertebeye yazılmasına iki matrisin sol boumllmesi denir ve bu islemi ile
yapılır
a b ve c aynı mertebeden kare matrisler olmak uumlzere
c=ab ise a matrisine c nin b matrisine boumlluumlmuuml denir
c boumlluumlm matrisi islemi ile yapılır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
93
HATIRLATMA
2x2 lik i2 adlı birim matrisi i2=eye(22)
3x luumlk i3 adlı birim matrisi i2=eye(33) islemi ile olusturabiiriz
Aynı mertebeden a ve b kare matrisleri iccedilin a ile b nin ccedilarpımı birim matris ise
b matrisi a matrisinin (aynı biccedilimde a matrisi de b matrisinin) ters matrisidir
Oumlrnek
3x3 luumlk bir a kare matrisinin tersini bulmak iccedilin
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
eye(33)a veya inv(a) islemini kullanırız
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
94
Bir Matrisin Determinantı
Determinant kare matrisleri bir sayıya eşleyen fonksiyondur
Determinant fonksiyonunun kare matrisi eşlediği o sayıya matrisin
determinantı denir
A matrisinin determinantı detA veya |A| biccediliminde goumlsterilir
|A| matrislerde mutlak değer anlamına gelmez |A| sıfır veya
negatif de olabilir
det(x)
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
95
KURAL
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
96
Oumlrnek
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Determinant
raquo
deter=det(x)deter =
21
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
97
Oumlrnek Inverse işlemi
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Detx=det(x)=21 ise
raquo y=inv(x)y =
821 121 -521 221
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
98
SORU
a=[2 -10 01 2 43 0 1] matrisi ile b=[1 5 41 -1 20 1 -1] matrisleri veriliyor
a)
a matrisinin elemanlarını
sırasıyla b matrisinin elemanlarına boumllerek elde
edilen matrisi b1 matrisine atayalım
b) a matrisinin ta ters matrisini bulalım
c) a ile ta matrisinin ccedilarpımının 3x3 luumlk birim matris olduğunu goumlsterelim
d) a matrisinin b matrisine boumlluumlmuumlnuuml
b2 matrisine atayalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
99
Ccediloumlzuumlm
a)
b1=ab
b) ta1=eye(33)a veya ta2=inv(a)
c) ata ==eye(33)
d) b2=ab
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
91
SORU
a=[1 2 3 4 5 6] b=[7 8 9 10 11 12]
ise a matrisinin elemanları
ile b matrisinin elemanlarını
karsılıklı ccedilarpımlarından olusan x matrisini bulalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
CcedilOumlZUumlM
x=abx =
7 16 2740 55 72
92
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
Aynı mertebeden iki matrisin elemanlarını teker teker boumllerek aynı
mertebeye yazılmasına iki matrisin sol boumllmesi denir ve bu islemi ile
yapılır
a b ve c aynı mertebeden kare matrisler olmak uumlzere
c=ab ise a matrisine c nin b matrisine boumlluumlmuuml denir
c boumlluumlm matrisi islemi ile yapılır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
93
HATIRLATMA
2x2 lik i2 adlı birim matrisi i2=eye(22)
3x luumlk i3 adlı birim matrisi i2=eye(33) islemi ile olusturabiiriz
Aynı mertebeden a ve b kare matrisleri iccedilin a ile b nin ccedilarpımı birim matris ise
b matrisi a matrisinin (aynı biccedilimde a matrisi de b matrisinin) ters matrisidir
Oumlrnek
3x3 luumlk bir a kare matrisinin tersini bulmak iccedilin
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
eye(33)a veya inv(a) islemini kullanırız
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
94
Bir Matrisin Determinantı
Determinant kare matrisleri bir sayıya eşleyen fonksiyondur
Determinant fonksiyonunun kare matrisi eşlediği o sayıya matrisin
determinantı denir
A matrisinin determinantı detA veya |A| biccediliminde goumlsterilir
|A| matrislerde mutlak değer anlamına gelmez |A| sıfır veya
negatif de olabilir
det(x)
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
95
KURAL
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
96
Oumlrnek
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Determinant
raquo
deter=det(x)deter =
21
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
97
Oumlrnek Inverse işlemi
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Detx=det(x)=21 ise
raquo y=inv(x)y =
821 121 -521 221
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
98
SORU
a=[2 -10 01 2 43 0 1] matrisi ile b=[1 5 41 -1 20 1 -1] matrisleri veriliyor
a)
a matrisinin elemanlarını
sırasıyla b matrisinin elemanlarına boumllerek elde
edilen matrisi b1 matrisine atayalım
b) a matrisinin ta ters matrisini bulalım
c) a ile ta matrisinin ccedilarpımının 3x3 luumlk birim matris olduğunu goumlsterelim
d) a matrisinin b matrisine boumlluumlmuumlnuuml
b2 matrisine atayalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
99
Ccediloumlzuumlm
a)
b1=ab
b) ta1=eye(33)a veya ta2=inv(a)
c) ata ==eye(33)
d) b2=ab
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
92
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
Aynı mertebeden iki matrisin elemanlarını teker teker boumllerek aynı
mertebeye yazılmasına iki matrisin sol boumllmesi denir ve bu islemi ile
yapılır
a b ve c aynı mertebeden kare matrisler olmak uumlzere
c=ab ise a matrisine c nin b matrisine boumlluumlmuuml denir
c boumlluumlm matrisi islemi ile yapılır
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
93
HATIRLATMA
2x2 lik i2 adlı birim matrisi i2=eye(22)
3x luumlk i3 adlı birim matrisi i2=eye(33) islemi ile olusturabiiriz
Aynı mertebeden a ve b kare matrisleri iccedilin a ile b nin ccedilarpımı birim matris ise
b matrisi a matrisinin (aynı biccedilimde a matrisi de b matrisinin) ters matrisidir
Oumlrnek
3x3 luumlk bir a kare matrisinin tersini bulmak iccedilin
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
eye(33)a veya inv(a) islemini kullanırız
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
94
Bir Matrisin Determinantı
Determinant kare matrisleri bir sayıya eşleyen fonksiyondur
Determinant fonksiyonunun kare matrisi eşlediği o sayıya matrisin
determinantı denir
A matrisinin determinantı detA veya |A| biccediliminde goumlsterilir
|A| matrislerde mutlak değer anlamına gelmez |A| sıfır veya
negatif de olabilir
det(x)
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
95
KURAL
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
96
Oumlrnek
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Determinant
raquo
deter=det(x)deter =
21
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
97
Oumlrnek Inverse işlemi
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Detx=det(x)=21 ise
raquo y=inv(x)y =
821 121 -521 221
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
98
SORU
a=[2 -10 01 2 43 0 1] matrisi ile b=[1 5 41 -1 20 1 -1] matrisleri veriliyor
a)
a matrisinin elemanlarını
sırasıyla b matrisinin elemanlarına boumllerek elde
edilen matrisi b1 matrisine atayalım
b) a matrisinin ta ters matrisini bulalım
c) a ile ta matrisinin ccedilarpımının 3x3 luumlk birim matris olduğunu goumlsterelim
d) a matrisinin b matrisine boumlluumlmuumlnuuml
b2 matrisine atayalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
99
Ccediloumlzuumlm
a)
b1=ab
b) ta1=eye(33)a veya ta2=inv(a)
c) ata ==eye(33)
d) b2=ab
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
93
HATIRLATMA
2x2 lik i2 adlı birim matrisi i2=eye(22)
3x luumlk i3 adlı birim matrisi i2=eye(33) islemi ile olusturabiiriz
Aynı mertebeden a ve b kare matrisleri iccedilin a ile b nin ccedilarpımı birim matris ise
b matrisi a matrisinin (aynı biccedilimde a matrisi de b matrisinin) ters matrisidir
Oumlrnek
3x3 luumlk bir a kare matrisinin tersini bulmak iccedilin
d) İki Matrisin Boumlluumlmuuml Birim Matris ve Bir Matrisin Tersi
eye(33)a veya inv(a) islemini kullanırız
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
94
Bir Matrisin Determinantı
Determinant kare matrisleri bir sayıya eşleyen fonksiyondur
Determinant fonksiyonunun kare matrisi eşlediği o sayıya matrisin
determinantı denir
A matrisinin determinantı detA veya |A| biccediliminde goumlsterilir
|A| matrislerde mutlak değer anlamına gelmez |A| sıfır veya
negatif de olabilir
det(x)
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
95
KURAL
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
96
Oumlrnek
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Determinant
raquo
deter=det(x)deter =
21
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
97
Oumlrnek Inverse işlemi
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Detx=det(x)=21 ise
raquo y=inv(x)y =
821 121 -521 221
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
98
SORU
a=[2 -10 01 2 43 0 1] matrisi ile b=[1 5 41 -1 20 1 -1] matrisleri veriliyor
a)
a matrisinin elemanlarını
sırasıyla b matrisinin elemanlarına boumllerek elde
edilen matrisi b1 matrisine atayalım
b) a matrisinin ta ters matrisini bulalım
c) a ile ta matrisinin ccedilarpımının 3x3 luumlk birim matris olduğunu goumlsterelim
d) a matrisinin b matrisine boumlluumlmuumlnuuml
b2 matrisine atayalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
99
Ccediloumlzuumlm
a)
b1=ab
b) ta1=eye(33)a veya ta2=inv(a)
c) ata ==eye(33)
d) b2=ab
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
94
Bir Matrisin Determinantı
Determinant kare matrisleri bir sayıya eşleyen fonksiyondur
Determinant fonksiyonunun kare matrisi eşlediği o sayıya matrisin
determinantı denir
A matrisinin determinantı detA veya |A| biccediliminde goumlsterilir
|A| matrislerde mutlak değer anlamına gelmez |A| sıfır veya
negatif de olabilir
det(x)
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
95
KURAL
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
96
Oumlrnek
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Determinant
raquo
deter=det(x)deter =
21
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
97
Oumlrnek Inverse işlemi
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Detx=det(x)=21 ise
raquo y=inv(x)y =
821 121 -521 221
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
98
SORU
a=[2 -10 01 2 43 0 1] matrisi ile b=[1 5 41 -1 20 1 -1] matrisleri veriliyor
a)
a matrisinin elemanlarını
sırasıyla b matrisinin elemanlarına boumllerek elde
edilen matrisi b1 matrisine atayalım
b) a matrisinin ta ters matrisini bulalım
c) a ile ta matrisinin ccedilarpımının 3x3 luumlk birim matris olduğunu goumlsterelim
d) a matrisinin b matrisine boumlluumlmuumlnuuml
b2 matrisine atayalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
99
Ccediloumlzuumlm
a)
b1=ab
b) ta1=eye(33)a veya ta2=inv(a)
c) ata ==eye(33)
d) b2=ab
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
95
KURAL
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
96
Oumlrnek
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Determinant
raquo
deter=det(x)deter =
21
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
97
Oumlrnek Inverse işlemi
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Detx=det(x)=21 ise
raquo y=inv(x)y =
821 121 -521 221
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
98
SORU
a=[2 -10 01 2 43 0 1] matrisi ile b=[1 5 41 -1 20 1 -1] matrisleri veriliyor
a)
a matrisinin elemanlarını
sırasıyla b matrisinin elemanlarına boumllerek elde
edilen matrisi b1 matrisine atayalım
b) a matrisinin ta ters matrisini bulalım
c) a ile ta matrisinin ccedilarpımının 3x3 luumlk birim matris olduğunu goumlsterelim
d) a matrisinin b matrisine boumlluumlmuumlnuuml
b2 matrisine atayalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
99
Ccediloumlzuumlm
a)
b1=ab
b) ta1=eye(33)a veya ta2=inv(a)
c) ata ==eye(33)
d) b2=ab
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
96
Oumlrnek
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Determinant
raquo
deter=det(x)deter =
21
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
97
Oumlrnek Inverse işlemi
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Detx=det(x)=21 ise
raquo y=inv(x)y =
821 121 -521 221
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
98
SORU
a=[2 -10 01 2 43 0 1] matrisi ile b=[1 5 41 -1 20 1 -1] matrisleri veriliyor
a)
a matrisinin elemanlarını
sırasıyla b matrisinin elemanlarına boumllerek elde
edilen matrisi b1 matrisine atayalım
b) a matrisinin ta ters matrisini bulalım
c) a ile ta matrisinin ccedilarpımının 3x3 luumlk birim matris olduğunu goumlsterelim
d) a matrisinin b matrisine boumlluumlmuumlnuuml
b2 matrisine atayalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
99
Ccediloumlzuumlm
a)
b1=ab
b) ta1=eye(33)a veya ta2=inv(a)
c) ata ==eye(33)
d) b2=ab
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
97
Oumlrnek Inverse işlemi
Verilen bir x matrisi iccedilin
raquo
x=[ 2 -1 5 8]
Detx=det(x)=21 ise
raquo y=inv(x)y =
821 121 -521 221
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
98
SORU
a=[2 -10 01 2 43 0 1] matrisi ile b=[1 5 41 -1 20 1 -1] matrisleri veriliyor
a)
a matrisinin elemanlarını
sırasıyla b matrisinin elemanlarına boumllerek elde
edilen matrisi b1 matrisine atayalım
b) a matrisinin ta ters matrisini bulalım
c) a ile ta matrisinin ccedilarpımının 3x3 luumlk birim matris olduğunu goumlsterelim
d) a matrisinin b matrisine boumlluumlmuumlnuuml
b2 matrisine atayalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
99
Ccediloumlzuumlm
a)
b1=ab
b) ta1=eye(33)a veya ta2=inv(a)
c) ata ==eye(33)
d) b2=ab
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
98
SORU
a=[2 -10 01 2 43 0 1] matrisi ile b=[1 5 41 -1 20 1 -1] matrisleri veriliyor
a)
a matrisinin elemanlarını
sırasıyla b matrisinin elemanlarına boumllerek elde
edilen matrisi b1 matrisine atayalım
b) a matrisinin ta ters matrisini bulalım
c) a ile ta matrisinin ccedilarpımının 3x3 luumlk birim matris olduğunu goumlsterelim
d) a matrisinin b matrisine boumlluumlmuumlnuuml
b2 matrisine atayalım
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
99
Ccediloumlzuumlm
a)
b1=ab
b) ta1=eye(33)a veya ta2=inv(a)
c) ata ==eye(33)
d) b2=ab
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
99
Ccediloumlzuumlm
a)
b1=ab
b) ta1=eye(33)a veya ta2=inv(a)
c) ata ==eye(33)
d) b2=ab
6 MATRİSLER VE İŞLEMLERİMatlab
