Matrices

I. E. S. Fray Luis de León Jesús E scuder o Ma rtín Matrices - 1

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Matemáticas II - 2º Bach.: Científico - Técnico - C. de la Salud

PARTE I: ÁLGEBRA LINEAL

I.2. MATRICES.

1. Introducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Concepto de matriz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Igualdad de matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Tipos de m atrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. El espacio vectorial de las matrices de orden mxn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

A. Suma d e matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

B. Propiedades de (M mxn, +). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

C. Producto de un numero real por una matriz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D. Propiedades de (M mxn, @8). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6. Producto d e matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

A. Producto de una matriz fila por una matriz columna. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

B. Producto de dos matrices cualesquiera. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

C. Propiedade s del producto d e matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. Tipos de m atrices cuadradas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8. Matriz traspuesta. Pro piedades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9. Matrices invertibles. Pro piedades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10. Operaciones con matrices y propiedades. Resumen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11. Representación de un vector por una matriz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12. Representación de un conjunto de vectores por una matriz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13. Rango de una matriz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14. Matriz aso ciada a un a aplicació n lineal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15. Aplicaciones linea les y operacione s con matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

A. Matriz asociada a la compo sición de aplicacione s lineales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

B. Ecuacio nes de un a aplicació n lineal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16. Cambio de base. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17. Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18. Problema s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19. Ejercicios propuestos en las P.A.U. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20. Otros ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


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1. INTRODUCCIÓN.

Las matrices aparecieron por primera vez hacia el año 1850, introducidas por el inglés J. J. Sy lvester. Su d esarrollo se

debe a W. R. Hamilton y a A. Cayley.

Además de su utilidad para el estudio de los sistemas de ecuaciones, las matrices aparecen de manera natural en

geometría, estadística, economía, etc.

Nuestra cultura está lle na de m atrices de n úmero s: El horario de los trenes de cada una de la s estacione s es una m atriz

de doble entrada, la tabla de cotizaciones de la Bolsa en cada uno de los días de la semana es otra, etc.

Las tablas de su mar y m ultiplicar, la disp osición d e los alum nos en cla se, las casillas de un tablero de ajedrez, las

apuestas de la loto, los pu ntos de un m onitor de orden ador, son otros tan tos ejemplos de la vida cotidiana de m atrices.

Actualmente, mucho s program as de ordenad or utilizan el concepto de matriz. Así, las Hojas de Cálculo funcionan

utilizando una inmensa matriz con cientos de filas y columnas en cuyas celdas se puede n introducir datos y fórmulas para

realizar cálculos a gran v elocidad. Esto req uiere utilizar las operacione s con matrices.

2. CONCEPTO DE MATRIZ.

‚ Se llama matriz de orden mxn, sobre el cuerpo de los numeros reales a una "caja", "cuadro", etc. que contiene mxn

número s reales dispuestos en m filas y n column as.

* A los número s reales aij se les llama e lemento s de la

matriz.

* El primer su bíndice (i) in dica la fila, el segun do (j) la

columna. Así, el elemento a32 es el que está en la tercera

fila y la segunda columna.

* Las dimensiones de la matriz son m y n.

‚ Formalmente podemos definir una matriz de la siguiente manera:

Sean I={1,2 ,...,m}, J={1,2,...,n} dos con juntos finitos de índices.

Se llama matriz de orden mxn, sobre el cuerpo de los numeros reales a toda aplicación:

a: IxJ ))))> R

(i,j) )))> a(i,j)=aij

que asocia a cada par (i,j) el número real a(i,j) que representamos por a ij.

Denotaremos po r Mmxn al conjunto de las matrices de orden mxn.

‚ Es una m atriz de orden 3 x4 (3 filas, 4 co lumnas), a 23=-1, a 32=8, a 34=0. etc.

3. IGUALDAD DE MATRICES.

Dos matrices A y B son iguales si tienen el mismo orden y coinciden los elementos que ocupan el mismo lugar. Es

decir, siendo:

A=B si para todo i0{1,2,...,m} y para todo j0{1,2,...,n} se cumple que aij=b ij.


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4. TIPOS DE MATRICES.

a. Matr iz fila. Es toda matriz de orden 1xn.

‚ . A es de orden 1x5.

b. Matriz columna. Es toda matriz de orden mx1.

‚ . A es de orden 3x1.

c. Matr iz nula . Es la que tiene todos sus elementos nulos. La denotaremo s por (0).

‚ Son m atrices nu las: , , ...

d. Matriz vertical. Es aquella en la que m>n.

‚ .

e. Matriz horizontal. Es aquella en la que m<n.

‚ .

f. Matriz opuesta de A. Es la que tiene por elementos los opuestos de los elementos de A.

La denotaremos po r -A. Si A=(a ij), -A=(-aij).

‚ Si Y .

g. Matr iz traspuesta de A. Es la que s e obtiene a partir de A cambia ndo filas p or colum nas sin alte rar su orden de

colocación. La denotaremos po r A t.

Si A=(a ij), At=(a ji). Si A es de orden mxn, A t será de orden nxm.

‚ Si Y . A es de o rden 2x3 . A t es de orden 3x2.

h. Matr iz cuadrada. Es toda matriz que tiene el mismo número de filas que columnas. Es decir m=n. En ellas podemos

distinguir:

< La diagonal principal. Son los elemen tos a11, a22, ..., ann.

< La diagon al secund aria . Son los elemen tos a1n, a2(n-1), ..., an1.

‚ . Diagonal principal: 1,5,9. Diagonal secundaria: 3,5,7.

i. Subm atriz de una m atriz A. Es toda matriz A' obtenida suprimiendo p filas y q columnas en A. Si A es de orden mxn,

A' será de orden (m-p)x(n-q).

‚ . Suprimiendo en A0M 3x5 la fila 3 y las columnas 4 y 5, obtenemos , submatr iz A '0M 2x3.

j. Matr iz escalonada. Es toda matriz en la que el número de ceros que precede al primer elemento no nulo, de c ada fila


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o de cada columna, es m ayor que el de la precedente. Puede ser escalonada por filas o escalonada por columnas.

‚ . ‚ .

Ejercicios.

1. Indica de qué tipo es cada una d e las siguientes matrices:

, , . Obtén: A t, B t, C t, -A, -B y -C.

Solución.

5. EL ESPACIO VECTORIAL DE LAS MATRICES DE ORDEN MXN.

A. SUMA DE MATRICES .

Consid eremo s dos ma trices A, B0Mmxn, es decir, con las mism as dimension es.

Definim os:

En form a abrevia da: si A=(aij), B=(bij) entonces A+B=(aij+bij).

Es decir: suma de matrices de las mismas dimensiones, es la aplicación que asoc ia a cada p ar de m atrices otra m atriz

de las mismas dimensiones cuyos elementos se obtienen sumando término a término los elementos correspondientes en dichas

matrices:

+: MmxnxMmxn ))))> Mmxn

(A,B) ))))))> A+B

‚ Siendo y entonces .

B. PROP IEDADE S DE (M mxn, +).

1. Asociativa: (A+B)+C = A+(B+C). Es evidente, pues los elementos de A, B y C son de R que es un cuerpo

conmutativo.

2. Existe elemento neutro: A+Neutro=A Y Neutro=(0)=La matriz nula.

3. Existe elem ento op uesto: A+(Opuesto de A)= (0) Y Opuesto de A=-A

4. Conmutativa: A+B = B+A. Es evidente, pues los elementos de A y B son de R que es un cuerpo conmutativo.

Por tanto (Mmxn, +) es un Grupo Conmutativo.

C. PRO DUC TO DE UN NU MER O REA L POR UNA M ATRIZ .

Consideremos la matriz A0Mmxn y 80R.


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Definim os:

En forma abreviada: si A=(a ij), 8@A = (8@aij).

Es decir: producto de un núm ero real por u na matr iz, es la aplicación que asocia a cada par formado por un número real

y una matriz, otra matriz cuyos elementos se obtienen multiplicando el número real por todos los elementos de la matriz:

@8: RxMmxn )))> Mmxn

(8,A) )))))> 8@A

‚ Siendo entonces .

D. PROP IEDADE S DE (M mxn, @8).

5. 8@(A+B) = 8@A+8@B6. (8+:)@A = 8@A+:@A7. (8@:)@A = 8@(:@A)

8. 1@A = A

Son evidentes, pues tanto los elementos de las matrices A y B com o los núme ros 8 y : pertenecen a R que es un cuerpo

conmutativo.

Así pues : (Mmxn, +, @8) es un R-espacio vectorial de dimensión mxn

La base canónica de Mmxn está constituida por las matrices A ij con todos los eleme ntos nulo s, excepto el situado en la

fila i y la colunmna j que es igual a 1.

‚ La base canónica de (M 2x2, +, @8) es: , , , .

Las matrices A11, A 12, A 21 y A 22 son linealmente independientes pues:

a@ + b@ + c@ + d@ = Y a=b=c=d=0

Las matrices A11, A 12, A 21 y A 22 son un sistema de generadores de M 2x2 pues:

= a@ + b@ + c@ + d@ .

Ejercicios.

1. Siendo y calcula: 3 @A+2@B.

Solución. .

2. Calcula las matrices A y B que son soluciones del siguiente sistema:

3@A + 2@B = ; 2@A + B =

Solución. , .

3. Obtén las matrices A y B que verifiquen el sistema:


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2@A + B = ; A - 3@B =

Solución. , .

4. Obtén las matrices A y B que verifiquen el sistema:

A + B = ; 2@A + 3@B =

Solución. A= , B= .

5. Calcula las matrices A y B que son soluciones del siguiente sistema:

2A + 3B = ; 3A - 2B =

Solución. , .

6. Prueba qu e el conjunto de las matrices 2x3 es un R-espacio vectorial de dimensión 6.Solución.

7. Demuestra que el conjunto S de las matrices de la forma forman un subespacio vectorial de M2x2 y escribe

una base del m ismo. Dem uestra también q ue forman un cuerpo isomorfo al de los número s complejos.Solución.

8. Dem uestra qu e el conju nto T de las matrices de la forma forman un subespacio vectorial de M3x3 y

escribe una base del mismo.Solución.

6. PRODUCTO DE MATRICES.

A. PRODUCTO DE UNA MATRIZ FILA POR UNA MATRIZ COLUMNA.

Sean A una matriz con una fila y n columnas y B una matriz con n filas y una columna.

El produc to de las matrices A y B (A@B) es otra matriz con una fila y una columna cuyo único elemento es: c = a1@b1

+ a2@b2 + ... + an@bn. Es decir: A @B=(c)= .

Hay que hacer notar que para poder multiplicar A y B debe suceder que el número de columnas de A sea igual al

número de filas de B.

‚ Sean una matriz con una fila y 4 columnas.


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y sea una matriz con 4 filas y una columna.

A @B = [2 @6 + (-3)@7 + 4@(-8) + 5@9] = (4) que es una matriz de orden 1x1 con un único elemento, el 4.

B. PRODUCTO DE DOS MATRICES CUALESQUIERA.

Sean A una matriz de orden mxn, formada por m matrices fila [A1, A2, ..., Am] de n elem entos cad a una y B una m atriz

de orden nxp, formada por p matrices colum na [B1, B2, ..., Bp] de n elementos cada una.

El producto d e las matrices A y B (A@B) es otra matriz C de orden mxp con m filas y p columnas, cuyo elemento cij

es el producto de la matriz fila Ai por la matriz columna Bj.

Es decir: c ij = A i@B j = ai1@b1j + ai2@b2j + ... + ain@bnj = .

Así pues, el produc to de matrices, es la aplicación que asocia a cada par de matrices, una de dimensión mxn y otra de

dimensión nxp, una tercera matriz de dimensión mxp:

@ : MmxnxMnxp ))))> Mmxp

(A , B) )))))> C

tal que el elemento que ocupa el lugar q,r de la ma triz producto se obtiene sumando los productos que resultan de multiplicar

los elementos de la fila q-ésima de la matriz A por los respectivos elementos de la columna r-ésima de la matriz B.

Simbólicamente: si A=(a ij), B=(b ij) y C=(c ij) entonce s: .

Obsérv ese que p ara pod er efectua r el produ cto A@B es necesario que el número de columnas de la matriz A coincida

con el número de filas de la matriz B. Esto implica que, en general, si existe el producto A@B no tiene por qué existir B@A.

Sin embargo, si las matrices son cuadradas y del mismo orden, siempre existen A@B y B@A.

‚ = = .

‚ Los consumos anuales de cuatro familias a, b , c y d , en pan , carne y man tequilla vienen dados en la matriz A . Los precios de esos mismos

productos en los años 1990, 91, 92, 93 y 94 vienen dados en la matriz B . La matriz C=A @B nos da el gasto total (en esos productos) de cada

familia en cada año:


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Complétese la matriz C.

Ejercicios.

1. Siendo y Calcula AtB.

Solución. .

2. Dada una matriz A, ¿existe una matriz B, tal que el producto A@B, o bien B@A, sea una matriz de una sola fila? Pon un

ejemplo con una matriz A0M3x4.Solución.

3. Calcula el producto A@B siendo : , .

Solución. A @B =

4. Dada la matriz: , calcula X2 y X3.

Solución. ,

C. PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE MATRICES.

1. No es una operación interna en el conjunto Mmxn. Si m…n ni siquiera se puede efectuar el producto de dos matrices

A,B0Mmxn.

En el conjunto Mnxn, sí que sería una operación interna.

2. No es conmutativo.

a) Hay casos en los cuales es posible efectuar A@B, y no B@A.

‚ Si y Y . No es posible efectuar B @A.

b) En los casos en que es posible efectuar A@B y B@A, no siempre da el mismo resultado. A veces ni siquiera son del

mismo orden.

‚ Si y Y , .

c) En el caso de las matrices cuadradas, tampoco se verifica la propiedad conmutativa.


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‚ Si y Y , .

3. Dota al conjunto Mmxn de divisores de cero. Es decir, hay matrices no nulas cuyo producto es la matriz nula.

‚ Si y Y . A…(0) y B…(0); sin embargo A @B=(0).

4. Verifica la propiedad asociativa en los casos que se puedan multiplicar tres matrices. Es decir, si A es de orden mxn,

B de orden nxp y C de orden pxq, entonces: (A@B)@C=A@(B@C).Dem . Sean aij, b ij y c ij los elementos generales de A, B y C respectivamente.

El elemento general de A@B será: " is = .

El de (A @B)@C será: x ij = = = .

El elemento general de B@C será: ß rj = .

El de A @(B@C) será : y ij = = = .

Es decir, x ij = y ij y por tanto (A @B)@C=A @(B@C). c.q.d.

5. No existe elemento neutro. Si A es de orden mxn, entonces Im es el elemento neutro por la izquierda de A, e In el

elemen to neutro por la der echa de A. Es de cir: Im@A=A , A@In=A.

‚ = . =

Si A es una matriz cuadra da de or den n, I n es el eleme nto neu tro por la izq uierda y p or la derec ha de A . Es decir , el

único elemento neutro de Mnxn. O sea: I n@A=A@In=A.

6. No existe elemento simétrico para ninguna matriz de Mmxn siendo m…n. Hay matrices cuadradas que sí tienen

elemen to simétrico (inversa) las cuales se llaman regulares, en cambio las qu e no tienen inve rsa se llaman singulares.

La matriz inversa de A la denotamos po r A -1. Ya veremos cómo se calcula. Si A es de orden n, A -1 también, y se verifica

que: A -1@A = A@A -1 = In.

‚ = . = .

‚ Veamos que no tiene in versa. S i fuera su inversa:

= Y a+c=1, b+d=0, a+c=0, b+d=1. Sistema de ecuaciones que no tiene solución y por tanto no existe B.

7. A@(B+C) = A@B+A@C . Es evidente, con A0Mmxn y B,C0Mnxp.

8. (A+B)@C = A@C+B@C . Es eviden te, con A ,B0Mmxn y C0Mnxp.

9. (8@A)@B = 8@(A@B). Es evidente, con A0Mmxn y B0Mnxp.

10. AAM = A AN no implica que M=N

‚ Com pruébe se con la s matrice s: , , .

Ejercicios.

1. Calcula An en cada uno de los siguientes casos.


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a) . b) . c) . d) .

Solución. a) . b) . c) . d) I.

2. Dada la matriz , calcula A7.

Solución. A 7 =

3. Calcula An en cada uno de los siguientes casos.

a) . b) . c) .

Solución. a) A n= . b) . c) I.

4. Halla todas las ma trices A0M2x2 tales que A2=-I2.

Solución. , .

5. Sabiendo que A2+A=I, calcula, simplificada, la matriz (A+I)2-(A+I).

6. Halla todas las ma trices A0M2x2 tales que A2=(0).

Solución. , , , , con b…0.

7. Siendo . Halla An, para n0N.

Solución. .

8. Siendo . Halla Bn, para n0N.

Solución. B n=3n-1@B.

9. Si A y B son matrices cuadradas cualesquiera, ¿Será: (A+B)2=A2+2@A@B+B2?Solución. No. A @B…B @A.

7. TIPOS DE MATRICES CUADRADAS.

1. Diagonales. Son aquellas que tienen todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal, los cuales pueden

ser nulos o no. (aij=0 si i…j)

‚ , , .


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a. Escalares. Son las diagonales con todos los elementos de la diagonal principal iguales. (A=8In))

‚ , .

b. Unidad o identidad. Es una diagonal escalar con el número 1 en todos los lugares de la diagonal principal. Se

denota por In.

‚ , .

Ejercicios.

1. Demuestra que el conjunto de las matrices diagonales de orden n forman un subespa cio vecto rial del espac io vectorial

de las matrices cuadradas de orden n.Solución. Obvio.

2. Triangulares. Son aquellas en las que son nulos todos los elementos que están por encima o por debajo de la diagonal

principal.

a. Triangular superior. Si son nulos los elementos por debajo de la diagonal principal. (a ij=0 si i>j)

‚ , .

b. Triangular inferior. Si son nulos los elementos por encima de la diagonal principal. (a ij=0 si i>j)

‚ , .

Ejercicios.

1. Demuestra que el conjunto de las matrices triangulares superiores de orden n form an un su bespacio vectorial d el espacio

vectorial de las matrices cuadradas de orden n.Solución. Obvio.

2. ¿Cuál es la dimen sión del su bespacio vectorial T de las matrices triangulare s superiores?

Solución. Dim(T) = 1 + 2 + 3 + ... + n = .

3. Simétricas. Son las matrices A tales que At=A. Es d ecir: a ij=aji para todo s i, j.

‚ .

Ejercicios.

1. Si A y B so n matrice s simétricas d e orden 2, determ ina la con dición qu e debe cu mplir la m atriz A@B para que sea

también simétrica.Solución. A conmute con B.

2. Halla todas las ma trices simétricas A0M2x2 tales que A2=I2.Solución.

3. Demuestra que las matrices sim étricas A0M2x2 forman un subespacio vectorial de M2x2. Obtén una base del subespacio.


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Solución.

4. Antisimétricas o hemisimétricas. Son las matrices A tales que At=-A. O sea: a ij=-a ji para todo s i,j.

‚ es antisimétrica, pues .

Observación. En las matrices antisim étricas los elementos d e la diagonal princ ipal son nulos.

Ejercicios.

1. Obtén la forma general de las matrices A de orden 2 antisimétricas y calcula A2, A4 y A33.

Solución. , , , .

5. Regulares o invertibles. Son las qu e tienen inv ersa respec to al prod ucto de m atrices. Es de cir: A es reg ular si existe

su inversa A-1 y por tan to: A@A -1 = A -1@A = I.

‚ su inversa es .

‚ su inversa es .

Ejercicios.

1. Aplica la d efinición p ara hallar la m atriz inversa de:

Solución. .

2. Demuestra que si A cumple que A2+2A=I entonces A es invertible.Solución. De A @(A+2I)=I se deduce que A -1=A+2I.

3. Una matriz A0M2x2 verifica la ecuación A3+2A2+I=(0). Hallar A -1.Solución. A -1=-A 2-2A.

6. Singulares. Son las que no tienen inversa respec to al producto d e matrices.

‚ y no tienen inversa.

7. Ortogonales. Son las matrices A tales que A@A t=I, es decir, A -1=A t.

‚ y son ortogonales. Compruébese.

Ejercicios.

1. Halla todas las ma trices A0M2x2 ortogonales.

8. Idempotentes. Son las matrices A tales que A2=A.

‚ , y son idempotentes. Compruébese.


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Ejercicios.

1. Halla todas las ma trices A0M2x2 idempoten tes.Solución.

2. Si A es una matriz idempotente, ¿cuánto vale (2A -I)2?Solución. I.

9. Involutivas. Son las matrices A tales que A2=I.

‚ y son involutivas. Compruébese.

Ejercicios.

1. Halla todas las ma trices A0M2x2 involutivas.Solución.

8. MATRIZ TRASPUESTA. PROPIEDADES.

Matr iz traspuesta de A. Es la que se obtiene a partir de A cambiando fil as por columnas sin alterar su orden de

colocación. La denotaremos po r A t.

Si A=(a ij), At=(a ji). Si A es de orden mxn, A t será de orden nxm.

Propiedades

Consid eremo s las matrice s A, B, A t y B t de órdenes ad ecuados a las pro piedades que veamos.

1. (A t)t = A. Dem. Evidente.

2. ("@A)t = "@A t. Dem. Evidente.

3. (A+B)t = A t + Bt.

Dem: Como A=(a ij) y B=(b ij) entonces A+B=(a ij+b ij). (A+B)t=(a ji+b ji)=(aji)+(b ji)=At+B t.

4. (A@B)t = Bt@A t.

Dem: Sean A=(a ij) de orden mxn y B=(b ij) de orden nxp. C=A@B=(c ij) será de orden mxp.

El elemento cij de C=A@B es com o sabem os: c ij = ai1@b1j + ai2@b2j + ... + ain@bnj.

Este elemento es también el elemen to que está en la fila j y la co lumna i de la matriz (A@B)t, es decir, es el c ji de (A@B)t.

Los elementos de la fila j de la matriz Bt son b1j, b2j, ..., bnj.

Los elementos de la columna i de la matriz A t son ai1, ai2, ..., ain.

Por tanto, el elemento de la fila j y la columna i de Bt@A t es: b1j@ai1+b2j@ai2+...+bnj@ain=cji.

Luego (A @B)t=B t@A t.

Ejercicios.

1. Sea . Encuentra una matriz cuadrada triangular B tal que A=B@B t. ¿Hay una sola?

Solución.

2. Dem uestra qu e el produ cto de do s matrices o rtogona les es otra m atriz ortogo nal.

3. Si la matriz A es antisimétrica, ¿qué se puede decir de Bt@A@B?Solución. A=-A t entonces (B t@A @B)t = B t@A t@B = -B t@A @B es decir, es antisimétrica.


))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))


4. Si la matriz P es antisimétrica, ¿qué se puede decir de P2, P3 y P4?Solución. P=-P t Y P² = P@P = (-P t)@(-P t) = (P t)2 = (P 2)t Y P2 es simétrica.

P3 = P2@P = (P 2)t@P = -(P 3)t Y P3 es antisimétrica. Análogamente sale que P 4 es simétrica.

5. Demuestra que toda m atriz cuad rada A e s la suma de una m atriz simétrica S y otra m atriz antisim étrica T. A plica este

resultado a una matriz cualquiera 3x3.Solución. S=S t y T=-T t, A=S+ T, A t=(S+T)t=S t+T t Y A t=S-T Resolviendo el sistema: S=½@(A+A t) y T=½@(A-A t).

9. MATRICES INVERTIBLES. PROPIEDADES.

Una matriz A es invertible o regular, si tiene inversa res pecto al p roducto de matric es. Es decir : A es inve rtible si existe

su inversa A-1 y por tan to: A@A -1 = A -1@A = I.

Propiedades

1. Si A y B son matrices cuad radas de orden n tales que: A @B=In, entonces B=A -1 y A=B -1.

Dem. Multiplicando en A@B=In por A -1 y aplicando la propieda d asociativ a se tiene qu e: A -1@(A@B)=A-1 Y(A -1@A)@B=A -1 Y B=A -1.

Análogamen te: (A@B)@B-1=B-1 Y A@(B@B-1)=B-1 Y A=B -1.

2. (A -1)-1 = A. Dem. Evidente.

3. (A@B)-1 = B-1@A -1.

Dem. Hay que ver que: (A @B)@(B-1@A -1)=In.

Por la propiedad asociativa: (A@B)@(B-1@A -1)=A@(B@B-1)@A -1=A@A -1=In.

4. (A t)-1 = (A -1)t.

Dem. Como A@A -1=In, tomando traspuestas resulta que: (A-1)t@A t=In, luego, por la primera propiedad (A -1)t=(A t)-1.

Ejercicios.

1. Dem uestra qu e la inversa de una m atriz ortogo nal es otra m atriz ortogo nal.

2. Demuestra que si la matriz A es simétrica, también lo es su inversa.Solución. Si A es simétrica Y A=A t. Por o t ra par te AA-1=I , tomando traspuestas en ambos miembros , se t iene: (AA -1)t=It Y (A -1)tA t=I Y (A -1)tA=I

Y (A -1)t=A -1 Y A -1 es simétrica.

10. OPERACIONES CON MATRICES Y PROPIEDADES. RESUMEN.

Siendo:

+: Suma d e matrices.

@8: Producto de un número real por una matriz.

x: Producto de m atrices.

(Mmxn, +) = Grupo conmutativo.

(Mmxn, +, @8) = Espacio vectorial sobre R.

(Mnxn, x) = Semigrupo.

(Mnxn, +, x) = Anillo no conmutativo, unitario y con divisores de cero. No dominio de integridad.

(Mnxn invertibles, x) = Grupo.

(Mnxn +, @8, x) = Álgebra conmutativa.

11. REPRESENTACIÓN DE UN VECTOR POR UNA MATRIZ.

Sea E un R-espacio vectorial de dimensión n y B={ } una base de E.

A todo vector 0E, le podemos asociar un a matriz fila formada por

las coordenadas de en la base B, o también una matriz de una sola columna A t que es la traspuesta de la anterior.


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Recíprocamente, a toda matriz fila o a toda matriz columna, le podemos asociar un vector del espacio vectorial de

dimensión n, cuyas coordenadas sean los elementos de la matriz fila o de la matriz columna.

‚ Al vector (2,3,4)0R 3 le podemos asociar: la matriz fila o la matriz columna .

‚ A la matriz fila le podemos asociar el vector de R3: (1,5,7).

‚ A la matriz columna le podemos asociar el vector de R3: (6,0,8).

12. REPRESENTACIÓN DE UN CONJUNTO DE VECTORES POR UNA MATRIZ.

Sea E un R-espacio vectorial de dimensión n y B={ } una base de E.

Sea S={ } un conjunto de m vectores de E.

Podemos asociar a S la matriz A de orden mxn formad a por las coorde nadas de los ve ctores en la base B:

abreviad amen te:

Tamb ién pod emos a signar a S la matriz At=( ) que está formada por las coordenadas de los vectores

puestas en columna.

‚ A los vectores {(2,3,4), (1,0 ,5), (8,6,5), (7,9,4)}0R 3 le podemos asociar las matrices:

de orden 4x3, o la matriz de orden 3x4.

Recíprocamente: A toda matriz A de orden mxn le podem os asignar dos co njuntos de vec tores:

1. { } que son m vectores de un espacio vectorial de d imensión n, donde las coordenadas de cada

vector son los elementos de la fila i de la matriz A.

2. { } que son n vectores de un espacio vectorial de dimensión m, donde las coordenadas de cada vector

son los elementos de la columna i de la matriz A.

‚ A la matriz le podemos asociar {(1,0,5,6), (2,3,4,7)} que son 2 vectores de R3, o también {(1,2), (0,3), (5,4), (6,7)} que son

4 vectores de R2.

13. RANGO DE UNA MATRIZ.

El concepto de rango es una de los conceptos más importantes del Algebra Lineal. Recordemos el concepto de rango

de un con junto de vectore s.

Rango de un conjunto de vectores. Es el número de vectores linealmente independientes de dicho conjunto. Es decir:

Es la dimensión del subespacio vectorial que generan.

Rango por filas de una m atriz es el mayor nú mero de v ectores fila que sean linealm ente indepen dientes.

Rango por columnas de una m atriz es el mayor nú mero de v ectores colum na que son line almente indep endientes.


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‚ Sea . El rango por filas de A es 2 ya que las filas (1,0,3) y (2,1,-1) son linealmente independientes y

(3,1,2)=(1,0,3)+(2,1,-1).

El rango por columnas es también 2 ya que las columnas (1,2,3) y (0,1,1) son linealmente independientes y

(3,-1,2)=3@(1,2,3)-7 @(0,1,1).

El hecho d e que co incidan e l rango p or filas y el ran go por c olumn as en el ejem plo anterio r, no es por casualidad;

veremos más adelante que esta propiedad se verifica siempre, por lo cual podemo s hablar simplemente de rango (o

característica) de una matriz.

Se enuncia a continuación un teorema que permite conocer un método para calcular el rango de una matriz.

Teorema. El rango por filas (o por column as) de una matr iz A no varía si se sustituye una de ellas por una

combinación lineal de todas, en la cual el coeficiente de la sustituida es distinto de cero.

Demostración

Vamos a hacerla para el rango por filas. Para ello consideremos las matrices A, B y C.

donde (b 11,b12,...,b1n) = "1@(a11,a12,...,a1n) + "2@(a21,a22,...,a2n) + ... + "m@(am1,am2,..., amn) con "1…0 (*)

La matriz B se ha obte nido sustitu yendo la fila 1 por u na com bianción lineal de ella y las demás. B es también de orden

mxn.

La matriz C es de orden (m+1)xn y se obtiene a partir de A añadiéndole la fila m+1 que es combinación lineal de las

m restantes.

Hay que demostrar que el rango por filas de A igual al rango por filas de B. r(A) = r(C) ya que la última fila de C es

combina ción lineal de las dem ás.

r(C) = r(B) ya que la primera fila de C es combinación lineal de las demás (basta despejar en (*), ya que "1…0).

En consecuencia: r(A)=r(B). c.q.d. La dem ostración para el rango por columnas es similar.

Así, un método para calcular el rango de una matriz consiste en transformarla, mediante las operaciones indicadas en

el teorema anterior, en una matriz "escalonada".

‚ Calculemos el rango de la matriz .

= (a) = = (b) = = (c) = = 3.

Si c 1, c2, c3 denotan las columnas, las igualdades anteriores se justifican:

(a) Permutando c1 y c2 para conseguir que el elemento a11 sea la unidad.

(b) Sustituimos c2 por (-2)@c1+c2 y c3 por (-3)@c1+c3.

(c) Sustituimos c3 por (-1)@c2+c3.

Teorema. El rango po r filas y el rango po r columna s de una m atriz A son igu ales.

Demostración

a) Vamos a hacerla para una matriz de orden 5x4 cuya cuarta columna depende linealmente de las tres primeras, que

son linealmen te independien tes. Veremos q ue tiene, a lo sumo , tres filas linealmente indepen dientes.


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Si la 4ª columna, d, es combinación lineal de las tres primeras: d=p@a+q@b+r@cSustituimos los elem entos de la cuarta co lumna po r su expresión en función de los elem entos de las tres primera s.

La prim era fila pue de pon erse así: a1@(1 0 0 p)+b1@(0 1 0 q)+c1@(0 0 1 r).

Análog amen te, la segun da fila: a2@(1 0 0 p)+b2@(0 1 0 q)+c2@(0 0 1 r).

Lo mism o las otras tres.

Las filas se pueden poner todas como combinación lineal de los vectores fila:

(1 0 0 p), (0 1 0 q), (0 0 1 r)

Significa que sólo tres de las cinco filas, a lo sumo , serán linealmente ind ependientes.

De la misma m anera se probaría que el número de columnas linealmente independientes es menor o igual que el de filas.

Luego coinciden.

b) Veámosla en general: Para ello consideramos una matriz arbitraria A0Mmxn.

Sean F1, F2, ..., Fm sus filas.

Supongam os que el rango por filas es r.

Sean S1=(b11 b12 ... b1n), S2=(b21 b22 ... b2n), ..., Sr=(b r1 br2 ... brn) los r vectores de una base del espacio vectorial

engendrado por los vectores fila:

Entonces cad a uno de los v ectores fila es comb inación lineal de los S i.

F1 = k11@S1 + k12@S2 + ... + k1r@Sr

F2 = k21@S1 + k22@S2 + ... + k2r@Sr

.........................................................

Fm = km1@S1 + km2@S2 + ... + kmr@Sr donde los k ij son escalares.

Igualando las componentes i-ésimas de cada una de las ecuaciones vectoriales anteriores, obtenemos el siguiente sistema

de ecuaciones, válido para i=1,...n:

a1i = k11@b1i + k12@b2i + ... + k1r@bri

a2i = k21@b1i + k22@b2i + ... + k2r@bri

...........................................................

ami = km1@b1i + km2@b2i + ... + kmr@bri

Luego para i=1,...n: = b1i@ + b2i@ + ... + bri@

Es decir, cada un a de las column as de A es una combina ción lineal de los r vectore s:

, , ...,

Luego el espacio vectorial engendrado por los vectores columna de la matriz A tiene dimensión a lo más r, esto es, el


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rango por c olumnas # r.

Luego el ran go por colu mnas # el rango por filas.

Similarm ente (o considerando la matriz traspuesta At) obtenemos que el rango por f ilas es menor que el rango por

columna s.

Por tanto, el rango por filas y el rango por columnas son iguales. c.q.d.

14. MATRIZ ASOCIADA A UNA APLICACIÓN LINEAL.

Consid eremo s una aplic ación linea l f0L(E,F). Sea { } una base de E y { } una base de F.

Y

Y

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Y

La matriz cuyas columnas están formadas por las coordenadas de los vectores , ,

..., , es la matriz asociada a la aplicación lineal f respecto a las bases considerad as.

‚ Consideremos la aplicación lineal f de R 3 en R2 definida por f(x,y,z)=(x+y,y+ z).

f(1,0,0)=(1,0) f(0,1,0)=(1,1) f(0,0,1)=(0,1)

La matriz asociada a f respecto a las bases canónicas de R3 y R 2 es: .

Recíprocamen te. «Dada una matriz A0Mmxn, existe una única ap licación line al f0L(E,F) tal que A es la ma triz

asociada a f».

Demostración

Sea { } la base de E y { } la base de F.

Considerem os los vectores 0F, entonces:

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Sabemos que

Vamos a construir f con las condiciones de que , , ..., y ver qu e es lineal y única. Sea

0E Y

Definim os:

Veam os que la a plicación f así definida es lineal:

Si y Y


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= ..... = .

= ..... = . Luego f es lineal.

Como: f(1,0,...,0)= , f(0,1,...,0)= , ..., f(0,0,...,1)= , Y la matriz asociada a f es A.

Veamos que la aplicación f así definida es única:

Si existiera otra aplicación g que cum pla todas las condicio nes anteriores , se tendrá que:

= = =

=

‚ Sea la matriz asociada a una aplicación lineal f de R3 en R2.

La aplicación f que tiene como matriz asociada A, es: f(x,y,z)=(x+ 2y+3z, 4x+5y +6z).

f(1,0,0)=(1,4) f(0,1,0)=(2,5) f(0,0,1)=(3,6)

Coro lario. Si los vectores colum nas de la ma triz A son lin ealmen te independien tes Y La aplicación f

es inyectiva.

Demostración

Y por ser linealmente inde pendientes.

Luego = Y Ker(f)= Y f es inyectiva.

Ejercicios.

1. Sea f un aplicación lineal de R4 en R3 definida por f(x,y,z,t)=(3 x+y,x+ z,y+2z +t). Halla su matriz aso ciada resp ecto de

las bases canónicas.

Solución. .

2. Sea f un aplicación lineal de R2 en R3 definida p or f(1,-1)= (2,0,-1), f(2 ,1)=(4,3 ,1). Halla su matriz aso ciada resp ecto

de las bases canón icas.

Solución. .

3. Si la matriz asociada a una aplicación lineal f de R3 en R3 es , calcula f(-3,5,1).

Solución. (4,8,7).

4. Sea f un aplicación lineal de R3 en R3 definida por f(3,0,1)=(3,3,4), f(1,0,-1)=(1,1,0), f(0,-1 ,0)=(0,-1,-1). Halla su matriz

asociada respecto de las bases canónicas y f(-3,1,6).Solución.

5. Sea f un aplicación lineal de P3(x) en P3(x) definida por f[p(x)]=p(x+1). Halla su matriz asociada respecto de las bases

canónicas.

Solución. .

6. Sea f un aplicación lineal de P2(x) en P1(x) definida por f(ax2+bx+c)=2ax+b.

a) Halla la matriz asociada a f respecto de las bases canónicas {x2,x,1} y {x,1}.

b) Calcula matricialmente la imagen de (x 2-7x+9).

c) Determina la matriz asociada a f respecto de las bases: {x2-x+1,x+3,x-7} y {1+ x,2-3x).


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Solución. . 2x-7. .

7. Sea f un aplicación lineal de R3 en R2 definida por f(1,1,1)=(2,-1), f(0,0,1)=(1,2), f(0,0,1)=(0,4).

a) Halla su matriz aso ciada respecto de las bases canónicas.

b) Halla su matriz asociada respecto de las bases {(3,1,0), (0,1,2), (2,1,0)} y {canónica}.

Solución. . .

8. Sea f un aplicación lineal de M2x2 en M2x2 definida por = . Halla su m atriz asociada

respecto de las bases ca nónicas.

Solución. .

9. Sea f un aplicación lineal de P2(x) en R definida por f[p(x)]= . Halla la matriz asociada a f respecto de las

bases canónicas. Calcula también la imagen de (x 2+x+2).

Solución. . .

10. Sea f un aplicación lineal de P3(x) en P1(x) definida por f[p(x)]=p''(x). Halla la matriz asociada a f respecto de las bases

canónicas. Calcula también la imagen de (x 3+3x2+7x-6).

Solución. . 6x+6.

11. Sea f un aplicación lineal de P3(x) en P2(x) definida por f[p(x)]=x3Ap'(0)+x2Ap(0).

Halla la matriz asociad a a f respecto de las base s canónicas.Solución.

12. Sea f un aplicación lineal de P3(x) en P3(x) definida por f[p(x)]=2Ap(x)+p'(x).

a) Estudia si f e s o no linea l.

b) Determina Ker(f) e Im(f) y una base los m ismos.

c) Comprueba si f es inyectiva y suprayectiva.Solución.

13.


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15. APLICACIONES LINEALES Y OPERACIONES CON MATRICES.

En el apartado anterior hemos construido una aplicación biyectiva T entre L(E,F) y M mxn, definida d e la siguien te

manera:

T

L(E,F) ))))))> Mmxn

f )))))))> Matriz asociada a f

Esta aplicación T e s además lineal, pues:

1. T(f+g)=T(f)+T(g).

2. T(8f)=8T(f). Luego T es un isomorfismo.

Es decir, L(E,F) y Mmxn son isom orfos y p or tanto: dim L(E,F) = dim Mmxn = mxn.

Luego, End(E) y Mnxn son isom orfos y p or tanto: dim End(E) = dim Mnxn = n2.

Por tanto, siendo:

+: Suma d e aplicaciones lineales.

@8: Produc to de un núme ro real po r una ap licación line al.

o: Compo sición de aplicacióne s lineales.

[L(E,F), +] = Grupo conmutativo.

[L(E,F) , +, @8] = Espacio vectorial sobre R.

[End(E ), o] = Semigrupo.

[End(E ), +, o] = Anillo no conmutativo, unitario y con divisores de cero. No dominio de integridad.

[End(E ) regulare s, o] = [GL (E), o] = Grupo.

[End(E ), +, @8, o] = Álgebra no conmutativa.

A. MATRIZ ASOCIADA A LA COM POSICIÓN DE APLICACIONES LINEALES.

Sean E, F, G esp acios vec toriales sobr e R; { }, { }, { } sus bases respectivas y sean

f0L(E,F) y g0L(F,G), siendo A la matriz asociad a a f y B la matriz aso ciada a g en las bases m encionadas.

«La matriz asociada a aAf+bAg es a@A+b@B».

Demostración: Obvia.

«La ma triz asociada a gof es B @A».

Demostración

La columna j-ésima de gof en las bases mencionadas es (gof)( ) = g[f( )] = BAA j. Siendo Aj la columna j-ésima de

la matriz A.

‚ Si f,g0L(R 2,R 2) y f(1,0)=(6,-5), f(0,1)=(2,1), g(1,0)=(1 ,3), g(0,1)=(4,7), hallemos las ecuacion es de gof.

= Y =

Si hubiéramos definido el producto de dos matrices como la composición de ambas matrices pensadas como

aplicaciones, no es nec esario dem ostrar las pro piedade s del prod ucto de m atrices, ya qu e son sim plemen te las de la

compo sición de aplicacione s, que ya cono cemos.

Demostración de la propiedad asociativa del producto de matrices: Es obvia porque el producto de dos matrices

es otra matriz asociada a la composición de dos aplicaciones lineales, y la composición de aplicaciones verifica la propiedad

asociativa com o sabemo s.

De todo lo expuesto hasta aquí se sigue obviamente la siguiente:

Proposición. Una aplicación lineal f es un automorfismo ] Su matriz asociada es invertible.


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‚ La aplicación lineal f de R3 en R3 de matriz asociada es automorfismo para a… . Para ese valor *A*=0.

B. ECUACIONES DE UNA APLICACIÓN LINEAL.

Sea f0L(E,F) y A0Mmxn su matriz asociada.

Siendo 0E y f( )= 0F, las ecuaciones que expresan las coordenada s del vector en

función de las coordenadas de son las ecuaciones de la aplicación lineal f.

Si es el vector de la columna j de la matriz A será f( )= por ser A la matriz asociada a f.

Tendr emos: = f( ) = = =

= = . . . Es decir:

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

son las ecuaciones de la aplicación lineal f.

Las ecu aciones a nteriores p ueden escribirse de forma m atricial así:

= más bre veme nte: AAX=Y y tamb ien: XTAAT=YT.

‚ La aplicación lineal de R 3 en R2 definida por f(x,y,z)=(2x+y,y+3z) tiene por matriz asociada .

Las ecu aciones son: , en form a matricia l = y también: (x' y') = (x y z) .

Ejercicios.

1. Sea f un aplicación lineal de R2 en R3 definida por f(x,y)=(2x,x+y,y) y sean B={(1,1), (0,2)} y B'={(1,0,0), (0,1,0),

(0,0,1)} bases de R2 y R3 respectivamen te. Halla la matriz asociada a f respecto a estas bases.

Solución. .

2. Si f(x,y,z)=(x-z,y+z) y g(x,y)=(x+y,x-y,2x+3y), calcula la matriz asociada a f, g, gof y fog.

Solución. (f)= . (g)= . (gof)= . (fog)= .

3. Sea f(x,y,z) = (2x,x+y,y,y-z) una aplicación lineal definida de R3 en R4.

a) Com prueba que es line al.

b) Halla la matriz asociad a a f en las bases canó nicas.

c) Matriz asociada a f considerando en R3 la base B={(1,0,0), (0,-1,1), (2,1,0)} y en R4 la canónica.

Solución. b) . c) .

4. Sean E, E' y E'' tres R-espacios vectoriales de dimensiones 2, 3 y 4 respectivamente. Sean f de E en E' y g de E' en E''


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dos aplicaciones lineales que tienen por matrices asoc iadas y . Halla las ecuaciones de f, de

g y la matriz asociada a gof.

Solución. f(x,y)=(0,y ,x). g(x,y,z)= (x+z, y+z, z , z). .

5. Sea f una aplicación lineal con matriz asociada e n la base . Halla su m atriz en la base

donde .

Solución.

6. Calcula las ecuaciones de la aplicación lineal definida por la matriz . Halla la imagen de (5,3,-2).

Solución. f(5,3,-2)=(-1,8,8,2).

7. Sea la matriz asociada a una aplicación lineal de R2 en R2 en la base . Calcula la matriz asociada

a dicha aplicación en la base donde .

Solución.

8. Se considera la aplicación lineal f de R3 en R3 definida por:

f(x,y,z) = [(m-2)x+2y-z, 2x+my+2z, 2mx+2(m+1)y+(m+1)z]

a) Escribe la matriz aso ciada a f respecto de las bases canónicas.

b) Calcula las soluciones de la ecuación f(x,y,z)=(0,0,0) según los valores de m.Solución.

9. Halla la matriz asociada a la aplicación lineal f de R4 en R3, tal que:

f(1,0,1,0)=(1,1,1), f(0,1,0,2)=(0,1,0), f(1,1,0,0)=(0,1,1), f(1,0,0,0)=(2,1,0)

Solución. .

10. Halla la matriz asociada a la aplicación lineal f de R3 en R4, tal que:

f(0,1,1)=(1,2,7,1), f(1,0,3)=(-1,2,3,1), f(2,-1,0)=(2,0,4,0)

Determina también Im (f) y ker(f).

Solución. . Im(f)=<(1,2,7,1),(-1,2,3,1)>. Ker(f)=<(3,-2,2)>.

11. Sabiendo que Im(f)=< (2,1,1),(3,0,-1)>. Ker(f)=<(1,2,-1)>, Calcula la matriz asociada a f.

Solución. = . a=8, b=1, c=-1.

12. Si f(x,y)=(2x-3y,4x) y g(1,0)=(1,-1,1), g(1,1)=(2,0,0), calcula la matriz asociada a gof.


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Solución. (f)= . (g)= . (gof)= .

13. Si f(1,0)=(1,1,1), f(0,1)=(1,0,-1) y g(1,0,0)=(1,0,0,1), g(1,1,0)=(0,1,1,-1), g(1,1,1)=(0,0,0,1), calcula la matriz asociada

gof.

Solución. .

14. Si es la matriz asociada a una aplicación lineal f de R4 en R3, determina Im(f) y Ker(f).

Solución. Im(f)=<(2,-1,3),(-1,2,0)>. Ker(f)=<(-5,-7,3,0),(-2,1,0,1)>.

15. Sea G" la aplicación de R2 en R2 definida p or: G"(x,y)=Giro de " radianes y centro el o rigen del v ector (x,y ). Halla la

matriz asociada a G". Comp rueba q ue la composición de dos giros de amplitudes " y $ es un nuevo giro de amplitud

"+$.

Solución. . (G$oG") = G$AG" = = G"+$.

16. Sea Se la aplicación de R2 en R2 definida p or: Se(x,y)=(x ',y')=Simé trico de (x,y ) respecto al eje e. El eje e es la med iatriz

del segmento que une (x,y) con (x',y') y forma un ángulo de " radianes con el eje OX.

Halla la matriz asociada a Se. Comprueba que la composición de dos simetrías Se y Se' de ángulos " y $ es un giro de

centro O y amplitud 2($-").

Solución. . (Se 'oS e) = Se 'AS e = = G 2($-").

17. Se considera la aplicación lineal f de R3 en R4 dada por:

x' = 5x + 2y - z

y' = -8x - 3y + 2z

z' = -x - 2y - 3z

t' = 3x - y - 5z

Halla la imagen del plano de R3 de ecuación x+y+z=0.Solución. (-3a,5a,-a,-4a) imagen de dos vectores linealmente independientes del plano.

18. Si es la matriz asociada a una aplicación lineal f de R3 en R3, demuestra que para cualquier valor

de "a" la dimensión de la Im(f) es 2. Calcula Ker(f) e Im(f) para a=-2.Solución.

19. Una aplicación lineal f es idempotente si fof=f. Demuestra que en la imagen por una aplicación idemp otente, el co njunto

de los vec tores que coincide n con su imagen constituye n un sub espacio v ectorial.Solución.

20. Sea f un aplicación lineal de C en C definida por f(z)=(1+i)z. Halla la matriz asociada a f y comprueba que es una

automorfismo.

Solución. .

21. Sea f un aplicación lineal de P3(x) en P3(x) definida por f[p(x)]=p''(x) y B={1,1+x,1+x+x2,1+x+x2+x3} una base de

P3(x).

a) Halla la matriz asociada a f respecto de esa base.

b) Calcula Ker(f) e Im(f).

c) Resuelve la ecuación f[q(x)]=6x+8.


))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))


Solución. a) . b) Ker(f)= {a+bx} , Im(f)={c+ dx}. c) q(x )=...

22.


))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))


16. CAMBIO DE BASE.

Sea E un espacio vectorial sobre R de dimensión n y una base de E.

Dado un vector 0E, y conociendo sus coordenadas en la base B, pretendemos hallar sus coordenadas con relación a

la base .s

Exis te un a apli cació n line al f qu e tran sform a B en B':

, , ...,

Como los vectores pertenecen a E tendremo s:

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .y la matriz asociada a la aplicación f.

La matriz A, se llama matriz del ca mbio de ba se, y expresa la base nueva en función de la antigua.

Consideremos el vector = = siendo xi las coordenadas en la base

B y x i' las coordenadas en la base B'. Veam os qué relación h ay entre las x i y las x i':

= = =

+ + ... + =

+ + ... +

Identificando el primer miembro y el último:

x1 =

x2 =

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

x2 = que pod emos e scribir así:

siendo X y X ' las matrices column as de las coorden adas respectivas.

Estas expresione s dan las coorde nadas antiguas e n función d e las nuevas.

Si en X=AAX' multiplicamos por A -1 tenemos:

A -1AX = A -1AAAX' Y

expresión qu e proporcion a las nuevas coo rdenadas en función de las an tiguas.

Ejercicios.

1. Sea una base del espacio vectorial E.

a) Averig ua si , , es otra base de E.

b) Halla las fórmulas del cambio de base.

c) Si (2,-1,3) son las coordenadas de un vector de E en la base , halla sus coordenadas de dicho vector


))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))


en la base .

d) Si (4,5,6) son las coordenadas de un vector de E en la base , halla sus coordenadas de dicho vector en

la base .

Solución.

2. Si las coordenadas de un vector de R2 son (2,-3) respecto de la base {(3,-1),(0,3)}, encuentra una base en la que tenga

por coordenadas (1,1).Solución.

3. Las coordenadas del vector de R3 en la base B={(1,1,0), (0,1,1), (1,0,1)} son (1,1,1). Calcula las coordenadas de

en la base B'={(1,2,3), (3,4,0), (1,1,0)}.Solución.

4.

17. EJERCICIOS.

1. Halla x e y para que la matriz cumpla que A²+x@A+y@I=(0).

Solución.

2. Halla todas las matrices que conmutan con .

Solución.


Solución. .


Solución. Si b=0 , todas. S i b…0 .

5. Siendo , hallar las matrices B…(0)0M2x2 tales que A@B=(0) y obtener el valor de x para que exista solución.

Solución. , x=6.

6. Siendo , Calcula B2, B3 y Bn.

Solución. , , .

18. PROBLEMAS.

1. En la sala de un hospital dedicado al tratamiento de diabéticos se administra insulina de tres clases: sem ilenta, lenta y

ultralenta. El número de unidades diarias que se aplica a los cinco pacientes ingresados viene dado p or la siguiente tabla:

Pac. 1 Pac. 2 Pac. 3 Pac. 4 Pac. 5

Semilen ta 15 15 20 30 10

Lenta 20 20 15 5 20


))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))


Ultralenta 10 5 10 10 15

El núme ro de días que h a estado internado cada paciente es:

Pac. 1 Pac. 2 Pac. 3 Pac. 4 Pac. 5

Nº de días 3 7 5 12 20

Calcula, con ay uda del prod ucto de ma trices, las unidades de cad a clase que le fue ad ministrada a los pac ientes.

Solución. La ma triz de nec esidade s diarias e s: .

La ma triz colum na que expres a el núm ero de d ías es: .

Para hallar el número de unidades de cada clase administradas a los pacientes calculemos:

A @D = @ = .

2. Demuestra que si dos matrices invertibles A y B conmutan, entonces: a) También conmutan A-1 y B, B -1 y A, A -1 y B-1.

b) Si adem ás A y B son simé tricas, A -1@B, A @B-1 y A -1@B-1 también son simétricas.Solución. a) A @B=B @A Y B @A @A -1=A @B @A -1=B Y A -1@B=(A -1@A)@B @A -1=B @A -1

Análogamente A=B @A @B -1 Y B -1@A=(B -1@B)@A @B -1=A @B -1

A @B=B @A tomando inversas: (A @B)-1=(B @A)-1 Y B -1@A -1=A -1@B -1

b) A=A t y B=B t Y A -1@B=B @A -1=B t@(A t)-1=B t@(A -1)t=(A -1@B)t

B -1@A=(B t)-1@A t=(B -1)t@A t=(A @B -1)t

Finalm ente: A -1@B -1=B -1@A -1=(B t)-1@(A t)-1=(B -1)t@(A -1)t=(A -1@B -1)t

19. EJERCICIOS PROPUESTOS EN LAS P.A.U.

1. Escribe e xplícitam ente la m atriz cuyo s término s son: a ij = (i-j-1)3, i,j=1,2,3.

Solución. .

2. Determina a y b para qu e las siguientes matrices sean linealmente dep endientes.

, ,

Solución. a=11, b=9, x=2, y=-3.

3. Halla la matriz X que cumpla X@A+B=C, siendo:

, , .

Solución. .

5. Prueba que An=2n-1A, siendo .

Solución.

4. Halla la matriz X que cumpla A@X@B+C=D, siendo:


))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))


, , , .

Solución. .

6. Halla todas las matrices X que satisfacen la ecuación:

@X = .

Solución. .

7. Siendo , se pide:

a) Halla la m atriz: 3@A t@A - 2@I2.

b) Resuelv e la siguien te igualdad matricial: A @X= .

Solución. a) . b) .

8. Halla tod as las matric es X qu e cump lan: X @ = @X.

Solución. .

20. OTROS EJERCICIOS.

1. Halla todas las matrices que conmutan con . ¿Forman un subespacio vectorial de M2x2?

Solución. . Sí.

2. Demu estra que las matrices X0M2x2 que conmuten con forman un subespacio vectorial de M2x2. Encuentra

una base del mismo.

Solución. .

3. Demuestra que si A0M2x2 conmu ta con las 4 matrices d e la base canón ica, entonces, A conmuta también con toda matriz

de M2x2.

Solución. La matriz A, por conmutar con las de la base canónica, es de la forma . Conmuta con . Compruébese.

4. a) Una matriz cu adrada e s simétrica c uando es igual a su traspuesta. Demuestra que las matrices simétricas de orden

2 forman un subespacio vectorial E del espacio vectorial de las matrices cuadradas de orden 2 y calcula una base

de dicho subespacio.

b) Dadas las matrices simetricas , , calcula sus cordenad as respecto de la base

del apartado anterior.Solución.

5. Calcula, para los diferentes valores del parámetro m, la dimensión y encontrar una base del subespacio vectorial del

espacio vectorial de las matrices cuadrad as de orden d os con coeficien tes reales generado por las matrices.


))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))


Solución.

6. Demuestra que el conjun to de las matrices hem isimétricas de orden tres con coeficientes r eales forman un espacio

vectorial y calcula una base.Solución.

7. Siendo y , existe alguna matriz A tal que AB=C?

Solución. Sí, .

8. Comprueba si el conjunto de las m atrices X0M2x2 de la forma forman un subespacio vectorial de M2x2.

En caso afirmativo encuentra una base del mismo.

Solución. Sí. Bas e: , .

9. Comp rueba si el conjun to de las matrices X0M2x2 de la forma forman un sube spacio vectorial de M2x2.

En caso afirmativo encuentra una base del mismo.

Solución. Sí. Bas e: , .

10. Calcula el rango de la matriz .

Solución. r(A)=3.

11. Dadas la s matrices: , , ,

a) Comprueba que P AQ = QAP = (0).

b) Comprueba que P AR = P.

c) Comprueba que R AP = R.

d) Comprueba que P ARAQ = RAQAP.

e) Comprueba que (P+Q)2 = P2 + Q2.Solución.

12. Siendo : , con x2+y2+z2=1.

a) Determina M2, P=M2+I, PAM.

b) Comprueba que P es idempotente.Solución.


))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))


13. Calcula: siendo ,

Solución. = , E2n= , E2 n + 1= .

= + = = ,

14. Siendo , , , , , , .

.

a) Comp rueba que el co njunto {I,A,B ,C} es un grup o abeliano con la operación de multiplicar matrices.

b) Comprueba que el co njunto { I,A,B,C,D,E,F,G} es un grupo no conmutativo con la operación de multiplicar

matrices.Solución.

15. Demuestra que el conjunto de las matrices cuadradas de orden 2 que conmutan con cualquier matriz 2x2 es un

subespacio vectorial de dimensión 1 de M2x2.Solución.

16. Prueba que si A y B son m atrices cuad radas, A AB=(0) y una de ellas es invertible, entonces la otra es la matriz nula.Solución. A AB=(0) multiplicando po r A -1 ...

17. Siendo , , , determina su relación de dependencia.

Solución. 2M+N-P=0.

18. La aplicación de M2x2 en M2x2: f(A)=A B+BA , ¿es lineal?Solución.

19. De las siguientes aplicaciones de R3 en R3, ¿cuáles so n lineales? D etermin a la matriz asociada respecto de las bases

canónicas.

a) f(x,y,z)=(x+1,y+2,z+3).

b) f(x,y,z)=(x,y,0).

c) f(x,y,z)=(y+z,x+z,x+y).

d) f(x,y,z)=(x+1,y,z).

e) f(x,y,z)=(x+y,y+z,z-x).Solución.

20.

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