Mag. Jube Portalatino Z. Matrices y sistemas de ecuaciones 44 Mag. Jube Portalatino Z. Matrices y sistemas de ecuaciones 1 MATRICES Y SISTEMA DE ECUACIONES 1.1 DEFINICIÓN. Una matriz es un arreglo de números de la forma: 11 12 1n 21 22 2n ij mn m1 m2 mn a a a a a a A [a ] a a a × = = " " # # " # " donde ij a está ubicado en la fila i y columna j. Su orden es m×n. Ejemplo 1 2 3 4 4 5 6 6 1 e 2 2 − − π es de orden 3×4. El número 6 está en la fila 2 y columna 3. 1.2 OPERACIONES CON MATRICES Sean las matrices A = [a ij ] m×n y B = [b ij ] m×n , λ∈ 1) Igualdad: A = B ⇔ a ij = b ij ∀ i = 1,…,m , j = 1,…,n 2) Suma: A+B = [a ij + b ij ] m×n 3) Resta: A-B = [a ij - b ij ] m×n 4) Producto de una matriz por un escalar: λA = [λa ij ] m×n 5) Producto de matrices. Sean P = [p ij ] m×n y Q = [q ij ] n×r PQ = [c ij ] m×r Donde n ij ik kj k c p q = = ∑ 1 Ejemplos 1) Si
Transcript
Mag. Jube Portalatino Z. Matrices y sistemas de ecuaciones
44
Mag. Jube Portalatino Z. Matrices y sistemas de ecuaciones
1
MATRICES Y SISTEMA DE ECUACIONES 1.1 DEFINICIÓN. Una matriz es un arreglo de números de la forma:
11 12 1n
21 22 2nij m n
m1 m2 mn
a a aa a a
A [a ]
a a a
×
= =
donde ija está ubicado en la fila i y columna j.
Su orden es m×n. Ejemplo
1 2 3 44 5 6 6
1e 2 2
− − π
es de orden 3×4. El número 6 está en la fila 2 y columna 3. 1.2 OPERACIONES CON MATRICES Sean las matrices A = [aij]m×n y B = [bij]m×n , λ∈
1) Igualdad: A = B ⇔ aij = bij ∀ i = 1,…,m , j = 1,…,n 2) Suma: A+B = [aij + bij]m×n 3) Resta: A-B = [aij - bij]m×n 4) Producto de una matriz por un escalar: λA = [λaij]m×n
5) Producto de matrices. Sean P = [pij]m×n y Q = [qij]n×r PQ = [cij]m×r
Donde n
ij ik kjk
c p q=
= ∑1
Ejemplos 1) Si
Mag. Jube Portalatino Z. Matrices y sistemas de ecuaciones
2
1 2 3A
4 5 6=
y 2 3 1
B2 2 3− − −
=− −
⇒
-1 -1 2A + B =
6 3 3
3 5 4A - B =
2 7 9
1 1 1.51 2A =2 2 2.5 3
2) Si
[ ]P = 1 2 3 y 2
Q = 41
⇒ [ ] 1 1
2PQ = 1 2 3 4 = [13]
1×
[ ]2 2 4 6
PQ = 4 1 2 3 = 4 8 121 1 2 3
Por lo tanto: PQ ≠ QP. 3) Si
1 -1 3
P =2 3 4
y -1 2 2 -4
Q = 3 -1 -2 11 4 1 0
⇒ -1 15 7 -5
PQ =11 17 2 -5
2.3 PROPIEDADES 1) A +B = B + A
2) (A + B) + C = A + (B + C)
3) ∀ A, ∃ una matriz nula, O, del mismo orden, cuyos elementos todos son
ceros tal que A + O = A
4) ∀ A, ∃ -A tal que A + (-A) = O
Mag. Jube Portalatino Z. Matrices y sistemas de ecuaciones
43
Ejemplo.
21 2 3
21 2 3
22 3
12x 3x 4x 7.17
x 10x x 11.54
x 7x 7.631
− − = + − =
+ =
2 2 2
1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3F(x , x , x ) (12x 3x 4x 7.17, x 10x x 11.54, x 7x 7.631)= − − − + − − + −
x x 12 6x 4 12x (x ) 4x 7.17x x 2x 10 1 (x ) 10x x 11.54x x 0 2x 7 (x ) 7x 7.631
− − − − −
− − − − −
− − − −
− − − − − = − − + − − + −
ALGORITMO para k = 1,…m hacer calcular F(x), JF(x) Resolver el sistema lineal JF(x) y = - F(x) x = x + y si || y || < tol entonces SALIDA: x parar fin de si fin de para
Mag. Jube Portalatino Z. Matrices y sistemas de ecuaciones
42
t = c / v. z x = x + tv r = r – tv d = r.r Si d < tol1 entonces “parar” v = r + (d / c) v c = d salida: k, x, r fin 1.16 SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES La forma general de un sistema de ecuaciones no lineales es de la forma:
1 1 nf (x , , x ) 0=…
2 1 nf (x , , x ) 0=…
n 1 nf (x , , x ) 0=…
Más compactamente, se puede escribir así: F( x ) 0=
donde 1 nx (x , , x )= … 1 nF( x ) (f ( x ), .f ( x ))= …
MÉTODO DE NEWTON
(k) (k 1) (k 1) 1 (k 1)x x [ ( x )]F )J F( x− − − −= −
donde
1 1
1 n
n n
1 n
f f( x ) ( x )
x xJF( x )
f f( x ) ( x )
x x
∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂
…
…
Mag. Jube Portalatino Z. Matrices y sistemas de ecuaciones
3
5) AB ≠ BA
6) (AB) C = A (BC)
7) C(A + B) = CA + CB
8) A0 = O
9) Si AB = AC Esto no implica que A = C.
10) Si el número de filas es igual al número de columnas, a la matriz se llama
matriz cuadrada.
11) Si todos los elementos de la diagonal principal son unos y el resto ceros, a
dicha matriz se llama matriz identidad y se le denota por I. Por Ejemplo
1 0 0 00 1 0 0
I =0 0 1 00 0 0 1
12) A I = A 13) Si A es una matriz cuadrada ⇒ A° = I An+1 = An A Am An = Am+n , m, n ∈
1.4 DEFINICIÓN DE MATRIZ REGULAR Una matriz cuadrada A se llama regular o no - singular si ∃ una matriz A-1 tal que AA-1 = A-1 A = I La matriz A-1 se le denomina matriz inversa de A. Si una matriz no tiene inversa se llama matriz singular. Ejemplo. Si
2 1 63 1 83 1 7
A−
− −− −
=
⇒ 11 1 23 4 20 1 1
A−−
−−
=
Mag. Jube Portalatino Z. Matrices y sistemas de ecuaciones
4
1.5 MATRICES CUADRADAS ESPECIALES
1) MATRIZ DIAGONAL La matriz D = [dij] se llama matriz diagonal si dij = 0, ∀ i ≠ j Ejemplo
-4 0 0 00 6 0 0
D =0 0 44 00 0 0 7
2) MATRIZ ESCALAR Una matriz se llama matriz escalar, si es una matriz diagonal, cuyos elementos de su diagonal principal, todas son iguales. Ejemplo
3 0 0
A 0 3 0 3 I0 0 3
= =
3) MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR U = [uij] se llama matriz triangular superior si uij = 0, ∀ i > j Ejemplo.
1 2 -1 100 3 -5 70 0 2 110 0 0 -8
U =
4) MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR L = [lij] se llama matriz triangular inferior si lij = 0, ∀ i < j Ejemplo
Mag. Jube Portalatino Z. Matrices y sistemas de ecuaciones
41
l33 = a33 - l32 u23 = 0.84
u34 = a34 / l33 = 0.5952
Paso 03: l43 = a43 = 1
l44 = a44 - l43 u34 = -2.5952
Paso 04: 151
11
a 0.35z 0.70.5
= = =l
Paso 05:
2 25 21 122
1z = [ a - z ] = 0.84ll
3 35 32 233
1z = [ a - z ] = 0.8452−ll
4 45 43 344
1z = [ a - z ] = 0.5413−ll
Paso 06: 4 4x z 0.5413= = −
Paso 07: 3 3 34 4x = z - u x = 0.5230−
2 2 23 3x = z - u x = 1.1747
1 1 12 2x = z - u x = 0.11265
1.15 MÉTODO DEL GRADIENTE CONJUGADO Sea el sistema Ax b= , donde A es una matriz simétrica positiva definida ALGORITMO Entrada: x, A, b, M, tol1, tol2 r = b – Ax v = r c = r.r
para k = 1, 2, ..., M hacer si || v || < tol2 entonces “parar” z = Av
Mag. Jube Portalatino Z. Matrices y sistemas de ecuaciones
40
2 2 23 3 24 422
1x = [ z - (u x u x ) ] = 0.0699u
+ −
1 1 12 2 13 3 14 411
1x = [ z - (u x u x u x ) ] = 0.1025u
+ +
La factorización de Choleski de la matriz A=L Lt es
Mag. Jube Portalatino Z. Matrices y sistemas de ecuaciones
7
2221 3 1 2
6 x 2x xx= + 6 + ( - > 0) , ∀ x ≠ 0
11) MATRIZ ESTRICTAMENTE DIAGONAL DOMINANTE A = [aij]n×n se llama matriz estrictamente diagonal dominante si
n
ii ij
jj i
a a=≠
>∑1
Ejemplo
5 -1 10 7 -23 9 20
A =
Pues
5 > -1 + 1
7 > 0 + -2
20 > 3 + 9
12) MATRIZ BANDA A = [aij]nxm se llama matriz banda si existen enteros p y q con p >1, q < n tal que aij = 0 si i+p ≤ j o j+q ≤ i El ancho de la banda es w = p+q -1 Ejemplo Una matriz tridiagonal.
11 12
21 22 23
32 33
n 1,n
n,n 1 nn
a a 0 0a a a0 a a 0
a
0 0 a a
A−
−
=
1.6 DETERMINANTES
Mag. Jube Portalatino Z. Matrices y sistemas de ecuaciones
8
PRIMERA DEFINICIÓN DE DETERMINANTE (MENORES) a) Si A = [a], su determinante es det(A) = a b) El menor Mij es el determinante de la matriz de orden (n-1) × (n-1) que se obtiene de la matriz A = [aij]n×n suprimiendo la i-ésima fila y la j-ésima columna. c) El cofactor Aij asociado a Mij está definido por Aij = (-1)i+j Mij d) El determinante de A = [aij]n×n se define por
n
ij ijj
det(A) A a A i=
≡ = ∀∑1
o n
ij iji
det(A) A a A j=
≡ = ∀∑1
DEFINICIÓN. La matriz de los cofactores es ijcof (A) [A ]= Ejemplo. Hallar el determinante de la matriz
2 3 14 2 51 0 3
A −− −
=
Solución Determinemos para i = 2
3
2 j 2 j 21 21 22 22 23 23j 1
det(A) a A a A a A a A=
= = + +∑
( 4)( 9) ( 2)( 5) ( 5)3 31= − − + − − + − = −
Ahora, hallemos para j = 3
3
i3 i3 13 13 23 23 33 33i 1
det(A) a A a A a A a A=
= = + +∑
= 2 1 2 3 3 33 1 2 1 2 3-1)(-1 0(-1 -3)(-1
-2 5 4 5 4 -2( ) ) ( )+ + ++ +
Mag. Jube Portalatino Z. Matrices y sistemas de ecuaciones
37
Sea A una matriz tridiagonal. A = L U donde
11
n,n-1 nn
21 22
32
0 00
00
0 0
L
=
l
l l
l
l l
12
23
n-1,n
1 u 0 00 1 u
0u
0 0 1
U
=
Efectuando A = L U, se obtiene
11 11
i,i 1 i,i 1
ii ii i,i 1 i 1,i
i,i 1i,i+1
ii
aa i = 2, , n
a u i = 2, , na
u i 1, , n 1
− −
− −
+
==
= −
= = −
l
l
l l
l
ALGORITMO Entrada: Una matriz tridiagonal
[aij] 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ n
11 11a=l
1212
11
au =
l
para i = 2,…,n-1 hacer
i,i 1 i,i 1a− −=l
i,i i, i i, i 1 i 1,ia u− −= −l l
i,i 1i,i 1
ii
au +
+ =l
fin de para
n,n 1 n,n 1a− −=l
nn nn n,n 1 n 1,na u− −= −l l
Mag. Jube Portalatino Z. Matrices y sistemas de ecuaciones
36
En la sumatoria: j = i+1,…,n-1 2) ALGORITMO DE CHOLESKI Teorema. Si la matriz simétrica A es positiva definida ⇒ A = L LT donde L es una matriz triangular inferior
ALGORITMO Entrada: Una matriz positiva definida [aij] 1 ≤i ≤ n 1 ≤ j ≤ n
11 11a=l
para j = 2, …, n hacer
j1j1
11
aa
=l
fin de para para i = 2, …, n-1 hacer
12i 1
2ii ii ik
k 1
a−
=
= − ∑l l
para j = i+1, …, n hacer
i 1
ji ji jk ikii k 1
1 a−
=
= − ∑l l l
l
fin de para fin de para
12n 1
2nn nn nk
k 1
a−
=
= −
∑l l
Salida: [lij] 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ n 3) ALGORITMO DE FACTORIZACION DE CROUT
Mag. Jube Portalatino Z. Matrices y sistemas de ecuaciones
9
= - 17 - 16 = -31
Como se puede observar, se obtiene el mismo valor, al calcular el determinante desarrollándolo por cualquiera de sus filas o columnas. SEGUNDA DEFINICIÓN DE DETERMINANTE Motivación
11 12 1322 23 21 23 21 22
21 22 23 11 12 1332 33 31 33 31 32
31 32 33
a a aa a a a a a
a a a a a aa a a a a a
a a a= − +
11 22 33 32 23 12 21 33 31 23 13 21 32 31 22a (a a a a ) a (a a a a ) a (a a a a )= − − − + −
11 22 33 11 32 23 12 21 33 12 31 23 13 21 32 13 31 22a a a a a a a a a a a a a a a a a a= − − + + −
11 22 33 11 23 32 12 21 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31a a a a a a a a a a a a a a a a a a= − − + + −
3
1, (1) 2, (2) 3, (3)S
( 1) a a aσσ σ σ
σ∈
= −∑ , 1 2 3(1) (2) (3)
σ = σ σ σ
Luego, se define el determinante de la matriz
11 12 1n
21 22 2n
n1 n2 nn
a a aa a a
A
a a a
=
…
…
como
n
1, (1) 2, (2) n, (n)S
det(A) ( 1) a a aσσ σ σ
σ∈
= −∑ …
donde Sn es el conjunto de todas las permutaciones de 1,....., n:
Mag. Jube Portalatino Z. Matrices y sistemas de ecuaciones
10
1 2 n(1) (2) (n)
σ = σ σ σ
……
TERCERA DEFINICIÓN DE DETERMINANTE Determinante es la función
n ndet : K KA det(A)
× →
→
que cumple
1) 1 j j n 1 j n 1 j ndet(A , , A A , A ) det(A , ,A , A ) det(A , ,A , A )+ = +… … … … … …
2) 1 j n 1 j ndet(A , , A , A ) det(A , ,A , A )α = α… … … …
3) Si j j 1 1 j j 1 nA A det(A , ,A , A , A ) 0+ += ⇒ =… …
4) det( I ) 1= , donde I es la matriz identidad.
OBSERVACIÓN
[ ]11 12 1n
21 22 2n1 2 n
n1 n2 nn
a a aa a a
A A A A
a a a
= =
…
…
…
donde
1i
2ii
ni
aa
A
a
=
Si consideramos 1 2 nE , E , ,E… los vectores columna base del espacio n, donde
una componente es 1 y los demás ceros, entonces n
1 i1 ii 1
A a E=
=∑
n
2 i2 ii 1
A a E=
=∑
Mag. Jube Portalatino Z. Matrices y sistemas de ecuaciones
35
Para j = k,…,n hacer
k 1
kj kj ks sj
s 1
u a u−
=
= −∑ l
fin Para i = k,…,n hacer
k 1
ik ik is sk kk
s 1
a u / u−
=
= − ∑l l
fin fin Salida: [lij], [uij] Comentario: solución del sistema Ax = b ⇔ LUx = b Comentario: Sustitución "hacia delante" z1 = b1 / l11. Para i = 2,…,n hacer
i 1
i i ij j iij 1
z (b z ) /−
=
= −∑ l l
fin Comentario: "Sustitución hacia atrás" xn = zn /unn. Para i = n-1,…,1 hacer
n
i i ij j iij i 1
x (z u x ) / u= +
= −∑
fin Salida: (xi) OBSERVACIÓN En C++, en la sustitución "hacia delante", se cambia por z0 = b0 / l00 i = 1,…,n-1 En la sumatoria: j = 0,…,i-1 En la sustitución "hacia atrás", se cambia por xn-1 = zn-1 / un-1,n-1. i = n-2,…,0
Mag. Jube Portalatino Z. Matrices y sistemas de ecuaciones
34
TEOREMA. Si el procedimiento de eliminación gaussiana se puede aplicar a Ax = b sin intercambio de filas ⇒ la matriz A puede factorizarse como
A = L U donde U: Es una matriz triangular superior. L: Es una matriz triangular inferior TEOREMA. Si la matriz simétrica A es positiva definida ⇒ existe A-1 TEOREMA. Si A es una matriz estrictamente diagonal dominante ⇒ existe A-1 1) ALGORITMO DE FACTORIZACION DIRECTA Sea Ax = b Si A = LU ⇒ LU x = b donde L = [lij] y U = [uij] son matrices triangulares inferior y superior respectivamente. Sea Ux = z ⇒ Lz = b El método de eliminación gaussiana con sustitución hacia adelante resuelve el sistema Lz b= y con sustitución hacia atrás resuelve el sistema Ux z= OBSERVACIÓN. Si lii = 1, el método se llama método de Doolitle. Si uii = 1, el método se llama método de Crout. ALGORITMO Entrada: matriz ampliada [aij] 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ n Para k =1,…,n hacer lkk = 1
Mag. Jube Portalatino Z. Matrices y sistemas de ecuaciones
11
n
n in ii 1
A a E=
=∑
Luego,
[ ]n n n
1 2 n i1 i i2 i in ii 1 i 1 i 1
det(A) det A A A a E a E a E= = =
= =
∑ ∑ ∑… …
TEOREMA. det(A B) det(A) det(B)=
Prueba
[ ]11 12 1n
21 22 2n1 2 n
n1 n2 nn
b b bb b b
AB A A A
b b b
=
…
…
…
n n n
j1 j j2 j jn jj 1 j 1 j 1
AB b A b A b A= = =
= ∑ ∑ ∑…
n n n
j1 j j2 j jn jj 1 j 1 j 1
det(AB) det b A b A b A= = =
=
∑ ∑ ∑…
1 2 n 1 2 nj ,1 j ,2 j ,n j j jb b b det A A A = ∑ … …
Esto es una suma múltiple, ji suman de 1 hasta n, pero si jr = js ⇒
r sj jA A= .
Luego el determinante es 0. Por lo tanto, los únicos términos de la suma que pueden ser ≠ 0 son aquellos para los que 1 2 nj , j , , j… son distintos.
(1),1 (2),2 (n),n (1) (2) (n)det (A B) b b b det A A Aσ σ σ σ σ σ
σ
= ∑ … …
[ ](1),1 (2),2 (n),n 1 2 nb b b ( 1) det A A Aσσ σ σ
σ
= −∑ … …
Mag. Jube Portalatino Z. Matrices y sistemas de ecuaciones
12
(1),1 (2),2 (n),nb b b ( 1) det(A)σσ σ σ
σ
= −∑ …
(1),1 (2),2 (n),ndet(A) ( 1) b b bσσ σ σ
σ
= −∑ …
det(A) det(B)=
PROPIEDAD. La suma de los productos de los elementos de una fila de una matriz cuadrada por los cofactores de los elementos correspondientes de otra fila es cero. Prueba
11 12 1n
i1 i2 in
h1 h2 hn
n1 n2 nn
a a a
a a aA
a a a
a a a
=
…
…
…
…
11 12 1n
i1 i2 in n
hj ij hjj 1
h1 i1 h2 i2 hn in
n1 n2 nn
a a a
a a adet(A) (a a ) A
a a a a a a
a a a
=
= = ++ + +
∑
…
…
…
…
n n
hj hj ij hjj 1 j 1
det(A) a A a A= =
= +∑ ∑
n
ij hjj 1
det(A) det(A) a A=
= +∑
⇔ n
ij hjj 1
a A 0=
=∑ Lqqd.
TEOREMA. tA (cof (A)) det(A) I⋅ = ⋅
Mag. Jube Portalatino Z. Matrices y sistemas de ecuaciones
33
x2 = 1.0004 Esto si satisface el sistema original. ALGORITMO Entrada: matriz ampliada [aij] 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ n+1 Para i = 1,…,n hacer
i ij1 j ns max a
≤ ≤=
fin Para k = 1,…., n-1 hacer Seleccione p con k ≤ p ≤ n tal que
pk ik
k i np i
a amax
s s≤ ≤=
Si p ≠ k entonces Intercambiar las filas k y p fin_si Para i = k+1,…, n hacer r = - aik / akk Para j = k+1,…,n+1 hacer aij = aij + r∗akj fin fin fin Comentario: Resuelve el sistema hacia atrás xn = an,n+1 / ann Para i = n-1,…,1 hacer
n
i i,n 1 ij j ii
j i 1
x a a x / a+
= +
= − ∗
∑
fin Salida: (xi) 1.14 FACTORIZACION DIRECTA DE MATRICES
Mag. Jube Portalatino Z. Matrices y sistemas de ecuaciones
32
Resolveremos, primero, aplicando el método de eliminación gaussiana con pivoteo máximo de columna.
máx {40, 16.381} = 40 Aplicando la operación elemental apropiada, obtenemos que
Pero esto no satisface la segunda ecuación pues 6.38 (6.9) - 7.201 (1.0004) = 36.82 ≠ 55.87 Ahora, apliquemos la técnica del pivoteo escalado de columna.
S1 = máx {40, 6810000} = 6810000
S2 = máx {6.381, 7.201} = 7.201
11
1
a 40 = = 0.00000596810000S
| |
21
2
a 6.381 = = 0.8867.201S
| |
11 21 21
1 2 2
| a | | a | | a | max , =
S S S
Luego, realizamos la siguiente operación E1 ↔ E2 6.381 x1 - 7.201 x2 = 55.87 40 x1 + 6810000 x2 = 6813000 Al aplicar eliminación gaussiana, se tiene
x1 = 9.88462
Mag. Jube Portalatino Z. Matrices y sistemas de ecuaciones
13
Prueba
11 12 1n 11 12 1n
21 22 2n 21 22 2nt
n1 n2 nn n1 n2 nn
a a a A A Aa a a A A A
A (cof (A))
a a a A A A
⋅ =
… …
… …
n n n
1j 1j 1j 2 j 1j njj 1 j 1 j 1
n n n
2 j 1j 2 j 2 j 2 j njj 1 j 1 j 1
n n n
nj 1j nj 2 j nj njj 1 j 1 j 1
a A a A a A
a A a A a A
a A a A a A
= = =
= = =
= = =
=
∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑
…
…
det(A) 0 00 det(A) 0
0 0 det(A)
=
…
…
1 0 00 1 0
det(A)
0 0 1
=
…
…
det(A) I=
TEOREMA. 1A det(A) 0−∃ ⇔ ≠
Prueba ⇒) 1AA I− =
1det(AA ) de(I)− = 1det(A) det(A ) 1− =
⇔ det(A) 0≠
Mag. Jube Portalatino Z. Matrices y sistemas de ecuaciones
14
__
⇐) tA cof (A) det(A) I=
⇔ tcof (A)A I
det(A)
=
Luego, por definición de matriz no singular o regular o invertible, ∃ A-1 y es
t1 cof (A)A
det(A)− = o 1 1A Adj(A)
det(A)− =
PROPIEDADES
1. Si la matriz A se obtiene de A, intercambiando dos filas o columnas ⇒
det(A) det(A)= −
2. Si la matriz A se obtiene de A, multiplicando una fila (o columna) por un
número λ ∈ ⇒ det(A) det(A)= λ
3. Si la matriz A se obtiene de A, sumando a una fila (o columna) el múltiplo de
otra ⇒ det(A) det(A)=
4. Si la matriz A tiene dos filas (o columnas) iguales ⇒ det(A) = 0 5. El determinante de una matriz triangular es el producto de los elementos de su diagonal principal 1.7 OPERACIONES ELEMENTALES EN UNA MATRIZ i) Multiplicar a una fila por un escalar (o número): λFi
ii) Sumar a una fila el múltiplo de otra fila: λFj + Fi
iii) Intercambiar dos filas: ijF
OBSERVACIÓN. Si la matriz B es obtenida de A aplicando operaciones elementales, se dice que A y B son equivalentes, y se escribe A ∼ B. Ejemplo. Hallar la inversa de la matriz
Mag. Jube Portalatino Z. Matrices y sistemas de ecuaciones
31
Este resultado es absurdo, por consiguiente aplicaremos eliminación gaussiana con pivoteo máximo de columna. Calculamos: máx {10.0004 , 6.281} = 6.281 Efectuamos la operación E2 ↔ E1 El sistema se transforma en 6.281x1 - 7.101x2 = 55.87
0.0004x1 + 68.1x2 = 68.12
Al aplicar de nuevo eliminación gaussiana se tiene el siguiente resultado x2 = 1.0002
x1 = 10.0259
que satisface el sistema ELIMINACIÓN GAUSSIANA CON PIVOTEO ESCALADO DE COLUMNA Definamos un factor de escala, Sk, para cada renglón:
Mag. Jube Portalatino Z. Matrices y sistemas de ecuaciones
30
aki = aux fn_para fin_si Para i = k+1,…, n hacer r = - aik / akk Para j = k+1,…,n+1 hacer aij = aij + r∗akj fin fin fin Comentario: Resuelve el sistema hacia atrás xn = an,n+1 / ann Para i = n-1,…,1 hacer
Mag. Jube Portalatino Z. Matrices y sistemas de ecuaciones
16
1 1 1T 0 4 1
1 3 3
= − −
aplicando operaciones elementales Solución
1 1 10 4 11 3 3
− −
∼ 1 F1 + F3 1 1 10 4 10 4 4
−
∼ (-1)F2 + F3 1 1 10 4 10 0 5
−
det(T) = 1×4×5 = 20 1.8 VALORES Y VECTORES PROPIOS DE UNA MATRIZ Sea A una matriz de orden n. 1) El polinomio p( ) det(A I)λ = − λ
se llama polinomio característico de A 2) Los ceros del polinomio p(λ) se llaman valores propios de A 3) Los vectores x ≠ 0 que satisfacen (A-λI) x = 0 se llaman vectores propios que corresponden al valor propio λ 4) El radio espectral ρ(A), de A se define como: ρ(A) = máx {λ / λ es un valor propio de A} 5) TEOREMA. La matriz simétrica A es positiva definida ⇔ sus valores propios son números reales positivos. Ejemplo. Hallar los valores y vectores propios de
Mag. Jube Portalatino Z. Matrices y sistemas de ecuaciones
29
Finalmente resolvemos este sistema con sustitución hacia atrás
ELIMINACIÓN GAUSSIANA CON PIVOTEO MÁXIMO DE COLUMNA Si el elemento pivote, akk, es pequeño entonces se determina
pk ikk i n
a amax≤ ≤
=
y luego se efectúa Ek ↔ Ep En pocas palabras, consiste en elegir el mayor, en valor absoluto, en la columna que pertenece el elemento pivote akk. ALGORITMO Entrada: matriz ampliada [aij] 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ n+1 Para k = 1,…., n-1 hacer p = 0 smax = |akk| Para i = k+1,…, n hacer Si |aik| > smax entonces p = i smax = |aik| fin_si fin_para Si p ≠ 0 entonces Para i = k,…, n hacer aux = api api = aki
Mag. Jube Portalatino Z. Matrices y sistemas de ecuaciones
28
Comentario: Resuelve el sistema hacia atrás xn = an,n+1 / ann Para i = n-1,…,1 hacer
Mag. Jube Portalatino Z. Matrices y sistemas de ecuaciones
18
1
2
3
010
x 0-4 1-1 1 x 03 -4 x 0
=
⇔ 1 2 2 1
1 2 3
2 3 3 2 1
4x x 0 x 4xx x x 0
33x 4x 0 x x 3x4
− + = → =
− + = − = → = =
1
1
1
xx 4x
3x
=
Si tomamos x1 = 1 ⇒ 2
1v 4
3
=
Para λ = -2
1
2
3
010
x 01 14 1 x 03 1 x 0
=
⇔ 1 2 2 1
1 2 3
2 3 3 2 1
x x 0 x xx 4x x 03x x 0 x 3x 3x
+ = → = − + + = + = → = − =
1
1
1
xx x
3x
= −
Si tomamos x1 = 1 ⇒ 3
1v 1
3
= −
Construyamos
1 2 3
1 1 1T [v v v ] 0 4 1
1 3 3
= = − −
La inversa de T es
Mag. Jube Portalatino Z. Matrices y sistemas de ecuaciones
27
Para i = k+1,…, n hacer r = - aik / akk Para j = k+1,…,n+1 hacer aij = aij + r∗akj fin fin fin Comentario: Resuelve el sistema hacia atrás xn = an,n+1 / ann Para i = n-1,…,1 hacer
n
i i,n 1 ij j ii
j i 1
x a a x / a+
= +
= − ∗
∑
fin Salida: (xi) OBSERVACIÓN. En C++, C#, JAVA, VISUAL BASIC NET, la enumeración k = 1,…., n-1 es k = 0,…., n-2; la enumeración: i = k+1,…, n es i = k+1,…, n-1; la enumeración: j = k+1,…,n+1 es j = k+1,…,n; la enumeración i = n-1,…,1 es i = n-2,…,0; y en vez de xn = an,n+1 / ann es xn-1 = an-1,n / an-1,n-1; en vez de ai,n+1 es ai,n. ALGORITMO PARA RESOLVER Ax = b Entrada: matriz de los coeficientes [aij] 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ n matriz de los términos independientes [bi] 1 ≤ i ≤ n Para k = 1,…., n-1 hacer Para i = k+1,…, n hacer r = - aik / akk Para j = k+1,…,n hacer aij = aij + r∗akj fin bi = bi + r∗bk
fin fin
Mag. Jube Portalatino Z. Matrices y sistemas de ecuaciones
26
j1j 1 j
11
aE E E j 1,2,3, , n
a
+ − → =
…
para eliminar el coeficiente de x1 en las ecuaciones en general. Si aii ≠ 0, se efectúan las operaciones:
jij i j
ii
aE E E i 1,2, , n 1; j i 1, i 2, , n
a
+ − → = − = + +
… …
para eliminar el coeficiente de xi en las ecuaciones correspondiente. Al número aii se le llama elemento pivote. Luego, el sistema se transforma en:
11 1 12 2 1n n 1
22 2 2n n 2
nn n n
a x a x a x ba x a x b
a x b
+ + + =+ + =
=
donde los aij son diferentes del sistema original Resolviendo el sistema anterior, con sustitución hacia atrás, se tiene
nn
nn
bx
a=
( )n 1 n 1 n 1, n nn 1, n 1
1x b a xa− − −
− −= −
i i in n i,n 1 n 1 i,n 1 n 1ii
1x b (a x a x a x )a − − + + = − + + + n -1, n - 2, , 2, 1i = …
ALGORITMO PARA RESOLVER Ax = b CON MATRIZ AMPLIADA Entrada: matriz ampliada [aij] 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ n+1 Para k = 1,…., n-1 hacer
Mag. Jube Portalatino Z. Matrices y sistemas de ecuaciones
19
1
3 / 4 0 1/ 4T 1/ 20 1/ 5 1/ 20
1/ 5 1/ 5 1/ 5
−
− = −
1
1 0 0T A T 0 3 0
0 0 2
−
− = −
Ejemplo. Hallar los vectores propios de
1 1 0 02 3 1 0
A0 0 1 10 0 2 3
− − = −
Si sus valores propios son 2 ± i de multiplicidad 2 Solución Para λ = 2 - i
1 i 1 0 0 a 02 1 i 1 0 b 00 0 1 i 1 c 00 0 2 1 i d 0
− + − + − = − + −
+
⇔
( 1 i)a b 0 b ( 1 i)a2a (1 i)b c 0( 1 i)c d 0 d ( 1 i)c2c (1 i)d 0
− + − = → = − ++ + − =
− + − = → = − ++ + =
Reemplazando en la segunda ecuación, se tiene 2a (i 1)(i 1)a c 0+ + − − = ⇔ 2a – 2a – c = 0
c = 0 d = 0 Luego, se tiene
Mag. Jube Portalatino Z. Matrices y sistemas de ecuaciones
20
a( 1 i)a
x00
− + =
Si hacemos a = 1 ⇒
1 1 01 i 1 1
x i0 0 00 0 0
− + − = = +
Luego, los vectores propios a considerar son
1
11
v00
− =
, 2
01
v00
=
Para obtener los otros dos vectores propios, se hace
1 i 1 0 0 a 12 1 i 1 0 b 1 i0 0 1 i 1 c 00 0 2 1 i d 0
− + − + − − + = − + −
+
⇔
( 1 i)a b 1 b ( 1 i)a 12a (1 i)b c 1 i( 1 i)c d 0 d ( 1 i)c2c (1 i)d 0
− + − = → = − + −+ + − = − +
− + − = → = − ++ + =
Reemplazando en la segunda ecuación, se tiene 2a (1 i)[(i 1)a 1] c 1 i+ + − − − = − +
c = -2i d = -2i(-1 + i) = 2 + 2i Luego, se tiene
Mag. Jube Portalatino Z. Matrices y sistemas de ecuaciones
25
MÉTODO DE CRAMER Sean
11 12 1n
21 22 2n
n1 n2 nn
a a aa a a
a a a
∆ =
…
…
,
12 1n
22 2n
1
1
n2 nn
2
n
a aa a
a a
bb
b
∆ =
…
…
,… ,
11 12
21 2
1
22n
n1 n2 n
bb
a aa a
a ba
∆ =
…
…
La solución del sistema Ax = b es
11x
∆=∆
, 22x
∆=
∆,......, n
nx∆
=∆
OBSERVACIÓN. Ax = b ⇔ 1x A b−=
TEOREMA. El sistema Ax b= tiene solución única (es compatible determinado) ⇔ det A 0≠
TEOREMA. El sistema Ax b= no tiene solución (es incompatible) ⇔ det A 0=
y ii / 0∃ ∆ ≠
TEOREMA. El sistema Ax b= tiene infinitas soluciones (es compatible indeterminado) ⇔ det A 0= y ii / 0∀ ∆ =
1.13 MÉTODO DE ELIMINACIÓN GAUSSIANA Para resolver sistemas de ecuaciones mediante este método se van aplicar las siguientes operaciones: i) Multiplicación de una ecuación por un escalar: λEi → Ei ii) Sumar a una ecuación el múltiplo de otra ecuación: Ei + λEj → Ei iii) Intercambio de dos ecuaciones: Ei ↔ Ej
Si a11 ≠ 0 se efectúan las operaciones
Mag. Jube Portalatino Z. Matrices y sistemas de ecuaciones
24
Sea el sistema
1 11 1 12 2 1n nE : a x a x a x 0+ + + =
2 21 1 22 2 2n nE : a x a x a x 0+ + + =
n n1 1 n2 2 nn nE : a x a x a x 0+ + + =
o
11 12 1n 1 1
21 22 2n 2 2
n1 n2 nn n n
a a a x ba a a x b
a a a x b
=
…
…
o Ax b=
donde
11 12 1n
21 22 2n
n1 n2 nn
a a aa a a
A
a a a
=
…
…
,
1
2
n
xx
x
x
=
,
1
2
n
bb
b
b
=
La matriz ampliada es
1
2
11 12 1n
21 22 2n
nn1 n2 nn
bb
a a aa a a
A [A b]
a a ba
= =
SISTEMA COMPATIBLE. Es cuando tiene solución. SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO. Es cuando tiene un número finito de soluciones. SISTEMA COMPTATIBLE INDETERMINADO. Es cuando tiene infinitas soluciones. SISTEMA INCOMPATIBLE. Es cuando no tiene solución
Mag. Jube Portalatino Z. Matrices y sistemas de ecuaciones
21
a( 1 i)a 1
x2i
2 2i
− + − = −
+
Si a = 1 ⇒
1 1 02 i 2 1
x i2i 0 2
2 2i 2 2
− + − = = + − −
+
Tomamos
3
12
v02
− =
, 4
01
v2
2
= −
Sea
1 0 1 01 1 2 1
P0 0 0 20 0 2 2
− − = −
⇒ 1
1 0 1/ 2 1/ 21 1 1 1/ 2
P0 0 1/ 2 1/ 20 0 1/ 2 0
−
− − =
−
∴ 1
2 11 2
2
00
J T A T0 00 0
111
1 2
−
= =
−
−
1.9 NORMA DE VECTORES
Sea nnx (x ,x , , x )= ∈1 2 … . Se definen las siguientes normas
n
i1i 1
x x=
=∑
Mag. Jube Portalatino Z. Matrices y sistemas de ecuaciones
22
12n
2i2
i 1x x
=
= ∑
{ }i1 i n
x xmax∞≤ ≤
=
Ejemplo. Si x = (1, -1, 0, 1) entonces ||x||1 = 1 + -1 + 0 + 1 = 3
||x||2 = 2 2 2 2 + (-1 + + = 3) 01 1
||x||∞ = máx {1, -1, 0, 1} = 1 1.10 NORMA DE MATRICES Se define la norma natural para matrices por
