UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR

FACULTAD DE INGENIERÍA CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICA

CARRERA DE INGENIERÍA CIVIL

Programación

Semestre: Segundo

Paralelo: Primero

Ing. Ramiro Pilaluisa

Integrantes:• Cueva Amok Smith Alexander• Guanoluisa Tarco Katty

Paulina• Sánchez Chancusig Silvia

Paulina• Rodriguez Ballesteros

Fernando Ivan• Vasco Casco Omar Anthony

Septiembre 2014 – Febrero 2015

MATRICESPUNTO DE VISTA MATEMÁTICO

DEFINICION

Se puede definir una matriz, como un conjunto de elementos (números) ordenados en filas y columnas.Los elementos de este conjunto pueden ser objetos matemáticos de muy variados tipos, aunque de forma particular, trabajaremos exclusivamente con matrices formadas por números reales.Normalmente las matrices son designadas por letras mayúsculas.

• Para designar una matriz se emplean letras mayúsculas. Cada uno de los elementos de la matriz  (aij) tiene dos subíndices. El primero  i  indica la fila a la que pertenece y el segundo  j  la columna.

• Esta es una matriz de  m  filas  y  n  columnas, es decir, de dimensión  m x n.  Esta  matriz también se puede representar de la forma siguiente: A = (aij) m x n.

• Si el número de filas y de columnas es igual  (m = n), entonces se dice que la matriz es de orden  n.

CARACTERÍSTICAS

Una matriz de números reales de m filas y n columnas es, por definición, el siguiente esquema:Donde cada elemento: i representa la fila y tiene un valor comprendido entre 1 y m; j representa la columna y tiene un valor comprendido entre 1 y n. En intervalos, por tanto, se designa por al conjunto de las matrices de números reales.

• Suma o adición

Para poder sumar o restar matrices, éstas deben tener el mismo número de filas y de columnas.

Propiedades• Interna:

La suma de dos matrices de orden m x n es otra matriz dimensión m x n.• Asociativa:

A + (B + C) = (A + B) + C• Elemento neutro:

A + 0 = A

Donde O es la matriz nula de la misma dimensión que la matriz A.• Elemento opuesto:

A + (−A) = O

La matriz opuesta es aquella en que todos los elementos están cambiados de signo.• Conmutativa:

A + B = B + A

• Resta de matrices

Restamos cada elemento de A con el que ocupa la misma posición en B.

Propiedades de la resta 

La diferencia de matrices A y B se representa por A–B, y se define

como: A–B = A + (–B)

Multiplicación de una matriz

• Multiplicación de una matriz por un escalar

Dada una matriz A de m filas y n columnas es una matriz del tipo:

Propiedad Descripción

Clausura cA es también una matriz

Elemento neutro Existe el elemento neutro uno, de manera que 1·A = A

Propiedad asociativa (cd)A = c(dA)

Propiedad distributiva- De escalar- De matriz

c(A+B) = cA+cB(c+d)A = cA+dA

Multiplicación de una matriz

• Multiplicación entre matrices

Dadas dos matrices A y B, tales que el número de columnas de la matriz A es igual al número de filas de la matriz B

Propiedades de la multiplicación entre matrices

• Asociativa:

A · (B · C) = (A · B) · C• Elemento neutro:

A · I = A

Donde I es la matriz identidad del mismo orden que la matriz A.• No es Conmutativa:

A · B ≠ B · A• Distributiva del producto respecto de la suma:

A · (B + C) = A · B + A · C

Matriz Inversa

Se llama matriz inversa de una matriz cuadrada A, y se expresa A-1, a la única matriz que cumple que:

A·A-1 = I = A-1·A

Es decir, la matriz inversa de A es la única matriz que al multiplicarla por ella obtenemos la matriz identidad del orden correspondiente.

Cálculo de la matriz inversa usando determinantes

Calculo de la Determinante (Regla

de Sarrus)Dada una matriz cuadrada A de orden 3,

Se llama determinante de A al número real:

Los productos con signo " + ", están formados por los elementos de la diagonal principal, y los de las dos diagonales paralelas (por encima y por debajo), con su correspondiente vértice opuesto.

Los productos con signo " ", se forman con los elementos de la diagonal secundaria y los de las dos diagonales paralelas, con su correspondiente vértice opuesto.

Calculo de la Matriz Adjunta

Matriz 4x4

Regla de Chio

EJEMPLO:

Método de Gauss-Jordan para el cálculo de la

matriz inversa

El método de Gauss - Jordan para calcular la matriz inversa de una dada se basa en una triangularización superior y luego otra inferior de la matriz a la cual se le quiere calcular la inversa.

Ejemplo:

• PROPIEDADES  DE  LA  MATRIZ  INVERSA

1. La matriz inversa si existe es única.

2. (A-1)-1 = A, es decir, la inversa de la inversa es la matriz inicial.

3. (A·B)-1 = B-1·A-1

4. |A-1| = 1 / |A|

Matriz TranspuestaDada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas.

Matriz simétrica y anti simétrica

Propiedades de la matriz traspuesta

1.  (A + B)T = AT + BT.

2.  (AT)T = A.

3.  (kA)T = kAT (si k es un escalar).

4.  (AB)T = BTAT.

CLASIFICACION DE MATRICES

La matriz es un concepto principal, no sólo en el campo de las matemáticas, sino en el de las Computadoras también. Una matriz puede definirse simplemente como una ordenación rectangular de números reales o complejos. Cada número o entrada en una matriz es llamado un elemento de la matriz. Los elementos incluidos en la línea horizontal forman una fila de la matriz. Los elementos incluidos en la línea vertical forman una columna de la matriz. Una matriz es de diversos tipos y formas. Se pueden clasificar en:

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