UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADORFACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS

CARRERA DE INGENIERÍA CIVIL

ASIGNATURA:

Programación 2

TEMA:

MATRICES

INTEGRANTES:

Quelal Calderón Irene Maritza Guerra Aguirre Jefferson Darío

Diego Álvarez Ayala Rodríguez Ballesteros Fernando Iván Villacorte Arellano Cristian Leonardo

SEMESTRE: Segundo

PARALELO: 4

TUTOR: Ing. Ramiro Pilaluisa

FECHA: 18 de Noviembre de 2015

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INDICE

MATRICES....................................................................................................................................................3

PUNTO DE VISTA MATEMÁTICO..................................................................................................................3

DEFINICIÓN Y CARACTERÍSTICAS.............................................................................................................3

TIPO DE MATRICES..................................................................................................................................4

OPERACIONES DE MATRICES...................................................................................................................6

SUMA DE MATRICES............................................................................................................................6

Propiedades de la suma de matrices...............................................................................................7

RESTA DE MATRICES............................................................................................................................8

Propiedades de la resta...................................................................................................................8

MULTIPLICACIÓN DE MATRICES..........................................................................................................8

Multiplicación de una matriz por un escalar....................................................................................8

Propiedades de la multiplicación de un producto escalar...........................................................9

Multiplicación entre matrices........................................................................................................10

Propiedades de la multiplicación entre matrices...........................................................................11

Matriz Transpuesta............................................................................................................................11

Matriz simétrica y anti simétrica....................................................................................................12

Propiedades de una matriz transpuesta........................................................................................12

BIBLIOGRAFIA........................................................................................................................................13

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MATRICES

PUNTO DE VISTA MATEMÁTICO

DEFINICIÓN Y CARACTERÍSTICAS

Se puede definir una matriz, como un conjunto de elementos (números) ordenados en filas y columnas.

Los elementos de este conjunto pueden ser objetos matemáticos de muy variados tipos, aunque de forma particular, trabajaremos exclusivamente con matrices formadas por números reales.

Normalmente las matrices son designadas por letras mayúsculas.

Los elementos de una matriz se identifican por la fila y la columna que ocupan. Así, designaremos por a32 el elemento que está situado en la tercera fila y segunda columna de la matriz A.

El número de filas y columnas que tiene una matriz se llama dimensión de la matriz.

Dos matrices son iguales si son de igual dimensión y coincide el valor de los elementos que ocupan la misma posición en ambas.

Para designar una matriz se emplean letras mayúsculas. Cada uno de los elementos de la matriz (aij) tiene dos subíndices. El primero i indica la fila a la que pertenece y el segundo j la columna.

Esta es una matriz de m filas y n columnas, es decir, de dimensión m x n. Esta matriz también se puede representar de la forma siguiente: A = (aij) m x n.

Si el número de filas y de columnas es igual (m = n), entonces se dice que la matriz es de orden n.

Una matriz de números reales de m filas y n columnas es, por definición, el siguiente esquema:

Donde cada elemento: i representa la fila y tiene un valor comprendido entre 1 y m; j representa la columna y tiene un valor

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comprendido entre 1 y n. En intervalos, por tanto, se designa por al conjunto de las matrices de números reales.

TIPO DE MATRICES

Tipo de matriz Definición Ejemplo

   FILA

Aquella matriz que tiene una sola fila, siendo su orden  1×n

   COLUMNA

Aquella matriz que tiene una sola columna, siendo su orden  m×1

   RECTANGULAR

Aquella matriz que tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su orden  m×n ,

   TRASPUESTA

Dada una matriz  A, se llama traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas.Se representa por  At  ó  AT

   OPUESTA

La matriz opuesta de una dada es la que resulta de sustituir cada elemento por su opuesto. La opuesta de  A  es   -A.

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   NULA

Si todos sus elementos son cero. También se denomina matriz cero y se denota por 0m×n

   CUADRADA

Aquella matriz que tiene igual número de filas que de columnas, m = n, diciendose que la matriz es deorden n.Diagonal principal : son los elementos  a11 , a22 , ..., ann  Diagonal secundaria : son los elementos  aij con i+j = n+1Traza de una matriz cuadrada : es la suma de los elementos de la diagonal principal tr A.

Diagonal principal : 

Diagonal secundaria : 

SIMÉTRICA

Es una matriz cuadrada que es igual a su traspuesta.A = At  , aij = aji  

ANTISIMÉTRICA

Es una matriz cuadrada que es igual a la opuesta de su traspuesta.A = -At  , aij = -aji   Necesariamente  aii = 0  

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DIAGONAL

Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal

ESCALAR

Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal que son iguales

IDENTIDAD

Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal que son iguales a 1. Tambien se denomina matriz unidad.

TRIANGULAR

Es una matriz cuadrada que tiene todos los elementos por encima (por debajo) de la diagonal principal nulos.

ORTOGONAL

Una matriz ortogonal es necesariamente cuadrada e invertible :   A-1 = AT La inversa de una matriz ortogonal es una matriz ortogonal.El producto de dos matrices ortogonales es una matriz ortogonal.El determinante de una matriz ortogonal vale +1 ó -1.

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NORMAL

Una matriz es normal si conmuta con su traspuesta. Las matrices simétricas, antisimétricas u ortogonales son necesariamente normales.

INVERSA

Decimos que una matriz cuadrada A   tiene inversa, A-1, si se verifica que :A·A-1 = A-1·A = I

OPERACIONES DE MATRICES

SUMA DE MATRICESPara poder sumar o restar matrices, éstas deben tener el mismo número de filas y de columnas. Es decir, si una matriz es de orden 3 ´ 2 y otra de 3 ´ 3, no se pueden sumar ni restar. Esto es así ya que, tanto para la suma como para la resta, se suman o se restan los términos que ocupan el mismo lugar en las matrices. Ejemplo: 

  

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Propiedades de la suma de matrices

Interna:

La suma de dos matrices de orden m x n es otra matriz dimensión m x n.

Asociativa:

A + (B + C) = (A + B) + C

Elemento neutro:

A + 0 = A

Donde O es la matriz nula de la misma dimensión que la matriz A.

Elemento opuesto:

A + (−A) = O

La matriz opuesta es aquella en que todos los elementos están cambiados de signo.

Conmutativa:

A + B = B + A

RESTA DE MATRICESRestamos cada elemento de A con el que ocupa la misma posición en B.

EJEMPLO:

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Propiedades de la resta

La diferencia de matrices A y B se representa por A–B, y se define como: A–B = A + (–B)

MULTIPLICACIÓN DE MATRICES

Multiplicación de una matriz por un escalar

Dada una matriz A de m filas y n columnas es una matriz del tipo:

Que se escribe genéricamente como 

La multiplicación de A por un escalar k, que se denota k·A, k×A o simplemente kA es:

Que se escribe genéricamente

Como 

En el caso particular de multiplicación por enteros, se puede considerar como sumar o restar la misma matriz tantas veces como indique el escalar:

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EJEMPLO:

K · A= (k aij)

Propiedades de la multiplicación de un producto escalar

Sean A, B matrices y c, d escalares, la multiplicación de matrices por escalares cumple con las siguientes propiedades:

Propiedad Descripción

Clausura cA es también una matriz

Elemento neutroExiste el elemento neutro uno, de manera que 1·A = A

Propiedad asociativa (cd)A = c(dA)

Propiedad distributiva- De escalar- De matriz

c(A+B) = cA+cB(c+d)A = cA+dA

Multiplicación entre matrices

Dadas dos matrices A y B, tales que el número de columnas de la matriz A es igual al número de filas de la matriz B; es decir:

y 

La multiplicación de A por B, que se denota   o simplemente AB, el resultado del producto es una nueva matriz C:

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Donde cada elemento ci,j está definido por:

Es decir:

EJEMPLO:

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Propiedades de la multiplicación entre matricesAsociativa:

A · (B · C) = (A · B) · C

Elemento neutro:

A · I = A

Donde I es la matriz identidad  del mismo orden que la matriz A.

No es Conmutativa:

A · B ≠ B · A

Distributiva del producto respecto de la suma:

A · (B + C) = A · B + A · C

Matriz TranspuestaDada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas.

EJEMPLO:

Matriz simétrica y anti simétrica

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Propiedades de una matriz transpuesta

Para toda matriz 

Sean A y B matrices con elementos pertenecen a un anillo   y sea :

Si el producto de las matrices   y   está definido,

Si   es una matriz cuadrada cuyas entradas son números reales, entonces

Es semidefinida positiva.

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BIBLIOGRAFIA

http://html.rincondelvago.com/matrices-y-resolucion-de-sistemas.html

http://www.facebook.com/l.php?u=http%3A%2F%2Fes.slideshare.net%2Fjesusamigable

%2Fclasificacion-matrices&h=lAQEZYyfl

http://www.facebook.com/l.php?u=http%3A%2F%2Fjanethcj2508.blogspot.com%2Fp

%2Fmatrices-y-sus-clasificaciones.html&h=FAQH8y-Ts

http://www.facebook.com/l.php?u=http%3A%2F%2Fmitecnologico.com%2Figestion%2FMain

%2FClasificacionDeLasMatrices&h=9AQGP_dBY