Agi Putra Kharisma, ST., MT.
Matriks, Barisan (sequence), Deret (summa)ons)
“Learning is not child's play, we cannot learn without pain.” -‐Aristotle
1 Matema(ka Komputasi -‐ Matriks, Barisan, dan Deret
Agi Putra Kharisma, ST., MT.
Aritme=ka Matriks
• Penjumlahan Syarat: matriks harus berukuran sama Contoh:
3 Matema(ka Komputasi -‐ Matriks, Barisan, dan Deret
1 23 45 6
!
"
###
$
%
&&&+
1 21 21 2
!
"
###
$
%
&&&=
2 44 66 8
!
"
###
$
%
&&&
Agi Putra Kharisma, ST., MT.
Aritme=ka Matriks
• Produk Jika matriks M adalah matriks m x n, dan matriks N adalah matriks n x p, maka MN adalah sebuah matriks m x p. Contoh:
4 Matema(ka Komputasi -‐ Matriks, Barisan, dan Deret
2 3 41 2 1
!
"#
$
%&
1 22 11 2
!
"
###
$
%
&&&= 12 15
6 6
!
"#
$
%&
Agi Putra Kharisma, ST., MT.
Matrik Iden=tas dan Perpangkatan • Matriks iden=tas
• Perpangkatan: A0 = In A3 = AAA A4 = AAAA
5 Matema(ka Komputasi -‐ Matriks, Barisan, dan Deret
Jika A matriks m x n, AIn = ImA = A
Agi Putra Kharisma, ST., MT.
Matriks Transpose dan Matriks Simetris
• Matriks Transpose Contoh:
• Matriks Simetris Suatu matriks B dikatakan simetris jika B = Bt
Contoh:
6 Matema(ka Komputasi -‐ Matriks, Barisan, dan Deret
A = 1 2 34 5 6
!
"#
$
%&
At =1 42 53 6
!
"
###
$
%
&&&
B = Bt =1 1 01 0 10 1 0
!
"
###
$
%
&&&
Maka transpose matriks A adalah:
Agi Putra Kharisma, ST., MT.
Matriks Nol-‐Satu Matriks nol-‐satu hanya berisi angka nol atau satu. Operasi join dan meet:
7 Matema(ka Komputasi -‐ Matriks, Barisan, dan Deret
A = 1 00 1
!
"#
$
%&
B = 1 10 1
!
"#
$
%&
A!B = 1!1 0!10!0 1!1
"
#$
%
&'=
1 00 1
"
#$
%
&'
A!B = 1!1 0!10!0 1!1
"
#$
%
&'=
1 10 1
"
#$
%
&'
Join
Meet
Agi Putra Kharisma, ST., MT.
Produk Boolean
Produk boolean hampir sama dengan produk, namun operasi penjumlahan digan= dengan v sedangkan operasi perkalian digan= dengan ∧. Contoh notasi:
8 Matema(ka Komputasi -‐ Matriks, Barisan, dan Deret
A !B
Agi Putra Kharisma, ST., MT.
Barisan
Contoh: Sebuah barisan { } dimana:
9 Matema(ka Komputasi -‐ Matriks, Barisan, dan Deret
an =1n
an
1, 12, 13, 14,...
a1,a2,a3,a4,...
Agi Putra Kharisma, ST., MT.
Barisan Aritme=ka (analogi diskrit dari fungsi linier f(x) = dx + a) Barisan yang suku berurutannya mempunyai tambahan bilangan yang tetap. a n = a 1 + (n-‐1)b
a n = Suku ke-‐n a 1 = Suku pertama b = Beda antar Suku
contoh:
• 2, 5, 8, 11, 14,.. à ditambah 3 • 100, 95, 90, 85, 80, à dikurang 5
10 Matema(ka Komputasi -‐ Matriks, Barisan, dan Deret
Agi Putra Kharisma, ST., MT.
Barisan Geometri (analogi diskrit dari fungsi eksponensial f(x) = arx) Barisan yang suku berurutannya mempunyai kelipatan bilangan yang tetap. an = arn-‐1
an = suku ke-‐ n a = suku pertama r = rasio antar suku berurutan
contoh:
• 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128,.. à dikali 2 • 80, 40, 20, 10, 5, 2½,.. à dikali 1/2
11 Matema(ka Komputasi -‐ Matriks, Barisan, dan Deret
Agi Putra Kharisma, ST., MT.
Recurrence Rela=on Recurrence rela)on untuk barisan {an} adalah persamaan yang menyatakan an dalam satu atau lebih suku sebelumnya, yaitu a0, a1, a2, … an-‐1, untuk semua bilangan bulat n > n0, dimana n adalah bilangan bulat non-‐nega=f. Contoh: Barisan Fibonacci untuk n = 2, 3, 4, … 12 Matema(ka Komputasi -‐ Matriks, Barisan, dan Deret
f0 = 0f1 =1fn = fn!1 + fn!2
Kondisi awal/inisial
Leonardo Pisano Bigollo a.k.a. Fibonacci
Agi Putra Kharisma, ST., MT.
Formula Tertutup (1)
Jika kita berhasil membuat suatu persamaan yang memenuhi recurrence rela)on serta menghilangkan kondisi awalnya, dikatakan kita telah memecahkan recurrence rela)on beserta kondisi awalnya. Persamaan yang dihasilkan disebut dengan formula tertutup.
13 Matema(ka Komputasi -‐ Matriks, Barisan, dan Deret
Agi Putra Kharisma, ST., MT.
Formula Tertutup (2) Contoh: Tentukan formula tertutup untuk recurrence rela)on berikut a0 = 2; an = an-‐1 + 3 untuk n = 1,2,3,4,5,… Solusi: a0 = 2 a1 = 2 + 3 a2 = (2 + 3) + 3 = 2 + 3.2 a3 = (2 + 2.3) + 3 = 2 + 3.3 … an = 2 + 3(n) untuk n = 0,1,2,3,4,5,…
14 Matema(ka Komputasi -‐ Matriks, Barisan, dan Deret
Formula tertutup, tanpa kondisi awal
Agi Putra Kharisma, ST., MT.
Deret
Deret adalah jumlah dari bilangan dalam suatu barisan. Contoh: 15 Matema(ka Komputasi -‐ Matriks, Barisan, dan Deret
ajj=m
n
! am + am+1 +...+ an
2 j +1j=1
5
! 3+ 5+ 7+ 9+11= 35
Agi Putra Kharisma, ST., MT.
Bentuk Tertutup Deret juga dapat dinyatakan dalam bentuk tertutup, beberapa yang cukup berguna adalah:
16 Matema(ka Komputasi -‐ Matriks, Barisan, dan Deret
Sumber: Kenneth H. Rosen. Discrete Mathema)cs and Its Applica)ons
Telescoping Sum
Agi Putra Kharisma, ST., MT.
• Deret Aritme=ka
• Deret Geometris
17 Matema(ka Komputasi -‐ Matriks, Barisan, dan Deret
Dn =a(1! rn )(1! r)
Dn =n2(2a+ (n!1)b)
Keterangan: Dn : Jumlah deret suku ke-‐n a : Suku pertama b : beda antar suku berurutan r : rasio antar suku berurutan
Telescoping Sum
Agi Putra Kharisma, ST., MT.
Faktorial
n! = n.(n-‐1).(n-‐2)…3.2.1 Jika n = 0, n! = 1. Jika n > 1, n! = n.(n-‐1)! Contoh: 5! = 5.4.3.2.1 = 120
18 Matema(ka Komputasi -‐ Matriks, Barisan, dan Deret
Pendefinisian secara rekursif
Agi Putra Kharisma, ST., MT.
La=han
1. Tentukan formula eksplisit barisan berikut: a. -‐1, 1, -‐1, 1, -‐1, 1, -‐1, … b. 0, 1, -‐2, 3, -‐4, 5, … c. 1/4, 2/9, 3/16, 4/25, 5/36, 6/49, …
2. Tulis deret berikut dalam notasi deret (summa)on): 12 – 22 + 32 – 42 + 52 – 62 + 72
3. Gabungkan deret berikut dalam satu notasi deret (summa)on):
19 Matema(ka Komputasi -‐ Matriks, Barisan, dan Deret
2 (3k2 + 4)+ 5 (2k2 !1)k=1
n
"k=1
n
"
Agi Putra Kharisma, ST., MT.
La=han
4. Pada deret di bawah, ubah dengan variabel: j = k – 1
20 Matema(ka Komputasi -‐ Matriks, Barisan, dan Deret
kn+ k!
"#
$
%&
k=1
n+1
'