Maximalidad Preservada Bajo Isomor˙smo de...

Universidad Distrital Francisco José de Caldas

Maximalidad Preservada BajoIsomorsmo de Subgrupos

David Camilo Molano Valbuena

Trabajo de tesis de pregrado presentado por David CamiloMolano Valbuena para aspirar al título de Matemático, por la

Universidad Distrital Francisco José de Caldas, bajo ladirección del docente Carlos Orlando Ochoa Castillo.

Bogota, 27 de noviembre de 2017.

A mi familia, y en particular, a mi gata Minush.

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Agradecimientos

Agradezco:

A mi familia, por todo su apoyo en este proceso.

Al Dr. Adolfo Ballester Bolinches, por su guía en la escogencia deltema del trabajo, y en cómo aproximarse al mismo.

A la profesora Verónica Cifuentes Vargas, por su apoyo en el semillerode Álgebra.

Al profesor Carlos Orlando Ochoa, por cumplir con su papel comodirector del trabajo de grado.

A la Universidad Distrital Francisco José de Caldas, por ser aquellaque permitió mi formación en matemáticas, y a sus docentes, queimprimieron su esfuerzo en ello.

Al Instituto Politécnico Nacional de los Estados Unidos Mexicanos,por haber contribuído a expandir mis horizontes, en relación a misestudios en matemáticas, y a los docentes de la Escuela Superior deFísica y Matemáticas, por los retos que contribuyeron a ello.

A mis compañeros de estudio, tanto de la Universidad Distrital co-mo del Instituto Politécnico Nacional, aquellos que me permitieronretarme a mí mismo, me apoyaron, y contribuyeron a hacerme unamejor persona; sin ellos este logro habría sido más difícil de alcanzar:Andrés, Ángela, María, Cristina, Giovanny, Miguel, Jacqueline, Enrique,y un sinfín de personas más. Si algún día fuera posible, me gustaríavolver a trabajar con ellos.

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Lista de Notaciones y Convenciones.

1. Si B ⊆ G, 〈B〉 es la intersección de todos los subgrupos de G quecontienen a B. 〈g〉 = 〈g〉. 〈H,K〉 = 〈H ∪K〉.

2. |G : H| = |G/H|.

3. Si g ∈ G, |g| = |〈g〉|.

4. H oK : Producto semidirecto de H y K cuando no hay ambigüedadcon el homomorsmo H → Aut(G) escogido. En caso que H,K ≤ Gcon H ∩K = 1, tal homomorsmo está dado por h 7→ ih, donde ihes el automorsmo interno de HK inducido por h.

5. CG(H) = g ∈ G | ghg−1 = h para todo h ∈ H

6. NG(H) = g ∈ G | gHg−1 = H.

7. hg = ghg−1.

8. HG = gHg−1 | g ∈ G

9. σ: Si σ : N→ ℘(N), σ(n) es el conjunto de los divisores primos de n.

10. kerφ = φ−1(1).

11. Inn(G) es el conjunto de los automorsmos internos de G, cada unode la forma g 7→ hgh−1 para algún h ∈ G.

Abstract

In this work we study a partial solution, developed by I.M. Isaacs andG.R. Robinson in 2015 (see [12]), of a problem related to the maximal sub-groups of a group.

Let H and K be isomorphic subgroups of a solvable group G,and suppose that H is maximal in G. We show that if either His supersolvable, or a Sylow 2−subgroup of H is abelian, thenK is also maximal in G.

There are stronger conditions on which the result holds. If, H and Kare conjugate, instead of isomorphic, the result follows inmediately. Anotherexample of such a thing can be seen in the appendix 5.1.

In chapter 3 we present the theory we consider necessary to analyzeIsaacs and Robinson’s article. In particular, the sections 3.3, 3.4, 3.5, 3.6,3.7, 3.8, 3.10, 3.11 y 3.12 are somewhat relevant.

Every group will be considered a nite group (We’ll still mention casesin which some results or their proofs will hold for innite groups).

In chapter 4 we study the article as such. We separate the chapter inthree sections. The rst one is about a counterexample (A group with twoisomorphic subgroups, of which only one of them is maximal), the secondone is about the Theorem A, and the third one is about the Theorem B. Tostudy the article, the proofs in [12] will be analyzed, in such a way someof the details of these proofs, which are not mentioned or proven in [12],will be completed in this work. There will be two important exceptions.The proof of the ZJ theorem, and of a theorem of Lausch about maximallynilpotent subgroups.

Keywords: Solvable Group, Maximal Subgroup, Nilpotent Injector, Sy-low Tower, ZJ Theorem.

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Resumen

En este trabajo se estudia una solución parcial de un problema relacio-nado a los subgrupos maximales de un grupo, desarrollada por I. M. Isaacsy G. R. Robinson en 2015 en [12].

Sean H,K subgrupos isomorfos de un grupo soluble G y su-pongamos que H es maximal en G. Demostramos que si H essupersoluble, o en su defecto un 2−subgrupo de Sylow de Hes abeliano, entonces K es maximal en G.

Hay condiciones más fuertes que hacen el resultado cierto. Si en lugarde ser isomorfos son conjugados el resultado es inmediato. Otro ejemplode ello se puede ver en el Apéndice 5.1.

El capítulo 3 se presenta la teoría necesaria para analizar el artículode Isaacs y Robinson. En particular, las secciones 3.3, 3.4, 3.5, 3.6, 3.7, 3.8,3.10, 3.11 y 3.12 son considerablemente relevantes.

Todos los grupos serán considerados nitos (Aunque se realizarán al-gunas menciones en caso de que algunas de las proposiciones y/o susdemostraciones valgan para grupos innitos).

En el capítulo 4 se estudia el artículo como tal, separado en tres partes.Un contraejemplo (Un grupo con dos subgrupos isomorfos, de los cualessolo uno es maximal), el Teorema A y el Teorema B. Para estudiar el artícu-lo, las demostraciones en [12] serán analizadas, de tal modo que aquellosdetalles de las demostraciones que no son mencionados o demostrados en[12], serán completados en este trabajo. Habrá dos excepciones importan-tes a esto. La demostración del Teorema ZJ , y la de un teorema de Lauschacerca de subgrupos maximalmente nilpotentes.

Palabras Clave: Grupo Soluble, Subgrupo Maximal, Inyector Nilpotente,Torre de Sylow, Teorema ZJ .

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Índice general

1. Introducción 1

2. Estado del Arte 5

3. Marco Teórico 63.1. Fundamentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.2. Los Teoremas de Sylow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.3. Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.4. Grupos Nilpotentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.5. Grupos Solubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.6. Teorema de Schur-Zassenhaus . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.7. Torres de Sylow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.8. Grupos Supersolubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.9. Simplicidad de A5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.10. Subgrupos de Hall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.11. Subgrupos Maximalmente Nilpotentes, Inyectores Nilpotentes 333.12. El Teorema ZJ de Glauberman . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4. Desarrollo 374.1. Contraejemplo General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.2. Teorema A. H tiene una torre de Sylow . . . . . . . . . . . . 394.3. Teorema B. Un 2−subgrupo de Sylow de H es abeliano . . 44

5. Apéndices 505.1. G es nilpotente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

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Capítulo 1

Introducción

En las matemáticas siempre ha sido un problema a solucionar, vericarqué propiedades de las estructuras son preservadas mediante un isomor-smo.

En la mayoría de los casos el problema es tautológico: Si se tiene unobjeto C con ciertas propiedades, y un isomorsmo C → D, que preservealgunas de ellas, se pueden denir en D estructuras correspondientes, demodo que el morsmo preserve todas las propiedades. Un ejemplo de elloes cuando se identica el campo extendido de los números complejos conla esfera de Riemann y a pesar de que en principio, ésta no tiene estructurade campo, se le puede inducir de la estructura de los números complejos(Removiéndole un punto).

Un caso particular donde este problema no es trivial es cuando losobjetos tienen varias estructuras, (Por ejemplo dos conjuntos Lebesgue-medibles en Rn que son también espacios topológicos, o dos k−álgebrassobre un campo k, que son tanto espacios vectoriales como anillos), ocuando una propiedad es una relación con un tercer objeto (Por ejemplo,dos subgrupos de un grupo G, uno de los cuales tiene índice primo).

Varios ejemplos en el Análisis que reejan el problema:

1. La estructura métrica de un espacio métrico no es preservada porfunciones continuas: Un homeomorsmo no siempre preserva la com-pletitud de un espacio métrico. En particular R es homeomorfo a(0, 1), el primero siendo completo y el segundo claramente no (Lasucesión ( 1

n)n∈N es de Cauchy y no converge).

2. La existencia de los conjuntos gordos de Cantor muestra que la medi-

1

CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN 2

da de Lebesgue de un conjunto tampoco es preservada bajo homeo-morsmo. Para todo ε ∈ (0, 1), uno puede construir un subconjuntoC ⊆ [0, 1] homeomorfo al conjunto de Cantor, tal que µ(C) = ε

Otros ejemplos se pueden encontrar en el Álgebra: Si k es un campo, yE,F son k−álgebras, no todo homomorsmo de anillos entre ellas pre-serva la estructura de k−espacio vectorial. Si k = E = F = C, la con-jugación compleja es el ejemplo de ello. Otros ejemplos de ello resultande tomar k = Q(

√p), E = F = Q(

√p,√q) con p, q primos. El elemento

σ ∈ Gal(E/Q(√q)) determinado por σ(

√p) = −√p y σ(

√q) =

√q es el

homomorsmo buscado.Un teorema importante que nos muestra bastantes propiedades pre-

servadas mediante un homomorsmo de grupo es el Cuarto Teorema deIsomorsmo o el Teorema de Isomorsmo de Retículo (También llamadoTeorema de Correspondencia).

Teorema 1.1 (Teorema 3.20, [3], p. 99). Sea G un grupo y N E G. Entoncesexiste una correspondencia σ, uno a uno entre los subgrupos de G/N ylos subgrupos de G que contienen a N , de modo que

1. H ≤ K si y solo si σ(H) ≤ σ(K).

2. σ(〈H,K〉) = 〈σ(H), σ(K)〉.

3. σ(H ∩K) = σ(H) ∩ σ(K)

4. H E G si y solo si σ(H) E σ(G).

Demostración. Sea σ dada por σ(H) = H/N , para todo H ≤ G con N ≤ H .Y para todo U ≤ G/N , se dene σ′(U) = π−1(U) donde π es la proyeccióncanónica. Para demostrar que σ está bien denida (I) se supone que H = K ,y entonces σ(H) = hN | h ∈ H = kN | k ∈ H = K = σ(K). Parademostrar que σ′ está bien denida, se supone que S = T ≤ G/N . Entonces

σ′(S) = g ∈ G | π(g) ∈ S = g ∈ G | π(g) ∈ T = σ′(T ).

Si N ≤ H , se observa que σ′(σ(H)) = H . En efecto, h ∈ σ′(σ(H)) si ysolo si π(h) ∈ σ(H) = H/N si y solo si h ∈ H .

(I)Nota: Tanto σ como σ′ están denidas, porque los cocientes e imágenes inversas bajohomomorsmos preservan subgrupos.


Y para ver que si S ≤ G/N , σ(σ′(S)), se observa que sN ∈ σ(σ′(S)) =σ′(S)/N si y solo si s ∈ σ′(S), si y solo si π(s) = sN ∈ S. Así, σ es unacorrespondencia uno a uno.

Es entonces inmediato que si N ≤ H ≤ K si y solo si H/N = hN |h ∈ H ≤ kN | k ∈ K = K/N , y esto demuestra 1. Entonces σ es unisomorsmo de conjuntos parcialmente ordenados. Como los isomors-mos de conjuntos parcialmente ordenados preservan ínmos y supremos,se satisfacen 2 y 3. Para demostrar 4, se toma gN ∈ G/N, hN ∈ H/N .Entonces

(gN)(hN)(gN)−1 = (gN)(hN)(g−1N) = (ghg−1)N.

Así, (gN)(hN)(gN)−1 ∈ H/N si y solo si ghg−1 ∈ H .

El teorema de correspondencia se satisface, no solo para grupos, sinopara anillos, espacios vectoriales, módulos, k−álgebras etc. Es un teoremamuy importante. Como nos determina un isomorsmo entre dos conjuntosparcialmente ordenados, no solo preserva supremos e ínmos. Preservaelementos maximales, por ejemplo, y por eso mismo, el teorema es fun-damental para demostrar que si G satisface la condición maximal (Todafamilia no vacía de subgrupos posee un elemento maximal) entonces G/Ntambién la satisface. En Álgebra Conmutativa y Geometría Algebraica estapropiedad es fundamental; Si R es noetheriano (Toda familia no vacía deideales posee un elemento maximal) e I es un ideal de R, entonces R/Itambién es noetheriano. Es mediante este teorema que se puede demostrarque toda curva algebraica se puede escribir como unión nita de curvasalgebraicas irreducibles.

El marco teórico estará en su mayoría basado en el libro de Doerk yHawkes (Ver [2]), y en el libro de Huppert (Ver [9]), en especial las seccionessobre series, grupos nilpotentes, grupos solubles y el teorema de Schur-Zassenhaus.

La teoría sobre grupos supersolubles está basada parcialmente en ellibro de Hall (Ver [6]). La teoría sobre torres de Sylow está basada ligera-mente en [10] y [15]. Varios de los resultados presentados en estas seccionesson sugeridos en [12], o como ejercicios (O comentarios en los ejercicios)en [11]. La sección sobre subgrupos de Hall está basada en [11].

La sección sobre la simplicidad de A5 está basada en [3].Si una proposición no se encuentra en las referencias, pero es necesaria

(O en su defecto sí está, pero no demostrada), será enunciada y demostrada


acá. Y por el contrario, una proposición cuya demostración esté en una delas referencias, será remitida a tal.

Capítulo 2

Estado del Arte

El origen del problema trabajado por Isaacs y Robinson se basa enuna pregunta en MathOverow (Ver [8]). Allí él pregunta para qué paresde grupos nitos solubles H,G, es cierto que, si H → G de dos manerasdistintas, e.g. H ∼= H1

∼= H2 con H1, H2 ≤ G, entonces la maximalidad deH1 implica la maximalidad de H2. En eso, introduce una terminología: SiH1 es maximal y H2 no, se dice que H es un subgrupo paradójico de G.Allí también es dado el ejemplo básico mencionado por Isaacs y Robinsonen su artículo, que demuestra la existencia de subgrupos paradójicos engeneral, excluyendo la restricción de solubilidad; tal ejemplo es atribuidopor él a Yair Glasner, profesor titular de la Universidad Ben-Gurión delNéguev, en Israel.

También menciona otros casos, en el caso en que G es supersoluble, elcaso en que H sea un p−grupo, y el caso en que tanto H1 como H2 carezcande núcleo. En este último caso, la existencia de subgrupos paradójicos esrápidamente descartada.

El problema general permanece abierto (Hasta ahora no hay ejemplosde un grupo soluble G con subgrupos paradójicos), sin embargo hay resul-tados incompletos. Isaacs y Robinson demuestran la inexistencia en casoque H sea supersoluble o tenga un 2−subgrupo de Sylow Abeliano.

Isaacs y Robinson se fundamentan en un teorema clave: el Teorema ZJde Glauberman (Ver [4]). Además, usa algunos resultados de Hans Lauschsobre las Clases de conjugación de subgrupos maximalmente nilpotentes.

5

Capítulo 3

Marco Teórico

En este capítulo se desarrollan los conceptos necesarios para anali-zar el artículo, pero que no necesariamente se ven en un curso de Teoríade Grupos. Se parte de series de subgrupos, e.g. Series Subnormales,Normales, Características, Series centrales ascendente y descendente, queserán necesarias para analizar la demostración de los teoremas A y B ypara desarrollar la teoría de los grupos Nilpotentes y Solubles. Tambiénes necesario denir algunos subgrupos distinguidos de cada grupo, comoel subgrupo de Fitting, el de Frattini, el subgrupo Op(G) y el subgrupode Thompson. A lo largo del capítulo se mencionan varios teoremas im-portantes, como lo son el Teorema de Jordan-Hölder y el Teorema deSchur-Zassenhaus, que es fundamental para mostrar la equivalencia entredistintas deniciones de Grupo con Torres de Sylow.

3.1. Fundamentos

En esta sección se introducen algunos conceptos básicos necesariospara analizar el artículo de Isaacs y Robinson. El primero no podría faltar.

Denición 3.1. Sea G un grupo y H ≤ G. Se dice que H es un subgrupomaximal de G, o H es maximal en G, si H 6= G, y H ≤ K ⇒ K = H ∨K =G. Se denotará ocasionalmente por H lG.

El siguiente lema es clásico. Se menciona de todos modos.

Lema 3.2. Sea G un grupo, H ≤ G y U E G. Entonces H ∩ U E H .

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CAPÍTULO 3. MARCO TEÓRICO 7

Demostración. Sea h ∈ H ∩ U . Entonces, ya que h ∈ H , para todo g ∈ H ,ghg−1 ∈ H . Además, como h ∈ U E G, para todo g ∈ H , ghg−1 ∈ U . Así,ghg−1 ∈ H ∩ U para todo g ∈ H y h ∈ H ∩ U , y H ∩ U E H .

La ley modular de Dedekind es fundamental para estudiar la estructuradel retículo de subgrupos de un grupo, cosa que se usa constantemente,teniendo en cuenta que se trabaja con subgrupos maximales.

Lema 3.3 (Ley Modular de Dedekind (Lema A.1.2, [2], p. 2)). Sean G ungrupo y U, V,W ≤ G con V ≤ W . Entonces V U ∩W = V (U ∩W )

Corolario 3.4. Sea G un grupo y H,K ≤ G con KH = G. Entoncesexiste una función inyectiva entre los subgrupos S con K ≤ S ≤ G, y lossubgrupos T con K ∩H ≤ T ≤ H .

Demostración. Sea τ tal que τ(S) = H ∩ S. Es inmediato que K ∩ H ≤τ(S) ≤ H . Además, si S = S ′ entonces H∩S = H∩S ′, i.e. τ(S) = τ(S ′), asíque τ está bien denida. Para demostrar que es inyectiva, si S∩H = S ′∩H ,entonces por la Ley Modular de Dedekind,

S = KH ∩ S = K(S ∩H) = K(S ′ ∩H) = KH ∩ S ′ = G ∩ S ′ = S ′,

que es lo que se deseaba.

En particular, del corolario anterior se deduce que la cantidad de sub-grupos S con K ≤ S ≤ G, es menor o igual que la cantidad de subgrupos Tcon H ∩K ≤ T ≤ H . La función de la proposición es en realidad biyectiva,aunque solo se requiere la inyectividad.

Denición 3.5 (Cerradura Normal (Denición A.7.1, (c), [2], p. 22)). SiH ≤ G,la cerradura normal de U en G es denido por:

〈HG〉 = 〈gHg−1 | g ∈ G〉,el subgrupo normal de G más pequeño que contiene a H (I).

Denición 3.6 (Subgrupo Característico (Ejemplo A.3.4, [2], p. 8)). Sea Gun grupo. Se dice que H ≤ G es un subgrupo característico de G si(∀σ ∈ Aut(G)), σ(H) = H y se escribe H carG. Es claro que todo subgrupocaracterístico es normal.

(I)Nota: En contraste, el normalizador es el subgrupo más grande de G en el que H esnormal.


Ejemplo 3.7. Todo subgrupo de un grupo cíclico es característico. En efec-to, si G es cíclico, entonces para todo d | |G|, G posee un único subgrupoH de orden d, así, si σ ∈ AutG, |σ(H)| = |H| = d y por lo tanto σ(H) = H .

La siguiente propiedad nos permite usar los subgrupos característicos,como subgrupos normales donde la normalidad es transitiva. Es una delas características fundamentales de este tipo de subgrupos.

Proposición 3.8 ((Ejercicio 4.4.8, (a), [3], p. 137)). Sea H / G y K carH .Entonces K E G.

Demostración. Sea σ ∈ InnG, entonces, como H E G, σ |H∈ AutH . Perocomo K carH , σ(K) = σ |H (K) = K , así que K E G.

Mediante el mismo razonamiento se puede demostrar que la relacióncar es transitiva.

Ahora se menciona una consecuencia del Segundo Teorema de Isomor-smo, que será usada en la demostración del Teorema A.

Corolario 3.9. Sea G un grupo, con K,V ≤ G y V E G de modo queG = KV . Entonces existe una correspondencia σ, uno a uno entre lossubgrupos de G/V y los de K/K ∩ V , de modo que para V ≤ H ≤ G,

σ(H/V ) = (K ∩H)/(K ∩ V ).

Tal correspondencia determina un isomorsmo de retículos.

Demostración. Se considera el isomorsmo del segundo Teorema de Iso-morsmo:

φ : K/K ∩ V → G

dado por k(K ∩ V ) 7→ kV . Es inmediato que φ induce un isomorsmo deretículos entre los retículos de subgrupos (Dos grupos isomorfos tienenretículos de subgrupos isomorfos).

A continuación se demuestra, si V ≤ H ≤ G, que ϕ((H∩K)/(K∩V )) =H/V . Sea h = k ∈ H ∩K . Entonces kV = hV y ϕ(k(K ∩V )) = hV , así queϕ((H ∩K)/(K ∩ V )) ≤ H/V .

De manera recíproca, sea h ∈ H . Se tiene que demostrar que existek ∈ H ∩K tal que ϕ(k(K ∩ V )) = hV , i.e. kV = hV . Sean v ∈ V, k ∈ K talque h = kv. Entonces hV = kvV = kV , y por lo tanto, h−1k ∈ V ≤ H . Así,k = (h−1hk−1)−1 ∈ H , así, k ∈ H ∩K . Así se tiene el resultado.


La siguiente proposición también es usada en el Teorema A, y es derutina.

Proposición 3.10. Sea G un grupo, H,K ≤ G y σ ∈ Aut(G) tal queσ(H) = K . Entonces NG(K) = σ(NG(H)).

Demostración. Se observa primero que H = σ−1(K). Ahora, se demostraráque σ(NG(H)) ≤ NG(K). En efecto, si σ(n) ∈ σ(NG(H)) y σ(h) ∈ K ,entonces

σ(n)σ(h)σ(n)−1 = σ(n)σ(h)σ(n−1) = σ(nhn−1) ∈ K

ya que nhn−1 ∈ H .Ahora, análogamente, σ−1(NG(K)) ≤ NG(H). Pero esto implica que

NG(H) = σ−1σ(NG(H)) ≤ σ−1(NG(K)) ≤ NG(H)

así que σ−1(NG(K)) = NG(H), o NG(K) = σ(NG(H)).

La demostración del Teorema A se basa en la inducción matemáticade dos modos. El primero, es heredando las condiciones del problema aun subgrupo, y la segunda, heredando las condiciones a un cociente. Elsiguiente teorema nos dice cómo un isomorsmo de subgrupos induce unisomorsmo entre ciertos cocientes de los mismos, y será usado en lademostración del Teorema A.

Lema 3.11. Sean H,K ≤ G,N E G con N ≤ H . Sea θ : H → K unisomorsmo que deja invariante a N . Entonces N ≤ H ∩K y θ induce unisomorsmo θ : H/N → K/N .

Demostración. Como N ≤ H y θ(N) = N ≤ K , se tiene N ≤ H ∩ K .Ahora, sea θ : H/N → K/N dado por θ(hN) = θ(h)N . Sean h, h′ ∈ H ysupóngase que hN = h′N , entonces h−1h′ ∈ N . Entonces θ(h)−1θ(h′) ∈ Ny así, θ(h)N = θ(h′)N , así que θ está bien denida. Ahora,

θ((hh′)N) = θ(hh′)N = θ(h)θ(h′)N = θ(h)Nθ(h′)N = θ(hN)θ(h′N),

así que θ es un homomorsmo. Para ver que es inyectiva, si θ(hN) =θ(h)N = N , entonces θ(h) ∈ N , así, θ−1(θ(h)) = h ∈ N , y hN = N .Así, ker θ = N/N = 1. Ahora, H/N y K/N tienen el mismo número deelementos, así que θ es un isomorsmo(II).

(II)Nota: El isomorsmo se tiene incluso si G,K,H son innitos. En efecto, si se tomakN ∈ K/N , entonces existe h ∈ H tal que θ(h) = k, y por lo tanto θ(hN) = θ(h)N = kN .


También se menciona la Ecuación de Clase.

Teorema 3.12 (Ecuación de Clase (Teorema 4.7, [3], p. 124).). Sea G un grupoy g1, . . . , gr representantes de las distintas clases de conjugación de G nocontenidas en Z(G). Entonces

|G| = |Z(G)|+r∑i=1

|G : CG(gi)|

3.2. Los Teoremas de Sylow

Los Teoremas de Sylow son precisamente aquellos donde un cursoestándar de Teoría de Grupos termina. Serán mencionados.

Denición 3.13. Sea G un grupo y p un primo. Se dice que G es unp−grupo si existe α ∈ N tal que |G| = pα.

Si Π es un conjunto de primos, entonces G es un Π−grupo sii el con-junto σ(|G|) de los divisores primos de |G| está contenido en Π. Un naturaln es un Π−número sii el conjunto de todos los divisores primos de n estácontenido en Π.

Si G es cualquier grupo, se dice que H ≤ G es un p−subgrupo(Π−subgrupo) de G si H es un p−grupo (Π−grupo). Se denota

Pp(G) = H ≤ G | Hes un p−subgrupo de G.

Se dice que H es un p−subgrupo de Sylow de G si H es un elementomaximal de Pp(G). O de manera equivalente, si dado |G| = pαm conα ∈ N, p - m, se tiene |H| = pα. Se dene

Sylp(G) = H ≤ G | Hes un p−subgrupo de Sylow de G.

Se denota np = | Sylp(G)|.

Teorema 3.14 (Primer Teorema de Sylow (SYLOW I, [13], p. 80)). Si G esun grupo, p es un primo, k ∈ N y pk | |G|, entonces G posee un subgrupode orden pk.

El Primer Teorema de Sylow demuestra la existencia de p−subgruposde Sylow para todo p | |G|.


Teorema 3.15 (Segundo Teorema de Sylow (SYLOW II, (1), [13], p. 80)). Si Ges un grupo, p es un primo con p | G, y P1, P2 ∈ Sylp(G), entonces existeg ∈ G tal que P2 = gP1g

−1, i.e. cualesquiera par de p−subgrupos de Sylowde G son conjugados.

Teorema 3.16 (Tercer Teorema de Sylow (SYLOW II, (2), [13], p. 80)). SeaG un grupo. Entonces np | |G : P |, P ∈ Sylp(G), y np ≡ 1 mod p. Todop−subgrupo de G está contenido en un p−subgrupo de Sylow de G.

Esto nos trae un resultado sobre subgrupos de Sylow normales.

Ejemplo 3.17 (Los subgrupos de Sylow normales de un grupo son caracte-rísticos). Sea G un grupo, p un primo con p | G, y P ∈ Sylp(G) con P E G.Entonces P carG. En efecto, si P E G, se sigue por el Segundo Teoremade Sylow que Sylp(G) = P. Así, si σ ∈ Aut(G), |σ(P )| = |P |, así queσ(P ) ∈ Sylp(G) y σ(P ) = P . Así, P carG.

3.3. Series

Ahora se mencionan algunos conceptos relacionados con series de sub-grupos de un grupo.

Denición 3.18 (A.3, [2], p. 7). Sea G un grupo y H ≤ G. Se dice que Hes un subgrupo subnormal de G si existe una cadena de subgrupos

H = H0 E H1 E · · · E Hn = G.

La cadena anterior se conoce como serie subnormal desde H hasta G.Si H = 1 será nombrada simplemente serie subnormal.

Si para todo i ∈ 0, · · · , n, Hi E G, entonces se dice que la cadena esuna serie normal. Si cada uno de los subgrupos de la serie es característico,i.e. σ(Hi) = Hi para todo σ ∈ Aut(G), la serie en este caso será una seriecaracterística.

Una serie subnormal de G se llamará una serie de composición de Gcuando los cocientes Hi/Hi−1 son simples para todo i ∈ 1, . . . , n.

Una serie principal de G es caracterizada también como una serie nor-mal

H = H0 E H1 E · · · E Hn = G


donde para todo i ∈ 1, . . . , n,

Hi/Hi−1

es un subgrupo normal minimal de G/Hi−1, i.e. Hi es un subgruponormal minimal de G que contiene a Hi−1.

Los cocientes Hi/Hi−1 son conocidos como los factores de composiciónen una serie de composición, y factores principales en una serie principal.

Teorema 3.19 (Teorema A.3.1, [2], p. 8). Todo grupo G posee una serie decomposición(III).

Teorema de Jordan-Hölder, ([Teorema A.3.2, [2], p. 8. )] Sea G un grupo,y sean

1 = H0 E · · · E Hr = G,

1 = K0 E · · · E Ks = G

dos series de composición para G. Entonces r = s y existe una permutaciónπ ∈ Sr tal que para i = 1, . . . , r,

Hi/Hi−1∼= Kπ(i)/Kπ(i)−1.

El teorema también se satisface para series principales y característi-cas(IV).

Así como el centro de un grupo, el conmutador es una herramientamuy útil. En particular, nos sirve para determinar si un grupo es abeliano(Si el conmutador es trivial), si un grupo es nilpotente (Si la serie centraldescendente termina en 1) y si un grupo es soluble (Si la serie derivadatermina en 1). También será usado para demostrar que todo subgruponormal minimal de un grupo soluble es abeliano.

(III)Nota: La proposición es cierta bajo las condiciones de que todos los grupos consi-derados son nitos. En general no es cierta, pero es cierta si G satisface las condicionesmaximal y minimal, e.g. Toda familia no vacía de subgrupos posee un elemento maximaly uno minimal.

(IV)Nota: De hecho, la demostración en [2], es realizada de manera muy general introdu-ciendo la teoría de los Ω−grupos, de modo que se cumple para, e.g. R−módulos, donde Res un anillo con unidad. Hay que notar que para las series características, solo se pide quelos cocientes sean característicamente simples, i.e. no posean subgrupos característicospropios no triviales (Aunque tengan subgrupos normales).


Denición 3.20 (Deniciones A.7.1, [2], p. 22). Sea G un grupo. Para todog, h ∈ G, se dene el conmutador

[g, h] = ghg−1h−1.

Si H,K ⊆ G, se dene el conmutador

[H,K] = hkh−1k−1.

Además, se denen los subgrupos derivados de G como

G′ = G(1) = [G,G], G(n) =(G(n−1)

)′, i > 1.

La cadena denida como

G D G′ D G(2) D · · ·

es conocida como la serie derivada de G. Si se dene K1(G) = G, y

Ki(G) = [Ki−1(G), G]

para i > 1, la cadena

G = K1(G) D K2(G) D · · ·

es conocida como la serie central descendente de G.

Los siguientes resultados son análogos a la existencia de series de com-posición. También muestran una equivalencia entre dos deniciones defactor principal.

Lema 3.21. Sea G un grupo. Entonces G posee un subgrupo normal mi-nimal.

Demostración. Si G es simple, entonces G es normal minimal. Si G no essimple, entonces existe 1 < N1 / G. Si N1 es normal minimal, el problemaestá resuelto. Si no, existe 1 < N2 / G con N2 < N1. Si N2 es minimal, elproblema está resuelto. Si no, se repite el proceso tantas veces como seanecesario.

El único modo de terminar el proceso en un paso k es si Nk es minimal.Pero como G es nito, G posee un número nito de subgrupos y por lotanto el proceso debe terminar.

Así, existe un k ∈ N tal que Nk es normal minimal en G.


Teorema 3.22. Todo grupo tiene una serie principal.

Demostración. Se procede por inducción sobre el orden de G. Si |G| = 1se cumple trivialmente. Ahora, supóngase que |G| > 1 y que para todo G∗

con |G∗| < |G|, G∗ tiene una serie principal.Sea N1 un subgrupo normal minimal de G. Si N1 = G entonces 1 E G es

una serie principal de G. Si no, entonces se considera el grupo G∗ = G/N1.Como |G∗| < |G|, |G∗| posee una serie principal, que por el Teorema deCorrespondencia tiene la forma:

1 E N2/N1 E · · · E Nr/N1 = G/N1

donde N2, · · · , Nr = G E G. Se demostrará que

1 E N1 E · · · E Nr = G

es una serie principal de G. Hay que demostrar que (∀i ∈ 1, . . . , r − 1),Ni+1/Ni es normal minimal en G/Ni. Pero

(G/N1)/(Ni/N1) ∼= G/Ni.

Aplicando el Teorema de Correspondencia, hay un isomorsmo τ de re-tículo entre los retículos de subgrupos correspondientes tal que

τ((Ni+1/N1)/(Ni/N1)) = Ni+1/Ni.

Pero (Ni+1/N1)/(Ni/N1) es normal minimal en (G/N1)/(Ni/N1), así queNi+1/Ni es normal minimal en G/Ni. Así, efectivamente, G posee una serieprincipal.

Corolario 3.23. Sea G un grupo y N cualquier subgrupo normal minimalde G. Entonces G posee una serie principal 1 E N1 E · · · E Nr = G conN1 = N .

El siguiente corolario nos permite caracterizar los factores principalesde G.

Corolario 3.24. Sea G un grupo, V E G y U tal que U/V es normalminimal en G/V . Entonces U/V es un factor principal de G.

Demostración. Como U/V es normal minimal en G/V , se toma una serieprincipal de G/V que contenga a U/V . Además, V posee una serie principal,así que como en el lema anterior, se construye una serie principal de Gque contiene a U/V como uno de sus factores (V).

(V)Nota: Por el Teorema de Jordan-Hölder se tiene entonces que cualquier serie principalde G tendrá a U/V como uno de sus factores.


3.4. Grupos Nilpotentes

Denición 3.25 (Denición A.8.1, [2], p. 25). Sea G un grupo.

(a) El grupo G es se dice que es nilpotente de clase n = nG si y solo siG = 1 (En este caso n = 0), o para n > 0, la serie central descendentede G satisface Kn(G) 6= 1, y Kn+1(G) = 1. Se denota Nn como laclase de los grupos nilpotentes de clase a lo más n, y

N =∞⋃n=0

Nn.

(b) Se dene recursivamente:

Z0(G) = 1, Z1(G) = Z(G), Zn(G) = π−1(Z(G/Zn−1(G)))

donde π : G→ G/Zn−1(G) es la proyección canónica. Cada subgrupoZi(G) es característico en G y

[Zn(G), G] ≤ Zn−1(G).

Esta cadena es conocida como la serie central ascendente de G.

Se dene el hipercentro de G como

Z∞ =∞⋃i=0

Zi(G).

La serie central ascendente permite demostrar si un grupo es nilpoten-te. Es en cierto sentido dual a la serie central descendente. Hay denicionesalternas de grupo nilpotente. Por ejemplo, aquella dada en [6].

Denición 3.26 (Deniciones 10.1, [6], p. 149). Un grupo G es nilpotente siposee una serie normal

1 = H0 E H1 E · · · E Hn = G

tal queHi/Hi−1 ≤ Z(G/Hi−1)

para todo i ∈ 1, . . . , n.


Ejemplo 3.27. Todo grupo abeliano es nilpotente. En efecto, si A es ungrupo abeliano, se considera la serie normal

1 E A.

Es inmediato que A/1 ≤ Z(A/1).

Ahora siguen unos cuantos teoremas que sirven para construir nuevosgrupos nilpotentes, y para caracterizarlos.

Teorema 3.28 (Teorema A.8.2, [2], p. 26). Sean G,H grupos.

(a) Sea K ≤ G y N E G. Si G es nilpotente entonces K y G/N sonnilpotentes. Además, nK ≤ nG y nG/N ≤ nG.

(b) Si G,H son nilpotentes, entonces G × H es nilpotente y nG×H =maxnG, nH.

(c) Si M,N E G y G/M,G/N son nilpotentes, entonces G/(M ∩ N) esnilpotente y nG/(M∩N) = maxnG/M , nG/N. En particular, todo grupoG posee un subgrupo normal mínimo con grupo cociente nilpotente(Conocido como el residual nilpotente de G y denotado por GN).

Teorema 3.29 (Teorema A.8.3, [2], p. 26). Sea G un grupo. Entonces lassiguientes proposiciones son equivalentes.

(a) G es nilpotente de clase nG.

(b) ZnG−1(G) < ZnG(G) = G.

(c) Si U < G entonces U < NG(U).

(d) Todo subgrupo maximal de G es normal.

(e) G es el producto directo de sus subgrupos de Sylow.

(f) Si H/K es un factor principal de G, entonces H/K ≤ Z(G/K).

(g) Si K ≤ G, entonces existe una serie subnormal:

K = K0 E K1 E · · · E Kr = G

tal que |Ki : Ki−1| es primo para i ∈ 1, . . . , r.


(h) Todos los subgrupos de G son subnormales.

Ahora, siguen dos deniciones fundamentales para la demostración deIsaacs y Robinson.

Denición 3.30 (Teorema A.8.5, [2], p. 28). Sea p un primo y G un gru-po. Sean P = N | N E G,N es un p−grupo y P′ = N | N EG,G/N es un p−grupo

(a) El subgrupo característico Op(G) es denido como:

Op(G) = 〈N | N ∈ P〉.

Op(G) es el subgrupo normal más grande de G que es un p−grupo.

(b) Dualmente, se deneOp(G) =

⋂N∈P′

N

Se dene de manera equivalente, para un conjunto Π de primos, lossubgrupos OΠ, O

Π. Además, si Π′ es otro conjunto de primos, se denenlos subgrupos característicos OΠ,Π′(G) = OΠ′(G/OΠ(G)) y OΠ,Π′

(G) =OΠ′

(OΠ(G)).Los subgrupos así denidos son efectivamente característicos. Si σ ∈

Aut(G), entonces σ(OΠ(G)) = σ(〈N | N ∈ P〉) = 〈σ(N) | N ∈ P〉 =OΠ(G), ya que bajo σ, la imagen de un Π−subgrupo normal de G estambién un Π−subgrupo normal de G, y además esta correspondencia esuno a uno (Ya que σ es un automorsmo).

Del mismo modo, si N E G y G/N es un Π−grupo, entonces |G :σ(N)| = |G : N | y σ(N) E G así que σ(OΠ(G)) = OΠ(G).

Además, OΠ,Π′(G) es el OΠ de un grupo: es característico. Y OΠ,Π′(G) es

un subgrupo característico de un subgrupo característico: Es igualmentecaracterístico.

El siguiente lema caracteriza, los subgrupos Op(G), Op(G), para un pri-mo p.

Lema 3.31 (Lema A.8.6, [2], p. 28). Sea G un grupo y p un primo.

(a) Si K es un p−subgrupo subnormal de G, entonces K ≤ Op(G), i.e.Op(G) es el generado por los p−subgrupos subnormales de G.


(b) Si p es un primo, entonces Op(G) = 〈P | P ∈ Sylp(G)〉 = P [P,G],para cualquier P ∈ SylP (G) (VI).

El subgrupo de Fitting(VII) también es absolutamente necesario para lademostración de Isaacs y Robinson.

Denición 3.32 (Denición A.8.7, [2], p. 29). El subgrupo de Fitting F (G)de un grupo G se dene como sigue:

F (G) = 〈Op(G) | p | |G|〉,

i.e.F (G) =

∏p||G|

Op(G).

Observación: Op(G) ∈ Sylp(F (G)) para cada p | |G|. Así que F (G) es elproducto directo de sus subgrupos de Sylow y por lo tanto nilpotente.

Teorema 3.33 (Teorema A.8.8, [2], p. 29). Sea G un grupo.

(a) F (G) = 〈S | S es subnormal en G y nilpotente〉.

(b) Si S1, . . . , Sn son subgrupos subnormales nilpotentes de G, entonces〈S1, . . . , Sn〉 también lo es.

(c) Si N1, N2 son subgrupos normales nilpotentes de G con G = N1N2

entonces G es nilpotente.

Ejemplo 3.34. Sea G = S4. Dado que |S4| = 24 = 8 · 3, los subgruposO2(G), O3(G) están dados por

O2(G) = 1, (1, 3)(2, 4), (1, 4)(2, 3), (1, 2)(3, 4) ∼= K4, O3(G) = 1,

donde K4 = 1, a, b, c donde a2 = 1, b2 = 1, ab = ba = c. El subgrupo deFitting es

F (G) = O2(G)O3(G) = O2(G) ∼= K4(VIII).

Corolario 3.35. Si G es un grupo, entonces Z(G) ≤ F (G).

Demostración. Es casi inmediato. Z(G) es normal y nilpotente por serabeliano.

(VI)Nota: En el lema, (a) se cumple reemplazando p por un conjunto de primos Π.(VII)Nota: Nombre en honor a Hans Fitting(VIII)Nota: Con K4 nos referiremos de aquí en adelante al grupo O2(S4).


3.5. Grupos Solubles

Denición 3.36 (Denición A.10.1, [2], p. 34). Sea Π un conjunto de primos.Se dice que un grupo G es Π−soluble si:

S1: Todo factor principal de G es un Π−grupo o un Πc−grupo.

S2: Los factores principales de G son abelianos.

Si un grupo satisface S1, se dice que es Π−separable.Un grupo es soluble si es Π−soluble para Π = P, i.e. si satisface S2.

De la denición se sigue que un grupo soluble tiene un subgrupo normalminimal abeliano (Si 1 = H0 E H1 E · · · E Hr = G es una serie principal,entonces H1/H0

∼= H1 es un subgrupo normal minimal de G/H0∼= G y es

abeliano).Una denición equivalente, dada en [6], es la siguiente.

Denición 3.37 (Denición 9.25, [6], p. 140). Sea G un grupo. Se dice queG es soluble si existe una serie normal

1 = H0 E H1 E · · · E Hn = G

tal que para todo i ∈ 1, . . . , n, Hi/Hi−1 es abeliano.

Teorema 3.38 (Teorema A.10.2, [2], p. 34). Sean G un grupo, H ≤ G yN,N1, N2 E G.

(a) Si G es Π−soluble, entonces H y G/N son Π−solubles.

(b) Si N y G/N son Π−solubles, G es Π−soluble.

(c) Si G/N1, G/N2 son Π−solubles, entonces G/(N1 ∩N2) es Π−soluble.

(d) Si N2, N2 son Π−solubles, entonces N1N2 es Π−soluble.

Teorema 3.39 (Teorema A.10.3, [2], p. 35). Las siguientes proposiciones sonequivalentes.

(a) G es soluble.

(b) G(n) = 1 para algún n ∈ N. El número n es conocido como la longitudderivada de G.


(c) Los factores de composición de G tienen orden primo.

El siguiente teorema dice que los grupos nilpotentes son también su-persolubles (La denición de grupo supersoluble se dará en el capítulocorrespondiente).

Teorema 3.40. Sea G un grupo nilpotente. Entonces G posee una serienormal

1 = H0 E H1 E · · · E Hr = G

donde Hi/Hi−1 es cíclico para todo i ∈ 1, . . . , r.

Demostración. La demostración se realiza por inducción sobre |G|. Para|G| = 1 el resultado es inmediato. Suponemos que todo grupo con ordenmenor a |G| tiene tal serie normal, y notamos que como G es nilpo-tente, G posee un centro no trivial, y Z(G), G/Z(G) también son nilpo-tentes. Aplicando hipótesis de inducción, construimos series normales deZ(G), G/Z(G) dadas por

1 = Z0 E Z1 E · · · E Zt = Z(G)

y

Z(G)/Z(G) = G0/Z(G) E G1/Z(G) E · · · E Gs/Z(G) = G/Z(G)

con factores correspondientes cíclicos, donde, por el teorema de corres-pondencia,

Z(G) = G0 E G1 E · · · E Gs = G

es una serie normal de G desde Z(G) con cocientes cíclicos, y por sercentral,

1 = Z0 E Z1 E · · · E Zt = Z(G)

es de hecho una serie normal de G hasta Z(G), con cocientes cíclicos. Esclaro entonces que la serie

1 = Z0 E Z1 E · · · E Zt = G0 E G1 E · · · E Gs = G,

es la serie normal buscada.


3.6. Teorema de Schur-Zassenhaus

Este Teorema se usará para demostrar la equivalencia entre dos deni-ciones de Torres de Sylow. Es tomado de [2], y la demostración se puedeencontrar en [9].

Teorema 3.41 (Teorema de Schur-Zassenhaus (Teorema A.11.3, [2], p. 38)).Sea G un grupo y N E G, tal que (|N |, |G : N |) = 1. Entonces N escomplementado en G (i.e. existe H ≤ G tal que H ∩N = 1 y NH = G), ysi N o G/N es soluble, entonces todos los complementos a N en G sonconjugados en G.

Como comentario, bajo las hipótesis del teorema, alguno entre N yG/N es de orden impar y por el Teorema de Feit-Thompson, soluble: Lahipótesis de solubilidad puede ser removida. Además, el Teorema implica,en particular, que G ∼= N oG/N .

3.7. Torres de Sylow

Esta sección es fundamental para analizar la demostración de Isaacs yRobinson. El concepto de Torre de Sylow en la literatura en inglés o españoles relativamente escaso. Isaacs y Robinson denen un grupo con Torre deSylow como un grupo en el que todo cociente posee un subgrupo de Sylownormal. La denición más razonable incluye una serie normal donde loscocientes son isomorfos a subgrupos de Sylow, ya sea del grupo (Ver [15]),o de un cociente en particular (Ver [10]). Se trabajará con una de estasdeniciones, pero ya que es necesario, se demostrará la equivalencia conla denición usada en [12]. A falta de referencias, las demostraciones de lasección están totalmente demostradas.

Denición 3.42 ([15], p. 577). Sea G un grupo. Se dice que G tiene unatorre de Sylow si existe una serie normal

1 = P0 E · · · E Pr = G

tal que para todo p | |G| existe un único k ∈ 1, . . . , r tal que

Pk/Pk−1

es isomorfo a un p−subgrupo de Sylow de G y además, todo factor de laserie es isomorfo a un p−subgrupo de Sylow de G.


El siguiente lema hace el papel de complementar el Teorema de Co-rrespondencia.

Lema 3.43. Sea G un grupo y N E G. Sea P ∈ Sylp(G), para algún p | |G|.Entonces PN/N ∈ Sylp(G/N).

Demostración. Como, por Segundo Teorema de Isomorsmo, PN/N ∼=P/(P ∩ N), se tiene que PN/N es un p−grupo. Además, por el TercerTeorema de Isomorsmo(IX) (Ver Lema 3.44), y como P ∈ Sylp(G),

p - |G : PN | = |(G/N)/(PN/N)| = |G/N : PN/N |,

así que efectivamente, PN/N ∈ Sylp(G/N).

El siguiente lema es de hecho una formulación del Tercer Teorema deIsomorsmo. En general no se usará la información sobre el kernel. Ver [3]para otra formulación del Teorema.

Lema 3.44 (Tercer Teorema de Isomorsmo). Sea G un grupo, y H,K E Gcon H ≤ K . Entonces la función

π : G/H → G/K

gH 7→ gK

es un epimorsmo cuyo kernel es K/H .

Demostración. Sean g, g′ ∈ G con gH = g′H . Entonces g−1g′ ∈ H ≤ K , asíque gK = g′K , así que π está bien denida. Ahora,

π((gH)(g′H)) = π(gg′H) = gg′K = (gK)(g′K) = π(gH)π(gK).

Además, si gK ∈ G/K , entonces g ∈ G, gH ∈ G/H y π(gH) = gK , así queπ es un epimorsmo.

Por último, se demuestra que ker π = K/H . En efecto, si k ∈ K , enton-ces π(kH) = kK = 1 así que K/H ≤ ker π. Ahora, si se supone que g ∈ Gy π(gH) = gK = 1, se tiene que g ∈ K , i.e. gH ∈ K/H , así, ker π = K/H ,como se deseaba.

(IX)Nota: Se recuerda que el isomorsmo del Tercer Teorema de Isomorsmo sigue siendouna biyección incluso si PN no es normal en G.


Y lo que sigue es el teorema más importante de la sección. La equiva-lencia entre deniciones de Torres de Sylow.

Teorema 3.45. Un grupo G tiene una Torre de Sylow si y solo si paratodo N / G, G/N tiene un subgrupo de Sylow normal.

Demostración. Supóngase que G tiene una torre de Sylow y sea N /G. SiN = 1, entonces G/N ∼= G tiene un subgrupo de Sylow normal, e.g. P1.Así que se supone que 1 < N < G. Sea k ∈ 1, . . . , r el menor enterotal que Pk/Pk−1

∼= P donde P es un subgrupo de Sylow de G tal quePk N . Entonces, se conoce que Pk/Pk−1 es isomorfo a un subgrupo deSylow de G. Pero entonces Pk/Pk−1 es un subgrupo de Sylow de G/Pk−1

(Y en realidad, de cualquier subgrupo o cociente de G que lo contenga).Sea π : G/Pk−1 → G/N el epimorsmo descrito por el Tercer Teoremade Isomorsmo. Entonces π(Pk/Pk−1) es un subgrupo de Sylow de G/N .Además, por el Teorema de Correspondencia, es normal en G/N . Así, G/Nposee un subgrupo de Sylow normal.

Para el recíproco, se supone que todo cociente de G tiene un subgrupode Sylow normal no trivial. En particular, G tiene un subgrupo de Sylownormal no trivial, dígase P1. Pero entonces G/P1 tiene un subgrupo deSylow normal no trivial, llamado P2/P1. Se observa que entonces, por ser(|G : P1|, |P1|) = 1, que G ∼= P1 o G/P1 (Teorema de Schur-Zassenhaus), yademás, 1×P2/P1 es un subgrupo de Sylow normal no trivial de 1×G/P1

y nuevamente, por ser (|G : P1|, |P1|) = 1, 1 × P2/P1 es de hecho unsubgrupo de Sylow de P1 o G/P1

∼= G. Entonces P2/P1 es isomorfo a unsubgrupo de Sylow de G (Distinto de P1). Repitiendo el proceso hasta quequede solo un subgrupo de Sylow de G, se han construido construidosubgrupos normales

1 ≤ P1 ≤ · · · ≤ Pr−1 ≤ G.

Pero G/Pr−1 es un p−grupo para algún primo p, así que G/Pr−1 essu propio p−subgrupo de Sylow normal no trivial. Así, por el mismorazonamiento anterior, G ∼= Pr−1 o G/Pr−1 y G/Pr−1 es isomorfo a unp−subgrupo de Sylow de G.

El siguiente corolario se sigue del Primer Teorema de Isomorsmo.

Corolario 3.46. Toda imagen homomorfa no trivial de un grupo con unaTorre de Sylow posee un subgrupo de Sylow normal.


Lo que sigue va encaminado a demostrar que los grupos con Torre deSylow son de hecho solubles.

Lema 3.47. Sea P un p−grupo, para un primo p. Entonces Z(P ) 6= 1.

Demostración. Por la Ecuación de Clase, si T es un conjunto de represen-tantes de las clases de conjugación de G (Exceptuando los elementos deZ(G)),

|G| = |Z(G)|+∑g∈T

|G : CG(g)|.

Como, dado g /∈ Z(G), |G : CG(g)| > 1 y p | |G : CG(g)|, y además p | |G|,se tiene p | |Z(G)| y por lo tanto Z(G) 6= 1.

Lema 3.48. Sea P un p−grupo, para un primo p. Entonces G es soluble.

Demostración. Se realiza por inducción sobre |G|. Por el Lema 3.47, setiene 1 < |Z(G)|, |G/Z(G)| < |G|. Se aplica la hipótesis de inducción:Z(G), G/Z(G) son solubles. Así, G es soluble.

Se tiene un resultado interesante como corolario del Teorema 3.45.

Corolario 3.49. Sea G un grupo con una Torre de Sylow. Entonces G essoluble.

Demostración. Se realiza por inducción sobre |G|. Como G posee una Torrede Sylow, G posee un subgrupo de Sylow normal P . Como P es unp−grupo para algún primo p, P es soluble. Y como G/P posee tambiénuna Torre de Sylow, por hipótesis de inducción G/P es soluble. EntoncesG es soluble.

Ejemplo 3.50 (Grupo sin Torre de Sylow). Se consideran los subgruposnormales del grupo S4, i.e. 1, K4, A4, S4.

1

K4

A4

S4


Así, las únicas series normales de S4 son:

1 E S4

1 E K4 E S4

1 E A4 E S4

1 E K4 E A4 E S4

las cuales tienen, respectivamente, cocientes

S4/1 ∼= S4

S4/K4∼= S3, K4/1 ∼= K4

S4/A4∼= C2, A4/1 ∼= A4

S4/A4∼= C2, A4/K4

∼= C3, K4/1 ∼= K4.

Todas las series anteriores, excepto la última, tienen cocientes que no sonp−grupos. La última sí los contiene, pero ninguno de los cocientes tieneorden 8, el orden de los 2−subgrupos de Sylow de S4. Así que S4 no tieneTorres de Sylow.

3.8. Grupos Supersolubles

Con toda la teoría previa, estamos listos para presentar los grupos su-persolubles. La sección se dedica a presentar el concepto, y a demostraruna proposición fundamental para la demostración del Teorema A, que to-do grupo supersoluble tiene una Torre de Sylow. La parte esencial de estademostración, que todo grupo supersoluble posee un subgrupo de sylownormal no trivial, y que los subgrupos y cocientes de un grupo superso-luble también lo son, está propuesta en [11] como parte de los ejercicios3B.7. y 3B.8. La demostración de lo primero se realiza por inducción, y lademostración de lo segundo se realiza verbatim(X) como para grupos so-lubles (Reemplazando la palabra abeliano por cíclico), como se sugiere enlas proposiciones 8.1.3 y 8.1.4 de [1]; se realizará la demostración en cual-quier caso, ya que no cualquier demostración de la propiedad para grupos

(X)Nota: De manera idéntica.


solubles funciona para grupos supersolubles. El recíproco no es cierto. Sedemostrará que A4 no es supersoluble, y sin embargo K4 E A4 sí lo es, yA4/K4 también.

Denición 3.51 (Deniciones 10.1, [6], p. 149). Sea G un grupo. Se dice queG es supersoluble, si existe una serie normal

1 = H0 E H1 E · · · E Hr = G

tal que para todo i ∈ 1, . . . , r, Hi/Hi−1 es cíclico.

Nótese que la diferencia entre las deniciones de supersolubilidad ysolubilidad es solamente que los cocientes tienen que ser, no solo abelianos,sino cíclicos.

Ejemplo 3.52. Cualquier grupo abeliano es supersoluble.

Ejemplo 3.53. El grupo A4∼= K4oC3

∼= (C2×C2)oC3 no es supersoluble(C3 es el grupo cíclico de 3 elementos, e.g. 1, α, α2). Pero es soluble.

1

〈b〉〈a〉〈c〉〈α1〉〈α2〉〈α3〉〈α4〉

K4

A4

En efecto, A4 tiene un solo subgrupo normal no trivial, (isomorfo a) K4,así que la única serie normal de G, es

1 E K4 E A4

y los cocientes satisfacen

A4/K4∼= C3, K4/1 ∼= K4.

Como K4 no es cíclico, A4 no puede ser supersoluble. Sin embargo, comotanto K4 como C3 son abelianos, A4 es soluble (XI).

(XI)Nota: A4 tampoco es nilpotente; sus 3−subgrupos de Sylow no son normales.


Lema 3.54. Los subgrupos y cocientes de un grupo supersoluble son su-persolubles.

Demostración. Sea G un grupo supersoluble. Sea K ≤ G y

1 = H0 E H1 E · · · E Hr = G

una serie normal para G con factores cíclicos. Se considera la serie:

1 = K0 E K1 = H1 ∩K ≤ · · · ≤ Kr−1 = Hr−1 ∩K ≤ Kr = K.

Esta serie es normal en K : como para todo i ∈ 0, . . . , r, Hi E G entoncesHi ∩ K E K . Además los cocientes son cíclicos. En efecto, para cada i ∈1, . . . , r, se observa que Ki−1 = K ∩Hi−1 = K ∩Hi ∩Hi−1 = Ki ∩Hi−1.Y ahora, usando el Segundo Teorema de Isomorsmo,

Ki/Ki−1 = Ki/(Hi−1 ∩K) = Ki/(Ki ∩Hi−1) ∼= KiHi−1/Hi−1 ≤ Hi/Hi−1,

y como Hi/Hi−1 es cíclico, entonces Ki/Ki−1 también lo es. Así, K essupersoluble.

Ahora, sea N E G. Se considera la serie

N/N = N0 ≤ N1 = H1N/N ≤ · · · ≤ Nr−1 = Hr−1N/N ≤ Nr = G/N.

Esta serie es normal. En efecto, para todo i ∈ 0, . . . , n, como Hi E G yN E G, HiN E G y por el Teorema de Correspondencia HiN/N E G/N .Además, la función

φi : Hi/Hi−1 → (HiN/N)/(Hi−1N/N)

dada por hHi−1 7→ (hN)(Hi−1N/N)es un epimorsmo. En efecto, seanh, h′ ∈ Hi; Si hHi−1 = h′Hi−1 entonces h−1h′ ∈ Hi−1 ≤ Hi−1N . Enton-ces h−1h′N ∈ (Hi−1N/N), así, hN(Hi−1N/N) = h′N(Hi−1N/N). Luego, seobserva que

φi((hh′)Hi−1) = (hh′N)(Hi−1N/N)

= (hN)(Hi−1N/N)(h′N)(Hi−1N/N)

= φi(hHi−1)φi(h′Hi−1)

y si (gN)(Hi−1N/N) ∈ (HiN/N)/(Hi−1N/N), entonces existen h ∈ Hi, n ∈N tal que gN = hnN = hN , y φi(hHi−1) = (gN)(Hi−1N/N).

Así, como φi es sobre, y su dominio es cíclico, su rango también. Y porlo tanto, G/N es supersoluble.


Lema 3.55. Sea G un grupo supersoluble. Entonces existe q | |G| tal queG posee un subgrupo normal minimal de orden q.

Demostración. Sea

1 = H0 E H1 E · · · E Hr = G

una serie normal de G con factores cíclicos. En particular,H := H1 es cíclicoy normal. Sea q un primo con q | |H|. Entonces H tiene exactamente unsubgrupo característico de orden q, sea éste N . Como H E G y N carH , setiene N E G. Y como N es cíclico de orden primo, N no tiene subgrupospropios no triviales, y por lo tanto es normal minimal en G.

Teorema 3.56. Sea G un grupo supersoluble. Entonces G posee un sub-grupo de Sylow normal no trivial.

Demostración. La demostración se realiza por inducción sobre el orden deG. Para |G| = 1 el resultado es trivial. Ahora se supone que |G| = n y quetodo grupo de orden menor que n tiene un r−subgrupo de Sylow, donder es el mayor primo que divide su orden.

Sea p el mayor primo tal que p | |G|. A continuación se demuestra queG tiene un p−subgrupo de Sylow normal. Sea N un subgrupo normalminimal de G de orden primo q. Sea P ∈ Sylp(G). Supóngase primeroque p = q, si N ∈ Sylp(G), el resultado se sigue. Si no, entonces p es elmayor primo tal que p | |G : N |. Por hipótesis de inducción, G/N posee unp−subgrupo de Sylow normal, dígase, R/N . Pero entonces, por el Teoremade Correspondencia, P/N = R/N , P = R y P E G. Ahora se supone quep 6= q. Entonces, todavía se cumple que p es el máximo primo que divide|G : N |. Por hipótesis de inducción G/N posee un p−subgrupo de Sylownormal, dígase, R/N . Entonces R/N = NP/N así que R = NP E G.Además, N ∩ P = 1 ya que (|N |, |P |) = 1. Así, R ∼= N o P . Pero |AutN | =q− 1 < p, así que |Hom(P,AutN)| = 1. Así, R ∼= N ×P . Pero P ∈ Sylp(R),así que P carR, y por lo tanto P E G.

Corolario 3.57. Todo grupo supersoluble tiene una torre de Sylow.

Demostración. Se sigue de que todo cociente de un grupo supersolublees supersoluble y todo grupo supersoluble tiene un subgrupo de Sylownormal no trivial.


Ejemplo 3.58 (No todo grupo que tiene una Torre de Sylow es superso-luble). Sea G = A4. Como en el ejemplo 3.53, A4 tiene una serie normal

1 E K4 E A4

con cocientesA4/K4

∼= C3, K4/1 ∼= K4.

Y en este caso, A4/K4 es el único cociente isomorfo a un 3−subgrupo deSylow de G (e.g. 〈α1〉), y K4/1 a un 2−subgrupo de Sylow de G (K4).Entonces A4 tiene una Torre de Sylow.

3.9. Simplicidad de A5

Debido a que se usa en el contraejemplo, en esta sección se estudiarála simplicidad del grupo A5. Se empieza por algunos lemas.

Lema 3.59 (Ejemplo, [3], p. 143). Un grupo G de orden 15 tiene un subgruponormal, y por lo tanto característico de orden 5.

Demostración. Se tiene que 15 = 5 · 3. Entonces, por el Tercer Teorema deSylow, n5 | 3 y n5 ≡ 1 mod 5, así que n5 = 1 y por el Segundo Teoremade Sylow, G posee un 5−subgrupo de Sylow normal.

Lema 3.60 (Ejemplo, [3], p. 143). Todo grupo de orden 30 tiene un 5−subgrupode Sylow normal (Y por lo tanto característico).

Demostración. Se tiene 30 = 2 · 3 · 5. Por el Tercer Teorema de Sylow,n3 | 10 y n3 ≡ 1 mod 3, y además, n5 | 6 y n5 ≡ 1 mod 5. Supóngaseque G no posee subgrupos normales de orden 3 ni 5. Entonces n5 = 6 yn3 = 10. Así, G posee 2 · 10 + 4 · 6 + 1 = 45 elementos distintos, lo cual esimposible. Así, G posee un subgrupo normal de orden 3 o uno de orden5, y por lo tanto G posee un subgrupo H de orden 15 que es normal (Yaque |G : H| = 2). Como H posee un subgrupo característico P de orden5, entonces P E G.

Lema 3.61 (Ejemplo, [3], p. 144). Todo grupo de orden 12 tiene un subgruponormal de orden 4 o 3.


Demostración. Sea G un grupo de orden 12. Entonces n3 | 4 y n3 ≡ 1mod 3, así, n3 ∈ 1, 4. Del mismo modo, n2 ∈ 1, 3. Si n3 = 1 o n2 =1 se ha terminado, y éste es el caso. En efecto, si se supone que no,entonces n3 = 4, n2 = 3, i.e. se tendrían 4 subgrupos de orden 3, lo quenos da 8 elementos distintos, de orden 3, distintos del idéntico. Solo quedaespacio para un subgrupo de orden 4: Dos subgrupos dejarían al menos14 elementos en el grupo, algo imposible.

Lema 3.62. Todo grupo de orden 20 posee un subgrupo característico deorden 5.

Demostración. Si G es un grupo con |G| = 20 = 5 · 4, entonces n5 | 4 yn5 ≡ 1 mod 5, así que n5 = 1. Se sigue el resultado.

Lema 3.63 (Proposición 4.21, [3], p. 145). Sea G con |G| = 60 y supóngaseque n5 > 1. Entonces G es simple.

Demostración. Supóngase que G no es simple y sea 1 < N / G. Sea P ∈Syl5(G). Entonces por el Tercer Teorema de Sylow, n5 | 12 y n5 ≡ 1 mod 5.Así, n5 = 6. Además, por el segundo, todos los 6 5−subgrupos de Sylowde G son conjugados. El problema se divide en dos casos.

1. 5 | |G|.

2. 5 - |G|.

En el primer caso, como N / G, (∀Q ∈ Syl5(G)), Q ≤ N . En particular,|N | > 6 ∗ (|P | − 1) + 1 = 25, y por lo tanto |N | = 30. Pero N contiene los6 subgrupos de orden 5 de G, de los cuales uno es normal, lo cual, porel Segundo Teorema de Sylow es imposible. Así, este caso es en realidadimposible.

En el segundo caso, si 5 - |G|, Entonces |N | = 3, |N | = 6 o |N | = 12.Si |N | = 3, 6 entonces N tiene un subgrupo característico de orden 3 (Enel caso que N ∼= C3, S3, C6). Si N tiene orden 12 entonces N posee unsubgrupo característico de orden 3 o 4. De esto se sigue que G posee unsubgrupo normal P de orden 3 o 4. Para demostrar que G es simple, secalcula el orden del cociente G = G/P . Entonces |G| ∈ 15, 20. En cadauno de los casos, G posee un 5−subgrupo de Sylow normal, llamémosloK . Así por el Teorema de Correspondencia, G posee un subgrupo normalN ′ = π−1(K) con 5 | |N ′| lo que contradice el primer caso.


Proposición 3.64 (Simplicidad de A5, (Corolario 4.22, [3], p. 145)). El grupoA5 es simple.

Demostración. A5 no posee al menos dos subgrupos distintos de orden 5.En efecto, 〈1, 2, 3, 4, 5〉,〈1, 3, 2, 4, 5〉 son dos subgrupos distintos de orden 5.Así, A5 es simple.

3.10. Subgrupos de Hall

Los subgrupos de Hall generalizan a los subgrupos de Sylow.

Denición 3.65 ([11], p. 86). Sea G un grupo y Π un conjunto de primos. UnΠ−subgrupo H de G es un Π−subgrupo de Hall de G, si satisface algunade las siguientes propiedades equivalentes

(a) σ|G : H| ∩ Π = ∅.

(b) |G : H| es un Πc−número.

(c) (|H|, |G : H|) = 1.

Como se menciona en [11], Los dos primeros teoremas de Sylow tambiénse generalizan; están demostrados en [11], donde además se propone haceruso del Teorema de Schur-Zassenhaus, aunque en realidad no es necesario.Se demuestra el primero acá, como un buen ejercicio. La demostración delsegundo se remite a [11].

Lema 3.66. El subgrupo G′ = [G,G] es característico en G.

Demostración. Sea σ ∈ Aut(G) y ghg−1h−1 ∈ G′. Entonces

σ(ghg−1h−1) = σ(g)σ(h)σ(g)−1σ(h)−1 ∈ G′,

así que, efectivamente, G′ es característico en G.

Lema 3.67. Sea G un grupo soluble y H E G un subgrupo normal minimal.Entonces H es abeliano.

Demostración. Sea H ′ = [H,H] ≤ H . Como H es soluble, la serie derivadade H termina en 1 y en particular, H ′ < H . Como H ′ es característico enH y H E G, entonces H ′ E G, de donde, por ser H normal minimal,H ′ = 1 y H es abeliano.


Lema 3.68. Sea G un grupo abeliano, y p | |G|. Entonces el conjuntoP = g ∈ G | gp = 1 es un subgrupo característico de G.

Demostración. Es inmediato que 1p = 1 ∈ P . Si g, h ∈ P , entonces gp =hp = 1 y

(gh−1)p = gp(hp)−1 = 1,

así que gh−1 ∈ P , por lo tanto P ≤ G. Sea σ ∈ Aut(G), entonces, sig ∈ P , σ(g)p = σ(gp) = σ(1) = 1, de donde se sigue que σ(g) ≤ P , y comoσ ∈ Aut(G), σ(P ) = P . Asi, P carG.

Lema 3.69. Sea G un grupo soluble. Entonces G tiene un subgrupo normalminimal, que además es abeliano y un p−grupo para algún primo p | |G|.

Demostración. Que G tiene un subgrupo N normal minimal y abeliano sesigue de la denición de grupo soluble (XII). Por el Teorema de Cauchy sepuede encontrar un elemento de orden p para algún primo p | |N | (Y dehecho, para cualquier primo p | |N |). Se considera el subgrupo P = g ∈N | gp = 1 carN , como en el lema 3.68. Entonces 1 < P E G, y por serN normal minimal, N = P : Todo elemento no trivial de N es de orden p,y N es un p−grupo.

Corolario 3.70. Sea G un grupo soluble no trivial. Entonces F (G) > 1.

Demostración. Sea p un primo tal que G posee un p−subgrupo normalminimal abeliano P . Entonces 1 < P ≤ Op(G) ≤ F (G).

Teorema 3.71 (Análogo al Teorema 3.14 (Teorema 3.13, [11], p. 86)). Sea Gun grupo soluble y Π ⊆ σ(|G|) un conjunto de primos. Entonces G poseeun Π−subgrupo de Hall.

Demostración. Se procede por inducción sobre |G| (Si |G| = 1 el resul-tado es trivial). Sean N un subgrupo normal minimal de G y H/N unΠ−subgrupo de Hall de G/N , donde N ≤ H ≤ G. Entonces |H : N | es unΠ−número y (Dado que |G : H| = |G/N : H/N |, (|H : N |, |G : H|) = 1. Seap de modo que N es un p−grupo. Si p ∈ Π, entonces |H| = |H : N ||N |,σ(|H|) ⊆ Π y (|H|, |G : H|) = 1. Si, por el contrario, p /∈ Π, entonces

(XII)Nota: El lema 3.67 se usa posteriormente, no acá, pero de hecho puede ser usadopara demostrar que si N es un subgrupo normal minimal de un grupo soluble G, es dehecho un p−grupo abeliano, más aún, que es un grupo elemental abeliano.


(|N |, |H : N |) = 1 y se puede aplicar el Teorema de Schur-Zassenhaus:existe M ≤ H tal que H ∼= N oM .

Así, |M | = |H : N | es un Π−número. Y

|G : M | = |G : H||H : M | = |G : H||N |.

Pero N es un p−grupo con p /∈ Π, y |G : H| es un Πc−número. Así que|G : M | es un Πc−número: M es un Π−subgrupo de Hall de G.

Teorema 3.72 (Análogo al Teorema 3.15 (Teorema 3.14, [11], p. 87)). SeaG un grupo soluble, Π un conjunto de primos con Π ⊆ σ(|G|) y H,KΠ−subgrupos de Hall de G. Entonces H y K son conjugados.

Demostración. Ver [11]. La demostración se realiza de manera similar(XIII). Setoma un subgrupo normal minimalM de G, se aplica hipótesis de inducciónen G/M , se usa el Teorema de Correspondencia para regresar la relaciónde conjugación sobre el grupo G, y por último se consideran los casosdonde σ(|M |) ⊆ Π y σ(|M |) * Π. En el primer caso se deduce de manerainmediata que H y K son conjugados, y en el segundo caso, M es dehecho un p−subgrupo de Hall (de Sylow) normal, y se aplica el Teoremade Schur-Zassenhaus, para llegar al resultado.

La demostración del siguiente lema se realiza por inducción sobre |G|,como de costumbre.

Lema 3.73 ((Teorema I.3.3, (c), [2], p. 216)). Sean G un grupo soluble, Π unconjunto de primos que dividen a |G| y U un Π−subgrupo de G. EntoncesU está contenido en un Π−subgrupo de Hall de G.

3.11. Subgrupos Maximalmente Nilpotentes, In-yectores Nilpotentes

En esta sección se da inicio a los temas necesarios para desarrollar elTeorema B. Las deniciones están dadas en [12], y los lemas son resultadossugeridos allí mismo.

(XIII)Nota: De hecho muchas demostraciones en Teoría de Grupos (Y de manera dual enTeoría de Galois), varias realizadas en este documento, siguen el mismo procedimiento:Se consigue un subgrupo normal N bastante particular de G, y se aplica hipótesis deinducción sobre el grupo G/N (Dualmente, si E/k es una extensión de Galois, se consideraun campo intermedio F que sea a su vez una extensión de Galois de k, y se aplica inducciónsobre la extensión F/k)


Denición 3.74. Sea G un grupo y H ≤ G un subgrupo nilpotente deG. Se dice que H es maximalmente nilpotente en G si no existe ningúnsubgrupo nilpotente de G que lo contenga propiamente, i.e. si H es unelemento maximal de la familia de los subgrupos nilpotentes de G.

Denición 3.75. Sea G un grupo y H ≤ G. Se dice que H es un inyectornilpotente de G si H es maximalmente nilpotente en G y F (G) ≤ H (XIV).

El siguiente lema determina algunas condiciones sucientes para quedos subgrupos de un grupo nilpotente conmuten.

Lema 3.76. Sea G un grupo nilpotente y H,K ≤ G con (|H|, |K|) = 1.Entonces H ≤ CG(K) (Y viceversa).

Demostración. Sea Π el conjunto de los primos que dividen a |H|. Paracada p | |G|, sea Pp ∈ Sylp(G). Entonces, como G es nilpotente,

G =∏p||G|

Pp =

(∏p∈Π

Pp

)∏p/∈Π

Pp

∼= (∏p∈Π

Pp

)×

∏p/∈Π

Pp

.

Además,

H ≤

(∏p∈Π

Pp

), K ≤

∏p/∈Π

Pp

así que bajo este isomorsmo, H se identica con H × 1 y K con 1×K ,pero para todo h ∈ H, k ∈ K (h, 1)(1, k) = (h, k) = (1, k)(h, 1). Así, H,Kconmutan y en particular H ≤ CG(K).

En [3] se deja como ejercicio demostrar, dado un grupo G, que siG/Z(G) es nilpotente, entonces G es nilpotente. Esto se puede genera-lizar un poco sin ningún problema.

Lema 3.77. Sean G un grupo, N ≤ Z(G) tal que G/N es nilpotente. En-tonces G es nilpotente.(XIV)Nota: De manera equivalente, un subgrupo maximalmente nilpotente es un inyector

nilpotente si contiene a todos los p−subgrupos normales de G, para todo primo p | |G|.


Demostración. Se observa primero queN E G. En efecto, comoN ≤ Z(G),si g ∈ G, y n ∈ N , gng−1 = n ∈ N . Ahora, sea

N/N = H0/N E H1/N E · · · E Hr/N = G/N

una serie normal de G/N , que satisface

(Hi/N)/(Hi−1/N) ≤ Z((G/N)/(Hi−1/N))

para todo i ∈ 1, . . . , r. Entonces, por el Teorema de Correspondencia, laserie

1 ≤ H0 = N ≤ H1 ≤ · · · ≤ Hr = G

es en realidad una serie normal. Además, por el Tercer Teorema de Iso-morsmo, para todo i ∈ 2, . . . , r se satisface

Hi/Hi−1 ≤ Z(G/Hi−1).

Y además, por hipótesis, N/1 ≤ Z(G/1). Así, G es nilpotente.

Lema 3.78. Sea G un grupo y H E G. Entonces H ∩ F (G) = F (H).

Demostración. Como F (H) es nilpotente y normal en G (Ya que F (H) escaracterístico en H E G), se tiene F (H) ≤ F (G), y por lo tanto F (H) ≤F (G)∩H . De manera recíproca, F (G)∩H E G es nilpotente y normal enH (Ya que F (G)∩H ≤ F (G) que es nilpotente), así que F (G)∩H ≤ F (H).Así, se tiene la igualdad.

El siguiente lema es una de las innumerables extensiones del Teoremade Correspondencia.

Lema 3.79. Sea N ≤ Z(G). Entonces F (G/N) = F (G)/N .

Demostración. Se recuerda que N ≤ Z(G) ≤ F (G). Sea H ≤ G tal queH/N = F (G/N). Así, basta probar que H = F (G).

Primero, como F (G/N) = H/N es nilpotente, por el Lema 3.77, H esnilpotente y H ≤ F (G). De manera recíproca, como F (G)/N es nilpotente,se tiene F (G)/N ≤ F (G/N) = H/N . Por el Teorema de Correspondenciase tiene entonces F (G) ≤ H . Así, efectivamente H = F (G) y F (G/N) =F (G)/N .

Sigue un lema que se requiere en el Corolario 4.11. Se puede encontraren [11] como ejercicio.


Lema 3.80. Sea G un grupo soluble. Entonces CG(F (G)) ≤ F (G).

Demostración. Nótese, ya que F (G) E G, que CG(F (G)) E G(XV). Ahora, setiene que F (G)∩CG(F (G)) = F (CG(F (G))) ≤ Z(CG(F (G))), por deniciónde centralizador. Y además, por el lema anterior,

F (CG(F (G))/(F (G) ∩ CG(F (G)))) = F (CG(F (G)))/(F (G) ∩ CG(F (G))

= F (CG(F (G)))/F (CG(F (G)))

= 1

y así, el grupo M = CG(F (G))/(F (G) ∩ CG(F (G))) es soluble (Es un co-ciente de un subgrupo de un grupo soluble) y posee un subgrupo de Fittingtrivial. Por el corolario 3.70, se tiene que M = 1, i.e. F (G) ∩ CG(F (G)) =CG(F (G)), o lo que es lo mismo, CG(F (G)) ≤ F (G).

3.12. El Teorema ZJ de Glauberman

En esta sección se enuncia el teorema ZJ , y lo necesario para quese comprenda. Las deniciones están en [12]. La demostración de éste sepuede encontrar en [5] o [4].

Sea G un grupo. Entonces, de todos los subgrupos abelianos de G, hayun orden máximo (Ya que el orden de todos los subgrupos abelianos de Gestá acotado por |G|). Se considerará esto para la siguiente denición.

Denición 3.81. Sea G un grupo y η el orden máximo para los subgruposabelianos de G. Se dene

A(G) = A ≤ G | A es abeliano y |A| = η.

Se dene el subgrupo de Thompson de G

J(G) = 〈A | A ∈ A(G)〉.

Con esto se puede enunciar una versión del Teorema ZJ de Glauber-man.

Teorema 3.82 (Teorema ZJ de Glauberman). Sea P ∈ Sylp(G) donde p > 2y supóngase que un 2−subgrupo de Sylow de G es abeliano. Se suponeademás que Op(G) ≥ CG(Op(G)). Entonces Z(J(P )) carG.

(XV)Nota: En efecto, el lector debe recordar que si U E G, y g ∈ G, c ∈ CG(U), u ∈ U, u′ =g−1ug ∈ U , se tiene gcg−1ugc−1g−1 = gcu′c−1g−1 = gu′g−1 = gg−1ugg−1 = u, así quegcg−1 ∈ CG(U).

Capítulo 4

Desarrollo

En este capítulo se estudia el contenido de [12]. Se parte del contra-ejemplo en su versión general, esto es, existe un grupo con dos subgruposisomorfos, donde uno es maximal y el otro no.

4.1. Contraejemplo General

1

A5 × 1 1× A5

H

A5 × 〈σ〉

A5 × A5

En [12] se propone un ejemplo donde la condición no se satisface, cuandoG no es soluble.

Ejemplo 4.1. Sea A5 el grupo alternante de permutaciones de 5 elementos.Considérese G = A5 × A5.

37

CAPÍTULO 4. DESARROLLO 38

Sea H = (u, u) | u ∈ A5 ∼= A5. Entonces H es maximal en G peroA5 × 1 no.

Para la demostración se usa un lema.

Lema 4.2. Sea K un grupo simple y G = K × K . Entonces la diagonalH = (k, k) | k ∈ K es un subgrupo maximal.

Demostración. Para demostrar que H es maximal en G, se supone queexiste J ≤ G con H ≤ J ≤ G, y se demuestra que J = H o J = G.

Sea A = J ∩ (K×1). Entonces A E K×1, y J = (a, b) | (ab−1, 1) ∈ A.En efecto, para todo (a, 1) ∈ A y (k, 1) ∈ K × 1,

(k, 1)(a, 1)(k, 1)−1 = (k, k)(a, 1)(k, k)−1 ∈ J

ya que (a, 1) ∈ J y (k, k) ∈ H ≤ J . Además, como para todo b ∈ K, (b, b) ∈H ≤ J , se tiene (a, b) ∈ J si y solo si (a, b)(b, b)−1 = (ab−1, 1) ∈ J , lo quea su vez sucede si y solo si (ab−1, 1) ∈ A. Así que en efecto, A E K × 1 yJ = (a, b) | (ab−1, 1) ∈ A.

Como K×1 es simple, entonces A = 1 o A = K×1. Si A = 1, entonces

J = (a, b) | (ab−1, 1) = (1, 1)= (a, b) | ab−1 = 1= (a, b) | a = b = H.

Y si A = K × 1, entonces

J = (a, b) ∈ G | (ab−1, 1) ∈ K × 1 = G

ya que G = K × K (i.e. a, b ∈ K) y por lo tanto para todo (a, b) ∈ G,ab−1 ∈ K .

En cualquier caso se tiene J = H o J = G, y por lo tanto H esmaximal.

Demostración del Ejemplo. Para demostrar que H ∼= A5 basta con consi-derar el isomorsmo ϕ : H → A5 dado por (u, u) 7→ u.

Es claro que A5 × 1 no es maximal en G: Si se toma una permutaciónpar σ, e.g. σ = (1, 2, 3), entonces A5 × 1 < A5 × 〈σ〉 < G.

Y por el lema anterior, H = (u, u) | u ∈ A5 es maximal en G.


4.2. Teorema A. H tiene una torre de Sylow

Teorema 4.3 (Teorema A, [12]). . Sean H y K subgrupos isomorfos de ungrupo soluble G, con H l G. Si H es supersoluble, o, en particular, tieneuna torre de Sylow, entonces K lG.

Isaacs y Robinson parten de un Lema. El lema es interesante, en elsentido en el que si es un producto semidirecto con factor normal soluble,entonces el factor no-normal es maximal si y solo si el factor normal esnormal minimal. Se requieren otros dos lemas para analizar su demostra-ción.

Lema 4.4 (Lema 1, [12]). Sea G = HU , donde U E G y H ∩ U = 1(I).Supóngase que U es soluble. Entonces H es un subgrupo maximal de G siy solo si U es un subgrupo normal minimal de G.

La demostración es bastante sencilla. Se supone primero que H esmaximal y se demuestra que U es normal minimal. Luego, de manerarecíproca, se supone que U es normal minimal y se demuestra que H esmaximal.

Demostración. Sea H maximal y supóngase que V E G con 1 < V ≤ U .Se demostrará que V = U .

Como H es maximal, y V H , entonces G = HV (II). Entonces V ≤ U ≤HV , así que, por la ley modular de Dedekind, U = (H ∩ U)V = V .

Ahora se supone que U es normal minimal. Por el Lema 3.67, U esabeliano. Supóngase que existe X < G tal que H ≤ X , con lo que acontinuación se demuestra que X = H . Nuevamente por la ley modularde Dedekind, X = H(X ∩ U), así que basta demostrar que X ∩ U = 1(III).Así, se tiene que X ∩ U < U : Si se diera X ∩ U = U , entonces U ≤ X yXU = X 6= G (Lo cual es imposible)(IV) Además, X ∩ U E X,U (Es normal

(I)Nota: Bajo las hipótesis del lema, G = U oH .(II)Nota: Y como V ≤ U , V ∩H = 1, así que G = V oH . Esta dirección de la demostración

se simplica haciendo uso del hecho de que G es nito: el resultado inmediato es que|G| = |V ||H| = |U ||H|, donde |U |, |V |, |H| son todos nitos, así que |U | = |V | y comoV ≤ U , se tiene inmediatamente que V = U . La demostración del lema vale también paragrupos innitos, pero bajo las condiciones establecidas acá, basta este argumento.

(III)Nota: Para esta dirección de la demostración, en el caso en que G es nito el problemase reduce a lo mismo. Como H ≤ X , entonces XU = G. Si se demuestra que X ∩U = 1,se tiene G = U oX , así, |G| = |U ||X| = |U ||H| y por lo tanto |X| = |H| y X = H .

(IV)Nota: Isaacs y Robinson dan un argumento ligeramente distinto para esta parte.


en X ya que U E G, y en U ya que U es abeliano). Así, X ∩ U E G y porlo tanto, como U es normal minimal, X ∩ U = 1, como se deseaba.

El lema 2 de [12] hace uso de los Op(G) denidos en la sección 3.4.Isaacs y Robinson pretenden hacer uso de éste, para el caso particular delproblema, ya que en un grupo soluble el índice de un subgrupo maximales una potencia de un primo; no solo esto, sino que si H es maximal yH ∼= K , entonces |G : H| = |G||H| = |G||K| = |G : K|, así que el ordende K también es potencia de un primo. Así, el lema es clave, y para sudemostración se requiere otro lema.

Lema 4.5. Sea H ≤ G donde |G : H| es una potencia de un primo p. SeaP ∈ Sylp(G). Entonces HP = PH = G.

Demostración. Sea |G| = pnm con (p,m) = 1. Entonces |P | = pn y m ||H|. Entonces, por el teorema de Lagrange, m | |HP |, pn | |HP |, y como(p,m) = 1,

|G| = pnm | |HP | ≤ |G|así que |G| = |HP | y por lo tanto G = HP . Se sigue de inmediato quePH = G.

Lema 4.6 (Lema 2, [12]). Sea H ≤ G, donde |G : H| es una potencia de unprimo p. Entonces

Op(G) ∩H = Op(H).

Demostración. Dado que Op(G) es característico en G, en particular esnormal y por lo tanto Op(G)∩H E H . Además, como Op(G) es un p−grupo,Op(G) ∩H es un p−subgrupo de H . Por denición de

Op(H) = 〈U | U es un p−subgrupo normal de H〉,se tiene de inmediato que

Op(G) ∩H ≤ Op(H).

Para demostrar la contenencia recíproca, se considera P ∈ Sylp(G).Entonces, por el lema 4.5, HP = G. Ahora, se considera que la cerraduranormal

Op(H)G = Op(H)PH

= 〈shOp(H)h−1s−1 | s ∈ P, h ∈ H〉= 〈sOp(H)s−1 | s ∈ P 〉= Op(H)P ≤ P


es normal en G. Así, Op(H) ≤ Op(H)G = Op(G) y como Op(H) ≤ H , setiene Op(H) ≤ Op(G) ∩H , como se deseaba.

Para demostrar el Teorema A, Isaacs y Robinson hacen uso de otroteorema (El Teorema 3 de su artículo). La demostración se realiza porinducción sobre |G|. Para esto se usa un pequeño lema.

Lema 4.7. Sean K,V,W ≤ G con K ≤ NG(W ) y V E G. Entonces K ≤NG(WV ).

Demostración. Sea wv ∈ WV y k ∈ K . Entonces

kwvk−1 = kwk−1kvk−1 ∈ WV

ya que kwk−1 ∈ W,kvk−1 ∈ V .Así, K ≤ NG(WV ).

Teorema 4.8 (Teorema 3, [12]). Sea H un subgrupo maximal de un gruposoluble G cuyo índice es una potencia del primo p. Supóngase que K ≤ Gy K ∼= H . Si Op(G) H , entonces K es maximal en G.

Demostración. Sea U = Op(G), y supóngase que U H , así HU > H(Nótese que HU es un subgrupo de G ya que U carG).

Como H es maximal en G, esto implica que HU = G. Sea V = H ∩ U .Entonces, por el lema 3.2, V / H , i.e. H ≤ NG(V ). Ahora, como V < U ,y V < NG(V )(V), entonces V < NG(V ) ∩ U . Es claro entonces que H <NG(V )(VI), y como H es maximal en G, NG(V ) = G, i.e. V / G.

Considérese el grupo G = G/V . Entonces, por el Teorema de Corres-pondencia H/V es maximal de G/V , y U/V E G/V . También por el Teore-ma de Correspondencia (H/V )(U/V ) = HU/V = G/V , y (H/V )∩(U/V ) =(H ∩ U)/V = V/V = 1. Así, sobre el grupo G, se satisfacen las condicio-nes del lema 4.4 (Lema 1, [12]). Entonces U/V es normal minimal de G; enparticular, U/V es abeliano.

Ahora, se toma W = K ∩ U . Como |G : H| = |G : K| son una potenciade p, por el lema 4.6 (Lema 2 en [12]), se tiene V = Op(G) ∩ H = Op(H)y W = Op(G) ∩ K = Op(K). Como H ∼= K |V | = |W |. Además, comoG = HU , se tiene

|G| = |H||U ||V |

=|H||U ||Op(H)|

=|K||U ||Op(K)|

=|K||U ||W |

= |KU |

(V)Nota: Si V = NG(V ), entonces H ≤ V , de donde V = H una contradicción.(VI)Nota: Si no fuera así, se tendría NG(H) ∩ U = H ∩ U = V , una contradicción.


así que KU = G.Como W /K , entonces K ≤ NG(W ). Además, como V /G, K ≤ NG(V ),

así, por el lema 4.7 se tiene K ≤ NG(WV ). Además, como U/V es abeliano,U ≤ NG(WV ).

En efecto, dado que U/V es abeliano, para todo u1, u2 ∈ U, v1 ∈ V existev2 ∈ V tal que u1u2v1 = u2u1v2. Así, para todo wv ∈ WV,w ∈ W, v ∈ V , yu ∈ U ,

uwvu−1 = uwu−1uvu−1 = uwu−1v′ = uu−1wv′′ = wv′′ ∈ WV

donde v′ = uvu−1 y v′′ es el v2 correspondiente a v1 = v′. Y como U,K ≤NG(WV ), entonces KU = G ≤ NG(WV ), i.e. WV E G.

Por el Teorema de Correspondencia, y ya que U/V es normal minimalde G/V , U es minimal entre todos los subgrupos normales de G quecontienen a V . Además, dado que W,V ≤ U , se tiene WV ≤ U . Pero,WV E G y V ≤ WV así que WV = U , o WV = V .

Supóngase que WV = V , entonces W ≤ V , y como |W | = |V |, se tieneW = V . Se aplica entonces el lema 4.4 al grupo G/V . Esto es posible, yaque G/V = (K/V )(U/V ), (K/V ) ∩ (U/V ) = (K ∩ U)/V = V/V = 1 yU/V E G/V es un subgrupo normal minimal. Entonces, K/V es maximalen G/V , y por el Teorema de Correspondencia K es maximal en G.

Ahora, se supone que WV = U . Sea Y = K ∩ H y X = θ(Y ), dondeθ : H → K es un isomorsmo.

Entonces X, Y son subgrupos isomorfos de H . El paso que sigue, esaplicar la hipótesis de inducción a H .

Para esto, hay que demostrar que

(a) H es soluble (Esto es inmediato de que G es soluble).

(b) X es maximal en H .

(c) V = Op(H) X .

Para demostrar todo esto, basta demostrar que Y es maximal en Ky que W = Op(K) Y , ya que el isomorsmo θ : H → K satisfaceθ(X) = Y .

Como W ≤ K , G = KU = K(WV ) = KV , así que, por el corolario3.9, existe un isomorsmo

ϕ : G/V = KV/V → K/(K ∩ V )


tal queϕ(H/V ) = (K ∩H)/(K ∩ V ) = Y/(K ∩ V ).

Pero H/V es maximal en G/V , así que (Por el isomorsmo de retículosinducido por isomorsmo de grupos) Y/(K∩V ) es maximal en K/(K∩V ).Y nuevamente por el teorema de Correspondencia, Y es maximal en K .Además, como H,K son isomorfos, esto implica que X es maximal en H .

Ahora, resta probar (c). Para esto se demuestra que Op(K) Y . Su-póngase que W = Op(K) ≤ Y . Entonces W = H , y como V = H ,U = WV ≤ H , lo cual es imposible, por hipótesis. Así, Op(K) Y . Porhipótesis de inducción, como X es maximal en H , y X ∼= Y , Y es maximalen H .

Para concluir, KH ≥ KV = G. Por el corolario 3.4, se tiene que lacantidad de subgrupos de G que contienen a K es a lo más, la cantidadde subgrupos de H que contienen a H ∩K = Y . Pero Y es maximal en H ,así que K es maximal en G.

Del Teorema anterior, Isaacs y Robinson demuestran el Teorema A.

Demostración del Teorema A. Se parte con cierta información

(a) G es soluble.

(b) H es maximal en G y posee una torre de Sylow (Toda imagen ho-momorfa no trivial de H tiene un subgrupo de Sylow normal notrivial).

(c) θ : H → K es un isomorsmo.

Con esto, se procede por inducción sobre |G|. Se supone ahora que existeun subgrupo normal no trivial N/G con N ≤ H y θ(N) = N . Entonces, porel lema 3.11, se tiene N ≤ H ∩K y θ induce un isomorsmo H/N → K/N .Ahora, por el Teorema de Correspondencia, H/N es maximal en G/N . Porel Tercer Teorema de Isomorsmo H/N tiene una torre de Sylow, y sepuede aplicar hipótesis de inducción: K/N es también maximal en G/N . Ypor el teorema de Correspondencia, K es maximal en G.

Así, se puede suponer que no existe tal N . Si p es el divisor primo de|G : H|. Si Op(G) H , por el Teorema 4.8, K es maximal y se concluye.Se supone entonces que Op(G) ≤ H . Entonces por el Lema 4.6, Op(H) =Op(G) ∩H = Op(G), y por lo tanto

θ(Op(G)) = θ(Op(H)) = Op(K) ≤ Op(G).


Así, θ(Op(G)) = Op(G). Y como se tiene que Op(G)/G, con Op(G) ≤ H∩K ,por hipótesis se tiene Op(G) = 1. Igualmente Op(H) = 1.

Supóngase que H > 1 (Si H = 1 el problema no existe, en tal casose tendría H = K), y entonces, por el Teorema 3.45, existe un primo qtal que H tiene un q−subgrupo de Sylow Q, normal. Además q 6= p yaque Op(H) = 1. Como |G : H| es una potencia de p, es inmediato queQ es de hecho un q−subgrupo de Sylow de G. Si Q / G, entonces Q esel único q−subgrupo de Sylow de G, y como |G : K| es una potenciade p, Q ≤ K , y por lo tanto Q es el único q−subgrupo de Sylow de K .Así, θ(Q) = Q ≤ H ∩ K , lo cual es imposible. Así, H 6 /G. Lo que aún seconoce es que Q E H , así que H ≤ NG(Q) < G. Y como H es maximal,H = NG(Q). Como |θ(Q)| = |Q|, se ve que θ(Q) es un q−subgrupo deSylow de G y es conjugado de Q, i.e. existe g ∈ G tal que θ(Q) = gQg−1.Pero gQg−1 = θ(Q) E K , así que, por proposición 3.10, K ≤ NG(gQg−1) =gNG(Q)g−1 = gHg−1. Así, como |H| = |K|, K = gHg−1, y por lo tanto Kes maximal.

4.3. Teorema B. Un 2−subgrupo de Sylow de Hes abeliano

Teorema 4.9 (Teorema B, [12]). Sean H y K subgrupos isomorfos de ungrupo soluble G con HlG. Si H tiene un 2−subgrupo de Sylow abeliano,entoncees K lG.

La demostración del Teorema B requiere los resultados de las secciones3.10, 3.11 y 3.12, i.e. subgrupos de Hall, Inyectores Nilpotentes y el TeoremaZJ . Isaacs y Robinson usan un Teorema demostrado por H. Lausch (Ver[14]).

Teorema 4.10 (Teorema 4, [12]). Sean U, V subgrupos maximalmente nil-potentes de G y supóngase que CG(U ∩ V ) ≤ U ∩ V . Entonces U, V sonconjugados en G.

En general, los inyectores nilpotentes de un grupo soluble G son con-jugados (Ver Ejercicio 3C.8. de [11]). El siguiente corolario generaliza la si-tuación.


Corolario 4.11 (Corolario 5, [12]). Sea G un grupo soluble y supóngaseque (|G : H|, |F (G)|) = 1. Sean U, V inyectores nilpotentes de H y Grespectivamente. Entonces U, V son conjugados.

Demostración. Sea F = F (G) y Π el conjunto de los divisores primos de|F |. Sea Q un Πc−subgrupo de Hall de V . Considérese un Πc−subgrupode Hall nilpotente Q. Entonces F,Q ≤ G y (|F |, |Q|) = 1. Así, como V esnilpotente, por los lemas 3.76 y 3.80, Q ≤ CG(F ) ≤ F y por lo tantoQ = 1 y V es un Π−grupo. Ahora, |G : H| es un Πc−número, así quepor el Teorema 3.71, H tiene un Π−subgrupo de Hall, que además es unΠ−subgrupo de Hall de G. Así, como, por el Lema 3.73, V está conte-nido en un Π−subgrupo de Hall de G y, por el Teorema 3.72, todos losΠ−subgrupos de Hall de G son conjugados, entonces H contiene un con-jugado W de V . Así que basta demostrar que U,W son conjugados. Así, setiene:

1. W es nilpotente (Ya que V es nilpotente).

2. W es de hecho maximalmente nilpotente (Si existiera R ≥ W nilpo-tente, existiría un conjugado R′ ≥ V nilpotente).

3. F (G) ≤ W ya que F (G) E G.

y con lo anterior, W es un inyector nilpotente de G. Pero como W ≤ H ,F ≤ H y como F es normal nilpotente en H , F ≤ F (H) ≤ U . Ahora, U,Wson maximalmente nilpotentes en H y F ≤ U ∩W . Así, por el Lema 3.80,

CH(U ∩W ) ≤ CG(F ) ≤ F ≤ U ∩W.

Por el Teorema de Lausch mencionado, U y W son conjugados, que es lorequerido.

Cuando H = G efectivamente, el corolario dice que los inyectores nil-potentes de un grupo soluble G son conjugados.

Isaacs y Robinson se reeren al Lema de Hall-Higman (No confundir conel Teorema de Hall-Higman). Este lema es el Lema 1.2.3. de [7].

Lema 4.12. Sea Π un conjunto de primos. Si el grupo Π−soluble G esΠ−simple, i.e. no posee Πc−subgrupos normales no triviales,de modo queOΠc(G) = 1, entonces, si

1 = G0 E G1 E · · · E Gr = G


es una serie normal de G que satisface S1 (Ver sección 3.5), entoncesCG(G1) ≤ G1.

Lema 4.13. Sea G un grupo soluble. Entonces para todo primo p, G esp−soluble.

Demostración. Se sabe que los factores principales de G son abelianos.Sea U/V un factor principal de G. Entonces U/V es un subgrupo normalminimal de G/V . Se conoce, por el teorema 3.69, que U/V es un q−grupopara algún primo q. Si q = p, entonces U/V es un p−grupo. Y si q 6= p,entonces U/V es un pc−grupo. Por lo tanto G es p−soluble.

Del lema anterior y el lema de Hall-Higman se deduce un comentariode [12].

Corolario 4.14. Sea G un grupo soluble y p un primo tal que Opc(G) = 1.Entonces

CG(Op(G)) ≤ Op(G).

Demostración. Como G es soluble, en particular G es p−soluble. Así, to-mando en el Lema de Hall-Higman G1 = Op(G), se tiene

CG(Op(G)) ≤ Op(G).

Para el siguiente teorema se requiere el siguiente lema.

Lema 4.15. Sea

G =r∏i=1

Pi

un grupo nilpotente, donde para cada i, Pi son los subgrupos de Sylow deG. Entonces

Z(J(G)) =r∏i=1

Z(J(Pi)).

Demostración. Si H ≤ G, entonces H es nilpotente y producto de sussubgrupos de Sylow. Eso signica que para cada i existen Qi ≤ Pi tal que

H =r∏i=1

Qi.


Así, en este caso, H es abeliano si y solo si para todo i, Qi es abeliano.Además H es abeliano de orden máximo si y solo si cada Qi es abelianode orden máximo en Pi. Se sigue que

J(G) =r∏i=1

J(Pi).

Y para concluir, es inmediato que

Z(J(G)) = Z

(r∏i=1

J(Pi)

)=

r∏i=1

Z(J(Pi)),

el resultado deseado.

Lema 4.16. Sean G,H grupos y σ : G → H un isomorsmo. Entoncesσ(Z(J(G))) = Z(J(H)).

Demostración. Primero se demuestra que σ(J(G)) = J(H). Para ello senota que σ induce una correspondencia uno a uno entre los subgruposabelianos de máximo orden de G y los de H y de esto se sigue que, enefecto, σ(J(G)) = J(H). Es además inmediato que

σ(Z(J(G))) = σ |J(G) (Z(J(G))) = Z(J(H)),

el resultado deseado.

Así, se puede seguir con el Teorema 7.

Teorema 4.17 (Teorema 7, [12]). Sea I un inyector nilpotente del gruposoluble G, y supóngase que un 2−subgrupo de Sylow de G es abeliano.Entonces Z(J(I)) es característico en G.

Demostración. Para cada primo p, se prueba que Z(J(P )) / G, donde P ∈Sylp(I). Considérese F (G) = A × B donde A es un p−grupo y B esun pc−grupo(VII). Entonces A ≤ F (G) ≤ I , así que por los Teoremas deSylow, A ≤ P . También, como I es nilpotente y P,B son subgrupos con(|P |, |B|) = 1, P ≤ CG(B).

(VII)Nota: Esto es posible porque F (G) es nilpotente, i.e. el producto directo de sussubgrupos de Sylow.


Si p = 2 entonces P está contenido en un p−subgrupo de Sylow de Gque es abeliano, así que P es a su vez abeliano, y en particular, P ≤ CG(A),así, P ≤ CG(F (G)) ≤ F (G). Así, de hecho se tiene que P = A, y así,J(P ) = A y Z(J(P )) = A E G, como se deseaba.

Se supone ahora que p 6= 2. Sea C = CG(B). Como se dijo antes,P ≤ C . Se demostrará que P es en realidad un p−subgrupo de Sylow deC . Para demostrarlo, se considera P ≤ S ∈ Sylp(C). Como B / F (G), setiene SB ∼= B o S. Y como S centraliza a B, SB ∼= B × S, así que SBes nilpotente y por lo tanto está contenido en un subgrupo maximalmentenilpotente U ≤ G. Ahora, A ≤ P ≤ S, así que F (G) = AB ≤ SB ≤ U y porlo tanto U es un inyector nilpotente de G. Así, U es conjugado a I , así queS es un subgrupo de un conjugado de I . Como P es un p−subgrupo deSylow de I , se sigue que |S| ≤ |P | y por lo tanto, S = P y efectivamenteP ∈ Sylp(C).

Sea M = Opc(C) ≤ C = CG(B). Ahora, como A es un p−subgruponormal de C , M ≤ CG(A). Así,

M ≤ CG(AB) = CG(F (G)).

Así, como M es un pc−grupo, M ≤ B y por lo tanto M ≤ Z(C).Sea Z = Z(J(P )). Se desea demostrar que Z / G. Por el Teorema de

Correspondencia, se tiene

ZM/M = Z(J(PM/M)),

y como PM/M es un p−subgrupo de Sylow de C/M (Ya que P ∈ Sylp(C)),y Opc(C/M) = 1, aplicando el Lema de Hall-Higman y el Teorema ZJ deGlauberman, se tiene que ZM/M carC/M . Además C / G, así que por elTeorema de correspondencia, ZM/M / G/M y ZM E G. Pero Z carZMya que Z ∈ Sylp(ZM), así que Z E G.

Ahora, como I es nilpotente, por el lema 4.15 Z(J(I)) es el producto delos subgrupos Z(J(P )), y como todos son normales, Z(J(I))/G. Ahora, siσ ∈ Aut(G), y F (G) carG, σ(I) es otro inyector nilpotente, y por el lema4.16,

σ(Z(J(I))) = Z(J(σ(I))).

Pero como I y σ(I) son conjugados, existe g ∈ G tal que

Z(J(σ(I))) = gZ(J(I))g−1 = Z(J(I)),

así que efectivamente, Z(J(I)) carG.


Y para concluir:

Demostración del Teorema B. Se parte de lo siguiente.

(a) G es soluble.

(b) H es maximal en G y posee un 2−subgrupo de Sylow abeliano.

(c) θ : H → K es un isomorsmo.

Con esto, la demostración se realiza por inducción sobre |G|. Igual queen el Teorema A, se considera la inexistencia de un subgrupo normal notrivial N /G tal que N ≤ H , y θ(N) = N . Además, si p es el único divisorprimo de |G : H| = |G : K| se puede suponer, como en el Teorema A,que Op(G) = 1 así que F (G) es un pc−grupo. Del Corolario 4.11 se siguelos inyectores nilpotentes de H , K y G son conjugados, y por lo tantoinyectores nilpotentes de G.

Sea entonces U un inyector nilpotente de H y V = θ(U) un inyectornilpotente de K . Entonces U y V son conjugados: existe g ∈ G tal queV = U g. Entonces

θ(Z(J(U))) = Z(J(V )) = Z(J(U g)) = (Z(J(U)))g.

Así que Z(J(U)) y Z(J(V )) son conjugados. Si Z(J(U)) llegara a ser normalen G, entonces Z(J(U)) = Z(J(V )), lo que contradice la hipótesis sobre lainexistencia del subgrupo normal N , ya que Z(J(U)) es no trivial (Ya queJ(U) nunca es trivial y es nilpotente). Entonces Z(J(U)) no es normal en G.Pero por el teorema 4.17, Z(J(U)) carH , y en particular, H ≤ NG(Z(J(U))),y como H es maximal, H = NG(Z(J(U))). Entonces (Como igualmenteK ≤ NG(Z(J(V )))),

Hg = NG(Z(J(U g))) = NG(Z(J(V ))) ≥ K.

Y como |H| = |K|, se tiene K = Hg y por lo tanto K es maximal enG.

Capítulo 5

Apéndices

5.1. G es nilpotente

Cuando G es nilpotente el problema se vuelve en un ejercicio sencillo.Nótese que un grupo nilpotente tiene centro no trivial (Dado que la seriecentral ascendente termina en G).

Lema 5.1. Sea G un grupo nilpotente. Entonces M ≤ G es maximal si ysolo si |G : M | = p para algún primo p.

Demostración. Como G es soluble, si M es un subgrupo maximal, queademás es normal, entonces G/M es simple y además un p−grupo paraalgún primo p. Como Z(G/M) 6= 1, se tiene Z(G/M) = G/M , así que G/Mes un grupo simple abeliano. Por lo tanto |G : M | = |G/M | = p.

El recíproco es inmediato. SiM no es maximal yM < M ′ < G, entonces|G : M | = |G : M ′||M ′ : M | con |G : M ′|, |M ′ : M | 6= 1, así, |G : M | no esprimo.

Corolario 5.2. Sea G un grupo nilpotente y H,K subgrupos de G conH ∼= K . Si H es maximal, entonces K es maximal.

Demostración. H es maximal ⇔ |G : H| = p⇔ |G : K| = |G : H| = p⇔ Kes maximal, donde p es un primo.

Por supuesto, éste es solo un caso particular del Teorema A. Si G esnilpotente, entonces en particular G es soluble y H es nilpotente. De estose sigue que H tiene una torre de Sylow (Todo cociente de H tiene todossus subgrupos de Sylow normales).

50

Conclusión

El problema presentado, acerca de cuándo un isomorsmo entre sub-grupos preserva la maximalidad, teniendo en cuenta lo anterior, no essencillo. Isaacs y Robinson usan una cantidad considerable de teoría,para demostrar solamente un caso particular.

Los contraejemplos, para cuando G no es soluble, tampoco son sen-cillos de encontrar. ¡El contraejemplo estudiado en este trabajo es ungrupo de orden 3600, y el más pequeño de este tipo!

El punto anterior indica que es razonable encontrar condiciones másdébiles que la solubilidad, donde el resultado (No tener subgruposparadójicos) aún se cumpla. Sin embargo, la condición de ser solublees muy potente y sin ella los métodos usados en [12] no funcionarán.Más aún, teniendo en cuenta la dicultad de trabajar con grupos nosolubles, el problema aumentaría su dicultad considerablemente.

51

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