8/3/2019 M.C. Lopes Filho, H.J. Nussenzveig Lopes and Zhouping Xin- Existence of vortex sheets with reflection symmetry in…
http://slidepdf.com/reader/full/mc-lopes-filho-hj-nussenzveig-lopes-and-zhouping-xin-existence-of-vortex 1/29
E x i s t e n c e o f v o r t e x s h e e t s w i t h r e e c t i o n
s y m m e t r y i n t w o s p a c e d i m e n s i o n s
M . C . L o p e s F i l h o
H . J . N u s s e n z v e i g L o p e s
Z h o u p i n g X i n
A b s t r a c t
T h e m a i n p u r p o s e o f t h i s w o r k i s t o e s t a b l i s h e x i s t e n c e o f a w e a k
s o l u t i o n t o t h e i n c o m p r e s s i b l e 2 D E u l e r e q u a t i o n s w i t h i n i t i a l v o r t i c -
i t y c o n s i s t i n g o f a R a d o n m e a s u r e w i t h d i s t i n g u i s h e d s i g n i n H
? 1
,
c o m p a c t l y s u p p o r t e d i n t h e c l o s e d r i g h t - h a l f - p l a n e , s u p e r i m p o s e d t o
i t s o d d r e e c t i o n i n t h e l e f t - h a l f - p l a n e . W e m a k e u s e o f a n e w a p r i -
o r i e s t i m a t e t o c o n t r o l t h e i n t e r a c t i o n b e t w e e n p o s i t i v e a n d n e g a t i v e
v o r t i c i t y a t t h e s y m m e t r y a x i s . W e p r o v e t h a t a w e a k l i m i t o f a s e -
q u e n c e o f a p p r o x i m a t i o n s o b t a i n e d b y e i t h e r r e g u l a r i z i n g t h e i n i t i a l
d a t a o r b y t h e v a n i s h i n g v i s c o s i t y m e t h o d i s a w e a k s o l u t i o n o f t h e
i n c o m p r e s s i b l e 2 D E u l e r e q u a t i o n s . W e a l s o e s t a b l i s h t h e e q u i v a l e n c e
a t t h e l e v e l o f w e a k s o l u t i o n s b e t w e e n m i r r o r s y m m e t r i c o w s i n t h e
f u l l p l a n e a n d o w s i n t h e h a l f - p l a n e . F i n a l l y , w e e x t e n d o u r e x i s -
t e n c e r e s u l t t o o d d L
1
p e r t u r b a t i o n s , w i t h o u t d i s t i n g u i s h e d s i g n , o f
o u r o r i g i n a l i n i t i a l v o r t i c i t y .
C o n t e n t s
1 S y m m e t r i c s m o o t h s o l u t i o n s 4
2 A p r i o r i e s t i m a t e s i n t h e i n v i s c i d c a s e 7
3 C o n v e r g e n c e t h e o r e m 1 1
4 T h e m e t h o d o f i m a g e s 1 6
1
8/3/2019 M.C. Lopes Filho, H.J. Nussenzveig Lopes and Zhouping Xin- Existence of vortex sheets with reflection symmetry in…
http://slidepdf.com/reader/full/mc-lopes-filho-hj-nussenzveig-lopes-and-zhouping-xin-existence-of-vortex 2/29
5 V i s c o u s a p p r o x i m a t i o n s 2 1
6 E x t e n s i o n s a n d c o n c l u s i o n s 2 3
I n t r o d u c t i o n
I n 1 9 9 1 , J . - M . D e l o r t p r o v e d e x i s t e n c e o f w e a k s o l u t i o n s t o t h e i n c o m p r e s s i b l e
2 D E u l e r e q u a t i o n s w i t h v o r t e x s h e e t i n i t i a l d a t a , u n d e r t h e a s s u m p t i o n t h a t
t h e i n i t i a l v o r t i c i t y b e t h e s u m o f a R a d o n m e a s u r e w i t h d i s t i n g u i s h e d s i g n
a n d a n a r b i t r a r y L
p
f u n c t i o n , p > 1 , s e e 2 ] . T h i s r e s u l t w a s l a t e r p r o v e d i n
d i e r e n t w a y s , s e e 7 , 1 7 ] , e x t e n d e d t o p = 1 , s e e 3 , 1 7 , 1 9 ] a n d t o t h e c o n v e r -
g e n c e t o a w e a k s o l u t i o n o f a p p r o x i m a t i o n s g e n e r a t e d b y v a n i s h i n g v i s c o s i t y ,
s e e 1 4 , 1 7 ] . D e l o r t ' s r e s u l t w a s a l s o e x t e n d e d t o c o n v e r g e n c e o f a p p r o x i m a -
t i o n s o b t a i n e d b y v o r t e x m e t h o d s , s e e 1 3 , 1 8 ] . T h e p r o b l e m o f e x i s t e n c e
f o r v o r t e x s h e e t i n i t i a l d a t a w i t h o u t t h e d i s t i n g u i s h e d s i g n a s s u m p t i o n h a s
r e m a i n e d o p e n . T h e d i s t i n g u i s h e d s i g n h y p o t h e s i s i s n e e d e d b e c a u s e u n d e r
i t c o n s e r v a t i o n o f e n e r g y i m p l i e s t h e a v o i d a n c e o f c o n c e n t r a t i o n s i n v o r t i c i t y
( s e e 1 4 , 1 7 ] ) . H o w e v e r , t h e d i s t i n g u i s h e d s i g n a s s u m p t i o n i s a s i g n i c a n t
r e s t r i c t i o n o n t h e s c o p e o f t h e a v a i l a b l e t h e o r y b e c a u s e i m p o r t a n t f e a t u r e s
o f i r r e g u l a r o w s e e m t o b e c o n n e c t e d w i t h i n t r i c a t e i n t e r t w i n i n g o f r e g i o n s
o f p o s i t i v e a n d n e g a t i v e v o r t i c i t y .
I n t h e p r e s e n t w o r k w e w i l l p r o v e a n e x i s t e n c e r e s u l t f o r o w s w i t h i n i t i a l
v o r t i c i t y w h i c h i s o d d w i t h r e s p e c t t o a s t r a i g h t l i n e , a n d w h i c h i s o f a
d i s t i n g u i s h e d s i g n o n e a c h s i d e o f t h e l i n e . S e t t i n g t h e i n i t i a l d a t a i n t h i s
w a y c r e a t e s a s i t u a t i o n w h e r e v o r t i c i t y o f d i e r e n t s i g n s i s a l l o w e d t o i n t e r a c t ,
b u t n o t t o i n t e r t w i n e . T h i s i s t h e r s t i n s t a n c e w h e r e t h e g l o b a l ( i n t i m e )
e x i s t e n c e o f v o r t e x s h e e t e v o l u t i o n i s r i g o r o u s l y e s t a b l i s h e d w i t h v o r t i c i t y
d e n s i t y c h a n g i n g s i g n , a l b e i t u n d e r v e r y s p e c i a l c i r c u m s t a n c e s . T h e d i c u l t y
i s t o s h o w t h a t v o r t i c i t y c o n c e n t r a t i o n d o e s n o t o c c u r a l o n g t h e s y m m e t r y
a x i s . T h e k e y n e w i n g r e d i e n t i n o u r p r o o f i s a n a p r i o r i e s t i m a t e o n t h e
v e l o c i t y a t t h e s y m m e t r y a x i s , w h i c h a l l o w s u s t o c o n t r o l t h e i n t e r a c t i o n
b e t w e e n p o s i t i v e a n d n e g a t i v e v o r t i c i t y . O u r r e s u l t s h o w s t h a t t h e d i c u l t y
i n t h e a n a l y t i c a l t r e a t m e n t o f v o r t e x s h e e t s w i t h o u t d i s t i n g u i s h e d s i g n s t e m s
f r o m t h e i n t e r t w i n i n g o f t h e p o s i t i v e a n d n e g a t i v e v o r t i c i t y a n d n o t m e r e l y
f r o m t h e i r i n t e r a c t i o n . O n e c o n c r e t e s i t u a t i o n w h e r e a v o r t e x s h e e t i n i t i a l
d a t a p r o b l e m w i t h r e e c t i o n s y m m e t r y a p p e a r s i s t h e m o d e l l i n g o f t h e w a k e
d u e t o a n e l l i p t i c a l l y l o a d e d a i r p l a n e w i n g i n t h e T r e t z p l a n e , a s d o n e b y
2
8/3/2019 M.C. Lopes Filho, H.J. Nussenzveig Lopes and Zhouping Xin- Existence of vortex sheets with reflection symmetry in…
http://slidepdf.com/reader/full/mc-lopes-filho-hj-nussenzveig-lopes-and-zhouping-xin-existence-of-vortex 3/29
R . K r a s n y i n 1 1 ] .
T h e i n c o m p r e s s i b l e 2 D E u l e r e q u a t i o n s a r e c o v a r i a n t w i t h r e s p e c t t o r e -
e c t i o n s y m m e t r y . T h i s m e a n s t h a t a s m o o t h s o l u t i o n o f t h e e q u a t i o n s o n
a h a l f - p l a n e m a y b e e x t e n d e d b y r e e c t i o n t o a s m o o t h s o l u t i o n i n t h e f u l l
p l a n e . T h i s o b s e r v a t i o n i s i m b e d d e d i n t h e m e t h o d o f i m a g e s , s e e 1 6 ] . T h u s
a n a t u r a l a p p r o a c h t o o u r e x i s t e n c e p r o b l e m w o u l d b e t o e x t e n d D e l o r t ' s
e x i s t e n c e t h e o r y t o o w s i n t h e h a l f - p l a n e a n d u s e t h e c o v a r i a n c e o f t h e 2 D
E u l e r e q u a t i o n s w i t h r e s p e c t t o t h e r e e c t i o n s y m m e t r y i n o r d e r t o o b t a i n
a s y m m e t r i c w e a k s o l u t i o n i n t h e f u l l p l a n e . T h i s a p p r o a c h d o e s n o t w o r k .
T h e e x t e n s i o n o f D e l o r t ' s t h e o r e m f o r b o u n d e d d o m a i n s t o h a l f - p l a n e o w s
i s r a t h e r r o u t i n e , w i t h o u t a n y n e w a d d i t i o n a l e s t i m a t e s c o m p a r e d w i t h t h e
c a s e w i t h o u t b o u n d a r i e s . H o w e v e r , t h e w e a k s o l u t i o n t h u s o b t a i n e d a s s u m e s
t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n ( v e l o c i t y t a n g e n t t o t h e b o u n d a r y ) i n a w a y t h a t i s
n o t s t r o n g e n o u g h t o g u a r a n t e e t h a t t h e o w c o n s t r u c t e d b y r e e c t i o n i s a
w e a k s o l u t i o n i n t h e f u l l p l a n e .
F o r o w s i n a b o u n d e d d o m a i n , D e l o r t ' s t h e o r e m g u a r a n t e e s t h e e x i s t e n c e
o f a w e a k s o l u t i o n i n a n i n t e r i o r s e n s e , i . e . t h e s o l u t i o n s a t i s e s t h e w e a k
f o r m u l a t i o n o f t h e e q u a t i o n s w i t h r e s p e c t t o t e s t f u n c t i o n s t h a t a r e c o m -
p a c t l y s u p p o r t e d i n t h e i n t e r i o r o f t h e d o m a i n , a n d i t s a t i s e s t h e b o u n d a r y
c o n d i t i o n i n a t r a c e s e n s e . O n o n e h a n d , t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n i s l i n e a r
a n d h e n c e i t i s w e l l b e h a v e d w i t h r e s p e c t t o w e a k c o n v e r g e n c e , w h i c h i s n e c -
e s s a r y i n D e l o r t ' s t r e a t m e n t o f b o u n d a r i e s . O n t h e o t h e r h a n d , t h i s s e p a r a t e
t r e a t m e n t o f t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n l e a v e s o p e n t h e p o s s i b i l i t y o f v o r t i c -
i t y c o n c e n t r a t i n g a t t h e b o u n d a r y . W e i n t r o d u c e a n o t h e r n o t i o n o f w e a k
s o l u t i o n , w h i c h w e c a l l b o u n d a r y - c o u p l e d w e a k s o l u t i o n , w h e r e w e u s e t e s t
f u n c t i o n s t h a t v a n i s h a t t h e b o u n d a r y , b u t n o t t h e i r d e r i v a t i v e s . W e p r o v e
t h a t t h e e x i s t e n c e o f a r e e c t i o n - s y m m e t r i c w e a k s o l u t i o n t o t h e f u l l - p l a n e
p r o b l e m i s e q u i v a l e n t t o t h e e x i s t e n c e o f a b o u n d a r y - c o u p l e d w e a k s o l u t i o n
t o t h e h a l f - p l a n e p r o b l e m . O n e c o r o l l a r y o f t h i s r e s u l t , t o g e t h e r w i t h t h e e x -
i s t e n c e o f a w e a k s o l u t i o n t o t h e f u l l - p l a n e p r o b l e m w i t h r e e c t i o n s y m m e t r y ,
i s t h a t t h e r e e x i s t s a b o u n d a r y - c o u p l e d w e a k s o l u t i o n t o t h e i n c o m p r e s s i b l e
2 D E u l e r e q u a t i o n s i n t h e h a l f - p l a n e w i t h n o n n e g a t i v e m e a s u r e s a s i n i t i a l
v o r t i c i t y .
T h e p r o b l e m o f e x i s t e n c e o f v o r t e x s h e e t e v o l u t i o n m u s t b e u n d e r s t o o d i n
t h e c o n t e x t o f t h e p i o n e e r i n g w o r k o f R . D i P e r n a a n d A . M a j d a i n 4 , 5 , 6 ] .
T h e c o n c e r n w i t h c o n c e n t r a t i o n s i n k i n e t i c e n e r g y , w h i c h l i e s a t t h e c o r e o f
t h e i r a n a l y s i s , h a s p l a y e d n o r o l e i n o u r w o r k , i n t h e s a m e w a y t h a t i t w a s
n o t p r e s e n t i n D e l o r t ' s w o r k . E n e r g y c o n c e n t r a t i o n i s p o s s i b l e a n d , i n f a c t ,
3
8/3/2019 M.C. Lopes Filho, H.J. Nussenzveig Lopes and Zhouping Xin- Existence of vortex sheets with reflection symmetry in…
http://slidepdf.com/reader/full/mc-lopes-filho-hj-nussenzveig-lopes-and-zhouping-xin-existence-of-vortex 4/29
i t i s a n o u t s t a n d i n g o p e n p r o b l e m w h e t h e r i t d o e s a c t u a l l y o c c u r d y n a m i -
c a l l y . R a t h e r , o u r a n a l y s i s r e v o l v e s a r o u n d t h e p o s s i b i l i t y o f c o n c e n t r a t i o n s
i n v o r t i c i t y . T h i s w a s a l r e a d y t h e c a s e w i t h D e l o r t ' s w o r k a s e x p l a i n e d b y
S . S c h o c h e t i n 1 7 ] ; o n e k e y f a c t i n D e l o r t ' s r e s u l t i s t h a t c o n c e n t r a t i o n s i n
v o r t i c i t y a r e e x c l u d e d b y l o g a r i t h m i c d e c a y o f c i r c u l a t i o n i n s m a l l c i r c l e s .
T h e m a i n r e s u l t i n 1 7 ] i s a c o n c e n t r a t i o n - c a n c e l l a t i o n t h e o r e m , i n w h i c h
a p p r o x i m a t e v o r t i c i t i e s w h i c h c o n c e n t r a t e a t a s i n g l e p o i n t x = x ( t ) , w i t h
x ( ) a C
1 = 2
f u n c t i o n o f t i m e , a r e s h o w n t o p o s s e s s a w e a k l i m i t w h i c h i s a
w e a k s o l u t i o n . I n c o n t r a s t , o u r t h e o r e m i s n o t a c o n c e n t r a t i o n - c a n c e l l a t i o n
r e s u l t . A l t h o u g h v o r t i c i t y c o n c e n t r a t i o n s a r e n o t r u l e d o u t , t h e p o s s i b i l i t y
o f t h e i r o c c u r r e n c e i s b y p a s s e d . W e s h o w t h a t , i n a t i m e - a v e r a g e d s e n s e , n o
c o n c e n t r a t i o n s o c c u r . T h i s i s e n o u g h t o p a s s t o t h e l i m i t i n t h e n o n l i n e a r
t e r m o f t h e w e a k v o r t i c i t y f o r m u l a t i o n .
T h e r e m a i n d e r o f t h i s a r t i c l e i s d i v i d e d i n s i x s e c t i o n s . I n t h e r s t o n e , w e
c o n s t r u c t s y m m e t r i c s m o o t h s o l u t i o n s . I n t h e s e c o n d o n e w e o b t a i n t h e n e w
a p r i o r i e s t i m a t e t h a t m a k e s o u r a n a l y s i s p o s s i b l e . I n t h e t h i r d s e c t i o n w e
c o n s t r u c t i n v i s c i d a p p r o x i m a t e s o l u t i o n s e q u e n c e s a n d w e a p p l y t h e a p r i o r i
e s t i m a t e s o b t a i n e d i n t h e s e c o n d s e c t i o n t o t h e w e a k v o r t i c i t y f o r m u l a t i o n ,
p r o v i n g o u r m a i n e x i s t e n c e r e s u l t . I n t h e f o u r t h s e c t i o n w e p r o v e t h e v a l i d i t y
o f t h e m e t h o d o f i m a g e s , o b t a i n i n g e x i s t e n c e o f a b o u n d a r y - c o u p l e d w e a k
s o l u t i o n f o r t h e h a l f - p l a n e p r o b l e m . I n S e c t i o n 5 w e p r o v e t h e c o n v e r g e n c e
o f ( a s u b s e q u e n c e o f t h e ) v i s c o u s a p p r o x i m a t i o n s t o a w e a k s o l u t i o n i n t h e
f u l l p l a n e a n d , i n t h e l a s t s e c t i o n , w e e x t e n d o u r m a i n r e s u l t t o o d d L
1
p e r t u r b a t i o n s , w i t h o u t s i g n r e s t r i c t i o n , o f t h e i n i t i a l v o r t i c i t i e s p r e v i o u s l y
c o n s i d e r e d a n d p r e s e n t o u r c o n c l u s i o n s .
1 S y m m e t r i c s m o o t h s o l u t i o n s
I n o r d e r t o c o n s t r u c t s y m m e t r i c w e a k s o l u t i o n s t o t h e 2 D E u l e r s y s t e m w e
m u s t r s t b e a b l e t o c o n s t r u c t s y m m e t r i c a p p r o x i m a t e s o l u t i o n s e q u e n c e s .
I n t h i s a r t i c l e , w e c o n s i d e r t w o f a m i l i e s o f a p p r o x i m a t e s o l u t i o n s e q u e n c e s ,
o b t a i n e d b y m o l l i f y i n g t h e i n i t i a l d a t a a n d e i t h e r e x a c t l y s o l v i n g t h e E u l e r
e q u a t i o n s o r e x a c t l y s o l v i n g t h e N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s . I t i s e a s y t o m o l l i f y
p r e s e r v i n g t h e s y m m e t r y o f t h e i n i t i a l d a t a , s o t h a t w e n e e d t o s h o w t h a t
t h e N a v i e r - S t o k e s a n d t h e E u l e r s y s t e m s p r e s e r v e t h e s y m m e t r y . T h i s c a n b e
a c c o m p l i s h e d b y a s t a n d a r d e n e r g y e s t i m a t e a r g u m e n t , w h i c h w e w i l l o u t l i n e
b e l o w .
4
8/3/2019 M.C. Lopes Filho, H.J. Nussenzveig Lopes and Zhouping Xin- Existence of vortex sheets with reflection symmetry in…
http://slidepdf.com/reader/full/mc-lopes-filho-hj-nussenzveig-lopes-and-zhouping-xin-existence-of-vortex 5/29
T h e 2 D i n c o m p r e s s i b l e N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s i n t h e f u l l p l a n e a n d i n
v o r t i c i t y f o r m a r e g i v e n b y :
8
>
>
>
<
>
>
>
:
!
t
+ u r ! = " ! ; i n R
2
( 0 ; 1 )
d i v u = 0 ; c u r l u = ! i n R
2
0 ; 1 )
! ( x ; 0 ) = !
0
( x ) i n R
2
j u
j ( x ; t )
! 0 a s
j x
j ! 1 :
( 1 )
T h e i n c o m p r e s s i b l e 2 D E u l e r e q u a t i o n s ( i n v o r t i c i t y f o r m ) c o r r e s p o n d t o
" = 0 . I f !
0
i s s m o o t h a n d c o m p a c t l y s u p p o r t e d , t h e n f o r a n y " 0 t h e r e
e x i s t s a u n i q u e s m o o t h s o l u t i o n t o t h e p r o b l e m a b o v e , s e e 1 5 ] . I t i s e a s y
t o s e e t h a t t h e s o l u t i o n i s a l s o c o m p a c t l y s u p p o r t e d i n s p a c e f o r a l l t i m e , i f
" = 0 . I f " > 0 , ! ( x ; t ) i s e x p o n e n t i a l l y d e c a y i n g a s
j x
j ! 1 . T h i s i s a
c o n s e q u e n c e o f t h e p r o p e r t i e s o f t h e p a r a m e t r i x f o r t h e l i n e a r i z e d p a r a b o l i c
p r o b l e m , s e e 8 ] .
T h e e l l i p t i c s y s t e m d i v u = 0 , c u r l u = ! i n t h e f u l l p l a n e , t o g e t h e r
w i t h t h e c o n d i t i o n j u j ! 0 a t 1 c a n b e i n v e r t e d e x p l i c i t l y , s o a s t o e x p r e s s
v e l o c i t y i n t e r m s o f v o r t i c i t y b y :
u ( x ; t ) = ( K ! ( ; t ) ) ( x )
Z
R
2
( x
? y )
2 j x ? y j
2
! ( y ; t ) d y ; ( 2 )
w i t h ( z
1
; z
2
)
= ( ? z
2
; z
1
) . T h i s i d e n t i t y i s c a l l e d t h e B i o t - S a v a r t l a w . U s i n g
t h e B i o t - S a v a r t l a w , t h e s y s t e m ( 1 ) b e c o m e s a s c a l a r n o n l o c a l e q u a t i o n w i t h
t h e v o r t i c i t y ! a s t h e s i n g l e u n k n o w n .
D e n i t i o n 1 A R a d o n m e a s u r e 2 B M ( R
2
) i s s a i d t o b e N M S ( n o n n e g -
a t i v e m i r r o r - s y m m e t r i c ) i f r e s t r i c t e d t o t h e r i g h t h a l f - p l a n e f x
1
> 0 g i s
n o n n e g a t i v e a n d i s o d d w i t h r e s p e c t t o t h e f x
1
= 0 g a x i s , i . e . t h e d u a l i t y
p a i r i n g h ; ' i v a n i s h e s f o r a n y ' 2 C
0
( R
2
) w h i c h i s e v e n w i t h r e s p e c t t o t h e
r s t v a r i a b l e .
W e w i l l u s e t h e f o l l o w i n g n o t a t i o n f o r t h e m i r r o r s y m m e t r y : x = ( x
1
; x
2
)
7!
x
( ? x
1
; x
2
) . W e n o t e t h a t t h e r e s t r i c t i o n o f a b o u n d e d R a d o n m e a s u r e
i n t h e p l a n e t o a n y o p e n s u b s e t o f t h e p l a n e w i t h s m o o t h b o u n d a r y g i v e s
r i s e t o a b o u n d e d R a d o n m e a s u r e o n . T h i s i s a n i m m e d i a t e c o n s e q u e n c e
o f t h e c h a r a c t e r i z a t i o n o f B M ( ) a s t h e d u a l o f t h e s p a c e C
0
( ) , t h e c l o s u r e
o f C
1
c
( ) w i t h r e s p e c t t o t h e s u p - n o r m .
5
8/3/2019 M.C. Lopes Filho, H.J. Nussenzveig Lopes and Zhouping Xin- Existence of vortex sheets with reflection symmetry in…
http://slidepdf.com/reader/full/mc-lopes-filho-hj-nussenzveig-lopes-and-zhouping-xin-existence-of-vortex 6/29
P r o p o s i t i o n 1 L e t " 0 a n d l e t !
0
2 C
1
c
( R
2
) b e N M S . I f ! = ! ( x ; t ) i s
t h e u n i q u e s o l u t i o n o f ( 1 ) w i t h i n i t i a l d a t a !
0
, t h e n ! ( ; t ) i s N M S f o r a l l
t 0 .
P r o o f : D e n e
e
! ( x ; t )
! ( x ; t ) + ! ( x
; t ) , s o t h a t
e
! ( x ; 0 )
0 .
T h e n
e
! s a t i s e s t h e f o l l o w i n g e q u a t i o n :
e
!
t
( x ; t ) + u ( x ; t ) r
e
! ( x ; t ) =
"
e
! ( x ; t ) + u ( x ; t ) ( r ! ) ( x
; t ) ? u ( x
; t ) ( r ! ) ( x
; t ) :
W e r e w r i t e t h e r . h . s . o f t h i s e q u a t i o n , u s i n g t h e e x p l i c i t f o r m o f t h e
B i o t - S a v a r t l a w ( 2 ) t o o b t a i n :
e
!
t
( x ; t ) + u ( x ; t ) r
e
! ( x ; t ) = "
e
! ( x ; t ) + ( K
e
! ) ( x ; t ) ( r ! ) ( x
; t ) :
M u l t i p l y t h i s i d e n t i t y b y 2
e
! , i n t e g r a t e b y p a r t s o v e r a l l R
2
t o o b t a i n :
d
d t
( k
e
! k
2
L
2
)
Z
R
2
e
! ( K
e
! ) ( x ; t ) ( r ! ) ( x
; t ) d x
k
e
! k
L
2
k K
e
! k
L
2 p = ( p ? 2 )
k r ! k
L
p
;
w h e r e 2 < p < 1 i s a r b i t r a r y . T h e e x p o n e n t 2 p = ( p ? 2 ) i s p r e c i s e l y t h e c r i t i c a l
S o b o l e v e x p o n e n t c o r r e s p o n d i n g t o p
0
= p = ( p ? 1 ) . T h e r e f o r e , s i n c e 1 < p
0
<
2 , o n e c a n u s e t h e H a r d y - L i t t l e w o o d - S o b o l e v i n e q u a l i t y ( s e e P r o p o s i t i o n 1 ,
1 0 ] ) , t o g e t :
k K
e
! k
L
2 p = ( p ? 2 )
C
p
k
e
! k
L
p
0
:
I n t h e c a s e " = 0 ,
e
! ( ; t ) h a s c o m p a c t s u p p o r t , a n d h e n c e t h e L
p
0
- n o r m
a b o v e i s d o m i n a t e d b y t h e L
2
- n o r m , s o t h a t , b y G r o n w a l l ' s i n e q u a l i t y ,
e
!
v a n i s h e s i d e n t i c a l l y . T h i s m e a n s t h a t ! ( ; t ) i s o d d w i t h r e s p e c t t o t h e r s t
v a r i a b l e , w h i c h i m p l i e s , b y t h e e x p l i c i t f o r m o f t h e B i o t - S a v a r t l a w , t h a t u i s
t a n g e n t t o t h e f x
1
= 0 g - a x i s , s o t h a t e a c h h a l f - p l a n e i s i n v a r i a n t u n d e r t h e
o w . H e n c e ! ( ; t ) i s n o n n e g a t i v e i n t h e r i g h t h a l f p l a n e , s o t h a t ! ( ; t ) i s
N M S .
I f " > 0 , o n e c a n u s e t h e e x p o n e n t i a l d e c a y o f
e
! ( ; t ) a t i n n i t y a n d
H o l d e r ' s i n e q u a l i t y t o c o n c l u d e t h a t :
k
e
! k
L
p
0
C ( R
k
e
! k
L
2
+ e
? K R
) ;
6
8/3/2019 M.C. Lopes Filho, H.J. Nussenzveig Lopes and Zhouping Xin- Existence of vortex sheets with reflection symmetry in…
http://slidepdf.com/reader/full/mc-lopes-filho-hj-nussenzveig-lopes-and-zhouping-xin-existence-of-vortex 7/29
w h e r e C , K a r e p o s i t i v e c o n s t a n t s , R > R
0
, f o r R
0
s u c i e n t l y b i g a n d
= ( 2 ? p
0
) = p
0
, s o t h a t 0 < < 1 . O n e i n p u t s t h i s i n f o r m a t i o n i n t o
t h e d i e r e n t i a l i n e q u a l i t y a n d u s e s G r o n w a l l ' s i n e q u a l i t y t o c o n c l u d e t h a t
k
e
! ( ; t ) k
2
L
2
C e
?
e
K R
, f o r a r b i t r a r y R > R
0
, s o t h a t
e
! 0 . F i n a l l y , w e
o b s e r v e t h a t ! = ! ( x ; t ) i s n o w o d d w i t h r e s p e c t t o x
1
, s o t h a t ! ( 0 ; x
2
; t )
0 . H e n c e , ! s a t i s e s a l i n e a r F o k k e r - P l a n c k e q u a t i o n o n t h e h a l f p l a n e ,
w i t h a h o m o g e n e o u s D i r i c h l e t b o u n d a r y c o n d i t i o n , a n d n o n n e g a t i v e i n i t i a l
c o n d i t i o n . B y t h e m a x i m u m p r i n c i p l e , t h e n o n n e g a t i v i t y i s p r e s e r v e d f o r
f u t u r e t i m e s , s o t h a t ! i s N M S i n t h i s c a s e a s w e l l .
2 A p r i o r i e s t i m a t e s i n t h e i n v i s c i d c a s e
W e c o n s i d e r t h e p r o b l e m o f e x i s t e n c e o f a w e a k s o l u t i o n t o t h e i n c o m p r e s s i b l e
2 D E u l e r e q u a t i o n s i n t h e f u l l p l a n e w i t h i n i t i a l v e l o c i t y u
0
2 L
2
( R
2
) s u c h
t h a t t h e v o r t i c i t y !
0
c u r l u
0
i s N M S a n d c o m p a c t l y s u p p o r t e d . W e w i l l
l o o k f o r s o l u t i o n s s a t i s f y i n g t h e w e a k v o r t i c i t y f o r m u l a t i o n o f t h e e q u a t i o n s ,
a s w a s i n t r o d u c e d b y S . S c h o c h e t i n 1 7 ] , w h i c h w e m a k e e x p l i c i t i n t h e
d e n i t i o n b e l o w .
F i r s t w e n o t e t h a t , i f 2 B M ( R
2
) t h e n i t i s p o s s i b l e t o m a k e s e n s e o f K
a s a d i s t r i b u t i o n . T o s e e t h i s , o b s e r v e t h a t t h e m a p ' 7! K ' i s a c o n t i n u o u s
l i n e a r o p e r a t o r f r o m C
1
c
( R
2
) i n t o C
0
( R
2
) , w h e r e C
0
d e n o t e s t h e c o n t i n u o u s
f u n c t i o n s v a n i s h i n g a t i n n i t y . H e n c e , u s i n g t h a t K ( z ) = ? K ( ? z ) w e m a y
d e n e K a s a d i s t r i b u t i o n b y t h e r e l a t i o n
h K ; ' i = ? h ; K ' i :
D e n i t i o n 2 W e s a y t h a t !
2 L
1
( 0 ;
1 ) ;
B M ( R
2
) ) i s a w e a k s o l u t i o n o f t h e
i n c o m p r e s s i b l e 2 D E u l e r e q u a t i o n s w i t h i n i t i a l d a t a !
0
2 B M
c
( R
2
)
\ H
? 1
( R
2
)
i f :
( a ) t h e v e l o c i t y u K ! 2 L
1
l o c
( 0 ; 1 ) ; ( L
2
l o c
( R
2
) )
2
) , a n d
( b ) f o r a n y t e s t f u n c t i o n ' 2 C
1
c
( 0 ; 1 ) R
2
) w e h a v e :
Z
1
0
Z
R
2
'
t
! ( x ; t ) d x d t +
Z
1
0
Z
R
2
Z
R
2
H
'
( x ; y ; t ) ! ( x ; t ) ! ( y ; t ) d y d x d t +
Z
R
2
' ( x ; 0 ) !
0
( x ) d x = 0 ;
7
8/3/2019 M.C. Lopes Filho, H.J. Nussenzveig Lopes and Zhouping Xin- Existence of vortex sheets with reflection symmetry in…
http://slidepdf.com/reader/full/mc-lopes-filho-hj-nussenzveig-lopes-and-zhouping-xin-existence-of-vortex 8/29
w h e r e
H
'
( x ; y ; t )
r ' ( x ; t ) ? r ' ( y ; t )
4
j x
? y
j
( x ? y )
j x
? y
j
:
W e w i l l s a y t h a t ! i s a n i t e - e n e r g y w e a k s o l u t i o n i f i t i s a w e a k s o l u t i o n
w i t h u 2 L
1
l o c
( 0 ; 1 ) ; ( L
2
( R
2
) )
2
) .
R e m a r k : T h e d e r i v a t i o n o f t h e r e l a t i o n a b o v e f o r s m o o t h s o l u t i o n s i s
c o n t a i n e d i n 1 7 ] . W e a b u s e n o t a t i o n s e v e r a l t i m e s i n t h e d e n i t i o n , s i n c e
! i s o n l y a p a r a m e t r i z e d f a m i l y o f m e a s u r e s a n d n o t a f u n c t i o n . I t i s t h e
c o n t e n t o f L e m m a 2 . 1 i n 1 7 ] t h a t f o r a g i v e n w e a k s o l u t i o n i n t h e s e n s e a b o v e
o n e c a n c o n s t r u c t a c l a s s i c a l w e a k s o l u t i o n f o r t h e v e l o c i t y f o r m u l a t i o n o f t h e
E u l e r e q u a t i o n s , s i n c e t h e v e l o c i t y b e i n g i n L
2
l o c
i m p l i e s t h a t t h e v o r t i c i t y h a s
n o d i s c r e t e p a r t .
T o p r o v e o u r m a i n e x i s t e n c e r e s u l t w e w i l l r e q u i r e a n e w a p r i o r i e s t i m a t e
f o r t h e s m o o t h s y m m e t r i c s o l u t i o n s o f t h e i n v i s c i d p r o b l e m , w h o s e e x i s t e n c e
w e e x a m i n e d i n P r o p o s i t i o n 1 .
L e m m a 1 L e t !
0
b e a s m o o t h , c o m p a c t l y s u p p o r t e d f u n c t i o n w h i c h i s N M S .
L e t u = ( u
1
; u
2
) a n d ! b e t h e s m o o t h s o l u t i o n o f t h e i n v i s c i d v o r t i c i t y e q u a t i o n
( 1 , " = 0 ) w i t h i n i t i a l d a t a !
0
. I f ' = ' ( x
1
; x
2
) i s a s m o o t h f u n c t i o n w i t h
b o u n d e d d e r i v a t i v e s u p t o s e c o n d o r d e r i n t h e c l o s e d r i g h t - h a l f p l a n e , t h e n :
d
d t
Z
x
1
> 0
' ( x ) ! ( x ; t ) d x = ?
1
2
Z
+ 1
? 1
( u
2
)
2
( 0 ; x
2
; t ) '
x
2
( 0 ; x
2
) d x
2
+
Z
x
1
> 0
( u
2
1
? u
2
2
) '
x
1
x
2
? u
1
u
2
( '
x
1
x
1
? '
x
2
x
2
) d x :
P r o o f : W e r e c a l l t h a t s i n c e ! h a s c o m p a c t s u p p o r t a n d t o t a l m a s s z e r o i t
f o l l o w s t h a t u ( ; t ) 2 L
2
( R
2
) , a n d t h a t j u j ( ; t ) = O ( j x j
? 2
) a s j x j ! 1 . W i t h
t h i s w e h a v e :
d
d t
Z
1
0
Z
1
? 1
' ( x ) ! ( x ; t ) d x
2
d x
1
= ( 3 )
Z
1
0
Z
1
? 1
' !
t
d x
2
d x
1
= ?
Z
1
0
Z
1
? 1
' d i v ( u ! ) d x
2
d x
1
=
Z
1
0
Z
1
? 1
u
r ' ! d x
2
d x
1
? l i m
R ! 1
Z
f j x j = R ; x
1
0 g
' ! u
b
n d S =
8
8/3/2019 M.C. Lopes Filho, H.J. Nussenzveig Lopes and Zhouping Xin- Existence of vortex sheets with reflection symmetry in…
http://slidepdf.com/reader/full/mc-lopes-filho-hj-nussenzveig-lopes-and-zhouping-xin-existence-of-vortex 9/29
Z
1
0
Z
1
? 1
u r ' ! d x
2
d x
1
;
s i n c e t h e b o u n d a r y t e r m s v a n i s h d u e t o ! ( ; t ) h a v i n g c o m p a c t s u p p o r t t o -
g e t h e r w i t h t h e f a c t t h a t u
b
n = ? u
1
o n t h e b o u n d a r y x
1
= 0 , w h i c h a l s o
v a n i s h e s . W e r e - w r i t e t h e t e r m u r ' ! a s ? u r ' d i v u
a n d i n t e g r a t e b y
p a r t s t o o b t a i n :
( 3 ) =
Z
1
0
Z
1
? 1
r ( u r ' ) u
d x
2
d x
1
? l i m
R ! 1
Z
f j x j = R ; x
1
0 g
( u r ' ) u
b
n d S =
Z
1
0
Z
1
? 1
r ( u r ' ) u
d x
2
d x
1
?
Z
f x
1
= 0 g
( u r ' ) u
( ? 1 ; 0 ) d S =
Z
1
0
Z
1
? 1
r ( u r ' ) u
d x
2
d x
1
?
Z
1
? 1
( u
2
)
2
( 0 ; x
2
; t ) '
x
2
( 0 ; x
2
) d x
2
=
Z
1
0
Z
1
? 1
r
j u j
2
2
!
r
' + ( u
2
1
? u
2
2
) '
x
1
x
2
? u
1
u
2
( '
x
1
x
1
? '
x
2
x
2
)
!
d x
2
d x
1
+
?
Z
1
? 1
( u
2
)
2
( 0 ; x
2
; t ) '
x
2
( 0 ; x
2
) d x
2
= l i m
R ! 1
Z
f j x j = R ; x
1
0 g
j u j
2
2
r
'
b
n d S +
Z
1
0
Z
1
? 1
( u
2
1
? u
2
2
) '
x
1
x
2
? u
1
u
2
( '
x
1
x
1
? '
x
2
x
2
) d x
2
d x
1
+
?
Z
1
? 1
( u
2
)
2
( 0 ; x
2
; t ) '
x
2
( 0 ; x
2
) d x
2
=
Z
1
0
Z
1
? 1
( u
2
1
? u
2
2
) '
x
1
x
2
? u
1
u
2
( '
x
1
x
1
? '
x
2
x
2
) d x
2
d x
1
+
?
1
2
Z
1
? 1
( u
2
)
2
( 0 ; x
2
; t ) '
x
2
( 0 ; x
2
) d x
2
;
a s w e w i s h e d .
R e m a r k : T h i s l e m m a i s i n s p i r e d o n a n a p r i o r i e s t i m a t e d e r i v e d b y D .
C h a e a n d O . Y . I m a n u v i l o v i n 1 ] f o r 3 D a x i s y m m e t r i c i n v i s c i d o w .
L e m m a 1 u s e d w i t h ' = a r c t a n ( x
2
) , i n t e g r a t e d i n t i m e y i e l d s , f o r a n y
0 < L < 1 , t h e f o l l o w i n g a p r i o r i e s t i m a t e o n u
2
( 0 ; x
2
; t ) :
Z
T
0
Z
L
? L
j u
2
( 0 ; x
2
; t ) j
2
d x
2
d t C ; ( 4 )
w i t h C d e p e n d i n g o n k !
0
k
L
1
, k u
0
k
L
2
, T a n d L . W e w i l l u s e t h i s a p r i o r i
e s t i m a t e t o s h o w t h a t t h e t o t a l m a s s o f v o r t i c i t y i n a d i s k a r o u n d a p o i n t o n
t h e i n t e r f a c e f x
1
= 0 g d e c a y s a s t h e d i s k s h r i n k s t o a p o i n t . M o r e p r e c i s e l y ,
w e h a v e :
9
8/3/2019 M.C. Lopes Filho, H.J. Nussenzveig Lopes and Zhouping Xin- Existence of vortex sheets with reflection symmetry in…
http://slidepdf.com/reader/full/mc-lopes-filho-hj-nussenzveig-lopes-and-zhouping-xin-existence-of-vortex 10/29
L e m m a 2 L e t u , ! b e t h e s m o o t h s o l u t i o n o f ( 1 , " = 0 ) i n L e m m a 1 . S e t
x
0
= ( 0 ; a ) 2 R
2
. I f L > 0 a n d > 0 a r e s u c h t h a t ( a ? ; a + ) ( ? L ; L )
t h e n
Z
B ( x
0
; )
j ! ( y ; t ) j d y C
p
Z
L
? L
j u
2
( 0 ; x
2
; t ) j
2
d x
2
!
1 = 2
;
w h e r e C i s a u n i v e r s a l c o n s t a n t .
P r o o f : L e t u s b e g i n b y n o t i n g t h a t , b y t h e B i o t - S a v a r t l a w ( 2 ) , t h e t a n g e n t i a l
c o m p o n e n t o f v e l o c i t y o n f x
1
= 0 g , u n d e r t h e s y m m e t r y c o n s i d e r e d , i s :
u
2
( 0 ; x
2
; t ) = ?
Z
1
0
Z
1
? 1
y
1
( ( y
1
)
2
+ ( x
2
? y
2
)
2
)
! ( y ; t ) d y
2
d y
1
;
a n d h e n c e i s n o n p o s i t i v e . T h e r e f o r e w e h a v e :
Z
a +
a ?
j u
2
( 0 ; x
2
; t ) j d x
2
=
Z
a +
a ?
Z
1
0
Z
1
? 1
y
1
( ( y
1
)
2
+ ( x
2
? y
2
)
2
)
! ( y ; t ) d y
2
d y
1
d x
2
=
Z
1
0
Z
1
? 1
! ( y ; t )
y
1
Z
a +
a ?
1
( ( y
1
)
2
+ ( x
2
? y
2
)
2
)
d x
2
d y
2
d y
1
=
Z
1
0
Z
1
? 1
! ( y ; t )
g ( y
1
; y
2
)
d y ;
w h e r e g ( y
1
; y
2
) a r c t a n
a + ? y
2
y
1
? a r c t a n
a ? ? y
2
y
1
0 ,
Z
f j y ? x
0
j < ; y
1
> 0 g
! ( y ; t )
g ( y
1
; y
2
)
d y ;
s i n c e ! 0 i n f y
1
> 0 g .
N e x t c o n s i d e r , f o r a n y x e d h > 0 , t h e f u n c t i o n f
h
( z ) a r c t a n ( z +
h ) ? a r c t a n ( z ? h ) , w i t h j z j < h . I t i s e a s y t o c h e c k t h a t , i n t h i s r a n g e ,
f
h
( z ) a r c t a n ( 2 h ) . N o w i f y = ( y
1
; y
2
) 2 f j y ? x
0
j < ; y
1
> 0 g t h e n c l e a r l y
j ( a ? y
2
) = y
1
j <
y
1
a n d = y
1
> 1 . I f w e s e t h = = y
1
a n d z = ( a ? y
2
) = y
1
t h e n
w e h a v e g ( y
1
; y
2
) = f
h
( z ) a r c t a n ( 2 h ) a r c t a n ( 2 ) . W e h a v e h e n c e :
Z
a +
a ?
j u
2
( 0 ; x
2
; t )
j d x
2
a r c t a n 2
Z
f j y ? x
0
j < ; y
1
> 0 g
! ( y ; t ) d y =
C
Z
B ( x
0
; )
j ! ( y ; t ) j d y :
( 5 )
1 0
8/3/2019 M.C. Lopes Filho, H.J. Nussenzveig Lopes and Zhouping Xin- Existence of vortex sheets with reflection symmetry in…
http://slidepdf.com/reader/full/mc-lopes-filho-hj-nussenzveig-lopes-and-zhouping-xin-existence-of-vortex 11/29
O n t h e o t h e r h a n d , u s i n g t h e C a u c h y - S c h w a r t z i n e q u a l i t y w e o b t a i n
Z
a +
a ?
j u
2
( 0 ; x
2
; t ) j d x
2
C
p
Z
a +
a ?
j u
2
( 0 ; x
2
; t ) j
2
d x
2
!
1 = 2
;
w h i c h t o g e t h e r w i t h ( 5 ) g i v e s w h a t w e w i s h a s l o n g a s ( a ? ; a + ) ( ? L ; L ) .
O b s e r v e t h a t t h e r e s u l t i n L e m m a 2 c o n c e r n s o n l y t h e B i o t - S a v a r t l a w .
3 C o n v e r g e n c e t h e o r e m
T h e o b j e c t i v e o f t h i s s e c t i o n i s t o p r o v e t h e e x i s t e n c e o f a n N M S w e a k s o l u t i o n
o f t h e i n c o m p r e s s i b l e 2 D E u l e r e q u a t i o n s , i n t h e s e n s e o f D e n i t i o n 2 , w i t h
N M S i n i t i a l v o r t i c i t y . W e b e g i n w i t h t h e c o n s t r u c t i o n o f a n a p p r o x i m a t e
s o l u t i o n s e q u e n c e , b y m o l l i f y i n g t h e i n i t i a l v o r t i c i t y a n d e x a c t l y s o l v i n g t h e
E u l e r e q u a t i o n s .
L e t = ( r ) 2 C
1
c
( 0 ; 1 ) ) b e n o n n e g a t i v e , m o n o t o n i c d e c r e a s i n g i n s i d e
i t s s u p p o r t , w i t h t o t a l i n t e g r a l 1 = 2 , a n d x t h e F r i e d r i c h s m o l l i e r ( x ) =
( j x j ) .
L e t !
0
2 B M
c
( R
2
) \ H
? 1
( R
2
) b e N M S . C o n s i d e r t h e s e q u e n c e o f s m o o t h ,
c o m p a c t l y s u p p o r t e d f u n c t i o n s f !
n
0
g o b t a i n e d b y c o n v o l v i n g !
0
w i t h
n
=
n
( x ) = n
2
( n x ) . L e t u
n
0
= K !
n
0
a n d l e t ( u
n
, !
n
) b e t h e s m o o t h s o l u t i o n
o f ( 1 , " = 0 ) w i t h i n i t i a l d a t a !
n
0
.
I n 4 ] S e c t i o n 1 . C , D i P e r n a a n d M a j d a p r o v e d t h a t t h e s e q u e n c e s f u
n
g
a n d
f !
n
g a r e a n a p p r o x i m a t e s o l u t i o n s e q u e n c e , i n t h e s e n s e o f D e n i t i o n
1 . 1 i n 4 ] . S i n c e !
0
i s N M S , t h e t o t a l m a s s o f !
n
0
i s a u t o m a t i c a l l y z e r o . A s
D i P e r n a a n d M a j d a o b s e r v e , !
n
0
i s u n i f o r m l y b o u n d e d i n L
1
( R
2
) a n d , s i n c e
!
n
0
h a s t o t a l m a s s z e r o , u
n
0
i s u n i f o r m l y b o u n d e d i n L
2
( R
2
) . D u e t o o u r c h o i c e
o f m o n o t o n i c , c i r c u l a r l y s y m m e t r i c m o l l i e r s , t h e !
n
0
a r e N M S . I n d e e d , t h e
m i r r o r s y m m e t r y i s a n o b v i o u s c o n s e q u e n c e o f t h e c i r c u l a r s y m m e t r y o f ,
w h e r e a s t h e s i g n c o n d i t i o n f o l l o w s f r o m s t r a i g h t f o r w a r d p o i n t w i s e e s t i m a t e s
o n
n
!
0
, u s i n g b o t h t h e s y m m e t r y a n d t h e m o n o t o n i c i t y o f . T h e r e f o r e ,
b y P r o p o s i t i o n 1 , t h e !
n
( ; t ) a r e N M S f o r a l l t i m e .
I t w a s s h o w n i n 4 ] t h a t t h e f o l l o w i n g e s t i m a t e s h o l d f o r a n y T > 0 :
( E 1 ) s u p
0 t T
k !
n
( ; t ) k
L
1
( R
2
)
C :
( E 2 ) s u p
0 t T
k u
n
( ; t ) k
L
2
( R
2
)
C :
1 1
8/3/2019 M.C. Lopes Filho, H.J. Nussenzveig Lopes and Zhouping Xin- Existence of vortex sheets with reflection symmetry in…
http://slidepdf.com/reader/full/mc-lopes-filho-hj-nussenzveig-lopes-and-zhouping-xin-existence-of-vortex 12/29
( E 3 ) T h e r e e x i s t s 1 < M < 1 s u c h t h a t , f u
n
g i s u n i f o r m l y b o u n d e d i n
L i p ( 0 ; T ] ; H
? M
l o c
( R
2
) ) .
W e x t h e a p p r o x i m a t e s o l u t i o n s e q u e n c e
f u
n
g ,
f !
n
g t h r o u g h o u t t h i s
s e c t i o n .
T h e k e y i s s u e i n t h e p r o o f o f e x i s t e n c e , a s f o r m u l a t e d b y S c h o c h e t i n 1 7 ]
i s t h e p o s s i b i l i t y o f c o n c e n t r a t i o n s i n t h e s e q u e n c e o f v o r t i c i t i e s . I n o r d e r t o
c o n t r o l t h e o c c u r r e n c e o f c o n c e n t r a t i o n s i n t h e s e q u e n c e f !
n
g w e w i l l p u t
t o g e t h e r t h e a p r i o r i e s t i m a t e d e r i v e d i n t h e p r e v i o u s s e c t i o n w i t h a v e r s i o n
o f t h e l o g
? 1 = 2
d e c a y o f c i r c u l a t i o n i n s m a l l c i r c l e s r s t o b s e r v e d b y A . M a j d a
i n 1 4 ] . T h e a p r i o r i l o g a r i t h m i c d e c a y i n c i r c u l a t i o n t u r n s o u t t o b e a l o c a l
f e a t u r e o f o w s w i t h d i s t i n g u i s h e d s i g n v o r t i c i t y , w h i c h w a s p o i n t e d o u t b y
S c h o c h e t i n 1 7 ] ; t h i s l o c a l i t y i s c r u c i a l t o o u r a n a l y s i s .
L e m m a 3 F o r e v e r y T > 0 a n d K R
2
c o m p a c t t h e r e e x i s t s a c o n s t a n t
C > 0 s u c h t h a t f o r e v e r y 0 < < 1 :
Z
T
0
s u p
x 2 K
Z
B ( x ; )
j !
n
( y ; t ) j d y
!
d t C j l o g j
? 1 = 2
:
P r o o f : L e t R > 0 b e s u c h t h a t K B ( 0 ; R ) . W e r e c a l l a n e s t i m a t e d u e t o
S . S c h o c h e t ( s e e T h e o r e m 3 . 6 , e s t i m a t e ( 3 . 1 2 ) o f 1 7 ] ) :
Z
R
2
( x ? y ) !
n
( y ; t ) d y
C k u
n
( ; t ) k
L
2
j l o g j
? 1 = 2
;
w h e r e
w a s d e n e d a s :
( z ) =
8
>
>
>
>
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
>
>
>
>
:
1 i f j z j
l o g (
p
= j z j )
l o g ( 1 =
p
)
i f j z j
p
0 i f j z j
p
:
I t c a n b e e a s i l y s e e n t h a t , i f x = ( b ; c ) , w i t h j b j >
p
, t h e n B ( x ;
p
)
f x
1
> 0 g f x
1
< 0 g a n d t h e r e f o r e , s i n c e !
n
( ; t ) i s o f a d i s t i n g u i s h e d s i g n i n
t h i s d i s k , w e g e t :
Z
B ( x ; )
j !
n
( y ; t ) j d y C j l o g j
? 1 = 2
; ( 6 )
1 2
8/3/2019 M.C. Lopes Filho, H.J. Nussenzveig Lopes and Zhouping Xin- Existence of vortex sheets with reflection symmetry in…
http://slidepdf.com/reader/full/mc-lopes-filho-hj-nussenzveig-lopes-and-zhouping-xin-existence-of-vortex 13/29
b y e s t i m a t e ( E 2 ) .
L e t a 2 R , > 0 a n d L > 0 b e s u c h t h a t ( a ? ; a + ) ( ? L ; L ) . I t
f o l l o w s f r o m L e m m a 1 , ( 4 ) a n d L e m m a 2 t h a t :
Z
T
0
Z
L
? L
j u
n
2
( 0 ; x
2
; t ) j
2
d x
2
d t C ( k !
n
0
k
L
1
; k u
n
0
k
L
2
; T ; L ) C ; ( 7 )
Z
B ( ( 0 ; a ) ; )
j !
n
( y ; t ) j d y C
p
Z
L
? L
j u
n
2
( 0 ; x
2
; t ) j
2
d x
2
!
1 = 2
; ( 8 )
f o r a n y T > 0 , ( u s i n g ( E 1 ) a n d ( E 2 ) i n ( 7 ) ) .
N o w l e t x = ( b ; c ) , w i t h j b j
p
. T h e n , B ( x ; ) B ( ( 0 ; c ) ; j b j + ) , a n d
j c j R . T h e r e f o r e , u s i n g ( 8 ) w i t h a = c a n d = j b j + < 2
p
( s i n c e < 1 )
w e h a v e
Z
B ( x ; )
j !
n
( y ; t ) j d y
Z
B ( ( 0 ; c ) ; j b j + )
j !
n
( y ; t ) j d y
C
4
p
Z
R + 2
? R ? 2
j u
n
2
( 0 ; x
2
; t ) j
2
d x
2
!
1 = 2
;
s i n c e ( c ? j b j ? ; c + j b j + ) ( ? R ? 2 ; R + 2 ) .
T h e r e f o r e ,
s u p
x 2 K
Z
B ( x ; )
j !
n
( y ; t ) j d y m a x
n
C j l o g j
? 1 = 2
; C
4
p
k u
n
2
( 0 ; ; t ) k
L
2
( ? R ? 2 ; R + 2 )
o
;
C ( j l o g j
? 1 = 2
)
k u
n
2
( 0 ; ; t ) k
L
2
( ? R ? 2 ; R + 2 )
+ 1
:
W e i n t e g r a t e i n t i m e o v e r 0 ; T ] a n d u s e ( 7 ) t o c o n c l u d e t h e p r o o f .
W e r e c o g n i z e t h e r e s u l t a b o v e a s d e s c r i b i n g t h e a b s e n c e o f c o n c e n t r a -
t i o n s i n a t i m e - a v e r a g e d s e n s e . I f , i n s t e a d o f t h e i n t e g r a l i n t i m e w e h a d
t h e s a m e e s t i m a t e p o i n t w i s e a l m o s t e v e r y w h e r e i n t i m e t h e n o u r m a i n e x -
i s t e n c e r e s u l t w o u l d f o l l o w f r o m L e m m a 3 . 7 i n 1 7 ] . H o w e v e r , t h e i n t e g r a l
e s t i m a t e i n L e m m a 3 d o e s n o t i m p l y t h e a . e . i n t i m e p o i n t w i s e b o u n d e d n e s s
o f s u p
x 2 K
R
B ( x ; )
j !
n
( y ; t ) j d y o r , i n s i m p l e r t e r m s , o n e c a n n o t , f r o m a s e q u e n c e
b o u n d e d i n L
1
( 0 ; T ] ) , e x t r a c t a s u b s e q u e n c e w h i c h i s a . e . p o i n t w i s e b o u n d e d
i n 0 ; T ] , s e e 9 ] f o r a c o u n t e r e x a m p l e .
L e t ' 2 C
1
c
( 0 ; 1 ) R
2
) b e a t e s t f u n c t i o n . L e t
v 2 L
1
( 0 ; 1 ) ; B M ( R
2
) ) \ L i p ( 0 ; 1 ) ; H
? M ? 1
( R
2
) )
1 3
8/3/2019 M.C. Lopes Filho, H.J. Nussenzveig Lopes and Zhouping Xin- Existence of vortex sheets with reflection symmetry in…
http://slidepdf.com/reader/full/mc-lopes-filho-hj-nussenzveig-lopes-and-zhouping-xin-existence-of-vortex 14/29
b e s u c h t h a t K v 2 L
1
l o c
( 0 ; 1 ) ; ( L
2
l o c
( R
2
) )
2
) . W e i n t r o d u c e t h e f o l l o w i n g
n o t a t i o n f o r t h e t e r m s w h i c h a p p e a r i n t h e w e a k v o r t i c i t y f o r m u l a t i o n i n
D e n i t i o n 2 :
W ( ' ; v ) W
L
( ' ; v ) + W
N L
( ' ; v ) ;
W
L
( ' ; v )
Z
1
0
Z
R
2
'
t
v ( x ; t ) d x d t +
Z
R
2
' ( x ; 0 ) v ( x ; 0 ) d x ;
W
N L
( ' ; v )
Z
1
0
Z
R
2
Z
R
2
H
'
( x ; y ; t ) v ( x ; t ) v ( y ; t ) d y d x d t ;
w h e r e w e a r e o n c e a g a i n a b u s i n g n o t a t i o n s i n c e v i s m e r e l y a p a r a m e t r i z e d
f a m i l y o f m e a s u r e s .
T h e o r e m 1 T h e r e e x i s t s a n i t e - e n e r g y w e a k s o l u t i o n ! o f t h e 2 D i n c o m -
p r e s s i b l e E u l e r e q u a t i o n s w i t h i n i t i a l v o r t i c i t y !
0
.
P r o o f : L e t M > 1 b e t h e e x p o n e n t s u c h t h a t e s t i m a t e ( E 3 ) h o l d s f o r u
n
.
T h e n , f o r a n y T > 0 , !
n
i s u n i f o r m l y b o u n d e d i n L i p ( 0 ; T ] ; H
? M ? 1
l o c
( R
2
) ) , s o
t h a t a s i m p l e a p p l i c a t i o n o f t h e A u b i n - L i o n s c o m p a c t n e s s l e m m a y i e l d s a s u b -
s e q u e n c e , w h i c h w e d o n o t r e l a b e l , c o n v e r g i n g s t r o n g l y i n C ( 0 ; T ] ; H
? L
l o c
( R
2
) ) ,
f o r a n y L < M + 1 . F u r t h e r m o r e , t h e r e e x i s t s a s u b s e q u e n c e o f f !
n
g w h i c h
c o n v e r g e s w e a k - i n L
1
l o c
( 0 ; 1 ) ; B M ( R
2
) ) s u c h t h a t t h e c o r r e s p o n d i n g u
n
c o n v e r g e w e a k - i n L
1
l o c
( 0 ; 1 ) ; ( L
2
( R
2
) )
2
) . F i x s u c h a s u b s e q u e n c e a n d l e t
! b e t h e w e a k - l i m i t o f f !
n
g . W e w i l l s h o w t h a t ! i s a w e a k s o l u t i o n .
O f c o u r s e , f o r e a c h !
n
t h e w e a k v o r t i c i t y f o r m u l a t i o n i s a n i d e n t i t y s o
t h a t , f o r a n y t e s t f u n c t i o n ' 2 C
1
c
( ( 0 ; 1 ) R
2
) w e h a v e W ( ' ; !
n
) 0 . W e
w i l l s h o w t h a t
l i m
n ! 1
W ( ' ; !
n
) =
W ( ' ; ! ) ;
a n d h e n c e t h e c o n c l u s i o n w i l l f o l l o w .
T h e l i n e a r t e r m , W
L
( ' ; !
n
) , i s w e a k l y c o n t i n u o u s u n d e r t h e s e ( s i m u l t a n e -
o u s ) w e a k - l i m i t s a n d t h u s c o n v e r g e s t o t h e c o r r e s p o n d i n g t e r m W
L
( ' ; ! ) .
R e c a l l t h a t t h e f u n c t i o n H
'
a p p e a r i n g i n t h e n o n l i n e a r t e r m W
N L
( ' ; !
n
)
i s g l o b a l l y b o u n d e d i n 0 ; 1 ) R
2
R
2
. W e a s s u m e t h a t t h e s u p p o r t o f
' i s c o n t a i n e d i n t h e c y l i n d e r 0 ; T ] B ( 0 ; R
0
) . T h e n w e h a v e t h a t H
'
v a n i s h e s i d e n t i c a l l y w h e n e v e r j x j > R
0
a n d j y j > R
0
. T h e f u n c t i o n H
'
i s
n o t c o n t i n u o u s ( i t i s d i s c o n t i n u o u s o n t h e d i a g o n a l x = y ) , s o t h a t t h e w e a k
c o n t i n u i t y o f t h e n o n l i n e a r t e r m i s m o r e d e l i c a t e .
1 4
8/3/2019 M.C. Lopes Filho, H.J. Nussenzveig Lopes and Zhouping Xin- Existence of vortex sheets with reflection symmetry in…
http://slidepdf.com/reader/full/mc-lopes-filho-hj-nussenzveig-lopes-and-zhouping-xin-existence-of-vortex 15/29
F i x 0 < < 1 . W e c h o o s e a t e s t f u n c t i o n
2 C
1
c
( R
2
) , s u c h t h a t
0
( z ) 1 ,
( z ) 1 i f j z j < = 2 a n d
( z ) 0 i f j z j > . T h e n t h e
n o n l i n e a r t e r m c a n b e r e w r i t t e n a s :
Z
1
0
Z
R
2
Z
R
2
( 1 ?
( x ? y ) ) H
'
( x ; y ; t ) !
n
( x ; t ) !
n
( y ; t ) d y d x d t +
Z
1
0
Z
R
2
Z
R
2
( x ? y ) H
'
( x ; y ; t ) !
n
( x ; t ) !
n
( y ; t ) d y d x d t
I
( !
n
) + J
( !
n
) :
S i n c e , f o r e a c h > 0 , ( 1 ?
( x ? y ) ) H
'
( x ; y ; t ) i s a c o n t i n u o u s f u n c t i o n
v a n i s h i n g a t i n n i t y , w e h a v e t h a t I
( !
n
) c o n v e r g e s t o I
( ! ) ; s e e L e m m a 3 . 2
i n 1 7 ] .
L e t u s n o w e s t i m a t e J
( !
n
) . F i r s t w e o b s e r v e t h a t
J
( !
n
) =
Z
T
0
Z
f j x j R
0
+ 1 g
Z
B ( x ; )
( x ? y ) H
'
( x ; y ; t ) !
n
( x ; t ) !
n
( y ; t ) d y d x d t :
W e u s e L e m m a 3 w i t h K = B ( 0 ; R
0
+ 1 ) t o e s t i m a t e J
( !
n
) :
j J
( !
n
) j k H
'
k
L
1
Z
T
0
s u p
j x j R
0
+ 1
Z
B ( x ; )
j !
n
( y ; t ) j d y
!
Z
j x j R
0
+ 1
j !
n
( x ; t ) j d x
!
d t
C j l o g j
? 1 = 2
:
T h u s s u p
n
j J
( !
n
) j ! 0 a s ! 0 .
I t r e m a i n s t o p r o v e t h a t I
( ! ) c o n v e r g e s t o W
N L
( ' ; ! ) a s ! 0 . T h i s i s
a r e p e a t o f t h e a n a l y s i s d o n e f o r J
( !
n
) , t h i s t i m e p e r f o r m e d f o r J
( ! ) , s i n c e
w e h a v e :
Z
y 2 B ( x ; )
d j ! j ( y ; t ) l i m i n f
n ! 1
Z
B ( x ; )
j !
n
( y ; t ) j d y C j l o g j
? 1 = 2
;
i f x = ( b ; c ) w i t h
j b
j >
p
, a n d :
Z
y 2 B ( x ; )
d j ! j ( y ; t ) C
4
p
l i m i n f
n ! 1
Z
R
0
+ 3
? R
0
? 3
j u
n
2
( 0 ; x
2
; t ) j
2
d x
2
!
1 = 2
F ( t )
4
p
;
i f x = ( b ; c ) , j x j R
0
+ 1 a n d j b j
p
. N o t e t h a t F 0 a n d , b y F a t o u ' s
L e m m a , F 2 L
1
( 0 ; T ] ) . H e n c e F i s n i t e a . e . - 0 ; T ] . A s b e f o r e t h e s e t w o
e s t i m a t e s y i e l d t h a t J
( ! ) ! 0 a s ! 0 . T h e p o i n t w i s e e v a l u a t i o n s i n t i m e
1 5
8/3/2019 M.C. Lopes Filho, H.J. Nussenzveig Lopes and Zhouping Xin- Existence of vortex sheets with reflection symmetry in…
http://slidepdf.com/reader/full/mc-lopes-filho-hj-nussenzveig-lopes-and-zhouping-xin-existence-of-vortex 16/29
a b o v e a r e v a l i d s i n c e i t c a n b e s h o w n t h a t ! b e l o n g s t o C
l o c
( 0 ; 1 ) ; w
?
B M ( R
2
) ) b y a s t r a i g h t f o r w a r d a d a p t a t i o n o f t h e r e s u l t i n A p p e n d i x C o f
1 2 ] t o t h e w e a k - t o p o l o g y o f B M ( R
2
) .
F i n a l l y , s i n c e f u
n
g c o n v e r g e s w e a k - i n L
1
l o c
( 0 ; 1 ) ; ( L
2
( R
2
) )
2
) t o a l i m i t u ,
s i n c e u
n
= K !
n
, a n d s i n c e f !
n
g c o n v e r g e s w e a k - i n L
1
l o c
( 0 ; 1 ) ; B M ( R
2
) )
i t f o l l o w s t h a t u = K ! a n d t h a t i t b e l o n g s t o L
1
l o c
( 0 ; 1 ) ; ( L
2
( R
2
) )
2
) . H e n c e
! i s a n i t e - e n e r g y w e a k s o l u t i o n , w h i c h c o m p l e t e s t h e p r o o f .
R e m a r k : T h i s p r o o f i s a n a d a p t a t i o n o f t h e p r o o f o f T h e o r e m 3 . 3 i n 1 7 ] .
T h o s e p o r t i o n s o f t h e a r g u m e n t a b o v e w h i c h r e p e a t t h e r e a s o n i n g p r e s e n t e d
i n 1 7 ] h a v e b e e n m e r e l y o u t l i n e d . T h e n e w f e a t u r e i n o u r p r o o f i s t h e u s e
o f t i m e - a v e r a g e d c o n t r o l o f v o r t i c i t y c o n c e n t r a t i o n t o p a s s t o t h e l i m i t i n t h e
w e a k f o r m u l a t i o n .
4 T h e m e t h o d o f i m a g e s
T h e p u r p o s e o f t h i s s e c t i o n i s t o f o r m u l a t e a v e r s i o n o f t h e m e t h o d o f i m a g e s
t h a t i s v a l i d a t t h e l e v e l o f w e a k s o l u t i o n s . T o d o t h a t , w e i n t r o d u c e a n o t i o n
o f w e a k s o l u t i o n o n d o m a i n s w i t h b o u n d a r y , s t r o n g e r t h a n t h e o n e u s e d b y
D e l o r t i n 2 ] , w h i c h w e c a l l b o u n d a r y - c o u p l e d w e a k s o l u t i o n .
L e t R
2
b e a s m o o t h , s i m p l y c o n n e c t e d d o m a i n w i t h b o u n d a r y @ .
W e i n t r o d u c e t h e s e t o f a d m i s s i b l e t e s t f u n c t i o n s a s :
A
n
' 2 C
1
c
( 0 ; 1 ) ) j ' 0 o n @
o
:
L e t G = G ( x ; y ) b e t h e G r e e n ' s f u n c t i o n f o r t h e L a p l a c i a n o n a n d K
r
x
G . W e w i l l u s e t h e n o t a t i o n K
f ] = K
f ] ( x )
R
K
( x ; y ) f ( y ) d y :
A s b e f o r e w e r s t n o t e t h a t , i f 2 B M ( ) t h e n i t i s p o s s i b l e t o m a k e
s e n s e o f K
] a s a d i s t r i b u t i o n . T h i s i s t r u e b e c a u s e t h e m a p ' 7! K
' ] ( )
R
K
( x ; ) ' ( x ) d x i s a c o n t i n u o u s l i n e a r o p e r a t o r f r o m C
1
c
( ) i n t o C
0
( ) . T o
s e e t h i s , o b s e r v e t h a t t h e v e c t o r e l d = K
' ] i s t h e u n i q u e s o l u t i o n o f t h e
p r o b l e m :
(
? = r
' i n ;
= 0 i n @ ;
w h i c h c a n b e s e e n b y a n i n t e g r a t i o n b y p a r t s a n d t h e s y m m e t r y o f t h e G r e e n ' s
f u n c t i o n .
1 6
8/3/2019 M.C. Lopes Filho, H.J. Nussenzveig Lopes and Zhouping Xin- Existence of vortex sheets with reflection symmetry in…
http://slidepdf.com/reader/full/mc-lopes-filho-hj-nussenzveig-lopes-and-zhouping-xin-existence-of-vortex 17/29
H e n c e w e m a y d e n e K
] a s a d i s t r i b u t i o n b y t h e r e l a t i o n
h K
] ; ' i = h ; K
' ] i :
L e t !
0
2 B M ( ) b e s u c h t h a t K
!
0
] 2 ( L
2
( ) )
2
.
D e n i t i o n 3 T h e f u n c t i o n ! 2 L
1
( 0 ; 1 ) ; B M ( ) ) i s c a l l e d a b o u n d a r y -
c o u p l e d w e a k s o l u t i o n o f t h e i n c o m p r e s s i b l e 2 D E u l e r e q u a t i o n s w i t h i n i t i a l
d a t a !
0
i f :
( a ) t h e v e l o c i t y u K
! ] b e l o n g s t o L
1
l o c
( 0 ; 1 ) ; ( L
2
( ) )
2
) , a n d
( b ) f o r a n y t e s t f u n c t i o n ' 2 A w e h a v e :
Z
1
0
Z
'
t
! ( x ; t ) d x d t +
Z
1
0
Z
Z
H
'
( x ; y ; t ) ! ( x ; t ) ! ( y ; t ) d y d x d t +
Z
' ( x ; 0 ) !
0
( x ) d x = 0 ;
w h e r e
H
'
( x ; y ; t )
1
2
( r ' ( x ; t ) K
( x ; y ) + r ' ( y ; t ) K
( y ; x ) ) :
R e m a r k : T h e r e s t r i c t i o n t o s i m p l y c o n n e c t e d d o m a i n s i s i m p o r t a n t ,
b e c a u s e c l a s s i c a l s o l u t i o n s o f t h e E u l e r e q u a t i o n s o n a d o m a i n w i t h n o n t r i v i a l
t o p o l o g y d o n o t s a t i s f y t h e d e n i t i o n a b o v e .
I n t h e s p e c i c c a s e o f t h e h a l f - p l a n e H = f x
1
> 0 g ,
K
H
( x ; y ) =
( x ? y )
2 j x ? y j
2
?
( x ? y
)
2 j x ? y
j
2
;
w h e r e x
= ( ? x
1
; x
2
) . L e t !
0
= !
0
( x ) b e a R a d o n m e a s u r e i n B M ( H ) w i t h
b o u n d e d s u p p o r t s u c h t h a t K
H
!
0
] 2 ( L
2
( H ) )
2
. G i v e n a m e a s u r e ! o n H w e
d e n o t e b y
e
! i t s o d d e x t e n s i o n t o t h e f u l l p l a n e w i t h r e s p e c t t o t h e v a r i a b l e
x
1
.
T h e o r e m 2 T h e p a r a m e t r i z e d f a m i l y o f m e a s u r e s ! = ! ( x ; t ) i s a b o u n d a r y -
c o u p l e d w e a k s o l u t i o n o f t h e 2 D E u l e r e q u a t i o n s i n t h e h a l f - p l a n e H w i t h
i n i t i a l d a t a !
0
i f a n d o n l y i f
e
! i s a n i t e - e n e r g y w e a k s o l u t i o n o f t h e 2 D
E u l e r e q u a t i o n s i n t h e f u l l p l a n e w i t h i n i t i a l d a t a
f
!
0
.
1 7
8/3/2019 M.C. Lopes Filho, H.J. Nussenzveig Lopes and Zhouping Xin- Existence of vortex sheets with reflection symmetry in…
http://slidepdf.com/reader/full/mc-lopes-filho-hj-nussenzveig-lopes-and-zhouping-xin-existence-of-vortex 18/29
P r o o f : L e t ! 2 B M ( H ) . W e b e g i n w i t h t h e f o l l o w i n g c l a i m .
C l a i m : W e h a v e t h a t K
e
! = K
H
! ] i n D
0
( H ) .
P r o o f o f C l a i m : L e t ' 2 C
1
c
( H ) . T h e n :
h K
e
! ; ' i = ? h
e
! ; K ' i = ? 2 h ! ; ( K ' )
o
i
H
; ( 9 )
w h e r e t h e s u b s c r i p t o m e a n s t h e o d d p a r t o f t h e f u n c t i o n .
L e t x 2 H . T h e n
( K ' )
o
( x ) =
K ' ( x ) ? K ' ( x
)
2
=
1
4
Z
H
( x ? y )
j x ? y j
2
?
( x
? y )
j x
? y j
2
!
' ( y ) d y =
?
1
2
Z
H
K
H
( y ; x ) ' ( y ) d y = ?
1
2
K
H
' ] ( x ) :
H e n c e , b y v i r t u e o f ( 9 ) w e h a v e
h K
e
! ; ' i = ? 2 h ! ; ?
1
2
K
H
' ] i
H
= h K
H
! ] ; ' i
H
;
w h i c h p r o v e s t h e c l a i m .
N e x t n o t e t h a t K
e
! i s a m i r r o r - s y m m e t r i c v e c t o r e l d w i t h r e s p e c t t o
x
1
= 0 i . e . i t s r s t c o m p o n e n t i s o d d a n d i t s s e c o n d c o m p o n e n t i s e v e n . T h i s
o b s e r v a t i o n t o g e t h e r w i t h t h e C l a i m i m p l y t h a t i f ! 2 L
1
l o c
( 0 ; 1 ) ; B M ( H ) )
t h e n w e h a v e :
K
H
! ] 2 L
1
l o c
( 0 ; 1 ) ; ( L
2
( ) )
2
) i f a n d o n l y i f K
e
! 2 L
1
l o c
( 0 ; 1 ) ; ( L
2
( R
2
) )
2
) :
N e x t w e p r o v e t h e e q u i v a l e n c e o f t h e w e a k f o r m u l a t i o n s i n p a r t ( b ) o f
D e n i t i o n s 2 a n d 3 .
L e t ! = ! ( x ) 2 B M ( R
2
) b e o d d w i t h r e s p e c t t o x
1
, w i t h n o d i s c r e t e
p a r t . C o n s i d e r a l s o ' = ' ( x ) 2 C
1
c
( R
2
) b e a t e s t f u n c t i o n , a l s o o d d w i t h
r e s p e c t t o x
1
. T h e n ,
Z
R
2
Z
R
2
H
'
( x ; y ) ! ( x ) ! ( y ) d x d y =
1 8
8/3/2019 M.C. Lopes Filho, H.J. Nussenzveig Lopes and Zhouping Xin- Existence of vortex sheets with reflection symmetry in…
http://slidepdf.com/reader/full/mc-lopes-filho-hj-nussenzveig-lopes-and-zhouping-xin-existence-of-vortex 19/29
Z
H
Z
H
( H
'
( x ; y ) ? H
'
( x
; y ) ? H
'
( x ; y
) + H
'
( x
; y
) ) ! ( x ) ! ( y ) d x d y :
I t i s a n i n t r i c a t e b u t s t r a i g h t f o r w a r d a l g e b r a i c m a n i p u l a t i o n t o c h e c k t h a t ,
f o r a l l x ; y 2 H :
H
'
( x ; y ) ? H
'
( x
; y ) ? H
'
( x ; y
) + H
'
( x
; y
) = 2 H
H
'
( x ; y ) : ( 1 0 )
L e t u s n o w a s s u m e t h a t ! = ! ( x ; t ) i s a b o u n d a r y - c o u p l e d w e a k s o l u t i o n
i n t h e h a l f p l a n e . L e t ' = ' ( x ; t ) b e a t e s t f u n c t i o n i n C
1
c
( 0 ;
1 )
R
2
) . W r i t e
' ( x ; t ) = '
o
( x ; t ) + '
e
( x ; t ) , w h e r e '
o
i s o d d a n d '
e
i s e v e n w i t h r e s p e c t t o
x
1
. L e t
e
! b e t h e o d d e x t e n s i o n o f ! . W e w i l l s h o w t h a t
e
! i s a w e a k s o l u t i o n .
D u e t o t h e s y m m e t r i e s , o n e h a s :
W
L
( ' ;
e
! ) = W
L
( '
o
;
e
! ) = 2
Z
1
0
Z
H
( '
o
)
t
! ( x ; t ) d x d t + 2
Z
H
( '
o
) ( x ; 0 ) !
0
( x ) d x ;
F o r t h e n o n l i n e a r p a r t ,
W
N L
( ' ;
e
! ) = W
N L
( '
o
;
e
! ) + W
N L
( '
e
;
e
! ) :
D i r e c t c a l c u l a t i o n s h o w s t h a t :
W
N L
( '
e
;
e
! ) =
Z
1
0
Z
R
2
Z
R
2
H
'
e
( x ; y ; t )
e
! ( x ; t )
e
! ( y ; t ) d x d y d t =
Z
1
0
Z
R
2
Z
R
2
H
'
e
( x
; y
; t )
e
! ( x ; t )
e
! ( y ; t ) d x d y d t = 0 ;
s i n c e a n e a s y c a l c u l a t i o n v e r i e s t h a t :
H
'
e
( x
; y
; t ) = ? H
'
e
( x ; y ; t ) :
F r o m ( 1 0 ) , w e k n o w t h a t :
W
N L
( '
o
;
e
! ) = 2
Z
1
0
Z
H
Z
H
H
H
'
o
( x ; y ; t ) ! ( x ; t ) ! ( y ; t ) d y d x d t :
S i n c e ! i s a b o u n d a r y - c o u p l e d w e a k s o l u t i o n i n t h e h a l f p l a n e , a n d t h e
r e s t r i c t i o n o f '
o
t o H i s a n a d m i s s i b l e t e s t f u n c t i o n i n A , w e h a v e s h o w n t h a t
W
L
( ' ;
e
! ) + W
N L
( ' ;
e
! ) = 0 , t h a t i s ,
e
! i s a w e a k s o l u t i o n i n t h e f u l l p l a n e .
C o n v e r s e l y , w e a s s u m e t h a t
e
! i s a n o d d w e a k s o l u t i o n i n t h e f u l l p l a n e .
W e w i s h t o s h o w t h a t t h e r e s t r i c t i o n ! o f
e
! t o H i s a b o u n d a r y - c o u p l e d w e a k
s o l u t i o n i n H . L e t ' 2 A b e a n a d m i s s i b l e t e s t f u n c t i o n . L e t
e
' b e t h e o d d
1 9
8/3/2019 M.C. Lopes Filho, H.J. Nussenzveig Lopes and Zhouping Xin- Existence of vortex sheets with reflection symmetry in…
http://slidepdf.com/reader/full/mc-lopes-filho-hj-nussenzveig-lopes-and-zhouping-xin-existence-of-vortex 20/29
e x t e n s i o n o f ' . I t i s e a s y t o s e e t h a t
e
' 2 C
1
c
( 0 ; 1 ) ; W
2 ; 1
c
( R
2
) ) . W e m o l l i f y
e
' , o b t a i n i n g a s e q u e n c e o f o d d t e s t f u n c t i o n s
e
'
n
w h i c h , f o r e a c h x e d t i m e ,
c o n v e r g e s i n W
1 ; 1
( R
2
) t o
e
' a n d i s b o u n d e d i n W
2 ; 1
( R
2
) .
F o r e a c h n , w e h a v e t h a t W (
e
'
n
;
e
! ) = 0 . S i n c e :
W (
e
' ;
e
! ) = 2
Z
1
0
Z
H
'
t
! ( x ; t ) d x d t + 2
Z
H
' ( x ; 0 ) !
0
( x ) d x +
2
Z
1
0
Z
H
Z
H
H
H
'
( x ; y ; t ) ! ( x ; t ) ! ( y ; t ) d y d x d t ;
i t i s e n o u g h t o s h o w t h a t :
l i m
n ! 1
W (
e
'
n
;
e
! ) = W (
e
' ;
e
! ) :
F o r t h e l i n e a r p a r t , t h e u n i f o r m c o n v e r g e n c e o f
e
'
n
t
a n d
e
'
n
0
t o
e
'
t
a n d
e
'
0
r e s p e c t i v e l y i s e n o u g h t o c o n c l u d e t h a t W
L
(
e
'
n
;
e
! ) ! W
L
(
e
' ;
e
! ) a s n ! 1 .
F o r t h e n o n l i n e a r p a r t , w e s e p a r a t e a n e i g h b o r h o o d o f t h e d i a g o n a l a s i n
T h e o r e m 1 , a n d u s e t h e u n i f o r m c o n v e r g e n c e o f t h e r
e
'
n
t o p a s s t o t h e l i m i t
f a r f r o m t h e d i a g o n a l . N e a r t h e d i a g o n a l w e u s e t h e b o u n d e d n e s s o f
e
'
n
i n
W
2 ; 1
t o g e t h e r w i t h t h e f a c t t h a t
e
! h a s n o d i s c r e t e p a r t . T h i s c o n c l u d e s t h e
p r o o f .
A d i r e c t c o n s e q u e n c e o f T h e o r e m 1 a n d T h e o r e m 2 i s t h e e x i s t e n c e o f a
b o u n d a r y - c o u p l e d w e a k s o l u t i o n f o r t h e v o r t e x s h e e t i n i t i a l d a t a p r o b l e m i n
t h e h a l f p l a n e w i t h n o n n e g a t i v e i n i t i a l v o r t i c i t y . T h i s i s a s t r o n g e r e x i s t e n c e
r e s u l t t h a n t h e n a t u r a l e x t e n s i o n o f D e l o r t ' s r e s u l t t o t h e h a l f p l a n e s i n c e o u r
w e a k s o l u t i o n d o e s n o t a l l o w v o r t i c i t y c o n c e n t r a t i o n a t t h e b o u n d a r y .
T h e r e s u l t i n T h e o r e m 2 c a n b e u s e d i n d e p e n d e n t l y o f t h e e x i s t e n c e t h e o r y
d e v e l o p e d i n t h e r s t t h r e e s e c t i o n s o f t h i s w o r k . W e i l l u s t r a t e t h i s w i t h t h e
c o r o l l a r y b e l o w , w h i c h a p p l i e s t o L
1
v o r t i c i t i e s w i t h o u t s i g n r e s t r i c t i o n .
C o r o l l a r y 1 L e t !
0
2 L
1
( H ) h a v e b o u n d e d s u p p o r t a n d b e s u c h t h a t K
H
!
0
] 2
( L
2
( H ) )
2
. T h e n t h e r e e x i s t s a b o u n d a r y - c o u p l e d w e a k s o l u t i o n o f t h e i n c o m -
p r e s s i b l e 2 D E u l e r e q u a t i o n s i n t h e h a l f - p l a n e w i t h !
0
a s i n i t i a l v o r t i c i t y .
P r o o f : W e c o n s i d e r
f
!
0
t h e o d d e x t e n s i o n o f !
0
. F r o m t h e h y p o t h e s i s a n d
t h e C l a i m i n t h e p r o o f o f T h e o r e m 2 w e h a v e t h a t K
f
!
0
2 ( L
2
( R
2
) )
2
. W e
c o n s i d e r t h e F r i e d r i c h s m o l l i e r i n t r o d u c e d i n S e c t i o n 3 a n d l e t
f
!
0
n
n
f
!
0
. C o n s i d e r t h e e x a c t s m o o t h s o l u t i o n s
e
u
n
,
e
!
n
o f ( 1 , " = 0 ) . I t
2 0
8/3/2019 M.C. Lopes Filho, H.J. Nussenzveig Lopes and Zhouping Xin- Existence of vortex sheets with reflection symmetry in…
http://slidepdf.com/reader/full/mc-lopes-filho-hj-nussenzveig-lopes-and-zhouping-xin-existence-of-vortex 21/29
f o l l o w s f r o m t h e a r g u m e n t i n P r o p o s i t i o n 1 t h a t
e
!
n
i s o d d f o r a l l t i m e . F r o m
t h e a v a i l a b l e e x i s t e n c e t h e o r y , s e e 3 , 1 7 , 1 9 ] , i t f o l l o w s t h a t t h e r e e x i s t s a
s u b s e q u e n c e t o t h e
e
!
n
c o n v e r g i n g w e a k l y t o a n i t e e n e r g y w e a k s o l u t i o n
e
!
o f t h e i n c o m p r e s s i b l e 2 D E u l e r e q u a t i o n s . F u r t h e r m o r e , i t i s e a s y t o s e e t h a t
e
! i s o d d a . e . i n t i m e . H e n c e , b y T h e o r e m 2 , t h e r e s t r i c t i o n o f
e
! t o H i s a
b o u n d a r y - c o u p l e d w e a k s o l u t i o n i n H .
5 V i s c o u s a p p r o x i m a t i o n s
T h e o b j e c t i v e o f t h i s s e c t i o n i s t o d e r i v e a v e r s i o n o f T h e o r e m 1 f o r a p -
p r o x i m a t i o n s o b t a i n e d b y t h e v a n i s h i n g v i s c o s i t y m e t h o d . A s i n S e c t i o n 3 ,
w e b e g i n w i t h v o r t e x s h e e t i n i t i a l d a t a !
0
2 B M
c
( R
2
) \ H
? 1
( R
2
) w h i c h i s
N M S a n d w e c o n s i d e r t h e s a m e s e q u e n c e o f s m o o t h , c o m p a c t l y s u p p o r t e d
m o l l i c a t i o n s f !
n
0
g , a n d u
n
0
K !
n
0
. A s b e f o r e , !
n
0
i s s t i l l N M S . W e x a
s e q u e n c e "
n
w i t h "
n
! 0 a s n ! 1 a n d w e l e t ( u
n
; !
n
) b e t h e s o l u t i o n o f
( 1 , " = "
n
) . B y P r o p o s i t i o n 1 w e h a v e t h a t !
n
( ; t ) i s N M S f o r a l l t i m e . I n
4 ] , S e c t i o n 2 . A , D i P e r n a a n d M a j d a p r o v e d e s t i m a t e s ( E 1 ) , ( E 2 ) a n d ( E 3 )
f o r t h i s s e q u e n c e o f a p p r o x i m a t i o n s .
T h e o r e m 3 T h e r e e x i s t s a s u b s e q u e n c e o f f !
n
g c o n v e r g i n g w e a k l y t o a n
N M S w e a k s o l u t i o n o f t h e 2 D i n c o m p r e s s i b l e E u l e r e q u a t i o n s w i t h !
0
a s t h e
i n i t i a l v o r t i c i t y .
P r o o f : W e b e g i n b y a d a p t i n g t h e p r o o f o f L e m m a 1 . F i x a f u n c t i o n ' ,
s m o o t h a n d b o u n d e d o n t h e c l o s e d h a l f p l a n e H u p t o i t s s e c o n d o r d e r
d e r i v a t i v e s . I n a d d i t i o n , w e w i l l a s s u m e t h a t ' 0 . W e m u l t i p l y e q u a t i o n
( 1 , " = "
n
) b y ' a n d p e r f o r m t h e s a m e i n t e g r a t i o n b y p a r t s a s i n L e m m a 1 ,
t r a c k i n g t h e v i s c o u s t e r m t o o b t a i n :
d
d t
Z
x
1
> 0
' ( x ) !
n
( x ; t ) d x = ?
1
2
Z
+ 1
? 1
( u
n
2
)
2
( 0 ; x
2
; t ) '
x
2
( 0 ; x
2
) d x
2
+
Z
x
1
> 0
( ( u
n
1
)
2
? ( u
n
2
)
2
) '
x
1
x
2
? u
n
1
u
n
2
( '
x
1
x
1
? '
x
2
x
2
) d x +
"
n
Z
x
1
> 0
!
n
' d x ? "
n
Z
+ 1
? 1
' ( 0 ; x
2
) !
n
x
1
( 0 ; x
2
; t ) d x
2
;
w h e r e o n e h a s u s e d t h a t !
n
v a n i s h e s e x p o n e n t i a l l y f a s t a t i n n i t y , t o g e t h e r
w i t h i t s d e r i v a t i v e s a n d t h a t i t v a n i s h e s o n t h e s y m m e t r y a x i s f x
1
= 0 g a s
2 1
8/3/2019 M.C. Lopes Filho, H.J. Nussenzveig Lopes and Zhouping Xin- Existence of vortex sheets with reflection symmetry in…
http://slidepdf.com/reader/full/mc-lopes-filho-hj-nussenzveig-lopes-and-zhouping-xin-existence-of-vortex 22/29
w e l l . N e x t , s i n c e !
n
i s o d d w i t h r e s p e c t t o x
1
, n o n n e g a t i v e f o r x
1
> 0 , w e
h a v e t h a t !
n
x
1
( 0 ; x
2
; t ) 0 . I t f o l l o w s f r o m t h i s a n d t h e a s s u m p t i o n t h a t
' 0 t h a t t h e f o l l o w i n g i n e q u a l i t y h o l d s :
d
d t
Z
x
1
> 0
' ( x ) !
n
( x ; t ) d x ?
1
2
Z
+ 1
? 1
( u
n
2
)
2
( 0 ; x
2
; t ) '
x
2
( 0 ; x
2
) d x
2
+
Z
x
1
> 0
( ( u
n
1
)
2
? ( u
n
2
)
2
) '
x
1
x
2
? u
n
1
u
n
2
( '
x
1
x
1
? '
x
2
x
2
) d x + "
n
Z
x
1
> 0
!
n
' d x :
T h i s i n e q u a l i t y , u s e d w i t h ' ( x ) = a r c t a n ( x
2
) + = 2 , y i e l d s , f o r a n y 0 < L ; T <
1 , t h e u n i f o r m e s t i m a t e ( 7 ) f o r t h e s e q u e n c e f u
n
( 0 ; x
2
; t ) g a f t e r i n t e g r a t i o n
i n t i m e .
N o t e t h a t t h e p r o o f o f L e m m a 2 d e p e n d s o n l y o n t h e B i o t - S a v a r t l a w ,
w h i c h i s e x a c t l y v a l i d f o r t h e N a v i e r - S t o k e s a p p r o x i m a t i o n s . H e n c e , o n e c a n
p r o v e t h e u n i f o r m e s t i m a t e ( 8 ) f o r !
n
a s w e l l . F u r t h e r m o r e , a s b e f o r e , i t
f o l l o w s f r o m t h e s e u n i f o r m e s t i m a t e s ( 7 ) a n d ( 8 ) , p l u s ( E 1 ) , ( E 2 ) a n d ( E 3 )
t h a t t h e s t a t e m e n t o f L e m m a 3 a p p l i e s t o t h e s e q u e n c e f !
n
g .
F i n a l l y , o n e c a n c h e c k e a s i l y t h a t t h e o n l y d i e r e n c e i n t h e a r g u m e n t o f
T h e o r e m 1 a n d t h e p r e s e n t s i t u a t i o n i s t h a t , i n s t e a d o f W ( ' ; !
n
) b e i n g e q u a l
t o z e r o , o n e h a s :
W ( ' ; !
n
) + "
n
Z
1
0
Z
R
2
!
n
' d x d t = 0 ;
w h i c h m e a n s t h e a d d i t i o n o f a l i n e a r t e r m , p r e s e n t i n g n o n e w d i c u l t i e s i n
t h e p a s s a g e t o t h e w e a k l i m i t . T h u s , t h e p r o o f o f t h e T h e o r e m 3 i s c o n s i d e r e d
c o m p l e t e d .
S i n c e t h e N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s a r e a l s o c o v a r i a n t w i t h r e s p e c t t o t h e
r e e c t i o n s y m m e t r y , i t i s n a t u r a l t o a s k w h e t h e r t h e r e s u l t a b o v e c a n b e
r e d u c e d b y s y m m e t r y i n t h e s p i r i t o f S e c t i o n 4 , s h o w i n g t h a t a b o u n d a r y -
c o u p l e d w e a k s o l u t i o n t o t h e E u l e r e q u a t i o n s i n t h e h a l f p l a n e c a n b e o b t a i n e d
a s a v a n i s h i n g v i s c o s i t y l i m i t o f s o l u t i o n s o f t h e N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s o n
t h e h a l f p l a n e . T h e a n s w e r i s d e c i d e d l y n e g a t i v e , a t l e a s t w i t h t h e t e c h n i q u e s
w e h a v e e x p l o r e d i n t h i s w o r k , a n d t h e r e a s o n i s t h a t t h e m e t h o d o f i m a g e s
d o e s n o t w o r k , e v e n f o r s m o o t h s o l u t i o n s o f t h e N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s .
I t i s e a s y t o s e e t h a t a s m o o t h s o l u t i o n o f t h e N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s o n
t h e h a l f p l a n e w i t h n o - s l i p b o u n d a r y c o n d i t i o n g i v e s r i s e t o a s o l u t i o n o f t h e
N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n o n t h e f u l l p l a n e b y o d d e x t e n s i o n , b u t t h e c o n v e r s e i s
2 2
8/3/2019 M.C. Lopes Filho, H.J. Nussenzveig Lopes and Zhouping Xin- Existence of vortex sheets with reflection symmetry in…
http://slidepdf.com/reader/full/mc-lopes-filho-hj-nussenzveig-lopes-and-zhouping-xin-existence-of-vortex 23/29
n o t t r u e . T h i s i s t h e c a s e b e c a u s e t h e t a n g e n t i a l c o m p o n e n t o f v e l o c i t y d o e s
n o t v a n i s h i d e n t i c a l l y o n t h e s y m m e t r y a x i s f o r N M S s o l u t i o n s o f t h e N a v i e r -
S t o k e s e q u a t i o n , w h i c h w o u l d b e n e c e s s a r y i n o r d e r f o r t h e s y m m e t r y - r e d u c e d
s o l u t i o n t o s a t i s f y t h e n o - s l i p b o u n d a r y c o n d i t i o n . F u r t h e r m o r e , a s m o o t h
d i v e r g e n c e - f r e e v e l o c i t y e l d s a t i s f y i n g t h e n o - s l i p b o u n d a r y c o n d i t i o n a l w a y s
h a s v a n i s h i n g t o t a l c i r c u l a t i o n , s o t h a t n o N M S s o l u t i o n s i n t h e f u l l p l a n e
c a n b e o b t a i n e d b y r e e c t i o n .
6 E x t e n s i o n s a n d c o n c l u s i o n s
L e t u s c o n s i d e r a n o d d L
1
p e r t u r b a t i o n o f t h e i n i t i a l d a t a o f T h e o r e m 1 ,
w i t h o u t t h e s i g n r e s t r i c t i o n . O u r e x i s t e n c e p r o o f c a n b e a d a p t e d t o t h i s
s i t u a t i o n . W e o u t l i n e t h e a d a p t a t i o n b e l o w .
T h e o r e m 4 L e t !
0
!
0
0
+ !
0 0
0
, w i t h !
0
0
2 B M
c
( R
2
) \ H
? 1
( R
2
) N M S a n d
!
0 0
0
2 L
1
c
( R
2
) \ H
? 1
( R
2
) , o d d w i t h r e s p e c t t o x
1
. T h e n t h e r e e x i s t s a n i t e -
e n e r g y w e a k s o l u t i o n o f t h e 2 D E u l e r e q u a t i o n s w i t h !
0
a s i n i t i a l d a t a .
P r o o f : W e b e g i n b y c o n s i d e r i n g t h e a p p r o x i m a t i o n !
n
, c o n s t r u c t e d i n t h e
s a m e w a y a s i n T h e o r e m 1 , w i t h i n i t i a l d a t a :
!
n
0
=
n
!
0
=
n
!
0
0
+
n
!
0 0
0
!
0 n
0
+ !
0 0 n
0
:
C o r r e s p o n d i n g t o t h i s d e c o m p o s i t i o n o f t h e i n i t i a l v o r t i c i t y , w e i n t r o d u c e !
0 n
a n d !
0 0 n
a s t h e s o l u t i o n s t o t h e t r a n s p o r t e q u a t i o n v
t
+ u
n
r v = 0 w i t h
i n i t i a l d a t a !
0 n
0
a n d !
0 0 n
0
r e s p e c t i v e l y .
F i r s t n o t e t h a t L e m m a 1 r e m a i n s v a l i d , a s t h e p r o o f d i d n o t u s e t h e
d i s t i n g u i s h e d s i g n a s s u m p t i o n o n t h e h a l f - p l a n e . H e n c e , u
n
2
( 0 ; ; ) i s s t i l l
b o u n d e d i n L
2
l o c
( R
+
R ) . W e w i l l u s e t h e f o l l o w i n g n o t a t i o n : u
0 n
= K !
0 n
a n d u
0 0 n
= K !
0 0 n
.
N e x t w e n o t e t h a t t h e p r e c i s e d e c a y r a t e o f t h e t i m e - a v e r a g e d m a x i m a l
v o r t i c i t y f u n c t i o n i n L e m m a 3 i s n o t n e c e s s a r y f o r t h e c o n v e r g e n c e p r o o f .
I t s u c e s t o s h o w t h a t i t d e c a y s t o z e r o u n i f o r m l y i n n a s t e n d s t o z e r o .
T h u s , t o p r o v e o u r t h e o r e m , i t s u c e s t o s h o w t h e f o l l o w i n g c l a i m :
C l a i m : L e t L b e a x e d p o s i t i v e n u m b e r , a n d a 2 ( ? L ; L ) . F o r a n y g i v e n
p o s i t i v e " , t h e r e e x i s t s
0
> 0 , i n d e p e n d e n t o f n , s u c h t h a t i f
0
, t h e n
s u p
0 t T
Z
a +
a ?
j u
0 0 n
2
( 0 ; x
2
; t ) j d x
2
" :
2 3
8/3/2019 M.C. Lopes Filho, H.J. Nussenzveig Lopes and Zhouping Xin- Existence of vortex sheets with reflection symmetry in…
http://slidepdf.com/reader/full/mc-lopes-filho-hj-nussenzveig-lopes-and-zhouping-xin-existence-of-vortex 24/29
H e r e t h e c o n s t a n t
0
m i g h t d e p e n d o n L a n d T .
I n L e m m a 2 w e s a w t h a t o n e c o u l d e s t i m a t e t h e m a s s o f v o r t i c i t y n e a r
t h e s y m m e t r y a x i s b y t h e m a s s o f t a n g e n t i a l v e l o c i t y a t t h e s y m m e t r y a x i s .
T h e p r o o f o f t h i s c l a i m i s b a s e d o n a c o n v e r s e o f t h i s s t a t e m e n t , i . e . t h a t
v e l o c i t y a t t h e s y m m e t r y a x i s m a y b e e s t i m a t e d b y v o r t i c i t y n e a r b y .
A s s u m i n g t h i s c l a i m , o n e c a n c o n c l u d e t h a t t h e s a m e s t a t e m e n t i n t h e
c l a i m h o l d s t r u e f o r
Z
T
0
Z
a +
a ?
j u
0 n
2
( 0 ; x
2
; t ) j d x
2
;
s i n c e u
n
2
( 0 ; ; ) i s u n i f o r m l y b o u n d e d i n L
2
l o c
( R
+
R ) . O n t h e o t h e r h a n d ,
t h e e s t i m a t e ( 5 ) s h o w s t h a t
Z
B ( x
0
; )
j !
0 n
( y ; t ) j d y C
Z
a +
a ?
j u
0 n
2
( 0 ; x
2
; t ) j d x
2
;
w h e r e x
0
= ( 0 ; a ) . I t f o l l o w s f r o m t h i s a n d t h e s i m i l a r a r g u m e n t f o r L e m m a
3 t h a t f o r a n y x e d T > 0 a n d
K R
2
,
Z
T
0
s u p
n ; x 2 K
Z
B ( x ; )
j !
0 n
( y ; t )
j d y
!
d t
g o e s t o z e r o a s a p p r o a c h e s z e r o . S i n c e !
0 0 n
i s t r a n s p o r t e d b y a n a r e a -
p r e s e r v i n g o w a n d s i n c e t h e i n i t i a l d a t a f !
0 0 n
0
g i s u n i f o r m l y i n t e g r a b l e , t h e n
t h e s a m e c o n c l u s i o n o n t i m e - a v e r a g e d d e c a y o f t h e m a x i m a l v o r t i c i t y f u n c t i o n
o f !
0 n
h o l d s t r u e f o r !
0 0 n
. C o n s e q u e n t l y , t h e s a m e c o n c l u s i o n a p p l i e s t o !
n
,
a n d t h e p r o o f o f t h e o r e m c a n b e c o m p l e t e d a s b e f o r e .
T h u s , i t r e m a i n s t o p r o v e t h e c l a i m . T o t h i s e n d , w e r s t n o t e t h a t i t
f o l l o w s f r o m t h e t r a n s p o r t e q u a t i o n f o r !
0 0 n
a n d a n d t h e u n i f o r m i n t e g r a b i l i t y
o f t h e i n i t i a l d a t a t h a t
s u p
0 t T
k !
0 0 n
( ; t ) k
L
1
( R
2
)
C
1
( 1 1 )
a n d
s u p
0 t T
Z
j !
0 0 n
( y ; t ) j d y C
2
( ) ; ( 1 2 )
w h e r e C
1
a n d C
2
( ) a r e p o s i t i v e c o n s t a n t s i n d e p e n d e n t o f n , a n d C
2
( ) ! 0
a s j j , t h e L e b e s g u e m e a s u r e o f , g o e s t o z e r o .
2 4
8/3/2019 M.C. Lopes Filho, H.J. Nussenzveig Lopes and Zhouping Xin- Existence of vortex sheets with reflection symmetry in…
http://slidepdf.com/reader/full/mc-lopes-filho-hj-nussenzveig-lopes-and-zhouping-xin-existence-of-vortex 25/29
N e x t , a s i n t h e p r o o f o f L e m m a 2 , o n e c a n o b t a i n f r o m t h e B i o t - S a v a r t
l a w t h a t
Z
a +
a ?
j u
0 0 n
2
( 0 ; x
2
; t ) j d x
2
Z
j !
0 0 n
( y ; t ) j
g ( y
1
; y
2
)
d y ; ( 1 3 )
w h e r e = f ( y
1
; y
2
) ; y
1
0 g , a n d g ( y
1
; y
2
) i s t h e s a m e f u n c t i o n a s g i v e n i n
t h e p r o o f o f L e m m a 2 . W e n o w d e c o m p o s e t h e i n t e g r a l o n t h e r i g h t h a n d
s i d e o f t h e a b o v e i n e q u a l i t y a s
Z
j !
0 0 n
( y ; t ) j g ( y
1
; y
2
) d y =
4
X
i = 1
Z
i
j !
0 0 n
( y ; t ) j g ( y
1
; y
2
) d y ;
w h e r e
1
= f ( y
1
; y
2
) ; y
1
1 g ;
2
= f ( y
1
; y
2
) ; 0 y
1
1 ; j y
2
j M g ;
3
= f ( y
1
; y
2
) ; 0 y
1
h ; j y
2
j M g ;
4
= f ( y
1
; y
2
) ; h y
1
1 ; j y
2
j M g ;
w i t h p o s i t i v e c o n s t a n t s h ( 1 ) a n d M ( L ) t o b e c h o s e n l a t e r .
N o w w e e s t i m a t e e a c h i n t e g r a l a b o v e s e p a r a t e l y . F i r s t , i t f o l l o w s f r o m t h e
m e a n v a l u e t h e o r e m t h a t
g ( y
1
; y
2
)
2
y
1
2 ;
f o r y
2
1
. T h u s , f o r
1
=
"
8 T C
1
, o n e h a s t h a t
s u p
0 t T
Z
1
j !
0 0 n
( y ; t ) j g ( y
1
; y
2
) d y 2 C
1
"
4 T
: ( 1 4 )
S e c o n d , s i n c e
s u p
0 t T
Z
2
j !
0 0 n
( y ; t ) j g ( y
1
; y
2
) d y C
1
s u p
y 2
2
g ( y
1
; y
2
) ;
a n d s u p
2
g ( y
1
; y
2
) ! 0 a s M ! + 1 , w e c a n x a p o s i t i v e M s o t h a t f o r
1 , i t h o l d s t h a t
s u p
0 t T
Z
2
j !
0 0 n
( y ; t ) j g ( y
1
; y
2
) d y
"
4 T
: ( 1 5 )
2 5
8/3/2019 M.C. Lopes Filho, H.J. Nussenzveig Lopes and Zhouping Xin- Existence of vortex sheets with reflection symmetry in…
http://slidepdf.com/reader/full/mc-lopes-filho-hj-nussenzveig-lopes-and-zhouping-xin-existence-of-vortex 26/29
N e x t , f o r t h i s x e d M , w e h a v e t h a t j
3
j = h M ! 0 a s h ! 0 , t h u s i t f o l l o w s
f r o m ( 1 2 ) t h a t
s u p
0 t T
Z
3
j !
0 0 n
( y ; t ) j g ( y
1
; y
2
) d y C
2
(
3
) ;
w h i c h g o e s t o z e r o a s h ! 0
+
. C o n s e q u e n t l y , f o r 1 , o n e c a n c h o o s e a
x e d h s o t h a t
s u p
0 t T
Z
3
j !
0 0 n
( y ; t ) j g ( y
1
; y
2
) d y
"
4 T
: ( 1 6 )
F i n a l l y , w i t h M a n d h s o c h o s e n a n d x e d , w e s e t
2
=
h "
8 T C
1
. T h e n f o r
2
,
o n e h a s t h a t
s u p
0 t T
Z
4
j !
0 0 n
( y ; t ) j g ( y
1
; y
2
) d y
2
h
Z
4
j !
0 0 n
( y ; t ) j d y
2
h
C
1
"
4 T
:
( 1 7 )
C o l l e c t i n g a l l t h e e s t i m a t e s ( 1 4 ) - ( 1 7 ) , w e c o n c l u d e t h a t f o r a n y g i v e n " p o s i -
t i v e , t a k i n g
0
= m i n f
1
;
2
; 1 g , o n e h a s t h a t f o r " "
0
,
s u p
0 t T
Z
j !
0 0 n
( y ; t ) j g ( y
1
; y
2
) d y
"
T
:
T h i s , t o g e t h e r w i t h ( 1 3 ) , y i e l d s t h e c l a i m a s c a n b e c h e c k e d t r i v i a l l y . C o n s e -
q u e n t l y , t h e p r o o f o f t h e t h e o r e m i s c o m p l e t e d .
I t f o l l o w s f r o m t h e r e s u l t a b o v e t o g e t h e r w i t h T h e o r e m 2 t h a t t h e r e e x i s t s
a b o u n d a r y - c o u p l e d w e a k s o l u t i o n o f t h e 2 D i n c o m p r e s s i b l e E u l e r e q u a t i o n s
w i t h a n i n i t i a l v o r t i c i t y c o n s i s t i n g o f a n L
1
p e r t u r b a t i o n o f a m e a s u r e w i t h
d i s t i n g u i s h e d s i g n .
F i n a l l y , l e t u s a d d a p a i r o f c o n c l u d i n g r e m a r k s c o n c e r n i n g t h i s w o r k . W e
n o t e t h a t i t i s p o s s i b l e t o e x t e n d T h e o r e m 1 f r o m N M S i n i t i a l v o r t i c i t i e s t o
i n i t i a l v o r t i c i t i e s w i t h m o r e c o m p l i c a t e d s y m m e t r y . O n e c l a s s o f e x a m p l e s
i s t h e s e t o f i n i t i a l v o r t i c i t i e s w h i c h a r e s i n g l e - s i g n e d o n a w e d g e w i t h t i p a t
t h e o r i g i n , w i t h a n g l e = n , e x t e n d e d t o a n i n i t i a l v o r t i c i t y o n t h e f u l l p l a n e
w h i c h i s s i m u l t a n e o u s l y o d d w i t h r e s p e c t t o n s t r a i g h t l i n e s i n t e r s e c t i n g a t
t h e o r i g i n , a r r a n g e d i n a n n - f o l d s y m m e t r i c p a t t e r n .
T h e r e s u l t s p r e s e n t e d r a i s e t w o n a t u r a l q u e s t i o n s w h i c h a r e c u r r e n t l y u n -
d e r i n v e s t i g a t i o n b y t h e a u t h o r s . T h e r s t i s w h e t h e r o n e c a n p r o v e e x i s t e n c e
2 6
8/3/2019 M.C. Lopes Filho, H.J. Nussenzveig Lopes and Zhouping Xin- Existence of vortex sheets with reflection symmetry in…
http://slidepdf.com/reader/full/mc-lopes-filho-hj-nussenzveig-lopes-and-zhouping-xin-existence-of-vortex 27/29
o f b o u n d a r y - c o u p l e d w e a k s o l u t i o n s f o r t h e p r o b l e m o f i n v i s c i d o w o n a g e n -
e r a l b o u n d e d d o m a i n . T h i s w o u l d b e a s t r o n g e r v e r s i o n o f D e l o r t ' s e x i s t e n c e
r e s u l t f o r t h e b o u n d e d d o m a i n . T h e o t h e r q u e s t i o n i s t h e p r o b l e m o f c o n v e r -
g e n c e o f o t h e r a p p r o x i m a t i o n s c h e m e s , s u c h a s t h e v o r t e x b l o b m e t h o d , f o r
v o r t e x s h e e t i n i t i a l d a t a o w s w i t h r e e c t i o n s y m m e t r y . S u c h a r e s u l t w o u l d
g i v e r i g o r o u s j u s t i c a t i o n f o r t h e c o m p u t a t i o n s o f R . K r a s n y i n 1 1 ] f o r t h e
e l l i p t i c a l l y l o a d e d w i n g .
A c k n o w l e d g e m e n t s : T h e a u t h o r s w o u l d l i k e t o t h a n k S . S c h o c h e t f o r
a h e l p f u l d i s c u s s i o n b y e - m a i l .
T h e a u t h o r s t h a n k t h e C o u r a n t I n s t i t u t e o f M a t h e m a t i c a l S c i e n c e s f o r
i t s h o s p i t a l i t y a n d t h e I n s t i t u t e o f M a t h e m a t i c a l S c i e n c e s o f t h e C h i n e s e
U n i v e r s i t y o f H o n g K o n g f o r i t s g e n e r o u s h o s p i t a l i t y a n d n a n c i a l s u p p o r t .
T h e a u t h o r s a l s o t h a n k t h e s u p p o r t o f t h e D i e r e n t i a l E q u a t i o n s P R O N E X .
I n a d d i t i o n , t h e r e s e a r c h o f M . C . L o p e s F i l h o w a s s u p p o r t e d i n p a r t
b y C N P q g r a n t # 3 0 0 . 9 6 2 / 9 1 - 6 a n d F A P E S P g r a n t # 9 7 / 1 3 8 5 5 - 0 . T h e
r e s e a r c h o f H . J . N u s s e n z v e i g L o p e s w a s s u p p o r t e d i n p a r t b y C N P q g r a n t #
3 0 0 . 1 5 8 / 9 3 - 9 a n d F A P E S P g r a n t # 9 7 / 1 3 8 5 5 - 0 . T h e r e s e a r c h o f Z h o u p i n g
X i n w a s s u p p o r t e d i n p a r t b y Z h e n g G e R u F u n d a t i o n , N S F G r a n t D M S - 9 6 -
0 0 1 3 7 a n d D O E G r a n t D E - F G 0 2 - 8 8 E R - 2 5 0 5 3 .
R e f e r e n c e s
1 ] C h a e , D . a n d I m a n u v i l o v , O . Y . , E x i s t e n c e o f a x i s y m m e t r i c w e a k s o l u -
t i o n s o f t h e 3 - D E u l e r e q u a t i o n s f o r n e a r - v o r t e x - s h e e t i n i t i a l d a t a , E l e c t .
J . D i . E q . 1 9 9 8 n o . 2 6 , ( 1 9 9 8 ) 1 { 1 7 ( e l e c t r o n i c ) .
2 ] D e l o r t , J . - M . , E x i s t e n c e d e n a p p e s d e t o u r b i l l o n e n d i m e n s i o n d e u x , J .
o f A m e r . M a t h . S o c . , 4 ( 1 9 9 1 ) , p p . 5 5 3 { 5 8 6 .
3 ] D e l o r t , J . - M . , E x i s t e n c e d e n a p p e s d e t o u r b i l l o n p o u r l ' e q u a t i o n d ' E u l e r
s u r l e p l a n , S e m .
E q . D e r i v . P a r t . 1 9 9 0 - 1 9 9 1 , E c . P o l y t e c h n i q u e , e x p o s e
n o . 2 .
4 ] D i P e r n a , R . a n d M a j d a , A . , C o n c e n t r a t i o n s a n d r e g u l a r i z a t i o n s f o r 2 -
D i n c o m p r e s s i b l e o w C o m m u n . i n P u r e a n d A p p l . M a t h . , X L ( 1 9 8 7 ) ,
3 0 1 { 3 4 5 .
2 7
8/3/2019 M.C. Lopes Filho, H.J. Nussenzveig Lopes and Zhouping Xin- Existence of vortex sheets with reflection symmetry in…
http://slidepdf.com/reader/full/mc-lopes-filho-hj-nussenzveig-lopes-and-zhouping-xin-existence-of-vortex 28/29
5 ] D i P e r n a , R . a n d M a j d a , A . , O s c i l l a t i o n s a n d c o n c e n t r a t i o n s i n w e a k
s o l u t i o n s o f t h e i n c o m p r e s s i b l e o w e q u a t i o n s , C o m m . M a t h . P h y s . 1 0 8
( 1 9 8 7 ) 6 6 7 { 6 8 9 .
6 ] D i P e r n a , R . a n d M a j d a , A . , R e d u c e d H a u s d o r d i m e n s i o n a n d c o n c e n -
t r a t i o n c a n c e l l a t i o n f o r t w o d i m e n s i o n a l i n c o m p r e s s i b l e o w , J . A m e r .
M a t h . S o c . 1 ( 1 9 8 8 ) 5 9 { 9 5 .
7 ] E v a n s , L . C . a n d M u l l e r , S . , H a r d y s p a c e s a n d t h e t w o - d i m e n s i o n a l E u l e r
e q u a t i o n s w i t h n o n n e g a t i v e v o r t i c i t y , J . A m e r . M a t h . S o c . 7 ( 1 9 9 4 ) , 1 9 9 {
2 1 9 .
8 ] F r i e d m a n , A . , P a r t i a l d i e r e n t i a l e q u a t i o n s o f p a r a b o l i c t y p e E n g l e w o o d
C l i s , N . J . : P r e n t i c e - H a l l 1 9 6 4 .
9 ] I s n a r d , C . , L o p e s F i l h o , M . C . , N u s s e n z v e i g L o p e s , H . J . a n d S v a i t e r ,
B . F . , P o i n t w i s e b l o w - u p o f s e q u e n c e s b o u n d e d i n L
1
, i n p r e p a r a t i o n .
1 0 ] H o u n i e , J . , L o p e s F i l h o , M . C . a n d N u s s e n z v e i g L o p e s , H . J . , B o u n d s
o n t h e d i s p e r s i o n o f v o r t i c i t y i n 2 D i n c o m p r e s s i b l e , i n v i s c i d o w s w i t h
a p r i o r i u n b o u n d e d v e l o c i t y , t o a p p e a r , S I A M J . M a t h . A n a l . , 1 9 9 9 .
1 1 ] K r a s n y , R . , C o m p u t a t i o n o f v o r t e x s h e e t r o l l - u p i n t h e T r e t z p l a n e , J .
F l u i d M e c h . 1 8 4 ( 1 9 8 7 ) 1 2 3 { 1 5 5 .
1 2 ] L i o n s , P . - L . , M a t h e m a t i c a l t o p i c s i n u i d m e c h a n i c s , V o l . 1 : i n c o m p r e s s -
i b l e m o d e l s , O x f o r d L e c t u r e S e r i e s i n M a t h e m a t i c s a n d i t s A p p l i c a t i o n s
v . 3 , C l a r e n d o n P r e s s , O x f o r d , 1 9 9 6 .
1 3 ] L i u , J . - G . a n d X i n , Z . , C o n v e r g e n c e o f v o r t e x m e t h o d s f o r w e a k s o l u t i o n s
t o t h e 2 D E u l e r e q u a t i o n s w i t h v o r t e x s h e e t d a t a C o m m . P u r e A p p l .
M a t h . , X L V I I I ( 1 9 9 5 ) , 6 1 1 { 6 2 8 .
1 4 ] M a j d a , A . , R e m a r k s o n w e a k s o l u t i o n s f o r v o r t e x s h e e t s w i t h a d i s t i n -
g u i s h e d s i g n I n d . U n i v . M a t h J . 4 2 ( 1 9 9 3 ) , 9 2 1 { 9 3 9 .
1 5 ] M c G r a t h , F . , N o n s t a t i o n a r y p l a n e o w o f v i s c o u s a n d i d e a l u i d s , A r c h .
R a t . M e c h . A n a l . 2 7 ( 1 9 6 8 ) , 3 2 9 { 3 4 8 .
1 6 ] S a m a n , P . , V o r t e x d y n a m i c s , C a m b r i d g e M o n o g r a p h s o n M e c h a n i c s
a n d A p p l i e d M a t h e m a t i c s , C a m b r i d g e U n i v . P r e s s , C a m b r i d g e 1 9 9 2 .
2 8
8/3/2019 M.C. Lopes Filho, H.J. Nussenzveig Lopes and Zhouping Xin- Existence of vortex sheets with reflection symmetry in…
http://slidepdf.com/reader/full/mc-lopes-filho-hj-nussenzveig-lopes-and-zhouping-xin-existence-of-vortex 29/29
1 7 ] S c h o c h e t , S . , T h e w e a k v o r t i c i t y f o r m u l a t i o n o f t h e 2 D E u l e r e q u a t i o n s
a n d c o n c e n t r a t i o n - c a n c e l l a t i o n , C o m m . P . D . E . 2 0 ( 1 9 9 5 ) , 1 0 7 7 { 1 1 0 4 .
1 8 ] S c h o c h e t , S . , P o i n t - v o r t e x m e t h o d f o r p e r i o d i c w e a k s o l u t i o n s o f t h e 2 - D
E u l e r e q u a t i o n s C o m m . P u r e a n d A p p l . M a t h . X L I X ( 1 9 9 6 ) 9 1 1 { 9 6 5 .
1 9 ] V e c c h i , I . a n d W u , S . , O n L
1
- v o r t i c i t y f o r 2 - D i n c o m p r e s s i b l e o w
M a n u s c r i p t a M a t h . 7 8 ( 1 9 9 3 ) , 4 0 3 { 4 1 2 .
M i l t o n C . L o p e s F i l h o
D e p a r t a m e n t o d e M a t e m a t i c a , I M E C C - U N I C A M P .
C a i x a P o s t a l 6 0 6 5 , C a m p i n a s , S P 1 3 0 8 1 - 9 7 0 , B r a s i l
E - m a i l a d d r e s s : m l o p e s @ i m e . u n i c a m p . b r
H e l e n a J . N u s s e n z v e i g L o p e s
D e p a r t a m e n t o d e M a t e m a t i c a , I M E C C - U N I C A M P .
C a i x a P o s t a l 6 0 6 5 , C a m p i n a s , S P 1 3 0 8 1 - 9 7 0 , B r a s i l
E - m a i l a d d r e s s : h l o p e s @ i m e . u n i c a m p . b r
Z h o u p i n g X i n
T h e I n s t i t u t e o f M a t h e m a t i c a l S c i e n c e s
C h i n e s e U n i v e r s i t y o f H o n g K o n g
S h a t i n , N T , H o n g K o n g .
a n d
C o u r a n t I n s t i t u t e o f M a t h e m a t i c a l S c i e n c e s
N e w Y o r k U n i v e r s i t y ,
2 5 1 M e r c e r S t r e e t , N Y C , N Y 1 0 0 1 2 , U S A
E - m a i l a d d r e s s : z p x i n @ i m s . c u h k . e d u . h k
2 9