1. Mecnica de los fluidos Victor L. StreeterHa colaborado en la revisin Walter R. Debler, Associate Professor of Engineering Mechanics, University /Jf MichigallTRADUCCiN y ADAPTACiN DE LA CIJ"RTA EDICiN EN INGLSEMILIO ROMERO RosIngeniero Industrial Jefe de tanora torio de Hidrulica de E. T. S. I. l.JAiME MONEVA MONEVALicellcilldo en CIencias Matemticos Illgeniero de Armamento Profesor de M ecllica de Fluido de la Escuela politcnica Superior MadridLIBROS McGRAW-HILL IMEXICOPANAMA BOCaTA SAO PAULOLONDRESNUEVA YORKTORONTO SmNEY JOHANNESBURG DUSSELDORF SINGAPUR

2. : Queda terminantemente prohibido rcprod' . ,1 UClr este libro total o parcia mente, sin autorizacin escrita del editor'PrlogoRESERVADOS TODOS LOS DERECHOS (D. R.) Copyright 1970, respecto de ta edicin' 'd' LIBROS McGRAW HILL en 1 10llla espaol, por DE MEXICO S A DI' C V Atlacomulco, 499-501. Naucalpan d 'r' ' , ' ' . ., e, u ez, 1~do. de Mxico, ,Miembro de la C N" .mara aClonal de la lrdustra Editorial _ Reg. No. 465 62182 Traducido de la cua t -d''r a e IClon del original publicado en ingls Copyright 1966,y McGRAW-H1LL BOOK COMPANY,INC., V.S.A. .4567890123LEOS A-lO098765432Impreso en Mxico Prinled in lItexicoEsta obra se termin de;~ ' . 26 de ~ .. pI1mlI et Jla LITO mEayo de 1972, en los talleres de _ . ~ICIONE~ OLfMPlA, S. A., SevIlla, 109. Mexico 13, D. F. 1.a edicin COnsta de 1 500' 1 ' eJemp ares.Los cambios principales efectuados en esta obra son la ampliacin de las deducciones, la adicin de materiatsobre medidas electrnicas del fluido y sobre servocontroles neumticos, un nuevo captulo sobre flujo no permanente y la inclusin de aplicaciones del calculador digital. El captulo dedicado a los conceptos y ecuaciones fundamentales del flujo de fluidos se ha revisado totalmente y ampliado con la inclusin del volumen de control para la deduccin de ecuaciones de continuidad, energfa y cantidad de movimiento. Se 'han introducido las prdidas a partir del segundo principio de la termodinmica; la ecuacin de Bernoulli se ha reservado exclusivamente para 101 casos de flujo de fluidos ideales. Se ha extendido el captulo dedicado al anlisis dimensional y la semejanza dinmica; y el de medidas de flujo se ha reescrito para darle mayor nfasis, e incluye conceptos de servocon/rol. Tambin incluye los modernos transductores electrnicos de presin y los aparatos nuevos de medida de flujo. Se presenta el amplificador de fluido como un ejemplo de un nuevo Y.prometedor campo de aplicacin. Dentro de la Parte segunda se dan, donde corresponden, aplicaciones y ejemplos del calculador digital. No son necesarias para el entendimiento del tema, pero lleva al lector al conocimiento de las tcnicas actuales para ftl !)olucin de lO.' proMemas de diseos hidrulicos. Elflujo no permanente se ha estudiado con mucha mayor extensin mil lo (/1/(' se ocupa un captulo nuevo. Los problemas se han JUelto a examinar y se han modificado cr)nsiderab/~mente en la Parte primera. Los problemas objetivos se han cOllserpado dehido a su utilidad para comprobar el entendimiento de la teoria. . De nuevo se hace notar que este libro abarca mucho ms materialque el necesario para un primer curso normal de mecnica de jluidos. El autor desea reconOGer la gran ayuda que ha recibido de los retlisores de esta edicin. El profesor Walter R. Debfer ha revisado los problemas y ha ayudado en la reviSin del texto. Evelyn Streeter ha ayudado en la lectura de las pruebas. El autor les est pro/undamente agradecido por SI/ ayuda. Victor L. Stree/el'..J 3. Tabla de materias5Parte p"imera Capitulo 1Fundamento.f de la mecnica de los jluido~Propi~Jad~sdi' lo. fluidos y dejillicionesJl 111./ Definicin de un fluido. 1.2 Unidades de fuerza y masa. 1.3 Viscosidad. lA El continuo. 1.5 Densidad, volumen especfico. peso especfico. densidad relativa. pr~sin. 1.6 Gas perfecto. 1.7 Mdulo Je elasticidad volumtrico. 1.8 Presin de vapor. 1.9 Tensin superficial. Capilaridad.Cl/p/ulo 2372. l Presin en un punto. 2.2 Variaciones de la presin en un fluido en reposo. 2.3 Unidades y escalas de medida de la presin. 2.4 Manmetros. 2.5 Fuerzas sobre reas planas. 2.6 Componentes de las fuerzas debidas a las presi.'.nes sobre superficies curvas. 2.7 Empuj. 2.8 Estabilidad de flotacin y cuerpos sumergidos. 2.9 Equilibrio relativo.Il'iEsttica de los fluidosCaplltio JConceptos y ecuaciones fundamen/ales del movimiento Je los fluidos 3. l Conceptos de sistema y de volumen de control. 3.2 Reversibilidad. 3.3 Tipos de flujo. 3.4 Definiciones. irreversibilidad y prdidas. 3.5 Ecuacin de continuidad. 3.6 Ecuacin del movimiento de Euler a lo largo de una linea dc corriente. 3.7 Ecuacin de Dernoulli. 3.8 Ecuacin de la energa. Primer principio de la termodinmica. 3.9 Relaciones mutuas entre las ecuaciones dc EuJer y relaciones termodinmicas. 3./0 Aplil'acin de las ecuaciones dc Bernoulli y de la cnergia a flujo permancntc dc fluidos. .U l Ecuacin de la cantidad de movimiento. 3.12 Aplieacioncs de !lIS ecuacioncs de la cantidad de movimiento. 3.13 Fcuaciones del momcnto de la cantidad dc mO'imlcnto.Caplr/llo 4Anl;"i. dim,n.ional y ."ml'janza dinmica 4.1 Homogeneidad dimensional y relaciones dimensionales. 4.; Dimensiones y unidadcs. 4.3 El teorema de n. 4.4 Estudio de los pa rt'lmctros adimensionales. 4.5 Semejanza. Es1udio sohrc 1l11l(,jclns.109 4. Tabla ~ mllltrill.'Capllulo 5Efectod~ lviscosidlld:r~sislencia fluidllCaptulo 10119Flujo compresibleFlujo de un fluido idelllp~rllJllJltnteen condudos cerrlldos548r.:./cana/~s Ilbi~rtosCaptulo II . Flujo perltllJnenle en,57911.1 Clasificacin de flujo. 11.2 Seccin hidrulica ptima de un canal. 11.3 Flujo permanenle uniforme en un aliviadero de crecida. 11.4 Resallo hidrulico. Cuencos protectores. 11.5 Energa especfica, pro" funddad crtica. 11.6 Flujo gradualmente no uniforme. 11.7 Clculo mediante un caJcul~dor del flujo gradualmente variado. 11.8 Cla~ifi cacin de los perfiles superficiales. 1/.9 Sec.ciones de control. II.tO Transiciones.3 I36.1 Relaciones de los gases perfectos. 6.2 Velocidad de una onda sonora. Nmero de Mach. 6.3 Flujo isoentrpico. 6.4 Ondas de choque. 6.5 Lineas ~e Fauno y Rayleigh. 6.6 Flujo adiabtico con rozamiento en conductos. 6.7 Flujo sin rozamiento a travs de conductos con transferencia de calor. 6.8 Flujo isotrmico permanente en tube ras largas. 6.9 Vuelo a gran velocidad. 6./0 Analoga de las 011das de choque con las ondas en canales abiertos. Caplulo 7Flujo10./ Lneas de a!luras piezomtricas y de alluras totales. 10.2 El sifn. 10.3 Tuberas en ~erie. 10.4 Tuberias en paralelo. /0.5 Tuberas ramificadas. JO.6 Red de tuberas. Conduclos de seccin no circular. 10.8 P.nvejccimiento de las luberias.5.1 Flujo laminar incompresible entre placas paralelas. 5.2 Flujo laminar a travs de tubos circulares y anillos circulares. 5.3 Nmero de Reynolds. 5.4 Longitud de mezcla de Prandtl. Distribucin de velocidades en flujo turbulento. 5.5 Procesos de flujo. 5.6 Definicin de la capa lmite. 5.7 Resistencia sobre cuerpos sumergidos. 5.8 Resistencia al flujo turbulento en conductos abiertos y cerrados. 5.9 Movimiento permanente uniforme en canales abiertos. 5.10 Movimiento permanente e incompresible a travs de tuberlas Simples. 5. Mecnica de la lubricacin. Capllulo 69Tabla d. materiasAl, "Captulo 12Flujo/fOpermanente,617 Flujo en conducros cJrrtUlo../2./ Oscilacin de un lquido en un lubo en U. 12.2 Establecimiento de una corriente. Control de las olas. 12.4 Descripcin del f~ nmeno del golpe de ariete, /2.5 Ecuaciones diferenciales para el ;lculo del golpe de ariele. /2.6 El mtodo de solucin de las caractersticas. 12.7 Solucin grfica de. Jos casos sencillos del golpe de ariete. /2.8 Golpe de ariete algehraico. ,': .Ji3J717.1 Requisitos para el flujo de un fluido ideal. 7.2 El operador vectorial V. 73 Ecuacin de Euler del movimiento. 7.4 Flujo irrotacional. Potencial de velocidad. 7.5 Integracin de las ecuaciones de Euler. Ecuacin de Bernoulli. 7.6 Funciones de corriente. Condiciones de contorno. 7.7 La red de corriente. 7.8 Casos de lIujo tridimensional. 7.9 Casos de lIujo bidimensiona'.Flujo en canales ahiertos/2.9 Onda positiva sin rozamiento en un canal reclangu)lf. 12.10 Ondas negativas sin rozamiento en un canal rectangular. 12.11 Control de inundaciones en canales prismticos. l2.a Me~nica de las relaciones lluvia-desage para reas planas inclinadas. 1P-arte segunda Aplicaciones de la mecnica de los fluidos Captulo 8Medidas y control ~n el flujo fluido4'15Apndices6994178.1 Medida de la presin. 8.2 Medida de la veiocidad. 8.3 Medidas de fuerza. 8.4 Medidas pticas de lIujo. 8.5 Medidores de desplazamiento positivo. 8.6 Medidores de caudal. 8.7 Aparatos electromagnticos de flujo. 8.8 Medida del caudal de un ro. 8.9 Medida de la turbulencia. 8.10 Medida de la viscosidad. 8./1 Amplificadores de lIuido. 8./2 Principios de control de la presin y de flujo. Captulo 9Turbomaquinaria9./ Unidades homQlogas. Velocidad especifica. 9.1 Teorla elemental de la cascada. 9.3 Teora de las turbomquinas. 9.4 Turbinas de impulsin. 9.5 Turbinas de reaccin. 9.6 Bombas y turbo;omprcsores. 9.7 Compresores centrifugos. 9.8 Acoplamienlos fluidos y ;Onvertidores de par fluidos. 9.9 Cavilacin.498Lo/ Lenguaje MAD. E.Z Cuadraturas. integracin numrica y regla de Simpson. 1e'..1 Interpolacin parablica. E.4 SolUCin de ecuaciones algebraicas flor el mlodo de biseccin, E.5 Solucin de Runge-K utta de ecuaciones diferenciales.I,' l;Soluciones de Irl[ problemas pare. hu/ice731 739 5. '1Parte primera I.t:1Fundamentos de la mecnica de los fluidosEn los tres primeros captulos de la Parte primera se estudian las propiedades de los fluidos, la esttica de los fluidos y el conjunto correspondiente de conceptos, definiciones y ecuaciones fundamentales para la dinmica de los fluidos. A continuacin se introducen los grupos adimensionales, incluyendo el anlisis dimensional y la semejanza dinmica. El Captulo 5 trata de los fluidos reales y la introduccin de los datos experimentales en los clculos del flujo de fluidos. Despus se estudia el flujo compresible. tanto en fluidos reales, como en fluidos sin rozamiento. El ltimo captulo de los fundamentos se refiere al flujo bi y tridimensional del fluido ideal. En toda la Parte primera se ha ilustrado' la teora con aplicaciones elementales. 6. 1Propiedades de los fluidos y definicioneso La mecnica de los f1uids es una de las ciens;ias que forman la base de toda tcnica. Esta ciencia se ramifica en vanas especialidades tales como aerodinmica, hidrulica, ingeniera naval, dinmica de gases y procesos de flujo. Tiene relacin con la esttica, cinemtica y dinmica de los fluidos, ya que el movimiento de un fluido se produce debido al desequilibrio de las fuerzas que actan sobre l. Se van obteniendo los mtodos tiles de anlisis de la aplicacin de los principios, conceptos y leyes siguientes: principio de Newton del movimiento, primer y segundo principios de la termodinmica, principio de conservacin de la masa, ecuaciones de estado que relacionan las propiedades del fluido, ley de Newton de la viscosidad, conceptos de longitud de mezcla y las condiciones motivadas por la presencia de los contornos. En los clculos de movimiento de fluidos, la yis,cosidad y la densida4 son las propiedades del fluido que con ms generalidad se utilizan; desempean los papeles principales en el movimiento en canales abiertos y cerrados y en el movimiento alrededor de los cuerpos sumergidos. Los efectos de la tensin superficial tienen importancia en la formacin de gotitas en el movimiento de chorros pequeos y en estados donde se presentan superficies de contacto liquido-gas-slido o lquido-lquido-slido, tanto como en la formacin de ondas capilaresi La propiedad de presin de vapor, determinante del cambio de fase lquida a gaseosa, llega a ser importante cuando se alcanzan presiones pequeas. Un sistema de inyeccin de combustible lquido es un ejemplo de problema tcnico en el que el rendimiento del resultado viene afectado de una manera significativa podas propiedades del fluido que se maneja. El combustible se bombea desde un tanque cisterna a travs de una serie de tuberas de alimentacin de combustible y boquillas de inyeccion. El proceso es intermitente y se realiza a gran velocidad. Parece razonable esperar que se necesita menos fuerza y menos potencia para bombear un combustible de calidad ligera, o delgado, que un combustiqle de calidad pesada, o grueso. Los trminos ligero y pesado son tr-" ;,,.:;s: 7. Propiedades de lo. flllidos y definicone. Fllndamentos de la mecnica de los flllidosul'l1 ' I.minos cualitativos que indican la mayor o menof facilidad para moverse del combustible. Hay una l c'nera cuantitativa de especificar estapropiedao de fluidez, y ms adelante, en este captulo, se describir. Desde luego ser necesario definir un fluido de una manera rigurosa y ver c~mo nueSe tro combustible cumple esta. definicin. " ; m~nea eh la que el combustible sal& de la boquilla vendt afectada: por el modo en que la tensin superficial determine la formacin de gotas: El diseo real del perfil de la boquilla estar influenciado por otras propiedades del liquido. El movimiento en las tuberas de alimentacin es intermitente porque el combustible solo se suministra a las boquillas de inyeccin en instantes especificas durante el ciclo de trabajo de la mquina. En consecuencia, hay pulsaciopes de presin en el sistema. Etas presiones pueden ser muy elfvadas e, ihesperadamente, tambin muy bajas. Es posible que cuando la presin baja lo suficiente, momentneamente puedevaporizarse el combustible e impedir que se logre el rendimiento esperado del sistema. Las pulsaciones de la presin se transmiten a 10 largo de la columna de lquido' en las tuberas de alimentacin de combustible de manera anloga a las ondas sonoras en el aire. Estas ondas de presin pueden estar en una relacin de fase tal que las ondas den como resultado presiones punta momentneas, que son muchas veces mayores que las presiones esperadas en el sistema, La velocidad de las ondas de presin depende de una propiedad llamada mdulo volumttico. Las secciones que siguen ponen de manifiesto la importancia de las propiedades I1sicas del quido o del gas. Tambin se incluyen unas cuantas definiciones de modo que se puede especificar acerca de la propiedad, O cantidad o hiptesis que se considereO1, ,q 1, Ir..i'11() 1.1Definicin de un fluidoUn fluido es una sustancia que se deforma continuamente cuando se somete a una tensin de cortadura, por muy pequea que sta sea, Una fuerza cortante es la componente tangente a la superficie de la fuerza y esta fuerza, dividida por el rea de la superficie, es la tensin de cortadura media sobre el rea considerada. La tensin de cortadura' en un punto es el lmite del cociente de la fuerza cortante por el rea cuando el rea se reduce a cero en el punto. En la Fig. 1.1 se representa una sustancia que se ha colocado entre dos placas 'paralelas muy prximas lo suficientemente largas para que puedan despreciarse las condiciones en los bordes. La placa inferior est quieta y sobre la superior se aplica una fuerz~ F, que origina una tensin de cortadura F/A en la sustancia colocada entre las placas (A es el rea de la placa superior). Cuando esta fuerza F, por muy pequea que sea, hac:: mover a la lmina superior con una velocidad constante (no15Fi,. 1.1' Dejormacin resullalllf de la aplicacin de una fuerza de carIadura colutanle. . ,nula), se puede ~n~lr que' la sustanJia $ituada entre las lminas es un fluido. . ;" El fluid~ en inmediato. contacto c9n 1tl pared slida tiene la misma velocidad que la par.ed, ,~si decir, no ~t) '1ingn deslizamiento del fluido ~obre la pared t. 'Es un hecho expefll1,1cntal que se ha comprobado en tnnumer~bles ensayos con varios tipos qe ~uidos y materiales de la pared. El fluido det, rea abcd se mueve hasta 9cupar una nueva posicin ah'c'd. de maner~ que cada partcula fluida se'>mueve paralelamente a la lmina y la velocidad u vara uniformemente desde cero en la placa en reposo hasta U e,n la lmina superior. ~-.~;mdienc4J,~qemuestra que si las otras magnitudes se mantienen constantes, Fks directamente proporcional a A ya U e inversamente proporcional a /, tle manera que" : slendo. /l el factor de proporcionalidad que hace intervenir el efecto del fluido de, que se trate. Como la tensin de cortadura es 't' = FIA, resulta l!r=/lT La relacin U/tes la velocidad angular de la lnea ab, o la velocidad angular de deformacin del fluido, es decir, la disminuin del ngulo bdd . en la unidad de tiempo. La velocidad angular puede tambin escribirse duldy y ambas, V/t y du/dy, expresan la variacin de vlocidad dividida . por la distancia en la que se produce dicha variacin. Sin embargo' duldy .es ms general Y$irve en todos los casos, aun en aquellos en l uc' la ve: locidad angular y la tensin de cortadura varan. El gradiente d velocidad du{(iy puede tambin ser considerado como el cociente de la 'vet S" Goidstein. Modero Developments in Fluid Dynamicsl>. vol. 11. pgs, 676680, Oxford lJniversity Press. Londres, 1938. 8. Propiedades de tos fluidos y defilciones17'1i-6106'seguir un movimiento continuo. Por consiguiente, la arena tampoco satisface la definicin de fluido . .!~Q~LfiJ.li.dQs._puede!1,gL~r~en newtonianQ.s ~,~tQnianQs. E~ los:prrmerosexlste una relacin TIneal entre la tenslOn de cortadura aphcada y la velocidad de deformacin resultante [JI constante en la Ec. (.1.1.1)] como se observa en el grfico de la ~ig. 1.2. E~ los segu~~os no eXiste t~l ... relacin lineal. Un plstico ideal hene una cierta tenstOn de cortadura inicial y pOr encima de ella existe una relacin I~neal co?stante ent~e t v Ju/dy. Una sustancia thixotrpica, tal como la tmta de imprenta, tiene 'una viscosidad que depende de la deformacin angular inmediatamente anterior y tiende a un cierto valor cuando la sustancia e.st en repo~o . Los gases y los lquidos.Jigeros se aproximan !l. los !hm:lq~ ~W!qm!l UQs....Jnientms que lo!; Iql! Tensl6n de cortadura Fig. 1.2tDlugrt,"w reo/gico,locidad con que una capa del flpido se mueve en relacin con la capa adyacente. En forma diferencial puede escribirse r =duJ1.~1)(1.1.1)dyiLa resistencia que se observa debida a la falta de lubric~~in en las partes de un fiuidt' es, siendo iguales las dems cosas, proporcional a la velocidad con que se separan una de otra las partes de un fluido.)~, Una sustancia plstica no cumple la definicin de fluido porque para producir en ella una deformacin continua debe sobrepasarse una cierta tensin de cortadura inicial. Una sustancia elstica situada entre las dos lminas anteriormente consideradas se deforma en una cantidad proporcional a la fuerza, pero no de forma continua. Si ex.istiese el vaco entre las dos lminas no resultara una velocidad de deformacin constante, sino que sera constantemente creciente. Si se colocase arena entre las lminas, por el rozamiento seco se necesj tara una fuerza finita para con-Unidades de fuerza y masaLa unidad de fuerza adoptada en este texto es el kilogramo fuerza (kilopondio) (kg). Como unidad de masa usaremos el ki.logramo masa (kgm) Y la unidad tcnica de masa (UTM). Como las ~ropledades termodinmicas se expresan generalm~nte en la base 9$i! kilogramo mas~, se representan de acuerdo con esta unidad, pero los problemas de los eJemplos estn resueltos en unidades tcnicas de masa: , . El kilogramo fuerza se define como la atracctOn que ejerce la grav~ dad, en un lugar determinado (normal), sobre una masa dada de platino. Bajo la gravedad normal, g "" 9,80665 m/seg 2: el cuerpo que experimenta una atraccin de un kilogramo fuerza tiene una masa de un kilogramo masa. Escribiendo el segundo principio de Newton del movimiento en la formaes decir, existe una proporcionalidad entre la. tensin de cortadura y la velocidad de deformacin angular de un movimiento unidimensional de un fluido. El factor de proporcionalidad se llama viscosidad del fluido, y la Ec. (1.1.1) es la ley de Newton de la viscosidad. En el segundo libro de su Principia, Newton consideraba el movimiento circular de los fluidos como parte de sus estudios de los planetas y escriba Hiptesis1.2m .1F = - a f'YoI "y aplic4. Se escriben los parmetros n en funcin de exponentes desconocidos, por ejemplo, TI I = V',D.'p"Ji = (LT-I)Z1Lvl(M L-3)"ML-IT-I 5. tes de 6. 7. 8. fl (TI I ,nZ,Para cada expresin n se escriben la.> ecuaciones de los exponenmanera que la suma de los exponentes de cada dimensin sea cero. Se resuelven los sistemas de ecuaciones. Se l1evan a la etapa 4 los exponentes obtenidos en la etapa 6. Se establece la relacin funcional n2, TIa, . . . ,nn-m) = Oo, se despeja una de las fJ2 = Despejando el grupo adimensional del empuje,e)F - - ==/1 (VD pwD2 , -, - r pw2fl4. wDwDp.Como se pu:den volver a combinar los parmetros para obtener otras formas se sustiluye el segundo grupo por el producto de los grupos primero y segundo, VD~/JI, yel tercero por el primero dividido por el tercero, Vo/e; as-.!:!:.-. = h (Vo , VoDp, .!!)pw2D4JiwDLa~ e~apas de un anlisis dimensional se pueden resumir de la manera sigUiente: 1. S~ eligen las variables adecuadas. Esto requiere cierto conocimiento del proceso. 2. Se escriben las relaciones funcionales, es decir,.. ~.=f(n l , na, ...n:,TI n - m )9. Se vuelven a cambiar, si se desean, para variar las formas de los parmetros n, conservando el mismo nmero de parmetros. 4.4Estudio de los parmetros adimensionalesLos cinco parmetros adimensionales, a saber: el coeficiente de presin, el nmero de Reynolds, el nmero de Froude, el nmero de Weber y el nmero de Mach, son de importancia para correlacionar los valores que se obtienen en experiencias. Todos se estudian en este nmero, haciendo nfasis en la relacin del coeficiente de presin con los otros grupos.eDe los par~etros adime~sionales, probablemente el primero es el ms importante, ya q.ue relaCIOna la velocld.ad de avance y la de rotacin. El segundo parmetro es el numero de Reynolds y llene en cuenta los efectos de la viscosidad. El ltimo parmet.ro es el nmero de Mach, que ser importante para velocidades prximas o supenores a la del sonIdo. El efecto del nmero de Reynolds es normalmente pequeo; por tanto, una representacin de FT /pW 2 D4 en funcin de V /wD ser la ms informativa. of(V,D,p,Ji,c,H)1llJOSe eligen la.s variables ~e repeticin. (No hacer variable de repetl~lOn ~ una magllltud dependiente.) Dichas variables contendrn las m dlme.nslOnes del problema. A menudo se elige una variable porque detenTIl.na la escala, otra par~ las condiciones cinemtieas y en los casos ms IIIteresantes de este capitulo se toma una variable que est relacio. nada con las fuerzas o las masas del sistema; por ejemplo, D, V, p.Coeficiente de presin.E1 coeficiente de presin tip((P V2(2) el la relacin entre la presin .y la presin dinmica. Cl1ando se multiplica por el rea es la relacin de la fuerza de presin a la fuerza de inercia, ya que (p V2 /2)A sera la fuerza necesaria para reducir la velocidad a cero. Puede tambin expresarse en la forma /ih/(V2(2g) dividiendo por y. Este coeficiente aparece de diversas formas y es la relacin de las fuerzas de presin a las fuerzas de inercia. La ecuacin de Darcy-Weisbach para flujo entuberias relaciona las prdidas h, con la longitud de la tubera L, el dimetro D y layelocidad V mediante el factor t f de rozamiento adimcnsional,ofL Dh P/20 l=11)f2 R,F,W,M,~,~ (t Hay varios coeficientes de rozamiento de uso general. Este es el coeiiciente eje rozamiento de Darcy-Weisbach que es cuatro veces mayor que el coeficiente d,~rozamielllo de Fanning, tambin llamado;: 107. en la que se demuestra que /L/D es igual al coeficiente de presin (ver el Ejemploi4.4). En el flujo en tuberas, la gravedad no influye en las prdidas; por tanto, se puede prescindir de F. Anlogamente, la tensin superficial no la afccta tampoco con lo quc W sc suprimc, Pan. un liquido en rgimen permanente, la compresibilidad no es importante y as se el!mina M. I se puede poner en funcin de D. / 1 , en funcin de la proyeccIn en altura E. de la rugosidad en la pared de la tubera y 12 en funcin de su separacin E'; por lo que la anterior expresin se reduce a!j;=/2 ( R'~')(4.4.1)En los Caps. 5, 6 y 10 se estudian los problemas de flujo en tuberas. Si la compresibilidad es importante:/L D115An/i.'ri.' dimen,f;onal y s~m,jan'la dinmica114=J2 ( R'EE')M-I'DD(4.4.2)En e~ Cap. 6 se estudian los problemas de movimiento compresible. La velocidad de salida por un orficio, estudiada en el Cap. 8, es V = Cv )2gH, de dondeIl1V 2/2g = C. 2 =ll)/2 ( R,w,M,~,~(4.4.3)en la cual 11 y /2 pueden referirse a dimensiones ag6as arriba y / al dimetro del orificio. La viscosidad y la tensin superficial carecen de importancia cuando los orificios son grandes y los fluidos son de pequea viscosidad. Los efectos del nmero de Mach pueden ser muy importantes para movimiento de gases con grandes cadas de presin; es decir, con el nmero de Mach prximo a la unidad. En el movimiento permanente y uniforme en un canal abierto, estudiado en el Cap. 11, la frmula de Chzy relaciolla la velocidad media V, la pendmte del canal S y el radio hidrulico R de la seccin recta (rea de la seccin dividida por el permetro mojado) segnV=CVRS=C~R~(4.4.4)C es un coeficiente que depende del tamao, forma y rugosidad del canal. Entonces t.h V2/2g=2gL 1R e2(l l)= 12 F,R,~,~(4.4.5)?ues la ten.sin superficial y la compresibilidad son generalmente de escasa Importanc!!l.'1El arrastre F, fuerza ejercida por un fluido en movimiento sobre un cuerpo, o la resistencia que Se opone al movimiento del cuerpo en el fluido. se expresa por F = CpAp V2 /2, siendo A un rea tpica del cuerpo, usualmente la proyeccin del cuerpo sobre un plano normal a la direccin del movimiento. Entonces F/A es equivalente a f:!.p, yPApV 2/2=C1>=( l 1)(4.4.G)12 n,F,I1,~,~El trmino R 'est relacionado con el arrastre o resistencia superficial, asi como con la resistencia de forma originada por el fenmeno de la sepl/racin de las lneas de corriente del cuerpo; F se rel.ciona con la rcsistencia de las olas en la superficie .libre cuando sta existe; para grandes nmeros de Mach C D vara ms marcadamente con M que son los otros parmetros; las relaciones de longitudes se refieren a la forma y a la rugosidad relativa de la superficie. Nmero de ReynoldsEl nmero de Reynolds VDP/Il es la relacin de las fuerzas de inercia y las de viscosidad. Un nmero de Reynolds crtico distingue entre regmenes de flujo, tales como laminar o turbulento en tuberas, en la capa lmite o alrededores de objetos sumergidos. El valor particular depende de la situacin. En flujo compresible, el nmero de Mach es generalmente ms significativo que el nmp:ro de Reynolds. Nmero de FraudeEl nmero de Froude V2 /g1, multiplicado y dividido por pA, da la relacin de la fuerza dinmica (o fuerza de inercia) al peso. En los movi mientos con superficie libre de lquido, la naturaleza del movimiento (rpidot o tranquilo) depende de si el nmero de Froude es mayor o menor que la unidad. Es til en los clculos del resalto hidrulico, en el diseo de estructuras hidrulicas y en el diseo de barcos. Nmero de WeberEl nmero de Weber V 2 lp/(J es la relacin de las fuerzas de inercia a las de tensin superficial (como es evidente el multiplicar numerador y denominador por 1). Es importante en las superficies de separacin de gas-lquido o lquido-lquido y tambin donde dichas superficies estn en contacto con el contorno. La tensin superficial produce pequeas ondas t El nujoen un canal abierto "con prorundidad y cs rpido cuando su velocidad es ma, yor que la velocidad de una onda elemental en un lquido en reposo. Se presenta flujo Irtlllquilo cuando la velocidad es menor queJiY.y.~.' 108. -. :116 .:-; "Oe o ..!l!Fig. 1.1 Velocidad de la onda en funcin de la 1000gitud de onda pura ondas superficiales.'""O"O'""O.:'"Qj~'--------,-:---:-- longitud de onda,.~,i(capilares) y la formacin de gotitas y tiene un efecto en el caudal por ori ficios y vertederos con muy pequea altura de carga.. El efecto de la tensin superficial en la propagacin de una onda se ve en la Fig. 4. I. A la izquierda del mnimo de la curva controla la cele , ridad de la onda la tensin superficial (las ondas se llaman capilares) y a la derecha del minimo son dominantes los efectos gravitatorios.Nmero de Mac/217Anlisis Jimensioni J' semejanza dlmicaFlllIJlmelftos de la meclflca de los fluido.corrcspondientes sea constante. La parte segunda se puede expresar tambin como una semejanza cinemtica, es decir, las lneas de corriente deben ser geomtricamente semejantes. La semejanza geomtrica se refiere tambin a la rugosidad superficial dcl rn6 2 ninguna de las respuestas anteriJres'.Elegir el caso en que las fuerzas de inercia son de escasa importancia: flujo sobre la cresta de un vertedero; flujo a travs de la transicin en un canal abierto; las olas del mar rompiendo contra una pared; (d) el flujo a travs de un largo tubo capilar; (e) el flujo a travs de una vlvula semiabierta.(b) (e)4.49 Qu dos fuerzas son ms importantes en el flujo laminar entre dos lminas paralelas muy prximas? (e) de gra(a), de inercia y viscosa; (b) de presin y de inercia; (e) ninguna (d) viscosas y de presin; vedad y de presin; de las respuestas anteriores. 4.50 Una combinacin adimensional de t:..p, p, 1, Q es(a)Cul de los siguientes parmetros tiene la forma de un nmero de Rey-pQ(b)t:..pnolds? (a)4.43ul/v(b)VDIl/P(e)uwv/l(d)V/gD(e)t:..p/pV2(e)El nmero de Reynolds puede definirse como I~' relacin de (a) (b) (e) (d) (e)'(e)t:..p/yH (b) t:..p/{PV 2 /2) (e) t:..J/IIlV ninguna de las respuestas anteriores.(a) (d)(d)t:..p p/Jl 2 l4Elegir la respuesta correcta. El coeficiente de prcsin es una relacin de las fuerzas de presin a 4.45las fuerzas las fuerzas las fuerzas (d) las fuerzas (e) las fuerzas (a) (b) (e)viscosas; de inercia; de gravNlad; de tensiol superficial; de energa elstica.4.46 Cuntos parmetros5(b)43(d)2(a)(d)t:..p IQ pIp Q 'J p (l0,183 m/seg 18,30 m/seg(b) (e)2,928 m/seg (e) 1,22 m/seg ninguna de las respuestas anteriores.(e)4.47 Cul de los siguientes puede ser un parmetro11,44 m (b) 0,24 m (e) no puede detenninarse con los datos (d) menor que 4 cm (e) ninguna de las respucstas dados; anteriores.4.54 Para un modelo de barco a escala 1: 100 la resistencia de las,olas es de 2,5 kg a su velocidad de proyecto, La resistencia de las olas sobre el correspondiente prototipo es. cn kg,n de la funcin(a) (e)F(Q,H,g,vo,.p) = Ocuando Q y g se toman como variables repetidas?pi p Q24.52 La velocidad medida en un punto de la coronacin de un modelo de presa es de 2,5 m/seg. La velocidad en m/seg en el punto correspondiente del prototipo, para A. = 25, es (a) 62,5 (b) 12,5 (e) 0,5 (d) 0,10 (e) ninguna de las . respuestas anteriores.n se necesitan para expresar la funcin(e)(e)4.53 La altura de un resalto hidrulico se encontr que era de 4 cm en un modelo (A. = 36). La altura del resalto en el prototipo serF(a,v,t,v,L) = O? (a)(l4.51 Cul debe ser la velocidad de un aceite, p = 83.84 UTM/m 3, /l = 0,20 poise, en una tubera de 24 mm de dimetro para que sea dinmicamente semejante al flujo del agua en una tubera de 6 mm de dimetro a velocidad de 3,05 m/seg y temperatura del agua de 20 C?las fuerzas viscosas a las fuerzas de inercia; las fuerzas viscosas a las fuerzas de gravedd; las fuerzas de gravedad a las fuerzas de incrcia' las fuerzas elsticas a las fuerzas de presin; , ninguna de las respuestas anteriores,4.# El coeficiente de presin puede ponerse en la fo~ma I (a)Q/../iH(d)(a)1.40 Entre las magnitudes que siguen, elegir un parmetro adimensional muy usado en mecnica de los tluidos: (a)127A lIli.is dime"siollal y ,e_jillftll ditulmica4.552.500 (b) 25.000 (e) 250.000 ninguna de las respuestas anteriores.(d)2.5()(),OOOEl modelo de un proyectil a cscala 1: 5 tiene un coeficiente de resistencia 114. FUlllnetltos de la meclliclI de los fluidos55~ r~~. '. ,) '~eN_.... ReynoMs- -. - -----_-:...--~--- -~---~.---Fig. 5.10 Aparato de Reynolds.= 122,4Si el nmero de Reynolds hubiese sido superior a 2.000, la ecuacin de Hagen-Poiseuille no se podra haber aplicado, como se ver en la Seco 5.3.It';~W:--::-":-:-------------_._-~-VDp = 0,306 x 0,02 x 800 x 98 ~ 9,8 x 0,40Sustituyendo en la expresin de_-:..-~--:-=-:-=.:..:.:-:::-:::~.:---:---:-:~-:y el nmero de Reynolds es R"..'define el flujo laminar como aquel flujo en el cual el fluido se mue,-",,:: ve/en capas o lminas, deslizndose una fina capa sobre la adyacente con solo un intercambio molecular de cantidades de movimiento. Cierta tendencia hacia la inestabilidad y la turbulencia es frenada por las fuerzas de cortadura viscosas que resistel' los movimientos relativos de las capas fluidas adyacentes. El flujo turbulento, en cambio, tiene un mo~imiento , de partcllas fluidas muy errtico, con un violento intercambio transversal de cantidades de movimiento. La naturaleza del flujo, es decir, el que sea laminar o turbulento, y su posicin relativa en una escala que indica la importancia relativa de la tendencia a que sea laminar o turbulento, se expresa por el nmero de Reynolds. El concepto de nmero de Reynolds'1li, y su interpretacin se estudia en esta seccin. En la Seco 3.6 se dedujo la ecuacin del movimiento en el supuesto de que el fluido estuviera desprovisto de rozamientos internos, es decir, de que careciera de viscosidlid. Se pueden deducir ecuaciones ms generales que incluyen la viscosidad teniendo en cuenta la tensin de cortadura. Estas ecuaciones diferenciales en derivadas parciales (Navier-Stokes) son complicadas, no lineales y, en general, no pueden integrarse, es decir, no puede encontrarse una solucin general. En el siglo pasado Osborne Reynolds t estudi estas ecuaciones para intentar determinar cundo dos flujos diferentes pueden considerarse semejantes. Dos flujos fluidos se dice que son dinmicamente semejantes cuando l. Son semejantes geomtricamente, es decir, las relaciones lineales correspondientes estn en una relacin constante; f~ 2. Las lneas de corriente correspondientes son semejantes geomtricamente, o las presiones en puntos correspondientes estn en una relacin constante. Considerando dos flujos semej.antes geomtricamente, Reynolds dedujo que son semejantes dinmicamente si las ecuaciones diferenciales generales son idnticas. Cambiando las unidades de masa, longitud y tiempo en un sistema de ecuaciones y determinando las condiciones que deben satisfacerse para hacerlas idnticas a las ecuaciones originales, Reynolds encontr que el parmetro adimenstenal uIP/J.l deba ser el mismo en ambos casos. En ste, u es una velocidad caracterstica, 1 es una longitud caracterstica, p es la densdad y p es la viscosidad. Este parmetro se llama nmero de ,Reynolds, R, Rlllp Jl.Para encontrar el significado de su parmetro adimensional, Reynolds t 0, Rcynolds, An Experimental Investigalion of lhe Circumslances Which Deier. .nine whether lhe Molon of Water ShaJl Be Direel or Sinuous, and of the Laws of Resist,'nce in ParaJld Channels, Trans, Roy. Soco London. vol. 174. 1883.! 121. 241143Efecto de la ~jscosidatl: resistetU:ia fl"idaF"lUiamentos de la mecnica de los fl"it/osAtualmente se usan muchos nmeros de Reynolds, adems del que se ha definido, que se refiere a un tubo recto y circular. As, por ejemplo, el movimiento de una esfera a travs de un fluido puede ser caracterizado por UDp/l, en el cual U es la velocidad de la esfera, D es su dimetro y P y J1 son la densidad y la viscosidad del fluido. El nmero de Reynolds puede ser considerado como la relacin de una tensin de cortadura t, debida a la turbulenci~1a un,a tensin de .cortadura t,. debida a la viscosidad. Aplicando la ecuacin de la cantidad de movimiento al flujo a travs de un elemento de rea c5A (Fig.5.1l) puede determinarse la tensin de cortadura aparente debida a la turbulencia. Si v' es la velocidad normal a c5A y u' es la diferencia de velocidades o la velocidad de fluctuacin 'entre las dos caras del rea, entonces, por' la Ec. (3.11.9), la fuerza cortante {)F valeFig. 5.11 No/acin para el esfuerzo cortante debido al flujo IIIrbulento.F = pv l A u' siendo pv' c5A la masa que por segundo cambia su cantidad de movimiento y u' la velocidad final menos la velocidad inicial en la direccin de s. Se obtiene la tensin de cortadura T" debida a la fluctuacin turbulenta, dividiendo por c5A, T,1=(5.3.2)pu'v'La tensin de cortadura debida a la viscosidad puede escribirse: .tu' T.=(5.:l.3)Ten la cual u~ se interpreta como la variacin de velocidad en la distancia l medida normalmente a la velocidad. Entonces la relacin , . ..TIvllp-=r. p.J fi1tiene la forma de un nmero de Reynolds. La naturaleza de un flujo dado, de un fluido incompresible, se caracteriza por el nmero de Reynolds. Para grandes valores de R uno o to.dos los trminos del numerador son grandes comparados con el denommadar. Esto implica una gran expansin del fluido, alta veloc~dad.', gran densidad, extremadamente pequea viscosidad o una combmaclOn de todos estos efectos. Los trminos del numerador se refieren a las fuerzas de inercia, es decir, a las fuerzas que se originan por la aceleracin o deceleracin del fluido, mientras que el trmino del denominador es la causa de las fuerzas de cortadura viscosas, por lo que el nmero de Reynolds puede ser considerado como una relacin de. las fuerzas de inercia a las fuerzas viscosas, Un gran valor de R indica un flujo altamente turbulento con prdidas proporcionales al cuadrado de la velocidad. La turbulencia puede ser a pequeiJ escala, compuesta de muchsimos pequeos 122. 2#torbellinos que rpidamente convierten la energa mecnica en energa trmica por medio de la accin viscosa; o puede ser a gran escala, como en los enormes remolinos en un rio o ciclones en la atmsfera. Los gran" . des torbellinos generan otros ms pequeos, que al girar crean la turbulencia a pequea escala. El flujo turbulento puede ser considerado como .un flujo ordenado, posiblemente uniforme, con un flujo secundario su- . perpuesto a l. El flujo turbulento a pequea escala tiene pequeas fluctuaciones en velocidad que se presentan con gran frecuencia. La media cuadrtica de las fluctuaciones y la frecuencia del cambio de signo de las fluctuaciones son medidas cuantitativas de la turbulencia. En general, la intensidad de la turbulencia aumenta con el nmero de Reynolds. Para valores intermedios de R los efectos viscosos y de inercia son ambos importantes y los cambios de viscosidad cambian la distribucin de velocidades y la resistencia del flujo. Para el mismo valor de R dos conductos cerrados geomtricamente semejantes (por ejemplo, uno de ellos de tamao doble del otro) tendrn la misma relacin de prdida de energa mecnica a altura de velocidad. El uso del nmero de Reynolds proporciona un mtodo para utilizar los resultados experimentales de un fluido para predecir los resultados en un caso semejante con otro fluido. i,;.. )/)5.4 , j1. se desprecia, y la Ec. (5.4.1) da ro =dU)'2v~ yyS(IA.f )t Th. von Krmn, Turbulcncc and Ski n Frietion, J. Acrofl. Sei., vol. 1, n.o 1, pg. 1,1934.(1.4.7)pF ( -dyComo I tiene las dimensiones de tna longitud, por consideraciones de anlisis dimensional ser proporcional a y (la nica dimensin lineal significativa), o sea, I = "y. Sustituyendo en laEc. (5.4.7) y reagrupandodudu/dyl=K--d2U /d y 2=(5.4.6)(1.4.~)Pero" no es una propiedad del fluido como la viscosidad dinmica, ya que '1 depende de la densidad, del gradiente de velocidades y de la longitud de mezcla l. En flujo turbulento hay un violenfo intercambio de partlculas defiuido, excepto en las paredes o muy cerca de ellas, donde este intercambio se reduce a cero; por tanto, I debe aproximarse a cero en la pared que limita al fluido. La relacin que liga a I con la distancia a la pared y no viene dada por la teora de Prandtl. Van Krmn t sugiri, despus de considerar las relaciones de semejanza en un fluido turbulento, queroIro /El trmino p tiene las dimensiones de una veloci , ,lu 1 yu. =-n1 u. /( v3..---=-jSe calcula la constante de la Ec. (5.4.9) siguiendo el mtodo de Bakhmetelft, u = UN>' la velocidad en la pared cuando y = o. Segn la Ec. (5.4.6).u.a v-=,--=Nu..1u./((5.4.10)In/j+ const,l=-NvIn -KU.+ COllstu 1 yu. = - In ~ u... K JI+i:.1 N - -In N Kt B. A. Bakhmeteff, The Mechanics of Turbulent Flow, Princeton Universily Press, Princeton, N. J., 1941.(.'.4.l2)en la dUal n vara con el nmero de Reynolds. Esta ecuacin emprica solo es vlida a alguna distancia de la pared. Para R menor que 100.000, n = 1/7, Y para valores ms grandes de R, n disminuye. Las leyes de distribucin de velocidades, Ecs. (5.4.11) Y (5.4.12), tienen el defecto de no dar para du/dy un valor nulo en el centro de la tubera.Despus de eliminar la constante, -(5.4.11)en la cual A = N In N se ha encontrado experimentalmente poniendo en un grfico u/u. en funcin de Inyu./v. Para placas planas, K = 0,417, A = 5,84, pero para tuberas de paredes lisas Nikuradse t obtuvo experimentalmente K = 0,40, A = 5,5. .. Prandtl ha desarrollado una frmula de distribucin de velocidades exponencial para flujo turbulento en tuberas,.1de la cual se deduce que u.b/v debe tener un valor crtico N para el cual el flujo cambia de laminar a turbulento, puesto que es de la forma del nmero de Reynolds. Sustituyendo u = Ul/) para y = {) en la Ec. (5.4.9) y utili?ando la Ec. (5.4.10)- =N =-+Ato seau..Diagrama d,' cuerpo libre para flujo permanente a travs de un tuho redondo.o sea,3 u. V=u...--2 /(u.Fig. 5.136/,.Como b/ro es muy pequeo, los trminos como b/ro y (fJjr o) In b/ro son despreciables Q~ x In x = O), por tanto,u".-V2 trrlTaV=26/'0149Ejemplo 5.4 Encontrar una expresin aproximada para la distribucin de la longitud de mezcla en un flujo turbulento en una tubera a partir de la ley de Prandtl de la potencia 1/7. . Estableciendo el equilibrid de fuerzas para un flujo permanente en un tubo circu. , lar (Figra 5.13) dp r 1'= - - -;Jdi 2t J. Nikuradse, Geselzmassigkeiten der lurbulenten Slromung in glatten Rohren, VDI Forschungsh., vol. 356, 1932. 125. 250F"lfame"tOJ de la mud"iclI de las JI"ldosEfecto de Id plscos/ltJd: rtsis/el/cld fI,,;ldEn la pareden la cual los dos ltimos trminos del segundo miembro son constantes para un tip.o dado de rugosidad,dp a2ro = - di1YK11E= -ln--u.por consiguiente,+B(;).4. Hi)En los experimentos de Nikuradse con tuberas de rugosidad artificial se pegaron en las paredes interiores de la tubera granos de arena de tamao constante (los que pasan por una eriba dada y son retenidos por otra crba ligeramente ms fina). Si E representa el dimetro de los granos de arena, experimentalmente se ha demostrado que K = 0,40, B = 8,48.Despejando /,VI -1 = u.251y/rodu/dy5.5Procesos de flujoPor la Ec. (5.4.12)~ = (1!..)IEl violento intercambio de partculas fluidas tiende a hacer ms uniforme dentro del fluido la concentracin salina o la temperatura, la concentracin de sedimentos o de tintura colorante. Diversos estudios t demuestran que el coeficiente de transferencia es proporcional, pero probablemente mayor, que la viscosidad de remolino para difusiones turbulentas de concentraciones distintas de las cantidades de movimiento. Si T es l~ temperatura, H el calor transferido por unidad de rea y de tiempo, y cp el calor especfico a presin constante (kilocaloras por unidad de temPeratura y por unidad de masa), entonces:f1roUmse obtiene el gradiente de velocidades aproximado/ du = Umdy~(1!..)-6J7ro 7 roy1U(y)6 f1 VI -- = --! 7 -rou'"H ='y/roro(Ejemplo 5.3), sea la superficie de la tubera lisa o rugosa. Por laEc. (5.4.9) calculando la constante para u = um cuando y = '.o' (!i.4.1:~)_ _ _ oC-11.1= -K,Ij111 -EIt",11.K(5.5.1)lO.aC ay(!i.5.2)-E.-es proporcional alO.Ejemplo 5.5 Un recipiente que contiene un lquido' con partculas finas slidas en suspensin se agila de tal manera que la viscosidad cincmtica de remolino pUCO'l+ - - - In 111==yPara tuberas rugosas, puede suponerse que la velocidad es u.. a una distancia de la pared Y.. = me, en el cual E es una altura tpica de las proyecciones de la rugosidad y m un coeficiente de forma que depende de la naturaleza de la rugosidad. Sustituyendo en la Ec. (5.4.13) Yeliminando um/u* entre las dos ecuaciones, HauaT ayay-C"pl2 -siendo cp '1 la conductividad de remolino. Para transferencia de sustancias materiales tal como una sal disuelta, polvo o sedimentos, si e es la concentracin por unidad de volumen (por ejemplo, kilogramos de sal por metro cbico, nmero de partculas por metro cbico) y e Ola velocidad de transferencia por unidad de rea y unidad de tiempo (por ejemplo, kilogramos de sal por metro cuadrado y por segundo, nmero de partculas sedimentadas por metro cuadrado y por segundo), entonces,La magnitud sin dimensiones (u", - u)/u*, llamada defecto de velocidad, es solamente funcin de y/ro para grandes nmeros de Reynoldsu'" - u = -InI ro 1/. K YaT = ay-CI'T) -(:;.4.14)1tVerla notade la pgina 245. . !I"'1r 126. 151Fundamentos de la mecnica de Jos fluidosEfecto de la viscosidad: resistencia fluida153dentro de la capa lmite se ded~ce de las ecuaciones generales de los fluidos viscosos, y el uso de la ecuacin de la cantidad de movimiento permite encontrr valores aproxima~os para el espesor de la capa lmite y para el arrastre o resistencia. En esta seccin se describe la capa lmite y se aplica a ella la ecuacin de la cantidad de movimiento, tanto para capa lmite laminar como turbulenta en el caso de un flujo bidimensional a lo largo d una placa plana. Tambin se estudia en esta seccin el fenmeno de separacin de la capa lmite y de la formacin de la estela de remolinos.de considerarse constante. Si la velocidad de cada de las partculas en el lquido , en reposo es Vf y la concentracin de las partculas es Co a y = Yo (y medido desde errondo), encontrar la distribucin de partculas slidas en una lnea vertical a travs del lquido. Por la Ec. (5.5.2) se puede determinar la cantidad de partculas que por segundo son, transportadas hacia arriba por la turbulencia por metro cuadrado de rea al nivel que debe igualarse, cuando se han alcanzado las condiciones de flujo permnentc, a la cantidad de partculas que por segundo cae a travs de esta superficie. Por la unidad de rea pasarn hacia abajo en un segundo todas las partlculas que se encuentren por encima del rea hasta una altura vf' es decir, CVf' Por la Ec. (5.5.2) - f , dC/dy partculas sern transportadas hacia arriba debido ala turbulencia. ya la ms alta concentracin de abajo; por consiguente,y,Descripcin de la capa lmite CVfdC = - te dyCuando comienza un rnovimien'to en un fluido que tiene muy poca viscosidad, el flujo es esencialmente irrotacional en los primeros instantes. Como el fluido en las paredes tiene una velocidad nula con relacin ,a estas paredes, existe un gradiente de velocidades muy grandes desde la pared hacia el interior del flujo. Este gradiente de velocidad en un fluido real origina cerca de la pared unas fuerzas de cortadura que reducen la velocidad relativa a la pared. La capa de fluido que tiene su velocidad afectada por estas fuerzas d~ cortadura se llama capa lmite. La velocidad en la capa lmite tiende asintticamente a la velocidad del flujo principal. La capa lmite es muy delgada en el extremo de aguas arriba de un cuerpo de forma fluido-dinmita que est en reposo en un flujo uniforme. Cuando esta capa lmite avanza a lo largo del cuerpo la continua accin de las tensiones de cortadura tiende a frenar adicionales partlculas de fluido, lo que hace que el espesor de la capa lmite aumente con la distancia al borde de aguas arriba. El fluido en la capa est t,ambin sometido a un gradiente de presiones, determinados por el flujo potencial, que aumenta la cantidad de movimiento de la capa si la presin disminuye hacia aguas abajo y disminuye su cantidad de movimiento si la presin aumenta aguas abajo (gradiente de presiones adverso). El flujo exterior a la capa lmite puede tambin introducir cantidades de movimiento dentro de sta. Para superficies lisas, la capa lmite comienza siendo una capa lmite laminar, es decir, que las partculas se mueven en finas capas. Al aumentar el espesor de la capa lmite, sta se hace inestable y finalmente se trans-o sea,dC Vf -=--dy C fe Integrando;Ine=-VI- y+ const f,e='tiCo exp [ - ;. (y - Yo) ]5.6 Definicin de la capa lmite En 1904 PrandtI tdesarroll el concepto de la capa lmite, que proporciona un importante enlace entre el flujo de un fluido ideal y el de un fluido real. Para fluidos con viscosidad relativamente pequea, el efecto de rozamiento interno en el fluido es apreciable solamente en una estrecha reJin prxima a los lmites del fluido. Segn esta hiptesis, el flujo fuera de esta estrecha regin cercana a los lmites slidos puede considerarse como el flujo de un fluido ideal o flujo potencial. El comportamiento del fluido t 1..Prandtl, Ober Flussigkeitsbewegung bei sehr kleiner Reibung, Verholldl. III In/em.Mlllh.-AIJII/(f., I/cidclncrg. 1904., I,1, ,i,l',.~ .~FiJ:. 5.J.IVejlll"".6.3)oTambin se puede expresar la resistencia como una integral del esfuerzo de cortadura a lo largo de la placa,(/.IJy la masa que abandona CD esf udy tjohLa primera integral es la cantidad de movimiento en direccin x que entra en AB, la segunda es la cantidad de movimiento en direccin x que sale por BC, y la tercera es la cantidad de movimiento en direccin x que sale por CD, todas por unidad de tiempo. Combinando las integralesoppTh. von Krmn, On Laminar and Turbulcnt Friction, Z. AngeUl. Math, Mcc1r" vol. 1,pgs. 235-236, 192 t.D (x) =(5.6.4){'TO dx o,,Igulando las dos ltimas expresiones y derivando respecto a x,TOd= P-d'fh u(U -x ou) dy(;>.6.5 ) 128. Fundamentos de la mecnica de los fluidos256,que es la ecuacin de la cantidad de movimiento para fiuj bidimensional a lo largo de una placa lisa. . . En genera!; los clculos de crecimiento de una capa lmite son complicados y requieren un tratamiento matemtico avanzado. Los casos de flujo paralelo, laminar o turbulento a lo largo de una placa lisa se pueden .resolver aproximadamente utilizan~o los mtodos de la cantidad de mo'vimiento que no dan ningn detalle respecto a la distribucin de la velocidad -en realidad se debe suponer una distribucin de la velocidad-. Se puede demostrar que los resultados coinciden muy estrechamente con las soluciones ms exactas obtenidas de las ecuaciones diferenciales generales del flujo viscoso. Para '.ma distribucin supuesta, que satisfaga las condiciones en los lmites u = O para y = O, u = U para y = ~, el espesor de la capa Imit.e, as como la tensin de cortadura en la pared pueden determinarse. La distribucin de velocidades se supone que tiene la misma forma para cada valor de x,u U=F(y) = "6F(r)Efecto de la viscosidad; resistencia /IlUdaIgualando las dos expresiones de '0' 3 lJ 00 - .. - = O 1:l!)pU22~ o iJxOrdenando la anterior, .tdxodo = 1078-,pUpuesto que { en esta ecuacin es solame!lte funcin de x. Integrando, ~lO,i82v Ux + eonst.Si { = O, para x.l/= O, la constante de integracin es cero. Despejando J/x,=-l)o (;').6.7)donde J es desconocido. Prandtl supuso queu-U=en la cual R x = Ux/v es un hmero de Reynolds basado en la distancia x desde el borde de ataque de la placa plana. Esta ecuacin del espesor de la capa lmite laminar demuestra que {) aumenta con la raz cuadrada de la distancia desde el borde de ataque. Sustituyendo el valor de {) en la Ec. (5.6.6)y queoS yF = 1que satisface las condiciones de contorno. La Ec. (5.6.5) puede escribirse: TO2iHjl(ro = pU OX o1 -u)= pU 2 00ax. = ..auay/.1 (1 _~ 1J + :e) (~'1 - ~~) d1J o 2 :? 2 2I.-0 = 5" a;; I~-o = U al.f, ,1, la nru'"lca ti, 1M jlultltH259Ien la cual la ltima expresin es la tensin de cortadura en la pared de una placa plana lisa con capa lmite turbulenta. Siguiendo el mismo mtodo que se sigui para el clculo de la capa lmite laminar,TurbulentoroIFig.5.16 Crecimiento de la capa /lmitc, (La escala vertical estd muy aumentada.)..-.... ----1--o -t I I Transicin I Laminar'- CriticoLa resistencia puede expresarse en funcin de un coeficiente de resistencia Cf); la presin de estancamiento, pU 2 /2, y el rea de la placa, I (por unidad de anchura): . R eSlstenc13=e .pUD -22'. d( plJ--==JI7d(728:1O (>120'~~:20'90.~60[ FiN5.22Ci730C=? )tLos principios del flujo potencial alrededor de cuerpos se desarrollan en el Cap. 7, y los principios de la capa lmite, separacin y estela, en la seccin que precede a sta (Sec. 5.6). En esta seccin se define la resistencia, se dan algunos coeficientes de resistencia, se discute el efecto de la compresibilidad sobre la misma y se presenta la ley de Stokes. Tambin se define la sustentacin y los coeficientes de arrastre o resistenci y de sustentacin de un perfil. La resistencia se define como la componente de la fuerza ejercida sobre el. cuerpo por el movimiento del fluido, paralela a la velocidad de aproximacin. El grfico del coeficiente de resistencia para esferas y discos circulares est representado en la Fig. 5.21. En la Fig. 5.22 est representado el coeficiente de resistencia de un cilindro circular infinitamente largo (caso bidimensional) en funcin del nmero de Reynolds. Este caso presenta tambin un cambio brusco dCi punto de separacin como en el caso de la esfera. En todos los casos, el coeficiente de resistencia C D est definido pore DIelO' 10' 10' 4 x lO' 4 )( lO'619, 1938.En la Tabla 5.1 se dan coeficientes de resistencia tpicos para varios cilindros. En general, los valores dados son para un intervalo del nmero de Reynolds en el cual el coeficiente cambia poco con el nmero de Reynolds, Unas curvas tpicas de coeficientes de sustentacin y de resistencia para un determinado perfil se dan en la Fig. 5.23. La sustentacin es la componente de la fuerza ejercida sobre el cuerpo por el fluido en la direccin que forma un ngulo recto con la de la velocidad de aproximacin, El coeficiente de sustentacin est definido por pP Sustentacin == el A -:.lsiendo f el producto de la cuerda por la longitud del ala en el caso de un perfil de ala de avin.r-r-.p l."~Efecto de la compresibilidad sobre la resistencia ""')"-o ...:.lsiendo A el rea proyectada por el cuerpo sobre un plano normal a la direccin del flujo.~30lO' a 1,5 x 106 4 x lO' lO' 2,5 x lO' a 10' 2,5 x lO' 2 x 10' 3,S x lO' lO' 10' 10~. lO' lO' 10' lO'0./ 0,46 0,32 0,29 0,20 2,0 1,6 2,0 1,72 2,15 1~60 2,20 1,39 1,8 1,0 2,3 1,12t Dalos tomados de W. F. Lindsey, NACA Teeh. Rept.Resittencia sobre cllerpo.v slImergidos=~90. j60Coeficientes de resistencio para cilindro. drculares. SemiluboResistencia1,2O c:::>Nmero de Reynold.iEl efecto de la compresibilidad, expresado por el nmero de Mach, es ms importante que el nmero de Reynolds para determinar la resis-I1 '~iI1 134. 268Fundamellto! de 14meclllica tle lo! 1Iuitlos=tt- ,2,01,8d~I1,4e-C'-'O--t-~ '-~ 1,2 -f--e~ :::lCfJ1,0 -1--,,1 I0,36~ Longitud do cuerda-i/=-J /---:- - ~-!I0,28- 1----" _._-e1/'8 (J0,24g'-0,20,!!m!f 0,16 '"a)0,12 !l!! 0,6"d"C'""Cc ,~0,32i';-f--- -- --1 fL_ --'-;0,8f-0,21/ ....../Fig. 5:14 Propagacin de una onda producida por una parlcuia que se mueve (a) con ve/Deidad subsnica y (b) con vdocidad supersni451-0,4-0,08 'ti ~-,0,04o8O-0,2-0,04-o~-0,08-8 -4O481690,401I-c1,6Efecto de la uiscosidad: resistellci 1Iuida121620 2428 32Angulo de ataque a, gradosl'.' rFig. S.2J Coeficientes l/picos de sustentacin y resistencia para un perfil de ala,tencia que se opone al movimiento de un cuerpo en un gas en reposo o el empuje ejercido sobre un cuerpo en reposo por el flujo gaseoso. El nmero de Mach M se define como la relan de la velocidad del fluido a la velocidad ~el sonido en el medio fluido. Cuando la velocidad del flujo es la crtica e, el fluido tiene exactamente la velocidad de las ondas sonoras y entonces las pequeas ondas de presin no pueden propagarse hacia aguas arriba. En este caso, M = 1. Cuando M es mayor que la unidad, el flujo es supersnico; y cuando M es menor que la unidad es subsnico. Cualquier pequea perturbacin se propaga con la velocidad del sonido (Sec. 6.2). Por ejemplo, una perturbacin en el aire en reposo se , propaga segn ondas esfricas de rresin. Cuando la fuente de la perturbacin se mueve con una velocidad menor que e, como en la Fig. 5.24a, la onda viaja delante del cuerpo perturbador originando cambios en el fluido antes de que llegue el cuerpo. Al transcurrir el tiempo' t, la partcula se ha movido una distancia Vt, y la onda perturbadora ha avanzado la distancia r = et desde el punto O. El cuerpo perturbador avanza y enva nuevas ondas esfricas, pero en todos los casos subsnicos estas ondas estn contenidas dentro de la onda inicial. En el movimiento supersnicode una partcula (Fig. 5.24b), el cuerpo se mueve ms rpidam'mte que las ondas esfricas emitidas por l, originndose un frente cnico de onda con vrtice en el cuerpo, como se representa. El scmingulo del cono oc se llama ngulo de Mach,eleoc = are sen Vt = arc sen VEl frente de presin cnico se extiende por detrs del cuerpo y se llama Olida de choque (Sec. 6.4). Hay un pequeo cambio brusco en la velocidad y en la presin a travs de la onda de choque. La resistencia al movimiento del cuerpo vara grandemente con el nmero de Mach y se hace relativamente independiente del nmero de Reynolds cuando los efectos de la compresibilidad se hacen importantes. En la Fig. 5.25 el coeficiente de resistencia para cuatro proyectiles se ha representado grficamente en funcin del nmero de Mach. Para nmeros de Mach pequeos, el cuerpo debe ser redondeado en el frente con una ojiva cortada plana y terminado por detrs en un largo cono para que la resistencia sea mnima. Para nmeros de Mach grandes (0,7 y mayores), la resistencia aumenta muy rpidamente debido a la formacin de remolinos detrs del proyectil y a la formacin de ondas de choque; el cuerpo debe tener una cabeza en ojiva cnica o afil~da. Cuando el nmero de Mac;h aumenta, las curvas tienden a caer y a aproximarse asintticamente a' un valor. Esto parece ser debido al hecho de que la reduccin de presin detrs del proyectil est limitada por el cero absoluto y, por consiguiente, su contribucin a la resistencia total tiende a hacerse constante. El proyectil puntiagudo crea una onda de choque de frente muy estrecho que tiende a reducir el valor lmite del coeficiente de resistencia.lf 135. rifeeto de la viu()$;dad: f'.,/stenda fluidaFunda.mentos de 111 mecnica de {os fluido.'170-- -- --- kgfcm 2 (llbs) y I = 20" C con una prdida de altura de 25 cm de agua por .000 m de tuberia. Qu, dimetro de tubera galvanizada se necesita" 5.116 Calcular las prdidas en kilogr;met,o", por kilogramo que ticnen lugar en.1I" .' 152. Fllndamentos de la mecnicII de los flllidosJO"2~n flujo de 25 m3/min de aire, a Una presin absoluta p = I kglcm y 1= 20 C,. a travs de un ensanchamiento brusco de la tubera que pasa de 30 cm a 90 cm de dimetro. Qu prdida de carga se evitara al utilizar un difusor cnico de 10? 5.117 Calcular el valor de H en la Fig. 5.49 para 180 l/seg de agua a 15 C por tubera de acero comercial. Incluir las prdidas menores.~.,l rI III-------------_.~._.. _.~Fig.5.49JOSEJecto de la viSCIJsidad: resistencill fluida5.127 Cul es el caudal que pasa por el sistema de la Fig. $.50 para agua a 25 C cuando 1I = 6 m? 5.128 Comparar la Ec. (5.10.4) con la curva del diagrama de Moody para una . tubera lisa para R = 10', 106 ,10 7 . 5.129 Utilizando la Ec. (5.10.7) comprobar la situacin de la lnea E/D = 0,006 . en el diagrama de Moody. 5.130 En la Ec. (5.10.7) demostrar que cuando E = O se reduce a la Ec. (5.10.4) y que cuando R es muy grande se reduce a la Ecuacin (5.10.6). 5.131 En la Fig. 5.51 la deslizadera tiene una anchura de 30 cm. Calcular (a) la carga que soporta la deslizadera, (b) la resistencia opuesta al movimiento de la deslizadera. Supngase que no existefiujo normal al plano del dibujo.'.". S.IlS Cul sera el caudal de desage en el Probo 5.28 si ~n la lnea se insertara una vlvula esfrica? Suponer una tubera lisa y una entrada redondeada. 5.119 En la Fig. 5.49 Y para H = 3 m, calcular el caudar de aceite, y = 880 kg/m 3 y j.t = 0,07 poises, que circula a travs de la tubera lisa. Incluir las prdidas menores. 5./20 Si en la lnea del Probo 5.119 se pone una vlvula y se ajusta para reducir el caudal a la mitad, cul es el valor de K para la vlvula y cul la longitud equivalente de luber~ para esta posicin? 5.121 Una lnea que transporta agua a 20 C une dos depsitos y est consti tuida por 1.500 m de tubera de acero de 60 cm de dimetro, tres codos normales, una vlvula esfrica, y la entrada constituida por una boquilla de Borda. Cul es la diferencia de elevacin entre los dos depsitos si el caudal es de 550 I/seg? 5.112 Determinar el caudal de desage en el Probo 5.121 si la diferencia de cota es de 15 m. 5.113 Calcular la prdida de energa en caballos de vapor para un /lujo de 3 m3/min a travs de una contraccin brusca en una tubera que pasa de 150 a 100 mm de dimetro. 5.12! Cul es la longitud equivalente de tubera de 5 cm de dimetroJ = 0,022, para (a) una boquilla de Borda, (6) un ensanchamiento brusco de 5 a 10 cm de dimetro y (c)unavlvula esfrica y un empalme en T normal? . 5.125 Determinar H en la Fig. 5.50 para un flujo de aceite de 750 I/min, JI. = 0,1 poises,y = 960 kg,/m3, para la vlvula de ngulo totalmente abierta. 5.126 Determinar el valor de K para la vlvula de ngulo del Probo 5.125 cuando el caudal es de 300 l/min y la misma n.l.'0.075 mm__- __-- ---Fig. 5.50Tubera de acero,.,. " ." .",,,,11...f 5.515.112 Determinar la presin mxima en el fluido del Probo 5.131 y su situacin. 5.133 Determinar el centro de presin para la deslizadera d~l Problema 5.131. 5.134 Demostrar lJue un eje concntrico con su cujinelc no puede soportar carga. 5.135 La tensin de cortadura en un fluido en movimiento entre dos placas planas paralelases constante en toda la seccin recta; es nula en las placas y aumenta linealmente hasta el punto medio; vara parablicamente a lo largo de la seccin; (d) es nula en el plano medio y vara linealmente con la distancia desde el plano medio; (e) ninguna de las respuestas anteriores.(a) (6) (e)iII .--PO -0,0'2850 mm'888Fi,.1=~;~~~. ~_~ ~~.-.~=-:~:~~: ~~~-~J V~~~~IOdem!:L_~ ,,= ,~'.: ~5.116 La distribucin de velocidades para el /lujo entre dos placas paralelas fijases constante en toda la seccin recta; es nula en las placas y aumenta linealmente hasta el plano medio; (e) vara parablica'!lente a lo largo de la seccin; (d) vara con la potncia ~ de la disiancia desde el punto med'io; (e) ninguna de las respuestas anteriores. (a)(6)5.137 El caudal entre dos placas paralelas, separadas una distancia a, cuando ulla llene la velocidad U y la tensin de cortadura es cero en la placa fija, es (a) (e)Va/3(b)Va/2(e)2Va/3(d)Vaninguna de las respuestas anteriores.5.138 Un fluido se mueve con un movimiento laminar entre dos placas paralelas, de las que una cs mvil. y est sometido a un gradienle de presiones de tal for- ' 153. EUMamentos de 111 mee6niea de los jluidos306ma que el caudal a travs de una seccin recta fija es nulo. La velocidad minima se presenta en un punto que dist:> ,.:e la placa fija (a) (e)5.147-3U/4~(h)-2U/3(e)-U12(d)importante desde el punto d vista de los proyectos; . 7 el nmero para el cual el flUJO cambla de turbulento a lammar; (e) aproximadamente 2.000; (d) no mayor de 2.000; (e) no es de importancia prctica en los problemas de tuberas.-U/35.148 El nmero de Reynolds para el flujo en una tubera est dIado por-U/6(a)La relacin entre la presin y la tensin de cortadura en un flujo laminar unidimensional en la direccin de x est dada por 5.140(a) (d)dp/dx = JI. dr/dy dp/dx = dr/dy(e)r du/dy (h) r/J12 (e) J1 du/dy ninguna de las respuestas anteriores,(d)(a)r(du/dy)2(a)(a) (d)(e)(a)(b) (e) (d) (e)es constante en toda la seccin recta; . es nula en la pared y se incrementa linealmente hasta el centro; varia parablicamente a lo largo de la seccin; es nula en el centro y vara linealmente con el radio; ninguna de las respuestas anteriores.5.1535.145O (b) 30 (e) puestas anteriorcs.15(d)360(e)ninguna de las res-En flujo laminar en una tubera circular el caudal vara (a)(b) (e) (d) (e)linealmente con la viscosidad; con el cuadrado del radio; inversamente a la cada de presin; inversamcnte ' la viscosidad; con e! cubo de! dimetro.5.146 Cuando un tubo est inclinado, el trmino -:dp/dl se remplaza por (a) (d)-dz/dl -d(p+(b) p=lIdl-ydz/dl (e)-d(p(e)-d(p + z)/dl+ yx)/dl(d)40.000(e)ninguna8.060 (b) 8.HiO (e) las respuestas anteriores.816(d)800(e)ninguna de7,64 x 106 2,37 x 104(b) (e)67,64 x 10 5 (e) 2,43 x 10 ninguna de las respuestas anteriores.independiente de la distancia radial desde el eje de la tubera; independiente de la tensin de cortadura; nula en la pared del tubo; una constante universal; til para clculos en los problemas de flujo laminar.En una corriente de un fluido de baja viscosidad, el efecto de la viscosidad no aumenta apreciablemente la resistencia sobre el cuerpo; (b) la teora del potencial nos proporciona la fuerza de resistencia sobre el cuerpo; (e) el cfecto de la viscosidad se limita a una estrecha regin cercana al cuerpo; (d) la resistencia de deformacin sobre el cuerpo es la que siempre predomina; (e) la teora del potencial no contribuye en nada a la forma del flujo alrededor de un cuerpo.(a)5.144 Cuando la cada de presin es de 2,4 kg/cm 2 en 100 m en una tubera de 500 mm de dimetro la tensin de cortadura en kg/m es (a)200 (b) 1.200 (e) 12.000 dt las respuestas anteriores.5.152 La longitud de mezcla de Prandtl esLa tensin de cortadura en un lquido que fluye por una tubera circular(d) (e)VD/J.l5.151 El nmero de Reynolds cuando un caudal de 250 I/scg de agua a 100 C fluye por una tubera de 100 mm de dimetro valela cortadura es cero en el lquido; (h) dr:/dy = O en la placa; (e) r = O en la superficie del lquido; (d) la velocidad es constante en el lquido; (e) no hay prdidas. (a)(a) (h)(d)5.150 El nmero de Reyno.lds para una esfera 'de 10 mm m01indose a una velocidad de 10 m/seg en un aceIte de S = 0,80 Y JI = 0,01 kg seg/m es5.142 Cuando un lquido tiene movimiento laminar a profundidad constante y desciend~ por una placa inclinada (y medida normal a la superficie)5.143VD/v (h) VDJI./p (e) VDp/v ninguna dc las respuestas anteriores.5.149 El nmero de Reynolds crtico inferior vale(h) dp/dy = dr:/dx (e) dp/dy = 11 dr/dx ninguna de las respuestas anleriorcs.(e)5.141 La expresin de la potencia consumida por unidad de volumen por un fluido en movimiento laminar unidimensional en la direccin de x es (a) (e)El nmero crtico superior de Reynolds es (a) (b)a/6 (h) a/3 (e) a/2 (d) 20/3 ninguna de las respuestas anteriores.5.139 En el Probo 5.138 el valor de la velocidad minima es (a) (e)30!Efuto de la viscosidad: resistencia jluidaI 1 1i5.154 ,La sustentacin sobre un cuerpo sumergido en una corriente fluida es debida a la fuerza de flotacin: siempre en direccin opuesta a la gravedad; la resultante de las fuerzas ejercidas por el fluido sobre e! cuerpo: (d) la componente de la fuerza ejercida por el fluido sobrc el cuerpo(a)(h) (e)I 154. Fllndllmentos de la mecnica de los jlidos308(e). normalmente a la velocidad de aproximacin; la componente de la fuerza ejercida por el fluido sobre el cuerpo paralelamente a la velocidad de aproximacin.(e)5.1635.155 El espesor desplaZado de la ca!>a lmite es (a) (b)(e) (d) (e)Id)(e) (d) (e)(a)(b) (e)op/ox (b) J.l ou/ay!,=o (e) p ou/a;il,=o ou/Oyl,=6 (e) ninguna de las respuestas anteriores.J.l(e)e" lb) cos 1t'1/2 (e) '1 - '1 2 ninguna de las respuestas anteriores.(d)(d) (e)5.165211 - '1 32D/pU21(b)pUl/D(e)La estela es una regin de altas presiones; es la cusa principal del rozamiento pelicular; se presenta siempre que la resist~ncia de deformacin predomina; se presenta si':mpre'despus de un punto de separacin; (e) ninguna de las respuestas anteriores.pUI/2D5.166ninguna de las respuestas anteriores.La resistent'ia de presin resulta de (ti)5.159 La velocidad media dividida por la velocidad mxima. cuando est dada por la ley de la potencia " es (a)-&(b)! (e) puestas anteriores.4(d)-&(e)(b)(e) (d)ninguna de las res-(e)l/x 1/2(b)xli?(e)X l/2(d)x 6 /7(e)ninguna de(ti)las respuestas anteriores. 5.161(b) (e)El espesor de la capa lmite turbulenta vara con (a)Ilx 1/ 5 (b) X 1/5 (e) las respuestas anteriores.x 1/2Id))(4/ 5(e)(b)(e) (d)(d)ninguna de5.162 En el flujo a lo largo de una placa rugosa, el orden del tipo de flujo de aguas arriba a aguas abajo es (a)el rozamientopclicular; la resistencia de deformacin; la desaparicin del flujo potencial cerca del punto de estancamiento; la presencia de una estela; ninguna de las, respuestas anteriores.5.167 Un cuerpo largo con una parle anterior redondeada y cnica hada atrs es; en general. adecuado para5.160 El espesor de la capa lmite laminar vara con (a)se reduce la se:;cin recta de un canal; la capa limite tiende al reposo; se alcanza la velocidad del sonido; la presin alcanza un mnimo; se cierra una vlvula.(a) (b) (e) (d)5.158 El coeficiente de resistencia o arrastre para una placa plana es (D = re sistencia) (a) (e)la reduccin de la presin a la presin del vapor; la reduccin del gradiente de presiones hasta anularse; un gradiente de presiones adverso; la reduccin a cero del espesor de la capa lmite; ninguna de las respuestas anteriores.5.164 La separacin se presenta cuando5.157 Cul de las siguientes distribuciones de velocidades ulU satisface las condiciones de contorno para el flujo a lo largo de una placa plana? '1 = y/f>. (a)laminar. intluido por la rugosidad de la pared. hidrulicamente liso, regin de transicin.La separacin se origina por (ti) (b)el espesor de la zona que est afectado por la tensin de cortadura en la pared; un medio del espesor real de la capa lmite; la distancia al punto donde u/U = 0,99; el espesor de la zona donde el flujo principal est alterado; ninguna de las respuestas anteriores.5.156 La tensin de cortadura en la superficie de una placa plana es (a)109Efuto de 111 viosidad: resistencia fluidalaminar, influido por la rugosidad de la pared. regin de transicin. hidrulicamente liso; laminar. regin de transicin. hidrulicamenle liso, influido por la rugosidad de la pared; laminar, hidrulicamente liso. regin de transicin, influido por la rugosidad de la pared; laminar, hidrulicamente liso, influido por la rugosidad de la pared, regin de transicin;(e).1flujo laminar; flujo subsnico turbulento; Ilujo supersnico; flujo a la velocidad del sonido; ninguna de las respuestas anteriores..,.5./68 Un cambio rpido en la posicin del punto de separacin en el flujo alrededor de una csfera se presenta para un nmero de Reynolds de aproximac'amente (a)l(b)300(e)30.000(d)3.000.000(e)ningunad" las respuestas anteriores. 5./69El cI:CIo de la compresibilidad sobre la fucrza de resi,tcneia cs tal quc (u) (b) (e)le haec aumenlar grandemente en las proximidades de la velocidad del sonido; le haee disminuir cerca de la velocidad del sonido: le haee tender: asinttieamcnte a un valor conSlante para grandes nmeros de Mleh; 155. I31J310(11) le hace aumentar ms rpidamente que el cuadrado de la velocidad para grandes nmeros de Mach; (e) la reduce para cualquier tipo de flujo.5.1775.170 La velocidad final de una pequea esfera que sedimenta en un /luido viscoso varia5.178En una tuberia dada rugosa la prdida de energia depende de (a) (e)f, V (b) /l, P (e) R (d) solamente Q ninguna de las respuestas anteriores.En la zona de turbulencia completa y tuberias rugosas las tuberas lisas y rugosas tienen el mismo coeficiente de rozamiento; la pelcula laminar cubre las rugosidades; (e) el coeficiente de rozamiento depende nicamente del nmero de Reynolds; (d) la prdida de carga vara con el cuadrado de la velocidad; (e) el coeficiente de rozamiento es independiente de la rugosidad relativa. (a)con la primera potencia de su dimetro; en razn in"~rsa de la viscosidad del fluido; en razn inversa del cuadrado del dimetro; (d) en razn inversa del dimetro; (e) con el cuadrado de la diferencia de pesos especificos del slido y del fluido. (a) (b) (e)(b)La prdida de energia en el flujo en un canal abierto varia5179 El coeficiente de rozamiento para flujo de agua a IS e por una tubera de 600 mm de dimetro de fundicin, con una velocidad de 10 m/seg escon la primera potencia de la rugosidad; en razn inversa de la rugosidad; (e) con el'cuadrado de la velocidad; (11) en razn inversa del cuadrado del radio hidrulico; (e) con la velocidad.5.171O (b) 0,dl0 (e) 0,028 (11) 0,016 (e) ninguna de las respuestas anteriores. 5.180 El procedimiento a seguir para el clculo de las prdidas de energia cuando se conocen Q, L, D, v, E, es(a) (b)5.172En canales abiertos la clase de flujo de ms simple clculo es permanente y uniforme; no uniforme y permanente; (e) no permanente y uniforme; (4) no uniforme y no permanente; (e) gradualmente variado. (a)(b)5.173En un canal abierto de gran anchura, el radio hidrulico es (a)y/3 (b) y/2 (e) puestas anteriores.2y/3(d)y(e)ninguna de las res-5.171 El coeficiente de rugosidad de Manning para hormign acabado es (a)0,002(b) 0,010 (e) 0,10 (4) depende del radio hidru(e) ninguna de las respuestas anteriores.lico;5.175 En flujo turbulento, una tubera rugosa tiene el mismo coeficiente de rozamiento que una tuberia lisaen la zona de turbulencia completa, tuberas rugosas; cuando el coeficiente de rozamiento es independiente del nmero de Reynolds; i (e) cuando la altura de las rugosidades es mucho Inenor que el espesor de la capa lmite; (4) en toda la zona de transicin; (e) cuando el coeficiente de rozamiento es constante.(a) (b)5.176 El coeficiente de rozamiento en flujo turbulento en tuberas lisas depende de las siguientes magnitudes: (a)V, D,p, L, JI(4) V, D,/l,P(6) Q, L, JI, P (e) p, L, D, Q, V(e)V, D, p, p, /l(a)suponer un 1, buscar R en el diagrama de Moody, etc.; . suponer un hl , despejar 1, comprobarlo con R en el dIagrama de Moody; (e) suponer un 1, despejar 1:1 , calcular R, etc.; (d) calcular R, buscar fpar3 E/D, calcular despus h; (e) suponer un R, calcular V, buscar f, despejar h.(a),(b)5.181 El procedimiento a seguir para hallar el caudal cuando se conocen h, L, D, v, e, essuponer unf, calcular V, R, E/D, buscar f, repitiendo si es necesario; suponer un R, calcular 1, comprobar E/D, etc.; suponer un V, calcular R, buscar f, calcular V de nuevo, etc.; (d) despejar V de la frmula de Darcy-Weisbach, calcular Q; (e) suponer un Q, calcular V, R, buscar f, etc. (a)(b) (c)5.182 El procedimiento a seguir para obtener el dimetro de la tubera cuando, se conocen h, Q, L, v, E, es (a) suponer un D, calcular Y, R, E/D, buscar IY repetir; (b) calcular V por la ecuacin de continuidad, suponer un f, despejar D; (e) eliminar V entre R y la frmula de Darcy-Weisbach usando la ec~a. cin de continuidad, suponer un/; despejar D, R, buscar f, Yr~petlr; (d) suponer un R y un E/D, buscar f, despejar JI'l/D en Darcy-Welsbach y despejar con continuidad V y D, calcular un nue~o R, etc.; (e) suponer un V, despejar D, R, E/D, buscar Iy repetir. 5.183 La prdida debida a una contraccin brusca est dada porel)V 22(.!- Ce(a)(b)(1 -(d)(e)ninguna de las respuestas anteriores.2g(e)j 156. Fundamentos de la mecnica de Jos fluidosJ 12La prdida a la salida de ua tubera sumergida en un depsito es5.184(a)despreciable(N)V /2g2(e)(b)O,05(V2/2g)(e)Las pdidas menores pueden, en general, despreciarse cuando5.1856 -t:,/t 0,5(V2/2g)ninguna de las respuestas anteriores.hay ms de 100 m de tubera entre dos accesorios especiales; (b) su valor es el 5 por 100 o menor que las prdidas por rozamiento; (e) hay 500 dimetros ' 'gases perfecto.~ 'En la Seco 1.6 [Ec. (1.6.2)] se defini el gas perfccto como un fluido que ticne los calores especficos constantes y que siguen la ley , 71 = pN'l'(n.I.1) donde p y T son, respectivamente, la presin absoluta y la temperatura :lbsolut,c:.. A.._ -mm,,,/ RTo = ~ O,686po(b)x J29,3(273 + 25)9,89,80,686 x 0,8 x 1(;4= 0,00545 m' = 54,5 cm 'El rea de salida se puede determinar a partir de la Ec. (6.3.21):A = .~~ (~~_Ml) M 63=54,5 (~~) 3 36=230,8 cm'~,..' 164. 318FuniMmenlo. de 111 meclnica de los fluidosFlujo compresihle329De la Ec. (6.3.11)(e)1,///t'//"2.~.: -----: _De la Ec. (6.3.12)P= [1+ (k -flg. 6.2 I/orlllal.proProJ)IP/2]1/(!-l) = H7',,[10,8 X 104 ---'---'29.3 x 9.M x 30(J(1 + 0,2 x 32)2.~+ (k -Ol/daat'dwqlll! ele co/lllJre.lil/ ! .I)M2/2]W-IIIUTM = O07 l .... , -1mJ,J,',De la Ec. (6.3.10)T= I + (kT _ I)M 2 /2300= 1+0,2x 32= 107.)" KLa velocidad esf.jemplo 6.11 Un conducto convergente-divergente en una lnea de transporte de aire. aguas abajo de un recipiente, tiene una garganta de 5 cm de diamctro. Detenninar el caudal en masa cuando Po = K,4 kg/cm 2 (abs), lo = 32" C y PI = 5,6 kgfcm 2 (abs). Po Po = RT,',Ejemplo 6.10Un cOndUCl( de aire convergente-divergcnte liene de seccin recta de la garganta 370 cm' y de seccin recta de salida 925 cm". La presin en el 2 recipiente es de 2 kg/cm (abs) y la temperatura IS" C. Determinar el margen de nmeros de Mach y el margen dc presin en la salida para flujo isoentrpico. Ha. llar el caudal en masa mximo. Resolviendo la Ec. (6.3.21)~= A*1[por tanto, da M = 2,44 Y 0.24. Cada uno de estos valores del nmero de Mach en la salida es para condiciones crticas; por consiguienle. el margen del nmcm de Mach para flujo isoentrpico es de Oa 0,24 y el valor aislado 2.44. De la.Ec. (6.3.11)Para M = 2.44, f' = 2/15.55 = O,12X kg/ 1, existen los valores de P2' V 2, P2' y M 2 = V 2/ Jkp2/P2 y M 2 < 1. Eliminando VI y V 2 entre las Ecs. (6.4.1), (6.4.2) Y (6.4.3) se obtienen las ecuaciones de RankineHugoniot:Continuidad:y[(1.: + 1)/(1,- - t)](pdp) - 1 [(1.: + l)/(k - I)J - pdr+ [(k + 1)/(1.' - l)]pdpt [(1.: + 1)/(1.: - 1) J + l)~/JlI1((.4.1) PI Energ~ :(IH.2)que se obtienen de la Ec. p.ll.8) no habiendo cambio en la altura, ni in tercambio de calor ni se realiza trabajo. La entalpa es h = u + p/p = cpT, y h o es el valor de la entalpa de estancamiento, es decir, su valor en el depsito o donde el fluido est en reposo. La Ec. (6.4.2) se cumple para fluidos reales y es vlida aguas arriba yaguas abajo de una onda de choque. La ecuacin de la cantidad de movimiento (3.11.9) para un volumen de control entre la seccin I y 2 es(tilo)((j,1.7)Estas ecuaciones, que relacionan las condiciones en cada lado de la onda de choque, ocupan el lugar de la TI'lacin isoentrpica, Ee. (6.1.16),pp-k = constante. De la Ec. (6.4.2), la ecuacin de la energa,~ p + ~l_.. :21!=k-Ip~: + ~~2_ ~~ ,=:2C*2(f1.4H)1 - 1 /.. -1:2 ..ya que la ecuacin se cumple para todos los puntos en flujo adiabtico sin cambio en la altura, y c* = Jkp*/p* es la velocidad del sonido. Divi diendo la Ee. (6.4.3) por la Ec. (6.4.1),'.; y eliminando P2/P2 y Pi/PI' utilizando la Ee. (6.4.8),o sea (li.4.3)Para unas condiciones aguas arriba dadas h, PI' VI' PI' se despejan P2 Y V de entre las tres ecuaciones. Tambin se puede utilizar la ecua 2 cin de estado de un gas perfecto, P = pRT. El valor de P2 es P2'(oA:4 )((.4.9)que se satisface para VI = V 2 (no hay onda de choque) y para VI'V! = C*2Se puede escribir V V 2 .---.- = 1c* c*Una vez determinada P2' combinando las ecuaciones de continuidad y de la cantidad de movimiento (,).;)(6.4.10)(6.4.11)Cuando VI es mayor que c*, el nmero de Maeh aguas arriba es mayor que la unidad y V 2 es menor que c*, de manera que el nmero de Mach final es menor que la unidad, y viceversa. En la seccin siguiente se de- 166. 332FllndamelllO$ de la mecnica de 10$ fluUJO$Fllljo compresiblemuestra que el proceso solo puede producirse a partir de flujo supersnico aguas arriba para pasar a flujo subsnico aguas abajo. Utilizando la Ec. (6.1.l4), junto con las Ecs. (6.4.4), (6.4.6) Y (6.4.7), se puede obtener una expresin para la variacin de entropa a travs de una onda de choque normal en funcin de MI y k. De la Ec. (6.4.4),De la Ee. (6.4.5)J 12. p~= '~+IComoe/P2 '- PI= VI,~-= 1.800 -(0,277 - 0,07) XI ' ) _ 850 / 1.800 x 0.00121 m scgDe la Ee. (6.4.1)['.2k P1 JI}1V233Jkp~- - (k -1)] (0.4.12) P - p= kpdpI Y MI2 -VI/el' de la Ec. (6.4.12),1.s V= 000121 .!.:,l>00 = 0,00256 UTM/m 3850'2yP:'.21.-11 12PI-Ji(k -+1)(0.4.13)1273 -P2_2770R - 273 - 0,00256 x 9,8 x 212/2 =T26.5_ 273 = 247"eLneas de Fanno y Ray/eigh--P2Llevando este valor de 1'2/PI a la Ec. (6.4.7), da P2fll(k 2PI++ 1)11 12 (1.:-1)Ahora bien, el sustituir estas relaciones de presin y de densidad en la Ec. (6.1.14), 2S., - S, = r, 111 .1 '.21.-"1 1 1 1 ..~ + ] [2 +M2(k '1 12 (1.: + 1)+]])Jk} (fU. 11)Sustituyendo en esta ecuacil' MI > I para cl valor adecuado de k. se puede demostrar que la entropa aumenta a travs de la onda de choque, mostrndose a la vez que la onda de choque normal debe pasar de un flujo supersnico aguas arriba a un flujo subsnico aguas abajo. Sustituyendo valores de MI < 1 en la Ec. (6.4.14) no tiene sentido la ecuacin resultante, ya que la Ec. (6.4.13) de un valor negativo de la relacin P2/P, En la seccin siguiente se estudia ms a fondo la onda de choque introduciendo las lneas de Fanno y Rayleigh. Ejemplo 6./1 Si se produce una onda de choque normal en el flujo de hello 2 con PI = 0.07 kg/cm (abs). 1 1 = 5" C. VI = I.IlOO m/seg. hallar {)2' 1'" V, Y 12De la Tabla C.2.RP I=P, ----RT1=212. k=1,66, Y0.07 x 10 = ------ -----~~- = O0012 t UTM/111 ) 212x9, Hx t273+5) De la Ec. (6.4.4) I1'2 =1~''6--+ [2 x 0.00121 x (UmO) - (1,66 - 1) x 0.07 x 10.J =2.770 kg/1ll 2 (abs)Para examinar con ms detalle la naturaleza de la variacin de flujo en la corta distancia que define una onda de choque, donde se puede considerar constante el rea, se combinan las ecuaciones de continuidad y de la energa para el flujo adiabtico permanente y con rozamiento. Considerando fijas las condiciones aguas arriba, es decir, PI' V, PI' se puede hacer un diagrama de todas las condiciones posibles en la seccin 2, Fig. 6.2. Las lneas de dicho diagrama para caudal en masa constante G por unidad de rea se llaman lneas de Fanno. El diagrama ms idneo es aquel cuyos ejes son la entalpa y la entropa, es decir, un diagrama hs. La ecuacin d~ la variacin de entropa para un gas perfecto, ,. , Ec. (6.1.14), ess -81 =e, 111[i;~ (~~y](ti.5.1)La ecuacin de la energa para flujo adiabtico sin cambio en altura es, a partir de la Ec. (6.4.2),V +-'.22hu=/yla ecuacin de continuidad cuando no hay cambio de rea Ec. (6.4.1), G = pV(ti.5~)es"de la(6.5.3)La ecuacin de estado" que relaciona h, P y p, es h = e 'J' = c,.p /'{'p(6.5.'1) 167. 334aparece la onda de choque. No se ha utilir.ado la ecuacin de la cantidad de movimiento para determinar la lnea de Fanno, por lo que an no se ha determinado la solucin completa., 'Ol= "02Lrnea-- _ _ ~lIb9nlcnde Fanno-.o- -.'- -I- -SuIJ9nlcoLinea de Ra)JleighhLas con'diciones antes y despus de la onda de choque deben satisfacer tambin las ecuaciones de la cantidad de movimiento y de continui dad. Suponiendo constantes las condiciones aguas arriba y que el rea es constante, se utilizan las Ecs. (6.5.1), (6.5.3), (6.5.4) y (6.4.1) para determinar la lnea de Raylcigh. Eliminando V entre las ecuaciones de continuidad y de la cantidad de movimiento,Linea.! de Fanno y Raylcl~".Fi/:. 6.3,335Flujo compresibleFundaml!ntos dI! la mecnica dI! los fluidosG = f' V= constante ~-'------------4-SPEliminando p, p y V de las cuatro ecuaciones,PIC,=,.('onsth)lk-llI2](,s = 8,se representa en la Fig. 6.3 (que no est a escala). Para hallar las con~lclOnes de entropa m~xima se deriva la Ec. (6.5.5) respecto a h y se Iguala a cero ds/dh. Indicando mediante el subndice a los valores en el punto de entropa mxima tenemos quep'+ c, 111 -'.- + e, 1i-=r1 1 2 ho -hak -Oj' i11 =2=--le+1hok + J --:-2- h""J:~ = ~ ~ (8 - ~)((i.5.0)la lnea de Rayleigh. Se halla el valor de entropa mxima hallando ds/dp y dh/dp en estas dos ecuaciones, despus se dividen y se iguala a cero, utilizando el subndice h para el punto de entropa mxima:=11."+V,,2 '2y cl'T = e"p y se representan en el diagrama hs como se indica en la Fig. 6.3. Esta esSustituyendo este valor en la Ec. (6.5.2) hallar Va' 2(ti,5.8)p'Las dos ltimas ecuaciones determinan s y h en funcin del parmetroo seahaH-(,'"p111 -_ .._ .._-' ...La entalpa se puede expresar como funcin de p y de las condiciones aguas arriba, segn la Ec. (6.5.7): ).dh(tU>.7)B(n.5.5)q~~ds=A continuacin, eliminando p entrc csta ecuacin y la de la entropa.~ '~l + c,.ln [~{ I! (v~l)k-IJ + c, In [h(h o -s+ C" ~ P(k -1)11"(k -kllJ) - - - T" 1.'- tkUT" = e,,2 ((j.5.(i)Por consig~i~nte se obtiene la entropa mxima en el punto o para M = 1, o seacondIcIones snicas. Para / > ha el flujo es .subsnico, y para h < ha el fluJu es supersnico. Las dos condiciones, antes y despus de la onda de choque, deben caer en la lnea de Fanno apropiada para el rea dondcPara satisfacer esta ecuacin, el numerador debe ser cero y el denominador distinto de cero. Igualando a cero el numerador dak(;2 =---'----Ph(B - Ci2jp,)o sea " 1.',-=pI>P,1)/, 168. 336Fundamentos de lo mecnico de los fluidoses decir, M = l. Para este valor el denominador es distinto de cero. Dc nuev~ como con la lnea de Fanno, aparecen las condiciones snicas en el punto de entropa mxima. Como las condiciones deben estar sobre ambas curvas, inmediatamente antes e inmediatamente despus de la onda de choque, debe pasar bruscamente de un punto de interseccin al otro. La entropa no puede disminuir, ya que no se transfiere calor del flujo, de modo que el punto aguas arriba debe ser la interseccin con entropa mnima. En todos los gases estudiados, la interseccin en el flujo subsnico tiene la entropa mxima. Por tanto, la onda de choque aparece desde el flujo supersnico al subsnico. Las lneas de Fanno y Rayleigh son valiosas para analizar el flujo en conductos de rea constante. Estos se estudian en IlIs secciones siguientes.Q 6,6 Flujo adiabtico con rozamiento en conductos En esta seccin se andiza el flujo dc gas u travs de ulla tubera o conducto de rea constante sometido las hiptesis siguientes: 1. Gas perfecto (calores especficos constantes). 2. Flujo permanente unidimcnsionlll. 3. Flujo adiabtico (no hay transmisin de calor a travs de las plIrcdes). 4. Coeficiente de roznmiento conslnnte en toda la longitud del conducto. 5. El dimetro efectivo del conducto D es cuatro veces el radio hidrulico (rea de la seccin recta dividida por el permetro). 6. Los cambios de altura son despreciables frente a los efectos del rozamiento. 7. Ni se aade ni se extrae trabajo del flujo. Las ecuaciones de control son las de la continuidad, la de la energa, de la cantidad .de movimi'~nto y la ecuacin de estado. La lnea de Fanno desarrollada en la Seco 6.5 y representada en la Fig. 6.3, se refera a casos de rea constante y utilizaba las ecuaciones de continu 1/ el interclmbio de calor es desde el fluido. De las Ecs. (6.8.5) y (6.8.6)Presin de estancamiento [Ec. (6.3.11)J:k - 1 2349l/Ji subsnico oI/,jk slper.:~jniroAumenta Aumenla Disminuye Disminuye Disminuye Aumenla para M < ,ff1(k + 1) Disminuye para M > J2j(k + 1i 175. 350Fu"ame"tos de la mud"ica de los jbfirlosEl superndice *' indica las condiciones en M = 1/ sentan los valores en cualquier seccin aguas arriba.Jk,YM Y p351Flujo compresiblere repla sustentacin del perfil de ala, estampido snico, arrastre de onda, regla del rea y calentamiento aerodinmico. Estos cuatro ltimos temas se han reproducido con variaciones mnimas de Supplementary Notes, Aerodynamics and Gas Dynamies}), Department of Mechanics, United States Military Academy, West Point, Nueva York.Ejemplo 6.16 En una tuf.,crfa dc 10 cm dc dimctro intcrior entra hclio d d' una to~era converg~nt~-di~er~ente a M = 1,30, P = 0,15 kg/cm 2, T = 222ocsK~ Determmar para fluJ? IsotermlCO: (a) la longitud mxima de la tubera para q no h~ya estrangu!amlcnto, (b) las condiciones aguas abajo y (e) la distancia des~c la salida a la seccIn donde M = 1, f = 0,006. e (a) De la Ec. (6.8.10) para k = 1,66Efecto de las ondas de choque y del desprendimiento la rrvtc/lda dd perfil di' alaso/m' fa .m.vtentacin yO,OO6Lm..1 - 1.66 x (1,3)2101,66 x (I,W+In [1,66 x (1,3)2]de donde L mal = 646,2 cm = 6,462 m. (b) De la Ec. (6.8.11)= pJk M = 0,14Jn6 1,3 = 0,23 kg/em 2p.1El nmero de Mach en la salida es 1/ Jn6 = 0,756. De la Ec. (6.8.6)lvotdV = ~ V 2Vf.I/Vk dM2 M2Mo sea1V*tY-=VkM En la seccin aguas arribaIEl coeficiente de su~tentacin C,. del perfil normal de ala en el vuelo subsnico tiende a aumentar casi linealmente (Fig. 5.23) con el ngulo de ataque. C L alcanza un valor mximo entre 1,2 y 1,8, que se limita por la separacin de la capa lmite (Sec. 5.6) de la superficie superior del ala. Cuando la lnea de. corriente limite se despega, como en la Fig. 6.6, la presin sobre el ala en la regin despegada se hace aproximadamente iguala la presin no perturbada de la corriente de fluido. Como la mayor parte de la sustentacin se produce normalmente por depresin en la superficie superior ms que por sobrepresin en la superficie inferior, el coeficiente de sustentacin baja pronunciadamente. Esta formacin de una gran zona turbulenta sobre la mayor parte de la superficie superior se conoce como desprendimiento, y va acompaada tambin de un pronunciado aumento en el coeficiente de resistencia. Para ngulos de ataque pequeo (Fig. 6.6a) el flujo se separa cerca del borde de salida, pero esto no afecta materialmente a la sustentacin. Cuando Ili velocidad del perfil de ala se aproxima a la velocidad del sonido en el aire, se hacen importantes los efectos de compresibilidad.V.!: M..}kRT = 1,3..}I,66 x 212 x 9,8 x 222 = 1138 rn/seg y V*'=~ _ (e)~----1138.kM - Jf,66 1,3=673 m/segDe la Ec. (6.8.10) para M = 1,0,006L:"., l - 1,66 10 =.~+(a)In 1.66o seaL:.... =6.9Vuelo a gran velocidad1,80 m. M = I se obtiene a 1,80 m de la salida.d 1 Est~ seccin, dedicada al vuelo a gran velocidad, trata cinco aspectos e pro lema: efecto de las onda3 de choque y del ~esprendimiento sobreFil(. 6.6 Perfil de "1,, e/l flujo "uh."'/I;eo. (a) Pluio "in desprendim;enro. (h) Flujo con d,'sprendimie/llO. 176. ,lJ52Fundamentos de /a mecnica de los fluidos353Flujo compresibleI Un perfil de la delgado en flujo subsnico tiene un coeficiente de suste~tacin que est relacionado con el coeficiente de sustentacin para flujo incompresible C LO , mediante la transformacin de Prandtl-Glauertdonde MCX) es el nmero de Mach de la velocidad de aproximacin relativa al perfil de ala. Por consiguiente, el coeficiente de sustentacin aumenta cuando aumenta el nmero de Mach hasta la zona transnica. El coeficiente de arrastre aumenta grandemente en esta zona (Fig. 5.25). La zona transnica se define como la zona del nmer