Mecanica de Materiales - Esf Flexion

5/17/2018 Mecanica de Materiales - Esf Flexion - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-de-materiales-esf-flexion 1/8

'102 CAPITULO ~/ESFUEFIZOS EN ;VI~AS

'SECCION A Analisis de,Vigas

la)

- - - - . C ,

.iC::::::::• ..,----~ T

B

FIGURAS.1

5.2 .Esfuerz iOS de flexlon

Para ~e5Crih~ 111,aceion 'd~ lo s esfuerzoside fl~xi6n;'consla~rese 'una

vie,-asujetaa.flexion pura Ces decit, una vlga en Iii cual no ' se presentanesfuerzos cortantes}, .como enJa Flg; 5~1.Sup6ngaseque .la vi~a estaformada de un gran rnimero de fibras longirudinales.Cuando_se flexionala viga, las' fibras de laporci6-n superior -de la "igas,ecomprilnen,mien-t:ra~que las deIa porcion inferiorsealargan. Se ve intuitivamente ql_le

debehaher ilguna supeficie donde se verifica Ii transicion entre com-pt€si6ily tensjon,Esta_ s,!iPer{j:cie (en Ia eual ~Ie#uerzo 1 : 1 5 getd) sellama la superficieneutra, 6 eje.n:el,ltro, y esta Ioc~iZad~ ~nel centrode gtavedad de Ia seccf6n transversa)" L~ Fig. 50l (b) es un dia,gramade cuerpo libre deIa.porclon izqtrierda de Ia :vlga ymuesfra la distribu-cionde las fuerzas en las :fibrasde Ii:!.vlga.

Las fuerzas resultantes de comp re s ion y de. tensi6n ('C y T) so niguales enrnagnitud y fonnanalmomento resisterite interne. de la viga(v~ase seceion 4.2}. La magnitudde los-esfuerzos maximos de tension

y d e cOlllpresion enIa.:vj~~,asociadoscC)n este momentopnedendetermi-narsea parti;i" tl~ la, f6rmul~ de 13.flexion, qu~se d~uce en Ia s~ci6ris:igtdente:

En la dec1uccl6n y uso de Ia formula de la fle~6n,. se haeen ciertas

suposlciones conrespecto a. la acci6n de Ia. viga.Enun trabajo de dise-

n o normal estas suposicionesse aproximan a . la accionreal de la viga.Sien casos relativamente-raros de disefinelernental surgen situaeionesdonde estas suposiciones no son validas, deben emplearse ctrosmeto-

dos de anaIisi-s ..~ $up6stdoi1~ que se hacenal u sar'Ia f& _I; [] _ru .l~ de lafIexi6p. SOI1 :

,1 . Laviga inicialmente esreeta, tiene una secctontransversal cons-

tantey se conservaasi-esencialmente euando estacargada, Las

vigl¥ realmente tienen ligeramente flexiones y torceduras quepue,(l~m,o~urrir durante su Japricaci6n, 'Y cuyo efeetosa .des.preqla.Sin. e m b a r g o " el ganl?'ho de una grUa)q~e tiene' unagrancnrvatura,

nopodria' disefiarse mediante Ia formula de la flexiOn de este

capitulo.2. Lascarg.asseapHcan en tal fonna que no- se presenta forsion.

Si las cargas se. aplican excentricamente, tiene Ingar una, com-bimicion de flexion y torsi6n:EI analisis de este··.tipo .de.ca~ga e~tafuer:.a. del alcance de .est€; libra, pereel capitulo, 11 considera. el

t6pico ~dic,ipna.lmente.. .3( 'T od os los esfuerzos enIa viga esrlinpot d ebajQ .del Jftnite de

proporcionalidad, y p or o on s~ gmen te! seaplica [aLey de Hooke,4. Elm6dulo de elastieidadde la s fibras :a compresion es igual al de

la s fibras a tension.5: La .partede lavigaque esta comprimida, € S t d . restringida paramoverse lateralmente.



SEGCION 5.S/FORMULA DE LA FLEXION 103

6. La linea de accion de las fuerzas sobre la viga se aplica paralela-mente a un eje principal y pasando por el centro de cortante. (EIcapitulo 11 describe este tema can mas detalle.)

7. Las secciones planas antes de la flexion se conservan planas des-pues de Ia flexion. Es decir, un plano que pase a traves de unaseccion transversa] antes de la flexion no se alabeara despues deque se cargue la viga. Esta suposicion explica la distribucionde esfuerzos en forma lineal (OA y OB) mostrada en laFig. 5.1 (b).

Estas suposiciones y las-caraeteristicas Hsicas asociadas con Ia flexion

pueden observarseen 1a Fig. 5.2. La Fig. 5.2 (a) y (b) muestra la vigay dos seceiones planas (a-b y c-d) antes y despues de 13 flexi6n.Como las secciones planas antes de la flexion se eonservan planas

despues de la flexion (suposicion 7), las fibras de la viga deben carnbiarde Iongitud. La posicion original de las fibras que se rnuestran en laFig. 5.2 (c) (con Iineas Interrumpidas ) se ha movido despues de 1a fle-xion, a la posicion mostrada par las Iineas cnntinuas. Las fibras superioresse han acortado, las fibras inferiores s - e han alargado, y las Hbras Iocali-zadas ene1 eje neutro no han cambiado su longitud. La Fig. 5.2 (d) esun diagram a de la distribucion de la defonnaci6n en la secci6n trans-versal. _Qbservese especialmente que la deformaci6n varia linealmentedesde cero enel eje neutro hasta un valor .maximo de compresi6n en las

fibras mas superiores y hasta un valor max imo de tension en las Iibrasmas inferiores, Como, por la Ley de Hooke, el esfuerzo es proporcionala la deformacion (suposlcion 3), la distribucion de esfuerzos de laF.ig. 5.2 (e) tiene la misma forma que la distribuci6n de de£onnaciones,pero a una escala diferente. Por consiguiente, los esfuerzos en una vigavarian tambien desde cera en el eje neutro basta un maximo en las fibrasextremas,

5.3 Formulade la flexion .

La formula de la flexion se deducira esencialrnente en la misma formaque 1a formula de la torsion de la seccion 3.2 Primero establecemos

la relacion entre los esfuerzos en las fibras y el momenta resistente interne,1 0 cual se puede hacerde la manera siguiente: '

a) Se analiza una Hbra localizada a una distancia cualquiera y apartir del eie neutro, se detennina la fuerza ejercida en estafibra debida a su esfuerzo, y el memento de esta fuerza con res-peeto al eje neutro.

b) Se obtiene la surna de los momentos de todas las ffbras, con res-

peeto al eje neutro. El resultado sera el momento resistente internede la viga. La deducci6n tiene Ia forma siguiente:

1. Considerese una sola fibra de area dA loealizada a una distaneiay del eje neutro (Fig. 5.3). Si el esfuerzo que actua sobre esta

8 1 Ie

! I i I

1

bl Id

1a)

M

, I \ J-. --f-.t-~

. "

bl

(b)

(e). (d)

DIstribuci6n de

ta deformaci6nDIslribuci6ndel esfuerzo

FIGURA 5.2



104 CAPITULO 5/ESFUERZOS EN visAs

la . Ie

b d

(a)

Ii .c, e· l · a'. . . > 1 • J . . dP

Ejl' \ 1 ' . ~}fbd .

( c l [d) (e~ I f )

FIGURA 5.3

fibraes (T .elesluerzo que actua sabre .laflbra extrema es (T, Y la

distancia desdeel ejeneutro a la fibra extrema es c,entonces,

.por los triangulos semejantes de la Fig. 5,3 ( e), tenemos:

(I' cro a' = ( T I.

c(

2. Conoctendoel esfuerzosobre esta fibra y su a.readA, se determinala fuerza ejereida por esta fibra: .

pa i=>-:

A _ 'dP== cr ' dA = = a1dA .

c

3, E1memento de esta fuerza d I ? con respectoal e J ¢ neutroese

dM = = dPy = ( ( T ~ dA ) Y ' ri M = ~;/ dA

4; Sumando los mementos de cada una de las fibras de la viga seobtlene:

fM f T ' a CJ

. dM = -)"~ ltA,I) , (



SECCION 5.4/USO DE LA FORMULA DE LA FLEXION 105

EI termino f~:y 2 . dA es, por definicion, e1 memento de mercia 1de la seccion transversal, La formula de la flexi6n entonces se convierte

en:M=r: !_l

c

o

. Meu=[' , (5.1)

clonde(1= esfuerzo en las fibras extremas de la viga, en Ib/plg2, 0 en Pa,

M = momenta fIexionante interne en la viga, en lb-plg, 0 en N . m.I = momento de mercia de Ia seccion transversal de Ia viga, en

pIg" , oen m+,c = distancia desde el eje neutro de la viga hasta las fibras extrernas,

en pIg , 0 en m.

Debe notarse que el eje neutro siemprecoindde con el centroids de laseccion transversal si la viga esta sujeta a esfuerzos menores a los delpunto de fluencia y no se presentan fuerzas axiales. .

5.4 Uso dela formula de ta flexion

Se puede 11Sa l ' la f6rmula de la flexi6n para detenninar los esfuerzosmaximos en las fibras de vigas en las cuales se conocen M, C, e T, 0 estesse pueden determmara partir de las cargas dadas y de las dimensiones,Los ejemplos 5.1,5.2 y 5.3 ilustraneste procedimiento.

Frecuentemente, las vigas tienen seceiones transversales asimetricas

con respecto al eje de flexion, sernejantes a las indicadasen Ia Fig.5.4.El procedimiento para analizar estas vigas es semejante al ilustradoenlos ejemplos 5.1,5.2 y 5.3; La {mica diferencia es que existen d os valoresde c. Si 5e qui ere determinar e1 esfuerzo maximo se debe usar la mayordistancia c. Sin embargo, S I S6 van a determinar los esfuerzos tanto enlas fibras de Ia parte superior como en las fibras de 1a parte inferior, seaplica Ia f6rmularr = Mc/Idos veces, usando las respectivas distancias c.

Como el eje neutro siempre esta: en el centroide de la secci6n trans-versal, el primer caleulo consiste en localizar este eje, para determinarlas des distancias c. El procedimiento para calcular vcentroides y mo-

l L l : :(a! Ibl

f J r : T l : :1 ; : ) (dl

FIGURA 5.4



(al

FIGURA 505'

106 CAPlrULo5/EsFUERZbS'I=:NVIGAS

mentos.de Inercia se presentaenel Apendice j\, y se Ilustra en elejem-

p lo 5 .4 .EI ejemplo 5.5ilustra etro problema de analisis que se presentafre-

cuentementev En este caso, se dan, las dimensiones de la 'viga y los es-fuerzos admisibles, El problema consiste en determinar la maxim a ca rg aque se puede apltear, .

EJEMPL05.1 .Determinar el esfuerzo en lasfibras extremasde Ia vigade

100 r o m X 160 n u n indicadaen htFig ..5.5.a) Despreciar el peso de la ,viga.

b) Incluir el peso de la v iga '( e l. peso especifieo de la madera es d e56bON!m~). '

'SQlUGION

a) Elfncmento max imo d e b i C l o a .la carga contenuac!apuede determinarsesegan el oaso 1 d el .Ap~ndj(,'e 1). Asi, .

M, , _ = P t = (2 40i))(4) = 2 400 N .m.m~ 4 4 .'..

El momento de inercia es

r:=~bh 5.,: ~(100 x 10'"'3 m)(160 x 10-3 m)" ,

1= 34x 1 O - ; 6m4.

EI esfuerzoen la s fibras ext:remas,supyriores 0; inferiores, es

M e ( :2 400 N· m)(80X Hl-~'m)u ==y=' 34x 1 0 Gm 4 ,

.0' = 5.6 5 M Pa.

b) ·Cull.lldo se .ineluye fl] peso de la .vigaCoIIlQ una t;arga uniformemente d is -tribuida,el valor de. w es ..

w = p e so e sp e cif ic o . x voh rmen .

w =(~600N!ms)(100xl0~~m)(160x,TO...!.~m)

w = 89;6 N!tn.

El.momento adicional.debido ·a estaearga es

M=~wV =~(g9.6)(4i2= 179.2N'm.

EI esftierzoadicional debidoaeste .momento as

." M e (179.2)(80:X; 1O~!i)0 =T= ;:34 X JO ~ 6

= 422 x lO'~N/m2 = 0 .42 ;MPa .

EI esfuerzo.mjximo enIa v : i g a , incluyendusu propiopeso, es entonces de

a = = ·5;6'5+0042 = IM 7 M pa. •



SECCION 5.4/USO DE LA FORMULA DE LA FLEXION 101

EJEMPLO 5.2 Determinar el esfuerzo en las fihras extremas de la vigaindicada en la Fig. 5.6.

SOLUCION El esfuerzo maximo puede determinarse a partir de ir = Me/I.

Sin embargo, en este caso debemos calcular primero 1. Para detenninar elmomenta de inereia con respecto al eje neutro (pasando a traves del centroidede la seecion transversal), usarnos la Tabla 5.1. Por inspeeeion vemos que elcentroide esta a 6 pIg de. In parte inferior.

TABLA 5.1

Bloque I f } A d Ad Z

I t.z(6)(2)~ = t (6)(2) = 12 5 300

2 ff(2)(R)~ = 85.3 (R)(2) = In 0 0

3I

~(6)(2)~ = 4 (6)(2) = 12 5 300

I-

I.10", 93.3 I.Ad2= 600

A partir de la Tabla 5.1, calculamos

I =II+ Adt = 93.3 + 600 , 1=693 plgt

El momento es:. M " ' ; , = ijwL 2 = ~(2)(20)2= 1 00 k lb - pie

Ahora calculamos el esfuerzo y obtenemos

M e (1 00 X 12)6a = -r- = 1 1 9 3 '

rr = lOA klb/plgz •

EJEMPLO 5.3 Determinar el esfuerzo maximo en una viga W 12 X 26 queesta soportando la carga mostrada en la Fig. 5.7.

SOLUCION Las propiedades de disefio para perfiles de acero laminado seeneuentran en manuales. tales como el Steel Construction publica do por Ame-

rican Institute of Steel Construction. Las propiedades de algunos perfilesseleocionados en este libro se inc1uyenen el Apendice J . En la descripci6nde un perfil laminado, laletra indica su forma (en este caso de ala ancha), elprimer numero represents el peralte (Ia altura), nominal de la viga, el segundonumero representa su peso por pie de longitud. En este ejemplo, W 12 X 26significa que es una viga en I de ala ancha, deaproximadarnente 12 pIg dealto, que pesa 26 lh/pie.

Con esta informaci6n, consultamos el Apendice J . para determinar elesfuerzo, solamente se necesita el momento de inertia con respecto al ejex-x y Ia mitad del peralte, SegUn el Apendice J , lxx = 204 p lW Y c ::: 12.22/2= 6.11 pIg. Sin embargo, como la relaci6n lie se usa muy freeuentemente,tambien esta tabulada. En este caso l/e (llama-do el m6dulo de la seceion S)esde 33.4 plt. '

d k 'I .

w=2 ldb/pla

(a)

FIGURA 5.6

Ib)

p= 2 ()(X) Ib

!= 1 500 Ib/l lte, ." '00 "•• M ffl.';T;"~"_?;nl'j ' : ~>-~ ·,t·~At

'/

8' I

~ . . )'.:"';".

I 8'

FIGURA 5.7



108 CAPlfUI,.O S/ESFUERZPS'EN VIGAS

w= 1 kNJrn

J;' 'ill l + - - - _ 6 m _I~

Tal

120mm

, l A O m m

_ _ , . _ ! " o m m

1 ' ; 1[hI

EJ e- - 1 (1 ::,60 mm

] , , = ' 0 0 m m~---,----2..

(oj

FtGURA5.8

E1memento de la vigasecalcula como

, PL lL~M o n " x =4+gW ,

M ' =(2000)(16)+ (1 500)(16i.1 max. 4 8

Mmh ""56 000 lb-pie

Ahara ealculamos el esfuerzo en la viga,yol!feJlemos

Me M 56000 X 12()'=-'_' =: - = ,',

I lie 33.1

a: =20 120 Ib/plg:2" •

EJEMPlO 5.4 Determinar los esfuerzos en las fibras extremas; superiorese inferiores, de Ia viga de seccion T indica -en la Fig. 5.B.

SOLUCION Para aplicar la formula de la flexion IT Me11 , debemos

calcular tanto I como c. EI primer paso es determiner la ubicaciorr del centroide

de laseccion. A partir del ejemploA.18, sabemcs que este queda 100 mm por

encima de la base. En seguidadebemos calcular el memento de inercia con

respecto aleje que pasa por este punto. Segun el ejemplo A.24, I = 31.76 x1~ m", Por conslgulente. .

Mmi' = = ! w L 2." " ~(lkN/m)(6 m )2

Mill", =.5 ,N· m .

EI esfuerzo {maximo) en las fibras extremas inferiores es

_ MC2 _ (4.5 N· m)(lOOx 10-~m)=r= 31 .?6XI O - - t lm1·

a - = = 20.68 X 103N/m2,

a = 20.68 kPa.

EI' esfnerzo en las fibx:as extremas superiores es'

a::=.Mcl = ('i.S N . ~ n)(6 0 X 10-3 m). r.· 21 .76 x 1 0 Hm1

IT =0 .6 8 k Pa.

G T = 12.41 x lO S Nlm~

a= 12.4I.kPa. •

EJEMPLO 5.5 Una viga W 16x 36soporta una carga uniformemente.distri-

buida, Elclaro es de 20 pies y el esfuerzo perrnisible es de ,2400Q Ib/plg2 , Deter-minar la carga penni sible sobre la viga. .

SOLUCION La capacidad de lavigapara .momento puede.deterrninarse

a partir de M = (TIle. Segun el Apendice J , hallarnosque It« de una viga·W If? X36 es de 56.5 pl~. ..



Por 1 0 que:

MeIJ=~'

I'

P R O B L . E M A S 109

I .M = tr :: = ( 24 O O O ) (5 6 .5 }

c -

:::;;1 356 000 lb-plg

M "" 1 356000:::;; U3 000 lb .. :"12 - - . pie

Para. una carga uniformemente d istr lb uM a , com o se indica en IaF ig . 5 .9,el momenta maximo es

Problemas

113000 = i ill( 2 0 ' l ,

w "" 2 260 th/p ie .•

En ~odos ]05 problemas de. este.~pitulo puede .despteoiarse eI,peso r ' ropio delavtga, a menos que se especiftque 10 centrano, En la practic.a, e peso dela viga se inc1uye como una parte de las cargas aplieadas a laviga.5.1.5.5 Determinar los esfuerzos en las fibras extremas de las vigas indfcadasen las Figs. PS.l a PS.S.

5"6·5.13 Caleular los esmerzca en la s f ib ra s e xtr em a s, superiores e inferiores,de 133vigas indicadas en la s Figs. PS.6 a P5.13.

5.14. Una viga de. acero W 16 X 36, de 24 pies de longitud soporta una carga.uniformemente distribuida. EI esfuerzo admisible es C J = 24000 Ib/plg2. De-termlnar la carga w en Ib/pie que. puede soportar la viga..5.15 Una viga de madera de 6 pIg X 6 plg, de9 pies de longttud. soporta doscargas concentradas iguales en sus punros tereios. E1 esfuerzo admisible es de1400 Ib/plg2. Determinar.Ja carga admislble.

w=2 00 0 N/m

FIGURA PS.2

~(Ple.

~~I . . I

FIGURA PS.5

[]C lOx 1$,3

( dO!!)

~,

I·

4() mm

P~500 N I I--J

O.6m.

i'J~FIGURA PS.3

w'" 1 500 Ib/ple

FIGURA P5:.6

w

FIGURA 5.9

-/i; 0 .6 1 . AI~ O .7m ~0=40 m m

FIGURA PS.1

5000 Ib 5 !XX) Ib

- 1 . ~ 6 ' . I _B '_

W14x:Jj,

FIGURAP5.4

4"

I-I

FIGURA PS.7

Date post:	19-Jul-2015
Category:	Documents
Upload:	carolina-carrere
View:	572 times
Download:	6 times

Mecanica de Materiales - Esf Flexion

Documents