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Mecanica dos Solidos I – MAC-005
Unidade 02Luis Paulo S. BarraLeonardo Goliatt
Departamento de Mecanica Aplicada e ComputacionalUniversidade Federal de Juiz de Fora
v. 14.10
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 1 / 56
Livro Texto
Livro texto:I Introduction to Continuum MechanicsI W. Michael Lai , David Rubin , Erhard Krempl
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Programa
1 Cinematica I
2 Cinematica II
3 Cinematica III
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 3 / 56
Programa
1 Cinematica IDescricao do MovimentoDerivada MaterialAceleracao de uma PartıculaCinematica do Corpo RıgidoGradiente de DeslocamentosDeformacoes InfinitesimaisInterpretacao Geometrica
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Programa
1 Cinematica IDescricao do MovimentoDerivada MaterialAceleracao de uma PartıculaCinematica do Corpo RıgidoGradiente de DeslocamentosDeformacoes InfinitesimaisInterpretacao Geometrica
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 4 / 56
Descricao do Movimento
Equacoes Cinematicas do Movimento
O vetor posicao de uma partıcula em umtempo t pode ser escrito como:
x = x(X, t) com x(X, t0) = X
Fixando X tem-se a trajetoria da partıcula.
Em componentes se escreve:
x1 = x1(X1,X2,X3, t)x2 = x2(X1,X2,X3, t)x3 = x3(X1,X2,X3, t)
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Descricao do Movimento
Equacoes Cinematicas do Movimento
O vetor posicao de uma partıcula em umtempo t pode ser escrito como:
x = x(X, t) com x(X, t0) = X
Fixando X tem-se a trajetoria da partıcula.
Em componentes se escreve:
x1 = x1(X1,X2,X3, t)x2 = x2(X1,X2,X3, t)x3 = x3(X1,X2,X3, t)
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Descricao Material e Descricao Espacial
Quando um contınuo esta em movimento, sua temperatura θ, sua velocidade v, e seutensor de tensoes T (sera definido nas proximas secoes), podem mudar com o tempo.
Descricao Material (ou Lagrangeana)Seguindo as partıculas:
θ = θ(X1,X2,X3, t)v = v(X1,X2,X3, t)T = T(X1,X2,X3, t)
Descricao Espacial (ou Euleriana)Observando mudancas em locais (pontos no espaco) fixos:
θ = θ(x1, x2, x3, t)v = v(x1, x2, x3, t)T = T(x1, x2, x3, t)
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Descricao Material e Descricao Espacial
Quando um contınuo esta em movimento, sua temperatura θ, sua velocidade v, e seutensor de tensoes T (sera definido nas proximas secoes), podem mudar com o tempo.
Descricao Material (ou Lagrangeana)Seguindo as partıculas:
θ = θ(X1,X2,X3, t)v = v(X1,X2,X3, t)T = T(X1,X2,X3, t)
Descricao Espacial (ou Euleriana)Observando mudancas em locais (pontos no espaco) fixos:
θ = θ(x1, x2, x3, t)v = v(x1, x2, x3, t)T = T(x1, x2, x3, t)
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Programa
1 Cinematica IDescricao do MovimentoDerivada MaterialAceleracao de uma PartıculaCinematica do Corpo RıgidoGradiente de DeslocamentosDeformacoes InfinitesimaisInterpretacao Geometrica
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Derivada Material
DefinicaoTaxa de variacao no tempo de uma quantidade em uma partıcula fixa: D/Dt.
Descricao Material
θ = θ(X1,X2,X3, t)
Logo:DθDt
=
(∂θ
∂t
)Xi fixos.
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Derivada Material
DefinicaoTaxa de variacao no tempo de uma quantidade em uma partıcula fixa: D/Dt.
Descricao Material
θ = θ(X1,X2,X3, t)
Logo:DθDt
=
(∂θ
∂t
)Xi fixos.
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Derivada Material
Descricao Espacial
θ = θ(x1, x2, x3, t)
Logo:
DθDt
=∂θ
∂x1
∂x1
∂t+∂θ
∂x2
∂x2
∂t+∂θ
∂x3
∂x3
∂t+∂θ
∂t
= v1∂θ
∂x1+ v2
∂θ
∂x2+ v3
∂θ
∂x3+∂θ
∂t
Em notacao direta
DθDt
=∂θ
∂t+ v · ∇θ
Ficando implıcito que θ = θ(x1, x2, x3, t).
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Derivada Material
Descricao Espacial
θ = θ(x1, x2, x3, t)
Logo:
DθDt
=∂θ
∂x1
∂x1
∂t+∂θ
∂x2
∂x2
∂t+∂θ
∂x3
∂x3
∂t+∂θ
∂t
= v1∂θ
∂x1+ v2
∂θ
∂x2+ v3
∂θ
∂x3+∂θ
∂t
Em notacao direta
DθDt
=∂θ
∂t+ v · ∇θ
Ficando implıcito que θ = θ(x1, x2, x3, t).
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Derivada Material
Descricao Espacial
θ = θ(x1, x2, x3, t)
Logo:
DθDt
=∂θ
∂x1
∂x1
∂t+∂θ
∂x2
∂x2
∂t+∂θ
∂x3
∂x3
∂t+∂θ
∂t
= v1∂θ
∂x1+ v2
∂θ
∂x2+ v3
∂θ
∂x3+∂θ
∂t
Em notacao direta
DθDt
=∂θ
∂t+ v · ∇θ
Ficando implıcito que θ = θ(x1, x2, x3, t).
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 7 / 56
Programa
1 Cinematica IDescricao do MovimentoDerivada MaterialAceleracao de uma PartıculaCinematica do Corpo RıgidoGradiente de DeslocamentosDeformacoes InfinitesimaisInterpretacao Geometrica
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 8 / 56
Aceleracao de uma Partıcula
Definicao
a =
(∂v∂t
)Xi fixos
≡DvDt
Portanto:DvDt
=D(viei)
Dt=
Dvi
Dtei
Logo:
ai =Dvi
Dt=∂vi
∂t+ vj
∂vi
∂xj
E finalmente:
a =∂v∂t
+ (∇v)v
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Aceleracao de uma Partıcula
Definicao
a =
(∂v∂t
)Xi fixos
≡DvDt
Portanto:DvDt
=D(viei)
Dt=
Dvi
Dtei
Logo:
ai =Dvi
Dt=∂vi
∂t+ vj
∂vi
∂xj
E finalmente:
a =∂v∂t
+ (∇v)v
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 8 / 56
Aceleracao de uma Partıcula
Definicao
a =
(∂v∂t
)Xi fixos
≡DvDt
Portanto:DvDt
=D(viei)
Dt=
Dvi
Dtei
Logo:
ai =Dvi
Dt=∂vi
∂t+ vj
∂vi
∂xj
E finalmente:
a =∂v∂t
+ (∇v)v
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 8 / 56
Aceleracao de uma Partıcula
Definicao
a =
(∂v∂t
)Xi fixos
≡DvDt
Portanto:DvDt
=D(viei)
Dt=
Dvi
Dtei
Logo:
ai =Dvi
Dt=∂vi
∂t+ vj
∂vi
∂xj
E finalmente:
a =∂v∂t
+ (∇v)v
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Campo de Deslocamentos
Definicao
u = x(X, t) − X
Uma vez conhecida a trajetoria de uma partıcula, x(X, t), o campo de deslocamentostambem fica determinado.
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Programa
1 Cinematica IDescricao do MovimentoDerivada MaterialAceleracao de uma PartıculaCinematica do Corpo RıgidoGradiente de DeslocamentosDeformacoes InfinitesimaisInterpretacao Geometrica
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Cinematica do Corpo Rıgido
Translacao
x = X + c(t)
onde c(0) = 0Logo u = x − X = c(t) e independente de X.
RotacaoEm torno do ponto b:
x − b = R(t)(X − b)
onde R(t) representa um tensor rotacao, com R(0) = I.
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Cinematica do Corpo Rıgido
Translacao
x = X + c(t)
onde c(0) = 0Logo u = x − X = c(t) e independente de X.
RotacaoEm torno do ponto b:
x − b = R(t)(X − b)
onde R(t) representa um tensor rotacao, com R(0) = I.
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 10 / 56
Cinematica do Corpo Rıgido
Movimento GeralTranslacao e Rotacao (em torno de b)
x = R(t)(X − b) + c(t)⇐⇒ (X − b) = RT (x − c)
onde R(0) = I e c(0) = b
Velocidade de um PontoTomando a derivada material:
v =
R (X − b)+c (t)
e usando (X − b) = RT (x − c) vem
v =
R RT (x − c)+c (t)
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Cinematica do Corpo Rıgido
Movimento GeralTranslacao e Rotacao (em torno de b)
x = R(t)(X − b) + c(t)⇐⇒ (X − b) = RT (x − c)
onde R(0) = I e c(0) = b
Velocidade de um PontoTomando a derivada material:
v =
R (X − b)+c (t)
e usando (X − b) = RT (x − c) vem
v =
R RT (x − c)+c (t)
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Cinematica do Corpo Rıgido
Velocidade de um Ponto (cont.)Assim:
v =
R RT (x − c)+c (t)
Uma vez que
R RT e antisimetrico (Ex. 2C1.2, pag.48):
v = ω × (x − c)+c (t)
Ou ainda:v = ω × r+
c (t)
onde r = (x − c)
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Cinematica do Corpo Rıgido
Velocidade de um Ponto (cont.)Assim:
v =
R RT (x − c)+c (t)
Uma vez que
R RT e antisimetrico (Ex. 2C1.2, pag.48):
v = ω × (x − c)+c (t)
Ou ainda:v = ω × r+
c (t)
onde r = (x − c)
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 12 / 56
Cinematica do Corpo Rıgido
Velocidade de um Ponto (cont.)Assim:
v =
R RT (x − c)+c (t)
Uma vez que
R RT e antisimetrico (Ex. 2C1.2, pag.48):
v = ω × (x − c)+c (t)
Ou ainda:v = ω × r+
c (t)
onde r = (x − c)
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 12 / 56
Programa
1 Cinematica IDescricao do MovimentoDerivada MaterialAceleracao de uma PartıculaCinematica do Corpo RıgidoGradiente de DeslocamentosDeformacoes InfinitesimaisInterpretacao Geometrica
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Gradiente de Deslocamentos
Em um ponto P:
x = X + u(X, t)
Em um ponto vizinho Q:
x + dx = X + dX + u(X + dX, t)
Subtraindo as equacoes anteriores:
dx = dX + u(X + dX, t) − u(X, t)
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Gradiente de Deslocamentos
Em um ponto P:
x = X + u(X, t)
Em um ponto vizinho Q:
x + dx = X + dX + u(X + dX, t)
Subtraindo as equacoes anteriores:
dx = dX + u(X + dX, t) − u(X, t)
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 13 / 56
Gradiente de Deslocamentos
E portanto:dx = dX + ∇u dX
onde:
[∇u] =
∂u1
∂X1
∂u1
∂X2
∂u1
∂X3
∂u2
∂X1
∂u2
∂X2
∂u2
∂X3
∂u3
∂X1
∂u3
∂X2
∂u3
∂X3
.
Se ∇u = 0, entao dx = dX e o movimento da vizinhanca do ponto P e uma translacaode corpo rıgido.
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 14 / 56
Gradiente de Deslocamentos
E portanto:dx = dX + ∇u dX
onde:
[∇u] =
∂u1
∂X1
∂u1
∂X2
∂u1
∂X3
∂u2
∂X1
∂u2
∂X2
∂u2
∂X3
∂u3
∂X1
∂u3
∂X2
∂u3
∂X3
.
Se ∇u = 0, entao dx = dX e o movimento da vizinhanca do ponto P e uma translacaode corpo rıgido.
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 14 / 56
Programa
1 Cinematica IDescricao do MovimentoDerivada MaterialAceleracao de uma PartıculaCinematica do Corpo RıgidoGradiente de DeslocamentosDeformacoes InfinitesimaisInterpretacao Geometrica
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 15 / 56
Tensor de Deformacoes Infinitesimais
Considerando:
dx(1) = dX(1) + ∇u dX(1)
dx(2) = dX(2) + ∇u dX(2).
Pode-se escrever:
dx(1) · dx(2) = dX(1) · dX(2) + dX(1) · ∇u dX(2) + dX(2) · ∇u dX(1) +
+∇u dX(1) · ∇u dX(2).
E tambem:dX(2) · ∇u dX(1) = dX(1) · ∇uT dX(2)
(∇u)dX(2) · (∇u)dX(1) = dX(1) · ∇uT ∇u dX(2).
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 15 / 56
Tensor de Deformacoes Infinitesimais
Considerando:
dx(1) = dX(1) + ∇u dX(1)
dx(2) = dX(2) + ∇u dX(2).
Pode-se escrever:
dx(1) · dx(2) = dX(1) · dX(2) + dX(1) · ∇u dX(2) + dX(2) · ∇u dX(1) +
+∇u dX(1) · ∇u dX(2).
E tambem:dX(2) · ∇u dX(1) = dX(1) · ∇uT dX(2)
(∇u)dX(2) · (∇u)dX(1) = dX(1) · ∇uT ∇u dX(2).
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 15 / 56
Tensor de Deformacoes Infinitesimais
Considerando:
dx(1) = dX(1) + ∇u dX(1)
dx(2) = dX(2) + ∇u dX(2).
Pode-se escrever:
dx(1) · dx(2) = dX(1) · dX(2) + dX(1) · ∇u dX(2) + dX(2) · ∇u dX(1) +
+∇u dX(1) · ∇u dX(2).
E tambem:dX(2) · ∇u dX(1) = dX(1) · ∇uT dX(2)
(∇u)dX(2) · (∇u)dX(1) = dX(1) · ∇uT ∇u dX(2).
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 15 / 56
Tensor de Deformacoes Infinitesimais
Colocando-se em evidencia o termo dX(1):
dx(1) · dx(2) = dX(1) · dX(2) + dX(1) · ∇u + ∇uT + ∇uT ∇u dX(2)
E, para pequenas deformacoes:
dx(1) · dx(2) = dX(1) · dX(2) + 2dX(1) · EdX(2)
Definido o tensor de deformacoes infinitesimais como:
E =12
∇u + ∇uT
.
Em outras palavras E e a parte simetrica de ∇u.
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 16 / 56
Tensor de Deformacoes Infinitesimais
Colocando-se em evidencia o termo dX(1):
dx(1) · dx(2) = dX(1) · dX(2) + dX(1) · ∇u + ∇uT + ∇uT ∇u dX(2)
E, para pequenas deformacoes:
dx(1) · dx(2) = dX(1) · dX(2) + 2dX(1) · EdX(2)
Definido o tensor de deformacoes infinitesimais como:
E =12
∇u + ∇uT
.
Em outras palavras E e a parte simetrica de ∇u.
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 16 / 56
Tensor de Deformacoes Infinitesimais
Componentes
Eij =12
(∂ui
∂Xj+∂uj
∂Xi
)
ou ainda
[E] =
∂u1
∂X1
12
(∂u1
∂X2+∂u2
∂X1
)12
(∂u1
∂X3+∂u3
∂X1
)12
(∂u1
∂X2+∂u2
∂X1
)∂u2
∂X2
12
(∂u2
∂X3+∂u3
∂X2
)12
(∂u1
∂X3+∂u3
∂X1
)12
(∂u2
∂X3+∂u3
∂X2
)∂u3
∂X3
.
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 17 / 56
Tensor de Deformacoes Infinitesimais
Componentes
Eij =12
(∂ui
∂Xj+∂uj
∂Xi
)ou ainda
[E] =
∂u1
∂X1
12
(∂u1
∂X2+∂u2
∂X1
)12
(∂u1
∂X3+∂u3
∂X1
)12
(∂u1
∂X2+∂u2
∂X1
)∂u2
∂X2
12
(∂u2
∂X3+∂u3
∂X2
)12
(∂u1
∂X3+∂u3
∂X1
)12
(∂u2
∂X3+∂u3
∂X2
)∂u3
∂X3
.
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 17 / 56
Programa
1 Cinematica IDescricao do MovimentoDerivada MaterialAceleracao de uma PartıculaCinematica do Corpo RıgidoGradiente de DeslocamentosDeformacoes InfinitesimaisInterpretacao Geometrica
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 18 / 56
Interpretacao Geometrica
Elementos da DiagonalConsiderando dX = dSn, com n unitario e ds = |dx|:
ds2 − dS2 = 2dS2n · En.
Para pequenas deformacoes: (ds − dS)2 = (ds2 − 2dsdS + dS2) ≈ 0, logo:
(ds2 − 2dsdS + dS2 + dS2 − dS2) ≈ 0 −→ ds2 − dS2 ≈ 2dS(ds − dS)
E finalmente:ds − dS
dS= n · En = E(n)(n) (sem soma em n)
Logo E11 e o alongamento relativo (unitario) de um segmento inicialmente na direcaode x1.
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 18 / 56
Interpretacao Geometrica
Elementos da DiagonalConsiderando dX = dSn, com n unitario e ds = |dx|:
ds2 − dS2 = 2dS2n · En.
Para pequenas deformacoes: (ds − dS)2 = (ds2 − 2dsdS + dS2) ≈ 0, logo:
(ds2 − 2dsdS + dS2 + dS2 − dS2) ≈ 0 −→ ds2 − dS2 ≈ 2dS(ds − dS)
E finalmente:ds − dS
dS= n · En = E(n)(n) (sem soma em n)
Logo E11 e o alongamento relativo (unitario) de um segmento inicialmente na direcaode x1.
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 18 / 56
Interpretacao Geometrica
Elementos da DiagonalConsiderando dX = dSn, com n unitario e ds = |dx|:
ds2 − dS2 = 2dS2n · En.
Para pequenas deformacoes: (ds − dS)2 = (ds2 − 2dsdS + dS2) ≈ 0, logo:
(ds2 − 2dsdS + dS2 + dS2 − dS2) ≈ 0 −→ ds2 − dS2 ≈ 2dS(ds − dS)
E finalmente:ds − dS
dS= n · En = E(n)(n) (sem soma em n)
Logo E11 e o alongamento relativo (unitario) de um segmento inicialmente na direcaode x1.
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 18 / 56
Interpretacao Geometrica
Elementos da DiagonalConsiderando dX = dSn, com n unitario e ds = |dx|:
ds2 − dS2 = 2dS2n · En.
Para pequenas deformacoes: (ds − dS)2 = (ds2 − 2dsdS + dS2) ≈ 0, logo:
(ds2 − 2dsdS + dS2 + dS2 − dS2) ≈ 0 −→ ds2 − dS2 ≈ 2dS(ds − dS)
E finalmente:ds − dS
dS= n · En = E(n)(n) (sem soma em n)
Logo E11 e o alongamento relativo (unitario) de um segmento inicialmente na direcaode x1.
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 18 / 56
Interpretacao Geometrica
Elementos Fora da DiagonalConsidere dX(1) = dS1m e dX(2) = dS2n, onde os vetores unitarios m e n saoperpendiculares entre si.Logo:
dx(1) · dx(2) = ds1ds2 cos(θ) = 2dS1dS2m · En⇒ds1
dS1
ds2
dS2cos(θ) = 2m · En
Fazendo:θ =
π
2− γ −→ cos
(π
2− γ
)= senγ
Para pequenas deformacoes senγ ≈ γ, ds1dS1≈ 1, ds2
dS2≈ 1, entao:
γ = 2m · En
Logo E12 fornece o decrescimo no angulo entre os dois elementos inicialmente nasdirecoes de x1 e x2.
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 19 / 56
Interpretacao Geometrica
Elementos Fora da DiagonalConsidere dX(1) = dS1m e dX(2) = dS2n, onde os vetores unitarios m e n saoperpendiculares entre si.Logo:
dx(1) · dx(2) = ds1ds2 cos(θ) = 2dS1dS2m · En⇒ds1
dS1
ds2
dS2cos(θ) = 2m · En
Fazendo:θ =
π
2− γ −→ cos
(π
2− γ
)= senγ
Para pequenas deformacoes senγ ≈ γ, ds1dS1≈ 1, ds2
dS2≈ 1, entao:
γ = 2m · En
Logo E12 fornece o decrescimo no angulo entre os dois elementos inicialmente nasdirecoes de x1 e x2.
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 19 / 56
Interpretacao Geometrica
Elementos Fora da DiagonalConsidere dX(1) = dS1m e dX(2) = dS2n, onde os vetores unitarios m e n saoperpendiculares entre si.Logo:
dx(1) · dx(2) = ds1ds2 cos(θ) = 2dS1dS2m · En⇒ds1
dS1
ds2
dS2cos(θ) = 2m · En
Fazendo:θ =
π
2− γ −→ cos
(π
2− γ
)= senγ
Para pequenas deformacoes senγ ≈ γ, ds1dS1≈ 1, ds2
dS2≈ 1, entao:
γ = 2m · En
Logo E12 fornece o decrescimo no angulo entre os dois elementos inicialmente nasdirecoes de x1 e x2.
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Interpretacao Geometrica
Elementos Fora da DiagonalConsidere dX(1) = dS1m e dX(2) = dS2n, onde os vetores unitarios m e n saoperpendiculares entre si.Logo:
dx(1) · dx(2) = ds1ds2 cos(θ) = 2dS1dS2m · En⇒ds1
dS1
ds2
dS2cos(θ) = 2m · En
Fazendo:θ =
π
2− γ −→ cos
(π
2− γ
)= senγ
Para pequenas deformacoes senγ ≈ γ, ds1dS1≈ 1, ds2
dS2≈ 1, entao:
γ = 2m · En
Logo E12 fornece o decrescimo no angulo entre os dois elementos inicialmente nasdirecoes de x1 e x2.
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Programa
2 Cinematica IIDeformacoes PrincipaisDilatacao EspecıficaTensor de Rotacao InfinitesimalTaxa de DeformacaoTensor SpinConservacao da MassaCondicoes de Compatibilidade
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 20 / 56
Programa
2 Cinematica IIDeformacoes PrincipaisDilatacao EspecıficaTensor de Rotacao InfinitesimalTaxa de DeformacaoTensor SpinConservacao da MassaCondicoes de Compatibilidade
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 20 / 56
Deformacoes Principais
Uma vez que E e simetrico:
[E]ni =
E1 0 00 E2 00 0 E3
Autovalores Deformacoes principais, incluem os valores extremos dos
alongamentos.Autovetores Direcoes principais, permanecem perpendiculares apos a deformacao.
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 20 / 56
Programa
2 Cinematica IIDeformacoes PrincipaisDilatacao EspecıficaTensor de Rotacao InfinitesimalTaxa de DeformacaoTensor SpinConservacao da MassaCondicoes de Compatibilidade
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 21 / 56
Dilatacao Especıfica
∆(dV) = (dS1)(dS2)(dS3)(1 + E1)(1 + E2)(1 + E3) − (dS1)(dS2)(dS3)= (dS1)(dS2)(dS3)(E1 + E2 + E3 + E2E3 + E1E3 + E1E2 + E1E2E3)= (dS1)(dS2)(dS3)(E1 + E2 + E3)
+ termos de ordem superior
Logo:
e ≡∆(dV)
dV= E1 + E2 + E3
= E11 + E22 + E33
E tambem:
e = Eii =∂ui
∂Xi= div u
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 21 / 56
Dilatacao Especıfica
∆(dV) = (dS1)(dS2)(dS3)(1 + E1)(1 + E2)(1 + E3) − (dS1)(dS2)(dS3)= (dS1)(dS2)(dS3)(E1 + E2 + E3 + E2E3 + E1E3 + E1E2 + E1E2E3)= (dS1)(dS2)(dS3)(E1 + E2 + E3)
+ termos de ordem superior
Logo:
e ≡∆(dV)
dV= E1 + E2 + E3
= E11 + E22 + E33
E tambem:
e = Eii =∂ui
∂Xi= div u
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Programa
2 Cinematica IIDeformacoes PrincipaisDilatacao EspecıficaTensor de Rotacao InfinitesimalTaxa de DeformacaoTensor SpinConservacao da MassaCondicoes de Compatibilidade
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 22 / 56
Tensor de Rotacao Infinitesimal
A equacao:dx = dX + ∇u dX
Pode ser reescrita como:
dx = dX + (E +Ω) dX
Logo Ω e a parte anti-simetrica de ∇u o que leva a:
ΩdX = tA × dX
ondetA = Ω32e1 + Ω13e2 + Ω21e3
Para dX em uma direcao principal, a mudanca de direcao se deve exclusivamente a Ω.Logo suas componentes podem ser interpretadas como rotacoes infinitesimais destessegmentos em torno dos eixos 1, 2 e 3.
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 22 / 56
Tensor de Rotacao Infinitesimal
A equacao:dx = dX + ∇u dX
Pode ser reescrita como:
dx = dX + (E +Ω) dX
Logo Ω e a parte anti-simetrica de ∇u o que leva a:
ΩdX = tA × dX
ondetA = Ω32e1 + Ω13e2 + Ω21e3
Para dX em uma direcao principal, a mudanca de direcao se deve exclusivamente a Ω.Logo suas componentes podem ser interpretadas como rotacoes infinitesimais destessegmentos em torno dos eixos 1, 2 e 3.
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Tensor de Rotacao Infinitesimal
A equacao:dx = dX + ∇u dX
Pode ser reescrita como:
dx = dX + (E +Ω) dX
Logo Ω e a parte anti-simetrica de ∇u o que leva a:
ΩdX = tA × dX
ondetA = Ω32e1 + Ω13e2 + Ω21e3
Para dX em uma direcao principal, a mudanca de direcao se deve exclusivamente a Ω.Logo suas componentes podem ser interpretadas como rotacoes infinitesimais destessegmentos em torno dos eixos 1, 2 e 3.
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 22 / 56
Tensor de Rotacao Infinitesimal
A equacao:dx = dX + ∇u dX
Pode ser reescrita como:
dx = dX + (E +Ω) dX
Logo Ω e a parte anti-simetrica de ∇u o que leva a:
ΩdX = tA × dX
ondetA = Ω32e1 + Ω13e2 + Ω21e3
Para dX em uma direcao principal, a mudanca de direcao se deve exclusivamente a Ω.
Logo suas componentes podem ser interpretadas como rotacoes infinitesimais destessegmentos em torno dos eixos 1, 2 e 3.
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 22 / 56
Tensor de Rotacao Infinitesimal
A equacao:dx = dX + ∇u dX
Pode ser reescrita como:
dx = dX + (E +Ω) dX
Logo Ω e a parte anti-simetrica de ∇u o que leva a:
ΩdX = tA × dX
ondetA = Ω32e1 + Ω13e2 + Ω21e3
Para dX em uma direcao principal, a mudanca de direcao se deve exclusivamente a Ω.Logo suas componentes podem ser interpretadas como rotacoes infinitesimais destessegmentos em torno dos eixos 1, 2 e 3.
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 22 / 56
Taxa de Variacao Temporal de um Elemento Material
DDt
dx
Como:dx = x(X + dX, t) − x(X, t)
Pode-se escrever a derivada material como:( DDt
)dx =
( DDt
)x(X + dX, t) −
( DDt
)x(X, t)
Entretanto, ( DDt
)x = v(X, t) = v(x, t)
Logo: ( DDt
)dx = v(X + dX, t) − v(X, t)
= v(x + dx, t) − v(x, t)
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 23 / 56
Taxa de Variacao Temporal de um Elemento Material
DDt
dx
Como:dx = x(X + dX, t) − x(X, t)
Pode-se escrever a derivada material como:( DDt
)dx =
( DDt
)x(X + dX, t) −
( DDt
)x(X, t)
Entretanto, ( DDt
)x = v(X, t) = v(x, t)
Logo: ( DDt
)dx = v(X + dX, t) − v(X, t)
= v(x + dx, t) − v(x, t)
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( DDt
)dx
Da definicao de gradiente, tem-se:( DDt
)dx = ∇XvdX e
( DDt
)dx = ∇xvdx
Respectivamente na descricao material e na descricao espacial.
Representando ∇xv simplesmente como ∇v, pode-se escrever:
( DDt
)dx = ∇vdx e [∇v] =
∂v1
∂x1
∂v1
∂x2
∂v1
∂x3
∂v2
∂x1
∂v2
∂x2
∂v2
∂x3
∂v3
∂x1
∂v3
∂x2
∂v3
∂x3
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 24 / 56
( DDt
)dx
Da definicao de gradiente, tem-se:( DDt
)dx = ∇XvdX e
( DDt
)dx = ∇xvdx
Respectivamente na descricao material e na descricao espacial.Representando ∇xv simplesmente como ∇v, pode-se escrever:
( DDt
)dx = ∇vdx
e [∇v] =
∂v1
∂x1
∂v1
∂x2
∂v1
∂x3
∂v2
∂x1
∂v2
∂x2
∂v2
∂x3
∂v3
∂x1
∂v3
∂x2
∂v3
∂x3
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 24 / 56
( DDt
)dx
Da definicao de gradiente, tem-se:( DDt
)dx = ∇XvdX e
( DDt
)dx = ∇xvdx
Respectivamente na descricao material e na descricao espacial.Representando ∇xv simplesmente como ∇v, pode-se escrever:
( DDt
)dx = ∇vdx e [∇v] =
∂v1
∂x1
∂v1
∂x2
∂v1
∂x3
∂v2
∂x1
∂v2
∂x2
∂v2
∂x3
∂v3
∂x1
∂v3
∂x2
∂v3
∂x3
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 24 / 56
Programa
2 Cinematica IIDeformacoes PrincipaisDilatacao EspecıficaTensor de Rotacao InfinitesimalTaxa de DeformacaoTensor SpinConservacao da MassaCondicoes de Compatibilidade
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 25 / 56
Taxa de Deformacao
O gradiente da velocidade ∇v pode ser decomposto em sua parte simetrica eanti-simetrica:
D =∇v + ∇vT
2e W =
∇v − ∇vT
2respectivamente o tensor de taxa de deformacao e o tensor de spin.
Fazendo dx = dsn com n unitario entao:
dx · dx = ds2
e tomando a derivada material:
2dx ·DDt
(dx) = 2dsDDt
ds
Logo:
dx ·DDt
(dx) = dx · ∇vdx
= dx · Ddx + dx ·Wdx
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 25 / 56
Taxa de Deformacao
O gradiente da velocidade ∇v pode ser decomposto em sua parte simetrica eanti-simetrica:
D =∇v + ∇vT
2e W =
∇v − ∇vT
2respectivamente o tensor de taxa de deformacao e o tensor de spin.Fazendo dx = dsn com n unitario entao:
dx · dx = ds2
e tomando a derivada material:
2dx ·DDt
(dx) = 2dsDDt
ds
Logo:
dx ·DDt
(dx) = dx · ∇vdx
= dx · Ddx + dx ·Wdx
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 25 / 56
Taxa de Deformacao
O gradiente da velocidade ∇v pode ser decomposto em sua parte simetrica eanti-simetrica:
D =∇v + ∇vT
2e W =
∇v − ∇vT
2respectivamente o tensor de taxa de deformacao e o tensor de spin.Fazendo dx = dsn com n unitario entao:
dx · dx = ds2
e tomando a derivada material:
2dx ·DDt
(dx) = 2dsDDt
ds
Logo:
dx ·DDt
(dx) = dx · ∇vdx
= dx · Ddx + dx ·Wdx
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 25 / 56
Taxa de Deformacao
O gradiente da velocidade ∇v pode ser decomposto em sua parte simetrica eanti-simetrica:
D =∇v + ∇vT
2e W =
∇v − ∇vT
2respectivamente o tensor de taxa de deformacao e o tensor de spin.Fazendo dx = dsn com n unitario entao:
dx · dx = ds2
e tomando a derivada material:
2dx ·DDt
(dx) = 2dsDDt
ds
Logo:
dx ·DDt
(dx) = dx · ∇vdx
= dx · Ddx + dx ·Wdx
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 25 / 56
Taxa de Deformacao
O gradiente da velocidade ∇v pode ser decomposto em sua parte simetrica eanti-simetrica:
D =∇v + ∇vT
2e W =
∇v − ∇vT
2respectivamente o tensor de taxa de deformacao e o tensor de spin.Fazendo dx = dsn com n unitario entao:
dx · dx = ds2
e tomando a derivada material:
2dx ·DDt
(dx) = 2dsDDt
ds
Logo:
dx ·DDt
(dx) = dx · ∇vdx
= dx · Ddx + dx ·Wdx
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 25 / 56
Taxa de Deformacao
Da definicao de transposto e usando que W e antisimetrico:
dx ·Wdx = dx ·WTdx = −dx ·Wdx
Logo:dx ·Wdx = 0
E portanto, usando a relacao anteriormente obtida:
dx ·DDt
(dx) = dx · Ddx = dsDDt
ds
Com dx = dsn :
1ds
DDt
ds = n · Dn = Dnn sem soma em n
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 26 / 56
Taxa de Deformacao
Da definicao de transposto e usando que W e antisimetrico:
dx ·Wdx = dx ·WTdx = −dx ·Wdx
Logo:dx ·Wdx = 0
E portanto, usando a relacao anteriormente obtida:
dx ·DDt
(dx) = dx · Ddx
= dsDDt
ds
Com dx = dsn :
1ds
DDt
ds = n · Dn = Dnn sem soma em n
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 26 / 56
Taxa de Deformacao
Da definicao de transposto e usando que W e antisimetrico:
dx ·Wdx = dx ·WTdx = −dx ·Wdx
Logo:dx ·Wdx = 0
E portanto, usando a relacao anteriormente obtida:
dx ·DDt
(dx) = dx · Ddx = dsDDt
ds
Com dx = dsn :
1ds
DDt
ds = n · Dn = Dnn sem soma em n
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 26 / 56
Taxa de Deformacao
Da definicao de transposto e usando que W e antisimetrico:
dx ·Wdx = dx ·WTdx = −dx ·Wdx
Logo:dx ·Wdx = 0
E portanto, usando a relacao anteriormente obtida:
dx ·DDt
(dx) = dx · Ddx = dsDDt
ds
Com dx = dsn :
1ds
DDt
ds = n · Dn = Dnn sem soma em n
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 26 / 56
Taxa de Deformacao
Logo pode-se dar interpretacao geometrica aos coeficientes de D analoga aoscoeficientes de E.Analogamente, tambem:
D11 + D22 + D33 =1
dVD(dV)
Dt
Em termos das componentes de velocidade:
1dV
D(dV)Dt
=∂vi
∂xi= div v
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 27 / 56
Taxa de Deformacao
Logo pode-se dar interpretacao geometrica aos coeficientes de D analoga aoscoeficientes de E.Analogamente, tambem:
D11 + D22 + D33 =1
dVD(dV)
Dt
Em termos das componentes de velocidade:
1dV
D(dV)Dt
=∂vi
∂xi= div v
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 27 / 56
Programa
2 Cinematica IIDeformacoes PrincipaisDilatacao EspecıficaTensor de Rotacao InfinitesimalTaxa de DeformacaoTensor SpinConservacao da MassaCondicoes de Compatibilidade
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 28 / 56
Tensor Spin e Vetor Velocidade Angular
Uma vez que W e anti-simetrico:
Wa = ω × a
Logo:
DDt
(dx) = ∇vdx
= (D + W)dx
= Ddx + ω × dx
Interpretacao GeometricaW rotaciona dx de uma velocidade angular ω.Devido ao efeito de D, so os elementos materiais nas direcoes principais giramcom velocidade angular ω.
Na mecanica dos fluidos 2W e conhecido como tensor de vorticidade.
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 28 / 56
Tensor Spin e Vetor Velocidade Angular
Uma vez que W e anti-simetrico:
Wa = ω × a
Logo:
DDt
(dx) = ∇vdx = (D + W)dx
= Ddx + ω × dx
Interpretacao GeometricaW rotaciona dx de uma velocidade angular ω.Devido ao efeito de D, so os elementos materiais nas direcoes principais giramcom velocidade angular ω.
Na mecanica dos fluidos 2W e conhecido como tensor de vorticidade.
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 28 / 56
Tensor Spin e Vetor Velocidade Angular
Uma vez que W e anti-simetrico:
Wa = ω × a
Logo:
DDt
(dx) = ∇vdx = (D + W)dx
= Ddx + ω × dx
Interpretacao GeometricaW rotaciona dx de uma velocidade angular ω.Devido ao efeito de D, so os elementos materiais nas direcoes principais giramcom velocidade angular ω.
Na mecanica dos fluidos 2W e conhecido como tensor de vorticidade.
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 28 / 56
Tensor Spin e Vetor Velocidade Angular
Uma vez que W e anti-simetrico:
Wa = ω × a
Logo:
DDt
(dx) = ∇vdx = (D + W)dx
= Ddx + ω × dx
Interpretacao GeometricaW rotaciona dx de uma velocidade angular ω.
Devido ao efeito de D, so os elementos materiais nas direcoes principais giramcom velocidade angular ω.
Na mecanica dos fluidos 2W e conhecido como tensor de vorticidade.
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 28 / 56
Tensor Spin e Vetor Velocidade Angular
Uma vez que W e anti-simetrico:
Wa = ω × a
Logo:
DDt
(dx) = ∇vdx = (D + W)dx
= Ddx + ω × dx
Interpretacao GeometricaW rotaciona dx de uma velocidade angular ω.Devido ao efeito de D, so os elementos materiais nas direcoes principais giramcom velocidade angular ω.
Na mecanica dos fluidos 2W e conhecido como tensor de vorticidade.
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 28 / 56
Tensor Spin e Vetor Velocidade Angular
Uma vez que W e anti-simetrico:
Wa = ω × a
Logo:
DDt
(dx) = ∇vdx = (D + W)dx
= Ddx + ω × dx
Interpretacao GeometricaW rotaciona dx de uma velocidade angular ω.Devido ao efeito de D, so os elementos materiais nas direcoes principais giramcom velocidade angular ω.
Na mecanica dos fluidos 2W e conhecido como tensor de vorticidade.
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 28 / 56
Programa
2 Cinematica IIDeformacoes PrincipaisDilatacao EspecıficaTensor de Rotacao InfinitesimalTaxa de DeformacaoTensor SpinConservacao da MassaCondicoes de Compatibilidade
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 29 / 56
Conservacao da Massa
Sendo a massa de uma quantidade infinitesimal de material dada por dm = ρdVtem-se:
DDt
(ρdV) = 0
Logo:
ρDDt
(dV) + dVDDt
(ρ) = 0
Usando a relacao obtida anteriormente, 1dV
D(dV)Dt =
∂vi∂xi
= div v:
ρ∂vi
∂xi+
DDt
(ρ) = 0
Ou em notacao direta:
ρ div v +DρDt
= 0
que e conhecida como equacao de continuidade.
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 29 / 56
Conservacao da Massa
Sendo a massa de uma quantidade infinitesimal de material dada por dm = ρdVtem-se:
DDt
(ρdV) = 0
Logo:
ρDDt
(dV) + dVDDt
(ρ) = 0
Usando a relacao obtida anteriormente, 1dV
D(dV)Dt =
∂vi∂xi
= div v:
ρ∂vi
∂xi+
DDt
(ρ) = 0
Ou em notacao direta:
ρ div v +DρDt
= 0
que e conhecida como equacao de continuidade.
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 29 / 56
Conservacao da Massa
Sendo a massa de uma quantidade infinitesimal de material dada por dm = ρdVtem-se:
DDt
(ρdV) = 0
Logo:
ρDDt
(dV) + dVDDt
(ρ) = 0
Usando a relacao obtida anteriormente, 1dV
D(dV)Dt =
∂vi∂xi
= div v:
ρ∂vi
∂xi+
DDt
(ρ) = 0
Ou em notacao direta:
ρ div v +DρDt
= 0
que e conhecida como equacao de continuidade.
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 29 / 56
Conservacao da Massa
Sendo a massa de uma quantidade infinitesimal de material dada por dm = ρdVtem-se:
DDt
(ρdV) = 0
Logo:
ρDDt
(dV) + dVDDt
(ρ) = 0
Usando a relacao obtida anteriormente, 1dV
D(dV)Dt =
∂vi∂xi
= div v:
ρ∂vi
∂xi+
DDt
(ρ) = 0
Ou em notacao direta:
ρ div v +DρDt
= 0
que e conhecida como equacao de continuidade.
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 29 / 56
Conservacao da Massa
Se for utilizada a descricao espacial para ρ:
DρDt
=∂ρ
∂t+ v · ∇ρ
Logo, em componentes cartesianas 1:
ρdiv v +∂ρ
∂t+ v · ∇ρ = 0
ρ
(∂v1
∂x1+∂v2
∂x2+∂v3
∂x3
)+∂ρ
∂t+ v1
∂ρ
∂x1+ v2
∂ρ
∂x2+ v3
∂ρ
∂x3= 0
Para materiais incompressıveis temos ρ constante, logo 2:
div v = 0
ou∂v1
∂x1+∂v2
∂x2+∂v3
∂x3= 0
1E se ρ depender da temperatura θ(x(t), t), onde ρ = ρ( t, x(t), θ(x(t), t) )?2http://goo.gl/f02dxK
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Conservacao da Massa
Se for utilizada a descricao espacial para ρ:
DρDt
=∂ρ
∂t+ v · ∇ρ
Logo, em componentes cartesianas 1:
ρdiv v +∂ρ
∂t+ v · ∇ρ = 0
ρ
(∂v1
∂x1+∂v2
∂x2+∂v3
∂x3
)+∂ρ
∂t+ v1
∂ρ
∂x1+ v2
∂ρ
∂x2+ v3
∂ρ
∂x3= 0
Para materiais incompressıveis temos ρ constante, logo 2:
div v = 0
ou∂v1
∂x1+∂v2
∂x2+∂v3
∂x3= 0
1E se ρ depender da temperatura θ(x(t), t), onde ρ = ρ( t, x(t), θ(x(t), t) )?2http://goo.gl/f02dxK
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Programa
2 Cinematica IIDeformacoes PrincipaisDilatacao EspecıficaTensor de Rotacao InfinitesimalTaxa de DeformacaoTensor SpinConservacao da MassaCondicoes de Compatibilidade
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Condicoes de Compatibilidade
Dadas tres funcoes u1, u2 e u3 e sempre possıvel determinar Eij, mas o inverso nao.Para que isto se verifique e necessario que:
∂2E11
∂X22
+∂2E22
∂X21
= 2∂2E12
∂X1∂X2
∂2E11
∂X23
+∂2E33
∂X21
= 2∂2E13
∂X1∂X3
∂2E22
∂X23
+∂2E33
∂X22
= 2∂2E23
∂X2∂X3
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Condicoes de Compatibilidade
E tambem:
∂2E11
∂X2∂X3=
∂
∂X1
(−∂E23
∂X1+∂E13
∂X2+∂E12
∂X3
)∂2E22
∂X1∂X3=
∂
∂X2
(−∂E13
∂X2+∂E12
∂X3+∂E23
∂X1
)∂2E33
∂X1∂X2=
∂
∂X3
(−∂E12
∂X3+∂E23
∂X1+∂E13
∂X2
)
Condicoes de compatibilidade para DAnalogamente podem ser escritas condicoes de compatibilidade para o tensor de Taxade Deformacao, D.Entretanto, como no caso anterior, usando diretamente as componentes vi estascondicoes sao implicitamente satisfeitas.
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Condicoes de Compatibilidade
E tambem:
∂2E11
∂X2∂X3=
∂
∂X1
(−∂E23
∂X1+∂E13
∂X2+∂E12
∂X3
)∂2E22
∂X1∂X3=
∂
∂X2
(−∂E13
∂X2+∂E12
∂X3+∂E23
∂X1
)∂2E33
∂X1∂X2=
∂
∂X3
(−∂E12
∂X3+∂E23
∂X1+∂E13
∂X2
)
Condicoes de compatibilidade para DAnalogamente podem ser escritas condicoes de compatibilidade para o tensor de Taxade Deformacao, D.Entretanto, como no caso anterior, usando diretamente as componentes vi estascondicoes sao implicitamente satisfeitas.
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Programa
3 Cinematica IIIGradiente de Deformacao FDecomposicao do Tensor FTensor CTensor de Deformacao LagrangeanoTensor BTensor de Deformacao EulerianoResumoMudanca de AreaMudanca de Volume
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Programa
3 Cinematica IIIGradiente de Deformacao FDecomposicao do Tensor FTensor CTensor de Deformacao LagrangeanoTensor BTensor de Deformacao EulerianoResumoMudanca de AreaMudanca de Volume
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Gradiente de Deformacao F
Lembrando que x = x(X, t), pode-se obter:
dx = x(X + dX, t) − x(X, t)
= ∇XxdX
Definindo o tensor Gradiente de Deformacao como:
F = ∇Xx ou F = ∇0x ou F = Gradx ou F = ∇x
Em componentes cartesianas:
[F] =
∂x1
∂X1
∂x1
∂X2
∂x1
∂X3
∂x2
∂X1
∂x2
∂X2
∂x2
∂X3
∂x3
∂X1
∂x3
∂X2
∂x3
∂X3
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 33 / 56
Gradiente de Deformacao F
Lembrando que x = x(X, t), pode-se obter:
dx = x(X + dX, t) − x(X, t) = ∇XxdX
Definindo o tensor Gradiente de Deformacao como:
F = ∇Xx
ou F = ∇0x ou F = Gradx ou F = ∇x
Em componentes cartesianas:
[F] =
∂x1
∂X1
∂x1
∂X2
∂x1
∂X3
∂x2
∂X1
∂x2
∂X2
∂x2
∂X3
∂x3
∂X1
∂x3
∂X2
∂x3
∂X3
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 33 / 56
Gradiente de Deformacao F
Lembrando que x = x(X, t), pode-se obter:
dx = x(X + dX, t) − x(X, t) = ∇XxdX
Definindo o tensor Gradiente de Deformacao como:
F = ∇Xx ou F = ∇0x
ou F = Gradx ou F = ∇x
Em componentes cartesianas:
[F] =
∂x1
∂X1
∂x1
∂X2
∂x1
∂X3
∂x2
∂X1
∂x2
∂X2
∂x2
∂X3
∂x3
∂X1
∂x3
∂X2
∂x3
∂X3
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Gradiente de Deformacao F
Lembrando que x = x(X, t), pode-se obter:
dx = x(X + dX, t) − x(X, t) = ∇XxdX
Definindo o tensor Gradiente de Deformacao como:
F = ∇Xx ou F = ∇0x ou F = Gradx
ou F = ∇x
Em componentes cartesianas:
[F] =
∂x1
∂X1
∂x1
∂X2
∂x1
∂X3
∂x2
∂X1
∂x2
∂X2
∂x2
∂X3
∂x3
∂X1
∂x3
∂X2
∂x3
∂X3
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 33 / 56
Gradiente de Deformacao F
Lembrando que x = x(X, t), pode-se obter:
dx = x(X + dX, t) − x(X, t) = ∇XxdX
Definindo o tensor Gradiente de Deformacao como:
F = ∇Xx ou F = ∇0x ou F = Gradx ou F = ∇x
Em componentes cartesianas:
[F] =
∂x1
∂X1
∂x1
∂X2
∂x1
∂X3
∂x2
∂X1
∂x2
∂X2
∂x2
∂X3
∂x3
∂X1
∂x3
∂X2
∂x3
∂X3
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 33 / 56
Gradiente de Deformacao F
Lembrando que x = x(X, t), pode-se obter:
dx = x(X + dX, t) − x(X, t) = ∇XxdX
Definindo o tensor Gradiente de Deformacao como:
F = ∇Xx ou F = ∇0x ou F = Gradx ou F = ∇x
Em componentes cartesianas:
[F] =
∂x1
∂X1
∂x1
∂X2
∂x1
∂X3
∂x2
∂X1
∂x2
∂X2
∂x2
∂X3
∂x3
∂X1
∂x3
∂X2
∂x3
∂X3
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 33 / 56
Gradiente de Deformacao F
Pode se escrever entao:dx = FdX
E lembrando que x = X + u, obtem-se :
F = I + ∇u
FTF = (I + ∇u)T (I + ∇u)
= I + ∇u + (∇u)T + (∇u)T ∇u= I + 2E∗
Onde E∗ e o tensor de deformacao Lagrangeano. E para pequenas deformacoes:
FTF = I + 2E
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 34 / 56
Gradiente de Deformacao F
Pode se escrever entao:dx = FdX
E lembrando que x = X + u, obtem-se :
F = I + ∇u
FTF = (I + ∇u)T (I + ∇u)
= I + ∇u + (∇u)T + (∇u)T ∇u= I + 2E∗
Onde E∗ e o tensor de deformacao Lagrangeano. E para pequenas deformacoes:
FTF = I + 2E
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Gradiente de Deformacao F
Pode se escrever entao:dx = FdX
E lembrando que x = X + u, obtem-se :
F = I + ∇u
FTF = (I + ∇u)T (I + ∇u)
= I + ∇u + (∇u)T + (∇u)T ∇u= I + 2E∗
Onde E∗ e o tensor de deformacao Lagrangeano. E para pequenas deformacoes:
FTF = I + 2E
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Gradiente de Deformacao F
Pode se escrever entao:dx = FdX
E lembrando que x = X + u, obtem-se :
F = I + ∇u
FTF = (I + ∇u)T (I + ∇u)
= I + ∇u + (∇u)T + (∇u)T ∇u
= I + 2E∗
Onde E∗ e o tensor de deformacao Lagrangeano. E para pequenas deformacoes:
FTF = I + 2E
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 34 / 56
Gradiente de Deformacao F
Pode se escrever entao:dx = FdX
E lembrando que x = X + u, obtem-se :
F = I + ∇u
FTF = (I + ∇u)T (I + ∇u)
= I + ∇u + (∇u)T + (∇u)T ∇u= I + 2E∗
Onde E∗ e o tensor de deformacao Lagrangeano.
E para pequenas deformacoes:
FTF = I + 2E
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 34 / 56
Gradiente de Deformacao F
Pode se escrever entao:dx = FdX
E lembrando que x = X + u, obtem-se :
F = I + ∇u
FTF = (I + ∇u)T (I + ∇u)
= I + ∇u + (∇u)T + (∇u)T ∇u= I + 2E∗
Onde E∗ e o tensor de deformacao Lagrangeano. E para pequenas deformacoes:
FTF = I + 2E
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Gradiente de Deformacao F
Movimentos de Corpo Rıgido LocaisEm um corpo se deformando pode-se verificar em alguns pontos:
FTF = I e det F = 1
Nestes pontos ocorre uma rotacao de corpo rıgido.
Alongamento PuroEm pontos em que F e simetrico, representado por U, podem ser obtidas 3 direcoesprincipais, nas quais:
dx(1) = λ1dX(1)
dx(2) = λ2dX(2)
dx(3) = λ3dX(3)
Nao ha mudanca de direcao e |dx(1)|/|dX(1)| = λ1.Se U e constante o movimento e dito homogeneo.
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 35 / 56
Gradiente de Deformacao F
Movimentos de Corpo Rıgido LocaisEm um corpo se deformando pode-se verificar em alguns pontos:
FTF = I e det F = 1
Nestes pontos ocorre uma rotacao de corpo rıgido.
Alongamento PuroEm pontos em que F e simetrico, representado por U, podem ser obtidas 3 direcoesprincipais, nas quais:
dx(1) = λ1dX(1)
dx(2) = λ2dX(2)
dx(3) = λ3dX(3)
Nao ha mudanca de direcao e |dx(1)|/|dX(1)| = λ1.Se U e constante o movimento e dito homogeneo.
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 35 / 56
Gradiente de Deformacao F
Movimentos de Corpo Rıgido LocaisEm um corpo se deformando pode-se verificar em alguns pontos:
FTF = I e det F = 1
Nestes pontos ocorre uma rotacao de corpo rıgido.
Alongamento PuroEm pontos em que F e simetrico, representado por U, podem ser obtidas 3 direcoesprincipais, nas quais:
dx(1) = λ1dX(1)
dx(2) = λ2dX(2)
dx(3) = λ3dX(3)
Nao ha mudanca de direcao e |dx(1)|/|dX(1)| = λ1.Se U e constante o movimento e dito homogeneo.
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 35 / 56
Programa
3 Cinematica IIIGradiente de Deformacao FDecomposicao do Tensor FTensor CTensor de Deformacao LagrangeanoTensor BTensor de Deformacao EulerianoResumoMudanca de AreaMudanca de Volume
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 36 / 56
Caso Geral de F
Teorema da Decomposicao PolarUm tensor qualquer F inversıvel, i.e. com det F , 0 pode sempre ser decomposto noproduto:
F = RU ou F = VR
onde R e um tensor ortogonal proprio (rotacao) e U e V sao tensores simetricos epositivos definidos.
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 36 / 56
Decomposicao de F
Dado F e sabendo que F = RU:
FTF
= (RU)T (RU) = UTRTRU = UTU
LogoU2 = FTF
Atraves da forma diagonalizada de FTF, pode-se obter:
U =(FTF
)1/2
R = FU−1
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 37 / 56
Decomposicao de F
Dado F e sabendo que F = RU:
FTF = (RU)T (RU)
= UTRTRU = UTU
LogoU2 = FTF
Atraves da forma diagonalizada de FTF, pode-se obter:
U =(FTF
)1/2
R = FU−1
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 37 / 56
Decomposicao de F
Dado F e sabendo que F = RU:
FTF = (RU)T (RU) = UTRTRU
= UTU
LogoU2 = FTF
Atraves da forma diagonalizada de FTF, pode-se obter:
U =(FTF
)1/2
R = FU−1
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 37 / 56
Decomposicao de F
Dado F e sabendo que F = RU:
FTF = (RU)T (RU) = UTRTRU = UTU
LogoU2 = FTF
Atraves da forma diagonalizada de FTF, pode-se obter:
U =(FTF
)1/2
R = FU−1
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 37 / 56
Decomposicao de F
Dado F e sabendo que F = RU:
FTF = (RU)T (RU) = UTRTRU = UTU
LogoU2 = FTF
Atraves da forma diagonalizada de FTF, pode-se obter:
U =(FTF
)1/2
R = FU−1
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 37 / 56
Decomposicao de F
Dado F e sabendo que F = RU:
FTF = (RU)T (RU) = UTRTRU = UTU
LogoU2 = FTF
Atraves da forma diagonalizada de FTF, pode-se obter:
U =(FTF
)1/2
R = FU−1
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 37 / 56
Decomposicao de F
Dado F e sabendo que F = RU:
FTF = (RU)T (RU) = UTRTRU = UTU
LogoU2 = FTF
Atraves da forma diagonalizada de FTF, pode-se obter:
U =(FTF
)1/2
R = FU−1
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 37 / 56
Decomposicao de F
Da expressao anterior:
RTR =(FU−1
)T (FU−1
)
= U−1FTFU−1
= U−1U2U−1
= I
o que mostra que R e ortogonal, como esperado.O tensor de alongamento esquerdo V, pode ser obtido a partir da igualdade VR = RUcomo:
V = RURT
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 38 / 56
Decomposicao de F
Da expressao anterior:
RTR =(FU−1
)T (FU−1
)= U−1FTFU−1
= U−1U2U−1
= I
o que mostra que R e ortogonal, como esperado.O tensor de alongamento esquerdo V, pode ser obtido a partir da igualdade VR = RUcomo:
V = RURT
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 38 / 56
Decomposicao de F
Da expressao anterior:
RTR =(FU−1
)T (FU−1
)= U−1FTFU−1
= U−1U2U−1
= I
o que mostra que R e ortogonal, como esperado.O tensor de alongamento esquerdo V, pode ser obtido a partir da igualdade VR = RUcomo:
V = RURT
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 38 / 56
Decomposicao de F
Da expressao anterior:
RTR =(FU−1
)T (FU−1
)= U−1FTFU−1
= U−1U2U−1
= I
o que mostra que R e ortogonal, como esperado.
O tensor de alongamento esquerdo V, pode ser obtido a partir da igualdade VR = RUcomo:
V = RURT
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 38 / 56
Decomposicao de F
Da expressao anterior:
RTR =(FU−1
)T (FU−1
)= U−1FTFU−1
= U−1U2U−1
= I
o que mostra que R e ortogonal, como esperado.O tensor de alongamento esquerdo V, pode ser obtido a partir da igualdade VR = RUcomo:
V = RURT
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 38 / 56
Programa
3 Cinematica IIIGradiente de Deformacao FDecomposicao do Tensor FTensor CTensor de Deformacao LagrangeanoTensor BTensor de Deformacao EulerianoResumoMudanca de AreaMudanca de Volume
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 39 / 56
Tensor Deformacao de Cauchy-Green Direito
Tambem conhecido como tensor de deformacao de Green:
C ≡ FTF = U2
Interpretacao Geometrica: DiagonalConsiderando como anteriormente dx(1) = FdX(1) e dx(2) = FdX(2)
Pode-se escrever:
dx(1) · dx(2) = FdX(1) · FdX(2) = FdX(2) · FdX(1) = dX(1) · FTFdX(2)
= dX(1) · CdX(2)
Fazendo dx = ds1n o vetor deformado do elemento material dX = dS1e1 edx(1) = dx(2) = dX = dS1e1, temos
ds21 = dS2
1e1 · Ce1 = dS21C11 −→ C11 =
(ds1
dS1
)2
para o elemento material dX = dS1e1
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 39 / 56
Tensor Deformacao de Cauchy-Green Direito
Tambem conhecido como tensor de deformacao de Green:
C ≡ FTF = U2
Interpretacao Geometrica: DiagonalConsiderando como anteriormente dx(1) = FdX(1) e dx(2) = FdX(2)
Pode-se escrever:
dx(1) · dx(2) = FdX(1) · FdX(2)
= FdX(2) · FdX(1) = dX(1) · FTFdX(2)
= dX(1) · CdX(2)
Fazendo dx = ds1n o vetor deformado do elemento material dX = dS1e1 edx(1) = dx(2) = dX = dS1e1, temos
ds21 = dS2
1e1 · Ce1 = dS21C11 −→ C11 =
(ds1
dS1
)2
para o elemento material dX = dS1e1
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 39 / 56
Tensor Deformacao de Cauchy-Green Direito
Tambem conhecido como tensor de deformacao de Green:
C ≡ FTF = U2
Interpretacao Geometrica: DiagonalConsiderando como anteriormente dx(1) = FdX(1) e dx(2) = FdX(2)
Pode-se escrever:
dx(1) · dx(2) = FdX(1) · FdX(2) = FdX(2) · FdX(1)
= dX(1) · FTFdX(2)
= dX(1) · CdX(2)
Fazendo dx = ds1n o vetor deformado do elemento material dX = dS1e1 edx(1) = dx(2) = dX = dS1e1, temos
ds21 = dS2
1e1 · Ce1 = dS21C11 −→ C11 =
(ds1
dS1
)2
para o elemento material dX = dS1e1
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 39 / 56
Tensor Deformacao de Cauchy-Green Direito
Tambem conhecido como tensor de deformacao de Green:
C ≡ FTF = U2
Interpretacao Geometrica: DiagonalConsiderando como anteriormente dx(1) = FdX(1) e dx(2) = FdX(2)
Pode-se escrever:
dx(1) · dx(2) = FdX(1) · FdX(2) = FdX(2) · FdX(1) = dX(1) · FTFdX(2)
= dX(1) · CdX(2)
Fazendo dx = ds1n o vetor deformado do elemento material dX = dS1e1 edx(1) = dx(2) = dX = dS1e1, temos
ds21 = dS2
1e1 · Ce1 = dS21C11 −→ C11 =
(ds1
dS1
)2
para o elemento material dX = dS1e1
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 39 / 56
Tensor Deformacao de Cauchy-Green Direito
Tambem conhecido como tensor de deformacao de Green:
C ≡ FTF = U2
Interpretacao Geometrica: DiagonalConsiderando como anteriormente dx(1) = FdX(1) e dx(2) = FdX(2)
Pode-se escrever:
dx(1) · dx(2) = FdX(1) · FdX(2) = FdX(2) · FdX(1) = dX(1) · FTFdX(2)
= dX(1) · CdX(2)
Fazendo dx = ds1n o vetor deformado do elemento material dX = dS1e1 edx(1) = dx(2) = dX = dS1e1, temos
ds21 = dS2
1e1 · Ce1 = dS21C11 −→ C11 =
(ds1
dS1
)2
para o elemento material dX = dS1e1
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 39 / 56
Tensor Deformacao de Cauchy-Green Direito
Tambem conhecido como tensor de deformacao de Green:
C ≡ FTF = U2
Interpretacao Geometrica: DiagonalConsiderando como anteriormente dx(1) = FdX(1) e dx(2) = FdX(2)
Pode-se escrever:
dx(1) · dx(2) = FdX(1) · FdX(2) = FdX(2) · FdX(1) = dX(1) · FTFdX(2)
= dX(1) · CdX(2)
Fazendo dx = ds1n o vetor deformado do elemento material dX = dS1e1 edx(1) = dx(2) = dX = dS1e1, temos
ds21 = dS2
1e1 · Ce1 = dS21C11 −→ C11 =
(ds1
dS1
)2
para o elemento material dX = dS1e1
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 39 / 56
Tensor Deformacao de Cauchy-Green Direito
Interpretacao Geometrica: Fora da DiagonalConsiderando dX(1) = dS1e1 e dX(2) = dS2e2, que se deformam em dx(1) = ds1m edx(2) = ds2n respectivamente a, pode-se escrever:
ds1ds2 cos(dx(1), dx(2)) = dS1dS2e1 · Ce2
ou, de outra forma:
C12 =ds1ds2
dS1dS2cos(dx(1), dx(2))
Da mesma forma para as demais componentes.
am e n sao vetores unitarios que fazem um angulo β = cos(dx(1), dx(2)) entre si
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 40 / 56
Tensor Deformacao de Cauchy-Green Direito
Interpretacao Geometrica: Fora da DiagonalConsiderando dX(1) = dS1e1 e dX(2) = dS2e2, que se deformam em dx(1) = ds1m edx(2) = ds2n respectivamente a, pode-se escrever:
ds1ds2 cos(dx(1), dx(2)) = dS1dS2e1 · Ce2
ou, de outra forma:
C12 =ds1ds2
dS1dS2cos(dx(1), dx(2))
Da mesma forma para as demais componentes.
am e n sao vetores unitarios que fazem um angulo β = cos(dx(1), dx(2)) entre si
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Programa
3 Cinematica IIIGradiente de Deformacao FDecomposicao do Tensor FTensor CTensor de Deformacao LagrangeanoTensor BTensor de Deformacao EulerianoResumoMudanca de AreaMudanca de Volume
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 41 / 56
Tensor de Deformacao Lagrangeano
Lembrando o caso geral do tensor de deformacao infinitesimal:
E∗ =12
(∇u + (∇u)T + (∇u)T ∇u
)e tambem que
C = FTF
= (I + ∇u)T (I + ∇u) = I +[∇u + (∇u)T
]+ (∇u)T (∇u)
Pode-se escrever:E∗ =
12
(C − I)
que leva a:
dx(1) · dx(2) − dX(1) · dX(2) = dX(1) · (C − I) dX(2)
= 2dX(1) · E∗dX(2)
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Tensor de Deformacao Lagrangeano
Lembrando o caso geral do tensor de deformacao infinitesimal:
E∗ =12
(∇u + (∇u)T + (∇u)T ∇u
)e tambem que
C = FTF = (I + ∇u)T (I + ∇u)
= I +[∇u + (∇u)T
]+ (∇u)T (∇u)
Pode-se escrever:E∗ =
12
(C − I)
que leva a:
dx(1) · dx(2) − dX(1) · dX(2) = dX(1) · (C − I) dX(2)
= 2dX(1) · E∗dX(2)
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Tensor de Deformacao Lagrangeano
Lembrando o caso geral do tensor de deformacao infinitesimal:
E∗ =12
(∇u + (∇u)T + (∇u)T ∇u
)e tambem que
C = FTF = (I + ∇u)T (I + ∇u) = I +[∇u + (∇u)T
]+ (∇u)T (∇u)
Pode-se escrever:E∗ =
12
(C − I)
que leva a:
dx(1) · dx(2) − dX(1) · dX(2) = dX(1) · (C − I) dX(2)
= 2dX(1) · E∗dX(2)
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Tensor de Deformacao Lagrangeano
Lembrando o caso geral do tensor de deformacao infinitesimal:
E∗ =12
(∇u + (∇u)T + (∇u)T ∇u
)e tambem que
C = FTF = (I + ∇u)T (I + ∇u) = I +[∇u + (∇u)T
]+ (∇u)T (∇u)
Pode-se escrever:E∗ =
12
(C − I)
que leva a:
dx(1) · dx(2) − dX(1) · dX(2) = dX(1) · (C − I) dX(2)
= 2dX(1) · E∗dX(2)
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Tensor de Deformacao Lagrangeano
Lembrando o caso geral do tensor de deformacao infinitesimal:
E∗ =12
(∇u + (∇u)T + (∇u)T ∇u
)e tambem que
C = FTF = (I + ∇u)T (I + ∇u) = I +[∇u + (∇u)T
]+ (∇u)T (∇u)
Pode-se escrever:E∗ =
12
(C − I)
que leva a:
dx(1) · dx(2) − dX(1) · dX(2) = dX(1) · (C − I) dX(2)
= 2dX(1) · E∗dX(2)
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Tensor de Deformacao Lagrangeano
Lembrando o caso geral do tensor de deformacao infinitesimal:
E∗ =12
(∇u + (∇u)T + (∇u)T ∇u
)e tambem que
C = FTF = (I + ∇u)T (I + ∇u) = I +[∇u + (∇u)T
]+ (∇u)T (∇u)
Pode-se escrever:E∗ =
12
(C − I)
que leva a:
dx(1) · dx(2) − dX(1) · dX(2) = dX(1) · (C − I) dX(2)
= 2dX(1) · E∗dX(2)
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Tensor de Deformacao Lagrangeano
Interpretacao Geometrica: DiagonalDeforma analoga ao caso linear:
ds2 − dS2 = 2dS2e1 · E∗e1.
Logo:
E11 =12
ds2 − dS2
dS2para dX = dSe1
e analogamente para os demais termos da diagonal.
Interpretacao Geometrica: Fora da DiagonalFazendo, mais uma vez dX(1) = dS1e1 e dX(2) = dS2e2, pode-se escrever:
E∗12 =12
ds1ds2
dS1dS2cos
(dx(1), dx(2)
)
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 42 / 56
Tensor de Deformacao Lagrangeano
Interpretacao Geometrica: DiagonalDeforma analoga ao caso linear:
ds2 − dS2 = 2dS2e1 · E∗e1.
Logo:
E11 =12
ds2 − dS2
dS2para dX = dSe1
e analogamente para os demais termos da diagonal.
Interpretacao Geometrica: Fora da DiagonalFazendo, mais uma vez dX(1) = dS1e1 e dX(2) = dS2e2, pode-se escrever:
E∗12 =12
ds1ds2
dS1dS2cos
(dx(1), dx(2)
)
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Tensor de Deformacao Lagrangeano
Interpretacao Geometrica: DiagonalDeforma analoga ao caso linear:
ds2 − dS2 = 2dS2e1 · E∗e1.
Logo:
E11 =12
ds2 − dS2
dS2para dX = dSe1
e analogamente para os demais termos da diagonal.
Interpretacao Geometrica: Fora da DiagonalFazendo, mais uma vez dX(1) = dS1e1 e dX(2) = dS2e2, pode-se escrever:
E∗12 =12
ds1ds2
dS1dS2cos
(dx(1), dx(2)
)
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 42 / 56
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3 Cinematica IIIGradiente de Deformacao FDecomposicao do Tensor FTensor CTensor de Deformacao LagrangeanoTensor BTensor de Deformacao EulerianoResumoMudanca de AreaMudanca de Volume
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 43 / 56
Tensor Deformacao de Cauchy-Green Esquerdo
Seja:B = FFT
= VR(VR)T = V2
Substituindo F = RU, chega-se a:
B = RCRT e C = RTBR
Pode-se verificar que se n e autovetor de B com autovalor λ, entao Rn e autovetor deC com o mesmo autovalor.
Relacao com ∇uPode-se expressar B em termos de ∇u, como:
B = FFT = (I + ∇u) (I + ∇u)T = I +[∇u + (∇u)T
]+ (∇u) (∇u)T
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Tensor Deformacao de Cauchy-Green Esquerdo
Seja:B = FFT = VR(VR)T
= V2
Substituindo F = RU, chega-se a:
B = RCRT e C = RTBR
Pode-se verificar que se n e autovetor de B com autovalor λ, entao Rn e autovetor deC com o mesmo autovalor.
Relacao com ∇uPode-se expressar B em termos de ∇u, como:
B = FFT = (I + ∇u) (I + ∇u)T = I +[∇u + (∇u)T
]+ (∇u) (∇u)T
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Tensor Deformacao de Cauchy-Green Esquerdo
Seja:B = FFT = VR(VR)T = V2
Substituindo F = RU, chega-se a:
B = RCRT e C = RTBR
Pode-se verificar que se n e autovetor de B com autovalor λ, entao Rn e autovetor deC com o mesmo autovalor.
Relacao com ∇uPode-se expressar B em termos de ∇u, como:
B = FFT = (I + ∇u) (I + ∇u)T = I +[∇u + (∇u)T
]+ (∇u) (∇u)T
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 43 / 56
Tensor Deformacao de Cauchy-Green Esquerdo
Seja:B = FFT = VR(VR)T = V2
Substituindo F = RU, chega-se a:
B = RCRT e C = RTBR
Pode-se verificar que se n e autovetor de B com autovalor λ, entao Rn e autovetor deC com o mesmo autovalor.
Relacao com ∇uPode-se expressar B em termos de ∇u, como:
B = FFT = (I + ∇u) (I + ∇u)T = I +[∇u + (∇u)T
]+ (∇u) (∇u)T
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 43 / 56
Tensor Deformacao de Cauchy-Green Esquerdo
Seja:B = FFT = VR(VR)T = V2
Substituindo F = RU, chega-se a:
B = RCRT e C = RTBR
Pode-se verificar que se n e autovetor de B com autovalor λ, entao Rn e autovetor deC com o mesmo autovalor.
Relacao com ∇uPode-se expressar B em termos de ∇u, como:
B = FFT = (I + ∇u) (I + ∇u)T = I +[∇u + (∇u)T
]+ (∇u) (∇u)T
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 43 / 56
Tensor Deformacao de Cauchy-Green Esquerdo
Seja:B = FFT = VR(VR)T = V2
Substituindo F = RU, chega-se a:
B = RCRT e C = RTBR
Pode-se verificar que se n e autovetor de B com autovalor λ, entao Rn e autovetor deC com o mesmo autovalor.
Relacao com ∇uPode-se expressar B em termos de ∇u, como:
B = FFT
= (I + ∇u) (I + ∇u)T = I +[∇u + (∇u)T
]+ (∇u) (∇u)T
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 43 / 56
Tensor Deformacao de Cauchy-Green Esquerdo
Seja:B = FFT = VR(VR)T = V2
Substituindo F = RU, chega-se a:
B = RCRT e C = RTBR
Pode-se verificar que se n e autovetor de B com autovalor λ, entao Rn e autovetor deC com o mesmo autovalor.
Relacao com ∇uPode-se expressar B em termos de ∇u, como:
B = FFT = (I + ∇u) (I + ∇u)T
= I +[∇u + (∇u)T
]+ (∇u) (∇u)T
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 43 / 56
Tensor Deformacao de Cauchy-Green Esquerdo
Seja:B = FFT = VR(VR)T = V2
Substituindo F = RU, chega-se a:
B = RCRT e C = RTBR
Pode-se verificar que se n e autovetor de B com autovalor λ, entao Rn e autovetor deC com o mesmo autovalor.
Relacao com ∇uPode-se expressar B em termos de ∇u, como:
B = FFT = (I + ∇u) (I + ∇u)T = I +[∇u + (∇u)T
]+ (∇u) (∇u)T
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 43 / 56
Tensor Deformacao de Cauchy-Green Esquerdo
Interpretacao Geometrica: DiagonalFazendo dX = dSn onde n = RTe1, sendo F = VR tem-se:
ds2 = dS2n · Cn
= dS2RTe1 · CRTe1
= dS2e1 ·(CRT
)TRTe1
= dS2e1 · RCRTe1
= dS2e1 · Be1
Logo:
B11 =
(dsdS
)2
para dX = RTe1
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Tensor Deformacao de Cauchy-Green Esquerdo
Interpretacao Geometrica: DiagonalFazendo dX = dSn onde n = RTe1, sendo F = VR tem-se:
ds2 = dS2n · Cn = dS2RTe1 · CRTe1
= dS2e1 ·(CRT
)TRTe1
= dS2e1 · RCRTe1
= dS2e1 · Be1
Logo:
B11 =
(dsdS
)2
para dX = RTe1
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 44 / 56
Tensor Deformacao de Cauchy-Green Esquerdo
Interpretacao Geometrica: DiagonalFazendo dX = dSn onde n = RTe1, sendo F = VR tem-se:
ds2 = dS2n · Cn = dS2RTe1 · CRTe1
= dS2e1 ·(CRT
)TRTe1
= dS2e1 · RCRTe1
= dS2e1 · Be1
Logo:
B11 =
(dsdS
)2
para dX = RTe1
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 44 / 56
Tensor Deformacao de Cauchy-Green Esquerdo
Interpretacao Geometrica: DiagonalFazendo dX = dSn onde n = RTe1, sendo F = VR tem-se:
ds2 = dS2n · Cn = dS2RTe1 · CRTe1
= dS2e1 ·(CRT
)TRTe1
= dS2e1 · RCRTe1
= dS2e1 · Be1
Logo:
B11 =
(dsdS
)2
para dX = RTe1
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 44 / 56
Tensor Deformacao de Cauchy-Green Esquerdo
Interpretacao Geometrica: DiagonalFazendo dX = dSn onde n = RTe1, sendo F = VR tem-se:
ds2 = dS2n · Cn = dS2RTe1 · CRTe1
= dS2e1 ·(CRT
)TRTe1
= dS2e1 · RCRTe1
= dS2e1 · Be1
Logo:
B11 =
(dsdS
)2
para dX = RTe1
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 44 / 56
Tensor Deformacao de Cauchy-Green Esquerdo
Interpretacao Geometrica: DiagonalFazendo dX = dSn onde n = RTe1, sendo F = VR tem-se:
ds2 = dS2n · Cn = dS2RTe1 · CRTe1
= dS2e1 ·(CRT
)TRTe1
= dS2e1 · RCRTe1
= dS2e1 · Be1
Logo:
B11 =
(dsdS
)2
para dX = RTe1
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 44 / 56
Tensor Deformacao de Cauchy-Green Esquerdo
Interpretacao Geometrica: Fora da DiagonalConsiderando dX(1) = dS1RTe1 e dX(2) = dS2RTe2, pode-se escrever:
ds1ds2 cos(dx(1), dx(2)) = dS1dS2
(RTe1
)· CRTe2
= dS1dS2e1 · Be2
Logo:
B12 =ds1ds2
dS1dS2cos(dx(1), dx(2)) para
dX(1) = dS1RTe1
edX(2) = dS2RTe2
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 45 / 56
Tensor Deformacao de Cauchy-Green Esquerdo
Interpretacao Geometrica: Fora da DiagonalConsiderando dX(1) = dS1RTe1 e dX(2) = dS2RTe2, pode-se escrever:
ds1ds2 cos(dx(1), dx(2)) = dS1dS2
(RTe1
)· CRTe2
= dS1dS2e1 · Be2
Logo:
B12 =ds1ds2
dS1dS2cos(dx(1), dx(2)) para
dX(1) = dS1RTe1
edX(2) = dS2RTe2
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 45 / 56
Programa
3 Cinematica IIIGradiente de Deformacao FDecomposicao do Tensor FTensor CTensor de Deformacao LagrangeanoTensor BTensor de Deformacao EulerianoResumoMudanca de AreaMudanca de Volume
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 46 / 56
Tensor de Deformacao Euleriano
Seja o Tensor de deformacao Euleriano:
e∗ ≡12
(I − B−1
)
Sem deformacao: B−1 = I e e∗ = 0
F−1
Partindo de dx = FdX pode-se escrever:
dX = F−1dx e ainda dXi = F−1ij dxj
Logo:
F−1ij =
dXi
dxj
onde Xi = Xi(x1, x2, x3, t) e a funcao inversa de xi = xi(X1,X2,X3, t).
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 46 / 56
Tensor de Deformacao Euleriano
Seja o Tensor de deformacao Euleriano:
e∗ ≡12
(I − B−1
)Sem deformacao: B−1 = I e e∗ = 0
F−1
Partindo de dx = FdX pode-se escrever:
dX = F−1dx e ainda dXi = F−1ij dxj
Logo:
F−1ij =
dXi
dxj
onde Xi = Xi(x1, x2, x3, t) e a funcao inversa de xi = xi(X1,X2,X3, t).
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 46 / 56
Tensor de Deformacao Euleriano
Seja o Tensor de deformacao Euleriano:
e∗ ≡12
(I − B−1
)Sem deformacao: B−1 = I e e∗ = 0
F−1
Partindo de dx = FdX pode-se escrever:
dX = F−1dx
e ainda dXi = F−1ij dxj
Logo:
F−1ij =
dXi
dxj
onde Xi = Xi(x1, x2, x3, t) e a funcao inversa de xi = xi(X1,X2,X3, t).
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 46 / 56
Tensor de Deformacao Euleriano
Seja o Tensor de deformacao Euleriano:
e∗ ≡12
(I − B−1
)Sem deformacao: B−1 = I e e∗ = 0
F−1
Partindo de dx = FdX pode-se escrever:
dX = F−1dx e ainda dXi = F−1ij dxj
Logo:
F−1ij =
dXi
dxj
onde Xi = Xi(x1, x2, x3, t) e a funcao inversa de xi = xi(X1,X2,X3, t).
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 46 / 56
Tensor de Deformacao Euleriano
Seja o Tensor de deformacao Euleriano:
e∗ ≡12
(I − B−1
)Sem deformacao: B−1 = I e e∗ = 0
F−1
Partindo de dx = FdX pode-se escrever:
dX = F−1dx e ainda dXi = F−1ij dxj
Logo:
F−1ij =
dXi
dxj
onde Xi = Xi(x1, x2, x3, t) e a funcao inversa de xi = xi(X1,X2,X3, t).
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 46 / 56
Interpretacao Geometrica de e∗
Fazendo:
dX(1) · dX(2) = F−1dx(1) · F−1dx(2)
= F−1dx(2) · F−1dx(1)
= dx(1) ·(F−1
)TF−1dx(2)
= dx(1) ·(FFT
)−1dx(2)
Isto edX(1) · dX(2) = dx(1) · B−1dx(2)
Logo:
dx(1) · dx(2) − dX(1) · dX(2) = dx(1) ·(I − B−1
)dx(2)
= 2dx(1) · e∗dx(2)
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 47 / 56
Interpretacao Geometrica de e∗
Fazendo:
dX(1) · dX(2) = F−1dx(1) · F−1dx(2)
= F−1dx(2) · F−1dx(1)
= dx(1) ·(F−1
)TF−1dx(2)
= dx(1) ·(FFT
)−1dx(2)
Isto edX(1) · dX(2) = dx(1) · B−1dx(2)
Logo:
dx(1) · dx(2) − dX(1) · dX(2) = dx(1) ·(I − B−1
)dx(2)
= 2dx(1) · e∗dx(2)
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 47 / 56
Interpretacao Geometrica de e∗
Fazendo:
dX(1) · dX(2) = F−1dx(1) · F−1dx(2)
= F−1dx(2) · F−1dx(1)
= dx(1) ·(F−1
)TF−1dx(2)
= dx(1) ·(FFT
)−1dx(2)
Isto edX(1) · dX(2) = dx(1) · B−1dx(2)
Logo:
dx(1) · dx(2) − dX(1) · dX(2) = dx(1) ·(I − B−1
)dx(2)
= 2dx(1) · e∗dx(2)
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 47 / 56
Interpretacao Geometrica de e∗
Fazendo:
dX(1) · dX(2) = F−1dx(1) · F−1dx(2)
= F−1dx(2) · F−1dx(1)
= dx(1) ·(F−1
)TF−1dx(2)
= dx(1) ·(FFT
)−1dx(2)
Isto edX(1) · dX(2) = dx(1) · B−1dx(2)
Logo:
dx(1) · dx(2) − dX(1) · dX(2) = dx(1) ·(I − B−1
)dx(2)
= 2dx(1) · e∗dx(2)
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 47 / 56
Interpretacao Geometrica de e∗
Fazendo:
dX(1) · dX(2) = F−1dx(1) · F−1dx(2)
= F−1dx(2) · F−1dx(1)
= dx(1) ·(F−1
)TF−1dx(2)
= dx(1) ·(FFT
)−1dx(2)
Isto edX(1) · dX(2) = dx(1) · B−1dx(2)
Logo:
dx(1) · dx(2) − dX(1) · dX(2) = dx(1) ·(I − B−1
)dx(2)
= 2dx(1) · e∗dx(2)
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 47 / 56
Interpretacao Geometrica de e∗
Fazendo:
dX(1) · dX(2) = F−1dx(1) · F−1dx(2)
= F−1dx(2) · F−1dx(1)
= dx(1) ·(F−1
)TF−1dx(2)
= dx(1) ·(FFT
)−1dx(2)
Isto edX(1) · dX(2) = dx(1) · B−1dx(2)
Logo:
dx(1) · dx(2) − dX(1) · dX(2) = dx(1) ·(I − B−1
)dx(2)
= 2dx(1) · e∗dx(2)
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 47 / 56
Interpretacao Geometrica de e∗
Fazendo:
dX(1) · dX(2) = F−1dx(1) · F−1dx(2)
= F−1dx(2) · F−1dx(1)
= dx(1) ·(F−1
)TF−1dx(2)
= dx(1) ·(FFT
)−1dx(2)
Isto edX(1) · dX(2) = dx(1) · B−1dx(2)
Logo:
dx(1) · dx(2) − dX(1) · dX(2) = dx(1) ·(I − B−1
)dx(2)
= 2dx(1) · e∗dx(2)
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 47 / 56
Interpretacao Geometrica de e∗
DiagonalFazendo dx(1) = dx(2) = dse1 obtem-se:
B−111 =
dS2
ds2
e tambem e∗11 =12
(ds2 − dS2
)ds2
Fora da DiagonalFazendo dx(1) = dse1 e dx(2) = dse2 obtem-se:
B−112 =
dS1dS2
ds1ds2cos(dX(1), dX(2))
e tambem2e12 = 1 −
dS1dS2
ds1ds2cos(dX(1), dX(2))
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Interpretacao Geometrica de e∗
DiagonalFazendo dx(1) = dx(2) = dse1 obtem-se:
B−111 =
dS2
ds2 e tambem e∗11 =12
(ds2 − dS2
)ds2
Fora da DiagonalFazendo dx(1) = dse1 e dx(2) = dse2 obtem-se:
B−112 =
dS1dS2
ds1ds2cos(dX(1), dX(2))
e tambem2e12 = 1 −
dS1dS2
ds1ds2cos(dX(1), dX(2))
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Interpretacao Geometrica de e∗
DiagonalFazendo dx(1) = dx(2) = dse1 obtem-se:
B−111 =
dS2
ds2 e tambem e∗11 =12
(ds2 − dS2
)ds2
Fora da DiagonalFazendo dx(1) = dse1 e dx(2) = dse2 obtem-se:
B−112 =
dS1dS2
ds1ds2cos(dX(1), dX(2))
e tambem2e12 = 1 −
dS1dS2
ds1ds2cos(dX(1), dX(2))
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Interpretacao Geometrica de e∗
DiagonalFazendo dx(1) = dx(2) = dse1 obtem-se:
B−111 =
dS2
ds2 e tambem e∗11 =12
(ds2 − dS2
)ds2
Fora da DiagonalFazendo dx(1) = dse1 e dx(2) = dse2 obtem-se:
B−112 =
dS1dS2
ds1ds2cos(dX(1), dX(2))
e tambem2e12 = 1 −
dS1dS2
ds1ds2cos(dX(1), dX(2))
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Interpretacao Geometrica de e∗
DiagonalFazendo dx(1) = dx(2) = dse1 obtem-se:
B−111 =
dS2
ds2 e tambem e∗11 =12
(ds2 − dS2
)ds2
Fora da DiagonalFazendo dx(1) = dse1 e dx(2) = dse2 obtem-se:
B−112 =
dS1dS2
ds1ds2cos(dX(1), dX(2))
e tambem2e12 = 1 −
dS1dS2
ds1ds2cos(dX(1), dX(2))
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Relacoes com ∇u
Lembrando que x = X + u pode-se obter:
X = x − u(x1, x2, x3, t)
onde se utiliza uma descricao espacial para u.
Logo:∂Xi
∂xj= δij −
∂ui
∂xj
ou
F−1 = I − ∇xu
com[∇xu]ij =
∂ui
∂xj
[∇Xu]ij =∂ui
∂Xj
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Relacoes com ∇u
Lembrando que x = X + u pode-se obter:
X = x − u(x1, x2, x3, t)
onde se utiliza uma descricao espacial para u.Logo:
∂Xi
∂xj= δij −
∂ui
∂xj
ou
F−1 = I − ∇xu
com[∇xu]ij =
∂ui
∂xj
[∇Xu]ij =∂ui
∂Xj
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Relacoes com ∇u
Lembrando que x = X + u pode-se obter:
X = x − u(x1, x2, x3, t)
onde se utiliza uma descricao espacial para u.Logo:
∂Xi
∂xj= δij −
∂ui
∂xj
ou
F−1 = I − ∇xu
com[∇xu]ij =
∂ui
∂xj
[∇Xu]ij =∂ui
∂Xj
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Relacoes com ∇u
Portanto:
B−1 = (I − ∇xu)T (I − ∇xu)
= I −[∇xu + (∇xu)T
]+ (∇xu)T ∇xu
e tambem:
e∗ =
[∇xu + (∇xu)T
]2
−(∇xu)T ∇xu
2
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Relacoes com ∇u
Portanto:
B−1 = (I − ∇xu)T (I − ∇xu)
= I −[∇xu + (∇xu)T
]+ (∇xu)T ∇xu
e tambem:
e∗ =
[∇xu + (∇xu)T
]2
−(∇xu)T ∇xu
2
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Relacoes com ∇u
Portanto:
B−1 = (I − ∇xu)T (I − ∇xu)
= I −[∇xu + (∇xu)T
]+ (∇xu)T ∇xu
e tambem:
e∗ =
[∇xu + (∇xu)T
]2
−(∇xu)T ∇xu
2
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Programa
3 Cinematica IIIGradiente de Deformacao FDecomposicao do Tensor FTensor CTensor de Deformacao LagrangeanoTensor BTensor de Deformacao EulerianoResumoMudanca de AreaMudanca de Volume
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Resumo das Medidas de Deformacao
Gradiente de deformacao F = RU = VR
Tensor Cauchy-Green direito C = FTF = U2
Tendor Cauchy-Green Esquerdo(Finger Tensor) b = FFT = V2
Tensor de deformacao de GreenTensor de deformacao Lagrangiano E = 1
2 (C − I)
Tensor de deformacao de AlmansiTensor de deformacao Eulerian e = 1
2
(I − b−1
)
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Programa
3 Cinematica IIIGradiente de Deformacao FDecomposicao do Tensor FTensor CTensor de Deformacao LagrangeanoTensor BTensor de Deformacao EulerianoResumoMudanca de AreaMudanca de Volume
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Mudanca de Area
Considere dX(1) = dS1e1 e dX(2) = dS2e2 emanando de um ponto material X.Em t0 a area formada por dX(1) e dX(2) pode se escrever:
dA0 = dX(1) × dX(2)
= dS1dS2e3
= dA0e3
e, analogamente, durante a deformacao no tempo t:
dA = dFdX(1) × FdX(2)
= dS1dS2Fe1 × Fe2
= dA0Fe1 × Fe2
Sendo n o vetor unitario de direcao Fe1 × Fe2, com n =dA0dA (Fe1 × Fe2):
dA = dA n = dA0 (Fe1 × Fe2)
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Mudanca de Area
Considere dX(1) = dS1e1 e dX(2) = dS2e2 emanando de um ponto material X.Em t0 a area formada por dX(1) e dX(2) pode se escrever:
dA0 = dX(1) × dX(2)
= dS1dS2e3
= dA0e3
e, analogamente, durante a deformacao no tempo t:
dA = dFdX(1) × FdX(2)
= dS1dS2Fe1 × Fe2
= dA0Fe1 × Fe2
Sendo n o vetor unitario de direcao Fe1 × Fe2, com n =dA0dA (Fe1 × Fe2):
dA = dA n = dA0 (Fe1 × Fe2)
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Mudanca de Area
Considere dX(1) = dS1e1 e dX(2) = dS2e2 emanando de um ponto material X.Em t0 a area formada por dX(1) e dX(2) pode se escrever:
dA0 = dX(1) × dX(2)
= dS1dS2e3
= dA0e3
e, analogamente, durante a deformacao no tempo t:
dA = dFdX(1) × FdX(2)
= dS1dS2Fe1 × Fe2
= dA0Fe1 × Fe2
Sendo n o vetor unitario de direcao Fe1 × Fe2, com n =dA0dA (Fe1 × Fe2):
dA = dA n = dA0 (Fe1 × Fe2)
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Mudanca de Area
Considere dX(1) = dS1e1 e dX(2) = dS2e2 emanando de um ponto material X.Em t0 a area formada por dX(1) e dX(2) pode se escrever:
dA0 = dX(1) × dX(2)
= dS1dS2e3
= dA0e3
e, analogamente, durante a deformacao no tempo t:
dA = dFdX(1) × FdX(2)
= dS1dS2Fe1 × Fe2
= dA0Fe1 × Fe2
Sendo n o vetor unitario de direcao Fe1 × Fe2, com n =dA0dA (Fe1 × Fe2):
dA = dA n = dA0 (Fe1 × Fe2)
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Mudanca de Area
Considere dX(1) = dS1e1 e dX(2) = dS2e2 emanando de um ponto material X.Em t0 a area formada por dX(1) e dX(2) pode se escrever:
dA0 = dX(1) × dX(2)
= dS1dS2e3
= dA0e3
e, analogamente, durante a deformacao no tempo t:
dA = dFdX(1) × FdX(2)
= dS1dS2Fe1 × Fe2
= dA0Fe1 × Fe2
Sendo n o vetor unitario de direcao Fe1 × Fe2, com n =dA0dA (Fe1 × Fe2):
dA = dA n = dA0 (Fe1 × Fe2)
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Mudanca de Area
Considere dX(1) = dS1e1 e dX(2) = dS2e2 emanando de um ponto material X.Em t0 a area formada por dX(1) e dX(2) pode se escrever:
dA0 = dX(1) × dX(2)
= dS1dS2e3
= dA0e3
e, analogamente, durante a deformacao no tempo t:
dA = dFdX(1) × FdX(2)
= dS1dS2Fe1 × Fe2
= dA0Fe1 × Fe2
Sendo n o vetor unitario de direcao Fe1 × Fe2, com n =dA0dA (Fe1 × Fe2):
dA = dA n = dA0 (Fe1 × Fe2)
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Mudanca de Area
Considere dX(1) = dS1e1 e dX(2) = dS2e2 emanando de um ponto material X.Em t0 a area formada por dX(1) e dX(2) pode se escrever:
dA0 = dX(1) × dX(2)
= dS1dS2e3
= dA0e3
e, analogamente, durante a deformacao no tempo t:
dA = dFdX(1) × FdX(2)
= dS1dS2Fe1 × Fe2
= dA0Fe1 × Fe2
Sendo n o vetor unitario de direcao Fe1 × Fe2, com n =dA0dA (Fe1 × Fe2):
dA = dA n
= dA0 (Fe1 × Fe2)
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Mudanca de Area
Considere dX(1) = dS1e1 e dX(2) = dS2e2 emanando de um ponto material X.Em t0 a area formada por dX(1) e dX(2) pode se escrever:
dA0 = dX(1) × dX(2)
= dS1dS2e3
= dA0e3
e, analogamente, durante a deformacao no tempo t:
dA = dFdX(1) × FdX(2)
= dS1dS2Fe1 × Fe2
= dA0Fe1 × Fe2
Sendo n o vetor unitario de direcao Fe1 × Fe2, com n =dA0dA (Fe1 × Fe2):
dA = dA n = dA0 (Fe1 × Fe2)
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Mudanca de Area
Logo:
Fe1 · dA n = Fe2 · dAn = 0
⇒ Fe1 · n = Fe2 · n = 0⇒ e1 · FTn = e2 · FTn = 0
com isso temos que FTn e simultaneamente normal a e1 e e2 e portanto:
Fe3 · dA = Fe3 · dAn = Fe3 · dA0 (Fe1 × Fe2) = dA0 (Fe3 · Fe1 × Fe2)
Lembrando que a · b × c = det [abc]T = det [abc]:
Fe3 · Fe1 × Fe2 = Fe1 · Fe2 × Fe3 = det F
Desta forma
Fe3 · dA = dA0 det F⇒ Fe3 · dAn = dA0 det F⇒ Fe3 · n =dA0
dAdet F
Usando agora a · Tb = b · TTa, a expressao anterior resulta em
e3 · FTn =dA0
dAdet F⇒ FTn =
[dA0
dAdet F
]e3
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Mudanca de Area
Logo:
Fe1 · dA n = Fe2 · dAn = 0⇒
Fe1 · n = Fe2 · n = 0⇒ e1 · FTn = e2 · FTn = 0
com isso temos que FTn e simultaneamente normal a e1 e e2 e portanto:
Fe3 · dA = Fe3 · dAn = Fe3 · dA0 (Fe1 × Fe2) = dA0 (Fe3 · Fe1 × Fe2)
Lembrando que a · b × c = det [abc]T = det [abc]:
Fe3 · Fe1 × Fe2 = Fe1 · Fe2 × Fe3 = det F
Desta forma
Fe3 · dA = dA0 det F⇒ Fe3 · dAn = dA0 det F⇒ Fe3 · n =dA0
dAdet F
Usando agora a · Tb = b · TTa, a expressao anterior resulta em
e3 · FTn =dA0
dAdet F⇒ FTn =
[dA0
dAdet F
]e3
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Mudanca de Area
Logo:
Fe1 · dA n = Fe2 · dAn = 0⇒ Fe1 · n = Fe2 · n = 0
⇒ e1 · FTn = e2 · FTn = 0
com isso temos que FTn e simultaneamente normal a e1 e e2 e portanto:
Fe3 · dA = Fe3 · dAn = Fe3 · dA0 (Fe1 × Fe2) = dA0 (Fe3 · Fe1 × Fe2)
Lembrando que a · b × c = det [abc]T = det [abc]:
Fe3 · Fe1 × Fe2 = Fe1 · Fe2 × Fe3 = det F
Desta forma
Fe3 · dA = dA0 det F⇒ Fe3 · dAn = dA0 det F⇒ Fe3 · n =dA0
dAdet F
Usando agora a · Tb = b · TTa, a expressao anterior resulta em
e3 · FTn =dA0
dAdet F⇒ FTn =
[dA0
dAdet F
]e3
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Mudanca de Area
Logo:
Fe1 · dA n = Fe2 · dAn = 0⇒ Fe1 · n = Fe2 · n = 0⇒
e1 · FTn = e2 · FTn = 0
com isso temos que FTn e simultaneamente normal a e1 e e2 e portanto:
Fe3 · dA = Fe3 · dAn = Fe3 · dA0 (Fe1 × Fe2) = dA0 (Fe3 · Fe1 × Fe2)
Lembrando que a · b × c = det [abc]T = det [abc]:
Fe3 · Fe1 × Fe2 = Fe1 · Fe2 × Fe3 = det F
Desta forma
Fe3 · dA = dA0 det F⇒ Fe3 · dAn = dA0 det F⇒ Fe3 · n =dA0
dAdet F
Usando agora a · Tb = b · TTa, a expressao anterior resulta em
e3 · FTn =dA0
dAdet F⇒ FTn =
[dA0
dAdet F
]e3
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Mudanca de Area
Logo:
Fe1 · dA n = Fe2 · dAn = 0⇒ Fe1 · n = Fe2 · n = 0⇒ e1 · FTn = e2 · FTn = 0
com isso temos que FTn e simultaneamente normal a e1 e e2 e portanto:
Fe3 · dA = Fe3 · dAn = Fe3 · dA0 (Fe1 × Fe2) = dA0 (Fe3 · Fe1 × Fe2)
Lembrando que a · b × c = det [abc]T = det [abc]:
Fe3 · Fe1 × Fe2 = Fe1 · Fe2 × Fe3 = det F
Desta forma
Fe3 · dA = dA0 det F⇒ Fe3 · dAn = dA0 det F⇒ Fe3 · n =dA0
dAdet F
Usando agora a · Tb = b · TTa, a expressao anterior resulta em
e3 · FTn =dA0
dAdet F⇒ FTn =
[dA0
dAdet F
]e3
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 53 / 56
Mudanca de Area
Logo:
Fe1 · dA n = Fe2 · dAn = 0⇒ Fe1 · n = Fe2 · n = 0⇒ e1 · FTn = e2 · FTn = 0
com isso temos que FTn e simultaneamente normal a e1 e e2 e portanto:
Fe3 · dA
= Fe3 · dAn = Fe3 · dA0 (Fe1 × Fe2) = dA0 (Fe3 · Fe1 × Fe2)
Lembrando que a · b × c = det [abc]T = det [abc]:
Fe3 · Fe1 × Fe2 = Fe1 · Fe2 × Fe3 = det F
Desta forma
Fe3 · dA = dA0 det F⇒ Fe3 · dAn = dA0 det F⇒ Fe3 · n =dA0
dAdet F
Usando agora a · Tb = b · TTa, a expressao anterior resulta em
e3 · FTn =dA0
dAdet F⇒ FTn =
[dA0
dAdet F
]e3
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 53 / 56
Mudanca de Area
Logo:
Fe1 · dA n = Fe2 · dAn = 0⇒ Fe1 · n = Fe2 · n = 0⇒ e1 · FTn = e2 · FTn = 0
com isso temos que FTn e simultaneamente normal a e1 e e2 e portanto:
Fe3 · dA =
Fe3 · dAn = Fe3 · dA0 (Fe1 × Fe2) = dA0 (Fe3 · Fe1 × Fe2)
Lembrando que a · b × c = det [abc]T = det [abc]:
Fe3 · Fe1 × Fe2 = Fe1 · Fe2 × Fe3 = det F
Desta forma
Fe3 · dA = dA0 det F⇒ Fe3 · dAn = dA0 det F⇒ Fe3 · n =dA0
dAdet F
Usando agora a · Tb = b · TTa, a expressao anterior resulta em
e3 · FTn =dA0
dAdet F⇒ FTn =
[dA0
dAdet F
]e3
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 53 / 56
Mudanca de Area
Logo:
Fe1 · dA n = Fe2 · dAn = 0⇒ Fe1 · n = Fe2 · n = 0⇒ e1 · FTn = e2 · FTn = 0
com isso temos que FTn e simultaneamente normal a e1 e e2 e portanto:
Fe3 · dA = Fe3 · dAn
= Fe3 · dA0 (Fe1 × Fe2) = dA0 (Fe3 · Fe1 × Fe2)
Lembrando que a · b × c = det [abc]T = det [abc]:
Fe3 · Fe1 × Fe2 = Fe1 · Fe2 × Fe3 = det F
Desta forma
Fe3 · dA = dA0 det F⇒ Fe3 · dAn = dA0 det F⇒ Fe3 · n =dA0
dAdet F
Usando agora a · Tb = b · TTa, a expressao anterior resulta em
e3 · FTn =dA0
dAdet F⇒ FTn =
[dA0
dAdet F
]e3
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 53 / 56
Mudanca de Area
Logo:
Fe1 · dA n = Fe2 · dAn = 0⇒ Fe1 · n = Fe2 · n = 0⇒ e1 · FTn = e2 · FTn = 0
com isso temos que FTn e simultaneamente normal a e1 e e2 e portanto:
Fe3 · dA = Fe3 · dAn =
Fe3 · dA0 (Fe1 × Fe2) = dA0 (Fe3 · Fe1 × Fe2)
Lembrando que a · b × c = det [abc]T = det [abc]:
Fe3 · Fe1 × Fe2 = Fe1 · Fe2 × Fe3 = det F
Desta forma
Fe3 · dA = dA0 det F⇒ Fe3 · dAn = dA0 det F⇒ Fe3 · n =dA0
dAdet F
Usando agora a · Tb = b · TTa, a expressao anterior resulta em
e3 · FTn =dA0
dAdet F⇒ FTn =
[dA0
dAdet F
]e3
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 53 / 56
Mudanca de Area
Logo:
Fe1 · dA n = Fe2 · dAn = 0⇒ Fe1 · n = Fe2 · n = 0⇒ e1 · FTn = e2 · FTn = 0
com isso temos que FTn e simultaneamente normal a e1 e e2 e portanto:
Fe3 · dA = Fe3 · dAn = Fe3 · dA0 (Fe1 × Fe2)
= dA0 (Fe3 · Fe1 × Fe2)
Lembrando que a · b × c = det [abc]T = det [abc]:
Fe3 · Fe1 × Fe2 = Fe1 · Fe2 × Fe3 = det F
Desta forma
Fe3 · dA = dA0 det F⇒ Fe3 · dAn = dA0 det F⇒ Fe3 · n =dA0
dAdet F
Usando agora a · Tb = b · TTa, a expressao anterior resulta em
e3 · FTn =dA0
dAdet F⇒ FTn =
[dA0
dAdet F
]e3
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 53 / 56
Mudanca de Area
Logo:
Fe1 · dA n = Fe2 · dAn = 0⇒ Fe1 · n = Fe2 · n = 0⇒ e1 · FTn = e2 · FTn = 0
com isso temos que FTn e simultaneamente normal a e1 e e2 e portanto:
Fe3 · dA = Fe3 · dAn = Fe3 · dA0 (Fe1 × Fe2) =
dA0 (Fe3 · Fe1 × Fe2)
Lembrando que a · b × c = det [abc]T = det [abc]:
Fe3 · Fe1 × Fe2 = Fe1 · Fe2 × Fe3 = det F
Desta forma
Fe3 · dA = dA0 det F⇒ Fe3 · dAn = dA0 det F⇒ Fe3 · n =dA0
dAdet F
Usando agora a · Tb = b · TTa, a expressao anterior resulta em
e3 · FTn =dA0
dAdet F⇒ FTn =
[dA0
dAdet F
]e3
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 53 / 56
Mudanca de Area
Logo:
Fe1 · dA n = Fe2 · dAn = 0⇒ Fe1 · n = Fe2 · n = 0⇒ e1 · FTn = e2 · FTn = 0
com isso temos que FTn e simultaneamente normal a e1 e e2 e portanto:
Fe3 · dA = Fe3 · dAn = Fe3 · dA0 (Fe1 × Fe2) = dA0 (Fe3 · Fe1 × Fe2)
Lembrando que a · b × c = det [abc]T = det [abc]:
Fe3 · Fe1 × Fe2 = Fe1 · Fe2 × Fe3 = det F
Desta forma
Fe3 · dA = dA0 det F⇒ Fe3 · dAn = dA0 det F⇒ Fe3 · n =dA0
dAdet F
Usando agora a · Tb = b · TTa, a expressao anterior resulta em
e3 · FTn =dA0
dAdet F⇒ FTn =
[dA0
dAdet F
]e3
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 53 / 56
Mudanca de Area
Logo:
Fe1 · dA n = Fe2 · dAn = 0⇒ Fe1 · n = Fe2 · n = 0⇒ e1 · FTn = e2 · FTn = 0
com isso temos que FTn e simultaneamente normal a e1 e e2 e portanto:
Fe3 · dA = Fe3 · dAn = Fe3 · dA0 (Fe1 × Fe2) = dA0 (Fe3 · Fe1 × Fe2)
Lembrando que a · b × c = det [abc]T = det [abc]:
Fe3 · Fe1 × Fe2 = Fe1 · Fe2 × Fe3
= det F
Desta forma
Fe3 · dA = dA0 det F⇒ Fe3 · dAn = dA0 det F⇒ Fe3 · n =dA0
dAdet F
Usando agora a · Tb = b · TTa, a expressao anterior resulta em
e3 · FTn =dA0
dAdet F⇒ FTn =
[dA0
dAdet F
]e3
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 53 / 56
Mudanca de Area
Logo:
Fe1 · dA n = Fe2 · dAn = 0⇒ Fe1 · n = Fe2 · n = 0⇒ e1 · FTn = e2 · FTn = 0
com isso temos que FTn e simultaneamente normal a e1 e e2 e portanto:
Fe3 · dA = Fe3 · dAn = Fe3 · dA0 (Fe1 × Fe2) = dA0 (Fe3 · Fe1 × Fe2)
Lembrando que a · b × c = det [abc]T = det [abc]:
Fe3 · Fe1 × Fe2 = Fe1 · Fe2 × Fe3 = det F
Desta forma
Fe3 · dA = dA0 det F⇒ Fe3 · dAn = dA0 det F⇒ Fe3 · n =dA0
dAdet F
Usando agora a · Tb = b · TTa, a expressao anterior resulta em
e3 · FTn =dA0
dAdet F⇒ FTn =
[dA0
dAdet F
]e3
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Mudanca de Area
Logo:
Fe1 · dA n = Fe2 · dAn = 0⇒ Fe1 · n = Fe2 · n = 0⇒ e1 · FTn = e2 · FTn = 0
com isso temos que FTn e simultaneamente normal a e1 e e2 e portanto:
Fe3 · dA = Fe3 · dAn = Fe3 · dA0 (Fe1 × Fe2) = dA0 (Fe3 · Fe1 × Fe2)
Lembrando que a · b × c = det [abc]T = det [abc]:
Fe3 · Fe1 × Fe2 = Fe1 · Fe2 × Fe3 = det F
Desta forma
Fe3 · dA = dA0 det F
⇒ Fe3 · dAn = dA0 det F⇒ Fe3 · n =dA0
dAdet F
Usando agora a · Tb = b · TTa, a expressao anterior resulta em
e3 · FTn =dA0
dAdet F⇒ FTn =
[dA0
dAdet F
]e3
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 53 / 56
Mudanca de Area
Logo:
Fe1 · dA n = Fe2 · dAn = 0⇒ Fe1 · n = Fe2 · n = 0⇒ e1 · FTn = e2 · FTn = 0
com isso temos que FTn e simultaneamente normal a e1 e e2 e portanto:
Fe3 · dA = Fe3 · dAn = Fe3 · dA0 (Fe1 × Fe2) = dA0 (Fe3 · Fe1 × Fe2)
Lembrando que a · b × c = det [abc]T = det [abc]:
Fe3 · Fe1 × Fe2 = Fe1 · Fe2 × Fe3 = det F
Desta forma
Fe3 · dA = dA0 det F⇒
Fe3 · dAn = dA0 det F⇒ Fe3 · n =dA0
dAdet F
Usando agora a · Tb = b · TTa, a expressao anterior resulta em
e3 · FTn =dA0
dAdet F⇒ FTn =
[dA0
dAdet F
]e3
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Mudanca de Area
Logo:
Fe1 · dA n = Fe2 · dAn = 0⇒ Fe1 · n = Fe2 · n = 0⇒ e1 · FTn = e2 · FTn = 0
com isso temos que FTn e simultaneamente normal a e1 e e2 e portanto:
Fe3 · dA = Fe3 · dAn = Fe3 · dA0 (Fe1 × Fe2) = dA0 (Fe3 · Fe1 × Fe2)
Lembrando que a · b × c = det [abc]T = det [abc]:
Fe3 · Fe1 × Fe2 = Fe1 · Fe2 × Fe3 = det F
Desta forma
Fe3 · dA = dA0 det F⇒ Fe3 · dAn = dA0 det F
⇒ Fe3 · n =dA0
dAdet F
Usando agora a · Tb = b · TTa, a expressao anterior resulta em
e3 · FTn =dA0
dAdet F⇒ FTn =
[dA0
dAdet F
]e3
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Mudanca de Area
Logo:
Fe1 · dA n = Fe2 · dAn = 0⇒ Fe1 · n = Fe2 · n = 0⇒ e1 · FTn = e2 · FTn = 0
com isso temos que FTn e simultaneamente normal a e1 e e2 e portanto:
Fe3 · dA = Fe3 · dAn = Fe3 · dA0 (Fe1 × Fe2) = dA0 (Fe3 · Fe1 × Fe2)
Lembrando que a · b × c = det [abc]T = det [abc]:
Fe3 · Fe1 × Fe2 = Fe1 · Fe2 × Fe3 = det F
Desta forma
Fe3 · dA = dA0 det F⇒ Fe3 · dAn = dA0 det F⇒
Fe3 · n =dA0
dAdet F
Usando agora a · Tb = b · TTa, a expressao anterior resulta em
e3 · FTn =dA0
dAdet F⇒ FTn =
[dA0
dAdet F
]e3
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Mudanca de Area
Logo:
Fe1 · dA n = Fe2 · dAn = 0⇒ Fe1 · n = Fe2 · n = 0⇒ e1 · FTn = e2 · FTn = 0
com isso temos que FTn e simultaneamente normal a e1 e e2 e portanto:
Fe3 · dA = Fe3 · dAn = Fe3 · dA0 (Fe1 × Fe2) = dA0 (Fe3 · Fe1 × Fe2)
Lembrando que a · b × c = det [abc]T = det [abc]:
Fe3 · Fe1 × Fe2 = Fe1 · Fe2 × Fe3 = det F
Desta forma
Fe3 · dA = dA0 det F⇒ Fe3 · dAn = dA0 det F⇒ Fe3 · n =dA0
dAdet F
Usando agora a · Tb = b · TTa, a expressao anterior resulta em
e3 · FTn =dA0
dAdet F
⇒ FTn =
[dA0
dAdet F
]e3
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Mudanca de Area
Logo:
Fe1 · dA n = Fe2 · dAn = 0⇒ Fe1 · n = Fe2 · n = 0⇒ e1 · FTn = e2 · FTn = 0
com isso temos que FTn e simultaneamente normal a e1 e e2 e portanto:
Fe3 · dA = Fe3 · dAn = Fe3 · dA0 (Fe1 × Fe2) = dA0 (Fe3 · Fe1 × Fe2)
Lembrando que a · b × c = det [abc]T = det [abc]:
Fe3 · Fe1 × Fe2 = Fe1 · Fe2 × Fe3 = det F
Desta forma
Fe3 · dA = dA0 det F⇒ Fe3 · dAn = dA0 det F⇒ Fe3 · n =dA0
dAdet F
Usando agora a · Tb = b · TTa, a expressao anterior resulta em
e3 · FTn =dA0
dAdet F⇒
FTn =
[dA0
dAdet F
]e3
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Mudanca de Area
Logo:
Fe1 · dA n = Fe2 · dAn = 0⇒ Fe1 · n = Fe2 · n = 0⇒ e1 · FTn = e2 · FTn = 0
com isso temos que FTn e simultaneamente normal a e1 e e2 e portanto:
Fe3 · dA = Fe3 · dAn = Fe3 · dA0 (Fe1 × Fe2) = dA0 (Fe3 · Fe1 × Fe2)
Lembrando que a · b × c = det [abc]T = det [abc]:
Fe3 · Fe1 × Fe2 = Fe1 · Fe2 × Fe3 = det F
Desta forma
Fe3 · dA = dA0 det F⇒ Fe3 · dAn = dA0 det F⇒ Fe3 · n =dA0
dAdet F
Usando agora a · Tb = b · TTa, a expressao anterior resulta em
e3 · FTn =dA0
dAdet F⇒ FTn =
[dA0
dAdet F
]e3
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Mudanca de Area
A area na configuracao deformada e realacionada com a area na configuracaodeformada da seguinte maneira
dA = dA0(det F)∣∣∣(F−1)Te3
∣∣∣Para derivar a expressao acima escolhemos uma area retangular cujo vetores eramparalelos aos eixos x1 e x2, e portanto perpendiculares a e3. de maneira geral, se a areaindeforamada tem normal n0
dAn = dA0(det F)(F−1)Tn0 ⇒ dA = dA0J∣∣∣(F−1)Tn0
∣∣∣onde
J = |det F|
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Mudanca de Area
A area na configuracao deformada e realacionada com a area na configuracaodeformada da seguinte maneira
dA = dA0(det F)∣∣∣(F−1)Te3
∣∣∣
Para derivar a expressao acima escolhemos uma area retangular cujo vetores eramparalelos aos eixos x1 e x2, e portanto perpendiculares a e3. de maneira geral, se a areaindeforamada tem normal n0
dAn = dA0(det F)(F−1)Tn0 ⇒ dA = dA0J∣∣∣(F−1)Tn0
∣∣∣onde
J = |det F|
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Mudanca de Area
A area na configuracao deformada e realacionada com a area na configuracaodeformada da seguinte maneira
dA = dA0(det F)∣∣∣(F−1)Te3
∣∣∣Para derivar a expressao acima escolhemos uma area retangular cujo vetores eramparalelos aos eixos x1 e x2, e portanto perpendiculares a e3. de maneira geral, se a areaindeforamada tem normal n0
dAn = dA0(det F)(F−1)Tn0
⇒ dA = dA0J∣∣∣(F−1)Tn0
∣∣∣onde
J = |det F|
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Mudanca de Area
A area na configuracao deformada e realacionada com a area na configuracaodeformada da seguinte maneira
dA = dA0(det F)∣∣∣(F−1)Te3
∣∣∣Para derivar a expressao acima escolhemos uma area retangular cujo vetores eramparalelos aos eixos x1 e x2, e portanto perpendiculares a e3. de maneira geral, se a areaindeforamada tem normal n0
dAn = dA0(det F)(F−1)Tn0 ⇒
dA = dA0J∣∣∣(F−1)Tn0
∣∣∣onde
J = |det F|
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Mudanca de Area
A area na configuracao deformada e realacionada com a area na configuracaodeformada da seguinte maneira
dA = dA0(det F)∣∣∣(F−1)Te3
∣∣∣Para derivar a expressao acima escolhemos uma area retangular cujo vetores eramparalelos aos eixos x1 e x2, e portanto perpendiculares a e3. de maneira geral, se a areaindeforamada tem normal n0
dAn = dA0(det F)(F−1)Tn0 ⇒ dA = dA0J∣∣∣(F−1)Tn0
∣∣∣
ondeJ = |det F|
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 54 / 56
Mudanca de Area
A area na configuracao deformada e realacionada com a area na configuracaodeformada da seguinte maneira
dA = dA0(det F)∣∣∣(F−1)Te3
∣∣∣Para derivar a expressao acima escolhemos uma area retangular cujo vetores eramparalelos aos eixos x1 e x2, e portanto perpendiculares a e3. de maneira geral, se a areaindeforamada tem normal n0
dAn = dA0(det F)(F−1)Tn0 ⇒ dA = dA0J∣∣∣(F−1)Tn0
∣∣∣onde
J = |det F|
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 54 / 56
Programa
3 Cinematica IIIGradiente de Deformacao FDecomposicao do Tensor FTensor CTensor de Deformacao LagrangeanoTensor BTensor de Deformacao EulerianoResumoMudanca de AreaMudanca de Volume
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 55 / 56
Mudanca de Volume
Considere dX(1) = dS1e1, dX(2) = dS2e2 e dX(3) = dS3e3 emanando de um pontomaterial X.
O volume formado no tempo t0 e dado por
dV0 = dS1dS2dS3
No tempo t, os elementos se deformam em dx(1) = FdX(1), dx(2) = FdX(2) edx(3) = FdX(3), e o volume e
dV =∣∣∣FdX(1) · FdX(2) × FdX(3)
∣∣∣ = dS1dS2dS3 |Fe1 · Fe2 × Fe3|
Ou seja,
dV = dV0 |det F| = dV0 J ⇒ J =dVdV0
Sabemos que C = FTF e B = FFT , e portanto
det C = det B = (det F)2,
e entao temosdV =
√det C dV0 =
√det B dV0
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Mudanca de Volume
Considere dX(1) = dS1e1, dX(2) = dS2e2 e dX(3) = dS3e3 emanando de um pontomaterial X. O volume formado no tempo t0 e dado por
dV0 = dS1dS2dS3
No tempo t, os elementos se deformam em dx(1) = FdX(1), dx(2) = FdX(2) edx(3) = FdX(3), e o volume e
dV =∣∣∣FdX(1) · FdX(2) × FdX(3)
∣∣∣ = dS1dS2dS3 |Fe1 · Fe2 × Fe3|
Ou seja,
dV = dV0 |det F| = dV0 J ⇒ J =dVdV0
Sabemos que C = FTF e B = FFT , e portanto
det C = det B = (det F)2,
e entao temosdV =
√det C dV0 =
√det B dV0
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 55 / 56
Mudanca de Volume
Considere dX(1) = dS1e1, dX(2) = dS2e2 e dX(3) = dS3e3 emanando de um pontomaterial X. O volume formado no tempo t0 e dado por
dV0 = dS1dS2dS3
No tempo t, os elementos se deformam em dx(1) = FdX(1), dx(2) = FdX(2) edx(3) = FdX(3), e o volume e
dV =∣∣∣FdX(1) · FdX(2) × FdX(3)
∣∣∣ = dS1dS2dS3 |Fe1 · Fe2 × Fe3|
Ou seja,
dV = dV0 |det F| = dV0 J ⇒ J =dVdV0
Sabemos que C = FTF e B = FFT , e portanto
det C = det B = (det F)2,
e entao temosdV =
√det C dV0 =
√det B dV0
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Mudanca de Volume
Considere dX(1) = dS1e1, dX(2) = dS2e2 e dX(3) = dS3e3 emanando de um pontomaterial X. O volume formado no tempo t0 e dado por
dV0 = dS1dS2dS3
No tempo t, os elementos se deformam em dx(1) = FdX(1), dx(2) = FdX(2) edx(3) = FdX(3), e o volume e
dV =∣∣∣FdX(1) · FdX(2) × FdX(3)
∣∣∣ = dS1dS2dS3 |Fe1 · Fe2 × Fe3|
Ou seja,
dV = dV0 |det F| = dV0 J ⇒ J =dVdV0
Sabemos que C = FTF e B = FFT , e portanto
det C = det B = (det F)2,
e entao temosdV =
√det C dV0 =
√det B dV0
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Mudanca de Volume
Considere dX(1) = dS1e1, dX(2) = dS2e2 e dX(3) = dS3e3 emanando de um pontomaterial X. O volume formado no tempo t0 e dado por
dV0 = dS1dS2dS3
No tempo t, os elementos se deformam em dx(1) = FdX(1), dx(2) = FdX(2) edx(3) = FdX(3), e o volume e
dV =∣∣∣FdX(1) · FdX(2) × FdX(3)
∣∣∣ = dS1dS2dS3 |Fe1 · Fe2 × Fe3|
Ou seja,
dV = dV0 |det F| = dV0 J ⇒ J =dVdV0
Sabemos que C = FTF e B = FFT , e portanto
det C = det B = (det F)2,
e entao temosdV =
√det C dV0 =
√det B dV0
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Mudanca de Volume
Considere dX(1) = dS1e1, dX(2) = dS2e2 e dX(3) = dS3e3 emanando de um pontomaterial X. O volume formado no tempo t0 e dado por
dV0 = dS1dS2dS3
No tempo t, os elementos se deformam em dx(1) = FdX(1), dx(2) = FdX(2) edx(3) = FdX(3), e o volume e
dV =∣∣∣FdX(1) · FdX(2) × FdX(3)
∣∣∣ = dS1dS2dS3 |Fe1 · Fe2 × Fe3|
Ou seja,
dV = dV0 |det F| = dV0 J ⇒ J =dVdV0
Sabemos que C = FTF e B = FFT , e portanto
det C = det B = (det F)2,
e entao temosdV =
√det C dV0 =
√det B dV0
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Mudanca de Volume
Para materiais incompressıveis, dV = dV0 e entao
det C = det B = det F = 1
Podemos observar tambem que da conservacao da massa ρdV = ρ0dV0, que pode serescrita como
ρ =ρ0
det F= ρ =
ρ0√
det C= ρ =
ρ0√
det B.
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