MECANICA_CUANTICA_parte2

MECÁNICA CUÁNTICA

““ GOD DOES NOT PLAY DICES WITH THE UNIVERSE” GOD DOES NOT PLAY DICES WITH THE UNIVERSE” (Albert Einstein. 1879 (Albert Einstein. 1879 –– 1955)1955)

““ NOT ONLY DOES GOD PLAY DICES, BUT HE SOMETIMES NOT ONLY DOES GOD PLAY DICES, BUT HE SOMETIMES THROWS THEM WHERE THEY CAN’T BE SEEN” THROWS THEM WHERE THEY CAN’T BE SEEN”

(Stephen Hawking. 1942 (Stephen Hawking. 1942 –– …)…)

Mecánica CUÁNTICA

El problema que surgió al comportarse en ocasiones la radiación electromagnética como partículas (fotones) junto con otros

resultados experimentales dan origen a una nueva teoría física, la Mecánica Cuántica.

FENÓMENOS CARACTERÍSTICOS DE LA FENÓMENOS CARACTERÍSTICOS DE LA MECÁNICA CUÁNTICAMECÁNICA CUÁNTICA

1. Dualidad Onda-Corpúsculo (De Broglie).

2. Principio de Incertidumbre (Heisenberg).

3. Formulación de la Mecánica Cuántica: Tratamiento Probabilistico.

- Números Cuánticos de la ecuación de Schrödinger.- El espin.

Física Cuántica Julio Vera García

1. Dualidad onda-corpúsculo

1924, Louis V. de Broglie: Comportamiento dual radiación-materia. Por ejemplo los electrones se comportan como partículas para ciertos fenómenos y como

ondas para otros.

Julio Vera GarcíaFísica Cuántica

Longitud de onda asociada a una partícula material o un fotón:

Energía: E = hf

Momento (cantidad de movimiento): p = E/c →λh

chf

cEp ===

mvh

ph ==λ

* Montaje experimental de Davisson y Germer → Patrones de difracción, que es un fenómeno típicamente ondulatorio → Evidencia de la Hipótesis de De Broglie (Dualidad onda-partícula)

Rayos X Electrones

Experimento de la doble rendija con electrones

2. PRINCIPIO DE INCERTIDUMBRE

1927, Werner K. Heisenberg: El Principio de Incertidumbre o de Indeterminación nos advierte que es imposible determinar con total precisión y simultáneamente el valor exacto de la posición x y del momento p de un ente cuántico.


π4 hpx ≥∆∆

Este mismo Principio de Incertidumbre o de Indeterminación nos dice que es imposible determinar con total precisión y simultáneamente el valor exacto de la energía E de un ente u objeto cuántico y el intervalo de tiempo ∆t necesario para realizar la medida:

π4 htE ≥∆∆

Sistemas Cuánticos → Probabilidad

MECÁNICACLÁSICA DETERMINISTA

MECÁNICACUÁNTICA INDETERMINISTA

Principio de Complementariedad → un objeto cuántico nunca se comportará como onda y partícula a la vez, son aspectos complementarios

Limitación de la naturaleza

Heisenberg → Mecánica Matricial

EJERCICIOS


π4 hpx ≥∆∆

Ejercicio

Ejercicio La velocidad de un protón es de 104 m/s medida con una precisión tal que el posible error cometido es del 0.0005 %. Calcula la indeterminación a la hora de fijar la posición de la partícula.

El 0.0005 % es el error cometido al medir la velocidad, es decir: ∆v. El 0.0005 % de 104 m/s es:

m/s kg 8.35·10 m/s 05.0 · 10·1.9)(p / 05.0 / 100

m/s 0.0005 en equivoco · / 10 29-314 ==∆=∆=∆⇒==∆ − kgvmmvsmmedidossmcada

mesmv e

mmmsmkg

sJp

hx µππ

63.0x ; 10·31.6x 10·31.6) 10·35.8(4

10·625.64

77129

34

≥∆≥∆⇒==∆

≥∆ −−−−

−

Ejercicio

Ejercicio La onda asociada a un electrón acelerado por una diferencia de potencial tiene una longitud de onda de 1 Å. ¿Cuánto vale la diferencia de potencial que lo aceleró?

Según De Broglie toda partícula tiene asociada una longitud de onda λ =h/p, por lo que puedo averiguar que velocidad lleva el electrón del problema.

smmvh

ph / 10·28.7

m 10 · kg 9.1·10Js 10·625.6

mhv 6

10-31-

34

e

===⇒==−

λλ

Por otro lado, la energía del electrón es energía cinética y por otro lado esa energía es igual a E = q∆V

VC

sme

VevmE e 7.150) 10·6.1·(2

)/ 10·28.7( kg 10·1.92vmV E ;

21

19

26312e2 ===∆⇒∆== −

−

3. TRATAMIENTO PROBABILÍSTICO

Formulación de la Mecánica Cuántica:- Mecánica Cuántica Matricial (Heisenberg/Born/Jordan): Describir la

posición y el momento de las partículas mediante matrices.- (Erwin Schrödinger): Describe el comportamiento Mecánica Cuántica

Ondulatoria de la materia mediante funciones de onda dependiente de la posición y el tiempo.


• Ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo: ),(t

),( tritrr

hr

ψψ∂∂=Η

),(t

),( · ),( ),(2 2

2

tritrtrVtrm

rh

rrrh ψψψ∂∂=+∇−

),(2

2

trVmpEEH pc

r+=+=

• En Mecánica Cuántica las magnitudes físicas se representan mediante operadores:Operador Hamiltoniano: representa la energía del sistema Operador Momento:

22222 ˆˆˆˆ ; z

ˆ ; y

ˆ ; x

ˆ zyxzzyyxx pppppippippipp ++=→∂∂−=→

∂∂−=→

∂∂−=→ hhh

2

2

2

2

2

222 :Laplaciano llama se

zyxdonde

∂∂+

∂∂+

∂∂=∇∇

),(2 ),(

2

2

2 ),(

22

2

2

22

2

22

2

222

trVm

trVzmymxm

trVmpEEH pc

rhrhhhr+∇−=+

∂∂−

∂∂−

∂∂−=+=+=

partícula la de entocomportami El ),( onda de función la de entocomportami =trElr

ψ

NÚMEROS CUÁNTICOS


• Conclusiones al resolver la ecuación de Schrödinger:–Al resolverla aparece varias restricciones que llamaremos NÚMERO CUÁNTICOS.–Las soluciones contiene todas la información que se puede obtener sobre el sistema cuántico.

tiempo. el yposición la de dependen que complejas formas atómicos, orbitales los de forma la da Nos : ),( trr

ψ• Orbital Atómico: representa una zona “imaginaria” del espacio donde la probabilidad de encontrar el electrón en su interior con una determinada energía es muy alta.

–Los orbitales distintos que tienen la misma energía se llaman orbitales atómicos degenerados en energía.

),( :)m l, (n, cuánticos números de terna la por doidentifica queda ,,l trorbitalCadalmln

rψ

dado. instante un en posición cierta una en cuántica partícula la a encontrar de adprobabilid la a alproporcion Es :),( 2trr

ψ

Mientras resolvemos la ecuación de Schrödinger, forzosamente debemos exigir que tres magnitudes estén cuantizadas: la energía E, el cuadrado del momento angular L2, y el momento angular en la dirección azimutal Lz. Así surgen, respectivamente, los números cuánticos n, l, ml.

eV) 13.6 (E E :3,... 2, 1, n nergía 02

2

0n =−==nZEE

222 )1(L 1-n 3,... 2, 1, 0, l n de odeterminad valor una para :L h+=⇒=⇒ ll

hlzlz mL ; ),1(, ... ,2 ,1 ,0 ,1 ,2 , ,... )1( ,m "l" de valor el fijado vez una :L =−++−−−−−=⇒ llll

NÚMEROS CUÁNTICOS


a. Número cuántico principal (n): Representa el nivel de energía. (n = 1, 2, 3,….)

b. Número cuántico del momento angular orbital (l): Representa la forma del orbital y la energía dentro de cada nivel. (l = 0, 1, 2,…, n-1)

Si l = 0 → orbital atómico “s” (sharp). Si l = 1 → orbital atómico “p” (principal).Si l = 2 → orbital atómico “d” (diffuse). Si l = 3 → orbital atómico “f” (fundamental).

c. Número cuántico del momento magnético (ml): Representa la orientación del orbital en el espacio y explica el desdoblamiento de las líneas espectrales al aplicarle un campo magnético externo. (ml = -l, -l+1,…-1,0,+1,….l-1, l)

2p :orbital escribe se 1,- m 1, l 2,n tiene ),( 1-l 1,1,2 ===− trorbitalElr

ψ

Ejercicio

Ejercicio Considera los orbitales n = 2 del hidrógeno y cita todos sus números cuánticos. Calculasu energía y los módulos posibles de su momento angular. n = 2 l = 1 ml = -1, 0, +1 → (2, 1, -1) ; (2, 1, 0) ; (2, 1, 1) n = 2 l = 0 ml = 0 → (2, 0, 0)

eV 3.4 - 216.13 E ; 2 n :nergía 2

2

2

2

02 =−=−==nZEE

3 )11(1L 1 0 )10(0L 0 )1(L )1(L 22

=+=→==+=→=+=⇒+=

hh

hhh

lParalParallll

ORBITALES ATÓMICOS


Orbitales s Orbitales p

Orbitales d Orbitales f

EL SPIN


Al aplicar un campo magnético externo, sobre ciertos elementos en estado gaseoso, como por ejemplo el vapor de sodio, se observa que lo que antes era una línea en el espectro ahora son dos.

Experimento de Stern-Gerlach

Asignaron al electrón un momento angular intrínseco o espín S. Este espín está cuantizado por el número cuántico de espín “s”, que en el caso del electrón s = ½.

s) m bien, o s,- (m mS ; )21s (con )1(S sssz

22 +====+= hhss

EL SPIN


Experimento de Stern-Gerlach

Hay dos posibles orientaciones del espín, paralelo (↑) al campo magnético externo, ms = + ½, o antiparalelo (↓) , ms = - ½.

El estado del electrón en el átomo queda definido por sus cuatro números cuánticos: (n, l, ml, ms)

Principio de Exclusión de Pauli:

En un átomo multielectrónico, no podrá haber dos electrones en el mismo estado cuántico, es decir, no puede haber dos electrones con los cuatro números cuánticos iguales.

Transiciones posibles entre orbitales:

· Se debe conservar el momento angular total.· Como el fotón absorbido o emitido tiene s =1:

∆l = ±1y

∆ml = 0 ó ∆ml = ±1

EL SPIN


Fermiones→ partículas con espín semientero Bosones→ partículas con espín entero

Partícula Nombre Genérico

Espín (s)

Partícula Nombre Genérico

Espín (s)

Electrón e- Fermión ½ Fotón γ Bosón 1 Protón p+ Fermión ½ Partícula α Bosón 0 Neutrón n0 Fermión ½ Pión π+ Bosón 0 Positrón e+ Fermión ½ Bosón W± Bosón 1 Muón µ- Fermión ½ Bosón Z0 Bosón 1

Neutrino muónico Fermión ½ Gluón g Bosón 1 Partícula Tau τ Fermión ½ Partículas no localizadas aún

Neutrino tauónico Fermión ½ Bosón de Higgs H Bosón 0 Partícula Σ- Fermión ½ Gravitón Bosón 2

EJERCICIOS PROPUESTOS


Medimos las velocidades de una electrón, de masa me = 9’1·10 -31 kg, y el de una bola de 30 gramos de masa, con una incertidumbre en los dos casos de 10 -3 m/s. Determinar las incertidumbre en la posición de ambos objetos. Datos: Constante de Planck: h = 6’63·10-34 Js,

Ejercicio

Ejercicio Estudiar si son posibles los siguientes orbitales: a) 3f ; b) 5p ; c) 2s-1 ; d) 4f+3 .

Ejercicio

Ejercicio

π4 hpx ≥∆∆

Para ambos ∆v = 10-3 m/s ; ∆p = m ∆v

m/s kg 9.1·10 m/s 10 · 10·1.9)(p :electrón el -34-331 ==∆=∆=∆ − kgvmmvPara e

mm 6x 06.0) 10·1.9(4

10·625.64

:electrón el 134

34

≥∆⇒==∆

≥∆ −−

−

msmkgsJ

phxPara

ππ

m/s kg 3·10 m/s 10 · 03.0)(p :bola la -5-3 ==∆=∆=∆ kgvmmvPara bola

posición la medir al error hay apenas bola la para 10·76.1) 10·3(4

10·625.64

:bola la 3015

34

⇒==∆

≥∆ −−−

−

msmkgsJ

phxPara

ππ

a) 3f → n = 3 y a un orbital f le corresponde l = 3 ; como l va desde 0 a n-1 = 2 → NO POSIBLE

b) 5p → n = 5 y a un orbital p le corresponde l = 2 ; como l va desde 0 a n-1 = 4 → SÍ POSIBLE

c) 2s-1 → n = 2 y a un orbital s → l = 0 ; entonces ml = 0 (ml = -1 no es posible)→ NO POSIBLE

d) 4f+3 → n = 4 y a un orbital f → l = 3 ; entonces ml = -3,-2,-1,0,1,2,3 (ml = +3 sí es posible)→ SÍ POSIBLE

Date post:	26-Dec-2015
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