Mech vii-operation research [06 me74]-notes

hcraeseR snoitarepO ]47EM60[

fo tnemtrapeD M eenignE lacinahce gnir , SJBIT egaP 0

HCRAESER NOITAREPO edoC tcejbuS : 47EM60 skraM AI : 52

keeW /.srH erutceL fo .oN : 40 sruoH maxE : 30 .srH erutceL fo .oN latoT : 25 skraM maxE : 001

TINU - 1

:NOITCUDORTNI hcaorppa )R.O( hcraeseR snoitarepO fo epocs ,noitinifeD ,gnimmargorp raeniLna .P.L fo noitalumrof lacitamehtaM RO fo sesahp dna scitsiretcarahC ,sledoM RO fo snoitatimil d

.sdohtem noitulos lacihparG .smelborP sruoH 6

TINU - 2

P GNIMMARGORP RAENIL SMELBOR : dohtem xelpmis ehT - laicifitra dna sulprus ,kcalstpecnoC .selbairav rof erudecorp dna ,ycareneged ,dohtem xelpmis laud ,dohtem esahp owt ,ytilaud fo

.sesac etareneged gnivloser sruoH 7 \

TINU - 3

LBORP NOITATROPSNART ME : gnisu noitulos elbisaef cisaB ,ledom noitatropsnart fo noitalumroFereffid ni ycarenegeD ,melborp noitatropsnart decnalabnU ,sdohteM ytilamitpO ,sdohtem tn

,noitalumroF :melborP tnemngissA .smelborp noitatropsnarT fo snoitacilppA ,smelborp noitatropsnart .melborp namselas gnilevarT ,melborp tnemngissa decnalabnu sruoH 7

TINU - 4

GNICNEUQES : n ,mhtirogla snosnhoJ - senihcam m sboj n ,senihcam3 sboj n ,senihcam 2 ot sboj ytiroirp snoitulos lacihparG .gnissap htiw senihcam n sboj 2 .ecneuqes gnissap tuohtiw .selur

sruoH 6

TRAP - B

TINU – 5

YROEHT GNIUEUQ : ydaetS ,metsys gniueuQ 1/M/M ehT .scitsiretcarahc rieht dna metsys gniueuQ.ledom gniueuq C/M/M dna 1 /M/M fo gnisylana ecnamrofrep etats sruoH 6



TINU - 6

TREP - NHCET MPC SEUQI : yb gniludehcs ,staolf ,htap lacitirc gninimreted ,noitcurtsnoc krowteN ,noitelpmoc fo etad fo noitciderp ,sledom citsilibaborp rednu ecnairav ,noitarud tcejorp ,krowten

.skrowten elpmis fo gnihsarc sruoH 7

TINU - 7

YROEHT EMAG : nosrep owT ,semag fo noitalumroF - elddas tuohtiw dna htiw semag ,emag mus oreZ.ytreporp ecnanimod ,)emag 2 x m ,n x2( noitulos lacihparG ,tniop sruoH 7

TINU - 8

:GNIMMARGORP REGETNI regetni rof mhtirogl dnuob dna hcnarb ,euqinhcet s’yrommoGimmargorp mhtirogla eno orez ,smelborp gn sruoH 6

:SKOOB TXET

.1 ,noitcudortnI dna hcraeseR snoitarepO .A .H ahaT – noitide noitacudE nosraeP

.2 hcraeseR snoitarepO amrahS .D .S , – .2002 oC & htanmaR htanradeK

ER SKOOB ECNEREF :

.1 ”hcraeseR noitarepO“ 5002 nosraeP iravaralimaT A ,inamarbusalaB .P ,najarataN MA

.2 ,hcraeser noitarepo ot noitcudortnI 5 .lliH warG cM ,namrebil dna relliH ht .1002 noitide

.3 :hcraeseR snoitarepO citcarp dna selpicnirP ,stl aidnI yeliW ,grebloS & spillihP ,nardnivaR :e2 dn 7002 noitidE

.4 ,hcraeseR snoitarepO 7002 ,ihleD weN ,buP dnahC S ,ariH S D ,atpuG ramuK merP



STNETNOC FO ELBAT

.1 PPL FO NOITALUMROF ,NOITCUDORTNI - 30 - 02

.2 P GNIMMARGORP RAENIL TEM XELPMIS ,SMELBOR DOH - 12 – 73

.3 LBORP NOITATROPSNART ME - 83 - 75

.4 YROEHT GNIUEUQ - 85 – 47

.5 TREP - SEUQINHCET MPC - 57 - 58

.6 HT EMAG YROE - 68 – 39

.7 GNIMMARGORP REGETNI - 49 - 89



NOITCUDORTNI

,sledom lacitamehtam fo esu eht si ,RO ylpmis ro ,hcraeser lanoitarepo ,hcraeser snoitarepOnoisiced ni dia ot smhtirogla dna scitsitats - o tsom si tI .gnikam laer xelpmoc ezylana ot desu netf - dlrow

mrof eno si tI .ecnamrofrep gnizimitpo ro gnivorpmi fo laog eht htiw yllacipyt ,smetsys deilppa fo .scitamehtam

a nehW .ylsuomynonys desu netfo era ecneics tnemeganam dna hcraeser snoitarepo smret ehTsi noitcnitsid fo smelborp eht ot pihsnoitaler resolc a seilpmi yllareneg ecneics tnemeganam ,nward

.tnemeganam ssenisub sekat gnireenigne lairtsudnI .gnireenigne lairtsudni ot setaler ylesolc osla hcraeser snoitarepO

airtsudni dna ,weiv fo tniop gnireenigne na fo erom a eb ot seuqinhcet RO redisnoc yllacipyt sreenigne l .tesloot rieht fo trap rojam

,scitsahcots ,noitazimitpo ,scitsitats era srehcraeser snoitarepo yb desu sloot yramirp eht fo emoSht fo esuaceB .noitalumis dna ,yroeht hparg ,yroeht emag ,yroeht gnieueuq fo erutan lanoitatupmoc e

ot seit sah osla RO sdleif eseht ecneics retupmoc motsuc esu ylraluger srehcraeser snoitarepo dna , -ffo ro nettirw - eht - .erawtfos flehs

dna ta kool ot ytiliba sti yb dehsiugnitsid si hcraeser snoitarepO metsys eritne na evorpmi ar , reht snoitarepo nA .)llew sa enod netfo si siht hguoht( stnemele cificeps no ylno gnitartnecnoc naht

etairporppa tsom era seuqinhcet hcihw enimreted ot detcepxe si melborp wen a htiw decaf rehcraesernemevorpmi rof slaog eht ,metsys eht fo erutan eht nevig gnitupmoc dna emit no stniartsnoc dna ,t

seuqinhcet RO ,sloot yna ekiL .lativ si RO fo tnemele namuh eht ,snosaer rehto dna siht roF .rewop .sevlesmeht yb smelborp evlos tonnac

noitacilppa fo saerA

raeser snoitarepo hcihw ni snoitacilppa fo selpmaxe wef A :gniwollof eht edulcni desu yltnerruc si hc

slairetam fo wolf tneiciffe rof yrotcaf a fo tuoyal eht gningised ytilauq gnieetnaraug llits elihw tsoc wol ta krowten snoitacinummocelet a gnitcurtsnoc

teg ro ysub yrev emoceb snoitcennoc ralucitrap fi ecivres degamad elbissop sa dedeen era sesub wef sa taht os sesub loohcs fo setuor eht gninimreted gnicuder erofereht( emit gnirutcafunam ecuder ot pihc retupmoc a fo tuoyal eht gningised

)tsoc niahc ylppus a ni stcudorp dna slairetam war fo wolf eht gniganam niatrecnu no desab

stcudorp dehsinif eht rof dnamed



tinU –I noitcudortnI PPL fo noitalumroF &

RO enifeD

fo snoitarepo eht gnivlovni smelborp ot sloot dna seuqinhcet ,sdohtem cifitneics fo noitacilppa eht si RO

i esoht edivorp ot sa os metsys a .smelborp eht ot snoitulos mumitpo htiw metsys eht fo lortnoc n

RO fo scitsiretcarahC

.1 noitatneiro metsys sti

.2 smaet yranilpicsidretni fo esu eht

.3 dohtem cifitneics fo noitacilppa

.4 smelborp wen fo gnirevocnu

.5 snoisiced fo ytilauq eht ni tnemevorpmi

.6 upmoc fo esu ret

.7 snoitulos evitatitnauq

.8 srotcaf namuh

.1 metsyS RO fo noitatneiro )evitucexe ro(

tes eziminim ,snur noitcudorp detpurretninU :.tped noitcudorp - naelc dna pu - .stsoc pu

tped gnitekram .eciton trohs ta sdnamed laiceps teem ot :.

rotnevni eziminim :.tped ecnanif .selas s’ynapmoc ni llaf dna esir htiw llaf dna esir dluohs sei

.doirep kcals gnirud level noitcudorp tnatsnoc a gniniatniam :.tped lennosrep

.2 .smaet yranilpicsidretni fo esu ehT

tsigolohcysP .stcudorp tseb ro rekrow retteb tnaw :

lacinahceM ggnE yrt lliw :. .enihcam eht evorpmi ot

erawtfoS .smelborp elos ot erawtfos detadpu :.ggne

senilpicsid lla morf noitamrofni cifitneics lufesu eht lla tcelloc nac nosrep elgnis on ,si taht .

.3 cifitneics fo noitacilppA dohtem

dna yrtsimehc sa hcus ,hcraeser cifitneics tsoM dellortnoc rednu baL ni tuo deirrac eb nac scisyhp

RO fo esac eht ni eurt ton si siht tuB .dlrow edistuo eht morf ecnerefretni hcum tuohtiw noitidnoc

.yduts

vresbo eb nac rettal eht ecnis remonortsa eht sa noitisop emas eht si rekrow hcraeser snoitarepo nA e

.etalupinam tonnac tub metsys eht



.4 smelborp wen fo gnirevocnU

RO fo stluser eht ,esruoc fO .deniatniam eb tsum hcraeser ytiunitnoc ,stifeneb lluf evired ot redro nI

s era smelborp detcennoc eht lla litnu tiaw ton deen melborp ralucitrap a gniniatrep yduts .evlo

.5 noisiced fo ytilauQ eht ni tnemevorpmI

evorpmi ylno nac ti ,si tahT .nevig era rewsna tsrow ,esiwrehto ,smelborp ot rewsna dab sevig RO

.noitulos tcefrep evig ot elba eb ton yam ti tub noitulos fo ytilauq eht

.6 retupmoc fo esU

.7 snoitulos evitatitnauQ

f fi ,X si nekat si A noisiced fi ,ynapmoc eht fo tsoc eht“ ,ekil rewsna evig lliw ti ,elpmaxe ro

.”Y si ekat si B noisiced

.8 .srotcaf namuH

hcraeseR noitarepO fo epocS

)1 :tnemeganam lairtsudnI

s )e dnamed )d lortnoc yrotnevni )c xim tcudorp )b noitcudorp )a noitatropsnart )f esahcrup dna ela

lortnoc dna gniludehcs )h ecnanetniam dna riaper )g

)2 :snoitarepo esnefeD

yvan )c ecrof ria )b ymra )a

bus otni dedivid rehtruf eseht lla - .gniniart ,noitartsinimda ecnegilletni ,noitarepo ,si taht ,ytivitca

)3 :seimonocE

m eht noitaredisnoc otni gnikat yb ,emit elbissop tsetrohs eht ni emocni atipac rep fo htworg mumixa

si seirtnuoc eht fo tsom ni melborp cisab ehT .yrtnuoc eht yb esopmi snoitcirtser dna slaog lanoitan

.elbissop sa ylkciuq sa regnuh dna ytrevop evomer ot

)4 gA :noitces erutlucir

melborp eht gnicaf si yrtnuoc yreve ,doof fo egatrohs ecneuqesnoc dna noisolpxe noitalupop htiw )a

.snoitidnoc citamilc htiw ecnadrocca ni sporc suoirav ot dnal noitacolla mumitpo fo

taw suoirav eht morf retaw fo noitubirtsid lamitpo )b .ecruoser re

)5 :saera rehtO

CIL )c tropsnart )b latipsoh )a



RO fo sesahP )1 gnitalumroF melborp eht

.stnenopmoc rojam ruof eht fo edam eb tsim ew ,yduts RO rof melborp a gnitalumrof ni

)i tnemnorivne ehT

)ii rekam noisiced ehT

)iii sevitcejbo ehT

)vi esruoc evitanretlA stniartsnoc dna noitca fo

)2 ledoM a noitcurtsnoC

stsisnoc ledom lacitamehtam ehT .edom tcurtsnoc ot si pets txen eht ,melborp eht gnitalumrof retfA

fo sebircsed hcihw noitauqe .melborp eht

tneserper noitauqe eht

)i snoitcnuf evitcejbo ro noitcnuf ssenevitceffE

)ii snoitcirtser ro stniartsnoC

elbairav elballortnoc ,elbairav fo sepyt owt fo snoitcnuf era stniartsnoc dna noitcnuf evitcejbo ehT

.elbairav elballortnocnu dna

muidem A - evah lliw stniartsnoc 52 dna elbairav noisiced 05 htiw ledom gnimmargorp raenil ezis

evo .denifed eb tsum hcihw stnemele atad 0031 r

)3 ledom eht morf noitulos gnivireD

.laciremun dna citylana :erudecorp fo sepyt owt fo stsisnoc ledom a morf noitulos mumitpo na

sa hcus scitamehtam fo sehcnarb suoirav eht sepyt owt fo esu ekam serudecorp citylanA ro suluclac

eht ni elbairav elballortnoc fo seulav suoirav gniyrt fo stsisnoc erudecorp laciremuN .arbegla xirtam

sevig hcihw selbairav eseht fo seulav fo tes taht gnitceles dna deniatbo stluser eht gnirapmoc ,edom

.noitulos tseb eht

)4 ledom eht gnitseT

om a yltcerroc dna detalumrof ylreporp fi tuB .ytilaer fo noitatneserper tcefrep a reven si led

lla revo eht no elbairav lortnoc ni segnahc fo tceffe eht gnitciderp lufesu eb yam ti ,detalupinam

.metsys

)5 noitulos revo slortnoc gnihsilbatsE

orf devired noitulos a niater elbairav dellortnocnu eht sa gnol os ylno noitulos a sniamer ledom a m

.egnahc ton seod elbairav eht neewteb pihsnoitaler eht dna seulav rieht

)6 noitatnemelpmI

ser eht fo tluser eht ,ecnamrofrep metsys eht evorpmi ot troper ecudorp ot ylerem ton si RO hcrae



.detnemelpmi tsum

lanoitiddA snoitulos emit ynam esuaceb puorg RO fo trap eht no edam eb ot noitacifidom ro segnahc

.snosrep fo saedi dna seitilibapac eht htiw tcilfnoc yam repap no elbisaef kool hcihw

RO fo snoitatimiL

)1 era htiw sledom lacitamehtaM ro srotcaf evitatilauq tnuocca otni ekat ton od RO fo ecnesse

.srotcaf lanoitome

)2 smelborp fo seirogetac cificeps ylno ot elbacilppa era sledom lacitamehtaM

)3 .slasoporp wen eht seeyolpme eht morf ecnatsiser a si ereht ,dleif wen a gnieB

)4 tnemeganaM reffo yam .gnikniht lanoitnevnoc ot eud ecnatsiser fo tol a

)5 ton nem rof tnaem si RO si nam taht .ti rof tnaem

RO fo seitluciffiD

)1 esahp noitalumrof melborp ehT

)2 noitcelloc ataD

)3 tsap eht ni noitavresbo sih no desab si tsylana snoitarepO

)4 erom eb reven nac snoitavresbO elohw eht fo elpmas a naht

)5 .snoitulos tcefrep naht lufesu erom hcum eb yam emit thgir ta melborp eht ot noitulos dooG



raeniL gnimmargorP

PL rof stnemeriuqeR

.1 ziminim ro dezimixam rehtie eb ot si hcihw noitcnuf evitcejbo denifed llew a eb tsum erehT dna de

.elbairav noisiced fo noitcnuf raenil a sa desserpxe nac hcihw

.2 raenil sa desserpxe gnieb fo elbapac eb fo tnetxe fo tnuoma eht no stniartsnoc eb tsum erehT

.elbairav fo smret ni seitilauqe

.3 .noitca fo esruoc evitanretla eb tsum erehT

.4 av noisiced ehT retni eb dluohs elbair - non dna detaler - .evitagen

.5 .detimil eb tsum ecruoser ehT

:thgisni tnatropmi emoS

sa llew sa noitcnuf evitcejbo eht ni elbissimrep ton era stcudorp dna elbairav fo rewop ehT

.stniartsnoc

idda niatrec yb deziretcarahc eb nac ytiraeniL .seitreporp evitacilpitlum dna evit

: elpmaxe evitiddA

boj htob ssecorp ot nekat emit eht neht ,sruoh 01 ni B boj dna sruoh 5 ni A boj ssecorp enihcam a fI

egnahc eht nehw ylno eurt revewoh si sihT .sruoh 51 si - .elbigilgen si emit revo

evitacilpitluM :elpmaxe

eb lliw stcudorp hcus 21 fo elas eht orf denrae tiforp eht neht 01 .sR fo tiforp a sdleiy tcudorp a fI

.tnuocsid ytitnauq fo esuaceb eurt syawla eb ton yam siht .021 = )21 * 01 (sR

.ylno seulav largetni evah ot detcirtser era elbairav noisiced ehT

.mret tnatsnoc yna evlovni ton seod noitcnuf evitcejbo ehT

,si tahtn

jjj cxcz

1 .c tnatsnoc yna fo tnednepedni tsuj era seulav lamitpo eht ,si taht ,



ledom PL eht fo noitalumroF no selpmaxE

1 elpmaxE melborP noitacollA noitcudorP :

if A emit ehT .senihcam tnereffid eerht no dessecorp era stcudorp esehT .stcudorp eerht secudorp mr

era senihcam eerht eht fo yticapac yliad eht dna tcudorp eht fo hcae fo tinu eno erutcafunam ot deriuqer

.woleb elbat eht ni nevig

enihcaM setunim(tinu rep emiT yticapac enihcaM

)yad/setunim( 1 tcudorP 2 tcudorP 3 tcudorP

M1 2 3 2 044

M2 4 --- 3 074

M3 2 5 --- 034

rep tiforp ehT .tcudorp hcae rof derutcafunam eb ot stinu fo rebmun yliad eht enimreted ot deriuqer si tI

sR ,4 .sR si 3 dna 2,1 tcudorp rof tinu .ylevitcepser 6 .sR dna 3 . stnuoma eht lla taht demussa si tI

.tekram eht ni demusnoc era decudorp

ledom gnimmargorP raeniL fo noitalumroF

rof derutcafunam eb ot stinu fo rebmun yliad eht enimreted ot si edam eb ot noisiced yek ehT :1 petS

.tcudorp hcae

.yliad derutcafunam 3 dna 2,1 stcudorp fo stinu fo rebmun eht eb 3x dna 2x ,1x teL :2 petS

3x,2x,1x erehw 3x dna 2x ,1x fo seulav fo stes eht era sevitanretla elbisaeF :3 petS evitagen ecnis .o

lbisaef ton si dna gninaem on sah snur noitcudorp fo rebmun .e

3x6 + 2x3 + 1x4 = Z ezimixam , si taht ,tiforp eht ezimixam ot si evitcejbo ehT :4 petS

stniartsnoc eht ereH .elbairav fo smret ni seitilauqeni/seitilauqe raenil sa stniartsnoc eht sserpxE :5 petS

yllacitamehtam eb nac dna seiticapac enihcam eht no era ,sa desserpxe

x2 1 x3 + 2 x2 + 3 ,044

x4 1 x 0 + 2 x3 + 3 074

x2 1 x5 + 2 x0 + 3 034



2 elpmaxE .melborP noitceleS aideM gnisitrevdA :

aidem tnereffid eerht ni ygetarts gnisitrevda si nalp ot sehsihw ynapmoc gnisitrevda nA – ,noisivelet

nizagam dna oidar sremotsuc laitnetop fo rebmun a sa egral sa hcaer ot si gnisitrevda fo esoprup ehT .se

:yevrus tekram eht morf deniatbo neeb sah atad gniwolloF .elbissop sa

noisiveleT oidaR 1 enizagaM 2 enizagaM

na fo tsoC

tinu gnisitrevda 000,03 .sR 000,02 .sR 0,51 .sR 00 000,01 .sR

laitnetop fo oN

sremotsuc

tinu rep dehcaer

000,00,2 000,00,6 000,05,1 000,00,1

elamef fo .oN

sremotsuc

tinu rep dehcaer

000,05,1 000,00,4 000,07 000,05

eht era gniwolloF .gnisitrevda no 000,05,4 .sR naht erom ton dneps ot stnaw ynapmoc ehT rehtruf

:tem eb tsum taht tnemeriuqer

)i sremotsuc elamef gnoma ecalp ekat serusopxe noillim 1 tsael tA

)ii 000,05,1 .sR ot detimil eb senizagam no gnisitrevdA

)iii & II enizagam no stinu 2 dna I enizagam no thguob eb stinu gnisitrevda 3 tsael tA

)vi trevda fo rebmun ehT 01 dna 5 neewteb eb hcae dluohs oidar dna noisivelet no stinu gnisi

.melborp eht rof ledom P.L na etalumroF

:noituloS

.sremotsuc laitnetop fo rebmun latot eht ezimixam ot si evitcejbo ehT

x2( = Z ezimixam ,si tahT 1 x6 + 2 x5.1 + 3 x + 4 01 * ) 5

ra stniartsnoC e

tegdub gnisitrevda eht nO x000,03 1 x000,02 + 2 x000,51 + 3 x000,01 + 4 000,05,4

elamef fo rebmun nO x000,05,1 1 x000,00,4 + 2 x000,07 + 3 x 000,05 + 4 000,00,01

enizagam no esnepxe nO x000,51 3 x000,01 + 4 000,05,1

senizagam no stinu fo .on nO x3 x ,3 4 2

noisivelet no tinu fo .on nO 5 x2 5 ,01 x2 01



: 3 elpmaxE

005,1 tsael tA .noitcepsni lortnoc ytilauq ekatrednu ot 2 dna 1 ,srotcepsni fo sedarg owt sah ynapmoc A

seceip 02 kcehc nac rotcepsni 1 edarG .yad ruoh 8 na ni detcepsni eb tsum seceip na htiw ruoh na ni

.%29 fo ycarucca na htiw ruoh na seceip 41 skcehc rotcepsni 2 edarG .%69 fo ycarucca

rep 4 .sR era rotcepsni edarg fo esoht elihw ruoh rep 5 .sR era rotcepsni 1 edarg fo segaw yliad ehT

3 .sR stsoc rotcepsni na yb edam rorre yna ,ruoh 1 edarg 01 ,lla ni ,era ereht fI .ynapmoc eht ot

taht srotcepsni fo tnemngissa lamitpo eht dnif ,ynapmoc eht ni srotcepsni 2 edarg 51 dna srotcepsni

.tsoc noitcepsni yliad eht eziminim

noituloS

x teL 1 x , 2 .2 dna 1 edarg fo rotcepsni eht eb

3 + 5 :1 edarG 02 * 40.0 *

41 * 80.0 * 3 + 4 :2 edarG

x4.7(*8 = Z 1 x63.7 + 2)

X1 x ,01 2 51

x 8 * 02 1 x 8 *41 + 2 0051

:4 elpmaxE

ehT .ertil rep 4.sR dna 3 .sR ta slles ti hcihw Q dna P enilosag fo sedarg owt secudorp ynapmoc lio nA

nereffid ruof yub nac renifer :stsoc na stneutitsnoc gniwollof eht htiw edurc t

edurC stneutitsnoC ertil/ecirP

A B C

1 57.0 51.0 01.0 00.2 .sR

2 02.0 03.0 05.0 52.2 .sR

3 07.0 01.0 02.0 05.2 .sR

4 04.0 06.0 05.0 57.2 .sR

on dna A fo tnecrep 55 tsael ta evah tsum edarg 3 .sR ehT edarg 4 .sR ehT .C fo tnecrep %04 naht erom t

ezimixam ot sa os desu eb dluohs edurc eht woh enimreteD .C fo tnecrep 52 naht erom evah ton tsum

.tiforp

:noituloS

x teL p1 – P enilosag rof desu 1 edurc fo tnuoma



x p2 – nilosag rof desu 2 edurc fo tnuoma P e

x p3 – P enilosag rof desu 3 edurc fo tnuoma

x p4 – P enilosag rof desu 4 edurc fo tnuoma

x q1 – Q enilosag rof desu 1 edurc fo tnuoma



x q4 – su 4 edurc fo tnuoma Q enilosag rof de

.tiforp ezimixam ot si evitcejbo ehT

x(3 ,si taht p1 x+ p2 x+ p3 x+ p4 x( 4 ) q1 x+ q2 x+ q3 x+ q4 ) - x(2 p1 x+ q1 ) – x( 52.2 p2 x + q2 ) – x( 05.2 p3 x + q3 ) – 57.2

x( p4 x + q4 )

x = Z ezimixam ,si taht p1 x57.0+ p2 x05.0+ p3 x52.0+ p4 x2+ q1 x57.1+ q2 x05.1+ q3 x52.1+ q4

ehT :era stniartsnoc

x57.0 p1 x02.0+ p2 x07.+ p3 x04.0+ p4 x(55.0 p1 x+ p2 x+ p3 x+ p4 ,)

x01.0 p1 x05.0+ p2 x02.0+ p3 x05.0+ p4 x(04.0 p1 x+ p2 x+ p3 x+ ,)p4

x01.0 q1 x05.0+ q2 x02.0+ q3 x05.0+ q4 x(52.0 q1 x+ q2 x+ q3 x+ )q4

:5 elpmaxE

cihw teid a fo stneutitsnoc eht ediced ot stnaw nosrep A ,snietorp fo stnemeriuqer yliad sih llifluf lliw h

.sdoof fo sepyt tnereffid ruof morf edam eb ot si eciohc ehT .tsoc muminim eht ta setardyhobrac dna staf

woleb nevig era sdoof eseht fo tinu rep sdleiy ehT

epyt dooF tinu rep dleiY rep tsoC

tinu snietorP staF setardyhobraC

1 3 2 6 54

2 4 2 4 04

3 8 7 7 58

4 6 5 4 56

muminiM

tnemeriuqer

008 002 007

.melborp eht rof ledom gnimmargorp raenil etalumroF

:noituloS

tsoc eht eziminim ot si evitcejbo ehT

x54(.sR = Z , si tahT 1 x04+ 2 x58+ 3 x56+ 4)



artsnoc ehT .stneutitsnoc eht fo stnemeriuqer yliad eht fo tnemllifluf eht no era stni

,snietorp roF x3 1 x4 + 2 x8+ 3 x6+ 4 008

,staf roF x2 1 x4 + 2 x7+ 3 x5+ 4 002

,setardyhobrac roF x6 1 x4 + 2 x7+ 3 x4+ 4 007

:6 elpmaxE

rtsni seviecer dnammoc rebmob redrob cigetarts ehT ehT .noitcudorp knat ymene eht tpurretni ot snoitcu

tlah ylevitceffe lliw tnalp eno yna fo noitcurtsed dna ,seitic etarapes ni detacol stnalp yek ruof sah ymene

l 000,54 ot ylppus ot stimil hcihw ,leuf fo egatrohs etuca na si erehT .sknat fo noitcudorp eht siht rof erti

dnuor eht rof leuf hguone tsael ta evah tsum ytic ralucitrap yna ot tnes rebmob ynA .noissim ralucitrap

.sertil 001 sulp pirt

:swollof sa era ,snoitpircsed rieht dna rednammoc eht ot elbaliava srebmob fo rebmun ehT

epyt rebmoB noitpircseD mK ertil/ elbaliava rebmuN

A yvaeH 2 04

B muideM 5.2 03

rebmob muidem a yb dekcatta gnieb fo ytilibaborp rieht dna stnalp eht fo noitacol eht tuoba noitamrofnI

:woleb nevig si rebmob yvaeh a dna

tnalP esab morf ecnatsiD

)mk(

yb noitcurtsed fo ytilibaborP

yvaeh A

rebmob

muidem A

rebmob

A yvaeH 2 04

B muideM 5.2 03

eht gnoma detacolla eb yeht dluohs woh dna ,dehctapsid eb dluohs srebmob fo epyt hcae fo ynam woH

?sseccus fo ytilibaborp eht ezimixam ot redro ni stegrat ruof

:noituloS

x teL ji rebmun si .tnes rebmob fo

si siht dna tnalp eno tsael ta gniyortsed ni sseccus fo ytilibaborp eht ezimixam ot si evitcejbo ehT

:ytilibaborp siht etoned Q teL .tnalp yna gniyortsed ton fo ytilibaborp eht gniziminim ot tnelaviuqe

1( = Q ,neht – x )1.0 1A 1( . – x )2.0 A2 1( . – x )51.0 3A 1( . – x )52.0 4A .

1( – x )80.0 1B 1( . – x )61.0 2B 1( . – x )21.0 3B 1( . – x )02.0 4B



non si noitcnuf evitcejbo eht ereh - .mrof raenil eht ot decuder eb nac ti tub raenil

si Q gol gniziminim ,revoerom ,edis htob no gol ekaT gnizimixam ot tnelaviuqe – gnizimixam ro Q gol

Q/1 gol

= Q/1 gol - x( 1A x + 9.0 gol 2A x + 8.0 gol 3A x + 58.0 gol 4A + 57.0 gol

x 1B x + 29.0 gol 2B x + 48.0 gol 3B x + 88.0 gol 4B )08.0 gol

ezimixam ot si evitcejbo eht ,erofereht

= Q/1 gol - 0( x7540. 1A x 19690.0 + 2A x 14070.0 + 3A x 38421.0 + 4A +

x32630.0 1B x27570.0 + 2B x83550.0 + 3B x19690.0 + 4B )

leuf fo ylppus detimil ot eud ,era stniartsnoc ehT

000,540015.20062001

5.20052001

5.20542001

5.20042

00120062001

20052001

20542001

20042

4321

4321

BBBB

AAAA

x005 ,si taht 1A x 055 + 2A x 006 + 3A x 007 + 4A +

x024 1B x064 + 2B x005 + 3B x085 + 4B 000,54

,stfarcria fo rebmun detimil ot eud

x 1A x + 2A x + 3A x + 4A 04

x 1B x + 2B x + 3B x + 4B 03

7 elpmaxE :

dna htgnel ni m001 si repap fo llor hcaE .retsiger hsac desu repap fo sllor secudorp llim repap A eb nac

mc42 era taht sllor ni stluser ssecorp noitcudorp s’ynapmoc ehT .mc 01 dna 6,4,2 fo shtdiw ni decudorp

gnittuc cisab xis sah tI .htdiw derised eht ot llor mc 42 sti tuc tsum ynapmoc eht suhT .htdiw ni

:swollof sa evitanretla



rof dnamed mumixam ehT swollof sa si sllor ruof eht

)mc(htdiw lloR dnameD

2 0002

4 0063

6 0061

01 005

.ledom P.L eht etalumroF .ezis ot gnimmirt morf gnitluser etsaw eht eziminim ot sehsiw llim repap ehT

:noituloS

x teL 1 x , 2 x , 3 x , 4 x , 5 x , 6 cae semit fo rebmun eht tneserper .desu eb ot si evitanretla gnittuc h

X( 2 = Z eziminim ,si taht ,sessol mirt eht eziminim ot si evitcejbO 3 X+ 4 X+ 5 X+ 6 )

:htdiw llor fo epyt hcae rof dnamed tekram eht no era stniartsnoc ehT

,mc 2 fo htdiw llor rof x6 1 x + 3 x4 + 6 000,2

4 fo htdiw llor rof ,mc x3 1 x3 + 2 x + 3 x4 + 5 006,3

,mc 6 fo htdiw llor rof x2 2 x + 3 x2 + 4 x + 5 x + 6 006,1

,mc 01 fo htdiw llor rof x3 x + 4 005

dohteM noituloS lacihparG

.1 rtxe esohw tes xevnoc a setutitsnoc melborp PL na ot snoitulos elbisaef lla fo noitcelloc ehT eme.snoitulos elbisaef cisab eht ot dnopserroc stniop

.2 .ecaps noitulos elbisaef eht nihtiw snoitulos elbisaef cisab fo rebmun etinif a era erehT

.3 elbisaef eht fo tes xevnoc eht fI x ,b=xA metsys eht fo snoitulos neht ,nordehylop xevnoc a si ,0≥.noitulos lamitpo na sevig stniop emertxe eht fo eno tsael ta

.4 evitcejbo eht fo eulav eht neht ,tniop emertxe eno naht erom ta srucco noitulos lamitpo eht fIc lla rof emas eht eb lliw noitcnuf .stniop emertxe eseht fo snoitanibmoc xevno

hcaorppA noitaremunE tnioP emertxE

.spets evif otni dedivid si melborp PL na rof dohtem noitulos sihT

:1petS .retpahc suoiverp eht ni detartsulli sa mrof lacitamehtam eht ni melborp nevig eht etatS :2petS arG eht tuoba ediced dna ngis ytilauqeni eht gnirongi yliraropmet yb ,stniartsnoc eht hp eht etacidnI .stniartsnoc eht fo ngis ytilauqeni eht ot gnidrocca snoitulos elbisaef fo aera hcihw ,aera dedahs a yb snoitulos elbisaef fo aera .nordehylop xevnoc a smrof

:3petS .ecaps noitulos elbisaef eht fo stniop emertxe eht fo setanidrooc eht enimreteD :4petS .tniop emertxe hcae ta noitcnuf evitcejbo eht fo eulav eht etaulavE :5petS av )tseb( mumitpo eht niatbo ot tniop emertxe eht enimreteD .noitcnuf evitcejbo eht fo eul



.snoitulos lacihparG fo sepyT • .snoitulos elgniS • .snoitulos euqinU • .snoitulos dednuobnU • .snoitulos elpitluM • .snoitulos elbisaefnI

.1 elpmaxE

melborp PL gniwollof eht evlos ot dohtem lacihparg eht esU 2x01+1x51 =Z ezimixaM

uS stniartsnoc eht ot tcejb 2x6+1x4 063≤ 2x0+1x3 081≤ 2x5+1x0 002≤ 2x,1X dna 0≥









TINU - II

smelborP gnimmargorP raeniL

xelpmiS dohteM

1 elpmaxE )noitulos euqinU(

x3=Z xaM 1 x5+ 2 x4+ 3

ot tcejbuS

x2 1 x3+ 2 8

x2 2 x5+ 3 01

x3 1 x2+ 2 x4+ 3 51

x ,1 x2 x , 3 0

:noituloS

non gnicudortnI - s selbairav kcals evitagen 1 s , 2 s & 3 eht neht ytilauqe ot stniartsnoc ytilauqeni trevnoc ot

,semoceb melborp PL

x3=Z xaM 1 x5+ 2 x4+ 3 s0+ 1 s0+ 2 s0+ 3

ot tcejbuS

x2 1 x3+ 2 s+ 1 8=

x2 2 x5+ 3 s+ 2 01=

x3 1 x2+ 2 x4+ 3+s3 51=

x1 x , 2 x , 3 s , 1 s , 2 s , 3 .0

Cj 3 5 4 0 0 0

Cb cisaB

selbairaV

noituloS X1 X2 X3 S1 S2 S3 oitaR

0 S1 8 2 3 0 1 0 0 3/8

0 S2 01 0 2 5 0 1 0 2/01

0 S3 51 3 2 4 0 0 1 2/51

Zj 0 0 0 0 0 0

Cj-Zj 3 5 4 0 0 0



5 X2 3/8 3/2 1 0 3/1 0 0 --

0 S2 3/41 - 3/4 0 5 - 3/2 1 0 51/41

0 S3 3/42 3/5 0 4 - 3/2 0 1 21/92

Zj 3/01 5 0 3/5 0 0

Cj-Zj - 3/1 0 4 - 3/5 0 0

5 X2 3/8 3/2 1 0 3/1 0 0 4

4 X3 51/41 - 51/4 0 1 - 51/2 5/1 0 - ev

0 S3 51/98 51/14 0 0 - 51/2 - 5/4 1 14/98

Zj 51/43 5 4 51/71 5/4 0

Cj-Zj 51/11 0 0 -

51/71

- 5/4 0

5 X2 14/05 0 1 0 14/51 14/8 -

14/01

4 X3 14/26 0 0 1 - 14/6 14/5 14/4

3 X1 14/98 1 0 0 - 14/2 -

14/21

14/51

Zj 3 5 4 14/54 14/42 14/11

Zj-Cj 0 0 0 - ev - ev - ev

Z llA j –Cj non rof 0 < - eroferehT .elbairav cisab .dehcaer si noitulos lamitpo eht

X1 X ,14/98= 2 X ,14/05= 3 14/26=

14/567 = 14/26*4+14/05*5+14/98*3 = Z

:2 elpmaxE )dednuobnu(

x4=Z xaM 1 x+ 2 x3+ 3 x5+ 4

ot tcejbuS

x4 1- x6 2- x5 3- x4 4 - 02

- x3 1- x2 2 x4+ 3 x+ 4 01

- x8 1- x3 2 x3+ 3 x2+ 4 02

x1 x , 2 x , 3 x , 4 .0

loS :noitu

yb gniylpitlum yb evitisop edam eb lliw ti tsrif , evitagen si stniartsnoc tsrif eht fo SHR eht ecniS



– ,1 - x4 1 x6+ 2 x5+ 3 x4+ 4 02

non gnicudortnI - s elbairav kcals evitagen 1 s , 2 s & 3 eht neht ytilauqe ot tniartsnoc ytilauqeni trevnoc ot

b melborp PL .semoce

x4=Z xaM 1 x+ 2 x3+ 3 x5+ 4 s0+ 1 s0+ 2 s0+ 3

ot tcejbuS

- 02=1s0+4x4+3x5+2x6+1x4

- 1x3 - 01=3s+4x+3x4+1x2

- 1x8 - 02=4s+4x2+3x3+2x3

3s,2s,1s,4x,3x,2x,1x 0

Cj 4 1 3 5 0 0 0

Cb selbairaV noituloS X1 X2 X3 X4 S1 S2 S3 oitaR

0 S1 02 -4 6 5 4 1 0 0 5

0 S2 01 -3 -2 4 1 0 1 0 01

0 S3 02 -8 -3 3 2 0 0 1 01

jZ 0 0 0 0 0 0 0

CJ-Zj 4 1 3 5 0 0 0

5 X4 5 -1 2/3 4/5 1 ¼ 0 0 - ev

0 S2 5 -2 - 2/7 4/11 0 - 4/1 1 0 - ev

0 S3 01 -6 -6 ½ 0 - 2/1 0 1 - ev

Zj -5 2/51 4/52 5 4/5 0 0

Cj-Zj 9 - 2/31 - 4/31 0 - 4/5 0 0

non gnimocni fo eulav eht ,evitagen si oitar eht lla ecniS - ew sa egral sa edam eb nac 1x elbairav cisab

.noitulos dednuobnu na sah melborp eht ,eroferehT .noitidnoc gnitaloiv tuohtiw ekil

:3 elpmaxE )noitulos etinifni(

x4=Z xaM 1 x01+ 2

ot tcejbuS

x2 1 x+ 2 ,01

x2 1 x5+ 2 ,02

x2 1 x3+ 2 .81 x1 x , 2 .0

:noituloS



non eht ecudortnI - PL eht neht ,ytilauqe ot tniartsnoc ytilauqeni trevnoc ot selbairav kcals evitagen

,semoceb melborp

x4=Z xaM 1 x01+ 2 s0+ 1 s0+ 2 s0+ 3

ot tcejbuS x2 1 x+ 2 s+ 1 1= ,0

x2 1 x5+ 2 s+ 2 ,02=

x2 1 x3+ 2 s+ 3 .81= x1 x , 2 s , 1 s , 2 s , 3 .0

Cj 4 01 0 0 0

Cb selbairaV nloS X1 X2 S1 S2 S3 oitaR

0 S1 01 2 1 1 0 0 01

0 S2 02 2 5 0 1 0 4

0 S3 81 2 3 0 0 1 6

Zj 0 0 0 0 0

Cj-Zj 4 01 0 0 0

0 S1 6 5/8 0 1 - 5/1 0 4/51

01 X2 4 5/2 1 0 5/1 0 01

0 S3 6 5/4 0 0 - 5/3 1 2/51

Zj 4 01 0 2 0 0=1x*

Cj-Zj 0 0 0 -2 0 04=Z,4=2X

4 X1 4/51 1 0 8/5 - 8/1 0

01 X2 2/5 0 1 - 4/1 ¼ 0

0 S3 3 0 0 - 2/1 - 2/1 1

Zj 4 01 0 0 0

Cj-Zj 0 0 0 0 0

jC llA* - ,evitagen ro 0 rehtie si jZ .noitulos elbisaef cisab lamitpo eht sevig ti

non fo eno tuB - x( elbairav cisab 1 elbisaef cisab lamitpo evitanretla na fo ecnetsixe eht setacidni ti .0 si )

.noitulos

non fo rebmun etinifni na ,nwonk era noitulos lamitpo elbisaef cisab 2 fI - o elbisaef cisab noitulos lamitp

.snoitulos 2 eseht fo egareva dethgiew yna gnikat yb devired eb nac



selbairaV 1 2 noitulos lareneG

X1 0 4/51 X1 0= 1( 4/51+ - )

X2 4 2/5 X2 4= 1( 2/5+ - )

esaC noitaziminiM

isab laitini na niatbo ot tluciffid si ti snoitautis niatrec nI noitulos elbisaef c

)a( mrof eht fo era stniartsnoc eht nehW

E (aj.xj ) bj . Xj .0

non eht gnidda retfa esac siht ni nehT .evitagen era stniartsnoc SHR emos tuB - kcals evitagen

S selbairav i eb lliw deniatbo os noitulos laitini eht si=bi eht setaloiv tI . non - fo noitidnoc evitagen

.elbairav kcals

)b( ‘ mrof eht fo era stniartsnoc eht nehW ’

E (aj.xj ) bj Xj .0

teg ew neht ,selbairav sulprus gnidda era ew ,noitauqe otni seitilauqeni eht trevnoc ot esac siht nI

si noitulos laitini eht

-s =i bi

s =i -b i non eht setaloiv hcihw - .selbairav eht fo noitidnoc evitagen

PL nevig eht ot noitulos wen eht suhT .elbairav laicifitra gnidda era ew smelborp fo epyt eseht evlos oT

s 2 eht esuaceb snoitauqe fo metsys lanigiro eht ot noitulos a etutitsnoc ton seod melborp fo metsy

.tnelaviuqe ton era noitauqe

.noitulos lamitpo eht ni 0 ot nevird eb tsum elbairav laicifitra melborp lanigiro eht ot kcab teg ot suhT

selbairav eseht etanimile ot sdohtem 2 era erehT

)1 dohtem esahP owT

)2 .seitlaneP ro dohtem M giB

giB - M t ro dohtem :seitlanep fo dohtem eh

( ytlanep egral a dengissa era selbairav laicifitra eht dohtem siht nI - )smelborp .nim rof M+ & xam rof M

.noitcnuf evitcejbo eht ni



:4 elpmaxE

x3= Z xaM 1-x2,

ot tcejbuS

x2 1 x+ 2 2

x1 x3+ 2 3

x 2 4 x1 x, 2 x, 3 0

noituloS :

melborp PL eht neht ytilauqe otni ytilauqeni trevnoc ot elbairav laicifitra & sulprus ,kcals ecudortnI

semoceb

x3= Z xaM 1-x2 s0+ 1 s0+ 2 s0+ 3 A0+ 1,

ot tcejbuS

x2 1 x+ 2-s1 A+ 1 2=

x1 x3+ 2 s+ 2 3=

x2 s+ 3 4= x1 x, 2 x, 3 s, 1 s, 2 s, 3 A, 1 0

Cj 3 -1 0 0 0 -M

Cb bairaV sel nloS X1 X2 S1 S2 S3 1A oitaR

1 A1 2 2 1 -1 0 0 1 1

0 S2 3 1 3 0 1 0 0 3

0 S3 4 0 1 0 0 1 0 -

Zj - M2 -M M 0 0 -M

Cj-Zj M2+3 - M+1 -M 0 0 0

3 X1 1 1 ½ - 2/1 0 0 ½ -

0 S2 2 0 2/5 ½ 1 0 - 2/1 2

0 S3 4 0 1 0 0 1 0 -

Zj 3 2/3 - 2/3 0 0 2/3

Cj-Zj 0 - 2/5 2/3 0 -

3 X1 3 1 3 0 1 0 0

0 S1 4 0 5 1 2 0 -1

0 S3 4 0 1 0 0 1 0

Zj 3 9 0 3 0 0

Cj-Zj 0 - 01 0 -3 0 4



C fo eulav eht ecniS j-Zj .deniatbo neeb sah noitulos lamitpo eht snmuloc lla rednu 0 ro evitagen rehtie si

x eroferehT 1 x & 3= 2 ,0= x3=Z 1-x2 9= 3*3=

5 elpmaxE )noitulos elbisaef on fo esac A(

x=Z eziminiM 1 x2+ 2 x+ 3,

ot tcejbuS

x1 x2/1+ 2 x2/1+ 3 1

x2/3 1 x2+ 2 x+ 3 8=>

x1 x , 2 x , 3 0

:noituloS

neht ytilauqe otni ytilauqeni trevnoc ot elbairav laicifitra & sulprus ,kcats ecudortnI ,semoceb PL eht

=*Z xaM -x1- x2 2-x3 s.0+ 1 s0+ 2- AM 1 =*Z erehW -Z

ot tcejbuS

x1 x2/1+ 2 x2/1+ 3 s+ 1 1=

x2/3 1 x2+ 2 x+ 3-s2 A+ 1 8=

x1 x , 2 x , 3 s , 1 s , 2 A , 1 0

Cj -1 -2 -1 0 0 -M

Cb raV nloS X1 X2 X3 S1 S2 A1 oitaR

0 S1 1 1 ½ ½ 1 0 0 2

-M A1 8 2/3 2 1 0 -1 1 4

Cj - 2/M3 - M2 -M 0 M -M

Cj-Zj -

2/M3+1

-

M2+2

- M+1 0 -M 0

-2 X2 2 2 1 1 2 0 0

-M A1 4 - 2/5 0 -1 -4 -1 1

Cj - 2/m5+4 -2 - M+2 -

M4+4

M -M

Cj-Zj 3- 2/M5 0 1-M 4- M4 -M 0

C ecniS j - Zj sniatnoc nmuloc elbairav eht & orez ro evitagen rehtie si A elbairav laicifitra 1 oreZ ta ton si

.level

sesac ynam fo ytilibissop a si ereht dohtem siht nI



.1 mumitpo na llit noitareti eht eunitnoc esac siht nI .elbairav laicifitra on sniatnoc elbairav nmuloC

.deniatbo si noitulos

.2 no tsael ta sniatnoc elbairav nmuloC C lla & level oreZ TA elbairav laicifitra e j-Zj rehtie si

.etareneged hguorht mumitpo si noitulos elbisaef cisab tnerruc eht esac siht nI .oreZ ro evitagen

.3 C oslA .level oreZ ta ton elbairav laicifitra eno tsael ta sniatnoc elbairaV nmuloC j - Zj iht nI .0=< s

niatnoc lliw noitcnuf evitcejbo eht ecnis lamitpo ton si noitulos elbisaef cisab tnerruc eht esac

dellac si noitulos a hcuS ,M ytitnauq nwonknu oduesp - mumitpo .noitulos

dohteM esahP owT ehT

:I esahP

:1 petS non era )ib( lla taht erusnE - emos fI .evitagen non meht ekam ,evitagen era meht fo - evitagen

yb sedis htob gniylpitlum yb – .1

2 petS .mrof dradnats ni stniartsnoc eht sserpxE :

3 petS non ddA : - .selbairav laicifitra evitagen

4 petS tra eht fo mus eht fo stsisnoc hcihw ,noitcnuf evitcejbo wen a etalumroF : sihT .selbairav laicifi

.noitcnuf ytilibisaefni dellac si noitcnuf

5 petS lanigiro eht fo stniartsnoc eht .t.s noitcnuf evitcejbo wen eht eziminim dohtem xelpmis gnisU :

.noitcnuf elbisaef cisab mumitpo eht niatbo & melborp

:esira sesac eerhT -

.1 ta & *Z niM a hcus nI .level evitisop ta elbairav nmuloc ni sraeppa elbairav laicifitra eno tsael

.detanimret si erudecorp & PPL eht rof stsixe noitulos elbisaef on ,esac

.2 a hcus nI .level oreZ ta elbairav nmuloc ni sraeppa elbairav laicifitra eno tsael ta & 0=W niM

ac cisab a eb ton yam ro yam mrof ytilibisaefni eht ot noitulos elbisaef cisab mumitpo eht es

lanigiro nevig eht ot noitulos elbisaef & I esahP eunitnoc noitulos elbisaef cisab a niatbo oT .PPL

I esahP eunitnoc neht & tuo selbairav laicifitra lla evird ot yrt .I

.3 elbisaef cisab a ,esac a hcus nI .elbairav nmuloc ni sraeppa elbairav laicifitra on & 0=W niM

.II esahP ot deecorP .dnuof neeb sah PPL lanigiro eht ot noitulos

II esahP :

o eht rif noitulos gnitrats a sa I esahP fo noitulos elbisaef cisab mumitpo eht esU gnisU .PPL lanigir

.deniatbo si ti rof noitulos elbisaef cisab mumitpo na llit noitareti ekam dohtem xelpmis

etoN :

lanigiro nevig eht rehtehw fo sseldrager epyt noitaziminim fo syawla si noitcnuf evitcejbo wen ehT

.epyt nim ro xam fo si PPL



:6 elpmaxE

aM x3=Z x 1 x2+ 2 x2+ 3,

ot tcejbuS

x5 1 x7+ 2 x4+ 3 7

- x4 1 x7+ 2 x5+ 3 -2

x3 1 x4+ 2- x6 3 7/92

:noituloS

I esahP

1 petS :

=2b tniartsnoc dnoces eht rof ecniS - yb sedis htob ylpitlum ,2 – ot ti mrofsnart 1

x4 1- x7 2- x5 3 2

2 petS :

ecudortnI selbairav kcals

x5 1 x7+ 2 x4+ 3 s+ 1 7=

x4 1- x7 2- x5 3 s+ 2 2=

x3 1 x4+ 3- x6 3 s+ 3 7/92=

3 petS :

x gnittuP 1 x= 2 x= 3 s teg ew ,0= 1 s,7= 2 s,2= 3=- .noitulos elbisaef cisab laitini sa7/92

s sa noitulos elbisaef eht ton si ti revewoH 1 .evitagen si

roferehT A elbairav laicifitra ecudortni e 1 eb nac stniartsnoC evoba eht morf

sa nettirw

x5 1 x7+ 2 x4+ 3 s+ 1 7=

1x4 - x7 2- x5 3 s+ 2 2=

x3 1 x4+ 2- x6 3-s3 A+ 1 7/92=

A=*Z si noitcnuf evitcejbo wen ehT 1

jC 0 0 0 0 0 0 1

CB raV nloS X1 X2 X3 S1 S2 S3 A1 oitaR

0 S1 7 5 7 4 1 0 0 0 1

0 S2 2 4 -7 -5 0 1 0 0 -

1 A1 7/92 3 4 -6 0 0 -1 1 82/92

Cj 3 4 -6 0 0 -1 1



Cj-Zj -3 -4 6 0 0 1 0

0 X2 1 7/5 1 7/4 7/1 0 0 0 5/7

0 S2 9 9 0 -1 1 1 0 0 1

1 A1 7/1 7/1 0 - 7/85 - 7/4 0 -1 1 1

Cj 7/1 0 - 7/85 - 7/4 0 -1 1

Cj-Zj - 7/1 0 7/85 7/4 0 1 0

0 X2 7/2 0 1 7/492 3 0 5 -5

0 S2 0 0 0 125 73 1 36 - 36

0 X1 1 1 0 - 85 -4 0 -7 7

Cj 0 0 0 0 0 0 0

Cj-Zj 0 0 0 0 0 0 1

C lla ecniS j - Zj lbairav nmuloc ni sraeppa elbairav laicifitra on & 0 si noitcnuf evitcejbo eht 0 eht e

.melborp lanigiro eht ot noitulos elbisaef cisab eht sdleiy elbat

II esahP

si noitcnuf evitcejbo lanigiro ehT

x3=Z xaM 1 x2+ 2 x2+ 3 s.0+ 1 s.0+ 2 s.0+ 3

jC 0 0 0 0 0 0

CB raV nloS X1 X2 X3 S1 S2 S3 oitaR

0 X2 7/2 0 1 24 3 0 5 741/1

0 S2 0 0 0 125 73 1 36 0

3 X3 1 1 0 - 85 -4 0 -7 -

Cj 3 2 - 09 -6 0 - 11

Cj-Zj 0 0 29 6 0 11

2 X2 7/2 0 1 0 125/95 -

125/24

-

125/14

2 X3 0 0 0 1 125/73 125/1 125/36

3 X1 1 1 0 0 125/26 125/85 125/7

Cj 3 2 2 125/872 125/29 125/56

Cj-Zj 0 0 0 -

125/872

-

29 125/

-

125/56



x1 x,1= 2 x,7/2= 3 0=

7/52=z

:7 elpmaxE

)selbairav deniartsnocnU(

x2=Z niM 1 x3+ 2

ot tcejbuS

x1- x2 2 0

- x2 1 x3+ 2 -6

x1 x, 2 .detcirtsernu

:noituloS

2 fo SHR ehT dn di tniartsnoc – yb sedis htob ylpitlum os ev – teg ew 1

x2 1- x3 2 6

x elbairav sa 1 x & 2 sa meht sserpxe ew detcirtsernu era

x1 y= 1-y2

x2 y = 3-y 4

y erehw i 4,3,2,1=i 0

ot demrofsnart si melborp nevig eht suht

y2=Z nim 1- y2 2 y3+ 3- y3 4

y .t.s 1-y2- y2 3 y2+ 4 0

- y2 1- y2 2 y3 + 3- y3 4 6

ecudortni teg ew selbairav kcals

=Z niM y2 1- y2 2 y3+ 3- y3 4 s0+ 1 s0+ 2

ot tcejbuS

y1-y2- y2 3 y2+ 4 s0+ 1 0

- y2 1- y2 2 y3 + 3- y3 4 s0+ 2 6

era selbairav lla erehw 0

jC 2 -2 3 -3 0 0

CB raV nloS Y1 Y2 Y3 Y4 S1 S2 oitaR

0 S1 0 1 -1 -2 2 1 0 0

0 S2 6 2 -2 -3 3 0 1 2

Cj 0 0 0 0 0 0



Cj-Zj 2 -2 3 -3 0 0

-3 Y4 0 ½ - 2/1 -1 1 ½ 0 -

0 S2 6 ½ - 2/1 0 0 - 2/3 1 -

Cj - 2/3 2/3 3 -3 2/3 0

Cj-Zj 2/3 - 2/7 0 0 - 2/3 0

era soitar eht llA – ev non gnimocni eht fo eulav eht taht - y elbairav cisab 2 egral sa edam eb nac sa

spots noitareti eht & noitulos dednuobnu sah melborp sihT .tniartsnoc eht gnitaloiv tuohtiw elbissop

.ereh

etoN :

tluser yam selbairav eseht fo 1 fo noitceles yrartibra ,swor erom ro 2 rof ot lauqe si oitar muminim eht fI

gnimoceb elbairav erom ro 1 ni .etareneged ot dias si melborp eht & noitareti txen eht ni 0

noitabrutrep dellac erudecorp elpmis gniwollof eht gniylppa yb emocrevo ebyam seitluciffid esehT

.dohtem

.1 oc evitisop eht yb swor deit eht ni tnemele hcae ediviD - aht ni nmuloc yek eht fo tneiciffe wor t

.2 nmuloc ,soitar gnitluser eht erapmoC - yb - 1 nmuloc ts tfel morf ydob eht ni neht & ytitnedi eht ni

.thgir ot

.3 .elbairav gniogtuo eht sniatnoc oitar ciarbegla tsellams eht sniatnoc tsrif hcihw wor ehT

gnimmargorp raeniL - sisylana ytivitisnes

eht llaceR ew hcihw tcudorp emas eht fo stnairav ruof htiw denrecnoc melborp gninnalp noitcudorp detalumrof erofeb fo noitalumrof ruo dna melborp eht woleb taeper ew ti fo uoy dnimer oT .PL na sa .ti

melborp gninnalp noitcudorP

gnirutcafunam eht fo trap lanif eht ni dna tcudorp emas eht fo stnairav ruof serutcafunam ynapmoc A rof deriuqer emit eht tnairav hcae roF .snoitarepo gnikcap dna gnihsilop ,ylbmessa era ereht ssecorp

hs si snoitarepo eseht .dlos tinu rep tiforp eht si sa )setunim ni( woleb nwo

)£( tiforP kcaP hsiloP ylbmessA 05.1 2 3 2 1 tnairaV

05.2 3 2 4 2 3 3 00.3 2 3 05.4 5 4 7 4

evah yeht ,raey hcae ,taht etamitse ynapmoc eht ecrof ruobal eht fo etats tnerruc eht neviG0006 dna emit gnihsilop fo setunim 00005 ,emit ylbmessa fo setunim 000001 fo setunim 0



tahw dna raey rep ekam ynapmoc eht dluohs tnairav hcae fo ynam woH .elbaliava emit gnikcap ?tiforp detaicossa eht si

eerht eht fo hcae ot etoved ot emit hcum woh ediced ot eerf si ynapmoc eht taht won esoppuSa gnihsilop ,ylbmessa( snoitarepo =( 000012 fo emit elbawolla latot eht nihtiw )gnikcap dn

rep ekam ynapmoc eht dluohs tnairav hcae fo ynam woH .setunim )00006 + 00005 + 000001 ?tiforp detaicossa eht si tahw dna raey

noitulos gninnalp noitcudorP selbairaV

x :teL i o stinu fo rebmun eht eb raey rep edam )4,3,2,1=i( i tnairav f

T ssa raey rep ylbmessa ni desu setunim fo rebmun eht eb T lop raey rep gnihsilop ni desu setunim fo rebmun eht eb T cap raey rep gnikcap ni desu setunim fo rebmun eht eb

x erehw i T dna 4,3,2,1=i 0 => ssa T , lop T , cap > 0 =

stniartsnoC

noitinifed emit noitarepo )a(

T ssa x2 = 1 x4 + 2 x3 + 3 x7 + 4 )ylbmessa( T lop x3 = 1 x2 + 2 x3 + 3 x4 + 4 )hsilop( T cap x2 = 1 x3 + 2 x2 + 3 x5 + 4 )kcap(

stimil emit noitarepo )b(

disnoc gnieb noitautis eht nopu dneped stimil emit noitarepo ehT eht erehw ,noitautis tsrif eht nI .dere :evah ylpmis ew ,deificeps si noitarepo hcae no tneps eb nac taht emit mumixam

T ssa )ylbmessa( 000001 =< T lop )hsilop( 00005 =< T cap )kcap( 00006 =<

ot eht no si noitatimil ylno eht erehw ,noitautis dnoces eht nI ylpmis ew ,snoitarepo lla no tneps emit lat :evah

T ssa T + lop T + cap )emit latot( 000012 =<

evitcejbO

tiforp esimixam ot ylbamuserP - evah ew ecneh

x5.1 esimixam 1 x5.2 + 2 x0.3 + 3 x5.4 + 4

.melborp eht fo noitalumrof etelpmoc eht su sevig hcihw



ammus A retupmoc eht ot tupni eht fo yr egakcap noitseuq eht ni deredisnoc noitautis tsrif eht rof .woleb nwohs si )deificeps noitarepo hcae no tneps eb nac taht emit mumixam(

.woleb nwohs osla si melborp siht ot noitulos ehT

T taht dna )£( 00085 eulav sah PL eht ot noitulos lamitpo eht taht ees nac eW ssa T ,00028= lop ,00005=T cap X ,00006= 1 X ,0= 2 X ,00061= 3 X dna 0006= 4 .0=



noitulos PL eht si neht sihT - a sa( mhtirogla xelpmis eht taht tuo snrut ti tub yb - tcudorp eht gnivlos fo :ot setaler noitamrofni sihT .noitamrofni lufesu emos sevig )PL

v a rof tneiciffeoc noitcnuf evitcejbo eht gnignahc elbaira non eb ot orez yltnerruc si hcihw elbairav a gnicrof - orez thgir eht gnignahc - .tniartsnoc a fo edis dnah

a rof seilppa YLNO woleb detneserp sisylana eht taht ereh eton dna ,nrut ni eseht fo hcae htiw laed eWc sgniht erom ro owt fi ,egnahc elgnis .PL eht evloser ot deen ylevitceffe ew neht egnah

X fo tneiciffeoc eht yrav ew esoppus 2 noitulos lamitpo PL eht lliw woH .noitcnuf evitcejbo eht ni ?egnahc

X yltnerruC 1 X ,0= 2 X ,00061= 3 X dna 0006= 4 su llet evoba snmuloc )i(c xaM/niM elbawollA ehT .0= ,taht X fo tneiciffeoc eht dedivorp 2 fo seulav eht ,05.4 dna 1753.2 neewteb seil noitcnuf evitcejbo eht ni

lamitpo lautca eht taht hguoht etoN .degnahcnu niamer lliw noitulos PL lamitpo eht ni selbairav eht .egnahc lliw eulav noitulos

p lanigiro eht fo smret nI 2 tnairav fo 00061 ecudorp ot noisiced eht taht gniyas ylevitceffe era ew melbor seil tub( 5.2 yllautca ton si 2 tnairav no tinu rep tiforp eht fi neve lamitpo sniamer 3 tnairav fo 0006 dna

.)05.4 ot 1753.2 egnar eht ni

oba nward eb nac snoisulcnoc ralimiS X tu 1 X , 3 X dna 4 .

noitulos cisab xelpmis tnerruc eht esuaceb sesira siht mhtirogla xelpmis gniylrednu eht fo smret nIX fo tneiciffeoc eht dedivorp lamitpo sniamer )noiger elbisaef eht fo xetrev( 2 noitcnuf evitcejbo eht ni

.05.4 dna 1753.2 neewteb seil

of yltnerruc si hcihw elbairav hcae rof ,su sevig nmuloc tsoC decudeR eht ,selbairav eht r orez X( 1 X dna 4 na ,) etamitse taht ekam ew fi egnahc lliw noitcnuf evitcejbo eht hcum woh fo

non elbairav - .orez

elbat eht evah ew ecneH

elbairaV X1 X4 2.0 5.1 tsoC ytinutroppO

X )=> ro =( eulav weN 1 X A= 4 B= X ro 1 X A=> 4 B=>

B2.0 A5.1 egnahc noitcnuf evitcejbo detamitsE

lliw noitcnuf evitcejbo ehT syawla teg ew fi pu og ,melborp noitasimixam a evah ew fi nwod og( esrow yb )melborp noitasiminim a evah tsael ta siht etaruccani erom eht era B ro A regral ehT .etamitse siht

roc eht htiw PL eht evloser ot erew ew fi rucco dluow taht egnahc tcaxe eht fo si etamitse gnidnopserX fo eulav wen eht rof tniartsnoc 1 X ro 4 .dedda

wen eht fo etamitse ruoy eb dluow tahw decudorp eb ot erew eno tnairav fo 001 yltcaxe fi ecneH ?eulav noitcnuf evitcejbo



etfo si elbairav a rof nmuloc tsoC decudeR eht ni eulav eht taht ereh etoN " eht dellac n tsoc ytinutroppo " .elbairav eht rof

tnuoma eht si tsoc decuder eht fo noitaterpretni )dilav yllauqe dna( evitanretla na naht ereh etoN lliw elbairav taht erofeb egnahc ot sdeen elbairav a rof tneiciffeoc noitcnuf evitcejbo eht hcihw yb

moceb non e - .orez

X elbairav rof ecneH 1 )gnisimixam era ew ecnis esaercni( 5.1 yb egnahc ot sdeen noitcnuf evitcejbo ehtnon semoceb elbairav taht erofeb - tiforp eht ,noitautis lanigiro ruo ot kcab gnirrefer ,sdrow rehto nI .orez deen dluow 1 tnairav no tinu rep yna ecudorp ot elbatiforp eb dluow ti erofeb 5.1 yb esaercni ot deen ot

eb dluow ti erofeb 2.0 yb esaercni ot deen dluow 4 tnairav no tinu rep tiforp eht ylralimiS .1 tnairav fo.4 tnairav fo yna ecudorp ot elbatiforp

dedaeh nmuloc eht tniartsnoc hcae rof su sllet ecirP wodahS yltcaxe evitcejbo eht hcum wohthgir eht egnahc ew fi egnahc lliw noitcnuf - eht nihtiw tniartsnoc gnidnopserroc eht fo edis dnah

.nmuloc SHR xaM/niM elbawollA eht ni nevig stimil

elbat eht mrof nac ew ecneH

tniartsnoC kcaP hsiloP ylbmessA 03.0 08.0 0 )ngis erongi( tsoC ytinutroppO

thgir ni egnahC - c b a edis dnah c03.0 b08.0 0 egnahc noitcnuf evitcejbO

thgir rof timil rewoL - 00028 edis dnah 43.33333 00004 thgir rof eulav tnerruC - 00006 00005 000001 edis dnah

thgir rof timil reppU - edis dnah - 00057 00009

thgir eht dedivorp ,tniartsnoc hsilop eht rof elpmaxe roF - neewteb sniamer tniartsnoc taht fo edis dnah0004 thgir ni egnahc[08.0 yltcaxe eb lliw egnahc noitcnuf evitcejbo eht 00009 dna 0 - morf edis dnah

.]00005

eht fo noitcerid eht nopu sdneped )nwod ro pu( noitcnuf evitcejbo eht ni egnahc eht fo noitcerid ehTthgir eht ni egnahc - dna tniartsnoc eht fo edis dnah .)esiminim ro esimixam( evitcejbo eht fo erutan eht

:esu nwod ro pu og lliw noitcnuf evitcejbo eht rehtehw ediced oT

thgir ni egnahc retfa evitcirtser )ssel( erom tniartsnoc - esrow noitcnuf evitcejbo seilpmi edis dnah )retteb(

m( esimixam si evitcejbo fi )nwod( pu snaem retteb ,)pu( nwod snaem esrow neht )esimini

ecneH

?ti ngissa uoy dluow noitarepo hcihw ot sruoh 001 artxe na dah uoy fi ?esoohc uoy dluow eno hcihw gnikcap ro gnihsilop morf yawa sruoh 05 ekat ot dah uoy fi evitcejbo wen eht dluow tahw ?sesac owt eseht ni eb eulav noitcnuf

" eht dellac netfo si tniartsnoc a rof ecirP wodahS dedaeh nmuloc eht ni eulav ehT eulav lanigram ro "" eulav laud .tniartsnoc taht rof "



si ecirp wodahs eht esool si tniartsnoc eht fi ,lacigol mees dluow sa ,taht etoN si tniartsnoc eht fi sa( orezthgir eht ni egnahc llams a esool - .)noitulos lamitpo eht retla tonnac edis dnah

stnemmoC

sa noitamrofni emas eht tub tuptuo/tupni rof stamrof tnereffid evah segakcap PL tnereffiD .deniatbo llits si evoba dessucsid

vah yam uoY si tuptuo PL fo noitaterpretni eht yllaitnessE .gnisufnoc evoba eht dnuof e .ecitcarp htiw semoc taht gnihtemos

yb a sa )evoba dessucsid sa( elbaniatbo noitamrofni eht fo hcuM - eht fo noitulos eht fo tcudorpamitse ni tnemeganam ot lufesu eb nac melborp PL ni segnahc .g.e( segnahc fo tceffe eht gnit

)cte ,seiticapac noitcudorp ,stsoc tuohtiw .PL eht gnivloser fo esnepxe/elssah eht ot gniog woh fo erusaem a su sevig noitamrofni ytivitisnes sihT tsubor ti evitisnes woh .e.i si noitulos eht

ni ni segnahc ot si .atad tup

:ot gnitaler evoba nevig sisylana eht ,evoba denoitnem sa ,taht ereh etoN

dna ;elbairav a rof tneiciffeoc noitcnuf evitcejbo eht gnignahc non eb ot orez yltnerruc si hcihw elbairav a gnicrof - dna ;orez thgir eht gnignahc - artsnoc a fo edis dnah tni

erom semoceb noitautis eht edam era segnahc )erom ro( owt fI .egnahc elgnis a rof dilav ylno si .PL eht evloser ot elbasivda semoceb ti dna xelpmoc

elpmaxe ytivitisnes gnimmargorp raeniL

:margorp raenil eht redisnoC

esimixam x3 1 x7 + 2 x4 + 3 x9 + 4

ot tcejbus x1 x4 + 2 x5 + 3 x8 + 4 )1( 9 =< x1 x2 + 2 x6 + 3 x4 + 4 )2( 7 =< xi 4,3,2,1=i 0 =>

.egakcap retupmoc eht gnisu margorp raenil siht evloS

?noitulos lamitpo eht ni selbairav eht fo seulav eht era tahw v noitcnuf evitcejbo lamitpo eht si tahw ?eula ?thgit era stniartsnoc hcihw :fi ot egnahc dluow noitcnuf evitcejbo eht etamitse uoy dluow tahw

o thgir eht egnahc ew - 01 ot )1( tniartsnoc fo edis dnah o thgir eht egnahc ew - 5.6 ot )2( tniartsnoc fo edis dnah o artsnoc eht margorp raenil eht ot dda ew x tni 3 7.0 =

eht gnisu melborp eht gnivloS egakcap :si noitulos eht



:evah ew evoba nevig tuotnirp eht morf gnidaeR

X era seulav elbairav eht 1 X ,5= 2 X ,1= 3 X ,0= 4 0= 0.22 si eulav noitcnuf evitcejbo lamitpo eht ulprus ro kcals on evah( thgit era stniartsnoc htob stniartsnoc )ticilpmi( eht taht ereh etoN .)s

non era selbairav eht taht gnirusne - x( evitagen i deredisnoc ton )noitnevnoc yb( era )4,3,2,1=i 0=> .thgit era stniartsnoc hcihw gnidiced ni

01( = egnahc noitcnuf evitcejbo - i tniartsnoc eht ecniS .5.0 = 5.0 x )9 eht evitcirtser ssel s .esaercni lliw ti melborp noitasimixam a evah ew sa ecneH .retteb teg lliw noitcnuf evitcejbothgir eht fo )01( eulav wen eht taht ees ew nmuloc SHR xaM/niM elbawollA eht ot gnirrefeR -

stimil eht nihtiw si )1( tniartsnoc fo edis dnah eht fo eulav wen eht taht os ereht deificeps eb lliw noitcnuf evitcejbo yltcaxe 5.22 = 5.0 + 0.22

7( = egnahc noitcnuf evitcejbo - erom tniartsnoc eht gnikam era ew ecniS .52.1 = 5.2 x )5.6evah ew sa ecneH .esrow teg lliw noitcnuf evitcejbo eht evitcirtser ti melborp noitasimixam a

thgir eht fo eulav wen eht evoba )1( rof sA .esaerced lliw - eht nihtiw si )2( tniartsnoc fo edis dnah noitcnuf evitcejbo eht fo eulav wen eht os dna nmuloc SHR mumixaM/muminiM eht ni stimil

eb lliw yltcaxe 0.22 - 57.02 = 52.1 jbo )esaerced( esrow teg lliw noitcnuf evitcejbo ehT .54.9 = 5.31 x 7.0 = egnahc noitcnuf evitce

non a ot mumitpo gnimmargorp raenil eht ta orez si hcihw elbairav yna gnignahc ecnis - orez eW .esrow noitcnuf evitcejbo eht sekam syawla eulav etamitse lliw ti taht 0.22 ot esaerced - 54.9 na ylno si ereh detaluclac eulav eht taht etoN .55.21 = etamitse evitcejbo eht ni egnahc eht fo

siht => eb syawla lliw tub( etamitse eht morf tnereffid eb yam egnahc lautca ehT .eulav noitcnuf .)etamitse

iw ew fi ,nac ew taht etoN x stniartsnoc ruof eht retne ylticilpxe ,hs i si siht hguohtlA .4,3,2,1=i 0=> .tcerrocni ton si ti )0=> si elbairav hcae taht semussa yllacitamotua egakcap eht ecnis( yrassecennu

serugif noitulos eht fo emos retla yam ti ,revewoH - decudeR eht ralucitrap ni eb yam serugif tsoC era serugif hcus taht setartsulli sihT .tnereffid ton raenil eht ta denifed yleuqinu ylirassecen

.noitulos lamitpo gnimmargorp



TINU - III

ledoM noitatropsnarT .ledom PT nevig gniwollof eht rof noitulos lamitpo eht dniF

noitubirtsiD )ot( retnec

)morF( stnalP

1 2 3 4 ylppuS

2 3 11 7 6

1 0 6 1 1

5 8 51 9 01

emeriuqeR

stn

7 5 3 2

etoN :

.decnalabnu esiwrehto decnalab dellac si ti neht lauqe era dnamed & ylppus eht fI

noN - etarenegeD :

nart )n x m( a ot noitulos elbisaef cisab A n+m( yltcaxe sniatnoc taht melborp noitatrops - ni noitacolla )1

.noitisop tnednepedni

etarenegeD :

n+m naht ssel sniatnoc taht noitulos elbisaef cisab A - non 1 - snoitacolla evitagen

noituloS elbisaeF cisaB dniF

)1 eluR renroC tseW htroN

tsewhtron eht ni tratS renroc

D fI 1 S< 1 x tes neht , 1 D ot lauqe 1 .yllatnoziroh deecorp &

D fI 1 S= 1 x tes neht , 1 D ot lauqe 1 .yllanogaid deecorp &

D fI 1 S> 1 x tes neht , 1 S ot lauqe 1 .yllacitrev deecorp &

0 6

1 0

2

6

3 11 7

1

1

0 6 1

5 8

5

51

3

9

2



2 3 5 01

7 5 3 2

0 6 0 0

1

tnemeriuqer & ylppus eht lla ecnis noitulos elbisaef a si noitulos desoporp eht taht nees ylisae eb nac ti

w edam neeb evah snoitacolla ,dohtem siht nI .deifsitas ylluf era stniartsnoc fo noitaredisnoc yna tuohti

.meht htiw detaicossa noitamrofsnart fo tsoc

.noitulos tseb eht ro elbisaef eb ton yam deniatbo noitulos eht ecneH

: si noitulos siht htiw etaicossa tsoc tropsnart ehT

001 * )2*9+3*51+5*8+1*1+6*2( sR=Z

)81+54+04+1+21( sR= 001 *

00611 sR=

)2 dohteM aminiM woR

1 eht fo llec tsoc tsewol eht ni elbissop sa hcum sa gnitacolla ni stsisnoc dohtem sihT ts rehtie taht os wor

1 eht fo yticapac eht ts j eht ta tnemeriuqer eht ro detsuahxe si tnalp ht deifsitas si retnec noitubirtsid ro

htob

:sesira sesac eerhT

1 eht fo yticapac eht fI ts 1 eht ffo ssorc ,detsuahxe yletelpmoc si tnalp ts 2 eht ot deecorp & wor dn .wor

j eht fo tnemeriuqer eht fI ht j eht ffo ssorc ,deifsitas si retnec noitubirtsid ht eht redisnocer & nmuloc

1 ts t htiw wor .yticapac gniniamer eh

1 eht fo yticapac eht fI ts j ta tnemeriuqer eht sa llew sa tnalp ht yletelpmoc era retnec noitubirtsid

2 eht ni noitacolla 0 a ekam ,deifsitas dn 1 eht fo llec tsoc tsewol ts eht sa llew sa wor eht fo ssorC .wor

j ht t nwod evom & nmuloc 2 eht o dn .wor

0 6

0 1

0 3 5 9 01

7 5 3 2

2

6

3 11 7

1 0

1

6 1

5

1

8

4

51

3

9

2



1 0 0 0

0

)2*9+3*51+4*8+1*5+1*0+2*6( * 001=Z

00211= 211 * 001= )81+54+23+5+0+21( * 001=

)3 M aminiM nmuloC dohte

6 0

0 1

0 2 3 5 01

5 7 2 3

0 6 0 0

1

0

+6*2 =Z 81+51+8*5+0*5+1*1

81+54+04+1+21 =

611 =

)4 dohteM tsoC tsaeL

rehtruf neht &sllec/llec tsoc tsewol eht ni elbissop sa hcum sa gnitacolla fo stsisnoc dohtem sihT

2 eht htiw llec eht ni enod si noitacolla dn .tsoc tsewol

2

6

3 11 7

1

1

0 6 1

5 8

5

51

3

9

2



0 6

0 1

0 2 5 9 01

3 5 7 2

0 0 4 1

0 0

81+54+23+5+0+21 =Z

211 =

.5 dohteM noitamixorppA s’legoV

2

3 11 7

1

0 6 1

5

8 51 9

7 5 3 2

6 0 1 0

0 0

]1[ ]3[ ]5[ ]6[

]3[ ]5[ ]4[ ]2[

]3[ * ]4[ ]2[

]5[ ]8[ ]4[ ]9[

2

6

3 11 7

1 0

1

6 1

5

1

8

4

51

3

9

2

1 5

1

1 3 6

1 6 * ]5[ ]1[ ]1[ 0

* * * ]1[ 0 1

]4[ ]4[ ]3[ ]3[ 0 8 7 01



9 + 54 + 03 + 1 + 51 + 2 = z

201 =

tseT ytilamitpO mrofreP

tulos elbisaef taht no ylno demrofrep eb ,esruoc fo ,nac tset ytilamitpo nA :hcihw ni noi

)a( n+m si snoitacolla fo rebmuN -1

)b( n+m esehT - .snoitisop tnednepedni ni eb dluohs snoitacolla 1

yna morf levart ot elbissopmi si ti taht si snoitisop tnednepedni ni eb ot snoitacolla rof elur elpmis A

iroh fo seires a yb flesti ot kcab ,noitacolla ,rehtona ot llec deipucco eno morf spmuj lacitrev & latnoz

.etuor fo lasrever tcerid a tuohtiw

ton ro rehtehw dnif ot llec tnacav hcae fo noitanimaxe eht sevlovni ytilamitpo rof erudecorp tset woN

noitatropsnart latot eht secuder ti ni noitacolla na gnikam .tsoc

:era desu yllausu sdohtem 2 ehT

)1( gnippetS - dohtem enotS

)2( dohtem )IDOM( noitubirtsid deifidom ehT

.1 gnippetS ehT - dohteM enotS

siht ot tinu 1+ etacolla & )2,2( yas ,)noitacolla tuohtiw llec a( llec ytpme yrartibra yna htiw trats su teL

k ot redro ni ,llec ( noitcirtser 2 nmuloc eht pu pee - wor eht peek dna )2,1( llec eht ot detacolla eb tsum )1

( yltneuqesnoc dna )1,1( llec ot detacolla eb tsum 1+ ,noitcirtser 1 - .)1,2( llec ot detacolla eb tsum )1

1+ 2

1

3 -1

5

11 7

1 -1 1+ 0 6 1

1

5

6

8 51

3

9

1

si tsoc noitatropsnart eht ni egnahc ten ehT

1*0= - 1*2+1*3 - 1*1

=-2

yb desaerced tsoc noitatropsnart eht ,noitabrutrep evoba fo tluser a sa ,yllarutaN – .2



n.m eb lliw llec ytpme fo rebmun latot ehT - n+m( - m(=)1 - n()1 - ])1

aulave llec hcuS taht snoit yna fI .detaluclac eb tsum

,evitagen si noitaulave llec oS .decuder eb nac tsoc eht

rednu noitulos eht taht eb nac noitaredisnoc

.devorpmi

.2 deifidoM ehT )IDOM( noitubirtsiD

u ro dohtem - dohtem v

1 petS stsoc eht gniniatnoc xirtam tsoc eht pu teS : rof sllec eht htiw detaicossa

.edam neeb evah snoitacolla hcihw

2 petS V rebmun fo tes a retnE : j U rebmun fo tes a dna xirtam eht fo pot eht ssorca i

petS ni deretne stsoc eht ot lauqe smus rieht taht os edis tfel eht ssorca .1

,suhT

u1 v+ 1 2= u3 v+ 1 5=

u1 v+ 2 3= u3 v+ 3 51=

u2 v+ 4 1= u3 v+ 4 9=

v teL 1 0=

u1 u ; 2= 2=- ; 3 u1 v ; 2= 2 v ; 1= 3 v ; 01= 4 4=

3 petS u fo mus eht htiw sllec tnacav eht lliF : i v & j

2 3

1

5 51 9

V1 0= v2 0= v3 0= v4 0=

u =1 2 2 3

u =2 3 1

u =3 5 5 51 9

0 1 01 4

2 21 6

-3 -3 -2 7

5 6



:4 petS .xirtam tsoc lanigiro morf 3 petS fo xirtam eht fo seulav llec eht tcartbuS

dellac si xirtam gnitluser ehT .xirtam noitaulave llec

5pets c eht fo yna fI : eht evitagen era snoitaulave lle elbisaef cisab

.lamitpo ton si noitulos

noitulos lamitpo sdrawot etaretI

eht htiw llec eht yfitnedi ,xirtam noitaulave llec eht morF :1petsbuS yrtne evitagen tsom .

.)3,1( llec esoohc su teL

f laitini etirw :2petsbuS .noitulos elbisae

ni nesohc si llec sihT .evitagen si noitaulave llec eht hcihw rof llec ytpme eht) ( kram kcehC

.llec deifitnedi dellac si & 1petsbus

3petsbuS a fo gnitsisnoc xirtam siht ni htap a ecarT : ehT .senil lacitrev & latnoziroh yletanretla fo seires

hcihw rof sllec eht ni eil htap eht fo srenroc llA .llec deifitnedi eht ni setanimret & snigeb htap

.sllec tnacav ro deipucco fo rebmun yna revo piks yam htap ehT .edam neeb evah snoitacolla

11 - 21 7-6

3+1 2+0 6-7

8-6

-1 1

4 2 -1

2

1

-

5

+

1

6

+

3

-



:4petsbuS htap eht fo srenroc eht ta llec deipucco hcae dna evitisop sa sllec deifitnedi eht kraM

.no os & evitisop & evitagen ylevitanretla

: etoN tsellams eht sah taht ngis sunim htiw llec deipucco eht etacol ytilibisaef niatniam ot redro nI

noitacolla

:5petsbuS M .llec deifitnedi eht ni noitacolla wen a eka

1- 0=1 5 1

1

7 2 1

2 3

11 7

1 0 6 1

5 8 51 5

2 siht rof noitatropsnart fo tsoc latot ehT dn si noitulos elbisaef

)9*1+51*2+5*7+1*1+1*11+5*3( sR=

)9+03+53+1+11+51( sR=

101 sR=

mitpo rof kcehC ytila

noitulos elbisaef evoba eht nI

)a n+m( si snoitacolla fo rebmun - 6 si )1

)b n +m( eseht – .snoitisop tnednepedni era noitacolla)1

.demrofrep eb nac tset ytilamitpo na ,deifsitas gnieb snoitidnoc evobA

dohtem IDOM

1petS hcihw rof xirtam tsoc eht nwod etirW : .edam neeb evah snoitacolla

2petS V rebmun fo tes a retnE : j U rebmun fo tes a dna xirtam eht fo pot eht ssorca i os edis tfel eht ssorca

.1petS ni deretne stsoc eht ot lauqe smus rieht taht

,suhT

u1 v+ 2 3= u3 v+ 1 5=

5

1

1 2

1

7



u1 v+ 3 11= u3 v+ 3 51=

u2 v+ 4 1= u3 v+ 4 9=

v teL 1 0=

u1 u ; 1= 2=- u ; 3 3 v ; 5= 2 v ; 2= 3 v ; 01= 4 4=

:3petS v fo smus eht htiw sllec tnacav eht lliF j u & i

4petS rf tcartbuS : .xirtam lanigiro eht mo

2 ,evitagen si llec eno ecniS :5petS dn .lamitpo ton si noitulos elbisaef

noitulos lamitpo na sdrawot etaretI

.)3,2( llec eht si tI .yrtne evitagen tsom htiw llec eht yfitnedI :1petsbuS

W :2petsbuS .noitulos elbisaef eht nwod etir

5 1

+ 1 -

7 2 - + 1

.htap eht ecarT :3petsbuS

.ylevitanretla evitagen sa srehto & evitisop sa llec deifitnedi eht kraM :4petsbuS

:5petsbuS

5 1

v1 v2 v3 v4

u1 3 11

u2 1

u3 5 51 9

v1 0= v2 2= v3 01= v4 4=

U1 1= 1 5

U2=-3 -3 -1 7

U3 5= 7

1 2

4 1 -1

-1

2-1 7-5

3+1 1+0 6-7

8-7

snoitulos elbisaef drihT



1

7 1 2

)5*7+9*2+51*1+6*1+11*1+3*5(=Z

001=

eT ytilamitpo rof ts

snoitulos elbisaef evoba eht nI

)a n+m( si noitacolla fo rebmun - 6 ,si taht )1

)b n+m( eseht - .tnednepedni era )1

:1petS xirtam tsoc putes

3 11

6

5 51 9

2petS V rebmun fo tes a retnE : j rebmun fo tes a dna xirtam eht fo pot eht ssorca Ui os edis tfel eht ssorca

.1petS ni deretne stsoc eht ot lauqe smus rieht taht

,suhT

u1 v+ 2 3= u3 v+ 1 5=

u1 v+ 3 11= u3 v+ 3 51=

u2 v+ 3 6= u3 v+ 4 9=

v tel 1 u ,0 = 3 u 5= 2=- u ,4 1 v ,1= 2 v ,2= 3 v ,01= 4 4=

si xirtam gnitluser eht

0 2 01 4

1 1 5

-4 -4 -2 0

5 7

buS xirtam noitaulave llec teg lliw ew ,xirtam tsoc lanigiro morf tcart

1 2

5 2 1



1

.noitulos lamitpo si noitulos elbisaef driht eht ,evitisop era sllec eht lla ecniS

melborP tnemngissA

ni noitulos eht ecniS :xirtam erauqs a eraperP :1 petS .yrassecen ton si pets siht ,xirtam erauqs a sevlov

.spetsbus gniwollof eht sevlovni sihT :xirtam eht ecudeR :2 petS eht lla morf wor hcae fo tnemele muminim eht tcartbus ,xirtam ssenevitceffe eht nI :1 petsbuS

lta si ereht fi eeS .wor eht fo stnemele .ereh pots ,os si ti fI .nmuloc hcae ni dna wor hcae ni orez eno tsae.2 petsbus ot deecorp ton fI .ereh pots ,os si ti fI





.ylbatius meht kram dna seorez dekramnu elgnis rof snmuloc enimaxe txeN :2 PETSBUS

of retfa ,elpmaxe tneserp eht nI :3 PETSBUS si noititeper rieht taht dnif ew 2 dna 1 spetsbus gniwoll

ot swollof sa deecorp ew ecneH .stnemngissa yna tuohtiw era 3 nmuloc dna 3 wor osla dna yrassecennu.seorez lla gnissorc senil fo rebmun muminim eht dnif

mngissa hcihw rof swor eht kraM :4 PETSBUS .wor driht eht si ti melborp ruo nI .edam neeb ton sah tne

si 1 nmuloc suhT .swor dekram ni seorez evah hcihw )dekram ydaerla ton( snmuloc kraM :5 PETSBUS

.dekram

wor suhT .snmuloc dekram nistnemngissa evah hcihw )dekram ydaerla ton(swor kraM :6 PETSBUS si 1.dekram



noititeper siht esac tneserp eht nI .elbissop si gnikram erom on litnu 6 dna 5 spets taepeR :7 PETSBUS

.yrassecen ton si









16 = tsoC

MELBORP NAMSELAS GNILLEVART EHT

tisiv si ytic on taht si PST rof noitidnoc ehT .detelpmoc si seitic eht lla fo ruot eht erofeb eciwt de

A morf gniog sA - B,A> - xirtam tsoc eht ni sllec eseht ot ytlanep egral a ngissa ,dewolla ton si cte B>

0 8 2 3 1 E

5 0 6 4 21 D

7 4 0 7 8 C

2 8 3 0 6 B

1 7 5 2 0 A

E D C B A



ST rof ton tub melborp tnemngissa rof lamitpo sevig hcihW A htap eht esuaceb P - E ,E> - B ,A - C> - D> - B>

PST fo tniartsnoc lanoitidda eht yfsitas ton seod

eerht evah eW .noitulos eht otni 1 tnemele gnirb ot yrt llahs ew os ,1 si tnemele muminim txen ehT.sesac

:1 esaC .)E,A( fo daetsni )B,A( llec ni tnemngissa ekaM

A B C D E

A ∞ 1 3 6 0 B 4 ∞ 0 6 0 C 4 3 ∞ 0 3 D 8 0 1 ∞ 1 E 0 2 0 7 ∞

A si noitulos elbisaef gnitluser ehT - B,B> - C ,C - D,D> - E,E> - 51 si tsoc dna A>

)B,D( fo daetsni )C,D( llec ni tnemngissa ekam woN

� _

7 1 2 0 E

1 � _

2 0 8 D

3 0 � _

3 4 C

0 6 1 � _

4 B

0 6 4 1 � _

A

E D C B A

� _

7 0 2 0 E

1 � _

1 0 8 D

3 0 � _

3 4 C

0 6 0 � _

4 B

0 6 3 1 � _

A

E D C B A

�

_

7 000 2 0 E

1 �

_

1 8 D

3 0 �

_

3 4 C

000 6 0 �

_

4 B

6 3 1 �

_

A

E D C B A

0

0

0



:2 esaC

A B C D E A ∞ 1 3 6 0 B 4 ∞ 0 6 0 C 4 3 ∞ 0 3 D 8 0 1 ∞ 1 E 0 2 0 7 ∞

yna fi dna wor taht ni tsoc muminim esoohc nac eW .tnemngissa yna evah ton seod wor dnoces ecniS

.llec muminim txen ot tfihs ,nmuloc taht ni ereht si tnemngissa

A B C D E

A ∞ 1 3 6 0

B 4 ∞ 0 6 0

C 4 3 ∞ 0 3

D 8 0 1 ∞ 1

E 0 2 0 7 ∞

:3 esaC

A B C D E

A ∞ 1 3 6 0

B 4 ∞ 0 6 0

C 4 3 ∞ 0 3

D 8 0 1 ∞ 1

E 0 2 0 7 ∞

a yb nevig si etuor tsoc tsael . 1 esac sa emas eht si hcihW - b> - c> - d> - e> - a>



TINU -V

yroeht gniueuQ

ueuQ :eb thgim selpmaxe lacipyT .)gnitiaw ro( gniueuq evlovni hcihw smelborp htiw slaed yroeht gni

stekramrepus/sknab - ecivres rof gnitiaw sretupmoc - esnopser a rof gnitiaw snoitautis eruliaf - yrenihcam fo eceip a ni .g.e rucco ot eruliaf a rof gnitiaw p tropsnart cilbu - sub a ro niart a rof gnitiaw

yreve nommoc a era seueuq wonk ew sA - nI .detimil era secruoser esuaceb mrof seueuQ .ecneirepxe yad sekam ti tcaf esnes cimonoce deen dluow uoy sllit tekramrepus ynam woh elpmaxe roF .seueuq evah ot

q diova ot ?detanimile/dediova eb ot erew seueuq fi dedeen eb dluow sniart ro sesub ynam woH ?gniueu

seueuq trohs( sremotsuc ot ecivres neewteb ecnalab a rof mia ot deen ew smetsys gnieueuq gningised nIynam oot ton( snoitaredisnoc cimonoce dna )srevres ynam gniylpmi .)srevres

bus laudividni otni nwod nekorb eb nac smetsys gniueuq lla ecnesse nI - fo gnitsisnoc smetsys seititne emos rof gniueuq ytivitca .)woleb nwohs sa(

bus laudividni siht fo klat nac ew yllacipyT - htiw gnilaed sa metsys sremotsuc rof gniueuq ecivres oT .bus siht esylana - :ot gnitaler noitamrofni deen ew metsys

:ssecorp lavirra o ra sremotsuc woh )slavirra klub ro hctab( spuorg ni ro ylgnis .g.e evir o emit fo noitubirtsid ytilibaborp eht si tahw .g.e( emit ni detubirtsid era slavirra eht woh

eht( slavirra evisseccus neewteb noitubirtsid emit lavirraretni )) o c fo noitalupop etinif a si ereht rehtehw rebmun etinifni na )ylevitceffe( ro sremotsu

eht .e.i( slavirra raluger yletelpmoc evah ew erehw eno si ssecorp lavirra tselpmis ehT slavirra fo maerts nossioP A .)slavirra evisseccus neewteb lavretni emit tnatsnoc emas

.modnar ta slavirra ot sdnopserroc retfa evirra sremotsuc evisseccus maerts nossioP a nI si maerts nossioP ehT .detubirtsid yllaitnenopxe era yltnednepedni hcihw slavretni

dna smetsys gniueuq efil laer ynam fo ledom lacitamehtam tneinevnoc a si ti sa tnatropmimarap elgnis a yb debircsed si rete - lavirra tnatropmi rehtO .etar lavirra egareva eht

eht .e.i( setar lavirra tnedneped emit dna ;slavirra hctab ;slavirra deludehcs era sessecorp .)yad fo emit eht ot gnidrocca seirav etar lavirra

:msinahcem ecivres o een secruoser eht fo noitpircsed a nigeb ot ecivres rof ded o eht( ekat lliw ecivres eht gnol woh noitubirtsid emit ecivres ) o elbaliava srevres fo rebmun eht



o eno( lellarap ni ro )eueuq etarapes a sah revres hcae( seires ni era srevres eht rehtehw )srevres lla rof eueuq

o i noitpmeerp rehtehw htiw laed ot remotsuc a gnissecorp pots nac revres a( dewolla s )remotsuc "ycnegreme" rehtona

nopu dneped ton od dna tnednepedni era sremotsuc rof semit ecivres eht taht gnimussAsemit ecivres tuoba noitpmussa nommoc rehtonA .nommoc si ssecorp lavirra eht taht si

.detubirtsid yllaitnenopxe era yeht

:scitsiretcarahc eueuq o devres eb ot eno eht esoohc ew od ,ecivres rof gnitiaw sremotsuc fo tes eht morf ,woh

tsrif( OFIF .g.e( txen - tsrif ni - )tuo - tsrif( SFCF sa nwonk osla - OFIL ;)devres tsrif emoctsal( - f ni tsri - eht dellac netfo si siht( )ylmodnar ;)tuo enilpicsid eueuq )

o :evah ew od )gnol oot si ti fi eueuq eht nioj ot ton gnidiced sremotsuc( gniklab )ecivres rof gnol oot detiaw evah yeht fi eueuq eht evael sremotsuc( gnigener hctiws sremotsuc( gniyekcoj devres teg lliw yeht kniht yeht fi seueuq neewteb

)gniod os yb retsaf yticapac etinifni fo )ylevitceffe( ro yticapac etinif fo eueuq a

eb ot remotsuc txen eht tceles ew hcihw yb elur eht( enilpicsid eueuq eht gnignahC.noitsegnoc ecuder netfo nac )devres remotsuc eht esoohc" enilpicsid eueuq eht netfO

a )egareva no( emit eht rof eulav tsellams eht ni stluser "emit ecivres tsewol eht htiw .gniueuq sdneps remotsuc

tni ,elpmaxe rof ,ni ytniatrecnu fo aedi eht si snoitautis gniueuq ot largetni taht ereh etoN semit lavirrare .snoitautis gniueuq esylana ot dedeen era scitsitats dna ytilibaborp taht snaem sihT .semit ecivres dna

era detseretni era ew hcihw ni snoitseuq fo sepyt eht snoitautis gniueuq fo sisylana eht fo smret nI serusaem htiw denrecnoc yllacipyt :edulcni thgim dna ecnamrofrep metsys fo

lliw gnol woh dna ,devres era yeht erofeb eueuq eht ni tiaw ot tcepxe remotsuc a seod gnol woH ?etelpmoc si ecivres eht erofeb tiaw ot evah yeht

g a naht regnol tiaw ot gnivah remotsuc a fo ytilibaborp eht si tahW yeht erofeb lavretni emit nevi ?devres era

?eueuq eht fo htgnel egareva eht si tahW ?htgnel niatrec a deecxe lliw eueuq eht taht ytilibaborp eht si tahW lliw eh hcihw gnirud doirep emit detcepxe eht dna revres eht fo noitasilitu detcepxe eht si tahW

eb ew fi tcaf nI .)ysub meht peek ot deen ew os yenom su tsoc srevres rebmemer( deipucco ylluf nac ew neht emit eldi revres dna emit gnitiaw remotsuc sa hcus srotcaf ot stsoc ngissa nac

.tsoc latot muminim ta metsys a ngised ot woh etagitsevni

seuq era esehT tpmetta na ni sevitanretla etaulave nac tnemeganam taht os derewsna eb ot deen taht snoit :era ecitcarp ni detagitsevni netfo era taht smelborp eht fo emoS .noitautis eht evorpmi/lortnoc ot

?emit ecivres eht gnicuder ni troffe tsevni ot elihwhtrow ti sI ?deyolpme eb dluohs srevres ynam woH ?decudortni eb sremotsuc fo sepyt niatrec rof seitiroirp dluohS



?etauqeda sremotsuc rof aera gnitiaw eht sI

era ereht snoitseuq evoba eht ot srewsna teg ot redro nI owt :sehcaorppa cisab

gniueuq ro sdohtem citylana dna ;)desab alumrof( yroeht .)desab retupmoc( noitalumis

ylno era sdohtem citylana taht si )eno tsuj fo daetsni( sehcaorppa owt gnieb ereht rof nosaer ehTdesylana syawla tsomla era smetsys gniueuq xelpmoC .smetsys gniueuq elpmis ylevitaler rof elbaliava

gnisu etercsid sa nwonk yllacinhcet erom( noitalumis - )noitalumis tneve .

:yllaitnesse yroeht gnieueuq aiv delkcat eb nac taht smetsys gnieueuq elpmis ehT

tsys deknil ;eueuq elgnis a tsuj fo tsisnoc rehtona ot eueuq eno morf ssap sremotsuc erehw sme yroeht gnieueuq aiv delkcat eb tonnac

dradnats .g.e( denifed llew era taht sessecorp ecivres dna lavirra eht rof snoitubirtsid evahseht erehw smetsys ;)lamroN ro nossioP sa hcus snoitubirtsid lacitsitats devired era snoitubirtsid e

yroeht gnieueuq aiv esylana ot tluciffid era ,tnedneped emit era ro ,atad devresbo morf

yb deredisnoc saw melborp yroeht gnieueuq tsrif ehT E gnalr a egral woh ta dekool ohw 8091 ni sllac enohpelet fo rebmun eht eulav elbanosaer a ot peek ot redro ni eb ot dedeen egnahcxe enohpelet

a depoleved dah eh sraey net nihtiW .)sllac tsol( ysub saw egnahcxe eht esuaceb detcennoc tonot alumrof )xelpmoc( .melborp eht evlos

dnuof eb nac noitamrofni yroeht gnieueuq lanoitiddA ereh dna ereh

elpmaxe elpmis a dna noitaton gnieueuQ

t nommoc si tI :slobmys eht esu ot esu o

admal etar lavirra naem eht .e.i ,doirep emit rep slavirra fo rebmun )egareva ro( naem eht eb ot ecivres naem eht .e.i ,doirep emit rep devres sremotsuc fo rebmun )egareva ro( naem eht eb ot µ

etar

noitaton dradnats a si erehT :erehw ,E/D/C/B/A sa smetsys gnieueuq yfissalc ot metsys

ssecorp lavirra eht rof noitubirtsid ytilibaborp eht stneserper A ssecorp ecivres eht rof noitubirtsid ytilibaborp eht stneserper B )srevres( slennahc fo rebmun eht stneserper C eht stneserper D gnieb rehtie( metsys gnieueuq eht ni dewolla sremotsuc fo rebmun mumixam

)ecivres rof gnitiaw ro devres latot ni sremotsuc fo rebmun mumixam eht stneserper E

:era B dna A rof snoitpo nommoC

lavirraretni laitnenopxe( noitubirtsid lavirra nossioP a rof M ecivres laitnenopxe a ro )noitubirtsid noitubirtsid emit



eulav tnatsnoc ro citsinimreted a rof D )ecnairav dna naem nwonk a htiw tub( noitubirtsid lareneg a rof G

.etinifni era yeht taht demussa si ti neht deificeps ton era E dna D fI

/M eht elpmaxe roF lavirra nossioP a sah ,metsys gnieueuq tselpmis eht ,metsys gnieueuq 1/M .)revres eno( lennahc elgnis a dna noitubirtsid emit ecivres laitnenopxe na ,noitubirtsid

a tsuj si ereht taht demussa syawla si ti noitaton siht gnisu ni taht ereh etoN eueuq elgnis )enil gnitiaw(.srevres eht ot eueuq elgnis siht morf evom sremotsuc dna

elpmaxe 1/M/M elpmiS

lavirra nossioP a htiw pohs eht ni evirra sremotsuc dna pohs a ni revres elgnis a evah ew esoppuS fo etar naem a ta noitubirtsid admal ,etunim rep sremotsuc 5.0= sraeppa remotsuc eno egareva no .e.i

/1 yreve admal laitnenopxe na evah semit lavirraretni eht taht seilpmi sihT .setunim 2 = 5.0/1 = emit ecivres laitnenopxe na sah revres ehT .setunim 2 fo emit lavirraretni egareva na htiw noitubirtsid

a htiw noitubirtsid rep sremotsuc 4=µ etar ecivres eht .e.i ,etunim rep sremotsuc 4 fo etar ecivres naem eueuq 1/M/M a evah ew revres elgnis/emit ecivres laitnenopxe/etar lavirra nossioP a evah ew sA .etunim

.noitaton dradnats eht fo smret ni

tis gnieueuq siht esylana nac eW eht gnisu noitau egakcap :woleb nwohs si tupni ehT .

:gnieb tuptuo eht htiw



metsys gnieueuq elpmis yrev siht roF .alumrof a morf era stluser eht taht syas tuptuo eht fo enil tsrif ehTvig taht ealumrof tcaxe era ereht a dehcaer sah metsys eht taht noitpmussa eht rednu evoba scitsitats eht e

etats ydaets - emos otni nwod elttes ot sa os hguone gnol gninnur neeb sah metsys eht taht si taht .noitisop muirbiliuqe fo dnik

laer yllarutaN - aets a hcaer reve yldrah smetsys efil revewoH .taht ekil ton si efil tup ylpmiS .etats yd yrev evaheb thgim metsys a woh otni thgisni emos su evig nac ealumrof gnieueuq elpmis siht etipsed

ehT .ylkciuq egakcap a fo noitcarf a koot .evoba nees tuptuo eht ecudorp ot dnoces

si eton fo si taht rotcaf enO ytisnetni ciffart rebmun = etar lavirra erehw )etar erutraped(/)etar lavirra( =a si ytisnetni ciffarT .emit tinu rep serutraped fo rebmun = etar erutraped dna emit tinu rep slavirra fo

sa lareneg ni dna gniueuq elttil yrev si ereht orez ot raen si ti fI .metsys eht fo noitsegnoc eht fo erusaem eht roF .sesaercni gniueuq fo tnuoma eht )1 naht retaerg neve ro 1 raen ot( sesaercni ytisnetni ciffart eht

a eht evoba deredisnoc evah ew metsys ytisnetni ciffart eht os 4 si etar erutraped eht dna 5.0 si etar lavirr521.0 = 4/5.0 si

?srevres erom ro srevres retsaF

evoba dah ew noitautis eht redisnoC - :referp uoy dluow hcihw

ro ;tsaf sa eciwt gnikrow revres eno o eht ta gnikrow hcae srevres owt ?etar lanigir

revres eno noitautis tsrif eht roF .egakcap eht gnisu siht esylana nac ew taht si rewsna elpmis ehT siht rof tuptuo ehT .etunim rep sremotsuc 8=µ etar ecivres a ot sdnopserroc tsaf sa eciwt gnikrow

.woleb nwohs si noitautis



a si noitautis siht taht ereh etoN .woleb sa si tuptuo eht etar lanigiro eht ta gnikrow srevres owt roF2/M/M elgnis a morf def era srevres owt eseht taht semussa egakcap eht taht oot etoN .metsys gnieueuq

.)eueuq laudividni nwo rieht gnivah hcae naht rehtar( eueuq

oba stuptuo owt eht erapmoC ev - ?referp uoy od noitpo hcihw

ew tnereffid era hcihw serugif yek gnitcartxE .lacitnedi era emos evoba stuptuo eht ni serugif eht fO:evah

etar lanigiro ,srevres owT tsaf sa eciwt revres enO



etsys eht ni emit egarevA 0152.0 3331.0 m )devres gnieb dna gnitiaw(

0100.0 3800.0 eueuq eht ni emit egarevA %3537.0 %52.6 ecivres rof tiaw ot gnivah fo ytilibaborP

aht nees eb nac tI no metsys eht ni emit ssel dneps sremotsuc tsaf sa eciwt gnikrow revres eno htiw t rof tiaw ot gnivah fo ytilibaborp rehgih a evah osla dna ecivres rof regnol tiaw ot evah tub ,egareva

.ecivres

stsoc htiw 2/M/M dna 1/M/M :elpmaxe eht gnidnetxE

h ew woleB lavirra remotsuc eht deilpitlum evah ew won erehw erofeb dah ew elpmaxe eht dednetxe eva eueuq a deretne osla evah eW .)erofeb sa tsaf sa semit 6 evirra sremotsuc .e.i( xis fo rotcaf a yb etar

2 fo )ecaps gnitiaw( yticapac - eipucco era srevres lla fi .e.i wen a nehw gnitiaw era sremotsuc 2 dna d yawa og yeht neht sraeppa remotsuc - sa nwonk si siht gniklab .

:sremotsuc dna revres eht ot gnitaler noitamrofni tsoc dedda osla evah eW

5.0£ su stsoc eldi si revres a etunim hcae rof stiaw remotsuc a etunim hcae 1£ su stsoc revres a 5£ su stsoc )devres gnieb tuohtiw yawa seog( deklab si ohw remotsuc hcae

:woleb nwohs si tupni egakcap ehT

:gnieb tuptuo eht htiw



tacidni tuptuo evoba eht sa ,etoN eht dna revres 1 evah ew ecnis metsys 3/1/M/M na si siht taht ,se gnieb eno( 3 si )gnitiaw ro devres gnieb rehtie( metsys eht ni eb nac taht sremotsuc fo rebmun mumixam

.)gnitiaw owt ,devres

rugif a evah ew atad tsoc deretne evah ew sa taht si ereh yek ehT siht gnitarepo fo tsoc latot eht rof e.)etats ydaets eht ni( etunim rep 4110.3 ,metsys

eno fo daetsni srevres owt evah ot erew ew won esoppuS - elpmis ehT ?erom ro ssel eb tsoc eht dluow si siht taht etoN .woleb sa ,su llet nac egakcap eht taht si rewsna ew sa metsys gnieueuq 4/2/M/M na

eht ni gnitiaw 2 ,devres gnieb 2( 4 fo metsys eht ni sremotsuc fo rebmun latot a dna srevres owt evah eueuq elgnis a morf def era srevres owt eseht taht semussa egakcap eht taht oot etoN .)ecivres rof eueuq

cae naht rehtar( .)eueuq laudividni nwo rieht gnivah h



.eno fo daetsni srevres owt gnivah ni etunim rep gnivas tsoc elbaredisnoc a si ereht taht ees nac ew oS

ofrep yllacitamotua nac egakcap eht tcaf nI rebmun eht htiw seirav tsoc latot woh fo su rof sisylana na mr.woleb nees eb nac sihT .srevres fo



gnieueuq lareneG

egakcap eht ot sretemarap tupni elbissop eht swohs woleb neercs ehT gnieueuq lareneg a fo esac eht ni.)metsys r/M/M a ton .e.i( ledom



fo rebmun a evah ew ereH emit lavirraretni eht dna noitubirtsid emit ecivres eht rof seciohc elbissop denoitnem smeti rehtO !snoitubirtsid tnereffid 51 emos sesingocer egakcap eht tcaf nI .noitubirtsid

:era evoba

tneiciffeoc erusserp ecivres - civres pu deeps srevres woh setacidni .e.i ,ysub si metsys eht nehw e r evah ew dna s si tneiciffeoc siht fI .desaercni si etar ecivres eht ysub era srevres lla nehw

)r/n( ot µ morf segnahc etar ecivres eht neht µ etar ecivres htiw hcae srevres s n era ereht nehw µ>n dna metsys eht ni sremotsuc .r=

tneiciffeoc egaruocsid lavirra - metsys eht nehw degaruocsid era slavirra remotsuc woh setacidni ew dna s si tneiciffeoc siht fI .desaerced si etar lavirra eht ysub era srevres lla nehw .e.i ,ysub si

gnieb etar lavirra eht htiw srevres r evah admal ht morf segnahc etar lavirra eht ne admal ot))1+n(/r( s admal .r=>n dna metsys eht ni sremotsuc n era ereht nehw

noitubirtsid ezis )klub( hctab - )klub ni sa nwonk osla ,sehctab ni( rehtegot evirra nac sremotsuc fo ezis fo noitubirtsid eht setacidni siht dna .sehctab hcus

:woleb nwohs si melborp elpmaxe na enod eb nac taht sisylana eht fo noitacidni na sA



:teg ew melborp eht gnivloS

etaulave ot tsixe ealumrof on taht setacidni neercs sihT ot yrt nac eW .pu tes evah ew noitautis eht ot esoohc ew fI .noitalumiS olraC etnoM yb ro ,alumrof noitamixorppa na gnisu noitautis siht etaulave

:teg ew hcaorppa noitamixorppa eht tpoda



.)noitamixorppa doog a ton .e.i( esnesnon ylnialp era stluser noitamixorppa eseht taht si ytluciffid ehTueuq eht ni sremotsuc fo rebmun egareva eht elpmaxe roF si e - era srevres lla taht ytilibaborp eht ,3189.2

si eldi - eht spahrep ro( noitamixorppa taht suoivbo si ti esac ralucitrap siht rof tslihW .cte ,%023 ton seod noitamixorppa taht tnerappa ylidaer eb ton yam ti smelborp rehto rof ,gnikrow ton si )egakcap

w .kro

.woleb neercs eht evah ew neht hcaorppa noitalumiS olraC etnoM eht tpoda ew fI



liw tahW dna deificeps evah ew metsys eht fo ledom a tcurtsnoc lliw retupmoc eht taht si ereh neppah l metsys eht woh no scitsitats tcelloc dna cte ,semit ecivres ,slavirra remotsuc etareneg yllanretni

tinu emit 0001 rof siht od lliw ti evoba deificeps sA .smrofrep etnoM" esarhp ehT .)esac siht ni sruoh( sllew eht morf sevired "olraC - etteluor ni sa tsuJ .ocanoM ni naenarretideM eht no ytic gnilbmag nwonk

ew noitalumis olraC etnoM ni os ,nups si ti nehw leehw etteluor a yb decudorp srebmun modnar teg ewr fo esu ekam .retupmoc a yb detareneg srebmun modna

:woleb nwohs era stluser ehT



hcum mees stluser esehT .noitamixorppa eht deniatbo stluser eht naht elbanosaer erom

deificeps ew emit noitalumis eht si noitaredisnoc otni ekat ot rotcaf eno revewoH - nI .sruoh 0001 erehot hsiw thgim ew metsys eht fo ruoivaheb eht no noitamrofni etarucca erom tcelloc ot redro rof etalumis

.woleb nwohs era gnol sa semit 001 dna 01 htob gnitalumis rof stluser ehT .regnol





baborp/scitsitats eht ni evah yam ew ecnedifnoc erom eht ,etalumis ew regnol eht ylraelC .deniatbo seitili

0001 rof gnitalumiS .srevres erom htiw evaheb thgim metsys eht woh etagitsevni nac ew erofeb sA ruoh rep tsoc metsys latot eht tsuj ta gnikool dna )deriuqer emit despale llarevo eht ecuder ot( sruoh

evah ew )stuptuo evoba eht ni 22 meti( :gniwollof eht

tsoc metsys latoT srevres fo rebmuN 2544 1 4133 2 1222 3 4161 4 7521 5 299 6 7 238 457 8 817 9

277 01 338 11 209 21

9 si tsoc metsys latot muminim eht htiw detaicossa srevres fo rebmun eht ereh ecneH



U TIN - IV

MPC dna TREP TREP – euqinhceT weiveR dna noitaulavE margorP

MPC – dohteM htaP lacitirC

ytivitcA – .secruoser dna emit semusnoc hcihw tcejorp a fo trap elbaifitnedi yllacisyhp a si tI

tnevE – dellac era ytivitca na fo stniop dne dna gninnigeb eht emit ni tniop a si tnevE .sedon ro stneve.elcric derebmun a yb detneserper yllareneg si tI .secruoser yna emusnoc ton seod dna

:elpmaxE

htaP – rehto emos ot tneve laitini eht gnitcennoc sworra ytivitca fo niahc nekorbnu nA a dellac si tneve.htap

krowteN - sedon dna sworra detcennoc yllaitneuqes dna yllacigol fo noitatneserper lacihparg eht si tI

.tcejorp a fo stneve dna seitivitca gnitneserper

noitcurtsnoc krowteN – snoc elihW .seitivitca otni tilps si tcejorp eht yltsriF ni , krowten eht gnitcurt.dekcehc era snoitseuq gniwollof ehT .ecneuqes lacigol a wollof seitivitca eht taht erusne ot redro

elpmaxE

eb tsum Y dna ehtal a no denrut eb tsum strap htob .Y dna X strap owt morf edam eb ot si ylbmessa nAton deen X ,dehsilop nevig era srossecederp rieht htiw rehtegot ytivitca fo secneuqes ehT .dehsilop eb

.woleb

ytivitcA noitpircseD rossecederP A redro krow nepO - B X rof lairetam teG A C Y rof lairetam teG A D ehtal no X nruT B E ehtal no Y nruT C,B F Y hsiloP E G sA Y dna X elbmes F,D H kcaP G

margaid krowten a warD

i j

tnevE tnevE

ytivitcA



.seitivitca dna stneve fo semit suoirav gnitaluclac rof snoitaton gniwollof eht redisnoC i tneve fo emit ecnerrucco tseilraE = iE

i tneve fo emit ecnerrucco tsetaL = iL )j,i( ytivitca rof emit trats tseilraE = jiSE

)j,i( ytivitca rof emit trats tsetaL = jiSL )j,i( ytivitca rof emit hsinif tseilraE = jiFE

)j,i( ytivitca rof emit hsinif tsetaL = jiFL )j,I( ytivitca fo noitarud = jiT

taolf latoT ht neewteb ecnereffid ehT .emit noitarud ytivitca dna ytivitca eht mrofrep ot elbaliava emit mumixam e

taolf eerF rof emit noitelpmoc tseilrae dna ytivitca rosseccus eht rof emit trats tseilrae eht neewteb ecnereffid ehT

.noitaredisnoc rednu ytivitca taolf tnednepednI

cnereffid ehT rosseccus eht dna emit elbissop tsetal sti ta gnirrucco tneve rossecederp eht neewteb e.emit elbissop tseilrae sti ta tneve

.1 .worra eht gnola era seitivitca rof setamitse emit eerht ehT .woleb nwohs krowteN eht redisnoC

i tahW .htap lacitirc eht enimreteD ?syad 02 ni detelpmoc eb lliw tcejorp eht taht ytilibaborp eht s

3-4- 11 5.0 -1- 5.7 6-7-8

2-2- 0 8 -0- 4 0 -6-8

1- 5.1 - 1 11 - 5.2 - 7 1-2- 3

4

2

3

1

5

6 7 8

1 2

4

3

5 6



6=lt,6=eT

5 2

3=lt 7 3=et 0=et 6 91=et

3 91=lt 3 31=lT

0=lT 3 31=et 2

6=eT 6=lT

pt([=V - ]6/)ot 2 80.2=

sT=z - /eT

84.0=Z %44.86 = ytilibaborP .veD dtS morF

krowten eht gnihsarC gnihsarc tcejorP

it noitelpmoc tcejorp eht ecuder ot deyolpme si gnihsarC rof ecniS .secruoser artxe gnidneps yb em.tniop hsarc timil siht llac ew ,yletinifedni decuder eb ton yam emit ,snosaer lacinhcet

tsoc hsarc( = epols tsoC - emit lamron(/)tsoc lamron – )emit hsarc :elpmaxE

na emit lamron no atad sevig elbat gniwollof ehT .tcejorp a rof tsoc dna emit hsarc dna tsoc d

ytivitcA lamroN

hsarC

)skeew(emiT tsoC )skeew(emiT tsoC 1-2 3 003 2 004 2-3 3 03 3 03 2-4 7 024 5 085 2-5 9 027 7 018 3-5 5 052 4 003 4-5 0 0 0 0 5-6 6 023 4 014 6-7 4 004 3 074 6-8 31 087 01 009 7-8 01 0001 9 0021

1

3

6 5

4

2



lamitpo eht enimreted dna yllacitametsys seitivitca tnaveler eht hsarC .keew rep 05 sR si tsoc tceridnI.tsoc dna emit noitelpmoc tcejorp

21=lt,01=eT 22=lt,22=et

3=et 0=eT 21=et 81=lt,81=et 3=lt 0=lT 21=lt

7=lt,6=eT 23=et

23=lt

01=4e 11=4l

01 4 6 0 7 3 0=1e 3=2e 9 71=6e 11=5e 0=1l 3=2l 31 71=6l 11=5l

5 3

6=3e 13=8l,13=8e

6=3l 5185 sR = tsoc latot wen

01=4e 91=7e 11=4l 91=7l

01

1 2

4

5

3

6

7

8

1 2

4

5

3

6

7

8

1 2

4

5 6

7



31 51=6e 11=5e 5 3 3=2e 01=1E

01=1L 3=2l 11=5l 51=6l

6=3l,6=3E 92=8e 92=8L

5085 sR = tsoc latot weN

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------

gnilevel ecruoseR ytivitcA emit lamroN ewop naM deriuqer r

0-1 2 4 1-2 3 3 1-3 4 3 2-4 2 5 3-5 4 3 3-6 3 4 4-7 6 3 5-7 6 6 6-8 5 2 7-9 4 2 8-9 4 9

)a .htap lacitirc eht dnif dna margaid krowten eht warD )b .tnemeriuqer rewopnam latot gnitsixe eht gnicuder rof ylbatius seitivitca eht egnarraeR

5

3 4

4

6 4

6 2 3 2 4

0 1

3

2

5

7 4

6 8

9



3 )3( 2 )5( 6 )3(

2 )4( 4 )3( 4 )3( 6 )6( 4 )2(

3 )4( 5 )2( 4 )9(

3 )4( 5 )2( 4 )9(

51 41 31 21 11 01 9 8 7 6 5 4 3 2 1 02 91 81 71 61 2 2 11 11 51 51 8 11 11 11 8 01 01 21 8 6 6 6 4 4

1 11 11 11 8 8 8 11 11 9 01 01 01 8 8 6 6 6 4 4 1 T .elpoep 11 ot decuder si rewop nam eht suh

ledoM slortnoC yrotnevnI citsinimreteD

eb yam secruoser hcuS .eulav cimonoce sah ecruoser a sa hcus sedivorp dnik yna fo ecruoser eldi nA

seirogetac eerht otni deifissalc

)i( m war sa hcus secruoser lacisyhP imes ,slaireta - ,strap eraps ,sdoog dehsinif ,sdoog dehsinif

.cte

)ii( .)rewop nam( robal desunu sa hcus secruoser namuH

)iii( .cte ,latipac gnikrow sa hcus ecruoser laicnaniF

oc ecnalab ot redro ni ytitnauq redro mumitpo eht gnidnif rof )QOE( ytitnauq redro cimonocE ot sts

.yltneuqerf oot seititnauq llams ni gniredro fo taht tsniaga kcots hcum oot gnidloh fo stsoc ecnalab

).etinifnI etar noitcudorp mrofinU etaR dnameD( )a( 1 :ledoM

R - etaR dnameD

C 3 – C( noitcudorp rep tsoc puteS p)

.orez si emit daeL

C1 – oh fo tsoc C( .tinu eno gnidl h)

,lavretni mumitpO

T0 C2(trqS = 3 C/ 1 )R



,ytitnauQ mumitpO

Q0 tR= 0 C2(trqS= 3 C/R 1)

tsoc egarevA muminiM

C0 C2(trqS = 1 C. 3 )R

:elpmaxE

gnidloh eht dna 001.sR si tnemerucorp eno fo ehT .raey/stinu 0009 fo dnamed a sah meti ralucitrap A

c .dewolla era segatrohs on & suoenatnatsni si tnemecalper ehT .raey rep 042.2.sR si tinu rep tso

,enimreteD

)i( ,ezis tol cimonocE

)ii( ,raey rep sredro fo rebmuN

)iii( ,sredro neewteb emiT

)vi( 1eR si tinu eno fo tsoc eht fi raey rep tsoc latot ehT

noituloS

raey/stinu 000,9=R

C3 ,tnemerucorp/ 001 .sR =

C1 raey/tinu/ 04.2 sR =

)i( q0 C2(trqS = 3 C /R 1 tnemerucorp/stinu 668 = )04.2/0009*001*2(trqS = )

)ii( N0 C(trqS= 1 C2/R 3 raey/sredro 4.01 =))001*2(/0009*04.2(trqS = )

)iii( T0 N/1 = 0 .tnemerucorp neewteb sraey 2690. = 4.01/1=

)vi( C0 C2( trqS+0009= 1C3 =)R raey/ 08011 sR= )0009*001*04.2*2(trqS+0009

)dewollA segatrohs ,etinifnI ,etaR noitcudorP ,mrofinU etaR dnameD( )a( 2 :ledoM

. egatrohs gniwolla )a(1 ledom fo noisnetxe eht tsuj si ledom sihT

C 2 – C ( .emit tinu rep meti rep tsoc egatrohS s )

elpmaxE

evloS osla si egatrohs fo tsoc eht melborp eht taht nevig atad eht ot noitidda ni melborp suoiverp eht

.raey rep tinu rep 5.sR sa nevig

noituloS



0009=R

C 3 tnemerucorp/ 001 sR =

C1 tnemerucorp/tiu/ 04.2 sR =

C 2 raey/tinu/ 5 sR =

q noitauqE morF )i( 0 C((trqS= 1 C + 2 C /) 2 C2(trqS * ) 3 C /R 1 * )5/)5+04.2((trqS=)

nur/stinu 3501= )4.2/)0009*001*2((trqS

C )ii( 0 I( m C(trqS+1*0009 = )q, 2 C( 2 C + 1 C2(trqS*)) 1C3 raey/ 01701 = )R

raey/sredro fo rebmuN)iii(

N0 55.8 = 3501/0009=

,sredro neewteb emiT)vi(

t0 N/1= 0 raey 711.0= 55.8/1=

elpmaxE

si 004 .sR tsoc dexif a ,decalp si redro na emit yrevE .yad rep stinu 001 si ytidommoc a rof dnamed ehT

tol cimonoce eht enimreted ,syad 31 si emit dael eht fI .yad rep tinu rep 80.0 sR si tsoc gnidloH .derrucni

roer eht & ezis tniop red

noituloS

C2(trqS=0Q 3 C /R 3 .stinu 0001 = )80.0/001*4*2(trqS=)

t elcyc eht fo htgneL 0 .syad 01= 001/0001 =

fo evel eht nehw rucco dluohs gnidrocer ,syad 01 si htgnel elcyc eht & syad 31 si emit dael eht sA

amed eht yfsitas ot tneiciffus si yrotnevni 31 rof dn - syad 3 = 01

.stinu 003 = 3*001= tniop redroeR

esuaceb si tI .syad 31 naht rehtar syad 3 ot lauqe nekat si emit dael ’evitceffe‘ eht taht deton eb yam tI

t naht regnol si emit dael eht 0.

noN etaR dnameD( )b(1ledoM - tinifnI etaR noitcudorp ,mrofinu )e

mrofinu fo daetsni taht noitpecxe eht htiw )a(1 ledom ni sa emas era snoitpmussa lla dohtem siht nI

,suhT .T doirep emit gnol emos gnirud deifsitas eb ot ,D tnuoma latot emos nevig era ew ,R etar dnamed

noitcudorp tnereffid ni tnereffid era setar dnamed snur

q ezis toL lamitpO 0 C2(trqS = 3 C/)T/D( 1 )

C ,tsoc latot muminim dnA 0 C2(trqS = )q( 1C3 ))T/D(

etar dnamed egareva yb decalper si )a(1 ledom ni R etar dnamed mrofinu eht taht deton eb nac ti ,ereH

.T/D

elpmaxE



strap 0009 sesahcrup ynapmoc gnirutcafunam A eno gniredro ,stnemeriuqer lautca sti rof enihcam a fo

era eht dna 51.sR si redro rep tsoc gniredro eht .02.sR stsoc trap hcaE .emit a ta tnemeriuqer s’htnom

gnisahcrup lacimonoce erom a tseggus ot deksa neeb evah uoY .raey rep yrotnevni egareva eht fo %51

?raey rep ynapmoc eht evas ti dluow hcum woh & reffo uoy dluow ecivda tahW .ynapmoc eht rof ycilop

noituloS

0009=D

C3 51=

C0 51=

C1 seirotnevni ni tnemtsevni eht fo %51=

raey rep 03.sR = 51.0 fo 02=

C2(trqS=eziS lamitpO 3 C/)T/D( 1 .stinu 003=)

rqS=tsoC latoT C2(t 1C3 009sR=))T/D(

etinif taht noitcudorp ,mrofinu etar dnameD )c(1 ledoM

,emit tinu rep deriuqer smeti fo rebmun = R

,emit tinu rep decudorp smeti fo rebmun = K

0

1

300

21

11

30

.

2.

.2

.2

qK

RKRC

CRK

KRq

t

KRKRCC

RKKR

cC

q

omI yrotnevni .xam

,lavretniemiT

tsocegarevamumitpO

eziS toL mumitpO

:elpmaxE

meti na rof raey/stinu 000,21 fo dnamed a sah ynapmoc A rep smeti hcus 000,2 ecudorp nac ti dna

mumitpo eht dnif .51.0 .eR si htnom/tinu/tsoc gnidloh eht dna 004 .sR si putes eno fo tsoc ehT .htnom

mumixam eht dnif ,osla .4 .sR sa tinu 1 fo tsoc eht gnimussa ,raey rep tsoc latot eht dna ezis tol

nam ,yrotnevni .emit latot dna emit gnirutcafu

:noituloS

raey/stinu 000,21 = R

rae/stinu 000,42 = 21 * 000,2 = K



C3 004 .sR =

C1 raey/tinu/08.1 .sR = 21 * 51.0 .sR =

sraeyRq

t

raeyRK

It

stinuqK

RK

raeyK

RKRCC

putesstinuRK

KRcC

q

om

272.0000,21462,3

631.0000,21

236,1)(

236,1462,3000,42

000,21000,42.

/049,05000,42000,21000,210048.12000,84.24000,21

/462,3000,21

000,42000,218.1

004*2.2

00

1

0

31

11

30

,lavretniemiT

emit gniutcafunam

omI yrotnevni .xam

tsocmumitpO

eziS toL mumitpO

t ,dewolla segatrohs ,etinifni etaR noitcudorp ,mrofinu etaR dnameD )b(2 ledoM dexif lavretnI emi

yb nevig si ytitnauq sredro mumitpO tRCC

CqCC

Co ..mI21

2

21

2

yb nevig si emit tinu rep tsoc egareva muminim ehT tRCC

CCoC ..21)mI(

21

21

elpmaxE

ieb si tsoc ytlanep A .yad rep stinu 52 fo etar tnatsnoc a ta deilppus eb ot si ytidommoc A a ta degnahc gn

eht gniyrrac fo tsoc ehT .etad yreviled deludehcs eht gnissim rof etal yad rep tinu rep 01 .sR fo etar eht

03(htnom hcae taht hcus si ssecorp noitcudorp ehT .htnom rep tinu rep 61 sR si yrotnevni ni ytidommoc

rats si smeti fo hctab a )syad dniF .htnom eht fo dne eht retfa emit dna yreviled rof elbaliava era dna det

.htnom hcae fo gninnigeb eht ta yrotnevni fo level lamitpo eht

:noituloS

evah ew ,snoitaton lausu ni melborp eht fo atad eht morF

yad/stinu 52 = R

C1 tinu rep 35.0 = 03/61 sR = yad rep

C2 yad rep tinu rep 01 sR =

syad 03 = T



= yb nevig si level yrotnevni lamitpo ehT stinu21703520135.0

01

dewolla egatrohs ,etinif etaR noitcudorp ,mrofinu etaR dnameD )c(2 ledoM

om ni sa snoitpmussa emas eht sah ledom sihT .etinif si etar noitcudorp taht tpecxe )a(2 led

elpmaxE

5.21 elpmaxe fo stluser eht dniF – segatrohs fo tsoc eht melborp taht ni nevig etad eht ot noitidda ni fi 2

.raey rep tinu rep 5 .sR sa nevig osla si

noituloS

raey/stinu 000,9 = R

C3 ucorp / 001 .sR = ,tnemer

C1 raey/tinu / 04.2 .sR =

C2 raey/tinu /5 .sR =

raeyvi

Niii

sraeyRCCCC

CqoCii

CRC

CCCqi o

711.055.8

1)

55.835010009,)

0170100090014.2254.2

50009210009),mI()

35014.2

00090012.5

504.22.)

0

3121

2

1

3

2

21

0N1

o

t ,sredro neewteb emiT

raey/sredro fo rebmuN

:setoN



TINU - IIV

yroehT emaG

owt era ereht erehW .noitautis evititepmoc a ni gnikam noisiced eriuqer smelborp lacitcarp ynaMtcilfnoc htiw seitrap etisoppo erom ro eno eht nopu sdneped eno fo noitca eht erehw dna stseretni gni

.tnenoppo eht yb nekat .seitreporp gniwollof eht sah ti fi emag sa dellac eb lliw snoitautis evititepmoC

.1 .sreyalp dellac srotitepmoc fo oN etinif era erehT

.2 rts fo oN etinif ot sah reyalp hcaE .mih ot elbaliava seigeta

.3 .ygetarts sih seeyolpme reyalp hcae ni ecalp sekat emag eht fo yalp A

.4 .semoc tuo na ni tluser emag yrevE

snosrep 2 - orez - mus - emag - snosrep 2 dellac si ,emag a gniyalp srotitepmoc 2 era ereht nehw.emag

.1 yb emag gniwollof eht evloS

.a niM - .dohteM elpicnirP xaM

.b ecnanimoD - .dohteM B reyalP

1B 2B 3B 4B 1A 1 7 3 4 2A 5 6 4 5 3A 7 2 0 3

:noituloS

niM .1 - :dohteM elpicnirP xaM

:petS ( kcit tuP.1 \ woR hcae eht fo oN muminim eht ot ) / nmuloC hcae eht fo xaM ot + tuP .2 fitnedI .3 steem slobmys htob erehw tnemele eht y

B reyalP 1B 2B 3B 4B

1A 1\/ +7 3 4 2A 5 6 4\ +/ +5 3A +7 2 0\/ 3

si emag eht fo eulav eht dna 3B si B reyalp dna 2A si A reyalp rof ygetartS lamitpo ehT 4

:dohteM elpicnirp ecnanimoD .2

B reyalP 1B 2B 3B 4B

1A 1 7 3 4 2A 5 6 4 5



3A 7 2 0 3

:spetS .1 .sroirefnI nosirapmoC woR .2 .roirepuS nosirapmoc nmuloC

.1 3 fo stnemele gnidnopserroc ot roirepus era nmuloc dnoces eht fo stnemele ehT dr os nmuloc

.nmuloc II eteled :si xirtam desiver ehT

B reyalP :loS 1B 3B 4B

1A 1 3 4 2A 5 4 5 3A 7 0 3

.2 )1A( wor I eteleD oS swor II fo stnemele gnidnopserroc ot roirefni era wor I fo stnemele ehT

:si xirtam desiver ehT B reyalP :loS

1B 3B 4B 2A 5 4 5 3A 7 0 3

.3 .1B eteleD 3B ot roirepus si 1B

: si xirtam desiver ehT oS B reyalP :l

3B 4B 2A 4 5 3A 0 3

2A ot roirefni si 3A .4 – 3A eteleD

: si xirtam desiver ehT B reyalP :loS

3B 4B 2A 4 5

.4 4B eteleD 3B ot si roirepus si 4B

: si xirtam desiver ehT B reyalP :loS

3B 2A 4

si A reyalp rof ygetarts lamitpo ehT 3B si B dna 2A si emaG eht fo eulaV ehT 4

.2 .emag gniwollof eht evloS

B reyalP



I II III VI I 3 2 4 0 II 3 4 2 4 III 4 2 4 0

VI 0 4 0 8

:noituloS .1 niM - :dohteM xaM

B reyalP I II III VI I 3 2 +4 0\/ II 3 +4 2\/ 4 III +4 2 +4 0\/

VI 0\/ 4+ 0\/ +8 .tniop elddas eht sessop ton seod emaG neviG ehT

.2 :dohteM ecnanimoD

B reyalP I II III VI I 3 2 4 0 II 3 4 2 4 III 4 2 4 0

VI 0 4 0 8

.1 1A eteleD oS wor IIIA fo stnemele gnidnopserroc eht ot roirefni era wor 1A fo stnemelE ehT am desiver ehT si xirt

B reyalP I II III VI II 3 4 2 4 III 4 2 4 0

VI 0 4 0 8 IB eteled oS IIIB ot roirepus si 1B si xirtam desiver ehT

B reyalP II III VI II 4 2 4 III 2 4 0

VI 4 0 8 4 2 3

a ehT fo stnemele gnidnopserroc eht ot roirefni era 8+0 ,0+4 ,4+2 e.i swor VIA & IIIA fo egarev wor eteled oS IIA

si xirtam desiver ehT B reyalP

II III VI II 4 2 4



IIIB ot roirepus si IIB – )nmuloc( IIB eteleD si xirtam desiver ehT

B reyalP III VI II 2 4

VIB eteled oS IIIB ot roirepus si VIB

si xirtam desiver ehT III II 2

si eulav eht IIIB=B dna IIA=A reyalp si ygetarts lamitpo ehT 2

elddas tuohtiw semaG – tniop : rebmemer ot tnioP

.1 eno gnicuder yb lauqe ti ekam lauqe ton era nmuloc & wor eht fI .nmuloc ro wor rehtie

.2 eb ton dluohs 2q,1q &,2P,1P fo seulav ehT – .oreZ sa deredisnoc eb lliw eulav sti ,os fI .ev

.3 x 2( )3 x 2( :xE xirtam nevig eht gnicuder yb sreyalp htob fo ygetarts mumitpo eht enimreted oT) 2

.4 oN ssel htiw gniyalp si A reyalp eht fi xaM esoohc neht B naht seigetarts fo - .elpicnirp niM

.5 niM esoohc neht B naht seigetarts fo oN naht erom htiw gniyalp si A reyalp eht fi - .elpicnirP xaM

.6 xaM( tniop lamitpo ehT - .2B & 1B yb detcesretni P @ si ) tniop nim yap esohw emaG eht evloS - xirtam ffo si 1B 2B 3B 4B

1A 3 2 4 0 2A 3 4 2 4 3A 4 2 4 0 4A 0 4 0 8

: noituloS

:xirtam evobA eht morF 1A eteled os 3A ot roirefni si 1A

si xirtam desiver ehT 1B 2B 3B 4B

2A 3 4 2 4 3A 4 2 4 0 4A 0 4 0 8

1B eteled os 2B ot roirepus si 1B

2B 3B 4B A2 4 2 4

3A 2 4 0 4A 4 0 8

2B eteled os snmuloc 4B & 3B egareva eht ot roirepus si nmuloc 2B



:si xirtam desiver ehT 3B 4B

2A 2 4 3A 4 0 4A 0 8

4A eteled os swor 4A dna 3A fo egareva eht ot roirefni si 2A

:si xirtam desiver ehT 3B 4B

43A 0 4A 0 8

.tniop elddas on sah semag eht rehtruF 3B 4B

3A 11a 21a 4A 12a 22a

taht hcuS .2P & 1P seitilibaborp htiw 4A ,3A seigetarts sih sesoohc A sreyalp eht teL .1=2P+1P

seigetarts sih sesoohc B reyalp ylralimiS 4B+3B seitilibaborp htiw 2q& 1q , taht hcus .1=2q+1q

alumroF =1P 22a - 12a

22a+11a - )12a+21a(

=1q 22a - 21a 22a+11a - )12a+21a(

=emaG eht fo eulaV 22a x 11a - 12a x 21a

22a+11a - )12a+21a(

=1P 22a - 12a 22a+11a - )12a+21a(

= 8-0

8+4 - 0+0( )

= 8 21

76.0=

1=2P teg ew etutitsbus ew nehw os 760=1P fo eulav eht wonk eW 1=2P+1P - 33.0=2P 760

=1q 22a - 21a 22a+11a - )12a+21a(



= 8-0 8+4 - )0+0(

= 8 21

760=

1=2q - 1=2q 1q - 76.0 33.0=2q

G eht fo eulaV = ema 22a x 11a - 12a x 21a

22a+11a - )12a+21a( = 8 x 4 – 0 x 0 8+4 - )0+0( = 23 21 =8 3 76.2=

)2p ,1p ,0 ,0(= A reyalP rof ygetarts lamitpO ,76.0 ,0 ,0(= )33.0

q ,1q ,0 ,0(=B reyalp rof ygetartS lamitpO )2 ,76.0 ,0 ,0(= )33.0 76.2= eulaV

.2 :si xirtam ffo yap esohw emag eht evloS

1B 2B 3B 4B 5B 6B 1A 1 3 -1 4 2 -5 2A -3 5 6 1 2 0

:noituloS 1B 2B 3B 4B 5B 6B

1A 1 3 -1 4 2 -5 2A -3 5 6 1 2 0

deteled era snmuloc roirepuS llA .xirtam desiver stnemele gnidnopserroc ot nosirapmoc yb 1B 6B



1A 1 -5 2A -3 0

=1P 22a - 12a

22a+11a - )12a+21a(

=1q 22a - 21a 22a+11a - )12a+21a(


22a+11a - )12a+21a(

=1P 2a 2- 12a 22a+11a - )12a+21a(

= 0-(- )3 )0+1( -(- +5 - )3 =3 9

1 =2p , 33.0 - 1=2p 1p - 760=83.0

=1q 22a - 21a 22a+11a - )12a+21a(

= 0-(- )5

9

= 5 9

1=2q ,65.0= - 1=2q 1q - 44.= 65.0

emaG eht fo eulaV


22a+11a - )12a+21a( = )0 x 1( – ( - x 5 - )3 )0 + 1( -(- +5 - )3 =0- 51+ 1-(- )8

76.1=



1A 2B 1B 2A 7 6 5 4 3 2 1

7 6 5 4 3 2 1

7 6 5

P 4 3 2 1

7 6 5 4 3 2 1

-1 -2 - 3p -4 -5 -6 -7

-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7

-1 -2 - 3 -4 -5 -6 -7

-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7



TINU - IIIV

gnimmargorP regetnI

:srotcaf owt fo esuaceb sesira melborp tnemecalper ehT

.1 eb ton yam ti dna sevil evitceffe rieht deviltuo evah yam stinu ro tinu gnitsixe eht ,tsriFlacimonoce .noitazinagro eht ni eunitnoc ot meht wolla ot

.2 .esiwrehto ro tnedicca hguorht deyortsed neeb evah yam stinu ro tinu gnitsixe eht ,dnoceS erom dneps ot seriuqer ti ,rieht ot gnidrocca gnisaerced no og ycneiciffe esohw smeti fo esac eht nI

tnuocca no yenom hcus nI .cte ,parcs desaercni ,tsoc riaper desaercni ,tsoc gnitarepo desaercni fo desaercni hcus tneverp ot evitanretla ylno eht si eno wen htiw meti dlo na fo tnemecalper eht sesac

mecalper hcihw ta ega na enimreted ot yrassecen semoceb ti ,suhT .sesnepxe lacimonoce erom si tne esac eht ni deretnuocne era stnemecalper fo smelborp ehT .tsoc desaercni ta eunitnoc ot naht rehtar ta htaed fo ecnahc eht etamitse ot elbissop si ti ytilibaborp gniylppa yB .senihcam dna nem htob fo

.sega suoirav

emecalper fo sepyT :smelborp tn .1 a ni sesub ,sloot senihcam .g.e ,emit htiw esrow semoceb taht tnempiuqe latipac fo tnemecalpeR

cte ,senalp ,noitazinagro tropsnart .2 .cte ,sebut oidar ,sblub thgil .g.e ,yletelpmoc liaf hcihw smeti fo tnemecalper puorG .3 dna ytilatrom fo smelborP .gniffats .4 .smelborp suoenallecsiM

era stsoc ecnanetniam ehT .001 sR ylno si eulav parcs sti dna 0016 sR si enihcam fo tsoc ehT .1

:eb ot ecneirepxe morf dnuof raeY 1 2 3 4 5 6 7 8

ntM -tsoC

001 052 004 006 009 0521 0061 0002

eb enihcam eht dluohs nehW ?ecalper

:noituloS

,tsriF .swollof sa enihcam eht fo efil eht gnirud raey rep tsoc egareva na dnif gniwollof eht ni dezirammus eb yam snoitatupmoc esehT

ta ecalpeR fo dne eht)n( raey eht

ecnanetniaMna tsoc

latoT ecnanetniam

tsoc

ecnereffiD ecirP w/b

a elaseR dnecirp

tsoc latoT tsoc egarevA

)n( nR ∑ c( - )s ])n(p[ n/)n(P 1 001 001 0006 0016 0016 2 052 053 0006 0536 5713 3 004 057 0006 0576 0522 4 006 0531 0006 0537 05.7381 5 009 0522 0006 0528 0561 6 7

0521 0061

0053 0014

0006 0006

0059 00111

33.3851 17.5851



eht taht devresbo si ti ereH 7 eht ni tsoc ecnanetniam ht tsoc egareva eht naht retaerg semoceb raey6 fo dne eht ta decalper eb dluohs enihcam eht ecneH .sraey 6 rof ht .raey

enihcam a gniniatniam fo raey rep stsoc eht taht sdrocer tsap sih morf sdnif renwo enihcaM .2

esahcrup esohw :woleb nevig sa era 0006 sR si ecirp raeY 1 2 3 4 5 6 7 8 ntMtsoC

0001 0021 0041 0081 0032 0082 0043 0004

elaseRecirp

0003 0051 057 573 002 002 002 002

?eud tnemecalper a si ega tahw tA

:noituloS eht ta ecalper eb dluohs enihcam eht ,1 elpmaxe ni sA eht esuaceb ,raey htfif eht fo dne6 eht ni tsoc ecnanetniam ht .sraey 5 rof tsoc egareva eht naht retaerg semoceb raey

.enihcam eht fo efil eht gnirud raey rep tsoc egareva eht ereH

ta ecalpeR fo dne eht

)n( raey

ecnanetniaMtsoc

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tsoc

ecnereffiD ecirp w/b elaser dna

ecirp

tsoc latoT tsoc egarevA

`)n( nR nR∑ c( - )ns )n(P n/)n(P 1 0001 0001 0003 0004 0004 2 0021 0022 0054 0076 0533 3 0041 0063 0525 0588 0592 4 0081 0045 5265 52011 6572 5 0032 0077 0085 00531 0072 6 0082 00501 0085 00361 7172

qe gnildnah lairetam a dereffo si ynapmoc gnireenignE nA .1 .000,06.sR ta decirp si A .A tnempiu

000,01 .sR eb ot detamitse era ecnanetniam dna noitarepo rof tsoc eht dna ;noitallatsni fo tsoc gnidulcni tneuqesbus dna htxis eht ni raey rep 000,3.sR yb raey yreve gnisaercni ,sraey evif tsrif eht fo hcae rof

T .sraey tnemecalper lamitpo eht si tahW .tnemtsevni sti lla no %01 fo nruter a stcepxe ynapmoc eh?doirep

n raeY gninnuRnR tsoc

evitalumuC gninnur

tsoc

noitaicerpeDtsoc

CT CTA

)1( )2( )3( )4( )4+3( )1(/)5( 1 000,1 000,1 00054 00064 00064 2 000,11 00021 00054 00075 00582 3 000,12 00033 00054 00087 00062 4 000,13 00046 00054 000901 05272 5 000,14 0001501 00054 000051 00003 6 000,15 000651 00054 00010,2 00533

n raeY gninnuRnR tsoc

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tsoc )1( )2( )3( )4( )4+3( /)5( )1(

1 000,2 000,2 00005 00025 00025 2 000,6 0008 00005 00085 00092 3 000,01 00081 00005 00086 76622 4 000,41 00023 00005 000928 00502 5 000,81 00005 00005 000001 00002 6 000,22 00027 00005 000,22,1 33302

yb decalper eb dluohs A

atnoc retupmoc A .2 tsoc ehT .decalper si ti ,sliaf rotsiser yna nehW .srotsiser 000,01 sni eht ta decalper era srotsiser eht lla fI .ylno 1.eR si yllaudividni rotsiser a gnicalper fo fo egatnecrep ehT .esiap 53 ot decuder eb dluow rotsiser rep tsoc eht ,emit emas eruliaf fo ytilibaborp eht )t(P dna t htnom fo dne eht ta )t(S yas srotsiser gnivivrus :era t htnom eht gnirud

T 0 1 2 3 4 5 6 )t(S 001 79 09 07 03 51 0 )t(P - 30.0 70.0 02.0 04.0 51.0 51.0

?nalp tnemecalper lamitpo eht si tahW

01=oN 000, 003=1N 907=2N 2402=3N 1714=4N 0302=5N 0952=6N

shtnom 20.4 = efil detcepxE srotsiser 8842 = seruliaF gvA

htnom fo dnE CT CTA 1 008,3 00,083 2 905,4 05.4522 3 155,6 66.3812 4 227,01 5.0862 5 257,21 04.0552 6 244,51 00.7552

sR stsoc A enihcaM .3 raey tsrif eht rof 0001.sR ta detamitse era stsoc gnitarepo eht dna 000,54. dna 000,05.sR stsoc B enihcaM .sraey tneuqesbus dna dnoces eht ni raey rep 000,01.sR yb gnisaercni

es eht ni 000,4.sR yb gnisaercni ,raey tsrif eht rof 000,2.sR era stsoc gnitarepo tneuqesbus dna dnoc htob taht emussA ?nehw os fI ?B htiw ti ecalper ew dluohs ,A epyt fo enihcam a evah won ew fI .sraey

.detnuocsid ton era stsoc erutuf dna eulav elaser on evah senihcam

n raeY gninnuR detnuocsiD nD nR - evitalummuC C evitalummuc+ C )n(W



nR tsoc nD rotcaf -1 1 )1( )2( )3( )3(*)2( )5( )5(+000,06 )7( )7(/)6(

1 000,01 909. 090,9 090,9 090,96 909. 291,63 2 000,01 628. 062,8 053,71 053,77 537.1 282,82 3 000,01 757. 015,7 068,42 068,48 684.2 343,42 4 000,01 386. 038,6 096,13 096,19 961.4 99,12 3 5 000,01 126. 012,6 009,73 009,79 097.4 834,02 6 000,31 465. 233,7 232,54 232,50,1 453.5 556,91 7 000,61 315. 802,8 044,35 044,31,1 768.5 533,91 8 000,91 664. 458,8 492,26 492,22,1 333.6 113,91 9 000,22 424. 823,9 226,17 226,13,1 757.6 974,91 01 52 000, 583. 056,9 742,18 742,14,1 241.7 777,91

Date post:	29-May-2015
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Mech vii-operation research [06 me74]-notes

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