MECN 4110 Inter - Bayamon Lecture 2 Mechanisms Design MECN 4110 Professor: Dr. Omar E. Meza Castillo...

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LectureLecture

22Mechanisms DesignMechanisms Design

MECN 4110 MECN 4110

Professor: Dr. Omar E. Meza CastilloProfessor: Dr. Omar E. Meza [email protected]

http://www.bc.inter.edu/facultad/omeza

Department of Mechanical EngineeringDepartment of Mechanical Engineering

Inter American University of Puerto RicoInter American University of Puerto Rico

Bayamon CampusBayamon Campus

Lecture 2Lecture 2MEC

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Tentative Lectures ScheduleTentative Lectures Schedule

TopicTopic LectureLecture

Introduction of Mechanism and KinematicsIntroduction of Mechanism and Kinematics 1, 2 and 31, 2 and 3


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Kinematics FundamentalsKinematics Fundamentals

Topic 2: Mechanism and Topic 2: Mechanism and KinematicsKinematics

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One thing you learn in science is that One thing you learn in science is that there is no perfect answer, no perfect there is no perfect answer, no perfect measure.measure.

A. O. BeckmanA. O. Beckman


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Course ObjectivesCourse Objectives

Up on completion of this chapter, the Up on completion of this chapter, the student will be able tostudent will be able to Explain the need for kinematic analysis of Explain the need for kinematic analysis of

mechanism.mechanism. Define the basic components that comprise a Define the basic components that comprise a

mechanism.mechanism. Draw the kinematic diagram from a view of a Draw the kinematic diagram from a view of a

complex mechanism.complex mechanism. Compute the number of degrees of freedom of Compute the number of degrees of freedom of

a mechanism.a mechanism. Identify a four bar mechanism and classify it Identify a four bar mechanism and classify it

according to its possible motion.according to its possible motion. Identify a slider crank mechanism.Identify a slider crank mechanism.

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2.1 NUMBER SYSTHESIS2.1 NUMBER SYSTHESIS

The term The term number synthesis number synthesis has been coined to has been coined to mean mean the the determination of the number and order determination of the number and order of links and joints necessary to produce motion of links and joints necessary to produce motion of a particular DOFof a particular DOF. . Order in this context refers Order in this context refers to the number of nodes per link, i.e., binary, to the number of nodes per link, i.e., binary, ternary, quaternary, etc.ternary, quaternary, etc.

The value of The value of number synthesis number synthesis is to allow the is to allow the exhaustive exhaustive determination of determination of all possible all possible combinations of links combinations of links which will yield any chosen which will yield any chosen DOFDOF. .

This then equips the designer This then equips the designer with a definitive with a definitive catalog of potential linkages to solve a variety of catalog of potential linkages to solve a variety of motion control problems.motion control problems.

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Hypothesis: Hypothesis: If all joints are full joints, an odd If all joints are full joints, an odd number of DOF requires an even number of number of DOF requires an even number of links and vice versa.links and vice versa.

Proof:Proof: Given: All even integers can be Given: All even integers can be denoted by 2m or by 2n, and all odd integers denoted by 2m or by 2n, and all odd integers can be denoted by 2m - 1 or by 2n - 1, where can be denoted by 2m - 1 or by 2n - 1, where n and m are any positive integers. The n and m are any positive integers. The number of joints must be a positive integer.number of joints must be a positive integer.

Let: Let: L = number of links, J = number of joints, L = number of links, J = number of joints, and M = DOF = 2m (i.e., all even numbers)and M = DOF = 2m (i.e., all even numbers)

Then: Then: rewriting rewriting Gruebler's equation Gruebler's equation (Equation (Equation 2.1b) to solve for J,2.1b) to solve for J,


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Try: Try: Substituting M=2m, and L=2n (i.e., both Substituting M=2m, and L=2n (i.e., both any even numbers)any even numbers)

This cannot result in J being a positive integer This cannot result in J being a positive integer as requiredas required

Try: Try: M=2m-1, and L=2n-1 (i.e., both any odd M=2m-1, and L=2n-1 (i.e., both any odd numbers)numbers)

This also cannot result in J being a positive This also cannot result in J being a positive integer as requiredinteger as required


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Try: Try: M=2m-1, and L=2n (i.e., odd-even)M=2m-1, and L=2n (i.e., odd-even)

This is a positive integer for m>=1 and n>=2.This is a positive integer for m>=1 and n>=2. Try: Try: M=2m, and L=2n-1 (i.e., even-odd)M=2m, and L=2n-1 (i.e., even-odd)

This is a positive integer for m>=1 and n>2This is a positive integer for m>=1 and n>2

So, for our example of one-DOF mechanism So, for our example of one-DOF mechanism we can only consider combinations of 2, 4, 6, we can only consider combinations of 2, 4, 6, 8 … links8 … links


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Letting the order of the links be represented Letting the order of the links be represented by:by:

The total number of links in any mechanism The total number of links in any mechanism will be:will be:

Since Since two link nodes two link nodes are needed to make are needed to make one one jointjoint

and nodes and nodes


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ThenThen

Substitute J and L in the Gruebler’s equationSubstitute J and L in the Gruebler’s equation

The DOF is independent of number of ternary The DOF is independent of number of ternary link in the mechanism. But because each link in the mechanism. But because each ternary link has three nodes, it can only ternary link has three nodes, it can only create or remove 3/2 jointscreate or remove 3/2 joints


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2.2 PARADOXES2.2 PARADOXES

The Gruebler’s criterion pays no attention The Gruebler’s criterion pays no attention to link sizes or shapes, it can give to link sizes or shapes, it can give misleading results in the face of unique misleading results in the face of unique geometric configurations. geometric configurations.


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2.3 ISOMERS2.3 ISOMERS

The word The word isomerisomer is from the Greek and is from the Greek and means means having equal partshaving equal parts. .

Linkage isomers are analogous to Linkage isomers are analogous to chemical compounds in that the links (like chemical compounds in that the links (like atoms) have various nodes (electrons) atoms) have various nodes (electrons) available to connect to other link’s nodes.available to connect to other link’s nodes.


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2.4 LINKAGE TRANSFORMATION2.4 LINKAGE TRANSFORMATION

There are several transformation There are several transformation techniques or rules that we can apply to techniques or rules that we can apply to planar kinematic chains:planar kinematic chains:1.1. Revolute joints in any loop can be replaced Revolute joints in any loop can be replaced

by prismatic joints with no change in DOF by prismatic joints with no change in DOF of the mechanism, provided that at least of the mechanism, provided that at least two revolute joints remain in the loop.two revolute joints remain in the loop.

2.2. Any full joint can be replaced by half joint, Any full joint can be replaced by half joint, but this will increase the DOF by one.but this will increase the DOF by one.

3.3. Removal of a link will reduce the DOF by Removal of a link will reduce the DOF by one.one.

4.4. The combination of rules 2 and 3 above will The combination of rules 2 and 3 above will keep the original DOF unchanged.keep the original DOF unchanged.


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5.5. Any ternary or higher-order link can be Any ternary or higher-order link can be partially “shrunk” to a lower-order link by partially “shrunk” to a lower-order link by coalescing nodes. This will create a coalescing nodes. This will create a multiple joint but will no change the DOF of multiple joint but will no change the DOF of the mechanism.the mechanism.

6.6. Complete shrinkage of a higher-order link Complete shrinkage of a higher-order link is equivalent to its removal. A multiple is equivalent to its removal. A multiple joint will be created, and the DOF will be joint will be created, and the DOF will be reduced.reduced.


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A fourbar crank-rocker linkage A fourbar crank-rocker linkage transformed into the fourbar slider-crank transformed into the fourbar slider-crank by the application of rule #1.by the application of rule #1.


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A fourbar slider-crank transformed via A fourbar slider-crank transformed via rule #4 by the substitution of a half joint rule #4 by the substitution of a half joint for the coupler.for the coupler.


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A fourbar linkage transformed into a earn-A fourbar linkage transformed into a earn-follower linkage by the application of rule follower linkage by the application of rule #4. Link 3 has been removed and a half #4. Link 3 has been removed and a half joint substituted for a full joint between joint substituted for a full joint between links 2 and 4.links 2 and 4.


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(a) (a) shows the Stephenson's sixbar chain shows the Stephenson's sixbar chain transformed by transformed by partial shrinkage of a partial shrinkage of a ternary link (rule #5) to create a multiple ternary link (rule #5) to create a multiple joint. It is joint. It is still a still a one-DOF Stephenson's one-DOF Stephenson's sixbar.sixbar.


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(b) (b) shows the shows the Watt's sixbar chain from Watt's sixbar chain from with one ternary link with one ternary link completely shrunk completely shrunk to create a multiple joint.to create a multiple joint.


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2.5 INTERMITENT MOTION2.5 INTERMITENT MOTION

Is a sequence of motions and dwells. Is a sequence of motions and dwells. DwellDwell; is a period in which the output link ; is a period in which the output link remains stationary while the input link remains stationary while the input link continues to move.continues to move.


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2.6 INVERSION2.6 INVERSION

An inversion is created by grounding a An inversion is created by grounding a different link in the kinematic chain. Thus different link in the kinematic chain. Thus there are as many inversions of a given there are as many inversions of a given linkage as it has links.linkage as it has links.


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2.6 INVERSION – 2.6 INVERSION – All inversions of the Grashof fourbar linkage All inversions of the Grashof fourbar linkage


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2.7 THE GRASHOF CONDITION2.7 THE GRASHOF CONDITION

2.- Input Link

1.- Fixed Link

3.- Coupler Link

4.- Follower Link


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2.- Input Link

1.- Fixed Link

3.- Coupler Link

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The four bar linkage, shown in previous The four bar linkage, shown in previous slide, is a basic mechanism which is quite slide, is a basic mechanism which is quite common. Further, the vast majority of common. Further, the vast majority of planar one degree-of-freedom (DOF) planar one degree-of-freedom (DOF) mechanisms have "equivalent" four bar mechanisms have "equivalent" four bar mechanisms. The four bar has mechanisms. The four bar has two two rotating links ("levers") rotating links ("levers") which have fixed which have fixed pivots, (bodies 2 and 4 above). One of the pivots, (bodies 2 and 4 above). One of the levers would be an input rotation, while levers would be an input rotation, while the other would be the output rotation. the other would be the output rotation. The two levers have their fixed pivots The two levers have their fixed pivots with the with the "ground link"(body 1) "ground link"(body 1) and are and are connected by the connected by the "coupler link" (body 3)"coupler link" (body 3)..


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2.7 THE GRASHOF CONDITION2.7 THE GRASHOF CONDITION - Definitions - Definitions

Crank-Crank- a ground pivoted link which is a ground pivoted link which is continuously rotatable.continuously rotatable.

Rocker-Rocker- a ground pivoted link that is only a ground pivoted link that is only capable of oscillating between two limit capable of oscillating between two limit positions and cannot rotate continuously.positions and cannot rotate continuously.


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2.7 THE GRASHOF CONDITION2.7 THE GRASHOF CONDITION - Definitions - Definitions

Grashof Condition- Grashof Condition- is a very simple is a very simple relationship which predicts the rotation relationship which predicts the rotation behavior or behavior or rotabilityrotability of a fourbar of a fourbar linkage's inversions based only on the link linkage's inversions based only on the link lengthslengths

Let:Let: S=length of shortest linkS=length of shortest link L=length of longest linkL=length of longest link P=length of one remaining linkP=length of one remaining link Q=length of other remaining linkQ=length of other remaining link

Then if: Then if: S+L<=P+QS+L<=P+Q


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The linkage is The linkage is GrashofGrashof and at least one link and at least one link will be capable of making a full revolution will be capable of making a full revolution with respect to the ground plane. This is with respect to the ground plane. This is called a called a Class I kinematic chainClass I kinematic chain..

If the inequality is not true, then the If the inequality is not true, then the linkage is linkage is non-Grashofnon-Grashof and no link will be and no link will be capable of a complete revolution relative to capable of a complete revolution relative to any other link. This is a any other link. This is a Class II kinematic Class II kinematic chainchain..

The order of the assemble in the kinematic The order of the assemble in the kinematic chain in S, L, P, Q, or S, P, L, Q or any other chain in S, L, P, Q, or S, P, L, Q or any other order, will not change the Grashof order, will not change the Grashof condition.condition.


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The motions possible from a fourbar The motions possible from a fourbar linkage will depend on both the Grashof linkage will depend on both the Grashof condition and the inversion chosen. The condition and the inversion chosen. The inversions will be defined with respect to inversions will be defined with respect to the shortest link. The motions are: the shortest link. The motions are:

For the Class I caseFor the Class I case, , S + S + L < P + QL < P + Q:: Ground either link adjacent to the Ground either link adjacent to the

shortest and you get a shortest and you get a crank-rockercrank-rocker, in , in which the shortest link will fully rotate which the shortest link will fully rotate and the other link pivoted to ground and the other link pivoted to ground will oscillate.will oscillate.


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Ground the shortest link and you will Ground the shortest link and you will get a get a double-crankdouble-crank, in which both links , in which both links pivoted to ground make complete pivoted to ground make complete evolutions as does the coupler.evolutions as does the coupler.

Ground the link opposite the shortest Ground the link opposite the shortest and you will get a Grashof and you will get a Grashof double-double-rockerrocker, in which both links pivoted to , in which both links pivoted to ground oscillate and only the coupler ground oscillate and only the coupler makes a full revolution.makes a full revolution.


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For the Class II case, For the Class II case, S + S + L > P + QL > P + Q:: All inversions will be All inversions will be triple-rockerstriple-rockers in in

which no link can fully rotate.which no link can fully rotate.


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For Class III case, For Class III case, S+L = P+QS+L = P+Q All inversion will be either All inversion will be either double-double-

crankscranks, or , or crank-rockercrank-rocker


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For Class III case, For Class III case, S+L = P+QS+L = P+Q All inversion will be either All inversion will be either double-double-

crankscranks, or , or crank-rockercrank-rocker


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For Class III case, For Class III case, Special Grashof CaseSpecial Grashof Case


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2.8 LINKAGES OF MORE THAN FOUR BARS2.8 LINKAGES OF MORE THAN FOUR BARS

Geared Fivebar LinkagesGeared Fivebar Linkages


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2.8 LINKAGES OF MORE THAN FOUR BARS2.8 LINKAGES OF MORE THAN FOUR BARS

Sixbar LinkagesSixbar Linkages


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on ExampleExample

Statement:Statement: Find the Grashof condition and the Baker Find the Grashof condition and the Baker

classification.classification.

Solution:Solution: Grashof ConditionGrashof Condition

S + S + L < P + QL < P + Q

(12 + 32)<(26+30)(12 + 32)<(26+30)

44<5644<56

CRANK-ROCKERCRANK-ROCKER Baker ClassificationBaker Classification

Type 2, LType 2, L22=s=input=s=input

Class I-2, Baker’s designation Grashof crank-Class I-2, Baker’s designation Grashof crank-rocker-rocker, Code GCRR, also known as crank-rocker-rocker, Code GCRR, also known as crank-rocker.rocker.

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L2


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on Example– GRASHOF CONDITION - SOLIDWORKSExample– GRASHOF CONDITION - SOLIDWORKS

Examples of Grashof Criterion for Four-Bar Examples of Grashof Criterion for Four-Bar MechanismsMechanisms http://www.me.unlv.edu/~mbt/320/Grashof.

html Examples of links, planar joints in Examples of links, planar joints in

SolidWorksSolidWorks http://wahyu-tjakraningrat.blogspot.com/20

09/02/solidwork-planar-joints.html


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2.9 ROTABILIDAD2.9 ROTABILIDAD

Mecanismo de cuatro barrasMecanismo de cuatro barras


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NomenclaturaNomenclatura1.1. El eslabón 1, El eslabón 1, MN, cuya longitud es aMN, cuya longitud es a11, se , se

conoce como bastidor, marco conoce como bastidor, marco o o eslabón eslabón fijofijo..

2.2. El eslabón 2, El eslabón 2, MA, cuya longitud es aMA, cuya longitud es a22, se , se supone el motriz y se conoce supone el motriz y se conoce como como manivela, manivela, eslabón de entradaeslabón de entrada, motriz o , motriz o conductor.conductor.

3.3. El eslabón 3, El eslabón 3, AB, cuya longitud es aAB, cuya longitud es a33, se , se conoce como conoce como eslabón acopladoreslabón acoplador..

4.4. El eslabón 4, El eslabón 4, NB, cuya longitud es aNB, cuya longitud es a44, se , se conoce como seguidor, conoce como seguidor, eslabón eslabón de salida de salida o o conducido.conducido.


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Dependiendo de la capacidad de rotar de los Dependiendo de la capacidad de rotar de los eslabones motriz y conducido respecto a su eslabones motriz y conducido respecto a su eje de rotación, rotabilidad, los mecanismos eje de rotación, rotabilidad, los mecanismos de cuatro barras se clasifican en:de cuatro barras se clasifican en:1.1. Doble oscilatorio - double rocker - cuando Doble oscilatorio - double rocker - cuando

ambos eslabones únicamente pueden ambos eslabones únicamente pueden oscilar, obviamente, el ángulo de oscilacion oscilar, obviamente, el ángulo de oscilacion es menor a 360es menor a 360◦.◦.

2.2. Rotatorio oscilatorio - crank rocker - Rotatorio oscilatorio - crank rocker - cuando uno de los eslabones motriz o cuando uno de los eslabones motriz o conducido puede rotar, mientras que el conducido puede rotar, mientras que el otro solamente puede oscilar.otro solamente puede oscilar.

3.3. Doble rotatorio - double crank - cuando Doble rotatorio - double crank - cuando ambos eslabones pueden rotar.ambos eslabones pueden rotar.


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2.9 ROTABILIDAD – POSICIONES CRITICAS2.9 ROTABILIDAD – POSICIONES CRITICAS

La rotabilidad de los eslabones de entrada y salida La rotabilidad de los eslabones de entrada y salida de un mecanismo, esta íntimamente ligada a la de un mecanismo, esta íntimamente ligada a la aparición de ciertas posiciones conocidas como aparición de ciertas posiciones conocidas como posiciones criticas. Existen dos diferentes tipos de posiciones criticas. Existen dos diferentes tipos de posiciones criticas:posiciones criticas:1.1. Posición límite: Posición límite: Una posición límite para el eslabón Una posición límite para el eslabón

de salida, en un mecanismo de cuatro barras, ocurre de salida, en un mecanismo de cuatro barras, ocurre cuando el ángulo interior entre el eslabón acoplador cuando el ángulo interior entre el eslabón acoplador y el de entrada es de 180y el de entrada es de 180oo o 360 o 360oo; es decir, las ; es decir, las uniones M, A y B están en línea, vea la figura.uniones M, A y B están en línea, vea la figura.


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2.9 ROTABILIDAD – POSICIONES CRITICAS2.9 ROTABILIDAD – POSICIONES CRITICAS

2.2. Posición de puntos muertos: Posición de puntos muertos: Una posición de puntos Una posición de puntos muertos para el eslabón de salida, en un mecanismo muertos para el eslabón de salida, en un mecanismo de cuatro barras, ocurre cuando el ángulo interior de cuatro barras, ocurre cuando el ángulo interior entre el eslabón acoplador y el de salida es de 180entre el eslabón acoplador y el de salida es de 180oo o o 00oo, las uniones A, B y N están en línea, vea la figura., las uniones A, B y N están en línea, vea la figura.


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2.10 ANALISIS DE ROTABILIDAD2.10 ANALISIS DE ROTABILIDAD

Excepción del Criterio de Grubler:Excepción del Criterio de Grubler: La primera condición que un mecanismo de 4 barras La primera condición que un mecanismo de 4 barras

debe satisfacer es que el mecanismo pueda formarse debe satisfacer es que el mecanismo pueda formarse y moverse, la condición viene dada por:y moverse, la condición viene dada por:

Donde Donde aamm es la longitud del eslabón más grande y es la longitud del eslabón más grande y aaii es el eslabón del i-esimo eslabón.es el eslabón del i-esimo eslabón.

Si la relación es de igualdad el sistema es una Si la relación es de igualdad el sistema es una estructura. Si por el contrario, la relación es estructura. Si por el contrario, la relación es una desigualdad del tipo >, la cadena no puede una desigualdad del tipo >, la cadena no puede cerrarse.cerrarse.


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El objetivo de este análisis consiste en determinar El objetivo de este análisis consiste en determinar las relaciones que deben satisfacer las longitudes las relaciones que deben satisfacer las longitudes de los eslabones de un mecanismo plano de cuatro de los eslabones de un mecanismo plano de cuatro barras a fin de que el mecanismo sea doble barras a fin de que el mecanismo sea doble rotatorio; como un subproducto se mostraran las rotatorio; como un subproducto se mostraran las posiciones criticas que se producen cuando los posiciones criticas que se producen cuando los eslabones de entrada o salida solo oscilaneslabones de entrada o salida solo oscilan..PRIMERAS CONDICIONES: PRIMERAS CONDICIONES:

Intuitivamente debe reconocerse que las Intuitivamente debe reconocerse que las situaciones más comprometidas ocurren cuando situaciones más comprometidas ocurren cuando los eslabones de entrada y salida se alinean con el los eslabones de entrada y salida se alinean con el eslabón fijo; primero se analizaran las condiciones eslabón fijo; primero se analizaran las condiciones que aparecen cuando los eslabones de entrada y que aparecen cuando los eslabones de entrada y salida tratan de extenderse hacia el “exterior”.salida tratan de extenderse hacia el “exterior”.


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Eslabón de Entrada: Eslabón de Entrada:

La primera situación critica para el eslabón de La primera situación critica para el eslabón de entrada se muestra en la figura. De la desigualdad entrada se muestra en la figura. De la desigualdad del triángulo, se tienedel triángulo, se tiene

(1)(1)

Si se satisface esta condición, el eslabón dos podrá Si se satisface esta condición, el eslabón dos podrá tomar la posición θtomar la posición θ2 2 ==180180oo..


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Si, por el contrario, se satisface queSi, por el contrario, se satisface que

(2)(2)

Se presenta una posición de puntos muertos, un Se presenta una posición de puntos muertos, un ejemplo de esa posición se muestra en la siguiente ejemplo de esa posición se muestra en la siguiente figura. El ángulo para el cual ocurre esta posición figura. El ángulo para el cual ocurre esta posición esta esta dada pordada por


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Como puede observarse, las condiciones (1 y 2) no Como puede observarse, las condiciones (1 y 2) no son excluyentes y cuando se satisfacen ambas se son excluyentes y cuando se satisfacen ambas se obtiene queobtiene que


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El eslabón de entrada puede tomar la posición El eslabón de entrada puede tomar la posición θθ22=180=180oo; mas sin embargo, se presenta una posición ; mas sin embargo, se presenta una posición de puntos muertos que al mismo tiempo constituye de puntos muertos que al mismo tiempo constituye una posición limite. Esta posibilidad se muestra en la una posición limite. Esta posibilidad se muestra en la siguiente figura. Esta situación se repetirá en los siguiente figura. Esta situación se repetirá en los otros análisis pero en aras de una mayor otros análisis pero en aras de una mayor fluidez, no fluidez, no se volvera a mencionar.se volvera a mencionar.


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Eslabón de Salida: Eslabón de Salida:

La primera situación crítica para el eslabón de salida La primera situación crítica para el eslabón de salida se muestra en la siguiente figura. De la desigualdad se muestra en la siguiente figura. De la desigualdad del triángulo, se tienedel triángulo, se tiene

(3)(3)

Si se satisface esta condición, el eslabón 4 podrá Si se satisface esta condición, el eslabón 4 podrá tomar la posición θtomar la posición θ44==00oo..


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Si, por el contrario, se satisface queSi, por el contrario, se satisface que

(4)(4)

Se presenta una posición limite tal como la mostrada Se presenta una posición limite tal como la mostrada en la siguiente figura. El ángulo para el cual ocurre en la siguiente figura. El ángulo para el cual ocurre esta posición esta esta posición esta dada pordada por

Donde:Donde:


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A partir de identidades trigonométricas A partir de identidades trigonométricas puede probarse quepuede probarse que

Por lo tanto,Por lo tanto,


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SEGUNDAS CONDICIONES: SEGUNDAS CONDICIONES:

Las segundas condiciones más comprometidas Las segundas condiciones más comprometidas ocurren cuando los eslabones de entrada y salida ocurren cuando los eslabones de entrada y salida tratan de extenderse hacia el “interior” del tratan de extenderse hacia el “interior” del mecanismo. Es decir, cuando los eslabones de mecanismo. Es decir, cuando los eslabones de entrada y salida tratan de obtener las posiciones entrada y salida tratan de obtener las posiciones asociadas con asociadas con θθ22=0=0º º yy θθ44=180=180ºº respectivamente. respectivamente. Eslabón de Entrada: Eslabón de Entrada:

Deben distinguirse dos diferentes situaciones:Deben distinguirse dos diferentes situaciones: aa22 > a > a11: Considere el mecanismo plano de cuatro : Considere el mecanismo plano de cuatro

barras mostrado en la siguiente figura. La barras mostrado en la siguiente figura. La desigualdad del triangulo aplicado a los desigualdad del triangulo aplicado a los eslabones 3 y 4 conducen aeslabones 3 y 4 conducen a

(5)(5)

(6)(6)


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aa11 > a > a22: Considere el mecanismo plano de cuatro : Considere el mecanismo plano de cuatro barras mostrado en la siguiente figura. La barras mostrado en la siguiente figura. La desigualdad del triangulo aplicado a los eslabones 3 desigualdad del triangulo aplicado a los eslabones 3 y 4 conducen ay 4 conducen a

(7)(7)

(8)(8)


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Las cuatro ecuaciones (5, 6, 7 y 8) pueden resumirse Las cuatro ecuaciones (5, 6, 7 y 8) pueden resumirse enen

Si por el contrario, se tiene queSi por el contrario, se tiene que

Se presenta una posición de puntos muertos, un Se presenta una posición de puntos muertos, un ejemplo de la cual, cuando ejemplo de la cual, cuando aa44 > a > a3,3, se muestra en la se muestra en la siguiente figura.siguiente figura.

El ángulo para el cual ocurre esta posición esEl ángulo para el cual ocurre esta posición es


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Eslabón de Salida: Eslabón de Salida:

Deben distinguirse dos diferentes situaciones:Deben distinguirse dos diferentes situaciones: aa11 > a > a44: Considere el mecanismo plano de cuatro : Considere el mecanismo plano de cuatro

barras mostrado en la siguiente figura. La barras mostrado en la siguiente figura. La desigualdad del triangulo aplicado a los eslabones desigualdad del triangulo aplicado a los eslabones 2 y 3 conducen a2 y 3 conducen a


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(9)(9)

(10)(10)

aa44 > a > a11: Considere el mecanismo plano de cuatro barras mostrado : Considere el mecanismo plano de cuatro barras mostrado en la siguiente figura. La desigualdad del triangulo aplicado a los en la siguiente figura. La desigualdad del triangulo aplicado a los eslabones 2 y 3 conducen aeslabones 2 y 3 conducen a


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(11)(11)

(12)(12)

Las cuatro ecuaciones (9, 10, 11 y 12) pueden resumirse enLas cuatro ecuaciones (9, 10, 11 y 12) pueden resumirse en


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Si por el contrario, se tiene queSi por el contrario, se tiene que

Se produce una posición limite, semejante a la Se produce una posición limite, semejante a la mostrada en la siguiente figura, esta posición límite mostrada en la siguiente figura, esta posición límite ilustra la situación que ocurre cuando ilustra la situación que ocurre cuando aa33 > a > a22..

El ángulo para el cual ocurre esta posición esEl ángulo para el cual ocurre esta posición es

Resumiendo, las condicionesResumiendo, las condiciones


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aseguran la rotabilidad del eslabón 2, que se ha aseguran la rotabilidad del eslabón 2, que se ha supuesto es el motriz. El incumplimiento de estas supuesto es el motriz. El incumplimiento de estas condiciones o su cumplimiento en igualdad, conduce condiciones o su cumplimiento en igualdad, conduce a una posición de puntos muertos por cada a una posición de puntos muertos por cada condición.condición.


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Similarmente las condicionesSimilarmente las condiciones

aseguran la rotabilidad del eslabón 4. El incumplimiento de aseguran la rotabilidad del eslabón 4. El incumplimiento de estas condiciones o su cumplimiento en igualdad, conduce estas condiciones o su cumplimiento en igualdad, conduce a una posición limite por cada relación.a una posición limite por cada relación.

Bajo estas condiciones el mecanismo sería:Bajo estas condiciones el mecanismo sería:

1.1. Doble oscilatorio:Doble oscilatorio: Cuando sus longitudes no Cuando sus longitudes no satisfagan alguna o ambas de las condiciones satisfagan alguna o ambas de las condiciones de rotabilidad del eslabón 2 y del eslabón 4.de rotabilidad del eslabón 2 y del eslabón 4.


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2.2. Oscilatorio rotatorio: Oscilatorio rotatorio: Cuando sus longitudes Cuando sus longitudes satisfagan ambas condiciones de rotabilidad satisfagan ambas condiciones de rotabilidad del eslabón 2 y no satisfagan alguna o ambas del eslabón 2 y no satisfagan alguna o ambas del eslabón 4 o viceversa. En el primer caso el del eslabón 4 o viceversa. En el primer caso el eslabón capaz de rotar será el 2 y se eslabón capaz de rotar será el 2 y se presentara al menos una posición limite. En el presentara al menos una posición limite. En el segundo caso el eslabón capaz de rotar será el segundo caso el eslabón capaz de rotar será el 4 y se presentara al menos una posición de 4 y se presentara al menos una posición de puntos muertos.puntos muertos.

3.3. Doble rotatorio: Doble rotatorio: Cuando las cuatro condiciones Cuando las cuatro condiciones anteriores se satisfagan.anteriores se satisfagan.


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Statement:Statement: Considere el mecanismo plano de cuatro barras Considere el mecanismo plano de cuatro barras

mostrado en la figura cuyas longitudes son: amostrado en la figura cuyas longitudes son: a11=10; =10; aa22=2; a=2; a33=8; a=8; a44=6. Primeramente se determinara la =6. Primeramente se determinara la clase del mecanismo empleando la condición de clase del mecanismo empleando la condición de Grashof. En una segunda etapa, se confirmara este Grashof. En una segunda etapa, se confirmara este resultado empleando las condiciones de rotabilidad resultado empleando las condiciones de rotabilidad y, adicionalmente, se determinaran las, posibles, y, adicionalmente, se determinaran las, posibles, posiciones criticas de los eslabones de entrada y de posiciones criticas de los eslabones de entrada y de salida.salida.

Solution:Solution: Grashof ConditionGrashof Condition

S + S + L < P + QL < P + Q

(2 + 10)<(8+6)(2 + 10)<(8+6)

12<1412<14

Class I case, como Class I case, como aa22=S es un =S es un CRANK-ROCKERCRANK-ROCKER

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Eslabón 2 (entrada)Eslabón 2 (entrada)


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Eslabón 4 (salida)Eslabón 4 (salida)


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Homework2 Homework2 www.bc.inter.edu/facultad/omeza

Omar E. Meza Castillo Ph.D.Omar E. Meza Castillo Ph.D.

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MECN 4110 Inter - Bayamon Lecture 2 Mechanisms Design MECN 4110 Professor: Dr. Omar E. Meza Castillo...

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