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Física General
Unidad II: Mediciones y Unidades
La medición es de vital importancia para todos nosotros. Es una de las formas concretas con la que nos manejamos en nuestro mundo
2010
Miguel Olalla P. ESPOCH
22/09/2010
Unidad II: Mediciones Fundamentales Juan Miguel Olalla P
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Contenido 2.1. INTRODUCCIÓN ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3
2.2. SISTEMAS DE UNIDADES ----------------------------------------------------------------------------------------------------- 3
2.3. SISTEMA INTERNACIONAL (SI) --------------------------------------------------------------------------------------------- 4
2.3.1. MÚLTIPLOS Y SUBMÚLTIPLOS EN EL SI ----------------------------------------------------------------------------------- 6
2.4. ANÁLISIS DIMENSIONAL ----------------------------------------------------------------------------------------------------- 6
2.5. CONVERSIÓN DE UNIDADES ---------------------------------------------------------------------------------------------- 10
2.6. CIFRAS SIGNIFICATIVAS Y REDONDEO --------------------------------------------------------------------------------- 12
2.7. EJERCICIOS RESUELTOS----------------------------------------------------------------------------------------------------- 14
2.8. PREGUNTAS ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 18
2.9. EJERCICIOS PROPUESTOS -------------------------------------------------------------------------------------------------- 19
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS ------------------------------------------------------------------------------------------------ 21
INDICE -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 22
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2.1. Introducción
La medición es de vital importancia para todos nosotros. Es una de las formas
concretas con la que nos manejamos en nuestro mundo. Esto es muy particularmente
cierto en la física. La física se refiere a la descripción y la comprensión de la
naturaleza, y la medición es una de las herramientas más importantes.
La medición es por tanto una operación clave. Por lo cual la definimos como:
“Una técnica por medio de la cual asignamos un número a una magnitud física;
como resultado de comparar dicha magnitud con otra similar tomada como
patrón, la cual se ha adoptado como unidad”
2.2. Sistemas de Unidades
A través de la historia, se han utilizado varios sistemas de unidades, como son el
sistema inglés, técnico o terrestre, c.g.s, MKS y Sistema Internacional (SI). En la tabla
2.1., se describen algunas unidades importantes de los sistemas inglés, técnico y cgs.
ALGUNAS UNIDADES IMPORTANTES
MAGNITUD SISTEMA INGLÉS SISTEMA TÉCNICO SISTEMA c.g.s
Longitud pie (푝푖푒) metro (푚) centímetro (푐푚)
Masa libra (푙푏) unidad técnica de masa (푢푡푚) gramo (푔)
Tiempo segundo (푠) segundo (푠) segundo (푠)
Fuerza poundal (푝표푢푛푑) kilopondio (푘푝) dina (푑푖푛푎)
Presión psi (푙푏/푝푖푒 ) 퐾푝 / 푚 baria (푏)
Trabajo o Energía 푝표푢푛푑 ∗ 푝푖푒 kilográmetro (푘푔푚) ergio (푒푟푔)
Potencia caballo de fuerza (ℎ푝) 퐾푔푚 / 푠 푒푟푔 / 푠
Tabla 2.1. Unidades importantes de los sistemas: inglés, técnico y c.g.s.
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En 1901 el físico italiano Giovanni Giorgi propuso el llamado sistema MKS o sistema
Giorgi. A partir del MKS se originó el Systéme International d'Unités (SI). El SI fue
adoptado y recomendado por el 11º Congreso General de Pesos y Medidas en 1960.
2.3. Sistema Internacional (SI)
El SI se fundamenta en siete unidades fundamentales y dos unidades
complementarias, reflejadas en la Tabla 2.2., que se consideran dimensionalmente
independientes. Todas las otras unidades son derivadas, coherentemente formadas
multiplicando y dividiendo unidades fundamentales, algunas de las cuales se
muestran en las tablas 2.3 y 2.4.
UNIDADES FUNDAMENTALES DEL SI
MAGNITUD UNIDAD SÍMBOLO DIMENSION
Longitud metro 푚 퐿
Masa kilogramo 푘푔 푀
Tiempo segundo 푠 푇
Intensidad de Corriente eléctrica amperio 퐴 퐼
Temperatura termodinámica kelvin 퐾 휃
Intensidad luminosa candela 푐푑 Ψ
Cantidad de sustancia mol 푚표푙 Ν
UNIDADES COMPLEMENTARIAS
Angulo Plano radián 푟푎푑 훼
Angulo Sólido estéreo radián 푠푟 휔
Tabla 2.2. Unidades Fundamentales del Sistema Internacional (SI) con sus respectivos nombres, símbolos y dimensión.
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UNIDADES DERIVADAS
MAGNITUD UNIDAD SÍMBOLO
Superficie metro cuadrado 푚
Volumen metro cúbico 푚
Velocidad metro por segundo 푚 ∙ 푠
Aceleración metro por segundo cuadrado 푚 ∙ 푠
Número de onda Metro a la potencia menos uno 푚
Densidad kilogramo por metro cúbico 푘푔 · 푚
Velocidad angular radián por segundo 푟푎푑 · 푠
Aceleración angular radián por segundo cuadrado 푟푎푑 · 푠
Tabla 2.3. Unidades SI derivadas a partir de las fundamentales y complementarias.
UNIDADES SI DERIVADAS ESPECIALES
MAGNITUD UNIDAD SÍMBOLO EXPRESIÓN EN OTRAS
UNIDADES SI
EXPRESIÓN EN UNIDADES SI
FUNDAMENTALES
Frecuencia hertz 퐻푧 ------------ 푠
Fuerza newton 푁 ------------ 푚 · 푘푔 · 푠
Energía, trabajo, cantidad de calor
joule 퐽 푁 · 푚 푚 · 푘푔 · 푠
Potencia watt 푊 퐽 · 푠 푚 · 푘푔 · 푠
carga eléctrica coulomb 퐶 -------------- 푠 · 퐴
Potencial eléctrico fuerza electromotriz
voltio 푉 푊 · 퐴 푚 · 푘푔 · 푠 · 퐴
Resistencia eléctrica ohm Ω 푉 · 퐴 푚 · 푘푔 · 푠 · 퐴
Capacidad eléctrica faradio 퐹 퐶 · 푉 푚 · 푘푔 · 푠 · 퐴
Tabla 2.4. Unidades SI derivadas que tienen nombres propios.
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2.3.1. Múltiplos y Submúltiplos en el SI
MÚLTIPLOS Y SUBMÚLTIPLOS
FACTOR PREFIJO SÍMBOLO FACTOR PREFIJO SÍMBOLO
10 yotta 푌 10 deci 푑
10 zetta 푍 10 centi 푐
10 exa 퐸 10 milli, mili 푚
10 peta 푃 10 micro 휇
10 tera 푇 10 nano 푛
10 giga 퐺 10 pico 푝
10 mega 푀 10 femto 푓
10 kilo 푘 10 atto 푎
10 hecto ℎ 10 zepto 푧
10 deka, deca 푑푎 10 yocto 푦
Tabla 2.5. Múltiplos y submúltiplos decimales del sistema Internacional de Unidades (SI).
2.4. Análisis Dimensional
El análisis dimensional es un procedimiento mediante el cual se puede comprobar la
consistencia dimensional de cualquier ecuación. Usted ha utilizado ecuaciones y sabe
que una ecuación es una igualdad matemática. Dado que las magnitudes físicas
utilizadas en las ecuaciones tienen dimensiones, los dos lados de una ecuación deben
ser iguales, no sólo en magnitud numérica, sino también en sus dimensiones. Y las
dimensiones se deben tratar como magnitudes algebraicas; es decir, pueden ser
multiplicadas o divididas.
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Las siguientes son recomendaciones básicas en el análisis dimensional:
a) Las dimensiones se escriben entre corchetes
b) La suma o resta de las mismas dimensiones origina la misma dimensión, es decir:
[푇] + [푇] – [푇] + [푇] = [푇]
c) Cualquiera que sea el coeficiente numérico, y cualquiera que sean las constantes,
siempre se reemplazan por la unidad, es decir:
2 [푀] + 8 [푀] + 휋[푀] = [푀]
d) Las dimensiones deben seguir el orden establecido en la ecuación 3.1.
푀푎푔푛푖푡푢푑 푑푒푟푖푣푎푑푎 (푀퐷) = 퐿 푀 푇 퐼 휃 휑 푁 훼 휔 (Ec. 3.1)
e) Se escriben siempre en forma de entero, y si es quebrado se hace entero, es decir:
[퐿푇][푀] = [퐿푀 푇]
Ejemplo 2.1. ¿Cuáles son las dimensiones de 푘 ,푘 ,푘 ,푘 en la relación dada por
푠 = 푘 푡 + 푘 푡 + 푘 푠 + 푘 ? Donde 푠 representa a la longitud y 푡 representa al tiempo
Solución: Cada término de la suma debe tener la dimensión de una longitud,
porque la ecuación debe ser homogénea.
퐿 = 푘 푇 + 푘 푇 + 푘 퐿 + 푘
퐿 = 푇 + 푇 + (1)퐿 + (퐿)
Por tanto:
푘 = = 퐿푇 Dimensión de una velocidad
푘 = = 퐿푇 Dimensión de una aceleración
푘 = 1 No tiene dimensión
푘 = 퐿 Dimensión de una longitud
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Ejemplo 2.2. Hallar las ecuaciones dimensionales de: a) rapidez 푣, b) aceleración 푎, c)
fuerza 퐹 y d) densidad 휌, sabiendo que la rapidez es 푣 = 푑/푡, la aceleración es
푎 = 푑/푡 , la fuerza es 퐹 = 푚푎 y la densidad es = 푚/푉. Donde: 푑 es distancia, 푡 es
tiempo, 푚 es masa y 푉 es volumen.
Solución: a) 푣 = 푑/푡 [푣] = [퐿푇 ]
b) 푎 = 푑/푡 [푎] = [퐿푇 ]
c) 퐹 = 푚푎 [퐹] = [퐿푀푇 ]
d) = 푚/푉 [] = [퐿 푀]
Ejemplo 2.3. La potencia de una hélice impulsora de un barco es: 푃 = 퐾푤 푟 휌 ;
siendo: 휔 la velocidad angular, 푟 el radio de la hélice y 휌 la densidad del agua de mar.
Hallar los valores de 푥, 푦, 푧.
Solución: Calculamos en primer lugar las ecuaciones dimensionales de cada uno
de los elementos de la ecuación:
Potencia: [푃] = [퐿 푀푇 ] (trabajo / tiempo)
Constante 퐾: [퐾] = [1]
Velocidad angular: [푤] = [푇 ] (ángulo / tiempo)
Radio: [푟] = [퐿]
Densidad: [] = [퐿 푀] (masa / volumen)
Sustituyendo estos valores en la ecuación propuesta:
[퐿 푀푇 ] = [1][푇 ] [퐿] [퐿 푀]
Osea, [퐿 푀푇 ] = [퐿 푀 푇 ]
De donde se tiene que: 푥 = 3,푦 = 5 y 푧 = 1
Hasta ahora hemos estado trabajando en los sistemas absolutos; sin embargo,
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podemos también expresar las dimensiones en otro sistema llamado Técnico o
gravitacional, en el cual simplemente debe aparecer la dimensión [퐹] de la fuerza en
lugar de la dimensión [푀] de la masa; por ejemplo, la dimensión de la masa es
퐿 퐹푇 ], del trabajo es [퐹퐿], de la potencia es [퐹퐿푇 ], etc.
Ejemplo 2.4. En la siguiente expresión hallar las dimensiones de 푥 en el sistema
gravitacional, donde 푀 es la masa:
푀 =
√
Solución: Elevando al cuadrado y considerando la expresión dato:
푀 =
√
→ 푀 = → 푥 = 푀
Ahora, la fuerza se define por 퐹 = 푀푎, entonces 푥 = (퐹/푎) , utilizando
el análisis dimensional se observa que: [푥] = [퐹퐿 푇 ] = [퐹 퐿 푇 ].
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2.5. Conversión de unidades
Debido a que unidades diferentes en el mismo sistema o en sistemas diferentes
pueden expresar la misma magnitud, algunas veces es necesario convertir las
unidades de una magnitud a otra unidad mediante la utilización de los factores de
conversión, por ejemplo, de pies a yardas o de pulgadas a centímetros. En la tabla 2.6
podemos observar algunas equivalencias.
LONGITUD MASA 1Å =10-10 m
1m = 102cm = 39.37 pulg = 6.214 x 10-4 millas
1m = 3,281 pie
1pulgada = 2,540 cm
1 año luz = 9,46 x 1015m
1 parsec = 3,084 x 1016 m 1 m = 5,3967 x 10-4 millas náuticas
1 milla = 1609 m
1 kg = 103 g = 2,205 lb
1 lb = 453,5924g
1 uma = 1,6604 x 10-27 kg 1 utm = 9,8 kg 1 slung = 32,2 lb 1 tonelada = 1000 kg 1 g = 2,205 x 10-3 lb
1 slung = 14,59 kg
FUERZA ENERGIA 1 N = 105 dina = 0,2248 lbf = 0,102 kgf
1 dina = 10-5 N = 2,248 x 10 –6 lbf
1 lbf = 4,448 N = 4,448 x 105 dina
1kgf = 9,81 N 1kgf =22 lbf 1 lbf = 32,2 poundal 1 poundal = 0,1383 N
1 J = 107 erg = 0.239 cal
1 J = 6.242 x 1018 eV
1 eV = 1.60 x 10-12 erg
1 cal = 4.186 J
1BTU = 252 calorias 1 BTU = 1,0550 x 1010 erg 1 J = 9,480 x 10-4 BTU 1 erg = 9,480 x 10-11 BTU
POTENCIA PRESION 1 W = 1,341 x 10-3 hp
1hp = 0,9863 kW
1 Pa = 9,265 x 10–6 atm
1 atm = 14,7 lbf pulg-2 = 1,013 x 105 Pa
1 bar = 106 dina cm-2 1 atm 760 mm de Hg
Tabla 2.6. Algunas equivalencias de unidades entre los diferentes sistemas.
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Ejemplo 2.6. Reducir a) 42 푚푖푙푙푎 · ℎ a 푐푚 · 푠 y b) 22 푙푏 · 푝푖푒 · 푚푖푛 a 푁
Solución: a) 42 = 42 ×
×
×
= ퟏퟖퟕퟕ.ퟏퟕ 풄풎 · 풔 ퟏ
b) 22 · = 22 · × .
× .
×
= ퟎ.ퟖퟒ × ퟏퟎ ퟑ푵
Ejemplo 2.7. Cuál es la densidad 휌 en el SI de un cilindro hueco cuyo diámetro
exterior 퐷 es de 4.0 × 10 푚푖푙푙푎, diámetro interior 푑 de 2. 0 × 10 푚푖푙푙푎 y tiene una
altura de 3.5 푝푢푙푔푎푑푎푠, si la masa 푚 es de 9 푙푏.
Solución: Sabemos que la densidad se define por 휌 = , donde: 푉 = (퐷 − 푑 )ℎ
Entonces: 휌 =( )
Transformamos todos los datos a unidades SI:
푚 = 8 푙푏 × .
×
= 3.63 푘푔
퐷 = 4.0 × 10 푚푖푙푙푎 ×
= 0.64 푚
푑 = 2.0 × 10 푚푖푙푙푎 ×
= 0.32 푚
ℎ = 3.5 푝푢푙푔푎푑푎푠 × . ×
= 0.089 푚
Reemplazando todos estos valores en la ecuación anterior se obtiene:
휌 =( )
= ( . )[( . ) ( . ) ]( . )
= ퟏퟔퟗ.ퟎퟓ 풌품풎ퟑ
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2.6. Cifras Significativas y Redondeo
Se considera que las cifras significativas de un número son aquellas que tienen
significado real o aportan alguna información. Las cifras significativas de un número
vienen determinadas por su error; y son aquellas que ocupan una posición igual o
superior al orden o posición del error.
Por ejemplo, consideremos una medida de longitud cuyo valor es de 5432,4764 푚 con
un error de 0,8 푚. El error es por tanto del orden de décimas de metro. Es evidente
que todas las cifras del número que ocupan una posición menor que las décimas no
aportan ninguna información. En efecto, ¿qué sentido tiene dar el número con
precisión de diezmilésimas si afirmamos que el error es de casi 1 푚? Las cifras
significativas en el número serán por tanto las que ocupan la posición de las décimas,
unidades, decenas, pero no las centésimas, milésimas y diezmilésimas.
Las siguientes recomendaciones son importantes en el uso de cifras significativas:
1. Los ceros al principio de un número no son significativos. Tan sólo indican la
colocación del punto decimal; Por ejemplo, el número 0.0254 푚 tiene 3 cifras
significativas.
2. Los ceros dentro de un número sí son significativos; Por ejemplo, el número
105.7 푚 tiene 4 cifras significativas.
3. Los ceros al final de un número, después del punto decimal son significativos;
Por ejemplo, el número 2705.0 푚 tiene 5 cifras significativas.
4. En números enteros sin punto decimal que tienen al final uno o más ceros (por
ejemplo 500 kg), los ceros pueden o no ser significativos. En estos casos, no
queda claro cuáles ceros sirven sólo para localizar el punto decimal y cuáles
son parte de la medición. Es decir, si el primer cero a la izquierda (500 kg)
fuera el dígito estimado en la medición, entonces, sólo se conocen
confiablemente dos dígitos y sólo hay dos cifras significativas. De manera
similar, si el último cero fue el dígito estimado (500 kg), entonces hay tres
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cifras significativas. Esta ambigüedad se puede eliminar utilizando la notación
científica.
5.0 × 10 푘푔 dos cifras significativas
5.00 × 10 푘푔 tres cifras significativas
Esto ayuda a expresar los resultados de los cálculos con el número apropiado de
cifras significativas.
Es importante dar a conocer los resultados de las operaciones matemáticas con el
número adecuado de cifras significativas. La siguiente regla general nos dice cómo
determinar el número de cifras significativas en el resultado de una multiplicación o
de una división:
“El resultado final de una operación de multiplicación o de división debe tener el
mismo número de cifras significativas que la cantidad con el menor número de
cifras significativas utilizadas en el cálculo”
Lo que esto significa es que el resultado de un cálculo no puede ser más exacto que la
cantidad menos exacta que se utilizó; esto es, no se puede ganar en exactitud al
realizar operaciones matemáticas. Por ejemplo:
. . /
= ퟐ.ퟖ 풔
El resultado de la división 2.79245283 se ha redondeado para dejar dos cifras
significativas.
Las reglas para redondear un número son las siguientes:
1. Si el dígito siguiente a la última cifra significativa es 5 o mayor, la última cifra
significativa se aumenta en 1.
2. Si el digito siguiente a la última cifra significativa es menor que 5, la última
cifra significativa se queda igual.
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2.7. Ejercicios Resueltos
Ejercicio 2.1. Convertir: a) 7.3 × 10 푎ñ표 푙푢푧 a 푝푖푒푠
b) 6.4 × 10 푔 a 푡표푛푒푙푎푑푎푠
Solución:
a) 7.3 × 10 푎ñ표 푙푢푧 × . × ñ
× .
= ퟐퟐퟔ.ퟕퟗ× ퟏퟎퟑ 풑풊풆풔
b) 6.4 × 10 푔 ×
×
= ퟔퟒ.ퟎ × ퟏퟎퟑ 풕풐풏풆풍풂풅풂풔
Ejercicio 2.2. Transformar: a) 1 푛푒푤푡표푛 a 푑푖푛푎푠 y b) 1 푗표푢푙푒 a 푒푟푔푖표푠
Solución:
a) 1 푁 = 1 푁 ×
×
×
= 100000 푔 = ퟏퟎퟓ 풅풊풏풂풔
b) 1 퐽 = 1 퐽 ×
×
× ( )
= 10000000 푔 = ퟏퟎퟕ 풆풓품풊풐풔
Ejercicio 2.3. Una roca cae con una velocidad inicial 푣 de 28 푝푖푒 · 푚푖푛 . Cuál será la
velocidad 푣 que alcanzará la roca en el SI después de haber transcurrido 7.3 × 10 ℎ,
si la aceleración de la gravedad 푔 es igual a 980 푐푚 · 푠 . La expresión para la
velocidad 푣 cuando un cuerpo cae viene dada por 푣 = 푣 + 푔푡
Solución: En primer lugar transformamos las unidades al SI:
푣 = 28 ×
× .
= ퟎ.ퟏퟒ 풎풔
푔 = 980 ×
= ퟗ.ퟖퟎ 풎풔ퟐ
푡 = 7.3 × 10 ℎ ×
= ퟐퟔ.ퟐퟖ 풔
Reemplazando estos valores en la expresión 푣 = 푣 + 푔푡 se encuentra
que la velocidad es: 풗 = ퟐퟓퟕ.ퟔퟖ 풎 · 풔 ퟏ
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Ejercicio 2.4. Una milla náutica es equivalente a 6080.27 푝푖푒푠, y un nudo náutico es
una unidad de velocidad equivalente a una milla náutica sobre hora. Un barco lleva
una velocidad de 12 푛푢푑표푠. ¿Cuál es su velocidad en 푝푖푒푠/푠?
Solución:
12 푛푢푑표푠 = 12 푛푢푑표푠 × á
× .
á×
= ퟐퟎ.ퟐퟔ 풑풊풆풔
풔
Ejercicio 2.5. Una partícula que se mueve por una trayectoria circular de radio
0.58 × 10 푚푚, gira un ángulo 휃 de 135º cada 2. 4 × 10 ℎ. Determine en el SI, la
rapidez 푣 de la partícula y la aceleración centrípeta 푎 , sabiendo que la expresión de la
velocidad es: 푣 = 휔푅; donde 휔 = 휃/푡, y de la aceleración centrípeta es 푎 = 푣 /푅.
Solución: Transformando las unidades al SI se tiene:
휃 = 135º × º
= ퟎ.ퟕퟓ 풓풂풅
푟 = 0.58 × 10 푚푚 ×
= ퟎ.ퟓퟖ 풎
푡 = 2.4 × 10 ℎ ×
= ퟖ.ퟔퟒ 풔
Si reemplazamos estos valores en las expresiones dadas se tiene:
휔 = = . .
= ퟔ.ퟒퟖ 풓풂풅풔
La rapidez es: 푣 = 6.48 (0.58 푚) = ퟑ.ퟕퟔ 풎풔
Mientras que, la aceleración centrípeta es: 푎 = =.
. = ퟐퟒ.ퟑퟖ 풎
풔ퟐ
Ejercicio 2.6. Sabiendo que 1 푝푢푙푔푎푑푎 es igual a 2,54 푐푚, calcúlese, con cinco cifras,
el número de pulgadas que hay en una milla y el número de millas que hay en 1 푘푚.
Solución: 1 푚푖푙푙푎 = 1 푚푖푙푙푎 ×
×
× .
= ퟔퟑ.ퟑퟒퟔ 풑풖풍품풂풅풂풔
1 푘푚 = 1 푘푚 ×
×
= ퟎ.ퟔퟐퟏퟓퟎ 풎풊풍풍풂풔
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Ejercicio 2.7. La masa de la tierra es de 5,98 × 10 푘푔, y su radio de 6,38 × 10 푚.
Calcúlese la densidad de la tierra utilizando la notación en potencias de diez, sabiendo
que la expresión de la densidad es: 휌 = ; donde, 푉 = .
Solución: 휌 = = × , ×( , × )
= ퟓ.ퟒퟗ × ퟏퟎퟑ 풌품풎ퟑ
Ejercicio 2.8. Diga si las siguientes ecuaciones son o no homogéneas:
a) 푣 = 푣 + 2푎푥
b) 푥 = 푥 + 푣 푡 + 푎푡
c) 푃 =
Donde: 푣 es la rapidez inicial; 푣 la rapidez final; 푥 el espacio recorrido; 푎 la
aceleración; 푃 la potencia; 퐹 la fuerza y 푡 el tiempo.
Solución:
a) [퐿푇 ] = [퐿푇 ] + [퐿푇 ][퐿] [푳푻 ퟏ]ퟐ = [푳푻 ퟏ]ퟐ; si es homogénea
b) [퐿] = [퐿] + [퐿푇 ][푇] + [퐿푇 ][푇 ] [푳] = [푳]; si es homogénea
c) [퐿 푀푇 ] = [퐿푀푇 ][퐿푇 ] [푳ퟐ푴푻 ퟑ] = [푳ퟐ푴푻 ퟑ]; si es homogénea
Ejercicio 2.9. Se sabe que la fórmula del período de un péndulo es: 푇 = 2휋퐿 푔 .
Donde: 푇 es el período, 퐿 la longitud y 푔 la aceleración de la gravedad. Encontrar los
valores numéricos de 푥 e 푦.
Solución: Por los datos del ejercicio: 푇 = [푇]; 2휋 = [1]; 퐿 = [퐿] y 푔 = [퐿푇 ].
Sustituyendo: 푇 = [퐿] [퐿푇 ] = [퐿 푇 ]
Luego: 퐿 푇 = [퐿 푇 ]
Comparando ambos miembros de la ecuación se tiene que: 푥 + 푦 = 0 y
−2푦 = 1, resolviendo el sistema se obtiene: 풙 = ퟏퟐ
,풚 = − ퟏퟐ
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Ejercicio 2.10. La Ley de la atracción universal de las masas establece que:
퐹 = 퐺 . Hallar la ecuación dimensional de la constante 퐺.
Solución: Se sabe que: [퐹] = [퐿푀푇 ]; 푑 = [퐿]; 푚 ,푚 = [푀]; entonces
despejando 퐾 y reemplazando las dimensiones se tiene que:
퐺 =
[퐺] = [퐿푀푇 ][퐿 ][푀 ] = [푳ퟑ푴 ퟏ푻 ퟐ]
Ejercicio 2.11. La frecuencia de oscilación de una cuerda depende de su longitud 퐿, la
fuerza 퐹 a la cual se encuentra sometida y a su densidad lineal de masa 휆. Usando el
análisis dimensional, encontrar esta dependencia.
Solución: Asumimos que la dependencia es de la forma: 푓 ∝ 퐿 퐹 휌
Para encontrar 푥,푦, 푧, se debe asumir que las dimensiones en ambos
miembros de la ecuación propuesta son iguales:
[푇 ] ∝ [퐿] [퐹] [휌]
[푇 ] ∝ [퐿] [퐿푀푇 ] [퐿 푀]
[푇 ] ∝ [퐿 푀 푇 ]
Esta proporción formada es cierta siempre y cuando: −2푦 = −1;
푦 + 푧 = 0 y 푥 + 푦– 푧 = 0. Resolviendo el sistema de ecuaciones resulta
que 푥 = −1,푦 = , 푧 = − . Finalmente:
풇 ∝ 푳 ퟏ푭ퟏ/ퟐ흆 ퟏ/ퟐ = ퟏ푳
푭흆
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2.8. Preguntas
1. En un taller de maquinas se producen dos levas, una de aluminio y una de hierro.
Ambas tienen la misma masa. ¿Cuál es la leva más grande? (a) la de aluminio (b)
la de hierro (c) ambas levas tienen la misma dimensión.
2. Verdadero o falso: El análisis dimensional puede dar el valor numérico de
constantes de proporcionalidad que aparecen en una expresión algebraica
3. La distancia entre dos ciudades es 100 millas. El número de kilómetros entre las
dos ciudades es (a) menor a 100 (b) mayor a 100 (c) igual a 100
4. Supongamos que el lector mide la posición de una silla con una cinta métrica y
anota que el centro del asiento mide 1.043 860 564 2 m desde una pared. ¿Qué
concluiría a partir de esta medición registrada?
5. Suponga que dos cantidades A y B tienen diferentes dimensiones. Determine
cuál de las siguientes operaciones aritméticas podría tener sentido físicamente:
(a) 퐴 + 퐵, (b) 퐴/퐵 (c) 퐵–퐴 (d) 퐴퐵
6. Encuentre el orden de magnitud de su edad en segundos
7. Estime la masa de este texto en kilogramos. Si cuenta con una balanza,
compruebe su predicción.
8. Si usted aplica el análisis de unidades a una ecuación para conocer las unidades
de una magnitud en particular y el resultado obtenido es 푚 /푚 , la magnitud
tendría: (a) unidades de 푚 , (b) unidades de longitud, (c) unidades de 푚 , ó (d)
no tendría unidades
9. ¿Debe una ecuación ser correcta en análisis dimensional y en análisis de
unidades? Explíquelo.
10. ¿Es correcta dimensionalmente la ecuación 푉 = 휋푑 /4, donde V es el volumen y
d es el diámetro de una esfera? Utilice análisis de unidades SI para averiguarlo.
Si no lo es, ¿Cómo podría hacerse correcta, siendo el lado izquierdo correcto?
11. ¿Cuál de los siguientes tiene el mayor número de cifras significativas: (a)
0.254 푐푚, (b) 0.00254 × 10 푐푚, (c) 254 × 10 푐푚, (d) todos tienen el mismo
número?
Unidad II: Mediciones Fundamentales Juan Miguel Olalla P
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2.9. Ejercicios Propuestos
Sección 2.4. Análisis dimensional
1. La segunda ley de movimiento de newton se expresa por la ecuación 퐹 = 푚푎, en
donde 퐹 representa la fuerza, 푚 la masa, y 푎 la aceleración. (a) La unidad SI de
fuerza es, apropiadamente, el newton [푁] ¿Cuáles son las unidades SI del
Newton en términos de las magnitudes fundamentales? (b) Utilizando el
resultado de la parte (a), demuestre utilizando el análisis de unidades, que la
ecuación 퐹푡 = 푚푣, donde 푣 es la rapidez y 푡 es el tiempo, es correcta
dimensionalmente.
2. Cuando un cuerpo se mueve con rozamiento, la fuerza debida a la fricción entre
el cuerpo y el plano 퐹 se relaciona con la fuerza normal 푁 por medio de la
relación 퐹 = 휇푁, donde 휇 se conoce como el coeficiente de rozamiento.
Mediante el análisis dimensional encontrar las dimensiones para 휇.
3. Suponiendo que la aceleración 푎 de una partícula que se mueve con rapidez
uniforme 푣 en un círculo de radio 푟 es proporcional a alguna potencia de 푟, por
ejemplo 푟 , y alguna potencia de 푣 como 푣 . Determinar los valores de 푛 y 푚 y
escriba la forma más sencilla de una ecuación para la aceleración.
4. Se sabe que la fuerza centrípeta depende de la masa 푚, la rapidez 푣 y del radio
de giro del cuerpo en rotación 푟. Utilizando el análisis dimensional, encuentre
esta dependencia.
5. La posición de una partícula que se mueve bajo aceleración uniforme es alguna
función del tiempo y la aceleración. Suponiendo que la posición es 푠 = 푘푎 푡 ,
donde 푘 es una constante adimensional. Demostrar por medio del análisis
dimensional que esta expresión se satisface si 푚 = 1 y 푛 = 2. ¿Puede este
análisis dar el valor de 푘?
6. La figura P.16 muestra un cono truncado. De las siguientes expresiones de
medición geométricas, ¿cuál describe (a) la circunferencia total de las caras
circulares planas (b) el volumen (c) el área de la superficie curva? (i)
휋(푟 + 푟 )[ℎ + (푟 − 푟 ) ] / , (ii) 2휋(푟 + 푟 ), (iii) 휋ℎ(푟 + 푟 푟 + 푟 )
Unidad II: Mediciones Fundamentales Juan Miguel Olalla P
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Sección 2.5. Conversión de Unidades
7. La expresión matemática para la distancia recorrida por un objeto está dada por
푥 = 푣 푡 + 푚푡 , en donde 푣 es la velocidad, 푡 el tiempo y 푚 es una constante.
¿Cuáles son las unidades SI de 푚?
8. La ecuación general de una parábola es 푦 = 푎푥 + 푏푥 + 푐, en donde 푎, 푏 y 푐 son
constantes. ¿Cuáles son las unidades de cada constante si 푦 y 푥 están en metros?
9. Una esfera sólida tiene un radio de 12 푐푚. ¿Cuál es el área de su superficie en (a)
centímetros cuadrados y (b) metros cuadrados? (c) Si tiene una masa de 4.0 푘푔,
¿Cuál es su densidad en 푘푔/푚 ?
10. Cuando se calcula la rapidez promedio de un corredor a campo traviesa, un
estudiante alcanza 25 푚/푠. ¿Es éste un resultado razonable? Justifique su
respuesta.
11. La densidad promedio de la luna es 3.3 푔/푐푚 , y tiene un diámetro de 2160 푚푖.
¿Cuál es la masa total de la luna?
12. Un armazón metálico de paredes gruesas tiene un diámetro interno de 18.5 푐푚 y
un diámetro externo de 24.6 푐푚. ¿Cuál es el volumen ocupado por el armazón
mismo?
13. La velocidad de la luz en el vacío es 2,9979 × 10 푚 · 푠 . Expresarla en millas
por hora. ¿Cuántas vueltas alrededor de la tierra podría dar un rayo de luz en un
segundo? ¿Qué distancia viajaría en un año? Esta distancia se denomina año luz.
14. Estimar el número de respiraciones que el hombre realiza en una vida promedio
de setenta años.
15. Estimar el número de pasos que da una persona cuando camina de la ciudad de
Riobamba a Ambato.
푟
푟
ℎ
Figura P.16
Unidad II: Mediciones Fundamentales Juan Miguel Olalla P
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16. El radio medio de la tierra es 6.37 × 10 푚, y el de la luna es 1.74 × 10 푐푚. Con
estos datos calcule (a) la razón entre el área superficial de la tierra y la de la luna
y (b) la razón entre el volumen de la tierra y el de la luna. Recuerde que el área
superficial de una esfera es 4휋푟 y el volumen de una esfera es 휋푟 .
Referencias Bibliográficas
Física.- Segunda edición Jerry D. Wilson
Física para Ciencias e Ingeniería.- Volumen I.- Raymond A. Serway.- Sexta edición.- Ed.
Thompson
Física Universitaria.- Undécima edición.- Volumen I.- Sears – Zemansky- Young – Freedman.
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Indice
a
análisis dimensional, 6, 7, 9, 17, 18, 19
c
cifras significativas, 12, 13, 18 conversión, 2, 10, 20
e
energía, 3, 5
f
frecuencia, 5 fuerza, 3, 5
l
longitud, 3, 4, 10
m
magnitud, 3 masa, 3, 4, 10
medición, 3, 12, 18, 19
p
potencia, 3, 5, 8
r
redondear, 13
s
sistema inglés, 3 sistema internacional, 2, 3, 4
t
tiempo, 3, 4
u
unidades, 2, 3, 4, 10, 11, 12, 14, 15, 18, 19, 20