Agricultura Técnica en México Vol. 35 Núm.3 1 de julio-30 de septiembre 2009 p. 245-256

MEJOR PREDICTOR LINEAL E INSESGADO FAMILIAR DE APTITUD COMBINATORIA GENERAL EN EXPERIMENTOS PARCIALES DE CRUZAS DIALÉLICAS CON EFECTOS MATERNOS*

BEST LINEAR UNBIASED FAMILIAR PREDICTOR FOR PARTIAL DIALLEL EXPERIMENTS WITH MATERNAL EFFECTS

Osval Antonio Montesinos-López1§, Ángel Agustín Mastache-Agunas2, Ignacio Luna-Spinoza3, Carlos Moisés Hernández-Suárez4 y Guadalupe Hernández-Lira5

1Facultad de Telemática, Universidad de Colima. Av. Universidad # 333. Campus Colima. C. P. 28040. 2Centro de Estudios Profesionales, Colegio Superior Agropecuario del Estado de Guerrero. 3Universidad del Istmo-Campus Ixtepec. Cd. Universitaria s/n, 70110, Ixtepec, Oaxaca. 4Facultad de Ciencias, Universidad de Colima. Av. Universidad # 333. Campus Colima. C. P. 28040. 5Instituto de Socioeconomía, Estadística e Informática, Programa en Estadística, Colegio de Postgraduados. 56230. Montecillo, Estado de México, México. §Autor para correspondencia: oamontes1@ucol.mx.

* Recibido: Noviembre, 2006

Aceptado: Marzo, 2009

RESUMEN

En el mejoramiento genético de plantas y animales se han utilizado los experimentos de cruzas dialélicas (diseños completos de Griffing) para realizar estimaciones de parámetros y pruebas de hipótesis, lo cual es importante para la toma de decisiones en programas de mejoramiento genético. Los esquemas completos de Griffing son útiles cuando el número de líneas progenitoras es pequeño, sin embargo, cuando este número es elevado es difícil preparar, establecer y conducir los trabajos de campo. Una alternativa consiste en emplear los diseños parciales de cruzas dialélicas, los cuales ensayan un subconjunto del total de cruzas que es posible formar entre los progenitores básicos. Estos experimentos pueden ser simétricos o asimétricos. Además, es frecuente que los investigadores formen grupos o familias de progenitores, lo que implica considerar la estimación de los efectos del grupo o familia. No obstante, hasta ahora no se ha realizado una investigación para obtener el Mejor Predictor Lineal Insesgado del efecto familiar o de grupo considerando los efectos maternos en experimentos parciales bajo el modelo de efectos mixtos. Por lo que en éste trabajo se derivan los MPLI familiares para aptitud combinatoria general en experimentos dialélicos parciales con efectos maternos, y se realiza un algoritmo computacional en comandos SAS-IML que permite la aplicación de la metodología propuesta.

Palabras clave: aptitud combinatoria general, cruzas dialélicas, experimentos parciales, modelo de efectos mixtos.

ABSTRACT

In plant or animal breeding the experiments with diallel crosses (complete Griffing´s designs) have been frequently used to estimate parameters and test hypothesis, which is really important for decision making in breeding programs. Nevertheless, the complete Griffing´s designs are useful when the number of parental lines is reduced. With a high number of parental lines is difficult to prepare, stablish and conduct the trials in the field. In this situation a partial diallel experiment is recommended, which can be symetric or asymetric. An option is to use the partial diallel designs, which test a subset from the total number of crosses that is possible to develop among the parental lines. These trials can either be symetric or asymetric. In addition is frequent that researchers conform groups of families or parents that implies the consideration of estimating group or family effects. Nevertheless, so far no research has been conducted to estimate the best unbiased lineal predictor of group or family effect taking into account maternal effects

Osval Antonio Montesinos-López et al.246 Agric. Téc. Méx. Vol. 35 Núm.3 1 de julio - 30 de septiembre 2009

in partial designs under a mixed model. For the above reason, in this research the best unbiased lineal predictor of familias for general combining ability in parcial diallel designs, including maternal effects, are derived, and a computer algorithm in SAS-IML commands that allows for the application of the proposed methodology.

Key words: diallel crosses, general combining ability, mixed effects model, partial diallel experiments.

INTRODUCCIÓN

En el mejoramiento genético de plantas y animales se han utilizado extensamente los experimentos de cruzas dialélicas para realizar estimaciones de parámetros y pruebas de hipótesis. Los diseños de Griffing (1956a, 1956b) sirven para estimar aptitud combinatoria general (ACG), aptitud combinatoria específica (ACE), efectos maternos (EM), efectos recíprocos (ER) y componentes de varianza. Estas estimaciones son importantes en la toma de decisiones de programas de mejoramiento genético. Los esquemas completos de Griffing son útiles cuando el número de líneas progenitoras es reducido, sin embargo, cuando el número de líneas progenitoras es elevado es difícil preparar, establecer y conducir los trabajos de campo. Una solución alternativa consiste en emplear los diseños parciales de cruzas dialélicas, los cuales ensayan un subconjunto del total de cruzas que es posible formar entre los progenitores básicos; proporcionado de esta manera una herramienta más elástica al genetista.

Los experimentos parciales de cruzas dialélicas pueden ser simétricos o asimétricos. Los primeros requieren que cada progenitor se involucre con el mismo número de cruzas; los últimos requieren que al menos uno de los progenitores participe en un número diferente de cruzas. Los más útiles son los que cumplen condiciones de simetría.

Algunas soluciones de diseño cuando el número de líneas progenitoras es elevado son las propuestas por Kempthorne y Curnow (1961), Fyfe y Gilbert (1963) y Rojas (1973). Estos autores han abordado el análisis y la estimación de parámetros a partir de un modelo de efecto fijos. Para un modelo de efectos mixtos, Mastache (1999) sugiere derivar los mejores predictores lineales e insesgados (MPLI) mediante la metodología desarrollada por Herderson (1963, 1973), Harville (1976), Harville y Carriquiry (1992) para obtener estimadores insesgados y de mínima varianza.

Adicionalmente, es común que los investigadores formen grupos o familias de progenitores, como lo hacen Cervantes et al. (1999) y Ron et al. (1999), de forma tal que los miembros de cada grupo o familia tienen características similares. Esto implica considerar la estimación de los efectos del grupo o familia. No obstante, hasta ahora no se ha realizado una investigación para obtener el MPLI del efecto familiar o de grupo bajo el modelo de efectos mixtos. En este trabajo se derivan los MPLI empíricos de los efectos familiares en experimentos dialélicos parciales con efectos maternos bajo el modelo de efectos mixtos. Adicionalmente, se proporciona un algoritmo computacional en comandos SAS-IML que permiten la aplicación de la metodología propuesta.

MATERIALES Y MÉTODOS

Modelo lineal de efectos mixtos

En términos matriciales, el modelo lineal de efectos mixtos se representa mediante la forma

Y=Xα+Z θ +ε , (1)

),0( 2eGσθ~θ

,)()( 22ee RZZGVyVar σσ +′==

y ε es un vector nxl no

ε~ ).,0( 2eRσ αXyE =)(

y G = matriz diagonal tal que donde, ,)/( 22pe IG σσθ=

2θσ

2θσ

),0( 2ep GN σ ),0( 2

en RN σε

donde, Y= vector nxl de observaciones, X= matriz diseño nxf conocida, α = vector fxl de parámetros desconocidos correspondientes a los efectos fijos, Z = matriz diseño nxp conocida, θ = vector pxl no observable de los efectos aleatorios tal que observable de efectos residuales o términos de error talque Además, = varianza del término aleatorio θ, = varianza de los términos de error, Ip = matriz identidad de orden p, y =R frecuentemente es la matriz identidad de orden n . Con base en el modelo (Ec. 1), Henderson (1963, 1973) desarrolló una técnica para abordar los aspectos aleatorios, derivando para ellos los MPLI.

Método de Henderson para obtener los MPLI

El método propuesto por Henderson (1963, 1973) para obtener los MPLI sobre la base del modelo de efectos mixtos (Ec. 1) supone que en la Ec. 1, θ y ε son vectores aleatorios no observables, tales que θ ~ y ~ , donde, G y R= matrices no singulares. Henderson (1963, 1973) reporta que la densidad conjunta de θ y y es f(y, θ)= d(y/ θ)c(θ),

Mejor predictor lineal e insesgado familiar de aptitud combinatoria general en experimentos parciales de cruzas dialélicas con efectos maternos 247

donde, c(θ )= densidad marginal de θ y d(y/ θ) = densidad condicional de y dado θ En forma explicita f (y, θ) es:

(2) .

Las siguientes ecuaciones normales del modelo mixto se obtienen maximizando la densidad conjunta (Ec. 2) con respecto a α y θ.

(3)

Las soluciones para α, en las ecuaciones normales (Ec. 3), son idénticas a las de mínimos cuadrados generalizados obtenidas de la ecuación X'V-1X'α=X'V-1y, donde, V= ZGZ'+R y Var(y)= Vσ2 , de que en las ecuaciones normales (Ec. 3) no se requiere la inversa de matriz V. De las ecuaciones normales (Ec. 3) se tiene que el MPLI para el vector aleatorio θ es:

(4)

En la mayoría de las aplicaciones, los componentes de varianza involucrados en G y R son desconocidos y deben estimarse a partir de la información experimental. De acuerdo con Harville y Carriquiry (1992), el procedimiento de estimación se divide en dos etapas. En la primera se estiman los componentes de varianza y en la segunda se utilizan estos estimadores, incluyéndolos en las ecuaciones normales (Ec. 3), para obtener el MPLI, llamado MPLI empírico. En esta investigación los componentes de varianza se obtienen por el método derivado del análisis de varianza, cuyas propiedades son descritas por (Robinson, 1991).

En algunas ocasiones, al realizar la estimación de los componentes de varianza con la información correspondiente se obtienen estimaciones negativas, en cuyo caso, Robinson (1991) sugiere considerarlos iguales a cero, aunque esto provoca que los estimadores sean sesgados.

Modelo lineal en experimentos dialélicos

Si se incluyen los efectos maternos, de acuerdo con Martínez (1983 y 1988), el modelo lineal apropiado para el análisis de experimentos dialélicos establecidos en el diseño de bloques completos al azar es:

(5)

donde, yijk= valor fenotípico observado de la cruza (i, j) en el bloque k, µ = efecto común a todas las observaciones, gi = efecto de aptitud combinatoria general del progenitor i, sij = efecto de aptitud combinatoria específica de la cruza (i, j), mi= efecto materno del progenitor i , lij= efecto recíproco de la cruza (i, j); δk = efecto del bloque k, y eijk= efecto aleatorio del error correspondiente a la observación (i, j, k). Los términos gi, sij, mi, lij y eijk se consideran como variables aleatorias normales no correlacionadas entre y dentro de ellas, con media cero y varianzas y respectivamente, con sij= sji y lij= -lji. Si sólo se consideran las medias de las cruzas y se elimina el efecto de bloques, dado que éste es ortogonal con las cruzas, la representación del modelo (Ec. 5) se reduce a:

(6)

Si se ensaya un subconjunto t ≤ p2 del total de cruzas posibles a partir de p progenitores, entonces también es posible utilizar el modelo (Ec. 6), el cual se expresará de la siguiente forma:

(7)

donde, nij= 1 si la cruza (i, j) participa en el experimento y nij= 0 en caso contrario. Los términos restantes de la Ec. 7 son idénticos a como se definieron en la Ec. 8, con la única diferencia de que ahora son los promedios por bloques.

RESULTADOS

Estimación de los MPLI familiares de ACG y EM

Cuando se ensayan las p(p-1)/2 cruzas directas y las p(p-1)/2 cruzas recíprocas se genera el diseño tres de Griffing, por lo que en este caso t= p(p-1). Cuando se ensayan las cruzas directas, las recíprocas y las p autofecundaciones se tiene el diseño uno de Griffing, por lo que t= p2 . En los experimentos parciales sólo se estudia una fracción del total de cruzas, es decir, t < p(p-1) cuando no se ensayan las autofecundaciones y t < p2 cuando éstas son consideradas en el experimento. Por lo tanto, la derivación analítica de los MPLI familiares de ACG con efectos maternos es similar

∝−− ′−

−−′−−− θθ

σθαθα

σθ1

21

2 21)()(

21

),(GZXyRZXy

ee eeyf

,2eσ,2

gσ ,2sσ ,2

mσ 2lσXR-1Xα + XR-1Zθ= XR-1y,

Z'R-1Xα + [Z'R-1Z + G-1]θ= Z'R-1y.

e

θ= [Z'R-1Z+G-1]-1(Z'R-1yV-1X α).

yijk= µ+gi+gj+sij+mi+mj+lij+δk+eijk1 ≤ i, j ≤ p, k=1,2...,r

_yij.= µ+gi+gj+sij+mi-mj+lij+ēij.

_nyjyij.= nij(µ+gi+gj+sij+mi-mj+lij+ēij.),

ˆ ˆ

ˆ

ˆˆ

Osval Antonio Montesinos-López et al.248 Agric. Téc. Méx. Vol. 35 Núm.3 1 de julio - 30 de septiembre 2009

en ambos casos, con y sin las autofecundaciones, tomando la precaución de generar adecuadamente los elementos matriciales correspondientes.

MPLI familiar parcial de ACG

Si en el modelo (Ec. 7) se considera las siguientes igualdades:

entonces

En notación matricial se tiene que:

(8)

donde, y*= un vector txl de observaciones que contiene el promedio de las cruzas observadas, j = vector txl de unos, t= número total de cruzas; µ= escalar que representa el efecto común a todas las cruzas, Zg= matriz diseño de orden txp correspondiente a los efectos de la ACG, g = vector pxl tal que g ~Np(0,Gg σ2), s es un vector txl tal que s ~ Nt(0,Rsσ2) y e0 es un vector txl de términos de error tal que e0 ~ Nh(0,Re σ2). Debido a que s y e0 tienen una estructura de covarianzas similar, entonces es factible utilizar la igualdad e*= s+e0, la cual nos conduce a que la Ec. 8 pueda representarse como:

(9)

Además,Var(y*)= E[(y*-jµ)(y*-jµ)']= E[(Zgg+e*)(Zgg+e0)']

(10)

donde, a la matriz identidad

de orden p, S= matriz simétrica txt formada por unos en aquellas posiciones en las que la cruza es tal que ij= ji y por ceros en las posiciones restantes, E es una matriz similar a S, diferenciándose de ésta por la presencia de un dos en los casos en que i= j . Las matrices S y E son singulares, esto implica que R* también sea singular, pero, de acuerdo con Harville (1976), si R* es singular en las ecuaciones

normales del modelo mixto, entonces R*-1 se sustituye por

alguna inversa generalizada R*. Por lo antes expresado y por la (Ec. 10) se tiene un caso particular del modelo (Ec. 1) en el que n= t, f= 1, p= p y sus componentes son: X= j, α= µ, Z= Zg, θ = g, R= R* y ε= e*. Así, las ecuaciones normales del modelo mixto son:

(11)

Si se conocen los componentes de varianza , y , entonces el MPLI parcial para ĝ se obtiene al resolver el sistema de ecuaciones simultaneas (Ec. 11). Considerando la restricción en el sistema de ecuaciones

(Ec. 11) se tiene que j'R*Zg ĝ = 0. Por lo tanto µ= ( j'R* j)-1

j'R*y* y el MPLI de ACG es:

(12)

La Ec. 12 es el MPLI parcial de ACG y tiene la siguiente forma ĝ' = [ĝ1, ĝ2,..., ĝp]. Dado que necesitamos estimarlos efectos familiares, esto implica que con los p progenitores se formaran familias o grupos de progenitores. Por ejemplo, supóngase que se cuentan con p =6 progenitores que se agrupan en tres familias: f1={p1, p2}, f2 ={p3, p4}, f3={p5, p6}esto implica que ĝ' = [ĝ1, ĝ2, ĝ3, ĝ4, ĝ5, ĝ6] en términos de los efectos familiares es igual a f ' = [ f1, f2, f3] . Por tanto, para el cálculo del efecto de familias también se utiliza la Ec. 12, pero en términos de las familias formadas. Por ello, no es posible simplificar la Ec. 12 y expresarla en términos de las familias porque este número depende del investigador y porque no todas las cruzas estas participando.

MPLI parcial de EM

Si en el modelo (Ec. 7) se consideran las siguientes igualdades:

entonces

(13)

2eσ 2

sσ 2gσ

0ˆ1

=∑=

p

iig

_ _ (yij.+yji.) (ēij.+ ēji.)nij = nij(µ+gi+gj+sij)+nij

, 2 2 _ _ (yij.+yji.) (ēij.+ ēji.)y* =

y e0 =

, 2 2

ij. ij.

nij y*= nij(µ+gi+gj+sij+e0 ).

ij.

ij.

y*= jµ+Zg g+s+e0,

ee

e

y*= jµ+Zg g+e*

σ2E= Zg(σ2Ip)Z'+σ2S+

= [ZgGgZ'+R*]σ2,

g s

2r e

e[ ]))(()( ******** ′++=

′

= emZemZEyyEyVar mm [ ]))(()( ******** ′++=

′

= emZemZEyyEyVar mm

-

- - -j'R* jµ + j'R* Zg g= j'R* y

*

- - -1 -Z'R* jµ+[Z'R* Zg+Gg ]g=Z'R* y

*

ˆ --

-

- - - ĝ= [Z'R* Zg+G-1]-1(Z'R* y

*-Z'R* jµ).

g g g g

ˆ

_ _ (yij.+yji.) (ēij.+ ēji.)nij = nij(mi-mj+lij)+nij)+nij

, 2 2

_ _

1 1 y

* *= (yij.+ yji.), y e$ = (ēij.+ ēji.), 2 2

ij. ij.

nij y**= nij(mi-mj+lij+e$ )

ij.

ij.

σ2 σ2 EGg=

Ip, R*=

S+

, Ip= σ

2 σ2 2rg s

e ep

e

ggI G

=2

2

σσ

pe

gg IG

= 2

2

σσ

pe

gg IG

= 2

2

σσ

pe

ggI G

=2

2

σσ

Mejor predictor lineal e insesgado familiar de aptitud combinatoria general en experimentos parciales de cruzas dialélicas con efectos maternos 249

En notación matricial se tiene:

(14)

donde, y** es un vector txl de observaciones, Zm= a la matriz diseño de orden txp,= a los efectos maternos, m = vector de orden pxl tal que m ~Np(0,Gm σ2), l = a vector de orden txl tal que l ~ Nt(0, Rsσ2) y e$ = a un vector txl de términos de error tal que e$ ~Nt(0, Reσ2). Como l y e$ tienen una estructura de covarianzas similar, entonces es factible hacer e*= l+ e$, lo cual nos conduce a que y** pueda representarse como:

(15)

Además, Var(Y*)= E [Y**Y**']= E [(Zmm+e*)(Zmm+e*)']

(16)

donde, es la matriz identidad

de orden p, S* y E* son similares a S y E, con la diferencia de que en S* los unos fuera de la diagonal son negativos y en la matriz E* los términos correspondientes a las autofecundaciones son iguales a cero. Debido a que Rm es singular, se sustituye por alguna inversa generalizada (Harville, 1976). Por lo antes expresado y por la (Ec. 16) se tiene un caso particular del modelo (Ec. 2) en el que n= t, p = p y sus componentes son X= j, Z= Zm, θ= m, R= Rm y ε= e*. Así, las ecuaciones normales del modelo mixto son:

(17)

Si se conocen los componentes de varianza σe, σl y σm, entonces el MPLI parcial para se obtiene al resolver el sistema de ecuaciones simultaneas (Ec. 17). Considerando la restricción en el sistema de ecuaciones (Ec. 17) se

tiene que j 'RmZmm= 0. Por lo tanto, el MPLI parcial de EM es:

(18)

La Ec. 18 es el MPLI parcial de EM y tiene la siguiente forma m'= (m1, m2,..., mp). Como se requieren los efectos

fami l ia res de EM, con los p p rogeni tores se formaran fami l ias . De igual forma supóngase que se cuentan con p =6 progeni tores que se agrupan en tres familias: f1={p1, p2}, f2 ={p3, p4}, f3={p5, p6} esto implica que m'= (m1, m2, m3, m4, m5, m6)en términos de los efectos familiares es igual a f * '= [ f 1, f 2, f 3] . Por tanto, para el cálculo del efecto de familias también se utiliza la Ec. 18, pero en términos de las familias formadas. Esto conduce a que no sea posible simplificar la Ec. 18 y expresarla en términos de familias.

Componentes de varianza

De acuerdo con Martínez (1983), los estimadores obtenidos a través del método de análisis de la varianza para los diseños parciales de cruzas dialélicas con efectos maternos en el que se ensayan t ≤ p2 cruzas o tratamientos son:

donde, CME es el cuadrado medio del error, CMER es el cuadrado medio del efecto recíproco, CMEM es elcuadrado medio del efecto materno, CMACE es elcuadrado medio de aptitud combinatoria específicay C M A C G e s e l c u a d r a d o m e d i o d e a p t i t u d combinatoria general. Sustituyendo σe, σg, σs y en Ec. 12 se obt ienen los MPLI empír icos de ACG. De manera similar, sustituyendo σe, σl y σm en la Ec. 18 seobtienen los MPLI empíricos de EM.

Aplicación

A c o n t i n u a c i ó n s e a p l i c a l a m e t o d o l o g í apropues ta para de terminar e l MPLI fami l ia r de ACG y de EM en expe r imen tos pa rc i a l e s . Los datos utilizados corresponden a un experimentop a r c i a l d e c r u z a s d i a l é l i c a s ( C u a d r o 1 ) e n donde se consideran t= 24 cruzas a lojadas endos bloques completos al azar (r= 2). La solucións e p r e s e n t a e n f o r m a m a n u a l y e n f o r m a computacional.

0ˆ1

=∑=

p

iim

y**= Zmm+l+e$

e

e

e

y**= Zmm+e*.

σ2E*= Zm(σ2 Ip)Z' +σ2S*+

= [ZmGmZ' +Rm]σ2,

m m l

2r m

e

e[ ]))(()( ******** ′++=

′

= emZemZEyyEyVar mm [ ]))(()( ******** ′++=

′

= emZemZEyyEyVar mm

σ2 σ2 E*

Gg=

Ip, Rm=

S*+

, Ip σ

2 σ2 2rm l

e ep

e

ggI G

=2

2

σσ

pe

gg IG

= 2

2

σσ

pe

gg IG

= 2

2

σσ

pe

ggI G

=2

2

σσ

- -j'RmZmm= j'Rmy**

' - -1 ˆ ' -[ZmR*Zm+Gm]m= ZmRm y**

2 2 2

- ˆ

' - -1

' -m= [ZmRmZm+Gm ]-1ZmRm y

*.

ˆ

ˆ

ˆ * * *

2 2 2

p-1σe = CME, σl = (CMER-CME)/2r, σm=

(CMEM_CMER), 2rpsˆ

2 1 2 ( p-1)σs=

[CMACE-CME] y σg=

[CMACG-CMACE], 2r 2rs( p-2)ˆ

2 2 2

2 2 2

Osval Antonio Montesinos-López et al.250 Agric. Téc. Méx. Vol. 35 Núm.3 1 de julio - 30 de septiembre 2009

;

;

MPLI familiar parcial de EM

De manera similar, para los valores medios de las cruzas se tiene que:

Cruza I J Dialélo Bloque Cruza I J Dialélo BloqueI II I II

1* 1 2 1 6.6 3.7 13 4 2 6 5 4.92* 1 3 2 5.5 5.4 14 4 3 8 5 4.33* 1 5 3 8 8.2 15* 4 5 10 6.4 6.54* 1 6 4 4.2 7.1 16* 4 6 11 8.2 65 2 1 1 6.5 5.5 17 5 1 3 5.5 7.16* 2 3 5 7.2 7.9 18 5 3 9 5 4.77* 2 4 6 6.3 4.9 19 5 4 10 5.2 3.48* 2 6 7 7.3 6 20* 5 6 12 4.5 59 3 1 2 6.1 5.3 21 6 1 4 6.6 5.710 3 2 5 6.4 6.5 22 6 2 7 5.1 4.511* 3 4 8 8.2 6 23 6 4 11 4.6 5.112* 3 5 9 4.5 5 24 6 5 12 3.8 3.5

Cuadro 1. Diseño parcial generado con los datos de Carballo et al. (1999).

Solución manual

MPLI familiar parcial de ACG

A partir de los datos del Cuadro 1 se tienen los siguientes resultados para valores medios de las cruzas:

=′ −

9416.207045.218857.226217.208678.205165.22

* gg ZRZ

=′ −

5896.215896.215896.215896.215896.215896.21

* µjRZ g

=

110000101000100010

000110000011100001010001000101000011

gZ , , -

−−

−−

=

−−−−−−

=

−

3698.00479.0

6115.04510.02604.0

51775.0

5896.219416.205896.217045.215896.218857.225896.216217.205896.218678.205896.215165.22

9373.39843.09843.009843.09843.09843.09373.39843.09843.009843.09843.09843.09373.39843.09843.0009843.09843.09373.39843.09843.0

9843.009843.09843.09373.39843.09843.09843.009843.09843.09373.3

ˆˆˆˆˆˆ

1

6

5

4

3

2

1

gggggg

Sustituyendo Zg , y en la Ec. 12 se tiene que el MPLI parcial de ACG es:

gg ZRZ −′ * µ* jRZ g−′

Si los progenitores se agrupan en las siguientes tres familias: , , . Reordenando términos se tiene que:

},{ 432 ppf = },{ 653 ppf =},{ 211 ppf =

−

−−

=

−−−−−−

=

6480.01149.02961.19679.07218.0

9269.0

5896.219416.205896.217045.215896.218857.225896.216217.205896.218678.205896.215165.22

ˆˆˆˆˆˆ

9373.39843.09843.00983.09843.09843.09373.39843.09843.009843.09843.09843.09373.39843.09843.0009843.09843.09373.39843.09843.0

9843.009843.09843.09373.39843.09843.09843.009843.09843.09373.3

3

3

2

2

1

1

ffffff

Esto nos conduce a que las ecuaciones normales en términos del efecto familiar son las siguientes:

−=

5331.03262.02051.0

ˆˆˆ

8432.99529.29529.29529.28432.99529.29529.29529.28432.9

3

2

1

fff

−

=

−

5331.03262.02051.0

8432.99529.29529.29529.28432.99529.29529.29529.28432.9

ˆˆˆ 1

3

2

1

fff

Finalmente, el MPLI familiar parcial de ACG es igual a:

−

−

−−−−−−

=

332.1118.2789.0

1179.00272.00272.00272.01179.00272.00272.00272.01179.0

ˆˆˆ

3

2

1

fff

−=

077.0047.0029.0

ˆˆˆ

3

2

1

fff

Mejor predictor lineal e insesgado familiar de aptitud combinatoria general en experimentos parciales de cruzas dialélicas con efectos maternos 251

Utilizando Zm y los datos del anexo 1, Cuadro 1 en la Ec. 18 se tiene que el MPLI parcial de EM es:

También suponiendo que los progenitores se agrupan en las siguientes tres familias: , , . Así, en términos de los efectos maternos se tiene que:

Resolviendo este sistema de ecuaciones se tiene que el MPLI familiar parcial de EM es:

Solución computacional

Los MPLI familiar parcial de ACG y de EM se pueden obtener con el programa SAS-IML (SAS, 1989) (Anexo 1). Es indispensable, para el uso del algoritmo, que la información colectada en un experimento dialélico parcial se organice de acuerdo al orden y estructura Anexo 1. Además, debe respetarse el nombre delarchivo y el orden de las variables especificadas en el comando INPUT debido a que el programa hace uso de ellas. En general, se tendrán t cruzas, donde, I = refiere al progenitor femenino y J almasculino, con I= i, J= j, 1≤i, j≤p, en DIALELOij= ji, REP= refiere a las repeticiones r, Y= a lav a r i a b l e r e s p u e s t a . L a s v a r i a b l e s I G y J G s o nmuy importantes ya que identifican a los miembrosde cada familia por medio de un número entero asignado por el usuario.

El programa SAS-IML produce los resultados que se presentan en los Cuadros 2 y 3, con lo cual se corrobora la metodología descrita anteriormente.

−−

−

−−

−−

−−

=

110000101000100010

000110000011100001

010001000101000011

mZ

−−−

=

−−−

−−−−−−−−−−−−

−−−−−−−−−−−−

=

−

0022.00023.00001.00

0028.00018.0

0689.20972.21134.00

6073.26721.1

1053.9261336.11336.101336.11336.11336.11053.9261336.11336.101336.11336.11336.11053.9261336.11336.1001336.11336.11053.9231336.11336.11336.101336.11336.11053.9261336.11336.11336.101336.11336.11053.926

ˆˆˆˆˆˆ

1

6

5

4

3

2

1

mmmmmm

},{ 21*

1 ppf = },{ 65*

3 ppf =},{ 43*

2 ppf =

−−−

=

−−−−−−−−−−−−

−−−−−−−−−−−−

0689.20972.21134.00

6073.26721.1

ˆˆˆˆˆˆ

1053.9261336.11336.101336.11336.11336.11053.9261336.11336.101336.11336.11336.11053.9261336.11336.1001336.11336.11053.9231336.11336.11336.101336.11336.11053.9261336.11336.11336.101336.11336.11053.926

3

3

2

2

1

1

ffffff

FV GL SC CM F Pr>FBloques 1 2.3408333 2.3408333 3.1176471 0.0907223Cruzas 23 58.836667 2.5581159 3.4070357 0.0023672ACG 5 8.6597917 1.7319583 0.5676419 0.7245515E. Fam 2 0.2559524 0.1279762 0.0419436 0.9592024E. Ifam 3 8.4038393 2.8012798 0.9181075 0.4866589ACE 6 18.306875 3.0511458 4.0636792 0.0063745EM 5 13.324792 2.6649583 1.0059045 0.4785772E.M. Fam 2 12.340556 6.1702778 2.3290083 0.1677478E.M. Ifam 3 0.9842361 0.3280787 0.1238353 0.9430589ER 7 18.545208 2.6493155 3.5285001 0.0101483Error 23 17.269167 0.7508333Total 47 78.446667

−−=

−−

−−−−−−

=

−

00225.000006.0

00231.0

1661.41134.0

2794.4

9434.18494008.34008.34008.39434.18494008.34008.34008.39434.1849

ˆˆˆ 1

*3

*2

*1

fff

Cuadro 2. Análisis de varianza generado con el algoritmo en IML de SAS (datos del Cuadro 1).

ACG= aptitud combinatoria general; ACE= aptitud combinatoria específica; EM= efectos maternos; ER= efectos recíprocos.

Osval Antonio Montesinos-López et al.252 Agric. Téc. Méx. Vol. 35 Núm.3 1 de julio - 30 de septiembre 2009

DISCUSIÓN

Los MPLI familiar de ACG y de EM difieren de los estimadores basados en el modelo de efectos fijos por la presencia de las matrices y (Henderson, 1963, 1973; Mastache et al., 1999; Hidalgo et al., 2003; Montesinos et al., 2005) en las Ecuaciones 12 y 18, respectivamente, las cuales involucran los componentes de varianza y afectan a las matrices y , que a su vez hacen que los MPLI de ACG y de EM tengan menor varianza que los obtenidos con el modelo de efectos fijos. La técnica de estimación, desarrollada por Henderson (1963, 1973), para obtener los MPLI tiene mayor precisión que la de mínimos cuadrados generalizados, aún cuando se obtienen los MPLI empíricos. Sin embargo, Harville y Carriquiry (1992) mencionan que existen situaciones en las que la ganancia en precisión ya no es tan grande y los MPLI empíricos deben analizarse con mayor cuidado.

CONCLUSIONES

En esta investigación se obtubierón el MPLI familiar de ACG y de EM en experimentos dialélicos parciales sobre la base del modelo de efectos mixtos con efectos maternos. Además, los MPLI familiares de ACG y de EM, no son necesariamente el promedio de los MPLI de ACG y de EM de los miembros de la familia o grupo, como ocurre en los experimentos de Griffing. Las ecuaciones de estimación de los MPLI familiares parciales de ACG y de EM, son combinaciones lineales de las ecuaciones de estimación de los MPLI parciales de ACG y de EM. Por otro lado, cuando no se conocen los componentes de varianza involucrados en las Ecuaciones 12 y 18, éstos se sustituyen por sus respectivos estimadores y se obtiene el MPLI familiar empírico de ACG y de EM, lo que ocasiona que la precisión del MPLI no sea tan grandes como cuando se conocen los componentes de varianza involucrados. Si éstos son

Estimación y predicción de ACG Estimación y predicción de EMProgenitor EMCG MPLI MPLI+Media EMCG MPLI MPLI+Media

1 0.51771 0.51771 6.00104 0.3115 0.0018 5.485142 -0.2604 -0.2604 5.22292 0.5563 0.00281 5.486153 -0.451 -0.451 5.03229 0.076 0 5.483344 0.61146 0.61146 6.09479 -0.0823 -0.0001 5.483215 -0.0479 -0.0479 5.43542 -0.4813 -0.0023 5.48107

6 -0.3698 -0.3698 5.11354 -0.3802 -0.0022 5.4811

Familia EMC-ACG MPLI-ACG EMC-EM MPLI-EM1 0.02976 0.02976 0.41944 0.002312 0.04762 0.04762 -0.01111 -0.000063 -0.07738 -0.07738 -0.40833 -0.00225

Cuadro 3. Estimación y predicción de ACG y de EM para los datos del Cuadro 1. El análisis se realizó con el algoritmo en IML de SASζ.

ζSAS= Software Statistical Analysis System; EMCG= estimador de mínimos cuadrados generalizados; MPLI= mejor predictor lineal e insesgado, MPLI+MEDIA= mejor predictor lineal e insesgado más el promedio de todas las cruzas.

Cuadro 4. Estimación y predicción de efectos familiares de ACG y de EM para los datos del Cuadro 1. El análisis se realizó con el algoritmo en IML de SASζ.

EMC-ACG= estimador de mínimos cuadrados de aptitud combinatoria general; EMC-EM= estimador de mínimos cuadrados de aptitud combinatoria específica; MPLI-ACG= MPLI familiar parcial de aptitud combinatoria general; MPLI-EM= MPLI familiar parcial de efectos maternos.

1−gG 1−

mG

gg ZRZ −′ * mmm ZRZ −′

Mejor predictor lineal e insesgado familiar de aptitud combinatoria general en experimentos parciales de cruzas dialélicas con efectos maternos 253

mejores que los obtenidos bajo el modelo de efectos fijos. También es necesario mencionar que los diseños uno y tres de Griffing ocurren como un caso particular de la clase de experimentos dialélicos parciales que consideran efectos maternos. Finalmente, el algoritmo computacional realizado proporciona de una forma rápida y compacta un análisis completo de estimación y predicción de efectos familiares en experimentos parciales de cruzas dialélicas, en donde se involucra la estimación de efectos maternos que considera aleatorios a los efectos de aptitud combinatoria general y específica, efectos maternos y recíprocos, con lo cual se logra un panorama completo de estimación y predicción.

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Anexo 1. Algoritmo computacional en IML de SAS.

OPTIONS PS=60 PAGENO=1 NODATE;DATA MASTACHE;INPUT CRUZA I J DIALELO REP Y1 Y2 Y3 Y4;IF I=1 THEN IG=1; IF I=2 THEN IG=1; IF I=3 THEN IG=2; IF I=4 THEN IG=2; IF I=5 THEN IG=2; IF I=6 THEN IG=2; IF J=1 THEN JG=1; IF J=2 THEN JG=1; IF J=3 THEN JG=2; IF J=4 THEN JG=2; IF J=5 THEN JG=2; IF J=6 THEN JG=2; ANGEL=2; CARDS;

Osval Antonio Montesinos-López et al.254 Agric. Téc. Méx. Vol. 35 Núm.3 1 de julio - 30 de septiembre 2009

Title " Análisis familial de experimentos simétricos balanceados de cruzas dialélicas ";PROC IML;USE MASTACHE; READ ALL INTO MATRIZ; CRUZA= MATRIZ[,1];A=MATRIZ[,2]; B=MATRIZ[,3]; REP=MATRIZ[,5]; N=NROW(MATRIZ); UNO = J(N,1,1);CERO=J(N,1,0); MDIS=DESIGN(CRUZA); M00=UNO*INV(UNO`*UNO)*UNO`; X= UNO||MDIS;XX=X`*X;XXIG=GINV(XX);M=X*XXIG*X`; BLOQ= DESIGN(REP); W=X||BLOQ;WW=W`*W;WINV=GINV(WW);WWW=W*WINV*W`;IDEN=I(N); T= NCOL(MDIS);R=MAX(REP);P=MAX(B); NC=NCOL(MATRIZ);J=UNO;ANGEL=MATRIZ[,NC]; IF ANY (A=B) THEN Q=1;ELSE Q=0; IF ANY (ANGEL=1) THEN PRINT "DISEÑO COMPLETAMENTE AL AZAR";ELSE PRINT "DISEÑO DE BLOQUES AL AZAR";

Title " La matriz diseño Zp ";A0=J(N,P,.);B0=J(N,P,.);DO AAA=1 TO P;DO CCC=1 TO N;IF A[CCC,1]=AAA THEN A0[CCC,AAA]=1;ELSE A0[CCC,AAA]=0;IF B[CCC,1]=AAA THEN B0[CCC,AAA]=1;ELSE B0[CCC,AAA]=0;END; END;AB= A0+B0;Zp= AB; ZpZp= Zp`*Zp;DIAGO= DIAG(ZpZp);Zii=DIAGO*J(P,1,1); X0= UNO||AB;X0X0=X0`*X0;X0IG=GINV(X0X0); M0=X0*X0IG*X0`;

Title " Matrices diseño para familias (ACG) ";IG= MATRIZ[,NC-2];JG=MATRIZ[,NC-1];FAMILIAS= MAX(JG);A000=J(N,FAMILIAS,.);B000=J(N,FAMILIAS,.);DO AAA=1 TO FAMILIAS;DO CCC=1 TO N;IF IG[CCC,1]=AAA THEN A000[CCC,AAA]=1;ELSE A000[CCC,AAA]=0;IF JG[CCC,1]=AAA THEN B000[CCC,AAA]=1;ELSE B000[CCC,AAA]=0;END;END;FAMGDIS = A000+B000;MIG=FAMGDIS*GINV(FAMGDIS`*FAMGDIS)*FAMGDIS`;COEFIC = UNO`*FAMGDIS;COEFIC=DIAG(COEFIC); FAMCOEF= TRACE(COEFIC);FAMCOEF=COEFIC*P/FAMCOEF;

Title " Diseños con eval. de C. recíprocas ";IF ANY(B<A) THEN DO;IF ANY(Zii-Zii[1,1]) >0.1 THEN PRINT "DIALÉLICO PARCIAL ASIMÉTRICO-CON C. RECÍPROCAS";ELSE IF 2*R*(2*Q+P-1)-Zii[1,1]>0.1 THEN PRINT "DIALÉLICO PARCIAL SIMÉTRICO-CON C. RECÍPROCAS";ELSE IF Q=1 THEN PRINT "DISEÑO 1 DE GRIFFING";ELSE PRINT "DISEÑO 3 DE GRIFFING";DIAL= MATRIZ[,4];D=DESIGN(DIAL);DD=D`*D;D0=D*(GINV(DD))*D`;Zm=A0-B0;ZmZm=Zm`*Zm; MAB=Zm*GINV(ZmZm)*Zm` ;S=D*D` ;E=I (N) ;Sm=2*(MDIS*MDIS` ) -S ;TRA1= TRACE((D0-M0)*E);TRA2=TRACE((D0-M0)*S);TRA3=TRACE((M0-M00)*E);TRA4=TRACE((M0-M00)*S);TRA5= TRACE((IDEN-00)*Zp*Zp`);TRA6=TRACE((M-D0-MAB)*Sm);TRA7=TRACE(MAB*Sm);TRA8=TRACE(Zm*Zm`);PRINT N T R P;

Title " Matrices diseño para familias (EM) ";FAMMDIS = A000-B000; MJG=FAMMDIS*GINV(FAMMDIS`*FAMMDIS)*FAMMDIS`;CONTfam= J(P,FAMILIAS,.); FKF=R*T/P;DO AAA= 1 TO FAMILIAS;FKKF1=0;DO CCC=1 TO N BY FKF; FKKF1=FKKF1+1;IF IG[CCC,1]= AAA THEN CONTfam[FKKF1,AAA]=1/FAMCOEF[AAA,AAA];ELSE CONTfam[FKKF1,AAA]=0;END; END;

Title " Análisis de varianza ";GLt= ROUND(TRACE(GINV((M-M00)*(M-M00))));IF ANY(ANGEL=1) THEN DO;GLr=.;GLe=N-1-GLt;END; IF ANY(ANGEL=2) THEN DO;GLr=ROUND(TRACE(GINV((WWW-M)*(WWW-M))));GLe=N-1-GLr-GLt;END;GLacg= ROUND(TRACE(GINV((M0-M00)*(M0-M00))));GLace= ROUND(TRACE((GINV(D0-M0)*(D0-M0))));GLem= OUND(TRACE(GINV((MAB)*MAB)));GLer=GLt-GLacg-GLace-GLem; FV = J(12, 5, .);UN=J(P,1,1);PROG=J(P, 4, .);PPP=J(P,1,.);PRG=PROG;FAMILIA=J(FAMILIAS, 4, .);FAMIL=J(FAMILIAS,1,.);DO LLL= 1 TO P BY 1;PPP[LLL,1]=LLL;END;DO LLLL = 1 TO FAMILIAS BY 1;FAMIL[LLLL,1]=LLLL;END;DO F= 6 TO (NC-3) BY 1;VARIABLE= F-5;Y= MATRIZ[,F];FC= Y`*M00*Y;MEDIA=UNO`*Y/N;SCTOT=Y`*Y-FC;IF ANY(ANGEL=1) THEN DO;SCE=Y`*(IDEN-M)*Y;CME=SCE/GLe;SCB=.;CMB=.;FBLOQ=.;END;IF ANY(ANGEL=2) THEN DO;SCE=Y`*(IDEN-WWW)*Y;CME=SCE/GLe;SCB=Y`*(WWW-M)*Y;CMB=SCB/GLr;FBLOQ=CMB/CME;END;SCCRUZA = (Y`*M*Y)-C;CMCRUZA =SCCRUZA/GLt;FCRUZA=CMCRUZA/CME;SCACE =

Mejor predictor lineal e insesgado familiar de aptitud combinatoria general en experimentos parciales de cruzas dialélicas con efectos maternos 255

Y`*(D0-M0)*Y;CMACE=SCACE/GLace;FACE=CMACE/CME; SCACG= (Y`*M0*Y)-FC;CMACG=SCACG/GLacg;FACG=CMACG/CMACE;SCEM= Y`*MAB*Y;SCER=SCCRUZA-(SCACG+SCACE+SCEM);CMEM=SCEM/GLem;CMER=SCER/GLer;FEM=CMEM/CMER;FER=CMER/CME; V=(CME**.5)*100/MEDIA;GLFAMg = ROUND(TRACE(GINV((MIG-M00)*(MIG-M00))));GLIFAMg=GLacg-GLFAMg;GLFAMm = ROUND(TRACE(GINV(MJG*MJG)));GLIFAMm=GLem-GLFAMm;SCFAMg = Y`*MIG*Y-FC;CMFAMg =SCFAMg/GLFAMg; FFAMg =CMFAMg/CMACE;SCIFAMg = SCACG-SCFAMg; CMIFAMg=SCIFAMg/GLIFAMg;FIFAMg= MIFAMg/CMACE;SCFAMm = Y`*MJG*Y; CMFAMm =SCFAMm/GLFAMm;FFAMm=CMFAMm/CMER;SCIFAMm= CEM-SCFAMm; CMIFAMm=SCIFAMm/GLIFAMm;FIFAMm=CMIFAMm/CMER;PROBFAMg= 1-PROBF(FFAMg,GLFAMg,GLace);PROBIFMg=1-PROBF(FIFAMg,GLIFAMg,GLace);PROBFAMm= 1-PROBF(FFAMm,GLFAMm,GLer);PROBIFMm=1-PROBF(FIFAMm,GLIFAMm,GLer);PROBb = 1-PROBF(Fbloq,GLr,GLe);PROBt=1-PROBF(Fcruza,GLt,GLE);P R O B a c g = 1 - P R O B F ( F a c g , G L a c g , G L a c e ) ; P R O B a c e = 1 - P R O B F ( F a c e , G L a c e , G L e ) ; P R O B e m = 1-PROBF(Fem,GLem,GLer); PROBer =1-PROBF(Fer, GLer, GLe);FV[1,1] = GLr;FV[2,1]=GLt;FV[3,1]=GLacg;FV[4,1] =GLFAMg;FV[5,1] =GLIFAMg;FV[6,1]=GLace;FV[7,1]=GLem;FV[8,1]=GLFAMm;FV[9,1]=GLIFAMm;FV[10,1]=GLer;FV [11,1]=GLe;FV[12,1]=N-1;FV[1,2] = SCB;FV[2,2]=SCCRUZA;FV[3,2]=SCACG;FV[4,2]=SCFAMg;FV[5,2]=SCIFAMg;FV[6,2]=SCACE;FV[7,2]=SCEM;FV[8,2]=SCFAMm;FV[9,2]=SCIFAMm;FV[10,2]=SCER;FV[11,2]=SCE;FV[12,2]=SCTOT;FV[1,3]=CMB;FV[2,3]=CMCRUZA;FV[3,3]=CMACG;FV[4,3]=CMFAMg;FV[5,3]=CMIFAMg;FV[6,3]CMACE;FV[7,3] =CMEM;FV[8,3]=CMFAMm;FV[9,3]=CMIFAMm;FV[10,3]=CMER;FV[11,3]=CME;FV[1,4]= FBLOQ;FV[2,4]=FCRUZA; FV[3,4]=FACG;FV[4,4]=FFAMg;FV[5,4]=FIFAMg;FV[6,4]=FACE;FV[7,4]=FEM;FV[8,4]=FFAMm;FV[9,4]=FIFAMm;FV[10,4]=FER;FV[1,5] = PROBb;FV[2,5]=PROBt;FV[3,5]=PROBacg;FV[4,5]=PROBFAMg;FV[5,5]=PROBIFMg;F V [ 6 , 5 ] = P R O B A C E ; F V [ 7 , 5 ] = P R O B E M ; F V [ 8 , 5 ] = P R O B FA M m ; F V [ 9 , 5 ] = P R O B I F M m ; F V [10,5]=PROBER;CCC={"GL""SC" "CM" "F" "Pr > F"};IF ANY(ANGEL=1) THEN DDD={" . " "CRUZAS" " ACG" " E.FAM." " E.IFAM." " ACE" " EM"" E.M.FAM." " E.M.IFAM." " ER" "ERROR" "TOTAL"};ELSE DDD={"BLOQUES" "CRUZAS" " ACG" " E.FAM." " E.IFAM." " ACE" " EM"" E.M.FAM." "E.M.IFAM." " ER" "ERROR" "TOTAL"};

Title " Estimación de las componentes de varianza ";VARe = CME;VARs=(GLace*CMace-CME*TRA1)/(TRA2);VARg = (GLacg*CMacg-VARs*TRA4-CME*TRA3) /(TRA5);VARr = GLer*(CMer-CME)/TRA6;VARm=(GLem*(CMem-CME)-VARr*TRA7)/TRA8; IF VARs > 0 THEN VARs=VARs;ELSE VARs=0;IF VARg>0 THEN VARg=VARg;ELSE VARg=0;IF VARr > 0 THEN VARr=VARr;ELSE VARr=0;IF VARm>0 THEN VARm=VARm;ELSE VARm=0;RR= (VARs/VARe)*S + E;GRR=GINV(RR);RI=(VARr/VARe)*Sm + E;GRI=GINV(RI);

Title " EMC, EMCG y el MPLI de ACG y de EM ";MU= INV(J`*GRR*J)*J`*GRR*Y;MC= GINV(Zp`*Zp)*Zp`*(Y-MEDIA*J);EMCG=GINV(Zp`*GRR*Zp)*Zp`*GRR*(Y-MU*J);IF VARg > 0 THEN INVGp=(VARe/VARg)*I(P);ELSE INVGp=0*I(P);EMCGMED=EMCG+MU*UN;MPLI= GINV(Zp`*GRR*Zp+INVGp)*Zp`*GRR*(Y-MU*J);MPLIMED=MPLI+MU*UN;PROG[,1]= EMCG;PROG[,2]=MPLI; PROG[,3]=EMCGMED;PROG[,4]=MPLIMED;EEE = {"EMCG" "MPLI" "EMCG+MU""MPLI+MU"};FFF=CHAR(PPP,3,0);IF VARm > 0 THEN INVGm=(VARe/VARm)*I(P);ELSE INVGm=0*I(P);EMCm=GINV(Zm`*Zm)*Zm`*Y;EMCGm =GINV(Zm`*GRI*Zm)*Zm`*GRI*Y; MPLIm = GINV(Zm`*GRI*Zm+INVGm)*Zm`*GRI*Y;PRG[,1]= EMCGm; PRG[,2]=MPLIm;PRG[,3]=EMCGm+MU*UN;PRG[,4]=MPLIm+MU*UN;

Title " Los EMCG y los MPLI para familias ";IF VARg > 0 THEN INVGpp=(VARe/VARg)*FAMCOEF;ELSE INVGpp=0*FAMCOEF;PFAMg =GINV(FAMGDIS`*GRR*FAMGDIS+INVGpp)*FAMGDIS`*GRR*(Y-MU*J);EFAMg=GINV(FAMGDIS`*GRR*FAMGDIS) *FAMGDIS`*GRR*(Y-MU*J);IF VARm > 0 THEN INVGmm=(VARe/VARm)*FAMCOEF;ELSE INVGmm=0*FAMCOEF;

Osval Antonio Montesinos-López et al.256 Agric. Téc. Méx. Vol. 35 Núm.3 1 de julio - 30 de septiembre 2009

PFAMm=GINV(FAMMDIS`*GRI*FAMMDIS+INVGmm)*FAMMDIS`*GRI*Y;EFAMm=GINV(FAMMDIS`*GRI*FAMMDIS) *FAMMDIS`*GRI*Y;FAMILIA[,1]= EFAMg;FAMILIA[,2]=PFAMg;FAMILIA[,3]=EFAMm;FAMILIA[,4]=PFAMm;EEEE={"EMCGg" "MPLIg" "EMCGm" "MPLIm"};FFFF=CHAR(FAMIL,3,0);

Title " La matriz de coeficientes: C de ACG y EM ";CC1= (UNO`*GRR*UNO)||(UNO`*GRR*Zp);CC2= (UNO`*GRR*Zp)`||((Zp`*GRR*Zp)+INVGp);CC3=CC1`||CC2`;CCCC = GINV(CC3);GAMA=2:P+1;CCCC=CCCC[GAMA, GAMA];CC4= Zm`*GRI*Zm+INVGm;CCCCC=GINV(CC4);

Title " Impresión de resultados ";PRINT VARIABLE;PRINT "CUADRO 1. ANÁLISIS DE VARIANZA.";PRINT FV[ROWNAME=DDD COLNAME=CCC];PRINT MEDIA[FORMAT= 12.5] CV[FORMAT=12.5];PRINT,;PRINT " ESTIMACIÓN DE LAS COMPONENTES DE VARIANZA";PRINT VARe[FORMAT=12.5] VARr[FORMAT=12.5] VARm[FORMAT=12.5] VARs[FORMAT=12.5] VARg[FORMAT=12.5];PRINT /;PRINT MU[FORMAT= 12.5];PRINT,;PRINT "CUADRO 2. ESTIMACIÓN Y PREDICCIÓN DE ACG.";PRINT PROG[ROWNAME=FFF COLNAME=EEE FORMAT=12.5];PRINT ,; PRINT "CUADRO 3. ESTIMACIÓN Y PREDICCIÓN DE EM.";PRINT PRG[ROWNAME=FFF COLNAME=EEE FORMAT=12.5];PRINT ,; PRINT "CUADRO 4. ESTIMACIÓN Y PREDICCIÓN FAMILIAL.";PRINT FAMILIA[ROWNAME=FFFF COLNAME=EEEE FORMAT=12.5];PRINT /;PRINT "CUADRO 5. LA MATRIZ DE COEFICIENTES C22 DE ACG.";PRINT CCCC[FORMAT=7.3];PRINT ,;PRINT "CUADRO 6. LA MATRIZ DE COEFICIENTES C DE EM.";PRINT CCCCC[FORMAT=7.3];PRINT /; END;END; QUIT;