7/26/2019 Mestodos de energia

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Libro gua:

Beer F.,etal.,Mecnica de Materiales, Mc Graw Hill, 6ta Edicin, 2012.Notas de clase realizadas por:

J. Walt OlerTexas Tech University

Mtodos de energa

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Mtodos de energa

11 - 2

- Energa de deformacin.- Densidad de energa de deformacin.

- Energa elstica de deformacin para esfuerzos normales.

- Carga de impacto.

- Diseo para carga de impacto.- Trabajo y energa bajo una carga nica.

- Deflexin bajo una carga nica por el mtodo de trabajo energa.

- Trabajo y energa bajo varias cargas.

- Teorema de Castigliano.- Deflexin por el teorema de Castigliano.

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Ejemplos de aplicacin de mtodos deenerga

11 - 3

Atenuador de impactos para un formula SAE

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Ejemplos de aplicacin de mtodos deenerga

11 - 4

Atenuador de impactos para un formula SAE

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Ejemplos de aplicacin de mtodos deenerga

11 - 5

Impacto frontal de un vehculo contra un poste

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Energa de deformacin

11 - 6

Una barra uniforme es sometida a una carga queincrementa lentamente.

Eltrabajo elementalrealizado por la cargaPmientrasla barra se estira una pequea distancia dx es:

el cual es igual al rea de ancho dxbajo el diagrama

esfuerzo deformacin.

elementaldxPdU trabajo

El trabajo total hecho por una carga para una

deformacinx1,

1

0

x

dxPU

11212

121

0

1

xPkxdxkxU

x

En el caso de una deformacin elstica,

trabajo total = energa de

deformacin

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Densidad de energa de deformacin

11 - 7

Para eliminar los efectos del tamao, evaluar laenerga de deformacin por unidad de volumen,

ndeformacideenergadedensidaddu

L

dx

A

P

V

U

x

x

1

1

0

0

Cuando se deja de aplicar la carga en el material elesfuerzo regresa a cero, pero existe una deformacinpermanente. Slo se recupera la energa dedeformacin representada por el rea triangular.

El resto de la energa se disipa en el material en forma decalor.

La densidad de la energa de deformacin, es igual alrea bajo la curva hasta el punto

1.

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Densidad de energa de deformacin

11 - 8

La energa de deformacin resultado de

seleccionar 1 R es el mdulo detenacidad. La energa por unidad de volumen requerida

para causar la ruptura de un material esrelacionada con su ductilidad y su resistencialtima.

Si el esfuerzo se mantiene dentro del limiteproporcional,

E

EdEu x

22

21

21

0

1

1

La densidad de la energa de deformacinque resulta de hacer

1 Yes el mdulo de

resiliencia.

aresiliencidemodulo

E

u YY

2

2

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Ejercicios

11 - 9

Determine el mdulo de resiliencia para cada uno de lossiguientes metales:

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Energa de deformacin elstica para esfuerzosnormales

11 - 10

En un elemento con una distribucin de esfuerzosno uniforme,

ndeformaciodetotalenergialim0

dVuUdV

dU

V

Uu

V

Para valores de u < uY , i.e., debajo del limiteproporcional,

ndeformacideelsticaenerga2

2

dVEU x

Bajo carga axial, dxAdVAPx

L

dx

AE

PU

0

2

2

AE

LPU

2

2

Para una barra de seccin transversal uniforme,

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11/31

Ejercicio

11 - 11

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12/31

Ejercicio

11 - 12

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13/31

Ejercicio

11 - 13

En la armadura que se muestra en la figura, todos los elementos

son del mismo material y tienen la seccin transversal indicada.Determine la energa de deformacin de la armadura cuando seaplica la carga P.

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Energa de deformacin elstica para esfuerzos

normales

11 - 14

I

yMx

Para una viga sometida a una carga de

flexin, dVEI

yMdV

EU x

2

222

22

HaciendodV = dAdx,

dxEI

M

dxdAyEI

MdxdA

EI

yMU

L

L

A

L

A

0

2

0

2

2

2

02

22

2

22

Para una viga en voladizo con una carga

en el extremo,

EI

LPdx

EI

xPU

PxM

L

62

32

0

22

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Problema de muestra 11.2

11 - 15

a) Tomando en cuenta nicamenteesfuerzos normales debidos a flexin,determine la energa de deformacin dela viga para la carga mostrada.

b) Evalu la energa de deformacinconociendo que la viga es de un perfilW10x45,P= 40 kips,L= 12 ft,a= 3ft,b= 9 ft, yE= 29x106psi.

SOLUCIN:

Determine las reacciones en A y Bdel diagrama de cuerpo libre de laviga completa.

Integrar sobre el volumen de laviga para encontrar la energa dedeformacin.

Aplicar las condiciones particulares

para evaluar la energa dedeformacin.

Desarrolle un diagrama de la

distribucin momento flector.

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Problema de muestra 11.2

11 - 16

SOLUCIN:

Determine las reacciones en A y Bdel diagrama de cuerpo libre de laviga completa.

L

PaR

L

PbR BA

Desarrollar un diagrama dedistribucin del momentoflexionante.

v

L

PaMx

L

PbM 21

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Problema de muestra 11.2

11 - 17

vL

Pa

M

xL

PbM

2

1

BD,Tramo

AD,Tramo

43in248ksi1029

in.108in.36a

in.144kips45

IE

b

LP

Integrar sobre el volumen de la viga paraencontrar la energa de deformacin.

baEIL

baPbaab

L

P

EI

dxxL

Pa

EIdxx

L

Pb

EI

dvEI

Mdx

EI

MU

ba

ba

2

2223232

2

2

0

2

0

2

0

22

0

21

6332

1

2

1

2

1

22

EIL

baPU

6

222

in144in248ksi10296

in108in36kips40

43

222

U

kipsin89.3 U

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Carga de impacto

11 - 18

Considerar una barra que esgolpeada en su extremo con un

cuerpo de masa m que se muevecon una velocidadv0. La barra se deforma por la carga de

impacto. Los esfuerzos llegan a unvalor mximo m y luegodesaparecen.

Para determinar el esfuerzo mximo

m- Asumir que la energa cintica se

transfiere completamente a laestructura, 2

021mvUm

- Asumir que el diagrama esfuerzodeformacin obtenido de unensayo quasi - esttico tambin esvlido para una carga de impacto.

dVEU m

m2

2

El valor mximo de la energa de

deformacin,

Para el caso de una barra uniforme,

V

Emv

V

EUmm

202

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Ejemplo 11 06

11 - 19

Un cuerpo de masa m y velocidad v0golpea el extremo de la barra nouniforme BCD. Sabiendo que el

dimetro de la porcinBCes dos vecesel dimetro de la porcin CD,Determine el valor mximo delesfuerzo normal en la barra.

SOLUCIN:

Debido al cambio en dimetro, ladistribucin de esfuerzos normales no esuniforme.

Encontrar la carga esttica Pm queproduce la misma energa de

deformacin que el impacto. Evaluar el mximo esfuerzo

resultante de la carga estticaPm.

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Ejemplo 11 06

11 - 20

SOLUCIN:

Debido al cambio de dimetro, ladistribucin de esfuerzosnormales no es uniforme.

E

VdV

E

mvU

mm

m

22

22

2

021

Encontrar la carga esttica Pm queproduce la misma energa dedeformacin que el impacto.

L

AEUP

AE

LP

AE

LP

AE

LPU

mm

mmmm

5

16

16

5

8

2

2

2222

Evaluar el esfuerzo mximo resultantede la carga estticaPm

AL

Emv

AL

EU

A

P

m

mm

20

5

8

516

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Ejemplo 11 07

11 - 21

Un bloque de peso W se deja caer deuna altura h en el extremo libre de unaviga en voladizo. Determinar el valor

mximo del esfuerzo en la viga.

SOLUCIN:

El esfuerzo normal vara linealmente alo largo de la viga, tambin varalinealmente a lo largo de la seccintransversal.

Encontrar la carga esttica Pm que

produce la misma energa dedeformacin que el impacto.

Evaluar el esfuerzo mximoresultante de la carga estticaPm

7/26/2019 Mestodos de energia

22/31

Ejemplo 11 07

11 - 22

SOLUCIN:

Los esfuerzos normales varanlinealmente a lo largo de la viga,

tambin varan a lo largo de laseccin transversal.

E

VdV

E

WhU

mm

m

22

22

Encontrar la carga esttica Pm queproduce la misma enega dedeformacin que la carga de impacto.Para una viga en voladizo,

3

32

6

6

LEIUP

EI

LPU

mm

mm

Evaluar el esfuerzo mximoresultante de la carga estticaPm

2266

cIL

WhE

cIL

EU

I

LcP

I

cM

m

mmm

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23/31

Ejercicio

11 - 23

7/26/2019 Mestodos de energia

24/31

Diseo para cargas de impacto

11 - 24

Para el caso de una barra uniforme,

V

EUmm

2

V

EU

VLcccLcIL

cILEU

mm

mm

24

//

6

412

4124

412

2

Para el caso de una viga en voladizo,

El esfuerzo mximo sereduce por:

uniformidad de esfuerzos bajo mdulo de elasticidad con

alta resistencia a la cedencia.

gran volumen

Para el caso de una barra no uniforme,

V

EU

ALLALAV

AL

EU

mm

mm

8

2/52/2/4

5

16

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25/31

Trabajo y energa para una carga nica

11 - 25

Previamente se encontr laenerga de deformacin alintegrar la densidad de energasobre el volumen.Para una barra uniforme,

AE

LPdxA

E

AP

dVE

dVuU

L

22

2

21

0

21

2

La energa de deformacin puede serdeterminada por el trabajo de una carga

P1,

1

0

x

dxPU

Para una deformacin elstica,

11212

121

00

11

xPxkdxkxdxPUxx

Conociendo la relacin entre fuerza y

desplazamiento,

AE

LP

AE

LPPU

AE

LPx

2

211

121

11

7/26/2019 Mestodos de energia

26/31

Trabajo y energa para una carga nica

11 - 26

La energa de deformacin puede ser encontrada del trabajo de otro tipo de

cargas individuales,

EI

LP

EI

LPP

yPdyPU

y

63

321

31

12

1

112

1

0

1

Carga transversal en unaviga

EI

LM

EI

LMM

MdMU

2

211

12

1

112

1

0

1

Momento flexionante

7/26/2019 Mestodos de energia

27/31

Ejercicio

11 - 27

El collar D es liberado de la posicin de reposo con la ubicacin mostradaen la figura y es detenido por una pequea placa colocada en la barraABC en el extremo C. Determine la masa del collar para el cual losesfuerzos mximos en la porcin BC son de 125MPa.

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28/31

Trabajo y energa bajo varias cargas

11 - 28

La deflexin de una viga elstica sometida ados cargas concentradas,

22212122212

21211112111

PPxxx

PPxxx

Aplicando las cargas en diferente orden se

tiene 21111221222221 2 PPPPU

Las expresiones de la energa de deformacindeben ser equivalentes. Se tiene que

12

21

(Teorema reciproco de Maxwell).

22222112

21112

1 2 PPPPU

Calcular la energa de deformacin en la vigaal evaluar el trabajo realizado al aplicarlentamente la carga P1 y a continuacin lacargaP2,

7/26/2019 Mestodos de energia

29/31

Teorema de Castigliano

11 - 29

22222112

21112

1 2 PPPPU

La energa de deformacin para unaestructura elstica sometida a dos cargasconcentradas,

Derivando con respecto a las cargas,

22221122

12121111

xPPP

U

xPPP

U

Teorema de Castigliano: Para una estructuraelstica sometida ancargas, la deflexinxjdel

punto de aplicacin dePjpuede ser expresadocomo

andj

j

j

jM

U

P

Ux

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Deflexin por el teorema de Castigliano

11 - 30

La aplicacin del teorema de Castigliano sesimplifica si la diferenciacin con respecto a la

cargaPjse realiza antes de la integracin paraobtener la energa de deformacinU.

En el caso de una viga,

L

jjj

L

dxP

M

EI

M

P

Uxdx

EI

MU

00

2

2

7/26/2019 Mestodos de energia

31/31

Ejercicio

11 - 31