Mesures et distributions, th©orie et illustration par les exemples : Mesures de radon,...

MATHÉMATIQUES

Mesures et distributions Theorie et illustration

par les exemples

Mesures de radon, distributions, convolutions, transformations de

Fourier, distributions périodiques

Françoise DEMENGEL Gilbert DEMENGEL

UNIVERSITÉS

MATHÉMAl �UES

MESURES ET DISTRIBUTIONS ÎHÉORIE ET ILLUSTRATION

PAR LES EXEMPLES

Mesures de Radon, distributions, convolutions, transformations de Fourier, distributions périodiques

Françoise DEMENGEL Gilbert DEMENGEL

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ISBN 2-7298-0409-9 © Ellipses Édition Marketing S.A., 2000

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A Jeanne, à Dominique,

et à Stéphane.

TABLE DES MATIÈRES

Avant-propos 6 Annexes des chapitres 1.A et 1.B 67

1. 1 . Changement de variables

Chapitre 1.A dans les intégrales multiples 67

MESURES DE RADON 1.2. Propriétés de la fonction

ET INTÉGRATION 9 eulérienne r 68

1 . Rappels de topologie 9 1.3. Théorème de Radon-Nikodym 69

2. Définition des mesures, mesures Exercices sur les chapitres 1 72 positives 10

3. Mesures bornées 1 3 Chapitre 2.A 4. Support d'une mesure 16 LES DISTRIBUTIONS 85 5. Convergences vague et étroite 16 1. Préliminaires 85

6. Intégrale supérieure de fonctions 2. Espaces fondamentaux 87 semi-continues inférieurement 19 3. Restrictions à des ouverts. Support 99 7. Intégrales d'une fonction 4. Distribution à support compact 100 quelconque 23

8. Ensembles et fonctions 5. Opérations algèbriques

négligeables 25 sur les distributions 103

9. Intégrabilité des fonctions 26 6. Dérivation des distributions 105

1 O. Espaces de Lebesgue des fonctions sommables 33 Chapitre 2.B

11. Mesurabilité 34 EXEMPLES

12. Espaces de Lebesgue LP(R) DE DISTRIBUTIONS 113 36

1. Parties finies dans R 113 13. Espace de Lebesgue L (R) 40 2. Dérivation de fonctions

14. Produit tensoriel de deux conduisant à des peignes 118 mesures 41 3. Dérivation conduisant

à des mesures de Radon 121

Chapitre 1.B 4. Distributions associées

EXEMPLES DE MESURES à la distance à l'origine 129 DE RADON 45 5. Solution élémentaire d'opérateur 1 . Mesures -de type peigne 45 différentiel 134

2. Mesures à densité 48 Exercices sur les chapitres 2 136

3. Mesures associées

à des fonctions d'intervalles 50 Chapitre 3.A 4. Fonctions définies PRODUITS TENSORIEL par des intégrales de Lebesgue 52 ET CONVOLUTIF 147 5. Mesures associées aux courbes 1 . Préliminaires 147 et surfaces 53 2. Produit tensoriel de deux 6. Mesures et champs de vecteurs 62 distributions 150

TABLE DES MATIERES

3. Définitions de convolution de distributions 154

4. Algèbres de convolution 166

Chapitre 3.B. EXEMPLES DE PRODUITS TENSORIELS ET CONVOLUTIFS 171

1. Exemples de produits tensoriels 17 1

2. Exemples de produits convolutifs 173

3. Calcul symbolique 183

Exercices sur les chapitres 3 185

Annexes des chapitres 3 192

3.1 Convolution de mesures et de fonctions 192

3.2. Théorie des résidus 193

Chapitre 4.A TRANSFORMATION DE FOURIER 194

1. Transformation dans L1(RN) 194

2.Transformation des fonctions de carré sommable . 198

3.Transformation dans S (RN) 200

4. Distributions tempérées 202

5. Convolution et transformation de Fourier 207

Chapitre 4.B EXEMPLES DE TRANFORMÉES DE FOURIER 213

1. Calcul de transformées de fonctions

2. Calcul de transformées

de distributions

2 13

2 17

3. Peignes tempérés et convolutions 224

4. Transformées dans R2 ou dans RN 226


Chapitre S.A LES DISTRIBUTIONS PÉRIODIQUES ET LES SÉRIES DE FOURIER 235

1. Définitions, rappels et exemples 235

2. Opérations sur ces fonctions

ou distributions 238

3. Etude des motifs générateurs

et applications 238

4. Développement des distributions périodiques 242

5.0pérations sur les séries

de Fourier 248

6. Distributions sur le cercle 250

7. Algèbre convolutive de distributions périodiques 253

8. Notions sur le cas de plusieurs variables 254

9. Note sur les séries de Fourier de fonctions

Chapitre 5.B EXEMPLES DE SÉRIES

256

DE FOURIER DE DISTRIBUTIONS PÉRIODIQUES 261

l .Fonctions de Bessel

2. Séries de Fourier de fonctions

et de distributions

261

265

3. Séries de Fourier à deux variables 270

4. Applications à la résolution d'équations 272


INDEX TERMINOLOGIQUE 286

BIBLIOGRAPHIE 288

5

AVANT-PROPOS DES AUTEURS

Ce livre présente des notions mathématiques qui sont au programme de l'Université, notamment au niveau des maîtrises de mathématiques pures et appliquées. Un bon nombre de résultats et surtout les méthodes de calcul développées à partir de certains exemples sont également utilisables par les étudiants en maîtrise de type EEA. D'une façon plus large, cet ouvrage peut s'adresser aux utilisateurs (les physiciens, les spécialistes du traitement du signal, par exemple) de la théorie des distributions en fournissant des points de référence, des idées d'applications et des justifications, en indiquant des méthodes spécifiques ou en traitant de façon détaillée des exemples de calculs.

Importance de la théorie des distributions

La théorie des distributions est une théorie jeune puiqu'elle a été découverte et mise sous sa forme actuelle par Laurent Schwartz au milieu du siècle et qu'elle est, depuis, à la source d'un grand nombre de recherches menées par de grandes personnalités mathématiques, tels J.Leray, J.L.Lions, Sobolev, . .et al. Cette théorie est aussi révolutionnaire dans son concept que celle d'Einstein sur la relativité pour la Physique. Elle est intéressante sur le plan de sa maniabilité en ce qui concerne les équations aux dérivées partielles. Elle a permis, en se plaçant dans un cadre beaucoup plus large que celui, classique des équations différentielles ordinaires, de résoudre de nombreuses équations venues de la physique, de la mécanique des fluides, du traitement du signal. . En outre, même si les solutions trouvées ne sont pas toujours susceptibles d'interprétations immédiatement satisfaisantes pour les physiciens, les améliorations apportées aux distributions proprement dites par la théorie des espaces de Sobolev puis par l'analyse numérique ont permis de montrer, a postériori, que de telles solutions sont souvent en fait des fonctions dérivables au sens habituel . . De plus, cette analyse numérique, s'appuyant sur des principes directement inspirés de la théorie des distributions, développe des approximations de ces solutions et des implémentations numériques qui fournissent une « idée concrète » des résultats obtenus. Disons, en quelques mots en quoi cette théorie des distributions est puissante : elle permet, par exemple, de dériver, même indéfiniment, en un certain sens, une fonction de IL \oc qui n'est pas dérivable au sens usuel. Dans l'espace des distributions, on peut, et cela sans aucune hypothèse supplémentaire, dériver, chercher des primitives, dériver terme à terme des séries, opérations qui ne sont toujours licites en théorie des fonctions . .

Organisation d e l'ouvrage

Dans ce livre, chaque thème présenté fait l'objet de trois parties ( chapitre A, chapitre B puis exercices) . Pour chacun des cinq chapitres A, il est proposé, dans un chapitre B qui lui est associé, un certain nombre de développements de la partie théorique qui demandent des calculs explicites et des résolutions de problèmes dont on peut penser qu'ils sont utiles pour une meilleure compréhension des propriétés démontrées dans le chapitre A. Généralement, ces résolutions sont très détaillées. Non seulement, nous croyons à

AVANT-PROPOS 7

l ' importance du calcul explicite, surtout s' il s ' accompagne d'une réflexion sur les outils utilisés, sur les analogies, sur les méthodes et leur comparaison, mais nous estimons aussi qu' il permet à l 'étudiant de se familiariser avec les notions nouvelles, d 'en mieux comprendre le fonctionnement et de se garder de certaines erreurs. Par ailleurs, certains exemples proposés prolongent des notions seulement esquissées dans la partie A.

Analyse du contenu de l'ouvrage :

La construction des mesures abordée dans le chapitre 1 utilise le point de vue des mesures de Radon. L'espace de ces mesures est défini comme le dual topologique de l' espace des fonctions continues à support compact, muni d'une topologie convenable que nous ne détaillons pas ici . Sous cette forme, les mesures apparaissent comme un premier exemple de distributions qui ne soit pas une fonction , comme c'est le cas de la mesure de Dirac, bien connue des physiciens. Une deuxième raison qui motive l ' introduction de l'ouvrage par ce chapitre est de rappeler des notions de théorie de Lebesgue, outil fondamental pour la théorie des distributions. Parmi les exemples proposés dans la partie B, citons les peignes généralisées qui sont des séries de mesures de Dirac, les mesures de Stieljes, les mesures portées par des hypersurfaces suffisamment régulières.

Le chapitre 2.A débute par une étude de l ' espace .2{11) des fonctions de classe C00 et à support compact dans [R{N ou dans un de ses ouverts Q, en particulier de sa topologie. N'étant pas normable, cette topologie se révèle d'un abord peu commode, mais l 'utilisation de suites convergentes pour cette topologie permet de surmonter cette difficulté. L'espace des distributions sur Q est défini comme le dual topologique de .2{ Q ). Parmi les exemples de distributions, on connait déjà les fonctions localement sommables, puisque ce sont des mesures, mais la dérivation et diverses opérations sur les distributions nous fournissent d 'autres exemples. Par exemple les dérivées des mesures de Dirac, les parties finies et les valeurs principales. L'étude de la structure des distributions révèle , modulo un abus de langage, qu'une distribution est une dérivée d'ordre suffisemment élevé d'une fonction continue. De plus une régularité sur les dérivées d'une distribution donne des informations sur cette

distribution, par exemple si T est une distribution sur !Rl, telle que r(k) est une fonction

continue, alors T est en fait une fonction de classe ek. Le chapitre 2.B présente des généralisations des valeur principales et parties finies, précise des liens entre elles. Il généralise la notion de peignes mesures en peignes

distributions, et la notion de distributions portées par une hypersurface C "° .

Suit un chapitre concernant la convolution de distributions (chapitre 3 .A) . Après la définition et les propriétés du produit tensoriel, on présente le produit de convolution au sens des supports, puis une généralisation, appelée G-convolution. Cette G- convolution a l' avantage d'englober la convolution des fonctions ll._P, ou des mesures bornées, et de leurs dérivées , ce qui n'est pas le cas pour la convolution au sens des supports. La plupart des propriétés de la convolution au sens des fonctions, s 'étendent à la G-convolution des distributions, et les opérations de dérivation et de translation sont le

8 MESURES ET DISTRIBUTIONS. THEORIE ET ILLUSTRATION PAR LES EXEMPLES

point de départ, par exemple, de résolution d'équations différentielles dont le second membre est une distribution, ceci dans le cadre d'algèbres de convolution. La partie B du chapitre III est consacrée pour une grande part à des calculs explicites de convolution de distributions (valeurs principales ou parties finies entre elles), pour lesquels un des outils employés est le théorème des résidus. Une autre partie propose des résolutions d' équations différentielles et intégro-différentielles qui sont des équations de convolution; l'utilisation du cacul symbolique permet de simplifier les calculs.

La transformation de Fourier fait l 'objet du chapitre suivant. (Chapitre 4). Il débute par une étude de la transformation de Fourier de fonctions de IL 1. Les propriétés de la transformée de Fourier incitent une introduction de l' espace, noté � des fonctions

C00 à décroissance rapide et de sa topologie. Le dual topologique S' de Sest un espace de distributions (dites tempérées), dans lequel la transformation de Fourier ':J.. est un isomorphisme pour la topologie de S' . La fin de ce chapitre est consacrée à la relation J(T * S) = J(T)J(S) entre le produit de

convolution et la transformation de Fourier. En particulier, la notion de convoleur et l 'étude de sa structure permettent d'obtenir des exemples de G-convolution avec toute distribution tempérée et de validité de la formule prévédente. Outre des exemples de calcul de transformées de Fourier de fonctions et de distributions de Dirac, le chapitre d'exemples 4 .B présente des calculs de transformées de Fourier de distribu�ions, notamment de valeurs principales. Les méthodes employées étant le théorème des résidus, l 'utilisation même des propriétés de J et particulièrement de la convolution. Le chapitre 5 définit les distributions périodiques, et introduit la notion de motif générateur, qui remplace la notion de restriction à un intervalle-période dans le cas des fonctions IL \0c . Ce motif générateur permet de définir les coefficients de Fourier d'une distribution périodique. Sans autre hypothèse -et ceci contrairement au cas des fonctions-, on démontre que toute distribution est la somme de sa série de Fourier (au sens des distributions) . On met en place une identification entre les distributions périodiques de période a et les distributions définies sur la circonférence de longueur a. On définit la convolution sur l 'espace des distributions a-périodique, ce qui permet de résoudre des équations différentielles avec un second membre distribution périodique. Le chapitre se termine en montrant comment il est possible de déduire les théorèmes de la théorie des séries de Fourier de fonctions en utilisant les résultats concernant les distributions pérkiodiques. Plusieurs exemples de résolution d'équations différentielles ou autres équations qui se ramènent à des équations de convolution dans l' algèbre de convolution des distributions apériodiques. sont traitées dans le chapitre 5 .B . On y calcule également des coefficients de Fourier de fonctions et de distributions. En particulier, on utilise la propriété pour certaines fonctions de fournir, par dérivation à un ordre suffisant une combinaison de peignes et de dérivées de peignes. L'ecriture immédiate de la série de Fourier d'une telle combinaison permet alors, par des intégrations, d' obtenir le résultat pour la fonction donnée.

CHAPITRE 1 A

MESURES DE RADON ET INTEGRATION

Ce chapitre est consacré à l 'étude des mesures de Radon sur !Rl.N ou sur des ouverts Q de

!Rl.N et à l ' intégrabilité des fonctions numériques vis-à-vis de ces mesures. L'intégrabilité au sens de Lebesgue en est ainsi un exemple particulier. On supposera connue, dans ce qui suit, la notion d'intégrabilité au sens de Riemann ainsi que la notion d' intégrale généralisée qui lui est associée. On commence par des propriétés de séparation d'ouverts et de compacts et de décompositions de t H 1 sur un compact, dites «partitions de l'unité » .

1 . RAPPELS DE TOPOLOGIE

On considère Q comme un sous espace métrique de. !Rl.N. La distance euclidienne est notée

d et les boules (centre a et_ rayon r) sont désignées par B( a, r) .

Lemme 1.1.A (de séparation d'Urysohn)

Preuve Pour N = 1 , on peut suivre la démonstration dans l ' exercice N° 1 . Pour la commodité, on peut supposer que Q est borné. Soit e > 0 assez petit P.Our que

F + B(O,e) c Q. Soient a::;; d (F,ô .Q+B(O,e)) et la fonction r/J définie par :

r/J (x) = (1 -d{:F>r

Il est clair que r/J est continue, comprise entre 0 et 1 et vérifie r/J ( x) = 1 sur F et

r/J (x) = 0 dès que d(x ,F) ;;::; a, c'est-à-dire hors d'un certain compact inclus dans Q.

lllftï�•••tlflfl• Remarque 1.1.A Ce résultat est équivalent au suivant : Soit r/J une fonction continue à support compact et

(ni) un recouvrement ouvert fini de son support. Alors, il existe des fonctions r/J i à

supports compacts dans Q i pour tout j et telles que : Li r/J i = r/J .

Les fonctions r/J i constituent alors ce qu'on appelle une «partition de ! 'unité sur K

subordonnée au recouvrement de K par ( Q i) ».

Preuve On peut suivre, dans le cas de N = 1 , la démonstration dans l 'exercice N°2. On y construit notamment les fonctions r/J i constituant cette partition.

10 MESURES ET DISTRIBUTIONS. THEORIE ET ILLUSTRATIONS PAR LES EXEMPLES

Pour tout x de K, il existe i tel que x E n i . Soit alors W.., un voisinage compact de x tel que W.., c ni . Par la compacité de K, il existe un nombre fini de xi , (J ::; m) , tels que K c W.., u W,._ u .... u W.., . Soit Hi , la réunion de ces W.., , étendue à tous les j tels que 1 �,i m ) W.., c ni . C'est un compact inclus dans ni> donc d'après le théorème précédent, il J existe des fonctions gi telles que :

}H ::;gi::; },.., · ' .. , On définit alors la suite des rjJ i à l 'aide de ces fonctions en posant :

r/J1 = g1 , r/J2 = (l -g1 )Kz , et, par récurrence, r/J k= Il jsk-1 (1-gi )gk. On vérifie que rjJ i est à support compact dans ni pour tout j et que : 'Li i = 1 sur K.

En effet :"Lii = 1 -Ilj::;m (l-gi ) et KcH1 u H2u .. . uHm implique que l 'un des

gi(x) est égal à 1 lorsque x EK. On verra (prop 2.3.A) que ces ,Pi peuvent être choisies aussi régulières que l 'on veut.

2. DEFINITIONS DES MESURES, MESURES POSITIVES

2.1. Mesures complexes, réelles, positives, valeur a bsolue d'une mesure

Soit n un ouvert de 12.N, e(n) l'ensemble des fonctions continues sur n à valeurs complexes et ec(n) son sous-espace des fonctions continues à support compact dans n. On munit le second espace de la topologie de la convergence uniforme, définie par la norme (1.1.1) jjujj.., = sup lu( x )1

XESUpp (u) Remarque 1.2.A. La plupart des définitions qui vont suivre peuvent se généraliser en remplaçant n par un espace topologique localement compact quelconque.

Définition 1.1.A

Remarque 1.3.A

L'inégalité ( 1.1.2) , en tenant compte de la linéarité, exprime que la restriction de l ' application µ à l 'espace normé Cc (K) des fonctions continues sur le compact K est continue sur cet espace (caractérisation des formes linéaires continues sur un normé).

CHAPITRE 1.A. MESURES DE RADON ET INTEGRATION 11

Définition 1.2.A :

.�q; :·?•·•·} •/•••···••/•. •:::::·•············ ······ ··········· :·:·:· ·>:··· ::·:-:-:.:·:-: ·"•':-, ······· .· · t•.4:. •:•:•\/:: )•.;•:•/•···· "/?:{:•·:······················ ..... ······ ...... •·•·•· ······

..... n1 [S� •u �I 4Y ("} !-l ({}{) •••••• :•:··· •:•:• •:•:• :••:: .... "·•'" ,.,,

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Ces définitions s'étendent ensuite aux fonctions réelles rp de signe quelconque et ensuite

aux fonctions complexes appartenant à Cc (.a) en posant : ( lµI, <p) = (lµI , <p + )- (lµI , <p- )

et en utilisant les parties réelle et imaginaire de rp .

T . ' Il d 'fi . + + µ + lµI - - Iµ 1- µ oujours pour µ ree e, on e rut µ par µ = etµ par µ = ---2 2

:�iiilii�l�iîi,i�i�î1:1111:11�1111:1:!!1::ll111:1��î:1�iœ��1 $��:1�� 1��t��:;g�!��1��r::::::-::::::: ::::::::::::,:::::::1:I::r:':-:·:.

Preuve L'inégalité de continuité pour Iµ 1 est évidente, seule la linéarité et plus exactement l 'additivité est à prouver. Soient rp 1 et rp 2 deux fonctions positives à support compact et 1f11,}=1,2, telles que :

jlf! 1 j � rp 1 avec, en outre,

(lµ I • <p 1 ) � J(µ • If/ 1 )J + s · Soient (} 1 des réels tels que, pour j = 1, 2 :

J(µ ' If/ j )J =/(Ji (µ. If/ j ) . Alors If/ = L f=I. 2 e -i(Ji If/ 1 vérifie :

On en déduit : l'l'I � 0 implique : lµ I( <p 1 + <p 2 ) � Iµ 1( <p 1 ) + Iµ 1( <p 2 ) . Réciproquement, soit '!' telle que l 'l' 1 � <p 1 + <p 2 et µ ( '!') � µ ( <p 1 + <p 2 ) - B . On définit

deux fonctions '!' 1, pour j = 1, 2, en posant, en tout point x où { <p 1 + <p 2 )( x) ;t:. 0,

'!' 1 = '!' <p 1 et '!' J( x) = 0 lorsque { rp 1 + <p 2 )( x) = 0 . En raison de l ' inégalité portant <fJ1+<fJ2

sur '!' et de la positivité des rp 1, ces fonctions sont dans Cc(.a) (détails laissés au lecteur).

12 MESURES ET DISTRIBUTIONS. THEORIE ET ILLUSTRATIONS P AR LES EXEMPLES

Ces fonctions vérifient : l'P'11:::;; <p 1 , d 'où lµ ('P 1 )1:::;; lµl('P 1 ) et 'P = 'P'1 + 'P'2 qui

implique Iµ ( 'P'1 )1 + Iµ ('P'2 )1 � Iµ ( 'P'1 + 'P'2 )1 = Iµ ('P')I . Il en résulte finalement :

Iµ K"' 1 ) + Iµ K"' 2 ) � lµ ('P'1 )I + lµ ('P'2 )I � lµ ('P)I � Iµ 1("' 1 +<p 2 ) - e .

Cela fournit l ' inégalité inverse attendue. On conclut à l 'additivité.

Remarque 1.4.A (Cf exercice N°3 , 4 et 5) Les rôles joués par les mesures positives parmi les mesures réelles et de celles-ci parmi les mesures complexes présentent des analogies avec le cas des fonctions : Si µ est réelle, pour toute <p � 0 µ + = sup(µ , 0) et µ- = sup(-µ , 0) . En outre, on a la

définition du type de celle de lµ I , à savoir : (µ +, <p) = sup0Sl/fS9/,VJ'eCc(n) ( (µ, l/f)) , toujours

pour<p � 0 ( Cf l 'exercice N°4) De plus (Cf exercice N°5), une forme linéaire sur é'c(n) qui est positive est une mesure (positive) . Cette propriété fait intervenir la propriété de séparation du lemme 1.1 .

Définition 1.3.A

On montre facilement qu'il s'agit d'une mesure sur l 'ouvert O. A ce propos, une mesure sur un ouvert 0 n'est pas nécessairement la restriction d 'une mesure sur Q (voir l 'exemple donné ci-après) . En revanche si des mesures sur des ouverts constituant un recouvrement de Q coïncident sur les intersections de ces ouverts, ces mesures sont les restrictions à ces ouverts d'une mesure sur Q(Cf exercice N° 8) 2.2. Premiers exemples de mesures

-Supposons qu'à toute fonction <p continue à support borné dans lm. on fasse correspondre l ' intégrale de Riemann de <p sur un intervalle [a,b] qui contient le support de <p. Il est facile de vérifier qu'on définit ainsi une application de é'c(lm. ) à valeurs dans ([ qui est une mesure sur lm. . C'est ce qu'on appelle la mesure de Lebesgue sur lm. . - On définit de façon analogue la mesure de Lebesgue sur lm. N. - Soit une fonction f localement sommable (au sens de Riemann) sur lm. N, ce qui signifie que, sur tout pavé P de lm. N , l ' intégrale (éventuellement généralisée) de Riemann de Ill étendue à P existe. On peut associer à f la mesure, notée µ 1, définie par :

'ïl<p ECc(lm. N), (µ1 , <fJ ) = JRN (/'P)(x) dx . - Si la fonction f est localement sommable sur un ouvert de lm. N, on définit de manière analogue une mesure sur cet ouvert et si / n'est pas localement sommable sur lm. N, cette mesure n'est pas toujours la restriction d'une mesure sur lm. N (Pour les détails, voir l ' exercice N°6, question d)) . Si f est une fonction réelle, µ 1 l 'est aussi. Si f est positive, µ 1 l ' est aussi. Par abus de langage, la notation µ 1 est parfois remplacée par f

CHAPITRE 1 .A. MESURES DE RADON ET INTEGRATION 13

- La mesure de Dirac au point a de [R{ N (Cf.exercice N°6), notée ô a , est définie par : \/<p EC0(RN), (ô0,rp)=rp(a) .

- Les combinaisons linéaires, éventuellement infinies, de telles mesures de Dirac (ou peignes) sont étudiées en détail dans le chapitre 1 .B (en particulier, on y étudie leurs valeurs absolues( Cf.chap 1 .B, § 1 . 1 . 3 ) . 2.3. Propriété de convergence monotone

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attendu, à savoir : I(µ, <p n -<p )1 ::;; CH JJrp n -rpJL, · 3. MESURES BORNEES

3. 1. Variations totales d'une mesure bo rnée et de ses restrictions

Définition 1.4.A

llll[,1i!iiiillr� Remarquons qu' il est équivalent de dire que µ est bornée ou que JµJ en est une.

On définit alors la« variation totale de µ », notée J0 Jµ J ou encore JJµJJ0, par la formule :

(13. 2) foJµ J = sup l(µ,Vf )1 lf/EC,(0),jlfll:!':lo L'ensemble des mesures bornées sur n est noté M1 (n) .

Par exemple, une fonction f définie sur [R{ , dont l ' intégrale du module sur [R{ , au sens de Riemann généralisé, existe, fournit une mesure bornée. Les mesures de Dirac sont toutes bornées (Cf. pour les peignes, chap 1 .B, § 1 . 1 . 3) . La mesure de Lebesgue ne l 'est pas. Remarque 1.5.A Si µ est une mesure bornée sur n, alors sa restriction à un ouvert 0 den est aussi une mesure bornée et sa variation totale, notée JJµ lia vérifie : JJµ lia ::;; JJµ JJ0 (Cf.rem 1 .6 .A) .


Preuve De telles suites dites « exhaustives » de compacts recouvrant n existent (Cf exercice N°7) . D'après le lemme 1 . 1 , on peut construire des fonctions If/ n continues, telles que

0 0 s If/ ns 1 , valant 1 sur un voisinage de Kn et à support contenu dans K n+1 . Il en résulte que la suite (If/ n) est croissante et, par ailleurs, converge simplement vers 10 . Commeµ

est une mesure positive et bornée, la suite ( (µ, If/ n )) est elle-même croissante et, étant

bornée par le réel fo µ , cette suite est convergente dans IRl.. On a donc, en premier lieu,

L = n�00(µ , If/ n ) s f0µ . Pour l ' inégalité inverse, soit cp un élément de é'c(n) tel que

Ostpsl et posons tp 11 = .inf(cp,lf/ n) · La suite ('Pn) est croissante et convergente ; montrons que sa limite est cp . Si cp( x) = 1 , alors cp n( x) = If/ n ( x) d'où limcpn (x) = 1 = cp(x) . Si tp(x) < 1 alors, à partir d'un certain rang, cpn(x) = tp(x) d'où le

résultat annoncé. D'après la proposition 1 .4, la suite ((µ ,cp n )) converge vers (µ ,cp) . Or

(µ , If/ n ) � (µ , cp n ) d'où L � (µ , cp) et, ceci étant valable quel que soit cp , on en déduit :

L � f 0 µ . En conclusion :

n�oo (µ 'If/ 11 ) = llµllo · 2°) Pour p > 0, la fonction If/ n+p- If/ n est comprise entre 0 et 1 , à support compact

0 0 dans Kn+p+1, vaut 1 sur Kn+p \Kn+l et vaut 0 sur un voisnage deKn. On en déduit qu'en

0 fait son support est inclus dans l 'ouvert K n+p+1 \Kn. Soit alors une fonction cp continue à support compact K contenu dans n \ Kn+i et vérifiant 0 s cp s 1 , Il existe un entier p tel que K cKn+p \Kn+i d'où cp = 'P (If/ n+p - If/ n ). Par les propriétés de cp , la croissance

de la suite (If/ n ) , la linéarité et la positivité de µ , on en déduit :

(µ ,cp) = (µ ,cp(lf/n+p -If/ n )) S (µ , (lf/n+p -If/ 11)) = (µ ,lf/n+p)- (µ ,lf/ n) · D'après la propriété 1 °), Ve > 0, il existe un entier n0 tel que, pour n >n0 et pour tout p > 0 , cette différence soit inférieure à B . Pour de tels n, on obtient donc (µ , cp) s e . Cela étant vrai pour tout 'P ECc(n \Kn), on a: V B > 0, :ln0 , n� n0 � JJµ l lmK s B . n

3.2. Caractérisatio n des mesures bornées

Définition 1 .5.A

CHAPITRE 1.A. MESURES DE RADON ET INTEGRATION

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15

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Soit µ E M1 (.n) . On peut supposer, sans restreindre la généralité, que µ est à valeurs réelles. Prolongeons d'abord la mesure positive µ + aux fonctions continues bornées. Soit tp ECb (n), tp;::: 0 et soit (x n ) une suite de fonctions de Cc (n), croissante, analogue à celle de la proposition 1 . 5 , qui converge d'ailleurs simplement veFs ln . Alors la suite ( µ +, x j tp ) est croissante et majorée par {f nl µI ) 1117'1100 • Elle est donc convergente.

On désigne par ( µ +, tp ) la limite de ( µ +, x j tp ) . Vérifions que cette limite ne dépend pas de la suite x j choisie. Soient l/f 1 et tp 1 deux suites croissantes de fonctions positives, à support compact pour tout j et convergentes simplement vers tp . Soit e > 0 et K un compact tel que r µ+ � & . Soit aussi JrnK l/f Eé'c(.n) avec 0 � l/f � 1 et l/f = 1 sur K. On choisit N assez grand pour que n > N => I(µ+ , tp n l/f ) - ( µ+ , tp l/f )I � & et I( µ+ , tpl/f n ) - ( µ+ , tp l/f )j � & . Alors, on obtient l 'égalité des limites de i( µ + , tp n )i et i(µ + , l/f n )i en majorant i( µ + , tp n - l/f n )i par :

i( µ+ , (tpn -1/f n )l/l)I + i( µ+ , (tpn -1/f n )(l -1/f ))i � 2 6 + 2& lll'n -1/f n i.., � 2 6 ( 117'1.., + 1) ,

On montre ensuite que l'application tpH ( µ +, tp ) est linéaire. L'inégalité de continuité 1

passe aussi à la limite ; cette application est donc un élément de ( Cb ( .Q)) . Comme d'habitude, on passe aux fonctions de signe quelconque puis, en faisant de même pour µ - et en définissant (µ , tp) comme ( µ + , tp ) - ( µ - , tp ) , on obtient le résultat souhaité. La réciproque est immédiate ainsi que l 'extension à une mesure complexe. Remarques 1 .6.A

1 ) Il est facile de voir que, si µ EM1(n), on a l ' interprétation de la variation totale : (1 . 3. 3) ll µllo = J0l µl = (l µl , to) · 2) Une mesure µ sur un ouvert 0 inclus dans n , distinct den , est prolongeable en une mesure (que l 'on peut supposer bornée) sur n si et seulement si µ est bornée sur O. Preuve Supposons que µ soit prolongeable sur net soit l/f Eé'c(.n) positive et valant 1 sur O. Pour tout tp E é'c ( 0) avec 0 � tp � 1 , on a (l µI, tp) � (l µI, l/f) , ce qui nous donne

Il µ llo � (Iµ 1. "' ) . Réciproquement, soit µ bornée sur 0 et soit l/f E é' c ( n) , on définit une prolongée µ en écrivant (P,, l/f ) = (µ , l/f x 0) , cette dernière expression ayant un sens puisque l/f X 0 est une fonction continue bornée sur O. Cette mesure est bornée avec IJlµJ Jin � JJlµJJlo.


4. SUPPORT D'UNE MESURE

Définition 1.6.A

Cela revient à dire que la restriction de µ à cet ouvert, c' est-à-dire à Cc(O) est la mesure

nulle. On peut démontrer que si on considère une famille ( 0 ..i) d'ouverts de nullité, la

réunion de cette famille est encore un ouvert de nullité. Donc : il existe un plus grand ouvert où la mesure est nulle (Cf.ex N°8), ce qui donne un sens à la définition suivante : Définition 1.7.A

il� §9t?n9m a':µp,ç ffiÇ§W.� �§t �ç 99mPt�m�ntfilrç �� §9n Pi.9§ 8r�n4 9µyçn 4ç nvn!t�� I Exemples 1.1.A

- Si µ est une fonction continue f sur un ouvert U de !Rl.N, ce qui revient à dire que :

(µ, <p) = J u f <p , alors le support de µ en tant que fonction, autrement dit le support de f,

et le support de µ en tant que mesure coïncident (Cf. exercice N°9). - Si µ = ô a, mesure de Dii:ac en a, cette mesure admet pour support le singleton {a} . - La généralisation aux peignes fait l 'objet d 'exemples traités dans le chapitre 1 B.

5. CONVERGENCE VAGUE ET CONVERGENCE ETROITE

5. 1. Définitions de convergences sur les espaces de mesures

L'espace M(.a) n'est pas normé, mais on peut y définir la topologie de la convergence

vague, c'est-à-dire la convergence faible sur M(.O) en tant qu'espace dual de Cc (.a). Sur son sous-espace M1 (n) , on peut introduire également la convergence étroite, c'est

à-dire la convergence faible sur M1 (n) en tant qu'espace dual de (cb (n)). Mais on peut

aussi introduire sur M1 (n) la topologie forte définie par la norme µ�Ilµ l lo associée à la

variation totale, topologie plus fine, comme il peut être constaté sur les exemples. Définition 1.8.A

Exemple 1.2.A

Sur !Rl., la suite de mesures associées aux fonctions :

f n (x) = {n2 (1/n- lxl) si l xl � l/n 0 sin on

converge vaguement vers la mesure de Dirac ô en 0, définie précédemment. Cela revient

à dire que : fa fnrp � rp(O) (Cf. exercice N°10) .

Ces mesures sont bornées et leurs variations totales, données par l ' intégrale JR l!n l c'est-

à-dire par 2n2 J�/n (� - x }tr = 1 , sont égales à 1 . Cette norme du terme général converge

(elle lui est même égale) vers la norme de ô . Il n'y a pas pour autant convergence vers ô


au sens de la norme Il suffit, pour le voir, d 'exhiber une suite (IPn) à valeurs dans

]- 1, + 1[ telle que Un - ô, IPn) ne tende pas vers O . Puisque llln - ô lln � IUn - ô, IPn )j , cela donnera le résultat. On choisit pour cela la fonction IPn à support compact dans [0, 1[ telle que IPn(x) = n2x si x E[o,n-2] et IPn(x) = 1 si x E[n-2 ,n-1]. Puisque IPn(o) = 0,

il suffit de calculer l ' intégrale de ln IPn : -2 -1

Or cette intégrale f ln IPn = J: n4x(n-1 - x}tx+n2 J:-2 (n-1 - x}ttx tend vers 1/2 , ce qui

fournit le résultat énoncé ci-dessus.

- La fonction I0 étant continue et bornée sur n , la convergence étroite fournit d 'abord : lim(µ k, 10 ) = (µ , 10 ) , d 'où limJJµ kilo= JJµ JJ0 . Donc i) => ii) . Pour la réciproque, soit I une fonction continue, positive et bornée. Par définition de la variation totale, pour e > 0 assez petit, il existe qJ continue, comprise entre 0 et 1 , à

support compact telle que (µ , qJ) � JJµJ J 0 - e , ce qui revient à (µ , I0 - qJ) � e .


Par l 'hypothèse de convergence vague, (µ n , rp) � (µ , rp) , donc il existe n0 tel que n;;:.; n0 implique (µn , rp) � llµ lln - 28 . Par ailleurs, l 'hypothèse sur les variations totales nous dit

qu'il existe n1 � n0 tel que "i/n� n1 , JJµ Jl n � l lµ11 lln - 8 . En conjuguant ces deux

inégalités, on obtient : n� n1 => (µn , rp) � llµn ll n - 38 => (µn , ( l n - rp )) :::;; 38 . Ecrivons alors : µ n (/) - µ(/) = µ n(rp f) - µ (rp f) + µ n ((l n - rp)J) - µ ((l n - rp )J) . Pour n� n1 , on a : jµ ,,(/) - µ(f)j:::;; jµ ,,(rpf )- µ(rpf � + 4 8 JIJll00 • La fonction Iµ n (f) - µ (f)I :::;; 58 11/ ll.,, · Ceci exprime la convergence étroite, donc ii) => i) . Montrons i) => iii) . Soit K1 un compact tel que l lµ ll mKi < 8 (il en existe d 'après la

proposition 1 .5). Soit n1 un ouvert d'adhérence compacte K = n1 , contenant K1 • Soit

<p à support compact dans n1 , comprise entre 0 et 1 et valant 1 sur K1 • Toute fonction continue à support compact dans n \ K et comprise entre 0 et 1 est inférieure à 1 - <p , il

en résulte que I lµ n I l mK :::;; (µ n , 1 - <p) . Par la convergence étroite, la fonction 1 - <p étant

continue bornée à support dans n \ K , il existe n0 tel que n � n0 implique

j(µ n - µ, 1 - <p )J :::;; 8 et, par conséquent :

"if n �no' llµn ll mK:::;; (µn , 1 - rp) :::;; (µ ,, - µ , 1 - rp) + (µ , 1 - rp) :::;; 8 + l lµ l lmK1 ::;; 28

Pour tous les µ i d' indices j < n0, (toujours par la proposition 1 .5) il existe des compacts

Ki tels que Ilµ illmK, :::;; 8 . Alors, en prenant pour H la réunion finie de ces compacts et

du compact K précédent, on obtient : "i/k, I lµ k Il mK::;; 8 . Ainsi : i) => iii). -Enfin, soit <p un élément de Cb (n) , différent de l ' élément nul, compris entre 0 et 1 . Soit,

par l 'hypothèse iii), un compact K tel que Ilµ k ll mK < 8 /(3Jlrp JIJ, "i/k et aussi

I lµ Jl mK < 8 /3( llrp lL,,) . D'après le lemme 1 .1 , il existe If/ dans Cc(n) avecO:::;; If/:::;; 1 et

If/ = 1 sur K. Par la convergence vague, il existe N tel que k > N => J(µ k - µ , <pif/ )i < 8/3 . Alors, comme jrp ( 1 - If/ )J :::;; l l<p 1 100 , une majoration en trois parties donne le résultat :

J(µ k- µ , rp )I:::;; J(µ k - µ , rplf/)J + j(µ k , rp( 1 - lf/))j + j(µ , rp( 1 - lf/))j < 8 /3 + 8 /(311(/)1100) + 8 /(311(/)1100) = 8

Preuve du corollairel.8 ( Il suffit de considérer les parties positives)

La formule µ+ = 2-1 (µ+ Jµ I) le rend évident pour la convergence vague.

Si Iµ 11 I converge étroitement vers Iµ 1, la même formule montre que µ 11 + � µ + . Par

ailleurs, on a, pour K convenable, Ilµ 1 llrnK �11µ k 1 llrnK :::;; 8 ; l ' implication iii) => i) de

la proposition 1 . 7 appliquée à (µ 11 +) termine alors la preuve du corollaire.

CHAPITRE 1.A. MESURES DE RADON ET INTEGRATION

Montrons que la réciproque peut être fausse. Soit la suite de fonctions un définie par

u,,(x)=n2x. si 0<x<Ij2n u,, (x)=n2(-x + Ifn) si 1/2n < x < Ifn u,, (x)= 0 si x> Ijn u,, (-x)= - u11 (x)

19

Il est facile de voir que u11 converge vers 0 étroitement sur n' importe quel voisinage

ouvert de 0, en revanche, son module tend vers 2-1 o 0 étroitement (Cf exercice

N° 1 1 ) .0n verra dans l'exercice N° 1 2 une application importante de la convergence étroite et du théorème précédent qui concerne une « intégrale » dépendant d'un paramétre.

6. INTEGRALE SUPERIEURE DE FONCTIONS S. C. 1 Dans ce qui suit, nous raisonnons toujours sur Q ouvert de �N ou �N lui-même. D'autre part, la mesure µ sur �N considérée est supposée positive, le passage à une mesure

complexe quelconque se faisant comme à l 'habitude. La propriété d'une telle mesure qui va être utilisée pour la prolonger est sa croissance. Il est donc naturel de prolonger d 'abord à des fonctions qui ·sont des limites croissantes de fonctions continues à supports compacts. On fait quelques rappels sur ces fonctions dites «semi-continue-inférieurement» (ou s .c . i pour abréger) .

6. 1. Prolongement d'une mesure positive aux fonctions s.c.i et s.c.s

Définition 1.10.A 1r1r•1111�1t11tBia• Remarques 1.7.A

- Une constante réelle est s .c . i , l 'ouvert de la définition étant soit le vide soit n luimême. Les constantes +oo et -oo aussi , l' ouvert étant n pour tout a ou le vide pour

tout a. - Lorsque f est une fonction positive, la vérification n'est à faire que pour a � 0 . Exemples 1.3.A

La fonction caractéristique de A est s .c . i sous la condition nécessaire et suffisante que A soit un ouvert. Si/ est s.c.i et positive et si x u est une fonction caractéristique d'ouvert,

le produit fx u est aussi s.c.i . En effet si a� O, l' ensemble { x , f(x) x u (x) > a} est

identique à Un {x , f(x) > a} qui est l ' intersection de deux ouverts.

Une somme, un produit (dans le cas où ces opérations sont définies partout), une enveloppe supérieure quelconque (resp. inférieure finie) de fonctions s .c . i le sont encore. Proposition 1.9.A

(Cf l ' exercice N° 1 3 dans le cas d'une fonction constante). Preuve Remarquons que ces fonctions ne peuvent pas prendre la valeur -oo , il en résulte que les

opérations de somme sont bien définies, à valeurs dans �u{+oo} . Lorsque la fonction f est une fonction caractéristique d'un ouvert U borné, il suffit de


considérer la suite ( h�) où h� ( x) = n inf{ d( x, n \ U), 1/ n) . Ces fonctions sont continues,

égales à f hors de U et la suite converge en croissant vers f Dans le cas général, on peut supposer f positive en lui ôtant une fonction continue à support compact. On peut la supposer aussi à support compact. Cela résulte, en utilisant une suite croissante.Qn d'ouverts relativement compacts dont la réunion est �N, de la

propriété f = lim f x 0 ; la suite étant croissante, on se ramène à démontrer le résultat n�+Q') n pour ces fonctions fx a. qui sont s .c . i (Cf exemple 1 . 3 ci-dessus) à supports compacts.

Enfin, on peut supposer que 0::;; f < 1. Sinon, la fonction f /(1 + /) est e�core s .c . i et

comprise entre 0 et 1 et, si on a montré que cette fonction est limite d'une suite croissante (g n ) de fonctions continues, comprises entre 0 et 1 et à supports compacts, alors la suite

gn /(1 - gn ) est une suite croissante dans é'c (n) qui converge vers/

On suppose donc f s .c . i, comprise entre 0 et 1 et à support compact. On pose, pour tout

couple d'entiers (k, n): Ak,n = f-1(]kfn , +ooQ . Ce sont des ouverts, bornés puisque/est

à support compact. Soit x dans �N tel que 0 < f ( x) < 1 , alors il existe, n étant pris assez

grand, un indice k e [O,n - 1] tel que k/n < f(x)::;; (k + 1)/n , ou encore: x eAi.n \A(k+l),n k=n -1

pour tout j ::;; k . La fonction gn = (I/n) LX A , qui est s. c.i, vérifie alors gn(x) = k/n k=l k,n quandf(x) t:- 0 et gn(x) = 0 quand f(x) = 0 . Il en résulte g n ( x) ::;; f ( x) et (! - g n )( x) ::;; 1/ n , inégalités vraies pour tout x, qui exprime

l'uniforme convergence vers f de cette suite de fonctions s .c . i à supports compacts Il suffit, pour terminer, d 'utiliser la situation décrite au début, puisque les x A sont les k,n

A k=n-1 A limites croissantes de suites h111k,

n. La suite (gn.111 ) , où gn,111 = Ifn L h111k,

n, est une suite

k=l de fonctions deé'c (n) qui converge en croissant vers f Dans les paragraphes qui viennent, on désigne par 'I' l ' ensemble des fonctions s .c . i sur .Q qui possèdent une minorante continue à support compact. Il s'agit de prolonger toute mesure de Radon à 'I' en utilisant notamment la proposition 1 . 9 :

1.10.A et définition 1.11.A

Preuve Les <tJn sont dans Cc (n ) , donc la suite (µ (<tJ n )) est croissante, d 'où la première

affirmation et une première inégalité : µ ( <p n ) ::;; A � lim µ ( <p n ) ::;; A .

Soit réciproquement <p eCc (.a) avec <p::;; f . On remplace la suite (<tJ 11 ) par la suite

{inf(<p n , <tJ)) de fonctions de Cc (.a) , toujours croissante et de limite <p. Là, on applique

la proposition 1 .4, à savoir lim(µ , inf(<pnJ)) = (µ , <p) . L' inégalité : <p11'?.inf(<p,, , <p) fournit à la limite: lim(µ , <pn ) '?. (µ , <p) d'où: lim µ (<p n ) '?. A .


Remarque 1 .8.A 1) Dans ce qui suit, on peut, pour montrer la plupart des propriétés de µ , supposer que

les fonctions 1 de ']"sont positives . En effet, il existe rp 0 E Cc ( .Q) telle que 1 - r/Jo ;;:: 0 ,

cette différence est toujours s c i et on a µ * (!) = µ * (! - r/Jo) + µ (r/Jo) . 2) La proposition 1 . 1 0 dit que la borne supérieure (figurant dans la définition) qui peut être infinie est également une limite. Lorsqu'elle est finie, 1 est dite µ -intégrable (Cf §9). Définition 1 .12.A

�"-Par exemple, .les fonctions caractéristiques de compacts de !RN ont cette propriété. La proposition 1 . 1 0 fait intervenir, pour ces fonctions, des suites décroissantes (Cf exercice N°13 pour le cas des compacts). Le prolongement de µ à de telles fonctions est noté µ • . Il est défini comme dans ce qui précède en échangeant sup et inl, rp :$; 1 et rp ;;:: 1 .

Dans ce qui suit, les propriétés sont établies pour les fonctions de 'I" ; on laisse le lecteur traduire les résultats analogues pour les fonctions s. c. s. ;-, v .,.,..:�;u? 1 .! 1 .A . .... ... . .. ... ... . .. ..... ... . . ..... ......... ......... .. ....... ......... .. , .. , .. .. .. ! :i·' " t< .. \ . ...... ..... .. :+::: ;,. t' Ùlt t �:-.:-. ;; � .. :-. : -.:: .. -.:-.: -.-. :-.:-.: ............ : ........ :-.:::: :-.:-.:-. ............ ::::: ............ ':::':'' .. ............. .. :·::::-.:.-.-.:-.: .... :-.: ...... : .. , ... : .. :-.: .... :/ -./-. :..,: : : :::: :: : :-.:-.: :::::: -.:-.:-.: .. ...... .. .. .. ::::-.: :.::: -.::._:: ...... , .... :-.: : ...... .... ........ .. -.:-.:--. ........... ...... , .. -.:-.:-.: :-.:-.: .. ........

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Cc ( .Q) de limites respectives f.. et 12 • La suite ( l/f n + rp n ) est alors une suite de fonctions

de Cc ( n) de limite 11 + 12 , somme toujours définie puisque la valeur -oo ne peut être

prise par les fonctions. On en déduit : µ* (!1 +12 ) = lim µ(rp n+ l/f n) = lim µ(rp n ) + lim µ(l/f n ) = µ* (f.. )+ µ* (12 ) .

Soit, à présent, 1 = sup ln . La fonction 1 est encore dans 'I" et, de manière évidente :

µ* (!) � sup(µ*(fn )) .

Il suffit, inversement, de montrer que :

u ECc(.n) et u :$; 1 � µ(u) $; sup µ*(in ) · Pour chaque ln , il existe une suite croissante (Knr,n ) de fonctions de Cc (.n) qui converge

simplement vers ln . On a alors : 1 = sup g m,n et aussi, si l 'on pose hn = sup psn. qsn g p, q :

1 = sup hn .

Ces fonctions hn sont continues, à supports compacts et la suite est croissante. Comme

u :$; 1 , on a u = sup(inf (u, hn )) et la suite des un = inf (u, hn ) est croissante et convergente

vers u. On se trouve dans la situation de la proposition 1 .4 et, par conséquent, on en déduit : µ( u) = lim µ(un ) = sup µ(un ) . Comme d'autre part, on a hn :$; ln , on en déduit :

µ(un ) :$; µ* (in ) . Il résulte de tout ceci que : µ (u) $; sup µ*(J,J


6.2 Mesures extérieures et intérieures des ouverts et des compacts

Si µ est réelle, non positive :

{I . 6. 3) µ· (o) = (µ+f(o) - (µ-f(o) .

Remarques 1.9.A 1- Si µ n'est pas une mesure bornée sur n , la mesure de 0 n'est pas nécessairement

finie. 2- Précédemment, on a justifié, lorsque la mesure est bornée, l 'égalité I lµ llo = (µ, 10 ) . A présent, dans le cas d'une mesure bornée ou dans le cas où la mesure d'un ouvert

!l' c n est finie, la variation totale sur un tel ouvert !l' vérifie alors 1 1µ 110• = µ• (h') . Remarque 1 .10.A Dans la définition précédente par une borne inférieure, on a remplacé la condition standard des fonctions s .c . s, <p � IK par <p = 1 sur K .

Cela peut être justifié. D'abord de telles fonctions existent (lemme 1 .1). Ensuite, si <p � 1 K , on peut construire une fonction '// inférieure à <p valant 1 sur K, ce qui entraîne

que la borne inférieure peut être prise sur ces dernières fonctions.

En utilisant les notions de convergence introduites précédemment, on a des résultats de semi-continuité pour ces mesures d'ensembles, relativement à la topologie vague.

Preuve: Soit e > 0 et <p ECc (n) avec <p:::; 10• tels que lµl · (n') :::; !µ l(rp)+ e .

Le prolongement d ' inégalités à la limite fournit alors : lµI · {!l') :::; lim µ n (rp)+ e . Or, quel

que soit m, on a Iµ m 1( <p) :::; Iµ ,,J ( !l') , d 'où par passage à la limite inférieure :

CHAPITRE 1.A. MESURES DE RA.DON ET INTEGRATION 23

jµi * (O') � lim lµn l • ('P)+ 8 . Ceci étant vrai quel que soit e > 0 , on en déduit :

jµl ·(Q') � limlµ n r (ü') . De même, soit K un compact et 'P ECc (n) avec 'P = 1 sur K tels que µ('P) � µ. (K) + e

Le prolongement d' inégalités à la limite fournit alors : µ. (K) � limµ n ('P)- e et comme

µm ('P) � (µm). (K) , le passage à la limite supérieure donne : µ. (K) � lim(µn). (K)- e .

Ceci étant vrai quel que soit e > 0 , on en déduit :

µ. (K) � lim (µ n ) . (K) . 7. INTEGRALES D'UNE FONCTION QUELCONQUE

Dans la définition d'un nouveau prolongement de µ , toujours supposée positive, aux

fonctions quelconques, partout définies sur Q , à valeurs dans la droite achevée, les fonctions s .c . i ou s .c .s vont jouer à présent le rôle des fonctions continues à supports compacts dans ce qui précède. Ainsi, la fonction identiquement égale à +oo est s .c . i et majore toute fonction/ ; l '(jllsemble des fonctions 'P s .c . i qui majorent f n'est donc pas

vide et la borne inférieure des réels µ • ( 'P ) est donc bien définie. On fait une remarque

analogue (en renversant le sens des inégalités) pour l ' ensemble des fonctions s .c .s qui minorent/

Des précautions dans la manipulation de ces fonctions quelconques sont à prendre, l 'opération d'addition n'est pas toujours définie ; il est supposé, lorsqu'on considère f. + /2 qu'en aucun point x, ( /1 + /2 )( x) ne prend la forme +oo - oo .

Ainsi qu'à l 'habitude, on énonce les propriétés pour un seul des prolongements. D'ailleurs, il est facile de voir que, pour toute fonction /, on a µ. (!) = -µ* (-/) .


Preuve Les 2 premières propriétés resultent de la définition. Passons aux autres affirmations.

Soit e > 0 donné et <Pi '?. fi des fonctions s .c . i (j = 1, 2 ) avec µ*(fi) '?. µ* (<Pi ) - e . Alors, /1 + /2 $; <P 1 + <P 2 , ce qui entraîne :

µ* (li + /2) $; µ* (<P 1 + <P 2 ) = µ* (<; , ) + µ* ( -oo . D'abord :

µ* (sup fn) '?. sup µ* ( fn ) · Pour l ' inégalité inverse, supposons que sup(µ* (fn )) < +oo (sinon, la relation est évidente) et soit hn s .c . i telle que :

hn '?. f n et µ0 (hn ) $; µ0(/n ) + & 2-n . Soit gn = sup(h1 > h2 , . . • hn ) qui est s . c . i . La suite (gn ) : est croissante, gn '?.f n et on a :

(*) µ* (gn ) $; µ*(Jn) + e(l - 2-n ) . Cette relation ( *) est vraie pour n = 1 . Supposons la vraie à l 'ordre n. Les relations :

gn+I = Sup(hn+I > gn ), j n $; inf(hn+l >gn ) SUp(hn+I > g,, ) + inf(h,, +l > gn ) = hn+I + gn ,

(car hn+i et gn ne prennent pas la valeur -oo pour la deuxième) donnent (Cf prop 1 . 1 1 ) : µ* (g11+1 ) = µ* (g,, ) + µ* (hn+I ) - µ* ( inf(hn+l > gn ))

$; µ* (g,, ) + µ* (hn+I ) - µ* ( Jn) $; µ0 (!n+I ) + e 2-n-I + e(1 - 2-n) $; µ• (!n+I ) + e(l - 2-n+I ).

L'inégalité est donc vraie à l 'ordre n+ 1, on a ainsi démontré l ' inégalité (*) .

On a donc trnuvé une suite (gn ) croissante de fonctions s .c . i qui majore la suite (ln) et

qui vérifie d 'après (*) µ* (gn ) $; µ*(ln) + & . Posons f = sup(fn ) et g = sup (gn ) . Alors, en appliquant la deuxième partie de

proposition 1 . 1 1 , g est s .c . i et µ0 (g) = sup(µ0 (gn)) . Puisque µ* (g) $; sup(µ* (f,, )) + e et f $; g , on obtient, pour tout & > 0 , l ' inégalité µ0(!) $; µ0 (g) $; sup(µ 0 (fn )) + e ,

c'est-à-dire l ' inégalité inverse attendue.

Corollaire 1 .14.A ;_.:,:,: :,:,:,:,

· :-·-: :- :-: -:-· :;:; :: : -:-: - · . · · · - :- : -;- : . · . · . · . . · . · . : · : - : ; -·.;. . · ·.· . .-.· .· . ,:_.; _. : " ,:, : -: -:-:- _.,,, -:-:_.. , , ,:,:,:.- . ,:_.:_.:,:_:,:.-:,

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Preuve Pour une somme finie, on a ( première partie de proposition 1 . 1 3) :

µ* (�/,,) $;�µ* (ln ) .

:-: - :-: -: -:-: :: :•• •>• � ·: l':

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:•:•: :;:;:;: ,_.,,,, _.,_.._. :,.-,_.,_. ,,,:,


N

La suite (g N ) où g N = L f,, est croissante. En passant aux bornes supérieures 0

(deuxième partie de la proposition 1 . 1 3), on obtient l ' inégalité annoncée.

Preuve Soit g,, = inf P,,0 ln+p .On a g,, � O , µ• (g,, ) � infp;,o µ• (!,,+p ) et la suite (g,, ) est croissante, ce qui implique lim,,__.00/11 = supg,, . A l 'aide des résultats prédédents, on en déduit :

µ• (lim , ...... ro(J,, )) = µ·(sup g,, ) = sup µ* ( g,, ) � s�p i�f{µ*(/,,+p)) = lim ,, ..... ro(µ•(J,, ))

Remarquons que le corollaire 1 . 14 peut être considéré comme cas particulier de ce lemme. 8. ENSEMBLES ET FONCTIONS NEGLIGEABLES

Définition 1 .15.A

, . / < • • • • • • 0;'.t\)b . . c . ; .. ; ·· > •• > ···� ; . / ; / / . . / .... ····· ·····

•• •z·•·•• •1 .. ;; •. ,. .. ••••• •·••• ..... ·< • •••• • /••• •·• ·•·•··· . .•. •••·•• .... ·•····· > ..... ....... . ··•··• •·•·•·• •••••• •·•·•· ••.••• •·•·• .... •·•··· ·••••• •···•· ·••••• •···· ••••• •·•·•

w / . . / .... / > c "' " ' ' :-. -:-:-:-:· ... .. . -.-.-:-:.:-: ·.·.·- : :.:-: - :-:·:-Les preuves de ces propriétés et de celle qui suit sont laissées au lecteur.

(Voir, dans l' exercice N° 14, le cas de la mesure de Lebesgue).

Exemples 1 .4.A - Si une fonction f à valeurs dans � u{ +oo, - oo} est telle que µ • (/) < +oo , alors cette fonction/ est µ - presque partout finie. En effet, on peut alors trouver une fonction rp de 'I' telle que f � rp et µ* (rp) < +oo .


Comme <p admet une minorante continue u, elle ne peut pas prendre la valeur -oo . Posons 1f1 = <p - u , alors 1f1 � 0 et l ' ensemble U des x e n tels que cp( x) = +oo est

confondu avec celui où 1f1 ( x) = +oo et µ * (If/) < +oo . Pour tout entier n la fonction caractéristique ,tu vérifie : n ,tu � 1f1 . En effet, hors de U, le premier membre est nul et, dans U, cela résulte de n < +oo . On en déduit (Cf prop 1 . 1 3 ) que, pour tout n, nµ• (xu ) � µ• (lfl) . Finalement µ• (xu ) = 0 , ce qui signifie que U est µ - négligeable.

- La relation binaire entre fonctions définie par {! f< g <:::) f = g (µ- pp)} est une relation d'équivalence. Les classes d'équivalence pour cette relation vont être utilisées plus loin dans la définition des espaces fonctionnels o._ P de Lebesgue. Il résulte de la proposition qui suit que cette relation équivaut à la µ - négligeabilité de f - g .

. iïii��titl�iît� m n�$1�$��§t� �� t §€h!l�m�nî �! �� §� n9!�� ·tt:z :9J .. :· .": ::·:;: .: ·.:.::::::::::·;·:·::·.:-:::_:::_:::::: '-::::::::.::::::.::-:::. Preuve En effet, soit Xv la fonction caractéristique de l 'ensemble V = {x, J(x) :;t:O} . Alors, on a

à la fois ,t v � sup( n IJI) et If 1 � sup( n ,t v ) . Hors de V, les 2 membres de la première sont n n

nuls et, dans V, on a 1 < +oo (remarque analogue pour la deuxième). Si f est µ -négligeable, alors, d'après la proposition 1 . 1 3 , µ• (xv ) � sup µ• ( nlfl) = supnµ" ( IJ I) = O .

Réciproquement, on utilise le même argument à partir de la deuxième inégalité.

Remarque 1 . 1 1 .A : Jusqu' ici, les fonctions considérées étaient définies partout sur n à valeurs dans 12. u{ +oo, - oo} . Une fonction qui est définie µ - pp est définie sur un ensemble n \ N où N est un ensemble µ - négligeable. Pour deux telles fonctions f et g, on peut encore définir la relation f = g µ - pp en disant que l ' ensemble des x où les deux nombres f(x), g(x) sont définis et distincts l 'un de l' autre est µ - négligeable. Cet ensemble est en effet la réunion de 3 ensembles, celui où f n'est pas défini, celui où g n'est pas défini et celui où, les 2 nombres étant définis, ils sont distincts. Les deux premiers étant µ - négligeables, f - g est alorsµ - négligeable si le troisième est µ - négligeable.

9. INTEGRABILITE DES FONCTIONS

9. 1. Intégra bilité des fonctions numériques à valeurs finies ou infinies

Remarque préliminail:e 1 .12.A

Soient/ et g qui sont s .c . i et s. c. s avec f � g . Alors µ. (g) � µ * (/) . En effet, f - g est s .c . i et positive donc µ• (! - g) = µ• (!) - µ. (g) est positif Si h est une fonction quelconque sur n à valeurs finies ou infinies, en passant aux bornes supérieures et inférieures qui définissent µ• (h) etµ. (h) , on voit que µ. (h) � µ* (h) .

CHAPITRE l .A. MESURES DE RADON ET INTEGRATION 27

Cela revient à dire que, pour tout & > 0 , il existe deux fonctions vérifiant <p e 'I' , l/f e -'I' , <p 5. f 5. l/f et µ0 (1/f - <p) < & . Sous cette condition, on définit alors l'intégrale de f par la valeur commune prise par les deux intégralesµ*(f) etµ.(f) . Cette valeur, qui est notée ici ;ù(f) , ou classiquement

1/ dµ , est donc définie par l 'une quelconque des égalités :

( Voir, dans l ' exercice N° 14, des exemples de fonctions continues qui sont non intégrables pour la mesure de Lebesgue) .

Remarque 1 .13.A : Les fonctions intégrables sont à valeurs finies ou infinies mais, comme on impose dans la définition que µ*(!) soit fini, de telles fonctions sont µ - presque partout finies (Cf exemple 1 .4 précédent).

Îa _ - - �;t;nn 1 .19.A . -� . .

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Preuve · ::::-:-: . ·•·• ·

·-:-:-:-·-:·

:·: :=:·:·

Supposons que f soit µ - intégrable et soient &> 0, <p et l/f s .c . i et s .c .s respectivement telles que l/f 5. f 5. <p et µ • ( <p- l/f) 5. & . Alors, il existe u continue à support compact telle que u 5. <p et µ( u) � µ* (cp ) - e . En un point x où (f - u )( x) � 0 , on a : 0 5. (f - u )( x) 5. (<p - u )( x) . Sinon, (f - u)(x) < 0 , d'où : If - ul(x) 5. (u - 1/f )(x) = (u - cp)(x) + (cp - 1/f )(x) . Dans tous les cas, on a donc:

IJ - ul 5. l<p- ul + ll/f - <pl = (cp- u) + (<p- 1/f) . On en déduit, par application de la proposition 1 . 1 3 :

µ* (If - ul) 5. µ* (cp - u) + µ* (<p - 1/f) 5.2 & .

Inversement, supposons que u soit continue et que µ• (If - ul) < & .

Par définition, il existe v dans 'I' telle que If - ul 5. v et µ • ( v) 5. 2 & . On remarque que les fonctions u - v et u + v sont respectivement s. c. s et s. c . i, que u - v 5. f 5. u + v et

µ* (J - (u - v)) 5. µ* (u + v - (u - v)) 5. µ* (2 v) 5.4 & . Cette inégalité prouve que f est intégrable. La preuve est donc terminée. Corollaire 1.20.A

I[ .... � Preuve Si µ*(!) est finie, on peut trouver une fonction u positive, inférieure à f, continue à support compact, telle que (définition de µ• par une borne supérieure finie) :


µ (u) � µ*(!) - e . D'après la proposition 1 . 1 3 , µ*(f - u) 5. µ* (f) + µ* (-u) = µ*(f) - µ(-u) < e , ce qui prouve, en vertu de la proposition 1 . 1 9, que j est intégrable puisque f - u � 0 .

Définition 1 .18.A

:mB!8sî1: 1-�t��1�: 1:t�1��11§�1 �1 1eP!�Bi]�gn� -�1: :Î : 1œ- ��:-�1]!!ri�!1�·:1:91�·-':1,:·1-:,1,:·:1:,:.'1··::;,,.·1·1'::·:' ·, Proposition 1.21.A R&�-Preuve Puisque, par hypothèse, les fonctions considérées sont à valeurs dans IRl., les opérations de produit par un nombre et d'addition ont un sens. Il est alors évident que, si f est intégrable, il en est de même de af et que l 'on a : µ (a f) = a µ (!) . La stabilité pour l 'addition résulte des propriétés de µ• et de µ. , car on a : µ(!)+ µ(g) = µ .(!)+ µ . (g) 5, µ .(! + g) 5, µ* (! + g) 5, µ* (!) + µ* (g) = µ (!)+ µ (g) ce qui implique que tous les termes de ces inégalités sont égaux, donc que µ . (! + g) = µ• (! + g) (intégrabilité de f + g ). De plus, µ (! + g)= µ (!)+ µ (g) .

Proposition 1 .22.A r•r•-Preuve Soit u continue telle que µ • (IJ - ul) < e . Puisque llJ I - lulJ 5. li - ul , on en déduii que µ* (l lJl - lull) < e , ce qui prouve que Ill est intégrable puisque lui est continue. D'autre part, la positivité ou la croissance de l' intégrale supérieure fournit :

-Ill 5, 1 5, Ill => µ· (-Ill) 5, µ* (!) 5, µ· (111) . Il en résulte l' inégalité : Iµ (!)1 5. µ (IJI) · L'intégrabilité de f+ et 1 - résulte ensuite de :

1 + = (lf2)(! + Ill) etf- = (lf2)( Ill - 1) . De même, pour inf et sup, on utilise les relations :

j + g+ IJ - � f + g - IJ - � sup(J,g) = 2 et inj(J,g) = 2 . La proposition suivante souligne l' importance, en vue d'un passage au quotient, de la notion de la relation d'équivalence « µ - pp » dans la définition de l 'ensemble des fonctions intégrables( Cf § 1 . 1 0) .


Preuve On se contente de prouver la première relation. Soient h = inf(f , g) et H = sup(f , g) . Il suffit de prouver que µ • ( h) = µ • ( H) . Soit la fonction u définie partout par u( x) = 0 si h(x) = H(x) et u(x) = +oo si h(x) < H(x) . D'après l 'hypothèse, on a µ* (u) = O et même µ (u) = 0 . Pour tout <p ET tel que h -:;, <p , on a H -:;, <p+ u . On en déduit

µ * (H) -:;, µ* (<p+ u) . Comme <p et u sont intégrables, on a (Cf proposition 1 .2 1 ) :

µ (<p+ u) = µ(<p) + µ(u) , d'où µ • (n) -:;, µ (<p) . En passant à la borne supérieure, on obtient µ· (n) -:;, µ* (h) , c'est-à-dire µ• (n) = µ• (h) .

Conséquences

Cette proposition permet l ' extension de µ• et µ. aux fonctions seulement définies µ - pp . Désignons la classe d'équivalence de f pour la relation µ - pp sur l 'ensemble des fonctions définiesµ - pp sur n par J (Cf remarque 1 . 1 1 ). Dans cette classe, il y a toujours des fonctions définies partout et même une infinité. Par exemple, f n'étant pas définie partout, on peut poser g(x) = f(x) en un point x où f(x) est dé�ni et g(x) = 0 en un point x où f(x) est non défini . Pour une telle fonction g, on peut définir µ* (g) et µ. (g) et, d 'après la proposition précédente, ces nombres ne dépendent que de la classe J . Il en résulte que l 'on peut définir ·µ• (J) = µ* (g) où g est un élément de la classe J qui est défini partout (même chose pourµ. ) . Remarquons également que, si dans la classe, il y a un élément µ - intégrable, tous les éléments de la classe sont finis µ - pp et tous les nombres µ* (g) et µ . (g) sont égaux et finis pour tout représentant g de la classe. On peut ainsi définir l ' intégrale d'une classe.

Définition 1 .19.A

9.2. Théorèmes de Lebesgue

Dans l ' intégration au sens de Riemann généralisé, les passages à la limite sous le signe intégral demandent la plupart du temps la convergence uniforme de la suite de fonctions vers sa limite. L'énorme avantage des théorèmes de Lebesgue réside dans le remplacement de cette convergence par des convergences simples presque partout avec monotonie, ou par des convergences simples presque partout avec domination. Il en résulte aussi des conditions plus simples pour des commutations de séries et d' intégrales.

Théorème 1 .24.A (de convergence monotone)

-�tlll&llfiililll-


Preuve Puisque fn est intégrable, µ• (ln ) est fini. On déduit alors de la proposition 1 . 1 3 qu'on a : µ• (sup/n ) = sup(µ• (/n )) . Donc, si sup/n est intégrable , µ" (sup/n ) est fini, et il en résulte que sup(µ •(ln )) aussi est fini. La condition est donc nécessaire. Réciproquement, si sup(µ · (ln )) est fini, la même égalité donnera les égalités de la fin de la proposition lorsque sera démontrée l ' intégrabilité de f = sup f n , ce qui va résulter de la proposition 1 .2 1 appliquée pour un certain entier n. Remarquons d'abord que f est définie pp car µ • (!) < oo (Cf exemple qui suit la définition 1 . 1 7) et, comme il en est de même pour ln , on peut définir pp la différence f - fn . Soit n assez grand, fixé, pour que µ • (!) - µ • ( fn) :5: & . On a (Cf proposition 1 . 1 5) :

µ" (/ - fn) :5: µ"(/) - µ"(ln) :5: 8 • Par hypothèse, il existe, pour un tel n, une fonction u E ec ( n) telle que µ. (lin - ul) :s; 8 . On en déduit : µ• (If - u l) :5: µ • (/ - ln) + µ• (lfn - ul) :5: 2& , inégalité qui prouve l'intégrabilité de la fonction f d'après la proposition 1 . 1 9 . La condition est suffisante et les égalités écrites sont vérifiées. On a le même théorème pour une suite décroissante de fonctions intégrables.

Preuve Fixons n et posons hn = infp�o ln+p . Cette fonction hn est la limite de la suite décroissante définie par hn, k = infk�p�o (in+p ) . Comme hn ,k ;::: -g et que g est intégrable, le théorème précédent montre que hn est intégrable. Comme (hn ) est une suite croissante et que hn :s: g , on applique encore ce théorème, ce qui donne alors le résultat souhaité.

Preuve n Il suffit d'appliquer la proposition 1 .24 à la suite croissante des sommes partielles ,Ll!k l

0

et la proposition 1 .2 1 donne : µ (:t l!k jl = f µ ( l!k 1) . Puisque sup :t µ ( l!k 1) est fini o � o n o


+oo par hypothèse, le théorème 1 .24 fournit l ' intégrabilité de L l!k 1 , cette série étant

0 convergente pp. La série des ln est donc convergente pp, ses sommes partielles sont

+oo majorées en valeur absolue par L l!k 1 qui est intégrable, on peut donc appliquer le

0 théorème 1 .25 de convergence dominée, ce qui donne la formule d' interversion. Voir d'autres résultats sur la conservation de l ' intégrabilité dans l 'exercice N° 1 7.

9.3.lntégrabilité des ensembles

Définition 1.20.A

mPi:�9§�m�!�--�·: :s�t-�î1,' -Mif:1nt�sÎi�!� �� : �� ,!9A2��9Pi-8iÎis!�r��99i, ·!�ii�i::. , :I::: : : : , : :: : : i ,I ::'::}o nv

Exemples 1.5.A Du corollaire 1 .20, on déduit qu'un ouvert est µ - intégrable si son intégrale supérieure est finie et qu'un compact est toujours µ - intégrable. Un ensemble µ - négligeable est µ - intégrable. En utilisant les opérations sur les fonctions caractéristiques, on voit que si A et B sont µ - intégrables, il en est de même pour la réunion, l ' intersection et la différence. .... ow! .! 1 .27.A .1. • u.-

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1 ;·1 i '' :' I ,,,: ;; : ,,,:::::: ,:: :::::, ,,,,,, ""'' ':''': :': ':': ' :':' ':''':' ':':' :'''' ':':' :':': ':::: .. ... . Preuve Dans un sens, si 0 et K existent, les fonctions 10 et lK sont respectivement s .c . i et s .c .s,

lK � lA � 10 et, comme Jµ 1 "' (Io - lK ) � e , l ' ensemble A est µ - intégrable. Dans le sens inverse, si A est intégrable, soient h s .c . s à support compact et g s .c . i, toutes deux positives telles que :

h � lA � g avec Jµ l"' (h) ;;:: Jµ J"' (A) - e/2 et µ"' (g) � Jµl"' (A) + e . Soit G l ' ensemble :

G = { X, g( X) > 1 - 8 } . Comme g est s. c.i, cet ensemble est ouvert et il contient A En outre g ;;:: (1 - e ) 10 , d 'où

Jµ J* (G) � JµJ * (g) � lµ J *(A)+ 8 , donc Iµ J* (G) est arbitrairement près de Iµ I * (A) .

1 - e 1 - e Soit Ô> 0 tel que ô JµI"' (A) � e/2 et soit le compact K, inclus dans A, défini par :

K = {x, h(x) ;;:: ô } . Soit B = A \K qui est intégrable. Alors, il est clair que h � lK +ô 18 . En effet, si x E A , -ou bien x E K et alors h(x) � lA (x) � lK (x) + ô 18 (x) ,


-ou bien x rt. K et alors h (x) ::;; o =o lB (x) . On a alors : jµj . (h) ::;; jµj . (K)+ o jµj. (B) ::;; jµl(K)+ o jµj. (A) d 'où l 'on déduit :

jµ j. (A) ::;; jµ j. (h) + e/2 ::;; jµj. (K) + e/2 + ojµ j * (A):s; jµ j. (K) + 6 . Comme jµ I * ( G) est arbitrairement près de Iµ I * (A) , le théorème est démontré. Notons que, dans cette démonstration, on a également prouvé que si A est intégrable, sa mesure que l 'on peut noter jµl(A) ou µ(A) est la borne inférieure des mesures supérieures des ouverts contenant A et aussi la borne supérieure des mesures inférieures des compacts inclus dans A . On peut donc définir indifféremment :

(1.9.3) µ(A) = in/ µ* (01 ) ou µ (A) = sup µ. (K) Ac01 ouvert Kcompact c A

En application de cette proposition, on peut montrer que tout ensemble intégrable est une réunion disjointe d'une suite de compacts et d'un ensemble µ - négligeable (Cf ex N°1 9) . . Des théorèmes d e Lebesgue concernant les fonctions, o n peut déduire des résultats sur la conservation de l ' intégrabilité par des opérations sur des parties intégrables de n .

Preuve i) résulte du théorème 1 .24 de convergence monotone et de l 'exercice N° 1 8 ( 1 °) appliqués aux fonctions caractéristiques. ii) résulte également du même exercice N° 1 8 et l ' inégalité se prouve en passant par les fonctions caractéristiques.

6.3. Mesures chargeant des points

Les points sont des ensembles compacts. Pour la mesure de Lebesgue, la mesure de ces singletons est nulle. Ce n'est pas toujours le cas puisque la mesure de Dirac µ au point a vérifie µ ( {a}) = 1 . Cette remarque donne naissance à : Définition 1.21.A

.�qi.!· u .�� :�� ,�� 9�Y�� . . �! .. � l;l�Ji�� q� �»()n mt q�� u : :cnA'r$e1ttsi��1e.f:§�

:11��,��: 11�111�1�1 ��1��.: .r.: ·.:�l::1 11 111 gM �n�� ' 1�1��:: 1: g 1: 1 i :i: :rJ : 1: 1 1! ::: t ,:!:i :: ; , : :-: i i:i:i·i·i.: : : : :::· . :: : .:::.!::,1:1,: ::::1:::':-:·,:;.;::.:.::;.,::,�:.:::::,:.:i:1: :1i :::;::.::::::::::;:;:; :;:::::: · :: .:::: ::::::::: ::: ·::: :::;:;:;:; ::·::::: :::::::::;:·: . ;. · .· :· :·:· :· :· :·:·:.. · : · :· : · : · .·.·.;.;.;. · · .: : .·:· : · : ·:·:·:·:·:·:·:· :-: : : ·: · :·:·:·:-:-:·:·:·:·:·: ·:·: ·:·:· :-: :·:·:·::;:;::: ::::; :· ··: ·: ·:·:·:::: :·:::::::·::::.:::::::::. :::::·:·::::;

.:::::::·:·:·:·:=:·:·:·:·:·:·:·:·:·:·:· ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::;:;:;:;:;:;:;: ::::::;:::::: :::::::::: Etudions le cas particulier des mesures sur IRL

iil\\1Wf•1t��1!1J� Preuve Soit {In ) une suite strictement croissante d' intervalles bornés de réunion /. Une réunion dénombrable de dénombrables l 'étant encore, on se ramène à prouver le théorème pour

CHAPITRE 1 .A. MESURES DE RA.DON ET INTEGRATION 33

ces intervalles relativement compacts sur lesquels la mesure est bornée. On suppose donc 1 = ]a, b[ et on pose <p(t) = jµj(]a, t[) . Cette fonction IJJ est croissante, donc l ' ensemble de ses points de discontinuités est au plus dénombrable. Il suffit, pour obtenir la proposition, de montrer que cet ensemble est celui des points que charge µ . On voit d 'abord que la valeur de jµj sur l ' intervalle ]t - 8, t + 8 [ , qui est la différence ]a , t + 8 [ \ ]a, t - 8 ] , fait intervenir IJJ . Or la fonction IJJ est continue à gauche. En effet,

soit yt ECc (]a, t[) telle que O ::> yt ::> l et (jµ j , yt) ;::: jµj(]a, t[) - 8 . Puisque V' est à support K compact , il existe ô tel que K c ]a , t - ô [ . On en déduit

<p(t - ô) ;::: jµ 1( V') ;::: jµj(]a, t[) - 8 , ce qui traduit la continuité à gauche de IJJ • Supposons que IJJ ne soit pas continue à droite en t, alors il existe a > 0 tel que /im<p(t + 8 ) ;::: <p(t) + a . On en déduit alors, en utilisant la définition de la mesure d 'un compact, en l 'occurence le singleton {t} , l ' inégalité :

µ( {t }) = lim (jµj(]t - 8, t + 8 [)) = lim( 1JJ(t + 8 ) - <p(t - 8 )) = lim( <p(t + 8)) - <p(t) ;::: a

Comme en un point t de continuité, on a µ( {t}) = 0 , la proposition est obtenue. On trouvera dans l 'exercice N°20, par des arguments du même type, un renseignement sur la répartition des points qui sont chargés par une mesure sur la boule unité de �N. En ôtant d'une mesure la somme des mesuresµ(a,, )8011 associée à tous les a,, chargés par

µ , on obtient une mesure qui ne charge plus aucun point. Une telle mesure est dite diffuse. Cette décomposition est l ' amorce des théorèmes de Lebesgue-Nikodym et de décomposition canonique d'une mesure (Cf [7] ou l ' annexe 1 . 3 de ce chapitre).

1 0. ESPACES DE LEBESGUE DES FONCTIONS SOMMABLES

10. 1. Définitions des espaces fi. � (n,µ) On a déja défini l 'espace vectoriel of 1 (!1, µ) (Cf § 1 . 9, définition 1 . 1 8) . On associe à toute fonction f de cet espace .sa classe J qui est µ - intégrable au sens de la définition 1 . 19 . L'ensemble de ces classes, c'est-à-dire l 'ensemble quotient, qui est noté D._ � (n,µ) , est muni de la structure d'espace vectoriel quotient. En outre, on définit une norme dans un tel espace par l lJl l 1 = µ (IJI) où f désigne un représentant défini partout.

•ll!11111fBlliilf�llT1!! Preuve

La compatibilité de la relation d'équivalence avec les opérations est évidente. Pour la norme, on remarque d'abord, d 'après 1 .22, que µ (IJI) existe et que c'est un nombre positif µ (Ill) = 0 implique que f = 0 µ- pp , c'est-à-dire : J = ëi . Le produit par a réel fournit µ (la J I) = jaj µ. (1 J I) . Enfin, prenant deux représentants f et g définis partout

des deux classes J et g , on a If + gj s; Il l + jgj , d'où µ (If + gj) s; µ ( IJ I) + µ (lgj) ·


10.2. Résultats de complétion et de densité

Théorème 1.31.A

Preuve La proposition 1 .2 1 établit que si f est intégrable, pour tout e > 0 , il existe u continue à support compact telle que µ• ( If - ul) < e . Comme f-u est intégrable, on en déduit :U (J/ - ü"J) < e , ce qui prouve cette densité. On peut donc construire une suite (un) de fonctions de ec ( .Q) dont les classes convergent dans IL � ( .0, µ) vers la classe de j 1 1 . MESURABILITE

Preuve Supposons A mesurable. On utilise la suite ( H n ) de compacts et la partie N négligeable de la définition 1 .22 de sa fonction caractéristique x A . Alors les images réciproques des singletons { 1} et { 0} par la restriction X A 1 H , qui est continue, sont les fermés A n Hn

n et Hn \ (A n Hn) dans le compact H11 , donc des compacts. La partie A est donc la réunion des compacts A n Hn et du négligeable A n N , soit une réunion dénombrabl� de parties µ - intégrables (Cf. les exemples 1 . 5 .A du § 9.3) . D'où : i) � ii) . Supposons ii) vérifié. Si K est un compact quelconque, A n K apparaît donc comme réunion dénombrable de parties intégrables contenues dans K qui est intégrable. Par conséquent, d'après la proposition! .28, partie ii), A n K est intégrable. D'où ii) � iii) . On remarque, pour la suite, qu'alors le complémentaire de A possède la même propriété.


En effet, Ac nK= K \ (K n A) est intégrable comme différence de deux ensembles intégrables (Cf. § 9 .3 , exemples 1 . 5 .A) . Supposons iii) vérifié. L'espace Q est réunion d'une suite exhaustive (Kn ) de compacts (Cf. exercice N°7). On en déduit que A = uAn (où An = A n Kn ) est une réunion d'ensembles intégrables. On peut, en remplaçant les An par des différences d'ensembles qui sont intégrables (§ .9 . 3 , exemples 1 . 5 .A), s e ramener au cas où A est l a réunion disjointe d'ensembles An intégrables. Il en est de même pour le complémentaire Ac . Chacun de ces An est, d ' aprés l ' exercice N° 1 8, réunion disjointe d'une suite (Kn ,k t de compacts et d'un négligeable

N n . La réunion N des N n étant négligeable (prop 1 . 1 7), on en déduit que A et A c sont des réunions disjointes d'une suite (Kn ,k t_k de compacts et d'un négligeable N Considérons la fonction caractéristique de A . Sa restriction à un compact H quelconque des suites précédentes, lequel est soit dans A, soit dans Ac est alors continue. Cette fonction caractéristique est donc mesurable ; A est donc mesurable. Cela termine. Exemples 1.6.A On déduit facilement de ce qui précède que les fonctions de '!'et les fonctions continues sont µ - mesurables, que tout ouvert, tout fermé (de façon plus générale, le complémentaire d'une partie mesurable) sont µ - mesurables. Pour une limite pp d'une suite de fonctions mesurables, voir l 'exercice N°20.

Définition 1 .24.A

•• ,lll!il!li, •• Une fonction étagée est mesurable si et seulement si les Ak de cette écriture le sont. Proposition 1 .34.A

Preuve En utilisant (Hn ) et N provenant de la définition de la mesurabilité de/, on voit que K est la réunion disjointe de compacts K n Hn et d'un négligeable. Comme on a (Cf. prop 1 .28, ii)) : µ (K) = Li�nµ (K n Hn) , on en déduit qu'il existe une réunion partielle H de ces compacts telle que µ (K \ H) < e . Comme la restriction de f à chaque Hn est continue, elle l ' est, a fortiori, sur cette réunion disjointe partielle. Réciproquement, le raisonnement est le même que dans la preuve précédente ( iii) :=) i) ) . On construit une suite de compacts (Kn ,k ) avecµ (Kn, k ) < 1/ k et les restrictions JIKn, k continues. Les compacts Kn k et le complémentaire de leur réunion qui est négligeable fournissent alors les éléments de la définition de la mesurabilité de f Corollaire 1.35.A

-�� ,��2��99ç��9n§ ,�9tfü'�sâ��P: s J?k #t �i l 'ïfn� �@m��r��; *ï9r� 1�!M�r�:·�� :1��Hri�î�i:: ::::.


En effet, supposons que f soit µ - mesurable et que f = g hors du négligeable N Soit K un compact. Il existe alors (proposition 1 . 34) un compact H6 de K tel queµ ( K 1 H8 ) < e/2 et tel que f soit continue sur H 8 . En ôtant de H 6 la partie négligeable H8 n N , on obtient une partie A intégrable. D'après la proposition 1 .27, il existe un compact H 6 ' c A tel que µ (A 1 He ') < e / 2 , doncµ ( K 1 H 8 ') < e . Comme sur H 6 ' les deux fonctions sont identiques, la fonction g est continue sur H 8 ' ; la fonction g est donc µ - mesurable d'après la proposition précédente.

iiiillll•tnlfL� Preuve Si f est intégrable, If 1 l ' est aussi, donc µ* ( If 1) < oo et il existe une suite Un ) de fonctions

de 'I' telle que/ � fn et limµ·Un - /) = 0 . En particulier, les fn sont intégrables. On peut supposer cette suite décroissante en prenant g11 = infj�n fj ; on a alors f � g11 • Soit g = limg11 • On a donc f � g et, par le lemme de Fatou (théorème 1 .24), µ * (g -f) � lim(g11 - /) . On en déduit f = g µ- pp . Chacune des fn est mesurables, donc f qui est limite µ - pp de fonctions mesurables est elle-même mesurable (Cf exercice N°21 ) . Réciproquement, la fonction/ étant mesurable et telle que µ * (IJI) < oo , il existe une suite Un) de fonctions étagées mesurables à support compact, qui converge µ - pp vers f et telle que l!n l � IJ I (voir l'exercice N°2 1) . Les fn sont des · combinaisons linéaires de fonctions intégrables, donc intégrables. Du théorème de convergence dominée résulte alors la µ - intégrabilité de/ puisque µ0 ( 11 1) < oo .

1 2. LES ESPACES FONCTIONNELS ILP DE LEBESGUE (P REEL)

12. 1. Inégalités préliminaires

Les espaces de classes introduits ci-après sont des espaces normés. Les normes vérifient des inégalités que nous établissons sur des représentants de classes et sans hypothèse d' intégrabilité. Des réels, p > 1 , q > 1 tels que 1/ p + If q = 1 sont dits « conjugués »

i�!iliiii .!i�ltÎlt�gn�.· ·l trm��lr��!�� :.J?·s��!�Y�*� :! y��Hr� :�1�· :�:1til�i.!:1,,11��:: : : .:1: ::: : , : :: :. : · ·

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· ��-�mg)_& �,((îv �r'p·�µ·� gq �lw, ;: : : : :: :;: � : :: :! : ! ! : : ! !:!: i!l l , : :1�:. : ; :: :_, : :;::: : :\::;;:;:;:::::Jiiii::;i:; :::):'::' ·:::,·,:,_::::,:::, : :::: : : . :: ::::.:: . . • • • -::::::::: :=:::;:· · · · · · · · · · · · · · · ·.·.·,·. · , · · ·,·.·.·.·.·.·.·.·.·.·.·.·.·.·.·.·.·.·.·.·.·.·.·.·.·.·.·.·.·.·.· • • ·•·.• . · • . ·•·.· . · . · . ·• · . . . • . . • • . • . ·.·.·,·.··.·.·.·.·.·.·,•.·,·.·.·.·.·.·.·.·.·.·.·.·.·.·.· . . . ••·•· . · . · . •.•. ·• •.•. ·.•.·• •• ·•·• ·• •.••· . •. · • . ::::::::::::;:;:;:::::::: :::;::::::::::::::::::-:-: ·=·=·:·:·:-:·:-:-:·:·::::::::::::::::::::::::::::::

Çi#§::fü�soo!t�§t '§9nl 'iPP.il�i$ ri§Pi9fhfim�nt 9�: mm:�J4Çr· �� 1 a� �<Mil�1�1::?�:1 :::::::: : J: : : : tt'r: : : Preuve de l 'inégalité de Hô/der On peut supposer que les 2 intégrales du membre de droite sont finies et strictement


positives sinon l ' inégalité est triviale. En divisant les fonctions par ces intégrales, on se ramène ainsi à supposer que µ * {! P) = 1 et µ * ( gq ) = 1 . Pour tout x E .Q pour lequel

f(x) et g(x) sont finis, on pose: f(x) = exp(u/ p), g(x) = exp(v/q) . La convexité de la fonction exponentielle donne alors une majoration du produit f(x)g(x) valableµ -pp :

f(x)g(x) = exp(u/p+ v/q) ::;; (1/ p) exp u + (Ifq) exp v= (If p)f P (x)+ (Ifq) gq (x) . En prenant l ' intégrale supérieure des 2 membres, on obtient µ• (fg) ::;; If p+ If q = 1 , ce qui prouve l' inégalité. Preuve de / 'inégalité de Minkowski On suppose que le membre de gauche est >O et le second membre fini, sinon l ' inégalité est évidente. Posons h = f + g et appliquons Hôlder aux 2 termes du second membre de l ' égalité : hP = f hP-1 + ghp-I . On trouve ainsi, puisque (p - I)q = p :

µ* (hP ) $; (µ* (hp )f 'q [(µ• (! P)f 'p + (µ• (gP)f 'p J . Tous les nombres de cette inégalité sont finis et non nuls. En effet, on a supposé que µ•(hp) > 0 et, comme la convexité de t H t P implique (h/2Y ::;; (1/2)(/P + gP ) , on en

déduit que µ" (hP) < oo . Le crochet précédent n'est pas non plus infini.

En divisant cette inégalité par (µ • ( hP)) lfq , on termine la démonstration puisque le premier

membre devient (µ• (hp )Y-1/q = (µ" (hp)f 'p .

Conséquence : Dans le cas où les fonctions sont intégrables, on pourra remplacer les intégrales supérieures par les intégrales elles-mêmes.

12.2. Structure préhilbertienne de l'espace u_ i ( .n, µ) Définition 1 .25.A m�:�v§�l�î� l�!�!��Î ·î?�� 1 �t�f u> �� 2�·M� �� fqn�t�99� ��I�� Hr · I: 1::x111f�_:.11: im:·qui sont mesurables et dont le carré est une fonction intégrable. . · : : ::: : :i :::·::::i.::::.:::: . : :·:.: ... ::::::::::::. : Remarque 1 .14.A Si on considère la fonction qui vaut 1 sur un ensemble non mesurable et - 1 dans son complémentaire, le carré de cette fonction, si la mesure est bornée, est intégrable. Elle est donc dans cf i(O,µ) mais elle n'est pas intégrable.

l�il�iiî�i;l·��:t,�l) ·m9m· �� 9µ�r�i�&?� H��m�11.�� g� ��R�8�.x��î9î��!i·-:· ::::::;:·:·:::::::::_-: ::.:_:::·::·::::.:·::·.:: Preuve En effet, si f et g sont dans cf i(O, µ) , f + g est mesurable. D'autre part, l ' inégalité

(! + g)2 ::;; 2(1 2 + g2 ) prouve que (! + g)2 est intégrable. Quant au produit par un réel,

la propriété est évidente. En passant aux classes, on peut définir un produit scalaire :

Produit scalaire euclidien. Inégalité de Schwarz Sif et g sont dans cf i(O,µ) , le produit/g est mesurable et, comme 2j/gj ::;; /2 + g2 , on

en déduit que fg est intégrable. Alors, l 'application qui au couple de classes (J, g) de


fonctions de cl ;(n,µ) fait correspondre l ' intégrale µ (iï) (où h = fg ) est un produit

scalaire. En particulier µ (J2 ) = 0 => ]2 = 0 => J = 0 et on a l ' inégalité de Schwarz qui

est un cas particulier de Hôlder : If .. / g dµr :s:; f Q ]2 dµ X f Q g2 dµ .

�--ilt-Preuve Les vérifications sont simples sauf celle qui concerne la complétude dont la démonstration est un cas particulier du théorème qui va suivre.

12.3 Espaces de Banach /f_P pour p réel supérieur ou égal à 1.

Définition 1 .26.A

··---On note, en effet, que le passage à la puissance p est compatible avec la relation µ - pp . Les classes de cet espace sont de puissance p-ième intégrable etµ• (IJ P 1) = µ �j P 1) .

Preuve : L'inégalité de Minkowski et les propriétés des fonctions mesurables prouvent que la somme de 2 éléments de IL � ( n, µ) est encore dans IL � ( n, µ) . C'est évident pour le produit par un réel. On a ainsi la structure d'espace vectoriel. Cette même inégalité fournit l ' inégalité triangulaire pour la norme. Par ailleurs, si µ·�JP I) = 0 , un représentant de la

classe est nul µ - pp , ce qui équivaut à affirmer que la classe en question est la classe nulle. Reste à prouver que l 'espace est complet. Soit (un ) une suite de Cauchy pour la norme 11 l l P . On commence par en extraire une

sous-suite telle que l lun -un I l :s:; 2 -i . Pour cela, on choisit n0 et n, ( n, > n0 ) tel que J+I J p

l lun1 -ü'n0 t < 1/2 puis n2 > n, tel que l lun2 - ü�1 t < 1/22 et ainsi de suite.

Simplifions les notations en raisonnant plutôt sur des représentants des classes utilisées.

Si on pose v N ( x) = � 1( un1•1 - un1 )C x )j , la fonction v N est une somme finie de fonctions 1=1

mesurables et l ' inégalité de Minkowski, autrement dit l ' inégalité triangulaire pour la

CHAPITRE 1.A • MESURES DE RADON ET INTEGRATION 39

j=N norme, nous fournit, \;/N , l ' inégalité : l lvN l l P � �llun1•1 - un1 t < 1 , d'où µ0 ((vN Y) < 1 .

Le lemme de Fatou 1 . 1 5 montre alors que µ* (lim N->oo((vN Y)) � lim n--+«>(µ• ((vN Y)) � 1 . Mais puisque les termes composant vN (x) sont positifs, on en déduit que, si l 'on pose

v(x) = if"' l(un1., - un1 )(x)I à valeur finie ou infinie, on a : µ* (v P ) � 1 . Ceci établit (Cf J=l

exemple 1 . 4. A qui suit la définition 1 . 1 7) que v( x) < +oo µ - pp , ce qui implique que la

série un, + f (un1•1 - un1 ) converge absolument vers une fonction u définie pp. En 1

utilisant les sommes partielles, il en résulte que u est la limite pp de la suite ( un1 ) i . Il s 'agit, à présent, de prouver que u est la limite de (un ) dans l 'espace IL � ( !l, µ) . Fixons

ni , la fonction lu - uni r étant la limite pp de lunk - u,,i I P lorsque k tend vers +oo , Le

lemme de Fatou s'applique encore : µ* (lu - uni I P) � lim k->«>(µ· (lunk - uni I P)) . Comme

le second membre peut être rendu inférieur à s pour tout k si j est pris assez grand, < (un ) étant une suite de Cauchy), on en déduit d 'abord que u - un , donc u est dans j IL � (n,µ) et ensuite que u est la limite de la sous-suite (un1 t dans cet espace.

Finalement, la suite (u,, ) ne pouvant admettre qu'une seule valeur d'adhérence puisqu'elle est de Cauchy, la suite toute entière tend vers u dans IL � ( n, µ) . Cette démonstration est valable pour p = 2 , ce qui démontre. que IL 2 est un Hilbert. En

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Autres résultats La propriété de densité des fonctions continues à supports compacts est encore valable dans ces espaces IL ' ( n, µ) . Dans certains cas, on a des relations d'inclusions entre ces espaces (Cf exercice N°41) . Il existe des relations de dualité entre IL , (n, µ) . et IL i ( n, µ) (lorsque p et q sont conjugués, à savoir 1/ p + If q = 1 ) . Par ailleurs, l 'opération de convolution possède des propriétés remarquables dans ces espaces. Note sur les espaces de Lebesgue de fonctions à valeurs complexes Dans ce qui précède, la mesureµ est supposée positive, les seules fonctions considérées sont réelles. Une fonction complexe est dite µ -intégrable (resp µ -mesurable) si ses parties réelle et imaginaire le sont. On peut démontrer que si f est mesurable et If 1 intégrable, alors f est intégrable. On définit of c P ( Q, µ) comme ensemble des fonctions

complexes f, µ -mesurables, telles que If 1 P soit µ -intégrable. L'espace IL H n, µ) quotient du précédent par la relation « égal µ -pp » est un espace normé complet pour la


norme Il! Il P = (J If IP t P . Une fonction f appartient à cet espace si et seulement si les

parties réelles et imaginaire de f sont dans IL� ( !l, µ) . Les théorèmes précédents sont alors valables en adaptant les hypothèses.

1 3. ESPACE DE LEBESGUE IL i 13. 1. Définitions

Preuve Le produit fg de deux fonctions mesurables est mesurable (cela résulte par exemple de la proposition 1 . 34) . L'encadrement précédent (définition 1 .29) fournit, puisque g est positive : m..,(f)g(x) ::;; f(x)g(x)::;; M..,(f)g(x) (pp) .

CHAPITRE 1 .A . MESURES DE RADON ET INTEGRATION 41

On laisse au lecteur le soin de montrer que fi_ ; ( .Q, µ) est bien un espace vectoriel normé, en particulier que M"'(IJ + gl) ::; M"' (l!I) + M"' ( lgl) . On prouve qu'il est complet. Soit une suite Un) de Cauchy. Pour tout n, il existe un entier hn tel que p et q supérieurs

à hn implique llJP - fq !100 � ljn , ce qui équivaut à dire que le complémentaire Ap,q ,n de l 'ensemble {x , l!P (x) - fq (x)I ::; I/n} est de mesure nulle. La réunion, pour n fixé, An de

tous ces ensembles où p et q parcourent [ hn , + oo[ est aussi de mesure nulle (Cf. Proposition 1 . 1 7) . La réunion A des A" est à son tour négligeable. On ".Onstruit des fonctions gk identiques à fk hors de A et nulles (par exemple) dans A, donc respectivement égales pp à fk . Cette suite (gk ) converge uniformément vers une fonction g dans .Q En effet, donnons nous n0 et hn associé et considérons

9

lgAx) - gq (x)I . Sur A, cette différence est nulle. Hors de A, donc dans l ' intersection des

complémentaires des Ap,q"" elle est égale à l!P (x) - fq (x)I , donc, si l 'on se donne

e > 0 , l!P (x) - fq (x)I < e pour p et q supérieurs à un certain hn ne dépendant que de

e . On en déduit la convergence uniforme annoncée et la fonction limite g est mesurable (Cf.exercice N°2 1) . Le passage à la limite donne hors de A jg(x) - fq (x)j < e et l ' inégalité

triangulaire montre que g est dans fi_ ; { .0, µ) . Enfin, on a liml lfn - g n IL, = 0 , d 'où ! 'on

déduit que g est la limite dans cet espace de la suite Un) . 1 4. PRODUIT TENSORIEL DE DEUX MESURES

Dans ce qui suit, on considère deux mesures positives sur deux ouverts .Q et .Q' de �N et �N'. respectivement. On voudrait généraliser l ' intégrale double au sens de Riemann. La propriété sur laquelle repose le calcul d'une telle intégrale est qu'en intégrant relativement à une des mesures, donc par rapport à une des variables, on obtient une fonction de l ' autre variable que l 'on peut intégrer relativement à l' autre mesure. En traduisant cette propriété dans le cas des mesures quelconques, on obtient le théorème préliminaire suivant que ! 'on retrouvera sous une forme analogue dans le cas du produit tensoriel de 2 distributions.

14. 1. Préliminaires à la définition

On représente d'abord, dans le cadre d'un produit d'espaces symbolisés par les deux axes de coordonnées, un compact, ses projections et la « coupe » de ce compact « à y constant » .

---��

La figure ci-contre représente un compact K dans un produit de 2 ouverts. Pour y fixé dans .0' , ! ' ensemble des x de .Q tels que ( x,y) E K est un compact KY de .Q qui dépend de y , compact qui peut devenir vide si la « droite » /1 Y ne rencontre plus le compact K. Cette explication géométrique est facile à rédiger de façon rigoureuse.


Preuve On peut trouver 2 compacts K1 et K2 ( [a,b] et [c,d] sur la figure) tels que K c K1 x K2 , la fonction <jJ étant toujours continue sur le compact produit. Si y � K2 , la fonction <jJ Y est nulle et par conséquent Vf(Y) = 0 , Vf est donc à support compact. Pour la continuité au point y0 de K2 , la différence <jJ Y - <jJ Yo étant continue à support compact dansK1 , la continuité de µ dans l 'espace e(K1 ) permet d'écrire :

IVJ'(Y ) - VJ'(Yo )1 = I(µ ' <jJ Y - <jJ Yo )1 � C K1 ll 0 , 3 o> 0 tel que :

lx - x'I < o et IY - Y'I < o=> j<P(x,y) - </J (x' ,y')j � e . Ceci implique : IY - Yo l < o => V x , l<P(x,y) - </J(x,y0)l � e => ' '</J y - </J y0 1 1 � eCK1 . L'inégalité précédente prouve alors la continuité de Vf .

Conséquence : On peut appliquer sur cette fonction Vf la deuxième mesure v . Remarquons que si la fonction <jJ est définie par <P(x,y) = f(x)g(y) , l 'application de cette mesure v fournira pour résultat le produit (µ , f) ( v , g) . 14.2. Définition d'un produit tensoriel de deux mesures de Radon

Preuve Cette proposition est un cas particulier du produit tensoriel des distributions. On pourra s'y reporter et l ' adapter au cas des mesures. Donnons la preuve de l 'existence en admettant le lemme qui suit ( Cf § 1 et 2 du chapitre 3 .A) :

CHAPITRE 1 .A • MESURES DE RADON ET INTEGRATION 43

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·

·····

Pour construire la mesure produit, on utilise ce qui précède en posant :

(;t , (> ) = (v(Y) ' (µ ; (> y )) . Dans cette formule, la notation v (y) signifie que cette mesure v s'applique sur une

fonction de la variable y. Un abus étant souvent suivi d'un autre, signalons une autre

notation, peut-être plus explicite : (À , (> ) = ( v(y) , ( µ( x) , </>( x, y) ) ) . Il reste cependant à prouver que À est bien une mesure. La linéarité ne fait aucun doute. En reprenant les notations précédentes, on a 1( À , (> )1 :::; C K2 l llfl"L et, comme

j(µ, </> y )j :::; C K, 1 1<1> y I L� implique lsup(µ, </> Y )1 :::; C K, I l</> IL , on en déduit que pour tout K compact de n x n ' , il existe une constante C K telle que pour toute fonction continue à support dans K on ait : J( À , (> )J :::; C K I l</> lie,,. Signalons quelques propriétés sans démonstration : - Le produit tensoriel de deux mesures positives l ' est aussi . - Pour les modules, on démontre : Iµ ® v 1 = Iµ 1 ® 1 v I · - Les supports vérifient : supp(µ ® v) = supp(µ) x supp( v) . -Si les mesures sont bornées, leur produit est aussi borné et : I lµ ® �10 • 0• = I lµ 110 Il vll 0• 14.3. Exemples

- Le produit tensoriel de deux mesures de Dirac aux points a et b est la mesure de Dirac au point (a, b) de l 'ouvert produit. Pour les peignes, voir § 1 .2 .B . - Soient deux fonctions f et g localement sommables au sens de Riemann, l 'une dans n , l 'autre dans !l' . Le produit tensoriel µ 1 ® v g des mesures associées est la mesure/g - Le produit des mesures de Lebesgue de �n et de �m est celle de Lebesgue dans �m+n.

14.4. Résumé des résultats sur les prolongements de mesures positives

14.4. 1 . Fonctions s.c.i

Pour toute fonction (> s .c . i dans !l x !l ' minorée par une fonction de Cc (!l x !l') , la

fonction y H (µ , (> Y ) est dans 'l(n) . Cela permet le premier prolongement au moyen

de la formule : (;t • , (> ) = ( v(y) • (µ (x) ' <f>(x,y))) . Procédé analogue pour les fonctions s .c .s .

14.4.2. Fonctions à valeurs dans [-oo , + oo ] Pour de telles fonctions/, on définit l ' intégrale supérieure (µ ® v)* et inférieure (µ ® v) • . On obtient, par exemple : (µ ® v)*(f) ;;::: v(Y) * (µ(x) * (!(x,y))) (mais non l 'égalité) et une

inégalité inverse pour l ' intégrale inférieure.


14.5. Théorèmes de Fubini

Remarques 1 . 13.A -La première propriété de l 'énoncé est vérifiée quand on remplace le mot « intégrable » par « mesurable » . - Dans cet énoncé, on est conduit à une formule dans laquelle on intègre d'abord « à y constant » . Mais, sous les hypothèses faites, on peut échanger le rôle joué par les deux variables. On en déduit, que, dans la formule précédente, on peut aussi intégrer «à x constant » . On obtient ainsi une formule d' interversion des deux intégrations partielles.

Dans la pratique, pour vérifier une telle possibilité d' interversion qui peut présenter des avantages (Cf exercice N°25), il est bon de connaître une autre version du théorème précédent qui passe d 'abord par une vérification d'existence d'une des deux intégrales répétées portant sur le module de la fonction de deux variables.

La vérification de l 'une de ces propriétés étant faite, la formule du théorème 1 .46 des intégrations répétées peut être utilisée pour If 1 aussi bien que pour f elle-même.

14. 6. Convolution de deux mesures

Cette opération sur les mesures ne sera étudiée que dans le cadre général des distributions dont elle apparaît comme un cas particulier (Cf chapitre 3 .A) . De même, la transformation de Fourier d'une mesure bornée ou transformation de Fourier-Stieltjes sera étudiée comme cas particulier de la transformation de Fourier des distributions (Cf chapitre 4 .A)

CHAPITRE 1 .B

EXEMPLES DE MESURES DE RADON

1 . M ESU RES DE TYPE PEIG N E

1.1. Peignes sur IH

1.1.1. Définition

La considération de combinaisons linéaires de distributions de Dirac associées à une suite finie de points sur la droite, se généralise au cas où cette suite devient infinie tout en restant localement finie, ce qui signifie que tout intervalle borné de � ne contient qu'un nombre fini de points de cette suite ou encore que les seuls points d'accumulation appartiennent à {-oo, + oo} . illil��!?: : �:J��11 :;;11�: :�B��l�� !B: �� filéi�il�g�li:1m1:::��: :1�1�:111111:1:111�:1:1:1�1111:::1�11:

1t•Jllla� Elle est bien définie comme application de ec (�) dans ([ puisque, pour toute fonction <jJ , élément de ec (�), les valeurs non nulles d e <jJ (xn ) sont en nombre fini · et, par conséquent, l 'expression (T, </J) = LneZan <P (xn ) a un sens.

C'est bien une mesure. Si, en effet, on pose : CK = """' "' Jan J , la formule précédente �Xn E supp 'I' fournit dans une majoration évidente :

l(T, </J)I :=;; Lnez lan </J(xn )I :=;; CK sup J</J J = CK J J</J J J .., · Lorsque \ln E Z, an = 1 et xn = n , cette mesure, alors notée lll , est dite peigne de Dirac. Dans le cas général, le peigne est dit «généralisé » ; il peut être noté lll(an ,xn) . 1.1.2. Autre généralisation

On suppose la suite des points xn non localement finie. Ceci implique qu'il existe un compact contenant une infinité de points de cette suite et, par conséquent, que cette suite possède à distance finie des points d'accumulation. Il faut alors imposer à la suite (an )neZ la condition suivante : quel que soit le compact K, la somme partielle Lx eK Jan J est convergente. L'application T telle que : (T, </J) = LneZan </J (xn ) est alors n bien définie puisque K étant le support de <jJ , les sommes partielles de la série précédente sont majorées par Lx eK JanJsupJ</J J . La même majoration prouve par ailleurs que cette n application est une mesure. Exemple 1.1.B : On pose x3n = n, x3n+i = n-1 , x3n+2 = 1 +n-1 . On peut prendre pour

an la suite définie par : a3n = n et a3n+I = a3n+2 = n-2 . C'est un exemple où la


condition précédente est réalisée sans que la suite des a,, soit sommable.

1 . 1 .3.Propriétés

a) Positivité Si tous les a,, sont réels et positifs, cette mesure est positive. b) Parties réelle et imaginaire La partie réelle (resp. imaginaire) de T est le peigne associé à la suite des parties réelles (resp. des parties imaginaires) des a,, . c) Module d' un peigne (Cf définition 1 .2 .A) Associons à T le peigne To obtenu en remplaçant tous les a,, par leurs modules. Nous allons montrer que l 'on obtient ainsi le module de la mesure T, c 'est-à-dire : 171 = To . -On suppose d'abord que la suite ( x,, ) est localement finie. Soit �� O une fonction continue à support compact. Alors l ' inégalité, vraie pour 1// e ec et

ll//I :::; � ' IL:11 a11 1//(x,1 )I :::; L:,, la111//(x11 )I :s;L:,, la11 I � (x,, ) fournit, par passage à la borne

supérieure, supl l//l:S: rp IL:,, a,, 1//( x,, )1 ::;; L,, la,, 1 � ( x,, ) . Autrement dit : 171 ::;; To . Réciproquement, � étant donnée, continue et positive, son support ne contient qu'un nombre fini de points x,, et on peut considérer une fonction continue 1// telle que l l//I ::;; � et telle que la,, 1 1//( x,, ) = a,, �( x,, ) pour tous ces x,, . Pour construire une telle fonction 1// , il suffit de l ' imposer nulle sauf sur des voisinages de chacun des points x11 où elle est suffisamment petite et prenant la valeur citée ci-dessus au point x,, ( Cf Exercice N°26 pour les détails) . Alors, JL:11 a,, l//(xn)J = L:11 la11 l� (x11 ) = (1Q . � ) , d'où 171 � To - On a

terminé dans ce cas. -Supposons maintenant que la suite ( x11 ) admette des points d'accumulation. On peut supposer, quitte à prendre une sous-suite, que le support K de � contient la suite ( x,, ) convergente vers un point c de K. Le réel e > 0 étant donné et la série

LNla11 l � (x11 ) étant convergente, il existe N tel que Ln>N la11 l �(x11 ) ::;; e . Par hypothèse,

h étant donné, il existe un entier N 0 > N tel que \ln > N 0 , lx,, - cl < h et on peut se ramener (propriété laissée au lecteur) au cas où les autres termes soient tous hors de cet intervalle. Alors, on construit, en employant le procédé précédent, une fonction 1// nulle hors de [c - h, c + h] et telle que Vn:s; N0 , l l//l :s; � , et la11 l l//(x11 ) = a11 �(x,, ) . On

obtient ainsi IL:N a,, l//(x,, )j = ILn:s:No a11 l//(x11 ) I = Ln:s:N0 la11 I� (x,, ) � LN la11 l �(x,, ) - e . Ceci étant valable quel que soit e > 0 , on peut conclure :

sup IL: anl//(x,, )I � L lan l � (x,, ) . 11//I;; (> n n

L'inégalité contraire ayant été vue ci-dessus, on arrive encore à la conclusion : 171 = To . Proposition 1 . 1.B --��-iiliilillll!l!lll!!!I ltllltîl�1il��Ii�lif1El�

CHAPITRE 1 .B. EXEMPLES DE MESURES DE RADON 47

d) Condition pour obtenir une mesure bornée

Si la série des modules des an est convergente, la mesure T est bornée. En effet, pour

toute fonctionq> continue à support borné, on a : j(T, IJJ)j ::; (Lz lan l)Supl<PI = kll<P ll.,,, où k est une constante indépendante de qJ . Sous cette condition, on peut prolonger la mesure aux fonctions continues et tendant vers 0 à l ' infini et même aux fonctions continues bornées. Le prolongement est encore défini par : (T,J ) = Lzan f(xn ) . e) Support d'un peigne

l�r��;ïi��'.i�� §1 î:��rê1lsê 4� l'�n��œ�t� �� pg1p!§ �� »�� (�� 1 Preuve L'exercice N°27 propose la démonstration dans le cas où la suite (xn ) est localement finie. Argumentons seulement dans le cas où cette suite est non localement finie. Notant S = {xn } , S contient les points d'accumulation de (xn ) . Si la fonction qJ a son support

dans l 'ouvert complémentaire de S , les nombres q>(xn ) sont tous nuls, d 'où (T, q>) =O . Il faut montrer, à présent, qu'un ouvert plus grand U n'est pas un ouvert de nullité. Si U contient un point xn qui n'est pas un point d'accumulation, on peut trouver une fonction q> continue dont le support borné contienne ce seul point xn à l 'exception de tous les autres et de tous les points d'accumulation et telle que q>(xn ) = 1 . Pour cette fonction, on a : (T,q>)=an q>(xn ) =an :t: O . Si U contient un point d'accumulation, il contient des points de la suite. On est ainsi ramené au cas précédent. e) Convergence vague et convergence étroite

La somme finie� , anô x notée TN' N converge vaguement vers le peigne W(a x ) ; L..JN '5:.n$N n ' n • n En effet, LN',;n,;Nanq> (xn) converge vers Lzan q>(x,, ) lorsque N et IN'I tendent vers

+oo (cette somme coïncide d'ailleurs avec cette limite pour N et IN'I assez grands). Cette preuve est valable pour le cas localement fini. On l 'adaptera aux autres cas. Soit un peigne T pour lequel la série Lz lan 1 est convergente. Considérons, toujours dans

le cas localement fini, la somme TN' N . Soit f une fonction continue et bornée sur � et

considérons le reste RI = Ln>Nanf(xn ) + Ln<N'anf(xn ) · De façon évidente, puisque

IR1 1 ::; (Ln>N lan l + Ln<N' lan l)llJ ll.,,, , ce reste peut être rendu arbitrairement petit lorsque

N et IN' I sont assez grands. Il en résulte que, quelle que soit f, la suite de terme général

( TN', N . J) converge vers (T,J) . Résumons :

1 .1 .4. Prolongements d'une mesure de type peigne

Bien entendu, la théorie des mesures de Radon permet de définir l ' intégrabilité vis-à-vis de ces peignes. Selon la nature du peigne et le comportement à l ' infini des a11 , on peut discuter de la valeur explicite des prolongements aux fonctions f s. c. i ou s. c.s puis aux


fonctions quelconques. Dans l 'exercice N°28, il est proposé une étude de ces prolongements sous des hypothèses simplificatrices . . 1 . 1.5. Multiplication par une fonction continue

Soit f continue sur ml., alors la fonction produit f rp par une fonction continue à support compact est encore continue à support compact et, de ce fait, on peut définir ( T,f rp ) qui définit l 'action d'une nouvelle mesure notée j . T . Cette mesure est celle associée aux mêmes xn , les an étant remplacés par les produits f(xn )an . On obtient donc un nouveau peigne.

1.2. Peignes dans llf 1.2. 1 . Définition 1 .2.B

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L'application T est alors bien définie. C'est la mesure de !Rl.2 qui associe à la fonction rp continue et à support borné dans !Rl.2 le nombre (T, rp ) = LneZanrf> (xn •Yn ) . Il est évident que la définition ci-dessus s'étend aux espaces !Rl.N. 1 .2.2. Propriétés

Les propriétés du cas de IRl. s 'étendent immédiatement à ces mesures de !Rl.N ( Cf Exercice N°29) et on peut encore les multiplier par des fonctions continues. 1 .2.3. Cas particuliers

Les points peuvent être situés sur une courbe donnée ou une réunion de courbes admettant des branches infinies. Par exemple, supposons que ( 8 n )neZ soit une suite de

réels donnée admettant ses seuls points d'accumulation en +oo . Alors, les points du support du peigne, défini ci-dessous, convergent vers le point 0 le long d'une spirale

T = LneZn-28 xn avec x11 = (exp(-on) cos8n , exp(-on) sin 8n ) . 1 .2.4. Produit tensoriel de deux peignes

·•-lt-11 est facile de voir que le peigne le plus général n'est pas réduit à un produit tensoriel .

2. M ESU RES A DENSITE

2. 1. Mesure associée à une fonction localement intégrable sur Ill Définition 1 .3.B (et justification) si511F 'M · tr{t6S�îéfüéfit îritét#�ble · • •(ê 'esF à <lirê .·.• .• .• .Ri .... · .

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CHAPITRE 1.B. EXEMPLES DE MESURES DE RADON 49

29mn�I! �i �21 @n ê�9� !µ�· ��991�r �� 999��2P:A1i�� ?9��- f�l· qµ1;· 1 :129�;:: ,rç11i29,,,_.·�::::�, Cette intégrale n'est prise sur la totalité de � qu'en apparence puisque l ' intégrant est nul hors du support de r/> . De plus, cette intégrale existe puisque, sur ce support borné, le produit de rp continue par j �-localement sommable est sommable. En fait, rien n'empêche de supposer que j est �g-localement sommable,c 'est-à-dire �-localement sommable au sens généralisé, ce qui veut dire d' intégrale généralisée absolument convergente sur tout intervalle borné ou bien, ce qui est la même chose, localement intégrable au sens de Lebesgue (Cf exercice N°24, a) .

L'application [!] ainsi définie est une mesure. En effet, si K est le support compact de r/J , on a la majoration :

([J] . r/> ) = jJ f(t)r/> (t)dtj ::; Suplrf> (t)IJ If (t)ldt = CK llrf> ll . R K K OO

Cette mesure (notée f. dt ), est dite « à densité j » par rapport à la mesure de Lebesgue (notée dt) . , Par exemple, les fonctions continues ou continues par morceaux sur �. les fonctions monotones, les fonctions non continues : t H lt l -a , t H l t l -a lnltl où a < 1 , fournissent de telles mesures. Lorsque f = 1 , on retrouve la mesure de Lebesgue.

Par contre, une fonction telle que t H r 1 n'est pas convenable. Il suffit de choisir une fonction <p continue à support borné vérifiant rp(O) * 0 pour constater que l 'application

[r1] n'a aucun sens sur cette fonction <p puisque rp(t)t -1 est non Lebesgue.:intégrable.

En revanche, si on se place sur l 'ouvert U = ]ü,l[ de �. une fonction <p de ec (U) sera

nulle dans un voisinage de 0 et la mesure associée à t H t -1 sera bien définie sur cet ouvert. Cependant, cette mesure n' est pas la restriction d'une mesure sur un ouvert U'� U (Cf ex N°6) . Remarque 1 .1 .B La mesure que l 'on associe àf localement sommable est, en fait, associée à la classe def au sens de Lebesgue. En effet, sif et g sont localement sommables et égales pp sur �. les deux mesures associées sont identiques. Cela est valable pour le paragraphe suivant.

2.2. Mesure à densité sur of ou sur un ouvert de of De même, on associe à la fonction f localement sommable (au sens de Riemann) sur �2

la mesure, notée [f ] , telle que ([f ], r/J ) = fR2 f(x,y)r/J (x,y)dxdy . Cette définition et les

remarques précédentes se généralisent immédiatement à �N. Par exemple, dans �2, les

fonctions de la distance r = { x2 + y2 ) 112 telles que r -a ou , -a ln r où a < 2 , sont R g -localement sommables (donc Lebesgue-localement sommables), donc fournissent par la formule précédente des mesures à densité. Ces mesures seront étudiées en détail, en tant que distributions, dans les chapitres suivants. Si certaines des singularités de la fonction! ne sont pas intégrables, on peut se placer dans l 'ouvert U obtenu en privant �N de ces points. On peut associer ainsi à f une mesure sur U en posant, pour toute fonction continue rp à support borné dans U :


([!Ju , çb ) = fRN f(x)çb (x)dx . 3. M ESU RES ASSOCIEES A DES FONCTIONS D'INTERVALLES

3. 1. Définitions

3. 1 .1 . Fonction d' intervalles sur un intervalle compact.

,. 3.1 .2. Partitions, diamètres, finesse

Un intervalle compact I étant donné, on note r l ' intervalle semi-ouvert obtenu en le privant de son extrémité gauche. On note P(r ) un ensemble fini d'éléments Jk de Pi réalisant une partition de r . On désigne par Lk la longueur de Jk ; le diamètre de la

partition est alors o (P(r)) = sup Lk .Vn couple (P(r ), P ' (r )) de partitions étant

donné, P ' est dite plus fine que P ( P'>- P ) si chaque J'k est contenu dans l 'un des Ji . 3.1.3. Sommes de Riemann

Soit une fonction d' intervalles � donnée. Soit une fonction/ continue sur le compact /. A toute partition P de I , on associe les sommes suivantes pour f dans lesquelles : mk et Mk sont les bornes inférieure et supérieure de/ sur Jk et où xk est arbitraire dans Jk ·:

sp (f) = Lkmk V1 (Jk ), o- p(f) = Lkf(xk )V1 (Jk ), Sp(f) = LkMk V1 (Jk ) . Dans le cas où la fonction d' intervalles est la longueur des intervalles, on retrouve les sommes de Riemann habituelles. Ce qui suit généralise cette notion. 3.2. Propriétés

3.2. 1 . Comportement des sommes de Riemann

On montre que, dans la situation précédente, il existe un nombre noté µ 1(1) tel que, pour tout 8> 0 , il existe h assez petit pour que ô P < h implique les 3 majorations :

isp (J) - µ 1U)I < 8> Jsp (f) - µ 1U)I < 8> Jo- p(f) - µ 1U)I < & . La démonstration, qui repose sur les mêmes ingrédients que celle associée à l ' intégrabilité au sens de Riemann, est proposée en détail dans l 'exercice N°30. On définit ainsi une application µ1 de l 'espace eR (I) dans � , à l 'aide de la notation, abusive :

µ1(1) = lim o- p(f) = lim s p(f) = lim S p(f) = supp (s p(f)) = infp (S p(f)) ô P �o ô P�o ô P�o

Il est clair, qu'en particulier, on peut considérer l 'application qui à toute fonction f appartenant à Cc (R) associe le nombre µ1(1) où I est un intervalle compact quelconque contenant le support de j On montre que cette application est une mesure de Radon d'ailleurs positive. Dans le cas où la fonction d' intervalles est la longueur des intervalles, on trouve la mesure de Lebesgue sur I (Voir aussi les exercices N° 1 5 et 1 6) . Notons que par des généralisations faciles à définir (moins faciles à manipuler), on peut

CHAPITRE 1 .B. EXEMPLES DE MESURES DE RADON

étendre ces fonctions d' intervalles en des fonctions de produits cartésiens d' intervalles (ou pavés) et aboutir à des mesures généralisant la mesure de Lebesgue sur �N.

51

Proposons, en dehors de l ' intégrabilité au sens de Riemann, une autre intégrabilité sur � associée à une autre fonction d' intervalle. 3.2.2. Intégrales au sens de Riemann-Stieltjes

On prend I = [a, b]et une fonction a croissante sur l On lui associe la fonction d' intervalles à partir de Vi (]x, x']) = a(x') - a(x) (l ' emploi de l ' additivité permet alors de la définir sur toute réunion d' intervalles de !. Ce qui précède s 'applique. On définit ainsi qu' il est dit précédemment les sommes de Riemann associées, par exemple :

k=11 a p(J) = L:!(Yk )(a(xk+1 ) - a(xk )) , k=O

où a = Xo < Xi <. . . . < Xn+ I = b, Yk E ]xk , xk+1 ] ·

n�fin��i9P, j;�r!Q îi�Iiffiifê d�f1Ille pa.r µ; s��J?ÎJêü� T'Jrt�sf�!� 4� ��m6t$t!i!til� •4� ·1� rôtittifül &: r�î�îi.v� � i4 r9ti�i�S� �r<>is��µted <lri Â&iè > • ::: · o: ' ' . • • . , · · · · · · · · · · · - - - - · · · · · · · · · ·

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Si la fonction a est définie sur la totalité de �. on considére l 'application, notéeµ a qui associe à toute fonction / continue à support compact dans � le nombre µ [a ,

b],

a(J) où [a,b] est un intervalle quelconque contenant le support de / On peut démontrer qu'on définit ainsi une mesure de Radon positive. Toute la théorie des extensions successives des mesures (Cf chapitre 1 .A) peut ensuite s'appliquer. Dans le cas où a (x) = x , on retrouve la mesure de Lebesgue notée classiquement dx ; c'est pourquoi la mesure précédente peut être appelée da . 3.2.3. Importance de ces mesures

Toute mesure de Radon positive sur � est, en fait, du type précédent ; plus précisément :

Bl�il��fuf!1;�r��ï�wa11i,i1 Preuve Soit µ une mesure de Radon positive. Il est facile de voir que les intervalles semi-ouverts bornés sont µ - intégrables. On construit une fonction croissante a par a ( 0) = 0 , a (x) = µ (]o, x]) si x > 0 et

a (x) = µ (]x, o]) si x < 0 . La fonction d' intervalles associée vérifie alors si b > a : ;t()a,b]) = a(b) - a (a) quels que soient les signes de a et b. Si f est une fonction continue à support contenu dans [a,b] , elle peut s' écrire comme somme des fonctions intégrables fi = f X 1 . où les I i constituent une partition P de ]a, b] . On en déduit que }


(µJ) = Lj'u (f x1J . En encadrant f par ses bornes supérieures et inférieures sur chacun des 11 et en utilisant la relation précédente, on obtient l' encadrement, valable donc pour toute partition P :

sp(f) � (µ ,/) � Sp(f) . Il suffit d'utiliser alors la limite au sens précédent lorsque t5 P � 0 pour obtenir pour toutes ces fonctions/ : (µ ,/) = (da ,/) , ce qui signifie que les 2 mesures sont égales. Il peut exister d'autres fonctions a pour lesquelles cette égalité est vraie, mais on remarque (Cf exercice N°3 l) que si l 'on impose la continuité à droite et la valeur nulle en 0, la seule fonction a possible est celle définie ci-dessus. Remarque 1 .2.B Une mesure de Radon positive ( par exemple une mesure de Dirac ou même un peigne à coefficients positifs) doit donc être une mesure de Stieltjes (Cf exercice N°32 dans le cas d'une mesure-peigne bornée) .

4. FONCTIONS DEFI NIES PAR DES INTEGRALES DE LEBESG U E

Dans ce paragraphe, l a fonction j de 2 variables ( x, y) est donnée, telle que, pour tout y d'un intervalle I de !Rl., la fonction x H f(x, y) soit L-intégrable (Lebesgue-intégrable)

sur n . Sous cette condition, on peut définir sur I la fonction F par F(y) = f f(x,y)dx . Cl

Il s'agit d'étudier le transport des propriétés de continuité, de dérivabilité de/ à F. En fait, les 2 théorèmes qui suivent peuvent s'énoncer dans le cas d'une mesure positive quelconque, la variable y étant, par exemple, dans un Banach. On ne les énonce pa� ici. 4. 1. Propriété de continuité

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Preuve Soit une suite (Yn ) convergente dans V vers b. L'hypothèse 1 °) nous dit que la suite (ln) oùfn (x) = f(x,yn ) converge simplement hors de B vers f(x, b) , donc pp. Ces fonctions f,, sont L-intégrables (préliminaire) et sont majorées (Hypothèse 2°)) par une fonction intégrable. Les hypothèses du théorème de convergence dominée 1 .25 .A sont donc vérifiées. On en déduit que les intégrales de fn convergent vers l ' intégrale de f(x, b) . Cela étant vrai quelle que soit (Yn ) , on a : lim

bF(y) = F(b) , donc F est continue en b .

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4.2. Propriété de dérivation sous le signe intégral

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Preuve Soit b fixé et (y n ) convergente vers 0, avec b +y n E [ b - /3, b + /3] c V . Soit la suite de

fonctions (gn ) définie pp par : gn (x) = -1 (f(x,b +yn ) - J(x, b) - yn ôf (x, b)Î . Cette Yn ôy 'J suite converge simplement L- pp vers la fonction nulle. Ces fonctions sont L-mesurables car la dérivée partielle, d'après sa définition, est limite pp de fonctions mesurables. Elles sont même L-intégrable par l 'hypothèse préliminaire et la condition 3° . On majore gn , lorsque x E .Q \ B , en appliquant la formule des accroissements finis en y sur

[b - /3, b +/3] . On obtient, en effet, lgn (x)l ::;; lôf (x, b + Byn) + ôf (x, b )l =:;; 2g(x) . Le ôy ôy

théorème de convergence dominée 1 . 25 .A permet encore d'affirmer : lim fogn (x)dx = 0 .

Cela revient à dire que F est dérivable en b et que F '(b) est l ' intégrale de la dérivée partielle en y = b . 4.3 Application à la transformée de Fourier d'une fonction de IL1(!!&) Cette transformée (que nous retrouverons dans le chapitre 4) de f, élément de fi_ 1 (�),

/\ définie par f (y) = f R f ( x) exp(- 2 i 1C xy }:lx , est continue sur �. En effet, quand f(x) est défini, donc hors de B de mesure nulle, on a la majoration

uniforme : IJ(x) exp(- 2i 1C xy)I ::;; IJ(x)I . De plus, l ' intégrant est continu en y si x � B . La propositionl . 5 .B s 'applique donc en tout point b de �.

/\ Si, en outre, on suppose que x � x f(x) est dans fi_ 1(�), f est dérivable, la dérivation se faisant sous le signe intégral . En effet, la dérivée partielle en y, qui existe si x � B , vérifie alors la majoration uniforme

l-2 i 1C x f (x )exp(- 2 i 1C xy )1 ::;; 21C lx f(x )1. On trouvera d'autres études de fonctions dans l ' exercice N°33 .

5. M ESU RES ASSOCIEES AUX COU RBES E T SU RFACES

Entre les deux cas extrèmes constitués par les mesures de type peigne qui sont concentrés sur des ensembles de points isolés et celles qui précèdent qui font intervenir la totalité de l'espace, on peut, lorsque N ;::>: 2 , considérer des mesures sur des sous-variétés de �N qui ne sont pas des ouverts de �N. On étudiera ces mesures surtout dans les deux cas N = 2, N = 3 et principalement dans le cas des courbes, « sous variétés » de dimension 1 et des hypersurfaces, «sous variétés» de dimension N - 1 » . L'exposé qui suit n'est pas une introduction à l 'étude des variétés pour laquelle on renvoie le lecteur aux ouvrages spécialisés (Cf [7], [ 1 9] , [20]). On se limite donc à des cas particuliers où la mesure considérée est facile à définir et où il est possible, sans trop


d'inconvénients, de se passer de cette notion de variété. On sera d'ailleurs amené, dans certains cas, à admettre que les mesures définies sur ces sous-ensembles de !Rl.N ne dépendent pas des paramétrisations dont on se sert explicitement dans les définitions. Par ailleurs, dans tous ces paragraphes qui suivent et qui étudient ces mesures sur des enembles autres que des ouverts de !Rl.N, nous ferons allusion à des fonctions de points sur des courbes ou sur des surfaces, à des champs de vecteurs, en particulier les champs de vecteurs normaux, à des produits scalaires, à des normes euclidiennes de vecteurs. C'est dire que nous utiliserons la structure affine euclidienne canonique de !Rl.N, pour laquelle la base canonique est une base orthonormée. 5. 1. Mesures sur certaines courbes de of ou de of. 5. 1 .1 . Définition 1 .6.B et premières propriétés

Soit une courbe r dotée d'une représentation paramétrique <P , application définie sur un intervalle I ouvert de IRl. : t � (x,y) = ( X(t), Y(t)) à valeurs dans � - . .

llllrBillil!i;fl�"811111 iLV&iœBl4il-Dans ces conditions, on peut définir une forme différentielle notée ds (élément d 'abscisse curviligne ou de longueur dans le plan euclidien) :

ds = ( X'(t)2 + Y' (t)2 t2 dt . L'ensemble des points de r est alors un sous-espace topologique localement compact de !Rl.2 et on peut envisager la théorie des mesures de Radon sur cet espace. Soit une fonction g continue sur r et à support compact K dans r . Alors, lorsque M = <P(t) est dans ce

support compact K, t est dans <P-1 (K) qui est un compact de /. Il en résulte que

l ' intégrale curviligne fr g ( M)is{ M) , qui s'exprime par définition sous forme de

f ( 2 2 ) 1/2 l ' intégrale simple sur I : 1 g 0 <P(t) X' (t) + Y' (t) dt , est alors bien définie. On

définit ainsi une application de ec(r) dans C. Il est clair que cette application est linéaire.

De plus, on a la majoration suivante où l lKll� est la <<norme Sup sur r » :

jJ1 g o <P(t )(X' (t )2 + Y' (t )2 ) 1/2 dt l :::; Suplg 0 <PIJIP_1 ( K} ds = C K JJgl l� .

Concluons que cette application est une mesure sur l 'espace localement compact r . Conformément à ce qui est dit au début de ce paragraphe, on admet qu'une autre représentation paramétrique propre de la courbe r conduirait à la même mesure (Voir cependant l ' exercice N°34 où l 'on propose une démonstration de cette indépendance). a) Définition 1 .7.B


/lit·,_�fi� fi1�$9r� $9r 'I Qft ù�Jiîi�u� <�fo��r� i+4!m��$i��îï� �ût !J �t. : · : · : : : . : :.:.::· b) Propriétés de cette mesure - Cette mesure est réelle positive puisque ds/dt est réelle et positive sur !.

( 2 2 ) 1/2 -Si la fonction t � X' (t) + Y' (t) est Lebesgue-sommable sur I, la mesure

précédente est bornée. La majoration précédente par CK jjgjj� est, en effet, remplacée

dans ce cas par C jjgjj� où C est l' intégrale de ds sur !, donc indépendante de g. Dans ces conditions, la mesure µ r se prolongea aux fonctions continues et bornées sur r . c) Définition 1 .8.B (d'une mesure dans �2 portée par I' )

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·�1 fü1� ��-m��9r� nP�� ii� r; » · . . · . · · .

: : : · : : : :Li :: ; : :: En particulier, la condition est effectivement vérifiée lorsque la mesureµ r est bornée. Justification L'expression « portée par r » signifie que le support de la mesure définie ci-dessus est l 'adhérence I' ( Cf exercice N°3 5 où la démonstration est proposée) . Ces définitions s'étendent immédiatement aux cas des courbes munies de représentations paramétriques propres (ou «courbes propres ») dans �3 où même dans �N. 5.1 .2. Exemples dans �2 a) Premier exemple 1.2.B

On considère la paraboleI' d'équation cartésienne y2 - 2px = 0 . Une représentation paramétrique est définie par x = t 2 /2p ,y = t , l ' intervalle I étant �.

C'est bien une représentation paramétrique (/) propre. D'abord, elle est de classe e1 et même de classe eOC) , surjective sur r , injective, de dérivée (t/ p , 1) différente du vecteur

nul. L'application tP est bien un homéomorphisme car l 'application inverse <t>-1 n'est autre que la projection parallèlement à l 'axe des abscisses de la parabole sur l 'axe des ordonnées et cette projection est bien continue et strictement croissante. La mesure r est

donc définie par : (µr.rp) = f tp(M)ds(M) = s:q>(t2/2p , t)(l + t2/p2 ) 1f2 dt . r

La fonction ds/dt = (1 + t2 / p2 )1f2 n'est pas sommable sur ]-oo, + oo [ et il est facile d 'en

déduire que cette mesure sur r n'est pas bornée. On vérifie cependant que c'est une mesure dans �2. En effet, soit K un compact de �2, alors la projection sur l 'axe des y de K n r est un compact de ]-oo, + oo [ , ce qui justifie l'affirmation précédente. II est bien entendu qu'une autre représentation paramétrique propre ne conduirait pas à


une intégrale identique mais que la mesure resterait la même. Par contre, le choix de x pour paramètre, choix qui amène deux valeurs pour y à savoir �2px ou -�2px , ne permet pas de rentrer dans les hypothèses précédentes et ce paramétrage ne peut être qualifié de propre. On va préciser comment, dans ce cas, on peut tout de même la définir comme la mesure précédente en se servant de deux « souscourbes » . La « demi-parabole » au dessus de l 'axe des abscisses a la représentation paramétrique propre <!>+définie sur I = ]0, + oo[ par x = t,y = �2pt et la demi-parabole au dessous de

l 'axe des abscisses a la représentation paramétrique propre <P - définie sur I � ]o, + oo[ par

x = l,y = -�2pl . Ces représentations conduisent à deux mesures sur des courbes

distinctes. En remarquant que lim rs(I + (y ')2t2 dt = 0 , ce qui implique que le point 0

est sans masse, on voit que la somme des deux mesures associées permet de retrouver la mesure précédente obtenue par la représentation propre de la parabole entière (Voir exercice N°36) . b) Deuxième exemple 1 .3.B ( dans 11�.2) La courbe considérée est le cercle de centre 0 et de rayon 1 paramétré par X(t) = cos 1, Y(1) = sin l où t E ]0, 2nf . Mais ceci n'est pas une représentation paramétrique propre puisque cette application n'est pas surjective. D'ailleurs, une telle représentation ne peut exister puisque l ' image d'une telle représentation est un ouvert de 12.2 et qu'ici l 'ensemble des points du cercle est un compact de 12.2. En fait, c'est une représentation propre du cercle privé de son point (1,0) . L'exemple précédent nous invite

à définir, a priori, l 'application r/> � (µ, r/J) = J:ir r/> (cos l, sin l)dl où r/> est continue à

support borné dans 12.2. Cette application est bien définie et on a la majoration : j(µ, r/>)j � 2n Suplrf> 1

On en déduit que cette application est une mesure et même, d'après cette inégalité, une mesure bornée. C'est une mesure portée par le cercle. c) Troisième exemple 1.4.B (dans 12.2) Considérons la courbe H d'équation cartésienne : xy = a qui est non connexe. Pour chacune des branches, on peut trouver des représentations paramétriques dont on vérifie qu'elles sont propres : {x = t, y = a/1 , t E ]O, + oo[} et {x = t,y = a/1 , t E ]-oo, 0[} . La mesure associée se décompose en deux mesures, une sur chaque branche. En effet, une fonction dont le support est borné sur H est une fonction dont le support est une réunion de deux compacts, inclus chacun dans une composante connexe de H. A priori encore, on peut considérer une fonction continue à support borné dans 12.2 dont le support fournit par l ' intersection avec H un compact sur chaque branche. La somme des deux intégrales :

(µr , rp) = fr rp(M)ds = f0+oo rp (t, ar1 )(1 + a2 1-4 )112 dt + f�00rp(t, ar1 )(1 + a2 1-4 )112 dt qui peut d'ailleurs s' exprimer en une seule étendue à ]-oo, + oo[ , donne la définition de la mesure. Remarquons qu' il est bien confirmé que, malgré la présence du terme t-1 dans les coordonnées, cette intégrale existe. En effet, rp est à support borné ; il existe donc A > 0


tel que ltl < A-1 implique � (t,ar1 ) = 0 . Ajoutons que cette mesure est non bornée, car t H ( 1 + a2 t-4 ) 112 est non sommable en 0 .

Pour d'autres exemples de mesures sur des courbes, voir les exercices N°37 et N° 38 . 5.1 .3 Exemples dans !R{3

Premier exemple 1.5.B : Soit l 'hélice circulaire définie par : x = cos t, y = sin t, z = kt où t E R ( avec k E ]ü, +oo[) . On vérifie que cette représentation est propre. Elle définit la mesure 1 -dimensionnelle qui

à � fait correspondre le nombre J: � (cos t, sin t, kt)( 1 + k 2 )112 dt . Cette mesure est non

bornée. Elle définit aussi une mesure dans !R{3 portée par cette hélice. Deuxième exemple 1.6.B On considère la courbe fermée appelée communément «fenêtre de Viviani» dont la figure est faite ci-dessous.

Cette courbe est l ' intersection de deux surfaces qui sont la sphère de centre 0 et de rayon 2a et le cylindre circulaire de génératrices verticales s'appuyant sur le cercle du plan horizontal de centre (ü,a) et de rayon a. L'équation de la sphère s'écrit :

x2 + y2 + z2 = 4a2 . Celle du cylindre, qui est identique à celle du cercle directeur C1 s'écrit :

x2 + (y - a )2 = a2 . On peut le paramétrer par :

x = asin t, y = a(l + cos t) , La fenêtre étant compacte, on n'a pas l ' espoir de trouver une représentation propre pour toute la courbe. Mais, comme dans d'autres cas, on peut paramétriser cette courbe privée d'un point. En remplaçant le paramétrage du cylindre dans l ' équation de la sphère, on arrive à la représentation paramétrique rJ> de la partie de cette fenêtre qui est au dessus du plan horizontal privée du point A (voir les détails des équations à droite du dessin) :

V t E ]0, 2;r (, x = a sin t , y = a(l +cos t), z =2ajsin (t/2)J = 2a sin (t/2) . Le passage de m sur C1 et de paramétre t, au point M sur I' (Cf figure), est bijectif et il est facile d'en déduire que rJ> est bien un homéomorphisme, d'ailleurs de classe e00 • De plus, le vecteur dérivée ne s'annule pas. On en conclut que la représentation est propre. Le calcul de ds se fait sans difficulté : ds = a�l + 4sin2 (t/2) dt = a�3 - 2 cos t dt . Cette

fonction est continue sur [ 0, 2;r] et, par conséquent, la mesure 1 -dimensionnelle sur I' est bornée. L'intégrale de la fonction lr existe, c'est la longueur de la courbe, à savoir


r:J!' a�3 - 2 cos tdt . Il en résulte qu'on peut définir la mesure dans �2 portée par r .

Elle est définie par : <p H r:n <p 0 <P(t)a�3 - 2 cos tdt pour toute fonction <p continue à

support borné dans �2.

5.2. Mesures sur des surfaces de llt

d) Cas particuliers Certaines surfaces sont définies par une équation résolue par rapport à une des coordonnées, par exemple : z = f(x,y) où (x,y) est dans un ouvert D de �2. La surface

S est alors l 'ensemble {(x,y, J(x,y))I (x,y) ED} ; l ' ouvert D apparaît ainsi comme la

projection orthogonale de S sur le plan dit horizontal. Si on suppose que f est au moins de classe é'1 sur D avec les dérivées partielles notées p = ô xf et q = ôyf , les

déterminants précédents s'expriment par :

A = -p, B = -q, C = l et dw =�l + p2 + q2dxdy . Dans cette situation, les conditions C' 1 , C' 2 , C' 3 sont bien vérifiées, en particulier la propriété d'homéomorphisme dont l ' inverse est la projection sur le plan horizontal. Tout


cela signifie que la représentation paramétrique est propre. Il existe donc une mesure 2-dimensionnelle sur S définie par

(µ8 , rp) = fs <pdCT = fn rp( x,y,J(x,y))�l + p2 + q2 dxdy . 5.2.2. Exemples

Premier exemple 1.7.B Commençons par la surface S (appelée paraboloïde de révolution) définie par l 'équation résolue : z = a(x2 +y2 ) où (x,y) parcourt 11�.2. Les hypothèses concernant les surfaces

définies de cette façon (Cf ce qui précède) sont bien vérifiées. Le calcul fournit :

p = 2a x, q = 2ay et l 'élément d'aire s' écrit : dco = �1 +4a2x2 + 4a2y2dxdy . La mesure 2-dimensionnelle ainsi définie sur S n'est pas bornée. Mais l ' intersection de tout compact K de !Rl.3 avec S se projette en un compact de !Rl.2 , ce qui entraîne que K n S est de mesure µ8 -finie. Il en résulte que l 'on peut définir µ8 comme mesure dans !Rl.3 portée par S. C'est l 'application qui à toute fonction <p continue et à support borné dans !Rl.3

associe l ' intégrale f8 rp(M)iCT(M) = JR. rp(x,y,a(x2 + y2))�1 + 4a2 (x2 + y2)dxdy . Deuxième exemple 1.8.B La sphère S de centre 0 et de rayon 1 n'a pas de représentation propre. S ' il en existait une, son image par la paramétrisation serait homéomorphe à un ouvert de !Rl.2, ce qui est contradictoire avec le fait que la sphère est compacte. Cependant, la sphère privée d'un de ses méridiens pourvu de ses deux extrémités admet une représentation propre, par exemple : X = cosucosv , Y = cosu sin v , Z = sinu , l ' ouvert n étant le rectangle :

{- n/2 < u < n/2 , 0 < V < 21l'} . Cette représentation est de classe e00 • Le méridien associé à v = 0 , y compris ses deux extrémités, n'est pas représenté. Mais, comme dans le cas du cercle, on peut se servir de la représentation précédente pour définir la mesure dans !Rl.3 portée par S. Cette mesure portée par la sphère peut s'exprimer par l ' intégrale :

Ji( ) rp (cosu cosv, cosu sinv, sinu) cosududv . u,v en

Cette mesure est bornée.

M . . . d . . ' l (1 2 2 )1/2 ais on peut se servir aussi es equat1ons reso ues z = ± - x - y pour

l 'hémisphère supérieur privé de « l' équateur » et l 'hémisphère inférieur privé de même de « l'équateur » . Ces fonctions de (x,y) sont de classe e00 dans l ' intérieur du disque U de centre 0 et de rayon 1 . Le calcul des dérivées conduit à :

dco = ( 1 + p2 + q2 t2 dxdy = ( 1 - x2 - y2 rl/2 dxdy La mesure précédente peut être définie par la somme des intégrales étendues aux deux

hémisphères : q.> � fu [ <p( x,y, (1 - x2 - y2 )1f2) + <p( x,y,-(1 - x2 - y2rlf2) }co .

L'exercice N°39 propose de montrer l ' égalité de cette intégrale et de la précédente.

5.3. Mesure sur une hypersurface

5.3. 1 . Définition 1. 12.B

11fi:_:��ti�ïooi�� ·t� i»§�i�» !i� �4tt:�� 4� �1#$�� 11 :m�»i� ijfüi� �� lti�: �lil 1111' !�� 1��


5.3.2. Cas de la sphère unité

En raison de son importance dans la pratique, on étudie le cas de l 'hypersurface constituée par la sphère unité de dimension N - 1 dans [R{N. Bien que, de cette façon, la sphère ne soit pas représentée entièrement, on peut se contenter de la représentation paramétrique propre où n = {- n/2 < U1 , U2 · · · · · UN-2 < 7!/2 , 0 < UN-I < 21C} avec les N fonctions X1 = COSU1 COSU2 . . COSUN-I • X2 = COSU1 COSU2 . . sin uN-I • X3 = COSU1 COSU2 . . sinuN-2

· : . :; : .. ·:·-· ·_:·:·-:-::.:,: ···.: .. ;::: · ·:· : : ·. : ·· . . :; :::j;;;:·:��:;��::;;�;:�.-�;:� ·�� · . . ·.

En particulier, cette formule reste applicable à toute fonction <p continue sur [R{N, ce qui qualifie cette mesure comme mesure bornée sur [R{N_ L'exercice N°40 propose la démonstration de cette formule et en déduit une méthode de calcul de l 'aire N - 1 -dimensionnelle de la sphère. Dans le paragraphe suivant, nous définissons cette mesure par une autre méthode qui est associée à l 'existence d'une équation cartésienne de la sphère-unité permettant de se ramener à une équation résolue (ce qui va généraliser § 5 .2 . 1 d). 5.3.3 Cas particuliers d'hypersurfaces définies par des équations résolues

On suppose que H est définie par une équation du type : XN = f(x1 , X2 , · · • XN-l ) ,


le N-1-uplet appartenant à un ouvert U qui est donc la projection de H sur le plan des N-1 premières coordonnées. Si f est de classe e1 , on pose Pj = ôxif . Le calcul des

déterminants A j , dans lesquels un des mineurs de dimension N - 2 est une matrice unité, amène les résultats suivants qui généralise ce qui a été obtenu pour N = 3 :

A1 = (-l)N-l PI • A2 = (-1(-2 P2 · · · · · · AN-I = PN-I • AN = 1 . La fonction L (A j )2 ne s'annule donc pas et on peut définir la mesure N - ! -dimensionnelle sur l 'hypersurface H par l ' application :

<p H fu cp(x1 , X2 , · · · · XN+f(x1 , X2 , · · · · XN-I ))�r-l +

_(_p_i )_2 +

-. . -.+

-(P_N ___

i )_2 dx1dx2 . . . dxN-l

Application à la sphère-unité dans l' espace IRl.N Dans le cas de la sphère-unité, on peut résoudre par rapport à la dernière coordonnée x N . On est ainsi amené à considérer les parties H+ et H- correspondant respectivement à

xN > 0 et à xN < O . Sur l'ouvert U de IRl.N-I tel que : U = {(xj )j Ll:s;j:s;N-l (xj )2 < 1} ,

l 'hypersurface n+ admet l 'équation résolue XN = (I - x12 - x22 -. . -XN-12t2 . Les Pj

sont donnés par : pj = -xAI - x/ - x/ -. . -xN_/rl/2 d'où l 'élément d'aire sur n+

( 2 2 2 ) -1/2 dw H+ = l - x1 - X2 -. . -XN-1 dx1dx2 . . . dxN-l · Il est clair que l 'on peut, comme dans les exemples précédents, définir une mesure portée par la sphère en faisant la somme des mesures associées aux surfaces H+ et H- .

5.3.4. Calcul de l'aire N-1-dimensionnelle de la sphère-unité de IRl.N .

En fait, on calcule la moitié A( H+ ) de cette aire en intégrant sur H+ la fonction unité. Par

la formule de Fubini, on se ramène à N - 1 intégrations répétées. E� se servant de la parité et en posant : x P = Â. p-I t P = t P ��1---x-12---.-. . -_-x-P_-1-2 , l ' intégrale

s'écrit : A(n+) = 2N f�dx1 f�Â. 1dti f�1L 2dt3 . . . f�Â. N-3dtN-2 f�(IL N-2 /IL N-1';itN-l · Posons : IP = J�Â. N-pdtN-p+1 . . . f�IL N-3dtN_2 f�(2 N-2 /2 N-1}1tN-l de sorte que l 'on

a : A( n+ ) = 2 N-I IN . 1 ( ) -1/

2 On a d'abord : /2 = fo 1 - t2 dt , intégrale que l 'on note K_I/2 . On a ensuite :


/3 = f�À. N-3K-v2dt = À. N-3K-v2 fl ( 2 )

1/2 /4 = Jo À. N-4 1 - t dt K-1/2 = À. N-4K+v2K-1;2 .

Cela suggère de prouver par récurence la formule suivante :

IP = (RN-p y-3

K(p-3)/2 K(p-4)/2 · · · · Kv2 K-1/2 · p-2

Intégrons RN-p/p sur (ü, 1] . L'égalité (RN-py-2

= (RN-p-dp-2 (1 - (tN-p )2)2

prouve la récurrence annoncée, ce qui prouve que la formule précédente est vraie. On en déduit, pour l 'aire de la sphère, la formule :

A(H) = 2N K(N-3)/2 K(N-4)/2 . . . Klf2K-1;2 · Achevons d'expliciter à l 'aide des fonctions eulériennes (Cf annexe 1 .2) . La variable

t = .Jiifournit : K = Z-1f (l - u)Pu-If2du = B(p + l I/2) = I'(p + l)..f; d'où P o ' r(p + 3/2)

A(H) = 2N r((N - 1)/2)r((N - 2)/2) . . . r(s;2)r(2)r(J/2)r(1/2)tr<N-2lt2 2N-2 r(N/2)r((N - 1)/2)r((N - 2)/2) . . . r(s/2)r(2)

A(H)= �7rN!2 (r(N/2)( = 2 trN12 (r(N/2)(

5.4. Mesure à densité

On peut encore, dans le cas des mesures N - 1 -dimensionnelles sur des hypersurfaces, (ou sur des courbes puisqu'on s'est limité à ces exemples) quand elles peuvent être considérées comme des mesures sur l ' espace !RN, effectuer le produit de µ H par une

fonction f continue sur !RN. On obtient alors une mesure, notée f µ " , donc définie par :

(! µH , <p) = ( µ H • f<p) . Mais on peut aussi, de façon plus générale, considérer une fonction p continue sur H et intégrable pour la mesure µ H et définir de la même façon la mesure p µ H , étant bien

entendu qu'alors l ' intégrale (pµ " ' 1" ) a un sens . Cette mesure produit est bornée.

Définition 1 . 14.B .,��1!��if�,��:f��l�li11-::: ::·:= .= : · :·.::::: : ::::: · .• :·.<: ·. · :; . · - .: : · .:: - . . <·.· · . - : : .• : : ·.· . ·. ;:/:·· -:: ·· - : _ : >-: : . . . . ·: : : : : • : · . · . : . . . : . ·• : - . . : . : . . : . . -:: . : . .": .. . ::>:: ·. · :;. : : : ; : - ., : - - : : : · : : : . . . . - : - : · : - :: .·: : : · : .::: : - : - : - :-:; .:::·: :::::·: ·::=::::::: ::::::::::�{}/:)::: :::: : :; ::;;:�{\:: :· :·:·:·:-: -:: :: :::::::·:·:· .fi .. . ·· ... o ....

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Cette mesure ainsi que ses généralisations seront étudiées dans le cadre des distributions.

6. M ESU RES ET CHAM PS DE VECTEU RS

6. 1. Notions de normale, de plan tangent, d'orientation

Nous n'abordons cette notion que dans le cas des hypersurfaces, cas qui contient celui des courbes dans !Rl.2. Rappelons que l' espace !RN est muni de sa structure euclidienne canonique et également de son orientation canonique définie par le fait que l 'orientation

CHAPITRE 1.B. EXEMPLES DE MESURES DE RADON 63

de la base canonique est positive.

Soit M un point d'une hypersurface H de classe e 1 dans 12.N. On considère un ouvert U et une représentation paramétrique propre </> u dont l ' image est une partie ouverte </> u (U)

de H contenant M. On pose m = <P-Ü (M) . D'après la définition d'une représentation

propre, les N - 1 vecteurs 1 j ( m) de composantes ( 8 X; J sont linéairement ÔU · 1 1Si�N

indépendants ; ils engendrent le plan affine tangent à H en M. On définit alors un vecteur orthogonal à H en M comme un vecteur orthogonal à ces N-1 vecteurs. Par exemple, à

---+ . l 'aide des notations introduites dans §3 . 3 . 1 , le vecteur N de composantes (- 1) ' A; est un

vecteur normal à H au point M considéré. En effet, le déterminant d'ordre N ci-dessous, dans lequel la dernière colonne est identique à celle de numéro}, est nul :

ô1XN-l ô2XN-l · · · · Ô jXN-1 ô 1XN ô2XN ôjXN

ÔN-1X1 Ô N-1X2 ÔN-1X3

ÔN-lXN-1 ôjXN-1 ÔN-lXN ôjXN

Son développement par rapport à la dernière colonne fournit ainsi, quel que soit }, la ---+

relation d'orthogonalité de ce vecteur N à un vecteur tangent : i=N L(-1) ; A;ô jxi = o . i=l

En divisant ce vecteur par sa norme, on obtient un vecteur normal unitaire que l 'on note � n M . Le plan tangent partage l' espace en deux régions , ce qui veut dire qu'il existe en

tout point M de </> u (U) deux vecteurs normaux unitaires, les vecteur� M et - � M .

6.1 .1 . Définitions

Définition 1 .15.B


On peut envisager ensuite une famille d'homéomorphismes ( U J. , <P J. ) telle que les

images <P J. ( U J. ) recouvrent H. Soit M E <PJ. (UJ. )n <Pµ (uµ ) d'où m E UJ. n Uµ et l 'existence de deux champs

normaux positifs, l'un relativement à ( U J. , <P J. ) , l 'autre à ( U w <P µ ) . En remplaçant

éventuellement l'un d 'eux par son opposé, on obtient un champ normal continu sur la réunion U J. u U µ - Il s 'agit de voir, dans le cas général, si un tel champ normal continu

existe sur l 'hypersurface entière. Définition 1 . 16.B

ltlllll!�f�lllf�1!�ii'1'i!lfftl!lfltr�i 6.1 .2. Exemples

a) Cas d'une courbe

Dans le plan, une courbe, définie par une représentation propre de classe C 1 , peut être orientée de la façon suivante. On peut définir une orientation directe en prenant pour champ continu de vecteurs unitaires normaux à I' ,le champ de la normale directe ou extérieure (pour lorientation associée aux « t croissants») décrit par le vecteur

(-dy/ds ,dx/ds) où ds = (X' (t)2 + Y' (t)2 )dt est l ' élément d 'abscisse curviligne.

b) Cas d' une hypersurface générale

Dans le cas d'une surface S de l ' espace IRl..3 qui est une variété orientable, on peut choisir le champ de vecteurs unitaires normaux défini par les composantes : ( D(Y, Z) D(X, Z) D(X,Y) ) 1

D(u, v) ' D(u, v) ' D(u, v) .JA 2 + B2 + C2 · Si cette surface est définie par une équation résolue, par exemple z = g( x,y) (Cf § 5 .2 . 1

d), ce champ est défini par (p, q, - 1)( 1 + p2 + q2 r112 . Dans le cadre général, on admet que, si une hypersurface de classe C 1 est à équation normale globale, ce qui veut dire qu'elle est l 'ensemble des points x de l 'espace IRl..N qui

vérifient F( x) = 0 où F est de classe C 1 à gradient non nul sur S, alors S est orientable.

Notons aussi qu'une hypersurface fermée de classe C 1 est orientable.

Enfin, une situation assez courante est la suivante, celle des «ouverts à bord » :

Soit H une hypersurface de classe C 1 qui est en outre l a frontière d 'un ouvert U tel que, pour tout M de H, il existe un voisinage V M de M dans IRl..N et un homéomorphisme envoyant V M sur une boule B de centre 0, V M n S sur un plan équatorial

B n {xN = ü} de B et VM n U sur la demi-boule B n {xN > 0} . Un tel ouvert est dit «à

bord » et sa frontière, considérée comme hypersurface est orientable. Les deux orientations sont associées aux vecteurs qui localement indique l' intérieur de l 'ouvert U et ceux qui indiquent localement l ' extérieur de U. On parle alors de champ de vecteurs normaux intérieurs ou rentrants et du champ de vecteurs normaux extérieurs ou sortants.


6.2. Flux d'un champ de vecteurs

Dans ce qui suit, on considère une hypersurface S fermée dans 12,N, donc orientable. Son orientation est définie par le champ continu de vecteurs normaux unitaires, extérieurs, par

---+ exemple, M � N M défini le long de l'hypersurface. Soit, par ailleurs, un champ de

---+ vecteurs : M � W(M) dans 12.N. De tels champs sont des applications de 12,N (ou d'une

---+ de ses parties) dans 12. N muni de sa structure d'espace vectoriel. Les vecteurs images N M

---+ et W(M) sont définis par leurs composantes dans le repère canonique, donc s'identifie à

des suites de N fonctions des coordonnées. On suppose que ce champ de vecteurs, noté ---+ W , est continu à support compact. Pour la structure euclidienne canonique, on peut

considérer l ' application : M � (w(M)IN M J définie sur S et à valeurs scalaires. Par les

propriétés de ce produit scalaire, cette application est continue sur S et à support compact.

6.2. 1 . Définition 1 . 17.B

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6.2.2. Formule d'Ostrogradski dans un cas particulier

··•·•· ·····

····· ····· ····· ····· ·•·•·

Commençons par un cas particulier d'un ouvert à bord U dans 12.3, ce bord étant une

hypersurface fermée s de classe e2 ayant les propriétés suivantes. Il existe un ouvert n de 12.2 dont la frontière r s' identifie à une courbe de clas$e C1 dans 12.2 . Il existe aussi

deux fonctions go et gl avec gl ;?: go de classe C 1 sur n telle que la surface S soit alors,

à un ensemble négligeable près pour la mesure sur S, la réunion des ensembles

s+ = {x,y, g1 (x,y)j (x, y) e n} et s- = {x,y, go (x,y)j (x,y) e n} , dites respectivement

la partie supérieure de S et la partie inférieure de S. On supposera par ailleurs que la surface peut également être décrite de façon analogue en permutant les coordonnées. Sur la figure ci-après, on a représenté une droite D parallèle à l 'axe des z issue d'un point (x,y) de n et qui rencontre la surface S en deux points de cotes z1 = g1 (x, y) et

z0 = g0 (x,y) (avec z1 ;?: z0 ) . Sur la surface supérieure s+ , le champ de vecteurs

normaux extérieurs à U est défini par ses composantes dont la troisième doit être positive (Cf § 6. 1 .2) :

(-P1 ,- q1 , + 1)( 1 + P12 + q/ r

l/2 De même, sur la surface inférieure, le champ précédent est prolongé en le champ défini

d d 1 . . ' , . ( 1)(1 2 2 )-1/2 par es vecteurs ont a tr01s1eme est negat1ve : p0 , qo . - + Po + qo .


De ces formules, on déduit que la troisième composante, notée N z du champ normal

extérieur est défini de la façon suivante :

(1 + p12 + q12rl/2 sur s+ ,

-(1 + Po2 + qo2r112 sur s- .

Soit une fonction j de classe e 1 sur U et intégrons sur U sa dérivée par rapport à z. On a, par utilisation de la formule de Fubini :

fu ôz f dxdydz = Jc.J:J�:i Ôz f dz dxdy = f0 [J(x,y, g1 (x,y)) - J(x,y, go (x,y))}ixdy = f f (M)dxdy -f f (M)dxdy = S, S0

f0J(x,y,g1 (x,y))Nz�I + p/ + q12dxdy+ f0f(x,y,g0 (x,y))Nz�l + p02 + q02dxdy Dans ces dernières intégrales, on reconnaît les mesures 2-dimensionnelles de la fonction

j Nz sur les surfaces s+ et s- . La surface S étant la réunion de s+ et s- à un

négligeable près, la somme de ces intégrales est une intégrale étendue à S. On en déduit :

(*) fu ôz f dv = fsf(M)Nz (M)da(M) . En faisant la somme des 3 formules de type ( *) obtenues en changeant z en x puis en y,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -� � ( � I�) En prenant W = g.grad j et en posant ô Ni = grad j N , on obtient la :

ANNEXES DES CHAPITRES 1 .A ET 1 .B ANNEXE 1 . 1 CHANGEMENT DE VARIABLES DANS LES INTÉGRALES MULTIPLES

1 . Difféomorphisme de classe e 1 et j acobien

Une application 'I' : X = (x1 , X2 , . . . , X N ) H y = (Y1 ,y2 , . . . ,y N ) = 'l'(x) , bijective d'un ouvert !l de IR.N sur un autre ouvert !l' de IR.N est dite un difféomorphisme de !l sur !l' si 'I' et 'l'-1 sont toutes deux continûment différentiables, respectivement sur n et !l' . Dans ces conditions, le jacobien de 'I' , noté J('I') , défini par le déterminant fonctionnel d'ordre N D(y) D(y1 .Y2 · · · · · YN ) -( ) = ( ) est continu sur !l . Si, de plus, il ne s'annule en aucun point de !l , le jacobien D X D X1 , X2 · · · · · XN de 'l'-l est l 'inverse de celui de 'I' en des points correspondants. Plus précisément :

vx E !l, J('P-1 )('P(x)) = (J('P)(x)r 1 . 2. Changement de variables dans une intégrale de Lebesgue

On note dx et dy les restrictions des mesures de Lebesgue sur !l et !l' respectivement. Soit f une fonction définie sur !l et soit un difféomorphisme du deuxième ouvert !l' sur le premier !l . dont le jacobien ne s'annule pas sur n . Alors : 1°) Les mesurabilités de f et de f o sont équivalentes. 2°)La fonction/ est intégrable sur n si et seulement si la fonction (! 0 <1>) X jJ(<1>)j 1·est sur !l' . Sous cette condition: fnf(x)dx = fn, (f 0 <l>(y)) x jJ()(Y)ldy (formule dite « du changement de variable») . 3. Cas particuliers

Translation : Si !l est l 'image de !l' par la translation y H y - b , laquelle possède bien les propriétés précédentes, le jacobien est égal au détenninant de la matrice unité. Il en résulte que f est intégrable si et seulement si la translatée de/l'est et, sous cette condition, on obtient l 'égalité

fnf(x)dx =fn. f(y - b)dy qui devient (( / 'invariance par translation » lorsque !} est égal à IR.N. Dilatation : Si !l est l ' image de !l' par la dilatation de rapport Â -:t:. 0 : y H Â y , laquelle possède bien les propriétés précédentes, le jacobien est égal à Â N . Il en résulte que f est intégrable si et seulement si y H f (Â, y) l 'est sur !l' et sous cette condition, on obtient l 'égalité :

fnf(x)dx = Ill ! N fn.f(ll y)dy . Utilisation des coordonnées polaires : Soit !l' l'ouvert ]0,+oo[ x ]- n/2 ,n/2[N-2 x ]0,27r [ et <l>(r, (}l • · · · , (} N-1 ) le difféomorphisme défini sur!l' et d'image !} inclus dans �N défini par : {x1 = r cos(} 1 . . . cos(}N_2 c�s(}N-l • x2 = r cos(} 1 . . . cos(}N_2 sin (} N-l •

x3 = r cos(} 1 . . . cos(} N-3 sm(} N-2 , . . . . , xN-l = r cos(} 1 sin (}2 , xN = r sin(}1 Alors, l 'image!l de !l' par est �N à un ensemble négligeable près et on a l 'égalité : f RNJ(x)dx = fn, (f 0 <l>)(r, (} 1 , . . . , e N-1 )rN-1 COSN-2 (} l · · · · cos(} N-2drd(} 1d(}2 · · · d(} N-1 ·

68 MESURES ET DISTRIBUTIONS. THÉORIE ET ILLUSTRATION PAR LES EXEMPLES

ANNEXE 1 .2 PROPRIÉTÉS DE LA FONCTION EULÉRIENNE r On rappelle les définitions de la fonction r et de la fonction B :

\ix> 0, r(x) = fo+w e-t tx-l dt, \i(p, q) E ]o, + oo[2 ' B(p, q)= f� tP-1 (1 - t )q-l dt . Il est clair que, par des équivalences classiques, ces intégrales existent sous les conditions envisagées. Propriétés

1 . r(l ) = 1 et, pour tout entier n, r(n) = (n - 1) / 2. Pour tout X >l , r(x) = (x - l}r(x - 1) 3. Autres formules pour r et B : (par des changements de variables dans les intégrales) !+«> { 2 ) 2 1 Ji+«> uP-1du Jitr/2 2 1 r(x) = 2 exp -t t X- dt ' B(p,q) = =2 cos p- 8 sin2q-l e d8 . o o (l + uy+q o 4. Relation entre r et B :

B(p,q) = r(p)r(q) . r(p + q) Preuve : On part de la formule r(p)r(q)= J; fo+w tp-I uq-le-(t+u) dt du que l 'on transforme par le

difféomorphisme : t + u = x, !.._ = y qui laisse le domaine ]O, + oo[2 invariant, dont l 'inverse s'écrit : u xy x . . D(u, t) x t = -- , u = -- et dont le jacob1en est : ( } = 2 . l + ;>' l + y D x,y (l + y)

L'intégrale devient ainsi : +«> +«> xP-lyq-lxq-1 e-xx r(p)r(q)= fo fo (1 + y)2 (1 + yy+q-2 (1 + yf2

+w yq-1 +w = f dy f Xp+q-1 e-xdx Jo (l + yy+q-2 Jo

1 q-1 = r(p + q}f0 vP-1 (1 - v) dv,

la dernière expression résultant du nouveau changement de variables 1 + y = ( 1 - v }-1 . 5. Formule des compléments :

\ix E ]ü,1[, B( X, 1 - X)= r( X )r(l - X) = . ( ) , en particulier r(Ij2) = ..{; . sm 7rX

Un changement de variables donne d'abord B(x, 1 - x) = fo+w tx-1 (1 + tf1 dt . Cette intégrale / se calcule

par le théorème des résidus en employant la fonction z � ( 1 + z }-1 exp( ( x - l} log( z}} holomorphe dans (\IR+ privé du pôle - 1 . Un contour fermé comprenant un lacet autour de la coupure des réels positifs donne l'égalité : (1 - exp(2 i 7r (x - 1}))1 = 2i7r Res (F; - 1) = 2i;r exp(i 7r x) , d'où le résultat. 6. Analyticité r est analytique dans ]o. + oo[ et on peut la prolonger par analyticité dans (\(-�).

ANNEXES DES CHAPITRES 1.A ET 1.B 69

ANNEXE 1 .3 DÉCOM POSITION DE M ESURES ET THÉORÈME DE RADON-NIKODYM1

1. Définition liée à la relation d'ordre sur les mesures

Preuve -Commençons par le cas où v est bornée, ce qui implique que v(ln ) est fini. L'inégalité de Schwarz dans 1L2 (0, v) , appliquée à f Eé'c (n) nous donne :

v(/)2 � v(f 2 ) v(l0 ) � µ(f2 )µ(ln ) · Donc, si f est µ - négligeable, /2 l 'est aussi puisque IJl2 � l lJll00 J/J et, d'après l 'inégalité précédente, / est v- négligeable. Soit N l 'ensemble des fonctions µ - négligeables. La mesure V induit sur l 'espace

quotient Cc ( 0) I N , est une forme linéaire continue pour la norme µ(f 2 ) 1/2 qu'on prolonge à l 'espace

de Hilbert L 2 ( n, µ) . Par le théorème de Riesz, il existe donc g E L 2 ( n, µ) telle que : \f j E Cc (O.) ! N, v(J) = µ(/g) .

Ceci signifie bien que v = g µ , µ -pp . -Si v n'est pas bornée, alors existe une suite de compacts (Kn ) disjoints et un ensemble N µ - négligeable avec 0 = uKn u N . Soit M = uKn . On a XMµ= µ . Soit µ11 = X µ et V n= X V . On a : Kn Kn

V n � µ n , donc, d, après ce qui précède, il existe g Il EL 1 ( n, µ Il ) tel que V Il = g Il µ Il . La fonction g = L g n X n est localement µ - intégrable ; en effet, pour tout f � 0 dans cc ( n) , on a , pour m assez grand :

f0fL� gn dµ = f0fL� gn dµ = L;1 f0f dvn =L� JK f dv � f0f dv . On a, dans le même temps, montré que X K V = gµ = g µX K .

Il Il

Il

Pour montrer que v= gµ , il reste à voir que N est v - négligeable. Par définition de µ( N) , il existe pout tout & > 0 une fonction h s.c.i telle que X N� h et µ * (h) � s et, puisque V � µ , on en déduit

1 Pour plus de détails concernant ces questions, consulter la référence bibliographique 17] .

,,,,, 3. ,,,,,

70 MESURES ET DISTRIBUTIONS. THÉORIE ET ILLUSTRATION PAR LES EXEMPLES

Preuve : Il suffit de prendre pour À. la somme des modules des µ j . 2. Théorème de Lebesgue-Nikodym

Preuve : a) => b) est évident b) => c) . Pour cela, soient µ = u À. et v = h..1. où À. est une mesure positive supérieure à µ et v , les fonctions u et h étant À - intégrables. Soit h' = sup(inf(h,n u)) <d'où h ' � O ) et h" = h - h' . Puisque inf(h,nu) -:;.h , on a h' -:;. h donc h" � 0 et, par conséquent,

sup(inf(v, n µ)) = sup(inf(h,nu))..i = h' Â. . Il reste à montrer que h" À. = 0 . Si x est tel que h" (x) > 0 , pour tout n , on a inf(h(x ),nu(x )) < h(x) , donc u(x) = 0 . L'ensemble A des points où h" (x) > 0 est donc contenu dans un ensemble µ - négligeable, donc aussi v - négligeable. Finalement h' ' V = 0 . Montrons enfin que c) => a) . D'abord, c ) implique h' ' À. = 0 et donc que A est Â. - négligeable. Soit g la fonction telle que g = h/u en tout point x où u(x) > 0 et nulle ailleurs. Elle est mesurable et vérifie : h(x) = u(x)g(x) si x !tÀ , donc Â. -pp . La fonction g est donc localement Â. - intégrable et V = h Â. = g uÂ. = gµ . 3. Décomposition canonique d'une mesure

Preuve Il existe Ç � 0 telle que lµI = g Ç et 1 V 1 = h Ç , g et h étant � 0 et Ç - localement intégrables. On a : inf(lµ l. l v 1) = inf(lg l, lh l) ç , donc inf(lg l, lh 1) = 0 , Ç -pp . Soient M 0 = {X, g( X) -::F- 0} et No = {X, h( X) -::F- 0} qui sont des ensembles Ç - -intégrables. L'ensemble M0 n N0 est alors Ç - négligeable. Soient M = M0 \ (M0 n N0) et N = N0 \ (M0 n N0). On a g = gzM , Ç- pp donc µ = XMµ . De même, h = hzN , Ç- pp et donc v = XM v Mais ceci

Preuve Soit Ç une mesure positive qui « majore » les 3 mesures 121 , lµI, 1 vl . On a, f, g, h étant positives :

121 = f ç , 'µ' = g Ç, 1 � = h ç .

ANNEXES DES CHAPITRES 1.A ET 1.B 71

Puisque Â. ..lµ et Â. .l v , on a aussi : inj(f ,h) = inf(f , g) = 0 q- pp . comme inj(f, g + h) ::;, inj(J,g) + inf(f,h) , on a inf(f, g + h) = 0 , d' où Â. ..l(µ+ v) . Soit H = sup µ n et q � µ n pour tout n. On écrit donc µ 11 = q gn et V= f q . Ayant posé

µ = sup (gn ç) , on peut alors vérifier que inf(J, sup g11 ) = sup(inf (/, gn )) , soit sup µ n..l v . Remarque

Si v << µ et V ..lµ , alors V= O . En effet, soit q une mesure positive qui majore µ et v . En supposant µ et v positives, ce qui ne restreint pas la généralité, on peut trouver des fonctions f et g q -localement intégrables telles que V= f Ç et µ = g Ç avec inf (!, g) = 0 q - pp et aussi une fonction h localement µ - intégrable telle que v =hµ . Alors, hg est q -localement intégrable et v = g h q = f Ç . Or, inf(lghl, IJI) = 0 , d'où V = 0 .

En effet, soient g et h telles que µ = f q, V= g q et inf (lgl, lh = 0 Ç -pp . Donc :

Iµ + v 1 = lg+h l q = (lgl + lhl) q = lµ l + l v l · 4.Théorème de décomposition de Lebesgue-Nikodym

Preuve Montrons l'unicité. Soient donc des couples de mesures ( v ' J , v " J ) ,avec j = 1, 2 , telles que v '1 + v' '1 = v'2 + v"2 . Alors, v'1 - v'2 = v"2 - v' '1 et leur valeur commune est à la fois étrangère à µ et de base µ d'où v'1 = v' 2 et v"1 = v " 2 . Soit maintenant p une mesure positive qui majore µ et V . On a donc µ = f p et V = g p et f � 0 .

Soit M = {x. IJ(x)l > o} , alors µ est concentrée sur M. Soit v '= gzivfp et v"= g(l - XM)P ; montrons que ces mesures donnent la solution Tout ensemble µ -négligeable est v ' -négligeable donc la mesure v ' est de base µ . Pour cela, on montre que si A est µ -négligeable, alors A n M est p -négligeable. Si x E A n M , il existe un rationnel a.

non nul tel que/(x) � a . Donc A n M = uaeQ' {x EA .f(x) � a} = u Aa .

Or P( Aa ) ::;, _.!_ J f p ::;, _.!_ µ ( Aa ) = 0 , d'où p (A n M) = 0 . a Aa a Montrons maintenant que v" est étrangère à µ . On a : inf ( (1 - X M )lgl. IJI) = 0 . Supposons que V � 0 , nécessairement v ' et v " le sont aussi. Montrons que X Mg= sup(inf(g,nf)) . En effet, si x E M , x est tel que f(x) > 0 et il existe n tel que g(x) ::;, nf(x) . Pour cet entier n, on a : inf(g(x), nf(x)) = g(x) ; d'où le résultat. Si x � M , X Mg = 0 et f(x) = 0 , d'où inf(g(x), nf(x)) = 0 . Finalement, on a XMgp= sup(inf (gp,nf p)) et v' = supinf (v ,nµ) .

EXERCICES SUR LES CHAPITRES 1

Exercice N°1 (Rlustration de la démonstration du lemme 1. 1.A dans le cas de N = 1) L'intervalle ouvert ]-2, 2 [ et l ' intervalle fermé [- 1, 3/2] constituent l 'ouvert n de � et le

compact F du lemme. On se propose de trouver une fonction <jJ continue, comprise entre

0 et 1 , à support borné dans n et vérifiant <P (x) = 1 sur F. On choisit &= 1/4 . Montrer

que F + J- e, e ( c n . Déterminer d (F, ô n+ ]-e, e [ ) . En choisissant le nombre a tel

que a :::;; d ( F, ô n + ]-e, e [ ) , déterminer et dessiner le graphe de la fonction <jJ définie

par : <jJ ( x) = ( 1 - d(: F) J + . Cette fonction convient-elle?

Exercice N°2 (Partition de l'unité) (Illustration de la démonstration du théorème 1 .2 .A dans le cas de N = 1 ) On se donne les ouverts 01 = ]-6, 4[ et n2 = ]o. 6[ de � dont la réunion contient le

compact K = [-4, 4] . On pose H1 = [-5 , 3] et H2 = [1, 4 ] . Vérifier les propriétés

imposées dans la preuve du théorème, à savoir K c H1 u H2 , H1 c n1 et H2 c n2 . En utilisant l 'exercice N°1 , déterminer des fonctions g1 et g2 à supports dans n1 et n2 et

valant 1 sur H1 et H2 respectivement. Construire les graphes des 2 fonctions. <jJ 1 = g1 , <P 2 = ( i - g1 )g2 , Montrer que <Pi est bien à support dans ni et, en remarquant que

<P 1 + <P 2= 1 - (1 - g1 )(1 - g2 ) , qu'on a bien <P 1 + <P 2= 1 sur K. On a ainsi trouvé des

fonctions <Pi constituant une partition de l'unité subordonnée au recouvrement de K par

n1 et n2 • Exercice N°3 (Mesure et mesure conjuguée)

Soit µ une mesure complexe quelconque. On définit la mesure · conjuguée µ par :

V rp E ec (n), µ (rp) = µ(qi) · Montrer qu'effectivement, µ est bien une mesure et que les mesures (µ + µ) /2 et

(µ - µ) /( 2 i) , qui sont respectivement dites « partie réelle et imaginaire » de µ , sont

réelles. Donner la formule développant µ(rp) selon des termes ne faisant intervenir que

des fonctions réelles et des mesures réelles. Exercice N�4 (Mesures réelles et mesures positives) 1 °) Soit µ une mesure de Radon réelle. On pose, pour toute rp e ec (n) pos1t1ve,

µ+ (rp) = sup{(µ,l/f), l/f E ec (n), l/f � O. l/f =:;; rp} . Montrer que cette définition a un sens.

On poseE(rp) = {l/f E 1// e ec (n)l/f � 0, 1/f :::;; rp} . Prouver E(rp 1+ rp 2 ) = E(rp 1 ) + E(rp 2 ) · En déduire l'additivité de µ + sur les fonctions positives . . Prolonger ensuiteµ+ en une

mesure sur n qui est réelle et positive.

2°) En remplaçant sup par - inf dans la question précédente, définir µ- . et montrer que

µ+ (rp) - µ(rp) = µ- (rp) pour rp e ec (n) positive. Exprimerµ+ et µ- à l 'aide de µ et

de la valeur absolue de µ définie dans le cours (proposition 1 . 3)

EXERCICES SUR LES CHAPITRES 1.A ET 1.B 73

3°) Pour µ réelle, donner la formule développant µ(ip) selon des termes ne faisant

intervenir que des fonctions réelles positives et des mesures positives. 4°) La décomposition de µ en différence de 2 mesures positives n'est pas unique.

Montrer la propriété de « minimalité » de celle qui s' écrit : µ = µ + - µ - . Autrement dit,

. si µ 1 et µ 2 sont des mesures positives telles que µ = µ 1 - µ 2 , alors il existe une mesure

positive v telle que µ 2 = µ - + v et µ 1 = µ + + v . Exercice N°5 (Mesures positives) Soit µ une forme linéaire positive sur é'c (.n) . On considère ip une fonction réelle de

support K que l 'on décompose en ip+ - ip - . En utilisant le lemme 1 . 1 d'Urysohn, montrer

qu'il existe une fonction 1{1 2:: 0 telle que ip + :s; 1 117' Il 00 'If (inégalité analogue pour ip - ) . En

utilisant la propriété de positivité (ce qui implique une propriété de croissance), en déduire l' inégalité (1.1.2) de la définition d'une mesure. Donner la conclusion.

Exercice N°6 (Exemples de mesures, restriction d'une mesure)

Soit f une fonction continue sur Ut Montrer que l ' application µ 1 de Cc (!�) dans C,

définie par l ' intégrale de Riemann : (µ 1 . ip) = f:f(t) ip (t)dt , est une mesure. Pour

prouver la continuité de µ. 1 , c'est-à-dire l ' inégalité (1.1.2) , on pourra utiliser la propriété

des intégrales de Riemann dans IRL Etablir le même résultat lorsque f est continue hors d'un ensemble fini de points et d' intégrale généralisée de Riemann absolument convergente sur tout intervalle borné. Comparer les modules des mesures ainsi obtenues et les mesures associées à la fonction li j . Dans les cas où la mesure est bornée, exprimer

sa variation totale à l 'aide de j b) Généraliser, par exemple, pour une fonction f continue sur 0�.2. c) Montrer que les applications de Dirac ô a : ip14 ip (a) sont effectivement des mesures

positives et qu'elles sont bornées. Quelle est la variation totale de ô a ? d) Soit la fonction! définie par f(t) = l/t 2 • Elle définit sur l 'ouvert Of une mesure µ 1 . Soit ipn , avec n > 1 , les fonctions de supports contenus dans l 'ouvert ]ü,1[ définies par :

{1Pn (t) = n(t - (If 2n)) si t e [If2n , Ifn] 1Pn (t) = n((3/2n) - t) si t e [ Ifn , 3/2n], 'Pn (t) = O sinon

.

Calculer 1 117' n IL et (µ 1 , <p n ) et trouver la limite de ce résultat lorsque n tend vers +oo . En

déduire que µ 1 n'est pas la restriction d'une mesure µ sur IR. Exercice N°7 (Recouvrement d'un ouvert .Q par une suite exhaustive de compacts) 1 °) Soit K un compact de .Q ouvert de !RN recouvert par une réunion finie d'ouverts .Q i de .Q ( 1 :s; j :s; n ). Montrer qu'il existe des compacts Ki tels que Ki c .Q i et

K c ul::>J ::>n (K1 r Indication : On associe à x de K un ouvert contenant x et relativement compact dans ni et on utilise ensuite la propriété de Borel-Lebesgue. 2°) Soit une suite (xn ) dense dans !RN (dont l ' existence est assurée par la densité de QN dans !RN). Montrer que si l 'on choisit un point Yn. m dans chacun des ouverts


B( xn , If m) n 0 qui ne sont pas vides, on obtient une suite de points dense dans 0 . 3 °) Une telle suite (y P ) dense dans 0 étant fixée, on considère la suite des compacts

:B(y P , If k) qui sont contenus dans 0 . Montrer que cette famille dénombrable de

compacts, notée (H1 J , recouvre O . 4°) En déduire qu'il existe une suite de compacts (Kn } telle que Kn c (Kn+I )° et telle

que un eN Kn = 0 (dite : « suite exhaustive de compacts » recouvrant 0).

Indication : Prendre K0 = H0 , puis, par récurrence, en utilisant 1 °), choisir Kn tel que : 0

Kn-i u Hn-i c Kn . Exercice N°8 (Ouverts de nullité et partition de l'unité)

1 °) Soient 2 ouverts U et V de 12. qui sont de nullité pour une mesure µ . On les suppose

non disjoints. Soit rp une fonction continue de support K contenu dans U u V . En construisant d 'abord 2 fonctions continues a et P à supports dans U et V respectivement telles que a + P = 1 sur K (partition continue de l 'unité, utiliser l 'exercice

N°2 ou le théorème 1 .2), montrer que U u V est aussi un ouvert de nullité. Généraliser à une réunion quelconque d'ouverts de nullité. 2°) Soient 2 mesures µ 1 et µ 2 sur les ouverts U et V tels que n = U u V , les

restrictions de ces mesures à U n V étant identiques. Montrer qu' il existe une mesure unique µ sur 0 dont les restritions à U et à V sont µ 1 et µ 2 • Généraliser à un

recouvrement ouvert quelconque de 0 . Indication : Pour définir µ(/) , on pourra utiliser une partition de l 'unité associée à un

recouvrement ouvert du support de/ par U et V On utilisera 1 ° pour l 'unicité. Exercice N°9 (Support d'une mesure-fonction)

Soit f une fonction continue sur 12. dont le support est noté K. On lui associe la mesure µ 1 . Montrer que le complémentaire de K est un ouvert de nullité pour µ 1 . Montrer

que si a est un point tel que/(a) =t=. 0 , alors a appartient au support de µ 1 ( on utilisera

la continuité de/ au point a) . En déduire que le support de µ 1 contient le support K de

la fonction/ Donner la conclusion sur le support de µ 1 . Donner un exemple simple de fonction f telle que la mesure associée ait un support strictement contenu dans celui de f Exercice N°10 (Convergence vague vers la mesure de Dirac) 1 °) Sur 12., on considère la suite de fonctions continues considérées comme des mesures :

fn (x) = {n2 (I/n- lxl) s� lxl � Ifn 0 sin on

Montrer que cette suite de mesures converge vaguement vers la mesure de Dirac ô en O.

2°) Soit la suite de fonctions : /11 (t} = nlf2 F(n1!2 t) telle que F(t} = (2nfl/2 exp (- 12 /2) . Montrer, que cette suite de mesures-fonctions convergent vaguement vers ô . On pourra d 'abord montrer que l ' intégrale de fn est égale à 1 (Cf annexe 1 .2) . On décomposera

ensuite en deux intégrales l 'expression (µ 1• , rp ) - rp( 0} en utilisant la positivité de fn et

la continuité de rp au point 0 .

EXERCICES SUR LES CHAPITRES 1 .A ET 1.B 75

La convergence de cette suite vers ô est-elle étroite sur 12.? 3°) Traiter la même question pour ln (t) = (

n ) . n l +n2 t 2

4°) Plus généralement, on suppose que les mesures- fonctions ln vérifient les 3 propriétés suivantes : 1 ) Les 1 n sont continues et positives. 2) Les intégrales impropres de Riemann (on admet qu'elles sont aussi celles de Lebesgue, voir exercice N°24, 1 °)) J: ln (t )dt tendent vers 1 lorsque n tend vers +oo . 3) Quel que soit V, voisinage du réel a, limf ln = 0 . R\V Montrer qu'alors la suite (ln ) converge vaguement vers la mesure de Dirac en a. Exercice N°1 1 (Convergence de/onctions au sens des mesures)

1 °)Soit la suite (un ) définie par : {un (x)=n2x si 0 < X< Ij2n un (x)=n2 (-x+ Ifn) si I/2n < x < lfn

si x> Ijn

Montrer que un converge vers 0 étroitement sur n' importe quel voisinage ouvert de O. Montrer que la suite (lun l) des modules converge étroitement vers ô 0 /2 . 2°) Montrer que si µn converge vaguement vers µ dans n , il en est de même pour les restrictions à 0 ouvert de n . Par contre, µ n peut converger étroitement vers µ sans que µn JO � µ10 étroitement sur un ouvert O. Examiner le cas de la suite des mesures-fonctions suivantes sur 12. et de leur restriction à ]ü, +oo[ :

µn = n2 (I/n- lxl) si lxl < l/n , µn = O sinon . 3°) Soit µn une suite de mesures ;;::: 0 sur n , ouvert de !RN qui converge étroitement sur n vers une mesure µ ;;::: 0 . La frontière du compact K étant un compact noté ô K , montrer que : µ(ôK) = 0 � {limµ11 (K) = µ(K) et limµ11 (Q \ K) = µ(Q I K)} (On pourra utiliser la proposition 1 . 1 2 .A) . Exercice N°12 (Exemples de convergence vague de suites de mesures)

On considère une suite de réels, notée (h(n)) convergente vers un réel h. 1 °) Montrer que la suite des mesures de Dirac aux points h(n) converge vaguement vers la mesure de Dirac au point h. La convergence est-elle étroite? 2°) a) Soit µ une mesure de Radon sur 12.. On définit sa translatée i{h)(µ) comme l'application qui à<p E Cc (R) associe (µ , r(-h)(rp )) où r(-h)(rp )(x) = rp(x + h) . Montrer que i{h)(µ) est une mesure de Radon. b) Montrer que, <p étant donnée, les supports des fonctions r(-h(n))(rp ) et i-(-h)(rp ) restent contenus dans un compact K fixe et que , sur ce compact K, la suite de fonctions de terme général r(-h(n))(rp ) converge uniformément vers la fonction r(-h)(rp ) . En déduire que la suite des translatées ( r (h(n))(µ)) converge vaguement vers r(h)(µ) . 3°) En utilisant les sommes de Riemann des fonctions continues sur [a, b] , donner un exemple de sommes de mesures de Dirac convergente vaguement vers la mesure de


Riemann sur [a, b] . Exercice N°13 (Fonctions caractéristiques de compacts comme limites de fonctions

continues) Soit Un le voisinage ouvert d'ordre Ijn du compact K donné, c'est-à-dire l 'ensemble des points x de !Rl.N tels que d(x,K) < Ijn (d désignant la distance dans !Rl.N d'un point à un fermé). Le fermé complémentaire de U11 est appelé Fn . On définit une fonction <tJn par:

( ) - d(x,Fn ) <fJn X - ( ) ( ) . d x,Fn + d x,K

a) Montrer que cette fonction est bien définie et qu'elle est à support compact. . b) Vérifier la décroissance de ( <p n ) . et montrer que, lorsque n � +oo , lim <p n = 1 K . Exercice N°14

Montrer que la fonction t 1--7 1 sur !Rl. vérifie la proposition 1 . 9 .A. Pour cela, on utilisera des fonctions continues, égales à 1 sur [-n,n] et nulles hors de [-n - 1, n + 1] . Exercice N°15 (Mesures des ouverts et parties négligeables pour la mesure de

Lebesgue) La mesure µ considérée ici est celle de Lebesgue sur !Rl. (Cf § 2 .2 .A) . Soit un intervalle ouvert ]a, b[ où les bornes sont éventuellement infinies. 1 °) En utilisant le lemme 1 . 1 d'Urysohn, pour des intervalles compacts inclus dans ]a, b[ , montrer que µ (]a, b[) = b - a (avec les conventions habituelles si a = -oo ou b = +oo ) . 2°) Généraliser pour un ouvert quelconque de !Rl.. On montrera, en utilisant les rationnels, qu'un ouvert est la réunion disjointe dénombrable de ses parties connexes qui sont des intervalles ouverts. 3°) Montrer que tout singleton de !Rl. est négligeable pour µ . Que peut-on dire de l 'ensemble des rationnels? 4°) Montrer que, pour qu'un sous-ensemble E soit µ - négligeable, il faut et il suffit que, po�r tout s > 0 , il existe une suite (! m) d'intervalles ouverts vérifiant E c u I m et Lmµ*(Im) ::;; s . On utilisera la définition 1 . 1 6 .A et on montrera que E doit être recouvert par un ouvert de mesure arbitrairement petite. 5°) Soitfet g telles quef(t) = -1 1-1 et g(t) = -1 -2 qui sont continues et bornées sur !Rl.. l + t l + t En utilisant an tel que an (x) E [ü,1] , qui vaut 1 sur [-n,n] et 0 hors de [-n - 1,n + l] , et en minorant J R a nf dµ , montrer que f n'est pas intégrable (même chose pour g) . Exercice N°16 (Comparaison des intégrabilités de Riemann et de Lebesgue)

On considère f réelle et bornée sur [a, b] et une suite de subdivisions Sn de [ a,b] où Sn est définie par : a = x2 < x,� <. . . < x�n , telle que S 1 contienne tous les points de S n+ n et telle que lim sup05.j5.s (x�+I - x�) = 0 . L'intégrabilité de f au sens de Riemann est n�oo 11-1 caractérisée par la propriété suivante :

EXERCICES SUR LES CHAPITRES 1 .A ET 1.B 77

a) Soit x un point de [a,b] qui n'appartient à aucun des Sn . Montrer que/ est continue au point x si et seulement si Iim{ Fn ( x ) - fn ( x)) = 0 . En déduire que si f est intégrable au sens de Riemann, alors l ' ensemble de ses points de discontinuité est négligeable (Notons que la réciproque est vraie) . b) Montrer que si f est intégrable au sens de Riemann sur un intervaIIe [a, b] , la fonction f . l [a,b] l ' est au sens de Lebesgue et les 2 intégrales correspondantes sont alors égales. Exercice N°17 (Ensembles de Cantor)

On se donne l ' intervaIIe / = [0.I] et k = I/3 . On pose J1, 1 = [0, k ], J1,2 = [2k, 1] , puis dans une deuxième étape, les sous-intervalles J2,1 = [0, k2 ] . J2,2 = [k - k2 , k] de J1,1 et les sous-intervaIIes J2,3 = [ 2k ,2k + k2 ] . J2.4 = [ 1 - k2 , 1] de J1,2 . Ce procédé peut être réitéré indéfiniment. 1 °) Montrer que pour tout n, les intervalles Jn,k sont au nombre de 2n . Soit En la réunion de ces 2n intervaIIes fermés. Montrer que la suite En est décroissante, que E = r.En est d'intérieur vide et que E est négligeable pour la mesure de Lebesgue. 2°) Soit (kn )une suite de nombres de ]0, 1/2[ , on construit E1 = [O, k1 ]u [l - k1 > l) , E2 = [o, k1 k2 ) u [k1 (l - k2 ), k1 ] u [l - k1 , l - k1 + k1k2 ] u [l - k1 k2 ; 1] , et on réitère. Comme dans 1 °), En est une réunion de 2" intervalles fermés de longueurs k1 k2 . • kn . a) Montrer que la suite En est décroissante et que E = nE n çst d' intérieur vide. b) Montrer que la mesure de Lebesgue de E est non nuIIe si la série Ln>O 1 - 2kn est convergente (E est ainsi une partie fermée, d' intérieur vide, non Lebesgue-négligeable) . Exercice N°18 (Intégrabilité de limites supérieures ou in/ érieures) On propose des conditions de conservation d'intégrabilité pour des bornes supérieures ou des limites supérieures de suites de fonctions intégrables. 1 °) Soit (f n) une suite de fonctions intégrables. Montrer que f = sup ln est intégrable, si et seulement si existe une fonction g ;::: 0 teIIe que µ • (g) < oo et fn :::;; g µ -pp . Pour la condition nécessaire, prendre la fonction g = I+ . Pour la condition suffisante, utiliser le théorème de convergence monotone (Cf théorème 1 .24 .A) pour la suite (gn ) définie par : g,. = SUP 1sksn fk · 2°) Démontrer le résultat analogue avec des infima. (Changer /,. en -111 ). 3°) Soit une suite (!,. ) de fonctions intégrables teIIes queµ - pp , Ifn i :::;; h etµ* (h) < oo . Montrer que Iiml,. et limfn sont intégrables et que les intégrales associées vérifient

µ(Iimln ) :::;; fu!!.u(J,. ) :::;; Iimµ(I,. ) :::;; µ (Iimfn ) . On considérera la suite (g,. ) définie par gn = inlp�o ln+p et on utilisera le résultat précédent. On obtient ainsi la « moitié » des résultats (changer ensuite ln en -fn ) . Exercice N°19 (Caractérisation <les ensembles intégrables) Soit A une partie intégrable pour la mesure µ . 1°) Prouver qu'il existe un compact K1 c A tel que µ (A \K1 ) :::;; 1 (utiliser prop 1 .27 .A) .

. 78 MESURES ET DISTRIBUTIONS. THEORIE ET ILLUSTRATION PAR LES EXEMPLES

2°) Construire alors une suite de compacts (Kn ) telle queKn c A \u1,,i,,n-i Ki

etµ((A \ u1,,jsn-i KJ \ Kn ) ::;; Ifn . Prouver que l' intersection de tous les A \u1,,jsn-i Ki est négligeable pour µ . Conclure que· tout ensemble µ - intégrable est réunion disjointe d'une suite de compacts et d'un ensemble µ - négligeable . Exercice N°20 (Mesure sur la sphère)

Soit µ une mesure sur n = B( 0, 1) . On note ô B( t) la sphère frontière de la boule B(O, t) . On pose 9'(t) = /!!o(lµl(B(O, t + e))) . Montrer que qJ est croissante et continue

à gauche. Que peut-on en déduire sur ses points de discontinuité? . Montrer que les points de discontinuité de qJ sont exactement les réels rn tels que jµ I( ô B( rn )) > 0 . Indication :Pour un tel point t, il existe a > 0 tel que 9'(t + h ) - 9'(t) ;:::: a pour h > 0 . En considérant 1f1 telle que 1f1 = 1 sur ô B(t) et (jµI , l/f) ::;; lµI ( ô B(t)) + e et en choisissant h assez petit pour que, sur la région comprise entre ô B(t) et ô B(t + h) , on ait inf 1f1 ;:::: 1 - e . On achève alors de prouver que lµl(ôB( t)) > 0 . Exercice N°21 (Théorème d' Egorof pour une mesure positive)

Soit (ln ) une suite de fonctions µ - mesurables sur n qui converge µ -pp vers f

1 °) Montrer que pour tout e > 0 et tout compact K, il existe une partie compacte K' telle que µ ( K \ K') ::;; e et que les restrictions à K ' de chaque fn soient continues. Pour cela, on contruira µ (Kn \ Kn+I ) ::;; e. i-11-1 à l 'aide de la prop l . 34 .A et on prendra K'= nKn . 2°) Montrer que, pour tout K compact, il existe K ' compact dans K tel que µ ( K \ K') ::;; e et que les restrictions ln 1 K' soient continues et convergent uniformément vers JIK' . Indications. On désigne par KI le compact K ' du 1 °) . Soit un,p l 'ensemble des X de KI tels que d(fk (x),J(x)) ;:::: Ijp pour au moins un entier k supérieur à n. Montrer que Un,p est fermé donc intégrable. Montrer que l' ensemble des points x où J,, (x) ne converge pas vers f(x) est exactement U = uAn11 Un,p ) . En déduire que \:/p ;:::: 1, µ(nnUn ,p) = O et que la suite ( un. p L vérifie l i':µ ( un.p ) = o . On choisit alors nP tel queµ ( UnP ,p) ::;; e .2 -p-I et on montre la convergence uniforme

sur K' = K1 1 U . En déduire ensuite que f est µ - mesurable. Exercice N°22 ( Fonctions mesurables et suite de fonctions étagées mesurables) 1 °) Rappelons que les parties intégrables sont stables par intersection et par différence. On considère une famille finie de telles parties (U; ) 1,,;,,M . Montrer qu'on peut construire des parties intégrables disjointes 2 à 2 notées Vi où 1 ::;; j ::;; N telles que chacun des U; soit une réunion de certains des Vi . Indication : on formera toutes les intersections finies de M parties qui sont soit une partie U; soit le complémentaire d'une de ces parties. 2°) On veut prouver que, f étant mesurable, il existe une suite de fonctions étagées mesurables fn qui convergeµ - pp vers f sur n . Soient pour cela les compacts Kn de la définition de la mesurabilité formant une partition de n \ N où N est négligeable et telle

EXERCICES SUR LES CHAPITRES 1 .A ET 1 .B 79

que les restrictions de/ à Kn soient continues. On fixe n et on considère la famille finie des K; où 1 ::;; i ::;; n . En utilisant 1 °), montrer qu'on peut trouver des partitions K; = u isjsN, A;, j de chacun de ces compacts en parties intégrables tels que, sur chacun d'eux, l 'oscillation de f ( sup lf ( x ) - f (y )1 ) soit inférieure à 1/ n . Ensuite, on fabrique une fonction fn ayant une valeur arbitraire constante en dehors de la réunion u1s;snK; et constante aussi sur chaque Ai. i , la valeur de cette constante étant une valeur prise par f dans cet ensemble. Montrer que fn est une fonction étagée mesurable et que la suite (fn) converge µ - pp vers f sur .Q . Montrer qu'on peut faire en sorte que l 'on ait : lin 1 ::;; If I · Exercice N°23 (Applications du théorème de convergence monotone 1 .24.A)

1 °) Soit la série de fonctions définies sur [0,1] par : fn (x) = x2n (l - x) . Montrer, en intervertissant la sommation sur f::d et l ' intégration sur [0;1] , que : L:' f�fn (x� = ln2 . 2°) Soit gn (x) = xn 2 • Prouver lim r+"' gn (x� = 1 . Trouver lim r-+<x> gn (x� . 1 + xn+ n�+ooJ1 n�+oo Jo 3°) Soit/une fonction mesurable à valeurs dans [-oo, + oo] . Posons En = {x . lf(x)I � n} . En désignant par nx la partie entière de IJ(x)I lorsque celle-ci est finie, montrer que x EEn <=> n ::;; nx . Prouver Ln�I ZEn ::;; IJI ::;; Ln�o ZEn (Comparer Ln�i ZEn (x) à nx ), Montrer que En est mesurable et conclure que, si µ est une mesure bornée sur �. f est µ - intégrable si et seulement si :L11�1 µ (En ) < +oo . Exercice N°24 (Applications du théorème de convergence dominée 1.25.A) 1 °) a) Soit/une fonction continue sur �. telle que l ' intégrale de Riemann sur [-B, A] (ou de Lebesgue, voir ex N° 16) admette une limite finie, notée JR lorsque A et B � +oo . Montrer que si f est L-intégrable (Lebesgue-intégrable), on a JR f(t)dt = JR (Appliquer la prop 1 .25 .A en utilisant une suite Kn de compacts et leurs fonctions caractéristiques) . b) Montrer que l ' intégrale de/ peut converger sans que/soit L-intégrable ( t H sin t/t ) c) On suppose que f est continue sur [a, b[ et que la limite JR de l ' intégrale de f sur [a, c] lorsque c � b existe. Montrer que si/ est L-intégrable, on a JR f(t)dt = JR .

2°) Soit f une fonction mesurable sur .Q à valeurs dans [-oo, + oo] . Montrer que si f est µ - intégrable, alors : limn µ * (IJI � n) = 0 .

ï � J.1 i (k+I)t k f.I e' dx 3°) Montrer que V t -:t; 2k 7r , L.. e x dx = . . N o 0 1 - e' 'x

Exercice N°25 (Emploi de la formule de Fubini)

1 °) Après avoir justifié l'existence de l ' intégrale I = f'r dxdy , montrer que J[ o. l ] x[O , I ] 1 - X y I = L� 1/ n2 . On utilisera un changement de variables et on intégrera terme à terme le développement en série entière de la fonction y H ln( 1 - y)/ y . 2°) On définit sur K = [0,1] x [0,1] la fonction f(x,y) = (x2 - y2 ){x2 + lf2. Calculer

. 80 MESURES ET DISTRIBUTIONS. THEORIE ET ILLUSTRATION PAR LES EXEMPLES

J� (I�J(x,y* )dx puis J� (I� J(x,y)dx )dy . Qu'en concluez- vous? Expliquer.

3°) En appliquant la formule de Fubini pour calculer de 2 façons différentes l ' intégrale sur �+ X �+ de x exp(-x 2 (1 + y2 )) , déterminer . I = rl() exp(-x2)dx .

Exercice N°26 (Module d'un peigne)

Dans la recherche du module d'un peigne T = LNan ô xn où les an constituent un ensemble localement fini, il faut résoudre le problème suivant : Soit la fonction rf> , dont le support ne contient qu'un nombre fini de points x11 , construire une fonction continue l/f telle que 11/fl ::::; r/> et telle que la11 l l/f( x11 ) = a11 r/> ( x,1 ) pour tous ces xn . a) Première solution : Localement, on peut construire dans un voisinage approprié de xn une fonction continue qui vaut (anfan ) rf>(xn ) au point Xn . En réunissant les morceaux de

façon convenable, on obtient le résultat. b) Deuxième solution (on se limite au cas où les an sont réels) : On raisonne sur un intervalle fermé [ x11 , x111 ] qui a pour extrémités deux de ces points et qui n'en contient aucun autre. Lorsque an et a111 sont tous deux positifs, il suffit de prendre l/f = rf> sur [ xn , x111 ] . Lorsque les deux sont négatifs, il suffit de prendre l/f = -r/> . Supposons maintenant les deux de signes contraires , par exemple an > 0 et a111 < 0 . En considèrant la fonction affine h telle que h(x11 ) = an et h(x111 ) = a111 et des enveloppes inférieures avec r/> , donner une solution dans le cas réel .

Exercice N°27 (Support d'un peigne)

1 °)Soit T une combinaison linéaire finie de mesures de Dirac. Montrer que le support de T est l ' ensemble des points supports de chacune de ces mesures. 2°) Montrer que le peigne de Dirac a pour support l 'ensemble 71.. . Pour cela, on montrera d 'abord que cet ensemble est fermé dans � puis, en choisissant une fonction continue à support borné convenable, on démontrera qu'un ouvert qui contient strictement l 'ouvert � \ 71.. n'est pas un ouvert de nullité. 3 °) Montrer de même que, dans le cas d'une suite (xn ) localement finie, le support du peigne T = L eZ an ô x est l 'ensemble des points de la suite ( Xn ) . n n Exercice N°28 (Intégration d'une fonction sci par rapport à une mesure-peigne)

1 °) Soit le peigne T = � an ô (N pour simplifier), avec an > 0 et la suite (xn ) L..inEN X n localement finie. Montrer qu'une fonction/ est T-mesurable si et seulement si f est défi.me sur les xn et que f, supposée s .c . i positive, est T-intégrable si et seulement si S f = LneNan f(xn ) est fini avec, alors, T* (/) = S1 . Montrer que ce résultat est

encore valable si f n'est plus s .c . i . 2°) T étant soumise aux mêmes hypothèses, soit une suite (!P ) telle que tous les

S1, soient finis et qui vérifie '\ln, limp-->+"" fp (xn ) = f(xn ) . On suppose qu'il existe g T

intégrable telle que IJP 1 ::::; g . Montrer que f est T-intégrable . On utilisera 2 méthodes :

les propriétés des séries de fonctions, d'autre part, les théorèmes généraux d' intégration.

EXERCICES SUR LES CHAPITRES 1 .A ET 1.B

Exercice N°29 (Support d'un peigne à deux dimensions)

Soit le peigne à deux dimensions T = L eZ an o ( ) .Déterminer le module de T. n xn •Yn Montrer que le support de ce peigne est l ' adhérence de l 'ensemble des points (x n , y n ) . Exercice N°30 (Sommes de Riemann)

81

On utilise les notions et notations de § 3 . 1 chapitre 1 .B . La fonction d' intervalle est telle que J1 et J2 de � étant disjoints, on a : Vi (J1 u Ji ) = Vi (J1 ) + Vi ( J2 ) • La fonction f est continue sur !. Les bornes inférieure et supérieure de f sur l 'adhérence Jk sont notées mk et Mk . On pose : sp(J) = 'LkmkVi (Jk ) , Sp (J) = 'Lk MkVi (Jk ) et

u P(J) ='Lkf(xk )Vi (Jk ) , xk étant arbitraire dans Jk .

1 °) Montrer que, pour tout choix des xk : sP (J) :::;; u P(J) :::;; SP (J) 2°) Montrer qu'en fonction de la finesse de P, sp (J) croît et Sp(J) décroît. Montrer ensuite que, pour tout couple (P, P') , on a sP (J) :::;; Sr(/) (on peut considérer une partition intermédiaire construite avec tous les éléments de P et ceux de P ') . 3°) En utilisant l 'additivité de Vi , montrer que :

Sp(J)- sp (J) :s; Vi (r) sup (Mk -mk ) . k

4°) Conclure qu'il existe un nombre noté µ i (J) tel que, pour tout e> 0 , il existe o P assez petit tel qu'on ait, à la fois :

lsp (J) - µ i (J)l < e, ISP (J) - µ 1 (!)i < e, lu AJ) - µ 1(/)i < e . Exercice N°31 (Extension d'une mesure de Stieltjes)

On considère a une fonction croissante sur !Rl., la mesure de Stieltjes associée étant notée da (Cf § 3 .2 .2, chap 1 B). Montrer queda(]a , b]) = a (b+ ) - a (a+ ) ·

Pour cela, on cherche d'abord da(]a, b[) en utilisant une suite de fonctions de Cc (R) valant 1 sur un intervalle du type [a + e , b - e] et de support inclus dans [a + e ' , b - e '] . Par un passage à la limite dans le résultat obtenu, montrer ensuite que da( {b}) = a(b + ) - a(b _ ) . En déduire enfin la formule annoncée. Exercice N°32 (Exemples de mesures de Stieltjes)

Le point a étant donné dans !Rl., on considère la fonction définie par a ( x) = 0 si x < a et a (x) = 1 si x <:: a . Reconnaître la mesure de Stieltjes associée à cette fonction croissante. Plus généralement, on considère un peigne de Dirac T à coefficients positifs et sommables (Cf § 1 . 1 . 3 , d), chap IB). On pose a( x) = ( T, z ]--«>, x] ) . Reconnaître la mesure de

Stieltjes associée à cette fonction croissante. Exercice N°33 (Etude de fonctions définies par des intégrales)

1 °)Soit/définie par f(x,y) = cos(x�) puis la fonction F : y H J+«> J(x,y)dx sur !Rl.. l + x -oo

a) Montrer que F est continue sur IRl. et trouver lim x-++«> F( x) (intégrer par parties) . . b) En utilisant encore une intégration par parties, montrer que F est dérivable et que, pour

Y > 0 , F '(y) = y-1 J: cos( xy )( x2 - 1)(1 + x2 )-2 dx . Pour cela, on dérivera le produit

d'une intégrale par y-1 , le coefficient dey-2 s'exprimant simplement à l 'aide de F.


c) En intégrant par parties, montrer que F '(y) = -I: x( 1 + x2r1 sin( xy )1x et exprimer

Cette intégrale à l 'aide de g(y) = I: X -l ( 1 + x2 r l sin( X)' )1x et d'une autre intégrale qui

est la constante -2 Io+«> sinudu/u . Démontrer enfin que, pour y > 0 , F est solution de

F" = F . Démontrer ainsi que F(y) = 1f ex.P(-IYI) . 2°) Soit, pour y � O , G(y) = ["{1 + x2f exp(-xy)dx et H(y) = f00 (x + yt sin xdx .

Montrer que G et H sont de classe e2 sur )ü,+oo[ et solutions toutes deux de l' équation différentielle Y" + Y= 1/y . 3°) Montrer que les limites en 0 et +oo de H et G sont égales (Pour les limites de H(y) , on coupe l ' intégrale en deux en utilisant l 'abscisse tr/2 et on utilise une intégration par parties sur l ' intervalle [ tr/2 , + oo[ ) . En déduire G = H . Exercice N°34 (Indépendance d'une mesure vis-à-vis de laparamétrisation. Cf.§4. 1 B)

Soit une courbe r munie d'une représentation paramétrique propre (/, d>) . On suppose

que r est munie d'une deuxième représentation paramétrique propre (1 1 , d> i ) a) Montrer que l 'on peut définir un homéomorphisme t H t 1 = lf'(t) de I sur /1 de façon que d> = d> 1 o If' . b) Montrer que If' est continûment différentiable et que sa dérivée est non nulle. c) A l 'aide d'un changement de variable, conclure en montrant l 'égalité :

I1 ço 0 (/j(t) l l�� (1)i ld1 et I11 ço 0 (/jl (11 ) l ld;1 (11 )l ld11 . Exercice N°35 (Support d'une mesure portée par une courbe) Montrer que le support de la mesure, définie dans §5 . 1 . 1 , c) (chap l .B) à partir de la mesure 1 -dimensionnelle sur la courbe r considérée, est son adhérence r . Exercice N°36 (Mesure portée par une parabole, en relation avec l'exemple 1.2.B)

On considère la paraboleI' d'équation cartésienne y2 - 2px = 0 . Le choix du paramètre x amène à considérer les deux demi-paraboles privées du sommet, l 'une au dessus de l 'axe des x, l 'autre au dessous. a) Montrer que les représentations paramétriques t H (t, J2pt) et t H (t, - J2pt) sur

]ü, + oo[ sont bien propres pour ces demi-paraboles et définir les 2 mesures associées. b) Montrer que pour toute fonction ço continue et à support borné dans 1Re, les intégrales

+«> 1/2 +«> ( ) 1/2 Io ço(t, J2p t )(1 + p/t) dt et Io ço t, - J2p t (1 + p/t) dt ont un sens et montrer que

l 'on peut définir une mesure dans IRl. 2 en utilisant la somme de ces deux intégrales. c) Montrer que cette mesure est bien celle définie dans l 'exemple 1 .2 .B.

Exercice N°37 (Mesure sur une strophoïde)

Considérons la strophoïde I' d'équation x(x2 + y2 ) = x2 - y2 de point double O.

a) En coupant cette courbe par les droites y = tx , montrer que tout point de la courbe

EXERCICES SUR LES CHAPITRES 1 .A ET 1.B

l - t2 1 - t2 admet pour coordonnées : x =--2- ,y = t--2 où t parcourt �-l + t l + t b) Montrer que l 'application associée n'est pas injective.

83

c) On considère les deux parties de la courbe qui sont les images de ]o, + oo[ et ]-oo, ü[ par l ' application précédente t H ( x(t ), y(t)) . Ces deux parties sont elles des courbes admettant des représentations paramétriques propres? d) Définir une mesure dans �2 portée par r . Cette mesure est-elle bornée? e) Dans la représentation précédente, on pose u = 2/(t + 1) . Que deviennent les paramètres du point double. La représentation ainsi obtenue de r est-elle toujours non injective? Peut-on en déduire que c'est une représentation propre?

Exercice N°38. (Mesure sur la « parabole semi-cubique »)

Dans le cas de la courbe d'équation y2 = x3 , une représentation paramétrique de classe

e1 est constituée par : x = t2 ,y = t3 ( t E �). Cette représentation est-elle propre? Peuton définir une mesure 1 -dimensionnelle sur cette courbe? Cette mesure est-elle bornée? Peut-on en déduire une mesure de �2 portée par cette courbe?

Exercice N°39 (Mesure sur la surface de la sphère, voir § 5.2.2, exemple 1. 8.B)

Soit la formule pour la mesure 2-dimensionnelle sur la sphère (où U = D(0, 1) ) :

<p H fu [<p( x,y, (1 - x2 - y2t2) + <p( x,y,-(1 - x2 - y2rl/2) J1 - x2 - y2rl/2 dxdy

a) Prouver que cette mesure se prolonge à toute fonction continue dans �3 . b) Prouver que l ' intégrale r( ) rp (cosu cosv, cosu sinv, sinu) cosududv , où Q est le J/ 11 ,V efl rectangle {- n/2 < u < n/2 , 0 < v < 2n} , est égale à l ' intégrale ci-dessus.

Exercice N°40 (mesure N-1 dimensionnelle de la sphère unité S dans //(') 1 °) La détermination de l ' élément d'aire sur S passe par le calcul des déterminants A j . (Cf définition 1 . 12 .B, 5 . 3 . 1 et 5 . 3 .2). Soit KP = (cos

N-t u1 cosN-2 u2 . . . , cosN-p uP ) . Vérifier qu' au signe près :

+ KN 1 sin UN 1 ±KN-2 sin UN-2 A - ±KN-2 sin UN-3 A1 = ±KN-I • A2 - - - - • A3 4 -COSUN-I COSUN-2 COSUN-3 COSUN-2 ±KN_2 sin uN_4 ±KN_2 sin u1 As - , . . . . , AN =--------'"---'=-----=-----cosu N_4 COSUN-3 COSUN-2 COSU1 COSU2 . . . . COSUN-3 COSUN-2

En déduire, successivement : A 2 2 2 ( 2 . 2 ) K 2

1 + A2 = KN_2 cos uN-I + sm uN-l = N-2 , A 2 2 2 2 ( 2 ) K 2 -2 1 + A2 + A3 = KN_2 l + tan uN_2 = N-2 cos uN_2 , A 2 A 2 A 2 A 2 K 2 -2 -2 1 + 2 + 3 + 4 = N-2 COS UN_3 COS UN-2 • . . . . . j=N � A 2 2 -2 -2 -2 2N-4 2N-6 2 L-J j = KN-2 COS U1 . . . COS UN_3 COS UN-2 = COS U1 COS U2 . . . . COS UN-2 j=l

C l , d N-2 N-3 À. -J. -J. onc ure a : OJ s = cos u1 cos u2 . . . . . cosuN_2uu1uu2 . . . uuN-I ·


2°) Montrer, à l 'aide du théorème de Fubini, que le nombre (µ 8 , 1) , qui est l 'aire de la sphère, est donné par le produit d' intégrales simples :

AN (S) = 2n( 2 J;12 cosN-2 u du)( 2 f:12 cosN-3 u du) . . . ( 2 J:12 cosu du) . r7r/2 (a + l 1) crf a + l) (a + 2) -I Montrer que : 2Jo cos0 u du = B -2- ,2 = vn1 \-2- I' -2-

formule : AN (s) = 2 (nt12 (r(N/2)r1 .

et en déduire la

Pour N=2, on retrouve la longueur du cercle 2n et, pour N = 3 , l ' aire de la phère 4n . Exercice N°41 (Comparaison des espaces IL � (O., µ)) Soit µ une mesure positive sur n et f une application µ -mesurable de n vers 12.. On suppose que p et q sont des réels > 0 et que r = a p + (1 - a )q où a E ]ü,1[ . 1 °) Montrer: l lJJ[ :$; J JJl l: P 11JIJ�1-a)q et en déduire l ' inclusion : LP n Lq c J: (on utilisera

l ' inégalité de Hôlder avec les exposants a-1 et (1 - a r ). 2°) On suppose la mesure bornée et 1 � p < q � oo , montrer J J/JJP � J J/J Jq (IJµ JJ0}'1/p)-( 1/

q) . (En remarquant qu'on peut supposer que J J/JJq < oo , on appliquera Hôlder à 10 et à

li P l pour des exposants convenables) . En particulier, montrer que Lq c LP .

Exercice N°42 (Deuxième formule de Green)

On se place dans 12.2 ou dans 12.3 . On se donne S et U comme dans l ' énoncé du premier théorème de Green (proposition 1 . 9 .B). Soit f une fonction continue dont les dérivées d'ordre 1 sont continues sauf sur S le long de laquelle elles admettent des discontinuités à sauts finis se traduisant par des dérivées normales ô N + f et ô N- f selon que le vecteur normal est extérieur à U ou intérieur à U. On suppose aussi que /1 f est localement sommable sur !RN. En appliquant la formule d'Ostrograsdski à la fonction vectorielle W = f grad <p- <p grad f où <p est une fonction de classe é'2 à support compact K., montrer la deuxième formule de Green, à savoir :

fu(f f1 rp - rpf1f)dx = fs (f Ô N+<p - <pÔ N+f )du . En l 'appliquant deux fois cette formule (à l 'extérieur de U et à l ' intérieur de U) l 'orientation du bord par le champ normal N étant à préciser dans chacun des cas et en ajoutant les deux formules obtenues, montrer que :

fR3(! 11 rp -rp11f)dx = -fs rp (ô N+f - ô N_/pu .

CHAPITRE 2 A LES DISTRIBUTIONS

Une mesure est une forme linéaire définie sur l 'ensemble des fonctions continues à supports compacts dans l'ouvert n . On remplace maintenant ces fonctions par des fonctions indéfiniment dérivables et toujours à supports compacts. Les formes linéaires qui vont être définies ainsi, assujetties par ailleurs à une condition nouvelle de continuité, sont appelées les distributions. Elles vont généraliser les fonctions et les mesures. Muni des opérations de l 'algèbre et de l' analyse de la théorie des fonctions, convenablement prolongées, leur espace va fournir de nouveaux points de vue et de nouveaux outils dans la résolution de nombreux problèmes d'analyse.

1 . PRELI MINAI RES

Pour l ' instant, notons .2J(!RlN) l 'espace vectoriel des fonctions de classe e00 sur !RlN et à support compact. Par exemple, pour N = 1 , la fonction 'If a , associée à tout réel a > 0 , dite <d'onction type » définie par les formules : {!//a (t) = exp( (12 - a2 r1)

si lt l < a l/fa�) = O �noa

est bien à support compact [-a, a] et elle est de classe e"" partout (les dérivées au point

a ou -a étant toutes nulles). En remplaçant, dans le cas de !RlN, l 'exposant par l lxll� - a2 , où 1 1 · l l N est la norme euclidienne dans !RlN, on obtient des fonctions de .2J (!RlN) .

1.1. Suites régularisantes. Régularisation

1.1 .1 . Définition 2.1 .A

•m&lll•!.a Un exemple est donné par B k( x) = ( k N / a1 ) 'If 1 ( k x) où 'If 1 est la fonction type

précédente pour a = 1 et a1 son intégrale sur !RlN. Cette fonction est d' intégrale égale à 1

et de support BI/k , boule de centre 0 et de rayon 1/ k .

1.1 .2. Régularisation d'une fonction

Soitf une fonction localement intégrable sur !RlN. A l 'aide d'une suite régularisante (B k ) , on construit la suite de fonctions (h) définies sur !RlN par la formule :

fk (x) = (Bk * f)(x) = J:ok (x - y)f(y )dy . Cette intégrale, qui est un cas particulier de convolution (Cf chapitres 3), existe bien


puisque le support de l ' intégrant est, pour tout x, contenu dans le compact x - Bl/k (= x + BI/k ) et que , sur ce compact, le produit des fonctions (l'une étant continue donc bornée) est intégrable. L' intérêt de cette opération réside dans la proposition qui suit.

Preuve 1 °) Utilisons le théorème de dérivabilité de Lebesgue (Cf. Prop 1 . 6.B). La fonction g définie par g(x,y) = fh (x -y)f(y) est indéfiniment dérivable partiellement par rapport à x là où f est définie, �'est-à-dire pp, la dérivée d'ordre a = (apa2 , . . . , aN ) étant

(B kia) (x - y)f(y) . Pour x fixé, on a :

j(o kia) (x - y)f(y� � supyex+Bl/k j(B k )(a) (x)jlt(Yl Comme f est localement intégrable, donc intégrable sur BI/k , le théorème de dérivabilité de Lebesgue s'applique et entraîne la dérivabilité à tout ordre et la possibilité de dériver sous le signe intégral, c'est-à-dire fk(a) = B k (a)* f . Remarquons que (par translation de la variable) : fk ( x} = J: () k (y} f ( x -y }4Y . Si donc

la fonction f est de classe e m ' la dérivation sous le signe intégral peut porter surf au lieu de porter sur Bk . On obtient alors pour dérivée (fkia) = Bk * f (a) tant que la 1 � m . 2°) Si le support H de/ est compact, la fonction fk est nulle hors du compact H + Bl/k . 3°) En utilisant la remarque faite ci-dessus et le fait que l ' intégrale de Bk est égale à 1 , on

a, pour la l � m. f(a) (x) - (fkia) (x) = f:Bk (Y)[t(a) (x) - f(a) (x - y)]� .

La fonction f (a) étant continue à support compact est uniformément continue. On peut

donc trouver 77 tel que : l lx - x' llN < 77 => jf(a) (x) - f(a) (x')j < e .

Soit alors k tel que k -1 � 17 . Tout élément y de su pp Bk vérifie alors l lYll N < 17 . Une majoration, valable pour ces valeurs de k et pour lai � m , fournit le résultat :

jt ( a) (x) - (fkia) (x)I = fsuppBk Bk (Y)jf(a) (x) - f(a) (x -y)I� � & J:ok (Y)� = & .

1.2 Amélioration de résultats du chapitre 1.A

Proposition 2.2.A ( lemme de séparation de classe C00 d'Urysohn) §9.iî !F:&h �9mP�9t 4� �� At.iYeiî �� AJ9r�; �J. �Xi�t.� Jîn� g9nÇti9n 4� ·1.r-�N)J. 1::'$\1pvlr:t:

CHAPITRE 2.A. LES DISTRIBUTIONS

L'exercice N°3 propose une démonstration dans le cas N = 1 . Preuve

87

On utilise encore la fonction fh de support BI/k . Soit k � k0 tel que F + 3BI/k c n . D'après le lemme 1 . 1 .A, il existe g continue, à support compact dans F + 2Bi/k et. vérifiant 0 ::;; g ::;; 1 et g = 1 sur F + B1 /k . Considérons, pour k = k0 , j = () k* g . D'après la proposition 2. 1 .A, f est de classe e00 et son support est compact dans F + 3BI/k , donc dans n . Dans l ' intégrale, la fonction est comprise entre 0 et () k(x - y) ,

la fonction j vérifie donc 0 ::;; j ::;; 1 . Par ailleurs, puisque () k ( x - y) est nul hors de x + Bi/k , on peut écrire :

f(x) - 1 = r<lOo k (x - y) [g(y) - l)dy = f B k(x -y) [g(y) - l)dy . -oo x+Bk Alors, si x E F , ce qui implique x + BI/k c F + BI/k , on a g(y) = 1 dans l ' intégrale. Celle-ci est donc nulle et, par conséquent, j = 1 sur F, ce qui termine.

Proposition 2.3.A (Partition de l 'unité de classe e00 )

•t!tiifllll�l-Voir l ' exercice N°4 qui illustre ce résultat dans le cas N = 1 . Preuve On se réfère aux notations et à la preuve du théorème 1 .2 .A dans lequel des fonctions g i continues à supports dans ni ont été construites. On procède alors comme précédemment dans chacun des ouverts ni . Par utilisation d'une convolution avec un ()k convenable, on construit une fonction fi de 2> (!RN) telle que 1 Hi ::;; fi ::;; lo.j . Les fonctions (Ji sont ensuite construites par induction comme dans ce théorème 1 .2 .A.

2. ESPACES FON DAM ENTAUX

On suppose que n est un ouvert de !RN

2. 1. Espaces de fonctions dérivables dans n

2.1 .1 .Définitions algébriques

lrèi:llJ!!�t��;��!-ii�lllll!IB L'intersection relativement à k E � de cette suite décroissante d'espaces est noté .2')K(Q) , c'est l' espace des fonctions de classe e"' sur Q et de support inclus dans K. ·-i�i��ÎlÎl!tlslflf--Cet espace apparaît comme la réunion de tous les 1'.:>K(n) . Pour simplifier la nature de


cette réunion, on utilise (Cf ex N°7, chap 1 ) une suite exhaustive (Kn ) de compacts pour n . L'espace ;}) ( n) est alors la réunion dénombrable : ;}) ( n) = un eN :l>Kn ( n) .

.. taiïsmï:TA'W .•.·.i.jz). ...•. :.• ...•. • ... ·.•.1t.•.:.• ..•. ·.•.f .•.•. ·.N··.•.•.·.• ... :.•.:.).:······· ····.•.•.e ... ·.····•.s ... ·.:.t.·········.·.a .. .•. ·.· .•. 1 .•. : .. o .•.

..•. · .•. r .•. · .·.•.s.· .•..•. •.•.• .. . ·.1Z).·.·.·····.•··.:.:.•.·.·.· ... � .•.

.. •.o .•. · .•·.• .... •.•.•·.� .. . · ... •.•• ...•. ·.•.••.•.•.·.· •

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2.1 .2 Définitions topologiques

Un indice a = (a 1 , a2 , . . . , aN ) de multidérivation étant donné, ainsi qu'un compact K, on définit des semi-normes 1] a, K dans les espaces de fonctions sur K par les formules :

1Ja ,K (<tJ) = sup l<p (a)(x)j . XEK

Les espaces :h;(n) sont normés et complets(Cfex N°2). En posant ja j= L: a j , on définit la norme 1Jk. K de la convergence uniforme de la fonction et de ses dérivées par :

1Jk, K (rp) = supla l ::;;k SUPxEK l(/J (a) (x)I = supla l ::;;k na, K(<tJ) .

L'espace :l>K (n) ne peut être normé (Cf ex N° 1 3) . On admettra qu'on peut y définir une

topologie1 dite « engendrée par la famille des semi-normes ( 1Jk. K) où k parcourt �».

B11lll�il,:&:flf!:ÊB C'est donc, si l 'on ne veut pas utiliser la théorie des espaces vectoriels topologiques, la définition de cette topologie qu'on adoptera dans cet ouvrage.

L'espace :1> (n) , ne peut, lui non plus, être normé. Comme c'est la réunion dénombrable des espaces :l>K , on y définit aussi une topologie caractérisée de la façon suivante : n

••11�1••• Enfin l 'espace :l>k (n) , réunion des :l>�n (n) , se trouve dans une situation analogue à la

précédente, les voisinages de 0 étant les parties V convexes de :l>k ( Q) telles que V n :l>�n soient des voisinages de 0 dans :1>� . Il

1 Cette topologie, compatible avec la structure vectorielle, est celle d'un espace localement convexe (Cf bibliographie [12] , [2 1] , [23])

CHAPITRE 2.A. LES DISTRIBUTIONS 89

2.1 .3. Suites convergentes dans ces espaces

Notons que l ' existence d'une base dénombrable de voisinages dans les espaces précédents permet de remplacer l 'utilisation des voisinages par celle des suites (voir ex N° 1 pour une justification élémentaire) . Comme la topologie de ces espaces est compatible avec la structure vectorielle, une base de voisinages en un point est translatée d'une base au point O, il suffit donc de caractériser les suites tendant vers O. Par ailleurs, on montre que ces espaces sont séquentiellement complets (Cf ex N°2), donc complets.

Insistons sur ces deux dernières propriétés d 'utilisation simple :

Preuve i) Soit une suite ( <p P ) , tendant vers 0 dans :h , à supports contenus dans K. Alors, pour tout voisinage V de 0 dans :hK ( !l) , il existe Po tel que p ;;:: Po ::::) 0 , il existe donc Po tel que p ;;:: Po ::::) 17k, K ( <p P ) � e . Cette propriété

signifie que 17 k. K ( <p P ) tend vers 0. Ceci étant vrai quel que soit k, la condition est nécessaire. Réciproquement, soit un voisinage V donné. Il contient une boule Bk,K et comme J!!:oo 1/ k, K ( <p P ) = 0 , pour p assez grand, <p P est dans Bk ,K donc dans V. La

suite ( <p p ) tend donc vers 0 dans :hK ( Q) . Pour ii) et iii), les conditions suffisantes sont évidentes puisque la topologie de ::DK (resp. :hf) est induite par celle de :JJ (n) (resp. :hk ), en particulier pour K . Donc la

no convergence dans ::DK implique la convergence dans :h ( n) . La condition nécessaire

no


qui suit est plus délicate et peut être négligée en première lecture:

($) Pour simplifier, on note D l 'un des 2 espaces YJk (n) et YJ(n) et Dn l 'un des 2 espaces 2)� (n) n

et ;JJK ( n) . On a Dn c Dn+ 1 , D = u Dn , les voisinages ouverts de 0 dans Dn+ 1 ou dans D sont les n intersections de leurs voisinages ouverts convexes de 0 avec Dn . De plus, on peut vérifier que Dn est fermé dans Dn+I ou utiliser leur complétude (Cf. exercice N°2). On raisonne par l 'absurde en supposant l 'existence d'une suite ( qJ P) qui converge vers 0 dans D telle que, pour tout n, il existe Pn avec 1// n = rp P !l: Dn . Au cours de la démonstration, on utilise, dans 11 chaque couple d'espaces (Dn , Dn+I ) , la propriété suivante énoncée pour le couple (D1 ,D:z ) . Lemme

•••11�1imi� ···-:· :-::·::: :-:=:-:::::::::::: :··::: : :: :::: :;:::::_::: . : : ::::: ::;: ;:_ . : : · : : ::·:::::: : :· : . :;:;:_ : ,:;:<:::::-::::: :· .<::::: · : · ·:: : · : · · : · : : . -:.::: : : ·: : . : . : . . : · . . : · : : · : : ::: ·:: · : . ·: · : - : ·. : : ::::.:::::::::::: : : : ::::::::::::::::::::::::;:;::::: : : . :: ::: :: :;:,:;:;: ;::· .::: ::::;:;:;:;: ;: :::::: :::·:=:=:::::::=:::::::=::::::::;:;:;:;:;:; :;:;::;::: : :::::· :: ::::::::::;:::;:;:;::::::::::::·:·:·::_ . .:;:;::

En effet, l/f 1 + D1 est un sous-espace affine fermé dans D2 qui ne contient pas O. Il en résulte qu'il existe un voisinage W de 0 dans D2 , que l 'on peut supposer ouvert convexe et qui ne rencontre pas l/f 1 +Di . La partie W + Di est alors un voisinage ouvert convexe de 0 qui ne rencontre pas non plus 1// l + Di . Alors, l ' intersection des 2 voisinages convexes W2 = W2 'n( W + D1 ) est toujours un voisinage convexe de 0 qui vérifie encore W1 = W2 n D1 et qui ne contient pas l/f i . Revenons à la proposition. Le principe de réduction à l 'absurde consiste en la construction d'une soussuite ( l/f n ) de la suite ( rp P ) et d'un voisinage V de 0 dans D qui ne contient aucun terme de cette suite, exprimant ainsi qu'elle ne tend pas vers 0 dans D.

Première étape Soit V1 un voisinage convexe de 0 dans D1 . Comme 1// 1 !l: D1 , on perit trouver un voisinage convexe V2 de O dans D:z tel que Vi = V2 n D1 et 1// 1 !l: V2 . Ceci est évident si 1// i !l: D2 . Sinon 1// 1 e D1 , et D1 étant fermé dans D1 , on peut utiliser le lemme (en prenant V2 = W2 1 ).

Deuxième étape Pour les mêmes raisons, si V2 est un voisinage de 0 dans D2 , il existe un voisinage convexe V3 1 dans DJ tel que V2 = V13nD2 avec 'If i � V3 1 • Par ailleurs, 1// 2 fl' D1 , il existe donc (par le lemme) un voisinage convexe V3 1 1 dans DJ tel que V2 = V3 1 hD:z avec 1// 2 � V3 1 1 • Finalement, on voit que V3 = V3 'nV3 "vérifie V2 = V3 n D:z avec 1// 2 fl' V3 et 1// 1 � V3 .

Etape de rang n La construction des voisinages se continue par récurrence. On obtient ainsi une suite (Vn ) de voisinages convexes de 0 dans Dn , croissante dans D, telle que :

Vn = V,z+1 " Dn et 'Vk � n. l//k !l'Vn+I ·

Fin de la démonstration : Soit V la réunion de tous les Vn . C'est la réunion d'une suite croissante de convexes, donc convexe et, puisque V n Dn = Vn , V est un voisinage de 0 dans D. Par construction, ce voisinage ne contient au�un terme de la suite ( 1// n ) , ce qui signifie que la suite ( 1// n ) ne converge pas vers 0 dans D contrairement à l 'hypothèse. La preuve par l'absurde est ainsi terminée. ($)

CHAPITRE 2. A. LES DISTRIBUTIONS 91

2.1 .4. Comparaisons algébriques et topologiques de ces espaces

récédents concernant les inclusions topologiques : cié%7ZTIT?r:ITTI27TITITITTTIS0?SC7''.f7:7?3T73D32l Les flèches accompagnant les

b) Résultats de densité

Proposition 2.5.A

% �:::::7' :•'.?••·•stt:D I inclusions indiquent que les / t • < t F I injections associées à ces inclusions ·•:•·••••••••··•·•:•:•:•:•:•·•·····•·• ·

sont continues pour les topologies •: ·2···••·•·••N:•f.A.c'i••·1 respectives des espaces en cause.

:1�f�1;ê� r:� î�> �� ;�� 4��ÎÂ� c9) mµ1 ·4�:.�1 �9e��2��11:��8l!l �r�811�1n�1t1::1:1·1 · : ; :; : . . Preuve Lorsque !l = �N' cette densité résulte de la proposition 2 . 1 .A. Soit, en effet, une fonction

f de ::bk

, la suite (!P) de fonctions de ::b qui est construite dans cette proposition

vérifie : lim 17k K(f - fp) = 0 . Or, d'après la proposition 2.4.A,iii), ceci exprime que p�oo . la suite (! P) converge vers f dans l' espace ::b

k . La propriété en résulte dans ce cas.

Pour !l quelconque, on note g le prolongement de f par 0 hors de son support K. On approche g par des fonctions g P qui sont dans ::/) (�N) et dont les supports sont dans K + BI/P (Cf la preuve de 2 .4 .A). Comme le rayon de BI/P tend vers 0 , on peut débuter la suite à l ' indice p pour lequel K + BI/ P c !l . Les restrictions des g P à !l sont bien des éléments de ::b (n) qui convergent encore vers f, grâce à la propriété précédente. Remarque 2.2.A En réalité, on a prouvé la densité séquentielle mais elle entraîne, par une propriété analogue à celle formulée dans la proposition 2 .6 .A qui suit, la densité au sens des voisinages. 2.1.5. Formes linéaires continues

&•tr111P.am Proposition 2. 7 .A

19Hr:·awi·aE� :!9fffii . �m��î� :1 ��r � (��g�� ·�eR��Thhl��· · ��!i'î�� ·1:�� }J·��11•1Nf.l.··•·9µÎ1:.·��::·�2�f: �i ·::��:::��l�lt�ei: i �J��l��i ·�4J �?J� RÂTI��H� gl�.g��.·��R�Bij : · : .. ::· ;: ;: . :œ1 :· ii• :::::: ·: : : ::.··:::.;•:: .. · :•·•·:: .. : nt ·

Preuve Supposons T continue, ce qui équivaut à la continuité au point O. Donc Ve > 0, V = T-1 (B8 ) ( où B8 est le disque de rayon e dans q est un voisinage de 0 dans


;]) (n) . Par définition (voir ci-dessus), pour tout n, V ri ;:/)K11 est un voisinage de 0 dans ;])K . Cela signifie que la restriction de T à ;])K est continue. 11 11 Réciproquement, soit V = r-1 ( B 8 ) • Par hypothèse, les intersections V ri ;:/)K11 sont des voisinages de 0 dans ;])K et, d' autre part, V est convexe puisque T est linéaire. Il en n résulte que V est un voisinage de 0 dans ;]) ( Q) . La continuité en résulte. Pro1position 2.8.A

Preuve -La condition est suffisante. En effet, (Cf prop 2 .4 .A) pour toute suite vérifiant

lim <p P = 0 , toutes les semi-normes vérifient lim 1]k K ( <p P ) = 0 , en particulier p-Hoo p�+oo ' celle de l 'énoncé. L'hypothèse fournit : lim ( T, <p P ) = 0 . On en déduit la continuité. p�+oo La condition est nécessaire. En effet, en se contentant de s = 1 , par hypothèse, l ' image réciproque du disque unité de ([ est un voisinage V de 0 dans ;])K , lequel contient une certaine boule Bk,K dont on désigne le rayon par r. On en déduit que, pour cet indice k :

1Jk. K (l/f) � r=> l(T, l/f )I � 1 .

-Soit <p quelconque dans ;])K tel que, d'abord, 1Jk. K (rp) -:t:. 0 .

La fonction l/f = r( 1] k, K ( <p) r 1 <p vérifie 1] k, K ( l/f) = r donc 1( T, l/f )1 � 1 . En revenant à

<p , on a : l(T, rp)I � r -1 1Jk, K (<tJ) , c'est-à-dire la majoration de l 'énoncé avec C = r-1 .

-Il reste le cas où 1Jk. K (rp) = 0 . Comme 1Jk. K ( n rp) = 0 , on a toujours l (T, nrp)I � 1 , ce

qui entraine l(T, rp)I � Ifn , cela quel que soit n. D'où l (T, rp}I = 0 qui vérifie encore l ' inégalité.

2.2. Espaces de distributions

2.2. 1 . Définition et caractérisation

Définition 2. 1 .A

:mil -��Ît�H��sn !��Mr :� : �� Üpë r?.�m� 1�Ii��f� êg��t,�M�:-�Hil·!:��elg�_::,1':·:�1l .. 1:.::. :1':: _·1·· 1::::::::_.:.:;. ::1 :: :_ : .. · . :·::_:. L'ensemble de ces distributions, qui est un espace vectoriel, est donc le dual topologique de ;]) ( Q) , noté .2Y( Q) . On définit également le dual (.2l ) ' ( Q) , espace des formes

linéaires continues sur :J:l ( n) . Proposition 2.9.A

ltlllllll:lllll&lr•1


lillllll��l�illl-Preuve Pour 1 °, cela résulte immédiatement des propositions 2. 6, 2. 7 et 2. 8 qui caractérisent la continuité dans les différents espaces. Pour 2°, cela résulte des propositions analogues et de la caractérisation de la continuité dans un espace normé. Cas particulier important

Dans l' inégalité (2.1 .1) précédente, supposons que, pour tout K, le nombre k soit nul.

Cette inégalité est alors analogue à celle concernant les mesures de Radon. La différence vient du fait, qu'a priori, T n'est définie que sur un sous-espace de Cc (n) . Cependant :

:��i��l�#�i(�iffi��P.�aj�� !Ir ·@ ·<!î)i �1�� i �4�nr��ki� ,1 1� 1�§1� :4i·: m2n·::��:':.:��: -�lijî�9'��t �Î. �Y� ��t Q9��1i� P��tla tqp�i?�i� �Ü��i�! �l l�!�l�J !J�l�l !�ll!�!:!�ll?tii!/!/i::·.jJl!IJI

sPK compact; a c > 0 tel que \f <p E SbK, 1 (n<p )1 ::; a !:lo. x(w)'"' @Jlw l t» • . .. . . :. :·::::.:-:·:::::: ·

La démonstration sera vue au paragraphe suivant, dans celle de la proposition 2. 1 1 .A.

2.2.2. Premiers exemples de distributions

a) Les mesures

Les mesures de Dirac, les mesures-peignes, les fonctions Lebesgue-localement sommables sont donc identifiables à des distributions. Ces distributions sont définies par les formulations qu'elles ont en tant que mesures. Par exemple, pour une fonction localement sommable/ sur �, la distribution, notée [/] , à laquelle elle est identifiée, est définie par :

\f (/J E S!J, ([/], (/J ) = f:f(t)rp(t)dt . Une telle distribution est dite « associée à f » ou, plus exactement associée à la classe de f, car deux fonctions L-équivalentes, c'est-à-dire au sens de la mesure de Lebesgue, définissent la même distribution, on dit aussi que c'est une distribution régulière. b) Les valeurs principales sur �

Commençons par l 'exemple /(t) = t -1 qui n'est pas sommable sur [-1, 1] .Transformons

par un changement de variable, pour toute rp eSb , l ' intégrale notée 18 = Jitl>ef(t)rp(t)dt . On a : /,, = f;r1rp(t)dt + r t -1 rp(t)dt = r r1[rp(t) - rp(-t)]dt , le segment (-A, A] contenant le support de rp . Grâce aux accroissements finis, t - 1 [rp(t) - rp (-t)] est

prolongeable par continuité et il en résulte l 'existence de liml,, = r t -l[rp(t) - rp(-t)]dt ou J0+«> t -l(<p(t) - <p(-t)]dt . On définit alors la forme linéaire, notée vp(Ift) , par :

(vp(If t), r1<p(t)dt) = f0+«> t -1(rp(t) - rp (-t)}it


Soit <p à support dans [-A, A] comme précédemment. Alors, la formule des

accroissements finis fournit 1 1 - 1 [<p(t) - <p (-t)]l ::; 2 supj<p 'I et on en déduit

1( vp( 1/ t ), <p )1 ::;; 2 A 'fi I,K( <p) , La forme linéaire vp( If t) est donc une distribution.

Plus généralement, soit une fonction f non localement sommable sur � mais localement

sommable sur �\S où S est un ensemble fini . On peut trouver une suite finie

( h ) d'intervalles fermés de réunion �, chacun d 'eux contenant un seul point de S La

fonction f est la somme des fz 1 . Par translation, la notion introduite précédemment se k

transporte en chaque point de S, ce qui permet de définir, sous réserve d'existence, la

distribution vp(fx 1J . Si toutes ces valeurs principales existent, vp(f) en est la somme.

Voir dans le chapitre 2.B l ' exemple 1 .4 .2 et les exercices N°5 et N°6. c) Parties finies

Une étude détaillée est faite dans le chapitre 2 .B ( § 1 ) d) Autres exemples

On remarque que toute dérivée d'une fonction de .2) (n) est encore dans ;]) (n) . Les

distributions précédentes peuvent donc être appliquées sur de telles dérivées. Par exemple, la forme linéaire sur ;]) ( n) définie par ( T, <p) = ( ô, <p") , où ô est la mesure de

Dirac au point 0, est une distribution. On retrouvera ces distributions dans le cadre de l 'opération de dérivation des distributions.

2.3. Distributions d'ordre fini

2.3. 1 . Définitions et j ustifications

La remarque précédant la proposition 2. 1 O .A incite à examiner aussi les cas particuliers où, dans l ' inégalité (2.1 .1) le nombre k reste le même quel que soit K. Cette inégalité est

alors analogue à l' inégalité (2.1.2) qui caractérise les éléments du dual de ,2)k (n) . La

différence vient du fait qu'a priori, T n'est définie que sur un sous-espace de ;JJk (n) . Cependant :

ï�11�trf��aj:: t;f�.�z��r1�11t1-irzt1��1i\ \!':'��1��·dt · � ·ç .�· o �;��·1�11{�11.ili]liliJii Preuve de la proposition 2. 11 Soit T une forme linéaire sur ,2) ( n) (donc sur un sous-espace vectoriel de ;JJk ( n) ) qui

vérifie cette inégalité (2.1 .3) . Nous allons prolonger cette forme linéaire à l ' espace

2>k (n) . Ce prolongement est d'ailleurs classique puisque, par la proposition 2 . 5 .A, on

sait que ;]) (n) est dense dans ,2)k (n) .


Soit une fonction rp de ::bk (n) . Il existe, d'après la proposition 2 .5 .A, une suite

( rp P ) incluse dans ::b ( Q) telle que, pour tout K, 1J k. K ( rp - rp P ) � 0 . La suite ( rp P) est donc de Cauchy dans ::D; et (2.1 .3) , appliquée à (/Jp - rpq , montre qu'il en est de même

pour la suite { ( T, rp P )) qui est ainsi convergente dans C On définit alors :

(U, rp) = lim(T, rpP ) et on montre de façon classique que (U,rp) ne dépend pas de la suite

( rp P ) choisie. Cette indépendance assure que U est une forme linéaire sur ::bk ( n) qui

vérifie, par passage à la limite dans ( 2.1 .3) : "if K compact, "if rp E ::Dt 1 (U, rp )j ::::; CK limp�co 1Jk, K ((/Jp) = CK 1Jk, K(rp) .

D'après la proposition 2.9, cela prouve que U est dans le dual de ::bk (n) .

Réciproquement soit Uun élément du dual de ::bk (n) . Comme ::D(n) c ::bk (n) , on peut définir la restriction de U à ce sous-espace vectoriel, elle est donc toujours linéaire et, l ' injection étant continue, cette restriction est continue sur ::D(n) ; U est donc une distribution T qui vérifie a fortiori, pour toutes les fonctions de ::D(n) , l ' inégalité (2.1 .3) .

En conclusion, l 'application qui associe U à T est une application bijective (que l 'on peut qualifier de « canonique ») du dual de ::Dk ( Q) sur le sous-espace des distributions vérifiant (2.1 .3) . Cette démonstration donne aussi la preuve de la proposition 2. 1 0 .A.

Remarque 2.3.A

Rappelons l ' inclusion ::bk (n) c ::bk-I (n) avec injection continue, le premier étant dense dans le deuxième par un argument analogue à celui développé dans la proposition 2 . 5 .A.

On en déduirait également, par identification canonique, que { ::bk ) ' :::J { ::hk-l ) ' . Cette

inclusion justifie la qualification « d'ordre ::::; k » et amène une nouvelle définition . Définition 2.4.A

lllliliilllCilfll 2.3.2 Exemples

Premier exemple 2.1.A Considérons la distribution T définie par : ( T, rp ) = rp' ( 0) . Montrons que T est exactement d'ordre 1 . Comme j(T, rp)j ::::; j jrp' j j00 , on voit déjà que T est d'ordre ::::; 1 . Soit une fonction test rp tel que rp' ( o) '::/:. 0 et la suite rpn définie par : rpn (t) = rp( n t) . On


a pour cette suite l l'Pn l l00 = l l'Pl l00 , i (T, tpn )I = nltp'(O)I et les supports sont bornés par celui de tp . Ces propriétés impliquent que T ne peut être d'ordre O. Si, en effet, elle était d'ordre 0, on pourrait associer à K = [-2, + 2] une constante C telle que

i (T, tpn )j ::;; CJJtpJ J00 = C , ce qui est contradictoire avec j(T, tp11 )j � +oo . Deuxième exemple 2.2.A

Soit vp(lft) définie dans § 2 .2 .2,c) . L'inégalité l(vp(lft), tp )1 ::;; 2M'f/ I,K('P) montre que

cette distribution est d'ordre ::;; 1 . Montrons qu'elle est d'ordre 1 exactement. Soit la suite des ('Pn ) c ::b , tp11 impaires, dont la restriction à ]0,+oo[ est comprise entre 0 et 1 , à support inclus dans ]0,2[ et vérifiant tpn = 1 sur [1/n , l] (elle existe par le lemme 2. 1 .A) . Alors, le support de tp11 est inclus dans [-2,2] et J Jtp11 J J00 = 1 . Or, la minoration :

(vp(lft), 'Pn ) = 2J; tp11 (t)dt/t "?. 2J1�11 dt/t = 2 ln(n) prouve que (vp(lft), 'Pn ) tend vers

+oo . Elle est donc d'ordre 1 car, si elle était d'ordre 0, on pourrait associer à

K = [-2, + 2] une constante C telle que l (T, tp11 )i ::;; CJ Jtp11 J J00 = C , ce qui est contradictoire

avec i (T, tp11 )j � +oo . Pour d'autres exemples sur les parties finies, voir § 1 du chap 2.B et l 'exercice N°7.

2.4.Structures des espaces de distributions

2.4. 1 . Structure vectorielle

On sait additionner, multiplier par les scalaires les formes linéaires. Après opération, la continuité est conservée. Il en résulte que les duals précédents sont des espaces vectoriels. 2.4.2 Notions de convergence dans ces espaces

Plusieurs topologies peuvent être placées sur .2Y(n) . Celle qui sera utilisée ici est la topologie de la convergence simple sur .'.D(n) dite aussi la convergence faible. Elle généralise la convergence vague des mesures. Remarquons que, puisque les ensembles de distributions sont des espaces vectoriels, on peut se contenter de définir d'abord les suites ou les familles de distributions convergentes vers la distribution nulle .

On en déduit alors :

:�1:!inl�� :�[�-� s2�i�r§� x�r� 1� 4j.füi?�î�?� � ��: :�-� :�e1:�f:i . ([4: :�lltl �!ll:l!IÏ�!:��::1:1: .1:1: : :1 1:1: ·:.1:1: :l!l l ::1::1:1 Remarque 2.4.A Il est facile de voir que l ' application T de .'.D(n) dans ([ définie par

lim ( � , tp) = ( T, tp ) est linéaire. Pour montrer la continuité de T, on utilise la proposition 2 . 1 2 .A ci-après .


Proposition 2.12.A

• ...•• _: __ .s_ .•• (:_.·.··.•·.•· .• ·.•·.·�r_ ... · .. :·.: .. •_.:•:·· ·.'..•.·.:tp···• .. �:·.•. ·.· .. :.•.o.· ... •· ... · .. ;···):_P.· .... •· ... ·.�---······r·····.:··:•· ... •··•· · .. ··• •·•· · .. 1·.� .. ••_1•_.·.o .. •m:.•.•:.•.•. ·.u···.•.•.•

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($)Preuve: On démontre d'abord la propriété suivante :

Elllli��:ltl�fm On suppose, pour simplifier les notations de dérivation, qu'on est sur IRC Par hypothèse, il existe une suite ( 0 telle qu'une certaine sous-suite que nous notons encore ( <p P ) vérifie : 1( L, <p P )1 � a . Nous allons construire (If/ k ) à l 'aide d'une sous-suite de ( <p P ) . Soit K compact qui contient tous les supports des <p P . D'après la définition de la convergence dans ::/),

il existe p1 tel que l<p�: 1 ::;; 1/4 , puis, de proche en proche, des indices Pk tels que, quel que soit

j ::;; k , l<p�; 1 ::;; 4-k . Si on pose lf/k = 2k <pPk ' alors liml(L, lf/k )l = +oo . Sinon, il existerait A

telle que : 'v' k, l(L, If/ k )1 ::;; A ou 1( L, <p Pk )1 ::;; 2-k A et ceci contredit : 'v'p, 1( L, <p P )1 � a .

De plus, sur K, on a llf/Vl l ::;; rk à partir de k � j , ce qui implique d'une part (lf/k )�O et

d'autre part, que chaque série de dérivées convergeant uniformément sur K, la série converge dans ::/) . Ceci tennine la preuve du lemme. Pour la proposition, raisonnons par l'absurde. D'après le lemme, il existe donc une telle suite (If/ k ) . Nous construisons une sous-suite de (If/ k ) notée ( ifJ k ) et une sous suite de { Tk ) notée { S k ) . Il existe k1 tel que I\ L, If/ kl )1 > 1 . Posons ifJ 1 = If/ k

l . La fonctionnelle L étant la limite des Tk , on

peut trouver un élément S 1 de cette suite { Tk ) telle que ( S l • ifl 1 ) > 1 .

Par la continuité de S1 , il existe (puisque {lf/k ) tend vers 0 dans .'.D ) k2 ' tel que k � k'2 implique l{S1 , If/ k )1 < r1 . Puisque liml(L, If/ k )1 = +oo , il e�ste k2 � k'2 tel que k � k2 entraîne

l(L, If/ k )1 > l(L, ifJ 1 )1 + 2 . Donc ifJ 2= If/ k2 vérifie l{S1 , f/J2 )1 < r1 et l(L, f/J2 )1 > j(L, ifJ 1 )1 + 2 . Par ailleurs, la différence 1( T,1 , f/J2 )1 - 1(1'n , f/J1 )1 ayant pour limite 1 ( L, ifJ 2 )1 - 1{ L, ifJ 1 )1 > 2 , on peut trouver S2 = 1'n tel que l(S2 , ifJ 2 )1 > l(S2 , ifJ 1 )1 + 2 . 2 L'amorce est faite ainsi de la mise en place de deux suites {f/J k ) et (Sk ) telles que :

} < k� l(s1 , ifl k )l < 21-k et l(Sk , ifl k ) l > k + L1�î<k l(Sk , f/J ; )I · En effet, soit ifJ k vérifiant ia première inégalité. Comme 1 ( L, ifJ k )1 - LI�i<k l{L, ifJ ; )1 est la limite de

l(� . f/J k )1 - L1�i<k l(I'n , f/J i )1 . on peut choisir sk tel que l(Sk ' ifJ k )1 > k + L1�i<k l(Sk , ifJ i )1 . Ensuite, grâce aux continuités sur .'.D des S 1 où j < k + 1 , on peut choisir dans la suite {If/ k ) un


élément </J k+I tel que j < k + l::::> J(si , </J k )J < zi-k-I . L'existence des deux suites est donc établie.

La série Lisk If/ k étant convergente dans :1> , il en est de même pour Lisk t/> k . Sa somme est un élément </J de:l.>(n) . Montrons alors que limk-Hoo l(Sk , t/> )1 = +oo , ce qui apportera la contradiction avec limk-Hoo l(Sk , </J )1 = (L, </J ) , laquelle est finie. Décomposons (Sk , </J ) en 3 parties : Lisf<k (Sk , </J 1 ) + (Sk , </J k ) + Rk+I où le resteRk+I vérifie

IRk+I I ::::;; Lk+ISJ zk-J = 1 . L'inégalité l(Sk , </J k )1 > k + Lisi<k l(Sk , </J ; )1 prouve que la somme

des 2 premiers est minorée par k , d'où limk-++oo l(Sk , </J )1 = +oo , ce qui termine. ($)

Définition 2.6.A ·· ·

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. llili!�f��i•11� ��me par .(s, <oc) ;= 1l�oo{Li: Tn 'q]) = J!!:oo �� (71; . w} · =

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·:· · ' : :: ': ::: ::l!i !/!! ! Comme pour la convergence vague, ces définitions appliquées à des distributions régulières associées à des fonctions, exhibent pour ces dernières des situations de convergence différentes des notions habituelles (Cf ex N°9) . Par exemple, pour une série de fonctions 'Lt,1 qui converge dans :h' , il n'y a pas de raison pour que le terme général

fn tende vers 0, même simplement (Cf ex N° 1 0, 1 °) .

Les mêmes définitions s'appliquent sur le dual de :hk , mais cette fois, i l ne suffit pas que

la suite ( Tn ,rp) converge pour tout rp de :J.>k pour en déduire que la suite converge dans

:hk . En effet, la distribution linùte n'est plus forcément d'ordre k (Cf ex N° 1 1 ) . Premiers exemples 2.3.A -Signalons d 'abord les peignes qui au sens de la définition précédente sont des séries convergentes dont le terme général est une distribution de Dirac multipliée par un scalaire quelconque (Cf § 1 de chap 1 .B). - Soit la fonction un impaire telle que un (t) = 1/ t sur [ lf n , + oo[ et un (t) = 0 sur [ 0, 1/ n[ . Pour toute rp de :h, on a ([u11 ], .p) = f�" rp(t)dt/t + J1; rp(t)dt/t et on voit que la linùte

est (vp(lft), rp) . En conséquence : [un ]-�-Hp(lft) .

2.4.3. Convergence dans :h' des suites de fonctions

Proposition 2. 13.A . . . . . . . . .


v�r� Y1 · îmPliîJ.11:.::ll! : . : . : : :- : : : : :::: \ : :::: : :

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Dans l 'exercice N° 12, on propose la pr euve de ces r ésultats. Voir aussi, dans l 'exercice N°10, des exemples de suites de fonctions convergentes dans;])' ver s 8. 3. RESTRICTIONS A DES OUVERTS. SUPPORTS

3. 1. Restriction à un ouvert Le problème est analogue à celui concernant les mesures. Soit n• un ouvert inclus dans n. En prolongeant une fonction de ;])( !l') par 0 hor s de !l' , on obtient une fonction de .2'.)(n). On peut donc prendre la restr iction d'une distr ibution sur n à l ' espace ;])(O') . Cette restr iction, dite « restr iction à n• », est linéaire et continue sur 2l(!l') puisque les compacts de !l' sont compacts dans net que les inégalités restent les mêmes. De façon analogue aux mesures, il n'est pas vrai que, r éciproquement, une distr ibution sur !l' puisse toujour s se prolonger en une distr ibution sur n ( à ce sujet, voir l ' exer cice N°9). 3.2 Ouverts de nullité et support d'une distribution

De même que pour les mesures, on définit le plus grand ouvert de nullité de T. Remarque Si Test d'ordre::; k sur n, sa restr iction à un ouvert Q' c n est aussi d 'ordr e::; k .

Proposition 2. 14.A

.:.!.S.e• ... • .• .: .n; .· .P ... : .•. •c•.·.! .•. ·· .t.·o·· .·.· .• .: .• .: .•.ur ·. ·· . ··.• .,•e· .

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Preuve Soit U cette réunion. Considérons une fonction rp de :J)(U) . Sur le support compact de rp qui est inclus dans U, donc recouvert par un nombre fini d'ouverts de nullité (ni) . , on peut appliquer le théorème 2 .3 .A de partition de l 'unité. En multipliant rp 05.)911 par chacune des fonctions rjJ i issues de cette partition, on peut écr ire rp = Lo5.j5.m rp r/J j . Comme chaque fonction de cette somme est à support inclus dans l 'ouvert de nullité ni, l' image par T de cette fonction est nulle, ce qui entraîne que ( T, rp) = 0. Cela étant valable pout tout rp de :J)(U) , la pr euve est terminée. Définition 2.8.A 1�·�µpppn a�J�·•4!�în�4w�n ��t1è ç()irt1'1�m��îrur�}#f p�µ� gflü4 §üv�n:a�n4î.l�ti•��·,•�··: En dehor s des exemples de supports de mesures dont on voit, en utilisant un résultat de densité que l 'on peut tir er de la proposition 2 . 1 .A, que ce sont les supports des d istributions auxquelles elles s' identifient, notons les exemples simples suivants.


Exemples 2.4.A Soit une famille finie F d'entiers et une suite finie de réels (tk )keF . On montre que, quel

que soient les scalaires ak > le support de T telle que T(rp) = LkeFakrp(k) (tk ) est

l'ensemble des tk . Si on prend maintenant T(rp) = LneNanrp(kn)(tn ) où les tn

constituent un ensemble localement fini, on trouve encore pour support l'ensemble des t n . Cela généralise les résultats obtenus pour les peignes (Cf § 1 , chap l .B). 4. DISTRIBUTION A SUPPORT COMPACT

4. 1. Un autre espace fondamental de fonctions : G'( n)

En n'imposant plus aux fonctions de base d'admettre des supports compacts, on donne des définitions d 'autres espaces. On conserve les notations 'fla,K. 4.1 .1 .Structure algébrique

L'espace vectoriel G'k (n) est celui des fonctions de classe ek dans Q . Il contient

::bk (n) comme sous-espace vectoriel . L'espace vectoriel G'(n) est celui des fonctions de

classe e00 dans n . Il contient ::D(n) comme sous-espace vectoriel et il est l ' intersection

de tous les G'k (n).

4.1 .2. Structure topologique

On définit une base de voisinages de 0 pour une topologie de G'k (n) par la famille des

boules fermées Ba.K de centre 0 associées aux semi-normes 'fla,K lorsque lai� k et

lorsque K parcourt l 'ensemble des compacts de n . En utilisant une suite exhaustive de compacts pour n , cette topologie est à base dénombrable et, là encore, on peut remplacer l 'utilisation des voisinages par celle des suites. La topologie de G'(O) se définit de la même façon, la 1 étant quelconque Proposition 2. 15.A (Caractérisation des suites tendant vers 0 dans ces espaces)

Remarque 2.5.A Il faut remarquer la grande différence avec la convergence dans les espaces ::bk (n) comme elle est indiquée dans la proposition 2.4.A. Pour ces dernières, il faut que les supports de toutes les fonctions de la suite soient dans un même compact. Mais alors, il devient évident que si une suite converge vers 0 dans ::bk (n) (donc incluse

algébriquement dans G'k (n) ), elle converge a fortiori dans G'k (n) . Preuve Elle est analogue à celle de la proposition 2.4.A. Soit rp P c1(n) > 0 . Alors, pour tout


voisinage V de 0 dans t;k ( 0) , il existe Po tel que p � Po :::) 0 , il existe donc Po tel que p � Po :::) 'fi k ,K( <pp ) ::;;; e . Cela signifie que 'fi m.K( <p P ) � 0 . La réciproque est immédiate puisque ces boules constituent une base.

4.2. Description des duals topologiques des espaces c;k (0)

Comme pour les espaces ;]) , on définit l ' espace des formes linéaires sur les espaces c;k (0) , continues pour la topologie décrite ci-dessus. Comme dans le théorème 2. 6.A, la continuité se ramène à la continuité séquentielle au point O. La continuité peut aussi être caractérisée à l 'aide des semi-normes.

ltïlll��il\f-D'après cette proposition, le « support » de T est contenu dans K La preuve de cette proposition utilise les mêmes arguments que celle de la proposition 2 .8 .A, à ceci près qu' il y a maintenant deux paramètres k et K pour les semi-normes. Remarque 2.6.A Puisque ;])(O) est un sous-espace deC(O) , on peut considérer la restriction d'un élément du dual de C( o) à .2)( o) . Alors, d 'après la caractérisation de la proposition 2.9 .A, cette restriction est une distribution. De façon plus précise, à l 'aide d'un résultat de densité de .2)(0) dans C(O) que l 'on peut établir avec la méthode de la proposition 2. 1 .A, on peut montrer queC' (O) s' identifie à un sous-espace de .2)'(0) . Nous allons, à présent caractériser ce sous-espace.

4.3. Prolongement d'une distribution à support compact

4.3. 1 . Construction d'un prolongement

Soit une distribution T dont le support K est compact. Pour tout v01smage Ve (K) = K + b6, on peut choisir (Cf proposition 2. 1 .A) une fonction 176 qui vaut 1 sur V6(K) = K + b6 et qui est dans .2)(0) . Le produit 1/111c d'une fonction de C(O) par cette fonction de .2)( 0) est évidemment dans .2)( 0) , ce qui donne un sens à ( T, If/ 17 6 ) . Pour donner un sens intrinsèque à ( T, If/ ) identifié à ( T, If/ 17 6) , il convient de vérifier

que ( T, If/ 17 6) ne dépend pas du choix de 17 6, notamment du choix de V6. Soit 17 c' une

autre fonction qui vaut 1 sur le voisinage V6• de K. La différence ( T, If/ ( 17 6 -17 c' )) est alors nulle car la fonction 17 6 -17 c' , qui est dans .2), est nulle sur V6 n V6• voisinage de K, ce qui entraîne que le support de If/ ( 17 6 -17 c' ) est dans l 'ouvert complémentaire de K. La définition du support d'une distribution donne alors le résultat. Proposition 2. 17.A 1t.'•1r&�I��î�1m��-lt&•�


Preuve La linéarité de l ' application définie précédemment est claire. Il suffit de prouver que c'est bien un prolongement. Soit, pour cela, une fonction . La fonction <p(l-17) est dans 2> et elle est nulle sur un voisinage de K et ceci entraîne que (T,<p(l - 17)) = O , c'est-à-dire que (T, <p ) = (T ,<p 17) = (r. <p ) . 4.3.2. Identification avec un élément de G''(!l)

Proposition 2. 18.A

�r �M*1 ��(�) ;�;��g�I�� # spiJss�sèiit� �é ;;(�) ��: ��rt�Mît89�-�-�HBe81·�2ÎR!\··_::':!.:::: Preuve D'abord, la forme linéaire T précédente, prolongement de la distribution T à support compact, à l ' espace C(n) , est continue sur cet espace C(n) . Donc T EG''(n).

En effet, considérons l 'application linéaire VIH VI 17 8 de C(n) dans 2>(n) . Montrons qu'elle est continue, autrement dit, continue en O. Comme il a déjà été dit, il suffit de se servir des suites. Soit donc une suite VI P tendant vers 0 dans C, ce qui veut dire que, sur tout K, toutes les suites dérivées de VI P convergent uniformément vers O. Pour simplifier les notations (mais le calcul reste analogue dans le cas général), on suppose que N = 1 . La formule de Leibniz fournit les dérivées de VI 17 :

(V117ik) = L.o5.j5.kc1Vl(i)17(k-j) · Pour k donné, on peut majorer toutes les dérivées 17(k-j) de cette formule. Si donc VI P est une suite deC(n) , pour tout k, il existe des constantes Mi telles que l 'on ait :

j(V117ik)l�Lo5.j5.kMilVl(i)I· Si la suite (Vlp) tend vers 0 dans C(n) , cette formule

montre (étant vraie sur K = supp T ) que la suite (VI P 17) tend vers 0 dans 2>(n) (car elle est à support dans le compact fixe supp( 17) ), ce qui entraîne, puisque T est une

distribution, que ( T, VI P 17) � 0 . La forme linéaire T est donc continue sur C.

Reste à montrer la réciproque. Pour cela, soit T EG''(n) . Sa restriction à l ' espace 2>{n) est continue sur cet espace, c'est donc une distribution. Montrons que T est à support borné. Dans le cas contraire, pour tout k, il existe <p k de classe e00 à support dans {lxl � k} telle que (T , <pk ) * 0 , par exemple (T, <fJk ) = 1 . Sur tout compact K, <fJk = 0 pour k assez grand, donc (rp k ) � 0 dans C( n) alors que ( T, <p k ) = 1 , ce qui est contraire à la continuité de T. Ainsi, la restriction de T est à support borné.

�r�P�,�-� .. n� .. n- .. �t!-�� .. � .... , , .. , , . ........ .............. , ...... , .... . ,, _ .. .. _ .. . ..... .... .. .......... ........ . . ... ............... · ....................... , ... , . .. _ .. ........................... ..... _ .. , .............................................................................................................................................................. ::: .......... . ·.·.·.·.·.··.·.·.·.·.· .. ·.·.-....... . X9fü� (lisfübi#fürt � §(lppfüi comlJa.i::t�stu* 4!§tf:i1?4(@nP.'.ordt�t.füfü t t : t :tf :: : : . .. ,.;: .. ,,,,,, :t On doit prouver que :\:/ K compact, 3 C > O tel que : \:/ K, 1 (T, .


0 0 On considère deux compacts Ki et K2 tels que K c Ki c K1 c K2 . D 'après la

proposition 2 .9, 3k et C > O tel que : \:f cp E 2JK2 , J (T,cp )J s;Cn k,K2 (cp). On choisit T/ de la preuve précédente valant 1 sur K1 et à support dans K2 . D'après la propriété de prolongement, la majoration précédente par la formule de Leibniz et le fait que le produit cp T/ se trouve dans 2JK , on peut écrire : 2

j(T,cp )J= j(T,cp T/ )J s;Cn k,K2 ( «PT/) s; C suplal�k l l «P T/ I l s; C2 sup lal�k ll «P Il · La preuve est établie puisqueC2 ne dépend pas de cp (Cf autre preuve dans ex N°1 3) .

5. OPERATIONS ALGEBRIQUES SUR LES DISTRIBUTIONS

Les opérations introduites sur les distributions prolongent, par l'utilisation des propriétés de l ' intégrale de Lebesgue, les opérations sur les fonctions localement sommables.

5.1 Translation d'une distribution

Soit fa: xH f(x - a) la translatés d' indice a d'une fonction f de fi_ }0c (IR!.N) . Cette translatée est encore localement sommable et, grâce à l ' invariance par translation de l'opération d' intégration, la distribution régulière associée [/a ] vérifie (Cf annexe 1 . 1 ) :

([fa ],cp) = fRN f(x -a)cp(x)dx =fRN f(x)cp(x +a)dx = ([/] .«P-a) .

Remarque 2. 7 .A : On a noté ô a la distribution de Dirac au point a . On vérifie que c'est bien la translatée d' indice a de la distribution de Dirac au point 0, laquelle est notée ô.

5. 1.2. Distribution périodique

:lâ!··��!.Ê!§H��en � ��- �'.X��J ��f <fü� ��Mt�9��99� �� 4�11� !��P�A� lJ·�(��2f : .. :1 .. fü,:-�'\:t:',:i' .. :: :., Par exemple, si une fonction localement sommable f est a-périodique, la distribution régulière associée est a-périodique. Le peigne de Dirac est !-périodique 5.1.3. Propriétés

Elles sont simples à vérifier : (Cf exercice N°6) d' ' ( )- i - 'l" a+b = 'l" a 0 'l" b = 'l" b 0 'l" a OU 'l" a = 'l" -a ·

-Si une suite ( T,, ) converge vers T, la suite (•a (In)) converge vers •a ( T ) . -Le support de I;, est le translaté vectoriel de vecteur -a dans IR!.N du support de T 5.2. Dilatation Grâce à la dilatation de la variable dans l ' intégrale de Lebesgue (Cf Annexe 1 . 1 ), on a, pour f localement sommable : fRN f(Â x) cp(x)dx = 1).,1-N fRN f( x) cp(Â.-l x)ttx (le

jacobien étant 1)., IN). On peut alors prolonger cette dilatation à ;/)' (IR!.N) :


Définition 2.10.A il'lf!lrfi��qt��-[�ii-fllll .. �! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ::.::::· :· :·::··::· :::::::::::::.::: �\? :u�:�t;i{/j�}� :: ,, , : . · �� §ti>. ; x��<rl,'1! )� 1� 100\v;

·nxsi (�)i :::i ·

. :i .' :: :1, i\t? ·.·.·.·,·,·.·.·.·.·.· . . ·.·.· ·.· . . ·.· · . · . · . . · ·.· ·.·. · . . . ·.·. · . . . . . · ·.·.· . . · . . . · . ·.· . ·.·.·. ·.· · .

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��!��;��füi$ij ?# r ��il�f9�9!�?n��f ��:�:\�:i)�iz:ii: : : : :'.'. ::;:::;.;:J::::::: ·

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: , En particulier, dans le cas de N = 1, posons 'ijJ (t) = �i �11�:vél:1fi� ITT # :îl, ct�$f1; : w,.§. 2�1:;::::, : : >: Par exemple, vp(lf t) est impaire et le peigne de Dirac est pair (Cf exercice N°14) .

5.3. Produit par une fonction indéfiniment dérivable

5.3. 1 . Extension partielle du produit de deux fonctions

On pourrait espérer qu'il existe une opération bilinéaire (T,U) � T x U sur ::!:>' (!RN) telle que si U et T sont, par exemple, des fonctions continues, ce produit soit fg le produit des 2 fonctions. Il a été démontré qu'une telle opération ne pouvait exister. En revanche, si l 'une des distributions est une fonction f de (;, on peut encore définir le produit j T par une transposition. En effet, le produit de f par une fonction rp de :h est encore de classe

e00 et à support borné, donc un élément de :h . Définition 2. 12.A

ll;filltîJ?�-�111111!!!!11 La vérification qui s' impose, en dehors de la linéarité, est la continuité de f T . Elle

résulte du fait (déjà utilisé dans la preuve de la proposition 2.18 .A) que si ( <p P ) tend vers

0 dans :h(n) , il en est de même pour la suite (!rp P ) . On vérifie bien (propriété de prolongement) que, si g est dans ll._ }0c (!RN), f [g] = [/ g]. 5.3.2. Extension pour des distributions d'ordre fini

Dans le cas où T est une distribution-mesure, on peut étendre la multiplication précédente aux fonctions f qui sont seulement continues. On retrouve ainsi une opération sur les mesures, donnée dans le chapitre I.A.

De façon plus générale la définition précédente s'applique lorsque f E c;k (n) et

T E ( :J:>k )'et le produit est encore dans ce dual ( :hk )'(Cf ex N°15)

Si T est dans G' , ce qui revient à dire que le support de T est compact, le produit f T par f fonction de classe e00 est encore dans cet espace C' et, si les supports de f et de T sont disjoints, le produit est la distribution nulle (Cf ex 15) . Exemples 2.5.A - Cas d'une distribution régulière associée à une fonction g localement sommable

CHAPITRE 2. A. LES DISTRIBUTIONS

Il est facile de prouver que, f étant continue, le produit f [ g] vérifie : f [ g] = [ f g] . - Cas d'une distribution de Dirac

105

On a, pour toute fonction continue f : (/ o a, rp ) = ( o a, f rp ) = f (a) rp (a) = (/ (a) o a, rp) . Il en résulte l ' égalité f o a = f(a) o a . En particulier, on obtient la distribution nulle si /

est nulle au point a, par exemple si f (t) = t - a . Cette dernière propriété admet la

réciproque suivante : Si le produit (t -a) T = 0 , alors T est égal à o a à une constante multiplicative près (Cf ex N°15 où on étudie aussi le problème de la division par x). Le cas d'un peigne et d'un peigne généralisé a déjà été examiné dans le cadre des mesures (Cf § 1 .1.5, chap 1.B). Si la fonction f est nulle sur la suite des an, alors la distribution obtenue est nulle. Pour les valeurs principales et les parties finies, voir les exemples du chapitre 2 .B .

5.3.3. Propriétés

Si f El'k (.n) l 'application TH f T est un endomarphisme continu de {.2>k )'. Par

contre, on admettra que l 'application (!, T) H f T de l'k x { .'.Dk )' dans { .'.Dk )'ne l 'est

pas en général (Cf exercice N°16).

5.3.4. Problème de la division par la fonction x H x La distribution T est donnée et on veut trouver S telle que T = x S . Associons à la fonction test rp la fonction lf/rp définie par lf/,,, (x) = (rp(x) - rp(o)) a(x)x- 1 où aE2h et vérifie a( 0) = 1 . Cette fonction, prolongée au point x = 0 par rp ' { 0) , est une fonction de

,2) (IR{) et il est facile de voir que si (rp11 )� 0 , alors (If/ q.iJ � O, autrement dit

que l' application : rp Hlf/q.iest continue. Posons (S, rp) = (T, lf/'P) . Cela définit une

distribution d'après ce qui précède. On a ( xS, rp) = (S, xrp) = ( T, lf/ xrp ) = (r, x-1 (xrp)(x)) . On en déduit ( xS, rp) = ( T, rp) d'où xS = T. On sait ensuite (Cf ex N°15) que toutes les solutions S sont données par S +Co . On peut évidemment réitérer l 'opération et donc montrer l 'existence de S. telle que T = x" S (Cf ex 37 dans le cas de IR{N) . Proposition 2.20.A

•�ll!t$1��t�\1rîGfil�llll 6. DERIVATION DES DISTRIBUTIONS

6. 1. Définition et exemples Soit une fonction f de classe e1 sur IR{_ Alors la distribution [/ '] associée à sa fonction dérivée vérifie : V q> E .2>, ([/ '], q>) = - ([/], cp'). Il suffit pour cela de faire une intégration par parties. On vérifie d'ailleurs la même égalité pour une des dérivées partielles sur un ouvert quelconque .Q de IR{N_ En remplaçant la fonction par une distribution, on est conduit à analyser l' application rpH (r, ô1rp) où ô1rp est la dérivée partielle relative à la


variable x 1 . Sa linéarité est claire; sa continuité aussi puisque, d'après la définition même

d'une suite ('PP) qui tend vers 0 dans .2{ .Q), elle entraîne la convergence vers 0 de la

suite des dérivées partielles ( ô J'P P) . Définition 2. 13.A

La remarque précédente justifie le fait que c'est une distribution. Il en résulte qu'une distribution admet une dérivée pour tout multi-indice de dérivation a = (a 1, a 2 , .. , a N ) définie par : V' 'P E .2l(O), ( T(a) , tp) = (- 1) lai ( T, tp(a) ) (où jaj = a 1 + a2 + .. +a N ) . Remarques 2.8.A. La dérivée mixte vérifie l ' identité de Schwartz :ôx yT=Ô yx T. Par

ailleurs, par l ' introduction ci-dessus, si T est une fonction de classe ek , ces dérivées sont, jusqu'à l 'ordre k, les distributions régulières associées aux fonctions dérivées.

Premiers exemples 2.6.A (dans !Rl.)

-Les dérivées de ô a vérifient : ((ô a ) 1, 'P) = - (ô 0, tp ') = - tp'(a) et, pour l 'ordrea

( (ô a ia) , tp) = (-l)lal( ô 0, tp(a) ) = ( -l) lal 'P(a) (a) . -Voyons le cas d'une fonction f de classe e 1 dans IRl. privé d'une suite de points (t n)neZ' tels que les sauts de/ en ces points, à savoir a 1(t ;) = f(t ; + 0) - f(t ; - 0) soient finis, la fonction dérivée étant, par ailleurs, localement sommable. Par exemple, pour l ' échelon-unité Y qui vérifie : Y(t) = 1 si t >0 et Y(t) = 0 si t <0 :

supptp c ] -a,a[ � ([ r] ' , 'P ) = - ([ r] .'P' ) = -f 'P ' (t)dt = -f tp ' (t)dt = 'P(o) = (ô, 'P ). 0 0

Cela prouve que cette dérivée est égale à la distribution de Dirac ô . Sous les hypothèses plus générales précédentes, des intégrations par parties fournissent :

I +<X> [ f] = [ f '] + L-oo a J{t ;) Ô 11 • On peut généraliser cette formule aux dérivations suivantes (Cf exercice N° 1 7) en transportant les hypothèses sur les dérivées au sens de la théorie des fonctions. - Prenons l 'exemple d'une fonction localement sommable ayant un point de discontinuité de seconde espèce f(x) = ln lxl . Sa dérivée dans .'.Zl' est définie par:

I

[tn lxl] = vp(If x) . En effet : (Uf.'P) = -f:'P'(x) tn jxjdx = - j�0f

"'('P'(x) + tp'(-x)) tn lxldx = lim r tp(x) - 'P(-x) dx/x = (vp Ijx, 'P) par une intégration par parties.

e�OJlxl;,s -On trouvera d'autres dérivations d'exemples usuels de distributions dans le chapitre 2.B (notamment les valeurs principales et les parties finies) et les exercices N° 1 8 , 1 9 ,20 ,2 1 .


Exemple 2.7.A (dans �2 ou �3) La formule précédente se généralise à plusieurs dimensions. Supposons d'abord que la fonction f, à trois variables par exemple, soit de classe C 1 dans un ouvert U défini par S > O où S est une fonction de classe e00• On désigne par L la surface d'équation S = O et on suppose que le gradient \1 S vérifie l lV S ii =F- 0 sur L . On oriente L . par ce champ de vecteurs normaux VS . Sous ces conditions, . la fonction f , qui subit donc des discontinuités le long de L, s 'exprime par f = f.(Y oS) où Y est l ' échelon unité. En utilisant la distribution de Dirac ô(S) , de support L, définie par

(ô(S), <fJ) = fs=o rp(m) jjVS(m)lr 1 du, on aôx (Y oS) = S'x .ô(S) (Cfprop 2. 1 .B) . . Pour la dérivation en x def, on a ôx [J] = [ ôxf]Y(S) + S �.f .ô(S) , ou encore :

( ôx [J] .rp) = fu <p ôxf dv+ JES'x (m)f(m) rp(m)l lVS r1 du . Comme la dernière intégrale peut s'écrire fsf<pcosB x ds' où 8 x désigne l 'angle du vecteur

normal orientant L avec l 'axe des x, on a la formule généralisant le cas N = 1 : ôx [f] = [ ôxf]+ f cosBx .ô(S) .

Soit maintenant f de classe e 1 sur � 3 -L et se prolongeant continûment sur L en restant dans {S > O} (resp dans {S < O}) en une fonction !+ (resp j_) continue sur L. En additionnant deux formules de type précédent (en remplaçant S par -S ), on en déduit :

ôx (J] = [ ôxf] + ( !+ - f _)cosBx .ô(S) Cette formule se généralise à son tour pour les dérivées d'ordre supérieur. Par exemple, pour le laplacien, en faisant les hypothèses convenables surf, on a : (Cf ex 36) :

( A[f] .rp) = ([ Af], <fJ) +((!+ - f _)ô(S), ô F1<fJ) - ((aF1,+f - ôfi.-f )o(S),<p) . Exemple 2.8.A ( dérivation du logarithme de la distance dans �2) SiN = 2, on a A([tn(r) ]) = 21l'Ô(o.o). En effet, un calcul classique donne Aln(r) = 0 sur

R2 1{(0,0)} et, d'après la deuxième formule de Green (Cf ex N°42 des chap 1 ), on a: ([/n(r)), Arp) = lim f, ln( r)fl. rpdxdy = lim - f, ln( r)ôN<pds'+ f, ôN(lnr)<pds'. 8�0 1·�e 8�0 r=e r=e

Or, sur le cercle r = 8, les dérivées normales extérieures sont les dérivées relativement à r. Il en résulte que la première intégrale, qui s'écrit: 8 ln 8J:H ô/p ( 8, B)dB, a une limite

nulle et que la deuxième, qui s' écrit s:H(l/8)�( 8,8)8d8 ou s:H�( 8,8)d8 admet la

limite 27i<p(O,O). Le résultat est ainsi prouvé.

Dans le chapitre 2.B (§ 5), on fera le calcul de A( r2-N)pour N;?: 3 .

Dans le chapitre 2.B (§ 4), on trouvera une étude des parties finies dans le cas de N;?: 2. 6.2. Propriétés On laisse au lecteur le soin de prouver que la dérivation est un endomorphisme continu de .2Y(n) et que la dérivation permute aux translations (Cf exercice N° 6 ). La formule de Leibniz pour les fonctions s'étend aux dérivées de fF où f E Cet T E 2>' . Notons qu'il peut être plus rapide d'utiliser directement la définition ; on a ainsi


immédiatement pourfde classe e(f) : (foik) = J(O)o (k) . Si T est d 'ordre :::;; p , avec p � 1 , la dérivée T(a) est d'ordre :::;; p + lai (Cf ex N°22). Comme pour les fonctions, le support d'une dérivée de T est contenu dans celui de T. Exemples : la dérivée de la distribution [Y] de support [O, + oo [ est o de support {o}, la dérivée de z([a,bD est 00 -8 b de support {a,b}. Pour les suites ou les séries, on a:

11111��1•1 .. :::=:::==·::::- :-

.-·.·.·.· · ·: : : :-:_:::::::::.:.:-:-: ;

. · .· .· C ·\::){i\(/}�://1}!(:/UHJ??\ :::::::::::;:;:�:�?::::: :::=:=:=:=:=::;:;::=:::::=:=:=:::::::=:::::: =:=:=::::::::\�:�:::::::�

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.·:·:::·::_:::.: :::::·:::::::::::::::::::: :::::::::=::::::::::::::;:::;:::::::;:::::::::::::;:::;:::;:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: Preuve

Une dérivée ô aT,, vérifie pour toute fonction test <p : (ô aT,, .tp) = (-1)lal (T,, , ô a'P) . Or, par hypothèse, ô a'P étant elle-même une fonction test, le second membre converge vers

(-1)lal (r, ô a'P) , autrement dit vers (ô a T, <p) . Le premier membre admet donc une

limite, prouvant ainsi que la suite ( ô a T,1) converge, sa limite étant ô a T . On utilisera, entre autres, ces propriétés dans l 'étude des séries de Fourier (Cf ex N°22) .

6.3. Primitives d'une distribution

6.3. 1 . Cas des distributions sur 12.

.i�iiïii�1��[i?�î�mn�� t?Jit� �is*��iltï?� ; �Hr � i!m��· :1 ·M91···�œ�1:_1 ·��:• ·Pm�x��-ai6$ tp(' Çfüfl�96.t �gru�� J'.ijh� W�für� �ü�� ·Y.9� dt§trihfüi�fü �füi.�tfilJ;t�•pf.��;.�: IIImtt••••tI!I Corollaire 2.23.A

�eœm� B9�r !�� f9R��RP�> l�� jJf�#1füY�� 4� !� �i�tQkqfi99 aY.î!� §99�'· ��: . . ��l�!M!î9��! -:·:·: ··i :-:-:-: :·:•'li'è' : :-:-: · :-:-:-:-:···

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• •· ··••• • ·••·•••• ..... ......... . . . . .... /}/•'•'t.J ttt

Preuve: Soit 'Po une fonction de .:D(l2.) qui vérifie J_::rp0(x)dx =·I. Soient et

Â. 'P = J: tp(x)1x. Alors, <p-Â. 'P <p0 est un élément de .'.D(l2.) dont l ' intégrale est nulle.

La fonction z 'P ( x) = J.: ( <p-Â. 'P 'Po )(y )dy est dans 2J (12.) et sa dérivée est <p- Â. 'P 'Po.

Montrons qu'on définit alors une primitive S de T en posant (S, rp) = -(T,z'P ) . Ainsi définie, S est bien une distribution. En effet, soit une suite ( <p P ) tendant vers 0 dans

.:D . Les supports de <p P sont contenus dans un même compact K et, la suite ( <p P ) étant convergente uniformément sur K, les intégrales Â. P de ces fonctions convergent vers 0, ce qui implique que les dérivées de Â. p'Po convergent uniformément sur K vers O. L'image

par T de %q.> converge vers 0, d 'où : (s.'Pp) � 0 . Comme <p' est d' intégrale nulle, on a p

CHAPITRE 2.A. LES DISTRIBUTIONS 109

On en déduit : S' = T . Montrons, à présent, que si T' = 0 , alors T est réduit à une constante, ce qui prouve que les primitives d'une distribution sont définies, comme pour les fonctions, à une constante arbitraire près. En effet, en posant encore , on obtient

( T, rp) = (T, lfl ')+lrp(T, rp0 ) = -(T', lf/) + (T, rp0 )(1, rp) = (T, rp0 )(1, rp) si T' = 0 , ce qui

implique alors que T s' identifie à la fonction constante ( T, <p 0 ) 1 . On en déduit que si une

distribution admet une fonction pour une de ses primitives, toutes les primitives s' identifient à cette fonction à une constante arbitraire près. En particulier, si une

distribution T vérifie T(k) = 0 , T est alors un polynôme de degré::; k - 1 . 6.3.2. Cas de plusieurs variables

flllf��--,��t�l�l;l411Jlll1i1iml lli�I�� :��i��;��1� � �'.�!��i:l!Tii'!ii : !:: !I ! :!! !il! 1: :1 i! .. liilii 1::1:.: .· ... ··-:-.::::: ·: 1::::.:_:.::-1· ... ::-:··: En effet, si T ne dépend pas de x1 , ( r: he1 T - T, <p) = ( T, r: - he1 <p- <p) = 0 . Divisons par

h. Puisque (L1ie1 rp- <p)h-1 �81 rp dans.2(�N), on a -(81T, rp ) = 0 , donc8x1 T= O .

Réciproquement, considérons l' application r : h r-:; r: he T de � dans .2'.>' (�N). Elle est 1 dérivable (Cf, ex N°6) et sa dérivée au point h est la distribution qui à Vh, r'(h) = 0 . On

en déduit que r est constante, c'est-à-dire : r:11e T = T , ce qui termine la réciproque. 1 Proposition 2.24.A

Preuve Soit (�N) et 11, l ' élément de .2'.>(�N-1) tel que 11, "'(x' ) = J: rp(t, x' )dt . Soit aussi

'Po dans .2'.>(�) d' intégrale égale à 1 . La fonction rp(x1 , x') - l qi(x')rp0 (x1 ) est dans

_'.D(�N) et d' intégrale nulle par rapport à x1 . Alors, Zrp(x) = f�(rp -11,"' rp0 )(y)iy est

dans .2'.>(�N) et on a : 8x Zrp(x) = rp(x1 , x' )- l"' (x' )rp0 (x1 ). Comme pour le cas d'une 1 variable, la distribution S vérifiant (S, rp) =(T 1 z) est une primitive de T par rapport à. x1 . 6.4. Propriétés des distributions à support compact et à support fini Remarquons que si une fonction test <p est nulle sur le support d'une distribution T, on n'a pas nécessairement (T,rp) = O . Par exemple, si rp(O) = O avec rp '(ü) = l , on a (ô' , rp) = -1 alors que <p est nulle sur le support de ô' . Mais on voit dans cet exemple, où la distribution est d'ordre 1 , que la propriété serait réalisée si <p(O) = rp '(O) = 0 . � .. ()position 2.25.A

&mit·� titi� ru�tB6&#Qh. à'. $ùi>Ji9� cçnnpadt K; ti<?h� 4fütj ��rt�!jj 4t4t� fim m ·· 1Qt$�·:ïiP.ijî

1 10 MESURES ET DISTRIBUTIONS. THEORIE ET ILLUSTRATION PAR LES EXEMPLES

Pour démontrer cette propriété, on utilise la suite B k(x) = (a1f 1 kN l//I (k x) de la définition 2 . 1 .A. . Soit K un compact quelconque dans n et soit k tel que K + 4 BI/k c n.

Comme dans la preuve de 2 .2 .A, à l 'aide de g continue telle que 0 ::; g ::; 1, g = 1 sur K + 2Bv k et à support compact dans K + 3 BI/k , on construit f = B k*K qui est dans 2(n), qui vaut 1 sur K et qui est à support dans K +4Blfk·

Pour simplifier les notations, on suppose N = 1 . Les dérivées de f vérifient : j(11)(x)= (o �n)*g)(x). Comme la dérivée de Br) au point ky fait apparaître le facteur

kil, on en déduit la majoration suivante :

l1(ll) (x)I::; f RB r)cx- y)dy = fR B r)(y)dy = k/ a1fRkn1// �n)(k y)to/ = a1-l k11bll, où bll = JR l//�n) . On en déduit qu'il existe une constante C11 vérifiant : ll1(n)ll00

::; C11k11• Le calcul, lorsque N > 1 , donne le même résultat, kil étant remplacé par kn+N. Soit maintenant une fonction h de l'(n) dont toutes les dérivées jusqu'à l 'ordre m sont nulles dans K. Pour x dans K et x + e avec le 1 ::; 3k-1, la formule de Taylor avec reste intégral nous fournit :

8 m ( ) 8 m+I 1 ( ) h(x + 8 ) = h(x) + eh'(x)+ .... +-h m (x) +-- r (1 - trh m+I (x + t e)dt. ml ml Jo Pour la dérivée d'ordre p ::; m , la formule est analogue, avec m + 1 - p pour dernier exposant. L'hypothèse entraîne l' existence d'une constante Ch,m ne dépendant que de h et de m telle que l 'on ait : SUPyeK+3BI/k lh(

P)(y)I::; c;,,m k-(m+I-p).

Le support de T étant K, on sait que, pour toute fonction 1// de l', on a (T, 1//) = ( T,J 1//). Si, par ailleurs, T est d'ordre au plus m, l ' appartenance de fi// à ]')K, entraîne l( T, J 1//)1::; Cr!m.K'(J 1//), où K' =K + 3Blf k. En particulier, pour une fonction

h du type précédent, une dérivée d'ordre p ::; m donne la majoration : ''(! h)(P)'' ::; "�=Pcj jjhU)jjjj1(p-j)j j ::; "�=Pcjc· C k-(m+I-j) kp-j::; C" kp-m-1. 00

L..J J=O P L..J J=O p h,m m h,m

En faisant varier p de 0 à m, cela donne, pour tout entier k: r/m,K•(f h)::; Ch,m"' k-l. Donc l(T,j h)I = (r, h) = 0 , pour toute fonction h telle que Vj::; m, h(j) = 0 sur K.

Proposition 2.26.A

lllllill�l�i�1��i(�i9lill�f,i��§ Preuve: Soit supp T = {o}, on désigne par m l 'ordre de T. Soit 1// el'; en lui ôtant son polynôme de Taylor Pm de degré m au point 0, on obtient une fonction h El' dont toutes les dérivées d'ordre ::; m sont nulles au point 0, c'est-à-dire sur le support de T. De ce qui précède, on déduit ( T, h) = 0 ou encore ( T, 1//) = ( T, Pm ) .

Désignant par X P la fonction monôme t � tP, on a : Pm = L�'X j l//(j) ( 0), donc :

CHAPITRE 2.A. LES DISTRIBUTIONS

(r, lf/) = (r, Pm ) = L�lf/(1l (o) (r.x1) = L�'(r. x1' ) C- 1)1 (ô (Jl , lf/) . En se restreignant à :h, cela s'écrit T = L�'a 1 ô (i) . Le théorème est donc démontré.

Corollaire 2.27.A

1 1 1

tlïllfdi\lf��ri��f�f��il�ljflrïlflYIL� P reuve : Si If/ E C: avec If/ = 1 sur le support de <p . le produit If/ T vérifie (If/ T, <p) = ( T, lf/<p) . Mais le support de If/ T est inclus dans le suppo!1 de T et ( T, lf/<p) = ( T, <p) . On peut donc appliquer ce qui précède, donc (If/ T, <p) = ( T, <p) = 0 6.5. Changements de variables dans les distributions

6.5. 1 . Composition par un difféomorphisme

Soit x � u = H(x) un difféomorphisme de 12.N. L'image par H d'un ouvert !l de 12.N est un ouvert !l' de 12.N. Soit/une fonction localement sommable sur n . Alors, (annexe 1 . 1 ) : "i<p e:h (!l) , (f, <p) = fnf(x)<p (x)dx = fnJ(H-1 (u))<p(H-1 (u)) (IJacHlt1 (u)du . Ceci définit une distribution régulière sur !l' , notée [ f o H-1 ] . Cela incite à poser :

Définition 2. 15.A ifitfiilil��,;��i1i�l�itl•• Remarquons que la fonction (If/ o H). jJac Hj qui est définie sur !l est bien dans :h( !l) . Exemple : La mesure ô a associée au point a de 12.N, considérée en la variable x, fournit

par le changement homéomorphique u = H(x) , la distribution ô a oH-1 telle que

((ô a 0n-1 t/lf/(u)) = ((ô a L), lf/(H(x)). IJacH(x) IJ = lf/(H(a)). IJacH(a) I. Autrement dit, on obtient la mesure de Dirac en u exprimée par jJacH j(a)ô H(a). - Soit a = kn et l 'ouvert n = I k = ]kn - n /2 , kn + n /2 [ sur lequel la restriction, notée sink de la fonction sinus est un difféomorphisme sur ]-1,+1 [ . A1ors ok1Z" o a rcsink est la

distribution ô0 dans :h '(]-1,+ 1[) . Dérivations et dérivations partielles

-Calculons la dérivée ( T o n-1 ) '11 dans le cas d'un ouvert de 12.. Posant s H = IHI , on a

(( T 0H-I ) '11, If/) = -(T, (lf/ ' 11oH). 8 H'(x)) = - 8 (T, (lf/ o H) 'x ) = s(T' , If/ oH) alors que

(((H' f1 T') o n-1 , lf/) = ((H'f1 T', (lf/ o H) sH') = s (T', (lf/ oH) ) . On en déduit,

comme pour les fonctions, la formule : f (r0n-1 ) = f ( T(x(u))) =Tu.J; (x(u)) . Ainsi : (oh o a rcsink L' = (- I)k (1 - x2 )-1/2 80

1 = (-Il ôo ' (écriture dans :h '(]-1 ,+ 1 [) ) . -Pour N quelconque, on désigne respectivement les composantes de u = H( x) et de

112 MESURES ET DISTRIBUTIONS. THEORIE ET ILLUSTRATION P AR LES EXEMPLES

x = H-1 (u) = K(u) par uj = HAx) et xk = Kk (u) . On a d'abord la relation (*) : ( 8�1 ( T 0 H-1 )(u), vt(u)) = -( ( T 0S-1 X•),� (u)) = � T, [ � ( H(x))) rJac If1(x)) Par ailleurs, la distribution

8Kk (u)( 8T 0H-1)(u) fournit pour image de l/f le nombre 8uj 8xk (8Kk (u)( _!!_ o H-1)(u), l/f(u)) = (( _!!_ o H-1)(u), l/f(u) 8Kk (u)) 8uj 8xk 8xk 8uj = (_!!__· l/f(H(x)) 8Kk (H(x)) jJacHl(x)) 8xk 8ui

Cette relation, sommée de 1 à N, fournit alors la relation ( * *) : (L; 8Kk (u)( _!!_ oH-1)(u), l/f(u)) = -(r.L; _ !__[l/f(H(x)) 8Kk (H(x)) jJacHl(x)Î) 8ui 8xk 8xk 8uj ) Achevons pour N = 2 etj = 1 . Utilisant les propriétés du produit JacHJacH-1 , on a :

L2_!_(8Kk )JacH = _!__[(l -8H1 8K2)8H2 + llf2 8H1 8K2 ] 1 8xk 8u1 8x1 8x2 8u1 8x2 8x2 8x2 8u1 +_!_[_ 8H2 8K1 ôH2 -(l - 8K1llf2)8H2 ] - 8 2H2 _ 82H2 _0 8X2 8X1 8u1 8X1 8U1 8X1 8X1 8X18X2 8X2 8X1

De même pour j = 2 . Le second membre de la relation ( * *) se réduit donc à :

-e(r.'L:( _ !__ l/f(H(x))Î 8Kk (JacH)) = -e(r. 81/f(H(x)) (JacH)) . 8xk ) 8ui 8ui

Comparant avec (*) , on obtient : 8�. (r0n-1)(u) = L; �� (u{::k 0n-1)<u) . . J J

6.5.2.Autres compositions pour le cas d'une distributions de Dirac et de ses dérivées

Soit f une fonction de classe e 1 sur IRl. ayant une seule racine a en laquelle f ' (a) t:. 0 . On

peut poser H = (II f 1 où I est un intervalle ouvert de centre a et définir 8 o n-1 ou

8 ° f par : (8 ° f' 'I') = (8, 1/f (H(u)) IH' (u)I) = lfl(H(o)) IH ' (ü)I = l/f (a)I! '(af 1 . Si la fonction f n'admet que des racines simples formant une suite ( xn ) , il est naturel de définir 8 of comme la somme des distributions précédentes. Par exemple

8 0 ( arcsin r 1 = 8( sin X) = LkeZ 8 k1I' et, pour f (X) = x2 - 1 qui a des racines simples en

1 et - 1 , on obtient 8(x2 - 1) = Z -1(81 + 8_1 ) . Sous les mêmes conditions et si f est de

classe ek , on définit 8 (k) (!(x)) . On a : 8 '(!(x)) = Ln l! '(xn f1 (!' (x)r1 8 \ , puis

5(k) (!(x)) = Ln l! ' (x,I f1((!' (x)r1 d/dxr(8xJ où 8 x,, est la mesure de Dirac en

x11 (Cf ex N° 32 et, pour le cas de !Rl.N, chap 2.B, § 3 et aussi l ' exercice N°24) .

CHAPITRE 2. B

EXEMPLES DE DISTRIBUTIONS

1. PARTIES FINIES DANS IRl Lorsqu'une fonction de la variable réelle f n'est pas localement sommable, il n'est plus possible de lui associer la distribution [/] (Cf 2 .2 .2,a, chapitre 2 A). Pour simplifier, on suppose que f est non localement sommable sur IRl mais localement sommable sur IRl •. Un

modèle de telles fonctions est fourni par t �ta ou t H t a (tn tl où as; -1 . On va définir les distributions qui sont dites «parties finies » de ces fonctions.

1.1. Construction d'une partie finie

1.1 .1 . Exemple introductif 2. 1.B

Soit à définir, par exemple, la partie finie de t H Y(t) t-2 où Y est l 'échelon unité et dont la seule singularité qui n'est pas intégrable est t = 0 . En remplaçant f par 0 sur un voisinage ]- e, e [ de ce point t = 0 , on obtient une fonction f 8 localement sommable

qui n'a pas de limite dans ::b' mais telle que f fe <p aurait une limite pour <p vérifiant

cp(O) = <p ' (0)= 0 . Or, pour une fonction de base <p , on a : cp(t) = <p(O) + t<p ' (ü)+ t2w (t) cp(t) - cp(O) -t<p ' (ü) cp" (ü) où w est définie par w (t) = si t :t= 0 avec m ( 0) = -- . t2 2

A l 'aide de cette expression, on peut analyser dans l 'expression de ([ f 8 ], <p) les termes

qui sont responsables de la divergence. On peut convenir que la distribution, notée Pf(Y(t) t-2 ) , est la limite, au sens de ::b', de la famille de distributions obtenue en

retranchant ces termes de [fe] . On a : ([le]. <p ) = f: cp(t)r2 = f:( cp( o)r2 + <p ' ( o) r1 + w (t))dt . En utilisant la formule

de Taylor au point t = 0 , on voit que w est continue sur !Rl. Par intégration, on a

([/8] , <p ) = [ -cp (ü) r1 +<p ' (O) ln tJ: + f: m (t'j:it . Dans le second membre, on repère les termes qui n'ont pas une limite finie. Ainsi, on définit la distribution Pf(Y(t) r2 ) en retranchant ces termes du second membre. Cette

distribution s'exprime donc par la formule qui sert ainsi de définition :


1 . 1 .2. Linéarité, continuité et ordre

De façon évidente, cette application est linéaire sur :1:> et même sur :1:>2 . Pour toute <p de support K c [-A, A] , la partie finie restant dans le calcul précédent peut être majorée par

A-1 supl, J(Pf (Y/t2 ). , (Cf. exemple 2 .2 .A) comprise entre 0 et 1 , à support inclus dans ] ü,2[ et vérifiant fPn = 1 sur [lfn , l]. Soit a11 l ' intégrale sur � de CfJn et 8 une fonction de :1:> d'intégrale 1 et de

support dans ] ü,+oo[ . Alors, la fonction f>n définie par (>11 (t) = J� (fPn (u) - a118 (u))du est une fonction de :l:>. Une majoration donne : jef> 11{t) j::::;; t l""::::;; 2jj<p11 li + 2jj8 l i::::;; Co et !If> 11 'li::::;; l lfPn Il + 2 118 11::::;; C1 · Par ailleurs, une intégration par parties donne (b étant une constante positive majorant l ' intégrale de28(t)r 1 sur son support) :

i+«> (>11 (t) r2dt = [-f>n (t)r1]+«> + r+«> (fPn (t) - an8 (t) ) r1dt:?: r+«> fPn (t)r1dt - b & � � � Comme (> 11(0) = f>n

, ( ü) = 0 , on obtient : 1( Pf(Y(t) r2 ). (> n )1:?: f1�n dt/t = ln ( n) � +oo . Ceci est contradictoire avec l' inégalité 1( T, (> 11 )1::::;; C K (llf> n 1100 + I l(> n 'lloo) qui devrait être

vérifiée si Pf ( Y(t) r2 ) était d'ordre ::::;; 1 . Cette distribution a donc exactement l 'ordre 2. 1.2. Parties finies de Y(t)rn avec n:?: 1 1 .2. 1 . Définition 2.1.B

k=n-ltk<p (k) (o) 1n Généralisons. On a : <p(t) = L + - m(t) où m, définie comme dans ce qui k=O k f nf précède, avec m( ü) = <p(n) (o) , est continue. Dans la formule définissant [!. ] associée à

Y(t)r" , on fait intervenir des quantités !( s ) et K( s ) qui ont des limites quand s � 0 ([!. ] , fP ) = J <p�) d t = J kf i tk <p'(

k��o) + J <»}:) d t = kf i <p (k)(o)J 'd�-k + I( s) & t 6 k=O k . t & • k =O & k . t k=n-2 <p (k)(o) k-n+I cp (n-1) ( ü) = L ( ) s - ( ) lns + K (s ). k=O n- k - 1 k ! n - 1 f

CHAPITRE 2. B. EXEMPLES DE DISTRIBUTIONS 115

1.2.2. Linéarité, continuité et ordre

La linéarité est toujours évidente. Soit une fonction à support K contenu dans l' intervalle [-A, A] . En majorant les parties finies de la formule précédente, on obtient :

k=11-2 J(R), l (Pf(Yr11 ). <p)l � cK1ln,K (<p) . Ceci prouve que Pf (Y t-n ) est une distribution et, en outre, d 'ordre � n . On peut prouver

qu'elle est d'ordre n, soit comme dans § 1 . 1 .2, soit par la dérivation (Cf exemple 2.3 .B) . . 1.2.3. Multiplication par tP où p entier vérifie 1 � p < n Appliquons la définition (Cf . § 5 . 3 , chap .2.A) de la multiplication par la fonction de classe e00 : IH tP . Les dérivées de tP <p (t) sont données par la formule de Leibniz :

"-k (tP <p)(k) = �Cj p l_ t p-j<p (k-j) ou (tP <p)(

k) (O) = k l <p (k-p)(o) si k ;:: p . j=p k (p -1) 1 (k - p) I

( ( _ ) ) . [+oo cp(t) k=ll-2 <p (k-p)(o)e k-n+I <p (n- I-p) (O) ln e] Donc: Pf Yt 11 , tP<p = lzm J--dt- L + . e�O 8 tn-p k=p (n- k - I)(k - p) I (n- p - I) I On en déduit (en utilisant l' indice h = k - p ) tP Pf(Y(t)t -11 ) = Pf(Y(t)r11+p ) puisque :

( ( - ) ) . [+oof <p(t) h=11-p-2 <p (h) ( o)e h-( 11-p)+l <p ((n-p) -1) ( o) ln 8] tP Pf Yt 11 , <p = lzm --dt- L + · e�O 8 1 11-P h=O (n - p - h - I)h ! (n - p - 1) !

Ajoutons que, pour p = n , on obtient 1 11 Pf (r(t )t-n ) = [ Y(t)] . 1.2.4. Dérivation de ces parties finies

Exemple 2.2.B. Dérivation de Pf(Y(t)t -2 ) ( P/(ff 2 ) ' . rp) = -( Pf( ff2 ). rp') = -:�{T rp ' (t) r2dt - rp' (oV' + rp" (o)tn •} = - /im[[ r2 'P (1)[ + 2 y,-3 'P(t}:it - e -1rp • (o)+ qi'( o) tn e ]

= - lin{ 2 y1-3rp(t)dt - e -2\P(e ) - e-1rp ' (O) + \P" (O)ln e ] La différence de cette expression avec celle de Pf(t -3Y(t)) , qui s' écrit au coeffiCient -2


, q.i(O) - q.i(e) q.i ' (O) eq.i'(O)+ e 2q.i" (Be)/2 q.i ' (O) q.i" (Be) pres : 2 + --= - 2 +--= - , converge vers 2 & 2 & 2 & 2 & 4

- q.i" (o)/4 = - 1/4 (8" , q.i) , . On en déduit la formule de dérivation :

Exemple 2.3.B, dérivation de Pf(Y(t}t -n ) Par intégration par parties, le terme intégral fournit d'une part une intégralè portant sur -n rn-l et, d 'autre part, un terme q.> ( e} e -n qui peut se développer par Taylor :

(n-1) (0) (n) (o e) q.i(e)e -11= q.i(O)e -n+ q.i ' (O}e -11+1+ . . . + q.> e + -q.>-�� (n - l) I n i k=11-2 q.> (k+l) (o) _ q.> (n ) (o) Il faut regrouper ces termes avec L e k n + 1 + ln e Le k=O (n- k - l}k / (n- l) I ·

ffi · d (k+tl (o) d . . . . 1 1 _ n coe 1c1ent e q.> ev1ent ams1 . ( } + ( } - ( ) ( ) . n - k - l k l k + l I n - k - l k + l I Par ailleurs le dernier terme

q.i ("l(o e} tend vers q.i (") (o> , interprété en (- lr fô (n) ,q.>) . n i n i n i \

On en déduit que Pf(Y(t)r11 ) a exactement l 'ordre n (Cf § 1 1 2 et exercice N°22). 1.3. Cas des exposants non entiers Les développements restent les mêmes en s'arrêtant au terme dont l 'exposant est la partie entière de -a . On se contente ici de l ' exposant a = - 3/2 . Exemple 2.4.B : Il suffit d'écrire q.> sous la forme: q.i(t} = q.i(O}+ t m (t} puisque le dernier

terme divisé par t 312 est sommable. Avec les notations précédentes, on a :

1.4. Parties finies à gauche et parties finies bilatérales

1.4. 1 . Définition 2.2.B des parties finies à gauche

On part de l ' intégrale r� q.i(t) r11dt . Si q.> a son support contenu dans [-A, A) , on a :


f-6 cp(t) dt = f-6Lk=n-1 tk <p (k)(o) + f-6 w (t) d t = Ln-1 <p (k)(o)f-6 dt + I(e) -A tn -A k=O k ! tn -A n i 0 -A k f 1n-k

= -Ln-2 <p (k)(o) (-e) k-n+l + <p (n- l) (o) ln lel + K(e ). o (n - k - l)k ! (n- l) !

Les quantités l{e) et K{e) ayant toujours des limites finies. En faisant passer dans le on obtient la définition cherchée :

t.4.2. Définition 2.3.B des parties finies bilatérales

La somme des distributions à droite et à gauche donne la partie finie bilatérale :

Exemples 2.5.B Si n = l , (Pf(r1 ) , cp) = j�0[f"'cp(t)r1dt + f_:cp(t)r1dt] . Puisque

cette limite existe, la distribution Pf(r1 ) se confond avec la valeur principale vp(t -I ) (Cf § 2 .2 .2,b chap.2 A), définie aussi par : ( vp(r1 ) . <p) = fo-t<iO (cp(t) - cp(-t)) r1dt .

-Si n = 2 , (Pt(_!_) , <p ) = lim [-t<i0f cp(t) d t + -f6 cp(t) d t - 2 cp( o)] . t2 6 .... 0 t2 t2 e 6 -OO

-Si n = 3 , (Pt(_!_) , <p ) = lim [-t<iOf cp(t) d t + -f6 <p(t) d t - 2 <p ' (O)] · t 3 6 .... o t 3 t 3 8 6 -OO

Exemple 2.6.B (Relation de dérivation de vp( If t) et Pf (1 -2 ) ) \vp(Ift)1 , <p ) = -(vp(Ift), cp ') = -T <p ' (t) �cp ' (-t) dt

= - /im {[<p(t)+ cp(-t)]A + Af cp(t) +cp(-t) dt} = 6 .... 0 I t2 6 6 - lim {JA <p(t) dt + AJ <p(-1) dt - <p(e) +cp(-e)} = - lim {+ooJ cp(1) dt + -J6 <p(t) dt - 2 <p(O)} e-.o 12 12 8 6 .... 0 t2 t2 8 6 6 6 -OO

11:'1��:��g��:� �ij� ��i�?� J�Â(Îfr)) � ��:i:rJ.(1�(:�) ' )) : , :) } : { } )):) / : ? '? :'}: tt :\) Pour d'autres exemples, voir les exercices N° 1 8, 1 9, 20, 2 1 .

1.5. Parties finies d'autres fonctions Exemple 2.7.B La fonction t H r" cos t pour n � 1 , n'est pas localement sommable.


On peut alors définir la partie finie de cette fonction par le produit : cos t. Pf ( rn ) . Le lecteur peut travailler l ' exercice N°27 portant sur l 'étude de telles distributions où cos t est remplacé par cos( Â. t) . Exemple 2.8.B Soit h définie sur ]-7r, 1l" [ l {ü}par h(t) = Ifsin t et qui est nulle hors de ]-7r, 1l" [ . Au voisinage de chacun des trois points de discontinuité, elle est non localement sommable.

Pour définir Pf(Y(t)h(t)\ , on considère la somme f11'/2 �(t)dt + JK-e' �(t)dt . Un � Je sm t tt/2 .sm t changement de variable ramène la seconde intégrale à f �/2 cp( � - t) dt ; il suffit donc de Je sm t raisonner sur la première. Les développements -.1- = !(1 +.èe (t)Î et sm t t 6 ) cp(t) = cp(O)+ . . . habituels montrent que la partie finie de la première intégrale est

lim ( f 11' 12 �(t) dt + <p ( 0) ln e) . Il en résulte la formule : e�O Je smt

(Pf(Yh), cp) = lim ( r11'f2 'P.(t) + cp(O) ln eJ + lim ( r�12 cp(� - t) - <p(7r) ln e') �o h � t �o h � t

= /im ( rll'-c 'P.(t) dt + (cp(O) - cp(7r)) ln eJ e�O Je sm t Après calculs, la partie finie bilatérale (Cf exercices N°5 et 6) est définie par :

�:,; ��0}�i�62��fl��g��ifllfifilttfit:•11 où on reconnait dans la première intégrale l ' expression d'une valeur principale.

2. DERIVATION DE FONCTIONS CON DUISANT A DES PEIGNES

On généralise d'abord la dérivation des fonctions d'une variable ayant des discontinuités de première espèce (Cf, exemple 2 .6 .A). Dans le cas des fonctions de 2 variables, les points de discontinuités peuvent former une famille dénombrable de points du plan définissant des peignes ou remplir des « courbes » du plan, ce qui n'exclut nullement une réunion de tels ensembles de points. Commençons par le cas des peignes.

2. 1. Premiers exemples On suppose que la fonction de deux variables est un produit de la fonction! d'une variable par une fonction g d'une ou deux variables, les fonctions! et g étant continues sauf sur des ensembles localement finis où les discontinuités sont de type fini (c' est-à-dire, avec sauts finis). On suppose que les dérivées sont localement sommables. Commençons par deux exemples simples. Exemple 2.9.B On suppose que la distribution [h] est associée à la fonction définie par h( x, y) = j ( x) g(y) , les points de discontinuité de f et de g constituant 2 suites localement finies. En fait, [h] est le produit tensoriel des mesures-fonctions [!Jx et [g]y et on

pourra revoir ce qui va suivre à l 'aide du produit tensoriel de distributions (Cf chap 3 .A).

CHAPITRE 2.B. EXEMPLES DE DISTRIBUTIONS 119

Comme pour les fonctions, la dérivée, par rapport à x par exemple laisse en facteur g(y) comme une constante et on a (Cf exemple 2.6 .A) :

(ôx [h]. 'P) = ([/' g], 'P) + L11eZ o-(f; x11 ) ([g(y)] , 91(x11 ,y)) . Une formule du même type concerne la dérivation par rapport à y. On peut continuer à dériver pour obtenir la dérivée mixte. En notant a11 et bm les sauts de f et g, cette dernière est définie par la somme de quatre termes dont l 'un exprime un peigne de �2 :

([/ ' g '], 91) + LneZan ([g']y , 91(x11 , Y)) + LmeZ bm ([f '], 91(x,ym )) + L(m.n) anbm'P(xn •Ym ) Exemple 2.10.B

Soit la fonctionfvérifiantf(x,y) = Y(x)g(x,y) où g est une fonction de classe e1 . On a :

(ôx [f],91) = -([f], ô x'P ) = -J:(J0-1«> g(x,y)ôxq>dx )dy

= I:[ g(O,y)91(0,y) + fo-1«> IPÔxg dx }y = s:g(o,y)91(0,y}zy + ([Y(x)ôxg] . 'P ) L'intégrale qui apparaît dans cette formule généralise la combinaison de distributions de Dirac associée à la dérivation d'une fonction d'une variable admettant des sauts. Ici, les sauts, qui dépendent de y, sont les nombres a (o.y)f = f(O+,y) - f(O-,y) = g(O,y) et

l'intégrale précédente peut s'écrire abusivement (a (o .y)f . o xi =O • 'P) ou encore comme la mesure de densité y � g( 0, y) portée par l 'axe des y .

2.2. Autres exemples Exemple 2. 1 1 .B. On considère la fonction h périodique de période 1 en x et de période 1l en y, définie sur [o. 1 [ x [0, 7l [ par h(x,y) = cos(xy) . A priori, cet exemple est d'un type différent des précédents. Cherchons les dérivées 8 x [h] , 8 y [h] puis a ;y(h] . Si la fonction de base 'P a son support contenu dans [-P, P] x [-1l N, 1l N] , on peut écrire :

( ) IN a fp N-1 P-1 (11+l)nfp+l ôx [h], 91 = - h(x,y)ô x'P(x,y)1xdy = - L L f, h ô x'P dxdy -Nn -P 11n p 11=-N p=-P

Grâce à la périodicité, le terme général de cette sommation double s'exprime par :

-f.(n+l)nfp+l hô xqxlxdy = _ fn f1cos(xy)ô x'P(X + p,y + n1l)dxdy . 111r p Jo Jo Par intégration par parties, cette expression devient :

-J: [cos(xy)tp(x + p,y + n1l)]� dy - J: J�ysin(xy)'P(x + p,y + n1l)dxdy ou

-J: cos(y)(<P(l + p,y + n1l} - tp(p,y + n1l)'yty - J: J�ysin(xy)'P(x + p,y + n1l)dxdy . Dans la série de terme général f P (y) = 'P( 1 + p, y + n 1l) , une translation de l ' indice p ramène au terme général 'P(P, y + n 1l) . On en déduit la formule de dérivation en x :

(ax [h], 91) = L(ll,p)eZ' J: (1 - cosy)tp(p,y +n 1l}dy + fJR2 ôxh(x,y)91(x,y)dxdy . Dans cette fomule apparaît, outre la distribution régulière associée à la fonction dérivée,


un peigne partiel relativement à la variable x dont les coefficients sont les sauts de h aux abscisses entières calculés en fonction de y , à savoir 1 - cos y . Une formule du même type peut être écrite pour la dérivation relativement à y. Pour la dérivation mixte, une intégration par parties donne pour le premier terme :

LpeZLneZÜ(l - cosy)cp(p,y +nn)]� - foir sinycp(p,y +nn")try} , ou LpeZLneZ {2cp(p,y +n7l) - f: siny cp(p,y +n7l"�}

et, pour le deuxième terme, après intégrations par parties et utilisation de Fub�ni :

L,.zL • .z {-f�[y sin>yqi{x + p,y + mr)( dr: + �J; y2 =fo)\l'(x + p,y + nir�} . ou LpeZ LneZ-f�7l" sin( X7l" )cp(x + p, (n + l)7r)dx + fJR' a;yh(x,y)cp(x,y)dxto/

Finalement :

Le premier terme est un peigne à 2 dimensions. Tous ces calculs peuvent être simplifiés par l 'utilisation du produit tensoriel (Cf. chapitre 3.A). Exemple 2. 12.B Soit la fonction h nulle à l ' extérieur de Q = )1,+oo[ x [0,+oo[ et telle que ( \ln ;;::: 1 ) h soit « périodique » en y de période n2 sur chacune des bandes )n, n + 1[ x [ 0, + �[ avec

h( x,y) = sin( ( x - n )y) dans )n, n + 1[ x [ O,n2 [ . Elle est définie sauf sur les demi-droites d'équation x = n , donc définie pp et elle est localement sommable. Pour (ôx [h), cp) , on a :

+«> +«> n+l (k+l)n2 +«> +«> 112 11+1 ( ) -2: 2:L fkn2 h ôx cp dx-dy = -2: 2:f0 L sin((x - n)y)ôxcp x,y + kn2 dx-dy 11=l k=O n=l k=O = -��[f;12 siny cp(n + I, y + kn2}ty ] + +Jf0ôx h cpdxdy

+«> +«> = -L fo lf/(v)cp(n + 1, v)iv + ([ ôx h), cp) , 11=1

où If/ est de période n2 sur IRt, égale à sin v sur [ O,n2 [ . Pour (ôy [h), cp) , on a ensuite :

-f f f:+l f�.+l)n' hôycp dx-dy == -2:11,k r+l r· sin[(x - n)y]ôycp(x,y +kn2 )dx-to/ n=l k=O = -Ln,k J;i+l sin[ (x - n)n2 ]cp(x, n2 (k + 1))dt- + ([ô yh]. cp)

La dérivée mixte est définie par la somme de 4 termes dont l 'un est [ ô�yh] , un autre le

CHAPITRE 2.B. EXEMPLES DE DISTRIBUTIONS 121

peigne Ln ,k sin[n2 ]ô (n+I.n'(k+I)) dont le support est dénombrable mais qui n'est plus un produit cartésien; les deux autres étant les séries doubles de termes généraux respectifs :

-f�12 cosyq>(n + I,y +kn2}1y et -n2 f�co4un2 ]q>(n + u, (k + I)n2}1u . 3. DERIVATION CON DUISANT A DES MESURES DE RADON

C'est une généralisation de ce qui précède, en restant pour l 'instant dans 11�.2. En dehors des peignes à deux dimensions qui généralisent les distributions de Dirac dans 2>' (12.), on peut concevoir des distributions dites encore « de Dirac » dont le support n'est plus dénombrable, mais un ensemble E de points d'une courbe (dont la mesure dans 12.2 est nulle) . Il est naturel de remplacer alors la somme éventuellement infinie LÀ. n ô( an ,bn ) par une intégrale étendue à E où la donnée des coefficients est généralisée en une fonction « densité » continue sur E ou au moins localement sommable. Dans le chapitre 1 B, sont présentées les mesures de Radon avec densité portées par des courbes. Il s'agit dans ce qui suit de montrer comment elles interviennent pour généraliser, lors d'une dérivation, les mesures de Dirac. Il est logique de commencer par l 'exemple de fonctions composées du type ( x, y) H Y( S( x, y)) où Y est l 'échelon-unité à une variable et S une fonction régulière dans le plan. Une telle fonction vaut 1 dans le domaine défini par S(x, y) > 0 et vaut 0 hors de ce domaine. Dans ce cas, la courbe d'équation S(x,y) = O est la « ligne des sauts » · de la fonction. Si on dérive formellement la composée Y o S par rapport à x par exemple, on trouve Y' (S)oxS qu'on pourrait noter ox (S). ô(S) où ô(S) est une certaine mesure. Cette formule a-t-elle un sens? C'est ce que nous allons examiner d'abord sur des exemples dans 12.2 puis dans 12.3 .

3. 1. Distributions portées par des courbes ou des surfaces

3.1 .1 . Etude préalable sur des exemples

Exemple 2. 13.B (La ligne des sauts est une parabole) Rappelons que l' espace est toujours muni de sa structure euclidienne canonique

orientée. Soit la parabole f s ayant S(x,y) = y2 - 2px = 0 pour équation. Son vecteur gradient, noté \1 S , vérifie l lV Si l =F- O et elle est orientée par lui (Cf §6. 1 .2, chap l .B).

On peut écrire, à l 'aide de la norme euclidienne de \1 S , ds = (2pt1 j jV Sjjcry . Soit la fonction f(x,y) = Y(S(x,y)) . La dérivation par rapport à x nous fournit, par l'utilisation adéquate de la formule de Fubini (voir le dessin de gauche précédent), les

122 MESURES ET DISTRIBUTIONS. THEORŒ ET ILLUSTRATION PAR LES EXEMPLES

calculs suivants :

(a X r(s), rp) = -(r(s), ax rp) = -J:r�2p ax rp dxdy = -f]rp (x ,y)]:�2p dy = -J_:[rp (y2 /2p ,y)}ty = (-2p)frs rp (x ,y )jj'V sj(ds

La dérivation par rapport ày (voir le dessin de droite précédent) fournit aussi :

-(r(s), ôy rp) = -f�oof:ôy <p dxdy - fo+oo[r� Ôy qxly + f�ôy <p dy r = 0 - fo+00[rrp(x, y)[� + [rp(x, y))� }x1 = J;00[rp(x. �2px ) - rp(x, - �2px)}1x

On peut encore interpréter cette différence d' intégrales conune une intégrale sur r : (ôy [Y(S)], rp) = fo-t<O rp(y2 /2p ,y )y/ pdy - f�oo rp(y2 /2p ,y)(-y/ p)dy

= J:(yfp)rp(y2 /2p ,y)tty = fr 2yrp(x,y)j jvsr1ds . s En posant (ô(S), rp) = fi rpjj'V sr1 ds , on définit une mesure à densité j j'V sr1 portée par rs rs (définitions 1 . 7 .B et 1 . 8 .B et §5 .4, chap l .B) et tout ceci se résume en :

ôx (Y oS) = (ôx S) ô(S) et ôy {Y oS) = (ôy S)ô(S) . Exemple 2. 14.B (La ligne des sauts rs est une hyperbole) On choisit S( x, y) = x y - a . On désigne la courbe d'équation S = 0 , d 'ailleurs non connexe, par r s . Chacune des branches admet une représentation propre, en particulier, le gradient (y, x) n'est jamais nul sur la courbe. Orientant rs à l ' aide de ce gradient, on définit une mesure ô(S) par

(ô(S), rp) = fi rp jj'V sr1 ds =fi rp(x,y)(x2 + y2 )-1/2 ds . En utilisant l 'abscisse X, on a : rs r

(x2 + Y2rv2 ds = lxl - 1 (1 + a2x-4r112 � = dx/lxl . Il en résulte qu'en tenant compte des deux branches (voir figure), ô(S) vérifie aussi :

y

y=a/x

X

(ô(S), rp) = f�00 rp(x.;)ti + J; rp(x.;)� · Ces intégrales existent car rp étant à support borné, elle est nulle pour x assez petit. Pour les dérivations de Y( S) , utilisons encore Fubini : Dans l ' intégration à x constant , la figure indique les demi-droites d'intégration suivant le signe de x. Une figure analogue est à considérer lorsqu'il s'agit de l ' intégration à y constant. La dérivation relative à y nous conduit, par des intégrations par parties aux formules successives suivantes :

CHAPITRE 2. B. EXEMPLES DE DISTRIBUTIONS

(a;;i .++(S} �;) = -f° r/x ÔqJ � - roo f;<C ÔqJ dxdy = -f° [qi (x ,y)(x dx - r+«> [qi (x ,y)]+oo; dx . -OO -OO ôy 0 a X ôy -OO -OO Jo a X

= J�00 -lxlqi (x,a/x )dx/lxl + J0t«J xqi (x,a/x)dxjx = fr x qi(x,y)dx/lxl On a ainsi prouvé la formule : ( 8��>, qi) = Ir ;� qi 11vsr1ttY = (�� ô(s), qi ) · On laisse le lecteur établir la formule de la dérivation en x ( Cf ex N° 33 pour l 'ellipse) . Exemple 2. 15.B (Le support de la mesure est un paraboloïde)

123

Soit, dans 1Re, le paraboloïde d'équation P(x,y, z) = x2 + y2 - 2z = O . Le gradient est de

norme 2�x2 + y2 + 1 et, en privilégiant les variables x et y, l 'élément d'aire 2-dimensionnelle est donné par dCY = � 1 + p2 + q2 dx dy = � x2 + y2 + 1 dx dy . Par analogie avec ce qui précède, on prend pour formule de définition de ô(P) :

(ô (P), qi) = J qi(m)llV Pr1 (m)dCY(m) . r.p On cal�ule la dérivée relativement à z de la distribution Y(P) en employant une intégration à (x,y) constant utilisant les formules précédentes. En remarquant que la région P+ se confond avec celle où 2z < x2 + y2 , cette dérivation s'exprime par

(ôz Y(P), qi ) = -(Y(P), ôz qi ) = -fR2 f��l)(x2+y2) ôz qi dxdy = -fR2 qi(x,y, (lf2)(x2 + y2 ))dxdy = f P=0 (-2)qi(m)llV Pr1 dCY

Le coefficient (-2) est égal à Ôz P ; la relation ôz (Y o P) = ô zp· ô(P) est donc vérifiée. On vérifie les 2 autres en utilisant Fubini et d 'autres expressions pour dCY (Cf . ex N°34).

3.1.2. Etude générale dans les cas de IR2 et IR3 Le raisonnement est le même quelle que soit la dimension. On prend N = 3 . On considère s une fonction de classe C00 de IR3 et la région s + définie par s( X, y, z) > 0 . Définissons la fonction composée Y{S) comme suit :

Y(S)(x,y, z) = 1 si (x,y, z) E S+ et Y(S)(x,y) = 0 sinon . Cette fonction est localement sommable, donc définit une distribution. On se propose de déterminer ses dérivées. On désigne toujours par \l S le gradient supposé non nul sur la surface I: s . Ce vecteur est dirigé vers l' intérieur de S+ . En effet, si (a, b, c) vérifiant S(a, b, c) > 0 est dans le voisinage de m0 = (a0 , b0 , c0 ) qui vérifie S(a0 , b0 , c0 ) = 0 , la formule de Taylor nous donne, au point m = (a,b, c) , en supposant S(m) > 0 , la relation :

S(m) - S(m0) = (a - a0 )ô 1S(m0 )+ (b - b0) ô2S(m0) + (c - c0 )ô3S(mo) + O , � où 0 est infiniment petit du second ordre en (a - a0 , b - b0 , c - c0 ) . Le vecteur m0m est


ainsi du même côté du plan tangent que le vecteur gradient lorsque m est dans l 'ouvert ----? ----? S+ puisqu'alors le produit scalaire vérifie m0m.gradS(m0) > 0 . Cela signifie bien que ce vecteur gradient est normal rentrant dans S + . La dérivation, par exemple en x, fournit grâce à la petite formule d 'Ostrogradski (Cf § 6 .2 .2 . chap l B) : (ôx (Yo S) , 9:1) = -I 3 YoS ÔxqJdxdy = -f ÔxfJ dxdy = J qJn1ds = J qJ ÔxS ll\7 s11-1 ds R s+ Es Es Donc, en désignant par ô( S) la mesure à densité 1 1\7 sr1 portée par la courbe r s , on a ôx (Y o S) = ôxS ô(S} . De même, on a ôy (Y o S) = ôyS ô(S} et ô z (Y o S) = ÔzS ô (S) . 3.2. Enoncé d 'un résultat général

En fait, on peut se situer dans �N et considérer une fonction S de N variables de classe e«) dont le vecteur gradient de composantes ô 1 S , où 1 :::;; j :::;; N , n'est nul. en aucun point de l 'hypersurface I:s d'équation S = 0 . On suppose que l 'ensemble des points vérifiant S > 0 est un ouvert à bord (Cf §6. 1 .2,b, chap 1 .B, généralisé à la dimension N), le bord étant constitué par I:s. Par définition, pour toute variable x 1 ( ô 1 Y( S), qJ) = -(Y( S), ô 1 qJ) = -J S>O ô 1 qJ dv et, en utilisant la formule généralisant celle de § 6 .2.2, chap 1 .B au cas de la dimension N :

f � = f q:1N1da , s+ ôx Es où N 1 est la composante sur l 'axe des x du vecteur normal extérieur pour l 'ouvert S > 0 . Comme \7 S est rentrant pour l 'ouvert S > 0 , on en déduit que N1 = -81S/ll\7 Sii , d'où, en reportant d 1 fi 1 ' 'd ans a ormu e prece ente :

:: : : •'•'•' \L;�% fr . · · ,,,,,, ,,,,,,, ,,,,,,

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On obtient les formules analogues pour les autres coordonnées. On peut en conclure : Proposition 2.1.B

Par exemple, dans l 'espace �N. si on prend S = x/ + x/ + . . . +xN 2 - a2 ( sphère de centre 0), le gradient est 2(x,y, z) de norme 2a sur la sphère. La définition nous donne :

(o(S), 9:1) = (2af1 JE9:1 da .


3.3. Dérivation des distributions de Dirac associées à des fonctions S

3.3. 1 . Exemples préliminaires à la définition d' une dérivée « totale » de ô(S) On se propose de généraliser les propriétés de la dérivation de la composée Y( S) aux dérivations d'ordre supérieur. Pour cela, on définit «la dérivée totale » de ô(S) que l 'on pourrait aussi qualifier de façon impropre de « dérivée le long de S » . Formellement, en restant dans !Rl.2, si une telle dérivée ô(S)' a un sens, les deux dérivées partielles doivent vérifier : Ôx (ô(S)) = ôxS. (ô(S)) ' et Ôy (ô(S)) = ôyS. (ô(S)) ' . Construisons cette dérivée totale T pour un premier exemple simple. Exemple 2. 16.B

Dans l ' exemple 2. 1 3 .B où la fonction S est S( x, y) = y2 - 2 px , la mesure est définie par

(ô(S), '7J) = (2pr1 J:Iq.> (y2 /2p ,y)ftY . Dans ce cas, la dérivée ôxS = -2p étant une

constante non nulle, il est facile de trouver T telle que -2 p T = ô x ( ô( S)) ; il suffit de

prendre (T, q.>) = (4p2f 1 f:l'1-1x ' (y2 /2p ,y)ftY pour que ôx (ô(S)) = ôxS . T soit

vérifiée. Reste l ' autre relation. On calcule ( ô yS) T à l 'aide de cette formule prise pour définition a priori . On trouve :

(( a y�)r. q.>) = (2y r. q.>) = (4p2r1 f:l2yq.>/ (y2 /2p .y)}ry . Or, q.> étant à support compact, la dérivée de q.>(y2 /2p ,y) par rapport à y est d ' intégrale

�ulle, d 'où -(4p2f1 f:I2yq.>/ (y2 /2p ,y)}ry = (2pr1 f:l'l-1/ (y2 /2p ,y)}ry ' ce qui

revient à (( ô Ys)( ô(S)) ' , q.>) = (ôy ( ô(S)). '1-1) . La distribution T est donc une solution. Remarque 2.1.B: Si on prenait la division par ôyS = 2y comme base de la construction

de T, on serait conduit à une définition par l ' intégrale -(4pr1 J: a Y (;) (y2 /2p ,y�y . mais cette intégrale est divergente. On peut alors la remplacer par des parties finies, à

savoir . (T. qJ) = - (4pr 1 (vp�- 1 ).qJ; (;; ,y )) + (4pr1 ( Pf�-2 J. {;>)) .

(Cf exercice N°34). Exemple 2.-17.B

Soit S( x,y) = x2 + y2 - R2 pour lequel r s est un cercle. La mesure ô(S) est définie par (ô(S), '7J) = (2Rr1 Ji q.> ds . Il est naturel ici d 'employer le couple (r, B) . L'expression

rs classique du vecteur \l q.> dans le repère local le long de r s nous fournit les relations qu'on peut d'ailleurs vérifier facilement :

rÔx'lJ = ôr (xq.>) + r-1ôo(-y q.>), rôyrp = ôr (Y '7J) + r-1ôo(x q.>) Or, les dérivées ô0(- sin 0q.>) et ô0 (cos0q.>) sont d' intégrales nulles sur f s . Il en résulte qu'une solution ô(S)' est donnée par :


(o(S)' , <p) = -(2Rf2 Ji ôr<pds . rs En effet, les relations précédentes et cette dernière remarque entraînent : {((o(S))' , 2x<p) = -(2Rf2 Ji ôr (2x<p)ds = -(2Rf1 Ji Ôx<pds = (ôxo(S), <p) rs rs

((o(s))' , 2y<p) = -(2Rf2 fi a,. (2y<p)ds- (2Rf1 fi ôy<pds = (ayo(s), <tJ) rs rs Pour des prolongements de cet exemple, voir l 'exercice N°3 5 . Exemple 2. 18.B

Reprenons l ' exemple du paraboloïde d'équation P( x,y, z) = x2 + y2 - 2z = 0 . Comme dans l ' exemple 1 6 précédent, on définit par :

((o (P))' , <p) = 2-I fEP Ô z<tJllV Pr1du = 4-I fR2 Ôz <p(x,y, 2-I (x2 + y2 ))dxcry .

On vérifie immédiatement que ((ôzP)(o(P))' , <p) = ((o(P))' ,-2<p) = (ôz (o( P)), <p) , puis

((o (P))' , 2x<p) = r1 fR2 Ôz (x<p)(x,y,r1 (x2 + y2 ))dxdy . Or, la dérivée par rapport à x

de <p(x,y,r1 (x2 +y2 )) est Ôx<p+ xôz<p et son intégrale sur � est nulle, à fortiori son

intégrale sur �2 ; on peut donc remplacer xôz<p par -ô x<fJ dans l ' intégrale précédente,

d 'où : ((o (P))' , 2xtp) = -r1 fR2 ôx tp(x,y,r1 (x2 + y2 ))dxdy = (ôx (o(P)). 'P) . En échangeant les rôles de x et de y, on obtient la formule (ôyP)(o(P))' = ôy {o(P)) . Finalement on a (ô1P)(o(P)) '= ôJ {o(P)) où j E {x,y, z} . Remarque 2.2.B En prenant pour départ de la construction de ( o(P))' , la division par 2x , il faudrait utiliser des parties finies dans le plan pour en déduire une formule correcte (Cf ex N°34).

3.3.2. Dérivée totale dans le cas général

On veut prouver l 'existence d'une distribution Ttelle que : (*) (ô1S) T = ôJ {o(S)) où j E {x1 , X2 · · · · XN }

Supposons d 'abord qu'une telle distribution existe. Alors, la somme de ces N égalités multipliées respectivement par les fonctions ô1S qui sont, rappelons-le, e00 , fournit :

l lV s112 . T = :L� a1s. aAo(s)) , relation qui peut s 'écrire, en définissant, comme dans le cas des fonctions, le gradient d'une distribution puis le produit scalaire de deux distributions à valeurs vectorielles :

--+ --+ 1 1vsfT = VS. v(o(s)) . En divisant ensuite par la fonction ! IV Sll2 de classe e00 et partout non nulle, on obtient

1' expression possible de T sous la forme T = llV Sf 2 ( \fs. �( o(S)) J . Considérant cette distribution T, il s 'agit maintenant de prouver les relations (*) .


Commençons par établir la relation (* *) a1s ak (8(S)) = aks aJ {8(S)) , (k -::t:- J) . En appliquant la différence des 2 membres sur <p , on a, en effet, en utilisant le théorème de Schwartz sur les dérivées croisées des fonctions :

(ais ak (8(S)) - aks aA8(S)),<p) = -(8(S), ak (<p ais ) - aJ (<p aks )) = -(8(S), akfP a1s - a1<p aks) = (ak (ais 8(s)) - aAaks8(s)) . <p) = o,

la dernière distribution, qui s'écrit ak (aJ (Y o S)) - aAak (Y o S)) étant nulle par le

théorème de Schwartz sur les dérivées croisées des distributions. Calculons alors {a 1s). T en développant le produit scalaire et en utilisant la relation ( * *) : (a1s). T = l lV sr2L� {(a1s)(aks)(ak (8 (s)))} = l lV sr2 l lV Sll2 a1 (8( s)) = a1 (8 (s))

Remarque 2.3.B Cette formule, d'une part n'est pas unique, d 'autre part n'est pas de manipulation simple. Il a été vu dans les exemples précédents comment des formules simples, adaptées au cas précis étudié, peuvent être mises en place.

3.4.Généralisation aux dérivations d'ordres supérieurs

3.4. 1 . Exemple préliminaire 2. 19.B

De retour à l 'exemple 16 précédent et en réitérant le procédé, on considère la distribution

U définie par (U, <p) = (sp3f 1 f.::1ax2 <p (y2 /2p ,y)py . Alors, ((axs)U, <p ) est défini

par-((8(S)) ' , ax <p) , autrement dit ax ((8(S)))' = (axS}U . On démontre également que

ay((8(s)))' = (ays)u . On procède pour cela comme dans l 'exemple 1 6 en faisant

intervenir la dérivée de a xfP(y2 /2 p , y) par rapport à y . Il en résulte que U définit une

dérivée totaÎe ( 8(S))" qui vérifie aJ (( 8(s)))' = (ais)( 8(S))" j E {x,y} . 3.4.2 Dérivées totales d'ordre quelconque dans le cas général

La fonnule pi-écédente ( 8( s))' = l lV sr2 ( ;cfs. �( 0( S)) J se généralise, la preuve restant

analogue à celle de la proposition 2.2 .B . On définit les dérivées totales d'ordre k ;;:: 2 par (o(s)) (•l =IV sr2( �- �(ocs)l•-i) J]


Proposition 2.3.B

3.5. Propriétés de ces dérivées

3.5. 1 . Dérivations de produits par S

On va généraliser les propriétés des produits xo (k) . Le produit S. o(S) est nul puisqu'il

est défini par ( o ( S), S rp) = fr S rp l l\7 Sl l-1 ds et que la fonction intégrant est nulle. Dérivons

le produit de o( S) par la fonction indéfiniment dérivable S. On obtient pour j = 1 et

j = 2 , la relation (ôiS)o(S) + S(ôis)(o(s)) ' = O et, puisqu'une au moins des dérivées

partielles de S n' est pas nulle, on obtient par simplification : S. ( o( S) )' +o( S) = 0 .

fàiflÎÎlfl&ylÎ�llfilJ-On peut aussi faire le produit par une fonction h de classe e00 qui ne s'annule pas sur S. A ce propos, il faut remarquer que la courbe ou la surface S = 0 ne change pas si on multiplie S par h. Il est donc intéressant d'analyser la distribution o(hS) . La formule de

définition fait intervenir j j\7(hS) r 1 qui se réduit sur S = O à lhi -1 11\7 S ir1 et, compte tenu

de l 'orientation suivant le signe de h, on a : jo(hS) = h-1o(s) j. De cette dernière relation, on peut en déduire d'autres pour les dérivées. Par exemple, en notant D l 'opérateur de dérivation, on obtient hS D( o(hS)) + o(hS) = 0 par une des

égalités précédentes. On en déduit S Do(hS) + h-2o(S) = o puis Do(hS) =h-2 Do(S) , relation que l 'on peut généraliser facilement en : lnk o(hS) =h-(k+l) Dk o(s) I. 3.5.2. Intervention simultanée de plusieurs lignes de sauts

Supposons que S = PQ de telle façon qu' il n'y ait aucun point singulier pour les deux courbes ou surfaces d'équation P = 0 et Q = 0 , lesquelles sont supposées sans point commun et vérifient : \7 P -:t:- 0, \7 Q -:t:- 0 . Dans ces conditions, on peut écrire, les

orientations des deux courbes étant respectées : ( o ( PQ ), <p) = f PQ=O rp( x, y )1 1\7( PQ )r 1 ds · Sur chacune des courbes , un des termes du gradient du produit est nul . Il en résulte que, l ' intégrale étant la somme des intégrales sur chacune des courbes, on a l 'égalité :

( o( PQ), <p) = f P=O rp( x,y )Q- 1 j l\7 prl ds + JQ=O rp(x,y )P-1 ll\7 Qrl � .


Pour certaines applications de ces notions, on pourra voir l ' exercice N°36 . Pour d'autres détails concernant ces distributions et sur les formes différentielles qui peuvent permettre d'autres prolongements, en particulier dans le cas où il existe des points singuliers sur les surfaces S = 0 , on pourra consulter [ 9]

3.6. Couches multiples Définition 2.4.B

�.t.1_1.�-�-il. i . . i.t.l_t_�_\\ _ _ :_l_;l _ _ :_1_�_�_r_l_1_rt _ _ '·.�.0_:_1_r_)! . . l.r.F� . . 1.1_1t . . 1r _ _ \_�·.r1 . . i.1_ ••... _:_1_;_p_;_1_�_i_1_r_�_1_1� .. 1.f_._•_:_<_t_ 1_�r . . ".:_·r . . '._1_t_tt:_ �_i_P_1_:_r_:_h_i'. _ _ :_i_:! _ _ ·i·• -�.�-l.1._�_1• •. �.1_r_r_;\ _ _ �1 . . l!îJ9'.i.�_1_i_�_i_�_!_!_�_!_1_�_r_1 ;-:

- : - :- : :<:>:; : _:: : : : : .:- : ::; : : :: · ·:: : :: : : :: :: ;

::: : ·: :::. : _: : : :: :::::: : : : :;: ; :;: : ::::::

: : : ::: : :: ::::::::::::· • • . • • • . . • . • • . • . . . • • Dans le cas de k = 1 , on retombe sur le potentiel de simple couche (Cf chap 1 ) . Voir le cas particulier où les supports sont des hyperplans (Cf ex N°39).

4. DISTRIBUTIONS ASSOCIEES A LA DISTANCE A L'ORIG I N E

Dans ll�.2, l a distance (x,y) H r(x,y) = �x2 + y2 et ses puissances d'exposants a où a > -2 sont localement sommables. Nous considérons alors ces puissances comme des distributions notées [r a ] . Il s'agit d'examiner les cas où a s; -2 . 4. 1. Expression de (ra , <p) où <p est un élément de ::h (Ê).

Utilisons le passage en coordonnées polaires dans l ' intégrale qui exprime (ra , <p) . On a :

(r a . <p) = JR2 {x/ + x/t12 <p (x1 , x2 )dx1dx2 = f0+oo ra J:1l' rp(r cos8, r sin 8) rdrdfJ . Si donc, nous associons à la fonction de base <p sa moyenne sur le cercle de centre 0 et

de rayon r, à savoir M<p(r) = (2 1l'r1 J:1l' rp(r cosfJ,r sin 8}1,8 , la formule précédente s'écrit :

{r a , <p) = 27rf0+oo ra+I 1\4<p (r) dr . On va montrer que M<p(r) se comporte comme un élément de :JJ (�). ce qui permettra, à l 'aide de cette formule, de ramener les distributions associées à la distance r à des distributions à une variable associées aux puissances de la variable réelle x. En particulier, elle va permettre de définir des parties finies de [r a ] lorsque a s; -2 . Bien

entendu, tout ce paragraphe s'appliquera au cas de la dimension N où la condition précédente est remplacée par a s; -N . 4.2. Propriétés de la moyenne M<p(r) 4.2. 1 . Comportement comme une fonction de base

- Cette fonction, bien définie sur �+. est à support borné puisque <p est nulle sur le cercle lorsque le rayon de celui-ci est assez grand. - Cette fonction est de classe e00 puisque la fonction <p est de classe e00 ,ce qui permet de dériver sous le signe intégral portant sur le compact [ 0, 21l"] . Pour pouvoir considérer que cette fonction est un élément de ::h(�). on la prolonge en une fonction paire en posant M <p (-r) = M <p (r) . Cette fonction est toujours à support


borné et indéfiniment dérivable sauf peut-être en r = 0 . Pour que ce soit vrai aussi en ce point, il suffit que les dérivées d'ordre impair soient toutes nulles en r = 0 à droite. Or, la première dérivée est définie par :

( M\V )' (r) = (2nf 1 [!2tr cos(} Ô<p (r cose, r sine) +sin (} Ô<p (r cos(}, r sin e)}e o D� 8� Sa valeur au point r = 0 est une combinaison linéaire des intégrales sur [ 0, 2n] de sinus et cosinus, donc cette dérivée est nulle. A l 'ordre 3 ; c'est une combinaison linéaire d' intégrales sur [0,2n] de puissances d'ordre 3 de l 'ensemble (sin (}, cos(}) , donc nulles. En poursuivant, on démontre que toutes les dérivées d'ordre impair en r = 0 sont nulles. Il en résulte donc que M\V (r) prolongée par parité est une fonction de.2'.) (IR).

4.2.2. Dérivées au point r = 0 de la fonction M\V(r) On calcule maintenant ces dérivées pour un ordre pair quelconque 2k . Par récurrence ou par utilisation d'une puissance symbolique de dérivation, il est facile de montrer :

(M\V ) (r) = (2n) 1 J0 L Cfk cos2k-p (} sin P (} 2k-p rp

P (r cos(}, r sin(}) (} (2k) - [ 2trp=2k . 8 2k } p=O 8X1 8x2 Lorsqu'on remplace r par 0, les intégrales qui portent sur les puissances d'exposants impairs de sinus sont nulles. On en déduit, au point r = 0 , la formule :

(M )(2k) (o\ = r2trç!' c2p J 8 2k rp (o) \V J Jo � 2k k,p 8 2k-2p8 2p · p=O X1 X2

dans laquelle l ' intégrale de Wallis Jk,p = (2nf 1 J:tr cos2k-2p (} sin2P (}d(} se calcule en

passant par les intégrales eulériennes. Le changement de variable u = sin2 (} fournit :

(2n)Jk ,p = 4f:12 cos2k-2p (} sin2P ()d() = 2 J�(l - ul-p-1/2 up-If2du _ (k - 1 1 ) - r(k - p + lf2)r(p + lf2) - 2B p + I 2 , p + I 2 - 2

( ) r k + I (2k - 2p - I)(2k - 2p - 3). . . 3.1. (2p - 1)(2p - 3). . .3.1 = 2n��-

2k k ! En multipliant par CÎf , on obtient au dénominateur les produits des entiers pairs de 2pà 2 et de 2(k - p) à 2, c'est-à-dire, en mettant des puissances de 2 en facteurs :

2k-p (k - p} f2P p l . On en déduit :

(2 k) p=k (2k) ! a'2-k rp (2k) ! p=k ?k rp ,\ (M\V ) (O) = L22k (k ')2 Cf 8x 2k-2p8x 2p (0) =

22k (k ')2 Lcf 8x 2k-2p8x 2p (o, p=O · 1 2 · p=O 1 2 En outre, il est facile de montrer que la dernière somme exprime la puissance d'exposant

84 84rp 84� k du laplacien de rp au point ( 0,0) . En effet L\ 2 rp ( 0,0} = ----t + 2 2 2 + ---;f 8X1 8X1 8X2 8X2 p=k ?k et, de façon plus générale : LI k rp( 0,0) = L Cf 2k-2

rp 2 ( o,o) .

p=O 8X1 p 8x2 p


Jl en résulte la formule finale (Mrp)(2k) (O) = (2k) ! 2 Ll kcp (o,o) 22k (k !) 4.3. Premiers exemples de parties finies

On vérifie d'abord que, pour a> -2 , la formule ([ra ]. rp) = 27rf0+oo ra+l Mrp(r) dr définit

bien une distribution régulière. 4.3.1. Cas a = -2 La formule précédente suggère la définition des parties finies des puissances de r : (Pf(r -2 ). rp) = 27r ( Pf(Y(t) r1). Mrp (1)) = 27r ;�[f;(M<p (t)/t)dt + M<p (o) !n s J .

4.3.2. Cas général où a < -2 (Pf(r-3), rp) = 27r f�[f;(Mrp (t)/t2 )dt - Mrp (o)/s J puisque la dérivée de Mrp au

point t = 0 est nulle. Dans le cas général, il faut distinguer entre les cas où a supposé d'abord entier, est pair ou impair. Prenons a = -(2n + 1) , la définition passant par Pf( Y(t)t -2n ) (Cf § 1 .2 . 1 ) donne, en

utilisant les résultats précédents concernant les dérivées de M rp :

[ k=n-1 M (2k) (o) ] (Pf(r ...,(2n+1) ). rp) = 27r lim f+oo M (t)t -2n dt - L rp s2k-2n+1 c�O & rp k=O (2n - 2k - 1) (2k) f

= 21' lim[f+«> M (t)r2ndt - k�l � k cp(O,O) s2k-2n+1 ] &�0 6 rp k=O 22k (k !)2 (2n - 2k - 1)

[ k=n- I M (2k) (ü) M (2n) (o\ l (Pf(r-(2n+2l ). cp) = 27r lim r00M (t)t -2n-1dt - L rp s2k-2n + rp ' zn s HO & rp k=O (2n - 2k) (2k) ! (2n) ! . [s+oo ( ) -2n-1 k�-1 t,. k cp(O,O) 2k-2n t,. ncp (O,O) l = 2tr bm M t t dt - L... s + ln s HO 6 rp k=O 2 2k (k !)2 (2n - 2k) 2 2n (n !)2 4.4. Dérivation de ces parties finies Exemple 2.20.B

Dérivation de la fonction (x, y) H r-I = (x2 + y2 rl/2 Cette fonction localement sommable possède au sens des fonctions la dérivée -x r-3 qui n'est plus localement sommable. On peut ainsi s'attendre au résultat -xPf�-3) , éventuellement à une distribution près portée par le point singulier r = 0 . Remarquons que ( x cp( x, y))( 0, 0) = 0 , ce qui permet d'écrire :

(Pf(r-3), xrp ) = 27r ;�s; Mxrp (t)dt/t2 = 27r s; Mxrp (t)dt/t2 .

En utilisant les coordonnées polaires, la relation cp/= rp,. ' cosfJ - cpe' sin fJ /r et une intégration par parties, la dérivée, par rapport à x de r -l s' exprime par ailleurs par :


Exemple 2.21.B

Dérivation de P/�-2 ) On peut s'attendre à ce que la dérivée en x soit lié à -2 x Pf (r -4 ) . Cette dérivée est

définie par : -{Pf(r-2 ), ôxqJ) = �27r ;�{J; M{IJ'/t)dt/t + M{IJ1/0)ln1;} Un calcul analogue à celui de l ' exemple précédent conduit à :

!�{f:" cos8q.>(ecos8, esin B)do/ e- 2J; f:" cosBq.>(rcosB, r sin B)dBdr/r2 } Le dév�loppement : q.>(0,0) + ecosBipx '(ecos(), esinB) + esinBq.>y ' (ecosB, esin B)+ . . fournit pour l a limite de la première intégrale le seul terme Ôxip(o,o)J:" cos2 ()d() , c'est à dire 7r ôxip(o,o) qui s' interprète comme le résultat {-,. ôxô(o,o) • 'P) . Par ailleurs, M x{IJ et sa dérivée étant nulles au point r = 0 et sa dérivée seconde étant

ôxq.>(0,0) , on peut conclure par les formules :

Exemple 2.22.B Pour déterminer les dérivées des parties finies dans le cas général, il convient de calculer d'abord les dérivées en 0 des fonctions Mx{IJ . Calcul préliminaire

La relation .Mx{IJ(r) = (2,.r1 r:n r cosBq.>(r cos(), r sin 8 )d8 = r M{!Jcos8 , où la notation,

abusive, « M{!Jcose »(puisque ipcos() n'est pas une fonction de base) désigne tout de

même une fonction indéfiniment dérivable de r, fournit par la formule de Leibniz :

Mx{/J (o) = O,M'x{/J (o) = O,M"x{/J (o) = 2M'{/Jcose (o),Ml� (o) = k Mi:��(o) Les seules dérivées qui ne sont pas nulles sont celles d'ordre pair. D'après le paragraphe

précédent, ces dérivées dans lesquelles les exposants de cos() sont décalées d'une unité,

sont données par :

CHAPITRE 2.B. EXEMPLES DE DISTRIBUTIONS

(2k) 2H p=k Ô 2k-lrp (Mx{O) (o) = 2kf0 'LCÎf-1Jk,p 8 2k-2p-18 2p · p� X y Dérivation de parties finies d'exposants pairs

133

On se propose de comparer les distributions ôx Pf(r-(2n) ) et - 2nx Pf(r-(2n+2) ) . Par

définition, les images sur rp de ::!:> ([�.2) de ces distributions sont, pour la première :

-21t lim J M , (t)t-2n+ldt - L x e2k-2n+2 + x ln e [ +oo k=n-2 Mrp' (2k) (0) Mrp' (2n-2) (0) ] HO & 'P X k=O (2n - 2 - 2k) (2k) ! (2n - 2) !

et, pour la deuxième :

(2 ) l . r+«>M ( ) -2n-ld " X {O 2k-2n X{O l [ k=n-l M (2k) (o) M (2n) (o) l -2n n im J, x{O t t t - � ( ) ( ) & + ( ) n & e-+0 e k=O 2n - 2k 2k ! 2n !

Le crochet de cette dernière formule peut aussi s'écrire, en changeant k en k - l

r+oo M (t) t-2n-ldt - � {OCos B &2k-2n+2 + {OCOS B ln & [ k-n-2 M (2k+l) (o) M (2n-l) (o) l Je x{O k=O (2n - 2k - 2) (2k + l) ! (2n - l) !

Les produits par 2n des 2 intégrales de ces formules peuvent se relier grâce à 2 intégrations par parties. En posant A8 = J:1r e -2n+l cos(}rp (e cos(}, & sin B)dB , on

exprime, en effet, successivement l ' intégrale 2n r+oo M{O, (t)1-211+1dt par : Je X J; r2n+l [f:1r cos(}rp ', (t cos(}, t sin B) -r1 sin (} rp '0 (t cos(}, t sin B)dB J

= J:1r cos(}{[r2n+lrp (t cos(}, t sin B)]� + (2n - I)J; r2n rp(t cos(}, t sin B)dt }d(}

- J; r2n {[sin Brp(t cosB, t sin B)]�1r - J:1r cosBrp(t cos(}, t sinB)dB }dt

= {-As +(2n)f; r2n J:H cos(}rp (t cosB, t sin B)dltit} = -As + (2n)f; r2n-l MX{Odt Calculons A8 . Le développement par Taylor à l 'ordre 2n- l de la fonction rp fournit,

par l ' intermédiaire des puissances symboliques (e P /p t)((cos(} rp 'x + sin(}rp 'y ))(p) où

p ;::: I , les termes (e P/p t)L,�ct cosP-J+l (} sini B . Par intégration sur (ü, 2n] , en

multipliant par cos(} , seuls interviennent les termes où les deux exposants sont pairs, ce qui exige d'ailleurs que p soit impair. On obtient ainsi une somme dont le dernier terme, noté ( T,, , rp) , est indépendant de & et définit ainsi une distribution :

_ "k=n-2 1 2k -2n+2{"j=p 2j ô 2k+lrp } ( ) . As - �k o ( ) 8 � · 0C2k+1lk+l i 2k 2 ·+1 2 · + T,, , rp , ce qm = 2k + 1 ! j= . ôx - J ôy J ' ' · l � "k=n-2 B ( ) 2k-2n+2 (T. } peut s ecnre sous a 1orme : �k=O k rp & + n . rp ·

Compte tenu de ces préliminaires, le nombre -( Pf(r -2n ), rp 'x ) est la limite de :


(2n)M , (2n-2) (0) - 2n(2tr)f +oo r2n-l M (t \rit - ""'k=n-2 c (rp) e 2k -2n+2 + <p X ln e + (T. ) e x<p I"" Llk=O k (2n - 2) 1 n • 'P

k=n-2 (2tr)Mrp' (2k) (o) dans laquelle C k ( <p) = Bk ( <p) + L (

x ) ( ) est une combinaison linéaire des · k=O 2n - 2 - 2k 2k f

d , . ' 8 2k+l<p L ffi . d d ' . ' ' ' . al envees 2k 2 . 1 2 . . e coe c1ent e cette envee genenque est ors ôx - J+ ôy J 2 . 2 . 2 . C2k+1lk+I f C2/ Jk J . , , 2nC2k+1lk+I f ---·� + · qui est egal a · . Il suffit, pour le (2k + I) ! (2n - 2 - 2k) (2k) ! (2n - 2k - 2)(2k + I) !

voir, d'écrire 2n sous la forme (2n - 2k - 2) + 2(k + I) et de constater, à l 'aide des valeurs explicitées des intégrales J k .J , que les deux fractions obtenues sont bien celles qui

M , (2n-2) (0) M (2n) (o) précèdent. De plus, un calcul analogue fournit (rp x ) = -2n x(rp ) , ce qui 2n - 2 ! 2n !

entraîne l ' égalité des coefficients du logarithme. Finalement, on a obtenu l 'égalité :

.On laisse au lecteur le soin d'établir que, dans le cas d'un entier impair, on trouve :

ôx (Pf(r-(2n-l) )) = - (2n - I)x Pf(r-(2n-2) )+sn la distribution Sn étant déterminée par une somme de même type que T,, . Les dérivations par rapport à y conduisent à des calculs analogues.

5. SOLUTION ELEMENTAI RE D'OPERATEUR DIFFERENTIEL

5. 1. Définition 2.5.B

On se contente ici d'examiner le laplacien. D'autres exemples classiques sont l 'opérateur de la chaleur (Cf. exercice N°36) et l 'opérateur des ondes (exercice N°29).

5.2. Solution élémentaire du laplacien On adapte d 'abord la deuxième formule de Green( Cf. ex N°42, chap l ) au cas de

l ' extérieur d'une « sphère » .Posons S6 = {x eR N , lxl > e} . On suppose que/ est une

fonction de classe e00 sur �N\ {o} et que <p E .2) (�N). Cette formule de Green donne :

CHAPITRE 2.B. EXEMPLES DE DISTRIBUTIONS

f [/(x)Aq.i(x) - q.i(x)A/(x)Lh- = ri 1 [q.i(x)� /(x) - /(x)�q.i(x)}u B '

S j J ix =s ôn ôn B

où la dérivée normale est orientée vers l ' intérieur de la boule.

5.2.1 . Cas de la dimension N = 2 Montrons que la distribution E = (2nf1 [lnr] = (2nf1 [/n�x2 + y2 J vérifie AE= ô .

135

Ce laplacien est défini par (AE, q.i) = (E, Aq.i) = (2nf1 JfR2 ln(r)Aq.i(x,y")dxdy , mais alors

que dans le cas d'une seule variable on fait des intégrations par parties, on applique ici la formule de Green à lim r E Aq.i dxdy . On a, les dérivées normales intérieures s�o Ju

B ,

s'identifiant aux dérivées par rapport à la variable r : fu 6 EAq.> dxdy = fu 6 qJ A{E) + fixJ=s (q.iôr E - Eôr 'iJ)du . Un calcul élémentaire fournit, hors de 0, A(lnr) = 0 et, en passant en polaires, on obtient fu EAq.> dxdy = fixJ=s (q.i e-1 - ln(e)ôr 'iJ)edBdr = fixJ=s q.idBdr - fixJ=s (eln eôr �)dBdr ;

B

Seul, dans le développement de q.> au voisinage de 0, le terme q.i(o,o)J:1l' dB donne une

contrib�tion non nulle. Le premier terme tend donc vers 2nq.i(O,O) . Le deuxième terme tend vers 0 car, x/r et y/r étant bornés, la dérivée normale Ôr � est bornée et il en résulte que ce terme est majoré par K e ln e qui tend vers O. La preuve est donc terminée.

5.2.3. Cas d'une dimension supérieure N > 2 Montrons qu'alors il existe une constante C N ne dépendant que de N tel que

E =CN r2-N soit solution élémentaire du laplacien. On utilise la méthode précédente à

r2-N . On a encore, hors de 0, Ar2-N = 0 , d 'où, en passant en polaires et en désignant l'élément différentiel sur la sphère unité par du 1 : r r2-N Aq.> dxdy = r ( (2 - N)e 1-N q.> - 8 Z-N ô 'iJ)eN-I du . Ju JjxJ=s r 1 B

Pour les mêmes raisons que précédemment, le premier terme tend vers (2 - N)w Nq.i(O) où OJ N est l 'aire N-1 -dimensionnelle de la sphère unité dans �N (Cf ex N° 40 du

chapitre 1) . La fonction ôr� = LI:5j:5N (xi fr) ô iq.> est bornée, donc le produit par e de

son intégrale tend vers 0 lorsque e tend vers O. On peut donc énoncer : �r.oposition 2.5.B

._.,,._

EXERCICES SUR LES CHAPITRES 2.A ET 2.B

Exercice N°1 (Continuité et continuité séquentielle)

Soit un espace topologique E (espace vectoriel ou non) dont tout point a possède une base dénombrable de voisinage {Un } . 1 °) Montrer qu'en tout point a, il y a une base dénombrable décroissante de voisinages {Vn } , à savoir : Vn+I c Vn . On songera à des intersections. 2°) Soit u une application de E vers un espace topologique F quelconque). Montrer que u est continue au point a si et seulement si Iimn-4+00u(xn ) = u(a) pour toute suite (xn ) tendant vers a (continuité séquentielle). La réciproque peut s e prouver par l 'absurde en utilisant une suite dont les éléments sont dans Vn n ( E 1 u -I ( U)) où U est choisi parmi les voisinages de u(a) . Exercice N°2 (Complétude des espaces fondamentaux)

On peut supposer d'abord, pour simplifier, que Q c �.

1 °) Soit.'.D: (n) où Kn est élément d'une suite exhaustive pour n . On munit cet espace n de la « semi-norme » 17k, KJrp) = suplal:s;k SUPxeKn lrp (a)(x), . Montrer qu'en réalité c'est

une norme. Soit une suite (! P ) de Cauchy pour cette norme. En prenant d 'abord a = 0 , montrer que cette suite converge uniformément sur Kn vers une fonction/ Montrer qu'il en est de même pour les suites de dérivées (!�a) ) , les fonctions limites étant notées ga . Montrer enfin, en utilisant les théorèmes de dérivabilité sur les suites, que la fonction/ est dans .'.D:n ( n) et que la suite (! P ) converge vers f dans cet espace. Conclure.

0 2°) On sait que Kn c Kn+I c Kn+I · En déduire une inclusion pour les .'.D: (n) et n

montrer que .'.D: (n) est fermé dans .'.D: (n) pour la topologie de ce dernier. n n+l 3°) L'espace vectoriel ck (n) où k E [O, + oo] est celui des fonctions de classe ek dans n . Une suite Un ) de cet espace converge vers/ (resp. est de Cauchy) dans cet espace si,

pour tout compact K c n et tout multi-indice a tel que Ja J ::;; k , la suite {!J a) ) converge vers f ( a) uniformément sur K (resp. est de Cauchy sur K) . Soit une suite de Cauchy dans ck (n) . En prenant a = O et en fixant x dans n, montrer que cette suite Un ) converge vers une fonction f définie dans n . Montrer que la convergence est uniforme sur tout compact. Montrer ensuite, en procédant comme dans la question 1 , que f E ck ( n) et que Un ) converge vers f dans cet espace. Conclure queCk (n) est séquentiellement complet. On admet ici qu'il est complet (l' existence d'une base dénombrable des semi-normes continues 1Jk. Kn , où k parcourt N et Kn une suite exhaustive de compacts, permet de raisonner comme dans l'exercice N°l)


4°) Montrer que, pour tout k E [O, + oo] et pour tout compact K de n , l 'espace.2>k (n) est fermé dans c;k (0) . En utilisant la caractérisation des suites convergentes dans .2>(0)

données par la proposition 2.4 .A, montrer que .2>(0) est séquentiellement complet.

Exercice N°3 (Rlustration du lemme d'Urysohn dans le cas N = I . Cf.2.1.A)

On reprend les données de l 'exercice N° 1 du chapitre A En utilisant une convolution, (sans la calculer), montrer qu'il existe/ dans .2>(0) avec f = 1 sur F et f(x) E [ü, 1] .

Exercice N°4 (lllustration d'une partition de l'unité de classe e00, dans le cas N = I)

On reprend les données de l 'exercice N°2 du chapitre A Exprimer, par des formules où interviennent des intégrales de convolution, les deux fonctions de la partition de l 'unité de classe e00 subordonnée au recouvrement ouvert par 01 et 02 . Exercice N°5 (Construction de la valeur principale de l'inverse d'un sinus)

1 °) Soit h la fonction 1 -périodique, définie sur IR\� par h(t) = 1/ sin(27i t) . Cette fonction a deux points de discontinuité sur une période ; elle n'est pas localement sommable, mais on peut donner un sens à (vp(h), rp) . Elle est définie comme la limite de:

-+<o [In-e rp(t) dt + In+I/4 rp(t) dt] + [In+I/2-e rp(t) dt + In+3/4 rp(t) dt] � n-I/4 sin (27it) n+e sin (27i t) n+I/4 sin (27ït) n+I/2+e sin (27i t) Montrer que chacun des crochets admet lorsque e � 0 une limite qu'on exprime, grâce à la formule des accroissements finis et des changements de variables de type n - u = t et n + u = t , par des intégrales sur [ O, lf 4] . Montrer finalement que :

( ( ) ) - � rlf4 rp(n + u) - rp(n - u) - rp(n+ u + If2) + rp(n- u + If2) . vp h , <p - � Je . ( ) du _00 o sm 21fu +oo 1/2

2°) a) Montrer que (vp(cot an(7ï t)) . rp) = L f (rp(n + u) - q;(n - u)) cotan(7ïu)du . -OO Q b) Déterminer la dérivée de la distribution régulière [lnjsinff t I ] . Exercice N°6 (Dérivation de l'opérateur de translation) 1°) Soit r l ' application de IR{N dans ,2) ' (IR{N) telle que, T étant donnée, r(a) = 'l'a (T) . montrer que cette application est continue. 2°) Montrer la commutation de la dérivation et de la translation : Da-ra T = -ra Da T .

3°) Montrer que r est dérivable, ce qui signifie que limh-.+o (r(a + he1 ) - r(a))(hf1 dans

.'.b'(IRN) existe en tout point a pour tout j E [I, N] . On commencera par le cas a = 0 .

4°) Montrer que r est indéfiniment dérivable et que : (Dar)(a) = (- 1)lal r(DaT) . Exercice N°7 (Ordre d'une distribution, partie finie)

a) Soit la distribution T = Pf ( Y(t)t -5!2 ) . Montrer qu'elle est d 'ordre ::;; 2 . Est-elle

exactement d'ordre 2? b) Etablir que, dans IR{2, ( Pf( lx l-2 ). <p) = J�ofixl•)x l-2 q;(x� + 27i<p(O,O) ln (e )Cf

4.3 . 1 pour la définition) . Trouver l 'ordre de cette distribution, élément de .2>' (IR{2) . Exercice N°8 ( Ordre de distributions de type peigne)


a) Montrer que l 'application qui à <p de .'.D(IR) fait correspondre L;' <p (n)(n) est une distribution. Cette distribution n'est pas d'ordre fini (Cf exercice N°22) b) Montrer que, si <p E .'.D(]-1,+1[) , la série L:i <p (n)0- 1 ) peut être divergente. Montrer

qu'en revanche, V <p E .'.D(]o,1[) , cette série est convergente et qu'on définit ainsi une distribution. Exercice N°9 (Prolongement d'une distribution à un ouvert plus grand)

1 °) On sait que la fonction t H /(t) = Ijt définit une mesure de Radon sur IR• qui ne peut se prolonger en une mesure sur IR. Montrer que, en revanche, la distribution [/] est, elle, prolongeable en une distribution sur IR (Songer à la distribution vp(l/t) ). Généraliser pour les fonctions t H t-n . 2°) Soit la fonction t H g(t) = Y(t) exp(lf t) où Y est l ' échelon unité. On sait que [g]

• définit une distribution sur IR . Il s'agit de prouver qu' elle n'est pas prolongeable en une distribution sur IR. a) Montrer qu'il existe une fonction nP Jan J = 0 quel que soit l ' exposant positif p. On pose <p n (t) = an<p (nt) . Montrer que cette suite converge vers 0 dans .'.D(R) . b) Montrer que j([g]. <p 11 )j � n-1 Jan J exp(n/3) . En choisissant convenablement la suite

(an ) , montrer le résultat de non prolongement annoncé. Exercice N°10 (Convergence de suites de distributions)

1 °) Trouver les limites au sens de .'.D'(R) des suites de fonctions suivantes :

(sin(nt)). (r1 sin(nt)). ((2nr1 Jtl ( I/n)-l ) . 2°) Soit la suite de fonctions définies par fn (t) = exp(i n t) (non convergente, même

simplement, au sens des fonctions ! ) . Montrer que la série L;'[!n ] converge dans

.'.D'(R) . Pour cela, en utilisant la fin de la remarque 2.4 .A, on transformera ([/n ], <p ) par deux intégrations par parties afin d'obtenir une série normalement convergente. 3 °) a) Soit la suite de fonctions (/n ) telle que fn (t) =n si t E [0, 1/n] , fn (t) = 0 sinon . Montrer que cette suite converge dans .'.D' vers la distribution ô . b) Montrer que l a suite (gn ) de fonctions où gn (t)= fn (sin t) converge dans .'.D' vers une distribution peigne que l 'on précisera . Même question avec hn (t) = fn (cos t) . c) Soit la suite de distributions régulières associées aux fonctions t H t(t2 + n-2r1 , n étant un entier non nul. Montrer qu'elle converge dans .'.D'(R) vers vp(If t) . 3 °) Montrer que les suites de distributions associées aux fonctions à valeurs complexes :

t H ( t +in -l )-1 et t H ( t - i n -l )-1 ont des limites lorsque n tend vers +oo . On traitera

séparément la partie réelle et la partie imaginaire. Déterminer ces distributions limites qui

sont notées (t + i üf1 et (t - i üf1 .


4°) Soit la fonction logarithme L complexe définie dans le domaine Q = ([ \ li+ par : L (z) = (lnlzl + i arg(z)) où la fonction « argument » notée arg est assujettie à

O < arg( z) < 21r . Trouver la fonction limite (au sens ordinaire) notée log( x + i 0) de L( x + i y) lorsque y � 0 + . Montrer que cette limite est aussi une limite dans ::h' . Montrer que la dérivée de log(x +i O) vérifie : ! (log(t + i O)) = vp(r1 ) - i Jl'ô= (t +i or1 . Définir aussi, pour 0 < a < 1 , les distributions : ( x + i 0) a = exp( a log( x + i 0)) . Exercice N°Jl (Conservation, ou non, de l'ordre à la limite)

I 0) En utilisant un des exemples précédents, montrer que si une suite de distributions d'ordre s; k , k donné, est convergente, sa limite n'est pas forcément d'ordre s; k . 2°) On considère une suite (an ) à croissance lente, ce qui signifie qu' il existe un entier p tel que : Vn , lan l s; CnP , C étant une constante positive. Montrer qu'alors la distribution

T = Ln�oan exp(int) est bien définie et qu 'elle est d 'ordre fini (On utilisera des

intégrations par parties). Exercice N°12 (Convergence qui implique la convergence au sens de ::h� Prouver les résultats de la proposition du théorème 2. 12 .A. Montrer également que si Un) converge vers f dans IL foc ( n) , ce qui veut dire que, pour tout K compact de

l'ouvert n , 1 K fn converge vers 1 K f au sens de IL P ( K) , alors la suite Un ) converge vers f dans ::h' . Exercice N° 13 (Distribution à support compact et distribution d'ordre fini)

1 °) Soit l 'espace E = ::hK ( n) des fonctions de classe C00 à support dans le compact K.

i® ll(VI - {/J >'k) I l Sur E X E ' on introduit l 'application d telle que d( {IJ, VI) = L 2 -k Il ( k r11 k=O l + (V1- {IJ)

Montrer que d est bien définie et que c'est une distance. sur ::hK(n) . OO

2°) Montrer qu'une suite ( {IJ P ) de E converge vers 0 au sens de la topologie du cours si

et seulement si la distance d( {IJ P , 0 ) tend vers 0 . 3°) a) Soit une distribution T de support compact K et K1 et K2 des compacts tels que

0 0

0

Soit 1'/ une fonction de ::h valant 1 sur K1 et à support dans K2 . Montrer que

(T,{IJ) = (T, {IJ 'f'/) . b) On suppose que T n'est pas d'ordre fini, ce qui signifie que, pour tout N, il existe une fonction{/JN que l 'on peut supposer être à support compact dans K2 telle que :

1( T, {IJ N )1 ;;:: N suplalsN l{/J� l

En prenant 1'/ = {/JN / ( T, {/JN ) ' montrer que 1 11'/ N l lcN s; If N et que ( r, .,, N ) = 1 . N c) Montrer que, pour toute fonction VI de � et tout e> 0 , il existe Ô> 0 tel que


d(lf/, O) < ô entraîne l(T, lf/) I < e . Montrer que d(17N , 0) � 2/ N + i-N < ô . Conclure à une contradiction et que toute distribution à support compact est d'ordre fini. Exercice N°14 (Distributions paires, distributions impaires) a) Montrer que toute distribution est la somme d'une distribution paire et d'une autre qui est impaire. Trouver les relations entre les parties paires et impaires d'une distribution et de sa dérivée. b) Trouver toutes les distributions T qui sont les primitives de ô0 . Montrer qu'une seule d'entre elles est une distribution impaire. De façon plus générale, montrer que, si T est impaire, toutes ses primitives sont paires et que si T est paire, il existe une primitive unique qui soit impaire; Exercice N°15 (Produit d'une distribution par des fonctions de type puissance)

1 °) Montrer qu'on peut définir le produit de T d'ordre fini � m par une fonction de classe em . Ce produit est-il d 'ordre � m ? 2°) Montrer que x T = 0 si et seulement si existe une constante C telle que T = C ô 0 . On utilisera la décomposition tp = tp(O)u + x lf/ où u est dans :h et vaut 1 en x = O et lf/ E ::b . Montrer que : si x0 :;t: 0 , alors ( x - x0 ) T = 0 <:> 3 C, T = C ô x . 0 3 °) Caractériser les distributions T qui vérifient (X - Xo r T = 0 . Exercice N°16 (Continuité de l'opérateur de multiplication par une fonction)

Montrer que, si f est donnée de classe e00 , l' endomorphisme T H f T de :h' est

continu. Montrer que, si f E ck (n) , T H f T est continu de ( .'.Dk ) ' dans lui-même . . Exercice N°17 (dérivées des fonctions au sens des distributions)

En utilisant la formule de dérivation (Exemple 2.6 .A), établir, pour des hypothèses convenables, les formules correspondantes à l 'ordre 2 et l 'ordre 3 . Trouver les dérivées jusqu'à l 'ordre 3 des distributions régulières correspondant aux fonctions t H ( Y(t ) - Y(t - 2n))lcos tl et t H !cos tl . Exercice N°18 (Exemple de dérivation d'une partie finie d'exposant entier)

Définir la distribution Pf(Y(t)t -3 ) et calculer sa dérivée en faisant intervenir la partie

finie Pf( Y(t )t -4 ) . Vérifier la formule de dérivation du produit t. Pf( Y(t)t -3) . Exercice N°19(Exemple de dérivation d'une partie finie d'exposant fractionnaire)

Montrer que : (Pf(Y(-t)r1 lf112 ). tp)= !�0[f� tp(t)r1 lf112dt + 2�(o) e-1/2 J . En

utilisant la définition de Pf(Y(t) t-3!2 ) (Cf exemple 2.4 .B), dériver Y(t) t -If2 . Exercice N°20 (Dérivation de parties finies bilatérales quelconques)

Dériver les distributions Pf (r2 ). Pf(t-3) . Exprimer Pf(t-n ) et trouver sa dérivée

Exercice N°21 (Dérivation d'une partie finie portant sur une valeur absolue)

Soit la distribution identifiée à la fonction f localement sommable If 1/2 de dérivée non

localement sommable. Montrer que la dérivée [/] ' est la partie finie de -i-1 t-1 ltl -1/2 .


Déterminer la dérivée de Pf{lf"-1/2 ) . Exercice N°22 (Ordre des dérivées d'une distribution)

1 °) Soit T E .'.D(IR), d'ordre exactement égal à k (Cf définition 2.4 .A) . Montrer que T' est exactement d'ordrek + 1 . Pour cela, soit K un compact et une suite ('Pn ) c .'.DK (12.)

avec : j'PV) j00 � Cj pour j � k - 1 et j(T, ipn )J � +oo . Soient z e .'.D (IR) et d' intégrale 1 et un intervalle 1 contenant Ku supp z . Soit Pn = 'Pn - z! 'Pn et If/ n = f

]Pn (t)dt I .l[a,x

où a est pris hors de /. Montrer que J( T' , If/ n )J � +oo alors que, V j � k , 11// V) 100 � C' j . 2°) Soit une fonction de base tp dont le support est contenu dans ]-2-1 ,2-1 [ . On

considère la suite définie par If/ n ( x) = n -a ip( n x) où a est un réel donné. L'entier k étant donné, montrer, par un choix convenable de ip et a en fonction de k, qu' il existe des suites (l//n ) telles que 'lfn � O dans .'.Dk-I et l//n(k) (o) � +oo (ch�isirip(k) (ü) > O ) .

3°) Montrer que la distribution T telle que T = L jeN ( o j )(j) n'est pas d'ordre fini � k (Utiliser, comme dans 2°, des suites de fonctions à support dans ]k -r1 , k + 2- 1 [ ) Exercice N°23 (Limite d'une famille de polynômes dans .'.D' (ffll)) a)Montrer que la limite dans .'.D' (12.2) de p27r-I ( 1 - {x2 + y2 )P-I r3 lorsque p tend vers +oo est Ô(o.o) . Pour cela, on prendra (px,py) pour variable d' intégration dans l ' intégrale exprimant l'action de cette suite sur la fonction de base ip et on fera, à l 'aide d'un théorème de Lebesgue, le passage à la limite qui fait apparaître exp(-( x2 + y2 )) . b) Calculer dans .2)' (!RN) la limite lorsque p tend, vers +oo de PN 7r-N/2 (1 - 1x12 p-1 r3 On rappelle (Cf annexe 1 .2 ) que 7r-N/2 fRN exp(-lxl2 }tx = 1 . Le résultat de cet exercice sera utilisé dans l 'exercice N° 6 du chapitre 3 . . Exercice N°24 (Changements de variables pour les distributions) 1 °) On désigne par H 1' application de 12.2 dans lui-même telle que :

H(x,y) = (u, v) = (x + y, x - y) . Montrer que H est un difféomorphisme. Une distribution T sur 12.2 étant donnée, rappeler la définition de T oH-1 qui peut se noter aussi improprement r* (u, v) (Cf § 6 .5 , chap 2. A). Calculer, en fonction des dérivées partielles de T, les dérivées partielles de cette distribution r* (u , v) . Montrer que 4ô ;v(r* ) = a;xr- a;Y r . 2°) Les nombres réels a et b étant donnés non nuls, montrer que l 'application qui à tout


élément <p de :h ( IRl. 2) associe J: <p( a t, b t) dt est une distribution. Montrer qu'on peut la

noter (Cf exemple 2 . 1 3 .B) ô ( S) où S est définie par S(x,y) = bx -ay . Trouver son support et son ordre. Déterminer la distribution aô X ( ô( s)) + b ô A ô( s)) . 3 °) Soit l 'équation E d'inconnue T : ôxT- ôyT = ô(x + y) . On utilise H (CfN°I). Montrer que (o (y - x) oH-1 , lf/(u, v)) = s:lf/(0, t)dt . En utilisant la notion de produit

tensoriel (Cf chap 3 .A) prouver que la transformée de E s 'écrit 2ô v T"' = Ô (u=o)® lv . Soit V la fonction (u, v) H v et (} une distribution arbitraire sur !Rl., montrer que la solution générale de E est T* = 2-1 ô ( 11=0) ® V + e( u) ® lv . L'exprimer à l 'aide de XJ'. Exercice N° 25 (Primitives et dérivées de fonctions localement sommables)

1 °) Montrer que si / est localement sommable, la fonction F telle que F(x) = J:!(t)dt admet [f] pour dérivée au sens des distributions (Utiliser Fubini)

2°) Soit le sous-espace H1 (!Rl.N) de Il_ 2(1Rl.N) constitué des fonctions f dont les dérivées premières jj au sens des distributions sont encore des éléments de Il_ 2(1Rl.N) . On pose, 11·1 1 ( 2 N 2) 1/2 étant la norme dans o._ 2(1Rl.N) : 11111 1 = llJll + L1 llfj Il a) Montrer que la formule précédente définit une norme dans H1 (!Rl.N) . b) Montrer que le sous-espace H1 (!Rl.N) nl'' (!Rl.N) est dense dans H1 (!Rl.N) . (Utiliser la

suite j n ( x) = j ( x ). Â. ( n - I x) avec f E H 1 , Â. E :h , Â. = 1 sur [- 1, 1] et 0 :::;; Â. :::.; 1 . c) En utilisant une suite régularisante (§ 1 . 1 du chapitre 2.A), montrer que :h est dense dans H1 (!Rl.N) nl'' (!Rl.N) et en déduire la densité de :h est dense dans H1 (!Rl.N). Exercice N°26 (Théorème de Borel)

La suite réelle (an ) étant donnée, on veut prouver qu'il existe g de classe e00 telle que \ln E � ' g(n) (o) = an . Soient, pour cela, If/ E :h {]-1, + 1[) , valant 1 sur ]- 1/2 , + 1/2[ et, les Â. n étant à choisir plus loin (.4. n� 1) , les fonctions fn (x) = (an /n !)xnlf/ (Â. n x) . 1 °) Montrer que si toutes les séries Ln eN JJ k) convergent uniformément, la somme g de la série des fn satisfait à la condition énoncée (on utilisera la formule de Leibniz) .

2°) Supposons k :::.; n - 1 . On pose Mn =supO!'>k9i-I llf/(k) l00 • En notant que fn (x) = 0 si

X > Â n-1 , montrer que IJjk) l :,; lan lMn l.4. n l -l 2n , donc, si l...i n j � sup(lan lMn 4n , 1) , le résultat : de convergence uniforme : \ln � k + 1, l1jk) I ::;; i-n . Conclure

Exercice N° 27 (Exemples de suites non convergentes au sens des distributions)

Soient ( xn ) une suite infinie de réels dans un compact K de !Rl., (k n ) une suite croissante


d'entiers tendant vers +oo et une suite (an ) de réels telle que lan l > 0 et telle que la suite

de distributions définie par T,, = L::�a jô > converge dans ::!>' vers T . On suppose, ce J qui ne restreint pas la généralité, que la suite ( xn ) converge vers un point de K noté L. a) Montrer que T est à support compact donc d'un certain ordre fini k. Conclure qu'il existe une constante C telle que, pour tout rp dans ::!> , 1( T, rp )1 � C 11k .K ( 9>) (*) . b) Un théorème de Borel (exercice N°26) affirme qu'il existe des fonctions de classe e00 dont les dérivées successives en un point L donné sont égales aux terme� d'une suite numérique donnée. Montrer qu'il existe une fonction rp de ::!>(�) à support dans

[L - 1/2 , L + 1/2] vérifiant la propriété 'Vn : rp (kn ) (L) = (anf1.

Posons cj = lrp(jlo et p11 = infm'l'n (d(xm , xn )) . Montrer que Pn > 0 et que limpn = 0 c) Soit fPn (x) = rp( L + x �:n) . Etudier la valeur de fPn (xm) pour m * n . Soit n0 tel que

n 2! n0 => kn > k + 1 et p11 < 1 . En écrivant l ' égalité (*) pour fPn , prouver que

: l(T,rpn )I = (p!n ) -l � C'Lj�k cj (P�r 1 et terminer par l ' inégalité Lj�k cj 2! c-1p:-kn qui constitue une absurdité. Conclure qu' il n'existe aucune suite de réels telle que lan l > 0 et telle que la suite de

. _ (k .) distributions définie par T,, = L�=� a jô t . 1 soit convergente dans ::!>' . J Exercice N°28 (Parties finies de produits de puissances par un cosinus et division par

la variable)

Soient les distributions définies par ( 1k , rp) = r��/ -k cos t ( rp(t ) -L�-l rp(j) ( 0) tj /J I) où k est un entier strictement positif 1°) Montrer que Tk est une distribution d'ordre inférieur ou égal à k. Montrer que son support est I = [-n/2, n/2 ] . Pour voir qu'un point t0 de 1 est dans suppTk , on choisira

une fonction telles que les k - 1 premières dérivées sont nulles en t0 et rp(k) (t0) > O . 2°) Montrer que les solutions de t U = li sont définies par : U = Ti � C ô . Généraliser . . Exercice N°29 (Solution élémentaire de l'équation des ondes)

On pose E(x,y) = 1/2 si y - lxl > 0 et 0 sinon . Calculer ô; [E] - ôxi (E] . Exercice N°30 (Existence de peignes dans des ouverts de Ill) 1 °) Montrer que pour tout réel a la série Ta = L;oo na ( ô 1/n - ô-1/n ) converge dans

J:J' (� l{O} ) . On observera que les termes généraux sont nuls pour n assez grand. Montrer que cette série converge dans ::!>' (�) si et seulement si a < 0 . 2°) Pour 0 � a < 1 , soit Sa telle que (Sa , rp) = L na ( rp(lfn) - rp(- lfn) - 2/nrp' (o)) . Montrer que Sa est une distribution dont la restriction à Of est la distribution Ta . Exercice N°31 (Egalité d'un peigne et d'une certaine série de Fourier)


1 °) En utilisant des primitives d'ordre 2 et les propriétés des séries de Fourier, montrer que S = L: exp(2i mc t) converge au sens de2>' et que S vérifie ( 1 - exp(2 i 7! t))S= O .

Montrer que sur ]-N, N[ , il existe a, fonction e00 , ne s'annulant pas sur les entiers, telle

que l 'on ait : 1 - exp(2i7! t) =a(t) (t + N - 1). . . . . (t - N + 1) . En déduire S = L: cnô n , puis, en utilisant la périodicité, montrer que en est une constante C. 2°) Soit f(t) = L:{1 + n2r1 exp(2 i 1l n t) . A l 'aide d'une équation différentielle,

montrer que f(t) = b (exp(27!(t - 1/2) + exp(-2 7!(t - 1/2)})) sur ]o,t[ . En calculant la

dérivée seconde de f, trouver une relation entre b et C et calculer la constante b en calculant de 2 manières différentes l ' intégrale de/ sur [0, 1] . On trouve finalement C=l . Exercice N°32 (Distributions ô ( ! ( x)) et dérivées)

1 °) On reprend les distributions ô (f (x)) et ô ' (f (x)) de § 6. 5 .2 du chapitre 2.A. En reprenant la définition, déterminer ces distributions pour les fonctions f suivantes : x2 - 1 , x3 - 1, x4 - 1 , sin x/ x . Pour chacune de ces fonctions, vérifier la formule de

,

dérivation composée : (ô (f(x)}) = f '(x). (ô ' (/(x))) 2°) Prouver les formules de § 6. 5 .2 concernant les dérivées ô ' (f(x)) et ô (k) (/(x)) . Exercice N°33(Dérivations de distributions Y o S , S étant une courbe ou une surface) 1 °) Achever, dans les exemples 2. 14 .B et 2. 1 5 .B, les dérivations par rapport à x ety 2°) Etablir les formules de dérivation d'ordres :5: 2 (Cf exemples 2. 1 3 .B et 2. 1 6.B) pour Y(E) où E est successivement E(x,y) = x2 + 2y2 - 1 et E(x,y, z) =2 z2 + {x2 + y2 ) . Exercice N°34 (Mesure portée par une courbe, dérivée définie par des parties finies)

a) A l' aide de (T, qi) �- (4pf1 (vp(y-1 }9>/( ;>)) + ( 4p r' ( P/�-2 ).{ ;>)) qui donne la définition de T = (ô(S))' pour S = y2 - 2px dans l 'exemple 2. 1 6 .B (Cf

remarque), vérifier les 2 formules Ôx (ô(S)) = ôxS(ô(S))' et Ôy (ô(S)) = ôyS(ô(S))' . b) Dans l ' exemple 2. 1 8 .B, définir rigoureusement (ô(P))' à partir de la définition

formelle ( ô(P), ôx ( (2xf1 <p)) et vérifier (a1P)(ô(P))' = ôJ {ô(P)) où j e {x,y, z} . Exercice N°35 (dérivation totale sur des cercles ou des sphères. Equation des ondes)

1 °) Dans le cas N = 2 , on désigne par le cercle r d' équation x2 + y2 = R2 . On rappelle

la formule de dérivation de l ' exemple 2. 1 7 .B : (ô(r)' , <p) = -(2Rf2 fr ôr<pru . Prouver la

la formule : (( ô(r)) (k) , <p) = (-l)k (2Rf 1 fr (2:a,J k (.p )ch . 2°) Dans le cas N = 3 , on désigne par S la fonction définie par S = x2 + y2 + z2 - R2 associée à une surface sphérique. Montrer que ô(S) (Cfchapitre 2.B, §3) est définie par

(ô(S), .p) = (2Rf1 J8 <p(m)dw où dw est l ' élément d'aire sur la sphère.


Vérifier que la dérivée totale est définie par : (ô ' (S), 'P) = -(4R3r1 fs ; (r 'P)(m) dœ . Pour cela, on exprime Ôx'P à l 'aide des dérivées par rapport aux coordonnées polaires

(r, 8, Tf) . Montrer que f �(2xr 'P) dœ = Rf (2tp+ Rôrtp)cosOcos TfdaJ et en déduire s ôr s

que (ôx (o(S)) - 2xô' (S), 1P) = (2R2r1 J8u(e , .,,)iœ , la fonction u étant définie par

u(e , Tf) =2 cos8cOSTf 'P +sin8cOSTf Ô9tp - (coser1 sin Tf i} .,,'P . Montrer enfin que

U( (}, T/) cos(} peut se mettre sous la forme cos T/ iJ 9V + iJ 11 W et que, par intégration en

(} , T/ , l ' intégrale fs U(O , Tf}iaJ est nulle. Vérifier les autres formules de dérivation.

Note : La formule générale s'écrit ((o(S)) (k) , tp) = (- l)k (2Rr2 fs (2�7r (r tp )dœ 3°) Dans le cas N = 3 , montrer que f(x, t) = ô (r2 - t2 ) , où t > 0 est considéré comme

paramètre est une solution de l ' équation des ondes A - 8 2 / iJ t2 = 0 . On montrera que la dérivation par rapport à t obéit à la règle des fonctions composées et on utilisera la relation S. ô (s)(k) + k ô (sik-I) = 0 de la proposition 2.4 .B . Montrer que f vérifie les conditions initiales limH0 f(x, t) = 0 et limHo iJ tf = 2 7lô (o.o.o) (limites dans ;:;y (11�.3)). Exercice N°36 (solutions élémentaires de l 'opérateur de la chaleur) Soit, dans )0, + oo[ x !RN l 'opérateur de la chaleur. En notant (t, x) l 'élément générique de cet espace, il s' écrit : E = iJ 1 - c A x où A est le laplacien habituel dans !RN et c une

constante positive. On propose de montrer queF(t, x) = Y(t)(47ec tfN12 exp(- lxl2 /4 ct) est une solution élémentaire de cet opérateur. On commence par le cas N = 1 .

1°) En utilisant la variable (4c tfl/2 x , montrer que l ' intégrale de x H F(t, x) sur IR est

égale à 1 . Soit tp une fonction test sur IR x IR. L'intégrale exprimant ( F, iJ 1 tp) étant mise

sous la forme d'une limite d' intégrale du type JR (J; ) , montrer (en utilisant une

intégration par parties, puis le changement de variable x = e If2y dans l 'une des intégrales

obtenues) que ( iJ t [ F], tp) = lim 6�0 J; J R tp F/ dxdt + 'P( 0, 0) . En utilisant ensuite le fait

qu'en dehors de 0, F est solution deEF = 0 , puis en effectuant deux autres intégrations

par parties, transformer l ' intégrale J; J R tp F/ dxdt . Conclure finalement à la propriété

annoncée, autrement dit, que E [F) = ô(o.o) . Généraliser à N quelconque.

Exercice N° 37 (Division par x dans le cas de plusieurs variables)

a) En adaptant le procédé de §5 . 3 .4, chap A, et en se limitant à 12.2 par exemple, montrer que, T étant donnée, il existe S E ::b' telle que xS = T . Pour cela, pour tp E ::b (IR 2), on pose x(x,y) = tp(x,y) - a(x)tp(O,y) , où a E ::b (IR) avec a(o) = 1 , et on associe à tp la


fonction l//rp = f�ôxz(tx,y)it . Montrer que l//rp est dans .2'.> (11�.2) et que

z(x,y) = xl/frp(x,y) . On montrera qu'une solution S est définie par (S, <p) = ( T. l//rp ) . Déterminer la solution générale. Généraliser à xm yn S = T .

b) Soit z D la fonction caractéristique du disque de centre 0 et de rayon 2. En utilisant la notion de valeur principale, trouver U telle que (1 - r 2 )u = ZD . A l 'aide de o(r2 - 1) , trouver une infinité de solutions (Cf prop 2 .4.B).

Exercice N°38 (Image d'une distribution par une application de classe C00) 1 °) Soit A une application indéfiniment différentiable de 12.2 dans 12. telle que l ' image réciproque de tout borné de 12. soit un borné de 12.2 . Soit une distribution T sur 12.2. Montrer qu'en posant (A(T), <p) = (T, (12.), on définit une

distribution, notée A(T) ,de .2'.> ( 12.). En prenant A(x,y) = x2 + y2 , trouver les images des distributions Yx ® Yy (à savoir la fonction caractéristique de {x > O,y > O} ) eto(a,b) . 2°) Généraliser à une application A de 12.N dans 12.N' . En particulier, pour N = N' = 1 , définir les distributions f(o a ) où/ est une fonction convenable. Exercice N°39 (Couches multiples sur des hyperplans, cas de 2 ou N variables) Définir o(S) et ses dérivées totales lorsque S = ax + by = d avec. ! !"V' Sil = 1 . Montrer que

si (T, <p) = fs=oLa(i.k) (x,y)d1·k)<p(x,y)dw , où les fonctions a(i.k) sont de classe

e00 , T est une distribution identifiable à une somme de couches multiples Cf §3 .� .chapB) faisant donc intervenir les dérivées totales de o(S) . Préciser les densités à l 'aide des fonctions a(i.k) . Généraliser à un hyperplan S quelconque dans 12.N.

Exercice N°40 (Solutions élémentaires d'opérateurs différentiels de type d'Euler)

Soit D l 'opérateur différentiel défini sur les distributions par D(y) = x2 y" + b x y ' - b y . 1 °) Déterminer, pour n � 0 entier quelconque, la distribution n(a

(n) ) et trouver les

conditions, sur n et sur b, sous lesquelles on a n( o (n) ) = Co où C est une constante

non nulle et en déduire alors une solution particulière de l ' équation dite d'Euler D(y) = o . Déterminer les solutions du type y = Ko (n) de l 'équation D(y) = 0 . 2°) a) Déterminer les fonctions puissances lxlk , où k est un réel, qui sont des fonctions solutions particulières de l 'équation homogène D(y) = 0 sur ]-oo, 0( et ]o, + oo( . b) En déduire, dans le cas particulier où b < -1 , les solutions de l 'équation D(y) = o . c) On suppose que b � -1 avec b '* 1 . RésoudreD{y) = o en se limitant d'abord aux cas

b = -1 , b = 0 , puis b entier ( b = n > 1 ). Dans ce dernier cas, on remplacera lxl k par

Pf( xk ) et, on aura soin, pour trouver les solutions de D(y) = 0 , d'utiliser la fin de la

question 1 °) . Achever dans le cas où b n'est plus un entier.' 3°)Résoudre x2 y"+xy'-y = o . Montrer que -r1 Pf(Y(x)/x) vérifie l 'équation complète.

CHAPITRE 3.A

PRODUITS TENSORIEL ET CONVOLUTIF

L'étude d'un produit de convolution de deux fonctions, considéré comme une distribution, amène à la notion de produit tensoriel de deux distributions qui généralise celle de produit tensoriel de deux fonctions. Cette généralisation nécessite l 'étude de fonctions du type x � (l'y; , cp( x, y)) où le symbole l'y; indique que T agit sur la fonction

y � cp(x,y) . De façon analogue aux fonctions définies par des intégrales dont l ' intérieur dépend d'un paramètre autre que la variable d' intégration, on étudie en particulier la possibilité de « dériver ou d' intégrer sous ce crochet » . Un premier paragraphe de préliminaires présente cette étude et, en outre, quelques compléments sur la convolution de fonctions de base. Dans ce qui suit, on désigne par X et Y respectivement les espaces �P et �q. Les fonctions définies dans le premier utilisent la variable x, celles définies sur le deuxième utilisent la variable y. 1 . PRELI M I NAIRES

1. 1. Convolution et translations Proposition 3. 1.A

--�il��[�fl-llfll!lm 12n9.l§g�� ·:g� ·ç� 9�tn!�füË§î5#Ç�J4� 9Am1'ihij�§9#§ U#�rur�� :9� �tmi:�!#t��§: 9ÇJ" ::: : · • ): : : : ·:· 1::;·:: : • : ·:: : La preuve de cette proposition est contenue dans la proposition qui va suivre. 1.2. Approximation dans .'.D(n x n') . Théorème de densité

On désigne par X et Y respectivement les espaces �P et �q. Soient deux ouverts n et Q' inclus respectivement dans X et Y. On note j ® g le produit tensoriel des fonctions f et g définies dans .'.D(fl) et dans .'.D(fl') , c'est à dire la fonction qui à tout (x,y) de fl X fl' associe f(x)g(y) . Cette fonction est dans .2J(n x !l') . Le sous-espace vectoriel de .2J(n x n') engendré par ces produits tensoriels est noté .'.D ®(n x n') . Proposition 3.2.A .t .... :.·.'·'°'.:·;·a.::.·.;�.'.ur.'.�.'.·.: ... b .... :.•.i.L.:.••.1.•.'.:.�.•.'.e .•.•. ·.µ .. •.••.n.: .••. ::.l.•.\,:.! .•. ·.: .• :.�.a.: .. ' .. n.•.·.:.e.·• .. :.••.1.h .•. •.1.·.•.·.'.:.'.i.' ... t.:.:.:.•.·.·.r . •.•. k. .•. a.' ..•.•..••... ·,··.a.'.•.••.•t• ..•. � .

.. •.:.'.•.:.s.•·.k.'. ·.'. .•..•.••. �.'.•.tK1•.k.· .. : .• ·.•·.•.·.•.•.:ac.•·.·•.•.·•.n .••.••... ••.e.:···········:····::.l.· .·/È.·:·······n .•.•....•

...•.... •.•.••. ®.·.·.•)•.·.••.··•.< .... •• ... n .••....••.•. •:•.: '.��·�j�fllJl�lf�-!lfl-c 71:\ :::::: :::: . : : .:. : · : · : : .:. ·:·:: : · : ::: : : : : :· ::�:�: · : : : : . : :: : ::�::::::=:::::·:· ::::::::::: ·:::-::�:)::::{�:::::�:::::::::::}:::::<:::>::::· :-:-::::}�::::{:�{:}}:({�}��:{{��({{:�(:}}}::�::::;:;:::::::;::::: Preuve

On fera la démonstration en se limitant à k = oo et aux dimensions p = q = 1 . Soient deux suites régularisantes (Cf § 1 . 1 de chap 2 .A) (} n et Â n respectivement dans .2J( n ) et

.2J(!l') . Il est aisé de voir que l/f 11 = 811 ®Â n est une suite régularisante dans


.2'.l(n x Q') , ce qui implique que tout élément <p de .2'.l(n x O') est la limite dans cet espace de la suite (<p * If/ n ) . Fixons n, posons g = <p * If/ n et montrons que g est une limite dans .2'.l(n x Q') de combinaisons linéaires de translatées de la fonction If/ n . Posons G((x,y), (u, v)) = lf/11 (x - u,y - v)<p(u, v) = fJn (x - u)...i n (y - v)<p(u, v) de sorte que

g(x,y) = fJ G((x,y), (u, v))dudv . Recouvrant l ' espace par des carrés llk,/, e de centres

(sk, 8 1) et d'arètes de longueur s dont les fonctions caractéristiques sont notées Zk,/, e , on approche la fonction G par la fonction G6 définie parG6 = G((x,y), (sk, .s:l))zk ,l, e de sorte que :

g6 (x, y) = Jf G6 ((x,y), (u, v))dudv = s2L(k,l)eZ2 fJn (x - ks)...i n (y - 1 s)<p(ks, ls) soit une approximation de g. Il faut noter que cette dernière somme est finie puisque rp est à support compact K dans ll�.2. Par ailleurs, elle exprime une combinaison linéaire de tranlatées d'un produits tensoriel, ce qui veut dire que g6 E .2'.l 0(n x 0') .

Il nous reste à prouver que lorsque s � 0 , alors g 6 � g . Les supports de g 6 sont inclus dans H = K + Ll * où s * est pris assez petit pour que 0,0,& cette somme soit dans n x Q' . Les supports des suites régularisantes étant arbitrairement petits, on peut supposer que n est assez grand pour que leurs translatés des indices ks et le utilisés dans le sigma précédent soient tous dans H' contenu dans n x Q' . La fonction G est uniformément continue sur H x H' , donc pour tout a > 0 , il existe

� � rp 0 tel que lmm'I + lµµ 'I ::;; 1] ::::> IG(m, µ) - G(m' µ ')I < a . Si donc s < 17, on a SupH'xH IG -G6 1 ::;; a , donc en intégrant en (u, v) sur H, on obtient

sup H lg - g 6 1 ::;; a , ce qui entraîne la convergence uniforme de g 6 vers g. Quant aux

dérivées successives, on sait que les dérivées de g vérifient n(P) g = n(P) If/ n * <p et que les

dérivées D (p1 ,p2 )1f/ 11 est le produit tensoriel DP1 f)n ® DP2 Â. n . Il en résulte que le

raisonnement précédent s'applique et prouve que n(P) g6 ----:;D(P) g uniformément sur

H 0 . . l 2>( nxn') L . ' . n peut ams1 conc ure que g 6 > g . a preuve est termmee.

1.3. Dérivation et primitivation sous le signe de distribution Sous certaines hypothèses, on sait que, pour dériver une fonction définie par l ' intégrale

fRf(x,y)dy , on peut dériver sous le signe somme, autrement dit, on peut commuter

l 'intégration et la dérivation. On suppose ici que T est un élément de .2'.l1 (Y) (resp de .2'.l' (n') ) et <p un élément de G'(X x Y) (resp deG' (n x Q') ) de support contenu dans X x K où K est un compact de Y (resp deQ' ) et telle que , pour tout indice de dérivation (k, /) par rapport au couple

(x, y) , existe une constante ck,1 assurant : Vx E X, lnk,l <p(x, . )L ::;; ck ,l · On considère la fonction � T où � T(x) = (i_;,J , <p(x,y) ) . L'objet de ce qui suit est de

CHAPITRE 3.A. PRODIDTS TENSORIEL ET CONVOLUTIF 149

montrer que </J T est de classe (;00 , les dérivées de </J T étant obtenues par dérivation SOUS le signe crochet (ou signe distribution), à savoir :

'v'x E !l, Dk </J T(x) = ( I'y) ,D !Ç>(x,y) ) . Pour la dérivabilité d'ordre 1 par rapport à une des composantes xi de x, il faut établir :

L�[( )] = o . La fonction de h qui figure sous cette limite est l ' image par la distribution T de la famille de fonctions de base { Ç> h } définie, x étant fixé, par :

Ç> h(Y) = (Ç>(x + he i ,y) - Ç>(x,y))h-1 - Ôxi Ç>(x,y) . Il suffit donc de prouver que cette famille tend vers 0 avec h dans .!D(n) . Or, les supports

des fonctions y 1--7 Ç>( x, y) et y 1--7 Ç>( x + h e i , y) sont inclus dans K, ce qui implique que le support de Ç> h est contenu dans un compact K indépendant de h. De plus, la formule de

Taylor en la variable xi appliquée à Ç> nous donne Ç> h(Y) = (h/2)ô ; . Ç>(x+ Oh, y) , J quantité qui peut, grâce à l 'hypothèse, être majorée par lhl c où c est une constante du type ck.I • d'où la convergence uniforme sur K de Ç>h vers O. C'est la même chose pour une dérivée quelconque de Ç>h . Par exemple, pour la dérivée du premier ordre en Yk , on

a : jdk Ç>h (Y)I s; l(h/2 )a; . x . y Ç>(x + Okh,y)I s; lh/2lsupltJ! . x . y Ç>(x + Okh, .), s; lhl c ' . J j k j j k OO

En poursuivant, on a Ç>h � 0 dans 2° (Y) , d 'où l 'on tire dxi (x,y) ) . En remplaçant ( Ty J , Ç>( x, y) ) par ( Ty J , ô xi Ç>( x, y) ) , une preuve précédente fournit les

de


Preuve

Le support de <p étant compact dans 0 x O' , la condition de supports de la proposition précédente est évidemment remplie. De plus, sur ce support, la fonction <p et ses dérivées d'ordres quelconques sont bornées, ce qui entraîne la deuxième condition et la validité de la proposition 3 . 3 .A. Ajoutons que si H désigne le compact dans 0 constitué par la projection sur 0 du support de <p , on a : 'ïlx <J. H, (Ty; . <p(x,y)) = 0 . On en déduit que le support de � T est compact dans 0 et finalement que � Te 2(0) .

Corollaire 3.5.A

'···

$

.',:.;;,1.:,:.·,n:. ,i.1,·.·

: .. :,�• .. ;· .. i,:"i.'.�i . . l.!.·.·i.,l.ll .l� . . il . . lf .. l.il . . i j�rnm:�;�}�:i��i�i�:�� . ·=· :-·· ·.·.·-·-· . . . . =·· -:·:·=·=·:·:·=·::=:::=:=::::::;: :=:=:::=:::::::::=::: ·:=: :::::::=:::::=::::::;::::::=:::=:=:=:: :::=:=:=:=:::=:=:=:=:::::::::=:=:::::::::: ::::::::::::::·:: ::=: �?��)H:�n:::;: : �::U:fü/1/i�jJ�}IJ�fj.�.t.�.�.�.�:.• .�.'.' ·= =:=>�:): =::::;::::: :===:=::::;:;::::=:=::::::::::::::::::::: :=:==:=:=:==::=======: =�:�:j:j: �\ .. · .. ��.1�.� :==== ==:::: ····- ·· ··-·=·=·=·=·:·=·= · · -:=:=:-:::>·:-:=:::=:=:::=:=:=::: : :=:=::;::: :===:::::::::·::::: : :::::::: ::::::::: -:::::::::::::::::::=·:·:.: -· :=:=::::::::::::::::::::::::::::::::::::: ::::::::::::: :.::::: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ::::::=: =:::::::::::=:=::/Ht\�Jfüitt )J{/jf ��?��:�? ::=:=:�:�:j =�=��f �{=��!�i�Ii�I�!�li� Preuve

Posons lf/(x,y) = r: rp(t, y}try . Cette fonction est bien de classe e00 dans I X 0' et, sans

être compact dans I x O' , son support a une projection compacte K sur O' . La propriété de majoration uniforme en x des normes des dérivées est vérifiée. En effet, les dérivées d'ordres supérieures à 1 en x sont des dérivées de <p , donc bornées en 2 variables. Les dérivées par rapport à y sont définies par des intégrales sur [ 0, x) de fonctions de 2(1 x O') , elles sont également bornées. On en conclut que la .proposition 3 . 3 .A s'applique au second membre de l 'égalité à démontrer ; sa dérivée au point x est donc ( Ty) , rp( x, y)) , par conséquent égale à celle du premier membre de cette égalité. En tenant

compte du fait que ces deux membres sont nuls pour x = a , l 'égalité en résulte. Remarque 3.1 .A Dans la formule précédente, les intégrales peuvent être prises sur le compact de 1 constitué par la projection du support de <p sur 1. Par ailleurs, au moyen de la formule de Fubini, une intégration sur un produit cartésien d ' intervalles ouverts et, en particulier, sur un espace vectoriel X se ramène au cas précédent. On en déduit : Corollaire 3.6.A

•• ,1111•� 2. PRODUIT TENSORIEL DE DEUX DISTRI BUTIONS

Lorsque f et g sont localement sommables (resp sur 0 et O' ), i l en est de même pour f ® g dans 0 x O' . Il est naturel alors de considérer la distribution régulière, notée [! ® g) , qui à la fonction <p de 2(0 x O') fait correspondre l ' intégrale

foxn,f(x)g(y)'p(x,y)dxdy . Or, cette intégrale s' exprime, par exemple, par l ' intégrale

f0f(x)� g(x)ix où la fonction � g est définie par ,P g (x) = J0,g(y)'p(x,y)4y . Nous avons vu dans la proposition 3 .4 .A que ,P g et, plus généralement � T où

CHAPITRE 3.A. PRODUITS TENSORIEL ET CONVOLUTIF 151

(J r( x) = ( Ty) , 'P( x, y) ) , est une fonction de .'.Zl( n) . La fonction f pouvant alors se

généraliser en une distribution U, il importe d'étudier l ' application <l> r qui à la fonction rp de .'.Zl(n x !l') fait correspondre la fonction (J r .

2.1. Etude d'une application <l>r de l'espace dans l'espace.'.D(n) Cette application est évidemment linéaire. Montrons qu'elle est continue pour les topologies des espaces .2l Supposons qu'une suite ('P n ) converge vers 0 dans .'.Zl(n x n') . la suite { <l>r ( 'P n )) des

fonctions correspondantes converge alors vers 0 dans .'.D(n) . On voit d 'abord que les supports de ces fonctions sont contenus dans un compact K fixe, projection sur l 'axe des ordonnées du compact fixe contenant tous les supports des 'Pn considérées. De plus, si la

suite ('P n ) tend vers 0 , alors la suite des fonctions 'Pn = <l>r ( rp 11 ) de la variable x et les suites de leurs dérivées convergent uniformément. Pour cela, raisonnons par l 'absurde en supposant par exemple que la suite elle-même {<1>r ('P 11 )) ne converge pas uniformément vers O. Sous cette hypothèse, il existe un

nombre & et une suite (t 11 ) de points de K telle que i 'P 11 (t 11 )i > & , autrement dit telle que l(Ty) • 'Pn (tn ,y) )1 > & . Or, ceci est absurde. En effet, la suite ('P n ) converge vers 0, on en

déduit qu' il existe n0 tel que \:ln '?. n0 => Supltp n (x,y)I < & . En particulier, on en déduit

\:/n "?. n0 => Sup lrp 11 (tn ,y)l < e La même propriété étant vraie aussi pour chacune des

dérivées par rapport à y, on obtient que la suite 'Pn (tn ,y) est convergente vers 0 dans .'.Zl ,

ce qui est contradictoire avec l ' inégalité 1( Ty) , tp n (t 11 , y) )1 > & . 2.2.Définition du produit tensoriel Faisons entrer en lice une deuxième distribution U élément de .'.D' (n) . On peut l'appliquer sur la fonction (J r . Le couple (U, T) fait ainsi correspondre à la fonction rp de .'.Zl(n x n') , le nombre complexe (U,<l> r('P)) . Montrons que l 'application linéaire qui à rp associe ce nombre est dans .2) ' ( n x n') ; on la note alors U � T . Soit une suite ('P11 ) tendant vers 0 dans .'.Zl(n x n') , alors, d 'après ce qui précède, 'l'n = <l>r ('P 11 ) tend

vers 0 dans .2l{n) , d 'où il résulte que (U, '1'11 ) tend vers O . La forme linéaire précédente est donc bien une distribution, élément de l ' espace .'.D' (n x !l') . Dans la situation présente, le premier élément U du couple donné agit sur les fonctions de D{n) , c'est à dire des fonctions de la variable x ; le deuxième élément T du couple agit sur les fonctions de D{n) , c'est à dire des fonctions de la variable y. C'est pourquoi, on peut utiliser les notations Ux) , Ty) et même Ux) ® I'y; ( en place deU ® T pour plus de précision) . On aboutit ainsi à la définition : Définition 3. 1.A

111171�f;1Î��r�Wi1�fl�ill•P


Dans le cas où U et T sont des distributions régulières [/(x)] et (g(y)] , ce produit tensoriel coïncide avec la distribution régulière [/(x)g(y)] . Pour les distributions de Dirac ô xo et ô Yo associées aux points x0 de !l et y0 de !l' , le produit tensoriel est égal à ô ( ) . Dans le produit tensoriel [f(x )] ® ô Y d'une xo ·Yo 0 fonction de x localement sommable par la distribution de Dirac au point y0 , l' image de <p est l 'intégrale f0f(x)<p(x,y0)dx .

2.3. Propriétés du produit tensoriel

2.3.1 . Propriété de Fubini

Dans la construction précédente, on commence par faire agir la distribution T sur la fonction y H f(x,y) . Une construction analogue peut être envisagée en commençant par faire agir la distribution U sur la fonction x H f(x,y) . Dans le cas de deux fonctions localement sommables, la formule de Fubini fournit l'égalité des deux résultats obtenus :

([f(x)]. ([g(y)]. <p(x,y))) = ([g(y)] . ([f(x)], <p(x,y))) . Monrons que c'est aussi le cas pour deux distributions quelconques. Proposition 3. 7.A

pé. pro(itdt tens.o.rier��nfie la proprié.t� dite.« : de Fubiru;>); · à sayorr ,·; . · . :' · ' ·.' , · · · . . __ ,' : · ;;:· ·.· _< . , �_,:.-:· · ·nt

Preuve

En échangeant dans ce qui précède les rôles joués par les variables x et y, on voit que les deux membres de l' égalité précédente définissent deux distributions. Ces deux distributions ont des images identiques sur les fonctions de base du type u(x)v(y) . Il suffit alors d'utiliser le résultat de densité, démontré dans la proposition 3 .2 .A, pour en déduire l 'égalité de ces deux membres quel que soit la fonction de base <p prise dans .2)(!l x !l') . Une autre preuve est proposée dans l'exercice N°4. Remarque 3.2.A Quelquefois, cette propriété est qualifiée de « commutativité ». Dans ce cas, il faut l'exprimer par l 'égalité l'y) ® U x; = U x; ® l'y) . Sans la précision d'affectation des variables, on peut être conduit à des erreurs. Par exemple, pour le produit tensoriel de deux distributions de Dirac, l 'erreur consisterait à écrire ô ( )= ô( ) . xo ·Yo yO, xO 2.3.2. Propriété d'associativité

Les considérations précédentes peuvent être appliquées à un triplet de distributions agissant respectivement sur les fonctions de base de Q, !l' , !l' ' . On définit ainsi la distribution U ® T ®V au moyen de la formule :

(U ® T®V, <p) = (ux; . (I'y; . (Vz; • <p(x,y,z)))) . Le second membre de cette définition peut s'écrire aussi bien (ux; . (Ty; ®Vz; . rp(x,y, z))) que (ux) ®l'y; . ( Vz; . <p(x,y, z))) . On a donc l'associativité :


2.3.3. Support d'un produit tensoriel

Soient A = suppU et A'= suppT . Soit Va x Va' un voisinage d'un point (a,a') de A x A' qui soit le produit de voisinages de a et de a ' respectivement dans .Q et .Q' . Il existe alors une fonction 'Pa dans .'.D(n) à support dans A et une fonction 'P a • dans .2>(.Q') à support dans A ' telles que (U, ip0 ) :f:. 0 et (T, 'Pa' ) :f:. 0 . Il en résulte que la fonction 'Pa ®tpa• , à support dans A x A' , vérifie : (U ® T, tp a ® tp a ' ) = (U, tp a )( T, tp a' ) :f:. 0 , ce qui prouve l ' inclusion A x A' c supp(U ® T) . Montrons qu'en fait, nous avons l 'égalité. Sinon, il existerait un point (b, b') de supp(U ® T) n'appartenant pas à A x A' . Alors le point b, par exemple, n'appartiendrait

pas à A, ce qui impliquerait l 'existence d'un voisinage Vb de b ne rencontrant pas A . Soit alors le voisinage Vb x !l' de (b, b') et une fonction tp quelconque de .2>(.Q x .Q') dont le support est inclus dans ce voisinage. La fonction x H ip( x, y) étant à support dans Vb , on

en déduit (uxJ • 'P(x,y)) = ü quel que soit y et, par conséquent, (U® T, ip) = O , ce qui

contredit l 'hypothèse que (b, b') E supp U ® T .

i�iii��ii�t�lmra�H�� : i�i?�?r�Â� ��-� f�� -r�im �Hi i !ê{��M��-· �m1�î1�::·:::��g�.1:1 ::!�e1:1::

2.3.4. Dérivations d 'un produit tensoriel

Soient (a.f3) = (a 1 , a2 , • . ap ,/31 ,f32 , . • . f3q) un indice de dérivation de degré p + q et

a (a,p) l 'opérateur de dérivation correspondant. La proposition 3 . 3 .A fournit :

a(al ((ryJ • JP)ip(x,y))) = ((ryJ • ;J.a.P)ip(x,y))) . On en déduit que la dérivation se distribue sur les deux facteurs. En effet :

(a (a.P)u ® T, tp) = (-1y+q ( U ® T, ô (a.P )'P) = (- 1y+q ( Ux) • ( TyJ , ô (a,p)'P)) = (- I)P+q ( UxJ • ;j.a) (l'y) • a (P)'P)) = ( ;j.a)u, ( a (P) l'y) • tp)) = ( ;j.a)u ®ô(P) l'yJ • 'P)

Par conséquent : ô (a,p) (U ® T) = ô (a)u ® ô (P)r . Bien entendu, cette propriété de distributivité des dérivations s'étend à un produit d'un nombre quelconque de distributions. 2.3.5. Continuité séparée de l'application définie par le produit tensoriel

Il s 'agit de montrer que, par exemple, U étant fixée, l 'application T H U ® T est continue de .2> ' ( .Q') dans ::D ' ( .Q x !l') pour les topologies de ces deux espaces. Soit donc une suite ( T,, ) convergente vers 0 dans ::D ' ( .Q') . Alors, la suite (U ® T,, ) converge vers 0 dans ,2) , ( n X .Q') . En effet, on sait que, quelle que soit 'P élément de .2>( .Q X .Q') ' la fonction

Y H (Ux) • 'P(x,y)) est dans .2>(.Q') . Il en résulte que la suite des

complexes ( Y'nJ . (ux) , ip(x,y))) , autrement dit des nombres (Y'n ®U,ip} , tend vers O.


Cette démonstration s'adapte immédiatement au cas de deux distributions à supports compacts, les topologies étant alors celles des espaces G' ' (!l') et G' (.Q x .Q') . Elle reste également valable dans le cas de distributions d'ordre au plus égaux à h et k respectivement pour les quelles on montre que le produit tensoriel est d 'ordre h + k (Cf exercice N°7de ce chapitre).

2.4. Exemples En dehors d'exemples déjà cités tels que produit de fonction localement sommables, produit tensoriel de deux distributions de Dirac et produit d'une fonction par une distribution de Dirac, on fait intervenir à présent des peignes ou des parties finies. 2.4. 1 . Produit tensoriel de deux peignes

Soient deux peignes généralisés, l 'un U = :L:anôn sur IRl. et l 'autre

T = L(p.q)eZ2 b(p,q)ô(pa ,qa) sur !Rl.2 . Par définition, U ® Test le peigne dont le support est

l 'ensemble de !Rl.3 constitué des points (n, pa, qa) , les coefficients étant les an b(p.q) . 2.4.2. Produit tensoriel où interviennent des valeurs principales ou des parties finies

Le produit tensoriel d'une valeur principale ou d'une partie finie par une distribution de Dirac ou par un peigne est facile à définir. Ainsi pour vp( x-1 ) ® ô b , ce produit s' exprime

par (vp(x-1 )® ô b • 'l') = J;(tp(x, b) - tp(-x, b))dx/x . Le produit par un peigne

s 'exprime par : (vp(x-1 )® L: b11ô yn , tp) = J0tœ [L:b,1 ('P(x,yn ) - tp(-x,yn )) ]dxf x . Pour définir le produit tensoriel de deux valeurs principales, on commence par définir

vp((xyf1 ) . Définissons dans !Rl.2 le domaineD(e) comme la réunion du quart de plan

[ e, + oo ]2 et de ses symétriques par rapport aux axes et par rapport à 0. La valeur

principale de (x yf 1 est définie par (vp (x yf 1 , tp) = lim ff v(e) (x yf 1 tp(x,y)dx� . Par des

changements de variable, on aboutit à l' expression : (vp(x yf 1 , tp) ;,, JJro,tœ[2 (x yf 1 [tp(x,y) + tp(-x,-y) - tp(x,-y) - tp(-x,y)]dx� . Or, la valeur sur une fonction de base tp du produit tensoriel vp(x-1 ) ® vp(y- 1 ) s 'exprime

par :

fotœ (X r 1 [f Otœ (y rl ( IJ'( x,y ) - '7'( X,-y )) -s; (y r 1 ( tp(-x,y ) - tp(-x,-y )) }>idx et, en comparant à ce qui précède, on peut conclure à vp( ( x y )-1 ) = vp( x-1 ) ® vp(y-1 ) . De manière analogue, on peut définir des parties finies en plusieurs variables en faisant intervenir des produits tensoriels de parties finies à une variable (Cf § 1 de chapitre 3 .B).

3. DEFINITIONS DE CONVOLUTION DE DISTRIBUTIONS

Avant de parvenir à une définition générale de la convolution de deux distributions, on exainine le cas particulier de cette convolution lorsque l 'une d'entre elles est une fonction de classe e00 à support compact

CHAPITRE 3.A. PRODUITS TENSORIEL ET CONVOLUTIF

3. 1. Convolution d'une fonction et d'une distribution

3.1 .1 . Introduction à une définition

155

Dans la définition du produit de convolution j * g de deux fonctions sommables sur 12.,

supposons que l 'une d 'entre elles, par exemple g, soit une fonction de ::h . L'intégrale définissant la convolution s'interprète en terme de distribution sous la forme :

+«>

(i*g)(x) = f f (y)g(x- y}ft = ([f(y)].g(x - y)) . -OO

L'idée est de remplacer la distribution régulière [!] par une distribution quelconque T, la formule précédente gardant un sens puisque la fonction y � g( x - y) est alors une fonction de base. La formule précédente a également un sens sij a un support compact et si g est simplement de classe e00 , ce qui fournit une autre généralisation.

3.1.2. Définition et premières propriétés

Un exemple trivial est obtenu lorsque T est une distribution de Dirac ô a . Dans ce cas, la fonction � est la translatée d' indice a de 'If .

Preuve

Premier cas : T E ::h ' (X) et 'If E :JJ( X) On étudie d' abo� la dérivabilité de � par rapport à une des coordonnées xi de x. Procèdant comme élans la preuve de la proposition 3 . 3 .A, on considère la famille 'l'h de fonctions dè la variable y indexée par le réel h qui tend vers 0 :

'I'h (Y) =h-1 (1/f(x - y + he j ) - 'lf(X - y) - hôj'lf(X - y)) . Le support de cette fonction est le translaté dans X d'indice x + he i du support de 'If , x étant fixé et !hl :::;; 1 , il en résulte que ce support reste dans un compact fixe. Par ailleurs,

en posant tp(x,y) = 'lf(X - y) ' cette fonction 'P est de classe e00 • Les hypothèses de la proposition 3 . 3 .A sont vérifiées et ses arguments restent alors intégralement valables. On en déduit que la famille 'l'h tend vers 0 dans ::D( X) , autrement dit que � est dérivable au point x et que ses dérivées premières sont obtenues par dérivation sous le signe distribution :


Ôx . (If/* T)(x) = ( Ty) • ôj lf/(x - y)) = ( ôj (I//)* r)(x) . J Mais on a ô y . If/( x - y) = (-I)j ô j If/( x -y) . D'où, en appliquant la définition des dérivées J d'une distribution : Ôx . (lf/* T) = (ôAlf/)* T) = lf/* Ôj T . La démonstration précédente J montre les dérivabilités à l 'ordre 2. De proche en proche, on obtient ainsi l ' indéfinie dérivabilité et les propriétés des dérivées qui généralisent d'ailleurs la dérivation d'un produit convolutif de fonctions. Si le support K de T est compact, la fonction q est nulle lorsque le support de If/( x -y) ne rencontre pas K, c'est à dire lorsque x est hors du compact K + supp If/ . Deuxième cas : T E (; ' (X) et If/ E C( X) En se servant d'une fonction a de .'.D( X) qui vaut 1 sur un voisinage de su pp T, on sait que q (x) = (Ty) • a (y)lf/(x - y)) . La fonction y H a(y)lf/(x - y) est alors à support compact et les argumentations précédentes restent valables. Les dérivations par rapport à la variable x laissant a(y) en facteur, les formules précédentes ne sont pas modifiées. Remarque 3.3.A En utilisant la translatée Tx d' indice x de la distribution T, la définition de q peut s'écrire: q (x) = (Tx , q) ) , qJ étant la fonction : y H cp(-y) . 3.1.3. �égularisation d'une distribution

Preuve

Le nombre cp( x) pouvant être glissé sous un crochet où la variable utilisée est y, on a :

(If/ n * T, <p) = J X (If/ n * T)(x)cp(x)dx = J X ( Y'y) , <p(x) If/ n (x - y))dx . Les hypothèses du corollaire 3 . 6 .A étant vérifiées, on peut intervertir l ' intégration et la distribution. Cela nous donne :

(If/ 11 * T, <p) = ( Ty) , fx cp(x) If/ 11 (x - y)dx) = (ry) • 'P * if 11 (y )) . Or, on sait que la suite de fonctions (if n ) converge encore vers o dans .'.D'(X) et qu'il

en résulte que la suite { <p * if n ) converge dans .'.D( X) vers <p . La continuité de la

distribution T assure alors : La suite (If/ 11 * T, <p) converge vers ( T, <p) , ce qui termine.

Corollaire 3.1 1.A

Autre corollaire. Les propositions précédentes n'utilisent pas la propriété de Fubini de §2.3 . 1 . On peut alors utiliser la régularisation précédente pour fournir une autre preuve de catte propriété (Cf exercice N°7) .


3.2.Préliminaires à la définition d'une convolution plus générale On tente maintenant de remplacer, dans la convolution précédente l/f* T , la fonction l/f par 'une distribution. Pour cela, appliquons la distribution [l/f* T] sur une fonction <p de 1l(X) . On a, utilisant notamment la commutation d'une distribution et d'une intégration (Cf corollaire 3 .6 .A) :

((If * T), <tJ) = f X (l/f * T)(x)<p(x)ix = f X ( Ty) • <p(x)l/f(x - y))dx = ( Ty) • fx <p(x)l/f(X - y)dx) Une translation sur la variable x donne ensuite pour ([ l/f * T], <p) l 'expression : ( I'y J , J x <p(x + Y)l/f(x )dx) = ( I'y J . ([ l/f (x )]. <p(x + y))) = ( I'y J 0 [ l/f (x)], <p(x +y)) .

Dans lavant-dernière expression, le deuxième symbole de distribution est justifié. En effet, pour chacune des valeurs de y, la fonction x H <p( x + y) , qui est la translatée d'une fonction de base, en est une également. En revanche, la dernière expression, qui fait jouer des rôles symétriques à [ l/f] et T utilise un produit tensoriel que l 'on applique sur la fonction <pli définie par <pli (x,y) = <p(x + y) . Dans le but de remplacer [l/f] par une distribution quelconque, une remarque s' impose sur cette fonction de deux variables. Il est clair que <pli est indéfiniment dérivable. Mais, bien que le support de <p soit borné,

le support de <pli ne l 'est pas. En effet, un point (x,y) est dans le support de <pli si et seulement si x + y E su pp <p . Le support de <pli est donc, dans le cas de 1Re, une

« bande de plan » parallèle à la seconde bissectrice des axes et s 'appuyant sur le compact K = su pp <p . Sauf si cette fonction est partout nulle, cette bande de plan n'est donc jamais compacte. Rappelons, pour atténuer cet inconvénient majeur que certaines distributions peuvent

�--------------� être tout de même appliquées sur des

fonctions qui ne sont pas à support borné. C 'est ce qui va être utilisé pour généraliser la convolution à certains couples de distributions. 3.2. Définition du produit de convolution à l'aide des supports On rappelle qu'on définit l ' extension d'une distribution T à support compact K à toutes les fonctions de C en utilisant une fonction a K de 1l valant 1 sur un voisinage de K. (Cf §4. 3 ,chap 2.A) . La même technique peut être utilisée pour donner un sens au symbole (T, <p) lorsqu'aucun des deux supports n'est compact mais que l ' intersection H = su pp T 11 su pp et vaut 1 sur un voisinage de H , ce résultat ne dépendant pas du choix de a H . Les calculs formels précédents conduisent à donner, à laide du produit tensoriel et des fonctions de base <pli déduites de <p , les définitions suivantes :


3.2. 1. Convolution au sens des supports

Dans ce qui suit, K étant un compact de .X, on pose KI'!. = {(x,y) \ x + y E K} . Définition 3.3.A

•1Îll��•ll-Définition 3.4.A

lll�lllt\lffllm ;a;;1ttiii111�r�1;1111.-Remarque 3.4.A : Les convolutions définies pour les fonctions entre elles, pour des mesures bornées et des fonctions peuvent exister (Cf annexe 3 . 1 ) sans que cette condition soit vérifiée (lorsque les supports sont égaux à �) . Ces distributions ne sont pas s-convolables (Cf § 3 .2 .3) . Justification de la définition Cette définition est bien cohérente car (raisonnement classique) le résultat ne dépend pas du choix de a K . De plus, U * V est bien une distribution. Pour une combinaison linèaire m = Â <p + If/ , on peut en effet choisir K contenant la réunion des supports de <p et If/ , ce qui permet d'utiliser la linéarité de U ® V pour en déduire celle de U *V . Par ailleurs, si une suite <p n converge vers 0 dans 2( X) , les supports des <p n sont contenus dans un même compact K. On peut choisir pour toutes ces fonctions <p n la même fonction auxiliaire a K qui vaut 1 sur un voisinage du compact

H = KI'!. n su pp (U ® V) . La suite {a K <p� ) converge vers 0 dans 2( X x X) . En effet,

d'une part, les supports sont contenus dans le support de a K . D'autre part, les dérivées

s'expriment, grâce à la formule de Leibniz, comme combinaisons de fonctions de type

a K(Pl (x,y)<p!(l (x + y) . Chacune de ces fonctions est bornée sur suppa K • à un facteur

constant près, par supl<p�q) (t) j . On en déduit que (u ®V, aK </Jn /J. ) tend vers O. Il en

résulte que U * V est bien une distribution. 3.2.2. Premiers exemples de convolutions au sens des supports

Les figures qui suivent mettent en évidence des cas de convolabilité de deux distributions. Dans chacun de ces cas, il est intéressant de définir des fonctions auxiliaires qui soient des produits de fonctions de 2{ X) . Elles correspondent aux cas suivants : + Cas où les deux supports sont compacts . Dans ce cas le plus simple, le support du produit tensoriel est compact et la fonction auxiliaire peut être choisie égale à (x, y) H a(x)p(y) où a vaut 1 sur un voisinage de suppU et où P vaut 1 sur un voisinage de suppV . La définition, en privilégiant la variable x devient alors :


(U*V, rp) = (uxJ ®VyJ • a(x)p(y)rp(x + y)) = (uxJ > a(x)(vyJ > p(y)rp(x + y))) . Mais, pour x fixé, (P(y) - l)q:i(x + y) est nul sur un voisinage de suppV , d 'où :

(U*V, rp) = (uxJ > a (x)(vyJ > 'P(x +y))) = (vyJ >/J(y)(uxJ > rp(x +y))) . + Cas où un seul des deux supports, par exemple celui de U, est compact. Dans ce cas, on peut choisir a qui vaut 1 sur un voisinage de suppU et p, dépendant de <p , qui vaut 1 sur un voisinage de la projection de l ' intersection H. Les formules de définition qui précèdent sont encore valables à condition de remplacer p par p <fJ . Remarque 3.5.A sur le cas des fonctions Supposons que f et g soient des fonctions sommables, f à support compact. On a

([!]. a([g), q:i(x +y))) = f Rf(x)fRgx (y)'P(y)dydx = JR rp(y)fRf(x)g(y - x}ixtry (ceci en

appliquant Fubini). Dans ce cas, [/ ]* (g] = [/* g] + Cas où X=IRI., les deux supports étant tous deux limités à gauche. On peut choisir a et P tous deux dépendant de q:> et valant 1 sur chacune des projections de H. Les formules précédentes s'appliquent avec a rp et p <fJ au lieu de a et p (Cf exercice N°8).

D'autres cas de s-convolabilité sont étudiés dans § 2 du chapitre 3 .B . Signalons pour l'instant un cas dans X=IRl.2. On suppose que T est à support contenu dans le demi-plan pa = { ( x, y) 1 y � a} et que S est à support contenu dans le cône défini par

Q = {(x,y) \ y � 0 et y2 � x2 } . Montrons que la condition est réalisée. Le support du

produit tensoriel est défini par {((x,y), (x' ,y')) \y � a,y' � 0 et y'2 � x'2 } et celui de 'Pt:. vérifie: (x + x')2 + (y + y')2 ::;; A puisque le support de q:> est borné. Pour un point de

l' intersection H, on a (y + y')2 ::;; A , donc y ' ::;; JA - a , il en résulte que x ' est borné

puisque y'2 � x'2 , ce qui, en tenant compte de ( x + x')2 ::;; A , implique que x est également borné. L'intersection H est donc bornée, ce qui termine la vérification. 3.2.3. Définition d'une convolabilité plus générale

Une distribution étant une limite de distributions à support compact, l ' idée est de définir la limite d'une convolée du type ('I' k T)* U où ('1' k ) est une suite de .::D(X) qui converge sur tout compact vers 1 x . On commence par voir que ce passage à la limite est cohérent avec la définition précédente de la s-convolabilité. On a ainsi une définition plus générale qui englobera les fonctions sommables de support quelconque (Cf remarque 3 .4).


convolabilité et, d' après une des formules précédentes :

(T* (lflkS ), <p) = (I'xJ , a(x)(syJ • lflk (y)<p(x + y))) . La formule analogue étant vraie pour T* S , il suffit de démontrer que :

(T* (lfl kS ) - T* S, <p) = ( l'xJ , a(x)(syJ • ( lflk (y) - I)<p(x +y))) tend vers O et, pour cela,

que la suite (a(x)(sy) • ( 1f1 k (y) - I)<p(x + y))) ou ((sy) • a(x)( 1f1 k (y) - I)<p(x +y))) converge dans .2)(X) vers O. Mais en posant � k (x,y) = a(x)(lflk (Y) - I)<p(x +y) , cette suite se présentant sous la forme {cl> s { � k)) du paragraphe 2. 1 , il suffit donc de prouver

que { � k ) converge vers 0 dans .2)( X x X) . Or, x E suppa et x +y E supp y E K où K est un compact de X. On en déduit donc

supp( � k ) c suppa x K . Sur K, { 1f1 k )(y) - I tend vers 0 uniformément, ce qui entraîne

la convergence uniforme de {� k ) vers 0 sur suppa x K . Une dérivée est, soit du type

u(x,y)((lfl k )(y) - I) où u est bornée, soit du type v(x,y)D(m) (lfl k )(y) où v est bornée.

3.2.4. Exemples de distributions convolables au sens généralisé Il existe des distributions G-convolables qui ne sont pas s-convolables, par exemple :


Proposition 3. 13.A i\1il'111Etl&illltlîl�Jt-Preuve Remarquons d'abord que si une fonction f est à support compact dans X et si l/f est

seulement de classe e00 ' l 'extension habituelle exigerait l ' introduction d'une fonction a de :h valant 1 sur un voisinage de supp/ (qui contient supp[/] ) de telle façon que

([/], l/f) = ([f], al/f) = fxiaiffdx . Mais cette dernière intégrale est identique à fxfl/fdx , ce qui rend inutile cette fonction a . Soit ( l/f k ) de type ( C-G) . On a donc : ([l/fk/]® [g), <p(x + y) ) = fx l/fk (x)f(x)(fx g(y)<p(x + y)dy}tx . Or, la

suite(hk ) , telle que hk (x) = l/f k(x)f(x)(f xg(y)<p(x + y)dy) , converge simplement sur X

pour presque tout x vers f(x)(fxg(y)<p(x + y)czy) qui est dominée par IJ(x)ll'Pl00 lgjL1 (X) ' c'est à dire par une fonction sommable. On peut donc appliquer le théorème de convergence dominée et conclure à la propriété souhaitée :

n�'!,(['Pnf] ® [g), tp(x + y) ) = fxJ(x)(fx g(y)tp(x + y)czy}tx = ([/] ® [g), <p(x + y) ) . L'échange de f et g dans ce raisonnement fournit la même limite.

· __ :_.·_:_•· _ _-_f_ .•• _. _;._ .• -_:_.tu_••·-••--0_ .• _ ••• _.�_ •• _:_.�t-�_ ·_.�_0 __ ._6_0 __ •• _.�_.:·_.·_i_ .•. _�_P_._ 1_.h_. ··_4_ .•. _�_ .• �_m_.�_ •• _•:•_·•-·•_f_ .•. _.t_.:·_.• •_g_ ••• _.:·.-•·-:_••·_s_ o_ •• _ ••• _.h_ ••• _.•·_. t_.•--••·_.•·_d_•:.••••-�-·•·--•·_.:·_.•·_s_\_ . • . _.�_.-_ 2_ •• _

-•_<_•·-�_ .• -_ .• __ ._:•_�_ ,_ •• _ ••• _.•·_ e_••-•••_1_)_. -_:�_:•·_s_•:·.·••-•·_'s_•·_9�1 êf±Ç9t!v9i��î�$ �t'j�µmm;f·ê.�fiveyti.�•·��t: -:·:·:·:·:-:-: · : · : · : · : · : · : : · . · : · . · : · : : · . .: ·:·:·:·:-:-:-: · ·:·: ·:·:·:·

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:·:·:· :·:·

:·:·:···:·:·

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::::::;::;:::;:: ·�4�füimJ.� 4J�9.r :@ttV9l�� µ §�n� �ç§ f9n4füin�: rn • :: •• rn 1 • :1 • 1· · · : 1 · • •••••• t<I• ?

Preuve Soit (l/f n ) une suite (C-G) dans :h (IR{). Puisque l/f n/ est à support compact, on sait d'après la remarque 3 . 5 .A que ( l/f ni)* g coïncide avec la convolée au sens des distributions. Il faut établir que ( l/f ni)* g converge dans :h' (IR{). vers la distribution fonction [/* g) . La convolée de deux fonctions de n_ 2(1R{) est une fonction continue et bornée et on a (Cf. annexe 3 . 1 ) :

Il{!( l/f n - l))* gt ::; Il/( l/f n - l)llz: llgllL2 Décomposons l ' intégrale J R f 2 ( l/f n - 1) 2 dx en deux parties. Pout tout e > 0 , il existe A

tel que fixl>)Jl2 dx ::; e /8 , d 'où, puisque IV' n i ::; 1 , fixl>)/12 11/f n - 112 dx ::; e /2 . Par

ailleurs, A étant fixé, comme 1 1/f n - li converge uniformément vers 0 sur le

compact (-A, A ] , il existe n0 tel quen :e:: n0 => fixl:::)/12 11/fn - lj2dx <r1 e . De cela

résulte que I li ( l/f n - 1 )llL2 � 0 . On en déduit la convergence uniforme sur IR{ de ( l/f ni)* g vers f*g , ce qui entraîne la convergence au sens de :h' (IR{) . La preuve est terminée puisque l ' autre convergence s'obtient en échangeant les rôles de f et de g. Remarque 3.6.A :La même preuve est valable lorsque f et g sont dans D._P et n_ q où p et q sont finis, supérieurs à 1 et conjugués avec, en outre. l ' identité de la G-convolée et de la


convolée au sens des fonctions (Cf annexe 3 . 1 ) (voir l ' exercice N°33) . Cette condition de G-convolabilité est également réalisée dans le cas d'une mesure de Radon bornée et d'une fonction de n_P (Cf exercice N°33). Remarquons aussi que, la G-convolabilité étant stable par addition, on peut envisager, par exemple, de l 'exploiter lorsqu'une distribution est la somme d'une distribution à support compact et d'une distribution-fonction de fi_P (Cf. convolution de valeurs principales, § 2 .3 , chap 3 .B). b) Autre exemple. Convolabilité des dérivées. Notons d'abord que si T et S sont G- convolables et si ( � k ) est une suite de ::h à dérivées bornées sur IR et convergente uniformément vers 0 sur tout compact, alors

::h , (� k T)* S 0 . En effet, si l/f k est du type C-G, la somme l/f k + � k est encore du type C-G et, comme la limite de (If! k T)* S est indépendante de la suite choisie, la propriété en résulte. Or, on verra plus loin que ( (If! k T)* s) ' = (If! k T)' * S . Ecrivons alors:

('I' k T')* S = ('I' kT)' * S - ('l'k ' T)* S = (('1' k T)* S) '-(1/f k ' T)* S . Etant la dérivée d'une suite convergente dans ::h' (X) , le premier terme converge vers la dérivée de T* S . La remarque précédente montre que le second terme tend vers O. On ferait le même raisonnement pour ('I' kS)' * T = {('1' kS)* T)' = ('I' kS)* T' . On en déduit que T' et S sont G-convolables et que T' * S = ( T* S) ' et, de même, T* S ' = ( T* S) ' .

Par exemple les dérivées au sens de ::h ' (X) de fonctions sommables sont convolables.

D'autres exemples de G-convolabilité à propos des valeurs principales et des parties finies seront vus dans le chapitre 3 .B et à propos des distributions tempérées (Chap 4).

3.3 Convolabilité de plusieurs distributions


1ta\111Jr1•111:=E111 :1�it1 4.�fiffiîi9� l)�µi �ir� �ij$4ii� 11�r�� µn nsm.�r� ·qµ�m§�Çt4� 4� 4.f�îti�\\U.�n$\ ' :_: :.::.:::•:::•::::·::·::::: .::::• .: :• •:• Il est facile, notamment à l 'aide de la formule de la définition 3 .7 .A, de voir que cette définition généralise la s-convolabilité globale.

:If if ij1i.;.�f iii�,��int·gfü��1�ro�î1t ·�;ç9µ:y9mm��; , �u�$ · �9Ki .gt9u�i�m�iî•wrtÇP.fi&914.�li�J.1:::•::;•, 3.4. Propriétés de la convolution

3.4.1. Commutativité

Pour <p donnée, on peut choisir un compact dans X x X contenant le compact H qui soit du type A x A . On peut alors choisir pour fonction auxiliaire a( x )a(y) . La formule de définition, la propriété de Fubini du produit tensoriel et la symétrie de la fonction q;(x +y) montrent alors la commutativité pour la convolution de deux distributions s-convolables. On en déduit la commutativité pour les G-convolutions. En effet, la commutativité s'applique à </Jn T* S et à T* </Jn S , d'où, à la limite, l 'égalité T* S = S* T . 3.4.2. Associativité

Commençons par remarquer qu'elle n'est pas vérifiée au sens strict des opérations non partout . définies. Par exemple, les distributions 1 et o' sont convolables puisque la

deuxième est à support compact et (l* o ' , <p) = J R ( o ' , <p(x + y))dx = -J R <p '(x)dx =0 . Il en résulte que l* o ' est convolable avec toute distribution T et que (l* o ')* T = 0 . Prenons par exemple l ' échelon unité T = [Y) . Alors o ' * [Y) = o . En effet

(o ' . J; q;(x +y)dy) = -f0� <p' (y)dy = <p(O) . On a donc (l* o ')* [Y] = O ;t: l* (o ' * [Y]) , autrement dit, toutes les opérations indiquées ont un sens, mais les deux distributions obtenues ne sont pas égales. Il faut ajouter cependant que les 3 distributions ( 1, o ' , [Y]) ne sont pas globalement s-convolables car le produit des supports est le demi-espace P = {(x,0, z), z ;;:: o} dont l ' intersection avec un plan x +y + z = C n'est jamais compacte. Pour ces trois distributions, la condition globale de G-convolabilité n'est pas non plus vérifiée. En revanche : Proposition 3. 16.A

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(rx) ®Uy) ®Vz) • a(x)fi(y)y(z)<pli (x,y, z)) = (I'xJ , a(x)(uy) ®Vz) •p(y)y(z)<p(x + y + z))) = (rx) • a(x)((U*V)11 q;(x + u))) = (T* (U*V), <p) = ( T®U, a(x)p(y)(vzJ • Y(z)q;(x + y + z)))

= ((T* U)* V, <p). Le passage à un nombre quelconque de distributions se fait de proche en proche. En


particulier, cette associativité est obtenue lorsque toutes les distributions sont à supports compacts, sauf peut-être l'une d'elles . Notons aussi que, par définition, la G-convolution est associative. Remarque 3.7.A

Des distributions en nombre quelconque étant données, s-convolables ou G-convolables ' on peut adjoindre à cette collection une distribution à support compact quelconque tout

en conservant la condition de convolabilité. On en déduit que, si T est à support compact, T* (S1 * S2 * . . * S P) = T* S1 * S2 * . . * Sp .

3.4.3. Rôle joué par les distributions de Dirac et leurs dérivées

Comme o est à support borné, elle est convolable avec toute autre distribution. Le support de o ® T est réduit à une partie d'hyperplan parallèle à « x = 0 » et

l ' intersection avec supptpô est un compact de cet hyperplan . . En choisissant une fonction auxiliaire du type a( x ),8 91 (y) où a( 0) = 1 et où ,8 91 (y )vaut 1 sur un voisinage de supptp , on a : (o* T, 'P) = (o ® T, a(x),891 (y)tp(x +y)) = ( I'y; .,891 (y)(o x) , a(x)tp(x + y))) = (T, tp) .

Une démonstration analogue pour la distribution o a , où a est un point quelconque de X conduit à ( T, tp(a +y)) , autrement dit :

Soit k un indice de dérivation dans X et considérons (nk o) * T . Des calculs analogues

aux précédents conduisent à ({nk o) * T. tp) = ( Ty; . (-1) lkl Dk 'P(Y)) = (nk T, tp) .

:m��r�m�n]: �i�� ,!�rfx�� 1.1 ��r�r� :î�) ��z�� g�!�t�r !�Ir! 11�: 11• •.•1: . · : 1 ::1 : : :t ' ::,: . :1::: 1 :1:i;r'•1:::1 1 ::1::; Cette propriété est le point de départ du calcul symbolique (Cf. § 4 .3) . 3.4.4. Dérivation d'une convolée de distributions

Soient deux distributions T et S s-convolables ou G-convolables. Puisque Dk o est à support compact, ce qui précède et la remarque 3 . 6 ci-dessus permettent d'écrire par utilisation de l 'associativité et la commutativité :

Dk (T*S) = Dk O* (T*S) = (nk O* T)* s = T* (Dk O *S) .

Proposition 3.17.A

._,_·1;_:_ •. '.·.·_,_'_,_�,:,'_._:_·,br;_i_ •. •._r ___ o_'a· . •. :_i.1.·_·rm_·.�.·.:_:•e .•. •.6_�.·--.�_,_.,.h •. 1 .• ,l_·._·,'..m_ •. o_,_·._._.•el_!·_._f_.jtw1._: ___ ._,_r_._,•u:_o_!_•n•_n_i_._·.·.,!.'.·.:_·a•_1_·.�_ru.,• .. :_• .•. ·_•,;st.•_:_•r•,"_i,k_!,•�a···m.•.·.1_,_ •. ·.·_.a;_:_·_i,"_,_ .•. '_i_•

.1•,1.•.r_,_._•.,_·.,·o·.a·�··.:_.,:r•.=_i• __ .,•d•,L_._'o.•_!.·r·_:_•_••,�e•,h.:_•.:.�.-.!.:_1._+_k.a,.j·' . . ·.:,Y_,_··.'.·.111t1Ji� .. ,·.�.,� •. ,�.�,i:,,Ï,:,1_,,i_•,r_;_�.•-!···'·····w.�_i_:_'_�.r_;_,_1_�'.:_•_1_'_ .. :_ .. a_l_!_i.i_��-v

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Proposition 3.18.A

Preuve Pour tout compact K de X, l ' application 'P � 'Pô de 2)�+h (X) dans é:k+h (X x X) est

continue. Soit une fonction auxiliaire a valant 1 sur un voisinage de


H = supp(T® S) x K , l 'application <p H a rp est continue del'k+h (X x X) dans

2l+h (X x X) . Si l 'on ajoute que, dans le cas d'ordres finis h et k, le produit T ® S est une forme linéaire continue sur .2)k+h (X x X) (Cf exercice N° 7), on obtient le résultat annoncé par composition des trois applications précédentes. Remarques 3.8.A : La convolée de mesures de Radon G-convolables en est encore une. L'ordre de la convolée peut être strictement inférieure à la somme. Ainsi, si f est e1 , la

1

dérivée [/] = [f]* o' est d'ordre 0 alors que la dérivée o' est d'ordre 1 .

3.4.5. Support d'un produit de convolution

iililltfJi---Preuve On le prouve seulement pour T et S de supports A et B, le cas général s'obtenant par associativité. Soit s E A + B et une suite de points ( Xn ,yn ) dans A x B telle que Xn + Yn converge vers s. L'adhérence dans X de {xn +Yn } étant un compact K, l ' intersection H = (A x B) n Kli est compact dans X x X et la suite (xn ) , par exemple, est contenue dans la . première projection H1 de ce compact. On peut donc extraire une sous-suite de ( xn ) qui converge vers x E H1 . La sous-suite associée de ( Xn + y n ) étnt toujours convergente vers s, on en déduit que la sous suite associée de (y n ) converge vers s - x qui est dans B puisque B est fermé et, par conséquent, comme s E x + B , on en déduit que s E A + B , ce qui termine. Soit alors <p de support K telle que K n (A + B) = (J . Alors, a E A , b E B est incompatible avec a + b E K , ce qui veut dire que supp <pli n (A x B) est vide et que ( T* S, <p) = 0 . Puisque A + B est fermé, cela veut dire que l 'ouvert complémentaire est un ouvert d'annulation de T* S , ce qui signifie le résultat annoncé. Remarque 3.9.A sur les distributions G-convolables

Pour (VJ'n ) de type (C-G), le support de (Vl'n r)*S est inclus, d'après ce qui précède, dans suppT + suppS puisque supp(VJ' n T) c supp T . L' inclusion reste vraie à la limite. 3.4.6. Continuité de la convolution

On se contente d'un théorème concernant la continuité séparée pour la s-convolution :

ri\"lltl••-Preuve Soient <p et a dans .2l( X) , a valant 1 sur un voisinage de la première projection sur X

de H( supp <p) , donc, a fortiori, sur un voisinage de ( suppSn ®su pp T) n supp <p li , ce qui


entraîne que le nombre (Sn * T, rp) est alors par définition ( a(x)Sn,x) • (ry) • rp(x + y))) . Or, la fonction X H (ry) • rp(x + y)) étant ea) , on a a Sn �as . II en résulte que (a (x)Sn,x) • (J;,J , rp(x + y))) tend vers (a (x)Sx) • (ry) • rp(x + y))) , c'est-à-dire, a étant une fonction auxiliaire convenable, vers (s x) • a (x)(J;,J , rp(x+ y))) = (S* T, rp) . 4. ALGEBRES DE CONVOLUTION

4. 1. Définition d'une algèbre de convolution de distributions Lorsque sur un sous-espac.e vectoriel .A( X) d'un espace de distributions .2> ' (X) , la convolution est une opération interne partout définie, commutative et associative; .A(X) est muni d'une structure d'algèbre puisque la convolution est bilinéaire. Si, en outre, .A( X) contient la distribution de Dirac au point origine de X, 1' algèbre est unifère. Certaines équations fonctionnelles se mettent sous la forme A* U = Voù U est l ' inconnue, A et B étant données dans 1' algèbre unifère .A( X) . Rechercher une solution dans .A( X) revient à savoir si la distribution A admet ou non des inverses de convolution dans .A(X) . C'est l 'existence de théorèmes sur cette recherche et sur le calcul éventuel d' inverse dans .A(X) qui caractérisent les algèbres les plus utilisées. 4.2. Algèbre de convolution des distributions à supports bornés

4.2.1. Structure d'algèbre

i'itillitiltll�llLLîf!� En effet, la convolution de deux distributions à supports compacts est toujours définie et le support de la convolée, qui est contenu dans la somme des deux compacts, est borné. L'opération de convolution est donc partout définie et interne. La condition de convolabilité globale au sens des supports est vérifiée, 1 ' opération est donc associative. Enfin, les distributions de Dirac étant à supports compacts, ô est un élément de C' (X) . II en résulte que ce sous-espace est une algèbre de convolution. 4.2.2. Remarques sur le problème de la division

Examinons quelques résultats concernant la résolution d'équations du type A* U = B . D'abord, si A n'est pas un diviseur de 0, s'il y a une solution, elle est unique Or l 'algèbre C' (X) , on1e verra facilement à l 'aide de la transformation de Fourier (Cf ex N° 1 6,a) des chapitres 4), n'a pas de diviseurs de O. On a donc l'unicité. Pour l' existence, il est facile de voir que si A admet un inverse de convolution dans C' (X) , il y a .une solution dans C' (X) qui est U = B* A*-1 . Par exemple A = ô a admet l' inverse ô -a d'où résulte la solution unique : U = -r -a B . Notons enfin que si A est non inversible dans C ' (X) , les résultats dépendent de B. Ainsi, A = ô ' n'a pas d'inverse, cela équivaudrait à l ' existence de U à support borné tel que U' = ô ce qui est impossible. Dans ce cas, l 'existence dépend du second membre B. II est évident que si B = C' , l ' équation a la solution unique U = C .


4.3.1 . Structure d'algèbre

Soit P = tn + a11_1 t 11-1 + . . . +a1t + a0 un polynôme de degré n à coefficients réels ou complexes dont le premier coefficient est égal à 1 . On lui fait correspondre, ce qui est une premiére démarche de calcul symbolique, le polynôme, noté P(D)(ô) défini par P(D)(ô) = ô(n) +an-l 8(

11-1) + . . . +a1 ô ' + a0 ô qui est un élément de 2J +' . L'intérêt de

Preuve Elle se limite à la vérification de la formule [Yu]* ( P(D)(ô)) = ô , cela revenant d'ailleurs, en vertu des propriétés de la convolution, à P(D)([YuD = ô . En tenant compte des premières conditions initiales, [Yu] est une fonction de classe e(n-2) , donc sa dérivée d'ordre k � n - I s'écrit : [Yu](k) = [Yu(k) ] . La dérivée d'ordre n est celle d'une fonction

dérivable sur Of, présentant un saut au point t = 0 qui est u( n-l) ( 0 ) - 0 = 1 . On a donc


[Yu](") = [Yu(") ] + o . En additionnant tous les termes composant P(D)([Yu]) , on obtient

la formule P(D)([Yu]) = Y P(D)(u) + o= o . Applications Inversion d'un polynôme de degré 1 Il s'agit de résoudre u '+a0u = 0 avec la condition initiale u(o) = 1 . On trouve

u(t) = exp(-a0t) . On en déduit : (o'+a0 o)*-1 = [Y(t) exp(-a0t)] . Inversion d 'un polynôme de degré 2

+Supposons que A. = ( a1 )2 - 4 a0 < 0 . La solution générale de u "+a1 u ' + a0u = 0 est du type u(t) = exp( a t)(C1 cosf3 t +C2 sin/3 t) , a + i/3 et a - i/3 étant les 2 racines de X2 +a1 X +a0 = O . En tenant compte des conditions initiales u(O) = 0 et u ' (O) = 1 , on obtient (o " + a1 o' +aoor-I = [( Y(t)//3) exp( a t)sin /3 t] . +Supposons A. = O . On note a la racine double de X2 + a1 X + a0 = 0 La solution

générale de l 'équation homogène est u(t) = e a t ( Ct + K) , ce qui donne

(o "-2a o'+a 2 )*-1 = [Y(t) t eat ] . On trouvera dans les exercices N°22 ,23 . . d'autres calculs de tels inverses. 4.3.3. Calcul symbolique dans :J) +' Il est facile de voir que l ' ensemble des polynômes différentiels en o muni d'une structure d'algèbre par la convolution est isomorphe à l ' algèbre classique des polynômes. Cet isomorphisme se prolonge en un isomorphisme J d'une certaine sous-algèbre de:J) +' sur le corps des fractions rationnelles. On posera J(o') = s Cela permet de trouver rapidement des inverses dans :J) +' . Examinons l 'exemple de

l ' inverse de A = [ Y(t) (exp( a t) + exp(/3 t))] . Transformons A par J en tenant compte du

fait que le produit d'une exponentielles par l ' échelon-unité est un inverse de convolution et en effectuant une « réduction au même dénominateur » dans le corps des fractions rationnelles, puis une décomposition de fraction rationnelle :

J (A) = J ([Y exp( a t)D + J ([Y exp(/3 t)]) = J ((o'-ao)*-1 )+ J ((o'-/3 o)*-1 ) = (s - af1 + (s - /3f1 = (2 s - a - /3)(s - af1 (s - /3f1

J{A*-1 ) = (2s - a - /3f 1 (s - a)(s - /3) = Ifs ( 4s - 2(a + /3) - (a - p)2 (s - (a + /3)/2r 1) puis l ' expression de l ' inverse cherché :

A*-I = (1/2)8 ' - (l/4)(a + f3)o- (If8)(a - f3)2 [Y(t)e(a+P} tf2 ] . Une vérification éventuelle demanderait le calcul de convolution de fonctions dans

l 'algèbre::!) +' .La convolution se traduit alors par des intégrales r: f(t)g(x - t)dt . 4.3.4. Applications à la résolution d'équations fonctionnelles

Résolution d' une équation intégrale Soit l ' équation intégrale dont l' inconnue est une fonction f localement sommable à

CHAPITRE 3.A. PRODUITS TENSORIEL ET CONVOLUTIF

support dans [ 0, + oo[ et dans laquelle g est une fonction donnée également localement

sommable à support dans [ 0, + oo[ : J: (x - u)sin(x - u)f(u)du = g(x), 'v'x � O .

169

Posons A = [Y(t)t sin t] , U = [/] , V = [g] . En multipliant l 'équation par l 'échelon Y et en

interprétant l ' égalité au sens des distributions, cette équation se présente sous la forme d'une équation de convolution dans .2> +' , à savoir, A* U = V . On pourrait chercher l' inverse de convolution de A et le convoler avec V, mais le calcul symbolique peut être appliqué au niveau de l ' équation elle-même. D'après un résultat

précédent, on a : A = (2ir1 (Yt ei t - Yt e-i t ) = (2ir1 [(8 '-i 8)* -2 - (8 '+i 8)*-2 ] . Donc,

en désignant par F et G les transformées par .J de U et de V, on obtient :

2s(s2 + 1r2 F(s) = G(s) . Donc, U = (2-1 8( 3) +8 ' +r1 Y )* [g] = r1 [g]( 3) + [g] ' + 2-1 (gi ] où g1 est la primitive

de g définie par Y* g . Cette solution est dans .'.D +' mais ce n'est pas nécessairement une fonction. Elle l ' est si et seulement si la dérivée troisième est une fonction, c'est à dire si g est de classe e(2) sur ]O,+oo[ , admet une dérivée troisième localement sommable et vérifieg" (O +) = g'(O +) = g(O +) = 0 . La nécessité de ces conditions se voit d 'ailleurs directement sur l 'équation puisque l ' intégrale est nulle en x = 0 et que ses dérivées d'ordres ::;; 3 , calculables à l 'aide des théorèmes généraux, après décomposition du sinus sont également nulles en ce point. On peut résoudre aussi des équations intégro-différentielles. à coefficients constants assorties de conditions initiales, des équations ou des systèmes différentielles à coefficients constants dans la mesure où elles s ' interprètent comme des équations de convolution, éventuellement des équations matricielles de convolution dans.2> + ' (Cf §3 du chapitre 3 .B et les exercices N°23 à 27) . 4.3.5. Extension du calcul symbolique dans .'.D +' Dans les équations intégrales, on est amené à inverser des éléments de .'.D +' qui sont du type 8 + H où H est une fonction de .'.D +' . Le calcul symbolique invite à transformer

(8+ sr-! en (1 + .J(n)r1 où .J est l ' isomorphisme du calcul symbolique prolongé hors de l 'algèbre des fractions rationnelles. En fait, sous des hypothèses convenables,

( 1 + .J ( H) r 1 se développe en la série des puissances successives de .J ( H) . Cela se

traduit, en revenant à ( 8 + H) * -I à un développement en série de puissances de H : }>�()position 3.24.A

lllillfi1llil��#:i\lf!il&tBr• i il�1i11 :�� i�� t�rll1� ��t�i (#ll��Î:I> · i: ! : 1 ! : : :1 : : 1 1: ::: 1 :1 : l il : i , ! ! !: : : Preuve Pour montrer que la série de fonctions LN (- 1)11 H*" est convergente dans :h +

', il suffit


de prouver que sur tout [ 0, A ] , on a ln*n (t)I ::;; an où an est le terme général d'une série

numérique convergente. Soit MA = sup0:5:t:5:A IH(t)I . On en déduit sur [O, A] la n-I

majoration ln*11 (t)I ::;; (:- l) ! (MA r . En effet, cette formule est vérifiée pour n = 1 et, si on la suppose vraie pour la puissance d'exposant n - 1 , on obtient pour l 'exposant n, la t t n-I n majoration ln*(n+I) (t)I = f H(t - x)H*n (x)ix ::;; MA f (

x _ ) ' (MAr-1 dx =(MAr !__1 . 0 0 n 1 . n . On obtient ainsi sur [o, A ] une majoration uniforme par une série convergente. La série converge donc dans ::b +' vers un élément que nous notons S.

Par ailleurs, on a (ô + H)* (Ô- H+H*2 -. . . . +(-1r-I s•(n-I) ) = ô+ (-1r-IH*11 et cette

distribution tend vers ô dans 2J + ' , d'où ( ô + H)* ( ô + S) = ô , ce qui termine.

4.4. Autres algèbres de convolution +Parmi les espaces de fonctions, citons o._ 1 (!R{N) qui est stable pour la convolution . On obtient une algèbre de convolution mais qui ne possède pas d'élément unité. + Une autre algèbre importante de convolution est constituée des distributions périodiques de même période. Elle sera étudiée dans le chapitre 5 .A. + Dans !R{N, on peut considérer le sous-espace vectoriel de ::b' ( !R{N) constitué par les distributions à supports dans (!R{+t. C'est une algèbre de convolution. + Dans !R{4 représentant l 'espace-temps de la physique, les variables étant notées (x,y, z, t) , on considère les distributions de supports contenus dans ce qui est appelé le

« cône d'avenir », ensemble ..A défini par {t2 - x2 - y2 - z2 � 0, t � O} . La condition de convolabilité au sens des supports est bien vérifiée. En effet si la somme u + u' = (x + x' ,y + y' , z + z' , t + t') E K compact de !R{4 avec u EÂ et v E.Â alors u et u' restent bornés. S ' ils ne l 'étaient pas, il existerait une suite de valeurs, de x par exemple, soit x11 qui tendrait vers l ' infini. Alors x11 ' tendrait aussi vers l ' infini avec le signe

contraire et alors t,, 2 et t'112 qui sont supérieurs à xn 2 et à xn '2 tendraient vers +oo d'où t,, � +oo et tn ' � +oo puis t11 + t,, ' � +oo , ce qui contredit u + u' E K . On peut montrer aussi la condition globale de convolabilité, ce qui entraîne en particulier l 'associativité. De plus, la somme de deux supports contenus dans ..A est encore dans ..A . En effet, on a (x x'+Y.Y'+zz')2 ::;; (x2 +y2 + z2 )(x'2 +y'2 +z'2 ) d'où lx x'+yy'+zz'l ::> t t' . On obtient

ensuite la preuve en développant : ( x + x')2 + (y + y')2 + ( z + z')2 ::;; (t + t')2 . La structure d'algèbre de convolution est donc bien prouvée, l' élément unité ô ayant son support { 0} contenu dans ..A . + De façon plus générale, on peut définir une partie fermée F de !R{N qui vérifie les 4 propriétés : 1) 0 EF, 2) \7'k � 0, k F c F, 3) F + F c F, 4) F n (-F) = {O} · Alors, le sous espace vectoriel de ::b' ( !R{N) constitué par les distributions à supports dans le fermé F est une algèbre de convolution. La vérification de cette propriété est laissée au lecteur.

CHAPITRE 3.B

EXEMPLES DE PRODUITS

TENSORIELS ET CONVOLUTIFS

1 . EXEMPLES DE PRODUITS TENSORIELS

1. 1. Produit tensoriel de deux parties finies

1 .1 . 1 . Exemple 3.1.B

Dans §2.4 .2, on a défini vp( ( xy f 1 ) de façon que ce soit le produit tensoriel des deux

valeurs principales vp( x - l ) et vp(y -l ) . Ce qui suit concerne les parties finies en se

limitant à l 'espace �2• Défaillons pour Pj {Y( x )Y(y )( xy )-1 ) . Posons D( 8) = [ 8, + oo[ x [ 8, + oo[ . On généralise la procédure relative aux parties finies en

une variable en « ôtant » de l ' intégrale Je = JfD(e) (xyf1 �(x,y)dxt(y les termes qui

proviennent du début du développement de Taylor de � et qui fournissent des intégrales divergentes. Supposons le support de � contenu dans [-A, A] x [-B,B] . A l 'aide de la définition des dérivées ou de la formule de Taylor, on voit que la fonction

B(x,y) = [�(x,y) - �(x,0) - �(o,y) + �(o,o)](xyr1 si (x,y) * (o,o) et B(o,o) = ôxy�(o,o) est continue sur [ 0, A] x [ 0, B] . En effet, les premiers termes du développement de 8 x[(2yr1 (� �(ax,ay) - � �(a 1 x, o))] + y[{2xr1 (� �(a x,ay) - � �(O, a2y))] coùa, a 1, a2 E ]0,1[ ) tendent vers 0 quand (x,y) � (o,o) . L'intégrale de (} sur D(8 ) s'écrit :

Je + �(o,o)feA J: (xyf1dxdy -t(xf1dxf: �(o,y)y-14Y - f: y-14Yf: �(x,O) x-1dx . Elle admet donc une limite finie et, en effectuant partiellement les intégrations, on voit que

lime_,,o Je + �(o,o)(ln 8)2 + !n ef: �(o,y)y-1t(y + !n ef: �(x,O) x-1dx est finie. A l 'aide

de�(x,O) = �(o,o) + x01 (x) où 01 est continue (et relation analogue pour �(O,y) ), on

voit que -�(O,O)ln e(ln A + lnB) - ln AJ: �(o,y)y-1t(y - lnBf:�(x,O)x-1dx a

effectivement une limite finie. On a ainsi une définition possible 1 Définition 3.1.B

1 Avec cette définition, on prouve facilement que : xyT=Yx Yy.


Preuve Les définitions de ces parties finies nous donnent pour ( T, <p) où T est ce produit tensoriel

(Pf(Y/x). (Pf(Y/y), rp(x,y))) = :�u: (Pf(Y/y), rp(x,y))dx /x + (Pf(Y/y), rp(O,y)) lne J L'intérieur du crochet est lui-même une limite ; elle s'écrit :

rA lim ( r�rp(x,y) d y/y +rp(x,O) /n e ') dxf x + lim ln e[ r�rp(O,y) d y/y +rp(O,O) /ne ' ]. Je e'�O Je e'�O Je Comme on peut permuter la limite avec l ' intégrale (détail laissé au lecteur), on a :

(T, rp) = lim [1e,e' + rp(O,O) /n e /n e ' + /ne ' fA rp(x,O)dx/x + /n e f�rp(O,y)dyf y] . eete'�O e e Comme on sait que la limite en ( e, e ') existe, le choix e ' = e fournit le résultat.

1 .1 .2. Exemple 3.2.B

On définit à présent U = Pf(YxYy (xf2 y-1 ) , la démarche étant un peu différente. Posons

B(x,y) = (rp(x,y) - rp(O,y) - xô x<tJ(O,y))x-2 , B(x,O) = (rp(x,0) - rp(O,O) - xô x<fJ(O,o))x-2 B(x,y) = B(x,O) + y83 (x,y).

En remplaçant dans l 'intégrale de rp(x,y)x-2y-1 sur D(e) , on obtient

(� - �)[! q{�y) dy J + (lnA - ln ei[! ô,�O,y) dy J + (lnB - lns)l�;0) dx

-(; - �}znB - ln e)rp(o,o) - (lnB - ln e)(ln A - ln e)ôxrp(O,O) + fÎ 03 (x,y)dxdy e e

Preuve CHAPITRE 3.B. EXEMPLES DE PRODUITS TENSORIELS ET CONVOLUTIFS 173

On peut, soit utiliser la définition du produit tensoriel, soit effectuer la dérivation de l' exemple précédent par rapport à x (Cf exercice N°9) . Ici, la définition nous donne : ::{T ((Pf y, {y-1 )J.+�(PJ (r, {y-1 )). 9'(0,y)) + 1n ea, ((Pf r, {y-1 )). q>L ] En choisissant le même e dans la définition de l 'autre partie finie, cette limite s 'écrit :

lim H 2 rp(x,y) dxdy+ ln e r<X> rp(x,O) dx -! ii<X> rp(O,y) dy - rp(O,O) !n e c__.o [c,-+<x>[ x2 y c x2 8 c y e + ln 8 J-+<x> ôxrp(O,y) dy +(ln e)2 Ôx<fJ(O,O) & y

Remarque 3. 1 .B Les exemples donnés ci-dessus incitent à donner pour définition de la partie finie d'un produit de puissances de x et de y le produit tensoriel des parties finies associées à chacune de ces puissances (Cf note 1 de la définition 3 . 1 .B). 1.2. Autre exemple de produit tensoriel

Exemple 3.3.B

La distribution Y(S) a été définie dans le chapitre 2.B (§ 3 . 1 ) . On choisit

S(x,y) = y2 - 2x , Y(S) étant alors un élément de .'.D (0�.2). Le produit tensoriel dans �3 de cette distribution par la distribution [Ya (z)] (ou échelon-unité translaté d' indice a) est défini par une intégrale triple sur un domaine de �3 :

(Y(S)(x,y) ® [Y0 (z)], rp) = fJ8>0 ([Y0 (z)], <p(x,y, z))dxdy = ffs>o f: <p(x,y, z}lzdxdy . En fait, ce résultat est l ' image de rp par une distribution Y(P) dans �3 où la région P > 0 est définie par l ' intersection des deux domaines {(x,y, z), S(x,y) > o} (qui est un cylindre)

par { (x,y, z), z > a} (qui est un demi-espace) . Bien entendu, la dérivée par rapport à z de Y( S) ® [ Y0 ] est définie par Y( S) ® t5 a dont la valeur sur 0 de la fonction (x,y) H <p(x,y,a) . Les

autres dérivées sont données par ôxs. ( o(S)(x,y) ® [Ya Jz) et ôys. (o(S)(x,y) ® [Ya ]z) . 2. EXEMPLES DE PRODU ITS CONVOLUTIFS

2. 1. Calcul de convolutions de fonctions

2.1.1 . Par des calculs élémentaires

La convolée de deux fractions rationnelles est définie par une intégrale portant sur une fraction rationnelle. Une décomposition en éléments simples permet le calcul en passant par une primitive (Cf ex N° 1 0) . Dans d'autres cas, la convolée reste calculable par des moyens élémentaires. C'est le cas de la convolée de exp(-a Jt J) par exp(-b Jt l) (ex N° 1 l ) . Exemple 3.4.B

Soit la fonction f définie par f (t) = (ch (t) r 1 qui est dans IL 1 . On se propose de déterminer la convolée de f par elle-même. Dans l ' intégrale exprimant la convolée, on fait


le changement de variable e1 = u ; on obtient ainsi :

f* f(x) = f]cht ch(x - t)) -1 dt = 4 ex fo+oo u(u2 + 1)-I (e2x + u2 )-I du . Là, un calcul élémentaire à l 'aide de la variable v = u2 exprime (/* f)(x) sous la forme :

2 ex fo+oo (v + lfl (v + e2x ri dv = (shx)-l limc->O L.+oo [(v + If! - (v + e2x ri r = (sh xf 1 limA->oo [ln(v + 1) - ln(v + e2x )]: = (sh xf1 ln(e2x ) = 2x(sh xf 1

2.1 .2. Par l' utilisation du théorème des résidus

a) Exemple 3.5.B Soient les deux fonctions fa et g , où a est un réel positif, définies par :

fa (t) = t(t2 +a 2r1 et g(t) = (t2 + 1r1 .

La première est continue et bornée, donc appartient à fi_ 00 tandis que la deuxiéme est dans fi_ 1 . On en déduit que la convolée fa * g existe et que c'est une fonction continue et +oo bornée (Cf arutexe 3 . l ) . Cette convolée, définie par : J(x) = f

( X dt ) '

-«> t 2 +a 2 (t - x)2 + 1 peut être calculée en utilisant le théorème des résidus (Cf annexe 3 .2) . Pour cela, on considère la fonction complexe F telle que :

F(z) = z . (z2 +a 2 )((z - x)2 + 1) La fonction F admet les 4 pôles simples : z = ± ia et z = x ± i . Ses résidus sont

. 1 2 1 2 2 · R ' (F · . ) -.!.!!__ _ _ x + - a + 1 xa e s ' i a - . . 2 - { 2 2 ) - 2 2 i a (i a- x) + 1 2 x + I - a - 2i xa 2 (x2 + l -a 2 ) +4 x2 a 2 · _ -i (i + x) i -i (i + x)(x2 +a 2- I -2 i x) R ' (F . ) i + x e s ;1 + x = 2 2 - - { 2 2 ) 2 • (i + x) +a 2i 2 x +a - 1 +2 i x 2 {x2 + 1 -a 2 ) +4 x2 a 2

I? : << ) .) ?Y < :•:::: • :::/ ::::••:• :· ... : / . . : >: : } ? • :\ /• ••••••••••••••••••••••••••• Le contour r étant le demi-cercle C(R) complété par son diamètre réel, le théorème des résidus donne : } :; �.:' :: { •·•· •· l:••: ;:•: '

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f F(z)dz = f F(z)dz + f F(t)dt r C(R) -R = 2i 7r [Ré s (F ; ia) +Ré s (F ; i + x)]

L'intégrale sur le demi-cercle tend vers 0 et on trouve,

en vérifiant bien d'ailleurs que le résultat est réel , la convolée cherchée :

x(x2 + ( a - I) 2 ) Ua * g)(x) = 7r 2 (x2 + 1 - a 2 ) +4x2 a 2

CHAPITRE 3.B. EXEMPLES DE PRODUITS TENSORIELS ET CONVOLUTIFS 175

b) Exemple 3.6.B

Remplaçons, dans ce qui précède, la fonction fa par ha élément de IL 1 tel que :

ha (t) = (1 + a2 t2 r1 lnlt l . La convolée est définie par !(x) = (g*h0 )(x) = r:(1 + a2t2r1 lnl(t)l(I -+{x - t)2r1 dt , Pour le calcul de !( x) , on utilise la fonction H définie par :

( ) - (tnlzl + i arg(z)) H z - ( )( 2 ) , où la fonction logarithme est relative à la coupure 1 + a2 z2 1 + ( x - z)

constituée des complexes de parties imaginaires l ? Y . ·.•;s;:�#:mi t l Y l / tl négatives, d 'où la définition de l 'argument par

-JC/2 < arg(z) < 3 JC/2 . Le contour r est composé de deux arcs de cercles et de deux segments

I j i ;iilil-�!ii�ll,'li'il<!l1 [r, R] et [-R, - r] portés par l 'axe des réels ; il

1 . dépend des paramètres r, R . On fait tendre r vers l t tt . t < < t P < < t t < I ?J 0 et R vers +oo .

La fonction H a quatre pôles d 'affixes ± i a-1 , x ± i . Par le théorème des résidus, on a :

frH(z)dz =2 i TC (Re s(H; x + i) + Re s(H; ia-1 )) . Cette intégrale est la somme de 4 intégrales dont on cherche séparément les limites. Par des majorations, on montre que les intégrales sur les arcs de cercles tendent vers O. En ( 2 2 )1/2 1 1 2JC R (lnR) + 4JC effet : f ( ) H(z)dz � 2 JC R Sup jHj � ( )( ) � 0 avec l/R , Je R C( R) R2 - 2Rx - x2 - 1 a2 R2 - 1

( 2 2 )1/2 1 1 2 JCr (lnr) + 4JC

et aussi : f, ( ) H( z )dz � 2 TC r Sup jHI � ( )( ) � 0 avec r . C r C(r) x2 + I - r2 - 2rx I - a2r2 -+«> (!n t) 0 (tnltl + i TC)

Les autres tendent vers f [ 2 ]( )dt et f [ 2 ](

)dt

o (t - x) + l l + a2t2 -oo (t - x) + l l + a2t2 respectivement. La partie réelle de leur somme est l ' intégrale !(x) . On a le résultat :

* ( ) = //1.l ln.[;2;;+ ;arctan(l/x) - lna + i JC/2 j g ha x TC Ke 2 + ( ) · · I + a2 (x + i) a I + (x � i/a)2

2.2. Convolution d'une fonction par une distribution

2.2. 1 . Utilisation de calculs élémentaires

Dans le cas de f fonction C00 et d'une distribution T à support compact, le calcul se ramène à celui de l 'image par T de t H f(x - t) . Lorsque T est une fonction, le calcul se ramène à celui d'une intégrale. Si T n'est pas une fonction, on peut parfois, sans aucun


calcul, trouver la nature du résultat en exploitant alors certaines propriétés de f . Exemples 3.7.B

Supposons que T* [ex ] existe. Alors, sa dérivée lui est égale. On en déduit qu'elle est de

la forme Aex . Pour le voir dans le cas où T est à support compact, donc convolable avec ex , on remarque que (r;J , ex-t ) s'exprime alors par ex (r;J , e -' ) , soit Aex .

Supposons que, P étant un polynôme de degré k, T* [P] existe. Alors, sa dérivée d'ordre k + 1 est nulle. On en déduit que T* [ P] est un polynôme de degré au plus k. C 'est le cas

si T est à support compact et si alors P(x) = xk , (r;; . (x - t)k ) est un polynôme en x

(formule du binôme) égal à L� Cf ApxP où AP = ( T;; {-t)k-p ) . 2.2.2. Par des passages à la limite

Exemple 3.8.B

Soit à calculer la convolée (vp lft)* [g] où g est la fonction de l ' exemple 3 . 5 .B . Dans la

suite on montrera que, par décomposition de g selon (2if1 ([t - ir1 - [t - ir1 ) , cette

convolée existe au sens généralisé. On sait que (Cf ex N° 10 de chap 2) cette distribution

vp( If t) est la limite dans S' de la famille de fonctions fa (t) = t(t2 +a 2 )-1 lorsque a tend vers O. On fournira également un procédé pour montrer qu'on peut obtenir la convolution cherchée par un passage à la limite dans le résultat obtenu dans l ' exemple 3 . 5 .B, à savoir :

x(x2 + ( a - 1) 2 ) (la * g ) ( x) = n 2 . On peut montrer que cette famille converge

(x2 + I - a 2 ) +4x2 a 2 dans.2'.l' (�) vers la limite simple nx (x2 + 1r1 . La justification complète du résultat

( vp If x )* [ g] = n x { x2 + 1 )-l apparaîtra comme cas particulier de ce qui va suivre.

2.2.3. Convolution avec une valeur principale

On propose de montrer que vp( If x) est G-convolable avec toute fonction rationnelle P/Q tel que deg(P) :s;;. deg(Q) - I et dont aucun pôle n'est réel . Par la décomposition

d'une fraction rationnelle, on peut se ramener à la fraction (x - a - ibfk o� à (x - ibfk en utilisant une translation qui remplacera x par x - a ou même à ( x - ib )-1 , les autres cas étant obtenus par dérivation de la convolution puisque la dérivée d'une G-convolée s'obtient par la dérivation d'un des facteurs (Cf Remarque 3 . 6 .A). a) Calcul préliminaire d'une intégrale en valeur principale

La fonction! : u � u-1 (x - u - ibf 1 n'est pas sommable sur � (à cause de la singularité

0), mais son intégrale converge en valeur principale, autrement dit

Vpf-t<f;) f(u)du = lim (f-e f(u)du +f-t<f;) f(u)du) existe. Le théorème des résidus s'adapte -CO &�Û -CO &

bien à son calcul . On prolonge j par F dans le champ complexe. Si b > 0 , F est holomorphe dans le demi-plan supérieur ouvert et on utilise le contour r ci-dessous.


Sib < 0 , on utilise le contour symétrique, d 'où un changement d'orientation. Le théorème de Cauchy, dans le cas b < 0 , fournit fr F(z)dz = 0 . L'intégrale sur le demi-

cercle C{R) tend vers 0 grâce à la majoration lfc(R) F(z)dzl � ;r R(R(R - lxl - lbl)) -1 .

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Dans un disque de centre 0, on peut écrire F(z) = Ré �F;O)z-1 + G(z) où G est holomorphe. La

limite de J C( r) F( z )dz est l ' intégrale du premier terme

Res (F;o)fC(r) z-1dz = -i;r Res (F;O) = -i;r(x - ibr1 Enfin, la limite sur les deux segments réels fournit la valeur principale cherchée. On en déduit :

b) Définition formelle de la convolée

Notons que la définition formelle de vp(lfu)* [-1-. ] conduit, si supp9' c (-A, A) , à : u - 1b (vp(lfu)* [-1-. J. 9') = Vpf-twu-1U(u)iu où U(u) = î 9'(u +.y) co/ = +r 9'(x) . dx . u - zb -00 _00 y - zb -A x - u - 1b

Une majoration au voisinage de +oo de l ' intégrant en x par Kjxj-1 (x - A - jbl(1 permet

d'échanger les intégrations sur [ s, + oo [ et sur (-A, A] , ce qui donne :

VpJ:u-1U(u)1x = /im J,q>(x{ yu-1 (x - u - ihf 1du + I•-1 (x - u - ihf 1du J .

On admet dans cette définition formelle que la limite permute à l ' intégrale sur le compact (-A. A) . En se servant du préliminaire, on aboutit ainsi à la formule (si b > 0 ) :

VpJ: .-1u(u)1x = T qi(+p Iu-1 (x - u - ibf1 du )di: = (; " [(x - ibf1 ]. 9') A l ' issue de l ' argumentation qui va suivre, on pourra conclure que la convolée cherchée est cette distribution T identifiée à une fonction : T = i;r [(x - ibr1 ] . c)Etude de la G-convolabilité

Première démonstration

Soit (V' n ) une suite (C-G) dans 2){R) . On pose T,, = vp(Ijx)*�. Cette distribution x - 1b est bien définie puisque l'un des facteurs est à support compact et, cette fois, sa valeur sur <p est rigoureusement donnée par la formule précédente en tenant compte de {VI n ) . En


+A 1f1 n (u - x) tp (u) +A Â. n(u - x) tp(u) posant Un (x) = J . du et Vn (x) = J . du OÙÂ. n= 1 - lfl n et u - x - � u - x -� -A -A supp(tp) c [-A, A] , on a, pour la différence T - T,, :

( _ ) - +ooJ U(x) - Un (x) - U(-x) + Un (-x) _ +ooJ Vn (x) - Vn (-x) T T,, , tp - dx - dx . 0 X 0 X

Il nous faut montrer que (T- T,, , tp) tend vers O. Pour cela, montrons que l 'on peut

choisir B > A + lbl de façon que J Vn (x) - Vn (-x)dx < � . B X 2

Les inégalités lu - x - ibl ;;::: lu - xi - lbl ;;::: x - A - lbl , lu + x - ibl ;;::: lu + xi- lbl ;;::: x - A - lbl et jl 11 j :::; 1 fournissent la majoration suivante :

+A 1 1 4A l'Ploo IV11 (x) - Vn (-x)I ::;; suplÂ.11 'Pl J I . I + I . I du :::;

1 1. -A u - x - 1b u + x - 1b x - A - b

+oo 4A 1 1 L'intégrale J ( 'P 00l l)dx étant convergente, la propriété ci-dessus est vérifiée. B x x - A - b

Il reste à étudier l ' intégrale en x sur [o, B] . Pour cela, on remarque que Vn est de classe

e00 , les dérivations se faisant sous le signe intégral. Donc Vn (x) - V11 (-x) = 2xV'n (Bx x) , ce qui fournit IVn (x) - Vn (-x)I = 2 lxl lV'n loo · Or,

u - x reste dans un compact lorsque x e [O,B] et u e [-A, A] , les fonctions Â. 1t etl n ' convergent donc uniformément vers 0 sur [-A, A] . Il en résulte que l ' intégrale

fA -Â. ' (u - x) Â. (u - x) V' 11 ( x) = n . + 11 2 'P( u )du peut être rendue arbitrairement petite -A u - x - 1b (u - x - ib)

puisque les dénominateurs sont minorés en module par lbl et b2 . L'intégrale en x sur [ 0, B] peut donc, pour n assez grand, être rendue inférieure à e/2 . La distribution T,, converge donc vers T dans ;]) ' et il est clair que la limite est indépendante du choix de

1f111 • On laisse le soin au lecteur de montrer que la limite de ( 1f1 n vp( If x) )* ( x - ib )-1 est

également T . La G-convolabilité est ainsi obtenue. Deuxième démonstration

Notons To = Vp( x-1 )j ]- l,+l[ et li = [x-1 Xixl�i ] . En reprenant la définition de Vp( x-1 ) , on

voit que Vp( x -l ) = To + li où To est une distribution à support compact et li une

distribution-fonction de 11..2. La G-convolée To* [(x - ibr1 ] existe puisque To est à

support compact, la G-convolée 1i * [ (X - ib r 1 ] existe au titre de deux fonctions de 11..2 (Prop 3 . 14 .A) . Il en résulte par addition la G-convolabilité souhaitée. Cette méthode très

simple nous fournit en outre la G-convolée sous la forme Vpf:(u(x - u - ib)r1du En


effet, To étant à support compact et (x - ibr 1 étant de classe C00 , on a d'abord

To* [(x - ibr1 ] = vpf11u-1 (x - u - ibr1 du . Ensuite li * [(x - ib)-1 ] s'exprime, comme

convolée de fonctions de IL 2, par r1 I u -1 ( x - u - ib)-1 du . Le calcul est fait dans a). J1 11 �) Utilisant des translations faites sur l 'un ou l 'autre des facteurs de la convolution, on a : rro,om11t1cm 3.3.B

Retour sur l'exemple 3.8.B

La fonction g se décompose selon la formule (12 + Ir1 = (1/2i)((t - ir1 - (t + ir1 ) . Le

théorème précédent fournit alors la justification d'un résultat déja énoncé : vp(lf t)* [g) = (in /2i)[(t - ir1 + (t + ir1 ] = n t (t2 + Ir1 . (Cf ex N° I 5 et aussi, pour d'autres exemples, les exercices N° 1 6, I 7, 1 8 ) .

2.2.4. Convolution avec une partie finie

Exemple 3.9.B On se propose de calculer la convolution de Pf(Y(t)t -1 ) avec Yg . On

sait que cette convolée existe puisque les supports sont limités à gauche On constate d'abord que, pour tout <p élément de ;]) , la fonction If définie pour t :e:: 0 par : 'l' (t) = f <p(x)r; , dont on sait qu'elle est de classe e 00 , a son support limité à

1 (x - t) + I droite. Son image par Pf(Y(t)t -1 ) est donc bien définie (Cf exercice N°5) et on a :

(Pf(Y(t)t -1 )* [Yg), <p) = ( Pf(Y(t)t -1 ). 'l'{t)) = ;�(J; If?) dt + 'lf(O) ln e) . (*)

X

Intégration à t constant e . .

��__._,_��-� t

Pour intervertir l 'ordre des intégrations dans l ' intégrale de cette formule, il faut interpréter le domaine d' intégration, dans le plan, de l ' intégrale double associée. Ce domaine est, comme l ' indique la figure ci-contre, la région grisée limitée par la droite x = e et la droite x = t . L'échange étant fait, l ' intégrale intérieure est à prendre, à x constant, sur le segment [ e , x] (suivre sur la figure ci-après). On a ainsi :


f�f ÇD (x)dx 2 dt = ff ÇD(x) 2 �

t dx = f(ÇD(x)w(x))dx 8 t l + (x - t) 8 e (l + (x - t) ) e

L'intégrale w( x) = J (

dt 2 ) se calcule fàcilement .

e l + (x - t) t 1 J[ 1 t - X X ] w =

1 + x2 8 t - (t - x )2 + 1 + (t - x )2 + 1 dt

= l +1x2 [1nx - ln e+ (lf2) 1n((x - e)2 + l) + xArc tan(x - e) J

Dans cette expression, le terme - ln� fournit - ln e f ÇD( x � dx . En lui adjoignant le l + x 8 l + x dernier terme de (*), à savoir If ( 0) ln e , on voit que leur somme est ln e f ÇD { x � est

0 l + x majorée par K e l ln e 1 , donc tend vers O. On en déduit que la limite précédente devient :

lim +«>J -1 -2 [1n x + !1n((x - e)2 + l) + x Arc tan(x - e)}(x)dx . e--+0 1 + X 2 e Or, la fonction intégrant a pour limite

1;� [tn x + ±tn(x2 + l) + xArc tanx ] qui est

sommable au point O. Il est facile d'en déduire que la limite précédente est l ' intégrale sur [ 0, + oo[ du produit par ÇD de cette dernière fonction F localement sommable.

Finalement, P/(Y�)} (g] = [ l;:� [1n x + ± 1n(x2 + I) +xArctanx J] . L'exercice N°20 propose le même calcul en décomposant la fraction g.

2.3. Convolution de deux distributions

2.3. 1 . Convolution de deux valeurs principales

a) G-convolabilité Grâce à la propriété des translations, on se limite à vp( 1j x )* vp( 1j x) . On montre la Gconvolabilité comme dans la proposition 3 . 3 .B (ième démonstration) . Il suffit donc de prouver la G-convolabilité des quatre couples (1Q , 1Q ) , (1i . 1Q) , (T0 , 1} ) et (1} , 1} ) . · Les trois premiers couples sont convolables puisqu'une des distributions est à support compact, le dernier est G-convolable puisque ce sont des fonctions de fi_ 2 . On en déduit que vp(lfx)* vp(lf x) existe, au sens de la G-convolabilité et, grâce à des translations sur

l'un ou l'autre des facteurs, on conclut à l ' existence de vp((x - ar1 )* vp((x - br1 ) .

b) Calcul de la G-convolée

On sait (Cf. ex N° 1 0,3°, chap2) que : lima--+O x(x2 + a 2r1 = vp(x-1 ) dans :JJ' . On va

montrer qu'on peut convoler cette limite avec vp( x - l ) , le résultat étant obtenu ensuite

CHAPITRE 3.B. EXEMPLES DE PRODIDTS TENSORIELS ET CONVOLUTIFS 181

par le fait que la convolée fa * vp(x-1 ) , où fa (x) = x(x2 + a2r 1 , est connue. Pour cela,

on passe encore par l ' intermédiaire de la décomposition vp( x-1 ) = To + .7i . Puisque To est à support compact, la proposition 3 .20.A (continuité de la convolution)

s'applique, d'où 1'o *fa � 1'o * vp( x-1 ) . Pour prouver que .7i *fa � .7i * vp( x-1 ) , on utilise encore fa = U0 + U1 où U0 et U1 sont les restrictions de fa aux domaines respectifs [- 1, 1) et )-ao, - l] u [l, + ao[ . En reprenant l ' exercice N° 1 0 déjà cité (chap 2),

on peut montrer que U0 � To d'où, par application du théorème de continuité, 2>' puisque les supports de U0 et de To sont tous deux dans [- 1, 1] : 7i *Uo�.7i*JO .

Enfin, on peut considérer la convolée 1J. * U 1 au sens de O.. 2 . La norme l lU1 - .7i 11�· peut

être majorée par la formule fixl:<:I lfa (x) - x-1 12 dx � a2 fixl:<:l � , donc tend vers O. Alors,

en appliquant l ' inégalité J J.7i * (U1 - .7i ) J J00 � l l.7i l lL2 llU1 - .7i llL2 (Cf. annexe 3 . 1 ), on voit que

la convergence de .7i * U1 vers .7i * .7i a lieu dans O.. 2, donc dans 2f . En recomposant les

résultats précédents, on obtient : vp(x-1 )* ( x(x2 + a2r 1) �vp(x-1 )* vp(x-1 ) . Or, en utilisant la proposition 3 . 3 .B, la décomposition de x(x2 + a2r1 ,puis la limite

classique de a (x2 + a2r 1 vers 7l ô , on a :

vp(x-I )*fe = -7lll (x2 + a2rl �-1l 2Ô . Par l 'égalité des limites, on en déduit vp( x - l )* vp( x - l ) = - 1l2 ô . En faisant des translations sur l 'un ou l 'autre des facteurs, on obtient finalement :

liiiïta1111&111r-Une variante de la preuve précédente est proposée dans l ' exercice N° 34 . 2.3.2. Convolution avec un peigne

a) Convolution d'un peigne et d'une fonction à support borné

On considère un peigne généralisé quelconque T = LneZ en ô an où les an convergent

vers +ao avec n et vers -:-«> avec n. Soit f continue sur IR et à support borné. Le peigne étant une distribution-mesure, la convolée de ces deux éléments est une fonction continue (Cf. proposition 3 . 1 5 .A) avec h=O) . Posons : g = f* T . On a ([g), ip) = (r.f* ip) . Or, on

sait que la fonction J * ip appartient à 2J puisque f est à support borné. Il en résulte que, dans la série ([g), ip) = LneZcn (f* ip)(an ) , il n'y a qu'un nombre fini de termes non nuls

car, pour lnl assez grand, les nombres an sont hors du support de J * ip . On en déduit que l'on peut intervertir les sommations dans l 'expression précédentes de ([g), ip) . En utilisant la variable u =an +y , on a ainsi , de manière détaillée :


b +oo

([g], q;i) = J LneZC nf(y) q;i( an + y)cry = f[LneZC nf(y)q;i( an + Y) ]cry Q - OO

+oo + oo

= fLneZc ,J(u -an ) q;i(u)du = f[LneZc nf(u -an )]q;i(u)du - OO - OO

Dans cette égalité, la série de fonctions LneZc nf(u -an ) , où seul un nombre fini de termes sont non nuls, admet pour somme une fonction, et, en fait, la relation précédente

+oo

entraîne que : g(u) = Lcnf(u -an ) . - OO

Cette démonstration est valable pour un peigne de Dirac, la fonction g obtenue étant alors périodique (Cf chap 5 .A) .

b) Convolution d' un peigne avec une distribution à support borné

Soit encore T = Lz en ô an du type précédent. Si S est à support borné, on laisse le soin au lecteur de montrer que la convolution avec T est bien définie au moyen d'une série convergente dans C:' et que l 'on a :

+ oo

(S* T, q;> ) = Len (S* qJ )(an ) . -OO

c) G-convolabilité de deux peignes de Dirac Soient deux peignes T = Lzanô 11 et S = Lzbnô n tels que, pour tout n, la série de

terme général la pbn-p 1 soit convergente. Soit (V' k ) une suite C-G de 2>. Le support de

V'k étant inclus dans [-s(k), s(k)] , le produit Vf k T se réduit à la somme finie

Llplss( k) a P V' k (p )ô P d'où l 'on déduit que, dans Tk = (V' k T)* S qui exprime un peigne

de Dirac, on peut prendre comme indice de sommation n = m + p et que ce peigne peut ainsi s'écrire Tk = LneZcn,kô n où cn,k = Llplss(k) aPyt k (p)bn-p est une somme finie.

En notant c11 = L peZ a Pb11_ P et U = LneZ en ô n , on est amené à prouver que ( 1k) converge vers U dans ;JJ ' . Soit q;> E 2J de support dans [-A, A] , alors puisque

1( Tk -U, q;> )1 � 19'100 LlnlsA icn - cn,k , , il suffit de montrer que, pour chaque n, cn,k -'Hn . Or, on a icn - cn,k l = LpeZ lapbn-p l( I - ytk (P)) . Par hypothèse de convergence, il existe

P tel que 2Llpl<!P la in-p l � e /2 . Ensuite, sur le compact [-P, P] , la convergence vers

1 de la suite (V' k ) étant uniforme, il existe k0 tel que k ;::::; k0 implique l ' inégalité

LjplsP la pbn-P 1( 1 - V' k (p)) � e /2 . La preuve restant la même en échangeant T et S, le

résultat peut s'énoncer.


d) Conséquence sur le cas de deux peignes de Dirac à supports limités à gauche

Si les deux peignes sont à supports limités du même côté, par exemple à gauche, on sait que ces peignes sont s-convolables. En particulier, si T = '°' 0 b110 11 et S = '°' 0a110 11 , L,,n'è. L,,n'è. ils sont tous deux dans 1' algèbre .'.b '+ et la convolée est donc dans .'.b '+ . De toutes façons, la proposition précédente s'applique et le résultat est un peigne qui s'écrit, les séries définissant les coefficients se réduisant ici à des sommes finies :

S* T = Lk'è.o (Lm+n=k (an bm )) 0k . 3. CALCUL SYMBOLIQUE

On se place dans l 'algèbre de convolution des distributions à support dans [0, + oo[ 3. 1. Résolution d'une équation intégra-différentielle Soit l 'équation dite intégra-différentielle, assortie d'une condition initiale, où l ' inconnue est, a priori, une fonction/ à support dans [ 0, + oo( : {/ ' (x)- 2/(x) + 2 J; (2 e-11 - sinu)f(x - u)du =Y(x)cosx

/(o) = /(+o) = 1 L'inconnue étant U = [YJ] , on a U ' = [Y f '] + (!( +0) - o) o = [Y f '] + o . En multipliant

l' équation par Y et en posant A = [ Y(t)(2e-t - sin t )] et V = o + [Y(t)cos t] , on est amené

à résoudre l 'équation de convolution U* (o ' - 2 o + 2A ) = V .

Le calcul symbolique donne :

F(s)[s - 2 + 2(-2 - -1 )] =-s + 1 . s + l s2 + 1 s2 + 1

(s2 + s + 1)(s + 1) ou encore, après simplification F(s) = ( ) s(s - 1) s2 + 3 En posant a = ( 12 )-1 (-1 + 3.J3 i ) , la décomposition complexe de la fraction F fournit :

F = (- 1/3) s-1 + (3/2)(s - 1r1 +a (s + i.J3r1 +a (s - i.J3r1 , d'où l 'on déduit :

U = (- lf3)(o r-l + (3/2)(o '- or-l +a (o '+i.J3 o)*-l + a (o '-i.J3o)*-1 , c'est à dire f(t) = Y(t)(-1/3 + (3/2) exp(t) + a exp(-i .J3 t )+ a exp(i .J3 t )) . On trouvera d'autres exemples de résolution dans les exercices N° 1 7, . . . ,2 1 .

3.2. Résolution de systèmes d'équations linéaires dans l'algèbre

3.2.1 . Première méthode

Le système donné se traduit, grâce au calcul symbolique en un système linéaire classique que l 'on résoud par les méthodes habituelles (résolution matricielle, utilisation des formules avec déterminants, substitution, élimination) . 3.2.2. Théorie matricielle des systèmes linéaires de convolution

Un tel système de n équations à n inconnues peut se mettre sous la forme matricielle :


A * X = B . nxn X = (Xi ,X2 , . . . Xn }1 est la colonne des inconnues, B est aussi une colonne dont les éléments sont des distributions Bj de l 'algèbre. A est une matrice carrée d'éléments Ji.j qui sont les distributions, appartenant à l 'algèbre, coefficients des différentes inconnues. En définissant le produit matriciel de deux telles matrices carrées par les mêines règles que le produit matriciel ordinaire en remplaçant les multiplications habituelles par les produits de convolution, on peut définir une algèbre matricielle associée à 1'.l'+ (!Rl.). La question essentielle est alors de définir l ' inverse de convolution d'une matric� carrée de convolution. Si cette inverse existe pour A , la solution sera donnée par X = A *·1 * B . Par des calculs de type matriciel ou par le calcul symbolique, on a le résultat suivant :

il�iiîi�i tÎ!�, :ç29v9füîi99 ��t· �vY�t:$1i?t@ §!. �! ��m�m�ni :�i �9n· 4�t�mn�lr,: , :A!::: .��t: -r.1•� Exemple 3.10.B Soit le système différentiel qui s' interprète comme système convolutif {Xi "+ X2 '= Y(t ) et ou

{ô" *Xi + ô ' * X2 = Y(t ) e t Xi ' + X2"= tY(t ) e t ô ' * Xi + ô" * X2 = tY(t ) e 1

.

[ô " ô '] [X ] [Y(t ) t ] . Le système s'écrit matriciellement sous la forme : ô , ô ,, * X� = tY(t ): t · Le déterminant de la matrice s'écrit ô " * ô "- ô ' * ô '= ô ( 4) _ ô " , c'est un polynôme de la variable ô ' qui a pour inverse, d'après la proposition 3 .20 .A, la fonction Yy où y

vérifie y(4) - y" = 0, y(O) = y ' (O) = y " (O) = 0, y(3) (o) = 1 . On trouve sans difficulté y = at + b + c sh t + d cht et, en tenant compte des conditions initiales y = -t + sh t . La [ ô Il - Ô '] matrice inverse est donc A *·1 = Y(t )(-t + sh t )* _ ô , ô ,, . On en déduit la solution

sous la forme X = A*"1 * B = Y(t)[ sh t l - ch t ]* [ Y(t) et ] · 1 - ch t sh t t Y(t) et Le calcul symbolique global conduit à résoudre le système de déterminant s 4 - s2 {S 2Xi + SX2 = (s - lri ' ' S2 - s - 1 1 , d OU Xi - ( ) 2 , X2 = ( ) 2 sxi + s2 x2 = (s - 1r2 s3 - s (s - 1) s3 - s (s - 1) On laisse le lecteur effectuer les décompositions de ces fractions rationnelles. On en déduit la solution : {Xi = 8-i Y(t)(8 - 2t2e 1 + l Ot e t - 9et + e-t ) . X2 = s-

i Y(t)(-8 + 2t2e t - 6t e1 + 7e 1 + e-1 )


Exercice N°1 (Produit tensoriel d'échelon-unités et de distributions de Dirac)

Soit le produit tensoriel T = Y( x) ® Y(y) , élément de .2Y (�2). Montrer que T est une

solution de l'équation ôx�yT = ô(o,o) . En déduire, lorsque p � N , la dérivée mixte par

rapport aux variables xl > x2 , . . . , xP de Y(x1 ) ® Y(x2 )® . . . . ®Y(xP ) ® ô (xp+i )® . . ®ô (xN ) . Exercice N°2 (Dérivées de produits de puissances par des distributions de Dirac)

1 °) Trouver les dérivées successives de x11 [Y( x)] . En déduire une solution élémentaire de

l 'opérateur de dérivation D("+I) . Vérifier à l 'aide de la proposition 3 .20 .A.

2) Les exposants étant des entiers naturels, déterminer la convolée { xP ô ( q) )* { xm ô (n) ) .

On montrera que, si cette distribution n'est pas nulle, elle est du type Kô (q-p+n-m) où K est une constante s'exprimant à l 'aide des exposants. Exercice N°3 (Une distribution à support compact est une limite de polynômes)

Montrer que toute distribution T à support compact est une limite au sens des distributions d'une suite de polynômes. On utilisera, dans le cas de �2, l ' exercice N°23 du chapitre 2 qui exprime qu'une certaine suite de polynômes PP de degré 2p3 converge vers ô · et on montrera que T* PP est une suite de polynômes qui converge vers T . Exercice N°4 (Propriété de Fubini pour les produits tensoriels)

Montrer à l 'aide du corollaire 3 . 5 .A que la propriété de Fubini de la proposition 3 .7 .A est vérifiée pour une fonction f de classe ea:) et une distribution. Soient T E .2l ' (X) et S E .2l' (Y) et p 6 une suite de fonctions de 2(Y) convergente vers

ô dans 2' (Y) . Alors, p6 • T est une fonction e<r> qui converge vers T dans 2' (Y) (Cf.

Prop 3 . 1 0.A) . Etablir que : ((P6 * T)x; • (Sy; .<P(x,y))) = (sy; , (P6 * T)x/P(x,y)) et, en

passant à la limite sur les deux membres, prouver la propriété de Fubini pour T et S. Exercice N°5 (Convolution de produits de distributions par une exponentielle)

Soient S et T , T E .2')' (�2) et S E l" (�2) . Soient 2 réels a et b; montrer la relation (eax +by s)* (eax+byT) = eax+by (S* T) . Généraliser pour T E .2l' (�N) et s E l" (�N) .

Exercice N°6 (Notions sur les distributions homogènes)

Soit Â > 0 donné et T E .2')' (�N). On définit H ;,, T par (H ;,, T, rp) = Â -N ( T, rp(xf Â )) . La

distribution T est dite homogène de degré a si : V Â > 0 , H;,, T = Â a T .

1 °) Montrer queÂ � rp(.l x) est dérivable et queô ;,,<p(.l x) = L; x iôirp(.l x) dans .2l . . En

dérivant ( T, rp( Â x)) = Â -( N +a) ( T, <p), montrer que L; xi ô AT) = a T (dite « relation

d'Euler »). En utilisant une équation différentielle vérifiée par u( Â ) = ( T, rp( Â x)) , montrer que, réciproquement, si Tvérifie cette relation d'Euler, T est homogène de degré a . 2°) Etudier l 'homogénéité de T' quand T est homogène. Les distributions suivantes vp(lfx) , Y, ô , ô' , . . , ô(n) , . . , ô0 , Pf(Y/x) , Pf(x-2 ) , Pf(Y/xk ) , Pf(x-k ) ( oùk > 1 )


· sont-elles homogènes? Quels sont leurs degrés? Montrer que si des distributions sont homogènes de degrés 2 à 2 différents, ces distributions sont linéairement indépendantes. 4°) Résoudre, sur �· ,au sens des fonctions, a étant donné réel, l ' équation différentielle xT'-a T = 0 . En tenant compte ensuite des distributions solutions de support réduit à l 'origine, en déduire que les distributions homogènes de degré a sont données par :

Si a > - 1 , T = C1 [Y(x)xa ] +c2 [Y(-x)(-xt ] Si a < - 1 et si a n'est pas entier négatif, T = C1Pf(Y(x)xa ) +C2Pf(Y(-x)(-xt) Si a est un entier négatif, T = C1 Pf( xa ) +C2 ô ( -a-I) 3°) Soient T et S homogènes de degrés a et fJ . Montrer que T ® S est homogène. Quel est son degré d'homogénéité? Examiner le cas d'un produit de convolution. Exercice N°7 (Produit tensoriel de distributions d'ordre fini)

Montrer que le produit tensoriel de deux distributions d'ordres a et b, est d'ordre a + b . Exercice N°8 (Espaces de fonctions ou de distributions à support limité d'un côté)

L'ensemble des fonctions de !: qui ont un support contenu dans une demi-droite [a , + oo[ , où a est arbitraire, est un sous espace vectoriel de !: ; on le note .2) + (�). On

note également .2) _ (�) le sous-espace de !: des fonctions à support limité à droite. Sur

ces espaces on peut placer la topologie induite par celle de !: . Cela permet de définir les formes linéaires continues sur ces espaces. 1 ) Défi.nir le symbole (T, <p) lorsque T et <p ont leurs supports respectifs limités, l 'un à gauche, l ' autre à droite. De façon analogue au cas d'une distribution à support borné, on utilisera une fonction fJ de .2) + qui vaut 1 sur un voisinage ]a - e , + oo[ , de supp T .

2) Montrer que l ' espace des formes linéaires continues sur .'.D _ (�), par exemple,

s' identifie à .2) ' + (�) espace des distributions à support limité à gauche. 3) Préciser la fonction auxiliaire à utiliser pour définir T* U si T et U sont dans .2) ' + .

Exercice N°9 (Produit tensoriel de deux parties finies)

En se laissant guider par la démarche utilisée dans l ' exemple 3 . 1 .B, définir la partie finie

de YxYy� (xyzr1 . Définir le produit tensoriel dePf(YxYy {xyr1 )® Pf(Yzz-1 ) et

comparer à la distribution précédente. Définir Pf(Y(x)x-2Y(-y)y-1 ) . Exercice N°10 (Convolution de fractions rationnelles)

Calculer les convolées f * f et f * g lorsque f (t) = ( 1 + t2 r1 et g(t) = ( 1 + t + t2 r1 . Exercice N°1 1 (Convolution d'exponentielles par des calculs élémentaires)

En supposant a > O, b > 0 , calculer u* v lorsque u(t) = exp(-a ltl) et v(t) = exp(-b lt l) . Exercice N°12 (Convolution de fonctions à support limité à gauche)

Soient deux fonctions f et g à supports dans (O,+oo [ , l 'une continue, l 'autre localement sommable. Montrer que les distributions [/] et [g] sont s-convolables et que

[/]* [g] = [h] où h est la fonction continue sur � vérifiant : h(x) = Y(x)f; f(t)g(x - i)dt · Exercice N°13 (Application conservant la convolution et solutions élémentaires)


Soit, pour (a,b) donné, l ' endomorphisme L de 2}' (11�?.2) tel que L(T) = eax+by T . Au

polynômeP(u, v) = L;+j:S:2 a(iJ)uivj , on associe P(D) = L;+j:s:2 a(iJ)D(iJ) .

1 °) Montrer que P(D)(T) = P(D)(ô)* T . En utilisant l 'exercice N°5, déterminer le polynôme Q tel que L(P(D)(T)) =Q(D)(L(T)) . On débutera par P = u et P = uv . 2°) Trouver une solution Q(D)(U) = ô en utilisant une solution de P(D)(V) = ô . Exercice N°14 ( Calcul de convolution qui utilise la parité) Trouver la distribution dérivée de vp( If t )* r où r est la fonction caractéristique de [ 0, 1] en utilisant la dérivée de r. En déduire, qu'à une constante près C, cette convolution est différence de 2 logarithmes. En translatant la fonction r pour obtenir une fonction paire, et en utilisant la propriété de la nouvelle convolution, en déduire que C = 0 . Autre méthode : Déterminer vp(t -1 )* r en calculant d 'abord lnltl* r et en dérivant ensuite.

Exercice N°15 (Convolution de fractions rationnelles)

Soient f et g définies par f(x) = (x � ar1 etg(x) = (x - br1 où a et b sont non réels. Prouver la G-convolabilité de f et g. Déterminer f * g en discutant suivant le signe des parties imaginaires de a et b. La convolée peut-elle être nulle? Exercice N°16 (Convolution d'une valeur principale et d'une fraction rationnelle)

En appliquant les résultats de § 2 .2 .3 du chapitre 3 .B, montrer la G-convolabilité de

vp((x - dr1 ) et de/ où f(t) = (x3 - t)(x2 + 2r\x2 + 1r1 . Déterminer la convolée

Exercice N°1 7 (Autre méthode de calcul de convolée avec une valeur principale)

Il s 'agit de calculer T = (vp1ft)* (t2 + 1r1 par une méthode différente de celle du cours.

a) On admet que, si <p est dans 2) , on a ( T, <p) = ( vp( 1/ x ), 1/1' ) où la fonction 1/1' est

définie par : 1/1' ( x) = f <p ( u) 2 du . Vérifier l 'existence de ( T, <p) . En admettant que, _00 l + (u - x)

dans l 'expression, sous forme de limite, de ( vp( 1/ x ), 1/1') , on puisse intervertir les deux variables d' intégrations, montrer que T = [/] où f définie par :

+oo

f ( u) � J ( 4 :{" 2 ) . Vérifier l ' existence et la continuité de f sur lit o l + (u - x) I + (u + x)

b) En utilisant la parité, montrer que f s' exprime à l 'aide d'une intégrale sur llt En utilisant le ·théorème des résidus sur un contour formé d'un demi-cercle du demi-plan supérieur et de son diamètre réel et la fontion H définie dans ([ par la formule

1 H(z) = { 2 )( 2 ) , calculer f(u) . Comparer avec l 'exemple 3 . 8 .B . I + (z - u) l + (z + u)

Exercice N°18 (Convolée avec une valeur principale où intervient une exponentielle)

Soit g(x) = (x - ibf1 , b E l2.. Utiliser la méthode de §2.2;3, chap B (zièmedémonstration),

pour prouver que T = vp( x - l ix ) et g sont G-convolables et que la convolée est la

fonction/ définie, au moyen de la valeur principale d'une intégrale divergente, selon la


c. 1 . f _ Vi f� exp(ix)dx _ 1 . f� exp(ix)dx f-& exp(ix)dx 1ormu e . (u) - p - zm&--+O + . En -00 x(u - x - ib) & x(u - x - ib) -00 x(u - x - ib) appliquant le théorème des résidus à la fonction F( z) = (

exp(iz ). ) sur un contour z u - z - zb convenable (Cf §2.2 .3 a) chap B), déterminer f (on tiendra compte du signe de b . . Montrer également que U = vp(x-1 )* (e-ix g) existe et calculer cette G-convolée en

prouvant d'abord que U = e-ix ((vp(eixx-1 ))* (g)) . Exercice N°19 (Convolution avec une Vp où intervient un logarithme)

Définir la distribution T = vp( x -1 tnlxl) . Montrer l 'existence de la G-convolée T* g , g étant définie dans l 'exercice 1 8 . Montrer que T* [g] = [/] où j définie par une valeur

principale d'intégrale divergente : f(u) = lim &--+o[f� ( ln lxldx . ) + f-& ( ln lxldx . )l · ô X u - X - zb -OO X u - X - zb En transformant la deuxième intégrale, montrer aussi que f(u) = 2 Ji� ln lxldx . 0 (u - ib) - x2 Pour le calcul on utilise la fonction complexe F(z) = ( lnlzl + i arg( z)) 2 ( ( u - i b )2 - z2 )-I . Exercice N°20 (Convolution d'une partie finie à droite et d'une fraction rationnelle)

On propose de calculer la convolée T = Pf( Y(t)i -1 )* Yg où g(t) = (t - ibf 1 . 1 °) Montrer que la convolution existe et qu'elle est définie (après un changement de variables et une permutation de l 'ordre des intégrations) par la formule :

(T, rp) = lim[f� rp(u)fu ( dx . )du+ ln e r� rp(u)�uJ (*) e--+O & x u - x - zb Jo u - zb & 2°) Calculer de façon élémentaire f" dx . et en déduire f" (

dx . ) . Montrer que & u - x - zb & u - x - zb x le dernier terme de ( *) se supprime dans la somme et en déduire la fonnule :

(T, rp) = f0� :��(tn (u�u2 + b2) - tnb + iArc tan(i))du 3°) Calculer Pf(Y(t)r1 )* Y(t)(t2 + b2f1 et, pour b = 1 , comparer avec l 'exemple 3 .9.B.

Exercice N°21 (Convolution de dérivées de translatées de distributions de Dirac) On utilise la notation abusive ô ( t - a ) à la place de ô a .

1 ) Calculer, pour p et q entiers de 1'.:,J a convolution ô ( k) (t - p) * ô( n) ( t - q) . 2) Soit la distribution définie par la somme suivante où n est un entier naturel : Sn =ô(t ) + ô' (t - l ) +ô" (t - 2 )+ . . . . . . . +ô (n } (t - n) . Calculer Sn * (ô(t) - ô ' ( t - 1) ) · 3) Montrer que, dans 2J' , la limite de Sn lorsque n tend vers + oo existe. En déduire

l'inverse de convolution dans 2J'+ de ô(t) - ô ' ( t - 1) .


Exercice N°22 (Calculs d'inverses de convolution)

Chercher dans 2 '+ les inverses de convolution des distributions suivantes : ô' ' + aJ 2 ô , g (4)_ g , g(3) + g (2)+ ô' + Ô , g (n) _ Ô , ô+ ô'+ô"+ . . . Ô(n) , (ô ' + ô)*11 • Exercice N°23 (Résolution d'une équation intégro-différentielle)

a) Trouver les inverses de convolution de ô '+ [Y e2 ' ] et de [Y(t)(cost + t sin t)] b) Soit l 'équation intégra-différentielle suivante où l ' inconnue est la fonction f supposée

X

à support dans [ü, + oo[ : 2/(x) + 2/ ' (x)- J s (e1 + sin t)f(x - t)dt = Y(x) sin x avec 0

f(O +) = 0 . Multiplier cette équation par Y et montrer qu'elle devient, dans 2 '+ , une équation de convolution. Résoudre ensuite cette équation par le calcul symbolique .

Exercice N°24 (Résolution d'équations intégrale et intégro-différentielle)

a) Par la méthode précédente, trouver la fonction de support dans [ 0, + oo( , continue sur IRl. 1 1 ri 3 et de classe C sur )O , + oo[ telle que : Vt EIR+ , y(t� t - (, Jo (t - u) y(u)du = O .

b) Déterminer également y telle que y ( 0 +) = 1 et : Vt EIR+ , y' (t) - 5y(t) + 8Y(t) J� ef t - u) sin[2(t - u)]y(u)du= Y(t)e1 .

Exercice N°25 (Autre équation intégro-diff érentielle)

Soit l ' équation intégra-différentielle où la fonction f inconnue est supposée continue et dérivable sur (O,+oo[ et vérifie les conditions initiales /(0) = f '(o) = 1 :

f "(x) - 3/ '(x) + 2f(x) - 4J; (exp(2x - 2t) - exp(x - t))f (t)dt = exp(x) . 1°) On multiplie cette équation par Y l ' échelon unité. En interprétant en termes de distributions l ' égalité obtenue, on obtient une équation de convolution dans 2 '+ . 2°) Résoudre, à l 'aide du calcul symbolique par exemple, cette équation.

Exercice N°26 (Résolution d'équations différentielles à coefficients variables)

a) Résoudre dans l 'algèbre 2 '+ , l 'équation différentielle xy"+2(1 - i x)y'-(2i + x)y = 8 . (On utilisera la distribution inconnue T = xy ) . Vérifier la solution.

b) Soit l 'opérateur d'Euler D(y) = x2 y" + b x y ' - b y . En utilisant certains résultats de l'exercice N°40 du chapitre 1 , résoudre dans 2 ' + (IRl.) l ' équation D(y) = ô . On reprendra les exemples associés aux cas b = -1 , b = 0 , puis b entier ( b = n > 1 ). En remarquant que, la différence de deux solutions est solution de D(y) = 0 , on est amené à chercher si les solutions de D(y) = 0 , trouvées dans 2' (IRl.), fournissent des solutions dans 2 '+ (IRl.) .

c) Résoudre x2y"+xy'-y = ô et x2y"+3xy'+y = ô dans 2 '+ (1Rl.) (on sera amené à

étudier la distribution Pf(Y(x)x-1 ln x) . Comparer avec l 'exercice N° 1 6, chap 4 .


Exercice N°27 (Résolution de systèmes de convolution par le calcul symbolique) Résoudre dans 2> ' + ([R{) les systèmes suivants : {ô "* X1 + ô ' * X2 +ô * X3 = ô {Y(t)e' * X1 + Y(t)e-2 ' * X2 = ô ô ' * Xi + ô * X2 +ô"* X3 = ô ' Y(t)e-2' * X1 - Y(t)e ' * X2 = ô ' Ô* Xi + ô" * X2 +ô' * X3 = ô"

Exercice N°28 (Convolution de peignes à supports limités à gauche)

Après avoir démontré son existence, déterminer le produit de convolution des deux peignes de Dirac dans [R{2 : T = Ln<!:l,p<!:I an,pôn, ln p et S = Ln<!:l,p<!:I hn,pôn, lnp (ln étant le logarithme népérien) . On montrera que la convolée est un peigne du même type.

Exercice N°29 (Produit de convolution dans /If de fonctions exponentielles)

Calculer exp(-a x2 - by2 )* exp(-c x2 -dy2 ) , a, b, c, d étant des réels >O.

Exercice N°30 ( Convolution dans /If de fonctions caractéristiques de cônes)

Dans 1 ' espace [R{ 2 , on définit le cône C par { ( x, y) 1 0 < x < jyj } et on désigne la fonction caractéristique de C par F. Montrer 1' existence de F* F et déterminer cette convolution . .

Exercice N°31 (Exemple tle suites tle type CG)

Soit la suite (VI' k ) telle que Vl'k (x) = exp((x2 - k2r1) sur l -k, k J et Vl'k (x) = O sinon.

Montrer que cette suite est de type C-G dans 2> ([R{) (voir la définition 3 .4 .A).

Exercice N°32 ( Familles de fonctions stables par convolution) 1 °) Pour tout a > 0 , r étant la fonction eulérienne (Cf annexel .2), on pose

Ha (t) = Y(t)t a+1 (r(a)r1 . Justifier la convolabilité et montrer que Ha *Hp = Ha+p . 2°) Pour tout a réel positif, on pose Fa (t) = (a/7r)(t2 + a2 r1 . Calculer, après avoir

justifié la convolabilité, la convolée Fa * Fb et montrer que Fa * Fb = Fa+b . 3 °) On définit sur [R{ les fonctions Ga tels que Ga (t) = (a .fii)- l exp(-�) . Montrer

que deux telles fonctions sont convolables et que Ga * Ga , = G,. où •= �a·2 + a '2 . Exercice N°33 (G-convolution de fonctions et de mesures)

1 °)En se basant sur une preuve analogue à celle de la proposition 3 . 1 4 .A, prouver que si p et q sont des exposants conjugués, deux fonctions/ et g de 1LP et IL q sont G-convolables. 2°) Soit f E IL P où p E ] 1,oo [ et . On désigne par q le conjugué de p . . a) Montrer que IJ* <pl00 ::::: l!IP l<tJl q . En déduire que s i µ est une mesure bornée et si

(VJ'n ) est une C-G suite, (VJ'11µ) * f est dans 1LP et i(VJ"nµ) * Jjp ::;; f IVl'nµll!lp · b) En utilisant le fait que VJ'11µ converge fortement vers µ dans l 'espace M1 ([R{N) des


mesures bornées, montrer que la suite ({l/f nµ) * !) est de Cauchy dans IJ...P. En déduire qu'elle converge. On noteµ * f cette limite qui coïncide avec la convolée classique.

Montrer que (µ * (l/f nf)) converge vers la même limite (on pourra utiliser la majoration

précédente et la convergence dans 1LP de {l/f ni) vers/). Prouver : Iµ * JIP � J Iµ l l ! IP . c) Montrer que si (µ k ) est une suite de mesures positives bornées qui converge

étroitement vers µ sur �. alors µ k * f converge vers µ * f dans IL P (Utiliser cette

propriété lorsque f est continue à support compact et la densité de ces fonctions dans IL P) . d) On suppose que/ soit dans IL 1 . Soit une suite {fn ) de e c(�) convergente vers f dans IL 1 . Montrer que µ * fn est de Cauchy dans IL 1 . en déduire que µ * f est dans IL 1

l Montrer, pour une suite (µ k ) du type précédent, queµ k * f � µ * f .

Exercice N°34 (Calcul de la convolée de deux valeurs principales)

On suppose établi que la G-convolée vp( x-1 )* vp( x-1 ) existe. Soit l/f E :1> qui vaut 1 en

O. Notant f le produit (1 + isr1 l/f et T = vpif x , on peut écrire :

T* (x + isr1 = T* f + (l/f T + (l - l/f )T)* ((1 + sr1 - f) .

a) En utilisant lim( X + i 8 r l = T + i nô ' trouver lim f puis lim f * T . b) Montrer que (1 - 1/f)Ré (x + isr1 � (l - l/f) x-1 dans IL2, donc dans :1> ' . En déduire

que l/f T* (l - 1/f)Ré (x + isr1 � l/f T* (l - 1/f )T . Montrer aussi que, au sens de IL2, on

a : (1 - 1/f )Ré (x + is)-1 * (1 - 1/f )T � (1 - 1/f )T* (l - l/f )T . c) En déduire lim T* ( x + i s )-1 = T* ( T + in 8) et retrouver ainsi le résultat T* T = -n2 8 . Exercice N°35 (Convolées d'un logarithme et d'une mesure 8(S) dans !If) a) Préliminaire : Une fonction z � log(z - a) , où a > 1 , étant définie dans un ouvert

convenable, on considère la fonction F telle que F( z) = z -l log( z - a ) . En intégrant cette

fonction le long du cercle unité de C, calculer l ' intégrale /(a) = J:n ln(l +a2 - 2acost)dt . En déduire ensuite !(a) pour a < 1 . b) Montrer que la fonction lnr = i-1 ln(x2 + y2 ) est convolable avec la fonction

caractéristique z(D(O ,R)) du disque de centre 0 et de rayon R. En utilisant le préliminaire, calculer cette convolée. En déduire la convolée /,, = ln r* z {en ) où en est

la couronne circulaire de centre 0 et de rayons R et R - n-1 . c) Par un passage à la limite, déduire de ce qui précède la convolée f = lnr* ô(S) où S

est définie par S(x,y) = x2 + y2 - R2 . Retrouver ce résultat par un calcul direct. d) Calculer la convolée f = lnr* D( 8(S)) (Cf exercice N°35, chap2) .

ANNEXES DES CHAPITRES 3

ANN EXE 3. 1. CONVOLUTION DE MESURES ET DE FONCTIONS

1) Convolution de deux mesures de Radon bornées

Proposition 1

Soit µ ® v le produit tensoriel de deux mesures de Radon bornées sur !RN. Alors, pour toute fonction <p continue à support compact sur !RN, la fonction (x, y) H rp(x +y) est µ ® V -intégrable et on définit

la convolée des deux mesures par (µ * v , <p) = (µ ® v )( rp( x + y)) . Le produit tensoriel Iµ 1 ® 1 v 1 étant borné, on a I(µ * v , <p )1 ::;; lrpJ 00 llJµll vJJ J ::;; JrpJ 0011 µlll J vil , ce qui prouve que µ * v est une mesure bornée. Proposition 2 Soient deux suites (µn ) et (V n ) de mesures bornées sur !RN qui convergent étroitement vers µ et v respectivement. Alors la suite des convolées (µn * v n ) converge étroitement vers µ * v . 2) Convolution de fonctions de puissances p-ièmes sommables

Proposition 3

Si / et g sont dans of1 (!RN), la convolée (!* g)(x) = J f(x - t)g(t)dt est définie pour presque tout

x, la convolée appartient à of1 (!RN) et on a : I JJ * g 11 1 ::;; Il/ 11 1 l lg 11 1 . En conséquence, l 'espace ll.1 (1ilN), muni de la convolution est une algèbre de Banach commutative et associative (sans élément unité). Remarque

Si µ = fdx et v = gdx sont des mesures de base la mesure de Lebesgue, alors la convolée µ * v est

aussi une mesure de base la mesure de Lebesgue, la densité étant f * g .

Proposition 4 Si f et g sont des fonctions sur lllN , appartenant à ll. P et ll. q respectivement, p et q étant conjugués dans

[ 1, + oo] . Alors la convolée f * g , qui est une fonction partout définie, est uniformément continue et

bornée. En outre, on a : l if*g IJ00 :S: l l!Jlp lJgl Jq · Proposition 5 Si f et g sont des fonctions sur !RN , appartenant à n_P et ll. q respectivement, avec cette fois

p -I + q - l > 1 , alors ces deux fonctions sont convolables au sens des fonctions et la convolée appartient

à l 'espace n.•, r étant défini par r - l = p - l + q - l - 1 . De plus, on a : I Jf* g l lr :S: I JJIJp llglJq . Corollaire 6 Si g est une fonction intégrable, l 'application f H f * g est un endomorphisme de ll. 1 continu et de

nonne l lKll 1 3) Propriétés

Les produits de convolution de fonctions définis ci-dessus sont commutatifs, associatifs dans la mesure où les différentes convolées intervenant dans l 'égalité correspondante sont toutes définies.

Support d'une convolée

Si f*g existe presque partout, alors supp (!* g) c supp f + supp g et si l 'une des fonctions est à support compact, supp (! * g) c supp f + supp g

ANNEXES DES CHAPITRES 3 193

ANNEXE 3.2 THEORIE DES RESIDUS

1. Holomorphie

1. 1.Définition Une fonction z H f(z) = f(x + iy) + P(x, y) + i Q(x,y) est dite holomorphe dans un

ouvert n de <[ si cette fonction est dérivable dans n par rapport à la variable z, ce qui revient à dire

que les fonctions p et Q sont �2 -différentiables dans n et qu'elles vérifient dans il les conditions de Cauchy :

ô P ô Q ô P ô Q -- = -- et -- = --- . ôx ôy ôy ôx

1.2. Exemples Les fractions rationnelles sont holomorphes en dehors des pôles, les sommes de séries entières dans leur disque ouvert de convergence, les quotients de fonctions holomorphes le sont aussi hors les zéros du dénominateur. Si on désigne par n l 'ouvert obtenu en privant <[ d'une demi-droite LI issue de Zo et faisant l 'angle

a avec l'axe positif des abscisses, on peut définir un logarithme complexe noté logn qui est

holomorphe dans n et qui s 'explicite par : log n (z) = tn lz - zo l + i argn (z - zo ) où cet argument est

l 'unique argument compris strictement entre a et a + 2 n .

2. Points singuliers isolés d'une fonction holomorphe

2. 1. Développement en série de Laurent dans une couronne de centre z0 Théorème Soit / holomorphe dans la couronne ouverte Cr ,R (zo ) . Alors, il existe une suite an de

complexes indexée par "1L telle que dans cette couronne : f(z) = r an (z - zot . Si / est holomorphe z dans le disque DR ( zo ) , tous les coefficients an d'indice négatif sont nuls et le développement précédent

est la série de Taylor. Sinon, il est dit développement de Laurent. 2.2. Points singuliers isolés

Lorsque r = 0 et que/ ne peut être prolongée en z0 de façon holomorphe, le développement de Laurent

dit « autour de z0 » contient au moins un coefficient d'indice négatif qui n'est pas nul. On dit que z0 est un point singulier isolé def C'est un pôle si le nombre de ces coefficiients d'indices négatifs qui sont non nuls est fini ; c'est un point singulier essentiel si ce nombre est infini. Dans le cas d'un pôle, l 'entier p positif, tel que a_ P ::/:. 0 et tel que si n < -p , alors an = 0 , est dit « l 'ordre de multiplicité du pôle » .

3. Résidus 3.1. Définition et calcul

Si z0 est un point singulier isolé de /, le coefficient a_1 du développement de Laurent autour de z0 est

dit le résidu en z0 de la fonction f Lorsque z0 est un pôle simple, c'est à dire d'ordre 1, et que la

fonction/est sous la fonne courante f = g/h de deux fonctions holomorphes en z0 avec h(zo ) = 0 , ce

résidu est donné par la fonnule : Ré s(! ; zo ) = g(

(zo)

). Lorsque z0 est un pôle d'ordre p, il est donné

h ' zo par :

1 dp-l [ ] Ré s(/ ; zo) = ((p - 1)f -----=ï f(z)(z - zo)P . dz p Z=Zo

3.2. Théorème des résidus

Soit f une fonction holomorphe sur n 1 u {X j } où n est un ouvert et les X j étant les points singuliers

de f qui sont situés dans 0 . Soit un contour I' fermé, sans point double, continûment différentiable par morceaux inclus dans f! , ne passant par aucun des points X j et dont l ' intérieur ne contient qu'un

nombre fini de ces points x f . Alors, l ' intégrale de f sur I' parcouru dans le sens direct est égale à 2i 1f fois la somme des résidus de/ en les points singuliers de/ qui se trouvent à l ' intérieur du contour.

CHAPITRE 4. A

TRANSFORMATION DE FOURIER

Après l 'étude de la transformation dans IL 1 (12.N), IL2 (12.N) et dans S (l2.N), on donne la définition et les propriétés de la transformation de Fourier :f sur les distributions tempérées introduites à cette occasion. Des propriétés supplémentaires, concernant notamment la convolution, apparaitront dans ce nouvel espace de distributions

1 . TRANSFORMATION DE FOURIER DANS IL 1 (�N)

1. 1. Définition de la transformation de Fourier des fonctions sommables

1 . 1 . 1 . Définition 4. 1 .A et exemples pour le cas d'une variable (N=l)

Remarque 4. 1 .A Si f est réelle, .:7(/) est conjuguée de Î . Si f est à la fois réelle et paire (resp réelle et impaire), sa transformée est réelle et paire (resp . purement imaginaire et impaire). Premiers exemples

Des calculs élémentaires conduisent aux transformées de : t H exp(-lt l) et de la « porte » de Dirichlet : t H Il (t) = Y(t + 1) - Y(t - 1) , fonctions qui sont dans IL 1(12.) . On trouve

. 2 sin (2 n il ) ( 2 ) respectivement : 2 2 et . . La transformée de t H exp -nt est 1 +4 n il n il il H exp(-n il 2 ) (Cf exercice N°1) . Certaines transformées se calculent à l 'aide du théorème des résidus (Cf § l de chap 4.B), en particulier, celles des fractions rationnelles. 1 .1 .2. Définition 4.2.A et premiers exemples dans le cas général

En remplaçant l 'exponentielle dans l ' intégrale précédente par la fonction ex l définie par exl (x) = exp(-2i n (il . x)) où (x. il ) = Lis;js:N xj il j est le produit scalaire euclidien

CHAPITRE 4. A. TRANSFORMATION DE FOURIER

dans �N' la définition devient :

195

Î(.2 ) = fRN f(x)exÂ (x)dx ou Î(2 1 • 22 , . . , À N ) = f RN f(x1 , . , XN ) exp(-2i 1C ( X . À ))dx Remarque 4.2.A L'exponentielle étant le produit d'exponentielles en t 1 2 1 , on établit, grâce à la formule

de Fubini, qu'une transformée de Fourier résulte de N transformées de Fourier à une variable, dépendant de paramètres . En particulier, on voit que si f est un produit du type f(t1 , t2 , - · tN ) = f1 (t1 )f2 (t2 ) . . .fN (tN ) où les J1 sont dans il_ '(�), alors la transformée

vérifie Î(2 p À 2 ' " 2 N ) = Î1 (2 1 )Î2 (2 i ) . . }N (.2 N ) . Premiers exemples

La propriété précédente donne pour transformée de Fourier de exp(-n2:1�J�N (t1 )2) la même fonction exp(-nl:l:<:)�N (.2 1 )2) . Lorsque la fonction f ne dépend que de la

distance à l 'origine, le passage par les coordonnées polaires s' imposent ( Cf § 1 . 3 chap /\ 4.B) et on peut en déduire que la transformée f a la même propriété.

1.2. Propriétés f\

Comme il est dit ci-dessus, f étant dans il_ \�N) , la fonction f est partout définie sur �N. 1.2. 1 Propriétés de type algébrique

Conjugaison :

On vérifie facilement la relation : (7Y' ( 2 ) = J ( -2 ) . On retrouve que si f est réelle, sa transformée de Fourier conjuguée est la conjuguée de sa transformée de Fourier. Transformée d'une translatée

La translatée de f d'indice a, élément de �N est définie par T a f(x) = fa (x)= f(x - a) , elle reste dans il_ 1(�) et l ' emploi de la translation dans l ' intégrale fait apparaître la mise en facteur de exp(-2 i n (.2 . a)) . Inversement, si nous multiplions! par exp(2 i tc (a . x)) ; cela revient à remplacer 2 par 2 - a . dans l ' intégrale. On peut donc énoncer :

UD4JSH.IOD 4. 1 .A

Transformée d'une dilatée La dilatée d' indice k ( k 7:- 0 ) de la fonction! est la fonction t ---+ f(k t) dans le cas de �, t -+ f(k t1 ,k t2 , . . ,k iN ) dans le cas de �N. Le changement de variable u = k t dans

l'intégrale de Fourier a pour jacobien kN d'où dt = lkl -N du . De plus, la variable 2 se


trouve remplacée par À /k . Le domaine d' intégration dans cette homothétie restant le même, on en déduit : Proposition 4.2.A �411!�11111��11�-l�!iililfll•I •.'p>'.'.'.a'.· ' .. i . . ·� . . ·.• ·.e . . · · · •.i. '.·•.r . • ·e··.· · .. · ,s··. ·p··· · ·. · ... •. •.·•.••.·.i. in. ' ·. ·. · · ·p'·· · .. ru. ·.··.·.'.r .. ·.• ... è .

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1 .2.2. Propriétés de régularité

a) Etude de la continuité

i��:t;�J� i'�/V�(�m)� i� ii#�;f:cif:#i�� œ ��t �§ijtih��: �� §iij�� !� 1�1 1 .•1 ! !H ' if\ , i ' •·J :i'l.1·1:1:1:•: · Preuve La continuité résulte de la proposition 1 . 5 .B de Lebesgue (Cf aussi §4. 3 , chap l .B). En effet, d'une part, la fonction À � f(t) exp(-2i 7l À t) est continue lorsque t reste dans �N privé d'un ensemble de mesure nulle. D'autre part, cette fonction est majorée uniformément par If 1 qui est sommable. La continuité en résulte.

On verra plus loin queÎ tend vers 0 à l ' infini, donc qu'elle est bornée, mais cette dernière

propriété résulte aussi de la majoration : VÀ , jÎ (;, )j � JRN li (t)�t = l l!llL' . b) EtucJe de la différentiabilité par rapport à la variable À Dans le cas de N = 1 , la dérivée par rapport à À de f(t) exp(- 2iK À t) est égale pour presque tout t, à -2 i K t f(t) exp (- 2 i7! À t) , de module égal à 27!1 if(t)I Donc , si cette fonction, indépendante de À , est sommable, le théorème de dérivabilité sous le signe intégral de Lebesgue peut s'appliquer. La dérivée de Î est alors une transformée de Fourier, celle de -2 i K t f(t) , ce qui permet de recommencer le raisonnement pour la dérivation d'ordre 2. Tout ceci reste valable dans le cas de N quelconque, la dérivation sous le signe intégral par rapport à À 1 remplaçant le facteur -2 i 7l t par -2 i 7l t 1 . Pour

énoncer le résultat général, on utilise pour un multiindice a = (a 1 , a 2 , . . . , a N ) les notations t a et la 1 définies par : t a = t1 a ' . t2 a 2 . . . IN a N et la 1 = LI5.J5.N a1 . Proposition 4.4.A . . . .

. .

•11�,��11tI�î��111111�:�i1111ariw tf��[tjtfü�� â�x��i 4i iÇi��; {f #'. �üt �� 1 1�� :��t�Y�ij� &�#�� ! ! ! • : ! ! ! · • · : : : : ; !! · , ;:: : : ; . :· , ':1•.:i:.:ii

Remarque 4.3.A

Dans ce cas Î est de classe e"' puisqu'une transformée de Fourier est continue. De plus

toutes les dérivées sont bornées. On a, en effet : l lD(a) Jll00 � ll(-2 i K) lai t a f(t) l lL1 .

CHAPITRE 4. A. TRANSFORMATION DE FOURIER 197

c) Transformation d'une dérivée

Supposons, dans le cas N = 1 , que j soit de classe e 1 et que les fonctions j et j' soient dans fi_ 1 (�) . Une intégration par parties nous fournit :

J�Af ' (t) exp(-2 i 1Z"Â t)dt = [f(t) exp(-2 i 7rÂ t)]�A + 2 i 7rÂ J�Af (t) exp(-2 i 7rÂ t)dt . Comme/' est continue, f(t) - f(t') = f !'(u)du et, f' étant sommable, les limites de/

en +oo et -«> existent. Comme f est sommable, ces limites sont nulles. Le crochet de l 'égalité précédente tend donc vers 0 et, puisque f est sommable, le deuxième terme admet aussi une limite. Par conséquent, la transformée de f' est égale à 2 i 7r Â Î(2 ) . Dans le cas général, le raisonnement peut s'appliquer à la fonction tj � f(. , . , . . tj • · ·) où

les autres variables sont fixées. On peut donc conclure : .J.lr.()p()_�i�i()� ��?�A · ·.· .· . . . . · · · .·.· · . .

. .

Corollaire 4.6.A

.•.r ..... •.-.• _',: .. ••.•.0_0_:.:, ._:, .• r.u.·.: .. · __ •. 1,_ •..•• tg:._·•. :_�,:_.,1.:n.•• .. t. ·.•••.·.e,r.••,:_an· ·.••.• .. :l.•.

·�.-.. •.• .•.•. :._$ .•.•. •.,fi .. •• .. ·.•

·

1·.0_ :_ ••.... •_:_ .. _F,.•.t ... : .. . _.:,._e_., •.••...•• ,n_·.é.•• ... •.•.• .. •,d,e, •• ,.,•

·,·.·. • .. •• .. v,d,.: . ....... e_ •. ,f_ ••.. _ •.•. r_.•_•• .•. s.� .... •• .. ·.•• .. :_• •.0.••_ .. +w.• .•.••. µ. ·.••.•••.r_:······ ·.i··· ··e········ ··r·· ···· ··· · ·· ô'4�� ?��:�� (��f� :��:� :��!! l� : f��!/!��i!/l��lï!!/!I . . . . · · · · · . . . ·- : · : . . . . · - : · .; .· : - -: : : - : · · · . ·: - · - : - :- :-: - · · : · . ·: :-: · : : .. :- : :·.· . : : : :-:- · ·: : · . ·:. : . :- : -.·:·: :- : : .:·:·: ;:;:;:;.;:;:;:;:;- ::::::::::::; : ;:;.;::::::·;:; . ;:;: ::;:;:;.;:;:;:.:;:::::::::::::;:::::::::;:;:;:::;:::::::::::.:;::::=: Preuve

Soit f dans o._ 1 (�N) . Comme 2J (�N ) est dense dans fi_ 1(�N) (vérification laissée au lecteur), on peut trouver g dans .2> (�N) telle que l lJ - gllz! < e/2 , ce qui implique

l lÎ - giL, < e/2 .Ecrivons alors IÎ(2 )1 ::;; IÎ(2 ) - g(2 )l + lg(2 )1 ::;; e/i + llK ll00 • Or, le

laplacien de g a pour transformée (2 i 7r )2 (2 12+ Â 22+ . . +ÂN2 )g(2 ) , d'où l 'on déduit la

majoration lg (Â )1 ::;; (2 7rt2112 r2 11(�grL . On en déduit que, pour lÂ 1 assez grand,

lg(2 )1 ::;; e /2 , ce qui implique alors IÎ(2 )1 ::;; e .

1.2.3. Transformation d' une convolution

Proposition 4. 7 .A

Bliljfl!�ili!lillfflllllml Preuve Puisque f et g sont toutes deux sommables, la convolée f * g existe et c'est un élément de n_ 1(�N) . Le théorème de Fubini s'applique au produit des modules IJ ( x) g( t - x) exp(-2 i 7r Â t )1 et, par conséquent, on peut intervertir les sommations dans

l'intégrale J RN exp(-2 i 7r Â t) J RN f ( x )g( t - x 'fixdt , ce qui donne, en utilisant la propriété

de translation de la proposition 4 . 1 .A :


f RN J(x)(f RN (• xg)(t)exp(-2i n-(2 . t))dtftx = fRN J(x)( T xg)"(2 )dx = fRNJ(x)g(2 ) ex,i (x)1x = g{2 )fRN J(x) exp (-2 i n- (2 . x))tx = g(2 ) Î(2)

2. TRANSFORMATION DES FONCTIONS D E CARRE SOMMABLE

Remarquons d'abord que l ' intégrale définissant la transformée de Fourier d'une fonction peut conserver un sens pour des fonctions qui ne sont pas dans IL 1 . C'est le cas pour la fonction x � sin x/ x qui est dans IL 2 mais non dans IL 1 . Précisons que c'est alors au sens des intégrales semi-convergentes que l ' intégrale de Fourier a un sens. Mais, comme la plupart des propriétés ont été établies à l 'aide des théorèmes de Lebesgue, cette extension ne parait pas cohérente. Bien entendu, 'J. est définie dans IL 1 n IL 2• Dans ce qui suit, son prolongement à l ' espace IL 2, qui ne sera plus nécessairement défini par l ' intégrale habituelle, peut être obtenu par des arguments de densité. On définit l 'espace IE, (dense dans IL 2 ), des fonctions étagées, c'est-à-dire des combinaisons linéaires de fonctions caractéristiques d' intervalles bornés (ou de pavés si N est quelconque) .

2. 1. Transformation dans !En IL2 (Cas d'une seule variable) Proposition 4.8.A

Preuve 1 ) La formule donnée résulte par changement de variable de fa. (I - cosx)/ x2dx = n- . 2) Le calcul passe par une intégration facile (vérification laissée au lecteur). On sait que cette transformée est continue et, comme elle est majorée par K/lxl , elle est dans IL 2• Le

produit scaÏaire étudié est l ' intégrale de (e-iu(b-d) + e-iu(a-c) - e-iu(a-d) - e:-iu(b-c) )u-2 qui se réduit à celle de sa partie réelle qui s'exprime à l 'aide de JR (I - cosku)/ n-u2du . On obtient donc : lb - dl + la - cl - la - dl - lb - cl = d - b + c - a - ( d - a + c - b) = 0 .

3) Pour c = a et d = b , ce qui précède fournit l lz[a.bJ l l2 = b - a = l lx[a.bJ l l2 · 4) En écrivant une fonction de IE de manière unique comme combinaison linéaire de fonctions caractéristiques d' intervalles disjoints, ce qui précède nous donne :

IIk a k-Î' [a k, bk ] 1 : = Lk la k i2 1X[a k, bk ] 1 : = Lk la k l\bk - ak ) = IIk a kX[a k, bk ] 1: .

CHAPITRE 4. A. TRANSFORMATION DE FOURIER 199

Enfin, si u et v sont dans IE, on obtient l'invariance du produit hermitien dans IL 2 par J R û � = J Ru v, en séparant les parties réelle et imaginaire et en utilisant les relations :

l(u + v)" l2 = ju" j2 + ju" l2 +2Ré zt(� et l (u+ iv)",2 = ju" j2 + lu" j2 +2/mu"(�. 2.2. Définition de la transformation dans u_ 2

Rappelons que l'espace IE est dense dans IL 2 . Soit / dans IL 2, limite d'une suite Un) de IE. Cette suite est de Cauchy dans IL 2, donc d'après l'égalité ( 3) précédente, (În) est aussi de Cauchy et, par conséquent, elle converge dans l'espace de Hilbert IL 2 vers une fonction indépendante du choix de Un), que l'on continue à noter Î . On peut prouver que l'application f 14 Î est linéaire et que l'égalité (3) passe à la limite . On en déduit : Proposition de Plancherel- Parseval (et définition) 4.9.A

2.3. Inversion de cette transformation

Calculons la transformée conjuguée de Z[a.b], à savoir g = .J( Z[a,b]) : ( ) f exp(-2 itr b 2 ) - exp(-2 i tr a2 ) ( . \r1 g Ç = . exp 21 tr 2 Ç r'2

R -2 1 tr 2 ( . )-IJ exp(2 tr( Ç - b)i 2 ) - exp(2 tr( Ç - a)i 2 ) = 2 1 tr d2

R 2 La partie réelle de l'intégrale est nulle. La partie imaginaire s'exprime par des changements de variables à l'aide de I = fR (sin x/x)dx = 7r. On trouve ainsi:

g (Ç) = (2 trr1 tr(sgn(Ç - b) - sgn(Ç - a)) = X[a,bj(;), soit g = X[a.h] . Cette formule d'inversion s'étend par linéarité aux fonctions de !En IL 2, puis, par densité, aux fonctions de IL 2, ce qui montre :

i1[$��î-i �ji��3-�füi-iêtb<>µf ih\f �i��1�tt�tj�rtj®�fiBn à�t� -�<ÇSii1µ�� -. :_' ·., ._ : _: ,,:::·':::::::::: Remarque : Toutes ces définitions et propriétés sont valables aussi dans �N. Attention à cette qualification de conjuguée .J(g )( 2 ) = g(-2 ) et non pas g sauf si g est réelle .

2.4. Propriétés de la transformation dans u_ 2

Notons qu'au point de vue des fonctions, une transformée de Fourier dans IL 2 n 'a pas les mêmes propriétés que dans IL 1. Par exemple, dans le chapitre 4.B, on calcule celle de

x(I + x2r1 ; c'est la fonction v(2 ) = - itrsgn2 exp(-2 tr l21)qui n'est pas continue . D'ailleurs, si toute transformée de fonctions de IL 2 était continue, la bijectivité de .J sur ll.. 2 impliquerait la continuité de toute fonction de IL 2, ce qui est absurde .


3. TRANSFORMATION DANS L'ESPACE s (IR?.N) En combinant les propriétés duales contenues dans les propositions 4.4 et 4 .5 précédentes ' on voit que si on impose à toutes les dérivées de f ainsi qu 'à leurs produits par un monôme quelconque d 'appartenir encore à IL 1, alors J possède ces mêmes propriétés. Ceci suggère de prendre la restriction de .'.7 à l 'espace des fonctions ayant ces propriétés . 3. 1. Définition de l'espace des fonctions régulières à décroissance rapide

3.1 . 1 . Définition algébrique 4.3.A de l'espace S (�N)

!!!1��:!!?!!!!��l�l�!;�l!!!9� ÏI��i��t �� êm� d '�ll;urs d 'imposer que �e� pr�d�its s�ie�t t�� b��é� �� !RN;. �;: ··;r

cette propriété est vérifiée, la division d 'un tel produit par une puissance d 'une des variables xi donne un produit du même type qui tend vers 0 à l 'infini. Exemples

Une fonction e00 à support borné vérifie la condition de décroissance rapide . On en déduit les inclusions a lgébriques : 2J c Sc C. La fonction x � e -lxl2 et, plus

' ' al P( ) -Q(lxl2) ' P l A ' N · bl Q l A ' gener ement x e , ou est un po ynome a vana es et un po ynome a une

variable à coefficients positifs, sont dans S . En revanche, ( 1 + lxl2 )-ln ' appartient pas à

cet espace . Les inclusions précédentes sont donc strictes . 3.1 .2. Définition topologique de cet espace

li111f'1111111ll ·.·:···:···:···:-:···:·:·:·:·:-:-:::·:···:· ·-·.;.·.;.·.·.·.;-:-:-:·:··-:;.;.·.;:·-:·:·:·:·.··-·.·.·,·, :::: :;:::: :; : ;:; : : : :: ::: :; : ;:; : ; : :: :: :: :.: .· : -:-:-:.:-:·.· = · : ·:·:·:·:·:·:;:;:::;:::.:.:;:;::::::::::::::::::;:;::::::::::::::::

Remarque 4.4.A Se reportant aux définitions des suites qui tendent vers 0 dans les espaces 2J et C , on voit que les. injections canoniques associées aux inc lusions 2J c Sc C sont continues .

�r�i��<��jî�� u�� ij�98 s%<��) . : : : . : : : . : :, : :.:. , : : :::,:· ::: : :: :t :::,<:::m:r·:;:ti Preuve Soit (} n ( x) = � n -lx) où (} E 2J (�N ) est égale à 1 sur la boule unité fermée . On

tronque la fonction donnée <p de S ( �N) en posant <p11 = (}n <p . Cette fonction est dans

N ( ) (k) ""k . ( ") ( )(k-j) 2J(� ) . La fonction u11 = <p- <pn = 1 - Bn <p donne u11 = �0Cf<p 1 1 - Bn par dérivation . Sur la boule de rayon n, tous les termes sont nu �s . La fonction <p étant dans S ( �N), pour tout p, i l existe n0 te l que si n <:: n0 on a la majoration suivante :

CHAPITRE 4.A. TRANSFORMATION DE FOURIER 201

Vx , lxl � n � L� cf JxP qp) ( x )j � s . On en déduit que supj x Pu! j � 0 lorsque n tend

vers +oo et par conséquent que la suite ( <p n ) converge vers <p dans S 3.1 .3. Propriétés de stabilité Le produit de deux éléments de S est encore dans S ( structure d'algèbre) Le produit d'un élément de S par un polynôme est encore dans S . Par contre, le produit d'un élément de S par une fonction qui a une croissance « supérieure » à celle d'un polynôme n'est pas, en général, dans S. Une fonction g de classe e00 telle que l'application <pH g<p soit continue deS dans s est dite un « multiplicateur » sur S . Ainsi, tous les polynômes et les fonctions de classe e00 à dérivées toutes à croissance lente (fonctions dites tempérées) sont des multiplicateurs sur S (exercice N°1 l ) .

Notons aussi que toute fonction <p de S vérifie lxlN+l l<p (x)I � C , ce qui implique que S est inclus dans IL 1(�N) et , par conséquent, que la transformation de Fourier s'applique sur les éléments de S et que deux éléments de S sont convolables . Ce qui est nouveau et qui peut se prouver facilement à l'aide de J., c'est que cette convolution est interne dans S (Cf plus loin §5 ). 3.2. Restriction de J. à l'espace S Proposition 4.12.A

:u�. f��irûM�fü 4� .� .. 4ï'ÇsJ>abe st��)/#dr�� -�rJ;bi-ê � •• �§i #4 �&49m9rPlli�m�:::·:4� � <��); ç�t ��99wPiPhï�m� �st d�Bii�µ '.P94r 1.�_tgpplqgi� a� w : ·, n · : :·:: ,,, · · ··· , .,.,. · ··

Remarque 4.5.A : Comme S (�N) est inclus dans IL 2(�N), on en dédduit, à l'aide de la proposition 4. 1 0 que cette restriction est même un automorphisme (voir aussi prop 4. 1 7) . Preuve Soit <p eS. Puisque, quel que soit le multi -indicea, la fonction x H xa <p (x) est dans S donc dans IL 1(�N), la proposition 4 .4 .A s'applique et, par conséquent, (p est de classe

e00 et on a, quel que soit a, n (a) (lp ) = (-2 i n)l al (xa<p (x))" . Il s'agit à présent de prouver la décroissance rapide. Pour cela, on utilise la proposition 4 . 5.A dans laquelle on remplace f par xa <p qui est indéfiniment dérivable . On obtient alors la formule :

v(k, a), Â, k (n aq, )(Â, ) = (-1)i al (2 ;" )i aJ-lkl (d k) (t a rp)r (Â, ) . Cette relation nous montre que le produit d'une dérivée de (p par un monôme est une transformée de Fourier . Or, la transformée de Fourier d'une fonction IL 1 est bornée . Il en résulte donc que ce produit Â- k D( a) ( (p )(A, ) est borné quels que soient les multi-indices k et a . La preuve est faite. Supposons que la suite <p11 � O . Alors, la formule précédente prouve, en utilisant la remarque 4.4 .A, que la suite des transformées tend vers 0 dans S. En effet :

jtt k (n aq, 11 )(..i)joo = Ca, k l(n (k) (t a <pn )r (Â- )loo � Ca, k JJn (k) (t a <pn )JJL1 �o.


4. DISTRIBUTIONS TEMPEREES

4.1. Définition 4.5.A

o9mm� 9#:F� 4�J�fa.it J)9urlf)� dû�9kc 4� .!Q �r & BniHtiô<lûitFêspaBê n8fé ·�'''·1r···· :r$.îhi�$ ·uJi�ij1r�$ �tjijtinµ�� §4f $ rti4iii a� ·1� i�ti�i��i� ��if��ii�î1� t��fifü!i��l��1.i::1 :1�!iJ.1!·1 ·li Les situations d'inclusion 2J cS c C, où les injections associées sont continues et où chacun des espaces est dense dans le suivant, impliquent les situations d'injections continues C' c S' c :h ' de leurs duaux respecti fs (Cf Exercice N° 10 ) . Ces inclusions conduisent à des identifications . Par exemple, la restriction d'un élément de C' à l'espace S est identifié à un élément de S'. Par conséquent, affirmer qu'un élément T de S' est , en fait, un élément de C' signifie qu'on peut prolonger T en une forme linéaire continue sur C. Les éléments de S' sont ainsi considérées comme des distributions particulières . Pour des raisons qui tiennent au comportement des fonctions qui sont dans cet espace, on les appelle des distributions tempérées. 4.2. Exemples

4.2. 1 . Distributions à support borné

Par l'inclusion C' c S' , on sait que toute distribution à support borné est tempérée . 4.2.2. Distributions régulières tempérées

Si, dans le cas d'une distribution réguli ère, l'intégrale qui définit ([f],q>) reste convergente lorsque la fonction q> de 2J est remplacée par une fonction de S, il suffit alors d'établir la continuité sur l'espace Spour en déduire que [!] est tempérée.

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peut écrire V n �no' ( 1 + lxl 2 r lq>,l ( x)I:::; 8' d'où, grâce à l'inégalité de Hôlder,

V n� no . IJ:1 �. dtl <& f�f(x) ( 1 + lxl'f r s �If�, !( 1 +lx!2 rl s Kc

La continuité de la forme linéaire [!] sur Sen résulte . On laisse au lecteur la preuve dans le cas d'une fonction à croissance lente ( Cf ex N°1 3 pour les mesures) .

CHAPITRE 4.A. TRANSFORMATION DE FOURIER

4.2.3. Mesures de Radon à croissance lente

a) Définition 4.6.A

203

fii[ilîiïJ�,�(1�:t��l!,il�îi�!!?1i� Preuve On montre d'abord que la distribution µ s'étend aux fonctions de S. Pour une telle

fonction f, on peut écrire f = g(I + x2 )-m où g = ( 1 + x2 r f est mesurable et bornée . Il en résulte que la fonction / est µ -intégrable. En outre, on a l'inégalité suivante prouvant

la continuité sur S de la distribution µ : !( µ . J)I ::; sup R lg( x )If R { 1 + x2 f"' dlµ I Parmi ces mesures figurent les mesures bornées, les mesures et les peignes de Dirac et les peignes dont la suite des coefficients est à croissance lente . 4.2.4.Dérivées et multiplication par des fonctions indéfiniment dérivables

Une dérivée Ô/P d'une fonction de S'est encore dans S. D'autre part, si fPn �O alorsô JfPn �O. Il en résulte que la dérivée d'un élémemt de S' est encore dans S'.

Par exemple, vp( x -I ) étant la dérivée de [ln lxl] qui est une distribution tempérée (comme fonction à croissance lente) est elle-même une distribution tempérée. Notons que la dérivée d'une fonction à croissance lente peut ne pas être à croissance lente; elle n'en sera pas moins dansS' . Par exemple, f(t) = co�e') , qui est bornée, a pour dérivée la

fonction f' (t) = -e' sin (e')qui n'est plus à croissance lente . Cette distribution tempérée [/'] est un exemple de distribution régulière telle que la convergence de l'intégrale définissant([/ ']. <p) ne résulte pas des majorations classiques mais d'une intégration par parties ramenant à l'intégrale portant sur -f<p ' ( semi-convergence) Cf exercice N°19) . Le produit de T tempérée par un polynôme est encore tempéré . Plus généralement, le produit de T par une fonction tempérée (Cf 3 . 1 . 3 ), est encore tempéré . Si/ est un multiplicateur, alors f T E 5'' lorsque T E 5'' (Cf ex N° 1 l )

4.2.5. Primitives d'une distribution tempérée

Proposition 4.15.A

1ftj41� })fiIJ:lih:ite a�i(b� 4i$iî%t#()n ibml>�I"ée :t�it �h�8f� t�mP�r�� · , t : 11 :< Pr euve Pour toute <p E s , on pose p QJ (X) = roo ( <p(y ) - (f <p )x (y) )dy où X est une fonction de

;}) de support [- 1,+ I] et d'intégrale égale à 1. Pour montrer que Prp ES', notons d'abord que Prp est de classe e00 et qu'une dérivée de Prp étant du type

<p(k-I) - Kz(k-I), est une fonction de S. Montrons que Prp elle-même est à

décroissance rapide en se plaçant successivement sur [- 1, + 1] et hors de ce segment .


On sait que lxk tp(x() � ck> donc pour X > 1 et pour k � 1, on a :

IP 9'(x)j = 1r� 'P -f 'Pl= II: 'P 1 � r: Ck+IY-k-Idy = Ck+1(kxk r1. Pour x<-1, jp 9'(x)j=lf:'P1�ck+i(klxk lr1. Evidemment pour xE[-1.1] lxkpq;i(x)I est borné. Comme p 9' est évidemment bornée, on déduit de ce qui précède que p 9' ES, ce qui permet de définir une forme linéaire 11 sur S par ( 11 , tp) = -( T, p 9') . On montre que 11 est une distribution tempérée . Soit pour cela tp n � 0 , les calculs précédents nous montrent que, pour k � 1, jxk p 9'J0 � k-11xk+Iq;>11I 00 � O . Il reste le

cas k = 0 pour lequel on a jp9'j � 2fJ1PJ. En décomposant l'intégrale en deux, on a : :

fJ'PJ = fixl:;;I 'P + fix1�1 'P � 2JtpJoo + fix1�1lx2q;>IJxJ-2 dx � 2JtpJoo + 21x2q;>L. s En appliquant toutes ces inégalités à la fonction p 9' , on voit que p 9' � 0 et, par 11 n

conséquent que ( 11 , tp n ) = -( T, p 9' 11 ) � 0 , 11 est donc une distribution tempérée .

Comme (11' ,'7J) = -(11.'P') = (T,p9'') = (T,q;>) car f tp '= O et f: tp'=tp(x) impliquent p 9'' = tp, 11 est une primitive de T. Les autres, égales à 11 à une constante près, sont tempérées . Corollaire 4. 16.A

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•. :: ::: :: : :: ::: ::::::::::::::::::::::::: ::::;::: ·· · :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::;::�::::: On peut le prouver en utilisant Fourier et la primitivation précédente comme on le verra plus loin . On peut aussi raisonner directement comme suit . Comme la fonction lf/=(tp-tp(O)exp(-x2))x-1est dans S, on peut écrire T= (T,exp(-x2))o0+xV où

(V,q;>) = (T,lf/) définit un élément de S'. Alors : T = x{-( T,exp(-x2))0' +v) = xU. Remarquons qu'on sait déjà que toute distribution est divisible par x (Cf§ 5 .4 . 3 chap2 .A et ex N° 28, chap 2), ce qui est nouveau, c'est que le quotient reste tempéré . 4.3. Etude de la transformation dans l'espace S ·

4.3. 1 . Définition 4.7.A LYl!ill!l�f�:��r1liii11ltdBr,_ ? r · · · · · · · .· . · vr ES' v ES lfi.(T) ) = 1p "'\ · . ·

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:=J(T) est donc bien définie . De plus, si 'Pn �o. alors (prop 4 .7) �n �O, donc T

CHAPITRE 4.A. TRANSFORMATION DE FOURŒR 205

étant tempérée, (T, q;,, ) ---'> 0 ; on en déduit la continuité de .J(T), d'où .J(T) E S' . On prouve, par ailleurs que cette transformation prolonge les transformations de Fourier déjà définies sur les espaces o._ 1, o._ 2 et S (Cf ex N° 12) . 4.3.2. Premiers exemples

Transformées des distributions de Dirac. On a ( .J( o a ). <p) = ( o a , q;) = q;( a) et, par la

définition de la transformation dans S, �(a) = J: <p(x) exp(-2 i nxa)dx = ([exa ]. <p) . On

en déduit .J( o a ) = [ exa ] = [exp(-2 i 1Z" xa)] , en particulier .J( o) = [1]. Transformée de la fonction constante 1 On veut prouver que .J([l]) = o . Pour cela, on calcule 2i 1Z" Â. .J (l) (2 i 1Z" Â. .J(l), <p) = (.J(l), 2 i 1Z" Â. rp(2)) = (1, (q;) ') = J:(q;) ' (2 )d2 = 0 . On en déduit que

.J([ 1]) = Co . Le calcul de C peut se faire en utilisant la fonction exp(-n x2 ) . On trouve effectivement .J([l]) =o . Une autre preuve est donnée plus loin . Transformée d'une mesure de Radon bornée On peut définir directement la transformée d'une mesure de Radon bornée (dite aussi transformée de Fourier- Stieltjes de µ ) par ,û(2 ) = JR exp(-2in x2)dµ(x) . Cette

définition comme fonction, d'ailleurs continue et bornée, coïncide avec la transformée de µ au sens de S' . Bien sûr, toute mesure à croissance lente est transformable par .J. 4.3.3. Propriété d' inversion

)?��position 4.!f.A .···.· . · · · ·.· ·· · .

. · .. .. .. ·. .· . . .

· .. ..... .. . . .. . . . . . ... . ... . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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�4iZfüh��hisn1� Ç6ÎlïlhÜr i>;ili� .�hac�n4� è�� spa��/14 tf��r6ifüJit§� i�v�t�� §�î ·�i.d. !•i: Preuve Etablissons d'abord dans S la formule .J .J <p = <p , l'autre formule se prouvant de manière analogue . On pose r = q; et on se donne a dans 12.N . D'après la proposition 4. 1 .A, exp(2i na)y (2 ) = (<fJ-a )", donc en intégrant cette égalité sur 12.N, en interprétant l'égalité au sens de S' et le fait que .J ( 1) = o , on obtient :

.J(r )(a)= IRN (rp_a)" dÂ. = (f 1].(rp_a r) = (.J([1]). <p_a) = (o, rp(. + a)) = rp(a) .

Ce résultat étant valable quel que soit a, on en déduit l'égalité .J .J <p = <p . Par transposition , pour toute distribution tempérée Tet tout élément de S, on a :

(� .J T,rp) = ( .J T, .J rp) = ( T, .J .J rp) = (T,rp) .

On en déduit le résultat � .J T = T , on montre qu'on a aussi .J � T = T . La continuité a déjà été démontrée dans la proposition 4.7 .A.

Remarques 4.6.A l) Si T E S' et si .J T =O, alors T =O . 2) Si f E o._ 1 et si sa transformée de Fourier est sommable, on peut déduire de ce qui


précède que [!] = [.J(Î)] . On en déduit, puisque toute transformée de Fourier est continue, que l'égalité j = .J(Î) est vraie si j est continue et si j et Î sont dans n_ 1.

4.3.4. Propriétés de la transformation sur les espaces S et S' On laisse le lecteur établir sur S' les analogues des propositions 4. 1 .A et 4 .2.A. Passons à présent aux propriétés liant la dérivation et la multiplication par un monôme .

iiÀÎÎÎliiiRi*�ltllr-Preuve On applique les définitions et les propriétés duales des propositions 4 .4 .A et 4 . 5 .A :

( .J(n(P) r) ,i; , <p(2)) = ( D(P) TxJ• q,(x)) = (- IY ( Tx; ,n(P) q,(x )) = ( Tx; . ((2; ,.uy <p(u)r )= ( .J(T)11; . ( 2 ; ,.uy <p(u)) = (C 2; tru)P .J(T)11 ; ,<!J(u))

On en déduit la première relation. Un calcul analogue donne la deuxième. 4.3.5. Exemples de calculs de transformées

Reprenons les exemples de 4 .3 .2 . Transformations des exponentielles sinusoïdales

On a .J{ô) = [I], d'où [ex_a (x)] = ex_a (x). [ I] = ex_a (x). .J(ô) = .J(ô a ) . En composant par .J , on obtient .J([exp2 i trax D = .J([ex_a (x)]) = Ôa . Transformations des fonctions sinusoïdales et de leurs produits par des monômes

.J([cos(2 trax)]) = 2-1 .J([ex_a + exa ]) = Z-1{ô a + Ô_a ) .J([sin (2 trax)]) = (2;r1 .J([ex_a - exa ]) = (2ir1 (ôa - ô-a ) Transformations de polynômes et d'exponentielles-polynômes

.J( (-2 i 7r x)"' [ex_a (x )J) = (ô a im) , en particulier .:7( (-2 i 7r x)"' ) = ( ô ) (m) . Transformations des dérivées de distributions de Dirac

.J( ôjôa ) = 2 i 7r Â j.J(ôa ) = 2 i 7r Â j [exa (2 )]. en particulier .J( ôjô) = [2 ; 7r Â j]. Pour des calculs moins immédiats (valeurs principales, parties finies), voir chapitre 4.B. 4.3.6. Transformation des distributions à supports bornés

ifi�g*î.it�� ri�î�� P�Gt i�� dén\r��. . · ·' ' · :·

· : : , ::: .. Preuve : On remarque que, ex,i : x1-Hxp(-2i tr(x.2)) étant dans C, h(2) =(T, ex,i) a un sens


et on peut vérifier la dérivabilité sous le signe distribution . Cette fonction h est bien la transformée de T. En effet : ([ h ], {IJ ) = ([{IJ ],h) = ([ {IJ (2 )]. (T, ex ,i )) = {[{IJ ],i; ® l'x; , ex ,i (x)) = ( Tx; , ([ {IJ ], ex ,i)) = (T, q;) .

On sait que T est d'ordre fini k, donc il existe des constantes c 1 telles que

1( T, {IJ )1 :::;; Llli;ljjs k c J jnU) {IJL pour toute fonction {IJ de C, en particulier pour ex il. . On en

tire: jh(2 )j = l(Tx)• ex;t (x))I:::;; L11ls k cijn)i)ex,ijoo = L111s k 27Z' c1IÂ 11 . Pour les dérivées, j n (P)h(2 )j = j( Tx; . (-2 i JTxYex ,i (x))j:::;; LIJl s k c '1 jn)i)xP ex,i j K

où le

dernier facteur représente la borne supérieure sur K, support de T. D'où une inégalité du même type montrant que les dérivées sont aussi à croissance lente . Remarque 4.7.A : A l'aide de cette proposition, on retrouve les transformées des 00. En effet : (o a , ex,i ) = ex ,i (a) = exp(-2 i JTaÂ ). 5. CONVOLUTION ET TRANSFORMATION DE FOURIER

5. 1. Convolution dans S

��positio� 4.�o.� ·.·.· ·.·. .... . . .. . . .. .

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. . . . ·.· ..

. · · · · . . · .· . . . · .

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. . .. · · . · ·.· . . · · .

. · . · · · ·.· . . · .·. · . · · · . . . · . · ·.· ·.·. . . . .· . . . . . . ......... ·.· 11f1111t��rsri��ï•W

Preuve Les deux fonctions étant dans IL 1, on sait que (i* g)" = Î g. Or cha�une des transformées est dans S et on sait que S est stable pour le produit, donc Î g ES . En appliquant la transformation conjuguée, on obtient /* g ES. Pour la continuité, elle résulte de la continuité de (f ,g) � fg dans.S x S (Cf exercice N°7) et de celle de 'J.

5.2. Convolution de fonctions de Set de distributions tempérées

Remarque préalable : Si Tou f est à support compact, on a : (/ * T, {IJ ) = ( T.] * {IJ) .

ïliïiit�t�t�•!lii81t il!l!Hil . · : ! Y�2§· (%��1�05K�r��iH:: 1: i :11 i ::: 1:1::::1 :::1.:::�::::I Preuve Soit (If/ P) une suite de type C-G. Alors If/ pf � f . En effet, il existe A tel que

S uplxl�A l xk f(x)I < e/4 d'où suplxl�A l xk(l/I' pf - !)I:::;; e/ 2 . Par la convergence uniforme

de (If/ P) vers 1 sur le compact { lxl :::;; A} , 3 Po tel que suplxls A l xk (If/ pf -f )1 :::;; e/ 2 'ïlp � Po . On en déduit : l xk (If/ pf - f )100 :::;; e, 'ïlp � Po . Soit une dérivée d'ordre 1 , par exempleô if (les cas des autres dérivées, grâce à Leibniz, se traitant de façon analogue).


Par ce qui précède lxk(lf/ Pôif-ôif)l00 � O. En outre, c01rune lô11f/ PL :::;; C, il existe

B tel que Suplxl�B jxk ô l If/ P ( x )! ( x )j < ef 2 , donc lxk f { ô l If/ P )100 � 0 en tenant compte

de la convergence uniforme vers 0 de 81 If/ P sur {lxl:::;; B} . D'où lxk ô 1 {!If/ P )100 � 0 Finalement, cela étant vrai pour toutes les dérivées, /If/ P � f. Montrons alors que {If/ pf )* T converge dans S' vers une distribution tempérée

En effet, VrpES ,(lf/pf*T,rp)=(r.(lf/pf)v*rp). D'après ce qui précède, {lf/p/ )v tend vers J dans S, ce qui entraîne, à l 'aide de la proposition 4.20.A, que {If/ pf) v*q.> converge dans S vers l 'élément J * rp de S . Comme T est tempérée, (If/ pf * T, q.>) converge vers ( T,] * rp) . Or l'application U: rp 14 ( T,] * rp) est une distribution tempérée. C 'est une forme linéaire sur S et, si une suite (rpn)�o, on a encore (prop 4.20) (f*rp n)�o, d'où (r,J*rp,,) � 0 , d 'où la continuité de U sur S. On

termine en montrant, par des arguments analogues, que f * {If/Pr)� U .

Proposition 4.22.A •Jrttlldl1l��1��tlllAfllllllCeD Preuve On utilise la définition précédente pour If/* T et la définition de la transformation 'J :

(.1(1f/ *T), rp)=((lf/*T), .1(rp))=(T, rp*.1(rp)). Mais comme .1 et .1 sont des isomorphismes réciproques, le dernier terme s'écrit :

(-1(T), .1(V/*.1(rp))) = (.1(T),�(V/).1(.1(rp))) =(�(V/). .1(T), rp) Or, par une vérification facile, .1(V/) = .1(1f/). On en déduit .1(1f/ * T) = .1(1f/) . .1(T) . Par ailleurs : (.1(1f/. T), rp) =((If/. T), .1(rp)) = (r, If/ .1(rp)) = ( T,-1(( V/t). q,) = ( T,.1 ((V/t * rp)) = \-1(T),(V/ r * rp) = (.1(T)* V/,rp), d'où : .1(1f/. T)= .1(T)*.1(1f/)

5.3. Etude de la transformée d'un multiplicateur. Convoleur

5.3. 1 . Définition d 'un convoleur

. ·t .. m.• .. •· .•... •.· .·•.· .e:.;·:·:·i• .. :s! .. .. �.P ... • .•.'f.•· .i .• · .• d;· .. •.•�· ..• . i.•.•t.: ... •.·:e.\ .•. •• ... 1.•.!.\u •.

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On démontre (Cf exercice N° 1 1 ) qu'un multiplicateur g est une fonction tempérée, il est donc dans S'. Comme toute fonction / de S est une transformée de Fourier, o.n peut écrire T*f=.1(g)*.1(h)=.1(gh). Or, g est un multiplicateur, donc gh E Set sa transformée est encore dans S . De plus, par la composition des applications continues


:f H J (/) = h H gh H J(gh) = T * f , l'application f H /*T est continue dans S.

Exemples de convoleurs Toute distribution T à support compact est un convoleur. En effet, J (T) (analogue de la proposition 4. 1 9.A) est une fonction g tempérée . Un autre exemple est donné à propos des peignes à décroissance rapide (Cf chap 4 .B, § 3 .2 ) . 5.3.2. Structure d'un convoleur

Proposition 4.24.A

Remarque 4.8.A Si U est à support compact, U est une somme finie de dérivées de fonctions continues à support compact inclus dans un voisinage arbitraire de supp U (Cf bibliographie : [1 7]) . Preuve de la proposition 4.24 Le convoleur U est la transformée de Fourier d'un multiplicateur f . On sait que/ est une fonction tempérée (Cf ex N° 1 1 ,b). Ayant fixé m entier, étudions d'abord le cas où N = 1 . Chacune des dérivées de f est à croissance lente, donc pour tout k, il existe un entier h( k) dépendant de k, tel que l/(k) (t)I::;; Kk (1 + 47Z' 2t2t(k) . Supposons k::;; 2m+ 2 , alors, en

pren�nt le plus grand des entiers h(k) et la plus grande des constantes Kk , on voit qu'il

existe Cm et un entier l(m) tels que Vk::;; 2m + 2, I J(k) (t)l::;; cm (l + 47Z' 2t2 )1(m)' d'où

l'appartenance de (l + 47Z' 2t2r(l(m)+l) f(k) à ll_1(�). La fonction g, de classe C00 sur �.

définie par g(t) = ( 1 + 47Z' 2t2 r/(m)- ! f (t) est donc dans fi_ 1(�) .

Or, U = Î et f(t) = (1 + 41l' 2t2 )l(m)+I g(t) . En développant par le binôme , on obtient au

sens des distributions tempérées U = J(L�m)+I Cf+i (- lY (-2i7Z' t)2P g(t)), c'est-à-dire : U = L�m)+I Cf+i (-lY D 2P [g ] est une combinaison linéaire finie de dérivées de u = g.

Terminons : Les dérivées de la fraction rationnelle ( 1 + 4 7Z' 2 t2 r(t(m)+l) sont majorées au voisinage des infinis par cette fonction elle-même ; il en résulte donc, d'après une des propriétés précédentes et la formule de Leibniz, qu� toutes les dérivées g( k) d'ordre k::;; 2m + 2 de g sont aussi dans ll_1(�). D'après les propriétés de J relativement à la dérivation et la multiplication par la variable (théorie pour les fonctions), on voit que les

/\ ( 2 )m+l /\ produits Il. k g(I!. ) sont continus et bornés si k::;; 2m + 2 . Donc 1 + 11!.I g(I!.) est

bornée, d'où : ( 1�111.12 ru E fi_ 1 . On a ainsi terminé pour la dimension N = 1 . Démonstration dans le cas de la dimension N Elle se calque sur la preuve précédente. Pour tout m, il existe C et l(m) tels que pour tout


multi-indice (a) vérifiant la l::;;2m+ 2N, on ait jD(a)/ (x) j::;;cm(1 + 41l'2 lxl2rm)_ Les

fonctions (1 + 41l'2 lxl2f(l(m)+N) D(a)f appartiennent donc à n_ 1(1RN). La fonction g, de

classe C00 sur !RN, définie par g(x) =(1 + 41l'2 lxl2f1(m)-N f(x) est donc dans ll_1(�N)

ainsi que ses dérivées d'ordre (a) vérifiant lai ::;; 2m + 2N . On en déduit que tous les /\

produits ( Â. 1 t1 ( Â. 2 t2 .. ; ( Â. Nt N g( Â.) sont continus et bornés tant que jaj ::;; 2m + 2N ( 2 )m donc que 1 + i..tl g en_ 1(1RN).

On a U = .'7((1 +41l'2 lxl2rm)+N g(x)) et comme."J ((-2i1l'xï)(-2i1l'Xi )g) = Ôx;x)k] , on

en déduit F(41l'2 lxl2 g) = -A[g] d'où U = (I - Ai(m)+N [g] , ce qui exprime que U est

une combinaison linéaire finie de dérivées de u = g . En fait, cette propriété est caractéristique des convoleurs. On énonce la réciproque :

Preuve Il faut prouver que, sous les hypothèses indiquées, la transformée de Fourier inverse de U ou, ce qui revient au même la transformée elle-même, est une fonction tempérée. Puisque

(1 + 1x12ru(a) E ll_1(�N), On en déduit que ."J(u(a))est de classe e2m , que c'est une

fonction bornée et que les dérivées de ces transformées, à l 'ordre ::;; 2m , sont également des fonctions bornées sur !RN. La transformée de U vérifie :

."J (U) = Ljaj!>l (m) A( a)5( D( a)U( a)) = Ljaj!>l (m) A( a) {2i1l') lal (.4. i a) ."J(u( a))·

Le second membre étant le produit d'un polynôme par une fonction bornée, on en déduit

que ."J (U) est à croissance lente. Une dérivée D(k) ."J(U) est une combinaison

d eD(k)((..i )(a) ."J(u(a))) , lesquelles, par la formule de Leibniz, est une somme de

produits de monômes par des fonctions bornées. On en déduit qu'une telle dérivée est à croissance lente tant que l ' ordre ( k) vérifie l kl ::;; 2m . Jouant sur le fait que m est

arbitraire, on conclut que ."J (U) est de classe e00 à croissance lente ainsi que chacune des

dérivées, c'est-à-dire un multiplicateur, d 'où il résulte que U est donc un convoleur.

5.4. Convolution d'un convo/eur et d'une distribution tempérée

Proposition 4.26.A . . _,,

lt��i�1i��tll,iiÎ�i1tllllllll


st Pi��f � �ypi>.9rt Ç9füh�Çf/ceë:1 cüwÇi�e �v�Ç i� 4�fiw#9iî#�kfüî�p�i �!: (;{�.� §w��;::.t , ' , Preuve On fait cette démonstration dans le cas N = 1 . Elle est analogue dans le cas général . 1°) Limite de (If/ n T)* U • Remarquons d'abord que, pour tout <p dans S, If/ = Ü * <p définit une fonction de Set, par conséquent le symbole ( T, Ü * <p) a un sens. Soit (If/ n ) une C-G suite dans ::b . On étudie la limite de ( '1' n T)* U dans S ' , plus précisément, on se propose de montrer que :

lim11�00((1f/11 T)*U, rp) = ( T,Ü* rp). Comme If/ 11 est à support compact, on a ( (If/ n T)* U, <p) = ( T, If/ 11 ( x) ( Ü * <p )( x)) et on est

ramené à prouver que lim11�-+oo ( T, (If/ n ( x ) - 1) (If/)( x)) = 0 lorsque If/ E S , ce qui sera

fait si on montre que 'Pn : x H ( '1' n ( x ) - 1) If/ ( x) � 0 . Comme Ü est un convoleur quand U en est un, on peut remplacer l'un par l'autre . Soit à prouver que x"''Pn converge uniformément vers 0 sur IRL La fonction x"' If/ étant dans $ il existe A tel que jx"'lf(x)j :s; e/4 si lxl � A _d'où l'on déduit sous cette condition '\;/ n, Jx"''Pn J :s; e/2 .

Sur le compact { x, lxl :s; A} , la suite (If/ n (x) - 1) converge uniformément vers 0, donc il

existe n0 tel que n �n0 implique l'l'11(x) - 1I :s; e/(2B) où B = sup jx"'lf(x)j . La convergence uniforme annoncée est donc établie . Pour les suites dérivées , la formule de Leibniz nous montre que x"'Dk'Pn est la somme de x"'('l'11(x) - l)D(k)lf/ et de fonctions

du typex"' (lf/ n(P)(x))lf/(k-p). Elles sont toutes du même type puisque les dérivé�s If/�) sont bornées et convergent uniformément vers 0 sur tout compact . Il en résulte que

S S' 'Pn �O, donc que ('l'n T)*U�T*U 2°) Montrons que limn�00(T*(lf/11 U), rp) = (T,Ü* rp) .

Posons <1>11 = (('1' n - l)ü)* n J00 --+ 0 . On transforme 11 en utilisant Ü

sous la forme Ü = Llalgi(m) aaD(a)u (proposition 4 .24).0n se limite encore au cas

N = l .On remarque que, pour la dérivée d'ordre 1 : (If/ n - l)u' = ( ('1' n - l)u)' -'I' n' u, puis

(If/ n - 1 )u" = ((If/ 11 - 1 )u)" -21f/ ,/ u' -lf/-,/" u = ((If/ 11 - 1 )u )" -2(1f/'11 u )'+If/ n" u et, dans le cas ' ' ' (k) ( )(k) p=k ( ( ) )(k-p) general(par recurrence): ('1'11 - l)u = (lf/11 - I)u + Lp=Ibk,p If! u .

D . - ( ( 1) ) " (k) " (p) * (k-p) one. i1 - '1'11 - u * �k9t(m) ak11(x) et utilisons la décomposition x"' = (x - y + y)"' . Le premier terme de l'égalité précédente est une somme finie d'intégrales J p,n du type :

J:( If/ n (Y) - I)yPu(y)q111_p(x - y)dy où�m-p(z) = z"'-PLk�h(m) ak<p(k) (z) . Les autres


sont de comportement analogue, le facteur lf/n{y) - 1 étant remplacé par lf/�,P) et i;m-p par d'autres fonctions de S. Il suffit donc d'étudier cette intégrale Jp,11 On commence par choisir A tel que Jiyl<JyPu�y ::;; e(4ji;m-A:x:ir1 de façon que, quel que

soit x, IJiyl<::A (If/ 11 (y) - l)yPu(y)i;m-p (x - y)dy' ::;; e/2. Pour l ' intégrale restante, comme

If/ 11 (y) - 1 converge uniformément vers 0 sur (-A, A], on a :

ltA (lf/11 - l)yPu(y)Çm-p (x - y)dy' ::;; (supye(-A,A]llf/ 11 - ll)ji;m-AxiJ: jyPu(y)jdy . En procédant de la même façon pour les autres intégrales et pour celles du même type

provenant de la décomposition de xm<l> �,P), on obtient la G-convolabilité de T et U.. 3°) Nature de la G-convolée

La G- convolée T* U est linéaire sur S . De plus, si ('P11)� 0, alors d 'après les

propriétés de continuité du convoleur U, ( Ü * <p11) � 0 . Puisque T est tempérée, on en

déduit que (T* U, <p11 ) --+ 0. Cela prouve que T* U est tempérée.

5.5. Transformée de Fourier de convolutions de distributions tempérées

Proposition 4.27 .A (cas de deux fonctions de IL 2) .

§eï�fü �êµ� fo��ii?ll� J' �t ri d� t� Âl?r� �� t()�ptîo# 299\rBî�� 4� ��. 4�µ� œ&�B�� v. .• •.•· •.�.·.n .:.fi .. •·· . . :e .. •.•·.·• · .·• •.i.••.il .. • .. ••.J.1. ··. · ·.·•· .*. g ...•. J.• ·.· •.= .. •. i.&. ..••.. •. ·.·.•.f.f ..•.. .. i;.J .•. : .•!};.l.K.) .. •. E1}9u .. · ·

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If/ 11 f * g où If/ 11 est une suite de type (C-G). On a vu aussi dans cette preuve que

JJ!(lf/11 -1)JJL2 -+O. On en déduit JJ!(lf/1 1 - l)*gJJL'xi --+ 0 (Cf annexe 3 . 1 ) et, par une

décomposition classique, que {If/ 11 f )* {If/ 11 g) Loo

f * g . On en déduit la convergence

dans S' puis la convergence dans S' des transformées de {If/ 11 f )* {If/ 11 g) vers J(/ * g) . Or {If/ 11 f) et {If/ 11 g) sont dans IL 1, la transformée de {If/ 1 1 f )* {If/ 11 g) est donc égale au

produit des transformées qui est dans IL 1. Comme celles-ci convergent dans IL 2 vers

J(/) et J(g), leur produit converge au sens de IL1 vers J(/).J(g). L'égalité des

limites dans S' fournit J(/* g) = J(/).J(g). En outre J(/* g) E IL 1.

Pour d'autres cas où une convolée de fonctions est transformée en produit, voir ex N°26. Proposition 4.28.A

§Bi��# 1{têifüi�t�� 8-4# •mii�twlic*eµr.·• • •'«�ü Ç§9î?1$iii:Af9r$� .6» 4î9� i9rwlitË§ ? · ·· ·rn: ·.•· .••. •.•·.flc.· .• · .. ·: ... • . ... ·.· .. r.·

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Preuve: J(U) étant un multiplicateur (Cf 4.20.B) on a :

(J(U*T),'f') = (U*T,(p) = (T,Ü*(p) = (J(T),J(Ü*<p)) = (J(T).J(ü).'P) = (J(T).J(U).rp)

(J(gT), rp) = ((gT),(p) = (T,grp) = (r,·J(:1(g)*rp)) = ( J(T).(gt *'P) = (J(T)* g, 'P)

CHAPITRE 4.B

EXEMPLES DE TRANSFORMEES DE

FOURIER

1. CALCUL DE TRANSFORMEES DE FONCTIONS

Dans le cas des fonctions, l 'utilisation de la théorie des résidus, notamment pour les fractions rationnelles, est courante. Mais l 'utilisation des propriétés de la transformation à partir de résultats connus permet aussi des déterminations simples.

1.1. Utilisation des propriétés de la transformation

Exemple 4. 1 .B On propose de déduire de la transformée de f : t H exp(-ltl) celles des fonctions g, h, u définies par: g(x) =(l + x2r1, h (t) =(I + t2r2 et u(t) =(I + t + t2r1• Le calcul de Î au moyen de primitives est fait en séparant l ' intégrale en deux parties :

A( ) . [ exp(t ( I - 2 i 7r Â ))]0 [exp(-t (I + 2i 7r Â ))]A 2 j Â = bm - = ----A-Hoo ( 1 - 2 i 7r2) -A ( I + 2 i 7r2) 0 1 + 47r 222 .

a) On peut en déduire la transformée de Fourier de ( 1 +47r2 Â 2 r1 . Pour cela, on applique

la formule d' inversion dans n_ 1. La fonction/ étant continue et Î étant dans

n._1, on a f(t) = fR 2(1 + 47r222r1 e2;"-ttd2 . Le changement de variable Â = -x nous

montre que la transformée de(l + 47r2x 2r1 exprimée au point t est (1/2)/ (t) . O n peut

en déduire également, par une dilatation de rapport ( 2 7r )-1 , celle de g( x) = ( 1 + x 2 )-I . On a (proposition 4 .3 .A) g(2) = 7rexp( -27rlÂ 1) b) On en déduit les transformées des dérivées de g qui sont toutes sommables . Par

exemple (g' )"(2) = 2 i7r2Â exp( -27rlÂ 1). c) De cette dernière formule, on en déduit les transformées de h et u . En écrivant h (t) =(t2 + Ir1 - t2(t2 + Ir2, on voit qu' il suffit de connaître la

transformée de t2(t2 + 1r2 qui est à un coefficient près -2i 7r t g' (t) . Cette dernière a

pour transformée la dérivée de2 fa2 Â exp( -2 7rlÂ 1), soit 2i7r2 ( 1 - 27rlÂ l)exp( -27rlÂ 1). On en déduit, grâce à la différence citée ci-dessus : h{ Â) = ( (7r/2) + 7r2 l2 l) e -2"1-tl . Puisque t2 + t + 1 = ( 3/ 4)(1 + ( 2/ .J3)2 (t + 1/2 )2) , par dilatation et translation, on a :


�(2 ) = � J3 ((tr/2) + 7r2 J) 12 1î e -2trl,il� e -i trÂ = ( 4tr + 4tr2 j2 IÎ e -2trl,il� e -itr..1. .

9 2 2 � 3J) 3 � Exemple 4.2.B

Transformée de f : t H exp(-tr t 2 ) • On se reportera à l 'exercice N° 1 (méthode N°2) .

Par des dérivations par rapport à t et à 2 , on montre que la transformée de exp(-tr t2 ) est solution d'une équation différentielle E du premier ordre. On calcule ensuite la constante qui intervient dans la solution de E. 1.2. Utilisation de la théorie des résidus

1.2. 1 . Utilisation du théorème de Cauchy

Calcul de la transformée de exp(-tr t2 ) . Ce calcul est proposé dans l 'exercice N°1 1 .2.2. Calcul de la transformée d'une fraction rationnelle

Exemple 4.3.B

On propose le calcul de la transformée de f(t) = (t2 + t + ir2 par la méthode des résidus.

La fonction donnée appartient à IL 1. On applique le théorème des résidus à la fonction

F( z) = ( z2 + z + 1 r2 e-2 i tr ,i z et à un contour I' R composé d'un demi-cercle du demi

plan supérieur (ou inférieur, suivant le signe de 2 ) et de son diamètre placé sur l 'axe des

réels. La fonction F est holomorphe dans ([ privé des racines a et a du dénominateur.

On suppose 2 < 0 . Le théorème des résidus fournit l 'égalité : : > :::''··· ··>-· /•>•: >·: : f F(z)dz = 2 i tr Re s (F;a) . L'intégrale sur C(R) tend JrR

vers 0 lorsque R tend vers +oo . En effet, sur C{R) , on a :

iH�"""""'"'""'f'l�:'.:.,,:"""": >'i!'.llf"\+:?�:\: ::• 1 jexp(-2itr2z)j = exp(2trXy) � l puisque 2 y < 0 , puis

:""\•·<::•:·:·:·:::: .• • /::: ::::::·: :: • . ::.:< 1 Il ( ) F( z )dzl � 7r R

2 ce qui donne la limite nulle.

i i : y y : ·· y : _ . > >· > '> ·: C R (R2 - R - l)

'--��---' Finalement, le passage à la limite fournit :

f(2 ) = Re s(F; a) = !!__[exp(-2i tr 2 z)J = -2 i tr 2 exp(-2i tra 2) 2i 7r dz (z - a)2 a (a - a)2 2exp(-2i tra 2)

(a - a)3 Lorsque 2 > 0 , la majoration jexp(-2itr 2z )j = exp(2tr 2 y) � 1 n'est plus valable sur le

demi-cercle supérieur. C'est pourquoi on choisit le contour symétrique (attentio� au

changement de signe dû au parcours dans le sens non direct), ce qui remplace a par a . /\ e-trl..1.l./3e-itr..1. (4tr2 j2 j 4tr )

Finalement, on obtient le résultat : /(2 ) = J3 + r::; . 3 3 3 3v3

1 .2.3. Exemple de calcul pour une fonction non rationnelle

CHAPITRE 4.B. EXEMPLES DE TRANSFORMEES DE FOURIER 215

Exemple 4.4.B On se propose de déterminer la transformée de Fourier de g(t) = ljch t . En faisant le

changement de variable t = lnx , l ' intégrale qui exprime la transformée de Fourier de g devient :

/\ +<o e-2 i 11' Â I +<o -2i 11' Â .fn(x) g(..t ) = 2 f _ dt = 2 f e 2 dx . e 1 + e 1 1 + x -OO Ü En considérant, dans Q = C \ {i y, y � 0} , la fonction logarithme log n où

logn(z) = lnlzl +i argn(z) , l 'argument utilisé appartenant à ]- n/2, 3n/2[ , la fonction G exp(-2i ,. Â log.a(z))

définie par G( z) = 2 est holomorphe dans Q privé du pôle z = i . l + z On applique le théorème des résidus à G et au contour I'r R dessiné ci-dessous :

Elles tendent donc vers 0 lorsque r et R tendent respectivement vers 0 et +oo . L'intégrale /\

sur [a. b) tend vers lf2g(..t) . Sur [a' , b') , on prend la variable d' intégration z = -t où t +«> exp(- 2 i ,. Â (!n t +i ,.))

parcourt [r , + oo[ ; cette intégrale s' écrit : f 2 dt et tend donc vers ,. 1 + t

/\ ( 1/2) exp( 2 7r2 Â ) g( Â) . Le passage à la limite fournit : ....--��-.

(1/2)( 1 + exp(2 ,.2 Â )) ;(Â) = 1T exp( ,.2 Â ) d'où : ;(..i) = JT(ch( ,.2 ..i)r1 On peut en déduire, par exemple, la transformée de t H e-1ch-2t . La dérivée t H - sh t ch-2 t a pour transformée : Â H 2i ,. 2 Â (ch( ,.2 Â )r1 . En ajoutant

. (ch t - sh t ) ( e-1 ) 7r(l +2 i ,. ..t) celle de g, on obtient : 'J 2 = 'J -2- = ( 2 ) · ch t ch t ch ,. Â Exemple 4.5.B Calcul de la transformée de h11 : t H (cht ch(n t)r1 .

/\ +co -2i 11' Â I +<o -2i 7rÂ. l11(x) On a : h11 ( Â ) = 4 f (

e )( )dt = 4 f x11 ( e )( 2 ) dx . La méthode de -oo / +e-1 e11 t + e-11 t o I + x2 I + x n


z11 exp(-2 i 1Z" Â log,a(z )) calcul reste donc la même en utilisant G11 telle que : G11 (z) = { 2 )( ) et l + z l + z2 11 le contour de l 'exemple 4 .4 .B . Les limites sur les cercles restent les mêmes et, sur [a' , b'],

/\ la limite est cette fois : (If 4) exp( 2 1Z"2 Â ) (- 1)'' h11 ( Â) . Il en résulte donc, pour n entier pair quelconque :

/\ k=n-I (I/8 i 1Z")( 1 + exp(2 1Z"2 Â ) {-1)"

)h11 {..i) = Re s ( G11 ; i) + :LRe s(G,, ; exp(i 1Z"(2k + 1)/2n)) . k=O

Dans le cas de n impair, la formule est valable à cela près que le résidu au point i, qui devient pôle double, doit être placé dans la somme L . Application Ainsi, pour n = 1 , cas pour lequel i est le pôle unique mais double, on obtient :

1

( { 2 )

)/\ ( ) - d [z exp(-2 i 7Z"Â log,a z)J , , h/\ ( 1 ) - 21Z"2Â -.- 1 - exp 2 1Z" Â h1 Â - - 2 d ou 1 /1, - ( 2 ) 81 1Z" dz (z +i) z=i sh 1Z" Â

On peut en déduire aussi la convolée g* g En effet, la transformée de g* g est égale au carré de g , c'est à dire à 1Z"2 ch-2 { 1Z"2 Â) . Tout revient donc à trouver la transformée inverse de cette fonction, laquelle coïncide avec sa transformée puisqu'elle est réelle et paire. On l 'obtient donc, à artir du résultat

précédent, par une dilatation de rapport 1Z"2 , à savoir (g* g)(t) = 2 t(sh tf1 . 1.3 Calcul de transformées ne dépendant que de la distance à l'origine

Un premier exemple simple est donné par la transformée de exp(-(xf + xi + . . . +xi )

) dont le calcul relève de la remarque 4.2 .A. On trouve une fonction du même type, donc qui ne dépend que de la distance à 0. Plus généralement :

•. �di; .•. �.•.1.:.:.·s•.·.·.:t.'.::la' .•. P.8.�.·nr.:.�.·c •. ,·.: •. e�.i•·.·.'.1.r•, ..• a: .••.. �.d.•.:1:·.�···'' .•. or.

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. . . . . · : : ·>: ·: :·· . -: >.·> • . . <:. :::: - : · : : · . : : .. : :; ::·: ::· · : : :·: : : : : : :?:::::::::: ::: : ::: �{:�:�):\j\f �;�f Preuve pour N = 2 Dans l ' intégrale de Fourier exprimant Î(R v) , effectuons le changement de variable

u = R u1 en rappelant que R qui est alors une rotation vérifie (R u. R v) = (u. v) et

ldet (R) I = 1 . L'hypothèse se traduit par : f(�i ) = f(u i ) . Î(R v) = fR2 f(u) exp(- 2 i 1Z" (u. R v ))du = fR2 J(�1 ) exp(- 2i 1Z" (R u1 . R v )) ldetRldu1

= fR2 f(u 1 ) exp(- 2i 1Z" ( u 1 . v ))du 1 =Î(v). La démonstration reste analogue pour le cas de N quelconque. Calcul d'une telle transformée dans les cas où N :::;; 3 Dans le cas N=l , l 'hypothèse signifie que la fonction f est paire. L' intégrale de Fourier

donne une fonction paire définie par :


Î(Â ) = 2J0+<>o f(r) cos(2 n-Â r)dr . Dans les autres cas, il existe des fonctions F et F d'une seule variable définies sur � +

telles que f ( x1 , x2 ) = F(lxl) et Î( Â 1 , Â 2 ) = F(IÂI ) . La fonction F est définie par

Î(IÂ 1 . 0) , c 'est-à-dire, dans le cas N = 2 , par passage aux coordonnées polaires :

F(l.4. 1) = fR2 f(x1 , x2 ) exp(-2; n-x1 l.4.l)dx1dx2 = fo+<>o r F(r)rlf exp(-2 ; n- l.4.lr cosB)dB Pour reconnaître dans la dernière intégrale une fonction spéciale connue, on développe

l ' intégrale f; exp(-i t cos e )de en utilisant la série exponentielle :

If (-u)'1 If (- 1)'1 12n H/2 f exp(-il cosB )dB =""' __ r cos11 Bd0 = 2""' f cos2n BdB (car Jo L..neN n ! Jo L..neN ( 2n) ! Jo les termes de rang impairs sont nuls) . Les coefficients de cette série entière de t se calculent avec les fonctions eulériennes (Cf annexe 1 . 2) :

2J;12 cos211 BdB = J�� n""l/2(1 - �)-1/2 d� = B(n + lf2 , lf2) = r(n + 1�2)/;i n .

(n - I/2)(n - 3/2) . . . Ij2 (2n - 1)(2n - 3) . . .1 (2n) ! = n- = n- = � n i 211 n ! 22n (n !)2

Finalement : J: exp(-it cos B )dB = L.eN i: ;�: ( � 2n = " J 0 (t) où J 0 est une fonction

de Bessel (Cf chapitre 5 .B).

Pour le cas N = 3 , le passage aux coordonnées polaires d 'espace donne pour �(F)(l.4. 1) : f R, f(x1 , x2 , x3 )exp(-2i n-x3 l.4.l)dx = 2n-f0+<>o r2 F(r)r��2 exp(-2 i n- J .4. J r sinB) cosBdB ,

Le cas général fait intervenir d'autres fonctions de Bessel (Cf chapitre 5 .B).

2. CALCUL DE TRANSFORMEES DE DISTRIBUTIONS

2. 1. Transformées de fonctions considérées comme distributions

On se propose de montrer que, dans certains cas, une fonction identifiée à une distribution tempérée peut avoir sa transformée de Fourier encore définie par l ' intégrale habituelle, celle-ci étant seulement semi-convergente. On étudie deux exemples, celui de la

fonction continue 1( 1 + 12 )-l appartenant à IL 2 et celui de I � If 1/2 localement sommable

qui peut se généraliser à I � 11 1 -a où 0 < a < 1 . . Exemple 4.6.B Transformée de Fourier d e la fonction I � 1( 1 + 12 )-l Cette fonction étant dans IL 2, elle définit une distribution tempérée. On se propose de prouver que sa transformée est définie par l ' intégrale semi-convergente


v(Â.) = J:J(t) exp(-2 i n t Â.)dt . Soit fA qui coïncide avec f sur [-A , A] et qui est nulle

ailleurs. Alors, / est la limite dans S' ' lorsque A tend vers +oo de fA · En effet, à l 'aide des propriétés de décroissance rapide de .7([JD . Or,

la transformée de f A qui est à support compact est définie par v A ( Â. ) = ([!A ], e -2i n'1.t ) , c'est-à-dire par J�Af(t) exp(-2 i n Â. t}it . Il suffit donc de démontrer que [v A ]�[v] . Or, en regroupant 2 intégrales et en nous servant de l ' imparité def, on a:

(v - v A )(Â.) = r: f(t,-2 inJ..tdt + f;' f(t,-2i nMdt = -2 if: f(t) sin (2 nÂ. t)dt . En outre, on peut écrire f(t) = t-1 + g(t) où g est dans IL 1 et, par un changement de

variables, J ;' r 1 sin ( 2 n Â. t )dt = J2:� -I sin u du (on peut se ramener au cas où Â. > O) ce qui montre que cette intégrale est bornée par C indépendant de Â. . La

fonction <p(Â. )f,:00 g(t) sin(2 nÂ. t)dt est majorée par j<p(Â.)jJgJ L1 qui est sommable sur � et

celle de <p( Â. ) f ;' t-1 sin( 2 n Â. t )dt par l<p( Â. )i C qui est sommable aussi. Par conséquent,

comme. ( v - v A )( Â.) tend vers 0 pour tout Â. et que 1( v - v A )( Â. )j $; C' j<p( Â. )j , le théorème

de convergence dominée s'applique et prouve : V <p ES, ([ v - v A ]. <p) � 0 .

liîl�•�titflltftlm Remarque Le résultat est vrai pour toute fonction rationnelle qui tend vers 0 à l ' infini et qui est sans pôle réel . Il se démontre de façon analogue. Calcul de cette transformée

On choisit F telle que F( z) = z( 1 + z2r1 exp(-2 i n z Â.) et le chemin f de l ' exemple

4.3 .B . L'intégrale sur r est égal à 2i n Re s(F;i) = i n e2 n'1. . Supposons Â. < 0 . Sur le

cercle C(R} , la majoration habituelle n'est pas valable, on utilise z(l + z2r1 = z-1 + 'l'(z} où If/ est majorée par CJ zj -2 et pour laquelle l ' intégrale correspondante sur C(R) tend

vers O. L' intégale restante est majorée par 2 rn/2 exp(2 nÂ.Rsin 8}18 . Comme Â. < 0 , on Jo . utilise la minoration sin 0/8 '?. 2/n d'où la majoration de l ' intégrale par

2J:12 exp(4Â.R 8}18 $; (-4Â. Rf1 . Elle tend donc vers 0 Il reste ainsi'

v(Â. ) = inexp(-2 n JÂ. I) . Lorsque Â. > 0 on utilise le contour symétrique. On trouve un

changement de signe d 'où le résultat : l v(Â. ) = - fa sgnÂ. exp(-2n lÂ. 1)1.


Exemple 4. 7.B

On détermine la transformée de la fonction t H 1 t l - 1/2 qui est à croissance lente. On suppose À. > 0 , de simples changements de signe dans les calculs permettant l ' étude

de l 'autre cas. Alors, en utilisant une règle d 'Abel ou une intégration par parties, on voit

que l ' intégrale /(À.. ) = JJ tl- 1/2 e -2 i rc À. t dt est semi-convergente pour À. -::;:. 0 . La

partie imaginaire de cette intégrale est nulle et, par conséquent, cette intégrale est la

limite simple lorsque A tend vers l ' infini de I A (À. ) = 2f0A 1 -1/2 cos( 2 rc À. t }it . Pour montrer que /(,t ) est bien la transformée cherchée, on procède comme dans

l 'exemple précédent (détails laissés au lecteur) .

Pour le calcul lui-même, on utilise la fonction F( z) = exp(-rc z2 ) et le bord d'un secteur

circulaire d'angle au centre rc/4 , dont un côté est le segment (O, R] de l 'axe des réels.

La fonction F est holomorphe dans tout C, donc d' intégrale nulle sur le contour aramétrant les différents morceaux, on obtient :

foR e -trt2 dt + fotr/4 exp(-rc R2e2iB ) i e;o dB - r: exp(-rc p2eitr/2 ) eitr/4dp = 0

La première intégrale tend vers 1/2 , la troisième tend

> . <+"_..,��•;a;,;�. vers e; tr/4 f0+oo exp(-i rc p2 )dp . La deuxième, en

module, est majorée par f:14 exp(-rc R2 cos(2B) )dB ou encore par 1/2 f:12 exp(-rc R2 sin a )da qui tend

F mm y u y . ? { \/ ./ . } y \\ 1 vers 0 comme dans l ' exemple précédent.

De tout cela résulte que :

f0+ooexp(-i rcp2 )dp = J;(co�rcp2 ) - i sin(rcp2 ))dp = e-;/4 = �(1 - i) . Posons, pour À.> 0 , p = �2t À. ; on a f 0+oo cos( 2 rc À. t) r 112 dt = ij ( 2JI) . Finalement, en tenant compte aussi de À. < 0 , on obtient le résultat cherché :

J:exp(-2 ire À. t) ltl -1/2 dt = 1/ JfÏ . Voir l ' exercice N°8 sur une application à la transformée de Pf( sgn( t) lf312 ) . 2.2. Calcul de transformées de distributions tempérées non régulières.

2.2. 1 . Exemple 4.8.B

Calcul de la transformée de Fourier de vp( 1j x) La fonction lnlxl fournit une distribution tempérée puisqu'elle est à croissance lente. Sa

dérivée qui est vp(lf x) est donc tempérée. En utilisant la définition de la dérivée d'une

distribution et le fait que ([lnlxl], <p) est définie lorsque <p ES par une intégrale, on voit


par une intégration par parties, que ( vp( x -I ). rp) est définie par une valeur principale

d'intégrale ou par une intégrale sur [ 0, + oo[, comme lorsque rp est dans 'J) . La méthode qui suit se généralise à d'autres vp (Cf Autre méthode, exercice N°9) .

On commence par remarquer que v(..i ) = Vpf:(Ifx) exp(-2 i .?r xÂ.) d.x existe pour tout

réel Â. et définit une fonction localement sommable. d'ailleurs, elle se calcule facilement.

f-c exp(-2 i .?rÂ x) fA exp(-2 i .?r Â x) En effet, on a v( Â. ) = lim d.x + d.x et, par &�0.A�+«> -A X & X

changement de x en -x , on se ramène à une seule intégrale dont la limite est classiquement une intégrale semi-convergente:

( ) . ÎA exp(-2 i n Â x) - exp(2i n Â x) . 1+«> sin(2n Â x) V Â = lzm d.x = -21 d.x &�0.A�+«> & X 0 X

On sait (Cf exercice N°3) que l = f0+«>(sinu/u)du = n/2 . Un changement de variable

donne alors le résultat v(2 ) = -in si Â. > 0, v(l ) = in si Â. < 0 soit lv(2 ) = -insgnÂ. I. On veut prouver à présent que cette fonction est bien la transformée de vp( If x) . Pour cela, on utilise la continuité dans S ' de 5 . Désignons par Tc. A la distribution

identifiée à la fonction Ijx tronquée par 0 hors de [-A,-e] u [s , A] . Utilisons les

définitions de Tc. A et de vp(If x) par des intégrales sur IRr. On a, pour toute rp e S,

{vp(x-1 ) - rc,A > "P) = J:(rp(x) - rp(-x)) x-1d.x - J:(rp(x) - rp(-x)) x-1d.x . La convergence

absolue de l ' intégrale définissant ( vp( x -I ). rp) prouve que cette différence tend vers 0. En

conséquence, 5( vp( x-1 )) est la limite dans S' des distributions 5( Tc.A ) , lesquelles

(transformées de distribution à support compact) sont définies par (I'e.A , exp(-2 i .?rxÂ)) , c'est-à-dire par h6,A (2 ) - 5(Tc.A )(..i ) = -2 i J: sin(2 nx2) x-1d.x . Il est facile de vérifier

que si rp e S , alors ([ v - h6, A ]. 'P) ---+ 0 . On en conclut que 15( vp( x-1 )) = [-i n sgn Â] I· 2.2.2. Applications et commentaires

a) Retour sur les résultats du chapitre 3 .B (ex 3 . 8 .B) concernant vp(r1 )* (t2 + 1r1 . En principe nous n'avons pas de théorème concernant la transformée de Fourier d'un tel produit de convolution (les 2 distributions n'étant que tempérées). On peut cependant voir que cette transformée est le produit des deux transformées en utilisant la décomposition

(Cf §2 .2 .3 ,chap 3B) vp(r 1 ) = To + 1i où To = Vp{x- 1 )! 1_ 1 .+I[et 1i = [x-1z1x1�1 ] . La

proposition 4 .26 .A s 'appiique au couple (ro . (1 2 + 1r1) puisque Ta est un convoleur et la

fonction g une distribution tempérée. Par ailleurs, 1i et g sont dans IL 2, donc d'après le

corollaire 4 .28 .A, 15(1i * g) = 5(1i)5(g) I. En additionnant les deux résultats, on voit que :


-7(vp(x- 1 )* g) = -7((To + 1J)* g) = -7(1Q)-7(g) + -7(1J )-7(g) = -7(vp(x-1 ))-7(g) . On en

déduit par les résultats précédents (Cf exemple 4 . 1 .B)

-7( vp( x-1 )* g) = -i sgn(.,t )7r2 exp(-2 7r JÂ. J ) . Or, -2 Jr sgnÂ. exp( -2 7r JÂ. J ) est la dérivée d e exp( -2 7r JÂ. J ) Iaquelle est la transformée

de (7rr1 (1 + x2 r1 . On en déduit, en utilisant la transformation de Fourier inverse, que :

que vp( x-1 )* g = 7r x(1 + x2 r1

b) De même, cette décomposition montre que la transformée de vp( x -I )* vp( x -I ) est

égale au carré de -7( vp(x-1 )) , c' est-à-dire -Jr2 1 . On en déduit, ce qui redonne le résultat

de la proposition 3 .4.B, vp(x-1 )* vp(x-1 ) = -Jr2ô (Cf aussi l ' exercice N°27).

c) On peut déduire de ce qui précède les transformées de Fourier de Pf(t -n ) . On trouve

immédiatement par dérivation : F( Pf (t -n )) = (-1 )" i tr ( n - 1) ! ( 2 i 7r À. )"-1 sgn À. .

d) Transformées des fonctions sgn et Y. En utilisant la transformation inverse on détermine la transformée de la fonction sgn. La fonction sgn étant impaire, ses transformée et transformée conjuguée sont opposées. En appliquant cette transformation conjuguée sur sgn on obtient :

:!([sgn(t)]) = -�([sgn(t)]) = -(- 1/i Jr) vp(I/ À.) = (1/i Jr)vp(I/ À.)

Comme l ' échelon Y vérifie Y = (1/2)(sgn+ 1) , on a : l:!(Y) = (lf2 i 7r) vp(lf À) + (1/2)ôl (Voir une autre méthode pour cet échelon-unité dans les exercices N°9 et N° 14) 2.2.3. Exemple 4.9. B Transformées de fonctions puissances fractionnaires et du logarithme

Principe : Par des passages à la limite, on détermine :1([ Y(t)ra ]) où a E ]ü,l[ et, grâce

à une dérivation par rapport au paramètre a , -7([ Y(t )t -a ln t]) , puis :7([ Y(t) ln t]) . a) Tranformée de fp(t) = Y(t)t -ae-f3t Cette fonction est dans ll.. 1 . Sa transformée

s'écrit J0+<x:irae-f3t-2 i1d.tdt = f0+<x:irae-17tdt où 11 = P + 2iJr Â. . Désignons par C17 le

/ . ( < > < .

��""-'-'--"--'------'"--'----"--'---'-'�

chemin dessiné ci-contre, formé de deux arcs de cercles et de deux segments dont l 'un est réel et l ' autre passe par le point d' affixe 17 (le dessin suppose À. > 0 ) . Une coupure

sur laxe des réels négatifs étant faite, on défüùt la fonction log par log( z) = !nJzJ + i arg(z) où l 'argument appartient à

]-Jr, Jr [ . On intègre sur ce contour la fonction F définie par

F(z) = exp(-a log(z) - z) et on procéde aux passages à la

limite quand r � 0 et quand R � +oo .

Grâce au théorème de Cauchy, l ' intégrale de F sur le contour est nulle. Lorsque r � 0 et


R � +ao , les intégrales sur les arcs de cercles sont majorées respectivement par (} R1-ae-PRcos(J et fJr 1-ae-Prcos(J , où (} , argument de 1J , vérifie (} E ]-n/2 , 3 :ir/2 [ ; elles

tendent donc vers O. L'intégrale sur [a, b] tend vers f0+«>rae-tdt = r(I - a ) . Le

paramètrage z = 1J t sur [b' , a'] donne la limite : -17f0+«> e -a( log(q)+ln t)e- t(/J.r2in11. ldt . Le

résultat est donc, sachant que l ' argument de 17 = p + 2in Â vérifie (} E ]-n/2 , n/2 [ : ltcÂ) = (p + 2i nÂ r-1 rc1 - a) I.

b)Transformée de [r(t)t -a ] . On montre d 'abord que, si p ( P> 0 ) tend vers 0, on a

[fp ] s 1 [ Y(t)t -a ] , d'où l 'on déduira (continuité de J ) [ (!p r J s ' J[ Y(t)ra ] . En effet, si rp e S , l ' intégrale f0+«>ra (1 - e-Pt )rp(t)dt tend vers O. En effet, il suffit

d'appliquer le théorème de convergence dominée : la fonction est dominée par ra jrp(t� et cette dernière fonction est bien intégrable. Il vient donc J0+«>ra (1 - e-Pt )rp(t)dt � O c'est-à-dire [r(t)t -ae-P' ]�[r(t)ra ] . . Dans la formule ci-dessus, (P + 2; nÂ r-1 admet la limite, lorsque p � o + , définie par

exp((a - l) (lnl2n Â 1 + i n/2)) si Â > 0 et exp((a - 1) (1nJ2n Â J - i n/2)) si Â < 0 , fonction

qui est localement sommable. En fait, cette convergence a lieu dans S' d 'où :

J([ Y(t)ra ]) = -iI'(l - a )(2nJÂ l)a-l (Y(Â ) ei an/2 - Y(-Â )e-ian/2 ) Si on pose, pour la suite, Ta = Y(A. )A. a-1-e-iwrY(-Â )JA. I a-l , cette formule devient

J([r(t)ra ]) = -i (2nr-I e ian/2 r(l - a )Ta . Cette distribution peut s'exprimer à l 'aide

de (Â - i Ot-l ( voir l ' exercice N° 14) . c) Calcul de J([ Y(t )t -a ln t]) . On montre d 'abord que la dérivée de (rt -a , rp) par rapport à a peut s'�btenir en

dérivant sous le signe distribution : V rp E S, lim t - t +y ra ln t , rp = 0 . (Y -a+h Yi -a ) h�O h

En mettant ra en facteur et en utilisant e11 = 1 + u+ e 811 u2 /2 , la limite précédente est

celle de (h/2)f0+«> t ln2 trp( t )dt donc nulle puisque cette intégrale est convergente. On en

déduit, grâce à la continuité de J et la dérivabilité en a de la fonction J([ Y(t )ra ]) : J([ Y(t )t-a ln t]) = lim1i�o h-1 ( J([ Y(t )t-a+h ]) - J([ Y(t )t-a ])) = da ( J([ Y(t )t-a ]}) Cette transformée est donc, le calcul de da Ta étant sans difficulté :

i eianf2 (2nr-1 {[r(I - a)(i n/2 + ln(2H) - r ' (1 - a)) ] ra + r (1 - a)da Ta } .


d) Calcul de J([Y(t) ln t]) Comme dans une étude précédente, on montre qu'il suffit de prendre la limite de la dérivée ci-dessus quand a � O . Mais, pour la limite de daTa , on transforme d'abord

(Ta , rp) en faisant apparaitre une valeur principale. On procède comme suit :

(Ta , rp) = /im rA ta-I ( rp(t) - rp (-t))dt + (1 - e -ia7r)i

A ta-Irp (-t}it .

�Q & & On montre encore qu'on peut dériver sous les intégrales, ce qui conduit à écrire

(:a Ta , rp) sous la forme d'une limite d'une somme de trois termes :

A · A a-I ( . )

A le ta-I /nt( rp(t) - rp(-t))dt + i 1l"e-i a7r le t rp(-t)dt + 1 - e-1 a7r fs ta-I ln trp(-t)dt Le premier terme converge vers ( vp(t - 1 !nit 1). rp) . On développe le deuxième et le troisième à l ' aide de rp( t) = rp( 0) + t V'( t) et on fait une

intégration par parties pour t a-I ln t . Les termes associés à la borne e contiennent

-( 1 - e -i a 'If )a -I e a ln e qui se comporte comme i1l" e a ln e qui tend vers 0 et

(-i1l" a-1 + ( 1 - e -i a'/f )a-2 )e a qui se comporte comme -(1l"2 /2) e a qui tend vers O.

Quant aux termes associés à la borne A, qui se traduisent par :

i1l"e-ia7r Aa a- 1rp(O) + (1 - e-ia7r )( a-1 Aa ln A - a-2 A a )rp(O) ,

ils donnent à la limite, lorsque a � 0, � 1l" ln A + 1l"2 /2 )rp( 0) . Par ailleurs, la contribution

de V' apporte le terme ( 1 - e -i a 'If )f 0A ta ln t Vt(-t )dt tendant vers 0 et le

. A a 0 terme -i 1l"e-i a7r le t Vt(-t)dt tendant vers i 1l" f_A Vt(-t)dt .

Résumons : lim (.!!___ Ta , rp) = (vp(lnjt IJ . rp) + 1l"2 rp(o) + i7rrp(O) ln A + i7rf0 Vt(-t}it .

a�o da t 2 -A

Les deux derniers termes font songer à la définition de Pf(Y(-t)ltl - 1 ) . En effet:

( Pt(lf 1 r(-1)). rp) = !�[r;<-1r1 (rp(o) - tVt(-t))dt + rp(o) tn e J = rp(o) tn A + f�A Vt(-t)dt

Finalement.: lim .!!___ Ta = vp( lnjt 1) + 1l"2 o + i1l" Pf(lf1 Y(-t)) . a�o da t 2

Terminons sur la transformée J([Y(t) ln t]) qui s 'exprime donc, en utilisant I'(l) = 1 et les

deux limites précédentes sous la forme :

Des applications sont traîtées dans l ' exercice N° 1 5 .


3. PEIGNES TEMPERES ET CONVOLUTIONS

3.1. Distributions tempérées de type peigne

11:1rt&11�11-S . On sait que (1 + t2 )" + 1 lq.i (t)l :s; C1 d'où (1 +n2 )"+1 lq.i (n)l :s; C1 . Alors, le tenne

' ' l d l ' . ' 'd · '

d l d C C1 ·

genera e a sene prece ente est majore en mo u e pour n assez gran par --2- , ce qm I +n

assure la convergence annoncée. Soit, à présent, une suite ( qi P ) qui converge vers 0 dans

S d'où la convergence uniforme de (1 + 12 )"+1 qJ p (t) vers 0 sur 12.. Donc, pour tout

e > 0 , il existe N tel que : V p > N , V t ER , 1(1 + t 2 )"+l qi p(t)I :s; e et, pour p assez

grand · i(r. q.i P )l = ILneZiL 11q.i p (n)l :s; eL11eZ liL n l{1 + n2r11- 1 :s; eA ; où A désigne la

constante égale à la somme de la série convergente LneZ liL n 1{ 1 + n2 )-h- l . Ceci fournit lim ( T, qJ P ) = 0 et, par conséquent, la distribution T est tempérée. On en p_,,.+oo déduit que c'est vrai, a fortiori, pour les peignes ou demi-peignes de Dirac eux-mêmes.

3.2. Convolution d'un peigne tempéré avec une fonction de S

On vient de voir que T = LneZ iL 11 ô n , où ( iL 11 ) est une suite à croissance lente, est une

distribution tempérée. On peut donc en faire (Cf prop 4.21 .A) la convolution avec une fonction f de S et on a :

(/* T, q.i) = (LneZ iL n Ô 11 .J* qi) = LneZiL n (f* qi)(n) = LneZiL n J:J(x - n)qi(x)dx . On obtient donc /* T = LneZiL nfn , autrement dit une limite de combinaisons linéaires

de translatées. D 'ailleurs, les iL 11 étant à croissance lente, on montre (Cf ex N°2 1) que la

+oo série L iL n f ( x - n) converge uniformément sur tout compact et que sa somme est une

-OO

fonction tempérée, c' est-à-dire indéfiniment dérivable à croissance lente ainsi que ses

dérivées, autrement dit que /* T est un multiplicateur.

Cas particulier où la suite ( iL n ) est à décroissance rapide

On suppose donc que pour tout entier k, il existe Ck tels que : ( 1 + n2 t liL n 1 :s; C k . Montrons qu'alors la convolée T* f du peigne avec une fonction/ de S est encore dans


S , autrement dit : que le peigne est alors un convoleur sur S (Cf §S .3 , chap 4 .A) . On le qualifiera de « peigne à décroissance rapide » . L'indéfinie dérivabilité de la fonction g = f* T est immédiate. Il faut prouver en outre la

décroissance rapide de g et ses dérivées.

La série LneZ IÂ. n 1 étant convergente et la fonction f étant bornée, il en résulte que la

fonction g est bornée car lg(t)I = ILneZ Â. n f(t - n)I � Suplfl LneZ IÂ. n i . En utilisant la

"-k formule du binôme pour tk = ((t - n) +nt , on a : lt kg(t)I � �cJ j(t - n)fnk-J llg(t)I .

1=0 Chacun des termes de cette somme est borné sur �- En effet, en écrivant l 'un de ces

termes sous la forme : LneZ lnk-J Â. n i j(t - n)1 f(t - n) j , on voit que cela découle de _la

majoration précédente puisque la série LneZ lnk-i Â. n 1 , du fait de la décroissance rapide

des Â. n en , est convergente et puisque la fontion t H tf f(t) est bornée. La fonction

l t k g(t)I est donc bornée quel que soit k ; g est donc à décroissance rapide. La même

chose est vraie pour ses dérivées. Cf autres convolution de peignes, exercices 1 8 et 1 9) .

3.3. Convolution avec une distribution tempérée

La proposition 4 .20.A donne un sens à la convolution d'un peigne à décroissance rapide avec une distribution tempérée. Soit U une distribution tempérée quelconque et T un peigne à décroissance rapide. On a, par les calculs précédents :

(T* U, <p) = (u. T* <p) = (u. L,,EZÂ ,,<tJ_n ) . Comme la série définissant le peigne converge au sens de S ' et que U est tempérée, on

peut commuter la série et l ' action de U, d'où :

(T* U, <p) = L,,eZÂ n(U, <p_,, ) = L,,eZÂ n(U,, , <p) . La série LneZÂ. nUn étant convergente dans S ' , on peut conclure que la convolée est

une série de translatées de u : (:LneZÂ. n o,, )* u = LneZÂ. n .. nu . Supposons que U soit lui-même un peigne dont le support est contenu dans 71., à savoir

U = LkeZµ kôk , la suite (µk ) étant à croissance lente . Sa translatée d' indice n est

alors LkeZµ kok+11 • La convolée des deux peignes est alors définie par une série double

de distributions de Dirac : T* U = LneZ Â. n LkeZ µ k ô k+n . En réorganisant les termes

de cette sene double en un sene simple, on aboutit au peigne

L peZ (Ln eZ µ p-n Â. n ) o P dans lequel les coefficients, en raison de la croissance lente

de (µn ) et de la décroissance rapide de (Â. 11 ) , s'expriment par des séries convergentes

représentant d'ailleurs la suite convolée discrète des suites (Â. 11 ) et (µ11 ) . 3.4. Transformée de Fourier d'un peigne tempéré

Un peigne tempéré T étant la limite de ses sommes partielles dans S ' et la transformation

de Fourier étant continue dans S' , on en déduit que .:7(T) est la limite des transformées

de ces sommes partielles, autrement dit .:7(T) est la somme de la série des transformées


des Ôn , à savoir .J(T) = Lz À 11 exp(-2 i 1rn ... i ) . Bien entendu, il faut considérer la convergence de cette dernière série de fonctions au sens des distributions . Cette série, dans le cas présent où le peigne admet pour support l'ensemble 7L, apparaît d'ailleurs comme une série de Fourier ( Cf chap 5) .

- Si Lz 12 11 I < oo , cette série converge absolument et uniformément au sens des fonctions . - Si la suite (2 11 )est seulement à croissance lente, cette série est une dérivée, d 'ordre suffisamment grand, d 'une fonction périodique continue . - Si la suite (2 11 )est à décroissance rapide, c'est -à-dire si le peigne est un convoleur, la série converge au sens des fonctions et sa somme est une fonction de classe C00 • 4.TRANSFORMEES DANS lll2 OU DANS lllN 4. 1. Transformées de produits de puissances par des logarithmes

On se propose la calcul de .J(rk (lnr)) en utilisant, comme en dimension 1 ((Cf exemple

4.9.B), des dérivations par rapport au réel k. Les transformées dans �N de rk avec -N < k < 0 sont

.définies (Cf ex N°23) par .J(rk ) = a(k)l2 1 -k-N où a(k) est la fonction

de k définie par a(k) = 7r -k-(Nf2lr((N + k)/2) (r(-k/2)r1 . La fonction a est de classe é'00 dans l'intervalle ]-N, ü[ , les dérivées faisant intervenir celles de f ( Cf annexe 1 .2). Une façon de justifier la commutation de .J avec cette dérivation consiste à utiliser la série exponentielle pour obtenir exp( (h - k) ln r) = LN ( 1/ n !)( h - k r (ln r r . On en déduit le

développement en série de Taylor .J(rh ) = LN (lf n !)(h - k r .J(rk (tnr r) (avec

convergence dans S ' ) . Donc la dérivée d'ordre n par rapport à h de .J(rh ) «au point

h = k » est .J(r k (lnrY ) . Par exemple, pour n= 1, cette dérivée nous donne :

l .J(r k (lnr)) = a ' (k) l2 1-k-N - a(k) l2 1-k-N ln(l...i 1 ) 1. 4.2. Transformées de parties finies associées à la distance à l'origine

On se contente du cas N = 2 avec P/�-2 ) et Pf(r-3) . La transformée de la première, comme distribution tempérée, est définie par (Cf chap 2.B, § 4. 3 . 1 ) :

(Pf(r-2 ), q,) = 27r (Pf(Y(t) r1 ), M� (t)) = 27r !��[f; (M� (t)/t)dt + M� (o) tn& J M� étant définie par M�(t) = (2 7rr 1J:ir(p(t cosB, t sin B)iB avec (jJ définie par :

(p(t cosB, t sin B) = J; r<tJ(r cosq, r sin q) s:ir exp(-2i 7rrt cos(q- B)')dqdr . La formule de Fubini, justifiée par l 'appartenance de <fJ à S , donne ensuite :

M�(t) = (2 7rr l s:ir dqf0-too r<tJ(r cosq, r sin q)f:ir exp(-2i 7rrt cos(q- B))d0dr A l'aide de q - B = u, la dernière intégrale est 27rJ0 (2 7r rt) (Cf § I . 3 de ce chapitre et


aussi § 1 chap 5. A, pour les propriétés des fonctions de Bessel) . On a ensuite :

J;(M;p(t)/t)dt = limA-Hoo J:" fo+oo r <p(r cosÇ, r sin i;)J: (J0 (27r rt)Jt)dtdrdÇ La variable 2Jrrrt = v fournit J:(J0 (2 7r rt)/t)dt = J;::8A (J0 ( v)/v)dv . La fonction J0 vérifie v-iJ0 (v) = -v-iJ0 - v-216 et on sait que 16 = -Ji est bornée. Il en résulte par

une intégration par parties que l ' intégrale précédente a une limite finie lorsque A � +oo Par ailleurs, on voit et qu'elle est équivalente à - ln( s ) lorsque s � 0 . Finalement :

( �(Pf(r--2 )), <p) =lims--+O 2JrfJR2 <p(x,y)L°�(J0 (2 Jrv)/v)dvdxdy + iJ(o,o) ln s

= lim8--+o ( 2Jr(fr7 J0 ( v)dv/v , <p ) + ln s fJR2 <pdxdy)

Pour Pf(r--3 ) , on a ( Pf(r--3 ), <p) = 2Jr !�[J;(M91(t)/t2}tt - M91 (o)/s J . Les calculs restent les mêmes avec l ' intervention de la fonction r f� ( J 0 ( 2 Jr v )/ v2 }tv

( �(Pf(r--3)), <p) = lims--+O( 2 Jr(r J,7 lo (2 7rv)dv/v2 , <p ) - s-i ffR2 <pdxdy) . 4.3. Transformées de Fourier de mesures portées par des courbes

Considérons la mesure ô(r2 - R2) à support compact, donc tempérée (Cf chapitre

2.B ,§3 et l 'exercice 3 5 du chapitre 2) . On sait que la transformée de Fourier est alors une

fonction tempérée définie par h(À ) = ( ô (r2 - R2 ), exp(-2 i Jr (xu + yv))) . En appliquant

la définition, on obtient :

h(À ) =Z-i J:" exp(-2 i Jr R IÀ. i cos(o - i;)}io = Jr 10 (2 JrR IÀ. 1) . Dans cette formule, on retrouve que cette transformée ne dépend que de la distance à l 'origine. De plus, on sait que J0 est une fonction tempérée.

-Dans le cas de � 3, cette transformée est définie par une intégrale étendue à la sphère L de centre 0 et de rayon R : h( À ) = Jf E

exp(-2 i Jr (À . x) }i cr et, cette fonction étant radiale,

h(À. ) = ffE exp(-2 i Jr lÀ. l lzl}icr avec der = �1 + p2 + q2 dxdy = (R/lzl)dxdy Le calcul sur

l 'hémisphère supérieur, en coordonnées polaires, fournit

hi (À ) = R J:" dOJ: r( R2 - r2 )--1/2 exp(-2 ; Jr lÀ 1 � R2 - r2 )dr = -�;Jr� I [exp(-2i JrlÀ. ju )]: En ajoutant ce qui vient de l'hémisphère inférieur, on obtient le résultat :

( ) 2R sin (2 Jr lÀ. IR) h À, = IÀ, 1 .

En application à l 'étude des fonctions de Bessel dont J0 n'est qu'un exemple, d'autres

calculs de transformées de Fourier relatifs à ces distributions portées par des courbes ou des surfaces (dérivées totales en particulier) sont faits dans le chapitre 5 .B .


Exercice N°1 (Transformée de Fourier de/ définie par : f(x) = exp(-Hx2 )J. 1 °) Première méthode. On intègre F(z) = exp(-Hz2 ) le long du bord d'un rectangle de

f.+oo 2 sommets -R, R, R + i Â , - R + i Â . En utilisant le résultat -oo e-ffx dx = I , et les

majorations du type IJrR.R+iA.] F(z)dzl :s; j.4 1 e-1fR2 , trouver exp(H Â 2 )Î(.4) puis Î(.4) .

2°) Deuxième méthode. Montrer que f est solution de l ' équation différentielle

y ' + 2Hxy = O . Montrer que la transformée Î(l) est solution de la même équation. En A f.+oo 2

déduire f(.4) après calcul d 'une constante (utiliser -oo e-n dx = 1 ) .

Exercice N°2 (Transformées de Fourier et convolées de fonctions à supports dans !R'") Déterminer les transformées de Fourier des fonctions! et g suivantes de support [ O,+oo[ : f(t) = Y(t)e-1 , g(1) = Y(t)t e-1 . Déterminer, soit par un calcul direct, soit au moyen des

transformées de Fourier, le produit de convolution de ces fonctions.

Exercice N°3 (Intégrale semi-convergente utile dans le calcul de .:7( vp(If 1))J Soit / = s; (sin u/u)du utilisé dans l 'exemple 4. 8 .B sur .:7(vp(If t)) .Montrer que / = H/2 .

On intègre pour cela la fonction F telle que F( z) = (exp iz )/ z le long du contour rn.p ci-contre

constitué de deux cercles de centre 0 et deux segments [-p, -Ifn] et [Ifn , + p) de l 'axe des

<-:.,;..�;;;;;;;;.;.;�;..;;.;.i;��:::�> abscisses. Pour la limite sur le petit cercle, on utilise

O. En déduire le résultat annoncé.

F(z) = z-1 + 1/1' (z) où 1/1' est holomorphe. Sur le

grand cercle: IJc(R) F(z)a'zl :s; 2J;12 e-Rsin BdB et, en

utilisant sin B ;?: 2H-l B , on montre qu'elle tend vers

Exercice N�4 (Transformées de Fourier de fractions rationnelles)

Calculer les transformées de Fourier des fonctions suivantes et de leurs dérivées

1 1 1 1 3 - I + 1 f(I) = ( )( ) ' g(I) = 2 , h(I) = ( 4 ) ' u(I) = 2 12 + 1 t2 + 3 (12 + t + 1) I + I (12 + 1) (1 2 + t + l) v(1) =

21 + 1 , w(1) = + , z(I) =+ . Transformer leurs produits par 2 iH t . 14 + 12 + 4 I +z t - 1

Exercice N°5 (Transformées de Fourier et convolées de puissances fractionnaires) On utilise les résultats de l 'exemple 4. 9 .B, à savoir, a vérifiant : 0 < a < 1 :

J([ Y(1)ra ]) = -ir(I - a )(2Hj.4 1r-1 ( Y(.4 ) ei aff/2 - Y(-.4 )e-i atf/2 ) .


a) Avec cette formule, trouver la transformée de lf1/2 . Vérifier avec l 'exemple 4.7 .B

l la-1 b) Calculer les transformées de Fourier de ua telle que : ua ( t) = � (a) où 0 < a < 1 .

229

c) Montrer que l ' intégrale qui définit la convolée ua * ub lorsque O < a < l , O < b < l , 0 < a + b < 1 est convergente. En admettant que la transformée de cette convolée soit égale au produit des transformées calculées précédemment, déterminer cette convolée. d) En décomposant l ' intégrale de convolution précédente en la somme de trois intégrales et en utilisant des changements de variables homographiques pour chacune d'elles (faire le calcul d'abord pour x > 0 ), calculer cette intégrale en se ramenant ainsi aux fonctions eulériennes B puis r (Voir annexe 1 .2). Retrouver ainsi le résultat précédent. Exercice N°6 (Détermination d'une transformée de Fourier par les propriétés de ':})

sin( 21! t) cos( 21! t) Soit / définie par f(t} = 3 3 - 2 2 , prolongée par continuité au point t = 0 . 21l t 1l t On pose g(t) = (-2i7ï t)3 J(t) . Trouver la transformée de Fourier de [g] et en déduire la

/\ dérivée d'ordre 3 de f . Montrer qu'après avoir intégré trois fois cette dérivée, il existe,

parmi les fonctions trouvées, une seule fonction bornée qui est d 'ailleurs nulle hors de /\ [- 1, 1] . Montrer que f est dans IL 1 et déduire de ce qui précède l 'expression de f . Vérifier

ce résultat en calculant une transformée de Fourier conjuguée. Exercice N°7 (Continuité d'applications dans S liées aux produits de fonctions)

Montrer que l 'application (!, g) H f g est continue pour la topologie de S .

Soit g une fonction polynôme ou une fonction tempérée, c'est-à-dire de classe e«J , toutes les dérivées étant à croissance lente . Montrer la continuité de rp H g rp dans S .

Exercice N°8 ( Calcul de la transformée de Fourier d' une partie finie)

Soit T = Pf(sgn( t) lti -312 ) . On propose le calcul de sa transformée de Fourier.

On prouvera que T est, à un coefficient près, la dérivée de [lfl/2 ] et on utilisera le

résultat de l 'exemple 4.7.B, à savoir : J:exp(-2 i1l il. t) jt j -112 dt = 1/ .Jiiî . Exercice N°9 (Utilisation des propriétés de vp(If t)pour le calcul de sa transformée)

a) Montrer que vp(Ijt) est une distribution impaire. Que dire de ':J (vp(Ift)) ?

b) Trouver le produit t . vp( If t) et en déduire la dérivée de ':J. ( vp( 1/ t)) . c) Chercher une primitive impaire de cette dérivée et en déduire ':J. ( vp( 1/ t)) . d) En considérant il. vp(Ij il. ) - 2i 1l il. ':J.(Y} , montrer qu'il existe une constante C telle que

2i7ï ':J.([YD - vp(If il.) = Co . Transformer cette égalité par ':J. et, en utilisant le résultat

précédent sur ':J.(vp(x-1 )) ,prouver que C = i1l . En déduire la transformée de l 'échelon Y. Exercice N°10 (Inclusions canoniques entre les duals 2J', S 1, C 1)

1 °) A l 'aide d'arguments analogues à ceux de la proposition 4 . 1 1 .A qui établit la densité de 2J (!Rl.) dans S (!Rl.), montrer la densité de 2J (!Rl.) dans C (!Rl.) (Cf prop2. 1 5 .A pour la

définition des suites qui tendent vers 0 dans C (!Rl.)). Soit T une forme linéaire continue sur


C (12.), montrer que sa restriction à S (12.) est dans S' (12.). Montrer ensuite, en utilisant ce qui précède, que si un élément de S ' (12.) est continu pour la topologie de C (12.), alors cette forme linéaire sur S se prolonge de manière unique en un élément de C' . Justifier ainsi une des 2 inclusions C' c S ' c 2' . Justifier l 'autre inclusion . 2°) Reprendre la question dans le cas de 12.N. E�ercice N°1 1 (Comparaison des multiplicateurs et des fonctions tempérées)

a) Soit f une fonction de C (12.) telle que V <p E S, f<p ES et telle que l 'application <p H f<p est continue (autrement dit un multiplicateur). Prouver que VT E S', f T E S' . b) Soit une fonction f de C (12.) telle que toutes ses dérivées soient à croissance lente . Montrer que f est un multiplicateur . Réciproquement, on veut prouver que, si f est un multiplicateur,/ et ses dérivées sont à croissance lente. Montrer d 'abord, en amorçant une démonstration par l'absurde, que si / n'est pas à croissance lente, il existe une suite réelle

(tn ) telle que \ln , /(tn ) ;::: (1 + (tn )2 )" (et on peut supposer que ltn+1 l ;::: l tn l+2 ) .

Soit <p E :JJ, <p :?: 0, cp(o) = 1 , à support dans ]- 1,1[ et g(t) = LkeN (1 + tl rk rp(t - tk ) . Montrer que g est bien définie et que g E S . Pour cela, on peut montrer l 'existence de

constantes KP telles que l<p(t)(1 + 12 )2P I ::;; KPet, dans l'expression de tPg(t), utiliser le

fait qu� les fonctions t p-j ( 1 + t 2 r2 P sont bornées sur 12.. A l 'aide de (/g) (t n ) ;::: 1 , conclure ensuite que / g <1.S . Achever en notant que si, Vh E S, f h ES , c 'est vrai aussi pour f(k) . Exercice N°12 (La transformation de Fourier dans S 'prolonge celle des fonctions)

Montrer que tout f de IL 1 définit une distribution tempérée et que ([Î ]. <p) = ([/ ], �) . En

déduire que -1([/D = [J] . Montrer la même propriété pour les espaces IL 2 et S. Exercice N°13 (Mesures tempérées)

Soit une mesure de Radon µ à croissance lente dans IR{N, autrement dit qu 'il existe k tel

que x H ( 1 + lxi2 )-k soit !µ! -intégrable . Montrer que la distribution µ est continue sur

:JJ( [R{N) pour la topologie de S(IR{N), donc une distribution tempérée . Montrer que le prolongement de µ à l 'espace s est encore défini par (µ, <p) = J <pdµ. Exercice N�14 (Transformée de Fourier de l'échelon Y par passage à la limite)

Soit la distribution définie par : Ta = Y( 2 ) 2 a-1- e -ia "Y(-2 )12 j a-l où 1 < a < 1 . a) Montrer qu'on a (Ta , <fJ) = lim rA ta-l ( rp(t) - <p (-t))dt + (1 - e-iatr)t t a-l<p (-t}Jt .

�Q & &

b) Montrer que, lorsque a � 0 , le premier terme converge ( vp(r 1 ). <p) . A l 'aide de

1 -iatr cp (-t) = cp(O) - tlfl(t) où 1f1 est continue sur [ü, A] et en utilisant lim - e = i tr , a�O a montrer que le deuxième terme tend donc vers i 7l' cp( 0) . En déduire lima�o Ta dans J)'

puis la transformée .7([Y]) en utilisant .7([ Y(t)ra ]) = -i (27l'r-1 ei atr/2 r{I - a )Ta


(Ce résultat étant obtenu dans l ' exemple 4. 9.B). Vérifier avec .:7(0) ou avec §2 .2.2 chap 4.B ou l ' exercice N°9)

Exercice N°15 (Transformée de Fourier d'une partie finie par dérivation)

Dans l ' exemple 4. 9 .B, on a vu que .:7([Y(t) ln t]) s'exprime par : ;,, { e; + In(z,,) -r ' (1%�D + i "0) + vp( �À� + �2 O- i1' pf (�,t))}

En utilisant le fait que la dérivée de [Y(t) ln(t)] est Pf(Y(t)/t) , montrer que :

Pf(Y(t)/t) = C- in[ Y) - [lnlÂ I] avec C = r' (l) + i n/2 - ln(2n) . Exercice N°16 (Résolution d'équations différentielles dans les espaces l! et S' )

231

a) Montrer que si U est dans G' (�), sa transformée de Fourier h est développable en la

série entière de terme général ( n If 1 Â 11 ( T; ,(-2; n t f ) . En déduire que si U et V sont dans

/;' (�), alors U*V = 0 � U = 0 ou V = 0 . Montrer sur un exemple simple que ce résultat

est faux si l 'on suppose que U est dans /;' (�) et V dans S '(�).

b) Montrer que o '-ao n'a pas d'inverse de convolution dans /;' (�) . Résoudre dans

/;' (�) les équations différentielles U"' - U ' = 0 " A -o " -A -0 A + o_A où A * 0 et

U' + U = e -a o a - ea o -a ( On pourra utiliser .:7 , l ' exercice N°2 et des translations) .

c)Trouver, grâce à la transformation de Fourier, les solutions tempérées des équations

U" - a1U = o (avec a réel>O), U"+2U '+U = o ' + o , U"+2U '+U = o ' - o . U" + U' + U = o ( On calculera une transformée conjuguée par le théorème des résidus) .

Trouver toutes les solutions tempérées de U'-2i naU = o puis de U"+4n2a2U = o . d) Soit D(y) = x2 y" +b xy' + cy = o de type « Euler » . Montrer qu'en transformant cette

équation par .:7 , on obtient une équation D1 (z) = 1 , toujours de ce type d'Euler. Cette

dernière équation peut être résolue au sens des fonctions en cherchant des solutions du

type Â � JÂ J a (Cf exercice N°40, chap 1 ) . Résoudre à nouveau, dans S' (�), les

équations de cet exercice N°40 (Attention : z = o(11l peut vérifier D1 (z) = O ) . Comparer

avec ex 26, chap3 . Résoudre aussi les équations dans S ' lorsque (b, c) = ( 6,6) ou (2 ,-2) . Exercice N°17 (Distributions dont le produit par une fonction puissance est nul) A l 'aide de .:7 , retrouver les solutions de l ' équation (x - a) T= 0 puis celles de

(x - a)2 T= 0 (on est amené à résoudre des équations différentielles) . Résoudre

(x - a)U = o b en passant par une équation différentielle dont le second membre est une

exponentielle. Pour b = a , retrouver les solutions de ( x - a )2. T = 0 . Résoudre aussi

( x - a )2 (x - b) T = 0 et donner une généralisation.

Exercice N°18 (Transformée de Fourier d'un peigne généralisé de Dirac)

Trouver la transformée de Fourier du peigne T = L,,eZa110 11 où la suite (a11 ) est une

suite réelle ou complexe sommable. Montrer que T E S' et que .::l(T) est une fonction

continue périodique de période 1 . Quels sont ses coefficients de Fourier? Réciproque : Soit une fonction f périodique qui est la somme uniformément convergente


de sa série de Fourier. Montrer que/ est une distribution tempérée et déterminer :J(J) . Exercice N°19 (Transformée de Fourier lie peignes à décroissance rapitle)

Soit le peigne T = _'L;' e-11 o 11 .Montrer que c'est une distribution tempérée . Calculer explicitement sa transformée de Fourier . Montrer que cette transformée est une fonction tempérée. Que dire de T? Même question pour U = :L:: e -1111 0 11 • Exercice N°20 (Fonction à croissance lente dont la dérivée n 'a pas cette propriété)

Soit la fonction / définie par f(t) = co�e 1 ) . Montrer qu'elle est à croissance lente . La fonction dérivée f' est -elle à croissance lente? Montrer que [f '] est une distribution tempérée et justifier la définition de ([! ' ], qJ) à l'aide d'une intégrale portant sur <p

élément de S. Montrer que g et h telles que g(t) = t exp(t2 )cos(exp(t2 )) et

h(t) = { t 2 P '+2t P)exp(P(t)t 2 ) sin(exp(P(t)t2 )) , où P est un polynôme, sont dans S ' . Expliciter ([g ] , qi) et ( [ h ] , qi) par des intégrales . Exercice N°21 (Action d'un peigne à croissance lente sur une fonction de .S)

On suppose que la suite (À 11 ) est à croissance lente . Montrer que, pour toute fonction j + oo

de .S , la série L À 11 f ( x - n) converge uniformément sur tout [a, b] et que sa somme est -OO

une fonction tempérée, à savoir de classe e00 de dérivées toutes à croissance lente . Exercice N°22 (Transformée lie If 1/2 par un passage à la limite sous une intégrale)

Montrer que lfl/2 s'exprime simplement, lorsque t -:t=. 0 , au moyen de l'intégrale de

e-ltl x2 sur [ü, + oo[ . On remplace lfl/2par cette intégrale et on intervertit l'ordre des

intégrations dans : limA--++oo r)tl-1/2 e-2i HÂ.tdt . Par un passage à la limite sous le signe

. . (l l -1/2 ) Ji+oo 2x2dx somme qu'on Just 1fiera, trouver :J t en calculant 4 2 2 (Cf ex 4.7 .B) O X + 4 7l' À Exercice N°23 (Transformée de Fourier de puissances de la distance à l'origine) 1 °) Soit 0 < k < N , k entier . En étudiant d'abord la locale intégrabilité dans �N, montrer que T = , -k définit un élément de .S ' (�N). La distribution T est radiale, ce qui signfie que si U est un opérateur unitaire de �N ' alors T o u-1 = T (voir §6. 5 . 1 , chap 2.A et Prop 4. 1 .B) . Montrer qu'il en est de même de :J(T) . 2°) On suppose 2k > N . Montrer, en utilisant des restrictions dont l'une est dans IL 2 et l'autre à support borné, que :J(T) est une fonction et, à l'aide de la notion d'homogénéité (Cf ex 6, chap 3), qu'elle est du type CjÀ 1 k-N où C dépend de k. En calculant (:J(T), 'P) , où qi( x) = exp(- n-lxl2 ) est une fonction de .S qui est sa propre transformée, montrer que

cette constante est C = n-k-(Nf2)r((N - k)/2) (r(k/2)) - 1 . 3°) On suppose que 0 < 2 k < N . En utilisant ce qui précède pour V = rN-k puis la transformation de Fourier inverse , établir que le résultat de 2°) reste valable . Montrer, par


un passage à la limite que la formule est encore valable pour k = N /2 ?

Exercice N°24 (Transformée de Fourier d'un produit tensoriel)

233

Montrer què, pour des distributions tempérées, ':J(U ® T) = ':J(U)® ':J(T) . En déduire la

transformée de vp( x-1 y-1 ) et, plus généralement celles de Pf {Y( x )x-n Y(y )y-P ) . Exercice N°25 (Développements de distributions en séries de Fourier-Hermite)

On définit les polynômes <l'Hermite, notés Hm ,en dérivant m fois : f(x) = exp(-2 n x2 ) .

De façon précise : j(m) (x) = (-1r .Jmi2m-If4 n"'12 Hm(x)f(x) (*) .

1 °) En dérivant m fois f' ( x) = -4 n xf ( x) , trouver une relation de récurrence ( R) entre

trois polynomes Hm d'indices consécutifs. En dérivant ensuite ( *) et en utilisant cette

relation de récurrence, prouver que H'm = 2.Jiilii Hm-I ( relation (* *) ) . Etudier la parité

des polynômes Hm suivant la parité de m .

2°) Montrer que fim ( x) = Hm ( x) exp(-n x2 ) est une fonction de S dont la transformée

vérifie ':J.J,/m (X) = (-i r .J,/m (X) . On vérifiera cette formule pour m = 0 et m = 1 . Ensuite,

on transformera par ':} la relation ( R) en utilisant ( * *) .

On montrera enfin que (-i t"' ':Jfim vérifie la relation (R) , d'où le résultat en comparant

les 2 premiers termes. 3 °) Propriétés de développement en série de Fourier

a) Montrer la propriété d'orthonormalité J: .JJm (x).JJ11 (x)dx = 0 si m * n et 1 si m = n . On utilisera m intégrations par parties en utilisant les propriétés, à l ' infini, des produits des HP par des polynômes.

Pour ce qi suit, on admet que la suite orthonormée (.JJn ) est totale dans Il_ 2 (12.). b) Déduire de ce qui précède que toute fonction <p de S peut être développer en série

dite «de série de Fourier-Hermite », convergente au sens de Il_ 2 (12.), de fonctions .J,/n . Ecrire l 'égalité de Bessel-Parseval pour une telle fonction <p (Cf exercice N° 1 ,chap 5) .

c) Soit a2m (<p ) = (cp,.JJ2m ) le coefficient générique de rang pair de la série de F-H de <p

fonction de S. Quelle est sa valeur si <p est impaire? Montrer que si <p est paire, alors

a2m ( <p ) = C a2m+2 (If) où If ES est liée simplement à <p (on utilise 2 intégrations par m

parties) . . En déduire, en utilisant l ' inégalité de Cauchy-Schwarz et l ' inégalité de Bessel-

Parseval pour If , que _L;' ja2m (<p )j est convergente.

3 °) Pour tout T E S' , on considère aussi le développement en série de Fourier-Hermite

de T, à savoir LmeNam (T).JJ m où am (T) = (T,.JJm ) . Montrer, par récurrence que, si m

est impair, Hm(o) = O et que, pour m = 2n , on a H2,, (o) = (- lf �(2n) 1 2-n+If4 (n !f1 . En déduire les coefficients am ( ô ) . En utilisant ce qui précède et le fait que H 211 ( 0) est borné, montrer que la série

_L;' am (ô ).JJm converge dans S vers une distribution tempérée que l 'on note U. Soit G+ (T) = T'+2 n x T et G_ (T) = -T'+2 n x T . Montrer que G+ (fim) = 2.{rim .JJm-I


et G_ (..JJm ) = 2�(m+ l)Jr ..JJm+l · En déduire G+ (U) et G_ (U) sous forme de deux séries de Fourier ne contenant que des

termes d' indices impairs .

Calculer les quantités a2n+2 (ô)�2(n + 1) + a211 (ô)�2n + 1 et en déduire que 4JrxU = 0 ,

d 'où U = Cô . Montrer que C = 1 et conclure que ô est la somme de sa série de F-H.

Exercice N°26 ( Transformée de Fourier de convolées de fonctions ou de mesures)

1 °) Transformée de la convolée de deux fonctions, l 'une dans IL co , l 'autre dans IL 1 .

a) Soit g E IL co . Montrer que Vrp E5), l(.1(g), rp)J :::; C iglco lrplco et en déduire que .1(g) est une mesure bornée, donc tempérée. b) Soit f appartenant à IL 1. Montrer qu'on peut donner un sens au produit .1(g).1(!) . Montrer que, pour tout rp de S, (.1(g).1(J), rp) = (.1(g), .1(J)rp) et à l 'aide des

propriétés de .1(rp )* .1(/) , prouver que .1(g* f) = .1(g).1(!) . 2°) Convolée de deux mesures bornées et transformée de Fourier a) Soit µ est une mesure bornée sur 12.. Montrer que µ est tempérée. Soit une

suite (l/f11 ) de type C-G, montrer. que .1(1/f ,,µ) est uniformément bornée par JR lµI . Montrer que f R l '1111 µ - µI � 0 , ce qui veut dire que l/f n µ � µ dans M 1 et en déduire

Loo que .1(1/f,,µ)----+.1(µ) . b) Soit v une autre mesure bornée. Montrer que la suite ((l/f 11µ)* v) est une suite de

Cauchy dans M 1 . En déduire que µ et v sont G-convolables. En étudiant les limites

respectives de .1(1/fnµ).1(v) et de .1(1/fnµ* v) , montrer que .1(µ* v) = .1(µ).1(v) , le

produit ayant un sens puisque les deux facteurs sont dans IL co .

Exercice N°27 (Calcul de la convolée de deux vp par la transformation de Fourier)

On suppose établi que la G-convolée vp( x-1 )* vp( x - I ) existe. Soit l/f E ;/) qui vaut 1 en

O. Notant f le produit (1 + ief1 l/f et T = vpx-1 , on peut écrire :

T* (x + ie)-1 = T* f + ('1' T + (l - l/f )T)* ((1 + e)-1 - f) . a) En utilisant lim( X + i 8r1 = T + i JrÔ , trouver lim f puis lim f * T . b) Montrer que (1 - 1/f)Ré (x + ier1 � (l - 'lf) x-1 dans IL2, donc dans ;b ' . En déduire

que l/f T* (l - 1/f)Ré (x + ier1 � l/f T* (l - 1/f)T . Montrer aussi que, au sens de IL2, on

a : ( 1 - l/f )Ré ( x + i e )-1 * ( 1 - l/f) T � ( 1 - l/f) T* ( 1 - l/f) T . c) En déduire lim T* ( x + i e r 1 = T* ( T + i 7r ô) et retrouver ainsi le résultat T* T = -n2 Ô

CHAPITRE 5.A

LES DISTRIBUTIONS PERIODIQUES

ET LES SERIES DE FOURIER

On sait qu'une fonction a-périodique/ est déterminée complétement par une quelconque de ses restrictions à un intervalle semi-ouvert de longueur a, par exemple à [ü,a[ . Une telle restriction, prolongée par 0 en dehors de l ' intervalle associé, est dit un « motif générateur » g de la fonction périodique f considérée. Si on suppose que f est dans IL 1 1oc(�) , il est clair que [g] est dans é:" (�). A partir de cette notion de motif générateur, généralisée de façon convenable pour qu'elle puisse se prolonger aux distributions périodiques, on peut montrer qu'une telle distribution est déterminée par des distributions à support borné qui sont ses motifs générateurs. Quelques indications seront données sur l ' identification de ces distributions avec les distributions sur une circonférence du plan. Nombre de résultats ont des preuves simplifiées du fait de la compacité de la circonférence, mais ce cadre est difficile à utiliser dans la pratique. C'est la raison pour laquelle nous utiliserons principalement la notion de distribution sur �

' a-périodique . .

Ces notions sont étendues, de façon assez brève, au cas de plusieurs variables Les résultats usuels sur la convergence des séries de Fourier de fonctions sont donnés sans démonstration dans le premier paragraphe. Cependant, en fin de chapitre, on montre comment ces résultats se déduisent de ceux concernant les distributions périodiques.

1 . DEFINITIONS, RAPPELS ET EXEMPLES

1. 1. Définition relatives aux fonctions et énoncés de résultats

Soit f une fonction dans IL \oc(�) , périodique, de période a. On rappelle que les coefficients de Fourier de/ sont donnés par les formules :

c11 (/) = a-I J: f(t)exp(-2i (tr/a) n t) dt = a-1 J: f(t)w a,-11 dt . La sene de Fourier de f est la série trigonométrique définie formellement par Lzc11(/)wa,11 , wa,11 étant la fonction t � exp(2 i trn t/a) . Les sommes partielles de Fourier de / sont définies par SN(/) = L�N c11(/)w0,11 • Un calcul élémentaire, faisant intervenir la somme d'une progression géométrique, montre que cette somme partielle est la convolée SN (!) = f * DN où DN , appelé noyau de

sin(tr(2 N + I) x/a) Dirichlet, est défini par DN = . ( ) (Cf exercice N° 1) . sm trx/a On donne sans démonstration deux théorèmes de convergence, le premier dit « de JordanDirichet » concernant la convergence simple et la convergence uniforme, le deuxième


L'exercice N° 1 propose des démonstrations de ces propriétés lorsque la fonction est de classe C 1 par morceaux. Remarque 5.1 .A

Si f E IL2(0,a), l ' égalité précédente entraîne que la somme Lzcn (f)einx est dans IL 2(0,a) . C 'est donc une distribution. En outre la convergence de la série de Fourier vers/ a lieu dans 2) ' . En effet, si <p est dans 2'J , on a par l ' inégalité de Schwarz sur un intervalle de bornes multiples de a contenant supp<p :

(fA jJ -L�Ncn (f)œ a ,11 , lq.il dx r � f�A jf -L�Ncn (f)œ a,n ,2 f�)<p l2 dx '

et le second membre est majoré par 4A2 suplq.il2 l i! - SN l l�2(o,a) donc tend vers O. 1.2. Définition des distributions périodiques

En termes fonctionnels, une fonction f définie partout sur 12. est a-périodique si sa translatée d' indice a reste égale à f elle-même, à savoir : f = f . a Cette dernière formulation a l 'avantage de se généraliser aux distributions :

CHAPITRE 5.A. LES DISTRIBUTIONS PERIODIQUES ET LES SERIES DE FOURIER 237

1.3. Exemples de distributions périodiques

1.3. 1 . Distributions obtenues par répétition périodique

On verra plus loin la définition générale des motifs générateurs. Pour le moment, on désigne par g la restriction d'une fonction f a- périodique à l ' intervalle [ü,a[ . A partir de g , dont le support est borné, on peut reconstituer la fonction/ par la somrrie de toutes les translatées de g d' indices ka selon la formule : f = L:gk a , ce qui signifie que :

'ïf t E �' f(t) = :L::g(t - k a) .

On exprime cette relation en disant que f s'obtient par « répétition a-périodique » de g. Mais on peut faire cette opération, a priori, à partir d'une fonction h quelconque à support borné, ou même encore à partir d'une distribution T à support borné quelconque. Considérons, en effet, la série :L: Tk a . Pour montrer que cette série définit bien une

distribution S, il suffit d'abord de remarquer que, quel que soit <p élément de :h , la série

numérique :L: (rka • </J) ne contient qu'un nombre fini de termes non nuls. Soit, en

effet, [ A ,B] contenant le support de T ; alors, pour lkl assez grand, le support de <p - ka

qui est le translaté d' indice ka de celui de <p est d' intersection vide avec [A, B] et, en

conséquence, ( Tk a , <p) = ( T, <p _ ka ) = 0 . La continuité sur :h est ensuite facile à

prouver. Cette distribution s que l 'on note S = Repa (T) est alors a-périodique. En effet,

la translatée d' indice a fournit : sa = (:Lz Tka) a = Lz 1(k + 1 )a = Lz Tka = s .

Deux questions se posent qui seront résolues plus loin. : D'abord, toutes les distributions périodiques sont-elles issues de répétitions périodiques? Ensuite, dans quelle mesure la distribution T supposée à support borné est-elle l 'analogue d'une restriction de fonction, pour la distribution S? 1 .3.2. Les peignes de Dirac

Pour les peignes de Dirac, la formule llla = LkeZo ka montre bien qu' il s' agit d'une distribution a- périodique obtenue par répétition périodique.

Plus généralement, lorsque T est une distribution à support borné, une répétition apériodique de T peut être considérée comme résultant du produit de convolution

T* Ill qui existe puisque l'une des distributions est à support borné. En effet, d 'après la a définition de cette convolution, on voit facilement, les séries n'ayant qu'un nombre fini de

termes non nuls, que T* Ill a = Lz Tk a car : (T*lll0 , rp) = (r. (lll0 , rp(u + v))) = (r.:L2rp(u +k a)) = Lz (T, rp(u+ ka)) = Lz (�0 , <p)

Cette notion de répétition périodique suggère d'étudier de façon plus précise, ce qui sera fait dans § 3, les motifs générateurs en s'appuyant d 'abord sur le cas des fonctions.


2.0PERATIONS SUR CES FONCTIONS OU DISTRIBUTIONS

2. 1. Dérivation

Il est facile de vérifier que les dérivées d'une distribution périodique sont encore des distributions périodiques de même période. 2.2. Produit par une fonction périodique de même période

1•11r�1x•11•:.m Preuve : On sait déjà que c'est une distribution. Il suffit donc de vérifier que (J T) a = f T, ce qui résulte des égalités qui suivent :

((! T)a , rp) = (! T, rp -a ) = ( T,f rp -a ) = ( T,f_a rp -a ) = ( Ta ,/ rp ) = ( / T, rp ) Cette démonstration reste valable si f est une fonction continûment dérivable à l 'ordre m et T une distribution d'ordre au plus m (Cf chap 2.A) ; par exemple, lorsque f est une fonction continue et T une distribution mesure, par exemple un peigne de Dirac. 2.3. Interprétation de la convolution de deux fonctions périodiques

On sait, qu'au sens de la convolution générale des fonctions sur !Rl., la convolution de deux fonctions a-périodiques ne peut exister. Mais, dans ce cas de fonctions, on définit une convolution spécifique pour des fonctions de même période a. Par définition, cette convolution, notée (! � h) est définie par une intégrale sur une

période : (! � h )( x) = a -l J; f ( x - t) g(t) d t . Il est facile de vérifier que, dans cette

définition, on peut échanger les rôles de f et de g et que la fonction obtenue est encore apériodique. En remplaçant l 'une des fonctions, par exemple f par sa restriction notée f <1

à un intervalle-période, l ' intégrale peut être étendue à IRl. tout entier, ce qui s 'écrit

(! � h )(x) = a-1 J:!<1(t)h(x - t)dt = a- 1 ([1 <1 ]* [hJ) . Cette formule peut être interprétée, au coefficient a-1 près; comme une convolution sur IRl. de deux fonctions dont l 'une est à support compact. Elle sera généralisée plus loin à l 'aide des motifs générateurs de l 'une des fonctions, ce qui permettra de la prolonger aux distributions.

3. ETUDE DES MOTIFS GENERATEURS ET APPLICATIONS

3. 1. Définition 5.2.A

llïi!��li��,��{1iï1�1\{-Remarques 5.2.A On remarque d'abord que si g est un motif générateur de f, une translatée d' indice na où n est un relatif quelconque est encore un motif générateur. On remarque aussi qu'une translatée fb admet pour un de ses motifs générateurs le translaté gb d'un motif g de/.

CHAPITRE 5.A. LES DISTRIBUTIONS PERIODIQUES ET LES SERIES DE FOURŒR 239

3.2.Exemp/es de générateurs

Soit j <l la restriction def à [o,a[ , c'est donc un générateur de/ Si g est un générateur

quelconque de/, on a Lz(i<l - g)ka = 0 , la somme étant finie puisque les supports sont

bornés. Prenons un point t0 E [O, a[ tel que f(t0 ) ;t: 0 . Alors, la relation précédente s 'écrit f(t0 ) = Lzg(to -ka) . En divisant par f(t0 ) , on obtient 1 = Lz (i(10 )r1 g(t0 - ka) , autrement dit, en posant

8 = g/ f , on a Lz 8 ka (to ) = 1 . Supposons maintenant 8 continue, alors la relation

précédente devient Lz() ka (t) = 1 pour tout t du support de f <l . On est ainsi amené à considérer une fonction continue à support borné () telle que, sur �, elle vérifie Lz 8 ka = 1 . Alors, le produit 8 f est aussi à support born�, ce qui donne

un sens, pour tout t, à h(t) = L2 ( 8f)ka (t) . On peut supposer, sans restreindre la généralité que supp 8c (O,ma] avec m > l (sinon la fonction 8· serait égale à 1 sur son support et ne pourrait être continue) . Supposons en outre que supp8 � [o, a] . Alors :

t E [O,a [ => h(t) = L::�i-I 8(t + ka)f(t) = f(t)L::�'-I 8(t +ka) = f(t) .

Puisque f et h sont a-périodiques, on en déduit f = h et, par conséquent, 8 f est un motif générateur de f _P�?pe>s_it_iol) _ �'.4.'._� .. _ . _ _ . , _ _ ._ . , . · . _ · . _ _ _ _ _ . · . . _ · . · . · . _ .

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3.3. Construction de tels motifs

3.3. 1 . Générateurs de l'unité de type polynômial par morceaux

Choisissons pour() une fonction du premier degré par morceaux sur l ' intervalle [-a,a] . Une solution est définie par : 8(t) = (t + a)/a si t E [-a, 0], 8 (t) = - (t - a)/a si t E [O, a] . La continuité est réalisée et 8(t) + 8(t + a) = (t + a)/a - (t + a - a)/a = 1 si t E [-a,O] . De même 8(t) + 8(t - a) = 1 si t E [ 0, a] , Pour toutes valeurs de t, il existe k E '11.. tel que 8(t + k a) + 8( t + ( k - 1) a) = 1 , tous les autres termes de la somme étant nuls. On en conclut que () est bien un a-motif générateur de l 'unité. On peut ainsi construire des fonctions - () du premier degré par morceaux sur des segments de longueurs ma arbitraires (Cf exercice N° 1 3) Dans le cadre de la généralisation, ces fonctions () seront multipliées par des distributions. Sauf si l 'ordre de la distribution est fini, cela exige que la fonction 8 soit de classe e"0 . En fait, on peut construire des fonctions () de classe quelconque. Par exemple, un calcul simple montre que la fonction du second degré sur les intervalles respectifs [o, a] , [a,2a], [2a, 3a] et nulle à leur extérieur telle que :

t2 ( 3a2 ) a 2 8(t) = a2 sur [o, a], 8(t) = -q t 2 - 3a t +2 sur [a, 2a], 8(t) =2(t - 3a) sur [2a,3a]


est une fonction () de classe é' 1 . Sur cet exemple, on constate qu'il s'agit d'une fonction spline de degré 2 obtenue à partir de la fonction spline standard notée s� par la formule B(t) = a3 sJ (t/a) , cette fonction étant définie sur [ü, l) , [ 1,2), [2,3) respectivement par. :

sf (u) = u2 /2 , sf (u) = -u2 + 3u - 3/2 , sf (u) = (1/2)(u - 3)2 , ou encore, globalement par :

sf (u) = l/2 ((u - o)! - 3(u - 1): + 3(u - 2)! - (u - 3): ) . La théorie des fonctions B-splines (Cf [5] ) permet de généraliser à l 'aide de la fonction spline de degré m définie par S2,(u) =-1 L�:"01+1 (- l)j C1,+1 (u - J): (Cf Ex N°1 3 ). ml J -

3.3.2. Motifs générateurs de l'unité indéfiniment dérivables

Soit une fonction quelconque If/ de ::D , de support [-a, a] , qui reste strictement positive sur ]-a, a[ . La somme Lz If/ (t + ka) ne comporte, au plus, que deux termes non nuls. Par exemple, pour t = a/2 , seuls If/ ( a/2) et If/ (-a/2) sont non nuls et; pour t = 0 , seul lf/ (O) est non nul. Il en résulte que cette somme, que l 'on note CT (t) , est bien définie sur � , qu'elle est strictement positive et qu'elle est, d 'après sa définition, a-périodique.

lf/(t) . Posons alors B(t) = CT (t) . Cette fonction 8 est bien définie sur � , son support est celui

de If/ , donc borné, et on a : +«> + «> lf/(t + ka) +«> lf/(t + ka) CT (t) � B(t +k a) = � cr (t + ka) = ?; cr (t) = Œ (t) = l .

Remarques 5.3.A

1 °) Cette construction de 8 peut être faite en prenant If/ de classe C"' , elle aboutit à un motif de même classe. Par ailleurs, l ' intervalle [-a , a] de départ peut être remplacé par [-pa, pa] Lorsque If/ est polynomiale par morceaux, 8 est rationnelle par morceaux.

2°) On peut obtenir des a-motifs de classe C111 ou même de classe C00 à partir d'un amotif () de classe plus petite, par exemple continu. Pour cela, on utilise la convolée p 6 * () où p 6 est suffisamment régulier et d'intégrale égale à 1 . On a ainsi :

Lz(P6 * B)(x +ka) = f:pe (t)L:2 0 (x +ka - t)dt = J:pe (t)dt = 1 . 3.4. Application aux coefficients de Fourier d'une fonction

3.4. 1 . Définition des coefficients de Fourier et de la série de Fourier

Les coefficients de Fourier def a-périodique, appartenant à IL 11oc(�) peuvent s'écrire :

cn {f) = a- I f:f<I (t) exp(-i n (n/a) t) dt OU encore cn {f) = a- 1 ([f <l ]. Wa.-n ) car

[1 <1 ] est à support borné et définit donc une action sur toute fonction é'00 •

On peut, de plus, remarquer que ces coefficients apparaissent comme des valeurs aux points n/a de la transformée de Fourier de cette distribution (laquelle est une fonction), à savoir : cn (f) = a-'I .:7([1 <1 ])(n/a) .


En fait, cette dernière formule est encore valable en remplaçant [ f <1 ] par un générateur g = (} j où (} est, par exemple, continu, à savoir :

c11 (!) = a-I ([ (} f ] , w a,-11 ) = a-1 �([ (} J])(n/a) . Supposons en effet le support de (} contenu dans [0,ma] . Alors, lorsque u e [O,a[ , la somme Lz B( u +ka) se réduit à L�i-l B( u + ka) et on peut alors écrire :

r111a 111-l r(k+I)a 111-l ra ([ (} f] , Wa,-11 ) = Jo B(t)f(t)w a ,-11dt = L Jka (} f Wa,-11dt = L Jo B(u + ka)J(u)w a,-11du 0 0

= f:f(u)wa,-11 (u):L�1-1 B(u + ka)du = f:f(u)wa,-11 (u)du = a c,, .

3.4.2. Conséquences sur les coefficients et la série de Fourier d'une fonction

Ce qui précède permet de retrouver des résultats connus en théorie des fonctions : 1 °) Les coefficients de Fourier c,, (!)d'une fonction a-périodique localement sommable tendent vers 0 lorsque n tend vers +oo et -oo .

En effet la fonction f <1 ou (} j, étant à support borné, est une fonction de IL 1 (�), il en résulte que la transformée de Fourier tend vers 0 lorsque la variable tend vers +oo et -oo . 2°) Si j est une fonction de classe é'k , f<J n'est pas en général de classe é'k , mais en choisissant (} au moins de classe é'k , la fonction (} j est de classe é'k . Il est facile de voir que ( (} f )' k) est un moti f générateur de f ( k) . En effet, une dérivée ()(P) de (} vérifie Lz (} (P) (t +ka)= 0, ce qui implique;par des calculs analogues à ceux de la fin de 3 .4. 1 que l'intégrale J:B (P) (t)f (k-p) (t) wa,-n (t)dt , oùp ;?: 1 et supp (} = [0,maJ , devient :

L1ieZ Jo (} (p) (t + ha)f (k-p) (t)wa, -11 (t)dt = J: f(k-p) (t)wa,-11 (t)LheZ (} (p) (t + ha}it = 0 La formule de Leibniz donne alors le résultat et on a la relation :

ac11 (! (k) ) = ( (} f(k) , Wa,-11 ) = ((B J)'k) , Wa,-11 ) = (- I)k ( (} f . (wa,-n )'k) ) ,d'où :

c11 (!(k) ) = (2i7rn/a)k c11 (J) . Donc, pourf de classe é'k, c,, = o(n-k ) et, pour k = oo , (é11 )est à décroissance rapide . 3 °) On en déduit des cas de convergence de la série de Fourier au sens des fonctions . Par exemple, cette série est normalement convergente lorsque j est de classe é'2 ; elle converge donc au sens des distributions et la somme de cette série est une fonction continue . La proposition 5 . 1 .A (Jordan-Dirichlet) montre que, sous cette hypothèse, cette fonction coïncide avec la fonction j (Cf .ex 1 ) .

Pour quelques calculs numériques de coefficients de Fourier de fonctions et la convergence des séries de Fourier associées, voir chap . 5 .B et les exercices N°2 et N°4.


3.5. Application à la convolution a-périodique des fonctions

3.5. 1. Expression de la convolution à l'aide des motifs générateurs

Dans § 2 .3 , la a-convolution de deux fonctions a-périodiques a été définie. Elle est aussi définie en remplaçant f 4 par un motif générateur B f d'où la formule :

(! � h) (x) = a-1 J:(e f)(t)h(x - t)dt = a- 1 ([8 f]* [h]) . La preuve est analogue à celle de § 3 .4 . 1 sur les coefficients de Fourier. On sait que cette a-convolée �st a-périodique et la formule précédente s�ggère qu'un a motif générateur de cette convolée f * h puisse être le produit de convolution a-1 ( B f ]* ( B h] de deux motifs générateurs de f et de h. En effet, en appliquant cette convolution sur une fonction test, on obtient facilement :

a (f � h) = [ e f]* [h] = [B f]* Lz [Bh]ka = Lz [ Bh]ka * [ e !] = LA[ Bh]* [B !]) ka . 3.5.2. Coefficients de Fourier d'une a-convolée

On en déduit les coefficients d'une a-convolée. En effet, la transformée de Fourier d'une convolée de deux distributions à support compact est le produit des deux transformées. Les coefficients de la a-convolée sont donc les produits de ceux de f et g puisque : a2

en (! � g) = J([ B /]* [ B g])(nfa) = (J([B J])(nfa))(J([ Bg])(nfa)) = a2 cn(f)cn (g) . Pour des calculs de convolées, voir les exercices N° 1 ,2,4, 5 .

4. DEVELOPPEMENT DES DISTRIBUTIONS PERIODIQUES

Le but principal du paragraphe actuel est de prouver que toute distribution périodique est la somme de sa série de Fourier. Auparavant, il nous faut définir les coefficients de Fourier d'une distribution. On débute en montrant que les distributions a-périodiques sont des formes linéaires continues sur l ' espace des fonctions a-périodiques e00 • 4. 1. Action d'une distribution périodique sur les fonctions périodiques

De la même façon qu'on peut définir l ' action d'une fonction a-périodique f sur une fonction a-périodique de classe C00 par le crochet ([ /<1 ]. rjJ) , donc aussi bien par le

crochet ([ B f ], rjJ) , on peut prolonger l ' action d'une distribution a-périodique T sur les

fonctions a-périodique <1> de classe C00 par la formule : ( T, r/J) = ( B T, r/J) dont le second membre a bien un sens puisque B T est à support borné. Comme e E ,2) et que L z e -ka = 1 , il est facile de voir que la définition est bien

cohérente, autrement dit que le résultat ne dépend pas du choix de B . On remarque en effet que, étant a-périodique, on a rjJ = LkeZ ( B r/J) ka quel que soit le

motif(} utilisé. Donc, si on pose : u = B 1- 8 2 , qui vérifie ainsi Lz (ur/J) ka = 0 , on en

déduit (81 T, r/J ) = (82 T, r/J ) car (u T, r/J) = (T, ur/J) = ( T, Lz (ur/J)ka ) = O . Remarque 5.4.A Supposons que T soit la répétition a-périodique d'une distribution S à support compact inclus dans [ 0, a [ . Alors S, qui joue le rôle d'une restriction dans le cas d'une fonction,


est un motif générateur de T par définition. Dans ce cas, il est naturel, par analogie avec le cas des fonctions, de définir l' action de T sur les fonctions a-périodiques par (S, </J) sans l ' intermédiaire donc d'un a-motif de l 'unité. C'est bien l' action qui a été définie dans ce qui précède. En effet :

( (}Lzska , </J ) = (Lzska , (}<) ) = (s, Lk (e<P) ka ) = (s, tPLk (e ) ka ) = (S, </J) . Prenons l 'exemple du peigne illa qui est la répétition a-périodique de ô . On en déduit que l 'action du peigne illa sur les fonctions a-périodiques se réduit à celle de ô (Cf. plus loin §6 .2 .3 de ce chapitre). 4. 2. Coefficients de Fourier d'une distribution

4.2. 1 . Définition 5.3.A -1�� -t?ag��ié� i�ê9�Bt��1!�� M�:� ' � �#P-t7.� 1 nftff:) �?fü f?�P2Ê�s��9�� 1 m��11�� ·��fixi�ï��- qy@J g:µ� �füi e�füj�F n<PP: t>�lii 4999 ��awr 1�� 6-9.�m2i�9t$ ��· È2:4Tii�ï::-41-

·J.1

Dans le cas donné ci-dessus de la répétition périodique de S, cette définition coïncide avec cn (T) = a-1 (S, ma,-n ) . Ainsi pour le peigne illa , c11 (ll1a ) = a-1 (ô , ma,-n ) = a-1 . Remarque 5.5.A Rappelons que la transformée de Fourier d'une distribution U à support borné est une fonction telle que .J(U)(Â. ) = (U, exp(- 2 i1CÂ. t }) . Ces coefficients de Fourier peuvent donc, comme pour les fonctions, se calculer à l 'aide de la transformée de Fourier de (} T, puisque : c11 (T) = a-1 .J(er)(n/a) . 4.2.2. Propriétés de ces coefficients de Fourier On a vu que les coefficients de Fourier d'une fonction a-périodique , par exemple localement sommable, tendent vers 0 à l ' infini. Pour une distribution périodique, ce n'est plus vrai, mais : :t>J'.opositio11 �.5.A: .. . lj� §�fü� d�s ÇÇ�ffiÇï�ri.i� 4� foüriêr 4'u�� 4is#iWt19n]J�ri94iC}µ� �$i � 9t9�.$�fil)Ç� rnfü� . :: ::: Preuve On peut se servir de la formule précédente exprimant qu'un tel coefficient est une valeur de la fonction transformée de Fourier de la distribution à support borné U = (} T . Le résultat est alors obtenu par la proposition 4 . 1 5 .A. Notons la réciproque :

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Preuve Montrons que T défini par T = Lz c11 exp( 2i1C x n/ a} est une distribution a-périodique. Montrons d'abord la convergence de la série définissant (T, rp) . Par hypothèse de croissance lente, il existe K tel que Jcn J :5: ClnlK . Par ailleurs, K + 2 intégrations par parties

dans l ' intégrale s:rp(x)exp(2 i 1C xnja)dx montrent que ces nombres sont majorés par

C ' Jnl -(K+2) sup lrp(K+2) 1 . Le terme général de la série est donc majoré uniformément par


H/n2 d'où la convergence de la série. La linéarité est évidente. Pour la continuité, on remarque que le nombre H de la majoration précédente est du type C' C suplrp( K +2) 1 ce qui

entraînera la convergence vers 0 de ( T, rp k ) lorsque la suite (rp k ) � 0 puisqu'alors on aura j(T, rpk )j ::;; C ' Csupjrpk (K+2) JL n-2 . Montrons que les coefficients de Fourier de T sont les c11 , autrement dit que ( (} T, OJ a , -n) = a c11 , en choisissant (} à support dans [-a, a] . Cela résulte des égalités qui suivent, où l 'on utilise pour x E [ 0, a] la relation B( x - a) + B( x) = 1 , égalités dans lesquelles on permute, en raison de la conergence uniforme vue précédemment, une sommation et une intégration : LzCk ra B(x)e-2inx(11-

k)/a dx = Lzck (f�a B(x)e-2inx(11-k)/a dx + s; B(x)e-2inx(11-k)/a dt)

= Lz ck (I; B(x - a)e-2inx(11-k)/ac1x + s; B(x)e-2inx(11-k)/adx)

= Lz ck (I; (B(x - a) + B(x)) e-2inx(11-k)/adx) = Lzck (f; e-2inx(11-

k)/adt) = ac11 .

Remarque 5.6.A

Cet énoncé est optimal car le produit c11 J: rp( x) exp( 2 i 11r x n/ a )dt peut ne pas tendre

vers 0 si ( c11 ) n'est pas à croissance lente. 4.3. Distribution périodique considérée comme répétition périodique

Soit une distribution T qui est a-périodique. Le choix d'une fonction 8 du type précédent étant fait, on considère encore la distribution (} T . C'est une distribution à support borné puisque 8 est à support borné. Elle s'applique donc sur les fonctions de classe é'00mais, bien entendu, le calcul précédent le prouve, cette action n'est indépendante du choix de 8 que sur les fonctions a-périodiques de classe é'00 . Nous allons montrer que, comme pour les fonctions, T = Lz (B T)ka . Cette vérification est immédiate car, pour toute fonction rp , élément de :lJ , on a :

\Lz (B T)k a ' 'P) = Lz \(B T)k a ' 'P ) = Lz\(B )k a T, rp) = Lz \ T, rp(B )k a )

= ( T, 'P Lz (B )k a ) = (T, rp ) ·

On peut ainsi répondre aux deux questions posées à la fin de § 1 .2 . 1 :

Proposition 5. 7 .A

liilillJŒk�i�iii!illlllJ Corollaire 5.8.A : D'après ce qui a été déjà remarqué sur les répétitions périodiques, (} T étant à support


borné, le résultat précédent peut aussi s'écrire : T = L ( (} T) ka = ( (} T)* Ilia . . ...... ................. .... ......... ... .. ...... . ...... ... ... ......... .. . . . .. . .. ..... .... .. . . ...... .. ... ...... ... . ...... . .. ... .. . ............ ... .......... ........... ........... . ... ....... ..... .......... ..... .. .. .. . .. . .. . . . . .. . . .. ..... .. .. ... .......... . .... .. .. .. .. ........ ...... .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. ...... ........... ......... .. .. ... ..... .. . . .... .. ........ ... .. ......................... ............ > ... . .... ... z . .. ...... .. ....... .. . ... ...... . . .... . ... ... ........... ............................................................ .... ..................................................... ... ........ · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · . . . .. lô"iô.i!J.i�� S.�,[i\ · ±Büî� di$fd64îiôh péfi6d.i4ti� �st :t�füP.été�· .. .. : : . : : I: " :J ...... ;; : :: .. : : : : :ir l i : : : ·l · : .. : :li : l !l:!:l:! .. I :. ·

.. "

En effet, le peigne de Dirac est un peigne tempéré. D'après §3 du chapitre 3 .B, S8: convolée avec une distribution à support borné est tempérée. 4.4. Développement en série de Fourier d'un peigne de Dirac

Pour développer une distribution périodique quelconque, une méthode classique consiste à développer d'abord en série de Fourier le peigne de Dirac de période a. Le développement du peigne est l'objet de deux démonstrations, la première utilisant les résultats de la théorie sur les fonctions. 4.4. 1 . Première preuve

Le ..,.,.,,.,,.,.,..,.

Elle est définie sur ]0,a [ par f(t) = (a/2) - t donc possède des discontinuités aux points d'abscisses na avec des sauts finis égaux à a. La dérivée de cette fonction au sens de :l:J' fait intervenir le peigne a Ilia donc, en dérivant la série de Fourier de f, on obtient un développement de Ilia .

Par dérivation : [!] ' = [! '] +a Ilia = -(1] +a Ilia . Par ailleurs, le calcul des coefficients

de Fourier fournit : en (!) = -ia (2Nnf1 et c0 (!) = O . En posant /(na) = 0 , la proposition 5 . 1 permet d'écrire : V t EIR, f(t) = -i a Ln..,.0 (2JZ"nf1 exp(2iJZ" (n/a) t) . Mais cette convergence est aussi vraie au sens de fi_ 2 donc au sens de :l:J' (Cf proposition 5 .2 et remarque 5 . 1 ) . On peut donc dériver terme à terme (Cf chap 2.A, proposition 2.2 1 .A) cette série dans :JJ ' , ce qui donne [!] ' = ,L[exp(2i7l" (n/a) t)J . En ajoutant le

11 .. 0 terme manquant [ 1] pour compléter la série, on obtient alors :

Ilia =a-1 Lm,,0 [ exp(2i1l" (n/a) t)J . 4.4.2. Deuxième preuve

Cette deuxième preuve peut être laissée en première lecture. $ La série de distributions ,L2ô11a est convergente dans l 'espace S' . Puisque la transformation

de Fourier est continue sur cet espace S' , on en déduit que :

J(Illa ) = J(Lz ôna ) = LzJ(ô11a ) = Lz lexp(-2i Jrna t)] . Le résultat, noté U est une distribution a -I - périodique définie par une série de Fourier dont tous

les coefficients sont égaux à 1 . En multipliant U par la fonction exp(2iJZ"at) de classe e00 , on

retrouve U (par translation d'une unité de l 'indice de sommation) d'où :

(exp(2iJrat) - 1) U = 0 .


La fonction (exp( 2i 7Z" at ) - 1) est une fonction de classe C00 qui n'admet comme zéros que les

nombres na- 1 , points sur lesquels la dérivée ne s'annule pas . Lorsque t � n a-1, le quotient de

(exp(2i7Z" at) - I) par t - na-1 tend vers 2i7ra :t= O . Donc, si Pm (t) = n-m!>n!>m (t - na- 1 ) ,

le quotient If/ 111 (t) = (exp( 2i 7Z" at ) - 1) (Pm (t) ) - l est de classe e OO sur IRt. Soit rp E 2J . Il existe m

tel que supprp c [-ma-1 ,ma-1 ] et on peut poser, puisque If/ m :t= 0 sur ce segment,

rp = If/ m If/ avec If/ E 2J . Il en résulte :

(Pm If/ m U, If/) = (Pn,U• If/ m l//) = (Pn,U, rp) = 0 .

Par conséquent, ceci étant vrai quel que soit m, on en déduit que U est une combinaison linéaire

indexée sur 7L de distributions de Dirac, à savoir U = 'L2a11ô11;a . En utilisant la périodicité de

U, on prouve que ces a,, sont égaux à une même constante C. En effet, si on prend rp E 2J telle

que rp(na-1 ) = 1 et Vk :t= n, rp(k a-1 ) = 0·, on a (U, rp) = (•

0_1

U, rp) = a,,_1 et (U, rp) = a,, .

Il reste à calculer cette constante. Pour cela, nous appliquons les deux membres de l 'égalité

obtenue sur la fonction t H exp(-7r(at)2 ) qui est dans .S et dont la transformée de Fourier est

la fonction Â. H a -1 exp(-7r(,1.f a)2 ) . Comme le symbole ([exp(-2i 7Z"na t)]. exp(-7Z"a2t2 ))

est la valeur de cette transformée de Fourier en Â. = na , on en déduit C = a -1 puisque :

C'L2exp(-7Z"n2 ) = Lz ([exp(-2i 7Z"na t)], exp(-7Z"a2 t2 )) = a -1 'L2exp(-7r(na/a)2 ) .

La transformée du peigne est donc le peigne a - I W _ 1 et l 'égalité de départ exprime que ce a

dernier peigne admet le développement de Fourier Lz [ exp(-2i 7Z" na t)] .$

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Remarques 5.7.A 1 °) Cette dernière démonstration n'utilise pas les résultats sur les séries de Fourier de fonctions. D'aut�es preuves sont possibles (Cf ex N°3 l de chap 2 et N°3 de ce chapitre). 2°) Il faut remarquer qu'évidemment cette série n'est pas convergente au sens des fonctions. De toutes façons, ses coefficients ne tendent pas vers 0 à l ' infini. 3°) On vérifie que les coefficients de cette série sont bien les coefficients de Fourier du peigne et on voit qu'une propriété caractéristique du peigne est de posséder des coefficients de Fourier constants. 4.5. Développement d'une distribution périodique quelconque

Du développement du peigne, on va en déduire le développement en série de Fourier d'une distribution quelconque de période a en utilisant les propriétés de la transformation de Fourier et de la convolution. Appliquons aux deux membres de l' égalité T = ( e T)* W0 , trouvée dans le corollaire 5 . 8 .A, la transformation de Fourier. D'après la proposition 4 .26 .A, la transformée de ce


produit convolutif est le produit multiplicatif des transformées. En utilisant le résultat précédent, on a donc : J(T) = J(B T) . J(Wa ) = (lfa)J(B T) . Wva . Mais on sait que le

produit d'un peigne par la fonction J(B T) (qui est de classe e OO d'après la prop 4. 1 9 .A)

est encore un peigne généralisé, à savoir ici : J(T) = lfa Lz

J(B T)(n/a'yi 11;a= Lzc11 (T)ô 11/a .

Or, . il a été vu que le peigne généralisé ainsi obtenu est à croissance lente et, d 'après la proposition 4 .3 .B, la convergence des sommes partielles de cette série a lieu au sens de S' . Par conséquent, on obtient :

T = J(J(T)) = Lzc11 (T)�(ô n/a ) = Lzc11 (T)[exp(2 i Jl'(nja)t)] .

D 'où la proposition importante suivante

Bien entendu, si T = [/] , f étant une fonction a-périodique et localement sommable, ce

théorème s'applique et les coefficients de Fourier, qui sont alors obtenus à l 'aide d'un motif générateur-fonction, sont bien ceux de la fonction! Mais, les coefficients ne tendant plus vers 0 à l ' infini, il peut y avoir divergence au sens des fonctions. Dans le cas où f est une fonction, continue par morceaux et continûment dérivable par morceaux, la série de Fourier converge au sens des fonctions, convergence simple ou même convergence uniforme dans certains cas, comme l' indique la théorie classique des séries de Fourier de fonctions (Cf aussi ex N° 1) .

4.6. Régularisation d'une distribution périodique

Proposition 5. 12.A

$i z;: �$tti4� 4.!$irfüti�ï9P. 4;nel"iodiq4e; etïç ç§tl�iifüït� 4�#$ � 4�µ9� �9�t� . . ij� r9n9�î9n�.

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Remarque Cette proposition fournit donc une nouvelle preuve de l ' écriture de T en série de Fourier. Preuve Soient T une distribution a-périodique, p 6 une approximation de ô et B un a-motif

générateur de l 'unité de classe C00 • Les fonctions p 6 * ( B T) ka sont dans :h et ce sont les


translatées d' indices ka de Pc * (8T) . On en déduit que T8 = LkeZ Pc * (8 T)ka ,qui ne

fait intervenir pour chaque valeur de là. variable qu'un nombre fini de termes non nuls, est

une fonction d'une part a-périodique et d 'autre part de classe C00 • Par ailleurs, à l 'aide du développement précédent on a T;, = p c * T et comme p 8 converge vers o en restant à

support dans un compact fixe, la condition de continuité de la convolution est vérifiée et ::/)' montre que T;, � T .

D'après ce qui précède, p8 * (8 T) est un motif générateur de 7;, . On peut donc écrire :

c11 (T8 ) =a-1 (Pe * (8T), OJ a, -n ) · Puisque Pc * (8T) converge vers 8 T dans C ' , on en

déduit que, pour tout n, c11 ( T8 ) convergent vers c,, { T ) . De plus; J..1(p 8 )J � l lP 8 l lL1 = 1 impliqueaJc,, (Te )J = l-1(Pe * (8 T))(n/a)j = J..1(p8 )(n/a)..1(8 T)(n/a)J � a c11 (T) . Ces derniers étant à croissance lente, il existe k et C indépendants de e tels

que sup11 Jn-k (c11 (T;, ))j � C . Soit rp une fonction a-périodique de classe C00 , elle est la somme uniformément

convergente de sa série de Fourier. Alors, en rappelant que T;, est une fonction de classe

C00 donc bornée sur (ü, a] , on peut échanger la sommation de cette série et l ' intégration :

J; Tc (x)<P(x)dx = J; Te (x)(Lzc,, (rp)w a ,11 )dx = J; (Lzc11 (çb)T8 (x)w a ,11 )dx = Lzc11 (çb)J; Tc(x)w a,11dx = Lz c11 (çb)c_11 (Te )

En utilisant la décroissance rapide des c11 (rp ) et la croissance lente, uniforme par. rapport

à e , exprimée par l ' inégalité précédente, on voit que le terme général de la série précédente est uniformément majoré par le terme général d'une série convergente. En vertu de la propriété de convergence de c_11 (T8 ) vers c_11 (T) , le théorème de convergence

dominée permet de passer à la limite. Ainsi, T est somme de sa série de Fourier dans :h ' . 5. OPERATIONS S U R LES SERIES D E FOURIER

5. 1. Opération de translation

Soit b un indice de translation. La translatée 1/; de la distribution a-périodique reste a

périodique et, d 'après la définition de la fonction intermédiaire 8 , on peut, pour ce qui concerne 1/; , choisir la fonction translatée 8 b pour construire un motif générateur de 1/; . On a donc : c11 (7/; ) = (lfa)..1(8 b Tb )(n/a) = (lfa)..1((8 T)b )(n/a) et, en utilisant les

propriétés de J, on obtient : c11 ( 1/; ) = exp(- 2i n n ( b/ a) )c,, ( T) . On le vérifie aisément pour le développement d'un peigne translaté Lo b+na dont les

coefficients de Fourier sont donc a-1 exp(-2i7l"n(b/a)) . Ainsi, le peigne Lz0 11+If2 admet les nombres (- 1r pour coefficients de Fourier.

5.2. Opération de dérivation

On sait qu'au sens des distributions, on peut, sans conditions, dériver terme à terme une série de Fourier alors qu' il faut des conditions d'uniforme convergence dans le cadre des


fonctions. La somme de la série dérivée sera donc la dérivée de la distribution apériodique donnée. Celle-ci étant a-périodique, la dérivation fournit le développement en série de Fourier de la dérivée. Une dérivation d'ordre quelconque k de la série de T fournit ainsi la nouvelle série de

Fourier : T(k) = :L2(2in n/al c11 (T)[exp(2 in(n/a)t)] et on en déduit, par unicité du

développement que c11 ( T(k) ) = (2 i nnfat c11 (T) . Voir les applications de cette propriété dans § 2 .4 chap 5 .B et exercices N° 1 1 et 12 .

5.3. Opération de primitivation

Comme pour les fonctions périodiques, ou bien aucune primitive n'est périodique, ou bien toutes sont périodiques. La condition c0 ( T) = 0 qui s' exprime aussi par ( () T, 1) = 0

fournit une condition nécessaire et suffisante pour que les primitives de T soient

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Remarques 5.8.A :

IJU , ,�. \ , m:n??�:rnu:�mr:rn:i1!i�f :1i;Jil�r;t�f j!�i:i1�ri11;1;1�ij!l�!!f i�l�i�li�i�i�f�!j�i�!!!!�;�:�! 1 °) Si c0 ( T) 7' 0 , on peut se ramener au cas précédent en considérant la distribution

T- c0 (T)1 qui est encore a-périodique. Dans ce cas, ce sont les primitives, non pas de T que l 'on obtient par la méthode ci-dessus, mais celles de T - Co ( T)l qui ont pour séries de

Fourier : L11eZ' (2 i nn/a rk cll (T)exp( 2in (n/a )t) . 2°) Les coefficients c11 (T) étant à croissance lente, il existe une primitive d'ordre

suffisamment élevé, du type envisagé, dont les coefficients de Fourier tendent vers 0 ou

même soient équivalents à 1/n2 à l ' infini . On pourrait démontrer ainsi que T est la somme

de sa série de Fourier. On a d'ailleurs utilisé cette remarque pour le développement de llla (Cf §4.4 . 1 ) ; elle peut être utilisée dans la pratique pour le calcul explicite de

coefficients de Fourier (Cf §2 du chap 5 .B).

5.4. Convolution de distributions de même période

Comme il a été suggéré dans §2 .2 . 1 , on définit la convolée, qui sera notée T : U , de

deux distributions a-périodiques T et U par : ( 1/ a)(() T)* U ou par ( 1/ a )T* ( () U) , l 'égalité

de ces distributions résultant de ce qui va suivre. Cette convolution ( () T)* U est bien définie puisque l 'une des deux distributions est à support borné. Elle est bien a-périodique puisque la translatée s'obtient en translatant seulement U qui est bien a-périodique. La distribution U étant tempérée et () T étant à support borné, les propriétés de la

convolution impliquent :

LkeZ(BT* BU) ka = LzBT* (BU)ka = B T* Lz (BU)ka = BT*U , ce qui veut dire que ( 1f a)(() T)* ( () U) est un motif générateur de T : U (il est bien à support borné) . De plus, l' égalité précédente montre la symétrie de la définition. En appliquant la formule des coefficients de Fourier, les propriétés de 'J sur la convolution


de deux distributions à supports bornés nous donnent :

cn (T : u) = (1/a2 ).J((BT)* (BU))(nfa) = (Ifa).J(BT)(nfa). (Ifa).J(BU)(nfa) .

Remarque 5.9.A

Il est intéressant, notamment dans la perspective de la résolution de certaines équations fonctionnelles (Cf § 7) de remarquer les rôles joués par ID0 et par ses dérivées :

Le peigne de Dirac ayant a-1 pour coefficients de Fourier, on en déduit que la convolée a lila * T a pour coefficients de Fourier les produits c11 (1I1a )= a-1c11 (T) . Il en résulte que

a ailla est l 'unité de convolution. Les coefficients de a(llla )' * T sont ceux de la dérivée

T' et, plus généralement a(lila ) (k) : T = r(k) . Ces propriétés sont analogues à celles de

ô et de ô (k ) dans le cas des convolutions non périodiques.

5.5. Produit multiplicatif par une fonction a-périodique

On considère le produit f T d'une fonction f a-périodique, de classe e OO et d'une

distribution a-périodique. On sait que ce produit est a-périodique donc tempéré. Il parait difficile de trouver les coefficients de Fourier de f T de la manière habituelle. Les

deux éléments étant tempérés, puisque périodiques, leurs transformées de Fourier existent et ce sa

.nt .J{T) = _L2c11 (T)ô n/a et .J([JD = Lzcn(f)ô 11/a •

On sait que les coefficients de f sont à décroissance rapide et que ceux de T sont à croissance lente ; il en résulte que l 'on peut effectuer la convolution de ces deux distributions tempérées dont l'une .J([JD est un convoleur et l 'autre .J(T) est à

croissance lente (CfProp 4 .26 .A) . Le calcul fait dans, §3 . 3 chapitre 4.B, nous donne

alors : .J{T)*.J{f) = _L2b11 ô n/a où les coefficients b11 sont eux-mêmes des sommes de

séries numériques, à savoir b11 = LkeZck (T). c11_k(J) . En se reportant à la proposition 4.27.A, ce produit convolutif est transformé par « Fourier conjugué » en le produit j T d'où .J(f T) = .J(T)* .J(/) . Par la formule précédente, et

l 'unicité des coefficients de Fourier, on a c11 (J T) = L1ceZck (T). c11_k (J) , ces séries

étant d'ailleurs absolument convergentes (Cf exercice N° 1 0).

6. DISTRIBUTIONS SUR LE CERCLE

6. 1. Définitions des espaces fondamentaux sur une circonférence

Dans le plan ll�.2, on considère la circonférence ra de centre 0 et de longeur a. La

circonférence étant parcourue dans le sens direct, un quelconque de ses points m est repéré par son abscisse curviligne s, le point d'abscisse s = 0 étant le point situé sur le demi-axe Ox du plan. On définit l 'espace .2l(ra ) , que l 'on peut aussi bien noter G'(ra ) ,des fonctions de la

variable m (ou s) indéfiniment dérivable par rapport à s. L'ensemble ra étant muni de la

topologie induite par le plan pour laquelle il est un compact, .2l{r a ) est naturellement

muni de la topologie de la convergence uniforme sur ra des suites de fonctions et de


chacune des suites dérivées. On définit également ! 'espace .2> ' {ra ) des distributions sur ra , c'est-à-dire des formes

linéaires continues sur .2>(r a ) .

Toute la théorie des distributions sur IR est valable ; la différence tient à ce que la notion de support n'a plus l ' importance qu'elle avait précédemment, tous les supports étant compacts. Pour les convolutions, on définit sur ra une addition modulo-a, à savoir :

Lorsque s + s' � a , 'P( s + s') = 'P( s + s' - a) . Cela permet de définir sans problème une

convolution par la formule ( T ® U, 'P(s+ s')) .

En fait, ces espaces sont en correspondances bijectives avec les espaces de fonctions-test a-périodiques et des distributions a-périodiques.

6.2. Distributions sur la circonférence et distributions a-périodiques

6.2. 1 . Cas des fonctions considérées comme distributions

Soit fr une fonction sur ra . Un point m de ra d'abscisse curviligne s étant identifié au

point d 'abscisse x = s de l ' intervalle [0,a [ de IR, on associe à fr la fonction f; définie

sur IR par f; (x) = fr (x - na) , Vx E [na, (n + I)a[ . Cette fonction est a-périodique,

localement sommable sur IR si fr est sommable sur ra et de classe e00 sur IR si fr l ' est

sur ra (pour le voir en x = 0 , on note qu'un intervalle ]-a, a[ provient par identification

d'un arc de ra sur lequel fr est de classe (;00) . Réciproquement, la restriction à

[ü, a [ d'une fonction a-périodique peut s' identifier à une fonction sur ra . Par exemple,

soit 'P E.2(1R), sa répétition a-périodique est une fonction de classe e00 sur IR d'où il

résulte que sa restriction à [ü, a [ notée (repa'P)r appartient à .2>{r0 ) . Montrons alors que si fr est sommable, on a une formule de type « transposition » :

([fr ], (repa'P )r )r = ([ f; ] . 'P) · En effet, le deuxième membre s'écrit comme somme des intégrales sur [na, (n + I)a]

. J,(11+l}a lorsque n varie dans 71_ et chacune de ces intégrales s' écnt fr ( x - na )'P( x )dx ou, na

par translation de la variable J; fr (u}p(u + na)du . Leur somme s' exprime bien par le

premier membre J; fr (u)repa'P(u)du = J; fr (u) (repa'P)r (u)du . rep0f r = fr * llla

6.2.2. Cas des distributions quelconques

L'égalité précédente suggère la définition suivante

��ii�ri��i��trùB��1�1�jl:�ir�h�1��:��t'��;rs��;4�,,iiTul�&�!r��iig914��- -Il est facile de vérifier qu'on peut identifier Tr à une distribution sur IR à support contenu

dans [ 0, a] et que T définie par la formule précédente est a-périodique.

Remarque 5. 10.A La propriété réciproque est importante. Pour une fonction a-périodique f, sa restriction à


[o, a [ fournit une fonction sur le cercle dont la répétition périodique est f Pour une

distribution a-périodique T , on sait qu'il existe des motifs générateurs, mais dont les supports, a priori, ne sont pas inclus dans [o, a] . En fait, nous allons voir maintenant qu'il

existe pour T un motif générateur à support dans [ 0, a] qui coïncide sur le cercle avec la

distribution Tr : Proposition 5. 13.A

·.•.r.·.•

· ... u .• :.•• .•

·

.·.0 ••••• r.•

·.•� ....•.....•.... •·.b.· .•

·

.·.e ..•... •a•· .. • ·.••.d .•...•..• ..•

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r�l?��i#9n ·9tl?�ml��g�··4��!! ·.r.•• .. ·.: .... �:�.r.:.•·.:.:.��!g� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . · . . . ·. · : ·: · : · : :·_·: · : :·:::·· ·:::-:-::::::::::::::::·::::::::;:;:::=}::�:::;:::::�:::::?:�:u:u::::. .... ·. ·.·.·.·.· ..... ·.·.·.· ·.·.·.·.· ·.·.·:::::::::::::::(:'.:�:?�

Preuve Soient T une distribution a-périodique et S définie, pour toute If/ E .2'.>(r a ) par :

(S, lf/)r = aLzen (T)e_n (lf/) . Montrons que S est une distribution sur r0 . Pour commencer, S est bien définie car la

suite (e11 (T)) est à croissance lente et la suite (e-n (lf/)) est à décroissance rapide (Cf

§3 .4 .2, 2°) ce qui entraîne la convergence de la série précédente. La linéarité est vérifiée immédiatement. Pour la continuité, on remarque d'abord qu'il existe K tel que

jen (T)j :::;; c JnlK et que, par dérivation d'ordre K + 2 (Cf § 3 .4 .2), on obtient :

l2i 7rn/a lK+2 1e-n (lf/)j :::;; sup llf/(K+2) 1 · Si donc, (If/ k ) est une suite tendant vers 0 dans .2>(r0 ) , ce qui implique que, pour tout

s > 0 , Î1 existe k0 tel que k ?. k0 ::::> supj If/ k ( K +2) j :::;; s , alors, il existe une constante C' C'

ne dépendant que de T telle que le11 ( T) e _n (If/ k )1 :::;; -2 8 . lnl

Cela prouve que ( S, If/ k )r � 0 , ce qui veut dire que S est continue . C 'est donc une

distribution sur ra . Montrons à présent que e,, ( S) = e,, ( T) . Comme eh (wa.-,, ) = 0 si n 7:- -h et e_n (wa. -n ) = 1 , on en déduit :

en (S) = a-1 (s , w a, -n ) = LheZeh (T)e-h (wa, -n ) = e,, (T) . Enfin, on montre que T est la distribution a-périodique associée à S, autrement dit que, quelle que soit (�), on a : (T, rp) = (S, rep0 rp)r . Pour cela, calculons les

coefficients e_,, (Lz <p(x +ka)) . En échangeant sommation et intégration, on peut écrire

J; Lz rp(x + ka)exp(2i 7r x nja)dx = Lz J; rp(x + ka)exp(2i 7r xn/a )dx = Lz J�+I)a rp(x)exp(2i 7rXn/a)dx = J: rp(x)exp(2i 7rxn/a)dx = ([exp(2i 7rxn/a)]. rp)

Alors, la croissance lente des en ( T) , la décroissance rapide des coefficients

de Lz rp( x + ka) et en outre le développement de Fourier de T permettent d 'avoir :

(s, Lz <p(x +ka))r = a Lnen (T)e-n (Lz <p(x +ka)) = Lnen (T) ([exp(2i 7r xn/a)], rp) = (Lze,, (T)wa ,n , <p) = (T, <p)


6.2.3. Traduction des résultats obtenus

Les résultats de développement en série de Fourier pour ces distributions sur la circonférence se traduisent facilement. Par exemple, le développement du peigne se traduit par le développement de la distribution de Dirac ô dans l' espace .'.D(ra ) . Il est important ici, pour éviter des ambiguïtés ou des erreurs d ' interprétation, d 'utiliser pour ces distributions des notations plus précises rappellant l 'espace dans lequel on écrit ces développements, par exemple :

ô (rJ = a-1"'L2 exp(2i1rxn/a) et Dxô(rJ = a-1Lz 2in(n/a)exp(2in xn/a) . On laisse au lecteur le soin de traduire, à la lumière des correspondances ci-dessus, d 'autres résultats obtenus précédemment, notamment sur la convolution.

7. ALGEBRE CONVOLUTIVE DE DISTRIBUTIONS PERIODIQUES

7. 1. Définition 5.4.A

��;�J�1!�i!��-��iÎllJllLW J� s§nv()I.eè ��t a�pefi0.9fü�e. et ·qu�. · ··.� Jllç; e&t W:füit� ge sO.#y?liifü5:lli 8û 99nÂ!M� : . . • : • :.. ' : (t

Proposition ?. 14.A . . . . . . · . . · . . . · . · · . ·. · . . . . .· · · . · · . . . · . . · . .. . .. · · · .· · .· ·. ·

. .. . . ·. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . · . . . .. . . .. . L� S()Ü� �space [b'�<Ms •• gisfributio#.s a;;p�r�°'âfütiès; wùfü ge i�·

· �§füfüJfüI9füêtP�t!99Uîg�· ��t li�é.aI$èbre #e cqnvpfütie>11·. d 'unit�·. ·· aLU4 \ . ) \ t < . >< •••••••••·••••••••••·•·•••· •. ·••·•••·•· . ].• : ! ; ; ; : · :• :: : : : 7.2. Résolution d'équations dans cette algèbre

Certaines équations se ramènent à des équations de convolution dont l ' inconnue et les a données sont dans ::b'a . Elles sont de la forme A * X = B . En particulier, la recherche

a d'un inverse de convolution de A s' identifie à la résolution de A * X = ailla . 7.2. 1 . Principe de la résolution

Désignons par a,, , b,, , x,, les coefficients de Fourier respectifs de A, B, X L'équation précédente se traduit par un système du premier degré constitué d'une infinité d'équations a,, x,, = b,, . Pour tout n pour lequel a,, 7:- 0 , on trouve une solution unique pour x,, , à

savoir x,, = (a,,f1 b,, . Si l 'un des a,, est nul, deux cas se présentent. Ou bien le coefficient b11 de même indice est non nul, auquel cas l ' équation n'a aucune solution. Ou bien ce coefficient est nul et x,, peut être pris arbitrairement. Dans le cas où pour tout n,

a,, :;t:O, on forme alors la série trigonométrique "'L2(a11f1 b,, w a,n et si cette série est une série de Fourier d'un élément de .'.D'a , c'est-à-dire si la suite des x,, est à croissance lente (Cf prop 5 . 6 .A) . Dans le cas d' indétermination, il importe de vérifier également cette condition pour chacune des solutions avant de conclure. Remarque 5. 1 1 .A L'algèbre possède des diviseurs de O. Il suffit de prendre A = c,, w a ,n . et B = c P w a,p avec n 7:- p . Alors, À* B = 0 .

7.2.2. Exemple

Cherchons l ' inverse dans ;]) 'a de (Wa )'-il Wa . Les coefficients de Fourier de la

distribution (Wa )'-il Wa sont 2i nna-2 - il a- 1 . On est ainsi ramené aux équations :


(2 i 7rn-aÂ )xn = 1 (Cf . exemple 5 . 1 0 .B).

1 °) Supposons que ( 2 i 7rr1 a Â ne soit pas un entier relatif On en déduit la suite unique

des coefficients de Fourier de l ' éventuelle solution x,, = (2 i 7rn-aÂ r1 . Il est évident que cette suite de fractions rationnelles est à croissance lente. Il existe donc un inverse unique dans. l ' algèbre.2'.l'a de (Wa )'-Â, Wa ' défini par X = Lz (2 i 7rn- aÂ rl COa,n . 2°) Supposons que aÂ = 2 i 7r n0 , il ne peut alors y avoir de solution; autrement dit, la distribution a-périodique (Wa )'-Â Wa n'admet pas d' inverse de convolution. Remarque 5. 12.A On peut égaleront résoudre ces équations en utilisant la transformation de Fourier. On trouvera des applications numériques dans le chapitre 5 .B .

7.3. Applications aux équations aux différences finies

On se propose de trouver, par exemple, les suites complexes (an ) à croissance lente telles que : Vn E Z, a an+l + P an + r an-l = b11 , la suite (b11 ) à croissance lente étant donnée.

Multiplions cette équation par co a , 11 et sommons sur '1l.. En posant B = Lzbn co a,, , A = Lza11 co a,11 et en utilisant les propriétés des exponentielles, on obtient

(a exp(-2i 7r t/a ) + P+ r exp(2 i 7r t/a))A = B : . Il conviendra de procéder à une discussion suivant les valeurs des paramètres pour obtenir éventuellement la solution au moyen d'une division. (Cf § chap 5 .B, § 4.2) . 8. NOTIONS SUR LE CAS DE PLUSIEURS VARIABLES

En fait, la plupart des résultats obtenus précédemment, après des adaptations convenables, s' étendent aux fonctions et distributions de �N périodiques pour chacune des variables. On se contente dans ce qui suit de donner quelques indications dans le cas de N = 2 pour les fonctions ou distributions (a, b ) -périodiques.

8. 1. Définitions et propriétés

1 °) Une fonction ou une distribution T à 2 variables est dite (a, b ) -périodique si elle est invariante par la translation r(a,b) , autrement dit, si pour toute fonction de base <p , on a

( T, <p( x +a, y + b)) = ( T, <p) . Parmi toutes les périodes, on prendra le couple des deux plus petites périodes strictement positives. 2°) La restriction f'<J au rectangle-période R(a, b) = [ü,a[ x [ü, b( d'une fonction (a, b) -périodique f détermine complètement f par f ( x, y) = Ln,meZ f <J ( x - na,y - mb) . 3°) Un (a, b) -motif de l 'unité de classe C00 est une fonction (J e.2l (� 2) telle que " B(x - na ,y - mb) = 1 . Un tel motif est construit de la même manière qu'en L..J11,m dimension 1 . Par exemple B (x,y) = B 1 (x) B 2(y) où B 1 et B 2 sont des motifs de l 'unité à une variable. B T est alors un motif générateur (a, b) -périodique de T car on a

encore T = " (B T)( b) . k..Jn.n1 11a ,m 4°) Une fonction (a, b) -périodique a pour coefficients de Fourier les nombres à deux


indices c11 ,m définis par c11,,, = (abr1 fJR(a .b) f(x,y)exp(-2i7r(xn/a + ym/b))dxdy . On

peut montrer que cette formule est encore vraie quand on remplace/ par (} f , l ' intégrale étant prise alors sur 0�.2. Ceci permet de définir les coefficients d'une distribution (a, b) -périodique T par c11 ,m (T) = (abr1 (BT,ma ,-n (x)mb,-m (Y)) qui existent puique (} T est à support borné. En outre, ces coefficients sont des valeurs de la transformée de Fourier en deux variables de BT . aux points (n/a ,m/b) . 5°) La convolution (a, b) -périodique de deux fonctions de même période (a, b) se définit

par (! * (a ,b) g)(x,y) = (abr1 fJR(a ,b) f(t, u)g(x - t,y - u)dtdu . Cette formule se

généralise en T *(a.b) U = (abr1 (.9 T)* U = (abr1 (.9U)* T , un motif générateur de cette

distribution (a, b) -périodique étant (abr1 (BT)* (BU) . 8.2. Développements en séries doubles de Fourier

8.2. 1 . Cas particulier d'un produit tensoriel

Soient T et U deux distributions respectivement a-périodique et b-périodique. On sait que chacune d'elles est développable en série de Fourier en une variable convergente dans S' . Effectuons le produit tensoriel de ces distributions qui est (a, b) -périodique. Le produit tensori�l étant continu, on peut multiplier tensoriellement terme à terme les deux séries de Fourier, ce qui permet d 'écrire : l'x; ®Uy) = 'L11•11, c11 (T)cm (u)(m 0,11 (x) ® m b,m(Y)) . Dans ce cas, les coefficients de Fourier sont les produits respectifs de ceux de T par ceux de U, ce qui peut d'ailleurs être vérifié directement. Ceci peut être appliqué au peigne à deux dimensions défini par lll(a.b) = Ln,m ô(na,mb) et qui est bien le produit tensoriel

llla ® lllb . On obtient donc lll(a ,b) = (abr1L:11,mexp (2 i n-(nx +my)) . 8.2.2. Cas général

La transformée de Fourier d'un produit tensoriel étant le produit tensoriel des transformées, on en déduit que : .J(lll(a,b) ) = .J(llla ® lllb ) = .J(llla ) ®.J(lllb ) = a-1llllfa ®b-1llll/b = (abr1 lll( lfa , lfb) Alors, comme dans le cas d'une seule variable, si T est une distribution tempérée, on applique aux deux membres de T = (B T)*lll(a .b) la transformée de Fourier. On obtient :

.J(T) = .'.7(B T) . .J(lll0,b ) = (ab).1 .J(B T) .lll( 11a ,llb) . Mais on sait que le produit d'un

peigne par la fonction .:7( (} T) (qui est de classe e 00 d'après la prop 4. 1 5 . A ) est encore un peigne généralisé, à savoir ici :

.J(T) = (abr1'L2.J(B T)(n/a ,m/b)ô (n/a,m/b) = Lz cn,m (T)ô (n/a,m/b) · Or, . il a été vu que le peigne généralisé ainsi obtenu est à croissance lente et, d'après la proposition 3 . 3 .B, la convergence des sommes partielles de cette série a lieu au sens de S' . Par conséquent, on obtient :

T = �(.J(T)) = Lz cn,m (T)�( Ô (n/a ,m/b) ) = Lz cn,m (T)[exp(2i n-(n/a Â+m/b µ))] .


Remarque 5. 13.A Une autre façon de montrer ce résultat consiste à se servir du développement des fonctions de base du type L ip(x)lfF(Y) sur lesquelles les développements de Fourier de dimension 1 sont valides, puis d'utiliser la densité de l 'espace engendré par ces sommes dans l '�space des fonctions-test à deux variables. On trouvera dans le chapitre 5 .B des calculs de coefficients de Fourier pour des distributions de type peigne ou de type « valeur principale » . 9. NOTE SUR LES SERIES DE FOURIER DE FONCTIONS

Remarque : L'espace des fonctions/ telles que f E LP (I) et [/] ' E LP (I) , muni de la

norme Il l P + If ' I P ou de {Ill� + li 'I � t P est un espace de Banach noté W1·P (!) . Preuve du lemme5. J 6 La fonction prolongée par 0 hors de 1 est dans LP (R) et, par définition de celui-ci, pour tout e > 0 , il existe tp continue à support compact telle que li - tp 1 P � e . Ensuite,

toute régularisée p a * tp tend vers tp pour la topologie de la convergence uniforme. Soit


donc a assez petit pour que JPa * 'P - tp J00 � e (Jsupp tpl) l/p - l (où Jsupp tpJ désigne la

longueur du support) . Alors, l ' inégalité de Hôlder fournit JPa * 'P - tp JP � e et,

finalement Jp a * tp - f J P � 2e . La première partie du lemme est démontrée.

Pour l 'autre propriété, soit f e LP (! ) et g sa prolongée par 0 hors de I . Soit / ' un

intervalle strictement inclus dans I et a < d(l ' , C(I)) . Notons que Pa * fJ1, = Pa * gJ1, . Utilisant Hôlder, on montre que : IPa * gJLf(l') � JgJLP (I) . En effet, on a, p et q étant conjugués, et sachant que p a � 0 et d' intégrale égale à 1 :

IIR P a (x - y)g(y)cvf = IIR (P a (x - y)) 11q ((P a (x - y))Ifp g(y))dyr � (fRP a (x - y»r1q jIR (P a (x - y))lg(yt dy l � IR (P a (x - y))lg(yt dy

En intégrant ensuite sur I, on obtient, par utilisation de la formule de Fubini :

JPa * gJ�P( I') = IR IIR P a (x - y)g(y)dylp dx � IR (f R (P a (x - Y))lg(yt dy )dx

� IR lg(y)IP (f R (P a (x - y)px)dy � L lg(y)IP dy = JgJfP(I) · Pour la

. suite, les normes dans les ILP sont notées J . J1 et J . J l ' . Soit o > 0 , g une fonction

C00 à support compact telle que Ji - gJ1 � o et a pour que Jp a * g - gJ1 , � o . Alors

JPa * f - fJ1 , � IPa *(f - g)l 1 . + JPa * g - gJI ' + JJ - gJ1 , < 2Jf - gJ1 , + o � 3 '5 .

Cela prouve que p a * f converge vers f dans IL P (/ ') . Le résultat analogue est vrai pour

f ' si celle-ci est dans e(J) et, alors, Pa * f converge vers/dans W1·P (J ') . Lemme 5.17.A

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topologie de IL 2 ( n) . En effet, .2l( n) étant dense dans IL 2 ( n) , cette continuité permet de

prolonger la distribution f en une forme linéaire continue sur IL 2 (n) , donc en un élément

de IL2 (n) . Or, cette continuité résulte de l(J, tp)j = jum fi::/n'PI � CJtp J2 . Cette densité

permet ensuite de prouver la convergence faible car : V g EL 2 , 3 tp E ::D telle que :

Jtp - gJ2 � e/C d'où, pour N assez grand !(Un - J),g)I � e . Par ailleurs, pour tout e > 0 , il existe tp dans IL 2 de norme 1 telle que est définie par :

IJ'2 � (J, tp) + 8 � lim(fn , 'P) + 8 � limJJn Ji + 8 .


L'hypothèse faite, à savoir IJJi � lim lfn l2 permet donc de conclure à 11'2 = lim lfn l2 . De l ' égalité If - !n i; = Ill; + IJ,1 l; - 2 fnf fn (les fonctions étant réelles) et de la

convergence faible qui donne lim J n f fn = Ill; , on déduit lim lf -fn 1; = 0 , soit la

convergence forte. Proposition 5. 18.A lf��lili1-tltilllllK._ Preuve On prend a = 1 pour simplifier. On a d'abord [!] = Lzcne2i11'n x au sens des

distributions. La somme de cette série est donc un élément de ll_ 2. Montrons que si on

pose fN = L�Ncne2i.11'n x , il existe C tel que suplfN '2 �C . On aura alors, par la

propriété d 'orthogonalité des exponentielles : lfN l2 = L�N lcn l2 , En fait, on va prouver

2 1 2 : Lz lcn l � fo Ill ·

On écrit : J f fN =f�f(x)L�Ncn e-2 i.11'nxdx = L�Ncn f�f(x)e-2i .11'nxdx = L�N jcn l2 d'où, par l ' inégalité de Schwarz et encore l 'orthogonalité :

L�N lcn l 2 � (I� IJ(x)i2 dx) I/2 (f�IL�N cne-2imix l 2dx) 1/2 = (J�IJ(x)l2dx) 1/2 (L�N lcn l2t2 En divisant par le dernier facteur, on obtient quel que soit N l ' inégalité (de Bessel) :

L�N lcn l2 � J� IJ(x)l2 dx · Par passage à la limite, on en déduit l ' inégalité annoncée. En appliquant le lemme 5 . 1 7, on prouve alors que la série de Fourier de f converge

faiblement vers j dans L2 (]o. a[) . Mais la borne supérieure précédente est aussi une limite

et la fin du lemme implique donc la convergence forte dans cet espace.

li1i�titr11t11111� Preuve Si V Ee 1 (]o, a[) ' on a pour X et y dans ]o,a[ : v(x) = v(y) + r v ' (t')dt . En intégrant cette

y relation par rapport à y, on obtient :

alv( x )1 � f; lv(y )ldy + f; IJ;iv ' (t )ldt ldy � J; Jv(y )ldy + J; J; Jv ' (t )!dt dy . D'où : lvl00 �a-1 J; lv(y)ldy + J; Jv ' (t )ldt . A l ' intervalle / ' = [ 8 ' a - 8 ] etf E wl.l (]o,a[) ' on applique le lemme 5 . 1 6 (2ièmepartie) .

CHAPITRE 5.A. LES DISTRIBUTIONS PERIODIQUES ET LES SERIES DE FOURIER 259 Il existe alors une suite (v11 ) de fonctions de é'1 ([ 8, a - 8 ]) n wI.1 (]o, a[) qui converge

vers f au sens de la norme de W1•1 ([ 8, a - 8 ]) . On applique l ' inégalité précédente à v P - v q . La suite étant de Cauchy dans W1•1 ([ 8, a - 8 ]) , le second membre converge

alors vers O. On en déduit que, sur cet intervalle, lv P - v q L> � 0 , ce qui revient à dire

que la suite (v11 ) converge uniformément sur ! ' . Sa limite v est continue sur / ' . Comme

la suite ( v 11 ) converge vers f dans :.h' , f = v sur 1 ' . On conclut à la continuité de f sur

[ 8 , a - 8 ] , c'est-à-dire, puisque 8 est arbitraire, à la continuité de f sur ]o,a [ . La première égalité donne pour VII : vn (x) = VII (y) + r v,/ (t)dt ' donc par passage à la

y

limite en utilisant la convergence dans W 1•1 (]8 , a - 8 [) quel que soit 8 et la convergence

uniforme sur I' :

\tx,y E ]O, a [, f(x) = f (y) +ff ' (t)dt . (*) y

Montrons l ' existence de f ( 0 +) et f (a -) . Soient x P et xq ( Xq � x P ) tendant vers 0 par

valeurs positives. On a : If ( xq ) - f ( x P )1 � J:;lf ' (t )j dt . La fonction f ' étant dans n_ 1, le

second membre de cette inégalité tend vers 0, ce qui prouve que la suite de réels

(J(x111 )) est de Cauchy donc converge vers un réel indépendant (on utilise encore la même

inégalité) de la suite (x111 ) utilisée. On en déduit que /(O +) existe et, f ' étant sommable

sur ]o, a [ , le passage à la limite dans (*) fournit (* *) : f(x) = f (o+) + f: f ' (t)dt . Le raisonnement est le même à gauche de a. On en déduit, entre autres, que f est bornée

sur ]O, a [ . Soient f et g dans wu . Les produits f g' et g f' sont dans n_ 1 puisque f et g sont

bornées. Pour montrer la formule(/11g)' = /11 ' g + f11g' , on utilise sur [ 8, a - 8] ( 8> 0 ) une suite (f;, ) convergente vers f dans W 1,1 (]o, a[) n é' 1 ([ 8, a - 8]) au sens du lemme

5 . 1 6 . La fonction g étant dans wu , on a (J,, [gD ' = J,, ' [g] + /11 [g]' et le terme du second

membre converge vers f ' g + f g' dans n_ 1. Le passage à la limite montre que

f g E W 1.1 (]o , a [) et que(! g )' = f 'g + f g' . Ceci étant valable quel que soit 8 , cette

égalité est vraie sur ]0, a [ , d 'où la formule annoncée, par application de (* *) à f g .

Proposition 5.20.A

Preuve Puisque f E L2 (]o,a[) , elle est la somme de sa série de Fourier au sens de n_ 2. Par la

proposition précédente, puisque les hypothèses impliquent que f E W 1.1 , on sait que f est

continue sur ]O, a [ et même sur tout intervalle-période ouvert donc partout. En outre, on

a : f(a) = f(O) . La fonnule d' intégration par parties nous donne


en (!) = a-I f: f(x)e-2 in:nxdx = -a-I (-2i 1l" n rl en{J') On en déduit ien (J)i s; l27rnl- 1 len(f ')I s; r1 ien (J)i 2 + (8 7r2n2r 1 et la sommabilité des

deux suites du second membre entraîne la sommabilité de la suite (len (J)I) , d'où la convergence normale, donc uniforme, de la série de Fourier vers une fonction qui est j .

liïï•V•liii�t .. Preuve La dérivée de H est la différence de deux peignes : Lz ô 2n - Lz ô 2n+ i • En se servant de motifs générateurs sur [- 1/2 , 3/2] , le coefficient de Fourier de cette dérivée s'écrit 2-

1 (8 , e-;"" x ) - 2-1 (81 , e-i "" x ) . La fonction H - 1/2 est impaire, donc de coefficent

d 'indice 0 nul. Par intégration, on en déduit la série de Fourier de H qui converge vers H 1 1 - (-1)" . 1 1 - (- 1)"

dans :JJ ' : H =- + L e' tr nx = - + L sin(n7rx) . 2 n;<O 2 Ï?l"n 2 n;<O Ï1l"n

Un calcul classique utilisant le lemme d'Abel montre que la convergence est uniforme sur tout compact ne contenant aucun point d'annulation du sinus et que la somme coïncide avec H. Par ailleurs, aux points 0 et 1 , la série de Fourier stationne sur la valeur 1/2 .

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On peut supposer que/ est continue en - 1 et qu'elle n'a que deux points de discontinuité x1 et x2 dans et ]- 1, + 1[ . Alors, en posant et cr 1 = f ( x1 + )- f( x1 -) , la fonction

f - cr 1H(x - x1 ) est continue en x1 , encore 2-périodique, W1•2 par morceaux, avec le seul point x2 pour discontinuité sur ]-1, + 1[ . En retranchant cr 2H(x - x2 ) , on obtient

une fonction fc 2-périodique de W1•2 et continue d'où la décomposition dej D 'après les résultats précédents, les trois fonctions de cette décomposition sont sommes de séries de Fourier uniformément convergentes sur tout compact ne contenant aucun point x j , l 'addition des trois sommes redonnant/ Par ailleurs, au point x1 par exemple, la série de Fourier de fc converge vers f(x1 -) , celle de cr 1H(x - x1 ) vers cri /2 (prop 5 .21), celle de cr 2H(x - x2 ) vers O; il en résulte que la série de Fourier de/ converge en ce point

vers f(x1 -) + cr 1 /2 = i-1 (!(x1 +) - f(x1 -)) • La preuve est donc obtenue.

CHAPITRE 5.B

EXEMPLES DE SERIES DE FOURIER

DE DISTRIBUTIONS PERIODIQUES

1 . FONCTIONS DE BESSEL

1. 1. Fonctions de Bessel d'indices entiers

1 .1 . 1 . Définitions 5.1.B

La fonction f x , dépendant du paramètre réel x, définie par Jx ( B) = exp(i x sin B ) est

21l - périodique et de classe e00 • Son développement en série de Fourier est donc uniformément convergent vers f x , ses coefficients constituent une suite à décroissance

rapide et on peut dériver indéfiniment sous le signe sigma. En tant que fonctions de x, ces coefficients, qui sont désignés par 111 ( x) , vérifient les relations :

exp(i x sin O) = L: l11 (x) exp(in 8), l11 (x)= (2 7rf 1 J:1f exp(ix sin (}- n8}1B

On a l _11 (-x) = l _11 (X) et, à l 'aide de u = 1l - f) ' on obtient 1 -n = (- 1 r 1 n . Donc, on

déduit du développement précédent ceux des parties réelle et imaginaire de exp(i x sin B) :

cos(x sin O) = 10 (x) + 2L;c 1211 (x)cos(2n 8) , sin(x sin O) = 2 L� 1211 +1 (x ) sin((2n + 1)8).

L'égalité de Bessel-Parseval s'écrit, pour tout x réel :

(27rfl J:1f 1e ixsi110 l2 d(} = 1 = L:lln (xi = (lo (x))2 + 2L�(ln (x)) 2 .

Il en résulte que ces fonctions sont bornées ( llo 1 ::;; 1, 1111 12 ::;; r1 ) 1 . 1.2. Développement en série de ces fonctions

Le développement de la série exponentielle fournissant une sene uniformément

convergente en B sur [0, 2 7r] , on peut donc l ' intégrer terme à terme par rapport à (} :

( ) =( )-1°"+oo (i x)k i21f (e;o _ e -;ot -

in O

df) ln x 27r .t..Jo k e . k ! 0 (2i) L'intégrale peut être considérée comme intégrale sur le cercle unité de <C de la fonction

z � F(z) = r 1 { z - z-1 t z -n-

I . Sa valeur est donc 2 i 1l" Res( F, 0) . Ce résidu est non nul


que s' il existe un entier m tel que k = n + 2m et, dans ce cas, il est égal à Ck' (- l)k-m . On -l<Xl (- l)"' (X) 2m+n en déduit : J (x)- � 11 - L.Jm=O m !(n + m) ! 2

Ces fonctions Jn sont donc développables en séries entières sur 12. en entier. On pourrait donc les prolonger en des fonctions analytiques dans tout le plan complexe. En particulier, on peut facilement prouver que Jn est une solution de 1' équation différentielle B ( n) dite « de Bessel » d' indice entier n : x2 y" + x y' + (x2 - n2 )y = O .

1 . 1 .3. Transformées de Fourier de ces fonctions

Pour obtenir les transformées inverses de Jn , nous transformons l ' équation B(n) par J. . On commence par le cas n = 0 , pour lequel l 'équation se simplifie en xy" + y' + x y = O . A l 'aide de U = J.(y) , la variable étant Â , on a -2 irc Â U = J.(y') U'= J.(2 ircxy)

et -4rc2 (2 2 u)' = J.(2rc i xy") , ce qui donne pour transformée de B(o) l 'équation du

premier ordre J. B ( 0) , à savoir ( 1 - 4 rc2 Â 2 ) U' -4 rc2 Â U = 0 dont les seules solutions sur

les intervalles qui ne contiennent pas les points singuliers ±(2rcf 1 s' expriment par

U(2) = c(j1 - 4rc2 2 2 1rl/2 Si nous définissons alors U0 (2) = (1 - 4 rc2 2 2rl/2 sur

l ' intervalle ]-(2rcf 1 , (2rcf1 [ prolongée par 0 hors de cet intervalle, on obtient une

distribution à support compact dont la transformée de Fourier est de classe e00 • Or, les seules solutions de B(o) qui sont de classe e00 sont les fonctions du type C J0 , il en résulte que la transformée J.(U0 ) = CJ0 . En effet, en cherchant les solutions de B(O) , égales à C(x)J0 (x) , on aboutit à l 'équation x J0 C" + (2x J0 + J0 )C' = 0 , ce qui donne

C' = x-1 (J0 (x)r2 . L'intégrale de cette dernière fonction fournit au voisinage de O un équivalent égal à ln(x) , ce qui entraîne que la solution générale de B(o) s'écrit y = AJ0 + BN0 où N0 est non régulière au point x = O (Cfexercice N°23) . L'affirm�tion précédente est donc validée. On en déduit qu' il existe une constante C telle que C J.( J0) = U0 . En transformant par J. et en prenant la valeur nulle pour la variable, on a

2 J�211T1 U0(2 )d2 = rc-1 J:12 (1 - sin2 uf1/2 cosudu = 2-1 = CJ0 (0) = C, d' où C = Z-1

Cas d'un entier n ;;:: 1 Le raisonnement qui précède et la forme de Jn qui est le produit par xn d'une fonction entière nous incite à travailler plutôt sur la fonction z = x-n y . L'équation B(n) devient par un calcul facile xz"+(2n+ l)z'+ xz = 0 qui est du même type queB(o) . La fonction

J. (z) est alors solution de J. B(n) : (1 - 4rc2 Â 2 )U'-4rc2 2 (1 - 2n)U = 0 . Le

raisonnement précédent conduit à considérer Un = c( 1 - 4rc2 Â 2 )n-Ifl sur le segment

CHAPITRE 5.B. EXEMPLES DE SERIES DE FOURIER DE DISTRIBUTIONS PERIODIQUES 263

]-{ 2n)-1 , { 2n)-1 [ . On obtient encore .:7( x-n J n ) = CU n , le calcul de C se faisant par :

C(2nf1 f�(1 - t r-1/2 rlf2dt = (x-n Jn )(o) . c r(n + If 2)r(If 2) 1 2.[i

On trouve ainsi : - = -- , d 'où C = . 2 1l r(n + l) 2n n ! 2n r(n + I/2)

1.2. Fonctions de Bessel d'indices réels quelconques

1.2.1 . Définition 5.2.B (des fonctions de Bessel d' indices réels quelconques)

En remplaçant dans l 'équation B{n) précédente n par le réel Â ;:; o (on peut le faire plus

1.2.2. Fonctions considérées comme transformées de Fourier

Considérant que dans la proposition précédente, la définition de la fonction Un garde un

sens quand n est remplacé par Â > - 1/2 , on est amené à vérifier que :

Â. -( ) 2.fi ( 2 2 )Â.-1/2 JÂ. (x) = (x/2) .J UÂ. (x) , où UÂ. (t) = r(Â + l/2) 1 - 4n t ,r1 (t) . L'intégrale qui exprime cette transformée peut se calculer en développant exp(2 i 1l t x) ,

le terme général de la série obtenue étant nul si le rang est impair (la fonction intégrante

( i X )2n 2 1 Â.-1/2 étant impaire) et égal à ( ) r (1 - t2 ) t2ndt , c'est-à-dire, en tenant compte 2n ! 2n Jo des facteurs précédant l ' intégrale :

- 1 -t«> n 2n r(Â + 1/2)r(n + 1/2) .J(UÂ. )(x) = .fir(Â + I/2) Lo (- l) x (2n) ! r(Â + n + l) r(n + 1/2) (2n - 1)(2n- 3) . . . (3)5 .fi . A l 'aide de la simplification = = , on vénfie (2n) ! 2n (2 n) ! 22n n i

ensuite la formule annoncée J Â. (x) = (x/2)Â. .:7( U Â. )(x) .


Les exercices N°14, 1 5, 1 6, 23 et 24 proposent d 'autres propriétés des fonctions de Bessel. 1.3. Applications à des calculs de transformées de Fourier

1 .3. 1.Transformée de Fourier de la dérivée totale de la mesure ô(f) portée par un

cercle.

Considérons la mesure T = 8 (r2 - R2 ) dans le cas de 11�.2. On sait que sa transformée de Fourier est la fonction définie par h( Â ) = 1i J 0 { 2 1i R IÂ 1) .

On sait aussi que la dérivée totale de T (Cf exercice N°35, chap 2) est la distribution

(o(r)) ' définie par ((s(r)) ' , cp) = -(4Rfi J:1r ô,. (cp)dB . Sa transformée de Fourier est

donc la fonction u vérifiant : u(Â ) = -(4Rfi J:1r ô,. (exp(-2 i 1ilÂ lr cosB))dB , ou encore :

u(Â ) = (4Rf i J:1r 2i 1ilÂ l cosB exp(-2 i 1ilÂ lr cosB)dB . En employant la variable sin B à la place de cos B et en se reportant à la définition du coefficient en sinus d ' indice 1 de · B 1--7 sin( x sin B) (Cf § 1 . 1 . 1 ), on obtient :

J(( o(r)) ') (Â ) =1i2R-i 1Â 1 Ji (21i R IÂ 1) . On peut d 'ailleurs faire une vérification de la propriété -2i1ï x(ô(f) ') = -i1ïôx (8(r)) . En effet, en posant Â = (u, v) et z = 2 1i R IÂ 1 , les transformées de Fourier des deux membres donnent respectivement :

1ï2 R-iu(IÂ 1 -i Ji (z) + 21i RJ{(z)) et 21ï3u Jo (z) . Or, Ji = -J0 et J0 vérifie la relation différentielle J0 (z) = -J0" (z) - z-i J01 (z) . Le

premier résultat précédent s'écrit donc 27i3 u(-z -i J 6 ( z ) - J 0( z)) = 21i3 u J 0 ( z) , ce qui

termine cette vérification. On peut poursuivre pour obtenir _c} ( ( 8( r)) ") . . 1 .3.2 Transformée de Fourier des puissances de (4 1i 2x2 - 1) On pose 1 = ]-(27ïf1 , (27ifi [ et on désigne par f,, (x) = (4 1i 2x2 - l): <où n EN), la

fonction définie par : J,, (x) = (4 7ï 2x2 - 1)" Vx <i l ,J,, (x) = o Vx E l . On a (1 - �1i 2x2 )" = (1 - 4 7i 2x2 ): + (-1r (4 7i 2x2 - 1): et J((l - 4 7ï 2x2 ):) étant

connue (Cf, prop 5 .2.B), il suffit de calculer la transformée du polynôme (l - 4 7ï 2x2r .

En appliquant à la fonction x 1--7 1 , de transformée 8 , la multiplication par 1 - 47ï2x2 , on

�btient ( 1 + Di )o . En itérant cet opérateur différentiel, on obtient ( 1 + DJ,) 11 8 .

D'après la proposition 4 .2 .B : _c}((l - 41ï2 t 2 ):) = (2J�f 1 n ! (x/2f(n+If2) J11+v2 (x) .


Dans ! ' exercices N°23 , on étudie le cas où l ' exposant est non entier. Voir aussi le N°24.

2. SERIES DE FOURIER DE FONCTIONS ET DE DISTRIBUTIONS

2. 1. Développement d'une valeur principale. Exemple 5. 1. B

Soit h la fonction 1 -périodique, définie sur �\&:'. par h(t) = I/sin (2 7r t) . Cette fonction possède deux points de discontinuité sur une période ; elle n'est pas localement sommable, mais on peut définir une valeur principale vp(h) qui est une distribution. Il suffit pour cela de montrer que, pour tout élément rp de ::D et quel que soit n entier, la

. f.11-& rp(t) f."+ 1/4 rp(t) . . . somme des mtégrales . ( ) dt + . ( ) dt admet une lurute fime 11-1/4 sm 2 7r t 11+& sm 2 7r t lorsque e � 0 .Dans la première intégrale, effectuons le changement de variable n - u = t et, dans la deuxième n + u = t , la somme des 2 intégrales s'écrit

il/4 rp(n + u) - rp(n - u) . . . ( ) du . Comme, avec les accroissements fims, le numérateur est égal, e sm 27ru au voisinage de 0, à 2urp '(n + () u) où () E )- 1, + I[ , on en deduit que l 'on peut prolonger la fonction au point 0 par rp '(n)/7r et conclure ainsi que la limite est

Il/4 rp(n + u) - rp(n - u) , . � , . , . . ( ) du . Il faut reahser la meme demarche avec les mtegrales qm sont o sm 2m1

prises sur [n + Ij4, n + 3/4] , mais on utilise pour cela la symétrie du sinus. f.n+l/2-& rp(t) J.11+3/4 rp(t)

Le nombre dt + dt est égal à : 11+1/4 sin (27r t) 11+1/2+e sin (2 7r t) -f-& rp(n + u + 1/2) du - rl/4 rp(n + u + 1/2) du - 1/4 sin (2 7r u) Je sin (2 7ru) '

d'où la possibilité de se servir du résultat précédent en remplaçant rp(t) p�r - rp(n+ t+ 1/2) . La définition de vp(h) devient ainsi :

( ( ) ) � rlf4 rp(n + u) - rp(n - u) - rp(n+ u + If2) + rp(n - u + If2) � h rp = �1 • '

_00 o sin (2m1)

avec une somme qui reste finie puisque les fonctions rp sont à supports bornés. D'après la formule précédente, vp( h) est une répétition périodique de la distribution à

support borné (ou de la distribution sur f 1 ) qui associe à une fonction rp de base

. , Îl/4 rp(u) - rp(-u) - rp(u + 1/2) + rp(u - 1/2) l 'mtegrale . ( ) du . o sm 2 7rU Cette dernière admet donc une action sur les fonctions u H exp(-2 i ?rnu) , action qui fournit les coefficients de Fourier sous la forme des intégrales

_ _ ·( - (- )11 ) Il/4 sin(2 7r nu) C11 - 2 1 1 1 . ( ) du . o sm 27ru Ces intégrales apparaissent d'ailleurs comme des valeurs principales des coefficients de

266 MESURES ET DISTRIBUTIONS. THEORIB ET ILLUSTRATION PAR LES EXEMPLES

l1 exp(-2 innu) Fourier habituels qui s ' écriraient formellement . ( ) du . o sm 2nu

Pour le calcul, on peut remarquer que si n est pair, le coefficient est nul et que, si n est . . , . , 1 -2i În/2 sinnv d . . impair, on est ramene aux mtegra es - -. - v ou encore, pmsque n est impair à n o smv ' -i În sinnv A , -i Î2n sinnv ( ) - -. -dv et meme a- -. -dv . En posant z = exp iv , on est ramené à n o smv 2n o sm v

1 , . , l - 1 J z2

n - 1 dz 1 1 C . ' . L d" . . ' l ' " ' . mtegra e - 2 sur e cerc e tngonometnque. a ivis10n a mteneur de 2 n C z - 1 zn l ' intégrale fournit une somme de puissances de z à exposants décroissants de n - 2 à-n et comme n est impair � 1 , une seule de ces puissances, celle d'exposant - 1 , donne une intégrale non nulle (Théorème des résidus si l 'on veut). Celle-ci étant égale à

= -i , on en déduit : c2k = 0, c2k+I = -i . La série s 'écrit ainsi :

2.2. Exemple 5.2.B Développement de [lnlsinn t 1 ] et de tH cotan ( n t) La fonction t H cotan ( n t) est 1 -périodique et possède un seul point de discontinuité par période. On commence par construire, par la démarche précédente, la distribution appellée vp(cotan( n t)) qu'on peut aussi obtenir en multipliant la distribution vp(l/sin (n t)) de période 2 de type précédent par la fonction t �cos( n t) de classe e00 • Comme dans ce qui précède, on détermine la limite :

n-& 11+1/2 lim f <p(t) cot �n(n t)dt + f <p(t) cotan(n t)dt . &--+0 n-1/2 11+& 1/2

On trouve facilement J ( <p( n + u) - <p( n - u)) cot an( nu )du qui a un sens en la borne u = 0

0 ( par prolongement continu) . On définit ainsi vp( cotan( n t)) par la répétition périodique

+aJ 1/2 (vp(cot an(n t)) , <p) = L f(<p(n+ u) - <p(n - u)) cotan(nu)du .

-OO Q

Comme dans l 'exemple 5 . 1 précédent, le motif générateur T* est défini par : 1/2 ( ) (T* , <p) = J ('P(u) - <p(-u)) c�s(

nu) du ,

0 sm nu et on voit que ce motif est celui de vp( l/sin(n t)) multiplié par cos(n t) . La dérivée de [lnjsin n t I ] vérifie: ( T', <p) = -( T, <p ') . Elle s'exprime par la limite suivante [+CIJ 11-& 11+1/2 l -lim L J lnlsin n tl<p' (t)it + J lnlsin n tl<p' (t)dt . La somme des 2 intégrales du terme

-OO 11-1/2 n+&


général transformée par changement de variables fournit l ' intégrale unique

J:1\'P ' (n + u) + 'P ' (n - u)) Injsin 7rujdu . On fait une intégration par parties en remarquant

qu'une primitive de tp ' (n + u) + tp ' (n - u) est tp(n + u) - tp (n- u) et que lim 'P( n + u) - 'P ( n- u) lnjsin 1Z" uj = 0 ; cette intégrale est donc au signe près celle de &�0 . [ 'P( n + u ) - 'P ( n- u) ]1Z" cotan( 1Z" u) . Comparant avec la question précédente, on conclut :

c) Un motif générateur de vp( cot an(7r t)) est la distribution qui fait correspondre à 'P , . , Îl/2 cos[ 7ru][ tp(u) - tp(-u )] , , _ Îl/2 cos[ 1Z" U ][- 2 i sin(2k 1Z" U )]

1 mtegrale . ( ) du , d ou ck - . ( ) du . o sm 1Z" U o sm 1Z" U

1/2 sin(7ru(2k + t)) On a d'abord c0 = 0 et c_k = -ck . En posant I k = f . ( ) du , on a -1/2 sm 1Z" U

ck = (- i/2)(Ik + lk_1 ) . Or, on a h - lk_1 = J��2 cos( 27ru)du = O , ce qui implique

l' égalité I k = I 0 = 1 . On trouve donc pour k > 0 , ck = -i , d'où le développement :

1 ��!��!!;!;:�J!!��l,#Nlll,�i,&t� �If� Par intégration terme à terme, on en déduit au coefficient 1Z" près et au terme constant près, le développement de [ Inlsin ( 1Z" t )I] . Or ce coefficient constant I = J� Inlsin{ 1Z" t )ldt , égal aussi à 2 J�/� Inlsin( 1Z" t )ldt ou à 2 J�12 Inicos( 1Z" t )ldt , est calculable de façon classique :

I = J�12 [Inlsin(7r t)I + Inicos(7r t)l]dt = J�12 [Inlsin(27r t)l - In 2]dt = (! - /n2)/2 et I = - ln2 . On en déduit finalement :

2.3. Développement d'une partie finie

Exemple 5.3.B

La fonction (sin 7r t r1 est ! -périodique et t = 0 est un point de discontinuité sur

l ' intervalle-période [-z-1 , Z-1 ] de type t -2 . On est conduit à définir la distribution 1 -

périodique T = Pf ( (sin 1Z" t )-2 ) au moyen de la formule :

( T, 'P) = Lz lim &�0 rk-& tp(t )(sin 1Z" t f 2 dt +f k+l/2 tp(t )(sin 1Z" t f 2 dt - 2(s 7r2 )- l 'P( k) . Jk-1/2 k+& C'est une répétition 1 -périodique de la distribution U à support [-2-1 , 2-1 ] définie par

(U, tp) = lim&�O f-& tp(t)(sin 7r tf2 dt +fl/2 tp(t)(sin7r tf2 dt - 2(s7r2 )-1 tp(O) -1/2 +&


Ses coefficients de Fourier sont donc définis par :

cn (T) =lim6_,,0 [1�2 e-2 i1rn 1 (sinn tf2 dt + f �: e-2 innt (sin n tf2 dt - 2( 8n2 )-1

Le changement de n en -n est compensé par le changement de t en -t, on a donc en = c_n ( distribution paire) et on considère seulement, dans ce qui suit, les coefficients c_n Soit l 'arc r6 du cercle unité de ([ d'extrémités eins et i. La deuxième intégrale, par le

. 4 z2n+I 2 n paramétrage z = e -i n t , devient --. -Ji 2 dz ou --f u

2 du à 1' aide de i n rs {z2 - l) i n C6 (u - 1) z2 = u , C6 étant l 'arc du même cercle qui est d 'extrémités e2 ins et - 1 . La somme des 2 intégrales de la formule précédente est donc _.;.._ JC'

un 2 dz où C'6 est la réunion de

l ll s (u - 1) C6 et de son symétrique par rapport à l 'axe des réels . On constitue un chemin fermé y 6 en adjoignant à C'6 un arc de cercle a 6 de centre 1 et de rayon r6 = 11 - e2ins j .

On a d 'après le théorème de Cauchy : JC' un (u - 1f2 du +J

r un (u - 1f2 du = 0 .

& & k :JP NCst t. i l / NCt©füiN nu: y . UI Comme un (u - 1f2 = ( u - 1f2 + n(u - lf 1 + l/f

où l/f est holomorphe en u = 1 , la limite de la r: •. :....:.-:::•· · ·::::::/-. •. : :.:: •/ /:::. :•.:•:/.1 dernière intégrale est donc celle de la somme

: :z:t • > ...... .. .... .. . . ..... ....... .... . ... 1 16 = l (u - 1f2du + nf (u - 1f1du . r6 r6

Le paramétrage habituel par u = r6e ;e où B varie entre n + B 6 et n - Be (Cf figure)

permet le calcul de 1 s . On a : 1 s = 2 i (rsf 1 sin B s - 2ni B s . Or 20 s + 28 n = n , ce qui

un (u - 1f2 du - i(n8f1 -+ -ni n Finalement, on obtient c,, = -2n d'où :

Vérification La dérivée de Vp(sin n t ) , obtenue en remplaçant t par t/2 dans le résultat

de l 'exemple 5 . 3 .B, donne : -ncos(nt)Pf((sin n- tr2 ) = 2n-l:;'(2k + 1)co�n(2k + l)t) . Multiplions par ailleurs le développement précédent par cos( nt) en utilisant la formule 2 cosn t cos2nn t = cosn-(2n - l)t + cosn(2n + l)t . Le résultat est bien identique

2.4. Utilisation des distributions pour des calculs relatifs aux fonctions

Dans certains cas de développements de fonctions, on peut se ramener par dérivation à développer des peignes, ce qui a pour effet de simplifier le calcul des coefficients de Fourier. Dans d 'autres cas, cette dérivation permet de ramener le calcul à la résolution des équations différentielles.

CHAPITRE 5.8. EXEMPLES DE SERms DE FOURIER DE DISTRIBUTIONS PERIODIQUES 269

Exemple 5.4.B On considère la fonction f de période 2 dont le graphe est donné cidessous sur l ' intervalle-période [-1, + l] , les arcs dessinés étant des arcs de parabole

' ·/':. :}':: ::'°": : ::>·<:::: : ':': . : '·'/ En déterminant les dérivées successives de cette fonction au sens des distributions :.>/>:. :: ,:,/: : ' :' ' !

,, , ,, , , , , , , , . .... , . jusqu'à l 'ordre 3 et en développant au sens k '• >> ' ? O'::<"'i'>>:J: :·>:·:' \:·:,>'/:://''''d des distributions la dérivée d 'ordre 3 en F / ( :/:(/ ,<'://> :>-<> 1 / 1

1 >: >/t : << : : · ? < :\:It <: A ·<. : , :1� < < <> :? : . / . ? < 1 série de Fourier, on peut en déduire, par des y l t )t\CZTX > > < >> I intégrations, le développement cherché de/

1 @Usm!ii'ifütiJ\lfullr:l[�lriT!JI 1 Ces arcs de parabole ont les équations :

f(x) = 1/4- x2 \tx E [- 1/2 , 1/2], f(x) = �r1 {2x2 - 3x + 1) \tx E [I/2 , l ] Du point de vue des fonctions, la dérivée d 'ordre 3 est nulle là où elle est définie. Les dérivées, au sens des distributions sont données par les relations :

[!] ' = [f '], ,,

[f] = [J "]+ (3/2)L2 5211 +1/2 + LzÔ211 -If2 + (I/2)L2 5211 + 1 . La dérivée seconde valant -2 sur ]- 1/2 , 1/2[ u ]1/2 , l[ , les sauts de cette dérivée sont -2 en - 1/2 et +2 en 1 , on a par conséquent : [!]' " = (3/2)L2 5 1211+1/2 + Lzô 1211 -1/2 + (I/2)Lz 5 1211 + 1 - 2L2 5211-1/2 + 2L2 5211+1 Les peignes précédents sont développables classiquement en cherchant leurs coefficients de Fourier grâce à la connaissance des motifs générateurs. On trouve :

+oo +oo +oo +oo LÔ211-l/2 = (1/2)Le i1rnf2ein11 t , LÔ211+If2 = (1/2)L e- innf2e i nn t et -OO -OO -OO

+oo +oo LÔ211 + I = (I/2)L (- l)" i:trnt . -OO -OO

Le développement en série de Fourier de [!]" ' s 'écrit donc :

-OO

[! ]" ' = �[; 1Z'n( (3/4) exp(-i1Z' n/2) + lf2exp(i1Z' n/2) + (- 1)" /4) + (-1)" - e inn/2 Je in nt . -OO

On remarque que le coefficient d ' indice 0 est nul, ce que d'ailleurs on peut vérifier directement. D'après les propriétés des séries de Fourier au sens des distributions, il suffit d' intégrer 3 fois terme à terme cette série, c'est à dire de diviser le terme général par

, pour n =F- 0 , pour obtenir, au coefficient constant c0 près, la série de j :

On calcule facilement le coefficient c0 . D'après les théorèmes classiques, ] étant continue et de classe C 1 par morceaux, cette série converge uniformément vers f Exemple 5.5.B Dans cet exemple, on considère que la fonction est, sur l ' intervalle ouvert d'une période, solution d'une équation différentielle. Soit la fonction 1 -périodique j définie par f ( x) = jsin 31Z' xj . Le calcul des coefficients de

Fourier se base ici sur la propriété selon laquelle j est, sur ]ü, 1 [ , solution d 'une équation


différentielle linéaire à coefficients constants. En effet, par linéarisation, on peut écrire sin3(;1rx) sous la forme 4- 1 (3 sinnx - sin 3nx) et cette équation différentielle admet, parmi les racines de son équation caractéristique, les nombres in et 3 i n . La fonction considérée étant réelle, cette équation caractéristique s'écrit �2 + n2 )(r2 + 9n2 ) . Il en résulte que la fonction f est, sur ]O, 1 [ , solution de l 'équation

y(4) + 10n2y"+9n4y = 0 . On peut même ajouter que c'est la solution unique vérifiant

y(o) = y' (O) = y" (O) = 0 et y( 3l (o) = 6 (voir le calcul ci-dessous) . On calcule les dérivées de/au sens de 5J jusqu'à l 'ordre 4. Puisque/ est de classe e2 , [/] ' = [/ '] [/] " = [/"] et [fi3) = [!( 3) ] . La dérivée d'ordre 4 s'écrit [/](4) = [! (4) ] + 2/(3) (o}lll . Le développement en série entière de sin3 n x débutant par ( n x )3 , on obtient

/ ( 3l (o) = 6n3 . On en déduit finalement que la fonction f est la solution unique de

l 'équation différentielle y(4) + 1 0n2y"+9n4y = 1 2n3lll . Le coefficient de Fourier de rang n vérifie ainsi : ( 1 6 n 4 n 4 - 1On4 n2 + 9 n 4 ) en = 12n3 . On en déduit donc, pour toutes valeurs de n : c,, = 12n - l ( 1 6n4 - I On2 + 9r1 . On vérifie

d 'ailleurs que le dénominateur est toujours non nul . On peut aussi vérifier cette formule par des calculs simples d ' intégrales pour, par exemple, n = 0 et n = 1 .Les exercices N° 2 1 et N°22 peuvent être résolus avec la même technique.

3. SERIES DE FOURIER A DEUX VARIABLES

3. 1. Développement d'une fonction constante par morceaux

Exemple 5.6 B

On considère la fonction f de 2 variables de période (1, 2} telle que sa restriction à

[-2-1 , 2-1 ] x [-1,1] soit égale à 1 sur le rectangle [ 0, 2 - l ] x [ 0,1] et sur son symétrique par

rapport à O. Les coefficients de Fourier sont définis par 1 rI/2 rt ( ,,., 1 J

O JO ( \...1. . cn,m = 2- Jo Jo exp -2i n(nx +my/2)rydx + 2- -1/� -l exp -2i n(nx +my/2)rydx

= -(2n2 r1 (mnf1 (1 - cosnn)(l - cosnm) . .

On en déduit la série double de Fourier qui converge au sens des distributions.

3.2. Développement d'une mesure de Dirac portée par des droites

Pour définir les dérivées de T = [/ ] , on reprend la définition de la distribution [/ ] :

in im i"+l/2 im+l (T, tp) = Lzxz n-1/2 m-l tp(x,y)dxdy - " m tp(x,y)dx� La dérivée par rapport à x fournit :

(�: . tp) = - Lzxz f��1 (1P(n.y} - tp(n - lf2 ,y))dy -[+1 (tp(n + v2 .y} - tp(n,y))�

On peut l ' écrire à l 'aide de produits tensoriels en utilisant les fonctions 2-périodiques g1 telle que g1 (y} = 1 sur ]-1,0[ et g1 (y} = 0 sur ]O.I[ et g2 sa translatée d ' indice 1 .


;� = Lz (ôn-1/2 - ÔnL) ® [g1 (Y)] + (ôn - Ôn+l/2L) ® [g2 (Y)] , ou encore : ;� = (i-v2W - wt; ® [g1 (Y)] + {W - i-_v2Wt; ® [g2 (Y)] . Cette distribution a pour coefficients de Fourier les nombres 2 i tr n cn m . On peut le vérifier par la multiplication des coefficients dans le cas des produits tensoriels. Un calcul immédiat donne cm (g1 ) = -(inmr1 (1 - (- 1f' ) et c111 (g2 ) = -cm (g1 ) . On en déduit

c11 ,m (;�) = 2i(nmr 1 ((- 1r - 1)(1 - (-lf' ) qui coïncide bien avec 2 i n n c11,m . .

Un calcul analogue peut être fait pour la dérivation eny.

3.3. Développement d'un quadrillage périodique de masses de Dirac

On laisse le lecteur définir la dérivée mixte en passant par les coefficients du peigne

(considéré comme 2-périodique) . On a : c11 ,m ( :x2;Y ) = 2(1 - (-1r )(1 - (-lY' ) .

Remarque 5. 1 .B En partant de ce dernier résultat établi directement pour la dérivée mixte, on peut, par deux intégrations successives, retrouver le résultat concernant la série de Fourier de/

3.4. Développement d'une valeur principale périodique dans le plan

Exemple 5.7.B Soit f la fonction 1, 1 -périodique telle que sur le rectangle période

et nulle [- l/2 . l/2] x [- l/2 . l/2] , on ait f* (x,y) = (sin(2n(x - y))r1 si lx - yl :s; lf4 sinon. Cette fonction n'est pas localement sommable mais on peut envisager une distribution valeur principale sur ce rectangle-période R1 pour définir un motif générateur de/ a) Détermination de cette distribution : Pour cela, nous transformons d 'abord les intégrales sur R, par le changement de variable u = x, v = x - y qui remplace R1 par le

+ 1 ": · · · · · · · parallélogramme R, ' limité par les droites d 'équations u = - 1/2 , u = 1/2 ,

u

'--��

v = u + 1/2 , v = u - 1/2 et dont le jacobien en valeur absolue est égal à 1 (Cf figure) . La droite des discontinuités devient le segment diagonale [- 1/2 , lf 2] . On désigne par R6 le domaine obtenu en enlevant de R1 ' une bande de largeur 2e

symétrique par rapport à l 'axe des abscisses et les points d'ordonnées vérifiant lv l � 1/4 . La valeur principale, si elle existe, est définie par :

(vp f* , <p) = lim6�o JfR f* (u, u - v)<p(u, u - v')cludv = lim6�0 JfR ê ê

L'application de Fubini nous donne la somme des intégrales

_'P-'-( u_, u_-_v-'-) dudv : sin(2n v)

f 1/4 f,1/2 J-ê fv+l/2 lfl(u, v')cludv + lfl(u, v')cludv .

e v-1/2 - 1/4 -1/2


f 1/4 f-v+l/2 Dans la deuxième le changement de v en -v conduit à l/f(u,-v)dudv , puis le & -1/2

changement de u en -u à Jl/4 f,1/2 l/f(-u,-v)dudv . La somme des intégrales précédentes & v-1/2

. · Jl/4 J,1/2 ( ( ) ( )) -Jl/4 J,1/2 (qi(u, u - v) - qi(-u, v - u)) devient . l/f u, v + l/f -u,-v dudv -

( ) dudv .

& v-If2 & v-1/2 sin 27rV Etablissons à présent que la valeur principale existe, à savoir que l ' intégrale précédente a

une limite lorsque e � O . Nous posons {b(v) = f,1/2 (qi(u, u - v) - qi(-u, v - u)\du . Il est v-1/2 . 1 facile de voir que c'est une fonction de ..'.D (IRI.) et çb(O) = f112 (qi(u, u) - qi(-u,-u)\riu = O -v2 r· puisque la fonction intégrant est impaire. On en déduit que V � çb( V)( sin 27r V r 1 se prolonge continûment en v = 0 . b) Calcul des coefficients de Fourier

Le motif précédent fournit sur les fonctions exp( 2 i7r(n x + my )) les coefficients

cn,,1 = -f�14 (sin(27rv)) -1 (27r(n +m)) -1 [2 i co�(2n)(nu +mu - mv))e�l/2

= - i ( n(n + m)r1 (-1r+m f�14 ( cos(2nmv) - cos(2n nv))( sin(2nv )r1 dv

On est ramené aux intégrales Km = J:12 (cosm t - l)(sin tf1dt pour lesquelles on a :

cn,,1 = i (2n2(n +m)r\-1r+m (Kn - Km) · En utilisant la variable 2 = cost , Km s'exprime sous la forme f� Pm(2)(l - 2 2 r1 d2 , ou

le polynôme Pm est divisible par 1 - 2 , donc de la forme fi2 Qm (µ )(µ f 1 dµ calculable

élémentairement. On en déduit les valeurs numériques des cn,m . 4. APPLICATIONS A LA RESOLUTION D' EQUATIONS

4. 1. Résolution d'équations de convolution dans les algèbres ..'.D'a 4.1 . 1 . Recherche d 'un inverse de a-convolution

Exemple 5.8.B On se propose de chercher, p étant un réel donné positif, l ' inverse de convolution de la fonction f P paire, 1 -périodique dont la restriction à [ 0, r 1 [ est sin (p n x) , autrement dit, on cherche à résoudre l 'équation de convolution : 1 X* [fp ] =ll11 dans l 'algèbre .2>'1 .

On passe par l ' intermédiaire des séries de Fourier (Cf §5 du chap 5 .A). Comme le second membre a pour coefficients de Fourier la constante 1 , les coefficients de Fourier de X sont les inverses de ceux de fp , ce qui impose à ceux-ci d'être non nuls . Calcul des coefficients de fp : La série trigonométrique est une série de cosinus, les

coefficients étant an = 4 f�12 sin (pn x) cos( 2n n x )dx , le premier terme étant a0 /2 . Le

calcul donne successivement à la condition que p /2 ne soit pas entier :


an = -3_ [C0� 71X(p + 2n)) + cos( nx(p - 2n)) ] 1/2 = - 4p (c- lr cosp 1Z" - l) 1 . 1Z" p + 2n p - 2n 0 1Z" 2 p2 - 4n2 Si p = 2n0 , on a an = 0 et, par conséquent l ' inverse n'existe pas. 0 Dans le cas où p/2 n'est pas entier, les coefficients exponentiels étant calculés à partir

• • +oo (-Ir cos(p1Z"/2) - I des an , la série de Founer de fp s 'écnt . � )p ( 2 2 ) exp(2 i 1Z"n x) et, par

-oo 4n - p 1Z" lente, l ' inverse de conséquent, comme les coefficients inverses sont à croissance { 4n2 - p2 )i'Z"

convolution cherché admet les coefficients �(-----'----=--�}- qui sont de la forme (- Ir cos(p1Z"/2) - I 2p

A(4n2 - p2 )((- 1)'1 cos(p1Z"/2) + 1) où A = -1Z"(2pf 1 sin2 (p1Z"/2) . Il faut, à présent, déterminer la somme des séries de coefficients (- 1r , (-1r n2 , 1, n2 . La translation d' indice 1/2 appliquée au peigne de Dirac nous montre que Lzo n+l/2 admet

les coefficients (- 1r et, par deux dérivations, que ceux de Lz o" n+l/2 sont

-41Z"2n2 (-Ir . On en déduit donc l ' inverse de convolution cherché :

X = A[-i'Z"-2 cos p1Z"/2_L(o 11+1/2 )"-p2 cos p1Z"/2_Lo n+l/2 - 1Z"-2 _Lo"n - p2_Lon ] . Effectuons la vérification en calculant d 'abord [!)" . On obtient, la fonction f étant continue [! ] ' = [! ') , puis en tenant compte des discontinuités def' aux points d 'abscisses

n et n + If2 , [f) " = -p21Z"2 [f) + 2p1Z"_L811 - 2p1Z"cos(p 1Z"/2)_Lon+1/2 . A l 'aide des propriétés de la convolution 1 -périodique par des peignes et leurs dérivées, on obtient ensuite (après suppression de 6 termes) :

.X* [f) = A[-1Z"-2 cos(p1Z"/2)(-2p1Z"cos(p 1Z"/2)_L 011 ) - 2p1Z"-l Lon ] = _Lo,1 = ll1

4.1 .2. Equations différentielles et équations de convolution

On se propose de donner des méthodes de résolution d'équations différentielles dans l ' algèbre .2>'1 à partir de leur interprétation comme équations de convolution. Une de ces méthodes est apparentée au calcul symbolique utilisé dans l ' algèbre .2>� Exemple 5.9.B Recherche des fonctions 1-périodiques g vérifiant l' équation g'-cg =lll où c est un nombre complexe quelconque. On peut commencer par résoudre l 'équation sans second membre sur l ' intervalle période [ü, 1[ . La solution que l 'on obtient est du type C exp( ex) qui devrait être en principe un motif générateur de la solution si une telle solution existe. La fonction ! -périodique engendrée g a pour dérivée, dans .2>' , c[g) +c(1 - ec )L o11 • Ces fonctions g sont solutions de l 'équation si et seulement si la

constante C vérifie c( 1 - ec ) = 1 , ce qui impose la condition c * 2 i k1Z" . Si cette condition

est vérifiée, la solution est donc unique, de motif générateur (1 - ec r1 exp( ex)


sur [ü.I[ . On remarque par ailleurs que la solution reste la même en remplaçant c par c + 2 ik 1! . Dans le cas c = 2i k 1! , l ' égalité des coefficients de Fourier des deux membres de l ' équation fournit 2 i 7!( n - k) = 1 , ce qui implique une impossibilité pourn = k , d 'où il résulte que l ' équation est sans solution . . Remarquons que dans le cas n = 0 , cette impossibilité traduit le fait que le peigne n'admet aucune primitive périodique. Remarque 5.2.B En utilisant la ! -convolution par la dérivée Ill ' , l ' équation peut s'écrire :

Ill ' * [g] - clll* [g] = (lll ' - clll)* [g] = Ill . Le problème est donc équivalent à la recherche d'un inverse de convolution du « polynôme unitaire du premier degré en Ill ' » P( li' ) = Ill ' - c Ill où c * 2 i k7! . Pour c = 2i k 1! , on vérifie (Ill ' -2i 1! k Ill)* [exp( 2i 1! k x)] a tous ses coefficients nuls. Il en résulte, dans ce cas, que Ill '-2i1!klll est un diviseur de 0 dans l 'algèbre .2)'1 . Exemple 5. 10.B On cherche les solutions ! -périodiques de l 'équation h" + ah'+bh = Ill avec b * 0 .

Utilisation de la méthode précédente. On désigne par a et fJ les racines (elles sont non nulles) de l 'équation du second degré, IL 2+ a/L + b = O . On suppose de plus que ces racines vérifient i a/(27!) <1. Z et i P/(27!) fi. Z . Les solutions de l 'équation homogène s 'écrivent donc

: h(x) = C1eax + C2 ePx si a ;t; fJ et h(x) = (C1x + C2 )eax si a = {J . Discutons : -Si a * fJ , on désigne par h la fonction ! -périodique de motif générateur h'<J = C1eax + C2 ePx sur [ü. I[ . Les dérivées de [h] s'écrivent :

[h] ' = ( C1 (1 - ea ) + c2 (1 - eP))Ill + [(h<J) ' ]*li, [h] " = ( C1 (1 - ea ) + C2 (1 - eP))Ill' + (a C1 (1 - ea ) + pc2 (1 - eP ))Ill + [(h<J )" ]*Ill

On en tire l ' expression de [h]"+a[h] '+b [h] : (c1 (1 - ea ) + c2 (1 - eP))Ill ' + ((a + a )C1 (1 - ea) + (a + fJ)C2 (1 - eP))Ill .

On laisse le soin au lecteur de prouver que Ill et Ill' sont indépendants dans ::b' . En exprimant que [h] est solution de l ' équation donnée, on voit que C1 et C2 vérifient :

C1 (1 - ea ) + c2 (1 - eP) =. 0 et (a + a )C1 (1 - e a ) + (a + p)c2 (1 - eP) = 1 .

La solution s'écrit alors : [h] = (a - pf 1 ( eax ( 1 - ea r1 - ePx ( 1 - ePf 1) *Ill (0,1[

-Si a = fJ , on est conduit à des calculs analogues. On laisse au lecteur le soin d'achever les calculs et de comparer à la solution obtenue par une autre méthode qui va suivre. Remarque 5.3.B (fournissant une deuxième méthode) Comme dans l ' exemple précédent, l ' équation peut s'écrire [h]* (Ill"+alll'+blll) = Ill , donc [h] est l ' inverse de convolution de Ill"+ali'+blll , ou de (lll '-a lll)* (lll '-Pill) quand i a/(27!) fi. Z et i P/(27!) fi. Z . Sous ces conditions,. )es inverses des deux facteurs existent. Il en résulte que le produit précédent est inversible et que le calcul de l 'inverse peut être fait par le produit 1 -convolutif des deux inverses. Comme ces inverses sont des


fonctions, J ' inverse cherché est défini par J' intégrale f � ( 1 - e a r l e a tg( X - t )dt OÙ g est

l ' inverse de convolution de lll '-Plll . Posant K = (1 - ear1 (1 - ePr1 , on retrouve :

h<l (x) = KJ: eateP(x-t)dt + KJ>ateP(x-t+l)dt = K(a - pr1 ((1 - eP)eax - (1 - ea)ePx ) Dans le cas a = P , on est en présence d'un carré de convolution. On trouve :

h<l(x) = Kf: eatea(x-t )dt + Kf>ate a(x-t+l)dt = (1 - ea r2 (eax ( x(l - e a )+ ea )) .

Troisième méthode (Amorce d'un calcul symbolique) Faisons correspondre à la distribution du type (lll ' - clll) le polynôme s - c et à la distribution Ill" +a Ill' +b Ill le polynôme s2 + as+ b . Cette correspondance est un homomorphisme de la sous-algèbre de :h 'a des polynômes en Ill' sur l 'algèbre des polynômes habituels . Ainsi l ' image de (lll '-a lll)* (lll '-Plll) est (s - a)(s - P) . Quand les nombres a et P vérifient i a/(2;r) � Z et i fJ/(2rc) � Z , l ' inverse de convolution a

pour image la fraction rationnelle ( ( s - a)( s - P) r 1 . On en déduit que pour chercher l ' inverse d'un tel produit dans le cas où a -:t:. P , on peut utiliser la décomposition de la

fraction rationnelle ( ( s - a)( s - P) ) - 1 , ramenant ainsi à la combinaison de deux inverses.

En effet, ((s - a)(s - P)r1 = (a - Pf1 ((s - af1 - (s - Pf1 )fournit par image inverse

{(lll '-a lll)* (lll '-Plll)) *-1 = (a -pr1 ((Ill '-a lll)*-1 - (lll '-Plll)*-1 ) . Exemple 5. 1 1.B Soit à résoudre dans l 'algèbre :JJ '1 l ' équation différentielle d ' inconnue X :

x(4) _ 5x(3) + sx(2) - 4X' =lll - 1 . Il est possible, en utilisant l' égalité des coefficients de Fourier des deux membres, de trouver les coefficients de la distribution solution. Nous préférons dans cet exemple tenter d 'utiliser le calcul symbolique amorcé précédèmment. L'équation donnée est encore une équation de convolution puisqu'elle s' écrit : X* (lll(4) - 51l1(3) + 8Ill"-4Ill') = lll - 1 . Cependant, l ' image par le calcul symbolique du

coefficient de X est un polynôme de terme constant nul et on en déduit que ce coefficient n'est pas inversible dans l 'algèbre :1J'1 . Par contre, en prenant pour inconnue la dérivée

X' , l ' équation s' écrit X' * (rn(3) - 5Jll(2) + 8Ill '-4Ill) = Jll - 1 , équation dans laquelle le

coefficient de X' est cette fois inversible dans l ' algèbre 1)'1 . Cet inverse étant noté A, l 'équation est équivalente à X'= A* (Ill - 1) . On est ainsi ramené à un problème de primitivation qui, ou bien n'a pas de solution, ou bien en admet une infinité. Dans le cas présent, le coefficient c0 (Ill - 1) est nul, ce qui entraîne qu'il en est de même pour A* (lll - 1) . Nous sommes donc dans le cas d'une infinité de solutions.

Recherche de l'inverse de convolution de Jll( 3) - 5Jll(2) + 8Ill'-4Ill L'image symbolique de A = Jll( 3) - 5Jll(2) + 8 lll '-4Ill est le polynôme :

s3 - 5s2 + 8 s - 4 .


Il se factorise en (s - 2)2 (s - l) . La décomposition de l ' inverse de ce polynôme s'écrit : 1 1 1 1 2 = 2 --+-- . (s - 2) (s - 1) (s - 2) s - 2 s - 1

Le calcul symbolique inverse fournit alors : A* -l = (lll '-2lll)* -2 - (lll '-2ill)* -l + (lll '-lll)* -l .

Les résultats obtenus précédemment (exemple 5 . 1 0 .B et exemple 5 . 1 1 .B, 2ième méthode) en fournissent alors un motif générateur g sur [ 0, 1[ de cet inverse :

g(x) = (1 - e2r2 e2x (x(1 - e2 ) + e2 ) - (1 - e2rl e2x + (1 - efl ex·. Il s 'agit maintenant de calculer les primitives de A*-1 * (lll - l) = A*-1 - c0 (A*-1 ) . Ce dernier coefficient se calcule en utilisant les inverses précédents ; on trouve

c0 ( A*-l ) = f�g(x)dx = lf 4 + 1/2 - 1 = - 1/4 . Ces primitives s'obtiennent par une

intégration élémentaire sur le segment [ 0, 1[ , on obtient ainsi le motif générateur de la

solution cherchée à une constante arbitraire près par l' intégrale J: (g(t) + lf 4)dt . Les

motifs générateurs h sur [Ü,l[ des solutions s'écrivent : xe2x 1 + e2 e2x ex x h(x) = 2(1 - e2 ) + 1 - e2 4+ 1 - e + 4 + C ·

Après un tel calcul, une vérification s ' impose. Par exemple, on vérifie facilement, avec l 'équation de départ, l ' égalité des coefficients de Fourier c1 des deux membres. 4.1 .3. Résolution d'une équation intégro-différentielle. Exemple .5. 12.B Soit une fonction ! -périodique donnée! On se propose de résoudre dans l 'algèbre 2'1 l 'équation u" + 1l' 2u - u* [f] = Ill " , la fonction donnée f étant 1 -périodique, de

restriction à [o, l] définie par f(x) = r 1 1l' 3sin ( 1l' x) . lJne telle équation est dite intégrodifférentielle car, dans le cas où u est une fonction, u* [f J se traduit par une intégrale où figure l ' inconnue u. L'équation s'écrit sous la forme de l ' équation de convolution :

(Ill "+ 1l' 2 w - [!])* u =Ill " . Dans cette équation, on peut écrire f comme la différence de deux inverses de

3 .

convolution, à savoir �i [(1 - ei1l'r1 ei11'x - (1 - e-i1l'r 1 e -i11'x J On peut utiliser le calcul

symbolique pour inverser 4 lll " + 1l' 2 lll - [/] ou, mieux encore, pour transformer l 'équation elle-même qui devient

u.( s2 +1l'2 - (1l'3/2;)[Cs - i1l'f1 - (s +i1l'f1D = s2 .

Sa résolution est immédiate, on trouve U = ( s2 + 1l'2 )( s2 + 21l'2 )-l . Les pôles de cette

fraction sont différents de 2ik1l' , ce qui prouve qu'il y a une solution unique. Pour utiliser le calcul symbolique inverse, on décompose cette fraction rationnelle :


U = 1 + ( A Fin

A "2) avec A = i 4( 2J2j S -l1f 2 S +l1f 2 On en déduit un générateur g sur (O,l] de cette solution, à savoir, à l 'aide de a = 1!,.fi. :

g = ô +A (1 - e iar 1 exp(ia x) + A (1 - e-iar 1 exp(-ia x) . Après simplification, ce générateur peut s'écrire :

g =ô+1l[2F2(1 - cosa)r1 (sin(a x - a) - sin( a x)) . 4.1 .4. Inverse lorsqu'un générateur est du type polynôme-exponentiel

Soit la fonction 1 -périodique f de motif générateur sur (ü, l( défini par la somme finie

f<1(x) = L�=� Ai exp(ajx) avec ai -::/:. 2i k 1! . Le principe du calcul de l ' inverse a déjà

été donné dans l 'exemple précédent. En modifiant les constantes Ai , on peut écrire :

/<I ( ) ""'j=mA' ( )-1 ( ) ""'j=m 1 {lll ' lll)-1 x = �i=l i 1 - expaj exp ai x = �i=l A j -ai . Le calcul symbolique lui associe L�::�I A'As - a j rl . L'inverse de cette fraction

rationnelle pourra être décomposée en éléménts simples et fournira, si aucun des pôles n'est du type 2ik 1! , l ' inverse cherché. La même technique est utilisée lorsque les exponentielles sont multipliées par des monômes de degré k, les exposants dans les résultats précédents devenant égaux à -k . 4.1 .5. Equations non linéaires Parmi les équations non linéaires les plus simples, citons les équations du secon� degré. Par exemple, l 'équation X* X = [h] où h est une fonction dont les coefficients de Fourier

sont (2 i 1!n - lf2 . Dans ce cas, on obtient une infinité de solutions. Par analogie avec les équations du second degré habituelles, on peut envisager l ' équation du type X* X - 2/* X + g = 0 . Elle se ramène à la résolution d'une infinité d'équations du second degré, à savoir (xn )2 - 2anxn + bn = 0 .

4.2. Résolution d'équations aux différences

4.2. 1 . Equations à coefficients constants

Soit à chercher la suite ( xn ) à croissance lente telle que, la suite (an ) étant donnée, on ait : V n E Z, a xn+2 + bx,i+l + cxn = an . On désigne par T la somme de la série de Fourier L:a11 exp(2 i7!n t) et par X la somme de la série de coefficients x11 • En multipliant

l ' équation par exp(2i 7!nx) et en sommant sur 'lL, on obtient alors : X(aexp(-4i 7!t) + b exp(-2i 7! t) + c) = T .

Une simple division de T par la parenthèse précédente, à la condition que cette division soit bien définie, donne X On en cherche ensuite les coefficients de Fourier. Prenons l ' exemple : a = 1, b = 4, c = 4 . Dans ce cas X est donné par le produit de T par la

fonction 1 -périodique de classe e00 définie par g(t) = ( exp(-2i 1l t) + 2 r2 . Le produit gTest 1 - périodique et d'après § 5 . 5 du chapitre A, ses coefficients de Fourier sont


+oo

donnés par xn = ·�:::Ck (g). c11_k (T) . Or les coefficients de la fonction g sont donnés par -OO

1 . -2 . cn (g) = J0 (2 + e-2 1 1r1 ) e-Zmntdt . Ils sont calculables par le théorème des résidus sur le

cercle unité r . On trouve (2i .nf 1 fr (z + 2f2 zn-Idz . Ils sont nuls pourn � 1 et, pour

n < 1 , on trouve cn (g) = (- 1t (1 - n)2n-2 . On remarque d'ailleurs que ces coefficients 0

sont à croissance lente. On en déduit : xn = L(- I)k (l - k)2k-2 a11_k . -OO

Remarque Signalons que d'autres méthodes très élémentaires peuvent être mises en oeuvre pour la résolution de telles équations. 4.2.2. Equations à coefficients dépendant de n

Lorsque les coefficients sont des polynômes du premier degré; l ' équation s'écrit : (an + a')xn+2 + (bn + b')xn+I + (cn+ c') x11 = an .

Par multiplication par exp(2i nn t) et sommation sur "ll.., l 'équation devient :

e-4int (aX'+2in(a'-2a)X) +e-2int (bX '+2in(b'-2b)X) + (cX '+2in(c'-2c)x) = 2in T Par exemple, supposons les constantes choisies de façon que l ' équation devienne :

(e-2int + 2)2 X'+ (e-4int + 2e-2int )(-2in)X = T et que T soit une fonction f dont tous les coefficients de Fourier d'indices positifs soient

nuls. L'équation homogène associée fournit X = c(e-2int + 2f 1 et la mét�ode de variation de la constante conduit à calculer les primitives de la fonction g définie par

g(t) = f(t) (e-2 int + 2f 1 . Or, un développement immédiat par une série classique nous

donne : h(t) = (e-2itrt + 2rl = ri L:'rn (-It e-2itrn t = L�oo2n-l (- 1r e2itrn t . .

On en déduit les coefficients de Fourier de cette fonction h puis ceux du produit exprimé par g. Ceux ci s' écrivent cn (g) = L�002k-1 {- l)k c11_k (J) = L�002k-1 (- l)k an-k . En particulier, l 'hypothèse faite sur la nullité des coefficients an d'indices positifs implique c0 (g) = 0 . Seuls d'ailleurs les coefficients d' indices négatifs de g ne sont pas nuls, ils sont

donnés par c,, (g) = L�11_1 2k-I (- I)k a11_k .

Enfin, les coefficients de Fourier des primitives G de g sont égaux à {2innf1 cn (g) . Les solutions de l ' équation différentielle sont données par X = Gh et, par conséquent les solutions de l ' équation aux différences, qui sont les coefficients de Fourier de X = Gh sont donnés par x11 = L:ck (G)c11_k (h) = L:00 ck (G)c11_k (h) .En particulier, pour

c0 {G) = O , : on a : xn = L�=�(2in kf1 2n-k-1 (- 1t-kL�=-k-I 2j-I (- I)j ak-j .


Exercice N°1 (Preuves de résultats classiques sur les séries de Fourier de fonctions) Soit f ! -périodique localement sommable. On définit la somme partielle de rang N de la série de Fourier de f au moyen de SN (!; x) = L� N ck (!) exp( 2i n kx) . 1 °) Dans l ' espace E des fonctions de carrés sommables sur [ 0, 1] (ou dans son sous-espace

( ) ri-des fonctions continues) muni du produit scalaire j lg = Jof(t)g(t)dt , on considère le

système orthonormal des e n= exp(2innx) . En utilisant le théorème des projections sur le sous-espace H N engendré par {e-N , e_N+I , . . . , eN } , à savoir : «Pour toutj de E, il existe un élément unique AN de H N tel que f - AN soit orthogonal à H N , c'est à dire orthogonal à tous les en avec -N ::;; n ::;; N », montrer que AN ( x) = SN (f; x) . Montrer l ' inégalité de Bessel-Parseval : L�N Jcll l 2 ::;; l lill; = J� lf(t)l2 dt et en déduire que

la série Lz Jc11 J2 est convergente. Que peut-on en conclure pour lim11�r.oo cll (f) ? N sin(n(2 N + l)u) 2°) On pose : DN (u) = L_N exp(2 i nk u) . Montrer que DN (u) = . ( ) et en sm nu

déduire que SN(f) = f*DN . Soit x E ]0,1[ tel que les limites f(x + O) et f(x - 0) existent. En utilisant la formule précédente pour f et la fonction constante u � s x où sx = f (x + o) + f(x - o) , montrer que :

sx - 2SN (f; x) = ri f(x + o) + f(x - _o)_- f(x + u) - f(x - u) sin(n(2 N + I)u)du. (*) Jo 21 sm(nu) f(x ± u) - f(x ± O) 3°) On suppose en outre qu'au point x, les limites lim11�o+ (dérivées u

l. ) . 1 1 e: • f(x ± u) - f(x ± O) généra 1sées existent. Montrer a ors que es ionct1ons u � . . sont 21 smnu continues par morceaux. En décomposant la formule ( *) en deux intégrales qui sont des coefficients de Fourier de ces fonctions; prouver le résultat de Dirichlet, à savoir : Au point x, la série de Fourier de f converge vers la demi-somme Z-1 (!(x + o) + f(x - o)) . 4 °) Déduire de ce qui précède que si f est continue et de classe C 1 par morceaux, la série de Fourier de f converge uniformément vers f Pour cela, on établira à l 'aide d'une intégration par parties une relation entre cil (f ) et cil (f ') puis, grâce aux inégalités de

Schwarz et de Bessel pour la dérivée, on établira la convergence de la série ��N lcll (f)I . En déduire la convergence de la série de Fourier, vers f, dans l' espace ll._2, à savoir

f� lf(t) - SN (f ; t)l2 dt � 0 . Montrer aussi l ' égalité de Parseval : L�cJll J2 = llJ I@ . 5°) Soient j continue par morceaux et g de classe C1 par morceaux, toutes deux ! périodiques. Montrer que l a convolée j ! g est continue et de classe C1 par morceaux. En utilisant les inégalités de Cauchy-Schwarz et de Bessel, prouver que la série de terme


général cn (f)c_n (g) converge et que (! ! g)(o) = f�f(t)g(t)dt = Lzcn (f)c_n (g) . En déduire aussi l 'égalité dite encore de « Parseval » : f�f(t)g(t)dt = Lzc11 (f)c11 (g) . Exercice N°2 (Développement en séries de Fourier de/onctions et applications) Le nombre a étant fixé, positif et non entier, on considère la fonction paire 2n -périodique u telle que sur [ 0, n [ , on ait : u(t) = cos( at) . 1 ) Développer u en série de Fourier de cosinus (utiliser les résultats de l 'exercice N°1 ) 2) Déduire du théorème de Dirichlet (exercice précédent, 3°) les relations suivantes :

1 1 z +oo (- 1) '1 a 1 z +oo a -.- = -+-L 2 2 , cot an(na) = -+-L 2 2 . smna na n 1 a - n na n 1 a - n , . , . , . +oo a +oo a En dedmre les sommes des senes numenques : L 2 2 et L 2 2 . 1 a - 4n o a - (2n+ I)

Exercice N°3 (Autre preuve pour le développement de Fourier d'une distribution) Soit B un a-motif de l 'unité et Tune distribution a-périodique. En utilisant la définition de la convolution avec une distribution à support compact, calculer la valeur au point x de BT* e2i ntn/a à l ' aide de en (T) et de e2 inx 1l/a . Le développement du peigne étant supposé connu, montrer, en utilisant la formule T = lll0 * B T , que T est la somme de sa série de Fourier dans 2J' . Exercice N°4 (Séries de Fourier de fonctions, séries numériques, convolution) Soient f et g les deux fonctions périodiques, de période 2n , la première paire et l 'autre impaire, définies sur [ü, n] parf(t)= g(t) = t 2 si t E [O, n[ et f(n) = n2 et g(�)= O . 1 °) Calculer les intégrales 111 indexées par l ' entier n : 111 = fo

n t2 exp(i n t) dt . 2°) Développer f et g en séries de Fourier trigonométriques en précisant les types de

' . . +oo (-1 )" +oo 1 +oo ( -n2 4 J p +oo 1 convergences. En dedmre. L-2-, L 2 , L -- + 3 (-1) et L 4 . 1 n 1 n o 2p + 1 (2p + 1) I n

+oo (-1)'1 3°) Déterminer la fonction somme de la série de Fourier L--3-sin (n t) . On utilisera I n pour cela l'uniforme convergence qui permet l ' intégration terme à terme d'une des séries

+oo (- 1y +«> 1 +oo (- 1Y de Fourier précédentes. Calculer L 3 et L-6 , puis L ( ) " • 0 (2p + 1) 1 n 0 2p + 1

4°) Montrer que Lzc11 (f)c11 (g)ei11x converge et déterminer sa fonction somme. Exercice N°5 (Répétitions périodiques <le distributions à supports non compacts)

Soient / et g, à support dans [O,+oo[ , définies par f(t) = Y(t)e-1 , g(t) = Y(t)t e-1 où Y est l 'échelon-unité. a) Déterminer, soit par un calcul direct, soit au moyen des transformées de Fourier et de propriétés de dérivation, les produits de convolution h = f* f et /* g . b) Montrer que les répétitions ! -périodiques T = Lzf(t - n) et S = Lzh(t - n) existent et trouver des motifs générateurs pour T et S. Calculer la convolée ! -périodique de T par T. Déterminer les séries de Fourier de T, de S, et de la convolée précédente.

EXERCICES SUR LES CHAPITRES S.A ET 5.B

Exercice N°6 (Répétitions périotliques et formule de Poisson)

Soit la fonction! définie sur ]ü,+oo[ par f(t) = L:2exp(-1l" n2t) . a) Montrer quej est é"xi . Montrer que f(t) 5. coth(7r t/2) et en déduire lim f(t) t�-t«>

281

b) Soit la fonction dépendant de a > 0 , Fa ( u) = Lz exp(-a (n + u )2 ) . Montrer que Fa

est ! -périodique et calculer ck (F0 ) en se ramenant à .J(exp (-at 2 )) . Montrer que Fa est

la somme de sa série de Fourier. Prouver que f(t) = fftf(Ift) et en déduire lim f(t) . t�O c) Soit la fonction g, continue, e 1 par morceaux, positive, croissante sur ]-oo, o[ , décroissante sur ]ü, + oo[ , et sommable sur IR{. Montrer que G : t H Lz g(t - n) est définie, ! -périodique et continue sur IR{ et que ses coefficients de Fourier sont les

dk = f:g(t )e-21l'i k tdt . Prouver la formule : Lzg(n) = Lzf:g(t )e-Z1fintdt dite « de

Poisson » . Montrer que, si g est non continue, tout en restant e 1 par morceaux, le g(n + O) + g(n - 0)

premier membre est remplacé par . En prenant g(t) = Y(t) exp(-a t) , 2

développer coth( a/2) en une série de fractions rationnelles. Exercice N°7 (Calcul d'une transformée de Fourier à l'aide d'une série de Fourier)

Soit! définie par f(t) = I/ch(1l" t) . On propose le calcul de sa transformée de Fourier, qui est une transformée en cosinus, de deux façons différentes. Première méthode a) Développer en série de Fourier la fonction g impaire 27r -périodique définie sur ]ü, 7r[ par g(t) = ch(xt) où x est un réel fixé et en déduire un développement de 1l" l ' . d fi . . Il ( ) en sene e ract1ons rat10nne es. 4 ch 1l" x/2 b) Développer f { t) suivant les puissances entières de exp(-1l" t) où t > .0 . En multipliant ensuite par cos( 21l" Â. t) et en intégrant terme à terme, trouver Î sous forme d'un développement en série. Achever le calcul en utilisant a) . Deuxième méthode Calculer Î en utilisant la fonction complexe F définie par

exp( 7r(l + 2i.Â. )z) : F(z) = ( ) et le contour constitué du bord du domaine obtenu en enlevant exp 21l"z + 1 du rectangle de sommets O, R, (i/2) + R, (i/2) le quart de disque de centre i/2 et de rayon r. On utilisera la partie réelle de l ' égalité obtenue et on additionnera à l 'égalité associée au remplacement de Â. par -Â. . Exercice N°8 (Structure des coefficients de Fourier d'une distribution périodique)

Soit T la dérivée d'ordre k d'une fonction f a-périodique appartenant à IL 11oc· En utilisant les propriétés des coefficients de Fourier de j au voisinage de l ' infini, montrer que les coefficients de F ourler de T sont à croissance lente, Exercice N°9 (Transformée de Fourier d'un demi-peigne)

Trouver la transformée de Fourier d'un demi-peigne T = LNÔ n en montrant d'abord


que 'L;x' eos(2nn t) = (1/2)(lll - [1]) . On écrira ensuite la transformée de T sous forme d'une série d'exponentielles donc d'une somme de deux séries, l 'une en cosinus et l ' autre en sinus. En exploitant enfin les résultats de 1' exemple 5 .2 .B concernant vp( eot an (n t)) , on montrera que :7('LN ô 11 ) = 1/2 [lll - [1] - i vp(eotan (n t))] . Exercice N°10 (Recherche des coefficients tle Fourier de f T par passage à la limite)

Les coefficients de Fourier def a-périodique et de classe C'� étant notés en et ceux de T a-périodique par d," on considère le produit f N T où f N = L�N en Wa,n . 1 °) Déterminer les coefficients de Fourier a;/ de f N T à laide des en et des dn . 2°) Montrer que, (Vn) , la série LkeZ ek dn-k est absolument convergente. En déduire

que , lorsque N tend vers 1' infini, a;/ converge pour tout n vers une limite notée an . 3°) Montrer quef N T� fJ' . en déduire que si Pn = en (! T) , alors

'Lz(P11 - a:/}va,iz tend vers 0 dans S' En utilisant la transformation de Fourier, montrer que an = fi11 • Comparer avec le résultat de §5 . 5 du chap S .A. Exercice N°1 1 (Intégration tle tléveloppements de Fourier de peignes. Convolution)

Soit! de période 1 , impaire, telle que f(x) = -4x sur [ 0, 4-1 [ , f(x) = - 1 sur [ 4-1 ,r1 [ . ,

1 °) Exprimer la dérivée [!] et un de ses motifs générateurs. Déterminer la fonction ,

convolée f* f ' puis la convolée [!]* [! ] (en faisant intervenir une translatée de/). " 2°) Caculer [!] . Déterminer ses coefficients de Fourier et en déduire ceux de f et ceux

I I de [!] . Déterminer les coefficients de Fourier de [!]* [!] . Exercice N°12 (Intégration d'une série de Fourier de peignes)

Soitf de période 2 telle que : f(x) = (x + 1)2 sur [- 1, 0] et f(x) = (I - x)(4 x2 + 3 x + 1) sur (0, 1] . Vérifier quefest de classe C2 sur ]-1, 1[ . 1 °) Déterminer les dérivées de f au sens des distributions jusqu'à l 'ordre 4 . 2°) Ecrire le développement de Fourier de [fi4) . En déduire en (!) pour n '* 0 .

Exercice N°13 ( Construction de a-motifs polynomiaux de l'unité, cf §2.3. 1,chap S.A) 1 °) Déterminer un a-motif de l 'unité, c'est-à-dire une fonction vérifiant Lz B ka = 1 sur 12., qui soit continue de support [ 0,3a] et du premier degré par morceaux. Généraliser avec la support [ 0, ma] . 2°) Vérifier que si Sf (u) = If2 ((u - o)! - 3(u - 1)! + 3(u - 2)! - (u - 3)! ) , la fonction

B(t) = a 3 sJ (t /a) définit bien un a-motif de 1 'unité. Généraliser à l 'aide de la fonction dite

B 1. d 'fi . SO ( ) 1 "'j=111+I ( l)j Ci ( .)111 « -sp me » e true par 111 u =-L.. ·-o -111+1 u - 1 + · ml J -

Exercice N°14 (Propriétés des fonctions de Bessel)

Montrer que pour tout z non nul, on a exp( ( 1/2) x ( z - z -I )) = Li: J n ( x) zn . En déduire

EXERCICES SUR LES CHAPITRES S.A ET 5.B 283

que : J11 (a + b) = L::JP (a) J11_Ab) . Exercice N°15 ( Convolution de fonctions de Bessel)

Montrer, en utilisant le développement en série entière de J0 , que la convolée (Y J0)*2 , où Y est l ' échelon-unité, est égale à la fonction ! 1-7 Y(t) sin t .Les sommes

'°' k=n ( 2k) ! ( 2n - 2k) ! S11 = L...k-O 2 se calculent, par exemple, en élevant au carré la série entière - (k !)2 ((n - k) t) représentant le développement en série entière de (1 - xr1/2 . 2°) Montrer que J'0 = -J1 et déduire de la formule précédente la convolée YJ1 * YJ0 Exercice N°16 (Transformée de Fourier de la partie positive d'un polynôme)

Trouver la transformée de Fourier, n étant un entier positif, la transformée de Fourier de

la distribution-polynôme T = [ ( 4 7r2 x2 - 1 r ] sous forme d'un opérateur différentiel

appliqué à 8 . En retranchant la fonction (1 - 47r2x2 ): , trouver, à l 'aide de la fonction de

Bessel J11 +112 , la transformée de Fourier de la distribution T = [( 4 Jr2x2 - 1): J . Exercice N°17 (Résolution d'une équation de convolution 1-périodique) Déterminer le développement en série de Fourier de la fonction 1 - périodique f telle que Vt E ]0,1[ , f(t) = 7r2 cos(7r t) . Résoudre ensuite l ' équation de convolution dans l 'algèbre

des distributions 1 -périodiques : X* [!] = 2X'+7r-2 [f] . Vérifier sur le résultat trouvé. Exercice N°18 (Recherches d'inverses de convolution)

Trouver les inverses de 1 -convolution de T dans les cas suivants : 1 °) T est la fonction/ 1 -périodique paire telle que \/t E ]o, 1/2[ , f (t) = t2 . 2°) Test la fonction de motif/ sur [0,1[ définie par f(t) = sh(t) 3°) T est la fonction de motif f sur [0,1[ définie par f(t) = ch(t) . 4°) T est la distribution w(4) - W(3) + ill"-ill '+ill Exercice N°19 (Résolution d'équations intégro-différentielles) Résoudre dans l ' algèbre '2J'1 les équations intégro-différentielles suivantes : 1 °) X '+2 X* [f] = W+ ill ' où f est la fonction de motif générateur sur [0,1[ définie par

F''(t) = (1 - e 3r 1 e 3t . 2°) X"+X + 6X* [g] = W +ill '+ill" où g est la fonction 1 -périodique de motif

générateur sur [ 0,1[ définie par g<l (t) = 4 -1( (1 - e2 r1 e2t - ( 1 - e-2 r1 e-2t) . Exercice N°20 (Résolution d'équations aux différences)

Trouver les suites ( x11 ) à croissance lente vérifiant l 'équation : x11+2 - 4 x11 = 2 -lnl . On montrera que l 'on est amené à déterminer les coefficients de Fourier de fonctions du

type 3 ( e -4im - 4r 1 ( 2 - e2i m r 1 ( 2 - e -2im r 1 . On calculera ces coefficients en utilisant le

théorème des résidus sur le cercle unité de ( . Vérifier. Résoudre le même problème pour x11+2 - Sx11+1 + 6x11 = a11 , les coefficients a11 vérifiant


an = 0 si n < 0 et an = 2-11 si n � 0 . Résoudre également cette même équation lorsque a1 = a_1 = 1/2 , les autres étant nuls . Exercice N°21 (Calcul de coefficients par utilisation d'une équation différentielle) 1 °)Trouver l 'équation différentielle du second ordre vérifiée par la fonction! de période 1 définie par j ( x) = !sin( 1i x )1 cos2 ( 1i x) . En déduire ses coefficients de Fourier. 2°) Soit g impaire, 1 - périodique, définie sur ]o. I[ par g(t) = sh(t - 1/2) . a) Déterminer élémentairement les coefficients de g en se ramenant aux calculs des

intégrales /11 = J�12 shue2;1'""du . Préciser le mode de convergence de la série obtenue. Il

b) Retrouver le résultat précédent en montrant que [g] vérifie : [g) = [g] + T où T est +«>

une distribution de type peigne. En écrivant (g] = :�::Cke2i nk t , déterminer, au moyen de -OO

cette équation différentielle, les coefficients ck et retrouver ainsi les résultats précédents Exercice N°22 (Calcul de coefficients par utilisation d'équations différentielles)

a) Soit la fonction ! de période 1 de motif générateur f":i{x) = e-x (sin (1i x)) sur (0, 1 [ . Montrer que sur ]ü, 1[ , f est solution d'une équation différentielle linaire à coefficients constants d'ordre 2. En utilisant cette équation et les dérivées de/, trouver les coefficients de Fourier de/ b) Traiter la même question pour la fonction g dont le motif sur [ 0, 1 [ . est défini par :

g<1 (x) = e-x (xcos1C x + sin 1i x) . Exercice N°23 (Fonctions de Neumann et transformées de Fourier de (t 2 - Ir )

Soit 'f/ < Ü , non entier. On pose r(11) = ( )t('f/+ n\

( ) ' où n E � vérifie 17 +n - l 17 + n - 2 . . _. 17+ l 17 17 + n > 0 , prolongeant ainsi la fonction r avec les mêmes propriétés fonctionnelles. On définit aussi les fonctions de Bessel d ' indices négatifs -µ et -p (avecµ > 0 , p entier � 0 )

+«> (-1)" ( t) 211 -µ +«> (-1r ( t) 2n-p . . J_µ (t) = L ( ) - , J_P (t) = L ( ) - , ams1 que les 0 n tr n - µ + 1 2 P n ! f n - p + l 2 J (t)cos(µ1ï) - J_ (t)

fonctions de Neumann N µ (t) = µ . ( )

µ où µ est quelconque non entier. sm µ1f

1 °) Montrer que la solution générale de ( E µ ) : t2 y" + ty' + (t2 -µ 2 )y = 0 est AJ µ + B J -µ si µ est non entier. Montrer par contre que J _ P et J P sont proportionnels.

2°) Soit, pour µ non entier, fµ (t) = (41i2t2 - Ir si t E ]<21ff1 , + oo[. Jµ (t) = 0 sinon .

En considérant éventuellement j µ comme une distribution de type partie finie, montrer que fµ est solution d 'une équation différentielle du premier ordre. En déduire que

Fµ = .'7(!µ ) est solution de l ' équation différentielle (C ) : À (Y + Y") + 2(µ+ l)Y' = O . 3°) Montrer que, dans le cas -1 < µ < 0 , Fµ est une fonction et que celle-ci est deux fois dérivable dans !If (on décomposera l ' intégrale de Fourier en deux parties et, dans


l ' intégrale d'extrémité +oo , on utilisera des intégrations par parties) . Conclure que, dans ce cas, Fµ est une solution fonction de {l' ) sur IR{·. Prouver qu'alors 11 1µ+1/2 Fµ(1 ) est solution, sur IR( de l 'équation E-µ-1/2 . Ainsi, il existe des constantes Aµ et Bµ telles

que 11 1µ+1/2 Fµ (1 ) = Aµl-µ-1/2 (1 ) + Bµlµ+I/2 (1 ) . On suppose -1 < µ < -r1 . En faisant tendre 1 vers 0, calculer Bµ . En admettant que :

lµ (t) � �cos(t - µn _ n) et Fµ (t) �- r(µ + I)rµ-I 2µ-I n-1 sin(t + nµ/2) , oov;t 2 4 OO

déterminer la constante A1µ et en déduire, sous la conditiôn -1 < µ < -r 1 , le résultat :

1 µ+1/2 Fµ (1 ) = -n-1/2 r(µ+ 1)2 µ-3/2 N-µ-1/2 (1 ) . 4°) Toujours dans le cas où -1 < µ < -2-1 , déterminer -1(j4n2 t2 - Ilµ) ( On se servira de

la parité et de la proposition 4 .2 .B . Pour le cas de µ entier, voir l 'exercice N°1 6. Exercice N°24 (Fonctions de Macdonald, transformées de Fourier de ( 1 + 4n2 t2 ) a) 1 °) On utilise le prolongement de r défini dans l 'exercice N°23 . Pour a non entier et t > 0 , on pose 1 a (t) = e-ian/2 la (i t) = LN (t/2)2 k+a (k ! r(a+ k + 1)r1 . Montrer que

1 a es� solution de l' équation l'a : 12 y" + t y' - (12 + a2 )y = 0 et que la solution

générale de l'a est y = A 1 a + B La . 2°) Soit fa (t) = (1 + 4n2t2f . Montrer que fa est tempérée et qu'elle vérifiel'égalité

(1 + 4n212f f� (t) = 8 an21 fa (t) . Montrer que si a < - 3/2 , ga = .1(fa ) est une

fonction solution de1g� + 2(1 + a)g� - ga = 0 . Prouver ensuite que 11 l a+l/2 ga (1) est solution de l ' équation l'-a-1/2 . En déduire l ' expression de 11 la+l/2 ga (1) sous la forme Aa 1 a+l/2 + BaLa-1/2 ·

3°) Calculer Aa . En admettant que, à l ' infini, la = e;i (2n1 fl/2 (1 + 0(1 -1 )) , montrer,

en utilisant le fait que lim;i�+«> ga (1 ) = 0 , que nécessairement Ba = Aa . Conclure que si l 'on pose Ka = 1a _- La (Fonction de Macdonald), on obtient le sman

( ) -a-1/2 résultat : ga (1 ) = 1 ..[; 1 K-a-1/2 (1 ) dans les conditions envisagées. r(-a) n 2

INDEX TERMINOLOGIQUE

Les numéros renvoient aux pages d e l 'ouvrage

Aire (de la sphère unité) 6 1 -83 Algèbre de convolution 166- 1 67-1 70-253 Associativité 152 Banach 33-38-40 Base de voisinages 88-90 Bessel (équations, fonctions) 284 Borel 142 Bornée (mesure) 1 3 Calcul symbolique 1 68- 169- 1 83-275 Cantor 77 Cauchy (suites de) 1 36 Cauchy (conditions de) 1 93 Changement de variables 67- 1 1 1 - 1 4 1 Coefficients de Fourier 235-240 Compact 9-73-74-87- 1 00 Compléments (formule des) 68 Complet 33 - 136 Convergence (au sens des distributions) 96-98 Convergence dominée 30-79 Convergence étroite 1 6-47-75 Convergence faible 1 6-98 Convergence forte 1 90 Convergence monotone 1 3 -79 Convergence de mesures 1 6 Convergence uniforme 9- 1 7- 1 42 Convergence vague 1 6-47-74-75 Convergence des distributions 89-96-96-98- 100 Convoleur 208-209-2 12 Convolution (de fonctions) 85- 147- 1 55- 173 Convolution a-périodique 24 1 -249

G-convolution (de distributions) 159- 1 77- 1 80 - 1 79- 1 90-207-2 1 0

S-convolution (de distributions) 1 57- 1 75-2 1 4 Convolution avec un peigne 1 8 1 Convolution de deux peignes 1 82 Convolution avec une vp 1 88 Coordonnées polaires 67 Couche 62- 129- 146 Croissance lente 203-232-243 Décroissance rapide (fonction) 200 Décroissance rapide (de suite) 224 Décroissance rapide (de peigne) 225 Densité 9 1 Dérivation (de distributions) 1 05 Dérivation sous l ' intégrale 52 Dérivée totale 126- 144 Développement de Fourier 242-246-255 Difféomorphisme 67- 1 1 1 Dilatation 1 03 - 195

Dirac (mesure ou distribution) 13-93- 1 05- 1 12 Dirac (associée à une courbe) 125 Dirichlet 260 Distribution 92 Distribution (portée par une courbe) 1 2 1 Distribution (portée par une surface) 123 Divergence 66 Diviseurs de zéro 1 67 Division 1 05- 146-166-204 Dual 1 6-95 - 1 0 1 -229 Egoroff 78 Elémentaire (solution) 1 34 Enveloppe supérieure, inférieure 1 9 Equation de la chaleur 145 Equation d'Euler 235 Equation des ondes 144 Equations fonctionnelles 1 68-1 89-254-28 1 Espace normé 3 8 Espace de Hilbert 3 7 Espace de Lebesgue 33-36 Essentiellement borné 40 Etagée35-78- 1 98 Euler (équations) 146- 1 89- 23 1 Eulérienne (fonction) 68 Famille de semi-normes 88 Fatou ( lemme de) 25 Fenêtre de Viviani 57 Flux (d'un champ) 65 Fonction de carré sommable 198 Fonction d'intervalle 50 Fonction tempérée 230 Forme linéaire continue 9 1 -92 Fourier (Transf. fonctions) 1 94 Fourier (Transf.distributions) 2 13-228

(transf d'un peigne) 223-224-23 1 Fourier (Séries, coefficients) 235-238-240 Fubini 44-79- 1 52- 1 85 Fubini-Tonelli 44 Gradient 64- 1 2 1 - 123 Green (Première formule) 66 Green (Deuxième formule) 84 Hermite (polynômes, fonctions)233 Hêilder 36-84-202 Homogène 1 85-Hyperplan 146 Hypersurface 60-63-66 Intégrabilité 25-26 Intégrabilité des ensembles 3 1 Intégrale de Riemann 1 2-76

INDEX TERMINOLOGIQUE ET BIBLIOGRAPHIE

INDEX TERMINOLOGIQUE (SUITE)

Intégrale de Lebesgue 12-50-52-67-76 Intégrale multiple 67 Intégrale de Stieltjes 5 1 Intégrale inférieure 23 Intégrale supérieure 23 Intégration terme à terme 30 Inversibilité 1 67 Inverse de convolution 283 Jordan-Dirichlet (Théorème) 260 Laplacien 1 34- 145-Lebesgue-Nikodym (théorème de) 70-7 1 Limite (au sens des distributions) 96-98 Mac-Donald (fonctions de) 285 Maximum en mesure 40 Mesurabilité 34 Mesure associée à une courbe 53-82. Mesure associée à une surface 5 8 Mesure à densité 62 Mesure bornée 1 3 Mesure (décomposition canonique) 70 Mesure positive 72 Mesure .de Lebesgue 12 Mesure de Radon 10-Mesure extérieure d'un ouvert 22 Mesure intérieure d'uncompact 22 Mesure à densité 49-62 Mesure de Stieltjes 8 1 Mesure n-dimensionnelle 55-58-82 Minimum en mesure 40 Minkowski 36 Module (de mesure) 46-80 Motif générateur 235-238-283 Moyenne (inégalité) 40 Moyenne (fonction) 129 Multiplicateur 208-209-2 12-230 Négligeabilité 25 Neumann (fonctions de) 285 Normale 64 Ordre (d'une distribution) 94- 1 04- 137 Orientable 64 Ostrogradski 65-66 Ouvert de Nullité 1 6-99 Parabole semi-cubique 83 Parseval 1 99�233-236 Partie finie 1 1 3- 1 14- 1 1 7- 1 3 1 Partie finie bilatérale 1 17- 1 37 Partition de l 'unité 9-87 Peigne 45-48 Périodique 103-236

Plancherel 1 99 Presque partout 25 Poisson (formule de) 247 Potentiel 62 Primitive 1 08- 142-- 147-203 Produit tensoriel de mesures 4 1

de distributions 1 5 0 de peignes 1 54

de parties finies 154- 1 7 1 Radon-Nikodym (Théorème de) 69 Recouvrement ouvert 9 Régularisantes (suites) 85 Régularisation de distributions 85- 156-247 Répétition a-périodique 244 Représentation propre 54 Restriction 1 2-99 Schwartz (inégalité) 37- 1 06 Semi-continuité inférieure 1 9 Semi-continuité supérieure 2 1 Série de distributions 98-Série de Fourier 235 Solutions élémentaires 145-146 Sommable 33 Sommes de Riemann 50 Sommes de Stieltjes 5 1 Splines (fonctions B-) 239 Sphère unité 60 Suite convergente (de fonctions) 89 Suite convergente (de distributions) 89 Suite de Cauchy 38-39- 1 36- 1 90 Suite régularisante 85 Suite de type C-G 1 60 Suites exhaustives de compacts 1 3 Support compact (distribution à) 1 00-1 09 Support d'une fonction Support d'une distribution 99 Support d'une mesure 1 6 Support d'un peigne 47-80-8 1 Support d'un produit tensoriel 1 52 Support d'un produit convolutif 1 65 Tempérée 202

(mesure) 230 (peigne) 223

Topologie 9-88-9 1 Translation 1 03- 1 37- 1 95 Urysohn 9-87- 137 Valeur absolue (mesure) 1 1 Valeur principale 93- 137 Variation totale (d'une mesure) 13 - 16

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BIBLIOGRAPHIE

Ouvrages de mathématiques sur l'analyse classique et les distributions

[1] N. BOURBAKI Eléments de Maths : Livre V « Espaces vectoriels topologiques », [2] N. BOURBAKI Eléments lie Maths : Livre VI « Intégration », Actualités scientifiques et Industrielles Hermann Paris 53-55 . [3] R.BRACEWELL « The Fourier Transform and its applications » . McGraw-Hill New York 65 [4] G. DEMENGEL, P. BENICHOU, R. BENICHOU, N. BOY, J.P. POUGET « Distributions et applications » Collection Demengel. Editions Ellipses Paris 1 �96. [5] G. DEMENGEL « Transformations de Fourier généralisées » Editions Ellipses Paris 1 999. [6] J. DIEUDONNE « Calcul infinitésimal » Collection Méthodes Hermann 1 980 [7] J. DIEUDONNE « Eléments d 'Analyse » Tome II. Cahiers scientifiques GauthierVillars Editeurs 1 969. [8] G. GASQUET ET P. WITOMSKI «Analyse de Fourier et applications » Masson 1 990. [9] GELFAND ET CIDLOV « Les distributions », Traduction française Dunod 1 962 [10) A. GUICHARDET « Calcul intégral » Collection U Ed. Armand Colin [11 ) G.H.HARDY AND W.W. ROGOSINSKI « Fourier Series » Cambridge Tracts N°38 1950 [12) F.HmscH ET G. LACOMBE « Eléments d 'analysefonctionnelle » Masson 1 997 [13) HORV ARTH « Topological vector spaces and distributions » Springer Verlag 1 96 1 [14) A. PAPOULIS « The Fourier intégral and its applications » Mac Graw-Hill 1 962. [15) F. RoDDIER « Distributions et transformation de Fourier » Mac Graw-Hill 1 99 1 . [16) W. RUDIN «Analyse fonctionnelle » University ofWisconsin, Ediscience 1 995 [17) L.SCHWARTZ «Théorie des distributions » Tomes I et II (Actualités scientifiques et industrielles) Hermann 1 959 . [18) L.SCHWARTZ, «Méthodes mathématiques pour les sciences physiques » Hermann 1 983 [19] L.SCHWARTZ, « Traités d 'analyse » Tomes III et IV . Hermann 1 993 [20] L.SCHW ARTZ, « Cours de / 'Ecole Polytechnique » 1 967 [21] J.L. VERLEY « Théorie élémentaire de l 'intégration », CDU Paris V [22] Vo-KHAc KHoAN « Distributions. Analyse de Fourier » 2 tomes .Vuibert 1 972 [23) N. WIENER «The Fourier Integral and certain of its applications » Cambridge 1 933 [24) K . YoSHIDA « Fonctional analysis » Springer-Verlag 1 966. [25] A.H.ZEMANIAN « Distributions theory and transforms analysis », Mc Graw-Hill Book Company 1 965 . [26) C. ZUILY « Distributions et équations aux dérivées partielles, exercices corrigés » Hermann [27) A.ZYGMUND « Trigonometric Series » 2 tomes Cambridge at the University Press 1 959 . Cette bibliographie est loin d 'être exhaustive. D'autres références sont indiquées dans les ouvrages cités ci-dessus.

Imprimé en France Par MAME I mprimeurs à Tours

Dépôt légal Décembre 2000 (N° OO 1 1 2083)

Cet o uvrage s ' adresse aux étudiants en maîtrise de Mathématiques et Ingénierie mathématique, et, en raison des exemples qu' il contient, aux étudiants en maîtrise de type EEA, aux ingénieurs et aux physiciens théoriciens . Certaines parties , présentées en petits caractères, ainsi que certains passages des chapitres 3, 4, 5 s ' adressent davantage à des étudiants de DEA. Bien que le suj et soit essentiellement « les distributions » ,

une première approche est proposée avec l ' étude des mesures de Radon, qui constituent un premier exemple des fameuses « fonctionnelles généralisées . » de Laurent Schwartz. Outre les propriétés classiques des distributions (dérivations généralisées) (chapitre 1 ) , transformation de Fourier des distributions tempérées (chapitre 4) , développement en séries de Fourier de distributions périodiques (chapitre 5) , on trouvera au chapitre 3 une définition de convolabilité plus générale que la convolabilité usuelle, en termes de distributions, et une caractérisation des convoleurs, qui sont un outil-dé dans la correspondance par Fourier entre produits de convolution et produits multiplicatifs . Chaque chapitre comporte une partie purement théorique, une partie constituée d' étude d ' exemples, et un troisième volet proposant des exercices .

Françoise Demengel est ancienne élève de ! 'E N S. et professeur à l 'Université de Cergy-Pontoise. Gilbert Demengel est ancien élève de ! 'E N S. Cachan, ancien maître de conftrences à ! 'E N S. de Cachan, inspecteur général honoraire de ! 'Édu-cation nationale en Mathématiques. �-

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Mesures et distributions, th©orie et illustration par les exemples : Mesures de radon,...

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