METODE SIMPLEX

*METODE SIMPLEX

* LINEAR PROGRAMMINGSIMPLEX METHOD

*Simplex Method- An algebraic, iterative method to solve linear programming problems.

*The simplex method requires that the problem is expressed as a standard LP problem. This implies that all the constraints are expressed as equations by adding slack variables. (Variable yang mewakili tingkat pengangguran atau kapasitas yang merupakan batasan) S1 , S2, S3,……Sm

*The method uses Gaussian elimination (sweep out method) to solve the linear simultaneous equations generated in the process.

*Metode Simpleks

Metode simpleks merupakan prosedur aljabar yang bersifat iteratif yang bergerak selangkah demi selangkah, dimulai dari suatu titik ekstrem pada daerah fisibel menuju ke titik ekstrem yang optimum

*Berikut ini diberikan pengertian dari beberapa terminologi dasar yang banyak digunakan dalam membicarakan metode simpleks :

Maks atau Min : Z = c1x1 + c2x2 + ... +cnxnBerdasarkan : a11x1+a12x2+...+a1nxn = b1 a21x1+a22x2+...+a2nxn = b2

.

.

. am1x1+am2x2+...+amnxn =

bm xi ≥ 0 ( i = 1,2,...,n )

*Maka pembatas dari model tersebut dapat dituliskan ke dalam bentuk system persamaan AX = b*Perhatikan suatu system AX = b dari m persamaan linier dalam n variable (n>m).

* Definisi

* Solusi Basis Solusi basis untuk AX = b adalah solusi dimana terdapat

sebanyak-banyaknya m variabel berharga bukan nol. Untuk mendapatkan solusi basis dari AX = b maka

sebanyak (n-m) variabel harus dinolkan. Variabel-variabel yang dinolkan ini disebut variabel nonbasis (NBV). Selanjutnya, dapatkan harga dari n-(n-m) = m variabel lainnya yang memenuhi AX = b, yang disebut variabel basis (BV).

* Solusi Basis Fisibel Jika seluruh variabel pada suatu solusi basis berharga

nonnegatif, maka solusi itu disebut solusi basis fisibel (BFS)

* Solusi Fisibel Titik Ekstrem Yang dimaksud dengan solusi fisibel titik ekstrem atau

titik sudut ialah solusi fisibel yang tidak terletak pada segmen garis yang menghubungkan dua solusi fisibel lainnya.

* Ada tiga sifat pokok titik ekstrem ini, yaitu :

Sifat 1 : jika hanya ada satu solusi optimum, maka pasti ada satu titik ekstrem, atau jika solusi optimumnya banyak, maka paling sedikit ada dua titik ekstrem yang berdekatan.

Sifat 2 : hanya ada sejumlah terbatas titik ekstrem pada setiap persoalan.

Sifat 3 : jika suatu titik ekstrem memberikan harga z yang lebih baik dari yang lainnya, maka pasti solusi itu merupakan solusi optimum

Sifat 3 ini menjadi dasar dari metode simpleks.

*Prosedur Metode Simpleks :

1. Langkah inisialisasi : mulai dari suatu titik ekstrem (0,0)

2. Langkah iteratif : bergerak menuju titik ekstrem berdekatan yang lebih baik. Langkah ini diulangi sebanyak diperlukan.

3. Aturan penghentian : memberhentikan langkah ke-2 apabila telah sampai pada titik ekstrem yang terbaik (titik optimum).

Sebagai ringkasan dari ide metode simpleks ini ialah bahwa metode ini selalu dimulai pada suatu titik sudut fisibel, dan selalu bergerak melalui titik sudut fisibel yang berdekatan, menguji masing-masing titik mengenai optimalitasnya sebelum bergerak pada titik lainnya.

* Algoritma Simpleks untuk Persoalan Maksimasi

Untuk menyelesaikan persoalan LP dengan tujuan maksimasi menggunakan metode simpleks dilakukan dengan langkah-langkah berikut ini :1. Konversikan formulasi persoalan ke dalam bentuk

standar.2. Cari solusi basis fisibel.3. Jika seluruh NBV mempunyai koefisien nonnegatif

(artinya berharga positif atau nol) pada baris fungsi tujuan, maka BFS sudah optimal. Jika pada baris fungsi tujuan masih ada variabel dengan koefisien negatif, pilihlah salah satu variabel yang mempunyai koefisien paling negatif pada baris itu. Variabel ini akan memasuki status variabel basis, karena itu variabel ini disebut sebagai variabel yang masuk basis (entering variabel/EV).

4. Hitung rasio dari ruas kanan/koefisien EV pada setiap baris pembatas dimana EV-nya mempunyai koefisien positif. Variabel basis pada baris pembatas dengan rasio positif terkecil akan berubah status menjadi variabel nonbasis. Variabel ini kemudian disebut sebagai variabel yang meninggalkan basis (leaving variabel/LV)

Lakukan operasi baris elementer untuk membuat koefisien EV pada baris dengan rasio positif terkecil ini menjadi berharga 1 dan berharga 0 pada baris-baris lainnya.

5. Kembali ke langkah 3.Catatan : jika ditemukan lebih dari satu baris yang

mempunyai rasio positif terkecil, pilihlah salah satu. Cara ini tidak akan mempngaruhi hasil perhitungan akhir.

* Untuk menyelesaikan persoalan LP dengan fungsi tujuan meminimumkan Z, ada dua cara yang dapat dilakukan, yaitu :1. Mengubah fungsi tujuan dan

persamaannya, kemudian menyelesaikannya sebagai persoalan maksimasi.

2. Memodifikasi langkah 3 sehingga menjadi :

* Jika seluruh NBV pada baris fungsi tujuan mempunyai koefisien yang berharga nonpositif, maka BFS sudah optimal. Jika pada baris fungsi tujuan masih ada variabel dengan koefisien positif, pilihlah salah satu variabel yang berharga paling positif pada baris fungsi tujuan itu untuk menjadi EV.

* Kasus Khusus dalam Penggunaan Algoritma Simpleks

* Degenerasi Kasus ini terjadi apabila satu atau lebih variabel basis

berharga nol (b=0) sehingga iterasi yang dilakukan selanjutnya bisa menjadi suatu loop yang akan kembali pada bentuk sebelumnya. Kejadian ini disebut cycling atau circling.

* Solusi Optimum Banyak Suatu persoalan dapat memiliki lebih dari satu solusi

optimum. Kasus ini terjadi apabila fungsi tujuan paralel dengan fungsi pembatas, dimana paling sedikit salah satu dari variabel nonbasis (pada persamaan z pada iterasi terakhir) mempunyai koefisien berharga nol. Akibatnya walaupun variabel tersebut dinaikkan harganya (dijadikan variabel basis), harga Z tetap tidak berubah. Karena itu solusi-solusi optimumyang lain ini biasanya dapat diidentifikasi dengan cara menunjukkan iterasi-iterasi tambahan pada metode simpleksnya, dimana variabel-variabel nonbasis yang berkoefisien nol itu selalu dipilih untuk menjadi entering variabel.

* Solusi Tak Terbatas Kasus ini terjadi apabila ruang solusi tidak

terbatas sehingga nilai fungsi tujuan dapat meningkat (untuk maksimasi) atau menurun (untuk minimasi) secara tidak terbatas. Apabila persoalannya berdimensi dua dapat diselesaikan secara grafis. Akan tetapi, jika persoalan yang dihadapi berdimensi tiga atau lebih, maka untuk mendeteksi apakah solusinya terbatas atau tidak, dilakukan dengan cara : Perhatikan koefisien-koefisien pembatas dari variabel nonbasis pada suatu iterasi. Jika koefisien-koefisien tersebut berharga negatif atau nol berarti solusinya tak terbatas.

Jika koefisien fungsi tujuan variabel tersebut berharga negatif (untuk maksimasi) atau positif (untuk minimasi), maka nilai fungsi tujuannya tidak terbatas.

Slack Variables• Inequality constrains can be converted to

equalities by introducing “slack variables”

• Misal: X1+2X2+3X3+4X4 25, bisa ditulis sebagai X1+2X2+3X3+4X4+S = 25 dengan s 0 (slack variable)

• Atau: X1+2X2+3X3+4X4 25, bisa ditulis sebagai X1+2X2+3X3+4X4 - S = 25 dengan s 0 (slack variable)

Objective functionZ = C1 X1 + C2 X2 + C3 X3 + C4 X4 + .............+ Cn Xn

Constraints 1). a11 X1 + a12 X2 + a13 X3 + .........+ a1n Xn ≤ b1 2). a21 X1 + a22 X2 + a23 X3 + .........+ a1n Xn ≤ b2 3). a31 X1 + a32 X2 + a33 X3 + .........+ a3n Xn ≤ b3 4). a41 X1 + a42 X2 + a43 X3 + .........+ a4n Xn ≤ b4

. . . . . . . m). am1 X1 + am2 X2 + am3 X3 +.........+ amn Xn ≤ bm

Xi ≥ 0 , i = 1,2,3…..n bj 0 , j=1,2,…,m

X variables; c objective parameters; a constraints parameters; b right hand side value of constraints

Langkah penyelesaian (1)1. Represent the LP problem in standard form

Langkah penyelesaian (2)

;0 j

jjcz

dengan z adalah nilai dari fungsi tujuan

2. Nyatakan persamaan fungsi tujuan dalam bentuk

3. Rubah semua pertidaksamaan batasan (all inequality constrains) ke dalam bentuk persamaan batasan (equality constrains) dengan memasukkan variable Slack

4. Susun persamaan fungsi tujuan dan persamaan batasan ke dalam tabel simplex.

Lankah 1. • Maximize Z=4X1+5X2 (0)• Batasan:

X1 +2X2 40 (1)4X1 +3X2 120 (2)

CONTOH : Perusahaan barang tembikar

Langkah 2 dan 3

Fungsi tujuan Z - 4X1 - 5X2 = 0 (0)

X1 +2X2 + S1 = 40 (1)

4X1 +3X2 + S2 = 120 (2)


Batasan


Langkah 4 : Menyusun table Simplex awal (Iterasi0)

Basic Variable

Eqt.Coefficient of : RHS

(sol)Z X1 X2 S1 S2

Z (0) 1 -4 -5 0 0 0

S1 (1) 0 1 2 1 0 40

S2 (2) 0 4 3 0 1 120

Basic Variable (Variable dasar) : adalah variable yang nilainya sama dengan sisi kanan dari persamaan.Pada persamaan (1) dan (2) bila belum ada kegiatan maka X1 = 0 dan X2 = 0, sehingga nilai S1 = 40 dan nilai S2 = 120. Pada tabel awal diatas nilai Basic variable (S1 dan S2) pada fungsi tujuan harus 0 (nol).


Langkah 5 : Setelah data tersusun dalam tabel simplex awal, lakukan iterasi sehingga dihasilkan titik optimal5.1. Menentukan entering variable :

Dicari variabel yang paling sensitif terhadap fungsi tujuan (max Z).– Dari tabel (baris Z) terlihat bahwa nilai absolut koefisien X2

terbesar yaitu l5l, jadi dipilih X2 sebagai entering variable. Kolom X2 disebut pivot column (PC). Bila pada tabel sudah tidak mempunyai lagi koeffisien yang bernilai negatif pada baris fungsi tujuan, maka tabel ini tidak bisa lagi di optimalkan (sudah optimal).

– Selanjutnya hitung nilai ratio, Nilai kolom RHS dibagi dengan nilai pada pivot column yang berkesesuaian.

5.2. Menentukan Leaving variable: ditentukan berdasarkan nilai ratio minimum, dipilih S1

sebagai leaving variable. Baris S1disebut Pivot Raw (PR)

Iteration

Basic Variable


(sol) RatioZ X1 X2 S1 S2

0

Z (0) 1 -4 -5 0 0 0

S1 (1) 0 1 2 1 0 40 20

S2 (2) 0 4 3 0 1 120 40

Langkah penyelesaian

Pivot column

Ratio : 40/2 = 20minimum

Pivot elemen

t

Pivot Raw

Langkah penyelesaian5.3. Membuat table simplex kedua

• Bagi semua element pada Pivot Raw (PR) dengan Pivot Element. Dihasilkan element pivot raw baru.

• Gantilah basic variable pada baris itu dengan Variable yang terdapat diatas pivot column

Iteration

Basic Variable


(sol)Z X1 X2 S1 S2

1Z (0)

X2 (1) 0 0,5 1 0,5 0 20

S2 (2)


• Hitung nilai element pada baris yang lain (tidak termasuk element Pivot Raw) dengan cara :

Z 1 -4 -5 0 0 0

X2 0 -2,5 -5 -2,5 0 -100

Z 1 -1,5 0 2,5 0 100

Element baris baru = (Element baris lama) – (koeffisien pada pivot column) x (nilai element baru pivot raw)

Menghitung nilai baru element baris dari Z

Element baris lama -5 x element baru pivot raw

Element baris baru

Koeffisien pada PC

S2 0 4 3 0 1 120

X2 0 1,5 3 1,5 0 60

S2 0 2,5 0 -1,5 1 60

Menghitung nilai baru element baris dari S2

Element baris lama

3 x element baru pivot raw

Element baris baru

Koeffisien pada PC


Dihasilkan tabel simplex 2

Iteration

Basic Variable


(sol)Z X1 X2 S1 S2

1Z (0) 1 -1,5 0 2,5 0 100

X2 (1) 0 0,5 1 0,5 0 20

S2 (2) 0 2,5 0 -1,5 1 60


Tabel Simplex 2 (iterasi 1)

Pada baris fungsi tujuan masih ada koefisien berharga negatif, yaitu koefisien variable X1. Teruskan proses iterasi, dimulai dari langkah ke 5

Iteration

Basic Variable


(sol) RatioZ X1 X2

S1 S2

1

Z (0) 1 -1,5 0 2,5 0 100

X2 (1) 0 0,5 1 0,5 0 20 40

S2 (2) 0 2,5 0 -1,5 1 60 24


Pivot column

Ratio : 60/2,5 = 24minimum

Pivot elemen

tPivot Raw

Langkah 5.1 dan 5.2

Langkah 5.3. Membuat table simplex ketiga• Bagi semua element pada Pivot Raw (PR) dengan Pivot

Element. Dihasilkan element pivot raw baru.• Gantilah basic variable pada baris itu dengan Variable yang

terdapat diatas pivot column

Iteration

Basic Variable


(sol)Z X1 X2 S1 S2

1Z (0)

X2 (1)

X1 (2) 0 1 0 -0,6 0,4 24


• Hitung nilai element pada baris yang lain (tidak termasuk element Pivot Raw) dengan cara :

Z 1 -1,5 0 2,5 0 100

X1 0 -1,5 0 0,9 -0,6 -36

Z 1 0 0 1,6 0,6 136

Element baris baru = (Element baris lama) – (koeffisien pada pivot column) x (nilai element baru pivot raw)

Menghitung nilai baru element baris dari Z

Element baris lama -1,5 x element baru pivot raw

Element baris baru

Koeffisien pada PC


X2 0 0,5 1 0,5 0 20

X1 0 0,5 0 -0,3 0,2 12

X2 0 0 1 0,8 -0,2 8

Menghitung nilai baru element baris dari X2

Element baris lama 0,5 x element baru pivot raw

Element baris baru

Koeffisien pada PC

Dihasilkan tabel simplex 3

Iteration

Basic Variable

Eqt.

Coefficient of : RHS(sol)Z X1 X2 S1 S2

2Z (0) 1 0 0 1,6 0,6 136

X2 (1) 0 0 1 0,8 -0,2 8

X1 (2) 0 1 0 -0,6 0,4 24


Tabel Simplex 3

Pada baris fungsi tujuan tidak ada lagi koefisien berharga negatif, Dihasilkan titik optimal pada X1 = 24 dan X2 = 8 dengan nilai keuntungan Z = 136.

Iteration

Basic Variable


(Sol)Z X1 X2 S1 S2

0Z (0) 1 -4 -5 0 0 0S1 (1) 0 1 2 1 0 40

S2 (2) 0 4 3 0 1 120

1Z (0) 1 -1,5 0 2,5 0 100X2 (1) 0 0,5 1 0,5 0 20

S2 (2) 0 2,5 0 -1,5 1 60

2Z (0) 1 0 0 1,6 0,6 136X2 (1) 0 0 1 0,8 -0,2 8

X1 (2) 0 1 0 -0,6 0,4 24

Langkah penyelesaian SIMPLEX METHOD

* SIMPLEX METHOD

1. Bila ada dua atau lebih variabel non basis mempunyai koefisien negatif terbesar yang sama, maka pemilihan entering variable dapat dijalankan secara bebas.Mana yang lebih cepat mencapai optimal tidak dapat diprediksi.

Contoh : Fungsi tujuan pada contoh pabrik tembikar dirubah menjadi

• Maximize Z=4X1+4X2 (0)• Batasan:

X1 +2X2 40 (1)4X1 +3X2 120 (2)

Selanjutnya disusun tabel simplex awal

Basic Variab

leEqt.


Z (0) 1 -4 -4 0 0 0

S1 (1) 0 1 2 1 0 40

S2 (2) 0 4 3 0 1 120

SIMPLEX METHODTabel simplex awal

Dari tabel simplex awal, tampak variable non basis X1 dan X2 mempunyai nilai koefisien negatif yang sama yaitu -4. Oleh karena itu pada penyelesaian awal entering variable dapat dipilih X1 atau X2 .

SIMPLEX METHOD2. Bila ada dua atau lebih variabel basis mempunyai nilai

RATIO minimum yang sama, maka pemilihan leaving variable dapat dijalankan secara bebas.Mana yang lebih cepat mencapai optimal tidak dapat diprediksi.

Contoh : batasan (1) pada contoh pabrik tembikar dirubah menjadi

• Maximize Z=4X1+5X2 (0)• Batasan:

X1 +2X2 40 (1)4X1 +4X2 80 (2)

Selanjutnya disusun tabel simplex awal

SIMPLEX METHOD

Iteration

Basic Variable


(sol) RatioZ X1 X2 S1 S2

0Z (0) 1 -4 -5 0 0 0

S1 (1) 0 1 2 1 0 40 20S2 (2) 0 4 4 0 1 80 20

Tabel simplex awal

Pivot column

Ratio minimum

Dari tabel simplex awal, tampak variable basis S1 dan S2 mempunyai nilai ratio minimum yang sama yaitu 20. Oleh karena itu pada penyelesaian awal leaving variable dapat dipilih S1 atau S2 .

SIMPLEX METHODPenyelesaian simplex method bagi kasus yang menyimpang dari bentuk standard

Diselesaikan dengan mengintroduksi slack variable sebagai variable basis yang harganya sama dengan ruas kanan (positif)

j

jjczMaximize :

Subject to : aij Xj ≤ bi (bi > 0 )Xj ≥0

Bila ada penyimpangan dari bentuk standard dilakukan penyesuaian-penyesuaian di langkah awal. Setelah itu metode simplex diselesaikan seperti sebelumnya.

SIMPLEX METHODPendekatan standard : Teknik menggunakan Variable buatan (artificial Variable)

Memasukkan dummy variable (disebut artificial variable) ke dalam setiap batasan (constaints) yang memerlukan.

Variable yang baru akan menjadi variable basis pada pada penyelesaian awal bagi batasan (constaints) yang bersangkutan

Iterasi metode simplex akan membuat artificial variable menjadi nol, sehingga akhirnya satu persatu hilang.

SIMPLEX METHOD

1. Persamaan batasan (constraints) jenis = (sama dengan)

Contoh : Kasus awalMaximize . : Z = 3 X1 + 5 X2 (0)Constraints : X1 ≤ 4 (1)

2 X2 ≤ 12 (2)3 X1 + 2 X2 ≤ 18 (3)

Misalkan ≤ pada batasan (3) dirubah menjadi jenis = (sama dengan)

3 X1 + 2 X2 = 18 (3)

SIMPLEX METHOD

Pada batasan Persamaan (3) tidak terdapat variable basis. Ditambahkan artificial variable A ( 0), hasil revisi :

dihasilkanFungsi tujuan Z -3 X1 - 5 X2 = 0 (0)Constraints : X1 +S1 = 4 (1)

2 X2 + S2 = 12 (2) 3 X1 + 2 X2 = 18 (3)

Z -3 X1 - 5 X2 = 0 (0) X1 +S1 = 4 (1) 2 X2 + S2 = 12 (2) 3 X1 + 2 X2 + A = 18 (3)

SIMPLEX METHOD

Langkah selanjutnya memaksa nilai artificial variable A menjadi nol. Dapat dilakukan dengan metode Teknik M / metode penalty.Pada pendekatan ini fungsi tujuan dirubah dulu menjadi :

Pada hasil revisi ada 3 persamaan dengan 5 variable. Ada dua variable non basis X1 dan X2 yang pada penyelesaian layak awal harganya = 0.Dari persamaan (1), (2) dan (3) didapatkan nilai variable basisS1 = 4 , S2 = 12 dan A = 18

Z = 3 X1 + 5 X2 – MADengan M adalah bilangan positif yang sangat besar berhingga.Persamaan (0) dari fungsi tujuan akan menjadi

Z - 3 X1 - 5 X2 + MA = 0

SIMPLEX METHOD

Pada persamaan (0) yang direvisi terdapat variable basis dengan koefisien M. Variable basis harus dihilangkan dari persamaan (0). Baris Z yang dihasilkan (revisi) dikurangi dengan M kali setiap baris batasan yang sesuai.

-3 -5 0 0 M 0

-3M-3 -2M-5 0 0 0 - 18M

Baris Z pers (0) revisi

3 2 0 0 1 18- M

Baris Z pers (0) baru

Disusun tabel simplex awal. iterasi untuk mendapatkan nilai optimal. Dihasilkan X1 = 2, X2 = 6 dan Z = 36

Iteration

Basic variable

Eqt.Coefficient of RHS

Z X1 X2 S1 S2 A(Sol)

0

Z (0) 1 (-3M-3) (-2M-5) 0 0 0 -18MS1 (1) 0 1 0 1 0 0 4S2 (2) 0 0 2 0 1 0 12A (3) 0 3 2 0 0 1 18

SIMPLEX METHODTabel simplex awal

Pivot column

Pivot raw X1 : entering variable

S1 : leaving variable

SIMPLEX METHODPemilihan entering variable : Koefisien variable non basis pada persamaan tujuan mempunyai bentuk fungsi linear (aM + b)

a faktor penggandab faktor penambah

Karena M sangat besar, maka b selalu kecil dibandingkan terhadap aM.Pada umumnya pemilihan entering variable didasarkan pada nilai faktor pengganda a. Contoh Pada tabel awal :koefisien X1 adalah (-3M-3), untuk X2 adalah (-2M-5). Faktor pengganda 3 > 2, sehingga dipilih X1 sebagai entering variable.Bila pada koefisien tersebut nilai faktor pengganda sama, maka pemilihan entering variable didasarkan pada faktor penambah b

Iteration

Basic variable

Eqt.Coefficient of RHS

(Sol)Z X1 X2 S1 S2 A

1

Z (0) 1 0 (-2M-5) (3M+3) 0 0 -6M+12X1 (1) 0 1 0 1 0 0 4S2 (2) 0 0 2 0 1 0 12A (3) 0 0 2 -3 0 1 6

2

Z (0) 1 0 0 -9/2 0 (M+5/2) 27X1 (1) 0 1 0 1 0 0 4S2 (2) 0 0 0 3 1 -1 6X2 (3) 0 0 1 -3/2 0 1/2 3

SIMPLEX METHOD

3

Z (0) 1 0 0 0 3/2 (M+1) 36X1 (1) 0 1 0 0 -1/3 1/3 2S1 (2) 0 0 0 1 1/3 -1/3 2X2 (3) 0 0 1 0 1/2 0 6

SIMPLEX METHOD2. Pertidaksamaan jenis Dirubah menjadi dengan cara mengalikan kedua ruas pertidaksamaan dengan (-1).Contoh : 0,6 X1 + 0,4 X2 6 menjadi

-0,6 X1 - 0,4 X2 -6Ruas kiri ditambah slack variable

-0,6 X1 - 0,4 X2 + S = -6Nilai slack variable S = -6 negatif, tidak memenuhi syarat. Harus dikalikan (-1), dihasilkan :

0,6 X1 + 0,4 X2 - S = 6Ruas kanan persamaan terakhir sudah positif, namun koefisien slack variable tetap negatif selesaikan seperti kasus tipe = (sama dengan). Ditambah artificial variable A.

SIMPLEX METHOD 0,6 X1 + 0,4 X2 – S + A = 6

Artificial variable A dipakai sebagai variable basis awal (A=6). Dengan demikian S memulai sebagai variable non basis.Dengan mengintroduksi Artificial variable A , berarti metode teknik M juga diperlakukan disini.

3. Meminimumkan dirubah menjadi memaksimumkan yang equivalent

n

jjjXCZ

1Minimize

n

jjj XCZ

1)()(

Equivalent denganMaximize

Menyelesaikan optimal yang sama

SIMPLEX METHOD

Minimize : Z = 0,4 X1 + 0,5 X2 (0)Subject to : 0,3 X1 + 0,1 X2 2,7 (1)

0,5 X1 + 0,5 X2 = 6 (2) 0,6 X1 + 0,4 X2 6 (3) X1 0 , X2 0

Contoh :

Minimize : Z = 0,4 X1 + 0,5 X Maximize : (-Z) = -0,4 X1 - 0,5 X2

Penyelesaian :

Masukkan artificial variable A1 dan A2 pada pers (2) dan (3), dan terapkan metode Teknik M, maka Minimize : Z = 0,4 X1 + 0,5 X2 + MA1 + MA2

Maximize : (-Z) = -0,4 X1 - 0,5 X2 - MA1 - MA2

SIMPLEX METHOD

-Z + 0,4 X1 + 0,5 X2 + MA1 + MA2 = 0 (0) 0,3 X1 + 0,1 X2 + S1 = 2,7 (1) 0,5 X1 + 0,5 X2 + A1 = 6 (2) 0,6 X1 + 0,4 X2 - S2 + A2 = 6 (3)S1, A1 dan A2 adalah variable basis untuk penyelesaian dasar awal.

Sistem persamaan Maximize (-Z)

0,4 0,5 0 M 0 M 0Baris Z, pers (0) revisi0,5 0,5 0 1 0 0 6

Baris Z, pers (0) baru

-1,1M+0,4 -0,9M+0,5 0 0 M 0 -12M

-M0,6 0,4 0 0 -1 1 6-M

SIMPLEX METHOD

Iteration

Basic variable

Equation

Coefficient of RHS(Sol)Z X1 X2 S1 A1 S2 A2

0

Z (0) -1 -1,1M+0,4 -0,9M+0,5 0 0 M 0 -12MS1 (1) 0 0,3 0,1 1 0 0 0 2,7A1 (2) 0 0,5 0,5 0 1 0 0 6A2 (3) 0 0,6 0,4 0 0 -1 1 6

Tabel simplex awal

Pivot column

Pivot Raw Entering variable : X1

Leaving variable : S1

Iteration

Basic variable

Equation

Coefficient of RHS(Sol)Z X1 X2 S1 A1 S2 A2

1

Z (0) -1 0 -16/30M+11/30 11/3M+4/3 0 M 0 -2,1M-3,6X1 (1) 0 1 1/3 1 0 0 0 9A1 (2) 0 0 1/3 0 1 0 0 1,5A2 (3) 0 0 0,2 0 0 -1 1 0,6

SIMPLEX METHOD

* Teori Dualitas dan analisa sensitivitas

Contoh : Masalah Diet.Tabel berikut memberikan gambaran jumlah mineral dan vitamin yang harus dikonsumsi oleh pasien. Mineral dan vitamin berasal dari dua jenis makanan daging dan sayuran.

Kandungan Makanan Kebutuhan minimum per hariDaging sayuran

Mineral 2 4 40Vitamin 3 2 50Harga/unit 3 2,5

Persoalan : Menentukan jumlah pembelian daging dan sayuran sedemikian sehingga kebutuhan min akan mineral dan vitamin terpenuhi.

Formulasi model LP : Misal X1 jumlah daging dan X2 jumlah sayuran

• Fungsi tujuan : Minimize Z=3X1+2,5X2 (0)• Batasan:

2X1 +4X2 40 (1)3X1 +2X2 50

(2)X1 0 , X2 0• Sekarang pikirkan masalah yang berbeda yang masih

berhubungan dengan masalah yang asli (disebut primal).• Sebuah Dealer menjual Mineral dan Vitamin• Restoran setempat membeli mineral dan vitamin dari dealer

dan membuat daging dan sayuran tiruan yang mengandung mineral dan vitamin seperti yang tertulis pada tabel

*Teori Dualitas dan ………….

• Persoalan bagi dealer : Menetapkan harga jual mineral dan vitamin per unitnya yang maximum sedemikian sehingga menghasilkan harga daging dan sayuran tiruan tidak melebihi harga pasar yang ada.

• Dealer memutuskan harga per unit Mineral Y1 dan Vitamin Y2

• Kebutuhan mineral 40 harga total 40 Y1

• Kebutuhan vitamin 50 harga total 50 Y2

• Harga per unit daging ( mengandung 2 mineral dan 3 vitamin) adalah 2 Y1 +3 Y2 3

• Harga per unit sayuran ( mengandung 4 mineral dan 2 vitamin) adalah 4 Y1 +2 Y2 2,5


Fungsi tujuan : Maximize W =40 Y1 + 50 Y2 (0)Batasan

2 Y1 + 3 Y2 3 (1)

4 Y1 + 2 Y2 2,5(2)

Y1 0 , Y2 0

Perumusan masalah dalam bentuk model LP

Disebut bentuk Dual. Y1 dan Y2 dinamakan variable dual


Teori Dualitas …….. Dualitas ?Dalam kenyataan ternyata disetiap bentuk LP terdapat 2 bentuk

1. Bentuk I atau bentuk asli dan dinamakan PRIMAL2. Bentuk II yang berhubungan dan dinamkan DUAL demikian

sehingga suatu solusi terhadap LP yang asli juga memberikan solusi pada bentuk dual nya.

Asumsi dalam teori dualitas adalah bahwa masalah primal dalam bentuk standard.

n

jjjXCZ

1Maximize :

Constraints : mibXa in

jjij .....,3,2,1

1

0jX

Fungsi tujuan : Maximize W =40 Y1 + 50 Y2

(0)Batasan

2Y1 + 3 Y2 3 (1)

4 Y1 + 2 Y2 2,5(2)

Y1 0 , Y2 0

Perbandingan masalah Primal dan Dual

Fungsi tujuan : Minimize Z=3X1+2,5X2 (0)Batasan:

2X1 +4X2 40 (1)

3X1 +2X2 50(2)

X1 0 , X2 0

PRIM

ALD

UAL


1. Koefisien fungsi tujuan masalah primal menjadi konstanta sisi kanan masalah Dual

2. Konstanta sisi kanan primal menjadi koefisien fungsi tujuan masalah Dual

3. Tanda pertidaksamaan dibalik4. Tujuan diubah dari minimze (maximize) dalam primal

menjadi maximize (minimze) dalam dual5. Setiap kolom pada primal berhubungan dengan suatu

baris (kendala) dalam dual. banyaknya kendala dalam dualsama dengan banyaknya variable primal

6. Setiap baris kendala pada primal berhubungan dengan suatu kolom dalam dual. ada satu variable dual untuk setiap kendala primal


Teori Dualitas …….. Tabel Primal dual untuk LP

Maximize Z = C1 X1 + C2 X2 + C3 X3 +.....+ Cn Xn Constraints 1). a11 X1 + a12 X2 + a13 X3 + .........+ a1n Xn ≤ b1 2). a21 X1 + a22 X2 + a23 X3 + .........+ a1n Xn ≤ b2

. . . . ......... ... . m). am1 X1 + am2 X2 + am3 X3 +.........+ amn Xn ≤ bm

Xj ≥ 0 , j = 1,2,3…..n Minimize W = b1 Y1 + b2 Y2 + b3 Y3 +.....+ bm YmConstraints

1). a11 Y1 + a21 Y2 + a31 Y3 + ........+ am1 Ym C1 2). a12 Y1 + a22 Y2 + a32 Y3 + ........+ am2 Ym C2

. . . . ......... .... n). a1n Y1 + a2n Y2 + a3n Y3 + ........+ amn Ym Cn

Yj ≥ 0 , i = 1,2,3…..m

Prim

aln

Var,

m C

onst

rD

UAL

m v

ar, n

co n

str

Teori Dualitas …….. PRIMAL DUAL

n

jjjCZ

1Max. :

Constraints

in

jjij bXa

1

miuntuk

oX j....3,2,1

m

iiiYbW

1Min. :

jm

iiij CYa

1

Constraints

nuntukoYi

....3,2,1j

Min : W = Y bConstraint Y a C Y 0

Max : Z = C XConstraint a X b X 0

Teori Dualitas …….. contoh

Max. :

2

1 53XX

Z

Constraints

18124

232001

2

1XX

00

2

1XX

Min. :

18124

321 YYYW

Constraints

53 232001

321

YYY

000321 YYY

PRIMAL DUAL

Teori Dualitas ……..

n

jjjCZ

1Max. :

Constraints

in

jjij bXa

1

miuntuk

oX j....3,2,1

m

iiiYbW

1Min. :

jm

iiij CYa

1

Constraints

nuntukoYi

....3,2,1j

Masalah Primal dual simetris : Semua variable dibatasi non negatif dan semua batasan berupa pertidaksamaan

Teori Dualitas …….. contoh

Max. :

2

1 53XX

Z

Constraints

18124

232001

2

1XX

00

2

1XX

Min. :

18124

321 YYYW

Constraints

53 232001

321

YYY

000321 YYY

PRIMAL DUAL


MASALAH PRIMALRUAS KANAN

Koefisien dariX1 X2 . . Xn

Y1 a11 a12 a13 . a1n ≤ b1

Y2 a21 a22 a23 . a2n ≤ b2

Y3 a31 a32 a33 . a3n ≤ b3

. . . . . . .

. . . . . . .Ym am1 am2 am3 . amn ≤ bm

≥ ≥ ≥ . ≥C1 C2 C3 . Cn

Koefisien fungsi tujuan (max.)

TABEL PRIMAL DUAL

Koeffi

sien

fung

si tu

juan

(Min

.)

MAS

ALAH

DU

ALKo

efisie

n da

riRU

AS

KANA

N


X1 X2

Y1 2 4 40Y2 3 2 50

≤ ≤3 2,5

Contoh TABEL PRIMAL DUAL

Fungsi tujuan : Minimize Z=3X1+2,5X2 (0)Batasan:

2X1 +4X2 40 (1)3X1 +2X2 50

(2)X1 0 , X2 0

Teori Dualitas …….. Soal : Kerjakan dan kumpulkanSebuah perusahaan memproduksi jaket dan tas kulit. Sebuah jaket memerlukan 8 meter persegi kulit, sementara sebuah tas hanya menggunakan 3 meter persegi. Untuk menyelesaikan sebuah jaket dan tas diperlukan waktu masing-masing 12 dan 4 jam. Harga pembelian kulit adalah $ 8 per meter persegi dan biaya tenaga kerja diperkirakan $ 15 per jam. Persediaan kulit dan jam tenaga kerja mingguan dibatasi 1200 meter persegi dan 1800 jam. Perusahaan menjual jaket dan tas masing-masing dengan harga $ 350 dan $120. Tujuan perusahaan menentukan produksi mingguan jaket dan tas untuk memaksimumkan pendapatan bersih.

1. Buat formulasi model dari kasus diatas2. Berapa pendapatan bersih mingguan3. Buat formulasi model dari bentuk dual kasus tersebut4. dan buatlah tabel masalah Primal-Dual nya.

Teori Dualitas …….. Hubungan Primal Dual untuk semua masalah LP, bentuk Primal masalah Maximize

PRIMAL DUALMaximize Minimize

ith constraint ≥ type Dual var. Yi ≤0ith constraint ≤ type Dual var. Yi ≥0ith constraint = type Yi unrestricted

Xj ≥ 0 jth constraint ≥ typeXj ≤ 0 jth constraint ≤type

Xj unrestricted jth constraint = type

Teori Dualitas …….. Hubungan Primal Dual untuk semua masalah LP, bentuk Primal masalah Minimize

PRIMAL DUALMinimize Maximize

ith constraint type Dual var. Yi 0ith constraint ≤ type Dual var. Yi ≤ 0ith constraint = type Yi unrestricted

Xj ≥ 0 jth constraint ≤ typeXj ≤ 0 jth constraint ≥ type

Xj unrestricted jth constraint = type


Primal Problem:Max z = 7x1+ 10x2 - x3

subject to5x1+ 4x2 ≤ 242x1 +5x2 + 3x3 = 13x1 - 2x2 + x3 ≥5

x2 + 2x3 ≤ 10

x1 ≥ 0, x2 ≤ 0 , x3 unrestricted

Dual Problem :

Min W = 24Y1+ 13Y2 + 5Y3 + 10Y4

5Y1 + 2Y2 + Y3 7 4Y1 + 5Y2 – 2Y3 + Y4 10

subject to

3Y2 – Y3 + 2Y4 = - 1

Y1 ≥ 0, Y2 unrestricted, Y3 ≤ 0 ,Y4 ≥ 0

Properties of Primal & Dual Problems1. Dual dari dual adalah primal2. Tabel simplex optimal yang berkaitan dengan satu masalah

(primal atau dual) secara langsung memberikan informasi lengkap tentang pemecahan optimal untuk masalah lainnya.

3. Setiap pasangan pemecahan primal dan dual yang layak

Nilai tujuan dalam masalah max, < Nilai tujuan dalam

masalah min,

4. Dalam pemecahan optimal untuk kedua masalah

Nilai tujuan dalam masalah max, Z = Nilai tujuan dalam

masalah min, W

Properties of Primal & Dual ……..Contoh :

Fungsi tujuan : Minimize Z= 5X1+2 X2 (0)Batasan:

X1 - X2 3 (1)

2X1 +3X2 5(2)

X1 0 , X2 0

PRIMAL

Pemecahan PRIMAL layak : X1 =3 dan X2 = 0Nilai tujuan PRIMAL Minimize Z =5 x 3 + 2 x 0 = 15

Fungsi tujuan : Maximize W =3Y1+5Y2 (0)Batasan:

Y1 +2Y2 ≤5 (1) -Y1 +3Y2 ≤2 (2)

Y1 0 , Y2 0

Properties of Primal & Dual ……..DUAL

Pemecahan DUAL layak : Y1 =3 dan Y2 = 1Nilai tujuan DUAL maximize W =3 x 3 + 5 x 1 = 14

14 (NILAI MAX) ≤ 15 (NILAI MIN)

Properties of Primal & Dual ……..Pemecahan Dual optimalDari tabel simplex akhir primal optimal dapat dihasilkan solusi dual optimal. Nilai koefisien dari slack atau artificial variable pada baris fungsi tujuan dari tabel simplex akhir primal optimal merupakan nilai dual optimal yang berkesesuaian.

Contoh : masalah PrimalMaximize Z = 2X1+X2 (0)Batasan X1+5X2 ≤ 10 (1)

X1+3X2 ≤ 6 (2)2X1+2X2 ≤ 8 (3)X1 0 , X2 0

Properties of Primal & Dual ……..Masalah Dual :Minimize W = 10 Y1 + 6 Y2 + 8 Y3 (0)

Batasan Y1 + Y2 + 2 Y3 ≥2 (1)

5Y1 + 3 Y2 + 2 Y3 ≥1 (2)

Y1 0 , Y2 0 , Y3 0

Iteration

Basic Variable

Eqt.

Coefficient of : RHS(sol)

Z X1 X2 S1 S2 S3

0

Z (0) 1 -2 -1 0 0 0 0S1 (1) 0 1 5 1 0 0 10S2 (2) 0 1 3 0 1 0 6S3 (3) 0 2 2 0 0 1 8

Tabel simplex awal

primal

Iteration

Basic Variable


(sol)Z X1 X2 S1 S2 S3

…

Z (0) 1 0 1 0 0 1 8S3 (1) 0 0 4 1 0 -1/2 6S2 (2) 0 0 2 0 1 -1/2 2X1 (3) 0 1 1 0 0 1/2 4

Tabel Simplex akhir Masalah Primal optimal

Nilai Optimal X1 = 4 dan X2 = 0. dengan fungsi tujuan Max. Z = 8

Nilai optimal Y adalah koefisien var. S

Y1 = Y2 = 0, Y3 = 1 dengan W = 8

Properties of Primal & Dual ……..Interpretasi ekonomi dalam masalah Dual

HARGA DUAL (DUAL PRICE)

n

jjjCZ

1Max. :

Constraints

in

1jjij bXa

m321i untuk

oX j

....,,

m

iiiYbW

1Min. :

jm

iiij CYa

1

Constraints

n321j untukedunrestrict Yi

....,,

PRIMAL DUAL

Properties of Primal & Dual ……..Cj mewakili laba marginal dari kegiatan j yang tingkat kegiatannya xj unit.

n

1jjjXC

m

1ijijXa

m

1iii

n

1jjj YbXC

mewakili laba dari semua kegiatan

mewakili penggunaan sumber daya

Untuk pemecahan Optimal : Z = W

Mewakili nilai uang pengembalian

Jumlah (unit) sumber i

Nilai uang per unit sumber i

Properties of Primal & Dual ……..

i)sumber unit / i)($sumber unit(ian)(pengembal m

1i

$

Variable dual Yi mewakili nilai per unit sumber i. Disebut harga dual atau harga bayangan (shadow price)

Significance of Dual Problem

1. Mathematically very important2. Computationally One model (with fewer constraints) is easier to solve

3. Economic interpretation of the dual variable (shadow price) Shadow price of constraint i gives the rate of change in

the objective function per unit change in the RHS value of the constraint.

Why sensitivity analysis is important?• Many coefficients are estimated• Want to know the sensitivity of the optimal solution

with respect to these coefficients.

Sensitivity AnalysisThere are three kinds of such analysis:1. Objective function ranging (coefficient ranging)

(tujuan/cost, harga jual)2. RHS value ranging (produk)3. Constraint coefficient ranging (batasan)

Sensitivity AnalysisSensitivity analysis is to answer the following question:How does the optimal solution change as a coefficientis varied from its given value?

Range Objective Function CoefficientsCase 1: Non-basic variable

What happens if the coefficient of a non-basic objectivefunction, cj, is changed by an amount of δ?What range of values for δ is the current solution remainsoptimal?

Consider the following LP problem:

max z = 20x1+ 10x2

subject to5x1+ 4x2 ≤ 242x1+ 5x2 ≤ 13x1 , x2 ≥ 0

* Range Objective Function Coefficients(Continued)

Initial Simplex tableau:

Basic Variab

leEqt.


Ratio

Z X1 X2 S1 S2

Z (0) 1 -20 -10 0 0 0

S1 (1) 0 5 4 1 0 24 24/5S2 (2) 0 2 5 0 1 13 13/2

* Range Objective Function Coefficients(Continued)

Final Simplex tableau:

Basic Variab

leEqt.


Z X1 X2 S1 S2

Z (0) 1 0 6 4 0 96

X1 (1) 0 1 4/5 1/5 0 24/5

S2 (2) 0 0 17/5 -2/5 1 17/5

* Range Objective Function Coefficients (Continued)

Basic Variab

leEqt.


Ratio

Z X1 X2 S1 S2

Z (0) 1 -20 -10-δ 0 0 0

S1 (1) 0 5 4 1 0 24 24/5S2 (2) 0 2 5 0 1 13 13/2

If c2= 10 + δ, what would happen to the coefficientsin the objective function row?

Row(0) are updated from the initial tableau to :


Basic Variab

leEqt.


Z X1 X2 S1 S2

Z (0) 1 0 6-δ 4 0 96

X1 (1) 0 1 4/5 1/5 0 24/5

S2 (2) 0 0 17/5 -2/5 1 17/5

It follows that the final Simplex tableau is given by

Hence, the existing basic will remain optimal as long as6 - δ ≥0 δ≤6.In other words, the solution will remain optimal as long as c2 ≤ 16.If c2 >16, then Row(0) coefficient for x2 becomes negative andx2 would enter the solution and s2 would become nonbasic.


Basic Variab

leEqt.


Ratio

Z X1 X2 S1 S2

Z (0) 1 -20- δ -10 0 0 0

S1 (1) 0 5 4 1 0 24 24/5S2 (2) 0 2 5 0 1 13 13/2

Case 2: Basic variableWhat happens if the coefficient of a basic objective function,cj, is changed by an amount of δ?If c1 = 20+δ, what would happen to the coefficients in theobjective function row?Row(0) are updated from the initial tableau to :


Basic Variab

leEqt.


Z X1 X2 S1 S2

Z (0) 1 - δ 6 4 0 96

X1 (1) 0 1 4/5 1/5 0 24/5

S2 (2) 0 0 17/5 -2/5 1 17/5

The second Simplex tableau now becomes

Note that the coefficient in column x1and Row(0) should be eliminated. This reduces to the following Simplex tableau:


Basic Variab

leEqt.


Z X1 X2 S1 S2

Z (0) 1 0 6+(4/5) δ 4+ δ/5 0 96+(24/5) δ

X1 (1) 0 1 4/5 1/5 0 24/5

S2 (2) 0 0 17/5 -2/5 1 17/5

The final Simplex tableau now becomes

Hence, in order for the current solution to remain optimal, we need

6+(4/5)δ ≥ 04+ δ/5 ≥ 0 It follows that

δ ≥ -7.5δ ≥ -20This gives δ ≥ -7.5 or c1 ≥ 12.5.

*Range RHS Value

Basic Variab

leEqt.


Ratio

Z X1 X2 S1 S2

Z (0) 1 -20 -10 0 0 0

S1 (1) 0 5 4 1 0 24 +δ (24+ δ )/5S2 (2) 0 2 5 0 1 13 13/2

What happens if bi, is changed by an amount of δ?If b1 = 24+δ, Row(0) are updated from the initial tableau to :

*Range RHS Value

Basic Variab

leEqt.


Z (0) 1 0 6 4 0 96+4δX1 (1) 0 1 4/5 1/5 0 24/5 + δ/5

S2 (2) 0 0 17/5 -2/5 1 17/5 –(2/5) δ

then the final Simplex tableau now becomes :

That is, the RHS column is replaced by the sum of the RHS column and δ times the s1 column.

Now, in order for the current solution remains optimal, it must be feasible. That is

This gives -24 ≤ δ ≤ 8.5 or 0 ≤ b1 ≤ 32.5.24/5 + δ/5 ≥ 017/5 – (2/5)δ ≥ 0

*Range RHS Value

Basic Variab

leEqt.


Z (0) 1 0 6 4 0 96X1 (1) 0 1 4/5 1/5 0 24/5

S2 (2) 0 0 17/5 -2/5 1 17/5 + δ

Similarly, if b2 = 13 + δ, then the final Simplex tableau now becomes :

It follows that

δ ≥ -17/5 or b2 ≥ 9.6

Date post:	22-Feb-2016
Category:	Documents
Upload:	lynch
View:	502 times
Download:	1 times

METODE SIMPLEX

Documents