Date post: | 26-Dec-2015 |
Category: |
Documents |
Upload: | luis-vidaurre |
View: | 24 times |
Download: | 4 times |
CAPITULO 8 PORTICOS PLANOS ____________________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -1-
Capítulo 8
Método de Rigidez - Pórticos Planos
8.1- Pórticos con nudos rígidos
En este capítulo se presenta el análisis de pórticos planos que, a diferencia de los
reticulados vistos anteriormente, presentan continuidad de giros en los nudos. Por tal motivo,
resulta necesario considerar al giro de cada nudo como un grado de libertad adicional en el
vector de los desplazamientos nodales. En la Figura 8.1 (a) se ilustra un nudo articulado que
corresponde a un reticulado ideal. El caso (b) es un nudo rígido en el sentido que el giro de los
extremos de todas las barras que concurren al nudo resulta el mismo. El caso (c) es un nudo
combinado, y finalmente el (d) representa esquemáticamente un nudo semirígido en el que la
articulación incorporada que vincula a las dos partes que conecta posee cierta restricción elástica.
Figura 8.1
La atención se centrará en el estudio del caso (b) para el cual las rotaciones de todos los
extremos de barra que concurren al nudo son iguales entre sí, e iguales a la rotación del nudo.
CAPITULO 8 PORTICOS PLANOS ____________________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -2-
También se supondrá por ahora que las cargas (fuerzas y momentos) actúan sólo en los
nudos. El caso de cargas actuando en el interior de los tramos constituye una situación más
habitual, y será estudiada en detalle en el próximo capítulo.
Este capítulo se dedica a pórticos planos constituidos por barras prismáticas de
eje recto y nudos rígidos sometidos a cargas en los nudos contenidas en el plano.
Una barra prismática consiste en una barra recta de sección transversal constante. Se
desarrolla a continuación un procedimiento análogo al del Capítulo 7 referido al reticulado ideal.
En este caso, el número de G.L. por nudo es 3: dos desplazamientos o corrimientos, y un giro. Se
utiliza la convención de signos indicada en la Figura 8.2, en la que son positivos los momentos y
giros antihorarios.
La rigidez de los elementos no sólo resultan funciones de E y A , sino también del
momento de inercia I (además de la longitud L y la orientación de la barra).
Figura 8.2
8.2- Matriz de rigidez de una barra prismática
El sistema de equilibrio para el caso de una barra prismática de un pórtico plano (tres
incógnitas por nudo) puede escribirse en notación matricial de la siguiente forma:
11 12 13 14 15 16
21 22 23 24 25 26
31 32 33 34 35 36
41 42 43 44 45 46
51 52 53 54 55 56
61 62 63 64 65 66
.
x xi iy y
i i
i ix x
j jy y
j j
j j
K K K K K K U PK K K K K K U PK K K K K K MK K K K K K U PK K K K K K U PK K K K K K M
(Ec. 8.1)
La ecuación (Ec. 8.1) se conoce como ecuación fuerza-desplazamiento de la barra. Para
deducir los elementos por un razonamiento físico similar al empleado en la sección 7.2, se
procede a aplicar un desplazamiento unitario dejando los restantes nulos:
1 ; 0x y x yi i i j j jU U U U
jx
jU
yjU
CAPITULO 8 PORTICOS PLANOS ____________________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -3-
En el problema hiperestático de la Figura 8.3, el nudo "j" constituye un empotramiento,
mientras que el nudo "i" sufre tres desplazamientos prefijados: uno unitario y los otros dos nulos.
Figura 8.3
La distribución de esfuerzos y reacciones de este caso genérico puede calcularse en base a
la ecuación diferencial de la elástica. A los efectos de simplificar el cálculo de la matriz de
rigidez resulta conveniente formular el problema en un sistema de coordenadas locales. Luego, el
caso general indicado en la Figura 8.3 surge de aplicar un proceso de rotación de coordenadas al
sistema global de coordenadas partiendo de la matriz expresada en el sistema local, uno de cuyos
ejes coincide con el eje longitudinal de la barra.
Matriz de rigidez en coordenadas locales
El sistema local de coordenadas que se adopta es tal que el eje lx coincide con el eje de la
barra y el sentido positivo es del nudo "i" hacia el nudo "j".
La deducción de la matriz K del sistema de la (Ec. 8.1), en forma genérica para el caso
de la Figura 8.4 (b), resulta relativamente simple y se desarrolla a continuación.
Figura 8.4
lxly ly
lxi j
11K
21K31K
41K
51K
61K
CAPITULO 8 PORTICOS PLANOS ____________________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -4-
La primera columna de la matriz en el sistema local se obtiene imponiendo los siguientes
desplazamientos y giros:
1
0
xiy x y
i i j j j
UU U U
Figura 8.5
La solución se logra considerando la ley de Hooke, y aprovechando el desacoplamiento
entre el comportamiento axial (desplazamientos longitudinales) y el comportamiento flexional
(desplazamientos transversales y giros). Esto significa que los desplazamientos en la dirección x
sólo producen esfuerzos axiales, no apareciendo fuerzas transversales (dirección y) ni momentos.
Por otra parte, los desplazamientos en la dirección y y los giros sólo producen esfuerzos de corte
y momentos flectores, no apareciendo fuerzas longitudinales (dirección x). De esta forma:
11 21 31 41 51 61; 0; 0; ; 0; 0EA EAK K K K K KL L
(Ec. 8.2)
La segunda columna se obtiene imponiendo los siguientes desplazamientos y giros:
1
0
yix x y
i i j j j
UU U U
Figura 8.6
Este caso requiere resolver la ecuación diferencial de la elástica de la viga en flexión que
se reescribe a continuación (teoría de vigas de Euler-Bernoulli): 4
4
d yq EIdx
(Ec. 8.3)
12K
22K32K
42K
52K
62K
11K
21K31K
41K
51K
61K
ij
CAPITULO 8 PORTICOS PLANOS ____________________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -5-
La convención de signos utilizada es la misma que fuera presentada en el Capítulo 1.
La solución homogénea que resulta de interés en este caso se expresa como: 2 3
0 1 2 3( )y x C C x C x C x (Ec. 8.4)
El giro, el momento flector y el esfuerzo de corte se obtienen de la siguiente forma:
21 2 3( ) ( ) ( ) 2 3dx y x y x C C x C x
dx (Ec. 8.5)
2
2 32( ) ( ) ( ) 2 6dM x EI y x EI y x EI C C xdx
(Ec. 8.6)
3
33( ) ( ) ( ) 6dQ x EI y x EI y x EI Cdx
(Ec. 8.7)
Las constantes de integración se calculan planteando las siguientes 4 condiciones de
borde:
En 0 : En :(0) 1 ( ) 0(0) (0) 0 ( ) ( ) 0
x x Ly y L
y L y L
(Ec. 8.8)
o en forma matricial
0
12 3
22
3
1 0 0 0 10 1 0 0 01 00 1 2 3 0
CCCL L LCL L
(Ec. 8.9)
De las condiciones de borde para x = 0 surge que C0 = 1 y C1 = 0, por lo que las restantes
constantes pueden obtenerse resolviendo el siguiente sistema reducido: 22 3
2 232
3 3
1 30 22 3
C C LL LC C LL L
(Ec. 8.10)
De acuerdo a (Ec. 8.6) y (Ec. 8.7), el momento flector y el esfuerzo de corte resultan:
2
6( ) 2 1EIM x x LL
(Ec. 8.11)
3
12( ) EIQ xL
(Ec. 8.12)
CAPITULO 8 PORTICOS PLANOS ____________________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -6-
Téngase en cuenta que, según la convención de signos adoptada, un momento flector
positivo es producido por un momento exterior negativo aplicado a la izquierda y un momento
exterior positivo a la derecha de la sección considerada. Por otra parte, un esfuerzo de corte
positivo es producido por una fuerza exterior positiva a la izquierda y una fuerza exterior
negativa a la derecha de la sección considerada.
De esta forma, las reacciones de los extremos de la viga de la Figura 8.6 resultan:
22 323 2
52 623 2
12 6(0) ; (0) ;
12 6( ) ; ( )
EI EIK Q K ML L
EI EIK Q L K M LL L
(Ec. 8.13)
Debido a que el comportamiento axial está desacoplado del comportamiento flexional, la
fuerza axial resulta nula. En definitiva, los coeficientes de la segunda columna resultan:
12 22 32 42 52 623 2 3 2
12 6 12 60; ; ; 0; ;EI EI EI EIK K K K K KL L L L
(Ec. 8.14)
De manera similar, la tercera columna de la matriz de rigidez se obtiene imponiendo los
siguientes desplazamientos y giros:
1
0i
x y x yi i j j jU U U U
Figura 8.7
En este caso, las constantes de integración de la solución general en (Ec. 8.4) se obtienen
planteando las 4 condiciones de borde indicadas a continuación:
En 0 : En :(0) 0 ( ) 0(0) (0) 1 ( ) ( ) 0
x x Ly y L
y L y L
(Ec. 8.15)
o en forma matricial
0
12 3
22
3
1 0 0 0 00 1 0 0 11 00 1 2 3 0
CCCL L LCL L
(Ec. 8.16)
2X
1X
1
CAPITULO 8 PORTICOS PLANOS ____________________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -7-
De las condiciones de borde para x = 0 surge que C0 = 0 y C1 = 1, por lo que las restantes
constantes pueden obtenerse resolviendo el siguiente sistema reducido: 2 3
2 222
3 3
2112 3
C C LLL LC C LL L
(Ec. 8.17)
De acuerdo a (Ec. 8.6) y (Ec. 8.7), el momento flector y el esfuerzo de corte resultan:
2( ) 3 2EIM x x LL
(Ec. 8.18)
2
6( ) EIQ xL
(Ec. 8.19)
mientras que las reacciones de los extremos de la viga de la Figura 8.7 resultan:
23 332
53 632
6 4(0) ; (0) ;
6 2( ) ; ( )
EI EIK Q K ML L
EI EIK Q L K M LL L
(Ec. 8.20)
Dado que el comportamiento axial está desacoplado del comportamiento flexional, la
fuerza axial resulta nula. En definitiva, los coeficientes de la tercera columna resultan:
13 23 33 43 53 632 2
6 4 6 20; ; ; 0; ;EI EI EI EIK K K K K KL L L L
(Ec. 8.21)
Considerando el Teorema de Reciprocidad se puede anticipar que la fuerza vertical en "i"
23K cuando 1i resulta igual al momento en "i" 32K cuando 1yiU . Está propiedad es
general y permite afirmar que la matriz de rigidez es siempre simétrica.
Repitiendo el procedimiento se pueden deducir las restantes columnas y obtener la forma
explícita (genérica) del sistema de la (Ec. 8.1) introduciendo la siguiente notación:
1 2 1 2
32 3 2
1 2 1 2
32 2 3
0 0 0 00 0
0 02
0 0 0 00 0
0 02
x xi iy y
i i
i ix x
j jy y
j j
j jl l
l
K KU PK K K KU PKK K K MU PK KU PK K K K
MKK K K
(Ec. 8.22)
1 2 33 2; 12 ; 6 ; 4EA EI EI EIK K K KL L L L
De esta forma, la (Ec. 8.22) define la matriz de una barra cuyo eje baricéntrico
coincide con el eje “x”.
CAPITULO 8 PORTICOS PLANOS ____________________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -8-
Puede observarse que la cuarta fila es la primera cambiada de signo, la quinta es la
segunda cambiada de signo, y la sexta es igual a la segunda multiplicada por la longitud "L" y
restándole la tercera. Esto significa que la matriz de rigidez es singular y que el sistema de la
(Ec. 8.22) sólo podrá resolverse imponiendo al menos tres condiciones de vínculo para evitar
desplazamientos de cuerpo rígido.
Nótese que la matriz de rigidez de la (Ec. 8.22) ha sido obtenida despreciando las
deformaciones por corte (se utiliza la teoría de vigas de Euler-Bernoulli).
Matriz de rigidez de una barra para una dirección genérica
En primer lugar, se analiza cómo se transforman desplazamientos y fuerzas del sistema
global de coordenadas (x, y) al sistema local (x1, y1). En el desarrollo a continuación, el índice
" l " se refiere a las componentes de vectores en un sistema local. Los mismos elementos en el
sistema global no llevan subíndice.
cos( ) sen( )
sen( ) cos( )
x yx l l
x yy l l
P P PP P P
(Ec. 8.23)
Por lo tanto, las componentes locales de fuerza expresadas en función de las componentes
globales resultan:
cos( ) sen( )
sen( ) cos( )
xl x y
yl x y
P P P
P P P
(Ec. 8.24)
Matricialmente (donde 1 cos( ) y 2 sen( ) ):
1 2
2 1
xxl
yyl
PPPP
(Ec. 8.25)
o más abreviadamente:
lP R P (Ec. 8.26)
yP
xP
xlP
lxly
ylP
2
1
CAPITULO 8 PORTICOS PLANOS ____________________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -9-
Similarmente, para los desplazamientos se obtiene:
lU RU (Ec. 8.27)
Los desplazamientos generalizados se transforman según (Ec. 8.27) usando una versión
expandida de R de (3 x 3), considerando que los valores de los giros son independientes de la
orientación de los ejes “x” e “y”. De esta forma, la expresión equivalente a (Ec. 8.25) resulta:
1 2
2 1
00
0 0 1
x xly y
l
l
U UU U
(Ec. 8.28)
La matriz de rotación R es “ortonormal” dado que se inversa es igual a su transpuesta: 1 TR R . El sistema de ecuaciones de equilibrio en coordenadas locales de la (Ec. 8.22) puede
particionarse de la siguiente forma: l l l l l
ii i ij j i
l l l l lji i jj j j
K U K U P
K U K U P
(Ec. 8.29)
Las submatrices de igual índice ,ii jjK K se designan submatrices de rigidez directa,
mientras que las de índice diferente ,ij jiK K son las submatrices de rigidez cruzada.
La transformación a coordenadas globales se efectúa de la siguiente forma: l l
ii i ij j i
l lji i jj j j
K RU K RU R P
K RU K RU R P
(Ec. 8.30)
Premultiplicando ambos miembros por TR y considerando que TR R I se obtiene:
T l T lii i ij j i
T l T lji i jj j j
R K R U R K R U P
R K R U R K R U P
(Ec. 8.31)
T l T li iii ij
T l T lj jji jj
U PR K R R K RU PR K R R K R
(Ec. 8.32)
Las (Ec. 8.31) y (Ec. 8.32) proveen las expresiones para obtener la matriz de rigidez en el
sistema global: debe premultiplicarse cada submatriz por RT y al resultado postmultiplicarlo por
R. A manera de ejemplo, la matriz iiK posee explícitamente la siguiente forma:
CAPITULO 8 PORTICOS PLANOS ____________________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -10-
1 2
1 2 2 1
2 32 2
1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 22 2
2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2
2 3 2 2 1 2 3
0 0 00 00 0 0 1
00
0 0 1 0
KK KK K
K K K K K K K KK K K K K K K K
K K K K K
Operando sobre lijK , l
jiK y ljjK de manera similar se llega finalmente a la matriz de
rigidez para el caso general:
(Ec. 8.33)
2 21 2 1A K K ; 1 2 1B K K ; 2 2C K
2 22 1 1D K K ; 1 2E K
La barra orientada según el eje "y" puede considerarse un caso particular de (Ec. 8.33)
para la cual 1 0 . Como esta orientación de la barra se encuentra comúnmente (por ejemplo, en
columnas de pórticos) conviene contar con la forma explícita de esta matriz:
1 2 1 2
32 3 2
1 2 1 2
32 2 3
0 00 0 0 0
0 02 .
0 00 0 0 0
0 02
x xi iy y
i i
i ix x
j jy y
j j
j j
K K K KU PK KU PKK K K MU PK K K KU PK K
MKK K K
(Ec. 8.34)
1 2 33 2; 12 ; 6 ; 4EA EI EI EIK K K KL L L L
2
1
33
3
2
x xi iy y
i i
i ix x
j jy y
j j
j j
A B C A B C U PD E B D E U P
K MK C EU PA B CU PD E
MK
simétrica
CAPITULO 8 PORTICOS PLANOS ____________________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -11-
Es importante remarcar que las matrices de rigidez de (Ec. 8.22), (Ec. 8.33) y (Ec. 8.34)
corresponden a la convención de signos de la Figura 8.2 referida al sentido positivo para los
desplazamientos y los giros. Dicha convención también rige para las fuerzas y los momentos.
8.3- Matriz de rigidez de la estructura El ensamble de la matriz del conjunto se realiza con un procedimiento similar al visto
para el reticulado:
Para la estructura de la Figura 8.8, después de introducir las condiciones de vínculo queda
una matriz (3 x 3), pues existe un único nudo libre de desplazarse y girar:
Figura 8.8
iiK
jjK
ijK
jiK
ii ij
ji jj
K KK K
CAPITULO 8 PORTICOS PLANOS ____________________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -12-
1 2 2
1 2 2
2 2 3 3 2
0 00 .
b a a x
b a b y
a b b a
K K K UK K K U P
K K K K M
(Ec. 8.35)
En casos como el de la Figura 8.8 es posible hacer una hipótesis simplificativa que facilita
notablemente los cálculos: despreciar la deformación axial de las barras. Esta hipótesis produce:
2 20 ; 0x yU U (Ec. 8.36)
Se dice entonces que la estructura es a "nudos fijos", y la (Ec. 8.35) se reduce a:
3 3 2.a bK K M
23 3
a b
MK K
(Ec. 8.37)
Para calcular las fuerzas en los extremos de barras se utilizan las ecuaciones fuerza-
desplazamiento de cada barra (Ec. 8.34) para la barra vertical y (Ec. 8.32) para la horizontal.
2 1
1
3 1
2 2
2
23 2
00002
. 000
a ax
ay
a a
a ax
ay
a a
K PP
K MK P
PK M
2
2 2
3 2 2
3
2 3
3 3
0 00
.0 00
2 0
bx
b by
b b
bx
b by
b b
PK PK M
PK P
K M
Nótese que debido a la hipótesis de la (Ec. 8.36), no aparecen las fuerzas axiales. Sin
embargo, la fuerza de corte HR en la barra vertical es provista como fuerza axial (tracción) en la
barra horizontal. Similarmente la fuerza de corte VR en la barra horizontal es provista como
fuerza axial (compresión) en la barra vertical.
CAPITULO 8 PORTICOS PLANOS ____________________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -13-
Figura 8.9
Utilizando la (Ec. 8.37) puede expresarse:
32
3 3
aa
a b
KM MK K
; 32
3 3
bb
a b
KM MK K
(Ec. 8.38)
Las fuerzas de corte pueden entonces calcularse, por consideraciones estáticas, en función
de los momentos en los extremos según:
2 1 22
3 3
a a aa H
x a ba
K M MP M RK K L
(Ec. 8.39)
2 322
3 3
b bbb V
y a bb
M MKP M RK K L
(Ec. 8.40)
Para estructuras de configuración más general no es posible (ni conveniente) eliminar los
desplazamientos nodales como incógnitas. En el caso que se ilustra en la Figura 8.10, es posible
aproximar la solución del problema suponiendo que el nudo 2 no se desplaza verticalmente al no
considerar la deformación axial de la barra a. Esta aproximación no es estrictamente necesaria, y
el problema puede resolverse en forma rigurosa incluyendo el desplazamiento vertical del nudo
“2” como grado de libertad.
Figura 8.10
VR P
1a
xP1
aM
2a H
xP R2
aM
VR P
HR HR2
bM 3bM
2b V
yP R3
byP
CAPITULO 8 PORTICOS PLANOS ____________________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -14-
1
1 13 2 3
22 1 2
2 1 2 2
3 2 2 3 3 3
3
2 3 3
0 2 0 00 0
0 0 0.
2 0 20 0 0 00 0 2 0
a a a
xa b a a b
b a b
a a b b a
b b
b b b
K K KUK K K K K
K K K KK K K K K K
K KK K K
2 3
2
2
3
3
0
0000
y
x
PU
U
(Ec. 8.41)
Se dice que el sistema es de "nudos desplazables", y para su resolución debe emplearse el
sistema completo de ecuaciones correspondiente a los seis grados de libertad.
8.4- Determinación de los esfuerzos El planteo de la matriz de rigidez del conjunto y la solución del sistema de ecuaciones de
equilibrio constituyen la parte laboriosa de este método desde el punto de vista computacional.
El cálculo de los esfuerzos se reduce a efectuar unas multiplicaciones y sumas utilizando
las ecuaciones fuerza-desplazamiento de cada barra.
Una vez calculados los desplazamientos nodales en el sistema global se pueden calcular
las fuerzas en los extremos de una barra horizontal (coincide con el eje “x”) efectuando el
producto indicado en (Ec. 8.22).
Figura 8.11
Si la barra es vertical (orientada en la dirección “y”) debe aplicarse la (Ec. 8.34):
xiP
yiP
iM jM
yjP
xjP
CAPITULO 8 PORTICOS PLANOS ____________________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -15-
Figura 8.12
En ambos casos, el trazado de los diagramas resulta particularmente simple dado que las
fuerzas en los extremos coinciden con los esfuerzos de corte y normal.
En el caso de una barra que no es paralela a ninguno de los ejes del sistema de referencia
global se puede emplear la (Ec. 8.33), pero en este caso las fuerzas en los extremos no coinciden
con los esfuerzos de corte y normal, por lo que deben transformarse a coordenadas locales
empleando la (Ec. 8.26).
Figura 8.13
Una alternativa consiste en utilizar la matriz de rigidez en coordenadas locales efectuando
el producto indicado en (Ec. 8.22) expresando previamente los desplazamientos en coordenadas
locales de la barra a través de la (Ec. 8.27).
xiP
yiP
iM
jM
yjP
xjP
jM
iMN
lxly
Q
Q
N
lP R P
l
l
xiy
i
P N
P Q
xiP
yiP
iM
jM
yjP
xjP
CAPITULO 8 PORTICOS PLANOS ____________________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -16-
Figura 8.14
En la Figura 8.14 se puede apreciar que el trazado de los diagramas de esfuerzos, barra
por barra, es trivial cuando se conocen las fuerzas de extremo de cada barra en su sistema local
de coordenadas.
8.5- Cálculo de las reacciones de apoyo
Cuando una única barra concurre a un apoyo, resulta evidente que las fuerzas del extremo
de esa barra están provistas por el apoyo. Por lo tanto, en esos casos las reacciones de apoyo son
simplemente las fuerzas que actúan sobre el extremo de la barra que concurren al nudo. Por
ejemplo, en el caso de la Figura 8.8, las reacciones en el nudo 1 coinciden con las fuerzas en el
extremo 1 de la barra (a), mientras que las reacciones en el nudo 3 coinciden con las fuerzas en
el extremo 3 de la barra (b).
En apoyos donde concurren dos o más barras, las reacciones se obtienen considerando el
equilibrio del nudo. Para ello, debe “cargarse” el nudo del apoyo con las fuerzas de los extremos
de las barras que concurren a él, pero cambiadas de signo. Esto equivale a considerar que las
reacciones de apoyo se obtienen sumando las fuerzas de los extremos de las barras que concurren
a dicho apoyo. Esta forma de operar se ilustra en las Figura 8.15 y Figura 8.16.
iM
jM
lxiP
lxjP
lyiP
lyjP
CAPITULO 8 PORTICOS PLANOS ____________________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -17-
Figura 8.15
Figura 8.16
A continuación, se aborda un tratamiento "formal" de las condiciones de vínculo para el
cálculo de las reacciones de apoyo. El sistema global de ecuaciones de equilibrio de toda la
estructura, al cual todavía no se le introdujeron las condiciones de vínculo, puede escribirse
reacomodado (“particionado”) de la siguiente manera:
yjR
xjR
(1)jM (2)
iM
(1)y
jP (2)y
iP
2 (1) (2)y y y
j iR P P
CAPITULO 8 PORTICOS PLANOS ____________________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -18-
11 12
21 22
.0
K K U P
RK K
(Ec. 8.42)
:U Contiene todos los desplazamientos incógnitas.
:R Representa las reacciones de apoyo. En este momento se supondrá que todos los
apoyos tienen desplazamiento nulo. El reacomodo (o partición) se logra simplemente cambiando
de lugar las filas y columnas de esta manera que la (Ec. 8.42) da origen a:
11 12 110K U K P K U P (Ec. 8.43)
21 22 210K U K R K U R (Ec. 8.44)
Primero se resuelve la (Ec. 8.43) y una vez conocidos los desplazamientos, se pueden
calcular las reacciones de apoyo efectuando el producto indicado en la (Ec. 8.44).
En definitiva, las reacciones se obtienen a partir de los desplazamientos, empleando las
ecuaciones que no se utilizaron para el cálculo de los desplazamientos.
Ejercicio Nº 1:
Determinar los diagramas de esfuerzos del pórtico de la figura.
1 2
2 2 61 2 2
4 41 2
200 400 5000
45,5 67,5 2,1 10
1534 3856
l cm l cm P KgKgA cm A cm Ecm
I cm I cm
; ;
; ;
;
Barra 1:
Matriz de rigidez:
2 2
1 33
. .477750 ; 6. 483210
. .12. 4832,1 ; 4. 64428000
A E E IK Kl l
E I E IK Kl l
CAPITULO 8 PORTICOS PLANOS ____________________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -19-
1
1
2
4832,1 0 483210 4832,1 0 4832100 477750 0 0 477750 0
483210 0 64428000 483210 0 322140004832,1 0 483210 4832,1 0 483210
0 477750 0 0 477750 0
2
483210 0 32214000 483210 0 64428000
Barra 2:
Matriz de rigidez:
2 2
1 33
. .354375 ; 6. 303660
. .12. 1518,3 ; 4. 80976000
A E E IK Kl l
E I E IK Kl l
2 3
2
3
354375 0 0 354375 0 00 1518,3 303660 0 1518,3 3036000 303660 80976000 0 303600 40488000
354375 0 0 354375 0 00 1518,3 303660 0 1518,3 3036600
303660 40488000 0 303660 80976000
Matriz de rigidez general: 1 2 3
1
2
3
/ / / / / / / / / / / / / / / / / // / / / / / / / / / / / / / / / / // / / / / / / / / / / / / / / / / // / / / / / 359207,1 0 483210 354375 / / 0/ / / / / / 0 479268,3 3036
1
1
1
2
2
2
3
3
3
00
0
60 0 / / 303660 ./ / / / / / 483210 303660 145404000 0 / / 40488000/ / / / / / 354375 0 0 354375 / / 0/ / / / / / / / / / / / / / / / / / 0/ / / / / / 0 303660 40488000 0 / / 80976000
x
y
x
y
x
y
UU
UU
UU
1
1
1
3
5000000
0
x
y
y
RRM
R
CAPITULO 8 PORTICOS PLANOS ____________________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -20-
1
1
1
2
2
2
3
3
3
000
1,6858665780,0020676302
0,0065119781,685866578
00,0032478453
x
y
x
y
x
y
UU
UU
UU
Cálculo de las fuerzas en los extremos de barra:
Barra 1: 1 2
1
2
/ / / / / / 4832,1 0 483210/ / / / / / 0 477750 0/ / / / / / 483210 0 32214000/ / / / / / 4832,1 0 483210/ / / / / / 0 477750 0/ / / / / / 483210 0 64428000
0 50000 987,810 604875
. 1,6851 50000,0020651 987,81
0,006503 395124
Barra 2: 2 3
2
3
354375 0 0 354375 0 00 1518,3 303660 0 1518,3 3036000 303660 80976000 0 303600 40488000
354375 0 0 354375 0 00 1518,3 303660 0 1518,3 3036600
1,68510 00,002065 987,810,006503 395124
. 1,685106 00 987,81
303660 40488000 0 303660 80976000 0,0032488 0
CAPITULO 8 PORTICOS PLANOS ____________________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -21-
Ejercicio Nº 2:
Resolver el pórtico de la figura por el Método de Rigidez.
2 4 6222,8 935 2,1 10 800KgA cm I cm E P Kg
cm ; ; ;
El número de incógnitas puede disminuirse resolviendo el siguiente sistema:
El desplazamiento del nudo 4 se obtiene superponiendo el desplazamiento y giro del
extremo de una viga en voladizo al desplazamiento como cuerpo rígido del empotramiento.
150 120000M P
300 150
200
CAPITULO 8 PORTICOS PLANOS ____________________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -22-
Matrices de rigidez:
Barra 1:
2 2
1 33
. .159600 ; 6. 130900
. .12. 872,66 ; 4. 26180000
A E E IK Kl l
E I E IK Kl l
1 2
1
2
159600 0 0 159600 0 00 872,66 130900 0 872,66 1309000 130900 26180000 0 130900 13090000
159600 0 0 159600 0 00 872,66 130900 0 872,66 1309000
130900 13090000 0 130900 26180000
Barra 2: 1 20,6 0,8 ;
2 2
1 33
. .191520 ; 6. 188496
. .12. 1507,96 ; 4. 31416000
A E E IK Kl l
E I E IK Kl l
2 3
2
3
69912,3 91205,77 150796,8 69912,3 91205,77 150796,891205,77 123115,67 113097,6 91205,77 123115,67 113097,
6150796,8 113097,6 31416000 150796,8 113097,6 15708000
69912,3 91205,77 150796,8 69912,3 91205,77 150796,891205,77 123115,67 113097,6 91205,77 123115,67 113097,6150796,8 113097,6 15708000 150796,8 113097,6 3141
6000
2 21 2 1
1 2 1
2 22 2
2 1 1
1 2
. . 69912,3. . 91205,78. 150796,8. . 123115,67
. 113097,6
A K KB K KC KD K KE K
2
1
CAPITULO 8 PORTICOS PLANOS ____________________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -23-
Sistema de ecuaciones de equilibrio: 1
22
2
2
3
229512,3 91205,775 150796,8 150796,8 091205,775 123988,33 17802,4 113097,6 800
.150796,8 17802,4 57596000 15708000 120000150796,8 113097,6 15708000 31416000 0
UU
122
2
2
3
0,0033910,01044
0,00242290,00126536
UU
Cálculo de las fuerzas en los extremos de barras:
Barra 1:
159600 0 0 159600 0 0 00 872,66 130900 0 872,66 130900 00 130900 26180000 0 130900 13090000 0
.159600 0 0 159600 0 0 0,00330 872,66 130900 0 872,66 130900 0,01040 130900 13090000 0 130900 26180000 0,0024
541,35308,0430348,3541,35
308,0462064, 4
Barra 2: Se utilizan los desplazamientos y la matriz de rigidez en coordenadas locales.
31 2
32 1
0 0,6 0,8 0 0,0033 6,324 100 . 0,8 0,6 0 . 0,0104 8,9832 10
0 0 1 0 0 1 0,0024 0,0024229
x xl
y yl
l
U UU U
3
3
191520 0 0 191520 0 0 6,324 100 1507,96 188496 0 1507,96 188496 8,983 100 188496 31416000 0 188496 15708000 0
.191520 0 0 191520 0 00 1507,96 188496 0 1507,96 1884960 188496 15708000 0 188496 31416000
1211,24231,74
57935,6,0024231211,240231,740
00,00126536
CAPITULO 8 PORTICOS PLANOS ____________________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -24-
Diagramas de barras:
Desplazamiento del nudo 4:
3.' 0, 45836
3. .yP lUE I
; 2'' . 0,363438yU l ; 2 0,0104494yU
4 2 '' 'y y y yU U U U '' 0,8322yU cm
2
2.' 0,0045836
2. .P lE I
; 2 0,0024229
4 2 2 ' 4 0,0070rad
2yU
'yU
2 '
2 ''yU
2yU
'yU''yU