MHD近似リーマン解法
三好 隆博
広島大学大学院理学研究科
2017年8月21日(月)-25日(金) 千葉大学総合校舎1号館4階情報演習室2宇宙磁気流体・プラズマシミュレーションサマースクール
1
フローチャート
開始
CFL条件の評価
数値流束の評価
初期設定
t = tout
データ出力
t < tend
終了
Yes
No
No
Yes
SSP-RK法
高次精度補間
時間積分
本講義では☜ここだけ!
と言っても、
2
フローチャート
開始
CFL条件の評価
数値流束の評価
初期設定
t = tout
データ出力
t < tend
終了
Yes
No
No
Yes
SSP-RK法
高次精度補間
時間積分
+多次元化
飯島先生の講義では、
おぉぉ、相当大変・・・3
内容
はじめに
流れの基礎方程式
MHD方程式
風上型解法の基礎
スカラー方程式の解法
システム方程式の解法
MHD方程式の近似リーマン解法
線形近似リーマン解法
HLL型近似リーマン解法
フローチャート 4
はじめに
5
流体
身近な流れは非圧縮性流体として非常によく近似
縮まない(密度変動が少ない)流れ
低マッハ数(流速/音速 < 0.3)流れ
ただし、音響学分野では音波考慮
非日常的で極限的な流れでは圧縮性が本質的に重要
高マッハ数(流速/音速 > 1)流れ
衝撃波
6
地上での衝撃波
Vapor cone (F-14) Afterburner (SR-71)
Schlieren image (.30-06 Springfield) Volcanic eruption (Sarychev Peak:芙蓉山)
Meteor (Chelyabinsk)
7
宇宙流体
© 円谷プロ
8
野望
宇宙流体は圧縮性流体としての取り扱いが不可欠
密度・圧力変動が大きい流れ
高マッハ数(流速/音速 >> 1)流れ
磁場、放射などが流体と非線形相互作用
高エネルギー天体周りでは相対論的効果
偏在する磁気流体力学(MHD)的な不連続!
本講義では、不連続解をも恐れぬ
数値磁気流体力学の猛者を養成9
流れの基礎方程式
10
流れの基礎方程式
線形移流方程式
aufxf
tu
axua
tu
≡=∂∂
+∂∂
⇔
==∂∂
+∂∂
,0
const.,0
とすると、
xdtdx
tdtd
dtdu
xu
dtdx
tu
∂∂
+∂∂
≡=≡∂∂
+∂∂ ,0
に沿って 0=duadtdx
=⇒
dtdxa ≡
(保存形式)
11
流れの基礎方程式
ラグランジュ微分
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
ux
att
uudtd
tOtxua
tu
txutOtut
xutatxu
txutttaxuu
t
∂∂
+∂∂
=∆∆
=
∆+∆
∂∂
+∂∂
=
−∆+∂∂
∆+∂∂
∆+=
−∆+∆+≡∆
→∆ 0
2
2
lim
,,
,,
a ( )tttu ∆+∆+ ,ax
( )tu ,x
12
流れの基礎方程式
線形移流方程式
x
t adtdx
= :特性曲線
a
x
u
( ) ( )atxFtxu −=,
に沿って 0=duadtdx
=
13
流れの基礎方程式
念のため確認しときましょうか…
( ) ( )txuXFatxX ,, ≡−≡
0=∂∂
+∂∂
−=∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
=
∂∂
+∂∂
XFa
XFa
XF
xXa
XF
tX
xua
tu
14
流れの基礎方程式
非粘性Burgers方程式
2,0
0
2ufxf
tu
xuu
tu
≡=∂∂
+∂∂
⇔
=∂∂
+∂∂
とすると、
xdtdx
tdtd
dtdu
xu
dtdx
tu
∂∂
+∂∂
≡=≡∂∂
+∂∂ ,0
に沿って 0=duudtdx
=⇒
dtdxu ≡
(保存形式)
15
流れの基礎方程式
非粘性Burgers方程式
( ) ( )utxFtxu −=,
に沿って 0=duudtdx
=
x
t udtdx
= :特性曲線
x
u u
解が多価になる場合:
衝撃波解(弱解)16
流れの基礎方程式
Rankine-Hugoniot関係式
( )( ) ( ) 0=−∆+−∆=
−=
∂∂
+∂∂
∫
∫
LRRL fftuux
fdtudx
dxdtxf
tu
[ ] [ ] [ ] LRtxSfuS ∗−∗≡∗∆∆
≡= ,,
222 22
LR
LR
LR uuuuuuS +
=−−
=
txS ∆∆=
x
t
x∆
t∆ Lu
Ru
Burgers方程式の場合:17
流れの基礎方程式
Nonconvexな非線形移流方程式
3,00
32 uf
xf
tu
xuu
tu
≡=∂∂
+∂∂
⇔=∂∂
+∂∂
3
22RRLL uuuuS ++
=
22RL uSu >> 22
RL uSu >>
Suu RL >> 22
混合波(衝撃波+膨張波)
x
t
x
t
x
tS
18
流れの基礎方程式
双曲型保存則
独立な実固有値および固有ベクトルを持つとき、方程式は双曲型
( )
RΛARURWWΛW
UARRRUR
UFUAUAU
FU
===∂∂
+∂∂
=
∂∂
+∂∂
⇔
∂∂
==∂∂
+∂∂
⇔
=∂∂
+∂∂
−
−−−
,,0
,0
0
1
111
ddxt
xt
xt
xtU :保存変数ベクトル
W :特性変数ベクトル
F :流束ベクトル
A :ヤコビアン行列
Λ :固有値行列
R :右固有行列1−R :左固有行列
19
流れの基礎方程式
双曲型保存則
線形2×2保存則
0010
2 =
∂∂
+
∂∂
vv
uxa
ut
0const.,,,0 2 >=
=
==
∂∂
+∂∂ a
uau
xtv
vFUFU
00
0
2
1
2
1 =
∂∂
−
+
∂∂
⇒ww
xaa
ww
t
−+
=
=
−
= −
v
v
v auau
au
ww
aa 21,
11 1
2
1 RR
20
流れの基礎方程式
双曲型保存則
等温Euler方程式
02 =
∂∂
+
∂∂
uxuau
utρ
ρρρ
0const.,,,0 22 >=
+
=
==
∂∂
+∂∂ a
auu
uxt ρρρ
ρρ
FUFU
00
0
2
1
2
1 =
∂∂
−
++
∂∂
⇒ww
xauau
ww
t
−+
=
=
−
= −
uaua
auww
aa 21, 1
2
1 ρρρRR
21
流れの基礎方程式
双曲型保存則
一般には連立非線形移流方程式
URWWΛW ddxt
1,0 −==∂∂
+∂∂
0
000
000
2
1
2
1
2
1
=
∂∂
+
∂∂
mmm w
ww
xw
ww
t
λ
λλ
kdtdx λ= に沿って 0=kdw
22
MHD方程式
23
MHD方程式
Euler方程式+ローレンツ力+磁場の誘導方程式
流体と磁場の相互作用を支配
連続の式
運動方程式
断熱の式
磁場の誘導方程式
( )
( )
0,0
0
0
=⋅∇=××∇−∂∂
=
∇⋅+
∂∂
×+−∇=
∇⋅+∂∂
=⋅∇+∂∂
BBB
BJ
v
v
vvv
v
t
ppt
pt
t
γγ ρρ
ρ
ρρ
24
MHD方程式
保存形式
( )( ) ( )
( ) ( )[ ]
( )
( )2
,22
1,0
0
0
0
0
222 BppBep
t
pete
pt
t
T
T
T
+=
−−−==⋅∇
=−⋅∇+∂∂
=⋅−+⋅∇+∂∂
=−+⋅∇+∂
∂
=⋅∇+∂∂
vργ
ρρ
ρρ
B
BBB
BB
BBI
vv
vv
vvv
v 質量保存則
運動量保存則
エネルギー保存則
磁束保存則
25
MHD方程式
1次元MHD方程式
( ) ( )
++−+−−−−
−+
=
=
==∂∂
+∂∂
zyxxT
xz
xy
zx
yx
xT
z
y
x
wBBuBBupewBuB
BuBBBwuBBu
Bpuuu
eBBw
u
Bxt
v
v
vv
ρρ
ρρ
ρρρρ
2
,
,const.,0
FU
FU
26
MHD方程式
1次元MHD方程式
Aの固有値(特性速度)
UFAUAUFU∂∂
≡=∂∂
+∂∂
=∂∂
+∂∂ ,0
xtxt
fas
saf
cucucuucucucu+=≤+=≤+=≤
=≤−=≤−=≤−=
765
4321
λλλλλλλ
( )
−+±+=
===2222222
,
222
421
,,,
xsf
xa
bababac
pabc ργρBb
( )721 ,,,diag, λλλ == ΛRΛAR
固有ベクトルは大変難しい…また後で
27
MHD方程式
MHD方程式の不連続解
不連続にのった系( ):
S
x
t
RULU
[ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]( )[ ] 0,02
0,0
,,0
0,0
22
22
==++
≠=====
=±=±=+==
≠=
xzy
xzy
zyzy
BBBp
BpBBwv
BwBvBBp
u
ρρρ
F
(回転不連続)
(接触不連続)
(接線不連続)
(速進/遅進衝撃波)
( )
[ ] [ ]FU
FUFU
=⇒
=−=
∂∂
+∂∂
∫∫S
dtdxdxdtxt
0
0=S
28
風上型解法の基礎
29
風上型解法の基礎
双曲型保存則の解法
双曲型保存則のおさらい
線形移流方程式
非粘性Burgers方程式
Euler方程式
MHD方程式
など
UFAUAUFU∂∂
==∂∂
+∂∂
=∂∂
+∂∂ ,0
xtxt
スカラー方程式
システム方程式
Aが独立な実固有値をもつとき双曲型
30
話を進めるその前に
時間・空間座標および変数の離散表記法
( )ni,
( )1, +ni
( )1, −ni
( )ni ,1+( )ni ,1−
( )ni
ni
ni txuutx ,,, =
x∆
t∆
t
xi 1+i 2+i2−i
n
1+n
2+n
1−n
2−n
1−i
31
スカラー方程式の解法
線形移流方程式
風上差分法
const.,0 ==∂∂
+∂∂ a
xua
tu
( ) ( )0,, atxutxu −=⇒
a
x
u
0,011
>=∆−
+∆− −
+
axuua
tuu n
ini
ni
ni
32
スカラー方程式の解法
線形移流方程式の保存型解法
流束ベクトル分離法(FVS法)
aufxf
tu
==∂∂
+∂∂ ,0
−+
+∗+
−+−+
+=⇒
≤∂∂
≥∂∂
+=
12/1
0,0,
iii fffuf
uffff
02/12/11
=∆−
+∆− ∗
−∗+
+
xff
tuu ii
ni
ni
( ) ( )ni
ni
ni
nii uuauuafuaaf −−+=⇒
±= ++
∗+
±112/1 2
||22
||
niu 1+
niu
x
u∗+ 2/1if
+if
−+1if
: 数値流束∗+ 2/1if
∗+ 2/1if
∗− 2/1if
iu 1+iu1−iu
2/1+ix2/1−ix
33
スカラー方程式の解法
線形移流方程式の保存型解法
流束ベクトル分離法(FVS法)
02/12/11
=∆−
+∆− ∗
−∗+
+
xff
tuu ii
ni
ni
( ) ( )ni
ni
ni
nii uu
xtuuafuxtaf −∆∆
−+=⇒∆∆±
= ++∗+
±112/1 222
Lax法
aufxf
tu
==∂∂
+∂∂ ,0
: 数値流束∗+ 2/1if
∗+ 2/1if
∗− 2/1if
iu 1+iu1−iu
2/1+ix2/1−ix
−+
+∗+
−+−+
+=⇒
≤∂∂
≥∂∂
+=
12/1
0,0,
iii fffuf
uffff
34
スカラー方程式の解法
線形移流方程式の保存型解法
リーマン解法(Godunov法)
リーマン問題=衝撃波管問題を利用
niu 1−
niu 1+
niu
x
u
1. 区分定数分布を仮定
リーマン解法の手順:
35
スカラー方程式の解法
線形移流方程式の保存型解法
リーマン解法(Godunov法)
リーマン問題=衝撃波管問題を利用
x
u
ta∆
ta∆
ta∆1. 区分定数分布を仮定2. 移流方程式の厳密解
リーマン解法の手順:
36
スカラー方程式の解法
線形移流方程式の保存型解法
リーマン解法(Godunov法)
リーマン問題=衝撃波管問題を利用
x
u
1. 区分定数分布を仮定2. 移流方程式の厳密解3. 厳密解の空間平均値
11++niu1+n
iu11+−niu
リーマン解法の手順:
37
スカラー方程式の解法
線形移流方程式の保存型解法
リーマン解法(Godunov法)
リーマン問題=衝撃波管問題を利用
数値流束x
u
1. 区分定数分布を仮定2. 移流方程式の厳密解3. 厳密解の空間平均値
11++niu1+n
iu11+−niu
リーマン解法の手順:
( ) ( ) 0,0
0
2/111 >=−+−⇒
=
∂∂
+∂∂
∗+++
∫afftuuta
dxdtxf
tu
in
ini
ni ∆∆ x
tniu
niu 1+
nif 1+
∗+ 2/1if
ta∆
2/1+ix38
スカラー方程式の解法
線形移流方程式の解法
風上差分法
流束ベクトル分離法
リーマン解法
全て同じ解法に帰着(でも、思想は異なる)
( ) 0,11 >−−= −+ auu
xtauu n
ini
ni
ni ∆
∆
( ) 0,, 2/12/12/11 >=−
∆∆
−= ∗+
∗−
∗+
+ aaufffxtuu n
iiiini
ni
0,11 >
∆∆−∆
+∆∆
= −+ au
xtaxu
xtau n
ini
ni
39
スカラー方程式の解法
非線形移流方程式
( ) ( )ufua
xuua
tu
xf
tu
∂∂
==∂∂
+∂∂
⇔=∂∂
+∂∂ ,00
( ) ( )( )0,, tuaxutxu −=⇒
保存形式 非保存形式
x
t
x
t
( )uadtdx
= に沿って 0=du
( )txuxx 0,00 +=
非線形移流方程式 線形移流方程式
特性曲線
40
スカラー方程式の解法
非粘性Burgers方程式の解法
風上差分法(非保存形式)
002
2
=∂∂
+∂∂
⇔=
∂∂
+∂∂
xuu
tuu
xtu
( )ni
ni
ni
ni
ni
nin
i
ni
ni
ni
ni
nin
i
ni
ni
ni
ni
nin
i
ni
ni
uuux
uxuuu
tuu
ux
uuut
uu
uxuuu
tuu
1111
1
11
11
22
||2
0for0
0for0
−+−+
+
++
−+
+−=−
+−
⇒
<=−
+−
>=−
+−
∆∆∆
∆∆
∆∆
u
x
u
41
スカラー方程式の解法
非粘性Burgers方程式の解法
流速ベクトル分離法
002
2
=∂∂
+∂∂
⇔=
∂∂
+∂∂
xuu
tuu
xtu
( )
( )ni
ni
ni
ni
ni
ni
i
iii
iini
ni
uuuufff
uuuffffx
fft
uu
||||41
2
4||,
0
111
2/1
12/1
2/12/11
−−+
=⇒
±=+=
=−
+−
+++∗
+
±−+
+∗+
∗−
∗+
+
∆∆
42
スカラー方程式の解法
非粘性Burgers方程式の解法
衝撃波管問題
膨張波
x
t
x
t
x
t
ni
ni uu 10 +<< n
ini uu 10 +<< 01 << +
ni
ni uu
衝撃波
x
t S
x
tS
21
1
1
ii
ii
ii
uuuuffS
+=
−−
=
+
+
+ni
ni uu << +10 01 <<+
ni
ni uu
x
t S
ni
ni uu <<+ 01
x
tS
ni
ni uu <<+ 01
43
スカラー方程式の解法
非粘性Burgers方程式の解法
リーマン解法
002
2
=∂∂
+∂∂
⇔=
∂∂
+∂∂
xuu
tuu
xtu
( )( )
( )( )
<>>>>>
<<<<>>
=
=∆−
+∆−
+++
++
+
++
+
∗+
∗−
∗+
+
0,0if20,0if2
0if00,0if20,0if2
0
2/112
1
2/112
1
12
1
12
2/1
2/12/11
ini
ni
ni
ini
ni
ni
ni
ni
ni
ni
ni
ni
ni
ni
i
iini
ni
SuuuSuuu
uuuuuuuu
f
xff
tuu
44
スカラー方程式の解法
非粘性Burgers方程式の解法
線形近似リーマン解法(Roe法)
局所的に線形化 ⇒ 膨張波を無視
002
2
=∂∂
+∂∂
⇔=
∂∂
+∂∂
xuu
tuu
xtu
( )
2
2||
2
0
1
1
12/1
12/111
2/1
2/12/11
ni
ni
ni
ni
ni
ni
i
ni
ni
in
in
ii
iini
ni
uuuuffa
uuafff
xff
tuu
+=
−−
=
−−+
=⇒
=−
+−
+
+
+∗+
+
∗+++∗
+
∗−
∗+
+
∆∆
x
tniu
niu 1+
nif 1+
∗+ 2/1if
tai ∆∗+ 2/1
2/1+ix45
スカラー方程式の解法
非粘性Burgers方程式の解法非保存型解法
保存型解法
( )
≥<
=1.0for5.01.0for5.1
0,xx
xu
46
スカラー方程式の解法
非粘性Burgers方程式の解法非保存型解法
保存型解法
( )
≥<
=1.0for5.11.0for5.0
0,xx
xu
47
スカラー方程式の解法
保存型解法
Lax-Wendroffの定理[1960]数値解が収束すれば、その解は保存則の弱解に収束する
Hartenのエントロピー条件[1980]数値解がエントロピー条件を満足し、収束すれば、その解は保存則の物理解に収束する
非保存型解法
Hou-LeFlochの定理[1994]数値解が収束したとしても、衝撃波を含むその解は非物理解に収束する 48
スカラー方程式の解法
非粘性Burgers方程式の解法FVS法/Godunov法
Roe法( )
≥<−
=5.0for5.05.0for5.0
0,xx
xu
局所線形化により膨張衝撃波⇒エントロピー補正 49
スカラー方程式の解法
非粘性Burgers方程式の解法FVS法/Godunov法
Roe法+エントロピー補正
( ) <<−+
=∗+
++∗+∗
+ otherwise||0if2||
||2/1
112/12/1
i
ni
ni
ni
nii
i aaaaaa
a
様々な補正法があるが、ここでは、
50
システム方程式の解法
双曲型保存則
“連立”非線形移流方程式
⇒ スカラー方程式の解法の拡張
0
0
111
11
=∂∂
+∂∂
=∂∂
+∂∂
=
∂∂
+∂∂
=
∂∂
+∂∂
⇔
=∂∂
+∂∂
−−−
−−
xtxt
xtxt
xt
WΛWUARRRUR
UAURFUR
FU
FRURW
ddfdddu
1
1
−
−
↔
=↔
51
システム方程式の解法
線形双曲型保存則の解法
FVS法
const.,,0 ===∂∂
+∂∂
=∂∂
+∂∂ AAUFUAUFU
xtxt
( ) 11
12/1 ||||,||||
21
2−
++∗
+ ≡−−+
= RΛRAUAUAFFF iiii
i
( )URΛFRFR 111 ||21 −−±− ±=
( )iiii
iii
URΛURΛFRFRFRFRFR
11
11
11
111
2/11
||||21
2−
+−
−+
−
−+
−+−∗+
−
−−+
=
+=
もう時間方向のnはやめますね・・・
11
+−
iURiUR 1−
x
UR 1−+−
iFR 1 −+
−1
1iFR
∗+
−2/1
1iFR
52
システム方程式の解法
線形双曲型保存則の解法
リーマン解法
const.,,0 ===∂∂
+∂∂
=∂∂
+∂∂ AAUFUAUFU
xtxt
( ) 11
12/1 ||||,
2||
2−
++∗
+ ≡−−+
= RΛRAUUAFFF iiii
i
( ) 2|| ΛΛΛ ±≡±
( )( )iiii
iiii
URURΛFRFRURURΛFRFR
11
112/1
1
11
11
12/1
1
−+
−−−−+
−
−+
−++
−++
−
−+=
−−=
x
t
11
+−
iFR++
−2/1
1iFR
+Λ
11
+−
iUR
iUR 1−
x
t
iFR 1− −+
−2/1
1iFR
−Λ
11
+−
iUR
iUR 1−( )−
+−+
+−∗
+− += 2/1
12/1
12/1
1
21
iii FRFRFR
ここで
53
システム方程式の解法
非線形双曲型保存則の解法
非保存型解法
数値解が収束したとしても、
不連続解を含む問題では、
非物理的な解に収束
( )UFUAUAUFU∂∂
==∂∂
+∂∂
=∂∂
+∂∂ ,0
xtxtConservative vs Non-conservative
“Computational Tutorial: MHD” by G. Tothhttp://www.lorentzcenter.nl/lc/web/2011/441/presentations/Advanced_Toth.pdf
54
システム方程式の解法
非線形双曲型保存則の解法
FVS法 [e.g., Steger+,1981; van Leer,1991]一般にはFVS法が適用できるとは限らない
でも、たまたまEuler方程式では、
なので、線形方程式のFVS法と同様に、
でも、MHD方程式ではだめ
( )UFUAUAUFU∂∂
==∂∂
+∂∂
=∂∂
+∂∂ ,0
xtxt
( )iiiiii
i UAUAFFF ||||21
2 111
2/1 −−+
= +++∗
+
AUF =
55
システム方程式の解法
非線形双曲型保存則の解法
FVS法 [e.g., Steger+,1981; van Leer,1991]あ、でも、なんでも使える簡単なFVS法が!
なぜなら、
なので、
( )UFUAUAUFU∂∂
==∂∂
+∂∂
=∂∂
+∂∂ ,0
xtxt
( )iiiiii
i UUFFF max11max1
2/1 ||||21
2λλ −−
+= ++
+∗+
( )( )UFFFFFmax
21, λ±=+= ±−+
( ) ( ) IΛRIARRUFRmaxmax
112 λλ ±=±=∂∂ −±−
local Lax-Friedrichs法
56
システム方程式の解法
非線形双曲型保存則の解法
リーマン解法(Godunov法) [Godunov,1959]これは中々大変
衝撃波管問題の厳密解(衝撃波、膨張波、混合波の組合せ)を求めるには繰り返し計算が必要
しかも方程式ごとにアルゴリズムを考えねば・・・
という労力にも関わらず、FVS法や近似リーマン解法と精度は変わらなかったでしょ?
( )UFUAUAUFU∂∂
==∂∂
+∂∂
=∂∂
+∂∂ ,0
xtxt
57
システム方程式の解法
非線形双曲型保存則の解法
線形近似リーマン解法(Roe法) [Roe,1981]局所的に線形化 ⇒ 局所的にAを凍結
( )UFUAUAUFU∂∂
==∂∂
+∂∂
=∂∂
+∂∂ ,0
xtxt
( )( )ii
iiiii UU
UUAFFF −−+
= +++∗
+ 111
2/1 2,
2Property U
1.2.3.実固有値、線形独立な固有ベクトル
( )( )iiiiii UUUUAFF −=− +++ 111 ,( ) AUUAUUU →⇒→ ++ 11 ,, iiii
58
システム方程式の解法
非線形双曲型保存則の解法
HLL型近似リーマン解法 [Harten+,1983]HLL法、HLLC法、HLLD法など割りとお手軽
この後すぐ!お楽しみに!
( )UFUAUAUFU∂∂
==∂∂
+∂∂
=∂∂
+∂∂ ,0
xtxt
59
MHD方程式の近似リーマン解法
60
まだ間に合う!近似リーマン解法
近似リーマン解法
物理量を区分定数分布
( )∫∫∫ =−=
∂∂
+∂∂ 0dtdxdxdt
xtFUFU
U
x
61
まだ間に合う!近似リーマン解法
近似リーマン解法
物理量を区分定数分布
衝撃波管問題の近似解
( )∫∫∫ =−=
∂∂
+∂∂ 0dtdxdxdt
xtFUFU
U
x
62
まだ間に合う!近似リーマン解法
MHD衝撃波管問題
t
RU
FRFS /RDSRSS /CDRDFRFS / SRSS /
LU
( )LRtx UUUU ,;=
他にも複合波が・・・
x63
まだ間に合う!近似リーマン解法
近似リーマン解法
物理量を区分定数分布
衝撃波管問題の近似解
近似解の空間積分
( )∫∫∫ =−=
∂∂
+∂∂ 0dtdxdxdt
xtFUFU
U
x
64
まだ間に合う!近似リーマン解法
近似リーマン解法
物理量を区分定数分布
衝撃波管問題の近似解
近似解の空間積分
数値流束による形式(時空間保存則から評価)
( )∫∫∫ =−=
∂∂
+∂∂ 0dtdxdxdt
xtFUFU
U
x
011
2/1
2/1
2/1
2/12/12/1
1 =−+− ∫∫∫∫++
+
−
+
−−+
+n
n
n
n
i
i
i
i
t
t i
t
t i
x
x
nx
x
n dtdtdxdx FFUU
( ) ( ) 0,; 2/12/112/12/1
=−+−−
−
++++∫
+ nii
niii
x
x
ni
ni
i txxdxt
xxi
i
FFUUUU ∆∆ 65
まだ間に合う!近似リーマン解法
近似リーマン解法
( )∫∫∫ =−=
∂∂
+∂∂ 0dtdxdxdt
xtFUFU
−
++ n
ini
i
txx
12/1 ,; UUU
∆
niUn
i 1−U
2/1+ixnt
ttn ∆+
2/1−ix
ni 1+U
知ってる!
66
まだ間に合う!近似リーマン解法
近似リーマン解法
( )∫∫∫ =−=
∂∂
+∂∂ 0dtdxdxdt
xtFUFU
niUn
i 1−U
2/1+ixnt
ttn ∆+
2/1−ix
ni 1+U
( )∫+
−
+=+ 2/1
2/1
,1 i
i
x
x
nni dxttx ∆UU
−
++ n
ini
i
txx
12/1 ,; UUU
∆
知ってる!
答えでる!
67
まだ間に合う!近似リーマン解法
近似リーマン解法
( )∫∫∫ =−=
∂∂
+∂∂ 0dtdxdxdt
xtFUFU
ni 1−U
2/1+ixnt
ttn ∆+
2/1−ix
ni 1+U
( )∫+
−
+=+ 2/1
2/1
,1 i
i
x
x
nni dxttx ∆UU
( )dttxtt
t ii
n
n∫+
++ =∆
,2/12/1 FF
知ってる!
知ってる!
知らない…
知らない…
niU
68
まだ間に合う!近似リーマン解法
近似リーマン解法
( )∫∫∫ =−=
∂∂
+∂∂ 0dtdxdxdt
xtFUFU
niUn
i 1−U
2/1+ixnt
ttn ∆+
2/1−ix
( )dttxtt
t ii
n
n∫+
++ =∆
,2/12/1 FF
ni 1+U
−
++ n
ini
i
txx
12/1 ,; UUU
∆
答えでる!
答えでる!
69
まだ間に合う!近似リーマン解法
近似リーマン解法
( )∫∫∫ =−=
∂∂
+∂∂ 0dtdxdxdt
xtFUFU
niUn
i 1−U
2/1+ixnt
ttn ∆+
2/1−ix
( )dttxtt
t ii
n
n∫+
++ =∆
,2/12/1 FF
ni 1+U
−
++ n
ini
i
txx
12/1 ,; UUU
∆
答えでる!
答えでる!
70
線形近似リーマン解法
線形近似リーマン解法 [Roe,1981]局所的に線形化(ヤコビアンを凍結)
ここで
さてと…MHDの固有ベクトルと固有値がわかればよい
を求めるのは一般には面倒だけど
( )( )ii
iiiii UU
UUAFFF −−+
= +++∗
+ 111
2/1 2,
21|||| −= RΛRA
( )ii UUA ,1+
71
線形近似リーマン解法
線形近似リーマン解法 [Roe,1981]MHD方程式の固有ベクトル [e.g., Brio+,1988]
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )22,22
,
,,
2,
,
,
222
22,
2,
22,
2,
22,
,
22,
,
,
222
12
1
2
1
,
sgn
sgn
sgn
0
0
,
2
0
0
1
,
acBc
wBvBcBuc
ch
hwvuBc
cBBc
cBBc
cBBw
BccBB
v
cu
BwBvB
B
B
BB
BB
wvu
w
v
u
sfxsf
zysfxsf
sfsf
sf
xsf
sfz
xsf
sfy
xsf
sfzx
xsf
sfyx
sf
cu
xyz
y
z
xy
xz
cuu sfa
−−−
+−+
±−
=
+++−
−
−
−
±
=
−
−
±=
++
=
±
±
±±
γγ
ργ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
RRR
固有ベクトルに特異性72
線形近似リーマン解法
線形近似リーマン解法 [Roe,1981]固有ベクトルの再規格化 [Brio+,1988; Roe+,1996]
22
22
22
222 ,
sf
fs
sf
sf cc
acccca
−−
≡−−
≡ αα
[Roe+,1996]
2222,
zy
zz
zy
yy
bbb
bb
b
+≡
+≡ ββ
210 ,
22 →⇒→+ zyzy bb β
ρzyx
zyx
Bb ,,
,, ≡
22
222222222 ,,1
sf
zysfffssfs cc
bbaacc
−
+==+=+ αααααα
73
線形近似リーマン解法
線形近似リーマン解法 [Roe,1981]固有ベクトルの再規格化
・・・で色々と計算するわけですが、ここに書いてもあれなので参考文献をご参照ください
[1] Brio, Wu, JCP 75, 400 (1988)[2] Ryu, Jones, ApJ 442, 228 (1995)[3] Roe, Balsara, SIAM J. Appl. Math. 56, 57 (1996)[4] Balsara, ApJS 116, 119 (1998)[5] Powell, et al., JCP 154, 284 (1999)
0111111 =∂∂
+∂∂
=∂∂
+∂∂ −−−−−−
xtxtP
PPPPP
PVRRARVRUARRRUR
PPPP
dddd VRVVURURW 111 −−− =
∂∂
==74
HLL型近似リーマン解法
HLL近似リーマン解法 [Harten+,1983]衝撃波近似
2-wave近似
LRS , :最大/最小情報伝播速度
RULURFLF
RSLS
x
t
2/1+i
( )∫∫∫ =−=
∂∂
+∂∂ 0dtdxdxdt
xtFUFU
( )( )0,,min
0,,max
RRLLL
RRLLR
cucuScucuS
−−=++=
75
HLL型近似リーマン解法
HLL近似リーマン解法 [Harten+,1983]衝撃波近似
2-wave近似
LRS , :最大/最小情報伝播速度
RULURFLF
RSLS
x
t
2/1+i
( ) 0* =−++−−⇒ LRLLRRLR SSSS FFUUU
∗U
( )∫∫∫ =−=
∂∂
+∂∂ 0dtdxdxdt
xtFUFU
( )( )0,,min
0,,max
RRLLL
RRLLR
cucuScucuS
−−=++=
76
HLL型近似リーマン解法
HLL近似リーマン解法 [Harten+,1983]衝撃波近似
2-wave近似
LRS , :最大/最小情報伝播速度
( )( )0,,min
0,,max
RRLLL
RRLLR
cucuScucuS
−−=++=
( )∫∫∫ =−=
∂∂
+∂∂ 0dtdxdxdt
xtFUFU
( ) ( )LR
LRLRRLLRLRLRLR SS
SSSS−
−+−=−+=⇒
UUFFUUSFF ,*
,,*
RULURFLF
RSLS
x
t
2/1+i
∗U∗F
77
HLL型近似リーマン解法
HLL近似リーマン解法 [Harten+,1983]衝撃波近似
2-wave近似
固有ベクトルの計算不要
正値性保存を保証
HD [Einfeldt+, 1991] / MHD [Miyoshi+, 2005] 接触不連続の分解不可能
( ) ( )∗
∗
≠−
−+−=
−+−−
=
UFUUFFF
FFUUU
LR
LRLRRLLR
LR
LRLLRR
SSSSSS
SSSS
*
78
HLL型近似リーマン解法
HLLD近似リーマン解法 [Miyoshi+,2005]衝撃波近似
N-wave近似
速進磁気音波×2、アルフェン波 ×2、遅進磁気音波×2、エントロピー波×1のどの波を残すべき?
LRS , :速進磁気音波
RULURFLF
RSLS
x
t
2/1+i79
HLL型近似リーマン解法
HLLD近似リーマン解法 [Miyoshi+,2005]衝撃波近似
5-wave近似
リーマンファンで法線方向速度一定
リーマンファンで全圧力一定
LRS , :速進磁気音波
RULURFLF
RSLS
x
t
2/1+i
∗TM pS , MS :エントロピー波
80
HLL型近似リーマン解法
HLLD近似リーマン解法 [Miyoshi+,2005]衝撃波近似
5-wave近似
リーマンファンで法線方向速度一定
リーマンファンで全圧力一定
LRS , :速進磁気音波
RULURFLF
RSLS
x
t
2/1+i
∗TM pS ,
∗RU∗∗
RU∗∗LU∗
LU
MS :エントロピー波*
,LRS :アルフェン波
*RS*
LS MS
81
HLL型近似リーマン解法
HLLD近似リーマン解法 [Miyoshi+,2005]エントロピー波の評価 [Batten+,1997]
全圧力の評価
( ) ( ) ( )( ) ( ) LLLRRR
TLTRLLLLRRRRM uSuS
ppuuSuuSuSρρ
ρρρρ
−−−+−−−−
== ∗
∗
82
HLL型近似リーマン解法
HLLD近似リーマン解法 [Miyoshi+,2005]速進磁気音波に対するジャンプ条件
( ) ( ) ( ) ( )
⋅−+−
−−
−−+
−
=
⋅−+−
−−
−−+
−
∗∗∗∗
∗∗
∗∗
∗∗∗
∗∗∗
∗∗
∗
∗
∗
∗
∗∗
∗∗
∗
∗
ααααα
ααα
ααα
αααα
αααα
ααα
αα
α
α
α
αα
αα
αα
α
α
ααα
αα
αα
ααα
ααα
α
α
α
α
α
αα
αα
α
α
α ρρρ
ρ
ρρρρ
ρρρ
ρ
ρρρρ
BB vv xT
xz
xy
zx
yx
xT
z
y
xMT
xMz
xMy
zxM
yxM
xTM
M
z
y
M
BupewBuB
BuBBBuwBBuBpu
u
eBB
w
u
S
BSpewBSB
BSBBBSwBBSBpS
S
eBB
w
S
Sv
vv
v
vv
222
( ) ( ) LRBBBwS zyxM ,,,,,,, === ∗∗∗∗∗∗ ααααααα Bvv83
HLL型近似リーマン解法
HLLD近似リーマン解法 [Miyoshi+,2005]エントロピー波の評価 [Batten+,1997]
全圧力の評価
( ) ( ) ( )( ) ( ) LLLRRR
TLTRLLLLRRRRM uSuS
ppuuSuuSuSρρ
ρρρρ
−−−+−−−−
== ∗
∗
( )( )( )( )
( ) ( ) ( )( )( ) ( ) LLLRRR
LRRRRLTRLLLTLRRR
RMRRRTR
LMLLLTLT
uSuSuuuSpuSpuS
uSuSpuSuSpp
ρρρρρρ
ρρ
−−−−−+−−−
=
−−+=−−+=∗
84
HLL型近似リーマン解法
HLLD近似リーマン解法 [Miyoshi+,2005]速進磁気音波に対するジャンプ条件
( ) ( ) ( ) ( )
⋅−+−
−−
−−+
−
=
⋅−+−
−−
−−+
−
∗∗∗∗
∗∗
∗∗
∗∗∗
∗∗∗
∗∗
∗
∗
∗
∗
∗∗
∗∗
∗
∗
ααααα
ααα
ααα
αααα
αααα
ααα
αα
α
α
α
αα
αα
αα
α
α
ααα
αα
αα
ααα
ααα
α
α
α
α
α
αα
αα
α
α
α ρρρ
ρ
ρρρρ
ρρρ
ρ
ρρρρ
BB vv xT
xz
xy
zx
yx
xT
z
y
xMT
xMz
xMy
zxM
yxM
xTM
M
z
y
M
BupewBuB
BuBBBuwBBuBpu
u
eBB
w
u
S
BSpewBSB
BSBBBSwBBSBpS
S
eBB
w
S
Sv
vv
v
vv
222
( ) ( ) LRBBBwS zyxM ,,,,,,, === ∗∗∗∗∗∗ ααααααα Bvv85
HLL型近似リーマン解法
HLLD近似リーマン解法 [Miyoshi+,2005]HLLD解:
MSSuS
−−
=∗
α
αααα ρρ
∗αU
86
HLL型近似リーマン解法
HLLD近似リーマン解法 [Miyoshi+, 2005]速進磁気音波に対するジャンプ条件
( ) ( ) ( ) ( )
⋅−+−
−−
−−+
−
=
⋅−+−
−−
−−+
−
∗∗∗∗
∗∗
∗∗
∗∗∗
∗∗∗
∗∗
∗
∗
∗
∗
∗∗
∗∗
∗
∗
ααααα
ααα
ααα
αααα
αααα
ααα
αα
α
α
α
αα
αα
αα
α
α
ααα
αα
αα
ααα
ααα
α
α
α
α
α
αα
αα
α
α
α ρρρ
ρ
ρρρρ
ρρρ
ρ
ρρρρ
BB vv xT
xz
xy
zx
yx
xT
z
y
xMT
xMz
xMy
zxM
yxM
xTM
M
z
y
M
BupewBuB
BuBBBuwBBuBpu
u
eBB
w
u
S
BSpewBSB
BSBBBSwBBSBpS
S
eBB
w
S
Sv
vv
v
vv
222
( ) ( ) LRBBBwS zyxM ,,,,,,, === ∗∗∗∗∗∗ ααααααα Bvv87
HLL型近似リーマン解法
HLLD近似リーマン解法 [Miyoshi+,2005]HLLD解:
MSSuS
−−
=∗
α
αααα ρρ
( )( )( )
( )( )
−−−−−
=
−−−−
−=
∗
∗
2
22
2
xM
xtt
xM
Mtxtt
BSSuSBuS
BSSuSuSB
αααα
ααααα
αααα
αααα
ρρ
ρ
BB
Bvv
( ) ( )zytt BBwv ,,0,,,0 == Bv
∗αU
88
HLL型近似リーマン解法
HLLD近似リーマン解法 [Miyoshi+,2005]速進磁気音波に対するジャンプ条件
( ) ( ) ( ) ( )
⋅−+−
−−
−−+
−
=
⋅−+−
−−
−−+
−
∗∗∗∗
∗∗
∗∗
∗∗∗
∗∗∗
∗∗
∗
∗
∗
∗
∗∗
∗∗
∗
∗
ααααα
ααα
ααα
αααα
αααα
ααα
αα
α
α
α
αα
αα
αα
α
α
ααα
αα
αα
ααα
ααα
α
α
α
α
α
αα
αα
α
α
α ρρρ
ρ
ρρρρ
ρρρ
ρ
ρρρρ
BB vv xT
xz
xy
zx
yx
xT
z
y
xMT
xMz
xMy
zxM
yxM
xTM
M
z
y
M
BupewBuB
BuBBBuwBBuBpu
u
eBB
w
u
S
BSpewBSB
BSBBBSwBBSBpS
S
eBB
w
S
Sv
vv
v
vv
222
( ) ( ) LRBBBwS zyxM ,,,,,,, === ∗∗∗∗∗∗ ααααααα Bvv89
HLL型近似リーマン解法
HLLD近似リーマン解法 [Miyoshi+,2005]HLLD解:
MSSuS
−−
=∗
α
αααα ρρ
( ) ( )M
xTT
SSBppeuSe
−⋅−⋅++−−
=∗∗∗
∗
α
ααααααααα
BB vv
∗αU
( )( )( )
( )( )
−−−−−
=
−−−−
−=
∗
∗
2
22
2
xM
xtt
xM
Mtxtt
BSSuSBuS
BSSuSuSB
αααα
ααααα
αααα
αααα
ρρ
ρ
BB
Bvv
( ) ( )zytt BBwv ,,0,,,0 == Bv
90
HLL型近似リーマン解法
HLLD近似リーマン解法 [Miyoshi+,2005]アルフェン波に対するジャンプ条件
( ) ( ) ( ) ( )
⋅−+−
−−
−−+
−
=
⋅−+−
−−
−−+
−
∗∗∗∗
∗∗
∗∗
∗∗∗
∗∗∗
∗∗
∗
∗
∗
∗
∗∗
∗∗
∗
∗
∗
∗∗∗∗∗∗∗
∗∗∗∗
∗∗∗∗
∗∗∗∗∗∗
∗∗∗∗∗∗
∗∗∗
∗∗
∗∗
∗∗
∗∗
∗∗∗∗
∗∗∗∗
∗∗
∗∗
∗
ααα
αα
αα
ααα
ααα
α
α
α
α
α
αα
αα
α
α
α
ααα
αα
αα
ααα
ααα
α
α
α
α
α
αα
αα
α
α
α ρρρ
ρ
ρρρρ
ρρρ
ρ
ρρρρ
BB vv xMT
xMz
xMy
zxM
yxM
xTM
M
z
y
M
xMT
xMz
xMy
zxM
yxM
xTM
M
z
y
M
BSpewBSB
BSBBBSwBBSBpS
S
eBB
w
S
S
BSpewBSB
BSBBBSwBBSBpS
S
eBB
w
S
Sv
vv
v
vv
2222
91
HLL型近似リーマン解法
HLLD近似リーマン解法 [Miyoshi+,2005]HLLD解:
∗
∗
∗
∗
∗∗∗
−=+=
=
L
xML
R
xMR
BSS
BSS
ρρ
ρρ αα
,
RρLρ
RSLS
x
t
2/1+i
∗Rρ
∗Lρ
MS
∗∗αU
92
HLL型近似リーマン解法
HLLD近似リーマン解法 [Miyoshi+,2005]アルフェン波に対するジャンプ条件
( ) ( ) ( ) ( )
⋅−+−
−−
−−+
−
=
⋅−+−
−−
−−+
−
∗∗∗∗
∗∗
∗∗
∗∗∗
∗∗∗
∗∗
∗
∗
∗
∗
∗∗
∗∗
∗
∗
∗
∗∗∗∗∗∗∗
∗∗∗∗
∗∗∗∗
∗∗∗∗∗∗
∗∗∗∗∗∗
∗∗∗
∗∗
∗∗
∗∗
∗∗
∗∗∗∗
∗∗∗∗
∗∗
∗∗
∗
ααα
αα
αα
ααα
ααα
α
α
α
α
α
αα
αα
α
α
α
ααα
αα
αα
ααα
ααα
α
α
α
α
α
αα
αα
α
α
α ρρρ
ρ
ρρρρ
ρρρ
ρ
ρρρρ
BB vv xMT
xMz
xMy
zxM
yxM
xTM
M
z
y
M
xMT
xMz
xMy
zxM
yxM
xTM
M
z
y
M
BSpewBSB
BSBBBSwBBSBpS
S
eBB
w
S
S
BSpewBSB
BSBBBSwBBSBpS
S
eBB
w
S
Sv
vv
v
vv
2222
93
HLL型近似リーマン解法
HLLD近似リーマン解法 [Miyoshi+,2005]アルフェン波に対するジャンプ条件
エントロピー波に対するジャンプ条件
−−
−
=
−−
−
∗∗∗∗
∗∗∗∗∗
∗∗
∗∗∗
∗∗∗∗
∗∗∗∗∗
∗∗
∗∗∗
tRxMtR
tRxMtRR
tR
tRRM
tLxMtL
tLxMtLL
tL
tLLM BS
BSS
BSBS
Sv
vv
v
vv
BB
BBB
Bρρρρ
( )( ) 0,det =∗∗∗∗αα ttM Bv
0for, ≠==== ∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗xttRtLttRtL BBBBvvv
94
HLL型近似リーマン解法
HLLD近似リーマン解法 [Miyoshi+,2005]
( ) ( ) ( ) ( )
0=
−−
−
−−
+
−
+
−+
−+
−+
−
∗
∗∗∗
∗∗
∗∗∗∗
∗∗
∗∗∗∗
∗
∗∗∗
tLxLtL
tLxLtLL
tRxRtR
tRxRtRR
tL
tLLL
tR
tRRR
tL
tLLRLL
t
tLLM
t
tRMR
tR
tRRRR
BuBu
BuBu
SS
SSSSSSSS
v
v
v
vvv
vvvv
BB
BB
BB
BBBB
ρρρρ
ρρρρ
∗∗∗∗tt B,v
RSLS
x
t
2/1+i
*RS*
LS
tRtR B,vtLtL B,v
∗∗tLtL B,v ∗∗
tRtR B,v
95
HLL型近似リーマン解法
HLLD近似リーマン解法 [Miyoshi+,2005]HLLD解:
( ) ( )
( ) ( )
+
−++=
+
−++=
∗∗
∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗
∗∗
∗∗∗∗∗∗∗∗
RL
xtLtRRLtLRtRLt
RL
xtLtRtRRtLLt
B
B
ρρ
ρρρρ
ρρ
ρρ
sgn
sgn
vv
vvv
BBB
BB
∗∗∗ = αα ρρ
∗∗αU
96
HLL型近似リーマン解法
HLLD近似リーマン解法 [Miyoshi+,2005]アルフェン波に対するジャンプ条件
( ) ( ) ( ) ( )
⋅−+−
−−
−−+
−
=
⋅−+−
−−
−−+
−
∗∗∗∗
∗∗
∗∗
∗∗∗
∗∗∗
∗∗
∗
∗
∗
∗
∗∗
∗∗
∗
∗
∗
∗∗∗∗∗∗∗
∗∗∗∗
∗∗∗∗
∗∗∗∗∗∗
∗∗∗∗∗∗
∗∗∗
∗∗
∗∗
∗∗
∗∗
∗∗∗∗
∗∗∗∗
∗∗
∗∗
∗
ααα
αα
αα
ααα
ααα
α
α
α
α
α
αα
αα
α
α
α
ααα
αα
αα
ααα
ααα
α
α
α
α
α
αα
αα
α
α
α ρρρ
ρ
ρρρρ
ρρρ
ρ
ρρρρ
BB vv xMT
xMz
xMy
zxM
yxM
xTM
M
z
y
M
xMT
xMz
xMy
zxM
yxM
xTM
M
z
y
M
BSpewBSB
BSBBBSwBBSBpS
S
eBB
w
S
S
BSpewBSB
BSBBBSwBBSBpS
S
eBB
w
S
Sv
vv
v
vv
2222
97
HLL型近似リーマン解法
HLLD近似リーマン解法 [Miyoshi+,2005]HLLD解:
∗∗∗ = αα ρρ
∗∗αU
( ) ( ) ( )LRBee x :,:sgn +−⋅−⋅= ∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗ BB vv ααααα ρ
( ) ( )
( ) ( )
+
−++=
+
−++=
∗∗
∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗
∗∗
∗∗∗∗∗∗∗∗
RL
xtLtRRLtLRtRLt
RL
xtLtRtRRtLLt
B
B
ρρ
ρρρρ
ρρ
ρρ
sgn
sgn
vv
vvv
BBB
BB
98
HLL型近似リーマン解法
HLLD近似リーマン解法 [Miyoshi+,2005]衝撃波近似
5-wave近似
LRS , :速進磁気音波
RULURFLF
RSLS
x
t
2/1+i
∗TM pS ,
∗RU∗∗
RU∗∗LU∗
LU
MS :エントロピー波*
,LRS :アルフェン波
*RS*
LS MS
( ) ( )( ) ( ) 0,1,
,,
1********
*,
**,
*,
**,
*,,
*,,
*,,
=−+−+−=−
−=−−=−
∫ +LRLLRR
tS
tS
nLRLRM
LRLRLRLRLRLRLRLRLRLR
SSdxtxt
S
SSR
L
FFUUUFFUU
FFUUFFUU∆
∆∆99
HLL型近似リーマン解法
HLLD近似リーマン解法 [Miyoshi+,2005]数値流束
0if2/1 ≥= LL SFF
LS t 0
x
∗LU
∗∗∗ ≤≤=−+= LLLLLLLL SSSS 0if2/1 FUUFF
LU2/1FLF
100
HLL型近似リーマン解法
HLLD近似リーマン解法 [Miyoshi+,2005]数値流束
LS t 0
x
∗∗LU
LU2/1FLF
( )MLLLLLLL
LLLLLLLL
SSSSSSSS
≤≤=−+=
−−−+=∗∗∗∗∗∗∗∗∗
∗∗∗∗∗
0if2/1
FUUFUUUFF
∗LU
∗LS
0if2/1 ≥= LL SFF∗∗∗ ≤≤=−+= LLLLLLLL SSSS 0if2/1 FUUFF
101
HLL型近似リーマン解法
HLLD近似リーマン解法 [Miyoshi+,2005]数値流束
≤≤≤≤≤≤≤≤≤
≥
=
∗∗
∗∗∗
∗∗∗
∗∗
0if0if0if0if0if0if
2/1
RR
RRR
RMR
MLL
LLL
LL
SSSSSSSSS
S
FFFFFF
F
( )∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗ = TtxtM peBS ,,,,,, /////ααααα ρ BFF v
102
HLL型近似リーマン解法
HLLD近似リーマン解法 [Miyoshi+,2005]孤立した接線不連続(TD)の分解
x
t
2/1+i
MS
RR UU =∗
∗= LL UU
[ ] [ ]FU ===
M
xM
SBuS 0,
103
HLL型近似リーマン解法
HLLD近似リーマン解法 [Miyoshi+,2005]孤立した接線不連続(TD)の分解
孤立した接触不連続(CD)の分解
x
t
2/1+i
MS
RRR UUU == ∗∗∗
∗∗∗ == LLL UUU
[ ] [ ]FU =≠=
M
xM
SBuS 0,
104
HLL型近似リーマン解法
HLLD近似リーマン解法 [Miyoshi+,2005]孤立した接線不連続(TD)の分解
孤立した接触不連続(CD)の分解
孤立した回転不連続(RD)の分解
x
t
2/1+i
∗RS
RR UU =∗
∗∗∗∗∗ === RLLL UUUU
[ ] [ ]FU =
>+=
*
* 0,
R
xx
R
S
BBuSρ
105
HLL型近似リーマン解法
HLLD近似リーマン解法 [Miyoshi+,2005]孤立した接線不連続(TD)の分解
孤立した接触不連続(CD)の分解
孤立した回転不連続(RD)の分解
孤立した速進衝撃波(FS)の分解
x
t
2/1+i
RS
RU∗∗∗∗∗∗ ==== RRLLL UUUUU
[ ] [ ]FU =RS
106
HLL型近似リーマン解法
MHDの正値性 [Janhunen,2000]物理的な解の集合
物理的な解の重み付き平均値
{ }022,0| 22 >−−>= BU vρρ eG
( ) ( )101 212,1 ≤≤∈+−=⇒∈ θθθ GG UUUU
( )( )
( )( )( ) 0211
101
221
221
21
>+−−+
+−=>+−=
B∆ρρρ∆γθθ
θθθρρθρ
v
ppp
107
HLL型近似リーマン解法
HLLD近似リーマン解法 [Miyoshi+,2005]HLLD解の正値性
( )
( )
>
−−−=
>
−−−=
>
>
∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗
∗∗∗∗∗
∗∗
∗
0221
0221
00
22
22
ααααα
ααααα
α
α
ργ
ργ
ρ
ρ
B
B
v
v
ep
ep
108
HLL型近似リーマン解法
HLLD近似リーマン解法 [Miyoshi+,2005]
密度の正値性
RMMRRR uSSSuS −≡>−≡>−≡ ςηξ ,0,0
0>== ∗∗∗RRR ρ
ηξρρ
109
HLL型近似リーマン解法
HLLD近似リーマン解法 [Miyoshi+,2005]
圧力の正値性
ϕγ
ξςςρ
ξρ
γξςς
ξηρξρ
ρηϕ
′≡−
++
−−≥
−++
−−=
−−≡ ∗∗∗∗
11
2
11
2
22
222
2
22
2
22
RR
xfRR
tRR
RR
xR
tRR
RRRR
ppBc
ppB
e
B
B
Bv
RMMRRR uSSSuS −≡>−≡>−≡ ςηξ ,0,0
一生懸命テキストの方に書きました。110
HLL型近似リーマン解法
HLLD近似リーマン解法 [Miyoshi+,2005]
圧力の正値性
( ) 00 >′⇒<′ ϕϕD
RMMRRR uSSSuS −≡>−≡>−≡ ςηξ ,0,0
ς
ϕ′ϕ
111
HLL型近似リーマン解法
HLLD近似リーマン解法 [Miyoshi+,2005]
圧力の正値性
RMMRRR uSSSuS −≡>−≡>−≡ ςηξ ,0,0
( )
( )
fRRR
fRxfRR
tR
R
R
xfRR
tRRRR
cuS
cBc
p
BcppD
γγ
γγ
ρργξ
ξργ
ρϕ
21
211
21
011
2
2
1
22
22
222
22
−+>
−=
−−
−>
<
−−
−−=′
−B
B
112
HLL型近似リーマン解法
HLLD近似リーマン解法 [Miyoshi+,2005]
圧力の正値性
正値性保存の条件
RMMRRR uSSSuS −≡>−≡>−≡ ςηξ ,0,0
( )
0
22122
>=
−−−=
∗
∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗
R
RRRRR
p
ep Bvργ
fLLLfRRR cuScuSγ
γγ
γ2
1,2
1 −−<
−+>
113
HLL型近似リーマン解法
HLL型近似リーマン解法の階層 [Miyoshi+,2007]HLLD近似解の重み付き平均値
正値性保存
(MHD HLL-type)
114
HLL型近似リーマン解法
HLLD近似リーマン解法 [Miyoshi+,2005]固有ベクトルの計算不要
正値性保存を保証
接線不連続を厳密に分解
接触不連続を厳密に分解
回転不連続を厳密に分解
速進衝撃波を厳密に分解
支配方程式に依存
115
MHD方程式の近似リーマン解法
精度・計算速度の比較・検証
ロバスト性の比較・検証
[Mignone+,2007]
[Miyoshi+,2007]
[Miyoshi+,2005]
116
MHD方程式の近似リーマン解法
その他の数値実験などは論文を参照してください
[1] Miyoshi, Kusano, JCP 208, 315 (2005)[2] Mignone, et al., ApJS 170, 228 (2007)[3] Stone, et al., ApJS 178, 137 (2008)[4] Kritsuk, et al., ApJ 737:13 (2011)
現状では、 LLD法はほぼ業界標準117
フローチャート
118
フローチャート
基本手順開始
CFL条件の評価
数値流束の評価
初期設定
時間積分
t = tout
データ出力
t < tend
終了
Yes
No
NoYes
119
フローチャート
基本手順開始
CFL条件の評価
数値流束の評価
初期設定
時間積分
t = tout
データ出力
t < tend
終了
Yes
No
NoYes
パラメータ
,, ηγ
グリッド
,, xxi ∆
初期条件
( )0, =txiU
120
フローチャート
基本手順開始
CFL条件の評価
数値流束の評価
初期設定
時間積分
t = tout
データ出力
t < tend
終了
Yes
No
NoYes
iCFL
ifii
xct
cu
λ
λ
max∆
=∆
+=
121
フローチャート
基本手順開始
CFL条件の評価
数値流束の評価
初期設定
時間積分
t = tout
データ出力
t < tend
終了
Yes
No
NoYes
( )RL
iR
iL
mi
UUFUUUU
,
1,,1for
2/1
1
←←
+=
−
※プログラミングのポイント:
数値流束のインデックスは半整数、配列は整数のみ
1+i 2+ii1−i
1+i 2+ii1−i 3+i
[ ]mU
[ ]1+mF122
フローチャート
基本手順開始
CFL条件の評価
数値流束の評価
初期設定
時間積分
t = tout
データ出力
t < tend
終了
Yes
No
NoYes
FUU ∆∆∆
−←
=
xt
mi
ii
,,1for
123
フローチャート
基本手順開始
CFL条件の評価
数値流束の評価
初期設定
時間積分
t = tout
データ出力
t < tend
終了
Yes
No
NoYes
outoutout
out
OutputDatathenif
ttt
tt
∆+←
>
124
フローチャート
高次精度化 開始
CFL条件の評価
数値流束の評価
初期設定
t = tout
データ出力
t < tend
終了
Yes
No
No
Yes
SSP-RK法
高次精度補間法
時間積分
125
フローチャート
MUSCL法
CFL条件の評価
数値流束の評価
n-step SSP-RK法
MUSCL法
∆∆∆
+←
∆∆∆
−←
+=
xLimx
xLimx
mi
iL
iR
UUU
UUU
2
2
1,,0for
LU
RU
i
2x∆ 2x∆
時間積分
126
フローチャート
MUSCL法
( )RL
miUUF ,
1,,1for
2/1
+=
CFL条件の評価
数値流束の評価
n-step SSP-RK法
MUSCL法
時間積分
127
フローチャート
MUSCL法
( ) ( )( ) ( )( )111
1
21
21
21 UFUUU
UFUU
∆∆∆
−+=
∆∆∆
−=
+
xt
xt
nn
nn
( ) ( )( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( )221
112
1
32
32
31
41
41
43
UFUUU
UFUUU
UFUU
∆∆∆
−+=
∆∆∆
−+=
∆∆∆
−=
+
xt
xt
xt
nn
n
nn
(2nd-order SSP(TVD)-RK)
(3rd-order SSP(TVD)-RK)
CFL条件の評価
数値流束の評価
n-step SSP-RK法
MUSCL法
時間積分
128
フローチャート
FV-WENO法など変数補間で高次精度化を実現する
数値解法は同様のフローチャートです。
数値流束を高次精度補間する数値解法もあります。
補間の実装は結構面倒です。飯島先生よろしく!
多次元化では、ざっくりと言って、Split法もUnsplit法も
単に1次元の拡張です。
ただし、数値的な磁場発散の処理が必要です。これも大変面倒。飯島先生よろしく!
129
おしまい
お疲れ様でした
がんばってください130