1 Microondas 3º ITT-ST Tema 4: Circuitos resonantes de microondas Pablo Luis López Espí Microondas ITT-ST Tema 4 1 Circuitos resonantes de microondas Circuitos resonantes de microondas. Circuitos RLC de parámetros concentrados Circuito resonante serie. Circuito resonante paralelo. Acoplamiento de circuitos resonantes. Circuitos resonantes con líneas de transmisión. Líneas terminadas en cortocircuito. Líneas terminadas en circuito abierto. Circuitos resonantes con guías de onda: cavidades. Cavidades en guía rectangular. Cavidades en guía cilíndrica. Circuitos resonantes con materiales dieléctricos. Otros circuitos en línea microstrip y stripline.
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Microondas 3º ITT-ST
Tema 4: Circuitos resonantes de microondas
Pablo Luis López Espí
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Circuitos resonantes de microondas.
Circuitos RLC de parámetros concentradosCircuito resonante serie.Circuito resonante paralelo.Acoplamiento de circuitos resonantes.
Circuitos resonantes con líneas de transmisión. Líneas terminadas en cortocircuito.Líneas terminadas en circuito abierto.
Circuitos resonantes con guías de onda: cavidades.Cavidades en guía rectangular.Cavidades en guía cilíndrica.
Circuitos resonantes con materiales dieléctricos.Otros circuitos en línea microstrip y stripline.
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Circuitos RLC de parámetros concentrados.
Circuito RLC serie
Impedancia de entrada al circuito:
En función de la potencia disipada y las energías medias almacenadas:
1INZ R j L
j Cω
ω= + +
( )2
2
2
D M EIN
P j W WZ
Iω+ −
=
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Circuitos RLC de parámetros concentrados (II).
En resonancia ambas energías son iguales.
Se define el factor de calidad como:
En función de este factor, la impedancia puede ponerse como:
01LC
ω =
0 02 2M E M E
D D D
W W W WQP P P
ω ω ω+= = = 0
0
1LQR CR
ωω
= =
0
2 2INRQZ R j R j Lω ωωΔ
= + = + Δ 0fQBW
=
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Circuitos RLC de parámetros concentrados (III).
Circuito RLC paralelo:
Impedancia de entrada al circuito:
La pulsación de resonancia tiene idéntica expresión que en el caso serie:
11 1
INZ j CR j L
ωω
−⎛ ⎞
= + +⎜ ⎟⎝ ⎠
01LC
ω =
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Circuitos RLC de parámetros concentrados (IV).
En resonancia, el factor de calidad se expresa como:
A partir de este valor, la impedancia de entrada será:
00
RQ RCL
ωω
= =
1
0
1 21 2
INRZ jC
R j Qω ω
ω
−⎛ ⎞= + Δ =⎜ ⎟ Δ⎝ ⎠ +
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Factor de calidad total. Acoplamiento.
Cuando el circuito resonante se conecta a una carga, la resistencia del circuito aumenta y por tanto, el factor de calidad cambia:
Una línea de transmisión terminada en cortocircuito o circuito abierto se comporta como un circuito resonante si su longitud es igual a cuarto o media longitud de onda.
Impedancia de entrada a una línea cargada:
Propiedades de la tangente hiperbólica:
tghtgh
L CIN C
C L
Z Z dZ ZZ Z d
γγ
+=
+
( ) ( ) ( )( ) ( )
tgh tgtgh
1 tgh ·tgx j y
x jyj x y
++ =
+
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Línea cortocircuitada.
Línea terminada en cortocircuito:
Considerando media longitud de onda y alrededor de la frecuencia de resonancia (ω = ω0 + Δω ):
tghIN CZ Z dγ=
0
·2
Pvd λ πω
= =0P
ddvω ωπβ π
ωΔ
= = +
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Línea cortocircuitada (II).
Puesto que la tangente es una función periódica:
Considerando bajas pérdidas, la impedancia de entrada puede aproximarse como:
( )0 0 0
tg tg tgd ωπ ωπ ωπβ πω ω ω
⎛ ⎞ ⎛ ⎞Δ Δ Δ= + = ≈⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
0
0
0
1IN C C
d jZ Z Z d j
j d
ωπαω ωπαωπ ωαω
Δ+
⎛ ⎞Δ= ≈ +⎜ ⎟Δ ⎝ ⎠+
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Línea cortocircuitada (III).
Comparando esta expresión con la del circuito resonante serie de parámetros concentrados:
El factor de calidad del circuito resonante es:
CR Z dα=02CZL π
ω=
0
2
C
CZ πω
=
0
2LQ
Rω β
α= =
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Línea cortocircuitada (IV).
Si se considera una línea de longitud d = λ/4 y alrededor de la frecuencia de resonancia (ω = ω0 + Δω ):
Aprovechando relaciones trigonométricas:
02pv
dπω
=02 2
d π ωπβω
Δ= +
( )0 0 0
cotg cotg tg2 2 2 2
d π ωπ ωπ ωπβω ω ω
⎛ ⎞ ⎛ ⎞Δ Δ Δ= + = − ≈ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
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Línea cortocircuitada (V).
Considerando bajas pérdidas, la impedancia de entrada a la línea es:
Comparando con el circuito resonante paralelo de parámetros concentrados:
0
0 0
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2 2
CIN C
j dZZ Z
d j d j
ωπαωωπ ωπα αω ω
Δ+
= ≈Δ Δ
+ +
CZRdα
=04 C
CZ
πω
=0
4 CZLπω
=0 2RQL
βω α
= =
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Línea en circuito abierto.
Línea terminada en circuito abierto:
Impedancia de entrada a la línea:
cotghIN CZ Z dγ=
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Línea en circuito abierto (II).
Considerando media longitud de onda y alrededor de la frecuencia de resonancia (ω = ω0 + Δω ):
Comparando con el circuito resonante paralelo de parámetros concentrados:
0
0 0
1C
IN C
j dZZ Z
d j d j
ωπαωωπ ωπα αω ω
Δ+
= ≈Δ Δ
+ +
CZRdα
=02 C
CZ
πω
=0
2 CZLπω
=0 2RQL
βω α
= =
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Línea en circuito abierto (III).
Si se considera una línea de longitud d = λ/4 y alrededor de la frecuencia de resonancia (ω = ω0 + Δω ), siguiendo los pasos descritos anteriormente, los elementos del circuito resonante serie de parámetros concentrados equivalente son:
CR Z dα=04CZL π
ω=
0
4
C
CZω π
=
0
2LQ
Rω β
α= =
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Circuitos resonantes en guía de onda.
Se construyen mediante tramos de guía de onda terminados en cortocircuito.La potencia se disipa en las paredes metálicas y en el dieléctrico que rellena la cavidad.La energía se almacena en los campos eléctricos y magnéticos confinados.Pueden solucionarse planteando la ecuación de onda sujeta a las condiciones de contorno de la cavidad o, de manera más sencilla, a partir de las soluciones de los modos TE o TM de losdistintos tipos de guía.
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Cavidades en guías rectangulares.
Expresión del campo eléctrico en la cavidad:
Para que se anule en z = 0 ambas amplitudes deben ser iguales
( ) ( ) , ,, , , · m n m nj z j ztE x y z e x y A e A eβ β− ++ −⎡ ⎤= +⎣ ⎦
( ) ( ) ( ),, , 2 , ·sent m nE x y z jA e x y zβ+= −
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Cavidades en guías rectangulares (II).
Para que se anule en z = d
Número de ondas de la cavidad y frecuencias de resonancia
El modo fundamental de la cavidad es el TE101
, · 1, 2,3...m nd l lβ π= =
2 2 2
, ,m n lm nka b dπ π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
, ,, ,
·2
m nm n
r r
c kf
π μ ε=
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Cavidades en guías rectangulares (III).
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Cavidades en guías rectangulares (IV).
Representación de la amplitud del campo eléctrico dentro de la cavidad:
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Cavidades en guías rectangulares (V).
Factor de calidad de la cavidad. Energías eléctrica y magnética.
Potencia disipada en los conductores.
* 204 16E y yV
abdW E E dV Eε ε= =∫
( )2
* * 20 2 2 2 2
14 16M x x z z EV
TE
abdW H H H H dV E WZ k a
μ μ πη
⎛ ⎞= + = + =⎜ ⎟
⎝ ⎠∫
0
2SR μ ωσ
=
2 2 2 22 0
2 2 22 8 2 2S S
c tParedes
R R E ab bd a dP H dSd a d a
λη
⎛ ⎞= = + + +⎜ ⎟
⎝ ⎠∫
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Cavidades en guías rectangulares (VI).
Potencia disipada en el dieléctrico:
Factores de calidad
22 0"1 "· ·
2 2 8d V V
abd EP J E dV E dV
ωεωε= = =∫ ∫
02 EC
C
WQPω
=
02 ' 1" tg
ED
D
WQPω ε
ε δ= = =
11 1T
D C
Q
Q Q
=+
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Cavidades en guías rectangulares (VII).
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Cavidades en guías cilíndricas.
Cavidad cilíndrica:
Para que se cumpla la condición de contorno en z=0
( ) ( ) ( ),, , 2 , ·sent m nE x y z jA e x y zβ+= −
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Cavidades en guías cilíndricas (II).
Constantes de propagación modos TE y TM
Condición de resonancia:
Frecuencias de resonancia modos TE
2,2
,
'n mn m
pk
aβ ⎛ ⎞
= − ⎜ ⎟⎝ ⎠
2,2
,n m
n m
pk
aβ ⎛ ⎞
= − ⎜ ⎟⎝ ⎠
, · 1, 2,3...m ndβ π= =
2 2,
, ,
'2
n mn m
r r
pcfa d
ππ μ ε
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
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Cavidades en guías cilíndricas (III).
Frecuencias de resonancia modos TM
El modo fundamental es el TE111. El primer modo TM es el TM110
Para la construcción de frecuencímetros se emplea el modo TE011 por su mayor factor de calidad.
Frecuencímetro con una cavidad cilíndrica ajustable donde se excita el modo TM011
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Resonadores dieléctricos.
Consisten en un pequeño disco o un cubo fabricados en un material dieléctrico de alta permitividad.Si la constante relativa es alta se asegura un cierto confinamiento de los campos. Se emplean materiales con constante dieléctrica entre 10 y 100 como óxidos de titanio y bario.Menores tamaño, coste y peso que las cavidades metálicas.No existen pérdidas en el conductor. Los factores de calidad que se obtienen son de varios miles.El modo de resonancia habitual es el TE01δ análogo al TE011 de las guías cilíndricas.
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Resonadores dieléctricos (II).
Geometría de un resonador dieléctrico cilíndrico.
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Resonadores dieléctricos (III).
Despreciando los efectos de borde, la frecuencia de resonancia se obtiene:
Si la constante dieléctrica es alta, el factor de calidad es aproximadamente 1/tg δ
tg2Lβ α
β=
22 2 201
0 0Cpk k ka
α ⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟⎝ ⎠
22 2 2 010 0r C r
pk k ka
β ε ε ⎛ ⎞= − = − ⎜ ⎟⎝ ⎠
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Algunas Referencias
Alpuente, J. et al (2001). Líneas de Transmisión y Redes de Adaptación en Circuitos de Microondas. Servicio de Publicaciones de la UAH.Pozar, D. M. (1998). Microwave Engineering. John Wiley andSons.Ramo, S. et al. (1993). Fields and waves in CommunicationElectronics. John Wiley and Sons. 3ª Ed.
