(Microsoft Word - Modulos de M

COMPONENTE LÓGICO

MATEMÁTICA

ESPECIALISTAS

M.Sc.Juana Idelza Zavaleta Gómez [email protected] Mg. Wilfredo Celso Calsín Velásquez [email protected] Mg. Julio Cesar Villalta Pacori [email protected] Lic. Jesús Roberto Ticona Parisaca [email protected] Lic.Adolfo Canahuire Condori [email protected] Lic.Juan Carlos Benavides Huanca [email protected]

ÍNDICE GENERAL

MÓDULO 1: LÓGICA PROPOSICIONAL ......................................................................................... 1

MÓDULO 2: TEORÍA DE CONJUNTOS......................................................................................... 15

MÓDULO 3: SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL ................................................................... 25

MÓDULO 4: DIVISIBILIDAD Y NÚMEROS PRIMOS ..................................................................... 39

MÓDULO 5: MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO ................................... 47

MÓDULO 6: FRACCIONES DECIMALES ..................................................................................... 58

MÓDULO 7: PROPORCIONALIDAD, REGLA DE TRES Y PORCENTAJES .............................. 70

MÓDULO 8: ECUACIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS ........................................................... 86

MÓDULO 9: FUNCIONES LINEALES ............................................................................................ 94

MÓDULO 10: SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS............................................................................ 104

MÓDULO 11: ÁREAS DE REGIONES PLANAS .......................................................................... 116

MÓDULO 12: ÁREAS Y VOLÚMENES DE SÓLIDOS ................................................................. 122

MÓDULO 13: ESTADÍSTICA ........................................................................................................ 127

COMPONENTE LÓGICO MATEMÁTICA LÓGICA PROPOSICIONAL

UNA - PUNO 1 PRONAFCAP 2008

Módulo 1: LÓGICA PROPOSICIONAL LOGROS DE APRENDIZAJE • Plantea y resuelve problemas de lógico matemática, para desarrollar habilidades de comprensión,

ejecución de estrategias y meta cognición. • Analiza la validez de las inferencias lógicas, utilizando tablas y leyes lógicas CONTENIDOS

• Lógica recreativa: orden de información, tabla de decisiones y razonamiento lógico • Lógica Proposicional: proposiciones, conectivos, simbolización de proposiciones, equivalencias e

inferencias notables, validación de inferencias y cuantificadores PROBLEMAS DE LÓGICA RECREATIVA 1. En un examen Ana obtuvo menos puntos que Bertha; David menos puntos que Ana y Carlos más

puntos que Elena. Si Elena obtuvo más puntos que Bertha, ¿Quién obtuvo el puntaje más alto? Solución:

Tracemos una recta horizontal para ubicar los datos de (−) a (+): Del enunciado planteamos:

El más alto puntaje lo obtuvo “C” que es Carlos

2. Si se sabe que Juan es mayor que Marcos y que Paolo, pero este último es mayor que José y que Mario, ¿cuál de las siguientes relaciones no es verdadera?

A) Mario es menor que Paolo B) José es menor que Juan C) Juan es mayor que Mario D) Marcos es menor que Juan E) Paolo es menor que Marcos

Solución Graficando los datos:

Observando los gráficos y con las alternativas, se concluye que: “Paolo es mayor que Marcos”. ∴∴∴∴ No es verdadera E

3. Aníbal invita a cenar a sus amigos: Betty, Celinda, Daniel, Eduardo y Felipe; este último, por razones de

fuerza mayor, no pudo asistir. Se sientan alrededor de una misma mesa circular de seis asientos distribuidos simétricamente.

Sí:



• Aníbal se sienta junto a Eduardo y Daniel. • Frente a Eduardo se sienta Betty. • Junto a uno de los varones no se encuentra el asiento vacío por ausencia de Felipe. ¿Entre quiénes se sienta Eduardo? Solución: • “Aníbal se sienta junto a Eduardo y Daniel”

• “Frente a Eduardo se sienta Betty”.

• “Junto a uno de los varones no se encuentra el asiento vacío por ausencia de Felipe”. Entonces, dicho asiento está ubicado entre las dos mujeres, luego:

Rpta. Eduardo se sienta entre Aníbal y Celinda. 4. Alicia, tras atravesar el espejo, se encuentra deambulando por el bosque del olvido, donde es incapaz

de recordar qué día de la semana es. En el bosque viven el León y el Unicornio. El León miente los lunes, martes y miércoles. El Unicornio miente los jueves, viernes y sábados. En todas las demás ocasiones, ambos personajes dicen siempre la verdad. Alicia les pregunta qué día es, a lo que el León dice: "ayer me tocó mentir", mientras que el Unicornio asegura: "a mí también me tocó mentir ayer". ¿Qué día de la semana es?

Solución: De la lectura del problema construimos una tabla de doble entrada:

Lun Mar Mie Jue Vie Sab Dom

León M M M V V V V Unicornio V V V M M M V

Analicemos lo que dice el león: “ayer me toco mentir”

• Si es verdad lo que dice el león, hoy es jueves • Pero si es mentira lo que dice, entonces hoy es lunes



Analicemos lo que dice el unicornio “ayer me tocó mentir”

• Si es verdad lo que dice el unicornio, hoy es domingo • Pero si es mentira lo que dice el unicornio, entonces hoy es jueves

Rpta: Como ambos deben coincidir con el día, entonces hoy es jueves.

PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Cinco personas rinden un examen. Si se sabe que.

• B obtuvo un punto más que D • D obtuvo un punto más que C • E obtuvo dos puntos menos que D • D obtuvo dos puntos menos que A Ordena de manera creciente, e indica quien obtuvo el mayor puntaje

2. En un examen Sara obtuvo menos puntos que Manuel, Enrique menos puntos que Sara, y Natali más puntos que Vanesa. Si Vanesa obtuvo más puntos que Manuel ¿Quién obtuvo el puntaje más alto?

3. Aníbal invita cenar a sus amigos: Betty, Celinda, Daniel, Eduardo y Felipe; este último, por razones de fuerza mayor no pudo asistir. Se sientan alrededor de una misma mesa circular con 6 asientos distribuidos simétricamente. Si: Aníbal se sienta junto a Eduardo y Daniel. Frente a Eduardo se sienta Betty. Junto a un hombre no se encuentra el asiento vacío. ¿Entre quiénes se sienta Eduardo?

4. Seis persona juegan al póker alrededor de una mesa redonda, Lito no está sentado al lado de

Elena ni de Juana. Félix no esta al lado de Gino ni de Juana, Pablo esta junto a Elena a su derecha. ¿Quién esta sentado a la derecha de Pablo?

5. A una reunión asistieron 3 amigos: Marcos, Hugo y Carlos; y 3 damas: Pilar, Nora y Sara. Terminada la actividad, cada uno salió acompañado por una dama, Hugo salió con la amiga de Nora. Pilar que no simpatiza con Nora, salió antes que Marco ¿Quién acompaño a Sara y con quien salió Marcos?

6. Tres amigos con nombres diferentes, tienen cada uno un animal diferente; se sabe que, el perro y el gato peleaban, además:

• Jorge le dice al dueño del gato que el otro amigo tiene un canario • Julio le dice a Luis que su hijo es veterinario • Julio le dice al dueño del gato que este quiso comerse al canario

¿Qué animal tiene Luis?

7. María, Lucía e Irene viven en tres ciudades diferentes: Lima, Cusco y Tacna; y estudian una carrera distinta: Educación, Derecho y Arquitectura, no necesariamente en ese orden. Se sabe que:

• María no vive en Cusco • Lucía no vive en Tacna • La que vive en Cusco no estudia derecho • Quien vive en Tacna estudia Arquitectura • Lucía no estudia Educación

¿Dónde vive Irene y que estudia?



8. Se le preguntó a Karina por su edad y dijo: “Anteayer tenía 19 años y el año próximo tendré 22

años”. ¿Cuál era el día de cumpleaños de Karina y en qué día hizo esta curiosa afirmación?

9. Tres hombres y dos muchachos tienen que cruzar un río en una canoa; en cada viaje puede ir uno de los hombres o dos de los muchachos, pero no un hombre y un muchacho a la vez. ¿Cuál es el mínimo número de veces que la canoa tiene que cruzar el río, en cualquier sentido, para que pasen todos?

10. Alberto dice: “Bernardo miente”

Bernardo dice: “César miente” César dice: “Alberto y Bernardo mienten” Según estas afirmaciones, ¿se puede decir quiénes mienten y quiénes dicen la verdad?

11. La princesa Analí presenta a sus pretendientes tres cofres, cada uno con una inscripción. En uno

de ellos se encuentra su retrato y quién lo descubra podrá casarse con la bella princesa. La princesa Analí (quien siempre dice la verdad) asegura que a lo sumo una de las tres inscripciones es verdadera. Las inscripciones de los tres cofres pueden verse en el dibujo. ¿En cuál de ellos se encuentra el retrato de la princesa Analí?

12. Arturo, Bertha y Diana estaban hablando sobre las notas que posiblemente iban a obtener en

Matemática en el próximo bimestre. Arturo dijo: “Si me ponen quince, entonces le pondrán quince a Bertha.” Bertha dijo: “Si me ponen quince, entonces pondrán quince a Diana.” Todas estas afirmaciones eran verdaderas, pero sólo dos de los estudiantes recibieron quinces. ¿Cuáles fueron estos dos?

13. Karim, Ursula, Tania y Liliana participaron en un concurso de equitación. Cuando un periodista que

había llegado tarde les preguntó en qué puestos habían llegado, respondieron así:

Karim : “Liliana fue primera y Ursula fue segunda” Ursula : “Liliana fue segunda y Tania fue tercera” Liliana : “Tania fue última y Karim fue segunda”

Si cada una dijo una verdad y una mentira. ¿Cuál fue el orden en el que quedaron en este concurso?

14. Ana, Emma y Lilia pertenecen a la banda de música del colegio. Una toca la flauta, otra toca el

saxofón, y la otra toca los tambores. Ana es una estudiante de cuarto grado. Ana y la saxofonista practican después del colegio. Emma y la flautista son estudiantes de quinto grado.

¿Quién toca los tambores?

Oro

El retrato está en este cofre

Plata

El retrato no está en este cofre

Plomo

El retrato no está en el cofre de oro



15. El señor “carpintero”, el señor “mayordomo”, el señor “ingeniero” y el señor “lechero” están empleados como carpintero, mayordomo, ingeniero y lechero, aunque sus nombres no corresponden, con sus profesiones. Cada uno de ellos hace una afirmación:

• Señor Carpintero: “Yo soy el lechero” • Señor Ingeniero: “Yo no soy el carpintero” • Señor Mayordomo: “Yo no soy el lechero” • Señor Lechero: “Yo no soy el mayordomo”

Si tres de las cuatro afirmaciones anteriores son falsas. ¿Quién es el ingeniero?

16. David, Gustavo y Felix tienen un dado cada uno. Estos tres dados son idénticos en tamaño y color.

Cada una de las caras de los dados tiene un color diferente. Al lanzar cada uno su dado sobre la mesa, ellos señalan los colores de las tres caras que ven en su respectivo dado:

• David : Azul, blanco, amarillo. • Gustavo : Anaranjado, azul, rojo. • Félix : Verde, anaranjado, blanco.

17. En el patio de recreo, formando un círculo, conversan Anita, Bety, Carmen y Diana. La niña de vestido verde está a la izquierda de Carmen, Bety está al frente de la niña de vestido rojo, la niña a la derecha de Anita tiene vestido fucsia y la niña de vestido morado está al frente de la niña de vestido fucsia.

¿De qué color es el vestido de cada una de las niñas?

18. Mi familia incluye a mis padres, mi hermano, mi hermana y yo. Nuestros nombres son Jaime, Juanita, David, María y Mónica, pero no necesariamente en ese orden. Si se sabe que: i) Juanita es menor que María; ii) Yo soy mayor que Mónica; iii) Jaime es menor que yo. ¿Cómo se llaman mis padres?

19. Resolver el siguiente problema: Félix; David; Gustavo y Aurelio son 4 amigos y sus profesiones son

abogado; ingeniero; matemático y médico, aunque no necesariamente en ese orden. Si las siguientes afirmaciones son verdaderas, determinar la profesión de cada uno.

- Félix está casado con la hermana del médico. - Aurelio y el matemático son vecinos del mismo edificio. - Gustavo y el ingeniero son pacientes del médico - El abogado y el matemático son solteros, los demás están casados. - David es soltero y estudio la primaria con el abogado.

20. En una prueba escrita de cuarto grado B se tiene que José obtuvo menos puntaje que Carlos,

Roberto menos puntaje que José y Wilfredo mas puntaje que Aldo. Si Aldo obtuvo mas puntaje que Carlos, ¿Quién obtuvo el puntaje mas alto?

¿Cuál es el color de la cara opuesta a la de color blanco?



21. Con la finalidad de estudiar para la prueba de razonamiento lógico, cuatro compañeras del quinto grado A se sientan alrededor de una mesa redonda con 4 sillas distribuidas simétricamente es decir a la misma distancia. Si sabemos que: Eliana les comento que deben practicar bastante. Teresa se sienta junto y a la derecha de Vicky. Flor no se sienta junto a Vicky. Luego podemos afirmar: I. Eliana y Teresa se sientan juntas II. Vicky y Eliana no se sientan juntas III. No es cierto que Eliana y Teresa no se sientan juntas IV. Flor se sientan junto y a la derecha de Eliana V. Teresa se sienta junto y a la izquierda de Flor

22. Luís, Miguel y Alberto tienen diferentes aficiones y gustos en el fútbol (Universitario, Alianza Lima, Deportivo Municipal). Literatura (Novela, Poesía, Periodismo).Licores (Gin, Pisco, Cerveza) y Cigarrillos (Ducal, Winston, Premier)

Se sabe que: I. Miguel no simpatiza con la U II. Al socio del Municipal le gusta el Pisco. III. El que fuma Ducal es periodista. IV. El de la U toma cerveza. V. Luís disfruta cuando juega Municipal o lee a Bécquer. VI. Alberto fuma Winston. VII. Uno de ellos fuma Premier. VIII. El hincha del Alianza Lima trabaja en “El Expreso”.

Identifique los gustos de cada una de las personas. 23. Carlos debe tomar cuatro cursos de siete que están programados y que le interesan. Los cursos

programados son: De Ciencias: Biología, Química y Física. De Humanidades: Inglés, Francés , Música y Literatura. Carlos debe tomar dos cursos de Ciencias, pero tiene problemas en el horario ya que Inglés, Química y Música están programadas a la misma hora; lo mismo sucede con Biología y Francés. Si Carlos decide tomar el curso de Inglés, ¿qué otros cursos puede tomar?

LÓGICA PROPOSICIONAL

La matemática y la lógica, históricamente hablando, fueron disciplinas completamente distintas.

La matemática siempre estuvo ligada a la ciencia, y la lógica al pensamiento. Si embargo, ambas

se desarrollaron en tiempos modernos: La lógica se torno más matemática, y la matemática más

lógica. En consecuencia, ahora es imposible trazar una línea divisora entre ellas; de hecho las

dos son una sola. Difieren como el joven del adulto: la lógica es la juventud matemática, y la

matemática es la adultez de la lógica. Este modo de ver ofende aquellos lógicos que, habiendo

gastado su tiempo en el estudio de los textos clásicos, son incapaces de seguir un raciocinio

simbólico. Y a los matemáticos que aprendieron su técnica sin ni siquiera preocuparse sobre su

significación o justificación. Afortunadamente estas dos perspectivas esta siendo abandonadas.

Bertrand Russell



PROPOSICIÓN Se entiende por proposición a todo enunciado del lenguaje con un único valor de verdad: V = verdadero o F = falso y denotado por p, q, r, s, t, etc. llamadas variables proposicionales y cada variable representa una proposición simple o atómica. Una proposición compuesta o molecular es aquella expresión que está constituida por más de una proposición simple, unidas por términos llamados conectivos. Estos conectivos son: “y”, “o”, “si entonces”, “si y sólo si”, “no”, etc. y denotados respectivamente “∧∧∧∧”, “∨∨∨∨”, “→→→→”, “↔↔↔↔”, “∼∼∼∼”, etc. Ejemplos de proposiciones simples: • La Luna es un satélite de la tierra. • 2 + 3 = 6 • Humberto es matemático. Ejemplos de proposiciones compuestas: • Aristóteles no fue un filosofo materialista • Si el avión tiene suficiente gasolina, llegará al medio día • Ni Ecuador ni Bolivia son productores de algodón • Un número es positivo si y sólo si es mayor que cero

PROPOSICIONES MOLECULARES BÁSICAS (Tabla de valores)

p q p ∧ q p ∨ q p → q p∆ q p ↔ q

V V V F F V F F

V F F F

V V V F

V F V V

F V V F

V F F V

EVALUACIÓN DE ESQUEMAS MOLECULARES POR TABLA DE VALORES Evaluar un esquema molecular por la tabla de valores es obtener los valores de su operador principal a partir de los valores de verdad de las proposiciones simples que participan Ejemplo 1

p q (~p ∨ q) ↔ (p → q) V V V F F V F F

V V V F V F V V V V V V

Ejemplo. 2:

p q ∼ ( p → q ) ↔ [ ( ∼ p ) ↔ q ]

V V F F

V F V F

F V F F

V F V V

V V F V

F F V V

F V V F

V F V F



TIPOS DE PROPOSICIONES COMPUESTAS Tautología.- Es toda proposición simple o compuesta cuyo resultado final siempre es verdadera para todas las combinaciones. Ejemplo. ∼(p → q) ↔ [(∼p) ↔ q] Contradicción.- Es toda proposición simple o compuesta cuyo valor o tabla de verdad es siempre falso para cualquier combinación de valores veritativos de sus componentes. Ejemplo. [((∼p)∨ q ) ∧ ∼q] → ∼p Contingencia.- Cuando una proposición cuyo resultado contiene al menos una verdad o al menos una falsa. Ejemplo. ∼( q ∧ p ) → q EQUIVALENCIA E IMPLICACIÓN LÓGICA. Dos esquemas moleculares A y B son equivalentes, denotado por A B≡ , si unidos por la bicondicional el resultado es una Tautología. Un esquema molecular A implica B, están unidos por la condicional el resultado es una Tautología. Se denota por A → B

INFERENCIA LÓGICA Si de una o más proposiciones llamadas premisas se deduce la afirmación de una proposición llamada conclusión, se dice que se ha construido una inferencia lógica y se simboliza de la siguiente forma:

P1 P2 . . Pn

----------

∴Q

La inferencia es válida si y sólo si la conjunción de premisas implica la conclusión:

1 2 3P P P ... P Q

n∧ ∧ ∧ ∧ →

En caso contrario, la inferencia es no válida (razonamiento incorrecto)

PRINCIPIOS LOGICOS

Principio de Identidad: Este principio dice “una cosa sola es idéntica a si mismo” Formalmente se expresa por: p → p ó p ↔ p

Principio de no Contradicción: Este principio afirma “es imposible que una proposición sea falsa y verdadera a la vez” ~ (p Λ ~ p)

Principio del Tercio Excluido: Según este principio, “una proposición es verdadera o es falsa, no existe un tercera posibilidad” p v ~ p

EQUIVALENCIAS NOTABLES

De la infinita cantidad de tautologías que existen en la lógica proposicional, algunas tautologías son útiles porque generan un conjunto de reglas lógicas para efectuar operaciones.



Doble Negación : ~ ~ p ≡ p

Idempotencia: a) (p Λ p) ≡ p b) (p v p) ≡ p

Conmutativa: a) p Λ q ≡ q Λ p b) p v q ≡ q v p

Asociativa: a) p Λ (q Λ r) ≡ (p Λ q) Λ r b) p v (q v r) ≡ (p v q) v r

Distributiva: a) p Λ (q v r) ≡ (p Λ q) v (p Λ r) b) p v (q Λ r) ≡ (p v q) Λ (p v r)

Leyes de De Morgan: a) ~ (p Λ q) ≡ ~ p v ~ q b) ~ (p v q) ≡ ~ p Λ ~ q

Def. condicional: p → q ≡ ~ p v q

Def. del bicondicional: a) p ↔ q ≡ (p → q ) Λ (q → p) b) p ↔ q ≡ (p Λ q) v (~p Λ ~q )

Def. del disyuntivo exclusivo: p ∆ q ≡ (p v q) Λ ~( p Λ q)

Absorción: a) p Λ (p v q ) ≡ p b) p v ( p Λ q) ≡ p

c) p Λ (~ p v q) ≡ p Λ q d) p v (~p Λ q) ≡ p v q

Transposición: p → q ≡ ~ q → ~ p

Del complemento: a) p v ~ p ≡ V b) p Λ ~ p ≡ F

De la identidad: a) p v V ≡ V b) p Λ V ≡ p

c) p v F ≡ p d) p Λ F ≡ F

CUANTIFICADORES Cuantificador Universal: ∀ , se lee: para todo ∀ x ∈A : p(x) ………………….. es una proposición Se lee: Para todo x de A se cumple p(x)

Ejemplo 1.

� Todo hombre es mortal. � Todos los hombres son sabios y trabajadores.

Pueden traducirse respectivamente como:

� Para todo x, si x es un hombre entonces x es mortal. � Para todo x, si x es un hombre entonces x es sabio y trabajador.

Ejemplo 2.

� Todos los puneños son peruanos Puede traducirse como:

� Para todo x, si x es puneño entonces x es peruano. Cuantificador Existencial: ∃, se lee: existe

$ x ∈ A: p(x) ………………………….es una proposición Se lee: existe un x de A, tal que se cumple p(x)



Ejemplo 1. • Existe un peruano que es puneño. Puede traducirse como: • Existe un x peruano; tal que x es puneño

Ejemplo 2.

� Algún entero es mayor que dos � Algunos números primos son mayores que doce � Pueden traducirse respectivamente como: � Existe un x entero; tal que, x es mayor que dos. � Existe un x entero; tal que, x es primo y x mayor que doce.

Otras formas equivalentes a la expresión “para todo x”, son: “Todo x”, “Cualquier x” y “Cada x”; que se simboliza por “∀ x” y se llama Cuantificador Universal.

Otras formas equivalentes para la expresión “Existe un x” son: “Hay x”, “Existe x”, “Algún x” y “Algunos x”; que se simboliza por "∃ x" y se llama Cuantificador Existencial.

Negación de los cuantificadores [ ]: ( ) : ( )x A p x x A p x∼ ∀ ∈ ≡ ∃ ∈ ∼

[ ]: ( ) : ( )x A p x x A p x∼ ∃ ∈ ≡ ∀ ∈ ∼

PROBLEMAS RESUELTOS 1. Formule dos enunciados que afirmen algo, dos que nieguen y dos que no sean proposiciones.

Solución. a) El pez es un animal acuático b) El oro es un metal precioso c) Ningún hombre es inmortal d) La brujería no es una ciencia e) ¿Quién sale del aula? f) ¡Viva el Perú!

2. Sean las proposiciones simples:

p: Adolfo estudia q: Adolfo trabaja Simbolice la siguiente inferencia: “Adolfo estudia o trabaja, pero si no estudia entonces trabaja. En consecuencia, Adolfo no trabaja” Solución.

( ) ( )p q p q q∨ ∧ → → ∼ ∼

PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Sean las proposiciones simples:

p: Maria duerme q: Maria estudia r: Maria aprueba

Simbolice la siguiente inferencia: “Si Maria duerme, no estudia. Maria no aprueba si no estudia. En consecuencia, Maria no aprueba si duerme”



A) ( ) ( ) ( )p q r q r p→ ∧ → → → ∼ ∼ ∼ ∼

B) ( ) ( ) ( )p q r q p r→ ∧ → → → ∼ ∼ ∼ ∼

C) ( ) ( ) ( )p q q r p r→ ∧ → → → ∼ ∼ ∼ ∼

D) ( ) ( ) ( )p q r q r p→ ∧ → → → ∼ ∼ ∼

E) ( ) ( ) ( )p q r q r p→ ∧ → → → ∼ ∼ ∼ ∼

2. Dadas las siguientes proposiciones:

p: Juan es doctor q: Juan no cura la miopía

Si la proposición p es falsa y q puede ser verdadera o falsa. Analiza lo siguiente: si q es verdadera ¿Cuál es el valor de verdad de la siguiente proposición: Juan es doctor o no cura la miopía? A) V B) V o F C) V y F D) F E) Solo F

3. Simbolizar la siguiente proposición lógica: “Si Jorge participa en el comité electoral de la UNA entonces los estudiantes se enojarán con él, y si no participa en el comité electoral de la UNA entonces las autoridades universitarias se enojarán con él. Pero, Jorge participará en el comité electoral de la UNA. Por lo tanto, los estudiantes o las autoridades universitarias se enojarán con él”. A) B) C) D) E)

4. Determine la inferencia a partir de las siguientes premisas dadas:

a) P1: Ningún vegetal es mineral P2: Algún ser inorgánico no es vegetal P3: Todo mineral es inorgánico b) P1: algunas elevaciones grandes no son volcánicas P2: Algunas montañas no son volcanes P3. Todas las montañas son elevaciones de Tierra c) P1: Ningún mortal es perfecto P2: Ningún hombre es inmortal P3: Ningún hombre es perfecto

5. Simbolice el siguiente enunciado: “Si el oro vale mucho dinero, o es un metal escaso o es un metal

precioso”.

p q

p r

p

q r

→

→

∴ ∨

∼

( )

( )

p q

p r

p

q r

→

→

∴ ∨

∼

∼

∼

∼

( )

p q

p r

p

q r

→

→

∴ ∨

∼

∼

∼

p q

p r

p

q r

→

→

∴ ∨

∼

∼

p q

p r

p

q r

→

→

∴ ∨

∼



a) ( )p q r→ ∨

b) ( )p q r→ ∧

c) ( )p q r∨ →

d) ( )p q r∧ →

e) ( ) ( )p q p r∨ → ∨

6. Simbolizar y comprobar la validez de la inferencia lógica:

“Si el colectivo sufrió desperfectos en el camino, entonces Elena llegará tarde a la universidad. Pero, Elena no llegará tarde a la universidad. Por lo tanto, si el colectivo sufrió desperfectos en el camino, entonces Elena tomo un taxi”.

7. Si p: “Carlos vendrá”, q: “Carlos ha recibido la carta” y r: “Carlos esta interesado todavía en el asunto” . Simbolizar los siguientes enunciados:

a) “Carlos vendrá, si ha recibido la carta, siempre que este todavía interesado en el asunto” b) “O Carlos vendrá por que ha recibido la carta o no esta todavía interesado en el asunto” c) “Carlos vendrá si y sólo si ha recibido la carta o vendrá por que está interesado todavía en el

asunto”

8. Determinar si las siguientes proposiciones son equivalentes:

P: “Si Juan aprobó los exámenes de admisión, ingresó a la Universidad” Q: “No es el caso que Juan apruebe los exámenes de admisión y no ingrese a la Universidad”

9. Determine las siguientes formas proposicionales en tautología, contradicción o contingencia. Justifica tu respuesta.

a) p → (p ∨ q) b) (∼p ∧ q ) ∨ q c) (s ∧ t) ↔ (∼s ∨ ∼t)

10. Sabiendo que el valor de verdad de p es V y de q es V, determina el valor de verdad de:

a) [(p ∨ q) ∧ ∼q] → q b) [∼(p ∧ q) ∨ p] ↔ (p → ∼q)

11. Negar las proposiciones:

a) )()(/ xQxPx ∼∨∃

b) )()(: xQxPx ⇒∀ c) , / . 0x y x y∀ ∃ =

12. Si la proposición “es falso que, hablemos y no trabajemos” es falsa. Entonces podemos afirmar: a) Trabajamos y hablamos b) No hablamos o trabajamos c) Si hablamos entonces trabajamos d) Trabajamos si y sólo si hablamos e) Si trabajamos, no hablamos

13. Determinar la validez de las siguientes razonamientos:



I. Si Carlos fue a la playa, o bien se dedico a pescar o bien paso la mañana remando. Carlos no se dedico a pescar. En consecuencia, si Carlos fue a la playa, paso la mañana remando.

II. Si Luís estaciona su auto en la avenida Arequipa, se lo llevará la grúa y tendrá que pagar una multa. La grúa no se lleva el auto. Luego, no lo estacionó en la avenida Arequipa.

III. Ulises se echara al mar si y sólo si oye el canto de la sirena o no esta atado al mástil. Por consiguiente, si Ulises oye el canto de la sirena, entonces, o está atado al mástil o se echara al mar.

I) II) III)

AUTOEVALUACION

1. Dos hombres y dos muchachos tienen que cruzar un río en una canoa; en cada viaje puede ir uno de los hombres o dos de los muchachos, pero no un hombre y un muchacho a la vez. ¿Cuál es el mínimo número de veces que la canoa tiene que cruzar el río, en cualquier sentido, para que pasen todos?

2. Ana, Bernardo, Carlos y Diana están sentados en una fila de cuatro asientos numerados del 1 al 4

(de izquierda a derecha). José los mira y dice: −−−− “Bernardo está al lado de Carlos”

−−−− “Ana está entre Bernardo y Carlos” Sucede que cada una de las afirmaciones que hizo José es falsa. En verdad, Bernardo, está sentado

en el asiento Nº 3. ¿Quién está sentado en el asiento Nº 2?

3. En una carrera participaron tres parejas de esposos: los Arévalo, los Castillo y los Gutiérrez. Se sabe que: •••• Los esposos llegaron antes que sus respectivas esposas. •••• La señora Gutiérrez llegó antes que el señor Arévalo •••• El señor Castillo fue superado por una dama. •••• La señora Arévalo llegó quinta, justo después que su esposo.

¿En qué lugares llegaron el señor y la señora Castillo, respectivamente?

4. Se les escucha a cuatro hermano de 15, 18, 20 y 21 años las siguiente conversación •••• Mónica : yo tengo 15 años

•••• Blanca : yo tengo 20 años

•••• Vanesa : Mónica tienes18 años •••• Zaida : yo tengo 18 años

Si sólo una de ella miente y las otras dicen la verdad ¿Cuánto suma la edad de Mónica y Zaida? (en años)

5. Ana, Berta, Carlos y Diana están sentados en una fila de cuatro carpetas individuales, numeradas

de 1 al 4, esperando dar un examen. José los mira y dice: “Bertha está al lado de Carlos”, “Ana está entre Berta y Carlos”. Pero sucede que las dos afirmaciones hechas por José son falsas. En realidad Berta está en la silla número 3. ¿Quién está en la silla número 2?

( ) p q r

q

p r

→ ∨

∴ →

∼

( ) p q r

q p

→ ∧

∴ →∼ ∼

( )

( )

p q r

q r p

↔ ∨

∴ → ∨

∼



6. Determine la validez de las siguientes inferencias

a) Si trabajo, no puedo estudiar. Estudio o apruebo matemáticas, pero trabajé. Por tanto, aprobé matemáticas

b) Si el ómnibus sufrió desperfectos en el camino entonces Patricia llegara tarde a la Universidad. Pero, Patricia no llegara tarde a la Universidad, por tanto si el ómnibus sufrió desperfectos en ele camino, entonces Patricia viajó en taxi

c) En el cumpleaños de mi esposa le llevaré flores. Es el cumpleaños de mi esposa o trabajo hasta tarde; pero hoy no le llevé flores a mi esposa, por tanto hoy trabajé hasta tarde.

BIBLIOGRAFIA ADUNI. (2006) “Aritmética – Análisis del número y sus aplicaciones”. Editorial. Lumbreras.

FIGUEROA. R. (1996). “Matemática Básica I”. Editorial América. Lima – Perú

FARFAN ALARCON, Oscar Aritmética Ed. San Marcos Lima –Perú

SALVADOR TIMOTEO, Valentín Aritmética Ed. San Marcos Lima – Perú

COMPONENTE LÓGICO MATEMÁTICA Teoría de Conjuntos


Módulo 2: Teoría de Conjuntos

LOGROS DE APRENDIZAJE • Aplica e interpreta conjuntos para solucionar problemas de su entorno que tenga que ver con

agrupaciones de objetos. • Utiliza diagramas de Venn - Euler y de Carrol para clasificar conjuntos que tienen elementos

comunes y conjuntos que no tienen elementos comunes respectivamente. • Utiliza la cardinalidad de los conjuntos para solucionar problemas de su vida cotidiana.

CONTENIDOS • Introducción • Relación de pertenencia • Determinación de un conjunto • Número cardinal • Relaciones entre conjuntos • Igualdad de conjuntos • Conjuntos disjuntos • Clases de conjuntos • Conjuntos especiales • Conjunto potencia • Operaciones entre conjuntos

RESUMEN TEÓRICO Introducción Intuitivamente se entiende por conjunto, a la agrupación, reunión o colección de objetos reales o ideales, a las cuales se les denomina elementos del conjunto. A los conjuntos generalmente se les representa con letras mayúsculas de nuestro alfabeto y a sus elementos con letras minúsculas separados por comas y encerrados por signos de agrupación (llaves, corchetes, etc.) Ejemplos. • El conjunto de los 5 primeros números primos: A = {2, 3, 5, 7, 11} • El conjunto de las vocales: B = {a, e, i, o, u} • El conjunto de las letras del abecedario: C = {a, b, c, d, … ,z} • El conjunto de los números primos pares mayor que 2: D = { } • El conjunto de la Capital del Perú: E = { LIMA } Observa que un conjunto puede tener un elemento o más elementos, o puede no tener elementos. 1. RELACIÓN DE PERTENENCIA

Si un objeto es elemento de un conjunto se dice que pertenece (∈) a este conjunto, caso contrario se dirá que no pertenece (∉) a dicho conjunto. La relación de pertenencia es una relación de elemento a conjunto.

Ejemplo: Dado el conjunto. M = {2, a, 3}, las siguientes proposiciones son verdaderas: 2 ∈M, a ∈ M y 3 ∈ M.

2. DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO Determinar un conjunto es especificar o señalar en forma precisa, quienes son los elementos que los

conforman.



2.1. Determinación por extensión Es cuando se señala a cada uno de los elementos del conjunto.

Ejemplos: • Las estaciones del año: A = {verano, invierno, primavera, otoño} • Los días de la semana: B = {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo} • Las vocales: C = {a, e, i, o, u} • Los números cuadrados perfectos mayores que uno y menores que 37: D = {22, 32, 42, 52, 62} • Los países sudamericanos: E = {Perú, Bolivia, Argentina, …, Chile}

2.2. Determinación por comprensión

Es cuando se mencionan una o más características comunes de los elementos del conjunto.

Esquema: A = {x / p(x)}

Ejemplos: • Las estaciones del año: A = {x / x es una estación del año} • Los días de la semana: B = {x/x es un día de la semana} • El conjunto de las vocales: C = {x/x es una vocal} • Los números cuadrados perfectos mayores que uno y menores que 37: D = {x2/1<x<7 ∧ x ∈ IN} • Los países de Sudamérica: E = {x/x es un país sudamericano}

3. NÚMERO CARDINAL El número cardinal de un conjunto A indica la cantidad de elementos diferentes que posee el conjunto y se denota por: n(A). Ejemplo.- Para el conjunto M = {4, 5, 7, 4, 7, 6}, se tiene que n ( M ) = 4. y para el conjunto R = {x/x es una vocal}, se tiene n(R) = 5.

4. DIAGRAMAS DE VENN EULER. Son diagramas que utilizan curvas cerradas para representar un conjunto.

Ejemplo.

A = {1, 2, 5, 7, 10} 5. RELACIONES ENTRE CONJUNTOS

5.1. Inclusión Se dice que un conjunto A está incluido en el conjunto B, si sólo si todos los elementos de A son también elementos del conjunto B. Se denota: A ⊆ B Se lee: “A está incluido en B”, “A está contenido en B”, “A es un subconjunto de B” o “B contiene al conjunto A” Diagrama:

Se define: ( )A B x x A x B⊆ ⇔∀ ∈ ⇒ ∈

5.2. Igualdad de Conjuntos Intuitivamente dos conjuntos A y B son iguales, cuando estos conjuntos poseen los mismos elementos. Se denota: A = B

.1 .2

.10 .7 .5

A

A B



Se lee: El conjunto A es igual al conjunto B

Se define: ( ) ( )A B B A A B= ⇔ ⊆ ∧ ⊆

Ejemplos. 1. Sean los conjuntos:

A = {2, 4, a, b} B = {2, 2, 4, a, b, a, b}

Como (A Œ B) ∧ (B Œ A) entonces (A = B)

2. Sean los conjuntos 1 1 1 1 1, , , ,...,

2 6 12 20 420M =

( )

≤≤∧∈+

= 20x1Zx/1xx

1N

Como ( M Œ N) ∧ (N Œ M) entonces ( M = N)

3. Sean los conjuntos definidos en Z

R = {x ∈R / x5 – x = 0}

S = { 0, 1, −1} Como (R Œ S) ∧ (S Œ R); entonces, (R = S)

Dos conjuntos diferentes A y B son comparables, cuando sólo uno de los conjuntos está incluido en el

otro, es decir, si: A B B A⊂ ∨ ⊂ . Ejemplos: 1. Sean A = {4, 6, 7} B = {4, 7, 6, 8, 1, 3} (A Õ B ) ∧ (A ≠ B)

entonces A y B son comparables

2. Sean M = {x / x es un número par} N = {x / x es un número entero} (M ⊂ N ) ∧ ( N ≠ M) entonces M y N son comparables 5.3. Conjuntos Disjuntos

Dos conjuntos son disjuntos cuando no poseen elementos comunes.

Ejemplos: 1. Si A = {2, 3, 5} y B = {4, 6, 8}, ⇒ A y B son disjuntos 2. Si C = {x/x es un varón} y D = {x/x es una mujer}, ⇒ C y D son disjuntos 3. M = {x / x es un número par} y N = {x/x es un numero impar}, ⇒ M y N son disjuntos

6. DIAGRAMA DE CARROLL

Se utiliza para representar conjuntos que son disjuntos. Ejemplo. En una reunión asistieron hombres y mujeres, además se observó que un grupo de dichos asistentes son casados. Representar a través, de un diagrama los conjuntos mencionados. Es decir:

H : conjunto de los hombres M: conjunto de las mujeres



S : conjunto de los solteros C : conjunto de los casados Se puede leer las regiones:

1: hombres solteros 2: hombres casados 3: mujeres solteras 4: mujeres casadas

Aplicaciones: A una fiesta infantil asistieron 50 niños, de los cuales: • Cinco niñas tienen siete años. • Catorce niñas no tienen ocho años. • Dieciséis niñas no tienen siete años. • Diez niños no tienen ni siete ni ocho años.

¿Cuántos niños tienen siete u ocho años? Solución. Haciendo uso de un diagrama de Carroll, se puede fácilmente disponer la información y obtener los resultados.

7 años 8 años Ni 7, ni 8 años V x y 10 M 5 7 9

Por consiguiente: x + y + 10 + 5 + 7 + 9 = 50 x + y = 19

La última suma x + y = 19, justamente representa la cantidad de niños que tienen siete u ocho años de edad.

7. CONJUNTOS ESPECIALES

7.1. Conjunto infinito.- Un conjunto es infinito, si tiene una cantidad ilimitada de elementos diferentes,

es decir, el proceso de contar sus elementos no tienen fin en el tiempo. Ejemplos: A = {x / x es un átomo en el espacio}, B = {x3 / x < 5}, D = {x / x es un número real}

7.2. Conjuntos vacío o nulo.- Es aquel conjunto que no posee elementos, la cual se denota por: “φ” Ejemplo:

A = {x/x es un número par ∧ 8 < x < 10} ⇒ A = φ B = {x/x es una persona que vivió 500 años} ⇒ B = φ C = {x/x es un número primo par mayor que 5} ⇒ D = φ

7.3. Conjunto unitario.- Es aquel conjunto que sólo posee un elemento.

Ejemplo: • S = {x/x ∈ Z, 2 < x < 4} = {3}, n(S) = 1, ∴S es un conjunto unitario. • A = {φ }, n(A) = 1 , ∴A es un conjunto unitario. • B = {x/x es la capital del Perú}, n(B) = 1 , ∴B es un conjunto unitario. • D = {x/x es un número primo par}, n(D) = 1, ∴D es un conjunto unitario.

7.4. Conjunto universal.- Es un conjunto referencial que se toma para el estudio de otros conjuntos incluidos en él. y se denota generalmente con la letra “U”.

1 2

4 3

H

M

S C



Ejemplo. 1. Para los conjuntos: A = {los gatos}; B = {los tigres}

Los posibles conjuntos considerados que contiene a los conjuntos anteriores son: U1 = {los animales} U2 = {los felinos} U3 = {los mamíferos}

2. Para los conjuntos: A = {a, e} B = {i, e} Los posibles conjuntos universales que contienen a los conjuntos anteriores son: U1 = {las vocales} U2 = {la letras del abecedario}

3. Para los conjuntos: A = {2, 4, 6} B = {1, 3, 7} C = {6, 10} Podemos considerar el siguiente conjunto universal.

U1 = {x / x ∈ N ∧ 1≤ x ≤ 10}

U2 = {1, 2, 3, … , 9, 10} Diagrama de Venn

8. CONJUNTO POTENCIA

Dado un conjunto A ∫«, el conjunto potencia de A es la familia de subconjuntos de A y se denota como P(A). P(A) = {X / X Œ A}; si n(A) = r ; entonces n(P(A)) = 2 r Ejemplos: 1. Dado el conjunto: A = {2, 3} ⇒ n(A) = 2

P(A) = {φ, {2}, {3}, {2, 3}} ⇒ n(P(A)) = 22 4= 2. Dado el conjunto: B = {a, b, c} ⇒ n(B) = 3

P(B)={φ,{a},{b},{c},{a,b},{a,c}, {b,c}, {a,b,c}} ⇒ ( ) 32 8n P A = =

9. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

9.1. Unión o reunión

La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos de A o los elementos de B

Se denota por A ∪ B y se define: { }/A B x x A x B∪ = ∈ ∨ ∈

DIAGRAMAS GRÁFICAMENTE

NOTA: Si A y B son disjuntos ⇒ n(A ∪ B) = n(A) + n(B)

.1

.7

.3 .9

.6 .4 .2 .10

.8 C B

U

A

.5

U

A B

A ∪∪∪∪ B A ∪∪∪∪ B

A B

U

U

A B

A ∪∪∪∪ B



A B A B

A -

A

A −

B

B

B

A ∆∆∆∆ B

A

B A B

A⊂⊂⊂⊂

U

A

9.2. Intersección. La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos comunes de A y B. Se

denota A ∩ B y se define: { }/A B x x A x B∩ = ∈ ∧ ∈


9.3. Diferencia

La diferencia de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos de A pero no de B.

Se denota A – B y Se define: { }/A B x x A x B− = ∈ ∧ ∉


9.4. Diferencia simétrica

La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A o B pero no a ambos.

Se denota A ∆ B y se define: ( ) ( ){ }/A B x x A B x A B∆ = ∈ ∪ ∧ ∉ ∩


A ∆∆∆∆ B A ∆∆∆∆ B

9.5. Complemento. El complemento de un conjunto A es el conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto universal U pero no a A

Se denota A , AC, A’, ( )C A Se define: { }( ) /C A x x x A= ∈∪∧ ∉

U

A B

A ∩ B = «

A B

A ∩ B = «

U

A - B ⊂ A A - B A - B = A




1. De un grupo de turistas que llegaron a Puno: • 31 visitaron los Uros. • 29 visitaron Sillustani. • 34 visitaron Taquile. • 38 visitaron sólo y nada más que 1 lugar. • 22 visitaron exactamente 2 lugares. ¿Cuántos visitaron los 3 lugares y cuantos eran en total?

a) 6 y 66 b) 5 y 65 c) 4 y 64 d) 4 y 55 e) 5 y 50

2. A una reunión de profesores celebrando el día del maestro, asisten 30 profesores; de los cuales 12

son varones y de estos 5 no se encuentran bailando. ¿Cuántas profesoras no se encuentran bailando?

a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) 14

3. De 60 personas se sabe: • 6 hombres tienen 20 años. • 18 hombres no tienen 21 años. • 22 hombres no tienen 20 años. • Tantas mujeres tienen 20 años como hombres tienen 21 años.

¿Cuántas mujeres no tienen 20 años?

a) 18 b) 20 c) 24 d) 22 e) 16

4. En un salón de clases: 3/5 de los alumnos usa reloj, 1/3 de los alumnos sólo usa anteojos y los 2/5 usa anteojos y reloj. ¿Qué fracción de los alumnos no usa anteojos ni reloj? a) 3/25 b) 2/25 c) 1/15 d) 4/25 e) 1/5

5. En una reunión, en la cual hay 80 personas, se observa que hay 35 mujeres. Además se observa que la cantidad de mujeres que bailan es el doble de la cantidad de hombres que no bailan. Calcular cuántas mujeres no bailan. a) 10 b) 12 c) 5 d) 8 e) 7

6. Si: P = { x ∈ N / x es divisor de 12} y Q = { x ∈ N / x es divisor de 8}.

El conjunto P – Q es:

a) {1, 2, 4} b) {8} c) {1, 2, 4, 6} d) {3, 6, 12} e) {1, 3, 6, 12}

7. De los 300 integrantes de un Club deportivo, 160 se inscribieron en Natación y 135 se inscribieron

en Gimnasia. Si 30 no se inscribieron en ninguna de las dos especialidades. ¿Cuántos se inscribieron en ambas disciplinas? a) 25 b) 30 c) 35 d) 0 e) 5

8. Para los ingresantes a la facultad de Ciencias de la UNA, se ha implementado tres cursos complementarios, de inglés, francés y alemán. En inglés hay 24 inscritos, en francés 20 y en



alemán 18. Trece se han inscrito en más de un curso y 34 en un sólo curso. ¿Cuántos han decidido estudiar los tres idiomas? a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1

9. De un grupo de 80 personas, 27 leen la revista A, pero no leen la revista B; 26 leen B, pero no C y 19 leen C, pero no A. Si dos leen las tres revistas mencionadas, ¿Cuántos leen otras revistas? a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

10. De 50 personas se sabe que: • 5 mujeres tienen 17 años. • 16 mujeres no tienen 17 años. • 14 mujeres no tienen 18 años. • 10 hombres no tienen 17 ni 18 años. ¿Cuántos hombres tienen 17 o 18 años? a) 15 b) 19 c) 17 d) 21 e) 23

11. Sea el conjunto: { }{ } { }{ }; ; ,A a a a c=

Determinar cuáles son verdaderas. )I a A∈ { })II a A∈ { }) ;III a c A∈

)IV Aφ∈ { }{ }) ;V a c A∈ { }{ })VI a A∈

a) Sólo I, II y III b) Sólo I, III y IV c) Sólo II, III y IV d) Sólo I, III y VI e) Solo I y V

12. Dado el conjunto “A”

{ } { }{ } { }{ }A 4,5, 4,3 ,1, 2,3,4 ,2 , 7=

Indicar el valor de verdad de cada proposición:

{ } ( ) { } ( ){ } ( ) { } ( )

{ }{ } ( ) { } ( ){ } ( )

4,3 A 4,3 A

4,1,2 A 2 A

4, 7 A 7 A

2,3,4 A

⊂ ∈

∈ ⊂

⊂ ∈

∈

Indicar el número de proposiciones falsas: a) 6 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

13. Dado el conjunto: { } { }{ } { }{ }{ }A a , a , a, a=

¿Cuántas de las afirmaciones siguientes son correctas?

{ } ( ) { } { }{ } ( ){ } { }{ } ( ) ( ){ }{ } ( ) ( ){ } { }{ } ( ) ( ) ( )

a A a a ,a

a a A A

a A A

a a ,a n A 3

∈ ⊂

⊂ ⊂

⊂ φ⊂

∈ =

a) 5 b) 4 c) 7 d) Todas e) 6

14. Sean los conjuntos: 2{ / 3 2 0}A x x x= ∈ − + =�

{ / 5}B x x= ∈ <�



Afirmamos: I. n(A) + n(B) = 7 II. n(A ∪ B) = n (B) III. n(A – B ) = 0 IV. n(B – A ) = 3 Son verdaderas: a) Todas b) Sólo I y II c) Sólo I, II y III d) Sólo II y III e) Sólo I, II y IV

15. Los conjuntos A y B son tales que n(A » B) = 30, n(A − B) = 12 y n(B − A) = 10. Hallar n(A) + n(B) a) 22 b) 38 c) 36 d) 25 e) 37

16. Si: n[P(A)] = 128, n[P(B)] = 16 y n[P(A … B)] = 8. Hallar n[P(A » B)] a) 128 b) 32 c) 256 d) 1024 e) 512

17. En un momento de una fiesta se observo que el número de varones que no bailaban era el doble del número de personas que estaban bailando y además el número de damas que no bailaban es al número de varones como 2 es a 5. Si en total asistieron 104 personas. ¿Cuántas personas no bailaban? a) 83 b) 78 c) 72 d) 39 e) 26

18. En una fiesta social donde asistieron 4 200 personas se observa que de las mujeres 3/8 son solteras. De los hombres se sabe que son los 2/5 del total de mujeres y 2/5 del número de mujeres casadas están en cinta. ¿Cuántas mujeres casadas no están en cinta? a) 1125 b) 1225 c) 1425 d) 1135 e) 1120

19. En una fiesta donde asistieron 70 personas se observó que: 10 hombres no gustaban de la música puneña, 20 eran mujeres que sí gustaban de esta música. Si el número de hombres que si gustaba de esta música es la tercera parte de las mujeres que no gustan de esta música. ¿A cuántos les gusta lo puneño? a) 20 b) 24 c) 26 d) 28 e) 30

20. En un aeropuerto se disponen viajar un grupo de personas, de las cuales se observa que 40 mujeres viajan al extranjero, 37 hombres viajan a provincia, 28 casados viajan al extranjero, 45 solteros viajan a provincias, hay 42 hombres casados. ¿Cuántas mujeres solteras viajan a provincias, si 18 mujeres solteras viajan al extranjero? a) 44 b) 36 c) 22 d) 28 e) 30

21. Jorge tiene botellas de Guinda, Ron, Anisado y Agua. Suponiendo que se puede mezclar por lo menos dos licores. ¿Cuántas mezclas distintas se pueden hacer? a) 11 b) 10 c) 12 d) 14 e) 15

22. De un grupo de 85 deportistas se sabe que: • 15 atletas participan en fútbol y natación. • 52 son atletas. • 55 son nadadores. • Todos los futbolistas son atletas. • 12 deportistas sólo practican atletismo. • 15 deportistas no practican los deportes indicados.



¿Cuántos deportistas son atletas y nadadores pero no futbolistas? a) 18 b) 22 c) 23 d) 19 e) 24

23. En una encuesta realizada se obtuvo los siguientes resultados: 60 no hablan inglés (I), 70 no hablan Francés (F). 60 hablan inglés y/o francés. Si entre 100 encuestados ninguno habla otro idioma además del materno, inglés o francés. ¿Cuántos hablan a lo más dos idiomas? a) 5 b) 10 c) 15 d) 90 e) 50

24. Ciento veinte alumnos rindieron una prueba que contiene los cursos A, B, C, con el siguiente resultado: • Se anuló 10 pruebas y el resto aprobó por lo menos un curso. • Los que aprobaron A, desaprobaron B y C. • Hay 20 alumnos que aprobaron B y C. ¿Cuántos aprobaron un sólo curso? a) 30 b) 90 c) 100 d) 110 e) 80

BIBLIOGRAFIA

BREVER, J. (1964). Iniciación ala teoría de conjuntos, Editorial Paraninfo Carranza, Cesar. (1990) . Algebra. Editorial Studium. Lima Farfán, Oscar. Aritmética, Editorial san marcos Hernández, Hernán y otros (2003). Proyecto ingenio. Lima Asociación ADUNI, editorial lumbreras 2003. Cuzcano Ignacio. (1986). Matemática, Editorial Vives España

COMPONENTE LÓGICO MATEMÁTICA SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL


Módulo 3: SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL LOGROS DE APRENDIZAJE

• Reconocer las características fundamentales del sistema de numeración decimal. • Utilizar las propiedades de las operaciones básicas de los números para resolver problemas aplicativos. CONTENIDOS • Sistema de numeración decimal • Tablero posicional • Lectura y escritura de números • Operaciones básicas de los números enteros • Razonamiento numérico

RESUMEN TEORICO

SISTEMA DE NUMERACION DECIMAL

Alguna vez te has preguntado: ¿quién inventó los números?, ¿cuándo surgieron? o ¿cómo contaban los primeros seres humanos?. Te imaginas cómo habrán contado los egipcios?; en este modulo encontraras la respuesta a estas interrogantes.

Se presume que los hombres primitivos utilizaron ciertas marcas o signos para identificar la cantidad de animales que cazaban, el número de hijos que tenían, el número de frutos que recolectaban, entre otros . Carl Boyer en su libro Historia de las Matemáticas afirma que nuestros antepasados primitivos probablemente contaban sólo hasta dos y que cuando la cantidad era mayor simplemente la denominaban "muchos".

Cuando los hombres comenzaron asentarse en las cavernas y a formar sus ciudades se vieron obligados a contar más de dos, por lo cual comenzaron a usar piedras, palitos, nudos en las cuerdas y también los dedos.

Un sistema de numeración es un conjunto de reglas que sirven para expresar y escribir números. Una Base de un sistema de numeración es el número de unidades de un orden que forman una unidad del orden inmediato superior, Así, en el sistema decimal que usamos, la base es 10 porque 10 unidades de primer orden forman una decena; diez decenas forman una centena, etc.



Principios Fundamentales

En los sistemas de numeración se cumplen los siguientes principios:

1. Un número de unidades de un orden cualquiera, igual a la base, forman una unidad del orden inmediato superior.

2. Toda cifra escrita a la izquierda de otra representa unidades tantas veces mayores que representa la anterior, como unidades tenga la base.(Este es el principio del valor relativo)

3. En todo sistema, con tantas cifras como unidades tenga la base contando el cero, se pueden escribir todos los números.

El sistema más utilizado se denomina sistema decimal ya que utiliza diez cifras que forman la base del sistema que usamos.

VALOR POSICIONAL Los números del sistema decimal se pueden representar en la siguiente tabla posicional, Ejemplo: El número 580 6540 507 se pueden ubicar en la tabla posicional CMi DMi UMi CM DM UM C D U

5 8 0 6 5 4 5 0 7

(*) (+) (*) El valor de posición de la cifra 8 es: 8 DMi = 80 000 000 (+) El valor de posición de la cifra 6 es: 6 CM = 600 000

Toda cifra tiene dos valores: absoluto y relativo.

El valor relativo de una cifra depende del lugar que ocupe dentro de un número.

El valor absoluto de una cifra determina la cantidad que indica el número.



Todo número se puede descomponer polinómicamente como la suma de sus valores relativos:

2 1 0347 3 100 2 10 7 1 3 10 2 10 7 10= × + × + × = × + × + ×

EJERCICIOS:

1. ¿En cuántas unidades disminuye el número 176 cambiando el 7 por 0? 2. ¿En cuántas unidades disminuye el número 294 cambiando el 2 y el 9 por el 0? 3. ¿En cuántas unidades disminuye el número 1362 cambiando el 3 y 6 por el 0? cambiando 1 por 0 y el 4

por 3? 4. ¿En cuántas unidades aumenta el número 76 cambiando el 7 por el 9? 5. ¿En cuántas unidades aumenta el número 123 cambiando el 1 por 2 y el 2 por el 3? 6. ¿En cuántas unidades aumenta el 354 cambiando el 4 y el 5 por 6? 7. ¿En cuántas unidades aumenta el número 2615 cambiando el 2 por 4, el 6 por el 8 y el 5 por el 6? 8. Ubica el número en la tabla posicional e indique el número resultante:

a. 7 UM + 5 CM + 1 UMi + 4 C + 5 U b. 7 DMi + 7 CM + 6 UMi + 9 DM + 4 D c. 5 DM + 6 C + 4 CM + 4 D + 1 UMi d. 5 DMi + 8 CM + 4 UMi + 3 U

Regla para escribir un número

Para escribir un número se van anotando las unidades correspondientes a cada orden, comenzando por las superiores, poniendo un cero en el lugar correspondiente al orden del cual no haya unidades y separando con un punto las ordenes de las subórdenes.

Regla para leer un número

Para leer un número natural con cualquier cantidad de cifras primero debemos agruparlos por clases; para ello debemos sepáralos de tres en tres de derecha a izquierda; luego se empieza a leer el numero por la izquierda, poniendo la palabra correspondiente a su tabla posicional.

Ejemplo:

Leer el número 14 265. Se lee catorce mil doscientos sesenta y cinco unidades.

NOTA

El sistema decimal es un sistema de numeración posicional, por lo que el valor del dígito depende de su posición dentro del número. Así:

2 1 0347 3 100 2 10 7 1 3 10 2 10 7 10= × + × + × = × + × + ×

Si en lugar de 10 tomamos como base 2, 3, 4, 5, 6 etc.… tendremos otros sistemas de numeración en que se cumplirán principios y propiedades establecidos para el sistema decimal.

Así. En el sistema de base 2 se cumplirá:

1. Que dos unidades de un orden forman una del orden inmediato superior 2. Que toda cifra escrita a la izquierda de otra representa unidades dos veces mayores que las que representa

esta. 3. Que el número de cifras permitidas en esta base son el 0 y el 1.



Ejemplo:

101011(2) = 1××××25 + 0××××24 +1××××23 + 0××××22 +1××××21 +1××××20

En general tenemos los principales sistemas de numeración:

Base Sistema Cifras disponibles 2 Binario 0, 1 3 Ternario 0, 1, 2 4 Cuaternario 0, 1, 2, 3 5 Quinario 0, 1, 2, 3, 4 6 Senario 0, 1, 2, 3, 4, 5 7 Eptal 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 8 Octal 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 9 Nonario 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 10 Decimal 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 11 Undecimal 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,α 12 Duodecimal 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, α,β

Escritura de un número en cualquier sistema de numeración:

Base 10: 25, 3565, 49876 Base 2: 1012, 101012 , 10001112 Base 5: 24335 , 144325 , 4112345 Base 12: 9812 , 189α45912 , β9957812

Un número en diferente base, también se puede descomponer como la suma de sus valores relativos en su base:

411234 (5) = 4×55 + 1×54 + 1×53 + 2.52 + 3×51 + 4×50

Cambios de base

I Caso. Dado un número en base n convertirlo a base 10

Método I. Descomposición polinómica

Ejemplo. Convertir ( )64253 al sistema decimal.

( )64253 = ( ) ( )3 24.6 2.6 5.6 3 4 216 2 36 30 3

864 72 33

969

+ + + = + + +

= + +

=

Método II. Ruffini

Ejemplo. Convertir ( )64253 al sistema decimal.

a. descomposición

4 2 5 36

4



b. Desarrollo

Las equivalencias entre cantidades numéricas escritas en diferentes bases de numeración se obtienen

habitualmente mediante una conversión intermedia a la base decimal. Así, por ejemplo, para escribir 341(5) en

base 4 se procedería del modo siguiente:

• Se convertiría 341(5) a base 10. • Se transformaría el resultado decimal obtenido a base 4.

Para pasar un número de una base cualquiera a la decimal, se recurre a la forma polinómica. Por ejemplo:

( ) ( )2

5 10341 1 4.5 3.5 1 20 75 96= + + = + + =

Para transformar un número de base decimal a otra base, se divide por esta base tantas veces como sea necesario hasta obtener un resto menor que la base; después, se anotan como numerales el último cociente y, en orden inverso, los sucesivos restos obtenidos.

96 4

2416

0

4

624

0

4

142

Luego: ( ) ( ) ( )5 10 4

341 96 1200= =

Expresión del número 96 en base 4 = 1200(4)

Operaciones Sencillas Es posible que en algún momento hayas oído la expresión "estamos en números rojos", es decir, que el saldo de la cuenta bancaria está por debajo de 0 nuevos soles y por tanto se le debe dinero al banco. Se dice entonces que existe un saldo negativo en la cuenta, que se representa con un número entero, por ejemplo, -100 nuevos soles. También utilizamos los números enteros cuando expresamos temperaturas, por ejemplo, cuando hace mucho frío y la temperatura está bajo cero ("la mínima ayer fue de -2º C"), cuando bajamos a las plantas subterráneas de algunos edificios y en el ascensor pulsamos el botón -1, o cuando un submarinista se adentra en las profundidades del mar a -1.000 metros.

Los números enteros

El conjunto de números enteros se designa con la letra Z y está compuesto por:

• Los números enteros negativos: Z- = {..., -4, -3, -2, -1}. • El número cero: 0. • Los números enteros positivos: Z+ = {..., 1, 2, 3, 4}.

4 2

6

4

24

X 26

+

5

X

156+

161

3

966+

969

X



Los números naturales se consideran números enteros positivos y van precedidos del signo positivo (+), aunque no es obligatorio utilizarlo y no suele escribirse. A cada entero positivo le corresponde un número entero negativo, precedido obligatoriamente por el signo negativo (−).

Si representamos los números enteros en una recta numérica, veremos que un número entero A es menor a otro número entero B si al representarlo se ubica a la izquierda del mismo.

El sentido positivo es el que va desde 0 hacia la derecha o hacia arriba y el sentido negativo el que va de 0 a la izquierda o hacia abajo. Existen una serie de reglas para la ordenación y comparación de números enteros:

• Si los dos números enteros son positivos, es menor el que tenga menor valor absoluto: 4 < 8 • Si los dos números enteros son negativos, es menor el que tenga mayor valor absoluto: −8 < −4 • Si uno es positivo y el otro negativo, es menor el negativo: −8 < 4 • Todos los números negativos son menores que cero: −8 < 0 • Todos los números positivos son mayores que cero: 4 > 0

Suma de números enteros

Si cogemos el ascensor de unos grandes almacenes en el 2º piso (+2) y subimos 3 pisos (+3), nos encontraremos en la planta 5ta (+5). Con este sencillo ejemplo vemos cómo, aunque no nos demos cuenta, utilizamos constantemente la suma de números enteros.

Se presentan varios casos de suma de números enteros:

• Suma de números enteros positivos: se suman los valores absolutos de los números. Al resultado se le pone el signo positivo. (+3) + (+5) = (+8)

• Suma de números enteros negativos: se suman los valores absolutos de los números. Al resultado se le pone signo negativo. (−3) + (−5) = (−8)

• Suma de dos números enteros de distinto signo: se restan los valores absolutos. El signo será el que tenga el número de mayor valor absoluto. (+3) + (−8) = (−5)

Además, la suma de números enteros cuenta con algunas propiedades.

Resta de números enteros

Si cogemos el ascensor de unos grandes almacenes en el 2º piso (+2) y bajamos 3 pisos (−3), nos encontraremos en la planta −1 (−1). La resta que hemos realizado, 2 − 3 = −1, podemos convertirla en una suma de números enteros:

2 − 3 = −1 = 2 + (−3) = −1 Esto es porque sumamos a nuestro desplazamiento 3 pisos hacia abajo (movimiento descendente, representado con un número negativo). Para restar dos números enteros se suma al minuendo el opuesto. Por tanto, para restar números enteros: 7 − (−2) = 7 + op (−2) = 7 + 2 = 9

Combinación de sumas y restas

Cuando realizamos una operación con números enteros que combina sumas con restas usamos paréntesis para evitar que aparezcan dos signos seguidos:

2 + (−9) + ( 5 + 1) − ( 3 − 4)



Podemos actuar de dos maneras diferentes:

• Eliminar todos los paréntesis, y sumar y restar normalmente. • Operar primero con los números que están dentro de los paréntesis y eliminarlos después.

En ambos casos tenemos que suprimir los paréntesis, operación que varía en función del signo que lo precede.

• Cuando el paréntesis va precedido del signo negativo (−). Para suprimirlo hay que cambiar el signo a todos los números que hay dentro de él:

(5 + 1) − (3 − 4) = (5 + 1) − 3 + 4 • Cuando el paréntesis va precedido del signo positivo (+). El paréntesis se puede suprimir sin alterar el

signo de los números que hay dentro de él: (5 + 1) − (3 − 4) = 5 + 1 − (3 − 4)

Pero a veces los paréntesis están, a su vez, dentro de otros a los que llamamos corchetes.

Cálculo con corchetes

Los corchetes son paréntesis que tienen esta forma: [ ]. Se utilizan cuando en una operación matemática hay más de un paréntesis, unos dentro de otros.

Por ejemplo, 10 − [8 − (5 − 2) + (−2 + 3)] + 1

Podemos calcular esta operación con corchetes de dos formas:

1. Primera

• Se hace la operación del interior del paréntesis. • Se hace la operación del interior del corchete. 10 − [8 − 3 + 1] + 1 = 10 − [6] + 1 = 5

2. Segunda

• Se suprimen los paréntesis. • Se suprimen los corchetes.10 − [8 − 5 + 2 − 2 + 3]+ 1 = 10 − 8 + 5 − 2 + 2 − 3 + 1 = 5

Al quitar un corchete precedido de un signo negativo (-) hay que cambiar todos los signos de los números que hay dentro de él.

Multiplicación con números enteros

Para multiplicar dos números enteros se multiplican sus valores absolutos. El signo del producto será positivo si los factores tienen el mismo signo y negativo si los signos son distintos.

La multiplicación se representa con el signo × (equis) o con el signo · (punto). En esta tabla tienes las combinaciones de signos posibles en los resultados de la operación multiplicación de números enteros.

Algunos ejemplos de estos productos son:

(+8) · (+2) = + 16; (− 8) · (- 2) = + 16; (+8) · (− 2) = − 16; (− 8) · (+2) = − 16

El producto de números enteros cumple las mismas propiedades que el producto de números naturales.

Regla de los signos del producto

+ x + = +

− x − = +

+ x − = −

− x + = −



Propiedades del producto de números enteros

• Propiedad conmutativa. El orden de los factores no altera el producto. Ejemplo: (a) · (b) = (b) · (a) • Propiedad asociativa. Los factores de un producto de números enteros pueden asociarse de diferentes

formas. Ejemplo: (a) · [(b) · (c)] = [(a) · (b)] · (c) • Elemento neutro. El producto de cualquier número entero por 1 es el mismo número.

Ejemplo: (a) · 1 = (a) • Propiedad distributiva respecto a la suma o la resta. Para multiplicar una suma o una resta por un

número, se multiplican cada uno de los términos de la suma o de la resta por ese número y, a continuación, se suman o se restan los resultados. Ejemplo: a · (b + c) = a · b + a · c

División con números enteros

Para dividir dos números enteros se dividen primero sus valores absolutos y al cociente se le pone signo positivo (+) o negativo (−), según tengan el dividendo y el divisor igual o diferente signo. La división se representa con el signo / , con el signo : (dos puntos) o con el signo ÷.

Regla de los signos de la división

+ / + = +

− / − = +

+ / − = −

− / + = −

La división de números enteros no cumple la propiedad conmutativa del producto, es decir, no se puede cambiar el lugar del dividendo y del divisor. Pero tiene otras propiedades:

• El número 1 actúa como elemento neutro. Cualquier número entero dividido entre 1 dará el mismo número:(+8) : (+1) = 8; (-9) : (+1) = −9

• No se puede dividir entre 0, pues no hay ningún número que, al multiplicarlo por 0 (que sería el divisor) nos dé algo distinto de cero (que sería el dividendo).

• El cociente de dos números enteros no siempre es un número entero. Sabemos que el producto de dos números enteros da lugar a un número entero, pero no ocurre lo mismo en la división. ¿Por qué? Veamos un ejemplo: (−2) : (+4) = ¿? No hay ningún número entero que al multiplicarlo por (+4) nos dé (-2).

Jerarquía de las operaciones

Cuando se realizan operaciones combinadas con números enteros, es decir, cuando tenemos a la vez suma, resta, multiplicación o división, no podemos realizarlas de forma arbitraria. Aunque no es obligatorio, se suele empezar a operar por la izquierda. Pero si existe una jerarquía de las operaciones que debe respetarse, y es la siguiente:

1. Si hay paréntesis y corchetes, primero se resuelven las operaciones que hay en su interior. 2. Se realizan las multiplicaciones y divisiones. 3. Se realizan las sumas y restas.

Veamos un ejemplo para comprenderlo mejor:

1. −4 · 2 + (−3) · 7 − (2 + 2). Primero se resuelve el paréntesis. 2. −4 · 2 + (−3) · 7 − 4. Después se realizan las multiplicaciones. 3. −8 + (−21) − 4. Finalmente se resuelven las sumas y las restas. 4. El resultado es −33.



Razonamiento numérico

El razonamiento numérico trata de medir habilidades de solución utilizando las operaciones básicas del sistema de numeración decimal donde se deben utilizar las propiedades de s los números enteros

Ejemplos 1. Si: AVE x E = 856

AVE x V = 214 AVE x A = 428

hallar: AVE x AVE

2. Hallar la suma de cifras del producto en:

Solución

8 x ( ∗∗ ) tiene 2 cifras entonces ( ∗∗ ) ∈ { }12,11,10 9 x ( ∗∗ ) tiene 3 cifras luego ∗∗ = 12

∴ Por último: 1 + 1 +7 + 6 = 15

3. En una fiesta en la que asistieron mn chicos y nm chicas; en un momento dado el número de chicos que

no bailan es “2m − n” y el número de chicas que no bailan es “m + n”. hallar el número de asistentes. Solución

Chicos que bailan = Chicas que bailan

(2 ) ( )

10 2 10

8 7

(7) (8)

:

78 87

mn m n nm m n

m n m n n m m n

m n

probando

luego

mn y nm

− − = − +

+ − + = + − −

=

= =

78 87 165Los asistentes fueron∴ + =

4. José compra cierta cantidad de animales por 80000 soles y vende parte de ellos por 62000 soles a 400

soles cada uno; ganando en esta venta S/. 12400. ¿Cuántos animales compró? Solución En la primera transacción se vendió: 62000

155400

animales= ,

Ganando, por cada animal: soles80155

12400=

Entonces cada uno costo: 400 – 80 = 320 soles,

AVEAVE

8 5 62 1 4

4 2 8

X

4 5 7 9 6

Solución:



Pero, como la inversión total fue S/. 80000, Entonces, se compró:

animales250320

80000=

5. Una persona nacida en el Siglo XX tenía en 1998 tantos años como la suma de las cifras del año de su

nacimiento. Hallar su edad en el año 2009.

Solución

Año de nacimiento+edad de referencia = año de referencia ab19 + (1+ 9+a +b ) = 1998 Por descomposición: 1000+ 900+10a +b +1+ 9+a +b =1998 1910+11a +2b =1998 11a + 2b =88, probando (8) (0) Así en el año 1998 tenía: 1+ 9 + 8 + 0 =18 Luego en el 2009 cumplirá 29 años.

6. El inoportuno de Abraham, dijo el día de ayer que: “mi año de nacimiento es un número impar representado

por 19ab y en el año ( )( )19 1 2a b+ + cumplí ab años. ¿Cuántos años tuve en el año ( )( )19 a b a b+ + ?

Solución: De acuerdo a los datos, se tiene lo siguiente:

( )( )19 1 2a b+ + − 19ab = ab

Por descomposición polinómica, se tiene: 1×103 + 9×102 + (a + 1) ×10 + (b + 2) − 1×103 − 9×102 − a×10 − b = ab

10a + 10 + b + 2 − 10a − b = ab 12 = ab = 4×3

Se sigue que a = 4 ∧ b = 3 (b tiene que ser impar) Por lo tanto, en el año 1977 tuve

1977 − 1943 = 34 años Respuesta. 34 años

7. Matías acompañado de su esposa, salen de compras llevando en su billetera S/. 1191. Compra un par de

zapatos y paga S/. aa , compra una camisa y paga S/. bb , compra una radio y paga S/.443. En total gastó

S/. aba . ¿Cuántas camisas, de la misma calidad, puede comprar con el dinero que aún le queda? Solución:

De los datos del problema, se tiene:

aa + bb + 443 = aba Por descomposición polinómica, se tiene:

10a + a + 10b + b + 443 = 100a + 10b + a b =

una sola cifra

90 443a −��

se sigue que, a = 5 de donde, b = 7 Por consiguiente, le queda: 1191 − 575 = 616 soles

Así, se puede comprar 616

877

= camisas más

Respuesta. 8 camisas



PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Efectué las operaciones en las bases indicadas:

a) Sumar: 43167( 8) y 25156 ( 8) b) sumar: 11101( 2) y 11011( 2) c) Sumar 10100( 2) ; 1010( 2) ; 1111( 2) y 1011( 2) d) Restar 2345( 6) de 5432( 6)

a) 70345 (8) b) 111000 (2) c) 111000 (2) d) 3043 (6)

2. Se desea repartir un millón de soles entre cierto número de personas de tal modo que lo que les

corresponda sea 1, 7, 49, 343,…soles. Determinar el mínimo número de personas beneficiadas. a) 16 b) 17 c) 18 d) 19 e) 20

3. En la serie de números que se dan a continuación, indique el mayor

a) 43 (5) b) 212 (3) c) 24(9) d) 10110(2) e) 10(2)

4. Pepe compra un par de zapatos de 80 soles en la zapatería del señor Zapatero y le paga con un billete de 100 soles. Como el señor Zapatero no tiene cambio, va a la tienda vecina de su amigo el señor Pérez quien le cambia el billete. El señor Zapatero le da a Pepe su vuelto y éste se retira con el par de zapatos y su vuelto. Un poco más tarde el señor Pérez hace saber a su amigo que el billete que le había dado para cambiarlo era falso, así que el señor Zapatero no tiene más remedio que darle un billete de 100 soles verdadero. ¿Cuántos soles perdió en total el señor Zapatero?

a) 200 b) 100 c) 180 d) 150 e) 250

5. Cinco amigos compiten en un torneo de dardos. Cada uno de ellos tiene dos dardos para lanzar al mismo blanco circular, y el puntaje de cada uno es la suma de los dos puntajes de las regiones donde llegan los dos dardos que lanzó. Los puntajes asociados a las regiones son números enteros del 1 al 10 y cada lanzamiento llega a una región de diferente valor. Los puntajes obtenidos son: Alicia 16 puntos, Benjamín 4 puntos, Carla 7 puntos, David 10 puntos y Eugenia 18 puntos. ¿Cuál de ellos lanzó el dardo que llegó a la región que vale 6 puntos?

6. Los 14 dígitos del número de una tarjeta de crédito deben escribirse en las casillas que se muestran a

continuación:

9 x

Si la suma de los dígitos que ocupan tres casillas consecutivas cualesquiera debe ser siempre 20. Entonces, ¿Cuál debe ser el valor de x ?

a) 7 b) 4 c) 5 d) 6 e) 2

7. R O M A +

M I L A N T U R I N I T A L I A Hallar: R + O + M + A

a) 7 b) 4 c) 5 d) 6 e) 18



8. En la siguiente operación de números naturales, cada letra distinta representa un dígito diferente de 0 a 9; además las letras iguales representan el mismo dígito.

D O S + D O S

S I E T E T R E S

La letra O no necesariamente vale cero. La primera letra de la izquierda de cada palabra no debe ser cero. Determinar la cifra que representa cada letra. Respuesta. S = 1, E = 3, T = 9, O = 8, D = 5, R = 2, I = 0

9. En el cuadro mostrado más abajo nos dan cuatro pistas para descubrir un número secreto. El número secreto tiene cuatro cifras distintas y no empieza con cero. Cada pista es también un número de cuatro cifras. En la columna B (de Bien) se indica la cantidad de cifras que la lista comparte con el número secreto, en exactamente la misma ubicación. En la columna R (de Regular) se indica la cantidad de cifras en común entre la pista y el número secreto pero que se encuentran en una posición incorrecta.

B R 8 1 5 7 1 1 7 6 1 0 2 0 8 5 1 4 3 0 7 4 3 5 0 1

Determinen el número secreto, explicando el procedimiento seguido. a) 8624 b) 8674 c) 8614 d) 2345 e) 4563

10. Pedro nació en el siglo XX y en el año 2006 cumplió tantos años como indica la suma de las 4 cifras de su

año de nacimiento. ¿En qué año nació Pedro?

a) 1980 b) 1990 c) 1985 d) 1995 e) 1984

11. Si definimos

( ) ( )a b ab a b a b∗ = + + −

Además: 7 ∗ m = 167. Es correcto afirmar:

I. m es múltiplo de 2 II. m es múltiplo de 3 III. m es un número primo

a) 7 b) 4 c) 5 d) 6 e) 2

12. En una de las mesas (400 inscritos) de los últimos comicios electorales para elegir nuestras autoridades regionales, se obtuvieron los siguientes resultados:

• Partido “juntos por la pobreza” → 0ab votos • Partido “unidos por la plata” → 0a c votos • Partido “hundidos por siempre” → bc votos • Blancos más viciados → c votos

En total se computaron bcc votos. ¿Cuántos ausentes hubo en dicha mesa? a) 140 b) 144 c) 145 d) 146 e) 148



13. En cierta zona se usa el sistema nonario para las medidas. ¿Determinar cuántas pesas se usarán como

mínimo para equilibrar un objeto que pesa 3026 kilos? a) 7 b) 4 c) 6 d) 10 e) 5

14. Un granjero vende huevos en cajas de 12 unidades. De la producción de una semana se tiene 4 gruesas, 3 docenas y 8 huevos. ¿Cuál es el número si le hacen un pedido en el que debe embasar en cajas de 9 unidades? a) 778(9) b) 778(9) c) 768(9) d) 758(9) e) 778(9)

15. Se arrojan 3 dados, el resultado del primero se multiplica por 7, se suma el resultado del segundo dado y se multiplica todo por 7, por último se suma el resultado del tercer dado, obteniéndose así 136. ¿Cuál fue el resultado de cada dado?

a) 5, 4, 3 b) 4, 5, 3 c) 3, 5, 4 d) 1, 2, 3 e) 2, 5, 3

16. El señor Julio ofrece una propina a sus cuatros hijos según sus edades y observa que han recibido una cantidad mayor de S/. 10 y menor S/. 100. El dinero recibido por cada uno es tal que puede ser expresado usándose únicamente dos cifras. Sabiendo que la suma distribuida por el padre está comprendida entre S/. 45 y S/. 85. Hallar la cantidad recibida por el mayor.

a) 22 b) 24 c) 33 d) 50 e) 38

17. Se desea adivinar el día y el mes de nacimiento de una persona, para ello, se le dice: “que duplique el día

en que nació; luego, lo multiplique por 10 y sume 73 al producto; seguidamente, multiplique todo por 5 y al total le añada el número de orden del mes en que nació” Si la persona obtuvo 2776. ¿Qué día y mes es su cumpleaños?

a) 8 de agosto b) 24 de octubre c) 11 de diciembre d) 11 de octubre e) 24 de noviembre

18. La suma de un número de dos cifras y el que resulta de invertir el orden de sus cifras es igual a once veces la diferencia de estos números. Hallar el mayor de dichos números.

a) 36 b) 41 c) 54 d) 45 e) 63

19. Un gato sabía contar según un sistema de numeración base 4. los símbolos que empleaba para ello eran: , , , .m i a u ¿Qué valor numérico daba a cada una de las letras sabiendo que cuando quería expresar 30

840 hacia miaumiau ? Dar el valor de: ai mu+ a) 23 b) 41 c) 33 d) 20 e) 25

20. Si N = ab ; M =ba . Además 1411

N M+= y 4a b− = . Halle ²N

a) 901 b) 4960 c) 1764 d) 7225 e) 9025 21. Halle la suma de los todos los números pares de tres cifras que empiezan en cifras impar.

a) 136250 b) 142250 c) 137250 d) 125450 e) 185250

22. El número de monedas que tiene Sonia es abc y esta comprendido entre 100 y 300 si tuviera cba monedas, este número excedería en 50 al doble del número consecutivo al original. Halle ( )b c a× − a) 19 b) 20 c) 18 d) 21 e) 22



23. Dos ciudades están separadas por abc Km; un ciclista parte de una de las ciudades hacia la otra y recorre

los primeros 0a c kilómetros a razón de 35 km/h. y el resto del recorrido a 20 Km/h. Si en total tardo 4 horas en llegar a su destino ¿Cuál es la distancia entre las dos ciudades?

a) 325 b) 125 c) 175 d) 165 e) 115

24. Un depósito tiene ab litros de agua. Se empieza a llenar con un caudal constante, al cabo de media hora

tiene ba litros y cumplida la hora es 0a b litros. Halle el número de litros que entraran en el depósito en una hora. a) 16 b) 61 c) 90 d) 106 e) 100

25. Si los números ( )

33n; ( )mnn ; (6)mm están bien representados. Calcule ( )m n+

a) 8 b) 9 c) 7 d) 10 e) 11 26. Al expresar el numeral

( )4122

nen la base ( 1)n + la suma de sus cifras es 26, calcule n . Además n >11

a) 16 b) 13 c) 14 d) 12 e) 15

27. Si ( ) 555nabab = . Calcule: a b n+ + a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) 13

28. Si (16) (8)4nnnn abcd= . Halle: n a b c d+ + + + a) 43 b) 11 c) 32 d) 20 e) 25

29. Si (3 ) (2 )(2 )(2 )(2 ) ( 3) ( 2)a aa a a b c a= − − . Halle la suma de las cifras de abc

a) 8 b) 9 c) 10 d) 12 e) 11

30. Si se cumple que: 2

55 9b

a cd= . Calcule: a b c d+ + +

a) 21 b) 23 c) 27 d) 25 e) 29

BIBLIOGRAFIA. ADUNI. (2006). Aritmética – Análisis del número y sus aplicaciones. Edit. Lumbreras.

SANTILLANA(2005). Lógico Matemática. Edit. Santillana..

Ministerio de Educación – Matemática – Plancad 2001

Tasaico Javier (2002). Números Racionales”. Ed. Cuzcano

Hamilton A. (1981), Lógica para matemáticos, Ed. PARANINFA Madrid

COMPONENTE LÓGICO MATEMÁTICA Divisibilidad y Números Primos


Módulo 4: Divisibilidad y Números Primos

LOGROS DE APRENDIZAJE • Comprende y aplica criterios de divisibilidad a la solución de problemas cotidianos

• Comprende las condiciones que debe cumplir un número entero para ser dividido exactamente por otro.

• Conocer el residuo de una división sin necesidad de efectuarla.

CONTENIDOS • Divisibilidad.

• Principios divisibilidad.

• Criterios de divisibilidad.

• Números primos.

RESUMEN TEÓRICO 1. DIVISIBILIDAD.

Se dice que un número entero es divisible por otro entero positivo llamado módulo, si al dividir el primero

entre el segundo el cociente es entero y el residuo cero.

Multiplicidad. Se dice que un número entero es múltiplo de otro entero positivo llamado módulo si el

primero resultado de multiplicar al segundo por un entero.

Divisor. Se denomina divisor de un número, a cualquier valor que lo divide exactamente mediante una

división entera.

+∈ ∈ ∈Z Z Zdonde A ; B (mòdulo); K

Ejemplos: Divisores de 8 son: 1; 2; 4; 8.

Divisores de 12 son: 1; 2; 3; 4; 6; 12.

REPRESENTACION DE LOS MULTIPLOS DE UN NÚMERO.

Si “A” es múltiplo de “B” se denota: = =o

A B kB

= = = = = ≠ = = = =o o o o o o o o o o

20 5; 20 4; 20 2; 20 10; 17 1; 20 17; -15 5; -15 3; -15 15; -15 1

REPRESENTACION DE LOS “NO” MULTIPLOS DE UN NÚMERO.

Como o

37 5≠ , se puede observar que al dividir 37 entre 5, el residuo no es cero.



37 5 7 2⇒ = × +0

37 5 2= +

37 5 8 3⇒ = × −0

37 5 3= −

dA B k r⇒ = × +0

dA B r= +

d(r )

eA B (k+1) - r⇒ = ×0

eA B- r=

e(r )

Observaciones:

� Como a = a.1, para todo a∈N; entonces, todo número natural es múltiplo de 1, ó 1 es divisor de todo

número natural.

� Como 0 = b.0, para todo b∈N; el cero es múltiplo de todo número natural diferente de cero o todo número

natural diferente de cero divide al cero.

2. PRINCIPIOS DE MULTIPLICIDAD

1. n n n+ =� � �

; si dos números enteros son divisibles por un cierto módulo considerado, entonces la

suma de ellos será divisible por dicho número.

Ejemplos.

o o o o o o

15 21 36 26 65 91

3 3 3 13 13 13

+ = + =

↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓

2. o o o

n n n− = ; Si dos números enteros son divisibles por un cierto módulo considerado, entonces la

diferencia de ellos será divisible por dicho módulo.

Ejemplos

o o o o o o

27 18 9 42 18 24

3 3 3 6 6 6

− = − =

↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓

3. o o

,

k

n n k + = ∈

Z ; Ejemplo 4

o o o o o o

3 3 3 3 3 3 = × × × =

4. o o

,n k n k +× = ∈Z ; Ejemplo o o

3 5 3× =

5. Divisibilidad aplicada a binomio de Newton:

1ª.- ko o

kn r n r ; k + + = + ∈

Z 2ª.- ( )

( )

okko

ok

n r ; k parn r

n r ; k impar

+

+

+ ∈ − = − ∈

Z

Z



6.

o

oo

o

N a

N b N MCM(a; b; c)

N c

=

= =

=

o

oo

o

N a r

N b r N MCM(a; b; c) r

N c r

= ±

= ± = ±

= ±

Ejemplo 1.

o

o o

o

N 10

N 12 N 60

N 15

=

= =

=

o

o o

o

N 14

N 4 N 84

N 21

=

= =

=

Ejemplo 2.

o

oo

o

N 15 3

N 10 3 N 210 3

N 35 3

= +

= + = +

= +

o

oo

o

N 20 - 4

N 30 - 4 N 180 - 4

N 36 - 4

=

= =

=

PRINCIPALES CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD

Sea el número N abcdef=

Criterio 12 (2 )= : Un número es divisible por 2 cuando termina en cero o en cifra par

Criterio 24 (2 )= : Un número es divisible por 4 cuando sus dos últimas cifras son

ceros o eso

4

Criterio 38 (2 )= : Un número es divisible por 8 cuando sus tres últimas cifras son

ceros o es o

8 En general un número es divisible por 2n, cuando sus “n” últimas cifras son ceros o es múltiplo de 2n

Criterio 15 (5 )= : Un número es divisible por 5 cuando termina en cero o 5

Criterio 225 (5 )= : Un número es divisible por 25, cuando sus dos últimas cifras son

ceros o es o

25 En general: un número es divisible por 5n, cuando sus “n” últimas cifras son ceros o es múltiplo de 5n

f =0

par

ef = o

00

4

def = o

000

8

f =0

5

ef = o

00

25



�� valores210

996 ; ... ...... ; 78 ; 75 ; 72:K3

Criterio 3: o

3a b c d e f+ + + + + = Un número es divisible por 3 cuando la suma de sus cifras es o

3

Criterio 9: o

9a b c d e f+ + + + + = Un número es divisible por 3 cuando la suma de sus cifras es o

9

Criterio 7: o

2 3 1 2 3 7a b c d e f− − − + + + = Un número es divisible por 7 cuando al multiplicar las cifras de

derecha a izquierda por 1, 3 ,2, −1, −3, −2 …. la suma es o

7

Criterio 11: o

11a b c d e f− + − + − + = Un número es divisible por 11 cuando al multiplicar las cifras de

derecha a izquierda por 1, −1, 1, −1,…. la suma es o

11

Criterio 13: o

4 3 4 3 13a b c d e f+ − − − + = Un número es divisible por 13 cuando al multiplicar las cifras de

derecha a izquierda por 1, −3 ,−4 , −1, 3, 4 …. la suma es o

13

PROBLEMAS RESUELTOS:

1. La edad de Wilfredo es múltiplo de 2 más 1, múltiplo de 7 más 6 y múltiplo de 10 menos 1. ¿Qué edad tiene Wilfredo?

a) 69 años b) 67 años c) 54 años d) 72 años e) 78 años

Solución.

Sea E la edad, entonces:

( )

0 0

0 0

0 0

0

0

E 2 1 E 2 1

E 7 6 E 7 1

E 10 1 E 10 1

E MCM 2,7,10 1

E 70 1 69

= + → = −

= + → = −

= − → = −

− − − − − − − − − − − − −

= −

= − =

2. Dada la siguiente sucesión de números naturales: 70; 71 ; 72 ; 73 ; … ; 700 ; ¿Cuántos números de la

sucesión son 00

5 , 3 ?

Solución

•••• Los múltiplos de 3 tienen la forma 3K; luego:

700370 ≤≤ K

3,2333,23 ≤≤ K

Remplazar los 210 valores en 3K y se obtendrá 210 múltiplos

;

•••• Los múltiplos de 5 tienen la forma:

700570 ≤≤ K

14014 ≤≤ K

210 valores

:24 ; 25 ; ...... ... ; 233K ��



�� valores 127

140,....,16,15,14K = Remplazando los 127 valores en 5k se obtendrá los múltiplos de 5

3. Hallar el residuo que se obtiene al dividir 529 entre 9

Solución. Usando el binomio de Newton se tiene que el residuo es 5

= +

= +

= + ×

= + +

= +

= + +

= +

�

�

�

�

� �

�

5 5

5

2 9 ( 2 7 2 )

9 2

9 1 6 2

9 ( 9 7 ) 2

9 1 4

9 9 5

9 5


1. ¿Cuál es el menor número que debe añadirse a 457 para que sea divisible por 4?

a) 21 b) 2 c) 8 d) 11 e) 3

2. ¿Cuántos valores puede tomar “b” para que el número 4 3b sea divisible por 3?

a) 1 b) 2 c) 4 d) 3 e) 5

3. ¿Cuánto debe valer “a” para que el número 24 81a sea divisible por 9?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

4. Juan tiene 1 73a caramelos, y los reparte en partes iguales a 11 niños. ¿Cuántos caramelos le tocó a cada

uno?

a) 143 b) 92 c) 45 d) 122 e) 153

5. Cuantos números de tres cifras al ser divididos entre 7 ó entre 9 dejan como residuos 5 y 7 respectivamente.

a) 10 b) 12 c) 14 d) 24 e) 25

6. ¿Cuántos números enteros positivos de dos cifras múltiplos de 17 existen?

a) 5 valores b) 6 valores c) 14 valores d) 7 valores e) 8 valores

7. ¿Cuántos números de 4 cifras son múltiplos de 7 y terminan en 1?

a) 125 b) 128 c) 129 d) 1280 e) 1000

8. ¿Cuál es el menor número por el que debemos restar a 260 para que sea divisible por 11?

a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 12

9. La profesora Anita le pide a su mejor alumno Pedrito que halle el valor de “x” en0

8 4 5x + = . La respuesta

correcta fue:

a) 1, 6,10,… b) 2, 7,12… c) 3, 8,13… d) 4, 9,14,.. e) 5, 10,15,…

10. Cuántos números +Z menores o iguales que 100 son múltiplos de 5?

a) 15 b) 18 c) 20 d) 24 e) 28

11. ¿Cuántos números de la forma 7ab son múltiplos de 13?

a) 5 b) 42 c) 63 d) 7 e) 8



12. En un bus donde viajan 100 personas ocurre un accidente. De los sobrevivientes se observa que la onceava parte son niños y la quinta parte de los fallecidos eran casados. ¿Cuántos fallecieron?

a) 60 b) 55 c) 50 d) 45 e) 40

13. En un avión entre pasajeros y la tripulación habían 180 personas, la mala suerte los acompaña y ocurre un

accidente, de los sobrevivientes 2/5 fuman, 3/7 son casados y los 2/3 son turistas. Determinar cuántas personas murieron en dicho accidente.

a) 80 b) 75 c) 70 d) 65 e) 60

14. Un joven avicultor para repotenciar su negocio compró pavos, patos y pollos, cada pavo costó 100 soles,

cada pato 50 soles y cada pollo 5 soles. Si compró en total 100 animales con 1000 soles. ¿Cuántos pollos compró?

a) 70 b) 90 c) 85 d) 10 e) 50

15. De un total de 98 personas la séptima parte de las mujeres leen la revista A y la octava parte de los hombres leen la revista B. Calcular la diferencia entre el número de hombres y mujeres.

a) 14 b) 13 c) 12 d) 11 e) 10

16. En un salón de 50 alumnos de un colegio secundario se observa que la séptima parte de las mujeres son

rubias y la 11 ava parte de los hombres usan lentes, ¿Cuántas mujeres no son rubias?

a) 22 b) 20 c) 24 d) 4 e) 2 17. De un grupo de 83 personas, la tercera parte de las mujeres tienen ojos negros y la onceava parte de los

hombres tienen ojos azules. ¿Cuántas mujeres no tienen ojos negros?

a) 4, 34, 45 b) 48, 26, 4 c) 26, 4, 12 d) 2, 23, 34 e) 12, 13, 4 18. El joven Carlitos estudiante del colegio FRANCO ALEMÁN perdió su tarjeta de ingreso al colegio y no

recuerda su código; pero si sabe que era de cuatro cifras divisible por 5; 9 y 11. además la primera y última cifra eran iguales. ¿Cuál era el código de la tarjeta de Carlitos?

a) 3413 b) 6456 c) 5445 d) 2412 e) 8628

19. Se dispone de S/. 100 para comprar 40 estampillas de S/1, S/ 4 y S/ 12. Si deseamos comprar aunque sea una sola estampilla de cada valor. ¿Cuántas estampillas de S/ 1 se compraron?

a) 28 b) 9 c) 3 d) 20 e) 4

20. El número de páginas de un libro es mayor que 400 y menor que 500. Si se cuentan de 2 en 2 sobra 1, de 3

en 3 sobra 2, de 5 en 5 sobra 4, y de 7 en 7 sobra 6. ¿Cuántas páginas tiene el libro?

a) 483 b) 436 c) 419 d) 457 e) 497

21. Julio fue a la librería a comprar lapiceros de S/.0,5 la unidad y cuadernos a S/.1,20 cada uno. Si gastó en total S/. 15.20; calcular la menor cantidad de lapiceros que puede comprar.

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5



22. Un niño cuenta sus canicas agrupándolas de 5 en 5, de 6 en 6 ó de 8 en 8 siempre le sobra 3, por lo que decidió agruparlos de 9 en 9, así no sobra ninguna. Si el número de canicas oscila entre 100 y 400, ¿Cuántas canicas tiene el niño?

a) 180 b) 270 c) 243 d) 363 e) 12

23. En un salón de clases se dispone de cierto número de carpetas. Para que los alumnos se sienten de tres en tres, de cuatro en cuatro ó de cinco en cinco, faltarían carpetas, sin embargo, si se sientan de seis en seis sobraría una carpeta. ¿Cuántos alumnos y cuantas carpetas dispone el aula si los primeros no exceden de 100?

a) 60 y 13 b) 60 y 12 c) 90 y 11 d) 60 y 11 e) 90 y 12

24. En una fiesta había 120 personas entre damas, caballeros y niños, el número de caballeros que no bailaban en un momento era igual a la tercera parte del número de damas, el número de niños era la quinta parte del número de damas y la cuarta parte del número de damas fue con vestido blanco. ¿Cuántas damas no bailaban en ese momento?

a) 48 b) 32 c) 50 d) 28 e) 45

25. Elmer durante todos los días del mes de diciembre desayuna: torta, panetón o chocolate a un costo en cada

caso de 15, 11 y 6 soles respectivamente. Si su gasto diario no excede a 16 soles. ¿Cuántas mañanas desayunó chocolate si durante todo el mes gastó 269 soles?

a) 14 b) 16 c) 10 d) 19 e) 20

26. El número de pisos de un edificio está comprendido entre 100 y 300. A dicho número le falta una unidad

para ser múltiplo de 3; le falta 6 unidades para ser múltiplo de 8 y le sobran 2 para ser múltiplo de 10. ¿Cuál es el número de pisos?

a) 118 b) 120 c) 121 d) 122 e) 132

27. Halle el menor número que dividido por 5; 3; 7 y 11 de por resto 2.

a) 2412 b) 1431 c) 1005 d) 1157 e) 1985 28. Si la suma de 45 números consecutivos resulta múltiplo de 17. ¿Cuál será el menor valor que puede tomar

el primero de ellos?

a) 12 b) 15 c) 13 d) 17 e) 19

29. Hallar el valor de “n” si 0

5705 78 17n+ =

a) 5 b) 7 c) 9 d) 4 e) 8

30. Si 0

2 5 9xx = y 0

3 5 11y y = Hallar: x y+

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 31. Sabiendo que 2 45x y es divisible por 72, determinar x y+ .

a) 4 b) 3 c) 7 d) 8 e) 11 32. ¿Cuántos números de la forma 7ab son múltiplos de 13?

a) 5 b) 42 c) 63 d) 7 e) 8



33. El menor número que da 7 de residuo al dividirlo por 8, 12, 30 ó 42 es:

a) 1687 b) 647 c) 777 d) 847 e) 927

34. Del total de damas de una oficina, 2/3 son morenas, 1/5 tienen ojos azules y 1/6 son morenas con ojos azules. Si el número de damas es un número de 3 cifras menor que 150. ¿Cuántos no son morenas ni tienen ojos azules?

a) 36 b) 24 c) 42 d) 63 e) 20

35. Un importador ha comprado relojes a S/. 143 cada uno, lapiceros de plata a S/. 91 cada uno, pulseras a S/.

77 cada uno; si la boleta de venta fue de S/. 2213. ¿Cuántos relojes compró?

a) 4 b) 5 c) 6 d) 8 e) 12

36. Un animalito va de “A” hacia “B” dando saltos de 15 cm. y regresa dando saltos de 16 cm. Después de haber recorrido 1,22 m. ¿Cuánto le falta para a “A”?

a) 48 cm. b) 52 cm. c) 58 cm. d) 42 cm. e) menos de 40 cm.

37. ¿Cuántos números entre 200 y 1800 son divisibles entre 3 y 5 pero no entre 8?

a) 106 b) 96 c) 93 d) 90 e) 102

BIBLIOGRAFIA.

CARRANZA César. (2000) Tópicos de Matemáticas para Bachillerato. Editorial Moshera S. R. Ltda.

ADUNI. (2006) Aritmética – Análisis del número y sus aplicaciones. Editorial Lumbreras.

SANTILLANA. (2005) Lógico Matemática. Editorial Santillana.

CURSO PRÁCTICO. (2005) Aritmética. Editorial San Marcos.

MINISTERIO DE EDUCACIÓN (2002) Matemática – Plancad.

COMPONENTE LÓGICO MATEMÁTICA Máximo Común Divisor y Mínimo Común Múltiplo


Módulo 5: Máximo Común Divisor y Mínimo Común Múltiplo

LOGROS DE APRENDIZAJE • Plantea y resuelve problemas cotidianos que tengan que ver con mínimo común múltiplo y máximo común

divisor. • Usa criterios de divisibilidad para calcular el MCD y MCM. CONTENIDOS • Números primos • Descomposición de números en sus factores primos • Mínimo común múltiplo (MCM) • Máximo común divisor (MCD)

RESUMEN TEÓRICO

1. Número Primo Absoluto. Se llama número primo, a todo número entero positivo mayor que la unidad que

es divisible únicamente por la unidad y el mismo número.

Ejemplo 3; 5; 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29….

2. Número Compuestos. Son aquellos números que tienen más de dos divisores.

Ejemplo: 14; 22; 36; 45; 200, 300, 1000……

3. Números primos entre si (PESI). Llamados también primos relativos, son aquellos que tiene la

característica que entre ellos solo tienen como divisor común a la unidad.

Ejemplo.

• 6 y 25 (PESI). tiene como divisor común solamente la unidad

• 7 y 8 (PESI). tiene como divisor común solamente la unidad

• 8 y 12 (NO PESI). tienen como divisor común además de la unidad a 2 y 4.

• 9 y 15 (NO PESI). tienen como divisor común además de la unidad a 3.

4. Regla para conocer si un número es primo o no

Ejemplo. 173

Paso 1. Se extrae la raíz cuadrada del número.

Dado: 173 = 13,1. Considere el máximo entero, es decir, 13

Paso 2. Se divide el número entre todos los números primos menores e iguales a la raíz entera

53 34

Paso 3. a) Si todas estas divisiones son inexactas, entonces 173 es primo absoluto;

b) Si alguna división hubiese sido exacta, el número 173 no seria primo.

Luego, 173 es primo absoluto.



Observación. A partir del paso 2 también se podría determinar si 173 es primo absoluto, aplicando los

criterios de divisibilidad por cada uno de los números primos menores o iguales a la raíz entera de 173

(raíz entera: 13).

Luego, los factores primos menores e iguales que 13 son: 2, 3, 5, 7, 11 y 13.

Aplicando los respectivos criterios, se obtiene:

o

o

o

o

o

o

2 1

3 2

5 3

7 5

11 8

13 4

+

+

+

+

+

+

Como 173 no es divisible por ninguno de los módulos estudiados. Por lo tanto, 173 es primo absoluto.

5. Descomposición de números en sus factores primos

• Cuando un número no es primo, puede factorizarse siempre en un producto que proviene de una

serie de factores que son números primos.

• Factorizar un número en sus factores primos, es hallar un producto de una serie de factores primos

que sea igual a dicho número

• El procedimiento que ordinariamente se emplea para factorizar un número en sus factores primos se

muestra en los siguientes ejemplos:

Ejemplo1.

252 = 2 µ 2 µ 3 µ 3 µ 7 = 2² µ 3² µ 7

Ejemplo 2.

408 = 2 x 2 x 2 x 3 x 17 = 2³ µ 3 µ 17

6. Número total de divisores de un número

Para hallar el total de divisores de un número, se aumenta 1 a los exponentes de sus factores primos y se

halla el producto de los exponentes modificados.

252 2126 2

63 321 37 71

408 2204 2102 2

51 317 171



Ejemplo 1.

180 = 2² µ 3² µ 51; exponentes 2; 2; 1; aumentado en 1 tenemos

los exponentes modificados: 3; 3; 2.

Entonces:

n(D) = 3 µ 3 µ 2 = 18 divisores.

En general. Si un número N se factoriza en sus factores primos, quedan representados por:

. .= x y zN a b c ;

Los factores primos son: a, b y c;

Los exponentes de los factores primos son: x, y, z,

El número de divisores de N estará dado por:

( )( ) ( 1)( 1)( 1)Nn D x y z= + + +

7- Suma de Divisores de un número compuesto.

El número compuesto se descompone en función de sus factores primos:

. .= x y zN a b c

Luego la suma de todos los divisores de N estará dada por la fórmula:

1 1 1

( )

1 1 1

1 1 1

x y z

N

a b cSd

a b c

+ + + − − −= − − −

Ejemplo 2. Determinar el número de divisores y la suma de divisores de 18

Solución.

18 = 21x 3²

n (D) = (1+1)(2+1) = 6

D18 = { 1, 2, 3, 6, 9, 18}

1 1 2 1

(18)

2 1 3 1 263 3 13 39

2 1 3 1 2Sd

+ + − −= = × = × = − −

Ejemplo 3. Determinar el número de divisores y la suma de divisores de 90

Solución

90 = 21 µ 3² µ 51

n(D) = 2µ 3 µ 2 = 12

D90 = { 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90 }

1 1 2 1 1 1

(90)

2 1 3 1 5 1 3 26 24. . 3 13 6 234

2 1 3 1 5 1 1 2 4Sd

+ + + − − −= = = × × = − − −

PROBLEMAS:

1. Determinar el número de divisores y la suma de divisores de 40

a) 9 y 90 b) 10 y 90 c) 11 y 80 d) 12 y 60 e) 8 y 90

180 290 245 315 3

5 51

90 245 315 3

5 51

18 2

9 3

3 3

1



2. ¿Cuántos divisores menos tiene el número 240 que el número 720?

a) 11 b) 10 c) 12 d) 14 e) 13

3. Determinar el valor de “n” sabiendo que 40n tiene 65 divisores.

a) 4 b) 5 c) 6 d) 3 e) 2

4. ¿Cuántos divisores en común poseen 480 y 640?

a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15

5. Calcular el valor de “n” si se sabe que × 29 12 n tiene 33 divisores más que el número ×13 12n

a) 2 b) 5 c) 6 d) 3 e) 2

8. Divisor propio

Los divisores propios de un número entero positivo, son todos aquellos divisores menores que él mismo.

Ejemplo. Los divisores propios de 12 son: 1; 2; 3; 4 y 6

9. Números perfectos. Son aquellos números cuya suma de sus divisores propios es igual a él mismo.

Ejemplo.

• 6 ⇒ Divisores propios: 1, 2 y 3 {Sumados = 6} , entonces 6 es un número perfecto

• 28 ⇒ Divisores propios: 1, 2; 4; 7 y14 {Sumados = 28} , entonces 28 es un número perfecto

10. Números abundantes. Llamados también excesivos. Son aquellos cuya suma de divisores propios es

mayor que él mismo.

Ejemplo.

• 20 ⇒ Divisores propios: 1, 2, 4, 5 y 10, se observa: 1 + 2 + 4 + 5 + 10 = 22 > 20

11. Máximo Común Divisor (MCD)

El MCD de varios números naturales es otro natural que cumple las dos condiciones:

1. Es divisor común de los números dados

2. Es el mayor divisor posible.

Divisores comunes. Son aquellos que dividen exactamente a todos. Ejemplo.

{ }30 1; 2; 3 ; 5 ; 6;10; 15 ;30D =

{ }45 1; 3 ; 5 ; 9; 15 ;45D =

{ }30 45 1; 3; 5;15D D∩ =

Divisores comunes, son 1, 3, 5 y 15. 15 es el mayor divisor común (MCD). • El MCD es el mayor divisor común, así el MCD ( 30, 45) = 15 • El máximo común divisor de dos o más números es el mayor de los divisores comunes de estos números.



• 1 es un divisor común de todo par de números naturales a y b.

Notación: MCD (a, b)

Propiedad. Todos los divisores comunes de varios números son también divisores del MCD de ellos. Ejemplo. Divisores comunes de 24 y 40 son: (1, 2, 4 y 8) son divisores del MCD en este caso: 8.

MÉTODOS PARA HALLAR EL MCD

I. Factorizar en sus factores primos. Se factoriza cada número en sus factores o divisores primos; el MCD es el producto de los divisores comunes tomados con su menor exponente.

Ejemplo 1. Hallar el MCD (16, 20)

16 = 24 20 = 2²µ5

MCD(16, 20)= 2² = 4

Ejemplo 2. Hallar el MCD( 30,150, 180)

30 = 2µ3µ5 150 = 2µ3µ5² 180 = 2²µ32µ5²

MCD.( 30,150, 180 ) = 2µ3µ5 = 30

II. Método abreviado. Para hallar el MCD de varios números, empleando el método abreviado se debe hacer lo siguiente: dividir a todos los números por el menor factor primo hasta que los cocientes sean primos entre si. El producto de los factores primos empleados será el MCD Ejemplo 1. Hallar el MCD(12, 30 ,42) 12 30 42 2 6 15 21 3 MCD ( 12, 30 ,42) = 2 µ 3 = 6 2 5 7 Notar que 2, 5 y 7 son PESI

12. Mínimo Común Múltiplo (MCM)

El mínimo común múltiplo (MCM) de dos números o más números es aquel número natural que cumple

dos condiciones:

• Es múltiplo común de todos.

• Es el menor posible.

Propiedad. Todos los múltiplos comunes de varios números dados son también múltiplos del MCM.

Ejemplo

16 28 24 22 21

20 210 25 5

1

30 215 35 5

1

150 275 325 5

15 5

180 290 245 315 3

5 51



Los múltiplos comunes de 4 y 6 (12, 24, 36, 48,…) son todos múltiplos del MCM(6,4)= 12

MÉTODOS PARA HALLAR EL MCM.

I. Factorizar en sus factores primos.- El mínimo común múltiplo de dos o más números factorizados, es el producto de sus factores primos comunes y no comunes afectados de sus mayores exponentes.

Ejemplo 1. Hallar el MCM de 160 y 240

160 2 240 2

88 2 160 = 25µ5 120 2 24 0 = 24µ3µ5

40 2 60 2

20 2 30 2

10 2 15 3

5 5 5 5

1

MCM (160, 240 ) = 25µ5µ3 = 480

Ejemplo 2. Hallar el MCM de 40; 60 y 80

40 2 60 2 80 2

20 2 40 = 2³µ5 30 2 60 = 2²µ3µ5 40 2 80 = 24µ5

10 2 15 3 20 2

5 5 5 5 10 2

1 1 5 5

1

MCM (40,60, 80) = 24µ5µ3 = 240

II. Método abreviado. Consiste en dividir cada uno de los números por el menor divisor primo posible, hasta

que los cocientes sean iguales a la unidad.

Ejemplo 1. Hallar el MCM ( 60; 70; 72)

60 70 72 2

30 35 36 2 MCM (60, 70 ,72) = 2³ µ 3² µ 5µ 7 = 2520

15 35 18 2

15 35 9 3

5 35 3 3

5 35 1 5

1 7 1 7



1 1 1

Ejemplo 2. Hallar el MCM ( 36 , 48 )

36 48 2

18 24 2 MCM (36,48) = 24µ 3² =144

9 12 2

9 6 2

9 3 3

3 1 3

1 1

PROBLEMAS RESUELTOS

1. Se debe depositar el vino de tres barriles que tienen 210, 300 y 420 litros de capacidad en

envases que sean iguales entre si. ¿Cuál es la menor cantidad de envases que se emplearían

para que todos estén llenos y no desperdiciar vino?

Solución.

Capacidad de envases = MCD (210, 300, 420) = 30

Primer barril 210 π 30 = 7 envases

Segundo barril 300 π 30 = 10 envases

Tercer barril 420 π 30 = 14 envases

Total 31 envases

2. Hoy las tres campanas de una Iglesia han sido tocadas simultáneamente; si en adelante la primera será tocada cada 7 días, la segunda cada 4 días y la tercera cada 10 días. ¿Después de qué tiempo se volverán a tocar juntas?

Solución.

Hallar el MCM ( 7, 4, 10)

7 4 10 2

7 2 5 2 MCM (7, 4 ,10) = 2² µ 5µ 7 = 140

7 1 5 5

7 1 1 7

1 1 1

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. ¿Cuál es el mayor número de niños entre los cuales hay que repartir 12, 24 y 60 caramelos de diferentes sabores y en forma simultanea para que en cualquiera de los casos, cada uno reciba una misma cantidad? ¿Cuántos caramelos le toca a cada niño?



a) 10 b) 11 c) 9 d) 8 e)7

2. Un fabricante de chocolates quiere envasar su producto en cajas de 840 cm.3 y 960 cm.3 ¿Cuál debe ser el mayor volumen de cada barra de chocolate para que en cada caja entre el mayor número exacto de barras de chocolate y cuantas barras entran en cada caja?

a) 120, 7 y 8 b) 100, 7,y 8 c) 120, 8 y 6 d) 120, 8 y 5 e)120, 7 y 7

3. Un vendedor realiza 2 ventas consecutivas de impresoras de dos tipos A y B: Por S/. 9 750 las del tipo A y S/. 12 350 los del tipo B: Si las impresoras de ambos tipos tienen el mismo precio y es el mayor posible ¿Cuántas impresoras vendió en total?

a) 30 b) 32 c) 34 d) 38 e) 37

4. Una piscina se puede llenar en un número exacto de minutos utilizando cualquiera de las tres llaves que vierten: La primera 12 litros por minuto, la segunda 18 litros por minuto y la tercera 20 litros por minuto ¿Cuál será la menor capacidad de la piscina?

a) 130 b) 150 c) 160 d) 170 e) 180

5. Un comerciante tiene tres barriles de aceite de 330, 630 y 2310 litros respectivamente, desea vender el aceite en baldes de igual capacidad que estén contenidos exactamente en cada uno de los tres barriles. ¿Cuál es el menor número de baldes que se debe utilizar sin desperdiciar aceite?

a) 100 b) 105 c) 109 d) 107 e) 108

6. Un terreno de forma rectangular cuyas dimensiones son 1288 m. y 952 m. se quiere dividir en parcelas cuadradas todas iguales sin que sobre terreno y luego se desea cercarlas de tal manera que exista un poste en cada esquina de las parcelas. Determinar la menor cantidad de parcelas y la menor cantidad de postes que se necesita para cercar todas las parcelas.

a) 391 y 432 b) 395 y 345 c) 391 y 342 d) 307 y 400 e) 391 y 344

7. Una línea de tren de 12 Km. de longitud esta formada por rieles de 12 m. de largo. Se coloca postes de teléfono de 40 m. de intervalo. ¿Cuántas veces coinciden los postes con las uniones entre rieles, si existe un poste al extremo del primer riel?

a) 73 b) 149 c) 100 d) 99 e) 101

8. Un empleado trabaja 5 días seguidos y descansa el sexto día. Empieza a trabajar el lunes ¿Cuántos

días tiene que trabajar para que llegue a descansar el día domingo?

a) 42 b) 39 c) 37 d) 35 e) 33

9. Las dimensiones de un terreno rectangular son 894 y 354. Se desea parcelarlo en terrenos cuadrados

de tal modo que no sobra nada y se obtenga el menor número de parcelas. ¿Cuántas parcelas cuadradas resultarán?

a) 8791 b) 8790 c) 8792 d) 8793 e) 8795

10. En la platea de un teatro, por concepto de entradas se ha recaudado en 3 días S/. 5 068, S/. 3 388 y S/.

4032 respectivamente. Determinar cuántas personas han asistido en los 3 días, sabiendo que el precio de la entrada es el mismo en los 3 días y está comprendido entre S/. 10 y S/ 20.



a) 891 b) 890 c) 892 d) 893 e) 895

11. Julio compró cierto número de trajes por S/. 20 500 y vendió unos cuantos en S/. 15 000, cobrando por

cada traje lo mismo que le había costado. Hallar cuántos trajes quedan si el precio de estos fue el mayor posible.

a) 1 4 b) 13 c) 12 d) 11 e) 20

12. Tres ciclistas partieron al mismo tiempo y de la misma línea de una pista circular. En cada vuelta

tardaron respectivamente 8, 10 y 12 segundos ¿Cuántas vueltas habrá dado cada uno de los ciclistas cuando hayan pasado nuevamente y a la vez por la línea de partida?

a) 11;12 y 13 b) 11;12 y 15 c) 15;12 y 13 d) 11;12 y 14 e) 15;12 y 10

13. Hallar el número de ladrillos necesarios para construir un cubo compacto sabiendo que su arista está

comprendida entre 2 y 3m y que las dimensiones del ladrillo a usarse son de 20, 15 y 8 cm.

a) 5791 b) 5760 c) 5762 d) 5790 e) 5795

14. Edgar desea dividir en parcelas cuadradas iguales, un terreno rectangular de 408 metros por 216

metros. Si en cada vértice de cada parcela plantará un árbol, ¿cuál será el mínimo número de árboles que empleará?

a) 180 b) 190 c) 150 d) 160 e) 195

15. Se tiene 1872 barras de jabón cuyas dimensiones son 24, 16 y 8 cm. respectivamente. ¿Cuántas cajas

cúbicas como máximo se necesitan para empaquetarlas, si todas deben estar completamente llenas?

a) 53 b) 59 c) 54 d) 55 e) 52

16. A cuatro varillas metálicas cuyas longitudes son 546, 728, 819 y 273 cm. respectivamente, se les va a

dividir en partes iguales y de longitud máxima. Hallar el número total de partes iguales.

a) 23 b) 24 c) 26 d) 27 e) 28

17. En un evento artístico, por concepto de entradas se ha recaudado en 3 días S/. 5670, S/. 4998 y S/.

5628 respectivamente. ¿Cuántas personas han asistido en los 3 días, sabiendo que el precio de la entrada ha sido el mismo y ésta comprendió entre S/. 15 y S/. 40?

a) 773 b) 749 c) 749 d) 776 e) 778

18. Se compra cierto número de cuadernos de la misma calidad en S/. 700; se vende una parte en S/. 180,

cobrando por cada cuaderno el precio de costo. Si el precio de costo es el mayor número entero posible, ¿cuántos cuadernos quedan?

a) 27 b) 26 c) 52 d) 50 e) 29

19. Para que un paquete con arroz que pesa más de 6600g. complete un peso de 9 kg., se puede utilizar un número de pesas de 30g. de 50g. ó de 80g., para lo cual cuenta con una balanza de 2 platillos. ¿Cuál es el peso exacto del paquete con arroz?



a) 7, 8 Kg. b) 6,8 Kg. c) 5, 2Kg. d) 5,5 Kg. e) 2,9 Kg.

20. En una compañía militar prestan servicios 250 hombres y cierto número de ellos se enfermaron. Si con

el resto se forman grupos de 8, 10 y 12 hombres, siempre sobran 5 y si se forman grupos de 7 hombres no sobra ninguno. ¿Cuántos militares se enfermaron?

a) 7 b) 6 c) 5 d) 4 e) 3

21. Se dispone un terreno de forma rectangular de 540m. por 120m. el cual se quiere dividir en parcelas

cuadradas de igual área. Si se desea obtener entre 400 y 500 parcelas, hallar la suma de las cifras del lado (en metros) de cada parcela.

a) 7 b) 6 c) 5 d) 4 e) 3

22. Un libro tiene 182 páginas y están numeradas de la primera hasta la última página. En las páginas cuya

numeración es múltiplo de 25, hay una lámina a color, ¿cuántas láminas a color hay en el libro?

a) 7 b) 6 c) 5 d) 4 e) 3

23. Hallar la suma de las cifras del menor número que al escribirlo en base 5, 6 y 9 sus dos últimas cifras

son 44, 55 y 88 respectivamente.

a) 27 b) 26 c) 52 d) 50 e) 29

24. ¿Cuántas parejas de números cumplen que su MCD sea 9 y su suma sea 126?

a) 7 b) 6 c) 3 d) 4 e) 5

25. Sean p, q y r enteros de 1, 2 y 3 cifras respectivamente que son primos absolutos y están en progresión

aritmética de razón t, siendo r el menor primo absoluto de 3 cifras. ¿Cuántos divisores tiene t ?

a) 5 b) 53 c) 101 d) 10 e) 15

26. ¿Cuántos números de la forma ( )( )( )4 3 3 4 3a b a− − son primos absolutos, siendo a y b cifras ?

a) 2 b) 1 c) 4 d) 5 e) 3

27. Calcule la suma de las cifras de abcd si se tiene 10 divisores y además 12 9 10 130a b c d+ + + =

a) 9 b) 12 c) 16 d) 18 e) 21

28. El MCD de A y B es 3 8

4

k −; el MCD de C y D es

8

5

k +. Si el MCD de A, B, C y D es 16. Calcular el

valor de k si es un número capicúa de tres cifras. Dar como respuesta la suma de cifras de k.

a) 16 b) 19 c) 17 d) 15 e) 12



BIBLIOGRAFÍA.

BREVER, J. (1964) Iniciación a la teoría de conjuntos, Editorial paraninfo Carranza, Cesar. (1990). Algebra. Editorial Studium. Lima Cuzcano Ignacio. (1986) Matemática, Editorial Vives España Farfán, Oscar. (2002) Aritmética, Editorial san marcos Hernández, Hernán y otros. (2003) Proyecto ingenio. Lima

COMPONENTE LÓGICO MATEMÁTICA Fracciones Decimales


Módulo 6: Fracciones Decimales LOGROS DE APRENDIZAJE

• Plantea, resuelve ejercicios con fracciones y números decimales relacionados con problemas de su entorno.

• Utiliza diagramas para representar fracciones. CONTENIDOS • Unidad fraccionaria. • Representación grafica de fracciones • Clasificación de fracciones • Operaciones con fracciones • Fracción decimal • Fracción generatriz • Números decimales. RESUMEN TEORICO. INTRODUCCION La siguiente lectura tiene por objetivo mostrar la importancia de realizar correctamente operaciones con fracciones. “…Singular aventura acerca de 35 camellos que debían ser repartidos entre tres herederos Hacía pocas horas que viajábamos sin interrupción, cuando nos ocurrió una aventura digna de ser referida, en la cual mi compañero Beremís “El hombre que calculaba” puso en práctica, con gran talento, sus habilidades de algebrista. Encontramos, cerca de una antigua posada medio abandonada, tres hombres que discutían acaloradamente al lado de un lote de camellos. Furiosos se gritaban improperios y deseaban plagas: - ¡No puede ser! - ¡Esto es un robo! - ¡No acepto! El inteligente Beremís trató de informarse de que se trataba. - Somos hermanos –dijo el más viejo- y recibimos, como herencia, esos 35 camellos. Según la expresa voluntad de nuestro padre, debo yo recibir la mitad, mi hermano Namur una tercera parte, y Harim, el más joven, una novena parte. No sabemos sin embargo, como dividir los 35 camellos, y a cada división que uno propone protestan los otros dos, pues la mitad de 35 es 17 y medio. ¿Cómo hallar la tercera parte y la novena parte de 35, si tampoco son exactas las divisiones? - Es muy simple –respondió el “Hombre que calculaba”-. Me encargaré de hacer con justicia esa división si me permitís que junte a los 35 camellos de la herencia, este hermoso animal que hasta aquí nos trajo en buena hora. Traté en ese momento de intervenir en la conversación: - ¡No puedo consentir semejante locura! ¿Cómo podríamos dar término a nuestro viaje si nos quedáramos sin nuestro camello? - No te preocupes del resultado “bagdalí” –replicó en voz baja Beremís-. Se muy bien lo que estoy haciendo. Dame tu camello y verás, al fin, a que conclusión quiero llegar. Fue tal la fe y la seguridad con que me habló, que no dudé más y le entregué mi hermoso “jamal”, que inmediatamente juntó con los 35 camellos que allí estaban para ser repartidos entre los tres herederos. - Voy, amigos míos –dijo dirigiéndose a los tres hermanos- a hacer una división exacta de los camellos, que ahora son 36. Y volviéndose al más viejo de los hermanos, así le habló:



- Debías recibir, amigo mío, la mitad de 35, o sea 17 y medio. Recibirás en cambio la mitad de 36, o sea, 18. Nada tienes que reclamar, pues es bien claro que sales ganando con esta división. Dirigiéndose al segundo heredero continuó: - Tú, Hamed Namir, debías recibir un tercio de 35, o sea, 11 camellos y pico. Vas a recibir un tercio de 36, o sea 12. No podrás protestar, porque también es evidente que ganas en el cambio. Y dijo, por fin, al más joven: - A ti, joven Harim Namir, que según voluntad de tu padre debías recibir una novena parte de 35, o sea, 3 camellos y parte de otro, te daré una novena parte de 36, es decir, 4, y tu ganancia será también evidente, por lo cual sólo te resta agradecerme el resultado. Luego continuó diciendo: - Por esta ventajosa división que ha favorecido a todos vosotros, tocarán 18 camellos al primero, 12 al segundo y 4 al tercero, lo que da un resultado (18 + 12 + 4) de 34 camellos. De los 36 camellos sobran, por lo tanto, dos. Uno pertenece, como saben, a mi amigo el “bagdalí” y el otro me toca a mí, por derecho, y por haber resuelto a satisfacción de todos, el difícil problema de la herencia. - ¡Sois inteligente, extranjero! – exclamó el más viejo de los tres hermanos-. Aceptamos vuestro reparto en la seguridad de que fue hecho con justicia y equidad. El astuto beremís –el “Hombre que calculaba”- tomó luego posesión de uno de los más hermosos “jamales” del grupo y me dijo, entregándome por la rienda el animal que me pertenecía: - Podrás ahora, amigo, continuar tu viaje en tu manso y seguro camello. Tengo ahora yo, uno solamente para mí.Y continuamos nuestra jornada hacia Bagdad…” 1. UNIDAD FRACCIONARIA.

Una unidad fraccionaria es cada una de las partes iguales en que se ha dividido la unidad principal. La unidad fraccionaria es representada por medio de dos números separados por una rayita horizontal, encima de la rayita se escribe el número uno (1) que representa a una de las partes iguales de la unidad principal; debajo de la rayita se escribe el número de partes iguales en que se ha dividido la unidad principal. Ejemplo.

Se ha dividido un terreno en cinco partes iguales, de las cuales las dos primeras partes es para la Persona A y las tres partes siguientes es para la Persona B.

• La unidad fraccionaria es 1

5

• A la persona A le corresponde 2

5

• A la persona B le corresponde 3

5

2. FRACCIÓN.

Una fracción se representa por dos números enteros “a” y “b”, con 0≠b separados por una rayita

horizontal b

a; el número entero a es llamado numerador y b es llamado denominador (indica el número

de partes en que se ha dividido la unidad)



3. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA FRACCIÓN.

→→

indica el número de partes que se ha tomado :

indica entre cuantas partes iguales se ha dividido la unidad

aF

b

Ejemplo 1.

5

3:F

Para graficar una fracción en la cual el numerador es mayor que el denominador, es necesario considerar la

unidad varias veces.

Ejemplo 2.

3

7

Ejemplo 3. Unidad Fraccionaria

6

1=

NOTA. Número mixto. Consta de una parte entera y una parte fraccionaria, para convertirlo a fracción propia

se debe multiplicar la parte entera por el denominador y sumarle el numerador.

Ejemplo.

3 5 4 3 234

5 5 5

× += = .

4. CLASIFICACION DE LAS FRACCIONES.

• Fracción Propia: Es aquella cuyo numerador es menor que el denominador, equivalentemente una

fracción propia representa un número menor que la unidad, es decir,

<a

: es propia sí y solamente si b

F a b , ejemplos: 3/5; 7/8; 8/13;…

• Fracción Impropia: Es aquella cuyo numerador es mayor que el denominador, equivalentemente una

fracción propia representa un número superior que la unidad, es decir,

a: es impropia sí y solamente si

bF a b> , ejemplos: 7/4; 8/3; 5/2;…

• Fracción Reductible: Su numerador y denominador poseen factores en común (no son primos entre

si), ejemplos: 3/6; 20/18; 6/10;…

• Fracción Irreductible: Su numerador y denominador no poseen factores en común (son primos entre

si), ejemplos: 3/5; 7/2; 4/9;…

• Fracciones Homogéneas: Es un conjunto de fracciones que tienen igual denominador. Ejemplos: 3/7,

5/7, 1/7,…

5

1

5

1

5

1

5

1

5

1

1/3 1/3 1/3 1/3 1/3 1/3 1/3 1/3 1/3



• Fracciones Heterogéneas: Es un conjunto de fracciones que tienen diferente denominador. Ejemplos:

3/5, 4/9, 2/8,…

• Fracción Decimal: Son aquellos en las cuales su denominador es una potencia de 10 (10, 100,

1000,…). Ejemplos: 8/100; 131/10; 130/100;…

• Fracción Ordinaria: Son aquellos cuyo denominador no es potencia de 10. ejemplos: 17/13; 14/101;

2/400;…

• Fracciones Equivalentes: Son aquellas fracciones que utilizando términos diferente expresan una

misma parte de la unidad. Ejemplos: 1/2 = 2/4 = 3/6 = 5/10=…

NOTA:

• Una fracción impropia es mayor que una fracción propia.

• Para comparar una fracción con el propósito de establecer una relación de orden, se puede usar el criterio

de multiplicación en aspa o usar la idea de fracciones equivalentes.

Ejemplo:

5 3 ;

8 5 ¿Cuál de las fracciones es mayor?, usando el criterio de multiplicación en aspa

5

8

3

5 , 25 > 24; luego:

5

3

8

5>

× ×= = =

× ×5 5 5 25 3 3 8 24

= ; 8 8 5 40 5 5 8 40

, Entonces 25 24

; 40 40

en una fracción homogénea es

mayor la que tenga mayor numerador, Luego 5

3

8

5>

5. OPERACIONES CON FRACCIONES

5.1 Adición de fracciones

a) Suma de fracciones homogéneas. Se suman los numeradores, y a ésta suma se le

pone el mismo denominador. a c a c

b b b

++ =

Ejemplo. 3

9

3

7

3

2=+

b) Suma de fracciones heterogéneas

Para sumar fracciones heterogéneas, se puede hacer por dos métodos:

1) Buscando fracciones equivalentes, como se muestra en el ejemplo.

30

29

30

4

30

25

15

2

6

5=+=+



2) Hallando el M. C. M. de los denominadores para comparar el denominador común, luego

el M. C. M. se divide entre cada uno de los elementos del denominador y se multiplica por

el respectivo numerador, como se muestra en el ejemplo.

30

29

30

425

15

2

6

5=

+=+

6 - 15 2

3 - 15 3

1 - 5 5

1 M. C. M. (6, 15) = 2 × 3 × 5= 30

5.2. MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE FRACCIONES.

a) Multiplicación de fracciones. El producto de dos fracciones es otra fracción, que tiene

como numerador el producto de los numeradores y como denominador el producto de

los denominadores.

a c a c

b d b d

×× =

×

b) División de fracciones. Para efectuar una división de dos fracciones se la transforma

en una multiplicación, como sigue:

a c a d a d

xb d b c b c

×÷ = =

×

6. FRACCIÓN DECIMAL

Una fracción decimal puede ser escrita en forma de número decimal, utilizando una coma, llamada coma

decimal. Un número decimal está formado por una parte entera que se encuentra a la izquierda de la coma y

una parte decimal que se encuentra a la derecha de la coma.

37

3 , 710

=

Parte decimal

Coma decimal

Parte entera

Una fracción decimal es todo número representado por una fracción cuyo denominador es una potencia de

diez, 10n

a, a œ � ; n œ �.

10,1

10=

Para leer un número decimal se puede tener en cuenta la siguiente tabla:



Núm

ero

Entero

Décimos

Cen

tésimos

Milésimos

Diezm

ilésimos

Cienm

ilésimos

Millo

nésimos

Lectura

0,0356 0 0 3 5 6 356 Diezmilésimos

3,15679 3 1 5 6 7 9 3 enteros 15 679 Cienmilésimos

0,000023 0 0 0 0 0 2 3 23 Millonésimos

NOTA. Toda fracción común cuyo denominador sea divisor de una potencia de diez, puede expresarse

como una fracción decimal.

Ejemplo

3

25, Puede expresarse como una fracción decimal ya que:

3 4 1225 4 100 0,12

25 4 100

×× = → = =

×

−−−−7

8, Puede expresarse como una fracción decimal ya que:

7 125 875

8 125 1000 0,8758 125 1000

− × −× = → = = −

×

Fracción común Número decimal

Fracción decimal

OBSERVACION. Una fracción puede convertirse en fracción decimal solamente si los factores del

denominador son potencias de 2 y/o de 5.

Ejemplo. 3

5²,

7

2³

7. NÚMEROS DECIMALES QUE NO SON RACIONALES

Un número decimal puede tener representante que sea fracción decimal o que no lo sea, una fracción no

decimal puede ser representado por un número decimal finito o limitado.

FRACCION NO DECIMAL. Son aquellas cuyo denominador no se puede reducir a potencia de 2 ni de 5 ni

al producto de ambos. Al tratar de reducir una fracción no decimal a un número decimal puede ocurrir dos

casos, Al dividir el numerador por el denominador puede ser inexacta, pues si fuera exacta representaría a

un decimal finito.

CASO I. Tiene un número ilimitado de cifras decimales que se repite formando periodo o grupo, y recibe el

nombre de Número decimal periódico simple o periódico puro.

La generatriz de un número decimal periódico puro es una fracción, en la cual el numerador es un periodo y

el denominador son tantos nueves como cifras tenga la parte periódica.

Al periodo se le denota por:�a .

Ejemplo: 1 3

=0,333...= 0,33 9

=�

2 18 =0,181818...= 0,18

11 99=



CASO II. Tiene un número ilimitado de cifras decimales, cuyo periodo o grupo comienza después de alguna

cifra decimal; y recibe el nombre de Número decimal periódico mixto.

La generatriz de un número decimal periódico mixto es una fracción, en la cual el numerador es la parte no

periódica seguida de un periodo menos la parte no periódica, y el denominador son tantos nueves como cifras

tenga la parte periódica seguida de tantos ceros como cifras tenga la parte no periódica.

Ejemplos:

5 416 41 =0,41666...= 0,416

12 900

−=�

8 53 5 =0,5333...= 0,53

15 90

−=�

24 2 381 30.24 ; 7,0381 7 0,381 7

90 9903581 35

0,35819900

− −= = + = +

−=

�

NOTA. Generatriz de un decimal exacto o terminante: El numerador es la parte decimal y el denominador

es un uno seguido de tantos ceros como cifras tenga la parte decimal

Ejemplo: 8 210 .8 ; 0, 21

10 100= =

8. OPERACIONES CON NÚMEROS DECIMALES.

8.1 Adición de números decimales.

• Ubicamos los sumandos uno debajo de otros, teniendo cuidado que las comas decimales coincidan en la misma columna.

• Las comas se suman como si fuesen números naturales, poniendo en el resultado la coma decimal en la columna de las comas.

8.2 Sustracción de números decimales.

• Se copian los números verticalmente los números de mayor a menor, teniendo cuidado de que las comas decimales coincidan en la misma columna.

• Si uno de los números no tiene la misma cantidad de cifras del otro, las cifras que faltan se completan con ceros.

8.3 Multiplicación de números decimales.

a. Se copian los números verticalmente. b. Se multiplican dichos números como si fueran números naturales. c. En el producto separamos tantas cifras decimales como cifras decimales tenga el multiplicando y el multiplicador juntos, comenzando de la derecha.

8.4 División

División de números decimales entre un número natural.

• Se divide como si se tratara de números naturales. • Al bajar la primera cifra decimal del dividendo se escribe la coma decimal en el cociente.

Ejemplo: 19,32 12

1 9 , 3 2 1 21 , 6 11 2

7 37 2

1 21 20 0



División entre dos números decimales. • Si el divisor tiene una cifra decimal, esto implica correr un lugar hacia la derecha tanto con el

dividendo como en el divisor. • Procedemos a dividir como en el caso anterior. Ejemplo: 24,38 4,6

División entre un número natural y un número decimal.

• Si el divisor tiene dos cifras decimales, entonces esto quiere decir que al dividendo debemos agregarle dos ceros y quitamos la coma decimal del divisor.

• Procedemos a dividir estos, como números naturales.

Ejemplo: 84 0,03

PROBLEMAS RESUELTOS

1. En un tanque se tiene: Los 2 / 5 del tanque mas 10 litros son vino y 5 / 9 del tanque menos 8 litros son

agua ¿Cuántos litros son vino?

Solución.

+ + − =

→ →

2 510 8

5 9

vino agua

T T

++ =

= −

=

=

18 252

4543

245

22

4545

T TT

T T

T

T

Remplazando la cantidad de la mezcla en el tanque:

+ = + =2 2

10 (45) 10 285 2

T litros de vino

2. Matias leyó ayer 1/5 de las páginas de un libro. Si hoy ha leído 1/2 de lo que le quedaba por leer y

todavía le quedan 80 páginas por leer, ¿cuántas páginas tiene el libro?

Solución.

84006

32800

24240000

243,8 46

5,3230

138138

00



Sea x = el número de páginas que tiene el libro

a. Ayer leyó 1/5 de las páginas del libro, 1 x

5

b. Le quedan por leer 4 x

5

c. Hoy ha leído 1

2 de lo que el quedaba por leer 1 4

x2 5

d. Le quedan por leer 4 1 4 x

5 2 5x

−

, entonces:

=2

80 x , entonces x = 2005

; El libro tiene 200 páginas

3. En cierto año, de toda la producción de hierro en el Perú, la empresa A produjo los 2/3 y la empresa B,

1/6. Si en ese año la producción total de las otras empresas fue de 18 millones de toneladas. ¿Cuántos

millones de toneladas produjo la empresa A?

Solución.

Sea x la producción total de hierro en el Perú en millones de toneladas (en el año referido).

Por dato,

• Empresa A: produjo 2 /3 x

• Empresa B: produjo 1/6 x

Luego, otras empresas: produjeron 18 millones de toneladas

2 118

3 6x x x+ + =

⇒ 4 618

6

x x x+ −= −

⇒ 108x =

La empresa A, produjo:

2 2(108) 72

3 3x = = millones de toneladas

4. Restar 1/4 de 1/3. De 1/5 restar 1/2. Sumar las diferencias y agregarle el resultado de sumar a 1/3 los

3/5 de la mitad de 10/3. Indicar los 30/67 del resultado total.

Solución.

Efectuando las operaciones indicadas:

• Restar 1/4 de 1/3: 1/3 – 1/4 = 1/12

• De 1/5 restar 1/2: 1/5 – 1/2 = −3/10

• Sumar las diferencias: 1/12 – 3/10 = −13/60

• Agregar: 1/3 + 3/5(1/2(10/3)) = 1/3 + 1 = 4/3

• Luego, −13/60 + 4/3 = 67/60

• Se pide: 30 67 1

67 60 2 =




1. Arturo ingresa a un Bingo con una cierta cantidad de dinero, en el primer juego pierde los 2 /7 de su dinero, en el segundo gana 25 soles, en el tercero pierde la mitad de lo que tenia entonces y en el ultimo juego gana 32 soles, retirándose con 112 soles ¿Cuánto perdió Arturo? a) 66 b) 88 c) 77 d) 99 e) 63

2. Ernesto gasta 1/3 de su dinero, luego gasta 1/4del resto y por ultimo gasta 1/5 del nuevo resto. Si al final le quedaron 360 soles. ¿Qué cantidad de dinero, en soles, gastó en total Ernesto? a) 600 b) 800 c) 540 d) 900 e) 630

3. Juan gastó todos sus ahorros en exactamente los 3 días que duro su viaje de excursión. El primer día gastó 1/3 del total y 8 soles más, el segundo día gastó 1/3 de lo que quedaba y 8 soles más, y por último el tercer día gastó 1/3 del nuevo resto y 8 soles más. ¿Cuánto gastó Juan en los tres días? a) 57 b) 58 c) 59 d) 60 e) 63

4. Un niño que tenia una caja de lápices gasta los 2/7 de ella más 32/7 lápices y entonces le quedan los 2/3 de los que tenia al principio. ¿Cuántos lápices tenia el niño? a) 97 b) 98 c) 96 d) 95 e) 99

5. Un depósito puede llenarse por un caño en 2 horas y otro en 3 horas. Si se vacía por un desagüe en 6 horas. ¿En cuánto tiempo se llenará el depósito, abriendo los caños y el desagüe? a) 6,7 b) 1,5 c) 1,9 d) 1,6 e) 3,5

6. De los alumnos de un aula, sólo 2/3 asistieron a una practica y los 3/7 de estos aprobaron. Si de los que asistieron a la práctica desaprobaron 24. ¿cuántos alumnos en total hay en dicha aula?

a) 67 b) 68 c) 69 d) 65 e) 63

7. Se tiene un recipiente lleno de agua, si se extrae 1/3 del volumen y se agrega 20 L, luego se extrae 1/ 4 y se agrega 15 L; finalmente se extrae 1/5 y queda 120 L. Halle el volumen inicial del recipiente.

a) 240 b) 340 c) 500 d) 280 e) 300

8. En una reunión de 80 personas los tres quintos menos 2 personas son varones. ¿Qué fracción representa la diferencia entre varones y mujeres? a) 5

32 b) 17

32 c) 3

20 d) 3

4 e) 33

40

11. Jorge y Luís pueden terminar juntos un trabajo en 10 días, Luís y Jaime lo harían en 12 días, Jorge y Jaime en 15 días ¿Cuánto tiempo emplearían si trabajaran los tres juntos?

a) 3 días b) 4 días c) 5 días d) 8 días e) 7 días

12. Los 3/4 de un muro esta pintado de azul, los 3/5 del resto de blanco y lo que queda mide 10 m. y esta pintado de rojo. ¿Cuál es la longitud del muro? a) 90 b) 40 c) 50 d) 80 e) 100

13. Un anciano reparte su fortuna entre sus cuatro hijos, al primero le da 2/3 del total, al segundo 1/4 del resto, al tercero 3/5 del nuevo resto si el ultimo recibió 800. ¿Cuál era la fortuna del anciano?

a) 9000 b) 7000 c) 8000 d) 8500 e) 7500

14. Un tanque puede ser llenado por un caño en 4 horas y por un segundo caño en 12 horas. Si se abren ambos caños al mismo tiempo ¿Cuánto demoraría el tanque en llenarse? a) 3 horas b) 4 horas c) 5 horas d) 6 horas e) 7 horas

15. He gastado los 5/8 de mi dinero, si en lugar de gastar los 5/8 hubiera gastado los 2/5 de mi dinero tendría ahora 72 soles mas de lo que tengo ¿Cuánto gaste? a) S/. 120 b) S/. 157 c) S/. 130 d) S/. 200 e) S/. 100

16. ¿Cuál de las fracciones es mayor 2

3; 5

6; 7

12; 3

4?

a) 2

3 b) 7

12 c) 5

6 d) 3

4 e) 5

4



17. Reducir a su mínima simple expresión:1350

2550

a) 2

3 b)

9

17 c)

1

7 d)

1

4 e)

1

3

18. Un hombre camina 14

2 Km. el lunes, 2

83Km. el martes, 10 Km. el miércoles y 5

8Km. el jueves.

¿Cuánto a recorrido en los cuatro días?

a) 571

24 b)

571

34 c)

71

34 d)

71

24 e)

51

24

19. Un grupo de obreros puede hacer una obra en 56 días, mientras que un grupo de jóvenes puede hacer la

misma obra en 42 días. Se desea saber, el tiempo que tardarían en hacer dicha obra, trabajando juntos

ambos grupos.


20. Dos grifos A y B pueden llenar un estanque en 6 horas. El grifo A, funcionando solo, puede llenarlo en 15

horas. Estando vacío el estanque, se abre el grifo B. ¿En cuántas horas lo llenará?

a) 10 b) 20 c) 5 d) 15 e) 12

21. Una persona debía hacer una obra en 3 días, el primer día hizo los 3 / 8 de la obra, el segundo los 4/ 5 de

lo que hizo el día anterior y le quedaron 26m. de obra para el tercer día ¿de cuántos metros consistía la

obra?

a) 70 b) 80 c) 100 d) 50 e) 30

22. Me deben los 7/ 9 de S/. 180 y me pagan los 3/ 5 de 180 ¿cuánto me deben todavía?

a) 40 b) 20 c) 32 d) 35 e) 28

23. Se llena un recipiente con 15 litros de alcohol y el resto con agua. Se extrae la tercera parte de la mezcla y se reemplaza por agua, luego se extrae la cuarta parte de la mezcla y se reemplaza por agua, finalmente se extrae la quinta parte de la mezcla y se reemplaza con agua. ¿Cuánto de alcohol queda en el recipiente?

a) 4 b) 6 c) 5 d) 8 e) 7

24. Un deposito contiene 30 litro de vino, del cual se extrae 1 / 5 de su contenido y se reemplaza totalmente por agua. Enseguida se extrae 1/ 4 de la mezcla y también se remplaza por agua; por ultimo se extrae 1/ 3 de la nueva mezcla y se remplaza totalmente por agua. ¿Cuántos litros de vino quedan ahora en el depósito?

a) 10 b) 12 c) 15 d) 16 e) 18



25. Un recipiente contiene 24 litros de alcohol y 36 litros de agua. Si se extrae 15 litros de la mezcla ¿Cuántos litros de alcohol quedan?

a) 21 b) 15 c) 16 d) 18 e) 24

26. Un tanque tiene 2 llaves, la primera llave llena el tanque en 8 h. y la segunda llave lo vacía en 9 h. Si se abren las dos llaves al mismo tiempo ¿En cuántas horas se llenará el tanque?

a) 32 b) 72 c) 42 d) 55 e) 56

27. Un recipiente contiene 12 litros de vino y 18 litros de agua. Se extrae 9 litros de la mezcla y se reemplaza por agua; luego se extrae 5 litros de la nueva mezcla y se reemplaza por agua. ¿Cuántos litros de agua quedan?

a) 21 b) 23 c) 18 d) 20 e) 24

28. Se deja caer una apelota desde cierta altura. Calcular ésta altura, sabiendo que cada rebote que da alcanza los 3 / 4 de la altura anterior y en el tercer rebote alcanza 27 cm.

a) 46 b) 72 c) 64 d) 30 e) 20

29. Compre 3 sombreros a $ 32

5cada uno; 6 camisas a $ 3

34 cada una. Si pago con un billete de $ 50.

¿Cuánto tengo de vuelto?

a) 7

1910

b)7

1920

c) 7

910

d)7

920

e)7

2910

30. Maribel compró 280 plátanos y los vende de la siguiente manera: El día lunes vendió 1/4 de lo que compró; el día martes vendió los 2/3 de lo que quedó; el día miércoles vendió la sétima parte del nuevo resto y el día jueves vendió los 3/5 de lo que quedó el día miércoles. ¿Cuántos plátanos le quedan?

a) 20 b) 24 c) 18 d) 30 e) 9

31. Se deja caer al suelo una pelota cada vez que rebota se eleva a una altura igual a los 2 / 5 de la altura anterior. Si después de tres rebotes alcanza una altura de 16cm. ¿De que altura cayó inicialmente?

a) 350 b) 250 c) 400 d) 150 e) 200

32. Hallar la fracción equivalente a: + + + +

=+ + +

� � � �

� � � �

0.2 0.3 0.4 0.7

0.32 0.43 0.54 0.87F

a) 5

2 b) 5

6 c) 3

2 d) 3

4 e) 3

7

BIBLIOGRAFÍA.

ADUNI (2006). “Aritmética – Análisis del número y sus aplicaciones”. Edit. Lumbreras.

SANTILLANA (2005) “Lógico Matemática”. Edit. Santillana..

MINISTERIO DE EDUCACIÓN (2001) – Matemática – Plancad

TASAICO Javier (2002) “Números Racionales”. Ed. Cuzcano

COMPONENTE LÓGICO MATEMÁTICA Proporcionalidad, Regla de Tres y Porcentajes


Módulo 7: Proporcionalidad, Regla de Tres y Porcentajes LOGROS DE APRENDIZAJE

� Utilizar técnicas y estrategias para solucionar situaciones problemáticas que involucran magnitudes directa e inversamente proporcional.

� Aplica regla de tres para resolver problemas de proporcionalidad.

� Comprende el concepto de porcentaje y aplica a problemas de la vida real

CONTENIDOS

� Magnitudes directamente proporcionales � Magnitudes inversamente proporcionales � Regla de tres � Porcentajes. � Descuentos y aumentos sucesivos. � Aplicaciones comerciales

RESUMEN TEÓRICO

INTRODUCCION

• Una tienda de mascotas vende perros, gatos y conejos. Un conejo vale el doble de lo que vale un gato y un perro vale el doble de lo que vale un conejo. Sergio compra tres gatos, cinco conejos y siete perros. Rosa compra cinco gatos, siete conejos y tres perros. Si la cuenta de Rosa es 400 soles menos que la cuenta de Sergio.

¿Cuánto vale cada gato?

• La tasa actual del Impuesto General a las Ventas (IGV) en el Perú es el 19% del valor de venta.

• Luego, al vender un artículo al público, el comerciante tiene que agregar al valor de venta (V) el impuesto general a las ventas que es el 19% de V, dando como resultado el valor facturado (F) que finalmente debe pagar el cliente:

F = V + 19% V Si una persona compra un televisor y paga 1 666 soles (incluido el IGV). ¿Cuánto es el valor en soles del impuesto general a las ventas de este televisor?



• Abajo se muestra el recibo de luz eléctrica del Sr. Aurelio Chávez, correspondiente al mes de Julio del 2007.

Como algunos valores de dicho recibo se han borrado, él recurre a ustedes para que determinen estos valores:

a) ¿Cuál fue el consumo, en kWh, del Sr. Chávez considerado en el presente recibo?

b) ¿Cuál fue el I.G.V. en soles que pagó el Sr. Chávez en el recibo?

• Se muestra el recibo de luz eléctrica del Sr. Aurelio Chávez, correspondiente al mes de

Agosto del 2007. Análogamente al caso anterior, algunos valores de dicho recibo se han

borrado y él recurre a ustedes para que determinen estos valores. Algunos datos pueden

obtenerlos del recibo anterior (el redondeo de los valores se hará hasta los céntimos).

1. ¿Cuál fue el consumo en kWh considerado en el presente recibo?

2. ¿Cuál fue el cargo por energía en el presente recibo?

3. ¿Cuál fue el I.G.V. en soles que se pago en este recibo?

4. ¿Cuánto tendrá que pagar en total, el Sr. Chávez por su recibo del mes de Agosto de 2007.

USUARIO: CHÁVEZ SALAS, AURELIO CALLE LOS INCAS N° 135, INTERIOR B. URB. BOLOGNESI.

DETALLE DEL CONSUMO

Lectura actual (08/07/2007) 134 096 kWh

Lectura anterior (08/06/2007) 132 578 kWh

Consumo en kWh ………… kWh

Precio en soles por kWh 0,3203 (Cargo por energía en soles por kWh)

Recuerda: Luz que apagas, luz que no pagas

DETALLE DE IMPORTES POR CONSUMO

Cargo por energía : S/. 486,22

I.G.V. : S/. ……….

TOTAL JULIO 2007: S/. 578,60

FECHA DE VENCIMIENTO: 15/07/2007

RECIBO DE LUZ

USUARIO: CHÁVEZ SALAS, AURELIO CALLE LOS INCAS N° 135, INTERIOR B. URB. BOLOGNESI.

DETALLE DEL CONSUMO

Lectura actual (08/08/2007) 135 044 kWh

Lectura anterior (08/07/2007) .……… kWh

Consumo en kWh ………… kWh

Precio en soles por kWh 0,3203 (cargo por energía en soles por kWh)

Recuerda: Luz que apagas, luz que no pagas

DETALLE DE IMPORTES POR CONSUMO

Cargo por energía : S/. ……….

I.G.V. : S/. ……….

TOTAL AGOSTO 2007: S/. ….

FECHA DE VENCIMIENTO: 15/08/2007

RECIBO DE LUZ



1. MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES En nuestra vida cotidiana se presentan situaciones, como:

Ejemplo 1. Para hacer un postre de limón, Ana dispone de una tabla en la que se indican las cantidades necesarias de leche condensada y de limón. Tenemos dos magnitudes: el número de tarros de leche y el número de limones. En la tabla siguiente se muestran algunas cantidades:

Nº de limones 3 6 9 12 15 Tarros de leche 1 2 3 4 5

Se observa que: a) El cociente o razón entre el número de limones y el número de tarros de leche es siempre 3:

3 6 9 12 153

1 2 3 4 5= = = = = =

Nº de limones = Nº de tarros de leche multiplicado por 3.

Nº de tarros de leche = Nº de limones dividido por 3. b) También se observa que al duplicar, triplicar, etc., el número de limones, se duplica, triplica, etc.,

respectivamente, el número de tarros de leche. En consecuencia, el número de limones esta en función al número de tarros de leche.

Lo cual indica, si aumenta el número de tarros de leche, aumenta el número de limones, es decir, son magnitudes directamente proporcionales.

Ejemplo 2.

En una revista de transito aparece la tabla que se muestra: la velocidad de un automóvil y el número de metros necesarios para detenerse:

Velocidad 60 80 100 120 Metros 18 32 50 72

Al aumentar la velocidad, también aumenta la longitud necesaria para pararse. Sin embargo, estas magnitudes no son proporcionales, ya que, por ejemplo:

80 100

32 50≠

Se dice que dos magnitudes son directamente proporcionales (DP) cuando al aumentar o disminuir los valores de una de ellas, Los valores correspondientes de la otra también aumenta o disminuyen en la misma proporción. En general las magnitudes A y B DP.

Magnitudes DP Valores correspondientes

A a1 a2 a3 ….. an

B b1 b2 b3 …… bn



A y B son magnitudes directamente proporcionales si: 31 2

1 2 3

... n

n

aa a ak

b b b b= = = = = ( k constante)

Esta constante se llama razón o constante de proporcionalidad.

Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando las fracciones determinadas por las cantidades correspondientes son iguales.

1. MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES

Ejemplo1.

En la tabla se muestran las velocidades y tiempos empleados por los distintos trenes que hacen un trayecto de 900 km. ¿Cuánto tiempo emplearía un tren que circula a 300 Km/h?

Velocidad 50 100 150 200 225 … 300 Tiempo 18 9 6 4,5 4 …

Se observa que:

a) 50 × 18 = 100 × 9 = 150 × 6 =… = 900, es decir, el producto de la velocidad por el tiempo es constante.

Por tanto, para el tren que circula a 300 Km/h, el tiempo empleado será de 900

300 = 3 horas.

b) También se observa que al duplicar, triplicar, etc., la velocidad, se reduce a la mitad, a la tercera

parte, etc. respectivamente, el tiempo empleado en recorrer el trayecto.

Por cumplir estas dos condiciones equivalentes se dice que, las magnitudes velocidad y tiempo son magnitudes inversamente proporcionales, es decir:

Se dice que dos magnitudes son inversamente proporcionales (IP) cuando al aumentar o disminuir los valores de una de ellas, Los valores correspondientes de la otra magnitud disminuyen o aumentan en la misma proporción.

En general las magnitudes A y B I P.

Magnitudes IP Valores correspondientes

A a1 a2 a3 ….. an

B b1 b2 b3 …… bn

× = × = × = = × =1 1 2 2 3 3 ....n n

a b a b a b a b k ( k constante)

Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando los productos determinados por las cantidades correspondientes son iguales.

Se dice que dos magnitudes son inversamente proporcionales (IP) cuando al aumentar o disminuir los valores de una de ellas, Los valores correspondientes de la otra magnitud disminuyen o aumentan en la misma proporción.



Ejercicios

1. En un puesto de un mercado se vende bolsas de 4 Kg. de naranjas a S/ 6 y en otra, de 6 Kg. S/ 9. ¿Es el costo de las naranjas proporcional a los kilos?

2. Sabiendo que la razón de proporcionalidad es 2, halle los valores desconocidos de la tabla.

8 b c 14 a 12 100 d

3. Observa la siguiente tabla. Comprueba que ambas magnitudes son directamente proporcionales y calcule x e y.

4. Se tienen dos triángulos de lados: 2 cm., 5 cm., 9 cm. y 4 cm., 10 cm., 18 cm. ¿Son proporcionales dichos lados? ¿Son proporcionales los perímetros?

5. Completa la siguiente tabla de proporcionalidad que relaciona los intereses cobrados por un banco y el capital prestado, en miles de soles.

3. REGLA DE TRES

Para trabajar con regla de tres se aplican magnitudes DP e IP y se clasifican en:

• Regla de tres simple. Trabaja con dos magnitudes, estas pueden ser DP o IP

• Regla de tres compuesta. Trabaja con más de dos magnitudes

3.1. Regla de tres simple

i) Regla de tres simple directa

A DP B ¤A

kB

=

= ⇒ = ×1 2 21

1 1

; a a a

x bb x a

ii) Regla se tres simple Inversa

C IP D ¤C D k× =

⋅ = ⋅

⇒ = ⋅

1 1 2

11

2

xc d c

cx d

c

Magnitud M 4 6 7 9 y Magnitud N 12 18 21 x 30

Capital 100 800 200 Interés 10 500

Magnitudes Valores

correspondientes

A a1 a2

B b1 x

Magnitudes Valores

correspondientes

C c1 c2

D d1 x



En conclusión. (Método práctico) para aplicar la regla de tres simple intervienen tres cantidades

conocidas o datos del problema y una desconocida o incógnita que pueden ser directa o inversa. El

método práctico es:

× =→ ⇔

→ × =

:

:

b cDirecta x

a b a

c x a bInversa x

c

EJERCICIOS

1. Si 3 camisetas de deporte cuestan 75 soles, ¿cuánto costarán 7 camisetas?

a) 178 b) 176 c) 175 d) 180 e) 185 2. De cada tonelada de trigo se obtienen 800 Kg. de harina. ¿Cuántos Kg. de trigo necesitamos para

obtener 13 toneladas de harina? a) 17Tn y250 kg. b) 16Tn y250 kg. c) 15Tn y250 kg. d)17Tny260kg. e) 17Tn y270kg.

3. Una bomba de agua tarda 40 minutos en sacar los 2 000 litros de agua que contiene un depósito.

¿Cuánto tiempo tardará en extraer los 40 m3 de agua que contiene una piscina? Exprese el resultado en horas y minutos.

a) 13 h. 33 min. b) 15 h. 33 min c) 15 h. 35 min d) 16 h. 35 min. e) 10 h. 33 min

4. Por empapelar una habitación, cuya superficie de las paredes es de 45 m2, cobran 72 soles. ¿Cuánto

cobrarán por empapelar el salón, si la superficie de las paredes es de 95 m2? a) 158 b) 156 c) 150 d) 160 e) 152

5. Con el agua de un depósito se llenan 60 bidones de 5 litros cada uno. ¿Cuántas botellas de 0.75

litros se llenarían con el agua de ese depósito?

a) 380 b) 385 c) 425 d) 400 e) 350

6. Una cuadrilla de 20 obreros hace un trabajo en 30 días. ¿De cuántos obreros se compondrá la cuadrilla que haga el mismo trabajo en 24 días?

a) 18 b) 16 c) 25 d) 24 e) 15

7. Una nave espacial almacena alimentos para 8 astronautas y para 15 días. Si en la nave viajan 6

astronautas, ¿para cuántos días tienen alimentos?

a) 20 b) 19 c) 15 d) 14 e) 16



3.2. Regla de tres compuesta.

Se caracteriza porque participan más de dos magnitudes. La metodología para resolver problemas de este tipo es: “Se toman como referencia una de las magnitudes, ésta se compara con cada una de las demás y se identifica si son DP o IP ”

En la resolución de problemas sobre regla de tres compuesta se sugiere los siguientes pasos:

a) Se ordenan las magnitudes y los datos y se averigua el tipo de proporcionalidad que hay entre cada magnitud con la magnitud que lleva la incógnita (magnitud problema).

b) Se resuelve el problema utilizando el siguiente procedimiento: la razón entre dos cantidades de la magnitud problema es igual al producto de las razones de las correspondientes cantidades de las otras magnitudes si éstas son directamente proporcionales o de sus inversas si son inversamente proporcionales a la magnitud problema.

Ejemplo 1.

La piscina de adultos de un multideportivo tiene una capacidad de 168m3 y 6 grifos, que abiertos simultáneamente, la llenan en 12 horas. La piscina infantil tiene una capacidad de 28 m3 y 2 únicos grifos.

¿Cuánto tiempo tardarán éstos en llenarla abiertos simultáneamente? Solución. Las magnitudes que intervienen en este problema son: tiempo de llenado (magnitud problema), capacidad de las piscinas y número de grifos. El tipo de proporcionalidad que existe entre la magnitud problema y las otras es:

• El tiempo de llenado es directamente proporcional a la capacidad. • El tiempo de llenado es inversamente proporcional al número de grifos.

[ ] [ ]

3

3

168 12 6 grifos

28 2 grifos

m horas

D I

m x horas

←→ ←→

←→ ←→

Dependiendo del tipo de proporcionalidad, se tiene: 12 168

28x= inversa

6

2

Luego:

12 168 6 12 168 2 12 336 12.168. 6 horas

2 28 6 168 336inversa x

x x x x

= ⇔ = ⇔ = ⇔ = =

Método práctico.

La regla de tres se caracteriza porque participan tres o más magnitudes, la metodología

para resolver el problema es: “se toma como referencia una de las magnitudes; ésta se

compara con cada una de las demás magnitudes e identificando si son DP o IP”



1. El método practico es llamado la ley de los signos; se colocan valores correspondientes a la misma magnitud uno debajo del otro.

2. Se comparan cada par de magnitudes proporcionales con el par que contiene a la

incógnita, para saber si son DP o IP con la incógnita.

i) Si son DP:

ii) Si son IP:

iii) El valor numérico que es de la misma especie que la incógnita llevará el signo

(+)

3. El valor de la incógnita esta dado por la fracción donde el numerador es el producto de todas las cantidades afectadas con el signo (+) y el denominador es el producto de todas las cantidades afectadas con el signo (−).

Ejemplo 2.

20 obreros construyen 3 zanjas de 18 m. de largo cada uno, empleando 27 días en esa labor. Determinar el tiempo que demorarán 15 obreros para construir 4 zanjas en igualdad de condiciones, pero de 36 m. de largo.

Solución.

( + ) (−) (−) ( +)

20 Obreros 3 zanjas 18 m largo 27 días

15 obreros 4 zanjas 36 m largo x días

(−) (+) (+)

DP

DP IP

20 4 36 27

9615 3 18

x× × ×

= =× ×

EJERCICIOS

1. Un peregrino del Camino de Chapi, caminando 10 horas diarias durante 24 días, recorre 720 km. ¿Cuántos días necesitará para recorrer 432 Km., caminando 8 horas diarias? a) 50 b) 30 c) 35 d) 20 e) 18

2. Para construir 4 casas iguales en 30 días hacen falta 60 albañiles. ¿Cuántos

albañiles se necesitarán para construir 6 casas en 90 días?

a) 150 b) 130 c) 160 d) 140 e) 120

Arriba –

Abajo +

Arriba +

Abajo −



3. Diez excavadoras hacen un túnel de 4 m de ancho por 3.5 m de alto en 7 días. ¿Cuántas excavadoras serán necesarias para hacer un túnel de 6 m de ancho por 5 m de alto en 5 días?

a) 30 b) 40 c) 50 d) 20 e) 45

4. Porcentajes

Se denomina tanto por ciento al número de partes considerado de 100 partes iguales, en la figura se

muestra geométricamente el porcentaje.

i) Se ha dividido la unidad en 100 partes

ii) Se ha tomado 40 partes de 100 que representan al 40% por

tanto se usa la fracción 4040%

100=

• 1 partes es 1% y 11%

100=

• 2 partes es 2% y 22%

100=

• 25 partes es 2525%

100=

Ejemplos.

1. El 20% de 80 es: 2 08 0 1 6

1 0 0× =

2. El 18% de 150 es: 1 81 5 0 2 7

1 0 0× =

3. El 124 % de 200 es: 1 2 42 0 0 2 4 8

1 0 0× =

Ejercicios Resueltos

1. La relación de aciertos en un partido de baloncesto de máxima rivalidad es:

- Real Madrid: 20 encestes de 25 lanzamientos.

- F. C. Barcelona: 15 encestes de 20 lanzamientos. ¿Cuál de los dos equipos tiene mayor efectividad?

Solución.

Efectividad del Real Madrid: 20

.100 80%25

=

Efectividad del F. C. Barcelona: 15

.100 75%20

=

Por lo tanto, el equipo del Real Madrid tiene una mayor efectividad.



2. La mayoría de los productos que se venden, además del precio de fábrica hay que añadir un 19 % por el impuesto general a las ventas (IGV). Un cliente compra un auto cuyo precio de fábrica es S/. 7500. ¿Cuánto pagará de impuestos? ¿Qué precio final tendrá el auto?

Solución.

- IGV = 19% = 0,19 - Impuesto sobre el valor añadido, IGV: 7500 × 0,19 = 1425 dólares - El costo total es, por tanto, 7500 + 1425 = 8925 dólares.

3. Para una biblioteca se compró una enciclopedia por S/ 225 cuando su precio de venta era de S/ 250. ¿Qué descuento se aplicó en el precio?

Solución. Este problema se puede resolver de dos formas: Primera forma: Importe de la rebaja: 250 − 225 = 25 soles

Descuento = Rebaja 25

0.10%Precio de venta 250

= =

Segunda forma:

Precio pagado 225 90.90 90%

precio de venta 250 10= = = =

Se pagó el 90 % del precio de venta, luego el descuento fue del 100% − 90% = 10 %

4. Elena pagó por una bicicleta 180 soles incluido el importe del IGV, un 19 % sobre el precio de la bicicleta. ¿Cuál es el precio de fábrica de la bicicleta?

Solución. Por cada sol se pagan 1,19 soles; por tanto, Precio IGV incluido = 1.19 × Precio de fábrica

Por tanto, Precio de fábrica = Precio IGV incluido

1,19⇒ Precio de fábrica =

180

1.19= 151.260

nuevos soles

5. Descuento y aumento sucesivo.

Descuento sucesivo. Este tipo de descuento se presenta cuando a una cantidad se le

aplica más de un descuento.

−

− − − = −

1 21

(100 )(100 )....(100 )100 %

100n

n

a a aDU

DU = Descuento único

ai = descuento sucesivo " i = 1,2, ..n

n = número total de descuentos

En particular. Si se tiene dos descuentos sucesivos de a% y b% entonces el DU es:



= + − ( ) %

100

abDU a b

Aumento sucesivo. Se presenta cuando a una cantidad se le aplica más de un

aumento.

−

+ + + = −

1 21

(100 )(100 )...(100 )100 %

100n

n

a a aAU

En particular. Si se tiene dos aumentos sucesivos de a% y b% entonces el AU es:

= + + ( ) %

100

abAU a b

Ejercicios Resueltos

1. ¿A qué descuento único equivalen dos descuentos sucesivos de 30% y 40%?

Solución.

100

a.bDescuento único = a + b %

−

Luego en el problema

( )30 4030 40 70 12 58

100Descuento único = % % %

× + − = − =

2. ¿A que aumento único equivale dos aumentos sucesivos del 10% y 30%?

Solución.

100

a.bAumento único= a b %

+ +

Luego en el problema:

( )10 3010 30 40 3 43

100Aumento único= % % %

× + + = + =

EJERCICIOS

1. Responde a las siguientes preguntas. a) De los 960 alumnos matriculados en un centro, aprobaron el curso 750. ¿Cuál

es el porcentaje de aprobados? b) El 30 % de una cantidad es S/. 15. Averigua la cantidad total. c) Si me diesen un 20 % de comisión por las ventas que realizo, ¿cuánto tendría

que vender para obtener 500 dólares de comisión? d) El 80 % de una población tiene más de 16 años. Sabiendo que el resto lo

componen 12.000 personas, ¿cuál es el censo total?

2. Un ordenador que costaba el año pasado $/. 750 cuesta este año $ 650 dólares. ¿Qué tanto por ciento supone la disminución en el precio?

3. Al comprar un determinado artículo que vale $ 13.75 nos descuentan $ 0.55.

Halle el porcentaje de descuento.

4. Para el laboratorio del colegio se compra un microscopio por $ 436.26 y una refrigeradora por $ 307.02. Cuál era el precio de cada uno, si en el microscopio se hizo un descuento del 12 % y en la refrigeradora del 14 %?

5. El alquiler de una oficina de 850 soles mensuales sin IGV sufre una subida del 3.5%. ¿Cuál es el nuevo importe del alquiler? ¿Cuál es el importe total a pagar si a este alquiler se le aplica un IGV del 19 %? ¿Sabrías contestar a esta última pregunta sin necesidad de conocer la primera?



6. Una agencia inmobiliaria cobra, sobre el precio del piso, un 2 % al comprador y un

3,5 % al vendedor. En un piso de 105.180 soles, ¿cuánto recibe la agencia?

7. Una lavadora se factura con un IGV del 19 % en 493 dólares ¿Cuál es el precio de la misma sin IGV?

2. Aplicaciones comerciales.

Pv = Pc + G

Pv. Precio de venta

Pc. Precio de costo

G. Ganancia

Ejemplo.

Se vendió un objeto ganando el 12% sobre el precio de venta. ¿Qué porcentaje se

gana sobre el precio de compra?

Solución

Ganancia: G = 12% Pv

Pv = Pc + G

Reemplazando el Pv, en “G”.

G = 12%(Pc + G)

G =12%Pc + 12%G

88%G = 12% Pc

G = 12%88%

P c

G = 3 100 13, 6%22

PcG Pc× → =


4. Para preparar un dulce de ciruelas para 5 personas se necesita 40 ciruelas y 800 gramos de azúcar ¿Cuántas ciruelas y cuántos gramos de azúcar se necesitaran para 4 personas?

a) 32 y 640 b) 32 y 480 c) 24 y 640 d) 40 y 640 e) 25 y 432

5. A una fiesta acudieron 518 personas, se sabe que por cada 6 hombres hay 8 mujeres. ¿Cuántas mujeres habían en total en dicha fiesta?

a) 320 b) 252 c) 296 d) 410 e) 224

6. Para pintar un cubo de 10 cm. de lado se gasta S/. 240 ¿Cuánto se gastara para pintar un cubo de 15 cm. de lado?

a) S/. 340 b) S/. 420 c) S/. 440 d) S/. 540 e) S/. 500

7. Seis prisioneros tienen ración para 15 días. Si se aumentan tres prisioneros más ¿Para cuántos días alcanzará la ración?

a) 10 b) 9 c) 8 d) 7 e) 11

8. Veinte obreros pintan un edificio en 14 días, se quiere pintar el edificio en 8 días ¿Cuántos obreros se necesitan?

a) 32 b) 40 c) 34 d) 20 e) 35



9. Para pintar una pared de 240 m. de largo se necesita “n” obreros. Pero si la pared fuese 60 m. más larga haría falta 5 obreros ¿Cuántos obreros se emplearon al inicio?

a) 30 b) 20 c) 18 d) 22 e) 30

10. Por 8 días de trabajo, 12 obreros han cobrado 640 soles ¿Cuánto ganarían por 16 días, 15 obreros?

a) S/. 1600 b) S/. 1700 c) S/. 1400 d) S/. 1460 e) S/. 1500

11. Adolfo y Benito recorren cierta distancia y los tiempos que se emplean son 15 y 21 minutos respectivamente. La velocidad de Adolfo es 56 m/min. ¿Cuál será la velocidad de Benito?

a) 40 m/min. b) 50 m/min. c) 60 m/min. d) 30 m/min. e)25 m/min.

12. Un automóvil tarda 8 horas en recorrer una distancia a una velocidad de 90 km/h. ¿Cuánto tardará en recorrer el mismo trayecto viajando a 60 km/h?

a) 11 horas b) 13 horas c) 12 horas d) 15 horas e) 14 horas

13. Un ganadero tiene 640 caballos que puede alimentar durante 65 días. Si vende 120 caballos ¿durante cuántos días podrá alimentar al resto dando la misma ración?


14. 40 carpinteros fabrican 16 escritorios en 9 días ¿Cuántos días tomarán 45 carpinteros para hacer 12 escritorios?

a) 6 días b) 8 días c) 7 días d) 5 días e) 4 días 15. Juan es el doble de rápido que Pedro y este es el triple de rápido que Luís. Si entre los 3 pueden terminar

una obra en 12 días. ¿En cuantos días Pedro con Luís harán la misma obra?


16. Un automóvil aumenta su velocidad en 1/3. ¿Cuántas horas diarias debe estar en movimiento para recorrer en 4 días, la distancia cubierta en 6 días a razón de 8 horas diarias?

a) 6 hr/diarias b) 8 hr/diarias c) 9 hr/diarias d) 12 hr/diarias e)11hr/diarias

17. Una excursionista recorre en 7 días, 140 Km., andando 7 horas diarias. ¿Qué distancia recorrerá en 21 días, a 3 horas diarias?

a) 180 km. b) 160 Km. c) 150 Km. d) 170 Km. e) 190 Km.

18. Un barco tiene víveres para 72 tripulantes durante 22 días, pero sólo viajan 66 personas. ¿Qué tiempo durarán los víveres?


19. Una obra pueden terminarla 63 obreros en 18 días, pero deseando terminarla 5 días antes, a los 4 días de

trabajo se les une cierto número de obreros de otro grupo. ¿Cuántos obreros se les unió? a) 35 b) 98 c) 28 d) 49 e) 18

20. De que número es 46 el 23% .

a) 400 b) 200 c) 320 d) 310 e) 380



21. ¿Qué % de 8 400 es 2 940?

a) 25% b) 35% c) 45% d) 20% e) 30% 22. Al vender un terreno en $ 4 600 se pierde el 8% del precio de compra. Hallar el costo del terreno. a) $. 4000 b) $. 3000 c) $. 3200 d) $.4 000 e)$. 5 000 23. Si el lado de un cuadrado aumenta en 30%, ¿En qué porcentaje aumenta su área?

a) 72% b) 64% c) 69% d) 52% e) 48%

24. En una fiesta se encuentran 20 hombres, 30 mujeres y 75 niños, ¿Qué porcentaje de los reunidos no son niños? a) 30% b) 70% c) 60% d) 40% e) 48%

25. Dos aumentos sucesivos del 10% y 20%, ¿A qué aumento único equivale?

a) 31% b) 24% c) 32% d) 26% e) 28%

26. Después de realizar dos descuentos sucesivos del 25% y 20%, se vende un articulo en S/ 540. ¿A cuánto equivale el descuento?

a) S/. 360 b) S/. 280 c) S/. 420 d) S/. 310 e) S/. 260

27. Mariana compra un abrigo y le hacen dos descuentos sucesivos de 40% y del 30% del precio de venta ahorrando así S/. 1 160 ¿Cuál es el precio de venta inicial?

a) S/. 2 000 b) S/. 3 200 c) S/. 2 200 d) S/. 1 800 e) S/. 2 500

28. En una reunión hay 8 hombres y 12 mujeres. ¿Cuántas mujeres se deben ir para que el porcentaje de hombres presentes aumente en un 40%?

a) 4 b) 6 c) 8 d) 10 e) 7

29. Dos bicicletas fueron vendidas en S/. 600 cada una. Si en la primera se ganó el 25% y en la segunda se perdió el 25%. Determinar si hubo ganancia o pérdida y cuánto.

a) Se ganó S/. 80 b) Se perdió S/ 80 c) Se ganó S/. 10 d) Se perdió S/ 10 e) No hubo ganancia ni pérdida.

30. 15 obreros con 80% de rendimiento trabajando 15 días, 8 horas diarias hicieron una zanja de 40 m de largo, 3 m de ancho y 1 m de profundidad en un terreno cuya resistencia a la cava es como a 5. ¿Cómo cuánto será la resistencia a la cava de otro terreno donde, 18 obreros de 60% de rendimiento trabajando 18 días, 10 horas diarias, hicieron una zanja de 30 m. de largo, 2 m. de ancho y 1,5 m. de profundidad?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 9 e) 2,5

31. Oscar es 25% más eficiente que Raúl. Si Raúl puede hacer una obra en 18 días, ¿En cuántos días podrán hacer juntos la obra?


32. Una persona gasta el 20% de lo que tiene, luego el 30% de lo que le queda y por último gasta el 40% del nuevo resto, quedándose con tan sólo S/. 33 600. ¿Cuánto tenía al principio?

a) S/. 85 000 b) S/. 87 000 c) S/. 89 500 d) S/. 96 000 e) S/. 100 000



33. Un trabajador observa que su salario ha sido descontado en un 20%. ¿Cuál debe ser el porcentaje de aumento para que reciba su salario original?

a) 20% b) 25% c) 30% d) 22% e) 27,5%

34. Se vende un televisor por S/. 744 ganando el 24%. Halle el precio de compra del televisor.

a) S/. 600 b) S/. 660 c) S/. 500 d) S/. 700 e) S/. 540

35. La gratificación para los empleados es proporcional al cuadrado de sus edades. Si actualmente tiene 18 años. ¿Cuántos años más deberá tener que pasar para que la gratificación que recibe sea el cuádruplo de lo que recibió?

a) 18 años b) 16 años c) 15 años d) 36 años e) 54 años

36. Un comerciante, que pretende atraer clientes, utiliza la siguiente estrategia: primero aumenta sus artículos un 20% de su precio y después en la tienda anuncia una rebaja de un 20%. Entonces el comerciante:

a) No gana ni pierde b) Gana 4 % c) Pierde 4 % d) No se puede determinar

37. Una tela al lavarse se encoge 10% en el ancho y 20% en el largo. Si se sabe que la tela tiene 2m de

ancho. ¿Qué longitud debe comprarse si se necesitan 36 m2 de tela después de lavada?

a) 22m b) 25m c) 32m d) 18m e) 20m 38. Dos artículos se vendieron a S/. 84 cada uno. En uno se ganó el 40%, en el otro se perdió 40%. ¿Cuál

fue el resultado final de esta transacción comercial?

a) Se ganó 16 nuevos soles b) Se ganó 42 nuevos soles c) Se perdió 32 nuevos soles d) No se ganó ni se perdió

39. Una vaca sujeto a un árbol por medio de una cuerda de 3m. de longitud, se demora 2 días en

comer la hierba que está a su alcance. ¿Cuánto tiempo demoraría si al cuerda tuviera 9m.?

a) 15 días b) 16 días c) 36 días d) 18 días e) 54 días 40. En un circo existen 24 leones para los cuales se tiene ración para 21 días. ¿Cuántos leones tendrá que

vender el circo si quiere que la ración dure 28 días?

a) 6 leones b) 18 leones c) 17 leones d) 16 leones e) 15 leones

41. Un albañil pensó hacer un muro en 15 días pero tardó 6 días más por trabajar 2 horas menos cada día ¿Cuántas horas trabajo diariamente?

a) 5 hr/d b) 7 hr/d c) 6 hr/d d) 10 hr/d e) 8 hr/d

42. En un pedido de S/. 10 000 un comerciante puede escoger entre 3 descuentos sucesivos de 20%, 20% y 10% y tres descuentos sucesivos del 40%, 5% y 5%. Escogiendo el mejor negocio ahorra:

a) S/. 0 b) S/. 400 c) S/.345 d) S/.360 e) S/.330

43. Al vender un libro, gané el 14% de lo que me costó más el 40% del precio de venta. ¿Qué porcentaje del

costo estoy ganando?

a) 64% b) 56% c) 70% d) 80% e) 90%



BIBLIOGRAFÍA.

BREVER, J. (1964) Iniciación a la teoría de conjuntos, Editorial paraninfo Carranza, Cesar. (1990). Algebra. Editorial Studium. Lima Cuzcano Ignacio. (1986) Matemática, Editorial Vives España Farfán, Oscar. (2002) Aritmética, Editorial San Marcos Hernández, Hernán. (2003) Proyecto ingenio. Lima

COMPONENTE LÓGICO MATEMÁTICA Ecuaciones Lineales y Cuadráticas


Módulo 8: Ecuaciones Lineales y Cuadráticas

LOGROS DE APRENDIZAJE • Plantear estrategias de solución y resolver problemas referidos a ecuaciones lineales. • Plantear estrategias de solución y resolver problemas referidos a ecuaciones cuadráticas CONTENIDOS • Ecuación algebraica • Ecuaciones lineales • Ecuaciones cuadráticas • Solución de una ecuación • Solución de una ecuación lineal • Solución de una ecuación cuadrática • Planteamiento y resolución de problemas RESUMEN TEORICO 1. Ecuación algebraica

Una ecuación algebraica es una expresión matemática en la que se tiene la igualdad de dos expresiones algebraicas. Ejemplo. i) 1512=+x ii) 532 =−x

iii) 28

785

7

53

4

76 +=

−+

− xxx iv) 012 2 =−− xx

Son ecuaciones algebraicas; las tres primeras, y son ecuaciones de primer grado, mientras que la cuarta ecuación, es una ecuación cuadrática o ecuación de segundo grado. La letra “ x ” que aparece en estas ecuaciones, se llama incógnita y el mayor exponente de la incógnita determina el grado de la ecuación.

2. Ecuaciones Lineales

Una ecuación lineal llamada también ecuación de primer grado, es aquella que puede ser representada en la forma.

0=+ bax

Donde: 0≠a es el coeficiente y b es el término independiente. 3. Ecuaciones cuadráticas

Una ecuación cuadrática, llamada también ecuación de segundo grado, es aquella que se puede representar de la siguiente forma:

02 =++ cbxax

Donde: 2ax se llama el término cuadrático, bx se llama el término lineal y c se denomina el término independiente.

4. Solución de una ecuación

La solución de una ecuación algebraica, es el valor o valores que puede tomar la incógnita de forma tal que se cumpla la igualdad.



Ejemplos. 1. 1512 =+x Se puede observar que, esta ecuación tiene por solución 3=x y que al sustituir la

incógnita “ x ” por su valor 3, se cumple la igualdad 15123 =+ .

2. 6 7 3 5 5 78

4 7 28

x x x− − ++ = la solución es también 3=x , aunque la verificación como se puede

ver, ya no es tan simple.

4. 532 =−x , la solución está dado por: 2

53 +=x

5. 012 2 =−− xx ; la ecuación tiene dos soluciones diferentes: 2

1−=x y 1=x . Fácilmente

se puede comprobar, que estos dos números satisfacen la igualdad. 5. Solución de una ecuación lineal

La expresión más simple de una ecuación lineal es: 0=+ bax y la solución (el valor de la

incógnita) está expresada por: a

bx

−=

Sin embargo, con frecuencia cuando se plantean ecuaciones lineales, se deben efectuar algunas operaciones y transposiciones para llegar a obtener la forma más simple: - Se efectúan las operaciones indicadas, si las hay. - Se hace una transposición de términos, reuniendo en un miembro todos los términos que - contengan las incógnitas y en el otro miembro todas las cantidades conocidas. - Se reducen términos semejantes en cada miembro. - Se despeja la incógnita dividiendo ambos miembros de la ecuación por el coeficiente de la incógnita.

Ejemplo Para resolver la ecuación

28

785

7

53

4

76 +=

−+

− xxx

Se efectúa la operación de suma de fracciones algebraicas que aparece en el primer miembro de la ecuación.

28

785

28

6954 +=

− xx

Simplificando los denominadores que aparecen en cada miembro, se tiene:

7856954 +=− xx Por transposición de términos.

6978554 +=− xx Finalmente, realizar las operaciones en cada miembro, y se despeja la incógnita x para hallar su valor.

349

147

14749

=

=

=

x

x

x



6. Solución de una ecuación cuadrática Para hallar la solución (conjunto solución) de una ecuación cuadrática

02 =++ cbxax Se utiliza la fórmula

a

acbbx

2

42 −±−=

La misma que se puede obtener “completando cuadrados”, de la siguiente manera:

a

acbbx

a

acb

a

bx

a

acb

a

bx

a

c

a

b

a

bx

a

b

a

c

a

bx

a

bx

a

cx

a

bx

cbxax

2

4

4

4

2

4

4

2

42

044

0

0

2

2

2

2

22

2

22

2

2

2

22

2

2

−±−=

−±=+

−=

+

−=

+

=−+++

=++

=++

La expresión que aparece dentro del radical acb 42 − , se llama discriminante de la fórmula.

Se puede notar que si en una ecuación cuadrática 02 =++ cbxax , el término cuadrático es cero (no aparece), la ecuación se reduce a una ecuación lineal, cuya solución se puede hallar en forma más sencilla como ya se vio anteriormente.

Ejemplo Para encontrar el conjunto solución de la ecuación cuadrática

012 2 =−− xx Aplicando la fórmula

( ) ( ) ( )( )( ) 4

31

4

811

22

12411 2±

=+±

=−−−±−−

=x

De donde, se obtienen los dos valores para la incógnita “ x ”.

2

1

4

2

4

31

14

4

4

31

2

1

−=−

=−

=

==+

=

x

x

Esta ecuación cuadrática, también se puede resolver mediante la factorización de su primer miembro.

11

12

012 2

−

=−− xx

Entonces: ( )( ) 0112 =−+ xx

De esta última igualdad, se obtienen las dos soluciones:2

11 −=x y 12 =x .

Sin embargo, no todas las ecuaciones cuadráticas se pueden resolver mediante la factorización de su primer miembro, así como también no todas las ecuaciones cuadráticas tienen soluciones reales (números reales) y



para que una ecuación cuadrática tenga soluciones reales, el discriminante de la formula debe ser mayor o igual a cero. Así se tiene:

Si 042 =− acb , entonces la ecuación cuadrática tiene las dos soluciones iguales.

Si 042 >− acb , entonces la ecuación cuadrática tiene las dos soluciones diferentes.

Si 042 <− acb , entonces la ecuación cuadrática no tiene soluciones reales. Antes de pasar a resolver problemas de aplicación, se debe indicar lo siguiente: _ Si a los dos miembros de una ecuación se suma una misma cantidad, positiva o negativa, la igualdad se

mantiene. _ Si a los dos miembros de una ecuación se resta una misma cantidad, positiva o negativa, la igualdad se

mantiene. _ Si a los dos miembros de una ecuación se multiplica una misma cantidad, positiva o negativa, la igualdad se

mantiene. _ Si a los dos miembros de una ecuación se divide una misma cantidad, positiva o negativa, la igualdad se

mantiene. _ Si a los dos miembros de una ecuación se elevan a una misma potencia, o si a los dos miembros se extrae

una misma raíz, la igualdad se mantiene. 7. Planteamiento y resolución de problemas

Para plantear un problema es importante tener en cuenta lo siguiente: • Leer cuidadosamente el problema hasta comprender de que trata. • Ubicar los datos y la pregunta. • Elegir la incógnita (incógnitas) con las cuales se va a trabajar • Relacionar los datos con la incógnita (incógnitas) para plantear una o mas ecuaciones • Resolver la ecuación y dar una respuesta.

Ejemplos de problemas de aplicación de ecuaciones lineales 1. 16 es sustraído de cuatro veces un número y el resultado es 48 ¿Cuál es el número?

Solución.

El número es la incógnita y lo denotamos por “ x ”, cuatro veces el número menos 16, se expresa de la siguiente manera.

164 −x Esta diferencia debe ser 48. Así obtenemos la ecuación lineal

48164 =−x Cuya solución es 16=x .

2. La edad de Mario es el doble que la edad de Sonia si ambas edades suman 69. Hallar ambas edades.

Solución.

Asumimos que la edad de Sonia es “ x ”, entonces la edad de Mario es el doble, esto significa “ x2 ”. La suma de ambas edades es 69. La ecuación lineal que se debe resolver es 692 =+ xx . Cuya solución es 23=x . Por lo tanto la edad de Mario es 46 años y la de Sonia es 23 años.

Ejemplos de problemas de aplicación de ecuaciones cuadráticas

1. Determine el carácter de las soluciones de las siguientes ecuaciones:

0623 2 =−− xx

09124 2 =+− xx

0762 2 =++ xx



Solución.

Los discriminantes de cada una de estas ecuaciones cuadráticas nos indicarán la naturaleza de las soluciones. Así:

Para la ecuación 0623 2 =−− xx , el discriminante es ( ) ( )( )6342 2 −−− , este número es igual

a 76. Por lo tanto esta ecuación tiene dos soluciones diferentes.

De forma similar para la ecuación 09124 2 =+− xx , el discriminante es ( ) ( )( ) 094412 2 =−− . Luego para esta ecuación cuadrática se tienen dos soluciones iguales.

Y en el tercer caso 0762 2 =++ xx , el discriminante es el número negativo -20 y por consiguiente, esta ecuación tiene soluciones no reales.

2. La suma de dos números es 34 y la suma de sus cuadrados es 610. Halle ambos números.

Solución.

Si x es uno de tales números, 34 – x será el otro. Si la suma de sus cuadrados es 610, se tiene

la siguiente igualdad ( ) 61034 22 =−+ xx , se trata de una ecuación cuadrática; la resolución de la misma se expone enseguida.

( )( )

( )( ) 02113

027334

0546682

0619681156

61034

2

2

22

22

=−−

=+−

=+−

=−+−+

=−+

xx

xx

xx

xxx

xx

Los números son 13 y 21, por que efectivamente 6104411692113 22 =+=+ .

3. El largo de una sala rectangular es 3 metros mayor que el ancho. Si el ancho aumenta 3 m y el largo aumenta 2 m, el área se duplica. Halle el área original de la sala.

Solución Sea x el ancho de la sala, entonces x + 3 será el largo y x (x + 3) sería el área. Si el ancho aumenta 3 m, el nuevo ancho sería x + 3 y el nuevo largo, x + 5; luego la nueva área sería (x + 3) (x + 5)

El enunciado del problema dice que luego de estas modificaciones, el área es el doble del área original, lo que se expresa como:

( )( ) ( )3253 +=++ xxxx La resolución de esta ecuación cuadrática se muestra enseguida:



( )( ) ( )

( )( ) 035

0152

62158

3253

2

22

=+−

=−−

+=++

+=++

xx

xx

xxxx

xxxx

Como la incógnita x denota el ancho de la sala, solo se considera válido x = 5. Por lo tanto, el área original de la sala es 5 (5 + 3) = 5 (8) = 40 m2.

PROBLEMAS PROPUESTOS 1. La edad de Arturo es el doble que la edad de Sara y ambas edades suman 36 años. Hallar la edad de

Arturo. a) 12 b) 14 c) 15 d) 16 e) 24

2. Un obrero recibe S/. 20 por cada día que trabaja y S/. 5 por cada día que no trabaja. Si luego de 23 días

recibe S/. 415 ¿Cuántos día trabajó? a) 10 días b) 17 días c) 20 días d) 15 días e) 18 días

3. Un padre reparte S/. 180 entre sus hijas: Ana, Maria e Inés de modo que la parte de Ana sea la mitad de la de Maria y un tercio de la edad de Inés. Hallar la parte de Maria. a) 68 b) 62 c) 64 d) 63 e) 60

4. Maribel tiene el doble de dinero que Sara. Si Maribel le da a Sara $ 34, Maribel tendrá los 5/11 de lo que tenga Sara. ¿Cuánto tiene Maribel? a) 60 b) 62 c) 64 d) 63 e) 65

5. Hace 10 años, la edad de Fabiola era los 3 / 5 de la edad que tendrá dentro de 20 años. Hallar la edad actual de Fabiola. a) 58 b) 53 c) 48 d) 38 e) 55

6. La suma de la tercera y cuarta parte de un número equivale al doble del número disminuido en 17. Hallar el número. a) 10 b) 11 c) 12 d) 14 e) 13

7. Entre Iván y Laura tienen $ 81. Si Iván pierde $ 36, el doble de lo que le queda equivale al triple de lo que tiene Laura ahora. ¿Cuánto tiene Laura? a) 18 b) 28 c) 8 d) 38 e) 15

8. La edad de José es el triple de la de Victoria y dentro de 20 años será el doble. Hallar la edad actual de

Victoria. a) 18 b) 20 c) 22 d) 24 e) 15

9. Rita tiene 20 años más que su hija. Dentro de 12 años, Rita tendrá el doble de la edad de su hija. ¿Cuántos años tienen actualmente cada una de ellas? a) 18 y 8 b) 20 y 8 c) 28 y 8 d) 24 y 10 e) 25 y 10

10. Las edades de una pareja de esposos suman 62 años. Si se casaron hace 10 años y la edad de la novia

era 3 / 4 de la edad del novio ¿Qué edad tienen actualmente? a) 28 y 38 b) 36 y 20 c) 28 y 34 d) 42 y 28 e) 58 y 24

11. La edad de Martha es el triple de la edad de Estela y excede en 5 años a la edad de Irma. Si la edad de

Estela e Irma suman 23 años. Hallar la edad de cada una. a) 18; 8;6 b) 20, 8, 16 c) 21;7; 8 d) 21; 7; 16 e) 25; 10;13



12. Hace 6 años tenía el cuádruple de la edad de mi hijo. Dentro de 10 años tendré el doble. Hallar las edades

actuales. a) 28 y 8 b) 38 y 14 c) 38 y 8 d) 24 y 8 e e) 25 y 10

13. Una ama de casa compra tres kilos de harina y cuatro kilos de azúcar pagando 17 soles en total ¿Cuánto

vale el kilo de harina sabiendo que su precio es un sol mas que el kilo de azúcar. a) 4 b) 5 c) 3 d) 2 e) 2.5

14. La suma de las edades de tres personas es 88 años. La persona mayor tiene 20 años más que la persona menor, la persona de edad intermedia 18 años menos que la mayor. Hallar las edades respectivas. a) 18, 28, 22 b) 42, 23, 24 c) 28, 22, 24 d) 42; 24; 22 e) 25, 42, 21

15. En una granja se cuentan 100 patas y 40 animales entre vacas y gallinas ¿Cuál es la diferencia del número

de animales de cada especie? a) 50 b) 40 c) 30 d) 20 e) 10

16. La suma de tres números enteros consecutivos es 156. Halle el mayor de los números. a) 50 b) 52 c) 53 d) 54 e) 55

17. Juan compra una cantidad de libros por un monto de $ 150 si cada libro hubiera costado $1 más habría comprado 5 libros menos con el mismo dinero ¿Cuántos libros compró y cuánto costó cada uno? a) 30 y 10 b) 28 y 18 c) 30 y 5 d) 30 y 8 e) 32 y 14

18. ¿Cuáles son las dimensiones de un rectángulo que tiene como perímetro 40 m y 96 2m de área?

a) 10 y 20 b) 8 y 18 c) 12 y 6 d) 14 y 8 e) 12 y 8 19. En un terreno rectangular, el largo es 20m. más que el ancho ¿Cuáles son las dimensiones si su área es de

4800m²? a) 80 y 60 b) 48 y 68 c) 82 y 62 d) 64 y 48 e) 50 y 68

20. Una compañía de 180 hombres está dispuesto en filas. El número de soldados de cada fila es 3 más que el

número de filas que hay ¿Cuántas filas hay y cuantos soldados en cada una? a) 10 y 15 b) 10 y 12 c) 12 y 15 d) 16 y 12 e) 18 y 12

21. La suma de los cuadrados de tres números pares consecutivos es igual a 200 ¿Cuáles son esos números?

a) 6, 8 y 10 b) 6, 7 y 10 c) 6, 9 y 10 d) 5, 8 y 10 e) 7, 7 y 10 22. La suma de las edades de Manuel y Sofía es 48 años. Si Sofía tiene 8 años menos que Manuel. Halle la

edad de Manuel a) 28 b) 25 c) 20 d) 23 e) 24

23. En una granja hay 30 animales, entre gallinas y conejos. Si se contó 74 patas en total. ¿Cuántas gallinas y

cuantos conejos hay en la granja? a) 24, 6 b) 22, 8 c) 23, 7 d) 20, 10 e) 18, 12

24. Pedro y Sergio van al casino con S/. 840 en total, luego de algunas horas el primero de ellos pierde S/. 160

y el segundo ganó S/. 200. En este momento ellos tienen la misma cantidad de dineros ¿Con que cantidad de dinero partió jugando cada uno? a) 680 y 240 b) 620 y 360 c) 600 y 240 d) 600 y 250 e) 650 y 350

25. Hallar los valores de m para que la ecuación ( ) 082152 =−−− xmx tenga raíces (soluciones) iguales.

a) 2 y 5 b) 3 y 5 c) 3 y 4 d) 2 y 5 e) 4 y 5

26. Carolina compró cierto número de libros por $ 240, si cada libro hubiera costado $4 menos, hubiera podido comprar tres libros más ¿Cuántos libros compró y a que precio? a) 12 y 20 b) 20 y 24 c) 15 y 20 d) 16 y 14 e) 17 y 19



27. Un comerciante compró un cierto número de sacos de trigo por S/. 1000 si hubiera comprado 10 sacos mas por el mismo dinero cada saco hubiera costado S/. 5 menos ¿Cuántos sacos compró? a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50

BIBLIOGRAFÍA. ADUN (I2006) “Aritmética – Análisis del número y sus aplicaciones”. Edit. Lumbreras.. SANTILLANA. (2005) “Lógico Matemática”. Edit. Santillana.. MINISTERIO DE EDUCACIÓN – Matemática – Plancaf. 2001

COMPONENTE LÓGICO MATEMÁTICA Funciones Lineales


Módulo 9: Funciones Lineales

LOGROS DE APRENDIZAJE • Establece la diferencia entre función y relación ; aplica estos conceptos para modelar situaciones reales

• Aplica funciones lineales a la comprensión y resolución de problemas cotidianos

CONTENIDO • Par ordenado • Plano cartesiano • Producto cartesiano • Relación binaria • Función • Funciones Lineales RESUMEN TEORICO 1. Par ordenado

Es una dupla ordenada formada por dos elementos a y b en el cual cada elemento tiene un lugar fijo; el par ordenado se simboliza por: ( )ba, dondea es el primer componente, mientras que b es el segundo componente.

2. Plano cartesiano

Está conformado por dos líneas rectas que se cortan perpendicularmente en un punto llamado origen de coordenadas representado por el par (0, 0). La recta horizontal (eje de las “x” o eje de las abscisas) La recta vertical (eje de las “y” o eje de las ordenadas)

Figura 1. Plano cartesiano

El plano cartesiano esta dividido en 4 cuadrantes, cualquier punto en el plano es de la forma: (x; y). Cuadrante I: Los pares ordenados son de la forma (+, +)

Cuadrante II: Los pares ordenados son de la forma (-, +)

Cuadrante III: Los pares ordenados son de la forma (-, -)

Cuadrante IV: Los pares ordenados son de la forma (+, -)



3. Producto cartesiano Dados dos conjuntos A y B diferentes del vacío, el producto cartesiano de A y B, es un conjunto que se denota por : BA× y esta formado por todos los pares ordenados ( )ba, tales que Aa∈ y Bb∈ .

Simbólicamente se tiene: ( ){ }BbAabaBA ∈∧∈=× /, Ejemplo Sean los conjuntos A = {1; 2; 3} y B = {4; 5}. El producto cartesiano de A y B esta dado por el conjunto A µ B = {(1; 4), (1; 5), (2; 4), (2; 5), (3; 4), (3; 5)}. Este conjunto de pares ordenados se muestra en la figura 2.

Figura 2. Producto cartesiano

3. Relación binaria Dados dos conjuntos no vacíos A y B , se define a una relación binaria “R” de A en B , a todo subconjunto del producto cartesiano A B× , esto es:

BARR ×⊂⇔ B en A de relación una es En ejemplo anterior de A x B se puede establecer las siguientes relaciones: R1 = {(1 ; 4), (2 ; 5) } R2 ={(2 ; 4), (3 ; 5) } R3 = {(1; 4), (1 ; 5) , (2; 4) , (2; 5)} R4 = {(3 ; 4), (2 ; 5) } R1, R2 , R3 , R4 ; son subconjuntos del producto cartesiano de A B× . Con este mismo criterio, una relación de R en R es un subconjunto de RR × . Por ejemplo el producto cartesiano [ ] [ ]5,14,2 × es una relación de R en R.

Figura 3. Producto Cartesiano de dos intervalos



4. Función. Una función f es una regla de correspondencia que va de un conjunto A a un conjunto B, es un tipo especial de relación de A en B en la que se cumple; que a cada elemento de A le corresponde un único elemento de B. En el conjunto A se encuentra el dominio (conjunto de partida) y en el conjunto B se encuentra el rango. (conjunto de llegada). El dominio de una función f es el conjunto formado por las primeras componentes de los pares ordenados, mientras que el rango o codominio es el conjunto formado por las segundas componentes de los pares ordenados. Ejemplo. Sean: { }zyxA ,,= y { }5,4,3,2,1=B , si definimos una función de A en B , ( ) ( ) ( ){ }4,,4,,2, zyxf = el

dominio de f es el mismo conjunto A y el rango es { }4,2 ⊂ B.

Las funciones están presentes en la actividad cotidiana como los siguientes casos que mencionamos: • Espacio que recorre un móvil en función del tiempo. • Crecimiento de una planta en función del tiempo. • El cambio de temperatura respecto a la altura. • El costo de vida en función a la inflación. • El costo de un artículo en función a la cantidad. También cabe recalcar que una función es un tipo especial de relación, en síntesis, es un subconjunto de un producto cartesiano en el que las primeras componentes de los pares ordenados no se repiten.

5. Función lineal Las funciones lineales son de la forma ( ) bmxxf += , donde m y b son constantes, gráficamente las funciones lineales se representan mediante rectas como se muestra en la Figura 4.

Figura 4. Funciones lineales

También se puede inferir fácilmente que el dominio y el rango de una función lineal es el conjunto de todos los

números reales: R.

Para tratar con las funciones lineales, es necesario repasar el concepto de pendiente de una recta. Para

empezar, el ángulo de inclinación de una recta es el ángulo que forma la misma recta y el eje de las abscisas, la

pendiente se define como la tangente del ángulo de inclinación de la recta.



Figura 5. Angulo de inclinación de una recta

La pendiente de una recta se puede calcular tomando en consideración dos puntos sobre la recta P (x1, y1) y

Q(x2, y2) como se puede observar en la Figura 6.

Figura 6. Pendiente de una recta

Entonces la pendiente “m” es: 12

12

adyacente Cateto

opuesto Catetotan

xx

yym

−

−=== α

Obviamente se puede notar que dos rectas son paralelas cuando tienen la misma pendiente. Y se demuestra

que dos rectas son perpendiculares cuando el producto de sus pendientes es igual a -1.

Volviendo a la función lineal ( ) bmxxf += , se puede calcular la pendiente m , falta determinar el valor de la

constante b . Para este propósito, se considera 0=x , se tiene ( )0b f= ; esto significa que b es la

intersección de la recta L con el eje de las ordenadas (b se llama también ordenada al origen).



Figura 7. Tipo de ángulo de inclinación de una recta

Figura 8. Intersección de una recta con los ejes de coordenadas

La recta cortará al eje de las ordenadas encima del origen o debajo del origen, según sea b positivo o negativo. Cuando 0=b , la recta pasa por el origen. Si la recta no pasa por el origen, existe una manera de graficar la misma transformando la ecuación

bmxy += A la forma

1=+B

y

A

x

Donde A y B nos indican las intersecciones de la recta con el eje X y con el eje Y respectivamente.

Figura 9. Ecuación simétrica de la recta.



Como ejercicio para ejercitar el trazado de funciones lineales, Se propone los siguientes ejercicios. Encuentre la ecuación de la recta dados los datos siguientes: a) Pasa por (-1, 1) con pendiente – 1. b) Pasa por (2, -3) con pendiente ½ c) Pasa por (3, 4) y (-2, 5) d) Pasa por (-8, 0) y (-1, 3) e) Tiene pendiente – 5/4 y ordenada al origen 6 f) Tiene pendiente ½ y ordenada al origen -3 g) Pasa por (-12, -9) y tiene pendiente 0 h) Pasa por (1/3, 4) y la recta es vertical i) Pasa por (5, -1) y es paralela a la recta 1552 =+ yx

j) Pasa por (4, 10) y es perpendicular a la recta 536 =− yx k) Pasa por (0, 1) y es perpendicular a la recta 13138 =− yx

Solución de los ejercicios

a) Se toma en cuenta la fórmula ( )00 xxmyy −=− , donde el punto ( )00 ,yx es (-1, 1) y la pendiente m

es igual a -1.

( )( )

0

11

111

=+

−−=−

−−−=−

yx

xy

xy

b) De igual forma que en el ejercicio anterior, la ecuación es 42 =− yx

c) Calculamos la pendiente de la recta que pasa por los dos puntos (3, 4) y (-2, 5).

( ) 5

1

23

54−=

−−−

=m

Para obtener la ecuación de la recta, se puede considerar cualquiera de los puntos dados, tomaremos el punto (3, 4).

( )

235

3205

35

14

=+

+−=−

−−=−

yx

xy

xy

d) De igual forma que en el ejercicio anterior, 02473 =+− yx

e) Consideraremos la forma “pendiente ordenada” bmxy += . Los valores de la pendiente y la ordenada

al origen están dados en forma explícita, 4/5−=m y 6=b . Entonces la ecuación es:

2445

64

5

=+

+−=

yx

xy

f) Análogamente, se tiene 062 =−− yx

g) Si la pendiente es cero, la recta es horizontal (no tiene inclinación) y como pasa por el punto (-12, -9),

su ecuación es y = -9.

h) Ahora la recta es vertical y pasa por el punto (1/3, 4), entonces esta recta vertical corta al eje x en 1/3 a

la derecha del origen; es decir 3/1=x o 013 =−x

i) La nueva recta pasa por (5, -1) y es paralela a la recta 1552 =+ yx , esto significa que ambas rectas

tienen la misma pendiente (ángulo de inclinación). Para poder hallar la pendiente de la recta dada se

despeja la variable “y”, de la siguiente forma.



35

2

1525

1552

+−=

+−=

=+

xy

xy

yx

Luego 52−=m , y la ecuación de la nueva recta será.

( ) ( )

552

10255

55

21

=+

+−=+

−−=−−

yx

xy

xy

j) Recordando que dos rectas son perpendiculares cuando el producto de sus pendientes es igual a -1, la

pendiente de la recta 536 =− yx se halla despejando la variable “y”.

3

52 −= xy

Entonces la pendiente de la nueva recta será – ½ y su ecuación es 242 =+ yx

k) De igual manera que en el ejercicio anterior, 8813 =+ yx

Ejemplo de funciones lineales

Las magnitudes directamente proporcionales pueden ser expresadas como funciones lineales como se muestra a continuación: Un automóvil recorre en: 1 minuto � 2 Km. 2 minutos � 4 Km. 3 minutos � 6 Km. 4 minutos � 8 Km. Estos datos usualmente se distribuyen en una tabla y se traza la correspondiente recta.

t e

1 2

2 4

3 6

4 8

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1 2 3 4

Tiempo

Espacio

Figura 10. Función lineal del ejemplo.



EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Cuando una agencia para la protección del medio ambiente descubrió que una empresa minera descargaba

ácido sulfúrico en el rió Amazonas, multó a la empresa con S/. 125 000 mas S/. 1 000 diarios hasta que la empresa cumpliera con la reglamentación de contaminación del agua. Exprese la multa total como una función de la variable x que representa el número de días que la empresa continuó violando la reglamentación.

a) f (x) = 125 000 + 1 000 x b) f (x) = 125 000x + 1 000 c) f (x) = 125 000x + 1 000 x d) f (x) = 12500 x – 1000 e) f (x) = 12500 – 1000 x

2. Graficar cada una de las funciones y hallar el rango. a) 32 += xy , x [ ]1,1−∈ b) [ ]2,2 , 2 −∈−= xxy

c) ]( 3,0 , 12 ∈+= xxy d) [ )∞−∈−= ,2 x, 23xy

e) ( )4,3,1 −∈+= xxy

3. Si { }4,3,2,1=A y sean las funciones f y g definidas de RA → tales que ( ) bmxxf −= .

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }8,4,,4,6,,5,2,7,1,,1 bmag = . Hallar ( ) af +2

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

4. Un fabricante tiene costos fijos de $ 2800 y costos variables de $15 por unidad. Encuentre la ecuación que relacione los costos con la producción. ¿Cuál es el costo de producir 120 unidades?

a) 3800 b) 4200 c) 4500 d) 4600 e) 3600

5. El franqueo de una correspondencia enviada por correo varía de acuerdo a su peso. Por cada 10 gramos se cobra S/. 20 con un valor fijo de partida, de S/. 50.

i. Plantear la ecuación que relacione precio y pasaje.

ii. Determinar el franqueo necesario para que una carta cuyo peso es de 75 gramos.

iii. Si a Carlos le cobraron S/. 400 de franqueo por una carta ¿Cuántos gramos pesó la carta

enviada?

a) 170,300,502 += xy

b) 200,300,502 += xy c) 175,200,502 += xy

d) 200,300,502 += xy

e) 170,200,502 += xy

6. La minera “Beta” encuentra que puede producir 7 toneladas de mineral a un costo de $ 1 600 y 15 toneladas a un costo de $ 1 900. Suponiendo un modelo costo producción lineal. Determine el costo fijo y los costos variables. ¿Cuál sería el costo de producir 25 toneladas de mineral?

a) 3280 b) 2420 c) 2250 d) 2278 e) 2275

7. El costo directo de fabricación de un galón de pintura es de $ 2, 35. El costo fijo es de $ 420 diario. Exprese el costo diario total en función de la cantidad de galones de pintura producida. a) 50035.2 += xy d) 52035.2 += xy

b) 42035.2 += xy e) 45035.2 += xy c) 40035.2 += xy



8. A la empresa “Joana Shoes” le cuesta $ 9 000 fabricar 100 pares de zapatos diarios y 150 pares a $ 12 000;

suponiendo que el costo está en función lineal a la cantidad fabricada. Encontrar la función. a) y = 35 x + 5000 b) y = 20 x + 4000 c) y = 50 x + 4200 d) y = 60 x + 3000 e) y = 35 x + 4000

9. Si x representa la temperatura de un objeto en Grados Celsius entonces la temperatura en grados

Fahrenheit es una función, dada por 9

( ) 325

f x x= + .

i) Si el agua se congela a 0º C y hierve a 100 º C. ¿Cuáles son las temperaturas correspondientes en grados Fahrenheit? a) 32 º F y 212 º F b) 30 º F y 210 º F c) 0 º F y 200 º F d) 32 º F y 215 º F e) 32 º F y 218 º F

ii) El aluminio se funde a 660 º C. ¿Cuál es su punto de fusión en grados Fahrenheit? a) 12 32 º F b) 1230 º F c) 1 220 º F d) 1215 º F e) 1234 º F

10. Determinar la función lineal que pasa por el origen de coordenadas y por el punto (3, 15).

a) x = 5 y b) y = 5 x c) y = 2 x d) x = 2 y e) y = x + 5

11. Hallar la regla de correspondencia de la función lineal que pasa por los puntos: (-2, 3), (4, 33). a) x = 5y + 13 b) x = 13y c) x = 5y + 1 d) y = 5x + 13 e) y = x + 5

12. Hallar el punto de intersección de la función lineal y = x + 6 con la función constante y =4. a) (4, 0) b) (6, 2) c) (-2, 4) d) (1, 0) e) (0, 2)

13. Graficar y hallar la ecuación general de la recta en el plano XY, que pasa por el punto P (1, 2) y tiene pendiente m = 2. a) y – 2x = 0 b) y + 2x = 0 c) 2y – 2x = 0 d) y + x = 0 e) x – 2y = 0

14. Si “ f ” es una función lineal tal que: f (1) = 7; f (-1) = 3. Hallar: f (2).

a) 9 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

15. Si “ f ” es una función lineal tal que: f (0) = 5; f (-1) = 3. Determine f (1).

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 16. Si una función lineal f pasa por el origen de coordenadas y por el punto (2; 8); determinar f(1) + f(3) +

f(5) + f(7).

a) 48 b) 60 c) 56 d) 64 e) 60



17. Dados los puntos P (- 6, 4) y Q (2, 6); Calcule la pendiente de la recta que los contiene.

a) 1/ 3 b) 1 / 2 c) 1/ 4 d) 3 e) – 1 / 4

18. Hallar el área del triángulo formado por los ejes de coordenadas y la recta

136=+

yx

a) 10 b) 8 c) 9 d) 4 e) 15

19. Hallar el área del triángulo formado por los ejes de coordenadas y la recta

182=+

yx

a) 10 b) 8 c) 9 d) 4 e) 15

20. Determinar los puntos de intersección de la recta 01232 =−− yx con los ejes coordenados. a) (0,-4) y (6,0) b) (0,4) y (-6,0) c) (0,-5) y (6,0) d) (0,4) y (-6,0) e) (0,-2) y (3,0)

21. Hallar el punto de intersección de las rectas 02943 =−− yx , 01952 =++ yx

a) (3, 5) b) (-3, 5) c) (3 , -5) d) (-3, -5) e) (-5, 3)

BIBLIOGRAFÍA ADUNI(2006). “Aritmética – Análisis del número y sus aplicaciones”. Edit. Lumbreras..

FIGUEROA. R. (1996) “ Matemática Básica I ”. Editorial América..

VENERO A. “Análisis Matemático I” Ediciones Gemar.

SANTILLANA. (2005) “Lógico Matemática”. Edit. Santillana..

MINISTERIO DE EDUCACIÓN – Matemática – Plancad 2001

COMPONENTE LÓGICO MATEMÁTICA Semejanza de Triángulos


Módulo 10: Semejanza de Triángulos

LOGROS DE APRENDIZAJE

• Plantea, resuelve ejercicios que tengan que ver con figuras geométricas.

• Usa semejanza de triángulos para resolver problemas de comparación y similitud.

CONTENIDOS

• Segmentos de recta

• Operaciones con segmentos

• Ángulos

• Triángulos

• Semejanza de triángulos

REPRESENTACIONES GRAFICAS.

El hombre en la prehistoria manejaba conceptos primitivos de números y medida, usaba objetos de comparación (medición antropométrica) como: piedras, dedos para contar, objetos lineales para determinar la longitud de los objetos que con el transcurso del tiempo fueron perfeccionando, también por la historia se sabe que tenían idea de ángulo, figuras cerradas usadas para delimitar su terrenos de cultivo, para labrar bloques de piedra que le servirían para hacer edificaciones. Hoy en día se usa figuras geométricas aprovechando el potencial que estas brindan; tal es el caso de los triángulos que se encuentran en las estructuras metálicas, puentes, debido a que esta figura soporta mayor peso. Para poder entender la semejanza de triángulos es necesario introducir algunos conceptos previos para complementar los estudios básicos que tienen los participantes.

� Representación gráfica de un punto: . A � Representación gráfica de una recta:

Recta AB

SEGMENTOS DE RECTA. Es una parte de recta comprendida entre dos puntos, llamados extremos:

La notación del segmento es: Segmento AB de medida a, o longitud del segmento AB = a



OPERACIONES CON SEGMENTOS. � Punto medio.

M punto medio del segmento AB, entonces AM = MB

� Adición de segmentos. En el grafico. AB = AM + MB � Sustracción de segmentos. En el grafico MB = AB – AM

Ejercicios resueltos

1. En una recta se ubican los puntos A, B, C, D y E de manera que B y D son puntos medios de AD y CE respectivamente si AC –DE =8:Calcular BC

Resolución.

BC = m – n = x Se tiene: AC - DE = 8, en el grafico esto es:

(2m – n) – n = 8 m - n = 4 Por tanto BC = 4.

2. En un recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C, D; tales que: AB – BC = 3 y AD + CD = 15 Calcular BD. Resolución.

Se debe hallar: BD = b + c En el enunciado del problema se tiene: a - b = 3 ………….(*) a + b + c + c = 15 ……( +) sumando (*) y( +) 2a + 2c = 18 a + c = 9 luego en (+) ( a+ c ) + ( b + c ) = 15

9 + ( b + c ) = 15 Por lo tanto: BD = 6

EJERCICIOS PROPUESTOS. 1. Sobre un línea recta se tienen los puntos consecutivos A, B, C, D de modo que: CD = 2AB, además, M es

punto medio de BC. Calcular BD si: AM = 16

a) 32 b) 30 c) 31 d) 30 e) 28

2. Sobre un línea se tienen los puntos consecutivos A, B, C, y D de modo que AB, BC, y CD están en progresión aritmética. Si AD = 27 y CD = AB + 6. Hallar AB.

a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10

3. En una línea recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C, y D; además P y Q son puntos medios de AB y CD; los puntos M y N son puntos medios de AC y BD si PQ = 14 y BC = 9. Calcular MN.

a) 3 b) 5 c) 7 d) 9 e) 11

A BM



4. Sobre una recta se toman puntos consecutivos A, B, C, D. Tales que: AB. CD = AD .BC; BC . CD = 28;

CD - BC = 7. Hallar AC.

a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10

ÁNGULOS. Es una figura geométrica determinada por dos rayos a los que se les denomina lados y al origen común que se le llama vértice del ángulo.

Elementos:

• Lados: OA��

y OB��

• Vértice: O • Notación Angulo AOB: AOB∠

• Medida del ángulo: m ( AOB∠ ) = θ

Nota. La medida del ángulo es referida a la abertura de sus lados en el sistema sexagesimal: 1º = 60´ ; 1´= 60´´

Bisectriz:

αα

Si AM es bisectriz del BAC∠ entonces BAM MAC∠ = ∠

Clasificación de los ángulos i) Angulo nulo: θ = 0º

ii) Angulo llano: θ = 180º

iii) Ángulos convexos: 0º < θ < 180

1. Angulo recto: θ = 90º

2. Angulo agudo: 0º < θ < 90º

3. Angulo obtuso: 90º < θ < 180º

iv) Ángulos cóncavos ( no convexos) 180º < θ < 360º

v) Ángulos adyacentes βα



θ

1

α

β2

3

L1

L2

θ

αβL1

L2φ

180ºα β θ φ+ + + =

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