pdfcrowd.com open in browser PRO version Are you a developer? Try out the HTML to PDF API Números primos Un número primo es un número entero mayor que cero, que tiene exactamente dos divisores positivos. También podemos definirlo como aquel número entero positivo que no puede expresarse como producto de dos números enteros positivos más pequeños que él, o bien, como producto de dos enteros positivos de más de una forma. Conviene observar que con cualquiera de las dos definiciones el 1 queda excluido del conjunto de los números primos. Ejemplos : a) El 7 es primo. Sus únicos divisores son 1 y 7. Sólo puede expresarse como producto de 7·1. b) El 15 no es primo. Sus divisores son 1, 3, 5 y 15. Puede expresarse como 3·5. (y también como 15·1) El término primo no significa que sean parientes de alguien. Deriva del latín "primus" que significa primero (protos en griego). El teorema fundamental de la aritmética afirma que todo número entero se expresa de forma única como producto de números primos. Por eso se les considera los "primeros", porque a partir de ellos obtenemos todos los demás números enteros. (El 15 se obtiene multiplicando los primos 3 y 5) Los 25 primeros números primos son 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97, que son todos los primos menores que 100. En la siguiente tabla tenemos todos los primos menores que 1000, que hacen un total de 168 (21×8) 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433
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Números primos Un número primo es un número entero mayor que cero, que tiene exactamente dos divisores positivos. Tambiénpodemos definirlo como aquel número entero positivo que no puede expresarse como producto de dos númerosenteros positivos más pequeños que él, o bien, como producto de dos enteros positivos de más de una forma.Conviene observar que con cualquiera de las dos definiciones el 1 queda excluido del conjunto de los númerosprimos.
Ejemplos: a) El 7 es primo. Sus únicos divisores son 1 y 7. Sólo puede expresarse como producto de 7·1. b) El 15 no es primo. Sus divisores son 1, 3, 5 y 15. Puede expresarse como 3·5. (y también como15·1)
El término primo no significa que sean parientes de alguien. Deriva del latín "primus" que significa primero(protos en griego). El teorema fundamental de la aritmética afirma que todo número entero se expresa de formaúnica como producto de números primos. Por eso se les considera los "primeros", porque a partir de ellosobtenemos todos los demás números enteros. (El 15 se obtiene multiplicando los primos 3 y 5)
Los 25 primeros números primos son 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73,79, 83, 89 y 97, que son todos los primos menores que 100.
En la siguiente tabla tenemos todos los primos menores que 1000, que hacen un total de 168 (21×8)
Póster con los números primos hasta 1000 (pdf) Listado con los primos menores que 1.000.000 (txt)
Para ver los 10.000 primeros números primos pincha aquí
Primos en el anillo de los enteros de Gauss
Cómo averiguar si un número es primo.
El algoritmo más sencillo que puede utilizarse para saber si un número n es primo es el de la división. Se trata deir probando para ver si tiene algún divisor propio. Para ello vamos dividiendo el número n entre 2, 3, 4, 5, ... , n-1. Sialguna de las divisiones es exacta (da resto cero) podemos asegurar que el número n es compuesto. Si ninguna deestas divisiones es exacta, el número n es primo. Este método puede hacerse más eficiente observandosimplemente, que si un número es compuesto alguno de sus factores (sin contar el 1) debe ser menor o igual que √n. Por lo tanto, el número de divisiones a realizar es mucho menor. Sólo hay que dividir entre 2, 3, 4, 5, ... , [√ n]. Enrealidad, bastaría hacer las divisiones entre los números primos menores o iguales que √ n.
Ejemplo: Para probar que 227 es primo sabiendo que √227 = 15'0665... basta con ver que no es divisible entre2, 3, 5, 7, 11 y 13.
Este procedimiento resulta eficiente para números pequeños o que tienen factores pequeños. Sin embargo si elnúmero tiene por ejemplo unas 20 cifras y es primo, habrá que realizar miles de millones de divisiones paracomprobarlo. Aunque un ordenador pueda realizar millones de divisiones en un segundo, el tiempo necesario es
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bastante considerable. Y cuando el número de dígitos aumenta el tiempo necesario ¡¡crece de forma exponencial!!
Ejemplo práctico: Supongamos que queremos saber si un número de unas 50 cifras es primo. La raízcuadrada de un número de este orden está en torno a 1025. Si un ordenador hace 1000 millones de divisionespor segundo, necesitará 1025/109 segundos; es decir, 1016 segundos. Este tiempo equivale,aproximadamente, a 1'6*1014 minutos, que son 2'7*1012 horas, o también 1'16*1011 días, aproximadamente 3'17*108 años. Que para hacer esto se necesiten 317.097.920 años se me antoja una tarea pocorecomendable. Y si nos decidiésemos a llevarla a cabo, ¿sería útil esta información pasado todo estetiempo? O más drástico todavía, ¿seguiría existiendo nuestra especie entonces?
Debemos pues, buscar una alternativa que nos permita responder a este problema de una forma más favorable;necesitamos un algoritmo más eficiente.
Una respuesta puede ser el teorema pequeño de Fermat. Este teorema afirma que si n es primo y mcd(a,n) = 1,entonces an-1 ≡ 1 (mod n). Hay que tener en cuenta que la exponenciación modular puede realizarse en un tiempobastante favorable, si se hace de forma adecuada (hay algoritmos que nos dan la respuesta en tiempo polinómico)
Ejemplo: Queremos comprobar si el número 15 es primo o no (utilizando esta propiedad). Tomamos a = 2, n =15, y evaluamos 214 (mod 15). La respuesta es 214 ≡ 4 (mod 15). Podemos asegurar entonces que 15 escompuesto. Probemos con a = 2, n = 341, evaluamos 2340 (mod 341) y obtenemos que 2340 ≡ 1 (mod 341). Estono nos permite deducir que 341 sea compuesto, pero tampoco que sea primo. Al probar con a=3 tenemos 3340 ≡56 (mod 341), lo cual implica que 341 es compuesto.
A los números que se comportan como el 341 en el ejemplo anterior se les llama pseudoprimos para la base 2(se comportan como un primo para a=2). Este comportamiento es bastante más peculiar peculiar para algunosnúmeros. Tomando por ejemplo a=2 y n=561, obtenemos que 2560 ≡ 1 (mod 561), 3560 ≡ 1 (mod 561), 5560 ≡ 1(mod 561) y así con todas las bases con las que probemos. Es decir, se comporta como un primo para cualquierbase que elijamos. Sin embargo, 561 es compuesto (561 = 3·11·17). A los números que como éste, sonpseudoprimos para todas las bases se les llama números de Carmichael. Los números de Carmichael menoresque 100.000 son 561, 1105, 1729, 2465, 2821, 6601, 8911, 10585, 15841, 29341, 41041, 46657, 52633, 62745,
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63973 y 75361.
Desde luego, no parecen muy abundantes. Los expertos se preguntaban en los años 80 si serían un conjunto finito,con lo cual una vez identificados se podrían "evitar" fácilmente, aunque la creencia generalizada apuntaba a que elconjunto era infinito. Se demostró que si un número es de Carmichael debe ser libre de cuadrados y producto de almenos tres primos distintos. En 1994, Alford, Granville y Pomerance demostraron que existen infinitos números deCarmichael. De hecho, su resultado indica que para n suficientemente grande C(n) > n2/7, donde C(n) es lacantidad de números de Carmichael menores que n.
Para evitar este contratiempo, podemos recurrir a un teorema un poco más fino debido a Euler. Este resultadoafirma que si n es primo y mcd (a,n)=1, entonces a(n-1)/2 ≡ ±1 (mod n). Con esto evitamos que algunos númeroscompuestos puedan pasar por primos como ocurre utilizando el teorema pequeño de Fermat.
Ejemplo: Para comprobar que 91 es compuesto basta ver 245 ≡ 57 (mod 91). ¿Y que pasa con un número deCarmichael como el 561?. Veamos 2280 ≡ 1(mod 561), pero 5280 ≡ 67 (mod 561). Parece que esto funciona.
Pero todavía podemos afinar un poco más. La idea es que si n es primo, entonces Zn es un cuerpo. Y en uncuerpo las únicas raíces cuadradas de 1 son 1 y -1. En el último ejemplo estamos diciendo que Z561 no es uncuerpo porque en él, la raíz de 1 es 67, y por tanto 561 no es primo. Si tomamos n-1 y lo dividimos entre 2 de formasucesiva, mientras sea posible, estamos extrayendo raíces cuadradas y se trata de comprobar si los resultadosdan siempre 1 ó -1. Esto da lugar al test de Miller-Rabin.
Ejemplo: Tomando n = 561 hacemos 2280 (mod 561) ≡ 1 , 2140 (mod 561) ≡ 67, que continuaría con 270 y 235,pero ya no es necesario calcularlos porque tenemos que la raíz cuadrada de 1 es 67 (mod 561). Por tanto, 561 escompuesto.
Si al llegar a 235 no obtenemos un resultado distinto de +1 ó -1, tendríamos que elegir otra base. Y ahí es dondepodemos tener dificultades, porque si n es bastante grande quizá tengamos que probar con muchas bases y larespuesta tardará en llegar. Y podemos empezar a preguntarnos si la tardanza se debe a que n es primo o porque
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es un compuesto que se comporta como un primo para un conjunto "grande" de bases. ¿Qué debemos hacerentonces? La solución es determinar el número de bases con las que tenemos que probar para asegurar que unnúmero compuesto no pase la prueba como si fuese primo.
Definiciones: Si un entero n compuesto e impar verifica la congruencia de Euler para la base b, entonces n es unpseudoprimo de Euler para la base b. Asímismo, si n pasa el test de Miller-Rabin para la base b, entonces n es unpseudoprimo fuerte para la base b. Los siguientes resultados nos dan la respuesta a la cuestión del párrafoanterior.
Proposición: Si n es compuesto e impar, al menos la mitad de las bases b que verifican 0<b<n, no satisfacen lacongruencia de Euler.
Teorema (Rabin): Si n es un entero compuesto impar, entonces n es un pseudoprimo fuerte para la base b, para alo sumo un 25% de las posibles bases que verifican 0 < b < n, mcd(b,n) = 1.
Desde luego que el teorema anterior no es para tirar cohetes. Probar con un 25% de las bases es algodescomunal si n es un número grande. Sin embargo, también hay que decir, que experimentalmente se hacomprobado que el test es mucho más eficiente de lo que indica la acotación del 25%. Es decir, cuando el númeroes compuesto, basta probar con unas pocas bases (la mayoría de veces con una sola) para demostrar que elnúmero es compuesto. Si probamos con varias bases y nuestro número pasa el test, la probabilidad de que seaprimo es muy pequeña. Y se puede elegir el número de bases que queramos de manera que la probabilidad seamenor que una cota prefijada de antemano.
Yendo un poco más lejos, hay un resultado de Miller basado en la hipótesis generalizada de Riemann, que afirma losiguiente:
Teorema (Miller, 1976): Si la hipótesis generalizada de Riemann es cierta y n es un entero compuesto impar,entonces n no pasa el test de Miller-Rabin para alguna base b < 2·log2n (¿¿teorema de bach, aukemy,montgomery 1985??)
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Este resultado implicaría un test de primalidad en tiempo polinómico del orden de O(log5n).
En la tabla de abajo podemos ver la cantidad de números de Carmichael y pseudoprimos para la base 2. Porejemplo, el primer 1 de la fila que comienza con 103 indica que sólo hay un número de Carmichael menor que 1000,y el 3 que sigue que hay 3 pseudoprimos para la base 2 menores que 1000.
( Nota: Los pseudoprimos de Euler también son llamados a veces pseudoprimos de Euler-Jacobi )
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Tabla 2: Pseudoprimos y números de Carmichael
Los primeros pseudoprimos para la base 2 son 341, 561, 645, 1105, 1387, 1729, 1905, 2047, 2465, 2701, ... Los primeros pseudoprimos para la base 3 son 91, 121, 286, 671, 703, 949, 1105, 1541, 1729, 1891, 2821,... Los primeros pseudoprimos para la base 5 son 4, 124, 217, 561, 781, 1541, 1729, 1891, ...
Los primeros pseudoprimos de Euler para la base 2 son 561, 1105, 1729, 1905, 2047, 2465, ... Los primeros pseudoprimos de Euler para la base 3 son 121, 703, 1729, 1891, 2821, 3281, 7381, ...
Los primeros pseudoprimos fuertes para la base 2 son 2047, 3277, 4033, 4681, 8321, 15841, 29341, 42799,49141, 52633, 65281, 74665, 80581, 85489, 88357, 90751, ...
Los primeros pseudoprimos fuertes para la base 3 son 121, 703, 1891, 3281, 8401, 8911, 10585, 12403,16531, 18721, 19345, 23521, 31621, 44287, 47197, 55969, 63139, 74593, 79003, 82513, 87913, 88573, 97567,...
Estos ejemplos nos permiten ver que si en lugar de la base 2 utilizamos las bases 2 y 3, los números que puedenpasar el test siendo compuestos son muchos menos. Y si tomamos más bases todavía, los resultados mejoranconsiderablemente. Por ejemplo, sólo hay un pseudoprimo fuerte para las bases 2, 3, 5 y 7 menor que 25·109, yeste número es 3,215,031,751.
La sucesión de los números impares más pequeños que pasan el test de Miller-Rabin usando los primeros knúmeros primos para k = 1, 2, 3,... está dada por 2047, 1373653, 25326001, 3215031751, 2152302898747,3474749660383, 341550071728321, 341550071728321, ... (Sloane A014233; Jaeschke 1993). Por lo tanto, eltest es totalmente determinista si usamos los siete primeros números primos (con 8 no da ninguna mejora) paranúmeros menores menores de 3,4·10^14.
Lo que se hace en la práctica para números muy grandes es tomar una serie de bases al azar y comprobar si severifican las congruencias. Si no se verifica en algún caso, el número es compuesto con total seguridad. Si se
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verifican todas, hay una "sospecha" muy grande de que el número es primo, aunque no puede asegurarse. Laprobabilidad de error puede hacerse tan pequeña como se quiera con solo coger un número suficiente de bases.
Gracias a los trabajos de Pomerance, Selfridge y Wagstaff (1980) y Jaeschke (1993) podemos elaborar tests derápida ejecución y completamente deterministas (usando Miller-Rabin) si consideramos números hasta un ciertotamaño:
Para números menores que 25,326,001 basta probar con las bases 2, 3 y 5.
Para números menores que 4,759,123,141 basta probar con las bases 2, 7 y 61.
Para números menores que 2,152,302,898,747 basta probar con las bases 2, 3, 5, 7 y 11.
Para números menores que 341,550,071,728,321 basta probar con las bases 2, 3, 5, 7, 11, 13 y17.
En 1980, Adleman publica un artículo titulado "On distinguishing prime numbers from composite numbers". Susresultados son mejorados por Pomerance, Rumely, Cohen, H.W. Lenstra y A.K. Lenstra. Esta trabajo conjunto juntocon el teorema que viene a continuación dan lugar a un test de primalidad conocido como APR (hay más de unaversión de este test)
Teorema (Odlyzko-Pomerance, 1982): Existe una constante c>0 efectivamente computable tal que para todo n >ee existe un entero positivo t que satisface: i) t es libre de cuadrados. ii) 0 < t < (log n)c·log(log(log n)) y tal que s(t) > √ n , donde s(t) = Π { q ∈ Z+ / q primo y q-1 divisor de t }
El test APR seguiría entonces los siguientes pasos:
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Paso2: Buscamos (secuencialmente) un valor t que verifique s = s(t) > √ n.Paso3: Factorizamos t. A sus factores pi les llamamos primos iniciales.Paso4: Factorizamos s. A sus factores qi les llamamos primos euclídeos.Paso5: Se comprueba que mcd (s·t, n) = 1 (si no es el caso, n no es primo)
Paso6: Para cada primo inicial p se tiene una de estas dos opciones: a) np-1 ≠ 1 (mod p2) b) np-1 ≡ 1 (mod p2) y para cada primo euclídeo q tal que p | q-1 existe un carácter ξ (aplicación de un grupo en elcuerpo de los números complejos) ξ: Zq
* --------> Gp de orden p y conductor q, tal que G(ξ)n ∈ η(ξ)n·G(ξn) módulonZ[ξp, ξq] para algún 1 ≠ η(ξ) ∈ Gp (revisar) Si se da el caso a) probamos con otro primo inicial y si se da b) seguimos con el paso 7.
Paso7: Para cada i = 0, 1, 2, 3, ... , t-1 se calcula mcd( ni (mod s) , n). Si alguno de los resultados obtenidos es unnúmero comprendido estrictamente entre 1 y n entonces el número n es compuesto. Si todos los resultados dan 1 ón, entonces podemos estar seguros de que n es primo.
(continuará con AKS, Agrawal 2002)
Cuántos números primos hay
Una de las primeras preguntas que podemos hacernos es si la cantidad de números primos es finita o infinita.Euclides de Alejandría demostró que hay infinitos. Supongamos que existe solamente un número finito de primos.Sea C = { p1, p2, ... pn } el conjunto formado por todos ellos. Consideremos ahora el número M = p1×p2× ... pn+1.Como cada primo pi es mayor que 1, M es un número mayor que cualquiera de los pi; es decir, M no está en elconjunto C y por tanto es compuesto. Admitirá entonces una descomposición como producto de factores primos(por el teorema fundamental de la aritmética). Por hipótesis, estos factores sólo pueden estar entre los primos queaparecen en el conjunto C. Por tanto, existirá un primo q del conjunto C, tal que q | M y obviamente, q | p1×p2× ... pn.
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Por consiguiente, q divide a la diferencia M - p1×p2× ... ×pn (que es 1). Pero ningún número primo divide a 1, y q esun número primo que divide a 1 (Contradicción). Concluimos entonces que el conjunto de los números primos nopuede ser finito (q.e.d.)
Hay otras demostraciones posibles, como la de Euler, que se obtiene como corolario de un teorema que afirmaque la suma de la serie de los inversos de los números primos es divergente. Otra demostración más reciente (ysencilla de hacer) fue obtenida por Polya basándose en los números de Fermat. Más adelante veremos más sobreestos números que se definen como Fn=2^(2n)+1. Así, F1=5, F2=17, F3=257, etc. Polya observó y demostró quepara todo k>0 se tiene que Fn y Fn+k son coprimos; es decir, no tienen factores comunes. Esto implica la infinitudde los números primos, ya que cada uno de los Fn da lugar a uno o varios números primos que no aparecen en losanteriores números de Fermat. Curioso, ¿no? La demostración es como sigue:
Observamos en primer lugar que todos los números de Fermat son impares, evidente. En segundo lugar hay quever que Fn+k-2 es múltiplo de Fn para todo k>0. Para ello sólo hay que seguir este cálculo:
Ahora, si m ¹ 1 es un divisor común de Fn y Fn+k , entonces m es divisor de Fn+k - 2 y Fn+k , y por tanto de sudiferencia; es decir, m es divisor de 2 al mismo tiempo que de Fn que es impar. Contradicción. Podemos concluirentonces que cualesquiera dos números de Fermat no tienen ningún factor en común, q.e.d.
Otra demostración interesante se la debemos a Erdos: Consideremos un número x fijo y sean p1, p2, ..., pn £ x, losnúmeros primos menores o iguales que x. .Como todo entero puede expresarse como producto de un cuadradopor un número libre de cuadrados, podemos escribir cada entero m £ x de la forma
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donde ei ∈ {0, 1} y Q2 ≤ x. Podemos elegir los ei de 2n formas diferentes, y Q de r(x) formas y, por tanto, podemosasegurar que todos los números m ≤ x pueden escribirse alguna de estas 2n·r(x) formas, o sea, x ≤ 2n·r(x). Ahora,despejamos n de esta expresión, x ≤ 4n, y por tanto, n ≥ ln x / ln 4. El número de primos es mayor que cualquiernúmero x fijado de antemano, q.e.d.
La sucesión de los números primos
La sucesión de los números primos es poco predecible. No sabemos si obedecerán algún tipo de regla uorden que no hemos sido capaces de descubrir todavía. Durante siglos, las mentes más preclaras intentaron ponerfin a esta situación pero sin éxito. Leonhard Euler comentó en una ocasión: "Los matemáticas han intentado envano hasta la fecha descubrir algún orden en la sucesión de los números primos, y tenemos razones para creer quees un misterio en el que la mente no podrá penetrar nunca". En una conferencia dada por D. Zagier en 1975, éstedijo: "Hay dos hechos en torno a la distribución de los números primos que espero crean tan abrumadoramente,que quedarán por siempre grabadas en sus corazones. La primera es que a pesar de su sencilla definición y de supapel como ladrillos que construyen los números naturales, los números primos crecen como la mala hierbaalrededor de los números naturales, simulando no obedecer otra ley que la del azar, y nadie puede predecir dondebrotará el siguiente. El segundo hecho es incluso más asombroso, porque dice justamente lo opuesto: que losnúmeros primos hacen gala de una pasmosa regularidad, que hay leyes que gobiernan su comportamiento, y queobedecen esas leyes con una precisión casi militar" (Havil 2003)
Euler commented "Mathematicians have tried in vain to this day to discover some order in the sequence of prime numbers,and we have reason to believe that it is a mystery into which the mind will never penetrate" (Havil 2003, p. 163). In a 1975lecture, D. Zagier commented "There are two facts about the distribution of prime numbers of which I hope to convince youso overwhelmingly that they will be permanently engraved in your hearts. The first is that, despite their simple definition androle as the building blocks of the natural numbers, the prime numbers grow like weeds among the natural numbers, seemingto obey no other law than that of chance, and nobody can predict where the next one will sprout. The second fact is even
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more astonishing, for it states just the opposite: that the prime numbers exhibit stunning regularity, that there are lawsgoverning their behavior, and that they obey these laws with almost military precision" (Havil 2003, p. 171).
Pero el espíritu del hombre es obstinado y su inquietud por descubrir no conoce fronteras. Así, con el paso delos años y los siglos se ha ido avanzando a pequeños pasos, pero tantos, que al mirar atrás parecen gigantescos.En primer lugar presentamos una tabla con las cifras del número primo que ocupa el lugar 10n-ésimo. Lectura: Elprimo que ocupa el lugar 1000 (103) en la sucesión de los números primos es 7919.
= n = Primo 10n Número de cifras | = n = Primo 10n Número de cifras
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Otra posibilidad es contar cuántos primos acaban en una determinada cifra o cuántos son de una determinadaforma como 4k+1 ó 4k+3. Por ejemplo, los números primos de la forma 4k+1 son 5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, 73,89, 97... y los de la forma 4k+3 son 3, 7, 11, 19, 23, 31, 43, 47, 59, 67, 71, 79, 83... Para abreviar los llamaremosprimos de tipo 1 y de tipo 3 respectivamente. Observamos que de los 24 primos enumerados, 11 son del tipo 1 y13 del tipo 3. Contando el número de primos de cada tipo hasta 100.000 obtenemos:
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Observamos que los primos de tipo 3 van ganando por un escaso margen a los de tipo 1. Este fenómeno fueobservado ya por Tchebychev, que se lo contaba en una carta a M. Fuss el 23 de marzo de 1853. Este sesgoresulta quizás inesperado en vista de un importante resultado en la teoría analítica de los números conocido como“el teorema de los números primos para progresiones aritméticas”. Este resultado nos dice que, para todo móduloa, los primos tienden a distribuirse equitativamente entre las diferentes progresiones an + b tales que mcd(a, b) =1. Esto implica entre otras cosas que cualquier progresión aritmética contiene infinitos primos, hecho que fueconjeturado ya por Gauss y demostrado por Dirichlet en 1837. También nos permite deducir que existe "el mismonúmero de primos" acabados en 1, 3, 7 ó 9, tomando como progresiones aritméticas 10n+1, 10n+3, 10n+7 y10n+9.
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500.000 10386 10382 10403 10365
1.000.000 19617 19665 19621 19593
El intento de "controlar" los números primos llevo a muchos a la búsqueda de algún tipo de fórmula o expresiónalgebraica que generase la sucesión de los números primos. Goldbach demuestra en 1752 que no existe ningúnpolinomio con coeficientes enteros que dé números primos para cualquier valor entero. Años después Legendredemuestra que no existe ninguna función algebraica racional que cumpla tal requisito. Queda por decir que todavíase puede buscar un polinomio de forma que produzca una sucesión de números primos lo más larga posible. Eulerpropuso el polinomio n2 + n + 41 que da números primos para valores 0 ≤ n < 40 (también para 40 < n < 81 excepton = 41, 44, 49, 56, 65 y 76 [sucesión cuadrática]).
Otro resultado que hay que mencionar, a pesar de los resultados de Goldbach y Legendre, es que se ha podidoencontrar un polinomio en 10 variables con coeficientes enteros que da números primos siempre que se sustituyanlas variables por enteros no negativos. Jones, Sato, Wada y Wiens han hallado un polinomio de grado 25 en 26variables cuyos valores positivos son exactamente los números primos.
Otra fórmula que produce únicamente números primos tiene que ver con una constante q = 1'3063778...,conocida como constante de Mills (el menor número que tiene esta propiedad). Tomando f(n) = [θ^(3n)] siempre seobtienen números primos, donde [x] representa la parte entera de x. Los primeros valores de f(n) son 2, 11, 1361,2521008887, ... No se sabe todavía si θ es racional o irracional (febrero 2012).
Hacia 1845 Joseph Bertrand propone que para cada entero positivo n, existe al menos un primo p tal que n < p <2n. Esta proposición conocida como postulado de Bertrand, fue demostrada por Tchebychev en 1850. En 1919,Ramanujan prueba que para n > 5, existen al menos dos primos entre n y 2n; para n > 8, existen al menos tresprimos entre n y 2n; para n > ?, existen al menos cuatro primos entre n y 2n. De forma más general, demuestra quepara cada k > 0, existen k primos entre n y 2n salvo para un número finito de casos. Erdös, en 1932, consigue unaprueba bastante más simple del caso de dos primos entre n y 2n para n>6, añadiendo además que uno de esos
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dos primos debe ser de la forma 4k+1 y el otro de la forma 4k+3.
Otra cuestión similar (pero más restrictiva) había sido propuesta por Legendre unos años antes de lademostración de Tchebychev. Legendre conjeturó que existe al menos un primo entre n² y (n+1)² para todo entero n> 0. La conjetura sigue sin demostrarse. (febrero 2012)
El teorema del número primo
π(n) ≈ n/log n ≈ Li(x)
La función que nos dice cuántos números primos hay en el intervalo [0, n] se representa por π(n) = # { p ≤ n , pprimo}. Legendre y Gauss dedicaron mucho tiempo y esfuerzo a calcular números primos y contar los que había engrandes intervalos. Conjeturaron que el valor de π(n) podía aproximarse por n/log(n).
Tchebychev, en su intento de demostrar esta conjetura, obtiene que existen dos constantes c1 y c2 verificando 0 <c1 ≤ 1 ≤ c2 < ∞ tales que
c1 · n / log(n) ≤ π(n) ≤ c2 · n / log(n)
En 1881, James J. Sylvester da otro resultado similar pero mucho más fino; a saber, que 0,96695 ≤ c1 ≤ 1 ≤ c2 ≤1,04423
El teorema del número primo nos da una aproximación asintótica al valor de π(n) y se expresa de la siguienteforma:
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Fue demostrado en primer lugar por Hadamard y de la Vallée Poussin en 1896 basándose en algunaspropiedades de la función Zeta de Riemann.
Una mejor aproximación de π(x) es la función Li(x).
lo cual equivale a decir que se aproxima mejor a π(n) que n/log(n).
En 1901, Koch demuestra que la Hipótesis de Riemann es equivalente a la desigualdad | π(x) - Li(x) | ≤ c·√x·ln(x)para alguna constante c. Erdös en 1949 y Selberg en 1950 dieron demostraciones más sencillas en el sentido queno se apoyan en "herramientas de gran calibre" como la función zeta o similares.
Para valores de n no demasiado grandes se comprobó que π(n) < Li(n), lo cual dio lugar a la conjetura de que ladesigualdad se verificaba para todo valor de n. Sin embargo, la conjetura fue refutada en 1914 por Littlewood aldemostrar que ambas funciones se cruzan infinitas veces. Skewes demostró posteriormente que el primerencuentro de ambas funciones ocurre para un n menor que 10^(10^(10^(34))). Este número ha sido reducidodespués hasta 10371.
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1022 201,467,286,689,315,906,290 1,932,355,207 -0.0491 pi(x) project, 2000 Dec
1.5*1022 299,751,248,358,699,805,270 2,848,114,312 -0.0592 P. Demichel, X. Gourdon, 2001 Feb
2*1022 397,382,840,070,993,192,736 2,732,289,619 -0.0493 pi(x) project, 2001 Feb
4*1022 783,964,159,847,056,303,858 5,101,648,384 -0.0655 pi(x) project, 2001 Mar (Current world record)
(Añadir Hardy-Wright pag 10)
Números de Fermat
Un número de Fermat es un número de la forma 2^2n + 1. La sucesión de números de Fermat para n = 0, 1, 2, ...sería entonces 3, 5, 17, 257, 65537, 4294967297, 18446744073709551617, ... Cada uno de ellos duplica (o casi)al anterior en número de cifras, lo cual da una idea de la rapidez con la que crecen. Fermat comprobó que los cincoprimeros números eran primos y conjeturó que posiblemente todos ellos lo fuesen.
El gran cíclope (Euler) fue el encargado de desmentir esta hipótesis al demostrar que F5 = 4294967297 esdivisible por 641. Además hasta la fecha (abril 2007) no se han vuelto a encontrar más primos entre los números deFermat.
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Factores de los números de Fermat son:
274.177 de F6, 59.649.589.127.497.217 de F7, 1.238.926.361.552.897 de F8, 2.424.833 de F9, 45.592.577 deF10, ...
Primos de Mersenne y números perfectos
A los números primos de la forma 2n-1 se les llama primos de Mersenne. Es fácil demostrar que si 2n-1 esprimo, entonces n debe ser primo. Si suponemos que n es compuesto, pongamos n = a·b (a, b>1), entonces
y por lo tanto 2n-1 también es compuesto. Pero el hecho de que n sea primo no asegura que 2n-1 sea primo. Unapropiedad destacable es que si p es primo y 2p-1 es compuesto entonces sus factores son de la forma 2kp+1. Porejemplo pero 211-1 = 2047 = 23·89 y 23 = 2·11+1, 89 = 8·11+1.
Todavía no se sabe si el número de primos de Mersenne es finito o infinito (diciembre 2010)
Un número entero se llama perfecto si es igual a la suma de sus divisores (sin contar el propio número). Loscasos más sencillos son 6=1+2+3 y 28=1+2+4+7+14. Euclides demostró que si 2n-1 es un número primo, entonces2n-1(2n-1) es un número perfecto. Euler demostró que todos los números perfectos pares son de este tipo. Portanto, no se sabe si hay una cantidad finita o infinita de números perfectos. Tampoco se sabe si existe algúnnúmero perfecto que sea impar.
Tabla de números primos de Mersenne conocidos (diciembre 2010)
13466917 4.053.946 2001 Michael Cameron(GIMPS, PrimeNet)
20996011 6.320.430 2003 Michael Shafer's (GIMPS, PrimeNet)
Nota: No se han incluido los últimos primos (que si aparecen en la tabla de abajo) porque aunque se sabe quien esla madre todavía no sabemos quien es el padre; quiero decir, que se sabe que son primos de Mersenne, pero nose sabe si son los que siguen inmediatamente a los anteriores.
(1) Aunque el quinto número perfecto (primo de Mersenne)
Cazando primos titánicosLos números primos más grandes conocidos hoy (diciembre de 2010) son:
Dos primos se llaman gemelos si se diferencian en dos unidades. Por ejemplo 5 y 7 ó también 29 y 31. Saber sihay una cantidad finita o infinita de tales parejas es un problema abierto en mayo de 2007, aunque se creeampliamente que hay infinitos.
En 1919 Viggo Brun demostró que la suma de los inversos de los primos gemelos converge a un número quellamaremos la constante de Brun para primos gemelos. Se representa como B2 y su valor se estima en torno a1.902160583104.
Alfonso de Polignac (1817-1890) fue un matemático francés que conjeturó que para cada número natural k>0,existen infinitas parejas de primos que están a una distancia de 2k. El caso k=1 es la conjetura de los primosgemelos.
De forma similar al teorema del número del número primo, la conjetura de Hardy-Littlewood postula que el númerode primos p£ N, tales que p+2 es también primo se aproxima asintóticamente a 2·C2·N/(Ln N)2, donde C2 =0,6601618158...
En 1940, Paul Erdös demuestra que existe una constante c<1 e infinitos primos p tales que p'-p < c·Ln(p), donde p'denota al menor número primo mayor que p (el primo que "sigue" a p). Con el paso de los años, el resultado se fue
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denota al menor número primo mayor que p (el primo que "sigue" a p). Con el paso de los años, el resultado se fuemejorando. En 1986, se demuestra que debe ser menor que 0,25; en 2004, menor que 0,0858; en 2005,arbitrariamente pequeña.
En 1966, Chen Jingrun demuestra que existen infinitos primos p tales que p + 2 es o primo o semiprimo (productode dos primos).
En febrero de 2012, la conjetura sigue abierta.
Curiosidades
La constante 0.235711131719232931374143..., obtenida concatenando los números primos es un númeroirracional.
Los primeros números de la sucesión de Fibonacci que son primos son 2, 3, 5, 13, 89, 233, 1597, 28657, 514229,... No se sabe todavía si hay infinitos primos es esta famosa sucesión (2007)
Citas
Los matemáticos han intentado en vano hasta hoy descubrir algún orden en la sucesión de los números primos, ytenemos razones para creer que es un misterio en el que la mente humana nunca podrá penetrar (Leonhard Euler)"Mathematicians have tried in vain to this day to discover some order in the sequence of prime numbers, and wehave reason to believe that it is a mystery into which the human mind will never penetrate." — Leonhard Euler
Puede que Dios no juegue a los dados con el universo, pero algo extraño está pasando con los números primos(Paul Erdös)"God may not play dice with the universe, but something strange is going on with the prime numbers." — Paul Erdös
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Las cigarras periódicas, muy especialmente la Magicicada septendecim , tienen el ciclo vital más largo de todoslos insectos. Su único ciclo vital empieza bajo tierra, donde las ninfas absorben pacientemente el zumo de lasraíces de los árboles. Entonces, después de 17 años de esperar, las cigarras adultas emergen de la tierra en grannúmero e invaden temporalmente nuestro paisaje. Unas semanas después se aparean, ponen los huevos ymueren.
La cuestión que inquietaba a los zoólogos era: ¿Por qué el ciclo vital de la cigarra es tan largo? Qué quiere decirque el ciclo vital sea un número primo de años? Otra especie, la Magicicada tredecim, aparece cada 13 años, loque indica que los ciclos vitales que son un número primo de años dan algún tipo de ventaja para la conservaciónde la vida.
Según una teoría, la cigarra tiene un parásito que también recorre un ciclo vital, y que la cigarra está intentandoevitar. Si el parásito tiene un ciclo vital, pongamos, de 2 años, entonces la cigarra quiere evitar un ciclo vital quesea divisible por 2, sinó el parásito y la cigarra coincidirán regularmente. De esta manera parecida, si el parásitotiene un ciclo vital de 3 años, entonces la cigarra querrá evitar un ciclo vital divisible por 3, si no el parásito y lacigarra volverán a coincidir. . Al fin, si se quiere evitar de encontrase con su parásito, la mejor estrategia de lacigarra es darse un ciclo de vida largo, que dure un número primo de años. Como nada dividirá el 17, laMagicicada septendecim raramente se encontrará con su parásito. Si el parásito tiene un ciclo de 2 años, solo seencontrarán cada 34 años, y si tiene un ciclo vital más largo, de 16 años por ej., sólo se encontrarán cada 272 (16 x17) años.
En su turno, el parásito, si quiere luchar, sólo tiene dos ciclos vitales que incrementan la frecuencia de lascoincidencias: el del ciclo anual y el mismo ciclo de 17 años que la cigarra. Ahora bien, es poco probable que elparásito pueda sobrevivir y reaparecer 17 años seguidos, porque durante las 16 primeras apariciones no habrácigarras a las cuales parasitar. De otro modo, si quieren conseguir el ciclo de 17 años, las generaciones deparásitos tendrán que evolucionar primero durante un ciclo vital de 16 años. Esto significaría que, en algún estadioevolutivo de su vida, el parásito y la cigarra no coincidirán durante 272 años! En cualquier caso, el largo ciclo vitalde las cigarras, y el número primo de años, las protege.
¡Esto podría explicar por qué el supuesto parásito no ha sido encontrado nunca! En la lucha por coincidir con la
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cigarra, el parásito probablemente ha continuado alargando su ciclo vital, hasta conseguir traspasar la barrera delos 16 años. Entonces dejará de coincidir durante 272 años; mientras tanto su falta de coincidencia con las cigarrasle habrá llevado a la extinción. El resultado es una cigarra con un ciclo vital de 17 años; ciclo que ya no le haceninguna falta porque su parásito ya no existe.
Bibliografía: página 128 de "El enigma de Fermat"
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"The Agrawal -Kayal -Saxena Test
The answer is "yes", according to three computer scientists Indian Institute of Technology in Kanpur (IITK) namedManindra Agrawal, Neeraj Kayal, and Nitin Saxena. They devised a new "Monte Carlo" test based on a corollary ofFermat's prime theorem, then found a small set of r's that would determine if a number is prime guaranteed.
The pseudo algorithm goes as follows:
1. Input: Integer n > 1 2. if (n has the form ab with b > 1) then output COMPOSITE;3. r := 2;
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4. while (r < n) { 5. if (gcd(n,r) is not 1) then output COMPOSITE;6. if (r is prime greater than 2) then {7. let q be the largest factor of r-1;8. if (q > 4sqrt(r)log n) and (n(r-1)/q is not 1 (mod r)) then 9. break; 10. } 11. r := r + 1;12. } 13. for a := 1 to 2sqrt(r)log n { 14. if ( (x-a)n is not (xn-a) (mod xr-1,n) ) then output COMPOSITE; 15. } 16. output PRIME;
While understanding how it works is a bit difficult, the routine is fairly easy to follow, except line 14. So, let me explainline 14 first. It is based on this corollary to Fermat's Little Prime Theorem:
Theorem A: Suppose that a and p are relatively prime integers with p > 1. p is prime if and only if(x - a)p º (xp - a) (mod p)
Proof. If p is prime, then p divides the binomial coefficients pCr for r = 1, 2, ... p-1. This shows that (x-1)p = (xp-ap)(mod p), and the equation above follows via Fermat's Little Theorem. On the other hand, if p > 1 is composite, then ithas a prime divisor q. Let qk be the greatest power of q that divides p. Then qk does not divide pCq and is relativelyprime to ap-q, so the coefficient of the term xq on the left of the equation in the theorem is not zero, but it is on theright.
The key to understanding this theorem is to recognize that x is meaningless here. We only really care about thecoefficients of the polynomial (x - a)p. As you may recall from Algebra, raising a binomial to a power p results in apolynomial of degree p with p + 1 terms.
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All but the first and the last term are going to be positive or negative integers with absolute value > 1. If p is primeand a is relatively prime to p, then all of these coefficients will be divisible by p, thus modulo p of each term = 0except for the first term xp and the last term -ap (which modulo p = -a, since a and p are relatively prime).
The problem is that it still takes exponential time to determine if p is prime using this test, because you have tocalculate p-1 coefficients and divide all by p to see if there is a remainder.
In 1999, Dr. Agrawal proposed a monte carlo test, which you can read about here, based on this theorem. Toshorten the test and bring it in P, the polynomial (x - a)p would be shortened by applying modulo xr - 1, which is just afancy but short way of saying "lets just look at the last r terms of (x - a)p" (4).
If r is sufficiently large enough, the only composite numbers that will sneak in are powers of odd primes which can betested for separately using a much easier test also in P. If you look at the algorithm, line 2 does exactly that test.
This make sense, because if you look at Pascal's Triangle, all of the binomial coefficients in which n = prime or apower of an odd prime are all divisible by n (except for the 1's at the beginning and the ending of each line). In thefirst 10 lines of Pascal's triangle, all of the numbers in lines 2, 3, 5, 7, and 9 are divisible by the line number, whilelines 4, 6, 8 and 10 have numbers that are not divisible, all being composites. Line 9 is the only odd line since it is apower of an odd prime (3*3) (5).
So, to make a deterministic test in P, all we need to do is select an r big enough to rule out all composite p's that arenot powers of primes, but small enough to keep the complexity (growth) of the routine from being exponential.
In 2000, Kayal and Saxena used an unproven conjecture to to determine that r does not need to exceed 4(log2 p),this paper can be found here. Thus, the time complexity of their routine is an amazing O(log3 n) and easily in P. Still,an unproven conjecture is an unproven conjecture.
Instead of trying to prove the conjecture, what Drs. Agrawal, Kayal, and Saxena did was use a proven prime theoremrelating to Sophie Germain Primes. They proved that if you find a Sophie Germain pair of primes q and 2q +1 such
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that q > 4(sqrt(2q +1)) log p, then r does not need to exceed 2(sqrt(2q + 1) log p. Their paper can be found here. Apeer review that details the theorem can be found here.
The biggest negative of this fix, is that the resulting test for primes becomes a recursive test as you can see from line6 of the algorithm above. In order to test for prime p we have to test for prime r, etc. This causes our nice little O(log3n) test to grow to an unwieldy but still polynomial O(log12 n).
So the explanation of the Algorithm is as follows:
* Line 1 inputs n* Line 2 determines if n is a power of an odd prime (the only case that the rest of the routine will fail on) and returnsCOMPOSITE if it is.* Line 3 and 4 initialize the first required loop of r that ends on line 11 and 12.* Line 5 determines if n and r are relatively prime (required by the Theorem A).* Line 6 determines if r is prime, thus requiring a recursive call to the routine with r as the input.* Lines 6 to 10 find the required Sophie Germain pair of primes and sets r to the highest of the two.* Lines 13 to 15 are the second loop of a.* Line 14 plugs in values a and r to Agrawal's prime test.
Now as far as I know, no one has written an actual computer program to apply this test (though there are no doubtsome graduate students at IITK working on doing just that.), and because of the large -- but still polynomial --complexity, it may prove too much of a memory burden to test on really big numbers.
The real importance of this discovery is that finding primes is indeed in P, making much easier routines theoreticallypossible. This has been a goal of mathematicians now for 2200 years."
