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Mini–Curso
Campos de Gauge Classicos: Maxwell, Chern–Simons
Maria Teresa Thomaz†
Instituto de FısicaUniversidade Federal Fluminense
R. Gal. Milton Tavares de Souza s/n.o
Campus da Praia VermelhaNiteroi, R.J., 24210–340 BRASIL
Indice
1. Princıpio de Mınima Acao 1
2. Campos Eletromagneticos: Equacoes de Maxwell 7
3. Espaco de Minkowski 13
4. Lagrangeana de Campos de Gauge Classicos 22
4.1. Campos Eletromagneticos: Campos de Maxwell 23
4.2. Campos de Gauge de Maxwell–Chern–Simons 37
5. Figuras 53
Apendice A: Revisao de Analise Vetorial e Teoremas de Gauss e Stokes 55
Apendice B: Princıpio de Hamilton para Campos Classicos 57
Referencias 62
† E-mail: [email protected]
0
1. Princıpio de Mınima Acao.
Todos nos aprendemos a descrever quantitativamente o movimento dos corpos que nos
cercam atraves da aplicacao das tres Leis de Newton[1]:
1. Um corpo se mantem em repouso ou em movimento retilıneo uniforme a menos queuma forca atue sobre ele.
2. Um corpo sobre o qual atua uma forca se move de tal forma que a taxa de variacaodo momento e igual a essa forca.
3. Se dois corpos exercem forca um sobre o outro, essas forcas sao iguais em intensidadee direcao, mas tem sentidos opostos.
A 2.a Lei de Newton da a dinamica do movimento de uma partıcula pontual:
d~pdt
= ~F(t), (1.1)
onde ~p(t) e o momento linear da partıcula no instante t e ~F(t) a forca que age sobre a partıcula
neste instante. Na descricao do movimento dos corpos, a 2.a Lei de Newton relaciona a causa
( a forca que age sobre a partıcula) com a consequencia ( o movimento induzido no corpo).
Portanto, se conhecemos a expressao da forca que age sobre a partıcula em todos os instantes
e os valores iniciais da posicao e velocidade da partıcula, a partir da solucao da 2.a Lei de
Newton determinamos a sua trajetoria: ~x(t). Em alguns casos e possıvel obter a expressao
algebrica para essa trajetoria, mas na maioria das vezes o que se obtem e a solucao numerica.
A equacao que da a dinamica de uma partıcula de massa constante e:
md2~x(t)
dt2= ~F(t). (1.2)
Voces ja estudaram varias aplicacoes[1] da 2.a Lei de Newton; dentre elas destacamos:
Exemplo 1. Partıcula sujeita a uma forca conservativa: neste caso definimos a funcaopotencial V (~x) cuja relacao com a forca que atua sobre a partıcula e:
~F(~x) = −~∇V (~x). (1.3)
Para partıculas sujeitas a forcas conservativas a equacao de movimento e:
1
md2~x(t)
dt2= −~∇V (~x). (1.4)
Exemplo 2. Partıcula sujeita a uma forca conservativa descrita pela funcao potencialV (~x) e uma forca ~F(t) dependente do tempo. Neste caso a equacao de movimento fica:
md2~x(t)
dt2= −~∇V (~x) + ~F(t). (1.5)
Sera que e possıvel obter atraves de um outro conjunto de postulados a
equacao (1.2) que descreve a dinamica de partıcula pontual?
Vamos entao comecar a discutir o Princıpio de Hamilton[2] em 1 dimensao espacial. A
sua extensao para 2 e 3 dimensoes espaciais e direta.
O princıpio de Hamilton nao vai dar nenhuma equacao de movimento nova para a
partıcula nao–relativıstica1. No entanto, o Princıpio de Hamilton e geral, de maneira que a
partir dele podemos obter as equacoes que governam a evolucao dinamica tanto de partıculas
quanto de campos, como por exemplo os campos eletromagneticos.
Enunciado do Princıpio de Hamilton:
Dentre todos os caminhos em que um sistema dinamico poderia se mover de um ponto aoutro dentro de um intervalo de tempo fixo (consistente com todos os vınculos que o sistemadeve satisfazer), o caminho escolhido por ele e aquele que minimiza a integral no tempo dafuncao lagrangeana L:
S[x(t); t0, tf ] =∫ tf
t0
dtL(x(t), x(t); t), (1.6)
onde S e a acao. A cada trajetoria x(t) entre os pontos fixos x(t0) e x(tf ) associamos umnumero que e o valor da acao. A acao e uma quantidade dimensional, e sua dimensao iguala dimensao do momento angular.
Se xcl(t) e a trajetoria que a partıcula classica segue para ir da posicao x(t0) a posicaox(tf ) no intervalo de tempo (tf − t0), entao qualquer trajetoria que passe nestas mesmasposicoes nestes mesmos instantes e que corresponda uma pequena modificacao na trajetoriaclassica podem ser escritas como:
1 Partıcula nao–relativıstica e aquela cuja velocidade e muito menor que a velocidade da
luz.
2
x(t; α) = xcl(t) + αη(t), (1.7a)
onde α e uma constante e η(t) uma funcao arbitraria que corresponde a uma pequenadeformacao da trajetoria classica mas com os extremos fixos ( veja a Figura 1.1):
η(t0) = η(tf ) = 0. (1.7b)
A expressao matematica correspondente ao Princıpio de Hamilton para trajetorias quedifiram pouco da trajetoria classica e:
δS[x(t)] = S[x(t; α)]− S[xcl(t)]
= S[xcl(t) + αη(t)]− S[xcl(t)] = 0. (1.8)
Para entendermos porque o Princıpio de Hamilton e dado pela eq.(1.8) (δS[x(t)] = 0),notemos que para t0 e tf fixos, a acao S[x(t); t0, tf ] e uma funcao de α:
G(α) =∫ tf
t0
dtL(xcl + αη, xcl + αη; t). (1.9)
Dizer que a trajetoria xcl(t) minimiza a acao e equivalente a dizer que a funcao G(α)tem um mınimo em α = 0. O que caracteriza o mınimo de uma funcao e que a sua derivadano ponto e zero. Portanto,
∂G(α)∂α
∣∣∣∣α=0
⇒ ∂S
∂α
∣∣∣∣α=0
= 0. (1.10)
Vejamos como obter a equacao de Lagrange a partir da condicao da acao ser um mınimoquando expandimos as possıveis trajetorias em torno da trajetoria classica.
A acao de qualquer trajetoria representada pela eq. (1.7a) e:
S[x(t; α)] ==∫ tf
t0
dt L(xcl + αη, xcl + αη; t). (1.11)
Da condicao de extremo (1.10), obtemos que:
∂S
∂α
∣∣∣∣α=0
=∫ tf
t0
dt∂L
∂x
∂x
∂α+
∂L
∂x
∂x
∂α
=∫ tf
t0
dt∂L
∂xη(t) +
∂L
∂xη(t)
. (1.12)
3
Ao se escolher a funcao η(t) estamos tambem escolhendo a funcao η(t), de forma que osdois termos do lado direito (l.d.) da equacao (1.12) nao sao independentes entre si. Usamosentao integracao por partes2 para reescrever o termo em η(t) no l.d. da eq.(1.12):
∫ tf
t0
dt∂L
∂xη(t) = η(t)
∂L
∂x
∣∣∣∣t=tf
t=t0
−∫ tf
t0
dtd
dt
(∂L
∂x
)η(t)
= −∫ tf
t0
dtd
dt
(∂L
∂x
)η(t), (1.13)
uma vez que o valor da funcao η(t) para t = t0 e t = tf e zero.Finalmente, a condicao de extremo da acao e escrita como:
∂S
∂α
∣∣∣∣α=0
=∫ tf
t0
dt
∂L
∂x− d
dt
(∂L
∂x
)η(t) = 0. (1.14)
Para que a igualdade (1.14) seja valida para qualquer pequena deformacao η(t), cujovalor em t = t0 e t = tf e nula, e necessario que o integrando seja identicamente nulo:
∂L
∂x− d
dt
(∂L
∂x
)= 0, (1.15)
onde, para o calculo das derivadas parciais, as variaveis x(t) e x(t) da lagrangeana L saotratadas como independentes.
A equacao (1.15) e chamada de equacao de Lagrange.Para que a equacao de Lagrange faca algum sentido para nos e possamos ver se ela re–
obtem, no caso das partıculas pontuais, a eq.(1.2), precisamos definir a lagrangeana em termosdas quantidades cinematicas (x(t), x(t)), que caracterizam de forma unıvoca o movimento dapartıcula.
De uma maneira geral, a forma que se escolhe para a lagrangeana depende do sistemaque estamos tratando: partıculas nao–relativısticas, partıculas relativısticas, campos eletro–magneticos, ...
Nesta secao vamos nos restringir a postular as lagrangeanas de partıculas nao–relativıs-ticas que correspondem aos dois exemplos que apresentamos no inıcio da secao.
A lagrangeana associada a um certo sistema e escolhida como funcao das quantidadescinematicas que caracterizam o sistema, de tal forma que a eq.(1.15) nos de a equacao demovimento classica (1.2) para partıculas nao–relativısticas.
2 Integracao por partes:∫
udv = uv −∫
vdu.
Escolhemos no nosso caso: u = ∂L∂x e dv = dt η.
4
Exemplo 1. Partıcula sujeita a uma forca conservativa em 1 dimensao: a relacao entre aforca F (x) que atua na partıcula e a funcao potencial V (x) e:
F (x) = −dV (x)dx
. (1.16)
A lagrangeana de partıculas sujeitas a forcas conservativas e:
L(x(t), x(t); t) =12mx(t)2 − V (x), (1.17a)
pois,
∂L
∂x= mx, (1.17b)
∂L
∂x= −dV (x)
dx. (1.17c)
e, substituindo as eqs.(1.17b–c) na equacao de Lagrange (1.15), obtemos
−dV (x)dx
− d(mx)dt
= 0 ⇒ md2x(t)
dt2= −dV (x)
dx. (1.18).
Exemplo 2. Partıcula sujeita a uma forca conservativa descrita pela funcao potencialV (x) e uma forca F (t) dependente do tempo.
A lagrangeana que descreve este sistema e:
L(x(t), x(t); t) =12mx(t)2 − V (x) + F (t)x(t), (1.19a)
pois,
∂L
∂x= mx, (1.19b)
∂L
∂x= −dV (x)
dx+ F (t). (1.19c)
e substituindo as eqs. (1.19b–c) na equacao de Lagrange (1.15) obtemos
−dV (x)dx
+ F (t)− d(mx)dt
= 0 ⇒ md2x(t)
dt2= −dV (x)
dx+ F (t), (1.20)
que e identica a eq.(1.5) em 1–dimensao.
Uma propriedade importante que se obtem a partir do Princıpio de Hamilton e que, se
duas lagrangeanas diferem entre si por uma derivada total, ou seja
5
L1(x(t), x(t); t) = L(x(t), x(t); t) +dG(x(t), x(t); t)
dt, (1.21)
entao as duas lagrangeanas darao origem as mesmas equacoes de movimento.
Para vermos isso, relacionemos as acoes obtidas a partir das lagrangeanas L e L1 :
S[x(t); t0, tf ] =∫ tf
t0
dtL(x(t), x(t); t) (1.22a)
e
S1[x(t); t0, tf ] =∫ tf
t0
dtL(x(t), x(t); t) +dG(x(t), x(t); t)
dt
=∫ tf
t0
dtL(x(t), x(t); t)+
+ G(x(tf ), x(tf ); tf )−G(x(t0), x(t0); t0). (1.22b)
Como as pequenas deformacoes η(t) sao realizadas com as extremidades fixas, η(t0) =
η(tf ) = 0, entao a diferenca S1 − S e constante e independente do parametro α (eq.(1.7a))
uma vez que a contribuicao da funcao G(x(t), x(t); t) para S1 em t = t0 e t = tf nao depende
de α. Portanto,
∂S
∂α=
∂S1
∂α. (1.22c)
Como a equacao de Lagrange e obtida a partir da condicao de mınimo da acao e como
as acoes S e S1 tem o mesmo mınimo, entao ambas as acoes darao a mesma equacao de
Lagrange.
As lagrangeanas dos Exemplos 1 e 2 foram escolhidas de forma a recuperar as equacoes de
movimento classicas que ja conhecıamos. Portanto, o Princıpio de Hamilton nao traz nenhuma
Fısica nova para a Mecanica Classica. A primeira vista, tudo o que fizemos foi complicar o
estudo de sistemas de partıculas classicas. No entanto, sao os formalismos lagrangeano e
hamiltoniano[3] que indicam como estender a teoria de forma a descrever sistemas quanticos.
A reinterpretacao dos formalismos lagrangeano e hamiltoniano nos permite formular a
Mecanica Quantica[4], que e a teoria atraves da qual descrevemos a Fısica do mundo mi-
croscopico (atomo, nucleo, nucleon, etc ...).
6
2. Campos Eletromagneticos: Equacoes de Maxwell.
Na presenca de campos eletricos e magneticos, partıculas carregadas sofrem a acao da
forca de Lorentz[5], de maneira que sua equacao de movimento e3:
md2~x(t)
dt2= e~E(~x, t) + e
~v(t)c
× ~B(~x, t), (2.1)
onde m e a massa da partıcula, e a sua carga eletrica e ~v(t) a sua velocidade no instante t.
~E(~x, t) e o vetor campo eletrico, ~B(~x, t) o vetor campo magnetico e c a velocidade da luz4.
Estes campos tambem sao chamados de campos eletromagneticos.
No entanto, a presenca e o movimento de cargas eletricas (correntes) geram campos
eletricos e magneticos. As equacoes de Maxwell descrevem a evolucao no tempo dos campos
eletromagneticos na presenca de cargas eletricas e correntes.
As equacoes de Maxwell[5] na sua forma global e local sao:
∮
S
~E(~x, t) · nds = 4πQ(t) ⇐⇒ ~∇ · ~E(~x, t) = 4πρ(~x, t) (2.2a)∮
S
~B(~x, t) · nds = 0 ⇐⇒ ~∇ · ~B(~x, t) = 0 (2.2b)
∮
Γ
~E(~x, t) · d~l = −1c
d
dt
[∫
S
~B(~x, t) · nds
]⇐⇒ ~∇× ~E(~x, t) = −1
c
∂~B(~x, t)∂t
(2.2c)
∮
Γ
~B(~x, t) · d~l =1c
d
dt
[∫
S
~E(~x, t) · nds
]+ ⇐⇒ ~∇× ~B(~x, t) =
1c
∂~E(~x, t)∂t
+ (2.2d)
+4π
c
∫
S
~(~x, t) · nds +4π
c~(~x, t)
sendo ρ(~x, t) a densidade de carga eletrica na posicao ~x e no instante t, e ~(~x, t) a densidade de
corrente. Q(t) e a carga eletrica total contida dentro do volume V delimitado pela superfıcie
fechada S:
Q(t) =∫
V
d3~x ρ(~x, t). (2.3)
3 Estamos usando o sistema de unidades CGS para escrever as equacoes envolvendo os
campos eletromagneticos[5].4 A velocidade da luz e: c= 299.792.456,2 ± 1,1 m/seg.
7
∫S
~B(~x, t) · nds e o fluxo de campo magnetico que atravessa a superfıcie S no instante
t e∫
S~E(~x, t) · nds o fluxo de campo eletrico que atravessa a superfıcie S no instante t. n e
o vetor unitario normal a superfıcie S em cada ponto, ds e a area infinitesimal e d~l o vetor
infinitesimal tangente a curva Γ. A curva Γ e a fronteira da superfıcie S.
Para obtermos as equacoes de Maxwell na sua forma local a partir de sua formulacao
global bastar aplicar os Teoremas de Gauss e Stokes, que estao enunciados no Apendice A.
Para resolver exatamente o problema do movimento da carga eletrica na presenca de cam-
pos eletromagneticos e sua influencia sobre eles, terıamos de resolver simultaneamente as eqs.
(2.1) e (2.2a–d). Entretanto, nao sabemos resolver esse conjunto de equacoes acopladas. O que
faremos e estudar situacoes fısicas em que o efeito da variacao dos campos eletromagneticos
e pequeno sobre o movimento das partıculas com carga eletrica. Neste caso, vamos supor
que conhecemos a distribuicao de cargas e correntes em todos os pontos do espaco em cada
instante, e que estas distribuicoes nao sao afetadas pelos campos eletromagneticos.
Durante o mini–curso iremos trabalhar com as equacoes de Maxwell na sua forma local.
Ate agora temos chamado de campo aos vetores eletrico e magnetico. A razao de usarmos
essa nomenclatura para esses vetores e que no caso de uma partıcula pontual, ~x(t) corresponde
a posicao que a partıcula ocupa no instante t. Portanto ~x(t) representa uma unica posicao
do espaco no instante t e e toda a informacao que voce precisa para localizar a partıcula
neste instante. No entanto, dizer que voce conhece os campos eletromagneticos no instante
t implica que voce sabe os valores dos vetores ~E(~x, t) e ~B(~x, t) em cada ponto ~x do espaco
neste instante. Neste contexto o vetor ~x e um parametro da mesma forma que o tempo, e
representa um ındice utilizado para localizar os diferentes pontos do espaco.
Na posicao do espaco que uma partıcula carregada eletricamente ocupa no instante t, a
forca de Lorentz que ela sente e:
~FL(~x, t) = e~E(~x, t) + e~v(t)
c× ~B(~x, t), (2.4)
sendo ~E(~x, t) e ~B(~x, t) os campos eletrico e magnetico, respectivamente, na posicao da
partıcula, e a sua carga eletrica e ~v(t) a sua velocidade.
Em resumo, temos que as componentes dos vetores eletromagneticos sao funcoes definidas
em todos os pontos do espaco; daı se dizer que sao campos.
8
Para termos a forca de Lorentz (eq.(2.4)) que age sobre partıculas carregadas precisamos
conhecer: ~E(~x, t) e ~B(~x, t), sendo que cada um desses vetores tem tres componentes. Logo,
para descrevermos a forca de Lorentz necessitamos de seis funcoes. Entretanto, essas seis
funcoes nao sao independentes entre si, uma vez que as equacoes de Maxwell (2.2a–d) acoplam
os campos eletrico e magnetico. A partir da eq. (2.2c) vemos que a variacao do fluxo do campo
magnetico atraves da superfıcie aberta S depende da integral de linha do campo eletrico ao
longo da fronteira Γ da area S. Por outro lado, a variacao do fluxo do campo eletrico atraves
da superfıcie aberta S depende da integral de linha do campo magnetico ao longo da fronteira
Γ que delimita a area S e o fluxo da densidade de corrente que atravessa a mesma area S. Em
resumo, temos que a evolucao no tempo dos campos eletrico e magnetico e inter–relacionada.
Vamos introduzir campos auxiliares em que temos um numero menor de funcoes a serem
determinadas e a partir das quais podemos determinar os campos ~E(~x, t) e ~B(~x, t). Para isso,
usaremos as equacoes de Maxwell na sua forma local e as propriedades de Analise Vetorial
que estao apresentadas no Apendice A.
Da equacao (2.2b), temos que
~∇ · ~B(~x, t) = 0, (2.5a)
que pela propriedade (A.5) da divergencia de um vetor implica em que
~B(~x, t) = ~∇× ~A(~x, t). (2.5b)
~A(~x, t) e denominado de potencial vetor. Substituindo a eq.(2.5b) na eq. (2.2c) obtemos que
~∇×(
~E(~x, t) +1c
∂ ~A(~x, t)∂t
)= 0. (2.5c)
Pela propriedade (A.6) do rotacional concluimos que
~E(~x, t) +1c
∂ ~A(~x, t)∂t
= −~∇A0(~x, t), (2.5d)
onde A0(~x, t) e denominado de potencial escalar.
9
Em resumo, temos que os campos fısicos ~E(~x, t) e ~B(~x, t) que aparecem na forca de
Lorentz (eq.(2.4)) podem ser obtidos a partir dos campos auxiliares A0(~x, t) e ~A(~x, t) atraves
das relacoes:
~B(~x, t) = ~∇× ~A(~x, t) (2.6a)
e
~E(~x, t) = −~∇A0(~x, t)− 1c
∂ ~A(~x, t)∂t
. (2.6b)
Vamos mostrar agora que as quatro funcoes: A0, Ax, Ay e Az nao sao independentes
entre si. Para vermos isso usaremos o fato de que, dadas as funcoes A0(~x, t) e ~A(~x, t) atraves
das relacoes (2.6a–b), obtemos um unico vetor ~E(~x, t) e um unico vetor ~B(~x, t); no entanto,
a operacao inversa nao e verdadeira, ou seja, dados os campos ~E(~x, t) e ~B(~x, t) temos um
conjunto infinito de pares de funcoes (A0(~x, t), ~A(~x, t)) que podem dar origem a esses campos
fısicos.
Vamos mostrar entao que nao e possıvel inverter as relacoes (2.6a–b). Para explorarmos
essa ambiguidade, lembremos que pela propriedade (A.6), temos que
~∇× (~∇G(~x, t)) = 0, (2.7)
onde G(~x, t) e uma funcao qualquer que nao possui singularidades. Entao, o potencial vetor
~A′(~x, t) definido como:
~A′(~x, t) = ~A(~x, t) + ~∇G(~x, t) (2.8a)
da o mesmo campo magnetico que o obtido pelo potencial vetor ~A(~x, t), ou seja
~∇× ~A′(~x, t) = ~∇× ~A(~x, t) + ~∇× (~∇G(~x, t))
= ~∇× ~A(~x, t). (2.8b)
Entretanto, pela eq.(2.6b), temos que o potencial ~A′(~x, t) nao gera o mesmo campo
eletrico que o potencial vetor ~A(~x, t), a menos que, simultaneamente, o potencial escalar seja
modificado para:
10
A′0(~x, t) = A0(~x, t)− 1
c
∂G(~x, t)∂t
. (2.8c)
Neste caso,
−~∇A′0(~x, t)− 1
c
∂ ~A′(~x, t)∂t
= −~∇A0(~x, t)− 1c
∂ ~A(~x, t)∂t
. (2.8d)
As funcoes potenciais A′0(~x, t) e ~A′(~x, t) geram os mesmos campos eletromagneticos
~E(~x, t) e ~B(~x, t) que os potenciais A0(~x, t) e ~A(~x, t). Concluimos que os campos fısicos
~E(~x, t) e ~B(~x, t) sao invariantes sob a transformacao simultanea (2.8a) e (2.8c). As trans-
formacoes (2.8a) e (2.8c) sao as chamadas transformacoes de gauge:
A′0(~x, t) = A0(~x, t)− 1
c
∂G(~x, t)∂t
(2.9a)
e
~A′(~x, t) = ~A(~x, t) + ~∇G(~x, t), (2.9b)
onde G(~x, t) e uma funcao qualquer cujas derivadas espaciais e temporal estao definidas em
todos os pontos do espaco e em qualquer instante.
Para podermos trabalhar com os potenciais escalar e vetorial precisamos impor uma
condicao arbitraria adicional sobre estes campos. Esta condicao adicional e chamada de
fixacao de gauge. Como exemplo de condicoes de gauge usualmente utilizadas temos:
i. Gauge de Coulomb:
~∇ · ~A(~x, t) = 0. (2.10a)
ii. Gauge de Lorentz:
~∇ · ~A(~x, t) +1c
∂A0(~x, t)∂t
= 0. (2.10b)
iii. Gauge de Weyl:
A0(~x, t) = 0. (2.10c)
11
Os potenciais escalar e vetorial tem que satisfazer as equacoes de Maxwell e uma escolha
arbitraria de gauge. As expressoes obtidas para A0(~x, t) e ~A(~x, t) dependem da escolha
do gauge; no entanto, os campos fısicos ~E(~x, t) e ~B(~x, t) nao dependem da particular
escolha de gauge que se faca. Daı dizermos que as quantidade fısicas sao independentes da
particular escolha que se faz para fixar o gauge e sermos entao capazes de calcular as funcoes
potenciais: A0(~x, t) e ~A(~x, t).
Apesar dos campos A0(~x, t) e ~A(~x, t) nao serem fısicos, eles sao importantes para a
descricao da teoria, uma vez que a lagrangeana que descreve campos eletromagneticos inter-
agindo com partıculas carregadas eletricamente e escrita atraves desses campos auxiliares,
como veremos mais adiante.
12
3. Espaco de Minkowski.
Estamos interessados em estudar neste mini–curso a lagrangeana dos campos de gauge de
Maxwell (campos eletromagneticos), e os campos de gauge de Maxwell–Chern–Simons. Em
particular, os campos eletromagneticos (luz) possuem velocidade c em qualquer referencial,
de maneira que este e um sistema relativıstico.
Na Mecanica Nao–Relativıstica o tempo e um parametro que e o mesmo em qualquer
referencial, o que nao e verdade com o vetor posicao da partıcula medido a partir de diferentes
referenciais inerciais.
Na Mecanica Relativıstica cada referencial inercial tem o seu conjunto de reguas e relogios
com os quais realiza as medidas dos fenomenos fısicos. Num sistema relativıstico o instante
em que a partıcula ocupa uma certa posicao do espaco depende do referencial a partir do qual
o movimento da partıcula esta sendo observado. Em cada referencial inercial o movimento
de uma partıcula e descrito como um evento que contem quatro informacoes: ~x(t), t. Desta
forma para sistemas relativısticos nao podemos dissociar o conceito de espaco do conceito de
tempo, daı usarmos a nomenclatura de espaco–tempo para representar o quadri–vetor (ct, ~x).
O quadri–vetor (ct, ~x) representa o instante t em que a partıcula ocupa a posicao ~x. Todas
as componentes de um quadri–vetor tem que ter a mesma dimensao, daı multiplicarmos o
tempo t pela velocidade da luz c no quadri–vetor (ct, ~x). Lembrando que a velocidade da luz
e a mesma em qualquer referencial.
Nao discutiremos a Relatividade Especial neste mini–curso; para aqueles que estejam
interessados numa introducao ao assunto sugerimos a leitura da referencia 6.
Em 1908 H. Minkowski propos um formalismo matematico em que o espaco e o tempo
formam um espaco com 4 dimensoes. No espaco 4–dimensional o eixo do tempo e perpendicu-
lar aos eixos das coordenadas espaciais. Na linguagem de espaco–tempo fica simples descrever
as transformacoes de Lorentz na Relatividade Especial.
Da Analise Vetorial temos que o vetor nao depende de eixos coordenados para ser definido.
Qualquer que seja o conjunto de eixos coordenados que escolhemos para decompor o vetor em
termos de suas componentes, o modulo do vetor tem sempre o mesmo valor. Este resultado
e um caso particular da invariancia do produto escalar entre dois vetores ~u e ~v quaisquer. O
13
angulo relativo entre esses vetores e independente dos eixos coordenados que utilizamos. Seja
α o angulo relativo entre os vetores ~u e ~v, o produto escalar entre esses dois vetores e
~u · ~v =| ~u | | ~v | cosα, (3.1)
que escrito em termos das componentes num conjunto de eixos coordenados cartesianos
(x, y, z) fica:
~u · ~v = uxvx + uyvy + uzvz. (3.2)
Apesar da soma dos termos do l.d. da eq.(3.2) ser independente dos eixos coordenados
escolhidos, cada termo do l.d. da eq.(3.2) depende da escolha feita para estes eixos.
Apenas para simplificar, exemplificaremos o que se segue com vetores no plano (vetores
bi–dimensionais).
Vejamos como as componentes de um vetor bi–dimensional variam ao serem escritas em
relacao a dois conjuntos de eixos coordenados cujas origens coincidem mas cujos eixos estao
girados de um angulo θ.
Considere o vetor ~v na Figura 3.1.
Os vetores unitarios nas direcoes x e y sao ı e respectivamente. Os vetores unitarios nas
direcoes x′ e y′ sao ı′ e ′ respectivamente. O resultado do produto escalar entre os vetores
unitarios e:
ı · ı′ = cos θ e ı · ′ = − sin θ, (3.3a)
· ı′ = sin θ e · ′ = cos θ, (3.3b)
O vetor ~v escrito em termos das componentes nos dois conjuntos de eixos coordenados:
~v = vx ı + vy (3.4a)
= v′x ı′ + v′y ′. (3.4b)
Para obtermos as componentes v′x e v′y em termos das componentes vx e vy, usamos que
14
v′x = ~v · ı′ e v′y = ~v · ′, (3.4c)
e os resultados (3.3a–b) dos produtos escalares dos vetores unitarios, de maneira que, final-
mente, escrevemos a transformacao das coordenadas numa forma matricial:
(v′xv′y
)=
(cos θ sin θ− sin θ cos θ
)(vx
vy
). (3.4d)
Todos os vetores satisfazem a lei de transformacao (3.4d) sob uma mudanca de eixos
coordenados que corresponda a uma rotacao rıgida dos eixos de um angulo θ.
A matriz
R(t) =(
cos θ sin θ− sin θ cos θ
), (3.4e)
e a matriz de rotacao que liga as componentes de um mesmo vetor escrito em dois conjuntos
de eixos coordenados girados entre si de um angulo θ. Para qualquer angulo θ temos que
det(R(θ)) = 1. (3.4f)
Para vermos porque as transformacoes de Lorentz das coordenadas espaco–temporais
entre dois referenciais inerciais podem ser escritas como uma rotacao no espaco–tempo, consi-
deremos as transformacoes de Lorentz para a posicao da partıcula e para o instante em que
a medida de posicao e feita. Por simplicidade, vamos supor que o movimento da partıcula e
ao longo da direcao x que coincide com a direcao do movimento relativo entre os referenciais
inerciais (veja Figura 3.2).
15
Na Figura 3.2, ~V = V ı e a velocidade do referencial inercial S′ medida por um observador
em repouso no referencial inercial S.
Assumindo que no instante t = 0 as origens dos dois conjuntos de eixos coordenados
(x, y) e (x′, y′) coincidem, a transformacao de Lorentz e[6,7]:
x′0
= γ(x0 − βx1), (3.5a)
x′1
= γ(−βx0 + x1), (3.5b)
onde x0 = ct e x1 = x, x′0
= ct e x′1
= x′,e c e a velocidade da luz. As constantes β e γ sao
definidas como sendo
β =V
ce γ =
1√1− β2
. (3.5c)
Das relacoes (3.5c) temos que −1 ≤ β ≤ 1 e 1 ≤ γ ≤ ∞.
As transformacoes de Lorentz escritas na forma matricial ficam:
(x′
0
x′1
)=
(γ −βγ−βγ γ
) (x0
x1
), (3.6)
e possuem uma forma similar a rotacao de vetores num plano5 tambem representada pela
transformacao (3.4d).
Os elementos da matriz que aparecem do l.d. da expressao (3.6) nao podem ser escritos
como funcoes trigometricas, pois o produto βγ assume valores no intervalo [0,∞), e os valores
de γ estao no intervalo [1,∞).
Como os valores que a constante β pode assumir estao no intervalo [−1, 1], podemos usar
a parametrizacao:
β = tanh ζ, (3.7a)
de maneira que
5 Girar os eixos coordenados (x′, y′) de um angulo θ em relacao aos eixos (x, y) e equivalente
do ponto de vista de transformacao de coordenadas a manter os eixos coordenados (x, y) fixos
e rodar de −θ o vetor ~v em relacao a origem desses eixos.
16
γ =1√
1− β2=
1√1− tanh2 ζ
⇒
⇒ γ = cosh ζ, (3.7b)
e
βγ = tanh ζ · cosh ζ ⇒⇒ βγ = sinh ζ. (3.7c)
Portanto, as transformacoes de Lorentz (3.5) do espaco–tempo sao finalmente escritas
como
(x′
0
x′1
)=
(cosh ζ − sinh ζ− sinh ζ cosh ζ
)(x0
x1
). (3.8)
De forma analoga ao produto escalar de vetores bi–dimensionais, no espaco de Minkowski
e possıvel definir uma operacao de produto escalar que obtenha como resultado um numero que
seja o mesmo em todos os referenciais inerciais6. Podemos tentar obter a expressao de escalares
de Lorentz atraves de varias tentativas de funcoes das coordenadas e usar a transformacao
(3.8) para verificar se o resultado e independente do referencial inercial escolhido.
Mas ao inves de procedermos dessa maneira, utilizamos o postulado da Mecanica Rela-
tivıstica que afirma que a velocidade da luz e a mesma em qualquer referencial. A equacao de
uma frente de onda luminosa em qualquer instante, vista de dois referenciais inerciais distintos
e:
0 = −x2 + c2t2 (3.9a)
= −x′2 + c2t′2, (3.9b)
de forma que o resultado da combinacao (x0)2 − (x1)2 e o mesmo em qualquer referencial
inercial. Logo, esta particular combinacao das 4–coordenadas forma um escalar de Lorentz.
Definimos um 4–vetor de Lorentz como aquele cujas componentes, sob uma transformacao
de Lorentz (3.5), satisfacam a relacao (3.8) . Entao, para qualquer 4–vetor de Lorentz a
combinacao acima e tambem um escalar de Lorentz.
6 Um numero que e o mesmo em todos os referenciais inerciais cujas quadri-coordenadas
estao relacionadas atraves das transformadas de Lorentz e denominado de escalar de Lorentz.
17
O produto escalar (3.9) nao pode ser escrito diretamente na forma (3.2). No entanto, se
definimos os vetores contra–variantes xµ, µ = 0, 1, como[7]
xµ = (x0, x1) ≡ (x0, x), (3.10a)
e os vetores covariantes xµ, µ = 0, 1, como
xµ = (x0, x1) ≡ (x0,−x), (3.10b)
sendo x0 = ct e x a coordenada x usual, entao o produto escalar no espaco de Minkowski e
definido como:
−x2 + c2t2 = x0x0 + x1x
1
=1∑
µ=0
xµxµ. (3.10c)
Definimos a regra da soma implıcita dizendo que somamos sobre ındices repetidos num
mesmo termo, ou seja,
1∑µ=0
xµxµ ≡ xµxµ. (3.10d)
Os ındices somados (contraıdos) estao ao longo da diagonal, ou seja, cada parcela da
soma (3.10d) e o produto da componente do vetor covariante pela componente do vetor
contra–variante.
A extensao do que fizemos em d=2 (1+1) (uma dimensao espacial e uma dimensao
temporal) para d=4 (3+1) ( tres dimensoes espaciais e uma dimensao temporal) esta contida
nas Referencias 6 e 7.
De agora em diante trataremos o caso em d=4 (3+1) e utilizaremos a regra da soma
implıcita.
Em quatro dimensoes espaco–temporal o 4–vetor posicao e
xµ = (x0, ~x) (3.11a)
xµ = (x0,−~x). (3.11b)
18
O produto escalar e entao
3∑µ=0
xµxµ = xµxµ (3.11c)
= −~x · ~x + c2t2.
Como relacionar os vetores covariantes e os vetores contra–variantes? A partir das
definicoes (3.11a) e (3.11b), vemos que a relacao entre esses vetores e linear homogenea,
de maneira que podemos escreve–la como:
xµ = gµνxν , (3.12a)
onde estamos somando sobre o ındice ν, ν = 0, 1, 2, 3. A matriz gµν , tambem chamada de
metrica, em d=4 (3+1) e representada por
gµν = gµν =
1 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 −1
. (3.12b)
A matriz gµν e simetrica (par) pela troca dos ındices ( gµν = gνµ) e
gµνgντ = δ τµ =
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1
. (3.12c)
Seja Bµ = (B0, ~B) um 4–vetor qualquer. A relacao entre a forma covariante e contra–
variante de qualquer 4–vetor e dada pela eq. (3.12a),
Bµ = gµνBν ⇒ Bµ = (B0,−~B). (3.12d)
Como exemplo de 4–vetores de Lorentz temos:
i. 4–posicao: xµ = (ct, ~x) (3.13a)ii. 4–momento7 pµ =
(Ec , ~p
), (3.13b)
7 A expressao da energia relativıstica total da partıcula livre e:
19
onde E e a energia relativıstica total da partıcula.iii. 4–potencial vetor: Aµ(~x, t) = (A0(~x, t), ~A(~x, t)), (3.13c)
onde A0(~x, t) e o potencial escalar e ~A(~x, t) o potencial vetor associados aos campos eletro-magneticos.
iv. 4–densidade de corrente: jµ(~x, t) = (cρ(~x, t),~(~x, t)) (3.13d)onde ρ(~x, t) e a densidade de carga eletrica na posicao ~x no instante t e ~(~x, t) e a densidadede corrente eletrica na posicao ~x no instante t.
Os operadores diferenciais possuem uma definicao diferente da apresentada em (3.12d):
∂µ ≡ ∂
∂xµ=
(∂
∂x0, ~∇
)(3.14a)
e
∂µ ≡ ∂
∂xµ=
(∂
∂x0,−~∇
). (3.14b)
Comparando as expressoes (3.14a) e (3.14b) vemos que a relacao entre os operadores
diferenciais covariante e contra–variante ainda e dada pela relacao (3.12a),
∂µ = gµν∂ν , (3.14c)
onde estamos somando sobre o ındice ν, ν = 0, 1, 2, 3.
O operador diferencial d’Alambertiano,
tu =(−∇2 +
1c2
∂2
∂t2
), (3.15a)
onde ∇2 = ∂2
∂x2 + ∂2
∂y2 + ∂2
∂z2 , pode ser escrito na forma
tu = ∂µ∂µ. (3.15b)
O operador diferencial d’Alambertiano tu aparece na equacao de ondas eletromagneticas
como veremos na secao 4.1.
E2 =| ~p |2 c2 + m2c4 ⇒ E
c
2
− | ~p |2= m2c2 = const.
Portanto, a quantidade Ec e a componente zero do 4–vetor momento.
20
A relacao entre tensores covariantes e contra–variantes de qualquer ordem e:
i. 4–vetor:
Bµ = gµνBν , (3.16a)
ii. tensor de ordem 2:
Bµ1µ2 = gµ1ν1gµ2ν2Bν1ν2 (3.16b)
iii. tensor de ordem n:
Bµ1µ2...µn = gµ1ν1gµ2ν2 . . . gµnνnBν1ν2...νn. (3.16c)
Para concluirmos esta secao, notemos que as transformacoes de gauge (2.9a–b), ou seja
A′0(~x, t) = A0(~x, t)− 1
c
∂G(~x, t)∂t
(3.17a)
e
~A′(~x, t) = ~A(~x, t) + ~∇G(~x, t), (3.17b)
pode ser escrita na forma covariante
A′µ = Aµ − ∂µG(~x, t). (3.18)
A condicao de gauge de Lorentz (eq. (2.10b)) e escrita como um escalar de Lorentz:
~∇ · ~A(~x, t) +1c
∂A0(~x, t)∂t
= 0 ⇒ ∂µAµ = 0. (3.19)
21
4. Lagrangeana de Campos de Gauge Classicos.
Nesta secao aplicaremos o Princıpio de Hamilton a campos classicos. Exemplificaremos
essa aplicacao considerando campos de gauge de Maxwell e de Maxwell–Chern–Simons. Os
campos de Maxwell sao aqueles que ate este momento temos chamado de campos eletro-
magneticos (luz), enquanto os campos de gauge de Maxwell–Chern–Simons so existem (se
existirem) quando estamos em dimensao espaco–temporal ımpar.
Para uma partıcula, associamos a cada trajetoria um numero atraves da definicao da
acao (eq. (1.6)):
S[x(t); t0, tf ] =∫ tf
t0
dt L(x(t), x(t); t). (4.1)
No caso de partıcula, o unico parametro da trajetoria e o tempo. Entretanto, no caso
de campos, como por exemplo os campos eletromagneticos que discutimos na secao 2, as
coordenadas espaciais sao parametros assim como o tempo. De forma analoga ao sistema de
uma partıcula, queremos associar a cada configuracao do campo que evolui num intervalo de
tempo fixo um numero a que chamamos de acao.
Para simplificar a discussao vamos supor um unico campo que denotaremos por Φ(~x, t).
A acao associada a cada configuracao e definida como:
S[Φ; t0, tf ] =∫ tf
t0
dt
∫
V∞d3~x L(Φ(~x, t), ∂µΦ(~x, t);~x, t), (4.2)
onde L e a densidade de lagrangeana associada ao campo. Em (4.2) integramos sobre todos os
pontos do espaco uma vez que os campos tem uma dependencia espacial. Alem da dependencia
na derivada temporal, L em geral depende tambem das derivadas espaciais.
No Apendice B mostramos como derivar a equacao de Euler–Lagrange para campos
classicos. Aqui nesta secao, apresentaremos apenas as traducoes dos termos que aparecem
na equacao de Lagrange, que descreve o movimento de uma partıcula, para os termos que
aparecem na equacao de Euler–Lagrange, que dao a equacao dinamica para campos classicos.
Um ponto importante a ser discutido e que a acao de sistemas relativısticos e um escalar
de Lorentz. Isto por que a trajetoria que uma partıcula percorre, vista de um dado referencial
inercial, e o mınimo da acao neste referencial. A trajetoria da mesma partıcula vista de outro
22
referencial inercial tem que ser aquela que e obtida da primeira por uma transformacao de
Lorentz, e portanto tem que tambem ser um mınimo da acao. Logo, o valor da acao associada
a trajetoria que a partıcula percorre num dado referencial inercial tem que ser um escalar de
Lorentz de maneira a independer da particular forma que a trajetoria (ou configuracao) tem
em cada referencial inercial. Como o produto dtd~x e um escalar de Lorentz, a densidade de
lagrangeana L tambem tem que ser um escalar de Lorentz.
Obtemos a equacao de Euler–Lagrange a partir da equacao de Lagrange fazendo as
seguintes substituicoes:
∂L
∂x−→ ∂L
∂Φ(~x, t)(4.3a)
d
dt
∂L
∂x−→ ∂
∂t
( ∂L∂(
∂Φ∂t
))+
3∑
i=1
∂
∂xi
( ∂L∂(
∂Φ∂xi
))=
= ∂µ∂L
∂(∂µΦ)(4.3b)
A evolucao no tempo dos campos classicos e dada pela equacao de Euler–Lagrange (eq.
(B.16))
∂L∂Φ
− ∂µ∂L
∂(∂µΦ)= 0. (4.3c)
4.1. Campos Eletromagneticos: Campos de Maxwell
Antes de comecarmos a discutir a densidade de lagrangeana L a partir da qual obtemos as
equacoes de Maxwell (2.2a–d), discutiremos o tensor covariante de ordem 2 definido como[8]:
Fµν(~x, t) = ∂µAν(~x, t)− ∂νAµ(~x, t), µ, ν = 0, 1, 2, 3, (4.1.1)
onde ∂µ = ( 1c
∂∂t ,
~∇) e Aµ(~x, t) = (A0(~x, t),−~A(~x, t)). Note que Fµν e um tensor anti–
simetrico pela troca dos ındices (Fµν = −Fνµ). Portanto, dos 16 elementos do tensor8 Fµν ,
8 Usamos a convencao de que os ındices gregos: α, µ, τ, ... assumem os valores 0,1,2,3,
23
temos 4 elementos nulos (os elementos da diagonal sao nulos) e apenas 6 elementos podem
ser distintos entre si. Relacionaremos esses 6 elementos distintos com as componentes dos
campos eletromagneticos ~E(~x, t) e ~B(~x, t),
F0i = −1c
∂Ai
∂t− ∂A0
∂xi=
[−~∇A0(~x, t)− 1c
∂ ~A(~x, t)∂t
]i
= Ei(~x, t), i = 1, 2, 3, (4.1.2a)
Fij =∂Ai(~x, t)
∂xj− ∂Aj(~x, t)
∂xi.
Comparando a expressao acima para Fij , com a expressao (2.5b) para o campo magnetico,
Bk(~x, t) = (~∇× ~A(~x, t))k = εkij∂iAj , k = 1, 2, 3, obtemos que
F12 = −Bz(~x, t), F13 = By(~x, t), F23 = −Bx(~x, t). (4.1.2b)
Portanto, o tensor Fµν escrito em termos das componentes dos campos eletrico e magne-
tico fica,
Fµν =
0 Ex Ey Ez
−Ex 0 −Bz By
−Ey Bz 0 −Bx
−Ez −By Bx 0
. (4.1.4)
O tensor de Levi–Civita, εkij , esta definido no Apendice A.
Exercıcio:
Determine os elementos do tensor Fµν . Utilize a eq.(3.16b) para obter as componentes
do tensor Fµν a partir da expressao (4.1.4).
enquanto os ındices arabicos: i, j, k, ... assumem os valores 1,2,3, ou seja
µ, ν, τ, . . . = 0, 1, 2, 3 e i, j, k, . . . = 1, 2, 3.
24
A densidade de lagrangeana dos campos eletromagneticos tem que ser um escalar de
Lorentz. Queremos representar atraves da densidade de lagrangeana, os campos eletro-
magneticos e sua interacao com partıculas que possuem carga eletrica, de maneira que as
equacoes de Euler–Lagrange nos de as equacoes de Maxwell.
Seja jµ a 4–densidade de corrente eletrica, jµ(~x, t) = (cρ(~x, t),~(~x, t)), onde ρ(~x, t) e
a densidade de carga eletrica e ~(~x, t) a densidade de corrente eletrica. A densidade de
lagrangeana para campos eletromagneticos (campos de Maxwell) interagindo com materia
carregada eletricamente e[9]:
L(Aµ, ∂νAµ) = − 116π
FµνFµν − 1cjµAµ (4.1.5a)
=| ~E |2 − | ~B |2
8π− ρA0 +
~ · ~Ac
. (4.1.5b)
Exercıcio:
Usando o tensor Fµν na forma (4.1.4) mostre que:
FµνFµν = 2(| ~B |2 − | ~E |2).
Verifiquemos se a densidade de lagrangeana L (eq.(4.1.5a)) substituıda na equacao de
Euler–Lagrange (eq.(4.3c)) da as equacoes de Maxwell (2.2a–d). A equacao de Euler–Lagrange
no caso dos campos de Maxwell fica,
∂L∂Aα
− ∂τ∂L
∂(∂τAα)= 0. (4.1.6)
Calculemos os termos que aparecem no l.e. da eq.(4.1.6).
O primeiro termo do l.e. da eq.(4.1.6) fica,
∂L∂Aα
=∂
∂Aα
[− 116π
FµνFµν − 1cjµAµ
]
= − 116π
[∂Fµν
∂AαFµν + Fµν
∂Fµν
∂Aα
]− 1c
∂
∂Aα
[jµAµ
]. (4.1.7a)
25
Como
Fµν = ∂µAν − ∂νAµ ⇒ ∂Fµν
∂Aα=
∂Fµν
∂Aα= 0. (4.1.7b)
Alem disso9
−1c
∂
∂Aα
[jµAµ
]= −1
cjµ ∂Aµ
∂Aα= −1
cjµδµ
α
⇒ − 1c
∂
∂Aα
[jµAµ
]= −1
cjα. (4.1.7c)
Portanto, temos que
∂L∂Aα
= −1cjα. (4.1.7d)
Calculando as derivadas de L em relacao a ∂τAα
∂L∂(∂τAα)
=∂
∂(∂τAα)[− 1
16πFµνFµν − 1
cjµAµ
]
= − 116π
[ ∂Fµν
∂(∂τAα)Fµν + Fµν
∂Fµν
∂(∂τAα)]− 1
c
∂
∂(∂τAα)[jµAµ
]
= − 18π
Fµν ∂Fµν
∂(∂τAα)− 1
cjµ
∂Aµ
∂(∂τAα). (4.1.8a)
Entretanto, como
Fµν = ∂µAν − ∂νAµ ⇒ ∂Fµν
∂(∂τAα)=
∂(∂µAν)∂(∂τAα)
− ∂(∂νAµ)∂(∂τAα)
⇒ ∂Fµν
∂(∂τAα)= δµ
τ δνα − δν
τ δµα. (4.1.8b)
9 Devemos notar que pela relacao (3.16a), temos que:
jµAµ = gµαjα gµτAτ = gµαgµτ jαAτ = δτα jαAτ = jαAα.
A troca da posicao dos ındices que estao sendo contraıdos nao altera o resul-
tado.
26
Consequentemente temos que
− 18π
Fµν ∂Fµν
∂(∂τAα)= − 1
8πFµν(δµ
τ δνα − δν
τ δµα)
= − 18π
(F τα − Fατ ) = − 14π
F τα, (4.1.8c)
uma vez que F τα e um tensor anti–simetrico.
Alem disso temos que
−1cjµ
∂Aµ
∂(∂τAα)= 0. (4.1.8d)
Substituindo os resultados (4.1.8c–d) em (4.1.8a) decorre que
∂L∂(∂τAα)
= − 14π
F τα =14π
Fατ . (4.1.8e)
Usando os resultados (4.1.7d) e (4.1.8e) a equacao de Euler–Lagrange para os campos
eletromagneticos obtida e:
∂τF τα =4π
cjα, α = 0, 1, 2, 3. (4.1.9)
Observando atentamente a eq.(4.1.9) notamos que ela representa apenas 4 equacoes,
enquanto que as equacoes de Maxwell (2.2a–d) sao 8 equacoes!!!
Vejamos quais das equacoes de Maxwell sao descritas pela eq.(4.1.9). Na verdade como
do l.d. da eq.(4.19) temos jµ, entao sao as equacoes inomogeneas de Maxwell (2.2a) e (2.2d)
que sao reproduzidas pelas suas componentes. Para vermos isto, reescrevemos a eq.(4.1.9) em
termos das componentes do tensor Fµν :
i. α = 0
∂jFj0(~x, t) = 4πρ(~x, t), (4.1.10a)
onde o ındice j, sobre o qual estamos somando implicitamente, assume os valores: j = 1, 2, 3.
Mas,
27
∂jFj0(~x, t) =
∂Ex(~x, t)∂x
+∂Ey(~x, t)
∂y+
∂Ez(~x, t)∂z
= ~∇ · ~E(~x, t). (4.1.10b)
A componente α = 0 da eq.(4.1.9) nos da a lei de Gauss:
~∇ · ~E(~x, t) = 4πρ(~x, t). (4.1.10c)
ii. α = 1
1c
∂F 01
∂t+
∂F 21
∂y+
∂F 31
∂z=
4π
cjx. (4.1.11a)
Reescrevendo os elementos de Fµν em termos dos campos eletromagneticos, a eq.(4.1.11a)
passa a ser
−1c
∂Ex(~x, t)∂t
+∂Bz(~x, t)
∂y− ∂By(~x, t)
∂z=
4π
cjx(~x, t) ⇒
⇒ (~∇× ~B(~x, t))x =4π
cjx(~x, t) +
1c
∂Ex(~x, t)∂t
. (4.1.11b)
Procedendo de forma analoga, para α = 2 e α = 3 encontramos que
iii. α = 2
(~∇× ~B(~x, t))y =4π
cjy(~x, t) +
1c
∂Ey(~x, t)∂t
, (4.1.11c)
iv. α = 3
(~∇× ~B(~x, t))z =4π
cjz(~x, t) +
1c
∂Ez(~x, t)∂t
. (4.1.11d)
As componentes espaciais (α = 1, 2, 3) da eq.(4.1.9) nos dao a lei Ampere corrigida10:
10 A lei de Ampere original e: ~∇× ~B = 4πc ~. Entretanto, Maxwell adicionou a esta relacao
o termo de corrente de deslocamento 1c
∂~E∂t de forma a fechar de forma auto–consistente as que
hoje sao conhecidas como as leis de Maxwell[10].
28
~∇× ~B(~x, t) =4π
c~(~x, t) +
1c
∂~E(~x, t)∂t
, (4.1.11e)
Como obter as equacoes homogeneas de Maxwell (2.2b) e (2.2c)?
Na verdade as equacoes homogeneas de Maxwell decorrem da definicao do tensor Fµν em
termos do 4–potencial vetor Aµ, ou seja,
Fµν = ∂µAν − ∂νAµ, (4.1.12)
que satisfaz a seguinte identidade:
∂αFµν + ∂µFνα + ∂νFαµ = 0, (4.1.13)
valida para qualquer configuracao Aµ(~x, t).
A identidade (4.1.13) e conhecida como a identidade de Bianchi.
Exercıcio:
Usando a expressao (4.1.12) para o tensor Fµν mostre a identidade de Bianchi (4.1.13).
Para obtermos as equacoes de Maxwell (2.2b) e (2.2c) a partir das componentes da
eq.(4.1.13), calcule–mo–la explicitamente para conjuntos distintos de valores de (α, µ, ν):
i. α = 0, µ = 1, ν = 2
∂0F12 + ∂1F20 + ∂2F01 = 0 ⇒ −1c
∂Bz
∂t− ∂Ey
∂x+
∂Ex
∂y= 0
⇒ (~∇× ~E(~x, t))z = −1c
∂Bz
∂t. (4.1.14a)
ii. α = 0, µ = 1, ν = 3
∂0F13 + ∂1F30 + ∂3F01 = 0 ⇒ 1c
∂By
∂t− ∂Ez
∂x+
∂Ex
∂z= 0
⇒ (~∇× ~E(~x, t))y = −1c
∂By
∂t. (4.1.14b)
29
iii. α = 0, µ = 2, ν = 3
∂0F23 + ∂2F30 + ∂3F02 = 0 ⇒ −1c
∂Bx
∂t− ∂Ez
∂y+
∂Ey
∂z= 0
⇒ (~∇× ~E(~x, t))x = −1c
∂Bx
∂t. (4.1.14c)
iv. α = 1, µ = 2, ν = 3
∂1F23 + ∂2F31 + ∂3F12 = 0 ⇒ −∂Bx
∂x− ∂By
∂y− ∂Bz
∂z= 0
⇒ ~∇ · ~B(~x, t) = 0. (4.1.14d)
Em resumo, as eqs.(4.1.14a–c) nos dao a lei de Faraday
~∇× ~E(~x, t) = −1c
∂~B(~x, t)∂t
(4.1.15),
e, a eq.(4.1.14d) nos da a equacao de Gauss para o campo magnetico,
~∇ · ~B(~x, t) = 0. (4.1.16)
A eq.(4.1.16) representa a ausencia de monopolos magneticos nas equacoes de Maxwell.
Portanto, a partir da densidade de lagrangeana (4.1.5) e da definicao do tensor Fµν
obtemos todas as equacoes de Maxwell (2.2a–d).
Todos nos ja ouvimos falar na conservacao da carga eletrica. Vamos mostrar que essa lei
de conservacao e uma consequencia das equacoes de Maxwell (eqs. (2.2a–d) ou (4.1.9)).
Usando as equacoes de Maxwell escrita na forma covariante (eq.(4.19)),
∂τF τα =4π
cjα, α = 0, 1, 2, 3, (4.1.17)
calculamos a sua derivada em relacao a xα, e somamos sobre α, de forma que
∂α∂τF τα =4π
c∂αjα. (4.1.18a)
30
Como os ındices α e τ no l.e. da eq.(4.1.18a) sao ındices mudos (ındices sobre os quais
estamos somando), entao podemos mudar o nome dessas variaveis, de maneira que se fazemos
a mudanca de variaveis: α τ , o l.e. da eq.(4.1.18a) nao se modifica, ou seja,
∂α∂τF τα = ∂τ∂αFατ = −∂τ∂αF τα = −∂α∂τF τα
⇒ ∂α∂τF τα = 0, (4.1.18b)
onde usamos que ∂α∂τ = ∂τ∂α mas que F τα = −Fατ .
Consequentemente podemos escrever a eq.(4.1.18a) como sendo
∂αjα(~x, t) = 0 ⇒ ∂ρ(~x, t)∂t
+ ~∇ · ~(~x, t) = 0, (4.1.18c)
que nos da a lei de conservacao da carga eletrica. A partir da equacao de conservacao da
carga eletrica temos que a variacao da densidade de carga eletrica na posicao ~x no instante t e
igual a menos o fluxo da densidade de corrente eletrica que no instante t atravessa um volume
infinitesimal que contem o ponto ~x. Para ~∇ · ~ > 0 temos um fluxo positivo atravessando
o volume infinitesimal. Essa relacao descreve a situacao em que temos mais corrente saindo
do volume infinitesimal, que contem o ponto ~x, do que entrando. Essa quantidade maior de
corrente que sai, se da as custas da diminuicao da densidade de cargas eletricas dentro do
volume infinitesimal que contem o ponto ~x. No processo inverso, fluxo negativo, temos um
aumento de carga eletrica em ~x, que corresponde a um acumulo de carga eletrica neste ponto.
A densidade de lagrangeana L (4.1.5) nao e invariante sob transformacoes de gauge (eq.-
(3.18)) uma vez que e proporcional a Aµ. Apesar disso as equacoes de movimento para os
campos sao invariantes sob essas transformacoes. Qual o mecanismo da teoria que garante a
invariancia das equacoes de movimento?
Vejamos como a densidade de lagrangeana l(4.1.5a) se modifica sob transformacoes de
gauge
A′µ(~x, t) = Aµ(~x, t)− ∂µG(~x, t). (4.1.19)
31
Note que a transformacao de gauge (4.1.19) corresponde a dizer que todas as con-
figuracoes Aµ(~x, t) sao modificadas, sendo que a cada uma delas e subtraıdo o 4–gradiente da
mesma funcao G(~x, t).
A densidade de lagrangeana (4.1.5a) sob a transformacao (4.1.19) fica:
L(A′µ, ∂νA′µ) = − 116π
F ′µνF ′µν − 1cjµA′µ
= − 116π
FµνFµν − 1cjµAµ +
1cjµ∂µG. (4.1.20a)
Exercıcio:
Os elementos do tensor Fµν (eq.(4.1.4)), sao as componentes dos campos fısicos ~E(~x, t)
e ~B(~x, t). Os campos fısicos sao invariantes sob a transformacao de gauge (4.1.19).
Prove que F ′µν = Fµν e, portanto, que F ′µνF ′µν = FµνFµν .
Usando a conservacao da carga eletrica, eq.(4.1.18c), temos que
1cjµ(~x, t)∂µG(~x, t) =
1c∂µ(jµ(~x, t)G(~x, t))− 1
cG(~x, t)∂µjµ(~x, t)
=1c∂µ(jµ(~x, t)G(~x, t)). (4.1.20b)
Usando o resultado (4.1.20b) em (4.1.20a), obtemos que a densidade de lagrangeana dos
campos de Maxwell se transforma sob transformacao de gauge como
L(A′µ, ∂νA′µ) = L(Aµ, ∂νAµ) +1c∂µ(jµ(~x, t)G(~x, t)). (4.1.20c)
Vemos que a densidade de lagrangeana dos campos eletromagneticos so e invariante sob
transformacao de gauge na ausencia de partıculas com carga eletrica. No entanto, na presenca
de cargas e correntes eletricas, a densidade de lagrangeana sob uma transformacao de gauge
se modifica por uma derivada total. O fato da densidade de lagrangeana se modificar, sob
uma transformacao de gauge, por uma derivada total, e consequencia da lei de conservacao
da carga eletrica.
Da eq.(4.2) temos que a acao associada a configuracao do 4–potencial vetor e,
32
S[Aµ; t0, tf ] =∫ tf
t0
dt
∫
V∞d3~x L(Aµ, ∂νAµ;~x, t). (4.1.21a)
A acao associada aos campos A′µ obtidos de Aµ a partir da transformacao de gauge
(4.1.19) e
S′[A′µ; t0, tf ] =∫ tf
t0
dt
∫
V∞d3~x L(A′µ, ∂νA′µ;~x, t). (4.1.21b)
Utilizando–se o resultado (4.1.20c), relacionamos S′[A′µ] e S[Aµ]
S′[A′µ; t0, tf ] =∫ tf
t0
dt
∫
V∞d3~x L(Aµ, ∂νAµ;~x, t) +
1c
∫ tf
t0
dt
∫
V∞d3~x ∂µ(jµ(~x, t)G(~x, t))
= S[Aµ; t0, tf ] +1c
∫ tf
t0
dt
∫
V∞d3~x ∂µ(jµ(~x, t)G(~x, t)). (4.1.21c)
Entretanto,
1c
∫ tf
t0
dt
∫
V∞d3~x ∂µ(jµ(~x, t)G(~x, t)) =
∫
V∞d3~x
∫ tf
t0
dt∂
∂t(ρ(~x, t)G(~x, t))+
+1c
∫ tf
t0
dt
∫
V∞d3~x ~∇ · (~j(~x, t)G(~x, t))
=∫
V∞d3~x [ρ(~x, tf )G(~x, tf )− ρ(~x, t0)G(~x, t0)] +
1c
∫ tf
t0
dt
∮
S∞G(~x, t)~j(~x, t) · d~s
=∫
V∞d3~x [ρ(~x, tf )G(~x, tf )− ρ(~x, t0)G(~x, t0)]. (4.1.21d)
Para passarmos da primeira linha para a segunda linha da expressao anterior utilizamos
o Teorema de Gauss (eq.(A.9)). Para escrevermos o resultado final (4.1.21d) utilizamos a
hipotese de sistema fechado e portanto ~(~x, t) = 0, em qualquer ponto da superfıcie S∞ que
delimita o volume V∞.
Finalmente, podemos escrever que
S′[A′µ; t0, tf ] = S[Aµ; t0, tf ] +∫
V∞d3~x [ρ(~x, tf )G(~x, tf )− ρ(~x, t0)G(~x, t0)]. (4.1.22)
33
A segunda integral que aparece do l.d. da expressao (4.1.22) e a mesma para qual-
quer configuracao de Aµ(~x, t). Portanto, as configuracoes que correspondem ao mınimo de
S′[A′µ] sao aquelas que foram obtidas de Aµ por uma transformacao de gauge e que sao as
configuracoes que dao os mınimos de S[Aµ]. Como Aµ e A′µ estao ligadas por uma trans-
formacao de gauge, entao ambas as configuracoes geram os mesmos campos eletromagneticos.
Como consequencia da acao variar da mesma quantidade para todas as configuracoes, os
4–potenciais vetores que minimizam cada uma das acoes, apesar de diferentes, representam
os mesmos campos fısicos. Por tudo isso, as equacoes de movimento obtidas pela aplicacao do
Princıpio de Hamilton a densidade de lagrangeana (4.1.5) sao invariantes sob transformacoes
de gauge.
Cabe ressaltar mais uma vez que foi fundamental para demonstrar a invariancia da
equacao de movimento dos campos eletromagneticos sob transformacoes de gauge a lei de
conservacao da carga eletrica.
Para concluir esta secao, consideraremos as equacoes de Maxwell numa regiao distante
da regiao onde estao as cargas e correntes eletricas que geraram os campos eletromagneticos.
Na regiao em que estamos interessados em estudar a evolucao no tempo dos campos eletro-
magneticos, as equacoes de Maxwell sao:
~∇ · ~E(~x, t) = 0, (4.1.23a)
~∇ · ~B(~x, t) = 0, (4.1.23b)
~∇× ~E(~x, t) = −1c
∂~B(~x, t)∂t
, (4.1.23c)
~∇× ~B(~x, t) =1c
∂~E(~x, t)∂t
. (4.1.23d)
Para obtermos a equacao de movimento das componentes do campo eletrico ~E(~x, t) cal-
culamos o rotacional da eq.(4.1.23c),
~∇× (~∇× ~E(~x, t)) +1c
∂
∂t(~∇× ~B(~x, t)) = 0. (4.1.24a)
Usando a relacao (A.7) e substituindo a eq.(4.1.23d) na expressao anterior, obtemos que
34
~∇(~∇ · ~E(~x, t))−∇2~E(~x, t) = − 1c2
∂2~E(~x, t)∂t2
⇒(∇2 − 1
c2
∂2
∂t2)~E(~x, t) = 0. (4.1.24b)
Utilizamos que ~∇ · ~E(~x, t) = 0 para escrevermos (4.1.24b) na sua forma final. A eq.
(4.1.24b) e valida para cada componente do campo eletrico:
(∇2 − 1c2
∂2
∂t2)Ei(~x, t) = 0, i = 1, 2, 3. (4.1.24c)
Usamos a notacao: E1 = Ex, E2 = Ey e E3 = Ez. O operador (∇2 − 1c2
∂2
∂t2 ) e o operador
d’Alambertiano (tu) que definimos na eq.(3.15a). Usando a notacao covariante do operador
d’Alambertiano (eq.(3.15b)), a equacao de movimento das componentes do campo eletrico
livre fica:
∂µ∂µEi(~x, t) = 0. (4.1.24d)
Procedendo de forma analoga, mas agora usando as eqs.(4.1.23d) e (4.1.23c) obtemos as
mesmas equacoes para as componentes do campo magnetico livre,
(∇2 − 1c2
∂2
∂t2)Bi(~x, t) = 0 ⇒
⇒ ∂µ∂µBi(~x, t) = 0. (4.1.25)
Estudemos agora as solucoes de onda plana da eq.(4.1.24c), ou equivalentemente, da
eq.(4.1.25). Supomos que essas equacoes tem solucao da forma
Ei(~x, t) = E iei(~k·~x−ωt), (4.1.26a)
onde E i e uma constante que da a amplitude do campo eletrico, ~k e o vetor de onda que
determina a direcao e o sentido em que a onda plana se propaga e ω sua frequencia angular.
No entanto, nao e para qualquer valor de | ~k | e ω que a solucao tentativa (4.1.26a) e solucao da
equacao diferencial (4.1.24c). Substituimos a solucao (4.1.26a) em (4.1.24c) para encontrarmos
que relacao | ~k | e ω devem satisfazer para que (4.1.26a) seja sua solucao. Assim,
35
(∇2 − 1c2
∂2
∂t2)Ei(~x, t) = 0 ⇒ E iei(~k·~x−ωt)(| ~k |2 −ω2
c2) = 0. (4.1.26b)
Como a igualdade (4.1.26b) tem que ser verdadeira em todos os pontos do espaco e em
todos os instantes, entao a unica forma de garantirmos isto e impondo que
ω2
c2=| ~k |2 . (4.1.26c)
A relacao de dispersao (4.1.26c) e satisfeita por partıculas de massa zero[4].
Podemos nos perguntar: como a densidade de lagrangeana (4.1.5a) deve ser modificada
para que a luz possua massa?
Em 1936, A. Proca foi o primeiro a propor uma modificacao na densidade de lagrangeana
(4.1.5a) para que a luz tivesse massa. A densidade de lagrangeana [7]
LProca(Aτ , ∂νAτ ) = − 116π
FτνF τν − 1cjαAα +
µ
8πAαAα, (4.1.27a)
e conhecida como a densidade de lagrangeana de Proca.
A equacao de movimento obtida a partir de (4.1.27a) e,
∂τF τα + µ2Aα =4π
cjα, α = 0, 1, 2, 3 (4.1.27b)
A eq.(4.1.27b) escrita em termos dos 4–potenciais Aα, no gauge de Lorentz (∂αAα) e na
ausencia de 4–correntes externas, fica
(∇2 − 1c2
∂2
∂t2)Aα(~x, t)− µ2Aα(~x, t) = 0, α = 0, 1, 2, 3. (4.1.28a)
A solucao tipo onda plana (eq.(4.1.26a)),
Aα(~x, t) = Aαei(~k·~x−ωt), (4.1.28b)
substituida na eq.(4.1.28a), leva a relacao de dispersao:
ω2
c2=| ~k |2 +µ2. (4.1.28c)
36
A relacao (4.1.28c) e igual a relacao de dispersao satisfeita por partıculas livres rela-
tivısticas de massa |µ|.A partir da eq.(4.1.27b), vemos que a equacao de movimento obtida do modelo de Proca
depende explicitamente dos campos Aα(~x, t), de maneira que ela nao e mais invariante sob a
transformacao de gauge (4.1.19). Com a perda da invariancia de gauge, os campos Aα(~x, t)
perdem o seu carater auxiliar e passam a ser campos fısicos, o que vai contra o fato de
serem os campos eletrico e magnetico os campos fısicos, enquanto que os 4-potencias veto-
rias foram introduzidos apenas para levar em conta que campos eletromagneticos possuem
interdependencia.
Portanto, e preciso procurar outro mechanismo que a Natureza possa ter lancado mao
para dar massa a luz, mas sem abrir mao da invariancia de gauge da teoria.
A densidade de lagrangeana dos campos de Maxwell (campos eletromagneticos)
L(Aµ, ∂νAµ) = − 116π
FµνFµν − 1cjµAµ, (4.1.29)
pode ser escrita em qualquer dimensao espaco–temporal. Na secao 4.1 apresentamos os
calculos em d=4(3+1). Entretanto, a forma da equacao de movimento nao muda se con-
sideramos dimensoes de espaco–tempo iguais a: d=2 (1+1), d=3 (2+1).
4.2. Campos de Gauge de Maxwell-Chern–Simons.
Os fısicos teoricos nunca estao satisfeitos com a densidade de lagrangeana que eles tem a
mao. E parte de sua natureza especular como seria o universo se a densidade de lagrangeana
tivesse outros termos. Que novos fenomenos a Natureza lhe revela nestes novos termos de sua
tao amada densidade de lagrangeana?
A Teoria Eletromagnetica nao foge a regra de provocar esta incansavel curiosidade que
os teoricos possuem. A regra que temos que seguir para tentar adicionar novos termos a
densidade de lagrangeana dos campos eletromagneticos (eq. (4.1.29)) e de que ela tem que
continuar a ser um escalar de Lorentz. Alem disso, na ausencia de partıculas que possuam
carga eletrica, a densidade de lagrangeana e invariante sob transformacoes de gauge. Portanto
37
uma ideia possıvel que se tem para estender a densidade de lagrangeana (4.1.29), na ausencia
de partıculas carregadas eletricamente, e adicionar–lhe o escalar de Lorentz
εγναβFγνFαβ . (4.2.1a)
A lagrangeana estendida dos campos eletromagneticos passaria a ser
Lest(Aγ , ∂νAγ) == − 116π
FγνF γν − 1cjγAγ + gεγναβFγνFαβ , (4.2.1b)
onde g e uma constante e εγναβ e o tensor de Levi–Civita em 4 dimensoes11.
Entretanto, o termo εγναβFγνFαβ e igual a uma derivada total, ou seja,
εγναβFγνFαβ = ∂νΩν . (4.2.1c)
Exercıcio:
Mostre que:
εγναβFγνFαβ = ∂νΩν ,
onde
Ων = 2ενγαβAγFαβ .
Lest difere da lagrangeana (4.1.29) por uma derivada total. Pelo que mostramos na
secao 1, densidades de lagrangeanas que difiram por uma derivada total geram o mesmo
conjunto de equacoes de movimento. Portanto, ao adicionarmos o termo (4.2.1a) a (4.1.29)
11 O tensor de Levi–Civita εγναβ e definido de forma analoga ao tensor de Levi–Civita em
3 dimensoes ( Apendice A); ε0123 = 1, assim como para todas as permutacoes pares dos ındice
(0, 1, 2, 3) , -1 para todas as permutacoes ımpares dos ındices (0, 1, 2, 3) e 0 se dois ou mais
ındices forem iguais.
38
nao estamos descrevendo nenhum fenomeno fısico novo. Por simplicidade, usamos a densidade
de lagrangeana (4.1.29 ) para descrever os campos eletromagneticos.
Em dimensoes espaco–temporal ımpar podemos definir os termos de Chern–Simons. Os
termos de Chern–Simons nao sao invariantes sob transformacoes de gauge (eq. (4.1.19));
entretanto, veremos que as equacoes de movimento dos campos obtidas, continuam invariantes
mesmo com a adicao desses termos.
Neste mini–curso nos restringiremos a discutir o termo de Chern–Simons abeliano em
d=3(2+1). Em d=3(2+1) o movimento dos campos e partıculas esta restrito a um unico
plano, que chamaremos de plano (x, y).
A densidade de lagrangeana do termo de Chern–Simons abeliano em d=3(2+1) e:
LC−S(Aγ , ∂νAγ) =µ
4εγναFγνAα, (4.2.2)
sendo εγνα o tensor de Levi–Civita (Apendice A) em 3 dimensoes12.
A lagrangeana dos campos de gauge, incluindo o termo de Chern–Simons, fica sendo
LG(Aγ , ∂νAγ) = − 116π
FγνF γν +µ
4εγναFγνAα, (4.2.3)
que e conhecida na literatura [11,12] como a densidade de lagrangeana de Maxwell–Chern–
Simons. Os dois primeiros termos do l.d. de (4.2.3) sao chamados de densidade de lagrangeana
de Maxwell.
A acao tem dimensao de momento angular:
[S] =ML2
T, (4.2.4)
onde M representa a dimensao de massa, L a dimensao de comprimento e T a dimensao de
tempo. Como todos os termos de uma expressao tem que ter a mesma dimensao, entao a
partir da acao podemos determinar em d=3(2+1) a dimensao do 4–potencial vetor Aν e da
constante de Chern–Simons µ.
Usando a expressao geral (4.2) da acao para campos classicos, temos que em d=3(2+1)
a acao para os campos de Maxwell-Chern–Simons e,
12 Definimos ε012 = 1.
39
S[Aγ ; t0, tf ] =∫ tf
t0
dt
∫
V∞d2~x LG(Aγ(~x, t), ∂νAγ(~x, t);~x, t). (4.2.5)
A analise dimensional para se determinar a dimensao de Aµ e µ e a seguinte:
i. a partir da densidade de lagrangeana de Maxwell:
[S] =ML2
T= TL2[FγµF γµ] = TL2 [Aγ ]2
L2⇒
⇒ [Aγ ] =M
12 L
T; [Fγν ] =
[Aγ ]L
=M
12
T. (4.2.6a)
ii. as densidades de Maxwell e de Chern–Simons tem a mesma dimensao:
[Fγν ]2 = [µ][Aγ][Fγν ] ⇒ [µ] = L−1. (4.2.6b)
A constante de Chern–Simons µ tem dimensao do inverso do comprimento. O modelo de
Maxwell–Chern–Simons tem uma constante que caracteriza um comprimento: 1µ , ao contrario
da teoria de Maxwell que na ausencia de cargas e correntes eletricas nao possui nenhuma
constante com dimensao.
O termo de Chern–Simons (4.2.2) nao e invariante sob transformacoes de gauge (4.1.19)
uma vez que depende diretamente de Aγ ; porem, como a densidade de lagrangeana LC−S se
modifica sob transformacoes de gauge (4.1.19)?
Sob a transformacao de gauge (4.1.19)
A′µ(~x, t) = Aµ(~x, t)− ∂µG(~x, t). (4.2.7)
a densidade de lagrangeana de Chern–Simons passa a ser
LC−S(A′γ , ∂νA′γ) =µ
4εγναFγν(Aα − ∂αG)
= LC−S(Aγ , ∂νAγ)− µ
4εγναFγν∂αG. (4.2.8)
Mas,
εγναFγν∂αG = εγνα∂α(GFγν)− εγναG∂αFγν . (4.2.9a)
40
Porem, como Fµν = ∂µAν − ∂νAµ, entao,
εγναG∂αFγν = G[εγνα∂α∂γAν − εγνα∂α∂νAγ ]
= 0, (4.2.9b)
uma vez que somamos sobre os ındices (α, γ) no primeiro termo do l.d. de (4.2.9b) e sobre
(α, ν) no segundo termo da mesma expressao e εγνα e um tensor ımpar (εγνα = −εγαν),
enquanto que ∂α∂γ e ∂α∂ν sao tensores pares (∂α∂γ = ∂γ∂α, e, ∂α∂ν = ∂ν∂α).
Logo,
εγναFγν∂αG = ∂α(εγναGFγν). (4.2.9c)
Finamente, podemos afirmar que sob uma transformacao de gauge a densidade de la-
grangeana de Maxwell–Chern–Simons se transforma como:
LC−S(A′γ , ∂νA′γ) = LC−S(Aγ , ∂νAγ)− µ
4∂α(εγναFγνG). (4.2.10)
Como no caso dos campos de Maxwell a densidade de lagrangeana de Maxwell–Chern–
Simons se modifica por uma derivada total sob uma transformacao de gauge (4.2.7). Mostra-
mos na secao 4.1 que neste caso a acao que descreve o sistema gera equacoes de movimento
invariantes sob transformacoes de gauge. A grande diferenca entre as duas teorias e que a
densidade de lagrangeana de Chern–Simons nao e invariante sob transformacoes de gauge
nem mesmo na ausencia de interacao com partıculas. Entretanto o que e importante e que a
lagrangeana gera equacoes de movimento que sao invariantes sob transformacoes de gauge.
Antes de discutirmos as equacoes de movimento decorrentes da densidade de lagrangeana
de Maxwell-Chern–Simons com os campos de gauge Aν acoplados a correntes e cargas ele-
tricas, vejamos as componentes do tensor Fγν em termos dos campos eletromagneticos em
d=3(2+1).
Como o tensor Fγν tem a mesma definicao em qualquer dimensao espaco–temporal,
Fγν(~x, t) = ∂γAν(~x, t)− ∂νAγ(~x, t), γ, ν = 0, 1, 2, (4.2.11)
41
em d=3(2+1) o tensor Fγν tem 3 componentes independentes de um total de 9 elementos.
Lembramos que os elementos da diagonal do tensor Fγν sao nulos.
Os elementos independentes do tensor Fγν(~x, t) sao:
F0i(~x, t) = −1c
∂Ai
∂t− ∂A0
∂xi= Ei(~x, t), i = 1, 2, (4.2.12a)
e
F12(~x, t) = −∂A2
∂x1+
∂A1
∂x2=
∂Ax
∂y− ∂Ay
∂x= −B(~x, t). (4.2.12b)
Das expressoes (4.2.12a–b), vemos que em d=3(2+1) o campo eletrico e um vetor com
duas componentes contidas no plano (x, y) enquanto que o campo magnetico e um escalar.
Note que F12 em d=4(3+1) corresponde a componente z do campo magnetico; em d=3(2+1)
a componente z e perpendicular ao plano fixado de maneira que em d=3(2+1) o campo
magnetico e um escalar.
O tensor Fγν escrito na sua forma matricial fica,
Fγν =
0 Ex Ey
−Ex 0 −B−Ey B 0
. (4.2.12c)
Em resumo, temos que
Ei(~x, t) = F0i(~x, t) = −1c
∂Ai
∂t− ∂A0
∂xi(4.2.13a)
e
B(~x, t) = −F12(~x, t) = εij∂iAj , (4.2.13b)
onde εij , i, j, = 1, 2, e o tensor de Levi–Civita em duas dimensoes (ε12 = 1, ε21 = −1, ε11 =
ε22 = 0).
Iremos derivar agora as equacoes de movimento obtidas da densidade de lagrangeana
LG dos campos de Maxwell–Chern–Simons acoplados a corrente e carga eletricas. Neste caso
temos que a densidade de lagrangeana que descreve o sistema e:
42
L(Aγ , ∂νAγ) = LG(Aγ , ∂νAγ)− 1cjγAγ
= − 116π
FγνF γν +µ
4εγναFγνAα − 1
cjγAγ . (4.2.14)
Substituindo a densidade de lagrangeana (4.2.14) na equacao de Euler–Lagrange
(eq.(4.1.6)),
∂L∂Aα
− ∂τ∂L
∂(∂τAα)= 0, (4.2.15)
obtemos a equacao de movimento dos campos de gauge de Maxwell–Chern–Simons na presenca
de carga e corrente eletricas.
Dos resultados (4.1.7d) e (4.1.8e) temos que
∂
∂Aα
(− 116π
FγνF γν − 1cjγAγ
)= −1
cjα (4.2.16a)
∂
∂(∂τAα)(− 1
16πFγνF γν − 1
cjγAγ
)=
14π
Fατ . (4.2.16b)
Alem disso,
∂
∂Aα
(µ
4ελνγFλνAγ
)=
µ
4ελνγFλν δα
γ =µ
4ελναFλν , (4.2.16c)
e
∂
∂(∂τAα)(µ
4ελνγFλνAγ
)=
µ
4ελνγAγ
∂Fλν
∂(∂τAα)
=µ
4ελνγAγ(δλ
τδνα − δν
τδλα)
=ν
4Aγ(εταγ − εατγ)
=µ
2εταγAγ . (4.2.16d)
Usamos o resultado (4.1.8b) para escrevermos a segunda linha da expressao (4.2.16d).
Substituindo os resultados (4.2.16a–d) na eq.(4.2.15), obtemos que
43
µ
4εγναFγν − 1
cjα − ∂τ
( 14π
Fατ − µ
2εταγAγ
)= 0. (4.2.16e)
Entretanto,
µ
2εταγ∂τAγ = −µ
4(εατγ∂τAγ + εαγτ∂γAτ
)
= −µ
4εατγ(∂τAγ − ∂γAτ )
= −µ
4εατγFτγ = −µ
4εαγνFγν (4.2.16f)
Substituindo (4.2.16f) em (4.2.16e), encontramos que a equacao de movimento dos cam-
pos de Maxwell–Chern–Simons e
14π
∂γF γα +µ
2εαγνFγν =
1cjα, α = 0, 1, 2. (4.2.17)
Note que as equacoes de movimento (4.2.17) so dependem do 4–potencial vetor atraves
do tensor Fγν ; logo elas sao invariantes sob transformacoes de gauge (4.2.7).
Reescrevendo as componentes da equacao de movimento em termos dos campos ~E(~x, t)
e B(~x, t) temos:
i. Lei de Gauss : α = 0
14π
∂iFi0 +
µ
2ε0ijFij = ρ(~x, t) ⇒ ~∇ · ~E(~x, t)− 4πµB(~x, t) = 4πρ(~x, t). (4.2.18a)
ii. α = 1
14π
∂γF γ1 +µ
2ε1γνFγν =
1cj1(~x, t) ⇒ 1
4π
[1c
∂F 01
∂t+
∂F 21
∂y
]− µF02 =1cj1(~x, t)
⇒ ∂B(~x, t)∂y
− 4πµEy(~x, t) =4π
cjx(~x, t) +
1c
∂Ex(~x, t)∂t
. (4.2.18b)
iii. α = 2
14π
∂γF γ2 +µ
2ε2γνFγν =
1cj2(~x, t) ⇒ 1
4π
[1c
∂F 02
∂t+
∂F 12
∂x
]+ µF01 =
1cj2(~x, t)
⇒ − ∂B(~x, t)∂x
+ 4πµEx(~x, t) =4π
cjy(~x, t) +
1c
∂Ey(~x, t)∂t
. (4.2.18c)
44
Seja k um vetor unitario constante perpendicular ao plano (x, y). As eqs.(4.2.18b) e
(4.2.18c) podem ser reescritas como:
~∇× (B(~x, t)k) + 4πµk × ~E(~x, t) =4π
c~(~x, t) +
1c
∂~E(~x, t)∂t
, (4.2.18d)
Como a definicao do tensor Fγν e a mesma que para os campos de gauge de Maxwell, a
eq.(4.1.13) (identidade de Bianchi) continua sendo valida,
∂αFγν + ∂γFνα + ∂νFαγ = 0. (4.2.19a)
A unica escolha que temos para os tres ındices α, γ, ν distintos e: α = 0, γ = 1 e ν = 2.
Neste caso a identidade de Bianchi fica,
∂0F12 + ∂1F20 + ∂2F01 = 0 ⇒ ∂Ey
∂x− ∂Ex
∂y= −1
c
∂B
∂t
⇒ ~∇× ~E(~x, t) = −1c
∂B(~x, t)k∂t
. (4.2.19b)
Em resumo temos que as equacoes que governam os campos de gauge Maxwell–Chern–
Simons sao:
~∇ · ~E(~x, t)− 4πµB(~x, t) = 4πρ(~x, t), (4.2.20a)
~∇× (B(~x, t)k) + 4πµk × ~E(~x, t) =4π
c~(~x, t) +
1c
∂~E(~x, t)∂t
, (4.2.20b)
~∇× ~E(~x, t) = −1c
∂B(~x, t)k∂t
, (4.2.20c)
onde k e um vetor unitario constante perpendicular ao plano (x, y). Da lei de Gauss (eq.
(4.2.20a)) vemos que, para os campos de Maxwell–Chern–Simons, as cargas eletricas sao
fontes tanto para o campo eletrico quanto para o campo magnetico.
Para µ = 0 em (4.2.20a–c) re–obtemos as equacoes de Maxwell em d=3(2+1).
Mostraremos agora que a eq.(4.2.17) tambem leva a conservacao da 4–densidade de cor-
rente eletrica.
A equacao de movimento dos campos de Maxwell–Chern–Simons e (eq.(4.2.17))
45
14π
∂γF γα +µ
2εαγνFγν =
1cjα, α = 0, 1, 2. (4.2.21)
de forma, que calculando a derivada covariante ∂α de ambos os lados da expressao anterior
obtemos:
14π
∂α∂γF γα +µ
2εαγν∂αFγν =
1c∂αjα. α = 0, 1, 2. (4.2.22a)
Em (4.1.18b) mostramos que o primeiro termo l.e. da expressao acima e zero. Analisemos
o segundo termo do l.e. da eq.(4.2.22a),
µ
2εαγν∂αFγν =
µ
2εαγν(∂α∂γAν − ∂α∂νAγ)
= 0. (4.2.22b)
Portanto, das eqs.(4.1.18b) e (4.2.22b) decorre a conservacao da 4–densidade de corrente
eletrica:
∂αjα(~x, t) = 0 ⇒ ∂ρ(~x, t)∂t
+ ~∇ · ~(~x, t) = 0. (4.2.22c)
As equacoes de Maxwell–Chern–Simons (4.2.20a–c) tambem acoplam os campos eletrico
e magnetico. No caso de campos livres ( ausencia de carga e corrente eletricas) as equacoes
desses campos podem ser desacopladas. O desacoplamento das equacoes dos campos fısicos
livres fica mais simples se definimos o dual do tensor Fαν ,
F ν(~x, t) ≡ εναγ
2Fαγ(~x, t). (4.2.23)
Exercıcio:
Usando o fato de que o tensor εναγ e anti–simetrico pela troca de dois ındices, εναγ =
−εανγ ,e que Fαγ = ∂αAγ − ∂γAα, mostre que
∂ν F ν(~x, t) = 0.
46
A relacao (4.2.23) pode ser invertida usando a identidade:
εανβεαγτ = δνγδβ
τ − δντδβ
γ . (4.2.24)
Para isso basta multiplicar ambos os lados da eq.(4.2.23) por ενγλ e somar sobre o ındice
ν que obtemos
Fγλ(~x, t) = εγλν F ν(~x, t). (4.2.25)
Exercıcio:
Mostre a igualdade:
εανβεαγτ = δνγδβ
τ − δντδβ
γ .
Usando a definicao (4.2.23) escrevemos as componentes do vetor dual em termos das
componentes do campos eletrico e magnetico,
F 0 =12[ε021F12 + ε012F21
]= F12 ⇒ F 0 = −B (4.2.26a)
F 1 =12[ε102F02 + ε120F20
]= F20 ⇒ F 1 = −Ey (4.2.26b)
F 2 =12[ε201F01 + ε210F10
]= F01 ⇒ F 2 = Ex. (4.2.26c)
Portanto, o vetor dual ao tensor Fγν tem componentes
F ν(~x, t) = (−B(~x, t),−Ey(~x, t), Ex(~x, t)). (4.2.26d)
Para desacoplarmos as equacoes dos campos livres, consideremos a eq.(4.2.21) na ausencia
de partıculas carregadas (jα = 0),
47
14π
∂γF γα +µ
2εαγνFγν = 0 ⇒ 1
4π∂γF γα + µFα = 0. (4.2.27a)
Usando a eq.(4.2.25) para reescrever a equacao dos campos (4.2.27a) em termos do vetor
dual Fα, temos entao que
14π
εγαλ∂γFλ + µFα = 0. (4.2.27b)
Multiplicando ambos os lados da eq.(4.3.27b) por εαντ , somando sobre o ındice α e
usando a igualdade (4.2.24) obtemos que
14π
εαντεγαλ∂γFλ + µεαντ Fα = 0 ⇒
⇒ 14π
[∂τ Fν − ∂νFτ ] + µFντ = 0. (4.2.27c)
Derivando (4.2.27c) em relacao a ∂ν e somando sobre o ındice ν, temos que
14π
[∂τ∂νFν − ∂ν∂ν Fτ ] + µ∂νFντ = 0. (4.2.27d)
No entanto, usando que ∂ν Fν = 0 e a eq.(4.2.27a), a equacao anterior e reescrita como:
− 14π
∂ν∂ν Fτ − 4πµ2Fτ = 0 ⇒ (tu+(4πµ)2)Fτ (~x, t) = 0, (4.2.27e)
onde τ = 0, 1, 2.
Devemos lembrar que as componentes do vetor dual Fτ sao os campos fısicos ~E(~x, t) e
B(~x, t).
A eq.(4.2.27e) e a equacao dos campos fısicos livres de Maxwell–Chern–Simons.
A presenca do termo de Chern–Simons na teoria acarreta algumas modificacoes em
relacao a teoria de Maxwell pura. Para vermos isto, consideremos a equacao de movimento
dos campos livres de Maxwell–Chern–Simons (eq.(4.2.27e)),
(tu+(4πµ)2)Ei(~x, t) = 0 ⇒ (∇2 − 1c2
∂2
∂t2− (4πµ)2
)Ei(~x, t) = 0. (4.2.28a)
48
Como no caso dos campos de Maxwell, vamos procurar solucoes de ondas plana para a
eq.(4.2.28a), ou seja,
Ei(~x, t) = E iei(~k·~x−ωt), (4.2.28b)
onde E i e uma constante que da a amplitude do campo eletrico, ~k e o vetor de onda que
determina a direcao e o sentido em que a onda plana se propaga e ω a sua frequencia angular.
Substituimos (4.2.28b) em (4.2.28a) para saber que relacao | ~k | e ω devem satisfazer para que
a onda plana (4.2.28b) seja solucao dos campos livres de Maxwell–Chern–Simons em todos
os pontos do espaco e em todos os instantes. Assim,
E iei(~k·~x−ωt)(− | ~k |2 +ω2
c2− (4πµ)2) = 0. (4.2.28c)
Para que a igualdade anterior seja verdadeira para qualquer posicao ~x e em qualquer
instante t, temos que ter
ω2
c2=| ~k |2 +(4πµ)2. (4.2.28d)
Esta relacao de dispersao e satisfeita por partıculas que possuem massa. A partir da
(4.2.28d) o valor da massa dos campos fısicos de Maxwell–Chern–Simons e:
mC−S =4πh
c| µ |, (4.2.29)
sendo h = h2π e h e a constante de Planck11.
Os campos de Maxwell–Chern–Simons possuem massa, mas apesar disso, a teoria e in-
variante sob transformacoes de gauge (4.2.7).
Esse mecanismo de gerar massa para os campos de gauge sem abrir mao da invariancia
de gauge da teoria, e certamente uma das caracterısticas mais apreciadas desse modelo.
A partir da eq.(4.2.22a), apos algumas manipulacoes algebricas, mostra–se que na pre-
senca de carga eletrica pontual estatica (ρ(~x, t) = ρδ(~x)), ~(~x, t) = 0) a equacao do campo
magnetico e:
11 Veja a Referencia [4] para saber como relacionar a eq.(4.2.28d) e a massa da partıcula.
O valor da constante de Planck e: h = 6, 626× 10−34Jseg.
49
(∇2 − (4πµ)2)B(~x) = (4π)2µρδ(~x), (4.2.30)
sendo ρ uma constante que da a intensidade da densidade de carga eletrica em ~x = 0.
A solucao de (4.2.30) nos da a funcao de Green[13] da equacao do campo magnetico e
permite determinar B(~x) para qualquer distribuicao ρ(~x).
Usando a transformada de Fourier do campo e simples mostrar que a solucao da equacao
diferencial nao–homogenea (4.2.30) e:
B(~x) = −(4π)2µ∫
d2~k(2π)2
ρ
| ~k |2 +(4πµ)2e−i~k·~x
∼ 2πρ(2|µ|
r
) 12 e−4π|µ|r, para r À 1
4π|µ| , (4.2.31)
sendo que r = |~x|.
Exercıcio:
Seja B(~k) a transformada de Fourier de B(~x) definida como:
B(~x) =1
(2π)2
∫d2~k B(~k)e−i~k·~x.
A transformada de Fourier da funcao δ–Dirac em duas dimensoes espaciais e
δ(~x) =1
(2π)2
∫d2~k e−i~k·~x.
Mostre que a eq.(4.2.30) escrita no espaco dos ~k e
(| ~k |2 +(4πµ)2)B(~k) = −(4π)2µρ ⇒ B(~k) = −(4π)2µ
ρ
| ~k |2 +(4πµ)2.
A presenca da massa 4πµ no denominador da eq.(4.2.31), faz com que o campo magnetico
do modelo de Maxwell–Chern–Simons seja de curto alcance. No caso das componentes do
campo eletrico, elas tambem vao a zero para | ~x |→ ∞ mais rapidamente que na teoria de
Maxwell pura, uma vez que Ei ∼ e−4π|µ|r para | ~x |→ ∞.
50
Vejamos como o 4–potencial vetor Aν se comporta na fronteira do plano infinito (| ~x |→∞). Para isso, consideremos a lei de Gauss (eq.(4.2.20a)) do modelo de Maxwell–Chern–
Simons,
~∇ · ~E(~x, t)− 4πµB(~x, t) = 4πρ(~x, t), (4.2.32a)
que integrando sobre todos os pontos do plano fica,
∫
S∞d2~x ~∇ · ~E(~x, t)− 4πµ
∫
S∞d2~x B(~x, t) = 4πQ(t), (4.2.32b)
sendo Q(t) a carga eletrica total contida no plano (x, y),
Q(t) =∫
S∞d2~x ρ(~x, t). (4.2.32c)
Usando o Teorema de Gauss (eq.(A.9)) em duas dimensoes espaciais, temos que
∮
Γ∞
~E(~x, t) · d~l − 4πµ
∫
S∞d2~x B(~x, t) = 4πQ(t), (4.2.32d)
sendo Γ∞ o contorno da que delimita a area S∞.
Mostramos anteriormente que o campo eletrico vai a zero para | ~x |→ ∞, de maneira que
a integral de linha do campo eletrico ao longo de Γ∞ e nula. Assim, a lei de Gauss escrita na
forma global e,
−4πµ
∫
S∞d2~x B(~x, t) = 4πQ(t). (4.2.32e)
Entretanto, o campo magnetico pode ser escrito como sendo
B(~x, t) = (~∇× ~A(~x))z, (4.2.32f)
sendo z a direcao perpendicular ao plano (x, y). Substituindo (4.2.32f) em (4.2.32e) e apli-
cando o Teorema de Stokes (eq.(A.10)), obtemos finalmente que
−µ
∮
Γ∞
~A(~x, t) · d~l = Q(t), (4.2.32g)
51
que mostra que apesar dos campos fısicos serem de curto alcance, o 4–potencial vetor e de
longo alcance. A solucao assintotica dos 4–potenciais vetores que satisfazem a (4.2.32g) e:
~A(~x, t) |~x|→∞−→ −Q(t)8π2µ
arctan(x
y
). (4.2.32h)
O potencial vetor ~A(~x, t) e localmente um campo de gauge puro. Ele possui o mesmo
comportamento do efeito Aharanov–Bohm[14].
52
5. Figuras.
t
x(t)
Figura 1.1
2
3
1
t t0 f
Figura 1.1: A curva 1 representa a trajetoria classica, enquanto que as curvas 2 e 3 repre-sentam curvas que diferem da trajetoria classica por pequenas deformacoes.
Figura 3.1: Os vetores i e j sao os vetores unitarios dos eixos coordenados(x, y), e, i’ e j’ saoos vetores unitarios dos eixos coordenados(x′, y′). O vetor V e o mesmo nos dois conjuntosde eixos coordenados, enquanto que as suas componentes dependem dos eixos coordenadosque utilizamos para obte–las.
53
x
y y’S
V
Figura 3.2
x’
S’
Figura 3.2: O referencial inercial S’ se desloca com velocidade V= V i em relacao ao refer-encial S.
Agradecimentos:
Desejo agradcer a M.C. Batoni Abdalla e E. Abdalla por discussoes sobre invariancia
de gauge na Eletrodinamica Classica, a J.S. Sa Martins pela leitura do texto, correcoes e
sugestoes, e, a A. T. Costa Jr. pela ajuda na colocacao das figuras no texto. Tenho um
agradecimento especial ao International Center for Theoretical Physics, Trieste, Italia, onde
parte deste texto foi pensado e escrito.
54
Apendice A: Revisao de Analise Vetorial e Teoremas de Gauss e Stokes
A.1) Revisao de Analise Vetorial[15]:
Seja ~v(~x) um vetor com componentes escritas em coordenadas cartesianas:
~v(~x) = vx(~x)ı + vy(~x) + vz(~x)k; (A.1)
ı, e k sao vetores unitarios nas direcoes x, y e z respectivamente.
O operador gradiente ~∇ escrito em coordenadas cartesianas e:
~∇ = ı∂
∂x+
∂
∂y+ k
∂
∂z. (A.2)
i. Divergencia de um vetor em coordenadas cartesianas:
~∇ · ~v(~x) =∂vx(~x)
∂x+
∂vy(~x)∂y
+∂vz(~x)
∂z. (A.3)
ii. Rotacional de um vetor em coordenadas cartesianas:
~∇× ~v(~x) = ı
(∂vz(~y)
∂y− ∂vy(~x)
∂z
)+
(∂vx(~x)
∂z− ∂vz(~x)
∂x
)+ k
(∂vy(~x)
∂x− ∂vx(~x)
∂y))
= εijk∂jvk, i, j, k = 1, 2, 3, (A.4)
onde estamos usando a regra da soma implıcita e a notacao: v1 = vx, v2 = vy e v3 = vz.
εklm e o tensor de Levi–Civita, e e definido como:
ε123 = ε231 = ε312 = 1,
ε213 = ε132 = ε321 = −1,
εklm = 0 se dois ou mais ındices forem iguais.
55
iii. Propriedades gerais da divergencia e rotacional:
~∇ · (~∇× ~v(~x)) = 0, (A.5)
~∇× (~∇g(~x)) = 0, (A.6)
~∇× (~∇× ~v(~x)) = ~∇(~∇ · ~v(~x))−∇2~v(~x), (A.7)
onde g(~x) e uma funcao nao–singular e
∇2 =∂2
∂x2+
∂2
∂y2+
∂2
∂z2(A.8)
A.2) Teorema de Gauss[16].
Seja ~f(~x) um vetor definido em todos os pontos dentro de um volume V e na area fechada
S que delimita este volume. O Teorema de Gauss nos da que:
∫
V
d3~x ~∇ ·~f(~x) =∮
S
~f(~x) · nds, (A.9)
onde ds e uma area infinitesimal sobre a superfıcie S e n e um vetor unitario perpendicular
em cada ponto a superfıcie S. O vetor n aponta para fora do volume delimitado.
A.3) Teorema de Stokes[17].
Seja Γ uma linha fechada e S qualquer superfıcie delimitada pela linha Γ. Seja ~f(~x) um
vetor definido em todos os pontos da superfıcie S inclusive ao longo da linha Γ. Pelo Teorema
de Stokes temos que:
∫
S
ds n · (~∇×~f(~x)) =∮
Γ
~f(~x) · d~l, (A.10)
onde d~l e um vetor infinitesimal tangencial a linha Γ e n e o vetor unitario perpendicular em
cada ponto a superfıcie S. O sentido dos vetores n e d~l e dado pela regra da mao direita.
56
Apendice B: Princıpio de Hamilton para Campos Classicos[18].
Ao discutirmos os campos eletromagneticos na secao 2, vimos que, no caso em que estamos
descrevendo um campo, a posicao ~x e um parametro para indexar os pontos do espaco da
mesma forma que o tempo t o e para representar a que instante voce se refere. Portanto, ao
contrario do que temos no caso de partıculas, as coordenadas ~x nao sao variaveis dinamicas
do problema, mas sim parametros para indicar em que ponto do espaco voce esta medindo o
seu campo, este sim a sua variavel dinamica.
Apenas como simplificacao, vamos supor que temos um unico campo que denominaremos
por: Φ(~x, t). Φ(~x, t) representa a configuracao do campo em todos os pontos ~x do espaco no
instante t.
Como no caso de partıculas, queremos associar a cada configuracao Φ(~x, t) um numero
que chamamos de acao. Na definicao da acao no caso de campos, precisamos integrar no
intervalo de tempo fixado e em todos os pontos do espaco, uma vez que os campos
tambem possuem uma dependencia espacial:
S[Φ; t0, tf ] =∫ tf
t0
dt
∫
V∞d3~x L(Φ(~x, t), ∂µΦ(~x, t);~x, t), (B.1)
onde L e a densidade de lagrangeana associada aos campos. Como os campos dependem das
coordenadas espaciais, em geral L depende nao apenas das derivadas do campo em relacao
ao tempo, mas tambem de suas derivadas espaciais, todas elas representadas pela derivada
covariante ∂µΦ(~x, t), µ = 0, 1, 2, 3. Como no caso de partıculas, a acao tambem tem a mesma
dimensao que o momento angular.
Para obter a equacao de movimento para os campos Φ(~x, t), vamos proceder de forma
analoga ao que fizemos na secao 1 para derivar a equacao de Lagrange para partıculas.
Desejamos obter a equacao satisfeita pelo campo classico que parte da configuracao inicial
Φ(~x, t0), e, que em t = tf tem a configuracao Φ(~x, tf ), sendo que ambas sao, por hipotese,
conhecidas.
Chamemos φ(~x, t) o campo classico para o qual a acao e mınima. O campo φ(~x, t) satisfaz
as condicoes de contorno:
57
φ(~x, t0) = Φ(~x, t0) (B.2a)
e
φ(~x, tf ) = Φ(~x, tf ). (B.2b)
As configuracoes que coincidem com Φ(~x, t0) e Φ(~x, tf ) em t = t0 e t = tf respectivamente
mas que tenham pequenas modificacoes em relacao a φ(~x, t), podem ser escritas como,
Φ(~x, t; α) = φ(~x, t) + αη(~x, t), (B.3)
onde η(~x, t) e uma funcao infinitesimal qualquer da posicao e que varia de instante para
instante. A funcao η(~x, t) satisfaz as condicoes de contorno:
η(~x, t0) = η(~x, tf ) = 0. (B.4)
α e uma constante arbitraria.
O Princıpio de Hamilton (secao 1) aplicado a trajetorias que diferem pouco da trajetoria
classica implica em que
δS[Φ] ≡ S[φ(~x, t) + αη(~x, t)]− S[φ(~x, t)] = 0. (B.5)
Como na discussao do Princıpio de Hamilton para partıculas (secao 1) definimos
G(α) =∫ tf
t0
dt
∫
V∞d3~x L(φ + αη, ∂µφ + α∂µη;~x, t; α), (B.6)
que e uma funcao de α. Como φ(~x, t) minimiza a acao, isto corresponde a dizer que G(α) tem
um mınimo em α = 0. A condicao de Hamilton (B.5) corresponde a esta condicao de mınimo
de G(α) em α = 0:
∂G(α)∂α
∣∣∣∣α=0
= 0 ⇒ ∂S[Φ;α]∂α
∣∣∣∣α=0
= 0. (B.7)
A diferenca esta em que, agora, a densidade de lagrangeana L depende nao apenas do
campo e de sua derivada temporal, mas tambem das suas derivadas espaciais. A imple-
mentacao da eq. (B.7) e:
58
∂S[Φ; α]∂α
=∫ tf
t0
dt
∫
V∞d3~x
∂L∂Φ
∂Φ∂α
+∂L
∂(
∂Φ∂x
) ∂(
∂Φ∂x
)
∂α+
∂L∂(
∂Φ∂y
) ∂(
∂Φ∂y
)
∂α+
+∂L
∂(
∂Φ∂z
) ∂(
∂Φ∂z
)
∂α+
∂L∂(
∂Φ∂t
) ∂(
∂Φ∂t
)
∂α
= 0. (B.8)
Como estamos considerando campos Φ(~x, t) que sao representados pela eq. (B.3), entao
substituindo–a na eq. (B.8), temos
∫ tf
t0
dt
∫
V∞d3~x
∂L∂Φ
η(~x, t) +∂L
∂(
∂Φ∂x
) ∂η(~x, t)∂x
+∂L
∂(
∂Φ∂y
) ∂η(~x, t)∂y
+
+∂L
∂(
∂Φ∂z
) ∂η(~x, t)∂z
+∂L
∂(
∂Φ∂t
) ∂η(~x, t)∂t
= 0. (B.9)
Nao podemos fazer nenhuma afirmacao geral sobre o integrando da eq. (B.9) uma vez
que as funcoes η(~x, t) e ∂µη(~x, t) nao sao funcoes independentes. Vamos reescrever os termos
do lado esquerdo (l.e.) da eq. (B.9) e coloca–la de forma mais conveniente.
Vamos tratar apenas de um dos termos que envolve derivadas em relacao as coordenadas
espaciais. Os outros dois termos que envolvem derivadas espaciais sao tratados de forma
similar.
Consideremos o termo:
∫ tf
t0
dt
∫
V∞d3~x
∂L∂(
∂Φ∂x
) ∂η(~x, t)∂x
=∫ tf
t0
dt
∫ L
−L
dydz
∫ L
−L
dx∂L
∂(
∂Φ∂x
) ∂η(~x, t)∂x
, (B.10)
onde x, y, z = ±L correspondem aos pontos na superfıcie que delimita o volume. No limite
de V∞ temos que L →∞.
Para realizar a integracao por partes a integral em x do l.d. da eq. (B.10), escolhemos
u =∂L
∂(
∂Φ∂x
) e dv = dx∂η
∂x(B.11a)
de maneira que a integral passa a ser:
∫ L
−L
dx∂L
∂(
∂Φ∂x
) ∂η
∂x=
∂L∂(
∂Φ∂x
)η(~x, t)∣∣∣∣x=L
x=−L
−∫ L
−L
dx∂
∂x
( ∂L∂(
∂Φ∂x
))η(~x, t), (B.11b)
59
onde, ao calcularmos a derivada parcial ∂∂x
(∂L
∂(
∂Φ∂x
)), estamos tomando y, z e t constantes.
Os termos η(±L, y, z; t) correspondem a valores da funcao η(~x, t) na superfıcie que de-
limita o volume V dentro do qual os campos evoluem. Assumiremos a hipotese de sistema
fechado, que corresponde a supor que nenhum campo atravessa a superfıcie que delimita o
volume V em que ocorre o fenomeno. Por essa hipotese temos entao que
η(±L, y, z; t) = 0, (B.12)
pois o campo classico e suas pequenas deformacoes sao nulas na superfıcie que delimita o
volume V .
Incluindo a hipotese de sistema fechado, a relacao (B.11) passa a ser
∫ L
−L
dx∂L
∂(
∂Φ∂x
) ∂η
∂x= −
∫ L
−L
dx∂
∂x
( ∂L∂(
∂Φ∂x
))η(~x, t). (B.13)
Fazendo agora a integracao por partes do termo com a derivada do campo em relacao ao
tempo, onde escolhemos as variaveis u e v de forma similar a eq. (B.11a) obtemos que
∫ tf
t0
dt∂L
∂(
∂Φ∂t
) ∂η
∂t=
∂L∂(
∂Φ∂t
)η(~x, t)∣∣∣∣t=tf
t=t0
−∫ tf
t0
dt∂
∂t
( ∂L∂(
∂Φ∂t
))η(~x, t). (B.14a)
A funcao η(~x, t) no l.d. da eq. (B.14a) esta definida nos instantes t = t0 e t = tf . Como a
funcao η(~x, t) satisfaz a condicao (B.4), entao a expressao (B.14a) pode ser finalmente escrita
como:
∫ tf
t0
dt∂L
∂(
∂Φ∂t
) η
∂t= −
∫ tf
t0
dt∂
∂t
( ∂L∂(
∂Φ∂t
))η(~x, t). (B.14b)
Substituindo os resultados (B.13) e (B.14b) na eq. (B.9), obtemos que
∫ tf
t0
dt
∫
V∞d3~x
∂L∂Φ
− ∂
∂x
( ∂L∂(
∂Φ∂x
))− ∂
∂y
( ∂L∂(
∂Φ∂y
))−
− ∂
∂z
( ∂L∂(
∂Φ∂z
))− ∂
∂t
( ∂L∂(
∂Φ∂t
))η(~x, t) = 0. (B.15)
60
A unica forma da eq. (B.15) ser verdadeira para qualquer funcao infinitesimal η(~x, t) e
que o integrando seja identicamente nulo. Escrevendo o integrando na sua forma covariante
temos entao a equacao de Euler–Lagrange para campos classicos:
∂L∂Φ
− ∂µ∂L
∂(∂µΦ)= 0. (B.16)
61
REFERENCIAS
1. H. Moyses Nussenzveig; Curso de Fısica Basica, 1–Mecanica, 2.a edicao, Edgard Blucher
Ltda (1992), cap. 4.
2. Jerry B. Marrion; Classical Dynamics of Particles and System, 3rd edition, Academic
Press (1988), cap.6.
3. Herbert Goldstein; Classical Mechanics, 2nd edition, Addison–Wesley (1980), cap. 7.
4. Dentre as possıveis referencias para uma introducao a Mecanica Quantica, sugerimos:
A.P. French; An Introduction to Quantum Physics, W.W. Norton & Co (1978).
5. Edward Purcell; Electricity and Magnetism, Berkeley Physics Course–vol. 2, cap. 7 e
Apendice, Mcgraw–Hill Co (1965).
6. A.P.French; Special Relativity, Thomas Nelson and Sons Ltd. (1968), cap.3.
7. John D. Jackson; Classical Electrodynamics, 2.nd edition, John Wiley & Sons(1975), secao
11.3.
8. Referencia 7, secao 11.9.
9. Referencia 7, secao 12.8,
Referencia 3, pag. 366.
10. Referencia 5, cap. 7.
11. J. Schonfeld; A Mass Term for Three–Dimensional Gauge Fields, Nucl. Phys. B185
(1981) 157.
12. S. Deser, R. Jackiw, S. Templeton; Topological Massive Gauge Theories, Ann. of Phys.
140 (1982) 372.
13. Referencia 7, secoes 1.7 e 1.10;
Referencia 2, secao 3.10.
14. Y. Aharanov, D. Bohm; Significance of Electromagnetic Potencials in the Quantum
Theory, Phys. Rev. 115 (1959) 485;
R.P. Feynman, R.B. Leighton, M. Sands; The Feynman Lectures on Physics, vol. II,
Addison–Wesley Publ. Co. (1972), cap. 15.
15. Referencia 5, cap. 2.
16. Referencia 5, secoes 1.9 e 1.10.
17. Referencia 5, secoes 2.15 e 2.16.
18. Referencia 3, cap. 11.
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