Mitt El Stadt William a 1968

8/20/2019 Mitt El Stadt William a 1968

1/74

A N A B S T R A C T

O F T H E

T H E S I S

O F

W i l l i a m A n d r e w M i t t e l s t a d t

f o r t h e

M a s t e r

o f

S c i e n c e

( D e g r e e )

N a m e

o f s t u d e n t )

i n E l e c t r i c a l E n g i n e e r i n g

p r e s e n t e d

o n

( M a j o r )

T i t l e :

A

M e t h o d

o f I m p r o v i n g P o w e r

S y s t e m

T r a n s i e n t

S t a b i l i t y

U s i n g C o n t r o l l a b l e

P a r a m e t e r s

A b s t r a c t

a p p r o v e d :

J o h n

L .

S a u g e

C o n t r o l l a b l e

p a r a m e t e r s i n

a

p o w e r

s y s t e m

i n c l u d e

g e n e r a -

t o r

t e r m i n a l

v o l t a g e ,

g e n e r a t o r

i n p u t

p o w e r

a n d

n e t w o r k

a d -

m i t t a n c e s . T h e s e

p a r a m e t e r s c a n

b e c o n t r o l l e d

t o d a m p

m e c h a n i c a l

r o t o r o s c i l l a t i o n i n

t h e g e n e r a t o r s

a n d

t h e r e b y

i m p r o v e s y s t e m t r a n s i e n t s t a b i l i t y .

E x p l i c i t

e q u a t i o n s

a r e

d e r i v e d

i n

t h i s

t h e s i s

f o r

t h e c o n t r o l

o f

t h e s e

p a r a m e t e r s

t o

i n t r o d u c e d a m p i n g u n i f o r m l y t h r o u g h o u t

a

l a r g e

p o w e r

s y s t e m .

T h e s e

e q u a t i o n s

a r e d e r i v e d o n

t h e b a s i s

o f

m i n i m i z i n g

a

p o s i t i v e d e f i n i t e e r r o r f u n c t i o n .

D e c i s i o n

f u n c t i o n s

a r e

i n c l u d e d w h i c h

i n h i b i t d a m p i n g a c t i o n

w h e n

i t

l e a d s

t o s y s t e m

i n s t a b i l i t y . T h i s m e t h o d

c a n

b e

u s e d

t o

c o o r d i n a t e

t h e a p p l i -

c a t i o n o f

l o c a l l y b a s e d d a m p i n g

t e c h n i q u e s .

A t h r e e

- g e n e r a t o r

e x a m p l e i s

p r e s e n t e d i l l u s t r a t i n g

t h e

d a m p i n g

m e t h o d .

f f ^ f


2/74

A

M e t h o d

o f I m p r o v i n g P o w e r

S y s t e m T r a n s i e n t

S t a b i l i t y

U s i n g

C o n t r o l l a b l e P a r a m e t e r s

b y

W i l l i a m

A n d r e w

M i t t e l s t a d t

A T H E S I S

s u b m i t t e d t o

O r e g o n

S t a t e U n i v e r s i t y

i n

p a r t i a l f u l f i l l m e n t

o f

t h e

r e q u i r e m e n t s

f o r

t h e

d e g r e e

o f

M a s t e r

o f

S c i e n c e

J u n e

1 9 6 8


3/74

A P P R O V E D :

A s s o c i a t e

P 4 . f e s s o r

o f E l e c t r i 1 a l

&

E l e c t r o n i c

E n g i n e e r i n g

i n

c h a r g e

o f

m a j o r

H e a d

. f D e p a r t m e n t

o f

E l

c t r i c a l

& E l e c t r o n i c

E n g i n e e r i n g

D e a n

o f G r a d u a t e

S c h o o l

D a t e

t h e s i s

i s p r e s e n t e d

T y p e d b y C l i s t i e

S t o d d a r d f o r W i l l i a m

A n d r e w

M i t t e l s t a d t

r


4/74

A C K N O W L E D G M E N T

I

w i s h

t o

e x p r e s s

m y

s i n c e r e

a n d g r a t e f u l

a p p r e c i a t i o n

t o D r .

J o h n L .

S a u g e n

f o r

i n t r o d u c t i o n

t o

k e y

s y s t e m c o n c e p t s

p e r t a i n i n g

t o t h i s t h e s i s

a n d f o r c o n s t r u c t i v e

c r i t i c i s m

i n

t h e p r e p a r a t i o n

o f t h e

m a n u s c r i p t .

S p e c i a l

t h a n k s

a r e

a l s o

i n

o r d e r t o P r o f e s s o r

J o h n

F .

E n g l e

f o r p r a c t i c a l

i n s i g h t

i n t o

p o w e r

s y s t e m

n e e d s .

A p p r e c i a t i o n

i s

a l s o e x t e n d e d

t o

m y

a s s o c i a t e s

a t

B o n n e v i l l e

P o w e r A d m i n i s t r a t i o n

f o r

e n c o u r a g i n g

t h i s w o r k ,

w i t h

s p e c i a l g r a t i t u d e

t o R i c h a r d E .

R o s e

f o r

a s s i s t a n c e

i n

d i g i t a l

c o m p u t e r p r o g r a m m i n g .


5/74

T A B L E

O F C O N T E N T S

I .

I n t r o d u c t i o n

1


1

S t a t e m e n t

o f

t h e

P r o b l e m

2

P o w e r

S y s t e m M o d e l

2

C o n t r o l l a b l e

P a r a m e t e r s

6

T h e

F u n d a m e n t a l

E r r o r

Q u a n t i t y

7

T h e


E r r o r

F u n c t i o n

8

M e a s u r e m e n t

o f

t h e


E r r o r

Q u a n t i t y

9

S t a t e m e n t

o f

R e s u l t s

1 2

D i s c u s s i o n

o f R e s u l t s

1 4

R e c o m m e n d a t i o n

f o r F u r t h e r

S t u d y

1 6

L i t e r a t u r e

R e v i e w

1 6

N o m e n c l a t u r e

1 9

I I .

D e r i v a t i o n

o f

D a m p i n g

E q u a t i o n s

2 3

E x p a n s i o n

o f

0

2 3

W .

C o n t r o l E q u a t i o n

2 5

G .

C o n t r o l

E q u a t i o n

2 8

E .


3 2

d l ( Y .

B .

) / d t

C o n t r o l

E q u a t i o n

3 7

i j i j

I I I . T h e

D a m p i n g M e t h o d

A p p l i e d

t o

a

T h r e e

-

G e n e r a t o r

M o d e l

3 9

M o d e l

S y s t e m

3 9

S i m u l a t i o n P r o g r a m

4 2

R e f e r e n c e

C a s e

4 5

V o l t a g e

C o n t r o l

D a m p i n g C a s e s

4 5

D y n a m i c

B r a k i n g

C a s e

5 2

P r i m e

M o v e r

C o n t r o l

5 6

B i b l i o g r a p h y

5 7

A p p e n d i x

A

5 9

A p p e n d i x B

6 2

A p p e n d i x

C

6 5

A p p e n d i x

D

6 7


6/74

L I S T

O F

F I G U R E S

F i g u r e P a g e

1 . O n e - L i n e D i a g r a m

3

2 .

G e n e r a l

P o s i t i v e

S e q u e n c e

M o d e l

5

3 .

A p p r o x i m a t e

D i f f e r e n t i a t o r

C i r c u i t

f o r

E s t i m a t i o n o f

á

1 0

4 .

B l o c k D i a g r a m o f a

M e t h o d

f o r

A p p r o x i m a t i n g

E .

1 1

5 .

P r i n c i p a l

E q u i l i b r i u m

P o i n t s

f o r

t h e

U n d a m p e d

T h r e e

- G e n e r a t o r

M o d e l

o f

C h a p t e r

I I I

2 7

6 . D y n a m i c

B r a k i n g F o l l o w i n g

a S i m p l e

P o w e r

S y s t e m

D i s t u r b a n c e

3 3

7 .

D y n a m i c

B r a k i n g

A p p l i e d F o l l o w i n g

a

- r

S e c o n d

D e l a y A l l o w e d

f o r

A t t e m p t e d

L i n e

R e c l o s u r e

3 4

8 . P o s i t i v e

S e q u e n c e D i a g r a m

o f

t h e

T h r e e

-

G e n e r a t o r

M o d e l S y s t e m

4 0

9 .

T h e U n d a m p e d

T h r e e - G e n e r a t o r

R e f e r e n c e

C a s e

4 6

1 0 .

T o t a l

V o l t a g e

C o n t r o l

A p p l i e d

t o

t h e

T h r e e

-

G e n e r a t o r

R e f e r e n c e

C a s e

4 8

1 1 .

L o c a l

V o l t a g e C o n t r o l

A p p l i e d

t o

t h e

T h r e e

-

G e n e r a t o r

R e f e r e n c e

C a s e

4 9

1 2 .

T h e

V o l t a g e R e s p o n s e

o f

E a c h

G e n e r a t o r

w i t h

L o c a l

a n d

T o t a l

V o l t a g e

C o n t r o l

A p p l i e d

t o

t h e

T h r e e

- G e n e r a t o r

R e f e r e n c e

C a s e

5 1

1 3 .

D y n a m i c B r a k i n g

A p p l i e d

t o

t h e

T h r e e

-

G e n e r a t o r

R e f e r e n c e C a s e

5 4

1 4 .

R e s p o n s e

o f

E . w i t h

D y n a m i c

B r a k i n g

A p p l i e d

t o

t h e

T h r e e -

G é n e r a t o r

R e f e r e n c e

C a s e 5 5


7/74

A

M E T H O D O F I M P R O V I N G

P O W E R

S Y S T E M T R A N S I E N T

S T A B I L I T Y

U S I N G C O N T R O L L A B L E

P A R A M E T E R S

I .

I N T R O D U C T I O N


T o

m e e t t h e

g r o w i n g

d e m a n d

f o r

e c o n o m i c a l

p o w e r ,

d i s t a n t

r e g i o n s a r e i n t e r c o n n e c t e d

e l e c t r i c a l l y .

A

g o o d

e x a m p l e

i s

t h e

P a c i f i c N o r t h w e s t

- S o u t h w e s t

I n t e r t i e

( 1 5 ,

u n n u m b e r e d

p r e f a c e ) .

T h e s e

l i n e s

w i l l

t i e t o g e t h e r

e l e c t r i c

s y s t e m s

- -

p u b l i c

a n d

p r i v a t e

- -

a l l

t h e

w a y

f r o m

V a n c o u v e r ,

B .

C . ,

a n d

S e a t t l e

t o

L o s A n g e l e s

a n d

P h o e n i x ,

i n -

c l u d i n g

t h e

b i g g e s t

h y d r o s y s t e m

i n

A m e r i c a

( t h e

B o n n e v i l l e

P o w e r

A d m i n i s t r a t i o n

s y s t e m ) ,

t h e

b i g g e s t

m u n i c i p a l s y s t e m

( L o s

A n g e l e s

D e p a r t m e n t

o f

W a t e r

a n d

P o w e r ) ,

a n d

o n e

o f

t h e

b i g g e s t

p r i v a t e

s y s t e m s

( t h e

p r i v a t e

u t i l i t i e s

o f

C a l i f o r n i a ) .

A s a p o w e r

s y s t e m

g r o w s ,

t h e d i f f i c u l t y

o f

w i t h s t a n d i n g

u n e x p e c t e d d i s t u r b a n c e s

w i t h o u t d i s i n t e g r a t i o n

i n c r e a s e s .

I m m e d i a t e l y f o l l o w i n g

a

d i s t u r b a n c e ,

m e c h a n i c a l

o s c i l l a t i o n

o c c u r s i n

e a c h

g e n e r a t o r

r e l a t i v e

t o

a

r e f e r e n c e

a x i s

r o t a t i n g

a t

n o m i n a l

s h a f t s p e e d .

T h e

r a p i d e x t i n c t i o n

o f

t h i s

o s c i l l a -

t i o n , w h i c h i s

c a l l e d

d a m p i n g ,

i m p r o v e s

t h e

s y s t e m ' s

a b i l i t y

t o

r e m a i n i n t a c t .

T r a n s i e n t s t a b i l i t y

i s a

c o n d i t i o n w h i c h

e x i s t s

i f a

d i s -

t u r b a n c e d o e s

n o t

c a u s e

p o w e r

s y s t e m

d i s i n t e g r a t i o n .

T h e a d d i -

t i o n

o f

d a m p i n g

w i l l

i m p r o v e

t r a n s i e n t

s t a b i l i t y

t o i n c l u d e

a n

e n l a r g e d

c l a s s

o f s y s t e m

d i s t u r b a n c e s .


8/74

2

I t i s

d e s i r a b l e t h a t t h e

m e c h a n i c a l

o s c i l l a t i o n o f e v e r y

g e n e r a t o r

b e

g i v e n

a

n e a r l y

e q u a l

r a t e

o f d a m p i n g s i n c e s y s t e m

s e p a r a t i o n

c a n

o c c u r

i f a

s i n g l e

m a c h i n e

( g e n e r a t o r ) r e m a i n s

u n d a m p e d .

U n i f o r m p o w e r

s y s t e m d a m p i n g

i s

t h a t

c o n d i t i o n

w h i c h

e x i s t s

i f

e q u a l

d a m p i n g

i s

g i v e n t o e v e r y

m a c h i n e o s c i l l a t i o n .

S e v e r a l t e c h n i q u e s

w h i c h

i n t r o d u c e d a m p i n g a t l o c a l p o i n t s

i n

t h e

p o w e r

s y s t e m

a r e c i t e d i n t h e L i t e r a t u r e

R e v i e w .

A

m e t h o d

o f

c o o r d i n a t i n g

t h e s e

t e c h n i q u e s

i s n e c e s s a r y

t o p r o v i d e

u n i f o r m

s y s t e m

d a m p i n g .

A

m e t h o d

i s

p r e s e n t e d

i n t h i s

t h e s i s

g o v e r n i n g

t h e

c o n t r o l

o f

b a s i c

p o w e r s y s t e m

p a r a m e t e r s

t o i m p r o v e

t r a n s i e n t

s t a b i l i t y

w i t h

n e a r l y

u n i f o r m

d a m p i n g . T h e m e t h o d c a n

b e

e m p l o y e d t o

c o o r d i n a t e l o c a l

d a m p i n g t e c h n i q u e s .

S t a t e m e n t

o f t h e

P r o b l e m

P o w e r

S y s t e m M o d e l

P o w e r

s y s t e m s

a r e b a s i c a l l y

c o m p o s e d

o f

a

s e t

o f

g e n e r a t i n g

p l a n t s ,

a

d i s t r i b u t i o n

n e t w o r k

a n d

a

c o m b i n a t i o n

o f i n d u s t r i a l ,

c o m m e r c i a l

a n d r e s i d e n t i a l

l o a d s . A n e x a m p l e

o f a p a r t i a l

p o w e r

s y s t e m

i s

g i v e n

i n F i g u r e

1 . I n t h i s

d i a g r a m ,

a

s i n g l e

l i n e

r e p r e s e n t s

a

f u l l t h r e e

p h a s e t r a n s m i s s i o n t i e .

E . L A .

i s

t h e

e f f e c t i v e

p h a s e - t o -

n e u t r a l v o l t a g e

a n d

p h a s o r a n g l e

o f t h e

i t h

m a c h i n e .


9/74

T r a n s

o r

r n e r

T o

M a i n

S y s t e m

B u s l k

1

I n d u s t

r i

4 (

L o a d

R e s i G l e n

+ i 4

l o a d

F i g u r e

1 .

O n e

- L i n e

D i a g r a m .

G e n e r a

t o r

w

B u s

# w 2


10/74

A

p o s i t i v e

s e q u e n c e

n e t w o r k

m o d e l

i s

u s e d i n

t h i s

t h e s i s

a s

g i v e n

i n

F i g u r e 2 . T h e p o s i t i v e

s e q u e n c e

n e t w o r k

r e p r e s e n t a t i o n

i s

s a t i s f a c t o r y

w h e n b a l a n c e d l o a d i n g

a p p e a r s

o n

a l l

t h r e e

e l e c -

t r i c a l

p h a s e s .

U n d e r

u n b a l a n c e d

c o n d i t i o n s ,

t h e

z e r o

a n d

n e g a -

t i v e

s e q u e n c e

n e t w o r k s

m u s t

a l s o

b e

e m p l o y e d .

P o w e r

s y s t e m

d i s t u r b a n c e s

c a n

o c c u r i n b a l a n c e d

o r

u n b a l a n c e d

f o r m .

T h e

p o s i t i v e s e q u e n c e f o r m

c a n b e

u s e d

f o r d a m p i n g

p u r p o s e s

w h e n t h e

d i s t u r b e d

t r a n s m i s s i o n

l i n e

i s r e m o v e d

q u i c k l y

b y c i r c u i t

b r e a k e r

a c t i o n .

T h e d y n a m i c

s w i n g

e q u a t i o n

w h i c h

d e s c r i b e s


o f

t h e

i t h

g e n e r a t o r f o r

a

s y s t e m

c o m p o s e d

o f

N

g e n e r a t o r s

i s

w h e r e

M d

=

W .

-

P .

-

C . d .

i i

i i i

i

d .

=

t h e

a n g u l a r

r o t o r d i s p l a c e m e n t

f r o m

a

s y n c h r o n o u s l y

1

r o t a t i n g r e f e r e n c e

a x i s ,

M .

=

t h e

g e n e r a t o r

i n e r t i a

c o n s t a n t ,

W .

= t h e m e c h a n i c a l

i n p u t

p o w e r

t o

t h e

i t h

m a c h i n e

m i n u s

1

a l l

g e n e r a t o r a n d

p r i m e

m o v e r

l o s s e s ,

C i

=

t h e i n t e r n a l

g e n e r a t o r

d a m p i n g

c o e f f i c i e n t

a n d

t h e e l e c t r i c a l

p o w e r o u t p u t

P i

i s

g i v e n

b y

N

P i

i .

=

E . 2 G .

+

1 : E . E . Y .

B .

j . j

j . 1

w h e r e

N

G .

= y j C o s

e i j ,

j = 1

Y i j

L

T i j =

- U L e i j

f o r

( 1

)

( 2 )

4

i

1

1

1 j

i

( 3 )

j ,

( 4 )


11/74

W i

y i i L e í i

% i

L e »

F i g u r e

2 .

G e n e r a l

P o s i t i v e S e q u e n c e

M o d e l .

\ J I

W i


12/74


13/74

7

r e s i s t o r s

a n d t h e

l i m i t e d

r e m o v a l

o f

c o n s u m e r

l o a d s

f o r s h o r t

p e r i o d s w h i c h

i s

c a l l e d l o a d

s h e d d i n g .

D y n a m i c b r a k i n g i s

p r i n c i p a l l y

r e f l e c t e d

i n

t h e

m o d e l

p r e s e n t e d

a s

s t e p

c h a n g e s

i n

G . .

i

D a m p i n g

m a y

b e o b t a i n e d

b y t h e

s w i t c h i n g

o f s e r i e s

c a p a c i -

t o r s

i n


l i n e s

w h i c h

i s

r e f l e c t e d

i n t h e m o d e l

a s

s t e p

c h a n g e s

i n Y i d

L

T . . . N o

e q u a t i o n

i s

d e v e l o p e d f o r t h e

c o n t r o l

o f

Y i d

L

T i . ,

h o w e v e r ,

s i n c e

s t e p

c h a n g e s i n

t h i s

p a r a m e t e r

d o

n o t

u n i q u e l y d e f i n e s w i t c h i n g o p e r a t i o n s

i n

t h e

r e a l

s y s t e m .

T h e


E r r o r

Q u a n t i t y

T o

o b t a i n

u n i f o r m

d a m p i n g

i t

i s

d e s i r a b l e t o

e m p l o y t h e

a n g u l a r

a c c e l e r a t i o n

o f

e a c h

g e n e r a t o r ( d )

a s a

c o n t r o l l i n g

e r r o r q u a n t i t y .

B y

t h i s

c h o i c e , e q u a l e m p h a s i s

i s

g i v e n

t o

m a c h i n e s

o f

l a r g e

o r

s m a l l g e n e r a t i n g

c a p a c i t y .

T h e d y n a m i c

s w i n g

e q u a t i o n

m a y

b e w r i t t e n

a s

i

W .

.

-

p

.

=

M .

i

i

S i n c e i n t e r n a l

g e n e r a t o r

d a m p i n g

i s l i g h t ,

t h e

r i g h t

s i d e o f

e q u a t i o n

( 8 )

r e p r e s e n t s

a

g o o d

a p p r o x i m a t i o n

o f

Ó ,

a n d

i s

d e f i n e d

a s t h e

f u n d a m e n t a l

e r r o r

q u a n t i t y E i .

T h u s

E i

M .

i

( 8 )

( 9 )

i

d

i

i

+

A

W .

-

P

=

i

i


14/74

W h e n t h e m a g n i t u d e o f

E i

i s l a r g e ,

i t

c l o s e l y

a p p r o x i m a t e s

S i ,

a n d

f o r c i n g

E i

t o w a r d z e r o a l s o

r e s u l t s

i n

f o r c i n g

t o w a r d

z e r o . A s

t h e

m a g n i t u d e

o f

E i

b e c o m e s

s m a l l ,

e q u a t i o n

( 8 )

m a y

b e

a p p r o x i m a t e d

b y

C i

ó l

=

o

( l o )

M .

i

w h i c h

h a s

a

s t a b l e

s o l u t i o n

f o r

b i

o f

* S i

=

k .

e x p

(

- C . t / M . )

i

a n d

f o r i t

o f

ó

=

- C i

e x p

(

-

C

i

t / M

i

)

i

M .

i

w h e r e C i / M i

m u s t

b e p o s i t i v e .

( 1 2 )

T h u s f o r

l a r g e

a n d

s m a l l m a g n i t u d e s

o f

E i

,

c o n t r o l

a c t i o n

w h i c h

f o r c e s E ,

t o

z e r o

a l s o

f o r c e s

t h e

s y s t e m

t o

a

s t a b l e

e q u i l i b r i u m

i

c o n d i t i o n .

T h e F u n d a m e n t a l E r r o r

F u n c t i o n

T h e

f u n d a m e n t a l e r r o r

f u n c t i o n

i s

d e f i n e d

a s

N

1

=

2 E

2

i

i = 1

T h i s

p o s i t i v e

d e f i n i t e

f u n c t i o n

i s

e m p l o y e d

t o

d e t e r m i n e

r e g u l a -

( 1 3 )

t i o n

o f c o n t r o l l a b l e p a r a m e t e r s

w h i c h

g i v e s

u n i f o r m


d a m p i n g .

T h e t i m e

d e r i v a t i v e

o f

e q u a t i o n

( 1 3 )

i s

6

8


15/74

N

.

. .

=

E

E i

( W i

-

P i

)

1

j = 1

M .

i

9

I f

a l l c o m p o n e n t s

o f

a r e c o n t i n u o u s l y

n e g a t i v e ,

0

a s y m p t o t i -

c a l l y

a p p r o a c h e s

z e r o

w h i c h

i m p l i e s

t h a t E .

a p p r o a c h e s

z e r o

a l s o .

E x p l i c i t

e q u a t i o n s

a r e

d e r i v e d

i n

C h a p t e r

I I

w h i c h

c a u s e

a s

m a n y t e r m s

o f t o

b e

n e g a t i v e

a s

p o s s i b l e .

M e a s u r e m e n t

o f

t h e F u n d a m e n t a l

E r r o r

Q u a n t i t y

T o

a p p l y

t h e

d a m p i n g

c o n t r o l

e q u a t i o n s

w h i c h

h a v e b e e n

d e -

v e l o p e d ,

E . m u s t b e m e a s u r e d

a t e a c h

g e n e r a t o r

i n

t h e

p o w e r

s y s t e m .

C u r r e n t l y

r o t o r

a n g u l a r a c c e l e r a t i o n ,

b

,

i s e s t i m a t e d

i

b y

u s i n g

t h e

a p p r o x i m a t e

t i m e

d e r i v a t i v e

o f

g e n e r a t o r

f r e q u e n c y

a s g i v e n i n

F i g u r e

3

( 5 ,

1 1 ) .

T h e s e d e v i c e s

a r e u s e d

o n

a

l i m i t e d

s c a l e f o r d a m p i n g

l o w

f r e q u e n c y

t i e

- l i n e

o s c i l l a t i o n s .

T h e

r e s p o n s e

o f

t h i s

i n s t r u m e n t a t i o n

s y s t e m i s

l i m i t e d

b y

t h e

s l o w f r e q u e n c y

t r a n s d u c e r s .

B l y t h e

h a s p r e s e n t e d

a

m e t h o d

f o r

e s t i m a t i n g

E i

a s

g i v e n

i n

F i g u r e

4

( 2 ) .

U n d e r t r a n s i e n t

c o n d i t i o n s ,

P . o s c i l l a t e s

a b o u t

W . .

B y

e m p l o y i n g t h e f i l t e r ,

G ( s ) ,

t h e h i g h e s t


f r e q u e n c i e s

a r e

a t t e n u a t e d ,

t h u s

g i v i n g

a n

a p p r o x i m a t i o n

o f

W . .

T h e e s t i -

i

m a t e d

E ,

i s

t h e

d i f f e r e n c e

b e t w e e n

t h e

a p p r o x i m a t e

W .

a n d

P . .

A l t h o u g h B l y t h e

u s e d

a

f i r s t

o r d e r

f i l t e r

o f

t i m e

c o n s t a n t

h i g h

o r d e r f o r m s m a y

a l s o

b e

u s e d .

T o m e a s u r e

P . ,

a

h i g h

s p e e d

p o w e r

t r a n s d u c e r m u s t

b e u s e d . A l t h o u g h

a

h i g h

s p e e d p o w e r

( 1 4 )

; $

/ p

,


16/74

A p p r o x i r + w t e .

C o n t r o l l e d

G a i n

D i f f e r e n t

i

a t

o

r

A A

A w p l e r

f

t

H i . ,

G o V t

A m p l i

- P i e r s

F i g u r e

3 .

A p p r o x i m a t e

D i f f e r e n t i a t o r

C i r c u i t

f o r

E s t i m a t i o n

o f

d

r

O

. ,

S i

. 3 , . 0

-


17/74

P i

G C S )

G ( s )

_

i

F i g u r e

4 .

B l o c k D i a g r a m

o f

a

M e t h o d

f o r

A p p r o x i m a t i n g

E i .

E i

O l

W i

I

+

o . S


18/74

1 2

t r a n s d u c e r

i s

c o n s i d e r e d

t o h a v e

l o w e r

a c c u r a c y

t h a n

t h e

s l o w

r e s p o n d i n g t h e r m o c o u p l e

m o d e l , n o

d i f f i c u l t y

i s

e x p e c t e d

s i n c e

o n l y

t h e r e l a t i v e m a g n i t u d e o f

E .

i s

n e c e s s a r y .

S t a t e m e n t o f

R e s u l t s

E x p l i c i t

e q u a t i o n s

g o v e r n i n g

t h e c o n t r o l

o f

W . ,

G .

a n d

E .

a r e

n o w

g i v e n .

T h e

e x p r e s s i o n

f o r

W .

c o n t r o l

i s

w h e r e

a n d

W . _ -

Y M .

( y

i

E .

Y =

a

p o s i t i v e s y s t e m c o e f f i c i e n t

f o r d i

E i

I

/ d t

<

0

O

f o r d I E i

I

/ d t i

0

T h e g e n e r a l e x p r e s s i o n

f o r G .

c o n t r o l

i s

W h e r e

M i

E i

2

E .

i

) = a p o s i t i v e

s y s t e m

c o e f f i c i e n t .

F o r d i s c r e t e l y o p e r a t e d c o n t r o l l e r s

t h i s

b e c o m e s

( 3 1 )

( 3 0 )

( 3 4 )

i

=

1

.


19/74

w h e r e

a n d

6

N O i n

i U u

(

t - T i

)

1

E 2

E . >

0

- 1 E . < O

i

a n d

A G . E

2 / M .

<

I E i I

i

i

i

O A G i E i

/ M i > I E i I

U

( t

o

- T . )

=

a

u n i t

i m p u l s e o c c u r r i n g

a t

t

=

T .

i i

A G .

= t h e m a g n i t u d e

o f t h e c h a n g e

i n

G . .

T h e t e r m T i i s d e f i n e d

a s

t h e

t i m e a t

w h i c h

I E i I

r e a c h e s

a

m a x i m a .

T h e

g e n e r a l e x p r e s s i o n

f o r

E i c o n t r o l

i s

w h e r e

a n d

=

p

S o i

E i

E

R i

+

L i

1 3

( 4 3 )

( 4 4 )

( 5 2 )

} L

=

a

p o s i t i v e s y s t e m c o e f f i c i e n t ,

£

R i

E . Y .

( B i J + B J i

E J )

,

( 4 6 )

J = 1

M i

E l

B . .

C o s

( T . .

-

A . + A . )

( 6 )

i j i j

i

J

L i

4

2

E i G i

M .

i

( 4 5 )

i

J L .

1

1

1

J

-

{

I l i l l l l

r

=

1


20/74

T h e

f o r m m a y

b e r e d u c e d

t o

E

_

i

p

S G i

E i

E L i

1 4

( 5 3 )

a t

g e n e r a t o r s

h a v i n g

a

r e l a t i v e l y

l a r g e d r i v i n g

p o i n t c o n d u c t -

a n c e ,

G i

.

A n

e x p r e s s i o n

c o n t r o l l i n g Y .

l j i j

T

i s

n o t

p r e s e n t e d

s i n c e i t s

i n t e r p r e t a t i o n

i n t h e

a c t u a l

n e t w o r k

i s

n o t u n i q u e .

D i s c u s s i o n

o f R e s u l t s

T h e

e q u a t i o n s

p r e s e n t e d

m a y

b e

u s e d

e x p l i c i t l y

t o g o v e r n

t h e

a p p l i c a t i o n

o f

l o c a l

d a m p i n g

d e v i c e s .

I t

i s n o t

n e c e s s a r y

t h a t

t h e

p a r a m e t e r

r e s p o n s e s

e x a c t l y f o l l o w

t h e

g i v e n

e q u a t i o n s

a l t h o u g h

s i g n

a g r e e m e n t

s h o u l d

b e m a i n t a i n e d .

A l l

c o n t r o l

e q u a t i o n s

a r e

b a s e d a r o u n d

t h e f u n d a m e n t a l

e r r o r

q u a n t i t y

E i .

A p r a c t i c a l m e t h o d o f e s t i m a t i n g

t h i s

q u a n t i t y

i s

g i v e n

o n

p a g e

9 .

T h e

e q u a t i o n

f o r

c o n t r o l o f

W i

i s

t h e s i m p l e s t o f

t h o s e

g i v e n .

F u r t h e r m o r e ,

t h i s

p a r a m e t e r

i s

t h e

m o s t

d e s i r a b l e

t o

e m p l o y

f o r

s y s t e m

d a m p i n g

s i n c e

i t d o e s n o t

d i r e c t l y i n t r o d u c e

v o l t a g e

f l u c t u a t i o n

( a s

d o e s

E i

c o n t r o l )

a n d

i t

d o e s n o t

r e -

q u i r e t e m p o r a r y

d r o p p i n g

o f

a n y

c u s t o m e r

l o a d s ( a s

c a n

G .

c o n t r o l ) .

U n f o r t u n a t e l y ,

t h i s i s t h e

m o s t

d i f f i c u l t

p a r a m e t e r

t o

c o n t r o l

i n p r a c t i c e

b e c a u s e

o f

t h e s l o w r e s p o n s e

o f t h e

g e n e r a t o r

a n d

t u r b i n e

s y s t e m s .

S o m e s u c c e s s h a s

b e e n

a c h i e v e d

b y

S c h l e i f ,

M a r t i n a n d

A n g e l l f o r

l o w f r e q u e n c y

o s c i l l a t i o n s

( 1 1 ) .

F r u i t f u l i d e a s

1


21/74

1 5

l e a d i n g

t o

r a p i d

c o n t r o l

o f

W .

a r e

h i g h l y

d e s i r a b l e .

T h e

e q u a t i o n

f o r

c o n t r o l

o f

G . m a y b e d i r e c t l y e m p l o y e d

i n

t h e


o f

d y n a m i c

b r a k i n g .

T h i s

p r o v i d e s

t h e

s o l u t i o n

t o

t h e

t h r e e

p r i m a r y

d i f f i c u l t i e s :

1 . R e l a t i v e

b r a k e

r e s i s t o r

s i z e s a r e

g i v e n

f o r

e a c h

g e n e r a t i n g

p l a n t

b y

e q u a t i o n

( 3 5 ) .

2 .

T h e

t i m e

o f


i s g i v e n

f o r e a c h s w i t c h i n g

o p e r a t i o n

i n

t e r m s

o f

a

l o c a l l y

m e a s u r a b l e p a r a m e t e r .

3 .

A

d e c i s i o n f u n c t i o n

i s

p r o v i d e d

b y

e q u a t i o n

( 4 2 ) t o

d e t e r m i n e

w h e n

b r a k i n g

o p e r a t i o n s

m u s t

b e

t e r m i n a t e d .

I t

i s m o s t

d e s i r a b l e

i f b r a k i n g

r e s i s t o r s a r e a p p l i e d a t

t h e

g e n e r a t o r

s i t e s .

I f

l o a d

s h e d d i n g i s e m p l o y e d ,

i t

m u s t

b e

d e t e r m i n e d

w h i c h

l o a d s w i t h i n

t h e s y s t e m s e l e c t i v e l y

i n f l u e n c e

t h e

d r i v i n g

p o i n t

c o n d u c t a n c e s .

W i t h

t h e


o f

i m p r o v e d e x c i t e r

s y s t e m s ,

t h e

c o n t r o l

o f

E .

h a s

b e c o m e

a

r e a s o n a b l e m e t h o d o f i n t r o d u c i n g

d a m p i n g .

T w o

e q u a t i o n s

a r e

g i v e n f o r

t h e c o n t r o l

o f

E ,

o f

w h i c h

o n e r e q u i r e s

t h e

k n o w l e d g e

o f

m a n y s y s t e m

p a r a m e t e r s , a n d

t h e

o t h e r ,

o n l y

l o c a l

p a r a m e t e r s .

F r o m t h e

t h r e e

- g e n e r a t o r

e x a m p l e

o f C h a p t e r

I I I , i t w a s

f o u n d

t h a t

t h e

l o c a l

e q u a t i o n

g a v e

r e s u l t s

a l m o s t

a s s a t i s f a c t o r y

a s

t h e t o t a l s y s t e m

e q u a t i o n .

B y

e x a m i n a t i o n

o f

e q u a t i o n s

( 4 5 )

a n d

( 4 6 )

i t

a p p e a r s

t h a t

g e n e r a t o r s

w i t h

l a r g e d r i v i n g

p o i n t

c o n d u c t a n c e

v a l u e s

a r e

m o s t

a m e n a b l e

t o

t h e

l o c a l

v o l t a g e

c o n t r o l

e q u a t i o n .


22/74

1 6

T h e

d e r i v e d e q u a t i o n s g i v e i n s t r u c t i o n

f o r

t h e

c o n t r o l

o f

W i ,

G i

a n d

E i t o

o b t a i n n e a r l y u n i f o r m

p o w e r

s y s t e m d a m p i n g .

F u r t h e r

e x t e n s i o n

o f

t h i s

m e t h o d

i s

i n t e n d e d

b y

t h e

a u t h o r .

R e c o m m e n d a t i o n

f o r

F u r t h e r

S t u d y

T h e

f o l l o w i n g

t o p i c s

a r e

r e c o m m e n d e d

f o r f u r t h e r

s t u d y :

1 .

T h e

e x t e n t

o f

a p p l i c a b i l i t y

o f

t h e l o c a l

v o l t a g e

c o n t r o l

e q u a t i o n s h o u l d

b e d e t e r m i n e d .

2 .

F u r t h e r w o r k

s h o u l d

b e

c o n d u c t e d

o n

c i r c u i t s

f o r

r a p i d m e a s u r e m e n t

o f t h e f u n d a m e n t a l

e r r o r

q u a n t i t y ,

E . .

i

3 . T h e m o s t

d e s i r a b l e

r a n g e

o f

s y s t e m c o e f f i c i e n t s

L I N

a n d

u s h o u l d b e

d e t e r m i n e d .

4 .

P r o c e d u r e s

s h o u l d

b e p r e p a r e d

f o r d e t e r m i n i n g

h o w

s h e d l o a d s i n f l u e n c e

G . .

i

5 . T h e

d a m p i n g m e t h o d s h o u l d

b e s i m u l a t e d

o n

a

l a r g e

p o w e r s y s t e m m o d e l .

L i t e r a t u r e R e v i e w

T h e s u b j e c t

o f

p o w e r s y s t e m t r a n s i e n t

s t a b i l i t y

i s

v e r y

a c t i v e i n

t h e

l i t e r a t u r e .

M e t h o d s h a v e

b e e n p r o p o s e d

f o r

d e -

t e r m i n i n g

t h e

b o u n d a r y

r e g i o n o f

s y s t e m

s t a b i l i t y

u s i n g

t h e

d i r e c t m e t h o d

o f

L i a p u n o v .

O t h e r

e m p h a s i s

h a s

b e e n o n

l o c a l l y

c o n t r o l l e d

d a m p i n g t e c h n i q u e s .


23/74

1 7

B y t h e

d i r e c t m e t h o d o f

L i a p u n o v ,

a p o s i t i v e

d e f i n i t e

( a l w a y s p o s i t i v e )

f u n c t i o n V

i s

d e f i n e d

i n

t e r m s

o f

s y s t e m

s t a t e

v a r i a b l e s . T h e t i m e

d e r i v a t i v e

V

m a y

b e

e x p l i c i t l y d e t e r m i n e d

b y

u s i n g

t h e

s y s t e m

d i f f e r e n t i a l

e q u a t i o n s .

A s y m p t o t i c s t a -

b i l i t y

o f t h e

s y s t e m

r e s p o n s e

i s g u a r a n t e e d

o v e r

t h e

r e g i o n

f o r

w h i c h V

i s

a l w a y s n e g a t i v e .

T f

a

g o o d

L i a p u n o v

f u n c t i o n

i s

c h o s e n ,

t h e

n e g a t i v e r e g i o n

o f

V

c l o s e l y

c o r r e s p o n d s t o

t h e

t r u e

r e g i o n

o f

s y s t e m s t a b i l i t y .

L i a p u n o v

f u n c t i o n s h a v e b e e n d e r i v e d

f o r s e v e r a l

d e g r e e s

o f

r e -

f i n e m e n t

( 3 ,

6 ,

1 7 ) .

A

u s e f u l

r e s u l t i n g c o n c e p t i s

t h e

d e t e r -

m i n a t i o n

o f

t h e m a x i m u m

t i m e

w i t h i n

w h i c h a

d i s t u r b a n c e

m u s t

b e

c l e a r e d

t o

m a i n t a i n

s t a b i l i t y

( 3 ) .

T h e

l o c a l d a m p i n g

t e c h n i q u e s

p r e s e n t e d

a r e i n t e n d e d f o r

o n -

l i n e

o p e r a t i o n .

M u c h

w o r k

h a s b e e n

d o n e

b y S c h l e i f

o f

t h e

U .

S .

B u r e a u

o f

R e c l a m a t i o n

o n

d a m p i n g

b y

p r i m e

m o v e r c o n -

t r o l .

T h i s

w o r k w a s

p r o m p t e d

b y s e r i o u s


i n

N o r t h w e s t

- S o u t h w e s t

t i e

l i n e s

t h r o u g h U t a h a n d C o l o r a d o .

F r e -

q u e n t

l i n e

t r i p p i n g

o c c u r r e d

a s

a

r e s u l t o f

d r i f t i n g

t i e

- l i n e

l o a d

a n d

p e r i o d i c

s w i n g s a t s i x

c y c l e s p e r

m i n u t e

( 5 ) .

T h e

w o r k

b y

S c h l e i f h a s

r e s u l t e d

i n

p r i m e m o v e r

c o n t r o l

a t

G r a n d

C o u l e e

a n d M c N a r y

d a m s

b a s e d

o n t h e t i m e

d e r i v a t i v e

o f

l o c a l

f r e q u e n c y

( 1 1 , 1 2 ) .

S a t i s f a c t o r y

d a m p i n g

o f l o w f r e q u e n c y

t i e

- l i n e

o s c i l l a t i o n s w a s

o b t a i n e d .

T h e


o f

d a m p i n g

b y

g e n e r a t o r t e r m i n a l v o l t a g e

c o n t r o l h a s

r e c e i v e d

i n t e r e s t

b e c a u s e

o f

t h e l o w

m o d i f i c a t i o n


24/74

1 8

c o s t . T h e

g e n e r a t o r v o l t a g e

m a y b e c o n t r o l l e d

b y c h a n g i n g

t h e

c u r r e n t

o f

t h e

f i e l d

w i n d i n g

l o c a t e d

o n

t h e

r o t a t i n g

g e n e r a t o r

s h a f t .

T h e

e x c i t e r s y s t e m

w h i c h p r o v i d e s t h e f i e l d

w i n d i n g

c u r r e n t m u s t

b e d r i v e n

t o h i g h v o l t a g e m a g n i t u d e s

t o

g i v e

a

r a p i d

c h a n g e i n

g e n e r a t o r

t e r m i n a l v o l t a g e .

T e c h n i q u e s o f

b a n g - b a n g

( d i s c r e t e

o u t p u t )

e x c i t e r

c o n t r o l

h a v e b e e n d e v e l o p e d

b y

O . J . M .

S m i t h

a n d

G .

A .

J o n e s ( 7 ,

1 3 ) .

S m i t h u s e s l o c a l

s h a f t

a n g l e , s h a f t

v e l o c i t y ,

f i e l d c u r r e n t

a n d p o w e r

f l o w

a s

i n p u t s

t o

d e c i s i o n m a k i n g c o n t r o l l e r s w h i c h c o m m a n d

e x c i t e r

v o l t a g e

t o

b e

m a x i m u m

p o s i t i v e ,

m a x i m u m

n e g a t i v e ,

o r n o r m a l .

M u c h

w o r k

h a s

a l s o

b e e n

d o n e b y

B l y t h e o n g e n e r a t o r

v o l t a g e

c o n t r o l

o f t h e P e a c e

R i v e r T r a n s m i s s i o n S y s t e m i n

C a n a d a .

P r e l i m i n a r y

d i g i t a l

s i m u l a t i o n

s t u d i e s

w e r e

c o n d u c t e d

u s i n g

f r e q u e n c y

d e v i a t i o n

f r o m

n o m i n a l

6 0

c y c l e s p e r

s e c o n d a s

a c o n t r o l

s i g n a l

( 4 ) .

B l y t h e

a n d

S h i e r

h a v e a l s o g i v e n a

c o m p a r i s o n

o f

d a m p i n g p o s s i b l e

w i t h r o t a t i n g a n d

s t a t i c

( t h y r i s t e r )

e x c i t a t i o n

s y s t e m s .

T h e

s t a t i c

e x c i t e r

g i v e s a

s i g n i f i c a n t

i m p r o v e m e n t

i n t h e

a b i l i t y

t o c o n t r o l

t e r m i n a l

v o l t a g e

f o r t h i s

p u r p o s e

( 2 ,

1 6 ) .

A d a m p i n g

t e c h n i q u e

w h i c h

h a s

r e c e i v e d

m u c h d i s c u s s i o n

p r o

a n d c o n

i s d y n a m i c

b r a k i n g

( 1 0 ) . A l t h o u g h

t h e


o f

d i s c r e t e

b r a k i n g

r e s i s t o r s

i s

c o n s i d e r e d

b y

s o m e

t o b e

a

d r a s t i c

m e a s u r e ,

o t h e r s m a i n t a i n

t h a t

t h i s

i s n e c e s s a r y

f o r t h e

s e v e r e


w h i c h

m a y

o c c u r i n i n t e r c o n n e c t e d s y s t e m s .

I t

h a s

b e e n

s u g g e s t e d t h a t

d a m p i n g

r e s i s t o r s

m a y b e a p p l i e d

f o r o n e

t o


25/74

1 9

o n e

a n d

o n e - h a l f s e c o n d s

f o l l o w i n g

a


( 4 ) .

T h e

f e a s i b i l i t y

o f e m p l o y i n g

b r a k i n g r e s i s t o r s

i s b e i n g

c o n s i d e r e d

b y

B o n n e v i l l e P o w e r

A d m i n i s t r a t i o n .

T h e

s w i t c h i n g

o f s e r i e s c a p a c i t o r s

i s

b e i n g e m p l o y e d

i n

t h e

P a c i f i c N o r t h w e s t - S o u t h w e s t I n t e r t i e ( 1 5 ) .

T h e i n s e r t i o n

o f s e r i e s

c a p a c i t o r s i n t r a n s m i s s i o n

l i n e s

i n c r e a s e s

l i n e

a d m i t t a n c e w h i c h m a y b e u s e d t o i m p r o v e

t r a n s i e n t

s t a b i l i t y

( 8 ,

1 0 ) .

O n e p l a n

o f


i s

t o

i n s e r t

s e r i e s

c a p a c i t o r s

i m m e d i a t e l y f o l l o w i n g

a


a n d

l e a v i n g t h e m

i n

u n t i l

s y s t e m

c o n d i t i o n s

r e t u r n t o

n o r m a l

o p e r a t i o n .

A n o t h e r

m e t h o d

i s

t o

i n s e r t

s e r i e s

c a p a c i t o r s

w h e n

t h e e l e c t r i c a l

p h a s e

a n g l e

b e t w e e n t r a n s m i s s i o n

l i n e

t e r m i n a l s i s

i n c r e a s i n g

a n d

r e m o v a l

o f c a p a c i t o r s w h e n

t h e

a n g l e i s

d e c r e a s i n g

( 1 0 ) .

N o m e n c l a t u r e

E n g l i s h

S y m b o l s

A .

=

t h e

p h a s e a n g l e

o f t h e

p h a s e

- t o -

n e u t r a l

v o l t a g e

f o r

t h e

i t h

g e n e r a t o r ,

i n

r a d i a n s .

B .

j

= a

v a r i a b l e

d e f i n e d

b y

e q u a t i o n

( 6 ) .

C .

=

t h e i n t e r n a l d a m p i n g


f o r

t h e

i t h

g e n e r a t o r ,

i n

p e r

- u n i t p o w e r s e c o n d / r a d i a n .

E . =

t h e

m a g n i t u d e

o f

t h e

p h a s e

- t o -

n e u t r a l

v o l t a g e

o f

t h e i t h

g e n e r a t o r ,

i n

p e r

- u n i t v o l t a g e .

. *

E .

=

t h e v a l u e u s e d f o r E . i n

t h e

R u n g e

K u t t a n u m e r i c a l

i n t e -

i

i

g r a t i o n

s u b r o u t i n e , i n

u n i t s

o f

p e r

- u n i t

v o l t a g e

/ s e c o n d .

1

1

1


26/74

2 0

£ L i

=

t h e

l o c a l

v o l t a g e

c o n t r o l v a r i a b l e d e f i n e d b y

e q u a t i o n

( 4 5 ) .

£ R i

=

t h e

r e m o t e

v o l t a g e

c o n t r o l

v a r i a b l e d e f i n e d b y

e q u a t i o n

( 4 6 ) .

E

=

t h e

e x c i t e r v o l t a g e

o f

t h e i t h g e n e r a t o r , i n p e r

- u n i t

x i

v o l t a g e .

G ( s )

=

a

t r a n s f e r

f u n c t i o n .

G . =

t h e

d r i v i n g

p o i n t

c o n d u c t a n c e o f

t h e i t h

g e n e r a t o r

d e -

f i n e d

b y

e q u a t i o n

( 3 ) ,

i n

p e r - u n i t a d m i t t a n c e .

A G . =

t h e

m a g n i t u d e

o f t h e

c h a n g e i n

G .

r e s u l t i n g f r o m

d y n a m i c

b r a k i n g .

G N i

= t h e

n o m i n a l

v a l u e

o f

G .

w h e n

d y n a m i c

b r a k i n g i s

n o t

a p p l i e d ,

i n

p e r - u n i t

a d m i t t a n c e .

I f i =

t h e

d . c . f i e l d

c u r r e n t

o f

t h e

i t h

g e n e r a t o r , i n

p e r

- u n i t

c u r r e n t .

K .

=

a g e n e r a t o r

m o d e l

c o n s t a n t .

k .

=

a c o n s t a n t

o f

i n t e g r a t i o n .

L f i =

t h e

i n d u c t a n c e

o f

t h e

f i e l d w i n d i n g o f

t h e i t h

g e n e r a t o r .

M .

=

t h e

i n e r t i a

c o n s t a n t

f o r t h e i t h

g e n e r a t o r ,

i n p e r

- u n i t

p o w e r

s e c o n d 2

/ r a d i a n .

N

=

t h e

n u m b e r

o f g e n e r a t o r s

i n

t h e

p o w e r

s y s t e m .

P i

=

t h e

e l e c t r i c a l

p o w e r

o u t p u t o f t h e i t h

g e n e r a t o r g i v e n

b y

e q u a t i o n

( 2 ) ,

i n

p e r

- u n i t p o w e r .

Q . =

a

R u n g e

K u t t a v e c t o r

d e f i n e d

b y

e q u a t i o n

( 6 1 ) .

R .

=

a

R u n g e

K u t t a v e c t o r

d e f i n e d

b y

e q u a t i o n ( 6 2 ) .

i

i

i

i

i

1

i


27/74

2 1

R f i =

t h e

f i e l d w i n d i n g

r e s i s t a n c e o f

t h e i t h

g e n e r a t o r , i n

p e r u n i t r e s i s t a n c e .

S i

=

a

R u n g e K u t t a

v e c t o r

d e f i n e d

b y

e q u a t i o n ( 6 3 ) .

T .

=

t h e

t i m e

a t w h i c h

a d y n a m i c b r a k i n g

s w i t c h i n g

o p e r a t i o n

o c c u r s ,

i n

s e c o n d s .

T . =

t h e

p h a s o r

a n g l e o f t h e t r a n s f e r a d m i t t a n c e

d e f i n e d

b y

i j

e q u a t i o n ( 4 ) ,

i n

r a d i a n s .

V i =

a

R u n g e

K u t t a

v e c t o r

d e f i n e d

b y

e q u a t i o n

( 6 4 ) .

W .

=

t h e

m e c h a n i c a l

i n p u t

p o w e r

t o

t h e i t h

g e n e r a t o r m i n u s

a l l g e n e r a t o r

a n d p r i m e

m o v e r

l o s s e s ,

i n

p e r - u n i t

p o w e r .

X i

a

R u n g e

K u t t a

v e c t o r

d e f i n e d

b y

e q u a t i o n s

( 5 7 )

a n d

( 6 0 ) .

Y . =

a

t r a n s f e r

a d m i t t a n c e m a g n i t u d e

d e f i n e d

b y e q u a t i o n

( 4 ) ,

i j

i n p e r - u n i t

a d m i t t a n c e .

a n a d m i t t a n c e m a g n i t u d e

r e s u l t i n g

f r o m d e l t a

- s t a r

n e t -

w o r k

r e d u c t i o n ,

i n p e r

- u n i t a d m i t t a n c e .

a

v a r i a b l e

d e f i n e d

i n

e q u a t i o n ( 2 8 ) .

G r e e k

S y m b o l s

i

Y

a


u s e d

i n t h e d e v e l o p m e n t

o f

t h e W i c o n t r o l

e q u a t i o n .

a c o e f f i c i e n t

u s e d i n

t h e

d e v e l o p m e n t o f

t h e

K i

c o n t r o l

e q u a t i o n .

- 1 .

t h e

s y s t e m

c o e f f i c e n t

f o r

c o n t r o l

o f

W . , i n s e c o n d s

i

i

=

y i j

=

3

=

c l .

=

=


28/74

a i

E i

E i

2 2

= t h e

a n g u l a r

d i s p l a c e m e n t o f

t h e

r o t o r o f

t h e i t h

g e n e r a -

t o r f r o m

a

s y n c h r o n o u s l y r o t a t i n g

r e f e r e n c e

a x i s ,

i n

r a d i a n s .

= t h e


e r r o r q u a n t i t y

d e f i n e d

b y

e q u a t i o n

( 9 ) ,

i n

u n i t s o f r a d i a n s / s e c o n d 2 .

= t h e

v a l u e

o f

E i

i m m e d i a t e l y

f o l l o w i n g

a

d y n a m i c

b r a k i n g

s w i t c h i n g o p e r a t i o n .

A

E i =

t h e

c h a n g e i n

E i

r e s u l t i n g

f r o m a

d y n a m i c

b r a k i n g

s w i t c h i n g o p e r a t i o n .

9 . =

a p h a s o r

a d m i t t a n c e a n g l e

r e s u l t i n g

f r o m d e l t a

s t a r

i j

n e t w o r k

r e d u c t i o n .

= t h e

s y s t e m c o e f f i c i e n t

f o r c o n t r o l

o f G i ,

i n

s e c o n d s

- 1 .

= t h e s y s t e m

c o e f f i c i e n t f o r

E .

c o n t r o l ,

i n

s e c o n d s

- 1 .

= t h e t i m e

c o n s t a n t o f

t h e

f i r s t

o r d e r

f i l t e r ,

G ( s ) ,

i n

s e c o n d s .

? '

= t h e

d e l a y

t i m e

b e t w e e n a d i s t u r b a n c e

a n d

t h e a p p l i c a t i o n

o f

d y n a m i c b r a k i n g ,

i n

s e c o n d s .

0

= t h e


e r r o r

f u n c t i o n

d e f i n e d

b y

e q u a t i o n

( 1 3 ) ,

i n

r a d i a n s 2

s e c o n d 4 .

E

=

a

c o m p o n e n t o f T h d e f i n e d

b y

e q u a t i o n

( 2 2 ) .

0 G =

a c o m p o n e n t

o f ¢ d e f i n e d

b y

e q u a t i o n

( 2 1 ) .

f ó w =

a c o m p o n e n t o f

j ó

d e f i n e d

b y e q u a t i o n

( 2 0 ) .

Y B

= a

c o m p o n e n t

o f

d e f i n e d

b y e q u a t i o n

( 2 3 ) .

( / i i

=

t h e d e c i s i o n f u n c t i o n d e f i n e d

b y e q u a t i o n

( 3 0 ) .

1 1 .

=

a

d e c i s i o n

f u n c t i o n d e f i n e d

b y e q u a t i o n

( 4 4 ) .

i

T

1 1

1

A p

Q


29/74

2 3

H .

D E R I V A T I O N O F D A M P I N G

E Q U A T I O N S

E x p a n s i o n

o f

g

T h e b a s i c


m o d e l a n d d a m p i n g

c r i t e r i a

a r e p r e -

s e n t e d

i n C h a p t e r I . D e t a i l s

o f

t h e d e r i v a t i o n

o f

p a r a m e t e r

c o n t r o l

e q u a t i o n s

a r e

g i v e n i n

t h i s c h a p t e r .

T h e


e r r o r q u a n t i t y

i s

d e f i n e d

a s

A

e i

=

( w .

-

P i ) / M i

a n d

m a y

b e

e x p a n d e d b y

e q u a t i o n ( 2 )

t o

N

E i =

( W i

- E . G . -

E

E . E . Y .

i = 1

T h e

t i m e d e r i v a t i o n

o f E i s

i

2

W . 2 E . G . E .

E . G .

E

.

=

i

-

1 1

1 - i

i

-

M . M .

M .

i i

i

N

N

( E i Y i j B i j E j

E j Y i j B i j E i )

M .

M .

i

i

j = 1

N

-

1 :

E i E j

d ( Y i j i j )

/ d t .

M .

i

i = 1

( 1 5 )

( 1 6 )

( 1 7 )

1

+


30/74

T h e t i m e d e r i v a t i v e o f t h e


e r r o r

f u n c t i o n i s

N

; J =

E E i É i

i = 1

w h i c h m a y b e

e x p a n d e d b y

e q u a t i o n

( 1 7 )

t o

g i v e

w h e r e

a n d

.

.

.

.

=

W +

G

+

E

N

E

i w i

W

M .

i = 1

N

0

r

E 2 . G .

- i i

i

= 1

2 4

( 1 8 )

( 1 9 )

( 2 0 )

( 2 1 )

N

N

E

E

6 i

2 E i G i

+

s Y i j ( B i

+

B . i

E 1

) E i )

( 2 2 )

M .

M .

E i

i = 1

1

j = 1

i

N N

O Y B

-

E

e i

E

E . E .

d ( Y i

B i

) / d t

.

M .

i = 1

j = 1

1

( 2 3 )

T h e

b a s i c p l a n i s t o c o n t r o l t h e p a r a m e t e r s

W . , G . a n d

E .

t o

f o r c e

; $ t o b e

a s n e g a t i v e a s p o s s i b l e .

.

Q í

G

-

-


31/74

2 5

W .


I t c a n b e

s h o w n

b y

e q u a t i o n

( 2 0 ) t h a t

ß í W i s

a l w a y s

n e g a t i v e

i f

W .

i s

d e f i n e d a s

i

W . = -

o f .

i

E i

( 2 4 )

w h e r e

d .

i s

a

p o s i t i v e c o e f f i c i e n t .

C o n t r o l

a c t i o n

i s

a p p l i e d

e q u a l l y

t o

a l l g e n e r a t o r s

h a v i n g e q u a l

E

i f

o C i

i s

d e f i n e d

a s

( 2 5 )

w h e r e

Y

i s

a p o s i t i v e

c o e f f i c i e n t .

T h e r e s u l t i n g

e q u a t i o n s

f o r

0 W

a n d

W i

a r e

a n d

N

ó

E

2

i = 1

w .

=

- Y

M . E

i

( 2 6 )

( 2 7 )

I t m a y

b e

s h o w n

b y

s u b s t i t u t i o n o f

e q u a t i o n

( 2 7 )

i n t o e q u a t i o n

( 1 ) t h a t t h i s

a c t i o n

a c t s

c o n t i n u o u s l y

t o

r e d u c e a n g u l a r

a c c e l -

e r a t i o n o f

ó

a t e a c h

g e n e r a t o r . S t r i c t l y

f r o m

t h e s t a n d p o i n t

i

o f d a m p i n g o s c i l l a t i o n

t h i s

a c t i o n

i s d e s i r a b l e ,

b u t

i n

t e r m s

o f

t r a n s i e n t

s t a b i l i t y ,

a

f u r t h e r m o d i f i c a t i o n

i s n e c e s s a r y .

T h i s

m o d i f i c a t i o n

i s a

r e s u l t

o f c o n s i d e r a t i o n

o f p o w e r

s y s t e m

e q u i l i b r i u m p o i n t s .

E l - A b i a d

a n d

N a g a p p a n

h a v e d e r i v e d

.

C .

° =

Y M .


32/74

2 6

e q u a t i o n s

f o r

e s t i m a t i n g

s t a b l e a n d

u n s t a b l e e q u i l i b r i u m

p o i n t s

( 3 ) . T h e

r e l a t i v e

r o t o r

a n g l e o f a

s t a b l e

e q u i l i b r i u m c o n d i t i o n

b e t w e e n

t h e

i t h

a n d j t h

m a c h i n e

i s a p p r o x i m a t e l y

w h e r e

( b i

-

ó j ) =

S i n - 1 (

M . W . -

M . E .

2

G . +

M . E .

G .

1 1

1

J

J

( M ,

+ M . ) E . E . Y .

, S i n ( T .

. )

1

J 1

J

1 3

1 J

a n d

t h e

u n s t a b l e c o n d i t i o n

i s

g i v e n

b y

=

a i

-

a )

1 r

-

S i n - 1 ( 3 )

.

B y

e x a m i n i n g

t h e

p r i n c i p a l

a n g l e s o f

S i n

- 1

( i ) , i t

m a y

b e

s h o w n

t h a t

f o r

a s t a b l e

s y s t e m

e q u i l i b r i u m

p o i n t , t h e

a n g l e s

( 2 8 )

( 2 9 )

( d i

. -

, S . )

s h o u l d

l i e w i t h i n

+ 9 0

d e g r e e s .

A n

u n s t a b l e

e q u i l i b -

r i u m

c o n d i t i o n

e x i s t s

i f a n y

( a ,

-

b , )

l i e s

b e t w e e n 9 0

a n d

2 7 0

1

J

d e g r e e s .

F i g u r e

5

i l l u s t r a t e s

t h e

s e t

o f p r i n c i p a l e q u i l i b r i u m

p o i n t s

f o r

t h e

t h r e e

- g e n e r a t o r

s y s t e m

c o n s i d e r e d

i n

C h a p t e r

I I I .

I t i s

d e s i r a b l e

t h a t

d a m p i n g

a c t i o n

d o e s n o t d r i v e

t h e

r e l a t i v e

s y s t e m

a n g l e s t o w a r d

t h e

r e g i o n

o f u n s t a b l e

e q u i l i b -

r i u m

p o i n t s

s i n c e

s t a b i l i t y

m a y

b e l o s t .

F o r

t h i s r e a s o n , t h e

r e t a r d i n g

a n g u l a r

a c c e l e r a t i o n

s h o u l d n o t b e d i m i n i s h e d

w h e n

d

1

E

i I

i s

p o s i t i v e .

d t

T h e

d e r i v a t i o n

o f t h e

W .

c o n t r o l

e q u a t i o n i s c o m p l e t e

w i t h

1

t h e

a d d i t i o n

o f

M . W .

-

3 . =

j 1

1 J

i


33/74

2 7

2 0 0

u )

u

u

1 6 0

L ,

¢

C

1 2 0

y o

g o

U n s i

a b l e

p o e t s

4 0

S t a L l s

p o i n t

O

0

4 0

S O

1 2 . 0

1 6 0 2 0 0

S a

-

8 3

i n

D e g r e e s

F i g u r e

5 .

P r i n c i p a l

E q u i l i b r i u m

P o i n t s

f o r t h e

U n d a m p e d

T h r e e

- G e n e r a t o r M o d e l

o f

C h a p t e r

I I I .

9 -

, .

a

^ ó


34/74

i

A

=

1

0

f o r

f o r

d t . l / d t

d

E . )

/ d t

<

>

O

O

t h e r e b y g i v i n g

=

M .

G i C o n t r o l

E q u a t i o n

2 8

( 3 0 )

( 3 1

)

I t

c a n b e s h o w n

b y

e q u a t i o n

( 2 1 )

t h a t

0 G

i s

a l w a y s

n e g a t i v e

i f

G .

i s d e f i n e d

a s

i

. p

E i

( 3 2 )

w h e r e / 3

i s

a p o s i t i v e c o e f f i c i e n t .

C o n t r o l

a c t i o n

i s

a p p l i e d

e q u a l l y

t o

a l l

g e n e r a t o r s h a v i n g

e q u a l

E

,

i f

i

i s

d e f i n e d

a s

A

M .

)

/ 3 i

=

E 2

i

( 3 3 )

w h e r e

)

i s

a p o s i t i v e

s y s t e m c o e f f i c i e n t .

I n e q u a t i o n ( 3 3 ) ,

E

c a n

b e a p p r o x i m a t e d

b y i t s

n o m i n a l

i

v a l u e s i n c e d e v i a t i o n s

f r o m t h e n o m i n a l

v a l u e a r e

g e n e r a l l y

s m a l l .

T h e t e c h n i q u e

o f

d y n a m i c

b r a k i n g

a p p e a r i n g

i n

t h e l i t e r a t u r e

i n v o l v e s

s t e p c h a n g e s i n

G . r a t h e r

t h a n

c o n t i n u o u s

c o n t r o l

a s

g i v e n

b y

i

-

(

i

,

G i

=

/ 3

i


35/74

G .

=

i

.

x

E

E

i

2 9

( 3 4 )

T o p r o v i d e

f o r

d i s c r e t e c h a n g e s

i n

G i , a

u n i t

i m p u l s e

t e r m

U o ( t

- T i )

i s

e m p l o y e d

w h i c h

o c c u r s

w h e n

t h e

a r g u m e n t

t

- T i

i s

z e r o .

I f o n l y o n e s i z e

b r a k i n g

r e s i s t o r

i s

a v a i l a b l e

a t

e a c h

g e n e r a t i o n s i t e ,

t h e m a g n i t u d e s h o u l d

b e

d e t e r m i n e d

b y

A G

=

M i ñ

E 2

i

( 3 5 )

w h e r e

t h e

n o m i n a l

t e r m i n a l

v o l t a g e

i s

u s e d

f o r

E . .

W i t h a

f i x e d

m a g n i t u d e

d i s c r e t e

b r a k i n g o p e r a t i o n , t h e

r e s u l t i n g

c h a n g e

i n

0 G i s

g i v e n

b y

A O G

=

U _ I ( t - T i )

( 3 6 )

w h e r e U _ 1 ( t - T . ) i s t h e u n i t s t e p

o c c u r r i n g

a t t =

T . .

I t

c a n

b e s e e n

f r o m e q u a t i o n

( 2 1 )

t h a t

a

m a x i m u m

d e c r e a s e

i n

0 G i s

s u s t a i n e d

i f t h e s w i t c h i n g

o c c u r s

w h e n

I E i A

i s

a t

a

m a x i -

m u m v a l u e .

S t u d i e s

h a v e

i n d i c a t e d

t h a t

i t i s

d e s i r a b l e

t o

a p p l y

d y n a m i c b r a k i n g

i m m e d i a t e l y f o l l o w i n g

a


( 4 ) .

T h i s i s

c o m p a t i b l e w i t h t h e

m a x i m u m

I E . . I

c r i t e r i o n

s i n c e

I E . I

a l w a y s

r e a c h e s

a

m a x i m a i m m e d i a t e l y

f o l l o w i n g

a

d i s t u r b a n c e .

S i n c e a s w i t c h e d

o r

d i s c r e t e l y

c o n t r o l l e d

o p e r a t i o n

i s

e m p l o y e d ,

i t i s

n e c e s s a r y

t o d e v e l o p a

c r i t e r i o n

t o

d i s t i n g u i s h

w h e n d y n a m i c b r a k i n g

s h o u l d

b e a p p l i e d

a n d

w h e n i t s h o u l d

b e

i

- N


36/74

3 0

d i s c o n t i n u e d

f o l l o w i n g a n a p p l i c a t i o n .

I f a s w i t c h i n g

o p e r a

t i o n

w i l l r e s u l t

i n

a

r e v e r s a l

o f t h e s i g n

o f

E

,

f o l l o w i n g

a

f a u l t ,

n o

s w i t c h i n g

a c t i o n i s t a k e n .

F u r t h e r m o r e ,

d y n a m i c

b r a k i n g

i s d i s c o n t i n u e d

f o l l o w i n g

a

s u s t a i n e d


i f

f u r t h e r

s w i t c h i n g

w i l l r e s u l t

i n a

r e v e r s a l

o f t h e s i g n

o f

E

. .

T o d e t e r m i n e

t h e

s w i t c h i n g c r i t e r i o n ,

e q u a t i o n

( 2 ) i s

s u b s t i t u t e d

i n t o

e q u a t i o n

( 9 )

g i v i n g

N

=

1

( W .

-

E

2 G

-

E . E . Y . j B i j )

M .

ii

1

1 j = 1

( 3 7 )

T h e t e r m

i G . i s a d d e d

t o G .

i f a

b r a k i n g

r e s i s t o r

i s

a p p l i e d ,

1

1

a n d

i s s u b s t r a c t e d f r o m

G . i f

l o a d s h e d d i n g

o c c u r s . I m m e d i a t e l y

f o l l o w i n g

a s w i t c h i n g

o p e r a t i o n ,

e q u a t i o n

( 3 7 )

b e c o m e s

N

E ' .

= 1

( W .

-

E 2

( G .

+ A G ) -

E . E . Y .

B .

)

1 l y

1

1

1

1 j l j i j

1

j = 1

( 3 8 )

w h e r e

E i

i s t h e

r e s u l t i n g


e r r o r

q u a n t i t y .

T h e

c h a n g e

i n E i ,

1 E . ,

i s

A E i

-

E i

-

E i

-

E .

2 A G

=

+

1

1 .

M .

1

( 3 9 )

T h e b r a k i n g r e s i s t o r

i s a p p l i e d

w h e n

E .

r e a c h e s

a

m a x i m u m

p o s i t i v e v a l u e

p r o v i d i n g

a

s i g n

r e v e r s a l

o f E

w i l l

n o t

o c c u r .

T h u s

i f t h e i n e q u a l i t y

1

i

E i

y


37/74

I

E i l

-

E

2 a G i

M .

i

3 1

( 4 0 )

i s

s a t i s f i e d ,

a

b r a k i n g

r e s i s t o r

m a y

b e a p p l i e d .

L o a d

s h e d d i n g

m a y b e

a p p l i e d

w h e n

E .

r e a c h e s

a

m a x i m u m

n e g a t i v e

v a l u e

i f a

s i g n r e v e r s a l

o f E i d o e s n o t

r e s u l t .

T h u s ,

i f

t h e i n e q u a l i t y

2

A G i

-

I E . I

+

<

M

( 4 1 )

i s

s a t i s f i e d ,

l o a d

s h e d d i n g

m a y

b e

a p p l i e d .

B y i n s p e c t i o n

i t

i s

s e e n

t h a t

e q u a t i o n

( 4 0 )

a n d

e q u a t i o n

( 4 1 )

a r e

t h e s a m e

i n e q u a l i t y

a n d

m a y b e

w r i t t e n a s

L

E

I

>

E i G i

M .

( 4 2 )

a n d

i s

c a l l e d

t h e d y n a m i c

b r a k i n g

s w i t c h i n g

c r i t e r i o n .

W h e n

t h e

c o n d i t i o n s

o f t h i s

i n e q u a l i t y

a r e

n o t

s a t i s f i e d

a t

t h e s w i t c h i n g

t i m e

T . , d y n a m i c

b r a k i n g

m u s t

n o t

b e

c o n t i n u e d

o r

i n i t i a t e d .

W i t h t h e

i n c l u s i o n

o f

t h e

s w i t c h i n g

c r i t e r i o n ,

G .

m a y

b e

w r i t t e n a s

G .

)

M i

n i U o ( t -

T

i

.

E 2

i

w h e r e

( 4 3 )

O

i

0

r


38/74

1 E i >

O

a n d A

G

2 / M i

<

O

A G i E 2 / M i >

I E i I

- 1

E i

<

O

a n d

A G i E 2 / M i <

I E l I

3 2

( 4 4 )

a n d

T i i s e q u a l t o t h e t i m e

a t

w h i c h

d l E

i I

/ d t

r e a c h e s

a

m a x i m a .

F i g u r e

6

i l l u s t r a t e s

t h e


o f

d y n a m i c

b r a k i n g

a t

o n e g e n e r a t o r f o r

a

h y p o t h e t i c a l

c a s e .

B r a k i n g

r e s i s t o r s

a n d

l o a d s h e d d i n g a r e s p e c i f i e d

b y e q u a l

c o n d u c t a n c e m a g n i t u d e s .

I f a d i s t u r b a n c e o c c u r s o n a


l i n e ,

t h e

l i n e

i s

o p e n e d

b y

c i r c u i t

b r e a k e r

a c t i o n

a n d

g e n e r a l l y

f o l l o w e d

b y

a n

a t t e m p t e d r e c l o s u r e .

I f t h e


i s

o f a

t e m p o r a r y

n a t u r e , s u c h a s

a

l i g h t n i n g s t r o k e ,

t h e r e c l o s u r e

i s

s u c c e s s f u l

a n d

d y n a m i c b r a k i n g u n n e c e s s a r y .

T o a l l o w

f o r

t h i s p o s s i b i l i t y

a d e l a y

t i m e

V

m a y

b e

i n t r o d u c e d

a t

t h e

o u t s e t

o f a

d i s t u r b -

a n c e . I f

E .

r e m a i n s l a r g e e n o u g h

t o

w a r r a n t

s w i t c h i n g

f o l l o w -

i n g t h e d e l a y , n o r m a l s w i t c h i n g

i s b e g u n .

T h i s c a s e

i s

i l l u s -

t r a t e d

i n F i g u r e

7 .

I f f a s t

c i r c u i t

b r e a k e r

a c t i o n

i s

e m p l o y e d

t h i s

d e l a y i s n o t d e t r i m e n t a l b e c a u s e

t h e

E .

f u n c t i o n

c h a n g e s

s l o w l y

a t

t h e

o u t s e t

d u e t o

g e n e r a t o r

r o t o r

i n e r t i a .

E .

C o n t r o l

E q u a t i o n

E q u a t i o n

( 2 2 ) f o r

0 E

c o n t a i n s

t w o

t e r m s

w h i c h

m a y b e

d e f i n e d

a s

i

I

E i

I

1


39/74

d

J

0

C

: )

0

. r 4

W

B r a t c ; n 9

R e S I S A e r

A p p l i e d

1 . 0

/

L o a d

R e s + o r e d

O W E D

N

T i m e

B r a k i n g

R e s i s i e r

R t . n e v e ó

A h J

L a m a

S h a d

S w i 4 c 1 % ) 4 9 C r r i t r i o n L e v e l

í n

S a c o n J s ;

F i g u r e

6 .

D y n a m i c B r a k i n g

F o l l o w i n g

a S i m p l e P o w e r

S y s t e m

D i s t u r b a n c e .

/

- o

Y


40/74

F a M i { e d

L i n e ,

A i + e r p - t e d

L i n e

R e c l o s k r e . ,

F A 4 l T e d U n e

C

l e e r e d

B r a i s e R e s i s o r

p p l l e á

I . 0

2 . 0

T i m e .

: n

S e c o n d s

F i g u r e

7 .

D y n a m i c

B r a k i n g

A p p l i e d F o l l o w i n g

a

T S e c o n d

D e l a y

A l l o w e d

f o r

A t t e m p t e d L i n e

R e c l o s u r e .

W ; 4 I ,

-

-


41/74

a n d

4

2 E . G .

£ L i

M .

i

N

£ R i

0 E . Y . .

( B i j

+

B j i E j / E i ) .

M .

T h u s t h e

e q u a t i o n f o r

ÿ 6 E

m a y b e w r i t t e n

a s

N

E i (

E L i

+

j = 1

0 E

i s

a l w a y s

n e g a t i v e

i f

E i

i s

d e f i n e d

a s

3 5

( 4 5 )

( 4 6 )

( 4 7 )

( 4 8 )

w h e r e

1 1

i s

a p o s i t i v e s y s t e m c o e f f i c i e n t .

C o n t r o l

a p p l i e d

t o

E . b y

e q u a t i o n ( 4 8 )

i s

c a l l e d

t o t a l

v o l t a g e c o n t r o l .

I t

c a n

b e s e e n t h a t a s

E i

g o e s

t o

z e r o ,

R i

b e c o m e s

i n f i n i t e .

T h i s ,

h o w e v e r , d o e s

n o t

p r e s e n t

a

p r o b l e m

s i n c e

l i m 1 1

E : L i

E i / ( + £ R i ) }

=

O .

E i

V .

o

( 4 9 )

T h e u s e

o f n o m i n a l

v o l t a g e s

f o r

E i

a n d

E .

c a n

l e a d

t o

a

s e r i o u s

e r r o r

i n

t h e

c o m p u t a t i o n

o f

e q u a t i o n

( 4 8 )

s i n c e

a t

a n y

i n s t a n t

t h e d e n o m i n a t o r

c a n i n v o l v e t h e c o m b i n a t i o n

o f

p o s i t i v e

a n d

n e g a t i v e

n u m b e r s .

-

j = 1

i

ç j E

_ E

e R i ) E . .

i

E

_ i L a

J i

J

E i

C L i

+

£ R i

J


42/74

3 6

T o

e m p l o y

E

R i , r e m o t e

s y s t e m

p a r a m e t e r s

m u s t b e

t e l e -

m e t e r e d

t o

e a c h

g e n e r a t i o n

s i t e .

I t i s

d e s i r a b l e ,

h o w e v e r ,

i f

t h i s

c o m p l i c a t i o n

c a n b e

a v o i d e d .

I f t h e

i n e q u a l i t y

I L i I

>

(

E R i

i s

v a l i d

w h e n

E L i

a n d

E R i

a r e

o f

o p p o s i t e

s i g n ,

t h e n

t h e

s i m p l i f i e d

f o r m

I I . i

u

E

G

L i

( 5 0 )

( 5 1 )

a l s o g i v e s a c o n t i n u o u s l y

n e g a t i v e

0 E .

T h e c o n t r o l

o f

E .

b y

e q u a t i o n

( 5 1 ) i s

c a l l e d

l o c a l v o l t a g e c o n t r o l .

I n t h e e x p a n s i o n

o f

e q u a t i o n ( 5 1 ) ,

E .

c a n b e a p p r o x i m a t e d

b y i t s n o m i n a l

v a l u e

s i n c e

d e v i a t i o n s f r o m

t h e

n o m i n a l a r e

g e n e r a l l y

s m a l l a n d t h e

d e n o m i n a t o r

i n v o l v e s o n l y o n e

t e r m .

F u r t h e r i n v e s t i g a t i o n

o f

t h e

e x t e n t

o f a p p l i c a b i l i t y

o f

e q u a t i o n

( 5 1 )

i s

w a r r a n t e d .

I t

m a y

b e

s h o w n b y

s u b s t i t u t i o n o f

e q u a t i o n

( 4 8 )

i n t o e q u a t i o n

( 1 )

t h a t

E .

c o n t r o l a c t s c o n t i n u o u s l y t o r e d u c e

t h e

a n g u l a r

a c c e l -

i

e r a t i o n o f

d

i

. O n t h e

b a s i s o f t h e s a m e

a r g u m e n t

p r e s e n t e d

f o r

W .

c o n t r o l ,

t h e

f u n c t i o n

i

Y i

1

o r

0

i

1

f o r

d

I / d t

<

0

f o r

E i l

( 3 0 )

i

0

0


43/74

3 7

i s u s e d

i n t h e t o t a l

s y s t e m

v o l t a g e c o n t r o l

e q u a t i o n

t o

g i v e

E =

p

S 6 i

E i

a n d

i n

t h e

l o c a l

v o l t a g e

c o n t r o l

e q u a t i o n ,

g i v i n g

E i =

p i E i

L i

A

c o m p a r i s o n

o f

t h e

t w o f o r m s

i s g i v e n

b y e x a m p l e

i n

C h a p t e r

I I I .

d ( Y 1 3

1 j )

/ d t

C o n t r o l

E q u a t i o n

( 5 2 )

( 5 3 )

T h e

e x p r e s s i o n

d ( Y .

B . )

/ d t

m a y

b e

f u r t h e r

e x p a n d e d

a s

i j i j

d ( Y i j B i j ) / d t

=

Y i j C o s ( T i j - A i + A j )

- Y . , ( T ,

- A . + A . ) S i n ( T .

- A . + A . ) .

1 J l j

i

J

1 3

1

J

(

5 4

)

T h e t e r m s

Y ,

a n d

T ,

r e f l e c t

c h a n g e s

i n

t h e

n e t w o r k

c o n f i g u r a -

l j

1 j

t i o n

s u c h

a s

s w i t c h e d s e r i e s c a p a c i t o r s .

A v e r y s e r i o u s

d i f f i -

c u l t y

a r i s e s

f r o m

a t t e m p t i n g

t o

e m p l o y

t h e s e

p a r a m e t e r s

f o r

d a m p i n g

c o n t r o l .

A n y s p e c i f i e d

v a l u e s

f o r Y .

a n d

T .

c a n n o t

b e

1 j

1 j

r e l a t e d u n i q u e l y t o t h e r e a l

p h y s i c a l

n e t w o r k ( 9 ,

p .

8 7 ) .

F o r

t h i s r e a s o n ,

a c o n t r o l

e q u a t i o n

f o r

d ( Y .

B .

) / d t

i s n o t

p r e

-

1 j l j

s e n t e d .

+

R i L i

.

j


44/74

3 8

C o n c e p t u a l l y ,

h o w e v e r ,

t h e d ( Y .

i j

B

) / d t t e r m

o c c u p i e s

a n

i j

i n t e r e s t i n g r o l e .

I f

a

n e t w o r k


o c c u r s

s u c h

a s

a n

o p e n e d

t r a n s m i s s i o n l i n e ,

t h e i n i t i a l

d i s p l a c e m e n t

i n

0 i s

a

r e s u l t

o f

a n

i m p u l s e

i n d ( Y .

B .

J

)

/ d t .

T h e

t e r m s

A .

a n d

A .

a r e

' . j

i J

d e p e n d e n t v a r i a b l e s w h i c h c o n s t i t u t e

t h e

d y n a m i c

r e s p o n s e

o f 0

w h i c h

m u s t

b e

d a m p e d

t o

a

s t e a d y

- s t a t e c o n d i t i o n .


45/74

3 9

I I I .

T H E D A M P I N G

M E T H O D

A P P L I E D

T O

A

T H R E E - G E N E R A T O R

M O D E L

M o d e l

S y s t e m

T h e

t h r e e

g e n e r a t o r

s y s t e m

o f

F i g u r e

8

i s

u s e d

t o

d e m o n -

s t r a t e t h e

d a m p i n g m e t h o d . T h i s s y s t e m

i s c h o s e n

s i n c e

i t

d i s -

p l a y s i n t e r a c t i o n s

s i m i l a r

t o t h o s e

o f

l a r g e

s y s t e m s

f o r

w h i c h

t h e m e t h o d

i s i n t e n d e d . S y s t e m

c o n s t a n t s

a r e e x p r e s s e d

i n

t h e

p e r

- u n i t s y s t e m f o r

w h i c h

1

p e r

- u n i t

p o w e r =

1 0

M V A ,

1 p e r

- u n i t

v o l t a g e

= 1 2

K V

a n d

1

p e r - u n i t

a d m i t t a n c e = 0 . 0 6 9 4

m h o s .

T h e

n u m e r i c a l

v a l u e s

u s e d

f o r t h e

p a r a m e t e r s

o f

F i g u r e 8

a r e :

W .

=

2 . 1 2 7 p e r - u n i t f o r i

=

1

t o 3 ,

E . =

1 . 1 0 0

p e r - u n i t

f o r

i

=

1

t o 3 ,

M . =

0 . 1 0 0 p e r - u n i t f o r i =

1

t o 3 ,

1 1

L

e l l

=

0 . 7 1 8

L - 1 5 . 8 ° p e r

- u n i t ,

J

2 2

L

e 2 2

= 1 . 9 3 0

L

- 1 3 . 2 °

p e r - u n i t ,

1 / 4 1 3 3

L

e 3 3 = 3 . 1 0 0

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Mitt El Stadt William a 1968

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