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a) Stade de l’intelligence sensori-motrice (de 0 à 2 ans) ................................................................. p.2 b) Stade de la pensée préopératoire (de 2 à 7 ans) ........................................................................... p.3 c) Stade de la pensée opératoire concrète (de 7 à 12 ans)................................................................ p.5

�0�� �1������ ������������&��������������������������������� ������ ����,����. p.6 a) Evolution de la reconnaissance des formes géométriques ........................................................... p.6 b) Difficultés inhérentes à l’orientation des formes........................................................................ p.8

0�2 &���� ................................................................................................................................... p.8 ��)�3����&

�����&���������������� ����,��������������.������� ������������ ������-��.�&������� ������ ................................................................................................ p.9 "0��1��������.������� ������������ �������..................................................................... p.9

a) De 1887 à 2002 .......................................................................................................................... p.9 b) Etat actuel : Programmes de 2002 ...............................................................................................p.10

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�����&���������������� ����,���� ...........................................................................p.12 a) Précisions préliminaires sur cette notion......................................................................................p.12 b) Difficultés des élèves liées à la reconnaissance des figures géométriques ................................... p.12 c) Principes pédagogiques liés à l'enseignement de la géométrie plane ............................................p.15

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a) le Tangram ...................................................................................................................................p.18 b) Le jeu du message ........................................................................................................................p.18 c) Le jeu du portrait .........................................................................................................................p.18

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����&���� p.19 "0����&��"�����&1��������� ���������������������� �����7����� �8�������������������&����)�� .............................................................................................................................................p.19

a) Description de la séance ..............................................................................................................p.19 b) Analyse de la séance ....................................................................................................................p.20

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a) Description de la séance ..............................................................................................................p.21 b) Analyse de la séance ....................................................................................................................p.22

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a) Description de la séance ..............................................................................................................p.27 b) Analyse de la séance .....................................................................................................................p.27

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Chaque année, les résultats des évaluations faites à l’entrée en sixième en mathématiques révèlent la

faiblesse des enfants en matière de reconnaissance de figures géométriques. En effet, la reconnaissance de

figures simples pose problème chez beaucoup d’élèves du cycle des approfondissements dès lors que les

formes se positionnent originalement ou qu’elles s’inscrivent dans d’autres. Les élèves éprouvent beaucoup de

difficultés à se détacher des figures prototypiques trop souvent présentes autour d’eux, notamment dans

l’enseignement de la géométrie. Or, ne se fiant souvent qu’à sa perception pour identifier une figure

géométrique, lorsque celle-ci n’est pas présentée selon sa position habituelle correspondant à l’image mentale

que l’enfant en a, alors celui-ci se trouve désorienté et peut ne pas la reconnaître ou la confondre avec une

autre. Le cas le plus courant est celui du carré, qui n’est bien souvent reconnu comme tel que pour la première

figure, alors qu’il s’agit dans les deux cas d’un carré vu dans deux positions différentes .

Il semble alors judicieux de se demander si certaines activités menées dès les cycles I et II (cycle des

apprentissages premiers et cycle des apprentissages fondamentaux) ne permettraient pas de pallier cette

faiblesse en favorisant cette reconnaissance future.

Je pense notamment au Tangram qui peut permettre d’atteindre cet objectif. En effet, l’utilisation de ce

puzzle formé de sept formes géométriques peut favoriser la reconnaissance de ces figures géométriques planes

quelle que soit leur orientation. Par la manipulation, l’enfant est confronté à toutes les orientations possibles

des formes. De plus, par le biais d’activités basées sur le Tangram il peut être amené à tracer ces figures dans

diverses positions ce qui contribue également à dépasser la prédominance des figures prototypiques dans les

images mentales de l’enfant.

D’autre part, la pratique du jeu du portrait ainsi que celle du jeu du message peuvent avoir elles aussi

un grand rôle dans la reconnaissance des figures géométriques planes dans une sur-figure. Les élèves sont alors

amenés à discriminer des formes simples orientées de diverses façon dans une figure complexe. Ces activités

sont très riches et permettent en outre d’utiliser à bon escient le langage géométrique, ce qui est souvent

négligé dans les activités géométriques proposées.

Dans une première partie théorique, je vais parler de la représentation de l’espace chez l’enfant de 0 à

12 ans, à la suite de quoi je développerai la notion de reconnaissance de figures géométriques planes en regard

des Instructions Officielles. Puis, dans un deuxième temps, je détaillerai les deux séquences que j’ai mises en

place afin d’apporter une réponse à ma problématique.

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L’étude suivante sur le développement de la pensée enfantine relativement à l’espace, principalement

inspirée de l’œuvre 3������������������.����&��&+�/��.����9 est conduite selon la théorie piagétienne. Cet

auteur, ainsi que Inhelder, se sont intéressés à la manière dont l’enfant élabore ses structures intellectuelles à

partir de sa propre expérience de vie. Cette perspective débouche sur la succession de trois stades de

développement par lesquels l’enfant passe pour accéder à la pensée formelle : le stade de l’intelligence sensori-

motrice, le stade de la pensée préopératoire et le stade de la pensée opératoire concrète. A noter que les âges

indiqués correspondent à ceux de la théorie piagétienne et ne doivent donc pas être admis en absolu.

*+�, ��������!��������$������������!���� ��������$����������$��!������'���$���)�La perception de l’espace présente une construction progressive et n’est pas donnée toute faite dès les

débuts de l’évolution mentale. Piaget distingue la perception de l’espace et sa représentation dans le

développement de la notion spatiale. Il existe un décalage temporel d’acquisition entre ces deux notions,

l’espace représenté n’apparaissant guère avant 2 ans.

Tout en détaillant les trois stades cités précédemment, je vais développer la construction de l’espace

perçu en parallèle avec celle de l’espace représenté.

a)a)a)a) Stade de l’intelligence sensoriStade de l’intelligence sensoriStade de l’intelligence sensoriStade de l’intelligence sensori----motrice (de 0 à 2 ans)motrice (de 0 à 2 ans)motrice (de 0 à 2 ans)motrice (de 0 à 2 ans) ::::

Le dialogue de l’enfant avec l’espace se noue d’abord au niveau sensori-moteur. Dès 3 mois, le

nourrisson s’habitue à faire correspondre aux perceptions visuelles de sa main ou des objets manipulés les

perceptions tactiles ou kinesthésiques relatives aux mêmes éléments. Le très jeune enfant explore de l’œil et de

la main. Il découvre l’espace et le construit par ses gestes. Les activités visuelles et tactiles procurent beaucoup

d’informations spatiales. Très tôt, l’enfant fait l’expérience de la verticale et de l’horizontale, aussi bien par

son propre corps que par les jeux qu’il effectue avec des objets.

La manipulation des objets visibles conduit à l’analyse des formes. Un objet passé d’une main à

l’autre, palpé en même temps que regardé est, du point de vue spatial, autre chose que le même objet regardé à

distance : il acquiert la consistance d’un solide. La perception des formes se développe avec l’âge en fonction

de l’activité sensori-motrice où l’exploration tactile joue un rôle fondamental dans cette construction.

L’enfant appréhende ainsi l’espace par le jeu des sens, principalement la vue et le toucher. Par

l’expérience qu’il fait, il se rend compte d’un certain nombre de propriétés de l’espace familier : le voisinage

des objets, les espaces fermés, les discontinuités. Mais cette vision reste globale et syncrétique : l’enfant

n’établit d’abord que peu de liens entre les éléments. Cet espace pratique et vécu va servir de bases à la

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construction ultérieure de l’espace représenté. L’espace enfantin débute donc par des intuitions topologiques

car les premiers rapports spatiaux maîtrisés par l’enfant sont : le voisinage, la continuité, la séparation,

l’entourage et l’enveloppement. Ces rapports seront par la suite reconstruits par la représentation. L’enfant, en

percevant l’espace, est ainsi d’abord sensible à ces concepts topologiques mais ignore les formes, les distances,

les angles, le parallélisme, l’orientation ou encore l’alignement. En effet, la topologie ne prend pas en compte

ces rapports spatiaux qui relèvent des espaces projectif et euclidien.

On parle d’espace projectif lorsque sont considérées comme équivalentes des figures qui se déduisent

l’une de l’autre par certaines projections, ou par certaines déformations (ex : ombres, perspective). Dans cet

espace, il y a donc conservation des propriétés par la projection, comme l’alignement de points. En revanche,

ni les angles, ni l’égalité des longueurs, ni le parallélisme ne sont conservés.

Quant à l’espace euclidien, il se développe parallèlement à l’espace projectif. L’objet n’est plus relatif

à un point de vue mais il est exprimé relativement à son emplacement, ainsi qu ‘à ses déplacements. Deux

figures y sont considérées comme équivalentes si elles ont « la même forme », mais pas forcément la même

taille, ce qui se traduit mathématiquement par le fait qu’elles se correspondent dans une similitude. Les

proportions sont donc conservées, ainsi que les angles.

Les structures projectives et euclidiennes sont ainsi plus complexes et d’élaboration plus tardive.

En bref, il s’agit, au cours du stade sensori-moteur, de faire évoluer une situation par l’action, sans

qu’il y ait une représentation de celle-ci. La construction de l’espace perçu résulte d’une interaction entre

l’organisme et le milieu. Piaget a longuement insisté sur le fait que, pour le jeune enfant, les objets et l’espace

n’existent qu’à travers son action. Il en construit pour lui-même l’existence, en même temps qu’il en prend

possession. Cette construction se déroule en plusieurs étapes, dont la première vient d’être décrite et dont la

seconde va désormais être développée.

b)b)b)b) Stade de la pensée préopératoire (de 2 à 7 ans)Stade de la pensée préopératoire (de 2 à 7 ans)Stade de la pensée préopératoire (de 2 à 7 ans)Stade de la pensée préopératoire (de 2 à 7 ans) ::::

Au cours de sa deuxième année d’existence, le jeune enfant commence à se représenter les choses.

Puis, il devient capable d’explicitation en transcrivant pour autrui certaines images. Ce stade est marqué par

l’apparition de la représentation et de l’image mentale : l’enfant voit mentalement ce qu’il évoque. Sa pensée

devient plus mobile mais n’est pas encore réversible ; il est centré sur les états et non sur les transformations.

De purement perceptif, Piaget et Inhelder ont montré que l’espace devient en partie représentatif et les

représentations mentales deviennent de nouveaux instruments pour la prise de possession de l’espace

environnant.

Les débuts de l’espace représentatif coïncident avec ceux de l’image et de la pensée intuitive,

contemporains de l’apparition du langage. Le passage de la perception à la représentation intuitive, c’est-à-dire

l’image, s’accompagne d’une traduction du tactile en visuel. La motricité déjà à l’œuvre dans l’activité

perceptive et intervenant dans la construction de l’espace dès la perception elle-même, se retrouve à titre de

composante nécessaire dans l’élaboration de l’image représentative et, par conséquent, des représentations

spatiales intuitives. Mais il serait faux de croire que la représentation imagée de l’intuition géométrique se

borne à prendre acte de cette construction sensori-motrice. En effet, la construction de l’espace représentatif est

non seulement postérieure à celle de l’espace perceptif, mais elle en reproduit de plus toutes les étapes. Piaget

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et Inhelder ont montré que l’espace représenté, loin d’être une simple copie du réel, se construit lentement et

que tous les acquis sur le plan perceptif sont à reconquérir sur le plan représentatif. Cette reconquête s’élabore

selon les mêmes étapes que la construction de la perception, dont la première est l’étape topologique. Ensuite

succèdent les étapes projective et euclidienne.

L’espace projectif se construit chez l’enfant quand se dégagent deux nouvelles notions : l’alignement

et l’orientation (droite, gauche). L’enfant accède à ces concepts projectifs vers 6 ans. Les rapports euclidiens,

quant à eux, commencent à s’intérioriser et à se coordonner au niveau intuitif vers le même âge, mais restent

longtemps sujets aux déformations engendrées par le caractère statique et irréversible des représentations

imagées.

� Espace perçu : Avant 5-6 ans, il y a essentiellement chez l’enfant perception des notions

topologiques. L’enfant n’est capable que de concevoir les rapports de situation existant entre les objets et il se

réfère à son propre corps pour les situer. Par contre, la conception des rapports métriques lui échappe. La

raison en est l’intervention quasi exclusive des données sensorielles qui se traduit par une connaissance

intuitive essentiellement subjective.

Après 5-6 ans, on assiste à une prise de conscience progressive des positions relatives des objets, des

distances, des directions, des relations régissant ces situations. L’explication en étant le dépassement de

l’égocentrisme d’une part, l’affirmation conjointe de la socialisation et de la maturation organique d’autre part.

Tout au long de ce stade il y a recognition progressive des formes euclidiennes. Jusqu’à 4 ans,

l’enfant demeure presque passif en présence des objets à reconnaître : il les saisit, les palpe et s’en tient aux

premières centrations fortuites, sans explorer à proprement parler. Puis l’activité perceptive s’affirme, d’abord

par explorations globales, puis par analyse incomplète d’indices particuliers (angles, etc.), puis par analyse

complète avec transposition, anticipation, etc. Mais cela se fait sans synthèse méthodique jusqu’à 7 ans.

� Espace représenté : A partir du moment où l’enfant trace ses premiers traits, il devient capable de

transcrire pour autrui certaines de ces images. Alors non seulement il se représente les choses, mais il peut les

représenter. Cependant, jusque 6-7 ans, l’enfant reste essentiellement centré sur lui-même. L’espace que

l’enfant construit à ce moment-là porte l’empreinte de son égocentrisme. Il demeure un espace morcelé

constitué de tableaux juxtaposés et mal coordonnés. Avant 6 ans, l’enfant dépasse l’espace sensori-moteur en

direction d’un espace représenté mais ce dernier n’est encore, pour l’essentiel, que topologique. Les années

passent et l’enfant qui mûrit et gagne en expérience dispose progressivement, avec les opérations mentales, de

moyens nouveaux plus souples et plus efficaces. Il les utilise pour se libérer de son égocentrisme initial.

Avec les images, un nouveau champ s’ouvre à la compétence géométrique. Elles peuvent, en effet,

être évoquées en dehors des objets source et elles peuvent être prolongées et extériorisées en dessins figuraux.

Tout enfant qui fait un dessin manipule des relations spatiales. Le registre des relations spatiales dont

dispose l’enfant de 2 à 7 ans est très riche puisqu’il englobe la totalité des relations topologiques. Il est

cependant encore très partiel puisque les relations projectives et métriques n’y sont qu’à peine ébauchées. Mais

ce qui limite l’enfant, c’est la difficulté à composer entre elles des relations spatiales. La compétence

géométrique de l’enfant au niveau représentatif se trouve ainsi limitée par les compétences logiques globales

dont il dispose au stade étudié. Son intuition géométrique est morcelée et égocentrique, comme le sont sa

pensée et son langage à ces âges.

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Pour étudier cette élaboration de l’espace représenté, je me référerai aux stades et aux interprétations

proposés par Luquet dans ses études sur le dessin enfantin. A travers l’observation du dessin de l’enfant,

Luquet reconnaît trois grands stades et je vais d’emblée détailler les deux premiers qui ont lieu durant le stade

de la pensée préopératoire.

- Stade 1 : L’incapacité syncrétique (3- 4 ans) : A ce stade le dessin n’est plus un gribouillage, il y a une

volonté réelle de représenter un objet bien déterminé, mais les difficultés motrices et de concentration

empêchent l’enfant de prendre en compte l’alignement, les proportions, etc. Seules les propriétés topologiques

de voisinage sont respectées dans l’ensemble, mais pas toujours dans le détail. La représentation de l’espace

qui en résulte néglige ainsi les rapports euclidiens et projectifs qui, normalement, résultent d’une prise de

conscience du point par rapport auquel on se place. Ce sont l’étroitesse du champ d’attention et l’incapacité à

la logique des relations qui expliquent l’incapacité synthétique, c’est-à-dire l’impossibilité à faire interférer les

classes logiques. De plus, l’enfant a tendance à juxtaposer plutôt qu’à hiérarchiser.

- Stade 2 : Le réalisme intellectuel : Une fois capable de synthèse graphique, l’enfant se fixe à un type

particulier de dessin, consistant à dessiner non pas ce qu’il voit de l’objet, mais tout ce qu’il en sait. Ainsi, des

éléments placés à l’intérieur de l’objet seront représentés par transparence et plusieurs vues sont souvent

juxtaposées.

Il n’est plus question d’attribuer les caractères de la représentation spatiale graphique à la seule maladresse

technique. Il s’agit, au contraire, d’un schème en partie intentionnel.

Les rapports projectifs et euclidiens commencent à se construire au cours de ce stade, ce qui se manifeste

par un dessin correct des formes euclidiennes simples, s’agissant des éléments eux-mêmes (carré, rectangle,

etc.), mais non dans leur coordination dans des ensembles.

Ainsi, entre 2 et 7 ans, l’enfant construit son espace représentatif avec les moyens dont il dispose, c’est-à-

dire l’ensemble des sens d’une part (collecteurs d’informations), le système nerveux central d’autre part qui

oriente et organise la récolte des informations sensorielles. Ce stade est également caractérisé par la forte

emprise des perceptions et par l’égocentrisme.

c)c)c)c) Stade de la pensée opératoire concrèteStade de la pensée opératoire concrèteStade de la pensée opératoire concrèteStade de la pensée opératoire concrète ::::

La nouvelle étape accomplie lors de ce stade par l’enfant est celle de l’élaboration d’un espace objectif

et cohérent. En effet, la maturité atteinte par l’appareil nerveux vers 7 ans autorise cette évolution. Mais celle-

ci ne se manifeste que progressivement et ce n’est que vers 12 ans que cette phase se trouve achevée. De 7 à 9

ans, les limites des progrès accomplis apparaissent surtout dans le domaine des coordinations. Elles nécessitent

en effet le recours à la prise en compte simultanément de plusieurs relations. La deuxième période du stade des

opérations concrètes va se révéler être précisément le temps des coordinations.

En outre, l’enfant devient capable de situer les points de l’espace les uns par rapport aux autres et pas

seulement par rapport à lui, ainsi que d’apprécier longueurs et distances non seulement qualitativement mais

aussi quantitativement. La géométrie métrique (faisant appel à la mesure) lui sera alors accessible.

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Ce stade est caractérisé par la réversibilité, c’est-à-dire la capacité d’annuler mentalement une action,

sans avoir besoin d’effectuer des manipulations. C’est la mise en place de l’espace à la fois projectif et

euclidien.

� Espace perçu : Concernant l’espace euclidien, les premières relations métriques qui ont lieu lors de

ce stade sont dues au raisonnement logique, ce qui entraîne la conservation des longueurs vers 7 ans. La

réflexion se libère de la toute-puissance de la perception. Elle porte désormais sur le système des

emplacements. Il y a ainsi opération mentale de transport de l’un des segments considérés sur l’autre. Le

raisonnement logique qui commence à se développer au cours du stade des opérations concrètes conduit

l’enfant à doter l’espace d’un nouveau statut : il devient un milieu neutre à l’égard des déplacements. Après 7

ans, l’enfant fait appel à des images anticipatrices qui tiennent compte d’une transformation imagée, c’est-à-

dire d’une opération mentale. Au stade considéré, l’enfant est donc capable d’imaginer des transformations

géométriques : déplacements, changements de position ou d’orientation, etc. Libéré de son égocentrisme,

l’enfant est désormais en mesure d’élaborer un espace où s’inscrivent aussi bien les objets que les actions

effectuées sur les objets.

Vers 8-9 ans, l’enfant est capable de faire la distinction entre des angles plus ou moins « pointus ».

Cependant, pour dépasser le stade qualitatif, la mesure est nécessaire et cela ne va pas sans difficultés car des

coordinations assez complexes doivent être mises en place à cette occasion. D’autre part, l’enfant est amené à

constater que le contour et la surface d’une figure ne se comportent pas de la même façon lors de sa

modification. Des disparités de ce type sont à l’origine de conflits entre les indications fournies par la

perception-intuition d’une part, et les constatations faites par l’enfant d’autre part. Pour surmonter ces conflits,

l’enfant doit dépasser l’intuition et s’en remettre à la réflexion.

� Espace représenté : Vers 8-9 ans apparaît une forme de dessin qui traduit simultanément le souci

que l’enfant a des perspectives, des proportions et des mesures. Cette phase correspond au troisième stade de

développement de l’espace représenté que Luquet a nommé le réalisme visuel. L’enfant cherche à tracer ce

qu’il voit, et l’étude de ces tracés permet de constater que l’espace projectif et l’espace euclidien se

construisent en même temps chez l’enfant.

Le stade des opérations concrètes est donc caractérisé par le dépassement de l’égocentrisme et par

une nouvelle maturité qui permet à l’enfant de 7 à 12 ans d’accéder de façon progressive aux espaces projectif

et euclidien.

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a) Evolution de la reconnaissance des formes a) Evolution de la reconnaissance des formes a) Evolution de la reconnaissance des formes a) Evolution de la reconnaissance des formes géométriques:géométriques:géométriques:géométriques: Pour étudier comment l’enfant perçoit et représente les formes, on peut mettre en place la technique

suivante, qui a notamment été utilisée par Piaget : des objets sont placés derrière un écran, l’enfant les palpe et

tente de les identifier en disant quel est, parmi une série de dessins exposés à sa vue, celui qui représente

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l’objet palpé. Piaget a ainsi prouvé la primauté génétique des représentations topologiques sur les

représentations euclidiennes et a confirmé que la représentation n’émane pas directement de l’objet mais des

actions que le sujet effectue sur ces objets. La traduction du tactilo-kinesthésique en visuel qui apparaît lors de

cette activité est loin d’être nouvelle pour l’enfant de 2 ans. Par contre, l’intervention de l’image pose au sujet

une question nouvelle. En effet, si les objets à reconnaître sont trop complexes ou s’il s’agit de formes

géométriques abstraites et figurées en plan, le sujet ne parvient plus à reconnaître la structure donnée et se

trouve donc conduit à l’explorer tactilement. Pour reconnaître alors l’objet parmi les formes visuelles

présentées, ou pour le dessiner, l’enfant doit s’en construire une image visuelle et l’on assiste ainsi au passage

de la perception tactilo-kinesthésique à l’image visuelle. Compte tenu des résultats de cette activité, Piaget

distingue quatre stades dans l’évolution de la reconnaissance des formes géométriques.

� Stade 1 : (avant 2 ans) : L’enfant ne fait aucune discrimination systématique.

� Stade 2 : (de 2 à 4 ans) : Il y a à ce stade reconnaissance des objets familiers et des formes

topologiques, mais pas encore des formes euclidiennes. L’enfant se trouve incapable d’abstraire les formes

faute d’exploration suffisante, bien qu’il reconnaisse facilement les objets touchés. Puis lorsque commence

cette abstraction, le sujet ne parvient pas à dépasser le niveau des rapports topologiques pour reconstituer les

formes euclidiennes (exemple : reconnaissance d’une balle, mais incapacité à retrouver un cercle en carton

parmi d’autres formes). Lorsqu’il s’agit de formes géométriques, il ne parvient pas à reconstituer la forme

d’ensemble et, selon qu’il a touché une figure à frontière courbe ou droite ou une pointe, il assimile la forme

palpée à une forme visuelle présentant le même caractère partiel sans s’occuper des autres parties de la figure,

ni chercher à reconstituer la structure totale. Pour reconnaître les formes géométriques, il faudrait en explorer

tout le pourtour, tandis que le sujet se contente de palper la surface et de toucher une partie seulement du

contour. Ce défaut d’exploration explique les difficultés du dessin.

� Stade 3 : (de 4 à 6-7 ans) : L’enfant reconnaît de façon progressive les formes euclidiennes.

L’exploration tout d’abord devient plus active : l’enfant ne se contente pas de saisir sans mouvement ou de

palper la surface seule. Il cherche, explore et découvre des indices dont il retient la signification. Il y a début de

différenciation entre les formes curvilignes et rectilignes, celles-ci étant reconnues à leurs angles. Le dessin est

en progrès lui aussi : on ne trouve plus de gribouillages, mais des formes proprement dites. Seulement ces

formes demeurent indifférenciées et se ressemblent toutes plus ou moins. Le dessin, comme l’image mentale,

ne prolonge pas la perception pure, mais bien l’ensemble des mouvements, anticipations et reconstitutions,

comparaisons, etc., accompagnant la perception. L’objet est donc occasion à des actions et c’est de celles-ci

que sont tirées les formes.

Il y a prise en compte progressive des angles et des dimensions, ainsi que la découverte des

obliques. Le carré, le rectangle et le triangle sont différenciés vers 4 ans ainsi que le cercle et l’ellipse ; puis le

losange est réussi vers 6 ans.

� Stade 4 : (à partir de 7 ans) : L’évolution s’achève par la coordination réversible des procédés

d’exploration. Or, si la construction de l’espace débute sur le plan perceptif, elle se poursuit sur le terrain de la

représentation. On assiste à ce stade à une différenciation analytique ; l’enfant peut désormais associer une

représentation mentale à sa perception. Les épreuves de l’activité sont réussies, même lorsque la tâche est

complexifiée par la composition des formes en une figure complexe.

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b)b)b)b) Difficultés inhérentes à l’orientation des formesDifficultés inhérentes à l’orientation des formesDifficultés inhérentes à l’orientation des formesDifficultés inhérentes à l’orientation des formes ::::

Dans les épreuves de palpation dont j’ai fait précédemment état, la forme était saisie en dehors de toute

orientation. Dans la vie courante, les objets et les figures sont vus plus qu’ils ne sont palpés. Or l’orientation

joue un rôle dans l’interprétation imagée que l’enfant donne à ses perceptions visuelles. En effet, l’enfant est

très tôt sensible aux différences d’orientation d’une même figure dessinée dans un cadre de référence. Cette

discrimination semble mettre en œuvre les méridiens vertical et horizontal de la rétine qui formeraient « le

système de référence égocentrique propre aux orientations considérées ».

L’expérience suivante de Piaget montre que la forme perçue d’un objet ne se résume pas à ses relations

internes caractéristiques. Des carrés en carton sont présentés à des enfants. Un de ces carrés est disposé

« normalement », c’est-à-dire reposant sur sa base, puis on le place « sur la pointe » en demandant à l’enfant si

la figure qu’il voit est un carré. Pour les enfants de 4-5 ans et pour 50% de ceux de 6 ans, ce n’est plus un carré

et ce n’est plus le même morceau de carton. Piaget en conclut que « la considération figurative des états

l’emporte sur la compréhension des transformations ». Avant 6 ans, les changements d’orientation des formes

sont donc perçus comme des transformations de la forme elle-même et l’orientation des formes joue donc un

rôle très important dans leur reconnaissance. Deux hypothèses personnelles peuvent être avancées concernant

cette étrange constatation. Tout d’abord, dans notre environnement quotidien les objets ayant une forme

géométrique ont une orientation bien définie et ils perdent leur statut s’ils sont présentés selon une autre

orientation. D’autre part, vers 6 ans les enfants commencent à se confronter à notre système d’écriture où les

lettres changent de dénomination si elles changent d’orientation.

.+��!���#��!��)� La théorie piagétienne établit donc, dans le développement des connaissances spatiales, un parallèle

avec la hiérarchie des géométries. En effet, Piaget met en parallèle d’un côté les géométries : topologique,

projective et euclidienne, et de l’autre la succession des stades : sensori-moteur, intuitif et concret. L’enfant

passe nécessairement par un premier stade de type topologique pour évoluer ensuite vers les deux autres stades

projectif et euclidien, sans qu’il y ait une nette succession entre ces deux derniers stades. Il réinvestit

progressivement les concepts topologiques pour approfondir la connaissance de l’espace et aboutir à la

construction de « modèles » intérieurs que l’enfant utilise dans une perspective de structuration du réel. Il y a

donc un va-et-vient permanent entre le réel et le sujet, ce qui permet à ce dernier d’aboutir pleinement vers 12

ans à l’espace conçu.

D’autre part, ces évolutions semblent se faire beaucoup plus rapidement en ce qui concerne le domaine

perceptif qu’en ce qui concerne le domaine représentatif.

Bien plus, cette construction de l’espace s’effectue sur les deux plans dans le même ordre, c’est-à-dire

en commençant par les rapports topologiques pour n’atteindre qu’ensuite les rapports euclidiens.

Enfin, structurer l’espace, c’est agir dessus, c’est chercher à en élaborer des représentations

pertinentes, mais c’est aussi organiser un langage approprié. Or Piaget, dans sa théorie, n’a pas pris en compte

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le langage comme facteur de développement de la représentation de l’espace. Néanmoins cette question du

langage et des problèmes de décentration constituent des obstacles importants à la construction de l’espace.

Nous venons donc, dans cette partie, de préciser les possibilités des enfants dans le domaine de la

structuration de l’espace. Cette étude est essentielle avant de tenter de définir une démarche d’approche de

l’enseignement de la géométrie à l’école primaire, démarche qui va faire l’objet de la partie suivante en ce qui

concerne la reconnaissance des figures géométriques planes.

�������$����!��$���$��������%��#������!� ����"#�����$�����$����'��������� ��������$�

��!� ������&��'��!������� $����)�

La géométrie a connu de profondes évolutions au cours du temps. Etymologiquement elle correspond à

la mesure de la terre, et de nos jours elle étudie les objets, leurs propriétés et les relations qu’ils entretiennent

entre eux.

De même, la géométrie a toujours eu sa place à l’école primaire mais son importance ainsi que la façon

de l’enseigner ont varié au cours des années. C’est pourquoi je vais développer cette évolution, en mettant

notamment en avant les changements concernant l’étude des figures géométriques planes.

*+���!�#��!������'��������� ��������$���!� ������)�

a) De 1887 à 2 a) De 1887 à 2 a) De 1887 à 2 a) De 1887 à 2002002002002 :::: Dans les programmes de 1887 apparaît un rubrique « géométrie » et cet enseignement se veut surtout

intuitif et pratique. Ensuite, en 1923, une nouvelle méthode est prônée : l’enseignement par l’action. Une

évolution apparaît dans les programmes de 1945 par l’annonce d’un double objectif : rendre l’enseignement

simple et efficace, ainsi que le fonder sur les faits et l’observation personnelle. Les notions de géométrie sont

abordées par des exercices d’observation et des leçons de choses. Pendant toutes ces années, la géométrie à

l’école élémentaire s’est réduite à l’enseignement du système métrique assorti d’une description sommaire de

quelques figures ou objets simples. L’étude des figures géométriques aboutissait à l’énoncé de propriétés

observables sans établir de liens entre elles. Lors de ces pratiques ostensives, l’enseignant présente alors

directement les connaissances en s’appuyant sur l’observation dirigée d’une réalité sensible ou d’une de ses

représentations, et il suppose les élèves capables de se les approprier et d’en étendre l’emploi à d’autres

situations.

Les programmes et les Instructions Officielles ne verront aucun changement notable avant la fin des

années 1960. En 1970, suite à une réforme concernant l’enseignement des mathématiques, les programmes de

l’école primaire changent radicalement. La démarche consiste alors à partir des objets physiques et à en faire

un objet d’étude pour faire émerger progressivement les invariants qui seront les concepts mathématiques. A

noter que cette méthode reste valable aujourd’hui. L’accent est alors mis, dans les programmes de 1977, sur la

pratique d’activités géométriques. Les programmes de 1985 précisent que ces activités doivent « concourir à la

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construction de l’espace chez l’enfant ». Les élèves doivent donc être mis en situation d’agir sur des objets, de

se familiariser avec divers espaces et de traiter des problèmes de représentation. C’est une pédagogie de

l’activité qui permet à l’enfant de se constituer un champ d’expériences sur lequel peut se construire la

géométrie. Les activités géométriques consistent surtout à reproduire, construire, décrire et représenter. Je

développerai ces notions dans la partie suivante car elles sont également présentes dans les programmes de

2002. Ceux de 1995 renforcent quant à eux l’idée d’une pédagogie de l’activité qu’il faut engager autour de

l’enseignement de la géométrie.

Les transformations subies par l’enseignement de la géométrie depuis la fin du XIXème siècle

s’expliquent surtout par l’évolution considérable du rôle de l’école dans notre société et par l’avancée des

recherches en psychologie de l’enfant.

b)b)b)b) EEEEtat actueltat actueltat actueltat actuel : Programmes de 2002: Programmes de 2002: Programmes de 2002: Programmes de 2002 ::::

Les aspects essentiels de l’enseignement de la géométrie présentés dans les programmes de 1985 et

1995 sont à nouveau retenus.

La géométrie n’a pas fonction d’inventaire mais c’est une discipline instrumentale avant tout qui a une

finalité fonctionnelle. Son enseignement à l’école primaire renvoie à deux champs de connaissances : celles

nécessaires à l’enfant pour contrôler ses rapports usuels avec l’espace sensible, et celles relatives à la

géométrie proprement dite. Jusqu’à la fin du cycle II, les élèves ont de nombreuses compétences spatiales à

consolider avant de pouvoir tirer profit d’un enseignement visant la connaissance explicite de concepts

géométriques. C’est au cycle III que débute vraiment l’apprentissage des notions géométriques utilisées pour

décrire les formes des objets de notre environnement.

Voici ce que les Instructions Officielles préconisent, pour chaque cycle de l’école primaire, en matière

d’étude des formes géométriques :

� Maternelle : Découverte des formes : L’enfant est amené à manipuler des objets de forme et de

dimensions variées. L’examen de leurs caractéristiques permet de les classer et de distinguer divers types de

critères. Les enfants sont conduits à élaborer des stratégies de dénomination ou de reconnaissance par des jeux

variés.

Les compétences à développer sont :

- Différencier et classer des objets en fonction de caractéristiques liées à leur forme.

- Reconnaître, classer et nommer des carrés, des ronds et des triangles.

- Reproduire un assemblage d’objets de formes simples à partir d’un modèle (puzzle, pavage).

� Cycle II : Espace et géométrie : Les élèves appréhendent d’abord des propriétés de façon

perceptive, puis sont amenés à utiliser des instruments pour vérifier les hypothèses émises. Il s’agit de relier

peu à peu des propriétés, un vocabulaire spécifique et l’utilisation d’instruments. Les élèves doivent identifier

des propriétés au travers de la résolution de problèmes portant sur des objets réels, dont les figures. Ils

s’initient à l’organisation de l’espace, reconnaissent quelques figures géométriques et mettent au point des

techniques de repérage, de reproduction et de construction.

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Les compétences à développer concernent le triangle, le carré, le rectangle et le cercle :

- Distinguer ces figures, de manière perceptive, parmi d’autres figures planes.

-Vérifier si une figure est un carré ou un rectangle en ayant recours aux propriétés et en utilisant les

instruments.

- Utiliser le vocabulaire approprié : carré, rectangle, triangle, cercle ; côté, sommet, angle droit.

- Reproduire ou compléter une figure sur papier quadrillé.

- Vérifier si deux figures sont superposables à l’aide de techniques simples.

� Cycle III : Espace et géométrie : L’objectif principal est de passer progressivement d’une

géométrie où les objets et leurs propriétés sont contrôlés par la perception à une géométrie où ils le sont par

explicitation de propriétés et recours à des instruments.

Les compétences à développer concernent : le triangle (et ses cas particuliers), le carré, le

rectangle, le losange et le cercle :

- Reconnaître de façon perceptive une figure plane (en particulier dans une configuration plus

complexe), la nommer, vérifier son existence en ayant recours aux propriétés et aux instruments.

-Décomposer une figure en figures plus simples.

- Tracer une figure sur divers supports soit à partir d’un modèle, soit à partir d’une description, d’un

programme de construction ou d’un dessin à main levée.

- Décrire une figure en vue de l’identifier dans un lot de figures ou de la faire reproduire sans équivoque.

- Utiliser à bon escient le vocabulaire suivant : triangle, triangle rectangle, triangle isocèle, triangle

équilatéral, carré, rectangle, losange, cercle ; sommet, côté ; centre, rayon et diamètre.

La lecture des programmes permet donc de constater que, dès l’école maternelle, il existe une

approche de la géométrie à travers la reconnaissance des formes et le repérage dans l’espace. Dans les

programmes des cycles I et II, la distinction entre les activités de structuration de l’espace physique et les

connaissances géométriques est nette. Au cycle III, les connaissances géométriques s’articulent autour de

quatre grands types d’activités :

-Reproduire : Cela consiste à faire une copie de l’objet en sa présence. Ajoutons que dans certaines

conditions une reproduction peut être faite à une autre échelle que celle de l’objet d’origine.

-Construire : Il s’agit d’une reproduction d’un objet mais avec des contraintes : soit la non identité au

modèle, soit l’absence du modèle. Construire suppose toujours posséder des connaissances sur l’objet

(définition, propriétés, etc.).

-Représenter : La géométrie 3D est plus propice que la géométrie 2D pour différencier la représentation

de l’objet et l’objet lui-même. La représentation d’un objet comprend en même temps une abstraction par

rapport au réel et une projection de ce que l’on sait de l’objet. Elle ne permet pas forcément de mettre en

évidence toutes les propriétés de l’objet, dont certaines doivent être négligées.

-Décrire : C’est un acte d’explicitation (fondamentalement basé sur le langage mais s’accompagnant

parfois de représentation) qui permet d’identifier, de représenter ou de reproduire un objet. On peut distinguer

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des descriptions quantitatives, où on classe et on compte les différents éléments, et des descriptions

qualitatives, où on essaie de donner des indications permettant de reconnaître l’objet.

L’activité de reconnaissance des figures dépend quant à elle des quatre précédentes et inversement.

Il s’agit d’aller au-delà d’une simple reconnaissance visuelle s’attachant à l’orientation la plus courante de ces

figures. Or, cela ne va pas sans difficultés pour les élèves et je vais développer ce point dans la partie suivante.

-+�� ��!��$���$��������%��#������!� ����"#���)�

a) Précisions a) Précisions a) Précisions a) Précisions préliminaires s préliminaires s préliminaires s préliminaires sur cette notionur cette notionur cette notionur cette notion :::: Les problèmes de la géométrie s’appuient le plus souvent sur un espace qui n’est plus l’espace

physique mais un espace conceptualisé où les objets sont représentés par des figures. Une figure est en effet un

objet abstrait ; il s’agit d’une représentation mentale.

La question de la façon dont nous reconnaissons une figure nous renvoie à celle de la perception

des figures géométriques et plus généralement du monde environnant. De nombreuses recherches en

psychologie ont été menées sur ce thème et elles mettent en évidence que :

- L’analyse de chaque partie de la figure nécessite un effort qui n’a rien de naturel.

- La reconnaissance d’une figure est directement liée aux connaissances stockées dans la mémoire à long

terme sous forme de figures prototypiques. Toutefois, ces « prototypes » restent des figures particulières, ce

qui expliquerait les difficultés de reconnaissance quand les figures ne sont pas dans leur position habituelle ou

lorsque le rapport des dimensions est très différent des figures prototypiques stockées.

En effet, la reconnaissance des figures géométriques simples pose beaucoup de problèmes à

l’école primaire où il est fréquent d’entendre l’affirmation selon laquelle la seconde figure est un losange et pas

un carré alors qu’il s’agit dans les deux cas d’un carré vu dans deux positions différentes :

C’est pourquoi je vais maintenant détailler la nature et l’origine des difficultés liées à la

reconnaissance des figures géométriques en vue d’établir ultérieurement des principes pédagogiques

permettant de les dépasser.

b)b)b)b) Difficultés des élèves liées à la reconnaiDifficultés des élèves liées à la reconnaiDifficultés des élèves liées à la reconnaiDifficultés des élèves liées à la reconnaissance des figures géométriquesssance des figures géométriquesssance des figures géométriquesssance des figures géométriques ::::

� Nature des difficultés : Afin de mieux comprendre ce que les élèves de cycle III n’ont pas bien

acquis en matière de reconnaissance de figures, je me suis penchée sur les résultats des exercices nationaux de

l’évaluation de l’entrée en sixième relatifs à ce domaine. (année 2002)

Cette évaluation n’est pas un bilan des compétences exigibles en fin de cycle III. Elle présente des

repères relatifs à certaines compétences et permet d’établir un diagnostic en début de cycle, à la fois constat

des acquis et repérage des lacunes.

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Alors que les résultats globaux des exercices du champ « Travaux géométriques » est de 57,6 % de

réussite, la faiblesse des résultats de l’exercice suivant est frappante :

Résultats de l’exercice (en %) : - figure A : 42,9

- figure B : 37,2

- figure C : 39,9

Cet exercice permet de détecter les élèves qui sont restés au stade d’une reconnaissance perceptive

des différentes figures, reconnaissance qui est basée sur une appréhension globale pouvant être perturbée par

un parallélisme éventuel de côtés avec les bords de la feuille ou par une position non habituelle du rectangle.

(A noter que si 83 % des élèves reconnaissent effectivement un rectangle pour la deuxième figure, moins de la

moitié d’entre eux sont capables de justifier leur choix en explicitant les caractéristiques géométriques de cette

figure).

Un grand pourcentage d’erreurs apparaît aussi pour les deux exercices suivants où il s’agit de

reconnaître des droites perpendiculaires.

Résultats : 47,7 % de réussite Résultats : 47,2 % de réussite

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Dans ces deux exercices, on teste la perception visuelle qu’ont les élèves de la perpendicularité.

Or, cette perception n’est pas sans lien avec celle des figures géométriques. En effet, la représentation mentale

que les élèves ont de deux droites perpendiculaires est très souvent influencée par les aspects perceptifs du

dessin, dont sa position dans la feuille, et il en est de même pour l’image mentale qu’ils ont des figures

géométriques.

Ainsi, pour identifier une figure, les élèves prennent en compte des aspects non pertinents, et liés à

la représentation mentale qu’ils ont d’une figure prototypique dont ils n’arrivent pas à se détacher.

� Origine des difficultés : Il y a d’abord un obstacle de nature didactique lié au type d’enseignement.

En effet, l’enseignement de la géométrie s’appuie traditionnellement sur une pratique où l’enseignant présente

directement les connaissances en s’appuyant sur l’observation dirigée d’une réalité sensible ou d’une de ses

représentations et suppose les élèves capables de se les approprier et d’en étendre l’emploi à d’autres

situations. Les connaissances ne sont alors pas perçues par les élèves comme des outils pour résoudre les

problèmes de reconnaissance de formes. Ils peuvent être amenés à se construire des représentations erronées de

certains concepts de géométrie, par exemple le fait que deux droites perpendiculaires sont verticale et

horizontale, qu’un carré est une figure « posée » sur un côté, qu’un triangle se présente toujours « sur » sa

base, etc.

D’autre part, il y a un deuxième obstacle de nature technique. En effet, les élèves possédant des

cahiers lignés, la prégnance verticale/horizontale est très forte depuis le CP, ce qui conduit à des

conditionnements. Cette habitude à travailler sur des supports quadrillés facilite la construction de rectangles

ou de carrés ayant leur base horizontale et seuls auront le statut de carrés les figures à base horizontale. Les

fonds quadrillés enracinent donc la prégnance de la configuration verticale/horizontale, alors que l’objectif est

d’amener les enfants à s’en libérer pour reconnaître les figures géométriques quelle que soit leur orientation.

Ainsi, jusqu’au CM, la forme n’est parfois pas indépendante de la position lorsqu’il s’agit de

formes dessinées sur une feuille. C’est la trop grande fréquentation des figures dans une certaine position qui

nuit à leur reconnaissance lorsqu’elles ont une orientation quelconque.

A noter que le repérage des figures de base dans une figure complexe pose encore plus de

problèmes. Les origines de cette difficulté peuvent être multiples :

- L’élève n’a pas stocké de figures prototypiques correspondant aux figures à repérer par manque

d’expérience.

- Les figures de base ne correspondent pas aux caractéristiques des figures prototypiques.

- Des figures de base trop prégnantes empêchent l’élève d’en voir d’autres.

- L’élève a du mal à isoler les figures de base des autres éléments de la figure.

L’origine principale de la difficulté à reconnaître des figures géométriques provient de la

représentation mentale que les élèves ont de ces figures. Ces représentations sont dépendantes de l'expérience

des figures que les enfants ont et elles portent sur l'usage de la feuille de papier avec l'organisation spatiale

qu'il entraîne.

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Les obstacles auxquels les enfants sont confrontés étant analysés, je vais désormais en proposer le

dépassement par le biais de principes pédagogiques.

c)c)c)c) Principes pédagogiques liés à l'ens Principes pédagogiques liés à l'ens Principes pédagogiques liés à l'ens Principes pédagogiques liés à l'enseignement de la géométrie planeeignement de la géométrie planeeignement de la géométrie planeeignement de la géométrie plane ::::

A l'école primaire, les activités géométriques doivent mettre à profit la relation de l'enfant avec l'espace

et lui permettre de coordonner et de restructurer toutes les informations qu'il véhicule dans son environnement

avec la vue, les mains et la parole, puis d'approfondir tous les modèles de savoirs ou de savoir-faire qu'il a

rencontrés auprès de différents matériaux géométriques. L'élève construit alors peu à peu les concepts

mathématiques et les savoir-faire. Il est donc important de commencer très tôt. Il faut du temps, des exemples

nombreux et variés, des langages différents et une alternance entre des moments d'investigation et des

moments de réalisation, et entre des moments d'analyse et d'autres de synthèse.

C'est par l'accumulation d'expériences et par un contact direct et prolongé avec des matériels variés que

les concepts se forment et que l'enfant augmente son aptitude à la généralisation. Il faut donc donner l'occasion

aux élèves de jouer librement avec ces matériels et seulement après cette phase peuvent suivre des activités

structurées à l'aide de consignes précises. En manipulant des formes, les enfants découvrent des propriétés de

façon intuitive, et se construisent peu à peu des représentations.

Une notion devient objet de connaissance dès lors qu'on sait la reconnaître ou la mettre en œuvre sous

chacun de ses aspects, d'où l'importance d'approches multiples à l'aide de situations variées.

Les langages gestuel, oral et écrit jouent également un rôle important dans la conceptualisation des

objets géométriques et depuis quelques années l’accent est mis sur ce point. Il est nécessaire d'inscrire la

géométrie dans des activités de communication. Cela oblige les élèves à formuler clairement ce qu'ils pensent.

D'autre part, pour que les élèves puissent progresser dans leur construction personnelle de la

géométrie, il est important qu'ils aient pu se construire un système mental de référents à partir des expériences

qu'ils auront accumulées sur l'espace physique: actions sur les objets, descriptions orales ou graphiques d'objets

ou d'actions sur les objets. Tout ceci concourt en effet au processus de conceptualisation.

Je vais maintenant citer d'autres principes qui concernent plus particulièrement le domaine de la

reconnaissance des figures géométriques planes. Tout d'abord, il faut éviter les représentations prototypiques

en permettant à l'enfant de rencontrer les figures dans des occurrences diversifiées. Que ce soit au tableau ou

sur tout document livré aux élèves, il faut systématiquement présenter les figures dans des positions

quelconques. En effet, en géométrie il n'y a pas de direction privilégiée. Il s'agit par conséquent de donner

l'habitude aux enfants de percevoir les figures planes selon des points de vue différents afin qu'ils apprennent à

les déplacer mentalement.

De plus, il est judicieux de diversifier les supports et d'alterner par exemple un travail sur des formes

dessinées et sur des formes découpées dans du carton. En effet, une forme découpée présente l'avantage d'être

mobile ce qui permet d'éviter la formation d'images stéréotypées, ainsi que de positions prototypiques de

figures. Grâce à ce même support, diverses manipulations peuvent être effectuées ce qui permet à l'élève de

donner plus de sens au concept concerné.

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D'autre part, il est recommandé de faire travailler les enfants dès le cycle II sur des figures composites,

car identifier rapidement une forme simple dans une figure complexe s'avère difficile pour les élèves. Il paraît

également utile de ne pas isoler les figures étudiées étant donné que les particularités d'une figure sont d'autant

plus remarquables qu'elles apparaissent par comparaison avec d'autres figures. (classification, assemblage,etc.)

Il s'avère donc nécessaire de tenir compte et de respecter quelques principes pédagogiques relatifs à

l'enseignement de la géométrie plane afin d'amener les enfants à reconnaître les figures géométriques planes.

.+��!���#��!��)� Les Instructions Officielles de 2002 nous indiquent que de nombreuses compétences liées à la

reconnaissance des figures planes sont à acquérir à l’école primaire. Or, chaque année, les évaluations

nationales qui ont lieu à l’entrée en sixième révèlent la présence de faiblesses dans ce domaine. Afin de les

pallier, il convient de respecter quelques principes pédagogiques, notamment la fréquentation des figures dans

des positions quelconques.

En outre, suite aux réflexions de cette première partie et à la lecture de plusieurs ouvrages, je me suis

intéressée à la mise en pratique d’activités privilégiées aux cycles I et II qui permettraient d’éviter ces

faiblesses et de conduire à une reconnaissance ultérieure des figures planes quelle que soit leur orientation.

Mais la problématique de mon travail ne se limite pas à ce point : elle est double en effet car elle inclut

également la mise en place d’activités visant à rendre les élèves capables de percevoir les figures de base dans

des assemblages plus complexes. Quelles situations peut-on donc mettre en place avec des élèves de cycles I et

II pour les aider à se construire des images mentales stables des figures de base ?

Dans la partie suivante, je vais relater et analyser les deux séquences que j’ai menées en classe

afin de répondre à la problématique qui vient d’être soulevée.

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*+��!���0���)� J’ai profité de mes deux premiers stages pour mettre en place des séances permettant d’apporter des

éléments de réponse à ma problématique.

J’ai tout d’abord mené une séquence lors de mon stage en pratique accompagnée, qui a eu lieu dans

une classe de 23 élèves de petite section - moyenne section (18 élèves de moyenne section d’un niveau

d’ensemble plutôt faible et 5 élèves de petite section). Depuis la rentrée, les élèves avaient essentiellement

travaillé sur la numération. La séquence s’est déroulée de la façon suivante :

- Séance 1: Découverte et manipulation de plusieurs formes du Tangram (les triangles et le carré).

- Séance 2: Prise de conscience de certaines caractéristiques des formes suivantes : rond, carré, triangle

et rectangle.

- Séance 5: Rappel des caractéristiques des formes de la séance 2.

- Séances 3, 4, 6 et 7 : Ateliers tournants sur les formes géométriques.

- Séance 8 : Manipulation des 7 formes du Tangram pour reconstituer un puzzle.

La deuxième séquence que j’ai mise en place a eu lieu au cours de mon premier stage en

responsabilité, dans une classe de 22 élèves de CE1- CE2 (11 CE1-11 CE2). Voici la progression suivie :

- Séance 1: Découverte et description des pièces du Tangram.

- Séance 2: Réalisation d’assemblages à l’aide des pièces du Tangram.

- Séance 3: Introduction du jeu du message.

- Séance 4: Introduction du jeu du portrait.

- Séance 5: Le jeu du portrait avec les pièces du Tangram.

- Séance 6: Le jeu du message avec les pièces du Tangram.

A noter que les élèves travaillaient exclusivement avec le fichier J’apprends les maths de Rémi

Brissiaud. Seuls les CE2 avaient abordé des notions de géométrie depuis la rentrée, qui concernaient le cercle.

Ainsi, les séquences que j’ai menées ont porté sur trois types d’activités :

- le Tangram

- le jeu du portait

- le jeu du message

Avant de présenter le déroulement et l’analyse de ces deux séquences, je vais justifier le choix de ces

activités en regard de ma problématique.

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-+�/������$��!������$���������� �����������$����)�

a) le Tangram : a) le Tangram : a) le Tangram : a) le Tangram : Le Tangram est un puzzle chinois constitué de sept pièces

résultant du découpage d’un carré. Le jeu contient cinq triangles

isocèles rectangles (deux petits, un moyen et deux grands), un carré et

un parallélogramme. Les pièces peuvent être ré-assemblées pour

former des silhouettes différentes (objets, personnages, animaux, etc.).

De nombreuses activités pédagogiques utilisant les pièces du

Tangram peuvent être conçues à chaque cycle de l’école primaire et les

objectifs peuvent être variés. Les principaux sont d’apprendre à

composer des figures complexes à partir de figures simples et donc simultanément à percevoir dans des figures

complexes des figures simples. Un objectif qui est aussi valablement concerné par ce jeu est celui d’éviter les

conceptions prototypiques de certaines figures. Ainsi, dans le Tangram, le carré est souvent dans une position

non prototypique au sein d’une silhouette, c’est-à-dire avec ses côtés « obliques ».

Les activités liées au Tangram ne mettent pas forcément en jeu des tracés, mais permettent de faire de

la géométrie intuitive et de manipuler les figures plutôt que de les représenter. Elles aident ainsi les enfants à

appréhender un espace plan.

b) Le jeu du message : b) Le jeu du message : b) Le jeu du message : b) Le jeu du message : Le but général est qu’un enfant décrive par écrit (le « message ») une figure géométrique de

manière à ce qu’un autre enfant qui va lire le texte puisse reconstituer la figure sans voir l’original. Il

s’agit enfin de confronter la figure réalisée avec l’original.

Cette activité peut s’envisager dès le cycle II et constitue un travail motivant d’écriture et de

lecture fonctionnelle.

Un grand avantage de cette activité est que son objet principal est le langage géométrique,

domaine où on constate, aux évaluations en sixième, que l’enfant éprouve de nombreuses difficultés.

C’est en rédigeant plusieurs messages et en se concertant que les enfants vont affiner leur langage et

découvrir la pertinence des données permettant de réussir la construction de la figure. Le moment

important de ce jeu est ainsi la confrontation entre les figures initiales et les figures réalisées et

l’analyse des éléments du message qui ont provoqué des distorsions entre la figure d’origine et la

figure réalisée d’après ce message.

c) Le jeu du portrait : c) Le jeu du portrait : c) Le jeu du portrait : c) Le jeu du portrait : Le meneur du jeu choisit une figure parmi un ensemble de figures présentes. Les autres

joueurs, à partir de questions, cherchent à retrouver la figure choisie.

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Dans un premier temps, il est important de présenter les figures. L’observation première

permet en effet la description future.

L’enfant doit donc, par conséquent, rechercher des critères qui permettront l’identification de

la figure choisie : ceux-ci sont propres à la figure elle-même mais dépendent aussi des

caractéristiques des autres figures. La validation est le résultat d’une confrontation entre l’élève qui

détient le secret et l’élève qui cherche à le découvrir.

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a) Description de la séance : a) Description de la séance : a) Description de la séance : a) Description de la séance : � Durée : 30 minutes (le 05/10/04 après-midi)

� Matériel : - 3 formes géométriques de grande taille (deux triangles identiques mais de couleur

différente et un carré d’une autre couleur)

- 4 modèles à reconstituer (deux où tous les contours des pièces sont tracés et deux où la

silhouette est tracée sans les délimitations intérieures) (voir annexe 1)

- 4 formes géométriques par groupe de 3 élèves (trois triangles de taille

différente et un carré appartenant au même Tangram)

- fiches plastifiées de modèles à reconstituer avec les formes (modèles de 3 ou 4 pièces,

et pour chaque type plusieurs modèles où le contour extérieur de la silhouette est tracé,

mais où des délimitations intérieures sont parfois absentes) (voir annexe 2)

� Objectifs : - Manipuler les formes proposées et se familiariser à leurs dimensions et leurs

orientations possibles.

- Agencer 3 ou 4 formes pour reconstituer un puzzle.

� Déroulement : 1. Phase collective de présentation et de langage (10 minutes)

Au début de cette séance, les enfants sont assis sur les bancs du coin regroupement. J’ai commencé

par montrer 3 formes géométriques de couleurs différentes (voir matériel) et j’ai sollicité les enfants afin de

parler des caractéristiques de ces formes. Nous avons alors été amenés à compter le nombre de « pointes » de

chaque forme. J’ai ensuite réalisé une figure en agençant ces formes et j’ai demandé aux enfants à quoi cela

leur faisait penser. J’ai renouvelé cet exercice deux fois, puis je leur ai montré une silhouette tracée sur une

feuille A4 où apparaissait chaque contour des 3 formes (voir annexe 1). J’ai alors demandé aux élèves ce que

nous pouvions faire avec cette feuille et lorsqu’un enfant a proposé de placer les formes sur le modèle, je l’ai

fait en verbalisant chacun de mes gestes. Un deuxième modèle a ensuite été proposé où chaque pièce a été

placée par un élève différent. Puis j’ai montré un modèle où les contours intérieurs de la silhouette n’étaient

pas tracés. Nous nous sommes demandés si nous avions une pièce de la forme tracée et puis nous avons

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cherché comment faire pour reconstituer ce modèle. J’ai alors complété les propos des enfants en expliquant

que les traits intérieurs étaient effacés et que tous les contours des formes n’étaient donc pas dessinés. (J’ai

montré au tableau ce que cela aurait donné avec le modèle précédent.) Chaque forme a alors été placée sur le

puzzle par un élève différent. Un autre puzzle de ce type a également été reconstitué.

Après avoir expliqué qu’en procédant de façon collective tous les enfants ne pouvaient pas

participer, j’ai donné les consignes correspondant à la phase suivante : « Nous allons faire des groupes de 3

enfants et je donnerai 4 formes à chaque groupe. Vous pourrez d’abord jouer avec ces pièces puis chacun

votre tour vous réaliserez un puzzle que je vous donnerai. »

2. Phase d’activité par groupes de 3 enfants (15 minutes) (voir photos en annexe 3)

Une fois la consigne donnée et reformulée par un élève, j’ai formé les groupes, je les ai répartis

autour des tables et je leur ai distribué les 4 formes géométriques (voir matériel). A noter que lors de la

répartition des élèves, j’ai veillé à séparer les élèves facilement inattentifs ordinairement.

Pendant la manipulation libre, nous avons parlé des formes qu’ils avaient dans les mains. Ensuite

j’ai distribué des fiches-puzzles à 3 pièces en ôtant leur quatrième pièce ne faisant pas partie de ce puzzle. Je

leur ai également précisé qu’ils devraient lever le doigt lorsqu’ils avaient fini de reconstituer leur puzzle.

J’allais alors vérifier et je donnais une autre fiche. Lorsque les enfants avaient bien compris comment procéder,

je distribuais quelques puzzles à 4 pièces, puis des puzzles où plusieurs contours intérieurs de pièce n’étaient

pas dessinés.

3. Phase de synthèse collective (5 minutes)

Après avoir rangé le matériel, nous sommes retournés au coin rassemblement où j’ai demandé aux

enfants comment ils avaient fait pour placer leurs pièces. Nous avons ainsi remis l’accent sur la nécessité de les

faire pivoter.

b)b)b)b) Analyse de la séance :Analyse de la séance :Analyse de la séance :Analyse de la séance :

Lors de la présentation collective des formes, le premier critère de différence qui est apparu est la

couleur. Certains élèves n’ont alors pas aussitôt perçu que les deux triangles que je tenais étaient

superposables, et que pour les placer sur les modèles il était équivalent de choisir l’un ou l’autre triangle.

L’autre critère qui est apparu est le nombre de « pointes », que nous avons alors dénombré pour chaque forme.

Lorsque j’ai placé les pièces sur le modèle, j’ai veillé à expliquer la façon de faire, c’est-à-dire de poser une

pièce sur la feuille et de la tourner jusqu’à ce qu’elle coïncide avec les traits du puzzle. De même, lorsque les

élèves ont exécuté cette activité nous avons répété cette démarche. Le fait de faire pivoter les pièces a permis

aux enfants, durant la phase d’activité, de se familiariser avec les différentes orientations du carré et du

triangle. Pendant ce temps, je passais près des enfants pour aider ceux qui étaient en difficulté et pour valider

les puzzles de ceux qui avaient fini. J’ai ainsi pu observer que les enfants tournaient réellement les formes

avant de les placer ce qui m’a montré l’efficacité de la première phase.

Cette première séance sur les formes géométriques porte essentiellement sur la manipulation de

formes, aspect essentiel pour que les enfants intègrent leurs caractéristiques.

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Les modèles où tous les contours des pièces étaient tracés se sont révélés assez aisés pour beaucoup

d’enfants, alors que les modèles sans le marquage des pièces à l’intérieur de la silhouette ont posé plus de

problèmes. J’ai alors proposé aux enfants trop en difficulté devant cette nouvelle situation des modèles

intermédiaires où toutes les pièces étaient apparentes sans que la totalité de leur côtés soit visible.

Lors de la synthèse finale, lorsque j’ai demandé aux enfants comment ils avaient fait pour placer les

formes, un élève m’a répondu : « Comme ça, comme ça, comme ça » en faisant tourner sa main. Les élèves se

sont donc confrontés aux diverses orientations du carré et du triangle rectangle isocèle lors de cette séance.

Peut-être qu’il aurait été cependant souhaitable d’accorder un temps plus long de manipulation libre en incitant

notamment les élèves à assembler leurs pièces de plusieurs façons.

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a) Description de la séa a) Description de la séa a) Description de la séa a) Description de la séance :nce :nce :nce : � Durée : 20 minutes (le 07/10/04 matin)

� Matériel : - album Tout le monde est en forme de Ed Emberley (voir annexe 4)

- 4 formes géométriques en bois (un triangle, un carré, un rond et un rectangle)

� Objectifs : - Nommer et distinguer les formes suivantes : rond, carré, triangle et rectangle (par

comparaison du nombre de « pointes » et de la longueur des côtés).

- Familiariser l’enfant avec les différentes orientations de ces formes géométriques.

� Déroulement : 1. Lecture de l’album (5 minutes)

S’agissant d’une séance collective de langage, les enfants étaient assis sur les bancs du coin

regroupement. J’ai présenté l’album puis j’ai lu les pages de l’album qui concernaient le triangle et le rond

(voir la couverture et une page de cet album en annexe 4). Sur chaque double page, j’ai montré aux enfants des

dessins de la forme présentée.

2. Verbalisation des caractéristiques du carré, du triangle, du rond et du rectangle

(10 minutes)

Une fois la lecture finie, j’ai demandé le nom des formes que nous venions de voir dans ce livre. A

chaque bonne réponse, j’ai remontré les images et nous y avons cherché d’autres ronds et d’autres triangles.

Puis j’ai montré la couverture de l’album où l’on voit des ronds, des triangles et des carrés ; et nous avons mis

en évidence que les carrés apparaissaient seulement sur la couverture de l’album.

J’ai alors présenté aux enfants 3 formes géométriques en bois (un triangle, un rond et un carré), en

leur demandant si ces formes étaient identiques. J’ai ainsi sollicité la parole des élèves afin de leur faire

verbaliser les caractéristiques de chaque forme. Comme pour la séance 1, les premiers propos ont porté sur la

couleur. Puis nous avons compté le nombre de « pointes » et je faisais, en même temps, le tour de chaque

forme avec un doigt. Nous avons alors mis en évidence que le tour d’un rond s’effectue sans rencontrer de

« pointes ». Ensuite je n’ai conservé que le carré dont nous avons compté le nombre de côtés. J’ai également

amené les élèves à constater que ses quatre côtés avaient la même longueur. (Pour faciliter ce constat, j’ai tracé

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les longueurs des côtés sur une feuille.). J’ai généralisé ce propos en expliquant que tous les carrés avaient

leurs quatre côtés de même longueur.

Ensuite j’ai montré aux enfants un rectangle en leur demandant s’il s’agissait d’un carré. Nous

avons alors compté le nombre de « pointes », le nombre de côtés et comparé la longueur des côtés. C’est le

constat que cette forme avait deux côtés plus grands que les deux autres qui a permis de confirmer qu’il ne

s’agissait pas d’un carré, mais d’un rectangle.

3. Elaboration d’une affiche (5 minutes)

Pour finir cette séance, nous avons récapitulé l’ensemble des constats précédents en réalisant une

affiche (voir photo de l’affiche en annexe 5). Cette affiche a en outre permis de mettre en avant la multitude de

dessins différents d’une même forme que l’on peut parfois faire en changeant l’orientation de cette forme.

b) Analyse de la séance : b) Analyse de la séance : b) Analyse de la séance : b) Analyse de la séance : L’album Tout le monde est en forme consacre plusieurs pages pour chacune des formes suivantes : le

triangle, le rond et le rectangle. J’ai choisi de ne pas présenter aux enfants les pages ayant pour objet les

rectangles étant donné qu’il y avait à la fois des carrés et des rectangles dessinés, mais tous étaient nommés

rectangles. Or il me semble judicieux, dans un premier temps, de considérer les rectangles et les carrés comme

étant des formes différentes et de remettre à plus tard dans leur cursus l’idée d’inclusion de classe.

Lors de la deuxième phase de cette séance, il s’est avéré efficace de comparer les formes deux à deux

dans un premier temps pour faire apparaître les différentes caractéristiques. La confrontation entre le rond,