+ All Categories
Home > Documents > Model Selection and Model Averaging with Missing Data

Model Selection and Model Averaging with Missing Data

Date post: 23-Mar-2022
Category:
Upload: others
View: 7 times
Download: 0 times
Share this document with a friend
8
Model Selection and Model Averaging with Missing Data Marco Ramoni and Paola Sebastiani KMI-TR-65 July 1998
Transcript
Page 1: Model Selection and Model Averaging with Missing Data

Model Selection and Model Averagingwith Missing Data

Marco Ramoni and Paola Sebastiani

KMI-TR-65

July 1998

Page 2: Model Selection and Model Averaging with Missing Data

������������� � ����� ��������������������������������� ������� �� ��!� "#"#� ����$%� �#�

&('*) + ,.-/'*0.,*1�23�465 7�8 9 :<; 9�=�9 :*> ?�@ 46A B > B C6B 9DFE<9�GFH#9 4�I�4*> J 9 K A > B L

M�'6,*N '.O�P<Q�'6R S 2 '61�2T�9 H*? K B U�9 4 B�5 V�W�X B C6? K > ? 8�Y6X > 9 46X 9�? 46:Y B ? B > A B > X A

Z > B L�I�46> J 9 K A > B L

[ Q�R S ) '6+ S\�] ^ ^ ] _ `�a b c bFd b _�] e�f<b ] g�c h i g i j ] b k ] j ] c l�m n*^ c b c ] ^ c ] d b j ] _ n i g i _<d i�b ^�c h i l�e�b lb o<i d c�c h i�g i f g i ^ i _ c b c ] p ] c l�m n#c h i�^ b e�f j i q�r�m _ i c h i j i ^ ^ s t _<a i g ^ m e�iFd m _<a ] uc ] m _<^�` t<b g b _ c i i ] _ `�c h<b c�c h iFe�] ^ ^ ] _ `�a b c bFe�i d h<b _ ] ^ ev] ^�] ` _ m g b k j i s g i j ] b k j id m _<d j t<^ ] m _<^�d b _/k<i�^ c ] j j�a g b w�_/n g m exc h i�] _<d m e�f j i c i�^ b e�f j i q�y ` _ m g b k ] j ] c ld m _<a ] c ] m _<^�b g i w�i j j u t _<a i g ^ c m m a�n m g�f<b g b e�i c i g�i ^ c ] e�b c ] m _�k t c�w�h i _�c h i ] _ un i g i _<d i�c b ^ z�] _ p m j p i ^6c h i�d m e�f t c b c ] m _Fm n c h i�f<m ^ c i g ] m g*f g m k<b k ] j ] c l�m n<b a b c be�m a i j s�b ^Fg i { t ] g i a/k l}|�b l i ^ ] b _/e�m a i j ^ i j i d c ] m _}b _<a�f g i a ] d c ] m _}c h g m t ` he�m a i j�b p i g b ` ] _ `<s<c h i ^ i�d m _<a ] c ] m _<^Fb g i�_ m c�^ t ~�d ] i _ c q���h ] ^Ff<b f<i g�a i � _ i ^_ i w�] ` _ m g b k ] j ] c l�d m _<a ] c ] m _<^�n m g�e�m a i j6^ i j i d c ] m _�b _<a�e�m a i j*b p i g b ` ] _ `Fn g m e] _<d m e�f j i c iFa b c b q��� �6��� � �*� �/|�b l i ^ ] b _}�6i b g _ ] _ `<s�\�] ^ ^ ] _ `���b c b s�\�m a i j � i j i d c ] m _*s�\�m a i j� p i g b ` ] _ `<s y ` _ m g b k ] j ] c l q

-/P<� P<) P<1�+ P*��3�=>�D�9 X E*46> X ? 8���9 H#5 K BF3�=}> � DF�F� � �6�*� C*8 L}� � � �<�[/��� ) P<R R ��=? K X 5��F? U�5 4*> � 3�465 7�8 9 :<; 9 =�9 :*> ?�@ 4*A B > B C<B 9 � DFE<9�G�H#9 4�I�46> J 9 K A > B L � => 8 B 5<4�3�9 L64<9 A �

I�4*> B 9 :�3�> 4<;<:<5<U�=3���� W�W����* �¡�¢�£�¤�¥F¦ ¦¨§ � � © � ª�� � � � «<� ��¬ ­�® ¤�¥F¦ ¦¨§ � � © � ª�� � ¯<� � �6�£*°�­�± ²#¤�³F´ µ6¶ ³*· ¸*¹ º<· »6¼ ¸�´ ¶6½�´ ¾<¿#�<À�Á#²#¤�Â<Ã<Ã<»�Ä Å<Å ¿ ³#¹�´ · »6¼ ¸�´ ¶6½�´ ¾<¿*Å »6¼<· »*Æ ¼6Å ³*¶ µ6½ ·*�

Page 3: Model Selection and Model Averaging with Missing Data

Ç/È É Ê Ë#Ì<Ê Ë Ê Í Î Ï È Ð�Ñ Ð6É�Ç/È É Ê Ë*ÒFÓ Ê Ô Ñ Õ Ï Ð Õ�Ö#Ï Î ×�Ç�Ï Ø Ø Ï Ð Õ�Ù Ñ Î Ñ

Ú#Û�Ü Ý�Þ ß à�á â ã<Þ ä à�Ýå}æ ç ç æ è6é�ê*ë ì ë�í ë è�æ î�ï*ë æ ð�ì ñ<ò�ð ò ó æ ë ô*æ ó æ ì õ�ö ÷�ç ì ë ì æ ç ì æ í ë ó æ è<÷ ò ð ò è*í ò�ë ç�ì ñ<ò õ�î�ë õ�ë ø#ò í ì�ì ñ6ò�ð ò ï*ùð ò ç ò è ì ë ì æ ú6æ ì õ�ö ÷Fì ñ6ò�ç ë î�ï#ó ò û�üvñ6ò è�ì ñ<ò/ï*ð ö6í ò ç ç�õ6æ ò ó ê*æ è<é}î�æ ç ç æ è6é}ê6ë ì ëæ ç�è6ö ì�æ é è6ö ð ë ô*ó ò ý�ë çæ ì�ç ö<î�ò ì æ î�ò ç�ñ6ë ï6ï#ò è*ç�æ è}ì ñ6ò�í ë ç ò�ö ÷Fê<ð ö ï6ù ö<þ<ì ç�÷ ð ö<îÿ÷ ö ó ó ö �Fù þ6ï�ç ì þ6ê*æ ò çFö ð�è6ö èð ò ç ï#ö è*ç ò ç�æ èç ë î�ï#ó ò�ç þ6ð ú ò õ6ç ý ì ñ<òë ú ë æ ó ë ô#ó ò�ê*ë ì ë�î�ë õ¨è6ö ì/í ö<è ì ë æ è¨ç þ��/í æ ò è ì�æ è6÷ ö ð î�ë ì æ ö<è.ì ö�ð ò ç ì ö ð ò}ì ñ6òð ò ï6ð ò ç ò è ì ë ì æ ú6æ ì õ/ö ÷�ì ñ6ò�ç ë î�ï#ó ò�ë è6ê�ò �<ì ò ð è*ë ó�æ è6÷ ö ð î�ë ì æ ö<è/æ ç�ð ò �<þ*æ ð ò ê/ë ô#ö þ6ì�ì ñ<ò�î�æ ç ç æ è6é�ê*ë ì ëî�ò í ñ*ë è*æ ç î�� ����� û� Fñ*æ ç�æ è6÷ ö ð î�ë ì æ ö<è�í ë è�ô#ò/è6ö ì ë ô#ó õó ë ð é ò ý��<þ*æ ì ò/ê*æ �/í þ6ó ì�ì öò è6í ö6ê6ò/ë è*ê#ýç ö î�ò ì æ î�ò ç ý�è<ö ì�ð ò ë ê6æ ó õ¨ë ú ë æ ó ë ô#ó ò û���è6ê6ò ð�ç ö<î�ò}í ö<è6ê*æ ì æ ö<è6ç ý è6ö è6ò ì ñ6ò ó ò ç ç ý��6è6ö ��ó ò ê<é ò�ö ÷�ì ñ6ò����xæ ç�è6ö ì�è6ò í ò ç ç ë ð õ�ë è*ê}ð ò ó æ ë ô*ó ò�í ö è*í ó þ6ç æ ö<è6ç�í ë è�ç ì æ ó ó�ô#ò�ê<ð ë ��è÷ ð ö îÿì ñ<ò/ë ú ë æ ó ë ô#ó ò�ê6ë ì ë6û� è�ì ñ6ò ç ò�í ë ç ò ç ý*ì ñ6ò���� æ çFç ë æ ê/ì ö�ô#ò�� � ��� � � � � û� é è6ö ð ë ô*æ ó æ ì õ�í ö è*ê6æ ì æ ö è*ç�ë ð ò!� ò ó ó ù þ*è6ê6ò ð ç ì ö<ö6ê�÷ ö ð�ï*ë ð ë î�ò ì ò ð�ò ç ì æ î�ë ì æ ö<è�ë è6ê�ì ñ6ò õ�ñ6ë ú ò�ô#ò ò è

ò ç ì ë ô*ó æ ç ñ6ò ê�ô<õ#"Fþ6ô*æ è%$ & ' û�(Fö ��ò ú ò ð ý�ì ñ*æ çFï#ë ï#ò ð��æ ó ó�ç ñ<ö ��ì ñ6ë ì ý���ñ6ò è�ì ñ<ò�æ è6÷ ò ð ò è6í ò�ì ë ç �æ è<ùú ö<ó ú ò ç�ì ñ6òFí ö î�ï#þ<ì ë ì æ ö è�ö ÷*ì ñ<ò�ï#ö<ç ì ò ð æ ö ð�ï*ð ö ô#ë ô#æ ó æ ì õ�ö ÷#ë�ê6ë ì ë�î�ö6ê<ò ó ý ë ç�ð ò �<þ6æ ð ò ê�ô<õ*)�ë õ ò ç æ ë èî�ö6ê<ò ó#ç ò ó ò í ì æ ö<è/ë è6ê�ï*ð ò ê6æ í ì æ ö è�ì ñ<ð ö<þ<é<ñ/î�ö6ê<ò ó#ë ú ò ð ë é æ è6é6ý6ì ñ6ò ç ò�í ö<è6ê*æ ì æ ö<è6ç�ë ð ò�è6ö ìFç þ+�/í æ ò è ìì ö�é<þ6ë ð ë è ì ò ò�ì ñ6ò�æ é<è<ö ð ë ô#æ ó æ ì õ�ö ÷�ì ñ<ò*�����û Fñ*æ ç�ï#ë ï#ò ð!��æ ó ó<ï*ð ö ú6æ ê<ò�è<ò � æ é<è<ö ð ë ô#æ ó æ ì õ�í ö è*ê6æ ì æ ö è*ç�÷ ö ðFî�ö6ê<ò ó#ç ò ó ò í ì æ ö<è/ë è6ê/î�ö6ê6ò ó*ë ú ò ð ù

ë é<æ è<é*û, Fñ6ò ç ò�í ö<è6ê*æ ì æ ö<è6ç,��æ ó ó#æ è ì ð ö6ê6þ*í ò�ë/í ó ë ç ç æ -*í ë ì æ ö<è�ö ÷ ê*æ ø*ò ð ò è ì�æ é<è<ö ð ë ô#ó ò�����çFë è6ê}ì ñ6òï*ë ï#ò ð��æ ó ó ï6ð ö ú6æ ê6ò ò �6ë î�ï*ó ò ç�ë è*ê�ç æ î�þ6ó ë ì æ ö<è�ç ì þ6ê*æ ò ç�ì ö�ç ñ6ö �¨ì ñ6òFæ î�ï*ë í ì�ö ÷*ì ñ<ò ç ò�ë ç ç þ*î�ï6ì æ ö è*çö è�ì ñ6ò�ð ö ô*þ*ç ì è6ò ç ç ö ÷�î�ö6ê6ò ó#ç ò ó ò í ì æ ö è}ë è*ê�î�ö6ê6ò ó#ë ú ò ð ë é<æ è<é*û

.�Û�Ü /�Ý à�ß 0�1 ä 2 ä Þ 354�à�Ý á ä Þ ä à�Ý768<ö ð î�ë ó ó õ ý�æ é<è<ö ð ë ô#æ ó æ ì õ�ö ÷�ì ñ<ò9���ÿë ó ó ö ��ç�þ6ç�ì ö.ç æ î�ï#ó æ ÷ õì ñ<ò}í ë ó í þ6ó ë ì æ ö<è.ö ÷�ì ñ6ò}ó æ � ò ó æ ñ6ö<ö6ê÷ þ6è*í ì æ ö<è�ô<õ¨ê<ð ö ï6ï#æ è<é}ì ñ<ò�ï*ë ð ë î�ò ì ò ð ç�ò è*í ö6ê6æ è6é}ì ñ<ò9����û;:�ò ì*<¨ô#ò}ëî�þ*ó ì æ ú ë ð æ ë ì ò>=@?#Aê6ë ì ë�ç ò ì ý���æ ì ñ9=¨í ë ç ò ç�ö ô*ç ò ð ú ò ê}ö<è9A�ú ë ð æ ë ô*ó ò çBDCE� B>F G H H H G B�I � û�J ë ð æ ë ô#ó ò ç�í ë è}ô#ò�ò æ ì ñ6ò ðí ö è ì æ è<þ<ö<þ6çFö ð�ê*æ ç í ð ò ì ò�ô#þ<ì ý6÷ ö ð�ç æ î�ï#ó æ í æ ì õ�ö ÷ è<ö ì ë ì æ ö<è#ý*ì ñ*æ ç�ï#ë ï#ò ð��æ ó ó#ë ç ç þ6î�ò�ì ñ*ë ì�ì ñ<ò õ}ë ð òí ö è ì æ è<þ<ö<þ6ç û7:#ò ì7K� <�L M+� ô#ò�ì ñ6ò�ó æ � ò ó æ ñ<ö<ö6ê�÷ þ*è6í ì æ ö è�ë è6ê}ó ò ì�ì ñ<ò�ï6ð æ ö ðFê<ò è*ç æ ì õ/ö ÷�M�ô#ò,K� M+� ûü æ ì ñ�í ö<î�ï*ó ò ì ò�ê6ë ì ë6ý�)�ë õ ò ç æ ë è}æ è6÷ ò ð ò è6í ò�ö<è�M�æ ç ô#ë ç ò ê/ö<è/ì ñ6ò�ï#ö<ç ì ò ð æ ö ðFê6ò è6ç æ ì õ�K� MNL <���O

K� M+� K� <�L M+� û7P6þ<ï*ï#ö ç ò�è6ö �vì ñ*ë ì�ì ñ6ò�ê6ë ì ë�ç ò ì�æ ç�æ è6í ö<î�ï*ó ò ì ò ý<æ û ò û�ç ö î�ò�ú ë ó þ6ò ç�ö ÷�B>F G H H H G B*I�ë ð òð ò í ö ð ê6ò ê/ë ç�þ6è��6è<ö ��è/ë è6ê/ì ñ6ò õ���æ ó ó6ô#ò�ê6ò è<ö ì ò ê�ë ç!B*QC�R û�ü�ò�í ë è�ê<ò í ö<î�ï#ö ç ò<}æ è ì ö*<�S G <NT�ý��ñ<ò ð ò,<�S ê6ò è<ö ì ò ç�ì ñ<òFö ô#ç ò ð ú ò ê�ú ë ó þ6ò ç ý ë è6ê*<NTvê6ò è<ö ì ò ç�ì ñ6ò�ç þ<ô#ç ò ì�ö ÷�<���æ ì ñ�þ*è+�6è6ö ��è�ú ë ó þ<ò ç û� èê<ö<æ è<é�ç ö*ýN��ò�ê6ò -*è6ò�ë�ú ë ð æ ë ô*ó ò�B�T�ì ë �6æ è<é/ú ë ó þ6ò ç,<NU�ì ñ6ë ì�ë ð ò�ì ñ6ò�ï#ö<ç ç æ ô*ó ò�ð ò ë ó æ V ë ì æ ö è*çFö ÷ì ñ6ò�þ*è<ö ô*ç ò ð ú ò ê/ú ë ð æ ë ô#ó ò ç�æ è/ì ñ<ò�ç ë î�ï#ó ò ûW í í ö ð ê6æ è6é¨ì ö@"�þ<ô#æ è�X ç�ê<ò -#è6æ ì æ ö èY$ & ' ý�ì ñ6òZ� � �N� � � � � � � [ \�ö ÷�ì ñ<ò%��� æ î�ï*ó æ ò ç/ì ñ6ë ìæ è<÷ ò ð ù

ò è6í ò¨ö è]M í ë è ô#ò.ô#ë ç ò ê(ö è(ì ñ6ò.ï#ö ç ì ò ð æ ö ð�ê<ò è*ç æ ì õ�K� MNL <�S ��O�K� M+� K� <�S L M+� ^�� <�S G M+� ý���ñ6ò ð òK� <�S L M+� ^�� <�S G M+��C%K� <�S L M+�+_ ` a+K� <NU L M�G <�S � b <NU�ë è*ê*^�� <�S G M+��æ ç�ë è�ë ê c þ6ç ì æ è<é�÷ ë í ì ö ð û7 Fñ<þ6ç ý î�æ ç ç æ è<éê6ë ì ë�ë ð ò/æ è ì ò é ð ë ì ò êö þ6ì�ð ò é ë ð ê6ó ò ç ç�ö ÷ ì ñ<ò>�����û* Fñ6ò�æ é<è<ö ð ë ô#æ ó æ ì õ�ö ÷�ì ñ6ò�����ð ò �<þ6æ ð ò ç�ì ��öí ö è*ê6æ ì æ ö è*ç�ì ö}ô#ò/÷ þ6ó -#ó ó ò ê#û> Fñ6ò�-*ð ç ì�í ö<è6ê*æ ì æ ö<è�ç ì ë ì ò ç�ì ñ*ë ì�þ6è6ð ò ï#ö ð ì ò ê�ê6ë ì ëë ð ò9d#� e e � � �;� [f!� ��g � hE� �i�j� û7 Fñ6æ ç í ö<è6ê*æ ì æ ö<è�æ ç�÷ ö ð î�ë ó ó õ/í ñ*ë ð ë í ì ò ð æ V ò ê/ô<õ/ë ç ç ö6í æ ë ì æ è6é�ò ë í ñ/ú ë ð æ ë ô#ó ò,B*Q�ì ö

k

Page 4: Model Selection and Model Averaging with Missing Data

l>m n o p�q+o p o r s t m u�v u�n�l>m n o pNw,x o y v z t u z*{�t s |�l*t } } t u z�~7v s v

����� ��� � �*� � � � � �N� ���� �7�+� �,� � � ��� � � ��� ��� �+��� � �*�N� � �+� �+��� � � � � ��� ���,�� � � � �!� � � �+����� ������ �!� �N�� � � � � �>� ���>��� � �+� � �� � � ����� �7������ ���,� �N� � � � � ��� � � ��� ��� ����   ¡ ¡ ¡   �,¢�� ��� ���� � �*�N� ��� �N����� �+� � �� ���!£ �+� � �,��� � �N� �N� � � � �>� ���*�+��¤¥ �N¦ §  ¨,© �,ª9� � � � ��«���� � �>� � �*� � � �>� ������¬­�®;� ���5¯Y¥ ���   ¡ ¡ ¡   �¢ ©� �!� �N�+� ��� �N�+� � �!� ��*°*��« � � � �>§�±� ����¨²

�´³Z��°*¦ §�±   ¨¡ ¥ � ©µ �+��� � � �+���9� � �N��� � � � �>� � ¶+�N� � � �7� �+�*� ����� ��� ����� ��� �� �� ������� � � �*� � � � �·*� ����¨

·�³Z¨ ¥ ¸+©� �*� �N� �,� ����N� � � �,��� ��� � � �>� � �*��� � ¹�� �7� � � ��¤¥ ·�  ¨,©7¯%¤¥ ·+© ¤¥ ¨,© ��º�N�+� �,� ����� � � ���*�N� � �+����¥ � ©!� �N�¥ ¸+©7� �������+� � � � � � �,��� ��� � � �>� ��·�  ¨Z� � � � � � � » � �,� � � ��� ������� ���N��� �

¤¥ ·�  ¨�¦ §�±   �+©�¼]½ ¤¥ ·+© ¤¥ §�± ¦ ·+© ¾�¥ §�±   ·+© ¿ ½ ¤¥ ¨,© ¤¥ �N¦ §�±   ¨,© ¿� �N�>� �+� � � � �N� �� ��� ���!·*� ����� � � �>� ��� �+����� � « � �N� ���+� �N� � � ��¤¥ ·N¦ §�± ©�¼%¤¥ ·+© ¤¥ §�± ¦ ·+© ¾�¥ §�±   ·+©� �N� �,� ��+� ��*� �N��� � � � �>� ������� �>� �N� �,� �+�*¬À�¬5��� � � �*� �� « ��� � � �N� � �7Á ��¾�¥ §�±   ·+©7¯5� ��� �+� �9��� � � � �+«��N� � �� ��� ��� � � � � �� � �*� « ��� � � �N� ��� �N�9� � �������N� � � � � ��� �>� � � �Â� �+�*� �N� � ��� � � ��Ã@��� ��� �N� �!� � �*��� � ¹N� � � � �+�� �!��� �,���+� � � �N� � �+� ����¬À¬5� �!��� �� «+�+� � � ��� � �Ä � �!� � � � ���7�*��� � ��� �N� ���*� ��� � ��� �� � � �N�*��� � � �9� �,��� �+��� ��� � ��« ��� ���� � ��� ��� � �*� � � � �N� � � � � �N� ���� �*� � �>� �N� �

�*°´³Z¨�¦ §�±   ·�¡ ¥ Å+©µ �+�*� � �N��� � � � �N� ��� ����� ��� ����� ��� ��� ���*°]� ����¨´� �!� ¶+��� � � � � � �,� ��� � � �N��� �+«�� �N� �,� �+�*¬À¬5� ��ÆNÇ ÈÉ Æ Ê Ç Ë Ì�Í È É Î Ï �� � �#� � � ��� � ��� �9� �+����� � � � �+«9�N� � �9� �9� �N� ��� �+�>��� � �N� �N� � � � � � �,� �!� �+��� � �*��� � � � �+���§NÐ�� � �9� � �*��� �#� �+�9��� � �N� � � � � �>�N� � ��� ��� � � � � � ��«+� � � ��� ����� ��� � � � � ��� � � �+� ��� �%� ���9� � �*��� � � µ ���� �*��� � � � �N� ��� �N��� ��� �+«,� ��� �� � � �� � � ���*�N� � �+�� Ñ+��� � � � ����� � � �*� ��� � � �*� � � � � � ����+� ���!�!�*� � �7� � �+�� ����� � � ��� �� � � � ��� � � �+«�� ������� � � �*� � � � �·*� ��� �+��� � � �>� ��� �+�*�N��� � ��«*� �+�����+� � � � � � �!�N� � ��� ��� � � � �� �����*���+� �+ÒÂ� � ��� ���!� � � � � �N� � ��%�Á �*� �N� �� � � � � � ���,¬À¬Z� � �*���!� � � �+� �7� «+�+� � � ��� �!�� � ��� � � ��� � �� �*� � �+���+� � � �N� �!�*����� � �� �7�� � ��� � � ��� � ��� �!£ �N� �� � �Z� ��� ��� ���Ã#�� �N� � ��� � � �+� ���!� � � �*� �7� � � ��È Ç È Í ÓÉ Ô ÆNÇ Ë Í Õ É Ó É È Ö�� �N�*� �+��� � � � � �7×�Í Ë È É Í Ó É Ô Æ�Ç Ë Í Õ É Ó É È Ö � µ ���,��� � � � � � � �!��� � �N� �N� � � � ��� ��ÒE� ��� �!� � � � �N� � �� � �,� �+�*¬À�¬5� �

¤¥ Ò;  ¨�¦ §�±   �+©�¼%¤¥ Ò;  ¨,© ¤¥ §�±   �N¦ Ò;  ¨,©   ¥ Ø�©� �N��� ���!¬À¬�� �� «+�+� � � ��� �!� � � �+�*� � � � « � � � � �+«¨;�+�+� � �7�!� �N� � � �*�¶+�N� � � � � ��� ��� ��� ���� �7�,� ���N� � � �+�� �!����� � �>¤¥ Ò%¦ §�± ©¼´¤¥ Ò#© ¤¥ §�± ¦ Ò#© ¾�¥ §�±   Ò#©,���� � � ��¾�¥ §�±   Ò#©� �� �;� � £ ��� � � �+«>� � � � � � ��Á �9� � ��� �� ��� ��� � � � � � � � » �*� ���*� «+�+� � � ��� � � � �>� �7� ���*¬À¬5� � ���*����� ��� � � � � � � � ����� ��� �!� �+� � � � � � �*� ��Ù>� � � � �,� �� �+� � � � � �>�N����� �!��N� � ��� �+���N� � � �+���!�7���N� � ��� ��� �,� � �*�N� � ¹�� � � � � ���Ã;�>� ��� � �� �+� �Y� �9� �+�*��� ��� ��� ��� �� � � � �7� « ��� � � �N� � � � ��� �7� �+��¬À¬Y�+�+� ����� �7�³5��°*¦ §�±   ¨�Ú ³@¨��� ������°5³@¨�¦ §�±   Ú �N���� � � Ú � �!� �+��� � � � � �N� ��� � ��� � � � � � � �+«�� �+�����+� � � �N� ���*����� � � �7Á �

Û

Page 5: Model Selection and Model Averaging with Missing Data

Ü>Ý Þ ß à�á+ß à ß â ã ä Ý å�æ å�Þ�Ü>Ý Þ ß àNç,è ß é æ ê ä å ê*ë�ä ã ì�Ü*ä í í ä å ê�î7æ ã æ

ï�ðï>ñ ò ó ô õ�ö ÷ ø ùò ú!û ü�ð ð ý ü�ñ ð þ ÿ ú!û ü�ð ñ ý ü�ñ ð þ ÿ ú!û ô+ý ü�ñ ð þ ú7û ü�ñ ð þó ú!û ü�ð ð ý ü�ñ ñ þ ÿ ú!û ü�ð ñ ý ü�ñ ñ þ ÿ ú!û ô+ý ü�ñ ñ þ ú7û ü�ñ ñ þ

õ�ö ÷ ø ù ú!û ü�ð ð þ ÿ ú!û ü�ð ñ þ ÿ ú7û ï>ð � ô þ ú

������� � �7õ������ � � � � � � � ÷ ø ÷ � ö���ö �÷ ����� ��� ö����Nù � ÷ ��� ö � ÷ � ��� � ��� ��÷ ø �Nù �� � � !"� �>÷ ���#� $�ø ���Nù � %

÷ � � ��� ø � � &'� ��� � � � � � ��ö �)(*� ø �"�'�#��ø � � !�ö �,+û -#þ +û ü'. ý -#þ /�û ü'. 0 -#þ %�1ø � ÷ � ø ù2� ���+ö � ø �'� ù � ÷ �3�+ö+ù !��4 ��� � 4 �3� � 5� � � �*÷ ��ø ÷�+û ü 6 ý ü'. 0 -�0 7,þ � +û ü 6 ý ü'. 0 -#þ#�+ö+ù !��#� ö ��� ö ���"�*ö�!�� ù8-Dö � &�� � 4 ö � !�� &÷ �Nø ÷,÷ ���#9�:�9;� ����ö �"� ��� ö � ��ø ÷ � < �ö �Nù �,� ö ��� ö �����*ö�!�� ù %�õ���� �=�Nø �'� � 4 � ù ù � ��ö 4 ÷ ��ø ÷�� ��� ö � � � ���÷ ö ÷ ø ù�� � ��ö � ø � � ù � ÷ �>� ø ����� � ù !�� ��� ö���� � � ÷ � ��� � � ��ø � !�� � ÷ � ö�!� � �>ø)� � < � � �3� � ø ��� ���*ö�!�� ù8� � ù � � ÷ � ö �ø � !"� � � !�� � ÷ � ö �"��ø � � !)� � ÷ ��� �ö��9÷ �����'� � ÷#�*ö�!�� ù�� � ù � � ÷ � !9ö �#�*ö�!�� ùø < � � ø � � ����%�?�� � � & 4 ����� < �ö �Nù ��ö����#� $�ø ���Nù � %7õ����#� Nù ù���ø �'� � 4 � ù ù�� � ö <�� !���!�� ÷ ø � ù � !"� � �� �ù ø ÷ � ö��3� ÷ �! � � �� � � ������ö ÷ �3� $�ø � ÷ø � !"� ���' +÷ ø ÷ � ö ��@ �Nø � � !�÷ � � � ��� 5� �� � %

A�B,C>DFE�G8H'IKJ=L MN'� ÷*ï>ð�ø ��!;ï>ñ��'�3� � �Nø � �>< ø � � ø �Nù � ��ø ��!O� ö���� � !�� ��÷ 4 ö>��ö � � � ��ù �,! � � � � ÷ � !�� � ø �'��� � ø ù=�*ö�!�� ù � �P,Q R S T -)U#� �'� � � V � �!÷ ��ø ÷÷ ����÷ 4 ö"< ø � � ø ��ù � �,ø � ��� ��!�� �'� ��!�� � ÷,ø ��!2& � ö���! � ÷ � ö���ø ù�ö��"-)U & 4 �,� ø ��Nø � ø ��� ÷ � � � W �3+û ü�ð ð ý X�Y U Z þ � X ð ð�ø � !>+û ü�ñ ð ý X�Y U Z þ � X ñ ð 4 ��� � �)X�Y U Z � �*÷ ���)�Nø � ø ��� ÷ � �,< � � ÷ ö �ø � � ö�� � ø ÷ � !>÷ ö�-)U [ P,Q R S T -#ð�� �'� � � V�� �7÷ �Nø ÷!ï>ñ�� �7ø���ø � � � ÷!ö �ï>ð &�� ö*÷ �Nø ÷!÷ ���#� � !� � � !���ø � ø ��@� ÷ � � � W ø ÷ � ö��3� �'+û ü�ñ ð ý X�Y ð Z þ � X ñ ð7ø ��!�+û ü�ð ý ü�ñ \ 0 X�Y ð Z þ � X \ ð ð %=]� �����ö�� �!÷ �Nø ÷7÷ ����� ö����Nù � ÷ ��� ø ���Nù �� ��� ���^ � � ÷,÷ ö3� ö������ ø � !+ö��_��� ö�� � � � 4 ��� � �"!�� ù � ÷ � ���Nø � ÷,ö ��÷ ����� � ÷ � � � �,ö ��÷ ����< ø � � ø ��ù ��ï>ð�� �÷4 �"� ö � ÷ � �� ���÷ ö>��ø < ��ø"� ö����Nù � ÷ �3� ø ���Nù �,� ö ��ï�ñ %3`>�"�*ö�!�� ù�÷ ���39�:�9F���;ø � � ö�� � ø ÷ � ��� & 4 � ÷ �� ø � �>� ø � ��� ��÷ ����� ø ����ù � &�÷ ����< ø ù ���ö �7ø,� � �Nø � �3< ø � � ø ��ù ��a�ñ 4 ��ö � ��!�� � ÷ � � � �÷ � ö��3� �,ø,� �� � ÷ � ö��ö �7ï�ñ %�N'� ÷�+û a�ñ � ò ý ï�ñ �;b þ � 78c & b�� ò 0 ó�&�ø � !)7 � û 77ð 0 77ñ þ�deX�Y f Z ý -�%#g�ö �#� ø � ��� ø � �,� �÷ ���#� ø ���Nù � & 4 �#� � ��� � ø ÷ ��ø�< ø ù ���� ö ��añ ý ï�ñø ��!3� � �*ö < ��÷ ���#� � ÷ � ��ö ��ï�ð�� ��añ � ò %=h�� ÷ � �,÷ ���!�� ù � ÷ � ö �>��� ö�� � � � &�÷ ���,� � � ö ����ù � ÷ �3� ö � ÷ ��ø � �3� �,��ø � � W � !>� � ÷ ö9õø ��ù ��ò %3]�� � � �*÷ ����< ø ù �� �ö �ï�ñ�ø � ��ø ù 4 ø ���!ö �'� � � < � !�ø ��!>÷ ���#��� ö �Nø � � ù � ÷ �*÷ ��ø ÷,ø�< ø ù ��ö ��ï�ð�� ��!�� ù � ÷ � !"� �7ö���ù �3!�� �'� ��!�� � ÷ö ��ï�ñ & �,� � � � ����!Nø ÷ ø�ø � ��9�i2j�%N2� ÷*ú!û ü�ñ \ þ ÿ��'�>ú!û ü�ð ð ý ü�ñ \ þ ÿ=k@ú7û ü�ð ñ ý ü�ñ \ þ ÿ &�l � ò 0 ó�%�õ��� � &�ú7û ü�ñ \ þ ÿ,� ��÷ ���"� � � 5� �� � � �;ö �� ø � � � 4 � ÷ ����ö ÷ �;ï>ð�ø ��!;ï>ñ*ö � � � � < � !'%;õ����>÷ ö ÷ ø ù��� �#�'� ��ö ��� ö ����ù � ÷ �"� ø � � ��� ��÷ ��� �;ú�ÿ �ú7û ü�ñ ð þ ÿ2k%ú7û ü�ñ ñ þ ÿ %m�� �+ö ÷ �����)n�û o�ð 0 oñ þ,ø,p=� ÷ ø3!�� � ÷ � � � �÷ � ö��>q ò r %�]� �� ��ö � ��÷ ��ø ÷ & ��� < � �"-)U &'X ñ#sYû X ñ ð 0 X ñ ñ þ=t

n�û ó�0 ó þ*ø ��!uX ð"s û X ð ð 0 X ð ñ þ,tvn�û ó�0 ó+þ &!ø ��!%÷ ��� ��ø � �)� ��!�� �'� ��!�� � ÷ %uw�� < � �O-#ð & 4 �9ø � � ���÷ �Nø ÷�X \ ð�s û X \ ð ð 0 X \ ð ñ þ#t_n�û ò 0 ò þ &�ø ��!#÷ ��� �;ø � �3� � !�� �'� � !�� � ÷ %�õ��� �� &ø"� � � ö � � &�÷ ���3��ø � � � �Nø ù��� ö �Nø � � ù � ÷ � � �ö ��ü�ñ \ &+ü�ð x�ø � !�ü�ð x�ý ü�ñ \ø � ��ø ù ù ��� � ö � �Yø � !>ø � ����ø � � !�ö��>ø�÷ ö ÷ ø ù � � � ö �=� � � � � � � ö �

y

Page 6: Model Selection and Model Averaging with Missing Data

z3{ | } ~'��} ~ } � � � { �,� ��|�z3{ | } ~ ��� } � � � � � ���'� � �,z�� � � � � ���=� � �

���#������� ��� ����� � � ����� � � ���"� � � �#� ���������F� ��� � ��� � �   ¡ ��¢ � ��£ � ���'��� � ����¤�¥ ¦>§ ¨ ©2ª «8¬ � ­8� ��� ®e� ��� �� �����,� � � � � � ¡2¡ � ¯ � ¡ � ��������¤�¥ ©'° ¨ ¦>§ ª=£ � �" '��£ � ���'��� � �3� ±�� £ � ¡ ²)� � �"� � ³

¤�¥ ©'° ¨ ¦>§ ª8´¶µ·¸ ¹ §º=¥ ��ª º=¥ »�¼O½=¥ ©

µ ¸ª ª

º�¥ ¾"¼O½�ª º=¥ » ª µ·¿ ¹ §º�¥ »�ª º�¥ À�¼�½�¥ ©2§ ¿ ¨ © µ ¸

ª Á ªº�¥ »�¼�½�¥ ©

µ ¸ª Á ª º=¥ À ªÃÂ

� � �u� � ��£ �"Ä�¥ ©'°  ¦>§ ª,´ÅÀ"�,� � � � ���)� � � � � � �,� � �)� � ���'¡ ²�� � ��� � � �2�uÆ=� � � � ��� �,��� ®Ç� ���)������� ¡=� ¢� ����� �'� ����� ��£ � �2È ¢'®=�#� ¡ � ��� � � ������� ��� �=� ���������K� �=� � ��� � �   ¡ ��¢ � ��£ � ���'��� � ����¤�¥ ¦)É ¨ ©2ª « � ��� �,®=�£ � �)� ��� ®;� � � �

¤�¥ ©'° ¨ ¦)° ª8ʶµ·¸ ¹ §º=¥ ��ª º=¥ »�¼O½=¥ ©

µ ¸ª ª

º�¥ �#¼O½�ª º=¥ » ª µ·¿ ¹ §º�¥ ��ª º�¥ »#¼�½�¥ © § ¿ ª Á ªº�¥ �#¼O½2Á ª º=¥ » ªÌË

Í������ « � ����� � � � ����� � � ��� � � �8� �������2�Î� �2� � � � ¡ ¡ ²�� � ��� � �   ¡ ��� ���'¡ � � �'� ��� �8�,� � � � ������� � �#� � ��� � ���'¡ ²� � ��� � � �"� ���"� ����� � £ � ���'¡ � � ��� � ���'¡ �#� �"Ï3§�� ��� � � � � � �)� ��� ¢�� ��®=� � ��� � ��� � � � � � � � � Ð � �Ñ�� ®�� Ð � � « � ¢2®=�#������� ��£ � � � � ��� ��� ���#� � ���'¡ � ����Ð � � � �  '� ¡ � � ² « � ����� ±��'� £ � � �3¢ � � Ò���� � £ ²�� ¢�£ � � � �

� � ��� Ð � �u��� ��� ��� ���"���2�Ç£ � � � � ��� � � �O� � �3Ó ¸ ½�¥ © § ¿ ¨ © µ ¸ª «�®���� � �,½�¥ © § ¿ ¨ © µ ¸

ª�� � �3� ���"£ � � � � ��� ¢� ����£ ����� ¡ � � �O� � ���'¡ � �_Í����>� � ¡ � � � ����� � � �Π'� � ®�� � �K� ���O£ � ���'¡ � � �O£ ����� � �"� ���K� ����� ��� �;Í�� Ô  ¡ �"À,� ��� ��� � � ¢ � � �,½=¥ ©2§ ¿ ¨ © µ ¸

ª�´F½�¥ ©2§ ¿ ¨ © µ ¸ª Á8¼uÓ ¸ ½�¥ ©2§ ¿ ¨ © µ ¸

ª �,Í����3�,� � ��� ��� ¡�£ ����� � �#�  '� � � Ð � �� ��Ï"§�� � �"� �>� ���3� � ¡ � � � � � � ��� ��½=¥ © § ¿ ª�´Õ½�¥ © § ¿ ª Á=¼ÎÓ=§ ½�¥ © § ¿ ¨ © µ

§ ª8¼ÎÓµ½=¥ © § ¿ ¨ © µ µ

ª �)Í����,��� � Ô�'� � � � � � ��� �O� � £ �u£ � � ��� � � � � � ¡���� � � � �   ��� � ����� � �)�,� � � � � � ��� �'«=� � ��£ �3½�¥ ©2§ § ¨ ©

µ ¸ª Á Ö ½=¥ ©2§

µ¨ ©µ ¸ª Á,´

½=¥ ©2§ § ¨ ©µ ¸ª Ö ½=¥ ©2§

µ¨ ©µ ¸ª#� � �O��� � £ �,� ���"� � £ � ���'¡ � � �3� � ��� ¡ � �#®�� � ��� �>�'� � � � ��£ ����× � ��� � � � � � ��� � �

� � ��� � � � � � � � � Ð � ��Ñ�� ®=� Ð � � «�� �����,� � ��� ��� ¡ ¢ � � Ò���� ��£ � � ��� ¢8Ï3§�� � �����3¡ ����� � ��� �3� ����� � ����� � � ��� ��� ¡��� � �'� � � � � �2«�� � ��£ � ³

½=¥ ©2§ § ª Á½=¥ ©2§

µª Á ´

¥ À�Ø�Ó=§ ª ½=¥ ©2§ § ¨ ©µ§ ª2¼K¥ À�Ø>Ó

µª ½=¥ ©2§ § ¨ ©

µ µª

¥ À�Ø�Ó=§ ª ½=¥ ©2§µ¨ ©µ§ ª2¼K¥ À�Ø>Ó

µª ½=¥ ©2§

µ¨ ©µ µª ´½=¥ ©2§ § ª½=¥ ©2§

µª

� ¢�� ���u� � ¡ ²u� ¢�� � � ��� �,Ó�§)´vÓµ«=� �,½�¥ ©2§ § ¨ ©

µ§ ª ½�¥ ©2§

µ¨ ©µ µª,´Ù¥ ©2§ § ¨ ©

µ µª ½�¥ ©2§

µ¨ ©µ§ ª �KÍ������ «=� ���

�,� � ��� ��� ¡2£ � � � � ��� �"Ï"§#� � ����� �#��� � � � � � � � � � � � Ð ��� � ���'¡ � « � ���"� ��¢ � � £ � ���,� � � � ¡�� � ��� � �   � ¡ � � ²3� ¢� ���3�����Õ®�� ¡ ¡8� � Ð �3� ���"£ ����� � Ò���� ��£ �3� ¢�� � � � ����� £ � ���"  � � ��� �>� ���"������� ¡=� � ¡ � £ � � � ��� � ��£ � � ��� �� ��� ®��)� �3� ������� ±���� � ����¡ � � � ���3� � ����² �

Ú8Û,ÜÞÝ8ß àuá=â ã ä ß å2æFÝ�ä á=ç8èé�� � �3� �"Í��  '¡ ��»,� ����� � � �����Ç� � ���'¡ ��� � ��� � � � � �)¢ � � �_� ����������� ¡'� � � ��� � � ����� ���,��� �'� ����� ��£ � '� � ®=� � �OÏ"§,� � ��Ï

µ� ���)¤�¥ Ï3§3´ÅÀ ¨ Ï

µ´êÀ ª�´vë Ë ì í � � �)¤�¥ Ï"§3´êÀ�¨ Ï µ

´v» ª�´Çë Ë ì ë���î>�� � � � ���3� ��� �#¤�¥ ¦)É ª,´Õ¤�¥ ¦>§ ª «=� � � � � ��� �3®�� � �O� ���"� � � � ��� � � � � ï � � � � � ����� � £ � �  '� �O�  '� Ð � «=®�� � �¾u´e���#È �#� ��� � � � ¡ ²)� ��� ®��)� � � �#� ���,ð�� ² � �#¢ � £ � � ��� �=¤�¥ ©8¨ ¦>§ ª Ö ¤�¥ ©8¨ ¦)É ª�´Fñ Ë � ì � �"� � � � «2������� ¡¦>§�®=����¡ �3 '��� � ¡ � £ � � �"¢ � ���_� ����£ ����� ¡ � � ��� � ��� ¡ � �ò ��� �'� � �>��� ®v� ��� �"� �����>� ¢�� ���>��£ £ ��� � � ��£ �>� ¢�Ï"§"� � ����� ¡ � � � �ή�� � �u� ����� � ���>� � ��£ � � �

��� � £ � �  '� �)� �"� ����� � � Ð�� � � ��� � £ � � ���'��î���£ ������� ��Ó�§�´eë Ë ó � � �"Ó µ´;ë Ë À «'� �3� � � ��� ����� ±��'� £ � � �

ô

Page 7: Model Selection and Model Averaging with Missing Data

õ3ö ÷ ø ù'ú�ø ù ø û ü ý ö þ,ÿ þ�÷�õ3ö ÷ ø ù���� ø � ÿ � ý þ ���'ý ü �,õ�ý ý þ ��=ÿ ü ÿ

�� ��� ��� ��� � � �� � � ����� � � � ��� !��" � ��� � � � � #��$"%� � �

&('%)+* ,.-0/�12� � ��3 4 5�6�� � � 7 8�9 : ��5;��5��%8%7 ��� 9(� 3 3 �%< 4 � � 4 ��=?>@4 � A�B+C �� @DE� F �G��DE� H�DI %J ����� =�8B+C �� (DI��F ���@DK� HLDK �J � %M

=�6%5�N07 :�� 9L< � 3 7 3@� A�� �@>L��6%� 8�N07�: 7 5�� O 7 8P4 32� �M�Q =�� G: 7 R07 � 4 � 4 ��=%3(� 9S� A�4 3�8%7 � 7 � 4 ��=�R%: �%< 7 3 3 T4 =G>@A�4 < A�4 =�7 � < A�4 =�< � 5�R0� 7 � 723 � 5�R�� 7@� A�72R0� 3 � 7 : 4 � :(R%: � N�� N�4 � 4 � UG� 9+VP �� =�8GV?W�>(7 : 72< ��5�R�6%� 7 8� 3 3 6�5G4 =�X�A?� � � � �S4 X�=�� : � N04 � 4 � U�� 9L� A�7GY@Z�Y�T�4 =P� � [\� 9(< � 3 7 3@��=%� U?� A%7G< � : : 7 < ��5��%8%7 ��VP 2>(� 3< A%� 3 7 =�ML��A�6%3 T%��: � =�8���5E5��%8�7 �03 7 � 7 < � 4 ��=�< � =�N07@N07 � � 7 :�� A�� =�8���4 =�X�� A%7@7 ]%� < ��4 =%9 7 : 7 =%< 7 ^S��A%7>�: � =%X�=�6%5�N07 :L� 9+3 7 � 7 < � 4 ��=�4 3S>(7 � �%N07 � � >K>@A%� �L>L72>L��6%� 8G7 ]�R07 < �LN�U�< ��=%3 4 8%7 : 4 =�X�� A%723 � 5�R0� 4 =�XO � : 4 � N04 � 4 � U MSQ =�� �< � 5�R0� 7 � 7�3 � 5�R0� 7 3(X 7 =%7 : � � 7 8�9 : ��5E� A�7�5��%8�7 ��8%7 3 < : 4 N07 8�� N0� O 7 T�� A%7�_(� U 7 39 � < � � :�>(� 3GX : 7 � � 7 :�� A�� =I�?4 =K� �`[a� 9�< � 3 7 3 Mb��A�6%3 T(� A%7P� � : X 7?7 : : � :�: � � 7P6�=%8%7 :G� A�7cY@d�e� 3 3 6�5�R%� 4 � =�< � 6%R�� 7 8G>@4 � A�� A�724 X�=�� : � N04 � 4 � U�� 9�� A�72Y@Z+YK< � =GN0728%6%7�� ��� A%724 =%< � : : 7 < �(6%3 7@� 9�� A%73 � 5�R0� 7�4 =�9 � : 5G� � 4 � =�MQ =c� A�4 327 ]%� 5�R�� 7 TS� 3 3 6%5G4 =%X�� � � � �(4 X�=�� : � N04 � 4 � UcA%� 32� A�7�7 f07 < ��� 9@3 4 5�R0� UP4 X�=�� : 4 =�XP5G4 3 3 4 =�X

8%� � �%MgQ =K3 4 5G4 � � :�< � 3 7 3.h � i�3 6�X X 7 3 �?6�3 4 =�Xj5�6�� � 4 R0� 7P4 5�R�6%� � � 4 ��=`� 3�� A�7PR0� =�� < 7 �%MEk?6�� � 4 R0� 74 5�R�6%� � � 4 ��=�>L��6%� 8G< ��=%3 4 3 �L� 907 3 � 4 5G� � 4 =�X�� A%7�R0� 3 � 7 : 4 � :LR%: � N�� N�4 � 4 � U�� 907 � < A�5��%8%7 ��N�UG4 5�R06�� 4 =�X5G4 3 3 4 =�X�8%� � ��< ��=%8�4 � 4 ��=%� ��� =G� A�� �(5��%8%7 � M+��A%7(: 7 3 6�� � 3S� 90� A�7@3 4 5�6%� � � 4 ��=G3 � 6�8�U�: 7 R0� : � 7 8G4 =�� A%7l =�� �0R�� R07 :(>@4 � �03 A%� >m� A�� ��� A%4 3�3 � : � � 7 X U?4 3�=�� � A�4 =�XG5�� : 72� A%� =��Gn R0� � < 7 N0��n�M

o+p�q�r�sLt%u vLw x r�sLw��A�7�7 ]%� 5�R�� 7G8%7 3 < : 4 N07 8?3 A%� >b� A�7�N04 � 3@7 f07 < �2� 9L7 =�9 � : < 4 =�X�� � � � �S4 X�=�� : � N04 � 4 � U�� 9(� A%7GY@Z�Yb9 � :5��%8�7 �@3 7 � 7 < � 4 � =�MbQ 9�>L7c� 3 3 6%5�7P��=%� UjR0� : � 4 � �24 X =%� : � N�4 � 4 � U T(>(7c< � =m3 6�R�R0� 3 7?� A%� ��� A%7PY@Z+Y4 3�4 X�=�� : � N0� 7�9 � :G� =%7�R0� : � 4 < 6%� � :G5��%8�7 ��� =�8j=%� ��4 X =%� : � N�� 7�9 � :G� � A%7 :�5��%8%7 � 3�>@A�7 : 7�� A�7P=���=4 X =%� : � N�4 � 4 � UK4 3��j< � =�3 7 y�6�7 =�< 7c� 9G� 3 3 6�5G4 =�X.� A�7.Y@Z�Ya4 =�9 � : 5G� � 4 O 7P9 � :�� A�7.< � 5�R06�� � � 4 � =K� 9B+C z�{ F z0| } Vc} ~�H Mb��A�6�3 T�4 =j� A%7?7 ]%� 5�R�� 7 3�3 A%� >@=`4 =j� A%4 3GR�� R07 : T�5G4 3 3 4 =�X.8%� � �.>L��6%� 8`=%� ��N078%4 3 : 7 X�� : 8%7 8K4 =m< � 5�R06�� 4 =�Xj9 � :?4 =�3 � � =%< 7?B+C z�{ F z0| } V?W } ~�H M;��� >(7 O 7 : T��`< � =�3 7 y�6�7 =�< 7c� 9�� A%4 3� R�R%: ��� < AG>L��6%� 8�N07�� ��< ��5�R�� : 7�� A�7�R0��3 � 7 : 4 � :LR%: � N�� N�4 � 4 � 4 7 3�� 9+5��%8�7 � 3L< � =�8%4 � 4 � =�� ����=G8�4 f�7 : 7 = �3 � 5�R0� 7�3 4 � 7 3 M�h � i�A�� O 723 A�� >@=GA%� >`� ��� O 7 : < ��5�7@� A�4 3+R�: � N0� 7 5G3+9 � :(4 =�< � 5�R0� 7 � 7@3 � 5�R0� 7�4 =�>@A%4 < A� =�� U?� A�7G: 7 3 R0��=%3 7GO � : 4 � N0� 7G4 323 6%N%� 7 < �2� �?=%� =P: 7 3 R0��=%3 7 M��gX 7 =%7 : � �L3 ��� 6�� 4 � =c3 7 7 5G32� �?N07�� =� R07 =�R%: � N�� 7 5�M

Page 8: Model Selection and Model Averaging with Missing Data

��� � � �0��� � � � � � � �G� �%����� � � ����� � � � � � � ���0� � �G��� � � � � ���L� � �

�P�%� ��� �%�L�%���� �  �¡�¢ £.¢�¤L¥ ¦ §%¨ ¦ ©�ª�¨ §%©�«�¢ ¬L¢ £c¢�­�®G¯ ° ±0¢L²@³ ´ µ ¶ · ³ ¸`¹�º%µ » ¼ ´ ¢L½K¯ ¾ ¥ ¿ À�Á�¥ ÂmÃSª ¦ Ä0À�� Å Å Æ�¢� Ç  �È�¢ ¡�¢ «�¢�É+¯ ° ° ¾ ¥�¨ §%©�Ê�¢ ¤@¢�È�Ë%Ì�¯ §�¢0Í�Î ³ Î · ¶ Î · Ï ³ Ð�Ñ@¸0³ Ð ´ ¶ · ¶�ÒS· Î ºGÓP· ¶ ¶ · ¸�Ô�Õ�³ Î ³ ¢0½K¯ ¾ ¥ ¿ À�Á�¥ Â`ÃSª ¦ Ä0ÀÁ�Ã�À�� Å Ö�× ¢

� Ø  �Ê�¢ ¤@¢0È�Ë%Ì�¯ §�¢�Ù §�Ú ¥ ¦ ¥ §�Û ¥�¨ §�©�®G¯ Ü Ü ¯ §%Ý�©�¨ ° ¨�¢�²�· » ÞGµ Î ¼ · ß ³ À�à Ø�á â Ö%� ã�â Å Ç�ÀS� Å�× à%¢� Æ  �ä+¢L­ ¥ Ì0¨ Ü ° ¯ ¨ §�¯L¨ §�©.£c¢SÈ�¨ ®�ª §�¯ ¢?¤(¨ ¿ ¥ Ü ¯ ¨ §.¯ §%Ú ¥ ¦ ¥ §%Û ¥�Ú ¦ ª ®a©%¨ ° ¨PÜ Ë�Ì%å ¥ Û °�° ªP§%ª §c¦ ¥ Ü æ0ª�§%Ü ¥Ë�Ü ¯ §�Ý�Ì0ª Ë�§%©P¨ §%©cÛ ª�¾ ¾ ¨ æ0Ü ¥ ¢Gç�¥ Û ±�§%¯ Û ¨ ¾SÈ�¥ æ0ª ¦ °�è�£?¯ é ç�È�é Æ Ö%À+è2§%ª Â@¾ ¥ ©�Ý ¥G£?¥ ©%¯ ¨�Ù §%Ü ° ¯ ° Ë%° ¥ Àç�±%¥Gê@æ0¥ §?ë@§%¯ ì ¥ ¦ Ü ¯ ° ¿ À+� Å Å�× ¢�«�ì ¨ ¯ ¾ ¨ Ì0¾ ¥�¨ °2± ° ° æ+á í í Ä%®G¯ ¢ ª æ0¥ §�¢ ¨ Û ¢ Ë%Ä�í ° ¥ Û ±%¦ ¥ æ0ª ¦ ° Ü í è�£?¯ é ç�È�éÆ�Ö�¢

� â  �ä+¢%­�¥ Ì�¨ Ü ° ¯ ¨ §%¯�¨ §�©G£.¢�È�¨ ®�ª §�¯ ¢0£?ª%©�¥ ¾%Ú ª�¾ ©%¯ §%Ý@Ú ª ¦(©�¨ ° ¨�Ü Ë�Ì%å ¥ Û °L° ª�§%ª §%¦ ¥ Ü æ0ª §�Ü ¥ ¢0ç�¥ Û ±�§%¯ Û ¨ ¾È�¥ æ0ª ¦ °@è2£P¯ é ç�È(é à Æ%À�è�§�ª Â@¾ ¥ ©%Ý ¥�£�¥ ©�¯ ¨�Ù §%Ü ° ¯ ° Ë%° ¥ À�ç�±�¥�ê@æ0¥ §�ë@§%¯ ì ¥ ¦ Ü ¯ ° ¿ À0� Å Å Ö�¢

î


Recommended