Modèle spatio-temporel de l'activité cérébrale · Theorie de la synerg´ etique, Haken 1969´...

Modele spatio-temporel de l’activite cerebrale

Mouhamad Jradeh

Laboratoire MAPMO-FDPUniversite d’Orleans

Le colloque Sciences en Sologne, Juin-2008

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Modelisation de l’activite cerebralePrincipales motivations de la modelisationPrincipales difficultes de la modelisationModelisation

Resultat mathematiqueExistence et unicite d’une solutionSimulation numerique

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Principales motivations de la modelisation

Principales motivations

1. EEG, MEG, IRMf sont lestechniques les plus utilisees.

2. Localisation de la source del’activite.

3. Comprendre la dynamique ducerveau. Valider avec lesmesures et faire une etude destabilite (qu’est ce qu’un petitchangement entraıne?).

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Principales difficultes a l’echelle microscopique

Principales difficultes

1. Plus de 100 billions de neurones,

2. Plus de 10.000 connexions.

3. 100 connexions par cm3

4. Geometrie complexe.

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Theorie de la synergetique, Haken 1969

synergetique

I synergetique ou self-organisation, systeme compose deplusieurs individus qui peuvent interagir pour generer unmouvement sans interference exterieure.

I nous permet de passer de l’echelle microscopique al’echelle macroscopique (les mesures comme EEG, . . .sont macroscopiques).

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Geometrie unidimensionnelle du cerveau !!

Geometrie 1D

1. On peut ranger les populationsde neurones sur une ligne, avecconditions de type Newmann ouDirichlet.

2. Sur une ligne fermee avec desconditions periodiques.

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Geometrie unidimensionnelle du cerveau !!

Geometrie 1D

1. On peut ranger les populationsde neurones sur une ligne, avecconditions de type Newmann ouDirichlet.

2. Sur une ligne fermee avec desconditions periodiques.

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Justification 1D

I 50 % des connexions sont heterogenes (ne dependent pasde la distance entre deux neurones), et aleatoires.

I 50 % des connexions sont homogenes.I La geometrie 1D est pertinente 1D si la matrice de

connectivite homogene a la meme forme de la figure.

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Justification 1D




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Justification 1D




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Elements du modele

I ψi(t) est le potentiel de la membrane au temps t .I Ui(t) est le taux de decharge instantane, souvent

Ui(t) = S(ψi(t)) ou S(x) = 11+eαx − 1

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Modele discret

τddtψi = −ψi +

N∑j=1

ωijS((ψj + p)(t − δij)) i = 1 . . .N

I τ est l’echelle de temps intrinseque.I [ωij ] est la matrice de connexion.I [δij ] est le retard du a la transmission de l’information.I p est l’impulsion thalamique exterieure

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Modele continu

τ∂ψ

∂t(x , t) = −ψ(x , t) +

∫Γω(x , y)S

(ψ(y , t − |x − y |

c)

+ p(y , t − |x − y |c

))

dy

I c est la vitesse de propagation de l’ondeI ω(x , y) est la fonction de connectivite.I Γ est l’ensemble des neurones du cortex.

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Notre modele

I fonction de connectivite homogene :ω(x , y) = e

|x−y|σ , τ = 0.

I En utilisant la methode de Green on obtient:

ψtt + (ω20−c2∆)ψ+ 2ω0ψt = (ω2

0 +ω0∂

∂t)S(ψ(x , t) + p(x , t))

I On ajoute des conditions de type Cauchy-Dirichlet.

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Notre modele

I fonction de connectivite homogene :ω(x , y) = e

|x−y|σ , τ = 0.

I En utilisant la methode de Green on obtient:

ψtt + (ω20−c2∆)ψ+ 2ω0ψt = (ω2

0 +ω0∂

∂t)S(ψ(x , t) + p(x , t))

I On ajoute des conditions de type Cauchy-Dirichlet.

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Equation des ondes amorties

(S)

utt − α∆u = a(u,p)ut + b(u,p,pt ), dans [0,+∞)× Ω

u(0, ·) = u0, ut (0, ·) = u1u0 = 0 sur [0,+∞)× ∂Ω

Le probleme (S) est connue dans la literature sous le nomd’equation d’ondes amorties, equation de telegraphe ouequation de Maxwell-Cattaneo qui corrige le paradox duconduction thermique.

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Existence globale et comportement de la solution

TheoremeLe probleme (S) admet une unique solution u globale en tempsqui verfie

u ∈ H2([0,T ),L2(Ω)) ∩ H1([0,T ),H10 (Ω))

‖ut (t)−vt (t)‖2 +‖u(t)−v(t)‖21 ≤ M(T )(‖u1−v1‖2 +‖u0−v0‖21)

et dans la solution tend vers zero a l’infini.

M.Jradeh, M.Bergounioux, to appear 2008.On the damped wave equation derived from brainmodelling.Jradeh, Bergounioux, Hal-CNRS.

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schema numerique

Pour calculer la solution explicite on a utilise le schema centresuivant:

un+1i − 2un

i + un−1i

(∆t)2 +aun+1

i − un−1i

2∆t= α

uni+1 − 2un

i + uni−1

(∆x)2 −λuni

I uni est la valeur approchee de l’activite au temps n∆t

T eti∆x

L .I ∆t est la discretisation en temps.I ∆x est la discretisation en espace.I condition C.F.L: ∆t

∆x < 1.

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Simulation

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Perspective et discussion

Les modeles homogenes donnent une idee approfondie de ladynamique cerebrale lors de :

I La recherche des caracteristiques globales de l’activite(proprietes dispersives du cortex,..).

I une situation de symetrie importante (activation localiseedans une seule region,...).

I Notre dernier resultat theorique doit etre valide par destests (epilespsie,..).

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Perspective et discussion

Les modeles homogenes donnent une idee approfondie de ladynamique cerebrale lors de :

I La recherche des caracteristiques globales de l’activite(proprietes dispersives du cortex,..).

I une situation de symetrie importante (activation localiseedans une seule region,...).

I Notre dernier resultat theorique doit etre valide par destests (epilespsie,..).

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Date post:	14-Sep-2018
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