Modelo ondulatorio vs cuantico de la luz

F. Alberto Cardona-MacielCentro Universitario de Ciencias Exactas e Ingenierıas

Universidad de Guadalajara

23 de mayo de 2010

Resumen

De acuerdo con la teorıa de los fotones de la luz, la en-ergıa cinetica maxima, de los fotoelectrones solo depende dela frecuencia de la luz incidente, y es independiente de la in-tensidad. Ası cuanto mayor sea la frecuencia de la luz, mayores su energıa. Por el contrario, el modelo de onda clasica dela luz predijo que la energıa maxima dependera de la inten-sidad luminosa. En otras palabras, mientras mas brillantesea la luz, mayor es su energıa. Con este experimento inves-tigamos la veracidad de estas afirmaciones; consta de dospartes, en la primera seleccionamos dos lıneas espectrales demercurio y con ellas investigamos la energıa maxima de losfotonelectrones en funcion de la intensidad; por otro lado, enla parte segunda, seleccionamos las diferentes lıneas espec-trales y calculamos la energıa maxima de los fotoelectronesen funsion de la frecuencia de la luz y con ellos contrastamoslos resultados de ambas partes.

1. Marco teorico

¿Que son los modelos cuantico y ondulatorio de la luz?La luz es una radiacion electromagnetica visible para nue-stros ojos. Esta radiacion la podemos describir bienconsiderando un modelo corpuscular, o bien considerandoun modelo ondulatorio. En el primer caso podemos con-siderar que la luz esta compuesta por pequenas partıculasdenominadas fotones, cuya masa en reposo es nula y querepresentan unidades o cuantos de energıa. En el segundocaso, la luz al igual que cualquier otra onda, puede sercaracterizada en terminos de su longitud de onda (distanciasucesiva entre dos ondas), frecuencia (numero de ondas porespacio de tiempo) y amplitud (diferencia entre los picosmaximos y mınimos).

El modelo corpuscular estudia la luz como si se tratasede un torrente de partıculas sin carga y sin masa llamadasfotones, capaces de portar todas las formas de radiacion elec-tromagnetica. Esta interpretacion resurgio debido a que, laluz, en sus interacciones con la materia, intercambia energıasolo en cantidades discretas (multiplas de un valor mınimo)

Figura 1: Onda electromagnetica como modelo ondulatoriode la luz y experimento de la doble rendija de Young queexplica el comportamiento ondulatorio de la luz ya que elmismo demuestra patrones de interferencia propia de losfenomenos de ondas.

de energıa denominadas cuantos. Este hecho es difıcil decombinar con la idea de que la energıa de la luz se emita enforma de ondas, pero es facilmente visualizado en terminosde corpusculos de luz o fotones.

1.1. Antecedentes historicos

La naturaleza y propiedades de la luz han sido tema degran interes y meditacion desde tiempos antiguos. Los grie-gos creyeron que la luz estaba compuesta por partıculasdiminutas que eran emitidas por fuentes luminosas, y que es-tas partıculas estimulaban la percepcion de la vision cuandoincidıan sobre el ojo del observador. Newton uso esta teorıacorpuscular para explicar la reflexion y refraccon de la luz.En 1678 uno de los conteporaneos de Newton, el cientıfi-co holandes Christian Huygens, pudo explicar muchas otraspropiedades de la luz al proponer que la luz es una onda.En 1801 Thomas Young mostro que los haces de luz puedeninterferir unos contra otros lo cual dio un fuerte soporte ala teorıa ondulatoria. En 1865, Maxwell desarrollo una bril-lante teorıa consistente en que las ondas electromagneticasviajan a la rapides de la luz. En ese entonces la teorıa on-dulatoria de la luz parecıa estar firmemente establecida.Sin embargo, a principios del siglo XX, Max Planck re-tomo la teorıa corpuscular de la luz para explicar la ra-

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Figura 2: Modelo corpuscular de la luz. a) Espectro contınuoemitido por el filamento incandescente de una bombilla. b)Espectro de lıneas emitido por una lapara de vapor de mer-curio.

diacion emitida por objetos calientes. Einstein despuesuso la teorıa corpuscular para explicar como un metal emiteelectrones cuando se expone a la luz. Hoy dıa los cientıficoscomprenden que la luz tiene naturaleza dual, esto es, la luzexhibe caracterısticas de onda en algunas situaciones y departıcula en otras.

Como se ilustra en la figura 2 y de experimentos ante-riores realizados en nuestro laboratorio, podemos usar unprisma o una rejilla de difraccion para separar las diversaslongitudes de onda en un haz de luz y formar un espectro.Si la fuente de luz es un solido (como el filamento de unabombilla) o un lıquido caliente, el espectro es contınuo; hayluz de todas las longitudes de onda, figura 2a. Sin embargo,si la fuente es un gas que porta una descarga electrica (comoen un anuncio de neon) o una sal volatil calentada en unallama (como cuando la sal de mesa es arrojada a una foga-ta), solo aparecen unos cuantos colores en forma de lıneasaisladas bien definidas, figura 2b. Cada lınea es una imagende la ranura espectrografica desviada segun un angulo quedepende de la longitud de onda de la luz que forma esa ima-gen. Un espectro de este tipo de llamado espectro de lıneas.Cada elemento quımico tiene un unico y propio espectro delıneas. Se pensaba que el espectro caracterıstico de un ato-mo estaba relacionado con su estructura interna, pero losintentos por entender esta relacion solamente con base en lamecanica y electrodinamica clasicas no tubieron exito.

Efecto fotoelectricoEl efecto fotoelectrico se presenta bajo la emision de elec-trones cuando la luz incide sobre una superficie. Los elec-trones liberados absorben energıa de la radiacion incidentey entonces son capaces de vencer la atraccion de las cargaspositivas. La cantidad mınima de energıa que un electronindividual para escapar de una superficie particular se lla-

ma funcion de trabajo y se denota con φ. Despues del de-scubrimiento del electron en 1897, resulto claro que la luzocaciona que el catodo emita electrones. Devido a su car-ga negativa -e, los fotoelectrones emitidos son empujadoshacia el anodo por el campo eleectrico. Poco despues, se ob-serbo que cuando incide luz monocromatica sobre el catodono se emiten fotoelectrones a menos que la frecuencia dela luz sea mayor que un mınimo llamado frecuencia umbraldependiente del material del catodo.

Figura 3: Efecto fotoelectrico. Energıas mınimas para queel electron se desprenda del metal.

Podemos determinar la energia cinetica maxima de loselectrones emitidos haciendo el potencial del anodo rela-tivo al del catodo. Entonces el desplazamiento del elec-tro esta en funcion de su direccion anodo-catodo y delpotencial de frenado V0. De esta manera

Kmax =1

2mv2max = eV0

que es la energıa maxima de los fotoelectrones. Para unmetal, φ es la energıa mınima necesaria para desprender unelectron de la superficie. Einstein aplico entonces el principiode conservacion de la energıa para encontrar que la energıacinetica maxima Kmax = 1

2mv2max para un electro emiti-

do es la energıa hf ganada del foton menos la funcion detrabajo,

Kmax =1

2mv2max = hf − φ.

eV0 = hf − φ.

Podemos utilizar algunas relaciones importantes, tales comola cantidad de movimiento de un foton

p =E

c=hf

c=h

λ

y de este modo obtener

f =c

λ,

tambien 1 eV = 1,602 × 10−19J y h = 6,626 × 10−34Js =4,136 × 10−15eV s.

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1.2. Datos esperados

Leıdo previamente el manual y bajo los antecedenteshistoricos, nos damos cuenta de que

1. un foton en cualquier radiacion electromagnetica confrecuencia f y longitud de onda λ debe tener una en-ergıa E bajo la relacion E = hc

λ ,

2. toda partıcula tiene emitida bajo este esfecto debe tenercantidad de movimiento,

3. el potencial de frenado que esta en funcion lineal conla frecuencia.

2. Bitacora de laboratorio

El experimento se realizo dos veces para comprobar laveracidad de los datos durando 105 minutos. Todos los par-ticipantes del equipo estubieron para participar y aportarlas ideas que enrriquecieron y aceleraron el experimento.El experimento consta de dos partes, en la primera com-paramos el modelo ondulatorio con el modelo cuantico dela luz y en el segundo analizamos la relacion entre energıa,longitud de onda y frecuencia.

2.1. Material

Aparato h/e modelo AP-9368 by PASCO.

Accesorios del aparato h/e modelo AP-9369 by PASCOcon baterias.

Fuente de luz de vapor de mercurio modelo OS-9286.

Voltımetro digital.

Cronometro.

2.2. Instalacion y Procedimiento

1. Checamos las baterias del aparato h/e colocandolas ensu compatimento y con el voltımetro, en el rango ade-cuado, que tengan mınimo ±6 V.

2. Montamos el material del experimento como se muestraen la figura 5.

3. Colocamos la laminita bloqueadora de luz en la partetrasera de la fuente de luz.

4. Ensamblamos el lente en su base ası como la rejilla ycolocamos el ensamble en la fuente de luz en su respec-tivo carril. Figura 6.

5. Checamos la alineacion de la fuente de luz y la aperturamirando el rayo saliente de la apertura detras del lente.Si es necesario, lo ajustamos.

Figura 4: Equipo by PASCO, modelo AP-9368, AP-9369 yfuente de luz de vapor de mercurio OS-9286.

6. Unimos el aparato h/e con la fuente de luz usando labarra de acople colocandola en la parte inferior de lafuente. Figura 5.

7. Retiramos el tornillo de la final de la base de varillade apoyo para ensamblar el aparato h/e insertando eltornillo a traves del agujero en el soporte.

8. Conectamos el voltımetro en las terminales de salidadel aparato h/e. Seleccionamos el rango de 2 V o 20 V.

9. Alineamos el aparato h/e y la salida de luz de la fuente.

10. Utilizamos el tornillo de la varilla de ensamble paraajustar y no mover en caso de que sea necesario elaparato h/e.

11. Con el tornillo de la barilla flojo, y la luz encendida,esperamos 10 minutos al menos para que tome su in-

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Figura 5: Esquema de montaje del experimento.

tensidad maxima, giramos la parte del aparato h/e paraencontrar las lıneas espectrales como se muestran en lafigura 7.

12.

Figura 6: Detalles de la instalacion del lente y la regilla, delajuste de la apertura de luz y del protector de luz para elaparato h/e.

2.2.1. Modelo ondulatorio vs modelo cuantico de la luz

Los pasos del 1 al 11 son generales para ambos experi-mentos. Acontinuacion nos disponemos a realizar esta partedel experimento.

1. Ensendida la lampara y con la lente y regilla colocados,la entrada del aparato h/e bloqueada, seleccionamos uncolor y fijamos el tornillo para que las medidas seanconstantes. La lınea de color seleccionado debe pasardirecto a la entrada del aparato h/e.

Figura 7: Lıneas espectrales del mercurio.

2. Colocamos el filtro graduado de 100 % a 20 % en laentrada del aparato h/e. La lınea de color debe incidirdirectamente en la lınea del filtro y a la entrada delaparato h/e.

3. Identifcamos el reseteador del aparato h/e.

4. Con cronometro en mano, un dedo puesto en el re-seteador del aparato h/e y el filtro a 100 %, comen-zamos las mediciones quitando el bloquedor para que laluz entre al aparato h/e. Esperamos a que el multımetronos de una lectura estable y apretamos el reseteador almismo tiempo que el cronometro al mismo tiempo y es-peramos a que el voltımetro llegue a esa mista lecturaestable y marcamos el tiempo. Estos datos de potencialde franado y tiempo de carga aproximado seran vacia-dos en la tabla de la pagina 8 del manual de PASCO.

5. Antes cada medida del filtro, bloqueamos la entrada delaparato h/e y una ves listos, quitamos el bloqueador, es-peramos una lectura estable y apretamos el reseteadoral mismo tiempo que el cronometro. Vaceamos los datosen dicha tabla.

6. Seleccionamos otro color y procedemos a lo mismo parallenar la parte intefior de la tabla de la pagina 8.

7. Podemos apreciar almenos cuatro colores del espectrode luz del mercurio. Aflojamos el tornillo para ajustarel aparato el aparato h/e y encontrar los potenciales defrenado de los colores amarillo, verde, azul y violeta,para llenar la tabla de la pagina 9.

2.2.2. Relacion entre energıa, longitud de onda y fre-cuencia

El montaje de esta parte del experimento es el mismo queen la parte anterior.

1. Tomamos el montaje similar a la parte anterior delexperimento e identificamos los cinco colores en dosordenes del espectro de luz del mercurio. Ajustamos el

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Cuadro 1: Colores verde y amarillo.% Vf (V) taprox

100 0.80 32.53 s80 0.80 42.2860 0.79 50.25 s40 0.77 1’15.84 s20 0.74 1’31.65 s

Vf (V) taprox

0.70 24.15 s0.70 71.03 s0.70 1’17.59 s0.68 1’43 s0.64 1’56.75 s

aparato h/e cuidadosamente tal que solo un color delprimer orden (el orden mas luminoso) cae en la aper-tura de la mascara de la entrada del aparato h/e.

2. Para cada color en el primer orden, medimos el poten-cial de frenado con el voltımetro registramos las medi-das en la tabla de la pagina 12 del manual de PASCO.

3. Movemos el aparato h/e a la lınea de segundo orden yrepetimos el proceso registrando el potencial de frenadoen la misma tabla.

2.3. Recoleccion e interpretacion de datos ob-servados

En el segundo intento de nuestro experimento, logramosobtener los datos confiables y precisos, con concejos del pro-fesor y de los integrantes del equipo de trabajo.

2.3.1. Modelo ondulatorio vs modelo cuantico de la luz

Previamente instalado el experimento siguiendo las indi-caciones, encendemos la lampara y espramos diez minutospara que tome su mayor intensidad. Con la rejilla de difrac-cion y la lente, seleccionamos dos colores: el verde y amarillo.Como lo indica en el procedimiento, vaciamos los datos enel cuadro 1.

Sabemos que los colores verde y amarillo tienen longitudesde onda de 550 nm y 580 nm, ası como frecuencias dadas porf = c

λ de 5,45 × 1014Hz y 5,17 × 1014Hz respectivamente.Como ya hemos mensionado, la energıa de un foton emitidoesta en funcion lineal de su frecuencia, ası diremos que elcolor verde es mas energetico que el amarillo. Observamosque el efecto del filtro sobre el paso del color hacia el sensorrequiere menos tiempo para llegar al potencial de frenado enel color verde que el amarillo ya que la diferencia inicial enambos potenciales es de 0.6 mV y no ası para sus tiempos,de casi un minuto para el verde y mas de minuto y mediopara el amarillo. La energıa maxima de los fotoelectronesesta dada por la ecuacion ya obtenida

Kmax = eV0

ası en cada porcentaje del filtro tenemos una energıa de losfotoelectrones, recolectados en el cuadro 2.

Cuadro 2: Enegrıas maximas de los fotoelectrones. Unidadesen ×10−4eV.

% Verde Amarillo

100 7.99 6.9980 7.99 6.9960 7.89 6.9940 7.69 6.7920 7.39 6.39

Cuadro 3: Potencial de franado de cada color.color Potencial de frenado

amarillo 0.72 Vverde 0.80 Vazul 1.51 Vvioleta 1.80 Vultravioleta —

Cada color tiene su propio potencial de frenado. Al re-alizar las mediciones, observamos que violeta es tiene unpotencial de frenado mayor que el color amarillo, esto es,la frecuencia los fotoelectrones emitidos por la lampara degas de mercurio es mayor para la luz violeta que para laluz amarilla y por tanto tiene mayor energıa. Los datos semuestran en el cuadro 3.

2.3.2. Relacion entre energıa, longitud de onda y fre-cuencia

Deacuerdo con el modelo cuantico de la luz, la energıa dela luz es directamente proporcional a su frecuencia. Ası, lasfrecuencias altas corresponden a energıas altas. Con base enello, podemos determinar la contante de Planck h.Una vez montado el experimento como se indica en la partedel procedimiento, determinamos los potenciales de frenadoy determinamos la frecuencia y longitud de onda de cadalinea espectral del cuadro 4.

Cuadro 4: Potencial de frenado para colores de primer ysegundo ordenes.

color λ (nm) f (×1014 HZ) Pfre (V)

Amarillo 580 5.17 0.72Verde 535 5.61 0.80Azul 475 6.32 1.52Violeta 405 7.41 1.80

Amarillo 580 5.17 0.61Verde 535 5.61 0.68Azul 475 6.32 1.12Violeta 405 7.41 1.32

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Figura 8: Graficas para el potencial de frenado, eje vertical(V) vs frecuencia, eje horizontal (×1014Hz) para las lıneasespectrales de primer orden y de segundo orden respectiva-mente.

Con las graficas de la figura 8 estan dadas por la ecuacionV0 = h

e f − φe , donde la pendiente es h

e y el corte con la

vertical es φe . Las graficas arrojan un corte en el eje vertical

en -1.0 V, de modo que

−φe

= −1,0V

ası, la funcion de trabajo es

φ = 1,0eV = 1 × 10−19J.

Podemos calcular tambien la penciente

h

e=

3,0V − (−1,0V )

1,00 × 1015s−1 − 0= 4,0 × 10−15 Js

C

de modo que

h =

(4,0 × 10−15 Js

C

)(1,60 × 10−19C

)h = 6,4 × 10−34Js.

Este es el valor de la constante de Planck.

2.4. Contraste con los datos esperados

Este es un bello experimento donde comparando las ideasprevias con los datos obtenidos, tenemos que

1. En el espectro de lineas de la lampara de mercurio, cadacolor, asociado a una longitu de onda y frecuencia, pre-senta mayor nivel de energıa, tal como lo esperabamos,bajo el modelo ondulatorio de la luz.

2. Las graficas de la figura 8, muestran la relacion entre elpotencial de frenado y la recuencia, donde apreciamosmas o menos una lınea recta, tal como esperabamos.

3. La ecuacion que describe al efecto fortoelectrico dadapor Einstein nos lleva a establecer una relacion entrela parte corpuscular de la luz y con ello comprenderestablecer la relacion entre la cantidad de movimientodel fotoeleectron y la longitud de onda.

3. Conclusiones

Yo creo que es irelevante preguntar si la luz es una ondao una partıcula. Su caracter dual nos lleva a comprender unmecanismo extraordinario de la naturaleza. La luz, que secompone de todos los colores y es descompuesta por mediode una sencilla rejilla de difraccion, que son lıneas gravadassobre una placa de cristal, ayudan a separar los coloren de lafuente de luz. En este caso, tubimos una lamapara de gas demercurio, de la cual pudimos obsevar sus lıneas espectrales

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y darnos cuenta con un sensor fotoelectrico de la energıaque tienen los electrones. Tal energıa puede ser utilizadapara comprender como un electron, del gas de mercurio paraeste caso, puede ser cambiado de un nivel energetico mayora uno menor perdiendo energıa en forma tal que sale comoun foton y tal foton con sus frecuencia y longitud de ondacaracterısticos son detectados por el sensor que covierte esainformacion en algo leıble, en este caso voltage. Gracias aesta explicacion, Einstein recibio el premio Nobel.Hoy en dıa, nos toca experimentar con lo que Einstein algu-na vez penso. El implemento de nuevas tecnologıas ayuda acomprobar muchas teorıas, ası que lo importante es no dejarde preguntar!

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