MATRIX LABORATORY

MAULANA DEDY FAUZI

122406116

KOM C’1 12

D3 TEKNIK INFORMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

2014

KATA PENGANTAR

Syukur alhamdulillah, merupakan satu kata yang sangat pantas penulis ucakan kepada

Allah STW, yang karena bimbingannyalah maka penulis bisa menyelesaikan sebuah karya

tulis sosiologi berjudul “ MATLAB “.

Makalah ini dibuat dengan berbagai observasi dalam jangka waktu tertentu sehingga

menghasilkan karya yang bisa dipertanggungjawabkan hasilnya. Saya mengucapkan

terimakasih kepada pihak terkait yang telah membantu saya dalam menghadapi berbagai

tantangan dalam penyusunan makalah ini.

Saya menyadari bahwa masih sangat banyak kekurangan yang mendasar pada

makalah ini. Oleh karna itu saya mengundang pembaca untuk memberikan kritik dan saran

yang bersifat membangun untuk kemajuan ilmu pengetahuan ini.

Terima kasih, dan semoga makalah ini bisa memberikan sumbangsih positif bagi kita

semua.

Medan, 10 April 2013

Maulana Dedy Fauzi

MODULE 1

1. Dasar dan Perkembangan Matlab

1.1 Pengertian Matlab

MATLAB adalah sebuah bahasa dengan kemampuan tinggi untuk komputasiteknis. Ia

menggabungkan komputasi, visualisasi, dan pemrograman dalam satu kesatuan yang mudah

digunakan di mana masalah dan penyelesaiannya diekspresikan dalam notasi matematik yang

sudah dikenal. Pemakaian MATLAB meliputi :

1. Matematika dan komputasi

2. Pengembangan algoritma

3. Akuisisi data

4. Pemodelan, simulasi dan prototype

5. Grafik saintifik dan engineering

6. Perluasan pemakaian, seperti graphical user interface (GUI).

MATLAB adalah system interaktif yang mempunyai basis data array yang tidak

membutuhkan dimensi. Ini memungkinkan kita dapat menyelesaikan banyak masalah

komputasi teknis, khususnya yang berkaitan dengan formulasi matrik dan vector. Nama

MATLAB merupakan singakatn dari matrix labolatory.

MATLAB awalnya dibuat untuk memudahkan dalam mengakses software matriks yang telah

dikembangkan oleh LINPACK dan EISPACK. Dalam perkembangannya, MATLAB mampu

mengintegrasikan beberapa software matriks sebelumnya dalam satu software untuk

komputasi matriks. Tidak hanya itu, MATLAB juga mampu melakukan komputasi simbolik

yang biasa dilakukan oleh MAPLE. Sistem MATLAB terdiri atas lima bagian utama :

Development Environment. Ini adalah kumpulan semua alat-alat dan fasiltas untuk

membantu kita dalam menggunakan fungsi dan file MATLAB. Bagian ini memuat

desktop, Command window, command history, editor and debugger, dan browser

untuk melihat help, workspace, files.

The MATLAB Mathematical Function Library. Bagian ini adalah koleksi semua

algoritma komputasi, mulai dari fungsi sederhana seperti sum, sine, cosine sampai

fungsi lebih rumit seperti, invers matriks, nilai eigen, fungsi Bessel dan fast Fourier

transform.

The MATLAB language. Ini adalah bahasa matriks/array level tinggi dengan control

flow, fungsi, struktur data, input/output, dan fitur objek programming lainnya.

Graphics. MATLAB mempunyai fasilitas untuk menampilkan vector dan matriks

sebagai grafik. Fasilitas ini mencakup visualisasi data dua / tiga dimensi, pemrosesan

citra (image), animasi, dan grafik animasi.

The MATLAB Application Program Interface (API). Paket ini memungkinkan kita

menulis bahasa C dan Fortran yang berinteraksi dengan MATLAB. Ia memuat fasilitas

untuk pemanggilan kode-kode dari MATLAB (dynamic linking), yang disebut MATLAB

sebagai mesin penghitung, dan untuk membaca dan menulis MAT-files.

1.2 Dasar-Dasar Operasi Matlab

Perhatikan Dekstop pada layar monitor PC, anda mulai MATLAB dengan melakukan double-

clicking pada shortcut icon MATLAB.

Sedangkan untuk mengakhiri sebuah sesi MATLAB, anda bisa melakukan dengan dua

cara,pertama pilih File -> Exit MATLAB dalam window utama MATLAB yang sedang

aktif,atau cara kedua lebih mudah yaitu cukup ketikkan type quit dalam Command Window.

Anda dapat bekerja dengan MATLAb secara default pada directory Work ada di dalamFolder

MATLAB. Tetapi akan lebih bagus dan rapi jika anda membuat satu directory khusus dengan

nama yang sudah anda kususkan, “dargombes” atau nama yang lain yang mudah untuk

diingat. Hal ini akan lebih baik bagi anda untuk membiasakan bekerja secara rapi dan tidak

mencampur program yang anda buat dengan program orang lain. Untuk itu Arahkan pointer

mouse anda pada kotak bertanda … yang ada disebelah kanan tanda panah kebawah (yang

menunjukkan folder yang sedang aktif). Pilih new directory, selanjutnya ketikkan

“dargombes”, dan diikuti dengan click Ok.

Langkah kita yang pertama adalah dengan menentukan variable scalar dengan cara

melakukan pengetikan seperti berikut:

» x = 2 (selanjutnya tekan “Enter”)

x = 2

» y = 3

y = 3

» z = x + y

z = 5

Disini kita mulai dengan mendefinisikan dua buah vector, yaitu vector x dan vector y:

» x = [1 2 3]

x = 1 2 3

» y = [4 5 6]

y = 4 5 6

Selajutnya ketik:

>> y(1)

ans = 4

dan ulangi untuk y(2) and y(3).

Matlab menggunakan integer positif untuk index array. Elemen pertama adalah y(1),

elemen kedua adalah y(2), dan seterusnya. Nol atau bilangan negatif tidak diperbolehkan

untuk indek array. Sekarang kita jumlahkan keduanya:

» x+y

ans = 5 7 9

dan sekarang hitung inner product:

» x*y'

ans = 32

Jawabannya adalah 1*4 + 2*5 + 3*6 = 32 Catat, bahwa y' adalah transpose pada y dan

merupakan suatu vector kolom. Untuk memeriksanya, ketikkan perintah berikut:

>> y'

ans = 4

5

6

Cara lain pada pengkombinasian dua vector adalah diakukan melalui perkalian elementdemi-

element:

>> x.*y

ans = 4 10 18

Catat periode sebelum perkalian simbol. Sekarang kita dapat mendefinisikan suatu matrix:

» A = [1 2 3

4 5 6

7 8 9];

Catat bahwa matrik tidak diulang kalau kita menggunakan semi colon. Kita sekarang kalikan

A dengan transpose dari x:

» A*x'

ans = 14

32

50

Sekarang kita harus mentranspose x untuk memenuhi perkalian suatu matrik dan suatu vector

kolom. Matrik-matrik ini dapat juga dikalikan satu sama lain diantara mereka:

» B = [1 2 3 4

5 6 7 8

7 6 5 4];

» A*B

ans = 32 32 32 32

71 74 77 80

110 116 122 128

Salah satu kelebihan dari Matlab adalah kemudahan dalam mengolah grafik. Sehingga anda

tidak perlu kesulitan untuk melihat suatu respon system, misalnya pada kasus melijhat bentuk

sinyal dalam domain waktu anda cukup mengikuti langkah berikut. Sekarang ketikkan:

>> time = [0:0.001:0.099];

>> x = cos(0.1*pi*(0:99));

>> plot(time,x)

>> xlabel('time (msec)')

>> ylabel('x(t)')

ini akan menghasilkan gambar seperti berikut:

Sedangkan cara untuk menampilkan sederetan nilai fungsi waktu diskrit adalah dengan

menggunakan perintah "stem". Dari contoh deretan perintah coba anda rubah beberapa

bagian dengan perintah berikut :

>> stem(time,x)

>> xlabel('time (msec)')

>> ylabel('x(t)')

2. Dasar dan Perkembangan Matrix

2.1 Pengertian Matrix

Matriks adalah suatu kumpulan besaran (variabel dan konstanta) yang tersusun dalam

baris dan kolom berbentuk persegi panjang. Matriks merupakan suatu cara visualisasi

variabel yang merupakan kumpulan dari angka-angka atau variabel lain, misalnya vektor.

Dengan representasi matriks, perhitungan dapat dilakukan dengan lebih terstruktur.

Pemanfaatannya misalnya dalam menjelaskan persamaan linier, transformasi koordinat, dan

lainnya. Matriks seperti halnya variabel biasa dapat dimanipulasi, seperti dikalikan, dijumlah,

dikurangkan dan didekomposisikan.

Suatu matriks biasanya dinotasikan dengan huruf kapital ditebalkan (misal matriks A,

dituliskan dengan A). Sebagai contoh matriks, perhatikan tabel yang memuat informasi biaya

pengiriman barang dari 3 pabrik ke 4 kota berikut ini:

Pabrik

Kota

Kota

1

Kota

2

Kota

3

Kota

4

Pabrik 1 5 2 1 4

Pabrik 2 2 3 6 5

Pabrik 3 7 6 3 2

Tabel di atas jika disajikan dalam bentuk matriks akan menjadi seperti berikut:

Kolom1 Kolom2 Kolom3 Kolom4

5 2 1 4 Baris1

A = 2 3 6 5 Baris2

7 6 3 2 Baris3

Matriks di atas, kita sebut saja matriks A, memiliki tiga baris yang mewakili informasi Pabrik

(1, 2, dan 3) dan empat kolom yang mewakili informasi Kota (1, 2, 3, dan 4). Sedangkan

informasi biaya pengiriman dari masing-masing pabrik ke tiap-tiap kota, diwakili oleh

perpotongan baris dan kolom. Sebagai contoh, perpotongan baris 1 dan kolom 1 adalah 5,

angka 5 ini menunjukkan informasi biaya pengiriman dari pabrik 1 ke kota 1, dst. Secara

umum, bentuk matriks di atas dapat dituliskan seperti berikut:

a11 a12 a13 a14

A = a21 a22 a23 a24

a31 a32 a33 a34

Dimana, pada notasi elemen matriks, angka sebelah kiri adalah informasi baris sedangkan

angka di kanan adalah informasi kolom, contoh a23 berarti nilai yang diberikan oleh baris ke-

2 dan kolom ke-3.

3. Metode Gauss Jordan

3.1 Sejarah Gauss Jordan

Karl Friedich Gauss (1977-1855) adalah seorang ahli matematika dan ilmuwan dari

Jerman. Gauss yang kadang-kadang dijuluki “pangeran ahli matematika”. Disejajarkan

dengan Isaac Newton dan Archimedes sebagai salah satu dari tiga ahli matematika yang

terbesar yang pernah ada. Dalam seluruh sejarah matematika, tidak pernah ada seorang anak

yang begitu cepat berkembang, sebagaimana Gauss, yang dengan usahanya sendiri

menyelesaikan dasar aritmetika sebelum ia dapat berbicara. Pada suatu hari, saat ia bahkan

belum berusia tiga tahun, melalui cara dramatis orang tuanya mulai menyadari kejeniusan

Gauss. Ketika itu ayahnya tengah menyiapkan gaji mingguan untuk para buruh bawahannya,

dan Gauss memperhatikan dengan diam-diam dari pojok ruangan. Setelah perhitungan yang

panjang dan membosankan. Gauss tiba-tiba member tahu ayahnya bahwa terdapat kesalahan

dalam perhitungannya dan memberikan jawaban yang benar, yang diperoleh hanya dengan

memikirkannya (tanpa menulisnya). Yang mengherankan orang tuanya adalah setelah

diperiksa ternyata perhitungannya Gauss benar.

Dalam desertasi doktoralnya Gauss memberikan bukti lengkap pertama teori-teori dasar

aljabar yang menyatakan bahwa setiap persamaan polynomial memiliki solusi sebanyak

pangkatnya. Pada usia 19 tahun ia menyelesaikan masalah yang membingungkan Euclid,

menggambarkan polygon 17 sisi di dalam lingkaran dengan menggunakan jangka dan

kompas, dan pada tahun 1801, pada usia yang ke-24 tahun, ia mempublikasikan karya

terbesarnya, Disquisitiones Arithmeticae”, yang dipandang banyak orang sebagai salah satu

prestasi paling berlian dalam matematika. Dalam makalah itu Gauss melakukan sistematisasi

studi dari teori bilangan (sifat-sifat bilangan bulat atau integer) dan merumuskan konse dasar

dari hal tersebut.

Diantara prestasinya yang banyak sekali, Gauss menemukan kurva Gaussian atau kurva

berbentuk lonceng yang merupakan dasar teori probabilitas, memberikan interpretasi

geometric pertama mengenai bilangan kompleks dan mengembangkan metode-metode

karakteristik permukaan secara interistik dengan menggunakan kurva-kurva yang

dikandungnya, mengembangkan teori pemetaan konformal (angle preserving) dan

menemukan geometri non-Euclidean 30 tahun sebelum dipublikasikan oleh orang lain.

Dalam bidang fisika ia memberikan sumbangan yang besar terhadap teori lensa dan gerakan

kapiler, dan bersama Wilhelm Weber ia mengerjakan pekerjaan penting dalam bidang

elektromagnetisme, magnetometer bifilar dan elektrograf.

Gauss adalah orang yang sangat religious dan aristoratik dalam kesajaannya. Ia dengan

mudah menguasai bahasa-bahasa asing, sangat senang membaca dan meminati bidang

minarologi dan botani sebagai hobi. Ia tidak suka mengajar dan biasanya bersikap dingin

tidak mendukung terhadapahli matematika yang lainnya, kemungkinan ini karena ia

mengantisipasi kerja mereka. Dikatakan bahwa jika saja Gauss mempublikasikan semua

penemuaannya, maka matematika saat ini akan lebih maju 50 tahun. Tak diragukan lagi

bahwa ia adalah ahli matematika terbesar dalam era modern.

Wilhelm Jordan (1842-1899) adalah seorang insinyur Jerman yang ahli dalam bidang

geodesi. Sumbangannya untuk penyelesaian sistem linear dalam buku populernya, Handbuch

de Vermessungskunde (Buku panduan Geodesi) pada tahun 1988. Contoh Sumbangannya

untuk penyelesaian sistem linear dalam buku populernya

Dalam aljabar linear, eliminasi Gauss-Jordan adalah versi dari eliminasi Gauss. Pada metode

eliminasi Gauus-Jordan kita membuat nol elemen-elemen di bawah maupun di atas diagonal

utama suatu matriks. Hasilnya adalah matriks tereduksi yang berupa matriks diagonal satuan

(Semua elemen pada diagonal utama bernilai 1, elemen-elemen lainnya nol).

Metode eliminasi Gauss-Jordan kurang efisien untuk menyelesaikan sebuah SPL, tetapi lebih

efisien daripada eliminasi Gauss jika kita ingin menyelesaikan SPL dengan matriks koefisien

sama. Motede tersebut dinamai Eliminasi Gauss-Jordan untuk menghormati Carl Friedrich

Gauss dan Whilhelm Jordan.

.

3.2 Metode Eliminasi Gauss

Eliminasi Gauss adalah suatu metode untuk mengoperasikan nilai-nilai di dalam matriks

sehingga menjadi matriks yang lebih sederhana lagi. Dengan melakukan operasi baris

sehingga matriks tersebut menjadi matriks yang baris. Ini dapat digunakan sebagai salah satu

metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. Caranya dengan

mengubah persamaan linear tersebut ke dalam matriks teraugmentasi dan

mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks baris, lakukan substitusi balik untuk

mendapatkan nilai dari variabel-variabel tersebut.

1) Kelebihan dan Kekurangan

Metode ini digunakan dalam analisis numerik untuk meminimalkan mengisi selama

eliminasi, dengan beberapa tahap

Keuntungan :

a. menentukan apakah sistem konsisten.

b. menghilangkan kebutuhan untuk menulis ulang variabel setiap langka.

c. lebih mudah untuk memecahkan

kelemahan :

a. memiliki masalah akurasi saat pembulatan desimal

2.3 Eliminasi Gauss-Jordan

Salah satu metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linier adalah

metode eliminasi Gauss-Jordan. Metode ini diberi nama Gauss-Jordan untuk menghormati

CarlFriedrich Gauss dan Wilhelm Jordan. Metode ini sebenarnya adalah modifikasi dari

metode eliminasi Gauss, yang dijelaskan oleh Jordan di tahun 1887.

Metode Gauss-Jordan ini menghasilkan matriks dengan bentuk baris eselon yang

tereduksi(reduced row echelon form), sementara eliminasi Gauss hanya menghasilkan

matriks sampai padabentuk baris eselon (row echelon form). Selain untuk menyelesaikan

sistem persamaan linier, metode eliminasi Gauss-Jordan ini dapat. Metode Eliminasi Gauss :

metode yang dikembangkan dari metode eliminasi, yaitu menghilangkanatau mengurangi

jumlah variable sehingga dapat diperoleh nilai dari suatu variable yang bebas.

Eliminasi Gauss-Jordan adalah pengembangan dari eliminasi Gauss yang hasilnya lebih

sederhana lagi. Caranya adalah dengan meneruskan operasi baris dari eliminasi Gauss

sehingga menghasilkan matriks yang Eselon-baris. Ini juga dapat digunakan sebagai salah

satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks.

Metode ini digunakan untuk mencari invers dari sebuah matriks. Prosedur umum untuk

metode eliminasi Gauss-Jordan ini adalah Ubah sistem persamaan linier yang ingin dihitung

menjadi matriks augmentasi. Lakukan operasi baris elementer pada matriks augmentasi (A|b)

untuk mengubah matriks A menjadi dalam bentuk baris eselon yang tereduksi.

1) Kelebihan dan Keuntungan :

Mengubah sistem persamaan linier yang ingin dihitung menjadi matriks augmentasi.

merupakan variasi dari eliminasi gauss dengan kebutuhan dapat mgenyelesaikan matriks

invers.