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Module #5 E orts internes dans les...

Date post: 24-Jan-2021
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Intro ´ Equilibre Efforts internes Diagrammes des efforts Cadres esum´ e Module #5 Efforts internes dans les poutres (CIV1150 - R´ esistance des mat´ eriaux) Enseignant: James-A. Goulet epartement des g´ enies civil, g´ eologique et des mines Polytechnique Montr´ eal Sections 5.1-5.5 – R. Craig (2011) Mechanics of Materials, 3rd Edition John Wiley & Sons. P. L´ eger (2006) Notes de cours: Chapitre 5 – Flexion Polytechnique Montr´ eal. Enseignant: J-A. Goulet Polytechnique Montr´ eal 5 – Flexion | V1.1 | CIV1150 – R´ esistance des mat´ eriaux 1 / 38
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Intro Equilibre Efforts internes Diagrammes des efforts Cadres Resume

Module #5Efforts internes dans les poutres

(CIV1150 - Resistance des materiaux)

Enseignant: James-A. Goulet

Departement des genies civil, geologique et des mines

Polytechnique Montreal

Sections 5.1-5.5 – R. Craig (2011)Mechanics of Materials, 3rd EditionJohn Wiley & Sons.

P. Leger (2006)Notes de cours: Chapitre 5 – FlexionPolytechnique Montreal.

Enseignant: J-A. Goulet Polytechnique Montreal

5 – Flexion | V1.1 | CIV1150 – Resistance des materiaux 1 / 38

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Intro Equilibre Efforts internes Diagrammes des efforts Cadres Resume

Introduction a la flexion

Notation et terminologie

I Module 3 – efforts longitudinaux : F ou N

I Module 4 – efforts de torsion : T

I Module 5 – efforts de flexion et de cisaillement : M & VBut: Tracer les diagrammes des efforts N(x),V (x),M(x)

I Module 6 – Contraintes de flexion dans les poutres

Enseignant: J-A. Goulet Polytechnique Montreal

5 – Flexion | V1.1 | CIV1150 – Resistance des materiaux 2 / 38

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Introduction a la flexion

Qu’est-ce qu’un diagramme des efforts?

1- Structure & chargement (w0,P, L)

2- Reactions aux appuis (Ra,Rb, ...)

3- diagrammes des efforts(N(x),V (x),M(x))

Enseignant: J-A. Goulet Polytechnique Montreal

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Introduction a la flexion

Exemples d’elements soumis a la flexion - ponts

Enseignant: J-A. Goulet Polytechnique Montreal

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[MTQ]

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Intro Equilibre Efforts internes Diagrammes des efforts Cadres Resume

Introduction a la flexion

Exemples d’elements soumis a la flexion - batiments

$

Enseignant: J-A. Goulet Polytechnique Montreal

5 – Flexion | V1.1 | CIV1150 – Resistance des materiaux 5 / 38

[Google images]

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Introduction a la flexion

Selection d’un systeme structural (acier)

Enseignant: J-A. Goulet Polytechnique Montreal

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[Shodek, 1998]

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Introduction a la flexion

Selection d’un systeme structural (bois/acier/beton/...)

WOOD 75–65stsioJ55–45gnikceD

Solid Beams 60–61Rafter Pairs 58–59Light Floor Trusses 64–65Light Roof Trusses 64–65Glue Laminated Beams 62–63Heavy Trusses 66–67Glue Laminated Arches 68–69Domes

BRICK & 57–47sletniLCONCRETE 84–85MASONRY 97sehcrA

STEEL Corrugated Decking 96–97Light Gauge Joists 90–91

99–89smaeBOpen-Web Joists 100–101Single-Story Rigid Frame 102–103Heavy Trusses 104–105Arches and VaultsSpace FrameDomesCable-StayedSuspension

SITECAST One-Way Slabs 114–115CONCRETE Two-Way Slabs 118–121

One-Way Joists 116–117Waffle Slab 122–123

311–211smaeBFolded Plates and ShellsDomesArches

PRECAST 331–231sbalSCONCRETE 131–031smaeB

Double Tees 134–135Single Tees 134–135

PNEUMATIC Air InflatedAir Supported

Span Range

10' 20' 30' 50' 100' 200' 300' 500'3m 6m 9m 15m 30m 60m 90m 150msegaPMETSYS LARUTCURTS

Enseignant: J-A. Goulet Polytechnique Montreal

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[Google images]

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Introduction a la flexion

Exemples d’elements soumis a la flexion - batiments

Enseignant: J-A. Goulet Polytechnique Montreal

5 – Flexion | V1.1 | CIV1150 – Resistance des materiaux 8 / 38

[Collins & Mitchell, 1991]

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Introduction a la flexion

Exemples d’elements soumis a la flexion - idealisation

Enseignant: J-A. Goulet Polytechnique Montreal

5 – Flexion | V1.1 | CIV1150 – Resistance des materiaux 9 / 38

[Collins & Mitchell, 1991]

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Introduction a la flexion

Exemples d’elements soumis a la flexion - idealisation

Enseignant: J-A. Goulet Polytechnique Montreal

5 – Flexion | V1.1 | CIV1150 – Resistance des materiaux 10 / 38

[Salvadori, 1982]

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Equilibre des poutres – diagrammes de corps libres

Equilibre et reactions d’appuis

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Equilibre des poutres – exemple

Equilibre en flexion – Exemple #1

+→ ∑Fx = 0 RAx = 0

+↑ ∑

Fy = 0 −RBy − RAy + 150 = 0+

∑MA = 0 −5RBy + 150 · 2 = 0→ RBy = 300

5 = 60N

RAy = 150− 60 = 90N

Verif. 150− 90− 60 = 0 OK

Enseignant: J-A. Goulet Polytechnique Montreal

5 – Flexion | V1.1 | CIV1150 – Resistance des materiaux 14 / 38

[Popov, 1999]

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Efforts internes dans les poutres – diagrammes de corps libres

Efforts internesSchemas de la structure

Diagramme de corps libre

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Convention de signes

Signes +

Diagramme de corps libre

Convention de signes

Truc mnemotechnique

flexion → ,= (+), /= (−), cisaillement → �= (+)Enseignant: J-A. Goulet Polytechnique Montreal

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Exemples

Exemple #1a – V & M , Positifs ou negatifs? +

I V > 0

I M < 0(fibre superieure tendue)

Enseignant: J-A. Goulet Polytechnique Montreal

5 – Flexion | V1.1 | CIV1150 – Resistance des materiaux 18 / 38

[Hanor, 1998]

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Exemples

Exemple #1b – V & M , Positifs ou negatifs? +

I V

> 0 pour x < L/2= 0 pour x = L/2< 0 pour x > L/2

I M > 0(fibre inferieure tendue)

Enseignant: J-A. Goulet Polytechnique Montreal

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[Hanor, 1998]

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Exemples

Exemple #2 – Efforts internes +

30 kN/m−160 kN

−160 kN−160 kN

A B C DE F

12 m 8 m 2 m 4 m 2 m 8 m 6 m 6 m

a) Calculez les reactions RA,RB ,RC ,RD

b) Calculez les efforts internes a E et F

Enseignant: J-A. Goulet Polytechnique Montreal

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Exemples

Exemple #2 – Efforts internes +

Enseignant: J-A. Goulet Polytechnique Montreal

5 – Flexion | V1.1 | CIV1150 – Resistance des materiaux 21 / 38

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Definition

Qu’est-ce qu’un diagramme des efforts? (rappel)

1- Structure & chargement (w0,P, L)

2- Reactions aux appuis (Ra,Rb, ...)

3- diagrammes des efforts(N(x),V (x),M(x))

Enseignant: J-A. Goulet Polytechnique Montreal

5 – Flexion | V1.1 | CIV1150 – Resistance des materiaux 23 / 38

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Methodes de calcul

Introduction aux methodes de calcul

Comment calculer et tracer les diagrammes d’efforts normaux,d’efforts tranchants et de moments flechissants?

3 methodes

1. Formulation analytique: Ecrire l’equation pour p(x) etintegrer pour V(x) & M(x)

2. Equilibre: Calculs faits a partir de DCL pour des coupesfaites a differentes sections

3. Methode graphique: Integration du diagramme p(x) & V(x)

Enseignant: J-A. Goulet Polytechnique Montreal

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Methode #1 – Formulation analytique

Formulation analytique – Relations entre p(x) & V (x)

+↑∑

Fy = 0 = V + p(x)dx − (V + dV )

p(x) =dV

dx, V (x) =

∫p(x)dx + c1

Effort tranchant: l’integrale de la charge appliquee p(x)

Enseignant: J-A. Goulet Polytechnique Montreal

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Methode #1 – Formulation analytique

Formulation analytique – Relations entre V (x) & M(x)

+∑

MA = 0 = −M + M + dM − (V + dV )dx + p(x)

≈0︷ ︸︸ ︷dx

dx

2

dM = VdX

V =dM

dx, M(x) =

∫V (x)dx + c2

Moment flechissant: l’integrale de la charge appliquee V (x)

Enseignant: J-A. Goulet Polytechnique Montreal

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Methode #1 – Formulation analytique

Formulation analytique #3 – exemple +

Enseignant: J-A. Goulet Polytechnique Montreal

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Methode #1 – Formulation analytique

Formulation analytique – en resume

I Applicable dans tous les cas

I Pratique afin de determiner les diagrammes d’efforts pour lescas de base

I Application fastidieuse lorsqu’il y a des discontinuites

Enseignant: J-A. Goulet Polytechnique Montreal

5 – Flexion | V1.1 | CIV1150 – Resistance des materiaux 28 / 38

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Methode #2 – Equilibre

Methode #2 – Equilibre

1. Calculer les reactions d’appuis (∑

Fx ,y ,z = 0,∑

Mx ,y ,z = 0)

2. Identifier les sections clefsI x = 0, x = L (extremites & discontinuite)I V = 0 (moment maximum)I P 6= 0 (au droit des charges et moments concentres)

3. Calculer les efforts internes (N, V , & M) en effectuant descoupes de chaque cote des sections clefs (diagrammes decorps libre)

4. Identifier la forme des diagrammes d’efforts internes entre lescoupes

Enseignant: J-A. Goulet Polytechnique Montreal

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Methode #2 – Equilibre

Exemple #4 – Diagrammes de V & M +

Enseignant: J-A. Goulet Polytechnique Montreal

5 – Flexion | V1.1 | CIV1150 – Resistance des materiaux 30 / 38

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Methode #3 - Methode graphique

Methode #3 - Methode graphique

V (x) = V1 +

∫ x2

x1

p(ξ)dξ M(x) = M1 +

∫ x2

x1

V (ξ)dξ

Enseignant: J-A. Goulet Polytechnique Montreal

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Methode #3 - Methode graphique

Methode graphique – p(x),V (x),M(x)

V (x) = V1 +

∫ x2

x1

p(ξ)dξ M(x) = M1 +

∫ x2

x1

V (ξ)dξ

Charge appliquee Effort tranchant Moment flechissantp(x) V (x) M(x)

= 0 = cte (constant) ∝ x (lineaire)= cte (constant) ∝ x (lineaire) ∝ x2 (quadratique)∝ x (lineaire) ∝ x2 (quadratique) ∝ x3 (cubique)

Enseignant: J-A. Goulet Polytechnique Montreal

5 – Flexion | V1.1 | CIV1150 – Resistance des materiaux 32 / 38

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Methode #3 - Methode graphique

Cas types

Enseignant: J-A. Goulet Polytechnique Montreal

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Methode #3 - Methode graphique

Methode #3 – Graphique

1. Calculer les reactions d’appuis (∑

Fx ,y ,z = 0,∑

Mx ,y ,z = 0)

2. Dessinez le diagramme de V

3. Calculer le moment a l’extremite gauche de la poutre

4. Calculer M(x) en integrant l’aire sous V (x)

Enseignant: J-A. Goulet Polytechnique Montreal

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Methode #3 - Methode graphique

Exemple #5 – Diagrammes de V & M +

Enseignant: J-A. Goulet Polytechnique Montreal

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Intro Equilibre Efforts internes Diagrammes des efforts Cadres Resume

Calcul et dessin des diagrammes d’efforts internes pour les cadres

Cadres – exemple #6 +

Enseignant: J-A. Goulet Polytechnique Montreal

5 – Flexion | V1.1 | CIV1150 – Resistance des materiaux 36 / 38

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Intro Equilibre Efforts internes Diagrammes des efforts Cadres Resume

Resume – Module #5

But : Tracer les diagrammes des efforts N(x),V (x),M(x)

Signes : +

flexion → ,= (+), /= (−), cisaillement → �= (+)

Methodes :

1. Formulation analytique: Ecrire l’equation pour p(x) et integrerpour V(x) et M(x)

2. Equilibre: Calculs faits a partir de DCL pour des coupes faitesa differentes sections

3. Methode graphique: Integration du diagramme V(x)

Cadres : Il y a un transfert des efforts au droit des discontinuites

Enseignant: J-A. Goulet Polytechnique Montreal

5 – Flexion | V1.1 | CIV1150 – Resistance des materiaux 37 / 38

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Intro Equilibre Efforts internes Diagrammes des efforts Cadres Resume

Organisation de la matiere

1 Statique

- Equilibre des forces et moments- Diagrammes de corps libres

- 5 Diagramme des efforts, N(x),V (x),M(x)

2 Materiau

{- Contraintes & deformations- Loi de Hooke, Poisson & St-Venant

Chargements

- 3 Efforts axiaux

- 4 Torsion

- 6a Flexion

- 6b Cisaillement

- 7 Deflexion

- 9 Pression & chargements combines

Etats limites

- 7 Deflexion

- 8 Contraintes 2D-3DIntroduction Mohr 2D (\�) Mohr 3D (\�) \✏ Mohr (\✏) Mesures de ✏ Resume

Construction du cercle de Mohr

Cercle de Mohr + +

(�n��avg .)2+⌧2

nt = R2

tan 2✓p1 =⌧xy

�x��y

2

X : �x , ⌧xy✓ = 0

Y : �y ,�⌧xy✓ = 90o

C

R

�avg . =�x+�y

2�x��y

2

2✓

Enseignant: J-A. Goulet (Automne 2015) Polytechnique Montreal

8 – Contraintes dans les poutres | CIV1150 – Resistance des materiaux 8 / 51

- 10 Lois constitutives & criteres de rupture

Enseignant: J-A. Goulet Polytechnique Montreal

5 – Flexion | V1.1 | CIV1150 – Resistance des materiaux 38 / 38


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