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COMITÉ DIRECTIVO
Jaime Alberto Leal Afanador
Rector
Gloria Herrera
Vicerrectora Académica
Roberto Salazar Ramos
Vicerrector De Medios y Mediaciones Pedagógicas
Maribel Córdoba Guerrero
Secretar ia General
MÓDULO
CURSO ECUACIONES DIFERENCIALES
PRIMERA EDICIÓN
Universidad Nacional Abierta y a Distancia
ISBN
2008
Bogotá. Colombia
3
PRESENTACIÓN
Estimada comunidad Unadista, la Unidad de Ciencias Básicas y el Autor del
presenta Módulo les pone a su disposición el curso de Ecuaciones
Diferenciales, el cual se concentra en las ecuaciones diferenciales ordinarias
y principios de las Series, para los programas que la UNAD ofrece.
Es sabido que las ecuaciones diferenciales son una herramienta
fundamental para el análisis de diversos fenómenos naturales y a través de
éstas se pueden resolver problemas de las Ciencias, la Ingeniería y la
Investigación.
Para el mejor desarrollo del curso, el estudiante debe tener buenas bases
de cálculo diferencial y cálculo integral, ya que la resolución de una
ecuación diferencial requiere desarrollar derivadas e integrales.
Bienvenidos a éste maravilloso mundo de las Matemáticas
El Autor
4
CONTENIDO
Página
INTRODUCCION 7
JUSTIFICACION 9
PRESENTACION 10
PROTOCOLO 11
LAS FRANJAS DE APRENDIZAJE 13
TABLAS DE INTEGRALES Y DERIVADAS 16
UNIDAD I.ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES 24
DE PRIMER ORDEN
1.1. INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES 25
1.1.1. Conceptualización de una ecuación diferencial 27
1.1.2. Resolución de una ecuación diferencial 28
1.1.3. Clasificación de las ecuaciones diferenciales 35
1.1.4. Campos de aplicación de las ecuaciones diferenciales 38
1.1.5. Ejercicios Propuestos 39
1.2. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN 40
1.2.1. Ecuaciones con variables separables 40
1.2.2. Ecuaciones Homogéneas 43
1.2.3. Ecuaciones exactas 47
1.2.4. El factor integrante 51
1.3. CAMPOS DE APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES LINEALES 53
DE PRIMER ORDEN
1.3.1 Una aplicación a los campo de fuerza 53
1.3.2 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales 53
1.3.3 Trayectorias Ortogonales. 59
1.3.4 Ejercicios Propuestos 60
5
Pagina
Unidad II. ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN 62
Y DE ORDEN SUPERIOR
2.1. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR 63
2.1.1. Ecuaciones diferenciales de segundo orden reducibles a primer orden 65
2.1.2. Solución general de ecuaciones diferenciales de segundo orden 67
2.1.3 La Solución General Como Combinación Lineal De Soluciones 68
Linealmente Independientes.
2.1.4. Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas con coeficientes 69
Constantes
2.1.5. Ecuaciones diferenciales lineales no - homogéneas con 71
Coeficientes constantes
2.1.6. Operador para la solución de ecuaciones de segundo orden. 75
2.1.7. Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de segundo orden 77
2.1.8. Ejercicios Propuestos 80
2.2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR 81
2.2.1. Ecuaciones diferenciales lineales de orden n 83
2.2.2 ecuación diferencial lineal homogénea o incompleta 83
2.3. CAMPO DE APLICACIONES DE ECUACIONES DE SEGUNDO 84
ORDEN Y DE ORDEN SUPÈRIOR
2.3.1 Aplicaciones La Ecuaciones lineal De Orden N 86
2.3.2. Ejercicios Propuesto 87
6
Pagina
Unidad III. ESTUDIO DE SERIES Y FUNCIONES ESPECIALES 88
3.1. GENERALIDADES DEL ESTUDIO DE SERIES 89
3.1.1. Estudio De Series De Potencias 89
3.1.2. Solución de ecuaciones diferenciales mediante series de potencias 91
3.1.3. Ecuación de Bessel 95
3.1.4. Funciones de Bessel ordinarias 96
3.2. FUNCIONES ESPECIALES Y SERIES MATEMATICAS 97
3.2.1 Series De Taylor 97
3.2.2. Solución de ecuaciones diferenciales mediante Series de Taylor 98
3.2.3. Funciones ortogonal 99
3.2.4. Serie de Fourier 100
3.2.5. Ejercicios Propuestos 102
Miscelánea De Ejercicios 104
Glosario 107
Bibliografía 113
7
INTRODUCCIÓN
La educación a distancia ha sido tema de estudio de interés, debido, entre
otros factores, al crecimiento demográfico y a los cambios acelerados en la
tecnología y el nuevo entorno internacional. En ese lapso hemos pasado, en
mayor o menor grado, de una educación tradicional, escolarizada, cerrada,
de limitado acceso y por un período determinado, a una educación
moderna, abierta, a distancia, sin restricciones de acceso, continua y para
toda la vida.
Lo anterior implica nuevas formas de aprender, formas que implican
importantes cambios tanto para los estudiantes como para los docentes y,
aún más, para el propio sistema educativo.
El presente curso académico: Ecuaciones diferenciales se encuentran
ubicado en el área Disciplinar donde Una ecuación diferencial es una
ecuación en la que aparecen una función incógnita y alguna de sus
derivadas. Si la función es de una variable la ecuación se llama ordinaria
(EDO). Si es de varias variables, la ecuación es en derivadas parciales
El curso académico tratara los siguientes aspectos de mucha importancia en
la ingeniería y sus diferentes proyecciones a la solución de problemas así:
Trata de los sistemas de n ecuaciones de primer orden y de las ecuaciones
de orden n sobre los que más información se puede obtener y que más
veces son resolubles: los lineales. Primero se generalizan las propiedades
vistas de las ecuaciones de primer orden. Luego se tratan, para ir fijando
ideas, los sistemas de 2 ecuaciones y las ecuaciones de orden 2 (siempre
resolubles si los coeficientes son constantes). Se pasa después al orden n
general (se podrán resolver ya menos veces), se estudia su estabilidad y se
introduce la técnica de resolución mediante transformadas. Hay una breve
sección sobre soluciones periódicas; describe cómo resolver las EDOS
lineales de segundo orden con coeficientes variables mediante series de
potencias (único método posible la mayoría de las veces), en torno a los
llamados puntos regulares y a los singulares regulares. Además
estudiaremos en este curso una unidad con respecto al manejo de series y
la solución de ecuaciones diferenciales mediante series llevando el curso a
sus diversas aplicaciones.
El trabajo Académico consta de dos componentes:
8
Estudio independiente, que puede ser realizado en forma individual o en
pequeños grupos colaborativos.
Acompañamiento tutorial, donde este, se hace en grupo de curso, en
pequeños grupos colaborativos o también en forma individual o
personalizada cuando el estudiante lo necesite.
Las fuentes documentales y bibliografía respectiva la encuentra en forma
escrita (módulos, libros, revistas), en medio magnéticos, CDS y también en
documentos Web utilizando la autopista de la información
El curso consta de tres (3) créditos académicos equivalentes a 144 horas de
estudio, distribuidas de la siguiente manera:
El curso está orientado a la autogestión estudiantil de los conocimientos
teóricos para la comprensión de la estructura y funcionamiento de las
ecuaciones diferenciales y series.
La estrategia pedagógica del curso hará énfasis en el desarrollo de
competencias básicas (prepositivas, argumentativas Interpretativa,
latitudinales, comunicativas, socio-afectivas, disciplinares, cognitivas,
metodológicas, complejas, y transversales a través del desarrollo de
actividades situaciones y actuaciones de aprendizaje que involucran las
fases de reconocimiento, profundización y transferencia, planificadas en la
guía de actividades.
El desarrollo de las actividades serán evaluadas en forma cualitativa (auto
evaluación y coevaluación) y en forma cuantitativa (heteroevaluación
sumativa).
Estudio independiente: 106 horas
Acompañamiento y seguimiento tutorial: 38 horas
9
JUSTIFICACION
Las tendencias actuales en una enseñanza universitaria de calidad dan
menos importancia que antes a la transmisión de unos contenidos, por lo
demás en continuo cambio y revisión, y expresan, en cambio, mayor interés
por la adquisición, por parte del Estudiante, de técnicas y hábitos de
estudio, de capacidad de análisis crítico, de inventar y descubrir, etc. En
suma, ponen el énfasis en que el estudiante aprenda a aprender,
las ecuaciones diferenciales constituyen uno de los más poderosos
instrumentos teóricos para la interpretación y modelación de fenómenos
científicos y técnicos de la mayor variedad, a saber, aquellos que contienen
dinámicas, que expresan evolución, transformación o cambio en términos
de algún conjunto de parámetros. Son, por eso, de especial importancia
práctica y teórica para los ingenieros de cualquier rama.
La matemática, y en general el conocimiento básico, Permite el profundo
conocimiento y comprensión de los procesos la innovación tecnológica, la
adecuación y generación de tecnología, la optimización de recursos y
mejoramiento de la producción, la generalización del conocimiento y las
soluciones y mucho más La formación básica tecnológica es un
complemento a la formación técnica, permitiendo no solo la importación de
tecnología y soluciones, sino también su adecuación, mejoramiento e
incluso optimización.
Las Ecuaciones Diferenciales permiten el modelado matemático y análisis de
una gran variedad de sistemas determinísticos, no deterministicos y
estocásticos. El curso desarrolla las principales ideas de los sistemas
lineales y no lineales desde un enfoque teórico. El área de los sistemas ha
penetrado prácticamente en todas las áreas de la tecnología, ya que
permite abordar y manejar sistemáticamente aspectos de optimización y
logro de comportamientos deseados. El área de los sistemas es transversal
y genérica. Transversal por aplicarse a varias áreas de conocimiento:
sistemas mecánicos, eléctricos, de procesos, humanos, económicos, etc.;
por eso se encuentra todo género de investigadores: ingenieros de todas las
disciplinas, economistas, físicos, matemáticos, etc.
Genérica en cuanto a que utiliza métodos, técnicas y tecnologías de varias
áreas de conocimiento bajo un enfoque sistémico basado en el modelo
matemático. Problemas cada vez más complejos requieren de métodos
nuevos para el modelado, análisis y diseño de sistemas, por lo que
profesionales con una buena formación matemática tienen un gran campo
de acción y una estrecha relación con la Teoría General de Sistemas,
Dinámica de Sistemas, Métodos Numéricos.
10
PRESENTACION
Las ecuaciones que has encontrado hasta ahora responden en su mayor
parte a la necesidad de obtener los valores numéricos de ciertas
magnitudes. Cuando, por ejemplo, al buscar los máximos y los mínimos de
funciones se resolvía una ecuación y se encontraban los puntos para los
cuales se anulaba la velocidad de variación de una función, o cuando se
considera el problema de hallar las raíces de un polinomio, se trata siempre
de hallar números concretos. Pero en las aplicaciones de las matemáticas
surgen a menudo problemas de una clase cualitativamente diferente:
problemas en los que la incógnita es a su vez una función, es decir, una ley
que expresa la dependencia de ciertas variables respecto de otras. Por
ejemplo, al investigar el proceso de enfriamiento de un cuerpo hay que
determinar cómo varía la temperatura en el transcurso del tiempo; para
describir el movimiento de un planeta o de una estrella o de una partícula
cualquiera debe determinarse la dependencia de sus coordenadas con
respecto al tiempo, etc.
Con frecuencia es posible plantear una ecuación que permite encontrar las
funciones desconocidas pedidas, y estas ecuaciones reciben el nombre de
ecuaciones funcionales. Su naturaleza puede ser, en general, muy diversa;
de hecho podemos decir que ya conocemos el ejemplo más sencillo y
primitivo de una ecuación funcional: las funciones implícitas.
La clase más importante de ecuaciones funcionales son las ecuaciones
diferenciales; esto es, ecuaciones en las que además de la función
desconocida aparecen también algunas de sus derivadas de diversos
ordenes.
La enorme importancia de las ecuaciones diferenciales en las matemáticas,
y especialmente en sus aplicaciones, se debe principalmente al hecho de
que la investigación de muchos problemas de ciencia y tecnología puede
reducirse a la solución de tales ecuaciones.
Sucede con frecuencia que las leyes que gobiernan un fenómeno se
escriben en forma de ecuaciones diferenciales, por lo que éstas, en sí,
constituyen una expresión cuantitativa de dichas leyes: por ejemplo las
leyes de conservación de la masa y de la energía térmica, las leyes de la
mecánica, leyes que representan un problema económico y otros, se
expresan en forma de ecuaciones diferenciales.
11
PR OLOGO
En este material sobre Ecuaciones Diferenciales para los estudiantes de
la facultad de ciencias básicas e ingeniería que he construido , a lo largo
de estos últimos años, he observado que, además, resulta útil para
otras carreras, visto que estos apuntes podían ser aprovechados por
diversas personas con diferentes objetivos, y puesto que podían tener un
público no demasiado restringido, me decidí a darle vida en forma de
modulo.
El modulo consta fundamentalmente de tres partes, de acuerdo a una
primera clasificación general de las ecuaciones que se estudian: ecuaciones
explícitas de primer orden, ecuaciones en las que la derivada aparece
implícitamente, y ecuaciones en las que se puede reducir el orden. Cada
una de estas partes abarca diversos tipos de ecuaciones, que aparecen en
lo que hemos denominado Apartados, Por otra parte, todos los métodos
de resolución se basan, en esencia, en aplicar transformaciones diversas
hasta llegar a una ecuación de variables separadas, cuya resolución
requiere solo calcular integrales. Varios de los tipos que se estudian se
subdividen a su vez en subtipos. En todo caso, siempre se analizan los
procesos que hay que seguir para llegar a la resolución, a veces por
diferentes caminos hasta manejar las ecuaciones diferenciales mediante
series matemáticas.
Un resumen de los métodos que se emplean, para recordarlos de un
vistazo, Estos esquemas permiten clasificar fácilmente las ecuaciones
estudiadas y tener una rápida indicación de cómo abordar su
resolución, así mismo, con cada tipo de ecuaciones se muestra un
ejemplo típico completamente resuelto.
En modulo aparece una pequeña bibliógrafa con libros exclusivamente en
castellano. Al contrario que en muchos otros temas de matemáticas,
existen, en nuestro idioma, bastantes textos dedicados a las ecuaciones
diferenciales, así que solo he incluido unos pocos. Entre las obras citadas,
no he considerado necesario indicar cuáles son teóricas y cuales se dedican
fundamentalmente a la resolución de problemas, ya que me ha parecido
que sus títulos son bastante descriptivos.
Hay que tener presente que este es un modulo , dedicado a un tema
bastante puntual, con un índice detallado, y cuyo propósito es
permitir que, cuando nos encontramos ante una ecuación diferencial,
podamos fácilmente distinguir su tipo para proceder a resolverla.
12
Tutoría en Grupo de Curso
Este es el espacio donde los estudiantes, con la orientación del tutor, se
abordan aquellos temas específicos que han presentado algún grado de
dificultad en los momentos previos. En las tutorías, el docente debe asumir
el rol de orientador y dinamizador del aprendizaje, esperando que el
encuentro sea dinámico y participativo por parte de los estudiantes. NO se
debe esperar que el tutor DICTE UNA CLASE, ya que el espacio es para
tratar temáticas de manera más profunda, aclarar dudas que no se pudieron
solucionar ni individual ni grupal mente.
En el acompañamiento tutorial, se desarrolla la fase de Transferencia del
Proceso de aprendizaje; ya que el estudiante con los conocimientos
adquiridos, está en capacidad de resolver problemas en otras situaciones
utilizando los mismos principios, teorías y definiciones. Pero además se
fortalecen las fases de Reconocimiento y Profundización.
La siguiente gráfica, permite comparar el modelo pedagógico tradicional, el
cual NO se debe aplicar en nuestra institución y la propuesta de modelo que
la UNAD quiere apropiar. MODELO PEDAGOGICO
PROPUESTA
Transmisión Recepción
Conocimiento elaborado
menú
13
Las Franjas De Aprendizaje
Continuación te hacemos una breve descripción de cada uno de estos
elementos: En la Presentación se indica a grandes rasgos, en qué consiste
el Sistema de Aprendizaje Auto gestionado Asistido. En el Programa de
Estudios se especifica la estructura del contenido del modulo, los objetivos
de aprendizaje, los contenidos de cada unidad, la estrategia de evaluación
del rendimiento Académico, el material de lecturas seleccionado y la
bibliografía de la asignatura. Las Recomendaciones Generales proporcionan
una serie de sugerencias útiles para optimizar tu rendimiento académico.
Por último, las Actividades de Aprendizaje contienen un conjunto de
ejercicios, actividades y/o asignaciones estructuradas y organizadas en diez
franjas o categorías, para facilitar tu proceso de aprendizaje. Ellas en sí
mismas, representan un modelo de aprendizaje, del cual podrás apropiarte
o enriquecerte, a medida que avances en el proceso de aprendizaje. Las
franjas son las siguientes:
1. Conoce el Norte de tu Aprendizaje,
2. Conoce el Camino a Seguir,
3. Verifica tu Comprensión Lectora,
4. Reflexiona,
5. Construye tu Propio Conocimiento,
6. Comparte y Aprende de otros
Para obtener una mejor comprensión y manejo de las franjas, a
continuación te Presentamos el significado de cada una de ellas:
Incluye información referida al objetivo
de aprendizaje (norte), beneficios,
utilidad y aplicabilidad de los conocimientos
que deberás adquirir a través del
estudio de cada unidad
Son orientaciones didácticas particulares de
cada unidad y asignatura que te permitirán
conocer el ¿cómo?, ¿dónde? Y ¿cuándo?
realizar una actividad conducente al logro del
objetivo de aprendizaje planteado.
14
Son ejercicios, actividades y/o asignaciones
que te facilitarán la validación del nivel o
grado de comprensión del material de
lectura estudiado.
Son actividades, ejercicios y/o asignaciones
presentadas con fines interpretativos,
técnicos o emancipadores. Están orientadas a
facilitarte, a partir de las lecturas realizadas;
el auto-análisis, la extrapolación, la
generación de nuevas ideas, cambios a nivel
personal o profesional, nuevas perspectivas, paradigmas o posiciones ante
planteamientos o ideas realizadas o expuestas por otras personas.
Son asignaciones, ejercicios y/o
actividades orientadas a facilitarte la
asociación de la nueva información
Contenida en la Selección de Lecturas; con las que ya tenías para inducirte
al replanteamiento, contraste o generación de nuevas ideas o conclusiones.
Esta acción representa el proceso de construcción de tu nuevo
aprendizaje.
Son ejercicios, actividades y/o
asignaciones dirigidas a fomentar en
ti el aprendizaje, el intercambio de
ideas o experiencias; a través de
otras personas (estudiantes,
docentes/ tutores, padres, familiares,
compañeros de trabajo, miembros de la comunidad, etc.). A esta actividad
se le denomina aprendizaje colaborativo. Cuando la contribución está
orientada hacia un propósito u objetivo común de un determinado grupo o
equipo, se denomina aprendizaje cooperativo
15
Son actividades, ejercicios y/o
asignaciones orientadas a estimular
en ti el aprender haciendo; es decir, a
construir, diseñar o concebir un
producto propio, principalmente en
función de los nuevos conocimientos adquiridos a través del material
estudiado. Constituye una oportunidad para que puedas aportar un
producto aprovechable para ti mismo y para otras personas.
Son ejercicios, actividades y/o asignaciones
dirigidas a facilitarte la toma de conciencia;
la generación e identificación de pensamientos,
ideas, sentimientos y experiencias; derivadas
de la nueva información, aprendizajes y
experiencias adquiridas a través del material
estudiado.
Son actividades, ejercicios y/o asignaciones
dirigidas a proveerte de un mecanismo que
te permita determinar el nivel de dominio
adquirido con relación al tema estudiado.
Son artículos notables acerca de alguna
Nota aclaratoria de la unidad para tenerla
en cuenta en tus conocimientos que
vas adquiriendo.
16
TABLAS DE DERIVADAS E
INTEGRALES
17
18
19
20
21
22
23
CONSIDERACIONES PREVIAS
Definición Formal de la Integral:
f(x) dx = lim (d -> 0) (k=1..n) f(X(k)) (x(k) - x(k-1)) cuando...
a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b
d = max (x1-x0, x2-x1, ... , xn - x(n-1))
x(k-1) <= X(k) <= x(k) k = 1, 2, ... , n
F '(x) dx = F(b) - F(a) (Teorema Fundamental para Integrales de
Derivadas)
a f(x) dx = a f(x) dx (si a es una constante)
f(x) + g(x) dx = f(x) dx + g(x) dx
f(x) dx = f(x) dx | (a b)
f(x) dx + f(x) dx = f(x) dx
f(u) du/dx dx = f(u) du (integración por substitución)
24
UNIDAD UNO
ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN
25
1.1. INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
La enseñanza de las ecuaciones diferenciales en los cursos tradicionales
está dedicada a la resolución. Al dejar de lado la interpretación geométrica
la conceptualización de las Ecuaciones Diferenciales es parcializada. Esto se
observa en el hecho de que los estudiantes no pueden resolver problemas
que involucren simultáneamente distintos registros de representación.
Entre las actividades que pueden ser propuestas dentro de la enseñanza de
las Ecuaciones Diferenciales deben ser destacadas las de visualización, ya
que enfrentan al estudiante a dar consistencia a los resultados que obtenga.
Ciertamente una alternativa didáctica muy extensa en este tema se
encuentra en proporcionando un juego de marcos para solución a las
ecuaciones diferenciales (numérico, gráfico y algebraico).
Deseamos conocer con más detalle cuál es el efecto de las actividades
Propuestas en la coordinación de los diferentes registros de representación
al solucionar ecuaciones diferenciales de primer orden y orden superior.
Muchas de las leyes de la naturaleza, encuentran su expresión más natural
en el lenguaje de las ecuaciones diferenciales. Son así mismo abundantes
en la propia matemática, especialmente en la geometría.
Es fácil comprender la razón que se oculta tras la amplia gama de
aplicaciones de las ecuaciones diferenciales. Recuerde que si es una
función, su derivada se puede interpretar como la razón de cambio de con
respecto a . En cualquier proceso natural, las variables involucradas y sus
razones de cambio están relacionadas entre sí por medio de los principios
Significa saber con anticipación hacia dónde se dirige el aprendizaje para
emprender el contenido de esta unidad, que contienen aspectos básicos
teóricos y prácticos de las ecuaciones diferenciales de primer orden.
26
científicos básicos que gobiernan dicho proceso. Al expresar tal conexión en
el lenguaje matemático, el resultado es con frecuencia una ecuación
diferencial.
La medición de razones y proporciones tiene gran aplicación en varias áreas
de la ingeniería, es necesario saber tal magnitud para dar una aproximación
a problemas de la vida real. Es posible realizar calcular diferencias para
cualquier arreglo de datos. En probabilidad y estadística se obtiene razón de
interés compuesto, en física el trabajo que se requiere en determinada
condición de tiempo y espacio, crecimientos poblacionales, circuitos
eléctricos, temperatura etc. Es prudente hacer la observación los eventos
anteriores están en función del tiempo "t"
Cuando un problema de valor inicial modela matemáticamente una
situación, la existencia y unicidad de la solución es de suma importancia,
pues, con seguridad se espera tener una solución, debido a que físicamente
algo debe suceder. Por otra parte, se supone que la solución sea única,
pues si repetimos el experimento en condiciones idénticas, cabe esperar los
mismos resultados, siempre y cuando el modelo sea determinístico. Por lo
tanto, al considerar un problema de valor inicial es natural preguntarse por:
1. Existencia: ¿Existirá una solución al problema?
2. Unicidad: ¿En caso de que exista solución, será única?
3. Determinación: ¿En caso de que exista solución, como la
determinamos?
Nos ocuparemos de los interrogantes.
Se indican las estrategias que debes seguir para el provecho de la unidad,
las mismas están orientadas a explicar los aspectos relacionados con las
ecuaciones diferenciales, su estructura y aspectos básicos
27
1.1.1 CONCEPTUALIZACIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL
Qué es una ecuación diferencial?
Definición Ecuaciónón Diferencial
Hemos identificado varias veces problemas y situaciones susceptibles de
ser descritas por una ecuación diferencial. Así, vimos que problemas
relativos a la desintegración radiactiva, al crecimiento de poblaciones, a
reacciones químicas, a la ley de enfriamiento de Newton o a la fuerza
gravitatoria, se pueden formular en términos de ecuaciones diferenciales.
Una ecuación diferencial es una ecuación en la que interviene una función y
una o varias de sus derivadas. Si la función tiene sólo una variable
independiente, la ecuación se llama una ecuación diferencial ordinaria. Por
ejemplo,
d2y + 3 dy __ 2y = 0
dx2 dx
En una ecuación diferencial ordinaria en la cual la variable dependiente y =
f(x) es una función dos veces derivable de x. Una ecuación diferencial en la
que interviene una función de varias variables independientes se dice que
es una ecuación diferencial en derivadas parciales. En este capítulo
restringimos nuestra atención a las ecuaciones diferenciales ordinarias.
Además del tipo (ordinaria o parcial), las ecuaciones diferenciales se
clasifican según su orden. El orden de una ecuación diferencial viene
determinado por la derivada de orden más alto que aparezca en ella.
A través de los ejercicios y actividades de esta franja, tendrás la oportunidad
de verificar la comprensión del material la cual las ecuaciones
deferenciales parciales son muy Importantes y útiles; sin embargo su
manejo requiere del conocimiento profundo de las ecuaciones diferenciales
28
1.1.2. RESOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL
Una función y = f(x) se dice que es una solución de una ecuación diferencial
si la ecuación se satisface al sustituir en ella y y sus derivadas por f(x) y sus
derivadas respectivas. Por ejemplo, derivando y sustituyendo es fácil
comprobar que y = e-2x
es una solución de la ecuación diferencial
y´ + 2y = 0
Se puede demostrar que toda solución de esta ecuación diferencial es de la
forma y = Ce-2x
,
Donde C denota cualquier número real. Diremos que e-2x
es la solución
general de esa ecuación diferencial. (Algunas ecuaciones diferenciales
tienen soluciones singulares que no se pueden escribir como casos
particulares de la solución general).
s(t) = - 16t2 + C1t + C2
Que contiene dos constantes arbitrarias. Puede demostrarse que la solución
general de una ecuación diferencial de orden n contiene n constantes
arbitrarias.
Verificación de soluciones
Averiguar si las funciones dadas son solución de la ecuación diferencial y´´
- y = 0.
Probemos:
a) Como y = sen x, y´= cos x e y´´ = - sen x, se sigue que
y´´ - y = - sen x sen x = - 2 sen x 0
Por tanto, y = sen x no es solución.
b) Como y = e2x
, y´= 2e2x
, e y´´ = 4e2x
, se sigue que
y´´ - y = 4e2x
e2x
= 3e2x
0
Por tanto, y = e2x
no es solución.
c) Como y = 4e-x, y´= -4e-
x , e y´´ = 4e-
x, se sigue que
y´´ - y = 4e-x 4e-
x = 0
Por tanto, y = 4e-x es solución.
29
d) Como y = Cex, y´= Ce
x , e y´´ = Ce
x, se sigue que
y´´ - y = Cex Ce
x = 0
Por tanto, y = Cex es solución para todo valor de C. más adelante veremos
que la solución general de la ecuación diferencial del Ejemplo es y = C1ex +
C2e-x. Una solución particular de una ecuación diferencial es cualquier
solución que se obtenga dando valores específicos a las constantes
arbitrarias de la solución general.
Para la ecuación diferencial xy´- 3y = 0, verificar que y = Cx3
es solución y
hallar la solución particular determinada por la condición inicial y = 2
cuando x = -3.
Sabemos que y = Cx3
es una solución, ya que y´= 3Cx2, así que
xy´- 3y = x(3 Cx2) 3(Cx
3) = 0
Además, la condición inicial y = 2 cuando x = - 3 implica que
y = Cx3
2 = C(-3)3 C = -2/ 27
Luego concluimos que la solución particular es y = -2x3/27.
Para determinar una solución particular, el número de
condiciones iníciales ha de coincidir con el de constantes
arbitrarias en la solución general.
30
INTERPRETACION GEOMETRICA DE LA SOLUCION DE UNA
ECUACION DIFERENCIAL
Geométricamente, la solución general de una ecuación diferencial de primer
orden representa una familia de curvas, conocidas como curvas solución,
una para cada valor asignado a la constante arbitraria. Por ejemplo, es fácil
comprobar que toda función de la forma y = C/x es solución de la ecuación
diferencial xy´+ y = 0. La figura muestra varias curvas solución
correspondientes a diversos valores de C.
Las soluciones particulares de una ecuación diferencial se obtienen de las
condiciones iniciales que dan el valor de la variable dependiente o de
alguna de sus derivadas para un valor particular de la variable
independiente. El término condiciones iníciales proviene de que, con
frecuencia, en problemas donde interviene el tiempo, se conoce el valor de
la variable dependiente o de alguna de sus derivadas en el instante inicial t
= 0. Por ejemplo, la ecuación diferencial de segundo orden s´´(t) = -32,
con solución general
s(t) = - 16t2 + C1t + C2
podría tener las siguientes condiciones iníciales.
s(0) = 80, s´(0) = 64 Condiciones iníciales
En este caso, las condiciones iníciales dan como solución particular
s(t) = - 16t2 + 64t + 80
31
Soluciones de una ecuación diferencial. Constantes de integración
Una solución o integral de una ecuación diferencial es una relación entre las
variables, que define a una de ellas como función de la otra, que satisface a
la ecuación así.
Es una solución general de la ecuación diferencial
Ejemplo
Del problema anterior hallar una solución
cuando y=2 dy/dx=-1 x=0
La solución general de la función es para y=2 e dy/dx=-1
cuando x=0 aplicando relación entre variables
32
Sustituyendo los valores encontrados de c1 y c2 en la solución general
encontramos nuestro resultado
Una ecuación diferencial se considera resuelta cuando se ha reducido a una
expresión en términos de integrales, pueda o no efectuarse la integración.
Ejemplo
La función
es solución de la ecuación diferencial .
Observe que para calcular debemos usar el teorema fundamental del
cálculo1.2
Sustituyendo
Si la solución de una ecuación diferencial de orden tiene constantes
diferentes, diremos que dicha solución es la solución general de la ecuación
diferencial. Si asignamos valores a algunas o todas esas constantes
obtenemos lo que se conoce como una solución particular.
33
Ejemplo
La familia de parábolas es la solución general de la ecuación
diferencial .
Derivando implícitamente
Sustituyendo
En la figura se muestran algunas curvas solución.
Ejemplo
Encontrar una ecuación diferencial cuya solución general sea la familia de
círculos con radio 1 y centro en .
La ecuación de la familia de círculos con centro en y radio 1 es
Derivando implícitamente respecto a
34
Despejando el término de la ecuación y sustituyéndolo en la
ecuación de la familia obtenemos
la cual no contiene a constante . Para eliminar la constante ,
despejemos el término
De donde, derivando implícitamente y simplificando obtenemos la ecuación
diferencial deseada
Observe que el lado derecho de la ecuación es la fórmula de curvatura y
efectivamente la curvatura de los círculos es 1.
Sistema de Aprendizaje Auto gestionado Asistido sostienen, que el
aprendizaje es para toda la vida y el proceso de aprender también debe
llevarse a cabo durante todo el tiempo que vivamos, además que cada
individuo elabora y construye su aprendizaje y los procesos para lograrlo,
de forma singular y de acuerdo a sus vivencias.
35
1.1.3. Clasificación de las ecuaciones diferenciales
Las ecuaciones diferenciales se clasifican en:
Ordinarias: cuando la función desconocida o incógnita depende de una
variable.
Parciales: cuando la función desconocida o incógnita depende de mas de
una variable.
Otra clasificación:
Por el orden: el orden de una ecuación diferencial, es el de la derivada de mayor
orden que aparece en la ecuación.
Por el grado: el grado de una ecuación diferencial es la potencia de la derivada de
mayor orden que aparece en la ecuación.
Soluciones singulares
Una solución de una ecuación diferencial se llama singular si no se puede
obtener de la solución general al sustituir las constantes por valores, es
decir, no es una solución particular.
Ejemplo
La familia de rectas es la solución general de la ecuación
Diferencial La parábola es una solución singular.
Clasificación de ecuaciones diferenciales
ECUACIÓN TIPO ORDEN
a) y´´´ + 4y = 2 Ordinaria 3
b) d2s = - 32 Ordinaria 2
36
dt2
c) (y´)2 3y = ex Ordinaria 1
d) 2u +
2u = 0 Parcial 2
x2 + y
2
Las ecuaciones diferenciales se clasifican en varias categorías, como ya
vimos, según su tipo en ordinarias y parciales, o según su linealidad u
orden, como veremos.
Por tanto, El orden de una ecuación diferencial es igual al de la derivada
de más alto orden que aparece de manera no trivial en la ecuación.
Una ecuación diferencial ordinaria de orden es lineal si se puede escribir
de la forma
Donde los coeficientes para son funciones reales, con
. Una ecuación diferencial ordinaria que no se pueda expresar de
esta forma es no lineal.
Ejemplo
La ecuación diferencial
es de primer orden, no lineal y no homogénea.
Ejemplo La ecuación
es de segundo orden, lineal con coeficientes constantes y no homogénea.
Esta ecuación diferencial surge en el estudio de circuitos eléctricos que
consisten de un inductor , un resistor y un capacitor , al cual se aplica
una fuerza electromotriz .
37
Ejemplo
La ecuación
es de orden 3, lineal con coeficientes constantes y homogénea.
La ecuación
es de primer orden, no lineal y no homogénea.
La ecuación
Es de segundo orden, lineal con coeficientes variables y no homogéneos, el
concepto de orden también se extiende a las ecuaciones parciales como se
muestra en el siguiente ejemplo.
Ejemplo
La ecuación
se conoce como la ecuación de calor y es de primer orden en y de segundo
orden en .
La ecuación
se conoce como la ecuación de Laplace y es de segundo orden en e .
La ecuación
38
Se conoce como la ecuación de onda y segundo orden en , y .
1.1.4. CAMPOS DE APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES
DIFERENCIALES
La teoría de las ecuaciones diferenciales comenzó a desarrollarse a finales
del siglo XVII, casi simultáneamente con la aparición del Cálculo diferencial
e integral. En el momento actual, las ecuaciones diferenciales se han
convertido en una herramienta poderosa para la investigación de los
fenómenos naturales. En la Mecánica, la Astronomía, la Física y la
Tecnología han sido causa de enorme progreso. Del estudio de las
ecuaciones diferenciales del movimiento de los cuerpos celestes dedujo
Newton las leyes del movimiento planetario descubiertas empíricamente por
Kepler. En 1846 Le Verrier predijo la existencia del planeta Neptuno y
determinó su posición en el cielo basándose en el análisis numérico de esas
mismas ecuaciones.
otros campos de aplicación en la solución de problemas de las ciencias
naturales y sociales como lo es: la salud, la medicina, la contaduría, la
administración, etc. las ciencias sociales como tal. Señor estudiante analice
este aspecto para realizar su trabajo independiente en función a la
aplicación en su medio.
Esta franja con el objetivo de invitarte a compartir e intercambiar lo
prendido.
VARIABLES SEPARADAS.
39
1.1.5 EJERCICIOS PROPUESTOS
Clasificar las ecuaciones diferenciales de acuerdo con su tipo y orden.
1. dy + 3xy = x2 2. y´´ + 2y´+ y = 1 3. d
2x + 2 dx -
4x = et
dx dt2 dt
4. d2u + du = sec t 5. y
(4) + 3 (y´)
2 4y =0 6. x
2y´´ +
3xy´= 0
dt2 dt
7. (y´´)2 + 3y´- 4y = 0
Verificar que la función dada es solución de la ecuación diferencial.
8. y = C1cos x + C2 sen x, y´´ + y = 0
9. y = C1e-x cos x + C2e
-x sen x, y´´ + 2y´+ 2y =0
10. u = e t sen bx, b
2 u =
2u
t x2
Hallar la solución particular que pasa por el punto indicado en la grafica.
11 . y2 = Cx
3, 2xy´- 3y =0
Uno de los principios señalados por el Sistema de Aprendizaje Auto
gestionado Asistido es el aprendizaje significativo, el cual establece entre
otras características: aprender a aprender y aprender haciendo. Esto sin
duda, es una de las metas más desafiantes para toda situación educativa, y te permitirá elaborar y expresar los conocimientos adquiridos en la unidad.
40
1.2. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER
ORDEN
Una ecuación de primer orden puede reducirse a la forma
Siendo M y N funciones de X e Y
Las ecuaciones diferenciales de primer orden pueden dividirse en 4 grupos
1.2.1. Ecuaciones con variables separables.
En esta sección comenzamos estudiando técnicas para resolver familias
específicas de ecuaciones diferenciales ordinarias. En primer lugar vamos a
presentar un procedimiento que permite resolver una ecuación diferencial
de primer orden que se puede escribir en la forma: M(x) + N(-y) dy = 0
dx
donde M es una función continua de x solamente, y N una función continua
de y solamente. Para este tipo de ecuaciones, todos los términos en x se
pueden unir con dx y todos los términos en y con dy, y se obtiene una
solución por integración. Tales ecuaciones se llaman separables y el
procedimiento de resolución se denomina separación de variables. Los
pasos necesarios son los siguientes.
41
SEPARACIÓN DE VARIABLES
1. Expresar la ecuación en forma diferencial
M(x)dx + N(y) dy = 0, es decir M(x)dx = -N (y)dy
1. Expresar la ecuación en forma diferencial M(x)dx + N(y) dy = 0, es
decir M(x)dx = -N (y)dy
2. Integrar para obtener la solución genera
M(x)dx + N(y) dy = C
O sea
M(x) dx = - N(y) + C
EJEMPLO
Hallar la solución general de: (x2 + 4) dy = xy
dx
Solución: Para empezar, observamos que y = 0 es una solución. Con el fin
de hallar otras soluciones, supongamos y 0 y separamos las variables
como sigue.
(x2 + 4) dy = xy dx Forma diferencial
dy = ___x__ Separar variables
y x2 + 4
Integrando, obtenemos ahora
dy = __x__ dx Integrar
y x2 + 4
ln y =_1/2 ln (x2 + 4) + C1
= ln x2 + 4 +c1
= y =eC1
x2 + 4
y = + eC1
x2 + 4
Como y = 0 también es solución, podemos escribir la solución general como
42
Y = C x2 + 4 Solución general
En el ejemplo puede verificar que y = x2 + 4 es solución,
derivando y sustituyendo en la ecuación original.
En ocasiones no es posible escribir la solución general en la forma explícita
y = f(x). El próximo ejemplo es de esa clase. Se puede utilizar derivación
implícita para verificar la solución.
Cálculo de una solución particular por separación de variables.
Dada la ecuación inicial y(0) = 1 hallar la solución particular de la ecuación
diferencial
xydx + e-x2
(y2 1) dy = 0
Solución: Nótese que y = 0 es solución de la ecuación diferencial dada,
pero esta solución no cumple la condición inicial impuesta. Por tanto
supondremos y 0. Para separar variables hemos de liberar al primer
término de y y al segundo de e-x2
. Así pues, multiplicamos por ex2/y, con
lo que obtenemos:
(e
x2) xy dx + (e
x2) e
-x2 (y
2 1) dy = 0, y 0
y y
xex2
dx + ( y 1_) dy = 0 y
xe
x2 dx + (y 1_) dy = 0 y
1_ e
x2 + y
2 - ln y = C1
2 2
ex2
+ y2 - ln y
2 = 2C1 = C
Exigimos que y = 1 para x = 0, lo cual lleva a 1 + 1 + 0 + 2 = C. En
consecuencia, la solución particular tiene la forma implícita
ex2
+ y2 - ln y
2 = 2
Hallando una curva solución particular
Hallar la ecuación de la curva que pasa por el punto (1.3) y tiene pendiente
y/x2 en cada uno de sus puntos (x,y).
43
Al ser la pendiente de la curva y/x2, tenemos
dy = y dx x
2
con la condición inicial y(1) = 3, separando variables e integrando, se llega
a
dy = __dx__ y 0
y x2
lny = - 1 + C1
x
y = e-(1/x)+C1
= Ce 1/x
Como y = 3 para x = 1, deducimos que 3 = Ce 1,
o sea C = 3e. Por tanto,
la ecuación de la curva pedida es y = (3e)e-1/x
= 3e (x-1)/x
, x>0
1.2.2 ECUACIONES HOMOGÉNEAS
Algunas ecuaciones diferenciales que no son separables en x e y, se
convierten en separables tras un cambio de variables. Este es el caso para
las ecuaciones diferenciales de la forma y´= f(x,y), siempre que f sea una
función homogénea.
Definiciones De Funciones Homogéneas
La función dada por z = f(x,y) es homogénea de grado n si
f(x,y) = tn(x,y), donde n es un número real.
Verificando el carácter homogéneo en funciones
a) f(x,y) = x2y - 4 x
3 + 3xy
2 es una función homogénea de grado 3
porque
f(tx,ty) = (tx)2(ty)
2 - 4 (tx)
3 + 3(tx)(ty)
2
=
t3 (x
2y)- t
3 (4x
3 )+ t
3(3xy
2)
= t3 (x
2y - 4x
3 + 3xy
2)
= t3 f(x,y)
b) f(x,y) = xex/y
+ y sen (y/x) es una función homogénea de grado 1
porque
f(tx,ty) = txetx/ty
+ ty sen ty = t(xex/y
+ y sen y/x) = tf (x,y)
tx
c) f(x,y) = x + y2 no es homogenea porque
44
f(tx,ty) = tx +t2y
2 = t(x+ty
2) t
n(x+y
2)
d) f(x,y) = x/y es homogénea de grado cero porque
f(tx,ty) tx t0 x_
ty y
DEFINICION DE ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGÉNEAS
Una ecuación diferencial homogénea es cualquier ecuación de la forma
M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0
Una ecuación diferencial homogénea es cualquier ecuación de la forma
Donde M y N son funciones homogéneas del mismo grado.
Para resolver una ecuación diferencial homogénea por separación de
variables, usaremos el siguiente cambio previo de variables.
CAMBIO DE VARIABLES PARA ECUACIONES HOMOGÉNEAS
Si M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 es homogénea, se puede transformar en
una ecuación
diferencial separable por medio de la sustitución y = vx
donde v es una función derivable de x
Hallar la solución general de la ecuación diferencial homogénea
(x2 y
2) dx + 3 xydy = 0
Como (x2 y
2) y 3 xy son ambas homogéneas de grado 2, hacemos y =
vx, lo que implica dy = x dv + v dx. Entonces por sustitución llegamos a
dy
(x2 v
2y
2) x + 3x(vx)(x dv + v dx) = 0
(x2 + 2v
2x
2) dx + 3 x
3v dv =0
x2 (1 + 2v
2) dx + x
2(3vx)dv = 0
Dividiendo por x2 y separando variables se obtiene
(1+2 v2) dx = -3vx dv
dx = __-3v___ dv
x 1+ 2v2
ln x = - 3_ ln (1+ 2v2) + C1
45
4
4 ln x = -3 ln (1+ 2v2) + ln C
ln x4 = ln C(1+2v
2)-3
x4 = C (1+2v
2)-3
Sustituyendo v, vemos que la solución general es
(1 + 2 y2)3
x4 = C
x2
(x2+ 2y
2 ) = C x
2
Mas sobre Ecuaciones diferenciales homogéneas con otro cambio de
variable. Y = uz
Una ecuación lineal homogénea tiene la forma donde "P" y "Q"
son funciones
De "X"
La solución de estas ecuaciones se obtiene haciendo
El aprendizaje significativo permite al estudiante, tener mayor conciencia
sobre lo que se aprende y de los procesos que utiliza para su consolidación,
así como darse cuenta del arsenal de herramientas disponibles para
abordar los retos.
Ecuaciones Homogéneas.
46
Z y U son funciones de x que deben determinarse por lo tanto
Determinamos "u" integrando la ecuación
Resolviendo la ecuación anterior obtenemos que
Integrando y sustituyendo en los valores anteriores obtenemos
1.2.3. ECUACIONES EXACTAS
En esta sección introducimos un método de resolución de la ecuación
diferencial de primer orden M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0
En el caso especial en que dicha ecuación representa la diferencial exacta
de una función z = f(x,y).
Definición de ecuación diferencial exacta
La ecuación M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0
47
Es una ecuación diferencial exacta si existe una función f de dos
variables x e y, una ecuación diferencial exacta si existe una función f
de dos variables x e y, con derivadas parciales continuas, tal que
fx(x,y) = M(x,y) y fy(x,y) = N (x,y)
La solución general de la ecuación es f(x,y) = C
Por la sección 15.3 sabemos que si f tiene derivadas parciales segundas
continuas, entonces
M = 2f =
2f = N
y yx xy x
Esto sugiere el criterio de exactitud siguiente
Criterio de exactitud
Si M y N tienen derivas parciales continuas en un disco abierto R, entonces
la ecuación diferencial M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 es exacta si
y solamente si
M = N
y x
La exactitud es una condición frágil en el sentido de que alteraciones
aparentemente sin importancia en una ecuación exacta pueden destruir su
exactitud. Veamos esto en el ejemplo siguiente.
COMPROBANDO LA EXACTITUD
a) La ecuación diferencial
Ecuaciones exactas: Son las de la forma
48
(xy2 + x) dx + yx
2 dy = 0
es exacta porque
M N
y x
__ xy2 + x = 2xy = __ yx
2
y x
Pero la ecuación (y2 + 1)dx + xy dy = 0 no es exacta, a pesar de que se
obtiene dividiendo por x ambos lados de la primera ecuación.
b) La ecuación diferencial cos y dx + (y2 x sen y) dy = 0
es exacta porque
M N
y x
__ cos y = - sen y = __ y
2 x sen y
y x
Pero la ecuación cos y dx + (y2 + x sen y ) dy = 0 no es exacta, a pesar de
que difiere de la primera ecuación solamente en un signo.
Esto significa que puede obtenerse una solución general f(x,y) = C de una
ecuación diferencial exacta por el método usado para hallar una función
potencial para un campo vectorial conservatorio. Insistimos en este
procedimiento en los dos ejemplo siguientes.
Resolviendo una ecuación diferencial exacta
Probar que la ecuación diferencial
(2xy 3x2) dx + (x
2 2y) dy = 0
Toda ecuación diferencial de la forma
M(x) dx + N(y) dy = 0 es exacta.
En otras palabras, una ecuación de
variables separadas es de hecho
un tipo especial de ecuación exacta.
49
es exacta, y hallar su solución general.
Solución: La ecuación diferencial dada es exacta, ya que
M N
y x
__ 2xy - 3x2 = 2x = __ x
2 2y
y x
Podemos obtener la solución general f(x,y) = C como sigue:
F(x,y) = M (x,y) dx = (2 xy 3x2) dx = x
2y x
3 + g(y)
determinamos g(y) integrando N(x,y) con respecto a y e igualando las dos
expresiones de f(x,y). Si Derivamos parcialmente esta versión de f(x,y)
con respecto a y y comparar el resultado con N (x,y). En otras palabras,
N(x,y)
fy(x,y) = x2y x
3 + g(y) = x
2 + g´(y) = x
2- 2y
y
Luego, g´(y) = -2y y se sigue que g(y) = - y2 + C1. Por tanto,
F(x,y) = x2y x
3 y
2 + C1
y la solución general es
x2y x
3 y
2 = C
Resolviendo una ecuación diferencial exacta
Hallar la solución particular de
(cos x x sen x + y2) dx + 2xy dy = 0
que satisface la condición de contorno y = 1 cuando x =
Solución: La ecuación dada es exacta, ya que
g´ (y) = -2y
50
M N
y x
__ cos x x sen x + y2 = 2x = __ 2xy
y x
En este caso N(x,y) es más simple que M(x,y), y procedemos como sigue:
f(x,y) = N (x,y) dy = 2 xy dy = xy2 + g(x)
M(x,y)
fx(x,y) = xy2 + g(x) = y
2 + g´(x) = cos x x sen x + y
2
y
Así pues, g´(x) = cos x x sen x y
g(x) = (cos x x sen x) dx = x cos x + C1
lo cual implica que f(x,y) = xy2 + x cos x + C1 y la solución general es
xy2 + x cos x = C
Aplicando la condición de contorno dada, tenemos (t)2 + cos = C,
que nos lleva a que C = 0. Luego la solución particular es
xy2 + x cos x = 0
1.2.4. EL FACTOR INTEGRANTE
En otras palabras, llamamos a M dx + N dy = 0 no es exacta, puede que se
transforme en exacta multiplicando por un factor apropiado u(x,y), llamado
factor integrante de la ecuación diferencial. Por ejemplo, si la ecuación
diferencial
2y dx + x dy = 0 Ecuación no exacta
se multiplica por el factor integrante u(x,y) = x, la ecuación resultante
2xy dx +x2 dy = 0 Ecuación exacta
es exacta, siendo el lado de la izquierda la diferencial total de x2
y. De
forma similar, si la ecuación
y dx x dy = 0 Ecuación no exacta
se multiplica por el factor integrante u(x,y) = 1/y2, la ecuación resultante
1 dx - x dy = 0 Ecuación exacta
g´ (x) = cos x x sen x
51
y y2
Hallar los factores integrantes puede ser un problema difícil. Sin embargo,
hay dos clases de ecuaciones diferenciales cuyos factores integrantes
pueden hallarse de forma rutinaria a saber, aquellas que poseen factores
integrantes que son función, bien de x solamente, bien de y solamente.
Factores integrantes
Para la ecuación diferencial M(x,y) dx + N(,y) dy =0:
1 __ My(x,y) - Nx(x,y) = h(x)
N(x,y)
Es una función de x solamente, entonces ek(x)dx
es un factor integrante
1. Si
1 __ Nx(x,y) - My(x,y) = k(y)
M(x,y)
Es una función de y solamente, entonces ek(y)dy
es un factor integrante.
Hallando un factor integrante
Hallar la solución general de la ecuación diferencial
(y2 x) dx + 2y dy = 0
Solución: La ecuación no es exacta, ya que Mx(x,y) = 2y y Nx(x,y) = 0
Sin embargo como
My(x,y) - Nx(x,y) = 2y 0 = 1 = h(x)
N(x,y) 2y
Se sigue que ek(y)dy
= ex es un factor integrante. Multiplicando la ecuación
diferencial dada por ex, obtenemos la ecuación exacta
(y2 e
x x e
x) dx + 2y e
x dy = 0
cuya solución se obtiene como sigue:
f(x,y) = N(x,y) dy 2yex dy = y
2e
x + g(x)
M(x,y)
fx(x,y) = y2e
x + g´(x) = y
2 e
x x e
x
g´ (x) = - x ex
52
Por tanto, g´(x) = - x ex + e
x +C1 , lo cual implica que
f(x,y) = y2e
x - xe
x + e
x +C1
y la solución general es
y2e
x - xe
x + e
x = C1 y
2 - x + 1 = Ce-
x
1.3. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE
PRIMER ORDEN.
1.3.1 Una aplicación a los campo de fuerza
Dibujar el campo de fuerzas dado por
F(x,y) = 2y___ i - __ y2 - x j
x2 + y
2 x
2 + y
2
hallando y dibujando la familia de curvas tangentes a F.
Solución: En el punto (x,y) del plano, el vector F(x,y) tiene pendiente
dy = - (y2- x) / x
2 + y
2 = - (y
2- x)
dx
2y / x
2 + y
2 2y
que en forma diferencial es
2y dy = -(y2 x)dx
(y2 x)dx + 2y dy = 0
Reducibles a exactas: Factores integrantes
Si P(x; y) dx + Q(x; y) dy = 0 no es exacta, podemos intentar Encontrar (x; y) tal que Sea exacta.
1. Existencia de factor integrante de la forma (x). Ocurre 2. Existencia de factor integrante de la forma (y). Ocurre
3 Otras expresiones restrictivas para (x; y).k
53
Por el Ejemplo 4, sabemos que la solución general de esta ecuación
diferencia es
y2 - e
x +1 = Ce
-x o sea
y2 = x 1 + Ce
-x
Esta función nos muestra varias curvas representativas de esta familia.
Nótese que el vector fuerza en (x,y) es tangente a la curva que pasa por
(x,y).
1.3.2 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales
1. Un cuarto tiene 60 m3 de aire, originalmente libres de monóxido de
carbono. Se prende un cigarrillo y el humo, con un contenido de 4.5% de
monóxido de carbono, se introduce con una rapidez de 0.002 m3/min y se
deja salir la mezcla con la misma rapidez. Encontrar:
2. Una expresión para la concentración de monóxido de carbono en el
cuarto cualquier instante.
y la ecuación es
, es decir,
ec. Lineal no homogénea.
con solución general
para t=0, c=0 entonces
, con solución particular.
54
3. La concentración de monóxido de carbono a bajos niveles, por ejemplo
0.00012 puede ser perjudicial para los seres humanos.
Encontrar el tiempo en el cual se alcanza esta concentración.
Para c=0.00012 tenemos
De donde t=81.11 min.
t=1 hr 21 min.
4. Una masa de 98 kg de peso se cuelga de un resorte con lo que éste
interrumpe su estado de reposo. Sabiendo que k=4.9 kg/m, hallar el
movimiento de la masa si al soporte del resorte se le imprime una fuerza
metros.
Se toma el origen del sistema en el centro de gravedad de la masa cuando
está en reposo y sea x el desplazamiento de la masa en un tiempo t.
El alargamiento del resorte es (x-y) entonces.
por lo tanto
de donde
la solución de la E homogénea es
calculando,
xp por el met. de coeficientes indeterminados
Tenemos:
y como x=xnxp la solución general es:
55
Derivando:
cuando
Son dos movimientos armónicos con amplitudes diferentes.
Un hombre y su barca pesan 98 N. La fuerza ejercida en la dirección del
movimiento es 4.9 kg y la resistencia al movimiento es igual al doble de la
velocidad, determinar:
la velocidad 20 seg después de que la barca haya empezado a moverse
Ecuaciones lineal no homogénea
integrando
para
entonces
para
56
la distancia recorrida al cabo de los 20 seg.
Integrando
Para t=0, x=0
entonces
es la solución particular
para t=20, x=36.79 metros.
5. Un circuito consta de una inductancia de 0.5H, una resistencia de 20!, un
condensador cuya capacidad es de 2.5mF y una FEM de 100V.
Hallar la carga y la corriente sabiendo que Q(t)=0 para I(t)=0
Entonces
de donde
con solución general:
y
entonces
57
con las condiciones dadas tenemos
por lo tanto
6. En la conservación de alimentos, el azúcar sufre un proceso de inversión
y se transforma en glucosa y fructuosa. En las soluciones diluidas, el ritmo
de inversión es proporcional a la concentración y(t) del azúcar inalterada. Sí
la concentración es de 1/50 cuando t = 0 y 1/20 tras 3 horas, hallar la
concentración del azúcar inalterada después de 6 y 12 horas.
Por ser el ritmo de inversión proporcional a y(t), se ha de cumplir la
ecuación diferencial
dy = ky
dx
Separando variables e integrando vemos que:
1 dy = k dt
y
ln y = kt + C1
y = Cekt
De las condiciones dadas se desprende que
y(0) = 1_ C = 1_
50 50
y(3) = 1_ 1__ = _ 1_ e3k
k = - ln 4
200 200 50 3
Por tanto, la concentración del azúcar inalterada viene dada por
y(t)= _ 1_ e-(ln4)t/3
50
= _ 1_ (4-t/3
)
50
Cuando t = 6 y t = 12, resultan unas concentraciones
y(6) = 1_ (4-2
) = 1__ Tras 6 horas
50 800
58
y(12) = 1_ (4-4
) = _ 1__ Tras 12 horas
50 12800
7. Un problema común en electrostática, termodinámica e hidrodinámica
requiere saber hallar una familia de curvas, ortogonal. Ejemplo una familia
de círculos
(x2+ 2y
2 ) = C Familia de círculos
cada uno de los cuales corta a las rectas de la familia
y = Kx Familia de rectas
en ángulo recto. Dos familias de curvas de ese tipo se dice que son
mutuamente ortogonales, y cada curva de una de las familias se llama una
trayectoria ortogonal a la otra familia. En electrostática, las líneas de fuerza
son ortogonales a las curvas equipotenciales. En termodinámica, el flujo del
calor a través de una superficie plana es ortogonal a las curvas isotermas.
En hidrodinámica, las líneas de flujo (o de corriente) son trayectorias
ortogonales a las curvas potenciales de velocidades.
1.3.3 Trayectorias Ortogonales.
Describir las trayectorias ortogonales a la familia de curvas dada por y =
C/x para C 0. Dibujar varias curvas de ambas familias.
Solución: En primer lugar, despejamos C en la ecuación dada y escribimos
xy = C. Derivando ahora implícitamente respecto de x se obtiene la
ecuación diferencial
xy´ + y = 0 dy = - y_ Pendiente de la familia dada
dx x
Como y´ representa la pendiente de la familia dada de curvas en (x,y), se
deduce que la familia ortogonal ha de tener pendiente recíproca negativa de
esa, es decir, x/y, por lo que
dy = x Pendiente de la familia ortogonal
dx y
Ahora podemos hallar la familia ortogonal por separación de variables e
integración.
y dy = x dx
y2
=
x2
+ C1
2 2
Por tanto, cada trayectoria ortogonal es una hipérbola de ecuación.
59
y2
-
x2
= 1
k k
2C1 = k 0
Tienen sus centros en el origen y ejes transversales verticales para K>0 y
horizontales para K< 0.
1.3.4 EJERCICIOS PROPUESTOS
Hallar la solución general de la ecuación diferencial dada.
1. dy = x 2. dy = x2 + 2
dx y dx 3y2
3. (2+ x)y´= 3y 4. xy´= y
Hallar la solución particular de la ecuación diferencial que satisface la condición
inicial dada.
Ecuación diferencial Condición inicial
5. yy´ - ex = 0 y(0) = 4
6. x + yy´ = 0 y(1) = 4
7. y(x+1) + y´= 0 y(-2) = 1
8 xyy´- ln x = 0 y(1) = 0
Averiguar si la función es homogénea, y si es así, hallar el grado.
9. f(x,y) = x3 4xy
2 + y
3
10. f(x,y) = 2 ln xy
Las actividades que se te presentan en esta franja te permitirán valorar
tu conocimiento sobre los temas aprendidos, a nivel personal y
profesional, durante el desarrollo de toda la unidad Nº 1 de ecuaciones
diferenciales lineales de primer orden.
60
11. f(x,y) = tg (x+y)
12. f(x,y) = 2 ln _x_
Y
Resuélvase la ecuación diferencial homogénea
13. y´= x + y 14. y´= 2x + y
2x y
Hallar las trayectorias ortogonales a la familia dada y dibújense varios miembros
de cada familia.
15. x2 + y
2 = 0 17. 2x
2 - y
2 = C
16. x2 =
Cy 18. y
2 =
2Cx
19. La cuantía A de una inversión P se incrementa a un ritmo proporcional al valor
de A en el instante t.
a) Obtener la ecuación de A como función de t.
b) Si la inversión inicial es de 1000,00$ y el interés del 11 por 100, calcular el
capital al cabo de 10 años.
c) Si el interés es del 11 por 100, calcular el tiempo necesario para doblar la
inversión.
20. La tasa de crecimiento de una población de moscas de la fruta en un instante
dado es proporcional al tamaño de la población en dicho momento. Si hay 180
moscas después del segundo día del experimento y 300 moscas después del
cuarto día. ¿Cuántas moscas había originalmente?
61
UNIDAD DOS
ECUACIONES DIFERENCIALES DE
SEGUNDO ORDEN Y ORDEN
SUPERIOR
62
2.1. ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN
Recordemos:
Se llama ecuación diferencial lineal de primer orden a toda ecuación de la
forma
dy + P(x) y = Q(x)
dx
Se llama ecuación diferencial lineal de primer orden a toda ecuación de la
forma
dy + P(x) y = Q(x)
dx
Donde P y Q son funciones continuas de x.
Las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden, se dice que están en
forma canónica.
Para resolver ecuaciones diferenciales lineales de primer orden usaremos
una factor integrante u(x) que convertirá el lado izquierdo en la derivada
del producto u(x)y. Es decir, necesitamos un factor u(x)
SOLUCION DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL LINEAL DE PRIMER ORDEN
Un factor integrante para las ecuaciones diferenciales lineales de primer
orden y´+ P(x) = Q(x) es u(x) = eP(x)dx
. La solución de la ecuación
diferencial es
Contenido de esta unidad, son todas las ecuaciones de segundo orden y
de orden superior llevando las estrategias que debes seguir para el logro
el objetivo de la unidad
63
y´eP(x)dx
Q (x) eP(x)dx
dx + C
EJEMPLO Resolviendo una ecuación diferencial lineal de primer orden
Hallar la solución general de xy´- 2y = x2
Solución: la forma canónica de la ecuación dada es
y´ - _ 2_ y = x
x
Por tanto, P(x) = - 2/x, y resulta
P(x) dx = - 2 dx = - ln x2
x
eP(x)dx
= e-ln x2
= 1_
x2
EJEMPLO Hallar la ecuación general de
y´ - y tg t = 1
Solución: Como P(t) = -tg t, tenemos
P(t) dt = - tg t dt = ln cos t
eP(t)dt
= eln cos t
= cos t
Una rápida comprobación nos muestra que cos t también, es un factor
integrante. Luego, multiplicando y ´- y tg t = 1 por cos t, obtenemos
d y cos t = cos t
dt
y cos t = cos t dt = sen t + C
y = tg t + C sec
Hasta aquí hemos estudiado varios tipos de ecuaciones diferenciales de
primer orden. De éstas, el caso de variables separables generalmente es el
más sencillo, y la solución mediante un factor integrante siempre está a
mano como último resorte. En el resumen siguiente aparecen los diferentes
tipos de ecuaciones que hemos estudiado.
64
RESUMEN DE ECUACIONES DIFERENCIALES
DE PRIMER ORDEN
Método Forma de la ecuación
1. Variables separadas M(x)dx + N(y)dy =0
2. Homogéneas M(x,y)dx + N(x,y)dy =0 donde M
y N son
3. Exactas M(x,y)dx + N(x,y)dy =0
donde M/y = N/x
4. Factor integrante u(x,y)M(x,y)dx +
u(x,y)N(x,y)dy = 0
es exacta
5. Lineales y´+ P(x)y = Q(x)
2.1.1. ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN
REDUCIBLES A PRIMER ORDEN.
Ecuaciones de Bernoulli
Una ecuación no lineal muy conocida, que se reduce a una lineal con una
sustitución apropiada, es la ecuación de Bernoulli, que recibe su nombre en
honor de James Bernoulli. ¡ BUSCA SU BIOGRAFIA. ¡
y ´ + P(x)y = Q(x) yn Ecuación de Bernoulli
Esta franja te permitirá conocer las ecuaciones diferenciales de segundo
orden y reducibles a primer orden atreves de la ecuación de Bernoulli
65
Esta ecuación es lineal si n = 0, y de variables separables si n = 1. Por
tanto, en el desarrollo que sigue, suponemos que n 1. Comenzamos
multiplicando por y-n
y(1-n) para obtener
y-n
y´ + P(x) y1-n
= Q(x)
(1 n)y-n
y´ + (1 n)P(x) y1-n
= (1 n)Q(x)
d _ y1-n
+ (1 n)P(x)y1-n
= (1 n)Q(x)
dx
Que es una ecuación lineal en la variable y1-n
. Luego, si hacemos z = y1-n
,
obtenemos la ecuación lineal
dz + (1 n)P(x)z = (1-n)Q(x)
dx
Finalmente con lo conocido anteriormente, la solución general de la
ecuación de Bernoulli es
y1-n
e(1-n)P(x)dx
= (1 n)Q(x)e(1-n)P(x)dx
dx + C
EJEMPLO Hallar la solución general de y´+ xy = xe-x2
y-3
.
Para esta ecuación de Bernoulli, n = -3, y usamos la sustitución
Z = y1-n
= y4 z´= 4y
3y´
Multiplicando la ecuación original por 4y3, tenemos
4y3y´ + 4xy
4 = 4xe
-x2
z´ + 4xz = 4xe-x2
Ecuación lineal: z´+ P(x)z = Q(x)
Puesto que esta ecuación es linean en z, tenemos P(x) = 4x y
P(x)dx = 4x dx = 2x2
lo cual implica que e-x2
es una factor integrante. Multiplicando por este
factor, obtenemos
d ze2x2
= 4xex2
dx
ze2x2
== 4xex2
dx = 2ex2
+ C
z = 2e-x2
+ Ce-2x2
Luego sustituyendo z = y4, la solución general es
y4 = 2e
-x2 + Ce
-2x2
66
2.1.2. SOLUCIÓN GENERAL DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE
SEGUNDO ORDEN
DEFINICION DE ECUACION DIFERENCIAL LINEAL DE ORDEN
Sean g1, g2.,gn y f funciones de x con un dominio común. Una ecuación de
la forma
Y(n) + g 1(x) y
(n-1) + g2(x) y
(n-2) + gn 1(x)y´ + gn (x)y = f(x)
Se llama una ecuación diferencial lineal de orden n. si f(x) = 0, se dice
que la ecuación es homogénea en caso contrario, se llama inhomogénea.
Empezaremos definiendo la noción de independencia lineal. Decimos que las
funciones y1, y2,.,yn son linealmente independientes si la única
solución de la ecuación.
C1Y1+ C2 y2+ + Cnyn= 0
es la trivial, a saber C1 = C2 = = Cn = 0. En caso contrario, las funciones
se dice que son linealmente dependientes. Por ejemplo, las funciones
y1(x)= sen x ey2 = x, son linealmente independientes, porque los únicos
valores de C1 y C2 para los cuales.
C1 senx + C2x = 0 para todo x
Ecuación de Bernoulli.
Es de la forma
67
son C1 = O Y C2 = O. Se puede demostrar que dos funciones son
linealmente dependientes si y sólo si una de ellas es múltiplo constante de
la otra. Así y1(x) = ey2(x) = 3x son linealmente dependientes, porque
C1(x) + C2 (3x) = 0 admite la solución no nula C1 = -3, C2 = 1.
El teorema siguiente señala la importancia de la independencia lineal al
construir la solución general de una ecuación diferencial lineal homogénea
de segundo orden con coeficientes constantes.
2.1.3 LA SOLUCION GENERAL COMO COMBINACION LINEAL
DE SOLUCIONES LINEALMENTE INDEPENDIENTES.
y1 e y2 son soluciones linealmente independientes de la ecuación diferencial
y´´ + ay´+ by = 0, entonces la solución general es
y = C1y1 + C2y2
siendo C1 y C2 constantes.
Para hallar dos soluciones linealmente independientes, observamos que la
naturaleza de la ecuación y" + ay' + by =0 sugiere que debe tener
soluciones de la forma y = emx
. Si así es, entonces y' = memx
e y" = m2e
mx.
Luego, por sustitución, y = emx
es una solución si y solamente si
y" + ay' + by = 0
m2e
mx +ame
mx + be
mx = 0
emx
(m2 + am + b) = 0
Como emx
.nunca se anula, y = emx
es una solución si y solamente si
m2 + am + b = 0 Ecuación característica.
Esta ecuación se conoce ecuación característica de la ecuación diferencial
y" + ay' + by = 0. Nótese que la ecuación característica puede
determinarse a partir de su ecuación diferencial simplemente sustituye y"
por m2,
y' por m e y por 1.
68
2.1.4. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES HOMOGÉNEAS CON
COEFICIENTES CONSTANTES
Ahora analicemos la ecuación característica en términos de ecuaciones
homogéneas de acuerdo a la solución del discriminante.
ECUACIONES CARACTERISTICA CON RAICES REALES DISTINTAS.
Resolver la ecuación diferencial y´´ - 4y = 0
Solución: En este caso la ecuación característica es
m2
- 4 = 0 Ecuación característica
así que m2 = 4 o sea m = -
+ 2 luego y1
= e
m1x = e
2x ey2 = e
m2x = e -
2x
son soluciones particulares de la ecuación diferencial dada. Además, como
estas dos soluciones son linealmente independientes, podemos aplicar el
teorema 18.5 para concluir que la solución general es.
Y = C1 e2x
+ C2e-2x
solución general
La ecuación característica del ejemplo 1 tiene dos raíces diferentes. Por el
álgebra sabemos que estas es una de las tres posibilidades de las
ecuaciones cuadráticas. En general, la ecuación cuadrática.
m2 +am + b = 0 tiene raises.
M1 = -a + a2 4b y m2= -a - a
2 4b
2 2
Que pertenece a uno de los tres casos:
1. dos raíces reales diferenciales, m1 m2
2. dos raíces reales iguales, m1 = m2
3. dos raíces complejas conjugadas m1 = + i y m2 = x i
En términos de la ecuación diferencial y" + ay' + by = 0.estos tres casos
corresponde a tres tipos diferente de solución general.
SOLUCION DE y" + ay' + by = 0
Raíces reales diferentes: si m1 m2 son raíces reales diferentes de la
ecuación característica, entones la solución general.
69
y = C1 em1 x
+ C2em2x
Raíces reales iguales: si m1 = m2 son raíces iguales de la ecuación
característica, entones la solución general.
y = C1 em1x
+ C2xem1x
= (C1 + C2x) em1x
Raíces complejas: Si m1 = x + i m2 = x i son raíces complejas de la
ecuación característica, entones la solución general.
y = C1 exx
cos x + C2 exx
sen x
ECUACION CARACTERISTICA CON RAICES COMPLEJAS
Hallarlas la solución general de la ecuación diferencial y" + 6 y" + 12 y = 0
Solución: la ecuación característica
m2
+ 6m + 12 = 0
tiene dos raíces complejas.
m = - 6 +- 36 - 48
2
= -6 +- -12
2
= -3 + -3 = -3 + 3i
Así pues, x = -3 y = 3, y la solución general es.
y = C1e-3x
cos 3x + c2e-3x
sen 3x
la ecuación característica tiene dos raíces complejas, la solución de la
ecuación diferencial es real.
ECUACION CARACTERÍSTICA CON RAICES REPETIDAS
Resolver la ecuación diferencial
y" + 4y'+ 4y = 0 sujeta a la condiciones iníciales y (0) n= 2 e y'(0) = 1
Solución: la ecuación característica
m2
+ 4m + 4 = 0 (m + 2)2 = 0
70
tiene dos raíces reales m = -2 repetidas luego la solución general es
y = C1 e-2 x
+ C2xe-2x
solución general
Ahora bien como y = 2 cuando x = 0, tenemos
2 = C1 (1) + C2(0) (1) = C1
Además, como y' = 1 cuando x =0 tenemos
y' = -2 C1 e-2 x
+ C2( -2xe
-2 x+ e
-2 x)
1 = -2(2)(1) + C2 -2(0)(1) + 1
5= C2
Por tanto la solución es y = 2e-2 x
+5xe-2 x
solución particular
2.1.5. Ecuaciones diferenciales lineales no - homogéneas con
coeficientes constantes
Veamos un ejemplo fisico:
Las oscilaciones de un muelle por las ecuaciones diferenciales lineales de
segundo orden homogéneo
d2y
+ p (dy) + k y = 0 movimiento libre
dt2 m (dt) m
A las oscilaciones de este tipo les llamamos libres porque vienen
determinadas solamente por el muelle y por la gravedad, pero están libres
de otras fuerzas externas. Si este sistema está sujeto a la acción de una
fuerza periódica externa tal como asen bt, causada por vibraciones en el
otro extremo del muelle, el movimiento se llama forzado y queda
caracterizado por la ecuación in homogénea:
d2y
+ p (dy) + k y = a sen bt movimiento forzado
dt2 m (dt) m
Te invitamos a construir tu propio conocimiento, deseamos que esta
experiencia sea tan significativa, que te resulte una actividad útil para
aprender de las ecuaciones diferenciales con sus coeficientes y métodos
71
Ejemplo que nos deja continuar con el tema y describir dos métodos para
hallar la solución general de una ecuación diferencial lineal in homogénea.
En ambos método el primer paso consiste en hallar la solución general,
denotada por yh de la correspondiente ecuación homogénea. Una vez
hecho eso, intentamos hallar una solución particular Yp de la in homogénea.
Combinando esos dos resultados parciales obtenemos que la solución
general de la ecuación
in homogénea es y = yh + Yp por tanto:
SOLUCION GENERAL DE UNA ECUACION LINEAL NO HOMOGENIA
Sea y" + ay' + by = F(x) una ecuación diferencial lineal no homogénea de
segundo orden. Si yp es una solución particular de esta ecuación e yh es la
solución general de la ecuación correspondiente, entonces
y = yh + Yp
es la solución general de la ecuación no homogénea.
METODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS
Puesto que ya tenemos las herramientas para hallar yh, enfocamos nuestro
estudio a la forma de hallar la solución particular yp' Si F(x) en y" + ay' +
by = F(x)
Entonces podemos hallar una solución particular yp por él, método de los
coeficientes indeterminados. La clave del método estriba en conjeturar
que la solución yp es una forma generalizada de F(x). Por ejemplo:
1. Si F(x) = 3x2, escogemos yp = A x
2+ Bx + C.
2- Si F(x) = 4xex, escogemos yp = A xe
x + Be
x.
3- Si F(x) = x + sen 2x, escogemos yp = (Ax+ B) + C sen 2x + D cos 2x
Entonces, por sustitución, determinamos los coeficientes de esta solución
generalizada.
Ejemplo: Método de los coeficiente indeterminados
Hallar la solución general de la ecuación y" - 2y' - 3y = 2 sen x.
Solución: Para hallar yh, resolvemos la ecuación característica
72
m2 2m 3 = (m+1)(m-3) = 0 m = -1 y m = 3
Así pues, yh = C1e-x + C2e
3x- A continuación, hacemos que yp sea una
forma generalizada de 2 sen x. Esto es, hacemos.
yp = A cosx + B senx
y´´ p = -A senx + B cosx
y"p = -A cosx - B senx
Sustituyendo en la ecuación dada obtenemos
-A cos x - B sen x + 2A sen x - 2B cos x - 3Acos x - 3B sen x = 2 sen x
(-4A - 2B) cos x + (2A - 4B) sen x = 2 sen x
En consecuencia, yp es una solución, una vez igualados los coeficientes de
cos x y de sen x, que dan lugar al sistema.
-4A - 2B = 0 y 2A - 4B = 2
con soluciones A = 1 y B = -2 Luego la solución general es
5 5
y = yh + yp= C1e-x
+ C2e3x
+1cos x -2sen x
5 5
Ejemplo . Método de los coeficientes indeterminados
Hallar la solución general de y" - 2y' = x + 2ex
Solución: La ecuación característica m2- 2m = 0 tiene por soluciones a
m= 0 y m = 2. Luego
yh = C1 + C2e2x
Puesto que F(x) = x + 2e x nuestra primera elección de yp seria (A+Bx) +
Cex. sin embargo, como yh ya contienen un término constante C1
multiplicando la parte polinómica por x y usamos.
yp = Ax + Bbx2 + Ce
x
y' p = A +2Bx + Cex
73
y"p = 2B + Cex
Situación en la ecuación diferencial, resulta
(2B+ Cex) 2(A+2Bx + Ce
x) = x + 2e
x
(2B- 2A) 4Bx - Cex = x + 2e
x
Igualando los coeficientes de términos análogos, obtenemos el sistema
2B 2A = 0 -4B = 1, -C = 2
Con solución A = B = - ¼ y C = -2. En consecuencia.
yp = - 1 x 1_ x2 2e
x
4 4
Siendo la solución general.
y= C1 + C2e2x
1 x 1 x2 - 2e
x
4 4
LA FORMA DE LA SOLUCION PARTICULAR
Determine una formula apropiada de Yp para la siguiente situación
y" + ay' + by = F(x) yh
a. y" = x2
C1 + C2x
b. y" + 2 y' + 10y = 4 sen 3x C1e-x cos 3x + C2e
-x sen 3x
c. y" - 4 y' + 4 = e2x
C1e2x
+ C2e2x
solución
a)como F(x) = x2 la eyección normal de yp seria
A + Bx + C x2
74
Sin embargo como Yh =
C1 + C2x ya contiene un termino lineal
multiplicamos por x2 para obtener
yp = Ax2 +B
X3 +Cx
4
b) como F(x) = 4 sen 3x y puesto que cada termino en yh contiene un factor
de e-x , hacemos simplemente.
yp = A cos 3x + B sen 3x
c) como F(x) = e2x
la elección normal de yp seria de Ae2x
pero como.
yh = C1e2x
+ C2xe2x
ya contienen un término xe2x
, multiplicamos por x2 para concluir que
yp = Ax2 e
2x
También podemos usar el método de los coeficientes indeterminados para
ecuaciones no homogéneas de orden superior.
2.1.6. OPERADOR PARA LA SOLUCION DE ECUACIONES DE SEGUNDO
ORDEN
Aunque es inmediato el reconocimiento de la dependencia o independencia
lineal de dos soluciones de una ecuación lineal de 2º orden, se van a
introducir unos criterios de independencia basados en el wronskiano ,
pensando en su generalización al caso de n soluciones de las ecuaciones
lineales de orden n.
Definición:
Dadas n funciones f1(x), ..., fn(x) Cn(I), se llama wronskiano ( o
determinante de Wronski) de las mismas, y se designa por Wf1, ... ,fn a:
)1nn
)1n2
)1n1
'n
'2
'1
n21
n1
fff
f f f
f f f
f ..., ,fW
Es también una función real: W(x); xI
75
Condición necesaria y suficiente para que 2 soluciones particulares y1(x),
y2(x) de la ecuación homogénea 6 Ly = 0 (donde p(x), q(x) C(I) ),
sean linealmente dependientes en I, es que exista algún xo I tal que W
y1(xo), y2(xo) = 0. Entonces Wy1(x), y2(x) 0 en I
Condición necesaria y suficiente para que 2 soluciones particulares y1(x),
y2(x) de la ecuación homogénea Ly = 0, sean linealmente independientes
en I, es que:
W y1(x), y2(x) 0 xI.
Si y1(x) e y2(x) son soluciones de 0y)xq(y)xp(y en (a,b) y
xo(a,b), entonces:
x
ox
td )tp(
o21 e)xW()x(y),x(yW
EJEMPLO ¿Puede ser W(x) = 3(x-1)2 el wronskiano en (0,2) de dos
soluciones de alguna ecuación de 2º orden lineal homogénea:
0y)xq(y)xp(y con p(x), q(x) continuas en (0,2)?.
W(x) sólo se anula para x = 1 en el intervalo (0,2) y debería anularse en
todos o ningún punto del intervalo. Luego W(x) no puede ser tal wronskiano
en ningún intervalo abierto que contenga a x = 1
La elaboración de un producto propio, implica la construcción de
una herramienta que pueda ser utilizada por ti y por otros de
alas ecuaciones diferenciales de segundo orden.
76
2.1.7. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE
SEGUNDO ORDEN APLICACIÓN
1. Un depósito contiene 50 litros de una solución compuesta por 90 por 100
de agua y 10 por 100 de alcohol. Al mismo tiempo, se vacía en el depósito
a razón de 5 litros/min, suponiendo que la solución del depósito se agita
constantemente, ¿cuánto alcohol queda en el depósito después de 10
minutos?
Solución: Se ay el número de litros de alcohol en el depósito en un instante
arbitrario t. Sabemos que y = 5 cuanto t = 0. puesto que el número de
litros de solución en el depósito en un instante dado t es 50 t y puesto
que el depósito pierde 5 litros de solución por minuto, perderá
(___5_ ) y
50 t
litros de alcohol por minuto. Por otro lado, como en el depósito entran 2
litro de alcohol por minuto, la razón de cambio de alcohol en el depósito
viene dada por
__dy__ = 2 ( 5 ) y _ dy + ( 5 ) y = 2
dt 50 t dt 50 - t
Para resolver esta ecuación lineal, hacemos P(t) = 5/(50 - t) Y obtenemos
p(t) dt = 5_ dt = -5 ln l50- t|
50 - t
Al ser t < 50, podemos omitir el signo de valor absoluto, concluyendo
que
eP(t)dt = e-5ln(50-t)=
____1____
(50 t)5
Por tanto, la solución general es
_ y___ = 2___ dt = 1___ + C
(50 - t)5 (50 - t)
5 2(50 - t)
4
y = 50 - t + C(50 - t)5
2
Como y = 5 cuando t = O. tenemos
77
5 = 50 + C(50)2 _ _20_ = C
2 505
lo cual significa que la solución particular es
y = 50 t - 20 50-t
2 50
Finalmente, cuando t = 10, la cantidad de alcohol en el depósito es .
Y = 50 10 - 20 (50- 10)5
= 13,45 litros
2 50
lo cual representa una solución conteniendo 33,6 por 100 de alcohol.
Problemas de valor inicial y de frontera
En la mayoría de las aplicaciones estamos interesados no en la solución
general de una ecuación diferencial, sino en una solución particular que
satisfaga ciertas condiciones dadas. Esto da origen a los problemas de valor
inicial o de frontera.
Ejemplo
Una partícula se mueve a lo largo del eje de manera tal que su
aceleración en cualquier tiempo está dada por .
Encuentre la posición de la partícula en cualquier tiempo , suponiendo
que inicialmente la partícula está localizada en y está viajando a una
velocidad de .
Recuerde que la primera derivada de la posición nos da la velocidad y la
segunda derivada la aceleración. De donde el problema de valor inicial sería
Integrando con respecto a obtenemos
78
y usando la condición podemos hallar que , con lo cual la velocidad en
cualquier tiempo sería
Integrando de nuevo
y usando la condición podemos determinar que y obtener la posición
de la partícula en cualquier tiempo
2.1.8 EJERCICIOS PROPUESTOS
Resolver la ecuación de Bernoulli.
1. y´ + 3x
2y = x
2y
3
2. y´ + 2xy = xy
2
3. y´ + (1) y = xy
2
x
4. yy´ - 2y
2 = e
x
Hallar la solución general de la ecuación diferencial lineal.
Esta franja te permite realizar actividades y/o asignaciones dirigidas a
facilitarte la toma de conciencia, la generación de pensamientos, ideas,
sentimientos y experiencias; derivadas de la nueva información y
aprendizajes adquiridos a través del material estudiado.
79
1. y" + 2y' = 0
2, y" + 6y' + 5y = 0
3 y" + 6y' + 9y = 0
4. 9y" - 12y'+ 4y = 0
Hallar la solución particular de la ecuación diferencial lineal.
1. y" - y' - 30y = 0
y(0) = 1, y'(0)= -4
2. y" +2y'+3y=0
y(0) = 2, y'(0) = 1
Usar el wronskiano y verificar la independencia lineal de las dos funciones.
1. y1 = eax
sen bx, y = eax
cos bx, b 0
2.. y1 = x, y2 = x2
Resolver por el método de los coeficientes indeterminados.
1. y" + 9y = sen3x
2. y" + 4y' + 5y = sen x + cos x
3. y'" - 3y' + 2y = 2e-2x
2.2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Dos tipos especiales de ecuaciones diferenciales de orden superior
Este tipo de ecuaciones diferenciales tiene la forma
En donde "X" es una función de "x" únicamente, o una constante para
integrar
80
El proceso anterior se repite (n-1) veces, de esta manera se obtendrá
la solución general, que contendrá "n" constantes arbitrarias
Ejemplo.
Las siguientes ecuaciones tiene la forma
Donde "Y" es una función de "y" únicamente
Lo anterior es valido por
81
El segundo miembro es una función de y. Extrayendo la raíz
cuadrada, las variables "x" e "y" quedan separadas. Y podemos
integrar otra vez
2.2.1 ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE ORDEN N
Una ecuación diferencial lineal de orden n , es una ecuación de la
forma:
a x y a x y a x y a x y g xn nn n0 1
11( ) ( ) ......... ( ) ( ) ( )( ) ( )
o en forma canónica:
. )x(hy)x(py)x(p.....y)x(py n1n)1n(
1)n(
que en forma simbólica se escribirá: )xh(yL
siendo L el operador lineal: Ld
dxp x
d
dxp x
d
dxp x
n
n
n
n n n
1
1
1 1( ) ......... ( ) ( )
2.2.2 ecuación diferencial lineal homogénea o incompleta
0yL
La teoría asociada a estas ecuaciones es análoga al caso en que n=2.
Ecuaciones Lineales De Orden Superior
Son de la forma
82
Se supondrá en lo sucesivo que las ecuaciones lineales utilizadas cumplen
las condiciones del teorema de existencia y unicidad en un intervalo I=
(a,b).
Se verifica:
El operador L es una aplicación lineal del espacio vectorial Cn (I)
en el espacio vectorial C(I).
Para ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de orden superior,
hallamos la solución general de forma similar a como la hemos hecho para
la ecuación de segundo orden. Esto es, comenzamos hallando las n raíces
de la ecuación característica y, a continuación, basados en estas n raíces,
formamos un conjunto linealmente independiente de las n soluciones. La
mayor diferencia consiste en que con ecuaciones de tercer orden o mayor,
la raíces de la ecuación característica puede repartirse más de dos veces.
Cuando sucede esto, las soluciones linealmente independientes se forman
multiplicando por potencias crecientes de x.
EJEMPLO Resolviendo una ecuación de tercer orden
Hallar la solución general de y'" + 3y"+ 3y' + y = 0
Solución: La ecuación característica es
m3+ 3m
2+ 3m+ 1 = (m + 1)
3 = 0
Puesto que la raíz m = -1 es triple, la solución general es
y = C1e-x + C2x e
-x + C3x
2e
-x Solución general
EJEMPLO Removiendo una ecuación de cuarto orden
Hallar la solución general de . y(4)
+ 2y" + y = 0.
Solución: La ecuación característica es
m4+ 2m
2+ 1 = (m
2+ 1)
2= 0
m = + i
Puesto que las raíces m1 = +i = o + iy m2 = i = 0 i son dobles, la
solución general es
y = C1 cosx + C2 senx + C3 x cosx + C4x senx Solución general
83
2.3. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE
ORDEN SUPERIOR
De acuerdo con la ley de Hooke, un muelle que se extiende (o se comprime)
y unidades de su longitud natural 1 tiende a volver por sí mismo a su
longitud natural, mediante una fuerza F que es proporcional a y. Esto es,
F(y) = -ky, donde k es la constante del muelle que indica la rigidez de un
muelle dado.
Supóngase que se ata al extremo de un muelle un objeto rígido de masa m
y que causa un desplazamiento. Se considera que la masa del muelle es
despreciable frente a m.
Ahora tiramos del objeto hacia abajo, soltándolo a continuación. Las
oscilaciones resultantes son consecuencia de dos fuerzas opuestas la
fuerza del muelle F(y) = -ky y el peso MG del objeto-. Bajo tales
condiciones, podemos usar una ecuación diferencial para hallar la posición y
del objeto como función del tiempo t. De acuerdo con la segunda ley del
movimiento de Newton, la fuerza que actúa sobre el peso es F = ma, donde
a = d2
y/dt2 es la aceleración. Suponiendo que el movimiento no es
amortiguado --esto es, no hay otras fuerzas externas que actúen sobre el
objeto- se sigue que m(d2 y/dt
2) = -ky, y tenemos.
d2y
+ (k) y = 0
dt2
(m) Movimiento no amortiguado de un muelle
MOVIMIENTO NO AMORTIGUADO DE UN MUELLE
Supóngase que un peso de 4 libras estira un muelle, desde su posición
natural, en 8 pulgadas. Si se estira el muelle hacia abajo otras 6 pulgadas
y se suelta con una velocidad inicial hacia arriba de 8 pies por segundo,
hallar la fórmula para la posición del peso en función del tiempo t.
Solución: Por la ley de Hooke, 4 = k(2/3), luego k = 6. Además, como el
peso w viene dado por MG, se sigue que M = w/g = 4/32 = 1/8. Por tanto,
la ecuación diferencial resultante para el movimiento no amortiguado es
d2y
+ 48y = 0
dt2
Puesto que la ecuación característica m2 + 48 = 0 tiene raíces complejas
m = 0 + 4 3i, la solución general es
y = C1eocos4 3t + C2e
osen 4 3t = C1cos4 3t + C2sen 4 3t
84
Usando las condiciones iníciales se tiene:
1 = C1 (1) + C2 (0) = C1 1 y(0) = 1
2 2 2
y'(t) = - 4 3 C1 sen4 3t + 4 3 C2 cos4 3t
8 = -4 3 (1) (0) + 4 3 C2 (1) => C2 = 2 3 y´(0) = 8
(2) 3
En consecuencia, la posición en un tiempo t viene dada por
y= 1 cos 4 3t + 2 3 sen4 3t
2 3
2.3.1 Aplicaciones La Ecuaciones lineal De Orden N
Como primer ejemplo consideraremos un carro de masa m que se mueve
bajo la acción de una fuerza F y que esta sujetado a la pared mediante un
resorte de constante elástica k (ver la figura). Si suponemos además que la
fuerza de rozamiento es proporcional a su velocidad entonces la segunda
ley de Newton nos conduce a la EDO
mx00+ax0 +kx = F(x), o equivalentemente,
Con las condiciones iníciales para t = 0 de la posición x(0) = x0 y la velocidad x´(0) = v0. Vamos a estudiar los distintos casos
1. El primer caso corresponde cando
o tenemos fuerza externa ni
rozamiento,
Es decir, f = 0 y´ = 0 entonces
y por tanto la solución general es
85
Que al usar las condiciones iníciales se transforma en
2.3.2 EJERCICIOS PROPUESTOS
Describa el movimiento de un peso de 32 libras suspendido de un muelle.
Supóngase que el peso estira el muelle 1de pie de su posición natural.
1. Se tira del peso ½ pie por debajo de la posición de equilibrio y se suelta.
2. Se eleva el peso2/3 de pie por encima de la posición de equilibrio y se
suelta.
Hallar la solución general de y'" + 3 y"+ 3 y'+ y = x
Sugerencia: sabemos que la solución homogénea es
yh = C1e-x + C2xe
-x + C3x
2e
-x
Por coeficientes indeterminados.
Resolver
Esta franja incluye ejercicios propuestos, dirigidas a proveerte
de un mecanismo que te permita determinar el nivel de
dominio adquirido con relación a la unidad Nº dos.
86
UNIDAD TRES
ESTUDIO DE SERIES Y
FUNCIONES ESPECIALES
87
3.1. GENERALIDADES DEL ESTUDIO DE SERIES
3.1.1. ESTUDIO DE SERIES DE POTENCIAS
Conceptualización
En este tema se trata únicamente de efectuar un breve repaso de las series
de potencias. Se expondrán los conceptos y propiedades, sin realizar las
demostraciones.
Se suponen conocidas las series numéricas y también los conceptos
fundamentales relativos a las series de potencias.
Definiciones: Una serie de potencias en torno al punto xo es una expresión
de la forma:
...)xx(a...)xx(aaxxan
0n010
0n
n0n
donde los an son constantes.
¡Bienvenido a tus actividades de aprendizaje de esta unidad! Para culminar
con la Unidad tres de la asignatura, deberás manejar conceptos ya
mencionados, en esta unidad aplicaremos el estudio de series y funciones
especiales en las ecuaciones diferenciales.
88
- La serie converge en el punto x = a , si converge la serie numérica :
a a xn
n
n
00 , es decir, si existe y es finito el límite :
limN
n
n
n
N
a a x
00 , que se
designa suma de la serie en x = a.
- En otro caso se dice que la serie diverge en x = a.
- La serie [1] puede converger para algunos valores de x y no para otros.
Siempre converge para x = xo, siendo ao su suma en dicho punto.
¿Dónde converge la serie? A esta pregunta responde el teorema de Abel,
que se enuncia sin demostrarlo. ´
Teorema de Abel
Una serie de potencias
0n
n0n xxa
converge siempre para todo valor
de x de un cierto intervalo abierto I=(x0-R, x0+R) y diverge si
Rxx 0 . En los extremos del intervalo puede converger o no.
Además en I la convergencia es absoluta, es decir, que converge en I la
serie
0n
n0n xxa
I = (x0-R , x0+R) recibe el nombre de intervalo de convergencia
¿Cómo obtener el radio de convergencia R?
Criterio:
Si existe
nn
nalim
, entonces R =
1
Si existe
n
1n
n a
alim
, entonces
nn
nalim
y R =
1
( Se entiende que si = 0 es R = y si = , es R = 0 )
Ejemplo 1:
¿ Dónde converge la serie
0n
nn
3x1n
2
?
89
Es
a
nn
n
2
1 . Luego
lim lim( )
( )n
n
nn
a
a
n
n
1 2 1
22
Luego R =
1
2 y por tanto la serie converge y además absolutamente en
31
23
1
2
, , es decir I =
5
2
7
2,
En x =
5
2 , la serie es
1
10 nn
que diverge por ser la armónica.
En x =
7
2 , es
1
10
n
n n que converge (armónica alternada)
Como la serie [1] converge para los puntos x I , su suma al variar x en I
, será una función S(x) que se llama suma de la serie en I.
Ahora resolvamos ecuaciones diferenciales por medio de series.
3.1.2. SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES MEDIANTE
SERIES DE POTENCIAS
Mostrando cómo pueden usarse las series de potencias para resolver ciertos
tipos de ecuaciones diferenciales. Por brevedad, limitaremos nuestro estudio
al enunciado y manejo del método, omitiendo el desarrollo teórico.
Comenzamos con el método general de solución por series de potencias.
Recuérdese del Capítulo 10 que una serie de potencias representa a una
función f en un intervalo de convergencia, y que podemos derivar la serie
de potencias sucesivamente, para obtener series para f, f", etc. Por
ejemplo,
Todas las funciones se pueden expresar
como series de potencias, aquellas
funciones que si se Pueden
se llaman analíticas.
90
f(x) = ao + a1x + a2x2 + a3x
3 + ... = anx
n
n=0
f´(x) = a1+2 a2x2 + a3x
3 + + 4ª4x
3 + ... = nanx
n-1
n=0
f"(x) = 2 a2 + 6a3x + 12a4x2 + 20a5x
3 + ... = n(n -1 ) an x
n-2
n=0
Solución en serie de potencias
Usar una serie de potencias para hallar la solución general de la ecuación
diferencial y' 2y =0.
Solución: Supongamos que
y = an x n
n=0
es una solución. Entonces
y = nan x n-1
n=1
sustituyendo en ´y 2y, obtenemos la forma de serie siguiente para la
ecuación diferencial dada
y´- 2 = nan x n-1 2 an x
n = 0
n=1
n=1
nan x n-1
= 2 an x n
n=0
n=0
A continuación ajustamos los índices de la suma de forma que aparezca x n
en cada serie. En este caso basta sustituir n por n + 1 en la serie de la
izquierda para obtener
(n + 1)an + 1x n = 2 an x
n
n=-1
n=0
Igualando los coeficientes de términos correspondientes, obtenemos la
fórmula de recurrencia (n + 1) an+1 = 2an´ de donde
an+1 = 2 an , n 0
91
n + 1
Está formula genera los resultados siguientes en términos de a0
a1 = 2 a0
a2 = 2a1 = 22a0
2 2
a3 = 2a2 = 23a0 = 2
3a0
2 2 . 3 3!
a4 = 2ª3 = ___24a0 = 2
4a0
2 2 . 3 . 4 4!
.
.
.
an = 2na0
n!
Usando estos valores como coeficientes de la serie solución, tenemos
y= 2na0 x
n = a0 2
n x
n = a0e
2x
n=-0
n! n=0
n!
Usar una serie de potencias para resolver la ecuación diferencial y´´ +
xy´+ y =0
Solución: Suponemos que
anxn es solución. Entonces
n=0
y´= nanxn-1
xy´= nanxn y´´= n (n-1)anx
n-2
n=0
n=0
n=0
Sustituyendo y´´, xy´e y en la ecuación diferencial dada, obtenemos las
series siguientes:
y´= n(n-1)anxn-2
+ nanxn + anx
n = 0
n=0
n=0
n=0
92
n(n-1)anxn-2
= - (n+1)anxn
n=0
n=0
Para igualar las potencias de x, ajustamos los índices de la suma
sustituyendo n por n+2 en la suma de la izquierda, obteniendo
(n+2)(n+1)an+2xn = - (n+1)anx
n
n=-2
n=0
Igualando coeficientes, resulta que (n+2)(n+1)an+2 = -(n+1)an, de donde se
obtiene la formula de recurrencia
an+2 = - __(n+1) an = - an_ n 0
(n+2)(n+1) n +2
y los coeficientes de la serie solución son
a2 = - a0 a3 = - a1
2 3
a4 = - a2 = a0 a3 = - a1 = a1
4 2.4 5 3.5
a6 = - a4 = a0____ a7 = - a5 = a1___
6 2.4.6 7 3.5.7
a2k = (-1)ka0 = = (-1)
ka0_ a2k+1 = - ____(-1)
ka1 ___
2.4.6 ... (2k) 2k(k!) 3.5.7 (2k +1)
Luego, podemos representar la solución general como suma de dos series,
una para las potencias para con coeficientes en términos de a0, y otra para
las potencias impares con coeficientes en términos de a1.
y = a0( 1-x2 + x
4 - ...) + a1 (x x
3 + _x
5_ -...)
2 2.4 3 3.5
= a0 (-1)
kx
2k + a1 ___(-1)
kx
2k+1
k=0
k=0 3.5.7(2k+1)
93
Obsérvese que la solución tiene dos constantes arbitrarias, ao y a1 tal como
esperaríamos en la solución general de una ecuación diferencial de segundo
orden.
3.1.3 Ecuación de Bessel.
(1)
Donde á es un número real o complejo. El caso más común es cuando á es
un entero n, aunque la solución para á no enteros es similar. El número á
se denomina orden de las funciones de Bessel asociadas a dicha ecuación.
La Ecuación de Bessel aparece cuando se buscan soluciones a la ecuación
de Laplace o a la ecuación de Helmholtz por el método de separación de
variables en coordenadas cilíndricas o esféricas. Por ello, las funciones de
Bessel son especialmente importantes en muchos problemas de
propagación de ondas, potenciales estáticos y cualquier otro problema
descrito por las ecuaciones de Helmoltz o Laplace en simetrías cilíndricas o
esféricas. Cuando se resuelven sistemas en coordenadas cilíndricas, se
obtienen funciones de Bessel de orden entero (á = n) y en problemas
resueltos en coordenadas esféricas, se obtienen funciones de Bessel de
orden semientero (á = n + 1 / 2), por ejemplo:
Ondas electromagnéticas en guías de onda cilíndricas
Conducción del calor en objetos cilíndricos.
Modos de vibración de una membrana delgada circular
(o con forma de anillo).
Difusión en una red.
El camino a seguir es con actividad conducente al logro del objetivo de
aprendizaje planteado en cada unidad del conocimiento profundo de las
ecuaciones diferenciales a partir del el estudio de series y funciones
94
También se usan funciones de Bessel en otro tipo de problemas, como en
procesado de señales.
3.1.4 Funciones de Bessel ordinarias
Las funciones de Bessel ordinarias de orden á, llamadas simplemente
funciones de Bessel de orden á son soluciones de la ecuación de Bessel (1).
Existen dos formas simples de expresar la solución general de la ecuación
diferencial de Bessel con parámetro á, que están asociadas a las funciones
de Bessel ordinarias de primera y de segunda especie.
Funciones de Bessel de primera especie: Já
Las funciones de Bessel de primera especie y orden á son las soluciones de
la ecuación diferencial de Bessel que son finitas en el origen (x = 0) para
enteros no negativos á y divergen en el límite para á negativo no
entero. El tipo de solución y la normalización de Já(x) están definidos por
sus propiedades abajo indicadas. Para las soluciones de orden entero es
posible definir la función Já(x) por su expansión en serie de Taylor en torno
a x = 0:
(z) es la función Gamma de Euler, una generalización del factorial para
números complejos. Para á no enteros, se necesitan expansiones en series
de potencias más generales.
Estas funciones cumplen que:
Si , entonces Já(x) y J − á(x) son linealmente independientes, y por
tanto dan una solución general de la ecuación de Bessel. Si , entonces
J − á(x) no está definida en x = 0. Si , entonces se cumple:
, por lo que las dos soluciones dejan de ser
linealmente independientes. En este caso, la segunda solución linealmente
independiente será una función de Bessel de segunda especie.
95
3.2 FUNCIONES ESPECIALES Y SERIES MATEMATICAS
3.2.1 SERIES DE TAYLOR
Es una función f(x) infinitamente derivable real o compleja definida en
un intervalo abierto (a-r, a+r) se define con la siguiente suma:
Aquí, n! es el factorial n y f (n)(a) indica la n-ésima derivada de f en el punto a. Si esta serie converge para todo x perteneciente al intervalo (a-r, a+r) y la suma es igual a f(x), entonces la función f(x) se llama analítica. Para comprobar si la serie converge a f(x), se suele utilizar una estimación del resto del teorema de Taylor. Una función es analítica si y solo si se puede representar con una serie de potencias; los coeficientes de esa serie son necesariamente los determinados en la fórmula de la serie de Taylor.
Al construir tu propio conocimiento, deseamos que esta
experiencia sea tan significativa, que te resulte una actividad útil
para aprender estudio de series y funciones especiales.
96
3.2.2 Solución de ecuaciones diferenciales mediante
Series de Taylor
Un segundo tipo de método de resolución por series de potencias se refiere
a una ecuación diferencial con condiciones iniciales, y hace uso de las series
de Taylor.
EJEMPLO Aproximación por el teorema de Taylor
Usar el teorema de Taylor para hallar la solución en serie de
y'=y2-x
con la condición inicial y = 1 en x = 0. A continuación, usar los primeros
seis términos de esta solución en serie para aproximar los valores de y en 0
x 1
Solución: Recuérdese de la Sección 10.10 que, para C = 0
y = y(0) + y' (0)x + y´´ ( 0) + y"' (0) x3 +
2! 3!
Como y(0) = 1 e y' = y2 - x, se sigue que
y(0) = 1
y' = y2 x y´(0) =1
y" = 2y y' 1 y´´(0) =2-1=1
y"' = 2 y y" + 2 (y)2
y´´´ (0) = 2+2=4
y(4)
= 2 y y"' +6 y' y" y(4)
(0) = 8+6=14
y(5)
=2yy(4)
+ 8 y' y"' + 6 (y')2
y(5)
(0= 28+32+6=66)
La elaboración de un producto propio, que pueda ser utilizada
por ti y por otros. En tal sentido, deseamos estimularte para que
construyas referente a las soluciones mediante series de Taylor
97
y(0) = 1
Por tanto, podemos aproximar los valores de la solución mediante la serie
y= y(0) + y´(0)x +y´´(0)x2 + y´´´ (0) x
3 + y(4)(0) x
4 + y(5) (0) x
5 + ...
2! 3! 4! 5!
= 1 + x + 1 x2 + 4 x
3 + 14 x
4 66 x
5 + ...
2 3! 5!
Usando los seis primeros términos de esta serie, calculamos varios valores
de y en el intervalo 0 x , como muestra la Tabla.
x 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
y 1.00000 1.1057 1.2264 1.3691 1.5432 1.7620 2.0424 2.4062 2.8805 3.4985 4.3000
3.2.3 Funciones ortogonal
En análisis funcional, se dice que dos funciones f y g de un cierto espacio
son ortogonales si su producto scalar es nulo.
Que dos funciones particulares sean ortogonales depende de cómo se haya
definido su producto escalar, es decir, de que el conjunto de funciones haya
sido dotado de estructura de espacio prehilbertiano. Una definición muy
común de producto escalar entre funciones es:
(1)
Como podrás notar a través de las actividades propuestas en las
franjas anteriores, has aprendido mucho a identificar las
diferentes ecuaciones diferenciales y a practicarlas en series y
funciones especiales.
98
con límites de integración apropiados y donde * denota complejo conjugado
y w(x) es una función peso (en muchas aplicaciones se toma w(x) = 1).
Véase también espacio de Hilbert para más detalles. Las soluciones de un
problema de Sturm-Liouville, es decir, las soluciones de ecuaciones
diferenciales lineales con condiciones de borde adecuadas pueden escribirse
como una suma ponderada de funciones ortogonales (conocidas también
como funciones propias). Así las soluciones del problema:
(2)
3.2.4 Serie de Fourier
Es una serie infinita que converge puntualmente a una función continua y
periódica.
Si es una función o señal periódica y su período es 2T, la serie de Fourier
asociada a es:
Donde y son los coeficientes de Fourier que toman los valores:
Por la identidad de Euler, las fórmulas de arriba pueden expresarse
también en su forma compleja:
99
Los coeficientes ahora serían:
Aplicaciones
Realmente el desarrollo de Fourier se hace para funciones de cuadrado
integrable, es decir, para funciones que cumplan que:
El conjunto de todas las funciones integrables definidas en el intervalo
se denota con L2([ − ð,ð]). Este conjunto, tiene definido un producto
interno dado por:
Que lo dota de estructura de espacio de Hilbert. De este modo, que todas
las funciones de L2([ − ð,ð]) puedan desarrollarse en series de Fourier. Así,
el conjunto de funciones exponenciales es una base orto
normal del espacio L2([ − ð,pi].
El desarrollo de Fourier se puede expresar como:
100
Donde son los coeficientes del desarrollo de Fourier.
Por último, la igualdad de Parseval dice que dada una función f de cuadrado
integrable y los coeficientes de Fourier cn, se verifica que:
3.2.5 EJERCICIOS PROPUESTOS
Usar series de potencias para resolver la ecuación diferencial.
1. y'-y= 0 2, y' - ky = 0
3. y" - 9y = 0 4. y" k2y = 0
Usar el teorema de Taylor para hallar la serie solución de la ecuación
diferencial con las condiciones iníciales especificas. Usar n términos de la
serie con el fin de aproximar y para el valor de x dado.
5. y' + (2x - 1) y= 0, y(0) = 2,
n = 5, x = 1
2
Esta franja incluye ejercicios propuestos, dirigidas a
proveerte de un mecanismo que te permita determinar el
nivel de dominio adquirido con relación a la unidad Nº tres.
101
6. y' - 2xy = 0,y(0)= 1,
n = 4, x = 1
Verificar que la serie converge a la función dada sobre el intervalo que se
indica.
1. = x
n = e
x, (
, )
n=0 n!
Ecuación diferencial: y' - y = 0
2.
_____(2n)! x2n+1
= arcsen x, (-1 ,1)
n=0 (2
nn!)2(2n + 1)
Ecuación diferencial: (1 x2)y" - xy' = 0
Miscelánea De Ejercicios
Unidad uno. Hallar la solución general de la ecuación diferencial de
primer orden.
1. dy + xy = 2y
dx
2. y´- 2y = y´
x x
3. xy dx + (1+x2)dy = 0
4. xy dy = (y + 1) (1-x) dx
5. x2 y' = 1 - x
2 + y
2 - x
2 y
2
6. x2 tg y dx - sec x dy = 0
7. (y exy
+ 2xy) dx + (x exy
+ x2) dy = 0
102
8. (3y + ex) dx + (3x + cos y) dy = 0
9. cos y dx -(x sen y - y2) dy = 0
10. (y + x3 + xy
2)dx - xdy = 0
11. yexy
dx + xexy
dy = 0
12. y' = x2y
2 - 9x
2
13.
14.
15.
UNIDAD DOS. Hallar la solución general de la ecuación diferencial de
segundo orden:
1. y´´ + y = 2 cos x
2. y´´ - 2y´+ y = 2xex
3. y´´ + 2y´+ y = 1__
x2e
x
4.
5. 5x(x - 1) - 2(2x2 - 7x) = - 8
6. (x + 2)2 = 1 - x(x + 3)
7. (2x - 5)(2x + 5) - 119 = 0
8. (x + 11)(x - 11) = 23
9. (x + 6)(x - 6) = 13
103
10. 21x2
+ 100 = - 5
11. x2 + 12x + 35 = 0
12. (4x - 1)(2x + 3) = (x + 3)(x - 1)
13.
14.
15. Hallar la familia de trayectorias ortogonales a la familia dada
y dibujar varias curvas de ambas familias.
a. (x C)2 + y
2 = C
2
b. y 2x = C
UNIDAD TRES. Hallar la solución en forma de serie de la ecuación
diferencial.
1. y´´ + 3xy´- 3y = 0
2. xy´- y = x3 y
4
3. xy´+ y = -xy2
4. y´+ 3xy = xy2
5. y´= y2 + 6x y + 9x
2
6. y´ = y2 - 5xy + 5
7. y´= y2 + 4y - 5 S(x) = - 5
8. y´= y2 + 8xy + 16x
2 - 4 S(x) = -4x
9.
10.
104
11.
12.
13.
14. Encontrar los cinco primeros términos de la solución general de
la ecuación
Centre la serie en el punto
105
GLOSARIO
Condiciones Iníciales
A menudo nos interesa resolver una ecuación diferencial sujeta a
condiciones prescritas, que son las condiciones que se imponen a y(x) o a
sus derivadas. Los valores dados de la función desconocida, y(x), y de sus
primeras n1 derivadas en un solo punto x0: y(x0) = y0, y'(x0) =
y1,...,y(n1) (x0) = y(n1) se llaman condiciones iníciales.
Condiciones De Linealidad
Se dice que una ecuación diferencial de la forma y(n) = f(x, y, y',..., y(n1))
es lineal cuando f es una función lineal de y, y',..., y(n1)
Las dos propiedades características de las ecuaciones diferenciales lineales:
i) La variable dependiente y todas sus derivadas son de primer grado; esto
es, la potencia de
todo término donde aparece y es 1.
ii) Cada coeficiente solo depende de x, que es la variable independiente.
Conjunto Fundamental De Soluciones Todo conjunto y1, y2,..., yn de n
soluciones linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal
homogénea de orden n, en un intervalo I, se llama conjunto fundamental
de soluciones en el intervalo. Dependencia O Independencia Lineal Se dice
que un conjunto de funciones, f1(x), f2(x), ... , fn(x) es linealmente
dependiente en un intervalo Iv si existen constantes, C1, C2, ... , Cn no
todas cero, tales que C1f1(x) + C2F2(x) + ... + CnFn(x) = 0 Para toda x en
el intervalo. Si el conjunto de funciones no es linealmente dependiente en el
intervalo, se dice que es linealmente independiente.
Ecuación Auxiliar
Comenzaremos con el caso especial de la ecuación de segundo orden
ay + by + cy = 0 (2)
Si probamos con una solución de la forma y = emx, entonces y = memx y
= m2emx, de modo que la ecuación (2) se transforma en
am2emx + bmemx + cemx = 0 o sea emx (am2 + bm + c) = 0
106
Como emx nunca es cero cuando x tiene valor real, la única forma en que la
función exponencial satisface la ecuación diferencial es eligiendo una m tal
que sea una raíz de la ecuación cuadrática
am2 + bm + c = 0
Esta ecuación se llama ecuación auxiliar o ecuación característica.
Función Complementaria
La combinación lineal yc(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + ... + Cn yn(x), que es
la solución general de (6), se llama función complementaria para la
ecuación (7). En otras palabras, para resolver una ecuación diferencial no
homogénea primero se resuelve la ecuación homogénea asociada y luego se
determina cualquier solución particular de la ecuación no homogénea. La
solución general de la ecuación no homogénea es, entonces,
Y = función complementaria + cualquier solución particular
Diferencial Exacta
Una ecuación diferencial M(x,y) + N(x,y) es una diferencial exacta en una
región R del plano xy si corresponde a la diferencia de alguna función
F(x,y). Una ecuación diferencial de primer orden de la forma
M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0
Es una ecuación diferencial exacta o ecuación exacta), si la expresión del
lado izquierdo es una diferencial exacta.
Dependencia O Independencia Lineal
Se dice que un conjunto de funciones, f1(x), f2(x), ... , fn(x) es linealmente
dependiente en un intervalo I si existen constantes, C1, C2, ... , Cn no
todas cero, tales que
C1f1(x) + C2f2(x) + ... + Cnfn(x) = 0
Para toda x en el intervalo. Si el conjunto de funciones no es linealmente
dependiente en el intervalo, se dice que es linealmente independiente.
Derivadas Totales. En algunos casos x, y no son variables independientes
en la función Q=f(x,y) ya que tanto x como y pueden estar en función de
una tercera variable t es decir, X =f (x), y = f(t) valores que se sustituyen
107
en la función Q, esta se convierte en una función de una sola variable t y
su derivada puede encontrarse de manera ordinaria o mediante la
expresión.
De la misma forma se obtiene para una función de un número cualquiera de
variables, esto es:
Ecuaciones Exactas.
La igualdad M (x,y) dx + N(x,y)dy = 0 es una ecuación diferencial exacta el
primer miembro es una diferencial total.
Es decir: Si df = fxdx + fydy por lo tanto fxdx + fydy = 0 es una ecuación
diferencial exacta y fx = M(x,y), y fy = N(x,y).
Encontrar la solución de una ecuación diferencial exacta es hallar una
función f(x,y) tal que su diferencial total sea exactamente la ecuación
diferencial dada.
Ecuación Integral Con Factor Integrante.
Si existe una función F(x,y) tal que f(x,y)M(dx) + f(x,y)N(dy) = 0 es exacta
entonces f(x,y) se llama factor de integración de la ecuación diferencial Mdx
+ DNI = 0
Conviene notar que una ecuación diferencial no exacta puede tener varios
factores de integrantes es decir, puede convertirse en exacta
Ecuación de Bernoulli
La ecuación diferencial
Y + P(x)y = f(x)yn
n es cualquier número real, es la ecuación de Bernoulli. La sustitución u = y
1-n reduce cualquier ecuación de la forma anterior a una ecuación lineal.
Ecuaciones Lineales No homogéneas
Toda función yp libre de parámetros arbitrarios que satisface la ecuación (7)
se llama solución particular o integral particular de la ecuación; por
ejemplo, se puede demostrar directamente que la función constante yp = 3
es una solución particular de la ecuación no homogénea y + 9y = 27.
108
Ecuación Diferencial
Es una ecuación que contiene las derivadas de una o más variables
dependientes con respecto a una o más variables independientes es una
ecuación diferencial.
Factor Integrante
El factor integrante e " P(x)dx se utiliza en las ecuaciones lineales y en las
ecuaciones tipo Bernoulli para poder obtener su solución.
Familia De Curvas
Una ecuación F(x) + c, donde c es una constante arbitraria que determina
el desplazamiento vertical u horizontal de la grafica de la función, genera
una familia de curvas.
Función Seccionalmente Continua
Una función es continua por tramos en [ 0, ") si, en cualquier intervalo 0 " a
" t " b hay, cuando mucho, una cantidad finita de puntos tk , k = 1, 2, .... ,
n (t k-1 < t k ) en los cuales f tiene discontinuidades finitas y es continua en
todo intervalo abierto t k-1 < t < t k.
Fracciones Parciales
Usted ya sabe cómo combinar dos o más expresiones racionales a fin de
obtener una expresión racional mediante adición o sustracción.
En ocasiones es necesario invertir el proceso, es decir, representar una
expresión racional simple como una suma de dos o más cocientes simples,
denominado fracciones racionales. En cálculo se necesita hacer esto a fin de
efectuar la operación de integración de algunas funciones racionales. Con
frecuencia se emplean sistemas de ecuaciones para descomponer una
expresión racional en fracciones parciales.
H(x) = P(x)
Donde P(x) y Q(x) son polinomios. Se asumirá que se tiene una fracción
propia, esto es, una fracción por la cual el grado de P(x) es menor que el
grado de Q(x). Si se tiene una función racional para la cual el grado del
numerador no es menor que el grado del denominador entonces se tiene
una fracción impropia, y en este caso se divide el numerador entre el
109
denominador entonces se tiene una fracción impropia, y en este caso se
divide el numerador entre el denominador hasta que se obtenga una
fracción propia.
Función Homogénea
Cuando una función f tiene la propiedad
F(tx,ty) = ta f(x,y)
Para un numero real a, se dice que es una función homogénea de grado a
M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0
Es homogénea si los coeficientes M y n, a la vez, son funciones homogéneas
del mismo grado.
Intervalo De Convergencia: Toda serie de potencias tiene un intervalo de
convergencia, que es el conjunto de los números para los cuales converge
la serie.
Operador Diferencial
En calculo, la diferenciación suele indicarse con la D mayúscula; esto es
dy/Dx = Dy. El símbolo D se llama operador diferencial porque transforma
una función diferenciable en otra función
Punto Ordinario
Se dice que un punto xo es punto ordinario de la ecuación diferencial si P(x)
y Q(x) son analíticas en xo.
Punto Singular
Se dice que un punto que no es ordinario es un punto singular de la
ecuación. Es singular real si tanto (x -xo)P(x) como (x - xo)Q(x) son
analíticas en xo. Se dice que es un punto singular que no es regular es un
punto singular irregular de la ecuación.
Soluciones Explicitas e Implícitas
Una solución en el que las variables dependientes se expresan tan solo en
términos de la variable independiente y constantes, se llama solución
explicita. Una relación G(x,y) = 0 es una solución implícita de una ecuación
110
diferencial ordinaria, como la ecuación satisfaga la relación, y la ecuación
diferencial, en I. En otras palabras, G(x,y) = 0 define implícitamente a al
función .
Solución General
Si toda solución de una ecuación de orden n, F(x, y, ya,..., y(n) ) = 0, en un
intervalo I, se puede obtener de una familia n-paramétrica G(x, y, c1, c2,...,
cn) = 0 con valores adecuados de los parámetros c1(i = 1, 2, ..., n), se dice
que la familia es la solución general de la ecuación diferencial.
Solución Particular
Una solución de una ecuación diferencial que no tiene parámetros
arbitrarios se llama solución particular; por ejemplo, podemos demostrar
que, por sustitución directa, toda función de la familia monoparametrica y =
cex también satisface la ecuación.
Solución Singular: En algunos casos, una ecuación diferencial tiene una
solución que no se puede obtener particularizando alguno de los parámetros
en una familia de soluciones. Esa solución se llama solución singular.
Teorema De Existencia Y Unicidad
Sea R una región rectangular del plano xy, definida por a " x " b, c " y " d,
que contiene al punto (x0,y0). Si f(x,y) y "f/"y son continuas en F, entonces
existe un intervalo I,
Series De Potencias
Una serie de potencias en x - a es una serie infinita de la forma no cn(x -
a)n. También, se dice que esa serie es una serie de potencias centradas en
a.
111
BIBLIOGRAFÍA
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valores en
la frontera. ThomsomLearning.
Mexico, 2002
CAMPBELL, Stephen y HABERMAN, Richard. Introducción a las ecuaciones
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frontera.
Limusa. México 1998
KREYZIG, Erwin. Matemáticas avanzadas para ingeniería, Vol. 1. Limusa.
México 2000
TAKEUCHI, RAMIREZ, RUIZ. Ecuaciones Diferenciales. Limusa, Bogotá,
2.000
