| Date post: | 17-Oct-2018 |
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1. Movimiento Armónico Simple (MAS)
2. Oscilaciones Amortiguadas
3. Oscilaciones forzadas y resonancia
4. Superposición de MAS
Modulo I: Oscilaciones (9 hs)
17/02/2012 1 Masoller, FII
3.1 Oscilaciones forzadas 3.2 Estado transitorio y estado estacionario 3.3 Resonancia 3.4 Potencia suministrada al oscilador 3.5 Factor de calidad y ancho de la resonancia
Bibliografía: Tipler y Mosca Capítulo 14
3.1 Oscilaciones forzadas
17/02/2012 Masoller, FII 2
tm
Fx
m
k
dt
dx
m
b
dt
xd
matFkxbv
maF
cos
cos
0
2
2
0
tmFxxx cos)/( 2 0
2
0
)2/( mb
Sobre el sistema, además de la fuerza elástica y de la fuerza viscosa, actúa una fuerza externa periódica (“forzamiento”) que “mantiene” la oscilación (sino eventualmente el sistema se detiene).
Parámetro de amortiguamiento: Frecuencia angular natural del sistema: Frecuencia angular de la fuerza externa:
Ecuación diferencial ordinaria de 2º orden lineal y NO homogénea
mk /0
Solución de
17/02/2012 Masoller, FII 3
)()()( txtxtx ph
)cos()( hh
t
hh teAtx
)cos()( tAtxp
Solución general de la ecuación dif. no homogénea
Solución de la ecuación dif. homogénea
Solución particular de la ecuación dif. no homogénea
tmFxxx cos)/( 2 0
2
0
Estado estacionario: MAS de frecuencia angular
Estado transitorio: oscilación amortiguada
0 2 2
0 xxx
17/02/2012 Masoller, FII 4
3.2 Estado transitorio y estado estacionario )cos()cos()()()( tAteAtxtxtx hh
t
hph
Ah y h son constantes que dependen de las condiciones iniciales x(0) y v(0).
A y NO dependen de las condiciones iniciales.
Luego de un cierto tiempo (4-5, =1/2) el estado transitorio desaparece y queda solo el estado estacionario.
Calculamos A y sustituyendo en la ecuación diferencial:
)cos()( tAtx
tmFtA
tAtA
cos )/()cos(
)sin( 2)cos(
0
2
0
2
tmFxxx cos)/( 2 0
2
0
Oscilación amortiguada
MAS
)sin( tAx
)cos(2 tAx
17/02/2012 Masoller, FII 5
Determinación de A y
tmFtAtA cos)/()sin( 2)cos()( 0
22
0
Juntando términos
sincoscossin)sin(
sinsincoscos)cos(
ttt
ttt Usamos que
tmFttAttA cos)/(sincoscossin 2sinsincoscos)( 0
22
0
Reordenamos términos
0sincos 2sin)(cos/sin 2cos)( 22
00
22
0 tAAtmFAA
[coeficiente 1] cos t + [coeficiente 2] sin t = 0
Esta igualdad se verifica para todo tiempo si y solo si los dos coeficientes son nulos
tmFtAtAtA cos )/()cos( )sin( 2)cos( 0
2
0
2
17/02/2012 Masoller, FII 6
22222
0
0
4
/
mF
A
22
0
2tan
Determinación de A y
0cos 2sin)(
0/sin 2cos)(
22
0
0
22
0
AA
mFAA sin 2cos)(
/22
0
0
mFA
Usamos que 2222
0
22
0
2 )2()(tan1
1cos
2222
0
2 )2()(
2
tan1
tansin
Y sustituimos en la Ecuación (I)
Ecuación (I)
2222
0
2222
0
22
022
0
0
)2()(
2 2
)2()()(
/
mF
A
coeficiente 1
coeficiente 2
17/02/2012 Masoller, FII 7
La amplitud (A) y la fase () dependen de la frecuencia angular del forzamiento externo ()
321
22
0
2tan
22222
0
0
4
/
mF
A
tFF 10 costFF 20 cos
tFF 30 cosLínea negra: F(t), línea de color, x(t)
)cos()( tAtx
17/02/2012 Masoller, FII 8
Ejemplo: máquina giratoria (M) que tiene un elemento (m) que no esta equilibrado
m realiza un MCU, x’(t) es un MAS
“El resto” de la máquina (M-m) realiza una fuerza F sobre m
mmaF
Por la 3ª Ley de Newton, m hace una fuerza contraria (-F) sobre “el resto“ de la máquina (M-m)
Ecuación del movimiento de “el resto” de la máquina: xmMFi)(
FxbkxFi xmMxxmxbkx )()( 2
xMxmxbkx 2
)cos(22 tmaxmkxxbxM
)cos( tax Oscilación forzada con F0=m a2
)cos( tax
aceleración de m
)()( 2xxmxxm
donde
3.3 Resonancia
17/02/2012 Masoller, FII 9
22222
0
0
4
/
mF
A
0 20 40 60 80 1000
1
2
3
4
5
6x 10
-3
(rad/s)
A (
m)
=0/15
=0/6
=0/3
0 = 36 rad s-1 F0/m=1 m
22
0max 2
Si 0 (forzamiento muy lento): A F0/m02 = F0/m(k/m)= F0/k
Si (forzamiento muy rápido): A 0
Hay una frecuencia de forzamiento que nos da una amplitud de oscilación máxima.
A es máximo cuando el denominador es mínimo
max = frecuencia de resonancia en amplitud
max depende de
Si <<0 max 0
En un oscilador forzado la amplitud de oscilación es función de la frecuencia del forzamiento:
Resonancias catastróficas
17/02/2012 Masoller, FII 10
Millenium Bridge http://www.youtube.com/watch?v=eAXVa__XWZ8
Tacoma Bridge http://www.youtube.com/watch?v=3mclp9QmCGs
Problema 27 Después de colocar un motor eléctrico de masa M=18 kg sobre una viga horizontal, ésta se flexiona Δx=6 mm. Determinar: a) Velocidad angular (en rpm) que debemos evitar para que el sistema no entre en resonancia. b) Si el rotor del motor tiene una masa m=8 kg y está descentrado una distancia a=0.5 cm, ¿qué amplitud tendrán las oscilaciones de la viga cuando el motor gire a 350 rpm? (suponer β << ω0) Solución: = 386 rpm A = 1.03 cm
Desfasaje entre el forzamiento, F(t), y la velocidad de la partícula, v(t)
En el estado estacionario:
17/02/2012 Masoller, FII 11
22
0
2
1
tan
1
2tantan
)cos()( tAtx
)cos()2/cos()sin()( tAtAtAtv
)cos()(
cos)( 0
tAtv
tFtF
2
es el desfasaje entre la fuerza y la velocidad
2tan
2
0
2
Impedancia (Z) del oscilador
17/02/2012 Masoller, FII 12
)cos()cos()( max tvtAtv
2
2
bk
mZ
2
222
0 4
mZ
22222
0
0max
4
)/(
mF
Av
2
222
0
0
4
/
mF
Z
F0
)2/( mb
mk /0
Z es mínimo cuando =0 : Zmin = b
Z
Fv 0
max
vmax máxima Z mínimo ejercicio
Z
bcos
AZ
F0
b
Fv 0
maxmax,
17/02/2012 Masoller, FII 13
0 20 40 60 80 1000
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
(rad/s)
A
(ra
d m
/s)
=/3=/6=/15
F0/m =1, 0 = 36 rad s-1
Resonancia en energía. Gráfica de vmax = A = Fo/Z
Máximo en 0
La energía cinética del oscilador es proporcional al cuadrado de su
velocidad máxima
Definición: Un oscilador está en resonancia cuando su energía cinética es máxima
Condición de resonancia:
mk /0
2
2
0
2
222
0
0max
4
/
bk
m
FmFv
frecuencia del forzamiento externo
frecuencia natural del oscilador
=
17/02/2012 Masoller, FII 14
En resonancia se cumple que:
mk /0
2
222
0 4
mZ bmZ 2
22222
0
0
4
/
mF
A
22
0
2tan
)cos( tAx
tan2
Desfasaje entre x(t) y F(t)
tFtFF 000 cos cos
0
0
0
0
0
00
)/(
/
2
/
2
/
b
F
mb
mFmFmFA
)cos()( tAtv
b
F
Z
FAv 00
max 02
tan2
0
2
0
Desfasaje entre v(t) y F(t)
1)
3)
2)
5)
4)
6)
Representación fasorial
)cos()( 00 t
b
Ftv
)2
cos()( 0
0
0
t
b
Ftx
En el estado estacionario el movimiento es un MAS
La energía del oscilador es constante
La potencia suministrada por la fuerza externa es igual a la potencia disipada por la fuerza de fricción
3.4 Potencia suministrada al oscilador
17/02/2012 Masoller, FII 15
tZ
FtP 2coscos
2)(
2
0
t
Z
FtFvFP cos cos 0
0
Observar que la potencia suministrada por unidad de tiempo (instantánea) puede ser negativa en algún momento de la oscilación
bababa sinsincoscoscos
sinsincoscos cos2
0 tttZ
FP
sin cossincoscos22
0 tttZ
FP
2
2sincossin ,
2
2cos1cos2 a
aaa
a
sin
2
2sincos
2
2cos12
0 tt
Z
FP
sin2sincos2coscos2
2
0 ttZ
FP
bababa sinsincoscoscos
0 20 40 60 80 1000
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
(rad/s)
(
A)2
=0/15
=0/6
=0/3
17/02/2012 Masoller, FII 16
/2
0
2
0 2cos2
cos2
dttZ
FP
T
PdtT
P0
1
Potencia media suministrada
/2
0
2
0
0
2
0 2cos22
cos1
2dtt
Z
Fdt
TZ
FP
T
Valor medio del cos(2t-) en una oscilación = 0
Z
bcos
AZ
F0
cos2
2
0
Z
FP
2
2
0
2Z
bFP
22
Ab
P 0 = 36 rad s-1 F0/m=1 m
22222
0
0
4
)/(
mF
A
La gráfica de la potencia media suministrada es similar a la gráfica de la energía: 1) máximo en 0 y 2) ancho aumenta con
T
dttTZ
F
0
2
0 2coscos1
2
La potencia media suministrada es positiva (es 0 b=0 –no hay fricción)
3.5 Factor de calidad y ancho de la resonancia
17/02/2012 Masoller, FII 17
b
FP
2
2
0res
2
2
res Z
b
P
P
2
2
0
2Z
bFP
En resonancia Z es mínimo (Zres=b)
En resonancia P es máximo
2
222
0 4
mZ
)2/( mb
2222
0
2
Res 2)(
2
P
P
Es una magnitud normalizada entre 0 y 1
0 20 40 60 80 1000
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
(rad/s)
f(
)
=0/15
=0/6
=0/3
Se puede demostrar que si <<0 el ancho de la resonancia es 2
2
0Q
0Q Factor de calidad si <<0 :
17/02/2012 Masoller, FII 18
Resumen: oscilaciones forzadas
tFbvkxmaF cos0tmFxxx cos)/(2 0
2
0 )2/( mb mk /0
)cos()cos()( tAteAtx hh
t
h 22222
0
0
4
/
mF
A
22
0
2tan
2tan
2
0
2
)cos()( tAtv
En estado estacionario:
Resonancia: 0
Cuando un sistema ligeramente amortiguado se ve forzado a oscilar por la acción de una fuerza externa periódica, el sistema oscila con una frecuencia igual a la de la fuerza externa y con una amplitud que depende de la frecuencia de esa fuerza.
Transitorio: oscilación amortiguada
Estacionario: MAS
Velocidad máxima = A
17/02/2012 Masoller, FII 19
0 20 40 60 80 1000
1
2
3
4
5
6x 10
-3
(rad/s)
A (
m)
=0/15
=0/6
=0/3
22222
0
0
4
/
mF
A
Resumen Resonancia
0 20 40 60 80 1000
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
(rad/s)
A
(ra
d m
/s)
=/3=/6=/15
Amplitud de la oscilación
2
222
0 4
mZ
Z
FA 0
0 20 40 60 80 1000
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
(rad/s)
(
A)2
=0/15
=0/6
=0/3
Potencia media Potencia media normalizada
17/02/2012 Masoller, FII 20
2
0Q
0 20 40 60 80 1000
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
(rad/s)
f(
)
=0/15
=0/6
=0/3
22
2
0
2
0
22cos
2 A
b
Z
bF
Z
FP
2222
0
2
2
2
Res 2)(
2
Z
b
P
P
2
0Q
Resumen Resonancia
17/02/2012 Masoller, FII 21
1. En régimen estacionario de un oscilador forzado, la energía perdida por el amortiguamiento es igual a la introducida por la fuerza oscilante. 2. La potencia media suministrada a un oscilador forzado decae exponencialmente con el tiempo. 3. El hecho de romper una copa de vidrio por la acción del sonido es un ejemplo de oscilador resonante. 4. Si ω0 < β la frecuencia de oscilación de un oscilador forzado será mayor que ω0. 5. Después de un periodo transitorio, la frecuencia de oscilación de un oscilador forzado es 6. Las unidades del factor de calidad de un oscilador son las mismas que la de la frecuencia angular. 7. En el estado estacionario, si ω tiende a ω0 el desfase entre la fuerza impulsora y la velocidad tiende a cero.
Preguntas VF
22
0
Superposición de MAS
17/02/2012 22 Masoller, FII
4.1 Linealidad y Principio de Superposición 4.2 Superposición de dos MAS en la misma dirección 4.3 Superposición de dos MAS en direcciones perpendiculares
Bibliografía: 1. Apuntes del Profesor Calaf en Atenea, 2. Guion de la practica de laboratorio, 3. Física con Ordenador:
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/oscilaciones/mismaDireccion/oscila2.htm http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/oscilaciones/perpenDireccion/oscila3.htm
